Höhere Algebra: Teil 4 Gleichungen höheren Grades [4., durchges. Aufl. Reprint 2019] 9783111361772, 9783111004525

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

HÖHERE

BAND

932

ALGEBRA von

Dr. HELMUT

HASSE

o. Professor für Mathematik an der Universität Hamburg

II GLEICHUNGEN

HÖHEREN

GRADES

Mit 5 Figuren

Vierte, durchgesehene Auflage

WALTER DE GRUYTER & CO. vormals G J . Göscben'sche Verlagshandlung • J . Guttrntag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J . Trübner • Veit & Comp»

BERLIN

1958

© Copyright 1958 by Walter de Gruyter & Co., Berlin W 35, Genthiner Str. 13. Alle Hechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten. — Archiv-Nr. 11 09 32. Druck von Bernard & Graefe, Berlin SW68. — Printed in Germany.

Inhalt des zweiten Bandes.

Seite E i n l e i t u n g . Methodische Vorbetrachtungen und Überblick 5 I. Die l i n k e n S e i t e n a l g e b r a i s c h e r G l e i c h u n g e n 8 § 1. Der Fundamentalsatz von der eindeutigen Zerlegbarkeit in Primelemente in Kfä] und T 8 § 2. Restklassenringe in K[s] und P 24 § 3. Zyklische Gruppen 30 § 4. Primintegritätsbereiche, PrimkÖrper, Charakteristik 34 II. Die Wurzeln algebraischer Gleichungen 38 39 § 5. "Wurzeln und Linearfaktoren § 6. Mehrfache Wurzeln, Ableitung 43 III. Die K ö r p e r der W u r z e l n a l g e b r a i s c h e r G l e i c h u n g e n 50 § 7. Allgemeine Theorie der Erweiterungen 1. Grundlegende Begriffe und Tatsachen 50 § 8. Stammkörper 61 § 9. Allgemeine Theorie der Erweiterungen 2. Einfache und endliche algebraische Erweiterungen 66 § 10. Wurzelkörper 72 77 § 11. Der sog. Fundamentalsatz der Algebra IV. D i e S t r u k t u r d e r W u r z e l k ö r p e r a l g e b r a i s c h e r G l e i c h u n g e n 79 § 12. Einfachheit und Separabilität der Wurzelkörper separabler Polynome, allgemeiner der endlichen algebraischen Erweiterungen mit separablem primitiven Elementsystem . . . . 79 § 13. Normalität der Wurzelkörper und ihrer primitiven Elemente. Galoissche Resolventen 84 92 § 14. Die Automorphismengruppe eines Erweiterungsbereichs.. § 15. Die Galoisgruppe einer separablen normalen Erweiterung endlichen Grades 95 § 16. Die Galoisgruppe eines separablen Polynoms 98 § 17. Der Fundamentalsatz der Galoisschen Theorie 100 § 18. Abhängigkeit vom Grundkörper 115 V. A u f l ö s b a r k e i t a l g e b r a i s c h e r G l e i c h u n g e n d u r c h W u r z e l zeichen 126 § 19. Definition der Auflösbarkeit durch Wurzelzeichen 127 § 20. Kreisteilungskörper. Endliche Körper 129 § 21. Reine und zyklische Erweiterungen von Primzahlgrad . . . 137 § 22. Kriterium für die Auflösbarkeit durch Wurzelzeichen . . . . 143 § 23. Existenz nicht durch Wurzelzeichen auflösbarer algebraischer Gleichungen 148 Namen- und S a c h v e r z e i c h n i s

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L i t e r a t u r und Quellen, Siehe die auf beide Bändchen bezügliche Zusammenstellung zu Beginn des ersten Bändchens.

