Laplace-Transformation, Diskrete Fourier-Transformation und z-Transformation: Grundlagen und Anwendungen zu Elektrotechnik, Informatik, Kommunikations- und Regelungstechnik (German Edition) 3658318767, 9783658318765

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Reihenbezeichnung

Helmut Ulrich · Stephan Ulrich

Laplace-Transformation, Diskrete Fourier-Transformation und z-Transformation Grundlagen und Anwendungen zu Elektrotechnik, Informatik, Kommunikations- und Regelungstechnik 11. Auflage

Laplace-Transformation, Diskrete Fourier-Transformation und z-Transformation

Helmut Ulrich · Stephan Ulrich

Laplace-Transformation, Diskrete FourierTransformation und z-Transformation Grundlagen und Anwendungen zu Elektrotechnik, Informatik, Kommunikations- und Regelungstechnik 11. Auflage

Helmut Ulrich Ostbayerische Technische Hochschule Regensburg, Deutschland

Stephan Ulrich PMD Technologies Siegen, Deutschland

ISBN 978-3-658-31876-5 ISBN 978-3-658-31877-2  (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-658-31877-2 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © Der/die Herausgeber bzw. der/die Autor(en), exklusiv lizenziert durch Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 1976, 1978, 1981, 1984, 1987, 1990, 2003, 2007, 2012, 2017, 2022, korrigierte Publikation 2023 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc. in diesem Werk bedeutet nicht, dass diese frei durch jedermann benutzt werden dürfen. Die Berechtigung zur Benutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhabers sind zu beachten. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag, noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Planung/Lektorat: Reinhard Dapper Springer Vieweg ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH und ist ein Teil von Springer Nature. Die Anschrift der Gesellschaft ist: Abraham-Lincoln-Str. 46, 65189 Wiesbaden, Germany

Vorwort

Die vorliegende Neuauflage wurde didaktisch und inhaltlich neu überarbeitet, wobei das grundlegende Konzept des Buches beibehalten wurde. Es ist eine leicht zu verstehende Einführung in die Methoden der behandelten Integral-Transformationen. Das Buch ist vor allem geeignet für Studierende naturwissenschaftlich orientierter Studiengänge, aber ebenso auch verwendbar zum Selbststudium oder zum Gebrauch in der Berufspraxis. Da für viele Anwendungen periodische Vorgänge eine wichtige Rolle spielen, wird zunächst die Fourier-Reihenentwicklung behandelt. Dieses Kapitel schafft die wesentlichen Grundlagen für die nachfolgenden Transformationen. Neu hinzu gekommen ist die Diskrete Fourier-Transformation (DFT). Damit gliedert sich das Buch nun in zwei grundlegende Kapitel: I. Analoge Transformationen, mit Fourier- und Laplace-Transformation, zur Berechnung und Beschreibung analoger Signale und Systeme. II. Diskrete Transformationen, mit DFT und z-Transformation, zur Berechnung und Beschreibung diskreter Signale und Systeme. Ziel des Buches ist es, die Vorteile dieser Methoden kennen zu lernen. Problemstellungen, wie das Verhalten von linearen Netzwerken, können mit den behandelten Techniken leicht angegangen werden. Die oft nicht einfach zu lösenden Differentialgleichungen solcher Netzwerke, gehen mit der Laplace-Transformation in algebraische Gleichungen über, die wesentlich einfacher zu lösen sind. Ein weiteres Anwendungsgebiet ist die Digitalisierung analoger Zeitsignale, die man durch Abtastung erhält. Für deren Verarbeitung steht mit der Diskreten Fourier-Transformation, insbesondere mit dem Algorithmus der FFT ein ideales Werkzeug zur Verfügung.

V

VI

Vorwort

Um den sicheren Umgang mit den genannten Methoden zu üben, stehen eine große Anzahl von durchgerechneten Beispielen und Aufgaben mit ausführlichen Lösungen zur Verfügung, womit ein nachhaltiger Lernerfolg erzielt werden kann. Regensburg im August 2022

Die Originalversion der Titelei wurde revidiert. Ein Erratum ist verfügbar unter https://doi.org/10.1007/978-3-658-31877-2_9

Helmut Ulrich Stephan Ulrich

Inhaltsverzeichnis

Teil I  Analoge Transformationen 1 Fourier-Reihe (FR). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1 Einführung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Reelle Fourierreihen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Grundbegriffe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Berechnung der reellen Fourierkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3 Amplitudenspektrum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Komplexe Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.2 Berechnung der komplexen Fourierkoeffizienten. . . . . . . . . . . . 15 1.4 Aufgaben zur Fourierreihe (Ergebnisse im Anhang). . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Fourier-Transformation (FT). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1 Übergang von der Fourierreihe zum Fourierintegral. . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Definition der Fouriertransformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3 Inverse Fouriertransformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Eigenschaften der Spektralfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5 Reelle Form der Fouriertransformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.6 Beispiele zur Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.7 Aufgaben zur Fouriertransformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3 Laplace-Transformation (LT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1 Definition der Laplace-Transformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 Inverse Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3 Transformationsregeln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3.1 Laplace-Transformierte elementarer Zeitfunktionen. . . . . . . . . . 51 3.3.2 Additionssatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3.3 Verschiebungssatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.4 Die Delta-Funktion δ(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.4.1 Ausblendeigenschaft der δ-Funktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 VII

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3.4.2 3.4.3

Laplace-Transformierte der Deltafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 δ-Funktion als verallgemeinerte Ableitung der Sprungfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.4.4 Dämpfungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.5 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.5.1 Bildfunktion mit nur einfachen, reellen Polen. . . . . . . . . . . . . . . 73 3.5.2 Bildfunktion mit mehrfachen, reellen Polen. . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.5.3 Bildfunktionen mit einfachen, komplexen Polstellen. . . . . . . . . 79 3.6 Faltungssatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.7 Inverse Laplace-Transformation durch Reihenentwicklung der Bildfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.8 Integrationssatz für die Originalfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.9 Differentiationssatz für die Originalfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.9.1 Differentiationssatz der verallgemeinerten Ableitung einer Originalfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.10 Grenzwertsätze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.10.1 Anfangswertsatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.10.2 Endwertsatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.11 Differentiationssatz für die Bildfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.12 Integrationssatz für die Bildfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4 Anwendungen der Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.1 Lösen von linearen, gewöhnlichen Differentialgleichungen. . . . . . . . . . . 111 4.2 Lösen von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen. . . . . . . . . . . 118 4.3 RCL – Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4.4 Übertragungsverhalten von linearen Netzwerken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 4.4.1 LTI – Systeme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 4.4.2 Impulsantwort und Sprungantwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 4.4.3 Übertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 4.4.4 Pol–Nullstellenplan einer echt gebrochen, rationalen Bildfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 4.4.5 Stabilität von linearen Systemen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 4.4.6 Übertragungsfunktion und Frequenzgang. . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 4.4.7 Ausgangssignal bei impulsförmig, periodischer Anregung. . . . . 163 4.5 Lineare, partielle Differentialgleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 5 Zusammenschaltung von LTI-Systemen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 5.1 In Reihe geschaltete Systeme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 5.2 Parallel geschaltete Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 5.3 Rückgekoppelte Systeme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 5.4 Elementare Übertragungsglieder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

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5.5

5.6 5.7

5.8

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Arbeiten mit Block-Diagrammen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 5.5.1 Von der Netzwerkgleichung zum Block-Diagramm. . . . . . . . . . 188 5.5.2 Vom Block-Diagramm zur Netzwerkgleichung und Übertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Stabilisierung durch Rückkopplung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Versetzen von Strukturelementen in Blockschaltbildern. . . . . . . . . . . . . . 196 5.7.1 G(s) über eine Additionsstelle vorwärts schieben. . . . . . . . . . . . 196 5.7.2 G(s) über eine Additionsstelle rückwärts schieben.. . . . . . . . . . . 197 5.7.3 G(s) über eine Verzweigungsstelle vorwärts schieben. . . . . . . . . 198 5.7.4 G(s) über eine Verzweigungsstelle rückwärts schieben. . . . . . . . 198 5.7.5 Rückkopplungskreis zusammenfassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Aufgaben zu Abschn. 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

Teil II  Diskrete Transformationen 6 Diskrete Fourier Transformation (DFT). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 6.1 Diskrete Funktionen und Signale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 6.2 Diskretisierung der Frequenzvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 6.3 Bedeutung der Frequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 6.4 Die Rücktransformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 6.5 Periodische Fortsetzung des Signals x[k]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 6.6 Eigenschaften der DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 6.6.1 Symmetrieeigenschaften. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 6.6.2 Linearität. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 6.7 Fast Fourier Transform (FFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 6.8 Einheitenbehaftete Signale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 6.9 Die Zweidimensionale DFT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 6.9.1 Die Definition der Zweidimensionalen DFT und IDFT . . . . . . . 225 6.9.2 Interpretation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 6.10 Aufgaben zur DFT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 7 Die z-Transformation (ZT). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 7.1 Diskrete Funktionen und Signale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 7.2 Definition der z-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 7.3 Eigenschaften der z-Transformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 7.4 Abbildung der s-Ebene auf die z-Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 7.5 z-Transformation elementarer Signalfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 7.5.1 Sprungfolge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 7.5.2 Deltaimpuls. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 7.5.3 Verschobener Deltaimpuls. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 7.5.4 Exponentialfolge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 7.5.5 Rechteckimpuls der Länge N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 7.5.6 Folge der abgetasteten cos-Funktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

X

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7.7

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7.9

Sätze zur z – Transformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 7.6.1 Linearität. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 7.6.2 Verschiebungssatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 7.6.3 Dämpfungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 7.6.4 Multiplikationssatz im Zeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 7.6.5 Faltungssatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 7.6.6 Differenzenbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 7.6.7 Summenbildung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 7.6.8 Periodische Abtastfolge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 Methoden der Rücktransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 7.7.1 Inverse z-Transformation (ZT −1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 7.7.2 Praktische Methoden der Rücktransformation . . . . . . . . . . . . . . 246 Diskrete LTI-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 7.8.1 Lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 7.8.2 Übertragungsfunktion G(z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 7.8.3 Frequenzspektrum F(ω). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 7.8.4 Systemstabilität. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 7.8.5 Pol-Nullstellen-Plan (PN-Plan). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Blockdiagramme diskreter LTI – Systeme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 7.9.1 Reihen-Schaltung diskreter Teilsysteme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 7.9.2 Parallel-Schaltung diskreter Teilsysteme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 7.9.3 Rückgekoppelte diskrete Systeme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

8 Anhang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 8.1 Ergebnisse der Aufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 8.2 Eigenschaften der Deltafunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 8.3 Sätze zur Laplace-Transformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 8.4 Korrespondenzen der Laplace-Transformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 8.5 Sätze zur z – Transformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 8.6 Korrespondenzen der z – Transformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 Erratum zu: Laplace-Transformation, Diskrete Fourier-Transformation und z-Transformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E1 Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 Stichwortverzeichnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

Teil I Analoge Transformationen

1

Fourier-Reihe (FR)

Zusammenfassung

Periodische Funktionen und Signale können als Überlagerung von harmonischen Schwingungen dargestellt werden. Deren Frequenzen müssen ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz des periodischen Signals sein. Die Methode mit der man die entsprechenden Schwingungsanteile aufsummiert ist die Fourier-Reihe. Die Koeffizienten dieser Summe ergeben ein Linienspektrum, aus dem hervorgeht, aus welchen Frequenzanteilen sich das Zeitsignal zusammensetzt.

1.1 Einführung In vielen Bereichen der Physik und der Technik haben harmonische Schwingungen eine große Bedeutung. Harmonische Schwingungen werden durch eine Sinusfunktion der Art

f (t) = A sin(ωt + ϕ)

(1.1)

beschrieben. Hierbei ist A die Amplitude, ω die Kreisfrequenz und ϕ der Phasenwinkel. Bei der Überlagerung derartiger harmonischer Schwingungen sind zwei Fälle zu unterscheiden: 1. Überlagert man harmonische Schwingungen der gleichen Frequenz, so erhält man wieder eine harmonische Schwingung derselben Frequenz. Amplitude und Phase werden dabei jedoch geändert.

© Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert durch Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2022 H. Ulrich und S. Ulrich, Laplace-Transformation, Diskrete Fourier-Transformation und z-Transformation, https://doi.org/10.1007/978-3-658-31877-2_1

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1  Fourier-Reihe (FR)

In der Wechselstromtechnik findet diese Tatsache häufig Verwendung. Durch Überlagerung von sinusförmigen Wechselspannungen der gleichen Frequenz, etwa der Netzfrequenz 50 Hz, erhält man wieder eine sinusförmige Wechselspannung der Frequenz 50 Hz. 2. Durch Überlagerung von harmonischen Schwingungen verschiedener Frequenzen kann man periodische Vorgänge erzeugen, die im Allgemeinen jedoch nicht sinusförmig sind. Die Frequenzen dieser Schwingungen müssen ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz des periodischen Vorgangs sein, d. h. ein rationales Frequenzverhältnis haben, weil nur dadurch gewährleistet ist, dass sich am Ende der Periodendauer alle Schwingungen genau wieder im ursprünglichen Anfangszustand befinden, so dass der Vorgang sich periodisch wiederholen kann. Diese beiden Fälle sollen später noch genauer analytisch untersucht werden. Es stellt sich jetzt die Frage, ob man auch umgekehrt eine beliebige periodische Funktion als eine Summe von harmonischen Schwingungen darstellen kann. Diese Frage wurde von dem französischen Mathematiker Joseph B. Fourier (1768– 1830) untersucht und eine Berechnungsmethode dafür angegeben. Die genauen Bedingungen hierfür wurden später von dem deutschen Mathematiker Peter Gustav Dirichlet (1805–1859) formuliert.

1.2 Reelle Fourierreihen 1.2.1 Grundbegriffe u Definition 1.1 Eine Funktion f (t ) heißt T-periodisch (periodisch mit der Periode T), wenn für alle Zeitpunkte t des Definitionsbereichs gilt:

f (t + T ) = f (t)

(1.2)

u Definition 1.2  Eine T-periodische Funktion f (t) genügt den Dirichletbedingungen, wenn 1. f (t) beschränkt ist, 2. f (t) im Intervall [0, T ] höchstens endlich viele Unstetigkeitsstellen hat, 3. die Ableitung f ′ (t) im Intervall [0, T ] bis auf höchstens endlich viele Stellen stetig ist. Eine T-periodische Funktion f (t), die den Dirichletbedingungen genügt, kann innerhalb einer Periodendauer T in endlich viele Teilintervalle zerlegt werden, auf denen f (t) monoton und stetig verläuft. An Unstetigkeitsstellen treten nur endliche Sprunghöhen auf. Diese Voraussetzungen sind bei den in den Anwendungen auftretenden periodischen Zeitfunktionen im Allgemeinen erfüllt.

1.2  Reelle Fourierreihen

5

u Satz 1.1  Eine T-periodische Funktion, welche den Dirichletbedingungen genügt, lässt sich als Fourierreihe darstellen,

f (t) = a0 + wobei ω0 =

∞  k=1

[ak cos(kω0 t) + bk sin(kω0 t)]

(1.3)

2π die Grundkreisfrequenz ist. T

Gl. (1.3) lässt sich folgendermaßen physikalisch interpretieren: Ein periodischer Vorgang kann in eine Summe von harmonischen Schwingungen zerlegt werden. Dabei können neben der Grundfrequenz nur ganzzahlige Vielfache dieser Frequenz auftreten. Man spricht in diesem Zusammenhang daher auch von Fourieranalyse, bzw. harmonischer Analyse. u Satz 1.2  Eine Fourierreihe konvergiert an jeder Stetigkeitsstelle ts der Zeitfunktion f(t) gegen den Funktionswert f (ts ). Die Fourierreihe konvergiert an einer Unstetigkeitsstelle tu gegen das arithmetische Mittel aus dem rechts- und linksseitigen Grenzwert der Zeitfunktion f(t):   1 lim f (tu + �t) + lim f (tu − �t) �t→0 2 �t→0 Für die weiteren Überlegungen ist es zweckmäßig, durch die Substitution

x = ω0 t mit ω0 T = 2π

(1.4)

von einer T-periodischen Funktion f(t), zu einer 2π-periodischen Funktion f(x) überzugehen. Man hat dann den Vorteil, periodische Funktionen f(x) zu betrachten, die alle die gleiche Periode 2π haben. Die Fourierreihe nach Gl. (1.3) geht damit über in die Form

f (x) = a0 +

∞  k=1

[ak cos(k x) + bk sin(k x)]

(1.5)

1.2.2 Berechnung der reellen Fourierkoeffizienten Für alle ganzzahligen, von Null verschiedenen Zahlen k im Intervall [0, 2π] gilt:

ˆ2π 0

sin(k x)dx = 0

und

ˆ2π 0

cos(k x)dx= 0

(1.6)

6

1  Fourier-Reihe (FR)

Für alle ganzzahligen, von Null verschiedenen Zahlen k und m gilt

ˆ2π

sin(kx) sin(nx)dx =

0

ˆ2π



0 f¨ur k � = n π f¨ur k = n

(1.7)



0 f¨ur k � = n π f¨ur k = n

(1.8)

cos(kx) cos(nx)dx =

0

ˆ2π

sin(k x) cos(n x)dx = 0, ∀k, n

(1.9)

0

1. Fourierkoeffizient a0 (konstantes Glied der Fourier-Reihe) Durch Integration der Fourierreihe Gl. (1.5) über eine volle Periode 2π erhält man  2π  ˆ2π ˆ2π ˆ ˆ2π ∞ � ak cos(kx)dx + bk sin(kx)dx  = a0 2π f (x)dx = a0 dx + 0

k=1

0

0

0

da nach Gl. (1.6) die Integrale unter dem Summenzeichen den Wert Null haben. Damit ergibt sich für das konstante Glied der Fourierreihe

1 a0 = 2π

ˆ2π

(1.10)

f (x)dx

0

Gl. (1.10) erlaubt eine anschauliche Interpretation des Fourierkoeffizienten a0 als linearen Mittelwert der periodischen Funktion f(x). Der vertikale Versatz einer periodischen Funktion f(x) um den Mittelwert a0, wird auch als Offset bezeichnet (Bild 1.1). f(x)

Bild 1.1   Mittelwert a0 von f(x)

a0 0

2. Fourierkoeffizienten ak (k ≥ 1) Wir gehen aus von Gl. (1.5) und wählen vorübergehend n als Summationsindex.

f (x) = a0 +

∞ 

n=1

[an cos(n x) + bn sin(n x)]

x

1.2  Reelle Fourierreihen

7

Eine Multiplikation mit cos(kx) und anschließende Integration über eine Periode ergibt: ˆ2π

f (x) cos(kx)dx = a0

0

ˆ2π

cos(kx)dx +

0

∞ 

an

n=1

ˆ2π

cos(nx) cos(k x)dx+

∞ 

bn

n=1

0

ˆ2π

sin(n x) cos(k x)dx

0

Nach den Gl. (1.6), (1.8) und (1.9) haben alle Integrale den Wert Null, bis auf ein ­einziges Integral in der Summe der an, nämlich wenn n = k ist. Dafür gilt nach (1.8)

ˆ2π

f (x) cos(kx)dx = ak

0

ˆ2π

cos(kx) · cos(kx)dx = ak π

0

Daraus folgt für die Fourierkoeffizienten ak:

1 ak = π

ˆ2π

f (x) cos(kx)dx

k = 1, 2, 3, . . .

(1.11)

0

3. Fourierkoeffizienten bk Multipliziert man Gl. (1.5) mit sin(kx) und integriert anschließend über eine volle Periode, so erhält man in gleicher Weise die Koeffizienten bk:

1 bk = π

ˆ2π

f (x) sin(kx)dx

k = 1, 2, 3, . . .

(1.12)

0

4. Verschiebung des Integrationsintervalls Alle bei der Berechnung der Fourierkoeffizienten auftretenden Integranden, nämlich f(x), f (x) cos(kx) und f (x) sin(kx) sind 2π-periodische Funktionen. Daher gilt, wenn diese allgemein mit I(x) bezeichnet werden:

ˆ2π 0

I(x)dx =

α+2π ˆ

I(x)dx

(1.13)

α

Als Integrationsintervall kann daher ein beliebiges Intervall [α, α + 2π], der Länge 2π, gewählt werden. Insbesondere ist es für manche Funktionen f(x) günstiger, anstelle des Intervalls [0, 2π], z. B. das Intervall [−π, π] für Berechnungen zu verwenden. 5. Fourierkoeffizienten gerader und ungerader Funktionen Die Berechnung der Fourierkoeffizienten gestaltet sich einfacher, wenn die periodische Funktion f(x) eine Symmetrie besitzt, wenn sie also entweder eine gerade, oder eine ungerade Funktion ist. a) Ist f(x) eine gerade, periodische Funktion, dann gilt f(−x) = f(x) Bild 1.2.

8

1  Fourier-Reihe (FR)

Bild 1.2   Gerade Funktion f(x)

A

f(x)

x ‡



0

Ist f(x) eine gerade Funktion, so ist auch f(x)cos(x) eine gerade Funktion. f(x)sin(x) dagegen ist eine ungerade Funktion. Wählt man als Integrationsintervall [−π, π], so erhält man für die Fourierkoeffizienten (Bild 1.2):   ´π 1 ´π 1 ´π 1 ´0 f (x)dx = f (x)dx f (x)dx + f (x)dx = 2 · a0 = 2π −π 2π 0 π 0 0  0  ´π 1 ´ 2 ´π ak = f (x) cos(kx)dx + f (x) cos(kx)dx = f (x) cos(kx)dx (1.14) π −π π 0 0  0  ´π 1 ´ bk = f (x) sin(kx)dx + f (x) sin(kx)dx = 0, ∀k π −π 0 Eine gerade Funktion f(x) wird allein durch die Koeffizienten a0 und ak bestimmt. Die Fourierreihe einer geraden, periodischen Funktion ist eine reine „Kosinusreihe“. b) Ist f(x) eine ungerade periodische Funktion, dann gilt f(−x) =  − f(x) Bild 1.3. In diesem Fall ist f (x) · cos(x) das Produkt einer ungeraden und einer geraden Funktion, was eine ungerade Funktion ergibt. Während f (x) · sin(x) als Produkt von zwei ungeraden Funktionen eine gerade Funktion ergibt. Verwendet man das Integrationsintervall [−π, π] und berücksichtigt die entsprechenden Symmetrien wie oben gezeigt, so folgt.

2 ak = 0, ∀k und bk = π

ˆπ

(1.15)

f (x) sin(kx)dx

0

Die Fourierreihe einer ungeraden Funktion ist eine reine „Sinusreihe“. Durch Ausnützen von vorhandenen Symmetrien lässt sich der Rechenaufwand zur Berechnung der Koeffizienten einer Fourierreihe also wesentlich verringern. Man wird daher eine vorgegebene periodische Zeitfunktion, deren Fourierreihe bestimmt werden soll, zuerst auf Symmetrien untersuchen. Auch die Tatsache, dass bei Bild 1.3   Ungerade Funktion f(x)

f(x)

 ‡

0

x

1.2  Reelle Fourierreihen

9

geraden Funktionen die Fourierkoeffizienten ak, bzw. bei ungeraden Funktionen die Fourierkoeffizienten bk durch Integrale von 0 bis π, anstelle der Integrale von 0 bis 2π berechnet werden können, bedeutet in vielen Fällen eine Vereinfachung der Rechnung. Übersicht Periodische Zeitfunktion f(t)

Fourierkoeffizienten

a0 = ak =

´2π

1 2π 1 π

0 ´2π

1 π

0 ´2π

a0 =

1 π

´π

ak =

2 π

bk =

f (x)dx

f (x) cos(kx)dx f (x) sin(kx)dx

0

0 ´π

f (x)dx f (x) cos(kx)dx

0

bk = 0, ∀k a0 = 0 ak = 0, ∀k 2 ´π f (x) sin(kx)dx bk = π 0

1.2.3 Amplitudenspektrum Sinus- und Kosinusglieder der gleichen Frequenz können zu einer resultierenden Sinusfunktion mit Phasenverschiebung zusammengefasst werden. Es gilt

ak cos(kx) + bk sin(kx) = Ak sin(kx + ϕk ) = Ak [sin(kx) cos(ϕk ) + cos(kx) sin(ϕk )] Ein Koeffizientenvergleich liefert

ak = Ak sin (ϕk ) und bk = Ak cos (ϕk )

10

1  Fourier-Reihe (FR)

Daraus folgt

Ak =

 ak2 + bk2

tan(ϕk ) =

(1.16)

ak bk

(1.17)

Stellt man die in der Phase um 90° gegeneinander verschobenen Amplituden der Sinusund Kosinusschwingungen ak und bk in einem Zeigerdiagramm dar, so kann man daraus Ak und ϕk nach Gl. (1.16) und (1.17) bestimmen (Bild 1.4). Bild 1.4   Zeigerdiagramm

Ak

ak bk k

0

Amplitudenspektrum. Man erhält einen anschaulichen Überblick über die harmonischen Schwingungsanteile der Fourierreihe (1.5), wenn man die Amplituden Ak über den auftretenden Frequenzen in einem Diagramm darstellt (Bild 1.5). Bild 1.5   Amplitudenspektrum

Ak

k

0

1

5

Beispiel 1.1 Es soll die Fourierreihe der 2π-periodischen Rechteckfunktion bestimmt werden (Bild 1.6).  −A f¨ur − π ≤ x < 0 f (x) = +A f¨ur 0 ≤ x < π

f (x + 2π) = f (x)

1.2  Reelle Fourierreihen

11

Bild 1.6   Periodische Rechteckfunktion

A

f (x) x

2

0

—A Da die Funktion symmetrisch zur x-Achse liegt, also keinen Offset hat, ist der lineare Mittelwert a0 = 0. Weiter gilt, dass die Rechteckfunktion wegen f(−x) =  − f(x) ungerade ist, womit alle Koeffizienten ak = 0 werden. Es müssen daher nur die Fourierkoeffizienten bk berechnet werden. Dafür gilt

� � ˆπ ˆπ 2 2A − cos(kx) π 2 f (x) sin(kx)dx = A · sin(kx)dx = bk = π π π k 0 0 0   4A f¨ur k = 2n − 1 n∈N bk = πk  0 f¨ur k = 2n

Die Fourierreihe lautet damit   sin(3x) sin(5x) sin(7x) sin(9x) 4A + + + + .... sin(x) + f (x) = π 3 5 7 9 ∞ sin(2k − 1)x 4A  ,k ∈N f (x) = π k=1 2k − 1

Im Amplitudenspektrum der Rechteckfunktion erkennt man, dass neben der Grundfrequenz (k =  1), nur die ungeradzahligen Vielfachen der Grundfrequenz mit abnehmender Amplitude auftreten (Bild 1.7).

Bild 1.7   Amplitudenspektrum der Rechteckfunktion

Ak

4A 

k 0

1

3

5

7

12

1  Fourier-Reihe (FR)

Wird der Summationsindex der Fourierreihe endlich gewählt, d. h. nur bis zu einem beliebigen, endlichen Wert n ausgeführt, n

fn (x) =

4A  sin(2k − 1)x π k=1 2k − 1

so kann man sehen, wie sich die Näherungsfunktion fn(x) mit zunehmendem n dem Verlauf der Funktion f(x) annähert. Bild 1.8 zeigt den Verlauf der Rechteckfunktion f(x) und die Näherungsfunktion fn(x) für n = 5 und n = 15. An den Unstetigkeitsstellen x = 0, ± π, ± 2π,... liefert die Fourierreihe den Wert f(x) = 0. Dies ergibt sich nach Satz 1.2 als Mittelwert der rechts- und linksseitigen Grenzwerte. Weiter zeigt sich, dass an den Sprungstellen Überschwinger auftreten, die auch mit zunehmenden n nicht verschwinden. Diese Überschwinger nennt man Gibbs’sches Phänomen oder Gibbs overshoot. Benannt nach dem amerikanischen Physiker Willard Gibbs (1839–1903), der das Phänomen näher untersucht hat. Für n → ∞ erreichen die Überschwinger an den Sprungstellen einen Wert von 17,9 % der Amplitudenhöhe der Rechteckfunktion. Der Gibbs overshoot tritt auf bei Fourierreihen von periodischen Funktionen f(x) mit Sprungstellen. Bei Fourierreihen von stetigen Funktionen ergeben sich keine Gibbs’schen Überschwinger.

f5(x)

f15(x)

Bild 1.8    Näherungsfunktionen fn(x) für n = 5 und n = 15

Beispiel 1.2 Gegeben ist die 2π-periodische Funktion f(x), die im Intervall [-π, π] definiert ist durch (Bild 1.9)

 2A   A+ x π f (x) =   A − 2A x π f (x + 2π) = f (x)

−π≤x  0 der Zusammenhang:

ck =

bk ak −j 2 2

⇒

ak = 2 · Re ck

und

bk = −2 · Im ck

(1.24)

Ist die 2π-periodische Funktion f(x) eine gerade Funktion, (d. h. bk = 0, für alle k), so sind die Fourierkoeffizienten ck reell. Im Falle einer ungeraden, periodischen Funktion f(x), (ak = 0, für alle k), sind die Fourierkoeffizienten ck rein imaginäre Zahlen.

