Kugelfunktionen [1 ed.]

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Inhaltsverzeichnis. I. A b s c h n i t t.

Kugelfunktionen mit ganzzahligen Zeiger n. § 1. Räumliche Kugelfunktionen. Seite

1. Potentialfunktionen. Laplacesche Differentialgleichung. gaben . 2. Dreifach orthogonale Flächensysteme 3. Divergenz 4. Gradient . 5. Rotation. 6. Räumliche Kugelfunktionen 7. Ganze rationale räumliche Kugelfunktionen

8. Kugelflächenfunktionen

Randwertauf-

.

1 2 4

6 7 9 11 12

§ 2. Zonale Kugelfunktionen. 9. Zonale Kugelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. Legendresche Polynome. Entwicklung der reziproken Entfernung zweier Punkte. . . . . . . . . . . . 11. Entwicklung in eine Fouriersehe Reiht, 12. Rekursionsformeln . . . . . . . 13. Berechnung der Koeffizienten 14. Integraldarstellung von Laurent, Formel von Rodrigues 15. Integraldarstellungen von Laplace und Jacobi . 16. Integraldarstellungen von Mehler und Dirichlet 17. Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 14 15 16

17 19 20 22 24

§ 3. Zugeordnete Kugelfunktionen. 18. Zugeordnete Legendresche Funktionen

19. 20. 21. 22.

. . . . .

. .

Integraldarstellung der zugeordneten Legendreschen Funktionen Zusammenhang mit den Beseelsehen Funktionen . Integraleigenschaften . . . . . . Normierte orthogonale Polynome. . . . . . . .

25 26

27 29

31

X

Inhalteverzeichnis.

§ 4. Reihenentwicklungen nach Legendreschen Polynomen. Seite

23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31.

Zweiter Mittelwertsatz der Integralrechnung . Asymptotische Abschätzungen . . . . . . . Entwicklung nach Legendreschen Polynomen Untersuchung der Endpunkte Untersuchung der Unendlichkeitsstellen . . . Untersuchung der Stetigkeitsintervalle Untersuchung der Umgebung des Punktes x Konvergenz der Entwicklung. . . . . . . . Entwicklung von ~n nach Legendreschen Polynomen

32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46.

Legendresche Funktionen zweiter Art. . . . ReihenentwickJung im Unendlichen. . . . . Integraldarstellungen von SchläfIi und Reine Zusammenhang zwischen den Legendreschen Funktionen erster und zweiter Art . . . . . . . . . . . . . . . . Rek ursionsformeln . . . Bestimmung des Polynomrestes W n - 1 Asymptotische Abschätzung der Legendreschen Funktionen zweiter Art Asymptotische Abschätzung der Legendreschen Funktionen erster Art Zusammenhang mit den Kettenbrüchen Näherungsweise Berechnung bestimmter Integrale Fehlerabschätzung . . . . . . . . . . . . . Zugeordnete Legendresche Funktionen zweiter Art Unendliche Produkte . . . . . . . . . . . . . Die Legendreschen Polynome als Eigenfunktionen Die zugeordneten Legendreschen Funktionen als Eigenfunktionen

47. 48. 49. 50. 51. 52.

Laplacesche Kugelfunktionen . Additionstheorem . . . . Integraleigenschaften Entwicklung von Robson Pole der Kugelfunktionen Pole der tesseralen Kugelfunktionen

33 34 36 38 39

40 41 45 45

§ 5. Legendresche Funktionen zweiter Art. 47 50 52 53 54

55 57 59

GI 63 66 68 69 69 71

§ 6. Kugelflächenfunktionen. 72 74 76 77 80 83

§ 7. Reihenentwicklungen nach Laplaceschen Kugelfunktionen. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59.

Reihenentwicklungen nach Laplaceschen Kugelfunktionen . Grenzwert der Teilsummen . . . . . . . . . Bestimmung des Grenzwertes . . . . . . . Eigenschaften der zu entwickelnden Funktion Abelsche Reihenumformung . . . . . Erste Randwertaufgabe für die Kugel. Zweite Randwertaufgabe für die Kugel GO. Dritte Randwertaufgabe für die Kugel

85 86 88 89 90 92 94 95

Inhaltsve rzeichnis

XI

H. A b s c h n i t t.

Kugelfunktionen mit beliebigen Zeigern. § 1. Gemmefunktion. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Produktdarstellung des Sinus. . . . . . . Integraldarstellungen der Gammafunktion .. Produktdarstellung der Gammafunktion . . Funktionalgleichungen , . . . . . . . . . Asymptotische Darstellung der Gammafunktion Abschätzung des Restgliedes Betafunktion . . . . . . . .

Seite

97 99 101 -103 104 108 111

§ 2. Hypergeometrische Differentialgleichung. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

Hypergeometrische Reihe . . . . . . . . . . . . . . Konvergenz der hypergeometrischen Reihe . . . . . . Integraldarstellung der hypergeometrischen Funktionen . Berechnung von F(a, b, c, 1) . Umformungen der hypergeometrischen Reihe Kugelfunktionen als hypergeometrische Reihen. Umformung der Differentialgleichung der Kugelfunktionen

§ 3. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.

25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34.

114 115 117 118

120 123 125

Kugelfunktionen mit belle bigen Zeigern.

