Lecții de Geometrie Elementară. Geometrie în Spațiu

Citation preview

JACQUES HADAIYIARD

Lecţii

de geom etrie

elementară Geomet rie în

spaţiu

TRADUCERE DIN LIMBA FRANCEZĂ

EDITURA

TEHNICĂ

BUCUREŞTI~

1961

Volumul de faţă este continuarea lucrăr ii „ Lecţii de geometrie e lementară - Geometrie Pla n ă" şi conţine şapte sec ţiuni: planul şi dreapta, poliedre, deplcisiiri - simetrii - ase mănare, co rpuri rotunde , curbe uzua le (elipsă, hiperbolii, parabolă, elice), noţiuni de topografie şi complemente de geometrie în spaţiu (proprietăţi le perspectivei, polaritatea în raport cu o sferii, inversiunea în spaţiu, pa liedrele regidate, cuadratura conicelor, proprietiiţile proiec tive ale conicelor), la care se adaugâ şapte note în care se comp leteazii sau se extind rezultate stabilite anterior. El conţine, de asemenea, foart e multe exerciţii şi prob leme, pentru unele dintre ele au toru l indicînd câi le de rezo lvare . Lucrarea se adresează în primul rînd cadrelor didactice din înviiţiimîntul m ediu şi elementar, dar ea va fi cercetată cu folos şi de către elevii înaintaţi, studenţ i şi ingineri .

Cours Gaston Darboux pour la classe d e Mathematiques

Le~ons

de Geometrie elementaire II

Geometrie dans l'espace par

Jacques Hadamard Membre de ! 'Institut Professcur au College de France et a l 'Eco le Polyt.eclm ique Nouv eUe · edition (Se) refonclue et augmente e

Lihrairie Armand Colin 103 , Boulevard Saint-Michel , Paris 1949 Tous d roits d e r eproduction et d'adaptation r eserves tous pays

pour

.

.

.

PREFATĂ LA EDITIA A SAPTEA Ediţia de faţă conţine re~anieri des tul de importante. Proiectam de mult, în urma unei indicaţii primite de la regretatul Lesgourgues, să contopesc teoria unghiurilor poliedre şi aceea a poligoanelor sferice într-o teorie unitară; în această privinţă, un exemplu foarte util mi-a fost dat de unul dintre mult stimaţii mei colegi de la Universitate a din Buenos Aires. Modificarea co res punză toare a fost făcută în prealabil pentru Geometria plană, unele era mai simplu. De data aceasta, am putut să o realizez şi pentru Geometria în spaţiu: afară de alte avantaje, ea oferă pe acela al unei reprezentări mai uşoare şi mai clare, lucru important clin punct ele vedere pedagogic. Pe ele a ltă parte, urmînd sfatul unui membru a l Consiliului învăţă­ mîntului, ale cărui păreri sînt pentru mine extrem ele valoroase, am consacrat o expunere dogmatică ( Nota L) proprietăţilor analagmatic e ale cercurilor în spaţiu, care nu figur ciu în ediţiile precedente decît sub formă ele exerciţii. La rezu ltatele pe care le-am comunicat în prima noastră ediţie, precum şi la rezu ltatele atît de remarcabile , obţinute mai ales de d . Andre Bloch, s-au adăugat ulterior ce r cetările el-lor Robert, Delens, Cambiei-. Fără a intra în to ate detaliile acestor importante literări, am avut posibilitatea să stabilesc conc luziile lor cele mai pregnante şi mai simple . Jn afară de diverse corectări introduse, în particular, în Geometria proiectivă - sper că am simpli ficat expunerea teoremei fundam entale privind figuri.Z e plane omografice, - a trebiiit să reial! demonstraţia ( Nota K ) teoremei lui Cauchy referitoare la poliedrele convexe. ln adevăr, d . Louis Gerard semnalase o nouă obiecţie; ajuta t de indicaţiile furnizat e cu amabilitate de acest · geometru, am putut să le evit în actua la redactare. Corpul didactic înţelege astăzi, pe bună dreptate, să renunţe la expresia „simetrie în raport cu o dreaptă" ' care es tompează .deos ebirea esenţia lă dintre acest caz :şi cel al simetriei în raport cu un punct sau cu un plan. Printre diver:şii tennerii" propuşi a o înlociii, am fo st nevoit să-l prefer pe cel de „transpoz iţie", şi aceasta dintr-un motiv de ordin pur gramatical: el permite să porbim despre transpusul unui punct sau despre transpusa unei figuri, pe cînd celelalte denumiri sugerate pe care le cunosc nu se bucură de această supleţe.

La fel ca în ediţiile precedente, am acordat o anumită atenţie exerciţiilor. I mbunătăţirile principale realizate aici privesc Geometria sfe1'ică ( ex. 485 :şi 486) 1i Geometria proiecti[!ă. Semnalez frumoasa teoremă care formează obiectul A

4

P R E FA Ţ A

LA

EDIŢIA

A

ŞAPTE A

exerci ţi u lui

1294 ; o da larăm u n u i t înăr geometru, pe care totul îl ara tă demn de marele ni1,me pe care îl ·po artă. Do uă probleme foarte elegante ( ex. 1204 şi 1205) au fost preluate de la colegii şi prietenii mei d-nii G. IliMici ( L' Enseignement scientifique) şi E . Kasn er ( A merican Ma theina lica l 1\!Ionth ly) . Î n sf îrş it , îi da to r ăm d- lui M archand clin Lausanne ( L' Enseignement mathematique , anu.l X X IX, 1930 , p. 291) de monstraţ ia foarte s i mplă ( ex. 1322) care permi te s ă s ta bi lim teorema lui M orley fără c1, reci1,rge la aparatu l trigonome tric 1 ) .

J. Hadamard

I) O

altă d e mon s traţi e

a fo st

indi cată

în Geometria

plană

(ex . 422) .

TABLA DE MATERII GEOMETRIE PLANĂ" 1 )

a volumului „LECŢII DE GEOMETRIE ELEMENTARĂ -

9

In Li·oclucere

LINIA DREAPTĂ /

Capitolul I. Unghiuri Exerc it iil e 1-4 Cap iLoluÎ II.° Triunghiuri E x er ciţ iil e 5 -1 5 Ca pilo lul III. Perpendicular e şi oblice Exerc i ţii l e 16 -18 Ca pitolul IV. Cazurile tle egalitate a triunghiurilo r dreptunghice. unui Proprietatea- bisectoarei unghi 19-20 Exerc iţiil e Ca pitolul V. Drepte paralele Exerc itiile 21-25 Cap itol uÎ VI.,Paralelog rame. Translatii ' Exerc iţiile 26-32 Capi toiul • VII. Drepte concurente în triunghi Ex e r c iţiil e 33-38 Probleme (39-l16) propuse la Cartea întîi

15 23 24 30 31 33

33 35 35 t,O 40 t,5 46 t,3 48

CERCUL Capitolul I. Intersecţia unei drepte eu un cerc Exerciţii l e 47-49 Capi to lui II. Diametri şi coarde Ex e r c iţiile 50- 54 în Editura

a

două

55-59 Capitolul IV. Proprietatea unghiului înscris Exerciţii l e 60-72 Capitolul V. Construcţii Exerciţiil e 73-91 Capitolul VI. Deplasarea figurilor Exerciţ iil e 92-97 Probleme (98- 123 ) propuse la Cartea a doua

Tehnică

55 57 58 62 63 72 73 79 79

Cartea a treia ASE MĂNAREA

Cartea a doua

ap ă rut

Intersecţia

Exe r c i ţ iil e

Cartea întîi

' ) Lucrarea a

Capi Lolul III. cercuri

50 52 52 54 in 1960.

Ca pitolul I. Segmente proporţionale Exerc i ţiile 124-128 Cap iL olul II. Asemănarea triunghiurilor Exerc iţiil e 129-134 Cap itolul III. Relaţii metrice în triunghiuri Ex erciţiile 135-147 Capito lul IV. Segmente proporţio nale în cerc. Axa radicală Exerciţiile 148-15!1 Cap itolu1 V. Omotetie şi asemănare . Exerciţiil e 155-162 Capito lul · VI. Construcţii Exerciţiil e 163-177 Cap itolul VII. Poligoane regulate Exerciţiile 178 - 189 Probleme (190-216) pr.opuse pentru Cartea a treia

82 90 90 94 9l, 100

100 104 105 111 112 120 120 138 138

Complemente la Cartea a treia Cap itolul I. Semnele segmentelor

140

6

TABLA DE MATERII -

Exercitiile 217-222 Ca pitolul I( Transversale Exerciţiile 223-231 Capitol ul III. Raport anarmonic. Fascicule at·monice Exercitiile 232-236 Capito l u l IV." Poli şi polare în cerc Ex e rciţiil e 237-2!11 Capi t olul V. Figuri inverse Exer citiile 242-257 Ca pitolu l V( P„ohleme referitoare la cercuri tangente . Exerc it iile 25 8- 268 · Cap it c> lul VIÎ. Proprietăţi ale patru laterului inscriptibil. Inversorul lui Peaucellier Ex e rciţiil e 269-271 bis Prob lem e .( 272-286) propu se pentru comp lementele la CarLea a treia

GEOMETRIE PLANA

14lt H l1 1li9

11,9 152 153 158 '158 ·J 6l1 '1 66 '169

Cartea în lîi LINIA DREAPT Ă E x e rciţii l e Ex e rciţii le Exerc iţiil e Ex e rciţiil e Exe r c iţiil e Ex er c i ţ iil e Ex e rciţiil e

la ca pitolu l la cap itolu l la ca pitolul la ca pitolul la ca p itolul la ca p i Lo lu l la cap itolu l Problemel e la Ca rtea

I II II I IV V VI VII întîi

245 24 6 249 250 25 0 252 25 5 258

Cartea a doua 170 176

CERCUL Exer c iţ iil e Exerc iţiil e

177

Exercitiile

Exerc iţiil e

Exerc i ţ iil e

Exercitii le Prob l e~ e l e

Cartea a patra

la la la la la la la

ca pito lul capito lul capitolul cap i to lu l cap ito lul capitolu l Cartea a

I II

III IV V VI dou a

ARII

263 263 26 5 267 273 281 284

Cartea a treia Capitol ul I. Măsura ariilor Exercitiil e 287 -301 Capitolu l II.' Compararea ari i lor Exer citiile 302-311 Capito lul IIi. Aria cercului Exercitiil e 312- 318 Cnp i to lul IV.' Con s trucţii E x ercitiile 319 - 323 Proble~e (324-342) propuse p entru Cartea a patra

