Introducción a la lógica [3 ed.]

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DIOGENES ROSALES P.

Introducción a la

LOGICA -~

DIOGENES ROSALES PAPA Profesor de Lógica de la Pontificia Universidad Católica del Perú y de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos

Introducción a la

LOGICA Tercera Edici6n

AN\ARU Editores LIMA - PERU

Introducción a la lógica Primera edición, Setiembre 1979. Segunda edición, Junio 1988.

© LHOGENES ROSALES PAPA

Tercera edición, Octubre 1994. Cubierta:

Diógenes Rosales

Composición: Editorial Mentaro Telf. 314258 Impresión: Editorial Monterrico S. A. Los Tapiceros N° 280 - Ate PedidoR n\ 1'1'\1". 522720

Derechos Reseruados. Prohibida la reproducción parcial () total sin autori· zación expresa del autor. Hecho d Dl'plÍsilo Legal N" 150 I Cnl)l)-1192 EJilorial Gráfica MOlllerrico S.A. Los Tapiceros ::!!{(). l 'ro. El Arlesal1o-Ale

Impreso en el Perú

Printed in Peru

INDICE Pr6logo Nota a la segunda edici6n Presentación Nota a la Úrcera edición Presentación a la tercera edición 1. NOCIONES BÁSICAS 1.1. Lógica 1.2. Inferencia 1.3. Expresiones proposicionales y expresiones no proposicionales 1.4. Proposiciones simples y compuestas 1.5. Uso y mención del lenguaje 1.6. El lenguaje formal 1.7. El lenguaje simbólico

7 8 9

11

13 15 15 15 16 18

19 21 23

Primera Parle Lógica Proposicional 2.

SIMIIOLOS. FÓRMULAII y FUNCIONES VERrrATIVAS

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 3.

LAS 3.1. 3.2.

4.

LAS 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5.

El lenguaje de la lógica proposicional (LP) Fórmulas • Esquemas de fórmulas • El uso de los puntos auxiliares Interpretación semántica' Funciones veritativas El conjunto de operadores proposicionales Simbolización de proposiciones

~

TABLAS DE VALORES

Las tablas de valores como procedimiento decisorio El método de las tablas abreviadas INFERENCIAS

Introducción La implicación La equivalencia Análisis de validez de inferencias Relación semántica entre las premisas y la conclusión

5.

FORMAS NORMALES: CONJUNTIVA y DISYUNTIVA

6.

5.1. Introducción 5.2. Leyes lógicas 5.3. Equivalencias notables 5.4. Forma normal conjuntiva (FNC) 5.5. Forma normal disyuntiva (FND) EL MtroOO DE LA DERIVACiÓN 6.1. Introducción 6.2. Implicaciones notables 6.3. La prueba directa 6.4. La prueba condicional 6.5. La prueba indirecta

33 33 34 34 35

37 38 45 47

55 55 57 69 69 69 72 75 80 85 85 87

88 93 96

103 103 103 107 110 113

Segunda Parle Lógica de Predicados Monádic08 7.

NOCIONES SOBRE LÓGICA DE CLASES

7.1. 7.2. 7.3. 7 A. 7.5. 7.6. 8.

LóGICA TRADICIONAL

8.1. 8.2. 8.3. 804.

8.5. 8.6. 8.7. 8.8. 9.

904.

9.5.

Introducción Símbolos y fórmulSB cuantificacionales Alcance de los cuantificadores Algunas reglas en LC Interpretación de fórmulas cuantificacionales en universos finitos El método FH

SIMlIOlJZACIÓN DE PROPOSICIONES CATEGÓRICAS E INFERENCIAS TRADICIONALES

11.1. 11.2. 11.3. 11.4. 11.5. 11.6. 11.7. 12.

Introducción La clSBe vacía y la clase no-vacía La intersección de dos clases Los diagramas de Venn como procedimiento decisorio Prueba de validez de los silogismos por los diagramSB de Venn

CUANTIFICACiÓN

10.1. 10.2. 10.3. lOA. 10.5. 10.6. 11.

Introducción Las proposiciones categóricas Las inferenciSB de la lógica tradicional El cuadro de la oposición La oonversión La obversión Las inferenciSB por contraposición El silogismo categórico

EL MtroOO DI! LOS DIAGRAMAS DE VENN

9.1. 9.2. 9.3. 10.

Introducción Noción de clase Noción de álgebra booleana y representación de las clases en los diagramas Operaciones con clases Relaciones entre clases Algunas leyes de la lógica de clases

Introducción Cuatro modelos de proposiciones categóricas Las formas categóricas típicas Simbolización de proposiciones categóricas típicSB y no típicas Proposiciones singulares El silogismo Inferencias no silogísticas

EL MtroOO DE LA DERIVACiÓN DE LA LÓGICA CUANTIFlCACIONAL MONÁDICA DE PRIMER GRADO

12.1 Introducción 12.2. Reglas de inferencia para los cuantificadores 12.3. Restricciones para efectuar la derivación 12.4. La prueba directa 12.5. La prueba oondicional 12.6. La prueba indirecta Apéndice 1. Nociones sobre predicados poliádicos Apéndice n. Circuitos lógicos Apéndice ill. Solución de algunos ejercicios Bibliografta

127 127 127 128 130 134 136 139 139 140 142 142 146 148 149 151 165 165 166 167 176 ISO 191 191 191 195 197 199 202 215 215 215 220 224 227 228 230 235 235 235 236 237 242 246 253 263 273 28li

PROWGO

El presente libro está dirigido a estudiantes en un primer curso de 16gica moderna. El objetivo principal es familiarizar al lector con el manejo de las reglas 16gicas para analizar la validez de las inferencias. Se inicia con algunos conceptos elementales sobre la 16gica, para luego, en la Primera Parte, desarrollar la Lógica Proposicional en dos capitulos. En el Capítulo I se efectúan todas las operaciones relacionadas con las tablas de verdad. En el Capttulo JI todas las operaciones están relacionadas con el manejo de las leyes o principios 16gicos. En cada uno de ellos se insiste en la demostraci6n, a base de ejemplos, de si la conclusi6n de una inferencia se deduce o no l6gicamente de la premisa o del conjunto de premisas. En la Segunda Parte se trata la Lógica Predicativa, desarrollada en los capitulos lJI y IV. En el Capitulo JIl se expone la l6gica de clases. En este capítulo se desarrolla la manera como la l6gica tradicional puede reducirse al cálculo puramente algebraico de Boole; en otros términos, c6mo pueden ser expresadas las proposiciones categ6ricas en el lenguaje de la lógica de clases, para luego estudiar la l6gica tradicional con los métodos tradicionales y la aplicaci6n a la misma del método de los diagramas de Venn. En el Capitulo IV se expone la l6gica cuantificacional monádica de primer orden, donde se decide la validez o invalidez de esquemas cuantificacionales, para luego demostrar la validez de inferencias por el método de la derivaci6n. En el desarrollo de todo el texto se proponen ejercicios para ser resueltos aplicando las definiciones o reglas lógicas expuestas. Mi principal deuda es con el Dr. Juan B. Ferro, Profesor Principal de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, cuyas orientaciones didácticas están presentes a lo largo del desarrollo del texto. Sin embargo, los errores que pudieran encontrarse son de mi entera responsabilidad. Agradezco asimismo al Dr. Sixto Garc{a y al profesor Carlos Matta por sus observaciones y sugerencias. De igual modo agradezco la propuesta de algunos ejercicios a·los profesores Cristina Quijada, César Palomino y Silvanna Ayaipoma. DlóGENES ROSALES

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NOTA A LA SEGUNDA EDICION En esta segunda edición se han introducido algunas modi(lCaciones, básicamente corrigiendo los errores que se han podido admitir. En el método de la derivación proposicional se ha incluido la prueba condicional (17.2) y en el capítulo N el método FH (30), procedimiento decisorio ideado por Juan B. Ferro, ahora Profesor Emérito de la UNMSM. El capítulo 111 no ha sufrido modificación alguna. Agradezco a Oscar Trelles Montero, profesor de lógica de la Universidad Católica, por la presentación que se ha dignado hacer de esta edición, a Luisa Castillo Zárate, profesora de la Universidad Católica y de la Universidad del Pací(r,co, por sus observaciones, y a los profesores Miguel Humberto Fuentes y Elia Acuña por algunos ejercicios propuestos. DIÓGENES ROSALES

Lima, Junio de 1988

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PRESENTACION

El libro de Diógenes Rosales resuelve la dificil tarea de "introducir" al lector en una ciencia sin presuponer de su parte conocimiento alguno. Conduce al lector al coraz6n de una ciencia formal no empírica, cuyo carácter abstracto la hace de por sí difícil. Y de esto puede dar testimonio cualquier alumno desde tiempos de Aristóteles hasta nuestros días. La "actitud" 16gica más común, es decir, el modo de enfrentar los problemas de su campo, se da, hoy en día, a través del uso de un lenguaje casi matemático, que generalmente es extraño al ne6fito. Es con gran maestría, pues no es poca la experiencia docente del autor, que se va guiando al lector al coraz6n de la l6gica de primer orden. Parte de unas primeras definiciones cuyo fin es familiarizar al lector con el vocabulario mínimo necesario para presentar el lenguaje simb61ico. Ya que el énfasis del libro está puesto en lograr que al final el lector domine las técnicas simbólicas propias de la 16gica contemporánea. El autor logra, a través de una presentación intuitiva, con muchos ejemplos, donde constantemente se busca juntar la presentaci6n te6rica con la aproximación "natural", que paso a paso el lector ascienda de unas simbolizaciones e interpretaciones cercanas, a la intuici6n, al manejo de técnicas generales de validez para la 16gica proposicional y cuantificacional monádica. En esto juega un rol primordial, como en la primera edición, el número y calidad de los ejercicios que forman cuerpo con la exposici6n. Estos permiten al lector sedimentar sus conocimientos y habilidad a medida que los adquiere. La 16gica proposicional es tratada en casi toda su extensi6n (a nivel compatible con un libro introductorio), desde las tablas de verdad y las simbolizaciones del lenguaje natural hasta las formas normales y métodos educativos. La presentaci6n de la lógica de predicados primero con los diagramas de Venn y luego con cuantificadores, permite una correcta aprehensi6n del tema gracias a los dos modos de tratar los mismos temas. De esta forma, el lector puede apreciar las bondades del empleo de un lenguaje simbólico y encuentre justificado el esfuerzo 9

dedicado a dominarlo. En este sentido hay que felicitarse por la presentación del método Ferro-Herband en forma completa, y con más cuidado en los aspectos didácticos que en la anterior edición. Hay que notar al respecto que una introducción a la lógica podr(a contentarse con "narrar" al lector algunos de los problemas y técnicas que se emplean, mostrando a tal vez uno o dos a modo de ejemplo, pero sin enseñarle cómo ejecutarlos. Tal vez una introducción de ese estilo permita cubrir más áreas, sobre todo tocar zonas conflictivas y avanzadas de la lógica, hablando por ejemplo de varias lógicas rivales. Tal aproximación serta sin lugar a dudas muy informativa pero poco servirla para que el lector llegue a "hacer" lógica y tenga un contacto directo y personal con la misma. En todo caso se hace conveniente el acompañar una introducción con lecturas de temas históricos. Como lo sugiere la bibliografía. El resto de los comentarios que cabe hacer en esta presentación es mejor dejarlo al lector para cuando termine la obra. OSCAR TRELLES

Junio, 1988

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NOTA A LA TERCERA EDICION Para esta tercera edición se ha revisado el texto sin que sus capftulos sufran en su desarrollo mayor modificación temática. En algunos casos se han reformulado las definiciones y ampliado las explicaciones, y a sugerencia de algunos colegas, se han incluido nuevos acápites y temas complementarios. Entre algunas novedades, hemos adoptado una notación más intuitiva en vez de la notación Peano-Russell. Además, entre otros temas, se ha incluido en 1.5. uso y mención del lenguaje; en 2.7. el conjunto de operadores proposicionales; en 3.2. presentamos el método de las tablas abreviadas en su versión más completa. Las formas normales conjuntiva y disyuntiva debido a su utilidad como procedimientos decisorios y su aplicación a los circuitos lógicos, aparecen en un capttulo aparte. En el método de la derivación, tanto en LP como en LC, se usa la barra Anderson-Johnstone con el fin de visualizar las pruebas y las sub-pruebas en las demostraciones de la prueba condicional y la prueba indirecta. Las nociones de la lógica de clases, la lógica tradicional y el método de los diagramas de Venn forman capítulos distintos; el cálculo cuantificacional se trata en los capítulos 10, 11 Y 12; se han incluido dos apéndices: nociones sobre lógica poliádica y circuitos lógicos. Además, y en buena proporción, se han reformulado o incrementado ejercicios y se ha ampliado la bibliografía. Agradezco en primer lugar, a Milagros Orbegoso Rodríguez, sin cuya colaboración paciente no hubiera sido posible la presente publicación. Leyó cuidadosamente los originales, hizo valiosas sugerencias y observaciones, corrigió la redacción, propuso algunos ejercicios y cuidó la edición desde el comienzo hasta el final. Terminada ésta, me hizo llegar su apreciación, que he considerado pertinente incluir al final de esta nota. Mi reconocimiento va también a Alberto Vásquez Tasayco por sus crtticas y sugerencias anotadas a lo largo del texto de la segunda edición, a Ramón García-Cobián por sus observaciones al primer capítulo, a Dante Dávila Morey por sus sugerencias y las correcciones finales de redacción; a Luisa Castillo Zárate por la presentación que se ha dignado hacer de esta edición; a Elia Acuña por algunos

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ejercicios propuestos, a Rocío Reátegui y Rosa Ana Rojas por la presentación del solucionario de algunos ejercicios; a Carlos Matta por sus sugerencias en la edición; y en general, estoy en deuda con todos los jefes de práctica que laboran conmigo en el curso de Lógica y que de una u otra manera me hicieron llegar sus observaciones y sugerencias. DlóGENES RosALES PAPA

Lima, Octubre de 1994

"Hay una diferencia saltante que merece destacarse frente a las ediciones anteriores de Introducci6n a la 16gica: el autor se decide a partir otra vez sobre los mismos temas pero con una mirada distinta y novedosa. Quien recorre el libro puede reconocer en él la intención de persuadir al lector de que todos los temas de que trata el libro no forman más que un solo tema. Muestran caminos de distinta naturaleza y desarrollos definidos que conducen a un punto común que es la deducción formal válida. Un libro técnico como éste aparece mejor dispuesto y consistente mente explicado. Es un libro útil que ha sido pensado en su estructura como totalidad. Quien busque habilidad en el manejo de los elementos básicos de la lógica tiene aquí un buen punto de partida". MILAGROS ORBEGOSO

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R.

PRESENTACION A LA TERCERA EDICION Introducción a la lógica de Diógenes Rosales es un libro claro de un profesor de Lógica de reconocida experiencia. Su estilo didáctico y fluido constituye una invitación al conocimiento de esta ciencia formal. El texto parte de definiciones y, ascendiendo sobriamente desde lo más elemental hacia lo más complejo, conjuga la manera 'intuitiva' que tiene el lector para acceder a la temática lógica, con el sustento teórico (que consigue alcanzar aqu( un nivel formal riguroso en el manejo del simbolismo) y con el empleo de técnicas de validez para la lógica proposicional y la lógica de predicados monádicos. Uno de los principales méritos de esta edición, es el de haber reformulado y ampliado sustancialmente los contenidos temáticos, y la propuesta de nuevos ejercicios convenientemente graduados. La inclusión de temas no tratados en la edición anterior, como la distinción entre uso y mención en el lenguaje, la construcción del cálculo en la lógica proposicional y cuantificacional, el uso de la barra Anderson-Johnstone para centrar la sub-derivación en la secuencia de una derivación, la exposición completa sobre el uso de las tablas abreviadas, la presentación de temas como apéndices sobre nociones de lógica poliádica y circuitos lógicos, y en general la presentación de todos los temas en el desarrollo del texto, hacen de Introducción a la lógica de D. Rosales una obra de consulta ineludible, especialmente para estudiantes de este curso o para interesados en conocer el fascinante mundo de esta ciencia.

MARtA

LUISA CASTILLO

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1. NOCIONES BASICAS Un razonamiento correcto, ya sea en matemáticas, física o en la conversación casual, es válido en virtud de su forma lógica. P. SUPPES

1.1. Lógica La lógica es un conocimiento que aparece por primera vez, de manera orgánica y sistemática, en los escritos de Aristóteles(l) con un objetivo definido como es el análisis formal de los razonamientos. En su desarrollo a través de la historia, este concepto ha venido a constituirse en el tema central de la lógica. El análisis formal de los razonamientos se propone deslindar la validez o invalidez de las inferencias(2l. Este deslinde se efectúa mediante el empleo de métodos o procedimientos que consisten en la aplicación de definiciones y leyes o reglas lógicas. Vista de esta manera,la lógica es una ciencia que estudia los métodos o procedimientos que aplican definiciones y leyes o reglas con el propósito de determinar la validez o invalidez de las inferencias.

1.2. Inferencia La inferencia es un proceso que consiste en obtener la conclusión a partir de un conjunto de premisas. Ejemplos: (1)

(1)

(2)

Todos los hombres son mortales. Sócrates es hombre. Luego Sócrates es mortal.

Los escritos lógicos de Aristóteles (384 . 322 a.C.) están reunidos en un libio llamado Organon que contiene Las Categorías, Sobre la Interpretaci6n, Los Analíticos (Primeros y SeguruWsJ, Los Tópicos y Las Refutaciones So{ísticas. Usaremos como sinónimos los términos inferencia, razonamiento y argumento.

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Diógenes Rosales

(2) Si un número es divisible por 2 entonces es un número par. 4 es un número divisible por 2. Por lo tanto, 4 es un número par. (3) Si el galeón no trae piratas, entonces el capitán ha muerto o está prisionero. Pero, el capitán no ha muerto ni está prisionero. En consecuencia, el galeón trae piratas. La distinción entre el conjunto de premisas y la conclusión está determinada por algunas palabras que sirven de referencia. En nuestros ejemplos, esta distinción está dada por luego, por lo tanto, en consecuencia. Si no usáramos estos términos u otros similares, tendríamos un conjunto de expresiones que no expresan inferencias. Las expresiones que componen el conjunto de premisas y la conclusión se llaman proposiciones(3l, entonces podemos decir que la inferencia es una estructura de proposiciones que consiste en pasar de un conjunto de proposiciones llamadas premisas a otra proposición que es la conclusión. Cuando la conclusión está contenida en el conjunto de premisas o se deriva necesariamente del conjunto de premisas, la inferencia es válida, en este caso se dice que la conclusión es consecuencia lógica del conjunto de premisas. Esta clase de inferencias se denomina deductiva, y sólo con respecto a estas inferencias se puede decir que son válidas o inválidas. La otra clase de inferencias es la inductiva r donde la conclusión sólo es probable respecto al conjunto de premisas. Lógicamente las inferencias inductivas son inválidas. La lógica trata sólo de inferencias deductivas.

1.3. Expresiones proposicionales y expresiones no proposicionales Las proposiciones son expresiones del lenguaje de las que tiene sentido decir que son verdaderas o falsas. A este tipo de lenguaje usado en el discurso se le denomina también enunciativo, declarativo, descriptivo, aseverativo, asertórico, etc. Ejemplos: El planeta Marte gira alrededor del Sol. (2) El agua se congela a cero grados centígrados.

(1)

(3l

16

Aunque no signifiquen lo mismo, los términos proposición y enunciado se usarán en el mismo sentido.

Nociones B4sicas

(3) Dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre sí. (4) J. M. Arguedas escribió la novela El Sexto. (5) La distancia más corta entre dos puntos es la línea recta. Es importante notar que lo que interesa básicamente en una expresión proposicional es su sentido de verdad o falsedad, porque oraciones distintas pueden expresar una misma proposición. Por ejemplo, las tres oraciones siguientes expresan una sola proposición: (6) Luis y María son compañeros de promoción. (6) Luis es compañero de promoción de María. (6) María es compañera de promoción de Luis. De igual modo, las siguientes oraciones en diferentes idiomas expresan la misma proposición: (7) El cielo está nublado. (7) The sky is cloudy. (7) Le ciel est nuageux. A diferencia de las proposiciones que no son propias de ningún lenguaje, las oraciones forman parte de un lenguaje determinado. Aunque la lógica actual no trata solamente de proposiciones, sin embargo se ocupa, básicamente, de expresiones que tienen la propiedad de ser verdaderas o falsas, esto es, las inferencias o razonamientos estarán compuestos por enunciados que son verdaderos o falsos. Las -expresiones no proposicionales no cumplen con la propiedad esencial de la proposición, esto es, no son verdaderas ni falsas. Por ejemplo, a diario usamos el lenguaje para hacer preguntas, para dar órdenes, para comunicar sentimientos y actitudes, para expresar deseos y emociones, etc., etc., en estos casos las oraciones no tienen sentido de ser verdaderas o falsas. Ejemplos: (8) Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o degradantes. (Art. 51!, Declaración Universal de los Derechos Humanos). (9) ¿Cuántos presidentes elegidos democráticamente han gobernado el Perú? (lO) Guíame, oh Señor, por la senda de tu justicia: haz que sea recto ante tus ojos mi camino por causa de mis enemigos. (Salmos V, 9). 17

Dióge1U!8 Rosales

(11) El viento de la noche gira en el cielo y canta (Neruda). (12) Quisiera visitar los museos más importantes del mundo. (13) ¡Bravo! ¡Qué felicidad! (14) Sólo mi corazón percibía la verdad de su profundo amor. (15) Hermosa azucena tienes en los cabellos: yo no he visto de esas en el jardín (J. Isaacs). Como podemos apreciar, ninguna de las oraciones deIS al 15 tiene sentido de verdad o falsedad, luego no son expresiones proposicionales. En lo que respecta al uso del lenguaje, a pesar de su complejidad, la lógica sólo trata con enunciados, pensamientos o proposiciones.

1.4. Proposiciones simples y compuestas Las proposiciones simples son aquellas expresiQn~s que están constituidas por un solo sujeto, un solo verbo y un solo predicado, en otros términos, de una proposición simple no podemos obtener otra proposición ni siquiera el término "no", por ello se las denoII\ina proposiciones atómicas, básicas o elementales. Ejemplos: (1) La Luna es un satélite de la Tierra. (2) Lope de Vega amó a Eloísa.

(3) Lima, ciudad desordenada e infonnal, tiene más de 12

millones de habitantes. Pigmali6n, obtuvo el Premio Nóbel de Literatura en 1926. (5) Carlos y María estudian juntos en la universidad.

(4) G. B. Shaw, autor de

Las proposiciones simples pueden clasificarse en predicativas (ejemplos 1, 3 Y 4) Y relacionales (ejemplos 2 y 5). Las primeras atribuyen o niegan un predicado a un sujeto, y las proposiciones relacionales vinculan de alguna manera dos o más SlÚetos. La proposición "La Luna no es un satélite del planeta Marte" no es una proposición simple porque podemos desintegrarla en: - La Luna es un satélite del planeta Marte - no El término "no" es considerado como molécula de una proposición sÍlI~ple. Luego, "La Luna no es un satélite del planeta Marte" es uria proposición molecular. 18

Nociones BdsicCJ8

Las proposiciones compuestas son aquellas expresiones que están constituidas por más de una proposición simple unidas por términos llamados conectivas. Las conectivas son "y", "O", "si ... entonces", "si y sólo si", "no", etc. Ejemplos: (6) Hegel no fue un filósofo materialista. (7) Aristóteles escribió el Organon y F. Bacon el Novum Organum. (8) Si la atmósfera tiene carga radiactiva entonces la humedad es dañina para la salud. (9) La metodología o la tecnología son útiles para el desarrollo de la ciencia. (10) El agua se congela si y sólo si la temperatura está bajo cero. Las proposiciones compuestas se denominan también proposiciones moleculares. La conectiva principal da nombre a cada una de estas proposiciones. Así, 6 es una proposición negativa, 7 es conjuntiva, 8 es condicional, 9 es disyuntiva y 10 es una proposición bicondicional. .

1.5. Uso y mención del lenguaje Un lenguaje está en uso cuando se refiere a una entidad, a un objeto o cuando se refiere a cosas del mundo, y está en mención cuando un lenguaje se refiere a sí mismo. Por ejemplo, en el enunciado: (1) César Vallejo nació en Santiago de Chuco, el nombre "César ValJej~" :"\3fiere a un individuo llamado "César Vallejo", del cual se dice que nació en Santiago de Chuco. El nombre "César Vallejo" está siendo usado para referir a un objeto del mundo. Pero, en el enunciado: (2) César Vallejo tiene cinco sílabas, el nombre "César Vallejo" se refiere a sí mismo. En este caso, el nombre no se usa, sino se menciona. (1) es una oración verdadera pero (2) es falsa. La falsedad se produce por el hecho de que no estamos hablando del hombre César Vallejo, sino del nombre con el cual llamamos a este individuo: Para 19

DiógeTll!s Rosales

salvar nuestros enunciados de falsedades que no pretenden mostrar, distinguiremos los nombres mencionacros de aquellos que son usados mediante el empleo de comillas. Así, todo nombre deberá llevar comillas cada vez que sea mencionado, como sigue: (3)

"César Vallejo" tiene cinco sílabas,

el nombre "César Vallejo" ya no refiere a la persona que nació en Santiago de Chuco, sino a la cantidad de sílabas que tiene el nombre "César Vallejo"; luego, la oración (3) es verdadera. Cuando usarnos un lenguaje para referirnos a objetos o cosas del mundo decimos que está en lenguaje-objeto, y, cuando el lenguaje se menciona a sí mismo, decimos que está en metalenguaje. En (1) el nombre "César Vallejo" está en lenguaje-objeto y en (3) está en metalenguaje. : El lenguaje-objeto y el metalenguaje nos permiten distinguir los niveles del lenguaje. El metalenguaje siempre se halla en un nivel superior con respecto al lenguaje-objeto, sin embargo, el metalenguaje puede ser lenguaje-objeto con respecto a otro metalenguaje, y éste, a su vez, puede ser lenguaje-objeto con respecto a otro metalenguaje y así, sucesivamente, de ahí que podamos hablar de meta, meta, meta lenguajes. En este sentido, el lenguaje-objeto se halla en un nivel cero que vamos a expresar por Lo; entonces LI es metalenguaje de L, L2 es metalenguaje de LI y así podemos tener Ln que es metalenguaje de todo lo anterior. Lo' LI' L2 ,L3 , ••• , Ln· Esto significa que Lo es el primer nivel, LI es el segundo nivel, L2 el tercer nivel, y así indefinidamente. Veamos algunos ejemplos: (4)

"César Vallejo nació en Santiago de Chuco" es una proposición verdadera.

En este caso "César Vallejo nació en Santiago de Chuco" es el lenguaje-objeto (L) y "es una proposición verdadera" es el metalenguaje (L I). (5) La Biblia comienza diciendo "en el principio creó Dios el cielo y la tierra". "La Biblia comienza diciendo" es el metalenguaje (L I), y "en el principio creó Dios el cielo y la tierra" es el lenguaje-objeto (L). A diferencia del ejemplo anterior, en (5) aparece primero el metalenguaje 20

NocwTII!sBásicas

y después el lenguaje-objeto. Sin embargo, (4) y (5) tienen dos niveles de lenguaje respectivamente. (6)

"'César Vallejo nació en Santiaflo de Chuco' es una Lo L¡ proposición verdadera" dijo el profesor de Lógica.

L2 En este caso, aparecen indicados los respectivos niveles del lenguaje. Sobre el particular Carnap afirma: "siempre que se lleva a cabo una investigación sobre algún lenguaje, llamamos a este lenguaje lenguaje-objeto de la investigación, y metalenguaje a aquel en el que son formulados los resultados de la investigación. Algunas veces, el lenguaje-objeto y el metalenguaje son el mismo, por ejemplo cuando hablamos en inglés acerca del inglés"(4).

1.6. El lenguaje formal El lenguaje formal es sintáctico, puesto que la sintaxis se refiere a la estructura formal de cualquier lenguaje. La estructura formal está constituida por las conectivas, o constantes lógicas o elementos lógicamente esenciales según Quine. Ejemplos:

(4)

(1)

Si en el país hay inversión de capitales extranjeros entonces en los próximos meses crecerá el producto bruto interno. La estructura formal de esta proposición es: Si ... entonces ...

(2)

Los conocimientos de la física son empíricamente verificables, si y sólo si o los fenómenos que estudia son observables o son hechos particulares únicamente de la naturaleza material. En este caso la estructura formal es: ... , si y sólo si o .... o ....

(3)

El problema de las ciencias sociales, o es la influencia de los modelos de las ciencias naturales y no la delimitación de los problemas metafísicos, o son los factores de sistematización si se trata de una tendencia histórica.

CARNAP, Fundamentos de Lógica y Matemáticas, p. 19.

21

Di6geMs Rosales

La estructura formal de esta proPosición es: O ..... Y no ...... , o ..... si ..... En los tres ejenw~,sus respectivas estructuras formales están constituidas sólo por las conectivas, y la secuencia de puntos suspensivos en cada caso es el espacio que corresponde a cada proposición simple. La validez o invalidez de una inferencia depende de su validez formal. La validez formal de una inferencia está en relación con la función que desempeñan los elementos lógicamente esenciales en la estructura del lenguaje, esto es, una inferencia es válida o inválida independientemente del valor de verdad que posee el conjunto de premisas y la conclusión. Ejemplos: (4)

Si el descubrimiento de la mecánica en la física es una revolución newtoniana entonces es un modelo en la revolución científica. Si es un modelo en la revolución científica entonces genera consecuencias socioculturales. Por lo tanto, si el descubrimiento de la mecánica en la física es una revolución newtoniana entonces genera consecuencias socioculturales. La estructura formal de esta inferencia es: Si ..... entonces ...... Si..... entonces ..... . Por lo tanto, si ..... entonces .....

Con respecto a esta inferencia, basándonos solamente en la intuición, podernos afirmar que es válida(5), entonces también tiene una estructura formal válida. Si en la estructura fonnal los puntos suspensivos son llenados por cualesquiera otras proposiciones en reemplazo de cada una de las proposiciones simples de la inferencia y en el mismo orden, se obtendrá otra inferencia válida, independientemente de que cada una de las proposiciones sea verdadera o falsa. (5)

(5)

22

Ningún mahometano es católico. Algunos árabes son mahometanos. Luego, algunos árabes no son católicos.

La validez de esta inferencia se demuestra en la pago 111.

Nocion.eBBásicas

La estructura formal de esta inferencia es: Ningún ..... es ...... Algunos ..... son ..... . Luego, algunos ..... no son ..... Se puede advertir a diferencia de la inferencia 4 que la estructura formal de esta inferencia está constituida por ciertos ténninos que forman la estructura interna de cada una de las proposiciones simples. Esto nos indica que, además de las conectivas mencionadas, en la estructura fonnal también se puede tomar en cuenta la estructura interna de las proposiciones simples, porque en las inferencias de la lógica de predicados(6) la validez formal depende de la estructura interna de las proposiciones. Nuevamente recurriendo a la intuición podemos decir que la inferencia 5 es válida, de modo que, si llenamos los puntos suspensivos con términos cualesquiera en reemplazo de "mahometano", "católico" y "árabe", yen el mismo orden en que aparecen en el razonamiento, entonces se obtendrá otra inferencia válida independientemente del significado que pueda tener cada proposición.

1.6.1. Verdad y Validez Es una tarea muy difícil definir los conceptos de "verdad" y "validez", en todo caso, discutirlos le toca a la filosofía, a la epistemología o a la filosofía de la lógica: Para nuestros fines, esto es, en la lógica, "verdad" (falsedad) es un concepto del metalenguaje que usamos para calificar las proposiciones como verdaderas o falsas; en otros términos, el concepto semántico de "verdad" vamos a atribuirlo sólo a las proposiciones. En cambio, el concepto de "validez" (invalidez) lo usamos para decidir si existe una conexión adecuada entre las premisas y la conclusión de una inferencia, por ello, respecto a una inferencia, sólo podemos decir si es válida o inválida. En la lógica existen procedimientos decisorios que detenninan la validez o invalidez, y métodos que .sólo demuestran la validez(7).

1.7. El lenguaje simbólico En sentido general, el lenguaje simbólico es un tema complejo, pero en la lógica y en la matemática, el lenguaje simbólico es un (6) (7)

Infra, véase Lógica de Predicados. Por ejemplo el método FH es un procedimiento decisorio, y el método de la derivación sólo demuestra la validez.

23

Di6ge1ll!I Roaales

lenguaje artificial constituido por un COIÜunto de signos cuyo objetivo principal es la precisión y la operatividad. En este sentido, el lenguaje simbólico es un cálculo y, como tal, está compuesto por un coqjunto .de signos primitivos, reglas de formaci6n y reglas de transformacron(8). Los signos primitivos son símbolos admitidos sin definición en el sistema, o sea, son signos artificiales convencionalmente admitidos independientemente de todo contenido material. Las reglas de formación son las que nos permiten construir las combinaciones correctas de los signos primitivos dentro de un sistema. Las reglas de formación nos permiten obtener las fórmulas bien formadas o expresiones bien formadas del sistema. Las reglas de transformaci6n nos permiten transformar una fórmula bien formada en otra fórmula bien formada (fuD de símbolos. A manera de ejemplo, a continuación vamos a construir un cálculo para mostrar su constitución:

•

Símbolos primitivos Variables: O, tB , O Operadores: X, & Símbolos auxiliares: ( , ) Reglas de formación RF l. Cada variable por sí sola es una fuf. RF2 • Si A es una fuf, X (A)(9). RF 3. Si A y B son fufs., (A & B) es una fbf. RF 4• Ninguna otra fórmula es fbf en el presente sistema.

Aplicando estas reglas de formación podemos construir fufs. del sistema. Ejemplos: (1) X (O)

(2) (3) (4) (5) (8)

(9)

24

(O & (l» (0& O )& X«(l» X«O& (l»&(X( O )&X«(l»))) (tB & O) & (X (O & O) & (l»)

Véase CARNAP, FundamentoB de Lógica y Matemáticas; yA. DEAÑO, Introducci6n a la 16gica (ormal, paga. 28 • 35. A Y B son ~ariableB del metalenguaje, y representarán sólo fórmulas.

Nociones Bdsica8

De igual modo podemos obtener otras y otras fórmulas indefinidamente con sólo combinar los símbolos primitivos según las reglas de formación.

• Reglas de transformación RT1 X (A) = der. (A&A) RT2 (A&B) = der. (B&A)

Según RT1, se puede eliminar el operador "X" para obtener otra fórmula equivalente donde sólo aparece el operador "&". Por ejemplo: (6) X (O)

aplicando la RT1 se transforma en (O & O)

(7) X (X (O) & (3;) por RT1 se tnmsfonna en O & O ) & (3;) & O & O ) & (3;)

«

«

Según RT2, podemos cambiar la posición de las fórmulas y obtener otra fórmula equivalente. Por ejemplo: (8) (O &

(3;)

(9) X (O) &

aplicando RT2 se transforma en «(3;) &

(~

& O)

O ) por RT2 se transforma en

«(3;) & O) &

X (O)

Lo único que hemos hecho hasta este punto es operar o manipular un conjunto de signos bajo estrictas reglas explícitamente admitidas. Mientras el conjunto de símbolos primitivos no tenga un significado o un contenido semántico, será un conjunto de operaciones puramente sintácticas o de cálculo. Pero, si le asignamos un contenido a cada uno de los signos primitivos, ya estamos interpretando el cálculo, y se tendrá un lenguaje con estructura de cálculo. Supongamos que cada uno de los signos tenga contenido como. sigue: O ~

O X &

= ser abogado, = ser político,

= ser religioso, = no es cierto que, = ser amigo de,

(,) = determinan sólo el alcance de los operadores Entonces, cada fbf tendrá una interpretación, por ejemplo: (lO) X ( O ) debe interpretarse "no es cierto que sea abogado un tal individuo". 25

DwgeneB ROBales

(11) (O &®) se interpretará "un abogado tal es amigo de un político cual" (12) 1'( (~&O) se interpretará "no es cierto que un político tal sea amigo de un religioso cual". (13) O &~) & O) significará "un abogado tal es amigo de un político cual y ellos a su vez son amigos de un religioso tal". (14) (~&I'( significará "un político tal no es amigo de un abogado cual n •

«

O»

De igual modo, podemos interpretar n-fufs.; sin embargo, a pesar de que se construyen los cálculos en función de contenidos que deben ser aplicados, teóricamente los cálculos son independientes de todo contenido material. Ejercicio l· - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1.

