Grundausbildung in Ökonometrie [2. neubearb. Aufl. Reprint 2021] 9783110880885, 9783110121711

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de Gruyter Lehrbuch Frohn • Grundausbildung in Ökonometrie

Joachim Frohn

Grundausbildung in Ökonometrie 2., neubearbeitete Auflage

W G DE

Walter de Gruyter • Berlin • New York 1995

Dr. rer. pol. Joachim Frohn, o. Professor für Statistik und Ökonometrie an der Universität Bielefeld

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der Deutschen

Bibliothek

Frohn, Joachim: Grundausbildung in Ökonometrie / Joachim Frohn. 2., neubearb. Aufl. - Berlin ; New York : de Gruyter, 1995 ISBN 3-11-012172-7 (brosch.) ISBN 3-11-012171-9 (geb.)

© Copyright 1995 by Walter de Gruyter & Co., D-10785 Berlin. Dieses Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. - Printed in Germany. Druck: W B Druck G m b H , Rieden am Forggensee. — Bindearbeiten: Dieter Mikolai, Berlin. — Einbandgestaltung: Hansbernd Lindemann, Berlin.

Vorwort zur 2. Auflage Auch bei der hiermit vorgelegten ergänzten und verbesserten 2. Auflage ist die Zielrichtung des Buches beibehalten worden: Es werden die grundlegenden Konzepte und Methoden ökonometrischer Einzel- und Mehrgleichungsmodelle behandelt, wobei alle mathematischen Resultate sehr ausführlich und damit leicht nachvollziehbar hergeleitet werden, um das Mit- bzw. Nacharbeiten und auch ein Selbststudium zu erleichtern. Wegen der Beschränkung auf den Grundbestand ökonometrischer Konzepte und Verfahren bleiben weiterhin wichtige Teilbereiche der Ökonometrie ausgeklammert, so z.B. der gesamte Bereich der Zeitreihenökonometrie und auch Modelle mit diskreten Variablen. Im Vergleich zur ersten Auflage wurden zusätzlich Einzelgleichungsmodelle mit stochastischen Regressoren sowie Ergänzungen bei den Tests, den Prognosen und bei der Berücksichtigung von Restriktionen aufgenommen. Außerdem ist der Aufgabenteil durch die Angabe von Lösungen zu ausgewählten Aufgaben erweitert worden. Wie in der ersten Auflage ist bewußt auf die Behandlung umfassender empirischer Beispiele verzichtet worden. Die in diesem Buch behandelten Ansätze sind als Grundvoraussetzung anzusehen, um die im allgemeinen sehr komplexen empirischen ökonomischen Phänomene angemessen ökonometrisch bearbeiten zu können. Eigentliches Ziel der Ökonometrie-Ausbildung bleibt aber natürlich die Anwendung des ökonometrischen Instrumentariums auf solche Fragestellungen auf der Grundlage ökonomischer Theorie und unter Heranziehung empirischen Datenmaterials. Ich bedanke mich bei meinen Bielefelder Studenten und Mitarbeitern für Hinweise auf kleinere Fehler und Unklarheiten, die damit gegenüber der ersten Auflage beseitigt werden konnten. Besonders herzlicher Dank gilt Frau cand.rer.pol. Ute Niermann und den Herren Diplom-Volkswirten Andreas Faust und Ulrich Leuchtmann, die Teile des Manuskripts geschrieben sowie die Graphiken und die Lösungen zu den Aufgaben erstellt haben.

Bielefeld, September 1994

Joachim Frohn

Vorwort zur 1. Auflage Die Bedeutung der Ökonometrie für die Wirtschaftswissenschaften hat in den letzten zehn Jahren deutlich zugenommen. Dies kommt nicht zuletzt darin zum Ausdruck, daß dieses Fachgebiet in wirtschaftswissenschaftlichen Studiengängen ein immer stärkeres Gewicht erhält und z.T. schon als Pflichtgebiet im Grundstudium verankert ist. Das vorliegende Lehrbuch hat im wesentlichen jenen Grundbestand an ökonometrischen Methoden zum Inhalt, der üblicherweise in einer zweisemestrigen einführenden Lehrveranstaltung dargestellt wird: Bei den ökonometrischen Einzelgleichungsmodellen werden Schätz- und Testverfahren für das allgemeine und das verallgemeinerte lineare Modell, bei den Mehrgleichungsmodellen das Identifikationsproblem und die Parameterschätzung behandelt. Andere Bereiche sind ausgeklammert worden, so z.B. Modelle mit Fehlern in den Variablen und Modelle mit verteilten Lags. Die in den einzelnen Abschnitten angefügten Beispiele sind vor allem als Demonstration der zuvor dargestellten Methoden anzusehen. Auf die Behandlung umfassender empirisch-ökonomischer Phänomene ist mit Bedacht verzichtet worden: In einer einführenden Darstellung ökonometrischer Methoden muß an sehr vielen Stellen von „idealen" Voraussetzungen ausgegangen werden. In der ökonomischen Empirie sind diese Voraussetzungen in der Regel nicht erfüllt, so daß für eine adäquate empirische Analyse Modifikationen der in diesem Buch enthaltenen Ansätze oder auch darüber hinausgehende Konzepte herangezogen werden müssen. Dazu ist allerdings die Kenntnis der hier behandelten Methoden erforderlich. Das Durcharbeiten des Buches setzt Grundkenntnisse in linearer Algebra und in Statistik, wie sie in den üblichen Lehrveranstaltungen im Grundstudium wirtschaftswissenschaftlicher Studiengänge erworben werden, voraus. Es sind aber auch einige Fußnoten in den Text eingefügt worden, in denen wichtige mathematische und statistische Konzepte und Hilfsmittel kurz erläutert werden. In den Anhang sind einige Aufgaben aufgenommen worden, um die dargestellten Methoden anhand einfacher Beispiele üben zu können. Meinem Mitarbeiter, Herrn Dr. R. Friedmann, möchte ich für eine ganze Reihe wichtiger Hinweise herzlich danken; ebenso Herrn Dr. R. Pauly, Universität Bonn, der eine frühere Fassung des Manuskripts gelesen hat. Frau Ch. Mailig-

viii

Vorwort zur 1. Auflage

Höke und Herr Dipl.-Volksw. E.J. Flöthmann haben das Manuskript geschrieben; Herr Flöthmann hat außerdem die Graphiken und das Index-Register angefertigt. Auch ihnen gilt mein herzlicher Dank.

Bielefeld, März 1980

Joachim Frohn

Inhaltsverzeichnis 1

2

Einführung

1

1.1

Der Gegenstand der Ökonometrie

1

1.2

Die Aufgaben des Ökonometrikers

3

1.3

Bestandteile und Typen ökonometrischer Modelle

5

Ökonometrische Einzelgleichungsmodelle

13

2.1

Die Störgröße

14

2.2

Das allgemeine lineare Modell

15

2.2.1

Parameterschätzung im allgemeinen linearen Modell . . .

24

2.2.1.1

Eigenschaften von Schätzfunktionen

24

2.2.1.2

Schätzung des Parametervektors ß nach der Methode der kleinsten Quadrate

31

2.2.1.3

Schrittweise Schätzung von ß mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate

39

2.2.1.4

Die Eigenschaften der LS-Schätzfunktion ß

42

2.2.1.5

Schätzung von er2 und Var(/3)

2.3

. .

