Lehrbuch der Mathematik für Studierende der Naturwissenschaften und der Technik: Eine Einführung in die Differential- und Integralrechnung und in die analytische Geometrie [4., verbess. Aufl., Reprint 2022] 9783112339985, 9783112339978

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LEHRBUCH DER

MATHE MATIK FÜR

STUDIERENDE

DER NATURWISSENSCHAFTEN UND DER TECHNIK EINE EINFÜHRUNG IN DIE DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG UND IN DIE ANALYTISCHE GEOMETRIE VON

DR. GEORG SCHEFFERS PROFESSOR DBB. DARSTELLENDEN GEOMETRIE AN DER TECHNISCHEN HOCHSCHULE BERLIN - CHARLOTTENBURQ

VIERTE VERBESSERTE AUFLAGE MIT 438 FIGUREN

w

BERLIN UN» LEIPZIG 1919 VEREINIGUNG WISSENSCHAFTLICHER

VERLEGER

W A L T E R D E G R U Y T E R & CO. TORHAL8 G. J. QÖSCHEN'SCHE VERLA03H ANDLUNG :: 1. OUTTENTAG, VERLAGSBUCHHANDLUNG :: GEORG REIHER :: KAHL J. TROBNFR :: VEIT & COMP,

Alle Rechte, einschließlich des Übersetzungsrechts, vorbehalten.

Druck von Meteger & Wittig in Leipzig.

Vorwort. Zunächst fasse ich im folgenden einiges zusammen, das seinerzeit im Vorwort zur ersten Auflage stand: Dies Buch ist fiir solche geschrieben, denen die Mathematik nur eine Hilfswissenschaft ist, namentlich für Studierende der N a t u r w i s s e n s c h a f t e n und der T e c h n i k . In erster Linie ist es für das S e l b s t s t u d i u m bestimmt. Deshalb geht es von dem denkbar geringsten Maß von Vorkenntnissen aus: Der Leser braucht nur im Buchstabenrechnen, in der Auflösung von Gleichungen ersten Grades mit einer Unbekannten und in der niederen Geometrie bewandert zu sein. Ich habe mir nämlich den Leser vorgestellt als jemanden, der zwar seinen Schulkursus in der Mathematik durchgemacht, jedoch manches davon wieder vergessen, vielleicht auch manches davon nicht ganz verstanden hat. Daher habe ich im Laufe der Betrachtungen alte Schulkenntnisse wieder aufgefrischt; so z. B. wird die Goniometrie mit den Hauptsätzen der Trigonometrie von Grund aus abgeleitet, ebenso die Theorie und Praxis des logarithmischen Rechnens, sogar die Auflösung quadratischer Gleichungen. Ein Kollege gab mir, als er von dem Plan zu diesem Buche hörte, im Scherz den Rat, es als Lehrbuch für Anfanger und solche, die es bleiben wollen, zu bezeichnen. Man wird jedoch bemerken, daß es meine Absicht gewesen ist, den Anfänger von dem niedrigsten Stand an Vorkenntnissen dennoch zu einer solchen Höhe in mathematischen Dingen zu bringen, daß er nach dem Studium dieses Buches ohne weiteres fähig ist, die in seinem besonderen Forschungsgebiet auftretenden Anwendungen der Mathematik zu verstehen und ebenso, wenn er es gebrauchen sollte, schwierigere mathematische Literatur mit Verständnis zu lesen. Man darf sich daher nicht über den Umfang des Buches wundern, denn es ist ein weiter Weg zurück-

IV

Vorwort.

zulegen, und er muß langsam durchschritten werden. Erst in den allerletzten Kapiteln wird ein schnellerer Gang eingeschlagen. Dem Leser möchte ich dringend raten, stets Papier und Schreibstift zur Hand zu haben, namentlich auch kariertes Tapier zum Einzeichnen von Skizzen. Es wäre, um es kräftig auszudrücken, erwünscht, daß der Leser dem Verfasser aufs äußerste mißtraue und alle Rechnungen selbst nachprüfe. Der Studierende, der diesem Buche ernste Arbeit widmet, ist vielleicht dafür dankbar, daß ich, abweichend von der Gepflogenheit der meisten mathematischen Lehrbücher, die Lehre in einer gewissen behagliehen Breite vortrage. Wem der Schritt zu langsam ist, der wird j a leicht das, was er schneller erfaßt, mit raschem Blick überfliegen können. In der Auswahl des Stoffes habe ich mich durchaus nicht an irgend welche herkömmlichen Festlegungen gebunden, vielmehr gebracht, was nach meiner Meinung jemand, der die Mathematik nur als Hilfswissenschaft braucht, am allergründlichsten kennen lernen sollte. Man wird daher einiges hier nicht finden, das man sonst vorzutragen pflegt. Dagegen erfahren aber manche für den Techniker und Naturwissenschaftler wichtige Dinge hier eine sonst nicht gewohnte ausführliche Behandlung, z. B. die polytropischen Kurven für Gase und Dämpfe, die so außerordentlich oft auftretenden Exponentialfunktionen und -kurven, die Schwingungen wie überhaupt die periodischen Vorgänge, die gedämpften Schwingungen und anderes mehr. Für Geodäten und Physiker wird die Fehlerfunktion in der Wahrscheinlichkeitsrechnung abgeleitet. Dem Physiker und Elektrotechniker wird der Abriß der Theorie der FOÜKIER sehen Reihen willkommen sein. Dem Maschinenbauer und Ingenieur wird es lieb sein, daß mancherlei Betrachtungen, aus der Mechanik gebracht werden. Besonders habe ich überall danach gestrebt, die tote Formel durch Zahlenbeispiele und graphische Konstruktionen zu beleben. Die ungewohnte Fülle von Figuren wird das Verstehen des Textes wirksam unterstützen. — Meine Absicht ist es nicht, die Gründe auseinanderzusetzen, aus denen ich einen von den meisten Lehrbüchern stark abweichenden Gang eingeschlagen habe. Beim ersten Erscheinen dieses Buches (im Jahre 1905) zweifelte ich lebhaft daran, ob es überhaupt Beachtung finden würde. Allerdings war ich so vorsichtig, die Leser nicht von vornherein durch Äußerung dieses Zweifels am eigenen Werk stutzig zu machen. Inzwischen bin ich aber völlig beruhigt. Die

Vorwort.

V

große und beständig wachsende Zahl von Zuschriften aus dem Kreise derer, die das Buch durchgearbeitet haben, zeigt, daß gar mancher dafür dankbar ist, in dem Buch einen kameradschaftlichen Führer gefunden zu haben, durch den er in die Hallen der Mathematik ohne Stolpern an der Schwelle eingeführt worden ist. Die erste Lehrerpflicht ist, immer darüber im klaren zu bleiben, was der Schüler wirklich schon kann. Wer sich von Beruf mit Mathematik beschäftigt, verliert jedoch leicht das Gefühl dafür, was darin dem Neuling oder Gelegenheitsarbeiter besonders schwer wird. Klagen von Fachgenossen über die Breite des Vortrages durften mich deshalb ebensowenig wie bei der Bearbeitung der zweiten Auflage (1911) und dritten Auflage (1916) beeinflussen. Nicht auf das, was meine Leser eigentlich schon wissen müßten, sondern auf das, was sie wirklich wissen, baue ich auf. Verschiedene Anfragen haben gezeigt, daß noch einige Schwierigkeiten für den Leser vorhanden waren. Das waren willkommene Anlässe zu Verbesserungen. Die mehr als dreihundert Beispiele in kleinerem Druck sind möglichst verschiedenen Anwendungsgebieten entnommen. Solche Leser, die sich die mathematischen Grundlagen für Anwendungen auf einem bestimmten Gebiete der Naturwissenschaften öder der Technik aneignen wollen, werden wünschen, mehr Beispiele aus ihren Sondergebieten zu bearbeiten. Ich verweise deshalb auf die Aufgabensammlung, die mein Freund F . DINGELDEY unter dem Titel „Sammlung von Aufgaben zur Anwendung der D i f f e r e n t i a l und I n t e g r a l r e c h n u n g " in zwei Teilen, von denen sich der erste auf die Differential- und der zweite auf die Integralrechnung bezieht» in den -Jahren 1910 und 1913 in Leipzig hat erscheinen lassen. Dies vortreffliche Werk ist nach meiner Ansicht die beste aller hier in Betracht kommenden Sammlungen. Mehrere der mir zugegangenen Äußerungen von Lesern des Buches klagen über die vielen Beispiele aus verschiedenen Anwendungsgebieten. Das sind nicht Klagen von „reinen" Mathematikern, sondern von solchen, die der Mathematik nur als Hilfswissenschaft bedürfen. Ich stelle dies fest im Hinblick auf die immer wiederholte Forderung der Techniker, den mathematischen Unterricht durch technische Beispiele zu beleben. Man sieht daraus, daß doch immer Grenzen einzuhalten sind. Obgleich die dritte Auflage größer als die erste und zweite war, ist das Buch doch wieder in weniger als drei Jahren vergriffen.

VI

Vorwort.

Um nun das Erscheinen der neuen Auflage nicht zu verzögern, habe ich davon abgesehen, wesentliche Änderungen vorzunehmen. In der Tat habe ich keine Ursache, im Großen am Gefüge des Werkes etwas zu ändern. Wünschenswert wäre höchstens ein weiterer Ausbau des letzten Kapitels, aber dann wäre der Band allzu umfangreich geworden. Dagegen wurde der Text überall im Kleinen verbessert, so daß ich hoffen darf, daß das Buch in dieser neuen Auflage vollkommener geworden ist. Ernstliche Rechenfehler wird es kaum mehr enthalten; aber trotz sorgfältiger Durchsicht und Ausmerzung der bemerkten Druckfehler werden sich doch wohl beim Neudruck wieder^Druckfehler eingeschlichen haben. Ich hoffe, daß die Leser des Buches wie bisher so auch künftig die Güte haben, sie mir mitzuteilen. B e r l i n - D a h l e m , im Juli 1919.

Georg Scheffers.

Inhalt. 1 Erstes Kapitel. Größen und Funktionen. § § § §

1. Vorläufiger Überblick 2. Das Messen der Größen 3. Konstanten, Veränderliehe, Funktionen 4. Koordinaten

Seit(r

1 3 14 26

Zweites Kapitel. Begriff des Diiferentialquotienten. § § § § §

1. Lineare Funktionen 2. Quadratische Funktionen 3. Grenzwerte, Unendlichkleines, Differentiale u. Differentialquotienten 4. Differentialquotienten von Summen, Produkten und Brüchen . . . 5. Ein Rückblick

30 44 62 73 90

Drittes Kapitel. § § § § §

1. 2. 6. 4. 5.

D a s Differenzieren algebraischer Ausdrücke. Ganze Funktionen Über die Auflösung von Gleichungen Gebrochene Funktionen Die Kettenregel Beispiele

98 114 134 155 110

Viertes Kapitel. Einiges aus der analytischen Geometrie. § § g § § §

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Die Gerade Der Kreis . . . . . . . Die Ellipse Die Hyperbel Schiefwinklige Koordinaten Dreieckskoordinaten 1

180 185 189 196 204 210

Ein Verzeichnis der Stichwörter findet sich am Schlüsse des Buches.

Inhalt.

•VIII

F ü n f t e s Kapitel. Grundbegriffe der Integralrechnung. § ö § §

Seite

1. Funktionen mit demselben Differentialquotienten 2. Das Integral 3. Beispiele zur Flächenmessung 4. Verschiedene Anwendungen des Integralbegriffs

217 223 236 249

Sechstes Kapitel. Die logarithmischen Funktionen. § § § § §

1. 2. 3. 4. 5.

Der natürliche Logarithmus Berechnung des natürlichen Logarithmus Eigenschaften des natürlichen Logarithmus Der gewöhnliche Logarithmus Ein Rückblick und Folgerungen

270 280 293 303 315

Siebentes Kapitel. Die Exponentialfunktionen... § § § §

1. 2. 3. 4.

Das Gesetz des organischen Wachsens Exponentialfunktionen und Exponentialkurven Polarkoordinaten und logarithmische Spiralen Beispiele

319 331 350 363

Achtes Kapitel. Die Kreisfunktionen. § § § §

1. 2. 3. 4.

Die goniometrischen Funktionen Anwendungen der goniometrischen Funktionen Periodische Vorgänge Die zyklometrischen Funktionen

1

381 399 416 438

Neuntes Kapitel. Höhere Differentialquotienten. § § § § §

1. Die Differentialquotienten und Differentialkuryen 2. Kennzeichen eines Maximums oder Minimums 3. Krümmung, Evolute und Evolventen . . 4. Geradlinige Bewegungen 5. Krummlinige Bewegungen

446 459 475 493 509

Z e h n t e s Kapitel. Berechnung der Funktionen. § 1.

Der Mittelwertsatz

520

§ 2. § 3.

D i e F o r m e l v o n LAGRANGE D i e TAYLOHSche F o r m e l

523 535

§ 4.

Verschiedene Anwendungen der TAYLOB sehen Formel

. . . . .

552

Inhalt. Elftes

ix

Kapitel.

Auswertung von Integralen. § § § §

1. 2. 3. 4.

Seite

Allgemeine, Integrationsverfahren Übersieht und Anwendungen Besondere Integrationsverfallren . . . . Die FOURIER sehe Reihe Zwölftes

571 584 604 620

Kapitel.

Funktionen von mehreren Veränderlichen. ?? S § § t;

1. Partielle Differentiation 2. Differentiation unentwickelter Funktionen 3. Grundbegriffe der analytischen Geometrie des Raumes 4. Funktionen des Ortes in der Ebene 5. Rückblicke und Schlußbemerkuiigcn

636 653 666 691 709

Anhang. Tafel „ „ „ „ „ „

I. II. III. IV. V. VI. VII.

Bogenmaß der Winkel Natürliche Logarithmen Die Vielfachen von M und 1 : M Hyperbolische Funktionen Differentialquotienten Näherungaformeln Integralformeln

.

Stichwörter Berichtigungen

720 720 721 722 722 723 724 728

•

X

Berichtigungen. äeite „ „ ,, „ ,, „ „ „

158, 210, 247, 304, 338, 355, 386, 483, 610,

Zeile 15 von unten lies: erwähnten. Fig. 151 lies: I

n \

Ai

t

zwischen

So kommen wir hier dazu, Linie

dar-

sondern durch Vor-

Übrigens sei nebenbei bemerkt, daß sich

V i' 1

/

tr-

V-

1

\ s

h •

n *t

X

s

\

\

\

1 f > // i!\\ soweit abzulesen, als es die •\ü Genauigkeit der Skalen er\\ i laubt. Auch zu n e g a t i v e n r Werten von x können Werte i'j von y gehören. Die nega\ / iA tiven Werte von x lesen wir \ IS!5 K -i c 'A yj -1 0 \ r ZO i l e / auf der linken Seite der von !

/

// L

f

/

s 1E dem Punkte 0 ausgehenden -H .z-Skala ab. So gehört in _ unserer Figur zu x = — 14 Fig. 9. der Wert y = 2,3 (siehe Punkt D). Ferner ist für x = 2 der zugehörige Kurvenpunkt unterhalb der x-Skala gelegen, d. h. zu diesem Werte von x gehört ein negativer Wert von y, nämlich y = — 2,4 (siehe Punkt E). Es kann auch vorkommen, daß zu negativen Werten von x negative Werte von y gehören; z.B. zu dem Punkte F g e h ö r t x = — 6 und y = — 1,2.

Z u s a m m e n g ' e f a ß t : Auf beiden Skalen setzen wir eine positive und eine negative Richtung fest. Alsdann wird durch jede von links nach rechts gezogene Kurve eine gesetzmäßige Beziehung zwischen zwei veränderlichen Größen x und y festgelegt. Zusammengehörige Wertepaare ergeben sich, wenn man ¿urch einen beliebigen Punkt P der Kurve die Parallelen zu den Skalen zieht und die Zahlenwerte abliest, die sie auf den Skalen abschneiden. Dabei ist das Vorzeichen -j- oder — zu wählen, je nachdem der Schnittpunkt mit der Skala auf der positiven oder negativen Seite der Skala liegt. D i e K u r v e d e f i n i e r t u n s a l s o ein G e s e t z z w i s c h e n x u n d y , und zwar mit der G e n a u i g k e i t , mit der wir die Z a h l e n werte der Skalen ablesen können. So haben wir zunächst auf g r a p h i s c h e m Wege eine Möglichkeit, gesetzmäßige Beziehungen zwischen zwei veränderlichen

22

Erstes Kapitel:

Größen und

Funktionen.

Größen festzustellen. Ihr haftet der Mangel an, daß diese Feststellung in gleichem Maße nur angenähert ist, wie jede Figur nur angenähert dem Idealbilde einer Figur entspricht, in der die geraden Linien und Kurven wirklich ohne Dicke sind. Dagegen h a t dies Verfahren den großen Vorzug, ein Gesetz sehr anschaulich darzustellen. Nun können wir schließlich auch auf r e c h n e r i s c h e m W e g e gesetzmäßige Beziehungen zwischen zwei veränderlichen Größen x und y herstellen, die den erwähnten Mangel nicht haben, aber auch nicht die große Anschaulichkeit. Dies geschieht am einfachsten dadurch, daß wir eine G l e i c h u n g ansetzen, auf deren linker Seite nur y steht, auf deren rechter Seite dagegen eine Formel steht, in der y nicht vorkommt, wohl aber x. 4. B e i s p i e l : Setzen wir z. B. die Gleichung an: y = tV(**- 4» + 2). Sie definiert ein Gesetz. Wie wir nämlich die Größe x wählen mögen, immer gibt uns diese Gleichung dazu einen Wert von y. Setzen wir z. B. x = 5, so liefert die Gleichung y = -jt (25 - 20 + 2) = 0,7. In folgender Tabelle haben wir für x nacheinander eine Reihe von Werten b e l i e b i g gewählt und mittels der angenommenen Gleichung die zugehörigen Werte von y berechnet: x

-4

- 3

-2

- 1

0

1

2

3

4

5

y

3,4

2,3

1,4

0,7

0,2

- 0,1

-0,2

-o,i

0,2

0,7

In Fig. 10 haben wir auf Grund zweier Skalen die zugehörigen Punkte eingezeichnet; so gehört der Punkt A zu x = 5 und y = 0,7. Offenbar können wir beliebig viele Wertepaare auf Grund der angenommenen Gleichung herstellen. Wir haben ja hier nur einige ganzzahlige 1 Werte von x herausgegriffen. Zu x— 6,3 z. B gehört y = 1,649; dies Wertepaar gibt den Punkt B. Man 1 j i kann hier folgende Beobachtung machen: Je mehr Wertepaare man berechnet, um so enger ketten sich 4 die zugehörigen Bildpunkte in stetiger Folge an"2 einander. Haben wir einmal eine bestimmte Glei0 chung wie oben angenommen, so gehört zu jedem Fig. 10. Werte von x ein Wert von y, der g a n z g e n a u , also nicht nur angenähert, berechnet werden kann. In den früheren Beispielen, die der Beobachtung entnommen waren, ist dies nirgends der Fall gewesen. Die Betrachtung der Fig. 10 läßt uns wieder deutlich einen Kurvenzug als das geometrische Bild des angenommenen Gesetzes erkennen. E s ist nützlich, daß der Leser derartige Beispiele selbst erfinde und betrachte. Wir geben noch einige:

§ 3.

