Kwyk Maths 6e - Livre professeur - Edition 2016 2012753469, 9782012753464

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e Cycle 3

M at h s Livre du professeur Nouveau programme 2016 Audrey AUGUET professeur au collège Nelson-Mandela à Noé (31) Alexa BOURDONCLE-SLIMAK professeur au collège Nelson-Mandela à Noé (31) Jennifer DERET professeur au collège Yvonne-Le-Tac à Paris (75) Julie LE BRETON professeur au collège Jean-Baptiste-Clément à Paris (75) Sandrine MEYER professeur au collège épiscopal Saint-Étienne à Strasbourg (67) Carole PONS professeur au collège Nelson-Mandela à Noé (31) Charles SÉVA professeur au collège Paul-Éluard à Vigneux-sur-Seine (91)

Couverture : Valérie Goussot Maquette intérieure : Valérie Goussot Réalisation : Jérôme Pagès

www.hachette-education.com © Hachette Livre 2016, 58 rue Jean Bleuzen, CS 70007, 92178 Vanves Cedex ISBN : 978-2-01-275346-4

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Sommaire Proposition de progression pour la classe de 6e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1 La proportionnalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 A Grandeurs proportionnelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 B Les propriétés de la proportionnalité.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 C L’application d’un taux de pourcentage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Atelier numérique : créer un tableau à l’aide d’un tableur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Résolution de problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problèmes complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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NOMBRES ET CALCULS 2 Les fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 A Fraction et partage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 B Fraction et quotient.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 C La fraction d’une quantité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Atelier numérique : tracer à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Résolution de problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problèmes complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27 28 29 30

3 Les nombres décimaux .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 A B C D

Rappels sur les nombres entiers.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Les fractions décimales.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 L’écriture décimale et le repérage sur une demi-droite graduée.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 La comparaison de nombres décimaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Atelier numérique : comparer des nombres à l’aide d’un tableur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Résolution de problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Problèmes complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 L’addition et la soustraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 A B C D

Les notions de somme et de différence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Le calcul en ligne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 L’évaluation d’un ordre de grandeur.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Les calculs de durées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Atelier numérique : calculer la somme d’un grand nombre de termes à l’aide d’un tableur. . . . . . . . . . . . 50 Résolution de problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Problèmes complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Sommaire

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5 La multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 A Le sens et les propriétés du produit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 B La multiplication de deux nombres décimaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 C La vraisemblance d’un résultat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Atelier numérique : calculer une somme ou un produit à l’aide d’un tableur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Résolution de problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problèmes complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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6 La division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 A Les notions de multiple et de diviseur et les critères de divisibilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 B La division euclidienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 C La notion de quotient et la division décimale.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Atelier numérique : calculer le reste d’une division euclidienne à l’aide d’un tableur .. . . . . . . . . . . . . . . . . Résolution de problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problèmes complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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7 L’organisation et la gestion de données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 A La lecture, l’interprétation et la construction d’un tableau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 B La lecture, l’interprétation et la construction d’un graphique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 C La lecture, l’interprétation et la construction d’un diagramme.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Atelier numérique : tracer un diagramme à l’aide d’un tableur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Résolution de problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problèmes complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Problèmes complexes transversaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

GRANDEURS ET MESURES 8 Les périmètres et les longueurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 A Longueur et distance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 B Le périmètre d’une figure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 C La longueur d’un cercle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Atelier numérique : calculer des périmètres à l’aide d’un tableur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Résolution de problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problèmes complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Sommaire

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9 Les aires et les volumes .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 A L’aire d’une figure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 B L’aire des figures usuelles.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 C Le volume d’un solide.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Atelier numérique : déterminer des aires à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique. . . . . . . . . . . . . . Résolution de problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problèmes complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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10 Les angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Notion et mesure d’angle.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Atelier numérique : construire des angles à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique. . . . . . . . . . . . . 96 Résolution de problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Problèmes complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Problèmes complexes transversaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

ESPACE ET GÉOMÉTRIE 11 Les figures planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 A Le cercle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 B Les triangles particuliers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 C Les quadrilatères particuliers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Atelier numérique : reproduire un assemblage de figures à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Résolution de problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Problèmes complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

12 La symétrie axiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 A La symétrie axiale.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 B Figures symétriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Atelier numérique : construire une figure complexe à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Résolution de problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Problèmes complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Sommaire

5

13 Le parallélisme et le parallélogramme .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 A Parallélisme et perpendicularité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 B Le parallélogramme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Atelier numérique : placer des points, tracer des segments et des figures planes à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Résolution de problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Problèmes complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

14 Les solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 A Le pavé droit, le cube et le prisme droit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 B Quelques autres solides usuels.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Atelier numérique : construire un patron d’un pavé droit et utiliser la symétrie axiale à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Résolution de problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Problèmes complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Problèmes complexes transversaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Problèmes complexes transversaux du cycle 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6 Sommaire

Proposition de progression pour la classe de 6e Ordre dans l’année

Connaissance (numéro de la partie du chapitre)

Numéro et titre du chapitre

Thème du programme

1

A Rappels sur les nombres entiers

Chapitre 3 Les nombres décimaux

Nombres et calculs

2

A Fraction et partage

Chapitre 2 Les fractions

Nombres et calculs

3

A Longueur et distance

Chapitre 8 Les périmètres et les longueurs

Grandeurs et mesures

4

B Les fractions décimales

Chapitre 3 Les nombres décimaux

Nombres et calculs

5

C L’écriture décimale et le repérage sur une demi-droite graduée

Chapitre 3 Les nombres décimaux

Nombres et calculs

6

A Le cercle

Chapitre 11 Les figures planes

Espace et géométrie

7

A La lecture, l’interprétation et la construction d’un tableau

Chapitre 7 L’organisation et la gestion de données

Nombres et calculs

8

D La comparaison de nombres décimaux

Chapitre 3 Les nombres décimaux

Nombres et calculs

9

B Les triangles particuliers

Chapitre 11 Les figures planes

Espace et géométrie

10

A Les notions de somme et de différence

Chapitre 4 L’addition et la soustraction

Nombres et calculs

11

B Le calcul en ligne

Chapitre 4 L’addition et la soustraction

Nombres et calculs

12

B Le périmètre d’une figure

Chapitre 8 Les périmètres et les longueurs

Grandeurs et mesures

13

C L’évaluation d’un ordre de grandeur

Chapitre 4 L’addition et la soustraction

Nombres et calculs

14

A Le sens et les propriétés du produit

Chapitre 5 La multiplication

Nombres et calculs

15

B La multiplication de deux nombres décimaux

Chapitre 5 La multiplication

Nombres et calculs

16

A Grandeurs proportionnelles

Chapitre 1 La proportionnalité

17

B La lecture, l’interprétation et la construction d’un graphique

Chapitre 7 L’organisation et la gestion de données

Nombres et calculs

18

C La longueur d’un cercle

Chapitre 8 Les périmètres et les longueurs

Grandeurs et mesures

19

C La vraisemblance d’un résultat

Chapitre 5 La multiplication

Nombres et calculs

20

A Parallélisme et perpendicularité

Chapitre 13 Le parallélisme et le parallélogramme

Espace et géométrie

21

A Les notions de multiple et de diviseur et les critères de divisibilité

Chapitre 6 La division

Nombres et calculs

Proposition de progression pour la classe de 6e

7

8

Ordre dans l’année

Connaissance (numéro de la partie du chapitre)

Numéro et titre du chapitre

Thème du programme

22

B La division euclidienne

Chapitre 6 La division

Nombres et calculs

23

A Notion et mesure d’angle

Chapitre 10 Les angles

Grandeurs et mesures

24

C La notion de quotient et la division décimale

Chapitre 6 La division

Nombres et calculs

25

B Les propriétés de la proportionnalité

Chapitre 1 La proportionnalité

26

A L’aire d’une figure

Chapitre 9 Les aires et les volumes

Grandeurs et mesures

27

B Le parallélogramme

Chapitre 13 Le parallélisme et le parallélogramme

Espace et géométrie

28

B Fraction et quotient

Chapitre 2 Les fractions

Nombres et calculs

29

C L’application d’un taux de pourcentage

Chapitre 1 La proportionnalité

30

A La symétrie axiale

Chapitre 12 La symétrie axiale

Espace et géométrie

31

C La fraction d’une quantité

Chapitre 2 Les fractions

Nombres et calculs

32

C La lecture, l’interprétation et la construction d’un diagramme

Chapitre 7 L’organisation et la gestion de données

Nombres et calculs

33

C Les quadrilatères particuliers

Chapitre 11 Les figures planes

Espace et géométrie

34

D Les calculs de durées

Chapitre 4 L’addition et la soustraction

Nombres et calculs

35

B L’aire des figures usuelles

Chapitre 9 Les aires et les volumes

Grandeurs et mesures

36

A Le pavé droit, le cube et le prisme droit

Chapitre 14 Les solides

Espace et géométrie

37

C Le volume d’un solide

Chapitre 9 Les aires et les volumes

Grandeurs et mesures

38

B Figures symétriques

Chapitre 12 La symétrie axiale

Espace et géométrie

39

B Quelques autres solides usuels

Chapitre 14 Les solides

Espace et géométrie

Proposition de progression pour la classe de 6e

c h a pi t

re

1

La proportionnalité

Programme Connaissances et compétences associées > Nombres et calculs Reconnaître et résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité en utilisant une procédure adaptée . Mobiliser les propriétés de linéarité, de proportionnalité, de passage à l’unité . Utiliser des exemples de tableaux de proportionnalité . > Grandeurs et mesures Identifier une situation de proportionnalité entre deux grandeurs . • Graphiques représentant des variations entre deux grandeurs . > Espace et géométrie Reproduire une figure en respectant une échelle . • Agrandissement ou réduction d’une figure .

Repères de progressivité : le cas particulier de la proportionnalité La proportionnalité doit être traitée dans le cadre de chacun des trois domaines « nombres et calculs », « grandeurs et mesures » et « espace et géométrie » . En CM1, le recours aux propriétés de linéarité (additive et multiplicative) est privilégié dans des problèmes mettant en jeu des nombres entiers . Ces propriétés doivent être explicitées ; elles peuvent être institutionnalisées de façon non formelle à l’aide d’exemples (« si j’ai deux fois, trois fois plus d’invités, il me faudra deux fois, trois fois plus d’ingrédients » ; « si 6 stylos coûtent 10 euros et 3 stylos coûtent 5 euros, alors 9 stylos coûtent 15 euros ») . Les procédures du type passage par l’unité ou calcul du coefficient de proportionnalité sont mobilisées progressivement sur des problèmes le nécessitant et en fonction des nombres (entiers ou décimaux) choisis dans l’énoncé ou intervenant dans les calculs . À partir du CM2, des situations impliquant des échelles ou des vitesses constantes peuvent être rencontrées . Le sens de l’expression « % de » apparait en milieu de cycle . Il s’agit de savoir l’utiliser dans des cas simples (50 %, 25 %, 75 %, 10 %) où aucune technique n’est nécessaire, en lien avec les fractions d’une quantité . En fin de cycle, l’application d’un taux de pourcentage est un attendu .

OUVERTURE

p . 13

Top Chrono ! a) 41 e) 72

b) 37 f) 105

c) 10,3 d) 17,4 g) 50 h) 0,4

Activité

1. Le garçon doit multiplier la taille de la plus petite poupée par 1,5 et comparer le résultat à la taille de la poupée suivante. 1,6 × 1,5 = 2,4 2,4 × 1,5 = 3,6 3,6 × 1,5 = 5,4 ≠ 6 8,1 × 1,5 = 12,15 C’est donc la poupée de taille 6 cm qui n’est pas à sa place.

2. La taille de la poupée devrait être de 5,4 cm. 3. La 4e poupée en partant de la gauche est disproportionnée par rapport aux autres : sa taille conviendrait mais elle est trop fine. A Grandeurs proportionnelles

p . 14

Je découvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p . 14 Activité 1

Objectif de l’activité : détecter des situations de proportionnalité et de non proportionnalité.

1. L’affirmation de Lina est fausse car le nombre de points marqués n’est pas proportionnel à la durée du match  : les points ne sont pas régulièrement marqués. Chapitre 1 • La proportionnalité 9

2. L’image du garçon de droite est plus petite mais proportionnelle. L’image du garçon de gauche est de même taille mais non proportionnelle (car elle est plus grosse). 3. Comme Thomas garde la même allure, on peut calculer le temps qu’il mettra pour parcourir 6 tours : 2 tours × 3 = 6 tours, donc 4 minutes × 3 = 12 minutes. Thomas mettra 12 minutes pour effectuer 6 tours. Activité 2

Objectif de l’activité : mettre en évidence le coefficient de proportionnalité et l’utiliser.

1. On doit remplacer la tache par 1,5. 2. a) 200 × 1,5 = 300 125 × 1,5 = 187,5 b) Farine (en g)

Beurre (en g)

200

125

300

187,5

Quantités pour 8 personnes Quantités pour 12 personnes

3. On retrouve 1,5, le nombre trouvé par Ethan qui est le coefficient de proportionnalité du tableau. 4. Farine (en g)

Beurre (en g)

Sucre (en g)

Quantités pour 8 200 125 100 personnes Quantités 200 × 1,5 125 × 1,5 100 × 1,5 pour 12 = 300 = 187,5 = 150 personnes

Pommes

6 6 × 1,5 =9

7 Les températures dans une journée ne sont pas proportionnelles aux heures. On ne peut donc pas prévoir la température à 12 h 00.

a) On essaie de déterminer un éventuel coefficient de proportionnalité : 49 ÷ 7 = 7. 5 × 7 = 35 3 × 7 = 21 7 × 7 = 49 Donc les valeurs de la première ligne sont multipliées par 7 pour obtenir celles de la deuxième ligne. C’est bien un tableau de proportionnalité de coefficient 7. b) On essaie de déterminer un éventuel coefficient de proportionnalité : 16 ÷ 0,4 = 40. 0,4 × 40 = 16 0,6 × 40 n’est pas égal à 26. 1,5 × 40 = 6 Ce n’est pas le même nombre qui permet de multiplier toutes les valeurs de la première ligne pour obtenir celles de la deuxième ligne. Ce tableau n’est pas un tableau de proportionnalité. c) On essaie de déterminer un éventuel coefficient de proportionnalité : 12 ÷ 4 = 3. 11 × 3 = 33 4 × 3 = 12 8 × 3 n’est pas égal à 21. Ce n’est pas le même nombre qui permet de multiplier toutes les valeurs de la deuxième ligne pour obtenir celles de la première ligne. Ce tableau n’est pas un tableau de proportionnalité. d) On essaie de déterminer un éventuel coefficient de proportionnalité : 14 ÷ 3,5 = 4. 3,5 × 4 = 14 0,625 × 4 = 2,5 13 × 4 =52 Donc les valeurs de la deuxième ligne sont multipliées par 4 pour obtenir celles de la première ligne. C’est bien un tableau de proportionnalité de coefficient 4. 8

9

Je m’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 16

Deux cahiers coûtent 5 € et cinq cahiers coûtent 12,50 €. 3×2=6 4 8 dictionnaires pèsent 16 kg. ● 8 × 2 = 16 5 2 × 1,45 = 2,90 Le prix des boîtes n’est pas proportionnel car 2 × 1,45 n’est pas égal à 2,45 €. 3

6 On peut dire que Mattéo ira probablement plus vite seul qu’avec Samuel mais on ne peut pas prévoir le temps qu’il mettra. 10

a) 8 16

12 24

15 30

20 40

×2

30 ÷ 15 = 2 donc 2 est le coefficient de proportionnalité de ce tableau. 12 × 2 = 24 20 × 2 = 40 8 × 2 = 16 b) ÷ 1,2

50 60

250 300

300 360

150 180

× 1,2

60 ÷ 50 = 1,2 donc 1,2 est le coefficient de proportionnalité de ce tableau. 250 × 1,2 = 300 ; 360 ÷ 1,2 = 300 ; 180 ÷ 1,2 = 150

c) 3 6 120 9 ÷ 2,5 1,2 2,4 48 3,6 6 ÷ 2,4 = 2,5 donc 2,5 est le coefficient de proportionnalité de ce tableau. 3 ÷ 2,5 = 1,2 48 × 2,5 = 120 9 ÷ 2,5 = 3,6 × 2,5

10   a) 2 b) 0,3 ● 11   45 × 12 534 = 564 030 ●

c) 2,3

Lan-Anh a parcouru 564 030 cm, soit 5 640 m.

12   6 × 25,60 = 153 ,60 ●

La réparation coûtera 153,60 € à Carole.

13   15 ÷ 6 = 2,5, donc le coefficient de proportion●

nalité de ce tableau est égal à 2,5. Ingrédients 6 personnes 15 personnes Ingrédients 6 personnes 15 personnes

Cannelle Biscuits Beurre Faisselle (cuillère (en g) (en g) (en g) à café)

180

90

2

400

450

225

5

1 000

Sucre (en g)

Farine (cuillère à soupe)

Œufs

Crème fraîche (en cL)

110

1,5

2

18

275

3,75

5

45

14   1. 5 morceaux de sucre entiers. ●

2. 33 cL = 330 mL. 330 ÷ 250 = 1,32 1,32 × 27 = 35,64

Une canette de 33 cL contient 33,64  g de sucre, soit 6 morceaux de sucre entiers. J’approfondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 17 15   1. a) Lucia facturera chaque kilomètre 0,30 €. ●

b) =C3*0,3 2. =2*B2 3. Voir le tableau 1 ci-dessous.

16   1. 25 × 2 = 50 mais 81 × 2 = 162, pas 90. ●

Donc la distance d’arrêt n’est pas proportionnelle à la vitesse du véhicule. 1,5 × 50 = 75 2. 1,5 × 90 = 135 1,5 × 130 = 195 Les distances d’arrêt par temps de pluie sont 75 m à 50 km/h, 135 m à 90 km/h et 195 m à 130 km/h.

17   4 ÷ 20 = 0,2  : il faut multiplier par 0,2 les ●

distances adultes pour obtenir les distances de la catégorie 11-13 ans. 300 ÷ 750 = 0,4  : il faut multiplier par 0,4 les distances adultes pour obtenir les distances de la catégorie 14-15 ans.  

Natation

Cyclisme

Course à pied

Adulte 11-13 ans 14-15 ans

750 m 150 m 300 m

20 km 4 km 8 km

5 000 m 1 000 m 2 000 m

18   1. a) =C1*2,1 ●

Cette formule permet de calculer le prix de 0,5 kg de pommes.

Tableau 1

Chapitre 1 • La proportionnalité 11

b)

2. a) =C5*2,6 b)

19   1. Maxime ●

devra donner 180 mL de lait à

chaque biberon. 2. Maxime devra diluer 6 cuillerées dans chaque biberon. B Les propriétés de la proportionnalité

p. 18

Je découvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 18 Activité 1

Objectif de l’activité : mettre en évidence les propriétés additives et multiplicatives de la proportionnalité.

1. 6 stylos coûtent deux fois moins cher que 12 stylos, soit 4,20 €. 2 stylos coûtent 3 fois moins cher que 6 stylos, soit 1,40 €. 2. 8 stylos coûtent 4,20 € + 1,40 €, soit 5,60 €. 18 stylos coûtent 8,40 € + 4,20 €, soit 12,60 €. Activité 2

Objectif de l’activité : découvrir le passage à l’unité et la règle de trois pour calculer la valeur d’une grandeur dans le cas d’une situation de proportionnalité.