192

N o ta A. Despre

în geometrie

19l1

demonst1·at

19!,

metodă

a) T eoreme

de

181 '18!1 186 187 188 190 191 192

b) Locuri geometr ice. Problem e d e construcţ i e

200

c) i\letod e

203

de

transfor ma1· e

N ota B. Despre Postulatul lui Euclid N " ta C. Despre pt·ohlema cercurilor tangente / Nota D. Despre noţi unea de arie Probleme div erse şi pro bleme propuse la diferite concursmi (343-422) A u exă. Problema lui Malfatti Din prefaţa l a ed iţi a a III-a rusă

So lu ţ iil e

209 216 220 225 237

·ş 1

a le problemelor (întocmite de D.I. P erep iolkin)

Exe r c iţii l e Exerciţ iil e Exerciţi il e

la la la Exercitiile la Exer cit iile la Ex e1 ·ciţii l e la Ex e r c iţiile la Prob lem ele la

ca pito iu 1 I capitolu l II ca pito lu l III cap itolul IV cap ito lul V capito lul VI ca p itolul VII Cartea a treia

300 301 303 308 310 314 320 322

Complem ente la Cartea a tre ia Exerciţiile Ex erciţiile Exer c iţiile Ex e r c iţiil e Ex e rciţ i il e Ex e rciţiile Ex e rc i ţi il e

la capito lul I la capito lul II la cap ito lul III la cap i to lul IV la ca pitolu 1 V l a capitolul VI la capito lul VII P r ob lem ele p entrn compleme nt ele la Cartea a t reia

334 337 340 342 344 358 366

370

Cartea a pa tra

ARII

243 exerciţi ilor

ASEMĂNAREA

245

Ex erc iti ile la cap i tol ul I Ex ercitiile la capi tolu l II Exe 1 ·c iţiil e la capitolul III Exerciţiile la capitolul IV Problemel e la Cartea a paLra Problem e divers e ş1 problem e propuse la concursuri

379 383 387 388 391 l105

TABLA DE MATERII GEOMETRIE ÎN SPAŢIU"

a volumulu i „ LECŢII DE GEOME TRIE ELE MENTARĂ -

Ca rtea a

Carlect a cincea P L ANUL

ŞI

D E PLASĂR I. S I METIU L ASEMĂNARE

DREAPTA

Ca p ito lul I. In tersecţia dreptelor ş i a planelor Exe r c iţiil e 423-427 Cap ito lul II. Drepte ş i plane paralele Exerc i ţ i i l e 428 -438 Capi to lul III. Dre aptă şi plan p ~rpendiculare între ele Exer c iţi il e 439-454 Capitolul IV . Unghiuri diedre . Plane perpendicular e Exerc iţ i i l e 455-462 Ca p i to-lu 1 V . Pro iecţ ia unei drepte pe un plan. Un ghiul format de o dreaptă cu un plan. Di st anţa cea mai mică dintre 1lo uă drepte . Proiectia u ne i arii plan e Ex~rc iţ iile 463-473 Ca pi to lu l VI. Noţiuni introductive de geometrie sferică Capitolul VI I. Un ghiuri poliedre. Poligoane sferice Exer c i ţ iile 474 - 498 P robleme (499-519) p r op u se l a Cartea a cinc ea

Cartea a

şap tea.

9 14

14 20 20 24 25 31

32 37 38 t,3

GO 63

Capito lul I. D e pl asă ri Exerc it iile 577-5 99 Ca pi to lul II. Simetri i Exer citiile 600 - 608 Capi to lul II I.' Omote tie şi asemănare Exercitii le 609-616 Pro ble~e (617-628) pr op u se la Cartea a şaptea 0

87 92 93 %

97 100 101

Cartea a op ta CORPUR I LE ROTUNDE Capitolul I. lindrul

D efini ţi i

gen erale . Ci-

Exerc iţiil e

629-639 Capito lul II. Conul. Tru nchiul de co n Exe1·c itiile 640-657 Cap i to lul II{ Proprietăţile sfo1·e lor Ex e rc iţ ii l e 658-70!1 Cap itolu l IV. Aria ş i volumul sferei Exerc iţ iil e 705- 721 P rob lem e (722-738) p r opuse la Cartea a opta

103 107 108 112 113 123 126 13t„

135

şasea

Car tea a noua

POLIEDREL E Noţiuni generale Exe r c iţiil e 520 -538

Capito lu l I.

Ca pi to lul II. Volumul prismei E x er c iţ iil e 539-5!.2 Cap itol ul III . Volumul piramidei E x er c iţ iil e 543-555 Problem e (556-576) pro puse l a Cartea a şasea

66

CURBELE

"C ZUALE

7t

72 78 79 8l1 85

. Capito lul I. Elipsa . Exerc iti ile 739 - 765 Ca pitol ul II.' Hiperbola E xerc i ţ iil e 766 - 788 Capito lul III. Parabola Exe t'Ciţiil e 789 -813

137 154 156 172 17li, 185

8

TABLA D'E MATERII -

Capitolul IV. Elicea Exe r c iţiil e

81!.-820 Probleme (821-851) propuse la Cartea a noua

187 196 197

Cartea a zecea NOŢIUN I

DE TOPOGRA FIE

Capitolul I. Genera l ităţi . Planimetrie Capito lul II. Nivelmentu l Capitolul III. Arpentajul Exerciţi il e 852-858 bis

201 212 219 · 221

CO:i\IPLEMENTE DE GEOMETR IE ÎN SPAŢIU: Capitolul I. Centt·ul porţionale Exerciţiile

1listanţelor

pro-

859-877

Cap itolul II. Propri e tăţile perspectivei Exel'Citiile 878-922 Cap itolul III: Poli şi polare în raport eu sfera. ln versiunea în s paţiu . Complemen te de geometrie sferică Exer citiile 923-988 Capitolul IV·. Ariile poligoanelo r sferice Exerciţii l e

989-1000 Capitolul V. Teorema lui Euler . Polied1·e regulate Exerciţ iil e 1001-1022

222 23 7 2L11 266

27'1

285 29'1 295 295 317

GEOMETRIE IN

SP AŢIU

Capitolul VI. Secţiuni plane ale conului şi ale cilindrului de ro· taţie Exerciţiile

1023-1044 Capito lul VII. Elipsa considerată ca proiecţie a unui cerc. Hiperbola raportată la asimptotele sale Exerc i ţii le 1OL15- 1092 Capito lul VIII. Cuadratura conicelor Exerciţiile 1093-1106 Capitolul IX. Secţiunile conului oblic cu hază circulară. Proprietăţile proiective ale conicelor Exerciţiile 1107-1163 bis Probleme (1164-1205 ) propuse la complemen te Nota E. Despre rezoluhilita tea problemelo r de geometrie Nota F. Despre definiţia volumelGr Nota G. Despre noţiunile de lungime, de arie şi de volum, relati ve la cm· he şi suprafeţe oarecare Nota H. Despre poliedrele regulate şi despre grupurile de rotaţii Nota K. Teorema lui Cauchy referitoare la poliedrele convexe Nota L. Proprietăţi analagmati ce ale cercurilor în spaţiu No La iW. Noţiun i despre epicicloide . Hipocicloidă cu trei puncte de în taarccr e Prob leme div erse (1206-1337 )

320 331

332 3l14 3l19 353 355 382 387 393 liOO

t, O3

41l1 431 439 4 98

518

CARTEA A CINCEA

PLANUL

ŞI

DREAPTA

CAPITOLUL I INTERSECŢIA

DREPTELOR

ŞI

A PLANELOR

320. Ştim (6) că se numeşte plan o suprafaţă avînd proprietatea că orice dreaptă care uneşte două pu ncte a le acestei suprcifeţe este conţinută în întregime în ea. O astfe l de suprafaţă este infinită; totuşi, pe1itru ca s ă o putem repre zenta într-un desen, nu fi gurăm din ea decît o porţiune limitată, de ce le mai multe ori o porţiune dreptunghiulară; pro cedă m astfe l în fig. 1 şi următoare le. Conform definiţiei de mai sus, o dr eaptă poate ocupa trei pozi-ţ ii diferite în raport cu un plan : 1° poate avea cu el două puncte comune ş i, în consecinţă, este conţinută în întregime în plan; 2° poate avea cu el un singur punct comun ; se. spune, în acest caz, că dreapta înţeapă planul; · 3° în sfîrşit, planul şi dreapta pot -să nu aibă nici un punct comun; în acest caz, spunem că sînt paralele. Se adm ite că orice plan împarte spaţiul în două regiuni, situate respectiv de o p arte şi de cealaltă a acesţui plan . Nu putem trece dintr-o regiune în ce alaltă fără a traversa planul. In particular, orice dr ea ptă care uneşte două puncte situate de o parte şi de cealaltă a unui plan înţeapă acest plan. 1 Invers, se admite că orice dreaptă care înţeapă un plan este împărţită de punctul comun în dou ă semidrepte, situate de o parte şi de cealaltă a planului. Din definiţia planului mai rezultă: Orice figură egală cu un plan este un plan. 321. Invers, dou~ plan_e oarecare pot fi făcute să coincidă, şi aceasta în aşa fel, încît o sem1dreaptă oarecare dată a primului plan să se suprapună (originile coincizînd) peste o semidreaptă oarecare dată a ce lui de-al doilea plan. Mai exact, am admis (6) următoarea Axiomă. Prin trei puncte oarecare ale spaţiului trece im plan. O vom completa prin teorema reciprocă. Teoremă. Prin trei ·puncte necoliniare trece un plan, şi numai unul. Fie A, B, C, trei puncte necoliniare prin care presupunem că trec două plane P, P'. Afirmăm că aceste plane P, P' coincid. Observăm, în primul rînd, că aceste două plane au dreptele AB, AC, BC comune, în virtutea definiţiei .