Konstanten,

23

Veränderliche, Funktionen.

5. B e i s p i e l : W i r wollen die Gleichung annehmen: ,

1

- 4

X

- 3

-

y

-

2

n

- 1

1

2

— 2

2

91

CO

Sie definiert ein Gesetz, nach dem zu jedem W e r t e von x ein gewisser W e r t von y g e h ö r t In folgender Tabelle sind eine Reihe von zusammen gehörigen W e r t e n angegeben:

Ol

41

W ä h l t man x nahe bei Null, z. B. x = -J-, J - . . . , so wird y ziemlich groß, da alsdann l:x recht groß wird. W i r haben hier die W e r t e p a a r e :

y

1 T

1

X

n

1 5 fi 1 5

H

-

_

l 3

-

31

1 4

- H

_

1 5

-H

W i r d x außerordentlich nahe bei Null angenommen, so wird y außerordentlich groß, f ü r x = 0,001 z. B kommt y = 1000,001. F ü r x = 0,000001 kommt y = 1000000,000001, usw. Dies zeigt: rücken wir mit dem W e r t e von x immer näher an Null heran, so wird y ohne Aufhören immer größer. Ist x negativ, aber sehr nahe an Null, so wird y auch einen sehr großen Zahlenwert haben, der aber mit dem Minuszeichen versehen ist, z. B. f ü r x = — 0,001 kommt y = — 1000,001. W e n n man dagegen x recht groß wählt, wird 1 : x recht klein. J e größer x wird, um so weniger unterscheidet sich also y von x Dies gilt auch, wenn x sehr große, aber mit dem Minuszeichen behaftete W e r t e hat. So kommt z. B.: X

10

100

1000

- 10

--100

- 1000

y

10,1

100,01

1000,001

- 10,1

-

- 1000,001

100,01

Stellen wir uns eine F i g u r h e r , indem wir (siehe Fig. 11, nächste Seite) eine wagerechte z-Skala O X und eine lotrechte »/-Skala 0 Y benutzen, so werden manche W e r t e , weil zu groß, gar nicht in die Figur hineinpassen. Immerhin aber erkennt man, daß allen Wertepaaren P u n k t e entsprechen, die eine regelmäßige Folge aufweisen, wobei zwei Erscheinungen besonders auffallen. Erstens: Die Punkte, deren x sehr nahe bei Null liegt und positiv ist, liegen sehr hoch, dagegen die Punkte, deren x sehr nahe bei Null liegt und negativ ist, sehr tief. Zweitens: Die P u n k t e , deren x sehr groß ist, ob mit + oder — versehen, liegen so, daß der Zahlenwert ihres y fast so groß wie der ihres x ist. W e n n wir w i e in Fig. 11 die Einheiten beider Skalen einander gleich wählen, was wir j a tun dürfen, so bedeutet dies letzte augenscheinlich: Die P u n k t e , die zu großen W e r t e n von x gehören, liegen beinahe auf derjenigen Geraden, die den rechten Winkel der positiven x- Skala und der positiven «/-Skala in gleiche Teile zerlegt und fortgesetzt ebenso den rechten W i n k e l der negativen z-Skala und der negativen »/-Skala teilt. E s ist leicht, sich einen Kurvenzug vorzustellen, der durch die gezeichneten Punkte geht. Er schmiegt sich rechts und, links mehr und mehr an jene Gerade an. In der Nähe der »/-Skala jedoch entfernt er sich weiter von dieser Geraden und mach

24

Erstes Kapitel:

Größen und

Funktionen.

Biegungen, um sich mehr und mehr der y-Skala anzuschmiegen. Der ganze Kurvenzug besteht aus zwei getrennten Teilen, von denen der eine die y-Skala

in unendlicher Ferne unten und der andere die «/-Skala in unendlicher Ferne oben zu erreichen strebt. 6. B e i s p i e l : Man stelle zu der Gleichung

1 y = x —rX2 die Figur her. Siehe Fig. 12, wo der Winkelteilenden eine ähnliche Rolle wie im vorigen Beispiele zukommt und wir die Punkte durch einen Kurvenzug verbunden haben.

In diesen Beispielen haben wir die unabhängige Veränderliche mit x und die abhängige mit y bezeichnet. In den Beispielen 1, 2, 3 waren dagegen andere Benennungen gebraucht worden, entsprechend ihrer wirklichen Bedeutung. Die unabhängige Veränderliche bezeichnete damals Temperaturen bzw. Jahre bzw. Stunden, die abhängige Kubikzentimeter bzw. Zentimeter bzw. Kilometer. Sehen wir von der wirklichen Bedeutung in den Beispielen ab, d. h. betrachten wir sie rein mathematisch, so werden wir die beiden Veränderlichen künftig mit x und y bezeichnen. Natürlich könnten wir viel v e r w i c k e i t e r e Beispiele bilden. Wir geben hier eines an, ohne aber damit zu meinen, daß der Leser es durchrechne: 1

y = log

Xs — 2x

+ tSX

,

S/5

;—i

7Z—;

r

-==5— + y i + log (1 + *) •

I—

yx

Hier kommen die Zeichen tg und log vor, an die sich der Leser noch aus dem Schulunterrichte erinnert, auf die wir aber selbst

§ 3.

Konstanten,

Veränderliche,

Funktionen.

25

später so ausführlich zurückkommen werden, daß wir eigentlich ihr Bekanntsein gar nicht vorauszusetzen brauchten. Wir erwähnen dies Beispiel nur, um dem Leser einen Begriff davon zu geben, wie verwickelt ein vorgelegtes mathematisches Gesetz zwischen zwei Veränderlichen x und y sein kann. Verallgemeinern wir die Betrachtung, so können wir sagen: E s l ä ß t sich auf r e c h n e r i s c h e m W e g e ein G e s e t z , n a c h d e m zu v e r ä n d e r l i c h e n W e r t e n von x gewisse W e r t e von y g e h ö r e n , d a d u r c h h e r s t e l l e n , daß m a n e i n e Gleic h u n g a n s e t z t , in d e r l i n k s n u r y, d a g e g e n r e c h t s eine m a t h e m a t i s c h e F o r m e l s t e h t , die y n i c h t e n t h ä l t , wohl a b e r x. Dies meinen wir, wenn wir in der Folge schreiben: y=f{x).

Man mag hier die abkürzende Bezeichnung f{x), wenn man will, mit den Worten lesen: „Formel, die x enthält" oder „Ausdruck, der x enthält". So werden in den Beispielen 4, 5, 6 unter f{x) nacheinander die Ausdrücke + 2),

x - ±

verstanden. Wir verwenden die Bezeichnung f(x) dann, wenn wir uns nicht auf ein ganz bestimmtes Beispiel einlassen wollen, sondern es noch dahingestellt sein lassen, welche besondere Bedeutung der Ausdruck f{x) haben soll. Die Bezeichnung f{x) verhält sich also gegenüber allen einzelnen denkbaren mathematischen Ausdrücken in x wie ein Gattungsname. So wie wir unter „Maschine" eine Dampfmaschine, eine elektrische Maschine, eine Turbine usw. verstehen können, aber doch nur von „Maschine" reden, sobald wir etwas aussagen wollen, was für alle Maschinen richtig ist, ebenso soll unter f{x) irgendeine x enthaltende mathematische Formel verstanden werden. Wenn wir nun sogleich den Fachnamen für diese Ausdrucksweise f[x) angeben, d. h. mitteilen, wie der Mathematiker das Zeichen f(x) zu lesen pflegt, so möge der Leser bedenken, d a ß d u r c h eine bloß n e u e B e z e i c h n u n g k e i n e w e s e n t l i c h e n n e u e n S c h w i e r i g k e i t e n e i n t r e t e n ; er möge sich also nicht abschrecken lassen. Das Zeichen f(x) liest der Mathematiker so: „ F u n k t i o n von x". Die Gleichung .'/ =

m

26

Erstes Kapitel:

Größen und, Funktionen.

liest er demnach so: D i e V e r ä n d e r l i c h e y s o l l e i n e F u n k t i o n d e r V e r ä n d e r l i c h e n x seiD. Das bedeutet: Zwischen x und y soll ein gesetzmäßiger Zusammenhang bestehen derart, daß zu beliebig gewählten Werten von x gewisse Werte von y gehören. Diese Ausdrucksweise überträgt man nun auch auf Beispiele aus der Wirklichkeit. So sagt man: Das Volumen des Wassers ist eine. Funktion seiner Temperatur. In unserem Beispiel 2 ist die Größe des Menschen eine Funktion seiner Lebensjahre und in unserem Beispiel 3 die vom Eisenbahnzuge zurückgelegte Kilometerzahl eine Funktion der Zeit. Ob wir also sagen: „ y h ä n g t g e s e t z m ä ß i g v o n x a b " oder: „y i s t e i n e v o n x a b h ä n g i g e V e r ä n d e r l i c h e " oder: „ y i s t e i n e F u n k t i o n v o n x", ist alles dasselbe. Noch ein Umstand muß erwähnt werden: Durch den Schul-' Unterricht wird der Leser gewöhnt sein, sich unter x nicht eine v e r ä n d e r l i c h e Größe vorzustellen, sondern eine b e s t i m m t e , a b e r n o c h u n b e k a n n t e Größe. Man hat da z. B. die Aufgabe, die Lösungen x der quadratischen Gleichung x2 ~ Sx + 2 = 0 zu bestimmen. Hier weiß man, daß es nur gewisse W e r t e von x gibt, f ü r die diese Gleichung richtig ist. Die Aufgabe ist dann, diese U n b e k a n n t e x zu berechnen (nämlich x = 1 und x = 2). Etwas ganz anderes ist die Größe x, die wir betrachten: x soll eine b e l i e b i g v e r ä n d e r l i c h e G r ö ß e sein. E s steht also in unserer Willkür, x irgendwelche Werte beizulegen. W i r erinnern an die Redeweise von einer „ar-beliebigen" Größe. Uns kommt es hier nicht aüf die Einzelwerte von x an, es handelt sich um die Frage, welche W e r t e der abhängigen Veränderlichen y zu diesen b e l i e b i g e n W e r t e n von x gehören. Nun können wir unsere n ä c h s t e Aufgabe schön bestimmter fassen: Um die gesetzmäßigen Beziehungen zwischen zwei veränderlichen Größen auf mathematischem Wege zu untersuchen, werden wir uns zunächst damit beschäftigen, e i n e m ö g l i c h s t g r o ß e A n z a h l VOB F u n k t i o n e n y = f(x) zu u n t e r s u c h e n . Dabei gehen wir von einfacheren Annahmen allmählich zu verwickeiteren über.

§ 4.

Koordinaten.

E h e wir zu dem übergehen, was soeben angedeutet wurde, sind wir leider genötigt, noch einige viel gebrauchte Bezeichnungen ein-

26

Erstes Kapitel:

Größen und, Funktionen.

liest er demnach so: D i e V e r ä n d e r l i c h e y s o l l e i n e F u n k t i o n d e r V e r ä n d e r l i c h e n x seiD. Das bedeutet: Zwischen x und y soll ein gesetzmäßiger Zusammenhang bestehen derart, daß zu beliebig gewählten Werten von x gewisse Werte von y gehören. Diese Ausdrucksweise überträgt man nun auch auf Beispiele aus der Wirklichkeit. So sagt man: Das Volumen des Wassers ist eine. Funktion seiner Temperatur. In unserem Beispiel 2 ist die Größe des Menschen eine Funktion seiner Lebensjahre und in unserem Beispiel 3 die vom Eisenbahnzuge zurückgelegte Kilometerzahl eine Funktion der Zeit. Ob wir also sagen: „ y h ä n g t g e s e t z m ä ß i g v o n x a b " oder: „y i s t e i n e v o n x a b h ä n g i g e V e r ä n d e r l i c h e " oder: „ y i s t e i n e F u n k t i o n v o n x", ist alles dasselbe. Noch ein Umstand muß erwähnt werden: Durch den Schul-' Unterricht wird der Leser gewöhnt sein, sich unter x nicht eine v e r ä n d e r l i c h e Größe vorzustellen, sondern eine b e s t i m m t e , a b e r n o c h u n b e k a n n t e Größe. Man hat da z. B. die Aufgabe, die Lösungen x der quadratischen Gleichung x2 ~ Sx + 2 = 0 zu bestimmen. Hier weiß man, daß es nur gewisse W e r t e von x gibt, f ü r die diese Gleichung richtig ist. Die Aufgabe ist dann, diese U n b e k a n n t e x zu berechnen (nämlich x = 1 und x = 2). Etwas ganz anderes ist die Größe x, die wir betrachten: x soll eine b e l i e b i g v e r ä n d e r l i c h e G r ö ß e sein. E s steht also in unserer Willkür, x irgendwelche Werte beizulegen. W i r erinnern an die Redeweise von einer „ar-beliebigen" Größe. Uns kommt es hier nicht aüf die Einzelwerte von x an, es handelt sich um die Frage, welche W e r t e der abhängigen Veränderlichen y zu diesen b e l i e b i g e n W e r t e n von x gehören. Nun können wir unsere n ä c h s t e Aufgabe schön bestimmter fassen: Um die gesetzmäßigen Beziehungen zwischen zwei veränderlichen Größen auf mathematischem Wege zu untersuchen, werden wir uns zunächst damit beschäftigen, e i n e m ö g l i c h s t g r o ß e A n z a h l VOB F u n k t i o n e n y = f(x) zu u n t e r s u c h e n . Dabei gehen wir von einfacheren Annahmen allmählich zu verwickeiteren über.

§ 4.

Koordinaten.

E h e wir zu dem übergehen, was soeben angedeutet wurde, sind wir leider genötigt, noch einige viel gebrauchte Bezeichnungen ein-

§ 4.

Koordinaten.

27

zuführen. Wir sagen leider, weil einerseits darin, daß man für Dinge oder Begriffe, die man schon versteht, neue Namen einführt, keinerlei geistiger Gewinn liegt, und weil andererseits die Erfahrung lehrt, daß neue Bezeichnungen leicht abschreckend wirken. Solche neue Bezeichnungen sind jedoch aus zwei Gründen angebracht: Erstens dienen sie später dazu, die Aussagen erheblich abzukürzen, zweitens sind sie nötig, wenn wir uns mit anderen, die diese Benennungen gebrauchen, verständigen wollen. Wenn wir eine gesetzmäßige Beziehung y = / »

zwischen einer unabhängigen und einer abhängigen Veränderlichen betrachten wollen, benutzen wir, wie erläutert wurde, zur Veranschaulichung eine Figur, deren Herstellung y auf zwei zueinander senkrechten Skalen beiß: ruht. Wir ziehen also von einem Punkte 0 aus, vom N u l l p u n k t oder A n f a n g s p u n k t , i 4zwei zueinander senkrechte Strahlen, die wir von . jetzt an die positive x-Achse und die positive y - A c h s e nennen werden (siehe Fig. 13) -Ps und die wir beide mit Pfeilen versehen. Auf jeder Achse wählen wir in der durch den Pfeil pjg. 13. angegebenen Strahlrichtung einen E i n h e i t s p u n k t 1 beliebig, d. h. auf jeder Achse tragen wir von 0 aus eine Strecke von irgendwelcher Länge als Einheitsstrecke auf. Sie k a n n auf b e i d e n Achsen v e r s c h i e d e n gewählt werden. Haben wir sie einmal gewählt, so messen wir künftig die Veränderliche x mit der Einheit der x-Achse und die Veränderliche y mit der Einheit der y-Achse. Positive Werte von x tragen wir auf dem gewählten Strahle der positiven x-Achse von 0 aus ab, z. B. den Wert x = 3, indem wir um drei Einheiten der x-Achse von 0 aus in der Pfeilrichtung auf der x-Achse hingehen. Negative Werte von x tragen wir von 0 aus auf der rückwärtigen Verlängerung der positiven x-Achse über 0 hinaus ab, d. h. auf der sogenannten n e g a t i v e n x-Achse. Entsprechendes gilt von den Werten von y. Negative Werte von y werden also von 0 aus auf der rückwärtigen Verlängerung der positiven y-Achse über 0 hinaus abgetragen^ d. h. auf der n e g a t i v e n y*Achse, und zwar natürlich gemessen mit der gewählten ^-Einheit. Die Ebene wird durch die Achsen in vier Felder, Q u a d r a n t e n , eingeteilt. Das zwischen den beiden positiven Achsen gelegene Feld heißt der erste Quadrant. Die anderen

28

Erstes Kapitel: Chrößen und Funktionen.

Quadranten werden in demselben Sinne gezählt, in dem man um 0 drehen muß, wenn man die positive ar-Achse in die positive y-Achse überführen will, also in Fig. 13 im Sinne entgegen dem des Uhrzeigers. Je nachdem nun ein Punkt in einem der vier Quadranten liegt, gehören zu ihm Werte x und y von gewissen bestimmten Vorzeichen. Sie ergeben sich als Strecken, wenn man von dem Punkte die Lote auf die Achsen fällt. Offenbar sind die Vorzeichen für die Punkte P1,P2,Ps,Pi in Fig. 13 folgende: Quadrant 1. 2. c> 4.