46

2.2.2

Das Bestimmtheitsmaß

50

2.2.3

Multikollinearität

54

2.2.4

Spezifikationsfehler

62

2.2.5

Parameterschätzung im allgemeinen linearen Modell bei Berücksichtigung linearer Nebenbedingungen

67

Das allgemeine lineare Modell unter Berücksichtigung der Normalverteilung

70

2.3.1

72

Maximum-Likelihood-Schätzung von ß und a2

Inhaltsverzeichnis

X

2.3.2

Die Dichtefunktion von ß

75

2.3.3

Parametertests

76

2.3.3.1

Der (Maximum-)Likelihood-Verhältnis-Test 2.3.3.1.1 2.3.3.1.2 2.3.3.1.3 2.3.3.1.4 2.3.3.1.5

2.3.3.1.6 2.3.3.2 2.3.3.3

. .

Test von H0 : ß{2) = ß°2) im Modell V = x(i)ß(i) + x(2)ß{2) + u

77 79

Test von H0 : ß{2) = 0 im Modell y = ißl + X(2)ß(2) + u

86

Test von H0 \ ßK = ß°K im Modell y = X{1)ß(1) + xKßK + u

87

Test linearer Restriktionen im Modell y = Xß + u

89

Test von H0 : ß = ßo im Modell y = Xß + u

93

Der Strukturbruchtest

94

Tabellarische Zusammenstellung der Tests . . . Parametertests für das Modell mit Variablen, die auf ihr jeweiliges arithmetisches Mittel bezogen sind

95

97

2.3.4

Konfidenzintervalle und -bereiche

98

2.3.5

Zwei Tests zur Überprüfung der Annahme (A2)

106

2.3.5.1

Der Durbin-Watson-Test

106

2.3.5.2

Ein Homoskedastizitätstest

112

2.3.6

Tests für allgemeine Parameter-Restriktionen

113

2.3.7

Prognosen und Prognoseintervalle

114

2.4

Verzögerte endogene Variablen als erklärende Variablen

119

2.5

Das verallgemeinerte lineare Modell

126

2.5.1

Parameterschätzung im verallgemeinerten linearen Modell 127

2.5.2

Das verallgemeinerte lineare Modell unter Berücksichtigung der Normalverteilung

132

Inhaltsverveichnis 2.5.3

2.6

3

XI

Parameterschätzung im verallgemeinerten linearen Modell bei unbekannter Varianz-Kovarianz-Matrix der Residuen

133

2.5.3.1

133

Autokorrelation

2.5.4

2.5.3.2 Heteroskedastizität 137 Berücksichtigung stochastischer A-priori-Informationen bezüglich der Parameter 138

2.5.5

Prognosen und Prognoseintervalle

139

Das lineare Modell mit stochastischen Regressoren

142

2.6.1

Einführung

142

2.6.2

Das lineare Modell mit unabhängigen stochastischen Regressoren

142

2.6.3

Modelle mit abhängigen stochastischen Regressoren . . .

144

2.6.4

Die Instrumentalvariablenschätzung

147

Ökonometrische Mehrgleichungsmodelle

149

3.1

Einführung

149

3.2

Die Notierung eines ökonometrischen Mehrgleichungsmodells . .

150

3.3

Die Annahmen des Modells

153

3.4

Die reduzierte und die finale Form

156

3.5

Typen ökonometrischer Mehrgleichungsmodelle

163

3.6

Das Identifikationsproblem

169

3.6.1

Die Dichtefunktion der gemeinsam abhängigen Variablen

171

3.6.2

A-priori-Restriktionen, beobachtungsäquivalente Strukturen und Identifizierbarkeit

174

3.6.3

Identifizierbarkeitskriterien bei Nullrestriktionen bzgl. B und T

183

3.6.4

Identifizierbarkeitskriterien bei homogenen linearen Restriktionen

191

3.6.5

Identifizierbarkeit auf Grund von Beschränkungen bzgl. $

192

Inhaltsverzeichnis

3.7

3.6.6

Genau identifizierte und überidentifizierte Modelle . . . .

194

3.6.7

Identifizierbarkeit und Modellspezifikation

195

Parameterschätzung

196

3.7.1

Einführung

196

3.7.2

OLS-Schätzung im allgemeinen interdependenten Modell

197

3.7.3

Parameterschätzung in speziellen Modelltypen

202

3.7.4

3.7.3.1

Das Modell scheinbar unverbundener Gleichungen 202

3.7.3.2

Modelle der reduzierten Form

207

3.7.3.3

Genau identifizierte Modelle

210

3.7.3.4

Rekursive Modelle

211

Parameterschätzung im interdependenten Modell 3.7.4.1

212

Ein Einzelgleichungs-Schätzverfahren: Die zweistufige Methode der kleinsten Quadrate . . . .

213

3.7.4.2

k-Klasse-Schätzfunktionen

224

3.7.4.3

System-Schätzverfahren

225

3.7.4.3.1

Die dreistufige Methode der kleinsten Quadrate

226

Die Maximum-Likelihood-Methode bei voller Information

231

Vergleich der Schätzfunktionen für die Parameter interdependenter Modelle

236

Parameterschätzung in block-rekursiven Modellen und in Modellen unverbundener Blöcke

241

3.7.4.3.2 3.7.4.4 3.7.5

. . . .

3.8

Parametertests

241

3.9

Prognosen

243

Anhang

249 I. Aufgaben zur linearen Algebra

249

Inhaltsverveichnis

xiii

I. Aufgaben zur linearen Algebra

249

II. Aufgaben zum Einzelgleichungsmodell

251

III. Aufgaben zum Mehrgleichungsmodell

263

IV. Lösungen zu ausgewählten Aufgaben

272

B. Tabellen

282

Tabelle I: Prozentpunkte der F- Verteilung

282

Tabelle II: Prozentpunkte der t-Verteilung

286

Tabelle III: Prozentpunkte der x 2 -Verteilung

287

Tabelle IV: Obere und untere Prozentpunkte der Durbin-WatsonStatistik

288

Literatur

289

Index

295

1 1.1

Einführung Der Gegenstand der Ökonometrie

Im Laufe der vergangenen Jahrzehnte ist eine große Anzahl sehr unterschiedlicher Arbeiten dem Gebiet „Ökonometrie" zugeordnet worden. Deshalb ist eine allgemein gültige Definition des Begriffs „Ökonometrie" nur schwer möglich. Wir wollen hier in Anlehnung an Überlegungen von Samuelson, Koopmans und Stone1 „Ökonometrie" wie folgt definieren: Ökonometrie ist die quantitative Analyse ökonomischer Phänomene unter Verwendung ökonomischer Theorien, empirischen Beobachtungsmaterials und der Methoden des statistischen Schlusses. Dabei wird eine solche Analyse häufig mit dem Ziel der Prognose wichtiger ökonomischer Größen und/oder zur Stützung wirtschaftspolitischer Entscheidungen durchgeführt. Wir wollen den Gegenstand der Ökonometrie einschränken auf quantitative ökonomische Modelle, die aus Gleichungen bestehen, in denen ökonomische Variablen miteinander verknüpft sind. Ein sehr einfaches Beispiel für ein solches ökonomisches Modell stellt die folgende Konsumfunktion dar: Ct^a mit

Ct,Yt: a, b:

+ bYt Konsumausgaben bzw. Volkseinkommen einer Volkswirtschaft zum Zeitpunkt t, (t — 1,2,..., T) Parameter, die den einkommensunabhängigen Konsum bzw. die sogenannte marginale Konsumquote kennzeichnen.