10

PLANUL

ŞI

DREAPTA

Fie acum M un punct oarecare din planul P. Prin acest pun ct (fig. i) putem duce o dr e aptă care taie pe A B în D şi p e AC în E. Planul P' c onţin e pun cte le D ş i E deci ş i întreaga dr eaptă DE: e l conţine deci punctul M_. . . .. , Astfe l , orice punct a l p lan ulm P aparţm e planului P ; deoarece se p oate arăta, în ace l aşi mod, că orice punct al p lanului P' aparţine şi lui P , teorema este dem on s tr at ă . Axioma si teorema el e ma i su s se exprimă împreu~ă, spunînd c.ă trei puncte neco liniare dete rmin ă un plan. O dreaptă AB şi un punct ex terior C deter mină un plan , deoarece c ondiţ ia de a conţine dreapta AB ş i punctu l C sau aceea de a co nţin e punctele A, B , C se reduc exact una la cea l altă . I Tot astfe l , două dr epte AB, AC care se ~M intersectează determină un plan, anume ce l Fig. 1 determinat de puncte le A, B, C; două drepte paralele de te rmină un plan, deoarece, pr in definiţi e (38), ex i stă un plan care le cuprinde pe amîndouă şi, pe de a ltă parte, ace st plan este unic , întrucît conţine una dintre e le şi un- pun ct a l ce leilalte (aliniatu l prece dent). · Conform ce lor de mai sus, putem nota un pl an fie cu o s in g ură li teră, fie cu literele coresp unz ătoare la trei puncte n eco liniare - sau une i drepte şi unui punct - sau la două drepte (secante sau para lele ) din a cest plan. Obs e rvaţie . Vedem că, printr-o dreaptă dată D trece o infinitate de plane, deoarece pr in această dreaptă ş i printr-un punct oarecare din spaţiu, putem duce un plan ; prin D şi printr-un pun ct ne situ at în primul plan , putem duce un a l doilea etc. 321. bis. Observ aţ i e. Dacă o figură care nu se compune dintr-un singw· punct es te astfel în cî t dreapta care uneşte două dintre punctele sale aparţine în întreg ime acestei fi guri , atunci sau este o linie dr eaptă; sau es te un plan; sau conţine toate punctele spaţiulu i . In adevăr, prin ipoteză, figura considerată conţine cel puţin două puncte A, B, deci şi dreapta AB. Dacă ea nu conţine cle cît această dreaptă, propoziţia I este demonstrată. 'E In caz contrar, fie C un punct al fi gurii, exter ior Fi g . 2 lui AB; este suficient să r epetăm demonstraţia teo remei de la nr. 321 , pentru a constata că ori ce punct din planul ABC aparţine figurii. Da că aceasta nu mai cuprinde nici un alt punct, propoziţia este d em onstrată. Altfe l , fie D un pun ct a 1 fi gurii , exter ior planului ABC (fi g. 2). Figura considerată co nţin e orice punct ~E situat în raport cu planul ABC de partea în car e nu se află punctul D. lntr-adev ăr , dreapta DE înţea pă în mod necesar planul într-un punct I şi aparţine deci

INTERSECŢIA

DREPTELOR

ŞI

A PLANELOR

11

în întregi me figurii, întrucît poate fi considerată ca unind două puncte B, I care fac parte din fi gură. Pentru ace l aşi motiv însă, figura conţine şi orice punct F situat de partea planu lui ABC în care nu se află punctul E, adică de partea unde se află punctul D . In consecinţă, figur a conţine orice pun ct a l spaţiu lui. 322. Axioma din geometria plană (40) : Printr-un punct ex terior unei drepte nu putem duce decît o singură parale lă la această dreaptă · , subz is tă şi în geometria în s pa ·ţiu . Intr- adevăr, o para l e lă dusă prin tr -un punct C la o dreaptă AB este situată în p lanu l ABC, astfe l că putem ap lic a, în acest p lan, axioma de mai su s. Vom putea deci vorbi despre paralela dusă la · o dreaptă printr-u n punct exter ior. De asemen ea, dintr-un punct C ex terior unei drepte AB, putem coborî pe această dreap t ă o perp e ndiculară şi numai una; ·î ntr-ad evăr, această perpendiculară ap ar ţine planului ABC pentru care teorema este demon s trată (19). D imp otrivă, într-un punct luat 8 pe o dreaptă p u tem ridica. o in finit a te de perpendicu lare pe această dreaptă, anume cît e una în fiecare dintre pla- ---- -y nele (321 , Obs . ) care tre c prin această dreaptă (fig. 3). De aici rezu lt ă că două drepte c pot fi perpendicu lar e pe o a treia, Fi g. 3 Fig. t~ fără să fie paralele între e le. 323. Planul ABC poate fi con sider at ca ge nerat de o dre a ptă care ,se m i şcă trecînd mereu prin punctu l C si spr ijinin du- se pe dreapta AB. lntr - adevăr o astfe l de dreaptă rămîne tot timpul în planul considerat şi, pe de a ltă parte, o putem face să treacă printr-un punct oarecare a l acestu i plan , cu excepţia puncte lor situ ate .p e paralela du să la AB din C. De asemenea, o dr ea ptă xy, care se mişcă rămînînd paralelă cu pozitia ei iniţială AC (fig. 4) ş i spr ijinindu-s e pe o dreaptă fixă AB, ge nere;ză un plan ABC , sau încă locu l geo metric al unei dr epte care se mişcă r ămînînd p ara le lă cu poziţia ei im:ţ ială şi spri jin indu-se mereu pe o dreaptă fixă (pozitia iniţ ială ş i dreapta fixă fiind pre supuse secante) es te un plan. Într-ad e văr, potrivit d ef iniţiei lo curi lor geometri ce (1 bis), acest en unţ exprimă urm ă­ torul dublu fapt: 1° dreapta mobilă x y a p arţin e tot timpul planului ABC; 2° prin orice punct al acestui plan trece o dreaptă x y, p ara l e lă la AC şi care taie pe AB. 324. Teoremă. Două plane distincte care au Fig. 5 u.n punct comun, au o infinitate de puncte comune, si tuate toate pe aceeaşi dreaptă. Fie c~le două plane P ,Q (fig. 5) car e au comun punctul A, fără să co incidă totuşL Planul Q împarte spaţiul în două regiuni pe care, pentru a

12

PLANUL

ŞI

DREAPTA

scurta exprimarea, le vom numi partea de deasupra ş i partea de dedesubt ul planului. Prin punctu l A, în planul P, ducem o dreaptă oarecare MANI'. Este posibi l ca această dreaptă să a p arţi nă în întregime planului Q; în a cest caz ce le două plane au o dreaptă comună. In caz contrar, ştim că punctul A împarte dreapta noastră în două păr ·ţi , situate una deasupra p lanu lui Q, iar cealaltă dedesubtul lui. Presu p unem pentru a f ixa ideile că punctul M se află deasupra planului Q, iar punctu l M' , dedesubtu l lu i. Proc e dăm la fel cu o a doua dreap tă NAN ' clin p lanul P şi, dacă aceasta nu apar ·ţine planului Q, vom presupune că N este deasupra lui, iar N', dedesubt . Unim !VI cu N' . Această dreaptă, care trece prin două puncte situate de o parte ş i de alta a lui Q, înţeapă în mod necesar acest plan într-un punct B , distinct de punctul A (a ltfel, punctele M, A, N' ar fi co liniare). Cele două plane date, avînd două puncte comune A, B, cuprind amîndouă întreaga dreaptă AB. Ele nu pot să aibă comun un punct exterior lui AB, căci altfel (321) nu ar fi distincte. Conform ce lor de mai s us, două p lane distincte pot fie să se întretaie, şi atunci in tersecţ ia lor e te o dreaptă, fie să nu aibă nici un punct comun . In acest din urmă caz, spunem că sînt paralele . Dacă două plane se intersectează, dreapta comună împarte pe fiecare dintre ele în două regiuni (s emi plane ) ,- situate de păr·ţi diferite, în raport . cu ce l ălalt plan . 325. După ce am studiat (320) poziţi il e re lative ale une i drepte şi a le unui plan ş i (324) poziţiile re lat ive a două p lane, ne rămîne să en umerăm poziţiile relat ive a două drepte. Este clar că, în această privinţă, dacă presupunem dreptele distincte, nu ex i stă clecît trei posibilităţi: 1° ce le două drepte se intersecte.ază ; 2° ele sînt parale le; 3° ele nu se află în ace l aşi plan. Trebuie menţionat că, d acă ce le două drepte sînt duse la întîmp lare, cazu l care se rea liz ează în genera l este ce l de-al treilea. Fără a încerca să precizăm într-un mod abso lut sensul acestei afirmaţii (aceasta se face cu a jutorul unor noţiuni străine de geometria e l ementară), ne vom da seama de exact itatea ei, în modul urm ător : să lu ăm arb itrar prima dreaptă AB ş i un punct C al ce lei de-a dou a. Da că vom du ce a doua dreaptă la întîmplare, prin punctul C, ea nu va fi, în gener a l , conţ inută în planul ABC; · astfel că ce le d_smă drepte nu se vor afl a în acelaşi plan . 325 bis. ln particular, vedem că, pentru a stabili paralelismu l a două drepte, nu va fi sufi cient, ca în geometria plană, să d e mon străm că ele nu au nici un punct comun . Este indispensabil să dovedim, în plus, că ele aparţin ace lui aş i plan.

326.

Intersecţia

a trei plane.

Mai putem spune că la nr. 320 ş i 325 am găs it punctele comun e une i drepte ş i unui plan sau pun cte le comune la două plane. Ne propunem acum să stud iem punctele comune la trei plane P , Q, R.

