Fundamentos para el cálculo de estructuras prismáticas planas [1 ed.] 8400102096, 9788400102098
Esta obra surge con la intención de plasmar los fundamentos y las bases que permiten la resolución del problema estructu
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Spanish Pages 73 [77] Year 2017
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FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULODE ESTRUCTURAS PRISMÁTICAS PLANAS
Impreso
ÍNDICE
NOTA EDITORIAL
1. INTRODUCCIÓN. ALCANCE
BIBLIOGRAFÍA
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- Pablo De la Fuente Martín
- Carlos Zanuy Sánchez
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DE ESTRUCTURAS PRISMÁTICAS PLANAS
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MONOGRAFÍAS DEL IETcc, N.º 424
Dirección
Ángel Castillo Talavera, Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC) Secretaría
Ángela Sorli Rojo, Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC) Comité Editorial
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Peter Tanner, Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC)
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FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO DE ESTRUCTURAS PRISMÁTICAS PLANAS
Pablo de la Fuente Martín Carlos Zanuy Sánchez
CONSEJO SUPERIOR DE INVESTIGACIONES CIENTÍFICAS Madrid, 2017
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Reservados todos los derechos por la legislación en materia de Propiedad Intelectual. Ni la totalidad ni parte de este libro, incluido el diseño de la cubierta, puede reproducirse, almacenarse o transmitirse en manera alguna por medio ya sea electrónico, químico, óptico, informático, de grabación o de fotocopia, sin permiso previo por escrito de la editorial. Las noticias, los asertos y las opiniones contenidos en esta obra son de la exclusiva responsabilidad del autor o autores. La editorial, por su parte, solo se hace responsable del interés científico de sus publicaciones.
Catálogo general de publicaciones oficiales: http://publicacionesoficiales.boe.es EDITORIAL CSIC: http://editorial.csic.es (correo: [email protected])
© CSIC
© Pablo de la Fuente Martín y Carlos Zanuy Sánchez © De las figuras, los autores
ISBN: 978-84-00-10209-8
e-ISBN: 978-84-00-10210-4
NIPO: 059-17-108-9
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ÍNDICE Nota editorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.
Introducción. Alcance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Alcance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 11 11 12 12
Ecuaciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Objetivos de la resistencia de materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Simplificaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17 17 17 17
2. Conceptos e hipótesis fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Sólido deformable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Viga. Sección. Directriz. Rebanada. Fibra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Hipótesis simplificadoras relativas a movimientos y deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Tipos de viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Apoyos y enlaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Ecuaciones de equilibrio. Tensiones y esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.1. Ecuaciones de equilibrio. Tipos de estructuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.2. Esfuerzos en una sección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.3. Cálculo de esfuerzos. Método de las secciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.4. Ecuaciones de equilibrio en la rebanada. Relaciones entre esfuerzos y cargas . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.5. Concepto de tensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.6. Relaciones entre esfuerzos y tensiones en una sección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.6.1. Sección sometida a esfuerzo axil puro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.6.2. Sección sometida a flexión pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.6.3. Sección sometida a flexión compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.6.4. Relación entre las tensiones tangenciales y el esfuerzo cortante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Deformaciones. Leyes de comportamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. Concepto de deformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Deformaciones en una rebanada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Leyes de comportamiento del material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Ecuaciones constitutivas de la sección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Análisis de la sección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Secciones homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Secciones no homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Deformación impuesta no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7. Ecuaciones cinemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 7.1. Introducción. Hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 7.2. Deformaciones y ecuaciones constitutivas de la sección. Hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 7.3. Movimientos de un punto de la directriz. Fórmulas de Bresse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 7.4. Ejemplo de aplicación de las expresiones de Bresse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 7.5. Consideración de la deformación por esfuerzo cortante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8. Estructuras isostáticas e hiperestáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 8.1. Planteamiento del problema resistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 8.2. Aproximación al concepto de estructura hiperestática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 8.3. Métodos de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 8.4. Planteamiento del problema hiperestático mediante el método de las fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . 46 8.5. Comentarios sobre los métodos de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
9. Cálculo de vigas hiperestáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Vigas aisladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. Vigas continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10. Estructuras porticadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2. Entramados planos isostáticos e hiperestáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3. Entramados simétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.
Arcos. Antifunicular de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Arcos isostáticos e hiperestáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Antifunicular de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47 47 47 49
53 53 53 55
57 57 57 59
12. Métodos energéticos. Principio de los trabajos virtuales. Teorema de reciprocidad . . . . . . . . . . . . . . . 12.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2. Principio de los trabajos virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3. Teorema de reciprocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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13. Líneas de influencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 13.1. Aproximación intuitiva y definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 13.2. Obtención de líneas de influencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 13.2.1. Líneas de influencia mediante el método directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 13.2.2. Líneas de influencia mediante el principio de los trabajos virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 13.2.3. Líneas de influencia mediante el teorema de reciprocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
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NOTA EDITORIAL
L
A serie Monografías comenzó su andadura en la primera etapa del actual Instituto Eduardo Torroja, antes de vincularse con el CSIC (años 1934-1936), como una colección de publicaciones periódicas denominada Monografías del Instituto de la Construcción, fruto, en numerosas ocasiones, de las lecciones impartidas en el Instituto Técnico de la Construcción y la Edificación, en sus carismáticos «Cursos y Conferencias». Se editaban dentro de la revista Hormigón y Acero, tenían carácter mensual y las dirigían los ingenieros de caminos Eduardo Torroja y Enrique García Reyes. Todavía a día de hoy algunas Monografías siguen siendo referencia como guías técnicas y base docente para temas de ingeniería estructural. La serie, que a lo largo de su singladura ha publicado 424 números, la publica Editorial CSIC en la actualidad y se recoge en el Book Citation Index, de Clarivate Analytics. Su filosofía es mostrar los resultados de la investigación y recoger trabajos inéditos con una temática amplia que incluye, entre otros contenidos, los sistemas constructivos, la ingeniería, la habitabilidad y el medio ambiente, el patrimonio histórico o los materiales. La serie refleja su carácter multidisciplinar tanto en los contenidos como en la composición del comité editorial y el consejo de redacción, integrado por un conjunto heterogéneo de expertos en distintas áreas, tanto a nivel nacional como internacional. En la nueva etapa de la colección que aquí se presenta, con un nuevo diseño tanto en las cubiertas como en los interiores, se busca ampliar el rango de acción mostrando las diferentes líneas de investigación que se realizan en el Instituto Eduardo Torroja y en otros centros, ya sean universidades u otras instituciones. Con este objetivo, el nuevo consejo asesor se compone de cerca de un veinticinco por ciento de miembros pertenecientes a universidades y centros de fuera de España, con lo que se pretende impulsar dicha diseminación. Esta amplitud de miras se fundamenta en el espíritu que inspira a este comité editorial de volver a conseguir que las Monografías sean esos documentos técnicos de referencia en la investigación y en la docencia de hoy día. Se quiere hacer realidad, en suma, que sean publicaciones multidisciplinares al servicio de la comunidad científica y de la sociedad, como instrumento de transferencia de conocimiento apoyado en el lema del Instituto Eduardo Torroja: «Technicae Plures, Opera Unica».