'P. A. Samuelson, T.C. Koopmans, J.R.N. Stone [1954], S. 141 f.

(1.1)

1 Einführung

2

In (1.1) wird also für den Beobachtungszeitraum von t = 1 bis t = T von einem durch die beiden Konstanten a und b festgelegten linearen Zusammenhang zwischen den Konsumausgaben und dem Volkseinkommen ausgegangen. In der Regel wird diese Beziehung für keinen der Zeitpunkte exakt erfüllt sein; deshalb ist in (1.1) nicht das Gleichheitszeichen, sondern « verwendet worden. Wir können aber auch als Ausgleichsgröße eine Abweichungsvariable oder Störgröße (Symbol: u) in die Gleichung einführen, so daß (1.1) auch wie folgt notiert werden kann: Ct = a + bYt + ut.

(1.2)

Als Beispiel für ein aus mehreren Gleichungen bestehendes ökonomisches Modell sei ein sehr einfaches Mehrgleichungsmodell für die Bundesrepublik Deutschland angegeben. 2 Es besteht aus folgenden vier Gleichungen: einer Konsumfunktion: Ct = a0 + ciiYt + a2Ct-i + uu;

(1.3)

einer Investitionsfunktion: = K + b,Yt + btUt-x + u2t-

(1.4)

einer Importfunktion: Imt = c0 + CxYt -(- c 2 /m t _i + w3t;

(1.5)

sowie der folgenden Identität aus der Volkswirtschaftlichen Gesamtrechnung: Yt = Ct + lt"Ä-Imt

2

+ Gt.

D. Lüdeke [1964], S. 43 f., S. 100.

(1.6)

1.2 Die Aufgaben des Ökonometrikers

3

Dabei bedeuten: C: Y:

Im: U:

G:

u i , u 2 , u3:

privater Verbrauch in konstanten Preisen, Volkseinkommen in konstanten Preisen, private Nettoinvestitionen für Land und Anlagen in konstanten Preisen, Import in konstanten Preisen, Einkommen der privaten Haushalte aus Unternehmertätigkeit und Vermögen + unverteilte Gewinne der Unternehmen mit eigener Rechtspersönlichkeit vor der Besteuerung in konstanten Preisen, Staatsverbrauch + staatliche Nettoinvestitionen für Land und Anlagen + Vorratsveränderungen + Export - (indirekte Steuern - Subventionen), jeweils in konstanten Preisen, Abweichungsvariablen.

Dieses „Lüdeke-Modell" ist selbstverständlich nicht als ein „getreues Abbild" des wirtschaftlichen Geschehens in der Bundesrepublik Deutschland anzusehen. Es stellt nur eine allererste Annäherung dar. Modelle, die einen höheren Realitätsgrad erreichen sollen, müssen wesentlich detaillierter sein, d.h. aus einer viel größeren Anzahl von Gleichungen bestehen als das obige Modell. Gerade weil das Lüdeke-Modell aber so überschaubar ist, werden wir es im folgenden häufiger als Demonstrationsbeispiel heranziehen.

1.2

Die Aufgaben des Ökonometrikers

Nur in ganz seltenen Fällen wird der Ökonometriker ein bereits fest vorgegebenes Modell zu bearbeiten haben. In der Regel wird er zunächst die Aufgabe zu lösen haben, das in Frage stehende ökonomische Phänomen in ein ökonometrisches Modell zu „übersetzen", also z.B. zur Beschreibung des Konsumverhaltens die obige Konsumfunktion (1.2) zu formulieren. Diese „Ubersetzung" wird als Modellspezifikation bezeichnet. Wichtige Hilfsmittel bei dieser Aufgabe sind wirtschaftstheoretische Überlegungen sowie bestimmte - durch vielfache Beobachtung gut abgesicherte - empirisch festgestellte Zusammenhänge. Auf der Grundlage solcher Informationen müssen die variablen und konstanten Charakteristika des Phänomens, d.h. die Modellvariablen und -parameter festgelegt werden. Außerdem muß - in Ubereinstimmung mit diesen Festlegungen - der

1.2 Die Aufgaben des Ökonometrikers

3

Dabei bedeuten: C: Y:

Im: U:

G:

u i , u 2 , u3:

privater Verbrauch in konstanten Preisen, Volkseinkommen in konstanten Preisen, private Nettoinvestitionen für Land und Anlagen in konstanten Preisen, Import in konstanten Preisen, Einkommen der privaten Haushalte aus Unternehmertätigkeit und Vermögen + unverteilte Gewinne der Unternehmen mit eigener Rechtspersönlichkeit vor der Besteuerung in konstanten Preisen, Staatsverbrauch + staatliche Nettoinvestitionen für Land und Anlagen + Vorratsveränderungen + Export - (indirekte Steuern - Subventionen), jeweils in konstanten Preisen, Abweichungsvariablen.

Dieses „Lüdeke-Modell" ist selbstverständlich nicht als ein „getreues Abbild" des wirtschaftlichen Geschehens in der Bundesrepublik Deutschland anzusehen. Es stellt nur eine allererste Annäherung dar. Modelle, die einen höheren Realitätsgrad erreichen sollen, müssen wesentlich detaillierter sein, d.h. aus einer viel größeren Anzahl von Gleichungen bestehen als das obige Modell. Gerade weil das Lüdeke-Modell aber so überschaubar ist, werden wir es im folgenden häufiger als Demonstrationsbeispiel heranziehen.

1.2

Die Aufgaben des Ökonometrikers

Nur in ganz seltenen Fällen wird der Ökonometriker ein bereits fest vorgegebenes Modell zu bearbeiten haben. In der Regel wird er zunächst die Aufgabe zu lösen haben, das in Frage stehende ökonomische Phänomen in ein ökonometrisches Modell zu „übersetzen", also z.B. zur Beschreibung des Konsumverhaltens die obige Konsumfunktion (1.2) zu formulieren. Diese „Ubersetzung" wird als Modellspezifikation bezeichnet. Wichtige Hilfsmittel bei dieser Aufgabe sind wirtschaftstheoretische Überlegungen sowie bestimmte - durch vielfache Beobachtung gut abgesicherte - empirisch festgestellte Zusammenhänge. Auf der Grundlage solcher Informationen müssen die variablen und konstanten Charakteristika des Phänomens, d.h. die Modellvariablen und -parameter festgelegt werden. Außerdem muß - in Ubereinstimmung mit diesen Festlegungen - der