1. a) 140 ÷ 5 = 28  : Romain pourrait parcourir 28 km en un seul pas. b) 17 × 28 = 476 Romain et Mehdi sont à une distance de 476 km l’un de l’autre. 2. a) 1 pas = 7 lieues = 28 km Soit 1 lieue = 4 km Donc 20 000 lieues = 4 km × 20 000 Soit 20 000 lieues = 80 000 km. 12

b) Distance en lieues Distance en km

7

20 000

28

80 000

(28 × 20 000) ÷ 7 = 80 000 c) Luca et Julia trouvent bien le même résultat. d) Cette règle s’appelle « règle de trois » car elle utilise 3 valeurs de grandeurs d’un tableau de proportionnalité pour en calculer une 4e. Je m’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 20 22   Le prix des baguettes est proportionnel à la ●

quantité achetée. On peut utiliser la propriété additive pour compléter ce tableau : Nombre de baguettes Prix (en €)

2

3

5

7

1,50 2,25 3,75 5,25 2 baguettes +  3 baguettes =  5 baguettes, donc 1,50 € + 2,25 € = 3,75 €. 2 baguettes +  5 baguettes =  7 baguettes, donc 1,50 € + 3,75 € = 5,25 €. 23   Théo va payer 6,08 € + 2,28 €, soit 8,36 €. ● 24   L’apport énergétique est proportionnel ●

nombre de barres de céréales. Nombre de barres

3

Apport énergétique (en kcal)

201

6

15 × 67

402

1 005

au

201 ÷ 3 = 67, donc le coefficient de proportionnalité est égal à 67. Donc l’apport énergétique de 6 barres est égal à 402 kcal et celui de 15 barres est égal à 1 005 kcal. 25   a) ●

7

3,5

70

66,5

3

1,5

30

28,5

3

15

150

153

5

25

250

255

6

15

21

9

10

25

35

15

b)

c)

2. Cette voiture peut parcourir 830 km avec 54 L.

32   3,5 × 4 = 14 ●

28 ÷ 2 = 14 (9 × 20) ÷ 15 = 12 Nathan a obtenu 14 sur 20 en éducation musicale et en français et 12 sur 20 en mathématiques.

33   9 ÷ 36 = 0,25 ●

0,25 × 60 = 15 0,25 × 24 = 6 6 + 15 = 21 Fanny a parcouru 0,25 km en une minute, 15 km en une heure, 21 km en 1 h 24 min. J’approfondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 21 34   100 × 6 = 600 ●

d) 3,5

5

25

1,5

4,2

6

30

1,8

26   ●

600 × 60 = 36 000 Les athlètes pourraient parcourir 600  m en une minute et 36 000 m, soit 36 km, en une heure.

35   1. (90 × 15,27) ÷ 0,1 = 13 743 ●

÷2

Masse de patates douces (en kg) Prix (en €)

2 4,60

1

5,5

2,30

12,65

÷2 27   ●

Le colibri pourrait parcourir 13  743  km en une heure. 2. 13  743  km >  1  925  km  : les scientifiques ont raison, le colibri serait plus rapide qu’un avion de combat s’il était aussi long.

36   1. 10 h = 600 min ●

Durée (en min)

14

1

25

Distance (en km)

4,90

0,35

8,75

En roulant à la même allure, Fred peut parcourir 8,75 km en 25 minutes. 28   (4 × 450) ÷ 150 = 12 ●

Cassandre pourrait gagner 12 € en tondant 450 m² de pelouse.

29   4 200 ÷ 2 = 2 100 ●

2 100 ÷ 60 = 35 Michael Flatley frappe 2 100 fois le sol en 1 minute et 35 fois en 1 seconde. 30   (115 × 13 500) ÷ 54 = 28 750

●

31   1. 26 L sur 400 km et 3,25 L sur 50 km. ●

Les pompiers auraient utilisé 28  500 L d’eau en 115 minutes.

2. (25 × 600) ÷ 40 = 375 Il s’écoulerait 375 cL, soit 3,75 L d’eau, en 10 heures. Un sceau de 4 L conviendra.

37   1. La punaise mesure 1,7 cm sur l’image. ●

2. 1,7 × 0,55 = 0,935 la punaise mesure 0,935 cm en réalité.

38   0,85 m = 85 cm ●

Sur la photo, l’oiseau mesure 7,2 cm. (85 × 7,2) ÷ 2 = 306 L’envergure de ce vautour mesure 306  cm, soit 3,06 m en réalité.

39   0,2 + 2,3 + 0,5 + 3,2 = 6,2 ●

Le parcours de Patrick mesure 6,2 cm sur la carte. 3,2 ÷ 6,2 ≈ 0,52 1 cm sur la carte représente environ 0,52 miles. Chapitre 1 • La proportionnalité 13

C L’application d’un taux de pourcentage p. 22 Je découvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 22 Activité 1

Objectifs de l’activité : comparer des quantités à l’aide des proportions exprimées en pourcentages qu’elles représentent. Éviter la confusion « quantité » et « proportion ».

1. Max la Massue possède 50  % des pièces et Mélo sans Peur 30 % des pièces. Il reste 20 % des pièces pour Jack le Canon. C’est Max la Massue qui possède le plus de pièces. 2. Max la Massue – Mélo sans Peur – Jack le Canon Activité 2

Objectifs de l’activité : mettre en évidence la signification d’une proportion exprimée sous la forme d’un pourcentage et découvrir une méthode pour appliquer un taux de pourcentage.

Partie A 1. « 100 % des gagnants ont tenté leur chance » signifie que toutes les personnes qui ont gagné au jeu ont joué. Cette publicité n’est donc pas mensongère. 2. Il est indiqué que 50  % des boules sont gagnantes, ce qui signifie que s’il y avait 100 boules dans le sac, 50 boules seraient gagnantes, soit la moitié. C’est donc Johan qui a raison. L’affirmation d’Inès est fausse car on ne sait pas combien il y a de boules dans le sac. Partie B 1. Si 60 % des lots sont des peluches, alors pour 100 lots, il y a 60 peluches. 2. a) Nombre de lots

100

280

Nombre de peluches

60

 

b) (280 × 60) ÷ 100 = 168 Il y a 168 peluches parmi les 280 lots. 3. (280 × 15) ÷ 100 = 42 Il y a 42 jeux d’adresse parmi les 280 lots. 4. 1re méthode 25  % des lots sont des jeux de société signifie qu’un quart des lots sont des jeux de société. 280 ÷ 4 = 70 14

2e méthode 280 – (168 + 42) = 280 – 210 = 70 70 lots sont des jeux de société. Je m’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 24 42   a) 60 ● c) 4

b) 1 400 d) 77

43   a) 8,4 b) 2,2 ● c) 406,12 d) 2 170,74 44   a) 12 élèves ●

b) 12,50 € c) 375 mL d) 36 km

45   37 élèves participent au club « Journal ». ● 46   16 élèves ont voté pour Naumi. ● 47   Lucie achète le pull 10,43 €. ● 48   a) 15 secondes ●

b) 45 minutes c) 12 heures d) 6 minutes e) 24 secondes

49   1. 100 – 78 = 22 ●

L’espace libre représente 22 % du disque dur. 22 2. × 537 = 0,22 × 537 = 118,14 100 L’espace libre est de 118,14 Go.

50   a) Matheuse ou tout mot de 8 lettres contenant ●

4 voyelles. b) Tout mot de 5 lettres contenant 3 consonnes. c) Tout mot de 5 lettres contenant une lettre E (envie, voies, salle…), tout mot de 10 lettres contenant deux lettres E (musicienne, splendides…). d) au, oui, eau, yoyo, youyou : tout mot contenant uniquement des voyelles conviendra.

51   Cette pastèque contient 690 g d’eau. ● 12 52   × 300 = 0,12 × 300 300 – 36 = 264 ● 100

5,5 × 264 = 0,055 × 264 = 14,52 100 264 – 14,52 = 249,48 Le montant de la commande est de 249,48 €.

9

53   × 25 = 0,09 × 25 = 2,25 ● 100

25 + 2,25 = 27,25 Amaïa a effectué son parcours en 27,25 minutes, soit 27’ 15”. 15 54  100 – 85 = 15 × 96 = 0,15 × 96 = 14,4 ● 100 Le montant des dépenses annuelles de Morgane serait de 14,40 €. J’approfondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 25

75

55   × 30 = 0,75 × 30 = 22,5 ● 100

75 × 19 = 0,75 × 19 = 14,25 100 Myriem va bénéficier de 22,50  € de réduction et Louis de 14,25 €. 15,9 56   1. × 410 = 0,159 × 410 = 65,19 ● 100 David Smith a marqué environ 65 points pour son équipe. 2. 65 ÷ 5 = 13 David Smith a marqué 13 essais. 57   50 % de 2,40 € est égal à 1,20 € et 2 × 2,40 € + ● 1,20 € = 6 € 3 × 2,40 € =7,20 € ; 100-15 = 85 ; 85 % de 7,20 € est égal à 6,12 €. La promotion de la mercerie des Petits Boutons est plus avantageuse pour Helena puisqu’elle paiera 6 € contre 6,12 € dans la mercerie concurrente. 50 % de 3,10 € est égal à 1,55 € et 4 × 3,10 € + 1,55 € = 13,95 € 5 × 3,10 € =15,50 € ; 100-15 = 85 ; 85 % de 15,50 € est égal à 13,17 €. La promotion de la mercerie des Grands Rubans est plus avantageuse pour Louis puisqu’il paiera 13,17  € contre 13,95  € dans la mercerie concurrente. 58   1. 24 × 60 = 1 440 ●

30 × 1 440 = 0,3 × 1 440 = 432 100 Un Français dort en moyenne 432 minutes par jour. 2. 432 = 60 × 7 + 12 Un Français dort en moyenne 7 h 12 min par jour.

59   1. 100 – (65 + 35) = 100 – 100 = 0 ●

Eneko n’aura rien à payer pour un médicament portant une vignette blanche.

2. a) 100 – (35 + 60) = 100 – 95 = 5 Il restera 5  % du prix total pour un médicament portant une vignette bleue. 5 b) × 8,40 = 0,05 × 8,40 = 0,42 100 Eneko devra payer 0,42 €. 3. 100 – 15 = 85 85 × 12,80 = 0,85 × 12,80 = 10,88 100 Eneko devra payer 10,88 €. 60   1. 100 – (40 + 18 + 20 + 8) = 100 – 86 = 14 ●

14 % des élèves préfèrent le métro. 20 2. × 450 = 0,20 × 450 = 90 100 90 élèves préfèrent la voiture. 18 × 450 = 0,18 × 450 = 81 100 81 élèves préfèrent le vélo.

Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 26

5 × 1,20 = 6 Si le prix des roses était proportionnel à la quantité achetée, 5 roses coûteraient 6 €. 61   2,40 ÷ 2 = 1,20 ●

62   5 × 7 = 35 ●

On peut peindre 35 m² avec 5 L de cette peinture. 12 × 7 = 84 On peut peindre 84 m² avec 12 L de cette peinture.

63   2 × 7 + 0,28 = 14,28 ●

7 – 0,28 = 6,72 1  020  g de céréales coûtent 14,28  € et 480  g coûtent 6,72 €.

64   6 × 150 = 900 ●

150 ÷ 3 = 50 Une tablette de 100 g contient 900 kcal et 2 carrés 50 kcal.

65   10 % de 490 € est égal à 49 € et 490 + 49 = 539 ●

Le montant total que Vincent doit payer est égal à 539 €.

66   Si l’article coûtait 100 € au départ, Maël a eu ●

une réduction de 55 €. Yanis a eu une première réduction de 30  € puis 30 % de 70 € qui est égal à 21 €, ce qui fait une réduction totale de 51 €. C’est donc Maël qui a raison (ce qui est valable pour n’importe quel prix choisi au départ).

Chapitre 1 • La proportionnalité 15

Atelier numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 27

4.

L’objectif de l’atelier est de montrer l’utilité d’un tableur pour construire et utiliser un tableau contenant de nombreux calculs de prix réduits.

Étape 1 Préparer le tableau 1.

Étape 2 Compléter le tableau A. Colonne B 2. 0,90 × 1 3. Il faut saisir « =0,90*A2 » dans la cellule B2.

5.

B. En suivant la méthode vue en A 6. et 7. Voir le tableau 1 en page 17. Étape 3 Utiliser le tableau 8. et 9. Voir le tableau 2 en page 17. Il apparaît « 34,80 € » dans la cellule F3. 10. Chiara dispose de 35 € et les articles qu’elle a choisis lui coûteront 34,80 € au total. Elle pourra donc tous les payer.

16

Étape 4 Prolonger un tableau de prix réduits et l’utiliser 11. a) et b) Voir le tableau 3 en page 18. L’ensemble des articles choisis par Victor lui coûteront 41,10 €. Il lui manquera donc 0,10 €. Tableau 1

Tableau 2

Chapitre 1 • La proportionnalité 17

Tableau 3

Résolution de problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 28 68   1. La masse d’une autruche mâle de 2 mois est ●

d’environ 16 kg. 2. L’autruche a parcouru 6 km en 10 minutes. 3. Âge en mois

0

2

6

10

12

Masse (en kg)

4

16

88

120

120

Temps (en min)

0

5

10

20

25

Distance (en km)

0

3

6

12

15

4. a) L’âge de l’autruche triple entre 2 mois et 6 mois mais ce n’est pas le cas de sa masse. En effet, 3 × 16 = 48 et 48 kg ≠ 88 kg. 18

b) 3 ÷ 5 = 0,06 Le deuxième tableau est un tableau de proportionnalité de coefficient 0,6. La distance parcourue par l’autruche est donc proportionnelle au temps. 69   10  % de 7,50  £ est égal à 0,75  £ et 7,50  £ ●

+ 0,75 £ = 8,25 £ 15 × 7,50 = 0,15 × 7,50 = 1,125 100 1,125 + 7,50 = 8,625 Sabine donnera entre 1,13 £ et 8,63 £. 70   1. 1 heure = 60 min ●

(60 × 50,2) ÷ 110 ≈ 27 Alexa mettra environ 27 minutes pour arriver à destination.

2. 16 h 17 min + 27 minutes = 16 h 44 min Alexa arrivera à destination à 16 h 44 min.

D’après le document 3, les dimensions de la niche sont 100  cm pour la longueur et 60  cm pour la largeur. Léolia ne pourra donc pas rentrer le nouveau téléviseur dans son meuble puisque sa hauteur totale (largeur + pied) de 67,5 cm est plus grande que la hauteur de la niche du meuble qui est de 60 cm.

71   1. (100 × 1,6) ÷ 13 ≈ 12,3 ●

Louis aurait 12,3 jours de veille. 2. (13 × 0,5) ÷ 1,6 ≈ 4 Le niveau de la batterie est à 4 %.

72   1. (54 × 60) ÷ 360 = 9 ●

L’aiguille rouge indique 9 minutes. 2. (303 × 12) ÷ 360 = 10,1 L’aiguille bleue indique 10 heures. 3. Cette horloge indique 10 h 9 min.

Problème complexe 2

Problèmes complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 30

Problème complexe 1 L’objectif de ce problème est de déterminer les dimensions d’un téléviseur à partir de celles d’un autre et si cet écran pourra rentrer dans un meuble aux dimensions données. Compétences mises en jeu • Chercher : prélever et organiser les informations nécessaires à la résolution de problèmes à partir de supports variés : textes, schémas. • Modéliser : – utiliser les mathématiques pour résoudre quelques problèmes issus de situations de la vie quotidienne ; –  reconnaître et distinguer des problèmes relevant de situations additives, multiplicatives, de proportionnalité.

Les dimensions du nouvel écran sont proportionnelles à celles de l’ancien. On peut utiliser un tableau de proportionnalité dont le coefficient de proportionnalité est égal à 42 ÷ 32, soit 1,3125. On peut ainsi calculer les dimensions manquantes du nouvel écran en multipliant celles de l’ancien par ce coefficient.   Dimensions de l’ancien écran Dimensions du nouvel écran

Diagonale (en pouce)

Largeur (en cm)

Longueur (en cm)

32

40

72

42

52,5

94,5

Le nouvel écran a pour longueur 94,5 cm et pour largeur 52,5 cm. D’après le document 2, il faut ajouter la hauteur du pied : 52,5 cm + 15 cm = 67,5 cm.

L’objectif de ce problème est de produire l’agrandissement d’un dessin contenant des figures géométriques. Compétences mises en jeu • Chercher : prélever et organiser les informations nécessaires à la résolution de problèmes à partir de supports variés : textes, dessins, schémas. • Modéliser : reconnaître et distinguer des problèmes relevant de situations additives, multiplicatives, de proportionnalité.

Les dimensions du nouveau dessin de Mia sont proportionnelles à celles de l’ancien. On peut donc utiliser un tableau de proportionnalité pour calculer les dimensions de sa nouvelle feuille et des mesures des différentes figures. 21 ÷ 14 = 1,5 Le coefficient de ce tableau de proportionnalité est égal à 1,5.   Largeur de la feuille Longueur de la feuille Rayon du cercle n°1 Diamètre du cercle n°2 Diamètre du cercle n°3 Losange de côté… Carré de côté … Triangle équilatéral de côté…

Dimensions de l’ancien dessin (en cm)

Dimensions du nouveau dessin (en cm)

10

21

14

29,4

4

8,4

7

14,7

2,5

5,25

3

6,3

6

12,6

5

10,5

Chapitre 1 • La proportionnalité 19

c h a pi t

re

Les fractions

2

Programme

Nombres et calculs

Connaissances et compétences associées > Nombres et calculs Comprendre et utiliser la notion de fractions simples . • Écritures fractionnaires . • Diverses désignations des fractions (orales, écrites et décompositions) . Repérer et placer des fractions sur une demi-droite graduée adaptée . • Une première extension de la relation d’ordre . Encadrer une fraction par deux nombres entiers consécutifs . Établir des égalités entre des fractions simples . Résoudre des problèmes en utilisant des fractions simples .

Nombre et calculs

Repères de progressivité Fractions et décimaux : Les fractions sont à la fois objet d’étude et support pour l’introduction et l’apprentissage des nombres décimaux . Pour cette raison, on commence dès le CM1 l’étude des fractions 2 1 5 simples (comme , , ) et des fractions décimales . Du CM1 à la 6e, on aborde différentes conceptions 7 4 2 possibles de la fraction, du partage de grandeurs jusqu’au quotient de deux nombres entiers, qui sera étudié en 6e .

OUVERTURE

p . 31

b) 42 b) 60 b) 9

c) 50 c) 1 c) 50

d) 200 d) 7

Activité

1. Trois demi : Le huitième : Un quart : Ces nombres sont des fractions. 2. Il est 16 h 50 à l’horloge et le match commence un quart d’heure plus tard, soit 15 minutes plus tard, c’est-à-dire à 17 h 05. 3. Le garçon va acheter 3 fois une demi-douzaine, soit 3 fois 6 œufs, soit 18 œufs. 20 Nombres et calculs

p . 32

Je découvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p . 32

Top Chrono ! 1. a) 24 2. a) 0 3. a) 5

A Fraction et partage

Activité 1

Objectif de l’activité : faire le lien entre fraction et partage et travailler le vocabulaire.

1. Vignette 1  : les deux enfants observent une clémentine. Vignette 2  : le garçon 1 garde 9 quartiers de clémentine pour lui et donne un quartier au garçon 2 qui n’est pas content. Vignette 3 : le garçon 2 dit qu’il n’est pas d’accord. Vignette 4 : le garçon 2 partage la clémentine en deux parts égales, soit 5 quartiers chacun. 2.

ou

.

3. Le nombre au-dessus du trait de fraction s’appelle le numérateur et celui en dessous s’appelle le dénominateur.

4. La fraction

ne peut pas représenter le partage

de la vignette 2 car le partage n’est pas équitable. Le garçon 1 possède

c) d)

de la clémentine et le a) huit tiers b) douze cinquièmes c) vingt-six quarts d) neuf millièmes 4

garçon 2 possède

.

Activité 2

Objectif de l’activité : exprimer des proportions à l’aide de fractions, comparer des fractions au nombre 1.

1. a) Les amis ont mangé et

d’une pizza à 19 h 15

à 19 h 30.