ÁNGEL CASTILLO TALAVERA
Director de Monografías del IETcc
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1. INTRODUCCIÓN. ALCANCE 1.1. Introducción
Los autores de estos capítulos, profesores del Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras en la Universidad Politécnica de Madrid, quieren expresar su agradecimiento al Instituto de Ciencias de la Construcción Eduardo Torroja y a los editores de la publicación por la oportunidad de poder reflejar en estas páginas conceptos que, si no clásicos, aunque alguno sí, tienen muchas décadas de existencia. Los autores desean, también, manifestar su satisfacción por participar en lo que, de alguna forma, y con toda humildad, sea una reedición de las Monografías n.º 71 y n.º 100 del Instituto Eduardo Torroja, cuyo autor, el profesor Eduardo Torroja Miret, que lo fue de la Escuela de Ingenieros de Caminos de Madrid, fue también uno de los más ilustres ingenieros españoles de la primera mitad del siglo XX. Eduardo Torroja fue también responsable de las materias relacionadas con resistencia de materiales, cálculo de estructuras y ejecución de obras de hormigón armado y pretensado. En los años sesenta y setenta del siglo pasado existían muy pocas publicaciones en español, aparte de las citadas Monografías 71 y 100 del Instituto Eduardo Torroja, sobre los conceptos más elementales y otros no tan simples en relación con las estructuras prismáticas planas. En la bibliografía se citan algunos textos entonces disponibles en el ámbito universitario, citas que no se extienden mucho más allá de textos clásicos a partir de la resistencia de materiales de Timoshenko y valiosos apuntes, aunque a menudo con erratas, editados por aventajados alumnos o ingenieros recién graduados de la Escuela de Caminos de Madrid. En años posteriores, en los que se fueron creando otras Escuelas de Ingenieros de Caminos y de otras ingenierías, el número de textos en lengua castellana fue creciendo y los alumnos pudieron beneficiarse de ello. En los siguientes apartados de este capítulo se exponen los objetivos de esta publicación y el alcance de la misma, así como su contenido.
Carlos Zanuy desea expresar aquí su profunda y sincera admiración hacia Pablo de la Fuente, que falleció de forma inesperada poco después de que esta monografía fuera terminada. Las muchas horas dedicadas a esta obra fueron, sin saberlo, la última vez en que disfrutaba de una colaboración que había sido continuada desde el período de doctorado. Sirva esta monografía como homenaje y agradecimiento a Pablo de la Fuente. 1.2. Objetivos
El principal objetivo de esta publicación, como se ha comentado en el apartado anterior, es reeditar el contenido de las Monografías n.º 71 y n.º 100 del Instituto Eduardo Torroja, publicadas en los años sesenta y setenta del pasado siglo. Se pretende mostrar la visión que sobre las estructuras lineales planas tienen los autores, profesores de la Unidad Docente de Resistencia de Materiales de la Escuela de Caminos de Madrid. La visión que se presenta no puede ser muy distinta de la ofrecida por diversos autores y textos desde que Galileo, en el siglo XVII, estudiase la viga empotrada, si bien con resultados no muy concluyentes. Los siglos XVII y XVIII, en los que se introduce el cálculo infinitesimal (Newton y Leibniz) y diversas teorías, fueron fundamentales para establecer la base de la resistencia de materiales. Es obligado citar a Hooke, que en 1676 enunció la ley de comportamiento, hoy también referida como ecuación constitutiva, que lleva su nombre. En el siglo XVIII Euler estudió el pandeo de vigas. En ese mismo siglo Coulomb introdujo el concepto de tensión y trabajó en problemas de flexión de vigas. La teoría de la elasticidad lineal se desarrolla en el siglo XIX, en el que destacan por sus aportaciones a la resistencia de materiales Lamé, Navier, Mohr y Castigliano. En el siglo XIX el acero es el protagonista como material de construcción, siglo en el que cabe destacar la figura de Eiffel como autor de numerosas construcciones. A principios del siglo XX, el hormigón armado sustituye en muchas construcciones al acero. El hormigón pretensado se introduce en la mitad de ese siglo.
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12 PABLO DE LA FUENTE MARTÍN, CARLOS ZANUY SÁNCHEZ
1.3. Alcance
La resistencia de materiales se limita, en prácticamente todas las publicaciones, al estudio de elementos (piezas) prismáticos, adoptando un conjunto de hipótesis, lo que permite establecer los conceptos de esfuerzos como suma de tensiones aplicadas en áreas y momentos de las fuerzas resultantes (tensiones aplicadas en áreas) respecto de puntos. El estudio de estados tensionales es más propio del ámbito de la elasticidad o de la elastoplasticidad. En la resistencia de materiales se trabaja con esfuerzos, aunque también con tensiones. En la publicación se aborda la presentación y estudio del comportamiento de elementos lineales de directriz plana, siendo este plano de simetría de la sección, con cargas contenidas en ese plano, en la hipótesis de comportamiento elástico y lineal del material. Se prescinde, por tanto, de las vigas cuya directriz es una curva alabeada, así como de situaciones de flexión o compresión compuesta esviada, si bien el análisis de estas situaciones no requiere conocimientos más allá que la aplicación del principio de superposición en el campo de la elasticidad lineal y admitir una distribución lineal de tensiones, incluso considerando ejes que no sean ejes principales de inercia de la sección. Tampoco se aborda el estudio de la torsión ni situaciones de pandeo. 1.4. Contenido
En el apartado anterior se ha establecido el alcance de las páginas de esta monografía, limitándolo al de vigas planas con el plano de simetría (plano de la viga) y cargas contenidas en ese plano. En el siguiente capítulo se establecen los conceptos de viga, rebanada, sección y fibra, y se exponen las hipótesis fundamentales en el campo de la elasticidad lineal. A continuación se presentan las ecuaciones de la resistencia de materiales, de equi-
librio, cinemáticas y constitutivas (leyes de comportamiento). En los cuatro capítulos siguientes se desarrollan estas ecuaciones después de introducir el concepto de estructura isostática e hiperestática. Se definen los conceptos de esfuerzos y tensión en piezas prismáticas planas con plano medio de simetría y cargas en ese plano. En estas piezas se introduce el concepto de las deformaciones que se van a considerar. Se presenta la ley de Hooke y se incide en el principio de superposición. Se exponen las relaciones entre tensiones y esfuerzos en una sección, analizando las situaciones correspondientes a secciones no homogéneas y deformaciones impuestas. En el capítulo 7 se justifican las ecuaciones de Bresse y se tratan las simplificaciones más usuales en cuanto a las deformaciones por esfuerzo axil y cortante (vigas de Euler y Timoshenko). En el capítulo 8 se plantea el problema resistente y la forma de abordar el análisis de estructuras isostáticas e hiperestáticas. Para las estructuras hiperestáticas se presentan los métodos fundamentales de análisis, habitualmente llamados de cálculo, el método de rigidez y el método de flexibilidad y se desarrolla este último. El capítulo 9 se dedica al análisis de vigas hiperestáticas. El capítulo 10 trata las estructuras porticadas y se exponen las simplificaciones habituales. En el capítulo 11 se presentan los arcos, prestando especial interés al arco como antifunicular de carga. El tema 12 se dedica a los métodos energéticos. Se expone el principio de los trabajos virtuales y el teorema de reciprocidad. No se contemplan otros teoremas energéticos, que se consideran fuera del alcance de esta monografía. Los citados teoremas se presentan como de gran utilidad en el siguiente capítulo. Finalmente, en el capítulo 13 se presenta el concepto de línea de influencia en vigas. Se tratan, fundamentalmente, las líneas de influencia de esfuerzos y reacciones.
