Grundstrukturen der Analysis I. [Reprint 2021 ed.] 9783112542200, 9783112542194

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W. G A H L E R

GRUNDSTRUKTUREN DER ANALYSIS I

M A T H E M A T I S C H E L E H R B Ü C H E R UND M O N O G R A P H I E N H E R A U S G E G E B E N VON D E R AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN DER DDR Z E N T R A L I N S T I T U T F Ü R M A T H E M A T I K UND M E C H A N I K

II. ABTEILUNG

MATHEMATISCHE

MONOGRAPHIEN

B A N D 41

G R U N D S T R U K T U R E N D E R ANALYSIS I VON

W. G Ä H L E R

AKADEMIE-VERLAGBERLIN 1977

GRUNDSTRUKTUREN DER ANALYSIS I von

WERNER GÄHLER Zentralinstitut für Mathematik und Mechanik der Akademie der Wissenschaften der D D R

A K A D E M I E - V E R L A G B E R L I N 1977

Erschienen im Akademie-Verlag, 108 Berlin, Leipziger Straße 3—4 © Akademie-Verlag Berlin 1977 Lizenznummer: 202 . 100/568/77 Gesamtherstellung: VEB Druckerei „Thomas Müntzer", 582 Bad Langensalza Bestellnummer: 7617905 (6071/1) • LSV 1035 Printed in GDR DDR 48, - M

VORWORT

I n der Monographie wird ein systematischer Aufbau der Analysis unter Benutzung des Limitierungsbegriffs vorgenommen. Insbesondere werden die Theorie der Limesräume und limesuniformen Räume, die limitierte Algebra und die allgemeine Differentialrechnung entwickelt. Die Notwendigkeit, den Topologiebegriff abzuschwächen und ihn durch den — wie sich zeigt — bedeutend leistungsfähigeren Begriff der Limitierung zu ersetzen, ergibt sich bei einer Reihe von Problemen in Abbildungsräumen. Wir führen zwei Beispiele an. Bekanntlich existiert zu topologischen, ja sogar zu separierten topologischen Räumen X und Y im allgemeinen keine gröbste Topologie von C(X, Y), bezüglich der die Evaluationsabbildung a> von C(X, Y) X X in Y stetig ist, was zur Folge hat, daß die Kategorien aller topologischen Räume und aller HAUSDOBFF-Räume nicht cartesisch abgeschlossen sind. Es existiert aber stets eine gröbste Limitierung von C(X, Y), bezüglich der a> stetig ist, und die Kategorien aller pseudotopologischen und aller separierten pseudotopologischen R ä u m e sind cartesisch abgeschlossen. Nach dem Satz von KELLEE-MAISSEN gibt es zu separierten lokalkonvexen topologischen Vektorräumen X und Y nur dann eine Vektorraumtopologie von L(X, Y), bezüglich der die Evaluationsabbildung von L(X, Y) x X in Y stetig ist, wenn X normierbar ist, weshalb zum Beispie] die Kategorien aller topologischen Vektorräume und aller separierten lokalkonvexen topologischen Vektorräume bezüglich Tensorprodukte keine abgeschlossenen Kategorien bilden. Die Kategorien aller pseudotopologischen Vektorräume und aller in einem engeren Sinne separierten lokalkonvexen pseudotopologischen Vektorräume sind hingegen, als symmetrische monoidale Kategorien bezüglich Tensorprodukte, abgeschlossen. Die konsequente Benutzung des Limitierungsbegriffs f ü h r t zu wichtigen Fortschritten in einer Reihe von Teilgebieten der Analysis, etwa der allgemeinen Differentialrechnung u n d der Dualitätstheorie. Wir gehen auf die erwähnten Probleme im Kapitel über Abbildungsräume im zweiten Band der Monographie genauer ein. Der erste Band besteht aus vier Kapiteln. Das erste Kapitel enthält die Mengenlehre. Sie wird relativ ausführlich dargestellt. Unter anderem werden in ihr Hilfsmittel f ü r die Filtertheorie bereitgestellt und Grundlagen f ü r die in den späteren Kapiteln vorgenommenen kategorientheoretischen Untersuchungen gebracht. I m zweiten Kapitel wird auf den Begriff des A-Ideals u n d den dualen Begriff des v-Ideals eingegangen, A- und v-Ideale im Teilmengenverband

Vorwort

VI

einer Menge sind gerade die Filter und Dualfilter in dieser Menge. Der allgemeine Konvergenzbegriff wird mittels A-Idealen im Filterverband einer Menge und eine Verallgemeinerung des Bornologiebegriffs, der Begriff der Hypobornologie, mittels A-Idealen im Dualfilterverband einer Menge definiert. I n dem dritten und vierten Kapitel wird die Theorie der Limesräume und der limesuniformen R ä u m e entwickelt, und zwar weitgehend in Anlehnung an die Kategorientheorie. Eine Orientierung über die umfangreiche vorhandene Literatur ist durch das Literaturverzeichnis möglich, es bezieht sich auch auf den zweiten Band. I n wichtigen Fällen sind im Text Literaturhinweise angeführt. Der Autor ist mehreren Kollegen f ü r wertvolle Hilfe und Verbesserungsvorschläge zu D a n k verpflichtet, insbesondere Herrn G. K N E I S f ü r die kritische Durchsicht des gesamten Manuskripts u n d den Herren M. KüHiTRiCH u n d K.-P. R U D O L P H f ü r die kritische Durchsicht von Teilen des Manuskripts. Dankbar erwähnt sei, daß mehrere Fachkollegen, insbesondere die sowjetischen Kollegen W. I. A W E E B U C H und 0 . G. SMOLJANOW, mit dem Autor wertvolle Gespräche über das im Buch behandelte Gebiet geführt haben. Schließlich möchte der Autor dem Verlag danken, der stets den Wünschen des Autors mit freundlicher Bereitwilligkeit entgegengekommen ist. Berlin, 1976

W . GÄHLEB

INHALTSVERZEICHNIS

1. Mengenlehre 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9. 1.10. 1.11. 1.12. 1.13. 1.14. 1.15. 1.16. 1.17.

Zum Klassenbegriff Über Klassenbildung Mengentheoretische Operationen Die leere Klasse und die Allklasse Vereinigung und Durchschnitt der Elemente einer Klasse, Potenzklassen . . Einer-, Zweier-, Dreierklassen usw. Geordnete Paare, cartesische Produkte Relationen . Spezielle Relationen Abbildungen Familien Weitere Definitionen bezüglich Familien Ordnungen Ordinalzahlen Natürliche Zahlen Das Auswahlaxiom Kardinalzahlen

2. Filtertheorie 2.1. 2.2 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10. 2.11. 2.12.

Verbände A-Ideale Gitter Filter Induzierte Filterabbildungen Produktfilter Filter in Mengenprodukten Gefilterte Familien, Netze, Folgen Dualfilter A-Ideale von Filtern A-Ideale von Dualfiltern Über Systeme von A-Idealen von Dualfiltern

3. Limesräume 3.1. 3.2. 3.3.

Kategorien Projektive und induktive Limites Limesräume und pseudotopologische Räume

1 1 2 5 6 7 8 10 12 16 18 20 22 27 31 35 37 39 44 44 49 58 61 65 68 72 80 87 92 97 102 111 113 120 143

Vili 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8. 3.9. 3.10. 3.11. 3.12. 3.13. 3.14. 3.15. 3.16. 3.17. 3.18. 3.19.

Inhaltsverzeichnis Mehrstufig topologische und topologische Bäume Vergleich von Limitierungen Stetige Abbildungen, die Kategorie der Limesräume Trennungsaxiome Initiallimitierungen Teilräume Produkträume Projektive Limites in der Kategorie der Limesräume und in Unterkategorien Finallimitierungen Quotientenräume Summenräume Induktive Limites in der Kategorie der Limesräume und in Unterkategorien Kompaktheitsbegriffe CHOQUETsche Limesräume Zusammenhang und lokaler Zusammenhang Durch konvergente Folgen bestimmte Konvergenzstrukturen

4. Limesuniiorme Bäume 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. 4.9. 4.10. 4.11. 4.12. 4.13.

148 162 171 180 194 200 205 216 220 230 236 242 252 270 277 280 294

Limesuniforme, pseudouniforme und uniforme Bäume 295 Vergleich limesuniformer Strukturen 306 Limesuniformisierbarkeit 312 Gleichmäßig stetige Abbildungen, die Kategorie der limesuniformen Bäume 317 Limesuniforme Initialstrukturen 322 Teil- und Produkträume 326 Projektive Limites in der Kategorie der limesuniformen Bäume und in Unterkategorien 332 Limesuniforme Finalstrukturen 335 Quotienten- und Summenräume 345 Induktive Limites in der Kategorie der limesuniformen Bäume und in Unterkategorien 354 Gleichmäßig OHOQUETSche limesuniforme Bäume 361 Vollständigkeit 366 Vervollständigung limesuniformer Bäume 372

Literaturverzeichnis

388

Symbolverzeichnis

404

Sachverzeichnis

407

Grundstrukturen der Analysis II INHALTSÜBEBSICHT 5. Limitierte Algebra 6. Mengenkonvergenz 7. Abbildungsräume S. Differentialrechnung

1.

M E N G E N L E H R E

Im vorliegenden Buch wird ausführlich von der Mengenlehre Gebrauch gemacht. Wir gehen zuerst auf diese ein und führen in knapper Form einen auf B E R N A Y S , G Ö D E L und VON N E U M A N N zurückgehenden axiomatischen Aufbau derselben an, und zwar in starker Anlehnung an den von J . L. K E L L E Y angegebenen Aufbau der Mengenlehre in seinem Lehrbuch über Topologie [1]. Wegen ausführlicherer Darstellungen sei auf die einschlägige Literatur verwiesen, etwa auf die Bücher über Mengenlehre von J . S C H M I D T [ 5 ] und D. K L A U A [ 1 ] . Während in S C H M I D T [ 3 ] ebenfalls eine Axiomatisierung nach B E B N A Y S , G Ö D E L und VON N E U M A N N vorgenommen wurde, ist in K L A U A [ 1 ] eine Axiomatisierung angegeben, die sich durch eine Verschmelzung der R u s s E L L s c h e n Typentheorie und des auf B E R N A Y S , G Ö D E L und V O N N E U M A N N zurückgehenden Aufbaus der Mengenlehre ergibt.

1.1. Zum Klassenbegriff Bei Mengen denkt man intuitiv an Zusammenfassungen wohlunterschiedener Objekte zu Gesamtheiten. Beispiele von Mengen sind die Menge N+ aller positiven natürlichen Zahlen 1, 2, 3, ... , die Menge N aller natürlichen Zahlen 0, 1, 2, ... , die Menge Z aller ganzen Zahlen ... , —2, —1, 0, 1, 2, ... , die Menge Q aller rationalen Zahlen, die Menge R aller reellen Zahlen und die Menge C aller komplexen Zahlen. Der Begriff der Menge wird in der Mathematik nicht definiert. Man legt durch Vorschriften die Benutzung dieses Begriffs fest. Diese Vorschriften werden bei einem axiomatischen Aufbau der Mengenlehre gegeben. Es sind verschiedene axiomatische Mengenlehren entwickelt worden. Wir führen hier eine Axiomatisierung an, die auf B E B N A Y S , G Ö D E L und VON N E U M A N N zurückgeht. Sie hat gegenüber den beiden anderen geläufigsten Axiomatisierungen, die in der R u s S E L L S c h e n Typentheorie und der Z E R M E L O - F R A E N K E L s c h e n Mengenlehre vorgenommen werden, zum Beispiel den Vorteil, daß in ihr der von E I L E N B E K G und M A C L A N E herrührende wichtige Begriff der Kategorie in größerer Allgemeinheit erfaßt wird. Typisch für den Aufbau der Mengenlehre nach B E B N A Y S ,

2

1. Mengenlehre

G ö d e l und von Neumaott ist, daß in ihr nicht von Mengen, sondern sogenannten Klassen ausgegangen wird. Als Undefinierten Term haben wir neben Klassen noch eine zweistellige Relation 6 zwischen Klassen, die Elementbeziehung. Alle Variablen wie x, y, z, u, v, w, I , Y, Z, U, V, W, ... repräsentieren Klassen, und für zwei Klassen x und I ist x € X entweder richtig oder falsch. Gilt x e X, so sagen wir, daß x ein Element der Klasse X ist, und auch, daß x der Klasse X angehört. Für die Negation von x e X schreiben wir x $ X. Wir definieren die sogenannte Enthaltenseinsbeziehung oder Inklusion g , indem wir genau dann I E J setzen, wenn jedes Element von X ein Element von Y ist. Für I g 7 sagen wir auch, daß X eine Teilklasse von Y ist, X in Y enthalten ist, Y eine Oberklasse von X ist oder Y die Klasse X enthält, und schreiben dafür auch Y 3 X. Für die Negation von I g Y schreiben wir I | y und i | I . Wir definieren Klassen genau dann als gleich, wenn ihnen dieselben Elemente angehören, setzen also genau dann X = Y, wenn I G T und r g l ist. Für die Negation von X = Y schreiben wir X 4= Y. Es gelten natürlich die bekannten Gleichheitseigenschaften, die Reflexivität ( 1 = 1 ) , die Symmetrie (X = Y hat Y = X zur Folge) und die Transitivität (aus X = Y und Y = Z folgt X = Z). Die Inklusion ist reflexiv ( X g X), antisymmetrisch ( I g Y und 7 g l zieht X = Y nach sich) und transitiv ( I g ! und F g Z hat X S Z zur Folge). Ist I g 7 und I =(= Y, so schreiben wir auch X^Y und Y J I und nennen I eine echte Teilklasse von Y oder Y eine echte Oberklasse von I . Die Gleichheitsdefinition gestattet die Substituierbarkeit der zweiten Klassenvariablen in x e I , d. h., aus x e I und I = Y folgt x 6 Y. Um auch die erste Klassen variable in x e I ersetzen zu können, fordern wir die Gültigkeit des folgenden Extensionalitätsaxioms: Axiom I. Aus x e I und x = y folgt y e I .

1.2. Über Klassenbildung Eine Klasse, die Element von wenigstens einer Klasse ist, wird eine Menge1) genannt. Alle übrigen Klassen heißen Unmengen. Wir wollen Klassen mittels Eigenschaften bilden. Offensichtlich können wir nicht alle Klassen, die eine gewisse Eigenschaft besitzen, zu einer Klasse zusammenfassen, da darunter Unmengen sein könnten und diese keiner, also auch nicht der zu bildenden Klasse angehören würden. Wir müssen somit einschränkend fordern, daß zur Klassenbildung nur Mengen zugelassen sind. Bevor wir auf diese genauer eingehen, haben wir noch zu präzisieren, was wir hier unter einer Eigenschaft bzw., wie wir dafür auch sagen, einem zulässigen Ausdruck verstehen wollen. Wir definieren diesen Begriff rekursiv unter Bel)

Anstelle Menge sagen wir zum Teil auch Gesamtheit oder System.