2.

26

A continuación se tiene un conjunto de pasajes. En cada caso diga si expresa o no una inferencia. Si es una inferencia, distinga el conjunto de premisas de la conclusión. 1.1. La policía y las brigadas de socorro rescatan niños, si y sólo si resultan heridos en el accidente. 1.2. Si se produjeron cambios sociales en Rusia entonces Rusia tiende al capitalismo. Se produjeron cambios sociales en Rusia. Luego, Rusia tiende al capitalismo. 1.3. Si Pizarro conquistó el Perú entonces fundó la ciudad de Lima. Lima fue la capital del virreinato, pero en la ciu. dad de Lima no se libraron las batallas más importantes. 1.4. Si aumenta el precio de la gasolina entonces nuestra moneda se devalúa. Pero, nuestra moneda no se devalúa. En consecuencia, si aumenta el precio de la gasolina entonces la inflación no se eleva. 1.5. La Tierra es un planeta y la Luna es un satélite. La Luna gira alrededor de la Tierra y la Tierra gira alrededor del Sol. Luego, la Luna gira alrededor del Sol. Determine cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones y cuáles no. Justifique en cada caso. 2.1. Las mejores canciones del repertorio de Pavarotti. 2.2. Horas dramáticas de la humanidad.

Nocionu BÓBica8

2.3. 2.4.

3.

¡Oh querido Héctor, igual a Júpiter en prudencia! Los temas centrales de las obras de Arguedas son los problemas sociales. 2.5. Copémico estudió astronomía en Cracovia. 2.6. ¿Por qué no te enfrentaste al enemigo? 2.7. Ojalá que Carlos Felipe triunfe en las olimpiadas. 2.8. Señor, que florezca la rosa, no me la dejéis en la sombra. 2.9. Barnard transplantó por primera vez el corazón humano. 2.10. El únioo satélite te.t re::tre careoo de atmósfera, agua y luz propia. 2.11. Lance la bola tan lejos romo pueda y verifique su puntuación. 2.12. El jefe de la blindada salió corriendo y dijo a su lugarteniente: "¡Es una orden! Tienes que quedarte". 2.13. ¿El bien siempre triunfa sobre el mal? 2.14. Adán comió la manzana prohibida del paraíso. 2.15. Las importaciones están aumentando porque el gobierno está aplicando una economía liberal. 2.16. No te apartes de mí; porque se acerca la tribulación, y no hay nadie que me socorra (Salmos XXI 12). 2.17. Papá, no te olvides de traerme un pan, porque de harina es la mitad del sueño, según mamá me dice, y de harina es también toda la dicha. (Carta de un niño pidiendo pan, de José Gonzalo Morante) 2.18. -:.. Andrés Avelino Cáceres, por sus acciones en las batallas de Pucará, Marcavalle y Concepción, fue llamado el "Brujo de los Andes". 2.19. ¿Sabías que la distancia media de la Luna a la Tierra es de 412,000 Km?_Sería fascinante viajar al satélite Ce la Tierra. 2.20. El cólera no es un problema clínico sino un problema ecológico y ambiental. De los siguientes enunciados, ¿cuáles son proposiciones simples y cuáles son proposiciones compuestas? Si las proposiciones son compuestas, en cada caso indique las proposiciones simples y los términos de enlace. 3.1. El elefante es un paquidermo. 3.2. O los soldados Van a la guerra o se rinden incondicionalmente. 27

Di6geTU!8 Roaala

3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8. 3.9. 3.10. 3.11. 3.12. 3.13. 3.14. .. 3.15. 4.

28

Hitler y Mussolini fueron los representantes del fascisr mo en Europa. . Juan Carlos 1 de España se casó con Sofia en 1962. La capital del Perú no es la única ciudad desordenada en América de Sur. Si el rey no hubiese actuado rápido, la vidDria se habría perdido. Si sale el sol o no llueve, las competencias deportivas serán exitosas. Las selecciones de futbol de Perú y Chile competirán el próximo verano en un país neutral. En la Cordillera Blanca del departamento de Ancash, el Huascarán es el pico más elevado del Perú. El generalísimo don José de San Martín, libertador de América, no luchó en la batalla de Ayacucho. La producción agrícola bajó, en vista de que no hubo lluvias y hubo escasez de abono. Los ríos aumentan en la costa, si hay lluvias o se producen deshielos en la cordillera. Se dio por terminada la clase luego de que todos salieran corriendo. Las palabras "papú" y "melanesio" tienen connotaciones geográficas, lingüísticas y ffsicas . Pilar y María se enfrentaron bruscamente a los culpables y a los inocentes.

En cada uno de los siguientes enunciados use comillas para distinguir las expresiones que están en uso de las expresiones que están en mención, y a la vez delimite los niveles del lenguaje. 4.1. La nieve es blanca es una proposición verdadera .... \ 4.2. La nieve es blanca consta de cuatro palabras está en español dijo Maruja a sus compañeros de clase. '-.I>t 4.3. Cuando Luisa gritó cuidado al ver el precipicio era ya demasiado tarde contó Carlos cuando regresaron de una excursión. 4.4. Aristóteles dijo las ciencias tienen raíces muy amargas pero los frutos son muy dulces, escribió Kant. 4.5. Sherlock Homes dijo a su colega si ella sale de la casa, síguela, fue un informe encontrado en los archivos de la policía manifestó el jefe de la policía federal.

Nociones BÓ8icas

5.

6.

Detennine la estructura fonnal de cada una de las siguientes proposiciones. 5.1. El trabajo no está divorciado de la vida. 5.2. Platón fundó la Academia y Aristóteles el Liceo, a pesar de que Aristóteles fue discípulo de Platón. 5.3. No es el caso que si no sale el sol, haga frío y llueva. 5.4. Si el chofer abandona su vehículo, entonces apaga el motor y pone el freno de mano, pero el chofer enciende el motor de su vehículo si y sólo si ve al policía acercarse. 5.5. Escriba la estructura fonnal de las proposíciones compuestas que aparecen en 3. Construya un cálculo inventando un conjunto de símbolos primitivos, reglas de formación y reglas de transfonnación.

29

Primera Parte LOGICA PROPOSICIONAL "El llamado cálculo de proposiciones constituye una primera parte ineludible de la lógica matemática" . DAVID HILBERT

La lógica proposicional, llamada también lógica de las proposiciones sin analizar, trata a cada proposición como un todo en su conexión lógica con otras proposiciones. En este contexto, desarrollamos el cálculo de proposiciones orientado a analizar la corrección de los razonamientos mediante procedimientos decisorios como las tablas de verdad y las formas normales. Se concluye esta parte con la demostración de inferencias válidas por el método de la derivación.

2. SIMBOLOS, FORMULAS y FUNCIONES VERITATIVAS 2.1. El lenguaje de la lógica proposicional (LP) Llamaremos el lenguaje de LP a un conjunto de signos admitidos convencionalmente sin definición. Este lenguaje se denomina también símbolos primitivos del sistema LP. Los símbolos que presentamos a continuación constituyen la notación más usada. Variables: p, q, r, ... , etc. Operadores: - , A , V , _

(1)

, ++ (2)

Símbolos auxiliares: ( , ) , [ , ] , { , } , y los llamados puntos auxiliares "."

2.1.1. Metavariables Llamadas también variables metalingüísticas o símbolos del metalenguaje. Las meta variables van a representar de manera genérica fórmulas. Vamos a usar como metavariables las siguientes letras mayúsculas: A, B, C, ... , etc.

2.1.2. Reglas de formación Son las que determinan las posibles combinaciones correctas de los símbolos primitivos. En otros términos, las reglas de formación nos permiten construir fórmulas bien formadas (fufs) del sistema. Son las siguientes: i) Cada variable proposicional por sí sola es una fuf. ii) Si A es una fuf, entonces - (A) es una fuf. (!)

(2)

Para evitar la ambigüedad en el uso de las variables proposicionales, cada variable representará simbólicamente una proposición simple. Además, según necesitemos, podemos introducir otras letras como s, t, etc. El simbo lo "-" llamado "tilde" es el operador negativo, y opera sólo hacia la derecha, por eso es un operador monádico. ",," es el operador corijuntivo, "v" es el disyuntivo, "-" es el condicional, y el operador "_M es el bicondicional. Estos operadores, a excepción del negativo, son operadores diádicos porque operan en doble sentido.

33

Diógenes Rosales

iii) Si A Y B son fufs, entonces (A " B), (A v B), (A - B) Y

(A - B) son fufs. iu) Ninguna otra fórmula es una fuf en LP.

2.2. Fórmulas En la lógica proposicional, una fórmula es un conjunto de símbolos primitivos combinados según las reglas de formación. Ejemplos: (1)

P

(2) - p

(3) p " q (4) p -

(q v r)

(5) - (p - q) (6) (- p v q) v (r -

- q) (q -

(7) [(p " - q) v - r] -

r)

A cada una de estas fórmulas se le denomina esquema molecular, y el nombre de cada esquema molecular depende, en cada caso, de

su operador principal. Sólo la fórmula (1) no es un esquema molecular o en todo caso es un esquema molecular por excepción, porque todo esquema molecular supone la combinación de variables y operadores proposicionales. Entonces, toda fórmula generada por la regla de formación "i", como la fórmula (1), la denominaremos fórmula literal o fórmula atómica. En las otras fórmulas, la jerarquía de los operadores proposicionales está determinada generalmente por los signos de agrupación, especialmente cuando la fórmula tiene más de un operador diádico. Ahora podemos decir que (2) y (5) son fórmulas negativas, (3) es conjuntiva, (4) es condicional, (6) es disyuntiva y (7) es una fórmula bicondicional.

2.3. Esquemas de fórmulas Son las representaciones que podemos hacer de una o más fórmulas mediante metavariables. Por ejemplo, "A" puede representar cualquier fuf de LP, por lo tanto "A" puede ser esquema de fórmula de cualquier fórmula de LP, de igual modo se puede decir de "B", "C", etc. Pero, expresiones como "- A", "A" B", "A - B" ó "(A v B) - C" son esquemas de fórmulas donde, en cada caso, predomina el operador principal o se representa de manera más específica una fór34

StmboloB, f6rmulas y fUTlCiones veritativas

fórmula proposicional determinada. Así: "- A" es un esquema de fórmula de todas las fórmulas negativas, "A " B" de todas las fórmulas conjuntivas, "A - a" de todas las fórmulas condicionales, y "(A v B) - Cn es un esquema de fórmula de todas las fórmulas condicionales con "antecedente" disyuntivo. Cada esquema de fórmula representa n-fórmulas, es decir, cada esquema de fórmula representa infinitas fórmulas, Por ejemplo, dadas las siguientes fórmulas: (1) p " - q (2) - (p v q) (3) - p -

- q

q) " r (5) (p v q) - r (4) (p -

(6) - [p (7) (8) (9)

(10)

(- q - - r) ] [(p " q) v (r - q) ] - (p - r) [- p - ( q " - r)] " - (r v p) [- (p v q) v - r ] - - (r - q) - [ (p " q) v (r " p) ] - [ - r - (p v q) ]

'A' pl~~de ser esquema de fórmula de cualquiera de las fórmulas del (1) al (lO), igual se puede decir de 'B' y 'C'. '- A' es esquema de fórmula sólo de las fórmulas (2) y (6), 'A " B' es de (1), (4) Y (8), 'A - B' es de (3), (5), (7) Y (9), 'A - B' es sólo de (lO), y '(A v B) - C' es un esquema de fórmula de las fórmulas (5), (7) Y (9); sin embargo, '(A v B) - C' es un esquema de fórmula más específico de (5), también es más específico el esquema de fórmula '(- A v - B) - - C' que sólo representa a (9), de igual forma podemos construir esquemas de fórmulas cada vez más específicos para las fórmulas que disponemos.

2.4. Fil uso de los puntos auxiliares Los puntos auxiliares son una notación ideada por G. Peano y usada por Whitehead y Russell en Principia Mathematica (PM). Según esta notación, los puntos auxiliares se usan para determinar la jerarquía de los operadores diádicos en reemplazo de los signos de agrupación. Sólo cuando un signo de agrupación está negado no se puede reemplazar por los puntos auxiliares. Este uso consiste en asignar puntos a los costados de los operadores diádicos a los que uno desea darles mayor jerarquía. Ejemplos: 35

Diágenes Rosales

(1) p .-. q V r

En este caso el operador condicional es el de mayor jerarquía con respecto al disyuntivo, porque tiene un punto a cada lado. En lo sucesivo vamos a contar los puntos sólo a uno de los lados, aunque se les coloca a los dos lados del operador por razones simétricas. En este caso el condicional tiene un solo punto. (2) - (p v q)

En esta fórmula el operador principal es la negación. No se le puede asignar puntos auxiliares porque éstos se asignan solamente a los operadores diádicos. (3) p .-. q v r :-: - (p v q)

Nótese que en esta fórmula hemos combinado (1) y (2); el condicional con dos puntos es el de mayor jerarquía, le sigue el condicional con un punto, luego los otros operadores. q .t.. - r :v: q - r .-. p El operador principal en esta fórmula es el disyuntivo con dos puntos, le siguen en jerarquía, en el lado izquierdo el conjuntivo y en el lado derecho el bicondicional, y luego los otros operadores. De este modo, podríamos seguir construyenQ,o fórmulas donde el operador diádico de mayor jerarquía puede tener tres, cuatro o cinco puntos auxiliares, pero, para fines prácticos generalmente bastará usar un solo punto auxiliar y/o los paréntesis para determinar con mayor claridad la jerarquía de los operadores. Por ejemplo la fórmula (3) puede quedar así: (4) - P -

(p .-. q v r) -

- (p v q) En este caso el condicional principal está libre de paréntesis. El condicional con un punto tiene un alcance limitado por los paréntesis. La fórmula (3) también puede quedar así: p -

(q v r) .-. - (p v q)

Cualquiera de estas dos formas de jerarquizar los operadores de la fórmula (3) es correcta. De igual modo, sólo podernos usar un punto auxiliar y paréntesis en la fórmula (4). Así: (- p -

q .t.. - r) v (q -

r .-. p)

El disyuntivo principal está libre de paréntesis, y los operadores que tienen un punto están limitados por los paréntesis. En la 36

Stmbolos, f6rmul08 y funciones lIeritatillos

fónnula (4) también se pueden usar los paréntesis y el punto auxiliar como sigue: (- p ... ,q) " - r . v. (q -

r) - p En este caso la disyunción principal tiene un punto, y en los lados respectivos de la fónnula, la jerarquía se nota por la función de los paréntesis. Para establecer la jerarquía de los operadores diádicos, en lo sucesivo usaremos los puntos auxiliares sólo para evitar el excesivo uso de los signos de agrupación.

2.5. Interpretación semántica Llamamos interpretación semántica a las posibilidades de verdad (V) Yfalsedad (F) que se pueden asignar a una proposición. Semánticamente una proposición simple es la combinación de sólo una verdad y una falsedad. Esquemáticamente podemos expresarla así: P 1

V

2

F

Esto significa que una proposiclOn simple tiene como única posibilidad ser V o ser F. Por ejemplo: El cielo está nublado. Esta proposición tiene sólo dos posibles interpretaciones, que son: 1 2

Que es verdad que "el cielo está nublado" Que es falso que "el cielo está nublado"

En cambio, una proposición compuesta por dos proposiciones simples tiene las siguientes posibilidades de interpretación: p, q 1

V V

2 3 4

V F F V F F

Esto significa las distintas opciones en las cuales pueden interpretarse "p" y "q". Por ejemplo sean las proposiciones para "p" y "q" respectivamente: "El cielo está nublado" y "hace frío" 37

Dwgenes Rosales

Estas proposiciones pueden interpretarse semánticamente de acuerdo a la combinación de valores como sigue: 1 2

3 4

Que es verdad que "el cielo está nublado" y es verdad que "hace frío". Que es verdad que "el cielo está nublado" y es falso que "hace frío". Que es falso que "el cielo está nublado" y es verdad que "hace frío". Que es falso que "el cielo está nublado" y es falso que "hace frío".

Si se tuviera tres variables o tres proposiciones simples, las opciones aumentarían a ocho, y así sucesivamente. Ahora vamos a introducir las funciones veritativas de cada uno de los operadores proposicionales.

2.6. Funciones veritativas Las funciones veritativas son interpretaciones semánticas de las posibilidades de verdad o falsedad de las proposiciones moleculares en base a sus conectivas.

2.6.1. Negación La negación es un elemento lógico que actúa independientemente de la proposición. En palabras se expresa por "no es el caso que", o más brevemente por "no". Su símbolo, como ya sabemos, es la tilde "_". Ejemplos: El Perú no está al sur de Chile. Simbólicamente representaremos como sigue: (1)

p

donde "no = _" y "el Perú está al sur de Chile = p". Este mismo ejemplo se puede expresar también del siguiente modo: (2) No es el caso que el Perú esté al sur de Chile. y a la vez simbólicamente se puede representar así: -

(p)

en este caso usamos los paréntesis porque generalmente en el lenguaje ordinario no es el caso que se usa para negar proposiciones compuestas. 38

Simbolos. fórmulas y funciones lJeritaJilJClS

Lógicamente se rige por la siguiente regla: La negación de una proposición verdadera es falsa. La negación de una proposición falsa es verdadera.

ttt

Esquemáticamente se representa por la siguiente tabla de verdad: p

V F

F V

Esto significa que si "p" es V, su negación es F, y si "p" es F, su negación es V.

2.6.2. Conjunción La conjunción es la unión de dos o más proposiciones mediante la partícula ~y". Por ejemplo: (1) La pizarra es negra y la tiza es blanca.

Si "la pizarra es negra = p" y "la tiza es blanca = q", simbólicamente se tiene:

p " q donde ",," es el operador conjuntivo. La función veritativa de la conjunción se rige por la siguiente regla:

Una proposición conjuntiva es verdadera cuando todas sus proposiciones componentes son verdaderas. Es falsa cuando por lo menos uno de sus componentes es falso. Esquemáticamente se tiene: p, q

V V V F F V F

F

p"q V

F F F

Los valores que aparecen debajo de "p" y "q" son todas las posibles combinaciones de interpretación semántica para estas variables y se llaman columnas de referencia. Los valores que están debajo de la conjunción son los resultados de aplicarse la regla. Por ejemplo, la primera opción V de la conjunción resulta que es verdadera sólo cuando "p" y "q" son verdaderos a la vez. Como puede observarse, en todas las otras opciones es falsa. 39

DiógeTll!8 Rosales

La función veritativa de la coJ\iunción indica que la posición de las variables no mella el valor de la conjunción, lo que significa que goza de la propiedad conmutativa. Esquemáticamente se tiene: (A A B) es lo mismo que (B A A) En la matemática, la adición y la multiplicación gozan de esta propiedad. A manera de ejemplos, a continuación algunas fórmulas que cumplen con la conmutatividad: (2) "p A q" es lo mismo que "q A p" (3) "(p v q) A (r - p)" es lo mismo que "(r - p) A (p v q)" La conjunción también goza de la propiedad asociativa porque sus elementos se pueden agrupar indistintamente, como en la adición y la multiplicación. A A (B A C) es lo mismo que (A A B) A C Aplicando esta propiedad, se tiene: (4) "p A (q A r)" es lo mismo que "(p (5) "(p - q) "(p -

q)

.A.

A

(r v q)

(r V q)

A

.A.

-

A

q)

A

r"

. (p - r)" es lo mlsmo que (p -

r)"

Según esta propiedad, dos o más conjunciones pueden tener la misma jerarquía. Esquemáticamente así: AABAC

Entonces, las fórmulas (4) y (5) pueden quedar como sigue, y seguirán siendo fufs. de LP. (4) p A q A r (5) (p -

q)

A

(r v q)

A

(p -

r)

La tercera propiedad de la coJ\iunción es la de ser idempotente, porque la conjunción de una misma fórmula es igual a la misma fórmula. Así: (A

A

A) es lo mismo que A

Por ejemplo: (6) "p A p" es lo mismo que "p" (7) "(p v q) A (p v q)" es lo mismo que "p v q" Esta propiedad no la poseen la adición ni la multiplicación. 40

51mbolos. fórmul08 y funciones lJeriuuiuaa

Además de la partícula "y", en el castellano también los términos pero, sin embargo, no obstante, además, a la vez que, etc., pueden simbolizarse por "A" si interpretan la función veritativa de la conjunción lógica. Por ejemplo: (8) Pericles fue un político pero honesto.

Esta" proposición se puede interpretar como una propoSlClon conjuntiva, porque según la propiedad conmutativa se puede decir: "Pericles fue honesto y político", y el sentido sigue siendo el mismo. Luego, la proposición (8) se puede simbolizar por:

p

A

q

si "Pericles fue político = p" y "Pericles fue honesto go, véase la siguiente proposición:

= q". Sin embar-

(9) Carlos tornó barbitúricos y murió.

A pesar de que lleva la partícula "y" corno término de enlace, no se puede simbolizar corno una conjunción lógica, porque si aplicamos la propiedad conmutativa el enunciado cambia totalmente de sentido.

2.6.3. Disyunción La disyunción es la combinación de dos o más proposiciones mediante la partícula "0". Por ejemplo: (1) El actual canciller peruano habla inglés o habla francés.

En este caso la disyunción puede entenderse en dos sentidos: uno corno disyunción débil o inclusiva, y otro corno disyunción fuerte o exclusiva. En el lenguaje ordinario, el uso del término "o" es ambiguo, pero esta ambigüedad se resuelve comúnmente añadiendo las palabras "o ambos a la vez" o "pero no ameos a la vez". Si interpretamos la proposición (1) como una disyunción débil, entonces debe decirse: "el actual canciller peruano nebla inglés o habla francés o ambos a la vez". Simbólicamente así: pvq donde "el actual canciller peruano habla inglés = p" y "el actual canciller peruano habla francés = q". En este caso la regla es:

Una proposición disyuntiva es verdadera cuando por lo menos uno de sus componentes es verdadero. Es falsa sólo cuando todos sus componentes son falsos. 41

Di6genes Rosales

Esquemáticamente se tiene: p,

pvq

q

v V

V

V F F V F

V V

F

F

Como se puede apreciar, los valores que están debl:\io de la disyunción son los resultados de aplicarse la regla con respecto a los valores que están en las columnas de referencia. En el lenguaje ordinario la partícula "0" es una disyunción fuerte o exclusiva cuando sólo se admite la verdad de uno de sus componentes pero no ambos a la vez. Expresando en disyunción exclusiva la proposición anterior sería: "o el actual canciller peruano habla inglés o habla francés pero no ambos a la vez". Simbólicamente, como sigue: (p v q)

A -

(p

A

q)

Si inventamos un símbolo para la disyunción fuerte, por ejemplo el signo", ", entonces este operador por definición es como sigue: p,

q

=

der. (pVq)A-(pAq)

y la regla que lo rige es:

Una proposición disyuntiva fuerte es verdadera sólo cuando sus componentes tienen valores distintos. Es falsa cuando sus componentes tienen valores iguales. Luego, el esquema de la función veritativa de la disyunción fuerte es como sigue: p, q p, q V V F

V

F

F V

V V

F

F

F ...

De igual modo la fórmula que define la disyunción fuerte tiene la misma función veritativa, como se puede apreciar en el siguiente esquema: 42

StmboUnJ, fórmulas y fUTlCÍ()TII!8 veritativas

(p

p, q V V V F F V !4' F

V

q)

V V V F

(p

A

F V V F

F V V V

A

q)

V F

F F

En vista de que la fórmula "(p v q) A - (p A q)" cumple con la regla de la disyunción fuerte, usaremos esta fórmula en lo sucesivo para interpretar toda conectiva "0" que tiene sentido de disyunción fuerte en reemplazo cel signo "; ". La diL"'JUnción, al igual que la conjunción, goza de las propiedades conmutativa, asociativa e idempotente. A continuación los esquemas respectivos: (A v B) es lo mismo que (B v A) Lv (B v C) es lo mismo que (A v B) v C (A v A) es lo mismo qu~ A

2.6.4. Condicional Una proposición condicional es la combinación de dos proposiciones con "si ... entonces". La proposición que aparece entre "si" y '·cntonc.:s" se llama antecedente, y la proposición que sigue a la palabra "entonces" se llama consecuente. Por ejemplo: (1) Si la te:nperatura está bajo cero, entonces el agua se con-

gela. U5,,~1¿0

el operador condic:onal "_", simbólicamente se tiene: p-q

dor:de, En

t~mperatura

está bajo cero

= p" y "el agua se congela =q";

y la regla que rige es:

Una proposici6n condicional es·falsa sólo cuando el antecedente verdadero y el consecuente es falso. Es verdadera o cuando el antecedente es falso o cuando el consecuente es verdadero. La función vcritativa se expresa en el siguiente esquema:

es

p,

q

p-q

V V F F

V F V F

V F V V 43

DiógeTll!8 Rosales

Por otra parte, existen propoSiCiones condicionales donde la partícula "si" aparece entre dos proposiciones. Por ejemplo: (2) Llegaremos tarde al festival si el avión espera que pase la tormenta. Esta proposición se debe entender así: Si el avión espera que pase la tonnenta entonces llegaremos tarde al festival. Las conectivas ya que, puesto que, dado que, en vista de, porque, etc., también expresan formas condicionales, con la característica de que antes de cada una de estas conectivas aparece el consecuente, y después de ellas el antecedente. Ejemplos: (3) (4)

Subirá el precio del pan ya que subió el precio de la gasolina. La producción agrícola bajó, dado que hubo escasez de abono.

La proposición (3) debe entenderse como "si subió el precio de la gasolina entonces subirá el precio del pan", de igual modo, (4) se entenderá: "si hubo escasez de abono entonces la producción agrícola bajó". Los otros términos condicionales se comportan de la misma manera.

2.6.5. Bicondicional Una producción bicondicional es la unión de dos proposiciones por "si y sólo si". Por ejemplo: (1) Un número es divisible por dos si y sólo si es un número par. Usando el operador "-" y simbolizando, se tiene: p-q donde "un número es divisible por dos q". La regla que rige es:

= p" y

"es un número par

=

Una proposición bicondicional es verdadera cuando, o sus dos componentes son verdaderos o sus dos componentes son falsos. Es falsa cuando sus dos componentes tienen valores distintos. Esquemáticamente se tiene: p,

44

q

p-q

V V V F F V

V

F

V

F

F F

Simbolos, fórmulas y funciones veritativas

Esta función veritativa nos muestra que una proposición bicondicional se puede interpretar como la conjunción dé dos condicionales. Tomando la proposición (l} se tiene: Si un número es divisible por dos entonces es un número par, y si es un número par entonces es divisible por dos. Simbólicamente se tiene: (p - q)" (q - p)

2.7. El conjunto de operadores proposicionales En la lógica proposicional hay 16 operadores diádicos y cuatro operadores monádicos. Además de la forma en que fueron presentados los operadores proposicionales (- , " , v , - , -), en LP es posible calcular otras funciones veritativas. PM' ejemplo, para una función diádica hay cuatro opciones en las que se pueden distribuir los valores V y F, resultando 16 combinaciones posibles o 16 funciones diádicas; exactamente aplicando 24 (2 =proposiciones, 4 =número de opciones). El esquema completo fue presentado por primera vez por Ludwig Wittgenstein(3) como sigue: p,

q

V V V F F V F

F

1

2

V V V V V V V F

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16

V V F V V F V V F V V F V V V F

V F V F

F V F F V F V F V F F V F V V V

V F F F

F F FF V F FF F V FF F F VF

En este esquema se puede observar la función veritativa del operador "v" que aparece en la columna "2", la regla que rige al operador "_" está en la columna "4", la correspondiente a "_" está en "9", y la función veritativa de ",," está en "12". Las funciones monódicas, por otro lado, son cuatro; como se muestra en el siguiente esquema: 1

2

3

4

F F F V F La negación "_" aparece en "3", pero "3" también es la negación de "2", y "1" la negación de "4" y viceversa. Por ello, todos los operadores monádicos pueden reducirse a "_". V

V

V

(3)

WITI'GENSTEIN, Tractatu8 logico-philo80phicu8, p. 115.

45

Dióge1ll!8 Rosales

En el cálculo proposicional siempre se intentó reducir todos los operadores a un solo operador primitivo. Para el efecto H.M. Sheffer introdujo el operador " L" conocido como la negación conjunta, que se lee "ni ... ni" y se rige por la regla:

Una proposición de la negación conjunta es verdadera s610 cuando sus dos componentes son falsos, y es falsa cuando por lo menos uno de sus componentes es verdadero. Esquemáticamente, como sigue: p, q

p

v V V F F V F F

~

q

F F F V

La función veritativa del operador" l n aparece en la columna 15 del esquema de las funciones diádicas. Los otros operadores pueden definirse en función del operador" l", dando lugar a la construcción de un sistema completo basado en un solo operador. Por ejemplo, los operadores "_", ",,", "v", "_" pueden definirse como sigue: p p p

-

p

" v

q

-

q q

= = = =

def. def. def. def.

p

l p l p l (p l

p p .l. q l q .l. p l p) l q .l.

q q (p l p)

~

q

De igual manera, ShefTer introdujo el oper~dor" I " como símbolo de la negación alternativa, que se lee fIno ... o no", y cuya regla es:/

Una proposición de la negación alternativa es verdadera cuando uno de sus componentes es falso. Es falsa sólo cuando los dos componentes son verdaderos. Esquemáticamente, como sigue:

46

p,

q

plq

V V F F

V F V F

V V V

F

Simbolos, fórmulas y funcioTU!B ueriúUiuas

La función veritativa de "1" aparece en la columna 5 del esquema de las funciones diádicas. También usando sólo este operador se puede construir un sistema completo, dado que todos los otros operadores se puede definir en función de la "negación alternativa", como se ha hecho con el operador n ~ ". Sin embargo, estos operadores no los usaremos.

2.7.1. Clasificación de las funciones veritativas Tal como aparecen, las funciones veritativas diádicas y monádicas, se pueden clasificar en consistentes, tautológicas y contradictorias. U na función veritativa es consistente cuando es verdadera por lo menos en una interpretación (columnas del 1 al 15 en las funciones diádicas y columnas del 1 al 3 en las monádicas). Una función veritativa es tautológica cuando es verdadera en toda interpretación posible (columna 1 de las funciones diádicas y también 1 de las monádicas). Lógicamente, sólo las tautologías son válidas o lógicamente verdaderas. Además, todas las tautologías son consistentes, pero no todas las funciones consistentes son tautológicas. U na función veritativa es contradictoria cuando es falsa en toda interpretación (columna 16 de las funciones diádicas, y 4 de las monádicas). Una función contradictoria también se denomina inconsistente. Cualquier función veritativa que tenga por lo menos una interpretación falsa se considera inválida (columnas del 2 al 16 en las funciones diádicas, y del 2 al 4 en las monádicas).

2.8. Simbolización de proposiciones La simbolización de proposiciones consiste en la representación del lenguaje ordinario mediante el lenguaje simbólico. Para ello se debe tomar en cuenta que cada proposición simple debe ser simbolizada por una variable proposicional, y que los términos de enlace deben ser simbolizados por operadores proposicionales que las interpreten. ~l resultado de toda simbolización es la obtención de una fuf en)LP.·. Para facilitar la simbolización podemos determinar previamente la estructura formal o forma lógica de la proposición. Por ejemplo: (1) Si hay lluvias en la sierra y el gobierno distribuye abono,

entonces la pr04ucción agrícola crecerá. Primero, asignando variables a cada una de las proposi(!iones simples se tiene: 47

Diógenes Rosales

= = =

Hay lluvias en la sierra El gobierno distribuye abono La producción agrícola crecerá

p q r

Luego, obteniendo la estructura formal de la proposición, donde sólo aparecen los ténninos de enlace y las variables proposicionales, se tiene: Si (-__ p ___ y ___ q ___ ), entonces (___r ___ ) Finalmente, simbolizando se obtiene: (p

1\

r

q) -

Nótese que la estructura formal de la proposición ayuda enormemente a distinguir el alcance de las conectivas. Esto se refleja en el símbolo de la proposición, donde los paréntesis indican el alcance de cada uno de los operadores. En este caso el símbolo de mayor jerarquía es el operador condicional "_", le sigue el operador conjuntivo "1\". Las variables, por otro lado, siempre están sujetas a los operadores. Seguiremos este mismo orden al simbolizar cada uno de los ejemplos que siguen: (2)

El Perú tendrá problemas fronterizos si los hitos demarcatorios no son visibles. El Perú tendrá problemas fronterizos = p Los hitos demarcatorios son visibles = q (---p---) si (no---q---) - q -

p

Esta es una forma condicional donde la partícula "si" aparece entre dos proposiciones. El consecuente se encuentra antes de la partícula "si", y el antecedente después, como aparece en la fórmula. (3) O Ada estudia inglés y francés, o visita a sus amigas y busca información. Ada Ada Ada Ada 48

estudia inglés estudia francés visita a sus amigas busca información

= = = =

p q r s

semb%s, fórmuÚJJJ y funcioTll!8 lIeritatillas

o (___ p ___ y ___ q ___ ) o (___ r ___ y ___ s ___ ) (p "q) v (r" s)

(4) No es el caso que Esperanza no sepa tocar la guitarra y no componga una melodía, puesto que es egresada del conservatorio de música, Esperanza sabe tocar la guitarra =p Esperanza compone una melodía = q Esperanza es egresada del conservatorio de música = r No es el caso que (no-- p --- y no ---q--), puesto que (___ r __ ) r

-+ -

(-

p " - q)

Nótese en este ejemplo que el antecedente aparece después de "puesto que", conectiva ya mencionada en la proposición condicional. (5) Cuando el cielo está nublado hace frío.

=

El cielo está nublado Hace frío

=

p

p q -+

q

En este caso la forma lógica de la proposición es condicional, porque el sentido de "cuando" es de "si '" entonces". (6)

Cuando llovía a cántaros murió Vallejo. Llovía a cántaros Murió Vallejo

= =

p q

p " q

En este caso la forma lógica de la proposición es conjuntiva, porque el sentido de la proposición es "llovía a cántaros y a la vez moría Vallejo". (7) Tanto el Perú como Bolivia son productores de cobre.

El Perú es productor de cobre Bolivia es productor de cobre

= =

p q

p"q La forma lógica de esta proposición es conjuntiva, como se puede apreciar en el sentido de la oración. 49

Diógenes Rosales

(8) Chile limita con el Océano Pacífico aunque el Perú limita también con el Océano Pacífico. Chile limita con el Océano Pacífico = p Perú limita con el Océano Pacífico = q pAq "Aunque" hace el papel de conjunción, como se puede apreciar en el sentido de la proposición. (9) Aunque llueva iré a visitarte. Llueve = p Iré a visitarte

=q (p v - p) -

q

En este caso, "aunque" indica "llueva o no llueva, iré a visitarte". También puede interpretarse así: (p

-+

q)

1\

(-

p

-+

q)

Pero, en el siguiente ejemplo, "aunque" es una conjunción: (10) Aunque severo, es justo. Es severo = p Es justo = q pAq (11) El avión despegará a las 5 de la mañana a menos que la neblina cubra el aeropuerto. El avión despegará a las 5 de la mañana La neblina cubre el aeropuerto = q Se puede simbolizar así: - q

-+

También puede ser así:

p vq

O de esta otra forma:

- p

-+

=p

p q

Así como podemos simbolizar una proposición a partir de su estructura formal, también podemos construir una proposición en lenguaje ordinario a partir de una estructura formal. Por ejemplo, dada la· siguiente forma lógica: p . q r (12) Si --- ---, entonces --- --- o --- --50

SCmbolos, f6rmula.s y funciones veritativas

Para construir una proposición en lenguaje ordinario que tenga esta forma lógica, tenemos que atribuir una proposición simple a cada variable proposicional, luego redactar la proposición completa de acuerdo a la forma lógica. Entonces, inventamos una proposición para cada variable, como sigue:

= El Perú es productor de minerales q = El Perú exporta mercurio r = El Perú exporta estaño p

Ahora, redactando de acuerdo a su forma lógica, se tiene: Si el Perú es productor de minerales, entonces exporta mercurio o exporta estaño. De igual modo podemos redactar proposiciones compuestas a partir de cualquier estructura formal.

Ejercicio 2 •

1.

En el siguiente conjunto de fórmulas determine cuáles son ibfs y cuáles no son fufs de LP. Indique luego la denominación de

cada fuf. Sobre las fórmulas que no están bien formadas diga por qué no son fufs. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9. 1.10. 1.11. 1.12. 1.13.