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2. CONCEPTOS E HIPÓTESIS FUNDAMENTALES 2.1. Introducción
En el capítulo se introduce el concepto de sólido deformable, estableciendo las diferencias con el concepto de sólido rígido, considerado en mecánica racional. A continuación se expone el concepto de viga y otros relacionados, como sección, rebanada y fibra. Se presentan las simplificaciones habituales en resistencia de materiales, los diferentes tipos de viga y las distintas formas de apoyo. 2.2. Sólido deformable
– Sección transversal Ω: puede ser una sección maciza o con huecos. La forma de la sección puede variar suavemente a lo largo de C. – Directriz C: curva a lo largo de la cual se desplaza la sección Ω, permaneciendo normal a ella. En la directriz debe indicarse un sentido de avance. La longitud de la viga o de la directriz, así como su radio de curvatura, debe ser varias veces mayor que las dimensiones transversales de la sección Ω. A lo largo de la directriz se adopta la coordenada s, longitud de arco o parámetro natural de la curva, con origen en un punto de la directriz. – Secciones frontal y dorsal: es posible referirse a dos secciones, sección dorsal como sección origen de la viga (s = 0) y sección frontal (s = L), como sección final de la viga. – Rebanada: es la parte de la viga comprendida entre dos secciones, definida por los valores de s y s + ds, separadas, por tanto, ds. La sección definida por s se denomina sección dorsal y la definida por s + ds, sección frontal. – Fibra: en una rebanada, es la intersección de esta con un cilindro elemental de área dΩ (siendo Ω el área de la sección en la rebanada situada en s) que se desplaza paralelo a la directriz. Se dice que cada punto de una sección es una fibra.
En mecánica racional se estudia el sólido rígido. La estática establece las condiciones bajo las cuales dicho sólido se encuentra en equilibrio, si bien no aporta información sobre las deformaciones que producen las acciones que actúan sobre el sólido. La estática tampoco analiza la posibilidad de que el sólido pueda romperse. Al considerar la deformabilidad del sólido rígido bajo las acciones a las que está sometido, así como la posibilidad de rotura, surge el concepto de sólido deformable. En el texto se consideran sólidos deformables monodimensionales, en los que predomina una dimensión, elementos típicos de resistencia de materiales. En el siguiente apartado se establece el concep aplicadas to de viga, que se adapta al de sólido deformable Las acciones exteriores a la viga monodimensional, del cual se ocupa la resistencia de actúan en un punto de la directriz. En caso de estar materiales. aplicadas en otro punto de la sección se trasladarán gravedad de la sección, de acuerdo al centro de con las leyes de sistemas de vectores equivalentes (igual 2.3. Viga. Sección. Directriz. Rebanada. Fibra resultante y momento). El concepto de viga se puede expresar como a continuación se indica:
6HFFLyQIURQWDO : s
*
5HEDQDGD ds
6HFFLyQGRUVDO
Figura 1. Definición de viga.
)LEUD G:
C
Viga o pieza prismática: sólido deformable engendrado por una superficie plana Ω, cuyo centro de gravedad describe una curva C, permaneciendo Ω normal a la curva C. En el concepto de viga, reflejado en la Figura 1, están involucrados a su vez los siguientes conceptos:
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2.4. Hipótesis simplificadoras relativas a que actúa ción, fuerza o momento sobre la viga. Los tipos movimientos y deformaciones las de apoyo más frecuentes, considerando vigas de plano medio y cargas en ese plano son los siguientes: En el desarrollo de los siguientes capítulos se admi ten las siguientes hipótesis, relativas a movimientos simple: coaccionado y Apoyo está el movimiento deformaciones: normal a la viga (Figura 2, izquierda). Esto es lo habi Se considera un comportamiento elástico lineal tual, si bien también se puede coaccionar el despla del sólido deformable (viga), que implica proporcio- zamiento que forma un ángulo con la viga (Figura 2, nalidad entre tensiones y deformaciones. A partir de derecha). En estas figuras se puede observar la reac la elasticidad, al retirar las acciones se recuperan las ción que aparece como consecuencia de la coacción, deformaciones por dichas acciones. la cual es normal al apoyo (V).
Se admite la hipótesis de Navier, o de las secciones planas. Se supondrá que una sección cualquiera de la viga permanece plana después de la deformación. Para conocer los movimientos (desplazamientos y giros) de cualquier punto de la sección se precisa conocer los movimientos de un punto de la sección, habitualmente el centro de gravedad. En el caso de vigas con plano medio de simetría y cargas en ese plano es suficiente conocer los desplazamientos y giro del centro de gravedad de la sección. 2.5. Tipos de viga
– Planas: la directriz es una curva plana. Entre las vigas planas cabe distinguir las vigas de plano medio, en las que el plano de la directriz es de simetría de la sección. Si la directriz es una línea recta, la viga se denomina recta.
En relación con la sección, las vigas se pueden clasificar como vigas de sección constante o variable. En ambos casos la sección puede ser maciza, hueca, alveolar, de perfil delgado, abierto o cerrado. En los siguientes capítulos se estudian las vigas pla nas con plano medio de simetría con cargas conteni das en el plano. Si las acciones se sitúan fuera del plano de la directriz, la viga está sometida a torsión, situación fuera del alcance de esta monografía. 2.6. Apoyos y enlaces
V
Figura 2. Apoyo simple.
coaccionados los moviApoyo articulado: están mientos, normal a la viga y según su dirección (Figura tiene una compo- 3, izquierda). La reacción según nente normal a la viga (V ) y otra componente la dirección de la viga (H ). Igual que en el apoyo sim ple, el desplazamiento coaccionado puede no ser nor- mal a la viga (Figura 3, derecha).
H
H
V
V
Figura 3. Apoyo articulado.