5



6



7

b) Le nombre total de parts égales d’une pizza est donné par le dénominateur. Le numérateur donne le nombre total de parts que l’on prend.  c) Les amis ont mangé



1. b)

d) e)

d’une pizza. f)

2. a)

;

;

b) Une fraction est inférieure à 1 si son numérateur est inférieur à son dénominateur. Une fraction est supérieure à 1 si son numérateur est supérieur à son dénominateur. 3. a)

2. Les valeurs citées précédemment sont celles dont la valeur est inférieure à 1. 8

a)

b) f) 9

b) Il est impossible d’avoir mangé

d’une pizza

puisqu’il aurait fallu manger 3 pizzas entières et

b), c), e) et f)

10   a) ●

b)

d’une 4 pizza. e

c) Je m’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 35

d) 3

b)

a) 11   a) ●

b)

c) Chapitre 2 • Les fractions 21

d)

e)

d)

f)

N

12   a) 30 minutes ●

b) 15 minutes

Q

0

S P

R

1

2

3

c) 45 minutes e) 13   a) ●

d’heure

b)

d’heure

c)

d’heure

d)

Y T 0

V 1

17   a) 60 cL = ●

b) 40 min =

14   a) ●

c) 200 g =

b)

c)

3

de la boisson.

L h kg =

d) 750 m =

2

W

16   Le sirop représente ●

d’heure

U

Z

kg

km =

18   a) Pour donner les ●

km de son gâteau à son

amie, Cathy le coupe en 8 et donne 5 morceaux. b) Des amis ont mangé les

15   a) ●

A

B

0

C

1

donc mangé 2 tartes entières et 3 parts d’une 3e tarte coupée en 4 parts égales.

D

2

d’une tarte. Ils ont

3 19   1. ●

des tee-shirts sont imprimés.

b) E

F

G I

0

1

H

2

3

c) J 0

L 1

22 Nombres et calculs

M 2

K 3

2.

des tee-shirts sont unis.

20   La moitié est blanche : Pologne. ●

Le quart est bleu : Colombie. La moitié est jaune : Colombie, Ukraine. Les deux tiers sont rouges : Autriche. Le tiers est rouge : Allemagne, Mali, Thaïlande, Luxembourg, Yémen. Les deux tiers sont verts : Nigeria.

J’approfondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 36 21   ●

Parmi les médailles remportées,

des médailles de bronze, d’argent et

26   ●

sont

M

B

C

N

sont des médailles

sont des médailles d’or.

27   Alessandro mettra 200 g de chaque ingrédient ●

dans sa recette. 22   Il reste ●

du réservoir d’essence à Salma, ce

b) Jusqu’à 240. c) Jusqu’à 200.

qui correspond à 13 L. Il y avait 39 L d’essence en début de semaine.

B Fraction et quotient

23   1. a) ●

A

Activité 1

Objectif de l’activité : établir des égalités entre fractions et mettre en évidence la propriété de deux quotients égaux.

1. Hamza et Garance ont raison car les tablettes ne sont pas partagées de la même manière et donc les carreaux ne sont pas de la même taille.

d’un tuyau.

24   1. Romain mange 3 lignes de carrés soit 9 ●

carrés, il reste 3 colonnes de 7 carrés, soit 21 carrés. Antoine mange 1 colonne de carrés, soit 7 carrés. Il reste 14 carrés. Marc mange 4 carrés, il reste 10 carrés. Marie mange 3 carrés, il reste 7 carrés. 2. C’est Romain qui a mangé le plus de chocolat (9 carrés) et Marie qui en a mangé le moins (3 carrés).

2. a) Hamza a mangé mangé

sa tablette. b) Chaque enfant a mangé la même quantité de chocolat et les tablettes sont de même taille. On peut donc écrire

a mangé

Les pièces 3, 4 et 5 représentent

du grand carré.

Les pièces 2 et 6 représentent

du grand carré. de la pièce n° 7. de la pièce n° 7.

de

. de sa tablette et Gaspard

du

grand carré.

b) La pièce n° 2 représente

de sa tablette. Garance a

de sa tablette. Léonie a mangé

3. a) Nolan a mangé 25   1. a) et b) Les pièces 1 et 7 représentent ●

2. a) La pièce n° 3 représente

p. 38

Je découvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 38

b) Hamid a besoin de 4 m de tuyau. 2. a)

b) Hamid aura besoin de

28   a) Jusqu’à 160. ●

de sa tablette.

b) 4. Deux fractions sont égales si on multiplie (ou si on divise) le numérateur et le dénominateur de l’une par un même nombre non nul pour obtenir l’autre. Chapitre 2 • Les fractions 23

Activité 2

d)

Objectif de l’activité : établir des égalités entre fractions et mettre en évidence la propriété de deux quotients égaux.

1. Une pièce n° 2 représente

d’une pièce n° 1.

35   1er groupe : ●

2e groupe :

2. La longueur du mur de Zoé représente d’une unité. 3. a) Zoé va utiliser 5 pièces n° 1 et 3 pièces n° 2.

36   a) ●

b)

b)

4.

37   1. Un nombre est divisible par 3 si la somme de ●

Je m’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 40 31   a) 5 car 5 × 7 = 35 ●

b) 8 car 6 × 8 = 48 c) 60 car 2 × 60 = 120 d) 0,4 car 0,4 × 5 = 2 e) 1,5 car 1,5 × 2 = 3 f) 0,08 car 0,08 × 100 = 8

32   a) 7 ●

ses chiffres est un multiple de 3. Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9. 2. a) b)

b) 15 c) 6 d) 42

38   ●

e)

Ils en sont au même point.

f)

39   a) ●

33   a) ●

Jalil et Boris ont atteint tous les deux les

= 12

b)

b)

= 18

c)

c)

=6

d)

d)

du jeu.

= 26 40   ●

34   a) ●

b) c) 24 Nombres et calculs

Eneko a obtenu 16 sur 20 en maths. Eneko a obtenu 14 sur 20 en anglais. Eneko a obtenu 15,5 sur 20 en histoire-

géographie.

41   a) ●

42 9 donc 42 = 4 × 9 + 6 6 4

donc 4
8 unités 2 centièmes 3 millièmes c) 2 505 millièmes < 2 505 dixièmes d) 805 centièmes < 8 unités 5 dixièmes 5 centièmes 456 b) 45,6 =  10 7 2 789 c) 1 000 < 27,89 d) 100 < 0,7 84   1. a) 17,4 < 18,54 < 18,56 < 18,75 < 18,954 6,87 > 6,85 > 6,846 > 6,514 > 6,46 b) 49,98 > 49,8 > 49,78 > 49, 57 > 49, 5 > 49,43 83   a) 4,9 >

48 100

85   1.

S 2,3

H T

2,4

A

M

2,5

2,6

2. 2,52 > 2,49 > 2,45 > 2,43 > 2,39 86   1. à 3.

A C

E B

G

D F

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 4. 0,95 > 0,87 > 0,7 > 0,45 > 0,36 > 0,2 > 0,12 87  

Cet exercice est l’occasion de travailler les mauvaises perceptions des nombres décimaux par les élèves (juxtaposition de deux nombres entiers séparés par une virgule, le chiffre des centièmes est inférieur à celui des dixièmes, etc.).

45,68 > 45,2 > 45,17 > 37,8 > 37,58 40 Nombres et calculs

b) Les femmes sont plus présentes en équitation et moins présentes en football. c) Le logiciel classe les sports dans l’ordre alphabétique. 89   a) 1 < 1,194 < 2 b) 45 < 45,28 < 46 c) 0 < 0,357 < 1 d) 127 < 127,89 < 128 e) 1 324 < 1 324,872 < 1 325 f) 56 < 56,9 < 57 90   1. a) 58,7 < 58,765 < 58,8 b) 1,4 < 1,456 < 1,5 c) 164,5 < 164,5873 < 164,6 2. a) 58,76 < 58,765 < 58,77 b) 1,45 < 1,456 < 1,46 c) 164,58 < 164,5873 < 164,59 91   a) 0 < 7,45 < 10 b) 40 < 47,862 < 50 c) 80 < 89,2 < 90 d) 150 < 154,6 < 160 e) 200 < 206,07 < 210 f) 4 520 < 4 521,78 < 4 530 92   1. à 3.

A

J

6

I 7

4. L’abscisse de I semble être 7,1. 5. Voir la demi-droite ci-dessus. 6. 6,5 < J < 6,6 93   a) 48 < 49 < 50 b) 17,3 Nombres et calculs Vérifier la vraisemblance d’un résultat, notamment en estimant son ordre de grandeur . • Addition, soustraction : propriétés des opérations . Calcul en ligne : utiliser des parenthèses dans des situations très simples . • Calcul en ligne : règles d’usage des parenthèses . • Calcul posé : techniques opératoires de calcul . Calcul instrumenté : utiliser une calculatrice pour trouver ou vérifier un résultat . Résoudre des problèmes relevant des structures additives . Calculer la durée écoulée entre deux instants donnés .

Nombres et calculs

Repères de progressivité Le calcul : la pratique du calcul mental s’étend progressivement des nombres entiers aux nombres décimaux, et les procédures à mobiliser se complexifient . Les différentes techniques opératoires portent sur des nombres entiers et/ou des nombres décimaux . La résolution de problème : la progressivité sur la résolution de problèmes, outre la structure mathématique du problème, repose notamment sur : • les nombres mis en jeu : entiers (tout au long du cycle) puis décimaux ; • le nombre d’étapes de calcul et la détermination ou non de ces étapes par les élèves selon les cas, à tous les niveaux du cycle 3, on passe de problèmes dont la solution engage une démarche à une ou plusieurs étapes indiquées dans l’énoncé à des problèmes, en 6e nécessitant l’organisation de données multiples ou la construction d’une démarche ; • les supports envisagés pour la prise d’informations : la collecte des informations utiles peut se faire à partir d’un support unique en CM1 (texte ou tableau ou représentation graphique) puis à partir de deux supports complémentaires pour aller vers des tâches complexes mêlant plusieurs supports en 6e . La communication de la démarche et des résultats prend différentes formes et s’enrichit au cours du cycle . Dès le début du cycle, les problèmes proposes relèvent des quatre opérations, l’objectif est d’automatiser la reconnaissance de l’opération en fin de cycle 3 .

OUVERTURE

p . 77

Je découvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p . 78

Top Chrono ! a) 11 d) 32 g) 27,4

A Les notions de somme et de différence p . 78

b) 3 e) 14,3 h) 1,1

c) 12 f) 0,2

Activité

1. Le jeune homme a acheté 3 articles. 2. 2,76 + 1,91 + 5,95 = 10,62 Il a payé 10,62 €. 3. 20 – 10,62 = 9,38 La caissière lui a rendu 9,38 €. 44 Nombres et calculs

Activité 1

Objectif de l’activité : découvrir ou redécouvrir le vocabulaire lié aux opérations en faisant le lien avec le langage courant.

1. Le mot « somme » fait référence à l’addition. 2. Le mot «  différence  » fait référence à la soustraction. 3. 32 – 21 = 11. La différence est de 11 degrés.

Activité 2

Objectif de l’activité : travailler sur l’erreur pour rappeler les techniques opératoires.

1. Maxime : Les virgules sont mal alignées. Juliette : Elle a ajouté 5 + 61 et non pas 50 + 61. Eliot : Il a soustrait 8 – 5 dans les dixièmes au lieu de 15 – 8 et a fait la même erreur pour les unités en calculant 9 – 7. Alice : Elle a mal placé les termes. 2. 13,72 + 321,5 = 335,22 14,5 + 23,61 = 38,11 17,53 – 9,81 = 7,72 11,31 – 3,72 = 7,59 Je m’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 80 3 a) 54,3 + 1,2 est la somme des termes 54,3 et 1,2. b) 24,9 – 12,5 est la différence des termes 24,9 et 12,5. c) 7 + 9 + 11 est la somme de trois termes.

a) 7 + 11 = 18 b) 97 – 13 = 84 c) 12,7 + 9,3 = 22 d) 100 – 99,9 = 0,1

8 a) 99,9 – 12,3 = 87,6 b) 125,35 – 12,2 = 113,15 c) 987 – 123 = 864 d) 1 234,5 – 123 = 1 111,5

a) 456 – 369 = 87 b) 75,37 – 54,98 = 20,39 c) 100,1 – 97,2 = 2,9 d) 99,9 – 0,999 = 98,901 9

10 a) 48,93 – 21,52 = 27,41 b) 87,14 – 19,32 = 67,82 c) 152,92 – 85,37 = 67,55 11 a) 35 + 28 = 63 b) 87 – 39 = 48 c) 101 – 12 = 89 d) 45,3 + 26,8 = 72,1 e) 12,2 – 6,8 = 5,4 12

+3

a)

126 +843 969 b) 324 +132 +123 579 c) 123,35 + 5 5 , 4 3 1 7 8 , 7 8 d) 1 2 3 + 1 2 , 3 + 0 , 1 2 3 1 3 5 , 4 2 3

191

+9

+ 2,3 12,3

191 + 10,8

14,6 – 10,2

24,5

20 + 27

182

218 +9

25,4 +31,3

14,3

34,4 – 6,4

45,6

39,2

14 1,65 – 0,18 = 1,47. Lucas mesure 1,47 m. 15 21 – 12 = 9. Emma a envoyé 9 SMS. 21 + 9 = 30. Tom a envoyé 30 SMS. 16 27 + 18 = 45. La durée de cuisson de ce gâteau est de 45 minutes.

6 a) 456 + 983 = 1 439 b) 314 + 847 + 128 = 1 289 c) 152,45 + 987,65 = 1 140,1 d) 99 + 9,9 + 0,99 = 109,89

17 a) 74 b) 26 c) 17,1 d) 9,4

a) 17,35 + 541,24 = 558,59 b) 27,48 + 15,31 = 42,79 c) 99,75 + 37,49 = 137,24

18 a) 12 + 13 = 25 b) 26,1 – 13,4 = 12,7 c) 2 + 6 + 130 = 138

7

11

–9

13

+9

18

15

4

5

–7

Chapitre 4 • L’addition et la soustraction 45

J’approfondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 81 19

x 105 4,1 25,3 11,4

y 14 1,3 13,2 2,5

x + y 119 5,4 38,5 13,9

x–y 91 2,8 12,1 8,9

2 584 – 1 947,3 = 636,7 Il restait 636,7 litres de fioul. 20

21 1. 1 643 – 1 638 = 5. Louis XIV est devenu roi de France à l’âge de 5 ans. 2. 1 715 – 1 643 = 72. Il a été roi durant 72 ans.

2,12 + 0,14 = 2,26. Le saut de Margot fait 2,26 m. 22

23 61  243,1 – 59  858,4 =  1  384,7. Frédéric a parcouru 1 384,7 km durant ses congés. 697,9 + 697,9 = 1 395,8. Or 1 384,7 < 1 395,8 : Frédéric n’a donc pas pu se rendre à Paris et en revenir.

1. a) Le nombre calculé dans la case rose correspond au nombre total de médailles obtenues par la France en 1984. b) 5 + 7 + 16 = 28. 2. a) Dans la case bleue, on souhaite calculer le nombre de médailles d’or obtenues par la France aux JO d’été entre 1984 et 2012. b) La formule est « = SOMME(B2 : B9) ». c) 5 + 6 + 8 + 15 + 13 + 11 + 7 + 11 = 76. 24

25 1. 16 + 3 + 2 + 13 = 34 5 + 10 + 11 + 8 = 34 9 + 6 + 7 + 12 = 34 4 + 15 + 14 + 1 = 34 16 + 5 + 9 + 4 = 34 3 + 10 + 6 + 15 = 34 2 + 11 + 7 + 14 = 34 13 + 8 + 12 + 1 = 34 16 + 10 + 7 + 1 = 34 4 + 6 + 11 + 13 = 34 C’est donc bien un carré magique dont la somme magique est 34. 2. 16 + 13 + 4 + 1 = 34. La somme est encore égale à 34. 46 Nombres et calculs

26

19 7 16 13

17 12 20 6

B Le calcul en ligne

11 14 9 21

8 22 10 15

p. 82

Je découvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 82 Activité 1

Objectif de l’activité : découvrir ou redécouvrir la commutativité de l’addition et montrer l’intérêt de modifier l’ordre des termes pour simplifier le calcul.

1. C’est Raphaël car il a modifié l’ordre pour que les calculs soient plus simples. 2. Oui. 3. Non car 11,7 est plus grand que 3,4. Activité 2

Objectif de l’activité : découvrir le rôle des parenthèses dans un calcul en ligne.

1. a) Inès calcule le nombre de livres en bon état et usagés. b) Inès calcule le nombre total de livres rendus. c) Inès calcule le nombre de livres manquants. 2. Mathis calcule d’abord le nombre de livres rendus puis le nombre de livres manquants. 3. Les parenthèses indiquent les calculs à faire en premier. 4. 5 200 – 2 353 – 1 546 – 1 283 Je m’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 84 29 a) Oui c) Oui

b) Non d) Non

30 a) 36 + 28 + 14 = 36 + 14 + 28 = 50 + 28 = 78 b) 18 + 27 + 3 + 12 = 18 + 12 + 27 + 3 = 30 + 30 = 60 c) 992 + 124 + 26 + 8 = 992 + 8 + 124 + 26 = 1 000 + 150 = 1 150 d) 126 + 325 + 14 + 22 + 75 = 126 + 14 + 325 + 75 + 22 = 140 + 400 + 22 = 540 + 22 = 562

31 a) 6,2 + 1,8 + 2,3 = 10,3 b) 1,3 + 3,7 + 2,5 + 12 = 19,5 c) 12,5 + 7,5 + 36,4 + 0,6 + 2 = 59 d) 99,22 + 0,78 + 124,5 + 12,5 = 237 32 A = 103 B = 20 C = 41 D = 29

4. AI = 9 – (2,7 + 3,5) = 2,8 AI = 2,8 cm 43 37,5 – (15,3 + 12,8) = 9,4 Le dernier côté mesure 9,4 cm.

1 382 – (3 + 5 + 4) + 8 = 1 378 Il y a 1 378 livres dans la boutique à la fin de la journée. 44

45 1. 25 + 4 + 3 + 27 + 23 – (10 + 5) 2. 25 + 4 + 3 + 27 + 23 – (10 + 5) = 67 Il lui reste 67 euros à la fin de la journée.

A = 9 B = 9,8 C = 20,6 D = 0 33

34 a) 129 + (36 + 12) = 129 + 48 = 177 b) 255 – (113 + 16) = 255 – 129 = 126 c) 485 – (428 – 19) = 485 – 409 = 76 d) 758 – (125 + 48 + 65) = 758 – 238 = 520

46 155 – (37 + 40 + 38 + 1) = 39 Le chapitre consacré à l’hiver comprend 39 pages. 47 1. 85 – (9,7 + 11,2 + 11,9 + 14,5 + 26,3 + 1,2 + 7,3) 2. 85 – (9,7 + 11,2 + 11,9 + 14,5 + 26,3 + 1,2 + 7,3) = 2,9 Le couloir occupe 2,9 m². 48 1 000 – (200 + 60 + 20 + 40 + 600) = 80 La masse d’œufs est de 80 grammes.

35 a) 45,5 – 37,4 = 8,1 b) 78,2 – 52,8 = 25,4 c) 145,9 – 35,5 = 110,4 d) 24,3 – 10,7 = 13,6

C L’évaluation d’un ordre de grandeur p. 86

A = 52 B = 76 C = 124 D = 148 36

Je découvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 86

37 1. Réponse B. 2. Le montant rendu est de 4,50 €.

L’objectif de ces activités est de sensibiliser les élèves à l’intérêt de toujours évaluer un ordre de grandeur pour estimer ou vérifier la vraisemblance d’un résultat.

38 1. Anabelle a trouvé la bonne réponse : 45. 2. Julien a calculé 50 – (7 + 2) = 50 – 9.

Activité 1

39

Les réponses b) et d) sont correctes.

J’approfondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 85 40 75 – (15,50 + 19,90 + 7,50) = 32,1. Il lui reste 32,10  € pour s’acheter une paire de chaussures. 41 206 – (62 + 64 + 25 + 26) = 29 29 os constituent la tête. 42

1. à 3. M

A

I

N

1. Les achats devraient coûter moins de 9  € car 3 + 2 + 4 = 9. 2. 2,7 + 1,8 + 3,9 = 8,4. Le total des achats est de 8,40 €. Activité 2

1. a) 49,8 est proche de 50. 51,5 est proche de 50. 68,9 est proche de 70. 58,7 est proche de 60. b) 50 + 50 + 70 + 60 = 230. 2. Oui, ils peuvent car 230 < 300. 3. a) Non, car l’ordre de grandeur obtenu est 300, on ne peut pas répondre avec certitude. b) La somme des masses est 301,4 kg. Arthur ne peut donc pas prendre l’ascenseur avec les quatre autres personnes. Chapitre 4 • L’addition et la soustraction 47

Je m’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 88 53 a) Un ordre de grandeur est 1 600. b) Un ordre de grandeur est 1 400. c) Un ordre de grandeur est 400. d) Un ordre de grandeur est 1 500.

