Geometría: Proporcionalidad - Semejanza de Triángulos: Teoría y Práctica

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rROFX>RCIONALIIX*E> &EMEMN&A M>E TRIÁNGULOS ~

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AB Si en una recta se tiene los puntos consecutivos A, B y C, entonces la fracción BC es denominada razón de los segmentos AB y BC.

Dados los puntos A - B - C, en una recta, y los puntos M - N - R en otra recta, si las rectas AM, BN y CP son paralelas, entonces la razón de los segmentos AB y BC es igual a la razón de los segmentos MN y NR H

En el gráfico: AM / / BN / / CP Entonces:

Corolarios: i)

B

Si: D E//A C Entonces:

4 ? E0V

BOLETIN DE GEOMETRIA - OS

2>

D Si: AB//CD Entonces: n i i l iYí í í i Vi

ii.

Teorema: La razón de los lados AB y BC de un triángulo ABC es igual a la razón de los segmentos AM y MC determinados en el lado AC por la bisectriz interior BM de dicho triángulo. B En el gráfico: a a f e

A

ni

m

n

.1/ » 1*” , —


BC, es igual a la razón de los segmentos AN y NC determinados en la recta AC por la bisectriz exterior BN de dicho triángulo.

S p ED%

W O T O /fC /O /M / . //A 4 D - SEMEJANZA DE THIA/V G ULOS

P jR O D c fc

Teorema: La razón entre la suma de las longitudes de dos lados de un triángulo y la longitud del tercer lado es igual, a la razón del mayor y el menor de los segmentos determinados por el incentro en la bisectriz interior relativa al tercer lado. En el gráfico: I: Incentro de triángulo ABC M m *y. v' t i •

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......

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-

En una bisectriz interior, la parte que está entre el vértice y el incentro es mayor que la otra, que está entre el incentro y el pie de la bisectriz interior. ......

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TH »

M

m a r

Teorema: La razón entre la diferencia de longitudes de dos lados de un triángulo y el tercero, es igual a la razón del menor y el mayor de los segmentos determinados por el excentro en la bisectriz exterior relativa al tercer lado.

A

C H

h

En el gráfico: E: Excentro del triángulo ABC B ir**

............ ........

•. .

En una bisectriz exterior, la parte comprendida entre el vértice y el excentro es menor que la otra parte, que se encuentra entre el excentro y el pie de la bisectriz exterior. ........................... .

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f’JRlOED 'D O\T

BOLETIN DE GEOMETRIA - OS

Es una hilera de puntos A - B - C - D, tal que se cumple f vm

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m ii.i»

Teorema: Si se trazan, desde un vértice de un triángulo, la bisectriz interior y la bisectriz exterior, los pies de estas bisectrices y los otros dos vértices del triángulo forman una cuaterna armónica.

N En el gráfico: BM : Bisectriz interior BN : Bisectriz exterior Se cumple que: A - M - C - N: Forman una cuaterna armónica Es decir: i am m .

♦

__

Toda recta que corte a dos lados de un triángulo y a la prolongación del otro determina en cada lado 2 segmentos, si tomamos tres de estos seis segmentos con la condición que no tengan extremos comunes, el producto de estos segmentos es igual al producto de los otros tres.

P’KOEOKCJO/VAEMDAD ~ SEM EJAnZA DE TKiÁJVGUJLOS

ED,Jpp

‘P jm o o cfc

B

En el gráfico: L:

Recta secante a AB, BC y a la prolongación de AC

m, n, p, q, r y s : Longitudes de los segmentos determinados en los lados del triángulo ABC. Se cumple:

m o m m m osva 4

Al trazar tres cevianas interiores en un triángulo de tal manera que sean concurrentes se determinan dos segmentos en cada lado, si tomamos tres de estos segmentos con la condición que no tengan extremos comunes, el producto de éstos es igual al producto de los otros tres. B