Empotramiento:eneste tipo de apoyo están coac los tres posibles dos desplacionados movimientos, se zamientos y un giro (Figura 4). En esta figura representan las reacciones que existen como conse cuencia de las coacciones o movimientos restringi dos. La tiene normal reacción una componente a la viga (V ), otra componente según la dirección de la viga (H ) y un momento (M ).
Las vigas no son elementos estructurales aislados. Están en contacto con otras vigas, con elementos estructurales, como muros, pilares, etc. o el terreno. Estos apoyos o enlaces, los cuales son de varios tipos, coaccionan uno o varios movimientos, desplazamientos o giros. Cada movimiento coaccionado implica la existencia de una reac-
V
En relación con la directriz se pueden considerar los siguientes tipos: – Alabeadas: la directriz es una curva alabeada.
M
H
V
Figura 4.Empotramiento.
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Figura 5. Enlace a media madera.
reacción sobre cada viga es normal a la misma.
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Enlace a media madera: la Figura 5 muestra este tipo de enlace. Los movimientos normales a las vigas son iguales para ambas en el punto de enlace. La
Los enlaces entre vigas también pueden ser:
Figura 6. Enlace articulado.
en este enlace entre vigas no Enlace articulado: existe coacción al giro, lo que se representa como se horizonindica en la Figura 6. Losdesplazamientos tal y vertical del punto común a ambas vigas son iguales.
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3. ECUACIONES FUNDAMENTALES 3.1. Objetivos de la resistencia de materiales
La resistencia de materiales tiene por objeto la obtención de movimientos, tensiones y deformaciones en un punto de una viga aislada o bien de un conjunto de vigas bajo la acción de un conjunto de cargas. 3.2. Ecuaciones
Para lograr el objetivo señalado en el apartado anterior, se considera un conjunto de ecuaciones entre las variables estáticas (fuerzas, momentos y esfuerzos, según se definen estos últimos en el capítulo 4), cinemáticas (movimientos y deformaciones, definidas estas últimas en el capítulo 5), y entre variables estáticas y cinemáticas. El conjunto de ecuaciones que resuelven el problema se agrupan de la siguiente forma: a. Ecuaciones de equilibrio o estáticas. Estas ecuaciones relacionan magnitudes estáticas, fuerzas, momentos y tensiones. b. Ecuaciones de compatibilidad o cinemáticas. Relacionan magnitudes cinemáticas, movimientos y deformaciones. c. Leyes de comportamiento o ecuaciones constitutivas. Estas ecuaciones relacionan magnitudes estáticas y cinemáticas. Dependen de las propiedades del material.
Este grupo de ecuaciones son objeto de los siguientes capítulos. Son ecuaciones generales, en las que se consideran las simplificaciones que se exponen en el siguiente apartado.
3.3. Simplificaciones
En los tres grupos de ecuaciones que se utilizan para resolver un problema en el campo de la resistencia de materiales se adoptan las siguientes simplificaciones: a) Linealidad estática
Se considera que los movimientos que se van a producir son pequeños. Si se desprecian estos movimientos al considerar las ecuaciones de la estática, estas se aplican en la geometría inicial, cuando no se ha producido una deformación de la viga o conjunto de vigas. b) Linealidad geométrica
En las relaciones entre movimientos y deformaciones se desprecian los términos no lineales. c) Linealidad del material
Se consideran rangos pequeños para las tensiones, lo que permite suponer un comportamiento elástico y lineal para el material, lo que significa que las magnitudes estáticas (fuerzas, momentos y tensiones), se pueden expresar como función lineal de las magnitudes cinemáticas (movimientos y deformaciones). Esto supone admitir una ley de comportamiento elástico lineal para el material, es decir, un comportamiento de acuerdo con la ley de Hooke.
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4. ECUACIONES DE EQUILIBRIO. TENSIONES Y ESFUERZOS
4.1. Ecuaciones de equilibrio. Tipos de estructuras
del estudio de estructuras plaAl tratarse aquí nas (Figura 7, inferior), formadas por piezas prismáticas planas con plano medio de simetría y cargas en Las ecuaciones de equilibrio estático de un sólido el plano, las ecuaciones (1) y (2) quedan escritas cualquiera, como el de la Figura 7 (superior), escalares siguientes: se como las tres ecuaciones equili escriben particularizando las leyesde la dinámica de fuerzas según los dos ejes cartesianos que brio definen el plano y equilibrio de momentos de Newton para el caso en el que los cuerpos peren cual manecen en reposo, es decir, las aceleraciones son quier punto P: vectoriales, (1) y nulas. En términos las ecuaciones (2) expresan que la resultante de las fuerzas actuan F (3) tes en un sólido ha de ser nula, así como la resultan-
¦ ¦ ¦
tomados en te de los momentos cualquier punto P, (4) Fy habitualmente del sólido. Al hablar de fuerzas (5) tanto acciones M P se como reac consideran actuantes, de cualquier tipo, fuerzas pun ciones y momentos, habitual La situación de una estructura es aque tualesy distribuidas. lla en la que se conocen las acciones y se desconocen las reacciones encargadas de equilibrar a las prime ) (1) ras. Las tres ecuaciones de equilibrio (3)-(5), junto 0 (2) son unaprime- con condiciones estáticas tipo rótula, P ra herramienta que permitiría las reac determinar ciones que han de equilibrar a las acciones, simple Q F mente mediante la resolución del sistema lineal de ecuaciones que resulta. Dichas ecuaciones de equili z brio se deben verificar tanto para toda la estructura como para cada una de sus partes. En la Figura 8(a) y se muestra un ejemplo en el que se plantea el sistema x R de ecuaciones que permite obtener las reacciones. R Sin embargo, esto no siempre es posible [Figura 8(b) y (c)]. El planteamiento de las ecuaciones de equili brio permite clasificar las estructuras de la siguiente M forma: isostática: es aquella – Estructura en la que las F reacciones se pueden calcular con q las ecuaciones de equilibrio exclusivamente, ya que el y de esas ecuaciones proporcio planteamiento x na un sistema de ecuaciones compatible determinado. En la Figura 8(a), el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas es de este tipo, R M por lo que R se pueden calcular las tres reaccio nes V1, V2 y H1. Figura 7. Sólido y estructura plana. hiperestática: es aquella en la que general tridimensional – Estructura las ecuaciones de equilibrio son insuficientes para calcular las reacciones, ya que el plantea
x
¦ ¦