-p p v q - p q (p -

q) -

p - q p -

(q

p

r A

P v qv r - P A (q -

r) .-. - p

r) A (r v p)

(p - - q A - r) - - p p - q - - (p A r) A P .-. (q v - r v s) - - q - (- P .v. r - - q .v. - s - p) - (p - - q) .A. - r - - p .v. - (q -

r) 51

Diógen.es Rosales

1.14. 1.15.

- (p - - q .11. (- P - q) 11 Cr

-

r -

V -

- p)

.V. -

(q -

r)

q V - s) 11- r .-. p

11 S

2.

Seleccione las fbfs que aparecen entre 1.1 y 1.15. Luego indique a qué fórmulas representa cada esquema de fórmula que aparece a continuación. 2.1. A 2.2. -A 2.3. AvB 2.4. -AvB 2.5. A-B 2.6. A-B 2.7. AvBvC 2.8. AIIBIIC 2.9. (A 11 B 11 C) -D 2.10. - CA V B v C) 2.11. CA - B) - C 2.12. A - (B - C) 2.13. - (A 11 B) v C 2.14. - A .-. (B v C v D) - - E 2.15. (A - B) v C .-. D

3.

Construya fórmulas proposicionales para cada esquema de fórmula conforme se indica a continuación. 3.1. Dos fórmulas proposicionales que tengan dos variables (p, q) para cada uno de los siguientes esquemas de fórmula: 3.1.1. A 3.1.2. - A - B 3.1.3. (A 11 B) - C 3.2.

52

Tres fórmulas proposicionales que tengan tres variables (p, q, r) para cada uno de los siguientes esquemas de fórmula: 3.2.1. A - B 3.2.2. (A - - B) v - C 3.2.3. (A 11 B) - (C v B v D)

StmboloB, f6rmulas y funciones veritativas

4.

Enuncie las reglas que rigen cada una de las funciones diádicas que aparecen con los números 1, 3, 6, 7, 10, 15 Y 16· en el conjunto de operadores diádicos.

5.

Simbolice cada una de las siguientes proposiciones:

5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6.

5.7. 5.8. 5.9. 5.10. 5.11.

5.12. 5.13. 5.14. 5.15.

Si el aeroplano tiene suficiente gasolina entonces llegará al mediodía. . El primer productor de cobre en Sudamérica no limita con el Ecuador. Un número es positivo si y sólo si es mayor que cero. No es el caso que Brasil o México pertenezcan al Pacto Andino. Ni Ecuador ni Bolivia son productores de algodón. Se hubiera impedido el asalto al banco si la alarma hubiera sonado oportunamente. 1veth conseguirá un ascenso como reportera a menos que pierda la entrevista con el director de prensa. Cuando el cielo no está nublado, silba el viento y los pajarillos cantan. Tendremos muchas flores en el jardín, si la estación es propicia y las semillas no están malogradas. Cuando la Luna brillaba una noche en primavera, Gustavo escribió un poema, sin embargo el poema de Gustavo no es romántico. No es el caso que no haya control de precios o los combustible se encarezcan. La piscina está temperada porque hay calefacción, o la piscina está temperada porque habrá concurso de natación. La aguja de la brújula gira en vista de que la embarcación ha cambiado de rumbo, y la embarcación ha cambiado de rumbo dad9 que hay tormenta en alta mar. Subirá el precio de! pan porque subió el precio de la gasolina, en vista de que si subió el precio de la gasolina, el gobierno no puede controlar la inflación. No es el caso que si ·Cristina no estudiaba abogacíal no habría podido contraer matrimonio, dado que Cristina no ha podido contrakr matrimonio porque preside la administración de una empresa. 53

Diógenes Rosales

5.16.

5.17. 5.18.

5.19.

5.20.

54

Aunque el dólar no suba de precio, la moneda peruana se devalúa; sin embargo, aunque la moneda peruana ha se devalúa, los artículos de primera necesidad suben de precio. Tanto la democracia popular como la economía liberal, conducen a un gobierno capitalista, a menos que se prohiban las importaciones. Aunque sus discursos eran siempre débiles, decidía siempre con rigor y justicia; sin embargo, cuando se enfrentaba en una polémica, solía vencer fácilmente a su interlocutor. Aprobaron en el Congreso una ley sobre aranceles luego de que intervino el Ministro de Economía, en vista de que si no se aprobaba una ley sobre aranceles, no se podían reajustar los impuestos a la exportación. El producto marginal crece cada vez que el producto total crece¡ lo que significa que el resultado de los rendimientos es creciente; a menos que, el producto total crezca porque el gobierno hizo una emisión inorgánica:

3. LAS TABLAS DE VALORES 3.1. Las tablas de valores como procedimiento decisorio El método de las tablas de valores como procedimiento decisorio consiste en determinar si la función veritativa de una fórmula proposicional es consistente, tautológica o contradictoria. Este método muestra cómo se combinan los valores de verdad (V) y falsedad (F) de las proposiciones compuestas a partir de los operadores usados y de los valores de verdad y falsedad de las proposiciones simples o variables proposicionales. La fórmula 2n (donde "2" es la constante que expresa la posibilidad de ser V ó F de una proposición, y "n" representa el número de variables o proposiciones simples) nos permite obtener el número exacto de valores que se van a combinar. A continuación algunos ejemplos: (1)

p

11 -

q

Primero observamos el número de variables que exhibe la fórmula. En este caso son dos (p, q), entonces, aplicando 2 se tiene 22 que da como resultado 4. Esto significa que tanto "p" como "q" tendrán cuatro valores cada una, combinados en las columnas de referencia como aparece en el siguiente esquema: D

p, q

p

11

q

-

VV V F

F V F F Luego, aplicando las reglas pertinentes se tiene:

-

p, q

p

V V V F F V

V F F V V V

F F

11

q

F F F F F V 55

Diógerws Rosales

Para obtener el resultado que aparece en el rectángulo, esto es, el resultado de la conjunción, se ha procedido como sigue: Primero hemos trasladado los valores de la columna de referencia a cada una de las variables, salvo en lo que respecta a "q", que se ha negado directamente, y luego se ha aplicado la regla de la conjunción. El resultado es una fórmula consistente. (p v q) -

(2)

r

En este caso 2n será 23 = 8, porque la fórmula tiene tres variables (p, q, r). Entonces cada una de las variables tendrá ocho valores como aparecen combinados en las columnas de referencia del siguiente esquema. Además, aplicando las reglas correspondientes se tiene: p, q, r (p v q) r

v

V V V F F F F

V V F F V V F F

V F V F V F V F

V F V F V F V V

V V V V V V

F F

V F V F V F V F

Por razones de comodidad hemos obtenido directamente los valores del disyuntivo a partir de los valores de "p" y "q" que están en las columnas de referencia. Esta operación se puede efectuar siempre y cuando no se genere ambigüedad al aplicarse las reglas respectivas y según la preferencia del lector. Luego, para obtener el resultado se ha aplicado la regla del condicional. En 10 sucesivo procederemos de manera similar en la evaluación de fórmulas por las tablas de verdad. El resultado nos muestra que es una fórmula consistente. A continuación otro ejemplo: (3)

p,

q,

r

V V V V V F V F V

V F F F F 56

F F V V V F F

V

F

F

(p

/1

V V

F F F F F F

q)

-

(r v p)

V

V V V V V F

V V V V V V V

V F

Las tablas de valores

En la evaluación de esta fórmula se ha aplicado, primero, la regla del conjuntivo en base a los valores de "p" y "q" que aparecen en las columnas de referencia, de igual modo se ha obtenido el resultado del disyuntivo y, finalmente, se ha aplicado la regla del condicional. El resultado nos muestra que es una fórmula tautológica o fórmula válida.

(4)

p, q, r VVV V V F V F V V F F FVV F V F F F V F F F

(p

-

q)

V V F F V V V V

11

F V F F F V V F

(- r ....... q) .-. r F F V V V V F V V V F V F F V V V V F V V V F V

-

F V F V V V V V

- p F F F F V V V V

Fórmula válida o fórmula condicional tautológica.

(5) p, q, r VVV V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F

p ....... (q

11

V F F F F V V V

V F F F V F F F

r)

.11.

F F F F F F F F

(q

--

F V V V F V V V

F V F V F V F V

r) ....... p F V V V V F F F

Como la tabla de valores de esta fórmula nos muestra que es falsa en toda interpretación, la fórmula es contradictoria.

3.2. El método de las tablas abreviadas El método de las tablas abreviadas es un procedimiento que evita el laborioso trabajo de combinar todos los valores (verdaderos y falsos) para obtener el resultado veritativo de una fórmula proposicional. Por el método de las tablas abreviadas podemos averiguar si una fórmula proposicional "A" es tautológica, contradictoria o consistente. Especialmente nos interesa averiguar si la fórmula" A" es 57

DiógeTU!s Rosales

válida o inválida; para ello requerimos saber si "A" es o no una tautología. Para averiguar si "A" es o no una tautología, el método abreviado indica partir de una hipótesis falsa· (F) de "A", porque si probamos que existe por lo menos una interpretación F en "A", habremos demostrado que la hipótesis es verdadera (V); es decir, que "A" es F por lo menos en una opción. Luego, podemos afirmar: "A" no es una tautología. En términos más exactos, y dado que el tipo de prueba que estamos manejando es la del absurdo, al suponer que "A" es F y verificarse este supuesto como V habremos determinado que "A" no es una tautología. De la misma forma, si verificamos que la hipótesis no es cierta, esto es, que no es cierto que "A" sea F en alguna interpretación, entonces habremos probado que" A" es una tautología. El procedimiento algorítmico para determinar sr una fórmula proposicional "A" es o no una tautología debe seguir las siguientes reglas: i) Asignar el valor F al operador principal de la fórmula "A" según su respectiva función veritativa. ii) Obtener el valor V ó F de cada una de las variables de "A", de preferencia aplicando las reglas de los operadore§ que dan como resultado una sola opción. iii) Reiterar el valor de una variable si ésta se repite en "A", preservando el valor del operador donde se va a aplicar la regla. iv) Si al aplicar la regla veritativa a algún operador de "A", éste tiene más de una opción para obtener su valor, desarrollar cada una de ellas si y sólo si en cada opción sé genera una contradicción. v) Si en una misma línea cada una de las variables de "A" tiene el mismo valor veritativo funcional, la hipótesis es cierta en esa línea. vi) Si en una misma línea una variable tiene los valores V y F a la vez, la hipótesis F de "A" no es cierta en esa línea. A continuación se presentan algunos ejemplos sobre la aplicación de las reglas del método abreviado: Dada la siguiente fórmula: (1)

(p- q) "

r .-. r -

p

Aplicando "i", se asigna el valor F al operador principal. Luego, 58

Las tablas di!

lJalOn!S

según la función veritativa de "_" que es F sólo cuando el antecedente es V y el consecuente es F, se sigue: (p -

q)" r .-. r

V

F

-

p

F

Según "ii", aplicando las reglas de los operadores conjuntivo y condicional, se tiene: (p -

q) "

r .-. r

p

-

V VVFVFF En este paso se puede notar que, al aplicarse las reglas de cada operador para preservar el valor "V" del conjuntivo y "F" del condicional, éstas se cumplen en una sola opción para cada caso. Ahora, aplicando "iii", reiterando el valor F de "p" y deduciendo el valor de "q" a la vez, se tiene: (p -

q)" r .-. r

-

p

FVFVVFVFF

Como se puede observar, para preservar el valor V del" -", "q" necesariamente tiene que ser F, porque el valor "p" es F. En esta línea de valores el procedimiento ha terminado y, como podemos apreciar, cada una de las variables de la fórmula tiene la misma función veritativa: "p" tiene un solo valor o cumple con una sola función veritativa, en este caso ser F, de igual modo "q" exhibe sólo el valor F y "r" el valor V. Según "v", en esta línea de valores la hipótesis es cierta, lo"que significa que no es una tautología; por lo tanto, la fórmula no es válida. En otros términos, el método de las tablas abreviadas nos ha permitido descubrir que la fórmula de nuestro ejemplo es F cuando "p" es F, "q" es F y "r" es V. A continuación otro ejemplo: (2)

(p -

- q) -

(r -

q) .v. -

r

-

-

p

Según "in, se asigna F al operador principal que es "v" y que sabemos es F en un solo caso, cuando sus dos componentes son F, entonces se tiene: (p -

- q) -

F

(r -

q) .v. -

F

r

-

p

F

Según "ii", aplicando la regla de "-" y, a la vez, de "-", se obtiene: 59

DiógeTU!8 Rosale8

(p -

- q) -

V

F

(r F

q) .v. -

r - p FVFFFV

Siguiendo el procedimiento, por "iii" reiteramos el valor de "p" y el valor de "r" y, aplicando la regla de cada uno de los operadores cor:espondientes, esto es, de "_", "_" y de "_", se tiene: (p -

- ~ -

V V V® F

(r - ~ .v. - r F F (y) F V F F

F

p

V

En esta línea "q" exhibe los valores Vy F a la vez, lo que, según la regla "vi", determina que la hipótesis no sea cierta; por lo tanto, si la línea de valores que exhibe la fórmula no existe, entonces podemos afirmar que la fórmula (2) es tautol6gica, luego, lógicamente

válida. (3)

(p /\

q) -

r .-. -

p

v

(q -

r)

En esta fórmula el operador principal "-" es F en dos opciones, entonces, según la regla "i", se tiene: (p /\

q) -

r .-

-

p

v

V

F

F

F

F

V

(q -

r)

Cada línea de valores es independiente con respecto a la otra, lo que permite desarrollar la primera línea siguiendo las reglas ya conocidas aplicadas en las fórmulas (1) y (2); entonces, después de aplicar las reglas de los operadores correspondientes según las reglas "i", "ü" y "iii", Y deduciendo el valor de cada una de las variables, se tiene: (p /\

q) -

r .-. -

VF®V F

F

p

v

(q -

r)

FVF.@F F

V En esta primera línea de valores la variable "q" exhibe V y F a la vez, lo que significa que la hipótesis no es cierta. Así, en esta primera línea no es posible que haya una F para "_", pero esto no indica que la fórmula (3) sea una tautología puesto que aún no se ha verificado si la hipótesis de la segunda línea es cierta o no. De igual modo, aplicando las reglas de cada uno de los operadores según las reglas "i", "ii" y "iü" y deduciendo el valor de cada una de las variables, se tiene la segunda línea de valores como sigue: F

60

F

Las tablas ck volores

(p

11

q) -

r .-. -

p

V

(q -

r)

VF®VFFFVF@FF VVVF®FFVVVV@

En la segunda línea de valores observamos que la variable "r" tiene los valores V y F a la vez, lo cual nos indica que la hipótesis F en esa línea no es cierta. Ahora podernos afirmar que la fórmula (3) es una tautolog{a, porque en todas las líneas de valores donde hemos supuesto F, según la función veritativa de "-", ese supuesto no existe; por lo tanto, la fórmula es válida. Por otra parte, vale destacar acerca de las contradicciones que aparecen en cada una de las líneas: en la primera se da en "q" y en la segunda línea en "r", pero esto es totalmente relativo porque la contradicción en cada línea puede darse en cualquiera de las variables, en vista de que depende de cómo se ha jugado con la reiteración del valor que tiene cada variable, con tal de no infringir las pautas señaladas. En el siguiente ejemplo aplicaremos las reglas de cada uno de los operadores siguiendo cuidadosamente las pautas del método abreviado. En vista de que el procedimiento ya es de rutina, el desarrollo nos conduce sin mayor explicación, a obtener los valores de cada una de las variables como sigue a continuación: (4)

p - - (- q v - r) V V V F V F F®

-

F

p v r F V F®

VF

F

F V V V

F

VFVFV

-

En la primera línea de valores la contradicción que se da en"r" rechaza la hipótesis que el operador "-" sea F, pero, en la segunda línea, como cada variable cumple una sola función veritativa, la hipótesis F del operador "-" es cierta. Luego, podernos afirmar que la fórmula (4) no es una tautología, en vista de que es "F" cuando "p" es V, "q" es V y "r" es F. Por lo tanto, la fórmula es inválida. Siguiendo las reglas mencionadas, el procedimiento es el mismo para determinar la validez o invalidez de cualquier fórmula proposicional, con una sola diferencia: que las líneas de valores pueden aumentar en función de la cantidad de valores falsos que tiene la fórmula. 61

Diógenea Rosales

El método de las tablas abreviadas nos permite obtener el resultado veritativo funcional de cualquier fórmula proposicional siguiendo el mismo procedimiento empleado en las fórmulas desarrolladas anteriormente. A continuación más ejemplos aclaratorios:

(5)

(p v q)

-

V

F

(q "

p)

F

En este caso los operadores, tanto "v" como ",,", tienen más de una opción para preservar sus respectivos valores. Como ambos tienen la misma cantidad de opciones, podemos elegir cualquiera de los dos operadores. Si tornamos el operador "v" para preservar su valor V, vernos que "v" es V cuando cualquiera de sus componentes es V, lo que significa que vamos a probar la V de "v" en sus dos opciones. Según "iv", el planteamiento resulta como sigue: (p v q)

VV

-

F

(q "

p)

F

VV Deduciendo el valor de las variables que faltan, al reiterar el valor de "p", "q" tiene que ser necesariamente F para preservar el valor F del operador"" "; a la vez reiterando el valor de "q" que está como miembro de "v", el procedimiento habría terminado para esta primera línea de valores, como sigue: (p v q) -

VVF F VV

(q "

p)

FFV

Si el objetivo es averiguar únicamente si la fórmula (5) es válida o no, de acuerdo a la primera línea de valores obtenida podemos responder que es inválida, porque cada variable cumple una sola función, por lo tanto la hipótesis es cierta, esto es, de ser F. Pero, si desearnos averiguar los valores de la línea siguiente, seguimos el mismo procedimiento empleado en la primera línea de valores; en este caso, reiterando el valor de "q", "p" tiene que ser necesariamente F para preservar el valor F del operador ",.." y, a la vez, reiterando el valor de "p" que aparece como miembro de "v", lo que nos permite obtener la segunda línea de valores corno sigue: 62

Las tabla8 de vaJores

(pv q) VVF F FVV F

(q

11

p)

F F V V F F

En la segunda línea de valores tampoco hay contradicción porque cada variable cumple la misma función, lo que significa que la hipótesis es cierta. Esta segunda línea de valores es importante sólo para saber que la fórmula (5) es falsa en dos opciones, cuando "p" es V y "q" es F, y cuando "p" es F y "q" es V. Con estos datos podemos tener la función veritátiva de dicha fórmula porque todos los otros casos serán verdaderos, como se puede ver objetivamente en el siguiente esquema:

p, q

(p v q) - (q

VV V F F V F F

11

p)

V F F V

La aplicación del método de las tablas abreviadas para decidir la validez o invalidez de fórmulas proposicionales genera en algunos casos más líneas de valores que los asignados según la regla "i". Esto ocurre cuando al aplicarse la regla para preservar el valor de uno o más operadores existe más de una opción. Por ejemplo en la fórmula (5) que acabamos de analizar, las opciones que nos permiten preservar el valor, ya sea de "v" ó de "11", nos han permitido descubrir que la fórmula es falsa en dos opciones; en otros casos pueden aparecer otras líneas de valores que pueden admitir o rechazar las hipótesis que se generan.· A continuación otro ejemplo:

(6)

-

(- q 11 r) p V V VFV@

®

V

F F

.F

(- p v - q) 11 (p - r) FV V V F F VF®

F

VF V

F @F F

V F

VF F®

F

FV V V F

V

V V@

F F

VFVV

F

VF V V F

V

F VV

En la primera línea de valores la contradicción se da en "r", entonces esta línea no existe en la tabla de verdad; de igual manera, 63

Diógenes Rosales

en la segunda y tercera líneas se da la contradicción en "p" y "r" respectivamente, entonces tampoco existen estas líneas en la tabla de verdad de la fórmula (6). Un caso particular oCurre en la segunda línea de valores porque no se ha deducido el valor de "q", pero esto no afecta el resultado ya que si se encuentra una contradicción se puede afirmar definitivamente que la hipótesis no es cierta, aunque no se haya encontrado el valor de las otras variables. A pesar de que hay contradicción en cada una de las tres primeras líneas, la fórmula no es válida, porque en la cuarta línea hemos encontrado que la fórmula (6) es F cuando "p" es F, "q" es F y "r" es V, y en todos los otros casos los valores son verdaderos. En otros términos, la hipótesis en esta línea es cierta; por lo tanto, el resultado veritativo de esta fórmula es: VVVVVVFV. Por otra parte, para averiguar si una fórmula proposicional "A" es o no contradictoria por el método de las tablas abreviadas, en la práctica, el procedimiento es el mismo, con la única diferencia de que se parte de una hipótesis verdadera (V) para "A". Es decir, si a partir de una hipótesis V de "A" se deduce que cada una de las variables de "A" tiene el mismo valor veritativo funcional, entonces la hipótesis es cierta, y por tanto "A" no es contradictoria. Pero, si a partir de la hipótesis V de "A" se deduce que existe una contradicción en cada línea de valores, entonces la hipótesis no es cierta en cada línea de valores, por lo tanto "A" es una fórmula contradictoria. Desde este punto de vista, y con excepción de la regla "i", se siguen todas las reglas señaladas para averiguar la contradicci6n o no de la fórmula proposicional "A". En este caso "in debe decir: "Asignar el valor Va la fórmula "A" según la función veritativa del operador principal". Las otras se siguen exactamente igual. Por ejemplo, dada la siguiente fórmula y a la vez asignándole el valor V al operador principal ",,", su función veritativa es como sigue: (7)

p v

(- q "

-

r)

"

-

(- p .-. r

"

- q)

V VV aplicando las reglas de cada uno de los operadores y siguiendo las pautas señaladas hasta deducir el valor de cada una de las variables, se tiene: p v

(- q "

-

r)

"

-

FV VFVVF VV 64

(- p .-. r

VF

F

"

- q)

F FVF

Las tablas de

UaJOf'f!8

La hipótesis V de la fórmula ha generado sólo una línea de valores donde cada una de las variables cumple una sola función, esto es, "p" es F, "q" es F y "r" es F, lo que nos indica que la hipótesis es cierta, y la fórmula en esta línea de valores es verdadera, resultando falsos en todos los otros casos; por lo tanto, (7) no es contradictoria, y su resultado veritativo es: FFFFFFFV. A continuación otros ejemplos sobre la decisión de fórmulas si son o no contradictorias:

J..e -+ q) -+ r .-. - r " (q v - ~ (y)F F V F V VFV FVV(E) V V ® F F V V F F ®F F V Corno en cada línea de valores existe contradicción, en la primera en "p" y en la segunda en "q", la hipótesis no es cierta, es decir, no existe una sola posibilidad de que la fórmula (8) sea verdadera, por lo tanto es contradictoria. En otros términos, esta fórmula es falsa en toda interpretación: FFFFFFFF. (8)

(9)

(p

-+

-

q)

"

-

r .-

(- P

-00

r)

"

(q v r)

V V V® V V F V V F F® F V

F V V F V ®V F F V V F ®F F V V F F Fe!) F F V La hipótesis ha generado tres líneas de valores, cada una de ellas exhibe una contradicción, en la primera y en la segunda la contradicción se da en "q", y en la tercera línea en "r". Luego, la fórmula (9) es contradictoria según la regla "vi", por lo tanto lógicamente inválida.

®

Por el método de las tablas abreviadas podernos también averiguar si una fórmula proposicional "A" es o no consistente. A pesar de que el procedimiento es el mismo, resulta ligeramente más complejo en vista de que la hipótesis de "A" puede ser verdadera (V) o puede ser falsa (F). Corno ya sabernos que la hipótesis V de "A" nos permite averiguar si "A" es o no contradictoria, así también, la hipótesis F de "A" nos permite averiguar si "A" es o no tautológica, entonces una fórmula "A" es consistente cuando a partir de una hip6tesis V ó F de "A" se genera una o más líneas de valores, donde en cada una de ellas la hipótesis es cierta, pero donde la cantidad de líneas de valores sin contradicción es menor que las opciones 2 n de 65

Dwgenes Rosales

"A". Por ejemplo, si "A" es una tautología con opciones 23 y queremos averiguar en qué opciones "A" es V, la hipótesis V de nAl! generará ocho "líneas de valores donde en cada línea la hipótesis es cierta. Igual ocurrirá con una fórmula "A" contradictoria con 23 opciones: si deseamos averiguar en qué casos "A" es F, la hipótesis generará también ocho interpretaciones o líneas de valores, cada una de ellas sin contradicción. Por ejemplo, a continuación vamos a averiguar en cuántos casos u opciones es F la siguiente fórmula a partir de la hipótesis F. (lO)

p

v

(q "

p

r) .-. -

-

- r)

VV VFF F FV FVF V V F F F F F V F VF FV VVV F VF FFV Esta fórmula es consistente, porque la hipótesis F ha generado tres líneas de valores, cada una de ellas sin contradicción, confirmando que la hipótesis es cierta en tres opciones: cuando "p" es V, "q" es V y "r" es F, cuando "p" es V, "q" es F y "rO es F, y cuando "p" es F, "q" es V y "r" es V. En todas las otras opciones la fórmula es V. Estas opciones donde la fórmula (lO) es F y las opciones donde es V se pueden observar en la siguiente combinación de valores: p, q, r 1 V V V 2 3 4 5

V V V F

V F F V

F V F V

6 F V F 7 F F V 8 F F F

p v (q" r) .-. - p V

- r

F V F

F V V V

Las líneas 2, 4 Y 5 muestran las opciones descubiertas por el método abreviado; sin embargo, no sólo la hipótesis F nos permite descubrir los valores falsos, como se puede apreciar, sino también a partir de los valores falsos podemos descubrir los valores verdaderos. El uso del método de las tablas abreviadas se puede aplicar a cualquier fórmula de la lógica proposicional del mismo modo como ha sido empleado en los ejemplos expuestos. 66

Las tabla8

Ejercicio 3 1.

2.

(Ú

I/alores

e _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __

Por la tabla de valores determine si cada una de las siguientes fórmulas es tautológica, contradictoria o consistente. 1.1.

(p v q) -

p

1.2.

(p

p

1.3.

- (p v q)

1.4.

(- P

11

1.5.

- (p

11 -

1.6.

(p -

1.7. 1.8.

p -

1.9.

- p .-. - (q

(p

q) -

A

q

11

q) -

(- q

p)

11

q) v (q -

- p)

q) .-. - q -

(q

(r v - p)

r) .-. (q -

11

q) v (- r -

11 -

- r) -

q) v (r

r .v. p -

11 -

1.10.

p

1.11. 1.12.

(- P - (p

++ -

q)

1.13.

- (p

11

q

11 -

1.14.

- (- p v - q v - r .-. q

1.15.

- p

(q v - r .-. r -

11 -

q) -

11

++ -

q)

- r .- . q 11 - (-

p)

11 -

p -

(-

(-

11 -

p)

r)

11 -

11

r

q

(p v r) p)

(r -

q)

r -

p

11 -

(-

q

11 -

11

p

11

r)

11

r

11

p) -

- q .-. - r

11 -

q

p)

++ -

r

(-

11

q

11 -

q)

(r .-. p - - r) 11

P

11

r)

Por el método de las tablas abreviadas determine si cada una de las siguientes fórmulas es tautológica o no. 2.1.

(p

2.2. 2.3.

(p -

- (p -

2.4.

(- P - q)

2.5.

(p v q)

2.6.

(p

2.7.

(- P

2.8.

- (p - - q) v (- r -

11

q) -

++

p

q) v (q -

q

11

q)

P

p -

(r 11

11 -

r)

(r v - q) .-. - r -

11

++ (-

q) 11

.11.

p)

(r -

p

q) q) .-. p p)

11 (5)

++

r -

r 's) .-. q -

v - (r

11

t)

v (q -

s

s) 67

Diógenes Rosales

2.9. 2.10.

3.

4.

68

(p v - q) .. (r " - s) .-. (q " - p) .. (r -

(- P .. q) .. - r .-. - q -

s)

p)

(r -

Por el método de las tablas abreviadas determine si cada una de las siguientes fórmulas es contradictoria o no. 3.1.

(- p - q) " - (q v p)

3.2.

(p" - q) -

3.3.

(p - - q) " ( r - - p) " (- q - - p)

3.4.

(p" q) -

p .-. q " - q

- r .-. r " - (q -

- p)

3.5. (p v q) .. (r " s) .-. (- p - q) " (r - - s) Por el método de las tablas abreviadas averigüe los valores de verdad de cada una de las siguientes fórmulas y luego diga si es consistente, tautológica o contradictoria. 4.1.

(p v q) -

4.2.

(- P " q) v (- r - - q)

4.3.

(P" - q) " (- r " - p) " (r -

4.4.

(- p - q) - - r .-. q - (r " p)

4.5.

(p v - q) " (- p .. r) .-. (q -

- p

q)

r) v (p -: r)

4. LAS INFERENCIAS 4.1. Introducción Como ya dijimos en el capítulo 1, el tema central de la lógica es el estudio de las inferencias. Cada inferencia es una estructura de proposiciones donde a partir de una o más proposiciones llamadas premisas se deduce otra proposición llamada conclusión. Formalmente podemos definirla así: Pi ' P 2

' ••• ,

Po :. C

donde "P" y su respectivo subíndice representan a cada premisa, n:." significa luego, por lo tanto, etc., y "C" representa a la conclusión. Con palabras de Quine podemos afirmar que el objetivo más importante de la lógica en su aplicación a la ciencia y al discurso cotidiano es la justificación y crítica de la inferencia(l). Esto indica en gran medida que la lógica debe determinar mediante técnicas o métodos si una proposición sigue necesariamente o no a otra proposición. Por \lUo, la relación más importante entre el conjunto de premisas y la conclusión de una inferencia es el concepto de implicación, porque si la conclusión sigue necesariamente al conjunto de premisas entonces el conjunto de premisas implica a la conclusión.

4.2. La implicación En primer lugar, es importante distinguir los conceptos condicional e implicación, porque la no distinción de estos conceptos ha generado, entre otros problemas, la "paradoja de la implicación material", donde se considera el operador "-" como "implica" en vez de leerlo como símbolo de "si ... entonces". Se dice que "A implica a B" cuando unidos por el condicional, "A" como antecedente y "B" como consecuente, la relación es válida o lógicamente verdadera. Por ejemplo, dadas las fórmulas "A" y "B": (\) QUINE, Los Métodos de la Lógica, p. 72.

69

Diógenes Rosales

(1)

A

=p

A

q

B~pvq

Para saber si "A implica a B", debemos proceder relacionando las fórmulas de acuerdo a la siguiente forma condicional:

A-B Luego, sustituyendo "A" y "B" por sus respectivas fórmulas, y aplicando las tablas de verdad, se tiene: p,

q

V F

v

V F V

F

F

(p

q)

--110

(p v q)

V F F

V V V

V V V

F

V

F

A

Como el resultado es tautológico o lógicamente verdadero, entonces "(p A q) implica a (p v q)". Este ejemplo nos muestra que no es lo mismo el concepto condicional "si A entonces B" que el concepto implicaci6n !lA implica a B". En el primer caso, se refiere a una relación formal condicional, antecedente y consecuente, mientras que en la implicación se refiere a una relación semántica o a una relación entre los valores de verdad. Si una proposici6n "A" implica a otra proposición nB", entonces es imposible que "A" sea verdadera y "B" falsa, es decir, si "A" es verdadera entonces "B" es necesariamente verdadera. Esta definición de la implicación podemos expresarla como sigue: A - B

= der.

-

(A

A -

B)

En el ejemplo (1), si "(p A q)" es verdadera entonces "(p v q)" es necesariamente verdadera. Esta interpretación aparece, como se puede apreciar, en la primera opción de la tabla de verdad. Luego, "(p v q)" se deduce válidamente a partir de "(p 11 q)". Esto significa que la implicaci6n es un tipo de inferencia donde la conclusión se obtiene a partir de una sola premisa. A continuación otro ejemplo: (2) Dadas las siguientes proposiciones: A = O una princesa se casa joven, o puede llegar a los 21 años y contraer nupcias con un noble caballero. 70

Las Inferencias

B

= O una princesa se casa joven o contrae nupcias con un noble caballero.

Vamos a determinar si la proposición "A" implica a la proposición "B". Para el efecto, primero simbolizamos las proposiciones, luego, aplicando el método decisorio ya conocido, averiguamos la relación de implicación entre "A" y "B", como sigue: Una princesa se casa joven Una princesa puede llegar a los 21 años Una princesa contrae nupcias con un noble caballero A B

= p v (q A =P v r

p q

r

r)

v

(q

F V

V

p

=

= =

A

r)

®

.-. P

v

r

F F Aplicando el método abreviado hemos determinado que en ninguna interpretación el operador principal "-" es falso. Por 10 tanto, la proposición "A" implica a la proposición "B". En otros términos, de la proposición: "O una princesa se casa joven, o puede llegar a los 21 años y contraer nupcias con un noble caballero" se deduce válidamente la proposición "o una princesa se casa joven o contrae nupcias con un noble caballero". En 10 sucesivo, y por razones prácticas, usaremos sólo el método abreviado para decidir la validez de fórmulas por las tablas de verdad. V

(3) En las siguientes proposiciones vamos a determinar si "B" está implicada por "A": A = Newton dijo la verdad si la física clásica no es absoluta; si y sólo si, los fenómenos naturales no se comportaban según las leyes mecánicas de Newton. B = Newton no dijo la verdad sólo si los fenómenos naturales no se comportaban según las leyes mecánicas de Newton. Simbolizando y sometiendo a prueba la relación de implicación, se tiene: N ewton dijo la verdad = p La física clásica es absoluta = q Los fenómenos naturales se comportaban según las leyes mecánicas de Newton = r 71

Diógen.es Rosales

A=

(- q -

- r

p) -

B= - p - - r (- q

VF

-

p)

r .-. - p - - r FVFVFFFV

-

FFV

En este caso existe una interpretación falsa en el operador "-", de modo que "B" no está implicada por "A".

4.2.1. Propiedades de la implicación Las propiedades de la implicación aparecen expresadas en las siguientes cuatro leyes generales: 1. Propiedad reflexiva: Cualquier fórmula (A) se implica a sí misma.

A-A 2. Propiedad transitiva: Si "A" implica "B" y "B" implica a "C", entonces "A" implica a "C". (A - B)

A

(B -

C) .-. A -

C

3. Cualquier fórmula implica a una tautología (T).

A-T 4. Una contradicción (.1) implica a cualquier fórmula . .l-A

El conocimiento de estas leyes generales nos facilitará la construcción de demostraciones como, por ejemplo, en el método de la derivación.

4.3. La equivalencia También es importante distinguir el concepto equivalencia del concepto bicondicional. El concepto "bicondicional" se refiere a la forma lógica de "A si y sólo si B", mientras que el concepto "equivalencia" se refiere a una relación semántica entre los valores componentes de "A si y sólo si B". Se dice que "A equivale a B" cuando unidas "A" y "B" por el bicondicional y aplicada la regla correspondiente, se obtiene como resultado una relación lógicamente verdadera o una tautología. Por ejemplo, sean las fórmulas "A" y "B": (1)

72

A =p - q B=qv-p

Las Inferencias

Para determinar si "A equivale a B", vamos a proceder relacionando ambas fórmulas de acuerdo a la siguiente forma bicondicional:

A-B Luego, sustituyendo "A" y "B" por sus respectivas fórmulas, y aplicando las tablas de verdad, se tiene: p,

q

v

V

V F

F V

F

F

(p

-+

q)

V F V V

(q v

-

V V V V

p)

V F

F F VV VV

En este caso podemos observar que "(p -+ q) equivale a v - p)", puesto que se trata de una relación lógicamente verdadera. Entonces la fórmula bicondicional es equivalente, lo que significa que "A si y sólo si B" es distinto de "A equivale a B", porque en el primer caso es la expresión de una forma bicondicional, mientras que en la equivalencia se refiere a una relación semántica donde los componentes tienen los mismos valores de verdad. ~ (q

Si una proposición "A" equivale a otra proposición "B", entonces "A" implica a "B" y, a la vez, "B" implica a "A". Esta definición de la equivalencia puede ser expresada como sigue: A -

B

= der.