4

1 Einführung

Funktionstyp jeder einzelnen Gleichung bestimmt werden. Wie wir später sehen werden, schließt die Spezifikation des Modells auch die Festlegung bestimmter Annahmen über die Abweichungsvariablen ein. An die Spezifikationsphase schließt sich die Parameterschätzung an. Die unter Verwendung bestimmter Schätzverfahren auf der Grundlage von Beobachtungsreihen für die Modellvariablen gewonnenen Parameterschätzwerte geben Hinweise auf die Größenordnung der als konstant angenommenen Charakteristika des betrachteten Phänomens. Bestimmte Annahmen über die Parameter des Modells können dann in der dritten Phase, der Hypothesenprüfung, mit Hilfe statistischer Tests überprüft werden. Es ist deutlich, daß Parameterschätzung und Hypothesenprüfung gerade dann besondere Bedeutung besitzen, wenn der Ökonometriker in der Spezifikationsphase zwei oder mehr Modellspezifikationen erarbeitet, von denen er ohne weitere Informationen keine als geeignetste auszuwählen vermag. Parameterschätzung und Hypothesenprüfung ermöglichen dann die Konfrontation der alternativen Spezifikationen mit der Empirie und damit u.U. eine weitere Diskriminierung. Häufig wird das Modell in einem vierten Arbeitsgang zur Prognose herangezogen. Wenn auch jedes ökonomische Phänomen in der Regel eine individuelle ökonometrische Befassung erfordert, gibt es doch eine Reihe von allgemeinen Grundsätzen, die der Ökonometriker beachten sollte: 1. Theoretische Plausibilität des Modells: Das Modell soll Aussagen „gesicherter ökonomischer Theorie" nicht widersprechen. 2. Zuverlässigkeit der Parameterschätzwerte: Hierzu gehört insbesondere die Identifizierung der Parameter im weitesten Sinne; damit ist gemeint, daß der Parameterschätzwert tatsächlich eine Schätzung des Einflusses der unabhängigen Variablen auf die abhängige Variable darstellt. Diese Entsprechung ist durchaus nicht selbstverständlich. 3 Ist gewährleistet, daß alle Parameter des Modells identifiziert sind, so kommt es weiter darauf an, daß sie möglichst genau geschätzt werden. Dies ist vor allem

3

D a s Problem der Identifizierbarkeit spielt vor allem im Zusammenhang mit Systemen von mehreren Gleichungen eine Rolle und wird dort ausführlicher diskutiert werden.

1.3 Bestandteile und Typen ökonometrischer Modelle

5

wichtig bei Koeffizienten von sog. Instrumentvariablen, d.h. Variablen, deren Werte von bestimmten Wirtschaftssubjekten (bei makroökonomischen Untersuchungen häufig vom Staat) festgelegt werden können; nur bei zuverlässiger Schätzung der Parameter ist eine genauere Abschätzung der Wirkung alternativer Setzungen dieser Variablen möglich. 3. G u t e Anpassung: Das Modell soll die beobachtete Entwicklung der abhängigen Variablen möglichst gut widerspiegeln. 4. Hoher Prognosewert: Das Modell soll im Fall einer Zeitreihenuntersuchung möglichst gute Prognosen der Werte der abhängigen Variablen über einen möglichst langen Zeitraum erlauben. 5. Einfachheit: Eine einfache Gleichung - also eine Gleichung mit relativ wenigen Variablen und/oder einfacher funktionaler Form - ist bei annähernd gleich guter Erfüllung der vorstehenden vier Kriterien einer komplizierten Gleichung vorzuziehen.

1.3

Bestandteile und Typen ökonometrischer Modelle

Wir wollen in diesem Abschnitt zunächst die Bestandteile ökonometrischer Modelle, also die Gleichungen mit ihren Variablen und Parametern, diskutieren und im Anschluß daran kurz auf einige wichtige Modellunterscheidungen eingehen. Ökonometrische Gleichungen werden in Reaktionsgleichungen und definitorische Identitäten bzw. Gleichgewichtsbedingungen unterteilt. Reaktionsgleichungen beschreiben die Beeinflussung einer abhängigen Variablen durch eine Gruppe anderer Variablen. Im allgemeinen bezeichnet man die abhängige Variable als zu erklärende Variable, die übrigen Variablen als erklärende Variablen. In der Regel ist es nicht möglich, alle Größen, die auf die zu erklärende Variable Einfluß ausüben, in der Gleichung explizit zu erfassen; auch die zwischen der zu erklärenden und den erklärenden Variablen in der Realität bestehenden Beziehungen lassen sich meist nicht exakt modellieren. Deshalb ist in den obigen Beispielen die Störgröße u in die Gleichungen eingefügt worden. Wir wollen nachstehend diese Störgröße auch als unerklärten Rest, die Verknüpfung der explizit aufgeführten erklärenden Variablen (einschließlich des Absolutglieds)

1.3 Bestandteile und Typen ökonometrischer Modelle

5

wichtig bei Koeffizienten von sog. Instrumentvariablen, d.h. Variablen, deren Werte von bestimmten Wirtschaftssubjekten (bei makroökonomischen Untersuchungen häufig vom Staat) festgelegt werden können; nur bei zuverlässiger Schätzung der Parameter ist eine genauere Abschätzung der Wirkung alternativer Setzungen dieser Variablen möglich. 3. G u t e Anpassung: Das Modell soll die beobachtete Entwicklung der abhängigen Variablen möglichst gut widerspiegeln. 4. Hoher Prognosewert: Das Modell soll im Fall einer Zeitreihenuntersuchung möglichst gute Prognosen der Werte der abhängigen Variablen über einen möglichst langen Zeitraum erlauben. 5. Einfachheit: Eine einfache Gleichung - also eine Gleichung mit relativ wenigen Variablen und/oder einfacher funktionaler Form - ist bei annähernd gleich guter Erfüllung der vorstehenden vier Kriterien einer komplizierten Gleichung vorzuziehen.

1.3

Bestandteile und Typen ökonometrischer Modelle

Wir wollen in diesem Abschnitt zunächst die Bestandteile ökonometrischer Modelle, also die Gleichungen mit ihren Variablen und Parametern, diskutieren und im Anschluß daran kurz auf einige wichtige Modellunterscheidungen eingehen. Ökonometrische Gleichungen werden in Reaktionsgleichungen und definitorische Identitäten bzw. Gleichgewichtsbedingungen unterteilt. Reaktionsgleichungen beschreiben die Beeinflussung einer abhängigen Variablen durch eine Gruppe anderer Variablen. Im allgemeinen bezeichnet man die abhängige Variable als zu erklärende Variable, die übrigen Variablen als erklärende Variablen. In der Regel ist es nicht möglich, alle Größen, die auf die zu erklärende Variable Einfluß ausüben, in der Gleichung explizit zu erfassen; auch die zwischen der zu erklärenden und den erklärenden Variablen in der Realität bestehenden Beziehungen lassen sich meist nicht exakt modellieren. Deshalb ist in den obigen Beispielen die Störgröße u in die Gleichungen eingefügt worden. Wir wollen nachstehend diese Störgröße auch als unerklärten Rest, die Verknüpfung der explizit aufgeführten erklärenden Variablen (einschließlich des Absolutglieds)