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SÁNCHEZ FUENTE MARTÍN,CARLOS ZANUY 20 PABLO DE LA miento de esas ecuaciones de equilibrio pro- F porciona un sistema de ecuaciones compatible indeterminado. En la Figura 8(b) las 3 ecua ciones de equilibrio son insuficientes para cal- cular las 4 reacciones V1, V2, H 1 y H2. El grado V V de indeterminación del sistema de ecuaciones Fx F FRV se denomina grado de hiperestatismo, e indi¦ ca el número de ecuaciones adicionales (ecuaV V F VLQ ¦ Fy ciones de compatibilidad) necesarias para ¦M V L F L VLQ el número resolver el sistema. En realidad, total de incógnitas problema del se obtiene F externas Figura 8. Tipos de estructuras en función de la relación sumando las llamadas incógnitas entre el (esfuer de ecuaciones (reacciones) y las incógnitas internas número de equilibrio y el número de reacciones: elemento (a) isostática; (c) mecanismo. de extremo de cada que confor (b) hiperestática; zos El grado ma la estructura). de hiperestatismo obtener siguientes el En los de este capítulo se puede como diferencia entre apartados ecuaciones total de incógnitas de se tratarán solo las estructuras isostáticas, en las número y las se pueden calcular equilibrio planteadas en todos los elementos y que las reacciones exclusiva- de la estructura. mediante de las de equilide Así, la estructura la mente ecuaciones nudos el uso brio, o bien se suponen conocidas las reacciones en Figura 7 sería hiperestática de grado 5. – Mecanismo: es aquel en el que las ecuaciones el caso de estructuras hiperestáticas. Se deja la son más que las reacciones a cal- obtención de las reacciones en estructuras hiperes de equilibrio cular, por lo que el sistema de ecuaciones es táticas para los capítulos 8 y siguientes de esta incompatible. En la Figura 8(c), solo existen 2 monografía. 3 ecuaciones. incógnitas (V y V ) para No se 1 tratarán 2 los mecanismos en esta monografía. 4.2. Esfuerzos una sección en F H y Cuando una estructura está equilibrada, las ecua x ciones de equilibrio se verifican en ella, tanto de forma global, como en cualquier parte de la misma V V si se hace un estudio local. En este sentido, se pue L den considerar las dos partes (dorsal y frontal) en una estructura al cortarla F H F FRV ¦ x las quequeda dividida por medio de una sección transversal de la forma ¦ Fy V V F VLQ
¦M
V ¦F F ¦ ¦M
F
H
E
L VLQ
V L F
V
V V F VLQ
H H F FRV
x
y
D
en la indicada Figura 9. En esa figura, sin perder
L VLQ
VL F
H
generalidad, la estructura analizada es una viga. Dado que el equilibrio de cada parte dela estructura deben se tiene que mantener, existir una fuerza R y un momento M, aplicados en el centro de gravedad de la sección por la que se ha cortado, que garanticen En realidad, R y M ese equilibrio. son una pareja de fuerzas y una pareja de mo mentos, actuantes en los centros de gravedad de la sección frontal de la parte dorsal de la estructura y de la sección dorsal de la parte frontal de la misma. Ambas parejas son iguales y de sentido con trario, de manera que desaparecen al volver a unir las partes dorsal y frontal de la estructura. Se denominan esfuerzos a las componentes de R y M. Por tanto, los esfuerzos en una sección son los encar de garantizar el equilibrio de una parte de la gados estructura cuandoesta se divide en dos por esa sección.
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PARA FUNDAMENTOS EL CÁLCULO DE ESTRUCTURAS PRISMÁTICAS PLANAS
*
&DUDGRUVDO
M M
*
R
3DUWHGRUVDOGHODYLJD 3DUWHIURQWDOGHODYLJD
M
*
R
4.3. Cálculo de esfuerzos. Método de las secciones El carácter dual de los esfuerzos queda claro al estu se conocen las acciones y reacciones en una diarlos como la resultante de la estructura en las caras Cuando es posible obtener los esfuerzos en cualdorsal y frontal de una rebanada de espesor ds [Figura estructura, quier 10(a)] en puntuales la que no hay cargas aplicadas. sección de la misma utilizando su definición, de R y M enun sistema encargados como de equilibrar las partes de una Atendiendo a las componentes de ejes locales como los indicados en la Figura 10(b), los cuando estructura esta se divide por la sección en la la nomenclatura indicada obtener los esfuerzos. Esta metodoloque se desean esfuerzos reciben en dicha figura para el caso general tridimensional: N es el gía recibe el nombre de método de las secciones. axil, Q y Q son los esfuerzos Suponiendo la estructura de la Figura 12(a), cortantes según esfuerzo y z sometida a unas acciones cualquiera, se deben los ejes y y z, Mt es el momentotorsor, y My y Mz son los
9. Esfuerzos en una sección. Figura
21
momentos flectores según los ejes y y z. En la consideración de los esfuerzos se está aceptando implícitamente el principio de Saint-Venant, por el cual son estáticamente equivalentes el conjunto de los esfuerzos aplicados en una cara de la sección y el de las acciones que una parte de la pieza prismática ejerce sobre la otra. Los esfuerzos se reducen a tres en el caso de estructuras planas: esfuerzo axil N, esfuerzo cortante Q y momento flector M. Los tres esfuerzos se representan en la Figura 11, con el sentido que habitualmente se considera como positivo.
&DUDIURQWDO
R
ds
y
R
Qz * z
y
Qy
M
N
x
z
M y
Mz *
Mt
x
D E enlas caras y frontal una (b) tipo Figura 10. (a) Esfuerzos dorsal de rebanada; de esfuerzos enuna sección de una estructura tridimensional. Q * N M N Q M Figura 11. Esfuerzos enuna sección de una estructura plana de una estructura tridimensional. Q(x) y ¦ Fx o N x x N(x) F o Q x ¦ y M(x) ¦ M o M x x x (a) (b) de los en la sección de abscisa x en la estructura (a), conocidas acciones y reacciones. La estructura esfuerzos Figura 12. Obtención se debe dividir en dos partes indicadas, la dorsal, se indica en (b). una delas cuales,
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22 PABLO DE LA FUENTE MARTÍN, CARLOS ZANUY SÁNCHEZ
conocer primero las reacciones para obtener los esfuerzos. Las reacciones se han debido calcular mediante las ecuaciones de equilibrio aplicadas a todo la estructura, si esta es isostática, más las ecuaciones de compatibilidad necesarias, si esta es hiperestática. Para calcular los esfuerzos en una sección de abscisa x, se divide la estructura en dos partes por esa sección x [Figura 12(b)]. Los esfuerzos en esa sección, N(x), Q(x) y M(x), se pueden calcular aplicando las 3 ecuaciones de equilibrio a una de las partes en las que ha quedado dividida la estructura. El resultado ha de ser el mismo si el cálculo se hace en la parte dorsal o frontal de la
estructura, por lo que lo recomendable es hacer el análisis en la parte que resulte más sencillo. La obtención de los esfuerzos en todas las secciones x de la estructura proporciona las denominadas leyes de esfuerzos, que son la representación de los mismos a lo largo de la directriz de la estructura de la manera indicada en la Figura 13. En el método de las secciones se han de practicar tantos cortes en la estructura como sea necesario para obtener las leyes de esfuerzos completas. En general, es recomendable recorrer la estructura de un extremo a otro, practicando un corte en cada tramo en el que haya un cambio en las acciones actuantes.