(A

-+

B)

1\

(B

-+

A)

. Según esta definición, de la fórmula "(p -+ q)" se deduce válidamente "(q v - p)", y, a la vez, podemos deducir válidamente "(p -+ q)" a partir de "(q v - p)". Esto significa que l~ equivalencia es otro tipo de inferencia donde la conclusión se obtiene a partir de una premisa. (2) Dadas las siguientes proposiciones, vamos a determinar si "A" y "B" son equivalentes: A

= Si la producción minera crece y hay divisas en el país, entonces hay inversión de capitales.

B

= Si

hay divisas en el país, entonces hay inversión de capitales a menos que la producción minera no crezca.

Simbolizando y sometiendo a prueba, se tiene: 73

DiógeTll's Rosales

La producción minera crece = p Hay divisas en el país = q Hay inversión de capitales = r A=(pl\q)-r B = q - (- - p - r) (p 1\ q) q r (V

F

.@ @ V

F

F V

F

-

p

-

F V F

r)

F

F® F V V V F V V® El método abreviado muestra que las proposiciones "A" y nB" son equivalentes, dado que no existe una interpretación falsa en el operador "-". V

V

V

4.3.1. Propiedades de la equivalencia Las propiedades de la equivalencia aparecen expresadas en las siguientes cinco leyes generales: 1. Propiedad reflexiva: Cualquier fórmula equivale a sí misma. \'(-.

A-A 2. Propiedad simétrica: Si "A" equivale a "B", entonces "B" equivale a "A". (A -

B) -

(B -

A)

3. Propiedad transitiva: Si "A" equivale a "B" y nB" equivale a "C", entonces "A" equivale a "C". (A - B)

1\

(B -

C) .-. A -

C

4. Todas las fórmulas tautológicas son equivalentes.

T1 -

T

D

5. Todas las fórmulas contradictorias son equivalentes . .i1

-

.iD

Además, son importantes las siguientes leyes equivalentes para simplificar fórmulas: 6. (A 1\ T) - A 7. (A v T) - T 74

Las Inferencias

8. (A

1\

.1)

++

.1

9. (A

V

.1)

++

A

Igual que las leyes generales de la implicación, estas leyes equivalentes serán útiles para la construcción de demostraciones.

4.4. Análisis de validez de inferencias Para analizar la validez o invalidez de una inferencia, primero tenemos que distinguir la conclusión de el conjunto de premisas. En el lenguaje ordinario la conclusión no siempre aparece al final del argumento. Así, la conclusión puede aparecer en el comienzo, en el intermedio o al final de la inferencia. En este caso, puede ocurrir que el sentido contextual de la inferencia nos proporcione una pista para distinguir la conclusión de el conjunto de premisas. Esta distinción se puede efectuar con mayor eficacia si conocemos la función que desempeñan ciertos términos de enlace con mayor fuerza para conectar el conjunto de premisas y la conclusión. Estos términos de enlace sirven de referencia para indicar si la premisa se encuentra "antes" o "después" de la conclusión. En la práctica, se ubica primero la conclusión, porque ubicada ésta, todas las proposiciones restantes serán premisas. Las diversas posiciones que ocupan las premisas y la conclusión en una inferencia se pueden expresar esquemáticamente corno sigue: 12 PI' P 2, Po' Luego, C. 22 C, puesto que PI' P 2 Y Pn' 32 PI' P 2' luego, C, puesto que P n' En el caso 12 el término referencial es luego, ya que después aparece la conclusión. Esto significa que hay otros términos similares que connotan la conclusión, corno: por lo tanto, por consiguiente, en consecuencia, de modo que, de ahí que, etc. Según el caso 22, puesto que es el término referencial e indica que la conclu~ión está antes de este término. Otros términos que connotan que la conclusión está "antes" de las premisas son: ya que, en vista de, dado que, etc. El caso 32 muestra a la conclusión en el intermedio del argumento; los términos referenciales cumplen la misma función que en los casos 12 Y 22 • Cualquiera sea la inferencia a simbolizar, la secuencia de premisas y conclusión debe aparecer de acuerdo al siguiente esquema: 75

DiógeIW8 Rosales

:. e Simbolizada la secuencia de premisas y la conclusión, se debe obtener la fórmula inferencial de acuerdo al siguiente esquema: PI

11

P2

11 ••• 11

Pn

.-.

e

Vale insistir en que el uso expuesto de los términos referenciales no es una regla, sino, como se indica, sólo referencial. Por ejemplo, el caso 32 , representado simbólicamente como sigue, también es una interpretación correcta de la inferencia en cuestión, donde el "puesto que" se está representando como una forma condicional: PI 11 P 2 . - . P n - e Luego, para decidir la validez o invalidez, se debe evaluar la fórmula de la inferencia por la tabla de valores o por el método de las tablas abreviadas. La inferencia será válida si la conjunción de premisas implica a la conclusión. Por ra;lOpes de comodidad, para decidir la validez o invalidez de las inferenCias, usaremos especialmente el método de las tablas abreviadas. En este caso, para facilitar el procedimiento, partiremos de la hipótesis verdadera de cada premisa y falsa de la conclusión, que esquemáticamente podemos expresar así: PI

v

11

P2

v

11

••• 11

Pn V

.-.

e F

Luego, la aplicación de las reglas del método abreviado son exactamente las mismas. Ejemplos: (1) Si el galeón no trae piratas, entonces el capitán ha muerto o está prisionero. Pero el capitán no ha muerto ni está prisionero. En consecuencia, el galeón trae piratas. Primero simbolizamos cada proposición simple de la inferencia mediante una variable proposicional, luego la secuencia de premisas y la conclusión, como sigue: 76

Las Inferencias

El galeón trae piratas = p El capitán ha muerto = q El capitán está prisionero

=r

p .-. q v r q 11 - r .. p

Corno podernos apreciar, esta inferencia es del caso 12 , porque la conclusión aparece al final del argumento. Ahora unirnos las premisas por el operador" 11 " Y éstas con la conclusión por" - ", y se obtiene la siguiente fórmula de la inferencia: (- p .-. q v r)

r) .-. p Luego, decidirnos la validez o invalidez por el método abreviado, corno sigue: (- p .-. q

v

11 (-

q

11 -

r) 11 (-

VFVFV®

q

11

-

r) .-. p

VFVV®

F

Corno se puede observar, hemos asignado directamente el valor V a cada una de las premisas y F a la conclusión, luego hemos deducido los valores correspondientes aplicando las reglas ya conocidas. Vernos que esta inferencia es válida, porque la contradicción en "r" nos indica que no existe una interpretación falsa en la fórmula de la inferencia, por lo tanto el conjunto de premisas implica a la conclusión. El procedimiento para analizar la validez de inferencias en lenguaje natural es el mismo, por lo que obviaremos en lo sucesivo algunas explicaciones adicionales innecesarias. A continuación más ejemplos: (2) El arma del delito será descubierta si la huella es autén-

tica; puesto que, si la huella es auténtica, el motivo del crimen fue eJ robo, y el arma del delito será descubierta si el motivo del crimen fue el robo. El arma del delito será descubierta = p La huella es auténtica = q El motivo del crimen fue el robo = r

.

(q - r)

11

(r -

p) .-. q -

p

4

VVV

V V®

V F®

:. q - p 77

Diógenes Rosales

Esta inferencia es del caso 2º porque la conclusión está al inicio de la inferencia. En vista de que "p" muestra la contradicción, la inferencia es válida. (3) Las lámparas no están encendidas, si y sólo si no hay alguien en casa o los de casa han salido a pasear; de ahí que, si los de casa han ido a una función teatral, las lámparas no están encendidas; puesto que, si los de casa han salido a pasear entonces han ido a una función teatral. Las lámparas están encendidas = p Hay alguien en casa = q Los de casa han salido a pasear = r Los de casa han ido a una función teatral = s p .-. - q v r

r .. s -

s p

(- p .-. - q v r) FVVFVFF

11

(r -

- P VFFV

s) .-. s -

FVV

Esta inferencia es del caso 3!! porque la conclusión aparece entre las premisas. Después, la fórmula inferencial sometida al método abreviado confirma la hipótesis de que las premisas son verdaderas y la conclusión falsa, porque la no existencia de una contradicción en alguna variable indica que la fórmula es falsa en alguna interpretación, luego la inferencia es inválida. Esta misma inferencia puede simbolizarse de la siguiente manera: - p .-. :. (r -

q

s) -

v (s -

- p)

Nótese en este caso que el puesto que se ha interpretado como un condicional donde el "consecuente" aparece antes y el "antecedente" después. Esta interpretación simbólica se justifica por la ley de la Exportación (2). Aplicado el método abreviado, da el mismo resultado sobre la validez de la fórmula. Así: (2)

78

Infra, véase equivalencias notables, p. 88.

La8 Inferencias

(- p .-. - q V r) .-. (r -

FV V FVFF

S)

-

(S -

p)

-

FVV F VFFV

Fónnula no tautológica, luego la inferencia es inválida. (4) Si todas las tierras son cultivadas entonces la reforma agraria dará buenos resultados. La reforma agraria dará buenos resultados si y sólo si el gobierno construye reservorios. Aumentará el volumen de la producción agrícola si y sólo si el gobierno construye reservorios. Pero, no es el caso que si la inflación persiste aumente el volumen de la producción agrícola. En consecuencia, si la inflación persiste, todas las tierras no serán cultivadas. Todas las tierras son cultivadas = p La reforma agraria dará buenos resultados = q El gobierno construye reservorios = r Aumentará el volumen de la producción agrícola = s La inflación persiste = t

P q -

(p -

q)

@V F

"

(q

++

r)

F V F

q r

s -

r

-

(t

-

s)

t

-

-

++

r)

"

" (s

F V F

P -

(t -

s) .-. t

VVFF

V

- P F F®

-

El método muestra la contradicción en "p", luego el conjunto de premisas implica a la conclusión. Inferencia válida. (5) Carlos es un economista liberal si tiene el mayor número de acciones, puesto que es el jefe de la empresa. Si Carlos es un banquero acaudalado o es un economista liberal, entonces es el jefe de la empresa y tiene el mayor número de acciones. Pero, no es el caso que si Carlos es el jefe de la empresa no sea un banquero acaudalado. De modo que, Carlos no tiene el mayor número de acciones si y sólo si es un economista liberal. Carlos es un economista liberal = p Carlos tiene el mayor número de acciones

=q 79

Dióge~s

Rosales

Carlos es el jefe de la empresa = r Carlos es un banquero acaudalado r .-. q -

p

s v p .-. r - (r -

-

:. - q -

(r .-. q - p) VVVVV

A

=s

A

q

s)

p

(s v p .-. r A q) VVVVVVV

(r - - s) .-. - q - p VVFFV FVFV

A -

El método muestra que la fónnula es F en alguna interpretación, luego, el conjunto de premisas no implica a la conclusión. La inferencia es inválida.

4.5. Relación semántica entre las premisas y la conclusión La validez o invalidez es gravitante en la relación semántica entre el conjunto de premisas y la conclusión de la inferencia. Lo que podemos afirmar como regla general es lo siguiente:

En una inferencia válida, si el conjunto de premisas es verdadero, la conclusión es necesariamente verdadera. Esto significa que una inferencia válida puede tener el conjunto de premisas y la conclusión falsos, o bien la inferencia puede tener el conjunto de premisas y la conclusión verdaderos, y ser inválida. Pero, la lógica sólo garantiza la verdad de la conclusión a partir de la verdad de un conjunto de premisas. La relación semántica entre el conjunto de premisas (P0+1) Y la conclusión (C) se puede resumir en el siguiente cuadro: Inferencia Válida Válida Inválida Inválida

PD+l

V

F V

-

e V

? ?

F ? En otros ténninos, en una inferencia válida, si el conjunto de premisas es falso, no hay seguridad a nivel semántico acerca del tipo de conclusión que se va a obtener; de igual modo ocurre en una inferencia inválida. 80

Las lnferenciOB

Ejercicio 4 • ------------------------------------------Desarrolle los ejercicios que aparecen a continuación empleando las tablas de valores o el método de las tablas abreviadas. 1.

2.

Dadas las siguientes proposiciones: A = Si los ríos aumentan de caudal, o hay lluvias en la sierra o hay deshielos en la cordillera. B = Si hay deshielos en la cordi~lera entonces los ríos aumentan de caudal. e = Los ríos aumentan de caudal a menos que no haya lluvias en la sierra. D = No es el caso que no haya lluvias en la sierra o no haya deshielos en la cordillera, puesto que los ríos aumentan de caudal. E = Los ríos aumentan de caudal, en vista de que hay lluvias en la sierra o hay deshielos en la cordillera. Determine: a. Si A implica a B. b. Si A es implicada por D. c. Si B está implicada por E. d. Si la conjunción de B y e implica a E. e. Si la disyunción de B y e está implicada por D. Si la fórmula "A" tiene como variables (p, q, r) y a la vez "A" tiene los valores FFVVFFW, entonces determine si "A" está implicada o no por cada una de las siguientes fórmulas: B = - (- q - r)

e= D =

3.

(p -

r)

11 (-

r

11

p)

- q .-. - (- p v - q) v - r

Dadas las siguientes proposiciones: A = Si con carabinas se cazan felinos entonces las carabinas son armas de largo alcance, sin embargo los felinos no son fáciles de cazar a pesar de que las carabinas son armas de largo alcance. B = No es el caso que los felinos sean fáciles de cazar o las carabinas no sean armas de largo alcance. e = No es el caso que con carabinas se cazen felinos y las carabinas no sean armas de largo alcance, sin embargo los felinos no son fáciles de cazar. 81

DitJgenes Rosales

D

=

Con carabinas no se cazan felinos pero los felinos no son fáciles de cazar. E = O las carabinas son armas de largo alcance o con ellas no se cazan felinos, no obstante las carabinas son armas de largo alcance a la vez que los felinos no son fáciles de cazar. Determine: a. Si A Y E son equivalentes. b. Si A equivale a e. c. Si e y D son equivalentes. d. Si la conjunción de A y E equivale(-á B. e. Si la negación de e equivale a la negación de la disyunción de B y D. 4.

Si "A", "B" Y "e" son fórmulas que tienen cada una (p, q, r) variables y, a la vez, "A" tiene los valores VFFFVFFF, "B" los valores VVVVVVVF y "e" tiene los valores VVVFVVVF, entonces determine cuál es el equivalente que corresponde a cada una de ellas eligiendo de entre las fórmulas que aparecen a continuación: D= - r - q E

5.

= -

5.1.

5.2.

5.3.

5.4. 82

(q -

- r)

F = - P - (- r - q) Decida si cada una de las siguientes inferencias es válida o no. Si el testigo dice la verdad entonces el mayordomo estaba en la escena del crimen. Pero el mayordomo no estaba en la escena del crimen. En consecuencia, el testigo no dice la verdad. El agua se congela si y sólo si la temperatura está bajo cero. Ocurre que el agua no se congela. Por lo tanto, si la temperatura no está bajo cero entonces la congeladora está malograda. La producción minera crece, si y sólo si los salarios son altos y hay inversión de capitales. Ocurre que la producción minera no crece. Luego, o los salarios no son altos o no hay inversión de capitales. Si el galeón trae piratas entonces el capitán no ha muerto. La tripulación llegará al amanecer si no hay tormenta

Las Inferencias

5.5.

5.6.

5.7.

5.8.

5.9.

5.10.

en alta mar. Pero, si hay tormenta en alta mar entonces el galeón no trae piratas. De modo que, la tripulación llegará al amanecer si el capitán no ha muerto. La película es original, si ha habido un asesinato y no se sabe quién es el autor del delito. Si se sabe quién es el autor del delito entonces el homicida es el mayordomo. Pero el guionista no es original si el homicida es el mayordomo. En consecuencia, si ha habido un asesinato, entonces la película es original si el guionista es original. Si un cuerpo de conocimientos no es comunicable, entonces no es científico. No es el caso de que si un cuerpo de conocimientos es comunicable, entonces el método científico y las técnicas puedan aprenderse en los libros. Por consiguiente, un cuerpo de conocimientos es comunicable o no es científico, dado que el método científico puede aprenderse en los libros. Se conservará el mismo volumen de producción si la reforma agraria no da buenos resultados; dado que la reforma agraria dará buenos resultados si todas las tierras son explotadas, y se conservará el mismo volumen de producción si todas las tierras no son explotadas. La producción minera crece, si y sólo si hay divisas en el país o hay inversión de capitales. Si hay problemas con los trabajadores o no hay inversión de capitales, los políticos mienten. De ahí que, si la producción minera no crece, hay problemas con los trabajadores si los políticos mienten, puesto que los políticos no mienten si no hay problemas con los trabajadores. Si la infraestructura es el principal problema de la educación, entonces muchos niños no irán al colegio a menos que el Estado construya grandes unidades escolares. No es el caso que si mejora el nivel de la enseñanza, la infraestructura no sea el principal problema de la educación. Pero muchos niños irán al colegio si mejora el nivel de la enseñanza. En consecuencia, el Estado construye grandes unidades escolares si y sólo si mejora el nivel de la enseñanza. O Carneades no habría venido en auxilio de los epicúreos o no habría hecho causa común contra los estoicos; en vista de que, si hubiera venido en auxilio de los epicúreos, 83

DiógeTll!B Rosales

5.11.

5.12.

5.13.

5.14.

5.15.

84

habría venido contra los gnósticos y con el pretexto de lucir su virtuosidad dialéctica, y si hubiera venido con el pretexto de lucir su virtuosidad dialéctica, no habría hecho causa común contra los estoicos ni habría venido contra los gnósticos. Tanto la matemática como la geometría son exactas porque Euclides no se equivocó. Si Euclides no se equivocó, tanto la matemática como la geometría son sistemas axiomáticos. Pero cuando se mide distancias interestelares, la geometría no es exacta. En consecuencia, cuando se mide distancias interestelares, tanto la matemática como la geometría no son exactas, en vista de que la matemática y la geometría son exactas si y sólo si son sistemas axiomáticos. Si la física es exacta, Tolomeo no dice la verdad si Copérnico tiene la razón. No es el caso que si la Tierra es plana el movimiento de los planetas no sea elíptico. Tolome'o dice la verdad si y sólo si la Tierra es plana. De ahí que, Copérnico tiene la razón si y sólo si el movimiento de los planetas es elíptico, dado que la física es exacta. La lámpara está encendida, si y sólo si hay fluido eléctrico a la vez que hay alguien en casa. Si no hay alguien en casa, o los de casa han salido a pasear o han ido a una función teatral. Los de casa han ido a una función teatral si han salido a pasear. Por consiguiente, si hay fluido eléctrico entonces no es el caso que hayan ido a una función teatral y la lámpara esté encendida. Si los físicos dicen la verdad, el movimiento que describen los astros es elíptico y la fórmula de la gravedad es exacta. Pero, si los físicos no dicen la verdad, ni la fórmula de la gravedad ni la fórmula de la velocidad de la luz son exactas. Luego, las fórmulas de la gravedad y de la velocidad de la luz son exactas, si y sólo si el movimiento que describen los astros es elíptico. Aunque no gane el concurso viajaré al extranjero. Obtendré una beca, a menos que estudie física nuclear o informática. Si estudio física nuclear o informática, entonces no me dedicaré al turismo. Por lo tanto, si gano el concurso pero no obtengo una beca, entonces no viajaré al extranjero si y sólo si me dedicaré al turismo.

5. FORMAS NORMALES: CONJUNTIVA Y DISYUNTIVA 5.1. Introducción Las formas normales son modelos de fórmulas donde aparecen sólo los operadores" A", v" y/o Como hemos visto en el capítulo anterior, el operador" _" tiene una utilidad especial para el análisis de la implicación y de la inferencia en general, puesto que, el análisis de la relación entre el conjunto de premisas y la conclusión lo hacemos con ayuda del operador condicional "_", y lo analizamos desde el punto de vista de la validez. De igual modo, el operador bicondicional "_" nos permite analizar la relación de equivalencia. Sin embargo, los operadores "-" y "_" resultan superfluos, porque la fórmula condicional "A - B" Y la fórmula bicondicional"A - B" pueden transformarse cada una respectivamente en otra fórmula que es su equivalente, y donde sólo aparecen los operadores "A", "V y "_". Tomando en cuenta sólo estos operadores podemos tener un modelo de fórmula constituido solamente por variables negadas o sin negar unidas por disyunciones. Llamaremos a este modelo disyunción básica y lo representaremos esquemáticamente por: 11

11

-".

11

PI

V

P2

V

Pa v...

V

Pn

donde "p" y su respectivo subíndice representan cualquier variable proposicional negada o sin negar. Así, la siguiente fórmula es un ejemplo de disyunción básica: p v - q v r v - s

Cuando una fórmula está constituida solamente por variables negadas o sin negar unidas por conjunciones, se la denomina conjunción básica. Esquemáticamente como sigue: PI

A

P2

A

Pa

A ... A

Po

Por ejemplo, la siguiente fórmula es una conjunción básica:

P

A

q

A

-

r

A

-

S

85

Di6ge/llls Rosales

La transformación de unas fórmulas en otras genera todo un cálculo lógico donde sólo se toman en cuenta las relaciones sintácticas entre los símbolos. El objetivo de las formas normales es la transformación de fórmulas en disyunciones básicas o en conjunciones básicas. En el proceso de las operaciones es importante conocer las reglas de sustitución (RS) y de intercambio (RI). La regla de sustitución dice: RS: Si "A" es una fórmula y " v " es una variable de "A", entonces " v " puede ser sustituida por una fórmula "B" en todas las ocurrencias de "A", Y se obtiene C. Por ejemplo, sea "A" la fórmula siguiente: (pA q)- p

si "v =p" y"B fórmula "C":

=- q v r", entonces aplicando RS se obtiene la siguiente (- q v r)

A

q .-. - q v r

Según la regla de sustitución, si "A" es una fórmula válida entonces "C" también es una fórmula válida. La regla de intercambio (RI) dice: RI: Una fórmula '~" se puede intercambiar por una fórmula "B" si y sólo si "A" y "B" son equivalentes. Por ejemplo, sea "A" la siguiente fórmula: p-q Aplicando RI se obtiene la siguiente fórmula "B". Como ya sabemos, "B" es equivalente a "A" por definición (1): (p -

q)

A

(q -

p)

Además, podemos seguir aplicando RI al operador "_O, como sigue: - (p

A

-

q)

A -

(q" A

-

p)

Como se puede apreciar, "A" se ha transformado en una fórmula que tiene sólo operadores conjuntivos y negativos. En el proceso (1)

86

Infra, p. 92

Formas Normales: ConjunJiva y disyunJiva

de la transformación de fórmulas, cuando las reglas RS y RI operan a la vez, se obtiene siempre otra fórmula -equivalente.

5.2. Leyes lógicas Para aplicar las reglas RS y RI es necesario el conocimiento de las leyes lógicas y, en especial, de las leyes equivalentes. Antes de enunciar estas leyes es importante distinguir primero los conceptos de principio lógico, ley lógica y regla lógica. . Un principio lógico es el fundamento de toda verdad lógica (tautología&). De un principio lógico podemos generar tautologías indefinidamente, y, a la vez, cualquier tautología del universo lógico puede reducirse a un principio lógico. Son conocidos los tres principios clásicos: de Identidad, de no-Contradicción y del Tercio Excluido. Según el principio de Identidad, una proposición sólo es idéntica a sí misma. Simbólicamente se expresa por: p -

p

El principio de no-Contradicción dice: es imposible que una proposición sea verdadera y falsa a la vez. Simbólicamente, como sigue: -

(p

11 -

p)

Según el principio del Tercio Excluido, una propOSlClon o es verdadera o es falsa, no existe una tercera posibilidad. Simbólicamente, como sigue: pv-p Una fórmula es una ley lógica si y sólo si cualquiera sea la interpretación formalmente correcta que se haga de la misma se obtiene como resultado una verdad lógica. Una ley lógica pertenece al lenguaje objeto del sistema y siempre permanece en el plano teórico. Cualquier tautología del universo lógico es una ley lógica. De la infinita cantidad de tautologías, algunas son útiles para la solución de muchos problemas lógicos. Estas leyes podemos clasificarlas en .leyes equivalentes y leyes implicativas. Una regla lógica es una forma válida de razonamiento cuyo objetivo es la operatividad, esto es, nos permite efectuar operaciones 87

Dióge1U!s Rosales

para transformar una fórmula o derivar una consecuencia lógica. Una regla lógica pertenece al metalenguaje y se sitúa en el plano práctico. Un ejemplo nos permitirá distinguir estos dos conceptos. El Modus Ponendo Ponens (MPP) (2) como ley lógica se expresa mediante una fórmula proposicional, así: (p -

q)

1\

p .-. q

pero como regla el MPP se expresa: "Si afirmamos el antecedente de una fórmula condicional, se concluye en la afirmación del consecuente de dicha fórmula condicional". La forma de este razonamiento es como sigue: A A

B B

Sin embargo, las leyes lógicas se pueden usar como reglas lógicas, como ocurrirá en lo sucesivo con las leyes equivalentes.

5.3. Equivalencias notables Preferimos denominar "equivalencias notables" a las leyes equivalentes porque resultan ser las más conocidas y útiles en la transformación y simplificación de fórmulas. A continuación las leyes equivalentes: 1. Leyes conmutativas (Conm.) 1.1. (p 1\ q) ++ (q 1\ p) 1.2. (p v q) ++ (q v p) 1.3. (p ++ q) ++ (q ++ p) Según estas leyes, los componentes de las fórmulas conjuntivas, disyuntivas y bicondicionales se pueden permutar.

2. Leyes asociativas (Asoc.) 2.1. p 1\ (q 1\ r) . - . (p A q) 1\ r 2.2. p v (q v r) .-. (p v q) v r (2)

88

Véase la aplicación de esta regla en p. 104

Formas Normales: Conjuntiva y disyuntiva

2.3. P - (q - r) . - . (p - q) - r La Asoc. nos indica que dos o más conjunciones con la misma jerarquía Se pueden agrupar indistintamente. Esta afIrmación vale también para las disyunciones y las bicondicionales.

3. Leyes de la idempotencia (Idem.) 3.1. (p A p) - p 3.2. (p v p) - p Según Idem., las fórmulas que se repiten en una cadena de conjunciones o en una cadena de disyunciones se eliminan.

4. Leyes distributivas (Dist.) 4.1. P A (q v r) .-. (p A q) v (p A r) 4.2. p v (q A r) .- (p v q) A (p v r) 4.3. p - (q A r) .-. (p - q) A (p - r) 4.4. p - (q v r) .-. (p - q) v (p - r) La Dist. 4.1 es la distribución del conjuntivo al disyuntivo, donde uno de los componentes de la conjunción se distribuye a cada uno de los componentes de la disyunción; en cambio la operación inversa se denomina del factor común. El procedimiento es el mismo para 4.2, denominado distribución del disyuntivo al conjuntivo. A continuación algunos ejemplos sobre la aplicación de la distribución del conjuntivo al disyuntivo: (1)

1)

P

2)

(p

A

(-

A -

q v r v - s)

q) v (p

A

r) v (p

A -

s)

de 1 por 4.1.

En este caso "p" se ha distribuido en cada uno de los componentes de las disyunciones. La fórmula 2 es equivalente a 1. (2)

1)

(- P

2)

(- p v r v s)

A

v s) (q v r v s)

q) v (r A

de 1 por 4.2.

En este caso "r v s" se ha distribuido en cada uno de los componentes de la conjunción. En 4.3. y 4.4., la distribución del condicional se efectúa partiendo del antecedente hacia el co~ecuente, ya sea para la conjunción o para la disyunción. En los dos casos, la operación inversa podernos denominarla también del factor común. 89

Diógenes Rosales

5. Ley de la doble negación (DN). 5.1. - - p - p Según DN, dos negaciones con el mismo alcance equivalen a una afirmación. 6. Leyes de De Morgan (DM) (3). 6.1. - (p 11 q) - (- p v - q) 6.2. - (p v q) - (- p 11 - q) Según 6.1. la negación de una cOI\iunción se interna en cada uno de sus componentes, a la vez el operador "11" se cambia por "v". El procedimiento es igual en 6.2. con la diferencia que el operador "v" se cambia por "11".

7. Leyes de la absorción (Abs.) 7.1. 7.2. 7.3. 7.4.

p 11 (p v q) .-. p .-. p P v (p 11 q) P 11 (- P v q) .-. p 11 q p v (- P 11 q) .-. p v q

7.1 Y 7.3 son absorciones de una fórmula conjuntiva a una fórmula disyuntiva. En este caso llamaremos fórmula absorbente a una variable negada o sin negar o a una conjunción básica. A la fórmula disyuntiva donde se efectúa la absorción la llamaremos la absorbida. Las leyes 7.2 y 7.4 son las absorciones de una fórmula disyuntiva a una fórmula conjuntiva. En este caso la fórmula absorbente es una variable negada o sin negar o una disyunción básica, y la fórmula absorbida es una fórmula conjuntiva. Ahora podemos enunciar dos reglas para operar todos los casos por Abs. R1: Si de la fórmula absorbente se repite una variable negada o sin negar idénticamente en la fórmula absorbida, enton-

ces toda la fórmula absorbida se elimina. R2: Si de la fórmula absorbente la variable que se repite en la absorbida está negada, entonces se elimina sólo la variable que está en la absorbida.

A continuación algunos ejemplos: (3)

90

Las leyes de De Morgan fueron formuladas por primera vez por Guillermo de Occam en el siglo XIV. Luego Augustus de Morgan las formuló en el siglo XIX.

Forma.s Normales: ConjuntifJo y disyuntifJO

(3)

1) (p"

q) ,,(- r

V

q)

2) p" q de 1 por Rl. En este caso la fórmula absorbente es "p " q" porque el operador principal es ",,". Como se puede apreciar "q" se repite idénticamente en la absorbida "- r v q", de ahí que la absorbida se elimina . . (4)

1) (p" - q "r) v

(- q v s) v (-

t" s)

2) (- q v s) v (- t "s) de 1 por Rl. 3) - q v s de 2 por Rl. En (4) la fórmula absorbente es "- q v s" porque el operador principal es" v". Como se puede observar, "- q" se repite idénticamente en la fórmula conjuntiva "p " - q " r", por ello, en 2 se elimina. Luego, de la fórmula absorbente, "s" se repite en "- t" s", por ello, también se elimina, obteniéndose la fórmula 3 que es un equivalente de la fórmula 1. (5)

1) (p v - q) v (- p" r)

2) p v - q v r de 1 por R2. En este caso la fórmula absorbente es "p v q", pero la variable "p" que se repite en la absorbida está negada, de ahí que se elimina solamente la variable que está en la absorbida. (6)

1) (p v q) " (r v - s) " (- r " - q)

2) p" (r v - s) " (- r " - q) de 1 por R2. 3) p" - s " - r " - q de 2 por R2. En (6) la fórmula absorbente es"- r " - q". Como "- q" aparece negada en la absorbida "p v q", se elimina sólo "q". De igual modo, sólo se elimina "r" de la fórmula absorbida "r v - s". Luego, la fórmula que aparece en 3 es equivalente a 1. Las reglas de la absorción resultan ser muy útiles porque nos permiten simplificar fórmulas complejas, como hemos podido apreciar en los ejemplos mencionados.

B. Leyes de la implicación (Imp.) B.l.

(p -

q) -

(- p v q)

B.2.

(p -

q) -

- (p " - q)

91

Di6geTll!s Rosales

Según 8.1 una fórmula condicional se transforma en una fórmula disyuntiva con sólo negar el antecedente de dicha fórmula. También se puede decir: " 'p' implica a 'q', si y sólo si o 'p' es falso o 'q' es verdadero". De igual modo 8.2: " 'p' implica a 'q' si y sólo si no es el caso que 'p' sea verdadero y 'q' falso" (4). Por ejemplo aplicando 8.1 a la siguiente fórmula: (7)

1) P -

(q -

2) - p v (q

-+

r)

r) de 1 por Imp.

3) - p v - q v r de 2 por Imp.

9. Leyes de la equivalencia (Eq.) 9.1. (p - q) .-. (p -+ q) 11 (q -+ p) 9.2. (p - q) .-. (p 11 q) v (- p 11 - q) Según 9.1 una fórmula bicondicional se puede transformar en una conjunción de condicionales, esto es, 'p' equivale a 'q', si y sólo si 'p' implica 'q' y 'q' implica a 'p' (5). También una fórmula bicondicional puede transformarse en una disyunción de conjunciones como indica 9.2, esto es, 'p' equivale a 'q', si y sólo si o 'p' y 'q' son verdaderos a la vez o 'p' y 'q' son falsos a la vez. Por ejemplo, aplicando 9.1 a la siguiente fórmula se tiene: (8)

1)

P -

2) 3)

p -+ (q - r) . 11. (q - r) - p de 1 por Eq. p - (q - r .11. r -+ q) .11 • (q -+ r .11. r -+ q) -+ p de 2 por Eq.

(q -

r)

10. Leyes de la expansión (Expan.) 10.1. 10.2. 10.3. 10.4.

p .-. p 11 (q v - q) p .-. P v (q 11 .... q)

p p

-+ -+

q . - . p - (p 11 q) q . - . q - (p v q)

Una fórmula puede expandirse mediante la conjunción y el Tercio Excluido según 10.1, o mediante la disyunción y una contradicción

(4) (5)

92

Supra, véase Capítulo 4, p. 70. Supra, véase Capitulo 4, p. 73.

Formas Normales: Conjuntiva y disyuntiva

según 10.2. También una fórmula condicional se puede convertir en una bicondicional: si uno de los componentes del bicondicional es el antecedente, el otro componente es la conjunción del antecedente y el consecuente como indica 10.3, y según lOA, si uno de los componentes del bicondicional es el consecuente, el otro componente es la disyunción del antecedente y el consecuente. 11. Leyes de la transposición (Trans.) 11.1. 11.2.

(p -

q)

++

(-

q -

(P'" q)'" (- q

- p)

++ -

p)

Estas leyes indican que las fórmulas condicionales y bicondicionales se pueden trasponer negando sus componentes.

12. Ley de la exportación (Exp.) 12.1. (p A q) - r .-. p - (q - r) En este caso se exporta el condicional en reemplazo de la conjunción.

13. Leyes de la negación de la equivalencia (NEq.) 13.1. - (p - q) - (- p - q) 13.2. - (p - q) - (p - - q) La negación de una fórmula bicondicional se puede internar en cualquiera de sus componentes.

5.4. Forma normal conjuntiva (FNC) Una fórmula está en FNC cuando está constituida por una disyunción básica o por conjunciones de disyunciones básicas. Si "A" es una disyunción básica entonces, esquemáticamente, una FNC es como sigue:

Al

A ~ A

A,

A •••

A

A.

donde "A" y sus respectivos sub-índices representan cualesquiera disyunciones básicas. Por ejemplo, la siguiente fórmula está en FNC: (p

v - q v r)

A

(q v - s v - t)

11 ( -

p v r v t)

donde (p v - q v r) puede ser Al' (q v - s v - t) puede ser A¿ y (- p v r v t) puede ser ~. También llamaremos FNC a una sola disyunción básica; entonces la siguiente fórmula está en FNC: 93

DifJgeTll!s Rosales

pv-rvqv-t Obtener la FNC de una fórmula "A" consiste en transformar "A" en una disyunción básica o en conjunciones de disyunciones básicas aplicando las conocidas reglas de transformación (equivalencias notables). En este sentido, toda fórmula de la lógica proposicional tiene su FNC.

5.4.1. FNC como procedimiento decisorio Como toda fórmula proposicional es reducible a una FNC, la FNC se puede usar para decidir si una fórmula es o no válida. Para el efecto es suficiente reconocer si una disyunción básica es o no una tautología. Una disyunción básica es una tautología cuando existe una misma variable negada y sin negar a la vez. Por ejemplo la siguiente disyunción básica es una tautología: pv-qv-pvrv-s Como se puede apreciar, "p" que está sin negar y negada a la vez nos indica que es una tautología porque "p v - p" es la expresión del principio del Tercio Excluido. Entonces, podemos decir que una disyunción básica es una tautología cuando contiene el Tercio Excluido. Luego, una FNC es una tautología cuando cada disyunción básica contiene el Tercio Excluido. Por ejemplo, la siguiente FNC es una tautología y, por lo tanto, válida: (p v - q v q)

A (-

p v r v p)

A (-

r v - q v r)

La primera disyunción básica es tautológica por "- q v q", la segunda por "- p v p" y la tercera por "- r v r". Como sabemos por las propiedades de la equivalencia, la conjunción de tautologías equivale a una tautología: "Ti A T2 . - . T a" (6). Si "A" es una fórmula válida convergerá necesariamente en una FNC válida, porque la FNC de "A" es equivalente a "A", pero si "A" no es válida, la FNC de "A" tampoco será válida.