Punkt

Vorzeichen von X

y

Pi

+

P*

-

+ +

—

—

+

-

P
0 oder a < 0 ist, verläuft die Bildkurve von a x2 gänzlich oberhalb oder gänzlich unterhalb der x-Achse, indem sie nur im Anfangs-

94

Zweites Kapitel:

Begriff des Differentialquotienten.

punkte 0 an diese Achse, sie dort berührend, herankommt. Im Falle a > 0 ist die Bildkurve also als ein einziges T a l , im Falle a < 0 als ein einziger B e r g zu kennzeichnen, und in beiden Fällen verläuft die Kurve nach rechts und links ins Unendliche. Man betrachte die «-Kurven m < Y in Fig. 66 und Fig. 67, l\ \ ' / die sich auf die AnIii \ \ n / nahmen 1 V 5 / y t\ \* \^ ^ /' / j f und

/

o^yj

7

beziehen, so daß also die w-Kurve in Fig. 66 das Bild der Funktion jJ, x2 und in Fig. 67 das der Funktion — ^ x2 Fig. 66. ist. I m ersten Falle ist a = j-1^ und im zweiten a = — J j . W i r kommen nun zur « Kurve. Da « die l i n e a r e Funktion bx + c von x ist, wird sie nach Satz 4, S. 34, durch eine G e r a d e dargestellt. In beiden Figuren ist es

V" \

c

//

diejenige Gerade, deren Ordinaten gleich x — 5 sind, die also den Punkt (0; — 5) enthält und die Steigung 1 hat. Die Summenkurve entsteht durch Addition solcher Ordinaten der u- und «-Kurve, die zur selben Abszisse gehören. Da die w-Kurve im ersten Falle nur positive und im zweiten nur negative Fig. 67. Ordinaten hat, leuchtet ein, daß die Summenkurve im ersten Falle (a > 0) oberhalb der, «-Geraden und im zweiten Falle (a < 0) unterhalb der «-Geraden verläuft. W e i l nun ferner die ?/-Kurve nur für x = 0 die Ordinate Null hat, erhellt, daß die Summenkurve nur für x = 0 an die Gerade herankommt und zwar in dem vorhin erwähnten Punkte (0; — 5), allgemein, wenn « = bx + c ist, in dem Punkt (0; c). Mithin wird

§ 5. Ein Rückblick.

95

die Summenkarve hier die Gerade berühren müssen, wie es auch beide Figuren zeigen. Dies Beispiel hat noch weiterhin etwas Merkwürdiges: Man vermutet nach den Abbildungen, d a ß die S u m m e n k a r v e d e r « - K u r v e k o n g r u e n t sei. Dies können wir leicht beweisen. Zu diesem Zwecke wollen wir mit der M-Kurve zweierlei vornehmen: Zuerst verschieben wir sie längs der x-Achse um eine gewisse Strecke m, dann verschieben wir die hervorgegangene Kurve längs der y-Achse um eine gewisse Strecke n. Die schließlich entstehende Kurve muß das Bild einer gewissen Funktion sein, wir fragen uns, welcher Funktion. Wenn man zunächst die u-Kurve, d. h. das Bild von ax2, längs der x-Achse um m verschiebt, geht jeder ihrer Punkte in einen Punkt mit unveränderter Ordinate, aber mit um m größerer Abszisse über. Die a l t e n Abszissen sind daher gleich den n e u e n , vermindert um m, d. h. die durch diese Verschiebung entstandene Kurve ist das Bild der Funktion a (x — m)2. In Fig. 66 ist als Verschiebungsstrecke m = — 5, in Fig. 67 dagegen m — 5 angenommen worden. Im ersten Falle hat also eine Verschiebung nach der negativen Richtung der .r-Achse hin stattgefunden. In beiden Figuren ist die entstandene Bildkurve von a{x — m)2 durch die gestrichelte .Linie dargestellt, und zwar ist es in Fig. 66 die Bildkurve von ^„-(x + ö)2 und in Fig. 67 die Bildkurve von — y^ [x — 5)2. Weiterhin soll die entstandene Kurve längs der j/-Achse um eine Strecke n verschoben werden. Man sieht, daß dabei alle Ordinaten, d. h. alle Funktionswerte, um n wachsen. Aus der Funktion a(x — m)2 wird somit jetzt die Funktion a (x — »¡)a -f n, deutlicher gesagt: Die jetzt entstandene Kurve ist das Bild der Funktion a{x - mf +

(2)

n.

In Fig. 66 ist n = — in Fig. 67 dagegen n = — 2\ gewählt worden. Da sich als Funktion a (x — rrif in Fig. 66 die Funktion + 5)2 und in Fig. 67 die Funktion — -J, (x — 5)a ergeben hatte, geht demnach jetzt durch die Verschiebung parallel zur y-Achse das Bild der Funktion a

TV(* + 5) -

H bzw. - T L(x - 5)* - 2 i hervor. Man bemerkt nun, wenn man die Quadrate ausrechnet, daß diese Funktionen dieselben sind wie yL x 2 + x — 5 bzw. yL X + X — 5 , 2

also genau diejenigen Funktionen, deren Bilder die Summenkurven in Fig. 66 und 67 sind. Für die beiden in den Figuren dargestellten

96

Zweites Kapitel: Begriff des Differentialquotienten.

besonderen Fälle ist also bewiesen, daß die ursprüngliche u Kurve durch geeignete Verschiebungen in die Summenkurve verwandelt werden kann und daher der Summenkurve kongruent ist, wie oben behauptet wurde. Daß dies auch sonst für jede quadratische Funktion y — ax2 + bx + c eintritt, sieht man so ein: Die u-Kurve, das Bild von aar2, ist durch die Verschiebung parallel zur ar-Achse um m und parallel zur y-Achse um n schließlich in die Bildkurve der Funktion (2) übergegangen. Daher braucht nur noch gezeigt zu werden, daß man die Verschiebungsstrecken m und n i m m e r so wählen kann, daß diese Funktion (2) mit der allgemeinen quadratischen Funktion (1) übereinstimmt. Deshalb formen wir (1) um. Zuerst können wir dafür schreiben: y = a(x2 +

b

a

x) + c.

Nun addieren wir i n n e r h a l b der Klammer ¿ 2 : 4 a 2 . Dies bedeutet, daß rechts überhaupt der Wert b2: 4a addiert wird. Also muß b1:4a auch wieder subtrahiert werden, weil die Funktion sonst eine andere würde. Demnach ist: h b * \ +• c —-— b* • y* = « /\i 2H• a x +i ia?j ' 4a

Jetzt aber steht in der Klammer das Quadrat von x + Z d . kommt: (3)

y

Also

=

Die Vergleichung mit (2) zeigt, daß die Funktion (2) mit der Funktion (3) übereinstimmt, wenn man die Verschiebungsstrecken b! m = — f> undA n = c — -— 2a 4a annimmt. Damit ist der Beweis beendet. Man sieht jetzt auch, weshalb wir in den beiden durch die Figuren 66 und 67 dargestellten Beispielen

(4) w

y = t l x2 + x — 5 und y = — y1^ a:2 + x — 5 gerade die vorhin angegebenen Werte benutzt haben. Denn im ersten Falle ist a = yL, b = 1, c = — 5, so daß (4) die Werte m — — 5, n—— liefert, und im zweiten Falle ist a = — y1^, 5 = 1, c = — 5, so daß (4) die Werte m = 5, n = — liefert. Hiernach können wir sagen: Satz 23: Die B i l d k u r v e d e r a l l g e m e i n e n q u a d r a t i s c h e n Funktion y = ai'-f i i + c

§ 5.

Ein Rückblick.

97

ist der B i l d k u r v e d e r b e s o n d e r e n q u a d r a t i s c h e n F u n k t i o n ax2 k o n g r u e n t . D i e s e n ä m l i c h g e h t in j e n e ü b e r , wenn m a n sie g e e i g n e t v e r s c h i e b t , ohne sie d a b e i zu d r e h e n . Da uns nun die Bildkurve von a x2 wohl bekannt ist, wie es in § 2 und auf S. 98, 94 auseinandergesetzt wurde, folgt, daß j e d e quadratische Funktion y = «r-f

bx

+

c

durch eine Kurve dargestellt wird, die im Fall a > 0 aus einem einzigen Tal und im Fall a < 0 aus einem einzigen Berge besteht. Alle Bildkurven von quadratischen Funktionen heißen P a r a b e l n . Die letzten Betrachtungen schlössen sich an die geometrische Verwertung der Summenregel an. Man k a n n a b e r a u c h die F a k t o r r e g e l geometrisch verwerten: Hat man eine Funktion u von x als Kurve mit den Ordinaten u dargestellt, so geht aus der Kurve das Bild der Funktion y — cn (c = konst.) hervor, wenn man alle Ordinaten c-fach vergrößert. Siehe Fig. 68, worin c = 2 gewählt worden ist. In der darstellenden Geometrie heißen die u- und »/-Kurve zueinander a f f i n (zu deutsch: verwandt), und die a,--Achse nennt man dabei die A f f i n i t ä t s a c h s e . Die Faktorregel dy 7 dx

=

du C - ax J

besagt nun; W e n n die T a n g e n t e eines P u n k t e s P1 d e r uK u r v e die z - A c h s e in S t r i f f t , geht die T a n g e n t e des zugeh ö r i g e n P u n k t e s P d e r yK u r v e e b e n d a h i n . In der Tat, falls Q der Fußpunkt der Ordinaten von P1 und P ist, stellt QPl:SQ die Steigung der Tangente der w-Kurve in Px dar. Nach der Faktorregel ist daher c.QP1:SQ die Steigung der Tangente der »/-Kurve in P, und da c.QP1 gerade gleich QP ist, liegt die Richtigkeit der Behauptung auf der Hand. In ähnlicher Weise könnte man die Produktregel sowie die Bruchregel geometrisch verwerten. Aber da liegen die Verhältnisse nicht so einfach, weshalb wir davon absehen.

SCHKFI'EBÖ, M a t h e m a t i k .

4. Aufl.

98

Drittes

Kapitel:

Das Differenzieren

algebraischer

Ausdrücke.

Drittes Kapitel.

Das Differenzieren algebraischer Ausdrücke. § 1.

Ganze Funktionen.

Die linearen und die quadratischen Funktionen, nämlich die von der Form y = ax + b

und

y =

ax2-\-bx-\-c,

sind nur besondere Fälle der sogenannten g a n z e n Darunter versteht man Funktionen von x, die Summen Gliedern sind, von denen jedes eine g a n z e p o s i t i v e multipliziert mit einer Konstante ist, wie z. B. ,rs _ i x A + 5 x + Qx6> 3 + 2,6z 8 + 3,2x3 -

Funktionen. von mehreren Potenz von x Ix9.

Es sollen also k e i n e n e g a t i v e n Potenzen von x, wie z - 1 oder l:x, x~2 oder 1: x2 usw. vorkommen, auch keine gebrochenen Potenzen wie xi oder ]/a\ Liegt eine ganze Funktion vor, so kann man die Glieder der Summe nach fallenden Potenzen von x ordnen, in den beiden soeben angegebenen Beispielen also in dieser Weise: 6* 5 - Ix* + x3 + 5.r, - 7x 9 + 2,6.r8 + 3,2x 2 + 3 . Ist die höchste vorkommende Potenz von x die nte, so nennt man die Funktion eine ganze Funktion wten Grades. Die Beispiele sind ganze Funktionen vom 5. und 9. Grade. Die a l l g e m e i n e F o r m e i n e r g a n z e n F u n k t i o n » ten Grades ist (1)

y = anx" +

x"-1 + an_2 *»-» + . . . + a2 x* + o, * + a0 ,

wo die K o e f f i z i e n t e n an, an_1( an_,,...a2, « j , a0 irgend welche Konstanten bedeuten. Die einfachsten ganzen Funktionen sind die vom ersten und zweiten Grade, die, wie wir wissen, stetig sind. Dasselbe gilt von allen ganzen Funktionen, denn da y — x und y = x2 stetig sind, ist auch y = x. x2 = x3 stetig, nach Satz 11, S. 82. Also nach demselben Satz auch y = x.xs=xi usw. Alle ganzen Potenzen von x sind somit stetige Funktionen von x, daher nach Satz 15, S. 79, auch die Produkte: a„_2*n"2,

fljJT,

a0.

§ 1.

Ganze Funktionen.

99

Nach Satz 11, S. 78, ist mithin die aus ihnen gebildete Summe, d. h. die Funktion (1), stetig. Demnach gilt der Satz 24: J e d e g a n z e F u n k t i o n i s t s t e t i g . Folglich gehört bei ihr allemal zu einem unendlich kleinen Zuwachs von x auch ein unendlich kleiner Zuwachs von y. Der Differentialquotient der Funktion (1) ist leicht zu berechnen. Denn nach der Summenregel, S. 9 0 , hat man sie gliedweise zu differenzieren. Das erste Glied ail, xn hat den konstanten Faktor an. Der

bleibt nach der Faktorregel (S. 91) als Faktor stehen. xn aber hat nach der Potenzregel (S. 92) den Differentialquotienten n .rn~l, also anxn den Differentialquotienten nanxn~\ Ebenso behandeln wir an_1 xn~l. Zunächst ist an_x ein konstanter Faktor, der bleibt. j.11—i gibt nach der Hegel für xn differenziert, indem hier n — 1 an die Stelle von n tritt, den Differentialquotienten (n — l ) ^ " - 1 ' - 1 oder (w — 1 ) . t " - 2 . Also hat an_x xn~l den Differentialquotienten n 2 (w — 1) x ~~ . So fährt man fort. Schließlich hat das letzte Glied a 0 den Difl'erentialquotienten Null. E s ergibt sich also als Differentialquotient der Funktion (1):

So hat die Funktion

y = 6 xb - 7.r4 + X3 -{- 5 X

den Differentialquotienten

und die Funktion

? 4dx - = 6 . öx4- - 7 . 4z 3 +1 3x2 4- 5 = 3 0 a : 4 - 28.r 3 + 3 * 2 4- 5

y = - Ix» + 2,6x s + 3,2s 2 + 3

den Differentialquotienten: 8 7 dx = - 7 . 9 * + 2,6.8.r i 7 -ji 3,2.2x

= -

63x 8 +

20,8 x1 + 6 , 4 x .

Man sieht also, daß m a n den D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e n e i n e r ganzen F u n k t i o n ohne weiteres h i n s c h r e i b e n kann. Dabei hat sich noch ergeben: Satz 25: D e r D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e i n e r g a n z e n F u n k t i o n « t e n G r a d e s i s t e i n e g a n z e F u n k t i o n (n — 1)*° G r a d e s . Die Angabe des Differentialquotienten ist auch dann leicht, wenn die Funktion noch nicht geordnet ist. So hat die ganze Funktion d r i t t e n Grades y = - 6 + 6x 2 - 2xs + x 7*

100

Drittes Kapitel: Das Differenzieren algebraischer Ausdrücke.

den Differentialquotienten: 4 ^ = 6 . 2 . r - 2 . 3.c 2 + 1

dx

Gx2 - f 1 .

= 12x -

1. B e i s p i e l : ' Wenn ein elastischer Stab am einen Ende wagerecht in einer Mauer befestigt ist und am anderen Ende eine Last zu tragen hat (siehe Fig. 69), wird er nach unten gebogen. Wenn man seine Dicke vernachlässigt, bildet er dann eine sogenannte e l a s t i s c h e L i n i e . In der Mechanik wird gezeigt, daß sie mit großer Annäherung durch die Punktion (3) y = a (3 Ix- - x:l) dargestellt wird. Dabei bedeutet l die Länge des freien Stabes in Metern und a eine durch das Material und die Größe der Last bedingte Konstante. Als x-Achse ist der ursprüngliche unverbogene Stab gel wählt, als »/-Achse die durch die Befestigungsstelle in der Wand gezogene Lotrechte nach u n t e n . ^ Das Achsenkreuz hat also hier eine andere Lage als gewöhnlich. Die x-Einheit wird gleich der «/-Einheit, nämlich gleich einem Meter angenommen. Wie man sieht, wird y durch (3) als ganze Punktion d r i t t e n Grades von x dargestellt. Für x = l ist y = 2 al3. Dies ist die Strecke AB, um die der Stab am freien Ende B nach unten gebogen wird. Die Gleichung (3), die, wie gesagt, nur eine Näherungsformel ist, gibt nur dann angenähert das Richtige, wenn die Strecke A B gegenüber der Stablänge OA oder / ziemlich gering ist. Um aber die Form des gebogenen Stabes deutlicher hervortreten zu lassen, haben wir AB in Pig. 69 ziemlich groß gewählt. Bezeichnet man AB mit b, so ist b = 2a/ 3

oder

po daß man (3) auch so schreiben kann: i n, >

(4)

y = ^¿r

n = 36

- *-) = YF

, x

»

b

' ~ 218 x°'

Diese Funktion hat den Differentialquotienten:

I i

Er gibt die Steigung der elastischen Linie an ihren verschiedenen Stellen an. Für x = 0 ist dy: dx = 0, d. h. in O hat die Tangente wagerechte Lage. Am Ende B, d. h. für x — l, ist der Differentialquotient gleich 3 b : 21 oder Wenn wir von OA ein Drittel durch den Punkt G abschneiden, d. h. wenn CA = 11 ist, hat die Gerade OB eben diese Steigung AB: CA b:Zl, da man ja beachten muß, daß die Richtung nach unten positiv ist, wegen der Wahl der positiven y-Achse nach unten hin. Demnach muß diese Gerade CB die Tangente der elastischen Linie in B sein. Ferner sei P ein beliebiger Punkt der Kurv«, also 1 negativ ist, d. h. x--=1 gibt ein M a x i m u m von ?/. Außerdem treten an den Grenzen des Intervalls, nämlich für x = 0 und x = 2\ G r e n z m i n i m a auf, da hier y = 0 wird, während y sonst im ganzen Intervalle größer als Null ist. Diese Grenzminima haben aber für die Aufgabe keine Bedeutung. Dem einen, für x = 0, würde ja eine Schachtel von der Höhe Null, dem andern, für x = 2^, eine Schachtel von der Bodenfläche Null entsprechen.

106

Drittes Kapitel:

Das Differenzieren

algebraischer

Ausdrücke.

4. B e i s p i e l : In einer Wand ist eine wagerechte Blechplatte eingelassen, so daß ein Rechteck vorsteht, dessen Breite von der Wand bis vorn 9 cm beträgt, während es 48 cm Länge hat. Schneidet man an den beiden freien Ecken kleine gleichgroße Quadrate aus und kippt man die Ränder" nach oben um, so entsteht ein längs der Wand laufender offener Behälter. Wie hoch muß der Rand oder, was dasselbe ist, die Quadratseite gewählt werden, damit der Behälter einen möglichst großen Inhalt faßt? Diese Aufgabe erinnert an das 3. Beispiel. Ist x die Quadratseite in Zentimetern, so ist der Inhalt y in Kubikzentimetern : y = (48 - 2x) (9 . Der Unterschied gegenüber der vorigen Aufgabe liegt, abgesehen von den geänderten Zahlenwerten, darin, daß der zweite Faktor — x und nicht — 2x enthält. Hier ist, wie man berechnen möge: dy

ax

- = e x - - 132a: + 432 .