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DE ESTRUCTURAS PRISMÁTICAS FUNDAMENTOS PARA PLANAS EL CÁLCULO 23 qL PL P qL P PL PL P P P qLP P qLP de esfuerzos mediante elmétodo de Por Figura 13. Cálculo se representan de las leyes las secciones. convenio, cortantes y axiles positivos por encima de la directriz, mientras que los momentos flectores positivos los esfuerzos de la directriz. por debajo se representan de equilibrio 4.4. en la rebanada. Ecuaciones w Q x dQ entre esfuerzos y cargas ¦ Fy Q x Q x dx q Relaciones wx dQ x Una forma alternativa al método de las secciones F q x dx q x para la obtención de las leyes de esfuerzos es la que dx hace existentes entrelas cargas uso de las relaciones y los esfuerzos. Estas relaciones no son más que el wM x dx M M x M x dx Q x resultado de aplicar de equilibrio a ¦ las ecuaciones O espesor diferencial. wx de Para estructu una rebanada wQ x dM x ras planas, se pueden diferenciar los siguientes tres d dx Q x casos: M dx x dx w
paralelas – Viga a cargas a la direc sometida triz (barra): aplicando el equilibrio hori con la ecuación (7), la De acuerdo ley de zontal a la rebanada de espesor dx de la esfuerzos cortantes tendrá un grado más que Figura 14(a), obtener la relación la ley de q(x). cargas A su vez, la ecuación se puede (8) entre la acción indica tendrá h(x) yel esfuerzo la ley momentos flectores horizontal que de de esfuerzos cortantes, axil N(x): ungrado más que la ley que q(x) sea un polinomio. wN x suponiendo dN x h ¦ Fx N x N x dx – Viga a momentos: forma sometida de similar w x al caso anterior, especial este caso se puede dN x h x resolver aplicando las ecuaciones de equili h x dx dx brio vertical y de momentos a la rebanada de espesor dx de la Figura 14(c): De acuerdo a la ecuación esfuer (6), la ley de wQ x dQ x zos axiles tendrá más un grado que Q x Q x la ley de ¦ Fy dx esta cargas h(x), en caso de ser de tipo polinó wx mico. dQ x F dx – Viga sometida a cargas perpendiculares a la directriz: aplicando las ecuaciones de ¦ M O M x M x wM x dx Q x dx equilibrio vertical y de momentos a la rebawx espesor dx de la Figura 14(b), se nada de dM x d puede obtener la relación entre la acción m x dx Q x m x (10) dx vertical q(x) y el esfuerzo cortante Q(x), así flec- como entre este último y el momento M(x): tor
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24 PABLO DE LA FUENTE MARTÍN, CARLOS ZANUY SÁNCHEZ
y
h x
x
N x
wx
wx
M x dx Q x
D
dx
M x
wM x wx
E
dx
m x dx wQ x Q x dx wx
M x M x
Q x
dx
wM x wx
dx
F
dx
Figura 14. Relaciones entre esfuerzos y cargas: (a) cargas paralelas a la directriz; (b) cargas perpendiculares a la directriz; (c) momentos distribuidos.
4.5. Concepto de tensión
x
0 5 Los esfuerzos las accio constituyen el efecto de todas : nes y reacciones de una parte de la estructura sobre S S la sección por la que se corta la misma, y están apli z centro de gravedad dado su carácter de cados en su y el efecto experimentado en un x resultante. Al estudiar punto de la sección, se ha de hablar de tensión. Suponiendo el sólido general de la Figura 15, al cor tar por un π, los esfuerzos compo plano serían las '5 V '5 nentes y M, actuantes gravedad en el centro de de R 3 W 3 la sección Ω. Esos de la resultante esfuerzos serían delconjunto actuantes en toda la sección ': de fuerzas de equilibrar la parte de la estruc Ω que se encargan tura obtenida al cortar por el plano π.Si se considera que corresponde a unpunto P, centro de Figura 15. Concepto de tensión. la fuerza ΔR gravedad de un área pequeña ΔΩ, se denomina vec- punto P según el plano a: tor tensión en el π 4.6. Relaciones esfuerzos y tensiones entre en una sección '5 d5 (11) WP S OLP ':o ': d : Dentro son de una sección, los esfuerzos la resultan las tensiones actuantes en todas las fibras de esa te de Se supone que el momento ΔM que también existiría el punto P de ΔΩ es nulo. Como se obser- sección. Por tanto, de acuerdo a la Figura 16(a): en va en la ecuación anterior, la tensión tiene unidades 5 W d : de fuerza por unidad de superficie. Dado su carácter ³: (12) estudiar sus componentes. vectorial, se pueden Lo (13) más habitual es proyectar la tensión sobre el plano π 0 ³ Uu Wd : (componente tangencial τ) y sobre el eje perpendicu : lar a π (componente normal de la tensión σ), como se En estructuras planas, en las que los esfuerzos son tres (N, Q y M), las fibras situadas representa en la Figura 15 (inferior derecha). considerados Elvector tensión en un punto P según un plano a la misma profundidad respecto del centro de grave la sección tienen con lo que π es el efecto de todas las acciones (y reacciones) que dad de la misma tensión, la tensión solicitan la estructura sobre ese punto. tangencial es paralela al esfuerzo cortante
wN x
x
dx q x dx wQ x Q x dx
dx
x
h x dx
x
m x
y
x
dx
N x
q x
y
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FUNDAMENTOS PARA ESTRUCTURAS PRISMÁTICAS CÁLCULO 25 EL PLANAS DE W t 3 S t
r
*
R
*
M ȍ
V
ȍ
D E Figura 16. (a) Relación entre los esfuerzos ylas tensiones en una sección; (b) tensiones en una fibra de una sección de una estructura plana.
y la tensión normal es paralela al esfuerzo axil N (14) muchas veces se N V y dA a dA b ydA a [Figura 16(b)]. Lo anterior hace que : : : A N
confunda el concepto de fibra con el de banda. A M est G Dado el carácter de los esfuerzos como resul que las tensiones V y ydA a ydA b y dA b tantes de las tensiones, se deduce : : :
(15) tangenciales son producidas por el esfuerzo cortante M est G Iz y las tensiones normales por los esfuerzos axil y Por tanto, un esfuerzo axil N produce una dismomento flector. A continuación se determinarán las tribución de tensiones uniforme en el canto de lasecrelaciones existentes entre esfuerzos y tensiones. ción (Figura 17, derecha):
³
³
³
³
³
³
Sección sometida a esfuerzo axil puro 4.6.1.