66  180 + 400 + 50 + 2 900 + 50 = 3 580. Tous les animaux ne peuvent donc pas voyager dans le même camion car la masse totale dépasse 3 500 kg.

54 a) Un ordre de grandeur est 12. b) Un ordre de grandeur est 12. c) Un ordre de grandeur est 1 500. d) Un ordre de grandeur est 4.

56

• • • • •

• • • • •

900 1 700 5 800 7 100 9 000

La bonne proposition est 19 053,177.

57 a) 112,55 + 489,89 + 567,26 = 1 169,7 b) 89 871,16 + 1 327,58 + 132,7 = 91 331,44 c) 10 897,87 – 327,77 = 10 570,1 58

La bonne proposition est la C.

1. 3 + 8 + 2 + 6 = 19. Un ordre de grandeur est 19 €. 2. Ses achats ne peuvent pas dépasser 19 € donc Maeva pourra payer ses achats avec deux billets de 10 €. 59

60  400 + 500 + 300 + 600 + 500 = 2 300 Tom a parcouru environ 2 300 km. 61 Un ordre de grandeur des petits pains nécessaires est 130 (20 + 20 + 10 + 20 + 20 +10 +  10 +  20), donc 120 petits pains ne seront pas suffisants.

Un ordre de grandeur est 60. Donc Yanis a respecté la consigne de son professeur. 62

J’approfondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 89 63 3 300 + 1 900 + 2 600 + 1 300 + 2 200 = 11 300 Oui, Alix a respecté les recommandations de l’OMS car elle a fait plus de 10 000 pas.

 130 + 80 + 80 + 50 + 40 + 10 = 390. Oui, Clara a raison car un ordre de grandeur de la masse totale est de 390 kg. 64

48 Nombres et calculs

1. a) Un ordre de grandeur est de 3 900 kWh (1 500 + 1 300 + 1 100). b) 3 817 kWh. 2. a) Un ordre de grandeur est de 2  200  kWh (800 + 700 + 700). b) 2 206 kWh. 3. La différence s’explique par la différence de saison. On consomme moins d’énergie en été qu’en hiver lorsque l’on doit chauffer les habitations. 67

55

189,2 + 203,5 + 1 273 8 990,58 – 1 903,87 351,40 + 548,13 10 039 – 980 3 798,58 + 1 103,14 + 897,3

65 Un ordre de grandeur de la capacité nécessaire est de 18 Go. Il devra donc choisir la clé USB de 32 Go.

Un ordre de grandeur de l’addition est de 13 + 17 + 4 + 4 = 38. Le montant réel est donc de 37,95 €. 68

D Les calculs de durées

p. 90

Je découvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 90

L’objectif de ces activités est de rappeler les différentes techniques permettant de déterminer des durées. Activité 1

1. La durée du film est de 2  h  28  min. Le film commence à 14 h 15. 2. 14 h 15 min + 2 h 28 min = 16 h 43 min Sa mère doit venir le chercher à 16 h 43. Activité 2

1. Gaël se trompe car 3 h 91 correspond à 4 h 31 et la durée du voyage ne peut pas dépasser 4 heures. 2. Gaël a mis une retenue entre les minutes et les heures. 3. 11 h 33 min – 7 h 42 min = 10 h 93 – 7 h 42 min = 3 h 51 min 4. 11 h 14 – 9 h 32 = 1 h 42 Je m’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 92

a) 1 h 25 = 85 min b) 90 min = 1 h 30 min 71

c) 1 min 12 s = 72 s d) 30 min = 0,5 h 72 a) 1 h 14 min b) 2 h 27 min 73 a) 2  h  58  min +  3  h  57  min =  5 h 115 min = 6 h 55 min b) 5  min  28  s +  12  min  53  s =  17  min  81  s = 18 min 21 s c) 1 h 32 min 15 s + 2 h 43 min 21 s = 3 h 75 min 36 s = 4 h 15 min 36 s d) 4 h 38 min 12 s + 43 min 55 s = 4 h 81 min 67 s = 5 h 21 min 67 s = 5 h 22 min 7 s

a) 2 h 52 min – 1 h 21 min = 1 h 31 min b) 4 min 32 s – 1 min 26 s = 3 min 6 s c) 5 h 27 min 18 s – 2 h 33 min 21 s = 4 h 86 min 78 s – 2 h 33 min 21 s = 2 h 53 min 57 s d) 1 h 31 min – 27 min 48 s = 1 h 30 min 60 s – 27 min 48 s = 1 h 3 min 12 s 74

75 On doit calculer 10 h 18 + 0 h 45 = 11 h 03. Le gâteau sera cuit à 11 h 03. 76 On doit calculer 16 h 27 min + 1 h 45 min. 16 h 27 min + 1 h 45 min = 17 h 72 min = 18 h 12 min Le match s’est terminé à 18 h 12. 77 On doit calculer 22 h 05 – 17 h 09 = 4 h 56. Le trajet dure 4 h 56 min. 78 On doit calculer 21 h 15 min – 19 h 24 min. 21  h  15  min – 19  h  24  min =  20  h  75  min – 19 h 24 min = 1 h 51 min Marie a attendu pendant 1 h 51 min.

13 h 31 + 2 h 45 = 16 h 16. La vaisselle sera propre à 16 h 16. 79

80 13 h 25 – 5 h 40 = 7 h 45. Le ferry est parti de Nice à 7 h 45. 81 20 h 21 – 19 h 47 = 0 h 34. Non, Nicolas ne paiera pas les pizzas puisque le temps de livraison dépasse 30 minutes. 82 2 min 07 s – 1 min 43 s = 0 min 24 s Julie doit améliorer son temps de 24 secondes.

18 h 07 – 16 h 13 = 1 h 54 1 h 54 – 0 h 10 = 1 h 44 Samir a travaillé 1 h 44 min. 83

84 24 heures – 23 h 47 = 0 h 13 13 + 11 = 24 24 minutes séparent les deux naissances. 85  178 min = 2 h 58 min 23 h 14 – 2 h 58 = 20 h 16 Le film a commencé à 20 h 16. 86 15  h  09  min  14  s – 15  h  07  min  58  s = 0 h 01 min 16 s La durée de sa course est de 1’ 16”.

J’approfondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 93 87 18 h 38 – 0 h 45 = 17 h 53 Florence doit être sur place à 17 h 53.

24 heures – 20 h 45 = 3 h 15 3 h 15 + 7 h 34 = 10 h 49 La durée du trajet est de 10 h 49 min. 88

89 13 + 39 = 52 9 h 15 – 0 h 52 = 8 h 23 Myriam doit partir à 8 h 23. 90 2 h 23 min 07 s – 2 h 06 min 32 s = 0 h 16 min 35 s. La différence entre les deux records est de 16 min 35 s. 91 12 h 00 – 10 h 27 = 1 h 33. La montre ne fonctionne plus depuis 1 h 33 min. 92 16 h 37 – 14 h 48 = 1 h 49. Le trajet dure 1 h 49 min. Or, la tablette a une autonomie de 103 min, soit 1 h 43 min. Ce ne sera donc pas suffisant pour le trajet. 93 15 h 34 + 0 h 18 + 0 h 18 = 16 h 10. Grégory ne peut donc pas rendre service à son frère sans être en retard. 94 14 heures + 1 h 58 + 1 h 48 + 1 h 53 + 0 h 30 = 17 heures 189 min = 20 h 09. La soirée se terminera à 20 h 09. 95 39 min 07 s + 1 h 11 min 08 s = 1 h 50 min 15 s 2 h 28 min 03 s – 1 h 50 min 15 s = 37 min 48 s La partie course a duré 37 min 48 s. 96 0 h 25 + 1 h 45 + 0 h 35 = une heure 105 min = 2 h 45 min 16 heures – 2 h 45 min = 13 h 15. Alexa doit débuter sa brioche à 13 h 15.

Chapitre 4 • L’addition et la soustraction 49

97 10 h 48 – 9 h 05 = 1 h 43 16 h 52 – 15 h 30 = 1 h 22 1 h 43 + 1 h 22 + 0 h 18 = 2 h 83 = 3 h 23 Le voyage en bus a duré 3 h 23 min.

Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 94 98 a) 4 + 3 = 7 b) 4 – 3 = 1 c) 5,3 + 4,2 = 9,5 d) 9,9 – 5,4 = 4,5 e) 5,4 + 6,9 = 12,3 99 a) 7 + 3 + 15 + 5 = 10 + 20 = 30 b) 8 + 22 + 6 + 14 = 30 + 20 = 50 c) 110 + 90 + 130 + 60 = 200 + 190 = 390 d) 12,5 + 7,5 + 32,3 + 1,7 = 20 + 34 = 54 e) 189 + 11 + 78 + 22 = 200 + 100 = 300 100 a) 5 + 6 = 11

b) 14 – 11 = 3 c) 9 – 2 = 7 d) 3,5 + 6,5 = 10 e) 4,3 – 2,1 = 2,2 101 a) Un ordre de grandeur est 1 100.

b) Un ordre de grandeur est 800. c) Un ordre de grandeur est 21. d) Un ordre de grandeur est 11. e) Un ordre de grandeur est 15. 102 a) 3 h 35 min

b) 1 h 20 min c) 7 h 02 min d) 6 h 45 min e) 2 h 40 min 103 Débat Noah a raison. Par exemple 11 > 7, mais 1 + 1 = 2  Nombres et calculs Vérifier la vraisemblance d’un résultat, notamment en estimant son ordre de grandeur . • Multiplication : propriétés des opérations . Calcul en ligne : utiliser des parenthèses dans des situations très simples . • Règles d’usage des parenthèses . • Calcul posé : technique opératoire de calcul . Calcul instrumenté : utiliser une calculatrice pour trouver ou vérifier un résultat . Résoudre des problèmes relevant des structures multiplicatives .

Nombre et calculs

Repères de progressivité Le calcul : La pratique du calcul mental s’étend progressivement des nombres entiers aux nombres décimaux, et les procédures à mobiliser se complexifient. Les différentes techniques opératoires portent sur des nombres entiers et/ou des nombres décimaux : […] multiplication de deux nombres décimaux en 6e […]. La résolution de problème : La progressivité sur la résolution de problèmes, outre la structure mathématique du problème, repose notamment sur : • les nombres mis en jeu : entiers (tout au long du cycle) puis décimaux ; • le nombre d’étapes de calcul et la détermination ou non de ces étapes par les élèves selon les cas, à tous les niveaux du cycle 3, on passe de problèmes dont la solution engage une démarche à une ou plusieurs étapes indiquées dans l’énoncé à des problèmes, en 6e nécessitant l’organisation de données multiples ou la construction d’une démarche ; • les supports envisagés pour la prise d’informations : la collecte des informations utiles peut se faire à partir d’un support unique en CM1 (texte ou tableau ou représentation graphique) puis à partir de deux supports complémentaires pour aller vers des tâches complexes mêlant plusieurs supports en 6e. La communication de la démarche et des résultats prend différentes formes et s’enrichit au cours du cycle. Des le début du cycle, les problèmes proposés relèvent des quatre opérations, l’objectif est d’automatiser la reconnaissance de l’opération en fin de cycle 3.

OUVERTURE

p . 99

p . 100

Je découvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p . 100

Top Chrono ! a) 56 d) 1 g) 153

A Le sens et les propriétés du produit

b) 45 e) 140 h) 173

c) 44 f) 0

Activité

1. 2 fléchettes n’ont pas atteint de ballon. 2. 2 × 10 × 5 × 50 = 5 000. 3. Le jeune homme a gagné une peluche. 52 Nombres et calculs

Activité 1

Objectif de l‘activité : rappeler le lien entre somme et produit.

1. Les bonnes propositions sont 3 + 3 + 3 + 3 et 4 × 3. 2. a) 3 + 3 + 3 + 3 b) 4 × 3

Activité 2

Objectif de l‘activité : découvrir la commutativité de la multiplication et l’intérêt de changer l’ordre des facteurs.

1. 2 × 6 = 12. On peut créer 12 personnages différents. 2. Il y a 2 choix pour le sexe, 6 pour la peau, 8 pour la forme du visage, 10 pour la coupe de cheveux et 5 pour la couleur des yeux. On a donc bien 2 × 6 × 8 × 10 × 5 possibilités. 3. Il y a 5 facteurs. 4. a) 2 × 5 × 10 × 6 × 8 b) Il y a en tout 4 800 possibilités. Je m’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 102

10 A = 8 × 2 × 7 × 5 = 2 × 5 × 7 × 8 = 10 × 7 × 8 = 10 × 56 = 560 B = 25 × 7 × 3 × 4 = 25 × 4 × 3 × 7 = 100 × 3 × 7 = 100 × 21 = 2 100 C = 4 × 15 × 250 × 1 = 4 × 250 × 15 × 1 = 1 000 × 15 = 15 000 D = 6 × 14 × 0 × 27 = 0 × 14 × 6 × 27 = 0 11 A = 5 × 2 × 1,2 × 4 = 10 × 4,8 = 48 B = 4 × 2,5 × 11 × 3 = 10 × 33 = 330 C = 20 × 0,5 × 3 = 10 × 3 = 30 D = 0 12 a) 13 × 5 = (10 × 5) + (3 × 5)= 50 + 15 = 65 b) 17 × 6 = (10 × 6) + (7 × 6)= 60 + 42 = 102 13 a) 19 × 12 = (20 × 12) – (1 × 12) = 240 – 12 = 228 b) 9 × 27 = (10 × 27) – (1 × 27) = 270 – 27 = 243

a) 17 × 2 = 34 b) 17 + 2 = 19 c) 17 – 2 = 15

14 La bonne réponse est 11 car 3 + 8 = 11. Le garçon a calculé 3 + 4 = 7 puis 7 × 2 = 14 sans respecter les priorités.

a) 13 × 4 = 52 b) 4 × 21 = 84 c) 10 × 18 = 180

15 a) 5 + 4 × 3 = 5 + 12 = 17 b) (5 + 4) × 3 = 9 × 3 = 27 c) 18 – 2 × 5 = 18 – 10 = 8 d) (18 – 2) × 5 = 16 × 5 = 80

3

4

5 a) 5 × 7 = 35 b) 7 × 8 = 56 c) 2 × 5 × 10 = 100 d) 2 × 0,5 = 1

a) 1,5 + 6 = 7,5 b) 4,5 × 2 = 9 c) 15,3 – 6,6 = 8,7 d) 12 × 5 = 60 16

6

× 3 8 5 9 7 7

4 12 32 20 36 28

3 9 24 15 27 21

Le nombre cherché est 12 826.

a) 7 × 11 = 77 b) 12 × 5 = 60 c) 10 × 1 = 10 d) 1 357 × 0 = 0 8

a) 8 × 0,5 = 4 b) 0,25 × 4 = 1 c) 1,3 × 0 = 0 d) 1 × 1,85 = 1,85 9

6 18 48 30 54 42

9 27 72 45 81 63

5 15 40 25 45 35

17 a) 6 × 5 + 4 b) (6 + 4) × 5 c) 6 × 4 + 5 d) 6 × (5 + 4)

J’approfondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 103 18

1.

a b 2 7 5 4 3,5 1,5 4,5 0

c 3 8 2 5

a + b × c 23 37 6,5 4,5

(a + b) × c 27 72 10 22,5

a + (b × c) 23 37 6,5 4,5

2. On remarque que les résultats des colonnes en gris clair sont égaux. En effet, les parenthèses sont ici inutiles puisque la multiplication est prioritaire. 19

Le calcul est : 2 × 3 × 4. Chapitre 5 • La multiplication 53

20

Le calcul est : 4 + 3 × 2.

21

Le calcul est : 2 × 4 + 3.

22

Le calcul est : (4 + 3) × 2.

1. Il y a 6 boules dorées dans chaque boîte. 2. Maxime a acheté 8 boules vertes. 3. Maxime a acheté en tout 50 boules. 23

24 a) Ce calcul donne le montant payé pour les trois tartes aux pommes. b) Ce calcul donne le montant total des achats. c) Ce calcul donne le montant qu’il reste à Marc après avoir payé. 25 1. Le nombre est 96. 2. Dans D3 : « =B3*C3 » ; dans D4 : « =B4*C4 ». 3. Cela représente le montant total des ventes. 4. La formule est « =SOMME(D2 : D4) ».

6 × 4 × 2 = 48. Il y a donc 48 tenues possibles. Puisqu’il part 21 jours, Pierre peut, en effet, porter une tenue différente chaque jour. 26

27 3 × 6 × 6 = 108. Il y a 108 codes possibles. 28 Il y a 11 personnes sur chaque rangée et il y a en tout 9 rangées. 11 × 9 = 99. Il y a en tout 99 personnes dans la chorale.

B La multiplication de deux nombres décimaux p. 104 Je découvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 104

Le but de ces activités est de découvrir le produit de deux nombres décimaux et de comprendre le lien avec le produit de nombres entiers en utilisant la multiplication par 0, 1, etc. Activité 1

1. a) 12 dixièmes s’écrit 1,2. b) 12 × 0,1 = 1,2 c) Multiplier par 0,1 revient à décaler la virgule de un rang vers la gauche. 2. Multiplier par 0,01 revient à décaler la virgule de deux rangs vers la gauche. Multiplier par 0,001 revient à décaler la virgule de trois rangs vers la gauche. 54 Nombres et calculs

Activité 2

1. Thomas doit calculer 4,2 × 1,3. 2. 4,2 = 42 × 0,1 1,3 = 13 × 0,1 4,2 × 1,3 = 42 × 0,1 × 13 × 0,1 = 42 × 13 × 0,1 × 0,1 = 42 × 13 × 0,01 3. Il suffit donc de multiplier 546 par 0,01. 4. 546 × 0,01 = 5,46 Le montant payé est donc 5,46 €. 5. Pour multiplier facilement deux nombres décimaux, on effectue la multiplication sans tenir compte des virgules puis on place la virgule au résultat en comptant le nombre total de chiffres après la virgule des facteurs. Je m’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 106 31 a) 4,68 × 10 = 46,8 b) 832,47 × 100 = 83 247 c) 0,67 × 10 = 6,7 d) 3,25 × 1 000 = 3 250 32 a) 42,95 × 0,1 = 4,295 b) 137 × 0,01 = 1,37 c) 121,4 × 0,001 = 0,121 4 d) 12,3 × 0,001 = 0,012 3 33 a) 1,38 × 0,1 = 0,138 b) 0,037 × 100 = 3,7 c) 0,46 × 1 000 = 460 d) 79,35 × 0,001 = 0,079 35 34 a) 3,54 × 10 = 35,4 b) 127,3 × 0,01 = 1,273 c) 0,89 × 1 000 = 890 d) 0,085 4 × 100 = 8,54 35 1. On a 345 × 48 = 16 560. 2. a) 3,45 × 4,8 = 16,560 b) 34,5 × 4,8 = 165,60 c) 0,345 × 48 = 16,560 d) 3,45 × 0,48 = 1,656 0 36 a) 9,87 × 14,32 = 141,338 4 b) 98,7 × 143,2 = 14 133,84 c) 0,987 × 1,432 = 1,413 384 d) 0,098 7 × 143,2 = 14,133 84 37 a) 7,8 × 43,2 = 336,96 b) 7,8 × 4,32 ≠ 3,369 6 c) 0,78 × 43,2 = 33,696 d) 0,78 × 0,432 ≠ 0, 033 696

38 a) 27 × 0,568 b) 2,7 × 568 c) 0,27 × 0,568 39

44 On doit calculer 1,12 × 1,5 = 1,68. Le prix de cette bouteille est de 1,68 €.

J’approfondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 107

a) 1,7 × 4,2 = 7,14



1 2

1 , 7 × 4 , 2 3 4 1 + 6 8 • 7 , 1 4 b) 4,02 × 5,3 = 21,306

× +

1

4,02 5,3 1 2 0 6 2 0 1 0 • 2 1 , 3 0 6

c) 0,25 × 14,3 = 3,575 1 2 1

0 , 2 5 × 1 4 , 3 0 7 5 + 1 0 0 • + 0 2 5 • • 3 , 5 7 5 d) 5,26 × 1,01 = 5,312 6 5 , 2 6 × 1 , 0 1 5 2 6 1 + 5 2 6 • • 5 , 3 1 2 6

45

Erratum : une inversion s’est glissée dans le prix dans l’édition 01 du manuel. Il faut lire 520 g de caramels et non 250 g. Nous nous excusons pour cette erreur corrigée dans l’édition 02 du livre. On doit calculer 0,52 × 14,50 = 7,54. Lola a dépensé 7,54 €. 46 On doit calculer 3,5 × 2,75 = 9,625. La surface à carreler est de 9,625 m². 47 On doit calculer 3 × 6 × 0,75 = 13,5. 13,5 > 12. Il a acheté plus de 12 L de boisson. 48 On doit calculer 1,61 × 1 090 = 1 754,9. La distance entre New York et Miami est de 1 754,9 km. 49 On doit calculer : 2,2 × 1,95 + 1,7 × 2,30 = 4,29 + 3,91 = 8,2. Manon a dépensé 8,20 €. 50 On doit d’abord calculer le nombre d’œufs : 110 × 12 × 12 = 15 840. On calcule ensuite la masse : 15 840 × 60 = 950 400 g = 950,4 kg. La masse de cette omelette géante est de 950,4 kg.