5.4.2. Procedimiento para obtener la FNC Para obtener la FNC de una fórmula "A" se deben seguir las siguientes pautas: i) (6)

94

Transformar "A" sólo a operadores

Supra, véase propiedades de la equivalencia p. 74.

itA",

"v" y "-".

Formas Nonrw.les: Conjuniiua y disyuntiva

iD iii)

iv)

Las negaciones deben afectar únicamente variables proposicionales. Aplicar las reglas de la distribución o de la absorción, u otras reglas cuando éstas sean necesarias. Aplicar la regla de la expansión a las variables negadas o sin negar que no forman parte de una disyunción básica.

A continuación algunos ejemplos: (1)

1) 2) 3) 4) 5)

(p - q) - (- q - - p) - (- p v q) v (- - q v - p) Imp. (- - P /1. - q) v (- - q v - p) DM (p A - q) v (q v - p) DN (p v q v - p) " (- q v q v - p) Dist.

Cada línea del procedimiento seguido es la consecuencia de la fórmula anterior que se obtiene al aplicarse la regla cuya abreviatura aparece como justificación al lado derecho. Por ejemplo, 2 se obtiene de 1 al aplicarse la ley de la Implicación, 3 viene de 2 por De Morgan, 4 de 3 por Doble Negación, y 5 de 4 por Distribución, donde ya se tiene la FNC de 1. Como podemos observar, 5 es una FNC válida, porqúe cada disyunción básica contiene el Tercio Excluido. Además, podemos simplificar la fórmula 5 aplicando la propiedad "todas las fórmulas tautológicas son equivalentes", lo que significa quedarse sólo con una de las tautologías. Finalmente puede quedar así: 6) p v q v - p

Eliminación (Elim). de T.

como una disyunción básica que también es la FNC de 1. En los ejemplos siguientes obviaremos la explicación de toda la secuencia del procedimiento, será suficiente la justificación. (2)

1) (p

A -

2) - (p 3) 4)

5) 6)

7) 8) 9)

q) -

(q -

- r)

q) v (q - - r) Imp. - (p /1. - q) v (q - - r ./1.. - r - (p A - q) v (- q v - r ./1.. - - r (- P v - - q) v (- q v - r ./1.. (- P v q) v (- q v - r ./1.. r v q) (- P v q v - q v - r) /1. (- P V q - P v q v r v q Elim. de T. - P v q v r Idem. A -

q) Eq. v q) Imp. - r v q) DM. DN. v r v q) Dist.

95

DilJgerll!8 Rosales

La FNC de 1 es la fórmula 9. Como se puede apreciar, 9 es una disyunción básica no tautológica; por lo tanto la fórmula 1 es inválida. Solamente vale aclarar el paso de 7 a 8, porque la "Elim. de T" no es la misma regla aplicada en el ejemplo (1). En este caso la regla que hemos aplicado es: "(T 11 A) .. A" que en la práctica es también la eliminación de la tautología. (3)

1) (p

11 -

q) -

r

.11. -

q

2) - (p 11 - q) v r .11. - q Imp. 3) (- p v q v r) 11 - q DM. 4) (- p v q v r) .11. - q v (r 11 - r) Expan. 5) (- p v q v r) 11 (- q v r) 11 (- q V - r) Dist. La aplicación de la regla de expansión en el paso de 3 a 4 nos permite ver que "- q" no es miembro de una disyunción básica. En todo caso, no es una FNC que responda a la definición dada, esto es, a conjunciones de disyunciones básicas. Entonces, el uso de la Expan. es sólo para cumplir con los objetivos de la definición de la FNC, porque toda FNC donde procede la Expan. será inválida, como se puede apreciar en la fórmula 5 que es una FNC no tautológica. Si podemos decidir la validez o invalidez de una fórmula proposicional, también podemos decidir la validez o invalidez de una inferencia por FNC. Para ello sólo será necesario obtener la fórmula de la inferencia que es la representación simbólica de la inferencia que está en lenguaje ordinario.

5.5. Forma normal disyuntiva (FND) Una fórmula está en FND cuando está constituida por una conjunción básica o por disyunciones de cortiunciones básicas. Si "A" es una conjunción básica, entonces el esquema de una FND es como sigue: Al vA.¿v~v ... vAn donde "A" y sus respectivos subíndices representan, en cada caso, una conjunción básica cualquiera. Por ejemplo, la siguiente fórmula es una conjunción básica, y, por lo tanto, está en FND: pl\-ql\-rl\s o, también, disyunciones de conjunciones básicas como la siguiente fórmula: 96

Fomulll Normales: Conjuntiva y disyuntiva

~AqA~v~rAsA~v~qAsA-~

donde (p A q A r) puede ser Al' (- r A s A t) puede ser A , Y Aa puede representar a (- q A S A - t). Entonces, obtener la FÑD de una fórmula "A" consiste en transformar "A" en una conjunción básica o en disyunciones de conjunciones básicas aplicando las conocidas reglas de transformación (equivalencias notables). Luego, se puede obtener la FND de cualquier fórmula de la lógica proposicional.

5.5.1. Consistencia o inconsistencia de una FND Con una FND se puede determinar si una fórmula "A" es o no consistente. U na FND es consistente cuando por lo menos una de sus conjunciones básicas no es contradictoria. Para reconocer una conjunción básica contradictoria es suficiente ver la existencia de una misma variable proposicional negada y sin negar a la vez. Por ejemplo, la siguiente conjunción básica es contradictoria: PA-qA.-pAr Como se puede apreciar, la contradicción está en "p A - p", luego, podemos afirmar que es una FND inconsistente, lo que significa que una FND es inconsistente cuando cada una de sus conjunciones básicas contiene una contradicción. Por ejemplo la siguiente FND: ~A-qA~v~rAqA~v~ApA-~

En cambio, la siguiente fórmula es una FND consistente, porque ninguna de sus conjunciones básicas contiene una contradicción: (- p A - q A - r) v (q A S A - t) v (-

S

A pAr)

Sin embargo, es suficiente que una de sus conjunciones básicas no contenga la contradicción para ser una FND consistente. Así: ~A-qA~v~rApA~v~A-qA~

En este caso, la FND puede reducirse sólo a la conjunción básica no contradictoria corno sigue: pA-qAr La regla que justifica esta reducción es: "(A v .1) - A", en otros términos, la disyunción entre una fórmula cualquiera y una contradicción equivale a la fórmula, o, también podemos decir, de la disyunción entre "A" Y ".1" se elimina ".1". 97

Di6geTll!B ROBaJn

Si una fórmula nA" es contradictoria convergerá necesariamente en una FND inconsistente. La FND, con respecto a una fórmula "A", sólo puede determinar si es consistente o inconsistente. El procedimiento para obtener una FND es el mismo que se usa para obtener la FNC (5.4.2). A continuación algunos ejemplos ilustrativos: (1)

1) - (p - q) 11 (r - q) 2) - (- p v q) 11 (- r v q) Imp.

3) (p

11 -

(p 11 5) p A

4)

-

q) 11 (-

q q

A A -

r v q) DM Y DN r) v (p 11 - q 11 q) Dist. r Elim..L

La FND de la fórmula 1 es la fórmula 5. FND consistente. (2)

1) - (p -

q) -

2) - (p -

q) -

(q v - p)

(q v - p)

(q v - p) - - (p - q) Eq. (q v - p) v (p 1\ - q) Imp (- P v q v q v - p) ,11, (- q 11 p) v (p 11 - q) DM. (- P v q) 11 (- q 11 p) Idem, (- P A - q 11 p) v (q 11 - q 11 p) Dist. - P A - q 11 P Elim, .L

3) (- p v q v q v - p)

4) 5)

6) 7)

.11.

.11. -

La FND de 1 es inconsistente como muestra la fórmula 7, luego 1 es una fórmula contradictoria. Vale aclarar que el paso de 6 a 7 se justifica por la regla "(1.1 v 1.2) la disyunción de fórmulas contradictorias equivale a otra fórmula contradictoria.

1.t

(3)

1) - P 11 (q - r) .-, p 11 r 2) - (- P ,11, - q v r) v (p 11 r) Imp. 3) p v (q 11 - r) v (p 11 r) DM y DN. 4) p v (q 11 - r) Abs. 5) p 6) (p

11 11

(q v - q) .v. (q q) v (p

11 -

r) Expan. q) v (q 11 - r) Dist. 11 -

En el proceso de la transformación de fórmulas podemos observar que la fórmula 4 puede distribuirse del disyuntivo al conjuntivo, y obtener así una FNC, pero como nuestro objetivo es hallar una disyunción de conjunciones, hemos aplicado a la fórmula 4 la regla 98

Formas NormoJu: Co'liuntiva y diByuntiua

de la expansión para cumplir con la defmición de la FND. En este caso estamos aplicando Expan. solamente a "p" porque no es miembro de una conjunción básica. Además, la Expan., para fines de la FND, se efectúa mediante la conjunción y el Tercio Excluido, como aparece en la secuencia 5. También vale aclarar que el Tercio Excluido puede construirse con cualquier variable con tal que sea diferente a las variables de la fórmula que se expande. Luego, aplicando la regla de la Dist. se obtiene 6, que es una FND consistente. Siempre que se aplica la regla Expan. se obtiene una FND consistente. Como cualquier fórmula proposicional puede transformarse en una FND, podemos hallar la FND de cualquier inferencia, en vista de que la inferencia se puede representar mediante una fórmula proposicional.

Ejercicio 5 • - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1. Obtenga la FNC o la FND de cada una de las siguientes fórmulas aplicando solamente las reglas de la Dist. y de la Abs. 1.1. (p A - q) v (q v - r) 1.2. (p v - q) v (- r A q) v r 1.3. (p A q) v - r v (- q A s) 1.4. (p v - q) A - p A (- q v r) 1.5. (p v - q v r) v (s A - t) 1.6. (p v q) A (r A - p) A (- r v s) 1.7. (p A - q A - r) A (- S v t v q) 1.8. (p A q) A (r v s) A (- t v p) 1.9. (- p A q) A (r v - s v p) A (- q V - t) 1.10. (- p v q v r) v (- r A s A t) v (- q A k) 2.

Obtenga la FNC de cada una de las siguientes fórmulas, y diga, en cada caso, si es o no válida. 2.1. (p A q) - p 2.2. (- p - q) - (q - r) 2.3. (p - - q) A q .-. P - r 2.4. (p v q) - (p - q) 2.5. (p - q) - (- q - - p) 99

Di6geMB Rosales

2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10.

3.

r) .-. p v r (r - s) .v. p - s

q -

(p - - q) 11 (- p 11 q .-. r) (p v q

.11. -

11

(r -

s

(- p -

r) -

(p - q .v. r - s) -

.11. -

s)

(q -

q)

.h. -

s)

(s -

.11. -

r)

q

(p -

q)

11 (-

q

h

r)

- (- p v q .-. - q - p) - (p - q) - (- q 11 p) (p -

q)

(p

h

(p

11 -

(p -

h

q) -

(r - - q) .-. - p - r r .-. - r h - (q - - p)

q) v - r .-. - (r q)

h

(r -

- q)

h -

- p) (p -

r)

(p - - q) v (r - - p) .h. q V r - (p ++ q) v - [(r - p) v - (r 11 q)]

(p v - q .-. r - s) v (q

++

s)

.11.

(q .-. r

11

s)

Determine por la FNC si cada una de las siguientes inferencias es o no válida. 4.1.

4.2.

4.3.

100

11 (-

Obtenga la FND de cada una de las siguientes fórmulas, y diga, en cada caso, si la FND es consistente o inconsistente. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8. 3.9. 3.10.

4.

(p v q)

Daniel obtendrá la beca, si estudia física nuclear o estudia informática. Daniel estudia informática. En consecuencia, Daniel obtendrá la beca. Si la economía peruana está en crisis entonces los capitalistas extral\ieros no invertirán en el Perú. La economía peruana está en crisis porque no existe un ajuste estructural en la administración. Por lo tanto, los capitalistas extranjeros invertirán en el Perú si existe un ajuste estructural en la administración. Si Rusia llegó a un acuerdo con la OTAN y se adhiere a la asociación por la paz, entonces podrá ampliar su programa de cooperación militar. Rusia no podrá ampliar su programa de cooperación militar. En consecuencia, Rusia llegó a un acuerdo con la OTAN si y sólo si se adHere a la asociación por la paz.

FOrmal/ Normale8: Conjuntiva y dill)'untWa

4.4.

La exploración de Marte es importante, si las áreas oscuras son desconocidas o se obtienen minerales raros. Si hay sólo gases tóxicos, la exploración de Marte no es importante. Pero, no es el caso que no se obtengan minerales raros o no haya gases tóxicos. Luego, si las áreas oscuras de Marte son conocidas entonces la investigación científica explicará el origen del universo. 4.5. Carlos viajará a Alemania, si obtiene buenas notas o no tiene problemas familiares. Pero Carlos no viajará a Alemania. Por lo tanto, tiene problemas familiares y no obtuvo buenas notas. 4.6. Pitágoras descubrió el teorema que lleva su nombre si y sólo si fue un geómetra. Luego, si fue un geómetra, creó el método matemático y descubrió el teorema que lleva su nombre. 4.7. Las leyes de la mecánica son exactas si Newton dice la verdad, si y sólo si el movimiento no es relativo. Si el movimiento no es relativo, la fórmula de la velocidad de la luz no es absoluta. Por lo tanto, si las leyes de la mecánica son exactas entonces la fórmula de la velocidad de la luz no es absoluta. 4.8. O los filósofos mienten y los científicos dicen la verdad, o los políticos son idealistas y la sociedad está descontenta. Si los políticos no son idealistas entonces la sociedad está contenta, y si los científicos dicen la verdad entonces los filósofos no mienten. De modo que, si los científicos dicen la verdad, los políticos son idealistaS. 4.9. Si un número par es positivo, entonces no es un número decimal ni es un número primo. Un número par es negativo si y sólo si es un número menor que dos. Si no es un número decimal entonces es un número entero. Por lo tanto, si no es menor que dos entonces es un número entero. 4.10. O el crecimiento económico de Francia no se ha detenido o la inflación ha sido alta, si y sólo si es imposible que la inflación no haya sido alta. De ahí que, el crecimiento económico de Francia no se ha detenido, no obstante el volumen de las exportaciones ha descendido o la inflación ha sido alta. 101

4.11

4.12

No es el caso que Leandro vote en las elecciones y los candidatos no conozcan los problemas de la realidad; dado que, Leandro votará en las elecciones, si y sólo si los candidatos no son idealistas y conocen los problemas de la realidad. Los helados son caros, si y sólo si o se venden en las fiestas o se venden en las playas. Si hace mucho frío entonces los helados no son caros, y si los helados no son dulces entonces no se venden en las fiestas. Pero, no es el caso que no haga mucho frío y los helados sean dulces. Por lo tanto, o los helados no se venden en las fiestas o no se venden en las playas.

,

102

6. EL METODO DE LA DERIVACION 6.1. Introducción En el capítulo anterior hemos introducido un conjunto de reglas equivalentes que nos permiten transformar fórmulas. Esta transformación de fórmulas, donde a partir de una fórmula "A" se obtiene otra fórmula "B" equivalente, constituye un modo de derivar la conclusión a partir de una premisa. Sin embargo, estas reglas sólo nos permiten derivar una conclusión equivalente al conjunto de premisas. No nos permiten derivar una conclusión que no es equivalente a pesar de que el conjunto de premisas implica a la conclusión. Por lo tanto, las reglas equivalentes resultan insuficientes para derivar cualquier conclusión que se deduce válidamente de un cOl'Yunto de premisas. Es necesario, entonces, introducir leyes lógicas que permitan derivar válidamente conclusiones no equivalentes. Para el efecto enunciaremos las otras leyes lógicas, denominadas leyes implicativas o también llamadas implicaciones notables. Cada una de las implicaciones notables será expresada en forma de regla lógica con el objeto de facilitar la operatividad en la derivación. La derivación como método es la aplicación de un conjunto de reglas lógicas para demostrar que la conclusión está implicada por un conjunto de premisas. En otros términos, el método de la derivación demuestra sólo fórmulas o inferencias válidas. Esta demostración consiste en obtener la conclusión a partir del conjunto de premisas aplicando las reglas lógicas en una secuencia finita de pasos, donde cada paso debe estar justificado mediante una regla lógica.

6.2. Implicaciones notables Las implicaciones notables son las llamadas leyes implicativas. Las leyes implicativas las expresaremos como formas elementales de razonamientos válidos, esto es, como reglas de inferencia. A continuación se citan las más importantes. 1. Modus Ponendo Ponens (MPP). Según esta regla si se afirma el antecedente de una premisa condicional, se concluye la afir103

Diógenes Rosales

II?-ación del consecuente de dicha premisa. Esquemáticamente, como slgue:

A

-+

B

A B

Un ejemplo de razonamiento que responde a la forma del MPP es el siguiente: (1) Si llueve a cántaros entonces las pistas están mojadas.

Llueve a cántaros. Luego, las pistas están mojadas. Cuanto más complejo es el razonamiento, tanto más se aleja det sentido trivial. Por ejemplo, si sustituimos "A" ya no por una proposición simple sino por una proposición compuesta, y de igual modo hacemos con "B", entonces obtenemos una inferencia válida que tiene la forma del MPP, pero cuya validez no sería percibida de inmediato por un lector no entrenado. Por ejemplo: (2) Si los militares valientes se cansan y los políticos no son buenos soldados, entonces o los militares valientes no están entrenados o los políticos no conocen la estrategia de la guerra. Los militares valientes se cansan y los políticos no son buenos soldados. Por lo tanto, o los militares valientes no están entrenados o los políticos no conocen la estrategia de la guerra. En esta inferencia resulta más claro apreciar la forma del MPP si representamos simbólicamente como sigue: Los Los Los Los

militares valientes se cansan = p políticos son buenos soldados = q militares valientes están entrenados = r políticos conocen la estrategia de la guerra (p

11

-

q)

p 11 - q :.- r v

-+

(-

r

v

-

=s

s)

s

En este caso se sustituye "A" por "(p 11 - q)" y "B" se sustituye por "(- r v - s)". Según la regla RS, cualquier sustitución_de una forma de razonamiento válido genera otro razonamiento válido. Del mismo modo se pueden construir razonamientos válidos para todas 104

El métoOO de la derivad/m

las otras formas válidas, de ahí que será suficiente enunciar las respectivas reglas.

2. Modus Tollendo Tollens (MTI). Si se niega el consecuente de una premisa condicional, se concluye la negación del antecedente de dicha premisa. Formalmente, como sigue:

A -+ B - B A

3. Silogismo Disyuntivo (SD). Si se niega uno de los componentes de una premisa disyuntiva, se concluye la afirmación del otro componente. Formalmente se tiene:

A v B - A

A

..

..

B

B

v

- B A

4. Simplificación (Simp.): De una premisa conjuntiva se puede concluir cualquiera de sus componentes. Formalmente se tiene:

A

11

:.

A

B

A 11 :. B

B

5. Adición (Ad.). De una premisa se puede concluir la disyunción de la misma con cualquier otra fórmula. También podemos decir: una disyunción está implicada por cualquiera de sus componentes. Esquemáticamente, como sigue: A :. A v B

B :. A v B

6. Conjunción (Conj.). De un conjunto de premisas se puede concluir la conjunción de las mismas. Formalmente se tiene: A B

A B .. B

11

A

7. Silogismo Hipotético Puro (SHP) Si de un conjunto de dos premisas condicionales el consecuente de una de las premisas es la afirmación del antecedente de la otra premisa, entonces del ante105

DWgefUls Rosales

cedente de una de las premisas se deriva el consecuente de la otra premisa. Formalmente, como sigue:

A -

B

B -

C

A - B C .. A - C 8. Transitiuidad Simétrica (TS). Si de un coI\iunto de dos premisas bicondicionales uno de los componentes de una premisa bicondicional es la afirmación de uno de los componentes de la otra premisa, entonces el otro componente de la primera premisa se da si y sólo si se da el otro componente de la segunda premisa bicondicional. Formalmente, como sigue: B C .. A -

A -

B

B - C :. A ++ C

B -

C

A -

B

..

++

A

C

.. B - C 9. Dilema Constructiuo Compuesto (DCC). De la disyunción de los antecedentes de dos premisas condicionales se concluye la disyunción de los consecuentes de dichas premisas condicionales. Esquemáticamente, como sigue:

A -

B

C A v .. B

D C v D

10. Dilema Destructiuo Compuesto (DDC). Si disyuntivamente negamos los consecuentes de dos premisas condicionales, se concluye disyuntivamente la negación de los antecedentes. Esquemáticamente, como sigue:

D v A v C Ahora que disponemos de las reglas equivalentes e implicativas podemos demostrar cualquier inferencia válida por el método de la deriuación. Las demostraciones por derivación pueden efectuarse en cualquiera de las formas denominadas prueba directa, prueba condicional y prueba indirecta o por reducción al absurdo. Exponemos a continuación cada una de estas pruebas. B

106

El mAtodD de la deri/Jación

6.3. La prueba directa Demostrar la validez de una inferencia mediante la prueba directa consiste en derivar la conclusión a partir de un conjunto de premisas en una secuencia finita de pasos, donde cada paso debe ser justificado por una regla lógica. El procedimiento termina cuando se ha deducido la fórmula que se deseaba obtener, esto es, la fórmula de la conclusión. Esta fórmula aparece en la última secuencia de la deducción. Esquemáticamente podemos expresarla como sigue:

{ i}

e

i)

Pn+l

11:.

j)

n+l

(justificación)

e

(justificación)

{ i} k)

donde "Pn+l" representa el conjunto de premisas y "e" la conclusión de la inferencia. Las secuencias de fórmulas están expresadas por "n+l" y la numeración de estas secuencias está indicada por "i", ''j'' Y "k". La palabra "justificación" entre paréntesis indica la regla aplicada en cada caso; "{ i}" es también la justificación, pero sólo de las premisas que intervienen en l~ derivación. A continuación algunos ejemplos: (1) p PI) - q P 2) q r p .. r Pa) II (1,3) l\4PP. q {1,3} 4) (2,4) MTT. {1,2,3} 5) r

--

Aunque el procedimiento seguido aparece objetivamente justificado en cada secuencia, podemos observar que 4 se deduce de 1 y 3 por MPP, a la vez, como 1 y 3 son premisas que intervienen en la démostración, se colocan al margen izquierdo de la secuencia, luego 5 se deriva de 2 y 4 por M'I'I' y, como para obtener esta consecuencia han participado todas las premisas, éstas se colocan también al margen izquierdo. Aquí se detiene el proceso, porque nuestro objetivo es demostrar que "-r" se deriva del conjunto de premisas que aparecen indicadas por "P" y sus respectivos subíndices. También se 107

DwgeTll!B RosaUs

puede notar la aplicación de sólo dos reglas de inferencia. En lo sucesivo, el lector podrá darse cuenta de las combinaciones que se efectúan al aplicarse cada regla lógica para obtener cada secuencia en el proceso de la demostración. '(2)

PI) P 2) {2} 3) {2} 4) {2} 5) {1,2} 6) {1,2} 7) {1,2} 8)

p - (q v - r) (- p v q) II p - q - - p

'-

.. - r (2) (3) (4) (1,5) (3)

"

P

q v - q - r

r

(6,7)

DM. Simp. DN. MPP. Simp. SD.

En la demostración de esta inferencia se han aplicado cinco reglas: dos reglas equivalentes (DM y DN) Y tres implicativas (Simp., MPP y SO). No es posible saber de antemano el número exacto de reglas que se van a usar en una demostración, porque se puede obtener una conclusión a partir de una premisa mediante diferentes reglas; además, hay diferentes "caminos" para llegar a una misma conclusión. Luego, todo el procedimiento se convierte en trabajo de rutina. (3)

PI) r - (q " s) P 2) p .. q Pa) (- r

{2} 4) (p {1} 5) (r {1} 6) r {2} 7) q {1,2} 8) r {1,2} 9) {1,2,3} 10) t - {1,2,3} 11) t {1,2,3} 12) 108

v p) -

t

II .. -

t -

s

q) "

(q -

p)

(2)

~ q) "

(r -

s)

(1)

-

-

q

(5)

-

P

(4)

-

p

(6,7)

r v p

(8) (3,9) (10)

v

s

t -

s

Eq. Dist. Simp. Simp. SHP. Imp. MPP. Ad.

(11) Imp.

El mi/odo de la derivación

En esta demostración, como se puede apreciar, se ha incrementado el número de reglas lógicas. Ahora vamos a demostrar por derivación la validez de una inferencia enunciada en lenguaje ordinario. Para ello, primero simbolizamos la inferencia y luego procedemos con las operaciones de rutina. (4)

Si la infraestructura es el principal problema de la educación, entonces muchos niños no irán al colegio a menos que el Estado construya grandes unidades escolares. No es el caso que si mejora el nivel de la enseñanza, la infraestructura no sea el principal problema de la educación. Pero muchos niños irán al colegio si mejora el nivel de la enseñanza. En consecuencia, el Estado construye grandes unidades escolares si y sólo si mejora el nivel de la enseñanza. En consecuencia, el Estado construye grandes unidades escolares si y sólo si mejora el nivel de la enseñanza. La infraestructura es el principal problema de la educación = p Muchos niños irán al colegio = q El Estado construye grande.s unidades escolares = r Mejora el nivel de la enseñanza = s

Luego, simbolizando cada una de las premisas y la conclusión, y, a la vez, aplicando las reglas de inferencia y ejecutando la demostración, se tiene: P) P 2) Pa) {2} 4)

{2} 5~ {2} 6) {2} 7) {1,2} 8) {2} 9) {2} 10) {2,3} 11)

P

-+ (-

r

-+

- q)

- (s -+ - p) s -+ q II .. r - s - (- s v - p) s ti. P -

-

P

r

-+

p

-

- - s s q

-

q

(2) Imp. (4) (5) (6) (1,7) (5) (9)

DM. Simp. DN. MPP. Simp. DN. (3,10) MPP. 109

Dióge1ll!8 Rosales

{2,3}

12) -

-

q

(11)

{1,2,3} {1,2,3} {1,2,3} {1,2,3} {1,2,3}

13) 14) 15) 16) 17)

-

r

(8,12) (13) (10,14) (15) (16)

r r (r r

11

S

11

S)

-

V

(-

r

11

-

S)

S

DN.

MTT. DN. Conj. Ad. Eq.

Como se puede ver, la dificultad en la demostración de una inferencia válida depende del entrenamiento que se tenga en la aplicación de las reglas lógicas para obtener consecuencias. Sin embargo, este método tiene serias limitaciones, porque cuando la inferencia es inválida nunca se obtendrá la conclusión deseada, y de otro lado, no existen reglas para detener la secuencia de pasos.

6.4. La prueba condicional, La prueba condicional es una forma de derivación para demostrar inferencias válidas. La demostración por la prueba condicional es posible sólo cuando la inferencia tiene como conclusión una fórmula condicional (proposición condicional). El procedimiento consiste en aS,umir como premisa adicional el antecedente de la fónnula condicional que aparece en la conclusión, y derivar el consecuente de dicha fórmula a partir del conjunto de premisas y de la premisa adicional. Deducir el consecuente de la conclusión en la secuencia de pasos significa afirmar que esta fórmula del consecuente está implicada por su respectivo antecedente en la fónnula de la conclusión, y, a la vez, queda demostrada la validez de la inferencia. A continuación el esquema: • i) Pn+l II :. A - C j)

A

Prem. Ad.

k)

C

(justificación)

l)

A -

C

(j - k)

PC.

El esquema muestra la denominada barra de AndersonJohnstone que determina una subderivación dentro de la derivación principal. La presencia de la barra indica que "A" implica a "C", si 110

El mJtodo de la derivación

"C" se deriva a partir de "Pn+1" y de "A". Como la barra entre ''j'' y "h" va a indicar siempre una relación de implicación, asumiremos este esquema como regla de inferencia para justificar toda demostración por Prueba Condicional (PC). Por ejemplo, vamos a demostrar la validez de la siguiente inferencia: (1) Si el descubrimiento de la mecánica en la física es una revolución newtoniana entonces es un modelo en la revolución científica. Si es un modelo en la revolución científica entonces genera consecuencias socioculturales. Por lo tanto, si el descubrimiento de la mecánica en la física es una revolución newtoniana entonces genera consecuencias socioculturales. El descubrimiento de la mecánica en la física es una revolución newtoniana = p El descubrimiento de la mecánica en la física es un modelo en la revolución científica = q El descubrimiento de la mecánica en'la física genera consecuencias socioculturales = r Simbolizando las premisas y la conclusión y efectuando la demostración, se tiene: PI) P2)

p-q q-r

/1

p-r

5)

q r

Prem. Ad. (1,3) MPP. (2,4) MPP.

6)

p-r

(3-5) PC.

[L 4)

Corno podernos apreciar, esta inferencia tiene la forma del SHP, de modo que esta demostración es la misma que podría efectuarse para la regla del SHP. De igual manera podernos demostrar muchas otras reglas lógicas mediante PC, mientras que por la prueba directa no sería posible tal demostración. Entre otros detalles, las demostraciones por PC no llevarán la justificación al margen izquierdo Simplemente por razones de comodidad. (2) Si hay golpe de Estado, los jueces de la corte renunciarán

si son demócratas. Si los jueces de la corte renuncian o se 111

Di6genes Rosales

violan los derechos humanos, entonces hay toque de queda. Se violan los derechos humanos si y sólo si hay toque de queda. Por lo tanto, si los jueces son demócratas, se violan los derechos humanos si hay golpe de Estado. Hay golpe de Estaao = p Los jueces de la corte renuncian = q Los jueces de la corte son demócratas Se violan los derechos humanos = s Hay toque de queda = t

=r

Simbolizando las premisas y la conclusión, y efectuando la demostración por PC, se tiene:

--

q) P) p - (r P 2) (q v s) t P 3) s - t II .. r 4) r. 5) P

6) r 7) q 8) q 9) t 10) (s 11) t 12) s

-

q

v s -

13) p 14) r -

t)

A

(t -

s s (p -

s)

(p -

s) Prem. Ad. Prem. Ad. (1,5) MPP. (4,6) MPP. (7) Ad. (2,8) MPP. (9) Eq. (10) Simp. (9,11) MPP. (5-12) PC.

s)

(4-13) PC.

En esta demostración se han introducido dos premisas adicionales que han generado dos subpruebas, donde cada subprueba aparece marcada por la barra de Anderson-Johnstone, corno se puede apreciar objetivamente. Cuando se asume "r" como Prem. Ad., su respectivo consecuente "p - s" sigue siendo una fórmula condicional, de modo que "p" se asume como otra Prem. Ad. para derivar "s" a partir del conjunto de premisas y de las premisas adicionales. La demostración de que "s" se deduce de lo señalado anteriormente 112

El rMtodo de la derivación

aparece entre las secuencias 1 y 12; luego, podemos colegir "p - Sil por PC, como señala la barra. De igual manera, si se ha derivado "p _ Sil, entonces podemos concluir también por PC "r - (p - s)", que también aparece señalada por la barra. La demostración de una inferencia que puede resultar laboriosa por la Prueba Directa, generalmente resulta más sencilla por la Prueba Condicional. Pero, la ventaja de la Prueba Directa radica en que demuestra la validez de todo tipo de inferencias válidas, mientras que la PC sólo demuestra inferencias que tienen como conclusión una fórmula condicional.

6.5. La prueba indirecta La prueba indirecta, más conocida como la prueba por Reducción al Absurdo (RA), es otra forma de la derivación para demostrar fórmulas o inferencias válidas. La prueba por RA consiste en asumir la negación de la conclusión de una inferencia como premisa adicional, y deducir, luego, una contradicción a partir del conjunto de premisas y de la premisa adicional. Si deducimos la contradicción a partir del conjunto de premisas y de la premisa adicional, entonces la conclusión de la inferencia se deriva lógicamente del conjunto de premisas. En otros términos, suponemos la falsedad del consecuente para colegir la falsedad del antecedente, demostrando de esta manera indirecta que la conclusión está implicada por el conjunto de premisas. Esquemáticamente podemos expresarla como sigue: i)

Pn+l

j)

-

C

k)

A

A -

-C

l)

ll)

C

//:.

C

Prem. Ad.

A

(justificación) (j-k)

RA.

(l)

DN.

Así como en PC, el esquema muestra la barra de AndersonJóhnstone que indica una subprueba dentro de la derivación principal. Como la barra señala sólo la relación de implicación, asumiremos este esquema como regla lógica para justificar la demostración por prueba indirecta o RA, porque en este caso, si "- COI implica a 113

Diógeru!8 Rosales

"A " - A", entonces podemos concluir "- - e". Esta regla corresponde a la siguiente ley del absurdo: p -

(q " - q) .-. - p

que afirma: si una proposición implica a una contradicción, entonces dicha proposición es falsa. La prueba por RA demuestra todo tipo de inferencias válidas o fórmula lógicamente verdadera. A continuación algunos ejemplos:

(1)

PI) P 2) P 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11)

12) 13)

p

-

q

r - s p V r II .. q v s - (q v s) - q - s q

s v s)

(4-11)

"

-

Prem. Ad. (4) DM. (5) Simp. (1,6) MTT. (3,7) , SD. (2,8) MPP. (5) Simp. (9,10) eonj.

P

r s

-

s

s

"- (q-

-

q v s

RA. (12) DN.

En este caso hemos demostrado el 'Dee. eomo se puede apreciar, se ha negado la conclusión "q v s", introduciéndola en la secuencia 4 como Prem. Ad.; luego, del conjunto de premisas y de la premisa adicional se ha derivado la contradicción ns " - Sil, como bien señala la barra, lo que significa que es falsa la negación de "q v Sil. Por lo tanto queda demostrado que "q v Sil se deriva del conjunto de premisas. A continuación demostramos la validez de una inferencia. (2) Si el contrato es válido, o la Sra. García tendrá que desocupar la casa o estará obligada a pagar jurídicamente. Si el contrato no es válido, la sentencia del juez es dudosa. Sin embargo, ni la Sra. García tendrá que desocupar la casa ni la sentencia del juez es dudosa. Por consiguiente, el con114

El método de la derivación

trato es válido a la vez que la Sra. García estará obligada a pagar jurídicamente. El contrato es válido = p La Sra. García tendrá que desocupar la casa = q La Sra. García estará obligada a pagar jurídicamente = r La sentencia del juez es dudosa = s Simbolizando cada una de las premisas y la conclusión, y efectuando la demostración por RA, se tiene: Pi) p -

P2)

-

Pa) 4) 5) -

(q v r)

p -

q

s P

q v r

9) -

10) 11) 12) 13)

s II ., P

A

(p A r)

6) - 7) p 8)

s

q

r - p v - r r

A

-

14) - - (p 15) pAr

r

r A

r)

A

r

Prem. Ad. (3) Simp. (2,5) MIT. (6) ON. (1,7) MPP. (3) Simp. (8,9) SO. (4) OM. (6,11) SO. (10,12) Conj. (4-13) RA. (14) ON.

El procedimiento por RA es el mismo para la demostración de cualquier otra inferenc.ia válida.

/

115

DiógeTU!s Rosales

Ejercicio 6 " - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

1.

116

Obtenga la conclusión que se deduce lógicamente de cada conjunto de premisas que aparece a continuación, y justifique la conclusión derivada mediante una regla lógica. 1.1. Si el cielo está nublado y hace frío, entonces no se llevará a cabo el concurso de natación. Ocurre que el cielo está nublado y hace frío. Luego, ... 1.2. Si Carlota visita los museos y asiste a los conciertos, entonces es aficionada al arte. Pero Carlota no es aficionada al arte. Por lo tanto, ... 1.3. O el festival se celebrará al aire libre si no llueve, o se celebrará en el coliseo cerrado si hace frío. Pero, no es el caso que si no llueve, el festival se celebre al aire libre. De ahí que, ... 1.4. El avión llegará a la hora exacta si no tuvo problemas en el aeropuerto. Los pasajeros asistirán al festival si el avión llega a la hora exacta. Por lo tanto, ... 1.5. O el incendio en la fábrica fue premeditado o se produjo por combustión espontánea, si y sólo si se cortó el fluido eléctrico. El accidente no se produjo en horas de la madrugada si y sólo si se cortó el fluido eléctrico. En consecuencia, ... 1.6. Si los artículos bajaron de precio, entonces aumentó la importación si se liberaron los impuestos. Los artículos bajaron de precio, porque el gobierno aplicó una economía liberal y controló la infl~ción. De modo que, ... 1.7. La paradoja de Russell no tiene solución si todo conjunto no se contiene a sí mismo, y si todo conjunto se contiene a sí mismo entonces el concepto de inclusión es abstracto. Pero, todo conjunto, o se contiene a sí mismo o no se contiene a sí mismo. En consecuencia, ... 1.8. Si las pirámides egipcias fueron construidas en tiempo de los faraones entonces los arquitectos egipcios conocieron la geometría, y si los científicos egipcios conocieron la matemática entonces Egipto fue cuna de las ciencias abstractas. Pero, Egipto no fue cuna de las ciencias abstractas o los arquitectos egipcios no conocieron la geometría. Luego, ...