INTERSECŢIA

DREPTELOR

ŞI

A PLANELOR

13

În acest scop, fie D 1 dreapta de intersecţ ie a planelor Q, R, d acă acestea se intersectează. Punctele comune planelor Q şi R nefiind altele decît pun cte le drepte i D 1 , problema revine la aceea a intersecţie i dreptei D 1 cu planul P. De ase menea, n otînd cu D 2 drea pta de int ersecţ i e a lui R , P şi cu D 3 dreapta de intersecţie a lui P, Q, dacă aceste plane se taie, se poate r ezo lva problema studiind intersecţ i a lui D 2 cu Q sau pe aceea a lui D 3 cu R. Să aplicăm prima metod ă . Vom avea de considerat întîi cazul în care 1) planele Q, R se int ersec te a z ă ( după dreapta D 1 ) , iar dreapta D 1 înţeapă planul P. Se vede imediat că I. Cele trei plane date au un punct comun S (punctul de inter secţ ie al lui D 1 cu P ), în această ipoteză . Dacă dubla ipoteză 1) nu este verificată, nu putem avea decît urmă­ toarele cazuri: II. Cele trei plane nu au nici un punct comun, dacă 2) Q şi R se taie după dreapta D 1 , parale lă cu P; sau dacă 3) Q şi R sînt para lele ; sau dacă 4) Q ş i R coincid, dar sînt paralele cu P. III. Cele trei plane au comune toate punctele unei drepte, dace/, 5) Q şi R se taie după o dr ea ptă D 1 , conţinută în P; sau dacă 6) Planele Q şi R coinc id şi taie planul P . IV. Cele trei plcme au toate punctele comune, dacă 7) Ele coincid două cîte două. Cele şapte ipoteze de mai su s sînt efectiv singurele posibile, deoarece dacă dreapta D 1 există, ea nu poate avea în raport cu P decît una dintre cele trei poziţii indicate la nr. 320 [ipoteze le1 ), 2), 5)], .i ar dacă nu ex i stă, atunci planele P, Q nu pot fi decît paralele [ipoteza 3)] sau confund ate [ipotezele 4), 6) , 7)] . Avem de ci şi reciprocele enunţurilor de mai sus: d acă, de exemplu, ce le trei p lane nu au nici un punct comun, ne aflăm în mod necesar în condiţjile uneia dintre ipoteze le 2), 3), 4). ln plus, putem atribui lui D 2 şi lui Q rolul pe care l-au jucat D 1 şi P, trebuind să aj un gem astfel, în mod necesar, la aceeaşi soluţie. Aşadar, dacă procedăm cum s-a indicat mai sus şi ajungem, de . exemplu, la una dintre ipotezele 2) sau 3) sau 4), sîntem de asemenea într-una din aceste trei ipoteze, da_9ă permutăm P cu Q şi D 1 cu D 2 • 326 bis. In sfîrşit, int er secţ ia a trei plane mai revine la intersecţ ia a două oarecare dintre dreptele D 1 , D 2 , D 3 (presupunîrid că ele există) : orice pu~ct comun celor trei plane este, evident, comun dreptelor D 1 şi D 2 , şi reciproc. Aşadar, dacă cele două drepte D 1 , D 2 există şi se intersectează, avem un punct comun unic. Dacă sînt paralele, nu avem nici un punct comun. Dacă sînt confundate, avem o infinitate .

14

PLANUL

ŞI

DREAPTA

Invers , dacă ce le trei plane se taie într-un punct unic (cazul I), acest . punct este comun ce lor trei drepte D 1 , D 2 , D 3 • Da că ele nu au nici un punct comun (cazul II ) , dreptele D 1 , D 2 , D 3 (d acă există) sînt paralele două cîte două: deoarece Di ş i D 2 , de exemplu ( da c ă există), sînt în ace la şi plan, anume planul R, şi nu se întîlnesc. D acă ce le trei plane au o infinitate de puncte comune şi dacă dreptele D1' D 2 , D 3 ex ist ă (ceea ce nu se po ate întîmpla dec ît în cazul III), ele sînt toate trei confundate. EXERCIŢII

423. Dacă un anumit num ăr de dl'epte sînt astfe l că dou ă oarecare dintre ele se atunci - sau toate aceste drep te trec printr-un ace l aş i punct; ~ sa u sînt toate în ace l aşi p lan. 424. Printr-un punct dat , să se ducă o dr eaptă car e taie două d repte date n es itu ate în acelaş i pla n 1 ). Există o infinitate de drepte care ta ie tre i drepte date ce nu sînt d o u ă cîte două în ace l aş i pl an. Ce devin răsp un surile la cele două într ebă ri de m a i sus, dacă d o uă d in tre drep tele date sînt în ace l aş i p lan? 425. Dacă d o uă triunghimi ABC, A' B 'C', nesituate în ace l aşi plan, sînt astfe l în cî t latur ile B C , B'C' se tai e, la fe l CA , C'A' ş i AB, A'B ', a tunci 1° ce le trei drepte AA', BB', CC' t r ec printr-un ace l aş i punct sa u sînt paralele d o u ă cîte două; 2° ce le trei puncte de i nters ecţ ie a le drep t elor BC ş i B'C', CA ş i C' A', AB şi A' B' sînt în linie dre a ptă . 426. Fiind date un p lan P ş i tre_i puncte A,B ,C (neco liniare), exteri oar e aces tui p lan, să se afl e 1° un punct M as tfel ca dreptele care îl un esc cu punctele A,B,C să înţepe planu l P în v îrfurile unui t riunghi omotetic cu un triun ghi dat ; 2° un p un ct M as tfel ca dr epte le car e îl un esc cu p unctele A,B,C să înţepe planul P în vîrfuril e unui triunghi egal cu un tr iunghi dat1 ). 426 bis. Fiind date două tr iun ghiuri ABC, A' B 'C' ş i un pla n P, să se găsească în acest plan un triunghi cx~y, as tfel ca drepte le Acx, B~, Cy să fie con curente , s ituaţia fiind aceeaş i p entru A'cx, B'~, C'yl) . 427. Să se extindă la cazu l u nu i poligon strîm.b (a dică o linie fr î ntă în c hi să, a l e căre i laturi nu sînt în ace l aş i plan ) ş i a l unui punct oarecare din s paţiu t eor em a care face obiectul exer c i ţiu l ui 8 bis . taie,

CAPITOLUL II

DREPTE

ŞI

PLANE PARALELE

327. Drepte paralele • . Teoremă. Dacă două drepte D 1 , D 2 sînt paralele, atun ci paralela (322) la Di, dusă printr-un punct arbitrar 2 ) lVI al spaţiului, coincide cu paralela dusă prin ace laşi punct la D 2 • V. nota d e la sfî r ş itul problemelor l a Cartea a cincea. Punctul M este pres upus însă exterior dreptelor D 1 şi D 2 , d e observaţia d e !a s fîrşitul nr. 328 . 1)

2)

d acă

nu

ţin e m

seama

DREPTE

ŞI

PLANE PARALELE

15

Dreptele D 1 , D 2 se află, prin ipoteză, într-un acelaşi plan R. Dacă punctul M se află şi el în acest plan, propoziţia noastră este cunoscută din geometria p}ană (40), deoarece, în acest caz, paralelele la D 1 sînt paralele şi la D . 2 ln cazul contrar, fie P planul lui M şi al lui D 2 , iar Q planul lui M şi al lui D 1 . Aceste două plane (distincte, dat fiind că M nu se află în acelaşi plan cu D 1 şi cu D 2 ) se taie după o dreaptă D 3 . D 1 şi D 2 fiind paralele, cele trei plane P, Q, R nu au (326 bis) mei un punct comun. Aşadar, (326 bis), D 3 este paralela dusă prin M la D 1 şi, de asemenea, paralela dusă prin M la D 2 • Observ aţi e. Vedem, totodată, că dacă două ·drepte D 1 , D 2 sînt paralele, atunci intersecţia a două plane dintre care unul trece prin D 1 , iar celălalt prin D 2 este paralelă cu D 1 şi cu D . 2 328. Este cfar că din teorema de mai sus rezultă următoarea Teoremă. Două drepte D 2 , D 3 , paralele cu o a treia, sînt paralele între ele ( srpi coincid). Intr-adevăr, dacă printr-un punct M a lui D 3 , ducem o paralelă la D 1 , ea coincide cu D 3 , care este paralela dusă prin M la D 2 • O b s e r v a ţ i i . I. Acelaşi enunţ a fost stabilit în geometria plană (40) ; este însă clar (325 bis) că această demonstraţie nu poate fi suficientă în geometria în spaţiu. . II. Adeseori înlocuim, ca în geometria plană, expresia drepte paralele prin expresia drepte avînd aceeaşi direcţie. Acest mod de exprimare este justificat prin teorema de mai sus . . . De asemenea, la fel ca în geometria plană, sîntem conduşi să considerăm două drepte confundate ca un caz particular a două drepte paralele : simplificăm, astfel, un anumit număr de enunţuri (aşa se înt'lmplă, evident, de exemplu cu teorema precedentă). D 329. Dreaptă paralelă cu un plan. Teoremă. Dacă un plan Peste paralel cu o dreaptă D, atunci orice plan dus prin D şi care este secant cu P taie planul P după o dreaptă D 1 , paralelă cu D (fig. 6). Într-adevăr, dreapta de intersecţie D 1 este, prin Fig. 6 însăşi construcţia ei, în acelaşi plan cu D, şi ea nu întîlneşte dreapta D, întrucît aceasta din urmă nu are nici un punct comun cu P. Teoremă. Un plan P este în mod necesar paralel cu o dreaptă D care nu aparţine planului, dcică conţine o dreaptă D 1 , paralelă cu D.Intr-adevăr, sau planul. dreptelor D şi D 1 coincide cu P, în care caz D este cortţinută în P, sau, aceste două plane tăindu-se după dreapta DI> dreapta D nu ar putea întîlni planul P (fig. 6) decît într-un punct al lui D 1 , ceea ce este imposibil, D şi D 1 fiind paralele. Această din urmă teoremă. poate fi considerată drept reciproca celei dintîi. Prin reunirea lor, vedem că condiţia necesară şi suficientă pentru ca un plan să fie paralel cu o dreaptă sau să o conţină este ca el să conţină cel puţin o paralelă la această dreaptă (condiţia este necesară în virtutea primei teoreme şi suficientă în virtutea celei de-a doua) .