3

1.2. Über Klassenbildung

nutzung der logischen Verknüpfungen

in Zeichen

nicht ~~| und A oder v wenn . . so genau dann . . wenn o für alle x mit \/x es gibt ein x, so daß 3x Zu den zulässigen Ausdrücken zählen wir erstens alle einfachen Ausdrücke (x € y), auch (x 6 x). Ferner vereinbaren wir, daß sich ein beliebiger zulässiger Ausdruck, ausgehend von den einfachen Ausdrücken, in endlich vielen Schritten entsprechend den folgenden Regeln zusammensetzt: 1. Ist A ein zulässiger Ausdruck, in dem eine Variable x frei vorkommt, so sind auch \/x A und 3x A zulässige Ausdrücke. Wir sagen dabei, daß eine Variable x in A frei vorkommt, wenn sie in A vorkommt, aber nicht \/x oder 3x in A auftritt. Kommt Vx oder 3x in einem zulässigen Ausdruck A vor, so sagen wir, daß die Variable x in A gebunden vorkommt. 2. Ist A ein zulässiger Ausdruck, so auch ~~] A. 3. Sind A und B zulässige Ausdrücke derart, daß jede Variable, die in A und B auftritt, in A und B frei oder in A und B gebunden vorkommt, so sind auch (A A B), (A v B), (A B) und (A B) zulässige Ausdrücke. Beispiele für zulässige Ausdrücke sind ((a; 6 X) A (x e F)) und \/x(x 6 y). x kommt im ersten Ausdruck frei und im zweiten Ausdruck gebunden vor. Es ist daher 3x \/x(x e y) wegen Regel 1 und (((« e X) A {x € Y)) Wx(x e y f j wegen Regel 3 kein zulässiger Ausdruck. Bei der Wiedergabe zulässiger Ausdrücke lassen wir häufig Klammern weg, die für eine eindeutige Lesbarkeit entbehrlich sind, zum Beispiel schreiben wir {x e X A x e Y) für [(x e X) A (x e F)). Zur weiteren Klammereinsparung verabreden wir, daß die Pfeile und o stärker trennen als A und v. Für zulässige Ausdrücke A, B und C können wir daher anstelle ( 4 ( 5 v C)) einfach (A B v C) und anstelle [(A A B) C) einfach ( i A Ü 4 C) schreiben. Außerdem schreiben wir V x t X A

für

\/x(xe

3 x e XA

für

3x (x € X

A)

und A

A) .

Zum Teil benutzen wir bei zulässigen Ausdrücken die Umgangssprache und schreiben etwa (A, B und C) für ( 4 A ß A C). Mit Beginn des Kapitels 2 über Filtertheorie reservieren wir die Zeichen A und v zur Bezeichnung verbandstheoretischer Durchschnitte und Vereinigungen. Selbstverständlich verwenden wir zur vereinfachten Darstellung zulässiger Ausdrücke auch die eingeführten Definitionen.

4

1. Mengenlehre

Wir setzen im weiteren die Gültigkeit des folgenden Klassenbildungsaxioms voraus: Axiom II: Ist A ein zulässiger Ausdruck, in dem die Variablen x, u,... , w und nur diese frei vorkommen und die Variable X nicht auftritt, so existiert zu beliebigen Klassen u, ... , w eine Klasse X, die als Elemente genau alle Mengen x hat, für die A gilt. Der Fall, daß in A nur x frei vorkommt, soll natürlich mit enthalten sein. X hängt dann von keiner weiteren Klasse ab. Das Axiom I I besagt, daß zu den Klassen u, ... , w mindestens eine Klasse X existiert, die als Elemente alle Klassen x hat, die Mengen sind und für die A gilt. Aus der Gleichheitsdefinition ergibt sich unter Berücksichtigung des Extensionalitätsaxioms, daß es höchstens eine und damit genau eine derartige Klasse X gibt. Wir bezeichnen sie mit {x\A}.

(1.2.1)

Da die Terme {x \ A} (von den „Parametern" u, ... ,w abhängige) Klassen bezeichnen, verwenden wir sie natürlich rechts und links vom 6-Zeichen. Mit y 6 {x | A) meinen wir dann zum Beispiel, daß y eine Menge ist, für die B gilt, wobei B der zulässige Ausdruck ist, der aus A entsteht, indem bei diesem überall x durch y ersetzt wird. Mit Y = {x \ A} meinen wir, daß y 6 {x | A} für alle Elemente y von Y gilt und daß alle Mengen x, für die A gilt, auch Elemente von Y sind. Es ist zweckmäßig, neben (1.2.1) noch weitere ähnliche Bezeichnungen einzuführen. T sei ein Term (1.2.1) und B ein zulässiger Ausdruck, in dem die Variable x nicht auftritt, y sei eine weder in A noch in B vorkommende weitere Variable. Jede Variable, die sowohl in A als auch in B auftritt, komme entweder in A und B frei oder in A und B gebunden vor, so daß (y = T und B) ein zulässiger Ausdruck ist. r, ..., t seien in A frei vorkommende Variablen; u, ..., w seien alle übrigen Variablen, die in A oder B frei vorkommen. Wir vereinbaren, {T | B)

für

{y \ 3r - 3t (y = T und B)}

(1.2.2)

zu schreiben, und nennen { T \ B} die von u, ... , w abhängige Klasse aller Mengen T, für die B gilt. I m allgemeinen darf diese Schreibweise nur benutzt werden, wenn klar hervorgeht, welche Variablen als „Parameter" u, ... , w auftreten. Haben wir speziell als T den Term {x \ x € r / \ x e u} — wir schreiben dafür r n u — und als B den Ausdruck r e v, so ist, falls u und v als Parameter auftreten, {r n u \ r 6 u} = {y | 3r (y = r n u und r e v)j . Die durch (1.2.2) eingeführte Schreibweise schließt wegen r = {x \ x 6 r) die Schreibweise (1.2.1) ein. Ist X eine von x,y,r, ... , t verschiedene Variable, die weder in A noch in B gebunden vorkommt, so schreiben wir {T 6 X | B)

für

{y\3r-3t(y=T,yeX

und £ ) }

1.3. Mengentheoretische Operationen

5

und nennen { T € X \ B) die von u,..., w, X abhängige Klasse aller Mengen T, die X angehören und für die B gilt. Für jeden zulässigen Ausdruck A, jede Variable x, die in A frei vorkommt, und jede Variable X, die in A nicht gebunden vorkommt, schreiben wir speziell für

{xeX\A}

{x | x e X und A} ,

also für {y | 3x (y = x,y 6 X und A)}.

1.3. Mengentheoretische Operationen Sind X und 7 zwei Klassen, so definieren wir als Vereinigung von X und 7 die Klasse Z u Y = {x I z e X v z e

7},

als Durchschnitt von X und Y die Klasse I n Y = {x\xe

X Axe

Y}

und als Differenz von X und Y die Klasse X\Y

=-{x\

« I A J «

Y}

.

Da i d v i f Y, x £ X A x € Y und ebenfalls x 6 X A x 3 Y zur Folge hat, daß x eine Menge ist, bestehen die Äquivalenzen a; e X u Y ö ! t c i v j ; e Y , und

x e X r\ Y x X

€X \ Y ^

X

€X

6

X

A

A X I

x€ J Y .

1.3.1. X, Y und Z seien Klassen. Dann gilt 1. (X u Y) u Z = X u (Y u Z) und (X n Y) n Z = X n (T n Z) (Assoziativität), 2. XuY=YuX

und X n Y = Y n X (Kommutativität),

3. X u X = X und I n I

= I (Idempotenz),

4. X n ( 7 u X) = X und X u (T n X) = X (Absorption), 5. X n ( 7 u Z) = (X n 7 ) u (X n Z) und X u ( 7 n Z) = (X u 7 ) n (X u Z) (Distributivgesetze),

6. I \ ( I \ r ) = I n 7 und 7. X \ ( 7 uZ) = (X\ 7 ) n (X\Z) (Regeln von D E M O B G A N ) .

und X\(Y

n Z) = (X \ 7 ) u ( X \ Z )

Beweis. Die Beziehungen 1 bis 5 folgen ohne Mühe, so daß wir darauf nicht eingehen.

6

1. Mengenlehre

x e X \ (X \ Y) ist äquivalent zu a ; e J Í A : r € X \ r . Da í í I \ I genau dann gilt, wenn eine der beiden Beziehungen x i X bzw. x € Y besteht, und nicht gleichzeitig x 6 X und x 5 X sein kann, ergibt sich, daß x € X \ (X \ Y) äquivalent zu x e X A x e Y, also zu. x € X n Y ist. Daher gilt 6. x 6 X \ (Y u Z) ist äquivalent zux € X AX $ Y uZ. Ferner ist x € Y uZ äquivalent zu x € Y A x í Z. Damit folgt leicht, daß i e l \ ( í u Z) äquivalent zu x e (X \ Y) n (X \ Z) ist. Es gilt die linke Beziehung von 7. Entsprechend einfach beweist man die rechte Beziehung von 7 . |

1.4. Die leere Klasse und die Allklasse Wir führen zwei wichtige spezielle Klassen ein, erstens die leere Klasse 0 = {x | x =|= x} und zweitens die Allklasse f(x) (x g db/) anstelle / schreibt. Man gibt auch Abbildungen dadurch an, daß m a n x i-> f(x) (x € db/) oder, wenn der Definitionsbereich festgelegt ist, x i-> f(x) anstelle von / schreibt. J e d e Abbildung / ist gleich der Klasse {(x, f(x)) | x € db/}, die im allgemeinen als Graph dieser Abbildung bezeichnet wird. Wir unterscheiden also nicht zwischen Abbildungen und den Graphen dieser Abbildungen. Eine Abbildung / heißt eineindeutig, wenn die inverse Relation / _ 1 ebenfalls eine Abbildung ist; / - 1 heißt dann inverse Abbildung oder Umkehrabbildung von /. Offensichtlich gilt: 1.10.1. Zu jeder Abbildung f und Klasse X ist /[X] = {f(x) \ x € X n d b / } . Ist f eine (eineindeutige) Abbildung, so ist auch jede Einschränkung von / , allgemeiner jede Relation g mit g g / , eine (eineindeutige) Abbildung. Wenn f und g (eineindeutige) Abbildungen sind, so sind auch g ° / , und g * / (eineindeutige) Abbildungen. Sind f und g Abbildungen, so gilt (g ° f)(x) = g ( f ( x f j zu beliebigem x e db(iu n ••• n b„„ gibt, so daß zu jedem G 6 © ein L e £ mit L[G] e § existiert. Wir finden daher zu jedem U e 11 A-Ideale Ify, ... , lt)m € SB derart, daß zu jedem § £ tDj n ••• n tüm ein % e u existiert, so daß es zu beliebigem F e ein K e ® und ein L e £ mit L[K[F]] = (L oK) [ f ] e § gibt. £ i ® ist daher USB-treu. | Wir kommen nun zu Systemen von A-Idealen von Dualfiltern in cartesischen Produkten. Wir nehmen dazu an, daß X speziell das cartesische Produkt JJ Xt iel

einer Familie mit einer nichtleeren Menge als Indexbereich ist. Ist 3Si zu beliebigem i e I ein System von A-Idealen von Dualfiltern in Xit so setzen wir IT 33< = { i J t>i | t>{ e SS« zu beliebigem i e 1}

UI

und nennen

iel

/7eSSi

das einfache Produkt der 23i. Wenn speziell I = {1, ... , n) ui zu einem ne N+ ist, schreiben wir für 77® SS* auch 33a X e — X" 23nUI

Zu beliebigem i e I sei nt die i-te natürliche Projektion von X. 2.12.8. SS sei eine Menge von A-Idealen von Dualfiltern in X und zu beliebigem i e l ferner 23« eine Menge von A-Idealen von Dualfiltern in Xt. Es gilt 23 ^ IJe 23i => Jede Projektion 7it ist SS, Sir treu. iel

Wenn die SSi Basen von A-Idealen von JXt die Umkehrung zu.

sind oder I endlich ist, trifft auch

B e w e i s . Gilt SS ^ /T23 n bin e ZT SS« mit n b a n - n II biM g b und daher mit

UI

UI

UI

UI

UI

n (ti,-i n ... n biM) s b . ui Ist eines der A-Ideale b a n ••• n bin uneigentlich, so auch b und damit zu beliebigem i € I auch 7ii(b), so daß dann b.a n ••• n Üin G 7r£(ö) für jedes i e l gilt. Wegen (2.11.4) gilt b t l n ••• n Ö,-„ gj 7fi(Ü) für jedes i e l ebenfalls, wenn 8*

108

2. Filtertheorie

alle b ix n ••• n biM eigentlich sind. Aus 23 6 SS und i e l endlich viele b i l ; ... , b iB( i) e SSi mit b^ n ••• n b i n ( i ) £ 7it{ b). Wegen (2.11.5) und (2.12.12) folgt J7 (b tl n ••• n b in(i) ) £ b. Sind die SS« Basen von A-Idealen, iel so kann stets n(i) = 1 angenommen werden, und es ergibt sich dann ÜB ^ 77" SSiWenn I endlich ist, erhält man

n

(ii)if/E n Ni iel wegen 2.11.5, wobei stets N(= auch SS ^ TT SSt. I

n t>i}l £ ö

{1, ... , n(i)} gesetzt ist. Dann gilt natürlich

Wir verstehen zu beliebigem i e I und a e X unter der natürlichen Einbettung von Xi in X bez. a die durch

{

Xi

bei

7ij(a)

bei

j = i {XieXt)

definierte Abbildung iia von Xf in X. iia ist ein Abbildungskomplex (7ij ° iia)i e i, der als i-te Komponente jit ° ita die identische Abbildung von Xt auf sich hat und für den zu beliebigem j =j= i die j-te Komponente ji] ° t ia diejenige konstante Abbildung ist, die jedem Element von Xt die ?'-te Komponente von a zuordnet. Zu beliebigem j e I bildet jti ° iia die ¿-te Komponente von a auf die j-tc Komponente von a ab, so daß (iia ° 7ij) (a) = a gilt. 2 . 1 2 . 9 . a sei ein Element von X, SS ein System von A-Idealen von in X und zu beliebigem i e I ferner SSi ein System von A-Idealen von in Xi. Dann gilt zu beliebigem i 6 I ne U i , ^ SS

te/

Dualfiltern Dualfiltern

iia ist SSi, SS-treu ,

wobei U« = SSi und H,;J = {[(rrj(a))]} bei j 4= i ist. Ist I endlich, so trifft auch die Umkehrung zu. B e w e i s . Gegeben sei ein i e l . Gilt 77e U„ £ 77 Uj,, wobei U 4i = b 4 iel und Uij = [(nj(a))] bei j =j=i ist. Nun gilt aber die Beziehung 77 Uu £ liaCOi), jel und, wenn I endlich ist, trifft bei dieser sogar das Gleichheitszeichen zu. Damit ergibt sich die Richtigkeit der Behauptung. |

2.12. Über Systeme von A-Idealen von Dualfiltern

109

Wir gehen nun auf die Spezialfälle ein, daß die Systeme von A-Idealen von Dualfiltern aus Mengensystemen, Dualfiltersystemen bzw. Filtersystemen erzeugt werden. Ist 33« zu beliebigem i e I ein System von Teilmengen von JC«, so setzen wir TV 58 f = { I I Bi I Bi € SSi zu beliebigem i e 1} UI itl und nennen ]Je 93; das einfache Produkt der 35«. Ist speziell / = {1, ... , n) zu iel einem n € N+, so schreiben wir f ü r JJe 33« auch X" ••• X e 93n. Wenn die 33« ial Dualfilter in X« sind, ist J p 58« eine Basis des in Abschnitt 2.9 definierten Dualfilterprodukts 77 93«. itl Wie mittels 2.9.6 und 2.11.4 folgt, gilt stets ß[n° 33*] ^ TV ß&i] u n d trifft UI iel bei dieser Beziehung bei endlichem I das Gleichheitszeichen zu, dabei sind die ß( die entsprechend wie ß definierten Abbildungen von PX 4 in j f X t . Zum Teil damit und zum Teil auch direkt ergibt sich das folgende Analogon zu 2.12.8 und 2.12.9. 2.12.10. 33 sei ein System von Teilmengen von X und zu beliebigem i e I ferner 33« ein System von Teilmengen von JC«. Es gilt 33 i i IIe 33 i ¿€j

Jede Projektion jr» ist SS,33i-treu .