Die Quadratseite x kann höchstens gleich 9 gewählt werden. Denken wir uns y für die Werte von x zwischen 0 und 9 berechnet und in ein Achsenkreuz eingetragen, so entsteht eine Kurve, die vom Nullpunkt ausgeht und die x-Achse wieder an der Stelle x = 9 trifft, denn y ist gleich Null für x = 9. Dazwischen ist y überall positiv. Zu Anfang ist die Steigung gleich 432, an der Stelle x = 9 gleich — 270, d. h. zuerst steigt die Kurve, nachher fallt sie. Sie muß deshalb einen Gipfel haben, d. h. z w i s c h e n x = 0 u n d a; = 9 h a t y s i c h e r i r g e n d wo ein Maximum. Dies wird gesucht. An der gesuchten Stelle ist die Steigung gleich Null; also haben wir einen Wert von x zwischen 0 und 9 zu suchen, für den 6a;2 - 132® + 432 = 0 ist. Dies ist e i n e q u a d r a t i s c h e G l e i c h u n g für die U n b e k a n n t e (jetzt nicht Veränderliche) x. Um die Lösungen der Gleichung zu finden, verfahren wir so: Zuerst schaffen wir das konstante Glied auf die rechte Seite und dann dividieren wir beide Seiten mit 6. Es kommt: x- - 22» = - 72 . Jetzt e r g ä n z e n wir x 1 — 22.r zum Q u a d r a t , wie man sich ausdrückt, d. h. wir erinnern uns daran, daß (x — df- = x" — 2ax + a- ist, und sehen, daß die Gleichung links zwei Glieder x-— 2.'ll.r hat, die als Anfang dieses Quadrats gebraucht werden können. Offenbar müssen wir a = 11 nehmen, denn es ist dann (x — 11)* = x* — 22x -f- 121. Dieses v o l l s t ä n d i g e Q u a d r a t (x — 11)* wird in der Gleichung links stehen, wenn links noch der Summand 121 vorkommt. Den dürfen wir hinsetzen, sobald wir es auch rechts tun. Also schreiben wir zunächst: x- - 22z + 121 = - 72 -f 121 oder: (x - II)2 = V- . Ziehen wir nun die Quadratwurzeln aus, so folgt, daß entweder: x — 11 = 7 , also x = 18 oder: x — 11 = — 7 , also x = 4 sein muß. Da x zwischen 0 und 9 liegt, ist nur x = 4 zu gebrauchen. Weil, wie gesagt, zwischen x = 0 und x = 9 sicher ein Maximum vorkommt, muß es

§ 1.

Ganze

Funktionen.

107

also für x = 4 eintreten. Man wird mithin 4 cm des Randes der Blechplatte umknicken und erhält dadurch, wie man berechnen möge, einen Behälter von 800 ccm Inhalt. Es ist nützlich, die Bildkurve der Funktion y von x = 0 bis x = 9 zur Übung zu konstruieren. Wir haben es nicht getan, um zu zeigen, d a ß die n u r g e d a c h t e B i l d k u r v e f ü r die L ö s u n g der A u f g a b e ausreicht. 5. B e i s p i e l : Unter allen o b e n o f f e n e n zylindrischen Gefäßen von derselben. v o r g e s c h r i e b e n e n O b e r f l ä c h e (gleich Mantel plus Grundfläche) soll dasjenige herausgefunden werden, das den größten Inhalt hat. Wird der Radius des Grundkreises groß gewählt, so bleibt für den Mantel wenig Material übrig. Das Gelaß wird also sehr flach und wenig Inhalt haben. Wählt man andererseits den Radius der Grundfläche klein, so bleibt zwar für den Mantel viel Material übrig, das Gefäß wird sehr hoch, röhrenförmig, hat aber wegen der geringen Dieke nur geringen Inhalt. Zwischen beiden Extremen wird die gewünschte Form liegen. Die gegebene Gesamtfläche des Mantels und Bodens betrage F qcm. Beliebig wählen können wir zunächst den Radius der Bodenfläche, allerdings offenbar nicht über alle Grenzen groß. Wir setzen ihn gleich x cm. Wie groß ist dann der Inhalt y'i Die Grundfläche ist qcm groß; also bleiben für den Mantel (F — nxl) qcm übrig. Der Mantel wird auseinandergebreitet ein Rechteck, dessen Grundlinie gleich dem Umfange 2 n x des Bodens ist. Daher ist die Höhe h gleich der zur Verfügung stehenden Fläche F — ;i x1, dividiert mit 2:ix, d. h. h -

^

~ — 'lux

Da der Rauminhalt gleich Grundfläche n x1 mal Höhe h ist, hat er, ausgedrückt in Kubikzentimetern, den Wert y = n x-, . oder: Hier ist:

y = \Fx

Dies ist gleich Null für ¡¡nx1 = l-F, d. h. für

F

-

TIX*-

2nx -

$nx3.

F also x- = —— , on /

- V - 371 Natürlich muß die Wurzel positiv gewählt werden. Wir sahen schon, daß ein Maximum von y vorhanden sein muß. Da sich andererseits nur dieser eine Wert von x ergibt, für den y überhaupt ein Maximum haben k a n n , tritt sicher für diesen Wert von x das Maximum ein. Alsdann ergibt sich als Gefäßhöhe: F 1TP F h = / F •,/ F V

108

Drittes Kapitel: Das Differenzieren algebraischer Ausdrüclce.

Dies ist derselbe Wert wie der von x. Also sehen wir: D a s G e f ä ß w i r d den g r ö ß t e n I n h a l t h a b e n , w e n n s e i n e H ö h e g l e i c h d e m R a d i u s des G r u n d k r e i s e s ist. 6. B e i s p i e l : Man behandle ebenso die Aufgabe: Unter allen o b e n g e s c h l o s s e n e n zylindrischen Gefäßen von derselben vorgeschriebenen Oberfläche (gleich Mantel plus Bodenfläche p l u s D e c k e l f l ä c h e ) soll dasjenige herausgefunden werden, das den größte^ Inhalt hat. 7. B e i s p i e l : Wie stellen sich die Lösungen der beiden letzten Aufgaben dar. wenn man annimmt, daß das Stück, das beim Herausschneiden der kreisförmigen Bodenfläche (bzw. des Deckels) von dem umschriebenen Quadrat übrig bleibt (siehe Fig. 74), als Abfall nicht benutzt wird? Wir wollen dies nur für den Fall des offenen Gefäßes kurz andeuten. Ist x der Radius, so wird durch die Herstellung der Grundfläche nicht nx 2 , sondern i x ' \ die Quadratfläche, verbraucht. Also bleibt für den Mantel nur F — ix* Fig. 74. übrig, so daß die Höhe gleich {F — is-): 2,i x ist, usw.

Wie wir sahen, ist jede ganze Funktion V = an

+ «„-1

- r • • • + «2

+

X

+ «0

stetig, d. h. zu jeder unendlich kleinen Änderung von x gehört eine unendlich kleine Änderung von y und zwar, wie man auch r wählen mag. Diese ganze Funktion wird daher durch eine Kurve dargestellt, die für keinen endlichen positiven oder negativen Wert von x eine Unstetigkeit hat. W i r d nun x s e h r groß, so gilt dasselbe von y. Denn wir können schreiben: y=

(«»+ ^

+••• + •

L_ + -2 ^

Xn—L

. "o ~ xu

Wird x sehr groß, so werden alle Glieder der Summe in der Klammer, a b g e s e h e n vom e r s t e n , an, sehr klein. Also folgt: Ist der absolute Betrag von x sehr groß, so kommt von der Funktion fast nur das erste Glied anxn in Betracht. Es gibt insbesondere allein den Ausschlag für den Verlauf der Kurve, sobald x nach + oc oder -r- oo strebt, in welchen Fällen auch y unendlich groß wird. Das Vorzeichen von y ist dabei dasselbe wie das von an x". Ist n gerade, so ist xn positiv, so daß dann das Vorzeichen von an allein den Ausschlag gibt. Daher sind die verschiedenen Fälle möglich: n 1) gerade 2) gerade 3) ungerade 4) ungerade

positiv negativ positiv negativ

-t- 00

x = + oo

y

x = + oo X = + '/>

y = — CO y = 4-co

x = 4- co

y = — 00

=

x = — oo x — — io

y = 4- co

X = — CO

V = — CO y = 4- x,

x = - CC

y = - X

1.

Ganze

109

Funktionen.

Im ersten Fall kommt die Kurve links oben aus dem Unendlichen und geht rechts oben wieder ins Unendliche. Im zweiten gilt dasselbe, nur tritt unten an die Stelle von oben. Im dritten kommt die Kurve links unten aus dem Unendlichen und geht nach rechts oben ins Unendliche. Im vierten Fall endlich kommt sie von links oben aus dem Unendlichen und geht nach rechts unten ins Unendliche. Dabei denken wir uns die K u r v e s t e t s im Sinne w a c h s e n d e r A b s z i s s e n x d u r c h l a u f e n (siehe S. 103). In den Beispielen haben wir immer nur Kurvenstücke betrachtet, da x nach der Natur der vorgelegten Aufgaben stets auf ein Intervall eingeschränkt war. Dies hindert uns aber nicht, eine Kurve auch außerhalb des Intervalls zu untersuchen. Wir wollen hier noch eine Frage erwähnen: Wo s c h n e i d e t die B i l d k u r v e e i n e r g a h z e n F u n k t i o n «teD G r a d e s (9) y = an x" + an l xa~l + ... + a2 x2 + ax x + a0 die .x-Achse? Für jeden Punkt der ar-Achse ist die Ordinate y ----- 0. Die Frage ist also dieselbe wie folgende: F ü r welche W e r t e von x ist (10)

anx» + an_x . r — i + . . . + a^x* + a , * + « 0

• 0?

Es werden hier ganz b e s t i m m t e , f r e i l i c h noch u n b e k a n n t e W e r t e von x g e s u c h t . Die Forderung, die vermöge (10) an diese unbekannten Werte gestellt wird, nennt man bekanntlich eine G l e i c h u n g « ten G r a d e s . Die Werte x, für die diese Gleichung richtig ist, nennt man ihre L ö s u n g e n oder Wurzeln. Die zweite Bezeichnung rührt daher, daß sich die Lösungen von Gleichungen 2., 3. und 4. Grades mittels Wurzelzeichen darstellen lassen, wie z. B. die Lösungen der Gleichung x2 — 2 = 0 die Werte x = + ]/2 und x = — j/2 sind. Damit keine Verwechselung mit dem eigentlichen Begriff einer Wurzel vorkommt, wollen wir aber immer nur von den L ö s u n g e n d e r Gleichung (10) sprechen. Man kann übrigens beweisen, daß sich die Lösungen einer allgemeinen Gleichung ntea Grades nicht mittels Wurzelzeichen darstellen lassen, sobald der Grad n größer als vier ist. Aber der Beweis ist schwierig, und der Satz hat für die praktischen Anwendungen keine sonderliche Bedeutung. Denn selbst den Wert einer Quadratwurzel, Kubikwurzel usw. kann man nur in den seltensten Fällen genau angeben, wenn nämlich unter dem Wurzelzeichen das Quadrat, der Kubus usw. einer Zahl steht. Andernfalls muß man sich immer mit Annäherungen begnügen.

110

Drittes

Kapitel:

Das Differenzieren

algebraischer

Ausdrücke.

A n g e n ä h e r t aber können wir die Lösungen irgend einer vorgelegten Gleichung wten Grades auf einem W e g e berechnen, der übrigens auch für andere Arten von Gleichungen gangbar ist, die wir später treffen werden. D a s Verfahren, das wir dafür im nächsten Paragraphen geben werden, gestattet, die Lösungen mit einer so großen Genauigkeit zu berechnen, wie man will. Hier wollen wir nur noch einen wichtigen Satz beweisen, wir zunächst am besten an Beispielen erläutern. 8. B e i s p i e l .

den

Die Gleichung 4. Grades

3 a;4 - 2 a;3 4- 5x - 42 = 0 hat die Lösung x = 2. Denn wenn man diesen Wert für x einsetzt, wird die linke Seite gleich Null. Wir fragen: Was ergibt sich, wenn man die linke Seite der Gleichung, also die ganze Funktion 4. Grades 4 3 y = 3.t - 2a; + S® - 42 , worin jetzt x eine b e l i e b i g v e r ä n d e r l i c h e Größe sei, mit x — 2 dividiert'? Die Division, man nennt sie P a r t i a l d i v i s i o n , führen wir gerade so aus, wie man eine Zahl mit einer anderen dividiert, wobei man ja bekanntlich vom Dividenden erst die höchsten Stellen, dann die folgenden usw. berücksichtigt. Hier betrachten wir entsprechend zuerst die höchste Potenz von x, nämlich 3 a;4. Zunächst ist 3x 4 dividiert mit x, gleich 3 a;3. Dies ist ein e r s t e r T e i l d e s E r g e b n i s s e s . Wir multiplizieren x — 2 mit 3a:3. Das gibt 3z 1 - 6 x 3 . Dies ziehen wir von y ab. Es bleibt der R e s t : 4x 3 + 5.r - 42. Er ist also noch mit x — 2 zu dividieren. 4a;3 gibt, mit x dividiert, 4a;2. Also ist 4a;2 d a s n ä c h s t e T e i l e r g e b n i s . Multiplikation von x — 2 mit ixaber liefert: 3 4x - 8a: 2 . Dies gibt, von jenem Kest abgezogen, den neuen Rest: 8 a;2 + 5x - 42 . 2 Wegen 8x :x= 8x ist 8a; d a s n ä c h s t e T e i l e r g e b n i s . Multiplizieren wir x — 2 mit 8x, so kommt: 8a;2 - 16a;. Ziehen wir dies vom letzten Rest ab, so geht der neue Rest hervor: 21 x - 42. 21x:x gibt 21. Demnach ist 21 d a s n ä c h s t e T e i l e r g e b n i s , x — 2 liefert, mit 21 multipliziert: 21x - 42 . Ziehen wir dies vom letzten Rest ab, so bleibt Null, d. h. die D i v i s i o n g e h t auf. Es kommt also: 3x* - 2a;3 + 5x - 42 „ , , , „ = Sa;3 + 4x* + &x + 21 . x — 2 9. B e i s p i e l : Dieselbe Gleichung 4. Grades 3a:4 - 2 x3 + 5 x - 42 = 0

§ 1.

Ganze

Funktionen.

111

h a t offenbar n i c h t die Lösung x = 3. Denn für x = 3 kommt links 162 und nicht Null. Wir fragen wieder: W a s ergibt sich, wenn man die ganze Funktion 4'. Grades y =» 3.1* - 2ar' + 5a; - 42 mit x — 3 dividiert? W i r wenden dasselbe Verfahren wie soeben an, schreiben es aber so, wie man schematisch dabei zu rechnen pflegt: 162 (3x 4 — 2x 3 + 5 z - 4 2 ) : ( x - 3) = i x 3 + I x - -f 21a; + 68 + x— 8 3a;4 - 9ar3 Ix3 Ix3 - 21 x* 21x 2 -r 5 s21z 2 - 63a68 a- - 42 68 x - 204 Rest: + 162 Hierbei ist zu bemerken: Der Rest ist nicht wie im vorigen Beispiel Null, sondern 162, das noch mit x — 3 zu teilen ist. Daher kommt: 3a;4 - 2 a ; ' + 5a: - 42 „ , „ „ „ , „„ 162 =. 3a;3 + + 21 x + 68 + x— 3 x — 3 Außerdem fällt es auf, daß wir im Schema an zwei Stellen eine Lücke gelassen und mit einem Punkte versehen haben. Dies geschah, weil in der Funktion 4. Grades ein Glied mit x 2 fehlt. Wir hätten in die Lücke 0 xl setzen können. Eine Lücke zu lassen ist zweckmäßig, weil dann immer gleich hohe Potenzen von x untereinandergestellt werden können.

Die Erscheinungen, die wir in den beiden Beispielen festgestellt haben, sind diese: Dividiert man die Funktion 3 a;4 — 2 xs + 5x — 42 mit x — 2, so geht die Division auf, dividiert man sie aber mit x — 3, so geht die Division nicht auf. Außerdem: x = 2 macht die Funktion zu Null, x = 3 aber nicht. Dieselbe Erscheinung zeigt sich nun allgemein. Es sei nämlich y = anxn + flB_1 . t " - 1 + . . . + a2 z2 +

x + an

irgend eine g a n z e F u n k t i o n « ten G r a d e s und h irgend eine bestimmte Zahl. Wir wollen die Funktion mit x — h dividieren. Das erste Teilergebnis ist anxn:x = anxn~1. Die späteren sind niedrigere Potenzen von x: schließlich wird in jedem Fall als Rest eine bestimmte Zahl, sagen wir r, übrig bleiben. Im 8. Beispiel war r = 0, im 9. war r = 162. Das Ergebnis wird allgemein so aussehen müssen: «„a;" + g,,_1a;'—L + • • . + a 2 x 2 + • x-h

x + a0

v

~

»

-f b2x

2

, , '

2 +

"" " r -f b^x + b5 + ——

112

Drittes Kapitel: Das Differenzieren algebraischer Ausdrücke. Multiplizieren wir alles mit x — h, so kommt:

n r j

+ • • •+ x I a"x" + a»-i*" "i + a " = | = {a n r>- 1 -r ¿„_ 2 .r"" 2 - . . . b2.r2 -- bl x -

Ä0) Ix -

A) + r .

Daher folgt zunächst der Satz 28: J e d e g a n z e F u n k t i o n n1'11 G r a d e s fn[x) l ä ß t s i c h , wenn h i r g e n d eine K o n s t a n t e ist, m i t t e l s P a r t i a l d i v i s i o n auf d i e F o r m b r i n g e n : / »

= f'n-l

-

wo /"„_!(*) e i n e g a n z e F u n k t i o n

h)

-r r ,

(n — l) u "' G r a d e s und r e i n e

K o n s t a n t e ist. Da wir vorhin die Funktion y mit x — h dividiert haben, gilt dieser Satz zunächst nur für von h verschiedene Werte von x, denn wenn x den Wert h annimmt, wird x — h gleich Null, und die Division mit Null ist nicht erlaubt (vgl. S. 69). Deshalb wollen wir den Satz noch auf einem anderen W e g e beweisen, wobei auch der W e r t x = h statthaft ist. Es kommt darauf an, zu zeigen: Die ganze Funktion y läßt sich stets auf die in (11) dargestellte Form bringen, wenn man die Konstanten bn_2 . . . b2, bv b0 und r passend wählt. Daß dies möglich ist, sieht man so ein: Multipliziert man 4ie rechte Seite der noch zu beweisenden Formel (11) aus, so kommt: an.t" + « „ _ , x"~] + an_2x"~2 + ... + o2.v2 + «) + «o = =

anx«

+

bn_2 x"'"1

— ha n

x"~1

+

...,./•»-»

— hb n—i ,

2

+

+

— ... —

¿,.r2 hb,xi

i

+

b0.r

— hb,.rl

— hbnu -1-' r .