PLANUL

16

ŞI

DREAPTA

De aici deducem imediat urm ăto ar e a drepte sînt paralele, orice plan paralel cu unct . dintre ele sau care o conţine- es te para lel cu a doua setu o co nţine . Un plan care c onţine o p a ral e l ă la pr ima ar e aptă conţin e , tot odată, o paral e l ă la a dou a. O b s e r v a ţ i e . Aici e nunţul ia d in nou o formă m a i s i mp l ă , dacă vo m conveni să c on s id e răm drepte le c onţinute într-un p lan ca pe un caz p articular al drepte lor paralele cu acest plan . Co.rolarul I. Dacă o dreaptă D este p arale lă cu un plan P, iar printr- un punct al planului P ducem o p arale lă lei D, aceas tă parale lă este în întreg ime con ti nută în P . ' Altfe l ea nu ar putea fi decît paral e l ă cu P ; în s ă are un punct comun cu P . Corolarul U. Dacâ două plane care se taie sînt para lele cu aceeaşi dreaptă r~ ecţia lor es te p arale lă cu aceas tâ dreaptă. inte D, În ad evă r, fi ecar e dint re aceste plane c o nţ in e o paral e l ă la D ; conclu z ia e nunţată r e zultă de ci din nr. 327 (Obs ). Corolarul III. Dace/, douâ drepte sînt paralele , orice plan care taie pe una o taie şi pe a doua, deoarece, d a că el ar fi paralel cu una dintre drepte sau ar conţin e -o, ar fi paralel şi cu c e alaltă sau ar conţin e -o . Teorem ă . Dacă două

330. Plane . paralele. Un plan paralel cu un altul este paralel ca toate dreptele acestuia ; , într - adevăr, da c ă el ar avea un pun ct comun cu una dintre aceste drepte plane. lor ambe punctul comun ar aparţine Reciproc, un plan paralel cu toate dreptele unui al doilea plan (distin ct de primul) este paralel cu acesta; într-adevăr da c ă cele două plane ar avea un punct comun, ar trece prin ace st punct drepte ale ce lui de-al doil ea plan, care l-ar înţepa pe primu l. Mai mult, putem enunţa următoarea Teoremă . Un plan paralel cu douâ drepte concurente dintr -un al doilea plan, distinct de primul, este paralel cu acesta. fie Dacă ce le două p l ane s-ar tăia, intersecţia lor ar trebui (329) să ce a cee enunţ, în e parale l ă cu fiecare dintre cele două drepte menţionat este imposibil. - - - ---·....., 330 bis. Teoremă. Printr-un punct exterior unui \• \Q Jr......_ plan dat trece un plan paralel cu primul, şi numai ""'-x· \ x/ unul. Acest plan este locul geometric al dreptelor paralele cu planul dat, dus e prin punctul dat . ..-,,,.----: --,---. 1° Prin punctu l A exterior planului P (fig . 7) , V ~\ trece un plan paralel cu P. Pentru a-l obţine , v om \ prin punctul A paralelele Ax, Ax' la demă duce Fig. 7 drepte D, D' din planul P, neparalel e între el e . · P lanul Axx' este para lel cu p lanul P (teorema de la nr. 330) ; pe l ce cu coincide A, punctul prin dus P, cu 2° Orice p lan paralel care l- am obţinut mai sus, deoarece el trebi;ie să fie para lel cu D şi cu D ', . deci (329) să conţină parale lele lor, Ax, Ax'; prm dus P, cu paralel Q, planul că arată ă 3° Demonstr atia precedent punctul A, conţine' orice pa~alelă, dusă prin A, la o dreaptă din P (cu alte cuvinte, orice para l elă dusă prin A la p lanul P).

DREPTE

ŞI

PLANE PARALELE

17

Invers, ştim. că ori ce .dreaptă din Q este p :ira l e l ă c u p şi, în consecinţă, orice punct 1VI din Q aparţin e unei drept e (dreapta AM) paralelă cu P şi du să prin punctul A . Planu l Q se bucură deci de dubla proprietate ca racter i st ică a locului geometric indicat în enunţ . 331. Din condiţia necesară şi suficientă a para lelismului (330) , precum ş i din condiţia analogă găs ită pentru para lelismu l unei drepte cu un plan (329), rezultă propoziţiile analoge cu ultima t~oremă de la nr. 329 : 1° O dreaptă D, parale lă cu un plan P , este parale lă cu orice plan Q, p arale l cu primul (dacă nu es te conţi nute/, în planul Q); într-adevăr, planul Q este paralel cu paralelele la dreapta D , conţinute în P; 2° Două plane i:_ , Q, paralele cu un al treilea, R, sîn t para lele între ele (dacă nu coincid). lntr-adevăr, planul P est e paralel cu dreptele din R şi, în consecinţă, cu par ale le le lor co nţinute în Q. Aceste enunţuri imp li că, evi dent, o observaţie ana lo gă cu acelea dtl la nr. 328 şi 329 ; ele s-ar simplifica, dacă am adm ite : 1. 0 convenţia indicată în observaţia de la nr. 329 ; 2° convenţia ana l ogă constîn d în a considera două plane confun d ate drept un caz particular a două p lane paralele. Teoremă. Dacă două plane P, Q sînt paralele 1° orice dreaptă care înţeapă p e unul, îl înţeapâ şi pe celâla lt ; 2° orice plan care intersecteazâ pe unul, îl intersecteazâ şi pe ce lă la lt , iar ce le două intersecţ ii sînt paralele. 1° Cele două p lane P, Q _fiind para lele, orice dreaptă care înţea p ă planul P, îl inţeapă şi pe Q. Intr - adevăr, dac ă dreapta ar fi paralelă cu planul Q (sau co nţinut ă în Q), ea ar fi par a l e lă ş i cu, P sau conţ inută în P, ceea ce nu este cazul. 2° Orice p)an care taie planul P ta ie şi planul Q (fig. 8). Intr-adevăr, dacă ar fi paralel cu Q (sau confundat), el ar . fi parale l şi cu P (sau confundat ), ceea ce nu este cazul. 3~ Cele două drepte A, B, in ersecţ ii a le plaFig. 8 nelor paralele P , Q cu un al treilea plan arbitrar, sînt paralele între ele; aceasta nu este dec ît aplicarea primei teoreme de la nr. 329 la dreapta A, paralelă cu planul Q. 332. Conform teoremei de la nr. 328, al doilea enunţ de la nr. 323 poate fi înlocuit prin urm ător ul: Locul geo metric al unei drepte care se mişcă sprijinindu-se pe o dreaptă fi xă D şi rămînînd parale lă cu o altă dreaptă fi xă D', neparalelă cu prima (fără să fi e în să necesar, de astă dată , ca dreptele D, D' să se întîln ească), este un plan . Este clar că, putem duce prin D un plan paralel cu D', şi numai unul (locul geometric obţinut mai sus ), pe care-l putem determ ina prin dre apta D şi printr-o parale lă la D', dusă printr-un punct al lui D. Mai general, printr-un punct din spaţiu putem duce un plan paralel simultan cu D şi cu D' , şi numai unul, acela determinat : de paralelele la D şi la D', duse prin punctul considerat. 2-

Lecţii

de geometrie

elementară,

voi. II

18

PLANUL

ŞI

DREAPTA

Prin doiiă drepte nesituate în acelaşi plan, putem face să treacă două plane paralele, şi numai într-un singur mod. În acest scop, va trebui să ducem prin fiecare dreaptă un plan paralel cu cealaltă; pe de altă parte, · planele astfel obţinute sînt paralele, deoarece fiecare dintre ele este paralel cu două drepte concurente din celălalt . 333. Teoremă. Două unghiuri care au laturile paralele sînt egale sau-suplementare. Evident, va fi suficient (43) să arătăm că două unghiuri avînd laturile paralele şi de acelaşi sens sînt egale. Fie două unghiuri BAC, B'A'C' (fig. 9), astfel ca AB,A'B' să fie paralele şi de acelaşi sens, la fel ca şi AC, A'C'. Afirmăm că cele două unghiuri sînt egale. Pentru a demonstra, vom lua pe laturile acestor unghiuri lungimile AB = A' B', AC = A'C'. Unim punctul A cu A', B cu B', C cu C'. Patrulaterul AB B'A', avînd două laturi egale şi paralele, este (46. Rec. ) un paralelogram, astfel că AA' este egal şi paralel cu BB'. Vom demonstra la fel că AA' est e egal şi paralel t:U CC'. Fig. 9 De.ci BB' si CC' sînt, de asemenea, egale şi (328) p~ralele, astfel ~ă BB 'C' C, este un paralelogram şi BC = = B'C'. Triunghiurile ABC, A' B'C' sînt atunci ega le, ca avînd cele trei laturi respectiv egale şi, în consecinţă, vor fi egale şi unghiurile A ,A'. 334. Unghiul a două drepte oarecare. Defiµiţie. Se numeşte unghiul a două semidrepte D, D', situate sau -nu în acelaşi plan (fig. 10), unghiul format de paralelele la D, D', duse , printr-un punct arbitrar O al spaţiului. ,/ Pentru ca ace astă definitie să aibă sens, este . / „/' necesar ca valoarea unghiului considerat să fie inOL.~- - - .__ _ reAceasta O. punctului alegerea de dependentă zultă însă din teorema precedentă, deoarece, dacă prin două puncte diferite O, O', ducem paralele la D, D', formăm astfel două unghiuri care au laO' turile paralele şi de acelaşi sens. Fig. 10 Dacă cele două drepte D, D' se intersectează, de este, definiţie unghiul dedus din noua noastră altfel, în mod evident, identic cu unghiul dreptelor D şi D', în sensul pe care l-am atribuit pînă acum acestui cuvînt. Se spune că două drepte, situate sau nu în acelaşi plan, sînt perpendiculare, dacă unghiul lor, definit ca mai sus, este drept. O b s e r v a ţ ie. Unghiul a două drepte nu se schimbă, evident, dacâ înlocuim pe fiecare dintre ele prin una dintre parale lele ei. În particular, dacă două drepte sînt perpendicular e, orice paralelă la una este perpendiculară pe orice paralelă la cealaltă. 335. Teoremă. Porţiunile de paral-ele cuprinse între două plane paralele sau între o dreaptă şi un plan paralel cu ea sînt egale.