N A
V y
(16)
Si se considera la sección con un eje de simetría de la Figura 17, en la que el origen de los ejes con el criterio de signos adoptado, cartesianos se De acuerdo sitúa en su centro de gravedad G, se va a obtener la las tensiones normales tienen el mismo signo que el del tensiones a lo largo expresión de las normales axil que las produce. σ(y). Las propiedades mecánicas de la sección canto Sección sometida a flexión pura (A) y su momento de inercia 4.6.2. son su área respecto del eje z (Iz). De acuerdo con las hipótesis de Navier el apartado se (deformada seguido en anterior plana de la sección)y de elasticidad El procedimiento lineal (proporcionalidad entre tensiones y defor- puede repetir para el caso en el que la sección está maciones), la distribución de tensiones tiene que sometida exclusivamente a un momento flector ser lineal en el canto σ(y) = a + by. Las ecuaciones de (Figura 18). Aplicando las ecuaciones de equilibrio equilibrio (12) y (13) permitirán calcular las constan- horizontal y de momentos: a y b. tes desconocidas En particular, la ecuación de equilibrio horizontal V y dA a dA b ydA a N : : :
(14) sirve para deducir la constante a, y la ecuación de N A (17) M est G equilibrio de momentos (15) permite obtener la cons tante b.
³
³
³
y z
V y NA
*
*
N
y
V y ab y
Figura 17. Tensiones producidas por un esfuerzo axil N.
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26 PABLO DE LA FUENTE MARTÍN, CARLOS ZANUY SÁNCHEZ
y *
z
*
M
y
V y My I z
ab V y y producidas Figura 18. Tensiones por un momento flector M. N My M ³ V y ydA a ³ ydA b ³ y dA (20) V y : : :
z A I z M I est G z La distribución de tensiones sigue siendo lineal, M (18) en 19. La como se representa la Figura tensión en el b Iz es ladada por gravedad Por tanto, de término un centro el primer momento flector M de (20), y las fibras con tensión nula (fibra neutra) produce una distribución de tensiones lineal en el ocuparán la posición y que se obtiene al imponer de la sección (Figura 18, derecha), siendo la σ(y) = 0. canto tensión nula en el centro de gravedad y máxima De acuerdo con el equilibro estático, toda pare en extremas: en el las fibras ja formada por un axil y un momento actuantes es de gravedad equivalente a la estáticamente centro My actuación de un axil excéntrico [Figura 20(a)], sien (19) V y I do la excentricidad e: z acuerdo de signos M adoptado, con el criterio De (21) e un momento flector positivo produce tensiones de N situadas del compresión cen encima en las fibras por y tensiones Aprovechando el concepto tro de gravedad de tracción en las fibras de excentricidad, se situadas por debajo. define como núcleo central al lugar geométrico de los puntos un axil de la sección en los que, al aplicar de Sección aflexión compuesta compresión excéntrico, la sección no experimenta 4.6.3. sometida tensiones de tracción. Los límites del núcleo central está a la actuación conjunta en en la Si una sección sometida son aquellos los quela tensión de tracción de un esfuerzo axil yun momento flector, al cumplirfibra extrema es nula y se pueden calcular imponien do esta condición en la ecuación de Navier [(Figura se el principio de superposición, lastensiones produ cidas serán el resultado de sumar los efectos de En la propia Figura 20(b) se proporcionan las 20(b)]. los límites Por tanto, la formulación será de expresiones de el resultado ambas. del núcleo central en fun sumar las ecuaciones (16) y (19), cuyo resultado es la ción del parámetro conocido como radio de giro de conocida fórmula sección ρ = (I /A) 1/2. de Navier: la z M M * N N V y NAMyI z V y N A V y MyI z )LEUDQHXWUD Figura 19. Tensiones producidas por la acción conjunta de un esfuerzo axil N y un momento flector M.
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FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO DE ESTRUCTURAS PRISMÁTICAS PLANAS
Ne y I z U N LQI G VXS eLQI V VXS A I z Ay y G VXS G VXS V M Ne sup * N Ne inf e * N N e inf N yG,sup Nesup N esup N * * yG,inf Vinf Ne y N I U G VXS LQI V LQI z eVXS D A I Ay y
*
27
z
G LQI
E
*
x
V y
dx
y
wV y dx wx
V y W y
W y
W y
W y
W y
W y
F
b y
E D 21. (a) Rebanada dx; (b) Parte de la rebanada situada por encima de la coordenada Figura de espesor y0; de dimensiones diferenciales (c) Rectángulo dx, dy situado a cota y0.
dx b y
x
³
La obtención de las tensiones tangenciales produci das por el esfuerzo cortante es algo más compleja que la obtención de la fórmula de Navier (20). La forma más habitual para obtenerlas es mediante la consideración de que las tensiones tangenciales equilibran la diferencia de tensiones normales que existe entre las dos secciones, dorsal y frontal, de que la tensión una rebanada. Para ello, se supone de la sección. tangencial es constante en cada fibra las tensiones son variaEn realidad, tangenciales fibra (banda), siendo su proyec bles en cada nula de ción perpendicular al contorno. La suposición una tensión tangencial constante en cada fibra W y b y dx y y es equivalente a trabajar con una tensión (banda) produce flujo de tensiones yVXS media que el mismo tanw V y º ª genciales que el producido dx » b y dy (22) por la distribución real « V y V y w x ¼ de las mismas. y ¬
Si se considera la rebanada de espesor dx, con coordenada de su sección dorsal x, [Figura 21(a)], se puede hacer un estudio particular de la parte de la por encima de una determinada rebanada situada la Figura 21(b). fibra y0, aislada en Naturalmente, al haber realizado un corte por un plano horizontal, aparecerán unas tensiones nor males y tangenciales en ese plano horizontal que En la equilibrarán la parte de la rebanada estudiada. Figura 21 solo se representan las tensiones tangen- ciales ), dado que τ(y el estudio en el 0 se va a centrar (por ese no se equilibrio horizontal mismo motivo, las tensiones tangenciales en las representado han dorsal y frontal de la rebanada). secciones Por equilibro en la Figura 21(b): horizontal
4.6.4. Relación entre las tensiones tangenciales y el esfuerzo cortante
G LQI
Figura de los límites 20. (a) Definición de excentricidad; (b) Obtención delnúcleo central.
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28
PABLO DE LA FUENTE MARTÍN, CARLOS ZANUY SÁNCHEZ
Por tanto:
yVXS
yVXS
³
dM b y ydy I z dx
b y Iz
(26) recibe el nombre de fórmula (24) La expresión de Collignon. Se debe y notar que la tensión tangencial anterior, calculada en un plano horizontal, es igual a la de verticales de Finalmente, ecuación equilibrio (8) permi la tensión tangencial en los planos las te sustituir dM/dx por -Q, con lo que: secciones dorsal o frontal de la rebanada analizada, que es la tensión originariamente buscada. Esta yVXS Q al equilibrio de momentos en el recW y b y ydy (25) igualdad se debe b y I z y³ tángulo de dimensiones diferenciales representado en la Figura 21(c).