Diese Formel ist für a l l e Werte von x richtig, wenn die Koeffizienten gleich hoher Potenzen von x auf beiden Seiten übereinstimmen. Bei den wten Potenzen ist es der Fall. Gleichsetzen der Koeffizienten der niedrigeren Potenzen von x gibt die F o r d e r u n g e n : «„_!

=

tf„R—1« =

(12)

—

han

b n—.1..—hb

a2 = Ä, — hb2 a\

ii-

2I

.

= K ~ hK >

"() =

'• -

hb0 .

Mithin kommt es darauf an, zu beweisen, daß man Zahlen bn_2, bn_3 ... K, b0, r so bestimmen kann, daß diese n Forderungen befriedigt werden. Dies ist in der Tat möglich, deqn die erste Forderung (12) wird erfüllt, wenn man

K-S = "n-1 + ' i

hb

'

r = a0 + hb0 wählt. M i t h i n g i l t der S a t z 28 s t e t s , d. h. a u c h für x = h. Jetzt wollen wir annehmen, die Konstante h sei so gewählt, daß die Funktion y oder fn{x) für x — h den Wert Null annimmt, mit anderen Worten, daß h eine Lösung der G l e i c h u n g wten G r a d e s «„•*" + °r,-lX"~l + • ' " + V 2 + aiX + a0 = 0 sei. Wir können dies so ausdrücken: Wir nehmen an, daß fn{h) = 0 sei, denn fn{h) bedeutet die Funktion fn{x), wenn darin x = h gesetzt wird. Nun gibt aber die Gleichung des Satzes 28 für ' m=fn-,W.Q + r . Da die linke Seite nach Voraussetzung gleich Null ist, folgt hieraus r = 0. Mithin ist der bei der Division der ganzen Funktion mit x — h hervorgehende R e s t g l e i c h Null, mit anderen Worten: Die Division geht auf. Dieser Fall lag im 8. Beispiel vor, wo h — 2 war. Jetzt wollen wir eine andere Voraussetzung machen: Wir wollen annehmen, die Division der ganzen Funktion mit x — h gehe auf, d. h. der Rest r sei gleich Null. In diesem Fall gibt die Gleichung des Satzes 28:

X = h

(iB)

/•»=/;,_!(*)(*-/Achse zwischen A und B durchschneiden (siehe Fig. 75 und Fig. 76). Hat A die Abszisse a und B die Abszisse b, so folgt also der 8*

116

Drittes Kapitel: Das Differenzieren algebraischer Ausdrücke. Satz 31: E i n e Gleichung « t e n G r a d e s

an*n + « „ - i * " - 1 + • • • + « 2 * 2 + + «o = 0 hat z w i s c h e n z w e i W e r t e n a und b m i n d e s t e n s e i n e L ö s u n g , s o b a l d die Funktion wten G r a d e s y = anx" + a.n^xn-1

+ ... + a2x2 + a^x + a0

f ü r x = a und x = b W e r t e m i t verschiedenen V o r z e i c h e n hat. W i r nehmen an, es wäre gelungen, zwei Werte x = a und x = b zu ermitteln, für die y zwei Werte a und ß mit verschiedenen Vorzeichen hat. Um dann einer zwischen a und b gelegenen Lösung näher zu kommen, kann man verschiedene Wege einschlagen: Solange das Intervall von a bis b noch groß ist, wird man es durch Probieren kleiner machen, d. h. man wird zwischen a und b einen Zahlenwert c von x wählen und das zugehörige y — y berechnen. W i r kommen so zu einer Zahl y, die entweder dasselbe Vorzeichen wie « oder dasselbe wie ß hat, d. h. zu einem Punkte (c; y) oder C, der entweder auf derselben Seite der x-Achse" wie A oder auf derselben Seite der x-Achse wie B liegt. Im ersten Fall (Fig. 75) ist eine Lösung der Gleichung zwischen c und b, im zweiten (Fig. 76) zwischen a und c gelegen. In beiden Fällen ist das Intervall kleiner geworden. So kann man das Intervall, in dem eine Lösung liegt, immer kleiner machen. Daher dürfen wir annehmen, xl und x2 seien zwei nahe beieinander gelegene Werte von x, für die y Werte yx und y2 hat, die nur wenig von Null abweichen und v e r s c h i e d e n e V o r -

Fig. 77.

Fig. 78.

z e i c h e n haben. Geometrisch ausgedrückt: W i r wollen annehmen daß wir zwei Stellen P1 und P a oder ( ^ ; yx) und [x2; y^ der Fehlerkurve kennen, die sehr nahe beieinander, aber auf verschiedenen Seiten der a>Achse liegen. (Siehe Fig. 77 für y1 > 0 und y2 < 0 und Fig. 78 für yi < 0 und y% > 0 . ) Je kürzer das Kurvenstück Pj Pt ist, um so mehr nähert es sich einer geraden Linie. Die G e r a d e P1P2 wird daher die ¿r-Achse an einer Stelle Q treffen, die von dem Schnittpunkt S der Fehlerkurve mit der x-Achse ver-

§ 2.

Über die Auflösung

von

Gleichungen.

117

mutlich nur noch sehr wenig abweicht, d. h. die zu Q gehörige Ordinate Q P3 der Fehlerkurve wird jetzt besonders klein sein. Für die Abszisse x3 von Q wird also der Fehler y3 recht klein ausfallen. Den Wert von x3 können wir leicht finden. Er sei um den Wert u größer als Gehen wir geradlinig von P, nach P 2 , so wächst die Abszisse insgesamt um x% — xx, während die Ordinate der Geraden um y2 — yl zunimmt (wie auch die Vorzeichen sein mögen). Wir wollen aber nur bis zur Stelle Q gehen, d. h. bis zur Stelle, für die die Ordinate der Geraden gleich Null ist, für die sich somit die Ordinate von yl bis 0 geändert, also um — y1 zugenommen hat. Mithin gilt, weil längs der Geraden die Zunahmen von x und y zueinander proportional sind (vgl. S. 33 und 42), die Proportiott x. Vi ~ Vi

Vi

woraus folgt:

y

oder, da x3 = x1 + u ist: (4)

=

\ J

,

x, i^rr Vi - Vi

8 3 ' annimmt. 1 Angenommen, es liege irgend eine ganze Funktion vor, z. B. eine Funktion 6. Grades: t y = a^x* + a6xi + a^x* + a3x3 + a^x% + a^* + op. Zunächst seien die Koeffizienten a 6 , a 5 , a 4 . . . a0 positive Zahlen. Wir stellen dann, von einem Punkte A ausgehend, einen rechtwinklig gebrochenen Linienzug her, dessen Seiten gleich ae,a6,ai... a , , a 0 sind, natürlich bei Zugrundelegung einer Längeneinheit. Jede folgende Strecke setzen wir dabei r e c h t e r Hand an die vorhergehende an. So entsteht ein Linienzug A C."'. . B, siehe Fig. 84. Wir wählen nun auf der zweiten Strecke einen Punkt X beliebig und benutzen AI als erste Strecke eines zweiten rechtwinklig gebrochenen Linienzuges, dessen Ecken auf den Seiten des ersten Zuges liegen. Wir kommen so zu dem Linienzug AX...Y. Bezeichnen wir wie in der Figur die kleinen Strecken CX usw. mit us, w4, Ms, «2, Mj, u0, so folgt aus der Ähnlichkeit der geschrafften rechtwinkligen Dreiecke: «5 _

W«

_

«3

__

U1

_

~öj¡~ — ab —uh ~~ a4 — ut ~ as — us 1

U1

__

at —

Das Folgende ist bis S. 129 Mitte überschlagbar.

U«

.

a1 — w,

125

§ 2. Über die Auflösung von Gleichungen.

Setzen wir — v6:a6 —x, so wird also: «5 = n

fl

6

* = - K -

v

s)x = ~ K * 2 +

a x

s )>

1 3

= — («4 — «4)^ = — K' ' +

"S

+ °4X) >

4

it.2 = — (a3 — us)x = — (aGa.- + a5;r3 + ä^2

+

M

i = ~ K ~ ui)x = — (afi.c5 + o6 -1'4 + ß4

+

+

w

o = - («1 - «1)* = — (ag x6 + P6 + üf4a;1 + o3.r3 + a2

öj .r).

Demnach kommt: fl

o - «0 = "c*6 + a5a'5 +

+ "s*®,+ V

2 ,

+ alx +

•

Dies aber ist y. Ist also x = — us: ae, so wird V = "o - "0 natürlich gemessen mittels der zugrunde gelegten Längeneinheit. x ist als Quotient — w5:aß dargestellt. Um dies zu vermeiden,

126

Drittes Kapitel: Das Differenzieren algebraischer Ausdrücke.

tut man gut, auf der zweiten Seite des ursprünglichen Linienzuges eine Skala für die x-Werte anzugeben, vom Punkte C aus positiv auf der Verlängerung von o 6 über C hinaus und mit der Länge von A C (oder a6) als Einheit. Auch wird man auf B Y von B aus rückwärts positiv eine y-Skala angeben, deren Einheit die der ganzen Figur zugrunde gelegte Längeneinheit ist. Wählen wir nun irgend eine Zahl x auf der ¿-Skala, so gehört dazu ein bestimmter Punkt X. Durch Ausführung des mit i J beginnenden Linienzuges kommen wir zu einer Stelle Y der «/-Skala, an der man den zugehörigen W e r t von y ablesen kann. Die F i g . 84 bezieht sich auf die Funktion: y = 9ar« + 10a;5 + 8a:4 + 7.r3 + 6.f 2 + 4x + 5 , und es ist x = — 0,3 gewählt worden. Man liest an der y-Skala y = 4,2 ab. Die Rechnung gibt y — 4 , 1 9 8 . . . Wählen wir dagegen x = 0,4, so'ergibt sich der punktierte Linienzug, dessen Ecken auf den Verlängerungen der Seiten des Linienzuges A...B gelegen sind. Für y lesen wir hier auf der y-Skala den W e r t 8,3 bis 8,4 ab. Ausrechnung gibt: y = 8,352 . . . W i r nahmen bisher an, die Koeffizienten der Gleichung seien sämtlich positiv. Der Leser möge selbst überlegen, wie sich die Betrachtung auch dann durchführen läßt, w e n n d i e K o e f f i z i e n t e n v e r s c h i e d e n e V o r z e i c h e n haben. Man wird sehen, daß die aufgestellten Formeln auch dann richtig bleiben, sobald man nur folgendes beachtet: S o b a l d d e r K o e f f i z i e n t , d e n m a n d u r c h eine S t r e c k e g r a p h i s c h w i e d e r g i b t , das e n t g e g e n g e s e t z t e Z e i c h e n als d e r v o r h e r g e h e n d e , schon durch eine S t r e c k e dargestellte K o e f f i z i e n t hat, wird nicht rechter, sondern l i n k e r H a n d das neue L o t e r r i c h t e t . Die «-Skala wird wie vorhin auf der Geraden der zweiten Strecke aufgetragen, und zwar wieder positiv links von der ersten Strecke AG. Die Einheit der ¿•-Skala ist die Länge der ersten Strecke. Die y- Skala wird auf der Geraden der letzten Strecke des Linienzuges angebracht, mit dem Endpunkte B des ganzen Linienzuges als Nullpunkt und mit der der ganzen Zeichnung zugrunde gelegten Längeneinheit als Einheit. D i e p o s i t i v e R i c h t u n g d e r y - S k a l a i s t s t e t s so zu wählen, daß der v o r l e t z t e P u n k t des L i n i e n z u g e s auf der y - S k a l a g e r a d e d i e j e n i g e Z a h l angibt, die g l e i c h dem kons t a n t e n G l i e d d e r F u n k t i o n ist, und z w a r auch in H i n s i c h t auf das V o r z e i c h e n . Wenn eine Potenz von x in der Funktion y fehlt, d. h. den Koeffizienten Null hat, zieht sich die zugehörige Seite des Linien-

§ 2.

Über die Auflösung von Gleichungen.

127

zuges auf einen Punkt zusammen. Die Gerade dieser Seite hat aber dennoch eine ganz bestimmte Lage. Die folgende Gerade ist zu ihr senkrecht, d. h. sie fällt mit der Geraden desjenigen Koeffizienten zusammen, der dem Koeffizienten Null vorhergeht. Dies erläutert die Fig. 85, die 1 Ss, 3. S. für die Funktion Y>_ t t / •¿+s s - a-3 + 2\x - 2 / y = *x + 4d + gilt. Hier fehlt x2. Die Geraden tn / c/s — oo + C des festen Linienzuges sind von H/ ^ +4 / der zum Koeffizienten 2 gehörigen T an in Fig. 85 mit 1., 2., 3., 4., 5. X © © bezeichnet. Die 3. Gerade gehört A ß \ Jv zum Koeffizienten Null von x2. Die T auf ihr gelegene Strecke des Linienzugs ist deshalb bloß ein Punkt E, t *Ä /D Q E und die 2. und 4. Gerade fallen auf-

/

/

9 einander. Will man nuny für irgend einen Wert von x, z. B. für 1,2, t bestimmen, so sucht man die zugehörige Stelle X der ar-Skala und Fig. 85. zeichnet, mit AX beginnend, den gebrochenen und überall rechtwinkligen Linienzug. Er liefert eine Stelle Y der //-Skala, an der man y gleich ungefähr + 4,7 abliest. Übrigens gibt die Berechnung für x = 1,2 den Wert y = 4 66 . . . Bei der Anwendung muß man alles in viel größerem Maßstabe zeichnen. Auch muß fiian zu kräftige Striche vermeiden. Zur Herstellung der Linienzüge AX... Ybraucht man nur ein rechtwinkliges Dreieck an einem festgehaltenen Lineal mit der Hypotenuse hin und her zu schieben. Der Nutzen dieses Verfahrens ist beträchtlich, wenn die Koeffizienten von y keine runden Zahlen sind und auch x keine runden Zahlenwerte hat. Man wird es aber nur d a n n a n w e n d e n , w e n n *man bei e i n e r v o r g e l e g t e n g a n z e n F u n k t i o n zu r e c h t v i e l e n W e r t e n von x d e n F u n k t i o n s w e r t b e s t i m m e n muß. Man kann diese graphische Darstellung benutzen, um d u r c h P r o b i e r e n die L ö s u n g e n e i n e r G l e i c h u n g « ten G r a d e s zu b e s t i m m e n , d. h. diejenigen Werte von x, für die eine Funktion ntcA Grades gleich Null ist (vgl. S. 114). Es handelt sich nämlich dann darum, die Stelle X so a,uf der ar-Skala zu ermitteln, daß der Endpunkt Y des von AX ausgehenden Linienzugs gerade in die

128

Drittes Kapitel: Das Differenzieren algebraischer Ausdrücke.

Endstelle des grundlegenden Linienzugs fällt, was in manchen Fällen durch Versuche mit mehreren Stellen X genügend genau geschehen kann. Die y-Skala wird dabei nicht gebraucht. 4. B e i s p i e l : Ein Pfeiler von 5 m Höhe soll architektonisch gegliedert werden; das schon festgestellte unterste Stück sei 2 m hoch. Nun soll der Rest noch in drei Glieder geteilt werden, so daß der ganze Pfeiler aus vier Gliedern besteht. Um eine gute Wirkung zu erzielen, wünscht man, daß sich das 1. zum 2. wie das 2. zum 3. und wie das 3. zum 4. Glied verhalte. Wie muß man teilen? Das zweite Glied sei sc m lang. Da das erste (unterste) 2 m Länge hat, ist das zweite das \x fache des ersten. Das dritte soll also auch das \ x fache des zweiten sein und ist daher m lang. Das vierte soll wieder das ~x fache des dritten sein; es muß daher \x* m lang sein. Das 2., 3, und 4. Glied machen zusammen 3 m aus. Daher fordern wir:

x + $x2 + {x3 = 3 oder, wenn wir mit 4 multiplizieren und ordnen: x 3 + 2z 2 + 4x - 12 = 0 . Wir konstruieren den Linienzug AC . . . B für die Punktion: 3 s y = a; + 2a; + ix - 12,

Fig. 86.

siehe Fig. 86, und suchen X so auf der Geraden der zweiten Seite zu bestimmen, daß der mit A X beginnende neue Linienzug in B endet, was

durch einige Proben (vgl. die beiden eingezeichneten Linienzüge) leicht angenähert gelingt. Wir haben nur der Raumersparnis halber die Figur so klein entworfen, aber selbst hier kann man sehen, daß x zwischen 1,3 und 1,4 und zwar näher an 1,4 liegt. Sei also x = 1,38. Alsdann ist dies die Länge.des zweiten Gliedes des Pfeilers in Metern. Das dritte ist -¿zmal so lang, d . h . gleich 1,38.0,69 oder rund 0,95, das dritte ^ x m a l so groß wie dieses, d . h . gleich 0,95.0,69 oder rund 0,66. In der Tat ist: 2 + 1,38 + 0,95 + 0,66 = 4,99, d. h. es fehlt nur 1 cm an den 5 m, gewiß ein sehr gutes Ergebnis. Vgl. Fig. 87 mit den eingeteilten und zugleich den Höhen entsprechend verjüngten Pfeilerstücken.

Diese Art, eine vorgelegte Gleichung wten Grades graphisch durchprobieren zu lösen, liefert insbesondere für die quadratischen G l e i c h u n g e n eine ganz genaue Konstruktion, die wir an einem Beispiel erläutern. 5. B e i s p i e l : Eine Strecke von der Länge 1 soll so geteilt werden, daß sich der kleinere Teil zum größeren wie der größere zum ganzen verhält

§ 2.

Über die Auflösung

(die sogenannte , g o l d e n e ' Teilung). so fordern wir: x

oder:

von

Gleichungen.