Inhalt des ersten Bandes. Seite Literaturverzeichnis 4 E i n l e i t u n g . Die Grundaufgabe der Algebra 5 I. R i n g e , K ö r p e r , I n t e g r i t ä t s b e r e i c h e 7 § 1. Definition der Ringe, Körper, Integritätsbereiche 7 § 2. Teilbereiche, Kongruenzrelationen, Isomorphie 14 § 3. Der Quotientenkörper eines Integritätsbereiches 26 § 4. Der Integritätsbereich der ganzen rationalen Funktionen von n Unbestimmten über I und der Körper der rationalen Funktionen von n Unbestimmten über K 31 § 5. Ausführliche Formulierung der Grundaufgabe der Algebra 45 I I . Gruppen 49 § 6. Definition der Gruppen 49 § 7. Untergruppen, Kongruenzrelationen, Isomorphie 55 § 8. Zerlegung einer Gruppe nach einer Untergruppe 57 § 9. Normalteiler, konjugierte Teilmengen einer Gruppe, Faktorgruppe 60 III. Determinantenfreie lineare Algebra 68 § 10. Linearformen, Vektoren, Matrizen 68 § 11. Inhomogene und homogene lineare Gleichungssysteme . . . 78 § 12. Das Toeplitzsche Verfahren 83 § 13. Lösbarkeit und Lösungen linearer Gleichungssysteme . . . 91 § 14. Der Fall m = n 99 § 15. Die Tragweite der determinantenfreien linearen Algebra . . 102 IV. L i n e a r e A l g e b r a m i t D e t e r m i n a n t e n 104 § 16. Permutationsgruppen 104 § 17. Determinanten 113 § 18. Unterdeterminanten und Adjunkten. Der Laplacesche Entwicklungssatz 117 § 19. Weitere Determinantensätze 127 § 20. Anwendung der Determinantentheorie auf lineare Gleichungssysteme im Falle m = n 331 § 21. Der Rang einer Matrix 136 § 22. Anwendung der Determinantentheorie auf lineare Gleichungssysteme im allgemeinen Falle 144 S c h l u ß , Abhängigkeit vom Grundkörper 149 N a m e n - und S a c h v e r z e i c h n i s 151

Einleitung. Methodische Vorbetrachtungen und Überblick. In 1, § 5 haben wir die uns als Leitfaden dienende Grundaufgabe der Algebra formuliert und zwei besonders wichtige Teilaufgaben hervorgehoben. Deren erste, das Auflösungsproblem linearer Gleichungssysteme, wurde in 1, I I I und IV vollständig gelöst. Der vorliegende Band 2 ist der zweiten jener Teilaufgaben gewidmet: E s sei K ein K ö r p e r u n d f(x) = a0 + a^x 1- anxn {an 4= 0, n ^ 1) ein n i c h t zu K g e h ö r i g e s E l e m e n t a u s K [ « ] . E s s o l l e n M e t h o d e n z u r G e w i n n u n g a l l e r L ö s u n g e n d e r algebraischen Gleichung /(3) = 0 entwickelt werden. f(x) Da die Gleichung / ( « ) = 0 dasselbe fordert wie — = 0, a n ist es keine Einschränkung, wenn wir uns im folgenden auf Gleichungen der Form f(x) = a0 + a±x H [i x«-1 + xn = 0 (n ^ 1) beschränken. Wir nennen solche Elemente f(x) aus K[a;] P o l y n o m e (in x) in oder a u s 1 ) oder über K und den eindeutig bestimmten Index w S i 1 ihren Grad [vgl. 1, § 5 , (2.) [48]]. Für Lösungen einer algebraischen Gleichung f(x) 0 gebrauchen wir ferner die übliche Bezeichnung Wurzeln des Polynoms / ( x ) . Die Behandlungsmethoden für unsere jetzige Aufgabe sind von den in 1 zur Behandlung linearer Gleichungssysteme ver1 ) Dies ist deshalb eigentlich nicht korrekt, weil die /(a*) Elemente aus K[z] sind. Unsere Ausdrucksweise bezieht sich also auf die Koeffizienten.