1 Einführung

6

auf der rechten Seite einer Gleichung als Erklärungsansatz bezeichnen. In der Konsumfunktion (1.2) stellt also a + bYt den Erklärungsansatz dar. Reaktionsgleichungen lassen sich nach den der Beziehung zwischen den Variablen zugrunde liegenden Tatbeständen unterteilen in: a) Verhaltensgleichungen b) technologische Gleichungen und c) institutionelle Gleichungen. In Verhaltensgleichungen erfolgen die Veränderungen der zu erklärenden Variablen in Reaktion auf Veränderungen der beeinflussenden Variablen auf Grund eines bestimmten Verhaltens der Wirtschaftssubjekte. So ist z.B. die oben angegebene Konsumfunktion (1.2) offensichtlich eine Verhaltensgleichung, weil die Veränderung der Konsumausgaben bei verändertem Einkommen auf ökonomische Entscheidungen der Haushalte der betrachteten Volkswirtschaft zurückzuführen ist. Bei technologischen Gleichungen erfolgt die Veränderung der zu erklärenden Variablen auf Grund bestimmter technischer Gegebenheiten. Ein Beispiel hierfür ist die folgende sehr einfache Produktionsfunktion

Vt = aLt + ut,

(1.7)

in der die weitgehend durch die Technik des Produktionsprozesses gegebene Abhängigkeit der Produktion (V) vom Produktionsfaktor Arbeit (L) - bei ausreichend zur Verfügung stehenden Einsatzmengen der übrigen Produktionsfaktoren (z.B. Kapital, Vorleistungen) - zum Ausdruck kommt. In institutionellen Gleichungen schließlich ergibt sich die Abhängigkeit zwischen der zu erklärenden Variablen und den Einflußgrößen auf Grund institutioneller, also z.B. gesetzlicher Gegebenheiten. Als Beispiel sei eine Gleichung aufgeführt, über die die Höhe der Steuereinnahmen des Staates bei proportionalem Steuersatz bestimmt werden kann:

Tt = aYt + ut mit

Tt = Yt -

Steuereinnahmen, Einkommen.

(1.8)

1.3 Bestandteile und Typen ökonometrischer Modelle

7

Auch hier wird die Berücksichtigung der Störgröße ut unumgänglich sein, da Ungenauigkeiten eine exakte Übereinstimmung von T t mit aYt verhindern. Im Gegensatz zu den Reaktionsgleichungen enthalten definitorische Identit ä t e n und Gleichgewichtsbedingungen keine Störgröße. Bei definitorischen Identitäten handelt es sich in den meisten Fällen um die Festlegung einer Variablen als Summe mehrerer anderer Variablen (vgl. z.B. (1.6)). Im Gegensatz zu den definitorischen Identitäten müssen Gleichgewichtsbedingungen in der Realität durchaus nicht immer erfüllt sein: Sie enthalten j a Erfordernisse für das Erreichen ökonomischer Gleichgewichte. Dies sei an einem Beispiel verdeutlicht: Auf einem Markt für ein bestimmtes Gut stehen sich Angebot und Nachfrage gegenüber, wobei von den folgenden Angebots- und Nachfragefunktionen ausgegangen werden kann:

mit

Angebot:

Qf

=

a 0 + a^Pt + a 2 K t +

Nachfrage:

Q?

=

b0 + bxPt + b2Yt + Nut

Q A: Q N: P: K : Y: ¿ut, NUf.

A

ut,

(1.9)

(1.10)

von den Anbietern geplante Angebotsmenge des Gutes, von den Nachfragern geplante Nachfragemenge des Gutes, Preis des Gutes, Kosten, die zur Produktion des Gutes aufzuwenden sind, Einkommen, Störgrößen.

Soll es sich um ein Gleichgewichtsmodell handeln, so müssen die Gleichungen (1.9), (1.10) ergänzt werden durch die folgende Gleichgewichtsbedingung:

Qt = Qt-

(i-n)

Es ist deutlich, daß (1.11) keine uneingeschränkt gültige Identität darstellt. Ganz im Gegenteil wird man in der Realität in der Regel davon auszugehen haben, daß durchaus Uberschußnachfrage bzw. Uberangebot auftreten werden; d.h., die jeweiligen Preise Pt sind keine Gleichgewichtspreise. Ersichtlich ist es vor allem in der Phase der Modellspezifikation sehr wichtig, zwischen Identitäten und Gleichgewichtsbedingungen sehr deutlich zu unterscheiden!

8

1 Einführung

Wir wollen uns nun mit den Parametern und Variablen ökonometrischer Modellgleichungen befassen. Wie oben bereits erwähnt, repräsentieren die Parameter einer Gleichung jene Charakteristika des betrachteten ökonomischen Phänomens, die für den Beobachtungszeitraum als konstant angesehen werden können. In der Konsumfunktion (1.2) ist z.B. angenommen worden, daß die marginale Konsumquote ( d C / d Y ) konstant ist und daher durch einen Parameter (6) gekennzeichnet werden kann. Uber die Variablen einer Gleichung werden dagegen jene Charakteristika des ökonomischen Phänomens erfaßt, bei denen davon auszugehen ist, daß sie sich innerhalb des Beobachtungszeitraums verändert haben. Wie wir im Zusammenhang mit den Reaktionsgleichungen bereits festgestellt haben, enthält jede Gleichung eine zu erklärende Variable (z.B. in der Konsumfunktion (1.2): Ct), die im Erklärungsansatz zusammengefaßten erklärenden Variablen (in (1.2): Yt und - für die Berücksichtigung des Absolutglieds - die „Scheinvariable" 1) sowie die Störgröße. Da wir auf die Störgrößen im folgenden Kapitel ausführlicher eingehen werden, wollen wir hier nur die ersten beiden Variablentypen etwas näher betrachten. Für jedes ökonometrische Modell muß in der Spezifikationsphase zunächst entschieden werden, welche Variablen durch das Modell „erklärt" werden sollen. Die Auswahl dieser modellendogenen (kürzer: endogenen) Variablen (z.B. im Modell (1.3), (1.4), (1.5), (1.6): Ct,ItL,A,Imt und Yt) wird bestimmt durch das zu analysierende ökonomische Phänomen. Ersichtlich treten die endogenen Variablen jeweils in einer Gleichung des Modells als zu erklärende Variablen auf; außerdem sind sie aber auch u.U. in Erklärungsansätzen für die anderen endogenen Variablen enthalten (so z.B. Yt in (1.3), (1.4) und (1.5)). Daneben enthält der Erklärungsansatz einer Gleichung in der Regel auch sog. modellexogene (kürzer: exogene) Variablen. Hierbei handelt es sich um Variablen, die im Modell nur als erklärende, nicht aber als zu erklärende Variablen auftreten, deren Verlauf also als außerhalb des Modellzusammenhangs bestimmt angesehen wird. Diese exogenen Variablen können unverzögert (Bezugszeitpunkt t) oder verzögert (Bezugszeitpunkt t — 1, t — 2,...) sein. Im Modell (1.3), (1.4), (1.5), (1.6) stellen die Scheinvariable 1 ,Gt und Ut-i die exogenen Variablen dar. Schließlich treten in den Erklärungsansätzen sehr häufig auch noch verzögerte endogene Variablen auf (in (1.3): C ( _j, in (1.5): Jm t _i).