129

Ist x die Länge des größeren Stückes, 1

%

x + x - 1 = 0. Der Linienzug A CD B besteht hier aus drei gleichlangen Strecken, siehe Fig. 88. Der die Gleichung „auflösende'' Linienzug AXB besteht also aus nur zwei Strecken, d. h. X muß so auf der Geraden CD bestimmt werden, daß 0 oder < 0 ist, bildet sie nach S. $7 ein Tal oder einen Berg. Der tiefste bzw. höchste Punkt muß aber auf der Symmetriegeraden liegen, weil es sonst j a zwei tiefste oder höchste Stellen der Parabel gäbe. In diesem Punkt ist die Steigung der Kurventangente, d. h. der Differentialquotient

gleich Null (vgl. Satz 27, S. 104). Demnach ergibt sich die Abszisse x des tiefsten bzw. höchsten Punktes der Parabel aus der Bedingung 2ax + b = 0 . Daraus geht der Wert x = — \b:a hervor. Einsetzen in (7) liefert die zugehörige Ordinate y = c —\b2: a. Man nennt die tiefste bzw. höchste Stelle der Parabel, d. h. ihren Schnittpunkt mit der Symmetrieachse, den P a r a b e l s c h e i t e l . Wir haben demnach die Koordinaten des Parabelscheitels berechnet. Nun bemerkt man: Wenn die Parabel ein Tal ist, d. h. im Fall a > 0, schneidet sie die Achse nur dann, wenn der Scheitel unterhalb der x-Achse liegt, also seine Ordinate negativ ist, siehe Fig. 90. Wenn die Parabel dagegen ein Berg ist, d. h. im Fall a < 0, schneidet sie die x-Achse nur dann, wenn der Scheitel oberhalb der x-Achse liegt, also seine Ordinate positiv ist, siehe Fig. 91. Demnach schneidet die Parabel die ¿r-Achse überhaupt nur dann wenn d. h.

42 - Aac 2

>0

ist. Wenn dagegen b — 4ac = 0 ist, liegt der Scheitel gerade auf der x-Achse, d. h. dann berührt die Parabel die x-Achse, siehe Fig. 92 und 93. Wenn schließlich P - 4 a c < 0 ist, trifft die Parabel sie überhaupt nicht, siehe Fig. 94 und 95 (Seite 132). Demnach gibt es im Fall b- — 4ac > 0 zwei Punkte, die die Parabel

§ 2.

Über die Auflösung von Gleichungen.

131

mit der ar-Achse gemein hat, im Fall ¿ a — 4ac = 0 nur einen und im Fall ¿ 2 — 4 a c < 0 gar keinen. Folglich hat die quadratische Gleichung (6) in den drei Fällen zwei, eine oder gar keine reelle Lösung, weil die Lösungen durch die Abszissen der Schnittpunkte der Parabel mit der ar-Achse dargestellt werden.

Fig. 90.

Fig. 91.

Ferner leuchtet ein: Da die Parabel eine zur y-Achse parallele Symmetriegerade durch den Scheitel hat, kommen ihren Schnitt-

\

X

Y

/

\ \

0\

V

}

o

/ Fig. 92.

/

/

\

/

\

\

Fig. 93.

punkten mit der x-Achse Abszissen zu, die um gleich viel nach beiden Seiten von der Abszisse des Scheitels, also von — \b\a, abweichen. Mithin sind diese beiden gesuchten Abszissen durch (8)

'

—

darstellbar, wo n einen noch unbekannten Wert hat. Dieser Wert muß so beschaffen sein, daß die Gleichung (6) durch b e i d e Werte (8) befriedigt wird. Aber das Einsetzen von (8) in (6) gibt:

9*

182

Drittes Kapitel: Das Differenzieren algebraischer Ausdrücke.

Hier heben sich in der Tat die mit beiden Vorzeichen behafteten Glieder fort, und es bleibt: a u2

bc = 0

ia

oder:

b% — iac 4 a»

Folglich ist:

(/6* - 4« r 2 a

~

Führen wir diesen Wert in (8) ein, so ergeben sich als L ö s u n g e n d e r q u a d r a t i s c h e n G l e i c h u n g (6) die beiden Werte: ,Q. lyJ

x

- b ± Vb'! — '¿a

—

iac

Man sieht in der Tat, daß sie nur im Fall b2 — 4ac > 0 r e e l l und v o n e i n a n d e r v e r s c h i e d e n sind, während beide im Fall b2 — 4 a c = 0 in dem e i n e n Werte —b: 2a zusammenkommen und im Fall b2 — 4ac < 0 i m a g i n ä r sind.

V ve \

/ /

v

o

•i

/

t

i i !

o

•X _ j.

"N

/

/

ii

Fig. 95.

Mg. 9é.

\

\

Diese Art der Berechnung der Lösungen einer quadratischen Gleichung ist anschaulicher als die sonst gebräuchliche, an die wir auf S. 106 erinnert haben. — Die Figuren 90 und 91 beziehen sich auf die quadratischen Gleichungen:

die Figuren 92 und 93 auf diese: =0,

-

+

= 0

und die Figuren 94 und 95 auf diese: 1 X2 -

X +

| =

0

,

-

X2

+

X —

I

=

0

.

§ 2.

Über die Auflösung

von

Gleichungen.

133

Wir empfehlen dem Leser, von sich aus diese Figuren neu herzustellen, also die Parabeln y = l-x2 - x -

y = - \ x

2

+ x + f ,

ferner die Parabeln +

y = - \ x

2

- \ - X - \

und schließlich die Parabeln y =

y =

+

selbst zu zeichnen. Vor der x\uflösung pflegt man eine quadratische Gleichung meistens durch Division mit dem Koeffizienten von x2 auf eine Form (10) * 2 + A.r + c = 0 2 zu bringen, in der x den Koeffizienten Eins hat. Hier kann man die Lösungen (9) wegen a — 1 so schreiben:

(»)

—-}±l/(f)-c'

und in d i e s e r F o r m (11) l a s s e n s i c h d i e L ö s u n g e n der quad r a t i s c h e n G l e i c h u n g (10) l e i c h t m e r k e n . Man bildet nämlich den h a l b e n Koeffizienten von x, aber mit den e n t g e g e n g e s e t z t e n Vorzeichen, und addiert dazu die positive oder negative Q u a d r a t w u r z e l aus dem um das konstante Glied c v e r m i n d e r t e n Q u a d r a t e des soeben hergestellten Gliedes. Schließlich noch einige Bemerkungen über die Lösungen einer Gleichung von beliebig hohem Grade. Die Verfahren zur angenäherten Auflösung von Gleichungen beziehen sich nur auf ihre r e e l l e n Lösungen. Hat aber jede Gleichung « ten Grades überhaupt reelle Lösungen ? Wir sahen soeben, daß quadratische Gleichungen gar keine reellen Lösungen haben können. Die Frage ist daher zu v e r n e i n e n . Dagegen läßt sich leicht einsehen, daß jede Gleichung, deren Grad n eine u n g e r a d e Zahl ist, wenigstens eine reelle Lösung hat. Denn wenn in anx" -f a n _ 1 * n - 1 + . . . + a% x2 + ^ * + a0 = 0 der Grad n eine ungerade Zahl wie 1, 3, 5, 7 . . . ist, hat die Funktion y = anx" + a w _, x " - 1 + ... + a2x2

+ alX

+ a0

nach S. 108 eine Bildkurve, die, sobald a positiv ist, von links unten aus dem Unendlichen kommt und nach rechts oben wieder ins Unendliche übergeht, oder aber, sobald an negativ ist, von links oben aus dem Unendlichen kommt und nach rechts unten wieder ins Unendliche übergeht. In beiden Fällen muß die Bildkurve die x-Achse durchschneiden, da sie stetig ist. Es gibt also wenigstens einen reellen Wert von x, für den y = 0 ist. D. h.:

134

Drittes Kapitel:

Das Differenzieren

algebraischer Ausdrücke.

Satz 32: E i n e G l e i c h u n g reten G r a d e s + an—1 + • • • + «2 x 2 + «1 * + ao = 0 b a t , wenn n u n g e r a d e i s t , m i n d e s t e n s eine r e e l l e L ö s u n g . Nebenbei erwähnen wir: Man k a n n beweisen, d a ß j e d e G l e i c h u n g wten G r a d e s w e n i g s t e n s eine L ö s u n g h a t , die entweder reell oder von der Form a + b\— 1 ist, wo a und b reelle Zahlen sind, die also entweder reell oder i m a g i n ä r ist. Der Beweis dafür (zuerst von GAUSS 1799) kann aber hier nicht gegeben werden. Wir brauchen diesen Satz auch im Grunde genommen nicht bei praktischen Anwendungen der Mathematik, sondern nur gelegentlich, um auf ihn gewisse andere Behauptungen zurückführen zu können. Doch geschieht dies erst an einer viel späteren Stelle. § 3. Gebrochene Funktionen.

Werin wir den Bruch aus zwei ganzen Funktionen von x bilden, z. B. , x% + 8 a; - 7 3 x1 — 1 x + b oder i x- 3

9 x* - 28 x + 4 X - 2 '

entsteht eine neue Art von Funktionen, die wir g e b r o c h e n e F u n k t i o n e n nennen. Auf diese Form läßt sich jede Funktion bringen, die aus einer Anzahl von Konstanten und aus x durch wiederholte Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division gebildet werden kann. Ist z. B. .'/•=*+

•

so können wir hierfür schreiben: 1 , yy

= X -V ^

— x

Ist z. B. y

1

x—

= x A

1

j

>

3

x+— X

x1 + 3

3=

x + 2x

1 x* + 3 oc1 + 3

=»

x + 2x

.

c + dx

~ (a + b xf ~ e + fx '

so bringen wir beide Brüche auf denselben Nenner: e 4- fx — (c + dx) (a + b x)a (a + b xf (e + fx)

'

Die allgemeine Gestalt einer gebrochenen Funktion y von x ist: _ anxn + a„_, xn~1 + . . . + « , xl + a, x + a0 y

~ bmxm +

+ . . . + 6S x* + ¿, x + ¿>0 '

134

Drittes Kapitel:

Das Differenzieren

algebraischer Ausdrücke.

Satz 32: E i n e G l e i c h u n g reten G r a d e s + an—1 + • • • + «2 x 2 + «1 * + ao = 0 b a t , wenn n u n g e r a d e i s t , m i n d e s t e n s eine r e e l l e L ö s u n g . Nebenbei erwähnen wir: Man k a n n beweisen, d a ß j e d e G l e i c h u n g wten G r a d e s w e n i g s t e n s eine L ö s u n g h a t , die entweder reell oder von der Form a + b\— 1 ist, wo a und b reelle Zahlen sind, die also entweder reell oder i m a g i n ä r ist. Der Beweis dafür (zuerst von GAUSS 1799) kann aber hier nicht gegeben werden. Wir brauchen diesen Satz auch im Grunde genommen nicht bei praktischen Anwendungen der Mathematik, sondern nur gelegentlich, um auf ihn gewisse andere Behauptungen zurückführen zu können. Doch geschieht dies erst an einer viel späteren Stelle. § 3. Gebrochene Funktionen.

Werin wir den Bruch aus zwei ganzen Funktionen von x bilden, z. B. , x% + 8 a; - 7 3 x1 — 1 x + b oder i x- 3

9 x* - 28 x + 4 X - 2 '

entsteht eine neue Art von Funktionen, die wir g e b r o c h e n e F u n k t i o n e n nennen. Auf diese Form läßt sich jede Funktion bringen, die aus einer Anzahl von Konstanten und aus x durch wiederholte Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division gebildet werden kann. Ist z. B. .'/•=*+

•

so können wir hierfür schreiben: 1 , yy

= X -V ^

— x

Ist z. B. y

1

x—

= x A

1

j

>

3

x+— X

x1 + 3

3=

x + 2x

1 x* + 3 oc1 + 3

=»

x + 2x

.

c + dx

~ (a + b xf ~ e + fx '

so bringen wir beide Brüche auf denselben Nenner: e 4- fx — (c + dx) (a + b x)a (a + b xf (e + fx)

'

Die allgemeine Gestalt einer gebrochenen Funktion y von x ist: _ anxn + a„_, xn~1 + . . . + « , xl + a, x + a0 y

~ bmxm +

+ . . . + 6S x* + ¿, x + ¿>0 '

§

3.

Gebrochene

135

F u n k t i o n e n .

wo n und m ganze positive Zahlen sind und an, an_1 . . . a,, av a0 sowie bm, bm_l . . . bv bv b0 Konstanten bedeuten. Sie läßt eich in der Form u schreiben, wenn man unter u und » die g a n z e n Funktionen versteht: u o

=

a

=

b

x

n

n

+

« »

m

a

+

b

n

_

1

m

^

x " -

1

+ * +

. . . . . .

+

a +

2

b ,

x

2

+ +

Oj b

1

x

+

a

x

+

b

0

0

, .

Wie verhält es sich mit der S t e t i g k e i t d e r g e b r o c h e n e n F u n k t i o n ? Zunächst sind u und v nach Satz 24, S. 99, stetige Funktionen von x. Daher ist nach Satz 20, S. 87, auch y = u-.v stetig für alle Werte von x, f ü r die d e r N e n n e r v n i c h t g l e i c h Null ist. Es fragt sich also nur noch, wie sich die Funktion y für Werte von x verhält, für die der Nenner v gleich Null ist. Wenn für einen derartigen Wert x = h der Zähler u nicht auch gleich Null ist, wird y für lim x = h nach einem positiv oder negativ unendlich großen Werte streben, vgl. S. 70, die Funktion y also unstetig sein. Für x = h rückt dann der Bildpunkt ins Unendlichferne, indem die Ordinate y über alle Grenzen wächst. Aber es kann vorkommen, daß für einen Wert h von x, für den der Nenner v gleich Null ist, auch der Zähler u gleich Null wird. Nach Satz 30, S. 114, läßt sich dann sowohl vom Zähler als auch vom Nenner der Faktor x — h mittels Partialdivision absondern. Die gebrochene Funktion z. B. _ X - 9 a; + 10 y ~ x + 2x - 8 ' wo also u = x - 9 * + 10, ü = s2 + 2 * - 8 ist, hat die Eigenschaft, daß für x = 2 sowohl der Zähler u als auch der Nenner v gleich Null wird. Daraus schließen wir, daß sich von u und von ü der Faktor x — 2 absondern läßt. Wir bewerkstelligen dies durch Partialdivision, nämlich erstens ist: (SP3 . - 9 x + 10): ( x - 2) = x"- + 2 x - 5 , 3

%

3

x*

-

2

x

1

2 x * - 9 x

2 x*

-

4

x

- 5 x + 10 - 5 x + 10 und zweitens ist:

0

136

Drittes Kapitel: Das Differenzieren algebraischer Ausdrücke. (x* + 2 x - 8): {x - 2) = a- + 4 , x1 - 2 x ix - 8

ix - 8 0 Also wird: u =(x2+ Daher:

2x - b){x - 2), v = (x + 4) {x - 2). _ M _ (x5 4- Ix - 5)(x - 2) (x + 4) ( x - 2) y ~ v W i e man sieht, tritt der Faktor x — 2, dessen Vorhandensein bewirkte, daß Zähler und Nenner im Fall .r = 2 zu Null werden, nur s c h e i n b a r auf, da er sich fortheben läßt. Tatsächlich hat die vorgelegte Funktion y die einfachere Form: _ xi + 2 x - 5 x+4 y ~ Jetzt ist weder der Zähler noch der Nenner für x = 2 gleich Null. Also ist diese Funktion y auch für x — 2 stetig. Dagegen nicht für x = — 4, denn für x = — 4 wird der Nenner gleich Null, während der Zähler gleich 3, also y = oo wird. Der Fall, wo Zähler und Nenner für denselben Wert x = h zu Null werden, also den Faktor x — h gemein haben, kann aber auch zu einem anderen Ergebnis führen. Betrachten wir das Beispiel: _ x1+ 4 xi + ix + S y ~ x3 + 5 x% + 3 x - 9 Man überzeuge sich davon, daß Zähler und Nenner gleich Null werden, wenn x = — 3 wird. Daraus schließen wir zunächst wieder, daß sich aus Zähler und Nenner der Faktor x — (— 3) oder x + 3 absondern läßt. In der Tat ist: (x' + 4 x* 4- 4 x + 3): (x + 3) = x2 + x + l x3 + 3 x* x* + 4 x x* + 3 x x +3 x +3 0 und

- 7 x + 6) = x- + 2 x + 3 +

x6

x3

_

?

x!

. — 7 + 6 2 x* + 3 x 3 —10 x 2 — 5 x 2x4 - 14 x* 4- i 2 x 3 x s + 4 x 2 —17 x — 6 3x3

.

— 21 x + 1 8

4 x ' + 4 x — 24

Ferner rechnen wir aus: - 7 x + 6): (4 x- + 4 x - 24) = -> x - 6 x x + 6 — x + 6

(x 8 . x 3 + x2 - x2 — x2

.

0 Also können umgekehrt:

wir

mit

4

+ 4 « — 24

x2

4 x 2 + 4 x — 24 X3 - 7 x + 6

daher: -

2/

also:

y =

=

kürzen.

Es

ist nämlich

4 ~äT-~T '

= x2+2ar+3+—

4

,

x - 1

X

-

1

(x 2 + 2 x + 3) (x - 1) + 4

X* +

Xa-

+ X+ 1

und weitere Kürzungen sind unmöglich. In jedem Fall also können wir eine gebrochene Funktion u: v so weit vereinfachen, daß keine weiteren Kürzungen möglich sind. Ist u nicht von niedrigerem Grade als v, so können wir u: v auf die

•

140

Drittes Kapitel: Das Differenzieren algebraischer Ausdrücke.

Form einer Summe aus einer ganzen Funktion und einer gebrochenen Funktion bringen, wobei die gebrochene Funktion keine Kürzungen mehr gestattet. Ist dagegen u von niedrigerem Grade als v, so bringen wir u:v auf die Form einer gebrochenen Funktion, die keine Kürzungen mehr erlaubt. Zusammengefaßt besagt alles dies der Satz 33: J e d e g e b r o c h e n e F u n k t i o n u:v v o n x l ä ß t s i c h durch f o r t g e s e t z t e P a r t i a l d i v i s i o n auf die F o r m b r i n g e n : u V

— = w i

,

u. , vl

w o tc, uv v1 g a n z e F u n k t i o n e n v o n x s i n d , f e r n e r d e r B r u c h Mjti-'j s i c h n i c h t k ü r z e n l ä ß t und a u ß e r d e m Mj v o n n i e d r i g e r e m G r a d e a l s vl ist. Nachdem wir so die gebrochene Funktion auf eine nicht weiter zu kürzende Form ux y = w -\

gebracht haben, ist es klar, daß für diejenigen Werte h von x, für die vY gleich Null ist, Kj von Null verschieden wird, da sonst ux und w1 doch noch beide mit x — h teilbar wären, nach Satz 30, S. 114. Für diejenigen Werte h von x also, für die = 0 ist, wird y u n s t e t i g , nämlich unendlich groß. Demnach haben wir den Satz 34: W i l l m a n f e s t s t e l l e n , f ü r w e l c h e ( e n d l i c h e ) W e r t e von x eine v o r g e l e g t e g e b r o c h e n e F u n k t i o n u y = —

17

V

u n s t e t i g , n ä m l i c h u n e n d l i c h g r o ß w i r d , so b r i n g t d u r c h f o r t g e s e t z t e P a r t i a l d i v i s i o n auf e i n e F o r m y — w ^i J

man y

u\

"x

wo w, Mj, vl g a n z e F u n k t i o n e n von x s i n d , u1 v o n n i e d r i g e r e m G r a d e als i s t und u1: v1 sich n i c h t w e i t e r k ü r z e n l ä ß t . A l s d a n n w i r d y nur f ü r d i e j e n i g e n ( e n d l i c h e n ) W e r t e von x u n e n d l i c h groß, f ü r die die g a n z e F u n k t i o n »j g l e i c h N u l l ist. Hiernach sind wir stets imstande, die Frage nach denjenigen Werten von x, für die eine gebrochene Funktion y von x unstetig wird, auf die Frage zurückzuführen, für welche W e r t e von x eine gewisse ganze Funktion von x gleich Null ist. In Betracht kommen dabei für uns nur die r e e l l e n Werte. I m vorigen Paragraphen aber haben wir gesehen, wie man die reellen Lösungen der Gleichung — 0 angenähert bestimmen kann. W i r sind

§ 3.