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Einleitung.

wendeten wegen der folgenden beiden eng zusammenhängenden Umstände grundsätzlich verschieden: 1.) Es kann (im Gegensatz zu 1, IV) kein allein aus den im Grundkörper K definierten vier elementaren Rechenoperationen gebildetes Verfahren (kurz rationales Rechenverfahren) existieren, um über die Lösbarkeit einer algebraischen Gleichung zu entscheiden und im Lösbarkeitsfalle alle Lösungen zu berechnen. 2.) Lösbarkeit und Lösungsgesamtheit einer algebraischen Gleichung aus K sind (im Gegensatz zu 1, Satz 84 [149]) abhängig von der Wahl des Grundkörpers, d. h. davon, ob man für diq Lösungen nur den Körper K oder irgendeinon Erweiterungskörper von K in Betracht zieht, und im algemeinen werden algebraische Gleichungen aus K überhaupt erst in geeigneten Erweiterungskörpern von K lösbar. Für 2.) mag schon hier, die späteren allgemeinen Einsichten illustrierend, das einfache Beispiel der Gleichung iE 2 —2=0 genannt werden, die im Körper der rationalen Zahlen keine Lösung, im Körper der reellen Zahlen dagegen die beiden Lösungen ± j/2 besitzt. Aus 2.) ergibt sich 1.); denn würde ein Verfahren, wie in 1.) genannt, existieren, so wäre dieses, wie in 1, Satz 84 [149], unabhängig von der Wahl des Grundkörpers, was 2.) widerspricht Wegen 1.) darf unsere Aufgabe nicht dahin verstanden werden, daß die Lösungen einer algebraischen Gleichung im obigen Sinne berechnet werden sollen. Was statt dessen zu erstreben ist, zeigt 2.). Da nämlich für abstrakte Grundkörper (d. h. unter alleiniger Voraussetzung der in 1, § 1 zusammengestellten Gegebenheiten) nicht von vornherein etwas Entsprechendes zur Verfügung steht, wie im obigen *) Damit soll natürlich nicht gesagt sein, daß nicht f ü r spezielle Grundkörper, z. B. den Körper der rationalen Zahlen, wirkliche Auflösungsverfahren existieren. Nur gehören diese in dem Sinne nicht mehr zur Algebra, als dazu a u LS er den vier elementaren Rechenoperationen noch andere, der Analysis angehörige Hilfsmittel herangezogen werden müssen. Vgl. auch dazu § 11 [77].

Einleitung.

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Beispiel der aus der Elementarmathematik (Grundlagen der Analysis) bekannte reelle Zahlkörper, da vielmehr im allgemeinen Falle über das Vorhandensein von Erweiterungskörpern, die die Lösung einer algebraischen Gleichung ermöglichen, zunächst keinerlei Kenntnis besteht, kommt es darauf an, solche Erweiterungskörper und damit die Wurzeln algebraischer Gleichungen zu k o n s t r u i e r e n . . Unsere Entwicklungen werden demgemäß den folgenden Gang nehmen: Nachdem wir in I und II vorbereitende Tatsachen über die die l i n k e n Seiten a l g e b r a i s c h e r Gleic h u n g e n bildenden Polynome aus K einerseits und die (vorläufig hypothetischen) W u r z e l n a l g e b r a i s c h e r Gleic h u n g e n aus K in Erweiterungskörpern andererseits auseinandergesetzt haben, konstruieren wir in III die W u r z e l k ö r p e r a l g e b r a i s c h e r Gleichungen und damit deren Wurzeln. Dadurch ist dann die obige Aufgabe vom praktischen Standpunkt (analog zu 1, IV — Lösungsbestimmung) als gelöst anzusehen. Vom theoretischen Standpunkt erhebt sich darüber hinaus (analog zu 1, III — Struktur der Lösungsgesamtheit) die hier ganz besonders interessante Frage nach der S t r u k t u r der W u r z e l k ö r p e r a l g e b r a i s c h e r G l e i c h u n g e n , insbesondere nach ihrem Aufbau aus möglichst einfachen Bestandteilen. Diese im Mittelpunkt unseres Interesses stehende Frage behandeln wir in IV durch Darlegung der sogenannten Galoisschen T h e o r i e , die die Struktur jener Körper mit der Struktur gewisser endlicher Gruppen, ihrer G a l o i s g r u p p e n , in engen Zusammenhang bringt. In V beantworten wir schließlich mittels dieser Theorie die Frage nach der A u f l ö s b a r k e i t algeb r a i s c h e r G l e i c h u n g e n durch W u r z e l z e i c h e n , d. h. die berühmte Frage, wann die W u r z e l n einer a l g e b r a i schen Gleichung u n t e r H i n z u n a h m e der (bei festem Grundkörper nicht unbeschränkt und eindeutig definierten) O p e r a t i o n des W u r z e l z i e h e n s b e r e c h n e t w e r d e n können.