El método ck la ckriua.cwn

1.9.

2.

No es el caso que las semillas estén podridas o el abono esté malogrado. Si los cultivos no prosperan a pesar de que hay lluvias y el clima es favorable, entonces las semillas están podridas o el abono está malogrado. Por lo tanto, ... 1.10. El gobierno controla la inflación y aplica una economía liberal, a menos que los partidos políticos y los empresarios estén descontentos. No es el caso que el gobierno controle la inflación y aplique una economía liberal. Luego, ... Use la prueba directa y demuestre la validez de cada una de las siguientes inferencias. Al demostrar, justifique cada paso mediante la abreviatura de la regla lógica aplicada e indique los números de las líneas de las que ha sido derivado. 2.1. PI) p --+ q

P 2) p P a) q 2.2.

--+

r 11:. r

PI) p

--+ -

P 2) r

--+

q q

Pa) p II :. - r

2.3.

PI) - p P2 ) q --+ p

Pa) - r v q II :. - r

2.4.

PI) - p

A -

q

P2) - q --+ (r --+ s) Pa) (t --+ r) v p II :. t

2.5.

2.6.

--+

PI) - (p v q) P2) r --+ (p v q) P a) r v (s --+ p) II :. - q PI) (p v r)

P 2) r

--+

--+ -

s

A -

s

q

s

Pa) (5 v - r) --+ p P 4) 5 --+ q II :. r

--+

t 117

Dw,eMB Rosales

2.7.

Pi) -(p-q) P2 ) (q --+ r) --+ (s P S) (p 11 s) - k p.) w -

/1.

t)

- (t 11 k) II :. p ... - w

2.8.

Pi) -p ... q P 2) (r - - p) 11 (s - q) P S) t - (r 11 s) p.) (W 11 - t) q II :. p - - w

2.9.

Pi) - p v (r 11 - p) P 2) (s - q) 11 - s P S) (s ... p) - - (t ... s) p.) - t -

P S) q 2.10.

(W 11 - t) .-. r 11 q

(r -

- W) II :. - p ... - w

Pi) - (p .-. q v r) P 2) (t - s) v w P S) w - (r 11 p) p.) (p 11 q) v (k - z) P S) - (s 11 Z) II :. t - (k -

q)

2.1l.

Pi) - q v (r ... s) P 2) - (Z 11 s) P S) - (t - Z) - - (s - r) p.) (- p 11 q) v q II :. - (r 11 t)

2.12.

Pi) r - q P 2) p - - s P S) (t v Z) - (- s 11 - p) p.) q ... (r v q) .-. t v P

Pr;) - (p 11 - s) v - q II :. - (Z v q) 2.13.

118

Pi) p v (- q 11 - r) P 2) -tll-S P s) - (r - p .11. - S - t) - - P p.) - C-q 11 k) II :. q ... k

El método €k la €kriuación

2.14.

Pl) p ++ - q

P2)

S -

P3) p

2.15.

-

(-

t

V -

(r -

Pl) - p -

(p q) -

P2) (p

++

P3) (p

V

r) -

A -

t)

p)

II :. q - -

S

r) (S A - t)

A -

(q " w)

P 4) - k ++ (w ++ - t) P 5) k ++ (Z A k) .-. X

// :. - (S ++ - X)

2.16.

Si el testigo dice la verdad entonces Pepe estabá en su casa antes del mediodía; pero si Pepe pasó el día en el club entonces no estaba en su casa antes del mediodía. Pepe pasó el día en el club. Por lo tanto, el testigo no dice la verdad. 2.17. Si Carmen es aficionada a la música o es aficionada al teatro, entonces asiste a los conciertos. Si Carmen no es aficionada al teatro, o es pianista o es compositora de zarzuelas. Carmen no es pianista ni asiste a los conciertos. Luego, es compositora de zarzuelas. 2.18. Los helados son caros, si y sólo si, o se venden en las fiestas o se venden en las playas. Si hace mucho frío entonces los helados no son caros, y si los helados no son dulces entonces no se venden en las fiestas. Pero, no es el caso que no haga mucho frío y los helados sean dulces. Por lo tanto, o los helados no se venden en las fiestas o no se venden en las playas. 2.19. Si en la Luna no hay oxígeno, entonces no hay agua ni aire. Si no hay oxígeno ni hay agua, entonces no hay plantas. No es el caso que en la Luna haya oxígeno o no haya plantas. En consecuencia, la Luna está hecha de queso verde. 2.20. Si los fenómenos de la naturaleza son observables, entonces el conocimiento empírico es exacto si la ciencia posee instrumentos poderosos. El método científico es universal si y sólo si la ciencia fáctica informa los resultados de sus investigaciones. No es el caso que la ciencia ~ fáctica informe los resultados de sus investigaciones y el 'conocimiento empírico sea exacto. Pero, los fenómenos de la naturaleza son observables. En consecuencia, si el 119

DiógeTU!6 Rosales

2.21.

2.22.

2.23.

2.24.

2.25.

120

método científico es universal entonces la ciencia no posee instrumentos poderosos. Si los artefactos eléctricos son caros, entonces o hay devaluación o no hay control de precios. Si no hay control de precios, entonces la sociedad no está contenta. Si no hay revolución, entonces o la sociedad está contenta o hay cambio social. Si hay revolución entonces los políticos mienten. De ahí que, si los artefactos eléctricos son caros y los políticos no mienten, entonces o hay devaluación o hay cambio social. O el psiquiatra se equivocó en el diagnóstico, o Elena sufre de delirio de persecusión si no es sonámbula. Si Elena sufre de delirio de persecusión, entonces será internada en el nosocomio si es psicópata. Pero, el psiquiatra no se equivocó en el diagnóstico y Elena sufre de delirio de persecusión. Por lo tanto, o Elena no es psicópata o es sonámbula, puesto que no es el caso que sufra de delirio de persecusión y sea internada en el nosocomio. Rolando viajará al norte, si y sólo si es un delegado estudiantil y no tiene exámenes en la universidad. Si Rolando no viaja al norte, entonces si no es un delegado estudiantil, no representará a los estudiantes en el congreso. Rolando tiene exámenes en la universidad, sin embargo representará a los estudiantes en el congreso. En consecuencia, representará a los estudiantes en el congreso si y sólo si es un delegado estudiantil. Si es un número primo entonces es una fracción negativa; y si es un número par entonces es un número mayor que cero. Si no es una fracción positiva o es mayor que cero, entonces es divisible por dos pero no es un número primo. No es cierto que sea un número impar y no sea un número primo. De ahí que, si no es un número decimal, entonces no es un número primo pero es un número divisible por dos. Si es un número primo, entonces o es indivisible por dos o no es una fracción positiva. Es divisible por dos si y sólo si es un número par. Si es una fracción negativa, entonces ni es un número mayor. que cero ni es un número decimal. No es el caso que sea un número impar o no sea un número mayor que cero. En consecuencia, si

El mitodo de la derivacidn

3.

no es indivisible por dos o es un número primo, entonces no es un número impar ni es un número primo. Use la prueba condicional y demuestre la validez de cada una de las siguientes inferencias. En el proceso de la demostración justifique cada paso mediante la abreviatura de la regla lógica aplicada e indique los números de las líneas de las que ha sido derivado. 3.1.

PI) p -

(q

11 -

r)

P2) s - r II :. p - - s 3.2.

PI) p v (r -

P2) (s v Pa) s -

3.3.

P2) (r v 3.4.

(q - - r)

q) -

(s -

- t

q) -

t /1 :. s - (- p - q)

PI) - (p ....... - q)

P2) P 3) 3.5.

-

- p

- q // :. s - - r

PI) - p -

P 3)

q)

t) -

(-

s -

(z v r) -

PI) (p

11 -

v z) t // :. (- q - s) -

p) -

q) -

(-

(r -

W

3.7.

3.8.

t)

s)

P 2) z - (t 11 p) P 3) (- z v - t) - - w P 4) (r - w) - k // :. - q .-. 3.6.

(w -

Z -

(s -

k)

Si el contrato no se cumple entonces la construcción del edificio no terminará a fin de año, Si la construcción del edificio no termina a fin de año entonces el banco pierde el dinero. Por lo tanto, si el banco no pierde dinero entonces el contrato se cumple. Si es imposible que consiga carro y me movilice rápido, pierdo el tren y no viajo a Ruancayo. En consecuencia, si no consigo carro, no viajo a Ruancayo. Si un número no es divisible por 2, o es un número impar o es un número pnmo. N o es un número primo si es una fracción positiva. Pero, si es un número impar entonces no es un número decimal. Por lo tanto, si un número no 121

Di6geMs RosaJes

4.

es divisible por 2 y es una fracción positiva, entonces no es un número decimal. 3.9. Si el gobierno libera los impuestos, entonces aumentará la importación y los artefactos eléctricos bajarán de precio. No aumentará la importación o habrá competencia de precios, si y sólo si los artefactos eléctricos bajan de precio. Si hay competencia de precios, entonces la oferta será mayor que la demanda si es estable el precio de la gasolina. Por lo tanto, si es estable el precio de la gasolina, la oferta es mayor que la demanda si el gobierno libera los impuestos. 3.10. Si gano el concurso de matemática o gano el concurso de física, entonces estudiaré informática o física nuclear. Si estudio física nuclear si y sólo si gano el concurso de matemática, entonces ganaré el concurso de física. Conoceré la construcción de naves espaciales si gano el concurso de física. De modo que, si gano el concurso de matemática, entonces conoceré la construcción de naves espaciales si no estudio informática. Use la prueba indirecta y demuestre la validez de cada una de las siguientes inferencias. Justifique cada paso de la demostración mediante la abreviatura de la regla lógica aplicada y la indicación de los números de las líneas de las que ha sido derivado. 4.1. PI) p - (q A - r) P 2) - r - s II :. - p v s 4.2. PI) p ++ - q P2)

-

(s v - r)

P 3) q - (t " s) II :. p" 4.3.

PI) - (p - - r) P 2) r ++ (t v - p) P 3) (q v t) --+ (s ++ k)

p.) (- s v k) -

4.4.

z

II :. (z - k) - (s " z)

PI) - (p

++ q) (r ++ s) - (p A r) p.) (t - w) - P 5) (- t v - w) -

P 2) P 3)

122

r

-

(q

v s)

k II :. - (- t

++

k)

El rMtodo di! la dl!rivación

4.5.

PI) - (p

P2) (s P3) r -

t) V (r (- q

p.) (- q -

Pr;)

4.6.

4.7.

4.8.

4.9.

4.10.

W -

q)

11 -

11

p)

- p) (t

11 -

q)

p

s) // :. w -

- P

Masías será encontrado culpable si hoy rinde testimonio. Pero si Masías dice la verdad, no será encontrado culpable. En consecuencia, o Masías hoy no rinde testimonio o no dice la verdad. Como es hora laborable, se concluye que en el juzgado hay jueces y testigos, dado que, si es hora laborable, en el juzgado hay jueces, y hay testigos si en el juzgado hay jueces. Si los fenómenos naturales se comportan según las leyes mecánicas de Newton entonces Newton dice la verdad, sin embargo la física clásica no es absoluta. La física clásica es absoluta, si el movimiento o la velocidad de la luz son absolutos. Si Newton dice la verdad, el movimiento es absoluto. Por lo tanto, los fenómenos naturales no se comportan según las leyes mecánicas de Newton ni la velocidad de la luz es absoluta. El producto marginal crece cada vez que el producto total crece, lo que significa que el resultado de los rendimientos es creciente. Si la producción minera decrece, entonces el producto total decrece. El resultado de los rendimientos es creciente, si y sólo si la producción minera no decrece y el producto marginal crece. Por lo tanto, si los economistas dicen la verdad, entonces la producción minera crece. Si Smith tiene el mayor número de acciones o es un economista, entonces o no tiene problemas con la administración o el departamento legal no es eficiente. O no es el caso que Smith sea el director de la empresa o sea un economista, o tendrá problemas con la administración si el departamento legal no es eficiente. Smith es un economista. Por consiguiente, el departamento legal es eficiente si y sólo si no tiene problemas con la administración. 123

Segunda Parte LOGICA DE PREDICADOS MONADICOS "La forma de cálculo empleada hasta ahora es suficiente para la representación de los complejos lógicos en los que las proposiciones se consideran como totalidades sin analizar; pero no Be puede decir, en modo alguno, que el cálculo de proposiciones sea bastante en general para los fines de la lógica (. .. ). Por el contrario, en estos enunciados desempeil.a un papel esencial, no solamente cada una de las proposiciones como un todo, sino la estructura lógica interior de las mismas -que se traduce lingüísticamente en la relación entre Bujeto y predicado". DAVID HILBERT

La lógica de predicados, denominada también lógica de las proposiciones analizadas, trata de la estructura lógica interna de las proposiciones, esto es, la relación entre el sujeto y el predicado. Como en la primera parte, el objetivo es el análisis formal de los razonamientos mediante procedimientos decisorios como los diagramas de Venn y el método FH, y la demostración de inferencias válidas por el método de la derivación.

7. NOCIONES SOBRE LOGICA DE CLASES

7.1. Introducción En vista de que en el capítulo 8 trataremos la lógica tradicional aristotélica, introduciremos los conceptos elementales de "clase" o "conjunto" y sus respectivas relaciones, porque la lógica tradicion~l trata sobre las relaciones entre "clases" expresadas en las llamadas proposiciones categóricas, y éstas constituyen la base en el sistema de la lógica tradicional aristotélica. Además, la lógica tradicional aristotélica fue interpretada algebráicamente por George Boole, por lo tanto la lógica tradicional puede reducirse al cálculo puramente algebraico de Boole, pero con la ayuda de la lógica proposicionaL A pesar de las diferencias de contenido entre la lógica de clases y la lógica proposicional existe entre ambas una analogía estructural, como veremos luego. En consecuencia, las nociones de clase y álgebra booleana son conceptos fundamentales en el estudio de la lógica tradicionaL

7.2. Noción de clase Se entiende por clase cualquier tipo de colección de entidades con propiedades comunes. Así, podemos hablar de la clase de los "peruanos", de la clase de los "números pares", de la clase de los "católicos", etc. También se puede usar como sinónimo de clase la palabra conjunto. Se dice que los miembros de una clase o un conjunto pertenecen a la clase dada. Por ejemplo: (1) Luis es peruano, (2) 2 es un número par, (3) Pedro es católico. En este caso, "Luis", "2" y "Pedro" son los miembros y "peruano", "número par" y "católico" son las clases consideradas predicados, y se puede decir: 127

Diógenes Rosales

Luis es miembro de la clase de los peruanos, 2 es miembro del conjunto de los números pares, Pedro es un miembro de la clase de los católicos. Si reemplazamos cada uno de los miembros por las minúsculas a, "b" y "c" respectivamente, y de igual modo cada uno de los predicados por las letras mayúsculas "F", "G" y "H", se tiene simbólicamente: a E F bE G CE

H

donde el símbolo "E" significa "pertenece a", y se lee: a pertenece a la clase F, b pertenece a la clase G, c pertenece a .la clase H, y con ello se introduce la noción de clase en la lógica.

Una clase o un conjunto es una entidad abstracta, aun cuando sus miembros sean entidades concretas. En nuestros ejemplos ''Luis'', "2" y "Pedro" son entidades concretas, mientras que sus respectivos predicados son entidades abstractas. De ahí que, si se nombra la clase de todos los individuos que tienen la propiedad de ser "peruanos", formalmente se expresa como sigue: {xIF'x}

y se lee "para cualquier x tal que x tiene la propiedad 'F' ", siempre y cuando "F" represente a "peruanos".

7.3. Noción de álgebra booleana y representación de las Clases en los diagramas Esta álgebra fue desarrollada en especial por el matemático y lógico inglés George Boole (1815-1864), y la idea básica de los diagramas se debe al matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783). A continuación presentamos algunas nociones fundamentales del álgebra booleana y sus respectivos diagramas. 128

Nociones sobre Lógica de Clases

7.3.1. Clase universal y clase vacía La clase universal es la clase que contiene todo. Es el dominio de individuos a los que se refiere nuestro discurso. Es la clase que obra como universo dentro de un determinado contexto. De ahí el nombre de universo del discurso. Simbólicamente se expresa por "V", y formalmente se define como sigue: . V = (xix = x) y se lee "para cualquier x tal que IX es idéntico a x' es satisfecho por cualquier elemento". Ejemplo: (1) Si V = (1, 2, 3, 4, 5) entonces cualquiera de las interpretaciones siguientes es verdadera con respecto a V. 1

E

V, 2

E

V, 3

E

V, 4

E

V, 5

E

V.

En el diagrama la clase universal se representa por un rectángulo. Así:

u

La clase vacía o nula es la clase que no tiene elementos. Es la clase que está implícitamente incluida en todas las clases. Su símbolo es "ep", y formalmente se define como sigue:

ep

= (xix*- x)

y se lee "para cualquier x tal que fecho por algún elemento".

IX

es diferente de x' no es satis-

En el diagrama se representa rayando toda la zona del círculo que representa la clase vacía. Por ejemplo, si A es una clase vacía se tiene: 129

Diógenes Rosales

A y simbólicamente se expresa:

A= 7.4. Operaciones con clases En la lógica de clases pueden efectuarse operaciones introduciendo las defIniciones de complemento, unión, intersecci6n y diferencia.

7.4.1. Complemento El complemento de una clase A es la clase formada por todos los miembros que no pertenecen a A. El símbolo del complemento es "_" y se coloca en la parte superior de la clase que se designa. Entonces, el complemento de A se expresa por "A" y formalmente se defIne como sigue: A

= (xix

E A)

Y se lee "para cualquier x tal que x no es miembro de A", donde "E"

significa "no pertenece a". La operación de la clase complementaria presupone la clase universal. Ejemplos: (1)

Si U = (1, 2, 3, 4, 5, 6) Y A = (2, 4, 6) entonces el complemento de A es: A = (1, 3, 5)

(2) Si U = (árboles) y A = (eucaliptos) entonces el complemento de A es: A = (todos los árboles que no son eucaliptos) 130

Nociones sobre Lógica de Clases

En el gráfico el complemento de A es todo lo que está fuera del círculo A.

u

o 7.4.2. Unión La unión o suma de dos clases A y B es la clase formada por todos los miembros que pertenecen a A o a B o a ambas clases. El símbolo de unión es "u", y la unión de A y B se expresa por:

AuB y formalmente se define como sigue:

A u B

= (xix E

A

v

X E

B}

Y se lee "para cualquier x tal que x pertenece a A o x pertenece a B". Ejemplo: (1)

Si A = (1, 2, 3, 4} Y B = (3, 4, 5, 6} entonces: A u B = (1, 2, 3, 4, 5, 6}

En el diagrama la unión de A y B se representa por el área total de los dos círculos que se interceptan.

u AuB

131

Diógenes Rosales

7.4.3. Intersección La intersección de dos clases A y B es la clase formada por todos los miembros que pertenecen a la vez a A y a B. El símbolo de la intersección es "n", y la intersección de A y B se expresa por:

AnB y formalmente se defme:

A n B = lx/x E A 1\ X E B} Y se lee "para cualquier x tal que x pertenece a A y x pertenece a B". Ejemplo: (1)

Si A = {l, 2, 3, 4} Y B = {3, 4, 5, 6} entonces: A n B = {3, 4}

En el gráfico la intersección de A y B se representa marcando la zona común a A y a B con "x", como sigue:

u AnB A

B

7.4.4. Diferencia Se llama diferencia entre dos clases A y B a la clase formada por todos los miembros que son de A y no pertenecen a B. La diferencia de A y B formalmente se expresa por:

A-B y se define del siguiente modo:

A - B = lx/x E A 1\ X ~ B} y se lee "para cualquier x tal que x pertenece a A pero x no pertenece a B". Ejemplo: 132

Nociones sobre Lógica de Clases

(1)

Si A = {l, 2, 3, 4} Y B = (3, 4, 5, 6} entonces: A - B = (1, 2}

En el diagrama la diferencia de A y B se representa marcando la zona de A que no es de B con "x", como sigue:

u A-B B

Con ayuda de la clase universal y de la clase nula se pueden combinar las operaciones con clases y efectuar operaciones complejas. En el siguiente ejemplo se pueden apreciar algunas de las múltiples combinaciones de las operaciones con clases. Dados los conjuntos: U = (1, 2, 3, 4, 5} A = {l, 2, 4} B = (3, 5} C = {l, 3, 5}

entonces: 1) A = (3, 5}

2) 3) 4) 5)

A n B = C - B = {l} A n e = (2, 3, 4, 5} (A u B) n C = (1, 3, 5}

6)

(AuB)ne

= (2, 4}

7) (A u B) n (B u C) = (3, 5}

8) (A u B) n e = 9) (AuB)u(CuA)= (1,2,3,4, 5} 10) (A - e) n (A n e) = (3, 5} 133

Di6genes Rosales

7.5. Relaciones entre clases Entre las principales relaciones se tienen la inclusión, la igualdad y la exclusión de clases.

7.5.1. Inclusión Se dice que una clase A está incluida en una clase B cuando todos los miembros de A son miembros de B. También se dice que A es subclase propia de B. El símbolo de inclusión de clases es "e", y la inclusión de A en B se expresa por:

AcB y formalmente se define como sigue:

Ae B

= (xix

E

A -+

X E

B)

y se lee "para cualquier x tal que si x pertenece a A entonces x

pertenece a B". Ejemplo:

La clase de los animales mamíferos está incluida en la clase de los animales vertebrados. En el diagrama la inclusión de A en B se representa inscribiendo el círculo A dentro del círculo B. Así: (1)

u

@

AeB

7.5.2. Igualdad Se dice que una clase A es igual a una clase B cuando todos los miembros de A son miembros de B y cuando todos los miembros de B también son miembros de A. El símbolo de igualdad entre clases es "=", y la igualdad de A y B se expresa por:

A=B 134

Nociones sobre Lógica de ClDses

y formalmente se deflne:

A

= B = {xix

E

A ++

X E

B}

y se lee "para cualquier x tal que x pertenece a A si y sólo si x pertenece a B". Ejemplo: (1)

La clase de los números naturales es igual a la clase de los números enteros positivos.

En el diagrama, la igualdad de A y B se representa mediante dos círculos que coinciden en todos sus puntos. El gráfico es un solo círculo inscrito en una superflcie. Así:

u

G 7.5.3. Exclusión Se dice que una clase A está excluida de una clase B cuando ningún miembro de A es miembro de B. El símbolo de la exclusión de clases es "*-". y la exclusión de A y B se expresa por: A*-B

y formalmente se defme: A *- B = {xix

E

A

~

x

filE

B}

y se lee "para cualquier x tal que si x pertenece a A entonces x no pertenece a B". Ejemplo: (1)

La clase de los peces es diferente de la clase de los árboles.

En el gráfico se representa la exclusión de Ay B mediante dos círculos separados. Así:

135

Didgenes Rosales

u

88 Como se puede observar, las nociones del álgebra booleana han sido definidas con ayuda de los operadores proposicionales. Así, la clase complementaria con ayuda de la negación, la unión con el disyuntivo, la intersección con el conjuntivo, la diferencia con el conjuntivo y la negación, la exclusión y la inclusión con el condicional y la igualdad con ayuda del bicondicional.

7.6. Algunas leyes de la lógica de clases Las leyes de la lógica de clases son paralelas a las leyes de la lógica proposicional presentadas en el capítulo 5. A continuación algunas de ellas: 1. Identidad: A = A

2. Tercio excluido: (A u A)

= U

3. Contradicción: (A n A) = 4. Conmutatividad: a. (A u B) b. (A n B)

= CB u = (B n

5. Asociatividad: a. A u (B u C) b. A n (B n C) 6. Idempotencia: 8. (A n A) = A b. (A u A)

7. 8. 9. 10. 136

= (A

A) A)

u B) u C B) n C

= (A n

=A

Unión con la clase U: CA u U) = U Unión con la clase q,: CA u

Como se puede observar en estas leyes, existe una estrecha semejanza entre la lógica proposicional y la lógica de clases, porque si sustituimos A, B, C, por variables proposicionales p, q, r, obtendremos fórmulas válidas de la lógica proposicional. Basados en esta similitud los lógicos modernos creyeron que uno de los principios fundamentales de la lógica era el principio de dualidad. Según este principio, un sistema formal tendría dos interpretaciones: la proposicional y la de clases; pero esto no sucede en todas las interpretaciones de los sistemas axiomáticos. 137

DWllenes Rosales

Ejercicio 7 1.

e _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __

Dados los siguientes conjuntos: U = {l, 2, 3, 4, 5, 6, 7} A = {l, 3, 5} B = {2, 4, 6} e = {3, 4, 5, 6, 7} Efectúe las siguientes operaciones: 1.1. A 1.2. A u B 1.3. A n B 1.4. e - A 1.5. en B 1.6. (A u e) n E 1.7. [Ce-A)uB]n(euB) 1.8. [(!i\ n e) -8] u CBne) 1.9. [CA u B)n e] -(e nA) 1.10. [AuBu e] u(Ene)nA

2.

Demuestre las siguientes igualdades: 2.1. (AuA)=U 2.2. (AnA)=ct> 2.3. (AnB)=(BnA) 2.4. U =ct> 2.5. (A eB)

2.6. 2.7.

= (B eA) (A =B) = (E =A) [(!A. u B) n e] = [CA n e) u (E n e)]

2.8. [CA n B)u C] = [!!A. u e) n (B u e)] 2.9. (AnBne)=(AuBue) 2.10. (Au Bu e) = (AnBne) 138

8. LOGICA TRADICIONAL

8.1. Introducción La lógica tradicional es la lógica desarrollada por Aristóteles en base a las llamadas proposiciones categóricas. Esta lógica se denomina también lógica de las proposiciones analizadas, porque además de tomar en cuenta las relaciones interproposicionales, trata de la estructura interna de las proposiciones categóricas. En este sentido, la lógica proposicional no es suficiente para analizar la validez de todo tipo de inferencia, dado que muchos argumentos válidos resultan inválidos al ser analizados por la lógica proposicional. Veamos el siguiente ejemplo: Todos los árboles son verdes. Todos los pinos son árboles. Por lo tanto, todos los pinos son verdes. Esta inferencia es válida si consideramos la afirmación de cada una de sus proposiciones y sus respectivas relaciones, además de poder intuir la corrección de este razonamiento con un ligero esfuerzo mental; sin embargo, si sometemos la inferencia a un análisis mediante la lógica proposicional, resulta inválida. La invalidez puede hacerse patente aplicando el método ya conocido para analizar la validez de inferencias por LP. Para ello, primero simbolizamos cada una de las premisas y la conclusión como sigue: Todos los árboles son verdes = p Todos los pinos son árboles = q Todos los pinos 80n verdes = r

p q :. r

Luego, obteniendo la fórmula de la inferencia y sometiéndola a alguno de los métodos decisorios de LP, en este caso las tablas abreviadas, se tiene: (p

1\

q) ---+ r

V VV

F F 139

Diógenes Rosales

Como se puede ver, la fórmula tiene por lo menos una interpretación falsa que invalida la inferencia. Pero, si tomamos en cuenta los elementos de la proposición, por ejemplo, la relación entre el sujeto y el predicado, obtendremos un resultado que confirme el sentido coherente del razonamiento(l). El objetivo del presente capítulo es analizar la validez de inferencias con proposiciones categóricas según el método tradicional aristotélico.

8.2. Las proposiciones categóricas Las proposiciones categóricas son consideradas como aserciones acerca de clases, donde una clase respecto de otra, está incluida o excluida total o parcialmente. Por ejemplo: (1) Todos los limeños son peruanos. En esta proposición la clase o conjunto de los "limeños" está incluida totalmente en la clase o conjunto de los "peruanos". (2) Ningún insecto es un mamífero. Esta proposición expresa la exclusión total entre las clases "insectos" y "mamíferos". (3) Algunos religiosos son médicos. En este caso la clase de los "religiosos" está incluida parcialmente en la clase de los "médicos". (4) Algunos poüticos no son gobernantes. En esta proposición el conjunto de los "políticos" está excluido parcialmente del conjunto de los "gobernantes".

8.2.1. Formas típicas En la lógica tradicional aristotélica las proposiciones categóricas se expresan en las llamadas cuatro formas ttpicas siguientes: Todo S es P Ningún S es P Algún S es P Algún S no es P (l)

140

Infra, véase p. 181 donde se decide la validez de esta inferencia por los diagramas de Venn.

L6gica Tradicional

Cada una de estas formas se caracteriza por tener: cuantificador (todo, ningún, algún), sujeto (S), verbo copulativo (ser) que puede estar expresado en distintos tiempos según esté formulada la proposición, y predicado (P). Además, "S" y "P", en este caso, expresan clases o conj untos. Los términos que expresan clases o conjuntos los denominaremos términos predicativos, porque expresan la reunión de elementos que tienen la misma propiedad.

8.2.2. Clases de proposiciones categóricas Las proposiciones categóricas típicas se clasifican atendiendo a su cantidad y a su cualidad. Por su cantidad, son universales y particulares. Por su cualidad, son afirmativas y negativas. Cada proposición categórica típica posee cantidad y cualidad a la vez. Los medievales identificaron cada proposición categórica típica mediante una letra que resulta de las palabras "Afflrmo" y "nEgO".

,

La correspondencia de cada letra y el modo de expresar sintácticamente cada forma típica usando las respectivas letras aparece a continuación: Todo S es P Ningún S es P Algún S es P Algún S no es P

-- A -- S a P -- universal afirmativa -- E -- S e P -- universal negativa -- 1 -- S i P -- particular afirmativa -- O -- S o P -- particular negativa En lo sucesivo, cuando queramos identificar, por ejemplo, una proposición universal afirmativa, será suficiente decir "una proposición de tipo A", y de igual modo en los demás casos.

8.2.3. Distribución de términos Un término está distribuido en una proposición categórica típica cuando aparece en toda su extensión. El siguiente cuadro presenta los términos distribuidos encerrados en un círculo: A: E:

® es P Ningún ® es ®

Todo

1: Algún S O:

es P

Algún S no es

® 141

Didgenes Rosales

Por ejemplo, en las siguientes proposiciones: Todos los eucaliptos son árboles Ningún insecto es vertebrado Algunos filósofos no son matemáticos los términos distribuidos son "eucaliptos", "insecto", "vertebrado" y "matemáticos" . En general, una proposición distribuye un término cuando se refiere a todos los miembros de la clase designada por dicho término.

8.3. Las inferencias de la lógica tradicional Las inferencias de la lógica tradicional resultan de las relaciones más diversas que se pueden dar entre las proposiciones categóricas típicas. Estas relaciones, que son especialmente de validez, están determinadas por definiciones o características muy precisas. Se clasifican en inmediatas y mediatas. Las inferencias inmediatas tienen solamente una premisa de la cual se deriva la conclusión; son conocidas, entre otras, las inferencias por oposición, conversión, obversión, y por contraposición. Las inferencias mediatas, en cambio, requieren de una premisa media para obtener la conclusión; en otros términos, la conclusión se obtiene a partir de más de una premisa. Los silogismos categóricos son las inferencias mediatas clásicas de la lógica tradicional.

8.4. El cuadro de la oposición El cuadro de la oposición, conocido también como el cuadro de Boecio, muestra las relaciones que guardan entre sí las proposiciones categóricas típicas (A, E, 1, O) que tienen los mismos términos sujeto y predicado. Estas relaciones se denominan contradictorias, contrarias, subcontrarias, subalternas y subalternantes. Gráficamente, como sigue:

142

L6gica Tradicional

Si bien cada una de estas relaciones constituye una inferencia inmediata, no todas ellas expresan inferencias válidas. A continuación efectuamos el análisis de las relaciones válidas.

8.4.1. Contradictorias Dos proposiciones son contradictorias cuando difieren en cantidad y cualidad. Las proposiciones contradictorias no pueden ser ambas verdaderas ni ambas falsas a la vez. Esquemáticamente, como sigue: A O

E

1

O.

V F

1

E

A

F V

Esto significa que una proposición verdadera implica su contradictoria falsa, y una proposición falsa implica su contradictoria verdadera. Por ejemplo: (1) Si "es verdad que todos los peces son acuáticos" entonces

"es falso que algunos peces no sean acuáticos". De igual modo, una proposición particular negativa falsa (O = F) implica a una proposición universal afirmativa verdadera 143

Diógenes Rosaus

(A = V). Por ejemplo, con las mismas proposiciones del ejemplo anterior se tiene: (2) Si "es falso que algunos peces no sean acuáticos" entonces "es cierto que todos los peces son acuáticos". A partir de los ejemplos (1) y (2) podemos concluir que existe una relaci6n válida de equivalencia entre una proposici6n universal afirmativa verdadera y su contradictoria particular negativa falsa, relaci6n que puede ser expresada de la siguiente manera: (3) Todos los peces son acuáticos si y sólo si es falso que algunos peces no sean acuáticos. Como este análisis es el mismo para todas las otras relaciones por contradicción, podemos resumir las relaciones válidas en el siguiente esquema: 1) A 2) - A 3) 1 4) - 1

~ ~

~ ~

-O O -E E

Cuando la letra que representa a una forma típica está sin negaci6n es una proposici6n verdadera, si aparece negada, se entiende como una proposici6n falsa. Ejemplos: (4) Es falso que todos los profesionales sean abogados si y sólo si algunos profesionales no son abogados. (5) Algunos políticos son dem6cratas si y sólo si no es el caso que ningún político sea dem6crata.

8.4.2. Contrarias Las contrarias se refieren a universales que s610 difieren en cualidad. Las contrarias no pueden ser ambas verdaderas a la vez, pero sí pueden ser falsas. Esquemáticamente se tiene: A

E. V F ?

E ' A . F

Según este cuadro, una proposición universal verdadera implica a su respectiva contraria falsa, pero de una proposici6n universal falsa nada se concluye con respecto a su contraria. Entonces las únicas relaciones válidas son: 144

Lógica Tradicional

Ejemplos:

A

---+

-E

E

---+

-A

(1) Todos los caballos son solípedos, luego es falso

que ningún caballo sea un solípedo. (2) Ningún budista es cristiano, por lo tanto es falso que todos los budistas sean cristianos.

8.4.3. Subcontrarias Las subcontrarias se refieren a particulares que sólo difieren en cualidad. Las subcontrarias no pueden ser falsas a la vez, pero sí pueden ser verdaderas. Esquemáticamente se tiene: 1

O. V F ? V Según este cuadro, una proposición particular falsa implica a su respectiva subcontraria verdadera, pero de una proposición particular verdadera nada se concluye con respecto a su subcontraria. A continuación las relaciones válidas: O '

Ejemplos:

T .

- 1

o

-O

1

(1) Es falso que algunos insectos sean vertebrados,

luego algunos insectos no son vertebrados. (2) Es falso que algunos gobernantes no sean políticos, por lo tanto algunos gobernantes son políticos.

8.4.4. Subalternas Cada proposición particular es subalterna de su respectiva universal. Si la proposición universal es verdadera, su respectiva particular también es verdadera, pero de una proposición universal falsa nada se concluye con respecto a su subalterna. Esquemáticamente se tiene: A

T '

E. V O . V

F ?

Las relaciones válidas se expresan como sigue: A ---+ 1 E ---+ O 145

Di6genes Rosales

Ejemplos:

(1) Todas las vicuñas son auquénidos, por lo tanto algunas vicuñas son auquénidos. (2) Ningún demócrata es republicano, en consecuencia algunos demócratas no son republicanos.