Gebrochene

141

Punktionen.

hiernach imstande, mit jeder gewünschten Genauigkeit a n z u g e b e n , f ü r welche W e r t e von x eine v o r g e l e g t e geb r o c h e n e F u n k t i o n von x u n e n d l i c h g r o ß wird. Wenn sie für x = h unendlich groß wird, hat ihre Bildkurve folgende Eigenschaft: Je näher x an h kommt, um so größer wird y, wobei y positiv oder negativ sein kann. Dies heißt: Ziehen wir die

X

ji

o

Y

Y

Y i y o /

/

Ji

o

\ \

/

\

X

h -

/ / i

Fig. 96.

Gerade, für deren Punkte x — h ist, also die Parallele zur ¡/-Achse mit der Abszisse x = h, so wird die Kurve rechts und links dieser Geraden immer näher kommen, sie aber im Endlichen nicht mehr erreichen. J e nach der Art des Vorzeichens von y können dabei vier Fälle eintreten, die in Fig. 96 veranschaulicht sind. Man sieht hieraus, daß die gebrochenen Funktionen B i l d k u r v e n h a b e n k ö n n e n , die in m e h r e r e Zweige z e r f a l l e n , u n d zwar i n Z w e i g e , die sich im U n e n d l i c h e n p a a r w e i s e je e i n e r Geraden a n s c h m i e g e ^ , die zur y - A c h s e p a r a l l e l ist. Aber es kann auch anders sein. Es ist sehr wohl möglich, daß die Funktion vx, die in y = w

i «i —

im Nenner vorkommt, für keinen reellen Wert von x gleich Null wird. Dies tritt z. B. bei der Funktion y =

x -

F i g . 97.

a;8 + 1 ein. Ihre Bildkurve zerfällt n i c h t in einzelne Zweige, sie bleibt für alle endlichen x im Endlichen (siehe Fig. 97).

142

Drittes

Kapitel:

Das Differenzieren

algebraischer

Ausdrücke.

Um die Natur der Bildkurve vollständig zu erkennen, müssen wir außerdem noch fragen, welchem Wert die gebrochene Funktion y von x zustrebt, wenn x selbst dem Wert + 0 0 oder — 00 zustrebt, wie also — ungenau ausgedrückt — die Bildkurve rechts oder links weit draußen verläuft. Es können alle Möglichkeiten vorkommen. Am besten erkennt man dies, wenn man die Bildkurven einiger gebrochener Funktionen von bestimmter Art genau untersucht. Dies soll sogleich geschehen. Man wird dabei sehen, daß man die angeregte Frage in jedem Fall leicht beantworten kann. Vorher sprechen wir über den D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e n einer gebrochenen Funktion y. Sehen wir von denjenigen Stellen ab, wo die Funktion unstetig, nämlich unendlich groß wird, so gehört zu jedem unendlich kleinen Zuwachs dx von x ein ebenfalls unendlich kleiner Zuwachs dy von y, und der Bruch aus beiden ist der Differentialquotient dy.dx. Berechnet wird er, da wir in dem Bruch u y = — V 3

die ganzen Funktionen u und v im Zähler und Nenner zu differenzieren imstande sind, nach der Bruchregel (vgl. S. 91): 1 ) x 2 + 2 bx + b* hat. Es kommt: dy 1,062 0,014538 ~dx = (x - 0,000843)» + \x + Ö",ÖÖÖ977)8 Negative Werte von x sind hier sinnlos. Wir nehmen x also positiv an. FQr sehr große Werte von x sind die Nenner angenähert x2 und z", wird also der Differentialquotient angenähert gleich - 1,062 x + 0,016 S ' d. h. negativ. In der Tat: wird das Volumen x recht groß, so wird die Spannung y recht klein werden; die Bildkurve fällt für große Werte von x, vgl. Satz 26, S. 103. Fragen wir uns, für welches x sie wagerecht verlauft, d. h. der Differentialquotient gleich Null wird. Es ist zu fordern: 1,062 (a; + 0,000977)» = 0,014538 (x - 0,000843)2. Dies ist eine Gleichung dritten Grades für x. Rechnet man die Potenzen aus, indem man natürlich immer abgekürzte Multiplikation entsprechend den gegebenen Dezimalstellen anwendet, so findet man, daß sich die von x freien Glieder, nämlich 1,062.0,000977» und 0,014538 • 0,000843*, gerade fortheben, so daß bleibt: 1,062 a;8 — 0,011425 a;8 + 0,000027 x = 0 . Offenbar wird dieser Gleichung durch x = 0 genügt, der Faktor x = 0 oder also x läßt sich absondern (vgl. Satz 30, S. 114). Es verbleibt die quadratische Gleichung: 1,062a;4 - 0,011425 a; + 0,000027 = 0 . Nach S. 132 sind ihre Lösungen ungefähr gleich 0,0035 und 0,0073, d. h. an den Stellen x = 0, x = 0,0035, x = 0,0073 hat die Bildkurve wagerechte Tangenten. Ferner sieht man aus den Nennern in (2), daß y nur für e i n e n positiven Wert von x, nämlich für x *= 0,000843, unendlich groß wird, und

§ 3.

Gebrochene Funktionen.

151

dieser Wert von x ist noch kleiner als 0,0035. Die Parallele x = 0,000843 zur y-Achse wird also von der Kurve erst im Unendlichen erstrebt. Ist x wenig größer als diese Zahl, so wird in y das erste Glied sehr groß positiv, d. h. dann wird auch y sehr groß positiv. Der rechte Zweig der Kurve kommt somit aus dem Positiv-Unendlichen, sich dort der Geraden x = 0,000 843 anschmiegend, fällt dann bis x = 0,0035, hebt sich darauf bis x = 0,0073 und fällt weiterhin beständig, um sich für x = + oo der «-Achse anzuschmiegen. Siehe'Fig. 105. Für x zwischen 0 und 0,000843 dagegen ist das erste Glied

-l

O'

i

i

i

i

>i cj m

09

- t

Fig. 105. in (2) und daher auch y selbst negativ. Das hat aber für den physikalischen Vorgang keinen Sinn, da die Spannung nicht negativ sein kann. Dies zeigt, daß die Formel nicht dem Wesen der Sache entspricht und mangels der Kenntnis des wahren Zusammenhanges zwischen Volumen und Spannung der Kohlensäure künstlich konstruiert worden ist. Der Leser möge aus diesem Beispiele die gute Lehre ziehen, nicht jede ihm begegnende Formel als eine Art eisernen Gebotes bis zu ihren äußersten Folgen als maßgebend zu betrachten. Rein mathematisch kann man dies ja mit jeder Formel tun; bei den Anwendungen muß man jedoch die wirkliche Sachlage im Auge behalten und d e n G ü l t i g k e i t s b e r e i c h d e r k ü n s t l i c h k o n struierten Formel angeben. 9. B e i s p i e l : Ist E die elektromotorische Kraft eines galvanischen Elementes, W sein innerer Widerstand und w der Widerstand im äußeren Stromkreis, so ist die Stromstärke nach dem OHMSchen G e s e t z gleich: E , - E 1 oder W+ w 1 + W Schalten wir zwei derartige gleiche Elemente hintereinander, so ist ihre elektromotorische Kraft 2 E und ihr innerer Widerstand 2 W, während der äußere Stromkreis der alte bleiben möge, also wieder den Widerstand w habe, so daß die Kette der beiden Elemente einen Strom erzeugt von der Stärke: 2E E 2

152

Drittes Kapitel:

Das Differenzieren

algebraischer

Ausdrücke.

Bei einer Kette von x hintereinander geschalteten ebensolchen Elementen ergibt sich entsprechend die Stromstärke:

,„,

W

y

E ~W '

Ex W x + te '

w W

X +

Da x die Anzahl der Elemente bedeutet, ist x eine beliebige p o s i t i v e ganze Zahl. Sehen wir einmal davon ab, daß x ganzzahlig ist, so können wir nnter x eine beliebige Veränderliche verstehen. Dann ist die Stromstärke y eine gebrochene Funktion von x. Sie wird nur für x = — w : W, also für einen negativen Wert von x, unendlich groß. Wird x selbst ± oo, so wird y zu E:W, was man sofort einsieht, wenn man y so schreibt: y

=

E w

1

1 w ~W

da 1: x dann unendlich klein wird. Bei einer sehr großen Anzahl von Elementen ist daher die Stromstärke fast gleich E : W. Der Differentialquotient ist: w dy _ E W dx ~ W I wV ' \ x + w j wie sich nach der Regel für den konstanten Koeffizienten (hier E: W) und nach der Bruchregel leicht ergibt. D i e s e r D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t ist s t e t s p o s i t i v , d. h. y wächst mit wachsendem x. Wenn man ein Bild der Funktion y herstellen will — auch für negatives x —, findet man also, daß die Kurve in zwei stets steigende Teile zerfällt. Der linke Teil verläuft völlig im zweiten Quadranten, er kommt aus dem Unendlichfernen, wo er sich derjenigen Geraden parallel zur :t-Achse anschmiegt, die die Ordinate Ei W hat; er wird für x — — w: W unendlich hoch. '^ Der rechte Zweig kommt vom Unendlichfernen unten, indem er sich der Geraden x — — w: W anschmiegt, geht durch den AnB fangspunkt O und schmiegt sich für x = + OD £ der Geraden an, die die Höhe y = E: W über O W der a:-Acbse hat. Siehe Fig. 106, in der wir den Teil, für den x negativ ist, punktiert haben, da er keine Bedeutung hat. In dieser Figur sind E: W und w: W durch gleichlange Strecken 0 B und A 0 wiederFig. 106. gegeben. Doch dient die Figur zur Veranschaulichung für jeden Fall, wie auch E: W und w: W gegeben sein mögen. Ist z. B. w :W = 10, so ist die Einheit der xrAchse der zehnte Teil der Strecke A 0, so daß sich beispielsweise für x = 20, d.h. für 20 Elemente, die Stromstärke ergibt, die durch Q P dargestellt wird. Dabei ist die Länge von QP mit der von E: W oder OB zu vergleichen. Ist z. B. E: W = 8, so verhält sich die Stromstärke zu 8 wie Q P zu OB. Die Bildkurve ist eine der sogenannten H y p e r b e l n (vgl. S. 144), über die wir später ausführlicher sprechen werden.

§ 3.

Gebrochene Funktionen.

153

10. B e i s p i e l : Nunmehr wollen wir annehmen, eine größere Anzahl von galvanischen Elementen, etwa n, sei zu einer Batterie zu vereinigen. Jedes einzelne habe die elektromotorische Kraft E und den inneren Widerstand W. Der Widerstand des äußeren Stromkreises sei wieder w. Wir wollen jetzt aber nicht alle n Elemente hintereinander schalten, sondern je x von ihnen neben*einander, indem wir also bei je x Elementen jedesmal die gleichen Pole verbinden. Aus je x Elementen wird dann ein Element von derselben elektromotorischen Kraft, aber von der «-fachen Oberfläche, d. h. vom Widerstand W: x. W i r wollen annehmen, x gehe in n auf (z. B. seien 60 Elemente zu je 5 nebeneinander geschaltet). Alsdann liegen n:x Elemente vor, von denen jedes die elektromotorische Kraft E und den inneren Widerstand W: x hat. Jedes besteht ans x der ursprünglichen Elemente. Diese n: x Elemente schalten wir nun hintereinander. Die Stromstärke y berechnet sich nach dem OHM sehen Gesetz wie im vorigen Beispiele, aber an die Stelle von x tritt hier n:x, an die Stelle von W tritt W:x. Also kommt nach (3) _ y

=

x W

n

—

X

oder: y

_ '

X

E_ W '

(-

w

nx ' n

+

W

x

y ist jetzt eine gebrochene Funktion der Zahl x derjenigen Elemente, die wir zu j e einem neuen Element durch Nebeneinanderschalten zusammenfügten. x bedeutet eine der positiven ganzen Zahlen, die in n, der Anzahl aller zur Verfügung stehenden Elemente, aufgeht Lassen wir aber zunächst x irgend welche.positive Werte haben, so ist auch y stets p o s i t i v . Für x = + oo wird y zu Null, wie man aus der ersten Form von y deutlich sieht. Da y auch für x = 0 zu Null wird, erreicht y für wenigstens ein positives x ein Maximum. Es ist i» nl - n xdy _ IV dx W / w ,,'r (n + w x )

„

,

Nach Satz '27, S. 104, muß das Maximum also eintreten, wenn

|/«

W w

wird. Für alle anderen positiven Werte von x wird y kleiner als für diesen Wert, denn wenn x von 0 bis zu diesem Wert zunimmt, bleibt dy.dx positiv, wenn x größer als dieser Wert ist, wird dy.dx negativ. (Vgl. Satz 26, S. 103). Es ist daher rätlich, die zur Verfügung stehenden n Elemente so in Reihen VOD je x Elementen nebeneinander zu schalten, daß x dem Werte der Quadratwurzel möglichst nahe kommt. Hieraus kann man auch dann einen Schluß ziehen, wenn x nicht in n aufgeht, d. h. wenn bei der Zusammenstellung von je x Elementen zu einem schließlich noch einige Elemente, nämlich weniger als x, übrig bleiben, die man alsdann für sich nebeneinander schalten wird.

154

Drittes

Kapitel:

Das Differenzieren

algebraischer

Ausdrücke.

Aach dann wird man mit großer Wahrscheinlichkeit die größte Stromstärke erzielen, wenn man die Anzahl x nahe beim W e r t jener Quadratwurzel wählt. 11. B e i s p i e l : Die Wärmemenge, die nötig ist, um 1 ccm trockener Luft beim konstanten Druck von 760 mm Barometerstand von x 0 C. auf 100° C. zu erwärmen, ist: 0,307 (100 - x), y = x 1 + 273 ausgedrückt in Kalorien oder Wärmeeinheiten. F ü r ' ' x > 100 wird sie natürlich frei. Rückt x nahe an — 273, den Nullpunkt der sogenannten a b s o l u t e n T e m p e r a t u r , so gilt die Formel nicht mehr. Man konstruiere die Bildkurve, die nur für x > — 273 in Betracht kommt. Siehe Fig. 107. Die Kurve ist zusammen mit dem nicht dargestellten Zweig, der sich für x < — 273 ergibt, wieder eine H y p e r b e l (vgl. S. 144).

100V r-E.

so

210 -11»

O

\ioo

.1224.

:80_

Fig. 107.

Wir fügen noch einige Beispiele hinzn, die der Leser selbst vollständig durchführen möge: 12. B e i s p i e l : Ein verschlossenes zylindrisches Litergefäß soll so hergestellt werden, daß für die gesamte FISche (Mantel plus Bodenfläche plus Deckelfläche) möglichst wenig Material verbraucht wird. Beliebig zu wählen ist zunächst der Radius des Bodens-, er betrage » c m . W i e groß ist dann die Grundfläche? W i e groß also die Höhe? W i e groß folglich die gesamte Fläche y in qcm? y ist eine gebrochene Funktion von x, deren Minimum gesucht wird. Vgl. das 6. Beispiel, S. 108. 13. B e i s p i e l : Ein Rohr von 30 qcm Querschnitt soll hergestellt werden. Der Querschnitt soll aus einem Rechteck mit einem angesetzten Halbkreise bestehen. W i e wird man die Dimensionen wählen, damit der Umfang des Querschnittes möglichst gering wird? Um festzustellen, welche Größe hier die unabhängige Veränderliche x ist, überlege man sich, wie man irgend einen

§ 4.. Die

Kettenregel.

155

Querschnitt von der vorgeschriebenen Form zu zeichnen anfangen wird. Am besten beginnt man mit dem Zeichnen des Halbkreises. Welche Länge wählt man dabei beliebig? Welche Größe ist die abhängige Veränderliche, usw.? Man vergleiche das Ergebnis mit dem im 6. Beispiel, S. 61.

§ 4.

Die Kettenregel.

Für die Berechnung des Differentialquotienten einer Funktion stehen uns mehrere Kegeln zur Verfügung (vgl. S. 90—92). Mittels ihrer kann man zwar mancherlei Ausdrücke differenzieren, jedoch zum Teil nur auf recht umständlichem Wege. Wenn z. B. die Funktion y = (a-\-bx-{-cx2-\-g

(l)

x®)

vorliegt 1 , können wir sie t h e o r e t i s c h nach unseren Regeln so differenzieren: Zuerst wird die 100 te Potenz ausgerechnet, das gibt eine ganze Funktion vom Grade 300, die man mittels der Regel für x" gliedweise differenzieren kann. Aber welche Schwierigkeiten bieten sich p r a k t i s c h dar! Die 100 te Potenz von einer viergliedrigen Summe kann man zwar immer ausmultiplizieren, wenn man viel Zeit dazu hat; es wäre aber schade um die Zeit, und wie oft würde man sich dabei verrechnen! In der Tat aber kann man die vorgelegte Funktion y viel schneller differenzieren, nämlich so: Zunächst ist y durch (1) als 100 te Potenz eines Ausdruckes gegeben. Dieser Ausdruck ist eine ganze Funktion dritten Grades von x. y ist also nicht geradezu als ganze Funktion 300 ten Grades von x gegeben, sondern durch Vermittlung dieser Funktion dritten Grades. Geben wir dieser Funktion dritten Grades a bx + cx2 + gxz auch eine Bezeichnung, etwa z, so ist

Diese beiden Formeln sagen zusammen dasselbe aus wie die eine Formel (1). Die zweite Formel nämlich sagt, was z bedeutet, und die erste weiterhin, daß y die 100 te Potenz von eben diesem z ist. Haben wir also jetzt statt e i n e r Formel (1) deren zwei, so 1

Nebenbei: Die letzte Eonstante in der Basis der 1OO"" Potenz haben wir g und nicht d genannt, obgleich die Bezeichnung mit d näher liegt. Der Buchstabe d soll nämlich, da er beim Differential dx vorkommt, in der Differentialrechnung sonst überall vermieden werden, damit keine Verwechselungen möglich werden! Später werden wir sehen, daß auch der Buchstabe e eine besondere Bedeutung hat. Den Buchstaben f vermeiden wir, weil er als Funk tions2eichen in f(x) dient. Darum haben wir schließlich g genommen.