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I. Die linken Seiten algebraischer Gleichungen.

I. Die linken Seiten algebraischer Gleichungen. Wir leiten in den §§ 1, 2 dieses Abschnittes im Anschluß an die Entwicklungen von 1 , 1 eine Reihe bedeutsamer Sätze über Polynome aus K her, die mit deren Auftreten als linke Seiten algebraischer Gleichungen zunächst nichts zu tun haben und erst in den folgenden Abschnitten in diesem Sinne angewendet werden. Diese auf den Integritätsbereich Kfz] der ganzen rationalen Funktionen einer Unbestimmten x über einem Grundkörper K bezüglichen Sätze sind das genaue Analogon zu den in der elementaren Zahlentheorie behandelten Sätzen über den Integritätsbereich T der ganzen Zahlen, die sich um den Fundamentalsatz von der eindeutigen Zerlegbarkeit in Primzahlen gruppieren, — ebenso wie auch die Konstruktion des Körpers K(®) der rationalen Funktionen von x über K von K[a] aus ganz analog zu der Konstruktion des Körpers P der rationalen Zahlen von T aus verläuft, nämlich beidemal als Quotientenkörper. Da wir die später vielfach anzuwendende elementare Zahlentheorie hier nicht voraussetzen wollen, leiten wir die genannten Sätze für die beiden Fälle K[a] und T gleichzeitig, d. h. mit denselben, doppelte Bedeutung tragenden Worten und Zeichen her. In den §§ 1, 2 bezeichnen demnach f,g,h,... Elemente aus K[a;] bzw. T. In den §§ 3, 4 dieses Abschnitts entwickeln wir dann mittels der auf den Fall T bezüglichen Resultate der §§ 1, 2 noch einige für die Folge wichtige Begriffe und Tatsachen über Gruppen, Integritätsbereiche und Körper, die bei Voraussetzung der elementaren Zahlentheorie schon an früherer Stelle (1,1 und II) einzufügen gewesen wären. § 1.

Der Fundamentalsatz von der eindeutigen Zerlegbarkeit in Primelemente in K [%] und T, A. Teilbarkeitslehre in einem Integritätsbereich. Der in der Überschrift genannte Fundamentalsatz setzt

1. Der Fundamentalsatz von der eindeutigen Zerlegbarkeit.

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zu seiner genauen Formulierung die Begriffe der sog. Teilb a r k e i t s l e h r e in K[®] bzw. T voraus. Da die gemeinsame Eigenschaft von K[s] und Integritätsbereich zu sein, hinreicht, um diese Teilbarkeitslehre zu entwickeln, legen wir' dabei irgendeinen Integritätsbereich 1 zugrunde. f,g,h,.... sollen dann Elemente aus I bezeichnen. Definition 1. g h e i ß t teilbar d u r c h / oder ein Vielfaches v o n / u n d / ein Teiler von g oder in g enthalten ( B e z e i c h n u n g /1 g, G e g e n t e i l / ^ g), wenn ein / exi^s t i e r t , so d a ß g = / / i s t . Es wird natürlich gefordert, daß f in I existiere. Unsere Bezeichnungsfestsetzungen erlauben es, derartige Zusätze hier und an ähnlichen Stellen fortzulassen. Bs sei aber ausdrücklich betont, daß darauf der Nachdruck in Def. 1 liegt. Würde man auch den Quotientenkörper zu I für die „Existenz" zulassen, so wäre Def. 1 bis auf die Unterscheidung von / =j= 0 und f = 0 trivial. Demgemäß wird die Teilbarkeitslehre inhaltlos, wenn I mit seinem Quotientenkörper zusammenfällt. Für K[x] und T ist das nicht der Fall.