40

51 1. b) On doit écrire 0,45. c) Dans C3, on écrit 0,6, dans C4 on écrit 0,75 et dans C5 1,75. 2. a) La formule est = B2*C2. 3. a) La formule est =SOMME(D2 : D5). b) Le montant est de 66 €.

41 On doit calculer 2,3 × 15,6 = 35,88. Carla va payer 35,88 € pour ce tissu.

52 1 min = 60 s 1 h = 60 × 60 = 3 600 s On doit donc calculer : 3 600 × 24 + 42 × 60 × 24 + 34 × 24 = 147 696. Il y a donc 147 696 images qui défilent durant un film de 1 h 42 min 34 s.

a) 78,32 × 1,1 = 86,152 b) 3,001 × 2,07 = 6,212 07 c) 0,05 × 18,4 = 0,92 d) 1,11 × 17,8 = 19,758

On doit calculer 1,7 × 12,90 = 21,93. Caroline va payer 21,93 € pour le poulet. 42

On doit calculer 3,2 × 65,90 = 210,88. Roméo va payer 210,88 € pour ce bijou. 43

53 On calcule le nombre de kilomètres : 224,6 × 2 = 449,2. Puis le nombre de litres d’essence : 4,492 × 6,2 = 27,850 4. Elle utilisera donc plus de 25 litres d’essence.

Chapitre 5 • La multiplication 55

C La vraisemblance d’un résultat

p. 108

Je découvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 108

61 1. et 2. a) 497,8 × 2,5 = 1 244,5 b) 1 932 × 0,85 × 6,12 = 10 050,264 c) 4,84 × 9,8 × 0,25 = 11,858

L’objectif de ces activités est de sensibiliser les élèves à l’intérêt de toujours évaluer un ordre de grandeur pour estimer ou vérifier la vraisemblance d’un résultat.

62 Le dernier chiffre du produit doit être 8 et non 4 car 7 × 4 = 28. Le nombre de chiffres après la virgule dans le résultat doit être 4 et non 2.

Activité 1

63 a) Le dernier chiffre est 1. b) Le dernier chiffre est 8. c) Le dernier chiffre est 2. d) Le dernier chiffre est 6.

1. Le garçon de droite a raison. 2. 22 751 014 × 3 = 68 253 042. Il y a donc près de trois fois plus d’habitants en France qu’en Australie. Activité 2

Objectif de l’activité : découvrir différentes techniques pour vérifier la vraisemblance d’un résultat.

1. Il faut calculer 6,2 × 4,6. 2. On peut être sur que le fils cadet se trompe en utilisant un ordre de grandeur. 6 × 4 = 24, donc la surface à peindre est de plus de 24 m². La réponse du fils cadet ne convient donc pas. 3. On ne peut pas utiliser un ordre de grandeur pour les trois autres car les valeurs sont trop proches. 4. Il doit y avoir 2 chiffres après la virgule dans le résultat, donc on peut éliminer la benjamine. 5. Le dernier chiffre du produit est 2, on peut donc éliminer Cendrine. 6. L’aîné avait trouvé la bonne surface : 28,52 m². Je m’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 110 58 a) 199 × 5,1 est proche de 200 × 5 = 1 000. b) 99,7 × 2,2 est proche de 100 × 2 = 200. c) 2,03 × 503,89 est proche de 2 × 500 = 1 000. d) 0,011 × 397,25 est proche de 0,01 × 400 = 4. 59

99,2 × 2,015 997,58 × 0,0189 1 189 × 0,987 10 023 × 0,198 2 015 × 0,0105 × 0,09

• • • • •

• 2 000 • 1 200 • 2 • 200 • 20

L’ordre de grandeur du résultat est 1 000 ; la bonne proposition est 982,391 2. 60

56 Nombres et calculs

64 0,998 est proche de 1 mais inférieur donc le produit est proche de 50 × 1 = 50 sans le dépasser. Adèle pourra donc payer avec un billet de 50 €. 65 On calcule : 1 × 4 + 3 × 1 + 2 × 1,5 + 1 = 11. L’ordre de grandeur du montant de ses achats est de 11 €. Marion ne pourra donc pas tout payer avec un billet de 10 €. 66 70 × 4 est proche de 280. La distance totale est donc proche de 280 km mais supérieure. La distance est donc 305,939 km.

J’approfondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 111 67 3,5 × 8 = 28. L’ordre de grandeur est de 28 m².

L’ordre de grandeur de l’écran 29 pouces est de 30 × 2,5 = 75 cm. Donc l’écran le plus grand est le 29 pouces. 68

5 × 2 × 20 = 200 200 + 105 + 95 + 120 = 520 Claire a parcouru environ 520  km durant la semaine. 69

70 L’ordre de grandeur de la surface à recouvrir est de 4 × 2,5 = 10 m². 10 × 15 = 150. L’ordre de grandeur du prix est de 150 €. 71 Il y a environ 100 personnes (sans dépasser). On doit calculer : 100 × (3 + 4) = 700. Donc la somme dépensée sera inférieure à 700 € : le professeur pourra organiser sa sortie. 72

Erratum : une erreur s’est glissée dans l’édition 01 du manuel. Il faut lire deux livres et trois flacons.

Nous nous excusons pour cette inexactitude qui a été corrigée dans l’édition 02 du livre.

5. On écrit 3 dans B3, 2 dans C3 et 5 dans D3.

2 × 700 + 400 + 3 × 200 + 30 = 1 400 + 400 + 600 + 30 = 2 430. Le poids du colis est de 2,43  kg, donc le prix à payer est de 12,50 €. Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 112

a) 7 × 8 = 56 b) 0,5 × 2 = 1 c) 1,8 × 100 = 180 d) 36,4 × 0 = 0 73

a) 100 × 2,8 = 280 b) 36 × 1 = 36 c) 0 d) 1 × 4,8 = 4,8 74

a) 2,73 b) 4,538 c) 25 d) 1 75

76 a) 0,12 b) 0,014 c) 1,6 d) 0,45 77 a) 20 × 2 = 40 ; le produit est proche de 40. b) 1 × 50 = 50 ; le produit est proche de 50. c) 1 300 × 2 = 2 600 ; le produit est proche de 2 600. d) 30 × 0,1 = 3 ; le produit est proche de 3.

Débat Juliette a raison. Par exemple 2,5 × 0,4 = 1. 78

Atelier numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 113

Objectif : montrer aux élèves, dans un contexte ludique, le côté automatique du tableur et éviter ainsi les calculs à la main longs et parfois laborieux.

6. La formule est « = B2*B3 ». 7. La formule est « =C2+C3 ». 8. La formule est « = D2–D3 ». Étape 4 Décoder le message 9. On retrouve bien la lettre S. 10. Le mot de passe est « SESAME ». Résolution de problèmes . . . . . . . . . . . . . . . p. 114

On calcule le montant des achats de Pascal sans les steaks hachés : 0,9 × 11,90 + 0,45 × 9 = 10,71 + 4,05 = 14,76 On calcule : 20 – 1,95 – 14,76 = 3,29 Le prix des steaks hachés est donc de 3,29 €. 80

81 On calcule le nombre de litres économisés entre une douche et un bain : 180 – 70 = 110 L 110 × 4 × 365 = 160 600 L. La famille pourra économiser 160 600 litres d’eau sur un an. 82 On calcule le nombre total de places : 28 × 22 = 616. On calcule le nombre d’adultes : 616 – 215 = 401. On calcule le montant de la recette : 215 × 6 + 401 × 9,50 = 1 290 + 3 809,50 = 5 099,50. La recette totale est de 5 099,50 €.

Étape 1 Analyser la situation 1. 3 × 3 = 9. Donc on regarde la 9e ligne. 6 + 2 = 8. Donc on regarde le 8e mot. 8 – 5 = 3. Donc on regarde la 3e lettre. Il s’agit bien de la lettre S.

83 1. On calcule 2 × 2 × 365 = 1 460 min. Durant une année, on passe 1  460 minutes à se laver les dents. 2. On calcule le nombre de minutes dans une journée : 60 × 24 = 1 440. En effet, on passe près d’une journée par an à se laver les dents.

Étape 3 Compléter le tableau 4. On écrit le chiffre 3 dans B2, 6 dans C2 et 8 dans D2.

84 On calcule le prix : 2 × 5,20 + 2 × 3,50 + 1,30 = 10,40 + 7 + 1,30 = 18,70. Le prix payé par la famille est de 18,70 €.

Chapitre 5 • La multiplication 57

On calcule le périmètre du poulailler : (2,45 + 3,45) × 2 = 5,9 × 2 = 11,8. Il faudra donc acheter 3 rouleaux de grillage. On calcule donc : 19,85 × 3 = 59,55. La somme dépensée est donc de 59,55 €. 85

86 On calcule le montant de ses achats : 2,3 × 15,90 + 12 × 0,75 + 3,90 + 3,5 × 4,50 = 36,57 + 9 + 3,9 + 15,75 = 65,22 On calcule la somme économisée : 75 – 65,22 = 9,78. Carole économisera donc 9,78 €. 87 On compte le nombre total de titres téléchargés. Il y en a 137. On calcule 137 × 1,19 = 163,03. On calcule le prix payé pour l’abonnement : 12 × 9,99 = 119,88. On calcule la somme économisée : 163,03 – 119,88 = 43,15. Il pourra économiser 43,15 €.

Problèmes complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 116

Problème complexe 1 L’objectif est de calculer le nombre de battements cardiaques sur une durée donnée. C’est l’occasion de retravailler la lecture de l’heure et le calcul d’une durée. Compétences mises en jeu • Chercher : prélever et organiser les informations nécessaires à la résolution de problèmes à partir de supports variés : textes, tableaux, dessins. • Raisonner : résoudre des problèmes nécessitant l’organisation de données multiples ou la construction d’une démarche qui combine des étapes de raisonnement.

On calcule le temps passé chez le médecin : 10 h 28 – 9 h 47 = 41 minutes. La fréquence cardiaque d’un adolescent est de 80 battements par minute :

1. On calcule 3 × 7,30 = 21,90. La famille paiera 21,90 €. 2. On calcule 7 × 6,40 = 44,80. Les amis paieront 44,80 €. 3. On calcule 12 × 5,50 = 66. Le club paiera 66 €.

on calcule 41 × 80 = 3 280.

89 On calcule le prix payé par Sylvain avec le paiement à crédit : 75,30 + 11 × 71,50 = 861,80. On calcule le coût supplémentaire : 861,8 – 799,95 = 61,85. Le coût du crédit est de 61,85 €.

Problème complexe 2

88

90 Ils doivent acheter : 8 paquets de pochons en tulle, 1,6 kg de dragées aux amandes et 0,8 kg de dragées au chocolat. 2,90 × 8 + 24,90 × 1,6 + 12,90 × 0,8 = 23,2 + 39,84 + 10,32 = 73,36. Le montant de la commande est de 73,36 €.

On calcule le montant des dépenses : 3 × 0,85 + 10 × 2,15 + 4 × 1,85 + 2,40 + 3 × 3,25 = 2,55 + 21,50 + 7,4 + 2,40 + 9,75 = 43,60. On calcule le montant gagné en vendant toutes les parts : 6 × 20 × 1,50 = 180. On calcule 180 – 43,60 = 136,40. Le bénéfice est de 136,40 €. 91

58 Nombres et calculs

Le nombre de battements cardiaque est de 3 280.

L’objectif est de comparer les tarifs de deux opérateurs téléphoniques. Compétences mises en jeu • Chercher : prélever et organiser les informations nécessaires à la résolution de problèmes à partir de supports variés : textes. • Raisonner : résoudre des problèmes nécessitant l’organisation de données multiples ou la construction d’une démarche qui combine des étapes de raisonnement.

On calcule le prix payé avec Net mobile : 14,90 × 6 + 34,90 × 18 = 89,40 + 628,20 = 717,60. On calcule le prix payé avec Freedom : 19,99 × 24 + 199 + 5 = 479,76 + 204 = 683,76. Il est donc plus intéressant de choisir l’opérateur Freedom.

c h a pi t

re

6

La division

Programme Connaissances et compétences associées > Nombres et calculs • Division : propriétés des opérations . • Faits et procédures numériques multiplicatifs . • Multiples et diviseurs des nombres d’usage courant . • Critères de divisibilité (2, 3, 4, 5, 9, 10) . • Calcul posé : techniques opératoires de calcul (dans le cas de la division, on se limite à diviser par un entier) . Calcul instrumenté : utiliser une calculatrice pour trouver ou vérifier un résultat . Résoudre des problèmes relevant des structures multiplicatives .

Repères de progressivité La pratique du calcul mental s’étend progressivement des nombres entiers aux nombres décimaux, et les procédures à mobiliser se complexifient . Les différentes techniques opératoires portent sur des nombres entiers et/ou des nombres décimaux : • […] division euclidienne dès le début du cycle, division de deux nombres entiers avec quotient décimal, division d’un nombre décimal par un nombre entier à partir du CM2 .

OUVERTURE

p . 117

Top Chrono ! a) 56 e) 5

b) 45 f) 8

c) 41 g) 7

d) 50 h) 8

1. a) Lara pourra acheter 9 colliers. b) Non, il ne lui restera pas d’argent. 2. a) Il restera 1 bonbon. b) 25 n’est pas un multiple de 4 car 25 = 4 × 6 + 1. Activité 2

Activité

1. 27 = (5 × 5) + 2. C’est donc le deuxième objet après la boule, donc c’est le renne. 2. 30 = 6 × 5. La guirlande contient 6 figurines de chaque sorte. Comme il possède moins de figurines de Père Noël, c’est ce nombre qui détermine le nombre maximum de guirlandes qu’il peut réaliser : 88 = (6 × 14) + 4. Il peut en fabriquer 14. A Les notions de multiple et de diviseur et les critères de divisibilité p . 118 Je découvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p . 118 Activité 1

Objectif de l’activité : l’approche choisie dans ce chapitre pour introduire la division (de nombres entiers) permet de constater que cette division revient à poser une multiplication à trou. Dans cette activité, l’élève n’a pas besoin de connaître la technique de calcul d’une division pour trouver le résultat.

Objectif de l’activité : le but ici est d’introduire les critères de divisibilité et le vocabulaire (diviseur, est divisible par) en réinvestissant la notion vue précédemment toujours à partir de l’étude de cas concrets pour développer la notion d’outils.

1. a) Non, il ne lui en restera pas. b) Oui, il en restera une. 2. Il en restera un. 3. a) Elle donne 25 tickets à chacune de ses copines. b) Elle en donne 4 à chacune de ses copines. c) Oui, elle peut partager les 116 tickets puisqu’elle peut partager en 4 parts égales les 100 tickets d’une part et les 16 tickets d’autre part. Elle donnera donc 25 + 4 = 29 tickets à chacune de ses copines. 4. a) Oui, c’est exact. b) Car 15 est dans la table de 3. c) Alexa va écrire 9 + 8 +7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45. Alexa dira que ce nombre est divisible par 3. Chapitre 6 • La division 59

Je m’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 120 3 a) 56 est un multiple de 8. b) 8 est un diviseur de 56. c) 56 est divisible par 8.

16  Le deuxième et le troisième élèves ont raison. ● 17  1. Un nombre entier est divisible par : ●

• 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6, 8 ; • 5 si son chiffre des unités est 0, 5 ; • 10 si son chiffre des unités est 0.

4 72 est un multiple de 8 (ou de 9). 8 (ou 9) est un diviseur de 72. 72 est divisible par 8 (ou par 9).

9 975 est un multiple de 175 (ou de 57). 175 (ou 57) est un diviseur de 9 975. 9 975 est divisible par 175 (ou par 57). 5

6 1. 0 × 21 = 0  ; 1 × 21 = 21  ; 2 × 21 = 42  ; 3  × 21 = 63 ; 4 × 21 = 84 ; 5 × 21 = 105. 2. 1 ; 3 ; 7 ; 21 car 21 = 1 × 21 = 3 × 7. 7 16 × 6 = 96  ; 16 × 7 = 112  ; 16 × 8 = 128  ; 16 × 9 = 144. 8 1. 0 × 13 = 0  ; 1 × 13 = 13  ; 2 × 13 = 26  ; 3 × 13 = 39 ; 4 × 13 = 52 ; 5 × 13 = 65. 2. On peut citer tous les multiples de 18 à partir de 18 × 5, par exemple : 90 – 108 – 126 – 144 – 162 – 180. 9

1. et 2. 21

35

56

77

79

143

154  

10  1. 0 – 14 – 28 – 42 – 56 – 70 – ● 84 – 98 – 112 – 126 – 140 – 154. On obtient les premiers multiples de 14. 2. Oui, car 290 est un multiple de 29. 11  a) 24 (2 × 12) < 32 < 36 (3 × 12) ●

b) 60 ( 5 × 12) < 63 < 72 ( 6 × 12) c) 108 (9 × 12) < 114 < 120 (10 × 12) 12 Ce sont tous les nombres de 71 (14 × 5 + 1) à 83 (14 × 5 + 13).

car 27 = 1 × 27 = 3 × 9. b) 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 48 car 48 = 1 × 48 = 2 × 24 = 3 × 16 = 4 × 12 = 6 × 8. c) 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 12 ; 18 ; 24 ; 36 ; 72 car 72 = 1 × 72 = 2 × 36 = 3 × 24 = 4 × 18 = 6 × 12 = 8 × 9. 13  a) 1 ; 3 ; 9 ; 27 ●

14  a) Il s’agit des multiples de 21, par exemple : 0 ; ●

21 ; 42 ; 63 ; 84. b) Il s’agit des multiples de 20, par exemple : 0 ; 20 ; 40 ; 60 ; 80. c) Il s’agit des multiples de 18, par exemple : 0 ; 18 ; 36 ; 54 ; 72 ; 90.

15 a) 18 est un diviseur de 774. ● 60 Nombres et calculs

b) 42 est un diviseur de 798. c) 56 est un diviseur de 2 072 ou de 2 576.