V

DREPTE

ŞI

19

PLANE PARALELE

Fie porţiunile de paralele AB, A' B', cuprinse între planele paralele P, Q (fig . 11), sau între dreapta AA' şi planul Q paralel cu ea (fig. 12). Pentru a demonstra că aceste două segmente sînt egale, este suficient să unim B cu B' şi să observăm că dreapta BB' este paralelă cu AA' (331, 3° sau 329); segmentele AB, A' B' A A' sînt deci egale, ca laturi opuse ale unui paralelogram. 336. Teoremă. Trei: plane paralele de termină pe secante oarecare segmente proporţionale. Fie planele paralele P, Q, R Fig. 11 Fig. 12 {fig. 13); afirmăm că, dacă aceste plane sînt intersectate de o dreaptă arbitrară, în punctele A, B, C şi de o a doua dreaptă arbitrară în A', B', C', raportulAB/AC este egal cu raportul A'B'/A'C'. În primul rînd, dacă cele două drepte considerate se află în acelaşi plan (de exemplu, dreptele D, D' din fig. 13), propoziţia de demonstrat revine la o teoremă din geometria plană (113), deoarece planul DD' taie plCJ.nele P, Q, ' R după trei drepte paralele. În al do,ilea rînd, să cons iderăm două drepte D, D" (fig. 13), care nu se află în acelaşi plan. Vom reduce acest caz la cel precedent, considerînd o dreaptă D', situată în acelaşi plan cu D şi în acelaşi plan cu D" (de . exemplu, dreapta care uneşte un punct al lui D cu un punct al lui D ", sau paralela dusă la D" printr-un punct al lui D ). Raportul segmentelor determinate pe D şi raportul segmentelor determinate pe D ", fiind ambele egale cu raportul analog relativ. la D', sînt egale. Corolar. Două plane paralele der-----. termină pe secante care pornesc din acelaşi punct segmente proporţionale. Acea stă propoziţie nu este decît Q ace-ea de ma'i sus, aplicată celor două plane date ş i unui al treilea, paralel cu primele , dus prin punctul dat (fi g. 14; compară cu 114). R 337. Este important să ne re am intim că, în virtutea propoziţiilor demonstrate în acest capitol, Fig. 13 1° printr-un punct dat putem duce o paralelă la o dreaptă dată, Şi numai una; 2° printr-un punct dat putem duce un plan paralel cu un plan dat, §i numai unul;

T\

~.

dimpotrivă,

3° printr-un punct dat, putem duce o infinitate de paralele la un plan dat. anume toate dreptele din planul paralel cu planul dat, dus prin punctul dat; · 4° printr-un punct dat, putem duce o infinitate de plane paralele cu o dreaptă dată, anume toate planele care trec prin dreapta dusă prin punctul dat, paralelă cu dreapta dată. 2*

20

PLANUL

ŞI

DREAPTA

Două drepte paralele au toate paralelele lor comune şi toate planele lor paralele comune; aceasta este adevărat şi p entru două plane paralele. Situaţia este însă alta pentru o dreaptă D ş i un p lan P, care sînt paralel e: un plan paralel cu D poate ocupa în raport cu P o poziţie oarec are; tot astfe l o dreaptă paralelă e u P în raport cu D. EXERCIŢII

428. Ce devin conc l uz iile exe r c iţiului 423, d acă şt im doar că dou ă drepte oarecare dintre dreptele date sînt în acelaşi pla n ? 429. Să se du că o dreaptă parale l ă la o dreaptă dat ă ş i care taie două drepte date 1 ). 430 . Mi jl oacele laturilor unui patrulater strîm b (ex. t,27) s înt vîrfur ile unui paralelogram. Centrul acest ui paralelogram este mijlocul dreptei car e uneşte mijlo ace le dia-· gonale lor patrulaterului. Să se afle l ocu l geometric a l centrului acestui paralelogrn rn, dacă tr ei dintre vîrfuri le patrulaterului rămîn fixe, în timp ce al patrulea descrie un plan dat sau o d r e aptă dată. 431. Recip r oca teor e mei de l a lll'. 336. Dacă dou ă d repte sînt împ ă rţit e în părţi proporţional e prin punctele A,B,C pentru una, A',B',C', pentru cea l altă, putem duce prin dreptele AA', BB', CC' respectiv trei plane para lel e între ele . 432. Fiind date dou ă drepte D, D' , n es ituate în ac e l aş i plan, să e afle l ocu l geometric al punctelor obţinute, împărţind într-un i·aport dat segmentul de dr eaptă care uneşte un punct oarecare li!/. a l dreptei D cu un punct oarecare M' a l dreptei D'. 432 bis. Aceeaşi întrebare, dacă ·punctele M, M' în l oc să v a rieze în mod arb itrar p e d1'eptel e date , sînt s upu se cond iţiei ca dreapta MM' să fie pa r a l e l ă cu un plan fix . Să se tragă de aici co ncluzi a că o dr eaptă care variază, întîlnind dou ă drepte fixe ş i rămînînd parale l ă cu un p lan dat, întîlneşte o infinitate de a lte drepte fix e, paralele toate cu ace l aşi plan. . 433. Invers , dacă o dreaptă mobil ă întî ln eşte trei drepte fixe parale le cn un acelaşi p lan, ea este împărţită de aceste drepte întt·-un r aport constant ş i ri.irnîne para l e l ă cu un plan fix . 4:14. Să se demonstreze că , dacă dreapta mobilă cons id erată în cele două exerciţii. precedente se îndepărtează nemărginit, ea tinde si.i d ev ină para l e l ă cu o direcţie determinată.

435. Să se ducă o dreaptă care să înt îl nească trei drepte date şi car e să fie împăr­ de acestea într-un raport dat 1). 436. Dac ă o dreaptă mobi l ă întîlneşte două drepte fixe D, D ' ş i este împărţit ă într-un raport constant de aceste drep t e ş i de un plan fix (care nu este para lel simultan. cu D, D '), ea este parale l ă cu un plan fix. 437. Dreptele care un esc două puncte, lu ate pe două laturi consecutive a le unui: patrulater strîmb, cu punctele care împ art r es p ectiv în ace l aş i rap ort laturile opuse celor· dintîi, se intersectează şi fiecare dintre ele este împărţită de cea l altă în ace l aş i raport ca laturile pe ca r e nu l e întîlneşte. 438. Să se ducă, între două drepte date, o secantă d e lungime d a tă, para l e l ă cu. un plan dat 1 ) . ţ i tă

CAPITOLUL III

DREAPTĂ ŞI

PLAN PERPENDICU LARE ÎNTRE ELE

338. Definiţie . Se spune că o dreaptă AB (fig. 15) este perpendiculară pe un plan P , dacă este p erpe ndi c ul ară pe toate drepte le din acest plan„ care trec prin piciorul e i. 1)

V . nota d e l a

sfîrşitul

problemelor la Cartea a cincea .

„

DREAPTA

ŞI

PLAN

PERPENDICULARE .INTRE

ELE

21

Vom arăta imediat că putem găsi un plan perpendicular pe o dreaptă o dreaptă pe_rpendiculară pe un plan dat. O astfel de dreaptă este p e rpendiculară pe toate dreptele din plan. Mai genera l , o dreaptă perpendiculară pe un plan este perpendiculară ·pe orice dreaptă paralelă cu acest plan. 8 o De exemplu, dreapta AB (fig. 15), perpendicu l ară în A pe planul P, este perpendiculară pe orice dreaptă D, paralelă cu acest plan. În adevăr, prin 4'----:;-c punctul A trece o dreaptă AC, paralelă cu D şi conţ i nută în planul P: unghiul BAC, care măsoară (334) unghiul dintre AB şi D, este drept, în virtutea ipotezei. Fig. 15 Reciproc, dacă o dreaptă este perpendiculară pe toate dreptele unui plan, ea nu poate fi paralelă cu acest plan (329): ea îl înţeapă deci şi, ca atare, este perpendicu lar ă pe el. 339. Din definiţie, mai rezultă imediat următoarele consecinţe: 1° Un plan P, perpendicular pe o dreaptă, este perpendicular pe orice dreaptă paralelă cu ea; · într-adevăr, toate dreptele din planul P, fiind perpendiculare pe prima dreaptă, sînt perpendiculare şi pe a doua. 2° O dreaptă D, perpendiculară pe un plan P, este perp endicu lară pe orice plan paralel cu primul; într-adevăr, toate dreptele din acest din urmă plan sînt paralele cu P şi, ca atare, perpendiculare pe D. 340. Posibilitatea de a găsi o dreaptă şi un plan care să fie perpendiculare între ele rezultă din următoarea Teoremă. Locul geometric al punctelor egal depărtate de două puncte . B, B 1 este un plan perpendicular pe mijlocul segmentului BB 1 • Demonstraţie. Fie A mijlocul lui BB 1 • Punctele lo cului geometric situate într-un 8 plan care trece prin BB 1 (fig. 16) sînt acele a ale perpendicularei ridicate în A pe BB 1 din acest plan. Deci ' locul geometr ic este generat de toate perpendicularele. Însă, dacă C, C' sînt două puncte ale lo cului geometric (fig. 17), triunghiurile BCC', B 1 CC' sînt ega le, ca avînd ce le trei laturi egale (BC=B 1 C; BC'=B 1 C'; CC' respectiv B, comună). Facem să coincidă aceste două 11 Fig. 17 Fig. 16 triunghiuri ş i notăm cu C un punct arbitrar de pe dreapta CC '. Vîrfurile C, C' 11 coincizînd cu ele însele şi vîrful B 1 cu B, vedem că B 1 C se suprapune 11 11 11 peste BC • Avem deci B 1 C = BC • 11 Aşadar, orice punct C al lui CC' aparţine locului geometric. Locul geometric fiind astfel, încît dreapta care uneşte două dintre punctele sale îi aparţine în întregime şi conţine trei puncte n eco liniare fără a conţine toate punctele spaţiului (deoarece, de exe mplu , punctul B nu face parte din locul geometr ic ) este (321 bis) un plan, evident, perpenJ' (fig. 55 b).