Aus den in 1, § 1 dargelegten Grundeigenschaften der Integritätsbereiche ergeben sich ohne weiteres die folgenden Sätze über Teilbarkeit, auf deren einfache Beweise wir verzichten dürfen 1 ). Satz 1. Es g e l t e n die T e i l b a r k e i t s r e l a t i o n e n e\f, f\f, / [ 0 f ü r j e d e s / , 0 Jf f f ü r /4= 0. Satz 2. Aus f\g, g\h f o l g t /1 h; aus / j | gv f2 | g2 f o l g t fj2\ gtg2, a u s hf\hg,h^0 f o l g t f\g. Satz 3. _ Aus j\g1, f\g2 f o l g t f\ g-ig1 + f ü r bel i e b i g e gv g2. Definition 2. / h e i ß t Einheit, w e n n / | e. Wir bezeichnen Einheiten im folgenden mit a, b. Es gibt solche, z. B. e. I ) Auch für eine Reihe weiterer Sätze des § 1 deuten wir die ganz elementaren Beweise nur durch Hinweis auf die heranzuziehenden frülieren Sätze an.

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I. Die linken Seiten algebraischer Gleichungen.

Satz 4. Die Einheiten von I bilden eine U n t e r gruppe (Normalteiler) der m u l t i p l i k a t i v e n abelschen Gruppe aller Elemente 4= 0 des Quotientenkörpers zu 1. Beweis: Aus ^ | e, a2 1 e folgt ax a.L \ e (Satz 2); es ist e | e

6 a

6 e ist a

(Satz 1); aus a \ e folgt, daß - zu I gehört und -

(Def. 1). Daxaus ergibt sich die Behauptung nach 1, Satz 19, 26 [55, 60] (vgl. auch 1, § 6, Beisp. 1 [53]). Definition 3. Sind von 0 verschiedene f v f 2 naich dem Normalteiler der Einheiten kongruent, d.h. i s t ^ = a , so heißen h und /2 assoziiert.

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klassen nach diesem Normalteiler Klassen assoziierter Elemente.

Die Bestheißen

die

Die Klasse der zu einem Element / 4= 0 assoziierten Elemente wird hiernach durch alle af gebildet, wo a alle Einheiten durchläuft. Für / = 0 mag ebenfalls die Gesamtheit a f , d. h. das einzige Element 0, als die zugehörige Klasse assoziierter Elemente angesehen werden. — Im Sinne von 1, §§ 7—9 erstreckt sich die Restklasseneinteilung nach dem Normalteiler der Einheiten nicht nur auf den Integritätsbereich I, sondern auch auf dessen Quotientenkörper. Wir verfolgen sie hier aber nur im Integritätsbereich I selbst. Wir können das um so eher tun, als die einem / aus 1 entsprechende Klasse ganz zu I gehört.

Aus Def. 1—3 folgt unmittelbar: Satz 5. ^ u n d / 2 sind dann und nur dann assoziiert, wenn / j | /2 und /2 | ist. Nach Satz 2, 5 ist eine Teilbarkeitsrelation / | g gleichbedeutend mit jeder Relation f \ g ' , wo / ' zu /, g' zu g assoziiert ist. Es genügt daher für die Teilbarkeitslehre, aus jeder Klasse assoziierter Elemente nur einen Repräsentanten zu betrachten; doch ist die Auszeichnung eines solchen nach einem durchgängigen Prinzip für allgemeines I nicht möglich (vgl. aber Daf. 7 [13]).