8.4.5. Subalternantes Cada proposición universal es subalternante de su respectiva particular. Si una proposición particular es falsa entonces su respectiva wUversal es falsa, pero de una proposición particular verdadera nada se concluye con respecto a su subalternante. Esquemáticamente se tiene: 1 O. V F A E' ? F De acuerdo con este cuadro, las relaciones válidas son: -1 -+ -A -O -+ - E Ejemplos: (1) Es falso que algunos creyentes de Alá sean cristianos, de modo que no todos los creyentes de Alá son cristianos. (2) No es el caso que algunos empresarios no sean capitalistas, por lo tanto es falso que ningún empresario sea capitalista.

8.5. La conversión La inferencia por conversión procede sólo con proposiciones categóricas de la misma cualidad, donde la conclusión respecto de la premisa tiene los términos permutados. Obviamente resultan válidas las conversas de una wUversal negativa y de una particular afirmativa, porque a partir de una proposición universal negativa verdadera siempre se obtendrá por conversión una wUversal negativa verdadera; de igual modo, de una particular afirmativa verdadera se concluirá por conversión una proposición particular afirmativa verdadera. Por ejemplo: (1) Ningún insecto es vertebrado, luego ningún vertebrado es insecto. (2) Algunos religiosos son católicos, por lo tanto algunos católicos son religiosos. 146

Lógica TrodicÍDfI4l

En este caso las conversas se denominan conversas simples; obviamente estas dos conversiones simples son inferencias válidas. La conversión no es válida en el caso de una universal afirmativa, porque no se puede derivar válidamente una conclusión falsa a partir de una premisa verdadera. Por ejemplo: (3) Todos los mamíferos son vertebrados, luego todos los vertebrados son mamíferos. Pero de una unl,.versal afirmativa se puede derivar por conversión una particular afirmativa, que la lógica tradicional denominó conversa por limitación o por accidente. Asimismo, de una universal negativa se puede derivar por accidente una particular negativa. Ejemplos: Todos los mamíferos son vertebrados, luego algunos vertebrados son mamíferos. (5) Ningún insecto es vertebrado, por lo tanto algunos vertebrados no son insectos.

(4)

Estas inferencias son válidas para la lógica tradicional, porque en todos los casos de una premisa universal verdadera se concluye por conversión una particular verdadera. Ninguna conversión es válida en el caso de una proposición particular negativa, porque de una premisa verdadera se obtendría una conclusión falsa. Por ejemplo: (6)

Algunos profesionales no son médicos, luego algunos médicos no son profesionales.

Como se puede apreciar, la premisa es una proposición verdadera y la conclusión es una proposición falsa, luego la inferencia es inválida; de igual modo, no se puede derivar válidamente por conversión una proposición universal negativa a partir de una particular negativa. Por ejemplo: (7)

Algunos animales vertebrados no son mamíferos, luego ningún mamífero es un animal vertebrado.

Asimismo, no se puede obtener válidamente por conversión una universal afirmativa a partir de una particular afirmativa. El siguiente ejemplo muestra una premisa verdadera y la conclusión falsa. 147

Diógenes Rosale.

(8) Algunos futbolistas son campeones mundiales, luego todos los campeones mundiales son futbolistas. Después de este análisis, podemos expresar formalmente las conversas válidas como sigue: (S a P) ---)o (P i S) (Conv. por accidente) (S e P) ---)o (P e S) (Conv. simple) (Conv. por accidente) (S e P) ---)o (P o S) ---)o P) (P i S) (Conv. simple) (8 (S o P) no tiene conversa válida.

8.6. La obversión La obversión,llamada también equipolencia, es una inferencia inmediata donde la conclusión respecto de la premisa es una proposición categórica de la misma cantidad pero de distinta cualidad, que tiene el mismo sujeto, y cuyo predicado aparece negado. De una proposición categórica universal afirmativa se concluye por obversión una proposición categórica universal negativa que tiene el mismo sujeto y el predicado negado. Por ejemplo: (1) Todos los graduados universitarios son profesionales, por lo tanto ningún graduado universitario es no-profesional. En esta inferencia se puede observar que la conclusión es equivalente a la premisa; de allí el nombre de equipolencia dado por los medievales. De modo que, si la premisa es verdadera, la conclusión también lo es. Siguiendo con el análisis de las inferencias por obversión, de una proposición categórica universal negativa se concluye una proposición universal afirmativa con el mismo sujeto y el predicado negado. Por ejemplo: (2) Ningún cristiano es mahometano, luego todos los cristianos son no-mahometanos. Como se puede ver, la conclusión también es equivalente a la premisa. El procedimiento para obtener la conclusión por obversión de las proposiciones particulares es exactamente el mismo, como se puede apreciar en los siguientes ejemplos: (3) Algunos políticos son gobernantes, en consecuencia algunos políticos no son no-gobernantes. 148

Lógica TradiciDnal

(4) Algunos estudiantes no son universitarios, por lo tanto algunos estudiantes scn no-universitarios. La conclusi6n que se deriWl por óbversión de cualquier proposici6n categ6rica es 16gicamente válida. Estas relaciones pueden expresarse formalmente como sigue: (S (S (S (S

a e i o

P) P) P) P)

--+ --+ --+ --+

(S (S (S (S

e a o i

P) P)

P) P)

8.7. Las inferencias por contraposición Existen dos clases de inferencias inmediatas por contraposición denominadas contrapuestas parciales y contrapuestas totales. La contrapuesta parcial (CP) es una inferencia con proposiciones categ6ricas de distinta cualidad, donde la conclusión respecto de la premisa presenta el sujeto y el predicado permutados, pero a la vez, el sujeto de la conclusi6n es la negaci6n del predicado de la premisa. Según esta definici6n, la contrapuesta parcial de una proposición WlÍversal afirmativa es una universal negativa con el sujeto negado. Por ejemplo: (1)

Todos los cat6licos son cristianos, por consiguiente ningún no-cristiano es católico.

También podemos definir la contrapuesta parcial como la conversa de la obversa de una proposici6n categ6rica que está de premisa. Esto nos conduce a un mecanismo efectivo y simple para obtener la conclusi6n válida de esta clase de inferencia inmediata, que consiste primero en obtener la obversa (Obv.) de la premisa y luego derivar de esta proposición la respectiva conversa (Conv.). La proposici6n resultante es la contrapuesta parcial (CP) de la premisa. Esquemáticamente como sigue: Obv. + Conv. = CP Aplicando este mecanismo podemos obtener la CP de la proposici6n que aparece como premisa en el ejemplo (1), que a la vez puede considerarse como una demostraci6n de validez de dicha inferencia: 149

Diógene6 Rosales

1. Todos los católicos son cristianos Premisa 2. Ningún católico es no-cristiano de 1 por Obu. 3. Ningún no-cristiano es católico de 2 por Conu. Como se puede ver, 3 es la CP de 1. Además, podemos notar que de 2 puede derivarse una conversa por accidente, lo que significaría que una proposición universal afirmativa también tiene una CP por accidente. Por ejemplo, tomando la premisa anterior se tiene: (2) Todos los católicos son cristianos, por lo tanto algunos nocristianos no son católicos. De una proposición universal negativa se puede derivar válidamente sólo una CP por accidente; la razón aparece explícita en el ejemplo de la siguiente demostración:

Premisa de 1 por Obu. de 2 por Conu. Como se puede observar, el paso de 2 a 3 es necesariamente por accidente, porque una universal afirmativa sólo tiene conversa válida por accidente. Una proposición particular afirmativa no tiene una consecuencia válida por CP, como se muestra en el siguiente ejemplo: Premisa (4) 1. Algunos militares son héroes 2. Algunos militares no son no-héroes de 1 por Obu. ? 2 no tiene Conu. 3. Como se puede apreciar, del paso 2 no se puede derivar válidamente por conversión proposición alguna, porque una particular negativa no tiene consecuencias válidas por conversión. De una proposición particular negativa se deriva válidamente una particular afirmativa con el sujeto negado. Por ejemplo: (5) Algunos animales no son carnívoros, en consecuencia algunos no-carnívoros son animales. Las formas válidas por CP pueden resumirse en el esquema siguiente: (3) 1. Ningún planeta es una estrella 2. Todos los planetas son no-estrellas 3. Algunas no-estrellas son planetas

150

(8 a P)

-+

(ji e 8)

CP simple.

(8 a P)

-~

(P

CP por accidente.

o 8)

Lógica Tradicional

(S e P)

~

(S o P)

~

(ji i S) (ji i S)

CP por accidente. CP simple. La contrapuesta total (CT) es otro tipo de inferencia por contraposición. La conclusión respecto de la premisa tiene el sujeto y el predicado permutados y negados a la vez. Conociendo las CP válidas es fácil deducir válidamente una conclusión por CT a partir de una premisa, porque una CT es la obversa de una CP. Esquemáticamente se tiene: CP + Obv. = CT Entonces, formalmente podemos expresar las CT válidas como sigue: (S a P) ~ (ji a S) CT simple. (S a P) -1> (ji i S) CT por accidente. (S e P) -1> (ji o S) CT por accidente. (S o P) -1> (ji o S) CT simple. A continuación un ejemplo para cada relación válida por CT: (6) Todos los demócratas son políticos. Luego, todos los apolíticos son no-demócratas. (7) Todos los graduados universitarios son profesionales. De modo que algunos no-profesionales son no graduados universitarios. (8) Ningún desafortunado es feliz. Por lo tanto, algunos infelices no son afortunados. (9) Algunos científicos no son matemáticos. En consecuencia, algunos no-matemáticos no son no-científicos.

.

8.8. El silogismo categórico El silogismo categórico es una estructura de proposiciones categóricas típicas, donde a partir de dos premisas se deduce la conclusión. El silogismo categórico de la lógica tradicional aristotélica se caracteriza: 1. Por tener premisa mayor, premisa menor y conclusión. 2. Por tener sólo tres términos denominados mayor (P), ~ (M) y menor (S). 151

DWI/enes Rosales

3. 4. 5.

Por presentar el término medio sólo en las premisas. El sujeto de la conclusión es el término menor y aparece en la premisa menor. El predicado de la conclusión es el término mayor y aparece en la premisa mayor.

Ejemplo:

(1) Todos los peruanos son americanos.

Todos los limeños son peruanos. Luego, todos los limeños son americanos. En este silogismo aparecen sucesivamente la premisa mayor, la premisa menor y la conclusión. "Peruanos" es el término medio y aparece sólo en las premisas. "Limeños", el sujeto de la conclusión, es el término menor y a la vez aparece en la premisa menor. "Americanos", el predicado de la conclusión, es el término mayor y a la vez aparece en la premisa mayor.

8.8.1. Figuras del silogismo - Se llaman figuras del silogismo a las diferentes posiciones que ocupa el término medio. Estas formas se expresan de la siguiente manera: Primera Figura

..

M P S M S P

Segunda Figura

..

P S S

M M P

..

Tercera Figura

Cuarta Figura

M P M S S P

P M M S S P

..

donde S, M y P representan a los términos "menor", "medio" y "mayor" respectivamente. Si analizamos la forma del silogismo (1), fácilmente se puede apreciar que pertenece a la primera figura, dado que el término medio es el sujeto en la premisa mayor y el predicado en la premisa menor.

8.8.2. Modos del silogismo El modo de un silogismo categórico típico resulta de los tipos de proposiciones categóricas que contiene. Como todo silogismo categórico tiene tres proposiciones categóricas, el modo estará formado por tres letras típicas que secuencialmente representan a la 152

Ldgica TradicioTUll

premisa mayor, la premisa menor y la conclusión. Por ejemplo, AEO es el modo de un silogismo cuya premisa mayor es una universal afirmativa, la premisa menor es una universal negativa, y la conclusión es una particular negativa. Combinando todas las posibilidades de A, E, 1, O se obtienen sesenta y cuatro modos para cada figura, y para las cuatro figuras se tendrían doscientos cincuentaiséis formas distintas que pueden adoptar los silogismos categóricos. La idea que se sigue para combinar los sesenta y cuatro modos es la siguiente:

AEIO AAAA AAAA

AEIO EEEE AAAA

AEIO l l l l

AAAA

AEIO 0000 AAAA

Como se puede apreciar, se han concluido todos los casos en A; de igual modo, en la siguiente vuelta se concluirán en E, luego en 1 y finalmente en O, obteniéndose los 64 modos. Todos los silogismos categóricos de la forma típica pertenecen a un modo y a una figura. Ejemplos: (1) Todos los peces son acuáticos.

Ningún pez es un canario. Luego, ningún canario ~sJl~~~tico. Se verá con mayor claridad el modo y la figura si expresamos el silogismo de la siguiente manera:

P a A P e C .. C e A Es un silogismo del modo AEE y pertenece a la tercera figura. En este caso "C" reemplaza a "S", "A" reemplaza a "P" y "P" reemplaza a "M".

(2) Todos los caballos son solípedos.

"

Todos los solípedos son vertebrados. Por lo tanto, algunos vertebrados son caballos. 153

Di6gene. Ro'CJÚ'

e

a S S a V

.. V

1

e

Este silogismo es del modo AA! y pertenece a la cuarta figura. (3) Ningún reptil es mamífero. Algunos reptiles son carnívoros. Luego, algunos carnívoros son mamíferos.

R e M

R

.. e

1

e

i M

Este silogismo es del modo EH y pertenece a la te.rcera figura.

8.8.3. Reglas del silogismo La lógica tradicional analiza la validez o invalidez de los silogismos aplicando las siguientes reglas: i. El silogismo debe contener solamente los tres términos: menor, medio y mayor, cada uno de ellos usados en el mismo sentido en todo el razonamiento. ii. El término medio debe estar contenido solamente en las premisas y no en la conclusión. iii. El término medio debe estar distribuido por lo menos en una de las premisas. iv. No puede haber en la conclusión ningún término distribuido que no esté también distribuido en las premisas. v. De dos premisas afrrmativas no se puede concluir una proposición negativa. vi. De dos premisas negativas nada se concluye. vii. La conclusión sigue siempre a la premisa más débil, entendiéndose por tal la premisa particular o la premisa negativa. viii. De dos premisas particulares nada se concluye. 154

L6gica Tradicional

8.8.4. Modos válidos del silogismo Los silogismos categóricos de forma típica serán válidos si pasan exitosamente el examen de las ocho reglas del silogismo. De los 256 modos solamente son válidos 24 modos, a 19 de los cuales los lógicos medievales les dieron nombres nemotécnicos. ABí, al modo AAA que es válido sólo en la primera figura le llamaron BARBARA. A continuación los modos válidos según la nemotecnia medieval: Primera Figura BARBARA CELARENT DARII FERIO AAl

EAO

Segunda Figura CESARE CAMESTRES FESTINO BAROCO AEO EAO

Tercera Figura

Cuarta Figura

DARAPTI FELAPTON DATISI DISAMIS BOCARDO FERISON

BAMALIP CAMENES DIMATIS FESAPO FRESISON AEO

8.8.5. Análisis de validez o invalidez de silogismos Un silogismo categórico de forma típica es válido si pertenece a uno de los 24 modos válidos que aparecen en la lista citada en 8.8.4.; en caso contrario infringe por lo menos una de las reglas del silogismo. Ejemplos: . . (1) Ningún mamífero es un animal de sangre fría. Todos los

perros son mamíferos. Por lo tanto, ningún perro es un animal de sangre fría.

M e S P a M .. P e S Este silogismo es de la primera figura y del modo EAE, que en la lista apar~e con el nombre de CELARENT; por lo tanto el silogismo es válido. (2) Algunos filósofos son griegos. Todos los atenienses son griegos. Luego, algunos atenienses son filósofos. 155

Diógenes Rosales

F i G A a G .. A

1

F

Este silogismo es de la segunda figura y del modo IAL Este modo no aparece en la lista de la segunda figura, por lo tanto el silogismo no es válido. En este caso se infringe la regla "iii" del silogismo, porque en las premisas el término medio no está distribuido (cfr. 8.2.3. sobredistribuci6n de términos). (3) Algunos animales feroces son aves de rapiña, puesto que algunas aves de rapiña son águilas y todas las águilas son animales feroces. ~ RIA

A a F .. F i R Este silogismo es de la cuarta figura y del modo IAI; en la lista está como DIMATIS, luego es válido. (4) Todas las serpientes son reptiles, por lo tanto algunos reptiles no son venenosos, ya que algunas serpientes no son venenosas. S o V S a R

.. R o V Este silogismo es de la tercera figura y del modo BOCARDO, por lo tanto es válido. (5) Todos los espartanos son guerreros, por lo tanto ningún espartano es pacífico, porque ningún pacífico es guerrero. P e G E a G .. E e P Este silogismo es de la segunda figura y del modo CESARE, por lo tanto es válido. (6)'

156

Ningún religioso es ateo y algunos cristianos no son religiosos, por lo tanto algunos ateos no son cristianos.

L6gica Tradicional

e

o

R

R e A .. A o e Este silogismo es de la cuarta figura y del modo OEO que no está en la lista; por lo tanto no es válido. En este caso se infringen las reglas "iv" y "vi" del silogismo, dado que el término mayor está distribuido en la conclusión pero no está distribuido en la premisa; además, de dos premisas negativas nada se concluye. (7) Algunos hoteles son sórdidos, dado que todos los hoteles son caros y ningún lugar s6rdido es caro.

S e

e

Ho a e .. H i S

Este silogismo es de la segunda figura y del modo EAl que no está en la lista, luego no es válido. En este caso se ha infringido la regla "vii": la conclusión debe seguir a la premisa más débil. (8) Algunos militares no son filósofos progresistas, en vista de que todos los militares son guerreros idealistas y ningún guerrero idealista es mósofo progresista.

G e F MaG .. M o F Este silogismo es de la primera figura y del modo EAO que sí está en la lista; por lo tanto es válido.

8.8.6. Falacias del silogismo Las falacias son los razonamientos incorrectos. En el caso de los silogismos categóricos de forma típica se cometen falacias al infringir cualquiera de las reglas del silogismo. Se conocen con los nombres de falacia del menor ilícito, del medio ilícito, del mayor ilícito y falacia de los cuatro términos.

Falacia del menor iltcito. Se incurre en la falacia del menor ilícito cuando el término menor está distribuido en la conclusión, pero no está distribuido en la premisa menor. Ejemplos: 157

Di6genes Rosales

(1)

Todos los perros son mamíferos y todos los perros son vertebrados, por lo tanto todos los vertebrados son mamíferos. P a M P a V .. V a M

En la conclusión "vertebrados" es el término distribuido, pero en la premisa menor no aparece en toda su extensión. Además, el modo AAA no es válido en la tercera figura porque viola la regla "iv". (2) Todos los diplomáticos son corteses y algunos políticos son diplomáticos, luego todos los políticos son corteses.

D a

e

P i D .. P a e

Igual que en el ejemplo anterior, el sujeto está distribuido en la conclusión pero no en la premisa menor. También se puede ver en la lista de los modos válidos que AlA no está incluido. En este caso se violan las reglas "iv" y "vii".

Falacia del medio ilícito. Se comete la falacia del medio ilícito cuando el término medio no está· distribuido en las premisas. Ejemplos: (3) Todos los pinos son árboles y todos los eucaliptos son árboles, por lo tanto todos los eucaliptos son pinos.

P a A E a A .. E a P

El término medio "árboles" no está distribuido en ninguna de las premisas, por lo que se viola la regla "iii". Además, el modo AAA no es válido en la segunda figura. (4) Algunos materialÍstas no son ortodoxos, puesto que algunos creyentes no son materialistas y todos los ortodoxos son creyentes. 158

UgictJ Tradicional

o

a C C o M .. M o O En este caso el término medio "creyentes" no está distribuido. Falacia del mayor iUcito. Se incurre en la falacia del mayor ilícito cuando el término mayor está distribuido en la conclusión pero no está distribuido en la premisa mayor. Ejemplos: (5) Todos los demócratas son políticos y ningún republicano es demócrata, por lo tanto algunos republicanos no son políticos. D a P ReD .. R o P El término mayor "políticos" está distribuido en la conclusión, pero no está distribuido en la premisa mayor. (6) Algunos místicos no son socialistas, por lo tanto algunos socialistas no son religiosos, ya que algunos místicos son religiosos. MiR M o S .. S o R El término mayor "religiosos" está distribuido en la conclusión pero no en la premisa mayor.

Falacia de los cuatro términos. Se comete la falacia de los cuatro términos cuando el silogismo categórico contiene más de tres términos. Ejemplos: (7) Todos los matemáticos son científicos y todos los científicos son investigadores, por lo tanto, ~dos los investigadores son metodólogos. MaC Cal .. 1 a D 159

DiógeneB Rosales

Como se puede apreciar, este silogismo tiene cuatro términos, lo cual es incorrecto. Infringe la regla ni". (8) Todas las patas ponen huevos y todas las mesas tiene patas, por lo tanto, todas las mesas ponen huevos. P a H M a P .. M a H En este silogismo el término "patas" está usado en dos sentidos, lo que indica que el silogismo tiene cuatro términos.

Ejercicio 8 • - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1.

Clasifique cada una de las siguientes proposiciones categóricas y a la vez diga cuáles son los términos distribuidos en cada

proposición. 1.1. Todos los poetas son bohemios. 1.2. Ningún científico es desordenado. 1.3. Algunos astronautas son norteamericanos. 1.4. Algunos deportistas no son campeones. 1.5. Ningún político religioso es idealista. 1.6. Algunos materialistas no son socialistas. 1. 7. Cualquier árbol es una planta. 1.8. No todos los románticos escriben poesías. 1.9. Es falso que ninguna máquina sea peligrosa. 1.10. No existen mujeres tímidas. 2.

160

Obtenga el equivalente de cada una de las siguientes proposiciones según el cuadro tradicional de la oposición. 2.1. Todos los musulmanes son mahometanos. 2.2. Ningún diplomático es descortés. 2.3. Algunos héroes son militares. 2.4. Algunos novelistas no son políticos. 2.5. Es falso que 'ningún religioso sea gobernante. 2.6. No es el caso que algunos planetas estén deshabita~os. 2.7. No todos los empresarios viven en las grandes ciucíades. 2.8. Es falso que algún dirigente obrero sea capitalista. 2.9. No existen personajes históricos que no sean inmortales. 2.10. Es imposible que no existan héroes después de una guerra.

Lógica TrodiciDrtol

3.

Si es verdadera cada una de las siguientes proposiciones, obtenga las conclusiones que se derivan válidamente según el cuadro tradicional de la oposición. 3.1. Todos los planetas giran alrededor del Sol. 3.2. Ningún país capitalista es subdesarrollado. 3.3. Algunos mercenarios ganan mucho dinero. 3.4. Algunos desocupados no son libertinos. 3.5. No todos los números pares son divisibles por cuatro.

4.

Si es falsa cada una de las siguientes proposiciones, obtenga las conclusiones que se derivan válidamente según el cuadro tradicional de la oposición. 4.1. Todos los mamíferos son acuáticos. 4.2. Ninguna máquina es peligrosa. 4.3. Algunos países productores de cobre son subdesarrollados. 4.4. Algunos habitantes de la selva no son expertos cazadores. 4.5. Es falso que ningún guerrero sea hábil en el manejo del fusil.

5.

Por conversión obtenga la conclusión que se deriva válidamente de cada una de las siguientes proposiciones: 5.1. Todos los desiertos están deshabitados. 5.2. Ningún mapa del tesoro es suficientemente claro. 5.3. Ningún ser vivo es inorgánico. 5.4. Algunas anécdotas de personajes históricos son divertid~ . 5.5. No existen rebeldes que no agiten sus banderas.

6.

Por obversión obtenga el equivalente de cada una de las siguientes proposiciones: 6.1. Todos los curanderos son pintorescos. 6.2. Ningún auto deportivo es aburrido. 6.3. Algunas escrituras no son descifrables. 6.4. Algunos futbolistas participan en campeonatos internacionales. 6.5. Es falso que ningún lobo sea carnívoro. 161

DitJgenes Rosales

7.

Por CP y luego por CT, deduzca la conclusión que se deriva válidamente de cada una de las siguientes proposiciones: 7.1. Todos los desocupados son apolíticos. 7.2. Todos 108 reyes son conquistadores. 7.3. Algunas artistas de cine no son frívolas. 7.4. Ningún griego desconfiaba de los dioses del Olimpo. 7.5. No existen seres extraterrestres que repartan mensajes. 7.6. No todos los autores de novelas son inmortales. 7.7. Es falso que todos los ateos sean materialistas. 7.8. Algunos días no-laborables no son días festivos. 7.9. Es falso que alguien que es juez no sea deshonesto. 7.10. Todos los animales no-mamíferos no son peces.

8.

¿Cuál es la proposición de la subcontraria de la subalterna de la CT de la contraria de la contradictoria de la CP de la Obv. de la contradictoria de cada una de las siguientes proposiciones? 8.1. Todos los demócratas son liberales. 8.2. Ningún cristiano católico es creyente de Alá. 8.3. Algunos matemáticos franceses son filósofos idealistas. 8.4. Algunos materialistas no son políticos socialistas. 8.5. Es falso que todos los fIlósofos idealistas sean religiosos.

9.

Si la proposición algunos religiosos no son políticos es verdadera, determine respecto de ella si es verdadera, falsa o indeterminada cada,una de las siguientes proposiciones, y por qué. 9.1. Ningún religioso es político. 9.2. Algunos religiosos son apolíticos. 9.3. Algunos religiosos son políticos. 9.4. Algunos apolíticos son religiosos. 9.5. Todos los religiosos son políticos. 9.6. Algunos apolíticos no son irreligiosos.

10. Si la proposición todo deporte es divertido es verdadera, diga con respecto a ella si es verdadera, falsa o indefinida cada una de las siguientes proposiciones, y por qué. 10.1. Algo que no es divertido es no-deporte. 10.2. Algo que es deporte no es divertido. 10.3. Ningún deporte es no-divertido. 10.4. Algún deporte es divertido. 10.5. Algo que no es divertido no es deporte. 10.6. Todo lo que no es divertido es no-deporte. 162

Lógica Tradicional

10.7. Ningún deporte es divertido. 10.8. Nada que no es divertido es deporte. 10.9. Algo que es divertido es deporte. 11. Si la proposici6n algunos diplomáticos son descorteses es falsa, determine respecto de ella si es verdadera, falsa o indefinida cada una de las siguientes proposiciones, y por qué. 11.1. Algunos diplomáticos no son descorteses. 11.2. Todos los diplomáticos son corteses. 11.3. Algunos diplomáticos son descorteses. 11.4. Ningún descortés es diplomático. 11.5. Todos los diplomáticos son c;iescorteses. 11.6. Algunos corteses no son no-diplomáticos. 11.7. Algunos descorteses no son diplomáticos. 11.8. Algunos corteses son diplomáticos. 12. Indique a qué modo y figura pertenece cada silogismo que aparece a continuaci6n. Luego, aplicando las reglas determine la validez o invalidez. Señale, además, la falacia que se ha cometido en cada silogismo inválido. 12.1. Todos los alpinistas son intrépidos. Algunos italianos son alpinistas. Luego, algunos italianos son intrépidos. 12.2. Algunos pintores son músicos. Algunos artistas de cine son músicos. De ahí que, algunos artistas de cine son pintores. 12.3. Ninguna ballena es rumiante. Todas las ballenas son acuáticas. Luego, algunos animales acuáticos no son rumiantes. 12.4. Ningún insecto es vertebrado. Algunos animales vertebrados son mamíferos. Por lo tanto, algunos mamíferos no son insectos. 12.5. Ningún socialista es republicano. Algunos economistas no son socialistas. De modo que, algunos republicanos no son economistas. 12.6. Todos los ciudadanos son mayores de 18 años. Ningún niño es mayor de 18 años. Luego, ningún ciudadano es un niño. 12.7. Algunos astronautas no llegaron a la Luna, porque algunos astronautas tenían la misi6n de recorrer sólo la órbita terrestre y nadie que llegó a la Luna tenía la misi6n de recorrer sólo la órbita terrestre. 163

Dióllenes Rosaks

12.8. Todos los trabajadores de las plantaciones son inmigrantes negros, de modo que algunos trabajadores de las plantaciones no son nadadores, dado que algunos inmigrantes negros no son nadadores. 12.9. Algunos prisioneros no son militantes de un partido político, dado que algunos dirigentes políticos no son prisioneros y todos los dirigentes políticos son militantes de un. partido político. 12.10. Algunos criterios políticos sustituyen criterios mercantiles, puesto que algunos criterios mercantiles sustituyen . . criterios morales y algunos criterios políticos sustituyen criterios morales. 12.11. Todas las oportunidades de éxito son riesgos, en consecuencia ninguna oportunidad de éxito es calculada, dado que ningún riesgo es calculado. 12.12. Algunos jueces no son deshonestos, puesto que algunos jueces son justos y ningún deshonesto es justo. 12.13. Algunos días festivos son no-laborables, en vista de que ningún día laborable es un día dedicado al turismo y todos los días festivos son días dedicados al turismo. 12.14. Es falso que todos los satélites giren alrededor de la Tierra, de ahí que algunos satélites no giran alrededor de Júpiter, porque no todos los que giran alrededor de Júpiter giran alrededor de la Tierra. 12.15. Algunos manantiales salen de rocas coloreadas, por lo tanto algunos manantiales no son cristalinos, puesto que todo lo que sale de rocas coloreadas es no-cristalino.

164

9. EL METODO DE LOS DIAGRAMAS DE VENN

9.1. Introducción La idea básica de los diagramas se debe al matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) quien representó gráficamente las relaciones entre las clases o conjuntos. Euler usó la relación de inclusión para la universal afirmativa, la exclusión para la universal negativa, y la intersección para ambas particulares. En base a estas representaciones, el lógico inglés John Venn (1834-1923) propuso representaciones gráficas de las proposiciones categóricas típicas A, E, 1 y O, gráficos que van a interpretar las ecuaciones booleanas, dado que Boole interpretó algebráicamente las proposiciones categóricas de la lógica tradicional. John Venn, en lo que él llama perspectiva "compartimental" o "existencial", determina que uno o más componentes resultantes de la combinación de las clases S y P y sus respectivas negaciones pueden ser iguales al vacío. Este concepto generó el llamado problema de la "hipótesis existencial" de las proposiciones, porque según la interpretación de Venn resulta más claro y comprensible que una proposición universal niegue antes que afirme, de modo que "todo S es P" debe interpretarse como "S P = el>" (c¡, = vacío) y "ningún S es P" como "SP = c¡,".En cambio, las proposiciones particulares indican la presencia de elementos en sus respectivas clases, en vista de que contradicen a las proposiciones universales, por lo tanto deben interpretarse como sigue: "Algún S es P" como "SP =I!

q, X

V

J

s La inferencia no es válida. En este caso, como no hay variables idénticas que se repitan, se atribuye el contenido a todas las variables. Sin embargo, la inferencia no es válida, ya que en vJ todos los elementos son fluctuantes. Para ser válida los elementos deben corresponder únicamente a vJ. Ade~ás, nótese en el diagrama que las premisas existenciales V "1:- el> y J :j:.. el> están representadas con una flecha fluctuante, dado que no es posible graficar con una sola "x" las tres secciones a las que pertenece. Los demás contenidos no requieren de la flecha fluctuante.

186

El rMtodo de lo. dUJg1'Om48 de Venn

Ejercicio 9 . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1.

Represente en los diagramas de Venn, intersección de S y P, cada una de las siguientes fórmulas booleanas. 1.1. P 1.2. S 1.3.

2.

P * 4>

= 4> = 4>

1.11. SP = 4> 1.12. S P* 4>

1.8. SP * 4> 1.9. SP * cp 1.10. SP = cp

1.13. SP * 4>

1.6. SP 1.7. SP

1.14. SP = 4> 1.4. S * 4> 1.15. SP * cp 1.5. P = 4> Represente en los diagramas de Venn cada una de las siguientes proposiciones._ 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10. 2.11. 2.12. 2.13. 2.14. 2.15.

3.

= 4> = 4>

Todos los economistas son técnicos profesionales. Ningún consejero político es un hábil estratega militar. Algunas niñas son gitanas de la villa. Algunos ejércitos no son invencibles. Algunos jueces no son deshonestos. Algunos días no-laborables son días festivos. Algunos infieles son atrevidos. Todos los no-uniformados son no-entrenados. Es falso que todos los testimonios sean auténticos. Ningún candidato es no-apto para las elecciones. No es cierto que algunos no-músicos sean no-directores de orquestas. No todos los que más pieguntan son los que más saben. Ningún mercenario no es aventurero. Es falso que todos los no-enemigos no sean no-temibles. Es falso que ningún fracaso sea una desgracia que lamentar.

Por el método de los diagramas de Venn determine la validez o invalidez de cada una de las siguientes inferencias. 3.1. Todos los creyentes son religiosos, luego todos los irreligiosos son no-creyentes. 3.2. Ningún diplomático es descortés, por lo tanto toda persona cortés es diplomático. 187

Didllene, Rosales

3.3. Ningún alcatraz es un pelícano, de modo que todos los pelícanos son no-alcatraces. 3.4. Algunos ejércitos no son invencibles, en consecuencia algunos no-invencibles no son no-ejércitos. 3.5. Algunos días festivos no son laborables, puesto que no todos los días festivos son laborables. 3.6. Nadie que envidie a sus amigos es feliz, en vista de que es falso que alguien que sea infeliz no envidie a sus amigos. 3.7. Todos los universitarios no son profesionales, ya que no se da el caso que ningún profesional sea universitario. 3.8. No hay personas no-frívolas que no sean artistas de cine, porque no es el caso que algunas artistas de cine no sean frívolas. 3.9. Todos los graduados universitarios son profesionales, de modo que algunos profesionales son graduados universitarios. 3.10. Ningún socialista es partidario de la economía liberal, por lo tanto algunos socialistas no son partidarios de la economía liberal. 3.11. Algunos magistrados no son paladines de la justicia, puesto que no se da el caso que algunos paladines de la justicia sean no-magistrados. 3.12. Todos los desordenados no son bohemios, dado que ningún bohemio es ordenado. 3.13. No todos los irreligiosos son materialistas, en vista de que es falso que algunos no-materialistas no sean religiosos. 3.14. Todos los metales no son costosos, ya que no existen objetos costosos que no sean metales. 3.15. No todos los sociólogos son investigadores de la realidad nacional, en vista de que no todos los no-sociólogos no son investigadores de la realidad nacional. 4.

Mediante los diagramas de Venn determine la validez o invalidez de cada una de las siguientes inferencias. 4.1. Todos los insectos son invertebrados. Todas las hormigas son insectos. Por lo tanto, todas las hormigas son invertebrados.

188

El rnttodo de los diagramaJI de Venn

4.2. Ningún animal rumiante es un ave. Todas las palomas son aves. En consecuencia, ninguna paloma es un animal rumiante. 4.3. Todos los alpinistas son intrépidos, pero algunos alpinistas no son románticos, por lo tanto algunos intrépidos no son románticos. 4.4. Algunos novelistas no son dramaturgos, pero ningún dramaturgo es un jugador de bolas, de ahí que algunos novelistas no son jugadores de bolas. 4.5. Algunos animales no son de sangre fría, pero todos los reptiles son animales de sangre fría, luego no todos los animales son reptiles. 4.6. Todos los lectores de Shakespeare son cultos, de alú que todos los ingleses sean lectores de Shakespeare, ya que ningún inglés es inculto. 4.7. Algunos astronautas no son rusos, puesto que algunos que viajan al espacio no son rusos y algunos que viajan al espacio son astronautas. 4.8. Todos los competidores fueron descalificados. Algunos competidores son incapaces de aceptar sus derrotas. En consecuencia, no es el caso que nadie que sea capaz de aceptar sus derrotas sea calificado. 4.9. Todas las escuelas son obras de artistas italianos, pero ningún edificio de estructura moderna es obra de un artista italiano. Por lo tanto, algunos edificios de estructura moderna no son escuelas. 4.10. Algunos objetos no-maleables son no-metaloides, en vista de que ningún metal es metaloide y ningún no-metal es no-maleable. 4.11. No es el caso que algunos deportistas sean indisciplinados, pero ningún alcohólico es disciplinado, en consecuencia es imposible que ningún deportista sea alcohólico. 4.12. Es falso que todos los poetas no escriban versos a una mujer pero todos los que escriben versos a una mujer son románticos, por consiguiente no es el caso que ningún poeta sea romántico. 4.13. Algunos conventos de Lima son depositarios de obras de arte, puesto que ningún edificio moderno es depositario de obras de arte y ningún convento limeño es un edificio moderno. 189

Di6getteB Rosales

4.14. Es falso que algunas panteras no sean animales salvajes, de alú que todos los animales salvajes no viven en los desiertos, puesto que no existen panteras que vivan en los desiertos. 4.15. Algunas obras de gitanos no son romanceros, puesto que todos los romanceros son no-composiciones de origen vasco y es falso que algunos que no son obras de gitanos no sean composiciones de origen vasco.