2. Divisibles par 2 : entourés Divisibles par 5 : soulignés Divisibles par 10 : en gris 122 155 240 127 435 648 243 58 740 3. On remarque que les nombres divisibles à la fois par 2 et par 5 sont divisibles par 10. 18  1. 360 ●

1 724 456 2. Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé de ses deux derniers chiffres est un multiple de 4. 19  1. Un nombre est divisible par : ●

• 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de

3 ; • 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9. 2. Divisibles par 3 : entourés Divisibles par 9 : soulignés 35 318 340 695 814 846 924 3. Les nombres divisibles par 9 sont divisibles par 3. 20 ●

… est divisible par… 48 1 020 1 026 1 836 2 035

2

3

4

5

9

oui oui oui non non oui oui oui oui non oui oui non non oui oui oui oui non oui non non non oui non

10 non oui non non non

21 a) Le nombre 820 (ou 824 ou 828) est divisible ●

par 4 car 20, 24 ou 28 sont des multiples de 4. b) Le nombre 1 230 est divisible par 10 car son chiffre des unités est 0. c) Le nombre 243 est divisible par 9 car 2 + 4 + 3 = 9. d) Le nombre 780 (ou 785) est divisible par 5 car son chiffre des unités est 0 ou 5. e) Le nombre 4050 (ou 4353 ou 4656 ou 4959) est divisible par 3 car la somme de ses chiffres est un multiple de 3.

22 a) 120 ou 180 car ils sont tous deux divisibles ● par 12. b) 555 car son chiffre des unités est 5 et sa somme 15 est un multiple de 3. c) 1 080 car il est pair et sa somme 9 est un multiple de 9.

32 a) Je suis 3 424 ou 3 444 ou 3 464 ou 3 484. ● b) Je suis 270. c) Je suis 2 340. 33 La combinaison est 8 640. ● 34 1. a) et b) ●

23 1. Le chiffre des unités est 0. ● 2. Non, son chiffre des unités sera 1, 3, 5, 7 ou 9. 24  86 = 6 × 14 + 2. Il restera à Lucas 2 bougies. ● 25  1. 7 × 7 = 49 < 52 < 7 × 8 = 56. Elle devra les ●

couper en 8 parts. 2. 56 – 52 = 4.Il restera 4 parts de gâteau. 26 349 = 26 × 13 + 11. ●

13 – 11= 2. Il faudra ajouter deux surveillants.

27  ●

Mou- 171 ton

63

86

73

257

168

264

260

259

243

173

153

270

144

237

242

268

189

261

90

208

135

146

229

241

83

146

38

361

45

274

221

152

56

93

81

117

225

253

276

143

165

290

279

183

145

235

158

226

148

247

126

246

64

127

237

255

91

154

198

54

216

Troupeau

c) On obtient les nombres entiers de 1 à 12. d) On obtient les multiples de 256. e) 2 048 = 256 × 8 < 2 050 < 2 304 = 256 × 9. f) Il faudra 9 cartons. 2. 3 817 = 11 × 347 < 3 875 < 4164 = 12 × 347. Il faut 12 caisses.

J’approfondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 122 28 Le code est 183571. ● 29 Oui. Par exemple 35 et 56 sont des multiples de ●

7 et 56 – 35 = 21 est aussi divisible par 7.

B La division euclidienne

p. 124

Je découvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 124

30 Il y a 13 multiples de 15 entre 600 et 800 : 600 ● – 615 – 630 – 645 – 660 – 675 – 690 – 705 – 720 – 735 – 750 – 765 – 780 – 795. On peut proposer Benjamin 705, Lucie 675 et Léa 630.

Objectif de l’activité : le but de cette activité est de donner du sens à la division euclidienne en tant que partage équitable.

31 1. 0 – 297 – 594 – 891 – 1 188 – 1 485 – 1 782 ● – 2 079 – 2 376 – 2 673. Donc 2 376 < 2 380 < 2 673. 2. 2 376 = 8 × 297. 2 380 – 2 376 = 4. Chaque employé recevra 8 € et le patron gardera 4 €.

1. 273 – 11 × 20 = 273 – 220 = 53. Celui qui propose le partage aura beaucoup plus de billes que les autres. 2. Il faut que chaque enfant en prenne 22. Il en restera alors 9.

Activité 1

Chapitre 6 • La division 61

Activité 2

Objectif de l’activité : on réutilise ici la notion de division de deux nombres entiers comme étant une multiplication à trous. Le but est de montrer la technique de calcul pour présenter la division euclidienne comme un outil efficace dans la résolution de problèmes.

1. 8 × 33 = 264 < 266 < 8 × 34 = 272. Morgane va remplir 33 pages entièrement. 2. 33 × 8 = 264 et 264 + 2 = 266. L’opération est juste. 3. 305 = 8 × 38 + 1. 38 pages seront remplies entièrement. Je m’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 126 37 Dans ●

cette division euclidienne, 37 est le dividende, 5 est le diviseur, 7 est le quotient et 2 est le reste. 38 a) 56 = 6 × 9 + 2 ●

b) 86 = 28 × 3 + 2 c) 148 = 29 × 5 + 3 d) 243 = 34 × 7 + 5 56 9 86 3 148 5 243 7 2 6 26 28 48 29 33 34 2 3 5 39 a) 1 865 = 207 × 9 + 2 ● b) 4 560 = 570 × 8 c) 651 = 54 × 12 + 3 d) 342 = 13 × 25 + 17 1 865 9 4 560 8 651 12 342 25 6 207 56 570 51 54 92 13 65 0 3 17 2 40 a) 6 823 = 243 × 28 + 19 ●

b) 4 734 = 131 × 36 + 18 c) 2 641 = 69 × 38 + 19 d) 1 992 = 40 × 49 + 32 6 823 28 2 641 38 4 734 36 1 992 49 1 22 243 361 69 1 13 131 32 40 103 19 54 32 19 18

● 1. (12 × 6) + 3 = 72 + 3 = 75. 2. a) Le quotient est 6 et le reste 3. b) Le quotient est 12 et le reste 3. 41

62 Nombres et calculs

42 (17 × 18) + 8 = 306 + 8 =314. ●

Le dividende est 314.

43 Ce sont les nombres entiers de 224 ● (16 × 14 = 224) à 239 (16 × 14 + 15). 44 a) Le quotient est 6 et le reste 4. ● b) Le quotient est 7 et le reste 41. c) Le quotient est 8 et le reste 24. 45 ●

Dividende 98 26 17 43

Diviseur 10 4 19 8

Quotient 9 6 0 5

Reste 8 2 17 3

46 1. (17 × 54) + 26 = 918 + 26 = 944. ●

2. a) Vrai b) Faux car le reste n’est pas nul c) Faux car 26 > 17

47 ●

a) b) c) 345 7 626 3 386 16 65 49 026 208 66 24 2 2 2 48 1. 12 345 = (184 × 67) + 17 ●

2. Quotient : 67 ; reste : 17.

49 ●

Dividende 36 745 14 680 1 746 43

Diviseur 648 27 54 8

Quotient 56 543 32 5

Reste 457 19 18 3

50 1 112 est proche de 1 000 et 56 est proche de ● 50, donc le quotient est proche de 20. C’est 19. 51 1. et 2. Un primeur vient de recevoir ● 330  salades. Elles sont envoyées par cartons de 24 salades. Il y avait 13 cartons pleins et un carton supplémentaire ne contenant que 18 salades. 52 Amélie doit ranger ses 386 livres dans des ● cartons pouvant en contenir 24. Combien de cartons va-t-elle remplir ? Combien lui restera-t-il de livres ?

102 = (5 × 20) + 2. Il doit commander 21 paquets. 2. (5 × 21) – 102 = 105 – 102 = 3. Il lui restera 3 carreaux.

53 1. ●

54 a) Vrai car 45 < 46. ●

b) Faux car le reste est au plus égal au dividende lorsque le quotient est nul. c) Faux car 53 < 58. d) Vrai car le reste est au plus égal au dividende lorsque le quotient est nul. J’approfondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 127

Comme 13 × 5 = 65, et que le nombre de dizaines de 680 est proche de 65, le chiffre des dizaines du quotient est 5. C’est donc le ticket n° 52.

55 ●

56 1. ●

C’est la situation 3 puisqu’on cherche un partage équitable : 58 = (9 × 6) + 4. Chaque enfant aura 9 cartes, il en restera 4. 2. Situation 1 : 58 × 6 = 348. Ce restaurant peut accueillir 348 personnes. Situation 2 : 58 – [(5 × 3) + (2 × (5 + 3)] = 58 – ( 15 + 16) = 58 – 31 = 27. Le chef aura 27 pièces. 57 63 × 3 min 12 s = 63 × (3 × 60 + 12) s ●

= 63 × 192 s = 12 096 s En utilisant des divisions euclidiennes par 60 on a : 12 096 s = 201 min 36 s = 3 h 21 min 36 s. Antoine mettra 3 h 21 min 36 s. 58 1. 2,4 km = 2 400 m. 2 400 = 16 × 150. Un tour ● mesure 150 mètres. 2. 10 h 03 min – 9 h 15 min = 48 min. 48 = 3 × 16. Elle met 3 minutes en moyenne pour faire un tour.

● 9,96 m = 996 cm. 996 – 78 – 86 = 832. S’il y a 17 plants, il y a 16 espaces, 832 = 16 × 52. Il y a 52 cm entre deux plants. 59

● 1. 38 = (9 × 4) + 2. La perle est verte. 2. 205 = (51 × 4) + 1. La perle est rouge. 60

C La notion de quotient et la division décimale p. 128 Je découvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 128 Activité 1

Objectif de l’activité : l’objectif est de montrer que, pour résoudre des problèmes de la vie courante, la division euclidienne n’est pas toujours adaptée. On réutilise donc la résolution d’une multiplication à trous et on montre ses limites pour comprendre l’intérêt d’adopter un nouvel outil : la division décimale. Le choix de nombres entiers pour les diviseurs (on se limite à ce cas en 6e) et les dividendes permet de souligner la différence entre les deux divisions.

1. a) Elle est juste. b) Elle ne permet pas de répondre au problème car le reste n’est pas nul. 2. a) 4 × 6,25 = 25. Cette réponse convient. b) Elle a effectué une division décimale. 3. a) C’est 6,25. b) Il est le résultat de la division décimale de 25 par 4. 4. (25 : 4) × 4 = 25. Activité 2

Objectif de l’activité : le but de cette activité est de différencier les quotients exacts des valeurs approchées. L’utilisation de la calculatrice permet une réflexion sur l’importance de la validation des résultats donnés par cet outil et donc de développer le sens critique de l’élève vis-à-vis de sa réponse.

1. 42 : 5 = 8,4. Valérie a dépensé 8,4 € par jour. 2. a) Le quotient de 55 par 7 est le nombre qui, multiplié par 7, donne 55. b) Car 7,857142857 × 7 n’est pas égal à 55 (le dernier chiffre est 9 car 7 × 7 = 49). c) Fabien a payé environ 7,86 € par trajet. Je m’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 130 63 ●

×6 8

×7 48

÷6

9

×2 63

÷7

7,4

14,8 ÷2

64 1. C’est 4. ● 2. C’est 4,8. 3. C’est 9,3.

Chapitre 6 • La division 63

65 a) 7 × 6 = 42, donc 42 : 7 = 6 ●

b) 8 × 9 = 72, donc 72 : 9 = 8 c) 4 × 10,7 = 42,8, donc 42,8 : 4 = 10,7

● a) 13 × 69 = 897, donc 897 : 13 = 69 b) 26,9 × 34 = 914,6, donc 914,6 : 34 = 26,9 c) 15,3 × 24,3 = 371,79, donc 371,79 : 15,3 = 24,3 66

67 a) 25,7 ●

b) 56,81 c) 72,4 d) 17,25 205,6 8 511,29 9 45 25,7 61 56,81 56 72 0 09 0 1 1 5 8, 4 1 6 4 3 1, 2 5 2 5 3 8 7 2, 4 1 8 1 1 7, 2 5 6 4 6 2 0 1 2 5 0 68 a) 551,46 ●

b) 113,45 c) 244,05 d) 49,86 1 6 5 4, 3 9 3 7 9 4, 2 1 7 15 5 5 1, 4 6 9 1 1 3, 4 5 04 24 13 32 19 41 1 6 2 6 8 4, 5 7 1 1 4 8 2 4 4, 0 5 4 4 0 5 5 7 2

6 4 8, 2 1 1 3 1 2 8 4 9, 8 6 1 1 2 8 1 3

74 13,5 : 18 = 0,75. Une bouteille a une contenance ● de 0,75 L. 75 371 : 14 = 26,5. La longueur du jardin mesure ●

26,5 m.

76 a) 1,23 ● d) 4,567 8

b) 9,513 6 e) 0,025

c) 0,789 f) 0,456

77 a) 37,4 : 10 = 3,74 ●

b) 564,89 : 1 000 = 0,564 89 c) 945,8 : 100 = 9,458 d) 678 : 10 = 67,8 e) 2 540 : 100 = 25,4 f) 6 320 : 1 000 = 6,32

78 Perles en acier : 1,6 : 10 = 0,16. ● Perles en nacre : 5,6 : 100 = 0,056. Perles en strass : 11 : 1 000 = 0,011. Aurélie va choisir les perles en strass. 79 7 141 : 386 = 18,5. ● Un manuel scolaire coûte 18,50 €. 80 1,98 : 6 = 0,33 ● 2,48 : 8 = 0,31 Il faut choisir le paquet de 8 gâteaux. 81 1. 2 h 05 min = 2 × 60 + 5 min = 125 min. ●

2. 42 km = 42 000 m. 42 000  : 125 = 336. Il a parcouru 336 m en une minute. J’approfondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 131

69 56 × 49,5 = 2 772. Le dividende est égal à 2 772. ● 70 30 491,6 est proche de 30 000 et 62 est proche ●

82 (21 × 2) + (24 × 2) = 42 + 48 = 90. ●

de 60, donc 30 491,6  : 62 est proche de 500. Le quotient est donc 491,8.

2 m = 200 cm 200 : 90 ≈ 2 Arthur peut encadrer deux dessins.

71 ●

83 1. 549 : 12 = 45,75. Une mensualité s’élève à ●

Quotient proche de 0,3 Quotient proche de 3 Quotient proche de 30 Quotient proche de 300

4,76 : 17 / 2,56 : 8 84 : 24 / 483,6 : 156 2 947,8 : 86 / 4 928 : 154 15 072 : 48 / 4 578 : 14

45,75 €. 2. 45  : 12 = 3,75. Il économisera 3,75 € chaque mois.

84 950 = 9,5 × 100 ●

72 5,4  : 3 = 1,8. Un kilogramme de clémentines ●

5,5 × 9,5 = 52,25 La nouvelle voiture est plus économique.

73 1. 48 : 5 = 9,6. On peut peindre 9,6 m² avec 1 L ●

85 37,8 : 7 = 5,4. Le côté du carré mesure 5,4 cm. ● 86 10,8 : 6 = 1,8 9,6 : 4 = 2,4 ●

coûte 1,80 €.

de peinture. 2. 53,90  : 5 = 10,78. 1 L de cette peinture coûte 10,78 €. 64 Nombres et calculs

2,4 – 1,8 = 0,6 Les pommes ont augmenté de 0,6 € le kilogramme.

87 1. Monaco (30 535 : 2 = 15 267,5) – Belgique (11 ●

323 973 : 30 528 ≈ 371) – Allemagne (80 854 408 : 357 021 ≈ 226) – France (66 663 766 : 547 030 ≈ 122) – Espagne (48 146 134 : 504 782 ≈ 95). 2. À Monaco, la population est importante au regard de la superficie du territoire. Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 132 88 a) ●

C’est faux, il faut calculer la somme des chiffres pour savoir. b) C’est faux, il faut regarder si le nombre formé par les deux derniers chiffres est un multiple de 4. 89 1. 9 × 8 < 77 < 10 × 8, soit 72 < 77 < 80. ●

2. Dimitri pourra faire 9 packs. 90 a) Le quotient est 15, le reste est 17. ●

b) Comme 17 > 15, le quotient est 127 + 1 et le reste est 17 – 15. Le quotient est 128, le reste est 2. 91 a) 135 = (12 × 11) + 3. Il va remplir entièrement ●

11 étagères. b) 12 – 3 = 9. Il manque 9 livres pour compléter la dernière étagère. 92 ●

Débat Oui, le résultat est toujours égal à 3,72.

93 1. 27 : 4 = 6,75. Un DVD coûte 6,75 €. ●

2. 214 : 5 = 42,8. Chaque morceau mesure 42,8 cm.

Atelier numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 133

Étape 2 Calculer les produits 2. a) On tape = B1*1 b) On tape = C1*3 c) Voir le tableau 1 ci-dessous. Étape 3 Calculer la somme des produits 3. On tape = SOMME(B2 : M2). On obtient 97. Étape 4 Calculer le reste de la division euclidienne 4. On obtient 7. Étape 5 Calculer la différence entre 10 et R 5. On tape « = 10 – B4 » 6. Oui, car le résultat affiché en B5 est le même que celui saisi en N1. Étape 6 Trouver l’erreur de Rudy 7. Voir le tableau 2 ci-dessous. C’est donc le second code qui est faux puisqu’on obtient 5 et non 8 à la fin des calculs. Rudy doit donc le retaper en changer le dernier chiffre (8) en 5 : ISBN 978 – 2 – 07 – 064741 – 5. Résolution de problèmes . . . . . . . . . . . . . . . p. 134 95 1. 45 – (5 × 2) = 35 ●

35 : 14 = 2,5. Il y a 2,5 cm entre deux pendentifs. 2. a) 264 – (20 × 6,75) = 264 – 135 = 129. Les 25 sachets lui ont coûté 129 €. b) 129 : 25 = 5,16. Un sachet lui a coûté 5,16 €. c) 5,16  : 12 = 0,43. Un pendentif coûte 0,43 €. 6,75 + (15 × 0,43) = 6,75 + 6,45 = 13,2. Un collier lui coûte 13,20 €.

Tableau 1

Tableau 2

Chapitre 6 • La division 65

96 Son âge figure parmi les nombres suivants  : ●

30 – 35 – 40 – 45 – 50 – 55 – 60 – 65 – 70 – 75 – 80 – 85 – 90. On cherche donc les multiples de 7 dans la liste suivante : 31 – 36 – 41 – 46 – 51 – 56 – 61 – 66 – 71 – 76 – 81 – 86 – 91. Il n'y en a qu'un : 56. Il a donc aujourd'hui 55 ans. 97 On cherche un multiple de 2, 3 et 5 parmi les ●

nombres de la liste : 6 – 13 – 20 – 27 – 34 – 41 – 48 – 55 – 62 – 69 – 76 – 83 – 90 – 97. Elle a réalisé 90 œufs en chocolat.

98 1. 756 : 3 = 252 ●

252 × 2 = 504. Il y a 504 spectateurs aujourd’hui. 2. 504 : 4 = 126. Il y a 126 adultes. 3. 52,5 : 3 = 17,5 504 – 126 = 378 (126 × 52,5) + (17,5 × 378) = 13 230. La recette s’élève à 13 230 €.

Problèmes complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 136

Problème complexe 1 Le but de ce problème est d’amener les élèves à modéliser une situation de la vie courante. Compétences mises en jeu • Chercher : prélever et organiser les informations nécessaires à la résolution de problèmes à partir de supports variés : textes, schémas. • Modéliser : – utiliser les mathématiques pour résoudre quelques problèmes issus de situations de la vie quoti-dienne ; – reconnaître et distinguer des problèmes relevant de situations additives, multiplicatives, de proportionnalité.

1. Les élèves doivent dessiner les différents rangements dans le carton et compter le nombre de livres dans chaque cas. On dénombre 6 cas, on considère le carton dans cette position :

30

40 60

99 1. J’ADORE LES MATHS ! ●

2. Réponse en fonction des groupes. 100 8 × 23 = 184

184 +16 = 200 15 m = 1 500 cm 1500 : 200 = 7,5 Camille peut emballer 7 cadeaux. 101

Car 43 n’est pas divisible par 3.