1.3 Bestandteile und Typen ökonometrischer Modelle

9

Wir können also zusammenfassen: Die zu erklärenden Variablen eines Modells bilden die Menge der endogenen Variablen; die in den Erklärungsansätzen der einzelnen Gleichungen enthaltenen erklärenden Variablen setzen sich zusammen aus (unverzögerten und/oder verzögerten) exogenen sowie (unverzögerten und/oder verzögerten) endogenen Variablen. Dabei werden alle außerhalb des Modellzusammenhangs bestimmten Variablen (also die exogenen Variablen) und alle übrigen zum Modellbezugszeitpunkt t in ihren Realisationen bekannten Variablen (also die verzögerten endogenen Variablen) zu den vorherbestimmten Variablen zusammengefaßt. Die unverzögerten endogenen Variablen werden auch als g e m e i n s a m abhängige Variablen bezeichnet. Zur größeren Übersichtlichkeit sind die verschiedenen Variablentypen, die in ökonometrischen Modellen auftreten können, in der folgenden Übersicht zusammengefaßt: modellendogene Variablen

modellexogene Variablen

Zum Abschluß dieses Abschnitts wollen wir nun noch auf einige wichtige Modellunterscheidungen eingehen. Ökonometrische Modelle lassen sich zunächst einmal nach ökonomischen Gesichtspunkten einteilen: So spricht man von Global- oder Teilmodellen, je nachdem, ob alle Bereiche des in Frage stehenden Phänomens einbezogen sind oder nicht. Außerdem werden nach dem mit der Aufstellung der Modelle verfolgten Zweck Erklärungs-, Prognose- und Entscheidungsmodelle unterschieden: Bei Erklärungsmodellen geht es um die Analyse eines bestimmten ökonomischen Phänomens auf der Grundlage von Datenmaterial aus der Vergangenheit. Prognosemodelle sind dagegen auf die Vorhersage der endogenen Variablen ausgerichtet. Entscheidungsmodelle schließlich sind durch die Einbeziehung einer Zielfunktion zur Berücksichtigung von Entscheidungsvorgängen gekennzeichnet.

1 Einführung

10

Es ist deutlich, daß mit einem Modell auch verschiedene Zwecke verfolgt werden können. So wird z.B. ein gutes Erklärungsmodell häufig auch zur Prognose herangezogen. Für die folgenden Kapitel wichtiger als diese - und weitere! - auf ökonomischen Gesichtspunkten beruhenden Modellabgrenzungen sind Unterscheidungen, die nach f o r m a l e n Kriterien vorgenommen werden. Entsprechend der Anzahl der Gleichungen spricht man z.B. von E i n z e l g l e i c h u n g s - oder M e h r g l e i c h u n g s m o d e l l e n . Dabei ist es für die ökonometrische Bearbeitung von Mehrgleichungsmodellen entscheidend, ob die gemeinsam abhängigen Variablen sich gegenseitig beeinflussen (interdependente Modelle, z.B. das „Lüdeke-Modell") oder ob solche Beziehungen nicht bestehen (rekursive Modelle oder Modelle unverbundener Gleichungen). Sehr bedeutsam für die Auswahl geeigneter ökonometrischer Methoden ist auch die Feststellung, ob es sich um ein s t a t i s c h e s M o d e l l (alle endogenen Variablen sind unverzögert) oder ein d y n a m i s c h e s M o d e l l (es treten auch verzögerte endogene Variablen auf) handelt. Nach dem Funktionstyp der Modellgleichungen unterscheidet man l i n e a r e und n i c h t l i n e a r e ö k o n o m e t r i s c h e M o d e l l e : Modelle, die ausschließlich aus Gleichungen bestehen, die sowohl in bezug auf die Variablen als auch auf die Parameter linear sind, heißen lineare Modelle. Alle bisher angegebenen Beispiele gehören zu dieser Gruppe. Wir werden uns auch im folgenden nur auf die Behandlung solcher linearen Modelle beschränken. Modelle, die linear in den Parametern, aber nichtlinear in den Variablen sind lassen sich durch Variablen(z.B. Polynome: yt = ao + d\Xt + a^x* + transformation (im Polynom: x 2t — vt ~, x^ — wt ) wie lineare Modelle behandeln. Auch Modelle, die sowohl in den Variablen als auch in den Parametern nichtlinear sind, lassen sich häufig durch Variablentransformation linearisieren. Ein Beispiel hierfür stellt die bekannte Cobb-Douglas-Produktionsfunktion dar:

Vt = 7 mit

V: L: K: u:

a

jsß,

W V

(1.12)

Produktion; eingesetzte Arbeit; eingesetztes Kapital; Störgröße.

Ersichtlich kann (1.12) durch Logarithmierung unmittelbar linearisiert werden. Dies gilt allerdings nur, sofern die Störgröße wie in (1.12) multiplikativ mit dem

1.3 Bestandteile und Typen ökonometrischer Modelle

11

Erklärungsansatz verknüpft ist. In der Spezifikation Vt = 7 L f K ? + ut wäre eine solche Linearisierung nicht möglich. Je nachdem, ob die Beobachtungen als Zeitreihen- oder Querschnittsdaten vorliegen, spricht man von Zeitreihen- oder Querschnittsmodellen. Da die Variablen C und Y in der Konsumfunktion (1.2) für eine bestimmte Volkswirtschaft zu verschiedenen Zeitpunkten t beobachtet werden, liegt hier offensichtlich ein Zeitreihenmodell vor. Man könnte aber diese Funktion auch als Grundlage für eine empirische Analyse des Zusammenhangs von Verbrauchsausgaben und Einkommen bei Haushalten verwenden: Ci = a + bYi + m

(1.13)

mit C t , Yi~. Verbrauchsausgaben bzw. Einkommen des Haushalts i (¿ = 1 , 2 , . . . ,JV) (1.13) ist also ein Beispiel für ein Querschnittsmodell. Ersichtlich kann man auch ökonometrische Modelle spezifizieren, in denen „Zeitreihen von Querschnittsdaten" verwendet werden, z.B. Konsumfunktionen aller Länder der Europäischen Union für einen bestimmten Zeitraum; im einfachsten Fall: Cit = a + bYit + uit mit Ca, Yit'.

(1.14)

Konsumausgaben bzw. Einkommen der Volkswirtschaft i zum Zeitpunkt t.

Im folgenden werden fast ausschließlich Zeitreihenmodelle behandelt werden. Als letztes sei kurz auf die Unterscheidung von Modellen mit Fehlern in den Variablen und Modellen mit Fehlern in den Gleichungen eingegangen: Geht man davon aus, daß die Variablen in den Gleichungen nicht genau beobachtet werden können, also mit Beobachtungsfehlern behaftet sind, so liegt der erstgenannte Modelltyp vor. Legt man dagegen fest, daß die auftretenden Abweichungen ausschließlich auf die UnVollständigkeit des Erklärungsansatzes der Gleichungen zurückzuführen sind, so handelt es sich um ein Modell mit Fehlern in den Gleichungen. Wie auch schon bei den obigen Beispielen werden wir uns in den weiteren Abschnitten zunächst nur mit Modellen mit Fehlern in den Gleichungen befassen. Am Ende des folgenden Kapitels werden dann aber auch noch kurz Fehler-in-denVariablen-Modelle diskutiert.