Wenn die 33« Basen von Dualfiltern in Xt sind oder I endlich ist, trifft auch die Umkehrung zu. Zu jedem a e X und i t l gilt ferner IT i€l

^ 33 =» Ha ist 33«,93- Y mit COQ == VQCO (C € Ob®) und. daher mit "c, E = ¡¿(C)E vca) (C 6 Ob®, E e Ob©). Y, zusammen mit (ju(C)E v0)(C: £ ) e 0 b o x® ist daher ein projektiver Limes von T. N u n sei Y, zusammen mit einer Familie von Morphismen [ic, E: Y -* T(G, E) (C € Ob®, E € Ob©), ein projektiver Limes von T. Zu jedem C e Ob® existiert ein eindeutig bestimmter Morphismus vc: Y —• L(C) mit (ac> E = /u(C)E vc. Zu jedem Morphismus f: C —• D von ® folgt mittels (3.2.7) p(D)B L ( f ) vc = T ( f , 1Ä) M(C)B vc = fi(D)E vD u n d damit L ( f ) vc = vB. Sind OJc: Z -* L(C) (G 6 Ob®) Morphismen, f ü r die L(j) o)c = (oD f ü r jeden Morphismus / : C — D von ® gilt, so folgt mittels (3.2.7) f ü r jeden Morphismus (/, g): (C, E) — (D, F) von ® X © T

(f> g)

A>C = t0-D> g) P{d)E A>D = MD)F I»D

und damit, daß ein eindeutig bestimmter Morphismus a>:Z —» Y mit fi{C)E a>c = v m c (C e Ob®, E 6 Ob©) und daher mit coc = vcco (C € Ob®) existiert. Y, zusammen mit (vc)ceOb^> ist daher ein projektiver Limes von L. | B e m e r k u n g . Offenbar gilt dieser Satz auch bezüglich der umgekehrten Reihenfolge von ® und ©, d. h., ist zu jedem E e Ob© stets M(E), zusammen mit einer Familie [ f i { E e i n projektiver Limes von T.E, so erhalten wir entsprechend einen F u n k t o r M: © —• © mit den Eigenschaften: T besitzt genau d a n n einen projektiven Limes, wenn M einen projektiven Limes hat. Ist Y, zusammen mit einer Familie (vE)Ef0hg, ein projektiver Limes von M, so ist Y, zusammen mit (fi(E)Dvjs)(d, £>eob(®xe) e i n projektiver Limes von T. Damit erhalten wir: 3.2.7 (Yertauschungssatz). Sind ® und © nichtleere kleine Kategorien und besitzt jeder Funktor von ® in © und von © in © einen projektiven Limes, so hat auch jeder Funktor T von ® X © in © einen projektiven Limes und dieser läßt sich sowohl auf die in 3.2.6 angegebene Art als auch auf die in der Bemerkung nach 3.2.6 angegebene Art darstellen.

3.2. Projektive und induktive Limites

129

Wir überlassen es dem Leser, diesen Satz für die in den folgenden Abschnitten auftretenden speziellen Kategorien, insbesondere in den Fällen, daß TB. und T.E Differenzkerne oder Produkte definieren, zu formulieren. I m weiteren kommen wir zu den für die Konstruktion von projektiven Limites nützlichen Begriff des an einen Funktor gebundenen Produkts. F sei für das Folgende ein treuer Funktor einer Kategorie K in eine Kategorie &. (Xi)ieI sei eine Familie von Objekten von E, E ein Objekt von S und (Pi)tez eine Familie von Morphismen pt: E —* V(Xt) (i e I) von (£. Wir nennen ein Objekt X von © mit F(X) = E, zusammen mit einer Familie von Morphismen (pü X ->• Xi(i e I) mit V(: X —• Y von (I existiert, so daß das Diagramm

natürliche Transformation von X$> nach Fj,, die jedem Objekt D von ® den Morphismus m zuordnet. Durch Dualisierung von 3.2.1 folgt, daß induktive Limites bis auf Isomorphie bestimmt sind. Durch Dualisierung der angeführten Beispiele projektiver Limites folgt, daß Differenzcokerne und Coprodukte spezielle induktive Limites sind. Aus 3.2.2 folgt durch Dualisierung: 3.2.14 (Existenz induktiver Limites). Dafür, daß für jeden Funktor einer beliebigen kleinen Kategorie in eine Kategorie 6 ein induktiver Limes existiert, ist notwendig und hinreichend, daß jedes Paar von Morphismen von © mit gleicher Quelle und gleichem Ziel einen Differenzcok'ern und jede Familie (Xi)ieI von Objekten von (J, die eine Menge als Indexbereich hat, ein Coprodukt besitzt. Nach 3.1.5, 3.1.6 und diesem Satz besitzt jeder Funktor einer kleinen Kategorie in die Kategorie aller Mengen einen induktiven Limes. I n der Kategorie aller Mengen und ebenfalls in einer Reihe anderer Kategorien liegt eine natürliche Auswahl vor. I n ENS gilt 3.2.15 (Induktive Limites in ENS). T sei ein Funktor einer kleinen Kategorie ® in ENS. Q sei die kleinste Äquivalenzrelation in der Mengensumme X = T(D), J>€Ob$

bezüglich der (D,y) und [E, T{f)(y)) zu jedem Morphismus f: D —• E von % und jedem y € T(D) äquivalent sind. iD sei zu beliebigem D € Ob® die natürliche Injektion von T{D) in X und x die kanonische Abbildung von X auf die Quotientenmenge X/Q. Dann ist X/Q, zusammen mit der Familie der Abbildungen cpD = x ° iD {D 6 Ob®), ein induktiver Limes von T. Es gilt X/Q

=

U

WB (D = Ob®), ein induktiver Limes von T. Es gilt X = U ID[T(D)] und X/Q = x[X] und somit (3.2.10). | •Z>€Ob$

Für einen beliebigen Funktor T einer kleinen Kategorie ® in ENS bezeichnen wir die in 3.2.15 gebildete Menge X/Q auch mit limind T(D) oder lim T(D) und nennen die Abbildungen D und ipD sind dabei stets die kanonischen Abbildungen von T(D) in X bzw. von S(D) in Y. Die volle Summe S \D ist bezüglich der in 3.2.15 definierten Äquivalenzrelation Q in

DeOb®

Di Ob®

T(D) und der entsprechend definierten

Äqui-

135

3.2. Projektive und induktive Limites valenzrelation a in.

£

.DeOb®

S(D) relationstreu,

und es ist f die aus

bildung aus X in Y. Haben die Abbildungen reiche, so hat f ganz X als Definitionsbereich.

S

fD erzeugte Ab-

De Ob®

fD ganz T{D) Es ist wb/ =

als U

Definitionsbeipi>[v?hfB], so

Z>€ Ob®

daß f ganz Y als Wertebereich hat, wenn die Abbildungen fD ganz S(D) als Wertebereiche haben. Falls die fD eineindeutige Abbildungen sind, ist f im allgemeinen keine eineindeutige Abbildung, auch, nicht, wenn die fD stets T(D) als Definitionsbereiche haben.

Beweis. 1. iD und vD seien zu beliebigem D € Ob® die natürlichen Injektionen von T(D) in £ T(C) bzw. von S(D) in £ S(C) und x und X die kanoCeOb® CeOb® nischen Abbildungen von £ T(G) in X bzw. von £ S(C) in F. Wir setzen CeOb® C• Di_1 von ® mit z i _ 1 = T(hi) (zi) existiert, somit zu beliebigem » e { l , . . . , » } fm(zi) = S(hi) (fDt.S^-i)) oder /DIJZ.-I) = S(ht) {fDl{zi)) gilt, was {D,fD(xj)o (C,fc(y)) und auf Grund der Kommutativität von (3.2.13) damit g(D,x) a g(C,y) nach sich zieht, g ist also bez. q und a relationstreu. Für die aus g erzeugte Abbildung / aus X in Y ergibt sich unter Berücksichtigung von (1.10.1) und (1.12.7), daß (3.2.11) gilt, auf Grund der Kommutativität von (1.10.2) ferner, daß das Diagramm ZTfC) CeObB '

0

9

.

ES(C) CeOtiB

(3.2.14) X o-

kommutativ ist. Mit (3.2.13) und (3.2.14) ist auch (3.2.12) stets kommutativ. Offensichtlich ist / die einzige Abbildung aus X in Y mit (3.2.11), für die (3.2.12) zu beliebigem D e Ob® kommutativ ist. Aus db/ß = T{D) (D e Ob®) folgt db/ = X mittels (3.2.11). Es gilt wbg = Z wb/^ nach (1.12.7) und auf Grund C€Ob® der Kommutativität von (3.2.14) damit wb/=A[ £ wb/#]= (J ^[wb/^]. Z)£Ob® Ce Ob® Aus wb/B = S{D) (D 6 Ob®) folgt daher wb/ = Y.

136

3. Limesräume

2. Wir nehmen an, daß Ob® aus drei voneinander verschiedenen Elementen i, j, k besteht und als Morphismen von 2) nur die Paare (i, i), (j, j), (k, k), (i, j) und (i, k) auftreten. S und T seien die durch S(i) = S(j = S(k) = T(i) = T(j) = T(k) = R und S(i, j): x h> 1 + x (x e R), S(i, k): x X (X e R), T(i, j):xh> 1 + e (x 6 R) und T(i, k):x e~x (x e R) definierten Funktoren von ® in ENS. Die Familie der eineindeutigen Abbildungen ft = T(i, k)), f} = S(i, k) und fk = S(i, k) bildet eine natürliche Transformation von T nach S. p ist die kleinste Äquivalenzrelation der Menge ({¿} X R) u ({j} X R) u ({k} X R), für die zu beliebigem xiR die Elemente (i, x) und ( j , 1 + e~x) und die Elemente (i,x) und (k, e~x) äquivalent sind, er ist die kleinste Äquivalenzrelation dieser Menge, für die zu beliebigem x e R die Elemente (i, x) und (j, 1 + und die Elemente (i, x) und (k, x) äquivalent sind. Damit folgt, daß x = y.(j, 0) und y = y.(k, —1) ungleich sind, jedoch f(x) = X(j, 0) = X(k, — 1) = f(y) gilt. | Nach dem Satz ist / eine Surjektion, wenn die f D Surjektionen sind, jedoch im allgemeinen keine Injektionen, wenn die fD Injektionen sind. Wie sich aus 3.2.18 ergeben wird, gilt jedoch unter der Einschränkung, daß S und T induktive Spektren über einer pseudogerichteten Menge sind, daß / eine Injektion ist, wenn die fD Injektionen sind. Die im Satz auftretende Abbildung / bezeichnen wir mit limind/^ oder mit lim/j). Sind S, T und U Funktoren einer kleinen Kategorie ® in ENS und ist UD)DZob® eine natürliche Transformation (im weiten Sinne) von T nach S und (gn)Dtob® eine natürliche Transformation (im weiten Sinne) von S nach U, so gilt für die natürliche Transformation (im weiten Sinne) (gD ° fD)Diob® v o n T nach U lim ind gD ° lim ind fD = lim ind (gD ° fD) . Mittels 3.2.16 und dieser Beziehung folgt: Für jede natürliche Transformation (fD)Diob® v o n T nach S, die aus eineindeutigen Abbildungen fD von T(D) auf S(D) besteht, gilt (lim ind /x>)-1 = lim ind / J 1 und ist lim ind fD eine eineindeutige Abbildung von X auf Y. Induktive Limites werden häufig von sogenannten induktiven Spektren gebildet, die man so definiert: Zu einer beliebigen prägeordneten Menge I heißt ein Funktor der Kategorie £>(/) (vergleiche die Definition der projektiven Spektren) in eine Kategorie © ein induktives oder direktes Spektrum in © über I . Jedes induktive Spektrum in einer Kategorie © über I ist ein geordnetes Paar, das aus einer Familie (Xt)UI von Objekten von 6 und einer Familie {tj: X t —• X } von © besteht, derart, daß H = l r j zu beliebigem i e / gilt und aus i ^ / k stets E) = xE(D, x'Bt E) für jedes E € Ob®, wobei jeweils xCi E und x'Dt E die E-ten Komponenten von xc bzw. x'D sind, so finden wir wegen 3.2.17 zu beliebigem E e Ob® Morphismen / : C — D' und g: D —• D' von 3) mit T ( f , xc> E = T(g, 1 £ ) x'DtE. Da Ob® endlich ist, können wir / und g unabhängig von E wählen und erhalten wegen (3.2.7) P(D')B

MF)(XC) =

L(9)(*I>)

IE € O b ® ) ,

also L{j)(xc) = L(g){x'D) und damit x(C, xc) — x(D, x'D). m ist daher eine Bijektion. | Induktive Limites von Funktoren kleiner filtrierender Kategorien heißen ebenfalls filtrierend, projektive Limites von Funktoren endlicher Kategorien natürlich endlich. Mit diesen Bezeichnungen besagt der Satz, daß f ü r nichtleere Funktoren in ENS filtrierende induktive Limites mit endlichen projektiven Limites vertauschbar sind. Wenn speziell ® die mit einer nichtleeren gerichteten Menge I gebildete Kategorie £>(/), 6 eine nichtleere endliche Kategorie und T ein Funktor von 3) X @ in E N S ist derart, daß T.E für jedes E ein induktives Einbettungsspektrum ist, dann ist auch der mittels der L(i) = lim proj Ti.(E) gebildete Funktor L : ® —• ® ein induktives Einbettungsspektrum. Nehmen wir in diesem Fall bei den betreffenden induktiven Limites die in 3.2.19 angegebene Auswahl vor, so ist co sogar die identische Abbildung, d. h. gilt U lim proj TUE) = lim proj (J T.E{i) . iel iil

(3.2.18)

Dual zum Begriff des an einen Funktor gebundenen Produktes ist der Begriff des an einen Funktor gebundenen Coproduktes. Ist V ein treuer Funktor einer Kategorie ® in eine Kategorie ®, (Xt)ieI eine Familie von Objekten von ®,

142

3. Limesräume

ferner E ein Objekt von © und (gr¿)if/ eine Familie von Morphismen gt: V(Xt)-*E (i e I) von Gc, so nennen wir ein Objekt X von (£ mit V(X) = E, zusammen mit einer Familie von Morphismen 9?«: —>• X (i 6 I) mit V{i) = fgt existiert. Durch Dualisierung von 3.2.8 ergibt sich, daß F-Coprodukte bis auf Isomorphismen

• X (i e I), das V-Coprodukt der Xt (i 6 I) über E, {gt)^i- Dann ist X bezüglich der durch (3.2.8) definierten Ordnung in Ob© das kleinste unter den Objekten Y von (5, für die Morphismen y>t: X( —- Y (i 6 I ) mit V(f { ) = g¡, existieren. Durch Dualisierung von 3.2.11 erhält man eine entsprechende Aussage für F-Coprodukte. F sei ein treuer Funktor einer Kategorie E in eine Kategorie (5, SS eine Unterkategorie von (£, T ein Funktor von © in 33, der die Objekte und Morphismen von 33 festläßt, und W ein Funktor von S3 in © mit F = WT. 3.2.22 (Existenz gebundener Coprodukte in Unterkategorien). (Xt)ifI sei eine Familie von Objekten von 6 derart, daß bezüglich der durch (3.2.8) definierten Präordnung Xt (: Xt —- X (i € /), ein V-Coprodukt der Xt (i € I) über E, (Sh)iaDann ist T(X), zusammen mit (T(fl(x) erzeugt.