Prix total des CD : 19,90 € Prix unitaire des livres : 5,32 € Prix total des livres : 21,28 € 102

26,40 + 19,50 = 45,90 45,90 : 51 = 0,9 Elle doit revendre les roses 0,90 € chacune. 103

104 1. 74 + 358 + 642 = 1 074 6 780 : 6 = 1 130 1 130 – 1 074 = 56 La distance entre le bois et le lac est de 56 m. 2. 48 min 54 s = 48 × 60 + 54 s = 2 934 s 2 934 : 6 = 489 489 s = (8 × 60) + 9 s = 8 min 09 s En moyenne, il a mis 8 min 09 s pour faire un tour de circuit. 66 Nombres et calculs

Cas 1 : on considère les livres posés à plat dans ce sens : 1,4

13

21 en hauteur : 21 (30 : 1,4) ; en longueur : 2 (60 : 21) et en profondeur : 3 (40 : 13), soit 21 × 2 × 3 = 126 livres. Cas 2 : on considère les livres posés à plat dans ce sens : 21

1,4

13 en hauteur : 21 (30 : 1,4) ; en longueur : 4 (60 : 13) et en profondeur : 1 (40 : 21), soit 21 × 4 × 1 = 84 livres. Cas 3 : on considère les livres posés debout dans ce sens : 21 13 1,4 en hauteur : 1 (30 : 21) ; en longueur : 42 (60 : 1,4) et en profondeur : 3(40 : 13), soit 1 × 42 × 3 = 126 livres.

Cas 4 : on considère les livres posés debout dans ce sens : 21 13 1,4 en hauteur : 1 (30 : 21) ; en longueur : 4 (60 : 13) et en profondeur : 28 (40 : 1,4), soit 1 × 4 × 28 = 112 livres. Cas 5 : on considère les livres posés debout dans ce sens :

21 13 1,4 en hauteur : 2 (30 : 13) ; en longueur : 42 (60 : 1,4) et en profondeur : 1 (40 : 21), soit 2 × 42 × 1 = 84 livres. Cas 6 : on considère les livres posés debout dans 21 13 1,4 ce sens :en hauteur : 2 (30 : 13) ; en longueur : 2 (60 : 21) et en profondeur : 28 (40 : 1,4), soit 2 × 2 × 28 = 112 livres. Au maximum, Pascale peut ranger 126 livres par carton. 2. 453 = (126 × 3) + 75. Il lui faudra 4 cartons.

52 : 4 = 13 13 × 48 = 624 1,5 L = 150 cL 624 = (4 × 150) + 24. Il faut 5 bouteilles de jus d’orange. 13 × 24 = 312 312 = (3 × 100) + 12. Il faut 4 bouteilles de jus de citron et 4 bouteilles de jus d’ananas. 4 × 13 = 52 Comme 70 > 52, il faut 1 bouteille de grenadine. (5 × 2,10) + (4 × 2,44) + (4 × 2,20) + 2,53 = 31,59. Le montant total s’élève à 31,59 €. 31,59 : 52 = 0,6075. Le coût s’élève à 0,6075 € par personne. Problème complexe 3 Le but de ce problème est de prélever des informations de divers documents pour reconnaître et résoudre un problème mettant en œuvre les quatre opérations. Compétences mises en jeu • Chercher : prélever et organiser les informations nécessaires à la résolution de problèmes à partir de supports variés : textes, tableaux. • Modéliser : – utiliser les mathématiques pour résoudre quelques problèmes issus de situations de la vie quotidienne ; – reconnaître et distinguer des problèmes relevant de situations additives, multiplicatives, de proportionnalité.

FACTURE Entreprise GETOU 18, rue de l’Industrie 44000 Nantes

Problème complexe 2 Le but de ce problème est de prélever des informations de divers documents pour reconnaître et résoudre un problème mettant en œuvre les quatre opérations. Compétences mises en jeu • Chercher : prélever et organiser les informations nécessaires à la résolution de problèmes à partir de supports variés : textes, dessins. • Modéliser : – utiliser les mathématiques pour résoudre quelques problèmes issus de situations de la vie quotidienne ; – reconnaître et distinguer des problèmes relevant de situations additives, multiplicatives, de proportionnalité.

Désignation du produit Papier peint ambiance Peinture plafond bleu azur Rouleau à peindre Bâche à peindre Colle à tapisser

Prix total (en €)

28 rouleaux

Prix unitaire (en €) 21,99 € le rouleau

1 pot de 2,5 L

33,80 €

33,80 €

2

8,90 €

17,80 €

1

0,99 €

0,99 €

6 paquets

5,90 €

35,40 €

Quantité

615,72 €

TOTAL DES ACHATS 703,71 €

Chapitre 6 • La division 67

c h a pi t

re

7

L’organisation et la gestion de données

Programme Connaissances et compétences associées > Nombres et calculs Résoudre des problèmes mettant en jeu les quatre opérations . Prélever des données numériques à partir de supports variés . Produire des tableaux, diagrammes et graphiques organisant des données numériques . Exploiter et communiquer des résultats de mesures . • Représentations usuelles : – tableaux (en deux ou plusieurs colonnes, à double entrée) ; – diagrammes en bâtons, circulaires ou semi-circulaires ; – graphiques cartésiens .

Nombre et calculs

Repères de progressivité La résolution de problème : La progressivité sur la résolution de problèmes, outre la structure mathématique du problème, repose notamment sur : • les nombres mis en jeu : entiers (tout au long du cycle) puis décimaux ; • le nombre d’étapes de calcul et la détermination ou non de ces étapes par les élèves selon les cas, à tous les niveaux du cycle 3, on passe de problèmes dont la solution engage une démarche à une ou plusieurs étapes indiquées dans l’énoncé à des problèmes, en 6e nécessitant l’organisation de données multiples ou la construction d’une démarche ; • les supports envisagés pour la prise d’informations : la collecte des informations utiles peut se faire à partir d’un support unique en CM1 (texte ou tableau de représentation graphique) puis à partir de deux supports complémentaires pour aller vers des tâches complexes mêlant plusieurs supports en 6e . La communication de la démarche et des résultats prend différentes formes et s’enrichit au cours du cycle . Dès le début du cycle, les problèmes proposés relèvent des quatre opérations, l’objectif est d’automatiser la reconnaissance de l’opération en fin de cycle 3 .

OUVERTURE

p . 137

Top Chrono ! a) 18,2 d) 0,6

b) 72 e) 43

c) 144 f) 4

Activité

1. Non, c’est faux. Ils ne sont que 11,1 % à être âgés de 56 ans et plus alors qu’ils sont 25,5 % à être âgés de 36 à 45 ans. 2. Clara n’a pas vu que le diagramme était faux car les secteurs ne sont pas proportionnels aux valeurs des effectifs qu’ils représentent. Elle n’a regardé que la taille de la part bleu clair et non le pourcentage associé. 68 Nombres et calculs

A La lecture, l’interprétation et la construction d’un tableau

p . 138

Je découvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p . 138 Activité 1

Objectif de l’activité : travailler le vocabulaire concernant les tableaux et exploiter des données présentées sous la forme de tableaux à double entrée.

1. La jeune fille a raison. Ce tableau possède 4 lignes (horizontales) et 5 colonnes (verticales). 2. C’est le canard colvert. 3. Ce sont le flamant rose et l’oie blanche. 4. C’est le flamant rose.

4 1. Il y a 16 garçons benjamins inscrits à cette compétition. 2. 15 + 12 = 27. 27 minimes ont participé à cette compétition. 3. 16 + 23 + 32 +15 = 86. 86 filles ont participé à cette compétition.

Activité 2

Objectif de l’activité : amener les élèves à présenter des données brutes sous la forme d’un tableau à double entrée. Un des objectifs est de souligner l’importance des titres de colonnes ou de lignes afin de faciliter la gestion puis la lecture des données.

1. Il y a 5 catégories de livres  : mangas, BD, romans policiers, romans d’aventure et romans de science-fiction. 2. 26 élèves ont été interrogés. 3. a) Il va écrire les catégories de livres. b) Il va écrire « Nombre de réponses ». c) Il va inscrire les nombres de réponses données par catégorie. 4. Mangas

BD

7

6

Nombre de réponses

6 1. Voir le tableau 1 ci-dessous. 2. 2 × 2 = 4. Farid a lu 4 BD. 3. 2 + 1 = 3. C’est Jules.

1. 6 gâteaux différents ont été cités. 2. Elle a interrogé 12 copines. 3. Voir le tableau 2 ci-dessous.

Romans de sciencefiction

Romans Romans polid’avenciers ture

4

1. Valérie a commandé 36 pulls. 2. Elle doit payer 1 422 € pour les tee-shirts. 3. Elle achète une jupe au prix de 14,80 €. 4. Elle va payer 2 967,20 € pour cette commande. 5

4

7

5

8 1. Voir le tableau 3 ci-dessous. 2. Le loisir le plus souvent cité est les jeux vidéo. 3. Le loisir le moins souvent cité est le dessin.

Je m’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 140 2 1. Il possède 6 lignes. 2. L’altitude du Mont Pelvoux est de 3 946 m. 3. Le sommet qui a une altitude de 3 983 m est La Meije. 4. Le plus haut sommet cité est le Mont Blanc.

1. 11 + 12 + 6 = 29 et 35 – 29 = 6. 6 élèves sont inscrits au football. 2. 9

Nombre d’élèves 11 12 6 6

Activités Cirque Badminton Athlétisme Football

3 1. Ce tableau possède 2 colonnes. 2. 4 moyens de transport ont été cités. 3. 7 élèves viennent au collège en voiture. 4. 16 + 7 + 3 + 2 = 28. 28 élèves ont été interrogés.

Tableau 1 Camarades

Yannis

Jade

Jules

Lola

Farid

Lilou

0 6

5 0

1 2

4 0

2 4

3 3

Nombre de...

romans BD Tableau 2 Gâteaux

Nombre de réponses Tableau 3 Loisirs Nombre de réponses

Gâteau au chocolat 4

Meringue 2

Tarte au citron 1

Cannelé

Brioche

Macaron

1

1

3

Télévision

Sport

Musique

Jeux vidéo

Dessin

5

5

3

6

1

Chapitre 7 • L’organisation et la gestion de données 69

10 1. Cela signifie qu’il y a 12 filles demipensionnaires dans la classe de 6e A. 2. DemiExternes Total pensionnaires Filles 12 3 15 Garçons 11 2 13 Total 23 5 28 11

1. On tape « = SOMME(B2:B13) ». On obtient 8 051.

3. Il faut que Nathalie choisisse Bish car c’est l’offre la moins chère parmi celles qui proposent les appels illimités. 14 1. Elle va payer 973 €. 2. On se trouve en basse saison. 3. Une semaine en juillet coûte 1 267 €. Les deux semaines en juin coûtent 385 + 595 €, soit 980 €. 1 267 – 980 = 287. Elle économise 287 €. 15 1. On tape « = SOMME(B2:B6) » : on obtient 100. Il n’y a donc pas d’autres sources d’énergie.

2. En utilisant la fonction « Trier », on trouve que la source la plus utilisée est l’électricité. 16 Nombre

2. En utilisant la fonction «  Trier  », on obtient l’année 2009, pendant laquelle on a installé le plus d’éoliennes.

est divisible par…

2 3 5 9 10

J’approfondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 142 12 1. 4 séances étaient proposées le jour de la sortie du film (mercredi 18 novembre 2015). 2. Pour la séance de 16h40, Nathan doit aller voir le film le dimanche 22 novembre 2015. 3. On compte le nombre total de séances proposées du mercredi au mardi suivant. Il a été projeté 24 fois la première semaine de sa sortie.

1. C’est Rouge qui propose l’offre la moins chère (5,90 €). 2. Elle ne convient pas à Nathalie car elle ne contient pas les appels illimités. 13

Forme Couleur Or Blanches Grises Total 70 Nombres et calculs

2 745

483

9 680

36 172

non oui oui oui non

non oui non non non

oui non oui non oui

oui non non non non

17

Âges Tarifs À l’unité Abonnement annuel

Moins de 25 ans

De 26 à 64 Seniors (65 ans ans et plus)

1,40 €

3,40 €

0€

78 €

129 €

0€

18  1. et 2. Voir le tableau ci-dessous. 3. Eva possède 27 perles de couleur or en forme d’étoile.

Étoile

Cœur

Total

63 – 36 = 27 108 184 – (108 + 27) = 49 347 – 163 = 184

36 55 163 – (36 + 55) = 72 163

347 - (163 + 121) = 63 108 + 55 = 163 121 347

19

Horaire décollage 16 h 10 16 h 30 16 h 40

Destination

Numéro du vol

Compagnie

Hall

Porte

Rennes Paris-Orly Genève

AS3125 EZY4026 EZY1474

Hop Easyjet Easyjet

C09 D20 E22

3 34 48

B La lecture, l’interprétation et la construction d’un graphique

p. 144

Je découvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 144 Activité 1

Objectif de l’activité : effectuer des lectures graphiques. Les unités sont différentes sur les deux axes mais les grandeurs étudiées permettent à l’élève de différencier plus facilement les deux axes.

1. Le poids d’Alicia à 9 mois est de 9 kg, à 15 mois de 10 kg. 2. Alicia pesait 11 kg à 21 mois et 14 kg à 33 mois. Activité 2

Objectif de l’activité : faire construire un graphique cartésien aux élèves. Un travail amène l’élève à déterminer l’échelle sur chacun des axes et la légende des graphiques. C’est aussi l’occasion de reprendre des données du programme de SVT afin de lier les différentes disciplines.

1., 3. et 4.

d) Sur l’axe vertical, un carreau représente 2 mm. 5. La hauteur des pousses de lentilles ne cesse de croître au fil des jours. Je m’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 146 22  1. Sur l’axe horizontal, on a représenté le temps en jours et sur l’axe vertical la température en °C. 2. Au 10e jour du relevé, la température de ce patient était de 36,3 °C. 3. Ce patient avait une température de 36,7 °C les 14e (environ), 18e et 22e jours.

Remarque : l’élève peut oublier la première valeur du fait qu’elle n’est pas matérialisée sur le graphique. C’est l’occasion d’un travail sur valeurs exacte et approchée de la lecture.

4. Le patient a eu le plus de température au 31e jour. Sa température est alors de 37,1 °C. 23  1. À 10 heures, il a parcouru 30 km. 2. Il a parcouru 58 km à 11 heures. 3. Au total, il a parcouru 130 km. 4. Pendant sa pause repas, Noé s’est arrêté. 24   1. La distance de freinage pour un véhicule roulant à 30 km/h est de 10 m, elle est de 25 m pour une vitesse de 50 km/h. 2. Un véhicule qui met 100 m pour s’arrêter roule à 110 km/h. 3. Il faut environ 85 m à un véhicule ayant une vitesse de 100 km/h pour s’arrêter.

1. La France comptait 4 millions d’agriculteurs en 1970. 2. C’est environ en 1994 que la France a compté moins de 2 millions d’agriculteurs. 25

2. a) Sur l’axe horizontal, on lit l’âge en jours. b) Sur l’axe vertical, on lit la hauteur des pousses de lentilles en mm. c) Sur l’axe horizontal, deux carreaux représentent 1 jour.

Remarque : ici, on peut envisager l’usage de la proportionnalité pour améliorer la lecture graphique de la valeur approchée de l’année.

3. La population agricole ne cesse de décroître depuis 1955. Le nombre d’agriculteurs en activité a chuté de 1955 à nos jours. Chapitre 7 • L’organisation et la gestion de données 71

26  1. En 1999, 280 milliers de personnes travail­ laient dans l’industrie automobile. C’est en 2004 que l’industrie automobile 2.  comptait le plus de salariés (300 000 personnes). 3. Depuis 2005, le nombre de salariés de l’industrie automobile ne cesse globalement de décroître même si la décroissance s’est inversée en 2010. 27  1. En 2002, les dépenses s’élèvent à 1 000 mil­ liers d’euros. 2. Oui, on peut considérer que ce budget est globalement en hausse. 3. C’est à partir de 2010 que le budget dépasse les 1 250 milliers d’euros. 28

 1.

Note sur 10 12 10 8 6 4 2 0

1

3

4

5 6 Numéro de contrôle

2. Non, au 5e contrôle, la note de Romane est inférieure à celle du 4e. 29

 1. Voir le graphique en page ci-contre. 2. À 3 ans et demi, Lucas mesurait environ 102 cm et 168 cm à 15 ans. 30

J’approfondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 148

1. L’énergie la plus chère est l’électricité, la moins chère le charbon. 2. En 2008, le fioul était moins cher que le gaz mais ce n’était plus le cas en 2012. 3. C’est en 2011 que le prix du fioul est devenu supérieur à celui du gaz. 31

32 1. C’est le quotidien Le Monde qui est le plus vendu en ligne. 2. Le quotidien La Croix ne s’est jamais vendu à plus de 10 000 exemplaires. Oui, le quotidien Le Figaro s’est plus vendu en février 2015 qu’en novembre 2013.

Notes de Romane

2

2. Depuis 2012, le nombre d’équipes inscrites à ce tournoi est sans cesse en augmentation.

33 1. Océane n’a pas placé les valeurs de manière proportionnelle sur l’axe vertical. 2.

Fermentation du glucose Volume du gaz en cm3

 1.

14 12 10 8 6 4 2 0

Nombre d’équipes participant au tournoi Nombre d’équipes

80 70

20

25

30

35

40

50

3. Lors de la fermentation du glucose, le volume du gaz augmente lorsque la température augmente de 20 à 40 °C puis le volume de gaz diminue lorsque la température dépasse les 40 °C.

50 40

1. La présentation sous forme de texte est peu lisible, on ne retient pas les informations et elle ne permet pas de comparer facilement les données. 2. 34

30 20 10 0 2009

45

Température en °C

60

Année

2010

2011

72 Nombres et calculs

2012

2013

2014

2015

Année Prix du pain (en €)

1955 1965 1975 1985 1995 2005 2015 0,04

0,07

0,14

0,40

0,58

3. Voir le graphique en page ci-contre.

0,75

0,90

Taille en cm

Taille de Lucas

200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Prix en € Prix de la baguette de pain

9

10

12

14

16

Années

35 Nombre d’entrées au cinéma Nombre d’entrées en millions 250

0,9

200 150

0,8

100 50

0,7

0

0,6

1999

2001

2003

2005

2007

2009

2011 Année

Le nombre d’entrées au cinéma est globalement en augmentation depuis 1999. Matière végétale sèche 36 1.

0,5

Masse de matière (en g)

3 2,5 2 1,5 1 0,5 0

0,4 0,3 0,2

0

Année

0,1

1955

1965

1975

1985

1995

2005

2015

1

2

5

9

14

28

35

42

Âge de la plante (en jours)

2. La masse végétale sèche à 12 jours est d’environ 1,3 g ; à 30 jours, on obtient 2 g de matière sèche environ et 2,25 g environ à 38 jours. Chapitre 7 • L’organisation et la gestion de données 73

37

1.

Date de naissance

1948

1963

1978

1993

2008

38 33

82 64

146 124

203 98

26 11

Genre

Femme Homme

2. Voir le graphique en page 75. 3. Oui, car 203 > 98. 4. L’activité physique augmente dans un premier temps avec l’âge pour atteindre son apogée entre 15 et 45 ans puis décroît lorsque la personne devient plus âgée. 38 1. En 2015, il a accueilli 648 + 216 = 864 visiteurs. 2. Voir le graphique en page 76. 3. C’est en 2015. 4. 528 – 396 = 132 et 132 : 528 = 0,25. Oui, c’est vrai.

C La lecture, l’interprétation et la construction d’un diagramme p. 150 Je découvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 150 Activité 1

Objectif de l’activité : lire un diagramme en barres. Comme c’est une activité d’introduction, la lecture est d’autant plus facile que seul l’axe vertical comporte des données numériques. L’axe horizontal comporte des noms.

1. C’est Michael Schumacher (7 titres remportés). 2. C’est Fernando Alonso (2 titres remportés). 3. 5 + 4 + 7 + 2 + 4 + 3 = 25. À eux tous, ils ont remporté 25 titres mondiaux. Activité 2

Objectif de l’activité : faire construire un diagramme. On étudie la pertinence et la possibilité de tracer d’abord un diagramme en barres puis on introduit la méthode de construction d’un diagramme circulaire.

Partie A 1. Il faudrait 83 cm pour représenter les glucides. 2. Non, il faudrait alors 1,3 mm pour représenter le sel. 3. Un diagramme en barres n’est donc pas adapté pour représenter ces données car on ne peut pas trouver une unité pour les représenter toutes convenablement. 74 Nombres et calculs

Partie B 1. Les 360° représentent la mesure de l’angle au centre du cercle entier. 2. 360 : 100 = 3,6. C’est 3,6. 3. Masse (en g) 3,8 3,4 3,1 5,4 1,3 83 100 Angle (en °) 14 12 11 19 5 299 360 4.