2

Ökonometrische Einzelgleichungsmodelle

Eine der folgenreichsten Festlegungen in der Spezifikationsphase ökonometrischer Modelle ist die Bestimmung der endogenen und exogenen Variablen. Es ist deutlich, daß die Modellierung fast aller ökonomischer Phänomene die Endogenisierung von mehr als nur einer Variablen erfordert. Der Ökonometriker muß sich also in der Regel mit Mehrgleichungsmodellen und nicht mit Einzelgleichungsmodellen befassen. Wir haben dies bereits ganz zu Anfang bei der Betrachtung der Konsumfunktion feststellen können: Wegen der gegenseitigen Beeinflussung von C und Y muß neben C zumindest noch Y (vgl. (1.6)) modellendogen sein. Wir wollen noch ein anderes Beispiel betrachten: Es soll versucht werden, die Preisbildung für ein bestimmtes Gut zu modellieren. Hierzu ist sicher die Aufstellung einer geeigneten Produktnachfragefunktion erforderlich; außerdem wird die Formulierung einer Angebotsfunktion notwendig sein, wobei diese Funktion von den technischen Produktionsbedingungen (Produktionsfunktion) und in der Regel auch stark von der Kostensituation bei den Anbietern, d.h. den Gegebenheiten auf den Märkten für die Produktionsfaktoren, bestimmt wird. Auch in diesem Fall ist also die Aufstellung eines Mehrgleichungsmodells erforderlich. Trotz dieser Feststellung wollen wir uns im folgenden zunächst ausführlich mit ökonometrischen Einzelgleichungsmodellen befassen. Für ein solches Vorgehen lassen sich zwei Gründe angeben: Zum einen können wesentliche Charakteristika ökonometrischer Modelle sehr einfach und übersichtlich anhand von Einzelgleichungen dargestellt werden. Zum anderen gilt für den wichtigsten Teilbereich ökonometrischer Methoden, nämlich den Bereich der Schätzverfahren, daß die im Fall von Mehrgleichungsmodellen anzuwendenden Verfahren regelmäßig sehr stark auf den einfacheren Einzelgleichungsmethoden beruhen oder in Spezialfällen sogar ohne jede Modifikation übernommen werden können. Dieser Tatbestand läßt es angebracht erscheinen, zunächst ausführlicher Einzelgleichungsmodelle zu behandeln, obwohl sie in aller Regel keine adäquate Modellierung des betrachteten ökonomischen Phänomens darstellen.

14

2.1

2 Ökonometrische Einzelgleichungsmodelle

Die Störgröße

In Kapitel 1 sind bereits die beiden Bestandteile einer ökonometrischen Reaktionsgleichung, nämlich Erklärungsansatz und unerklärter Rest, eingeführt worden. Wir müssen uns nun noch etwas ausführlicher mit der Beziehung zwischen diesen beiden Bestandteilen befassen. Es ist deutlich, daß die Festlegung des Erklärungsansatzes entscheidend durch die ökonomischen Rahmenbedingungen sowie durch den Beobachtungszeitraum und die Abfolge der Beobachtungszeitpunkte beeinflußt wird. So wird z.B. der Erklärungsansatz einer Konsumfunktion, die für eine durch einen Krieg gekennzeichnete Periode aufgestellt wird, anders aussehen als ein Erklärungsansatz für Konsumausgaben in Friedenszeiten. Ebenso wird eine Gleichung, die einer langfristigen Analyse auf der Grundlage von Jahresdaten dienen soll, in der Regel anders zu spezifizieren sein als ein Modell, das für eine kurze Frist unter Verwendung von Monats- oder Quartalsdaten formuliert worden ist. Wie oben bereits erwähnt, wird aber grundsätzlich gelten, daß nicht alle die zu erklärende Variable beeinflussenden Faktoren explizit im Modell erfaßt werden können. Es können nur die „wichtigsten" dieser Faktoren berücksichtigt werden. Damit stellt sich die Frage, welche Einflüsse „wichtig" und welche „nicht wichtig" sind. Für die Spezifikation ökonometrischer Modellgleichungen gilt die Grundregel, daß Variablen explizit in den Erklärungsansatz für die in Frage stehende zu erklärende Variable aufzunehmen sind, wenn davon auszugehen ist, daß die innerhalb des Untersuchungszeitraums beobachteten Veränderungen dieser Variablen systematisch Veränderungen der zu erklärenden Variablen hervorgerufen haben. Um diese Festlegung zu verdeutlichen, wollen wir noch einmal auf die obige Konsumfunktion (1.2) zurückgreifen und uns überlegen, ob nicht neben der Einkommensgröße Y z.B. auch noch das Vermögen als erklärende Variable berücksichtigt werden müßte. Es ist sicher richtig, daß stark unterschiedliche Vermögensbestände eine unterschiedliche Höhe der Konsumausgaben bedeuten werden. Ein sehr hoher Vermögensbestand wird sich in der Regel in höheren Konsumausgaben auswirken. Kleinere Vermögensänderungen werden sich dagegen bei den Konsumausgaben kaum bemerkbar machen. D.h., das durchschnittliche Niveau der Vermögensvariablen besitzt durchaus Einfluß auf die zu erklärende Variable C. Solange aber die während des Beobachtungszeitraums festgestellten Variationen des Vermögens nicht so groß sind, daß starke Niveauunterschiede resultieren, man also nicht mit systematischen Auswirkungen auf die Konsumausgaben rechnen muß, kann das Vermögen als erklärende Variable unberücksich-

2.2 Das allgemeine lineare Modell

15

tigt bleiben. Das bedeutet nicht, daß davon auszugehen ist, daß das Vermögen die Konsumausgaben nicht beeinflußt. Die Höhe des Vermögens wird insbesondere wesentlich die Höhe des einkommensunabhängigen Verbrauchs (d.h. den Parameter a) und in der Regel auch die marginale Konsumquote b beeinflussen. Bei den meisten empirischen Untersuchungen kann aber davon ausgegangen werden, daß sich innerhalb des Untersuchungszeitraums die beobachteten Vermögensveränderungen nicht in systematischen Veränderungen der Konsumausgaben ausgewirkt haben. Aus den obigen Ausführungen ist deutlich, daß im unerklärten Rest, also der Störgröße ut, Veränderungen der zu erklärenden Variablen enthalten sind, die auf Veränderungen nicht im Erklärungsansatz berücksichtigter Variablen zurückzuführen sind. Bei Beachtung der obigen Regel, daß nur solche Variablen im Erklärungsansatz fehlen dürfen, deren Variationen im Beobachtungszeitraum nicht zu systematischen Veränderungen der zu erklärenden Variablen geführt haben, erscheint es gerechtfertigt, die Störgröße ut als Zufallsvariable zu betrachten und davon auszugehen, daß Variationen der im Erklärungsansatz nicht berücksichtigten Variablen im Mittel keinen Einfluß auf die zu erklärende Variable ausüben.