1.3.2 Berechnung der komplexen Fourierkoeffizienten Multipliziert man die komplexe Fourierreihe f (x) =

∞ 

cn ej nx mit dem Faktor e−jkx

n=−∞

und integriert anschließend über eine Periode, so erhält man

ˆ2π

f (x)e

−jkx

dx =

0

´2π

Für das Integral unter der Summe gilt:

∞ 

cn

n=−∞

j(n−k)x

e

0

ˆ2π

ej(n−k)x dx

0

2π  ej(n−k)x  0, f¨ur n � = k dx = . = 2π, f¨ur n = k j(n − k) 0

Von der gesamten Summe über n bleibt nur der Term für n = k übrig ∞ 

cn

n=−∞

ˆ2π

ej(n−k)x dx = ck · 2π

0

Damit erhält man für die Koeffizienten ck der komplexen Fourier-Reihe

ck =

1 2π

ˆ2π

f (x) e−jkx dx

(1.25)

0

Auch für die komplexe Fourier-Reihe kann jedes Integrationsintervall [α, α + 2π] gewählt werden, wie unter Abschn. 1.2.2 Verschiebung des Integrationsintervalls, erwähnt. Zwischen den Amplituden der reellen und der komplexen Fourierreihe besteht der Zusammenhang:

 |ck | = |c−k | , |ck | = 21 ak2 + bk2 = 21 Ak , f¨ur k � = 0 und c0 = a0 , f¨ur k = 0

(1.26)

16

1  Fourier-Reihe (FR) ck

Ak

1

1

k a)

0

1

5

k b)

-5

1

0

5

Bild 1.10   a) einseitiges Amplitudenspektrum b) zweiseitiges Amplitudenspektrum

Wie in Bild 1.10 zu sehen ist, werden bei der komplexen Fourierreihe die Amplituden auf beide Seiten des Spektrums verteilt. Man bezeichnet daher diese Darstellung als zweiseitiges Spektrum, während man bei der reellen Fourierreihe von einem einseitigen Spektrum spricht. Die Verteilung der ck-Amplituden auf beide Seiten des Spektrums hat zur Folge, dass diese nur die halbe Höhe der Ak-Amplituden des einseitigen Spektrums haben. Für k = 0 ist c0 = a0, der Mittelwert (Offset) in der reellen, wie in der komplexen Fourier-Reihe muss natürlich identisch sein. Während einseitige Spektren vorzugsweise in der Messtechnik zur Anwendung kommen, eignen sich die zweiseitigen Spektren besonders für theoretische Betrachtungen. Wir werden im Abschnitt Fouriertransformation darauf zurück kommen. Beispiel 1.3 Es soll die komplexe, sowie die reelle Fourierreihe der 2π–periodischen Funktion nach Bild 1.11 berechnet werden.  0 f¨ur −π ≤ x < 0 f (x) = x f¨ur 0 ≤ x < π

f (x + 2π) = f (x) Man erkennt, dass die Funktion f(x) nicht symmetrisch zur x-Achse liegt, also einen Offset haben muss. Wir erhalten für c0 als linearen Mittelwert:

Bild 1.11   Periodische Funktion f(x)

f (x) 

‡

0



2π

x

1.3  Komplexe Fourierreihen

1 c0 = 2π

17

ˆπ −π

 0  ˆ ˆπ 1  π f (x)dx = 0dx + xdx  = 2π 4 −π

0

Für die Koeffizienten mit k ≥ 1 erhält man:

 0  � �� � � �π ˆ ˆπ 1 1 1 e−jkx 1  1 + jkπ −jkπ −jkx e = − 0dx + xe dx  = + 1) ck = (jkx 2π 2π k 2 2π k2 k2 0 −π

0

Unter Verwendung von e−jkπ = (−1)k erhalten wir für die  ∞   1  1 π π k k (−1) − 1 + j (−1) · ej k x. komplexe Fourier-Reihe: f (x) = + 4 2π k=−∞ k 2 k k�=0

Um zur Darstellung der reellen Fourier-Reihe zu kommen, beachten wir, dass gilt:

ak = 2 · Re ck =

 1  (−1)k − 1 2 πk

und

bk = −2 · Im ck =

1 (−1)k+1 k

Somit ergibt sich für die reelle Fourier-Reihe:

 ∞  (−1)k+1 π  (−1)k − 1 · cos(kx) + · sin(kx) f (x) = + 4 k2π k k=1 Für die Amplituden des Spektrums erhalten wir

1 |ck | = 2k k 0 1

   2 1 + (−1)k+1 + 1 und Ak = 2|ck | (π k)2 |c±k |

Ak

0,785

0,785

0,593

1,18

2

0,25

0,50

3

0,17

0,34

18

1  Fourier-Reihe (FR)

1.4 Aufgaben zur Fourierreihe (Ergebnisse im Anhang) Aufgabe 1.1  Rechteckfunktion Man berechne die Fourierkoeffizienten der in Bild 1.12 dargestellten 2π-periodischen Funktion f(x) Bild 1.12   Periodische Rechteckfunktion f(x)

Aufgabe 1.2 Einweg-Gleichrichtung von Wechselstrom Bestimmen Sie die Fourierreihe der 2π-periodischen Funktion f(x), die im Intervall [−π, π] gegeben ist durch (Bild 1.13)  A cos(x) f¨ur − π2 ≤ x ≤ π2 f (x) = 0 sonst

f (x + 2π) = f (x) Bild 1.13   EinwegGleichrichtung

Aufgabe 1.3 Gegeben ist die 2π-periodische Funktion nach Bild 1.14. Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten a0, a1, a2, b1 und b2..  π 2   x f¨ur 0 ≤ x <   2 π f (x) = 1 f¨ur π ≤ x < π   2    0 f¨ur π ≤ x < 2π

f (x + 2π) = f (x)

1.4  Aufgaben zur Fourierreihe (Ergebnisse im Anhang)

19

Bild 1.14   Periodische Funktion

Aufgabe 1.4 Sägezahnfunktion Man berechne die Fourierreihe der 2π-periodischen SägezahnFunktion f(x), Bild 1.15, die im Intervall [0, 2π] definiert ist durch

f (x) =

x 2π

Bild 1.15  Periodische Sägezahnkurve

Aufgabe 1.5 Gegeben ist die 2π-periodische Funktion nach Bild 1.16

f (x) = e−x f¨ur 0 ≤ x ≤ 2π f (x + 2π) = f (x) Berechnen Sie die komplexen Fourierkoeffizienten ck und die reellen Fourierkoeffizienten a0, a1 und b1. Bild 1.16   Periodische Funktion

20

1  Fourier-Reihe (FR)

Aufgabe 1.6 Für die 2π-periodische Zeitfunktion, die im Intervall [−π , π] gegeben ist durch Bild 1.17, sollen a0, a1 und b1 der reellen Fourierreihe bestimmt werden.  π  x + π f¨ur − π ≤ x < −   2    π π f (x) = π f¨ur − ≤ x <    2 2 2    −x + π f¨ur π ≤ x ≤ π 2 Bild 1.17   Periodische Funktion

2

Fourier-Transformation (FT)

Zusammenfassung

Auf nichtperiodische Funktionen kann die Fourier-Reihe nicht angewendet werden. Dazu wird die Fourier-Transformation benötigt, mit der die Fourier-Reihe in eine Integraldarstellung überführt wird. Aus dem diskreten Linienspektrum der Fourier-Reihe entsteht ein kontinuierliches Spektrum, das als Fourier-Spektrum bezeichnet wird. Mit der Zerlegung in den Amplituden- und Phasengang liefert diese Transformation die Voraussetzung für eine Frequenzanalyse beliebiger, analoger Signale. Ein weiterer Aspekt, der aus dem Spektrum abgeleitet werden kann, ist das Zeit-Bandbreite Produkt. Dieses ist bei der Signalübertragung in der Kommunikationstechnik von besonderer Bedeutung.

2.1 Übergang von der Fourierreihe zum Fourierintegral Im Abschn. 1 haben wir gesehen, dass eine T-periodische Funktion fT(t), die den Dirichlet-Bedingungen genügt, als Fourierreihe dargestellt werden kann. Da es sich bei praktischen Anwendungen hauptsächlich um Zeitfunktionen handelt, werden wir die in Gl. (1.4) eingeführte Variable x wieder durch x = ω0t ersetzen. Dabei ist ω0 = 2π die Grundkreisfrequenz mit der Periodendauer T. Nach Satz 1.1 der FourierT reihe erhalten wir

fT (t) = a0 +

∞  k=1

[ak cos(kω0 t) + bk sin(kω0 t)]

(2.1)

Die rechte Seite von Gl. (2.1) stellt die Zerlegung eines periodischen Vorgangs in eine Summe von harmonischen Schwingungen dar. Die graphische Darstellung dieser Zerlegung ist das Amplitudenspektrum, das aus einzelnen, diskreten Linien besteht. © Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert durch Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2022 H. Ulrich und S. Ulrich, Laplace-Transformation, Diskrete Fourier-Transformation und z-Transformation, https://doi.org/10.1007/978-3-658-31877-2_2

21

22

2  Fourier-Transformation (FT)

Bild 2.1  a) Periodische Funktion fT(t) b) Periodische Funktion fT(t) bei Vergrößerung der Periodendauer T c) Nichtperiodische Funktion f (t)

Es stellt sich nun die Frage, ob man die Fourier-Entwicklung periodischer Funktionen, in geeigneter Weise, auch auf nichtperiodische Funktionen ausdehnen kann. Wir betrachten dazu eine periodische Rechteckimpulsfolge fT(t) der Periodendauer T, Bild 2.1. Wenn die Periodendauer T → ∞ geht, entsteht aus der periodischen Impulsfolge fT(t) ein Einzelimpuls f(t), als nichtperiodische Funktion. Wie wir wissen, kann die periodische Funktion fT(t) durch eine komplexe Fourierreihe dargestellt werden. Es gilt: T ∞  1 ´2 jkω0 t fT ( t) = ck e mit den Fourierkoeffizienten ck = fT (t) e−jkω0 t dt T k=−∞ T − 2 ω0 �ω 1 Ersetzt man bei ck den Faktor T = 2π = 2π , wobei �ω = (k + 1)ω0 − kω0 = ω0 der Abstand der in der Fourierreihe auftretenden Frequenzen ist, so erhält fT(t) die folgende Darstellung:   T 2 ˆ ∞ ∞ �  1 �   fT (t) e−jkω0 t dt �ω · ejkω0 t ck ejkω0 t = fT (t) = (2.2)   2π k=−∞ k=−∞ −

T 2

Im Grenzübergang T → ∞ wird aus �ω das Differential dω und aus den immer näher zusammenrückenden diskreten Frequenzen kω0, wird die kontinuierliche Frequenz ω. Die Summe in (2.2) geht über in ein Integral. ´  → und fT (t) → f (t). In Kurzform: T → ∞, �ω → dω, kω0 → ω,

2.1  Übergang von der Fourierreihe zum Fourierintegral

23

Die nichtperiodische Funktion f (t) erhält damit die folgende Fourier-Integraldarstellung:   ˆ∞ ˆ∞ ˆ∞ 1 1 −jωt  jωt  f (t) e dt · e dω = F(ω) · ejωt dω f (t) = (2.3) 2π 2π −∞

−∞

−∞

Das Integral in der eckigen Klammer von Gl. (2.3) bezeichnet man als

Fourierspektrum oder Spektralfunktion

F(ω) =

ˆ∞

f (t) e−jω t dt

(2.4)

−∞

Die Spektralfunktion ist im allg. eine komplexe Funktion der Kreisfrequenz ω. Mit der Spektralfunktion F(ω) gelingt es, auch eine nichtperiodische Funktion f(t) in harmonische Schwingungen zu zerlegen. Im Gegensatz zu einer periodischen Funktion, bei der nur ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz ω0 auftreten können, ergibt sich bei nichtperiodischen Funktionen ein kontinuierlicher Frequenzverlauf als Spektrum. Anstelle der Fourierreihe (1.22) tritt das Fourierintegral (2.3). Wir merken uns: Periodische Funktionen haben ein diskretes Spektrum (Linienspektrum). Nichtperiodische Funktionen haben ein kontinuierliches Spektrum. Integraltransformation Mathematisch gesehen handelt es sich bei Gl. (2.4) um eine Integraltransformation. Eine Transformation ist vereinfacht gesprochen ein Operator F , der eine Funktion f aus einem gegebenen Funktionenraum, auf eine Funktion F aus einem, gegebenenfalls, anderen Funktionenraum abbildet.

f → F {f } = F Bei einer Integraltransformation vermittelt der Integraloperator die Transformation in der Form ˆ f → F {f } = K(t, ω) f (t)dt = F K(t,ω) ist der Integralkern, der die Eigenschaften der Transformation bestimmt. Durch die Ausführung der Transformation erhält man Informationen über die Funktion f, die aus der Funktion selbst nicht so ohne weiteres ersichtlich sind.

24

2  Fourier-Transformation (FT)

2.2 Definition der Fouriertransformation u Definition  Eine Integraltransformation, die durch folgende Gleichung definiert ist, heißt

Fouriertransformation

F {f (t)} =

ˆ∞

f (t) e−jω t dt = F(ω)

(2.5)

−∞

Durch die Fouriertransformation, mit dem Integralkern K(t, ω) = e−jωt, wird einer Originalfunktion f(t) eine Bildfunktion F(ω) zugeordnet. f(t) heißt Originalfunktion, wenn die zughörige Funktion F(ω) existiert. Die Menge aller Originalfunktionen nennt man den Originalbereich, oder Originalraum. Wenn t die Zeit ist, entspricht der Originalbereich dem Zeitbereich. F(ω) heißt Bildfunktion, Spektralfunktion, oder Fouriertransformierte. Die Menge aller Bildfunktionen bezeichnet man als Bildbereich, oder Bildraum. Wenn ω die Frequenz ist, nennt man den Bildbereich auch Frequenzbereich.

Originalfunktion und Bildfunktion bilden ein zusammengehöriges Funktionenpaar. Diese Zuordnung wird symbolisch ausgedrückt durch die Korrespondenz:

f (t)

◦−•

F(ω)

2.3 Inverse Fouriertransformation u Definition  Die Rücktransformation vom Bildbereich in den Originalbereich ist gegeben durch die

Inverse Fouriertransformation

F

−1

1 {F(ω)} = 2π

ˆ∞ −∞

–1

F(ω) ejωt dω = f (t) (2.6)

2.4  Eigenschaften der Spektralfunktion

25

Existiert die Spektralfunktion F(ω), so kann über Gl. (2.6) die zugehörige Zeitfunktion f(t) zurück gewonnen werden. Für eine Vielzahl von Transformationspaaren gibt es sog. Korrespondenz-Tabellen, mit denen man die Hin- und Rücktransformation arbeits- und zeitsparend durchführen kann. Eine solche Korrespondenz-Tabelle befindet sich im Anhang. Existenz der Fouriertransformation und deren Rücktransformation u Satz 2.1  ´∞ |f (t)| dt < ∞, Ist die Zeitfunktion f(t) absolut integrierbar, d. h. gilt −∞

so existiert die nach Gl. (2.5) definierte Fouriertransformation F {f (t)} = F(ω)

Die Aussage des Satzes 2.1 ist eine hinreichende, jedoch keine notwendige Bedingung die Existenz der Spektralfunktion F(ω). Das Integral von Gl. (2.5) konvergiert wegen für−jωt e  = 1 sogar absolut, wenn die Zeitfunktion f(t) absolut integrierbar ist. u Satz 2.2  Ist F(ω) die Spektralfunktion der Zeitfunktion f(t) und gelten die Voraussetzungen von Satz 2.1 und ist f(t) in jedem endlichen Intervall stückweise stetig differenzierbar, so existiert die inverse Fouriertransformation nach Gl. (2.6) F −1 {F(ω)} = f (t)

An den Unstetigkeitsstellen tu der Funktion f(t) konvergiert das Fourierintegral gegen das arithmetische Mittel aus rechts- und linksseitigem Grenzwert von f(t).   1 lim f (tu + �t) + lim f (tu − �t) �t→0 2 �t→0

2.4 Eigenschaften der Spektralfunktion Im Folgenden sollen einige Eigenschaften im Umgang mit der Spektralfunktion F(ω) gezeigt werden. Dabei werden deutliche Analogien zur Fourierreihe sichtbar. Da F(ω) eine komplexwertige Funktion ist, kann sie in einen Realteil und einen Imaginärteil zerlegt werden. Die Komponentenform lautet:

F(ω) = Re F(ω) + j Im F(ω)

(2.7)

Für den Betrag |F(ω)| und die Phase ϕ(ω) erhält man, in gleicher Weise wie beim Rechnen mit komplexen Zahlen:  (2.8) |F(ω)| = [Re F(ω)]2 + [Im F(ω)]2

26

2  Fourier-Transformation (FT)

tan ϕ(ω) =

Im F(ω) Re F(ω)

(2.9)

In technischen Anwendungen sind folgende Bezeichnungen üblich, wenn ω die Kreisfrequenz ist:

Die Spektralfunktion F(ω) Der Betrag |F(ω)| = A(ω) Der Phasenwinkel ϕ(ω)

heißt Frequenzgang

(2.7a)

heißt Amplitudenspektrum

(2.8a)

heißt Phasenspektrum

(2.9a)

Alternativ zu Gl. (2.7) kann F(ω) auch in der Exponentialform dargestellt werden:

F(ω) = |F(ω)| · ejϕ(ω) = A(ω) · ejϕ(ω)

(2.10)

2.5 Reelle Form der Fouriertransformation In den folgenden Betrachtungen sei f(t) stets eine reellwertige Funktion. ´∞ Mit Gl. (2.4) F(ω) = f (t) e−jωt dt und e−jωt = cos(ωt) − j sin(ωt) −∞

erhalten wir

F(ω) =

ˆ∞

f (t) cos(ω t)dt − j

−∞

ˆ∞

f (t) sin(ω t)dt

(2.11)

−∞

u Definition  Diese Gleichung führt uns auf elegante Weise zur

Fourier-Kosinustansformation

Fc (ω) =

ˆ∞

f (t) cos(ωt) dt

(2.12)

f (t) sin(ωt) dt

(2.13)

−∞

und zur

Fourier-Sinustransformation

ˆ∞

Fs (ω) =

−∞

In dieser Notation lautet die Kurzform von Gl. (2.11):

F(ω) = Fc (ω) − j Fs (ω)

(2.11a)

u Satz 2.3  Ist f(t) eine reellwertige Funktion, so ist die Fourier-Kosinustransformierte Fc(ω) eine gerade Funktion und die Fourier-Sinustransformierte Fs(ω) eine ungerade Funktion von ω.

2.5  Reelle Form der Fouriertransformation

27

Beweis: Ersetzt man in (2.12) und (2.13) ω durch −ω, so erhält man cos(−ω t) = cos(ω t) sin(−ωt) = − sin(ωt), wegen und unmittelbar Fc (−ω) = Fc (ω) und Fs (−ω) = −Fs (ω). Fourierintegral in reeller Darstellung 1 ´∞ Wir verwenden das Fourierintegral (2.6) f (t) = F(ω) ejωt dω und bringen es mit 2π −∞ Gl. (2.11a) und ejωt = cos(ωt) + j sin(ωt) auf folgende Form:

1 f (t) = 2π

ˆ∞

(Fc (ω) − j Fs (ω)) · (cos(ωt) + j sin(ωt)) · dω,

−∞

Nach Zusammenfassen von Real- und Imaginärteil erhalten wir:  ∞  ˆ ˆ∞  1  f (t) = [Fc (ω) cos(ωt) + Fs (ω) sin(ωt)]dω + j [Fc (ω) sin(ωt) − Fs (ω) cos(ωt)]dω  2π  −∞

−∞

Da f(t) reellwertig ist, muss der Imaginärteil in der geschweiften Klammer Null sein. Berücksichtigt man noch, dass beim ersten Integral nach Satz 2.3 über eine gerade Funktion integriert wird, so erhält man die Reelle Form des Fourierintegrals

1 f ( t) = π

ˆ∞

[Fc (ω) cos(ωt) + Fs (ω) sin(ωt)]dω

(2.14)

0

Diese Darstellungsform der Funktion f(t) ist das Analogon zur Darstellung einer periodischen Zeitfunktion durch eine reelle Fourierreihe. Eine weitere Vereinfachung tritt ein, wenn die Zeitfunktion f(t) eine Symmetrie besitzt. Ist die Zeitfunktion f(t) eine gerade Funktion, so ist nach Gl. (2.13) die FourierSinustransformierte Fs(ω) = 0. Da in Gl. (2.12) der Integrand eine gerade Funktion der Variablen t ist, gehen die Gl. (2.12) und 2.14 über in die Fourier-Kosinustransformation für gerade Zeitfunktionen f(t)

Fc (ω) = 2

ˆ∞

f (t) cos(ωt) dt

(2.15)

0

mit der Umkehrung

1 f (t) = π

ˆ∞ 0

Fc (ω) cos (ωt) dω

(2.16)

28

2  Fourier-Transformation (FT)

Ist die Zeitfunktion f(t) eine ungerade Funktion, so ist nach Gl. (2.12) die FourierKosinustransformierte Fc(ω) = 0. Beachtet man, dass auch in Gl. (2.13) der Integrand eine gerade Funktion der Variablen t ist, so gehen die Gl. (2.13) und (2.14) gehen über in die Fourier-Sinustransformation für ungerade Zeitfunktionen f(t)

Fs (ω) = 2

ˆ∞

(2.17)

f (t) sin(ωt) dt

0

f (t) =

mit der Umkehrung

1 π

ˆ∞

(2.18)

Fs (ω) sin (ωt) dω

0

Man erkennt eine deutliche Analogie zur Fourierreihe einer periodischen Zeitfunktion. Die Fourierreihe einer geraden periodischen Funktion enthält nur Kosinusglieder, die einer ungeraden Funktion nur Sinusglieder. Entsprechend ist das Fourierintegral einer geraden nichtperiodischen Zeitfunktion ein Integral über ein kontinuierliches Spektrum von Kosinusschwingungen, das einer ungeraden nichtperiodischen Zeitfunktion ein Integral über ein kontinuierliches Spektrum von Sinusschwingungen.

2.6 Beispiele zur Fouriertransformation Beispiel 2.1 Man berechne die Spektralfunktion F(ω) der Zeitfunktion −at

e

f (t) =

0

f¨ur t ≥ 0, a > 0, reell f¨ur t< 0

Beispiel 2.1 Zeitfunktion f(t)

Mit Gl. (2.4) erhält man für die Spektralfunktion

F(ω) =

ˆ∞ −∞

f (t) e

−jωt

dt =

ˆ∞

−(a+j ω)t

e

0

∞ 1 e−(a+jω)t  = dt = −(a + jω)  a + jω 0

Bei der Ausführung des Integrals ist der Grenzwert lim e−(a+jω)t zu berechnen. t→∞  −jωt   −(a+jω)t     = 1 ist, gilt lim  e  = lim  e−at  · 1 = lim e−at = 0. Da a > 0 und  e t→∞

t→∞

t→∞

2.6  Beispiele zur Fouriertransformation

29

Somit ist auch lim e−(a+jω)t = 0 und wir erhalten die Korrespondenz: t→∞

e−at

◦−•

1 a + jω

Zerlegung der Spektralfunktion F(ω) in Real- und Imaginärteil: a − jω 1 = 2 a + jω a + ω2 a ⇒ Re F(ω) = 2 a + ω2 ω Im F(ω) = − 2 a + ω2

F(ω) =

Real- und Imaginärteil der Spektralfunktion F(ω)

Man erkennt, dass der Realteil der Spektralfunktion eine gerade, der Imaginärteil eine ungerade Funktion der Kreisfrequenz ω ist. Beispiel 2.2 Von der Zeitfunktion

f(t) 1

  1 − t f¨ur T f (t) =  0 sonst

0≤t≤T

ist die Spektral-

funktion und das Amplitudenspektrum zu bestimmen.

T

0

Beispiel 2.2 Zeitfunktion f(t)

Berechnung der Spektralfunktion nach Gl. (2.4), oder identisch nach Gl. (2.5)

F(ω) =

ˆ∞

f (t) e

−jωt

dt =

−∞

ˆT  0

 ˆT ˆT t 1 −jωt −jωt 1− e dt = 1·e dt − t · e−jωt dt T T 0

T T −jωT  e−jωt 1 e−jωt   = 1−e − (1 + jωt) −j F(ω) =   2 2 −jω 0 ω T ω T ω 0 F(ω) =

1 1 (1 − cos ωT + j sin ωT ) − j 2 ω T ω

0

t

30

2  Fourier-Transformation (FT)

Für das Amplitudenspektrum erhalten wir nach Gl. (2.8a)  A(ω) = Re2 F(ω) + Im2 F(ω)

(1 − cos ωT ) ω2 T 1 sin ωT und Im F(ω) = 2 − ω T ω 1  A(ω) = 2 (1 − cos ωT )2 + (sin ωT − ωT )2 ω T

mit Re F(ω) =

Beispiel 2.2 Amplitudenspektrum

Beispiel 2.3 Gesucht ist das Fourierspektrum der vorliegenden Rechteckfunktion und das zugehörige Amplitudenspektrum.  T T � �  1 f¨ur − ≤ t ≤ t 2 2 f (t) = rect =  T 0 sonst

f(t) 1

–T/2

0

T/2

t

Beispiel 2.3 Rechteckimpuls

Für das Fourierspektrum erhalten wir nach Gl. (2.4), oder identisch nach Gl. (2.5)

F(ω) =

ˆ∞ −∞

   ˆT /2 t 1 −jωt T /2 e−jωT /2 − ejωT /2 −jωt −jωt ·e e rect dt = 1·e dt = =  T −jω −jω −T /2 −T /2

Umformung  jωT /2  sin(ωT /2) e − e−jωT /2 e−jωT /2 − ejωT /2 = T · si(ωT /2) =T· =T· −jω 2jωT /2 ωT /2

F(ω) = T · si(ωT /2)

2.6  Beispiele zur Fouriertransformation

31

Die im Ergebnis auftretende si-Funktion hat die Definition: sin(x) si(x) = , hier ist x = ωT /2 x Für x = 0 ist die Funktion unbestimmt. Der Grenzwert kann mit der Regel von l’Hospital bestimmt werden: sin(x) cos(x) si(0) = lim = lim =1 x→0 x→0 x 1

Beispiel 2.3 Spektralfunktion

  t Wir erhalten die Korrespondenz: rect T

◦−•

T · si(ωT /2)

Das Amplitudenspektrum ist nach Definition der Betrag A(ω) = |T · si(ωT /2)|. Die grafische Darstellung zeigt Bild 2.3

Beispiel 2.3 Amplitudenspektrum

Zeit -Bandbreite-Produkt Zwischen der Dauer eines Zeitsignals und dem zugehörigen Spektrum besteht ein enger Zusammenhang. Die Dauer des Rechteckimpulses in Beispiel 2.3 ist T. Eine im Spektrum entsprechende Größe ist die Bandbreite B. Wie finden sie bei der ersten Nullstelle im Amplitudenspektrum. Für si(ωT /2) = 0, ist ω1 = ±2π/T. Definiert man die 2π Bandbreite B als den maßgebenden Frequenzbereich von 0 bis |ω1|, so gilt B = bzw. T durch Umstellung B · T = 2π. Das bedeutet: Halbiert man die Zeitdauer T des Rechteckimpulses, so verdoppelt sich die Bandbreite B des Spektrums. Umgekehrt: Verdoppelt man die Zeitdauer T, so halbiert sich die Bandbreite B.

32

2  Fourier-Transformation (FT)

Dieser reziproke Zusammenhang zwischen der Zeitdauer T und der Bandbreite B gilt nicht nur für Rechteckimpulse, sondern für alle reellen und symmetrischen Zeitsignale. Man nennt es das Zeit-Bandbreite-Produkt B · T = const.

Bedeutung für die Kommunikationstechnik: Verdoppelt man die pro Zeiteinheit gesendeten Datenimpulse (Bitrate), so muss der Übertragungskanal die doppelte Bandbreite zur Verfügung stellen. Anders ausgedrückt, die Bandbreite des Übertragungskanals begrenzt die Bitrate. Beispiel 2.4 Wir betrachten umgekehrt zu Beispiel 2.3, die Spektralfunktion als Rechteckfunktion gegeben und fragen nach der korrespondierenden Zeitfunktion f(t).