190

10. CUANTIFICACION 10.1. Introducción El método de los diagramas de Venn visto en el capítulo anterior, ha permitido de forma más simple y sistemática el análisis de validez de las inferencias de la lógica tradicional. Este método, sin embargo, presenta serias limitaciones, por cuanto sólo puede analizar inferencias que tienen como máximo cuatro términos predicativos o cuatro clases o conjuntos. Por ejemplo, el silogismo, la inferencia más importante de la lógica tradicional, tiene solamente tres términos que expresan clases o conjuntos. La intersección de tres clases puede representarse mediante círculos, pero la intersección de cuatro clases tiene que graficarse por medio de rectángulos o cuadrados, dado que es inmanejable mediante círculos. En este sentido, la lógica cuantificacional (LC) puede interpretar formalmente proposiciones categóricas con "n" cantidad de términos predicativos, y a la vez analizar la validez de inferencias, porque en LC hay muchos métodos decisorios (como el método FH que expondremos en el presente capítulo) que deciden la validez o invalidez de fórmulas cuantificacionales de primer grado.

10.2. Símbolos y fórmulas cuantificacionales El conjunto de signos arbitrariamente elegidos (símbolos primitivos) viene a constituir el lenguaje de LC. En este caso, la notación que usaremos es conocida.

10.2.1. Lenguaje de

Le

1. Símbolos predicativos: F, G, H, .. .

2. 3. 4. 5.

Constantes individuales: a, b, c, .. . Variables individuales o indefinidas: x, y, z, ... Cuantificadores: (\1) (universal) y (3) (existencial). El lenguaje de LP también es válido en este sistema. 191

Didgent. Rosales

Los símbolos predicativos representarán términos que expresan clases o conjuntos como por ejemplo "peruanos", "números pares", "animales vertebrados", etc. Las constantes individuales representarán nombres propios, sean de personas, lugares, animales, obras de arte, etc. Las variables indefinidas representarán individuos no específicos o desconocidos. El cuantificador (V) significará "para todo ... " o "para cualquier ... "; el cuantificador (3) significará "para algún ... " o "existe por lo menos ... ". El lenguaje de LP ya ha sido presentado en el capítulo 2.

10.2.2. Metavariables 1. 2. 3. 4. 5.

A, B, C, .. . , 'P, e, .. . a. = (a, b, c, x, y, z) ~ = (x, y, z) y = (a, b, cl

Las metavariables 1 pueden representar cualquier fórmula de LP o de LC, mientras que las metavariables 2 representan s610 predicados.

10.2.3. Reglas de formación (RF) i) ii)

iii) iv) v)

vi)

Cada variable proposicional por sí misma es una fuf. Si e es un predicado, ea. es una fbf. Si A es una fbf., -(A) es una fbf. Si A y B son fufs., (A 1\ B), (A v B), (A --+ B) y (A ...... B) son fufs. Si A es una fbf., entonces (V~) A y (3~) A son fufs. Ninguna otra fórmula es una fuf. en LC.

10.2.4. Fórmulas y Esquemas de fórmulas Las fórmulas de LC, por tener un lenguaje más rico que las de LP, son más complejas sintáctica y semánticamente. Estas fórmulas son combinaciones de símbolos admitidas en el lenguaje-objeto de LC según las reglas de formación. Con el propósito de evitar ambigüedades, vamos a generar fufs., si es necesario según cada RF, y a la vez iremos detallando tanto el tipo o clase de fórmula a que 192

CuantlflCiJCión

pertenecen, como sus posibles esquemas de fórmulas. Sólo en lo que respecta a la RF "i" será innecesario citar ejemplos puesto que dicha regla ya ha sido tratada en el capítulo 2 de LP. Según RF "ii", un símbolo predicativo seguido de uno o más elementos de "a" es una fuf. A continuación algunos ejemplos:

(1)

Fx

(2) (3) (4) (5)

Fy

(n)

Fz Fa Fb

111

11

I

(1) (2) (3) (4) (5) (n)

IV

Fxy

(1)

Fxyz

(1)

Fxyab

Fab

(2) (3) (4) (5)

Fabc

(2) (3) (4) (5)

Fxyzabc

Fya Fxx Faa

(n)

Fxay Faxb Fabz

(n)

Fxacyzbx Faabxxyzz Fxazbbyyax (1)

El esquema de fórmula de cada una de las fórmulas que aparecen en las cuatro columnas puede ser "A", "B" o "C", porque estas letras pueden representar cualquier fórmula de LP o de LC; pero, también "ea" puede ser esquema de fórmula de cualquiera de las fórmulas que aparecen en las cuatro columnas, puesto que "e" puede representar cualquier símbolo predicativo y "a" cualesquiera de sus respectivos subconjuntos, menos el conjunto vacío. Sin embargo, "A" es un esquema de fórmula más genérico que "ea", porque "ea", en nuestro sistema, no puede ser esquema de fórmula en LP(2). Las reglas "iii" y "iv" son exactamente las mismas reglas enunciadas en LP, sin embargo las fórmulas resultantes en LC no

(1)

(2)

Cuando un símbolo predicativo está seguido sólo por un elemento de "a", la fórmula cuantilicacional se llama MONÁDlcA (columna n, cuando está seguido de dos elementos de "a" se llama DIÁDICA (columna 11), TRIÁOICA cuando está seguido de tres elementos de "a" (columna 111), y así podemos hablar de fórmulas cuantilicacionales "n·ádicas" (columna IV). En general, cuando un símbolo predicativo está seguido por más de un elemento de "a", recibe el nombre de fórmula POUÁDICA. En el presente texto trabajaremos básicamente con FORMUlAS MONÁDICAS de primer grado. Una fórmula, en LP o LC, puede tener uno o más esquemas de fórmulas, uno de ellos el más genérico y otro que puede ser el más específico.

193

Di6genes Rosales

tienen las mismas connotaciones que en LP. Estas distinciones pueden ser dilucidadas con los ejemplós que aparecen a continuación: (6)

- Fx

(7)

- Fa

(8)

Fx ---+ Gy

(9) (10)

- (Fz (Fx v

~

Hb)

-p) ---+ (Hy

1\

Fa)

En este caso, "A" puede ser el esquema de fórmula genérico de cualquiera de las fórmulas del (6) al (lO), pero "-A" es un esquema más específico porque sólo es esquema de fórmula de (6), (7) Y (9). Sin embargo, "-e~" es un esquema más específico que "-A", porque sólo' responde a la fórmula (6); de igual modo, "-&( es s610 esquema de (7). "A ~ B" Y "A ---+ ea" son esquemas de fórmulas de (8) y (lO), aunque "A ---+ ea" es s610 esquema de fórmula en LC. El esquema "e~ ---+ ct>fJ' es aún más específico, porque es sólo esquema de (8). Como se puede ver, podemos elaborar múltiples esquemas de fórmulas para una fórmula y, a la vez, para un esquema de fórmula encontrar infinitas fórmulas. Según RF "v", un cuantificador seguido de cualquier fuf es también una fuf. Ejemplos: (11) ('v'x) Fx (12) (3x) Fx (13)

(3y) (Fy ---+

Gy)

(14)

('v'x) (Fa v

Gx)

(15)

(3y) ('v'x) (Fx

1\

p

.---+. Hy)

El esquema de fórmula de cada una de estas fórmulas puede ser expresado como sigue: 'A' es un esquema de fórmula de cualquiera de las fórmulas del 11 al 15. '('v'~) A' puede ser esquema de fórmula sólo de 11 y 14. '(3~) A' puede ser esquema de fórmula sólo de 12, 13 y 15. '('v'~) ea' puede ser esquema de fórmula sólo de 11 y 14. '(3~) ea' puede ser esquema de fórmula sólo de 12 y 13. puede ser esquema de fórmula sólo de 11. '('v'~) puede ser esquema de fórmula sólo de 12 y 13. '(3~)

ew ew

194

CuanlqlCtlCión

10.3. Alcance de los cuantificadores Los cuantificadores Universal '('v'~)' y Existencial '(3~)' son operadores monádicos, y como tales, operan en un solo sentido: hacia la derecha. El signo que sigue inmediatamente al cuantificador está bajo el dominio de éste, es decir, bajo el alcance del cuantificador. Ejemplos: (1)

(2) (3) (4)

(5)

('Ix) Fx ('v'y) Fy -. Gy ('v'y) (Fy -. Gy) (3x) Fx v ('Ix) Gx ('v'z) (3y) (-Fz .v. Fb -. -Gy)

El cuantificador '('Ix)' es el operador principal en la fórmula (1), porque "Fx" le sigue inmediatamente. Nótese en (2) que '('v'y)' tiene alcance sólo sobre "Fy", y que el operador principal es el "--+"; en cambio en (3), '('v'y)' es el operador principal porque tiene bajo

su dominio la fórmula que está entre paréntesis. En (4) el operador principal es "v"; y en (5) el operador principal es '('v'z)', le sigue en jerarquía '(3y)' y luego de éste, el operador "v". Todas las fórmulas que están bajo el dominio de un cuantificador se denominarán operandos del cuantificador.

10.3.1. Variables libres y variables ligadas En primer lugar, podemos hablar de variables libres o ligadas sólo con respecto a los elementos de "W', es decir, con respecto a "x", "y", "z". Una variable libre es aquella que no es el operando de algún cuantificador o no está cuantificada a pesar de ser operando de algún cuantificador, en otros términos, es aquella variable que no está bajo el dominio de un cuantificador o que estando bajo su dominio no está cuantificada. Una variable ligada, en cambio, es aquella que está bajo el dominio del cuantificador ya la vez aparece cuantificada. Ejemplos: (1) Fx --+ Gy (2) ('Ix) (Fx -. Gy) (3) (3y) (Fx -. Gy) (4) ('Ix) (3y) (Fx -. Gy) (5) ('Ix) Fx v Gx .-.. (3y) Hy 1\ Gy 195

Diógene. Rosales

En la fórmula (1), "x" es libre en "F" e "y" es libre en "G", porque no están bajo el dominio de algún cuantificador. En (2), "y" es libre en "G", a pesar de estar bajo el dominio del cuantificador '(Vx)', porque "y" no está cuantificada, en cambio "x" en "F" está ligada en vista de que está cuantificada y a la vez bajo el dominio de '(Vx)'. Un caso similar se da en (3): "x" está libre en "F", pero "y" en "G" está ligada por estar bajo el alcance de '(3y)'. En (4), como se puede observar, ','x" en "F" está ligada a '(Vx)' e "y" en "G" está ligada a '(3y)'. En (5) se puede apreciar que tanto "x" como "y" están libres en "G", pero "x" en "F" está ligada a '(Vx)' e "y" en "H" está ligada a '(3y)'.

10.3.2. Fórmulas abiertas y fórmulas cerradas Una fórmula "A" en LC es abierta cuando exhibe por lo menos una variable libre. Esta clase de fórmulas se presta a múltiples interpretaciones, de ahí que semánticamente no tengan sentido de ser verdaderas o falsas. Por ejemplo: (1) Fx es una fórmula abierta porque "x" es libre en "F". Ahora, supongamos que "F" es un predicado que representa a "filósofos", entonces "Fx" significará "x es un filósofo". Como podemos apreciar, si es posible sustituir "x" por cualquier nombre propio, entonces "x es un filósofo" no tiene sentido que sea verdadero o falso. Igual análisis podemos efectuar de cualquier fórmula abierta. A continuación otras fórmulas abiertas: (2) (Vx) Gx v Fx (3) (Vx) (Fy ---+ Gx) En (2) "x" está libre en "F", y en (3) "y" está libre en "F". Una fórmula "A" en LC es cerrada cuando todas sus variables están ligadas. Una fórmula cerrada puede interpretarse semánticamente como verdadera o falsa; en este sentido las fórmulas de LP y las fórmulas de LC cuyos predicados exhiben constantes individuales son fórmulas cerradas. Ejemplos: (4) (3x) Fx

196

(5)

(p v

(6)

Fa

---+

q)

-r

-4

(Gb

1\

Fb)

Cuanli{icaci6n

Como se puede ver, (4) se puede interpretar como "algunos son filósofos" o "existe por lo menos un filósofo", y el sentido de verdad o falsedad permanece latente. (5) es una fórmula proposicional que, como ya hemos visto en LP, puede interpretarse como verdadera o falsa, de igual modo (6) porque en ella se predica acerca de un nombre propio.

10.3.3. Cerradura de fórmulas abiertas En vista de que en la lógica las fórmulas están prestas para ser interpretadas semánticamente, no se admiten fórmulas abiertas. Para el efecto, cualquier fórmula "A" abierta puede cerrarse mediante el cuantificador universal. Esta cerradura consiste en anteponer a "A" un cuantificador universal que ligue a la variable libre. Por ejemplo: (1)

Fx

Cerrando (1) se tiene '('Ix) Fx'. Se usa el cuantificador universal para cerrar una fórmula porque una expresión como "Fx" connota que "x es F" y a la vez ésta se interpreta como "todo x es F". (2) (3)

Fx --+ (3y) Gy Fx v Gy

Cerrando (2) y (3) se tiene respectivamente: ('Ix) [Fx --+ (3y) Gy] ('Ix) (Vy) (Fx v Gy)

10.4. Algunas reglas en

Le

De la misma manera que en LP (5.3), las reglas lógicas equivalentes nos permitirán transformar y simplificar fórmulas en LC, donde la conclusión respecto de la fórmula original es equivalente, pero las reglas implicativas (6.2) nos permitirán obtener conclusiones a partir de un conjunto de premisas, en este caso la conclusión se deriva pero no es necesariamente equivalente a la premisa. Las reglas que vamos a enumerar se suman a las citadas en LP. 1.

Reglas de intercambio de cuantificadores (RIC) 1.1. ('Ix) x --+ 'l'x). --+. (Cl>x /\ 'l'x) .-+.

('x /\ (3x) x v ('" en un universo no vacío, entonces se deduce que es verdad que por lo menos un individuo "a" es "«1>", y no necesariamente cualquiera.

3. Introducción del cuantificador universal (ICU) «1>a .. ('tx) «1>x Según esta regla, si es verdad que "un individuo arbitrariamente elegido a es «1>", entonces se sigue "para todo x, x es «1>", si y sólo si es verdadero que "«1>" tiene un individuo "a" en un universo no vacío.

4. Introducción del cuantificador existencial (ICE) «1>a .. (3x) «1>x Esta regla nos dice que si es verdad que "a es «1>", entonces es lícito deducir que "existe por lo menos un x tal que x es «1>".

12.3. Restricciones para efectuar la derivación Las restricciones que aparecen a continuación pueden ser utilizadas cuando sea necesario, especialmente cuando el cuantificador, negado o no negado, es el operador principal en cada premisa. Básicamente las restricciones están en función del comportamiento de los cuantificadores: i) Cuando se tiene que eliminar un cuantificador negado, se ii)

236

debe internar primero la negación (RIC2 , RIC 4). Cuando se tienen que eliminar los cuantificadores, primero se deben eliminar los cuantificadores existenciales introduciendo en cada caso una constante individual distinta.

El método de la derivación en la l611ica cuanti{r.cacional

iii) Cada cuantificador universal debe interpretarse en un universo donde el número exacto de constantes individuales sea el que aparece en la inferencia(2). iv) Si todas y cada una de las premisas tienen como operador principal el cuantificador universal, entonces se pueden eliminar los cuantificadores usando en la sustitución solamente la variable arbitrariamente elegida "a". v) Una fórmula abierta en una premisa debe cerrarse(a). vi) Introducir los cuantificadores según las reglas de introducción de los cuantificadores si la conclusión de la inferencia está cuantificada(4).

Ahora disponemos de las reglas y restricciones suficientes para demostrar inferencias válidas en la lógica cuantificacional monádica de primer grado. Usaremos las tres pruebas ya expuestas en LP(5), con las mismas características, en el proceso de las demostraciones respectivas.

12.4. La prueba directa Demostrar la validez de una inferencia mediante la prueba directa consiste en deducir la conclusión a partir de un conjunto de premisas en una secuencia finita de pasos, donde cada paso debe ser justificado por una regla lógica o por una restricción admitida para el efecto. La demostración termina cuando la última secuencia corresponde a la fórmula de la conclusión de la inferencia. Ejemplos: (1)

(2)

(3) (4)

(5)

PI) (\tx) (Sx -+ Px) P 2) (\tx) -Px Pa) (\tx) (Mx v -Sx

.-+.

Rx) tf :. (\tx) Rx

El universo que contiene el número exacto de constantes individuales se cuenta tanto en el conjunto de premisas como en la conclusión de la inferencia, y sólo después de aplicarse la restricción "¡¡". Supra, véase p. 197. De "a" también es lícito deducir "(3x) x", porque na" es el conjunto de variables indefinidas y constantes individuales. Supra, véase p. 107 Y siguientes.

237

DilJgenes Rosales

{1}

4)

{2}

5)

(3)

6)

{l,2} 7) {l,2} 8) {l,2,3} 9) (1,2,3) 10)

Sa ~ Pa -Pa Ma V -Sa -Sa Ma V -Sa Ra (V'x) Rx

(1)

(2) ~

Ra

(3)

(4,5) (7) (6,8) (9)

ECU. ECU. ECU. MTr. Ad. MPP. ICU.

En esta demostración se ha aplicado la restricción "iv" para eliminar cada cuantificador universal (pasos 4, 5 Y 6), porque en todas las premisas el cuantificador universal es el operador principaL En los pasos 7, 8 Y 9 se han usado las reglas conocidas en LP, Y 10 es la conclusión que deseábamos derivar. PI) P 2) Pa)

(2)

(1)

4)

(3)

5)

{2}

6)

(2)

7)

(2)

8)

(2)

9)

{l,2} 10) (2) 11)

{2} {2,3} (1,2) (2,3) (2,3) {l,2,3}

12) 13) 14) 15) 16) 17)

(3x) (Sx ~ -Px) (V'x) (Px 1\ - Rx) (3x) (Mx ~ Rx) ~ :. (3x) -Sx 1\ -(V'x) Mx Sa ~ -Pa (1) ECE. Mb ~ Rb (3) ECE. (Pa 1\ -Ra) 1\ (Pb 1\ -Rb) (2) RICIa Pa 1\ -Ra (6) Simp. Pa (7) Simp. --Pa (8) DN. (4,9) MTr. -Sa (6) Simp. Pb 1\ -Rb -Rb (11) Simp. (5,12) MTr. -Mb (3x) -Sx (lO) ICE. (l3) ICE. (3x) -Mx - (V'x) Mx (15) RIC 2 (14,16) Conj. (3x) -Sx 1\ -(V'x) Mx

En la demostración de esta inferencia primero se han eliminado los cuantificadores existenciales (pasos 4 y 5) según la restric238

El método de la deriuaciÓrl en la I6gic4 cuantifia¡cional

ción ':ii", y por la restricción "iii", el cuantificador universal (premisa 2) se ha interpretado en un universo de dos individuos, como aparece en la secuencia 6. Luego, en las siguientes secuencias se han aplicado las reglas de inferencia ya conocidas, quedando demostrada la validez de la inferencia al deducirse la fórmula que aparece en la secuencia 1 7.

(3)

PI) P 2) Pa)

(1) 4) (2) 5) (3) 6) (2) 7) U,2} 8) (2) 9) (2,3) 10) U,2,3} 11)

('v'x) (Fx -+ Gx) ('v'x) (-Gx 1\ Hx) ('v'x) (Hx .-+. Mx V Fx) !l :. Ma (1) Fa -+ Ga (2) -Ga 1\ Ha (3) Ha .-+. Ma v Fa (5) -Ga (4,7) -Fa (5) Ha (6,9) Ma v Fa (8,10) Ma

RICI I RICI. RICI I Simp. MTI. Simp. MPP. SD.

En este caso, según la restricción "iii", los cuantificadores universales de las premisas se han interpretado en un universo de un solo individuo (pasos 4, 5 y 6), porque el universo de la inferencia muestra exactamente la presencia de un individuo en "Ma", que es la fórmula de la conclusión. Los otros pasos de la demostración aparecen justificados mediante reglas de inferencia que resultan ser operaciones de rutina.

(4)

PI) P 2) Pa)

{1} (2)

{3} {1} (1)

4) 5) 6) 7) 8)

- (3x) (Sx v Hx) ('v'x) (Fx v Gx .-+. Sx) ('v'x) (Gx .v. Px -+ Hx) !l :. ('v'x) -px 1\ (1) ('v'x) -(Sx v Hx) (2) Fa v Ga .-+. Sa Ga .v. Pa -+ Ha (3) (4) -eSa v Ha) (7) -Sa 1\ -Ha

('v'x) -Fx RIC 4 ECU. ECU. ECU. DM. 239

DiDgenes Rosales

{l} {1,2} {1,2} {l,2} {1,2,3} {l} (1,2,3) {1,2} {1,2,3} {1,2,3} {1,2,3}

9) 10) 11)

12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19)

-Sa -(Fa v Ga) -Fa 1\ -Ga -Ga Pa 4 Ha -Ha -Pa -Fa -Pa 1\ -Fa (V'x) (-Px 1\ -Fx) (V'x) -Px 1\ (V'x) -Fx

(8) (5,9) (10) (11)

(6,12) (8) (13,14) (11)

(15,16) (17) (18)

Simp. MIT. DM. Simp. SD. Simp. MIT. Simp. Conj. ICU. RDC1

En la demostración se puede apreciar el internamiento de la negación en 4 según la restricción "i", luego, como se tienen sólo cuantificadores universales se sustituyen las variables indefinidas por "a", según la restricción "iv". Las operaciones siguientes son las ya conocidas. En 18 se ha introducido el cuantificador universal según la restricción "vi", quedando demostrada la validez de la inferencia en 19, que es la conclusión que deseábamos deducir. (5)

Ningún bohemio es ordenado. Todos los aventureros y poetas son bohemios. Pero, algunos son ordenados. Por lo tanto, no todos son poetas o aventureros.

Para demostrar la validez de esta inferencia por derivación, primero simbolizamos las premisas y la conclusión, y luego se efectúa la operación, como sigue: PI) P 2) P s) {3} 4) (1} 5) (2} 6) (3) 7) (1,3} 8) 240

(V'x) (Bx ---+ -Ox) (V'x) (Ax v Px .---+. Bx) (:Ix) (Ox) ~ :. -(V'x) (Px v Ax) (3) Oa (1) Ba ---+ -Oa (2) Aa v Pa .---+. Ba (4) --Oa (5,7) -Ba

ECE. ECU. ECU. DN. MTT.

El TrIItado de la derivación en la lógica cuanti(lCOCiona/

L1,2,3} 9) (1,2,3} 10) (l,2,3} 11) (1,2,3) 12)

-(Aa v Pa) -(Pa v Aa) (3x) -(Px v Ax) -(V'x) (Px v Ax)

(6,8)

(9) (10) (11)

MTr.

Conm. ICE. RIC 2

En esta demostración primero se ha eliminado el cuantificador existencial en la secuencia 4 como indica la regla "ii". Luego se han interpretado los cuantificadores universales en un universo de un solo individuo según la regla "iii". Después de aplicar las operaciones ya conocidas, en la secuencia 11 se introduce el cuantificador existencial, para deducir en 12 la conclusión deseada. (6)

PI) P 2) Pa) P 4) (l}

5)

(1) (2) (2} {2} {1,2} {1,2} (1,2,3) {2} (l,2,3} {1,2,3,4} {1,2,3,4} {1,2,3,4}

6) 7)

8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17)

(3y) (V'x) (Fy v Gx) (3x) (Ha 1\ -Gx) -(V'y) -Fy -+ (Ha -+ Ma) Ma -+ -(V'x) (V'y) (Mx 1\ Gy) ~ :. (3x) (3y) (Mx -~ -Gy) (1) RC a (3y) [Fy v (V'x) Gx] (5) RC 4 (3y) Fy v (V'x) Gx (2) RC 2 Ha 1\ (3x) -Gx (7) Simp. (3x) -Gx -(V'x) Gx (8) RIC 2 (3y) Fy (6,9) SD. (10) RICa -(V'y) -Fy (3,11) MPP. Ha -+ Ma (7) Simp. Ha (12,13) MPP. Ma -(V'x) (V'y) (Mx 1\ Gy) (4,14) MPP. (15) RIC2 (3x) (3y) -(Mx 1\ Gy) (3x) (3y) (Mx -+ -Gy) (16) Imp.

En la demostración de esta inferencia se puede observar que no ha sido necesario eliminar cuantificadores ni introducir constantes individuales, aparte de las que ya exhibía la inferencia. Tampo241

Didgenea Rosales

co ha sido necesario introducir cuantificadores. La demostración ha sido posible sólo aplicando las conocidas reglas lógicas; lo que significa que las restricciones introducidas para la derivación pueden no ser utilizadas.

(7)

PI) P 2) Pa) {2}

4)

{2}

5)

{2} {2}

6) 7)

{2}

8)

{l}

9)

{l,2} 10) {3} 11) (3} 12) {1,2} 13) {1,2,3} 14) {l,2,3} 15)

(3y) Fy (3x) (Fy -+ Gx) ('V'x) [Gx --+ (3y) Hy] ~ :. -('xx ~ (:Jx) (3y) xy

IDENTIDAD

El concepto de identidad en sentido lógico se refiere, especialmente en este acápite, a la relación de igualdad entre individuos. Ejemplos: El Huascarán es el nevado más alto del Perú. (2) 2 + 3 es igual a 5. (3) Ciro Alegría fue el autor de El mundo es ancho y ajeno.

(1)

En estas proposiciones el verbo "ser" en SUB distintas formas determina la identidad entre el sujeto y el predicado de la oración. Si UBamos el signo "=" como representación de la identidad, nuestros ejemplos pueden expresarse de la siguiente manera: El Huascarán = el nevado más alto del Perú. (2) 2 + 3 = 5 (3) Ciro Alegría = el autor de El mundo es ancho y ajeno.

(1)

257

Di6genes Rosak.

Entonces, para decir que dos individuos cualesquiera son idénticos utilizaremos la siguiente expresión: x=y

y para indicar que "x" no es idéntico a "y", la expresión: -(x = y) ó (x"# y)

En la lógica el concepto de identidad es importante porque sin él no se podría demostrar la validez de muchas inferencias dentro de la lógica de predicados. A continuación las propiedades de la identidad: 1. Propiedad reflexiva ('Ix) (x = x)

2. Propiedad simétrica ('Ix) (Vy) (x = y .-+. Y = x) 3. Propiedad transitiva ('Ix) (Vy) (Vz) [(x = y) 1\ (y = z) .-+.

X

=

z]

4. Propiedad de intercambio ('Ix) (Vy) (x = y .-+. Px ~ Py) 5.

CUANTIFICADORES NUMERICOS

Un cuantificador numérico es la cuantificación, universal o existencial, de un conjunto de individuos en un universo determinado donde los cuantificadores nos permiten afirmar que dichos individuos poseen una determinada propiedad o están en tal relación. Con ayuda del concepto de identidad, a continuación vamos a formular lógicamente expresiones sobre cuantificadores numéricos.

Hayal menos n individuos tales que P. Esto significa que hay por lo menos "n" individuos tales que tienen la propiedad "P", donde "n" puede ser 1, 2, 3, n individuos. Ejemplos: (1) Hay por lo menos un individuo que tiene la propiedad P. 1.

258

Nociones sobre Predicoáos Polid.dicol

Simbólicamente se expresa: (3x) Px (2) Hay por lo menos dos individuos que tienen la propiedad P. Simbólicamente se tiene: (3x) (3y) (Px 1\ Py .1\.

X

*" y)

Esto significa que "existe por lo menos un 'x' y existe por lo menos un 'y' tales que 'x' tiene la propiedad 'P' e 'y' tiene la propiedad 'P', y a la vez 'x' es diferente de 'y' ". (3)

Al menos tres individuos asaltaron a Felipe.

(3x) Gy) (3z) [Axa 1\ Aya 1\ A:oi

.A.

(x *" y)

1\

(x *" z) 1\ (y *" z)]

si "Felipe = a", "Axa = x asaltó a a", "Aya = y asaltó a a", "Aza = z asaltó a a". De igual modo podemos construir fórmulas con más individuos.

2. Haya lo sumo n individuos tales que P. Tomando como referencia esta afirmación podemos simbolizar como ejemplo la siguiente expresión: (4) Haya lo sumo,un individuo que tiene la propiedad P. ('v'x) ('v'y) (Px 1\ Py .--+. X = y) Lo que quiere decir la fórmula es: "para todo 'x' y para todo 'y', si 'x' tiene la propiedad 'P' e 'y' tiene la propiedad 'P', entonces 'x' es igual a 'ylll. Expresado en una proposición se tendría: (5) Haya lo sumo un solo rector en la Universidad Católica. ('v'x) ('v'y) (Rxa 1\ Rya .--+. x = y) En esta simbolización, "Universidad Católica = a", "Rxa = x es rector de a" y "Rya = y es rector de a". (6)

A lo sumo pueden ser elegidos sólo dos vicepresidentes del Perú. ('Vx) ('Vy) ('v'z) LVxa 1\ Vya 1\ Vm .--+. (x = y)v (x = 7) v (y = 7)]

En esta simbolización, "Perú = a", 'Vxa = x es vicepresidente de a", 'Vya = yes vicepresidente de a" y 'Vza = z es vicepresidente de a". 259

Di6genes Rosales

3. Hay exactamente n individuos tales que P. Esta afirmaci6n significa que hayal menos n individuos y a lo sumo n individuos; en otros términos, hayal menos 'n' individuos que poseen la propiedad 'P', y hay a lo sumo 'n' individuos que poseen la propiedad 'P'. Por ejemplo: (7)

Hay exactamente un individuo que tiene la propiedad P. (3x) Px 1\ ('v'x) ('v'y) (Px 1\ Py .~. X = y)

(8)

Hay exactamente dos satélites de Marte. (::Ix) (3y) (Sxa 1\ Sya .1\. x y) 1\ ('v'x) ('v'y) ('v'z) [Sxa 1\ Sya 1\ Sza .~. (x = y) v (y = z) v (x = z)]

'*

En esta simbolizaci6n, "Marte = a", "Sxa = x es satélite de a", "Sya = y es satélite de a" y "Sza = z es satélite de a". De igual modo podemos expresar proposiciones con más individuos.

6.

DESCRIPCIONES

Una descripci6n se refiere a. un rasgo característico que identifica a un individuo, rasgo que s610 le concierne a dicho individuo. En este caso la descripción es definida. Por ejemplo: (1)

(2) (3)

La capital del Perú. El autor de El mundo es ancho y ajeno. El satélite de la Tierra.

En estos ejemplos (1) denota la ciudad de Lima, porque "la capital del Perú" le concierne únicamente a la ciudad de Lima, (2) se refiere a Ciro Alegría porque s610 a él le concierne el ser autor de El mundo es ancho y ajeno; de igual modo, "el satélite de la Tierra" se refiere a la Luna. Para representar la descripción se usa la letra griega "t" (iota) seguida de "x", como sigue: tx

y se lee "el x tal que". Si "Cx =x es la capital", ''Perú = a", "Ax =x es autor", "El mundo es ancho y ajeno = b", "Sx = x es satélite" y "Tierra = c", entonces cada uno de los ejemplos citados puede ser simbolizado respectivamente como sigue: 260

Nociones sobl"/1 Pl"/1dicad08 PoÜ -('9'x) (Hx -+ Rx) PO> (3x) Fx ... ('Vx) (Hx -+ Lx) l/o'. -('Vx) -Lx (2) 4) (3x) -(Hx -+ Rx) (2) RlC. (2} ó) (3x) (Hx 1\ -Rx) (4) Imp. (2) 6) (3x) Hx 1\ (3x) -Rx (5) ROC, (2) 7) (3x) -Rx (6) Simp. (2) 8) -('Vx) Rx (7) RIC. (1,8) MTT. 11,2) 9) -('9'x) -Fx 11,2)10) (3x) Fx (9) RIC.DN. (3)11) (3x) Fx -+ ('Vil) (Hx -+ Lx) .1\. ('9'1l) (Hx -+ Lx) -+ (31l) Fx (3) Eq. (3) 12) (3x) Fx -+ ('9'x) (Hx -+ Lx) (11) Simp. (1,2,3) 13) ('Vx) (Hx -+ Lx) (10,12) MPP. (2) 14) (3x) Hx (6) Simp. (2} 15) Ha (14) ECE. 11,2,3) 16) Ha -+ La (13) RlCl,

1.15.

(1,2,3) 17) La U,2,3} 18) (3x) Lx U,2,3} 19) -('9'x) -Lx

(15,16) MPP. (17) ICE (18) RlC,

2.5. PI) Fa v p .-+. ('Vx) Gx PO> (3y) My v Hb .-+. ('Vx) SX

PO> (3y) My -+ (3x) (Sx -+ -Gil) 11:. Hb .-+. Fa -+ ('Vy) -My 4) Hb Prem. Ad. 5) Fa Prem. Ad. 6) Fa v p (ó) 7) ('Vx) Gx (1,8) 8) (3y) My v Hb (4) 9) ('Vx) Sx (2,8) 10) ('VII) Sx 1\ ('Vx) Gx (7,9) 11) ('VII) (Sx 1\ Ox) (10) 12) -(3x) -(Sx 1\ Gx) (11) 13) -(3x) (Sx -+ -Gx) (12) 14) -(3y) My (3,13) 1ó) ('Vy) -M (14) 16) Fa -+ ('Vy) -My (5-15) 17) Hb .-+. Fa -+ ('Vy) -My (4·16)

Ad. MPP. Ad. MPP. Coqj.

ROe, RIC, Imp. MTT. RlC, PC. PC.

2.9. PI) ('Vy) Fy 1\ Oa .-+. ('Vx) (Gh 1\ Hx) PO> -p v (3x) Mx .-+. ('Vx) ('9'y) (Sx 1\ Fy)

PO> (3x) (Oa ++ ah .-+. Hx -+ Px) P,) (3x) -Sx v Oa 11:. p -+ (3x) Mx .-+. (3x) Px 5) p -+ (3x) Mx Prem. Ad. 6) -p v(3x) Mx (5) Imp. 7) ('Vx) ('Vy) (Sx 1\ Fy) (2,6) MPP. 8) ('Vx) Sx 1\ ('Vy) Fy (7) RC, 9) ('Vx) Sx (8) Simp. 10) -(3x) -Sx (9) RIC, 11) Ga (4,10) SO. 12) ('Vy) Fy (8) Simp. 13) ('Vy) Fy 1\ Ga (11,12) Coqj. 14) ('Vil) (Gh 1\ HIl) (1,13) MPP. 1ó) Gb 1\ ('9'x) Hx (14) RC, (15) Simp. 16) Gb 17) Ga 1\ Ob (11,16) Coqj. 18) (Ga 1\ Gb) v (-Ga v -Ob) (17) Ad. (18) Eq. 19) Ga ... Oh

283

Didllenes Rosales 20) (3x) [-(Ga .... Gh) .v. Hx -+ Pxl (3) Imp. 21) -(Ga .... Gh) v (3x) (Hx -+ Px) (20) RC, 22) (3x) (Hx -+ Px)

(19,21) SO.

I 20)

(17,19) SO.

(Vz) Fz

(6-20) PC.

21) (3y) Hy -+ (Vz) Fz

Prem. Ad.

22) (Vz) Fz

(1,22) MPP.

23) -(Vy) -Ry 24) (3y) Ry

(23) RIC.

23) (3x) (-Hx v Px)

(22) Imp.

215) (3x,) Sx v (3z) Mz . v. (3y) Ry(24) Ad.

24) (3x) -Hx v (3x) Px

(23) ROC,

26) (3x) Sx v (3z) Mz v (3y) Ry.-+.

25) (Vx) Hx

(115) Simp.

26) -(3x)-Hx

(215) RIC,

27) (3x) Px

(3y) Hy

(4) RC,

27) (3y) Hy

(215,26) MPP.

(24,26) SO.

28) (Vz) Fz -+ (3y) Hy

28) P -+ (3x) Mx .-+. (3x) Px (15-27) PC.

29) (3y) Hy -+ (Vz) Fz

(22-27) PC. .10..

(Vz) Fz -+ (3y) Hy 2.10.P,) (Vz) Fz -+ -(' (3y) Hy .-+. (3x) -Gx .... (3x) Sx PO> (' -(3x) (3z) (-Sx -+ Mz) //:. (3y) Hy .... ('