Nach dem Vorhergehenden besitzt jedes g als sog. t r i v i a l e Teiler alle Einheiten und alle zu g assoziierten Elemente. Um diese bequem ausschließen zu können, setzen wir fest:

1. Der Fundamentalsatz von der eindeutigen Zerlegbarkeit.

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Definition 4. / h e i ß t echter Teiler v o n 0 ist.

Es ist zweckmäßig, die Forderung f 4= 0 in normiert aufzunehmen, obwohl 0 ebenfalls ein ausgezeichneter (nämlich einziger) Repräsentant einer Klasse assoziierter Elemente ist. Im Falle K[z] besagt also normiert dasselbe, wie die in der Einleitung eingeführte Bezeichnung P o l y n o m , wenn man von dem einzigen normierten Element 0-ten Grades / = e absieht, das wir der Zweckmäßigkeit halber nicht in den Begriff P o l y n o m aufnahmen. Die von uns befolgte Ausdrucksweise, bei der nur die n o r m i e r t e n Elemente aus K[x] P o l y n o m e genannt werden, ist übrigens nicht allgemein üblich.

Aus Satz 7 folgt unmittelbar, daß Def. 7 wirklich das Gewünschte leistet: Satz 10. In j e d e r von der N u l l k l a s s e v e r s c h i e denen K l a s s e a s s o z i i e r t e r E l e m e n t e e x i s t i e r t ein u n d n u r ein n o r m i e r t e r R e p r ä s e n t a n t . Ferner gilt für normierte Elemente: Satz 11. Mit / u n d g i s t fg u n d , f a l l s g | /, a u c h — normiert. B e w e i s : Im Falle T ist der Satz klar. Im Falle K[z] folgt die Behauptung aus der vorher im Beweis für (3.) [12] verwendeten Multiplikationsformel, angewandt auf fg und auf — l / i l > ••>|/i|>l, was mit einer unendlichen Folge solcher wegen der Ganzzahligkeit der Beträge | f{ \ unverträglich ist. Ist als erstes f r Einheit, so gilt f=aVl---pr, "wo pv . . p T normierte Primelemente sind und a (= f r ) Einheit ist. Damit ist (D2), also D., bewiesen. E. Division mit Rest, größter gemeinsamer Teiler. Satz 13. I s t / =f= 0 u n d g b e l i e b i g , so e x i s t i e r e n eindeutig b e s t i m m t e / und h d e r a r t , daß gilt [|ä| d.h. f ü r / \ \ — h2, u n d n e n n t die z u g e h ö r i g e n K l a s s e n die Restklassen mod. f , den d u r c h sie g e b i l d e t e n R i n g 2 ) d e n Restklassenring mod. f. Falls f =t= 0, werde der Eindeutigkeit halber / als normiert angenommen. — Wir bezeichnen den Restklassenring mod. / im Falle K[x] mit K[x, mod. f(x)], im Falle T mit T/, ferner schreiben wir gelegentlich {h} für die durch das Element h bestimmte Restklasse nach dem jeweils betrachteten Modul.

Wenn auch das zum Restklassenring führende Rechnen mit den Restklassen (1, Satz 8 [22]) sich nicht auf irgendwelche speziellen Repräsentanten zu stützen braucht, so ist es doch für unsere späteren Anwendungen und auch zur Gewinnung eines Überblicks über die Restklassen wichtig, ein möglichst einfaches vollständiges Repräsentantensystem (1, § 2 [17]) für die Restklassen mod. / zu besitzen. Ein solches wird in folgendem Satz genannt: Satz 27. I s t / = 0, so b i l d e t j e d e s E l e m e n t v o n 1 ) Im Falle K|x ] wird übrigens durch diese Hinzufügung von „mod. f(x)" eine Verwechselung mit der Gleichheit in KO] bei der Schreibweise mit Argument x ( i t nach Satz 12 [42]) ausgeschlossen. *) Wir reden hier, etwas allgemeiner als in I, Satz 8 [22], auch in dem dort ausgeschlossenen Falle, daß alle Elemente einander kongruent, also / wegen e= 0 mod. 1 Einheit ist, von einem Hing. Dieser enthält dann nur ein einziges Element, erfüllt also nicht mehr die in 1, § 1, (a.) [7] gestellte Forderung.