�

ω F(ω) = rect ω0

�

  1 f¨ur − ω0 ≤ ω ≤ ω0 2 2 =  0 sonst

Beispiel 2.4 Spektralfunktion

Die gesuchte Zeitfunktion f(t) kann mit Gl. (2.6) berechnet werden. Alternativ dazu, wollen wir die Berechnung mit der Fourier-Kosinustransformation Gl. (2.16) durchführen. Da die Spektralfunktion rect(ω/ω0 ) reell ist, muss die zugehörige Zeitfunktion eine gerade Funktion der Variablen t sein. Daher gilt mit Gl. (2.16):

1 f (t) = π

ω0 /2   ˆ sin(ωt) ω0 /2 1 1 sin(ω0 t/2) · · cos(ωt)dω = = π t π t 0 0

Mit der in Beispiel 2.3 definierten si-Funktion erhalten wir schließlich

f (t) =

ω0 · si(ω0 t/2) 2π

Beispiel 2.4 Zeitfunktion f(t)

Wir erhalten die Korrespondenz:

ω0 · si(ω0 t/2) 2π

◦−•

rect



ω ω0



2.6  Beispiele zur Fouriertransformation

33

Bemerkung: Vertauscht man bei der Korrespondenz von Beispiel 2.3 die Rolle von t und ω, so erhält man, bis auf den Faktor 2π, die Korrespondenz von Beispiel 2.4.   t t→ω 1 ω 1 rect ◦ − • si(ωT /2) , Vertauschen ergibt rect si(ω t/2) ◦ − • 2π 0 T T ω0 ω0 T → ω0 Dies folgt aus der Symmetrie der Fouriertransformation und ihrer Rücktransformation. Allgemein gilt: Für jedes existierende Transformationspaar erreicht man durch Vertauschen der Variablen eine weitere Korrespondenz. Diese Eigenschaft ist der

Vertauschungssatz

f (t) F(t)

◦−• ◦−•

F(ω) 2π · f (−ω)

Beispiel 2.5 Man bestimme das Spektrum F(ω) der Gaußfunktion (auch Gaußimpuls genannt): 2 f (t) = e−at , a > 0 Anwendung von Gl. (2.5) ergibt ˆ∞ 2 F(ω) = e−at e−jωt dt =

ˆ∞

−∞ 2

e−at · (cos(ωt) − j sin(ωt))dt

−∞

Beispiel 2.5 Gaußimpuls für a = 2

Da f(t) eine gerade Funktion ist, verschwindet das Integral über den Imaginärteil und wir erhalten für das Spektrum [analog zu Gl. (2.15)] F(ω) = 2 ·

´∞ 0

2

e−at · cos(ωt)dt

Den Wert dieses Integrals entnehmen wir einer math. Formelsammlung.  π − ω2 F(ω) = e 4a Es ergibt sich a Interessant ist, dass der Gaußimpuls, wieder eine Gaußfunktion als Spektrum hat. Funktionen mit dieser Eigenschaft heißen selbstreziprok (hier bezüglich der Fouriertransformation). Auch erkennen wir in diesem Beispiel das Zeit-Bandbreite-Produkt wieder: Je schmaler der Gaußimpuls ist, desto breiter ist sein Spektrum und umgekehrt. Beispiel 2.5 Fourier-Spektrum F(ω) für a = 2

34

2  Fourier-Transformation (FT)

2.7 Aufgaben zur Fouriertransformation (Ergebnisse im Anhang) Aufgabe 2.1 Man berechne die Spektralfunktion F(ω) zur Zeitfunktion

f (t)=

   −1   

1      0

f¨ur f¨ur

T ≤t 0 )

Aufgabe 2.2 Zeitfunktion f(t)

Aufgabe 2.3 Man berechne für die Zeitfunktion

 2U   t U+   T  f (t) = U − 2U t   T    0

T ≤t 1 ⇒ δ 2 − ω02 > 0. Der aperiodische Fall kann analog zum periodischen Fall behandelt werden. Mit δ 2 − ω02 = a2 folgt

UC (s) =

A1 A2 s + A3 ω02 U0 + = s (s + δ)2 − a2 s (s + δ)2 − a2

Die Berechnung der Koeffizienten ergibt wie im periodischen Fall

A1 = U0 ,

A2 = −U0

und

A3 = −2U0 δ.

Wegen des Vorzeichenunterschiedes im Nenner des zweiten Terms erhält man nun statt der trigonometrischen Funktionen die entsprechenden Hyperbelfunktionen.    δ uC (t) = U0 1 − e−δt cosh(at) + sinh(at) a In allen 3 Fällen ergibt sich nach Beendigung des Einschaltvorganges für t→∞: uC (∞) = U0. Beispiel 4.6  Man berechne die Zeitfunktionen x(t) und y(t)

(1)

d 2 x(t) = y(t) dt 2

(2)

dy(t) dx(t) − y(t) = 4 − 4x(t) dt dt

mit den Anfangsbedingungen x(+0) = 0, y(+0) = 1 und x'(+0) = 1. Durch Laplace-Transformation erhalten wir im Bildraum das lineare Gleichungssystem

(1) s2 X(s) (2) (−4s + 4)X(s)

− +

Y (s) = 1 (s − 1)Y (s) = 1

124

4  Anwendungen der Laplace-Transformation

Auflösen dieses Gleichungssystems mit der Cramer’schen Regel ergibt   1   1



−1  s s − 1   = ; X(s) =   2 3 − s2 − 4s + 4   s s −1      −4s + 4 s − 1  

   s2    −4s +

1  s2 + 4s − 4 4 1   = Y (s) =   2  s3 − s2 − 4s + 4 s −1      −4s + 4 s − 1 

Zur Partialbruchzerlegung benötigen wir die Polstellen der Bildfunktionen. Sie ergeben sich als die Lösungen der algebraischen Gl. 3. Grades

s3 − s2 − 4s + 4 = 0

Eine Möglichkeit, eine derartige Gleichung zu lösen, besteht darin, eventuell vorhandene ganzzahlige Lösungen durch Probieren zu finden. Da das Produkt der Lösungen bis auf das Vorzeichen das konstante Glied ergibt (Koeffizientensatz von Vieta), kommen hier zum Probieren die ganzen Zahlen ±1, ±2 und ±4 in Frage. Es ist s = 1 eine leicht erkennbare Lösung. Durch Division mit dem Linearfaktor s − 1 ergibt sich die quadratische Gleichung

s2 − 4 = 0

mit den Lösungen s2 = 2 und s3 =  − 2. Hieraus resultieren die Partialbruchzerlegungen

1 1 1 − − A1 A2 A3 3 + 2 + 6 X(s) = + + = s−1 s−2 s+2 s−1 s−2 s+2 1 2 − − B2 B3 2 B1 3 + 3 + + = + Y (s) = s−1 s−2 s+2 s−1 s−2 s+2 Rücktransformation in den Zeitbereich ergibt die gesuchten Lösungsfunktionen

1 1 1 x(t) = − et + e2t − e−2t 3 2 6

und

1 2 y(t) = − et + 2e2t − e−2t 3 3

Es lässt sich leicht bestätigen, dass diese Zeitfunktionen das Differentialgleichungssystem und die vorgegebenen Anfangsbedingungen erfüllen.

1 1 1 x(0) = − + − = 0 3 2 6

1 2 und y(0) = − + 2 − = 1 3 3

4.2  Lösen von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen

125

Aufgaben zum Abschn. 4.2 (Ergebnisse im Anhang) Aufgabe 4.4 Man löse das Differentialgleichungssystem 2. Ordnung

(1) (2)

dx(t) − 2x(t) − 4y(t) = cos(t) dt dy(t) + x(t) + 2y(t) = sin(t) dt

mit den Anfangswerten x(+0) = 0 und y(+0) = 1. Aufgabe 4.5 Man berechne die Lösungen x(t) und y(t) der Differentialgleichungen

(1)

d 2 x(t) = y(t) (2) dt 2

dy(t) dx(t) =9 , dt dt

die den Anfangsbedingungen x(+0) = 1, y(+0) = 6 und x'(+0) = 0  genügen. Aufgabe 4.6 Man berechne die Lösungen x(t) und y(t) des folgenden Systems von Differentialgleichungen

(1)

dx(t) = 2x(t) − 3y(t) dt

(2)

dy(t) = y(t) − 2x(t) dt

mit den Anfangsbedingungen x(+0) = 8 und y(+0) = 3. Aufgabe 4.7 An die Schaltung von Bild 4.8 wird zur Zeit t = 0 eine Gleichspannung

u(t) = U0 ε(t) angelegt. Es gelte die Anfangsbedingung

uC (−0) = 0. Für die Teilströme iL(t) und iC(t) gelten die Gleichungen

diL (t) = U0 ε(t) dt 1 ´t diL (t) = iC (τ )dτ L dt C0

(1) R[iL (t) + iC (t)]+ L (2)

Bild 4.8    Schaltung von Aufgabe 4.7

R u(t)

L

C

iL

iC

126

4  Anwendungen der Laplace-Transformation

1 < √1LC den Teilstrom iC (t), wenn folgende Man berechne für den periodischen Fall: 2RC Anfangsbedingungen gelten: iC (+0) = 0 und uC(+0) = 0. Bemerkung: Durch Differenzieren könnte in Gleichung (2) das Integral weggebracht werden. Gleichung (2) wird dann eine Differentialgleichung 2. Ordnung. Dies ist aber nicht notwendig, da der Integrationssatz für die Originalfunktion verwendet werden kann.

4.3  RCL – Netzwerke Die Frage nach den Strömen und Spannungen in den Zweigen eines RCL-Netzwerks führt im Zeitbereich im Allgemeinen auf ein System von linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Durch die Laplace-Transformation wird daraus im Bildbereich ein lineares, algebraisches Gleichungssystem der gesuchten Ströme und Spannungen. In diesem Abschnitt soll nun gezeigt werden, dass man das lineare Gleichungssystem des Bildbereichs direkt, also ohne Kenntnis des Differentialgleichungssystems des Zeitbereichs, erhalten kann. Dadurch wird das Lösungsverfahren noch einmal wesentlich vereinfacht.  Definition 4.2 Ein Netzwerk heißt für Zeitpunkte t  i2(t)

R

C

ua (t)

a) Übertragungsfunktion 1. Wir berechnen G(s) mit Hilfe des Maschenbildstromes I2(s) Die Maschengleichungen lauten     1 1 I1 (s) − R + Cs I2 (s) = Ue (s) (1) 2R + Cs  1 1 I1 (s) + 2R + Cs I2 (s) = 0 (2) − R + Cs

Daraus folgt für den gesuchten Maschenstrom I2(s)       2R + 1 Ue (s)   Cs       − R+ 1 0   RCs + 1 Cs    = Ue (s) I2 (s) =    1  R(3RCs + 2)  2R + 1 − R+  Cs   Cs     1  − R+ 1 2R +  Cs Cs  Mit I2(s) ergibt sich die Ausgangsspannung

Ua (s) = RI2 (s) = und daraus die Übertragungfunktion

G(s) =

RCs + 1 Ue (s) 3RCs + 2

RCs + 1 Ua (s) = Ue (s) 3RCs + 2

Da die Übertragungsfunktion G(s) die Laplace-Transformierte der Impulsantwort g(t) ist, kann in den Maschengleichungen eine beliebige Eingangsspannung z. B.

Ue (s) = L{δ(t)} = 1 eingesetzt werden. Man erhält dann für diesen Fall

G(s) = RI2 (s)

Za (s) Z(s)  Am Ausgang des Übertragungsgliedes liegt die Parallelschaltung Za = R|| R + Weiter ist Gesamt- Z = R + Za. Damit folgt für die Übertragungsfunktion 2. Bestimmung von G(s) durch das Widerstandsverhältnis G(s) =

1 Cs

 .

4.4  Übertragungsverhalten von linearen Netzwerken

153

  1 R(RCs + 1) R|| R + R(RCs + 1) RCs + 1 Cs 2RCs + 1   = G(s) = = = R(RC + 1) 1 R(2RCs + 1) + R(RCs + 1) 3RCs + 2 R+ R + R|| R + 2RCs + 1 Cs

Man spart sich zwar die Berechnung des Bildstromes I2(s), muss aber stattdessen ein Widerstandsnetzwerk ausrechnen. b) Impulsantwort Die Übertragungsfunktion G(s) ist eine unecht gebrochen rationale Funktion. Durch Polynomdivision erhält man

  1 1 s + 1 RC = 1 1 + 3RC . G(s) =  2 2  3 3 s+ s+ 3RC 3RC

Durch Rücktransformation ergibt sich die Impulsantwort   1 − 2 t 1 e 3RC δ(t) + g(t) = 3 3RC Bild 4.38b    Impulsantwort g(t)

c) Sprungantwort

1 s+ 1 1 1 RC  = 1 · 1 − 1 · H(s) = G(s) · = ·  2 2 s 3 2 s 6 s+ s s+ 3RC 3RC 1 − 2 t 1 3RC h(t) = ε(t) − e 2 6 Für t >0 ist die Sprungantwort eingeschränkt auf den Bereich zwischen

h(+0) =

1 3

und

h(∞) =

1 . 2

154

4  Anwendungen der Laplace-Transformation

Bild 4.38c   Sprungantwort h(t)

4.4.4 Pol–Nullstellenplan einer echt gebrochen, rationalen Bildfunktion Wir gehen aus von einer echt gebrochen, rationalen Bildfunktion F(s), mit reellen Koeffizienten ai und bi.

F(s) =

b0 + b 1 s + . . . + b m s m , mit m < n a0 + a 1 s + . . . + a n s n

und

an � = 0

Wir suchen getrennt die Nullstellen des Zählerpolynoms Ni und die Nullstellen des Nennerpolynoms Pi, das sind die Pole von F(s). Sind die Pole und Nullstellen bekannt, kann F(s) nach dem Fundamentalsatz der Algebra in die Produktform umgewandelt werden.

F(s) = k ·

bm (s − N1 )(s − N2 ) . . . (s − Nm ) mit k = an (s − P1 )(s − P2 ) . . . (s − Pn )

Der Pol–Nullstellenplan, kurz PN–Plan genannt, entsteht dadurch, dass die Lage der Pole (∗) und der Nullstellen (o), in das Diagramm von Bild 4.39 eingezeichnet werden. Bild 4.39   PN–Plan der s-Ebene

4.4  Übertragungsverhalten von linearen Netzwerken

155

Da die Bildvariable s = σ + jω komplexwertig ist, so sind auch die Pole und Nullstellen von Bildfunktionen im Allgemeinen komplexwertig, bestehen also aus einem Real- und einem Imaginärteil. Bei reellen Koeffizienten ai und bi sind die Pole und Nullstellen reell bzw. konjugiert komplex. Auch mehrfache Pole und Nullstellen können auftreten. Bei reellen Koeffizienten ai und bi ist der PN–Plan symmetrisch zur reellen σ–Achse. Durch die Lage der Pole kann auf das Zeitverhalten im Originalbereich geschlossen werden. Ist Pi die Polstelle einer echt gebrochen, rationalen Bildfunktion F(s), so entspricht

Re(Pi ) < 0 Re(Pi ) = 0 Re(Pi ) > 0

einer zeitlich abklingenden Funktion einer Funktion mit konstantem Betrag, z. B. ε(t) einer zeitlich ansteigenden Funktion

Aus der Art und der Lage der Polstellen im PN–Plan auf die Zeitfunktion zu schließen ist bei vielen Anwendungen im Hinblick auf eine schnelle Übersicht zum Systemverhalten wichtig. So kann etwa aus der Art der Polstellen einer Übertragungsfunktion auf das Zeitverhalten des zugehörigen Übertragungssystems geschlossen werden. Im Folgenden soll der Zusammenhang zwischen der Art der Polstellen im PN-Plan und den zugehörigen Zeitfunktionen erläutert werden (Bild 4.40).

1 a) Der einfachen Polstelle −δ entspricht im Bildbereich . Da sie in der linken Halbs+δ ebene des PN-Plans liegt, ist b) die korrespondierende Zeitfunktion eine abklingende Funktion f (t) = e−δt 1 c) Der 3-fachen Polstelle −δ entspricht im Bildbereich (s + δ)3 d) Die korrespondierende Zeitfunktion lautet f (t) =

t 2 −δt e 2

e) Dem konjugiert komplexen Polstellenpaar −δ ± jω0 entspricht

a0 (s + δ)2 + ω02

f) Im Zeitbereich ergibt sich eine gedämpfte Schwingung f (t) = e−δt sin (ω0 t) ω0 g) Den beiden Polstellen ±jω0 entsprechen im Bildbereich 2 s + ω02 h) Die korrespondierende Zeitfunktion ist eine ungedämpfte Schwingung

f (t) = sin(ω0 t)

A i) Einer im Ursprung liegenden einfachen Polstelle, entspricht im Bildbereich und im s Zeitbereich einer Sprungfunktion f (t) = Aε(t)

156

4  Anwendungen der Laplace-Transformation

Bild 4.40   PN – Plan mit zugehörigen Zeitfunktionen

3-

g)

h)

i)

k)

1 Der Polstelle +δ1 im Bild 4.41a entspricht im Bildbereich und der konjugiert s − δ1 ω0 komplexen Polstelle δ2 ± jω0 entspricht . (s − δ2 )2 + ω02 Dazu gehören im Zeitbereich die ansteigenden Funktionen Bild 4.41b f (t) = eδ1 t und f (t) = eδ2 t sin (ω0 t)

4.4  Übertragungsverhalten von linearen Netzwerken

a)

157

b)

Bild 4.41   PN – Plan mit ansteigenden Zeitfunktionen

Beispiel: Eine echt gebrochen rationale Bildfunktion F(s) hat die folgenden Pole: P1 =  −0,5, P2 =  −2 + 3j und P3 =  −2 − 3j. Welche Aussage kann für den Zeitbereich gemacht werden? Alle Pole haben einen negativen Realteil. Die Zeitfunktionen f(t) sind daher abklingend. Die einfache, reelle Polstelle P1 bedingt im Zeitbereich eine abklingende Exponentialfunktion. Das Paar der konjugiert komplexen Pole mit negativem Realteil entspricht einer gedämpften Schwingung mit der Kreisfrequenz ω = 3. Im Zeitbereich ergibt sich daher die Form

f (t) = Ae−0,5t + e−2t [B sin(3t) + C cos(3t)]  Satz 4.7  Sämtliche Polstellen Pi der Übertragungsfunktion G(s) eines passiven Netzwerks liegen im Inneren der linken Halbebene des PN–Plans, d. h., es gilt

Re(Pi ) < 0,

∀i

Beweis: Ein passives Netzwerk, z. B. ein RCL-Netzwerk, antwortet auf ein impulsförmiges Eingangssignal mit einem zeitlich abklingenden Ausgangssignal. Die Impulsantwort g(t) ist daher ebenfalls eine abklingende Zeitfunktion. Ihre LaplaceTransformierte, die Übertragungsfunktion G(s), hat daher nur Pole, die in der offenen, linken Halbebene des PN-Plans liegen.

4.4.5 Stabilität von linearen Systemen 1. Stabilitätskriterium im Zeitbereich: Reagiert ein System auf ein beschränktes Eingangssignal |x(t)| ≤ N  0, d. h. die Temperatur zum Zeitpunkt t = 0 auf der gesamten Länge des Stabes ist TA Randbedingung: T (0, t) = TR für t ≥ 0, d. h. an der Stelle x = 0 des Stabes ist die Temperatur gegeben durch TR Die Wärmeleitungsgleichung lautet

∂ 2 T (x, t) ∂T (x, t) =a· ∂t ∂x 2

(4.24)

 Temperaturleitfähigkeit, λ = Wärmeleitfähigkeit, ρ = Dichte, c = spez. Wärmeρc kapazität Die Wärmeleitungsgleichung ist eine lineare, partielle Differentialgleichung 2. Ordnung, mit zwei unabhängigen Variablen x und t. Um die Differentialgleichung zu lösen, wenden wir darauf die Laplace-Transformation an.

a=

4.5  Lineare, partielle Differentialgleichungen

175

Wegen der Orts- und Zeitabhängigkeit sind nacheinander zwei unabhängige Transformationen auszuführen. Mit den Schritten (1) und (2) werden wir die Transformation in den Bildbereich durchführen. Mit den Schritten (3) und (4) beschreiben wir die Rücktransformation in den Ortsund Zeitbereich, um die Lösungsfunktion T(x,t) zu erhalten. (1) L-Transformation der Gl. (4.24) bezüglich t: Notation: Lt {T (x, t)} =

ˆ∞

T (x, t) · e−st dt = F(x, s)

(4.25)

0

Wie die Notation zeigt, bezieht sich die L-Transformation nur auf die Koordinate t, die in die Bildvariable s übergeht. Die Koordinate x bleibt davon unberührt und verhält sich wie ein Parameter. Die Anwendung auf Gl. (4.24) ergibt   2   ∂ T (x, t) ∂T (x, t) = a · Lt Lt (4.26) ∂t ∂x 2 Die linke Seite der Gleichung ergibt mit dem Differentiations-Satz:   ∂T (x, t) = sF(x, s) − T (x, 0), mit der Anfangsbedingung T (x, 0) = TA Lt ∂t

Der Term auf der rechten Seite der Gleichung enthält die zweifache Ableitung nach x. Unter der Voraussetzung, dass die Ausführung des Zeitintegrals, mit der Differentiation nach dem Ort x vertauscht werden darf, erhält man: Lt



∂ 2 T (x, t) ∂x 2



=

ˆ

0

∞

∂2 ∂ 2 T (x, t) −st ·e dt = 2 2 ∂x ∂x

ˆ

0

∞

T (x, t)·e−st dt =

∂2 ∂2 Lt {T (x, t)} = 2 F(x, s) 2 ∂x ∂x

Die partielle Ableitung von F(x,s) nach x, auf der rechten Seite der obigen Gleichung, kann durch die gewöhnliche Ableitung ersetzt werden, denn F hat nur x als einzige Variable (s ist Parameter). An Stelle der partiellen Differentialgleichung (4.24) hat man jetzt nur noch eine gewöhnliche Differentialgleichung in x zu lösen. Wir erhalten nach Ausführen der Transformation von Gl. (4.26) 

sF(x, s) − T (x, 0) = a ·

d 2 F(x, s) dx 2

(2) L-Transformation der Gl. (4.27) bezüglich x: Notation: ˆ ∞ Lx {F(x, s)} = F(x, s) · e−px dx = G(p, s) 0

(4.27)

(4.28)

176

4  Anwendungen der Laplace-Transformation

In dieser Notation bezieht sich die L-Transformation auf die Koordinate x, die in die Bildvariable p übergeht. Die Variable s verhält sich als Parameter und wird von der Transformation nicht beeinflusst. Die Anwendung auf Gl. (4.27) ergibt:   2 d F(x, s) s · Lx {F(x, s)} − Lx {T (x, 0)} = a · Lx (4.29) dx 2 Die einzelnen Terme bedeuten: Lx {F(x, s)} = G(p, s), nach Gl. (4.28) 1 Lx {T (x, 0)} = Lx {TA ε(x)} = TA , ist die p-transformierte Anfangsbedingung p   2 d F(x, s) = p2 G(p, s) − pF(0, s) − F ′ (0, s), Diff.-Satz für die 2-fache Ableitung Lx dx 2 nach x 1 F(0, s) = Lt {T (0, t)} = TR , s-transformierte Randbedingung s   dF(x, s)  , s-transformierter Temperaturgradient am Stabanfang. F ′ (0, s) = dx x→+0 Werden diese Terme in Gl. (4.29) eingesetzt, so erhält man:   1 1 2 ′ sG(p, s) − TA = a p G(p, s) − pTR − F (0, s) p s

(4.30)

Löst man diese Gleichung nach G(p,s) auf, hat man die vollständige Lösung der Wärmeleitungsgleichung im Bildbereich gefunden:

TR G(p, s) = s



p 2 p − s/a



T F ′ (0, s) − A + 2 a p − s/a



1   2 p p − s/a



(4.31)

Alle Terme auf der rechten Seite von Gl. (4.31) sind bekannt oder durch die Anfangsund Randbedingung gegeben. In den nächsten Schritten (3) und (4) wird gezeigt, wie durch Rücktransformation von G(p,s) die Lösungsfunktion T(x,t) im Orts- und Zeitbereich erhalten wird. (3) Rücktransformation von Gl. (4.31) in den x–Bereich Notation: L−1 x {G(p, s)} = F(x, s) Die Variable p geht über in die Variable x. Die Variable s bleibt (wie ein Parameter) davon unberührt. L−1 x {G(p, s)}

      TA −1 1 p 1 TR −1 ′ −1   − Lx   L +F (0, s)Lx = s x p2 − s/a a p2 − s/a p p2 − s/a

Sämtliche Terme dieser Gleichung können nach der Korrespondenz-Tabelle 8.4 auf einfache Weise zurück transformiert werden. Dabei ist folgendes zu beachten:

4.5  Lineare, partielle Differentialgleichungen

177

Bei den in Nr. 12, 13 und 27 angegebenen Zuordnungen der Tabelle 8.4 ist die Variable s durch p zu ersetzen, ω entspricht s/a und t entspricht x  s  p • − ◦ cosh ·x . Für Nr. 13 erhält man: 2 a p − s/a Entsprechend verfährt man mit den anderen Korrespondenzen. Durch Einsetzen der Korrespondenzen und Zusammenfassen der Terme erhalten wir:        TA TA TR s a s ′ − · x + F (0, s) sinh ·x + · cosh F(x, s) = s s a s a s

Um F(x, s) weiter zu vereinfachen verwenden wir die Umformung     √  √s  1  √ as x 1  √ as x s s − as x +e und sinh − e− a x ·x = e ·x = e cosh a 2 a 2 und erhalten die Gleichung:   √   √   s s 1 TR − T A TA 1 TR − T A a a + F ′ (0, s) − F ′ (0, s) ·e+ a x + ·e− a x + F(x, s) = 2 s s 2 s s s (4.32)

In Gl. (4.32) ist F (0, s) noch zu bestimmen. Da F(x, s) die Bildfunktion von T(x,t) ist, gilt nach dem Anfangswertsatz 3.29 lim sF(x, s) = T (x, +0) = TA. s→∞ Damit erhalten wir ′

lim s→∞



 √s √s √  √  1 1 TR − TA + F ′ (0, s) as · e+ a x + TR − TA − F ′ (0, s) as · e− a x + TA = TA 2 2

Der lim s → ∞ ergibt nur dann TA, wenn der Term in der runden Klammer vor e+ TR − T A verschwindet, wenn also gilt: F ′ (0, s) = − √ . as Setzen wir das in Gl. (4.32) ein, so erhalten wir schließlich

F(x, s) =

TR − TA −√ as x TA + ·e s s

√s

a

x

(4.33)

Gl. (4.33) ist die Lösung der Differentialgleichung (4.27), was sich durch Einsetzen in diese Gleichung leicht verifizieren lässt. Im letzten Schritt ist Gl. (4.33) noch in den Zeitbereich t zurück zu transformieren.

178

4  Anwendungen der Laplace-Transformation

(4) Rücktransformation von Gl. (4.33) in den t-Bereich: Notation: L−1 t {F(x, s)} = T (x, t) Die Variable s geht über in die Variable t. Die Variable x bleibt davon unbeeinflusst. �   � �  1 − s x 1 −1 e a + (TR − TA )L−1 L−1 t t {F(x, s)} = TA Lt s  s

Mit Nr. 2 und Nr. 51 der Korrespondenz-Tabelle 8.4 erhalten wir die vollständige Lösung der Wärmeleitungsgleichung unter Einbeziehung der Anfangs- und Randwertbedingung.

   x T (x, t) = TA + (TR − TA ) 1 − erf √ , 2 at

f¨ur t > 0, x ≥ 0

(4.34)

In Bild 4.59 ist die Temperaturverteilung der Gl. (4.34) als Funktion von Ort und Zeit dargestellt. Die Anfangswerte TA und TR können unabhängig voneinander gewählt werden. Betrachtet man eine Trajektorie an einer beliebigen Stelle x1 in t-Richtung, so ist zu sehen, wie sich der Metallstab an der Stelle x1 rasch aufheizt und dann für große Zeiten eine konstante Temperatur annimmt. Betrachtet man alternativ dazu eine Trajektorie zu einer festgehaltenen Zeit t1, so sieht man, wie sich die Temperatur in x-Richtung entlang des Metallstabes ausbreitet. Am Anfang des Stabes hat man die Temperatur TR = 100 °C, mit zunehmender Entfernung x nimmt die Temperatur exponentiell ab.