2.2

Das allgemeine lineare Modell

In diesem Abschnitt sollen Notierung und Annahmen eines speziellen linearen Einzelgleichungsmodells dargestellt werden, das auf Grund seiner universellen Anwendbarkeit als das allgemeine lineare Modell bezeichnet wird. Eine Gleichung mit K — 1 erklärenden Variablen und einem Absolutglied ßi4 sei wie folgt notiert: Vt

-

ßl+

ß2%21 + • • • + ßüXKt K

=

ßi + ^2ßkxkt

+ ut

+ ut

< = 1,2,... ,7\

k—2

4

Im folgenden wird regelmäßig vom Vorhandensein eines Absolutglieds ausgegangen.

(2.1)

2.2 Das allgemeine lineare Modell

15

tigt bleiben. Das bedeutet nicht, daß davon auszugehen ist, daß das Vermögen die Konsumausgaben nicht beeinflußt. Die Höhe des Vermögens wird insbesondere wesentlich die Höhe des einkommensunabhängigen Verbrauchs (d.h. den Parameter a) und in der Regel auch die marginale Konsumquote b beeinflussen. Bei den meisten empirischen Untersuchungen kann aber davon ausgegangen werden, daß sich innerhalb des Untersuchungszeitraums die beobachteten Vermögensveränderungen nicht in systematischen Veränderungen der Konsumausgaben ausgewirkt haben. Aus den obigen Ausführungen ist deutlich, daß im unerklärten Rest, also der Störgröße ut, Veränderungen der zu erklärenden Variablen enthalten sind, die auf Veränderungen nicht im Erklärungsansatz berücksichtigter Variablen zurückzuführen sind. Bei Beachtung der obigen Regel, daß nur solche Variablen im Erklärungsansatz fehlen dürfen, deren Variationen im Beobachtungszeitraum nicht zu systematischen Veränderungen der zu erklärenden Variablen geführt haben, erscheint es gerechtfertigt, die Störgröße ut als Zufallsvariable zu betrachten und davon auszugehen, daß Variationen der im Erklärungsansatz nicht berücksichtigten Variablen im Mittel keinen Einfluß auf die zu erklärende Variable ausüben.

2.2

Das allgemeine lineare Modell

In diesem Abschnitt sollen Notierung und Annahmen eines speziellen linearen Einzelgleichungsmodells dargestellt werden, das auf Grund seiner universellen Anwendbarkeit als das allgemeine lineare Modell bezeichnet wird. Eine Gleichung mit K — 1 erklärenden Variablen und einem Absolutglied ßi4 sei wie folgt notiert: Vt

-

ßl+

ß2%21 + • • • + ßüXKt K

=

ßi + ^2ßkxkt

+ ut

+ ut

< = 1,2,... ,7\

k—2

4

Im folgenden wird regelmäßig vom Vorhandensein eines Absolutglieds ausgegangen.

(2.1)

16

2 Ökonometrische Einzelgleichungsmodelle

Anstelle von (2.1) kann man auch schreiben: Vt = ßixu + ß2x2t + . . . + ßKXKt + «t,

(2.2)

wobei die erste „erklärende Variable" Xu = 1 für alle t gesetzt wird. Der Index t gibt an, daß es sich um die i-te von T Beobachtungen handelt. Im folgenden wird t in der Mehrzahl der Fälle Zeitpunkte kennzeichnen. Im Fall von Querschnittsuntersuchungen steht t für den i-ten Merkmalsträger. In (2.1) kennzeichnet yt grundsätzlich eine Zufallsvariable, der auf Grund eines Zufallsvorgangs (hier regelmäßig: einer Beobachtung) Realisationen zugewiesen werden; allerdings soll yt auch für die Realisation der zu erklärenden Variablen zum Zeitpunkt t stehen. Aus dem begleitenden Text wird sich aber immer zweifelsfrei ergeben, ob yt als Zufallsvariable oder als Realisation verwendet wird. Das gleiche gilt zunächst auch für die erklärende Variable a^: x^t kennzeichnet also sowohl die k-te erklärende Variable als Zufallsvariable als auch die entsprechende Realisation. u t stellt die (nicht beobachtbare!) Störgröße dar, ßk den Koeffizienten der fc-ten erklärenden Variablen. Man bezeichnet (2.1) auch als lineare Regressionsgleichung mit dem Regressanden y und den K — 1 Regressoren x2,--.,Xk. Die matrizielle Notierung von (2.2) lautet: y = Xß + u

(2.3)

mit

y=

M

1 £22 • • • XK2 A — , ( \1

X2T

XKT/

•

•

XK1

XKT)

•

(2-4)

17

2.2 Das allgemeine lineare Modell

Ein Modellansatz gemäß (2.2) bzw. (2.3) ist dann als ein allgemeines lineares Modell zu charakterisieren, wenn bestimmte Voraussetzungen bezüglich der Matrix X der erklärenden Variablen und vor allem bezüglich der gemeinsamen Verteilung von X und u erfüllt sind. So wird im allgemeinen linearen Modell davon ausgegangen, daß alle erklärenden Variablen als exogen gekennzeichnet werden können. Die Konsumfunktion (1.3) stellt also kein allgemeines lineares Modell dar, weil mit Ct-\ eine verzögerte und mit Yt eine unverzögerte endogene Variable als erklärende Variablen auftreten. Zur Erörterung weiterer das allgemeine lineare Modell kennzeichnender Annahmen müssen wir uns mit der gemeinsamen Dichtefunktion der Zufallsvariablen ui,..., Uf, X21, . . . , x k t befassen; wir wollen diese K • T-dimensionale Dichtefunktion durch p(u, X ) kennzeichnen. 5 Ausgangspunkt für die Formulierung der Annahmen des allgemeinen linearen Modells sind die folgenden drei Festlegungen für die bedingte Verteilung des Zufallsvektors u der T Störgrößen ut: 1. Der bedingte Erwartungswert jeder der T Störgrößen«* ist 0, ist also unabhängig vom Zeitpunkt t und von den Realisationen der (K — 1) • T Zufallsvariablen i2i>- •• In matrizieller Notierung lautet diese Annahme: E(u | X) = 0.

(2.5)

2. Die bedingte Varianz jeder der T Störgrößen ut ist ebenfalls unabhängig vom Zeitpunkt t und von den Realisationen der erklärenden Variablen, und zwar immer gleich einer Konstanten er2. Man bezeichnet diese Eigenschaft als Homoskedastizität. 3. Die bedingten Kovarianzen für Störgrößen mit unterschiedlichem Zeitindex (also ut, u„ mit t ^ s) sind gleich Null (also auch unabhängig von t und den Realisationen der erklärenden Variablen). Die Störgrößen sind damit untereinander unkorreliert; man sagt auch, sie sind nicht autokorreliert.

/ "i \ 5

(u, X) kennzeichnet den (K -T x l)-dimensionalen Zufallsvektor

"T

\XKTJ

2 Ökonometrische Einzelgleichungsmodelle

18

Wegen (2.5) gilt für die bedingte Varianz-Kovarianz-Matrix Var(u | X) = E(uu' I X), so daß die unter 2. und 3. notierten Annahmen wie folgt zusammengefaßt werden können:

Var(w | X)

«2

= E(wu'|X) = E

(ujU2...WT)

\«T/ 2

/er 0

0 . a2 . .

\0

0

.

0

=