3.4. Mehrstufig topologische und topologische Räume

151

2. Zu beliebigem x e X sei 31'(x) eine Filterbasis von x e A ist äquivalent zu A € yi(x), auf Grund der Voraussetzung somit auch zu A 6 3l(x) und daher zu x 6 A^. Folglich gilt stets A_ = A. Dazu ist aber gleichbedeutend wegen X \ A = X\Ä = X \ A, daß stets A = A gilt. 3. Es sei stets A = A und damit A = A. Wie mittels 3.3.5 folgt, ist U(a;) = Tc'(x) zu beliebigem I E I , weshalb wegen (3.3.7) die Beziehung (3.4.4) gilt und deshalb !!(«) eine Filterbasis von -iJl(x) ist. 4. Zu beliebigem x e X sei U(«) eine Filterbasis von (x). Dann existiert zu beliebigen x e X und N e ein M e U(z) mit M ^ N, weshalb M € 9?(y) und damit N e 9t(?/) zu beliebigem y € M gilt, somit r eine Topologie ist. | Wir bezeichnen — WLOKA [1] folgend — eine Limitierung R von X als topologieartig, wenn die Adhärenzbildung bez. r einstufig ist, d. h. bez. r die Beziehung A = A für jede Teilmenge A von X gilt. Wegen 3.4.4 ist eine mehrstufige Topologie genau dann eine Topologie, wenn sie topologieartig ist. Wir führen neben den bisher angegebenen Charakterisierungen der Topologien noch weitere an. Zunächst verschärfen wir den Begriff der topologieartigen Limitierung. Wir nennen entsprechend KOWALSKY [ 2 ] eine Limitierung R von X eine Diagonallimitierung, wenn für jeden Punkt x e X und beliebige (eigentliche) Filter % € r(x) und € p(r)(u) (u e X) stets V A 2?« e T ( x ) giltFi g ue-F Mittels 2.6.6 folgt, daß in dieser Definition V A %u € t{x) ersetzt werden kann Fi g ueF durch cu(( B X wobei co die Evaluationsabbildung von F(X, X) X X in U€X

X ist. Ist eine Diagonallimitierung eine Pseudotopologie, so nennen wir sie auch eine Diagonalpseudotopologie. Es gibt Diagonalpseudotopologien, die keine mehrstufigen Topologien sind, wie das folgende B e i s p i e l zeigt. Es sei X = R. 91 sei die Menge aller abzählbaren Teilmengen von X. Wir definieren eine Abbildung r : X — PcFX durch r{x) = {g e &X | 3A € 91 ( V x v [A] ü 5)} (x e X), wobei Vx jeweils der Nachbarschaftsfilter von x bez. der natürlichen Topologie von R ist. Unter Beachtung der Distributivität des Filterverbandes &X folgt, daß r eine Pseudotopologie von X ist. t(x) gehören alle Elementarfilter an, die bezüglich der natürlichen Topologie von R gegen x konvergieren. Mittels 2.8.6 folgt damit, daß Vx zu beliebigem x € X der Nachbarschaftsfilter von x bez. r ist und somit r keine mehrstufige Topologie ist. Zu beliebigen x 6 X, A 6 91 und Au e SC (u 6 X) gehört B = (J Au zu 91 und gilt mA Vx V [ £ ] S v A (V» V [ £ ] ) G v A (Vu V [Au]) , FeF* uaVnA VeVx ueF so daß r eine Diagonalpseudotopologie ist. X sei nun wieder beliebig. Nach dem folgenden Satz ist der Begriff der Diagonallimitierung tatsächlich eine Verschärfung des Begriffs der topologieartigen Limitierung.

152

3. Limesräume

3.4.5. Jede Diagonallimitierung von X ist eine topologieartige Limitierung. Umkehrung gilt im allgemeinen nicht, auch nicht für Pseudotopologien.

Die

B e w e i s . 1. r sei eine Diagonallimitierung von X und A eine Teilmenge von X. Zu beliebigem ¡ f 6 i \ i existiert ein eigentlicher Filter g e r(x) mit 4 6 zu jedem u e A ein eigentlicher Filter e p(r)(u) mit A e Für setzen wir = [w]. V A %u ist ein eigentlicher Filter, dem A angehört und .Feg utF

_

_

_

der bez. r gegen x konvergiert. Es würde x € A folgen, weshalb A = A gilt. 2. X sei die Menge R der reellen Zahlen, und zu beliebigem x 6 X sei r(x) dasjenige A-Ideal von Filtern in X, das 'als Basis die Menge aller Filter [ TJe(x)\ (e > 0) mit Ue(x) = ]x — e, x + hat. r : x h-> r(x) (x 6 R) ist eine topologieartige Pseudotopologie von X, die keine Diagonallimitierung ist. | F ü r mehrstufige Topologien stimmen die Begriffe der topologieartigen Limitierung und der Diagonallimitierung überein, so daß wir mittels der Diagonallimitierungen eine weitere Charakterisierung der Topologien erhalten. Es gilt also 3.4.6. Eine mehrstufige Topologie ist genau dann eine Topologie, wenn sie eine Diagonallimitierung ist. B e w e i s . Die eine Richtung folgt aus 3.4.5, die andere mittels der Bemerkung nach (3.4.2). | Wir verschärfen auch noch den Begriff der Diagonallimitierung. Dazu führen wir den Begriff des Nachbarschaftsfilters eines Filters ein. Wir bezeichnen zu jeder Limitierung r von X und jedem Filter ^ in X als Nachbarschaftsfilter von % bez. r die Menge {N e PX | 3F e f j (N ist Nachbarschaft von F bez. r)}, die natürlich ein Filter in X ist. Bezüglich jeder Limitierung r von X gilt f ü r einen beliebigen Filter ^ in JC jeweils 9t(f5f) = V A ;Ji(w) und f ü r einen belieufF bigen P u n k t x von X ferner 9?([a;]) = %l(x). Wir sagen, daß eine Limitierung r von X die Nachbarschaftsbedingung erfüllt, wenn r der Definitionsbedingung der Diagonallimitierung nach Ersetzung von £ p{t) (U) durch •}?(«) genügt, folglich, wenn f ü r jeden P u n k t x € X und jeden (eigentlichen) Filter $ e x(x) der Nachbarschaftsfilter von § bez. r ebenfalls r(x) angehört. Jede Limitierung, die der Nachbarschaftsbedingung genügt, ist natürlich eine Diagonallimitierung. Jede entartete Limitierung genügt der Nachbarschaftsbedingung. Andererseits gilt 3.4.7. Eine Pseudotopologie ist genau dann eine Topologie, wenn sie die Nachbarschaftsbedingung erfüllt.

3.4. Mehrstufig topologische und topologische Räume

153

B e w e i s . 1. r sei eine Pseudotopologie, die die Nachbarschaftsbedingung erfüllt. Offenbar gilt 9i([a:]) e T(X) zu beliebigem x e X, d. h. i s t r eine mehrstufige Topologie. Wegen 3.4.6 ist r sogar eine Topologie. 2. Der Bemerkung nach (3.4.2) entnimmt man, daß jede Topologie die Nachbarschaftsbedingung erfüllt. | Wir haben mit diesem Satz eine Charakterisierung der Topologien unter den Pseudotopologien erhalten. Als nächstes bringen wir zwei notwendige und hinreichende Bedingungen dafür, daß eine Limitierung die Nachbarschaftsbedingung erfüllt. Die erste Bedingung ähnelt der Definitionsbedingung einer Diagonallimitierung. I n der zweiten Bedingung treten cartesische P r o d u k t e ( I J J i ) X I auf, wobei / und itl Jt (i 6 I ) gefilterte (gerichtete) Mengen sind. Die Elemente von G — [J Ji sind iel Abbildungen mit I als Definitionsbereich, die jedem i e I ein Element von Ji zuordnen. Wir benutzen f ü r sie im folgenden nicht die Familienschreibweise. Wenn I und «/, (i € I ) gefiltert, also mit Filtern ft und (i e I ) versehene Mengen sind, sei G X I mit dem Filter ® = ( B Si) X S versehen. Sind I u n d iel Ji (i e I ) bezüglich Relationen ^ und (i e I ) gerichtet, so sei G X I bezüglich der durch (g, i) (h, j) g(k) (i 6 / ) induzierten Filterabbildung gebildet ist, gehört r(x) an, weshalb (/ ° g) (&) e r('f(x)) gilt, folglich die gefilterte (gerichtete) Familie (/(x 4 )) i e I gegen f(x) konvergiert. Die eine Richtung des ersten Teiles der Behauptung ist damit gezeigt. Zum Beweis der Umkehrung nehmen wir an, daß zu jedem gegen x konvergierenden Netz (xi)ieI von Punkten von db/ das Netz (f(Xi))ifI gegen f(x) konvergiert. ^ sei ein Filter aus r(x). Nach einer Aussage nach 2.8.4 gibt es ein Netz (Xi)if I von Punkten von db/, das den Filter in db/ und damit auch den Filter in X, der {F n db/ | F e %} als eine Basis hat, erzeugt. Daher erzeugt das Netz (f(xt))ieI den Filter f(%), der folglich zu r'(f(x)) gehört. / ist deshalb in x stetig. 2. Ist / in x stetig, dann gilt — wie mittels (2.5.2) und 2.5.4 folgt — H'(/(*)) S [/(*)] n A ger(*) also (3.6.2).

= /([*]) n /( A %) = / ( « ( * ) ) , %zr(.z)

Wenn Y ein mehrstufig topologischer Raum ist und (3.6.2) gilt, ergibt sich für jeden Filter g e r(x) wegen £ % und 2.5.3 9r(f(x))

c /(g) ,

unter Berücksichtigung von (3.3.8) also /(f^) 6 T'(f(x)) und damit, daß / in x stetig ist. 3. / sei in x stetig. A sei eine Teilmenge von X mit x e A. Im Falle x € A gilt natürlich f(x) 6 f[A]. Ist x e A \A, so existiert wegen 3.3.2 eine gegen x konvergierende gefilterte Familie (xt)von Punkten von A. Es folgt f f a ) € f[A] zu beliebigem i 6 / und nach Teil 1 des Beweises ferner (f(Xi))ieI -» f(x), wegen 3.3.2 somit f(x) e f[Ä]. Im weiteren sei F ein mehrstufig topplogischer Raum und gelte f(x) € f[A\ für jede Teilmenge A von X mit x e A. Wir nehmen an, daß für eine gegen x konvergierende gefilterte Familie {xt)ia von Punkten von db/ die gefilterte Familie (/(a;,)) ie/ nicht gegen f(x) konvergiert. S sei der Filter von I und das Gitter von S . Wegen 3.4.2 existiert eine Nachbarschaft N von f(x) und ein Element J e £ * mit

/(»,) < N

(3.6.3)

173

3.6. Stetige Abbildungen

für jedes j e J. Die gefilterte Familie (Xj)j(J, bei der J mit dem Filter {J n K\ K e versehen ist, erweist sich als gefilterte Teilfamilie von {Xi)ieI, konvergiert also auch gegen x. Wegen 3.3.2 folgt x e {x} \ j e ./}, so daß sich auf Grund der Voraussetzung und wegen (3.6.3) j(x) 6 f[{x} | j e J}] c Y\N

=T\N

ergibt, im Widerspruch dazu, daß N eine Nachbarschaft von f(x) ist. Wegen Teil 1 des Beweises ist / somit in x stetig. | Aus 3.6.1 folgt das K o r o l l a r . / sei eine Abbildung aus X in Y. Ist f stetig, so gilt g f[A] für jede Teilmenge A von X. Wenn Y ein mehrstufig topologischer Raum ist, ergibt sich daraus umgekehrt, daß f stetig ist. (3.6.2) besagt, daß es zu jeder Nachbarschaft M von f(x) eine Nachbarschaft N von x mit /[iV] g M gibt. Die entsprechende Bedingung mittels Umgebungen ist unter der Einschränkung, daß X und Y topologische R ä u m e sind, notwendig und hinreichend für die Stetigkeit von / in x, und sie ist — wie zu beachten ist — im allgemeinen für eine in x stetige Abbildung f nicht erfüllt. Es gilt nämlich 3.6.2. f sei eine Abbildung aus X in Y und x ein Punkt des Definitionsbereichs von f . Sind X und Y topologische Räume, so ist f in x genau dann stetig, wenn es zu jeder Umgebung V von f(x) eine Umgebung U von x mit f[U] g V gibt. Im allgemeinen ist diese Bedingung nicht erfüllt, wenn f in x stetig ist, nicht einmal unter der Voraussetzung, daß X ein mehrstufig topologischer und Y ein topologischer Raum ist. B e w e i s . 1. X und Y seien topologische Räume. Wegen 3.4.4 ist dann zu (3.6.2) U'(/(»)) S / ( i m U(s)) (3.6.4) äquivalent, wobei U(x) und lX'(/(«)) die Umgebungsraster von x bzw. f(x) sind. (3.6.4) besagt aber, daß es zu jeder Umgebung V von f(x) eine Umgebung U von x mit f[U] g V gibt. Unter Berücksichtigung von 3.6.1 folgt damit die Richtigkeit des ersten Teiles der Behauptung. 2. X sei ein aus drei voneinander verschiedenen Punkten u, x und y bestehender mehrstufig topologischer R a u m mit den Nachbarschaftsfiltern -Ji(w) = {X}, 9IJ(a;) = [{«,#}] und yi(y) — {X}. Y sei der aus den Punkten x und y bestehende topologische Raum, der 0, {x} und Y als offene Mengen besitzt. / sei diejenige Abbildung von X in Y mit f(u) — f(x) = x und f(y) = y. Da f(9l(x)) gleich dem Nachbarschaftsfilter {{»}, F} von x in Y ist, ist / in x stetig, {x} ist eine Umgebung von x in Y, ferner X die einzige Umgebung von x in X, /[X] jedoch nicht in {x} enthalten. |

3. Limesräume

174

Eine Änderung t r i t t ein, wenn wir von der Stetigkeit in den einzelnen P u n k t e n zur Stetigkeit im ganzen Definitionsbereich übergehen u n d diesen noch als offen voraussetzen. Aus dem folgenden Satz 3.6.3 ergibt sich nämlich, d a ß f ü r jede stetige Abbildung, die eine offene Menge als Definitionsbereich h a t , die in 3.6.2 angegebene Bedingung f ü r alle P u n k t e des Definitionsbereiches dieser Abbildung erfüllt ist. Bevor wir 3.6.3 anführen, gehen wir auf die Begriffe der relativ abgeschlossenen und der relativ offenen Menge ein. Ist M eine Teilmenge von X und A eine Teilmenge von M und gilt A = M n A bzw. A = M \ M \ A, so nennen wir A relativ zu M abgeschlossen bzw. offen; Überstreichen bedeutet dabei natürlich Adhärenzbildung in X. Offensichtlich ist A genau d a n n relativ zu M offen, wenn M\A relativ zu M abgeschlossen ist. W e n n M eine abgeschlossene (offene) Teilmenge von X ist, d a n n ist eine Teilmenge A von M genau d a n n relativ zu M abgeschlossen (offen), wenn sie abgeschlossen (offen) ist. F ü r jede Teilmenge A von M gilt nämlich im Falle M = M stets A g M und damit M n A = A und im Falle M == X \ X\M stets M \ M\ A = X \ {X\M u M\A) = X \ X\A. 3.6.3. f sei eine Abbildung aus X in Y. Falls f stetig ist, so ist für jede abgeschlossene (offene) Teilmenge B von Y das vollständige Urbild /-1[-B] relativ zum Definitionsbereich von f abgeschlossen (offen). Ist Y ein topologischer Baum, so ergibt sich daraus umgekehrt, daß f stetig ist. Falls f stetig und der Definitionsbereich von f offen ist, existiert zu beliebigem x e db/ und jeder Umgebung V von f(x) eine Umgebung U von x mit f[U] S F . Ohne die Voraussetzung, daß db/ offen ist, folgt diese Bedingung im allgemeinen nicht aus der Stetigkeit von / , auch nicht unter der Einschränkung, daß X ein mehrstufig topologischer und Y ein topologischer Raum ist. Wenn Y ein topologischer Baum ist, folgt aus dieser Bedingung, daß f stetig ist. B e w e i s . 1. Wir nehmen zuerst an, d a ß / stetig ist. F ü r jede abgeschlossene Teilmenge B von Y ergibt sich unter Berücksichtigung des Korollars zu 3.6.1 f[MB]]

S /[Z-1^]]

B ,

somit db/ n f ^ B ] E t ^ B ] und damit / - ! [ £ ] = db/ n f - ^ B ] .