T(x,t)

t1

100°C

t 0°C x1 x Bild 4.59   Temperaturverlauf T(x,t) als Funktion von Ort und Zeit, für TR = 100ºC, TA = 0 ºC und a = 1

5

Zusammenschaltung von LTI-Systemen

Zusammenfassung

Die Zusammenschaltung von linearen Teilsystemen zu einem Gesamtsystem gehört zu den Grundlagen der Systemtheorie. Durch Kombination von Teilsystemen lassen sich beliebige, komplexe Strukturen aufbauen und mit Hilfe der Laplace-Transformation elegant berechnen. Vor allem die rückgekoppelten Systeme machen deutlich, dass ein System mehr ist als die Summe seiner Teile. Mit Blockdiagrammen lässt sich der Signalfluss zwischen den Teilsystemen direkt veranschaulichen. Auch sind damit Informationen über die innere Struktur des Systems verbunden. Durch Anwendung der Signal- bzw. Systemanalyse kann die beschreibende Netzwerkgleichung abgeleitet werden. In gleicher Weise kann auch umgekehrt von einer Netzwerkgleichung, ein Blockdiagramm entworfen werden. LTI-Systeme, die wir hier ausschließlich betrachten, sind lineare, zeitinvariante Systeme, deren Eigenschaften wir in Abschn. 4.4 bereits behandelt haben. In diesem Abschnitt werden wir Möglichkeiten zur Beschreibung von zusammen geschalteten Systemen kennen lernen. Auch wird hier erneut deutlich, wie vorteilhaft sich die Transformation vom Zeitbereich in den Bildbereich erweist. Man gewinnt auf diese Weise die wichtige Übertragungsfunktion des Gesamtsystems und dessen Impuls- und Frequenzverhalten. Rein formal stellen wir ein System durch einen Block dar, der die Systemfunktion beinhaltet. Die Pfeile symbolisieren den Ein- und Ausgang des Systems, mit den zugehörigen Ein- und Ausgangsfunktionen.

© Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert durch Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2022 H. Ulrich und S. Ulrich, Laplace-Transformation, Diskrete Fourier-Transformation und z-Transformation, https://doi.org/10.1007/978-3-658-31877-2_5

179

180

5  Zusammenschaltung von LTI-Systemen

Die Signale des Zeitbereichs werden mit den Laplace-Korrespondenzen

und

zu Signalen des Bildbereichs.

Werden mehrere LTI-Teilsysteme additiv zu einem Gesamtsystem verbunden, so ist wegen der Linearität der Teilsysteme, das Gesamtsystem wieder ein LTI-System. Dieses kann daher wieder mit einer Systemfunktion beschrieben werden. Voraussetzung für die Gültigkeit der hergeleiteten Beziehungen ist die rückwirkungsfreie Kopplung der Teilsysteme. Dies wird hier stets vorausgesetzt.

5.1 In Reihe geschaltete Systeme Wir betrachten hier zwei in Reihe geschaltete Teilsysteme mit ihren Übertragungsfunktionen (Bild 5.1).

X(s)

G1(s)

Y1(s)

G2(s)

Y(s)

Bild 5.1   Reihenschaltung von 2 Teilsystemen

Durch die Reihen-Kopplung wird das Ausgangssignal Y1(s) von Teilsystem 1 zum Eingangssignal von Teilsystem 2. Dafür gilt:

Y1 (s) = G1 (s)X(s) und Y (s) = G2 (s)Y1 (s) Als Kombination von beiden Teilsystemen erhält man:

Y (s) = G2 (s) · Y1 (s) = G2 (s) · G1 (s) · X(s) Die Gesamtsystemfunktion G(s) ist das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangssignal

G(s) =

Y (s) = G2 (s) · G1 (s) = G1 (s) · G2 (s) X(s)

(5.1)

Da in Gl. (5.1) das Produkt von G1(s) und G2(s) steht, kann die Anordnung beider Teilsysteme vertauscht werden. Die Gesamtsystemfunktion ändert sich dadurch nicht.

5.1  In Reihe geschaltete Systeme

181

Reihenschaltung von n Teilsystemen Die Berechnung für n Teilsysteme erfolgt in gleicher Weise wie es für 2 Teilsysteme gezeigt wurde.

X(s)

G1(s)

G2(s)

Gn(s)

Y(s)

Bild 5.2   Reihenschaltung von n Teilsystemen

Für die Gesamtsystemfunktion erhält man:

G(s) = G1 (s) · G2 (s) . . . . Gn (s) =

n 

Gk (s)

(5.2)

k=1

Bei mehreren in Serie geschaltetenTeilsystemen ist die Gesamtsystemfunktion gleich dem Produkt der Übertragungsfunktionen der Teilsysteme. Die Beziehung (5.2) ist kommutativ. Die Reihenfolge der Teilsysteme darf bei der Reihenkopplung beliebig vertauscht werden. Beispiel 5.1 Zwei Teilsysteme 1. Ordnung, ein RC-Hochpaß und ein RC-Tiefpaß werden rückwirkungsfrei in Reihe geschaltet, Bild 5.3. Welche Übertragungsfunktion hat das Gesamtsystem?

Bild 5.3   Hochpaß und Tiefpaß in Reihe ergibt einen Bandpaß

Nach Gl. (5.1) erhält man:

s 1 s RC RC RC · = G(s) =   =  1 1 1 2 2 1 2 2 s+ s+ s+ s + s+ RC RC RC RC RC s

Das Gesamtsystem ist ein Bandpaß. Das System ist von 2. Ordnung, da der Nenner von G(s) ein Polynom 2. Grades ist. Rückwirkungsfreie Zusammenschaltung Bei den betrachteten Blockschaltbildern handelt es sich stets um eine rückwirkungsfreie Zusammenschaltung von Teilsystemen. Bei elektrischen Netzwerken läßt sich eine rückwirkungsfreie Zusammenschaltung mit Impedanzwandlern realisieren, die zwischen die einzelnen Teilsysteme geschaltet werden.

182

5  Zusammenschaltung von LTI-Systemen

Bild 5.4   Nicht rückwirkungsfreie Reihenschaltung aus Hochund Tiefpaß

C

R C

R ue (t)

ua (t)

Impedanzwandler haben einen hohen Eingangswiderstand und einen niedrigen Ausgangswiderstand. Die Verstärkung ist v = 1. Dadurch ist gewährleistet, dass sich die Teilsysteme nicht gegenseitig belasten und keine Verstärkungsänderung bei der Kopplung entsteht. Eine nicht rückwirkungsfreie Zusammenschaltung zeigt Bild 5.4. Das Schaltbild zeigt die gleiche Kombination aus Hoch- und Tiefpaß,wie Bild 5.3. Die Zusammenschaltung ist jedoch nicht rückwirkungsfrei, denn der nachfolgende Tiefpaß entzieht dem Hochpaß Energie. Deshalb unterscheiden sich die Übertragungsfunktionen auch etwas voneinander. Die Übertragungsfunktion für Bild 5.4 lautet nach Abschn. 4.4.7, Aufgabe 4.16c:

s RC

G(s) =

  1 2 3 s+ + RC RC 3 2 s, gegenüber s in G(s) von Beisp. 5.1 Hier steht im Nenner RC RC Welchen Unterschied das im Ausgangssignal macht, sehen wir im nächsten Beispiel. s2

Beispiel 5.2  Am Eingang der Schaltung Bild 5.3 bzw. Bild 5.4 liegt jeweils ein Rechteckimpuls x(t). Bild 5.5   Rechteckimpuls

x(t) 1 0

1

t

Welches Signal erscheint am Ausgang beider Systeme? Der Rechteckimpuls x(t) nach Bild 5.5 kann dargestellt werden als Überlagerung von zwei Sprungfunktionen x(t) = ε(t) − ε(t − 1) Es gilt die Korrespondenz

Die Schaltung nach Bild 5.3 ergibt für RC = 1 das Ausgangssignal:

Y (s) = G(s)X(s) =

1 1 − e−s e−s s = · − (s + 1)2 s (s + 1)2 (s + 1)2

5.2  Parallel geschaltete Systeme Bild 5.6   Systemantwort y(t)

183

y(t)

1

t

Die Rücktransformation in den Zeitbereich ergibt, unter Beachtung des Verschiebungssatzes, die Systemreaktion, Bild 5.6

y(t) = te−t ε(t) − (t − 1)e−(t−1) ε(t − 1)

Als Ausgangssignal der Schaltung nach Bild 5.4 ergibt sich für RC = 1:

Y (s) =

s2

1 − e−s 1 e−s s · = 2 − 2 + 3s + 1 s s + 3s + 1 s + 3s + 1

Die Rücktransformation in den Zeitbereichkann mit Korrespondenz 18 von Tab. 8.4 durchgeführt werden. Mit δ = 23 und ω02 = 1 erhält man  3  √ √ 3 − (t−1) 2  − t 5 5 t) · ε(t) − e 2 (t − 1)) · ε(t − 1) y(t) = √ e 2 sinh( sinh( 2 2 5

Der zeitliche Verlauf dieser Funktion ist ähnlich dem Verlauf in Bild 5.6. Der Unterschied liegt hauptsächlich in der Amplitudenhöhe, die bei der nicht rückwirkungsfreien Schaltung von Bild 5.4 niedriger ausfällt, als Folge der Energiedissipation.

5.2 Parallel geschaltete Systeme Beide Teilsysteme erhalten das gleiche Eingangssignal. Die Ausgangssignale y1(t) und y2(t) werdenüber ein Summierglied zum Gesamtsignal y(t) addiert (Bild 5.7).

Bild 5.7   Parallelschaltung zweier Systeme

Aufgrund der Linearität der Teilsysteme gelten folgende Beziehungen:

Y (s) = Y1 (s) + Y2 (s) = G1 (s)X(s) + G2 (s)X(s) Y (s) = [G1 (s) + G2 (s)]X(s)

184

5  Zusammenschaltung von LTI-Systemen

Aus dem Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangssignal ergibt sich die Gesamtsystemfunktion G(s) als Summe der Teilsystemfunktionen:

Y (s) = G(s) = G1 (s) + G2 (s) X(s)

(5.3)

Für die Parallelschaltung von n Teilsystemen erhält man allgemein

G(s) = G1 (s) + G2 (s) + · · · + Gn (s) =

n 

Gk (s)

(5.4)

k=1

Die Gesamtsystemfunktion G(s) ist gleich der Summe der Übertragungsfunktionen der Teilsysteme Gk(s). Mathematisch gesehen, entspricht die Summe (5.4) einer Partialbruchzerlegung der Gesamtsystemfunktion. Das bedeutet: Kann von einer gegebenen Systemfunktion eine Partialbruchzerlegung durchgeführt werden, so kann das System durch eine Parallelschaltung von Teilsystemen dargestellt werden.

5.3 Rückgekoppelte Systeme Allgemein spricht man von Rückkopplung (feedback), wenn das Ausgangssignal von System G1 über ein weiteres System GR, auf den Eingang des Systems1 zurückgeführt wird. Bild 5.8   Rückgekoppeltes System

Wie in Bild 5.8 zu sehen ist, kann das rückgeführte Signal R(s) an der Additionsstelle entweder zum Eingangssignal X(s) addiert oder subtrahiert werden. Eine Signaladdition (+) wird Mitkopplung genannt. Eine Mitkopplung wirkt verstärkend oder anfachend auf das System, was Instabilisierung verursachen kann. Eine Signalsubtraktion (–) heißt Gegenkopplung. Diese wirkt dämpfend und damit stabilisierend auf das System. Die folgende Berechnung wird für den Fall der Gegenkopplung durchgeführt. Für die Mitkopplung braucht nur das Vorzeichen vertauscht werden. Nach Bild 5.8 gilt: U(s) = X(s) − R(s) = X(s) − GR (s)Y (s).

5.3  Rückgekoppelte Systeme

185

U(s) ist das Eingangssignal von System G1(s), es erscheint am Ausgang als

Y (s) = G1 (s)U(s) = G1 (s)[X(s) − R(s)] = G1 (s)[X(s) − GR (s)Y (s)] Nach Separation der Variablen [1 + G1 (s) · GR (s)]Y (s) = G1 (s) · X(s) erhält man die Systemfunktion bei

Gegenkopplung G(s) =

G1 (s) 1 + GR (s) · G1 (s)

(5.5)

Durch Austausch des Vorzeichens in (5.5) erhält man die Systemfunktion bei

Mitkopplung G(s) =

G1 (s) 1 − GR (s) · G1 (s)

(5.6)

Rückgekoppelte Systeme sind in Natur und Technik weit verbreitet. Man findet sie bei einer großen Zahl technischer Anwendungen, z. B. der elektrischen Schaltungstechnik, der Regelungs- und Automatisierungstechnik oder der Kommunikationstechnik. Aber auch auf anderen Gebieten sind rückgekoppelte Systeme häufig anzutreffen, etwa bei biologischen Systemen, in der Ökologie (Umweltverhalten), sowie der Ökonomie (Wirtschaftskreislauf) und ebenfalls in der Psychologie der zwischenmenschlichen Verhaltensweisen. Beispiel 5.3  Für das rückgekoppelte System nach Bild 5.9 ist die Übertragungsfunktion zu bestimmen. Welches Signal erscheint am Ausgang, wenn am Eingang die Sprungfunktion x(t) = ε(t) anliegt?

Bild 5.9   System mit Gegenkopplung

An der Additionsstelle wird das Eingangssignal X(s) vom Ausgangssingnal Y(s) subtrahiert. Das Differenzsignal gelangt an den Eingang von G(s) und erscheint danach als: 1 [X(s) − Y (s)]. Y (s) = s(s + 2)   1 1 X(s) Eine Umformung ergibt: 1 + Y (s)= s(s + 2) s(s + 2) Somit lautet die Übertragungsfunktion des Systems

G(s) =

Y (s) = X(s)

1 1  = 1 (s + 1)2 s(s + 2) 1+ s(s + 2)

186

5  Zusammenschaltung von LTI-Systemen

Für das Eingangssignal gilt die Korrespondenz Als Systemantwort im Bildbereich erhält man

Y (s) =

1 1 1 X(s) = · (s + 1)2 (s + 1)2 s

Rücktransformation in den Zeitbereich ergibt die Sprungantwort (Bild 5.10)   1 −1 = 1 − (1 + t)e−t y(t) = L s(s + 1)2 Bild 5.10   Sprungantwort

5.4 Elementare Übertragungsglieder Elementare Übertragungsglieder werden hauptsächlich für Standardaufgaben verwendet, etwa zum Verstärken oder Abschwächen eines Signalpegels, oder zum Differenzieren bzw. Integrieren eines Signalverlaufs. 1. P-Glied: Proportional-Glied Zeitbereich Bildbereich Übertragungsfunktion Bild 5.11  GP (s) = kP kP = Proportionalitätskonstante

Bild 5.11   P-Glied mit Sprungantwort

2. I-Glied: Integrier-Glied Zeitbereich

Bildbereich

5.4  Elementare Übertragungsglieder

Übertragungsfunktion Bild 5.12 GI (s) =

187

kI 1 = Integrationszeitkonstante s kI

Bild 5.12   I-Glied mit Sprungantwort

3. D-Glied: Differenzier-Glied. Zeitbereich

Bildbereich

Übertragungsfunktion Bild 5.13 GD (s) = kD s kD = Differenzierzeitkonstante

Bild 5.13   D-Glied mit Sprungantwort

4. PI-Glied: Proportional-Integrier-Glied (entspricht einer Parallelschaltung von P- und I-Glied)

Übertragungsfunktion Bild 5.14 GPI (s) = kP +

Bild 5.14   PI-Glied mit Sprungantwort

kI s

188

5  Zusammenschaltung von LTI-Systemen

5. PID-Glied: Proportional-Differenzier-Integrier-Glied (entspricht einer Parallelschaltung von P-, I- und D-Glied)

Übertragungsfunktion Bild 5.15 GPID (s) = kP +

kI + kD s s

Bild 5.15   PID-Glied mit Sprungantwort

6. PT1-Glied: Verzögerungsglied 1. Ordnung, wird beschrieben durch eine Differentialgleichung 1. Ordnung mit T als Zeitkonstante.

Übertragungsfunktion Bild 5.16 GPT1 (s) =

kP 1 + sT

Bild 5.16   PT1-Glied mit Sprungantwort

Ein typisches PT1-Glied ist ein RC-Tiefpaß, mit der Zeitkonstante T = RC

5.5 Arbeiten mit Block-Diagrammen 5.5.1 Von der Netzwerkgleichung zum Block-Diagramm Ein LTI-System wird im Zeitbereich beschrieben durch eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, die als Netzwerkgleichung bezeichnet wird. Die allgemeine Form lautet:

a0 y(t) + a1 y˙ (t) + a2 y¨ (t) + · · · = b0 x(t) + b1 x˙ (t) + · · ·

(5.7)

5.5  Arbeiten mit Block-Diagrammen

189

Durch Laplace-Transformation wird aus der Netzwerkgleichung eine algebraische Gleichung im Bildbereich.

a0 Y (s) + a1 sY (s) + a2 s2 Y (s) + · · · = b0 X(s) + b1 sX(s) + · · ·

(5.8)

Durch geeignete Umformung der Funktionsterme und unter Einbeziehung elementarer Übertragungsglieder (siehe Abschn. 5.4), kann aus der algebraischen Gleichung des Bildbereichs eine Blockstruktur entworfen werden. Die Vorgehensweise soll anhand des folgenden Beispiels erläutert werden. Beispiel 5.4  Für ein System 2. Ordnung soll ein Block-Diagramm entworfen werden, wenn folgende Netzwerkgleichung gegeben ist:

y¨ (t) + 2kI y˙ (t) + kI2 y(t) = kI x˙ (t),

(5.9)

mit kI als reziproker Zeitkonstante und den Anfangsbedingungen:y˙ (0) = y(0) = x(0) = 0 Die zugehörige Bildgleichung hat folgende Gestalt:

s2 Y (s) + 2kI sY (s) + kI2 Y (s) = kI sX(s)     kI kI Eine Umformung ergibt: Y (s) = X(s) − 2 + Y (s) · s s kI Unter Verwendung eines  Integrierglieds mit GI (s) = ergibt sich die Form s Y (s) = [X(s) − (2 + GI (s))Y (s)]GI (s)

(5.10)

(5.11)

Wir interpretieren nun Gl. (5.11) auf folgende Weise: Den Term (2 + GI(s)) können wir auffassen als Parallelschaltung eines Proportionalgliedes GP(s) = 2 und eines Integrierglieds GI(s). Das Parallelglied bezeichnen wir mit GR(s) = 2 + GI(s). Nach einer Umstellung der Variablen erhält Gl. (5.11) die Form [1 + GR (s)GI (s)]Y (s) = GI (s)X(s) Die Form dieser Gleichung entspricht einem rückgekoppelten System mit Gegenkopplung nach Gl. (5.5). Dazu kann folgendes Block-Diagramm entworfen werden, Bild 5.17.

Bild 5.17   Block-Diagramm der Bildgleichung (5.10)

190

5  Zusammenschaltung von LTI-Systemen

Das Block-Diagramm von Bild 5.17 ist nicht die einzige Möglichkeit die Netzwerkgleichung (5.9) zu realisieren. Wie man die Bildgleichung Gl. (5.10) interpretiert, mit oder ohne Basiselemente, ist dem Anwender überlassen. Letzten Endes kommt es darauf an, den optimalen Entwurf zu finden. Beispiel 5.5  Von der Netzwerkgleichung (5.9) soll mit einer alternativen Methode ein Block-Diagramm entworfen werden. Dazu bringen wir Gl. (5.10) auf folgende Form:

(s2 + 2kI s + kI2 )Y (s) = kI sX(s), kI s . Nach Umformung mit Basis-Übertragungsgliedern und erhalten G(s) = 2 s + 2kI s + kI2 erhalten wir

G(s) =

kI s

kI kI 2+ 1+ s s

=

GI (s) 1 + GI (s) · GR (s)

(5.12)

Gl. (5.12) identifizieren wir als rückgekoppeltes System, mit Gegenkopplung. Bild 5.18 ist das  zugehörige Block-Diagramm. Es ist leicht zu erkennen, dass Bild 5.17 und 5.18 strukturgleich sind. Bild 5.18   Rückgekoppeltes System mit Gegenkopplung

5.5.2 Vom Block-Diagramm zur Netzwerkgleichung und Übertragungsfunktion Um von einer gegebenen Block-Struktur zur Netzwerkgleichung zu kommen, sollen zwei Methoden erläutert werden, nach denen man vorgehen kann. Bei der Signalanalyse verfolgt man schrittweise den Weg des Signals vom Eingang bis zum Ausgang des Systems. Dabei sind sämtliche Signalumwandlungen durch die Teilsysteme zu beachten. Hat man den funktionalen Zusammenhang von Ausgangs- und Eingangssignal ermittelt, kann in gewohnter Weise die Übertragungsfunktion berechnet, bzw. die Netzwerkgleichung angegeben werden.

5.5  Arbeiten mit Block-Diagrammen

191

Bei der Systemanalyse werden einzelne Teilblöcke zu übergeordneten Blöcken zusammengefasst. Dabei werden die Methoden zur Bildung einer Reihen-, Paralleloder Rückkopplungsschaltung angewandt. Das ursprüngliche System wird so auf ein reduziertes System zurückgeführt. Durch sukzessives Zusammenfassen der ermittelten Terme ergibt sich die Systemfunktion G(s) und daraus durch Rücktransformation in den Zeitbereich die Netzwerkgleichung. Beispiel 5.6 Für das angegebene Blockdiagramm Bild 5.19 soll die Übertragungsfunktion bestimmt werden.

Bild 5.19   Block-Diagramm

Signalanalyse: Wir betrachten den Weg der Signale in Bild 5.19. An der ersten Additionsstelle wird das Eingangssignal X(s) vom rückgekoppelten Signal G5(s)Y(s) subtrahiert. Das Differenzsignal U(s) = X(s) – G5(s)Y(s) durchläuft G1(s) und erscheint als G1(s)U(s) am Eingang der zweiten Additionsstelle. Dort wird es vom rückgekoppelten Signal G4(s)W(s) subtrahiert und gelangt als

V (s) = G1 (s)U(s)−G4 (s)W (s) an den Eingang von G2 (s). Schließlich wird aus W(s) = G2(s)V(s) nach Durchlaufen von G3(s) das Ausgangssignal Y(s) = G3(s)W(s). Es gelten die Gleichungen:

V (s) = G1 (s)U(s) − G4 (s)W (s) = G1 (s)U(s)−G4 (s)G2 (s)V (s) Daraus folgt V (s) =

G1 (s) U(s). Und für Y(s) erhält man 1 + G2 (s)G4 (s)

Y (s) = G3 (s)W (s) = G3 (s)G2 (s)V (s) =

G3 (s)G2 (s)G1 (s) [X(s) − G5 (s)Y (s)] 1 + G2 (s)G4 (s)

192

5  Zusammenschaltung von LTI-Systemen

Nach Separation der Variablen

[1 + G2 (s)G4 (s) + G1 (s)G2 (s)G3 (s)G5 (s)]Y (s) = G1 (s)G2 (s)G3 (s) · X(s) erhalten wir die Übertragungsfunktion

G1 (s)G2 (s)G3 (s) Y (s) = G(s) = X(s) 1 + G2 (s)G4 (s) + G1 (s)G2 (s)G3 (s)G5 (s)

(5.13a)

Systemanalyse: In Bild 5.19 kann G2(s) und G4(s) als rückgekoppeltes System zu G2 (s) zusammengefasst werden, so dass sich die reduzierte Struktur G24 (s) = 1 + G2 (s)G4 (s) nach Bild 5.20 ergibt.

Bild 5.20   Erstes reduziertes Blockbild

In Bild 5.20 sind G1(s), G24(s) und G3(s) in Reihe geschaltet, was nach Gl. (5.2) dem Produkt der 3 Teilsysteme G14(s) = G1(s)G24(s)G3(s) entspricht. Das System lässt sich damit weiter reduzieren. Das verbleibende System nach Bild 5.21 ist ein rückgekoppeltes System mit Gegenkopplung und der Übertragungsfunktion

G(s) =

G1 (s)G2 (s)G3 (s) G14 (s) = 1 + G14 (s)G5 (s) 1 + G2 (s)G4 (s) + G1 (s)G2 (s)G3 (s)G5 (s)

(5.13b)

Bild 5.21   Zweites reduziertes Blockbild

Die Systemfunktionen nach Gl. (5.13a) und (5.13b) stimmen überein und zeigen die Gleichwertigkeit beider Berechnungsmethoden.

5.5  Arbeiten mit Block-Diagrammen

193

Beispiel 5.7  Für das in Bild 5.22 gezeigte Block-Diagramm ist zu bestimmen a) die Netzwerkgleichung, die das System im Zeitbereich beschreibt b) die Ordnung des Systems c) die Systemstabilität für a = 1, kI = 1 und variablem d

Bild 5.22   Block-Diagramm zu Beispiel 5.7

kI Zusammenfassen der Parallelterme + 2d mit dem nachfolgenden Integrierglied s kI kI kI ergibt GR (s) = (2d + ). Das verbleibende Diagramm ist ein einfaches rücks s s gekoppeltes System mit Y (s) = a · [X(s) − GR (s)Y (s) ] Nach Separation der Variablen erhält man die Übertragungsfunktion

G(s) =

s2 a = 2 1 + aGR (s) s + 2dkI s + kI2 a

(5.14)

Das System ist von 2. Ordnung, da der Nenner von G(s) eine quadratische Funktion ist.   2 s 2 + 2dkI s + kI Y (s) = s2 X(s), . Mit G(s) = Y(s)/X(s) geht Gl. (5.14) über in a

Als nächstes erfolgt die Rücktransformation in den Zeitbereich, mit den Anfangsbedingungen y˙ (0) = y(0) = 0 und x˙ (0) = x(0) = 0. Das ergibt die

.. Netzwerkgleichung 1 y(t) + 2dkI y˙ (t) + kI y(t) = x(t) a Zur Stabilität: Wir bestimmen die Lage der Pole aus dem Nennerpolynom von √ G(s) für a = 1 und kI = 1. Das ergibt s2 + 2ds + 1 = 0, mit den Polstellen s1/2 = −d ± d 2 − 1 Die Lage der Polstellen wird durch den Wert d des Proportional-Glieds in Bild 5.22 bestimmt. Für d > 0 liegen sämtliche Pole in der linken Halbebene des PN-Plans, das System ist stabil ..

194

5  Zusammenschaltung von LTI-Systemen

Für d = 0 liegen die Pole auf der imaginären Achse des PN-Plans, das System ist grenzstabil Für d  0 s−a

G1(s) hat einen Pol bei s = a in der rechten Halbebenedes PN-Plans und ist daher instabil. Durch Gegenkopplung mit einem P-Glied (Abschn. 5.4), kP ∈ R, kP ≥ 0, soll das System stabilisiert werden (Bild 5.23).

Bild 5.23   Stabilisierung durch Rückkopplung

Nach Gl. (5.5) gilt für das rückgekoppelte System

G1 (s) = G(s) = 1 + G1 (s) · GP (s)

1 1 s−a = 1 s − a + kP · kP 1+ s−a

G(s) besitzt jetzt einen Pol bei s = a − kP Für kP = 0 ist die Rückkopplung nicht wirksam und der Pol liegt weiterhin bei s = a in der rechten Halbebene (RHE) des PN-Plans (Bild 5.24). Bild 5.24   PN-Plan

5.6  Stabilisierung durch Rückkopplung

195

Mit zunehmenden Werten von kP wandert der Pol aus der rechten Halbebene nach links und befindet sich für kP > a in der linken Halbebene (LHE) des PN-Plans. Für das ursprünglich instabile System, konnte durch eine geeignete Gegenkopplung, Stabilität erreicht werden. Instabile Systeme höherer Ordnung erfordern einen größeren Aufwand um Stabilität zu erreichen. Wir betrachten dazu ein System 2. Ordnung, mit der Übertragungsfunktion

G1 (s) =

b a, b, ∈ R, s2 − a2

a, b > 0

G1(s) besitzt zwei Pole s1/2 =  ± a, wovon einer in der linken, der andere in der rechten Halbebene des PN-Plans liegt. Das System ist wegen des Pols in der RHE instabil. a) Wir versuchen eine Stabilisierung durch Gegenkopplung mit einem P-Glied.

Bild 5.25   Proportionale Signalrückführung

Als Übertragungsfunktion nach Bild 5.25 erhält man

b 2 − a2 b s G(s) = = 2 b s − a2 + bkP · kP 1+ 2 s − a2  Die Polstellen von s2 − a2 + bkP = 0 liegen bei s1/2 = ± a2 − bkP . a2 Für 0 ≤ kP < liegt stets eine Polstelle in der rechten Halbebene des PN-Plans, das b a2 System bleibt instabil. Für kP ≥ liegt eine Polstelle bei s = 0, alle weiteren liegen b auf der imaginären Achse des PN-Plans. Es kann nur Grenzstabilität erreicht werden. b) Stabilisierung durch Rückkopplung mit einem Proportional-Differenzier Glied: Ein PD-Glied hat die Übertragungsfunktion GPD (s) = kP + kD s. Damit soll das System erneut auf Stabilität untersucht werden.