Doppelumlauf . . . . . . . . . . . . . Berechnung der Integrale . . . . . . . Definition von p~ (z) für beliebige Zeiger Einfacher Umlauf. . . . . . . . . . . Definition von D~ (z) für beliebige Zeiger Neuer Doppelumlauf. . . . . . . . . . Bezieh ungen zwischen den Integralen längs der drei Wege Beziehungen zwischen P~(z) und D~(z) Definition von P~(z) und D~(z) für -1< z < + 1 Linear unabhängige Lösungen . • Reihenentwicklungen für p~ (z) Integraldarstellung von D~ (z) Umformung des Integrals . . Verallgemeinerung der Integraldarstellung von Heine Integraldarstellung von p~ (z) • . . . . Umformung des Integrals . . . . . . . Verallgemeinerung der Integraldarstellungen von Laplace und Jacobi, Integraldarstellungen von p~ (z) bei ganzzahligem m . • Verallgemeinerung der Integraldarstellungen von Mehler Rekursionsformeln für p~ (z) und .o~ (z)

127 128 131 133 135 137 139 140 142 143 145

147 149 151 152 155 157 159 161 165

XII

Inhaltsverzeichnis.

§ 4. Asymptotische Entwicklungen. Seite

35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47.

Eine Hilfsformel . . . . . . . . . . . . . Asymptotische Entwicklung der Kugelfunktionen . Abschätzung des Restgliedes Integraldarstellung für Pv(z) Umformung der Darstellung Sattelpunktverfahren Gleichung des Integrationsweges Eigenschaften der Kurve. . Gestalt der Kurve Berechnung des Integrals 1 2 Analytische Fortsetzung von 1 ~ . Berechnung des Integrals 1 1 Asymptotische Darstellung von Pv(z) bei komplexem Zeiger

48. 49. 50. 5l. 52. 53. 54. 55.

Eine linear gebrochene Substitution l Integraldarstellung von (z) und o;n (z) bei ganzzahligem m Eine Laurenteehe Reihenentwicklung Additionstheorem für Pv (z) Konvergenzgebiet . . . . . Additionstheorem für Ov(z) Analytische Fortsetzung der Formel Additionstheorem für Pv(z) und Qv(z) bei - 1 < z < + 1

167 168

171

•

I.

175 178 179 181 182 185 186 191 193 195

§ 5. Additionstheorem.

p:

197 199 201 202 205 207 209 211

III. A b s c h n i t t.

Anwendungen der Kugelfunktion en. § 1. Gleichgewichtsfiguren rotierender Flüssigkeitsmassen, Anziehung der Sphäroide. 1. 2. 3. 4. 5. G.

Sphäroid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potential eines Sphäroids in einem äußeren Punkt Gleichgewichtsbedingung an der Oberfläche bei Isostasie Schwerebeschleunigung auf dem rotierenden Sphäroid Trägheitsmomente des Sphäroids . . . . . . . . Potential eines Sphäroids in einem inneren Punkt

7. Gleichgewichtsbedingung im Innern bei Isostasie.

214215 216 218 219 221 223

§ 2. Erdmagnetismus. Entwicklung einer durch Beobachtungen gegebenen Funktion nach Kugelfunktionen. 8. Magpetische Massen innerhalb der Erde. . . . . . . . . . . . . . . 226 9. Magnetische Massen außerhalb der Erde . . . . . . . . . . . . . . 229 10. Entwicklung einer durch Beobachtungen gegebenen Funktion nach Laplacesehen Kugelfunktionen. Hilfsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . 230

Inhaltsverzeichnis

XIII Seite

11. 12. 13. 14.

Berechnung der Koeffizienten 232 Hilfssatz über Kugelfunktionen . 235 Hilfssatz aus der Algebra . . . 236 Entwicklung einer durch Beobachtungen gegebenen Funktion nach Legendreschen Polynomen . 239

§ 3. Dreifach orthogonale Flächensysteme, besondere Lösungen der Laplcceschen Differentialgleichung. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.

Besondere krummlinige Koordinaten Verlängertes Drehellipsoid . Abgeplattetes Drehellipsoid . Orthogonale Kreisbüschel Ringkoordinaten Ringfunktionen im Äußern des Ringes Ringfunktionen im Innern des 'Ringes. Kegelfunktionen . . . . . Dipolare Koordinaten . . Spiegelung an der Kugel.

25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33.

Feldgleichungen . . . . . . . Lösung der Feldgleichungen . Schwingungen einer Antenne. Elektrischer Oszillator. . . . Primäre und sekundäre Erregung. Grenzbedingungen . Ausbreitung der Wellen auf der Erdoberfläche. Zurückführung auf ein komplexes Integral. Berechnung des komplexen Integrals . . . . .

243 245 247 250 252 255 256 261 262 263

§ 4. Elektromagnetische Schwingungen. 265 266 268 269 271 272 273 274 277

§ 5. Höhere Kugelfunktionen. 34. Anziehungsgesetz im mehrdimensionalen Raum . . . . . . . . . . . . 35. Entwicklung einer Potenz der reziproken Entfernung nach höheren Kugelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 36. Rekursionsformeln . . . . . . . . . . . . . . . 37. Berechnung der höheren Kugelfunktionen . . . . 38. Differentialgleichung der höheren Kugelfunktionen 39. Integraldarstellung 40. Integraleigenschaften

279

Namen- und Sachverzeichnis.

292

281 282 284 285 288 290

I, § 5. Legendresche Funktionen zweiter Art.

64

+1

rungswert von

J f(x) dx

ist. Wir wählen zu diesem Zweck n Zahlen al~

-1

a2 , ••• , an im Intervall I so, daß und setzen

-1< a1