En el gráfico: AM, BN y CP : Cevianas interiores del AABC, concurrentes en Q. m, n, p, q, r y s: Longitudes de los segmentos determinados en los lados del AABC. Se cumple:

4

BOLETÍN DE GEOMETRÍA - 0 3

¿ P ÍD' \

P jK lO D O r -

Corolario Si de las tres cevianas interiores concurrentes, una de ellas es mediana, entonces la recta que pasa por los píes de las otras dos es paralela al lado al cual es relativa la mediana. B

Si: BM es mediana Entonces:

Al trazar tres cevianas interiores en un triángulo que sean concurrentes se cumple que el punto de concurrencia divide a cada ceviana en dos segmentos cuya razón es igual a la suma de las razones en que las otras dos cevianas dividen a sus correspondientes lados relativos. B

En el gráfico: AM, BN y CP : Cevianas interiores del AABC concurrentes en Q. Se cumple:

P-KOrORCiOrVUsinAD - SEMEMMZA JOE TK1ÁJVGUL&S

j P ÍD,\

Dos triángulos semejantes son tales, que a uno podemos denotarlo con ABC y al otro con MNR de tal forma que entre ellos se puede establecer una correspondencia biunívoca del modo siguiente. Ángul os Lados mZA = mZM AB BC = CA mZB = mZN = k MN " NP “ PM mZC « mZP El valor de k, conocido como constante de proporcionalidad, es llamado en este contexto, “razón de semejanza de los triángulos ABC y MNP” Simbología: El símbolo a usar para representar la semejanza es el cual se lee “es semejante a” y lo utilizaremos para la notación de la semejanza entre dos triángulos, así por ejemplo, para los triángulos antes mencionados podemos usar la siguiente notación. %

%

Esto puede representarse gráficamente de la siguiente manera: B N

tk .

' >♦♦.

. . A* ♦ *

Teorema: Si las medidas de dos ángulos de un triángulo, son iguales a las medidas de dos ángulos de otro triángulo, estos son semejantes. N B

Observe que

mZA = mZM y mZC = mZP

Entonces: ..-A -c .x -v .

..x .— ^

sp ED%

£ jr o d o ^

BOLETIN DE GEOMETRIA - OS

Teorema: Si dos lados de un triángulo son proporcionales a dos lados de otro y los ángulos que respectivamente ellos determinan tienen medidas iguales; entonces dichos triángulos son semejantes. N B C Observe que Entonces:

AB MN y m ZA= mZM AC ~ MP « n c - amnp

Teorema: AB _ BC CA Dados los triángulos ABC y MN£ si: MN ~ NP ~ PM = k ; entonces dichos triángulos son semejantes. N B

Observe que:

AB BC CA = k MN NP PM

Entonces:

| AABC - AMNP •V

} 4

* * r * \ ■■■

Cuando dos triángulos son semejantes, se verifica que sus elementos lineales homólogos son proporcionales. B



mZABN = mZC Se cumple: :Z •?a2 = m . n n

2)

B Si: L / / AC Entonces: m ■¿á««A««v. .XA

En el gráfico:

3)

R: Circunradio del AABC Se cumple: ac 2hR E

4)

Si: A B //C D //E F Se cumple: ab X a *b

5)

Si: BC / / EF / / AD

tV-

Se cumple: 7T---X D

h*í v♦ ..» */ * • ♦* •

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n * °° ED/\ £ jr o d o >

BOLETÍN DE GEOMETRÍA - 0 5 6)

B

En el gráfico: mZABC = 90° BD : Bisectriz interior de AABC Se cumple: x

ab %%

%

En el gráfico: P: Punto de tangencia AB: Cuerda Se cumple: (Teorema de Pappus) 8) En el gráfico P y Q: Puntos de tangencia PQ : Cuerda Se cumple:

(Teorema de Pappus) 9)

En el gráfico: ABCD: Cuadrilátero inscrito Se cumple: (Teorema de Ptolomeo)

(Teorema de Viette)

S P ED"o,

OÜODOT

EROEORCIOPÍAEMDAD - SEMEJANZA DE TRJÁJVGULDS

f e

M W jgM M i MV K

f. En el gráfico L1/ / 12 / / L3/ / L4; AB-6cm; CD=4cmy3(EG) = 4(FH) Calcule BC. A) 1 B) 2 C)3 D) 4 E) 5 2.