®'

PLANUL

ŞI

DREAPTA

În primul caz (p oligon convex), fiecare cerc mare con-ţinînd o latură împarte s'f era în două emisfere , dintre care una conţine întregul poligon; interioru l acestui po ligon este regiunea R, comună emisfere lor corespun zătoare laturilor 1 ). 'Arcul de cerc mare, minor, care uneşte punctele M, N interioar e poligonului sau situate pe perimetr u l său (însă nu ambele pe aceeaş i latură ) este (370, Obs.) interior lui R, deci poligonu lui. Poligoan e le sferice se clasifică, la fel ca ce le plane, după numărul lor de laturi, cel mai simplu 2 ) fiind triunghi ul sferic. O b s e r v a ţ i e. Un triunghi sferic es te întotdea una un poligon .conrex. În adevăr, în triunghi ul ABC, dacă arcul de cerc mare AC nu ar fi în întregim e de aceeaşi parte în raport c u cercu l mare A AB, el l-ar. tăia pe acesta într-un punct (dist in ct de A) situat între A şi C şi ar fi deci mai mare decît un sem icerc, contrar definiţi ei . Relaţii între ·poligoa nele sferice şi unghiur ile D poliedre . Oricărui poligon sferic îi corespun de un un ghi poliedru , avînd ca vîrf centrul sferei şi ca muchii semidrep te le care unesc acest centru cu diferitel e vîrfuri ale poligonu lui. Fig. 56 Feţele AOB, BOC etc. ale acestui unghi po liedru (fig. 56) sînt unghiuri le la cen tru corespunzătoare laturilor AB, BC etc . ale poligonu lui . . C Diedrele unghiiilu i poliedru au, potrivit teoreme i de la nr. 371, unghiuri le plane corespunzătoare egale cu unghiuri le poligonu lui. Invers, orice unghi poliedru avînd ca vîrf centru l unei sfere o taie pe aceasta după un poligon sferic, avînd cu unghiul poliedru relaţiile indicate mai sus . . Este clar că acest poligon sfer ic va fi convex sau concav, în acelaşi timp cu unghiul poliedru care î l determină pe sferă . Fig . 57 Vedem că orice propriet ate referitoa re la feţele şi la diedrele unui unghi poli edru este echi-yalentă cu o proprietate relativă la laturile şi la unghiuri le poligonu lui sferic corespunzător, ş1 invers . 374. Triedre simetric e . Fiind dat un triedru oarecare S ·ABC (fig . 57), să prelungi m muchiile lui dincolo de vîrfu l S, în direcţii le SA', SB', SC ' . Formăm astfel un nou triedru S ·A' B'C', care are toate elemente le respecti v egale cu a le celui ..,..,,......._ ..,..,,......._ dintîi; în adevăr, feţele sînt respectiv egale (de exemplu , A' SB' = ASB),

c

1 ) Orice punct M cuprins în po l igon aparţine, conform definiţie i a,cestui a , fiecă­ reia dintr e emisferele definite în text, d ec i ş i părţii lor comune R. Invers, un punct N, cuprins în R, poate fi unit cu M printr-un arc minor, care (370, Obs.) nu traversează nici una dintre laturi şi deci nu ies e din poligo n. · 2 ) Două semicercu ri mari limitate de ace l aşi diametru formează o figură (ABF EA, fig. 63), numită f us s feric (963), care poate fi "considerată, ev ident, ca un biunghi, numai că laturi le acestu i po l igon sînt ega le ş i nu in ferioare unui semicerc.

UNGHIURI POLIED RE. POLIGOANE SFER I CE

~

~

ca unghiuri opuse la vîrf, d iedre le (de exemp lu , SA= SA'), ca opuse . la muchie. Dar, deş i au toate e lemente le egale, cele două triedre nu sînt egale; după cum vom demonstra imedil;lt, n u le putem transporta u nu l peste celălalt, în aşa fel încît să coincidă . Să observăm întîi că, în genera l , dacă am face să coincidă cele două tr iedre, aceasta ar fi posibi l numai suprapunînd SA ' peste SA, SB' peste SB, SC' peste SC; în adevăr, în cazu l general, adică ori de cîte ori feţele tr iedrului dat sînt inega le, co i ncidell'ţa trebuie să se rea lizeze în modul arătat, deoarece faţa triedru lui S ·A ' B'C', capabi l ă să coincidă cu fa ·ţa BSC, ../""-..

./"-....

este B' SC', astfel că, în mod necesar, dacă ce le două triedre coincid, B' SC' se suprapune peste BSC, deci şi much ia SA' peste SA. De a ltfe l, în orice ipoteză, dacă vom spune, în număru l de faţă, că două triedre se suprapun, vom înţelege prin aceasta mereu ce le arătate mai sus, adică coincident.a e lemente lor omoloage; vom arăta acum i mposibi litatea une i astfel de suprapuneri pentru cele două triedre. Să notăm în al doilea rînd că, or icum am încerca să transportăm a l. . d.o i lea triedru, astfe l încît SA' să coincidă cu SA şi SC ' cu SC, poziţia fina l ă a acestu i triedru este întotdeauna aceeaşi. Deci, putem ajunge la această coincidenţă dep l as~nd unghiu l A' SC' în planu l lui, astfel încît să-1 ducem peste ASC (deoarece în p lanu l lor comun, aceste două unghiur i au acelaşi sens de rotaţie). Acestea fiind stabilite, să l uăm ca p lan al figurii p lanul ASC şi săi presupunem, pentru a fixa ideile, că muchia SB se situează în faţa acestui plan. Atunc i muchia SB ' va fi în spate le ace l uiaş i p lan (f ig. 57); ea vară­ mîne în mod necesar în spate, în m i şcarea pe care o vom imprima triedrului S ·A' B'C', deoarece unghiul A' SC' se deplasează fără a părăsi planu~ figurii şi deci muchia SB' nu va putea, în nici un fe l , să -l traverseze . Aşa­ dar, este imposibi l ca SB' să co incidă cu SB. 374 · bis. Dacă cele două triedre de mai sus nu se pot suprapune, deşi elemente le lor sînt respect iv egale, aceasta se datoreşte faptu lui că orientarea lor nu este aceeaşi . Ce trebuie înţe l es prin aceasta este indicat în . următoarea Definiţie . Se numeşte orientarea unui triedru S ·ABC sensul (349) d iedrului SA, dacă luăm ca primă faţă a acestui diedru faţa SAB, iar sensul a les pe muchie este SA (fig. 57). Astfel, orientarea triedrului S ·ABC va fi numită directă, dacă un observator aşezat în poziţia SA, avînd picioarele în S şi privind spre interiorul triedrului, vede faţa SAB în dreapta feţei SAC; în caz contrar, triedrul este retrograd. Vedem că, potrivit acestei definiţii, orientarea unui triedru depinde de ordinea în care îi enunţăm muchiile. De altfel, noţiunea d e orientare se apl i că unui unghi poliedru oarecare . Un unghi poliedru S·ABCDE va fi numit direct, dacă un observator aşezat în lungu l lui SA, cu picioare le în S şi p1·ivind spre interioru l unghiu l ui; vede faţa SAB în dreapta lui SAE, şi retrograd, în cazu l contrar.

În demonstraţia de la nr. 374, este clar că orientarea triedrului S ·A' B'C' este inversă faţă de aceea a triedru lui S ·ABC, cu alte cuvinte că diedre le SA,

46

PLANUL

ŞI

DREAPTA

SA' sînt de sensuri contrare, întrucît atunci cînq muchia SA' s-a suprapus peste SA şi faţa A'SC' peste ASC, feţele A'SB',ASB s-au aflat de părţi diferite în raport cu planul A SC. Acest lucru se poate vedea şi direct, deoarece pentru a trece de la diedrul SA la diedrul SA', este necesar: 1° să înlocuim diedrul SA prin opusul său la muchie, ceea ce nu-i schimbă sensul (358); 2° să înlocuim pe muchie sensul SA prin sensul opus SA'. Ştim însă că această din urmă schimbare interverteste sensu l diedrului. Aşadar, ce le dou'ă triedre au orientare diferită şi nu trebuie să ne mire că nu le putem face să coincidă. Vom numi triedre simetrice două triedre ca S ·ABC, S ·A' B'C' sau, mai general, două triedre oarecare, avînd ca precedentele toate elementele corespondente egale, însă orientarea inver să. · La fel ca la un un ghi triedru sau poliedru, vom avea de considerat orientarea unui triunghi sau, mai general, a unui poli gon sferic. Vom numi astfel sens ul unuia dintre unghiurile sale, despre care vom presupune că este văzut din exterioru l sferei. Este clar că această orientare coincide cu aceea a unghiului poliedru corespunzător. Ea depinde tot de ordinea vîrfurilor. Pentru un triun ghi ABC, ea va fi directă, dacă un observator privind din exteriorul sferei şi mergînd în lungul laturii AB, de la A spre B, vede interiorul triunghiului în stînga sa. Sub această formă (care se aplică unui poligon sfer ic cu un număr oarecare de laturi ) , vedem că este vorba de o proprietate care se leagă de sensul parcurgerii perimetrului. Ea nu se schimbă în urma permutării circulare a vîrfurilor (adică substituirea ordinii BCA sau CAB prin ordinea iniţială ABC, î:c cazul unui triunghi) ; observaţia se extinde de la sine la un unghi poliedru. 375. Teoremă. În orice unghi triedru, o faţă oarecare este mai mică decît suma ce lorlalte două şi mai mare decît diferenţa lor.

8 Fig. 58

Va fi suficient să demonstrăm partea a doua a enunS ·ABC (fig. 58), inegalitatea

ţului, deoarece, în triedrul /'"""-...

/'"""-...

ASC < AS B

+ B/'"""-... SC

~

/'"""-...

ş1, în cazul contrar, ea rezultă din inega litatea ASC -

Pentru a o demonstra ~

/'"""-...

/'"""-...

este ev identă, dacă A SC < AS B /'"""-...

~

ASB < BSC.

aceasta din urmă, vom trasa în planul un/'-...

/'"""-.- 1 -

. . ghiului AS C, unghiul A.SB' = AS B, astfel ca B' SC sa reprezinte diferenţa

.AS'c -

.ÂsB.

Trebuie

să arătăm că /'"""-...

/'"""-...

B' SC < BSC. Luăm cele două seamente SB, SB', egale, apoi prin punctele B, B' 0 ducem un plan care taie cele două drepte SA, SC (ş i nu prelungirile lor), pe una în A, iar pe cealaltă în C.