196

5  Zusammenschaltung von LTI-Systemen

Bild 5.26   Signalrückführung mit einem PD-Glied

Als Übertragungsfunktion nach Bild 5.26 erhält man

G(s) =

s2

b − a2

b · (kP + kD s) 1+ 2 s − a2

=

s2

b + bkD s + bkP − a2

Die Polstellen des Nennerpolynoms s2 + bkDs + bkP − a2 = 0, liegen bei

s1/2 =

  1 −bkD ± (bkD )2 − 4(bkP − a2 ) 2

Damit alle Polstellen in der linken Halbebene des PN-Plans liegen, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein: 1. bkD > 0, mit kD ≠ 0, denn für kD = 0 würde aus dem PD-Glied ein P-Glied werden.    2. −bkD ± (bkD )2 − 4(bkP − a2 ) < 0.

a2 . b Eine Stabilisierung des ursprünglich instabilen Systems gelingt unter der Bedingung a2 kD > 0 und kP > . b Aus Bedingung (2) erhält man − 4(bkP – a2) 

5.7 Versetzen von Strukturelementen in Blockschaltbildern In Blockschaltbildern können Strukturelemente nach bestimmten Regeln versetzt werden, ohne dass dabei die Systemfunktion geändert wird.

5.7.1  G(s) über eine Additionsstelle vorwärts schieben Der G(s)-Block in Bild 5.27a soll über das Σ-Glied nach rechts verschoben werden. Bild 5.27b zeigt die gleichwertige Struktur nach der Verschiebung.

5.7  Versetzen von Strukturelementen in Blockschaltbildern

197

Bild 5.27a   G(s) vorwärts schieben

Bild 5.27b   Äquivaltente Struktur

Beweis: Nach Bild 5.27a gilt Y(s) = G(s)X1(s) + X2(s).   1 Nach Bild 5.27b gilt Y (s) = G(s) X1 (s) + X2 (s) = G(s)X1 (s) + X2 (s). G(s) Beide Gleichungen stimmen überein, die Strukturen sind gleichwertig.

5.7.2  G(s) über eine Additionsstelle rückwärts schieben. Der G(s)-Block in Bild 5.28a soll über das Σ-Glied nach links verschoben werden. Bild 5.28b zeigt die gleichwertige Struktur nach der Verschiebung. Bild 5.28a   G(s) rückwärts schieben

Bild 5.28b   Äquivaltente Struktur

Beweis: Nach Bild 5.28a gilt Y(s) = G(s).[X1(s) + X2(s)] Nach Bild 5.28b gilt Y(s) = G(s)X1(s) + G(s)X2(s) Die Übereinstimmung beider Gleichungen zeigt die Gleichwertigkeit beider Strukturen.

198

5  Zusammenschaltung von LTI-Systemen

5.7.3  G(s) über eine Verzweigungsstelle vorwärts schieben Die Identität wird wie oben gezeigt.

5.7.4  G(s) über eine Verzweigungsstelle rückwärts schieben

5.7.5 Rückkopplungskreis zusammenfassen Identität siehe Abschn. 5.3

5.8 Aufgaben zu Abschn. 5 (Ergebnisse im Anhang) Aufgabe 5.1  Ein Integrier-Glied erhält am Eingang eine Sinus-Spannung x(t) = sin(ωt). WelchesSignal wird am Ausgang erhalten?

5.8  Aufgaben zu Abschn. 5

199

Aufgabe 5.2 Das Blockschaltbild zeigt ein System zweier Integrier-Glieder, mit den Zeitkonstanten T1 und T2. An den Ausgängen dieser Schaltung können drei verschiedene Filterarten abgegriffen werden. Es ist zu zeigen: 1. Ausgang (a) ist ein Tiefpaß-Filter 2. Ordnung 2. Ausgang (b) ist ein Bandpaß-Filter 2. Ordnung 3. Ausgang (c) ist ein Hochpaß-Filter 2. Ordnung

Aufgabe 5.3  Für das im Bild gezeigte Block-Diagramm ist zu bestimmen a) die Übertragungsfunktion des Gesamtsystems. b) Für G1 =

1 1 und G2 = bestimme man, für welche a∈ℝ das System stabil ist. s+1 s+a

s hat zwei Polstellen s1/2 = 2 ± j in der (s − 2)2 + 1 rechten Halbebene des PN-Plans und ist daher instabil. Es erhält zur Stabilisierung eine Proportionalrückführung GP(s) = kP, mit einem Verstärkungsfaktor kP ≥ 0. Aufgabe 5.4 Das System G1 (s) =

a) Bestimmen Sie das zugehörige Block-Diagramm. b) Für welche Werte kP gelingt eine Stabilisierung?

200

5  Zusammenschaltung von LTI-Systemen

Aufgabe 5.5  Das gegebene Blockschaltbild zeigt den Entwurf eines LTI-Systems, mit zwei P-Gliedern a, b ≥ 0 und einem DT1-Glied mit der Zeitkonstanten T > 0. Es ist zu bestimmen: a) Die Übertragungsfunktion des Systems b) Für welche Werte von a, b wird Stabilität erreicht? c) Die Systemantwort auf die Eingangsfunktion x(t) = ε(t)

Teil II Diskrete Transformationen

6

Diskrete Fourier Transformation (DFT)

Zusammenfassung

Bei der Verarbeitung von Signalen, z. B. bei Sprach- oder Musikaufnahmen, ist oft nicht der gesamte Verlauf des Signals von Interesse, sondern nur diskrete Werte in bestimmten Abständen des Signals. Statt eines kontinuierlichen Verlaufs liegt durch Abtastung nur eine fortlaufende Folge von Zahlen vor. Dadurch wird die digitale Bearbeitung und Speicherung von analogen Signalen ermöglicht. Für die Verarbeitung diskreter Zahlenfolgen ist die Diskrete Fourier-Transformation (DFT) und deren Inverse, die IDFT, hervorragend geeignet. Vor allem steht mit dem schnellen Algorithmus der Fast Fourier Transform (FFT) ein ideales Werkzeugt für zahlreiche Anwendungen zur Verfügung. Neben den Eigenschaften der DFT werden auch die erhaltenen Spektren eingehend diskutiert und ein Verständnis für die Interpretation der Frequenzen vermittelt. Das ermöglicht wertvolle Einblicke bei der Analyse der verarbeiteten Daten.

6.1 Diskrete Funktionen und Signale Wir betrachten eine kausale, stetige Funktion x(t), z. B. ein kontinuierliches Zeitsignal. Der Funktionsverlauf sei zeitbegrenzt, d. h. x(t) ist definiert für 0 ≤ t ≤ tG. Die Funktion werde zu äquidistanten Zeitpunkten t = 0, T, 2T,..., kT abgetastet. Dabei ist T das Abtastintervall und k die fortlaufende Nummerierung. Im Bereich [0, tG] liegen somit N = tG /T Abtastwerte.

© Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert durch Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2022 H. Ulrich und S. Ulrich, Laplace-Transformation, Diskrete Fourier-Transformation und z-Transformation, https://doi.org/10.1007/978-3-658-31877-2_6

203

204

6  Diskrete Fourier Transformation (DFT)

Bild. 6.1   Abtastung eines kontinuierlichen Signals

Für die abgetasteten Funktionswerte wählen wir die Notation:

x(t)|t=kT = x(kT ) = x[k] x[k] ist damit eine Folge von Zahlen. T wird im Argument weggelassen, da T für eine äquidistante Abtastung konstant ist (Bild 6.1). Wir behandeln nun die Frage, wie man aus einem kontinuierlich verlaufenden Zeitsignal Abtastwerte gewinnen kann. Das gelingt mit der δ-Funktion, die wir im Abschn. 3.4 kennen gelernt haben. Mit der δ-Funktion kann von einem stetigen Funktionsverlauf, an einer beliebigen Stelle t = kT, der Funktionswert x(kT) = x[k] ausgeblendet werden, so dass vom gesamten Funktionsverlauf nur der Funktionswert x[k] übrig bleibt. Die mathematische Schreibweise dafür lautet:

x(t) · δ(t − kT ) = x[k] · δ(t − kT ) Wird der Funktionsverlauf x(t) im Bereich [0, tG] nicht nur einmal, sondern an N Stellen äquidistant abgetastet, so muss die δ-Funktion mehrfach angewendet werden. Wir erhalten damit eine Zahlenfolge x[0], x[1], x[2], ... , x[N − 1] Das abgetastete Signal xA(t) erhält damit folgende Darstellung:

xA (t) = x(t) ·

N−1  k=0

δ(t − kT ) =

N−1  k=0

x[k] · δ(t − kT )

Auf xA(t) wird nun die Fourier-Transformation angewendet, womit nach Abschn. 2.1 und 2.2 das Spektrum FA(ω) erhalten wird. Es gilt nach Gl. (2.4) bzw. Gl. (2.5): F {xA (t)} =

ˆ∞

xA (t)e

−jωt

−∞

dt =

N−1  k=0

x[k]

ˆ∞

δ(t − kT ) · e−jωt dt = FA (ω)

−∞

Die Berechnung des Integrals unter dem Summenzeichen ergibt mit der Ausblendeigenschaft der δ-Funktion

ˆ∞ −∞

δ(t − kT ) · e−jωt dt = e−jωkT

6.1  Diskrete Funktionen und Signale

205

Nach Einsetzen in obige Gleichung erhalten wir die

Zeitdiskrete Fourier − Transformation (ZDFT) F {xA (t)} = FA (ω) =

N−1  k=0

(6.1)

x[k] · e−jωkT

FA(ω) ist das Spektrum der abgetasteten Funktion xA(t), bzw. der Zahlenfolge x[k]. Mit der ZDFT wird einer Zahlenfolge x[k] das kontinuierliche und periodische Spektrum FA(ω) zugeordnet. Beispiel

Spektrum einer Rechteckfolge der Länge N, Bild 6.2.  1 f¨ur 0 ≤ k ≤ N − 1 x[k] = 0 sonst Bild 6.2   Rechteckfolge der x[k] Länge N

...

1

1

0

2

N–1

k

Anwenden der ZDFT ergibt

FA (ω) =

N−1  k=0

x[k]·e−jωTk =

N−1 

1· e−jωTk

k=0

Die Summe führt auf eine endliche, geometrische Reihe.  −jωT k+1 N−1  e 1 − e−jωTN 1 − qN −jωT Mit q =  erhalten wir = 1· e−jωTk = k = e 1−q 1 − e−jωT k=0 e−jωT

1 − e−jωTN Nach einer Umformung = 1 − e−jωT

  ωT ωT ωT N j N −j N 2 e 2 −e 2

−j

e

−j

e

ωT 2

ωT ωT j −j e 2 −e 2









ωT −j (N−1) ergibt sich das Spektrum FA (ω) = e 2 · Der Betrag ist das Amplitudenspektrum

ωT N 2   ωT  sin  2

sin 

 ωT N 2   |FA (ω)| = ωT sin 2 sin



−j

=e

ωT (N−1) 2

 ωT N 2   ωT sin 2

sin

·



206

6  Diskrete Fourier Transformation (DFT)

Bild 6.3   Amplitudenspektrum für N = 5

|FA(ω)|

ωT

Wie in Bild 6.3 deutlich zu erkennen ist, hat das Spektrum einen kontinuierlichen und periodischen Verlauf, mit der Periode 2π. Mithilfe der Rücktransformation, die als Inverse ZDFT bezeichnet wird, kann aus dem Spektrum FA(ω) die Folge x[k] des Zeitbereichs wieder zurückgewonnen werden.

T x[k] = 2π

ˆπ/T

FA (ω) · ejω Tk dω

Inverse ZDFT

(6.2)

−π/T

Wir können die inverse ZDFT verifizieren, indem Gl. (6.1) in Gl. (6.2) eingesetzt wird.

T 2π

ˆπ/T 

−π/T

n

−jωTn

x[n] · e

Für das Integral erhalten wir

π/T ´

−π/T

sin[π(k − n)] = π(k − n)



jω Tk

·e

ˆπ/T T  dω = x[n] ejω T (k−n) dω 2π n −π/T

ejπ(k−n) − e−jπ(k−n) 2π sin[π(k − n)] ejωT (k−n) dω = = · jT (k − n) T π(k − n)



1 f¨ur k = n , von obiger Summe über n bleibt nur das Glied x[k] übrig. 0 f¨ur k �= n   ´ 2π sin[π(k − n)] T  T π/T jω Tk Somit gilt · = x[k] x[n] · FA (ω) · e dω = 2π −π/T 2π n T π(k − n)

6.2 Diskretisierung der Frequenzvariablen Für eine Software basierte, also programmierbare Verarbeitung des Spektrums FA(ω) muss zusätzlich die Frequenzvariable ω noch diskretisiert werden. Wie wir wissen, ist das Spektrum eines abgetasteten Signals mit der Abtastfrequenz ωA = 2π/T periodisch. Teilt man den Bereich [0, ωA] auf der Frequenzachse in N gleiche Abstände, so beträgt der Abstand zwischen zwei benachbarten Frequenzen 2π . Die N ·T Frequenzachse ist jetzt nicht mehr kontinuierlich, sondern besteht aus N diskreten Frequenzen

6.2  Diskretisierung der Frequenzvariablen

ω[n] = n

2π , N ·T

207

n = 0, 1, . . . , N − 1

Die Frequenzvariable ω in Gl. (6.1) kann somit ersetzt werden durch die diskrete Form ω[n]. Eingesetzt in Gl. (6.1) der ZDFT, erhält man

FA (ω[n]) =

N−1  k=0

x[k] · e

−jω[n]kT

=

N−1  k=0

2π

x[k] · e−j n N·T kT = F[n]

Der Faktor T in der zweiten Summe lässt sich kürzen. Zudem vereinfacht man die Schreibweise auf die einzige Variable n im Argument. Die Spektralfunktion umfaßt jetzt nur noch diskrete Werte und ist somit wie die Folge der Abtastwerte eine Sequenz.

Diskrete Fourier − Transformation (DFT) N−1  n x[k] · e−j2π N k F[n] =

(6.3)

k=0

Das DFT-Spektrum ist diskret und periodisch. Die Frequenzachse ist jetzt nicht mehr kontinuierlich, sondern in Ordnungszahlen skaliert. Der große Vorteil der DFT ist die praxistaugliche Programmierbarkeit auf einem Rechner. Ein besonders effektiver Algorithmus wird bei der FFT (Fast Fourier Transform) angewendet. Die Idee des FFT-Algorithmus besteht darin, eine lange Sequenz mit N Abtastwerten in kürzere Blöcke aufzuteilen. Dies bringt eine wesentliche Einsparung des Rechenaufwandes, der ansonsten mit N2 ansteigen würde. Besonders einfach und effektiv kann der FFT-Algorithmus programmiert werden, wenn sich N als Zweierpotenz schreiben lässt. Dieser Zusammenhang wird in Abschn. 6.7 noch genauer erläutert werden. Beispiel 6.1: Signal mit fester Frequenz

Wir betrachten ein diskretes Kosinus-Signal, wobei über eine Länge von N = 10 genau eine Schwingung stattfindet: x[k] = cos(2πk 10). Wir erhalten die Werte (siehe Bild 6.4a): k

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x[k]

1,00

0,81

0,31

−0,31

−0,81

−1,00

−0,81

−0,31

0,31

0,81

208

6  Diskrete Fourier Transformation (DFT)

Nun werden wir sehen, wie die DFT, also das Spektrum dieses Signals aussieht. Dafür setzen wir x[k] in Gl. (6.3) ein und erhalten Bild 6.4b: n

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

F[n]

0

5

0

0

0

0

0

0

0

5

Bild 6.4   a Diskrete Kosinusschwingung x[k]. Die Punkte sind zur besseren Anschaulichkeit verbunden b Spektrum F[n]

Wie zu erwarten war, sehen wir einen Wert bei n = 1 (einer Schwingung pro Signallänge N). Alle anderen Werte von F[n] sind null, abgesehen von dem Wert bei n = 9. Wie wir im nächsten Abschnitt sehen werden, handelt es sich hier um die negative Frequenz n =  − 1.

6.3 Bedeutung der Frequenzen Die Erkenntnis aus dem obigen Beispiel überrascht auf den ersten Blick. Wie kann eine Schwingung mit niedriger Frequenz einen Beitrag für eine Fourier-Komponente mit hoher Frequenz liefern?  Dazu sehen wir uns im Bild 6.5 das Kosinus-Signal x[k] = cos (2π n k N) für verschiedene Frequenzen n an. Wir starten bei n = 0 und gehen zu größeren Frequenzen. Dabei beobachten wir, dass die Schwingungen immer schneller werden, bis irgendwann die diskreten Datenpunkte (zumindest visuell) keinen Aufschluss mehr über die zugrundeliegende Schwingungsfrequenz liefern (n ≈ 7). Bei noch höheren Frequenzen scheinen die Datenpunkte wieder langsamer zu oszillieren, bis bei n = N = 10  genau eine Oszillation pro Datenpunkt erreicht wird und damit die Datenpunkte alle den gleichen Wert haben. Bei noch höheren Frequenzen n scheinen die Datenpunkte wieder mit den Datenpunkten für n − N übereinzustimmen. Die DFT kann also nicht zwischen Schwingungen mit Frequenz n und n − N unterscheiden. Dazu gilt folgender Satz.

6.3  Bedeutung der Frequenzen

209

Bild 6.5   Kosinus-Schwingungen mit Frequenzen n =  −5 bis +14. Die durchgezogenen Linien zeigen den kontinuierlichen Verlauf, die Datenpunkte zeigen die Werte für ganzzahlige k

210

6  Diskrete Fourier Transformation (DFT)

u Satz 6.1  Die Spektralfunktion der diskreten Fourier-Transformation F[n] kann periodisch fortgesetzt werden. Es gilt für beliebiges ganzzahliges m:

F[n] = F[n + mN] Beweis: F[n + mN] =

=

N−1 

x[k]e−2π j(n+mN)k/N =

k=0 N−1  k=0

N−1  k=0

(6.4)

x[k]e−2π jnk/N · e−2π j·mNk/N

jmk x[k]e−2π jnk / N · e−2π   = F[n] =1, da mk∈Z

Diese Erkenntnis ist aus zwei Gründen bemerkenswert.

1. Mit Satz 6.1 wird klar, dass N Frequenzen ausreichen, um ein Signal der Länge N zu beschreiben. Mehr bzw. höhere Frequenzen tragen zu keinen weiteren Informationen bei. Es hätte keinen Nutzen, diese zu berechnen oder zu speichern. Das ist auch die Kernaussage des sog. Nyquist-Theorems. 2. Die Frequenzen ab n = N/2, …, N − 1 können auch als negative Frequenzen interpretiert werden. Für m =  −1 ergibt Gl. (6.4):

F[n − 1] = F[−1] F[n − 2] = F[−2] F[n − 3] = F[−3] ... In Bild 6.4b können wir also die Frequenzen n = 9, 8, 7, 6 auch als n =  −1, −2, −3, −4 bezeichnen und sie auf der linken Seite des Graphen anfügen (siehe Bild 6.6). Dadurch werden Ergebnisse sehr viel plausibler. Wir erkennen hier z. B., dass sich das OriginalKosinussignal aus den Frequenzen n =  −1 und n =  +1 zusammensetzt. Damit wird wie erwartet:

x[k] =

5 5 −2π jk/10 e + e+2π jk/10 = cos(2πk/10) 10 10

Bild 6.6   Diskrete Kosinusschwingung x[k] (links) und dessen Spektrum F[n] (rechts), vgl. Bild 6.4b

6.4  Die Rücktransformation

211

Beispiel 6.2: Abgeschnittenes Sägezahnsignal

Als nächstes betrachten wir die diskrete Version des abgeschnittenen Sägezahnsignals mit der Signallänge N = 200:   k f¨ur 0 ≤ k < N 2 x[k] = 0 f¨ur N 2 ≤ k < N In Bild 6.7 ist links das Signal x[k] und rechts die zugehörige DFT F[n] zu sehen.

▌Re(F[n]) ▌Im(F[n])

Bild 6.7   Abgeschnittenes Sägezahnsignal x[k] (links) und dessen Spektrum F[n] (rechts)

Zu beobachten ist, dass die Amplituden des Spektrums mit zunehmendem |n| stark abfallen. Für eine vollständige Signalrekonstruktion sind auch die Anteile für |n| > 15 notwendig, auch wenn die Amplituden dabei immer kleiner werden. Das ist auch verständlich, da sich das Signal x[k] aus unendlich vielen Sinus-/Kosinusschwingung zusammensetzt. Siehe dazu Kap. 1 der Fourier-Reihenentwicklung. Außerdem sehen wir, dass die Spektralfunktion auch imaginäre Beiträge hat. In Abschn. 6.6.1 werden wir sehen, dass die Symmetrieeigenschaften von x[k] darüber entscheiden, ob F[n] komplex oder reell/imaginär ist.

6.4 Die Rücktransformation Mit der Spektralanalyse können die auftretenden Frequenzen in einem Signal bestimmt werden. Aber auch umgekehrt sollte es möglich sein, zu einem gegebenen Spektrum die Funktionsfolge x[k] wieder zurück zu gewinnen. Dies geschieht mit der Rücktransformation, die als Inverse DFT bezeichnet wird. Wie bei der Fourier-Reihe und Fourier-Transformation existiert auch bei der DFT die Rücktransformation, mit der das Originalsignal wieder hergestellt werden kann. u Satz 6.2 Für eine nach Gl. (6.3) durgeführten DFT, zur Bestimmung des Spektrums F[n], existiert eine Rücktransformation, auch Inverse Diskrete FourierTransformation, oder IDFT genannt.

212

6  Diskrete Fourier Transformation (DFT)

N−1 1  F[n]e2π j k n/ N x[k] = N n=0

f¨ur k = 0, ..., N − 1

Inverse DFT (IDFT) (6.5)

Zum Beweis setzen wir F[n] aus Gl. (6.3), in die rechte Seite von Gl. (6.5) ein.

N−1  N−1 N−1  N−1 N−1  1 1   ′ 2π jn(k−k ′ )/ N 1  ′ f [k ]e F[n]e2π jnk / N = x[k ′ ]e−2π jnk / N e2π jnk / N = N n=0 N n=0 k ′ =0 N n=0 k ′ =0 =

N−1  k ′ =0

δ[k − k ′ ]x[k ′ ] = x[k]

Hierbei haben wir die folgende Relation verwendet:

 N−1 1  2π jn(k−k ′ )/N 1 f¨ur k = k ′ ′ e = δ[k − k ] = 0 sonst N n=0

(6.6)

Vergleichen wir die Hin- (6.3) mit der Rücktransformation (6.5), so stellen wir fest, dass für die IDFT kein neuer Algorithmus implementiert werden muss. Der Unterschied ist: • Die IDFT hat kein Minus-Zeichen im Exponenten. • Die Summation muss am Ende durch N geteilt werden.

Beispiel 6.3: Signal mit drei Frequenzen

Betrachten wir ein Signal der Länge N = 200, bei dem drei Schwingungen mit den Frequenzen n1 = 4, n2 = 11, n3 = 7  mit ϕ = 5π/8, überlagert sind.       1 2π 2π 2π n1 k + sin n2 k + cos n3 k + ϕ x[k] = cos (6.7) N 2 N N Das Spektrum F[n] nach Gl. (6.3) wurde mit Python berechnet und zusammen mit x[k] in Bild 6.8 dargestellt.

▌Re(F[n]) ▌Im(F[n])

Bild 6.8   Signal x[k] nach Gl. (6.7) (links) und die DFT für Frequenzen − 15 ≤ n ≤ 15 (rechts)

6.4  Die Rücktransformation

213

Wir erwarten im Spektrum Beiträge bei n =  ± 4, ± 7 und ± 11. In der Tat finden wir in Bild 6.8 n1 n

+4

F[n]

100

n2 −4

100

+11 −50j

n3 −11

50j

+7 ≈−38 + 92j

−7

≈−38 − 92j

Wir setzen nun die Beiträge für n1, n2 und n3 getrennt in Gl. (6.5) ein, um zu sehen, ob die drei Terme in Gl. (6.7) durch die IDFT reproduziert werden können. Betrachten wir den Beitrag der Spektralfunktion für n1, xn1 [k]:

Hier fallen die Sinus-Terme weg, da sin(−x) = − sin(x) ist. Mit cos(−x) = cos(x) folgt weiter:     2π 2π 100 · 2 cos n1 k = cos n1 k xn1 [k] = N N N Das gleiche wird für n2 durchgeführt:

Um den Term für n3 auszurechnen, verwenden wir die Tatsache, dass sich jede komplexe Zahl z = x + j y durch ihren Betrag und ihren Phasenwinkel darstellen lässt:

z = |z|ejϕ mit |z| =

 y x 2 + y2 und tan ϕ = . x

Im vorliegenden Fall ist (abgesehen von Rundungsfehlern):

F[n3 ] = −38 + j 92=100 · ej5π / 8 und F[−n3 ] = −38 − j 92 = 100 · e−j5π / 8 , √ 92 verwendet wurde. wobei 382 + 922 ≃ 100 und tan 5π/8 = −2, 4 = −38

214

6  Diskrete Fourier Transformation (DFT)

Damit erhalten wir:

 1 F[n3 ]e2π jn3 k/N + F[−n3 ]e2π jn3 k/N N  1 = 100e2π jn3 k/N+jϕ + 100e2π jn3 k/N−jϕ N     2π 2π 100 · 2 · cos n3 k + ϕ = cos n3 k + ϕ = 200 N N

xn3 [k] =

Hierbei sind, wie bei n1, die Sinus-Terme weggefallen. Da F[n] keine Beiträge für weitere n hat, ergibt sich wie erwartet: xn1 [k] + xn2 [k] + xn3 [k] = x[k] aus Gl. (6.7)

6.5 Periodische Fortsetzung des Signals x[k] Wie wir aus Satz 6.1 wissen, kann die Spektralfunktion F[n] periodisch fortgesetzt werden. In gleicher Weise ist es auch möglich, das Signal x[k] periodisch fortzusetzen. u Satz 6.3  Eine Signalfolge x[k], für k = 0, 1,... N – 1, kann periodisch fortgesetzt werden.

x[k + mN] = x[k],

f¨ur beliebiges m ∈ Z

(6.8)

Der Beweis dieses Satzes erfolgt in Aufgabe 6.5. Auch wenn das Original-Signal nur aus N Werten besteht, kann man es sich im Hinblick auf die DFT immer nach links und rechts periodisch fortgesetzt vorstellen. Siehe dazu Bild 6.9. Man kann auch k  durch mod(k, N) ersetzen, wobei mod(k, N) der Teilerrest bei Division durch N ist. Diese Erkenntnis bedeutet, dass es möglich ist, den rechten Teil des Signals, z. B. für N = 10, x[6], x[7], x[8], x[9] als x[−4], x[−3], x[−2], x[−1] auf die linke Seite zu verschieben. Dies ist wichtig, um symmetrische Funktionen und deren Eigenschaften zu untersuchen.

Bild 6.9   Spektrum eines Kosinus-Signals (links); IDFT des Spektrums (rechts), mit k  1

Z {δ[k]} =

1 z

δ[k] · z−k = 1 · z0 = 1

236

7  Die z-Transformation (ZT)

Wir erhalten die Korrespondenz: δ[k] ◦ − • 1 mit dem Konvergenzbereich: alle z.

7.5.3 Verschobener Deltaimpuls

δ[k − i] =



1 f¨ur k = i 0 f¨ur k � = i

Ausführen der ZT ergibt nur für k = i einen Beitrag (Bild 7.5): Z {δ[k − i]} =

∞  k=0

δ[k − i] · z−k = z−i

Bild 7.5   Verschobener Deltaimpuls

Wir erhalten die Korrespondenz: δ[k − i] ◦ − • z−i Konvergenzbereich: alle z.

7.5.4 Exponentialfolge x[k] = ak ε[k], mit a ∈ C. Ausführen der ZT unter Berücksichtigung der geometrischen Reihe ergibt: Z {ak ε[k]} =

∞  k=0

ak z−k =

∞  k  a k=0

z

=

1 1−

a z

=

z z−a

  Die Summe konvergiert für  az  < 1 bzw. |a| < |z|. Das sind alle Werte z, die außerhalb des Kreises der z-Ebene mit dem Radius |a| liegen. z Die Korrespondenz lautet: ak ε[k] ◦ − • Konvergenzbereich: |z| > |a| z−a Für den Spezialfall a = 1 erhält man wieder das Ergebnis der Sprungfolge ε[k].