En el gráfico, si AB / / DF; AD / / EF; BD = 10 cm y DE = 6 cm. Calcule EC.

5. En el gráfico, si BP = 3 cm, AC = 8 cm y CB = 7 cm, calcule AN

6. Según el gráfico, si TL = 3 (LM) y AL = 9 cm, calcule MB (T, L y M son puntos de tangencia). A) 8 B) 6 13)12 D) 15 E) 10

A) 6 B)7 C)8 ,0)9 E) 10 3.

En un AABC se trazan las bisectrices interior BD y exterior BE. SiAB = 20cm,BC —XOcmy AC = 21 cm, calcule DE. A) 24 D) 30

B) 26

J3r*28

i

E) 25

En el gráfico, si BC = 16cm, AF = 6cm yFD = 8cm, calcule AB. B

D) 16

7.

E) 9

8.

Del gráfico, si AB=BC, AD=AC=6cm FD y FE = 4 cm, calcule: DC A) 1/2 2/3 C)3 D) 2 E) 1/5 En el gráfico, el AABC es equilátero y CPQR es un rectángulo. Si: PM = 2cm y4(AF) = 6 (FB) , calcule MQ. B *

B) 8

A) 4 D) 10 ■IF W J H U 1

•*9 ■■■

*

J3K E) 7 w í w u ii m i

BOEETI/Y DE GEOMETRÍA

-

o ° ED%

«Pa o d o T

03

9. Del gráfico, ABCD es un cuadrado; si CM = ME, AN.= ND y BE = 24 cm, calcule M!

13. La sombra proyectada por una casa es

de 35m. La casa tiene dos pisos de 4m de altura el primer piso y de 3m el segundo. ¿Cuánto mide la sombra proyectada por el segundo piso?

A)10m D) 12 m

B) 20 m -*

B)4

*

E D , r < \ < ? jR O D O T

21. En la figura, Lx/ / L2/ / L3 y L4//L 5.

Si AQ=EF=4 cm, FG=2HI=6 cm y CI=3HF, Halle DE.

C)5 E)2

18. AB=BC;BC =6yCI¿F2. Hallar “R”

4

A) 2 ^ J » 4 /3 ' q& D)3 V3 E )5 /3

♦>

TH 19. Según el gráfico hallar HQ siendo T punto de tangencia.

A *

$ 1

* /»

3 i 3

B 3 B)"74

A) 5 cm ^40 4 cm D)7cm "^

22. En la figura, L2 / / L3, BC.BQ=BA.BR Si AR-2m, AP= 5m yQS=3 m, halle SC.

A)5,6m D)4m

x

C) 6 cm E)3cm

B)5,2m

C) 4,8m #14,5 m AB 1 23. En la figura, Lj / / L2//L 3/ / L4 BC 2 , BC=4CMy DE=2 cm. Hallar FN.

20. En el gráfico AB es diámetro BD / / CP; AD= 1 yBC=10, Hallar AB. &

.x

.jB Ícm A)4 D) 10

B) 6

.J05T5 E) 7

D) ic m 2

B )|cm

C )- cm 4 E)2 cm

BOLETÍN B E GEOMETRÍA

~

P0 AL=2 cm y LC = 4 cm, hallar QC B

C) 3

2

D )25. En la figura, BE=4ME y AC=4 cm.