47

E UNGHI URI POLIED RE. POLIGO ANE SFERIC

avînd un unghi egal Cele două triung hiuri SAB, SAB' sînt egale 1 ca comună, SB= SB' (SA egale _(cel din S), cupri ns între laturi resp ectiv B'C, egal cu entul segm deci AB; = AB' prin construcţie), şi ne dau e hiuril SEC, SB'C , AC - AB, este mai mic decît BC. Ca atare , triung /'-..... /'-..... B SC > B ' SC. care au două l ~turi egale şi a treia inegală, dau re al lui es te mai mică Corolar. In orice unghi polied ru, o faţă oareca decît suma celorl alte. re cu aceea a teore mei analo ge Demonstraţia este întru totul a.semănătoa D cu patru ungh iuri plane de la nr. 26; pentr u un unghi polie dru S ·ABC (fig. 53), vom avea succe siv /'-.....

./"'-...

./"'-...

./"'-...

./"'-...

/'-.....

ASD vom putea face să treacă prin AA' (această muchie fiind perpendi„ „ 1 {fig. 227) de pe 0 1 x 1 , despărţite unele de altele prin interPale egale ~u l. 536. Fie un cilind ru drept, avînd ca bază o curbă (C) arbitr ară şr o genera toare Oy a acestu i cilind ru, care taie curba (C) într-un punct O, pe care-l vom denum i origin ea coord onatel or -curbi linii (fig. ~28). Pentru a defini un punct M pe suprafaţa cilind rului, va fi sufici ent să ni se dea: / 1° Punct ul m, în care genera toarea dusă prin M taie curba ( C), ceea ce vom face dînd abscisa curbil inie Om a .acestu i punct , raportată la origin ea O. 2° Segm entul de genera toare mM, pe care-l vom denum i Fig. 228 -ordon ata lui M. Această ordonată va fi luată cu semnu l sau su semnu l - ' după sensul în care ea va trebui purtat ă , după ·ce am indica t un sens poziti v pe direcţia genera toarel or ci. lindru lui. Absci sa curbil inie si ordon ata unui punct se numes c · .coordonatele sale . cilindric~. 01 m, :f' Fie , pe de altă parte, două axe perpen dicula re 0 1 1 xu .01 y1 în plan. Vom face să corespundă punct ului M de pe ciFig. 229 lindru punct ul M 1 din plan, care va avea, în raport cu axele 0 1 x 1 , 0 1 yu acelea ş i coord onate ca punct ul M pe suprafaţa cilindrică. Confo rm celor văzute la nr. 535, dacă curba (C) este infinită, punctul M 1 astfel defini t va fi unic; dimpotrivă, dacă curba (C) este închisă :şi de lungim e l, un punct M al cilind rului va coresp unde unei infinităţi

+

+

+

1) V.

şi

cursul de Trigon ometrie .

Jµr'

ELICEA

189

de puncte M1' M~, ... din plan, situate pe o aceeaşi paralelă la Ox, la intervale egale cu l (fig. 230). Fiind dată o figură F pe ci lindru, vom numi desfăşurarea ei figura plană- Fu formată din punctele Mi corespunzătoare, după cum am arătat mai sus, diverselor puncte M ale lui F . Invers, a înfăşura pe cilindru o figură plană Fi va însemna a construi figura F corespunzătoare. Mf'' M( M.' M"1

Raţiunea de a fi a acestor expi·esii va deveni JimO vom substitui cilindrului considerat o prismă. -t--'------x-1 Fie dată o prismă ABCD. .. A' B'C' D' (fig. 231) . Să Fig. 230 construim într-un plan: un paralelogram A 1 B 1 A~Bi, ega l cu faţa ABA' B'; un paralelogram B 1 C1_B~Ci, egaJl) cu faţa BCB'C' şi adiacent la A 1 B1 A1B~ după latura comună B 1 B1; ' . · un paralelogram C1 D 1 CiDi egal cu CDC'D' şi adiacent la B1 C1 B~C1 după latura comună C1 Ci etc. Vom fi întins astre i pe plan aria l atera lă a prismei. Or construcţia de mai sus revine Ia a desfăşura această arie latera l ă în accepţiunea de Ia nr . 536, rolul curbei de bazft (C) fiind jucat de o secţiune dreaptă oareO' care abcd ... (fig. 231) a prismei. Ne vom con1 vinge uşor de aceasta, observînd ci.i diversele 4'f laturi ab, bc, cd .. . ale acestei seqiuni drepte se vor transforma în segmentele a 1 b1 , b1 r 1 , ... , toate unu l în pre l ungirea ce l uila l t . a d a 1 1---"b::r'i---"~---Jcf.t Pentru a defini desfăsurarea unui ci lindru, putem să-l înlocuim p~intr-o prismă înb c scrisă, s-o desfăşurăm pe aceasta clupă cum am arătat, şi să trecem apoi la limită, presupunînd că numărul laturilor poligonului de bază creşte nemărginit, astfel ca fiecare dintre ele B, să tindă către zero . Conform observaţii lor preFig. 231 cedente, este clar că vom ajunge astfel l a .desfăşurarea defini Lă la nr . 536.

537.

pede,

dacă

o·

538. Pentru a defini desfăşurarea Fi a unei figuri cilindrice F, a trebuit să cunoaştem pe acest cilindru: 1° o generatoare Oy; 2° o curbă de bază (C). Se va observa însă că forma figurii Fi nu s-ar schimba, dacă am înlocui generatoarea Oy printr-o altă generatoare O' y' (fig. 232), sau curba de bază {C) printr-o altă secţiune dreaptă (C') a ace- J luiasi cilindru. · ' În adevăr, prima modificare constă în a mări toate ab scisele cu o aceeaşi eantitate, anume arcul 0'0, adică în a supune figura Fi unei translaţii paralele cu Oi xi şi egale cu această cantitate O' O. La rîndul ei, a doua modificare revine la a mări toate ordonatele cu aceeaşi cantitate, anume distanţa dintre ce le două plane paralele care conţin liniile (C) şi (C') , adică în a supune Fig. 232 figura F i unei trans l aţii paralele cu Oi Yi · fiind

De a l tfel, observaţia nostră ar fi evidentă, dacă am considera desfăşurarea ca prin procede u l indicat la nr. 537.

obţinută

1 ) În aceste două paralelograme ega le, se subînţelege că punctu l B 1 corespunde punctului B, iar punctul C1 , lui C.

190

CURBE UZUALE

539. Se numeste elice figura obţinută înfăşurînd pe un cilindru o ' linie dreaptă. Dacă această linie dreaptă este paralelă cu direcţia 0 1 y 1 (fig. 230), ~are corespunde generatoarelor cilindrului, ea se va transforma, în ur·m a înfăşurării, în una dintre aceste generatoare. Dimpotrivă, dacă linia dreaptă dată este paralelă cu axa absciselor 0 1 x 1 , ea se va transforma într-o secţiune dreaptă (C). 1\şadar, sec ·ţiunile drepte şi generatoarele sînt cazuri particulare de e lice. In cele ce urmează însă, cînd vom vorbi despre elice, vom subînţe l ege adeseori că aceste două cazuri limită sînt excluse . 540. Deoarece (538) forma desfăşurării unei figuri este independentă de alegerea curbei de bază şi de originea O a coordonatelor, vom putea presupune întotdeauna că această origine este pe elice . Aşa vom proceda de acum înainte. În aceste conditii vom avea următoarea Teoremă. Ordonata unui punct de pe elice este proporţională cu abscisa sa curbilinie. Conform ddinitiei elicei, această teoremă revine la următoarea: Într-un plan o;xlyl, ordonata unui punct de pe o dreaptă care trece prin Ofiginea 0 1 este proporţională cu abscisa sa. In adevăr, fie Ml> N 1 (fig. 233) două puncte de pe dreaptă, avînd abscisele 0 1 m1 , 0 1 n 1 şi ordonatele m 1 M1' n 1 N 1 • Triunghiurile asemenea 0 1 m1 MI, 0 1 n 1 NI ne dau deci m1 1W1 = 0 1 m1

n1 N 1 0 1n1

541. Tangenta la elice. Presupunînd că curba de bază (C) admite o tangentă în fiecare dintre punctele ei, vom demonstra că elicea va avea aceeaşi proprietate şi vom găsi poziţia acestei tangente. Teoremă. Tangenta la elice formează cu generatoarea cilindrului un unghi constant. Fie (fig. 234) O originea, M un punct al [71 m, xt el icei obţinute prin înfăşurarea pe cilindru a dreptei OIM1 (f ig. 233) şi corespunzător punctuFig. 233 lui MI al acestei drepte. Fie iarăşi N un punct al elicei, vecin cu M şi corespunzînd unui punct NI de pe dreapta OIMI; m, n proiecţiile punctelor M, N pe planul bazei; ml> nI proiecţiile lui MI, NI pe axa OixI; I punctul în care MN taie planul bazei. Să ducem paralela NH la mn, pînă întîlneşte în H pe mM, şi paralela N 1 H 1 la m~nI, pînă întîlneşte în H 1 pe m1 M 1 . Avem, evident, NH = mn, NIHI = m 1 nI. Totodată, segmentul MH, egal cu diferenţa ordonatelor mM, nN, T este ega l cu segmentul M 1H 1 , diferenţa ordonatelor m 1 MI, n 1 N 1 . Fig. 234

191

ELICEA

Triunghiurile asemenea !Mm, MNH ne dau ml Mm

rtar triunghiurile

însă

NI-I mn I-IM= I-IM'

=

asemenea 0 1 M 1 m1 , M 1 N 1 H 1 , NiI-I1 mini -01m1 -=- = -; Mimi

I-l1M1

I-l1IV11

.de unde, prm împărţire (deoarece Mm= M 1 m1 ; HM= H 1 M 1 ), ml

avem

mn

Însă m1 n 1 nu este altceva decît arcul mn al curbei (C) . Raportul -dintre el şi segmentul de dreaptă mn tinde deci către 1, cînd punctul n se .aprop ie nemărginit de ni. Deci raportul ml/01 m1 tinde de asemenea către 1, i ar segmentul ml tinde către 0 1 m1 . Direcţia ml avînd ca limită „ în aceleaşi cond iţii, tangenta mT la