7.5  z-Transformation elementarer Signalfolgen

237

7.5.5 Rechteckimpuls der Länge N Ein diskreter Rechteckimpuls der Länge N hat die Form (Bild 7.6)  1 f¨ur 0 ≤ k ≤ N rectN [k] = 0 f¨ur k > N Bild 7.6   Rechteckimpuls der Länge N

Ausführen der ZT ergibt: Z {rectN [k]} =

∞  k=0

rectN [k] · z−k =

N  k=0

1 · z−k = 1 +

1 1 + ··· + N . z z

Die Summenglieder entsprechen der endlichen, geometrischen Reihe, mit q = 1/z N  k=0

Wir erhalten Z {rectN [k]} =

qk =

1 − qN+1 , q � = 1. 1−q

 N+1 1 z − z−N z . = 1 z−1 1− z

1−

z − z−N Es gilt die Korrespondenz: rectN [k] ◦ − • z−1 |z| �= 1.

mit dem Konvergenzbereich

Bemerkung  rectN [k] kann auch als Differenz zweier Sprungfolgen dargestellt werden:

rectN [k] = ε[k] − ε[k − (N + 1)]. Mit den Korrespondenzen z z ε[k] ◦ − • z−1 (Verschiebungssatz), und ε[k − (N + 1)] ◦ − • z−(N+1) z−1 z z−N − erhalten wir ε[k] − ε[k − (N + 1)] ◦ − • z−1 z−1 . z − z−N ⇒ rectN [k] ◦ − • z−1

238

7  Die z-Transformation (ZT)

7.5.6 Folge der abgetasteten cos-Funktion Nach Abschn. 7.1 gilt für die Abtastung einer Funktion x(t) mit der δ-Funktion

x(t) · δ(t − kT ) = x[k] · δ (t − kT ) Angewendet auf die cos-Funktion ergibt das

cos(ωt) · δ(t − kT ) = cos(ωkT ) · δ (t − kT ) Vergleichen wir beide Ausdrücke, so erhalten wir als Abtastfolge der cos-Funktion (Bild 7.7) Bild 7.7   Abtastung der cosFunktion

x[k] = cos(ωkT )

k = 0, 1, 2, 3, · · ·

Die Abtastfolge lautet somit explizit x[k] = {cos(0), cos(ωT), cos(2ωT), ....}, mit dem Abtastintervall T. Auf die Abtastfolge x[k] = cos(ωkT) wird nun die z-Transformation angewendet, wobei wir die Euler-Darstellung verwenden   cos(ωkT ) = 21 ejωkT + e−jωkT ∞  ∞    1 jωkT cos(ωkT )z−k = X(z) = + e−jωkT z−k e 2 k=0

k=0

Mit der Korrespondenz für die Exponentialfolge erhalten wir:

  ∞ ∞ 1   jωT k −k 1   −jωT k −k z 1 z X(z) = e e + z + z = 2 k=0 2 k=0 2 z − ejωT z − e−jωT Die Umformung ejωkT + e−jωkT = 2 cos(ωkT ), ergibt schließlich X(z) = Wir erhalten die Korrespondenz: ­Konvergenzbereich |z| > 1.

cos (ωkT ) ◦ − •

z2

z2

z(z − cos(ωT )) . − 2z cos(ωT ) + 1

z(z − cos (ωT )) − 2z cos (ωT ) + 1

Spezialfälle:  Mit der oben erhaltenen Korrespondenz, lassen sich auf elegante Weise häufig verwendete Folgen und deren Bildfunktionen angeben

7.6  Sätze zur z – Transformation

239

1. Für ωT = π erhält man die alternierende Folge: {cos(πk)} = {1, −1, 1, −1, 1, · · · }. z Mit der Korrespondenz: {cos (πk)} ◦ − • X(z) = . z+1 erhält man die Folge: {cos( π2 k)} = {1, 0, −1, 0, 1, 0, −1, · · · }.   π  z2 Mit der Korrespondenz: cos k ◦ − • X(z) = 2 2 z +1 2. Für ωT =

π 2

7.6 Sätze zur z – Transformation Für die folgenden Betrachtungen sei x[k] eine kausale, diskrete (Abtast-)Folge und die zugehörige Bildfunktion Z {x[k]} = X(z) sei existent.

7.6.1 Linearität Für zwei Folgen x1[k] und x2[k] mit den Bildfunktionen X1(z) und X2(z) und a, b ∈ ℂ gilt: (7.2)

ax1 [k] + bx2 [k] ◦ − • aX1 (z) + bX2 (z) Beweis: Z {ax1 [k] + bx2 [k]} =

∞  k=0

(ax1 [k] + bx2 [k]) · z−k = a

= aX1 (z) + bX2 (z)

∞  k=0

x1 [k] · z−k + b

∞  k=0

x2 [k] · z−k

7.6.2 Verschiebungssatz Wir betrachten eine kausale Abtastfolge x[k] mit der zugehörigen Bildfunktion X(z) Die Verschiebung der Folge um i-Schritte nach rechts, entspricht einer Verzögerung um i-Takte des Abtastsignals und wird zu einer Multiplikation der Bildfunktion mit z−i.

x[k − i] ◦ − • z−i X(z) Beweis: Z {x[k − i]} =

∞ 

k=0

(7.3)

x[k − i]z−k . Die Substitution n = k – i führt auf

Z {x[k − i]} = z−i

∞ 

n=−i

x[n]z−n = z−i

∞  n=0

x[n]z−n = z−i X(z)

Da bei kausalen Folgen für n  1 =X ak x[k]z−k = x[k] Beweis: Z {ak x[k]} = a a a k=0 k=0

(7.4)

7.6.4 Multiplikationssatz im Zeitbereich Die Multiplikation einer Folge x[k] mit k, entspricht der Ableitung der Bildfunktion, multipliziert mit −z.

k · x[k] ◦ − • −z Beweis: Es gilt für die Ableitung dzd ergibt sich für die ZT: ∞ 

Z {k · x[k]} =

k=0

∞ 

k=0

z−k =

k · x[k]z−k = −z

d X(z) dz

∞ 

k=0

(7.5)

−k · z−k−1 = −z−1

∞ 

k=0

k · z−k. Damit

∞ d d  x[k]z−k = −z X(z) dz k=0 dz

7.6.5 Faltungssatz Der Multiplikation zweier Bildfunktionen im Bildbereich, entspricht dem Faltungsprodukt der zugehörigen Folgen im Originalbereich. Sei x1 [k] ◦ − • X1 (z) und x2 [k] ◦ − • X2 (z), dann gilt mit * für das Faltungsprodukt (7.6)

x1 [k] ∗ x2 [k] ◦ − • X1 (z) · X2 (z) Das Faltungsprodukt ist auf folgende Weise zu bilden:

x1 [k] ∗ x2 [k] =

∞  i=0

(7.7)

x1 [i] · x2 [k − i]

Beweis des Faltungssatzes: Z {x1 [k] ∗ x2 [k]} =

∞  k=0

(x1 [k] ∗ x2 [k])z

−k

=

∞ ∞   k=0

i=0



x1 [i] · x2 [k − i] z−k

Mit einer Umformung nach der Produktformel von Cauchy erhält man:

7.6  Sätze zur z – Transformation

Z {x1 [k] ∗ x2 [k]} =

∞ 

k=0

∞ 

i=0

x1 [i]z

241

−i

· x2 [k − i]z

−(k−i)

Z {x1 [k] ∗ x2 [k]} = X1 (z) · X2 (z)



=

∞ 

k=0

  ∞  −k x2 [k]z x1 [k]z · −k

k=0

Korollar:  δ[k] ist das Neutralelement der Faltung Die Faltung einer Folge x[k] mit δ[k] ergibt wieder die Folge x[k]. ∞  Beweis: x[k] ∗ δ[k] = x[i] · δ[k − i] = x[k]. i=0

Weiter gilt: x[k] ∗ δ[k − i] = x[k − i]. Die Faltung einer Folge mit δ[k − i] bewirkt eine um i-Schritte verschobene Folge, was einer (Abtast-)Taktverzögerung um i-Schritte entspricht.

7.6.6 Differenzenbildung Für die sog. Rückwärtsdifferenz gilt

x[k] − x[k − 1] ◦ − •

z−1 · X(z) z

(7.8)

Beweis: Z {x[k] − x[k − 1]} = X(z) − z−1 X(z) = (1 − z−1 )X(z) =

z−1 X(z) z

7.6.7 Summenbildung n  k=0

x[k] ◦ − •

z · X(z) z−1

(7.9)

n  Beweis: Mit der Folge der Partialsumme s[n] = x[k] = x[0] + x[1] + · · · + x[n], k=0 erhalten wir

s[n] − s[n − 1] =

n  k=0

x[k] −

n−1  k=0

x[k] = x[n],

mit Z{s[n]} = S(z) und Z{s[n − 1]} = z−1 S(z).

Somit gilt s[n] − s[n − 1] = x[n] ◦ − • S(z) − z−1 S(z) = X(z)

⇒ S(z) =

z X(z). z−1

7.6.8 Periodische Abtastfolge Wir betrachten eine periodische, stetige Funktion x(t) mit der Periodendauer Tp, die in p gleiche Abtastintervalle T eingeteilt werden kann, d. h. es gilt Tp = pT, mit p ∈ ℕ. Dann lautet die zugehörige Abtastfolge (Bild 7.8):

242

7  Die z-Transformation (ZT)

  x[k] = x0 , x1 , x2 , · · · xp−1 ; xp , xp+1 , xp+2 , · · · x2p−1 ; x2p , x2p+1 , x2p+2 , · · · . Da für eine periodische Funktion x(t + pT) = x(t) gilt, wiederholt sich die Abtastfolge nach p Schritten, das heißt es  gilt xp = x0, xp+1 = x1, usw. Die Folge lautet somit bei periodischer Wiederholung: x[k] = x0 , x1 , x2 , · · · xp−1 ; x0 , x1 , x2 , · · · xp−1 ; · · · .

Bild 7.8   Abtastung einer periodischen Funktion

Für die Bildfunktion der Folge erhält man unter Berücksichtigung des Verschiebungssatzes:

X(z) = x0 z−0 + x1 z−1 + x2 z−2 + · · · + xp−1 z−(p−1) +x0 z−p + x1 z−(p+1) + · · · + xp−1 z−(2p−1) +x0 z−2p + x1 z−(2p+1) + · · · + xp−1 z−(3p−1) + · · · · Ausklammern wiederkehrender Summenanteile   X(z) = 1 · x0 + x1 z−1 + x2 z−2 + · · · + xp−1 z−(p−1)  +z−p · x0 + x1 z−1 + x2 z−2 + · · · + xp−1 z−(p−1)  +z−2p · x0 + x1 z−1 + x2 z−2 + · · · + xp−1 z−(p−1) + · · · ·

und Zusammenfassen der Terme ergibt     X(z) = x0 + x1 z−1 + x2 z−2 + · · · + xp−1 z−(p−1) · 1 + z−p + z−2p + · · ·

Für den zweiten Klammerausdruck der rechten Seite erhalten wir eine geometrische Reihe mit der Summe

1 + z−p + z−2p + · · · =

1 , 1 − z−p

f¨ur |1/z| < 1

Die ZT, oder die Bildfunktion für eine p-periodischen Abtastfolge lautet somit:

X(z) =

x0 + x1 z−1 + x2 z−2 + · · · + xp−1 z−(p−1) f¨ur |z| > 1 1 − z−p

(7.10a)

Erweitert man Zähler und Nenner mit zp, so erhält man die oft gebräuchlichere Form:

7.6  Sätze zur z – Transformation

X(z) =

243

x0 zp + x1 zp−1 + x2 zp−2 + · · · + xp−1 z1 f¨ur |z| > 1 zp − 1

(7.10b)

Beispiel 7.1  Gesucht ist die Bildfunktion der alternierenden Folge x[k] = {1, − 1, 1, − 1,...}, Bild 7.9 Bild 7.9   Alternierende Folge

Die gegebene Folge kann analytisch dargestellt werden durch x[k] = (−1)k ε[k] Anwendung der ZT ergibt: Z {x[k]} = X(z) =

∞  k=0

k

(−1) ε[k]z

−k

 ∞   1 k = − z k=0

 ∞   1 1 1 1 1 k = 1 − + 2 − 3 + 4 − ··· X(z) = − z z z z z k=0 Die Summe entspricht der geometrische Reihe. Damit lautet die Bildfunktion z 1 , für |z| > 1 = X(z) = 1 − (−1/z) z+1 Beispiel 7.2  Es ist die ZT für die ansteigende Folge x[k] = k · ε[k] zu berechnen (Bild 7.10). Bild 7.10   Ansteigende Folge

244

7  Die z-Transformation (ZT)

Für die Sprungfolge gilt die Korrespondenz:

ε[k] ◦ − • E(z) =

z z−1

Für die ansteigende Folge erhält man mit dem Multiplikationssatz:

x[k] = k · ε[k] ◦ − • X(z) = −z

d E(z) dz

    z d z 1 z d = − = −z X(z) = −z E(z) = −z dz dz z − 1 z − 1 (z − 1)2 (z − 1)2 Wir erhalten die Korrespondenz: k · ε[k] ◦ − •

z für |z| > 1. (z − 1)2

Beispiel 7.3 Abtast-Verzögerung Die Folge x[k] einer abgetasteten, kausalen Funktion habe die Bildfunktion X(z). Wird die Abtastung um einen Takt verzögert, erhält man die Folge x[k − 1]. Durch z-Transformation und Anwendung des Verschiebungssatzes erhalten wir die Beziehung für  eine Eintakt-Verzögerung (Bild 7.11) Z {x[k − 1]} =

∞  k=1

x[k − 1] z−k = z−1 X(z)

Der Eintakt-Verzögerung einer Folge entspricht im Bildbereich einer Multiplikation mit z−1. Bild 7.11   Blockschaltbild Eintakt-Verzögerungsglied

Mehrtakt-Verzögerungsglieder bewirken eine Verzögerung um mehrere Takte (Bild 7.12).

Bild 7.12   Dreitakt-Verzögerungsglied

Beispiel 7.4  Gesucht ist die Bildfunktion der periodisch abgetasteten Dreiecksfunktion (Bild 7.13). Die periodischen Abtastwerte (p = 4) sind x0 = 0, x1 = 1, x2 = 0, x3 =  − 1

7.6  Sätze zur z – Transformation

245

Bild 7.13   Abgetastete Dreiecksfunktion

Anwenden der Gl. (7.10b) für periodische Abtastfolgen ergibt:

X(z) =

0 · z4 + 1 · z3 + 0 · z2 − 1 · z z4 − 1

Alternativer Lösungsweg: Das gleiche Ergebnis erhält man durch Anwenden der ZT auf die periodisch fortgesetzte Abtastfolge von Beispiel 7.4. Es gilt in ausführlicher Form: x[k] = {0, 1, 0, −1; 0, 1, 0, −1; · · ·}◦−•X(z) = 0·z0 +1·z−1 +0·z−2 −1·z−3 +0·z−4 +1·z−5 +· · ·

Mit einer Umformung erhalten wir

  1 1 1 1 · 1 − 2 + 4 − 6 + ··· . z z z z 1 Der Term in der Klammer ist eine geometrische Reihe mit der Summe . 1 + z12 1 1 z Als Ergebnis erhalten wir X(z) = · ,, = 2 1 z z +1 1+ 2 z was mit der oben erhaltenen Bildfunktion nach Gl. (7.10b) zwar identisch ist, aber eine langwierigere Berechnung darstellt. X(z) = z−1 − z−3 + z−5 − z−7 + · · · · =

246

7  Die z-Transformation (ZT)

7.7 Methoden der Rücktransformation 7.7.1 Inverse z-Transformation (ZT −1) Der mathematische Weg um aus einer Bildfunktion X(z) die zugehörige Originalfolgen x[k] wieder zu erhalten, erfolgt durch die komplexe Umkehrformel, die als inverse z-Transformation bezeichnet wird. Wie die ZT, ist auch die ZT -1 eine lineare Transformation.

Inverse z-Transformation Z −1 {X(z)} = x[k] =

1 ¸ X(z) · zk−1 dz 2πj C

(7.11)

Die Integration erfolgt auf einer geschlossenen Kurve C um den Ursprung, im mathematisch positiven Sinn. Der Integrationsweg C muss im Konvergenzgebiet von X(z) liegen. Das Ringintegral kann auch mit dem Residuensatz von Cauchy (siehe Abschn. 3.2) berechnet werden. Diese Methode der Rücktransformation einer Bildfunktion in den Originalbereich wird bei der praktischen Handhabung der z-Transformation nur in seltenen Fällen angewendet. Nämlich dann, wenn keine andere Methode der Rücktransformation in den Originalbereich mehr zur Verfügung steht.

7.7.2 Praktische Methoden der Rücktransformation In der Praxis werden zur Rücktransformation einer Bildfunktion hauptsächlich Korrespondenz-Tabellen verwendet, in der Art von Tab. 8.6 im Anhang. Dies geschieht in gleicher Weise wie bei der Laplace- bzw. Fourier-Transformation. In der Regel beschränken sich die Korrespondenztabellen auf die wichtigsten Basisfunktionen. Bei Bildfunktionen X(z), die in einschlägigen Transformations-Tabellen nicht zu finden sind, kann man versuchen, diese durch geeignete Methoden, z. B. durch eine Partialbruchzerlegung, oder durch die in Abschn. 7.6 genannten Sätze zur ZT, auf eine Form zu bringen, die man dann nach Tabelle zurück transformieren kann. Für die praktische Handhabung der Rücktransformation einer Bildfunktion X(z) in den Originalbereich, sind folgende Methoden gebräuchlich: • • • • • •

Benutzung von Korrespondenz-Tabellen Verwenden der Sätze zur z-Transformation Durchführung einer Partialbruchzerlegung Entwicklung in eine Laurent-Reihe Entwicklung in eine Taylor-Reihe Verwenden der Residuen-Methode

Anhand von einigen Beispielen und Aufgaben soll nun die praktische Handhabung einiger, der aufgeführten Methoden gezeigt werden.

7.7  Methoden der Rücktransformation

247

Beispiel 7.5 Für die Bildfunktion X(z) = 4z−0 + 3z−1 + 0, 5z−2 − 1, 5z−3 − 2z−4 ist durch Rücktransformation die Originalfolge x[k] zu bestimmen. Bild 7.14   Abtastfolge x[k]

Wegen der Linearität der ZT-1 kann die Rücktransformation von X(z), nach Tabelle 8.6 gliedweise vorgenommen werden. Es gelten die Korrespondenzen

z0 = 1 • − ◦ δ[k];

Wir erhalten:

z−1 • − ◦ δ[k − 1];

z−2 • − ◦ δ[k − 2];

usw.

X(z) • − ◦ x[k] = 4δ[k] + 3δ[k − 1] + 0, 5δ[k − 2] − 1, 5δ[k − 3] − 2δ[k − 4] oder als Folge geschrieben

x[k] = {4, 3, 0,5, −1,5, −2} Bemerkung: Hat die Bildfunktion X(z) die Form eines Polynoms in z−1, so sind die Folgenglieder von x[k] gerade die Abtastwerte der Funktion x(t), Bild 7.14. Beispiel 7.6  Durch Rücktransformation der Bildfunktion

X(z) =

1 − z3

z z(z − 2)  2 + 2 z − 4z + 4 1 z− e

ist die zugehörige Folge x[k] zu bestimmen. Mit der Korrespondenz-Tabelle 8.6 im Anhang, findet man für die einzelnen Terme von X(z)

1 = z−3 • − ◦ δ[k − 3] z3 z z • − ◦ e−2k ε[k]  1 2 = z − e−2 z− e z(z − 2) z = • − ◦ 2k ε[k] z2 − 4z + 4 z−2 Somit erhalten wir die Folge x[k] = δ[k − 3] − e−2k ε[k] + 2k ε[k]   oder: x[k] = δ[k − 3] + 2k − e−2k ε[k]

248

7  Die z-Transformation (ZT)

Aufgaben zu Abschn. 7.6 und 7.7 (Ergebnisse im Anhang) Aufgabe 7.1  Man bestimme die ZT der Multiplikation von k mit rect5[k] (Bild 7.15) Bild 7.15   Rechteckimpuls der Länge 5

Aufgabe 7.2 Gesucht ist  die Bildfunktion und die Periodenlänge p der periodischen  π Folge, x[k] = sin( 3 k) , k = 0, 1, 2, … Aufgabe 7.3  Man berechne die Bildfunktion der quadratischen Abtastfolge (Bild 7.16)

x[k] = k 2 ε[k] Bild 7.16   Quadratische Abtastfolge

Aufgabe 7.4  Anwendung des Faltungssatzes  k Für die beiden Folgen x1 [k] = 21 · ε[k] und x2 [k] = ε[k] ist

a) das Faltungsprodukt x[k] = x1 [k] ∗ x2 [k] im Originalbereich zu berechnen und davon die Bildfunktion X(z) zu bestimmen. b) die Bildfunktion X(z) = X1 (z) · X2 (z) durch Anwendung des Faltungssatzes direkt zu bestimmen. Aufgabe 7.5  Man berechne die ZT der Folge   1 1 1 1 1 x[k] = ε[k − 1] = 1, , , , , · · · k 2 3 4 5 T Hinweis: Die Folge entspricht der Abtastung der Funktion x(t) = f¨ur t ≥ T , mit T als t Abtastintervall (Bild 7.17)

7.8  Diskrete LTI-Systeme

249

Bild 7.17   Abtastfolge für x(t) = T/t

z2 Aufgabe 7.6 Durch Rücktransformation der Bildfunktion X(z) = 2 3 z − 2z + zugehörige Originalfolge x[k] zu bestimmen,

1 2

ist die

a) nach der Methode der Partialbruchzerlegung, b) durch Anwendung des Faltungssatzes.

7.8 Diskrete LTI-Systeme Diskrete LTI-Systeme werden durch lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten beschrieben. Durch z-Transformation dieser Gleichungen können wichtige Eigenschaften dieser Systeme erhalten werden. Diskrete LTI-Systeme werden in völliger Analogie zu kontinuierlichen Systemen beschrieben (Bild 7.18). Im Zeitbereich durch Differenzengleichungen, Impulsantwort und Sprungantwort. Im Bildbereich durch Übertragungsfunktion, Frequenzgang und PN-Plan. Bild 7.18   Diskretes LTI-System mit Ein- und Ausgangsfunktion

7.8.1 Lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten Eine lineare Differenzengleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten ai , bi ∈ R und m ≤ n, hat die allgemeine Form

a0 y[k] + a1 y[k − 1] + · · · + an y[k − n]

=

b0 x[k] + · · · + bm x[k − m], mit a0 � = 0 (7.12)

In Kurzform: n  i=0

ai y[k − i] =

m  i=0

bi x[k − i],

a0 � = 0

(7.12)

250

7  Die z-Transformation (ZT)

Da wir mit kausalen Signalen und Systemen arbeiten, gilt für k = 0: y[-i] = 0 für 1 ≤ i ≤ n und x[-i] = 0 für 1 ≤ i ≤ m. Auf Gl. (7.12) soll nun die z-Transformation angewendet werden. Wegen der Linearität der ZT können wir die Transformation gliedweise ausführen. Dabei ist der Verschiebungssatz zu berücksichtigen. Im Bildraum erhalten wir eine algebraische Gleichung der Form: a0 Y (z) + a1 z−1 Y (z) + · · · + an z−n Y (z) = b0 X(z) + · · · + bm z−m X(z) Durch Ausklammern der Koeffizienten und auflösen nach Y(z) erhalten wir:

(a0 + a1 z−1 + · · · + an z−n )Y (z) = (b0 + · · · + bm z−m )X(z) Y (z) =

b0 + b1 z−1 + · · · + bm z−m · X(z) a0 + a1 z−1 + · · · + an z−n

(7.13)

Damit ist die Lösung der Differenzengleichung (7.12) im Bildbereich gefunden. Durch Rücktransformation in den Zeitbereich y[k] = Z −1 {Y (z)}

erhält man y[k] als Lösung der Differenzengleichung (7.12) unter der Voraussetzung, dass die Rücktransformation existiert. Beispiel 7.7  Gesucht ist die Lösung der Differenzengleichung 1. Ordnung

y[k] + 0,2y[k − 1] = 0,5x[k], mit dem Eingangssignal x[k] = (0,3)k · ε[k] und der Anfangsbedingung: Für k = 0 ist y[−1] = 0. Durch z-Transformation der Differenzengleichung erhält man: Y (z) + 0,2z−1 Y (z) = 0,5X(z). z Auflösen der Gleichung nach Y(z) und Einsetzen von X(z) = ergibt z − 0,3 z2 z X(z) = 0,5 Y (z) = 0,5 z + 0,2 (z + 0,2)(z − 0,3)

Mit Nr. 16 von Tabelle 8.6 im Anhang, finden wir die Lösung der gesuchten Differenzengleichung   y[k] = Z −1 {Y (z)} = (0,3)k+1 − (−0,2)k+1 ε[k]

7.8.2 Übertragungsfunktion G(z)

Die Übertragungsfunktion eines diskreten LTI-Systems erhalten wir aus Gl. (7.13). In gleicher Weise wie bei analogen LTI-Systemen finden wir:

7.8  Diskrete LTI-Systeme

Der Quotient

251

Y (z) = G(z) definiert die System- oder Übertragungsfunktion X(z) m 

b0 + b1 z−1 + · · · + bm z−m i=0 =  G(z) = n a0 + a1 z−1 + · · · + an z−n

bi z−i (7.14)

ai z−i

i=0

Die Koeffizienten im Zähler und Nenner von Gl. (7.14) entsprechen den Koeffizienten der Differenzengleichung. Für kausale, diskrete LTI-Systeme gilt: m ≤ n. Der Zählergrad m darf höchstens gleich dem Nennergrad n sein, sonst enthält das System akausale Anteile. Mit Gl. (7.14) erhalten wir die Systemreaktion auf ein beliebiges Eingangssignal X(z):

Y (z) = G(z) · X(z)

(7.15)

Besteht für das Eingangssignal die Korrespondenz x[k] ◦ − • X(z), so ergibt sich die Systemreaktion im Bildbereich durch gewöhnliche Multiplikation von G(z) mit X(z). Die Systemreaktion im Zeitbereich erhält man mit der inversen z-Transformation:

y[k] = Z −1 {Y (z)} = Z −1 {G(z) · X(z)}

(7.16)

g[k] = Z −1 {G(z)}

(7.17)

Die Impulsantwort g[k] Für den Deltaimpuls δ[k] ◦ − • 1 als Eingangssignal erhalten wir mit Gl. (7.15) die Systemreaktion im Bildbereich Y (z) = G(z) · 1. Die zugehörige Systemreaktion im Zeitbereich heißt Impulsantwort:

Bild 7.19   Impulsantwort g[k]

Die Impulsantwort g[k] ist die Reaktion des Systems auf den Deltaimpuls δ[k] am Eingang (Bild 7.19). Es gibt nun zwei Möglichkeiten, wie für ein beliebiges Eingangssignal x[k], die Systemreaktion y[k] im Zeitbereich berechnet werden kann. 1. Durch direkte Rücktransformation der Bildfunktion Y (z) • − ◦ y[k]. 2. Mit dem Faltungsprodukt y[k] = g[k] ∗ x[k], was im Bildbereich der gewöhnlichen Multiplikation G(z)X(z) entspricht.

Bild 7.20   Input-/ Outputverhalten im Zeit- und Bildbereich

252

7  Die z-Transformation (ZT)

Sowohl G(z), als auch g[k] liefern eine vollständige Beschreibung des Ein- und Ausgangsverhaltens eines kausalen, diskreten LTI-Systems (Bild 7.20). Die Sprungsantwort h[k] z Auf die Sprungfolge als Eingangssignal ε[k] ◦ − • erhalten wir als Systemreaktion z−1 im Bildbereich

H(z) = G(z) ·

z z−1

(7.18a)

Die Systemreaktion auf ε[k] im Zeitbereich heißt Sprungantwort:

h[k] = Z −1 {H(z)}

(7.18b)

Ist die Impulsantwort g[k] bekannt, so läßt sich die Sprungantwort über das Faltungsprodukt berechnen:

h[k] = g[k] ∗ ε[k] =

∞  i=0

g[i] · ε[k − i].

Da ε[k − i] = 0 ist, für i > k, folgt

h[k] =

k 

g[i]

(7.19)

i=0

Aus Gl. (7.18a) erhält man durch Umstellung der Gleichung

G(z) = H(z) − z−1 H(z),

womit wir einen weiteren Zusammenhang zwischen Impulsantwort und Sprungantwort erhalten:

g[k] = h[k] − h[k − 1]

(7.20)

Beispiel 7.8 Ein diskretes LTI-System wird durch folgende Differenzengleichung beschrieben 1 y[k] − y[k − 1] + y[k − 2] = x[k] − x[k − 1] 2 Zu bestimmen ist die Übertragungsfunktion G(z) und die Impulsantwort g[k] des Systems. Nach Voraussetzung gilt für k = 0: y[−1] = y[−2] = 0 und x[−1] = 0. Durch Ausführen der ZT und nach Zusammenfassung der Terme erhält man:     1 −1 −1 −2 X(z) 1 − z + z Y (z) = 1 − z 2

7.8  Diskrete LTI-Systeme

253

z(z − 21 ) . z2 − z + 1 Mit der Korrespondenz aus Abschn. 7.5.6 für cos(ωkT) mit ωT = Impulsantwort.