(3.6.5)

F ü r jede offene Menge B von Y ist Y \ B abgeschlossen und gilt db/ \ f~~l[B] = t

1

[ Y \ B],

wegen (3.6.5) daher d b f \ f ~ 1 [ B ] = db/ n d b / \ / - J [ £ ] u n d d a m i t f~\B]

= db/ \ d b f \ f ~ 1 [ B ] .

(3.6.6)

I m weiteren sei Y ein topologischer R a u m u n d gelte (3.6.5) f ü r jede abgeschlossene Teilmenge B von F . A sei eine beliebige Teilmenge von X . Nach

3.6. Stetige Abbildungen

175

3.4.4 ist f[A\ abgeschlossen, weshalb f ' V l M = db/ n t

1

[P]]

i d b / n l

und damit f[A] £ f[A] gilt. Mittels des Korollars zu 3.6.1 folgt somit, d a ß / stetig ist. Wenn f ü r eine beliebige offene Teilmenge B von 7 die Beziehung (3.6.6) erfüllt ist u n d damit db / \ / _1 [-B] = db/ n db/ \ f ' ^ B ] u n d folglich /-*[ 7 \ £ ] = d b / n / - 1 [ 7 \ .B] gilt, ist f ü r jede abgeschlossene Teilmenge B von 7 die Beziehung (3.6.5) erfüllt. Ist Y ein topologischer R a u m u n d gilt (3.6.6) f ü r jede offene Teilmenge B von Y, so ergibt sich damit ebenfalls, d a ß / stetig ist. 2. / setzen wir wieder als stetig voraus, ferner db/ als offen. Nach einer Bemerkung vor diesem Satz ist eine Teilmenge von db/ genau d a n n relativ zu db/ offen, wenn sie offen ist. U n t e r Berücksichtigung des in 1 Bewiesenen ergibt sich damit, d a ß zu beliebigem x e db/ u n d jeder Umgebung V von f(x) das vollständige Urbild U = / - 1 [ F ] offen, also eine Umgebung von x ist. E s gilt natürlich /[Í7] = F . I m weiteren sei Y ein topologischer R a u m u n d existiere zu beliebigem x € db/ und jeder Umgebung F von f(x) eine Umgebung U von x mit /[ U] G F . Zu beliebigem x € db/ gilt deshalb U'(/(x)) ü /(^(x)) f ü r den Umgebungsraster VL'(f(%)) von f(x) und den Nachbarschaftsfilter 3l(x) von x. Da U'(/(#)) den Nachbarschaftsfilter %l'(f(x)) von f{x) erzeugt, gilt sogar (3.6.2) zu beliebigem x e db/. Wegen 3.6.1 ist deshalb / eine stetige Abbildung. 3. X sei ein aus vier voneinander verschiedenen P u n k t e n u, v, x u n d y bestehender mehrstufig topologischer R a u m mit den Nachbarschaftsfiltern 9í(w) = 9í(y) = {X}, 9l(v) = [{«, V}] und 9í(a;) = [{v, x}]. Y sei wie im Teil 2 des Beweises von 3.6.2 gewählt. / sei diejenige Abbildung aus X in Y mit {v, x, y} als Definitionsbereich und f(v) = j{x) = x und f{y) = y. E s ist f(%l(v)) = /(W(x)) = {{x}, 7 } u n d / ( $ % ) ) = { 7 } , womit leicht folgt, d a ß / stetig ist. Der Definitionsbereich von / ist nicht offen; 0 und X sind nämlich die einzigen offenen Mengen von X. {a;} ist eine Umgebung von x m. Y, X die einzige U m gebung von x in X, u n d es gilt f[X] g; {x}. | Wir nennen eine Abbildung / von X in 7 offen bzw. abgeschlossen, wenn das Bild f[M] jeder offenen bzw. abgeschlossenen Teilmenge M von X eine offene bzw. abgeschlossene Teilmenge von 7 ist. Aus 3.6.3 ergibt sich: Eine eineindeutige Abbildung / von X auf 7 ist offen und abgeschlossen, wenn / - 1 stetig ist. Ist X ein topologischer R a u m u n d / eine eineindeutige offene oder abgeschlossene Abbildung von X auf 7 , so ist umgekehrt / _ 1 stetig. Offenbar gilt 3.6.4. Ist f eine Abbildung aus X in Y und g eine Abbildung aus 7 in einem Limesraum Z und ist f in einem Punkt x und g in /(x) stetig, so ist auch g ° f in x stetig.

176

3. Limesräume

Nach diesem Satz ist die Zusammensetzung zweier (in allen Punkten ihrer Definitionsbereiche) stetiger Abbildungen wieder stetig. Offensichtlich ist auch die identische Abbildung jedes Limesraumes auf sich stetig. Bei Einschränkung einer Abbildung bleibt die Stetigkeit erhalten. Es gilt nämlich: 3.6.5. / sei eine Abbildung aus X in Y und N eine Teilmenge von X. Ist f in einem Punkt x 6 N stetig, so auch / \ N. B e w e i s . Da für jeden Filter g in X die Beziehung f(%) g (/ [ iV)(g) besteht, folgt leicht die Behauptung. | I m weiteren befassen wir uns mit dem Verhalten der Stetigkeit bei Abänderung der Limitierungen. Offensichtlich gilt 3.6.6. a sei eine Limitierung von X, die feiner als die Ausgangslimitierung x von X ist, und a' eine Limitierung von Y, die gröber als die Ausgangslimitierung x' von Y ist. Jede Abbildung f aus X in Y, die in einem Punkt x bez. x und x' stetig ist, ist auch in x bez. a und a' stetig. Die Stetigkeit bleibt also erhalten, wenn wir die Limitierung des Urbildraumes verfeinern und die Limitierung des Bildraumes vergröbern. I n gewissen Fällen bleibt die Stetigkeit auch erhalten, wenn man die Limitierung r des Urbildraumes vergröbert. Es gilt nämlich: 3.6.7. f sei eine Abbildung aus X in Y. Wenn die Limitierung r' von Y eine Pseudotopologie ist, gilt für jeden Punkt x des Definitionsbereichs von f: / ist in x bez. r, x' stetig o / ist in x bez. p{x), x' stetig. Wenn x' eine mehrstufige Topologie ist, gilt für jeden Punkt x des bereichs von f:

Definitions-

f ist in x bez. m(r), x' stetig .

(3.6.7)

f ist in x bez. x, x' stetig

Ist r' eine Topologie, so folgt daraus, daß f in einem Punkt x des Definitionsbereiches von f bez. r, r' stetig ist, im allgemeinen nicht, daß f in x bez. t(r), x' stetig ist, auch nicht, wenn x zusätzlich als mehrstufig topologischer Raum vorausgesetzt wird. Allerding gilt: Ist x' eine Topologie und der Definitionsbereich von f offen oder abgeschlossen, so besteht die Äquivalenz: f ist bez. x, x' stetig

/ ist bez. t(x), x' stetig .

(3.6.8)

B e w e i s . 1. r ' sei eine Pseudotopologie. Ist / in einem P u n k t x € db/ bez. p(x), x' stetig, so folgt wegen r ^ p(x) (siehe 3.5.6) und 3.6.6, daß / in x auch bez. r , x' stetig ist. I m weiteren sei / in einem P u n k t x e db/ bez. r , x' stetig. Zu beliebigem % 6 x(x) gilt dann f(%) 6 x'(f(x)). Wegen 2.5.4 gilt /([«]) = [f(x)] und damit auch f([x\) er'(/(#)). Da wegen 2.5.3 /([«] n %) = /([«]) n f{%) zu beliebigem % e x(x) gilt, folgt damit f(%) € r'(/(«)) zu beliebigem % 6 p(x) (x) und damit, daß / in x bez. p{r), x' stetig ist.

3.6. Stetige Abbildungen

177

2. Ist r ' eine mehrstufige Topologie, so hängt — wie mittels 3.6.1 folgt — für einen beliebigen P u n k t x e db/ die Stetigkeit von / in x bez. r und r ' nur von dem Nachbarschaftsfilter in x bez. r und dem Nachbarschaftsfilter von f(x) bez. t ' ab, sie ist somit äquivalent zur Stetigkeit von / in x bez. m(r), r ' . Ist t ' eine Topologie und db/ offen oder abgeschlossen, so hängt — wie mittels 3.6.3 und einer Bemerkung vor 3.6.3 folgt — die Stetigkeit von / bez. r und r ' nur von offenen bzw. abgeschlossenen Teilmengen von X und Y ab, sie ist somit äquivalent zur Stetigkeit von / bez. t(r), r ' . 3. X, Y und / seien wie im Teil 2 des Beweises von 3.6.2 gewählt. / ist bezüglich der mehrstufigen Topologie r von X und der Topologie r ' von Y in x stetig, jedoch bez. t(r), x' in x unstetig. | Aus 3.6.6 und 3.6.7 ergibt sich das K o r oll a r . f sei eine Abbildung aus X in Y. Ist f in einem Punkt x ihres Definitionsbereichs bez. r und r' stetig, so ist f auch in x bez. p(r) und p(x') und bez. m(r) und m(r') stetig. Wenn der Definitionsbereich von f offen oder abgeschlossen und f stetig bez. r und r' ist, so ist f auch bez. t(r) und t(r') stetig.1) Eine eineindeutige Abbildung aus X in Y heißt ein Homöomorphismus aus X in Y, wenn sowohl sie als auch ihre Umkehrung stetig ist. Sind speziell X und Y pseudotopologische, mehrstufig topologische oder topologische Räume, so heißt ein Homöomorphismus aus X in Y auch pseudotopologische,.mehrstufig topologische bzw. topologische Abbildung. Die Forderung der Stetigkeit der Umkehrung darf im allgemeinen nicht wegbleiben, wie wir an Hand eines B e i s p i e l s zeigen. Es sei g diejenige Abbildung, die jeder reellen Zahl | das geordnete P a a r (£, 0) oder (£, 1) zuordnet, je nachdem, ob | rational ist oder nicht, g ist eine eineindeutige Abbildung. Den Wertebereich X von g versehen wir mit derjenigen Topologie, bezüglich der gerade alle Durchschnitte der offenen Mengen von R2 mit X die offenen Mengen sind. (X ist bezüglich dieser Topologie ein Teilraum von R2; vergleiche Abschnitt 3.9.) Die Umkehrung / von g ist als Abbildung von X in R sicher stetig, g als Abbildung von R in X jedoch nicht. Auf einen Fall, in dem eineindeutige stetige Abbildungen stets Homöomorphismen sind, gehen wir im Korollar zu 3.17.9 ein. 3.6.8. / sei ein Homöomorphismus aus X in Y mit einem offenen Wertebereich. Dann stimmt zu jedem Punkt x des Definitionsbereichs von f der Nachbarschaftsfilter von f(x) mit dem Bild des Nachbarschaftsfilters von x bezüglich der von f induzierten Filterabbildung überein: = / M

•

(3.6.9)

x ) Wir meinen natürlich mit p(j'), m(r') und t(r') die Werte von r' bezüglich der entsprechend wie p: t T X ¿TX, m: J~X ->• - x mit A e Offenbar gilt f(%) = g(%) und ist dieser Filter eigentlich. Auf Grund der Stetigkeit von / und g und der Separiertheit von Y folgt f(x) = g(x), also A = A. | K o r o l l a r . f und g seien stetige Abbildungen eines Limesraumes X in einen separierten Limesraum Y, die über einer im weiten Sinne dichten Teilmenge A von X übereinstimmen. Dann ist f = g. —t B e w e i s . Nach 3.5.8 und 3.7.6 stimmen / und g über A , also über X überein. | Wir sagen, daß ein Limesraum X oder seine Limitierung r dem dritten Trennungsaxiom oder dem Axiom T 3 genügt oder daß er oder r regulär ist, wenn zu jedem Punkt x dieses Raumes und jedem Filter ^f £ der Filter = im {F | F 6 g } (3.7.1) s gegen x konvergiert. Wenn man in der Bedingung 2 aus 3.4.8 /(£') € T(X) mit V A € R{x) verwes iilZ tauscht und die Filter stets als eigentlich annimmt, erhält man eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Regularität (siehe COOK und F I S C H E K [3]). Mit anderen Worten, es gilt: 3.7.7 (Charakterisierung der Regularität). Ein Limesraum X ist genau dann regulär, wenn seine Limitierung r der folgenden Bedingung genügt: Für jeden Punkt x von X, jede Abbildung f einer Menge I in X, jeden (eigentlichen) Filter $in I und beliebige eigentliche Filter ^ e (/(«)) (i e 1) hat V A € T(X) if K stets / ( $ ) e T(X) zur Folge. B e w e i s . 1. X sei regulär. Gegeben seien ein x € X, eine Abbildung / einer Menge I in X, ein Filter & in I und eigentliche Filter e p(r)(f(i)) (i € I) mit % 6 r(x) bei g = V A %t- Zu beliebigem F e % existiert ein K e ® mit F e A %t izK _ ieK und daher mit f[K] g F, weshalb £ / ( S ) und damit /(®) € r{x) gilt. 2. r genüge der Bedingung aus dem Satz. Gegeben seien ein x € X und ein Filter g € r(x). Wir bilden / = {{u, F) \ F e u e F} und richten diese Menge mittels der durch (u, F) ^ (v, G) o F 3 ö definierten Relation f sei die Abbildung (u, F) H> U von I in X und & der zu ^ gehörige Filter in I. Zu jedem i = (u, F) e I existiert ein eigentlicher Filter e p(r)(u) mit F e f^,-. Es folgt g c y /\ und damit = /(®) 6 T(X). | EtB iiE Der Satz bleibt richtig, wenn in der angegebenen Bedingung p(r) durch m(r) ersetzt wird.