Halle el perímetro del triangulo ABC. A) 13 cm B) 14 jan;' 16 cm D)20cm E)12cm

26. En la figura, DE=3BE, BF=2 cm y FC-lOcn^. Hallar AB. A)15cm B)21^nr

J3)T~f8 cm

D) 14cm E) 24 cm

A

?>

27. En un triangulo ABC, el ángulo en B mide 120°. Si numéricamente 1 1 2 — + _ = _ hallar la longitud de AB BC 15' la bisectriz interiorar en metros. A) 6,2 m D)9m

# 7 ,5 m

< ?jR O D O >

03

24. En la figura, AB / / LD y BP// DQ. Si

1 B) 3

° ED%

0

C) 8,2 m E) 12 m

28. En el gráfico 2(AM)~3(MN), si

AP=12, calcule PQ sabiendo que A es punto de tangencia.

A) 6 D) 12

08

C)10 E)14

29. En un triangulo ABCé se traza la

bisectriz interior AM. Sea I el incentro y E el excentro correspondiente al cateto BC . SiM I=4cmy EM=12cm, hallar AE. A) 30 cm B) 26 cm D)20 cm

C)24cm E)18cm

30. En un triangulo ABC, la mediatriz de AC interseca a BC y a la prolongación de AB en E y D, respectivamente, si CE—5 (BE) yAD=20, calcule BD. A) 3 D) 6

J5T4

C) 5 E)8

31. En la figura, PQ / / AC. Si 4AD=6AB;

BQ= 3QC y MQ=2 cm, hallar MD.

A)10cm D)8cm

B)4cm

C) 6cm^ Jtd 12 cm

Jp E D N P jm o o cfc

EROEOKCiOHAEIDAD - SEMEJAJVZA DE TJUAJYGELOS

del triangulo ABC. Si LC=8cm, BC= 18 cm, calcule IC. B

4

:.t

33. Enla,AB,BC yAC son diámetros; A, B

y C son puntos de tangencia. SiAD= lm, DE=3 myFG=— Halle FC. 3

i

♦% .

En el gráfico, los polígonos ABC y CDEF son regulares y de igual perímetro ( isoperimétricos). BP Calcule DM

A) 1

I

.i 4

■i •

obtuso en B, se traza la ceviana interior BM; de tal manera que m

i

40. En el gráfico, calcule BM si

BN=NC=2 y AC=4, (I? Q y N son puntos de tangencia).

44. En el gráfico, si AB = 10 cm,

MN=6cm, calcule MC (T es punto de tangencia). A) 22 B)20 €) 24 D) 18 E) 30

B )l,5 C) 1,8

C Q

D) 2 E) 2,4

41. En la figura, I es el centro de la

i > < ✓

45.

circunferencia inscrita. Si AB=30 m, BC=26 m y AC=28 m , RQ y R son puntos de tangencia, halle SR

i

A) 0,8 m B) 0,>m M ím D) 1,5 m E)2m

*•

>:

42. En la figura, AB=16myBC =4m

En la figura, I es el incentro del triangulo ABC. Si BI=5 m y ED = 2m , halle IE. (V ñ - l)m B) (2 & - l)m C) (VTÓ-l)m D) 2m E) (2/2 - l)m

46. Si AB=9; BC=12, BM es mediana,

BP=BQyQS=3 ^calcule PS.

Si ®M =:i halle QB. MP 3 B

A) 3 B)3,6 C )3^'

, *

E)6 I

A)2m D) 1,5 m

B) 2,5 m

lm E) 1,8 m

43. En un triángulo ABC, AB=5 m , BC=9m yAC= 6m , por el incentro I se trazan las paralelas a AB y BC que intersecan a AC en P y Q respec­ tivamente. Halle PQ.

A) 1,5 m D) 2,1 m

C)2m E) 2,5 m

47.

En la figura, R Q, Ry S son puntos de tangencia, MN / / AC. Si AB=21 m, BC=27 m y MN= 8 m , halle el mayor valor de ACg A) 26 m B) 22 m C) 28 m 4m

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EKOt^fKCIONAULIDAD - SEMEMPÍZA DE TKIAHGUIA>S

48. En un triangulo ABC, la altura BH y la

mediana CM se intersecan en D. Si BD=AC, halle mACM.

A) 5 p “

M 45°

B) 48°