2. Restklassenringe in Kfz] und f .

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K[®] bzw. T f ü r s i c h eine E e s t k l a s s e . I s t / = ) = 0 , so wird ein v o l l s t ä n d i g e s R e p r ä s e n t a n t e n s y s t e m der R e s t k l a s s e n mod. / g e b i l d e t d u r c h die E l e m e n t e h m i t der E i g e n s c h a f t \h\ < |/| im F a l l e K|>], i m F a l l e T. B e w e i s : a.) Für / = 0 ist h 2 mod. 0 mit 0 | — h 2 , d. h. mit = h 2 gleichbedeutend. b.) Für / 4= 0 ist wegen der Existenztatsache von Satz 13 [16] jedes Element einem der genannten mod. / kongruent, und wegen der Eindeutigkeitstatsache auch nur einem. Die genannten Elemente repräsentieren also alle Restklassen mod. /, jede einmal. Ausführlich geschrieben lautet das vollständige Repräsentantensystem mod. / für / 4= 0 im Falle K [x]: c 0 -[- c x x + • • • + cn_i x"—1, wenn / vom Grade n > 0, wobei c0, cv ..., en_i alle Systeme von n Elementen aus K durchläuft; 0, wenn / vom Grade 0 (/ = e); im Falle 0 , 1 , . . . , / — 1; hier ist also die Anzahl der Restklassen mod. / e n d l i c h , nämlich /. Aus dem Sachverhalt von Satz 27 motiviert sich die Bezeichnung R e s t k l a s s e n , insofern diese je durch alle Elemente gebildet werden, die bei der Division durch / ein und denselben R e s t ergeben 1 ). Besonders wichtig ist für uns die Feststellung, für welche / der Restklassenring mod. / ein Integritätsbereich oder sogar ein Körper ist. Darüber gibt der folgende Satz Auskunft: Satz 2 8 . D e r R e s t k l a s s e n r i n g mod. / i s t d a n n u n d nur d a n n I n t e g r i t ä t s b e r e i c h , wenn / = 0 o d e r / P r i m e l e m e n t ist. I s t / P r i m e l e m e n t , so i s t er sogar Körper. *) Auch über die speziellen Integritätsbereiche K[x] und T hinaus lassen sich die liestklassen nach Kongruenzrelationen in allgemeinen Integritätsbereichen in eine ähnliche Beziehung zur Division setzen (vgl. 1, Anm. zu Def.6 [21]), wodurch die allgemeine Bezeichnung R e s t k l a s s e n gerechtfertigt wird.

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I. Die linken Seiten algebraischer Gleichungen.

B e w e i s : a.) Ist / = 0, so fällt nach Satz 27 der Restklassenring mit dem Integritätsbereich K[x] bzw. T zusammen. Es sei ferner / = p Primelement. Ist dann g^g2 = 0 mod. p, d . h . p\g1gi, so ist nach Satz 18 [20] p \ g1 oder p [ g2, d. h. g±= 0 mod. p oder g2 = 0 mod. p. Wenn also das Produkt zweier Restklassen {gx} {g2} = 0 ist, ist mindestens einer der Faktoren { g o d e r {g2} = 0, d. h. es gilt das Analogon zu 1, Satz 4 [12] im Restklassenring mod. p. Daß auch das Analogon zu 1, Satz 3 [11] gilt, ist klar, weil {e} das Einselement des Restklassenrings ist. Also ist dieser zunächst Integritätsbereich. Er ist aber sogar Körper. Denn ist g ^ 0 mod. p, d. h. p Jf g, also p prim zu g (Satz 17 [20]), so kann nach Satz 14 [18] ph* + gg* = e, also bei vorgegebenem h auch pA + gg = h gesetzt werden. Die letztere Relation besagt aber, daß gg = h mod. p ist, d. h. daß {?} (?) = W °der {