3.7. Trennungsaxiome

185

Wir kommen als nächstes zu einer Variante der einen Richtung dieses Satzes. Und zwar ergibt sich mittels einer Beweisidee aus KNEIS [2], daß die im Satz angegebene Bedingung für die Regularität von X notwendig bleibt, wenn in e T x ihr „hat V A ( ) stets /(g) e t(x) zur Folge" durch „konvergiert mit .BE®

IIK

einem eigentlichen Oberfilter von V A %t auch ein eigentlicher Oberfilter KiSt itK von j(§t) bez. r gegen x" ersetzt wird. Unter einem eigentlichen Oberfilter verstehen wir natürlich einen Oberfilter, der eigentlich ist. Bei der variierten Bedingung kann auch p(r) durch m(r) ersetzt werden. Wir bezeichnen jeden Limes eines eigentlichen Oberfilters eines Filters % als Adhärenzpunkt von g und erhalten damit 3.7.8. X sei ein regulärer Limesraum. Dann ist jeder Adhärenzpunkt des Nachbarschaftsfilters eines eigentlichen Filters $ in X auch ein Adhärenzpunkt von Beweis, g sei ein eigentlicher Filter in X und x ein Adhärenzpunkt von Es existiert ein eigentlicher Filter der Oberfilter von ist und gegen x konvergiert. Auf Grund der Regularität von X konvergiert § = g v ©~ gegen x. Wäre § nicht eigentlich, so existieren F0 e ^ und G0 g @ mit F0 n G0 = 0, d. h. mit F0 X und g: I X J —* X mit g([I\ X S) 6 2>(r)(/(»)') (i € I) und # x 2 ) i T(X) gilt /($) 6 r(z). Beweis. 1. X sei regulär. Gegeben seien ein x e X, ein (eigentlicher) Filter ® in einer Menge I, ein eigentlicher Filter £ in einer Menge J und Abbildungen /: I — Xundg-.I x x existiert. Ist Y separiert, so ist dann g eindeutig bestimmt. B e w e i s , a sei die Limitierung von Y. 1. Zu jedem x € X existiere ein y € Y mit e a(y) zu beliebigem ^ £ r(x). Wir bilden eine Abbildung g: X —» Y mit g | db/ = / und g(x) e {y 6 l 7 | ^ 6 t(íc) f(%) e o^«/)} für jedes a ; f l \ db/. Gegeben sei ein x € X und ein 6 r(x). Da db/ in X dicht ist, können wir jedem i t e l einen eigentlichen Filter e p(r)(u) mit db/ € %u zuordnen. Wir setzen & = V A S « u n d erhalten auf Grund der Voraussetzung an X, daß @ e t(«) gilt, wegen der Definition von g damit /(©) —• g(x) und wegen 2.5.3 ferner /(©) = V A1 f($u)- Zu beliebigem feg «ei u e X existiert ein Filter e r(u) mit n [u] g wegen 2.5.3 daher mit / ( & ) n /([«]) S /(&.), so daß /(&,) € p( jíl Berücksichtigung von pj\A¡] = pY\pj\_E] n A¡] ergibt sich entsprechend Vi [ H Í ^ M j ] ] = Pi[E] n und damit, daß At relativ zu pt[E] abgeschlossen 1 ist.* Das noch nicht Bewiesene folgt unter Beachtung, daß die At genau dann relativ zu p([E] offen sind, wenn die Mengen Pi[E] \ At relativ zu pt[E] abgeschlossen sind, und p| pY\pi[E] \ A¿\ = E \ \J Pi~\Ai\ genau dann abge¿€ / ie J schlössen ist, wenn |J 1¿] offen ist. | HI Nach 3.8.4 und 3.8.6 existieren alle an die Vergißfunktoren V: LIM — ENS, yp. P T O P — E N S , Vm: MTOP -* ENS und V: TOP -» ENS gebundenen Produkte, und zwar stets eindeutig. Da nach 3.2.3 in ENS alle projektiven Limites existieren, folgt mittels 3.2.13 (vergleiche die Anmerkung 1), daß auch in den Kategorien LIM, PTOP, MTOP und TOP alle projektiven Limites und insbesondere alle Differenzkerne und Produkte existieren. Über die natürlichen Auswahlen der projektiven Limites in ENS (vergleiche 3.2.3 und 3.2.5) gelangen wir zu natürlichen Auswahlen der projektiven Limites in LIM, PTOP, MTOP und TOP. 3.9. Teilräume In diesem Abschnitt befassen wir uns mit Teilräumen von Limesräumen und insbesondere von pseudotopologischen, mehrstufig topologischen und topologischen Räumen. Wir erhalten, daß diese Teilräume gerade durch die Differenzkerne in den Kategorien LIM, PTOP, MTOP und TOP charakterisiert werden. X sei ein Limesraum und r seine Limitierung. Zu jeder Teilmenge M von X sei tm die gröbste Limitierung von M derart, daß die identische Einbettung iM von M in X bezüglich dieser und T stetig ist. rM heißt die von r auf M induzierte Limitierung und M, versehen mit % u , ein Teilraum des Limesraumes X. Wegen 3.8.5 ist für jede Teilmenge M von X die von r auf M induzierte Limitierung die Initiallimitierung von r bez. t M und damit die Einschränkung von (iJi) 3 ° r auf M : Ferner gilt

*m = ( í m ) j ° T | M.

(3.9.1)

3.9.1. Für jede Teilmenge M von X und jeden Punkt x von M ist t * ( * ) = {{^ n M | F e

| % € t{X)}

(3.9.2)

und Tm(*) = & 6

| im g 6 t(s)} .

(3.9.3)

201

3.9. Teilräume

B e w e i s . Gegeben sei eine Teilmenge M von X und ein x e M. Aus (3.9.1) folgt unmittelbar, daß rM(x) mit dem A-Ideal U=

im { i m {F n M | F e g } | g e g,} £

© = {F n M | .F e g } , § £ im {H n M \ H e § } £

g

und damit % e r(a;), somit (3.9.2). Wegen 3.8.1 gilt (3.9.3). Im weiteren zeigen wir, daß gerade die Teilräume von Limesräumen und von pseudotopologischen, mehrstufig topologischen und topologischen Räumen die Differenzkerne in LIM, PTOP, MTOP bzw. TOP bilden. 3.9.2 (Differenzkerne in LIM, PTOP, MTOP und TOP). Zu beliebigen Morphismen f: X — Y und g: X — Y von LIM, PTOP, MTOP bzw. TOP mit X als Quelle und übereinstimmendem Ziel ist der Teilraum K von X, der als Trägermenge {x e X | f(x) = g(x)} hat, zusammen mit der identischen Einbettung von K in X, ein Differenzkern von f und g. Jeder Teilraum K von X tritt, zusammen mit der identischen Einbettung von K in X, als Differenzkern von Morphismen f: X -* Y und g: X —* Y von LIM und, wenn X ein pseudotopologischer, mehrstufig topologischer bzw. topologischer Raum ist, auch als Differenzkern von Morphismen f:X Y und g: X — Y von PTOP, MTOP bzw. TOP auf. B e w e i s . 1. / : X -» Y und g: X Y seien Morphismen von LIM. Wir bilden zu diesen wie nach 3.2.1 einen Funktor T einer kleinen Kategorie % in LIM. K sei der Teilraum von X mit M = {x 6 X | f(x) = g{x)} als Trägermenge. Wegen 3.1.2 und Bemerkungen nach 3.2.1 ist M, zusammen mit dem aus der identischen Einbettung iM: M — V(X) und der Abbildung f ° M — F( Y) bestehenden Paar, ein projektiver Limes von VT. V ist natürlich der Vergißfunktor von LIM in ENS. Auf Grund der Stetigkeit von / besteht für die Limitierungen r von X und r' von Y die Beziehung r ( / _ 1 ) J °r' ° f , weshalb sich die Limitierung von K als Initiallimitierung von t und x' bez. iM: M —* X und / o iM: M -» Y ergibt. Wegen 3.8.4 ist K, zusammen mit dem Paar der Abbil14

Gähler, I

202

3. Limesräume

düngen iM: K X und f ° iM: K ->• Y, ein F-Produkt von X und Y über M, (IM, f ° IM), wegen 3.2.13 also ein projektiver Limes von T. Auf Grund von Bemerkungen nach 3.2.1 ist daher K, zusammen mit iM: K —• X, ein Differenzkern von / und g. 2. K sei ein Teilraum von X und M die Trägermenge von K. Nach 3.1.2 gibt es Abbildungen / und g von V(X) in eine Menge N derart, daß M, zusammen mit der identischen Einbettung IM von M in F(X), ein Differenzkern von / und g ist. N, versehen mit der trivialen Topologie r' von N, bezeichnen wir mit Y. Offensichtlich sind /: X —• Y und g: X -— Y Morphismen von LIM. Da M = {x e X | f(x) = g(x)} gilt, folgt wie in Teil 1, daß K, zusammen mit K —>• X, ein Differenzkern von f: X -» Y und g: X —• Y ist. 3. Für den Fall der Kategorien PTOP, MTOP und TOP wird der Beweis analog geführt. Anstelle von 3.8.4 ist 3.8.6 zu benutzen. | Somit folgt 3.9.3. Ist X ein pseudotopologischer, mehrstufig topologischer oder topologischer Raum, so ist auch jeder Teilraum von X ein pseudotopologischer, mehrstufig topologischer bzw. topologischer Raum. Wegen 3.8.7 ist für jede Teilmenge M von X die auf M induzierte Limitierung TM unter der Voraussetzung, daß r eine Pseudotopologie, mehrstufige Topologie bzw. Topologie ist, die gröbste Pseudotopologie, mehrstufige Topologie bzw. Topologie von M mit der Eigenschaft, daß IM bezüglich dieser und r stetig ist. Wie der nachstehende Satz besagt, besitzt jeder Limesraum einen maximalen Teilraum, der ein pseudotopologischer Raum ist. 3.9.4. Die von r auf M = {x € X | [x] 6 T(X)} induzierte Limitierung RM ist eine Pseudotopologie. Jede Teilmenge N von X, für die rN eine Pseudotopologie ist, liegt in M. B e w e i s . Zu beliebigem x e M ist I~M(\X\) gleich dem aus x erzeugten Filter in M, somit rM eine Pseudotopologie. N sei eine beliebige Teilmenge von X, für die Tjf eine Pseudotopologie ist. Zu beliebigem x 6 N gehört der aus x erzeugte Filter in N, den wir ausnahmsweise mit bezeichnen, zutjj(c£). Wegen 3.9.1 und im [x] n • [x\ folgt x 6 M, also N M. | 3.8.2 liefert eine Aussage über Teilräume und Stetigkeit von Abbildungen. Wie mittels 3.9.1 folgt, gilt etwas allgemeiner 3.9.5. F sei ein Limesraum, f eine Abbildung aus Y in X, N eine Teilmenge von Y, die den Definitionsbereich von f enthält, und M eine Teilmenge von X, die den Wertebereich von f enthält. Die Abbildung f ist genau dann in einem Punkt y bezüglich der Limitierungen r' von F und x von X stetig, wenn sie in y bezüglich der induzierten Limitierungen x'N und rm stetig ist.

3.9. Teilräume

203

Aus 3.6.5 und 3.9.5 (und ebenfalls aus 3.8.3) ergibt sich das K o r o l l a r . Y sei ein Limesraum, f eine Abbildung aus Y in X, N eine Teilmenge von Y und M eine Teilmenge von X mit f[N] £ M. Ist die Abbildung f in einem Punkt y e N bezüglich der Limitierungen r' von Y und r von X stetig, so ist die Einschränkung f | N in y bez. r'N und rM stetig. Aus 3.8.10 folgt 3.9.6. M sei eine Teilmenge von X. Für die Teilmengen A von M gilt A*

= M nA

(3.9.4)

und Axm

= M n A u ( X \ M)

(3.9.5)

A n m e r k u n g 1. Die zu (3.9.4) analoge Beziehung A = M n Ar, d. h. A^ = A^ trifft im allgemeinen nicht zu, zum Beispiel nicht für A = M, falls M bez. r nicht offen ist. A n m e r k u n g 2. In Abschnitt 3.6 hatten wir die Begriffe der relativ zu einer Menge abgeschlossenen bzw. offenen Menge definiert. Mittels (3.9.4) und (3.9.5) folgt, daß eine in einer Teilmenge M von X enthaltende Menge A genau dann relativ zu M abgeschlossen bzw. offen ist, wenn sie bezüglich der induzierten Limitierung xu abgeschlossen bzw. offen ist. 3.9.7. Der Durchschnitt jeder bez. r abgeschlossenen (offenen) Teilmenge von X mit M ist bez. xM abgeschlossen (offen). Ist X ein topologischer Raum, so ist auch umgekehrt jede bez. rM abgeschlossene (offene) Teilmenge von M der Durchschnitt einer bez. r abgeschlossenen (offenen) Teilmenge von X mit M. Diese Umkehrung gilt bereits im allgemeinen nicht mehr, wenn X als ein beliebiger mehrstufig topologischer Raum vorausgesetzt ist. B e w e i s . 1. Ist B eine bez. r abgeschlossene Teilmenge von X, so folgt für A = M n B unter Berücksichtigung von (3.9.4) —XM

A —TM

—T

g M n B = A ,

—TM

wegen A g A also A = A und somit, daß A bez. rM abgeschlossen ist. Der Durchschnitt M n (X\B) von M mit der bez. r offenen Teilmenge X\B von X stimmt mit M \ A überein, ist somit bez. rM offen. Im folgenden sei r eine Topologie und A eine bez. rM abgeschlossene Teilmenge von M. Wegen (3.9.4) ist A der Durchschnitt von M und der bez. r abgeschlossenen Teilmenge A von X, somit die bez. tm offene Menge M \ A der Durchschnitt von M und der bez. r offenen Menge X \ A = X \ A . T

14*

204

3. Liniesräume

2. X sei der aus drei voneinander verschiedenen Punkten x, y und z bestehende mehrstufig topologische Raum mit den Nachbarschaftsfiltern %l(x) = [{x, 2}], tyl(y) = [{x, y}\ und 9i(z) = [{y, z}]. X hat als einzige offene Mengen 0 und X. E s sei M = {x, y}. Wie mittels (3.9.4) folgt, ist {y} eine abgeschlossene und {«} = M \ {y} damit eine offene Menge bezüglich der von der Limitierung von X auf M induzierten Limitierung. {y} bzw. {x} lassen sich nicht als Durchschnitt von M und einer abgeschlossenen bzw. offenen Teilmenge von X darstellen. Der Satz ist damit bewiesen. | 3.9.8. Zu jeder Teilmenge

M von X und jedem Punkt x e M gilt

SM»)

= iN

n M | N 6 SR(a;)}

(3.9.6)

und im Uj,(x) 2 { U n M \ U e im U(a;)} ,

(3.9.7)

wobei 31m(%) und die Nachbarschaftsfilter von x bez. rM und x und UM(«) und ll(a;) die Umgebungsraster von x bez. rM und r sind. Bei der letzten Beziehung gilt das Gleichheitszeichen, wenn X ein topologischer Baum ist. Im allgemeinen trifft es bei dieser Beziehung nicht zu, auch nicht, wenn X als mehrstufig topologischer Raum vorausgesetzt wird. B e w e i s . Wegen (3.8.2) gilt 9 M * ) 3 {N n M | N e W(x)} .

(3.9.8)

Zu beliebigem A € ^lM(x)

gilt x e — A TJf, wegen (3.9.5) damit x 6 N —T bei N = i u ( I \ M), somit N g 9l(x) und A = N n M. Bei (3.9.8) trifft also das Gleichheitszeichen zu, d. h., es gilt (3.9.6). Wegen (3.8.3) gilt ferner (3.9.7). Wie sich aus dem im Teil 2 des Beweises von 3.9.7 angeführten Beispiel ergibt, trifft bei (3.9.7) das Gleichheitszeichen im allgemeinen nicht zu, auch nicht, wenn X als mehrstufig topologischer Raum vorausgesetzt wird. | Die einer induzierten Limitierung r M zugeordnete Pseudotopologie, mehrstufige Topologie bzw. Topologie verhält sich zu der von der zugeordneten Pseudotopologie P(T), mehrstufigen Topologie m(R) bzw. Topologie i(r) auf der betreffenden Menge induzierten Limitierung auf die folgende Weise 3.9.9. Zu jeder Teilmenge P(TM)

=

P(T)m

M von X gilt

,

m(RM)

= m(x)M

und

t(rM) Xn+m = Vm> = ®i> - ' S»+m = ®m und bilden zu beliebigem i = 1, ... , n m deii Filter = i^t, der auf Grund der Transitivitätseigenschaft bez. r gegen xt konvergiert. Aus dieser Eigenschaft folgt ferner, daß [Xj] r-> x.i stets ^ g zur Folge hat, so daß die wie oben gebildete Topologie ff" = rXi zu T gehört. Offenbar ist a" gröber als a und a'. Nach Konstruktion gilt ff ^ r zu beliebigem ff 6 T. Da jeder bez. r gegen einen Punkt x konvergierende Filter auch bez. der Topologie rXi j € T gegen x konvergiert, folgt r = V o. OET

3. Limesräume

230

2. X sei ein polytopologischer Raum und T eine die Polytopologie von X erzeugende Menge von Topologien. x und y seien Punkte von X, und ^r s e i ein Filter in X mit [y\ x und p* V- Wir finden a, a' e T mit [y\ x und % y und ein a" € T mit a ^ a" und a' er", so daß [y\ x und % ^ y, wegen 3.12.11 also % x und damit % x gilt, r besitzt somit die Transitivitätseigenschaft. | 3.13. Quotientenräume

Wir führen als nächstes einige spezielle Arten von Limesräumen an, deren Limitierungen Finallimitierungen bzw. die Finallimitierungen zugeordneten Pseudotopologien, mehrstufigen Topologien bzw. Topologien sind. In diesem Abschnitt befassen wir uns speziell mit Quotientenräumen. X sei ein Limesraum, E seine Trägermenge und r seine Limitierung. Ferner sei g eine Äquivalenzrelation in E und n die zugehörige kanonische Abbildung von E auf die Quotientenmenge Ejg. Wir bezeichnen die feinste Limitierung von E/g derart, daß x bez. r und dieser Limitierung stetig ist, als die Quotientenlimi-

tierung re von r bez. Q und E¡Q, versehen mit re, als den Quotientenlimesraum Xe

von X bezüglich der Äquivalenzrelation g. Nach 3.12.4 ist re die Finallimitierung von r bez. x, gilt also Tg =

sup

(x3

OX

O

.