Informations nutritives Matières grasses Sucres Fibres Protéines Sel Glucides

Je m’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 153

41 1. 25 personnes ont déclaré avoir vu deux films cette année. 2. La réponse la plus souvent citée est 4. 3. Oui, c’est vrai (15). 4. 15 + 25 + 20 + 28 + 10 + 5 = 103. 103 personnes ont été interrogées. 42 1. C’est la console Turigol. 2. C’est la console Saméclate. 3. Non, c’est faux. 43 1. C’est la vitamine C. 2. Ce sont le fer, la vitamine A et les lipides. 3. En comparant les mesures d’angles, on peut affirmer que c’est vrai.

1. Style de musique préféré Nombre de réponses

44

14 12 10 8 6 4 2 0

Dance

Funk Latino Pop

Rap

2. C’est la dance. 3. C’est le slow. 4. 14 + 7 + 8 +6 + 8 +11 + 3 = 57. Il a prévu 57 invités.

Rock

Slow

37

2.

45 Répartition des coûts de gestion des déchets

200

Déchets non recyclables Déchets recyclables Verre Fiche énergétique du menu de Marion

46

150

Matières grasses Glucides Sel Fibres

J’approfondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 154

100

47 1. Le continent qui a le plus fort taux de natalité est l’Afrique. 2. Celui qui a le plus faible taux de mortalité est celui des Amériques. 3. C’est l’Afrique qui a le plus grand accroissement naturel (34 – 10 = 24). 4. Le taux de mortalité dépasse de peu celui de la natalité. Cela signifie que la population de l’Europe vieillit. 48

50

1.

Nombre de jours de congé

Nombre de jours 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31

Homme Femme De 15 à 29 ans De 30 à 49 ans De 50 ans et plus

0 1948

1963

1978 femme

1993 homme

2008

2. Oui, les femmes ont pris plus de jours de congé que les hommes. 3. Il s’agit des 15 à 29 ans. Chapitre 7 • L’organisation et la gestion de données 75

38

2.

Fréquentation du musée Nombre de visiteurs

1 000

900

800

700

600

500

400

300

200

100

0 2010

76 Nombres et calculs

Année

2011

2012

2013

2014

2015

49

51

Forme de chocolat préférée

Nombre de réponses

1.

Répartition des logements selon leur année de construction

25

20

Logements construits avant 1949 15

Logements construits de 1950 à 1969 Logements construits de 1970 à 1989 Logements construits de 1990 à 1999 Logements construits de 2000 à 2011

2. La majorité des logements sociaux de ce département a été construite entre 1970 et 1989. 3. 36 831 logements ont été construits jusqu’en 2011.

10

5

Enfants Adultes

0 Œuf Poisson Poule Lapin Cloche Agneau

1. En Bretagne, c’est le secteur tertiaire marchand et c’est aussi le cas pour la France métropolitaine. 2. En France, ce sont l’agriculture et l’industrie agroalimentaire. C’est aussi le cas en Bretagne. 3. Les emplois se répartissent en Bretagne de la même manière quasiment qu’en France métropolitaine. 4. 1 460 000 × 7  : 100 = 102 200 personnes travaillaient dans le secteur de la construction en Bretagne en 2012. 50

Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 156 52 1. Mercredi, Julien s’est entraîné pendant 20 minutes. 2. C’est Lilou qui s’est le moins entraînée le lundi. 3. 1 h + 15 min + 1 h 30 min = 2 h 45 min. Benoît s’est entraîné 2 h 45 minutes durant cette semaine.

Débat 55 + 20 + 10 + 2 + 8 = 95 95 > 65. Lara a tort. 20 + 10 = 30 30 < 55. Téa a également tort. 53

Chapitre 7 • L’organisation et la gestion de données 77

Atelier numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 157

Étape 1 Créer le tableau 1.

55

Étape 2 Créer le premier diagramme 2. à 4. Évolution du nombre de participants Nombre de participants 600 500 400 300 200 100 0

1.

Année Niveaux

2012

2013

2014

2015

6e

5

6

7

7

5e

4

5

6

7

4e

4

5

5

6

3e

0

4

5

5

2. Le collège de Zoé accueille de plus en plus d’élèves, quel que soit le niveau de classe. 2011

2012

2013

2014

2015 Année

Étape 3 Créer les autres types de diagrammes Évolution du nombre de participants 5. Nombre de participants 600 500 400 300 200 100 0

Résolution de problèmes . . . . . . . . . . . . . . . p. 158

2011

2012

2013

2014

2015 Année

56 1. C’est le train 870313 qui se rend à Auch. 2. Il partira de la voie 02. 3. 17 h 21 min + 1 h 33 min = 18 h 54 min. Il arrivera en gare d’Auch à 18 h 54 min. 4. 17 h 21 min – 45 min = 16h36 min. Il doit quitter son domicile à 16 h 36 min au plus tard. 57 1. Sam a acheté 40 sacs de ciment. 2. Le sac de gravier coûte 55,83 €. 3. Il a calculé 170 × 0,60 = 102. 4.

Montant hors taxes (en €)

Évolution du nombre de participants

102 4,56 2011 2012

167,49

2013

167,49

2014

294

2015

Montant total (HT) (en €) 735,54 TVA à 20 % (en €) 147,11

Étape 4 Analyser les diagrammes 6. On voit que le nombre de participants est globalement en augmentation. 7. Non, l’augmentation est difficilement visible et quantifiable. Justine ne doit pas l’utiliser pour son journal. 78 Nombres et calculs

Montant total (TTC) (en €) 882,65 58 1. 256 + 197 + 42 + 21 + 6 + 5+ 3 + 1 = 531. La masse de déchets recyclés dans la commune de Camille est de 531 kg par habitant par an.

Déchets recyclés

2.

3. Charges fixes : 1 500 × 45 : 100 = 675 € Transport : 1 500 : 10 = 150 € Nourriture : 1 500 : 4 = 375 € Divers : 2 × 150 = 300 € Problèmes complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 160

Problème complexe 1

Ordures ménagères

DEEE

Déchetteries

Erreurs de tri

Déchets recyclables

Cartons professionnels

Verre

Encombrants

3. 531 : 2 = 265,5 265,5 > 256. Les ordures ménagères représentent un peu moins de 50 % des déchets recyclés. 1. Nombre 10 21 43 86 104 de séances Tarif A 34 71,40 146,20 292,40 353,60 (en €) Tarif B 106,60 119,80 146,20 197,80 219,40 (en €)

Le but de cette tâche complexe est de travailler la prise d’information sur plusieurs documents (consigne + tableau à double entrée). Compétences mises en jeu • Chercher : prélever et organiser les informations nécessaires à la résolution de problèmes à partir de supports variés : textes, tableaux. • Modéliser : utiliser les mathématiques pour résoudre quelques problèmes issus de situations de la vie quotidienne.

11 + 0 + 7 + 5 + 3 = 26. La sortie leur coûtera 26 €.

59

2. Pour 43 séances, le prix payé est le même (146,20 €), quel que soit le tarif choisi. 3. Il paiera donc 353,60 € s’il choisit le tarif A et 219,40 € s’il choisit le tarif B. Il a donc tout intérêt à choisir le tarif B. 1. Vert  : Valentine  ; rouge  : Gabriel  ; jaune  : Lana ; bleu : Titouan. 2. Valentine a marqué 1 but, Titouan 3, Lana 8 et Gabriel 18. 60

1. Elle a utilisé presque la moitié de son argent pour les charges fixes. 2. Oui, c’est vrai. 61

Problème complexe 2 Le but de cette tâche complexe est aussi de travailler la prise d’information sur plusieurs documents (tableau à double entrée + diagrammes circulaires). S’ajoute l’utilisation des pourcentages. Compétences mises en jeu • Chercher : prélever et organiser les informations nécessaires à la résolution de problèmes à partir de supports variés : textes, tableaux, graphiques. • Modéliser : utiliser les mathématiques pour résoudre quelques problèmes issus de situations de la vie quotidienne. Constituants alimentaires Matières grasses Protéines Sucres

Pain baguette

Pain de campagne

Pain de seigle

Pain de mie

2

7,2

3

33,2

20 140

72,8 435,2

20,1 147

34,4 228

C’est donc le pain de campagne le plus adapté.

Chapitre 7 • L’organisation et la gestion de données 79

Nombres et calculs

Problèmes complexes transversaux

Problème 1 L’objectif de ce problème est de calculer le nombre de morceaux de sucre consommés par une adolescente en faisant appel à la proportionnalité ainsi qu’aux quatre opérations. Compétences mises en jeu • Chercher : prélever et organiser les informations nécessaires à la résolution de problèmes à partir de supports variés : textes, tableaux, diagrammes, graphiques, dessins, schémas, etc. Modéliser : utiliser les mathématiques pour • résoudre quelques problèmes issus de situations de la vie quotidienne. • Raisonner : résoudre des problèmes nécessitant l’organisation de données multiples ou la construction d’une démarche qui combine des étapes de raisonnement.

On calcule la quantité de sucre dans 33 cL de soda : 10,6 × 3,3 = 34,98 g. Il y a donc 34,98 g de sucre dans une canette de soda. On calcule la quantité de sucre dans : • 200 mL de jus de pommes : 2 × 10,2 = 20,4 g • 250 g de yaourt : 2,5 × 12 = 30 g • 300 mL de sirop : 19 × 1,5 = 28,5 g On calcule la masse totale de sucre consommée : 34,98 + 20,4 + 28,5 + 30 = 113,88 g. On calcule le nombre de morceaux de sucre consommés sachant qu’il y a 7 morceaux de sucre dans la cannette de soda. 7 × 113,88 ÷ 34,98 = 22,79. Chloé a donc consommé près de 23 morceaux de sucre.

Problème 2 L’objectif de ce problème est de calculer un prix de vente minimal. Pour cela, les élèves devront mettre en œuvre les quatre opérations ainsi que les calculs de pourcentages. Compétences mises en jeu • Chercher : prélever et organiser les informations nécessaires à la résolution de problèmes à partir de supports variés : textes, tableaux, diagrammes, graphiques, dessins, schémas, etc. • Modéliser : utiliser les mathématiques pour résoudre quelques problèmes issus de situations de la vie quotidienne. • Raisonner : résoudre des problèmes nécessitant l’organisation de données multiples ou la construction d’une démarche qui combine des étapes de raisonnement.

80 Nombres et calculs

1. 4 × 18 = 72 72 : 2 = 36 Au maximum, elle peut en réaliser 36. 2. 3,45 : 15 = 0,23 19,80 : 18 = 1,1 1,1 × 9 = 9,9 9,9 + 0,23 = 10,13 Un bracelet lui coûte 10,13 €. 10,13 × 20 : 100 = 2,026 10,13 + 2,026 = 12,156 Elle doit le vendre au minimum à 12,16 €.

Problème 3 L’objectif de ce problème est de déterminer le nom d’un collège en utilisant différentes représentations (diagramme, tableau, fractions). Compétences mises en jeu • Chercher : prélever et organiser les informations nécessaires à la résolution de problèmes à partir de supports variés : textes, tableaux, diagrammes, graphiques, dessins, schémas, etc. Modéliser : utiliser les mathématiques pour • résoudre quelques problèmes issus de situations de la vie quotidienne. • Raisonner : résoudre des problèmes nécessitant l’organisation de données multiples ou la construction d’une démarche qui combine des étapes de raisonnement.

On calcule le nombre de voix obtenues par les élèves de 4e : 2 Robert Roger : × 140 = 40 7 1 Nelson Mandela : × 140 = 35 4

3 × 140 = 42 10 Adrienne Bolland : 140 – (40 + 35 + 42) = 140 – 117 = 23 On calcule le nombre de voix obtenues par les élèves de 3e : 22 Robert Roger : × 150 = 33 100 28 × 150 = 42 Nelson Mandela : 100 16 × 150 = 24 George Sand : 100 34 × 150 = 51 Adrienne Bolland : 100 On calcule le nombre total de voix pour : Robert Roger : 40 + 33 + 26 = 99 Nelson Mandela : 38 + 35 + 42 = 115 George Sand : 51 + 42 + 24 = 117 Adrienne Bolland : 24 + 23 + 51 = 98 Le nom le plus cité par les élèves du cycle 4 est George Sand. George Sand :

Problème 4 L’objectif de ce problème est de déterminer un horaire d’arrivée ainsi que la durée totale d’un voyage en utilisant différents documents (texte, tableau, carte). Compétences mises en jeu • Chercher : prélever et organiser les informations nécessaires à la résolution de problèmes à partir de supports variés : textes, tableaux, diagrammes, graphiques, dessins, schémas, etc. Modéliser : utiliser les mathématiques pour • résoudre quelques problèmes issus de situations de la vie quotidienne. • Raisonner : résoudre des problèmes nécessitant l’organisation de données multiples ou la construction d’une démarche qui combine des étapes de raisonnement.

16 h 45 + 7 minutes = 16 h 52 min Antoine arrivera au ponton de Saint-Mandrier à 16 h 52 min. Il pourra donc prendre le bateau de 17 h 00. 17 h 25 min + 15 minutes = 17 h 40 min Antoine arrivera à la gare de Toulon à 17 h 40 min. Il pourra donc prendre le train de 17 h 43 min. Antoine arrivera donc à Paris à 21 h 45 min. 21 h 45 min – 16 h 45 min = 5 heures La durée totale du voyage est égale à 5 heures.

Problèmes complexes transversaux

81

c h a pi t

re

8

Les périmètres et les longueurs

Programme Connaissances et compétences associées Grandeurs et mesures > Grandeurs et mesures Comparer des périmètres avec ou sans recours à la mesure . Mesurer des périmètres en reportant des unités et des fractions d’unités, ou en utilisant une formule . • Notion de longueur : cas particulier du périmètre . • Formule de la longueur d’un cercle . • Unités relatives aux longueurs : relations entre les unités de longueur et les unités de numération (grands nombres, nombres décimaux) . Résoudre des problèmes dont la résolution mobilise simultanément des unités différentes de mesure et/ou des conversions . Calculer des périmètres en mobilisant ou non, selon les cas, des formules .

Repères de progressivité En 6e, le travail sur les longueurs permet en particulier de consolider la notion de périmètre, et d’établir la notion de distance entre deux points, entre un point et une droite . L’usage du compas permet de comparer et reporter des longueurs . La construction et l’utilisation des formules du périmètre du carré et du rectangle interviennent progressivement au cours du cycle . La formule donnant la longueur d’un cercle est utilisée en 6e .

OUVERTURE

p . 163

Top Chrono ! a) 200 e) 463

b) 18,8 f) 500

c) 110 g) 6,02

d) 240 h) 0,033

Activité 2

Activité

1. Premier parcours  : prendre le bateau jusqu’à Soulac-sur-mer puis la voiture jusqu’à Lacanau. Second parcours : prendre uniquement la voiture en passant par Bordeaux. 2. Le parcours qui a la plus petite distance est celui qui passe par Soulac-sur-mer (87 km contre 190 km en passant par Bordeaux). 3. Longueur d’un aller-retour : 140 + 50 + 70 + 17 = 277 km. A Longueur et distance

p . 164

Je découvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p . 164 Activité 1

1. a) mètres b) centimètres 82 Grandeurs et mesures

c) kilomètres 2. a) engrenage d’une montre b) terrain de sport c) longueur d’une autoroute

Objectif de l’activité : conjecturer que la distance entre un point et une droite est la longueur du segment reliant ce point et le pied de la perpendiculaire sur la droite, ce qui amène à découvrir la propriété du cours.

Je m’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p . 165 1 a) 24,56 dam = 245,6 m = 245 600 mm = 0,245 6 km b) 449,1 cm = 4,491 m = 4 491 mm = 0,004 491 km c) 58,907 hm = 5 890,7 m = 5 890 700 mm = 5,890 7 km d) 33 dm = 3,3 m = 3 300 mm = 0,003 3 km

a) 45,23 dam = 4 hm + 5 dam + 2 m + 3 dm b) 701,92 dm = 7 dam + 1 dm + 9 cm + 2 mm 2

J’approfondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 165 3



1 pied 1 yard 1 mile 63 360 Pouces 1 12 36 Centimètres 2,54 30,48 91,44 160 934,4 a) Pour 45  cm, les unités anglaises les plus adaptées sont le pouce ou le pied. 45 ÷ 2,54 ≈ 17,7 pouces ou 45 ÷ 30,48 ≈ 1,5 pied. b) 23,6  m =  2  360  cm. L’unité anglaise la plus adaptée est le yard. 2 360 ÷ 91,44 ≈ 25,8 yards. c) 6 mm = 0,6 cm. L’unité anglaise la plus adaptée est le pouce. 0,6 ÷ 2,54 ≈ 0,2 pouce. B Le périmètre d’une figure

p. 166

Je découvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 166 Activité 1

1. Les deux premières figures ont des longueurs de contour identiques, la longueur du contour de la troisième figure est plus grande. 2. Deux premières figures : 16 unités de longueur. Troisième figure : 18 unités de longueur. 3. Le périmètre.

b) 0,24 km = 2,4 hm et 100 dam = 10 hm. P = 10 + 4,5 × 2 + 2 + 2,4 × 2 = 25,8 hm. 11   a) P = 2 × 15 + 2 × 7 = 30 + 14 = 44 m ● ou P = 2 × (15 + 7) = 2 × 22 = 44 m. b) P = 4 × 7,23 = 28,92. 12   a) P = 9 × 3 = 27 cm. ●

b) P = 5,5 × 4 = 22 cm.

13   1. à 3. ● A

P

M

4. On a AM > AP. La figure ayant le plus grand périmètre est le triangle rouge. 14   Les périmètres sont égaux. ● 15   48 ÷ 4 = 12 cm. ● 16   1. AT = (12 – 3) ÷ 2 = 4,5 cm. ●

2. US = 18 ÷ 3 = 6 cm.

17   1. Vrai ●

2. Faux 3. Faux

18   1. à 4. ●

C1

E1

B

Activité 2

1. 217 mètres de fil de fer. 2. a) 766 mètres de fil de fer, soit : 206 + 206 + 177 + 177 ou (206 × 2) + (177 × 2). b) L + L + l + l ou L × 2 + l × 2 ou (L + l) × 2. 3. a) 780 mètres de fil de fer, soit : 195 + 195 + 195 + 195 ou 195 × 4. b) c + c + c + c ou c × 4.

A

O

C2

D

Je m’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 168 6 Figure de gauche : 10 unités de longueur. Figure de droite : 11 unités de longueur.

Figure de gauche : 11 unités de longueur. Figure de droite : 15 unités de longueur. 7

8 a) P = 5 + 7 + 8 = 20 m. b) P = 4,2 + 7 + 3,1 + 11 = 25,3 cm.

a) P = 6 × 5 = 30 mm. b) P = 2 × 3,6 + 6 × 2 + 1,4 × 2 = 22 hm. 10 a) P = 5 + 2 + 6,4 + 10 = 23,4 cm. ● 9

E2

5. PABOD = 2 × 3 + 2 × 1,5 = 9 cm. B et D sont deux points du cercle C1 de centre A, de rayon 3 cm, donc AB = AD = 3 cm. B et D sont également deux points du cercle C2 de centre O et de rayon 1,5 cm, donc OB = OD = 1,5 cm. 6. E ∈ C1 donc AE = 3 cm. On sait que AB = 3 cm. 11 – 2 × 3 = 5 cm donc BE = 5 cm. Deux possibilités sur C1 : E1 et E2. Chapitre 8 • Les périmètres et les longueurs 83

C La longueur d’un cercle

19 1. à 4. ●

C

D

p. 170

Je découvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 170 Activité 1

Objectif de l’activité : montrer que la longueur d’un cercle est liée à son diamètre.

A

B

5. ABCD est un parallélogramme (quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles). 6. Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont de même mesure. Ainsi, P = 2 × 3 + 2 × 4,5 = 15 cm. 20   1. Basket-ball : 86 m ●

Football : 346 m Handball : 120 m Tennis : 64 m Volley-ball : 54 m 2. Volley-ball