§ 4.. Die

Kettenregel.

155

Querschnitt von der vorgeschriebenen Form zu zeichnen anfangen wird. Am besten beginnt man mit dem Zeichnen des Halbkreises. Welche Länge wählt man dabei beliebig? Welche Größe ist die abhängige Veränderliche, usw.? Man vergleiche das Ergebnis mit dem im 6. Beispiel, S. 61.

§ 4.

Die Kettenregel.

Für die Berechnung des Differentialquotienten einer Funktion stehen uns mehrere Kegeln zur Verfügung (vgl. S. 90—92). Mittels ihrer kann man zwar mancherlei Ausdrücke differenzieren, jedoch zum Teil nur auf recht umständlichem Wege. Wenn z. B. die Funktion y = (a-\-bx-{-cx2-\-g

(l)

x®)

vorliegt 1 , können wir sie t h e o r e t i s c h nach unseren Regeln so differenzieren: Zuerst wird die 100 te Potenz ausgerechnet, das gibt eine ganze Funktion vom Grade 300, die man mittels der Regel für x" gliedweise differenzieren kann. Aber welche Schwierigkeiten bieten sich p r a k t i s c h dar! Die 100 te Potenz von einer viergliedrigen Summe kann man zwar immer ausmultiplizieren, wenn man viel Zeit dazu hat; es wäre aber schade um die Zeit, und wie oft würde man sich dabei verrechnen! In der Tat aber kann man die vorgelegte Funktion y viel schneller differenzieren, nämlich so: Zunächst ist y durch (1) als 100 te Potenz eines Ausdruckes gegeben. Dieser Ausdruck ist eine ganze Funktion dritten Grades von x. y ist also nicht geradezu als ganze Funktion 300 ten Grades von x gegeben, sondern durch Vermittlung dieser Funktion dritten Grades. Geben wir dieser Funktion dritten Grades a bx + cx2 + gxz auch eine Bezeichnung, etwa z, so ist

Diese beiden Formeln sagen zusammen dasselbe aus wie die eine Formel (1). Die zweite Formel nämlich sagt, was z bedeutet, und die erste weiterhin, daß y die 100 te Potenz von eben diesem z ist. Haben wir also jetzt statt e i n e r Formel (1) deren zwei, so 1

Nebenbei: Die letzte Eonstante in der Basis der 1OO"" Potenz haben wir g und nicht d genannt, obgleich die Bezeichnung mit d näher liegt. Der Buchstabe d soll nämlich, da er beim Differential dx vorkommt, in der Differentialrechnung sonst überall vermieden werden, damit keine Verwechselungen möglich werden! Später werden wir sehen, daß auch der Buchstabe e eine besondere Bedeutung hat. Den Buchstaben f vermeiden wir, weil er als Funk tions2eichen in f(x) dient. Darum haben wir schließlich g genommen.

156

Drittes Kapitel: Das Differenzieren .algebraischer Ausdrücke.

steht dieser Vermehrung doch auch- eine Erleichterung gegenüber: Jede einzelne der beiden Formeln (2) ist einfacher gebaut als (1). Ein Gleichnis liegt nahe: Wir sehen vor uns eine Maschine, bemerken, daß, sobald wir ein Rädchen (#) drehen, ein anderer Teil (y) der Maschine eine gewisse Bewegung vollführt. Der Zusammenhang ist uns jedoch zu verwickelt. Wir blicken daher in den inneren Bau der Maschine hinein und sehen, daß da ein Teil {z) eingeschaltet ist, so daß, wenn wir das Rädchen (x) drehen, dieser Teil (z) eine leicht verständliche Bewegung ausführen muß, und sehen ferner, daß, wenn wir den Teil (z) bewegen, auch der Teil (y) eine daraus auf einfachem Wege folgende Tätigkeit ausübt. Nun haben wir über den Bau der Maschine Klarheit gewonnen. Ursprünglich betrachteten wir nur die Ursache (x) und ihr Endergebnis^). Jetzt haben wir bemerkt, daß die Ursache (x) eine Folge (z) hat und daß die Ursache (z) eine Folge (y) hat. So auch in unserer mathematischen Aufgabe: y ist eine Funktion von x. Wir haben eine dritte Veränderliche z eingeführt. Aber von x, y, z ist nur eine Größe willkürlich veränderlich, nämlich x. Die Änderung von x bewirkt eine Änderung von z, — nach der zweiten Gleichung (2) ist ja z eine von x abhängige Veränderliche. Wenn sich aber z ändert, ändert sich auch y, — nach der ersten Gleichung (2) ist ja y eine von z abhängige Veränderliche. Hiernach ist y als eine Funktion von z und ferner z als eine Funktion von x aufzufassen. Lassen wir x um irgend einen Betrag A x wachsen, so nimmt z als Funktion von x um eine gewisse Größe Az zu. Da nun y von z abhängt, bewirkt das Wachsen von z um Az auch eine gewisse Zunahme Ay von y. Nach (2) und nach Satz 24, S. 99, ist überdies sowohl z eine s t e t i g e Funktion von x als auch y eine s t e t i g e Funktion von z, d. h.: wählt man den absoluten Betrag von Ax hinreichend klein, so wird auch \ Az | so klein, wie man nur will, und wählt man \ Az j hinreichend klein, so wird auch j Ay j so klein, wie man nur will. Dies bedeutet: Satz 36: I s t y e i n e s t e t i g e F u n k t i o n von z u n d f e r n e r z e i n e s t e t i g e F u n k t i o n von x, so i s t a u c h y a l s e i n e s t e t i g e F u n k t i o n von x a u f z u f a s s e n . Es leuchtet nämlich ein, daß die soeben gemachte Schlußfolgerung nicht nur für die Funktionen (2) gilt, sondern allgemein, sobald an die Stelle von (2) irgend zwei stetige Funktionen (3) y = F{z) und z = f{x) treten, da wir nur die Stetigkeit benutzt haben.

§ 4. Die Kettenregel.

157

Hiernach streben A z und A y beide nach Null, sobald A x nach Null strebt. Jetzt stellen wir die augenscheinlich richtige Formel auf: Ay = Ay Ax ^ ' Ax Ax Ax Nach (2) haben die beiden Funktionen y von z und z von x die Differentialquotienten: (4)

(5)

d

/ = 100 z "

und

d

~ = b + 2cx + 3o.r 2 .

K

' dx dx * Diese Differentialquotienten sind die Grenzwerte der Brüche

-PAx,

und

P

Ax für den Fall, wo Az bzw. A x nach Null strebt. Wir wissen aber, daß, falls A x nach Null strebt, dasselbe von A z gilt. Deshalb haben wir, wenn Ax unendlich klein wird: lim

— Hm — Ax. dx'' Ax dx Aus (4) folgt also nach Satz • 10, S. 71: Wenn Ax nach Null strebt, wird lim p . = d l . p . Ax dx dx Links steht der Differentialquotient der vorgelegten Funktion y von x, nämlich der Funktion (1). Also ergibt sich: dy_dy dx ' dx dz dx Da nun die Differentialquotienten, die hier rechts auftreten, die Werte (5) haben, liefert das Einsetzen dieser Werte in (6): dy dx

= 100*M(Ä + 2c* +

Byx2).

Schließlich haben wir nur noch zu bedenken, daß die Bezeichnung z in der gegebenen Funktion (1) gar nicht vorkommt. Wir erinnern uns deshalb daran, daß z den unter (2) in der zweiten Formel angegebenen Wert hat. Also ergibt sich: = 100 [a + bx + cx2 + gx3f9{b

+ 2 cx +

Syx2),

und damit ist die Aufgabe, die Funktion (1) zu differenzieren, gelöst. Die Schlußfolgerungen, die im vorhergehenden gemacht wurden, gelten auch dann, wenn wie in (3) irgend zwei stetige Funktionen vorliegen. Nehmen wir also an. daß irgend eine stetige Funktion z von x und ferner irgend eine stetige Funktion y von z gegeben sei: (7) *-/•(*). y =

158

Drittes Kapitel: Das Differenzieren algebraischer Ausdrücke.

so ist die in der zweiten Formel vorkommende Veränderliche z auf Grund der ersten Formel als eine Funktion von x zu betrachten, daher auch y als eine Funktion von x aufzufassen. Man kann sie so ausdrücken: (8) y = F(f{x)). Nach Satz 36 liegt hier eine s t e t i g e Funktion y von x vor. Die Aufgabe ist: Unter der VoraussetuDg, daß die beiden gegebenen Funktionen (7) Differentialquotienten haben, soll bewiesen werden, daß auch die Funktion (8) einen Differentialquotienten hat; überdies soll er berechnet werden. Aus der augenscheinlich richtigen Formel (4) gewinnen wir wie vorhin die Formel (6), die besagt: Satz 37: I s t y eine s t e t i g e F u n k t i o n von z und w e i t e r hin z e i n e s t e t i g e F u n k t i o n von x, i s t a l s o etwa y = F{z)

und

z = f{x)

und h a b e n b e i d e F u n k t i o n e n D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e n Pdx

und

p , dx

so k a n n m a n y a u c h als eine F u n k t i o n von x a u f f a s s e n : y = F(f{x)). D i e s e F u n k t i o n i s t e b e n f a l l s s t e t i g und h a t als D i f f e r e n tialquotienten dy ^ dz dx~ dz dx das P r o d u k t d e r b e i d e n e r w ä n t e n D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e n . Die Formel (6) besagt, d a ß man die D i f f e r e n t i a l e g e r a d e so wie e n d l i c h e Z a h l e n g e g e n e i n a n d e r h e b e n d a r f , s o b a l d d i e s e l b e n D i f f e r e n t i a l e im Z ä h l e r u n d N e n n e r a u f t r e t e n . Denn die linke Seite von (6) geht aus der rechten Seite hervor, wenn man rechts dz im zweiten Zähler gegen dz im ersten Nenner forthebt. Der Satz 37 wird meistens nicht unmittelbar so angewandt, wie er ausgesprochen worden ist, sondern so, wie es das zuerst besprochene Beispiel (1) lehrt. Meistens nämlich ist nicht von vornherein y als Funktion von z und z als Funktion von x gegeben, sondern es liegt eine umständliche Funktion y von x vor. Erst dadurch, daß man eine darin auftretende einfachere Funktion von x als eine neue H i l f s v e r ä n d e r l i c h e z einführt, zerlegt man die verwickelte Funktion y von x in zweckmäßiger Weise. Für die

§

4.

Die

159

Kettenregel.

Differentiation von umständlichen Funktionen gilt also die folgende Regel, die die K e t t e n r e g e l heißen möge, weil man eine K e t t e von x über z nach y bildet, und die wir als sechste Regel zu den fünf in § 5 des zweiten Kapitels zusammengestellten Vorschriften für die Differentiation hinzufügen: 6. Regel (Kettenregel): I s t y eine u m s t ä n d l i c h e F u n k tion von x, so f ü h r t man eine darin a u f t r e t e n d e einfachere F u n k t i o n von x als Hilfsveränderliche z ein, so daß y eine e i n f a c h e r e F u n k t i o n von z und z eine einfachere F u n k t i o n von x wird. Sind diese beiden F u n k t i o n e n s t e t i g und kann man sie d i f f e r e n z i e r e n , so g e h t , d e r D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t der vorgelegten F u n k t i o n y von x auf G r u n d der F o r m e l hervor: dy

dy

d%

dx

dx

dx

Ein zweites Beispiel: Es sei (9)

y -

a {b +

x f

Dies ist ein Bruch, dessen Nenner eine nte Potenz ist; also schreiben wir, indem wir die Basis der Potenz mit z bezeichnen: (10)

*= £ +

X

Die erste Formel (10) sagt aus, daß y eine Funktion von z, die zweite, daß z eine Funktion von x ist, beide zusammen also, daß y schließlich doch eine Funktion von x als der einzigen hier auftretenden wirklich unabhängigen Veränderlichen ist. Wir können auch so schreiben: y

=

a z ~

n

,

z

—

b -f-

x .

Hiernach ist: dy

/

dx

=

z

_„_, n

1

dx

,

,

- - = 1.

1

dx

Multiplizieren wir beide Gleichungen miteinander, so kommt, da sich dann links dz forthebt: dy _„_i na -sdx

=

—

n a z ^

n

1

=

x * *

T 1

-

Da z die in der zweiten Formel (10) angegebene Bedeutung hat, geht schließlich als Differeptialquotient der Funktion (9) hervor: dy

na

•d* ~ ~ (6+a;)B+1

160

Drittes Kapitel: Das Differenzieren algebraischer Ausdrücke.

Man kann sich genötigt sehen, m e h r e r e Hilfaveränderliche in die K e t t e , die von x zu y führt, einzuschalten. So z. B. ist die Funktion (11)

y = [(o + Ä*)» + c]» te

zunächst eine »n

Potenz: y — zm •

Dabei bedeutet z die Funktion von x: z = (a + b x)n + c. Sie ist noch nicht einfach, hat aber die F o r m : z =

+ c,

wo t die Funktion von x bedeutet: t = a + Anstatt der ursprünglichen Gleichungen: y z t

bx.

Gleichung (11) haben wir hier drei = zm, = t" + c, = a + b x.

Die letzte zeigt, daß t von x abhängt, die mittlere, daß z von t abhängt, und die erste, daß y von z abhängt. Differentiation nach den bekannten Regeln gibt: — = m zm d% dt dt

1

1

,

'

,

Multiplizieren wir diese drei Gleichungen miteinander, so kommt: dy dx dt , 1 • ~T7 • j- = mnb zm 1 . a% dt dx Links hebt sich dz und dt fort, rechts schreiben wir für t seinen Wert a + bx und für z seinen Wert tn + c, d . h . (a + i i ) " + c, so daß wir finden: = m v b [(a + b x)n + o]m_1 (a -f h x)n" \ Hiermit ist die Funktion (11) differenziert. Wir geben jetzt ein Beispiel ohne Worte m i t d e m f ü r d i e Ausrechnung praktischen Rechenschema:

§ 4. y = y

=

=

¡2

+

r

t = a +

bw3

+ 3)3]nr dy = - 2z~3 = dz dx = n tn~l

Z - *

z = 2 +

161

Die Kettenregel.

dt = dw dw = dx

w= x + 3

3

'dt

bw2

1

dy_ dx

[« + ¿te + 3 ) 3 f + ¡2 + [a + b (x + 3)3f|9

dy

dX

Da man auch mittels der Summen-, Produkt- und Bruchrege] häufig die Differentiation einer schwierigeren Funktion auf die einfacherer Funktionen zurückführen kann, verwendet man oft auch diese Hegeln zusammen mit der Kettenregel. So zerlegen wir die Funktion y

=

{a

y

+

+ (/ +

mx)i

in eine Summe y

=

u

+

v,

wo U = (a + yx2)?,

ist

w = (Z + ma:)5

Aber u und v sind noch umständlich. u = SP,

Wir schreiben daher:

v == f ,

wo s = a + y x2,

ist.

t = l + mx

Hier ist also die Kette diese:

/ d.h. s und t hängen von x ab, u hängt von s, v von t ab, y hängt von u und v ab. Da y die Summe von « und v ist, brauchen wir nach der Summenregel nur du:dx und dv.dx zu berechnen, um dann durch ihre Addition dy.dx zu finden. Das Schema ist jetzt also ein doppeltes: SCHUSTERS, Mathematik. 4. Aufl.

11

162

Drittes Kapitel: Das Differenzieren algebraischer Ausdrücke.

u = SP

d7

=

= t't

V

PsP

s = u + 7 x,2

t= /+ m x

^

du dx

= 2r p y s v - i

^

= 2pysP~1x

'

= 2 py(a

+

qmti~l

+ yxs]p~1x

+ qm(l +

mx)i~x.

Hier sind außer x und y noch s, t, u, v veränderlich, aber doch ist x die einzige unabhängige Veränderliche. Außerdem treten die Zeichen a, y, l, m, p, q auf, die Konstanten darstellen. Damit man sogleich übersieht, was veränderlich und was konstant ist, p f l e g t man die V e r ä n d e r l i c h e n , wenn möglich, mit solchen B u c h s t a b e n zu bezeichnen, die dem E n d e des A l p h a b e t s a n g e h ö r e n , wie s, t, u, v, w, x, y, z. Das ist aber nicht immer bei Anwendungen durchzuführen. Man bezeichnet z. B. gern die elektromotorische Kraft eines Stromes mit E, auch wenn sie veränderlich ist. Wir können, um Funktionen zu differenzieren, die nicht nur ganzzahlige Potenzen von x im Zähler oder Nenner enthalten, ebenfalls häufig die Kettenregel mit Vorteil anwenden und zwar in einer anderen Form: Wenn nämlich y eine Funktion von x ist, bedeutet x allerdings die sogenannte u n a b h ä n g i g e Veränderliche. Aber nichts hindert uns, die Art und Weise, wie sich x verändern soll, nach Belieben zu regeln. Wir können uns z. B. vorstellen, daß sich x mit der Zeit ändere. Bei der geometrischen Veranschaulichung durch die Bildkurve heißt dies: Wir können uns vorstellen, daß x die Skala der i-Achse nach einer gewissen zeitlich vorgeschriebenen Gesetzmäßigkeit durchlaufe. Am einfachsten ist es, uns zu denken, x wachse von Sekunde zu Sekunde um denselben Betrag, x ändere sich also gleichmäßig mit der Zeit t (gemessen in Sekunden von einem bestimmten Augenblick an). Aber wir können auch annehmen, x wachse mit der Zeit immer schneller und schneller, indem wir z. B. nach Belieben vorschreiben: x = t2, d. h. zur Zeit 0 sei x = 0, zur Zeit 1 sei x = 1, zur Zeit 2 sei x = 4, zur Zeit 3 sei x = 9 usw. Diese Vorstellung benutzen wir, um die Aufgabe zu lösen, den Differentialquotienten der Funktion (12)

y

= ]/.t

163

§ 4. Die Kettenregel.

zu berechnen. Wir lassen nämlich x sich mit der Zeit t so ändern, daß znr Zeit t x = ts

ist.

Alsdann aber ist i selbst die dritte Wurzel aus x:

t y^ =

und daher

y =

t2,

d. h. wenn wir x — t3 annehmen, ist y =