Mittels (2.10.2) und (3.12.1) ergibt sich damit re(y) = V {*? ° T) (x) = x{ V r(x))

xty

xiy

(3.13.1)

zu beliebigem y e E/Q. ^ € re(y) bedeutet deshalb, daß endlich viele Filter ... , 0 , 6 y r(x) existieren mit

xey

n ». n ® , ) c g .

(3.13.2)

Wir beachten, daß wegen 3.12.6 und Ejq = wbx in dem Fall, daß r eine Pseudotopologie ist, p(re) = re und damit p(Xe) = Xe gilt. Ist r eine Pseudotopologie, so nennen wir re die Quotientenpseudotopologie von r bez. Q und Xe den pseudotopologischen Quotientenraum von X bez. Q. Wenn r eine mehrstufige Topologie bzw. eine Topologie ist, nennen wir m(re) die mehrstufige Quotienten-

topologie von r bez. Q und m(Xe) den mehrstufig topologisehen Quotientenraum von X bez. Q bzw. t(rQ) die Quotiententopologie von r bez. g und t(Xe) den

topologisehen Quotientenraum von X bez. g. Wie man etwa dem weiter unten angeführten Satz 3.13.9 entnehmen kann, stimmt der Begriff des topologisehen Quotientenraumes mit dem in der Topologie üblichen Begriff des Quotientenraumes überein. Wir zeigen, daß gerade die Quotientenlimesräume und die pseudotopologischen, mehrstufig topologisehen und topologisehen Quotientenräume die Differenzcokerne in LIM, PTOP, MTOP bzw. TOP bilden.

3.13. Quotientenräume

231

3.13.1 (Diiferenzcokerne in LIM, PTOP, MTOP und TOP). Zu beliebigen Morphismen f: Y —* X und g\ Y —* X von LIM mit gleicher Quelle und X als Ziel ist der Quotientenlimesraum Xefj, zusammen mit der kanonischen Abbildung von X auf Xgfs, ein Differenzcokern von f und g. Ist X ein pseudotopologischer, mehrstufig topologischer bzw. topologischer Raum, so ist zu beliebigen Morphismen f: Y -> X und g: Y — X von PTOP, MTOP bzw. TOP mit gleicher Quelle und X als Ziel Xgfs, zusammen mit der kanonischen Abbildung von X auf Xefl, m(Xefg), zusammen mit der kanonischen Abbildung von X auf m(XefJ, bzw. t(Xgfe), zusammen mit der kanonischen Abbildung von X auf t(Xefg), ein Differenzcokern von f und g. 0/g ist dabei wie vor 3.1.5 definiert. Bezüglich der vorgegebenen Äquivalenzrelation Q gilt: Xg tritt, zusammen mit x: X —> Xe, stets als Differenzcokern von Morphismen f:Y—*X und g: Y —• X von LIM auf. Ist X ein pseudotopologischer, mehrstufig topologischer bzw. topologischer Raum, so tritt stets Xe, zusammen mit x: X —> Xe, als Differenzcokern von Morphismen f: Y —• X und g: Y -» X von PTOP, stets m(Xe), zusammen mit x: X —>• m(XQ), als Differenzcokern von Morphismen f: Y — X und g: Y — X von MTOP bzw. stets t(Xe), zusammen mit x: X —>• t(Xe), als Differenzcokern von Morphismen f: Y —* X und g: Y —» X von T O P auf. B e w e i s . 1. / : Y —• X und g: Y -» X seien Morphismen von LIM. T sei derjenige Funktor einer kleinen Kategorie 2) in LIM, der mittels / und g bis auf eine Vertauschung von X und Y wie nach 3.2.1 gebildet ist. Wir setzen V(Xeft) = M, wobei V der Vergißfunktor von LIM in ENS ist. Wegen 3.1.5 und einer Bemerkung vor 3.2.14 ist M, zusammen mit dem aus der kanonischen Abbildung x: V(X) —> M und aus x° f: V(Y) — M bestehenden Paar, ein induktiver Limes von VT. r bzw. r ' seien die Limitierungen von X bzw. Y. Auf Grund der Stetigkeit von / ist xQU die feinste Limitierung von M derart, daß x: X —• M und x ° /: Y —• M bez. r bzw. r ' und dieser Limitierung stetig sind, weshalb sich wegen 3.12.4 x als Finallimitierung von r und r ' bez. x: X —> M und x°f\ Y -» M ergibt. Wegen 3.12.3 ist Xefg, zusammen mit dem Paar der Abbildungen x,: X —> Xeft und x ° /: Y —• Xtjg, ein F-Coprodukt von X und Y über M, (x, x ° f ) , wegen 3.2.23 also ein induktiver Limes von T. Daher ist Xef), zusammen mit x: X -* XQfg, ein Differenzcokern von / und g. 2. Wir setzen M = F(X e ). Nach 3.1.5 gibt es Abbildungen / und g einer Menge N in V(X) derart, daß M, zusammen mit der kanonischen Abbildung x: V(X) —• M, ein Differenzcokern von / und g ist. N, versehen mit der entarteten Limitierung von N, sei Y. Offensichtlich sind / : Y —• X und g: Y —> X Morphismen von LIM. Da q = Qfg gilt, folgt wie im Teil 1, daß Xg, zusammen mit x: X —» Xg, ein Differenzcokern von f:Y—>X und g: Y —• X ist. 3. Für den Fall der Kategorien PTOP, MTOP und TOP wird der Beweis analog geführt. Anstelle von 3.12.3 und 3.12.4 ist 3.12.5 und 3.12.6 zu verwenden, und es ist die im Teil 2 auftretende entartete Limitierung durch die diskrete Topologie zu ersetzen. |

3. Limesräume

232 Wegen 3.12.1 und 3.12.4 gilt

3.13.2. Eine Abbildung f aus Xe in einen Limesraum Z ist in einem Punkt y genau dann stetig, wenn f ° x über der Teilmenge y = x~1{y} von X stetig ist. Auf Grund des Korollars zu 3.12.1 gilt das K o r o l l a r . Ist Z ein pseudotopologischer bzw. mehrstufig topologischer Raum, so ist eine Abbildung f aus p(Xg) in Z bzw. aus m(Xe) in Z in einem Punkt y genau dann stetig, wenn f ° x über der Teilmenge y von X stetig ist. Ist Z ein topologischer Raum, so ist eine Abbildung f aus t(Xg) in Z, die eine offene oder abgeschlossene Menge als Definitionsbereich hat, genau dann stetig, wenn f ° x stetig ist. Für das Folgende sei neben X ein weiterer Limesraum Z gegeben. Ferner sei a eine Äquivalenzrelation in Z. 1 bezeichne die zugehörige kanonische Abbildung. Wir erinnern daran, daß eine Abbildung g aus X in Z bez. o und a relationstreu heißt, wenn x q y stets g(x) a g{y) nach sich zieht. Aus 3.12.2 folgt 3.13.3. g sei eine bez. q und a relationstreue Abbildung aus X in Z und f ( = Xog o die aus g erzeugte Abbildung aus Xs in Za. Ist für einen Punkt y des Definitionsbereiches von f die Abbildung g über y = x'1 {y} stetig, so ist f in y stetig. Auf Grund des Korollars zu 3.12.2 gilt das K o r o l l a r . Unter der Voraussetzung von 3.13.3 gilt: Ist für einen Punkt y des Definitionsbereiches von f die Abbildung g über y stetig, so ist f in y als Abbildung ausp(Xg) inp(ZB) und als Abbildung aus m(Xe) in m(Za) stetig. Hat f als Definitionsbereich eine bez. t(re) offene oder abgeschlossene Menge und ist g stetig, so ist f als Abbildung aus t(Xe) in t(Z„) stetig. Aus dem Korollar zu 3.12.7 folgt 3.13.4. Zu jedem Punkt y von Xe besteht zwischen dem Nachbarschaftsfilter 3%(y) von y (bez. re) und den Nachbarschaftsfiltern ÜJ£(a;) der x e y (bez. r) die Beziehung

Wegen 3.12.8 gilt

3%(y) = k ( A SR(«)) • xiy

3.13.5. Eine Teilmenge A von Xe ist genau dann offen bzw. abgeschlossen, offen bzw. abgeschlossen ist.

wenn

Für die aus Umgebungsrastern erzeugten Filter gilt keine so starke Aussage wie der Satz 3.13.4 über Nachbarschaftsfilter. Es gilt nämlich lediglich

3.13. Quotientenräume

233

3.13.6. Zu jedem Punkt y von Xg besteht zwischen dem Umgebungsraster U e (y) von y (bez. xe) und den Umgebungsrastern U(a;) der x 6 y (bez. r) die Beziehung imUe(y)Sx(AimU(a;)). xiy Das Gleichheitszeichen trifft bei dieser Beziehung im allgemeinen nicht zu, auch nicht, wenn X als topologischer Raum vorausgesetzt ist. B e w e i s . 1. Die Beziehung gilt auf Grund des Korollars zu 3.12.8. 2. Wir zeigen an Hand eines B e i s p i e l s , daß bei ihr das Gleichheitszeichen im allgemeinen nicht zutrifft, auch nicht, wenn X als topologischer Raum vorausgesetzt ist. Es sei dazu X speziell die Zahlengerade R. q sei diejenige Äquivalenzrelation in R, bezüglich der das Intervall ]0, 2] und die einpunktigen Mengen {a;}, x e R \ ]0, 2], die Äquivalenzklassen sind. Das offene Intervall J = ]— 1, 1[ gehört A im U ( « ) = im 11(0) an. Andererseits ist x[J] kein Element S€{0}

von im ll e (y) mit y = { 0 } . Ist nämlich U eine Umgebung von y = { 0 } , so ist « _ 1 [Í7] wegen 3.13.5 eine Umgebung von 0. Die Äquivalenzklasse ]0, 2] hat deshalb mit x - 1 [ C 7 ] einen nichtleeren Durchschnitt, sie ist dann sogar eine Teilmenge der offenen Menge E s kann daher x _ 1 [ i 7 ] nicht in o x) [ J ] = ] — 1, 2] und damit auch U nicht in liegen. | Wie aus 3.13.9. hervorgehen wird, stimmt dier e zugeordnete Pseudotopologie p(re) mit der Quotientenlimitierung p(r)e der r zugeordneten Pseudotopologie überein. Wir führen zunächst Aussagen an, aus denen sich ergeben wird, daß Entsprechendes bezüglich der zugeordneten mehrstufigen Topologien und der zugeordneten Topologien nicht gilt. 3.13.7. Ist r eine mehrstufige Topologie, so ist notwendig und hinreichend dafür, daß auch die Quotientenlimitierung re eine mehrstufige Topologie ist, daß zu jedem n n ^(xn)) Punkt y von Xg endlich viele Punkte xlt ..., xn e y mit q S (") %l(x) existieren. xey B e w e i s . Wie mittels q = ° x und 2.5.4 folgt, ist die angeführte Beziehung äquivalent zu x f ä f a ) n - n 9l(xn)) < = * ( ( ! Mittels 3.12.2 und 3.12.4 zty ergibt sich damit leicht die Behauptung. | Die in 3.13.7 angegebene Bedingung gilt natürlich, wenn alle Äquivalenzklassen endlichelementig sind. Im allgemeinen ist sie bei mehrstufig topologischen Räumen nicht von selbst erfüllt, nicht einmal bei topologischen Räumen, wie wir an Hand eines B e i s p i e l s zeigen. Wir nehmen als X das topologische Produkt K2 (K = R oder K = C) und definieren g so: Es sei (x, x') € q für zwei Punkte x, x' e K 2 genau dann, wenn deren erste Komponenten beide 0 sind oder x und x' übereinstimmen. Als Äquivalenzklassen treten somit die Koordinatenachse { 0 } X Ä und einelementige Mengen auf. Zu beliebigen Punkten 16

Gähler, I

3. Limesräume

234

... , xn e {0} X K gibt es offensichtlich eine Menge N 6 K 2 mit g[-ZV] = N, die Nachbarschaft jedes Punktes xlt ... , x„, jedoch nicht Nachbarschaft aller Punkte von {0} X K ist. Die Quotientenlimitierung r e ist daher keine mehrstufige Topologie. Es kann also bereits r e =t= m(re) im Falle r = t(r) gelten. Wie mittels 3.13.4 folgt, besteht m(re) (y) stets aus allen Oberfiltern von *( A 9«®)). xzy

Unter Berücksichtigung von 3.13.4 ergibt sich

3.13.S. Dafür, daß m(re) eine Topologie ist, ist notwendig und hinreichend, daß zu jedem Punkt y von Xe und jedem N i f ] 9?(a;) ein M e f) mit p[Ar] e xiy D existiert. xìqIM] Wir zeigen an Hand eines B e i s p i e l s , dlß m(re) nicht stets eine Topologie ist, wenn das für r zutrifft, mit anderen Worten, daß m(re) =f= t{ r e ) i m Falle T = t(r) gelten kann. Es sei X das topologische Produkt K a (K = R oder K = C). q bestehe aus allen Paaren (x, x) (x 6 X) und allen Paaren

—j ,

—jj

e K; n, m e N+). g ist natürlich eine Äquivalenzrelation. Äquivalenzklassen sind die Mengen

-^-j | n e N+ j

e K) und einelementige Mengen. Ist N eine

abgeschlossene Nachbarschaft von (1, 0), der nicht (1, 1) angehört, so gibt es keine Nachbarschaft M von (1, 0), so daß zu fi 9Ì0») gehört, da keine xielM] Nachbarschaft von (1, 1) ist. Wegen 3.13.8 ist m(re) daher keine Topologie. 3.13.9. Es gilt 2>M„ = P(*Q) >

(t)a ^

m

( )

m Te

und

( e) = '(Te) •

l r

p(re) ist die feinste Pseudotopologie, m(re) die feinste mehrstufige Topologie und t(re) die feinste Topologie derart, daß x bez. r und dieser stetig ist. B e w e i s . Die Richtigkeit der angeführten Beziehungen ergibt sich aus 3.12.9. Aus 3.12.6 folgt der zweite Teil der Behauptung. | A n m e r k u n g . Bei der zweiten und dritten im Satz angeführten Beziehung gilt auf Grund der obigen Beispiele natürlich im allgemeinen das Gleichheitszeichen nicht. Zum Schluß dieses Abschnittes bringen wir noch einige Trennbarkeitseigenschaften von Quotientenräumen. Da ^-Trennbarkeit nur von der der Limitierung zugeordneten Topologie abhängt, genügt es, sich bezüglich ^-Trennbarkeit auf den Quotientenlimesraum XQ zu beschränken. Aus 3.7.2 und 3.13.5 folgt leicht