Daraus ergibt sich die Übertragungsfunktion G(z) =

g[k] = Z

−1



z(z − 21 ) z2 − z + 1



π 3

erhalten wir die

  π  1 1 1 1 k ε[k] = 1, + , − , −1, − , + , +1, · · · = cos 3 2 2 2 2

7.8.3 Frequenzspektrum F(ω) Bei den kontinuierlichen Systemen ergab sich das Frequenzspektrum (oder der Frequenzgang) aus der Übertragungsfunktion G(s), indem die Variable s durch jω ersetzt wurde (Abschn. 4.4.6, Satz 4.9). In gleicher Weise verfährt man mit der Übertragungsfunktion G(z) eines diskreten LTI-Systems in dem die Variable z = esT durch ejωT substituiert wird, um das Frequenzspektrum zu erhalten. Es gilt mit Gl. (7.14) für das

Frequenzspektrum

G(z)| z=ejωT = F(ω) =

b0 + b1 e−jωT + · · · + bm e−jmωT a0 + a1 e−jωT + · · · + an e−jnωT

(7.21)

Die Bestimmung des Frequenzspektrums nach Gl. (7.21), ist nicht auf G(z) beschränkt, sondern anwendbar auf jede Bildfunktion X(z), sofern für X(z) ein Spektrum existiert. Neben Übertragungsfunktion und Impulsantwort ist der Frequenzgang eine weitere wichtige Kenngröße eines diskreten LTI-Systems. Wie bei den analogen Systemen wird der Frequenzgangs aufgeteilt in den Betrag und die Phasenverschiebung.  |F(ω)| = [Re F(ω)]2 + [Im F(ω)]2 heißt Amplitudengang oder Betragsspektrum ϕ(ω) = arg(F(ω)) heißt Phasengang oder Phasenspektrum Mit diesen Beziehungen kann der Frequenzgang auch in folgender Form angegeben werden:

F(ω) = |F(ω)| · ejϕ

(7.22)

Diese Form ist besonders geeignet zur graphischen Darstellung der Ortskurve des Frequenzgangs. Beispiel 7.9 Für die diskrete, symmetrische Rechteckimpulsfolge nach Bild 7.21, soll das Frequenzspektrum bestimmt werden. Die symmetrische Rechteckimpulsfolge wird dargestellt als Differenz zweier Sprungfolgen:

xN [k] = ε[k + N] − ε[k − (N + 1)]

254

7  Die z-Transformation (ZT)

Bild 7.21   Symmetrische Rechteckimpulsfolge

xN[k] ...

...

1

k −N

−1

0

1

N

N+1

Nach Ausführen der ZT erhalten wir im Bildbereich:

xN [k] ◦ − • XN (z) =

 z −(N+1) z  N z N z − z = z − z−(N+1) z−1 z−1 z−1

Der Übergang auf die Frequenzvariable z = ejωT liefert das Spektrum:

XN (z)|z=ejωT =

 ejNωT e−jNωT ejωT  jNωT e − e−j(N+1)ωT = + −jωT −1 1−e 1 − ejωT

ejωT

Nach einer Umformung erhalten wir das Spektrum (Bild 7.22)     ejNωT 1 − ejωT + e−jNωT 1 − e−jωT    XN (ω) = 1 − ejωT 1 − e−jωT cos(NωT ) − cos((N + 1)ωT ) = 1 − cos(ωT )   sin (2N + 1) ωT 2   XN (ω) = sin ωT 2 Bild 7.22   Spektrum der diskreten Rechteckimpulsfolge für N = 5

7.8.4 Systemstabilität Ein wichtiges Kriterium für die Realisierung eines Systems ist die Stabilität. Diese stellt sicher, dass bei beschränktem Eingangssignal, auch das Ausgangssignal nicht über alle Grenzen wächst.

7.8  Diskrete LTI-Systeme

255

Definition BIBO-Stabilität: (Bounded Input – Bounded Output).  Reagiert ein diskretes LTI-System auf ein beschränktes Eingangssignal x[k] mit einem beschränkten Ausgangssignal y[k], so ist das System stabil. Stabilitätskriterium im Zeitbereich: Ein kausales und diskretes LTI-System ist stabil, wenn seine Impulsantwort absolut summierbar ist. Das heißt es existiert ein K, so daß gilt +∞  k=0

|g[k]| < K < ∞ ,

(7.23)

mit K ∈ R

Beweis: Es sei |x[k]| < N < ∞, mit N ∈ R, ein beschränktes Eingangssignal. Das Ausgangssignal entsteht durch Faltung des Eingangsignals mit der Impulsantwort:

|y[k]| = |g[k] ∗ x[k]| = |

+∞  i=0

g[i] · x[k − i]| ≤

+∞  i=0

|g[i]| · |x[k − i]| < N ·

+∞  i=0

|g[i]|

Aus der Gleichung ist ersichtlich, dass y[k] genau dann beschränkt ist, wenn die Impulsantwort des Systems absolut summierbar ist. Wenn also gilt |y[k]| < M < ∞, wobei M = N · K ist. Ein weiteres, gleichwertiges Stabilitätskriterium ergibt sich aus der Lage der Pole der Übertragungsfunktion im Bildbereich, wozu der Pol-Nullstellen-Plan benötigt wird.

7.8.5 Pol-Nullstellen-Plan (PN-Plan) Die Beschreibung des PN-Plans für diskrete Systeme, erfolgt in völliger Analogie zu den kontinuierlichen Systemen. Dazu muss die Systemfunktion G(z), die nach Gl. (7.14) eine Polynomfunktion in z−k ist, in die Produktform umgewandelt werden. Wir multiplizieren Zähler und Nenner mit zn. Das ergibt:

  b0 + b1 z−1 + · · · + bm z−m · zn (b0 zm + b1 zm−1 + · · · + bm ) n−m  ·z G(z) =  = (a0 zn + a1 zn−1 + · · · + an ) a0 + a1 z−1 + · · · + an z−n · zn (7.24a)

Nach dem Fundamentalsatz der Algebra kann durch Aufsuchen der Nullstellen Ni des Zählerpolynoms und der Nullstellen Pi des Nennerpolynoms die Produktform von Gl. (7.24a) angegeben werden. Ni sind die Nullstellen des Zählerpolynoms, i = 1, ... , m Pi sind die Nullstellen des Nennerpolynoms, i = 1, ... , n

256

7  Die z-Transformation (ZT)

In der Produktform lautet die Übertragungsfunktion G(z):

G(z) =

b0 (z − N1 )(z − N2 ) · · · · (z − Nm ) n−m ·z , · a0 (z − P1 )(z − P2 ) · · · · (z − Pn )

(7.24b)

m≤n

Die Nullstellen des Nennerpolynoms sind die Pole von G(z). Der PN-Plan entsteht dadurch, dass die Pole (x) und die Nullstellen (o) von G(z) in die komplexe z − Ebene eingetragen werden (Bild 7.23). Dabei transformieren sich die Pole stabiler Systeme in das Innere des Einheitskreises. Die Pole instabiler Systeme liegen außerhalb des Einheitskreises (siehe Abschn. 7.4). Es ergibt sich damit folgende Aussage zur Systemstabilität. Bild 7.23   PN-Plan

Im(z)

–1

1

Re(z)

Stabilitätskriterium im Bildbereich Ein diskretes LTI-System ist • stabil, wenn alle Pole von G(z) innerhalb des Einheitskreises liegen, • grenz- oder quasistabil, wenn alle Pole innerhalb des Einheitskreises liegen und auf dem Rand nur einfache Pole liegen. • instabil, sobald ein Pol außerhalb des Einheitskreises liegt, oder ein mehrfacher Pol auf dem Einheitskreis liegt. Die Nullstellen von G(z) spielen für die Stabilität des Systems keine Rolle. Auch der Term zn−m in Gl. (7.24b) ist für z = 0 eine n-m fache Nullstelle, da n ≥ m ist.

z+1 . Gesucht ist die z2 − 2, 5z + 1 Impulsantwort g[k], der Frequenzgang F(ω), der PN-Plan und die Stabilität des Systems. Die Impulsantwort g[k] erhält man aus G(z) durch Rücktransformation. Da eine Korrespondenz nach Tabelle 8.6 nicht zur Verfügung steht, wird eine Partialbruchzerlegung durchgeführt. Beispiel 7.10 Für ein diskretes LTI-System ist G(z) =

7.8  Diskrete LTI-Systeme

257

Die Polstellen des Nenners sind: z2 − 2, 5z + 1 = 0 ⇒ z1 = 21 und z2 = 2. 1 z+1 2 Partialbruchzerlegung von G(z) = . = − 1 1 z−2 (z − 2)(z − ) z− 2 2 Als Impulsantwort erhalten wir:    k−1 1 2 = 2 · 2k−1 ε[k − 1] − 21 ε[k − 1] − z−1/2 g[k] = Z −1 z−2    1 k−1 k ε[k − 1] g[k] = 2 − 2

PN-Plan und Stabilität. G(z) hat die Pole z1 = 21 , z2 = 2 Von den beiden Polen (x) liegt einer im Inneren des Einheitskreises, der andere außerhalb davon (Bild 7.24). Damit ist das System instabil. Bild 7.24   PN-Plan von Beispiel 7.10

Im(z)

–1

0,5

1

2 Re(z)

Die Nullstelle des Zählers z0 = −1 ist für die Stabilität ohne Belang. Für den Frequenzgang des Systems erhalten wir nach Gl. (7.21)

F(ω) =

e2jωT

ejωT + 1 1 + e−jωT = . − 2, 5ejωT + 1 ejωT − 2, 5 + e−jωT

Der Betrag des Frequenzgangs |F(ω)| = A(ω) ist der Amplitudengang (Bild 7.25)

|1 + e−jωT | |1 + cos(ωT ) − j sin(ωT )|  = A(ω) =  jωT −jωT  |2 cos(ωT ) − 2, 5| e − 2, 5 + e  √ 2 2 (1 + cos(ωT )) + sin (ωT ) 2 + 2 cos(ωT ) = A(ω) = |2 cos(ωT ) − 2, 5| |2 cos(ωT ) − 2, 5|

258

7  Die z-Transformation (ZT)

Bild 7.25   Amplitudengang von Beispiel 7.10

7.9 Blockdiagramme diskreter LTI – Systeme Die Zusammenschaltung diskreter LTI-Systeme kann durch Blockdiagramme übersichtlich dargestellt werden. Werden mehrere LTI-Teilsysteme zu einem Gesamtsystem kombiniert, so ist das Gesamtsystem auch wieder ein LTI-System. Wie bei den kontinuierlichen Systemen gibt es auch bei den diskreten Systemen drei grundsätzliche Arten der Zusammenschaltung, die wir im Folgenden besprechen werden. Dabei wird rückwirkungsfreie Kopplung der Teilsysteme vorausgesetzt.

7.9.1 Reihen-Schaltung diskreter Teilsysteme Werden n Teilsysteme in Reihe zu einem Gesamtsystem zusammen geschaltet, so gilt für das Ein- /Ausgangsverhalten der einzelnen Systeme:

G1 (z) =

Y2 (z) Y (z) Y1 (z) , G2 (z) = , · · · · , Gn (z) = X(z) Y1 (z) Y(n−1) (z)

(7.25)

Bild 7.26   Reihenschaltung von n Teilsystemen

In Bild 7.26 ist ersichtlich, wie das Ausgangssignal eines Teilsystems, zum Eingangssignal des nachfolgenden Teilsystems wird. Um die Gesamtübertragungsfunktion zu erhalten, geht man in Bild 7.26 von Gn (z) aus und setzt rückwärts sukzessive die Ein- /Ausgangsbeziehungen der Teilsysteme Gl. (7.25) aneinander. Auf diese Weise erhalten wir für die gesamte Reihenschaltung folgendes Ergebnis:

Y (z) = Gn (z)·Yn−1 (z) = Gn (z)·Gn−1 (z)·Yn−2 (z) = Gn (z)·Gn−1 (z) · · · G2 (z)·G1 (z)·X(z)

7.9  Blockdiagramme diskreter LTI – Systeme

259

Der Quotient Y(z)/X(z) ist nach Definition die Gesamtübertragungsfunktion für die in Reihe geschalteten Teilsysteme. Gesamtübertragungsfunktion

G(z) = G1 (z) · G2 (z) · · · Gn (z) =

n 

Gk (z)

(7.26)

k=1

Die Übertragungsfunktion des Gesamtsystems entspricht dem Produkt der Übertragungsfunktionen der einzelnen Teilsysteme. Die Systembeschreibung im Bildbereich erweist sich mit einfachen Multiplikationen äußerst vorteilhaft, im Vergleich zur Systembeschreibung über Faltung und Differenzengleichungen im Zeitbereich.

7.9.2 Parallel-Schaltung diskreter Teilsysteme Die n Teilsysteme erhalten das gleiche Eingangssignal, die einzelnen Ausgangssignale Yi(z) werden über ein Summierglied zum Gesamtsignal Y(z) addiert (Bild 7.27).

Bild 7.27   Parallelschaltung von n Teilsystemen

Das Gesamtsignal nach dem Summierglied ist Y (z) = Y1 (z) + Y2 (z) + · · · · +Yn (z) Für jedes Teilsystem gilt Yi (z) = Gi (z)X(z), i = 1, …, n Es folgt Y (z) = G1 (z)X(z) + G2 (z)X(z) + · · · · +Gn (z)X(z)

Y (z) = [G1 (z) + G2 (z) + · · · · +Gn (z)] · X(z) Wir erhalten für n parallel geschaltete Teilsysteme, nach Quotientenbildung Y(z)/X(z) die Gesamtübertragungsfunktion

G(z) = G1 (z) + G2 (z) · · · · +Gn (z) =

n  k=1

Gk (z)

(7.27)

260

7  Die z-Transformation (ZT)

Die Übertragungsfunktion des Gesamtsystems entspricht der Summe der Übertragungsfunktionen der einzelnen Teilsysteme. Beispiel 7.11  Das vorliegende System besteht aus einer Parallel- und Reihenschaltung dreier Teilsysteme, (Bild 7.28). Gesucht ist die Übertragungsfunktion G(z), die Impulsantwort g[k], der Frequenzgang F(ω) und die Differenzengleichung des Systems.

z , mit a ∈ R z−a a G2 (z) = z−a az G3 (z) = (z − a)2

G1 (z) =

Bild 7.28   System aus Parallel- und Reihenschaltung

X(z)

G1 +

G3

Y(z)

G2

Die Gesamtübertragungsfunktion ergibt sich aus der Kombination der Parallel- und Reihenschaltung der Teilsysteme.

G(z) = [G  1 (z) + G2 (z)] ·G3 (z) z a az az(z + a) G(z) = + · = z−a z−a (z − a)2 (z − a)3 Daraus erhalten wir die Impulsantwort nach Nr. 14 der Korrespondenz-Tabelle 8.6:   az(z + a) = k 2 ak ε[k] g[k] = Z −1 (z − a)3 Den Frequenzgang erhält man nach Gl. (7.21):   aejωT ejωT + a F(ω) =  3 jωT  e 2 −a  a cos (ωT ) + a cos(ωT ) − sin2 (ωT ) + j(2 sin(ωT ) cos(ωT ) + a sin(ωT )) F(ω) = [cos(ωT ) − a + j sin(ωT )]3 Zur Berechnung der Differenzengleichung geht man aus von Y(z) = G(z)·X(z)

Y (z) =

az−1 + a2 z−2 az(z + a) X(z) = X(z) 3 (z − a) 1 − 3az−1 + 3a2 z−2 − a3 z−3

Dann separiert man die Terme in einen Y- und einen X-Anteil.

7.9  Blockdiagramme diskreter LTI – Systeme



261

   1 − 3az−1 + 3a2 z−2 − a3 z−3 Y (z) = az−1 + a2 z−2 X(z)

Jetzt kann gliedweise die Rücktransformation durchgeführt werden. Dabei ist der Verschiebungssatz zu beachten. Es ergibt sich die Differenzengleichung

y[k] − 3ay[k − 1] + 3a2 y[k − 2] − a3 y[k − 3] = ax[k − 1] + a2 x[k − 2]

7.9.3 Rückgekoppelte diskrete Systeme Bei einem rückgekoppelten System wird das Ausgangssignal Y(z) entweder direkt, oder über ein Teilsystem GR(z) auf den Eingang zurückgeführt.

Bild 7.29   Rückgekoppeltes System

Wird an der Additionsstelle das rückgeführte Signal GR (z)Y (z) zum Eingangssignal addiert (+), dann spricht man von Mitkopplung, wird es subtrahiert (−), dann spricht man von Gegenkopplung. Aus dem Strukturbild 7.29 erhält man die Bildgleichung für das Ausgangssignal bei Gegenkopplung:

Y (z) = [X(z) − GR (z)Y (z)] · G1 (z)

(7.28)

Nach Separation der Ein- und Ausgangsgrößen ergibt sich:

[1 + G1 (z)GR (z)] · Y (z) = G1 (z)X(z) Mit Y(z)/X(z) = G(z) erhalten wir die Übertragungsfunktion bei Gegenkopplung

G(z) =

G1 (z) 1 + G1 (z) · GR (z)

(7.29)

262

7  Die z-Transformation (ZT)

Bei Mitkopplung ist in Gl. (7.28) das Minuszeichen durch ein Pluszeichen zu ersetzen. Somit lautet die Übertragungsfunktion bei Mitkopplung

G(z) =

G1 (z) 1 − G1 (z) · GR (z)

(7.30)

Beispiel 7.12  Für das rückgekoppelte System nach Bild 7.30 ist zu bestimmen Bild 7.30   Rückgekoppeltes System

a) die Impulsantwort, b) der Frequenzgang, c) die Stabilität des Systems. a) Nach Gl. (7.29) erhalten wir für die Übertragungsfunktion bei Gegenkopplung

G(z) =

z G1 (z) = 2 1 + G1 (z) · 1 z +1

Zur Rücktransformation von G(z) verwenden wir Nr. 18 der Korrespondenzz π  π • − ◦ sin k ε[k]. Tabelle 8.6, wobei ωT = gesetzt wird. Das ergibt: 2 z + 1 2 2   z = sin π2 k ε[k]. Somit erhalten wir für die Impulsantwort g[k] = Z −1 z2 +1 b) Für den Frequenzgang gilt nach Gl. (7.21):

ejωT ej2ωT + 1 sin(ωT ) + j cos(ωT ) F(ω) = 2 sin (ωT ) + 2j sin(ωT ) cos(ωT )

F(ω) =

Der Betrag | F(ω)| ist der Amplitudengang (Bild 7.31) Bild 7.31   Amplitudengang zu Beispiel 7.12

7.9  Blockdiagramme diskreter LTI – Systeme



263

1 A(ω) =  2 4 sin (ωT ) − 3 sin4 (ωT )

c) Zur Beurteilung der Stabilität verwenden wir den PN-Plan (Bild 7.32) Die Polstellen (x) von G(z) ergeben sich aus z2 + 1 = 0 ⇒ z1/2 = ±j Als Nullstelle (o) haben wir z0 = 0 Die beiden Polstellen befinden sich auf dem Rand des Einheitskreises. Das System ist grenz- oder quasistabil. Bild 7.32   PN-Plan zu Beispiel 7.12

+j

Im(z)

Re(z) –1

0,5

1

–j

Aufgaben zu Abschn. 7.8 und 7.9. (Ergebnisse im Anhang) Aufgabe 7.7  Es ist zu überprüfen, ob das vorliegende System mit dem Übertragungsverhalten Y(z) = X(z/c), c ∈ R, c � = 0, ein diskretes LTI-System ist.

X(z)

System

Y(z) = X(z/c)

Aufgabe 7.7 Übertragungsverhalten eines diskreten Systems

Aufgabe 7.8  Man bestimme das Blockdiagramm für ein System mit der Impulsantwort

g[k] = ak ε[k],

a ∈ R, a > 0

Aufgabe 7.9 Das Blockdiagramm zeigt ein diskretes LTI-Systems mit linearer Rückführung

z , a∈R z − a/2 3(a/2)2 G2 (z) = z(z − a/2) z G3 (z) = z − e−a

G1 (z) =

264

Für das System ist zu bestimmen a) die Übertragungsfunktion G(z) b) die Impulsantwort g[k] c) der PN-Plan für a = 1 d) die Systemstabilität

7  Die z-Transformation (ZT)

8

Anhang

Zusammenfassung

Die Lösungen zu den Aufgaben in den sämtlichen Kapiteln des Buches sind hier zusammen gestellt. Nach dem Durcharbeiten der einzelnen Kapitel, sollten die Lösungen leicht nachvollzogen werden können. Wo es zur Erläuterung nötig erschien, oder dem Verständnis dienlich war, wurden grafische Darstellungen mit eingefügt.

8.1 Ergebnisse der Aufgaben 1 Lösung 1.1  bk = 0 (gerade Funktion), a0 = (Mittelwert), 2  π 2 . Für k gerade ⇒ ak = 0 sin k ak = πk 2   cos(3x) cos(5x) cos(7x) cos(9x) cos(11x) 1 2 + − + − + ... f (x) = + cos(x) − 2 π 3 5 7 9 11 Lösung 1.2  bk = 0 (gerade Funktion),

A a1 = ; 2

A a0 = ; π Lösung 1.3

a0 =

3 , 8

a1 = −

2 , π2

  

�0 π� ak = 2A sin (1 + k)  2  π 1 − k2 a2 = −

1 , π2

b1 =

2 1 + , 2 π π

f¨ur

k = 2n + 1

und

f¨ur k = 2n

b2 = −

n∈N

1 2π

© Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert durch Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2022 H. Ulrich und S. Ulrich, Laplace-Transformation, Diskrete Fourier-Transformation und z-Transformation, https://doi.org/10.1007/978-3-658-31877-2_8

265

266

8 Anhang

Lösung 1.4  a0 = 0, 5;

ak = 0;

Lösung 1.5  ck =

1 1 − e−2π ; 2π 1 + jk

Lösung 1.6  a0 =

3 π 8

Lösung 2.1  F(ω) =

bk = −

1 ; πk

f (x) =

a0 = a1 = b1 =

(Mittelwert) a1 =

2 π

∞ sin(kx) 1  1 − 2 π k=1 k

 1  1 − e−2π = 0,15886 2π

bk = 0

(gerade Funktion)

    ωT 2j −1 cos ω 2

2a ; Im F(ω) = 0, gerade Zeitfunktion + ω2    ˆ∞ 1 − cos ωT ωT 4U 4U 2 cos(ωt)dω Lösung 2.3  F(ω) = 2 1 − cos ; f (t) = ω T 2 πT ω2 0   2 2 Lösung 2.4  F(ω) = j · − sin(ωT ) ω ω2 Lösung 2.2  F(ω) =

Lösung 2.5  f (t) = Lösung 3.1  a)

¸

W

a2

1 sin t − t cos t π t2

dz = 2π j z−2

Lösung 3.2  Res {f (z)} = − z=−1

Lösung 3.3 a)

1 8

b) Res z=2



1 z−2

Res{f (z)} = z=1

f (t) = −et + e2t



=1

1 8

b)

f (t) =



2t −

 t 2 −t e 2

   1 t d) f (t) = −4,5t 3 + 13,5t 2 − 9t + 1 e−3t e − e−t = sinh(t) 2 e) f (t) = t − 2 + te−t + 2e−t f) f (t) = 2e−t − 2 cos(t) + 3 sin(t)

c)

Lösung 3.4 

t n−1 1 •−◦ n s (n − 1)!

Lösung 3.5   Lösung 3.6 

f (t) =

1 2 • − ◦ [sin(t) − t cos(t)] 2 s2 + 1

s4

1

1 s • − ◦ [cosh(2t) − cos(2t)] − 16 8

8.1  Ergebnisse der Aufgaben

Lösung 3.7

Lösung 3.8

Lösung 3.9

267

6 5 24 − 6s2 + 5s4 24 − + = s5 s3 s s5 5 8s + 19 3 + = b) F(s) = s+2 s+3 (s + 2)(s + 3)

a)

F(s) =

c)

F(s) =

2 − 3s s2 + 1

d)

e)

F(s) =

s2

a − a2

f)

a)

7 5 f (t) = 1 − 3t + t 3 − t 4 6 24

b)

c)

f (t) = 0,5e2,5t + 3t

d)

f (t) = 5 cos(t) + 3 sin(t)

e)

f (t) = 0,5 cos(1,5t) + 2,5 sin(1,5t)

a)

F(s) =

b)

F(s) =

d)

F(s) =

c)

e)

2e−5 s3 1 + e−π s F(s) = 2 s +1

F(s) =

Lösung 3.10  F(s) = Lösung 3.11  f (t) =

 1  1 1 − 2e−s + 2 e−s − e−2s s s

1 4 − s3 s + 0, 5 s F(s) = 2 s − a2 F(s) =

f (t) = 6e−5t − 8e2t

1 − e−3s s2  1 1 1 − e−s − e−2s 2 s s

 A  −st1 e − e−st2 s

A A t − (t − 2)ε(t − 2) − Aε(t − 2) + Ae−(t−2) ε(t − 2) 2 2

 Ae−2s Ae−2s A  + 1 − e−2s − 2 2s s s+1   ω 1 − e−sT • − ◦ f (t) = sin(ωt) − sin[ω(t − T )]ε(t − T ) Lösung 3.12  F(s) = s2 + ω 2 F(s) =

Lösung 3.13  t−2 t ≥2 a) f (t) = 0 t1 −e−2(t−1) t > 1

h)

Lösung 3.14

a) c) e)

2 (s + 5)3 s+δ F(s) = (s + δ)2 + ω2

F(s) =

F(s) =

2 2 1 + + 2 s (s + 1) (s + 2)3

 f¨ur 0 ≤ t < 1 t f (t) = 1 f¨ur 1 < t ≤ 2  −2(t−2) f¨ur t > 2 e b) d) f)

F(s) =

24 (s − 3)5

s+2 s+2 = 2 2 (s + 2) − 1 s + 4s + 3 e−s F(s) = 2 s + 4s + 5 F(s) =

Lösung 3.15 a)

f (t) = te−t

b)

f (t) = e−t cosh(2t)  (t−2)2 e−(t−2) t ≥ 2 2 e) f (t) = 0 t 3 c)

Lösung 3.16

a) b) c) d) e)

f (t) = 21 e−2t sin(2t)

f (t) = 21 t 2 e−at  1 −(t−3) e sin[2(t − 3)] t ≥ 3 f) f (t) = 2 0 t1   1 2 t + 2t + 3 e−t m) f (t) = 2

8.1  Ergebnisse der Aufgaben

269

Lösung 3.17  f (t) = cos(t) ∗ cos(t) =

1 [sin(t) + t cos(t)] 2

Lösung 3.18

A2 es1 t − es2 t A1 + • − ◦ f (t) = s − s1 s − s2 s1 − s2 s1 t s2 t e −e b) f (t) = es1 t ∗ es2 t = s1 − s2     est est es1 t − es2 t c) f (t) = Res + Res = s=s2 s=s1 s1 − s2 (s − s1 )(s − s2 ) (s − s1 )(s − s2 ) a)

F(s) =

Lösung 3.19  F(s) =  Lösung 3.20

b)

f (t) =

c)

f (t) = 1 − t +

d)

f (t) = 1 −

Lösung 3.24

lim f (t) = 0

∞

∞

k  t3 t4 t2 k t − + − + · · · = (−1) (2!)2 (3!)2 (4!)2 (k!)2 k=0 ∞

 t2 t4 t6 t 2k + − + −··· = (−1)k 2 2 2 (2!) (4!) (6!) (2k!)2 k=0  1 1 • − ◦ 1 − e−at s(s + a) a  1 1 • − ◦ 2 e−at + at − 1 s2 (s + a) a   1 1 b) a) F(s) = arctan s s  U0  a) F(s) = 2 1 − e−sτ τs  U0  b) F(s) = 2 1 − e−sτ − e−s2τ + e−s3τ τs lim f (t) = 0

t→0

t→∞

lim f (t) = 0

Endwertsatz nicht anwendbar, Polstelle bei s = +1 lim f (t) = 1

t→0

d)

t 1 t sin(t) ∗ sin(t) = [sin(t) − t cos(t)] 2 8

 t5 t8 t 11 t 14 t 17 t 3k+2 t2 − + − + − + −··· = (−1)k 2! 5! 8! 11! 14! 17! (3k + 2)! k=0

Lösung 3.23

c)

f (t) =

∞

f (t) = t −

Lösung 3.22

b)

1 , s2 + 1

2 · 

 t5 t9 t 13 t 17 t 21 t 4k+1 + − + − + −··· = (−1)k 5! 9! 13! 17! 21! (4k + 1)! k=0

a)

Lösung 3.21

a)

s s2 + 1

lim f (t) = 2 t→0

t→∞

lim f (t) = 0

t→∞

t→0

lim f (t) =

π 2

F(s) =

2s + 8 s(s + 3)3

270

e) f)

8 Anhang

lim f (t) = 1

lim f (t) = 0 t→0

t→∞

lim f (t) = ∞

t→∞

lim f (t) = 0

t→0

Lösung 3.25

a) c)

F(s) =  F(s) =

2s s2

−1

4

6s − 36s2 + 6  4 s2 + 1 1

e)

b)