235

3.13. Quotientenräume

3.13.10. Der Quotientenlimesraum Xe genügt genau dann dem ersten Trennungsaxiom, wenn sämtliche Äquivalenzklassen bez. Q abgeschlossene Teilmengen von X sind. Im allgemeinen folgt weder aus der Tj-Trennbarkeit von X diejenige von Xß noch aus der Tj-Trennbarkeit von Xe diejenige von X. Bezüglich der T 2 -Trennbarkeit führen wir zuerst eine notwendige und anschließend unter Berücksichtigung derselben eine hinreichende Bedingung an. 3.13.11. Ist der Quotientenlimesraum Xg separiert, Teilmenge des Produktraumes X X X.

so ist Q eine

abgeschlossene

B e w e i s . Angenommen, g sei nicht abgeschlossen. Es existiert dann ein . Punkt (x, y) 6 Q\Q, weshalb es zwei eigentliche Filter g € r(x) und © 6 r(y) mit (F x G) n Q = 0

(3.13.3)

zu beliebigen - f e g und G e © gibt. Auf Grund der Stetigkeit von x konvergiert gegen x(x) und x(@) gegen x(y). v x(®) =

im {x[F]

n x[G] \ F e % und G € ©}

ist wegen (3.13.3) ein eigentlicher Filter. E r konvergiert als Oberfilter von und x(&) gegen x(x) und x(y) =(= x(x), weshalb Xe nicht separiert sein kann. Aus der Separiertheit von Xe folgt daher, daß Q abgeschlossen ist. | Da die Separiertheit erhalten bleibt, wenn die Limitierung verfeinert wird, besteht das K o r o l l a r . Ist m(Xg) menge von X X X.

bzw. t(Xe) separiert,

so ist Q eine abgeschlossene

Teil-

3.13.12. Das Abbildungsprodukt x-X-x sei eine offene Abbildung bez. x X r und re X r e . Ferner sei Q eine abgeschlossene Teilmenge von X x X. Dann ist der Quotientenlimesraum Xe separiert. B e w e i s . Angenommen, Y = Xe sei nicht separiert. E s existiert dann ein eigentlicher Filter g Y, der gegen zwei voneinander verschiedene Äquivalenzklassen Q{X} und q{y) konvergiert. Das Filterprodukt g X g ist eigentlich und konvergiert gegen (£>{a;}, Q{y})- Da q abgeschlossen ist, ist (E X E) \ q und damit auch A = (x*x) [(E X E) \ g] offen. Wegen ( q { x } , q{y}) e A folgt i 65 X Da A aus allen Punkten von Y y, Y besteht, die nicht der identischen Abbildung von Y auf sich angehören, führt das zu einem Widerspruch. Folglich ist Y separiert. | Analog wie 3.13.12 beweist man das K o r o l l a r . Ist das Abbildungsprodukt x-X-x eine offene Abbildung bez. x X r und m(r e ) X m(re) bzw. bez. r X t und t(re) X t(r'e) und ist Q eine abgeschlossene Teilmenge von X x X, dann ist m(Xg) bzw. t(Xß) separiert. 16«

236

3. Limesräume

Mittels des Korollars zu 3.10.7 folgt in dem Fall, daß X ein topologischer Raum ist, daß x x bez. r X r und t(re) X t(re) genau dann offen ist, wenn x bez. r und t(re) offen ist.

3.14. Summenräume Obwohl Summenräume genauso wie Quotientenräume Finallimitierungen besitzen, haben sie viel einfachere Eigenschaften als diese. (Xj) i € / sei eine Familie von Limesräumen mit einer Menge als Indexbereich. Zu beliebigem i 6 I seir,- die Limitierung von X{. E bezeichne die Mengensumme der Trägermengen der X^ und zu beliebigem i € / ferner ^ die natürliche Injektion von X i in E. Wir nennen die feinste Limitierung von E derart, daß alle Abbildungen xi bez. Tj und dieser Limitierung stetig sind, die Summe £ ri der ic/ Limitierungen rt (i e I) und E, versehen mit J? rt-, die Summe £ Xi der Limesiel iil räume X{ (i e I). Ist I = { 1 , . . . , n) für ein n e N+, so schreiben wir für £ rt und Z X* a u c h + - + bzw. Xx + - + Xn. iil Wie sich mittels 3.12.4 ergibt, ist die Finallimitierung der rt- bez. der x t UI (i e I), gilt also (3.14.1) { Z T } ) a ) ( i = x3ar. jti zu beliebigem i e I. 2

T»

daher die Abbildungssumme der X? ° r{.

Zu beliebigem i 6 I sei X'( derjenige Limesraum, der als Trägermenge E{ = wb xt, also das cartesische Produkt von {¿} und der Trägermenge von X,-, und als Limitierung ri = ocf ° t 4 ° hat, wobei a { die durchaus;,) = (i, x{) definierte Abbildung von X{ auf Ei ist 1 ). Die Abbildungen sind natürlich Homöomorphismen von Xt auf X\. Es ist vorteilhaft, sie als Identifikationen aufzufassen und auf diese Weise die Limesräume Xi und X\ zu identifizieren. Für jedes i 6 I gilt xf == iE{ 0 wobei i E l die identische Einbettung von Et in E ist. Damit folgt 3.14.1. Die Summenlimitierung Limitierung

induziert auf jedem Limesraum X{ dessen

B e w e i s . Mittels (3.9.1) und (3.14.1) ergibt sich zu beliebigem i 6 I j 6/

jil

Da die Abbildungen • X (i € I), iil ein Coprodukt der (i € I) in LIM und, wenn die Xi pseudotopologische, mehrstufig topologische bzw. topologische Räume sind, auch ein Coprodukt der Xi (i e I) in PTOP, MTOP bzw. TOP. Aus 3.12.1 folgt 3.14.8. Eine Abbildung f aus dem Summenraum

2 Xt in einen Limesraum iil ist in einem Punkt x = (i, x{) genau dann stetig, wenn f °Xiin stetig ist.

Y

Aus 3.14.8 ergibt sich: Ist [ f ^ i eine Familie von Abbildungen aus in einen festen Limesraum Y, so ist die Summe dieser Abbildungen genau dann stetig, wenn jede Abbildung / { stetig ist. Eine entsprechende Aussage ist für offene und abgeschlossene Abbildungen richtig: 3.14.9 (Offene und abgeschlossene Abbildungssummen). Ist (fi)ieI eine Familie von Abbildungen ft aus Xt in einen festen Limesraum Y, so ist die Summe

3.14. Summenräume

239

dieser Abbildungen genau dann eine offene bzw. abgeschlossene Abbildung, alle fi offene bzw. abgeschlossene Abbildungen sind.

wenn

B e w e i s . Wir setzen / = ^ /»• Ist / offen, so folgt wegen 3.14.2 und fi = f o xiy iil daß auch jede Abbildung fi offen ist. Sind alle Abbildungen fi offen und ist U eine offene Teilmenge von £ X{, so sind wegen 3.14.1 die Mengen U n Et in X\ itl n und offen, womit leicht folgt, daß jede Menge f[U n E{] = (/,• °oc^1) damit auch f[U] = U f[U n E{] offen ist. Bezüglich abgeschlossener Abbilduni€l gen wird der Beweis genauso geführt. | Für das Folgende sei neben ( X J ^ j eine weitere Familie (Fj) i € i von Limesräumen mit dem gleichen Indexbereich gegeben. Wir bezeichnen zu beliebigem i e I mit xi die Limitierung von Yi und mit Xi die natürliche Injektion von Yi in 2 Y}. Hl 3.14.10. (/j) i€ j sei eine Familie von Abbildungen f{ aus Xi in Yi und / die volle Summe dieser Abbildungen, f ist in einem Punlct x = (i, x{) bez. £ r; und £ r'j genau dann stetig, wenn fi in xi bez. Tj und x\ stetig ist. i*1 B e w e i s . Die eine Richtung folgt aus 3.12.2. Zum Beweis der anderen Richtung setzen wir voraus, daß / in einem Punkt x = (i, bez. Tj und £ r'j jzi jzi stetig ist. Dann ist / ° x{ = ° /,• in xi bez. r i und £ r] stetig und, wie sich jil mittels 3.14.2 ergibt, auch in xi bez. xi und r\ stetig. | Aus 3.14.10 folgt, daß für eine beliebige Familie von Abbildungen aus Xi in Yi die volle Summe dieser Abbildungen genau dann stetig ist, wenn jede Abbildung fi stetig ist. Für offene und abgeschlossene Abbildungen gilt, wie man leicht beweist, analog 3.14.11 (Offene und abgeschlossene volle Abbildungssummen). Ist (fi)i€l eine Familie von Abbildungen aus Xi in Yi; so ist die volle Summe dieser Abbildungen genau dann offen bzw. abgeschlossen, wenn jede Abbildung offen bzw. abgeschlossen ist. 3.14.12. Für jede Teilmenge A des Summenraumes A = |J A n Ei' iel

und

2 iil

A = [J A n Ei; iil •'

wobei die Adhärenz- und Innerenbildungen auf den linken Seiten der Beziehungen bez. £ X{ und auf den rechten Seiten bezüglich der Teilräume X\ gemeint sind. »6J

3. Limesräume

240

B e w e i s , x = {i, x{) e A \ A ist äquivalent dazu, daß x 3 A ist und ein Filter g e ( i ; T?)(x) = (*? »tjKij) = {iaEi°T\)(x) existiert mit F n A 4= 0 zu beliebigem F 6

folglich dazu, daß a; 5 yl ist und ein Filter © e r^x) existiert 1 mit G n A = G n A n E{ zu beliebigem 6 6 also dazu, daß x € A n E( \ A gilt. Daher ist die erste der angegebenen Beziehungen richtig. Aus dieser folgt A = E \ U (E \ A) n e[ i€j = U Bt \ U (Et\ A n Bt) = U A n Ei, tel iel ' ieJ ' also die zweite der angegebenen Beziehungen. | I n der Summenschreibweise besagt dieser Satz, daß

A{ = £ und itl ui von Teilmengen A{ von Xt

2 Aj = £ Aj für eine beliebige Familie (AJ^j icl iel gilt, wobei die Adhärenz- und Innerenbildungen auf den linken Seiten dieser Beziehungen bez. X und auf den rechten Seiten bezüglich der X{ gemeint sind. Bezüglich Trennbarkeitseigenschaften von Summenräumen gilt 3.14.13.

Xi genügt genau dann dem schwachen ersten bzw. dem, ersten TrenUI nungsaxiom, wenn jeder Summand Xi dieses Axiom erfüllt. £ -X,- ist genau dann i VyY e rEt(y) und [x]' 6 rEi{y), wobei [«]' und [«/]' die von {x} und {y} erzeugten Filter in Ei sind. Mittels (3.9.3) ergibt sich dann [ic] € r(x), \y\ e x(y) und [x] 6 r(y) und damit, daß X das schwache erste Trennungsaxiom erfüllt. Genügen die Räume Xi dem ersten Trennungsaxiom, so erfüllt wegen 3.7.2 (Bedingung 3) und 3.14.4 auch X dieses Axiom.

3.14. Summenräume

241

Zu beliebigen voneinander verschiedenen Elementen i, j e I u n d P u n k t e n x e Ep ytE, folgt mittels (3.14.1) ( Z T»)(») n ( Z r*)(y) = { m ktl ifceJ

.

(3.14.3)

Ferner folgt zu beliebigem i e I und beliebigen P u n k t e n x — (i, x{) u n d y = (i, yt) von Ei mittels (3.14.1) aus t ^ ) n r ^ ) = { P E ) stets (3.14.3) u n d aus r x i( i) —Ti{yd stets (Zr*)ix) = ( Z rk)(y). Sind die R ä u m e X{ schwach separiert Jfcel

kzl

bzw. separiert, so ist daher auch X schwach separiert bzw. separiert. Wir nehmen n u n an, d a ß jeder der R ä u m e Xi u n d damit auch jeder der R ä u m e X\ regulär ist und geben uns einen Filter ^ in E vor, der bez. Z ri g e g e n iei

einen P u n k t x — (i, xt) konvergiert. Wegen 3.9.1 u n d 3.14.1 gehört {F n Ei \ < F e %} u n d d a m i t auch im {F n Ei \ F e zu r\{x). Die Adhärenzbildung ist natürlich bez. x\ gemeint. Mittels 3.9.1 folgt, d a ß

= im {.F n

1

\F e

%

bez. Z ri gegen x konvergiert. Nach 3.14.12 s t i m m t F n mit der Adhärenz i€j F n Ef von F n Ei bez. Z T i überein. Da Ei offen, somit Ei e g und daher jti _ auch F n E{ e § z u beliebigem f e g gilt, ist im {F \ F e ein Oberfilter von

E r konvergiert also bez. Z

T

i ebenfalls gegen x. Daher ist auch X

regulär. Entsprechend folgt aus der Regularität im engeren Sinne der X{ die Regularität im engeren Sinne von X. I m weiteren seien die Xi vollständig regulär. Gegeben seien ein P u n k t x = (i, x{) und eine abgeschlossene Teilmenge A von E. tx^lA] ist in Xi wegen 3.14.4 abgeschlossen, so daß es eine stetige Abbildung gi von in R gibt mit 9i(xi) — 0 und g^yj = 1 f ü r y{ e ocj - 1 ^]. Zu beliebigem j e I mit j =)= i sei jr} diejenige konstante Abbildung von Xj in R, die als Werte n u r die Zahl 1 h a t . Sie ist natürlich stetig. Nach der Bemerkung nach 3.14.8 ist d a n n auch die Summe g der Abbildungen Y sei ein Morphismus von LIM. Y sei separiert. j[X] sei jetzt 1

nicht im weiten Sinne in Y dicht. Wir setzen A = f[X]. i bezeichne die natürliche Einbettung von A in Y, xx und x2 die natürlichen Injektionen von Y in die Summe Y U Y = Y, Q die kleinste Äquivalenzrelation in Y U Y, iE {1,2}

die x2 ° I ° H1 0 enthält, und x die kanonische Abbildung von Y U Y auf ( 7 U Y)/Q. Die stetigen Abbildungen g — x °x1 und h = x ° x2 sind ungleich, es gilt jedoch g ° / = h ° /. Wegen 3.13.7 bis 3.13.9 und 3.14.6 erhalten wir, daß (Y U Y)/Q ein pseudotopologischer, mehrstufig topologischer bzw. topologischer Raum ist, wenn das für Y zutrifft. Zu beweisen ist noch, daß ( Y U Y)JQ separiert ist. Offenbar genügt es zu zeigen, daß kein eigentlicher Filter in ( Y U Y)/Q gleichzeitig gegen einen Punkt von bezüglich der (D, y) und (C, T(f)(y)) De Ob®

zu jedem Morphismus f:D-*C von 2) und jedem y e [X^l äquivalent sind. iD sei zu beliebigem D e Ob® die natürliche Injektion von l-X^I in die Summe |XC| und x die kanonische Abbildung von £ \Xj,\ auf die QuotientenCeOb®

DeOb®

menge E = { 2

De Ob®

|Xd\)IQ.

Nach 3.2.15 ist die Menge E, die auch mit limindl-X^I bezeichnet wird, zusammen mit der Familie der Abbildungen