2

F(s) = 

Lösung 3.26 

s2 + 1

d)

6s2 − 2 F(s) =  3 s2 + 1

F(s) =

2 (siehe Aufgabe 3.5)

s2 + 12s − 4  2 s2 + 4

1 e−t dF(s) =− • − ◦ −e−t = −tf (t) ⇒ f (t) = ds 1+s t

Lösung 3.27 a)

F(s) = ln



s+1 s−1

b)

F(s) = ln

Lösung 3.28  a) ln 0,25 = −1,38629… Lösung 4.1



s+1 s



c)

F(s) = ln

b) ln 3 = 1,09861…

3 1 1 t − + e−t − e−2t 2 4 4 f (t) = 15te−t + 4e−t − 4 cos(2t) − 3 sin(2t)

a) f (t) = b)

f (t) = te−3t + 3e−3t − 2e−2t + e3t  √ √   √  3 3 −t 0,5t 11 3 d) f (t) = 2e + e sin t − cos t 3 2 2  � � 1 t 1 −2t   e 0≤t≤2 +  − 4 � 2 �4 � � e) f (t) = 1 −2t t − 2 1 −2(t−2) t   e − e t>2 + + − 2 4 2 4 c)

√ √ Lösung 4.2  f (t) = 2e−5t + e−t [A cos( 3t) + B sin( 3t)] Lösung 4.3

 � �  U0 1 − e− RC1 t f¨ur 0 ≤ t ≤ τ � � a) ua (t) = 1 1  U0 −e− RC t + e− RC (t−τ ) f¨ur t > τ � � t b) ua (t) =kt − kRC 1 − e− RC



s2 + a22 s2 + a12

8.1  Ergebnisse der Aufgaben

271

Lösung 4.4  x(t) = 8t + 2 − 2 cos (t) − 3 sin (t); Lösung 4.5

 1 1 2 1 + e3t + e−3t + cosh(3t) = 3 3 3   y(t) = 6 cosh(3t) = 3 e3t + e−3t x(t) =

Lösung 4.6  x(t) = 5e−t + 3e4t , Lösung 4.7

y(t) = −4t + 1 + 2 sin (t)

y(t) = 5e−t − 2e4t

  U0 −δt δ cos(ωt) − sin(ωt) e R ω  1 1 2 δ= , ω0 = , ω = ω02 − δ 2 2RC LC

iC (t) =

Lösung 4.8  i(t) =

  1 R U0 1 − e− 2L t R 2

  t Lösung 4.9  uR (t) = kRC 1 − e− RC Lösung 4.10

i2 (t) =

 � 0,447U0 � − 0,382 t  − 2,618 t  RC RC − e e   R

 � �  2,618 0,382 2,618  t  0,447U0 e− 0,382 RC − e− RC t − e− RC (t−τ ) − e− RC (t−τ ) t > τ R

Lösung 4.11  Es sei ω02 =

R 1 . und δ = LC 2L

a) aperiodischer Fall: b) aperiodischer Grenzfall: c) periodischer Fall:

0≤t≤τ

  e−δt U0 2 2  sinh i(t) = δ − ω0 t L δ 2 − ω02

U0 −δt te L   e−δt U0  sin i(t) = ω02 − δ 2 t L ω2 − δ 2 i(t) =

0

Lösung 4.12

a)

 � � 2t − RC  U0 C 2t   +1−e 0≤t≤τ  4τ RC i(t) = � �  U0 C 2τ 2(t−τ ) 2t   − e− RC + e− RC t>τ  4τ RC U0 lim i(t) = t→∞ 2R

272

8 Anhang

b)

� �  U C 2t 2t   0 + 1 − e− RC 0≤t≤τ 4τ �RC i(t) = � U0 − 2(t−τ ) 2(t−τ ) 2t   U0 C −e− RC e RC + e− RC − t>τ 4τ 2R lim i(t) = 0 t→∞

Lösung 4.13

U0 − 2 t e RC R

a)

i(t) =

b)

I2 (s) =

ua (t) =

Ue (s) s + Ls + 2R Ue (s) ⇒ Ua (s) = RI2 (s) = 2RLs + 5R2 2 s+

1) Ue (s) = 1 ⇒Ua (s) = ⇒ua (t) =

2) Ue (s) =

Lösung 4.14  a)

 U0  2 1 + e− RC t 2



1 R 1 − 2 2L

1

2R L 5R 2L



 (Polynomdivision) 5R  s+ 2L

R − 5R t 1 δ(t) − e 2L 2 4L  

0,1  (Partialbruchzerlegung) 5R  s+ 2L  5R  t − ⇒ua (t) = U0 0,4 + 0,1e 2L 

U0  0,4 ⇒Ua (s) = U0  + s s

h(t) =

 1 2t 1 + e− RC 2

b)

g(t) = δ(t) −

1 − 2t e RC RC

Hinweis zu b): Polynomdivision von G(s) oder verallgemeinerte Ableitung von h(t).

 1 2t Lösung 4.15  a) h(t) = 1 − e− RC 2 Lösung 4.16

a)

G(s) =

2t

b)

R2 Cs + 1 (R1 + R2 )Cs + 1

e− RC g(t) = RC

8.1  Ergebnisse der Aufgaben

b)

c)

Lösung 4.17

Lösung 4.18

Lösung 4.19

1  1 1 LC s2 + s+ RC LC s RCs RC G(s) = 2 2 2 = 3s 1 R C s + 3RCs + 1 2 s + + 2 2 RC R C G(s) =

a)

G(s) =

b)

g(t) =

1

LCs2

R + s+1 L

=



1 (RC)2 s2 + 3RCs + 1

 0,447  − 0,382 t 2,618 e RC − e− RC t RC 2,618

0,382 t RC

+ 0,171e− RC t  1 − 3t 1 3t e RC ; h(t) = 1 − e− RC a) g(t) = RC 3  � � U 3t   0 1 − e− RC t≤τ b) ua (t) = U3 � � 3(t−τ ) 3t   0 −e− RC + e− RC t > τ 3 c) h(t) = 1 − 1,171e−

a)

b)

c)

Lösung 4.20

273

GI (s) =

i(t) =

i(t) =

a) G(s) = b)

s 1 L (s + δ)2 

mit δ =

R 2L

U0 � −δt �     L te

  � �   U0 te−δt − (t − τ )e−δ(t−τ ) f¨ur t > τ L

              

� � U0 1 e−δt 1 −δt − − f¨ur t ≤ τ te 2 δ2 δ � −δt Lτ δ � −δ(t−τ ) 1 e t − τ −δ(t−τ ) e U0 + e − 2 − te−δt + Lτ δ δ δ2 δ f¨ur t > τ U0 −δ(t−τ ) − (t − τ )e L

RCs s Ua (s)  = =  1 Ue (s) 2RCs + 1 2 s+ 2RC

 U0  − 1 t 1 e 2RC − e− 2RC (t−1) ε(t − 1) 2 1 − 1 t 1 e 2RC c) g(t) = δ(t) − 2 4RC ua (t) =

f¨ur t ≤ τ

274

Lösung 4.21

8 Anhang

a) G(s) =

s + RL Ls + R  =  2Ls + 3R 2 s + 1,5 RL R L

R

b) g(t) = 0,5δ(t) − 0,25 e−1,5 L t

Lösung 4.22

c) h(t) =

1 1 − 3R t + e 2L 3 6

a) G(s) =

1 1 = 2RCs + 3 2RC

ua (0) =

1 − 3 t e 2RC 2RC  1 3 c) h(t) = 1 − e− 2RC t , 3

1 ; 2

ua (∞) =

1 3

1 s+

3 RC

b) g(t) =

h(0) = 0,

h(∞) =

Bild. 8.1   Ortskurve des Frequenzgangs

Lösung 4.23 (Siehe Bild. 8.1)

1 RC a) G(s) = 2 s+ RC jωRC + 1 b) F(ω) = jωRC + 2 s+

Lösung 5.1 Korrespondenz: x(t) = U0 sinωt

•−◦

X(s) = U0

x2

ω kI U0 2 s s + ω2 Rücktransformation in den Zeitbereich kI U0 (1 − cos ωt) y(t) = ω Ausgangssignal Y (s) = GI (s)X(s) =

ω + ω2

1 3

8.1  Ergebnisse der Aufgaben

275

Das Ausgangssignal y(t) beschreibt den Verlauf der Integration einer sin-Funktion von t = 0, bis zu einem beliebigen Zeitpunkt t. Lösung 5.2 Aus dem Bild liest man folgende Systemgleichungen ab: Einsetzen von Gl. (3) in Gl. (2) ergibt:   1 1 −Yb (s) Yb (s) = X(s) − Yb (s) sT2 sT1

  1 1 1 + 2 = X(s) Yb (s) 1 + sT1 s T1 T2 sT1 1 sT1

sT2 = 2 Gb (s) = Yb (s)X(s) =  1 1 s T1 T2 + sT2 + 1 + 2 1+ sT1 s T1 T2 Die Übertragungsfunktion Gb(s) zeigt einen Bandpaß 2. Ordnung. Aus Gl (3) ergibt sich mit Yb(s):

Ya (s) = Yb (s) Ga (s) =

1 1 X(s) = 2 sT2 s T1 T2 + sT2 + 1

1 Ya (s) = 2 X(s) s T1 T2 + sT2 + 1

Die Übertragungsfunktion Ga(s) zeigt einen Tiefpaß 2. Ordnung. Schließlich ergibt sich aus Gl. (1)

Yc (s) = X(s) −

s2 T

sT2 1 X(s) − 2 X(s) s T1 T2 + sT2 + 1 1 T2 + sT2 + 1

Gc (s) =

s 2 T1 T 2 Yc (s) = 2 X(s) s T1 T2 + sT2 + 1

Die Übertragungsfunktion Gc(s) zeigt einen Hochpaß 2. Ordnung. Für T1 = T2 = T erhält man im Bode-Diagramm symmetrische Filtercharakteristiken. Lösung 5.3 a) Das 2. Summierglied führt das Signal G1(s)U(s) + Y(s) in Gegenkopplung auf das 1. Summierglied zurück. Damit ergeben sich folgende Systemgleichungen: (1)  U(s) = X(s) − [G1 (s)U(s) + Y (s)] (2)  Y (s) = G1 (s) G2 (s)U(s)

276

8 Anhang

Nach Umformung erhält man [1 + G1 (s) + G1 (s)G2 (s)]U(s) = X(s) Einsetzen in (2) ergibt die Übertragungsfunktion: G1 (s)G2 (s) Y (s) = G(s) = X(s) 1 + G1 (s) + G1 (s)G2 (s) b) Für die angegebenen Übertragungsglieder G1(s) und G2(s) erhält man für 1 G(s) = 2 s + (a + 2)s + 2a + 1   1 G(s) hat die Polstellen s1/2 = −(a + 2) ± (a + 2)2 − 4(2a + 1) 2 1 Für a > − ist das System stabil. Sämtliche Polstellen liegen in der linken, offenen 2 Halbebene des PN-Plans. 1 Für a = − ergibt sich eine Polstelle bei s = 0, das System ist grenzstabil. 2 1 Für a < − ist das System instabil, da für jedes a eine Polstelle in der rechten Halb2 ebene des PN-Plans liegt. Lösung 5.4 a) Block-Diagramm

b) Für das rückgekoppelte System gilt

s G1 (s) s (s − 2)2 + 1 = G(s) = = 2 s 1 + G1 (s) · GP (s) s + − 4)s + 5 (k P 1+ · kP (s − 2)2 + 1   1 Die Polstellen sind s1/2 = (4 − kP ) ± (kP − 4)2 − 20 . 2 Eine Stabilisierung gelingt für 4  0 reell sν

t ν−1 Ŵ(v)

5

1 √ s

1 √ πt

6

1 √

s s

7

sn

1 √ , n = 0, 1, 2,.. s

8

1 s+a

9

ω s2 + ω 2

10

s s2 + ω 2

11

as + b s2 + ω 2

2



t π

4n n! n− 1 √ t 2 (2n)! π e−at

sin(ωt)

cos(ωt)

a cos(ωt) +

b sin(ωt) ω

8.4  Korrespondenzen der Laplace-Transformation

Nr.

F(s)

12

13

s2

ω − ω2

s2

s − ω2

287

f(t) sinh(ωt)

cosh(ωt)

14

1 s(s + a)

 1 1 − e−at a

15

1 (s − s1 )(s − s2 )

es1 t − es2 t s1 − s 2

16

s (s − s1 )(s − s2 )

s1 es1 t − s2 es2 t s1 − s 2

17

s2

1 + 2δs + ω02

ω02 − δ 2 > 0

1 −δt e sin (ωe t) ωe  ωe = ω02 − δ 2

1 s2 + 2δs + ω02

1 −δt e sinh (ωe t) ωe  ωe = δ 2 − ω02

19

1 (s + a)2

te−at

20

s (s + a)2

(1 − at)e−at

1  s s2 + 2δs + ω02

  e−δt 1 1 − [δ sin(ωt) + ω cos(ωt)] ω ω02  ω = ω02 − δ 2

1  s s2 + 2δs + ω02

  e−δt 1 1 − [δ sinh(ωt) + cosh(ωt)] ω ω02  ω = δ 2 − ω02

18

ω02 − δ 2 < 0

21



ω02 − δ 2 > 0

22



ω02 − δ 2 < 0

288

8 Anhang

Nr.

F(s)

f(t)

1 (s − a)(s − b)(s − c) a �= b �= c

eat ebt ect + + (a − b)(a − c) (b − a)(b − c) (c − a)(c − b)

s (s − a)(s − b)(s − c) a �= b �= c

aeat bebt cect + + (a − b)(a − c) (b − a)(b − c) (c − a)(c − b)

s2 (s − a)(s − b)(s − c) a �= b �= c

a2 eat b2 ebt c2 ect + + (a − b)(a − c) (b − a)(b − c) (c − a)(c − b)

26

1   (s + a) s2 + ω2

 a 1  −at e + sin(ωt) − cos(ωt) a2 + ω 2 ω

27

s   (s + a) s2 + ω2

 1  −ae−at + ω sin(ωt) + a cos(ωt) a2 + ω 2

23

24

25

2ω2  + 4ω2

sin2 (ωt)

s2 + 2ω2   s s2 + 4ω2

cos2 (ωt)

ω3

1 [sin(ωt) − ωt cos(ωt)] 2

28 s

29



s2

30 

s2 + ω 2 ω3

31

32

33

2



s2 − ω 2



s2



s2

2

ωs +

2 ω2

ωs −

2 ω2

1 [ωt cosh(ωt) − sinh(ωt)] 2 t sin(ωt) 2 t sinh(ωt) 2

8.4  Korrespondenzen der Laplace-Transformation

Nr. 34 

s2

F(s)

f(t)

ωs2

1 [sin(ωt) + ωt cos(ωt)] 2



+

s2

1 [sinh(ωt) + ωt cosh(ωt)] 2

2 ω2

−

s3

36 

s2

2 ω2

+

s3

37 

38 

39

2 ω2

ωs2

35

s2

289

2 ω2

−

cos(ωt) −

ωt sin(ωt) 2

cosh(ωt) −

ωt sinh(ωt) 2

s2 + ω 2 2 s2 − ω 2 ω

arctan

40 s2



t cosh(ωt)

sin(ωt) t

s

ω2  + ω2

s2

t−

1 sin(ωt) ω

sinh(ωt) t

41

ln



s+ω s−ω



2·

42

ln



s+a s+b



e−bt − e−at t

43

ln



s2 + a2 s 2 + b2 √ s

44

e−a

45

e−a s √ s

√



2·

cos(bt) − cos(at) t

a a2 √ e− 4t 2 πt 3 1 a2 √ e− 4t πt

290

8 Anhang

Nr.

F(s)

f(t)

46

1 a √ e− s s

√ cos(2 at) √ πt

47

1 a √ e− s s s

√ sin(2 at) √ πa

48

1 s s+a

√ 1 √ erf ( at)*) a

√

49

1 − e−a s

50

e−a s

51

e−

√

√

s

s

1 − erf

√s

ax

s

s s 2 *) e( 2 ) erfc 2

52

erf





a √

2 t

a √ 2 t



*)



= erfc



x √

1 − erf

2 at



a √

2 t



*)



*)

2 2 √ e−t π

*)

erf (χ) hat die Bezeichnung error function, es handelt sich dabei um das Gaußsche Fehlerintegral.

2 erf (χ ) = √ π

ˆχ

2

e−u du, mit lim erf (χ ) = 1 χ→∞

0

Die complementary error function ist gegeben durch: 2 erfc(χ ) = √ π

ˆ

χ

∞

2

e−u du = 1 − erf (χ )

x Bemerkung: Die Korrespondenz Nr. 51 folgt aus Nr. 50, wenn man a durch √ ersetzt. a

291

8.4  Korrespondenzen der Laplace-Transformation

B) Einige Einzelimpulse, bzw. periodische Zeitfunktionen und ihre Laplace-Transformierten

Nr.

F(s)

f (t)

1

 A 1 − e−st0 s

f (t) A

t t0

0

2

 A  −st1 e − e−st2 s

f (t) A

t 0

t1

t2

3

 st0 2 − A 1−e 2  s

4

 st st2 2 1 − A − e 2 −e 2  s

5

 st0 2 − 2A 1  1−e 2  t0 s 2

6

 st st2 2 1 − 2A 1  − e 2 −e 2  t2 − t1 s 2

7

 A A 1 1 − e−st0 − e−st0 t0 s 2 s

f (t) A t 0

t0

292

Nr.

8 Anhang

F(s)

f (t)

8

 A A 1  −st1 e − e−st2 − e−st2 2 t2 − t 1 s s

f (t)

A t 0

9

t1

t2 A s

f (t)

A t 0

1 sT − 1+e 2

T Periodische Funktion

10

sT − A1−e 2 sT s − 1+e 2

11

 sT  − Aω  1+e 2  s2 + ω 2

12

Aω s2 + ω 2

1 sT 1−e 2 −

293

8.4  Korrespondenzen der Laplace-Transformation

Nr. 13

F(s)

f (t)

sT − Aω 1 + e 2 sT s2 + ω 2 − 1−e 2

„Doppelweggleichrichtung“

14

sT − 2A 1 1 − e 2 sT T s2 − 1+e 2

f (t)

A t 0

15

T

2T

f ( t)

A 1 − (1 + sT )e−sT Ts2 1 − e−sT

A

t 0

T

2T

„Sägezahnkurve“

16 2A Ts2

17

sT 2 1 − e 2  

−

1 − e−sT

sT A  − ( + sT )e  Ts2 1 − e−sT −

294

8 Anhang

8.5 Sätze zur z – Transformation Voraussetzung: x[k] ist eine kausale, diskrete Zeitfolge und Z {x[k]} = X(z) existiert. Additionssatz (Linearität)

ax1 [k] + bx2 [k] ◦ − • aX1 (z) + bX2 (z)

Verschiebungssatz

x[k − i] ◦ − • z−i X(z)

Dämpfungssatz

ak x[k] ◦ − • X

Multiplikationssatz

k · x[k] ◦ − • −z

Faltungssatz

z a

d X(z) dz

x1 [k] ∗ x2 [k] ◦ − • X1 (z) · X2 (z)

Differenzenbildung

x[k] − x[k − 1] ◦ − •

Summenbildung

k 

i=0

x[i] ◦ − •

z−1 X(z) z

z X(z) z−1

8.6 Korrespondenzen der z – Transformation Sämtliche Formeln sind nur für die zulässigen Definitionsmengen zu verstehen. Nr.

x[k]

X(z)

1

δ[k]

1

2

δ[k – i]

z−i

3

ε[k]

z z−1

4

ε[k – i]

z · z−i z−1

5

k · ε[k]

z (z − 1)2

295

8.6 Korrespondenzen der z – Transformation

Nr.

x[k]

X(z)

6

k 2 · ε[k]

z(z + 1) (z − 1)3

7

e−ak · ε[k]

z z − e−a

8

ke−ak · ε[k]

ze−a (z − e−a )2

9

ak · ε[k]

z z−a

10

ak−1 · ε[k − 1]

1 z−a

11

kak · ε[k]

za (z − a)2

12

kak−1 · ε[k]

z (z − a)2

13

(k − 1)ak−1 · ε[k − 1]

1 (z − a)2

14

k 2 ak ε[k]

az(z + a) (z − a)3

15

  k ak−i ε[k − i] i

z (z − a)i+1

16



 ak+1 − bk+1 ε[k] a �= b a−b

z2 (z − a)(z − b) 



17

1 ε[k − 1] · ε[k] k

18

sin(ωkT ) · ε[k]

z sin(ωT ) z2 − 2z cos(ωT ) + 1

19

cos(ωkT ) · ε[k]

z[z − cos(ωT )] z2 − 2z cos(ωT ) + 1

ln

z z−1

296

8 Anhang

Nr.

x[k]

X(z)

20

ak sin(ωkT ) · ε[k]

za sin(ωT ) z2 − 2za cos(ωT ) + a2

21

ak cos(ωkT ) · ε[k]

z[z − a cos(ωT )] z2 − 2za cos(ωT ) + a2

22

rectN [k]

z − z−N z−1

Erratum zu: Laplace-Transformation, Diskrete Fourier-Transformation und z-Transformation

Erratum zu: H. Ulrich und S. Ulrich, Laplace-Transformation, Diskrete Fourier-Transformation und z-Transformation, https://doi.org/10.1007/978-3-658-31877-2 Das Copyrightjahr wurde nachträglich korrigiert auf 2022

Die aktualisierten Versionen der Buch sind verfügbar unter https://doi.org/10.1007/978-3-658-31877-2 © Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2023 H. Ulrich und S. Ulrich, Laplace-Transformation, Diskrete Fourier-Transformation und z-Transformation, https://doi.org/10.1007/978-3-658-31877-2_9

E1

Literatur

1. Ameling, W.: Laplace-Transformation 2. Brauch, W./Dreyer, H.-J./Haacke, W.: Mathematik für Ingenieure des Maschinenbaus und der Elektrotechnik 3. Braun, A.: Grundlagen der Regelungstechnik 4. Doetsch, G.: Einführung Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation 5. Doetsch, G.: Anleitung zum praktischen Gebrauch der Laplace-Transformation und der Z-Transformation 6. Föllinger, O/Kluwe, M.: Laplace-, Fourier- und z-Transformation 7. Frey, Th./Bossert, M.: Signal- und Systemtheorie 8. Girod, B./Rabenstein, R./Stenger, A.: Einführung in die Systemtheorie 9. Mildenberger, O.: Übertragungstechnik 10. Müller-Wichards, D.: Transformationen und Signale 11. Papula, L.: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler 12. Scheithauer, R.: Signale und Systeme 13. Schumny, H.: Signalübertragung 14. Stöcker, H.: Taschenbuch mathem. Formeln und moderner Verfahren 15. Unger, J.: Einführung in die Regelungstechnik 16. Weißgerber, W.: Elektrotechnik für Ingenieure, Bd. 3 17. Werner, M.: Signale und Systeme 18. https://www.fftw.org/ 19. https://rosettacode.org/wiki/Fast_Fourier_transform

© Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert durch Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2022 H. Ulrich und S. Ulrich, Laplace-Transformation, Diskrete Fourier-Transformation und z-Transformation, https://doi.org/10.1007/978-3-658-31877-2

297

Stichwortverzeichnis

A Abbildungseigenschaften der z-Transformation, 234 Ableitung, verallgemeinerte, 99 Abtastfolge, periodische, 241 Abtastfrequenz, 206 Abtast-Verzögerung, 244 Abtastung, 231 Additionssatz, 56 Amplitudenspektrum, 9, 16, 26 Anfangsbedingung, 112 Anfangswertsatz, 102 Anregung harmonische, 160 impulsförmige, 163 Ausblendeigenschaft der δ-Funktion, 66

B BIBO-Stabilität, 255 Bildfunktion, 24, 38 Reihenentwicklung, 86 Block-Diagramm, 188, 258 Blockschaltbilder versetzen, 196

C Cauchy-Integralsatz, 43 cos-Folge, abgetastete, 238

D Dämpfungssatz, 70, 240 Delta-Funktion, 65, 68

Deltaimpuls diskreter, 235 verschobener, 236 Differentialgleichung, 111, 118 partielle, 174 Differentiationssatz der verallgemeinerten Ableitung einer Originalfunktion, 98 für die Bildfunktion, 104 für die Originalfunktion, 95 Differenzenbildung, 241 Differenzengleichung, 249 Dirichletbedingungen, 4

E Eindeutigkeitssatz, 42 Endwertsatz, 103 Exponentialfolge, 236 Exponentialfunktion, 53

F Faltungsprodukt, 83, 240 Faltungssatz, 83, 240 Fast Fourier Transform (FFT), 220 Folge gerade, 216 ungerade, 216 Fortsetzung, periodische, 214 Fourier-Kosinustransformation, 26 Fourier-Sinustransformation, 26 Fourier-Transformation diskrete

© Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert durch Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2022 H. Ulrich und S. Ulrich, Laplace-Transformation, Diskrete Fourier-Transformation und z-Transformation, https://doi.org/10.1007/978-3-658-31877-2

299

300 Definition, 207 Eigenschaften, 216 einheitenbehaftete Signale, 223 inverse, 212 Linearität, 220 Symmetrieeigenschaften, 216 Tiefpass-Filter, 215 zweidimensionale, 224 inverse, 24 inverse zeitdiskrete, 206 zeitdiskrete, 204 Fourieranalyse, 5 Fourierintegral, 23, 27 Fourierkoeffizient komplexer, 15 reeller, 5, 7 Fourierreihe komplexe, 14, 16 reelle, 5, 14, 17 Fourierspektrum, 23 Frequenz, diskrete, 206 Frequenzgang, 26, 158, 253 Funktion diskrete, 203, 231 gerade, 7 kausale, 38, 231 periodische, 60 T-periodische, 4 ungerade, 8 verallgemeinerte Ableitung, 99

G Gammafunktion, 54 Gegenkopplung, 184, 261 Gibbs overshoot, 12 Grenzwertsatz, 102

I Impedanzwandler, 182 Impulsantwort, 143, 251 Integralsätze der komplexen Analysis, 43 Integralsinus, 89, 108 Integraltransformation, 23 Integrationsintervall, Verschiebung, 7 Integrationssatz für die Bildfunktion, 107 für die Originalfunktion, 90

Stichwortverzeichnis K Konvergenzbereich, 39 Konvergenzhalbebene, 52 Kopplung, rückwirkungsfreie, 180

L Laplace-Transformation, inverse, 40 Laurent-Reihe, 44 LTI-System, 142, 179 diskretes, 249

M Methoden der z-Rücktransformation, 246 Mitkopplung, 184, 261 Multiplikationssatz, 240

N Netzwerkgleichung, 190 Nyquist-Theorem, 210

O Offset, 6, 16 Originalfunktion, 24, 38

P Parallelschaltung diskreter Teilsysteme, 259 von Teilsystemen, 184 Partialbruchzerlegung, 73 Phasenspektrum, 26 PID-Glied, 188 Pol-Nullstellen-Plan, 154, 255 Polstelle, 46 komplexe, 79 reelle, 76 Potenzfunktion, 53

R RCL-Netzwerk, 126 RCL-Schaltelement, 128 Rechteckfunktion, 10, 18 Rechteckimpuls der Länge N, 237 Reihenentwicklung der Bildfunktion, 86

Stichwortverzeichnis Reihenschaltung von Teilsystemen, 181, 258 Residuensatz, 46

S Sägezahnfunktion, 19 Sägezahnsignal, 211 Schwingung, harmonische, 3 Si-Funktion, 89 Signal, abgetastetes, 204 Signalanalyse, 190 Signalfolge, elementare, 235 Spektralfunktion, 25 diskrete, 207 Spektrum, 16 Sprungantwort, 143, 252 Sprungfolge, 235 Sprungfunktion, 51 Sprungstellen, 93 Stabilisierung durch Rückkopplung, 194 Stabilität, 157, 254 Stabilitätskriterium Bildbereich, 158 Zeitbereich, 157, 255 Summenbildung, 241 System lineares, 142 rückgekoppeltes, 184, 194, 261 zeitinvariantes, 143 Systemanalyse, 191 Systemstabilität, 254

T Testfunktion, 143

301 Tiefpass-Filter, DFT, 215 Transformation elementarer Zeitfunktionen, 52 Transformationsregeln, 51

U Übertragungsfunktion, 143, 158, 250 Übertragungsglieder, elementare, 186 Übertragungsverhalten von linearen Netzwerken, 142

V Verschiebung des Integrationsintervalls, 7 Verschiebungssatz, 58, 239 Versetzen von Strukturelementen, 196 Vertauschungssatz, 33 Verzögerungsglied, 244

W Wärmeleitungsgleichung, 174 Widerstand, symbolischer, 128

Z z-Transformation, 231 Abbildungseigenschaften, 234 inverse, 246 Sätze, 239 z-Übertragungsfunktion, 250 Zeitfunktion, kausale, 38 Zustand, stationärer, 166