W y
b y
³
La integral de la ecuación anterior es el momento estático respecto de la horizontal que pasa por G dV y (23) de la parte de la sección en la Figura 21(b), aislada b y dy W y Mest,G(y0 ), con lo que se tendría finalmente b y y dx elvalor de la tensión tangencial en la fibra y (se puede sustituir entre las y0 por y sin pérdida de generalidad): Asumiendo que el axil es constante caras dorsal y frontal de la rebanada, al derivar la fór QM est G y mula de Navier (20), se obtiene: (26) W y
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5. DEFORMACIONES. LEYES DE COMPORTAMIENTO 5.1. Concepto de deformación
ds
$
%
%
$
&
) (27)
ds
%
ds
(a)
%
ds ds ) H ds & $
% de pequeños Debido a la hipótesis desplaza a mientos, las deformaciones se miden con respecto la configuración original no deformada, lo que impli los puntos ca que el cambio de distancia entre se debe medir sobre la directriz original que une A y B $ (b) [Figura 22(a)], por lo que la deformación longitudi- nal unitaria Figura longitudinal; es: 22. (a) Deformación angular. (b) Deformación ds
ds H (28) 5.2. Deformaciones en una rebanada ds Si ahora de un sólido, con la hipótesis de Navier, las secciones De acuerdo tres se consideran puntos entre distancia planas permanecen planas después de deformarse. A, B y C, también separados sí una diferencial, de manera que los vectores Lo anterior implica que la configuración deformada que unen AB enel esta de una sección, mediante los movimientos 22(b)], y que definida yBC sonortogonales [Figura se experimentados por cada una de susfibras, se pueda do deformado A’, B’ y C’, ocupan las posiciones de su centro de movimientos define como angular γ a la distorsión deformación referenciar a los tres 23, se representa en la Figura del ángulo recto que originalmente formaban AB y gravedad. Tal ycomo de una fibra de coordenada y resBC. En 22(b): términos de la Figura los movimientos del centro pecto de gravedad de la sección serán: J ) ) (29) u y uG TG y (30) (31) v y vG (32) T y TG
Las deformaciones permiten caracterizar el cambio una estructura cuando está sometida a de forma de unas determinadas acciones. Sin necesidad de utili tensorial, zar su carácter el estado de deformaciones dos tipos en un punto se puede caracterizar mediante longitudinal y angular. de deformaciones: dos puntos A y B de un sólido, Si se consideran ds [Figura 22(a)], separados una distancia diferencial que en el estado deformado ocupan las posiciones A’ y B’, separados distancia ds’, se define deformauna unitaria al cambio ε relativo de ción longitudinal la distancia entre ellos:
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y
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vG uG TG
G v * * uG z TG Figura 23. Movimientos de cualquier fibra de la sección a partirde los movimientos de G. una región de altura dy, perteneciente Aislando a una rebanada de espesor dx (Figura 24), se pueden dy wu y y eje x y dy obtener la deformación longitudinal según el wT y wu y wy dx según los ejes x e y. Se wTw xy dx w y la deformación longitudinal wx dy puede considerar que la deformación de la región considerada está definida a partir de los movimien dx tos de las caras movimientos dorsal y frontal. Estos se pueden en los tres estados de la descomponer 25. Variación giro de lacara frontal del y Figura respecto Figura 24: movimiento (II) horizontal (I), giro de la cara dorsal. movimiento vertical (III). La deformación longitudinal solo existe en (I) y u y u y wu y dx se puede obtener como la diferencia de movimientos horizontales wx de las caras frontal y dorsal de la región
estudiada, dividida porla longitud de la rebanada dx: y T y dy w u y * u y dx u y w u y (33) H y wx wx dx dx x dx formada La deformación angular estará por una componente debida giro del estado (II) y otra com , al estado ponente y debida al movimiento vertical del dx (III), dadas de la siguiente T y wT y dx v y por losdos términos ecuawv y v y wx wx dx ción, respectivamente: T y wu y wv y wy dy v y wx dx v y u J y dy dx y x dx dx (34) y wu y wv y ,, ,,, wx wy En las ecuaciones (33) y (34) se puede entrar Figura 24. Análisis del estado deformado de la rebanada. las ecuaciones (30) a (32) para relacionar las con punto de cualquier de la sección con deformaciones de su centro de gravedad, llegando los movimientos Si bien es sencillo observar las variaciones de resultado: fibra de la sección debidas longitud de una a los al siguiente movimientos horizontal y vertical, es algo más com plicado evaluar el giro de la cara frontal respecto de H y duG dTG y (35) en cuenta que los movimientos dx dx la dorsal. Teniendo puede evaluar la variación del dv son pequeños, se G (36) J T y la dx G ángulo de la cara frontal respecto de cara dorsal figura: (estado II) con ayuda de la siguiente
dy
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HG
N
*
gitudinal sigue una distribución lineal en el canto y se ha obtenido como conclusión de la hipótesis de Las hipótesis de la elasticidad lineal indican que las la tensiones son proporcionales a las deformaciones, Navier. Al representar esta distribución como en siguiendo de Hooke. Un material elás Figura 26, se observa que la deformación longitudi las ecuaciones nal en el centro de gravedad en la sección εG viene tico lineal isótropo se caracteriza por dos constantes: dada por el primer término mientras de deformación longitudinal, o módulo de de (35), que la el módulo del plano de deformaciones es la curvatu Young, E, y el coeficiente de Poisson, ν. En estructupendiente ra de la sección ras planas, es suficiente con la expresiónuniaxial de κ: las ecuaciones de Hooke, que quedan como sigue:
FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO DE ESTRUCTURAS PRISMÁTICAS PLANAS 31 5.3. Leyes de comportamiento del material La ecuación (35) indica que la deformación lon
duG dx dTG dx
y
N
(37)
(38)
(42) (43)
donde G es el módulo de deformación transversal, que es función de E y ν como se deduce en las refe rencias bibliográficas sobre elasticidad lineal: G
HG
V EH W GJ
E Q
(44)
Ecuaciones constitutivas de la sección 5.4.
Figura en una sección. 26. Plano de deformaciones Por de el principio de superposición, la distribución deformaciones de una seccióndada por la ecuación La distribución de la deformación longitudinal (39) se puede descomponer en dos estados (I) y (II), tanto, con la Figura 27. enelcanto puede expresarse, dela siguiende acuerdo por te forma: N H y H G N y (39) y
* HG indica (36) que la Por otra parte, la ecuación deformación angular se obtiene como la suma de γ(y) dos términos que no dependen de y, por lo que la deformación angular pasa a ser un valor único de cada sección: N dvG H G (40) J TG dx Las ecuaciones (37) a (40) permiten relacionar de la sección con los movi- las tres deformaciones , ,, de de mientos su centro gravedad. Habitualmente reconoce que elvalor de la de se E Ny formación angular γ es muy pequeño, con lo que la ecua ción (40) se reduce aque el giro de la sección es la de- E HG rivada de a (41). de su movimiento vertical, acuerdo Lo anterior se conoce como la hipótesis de Bernouilli. dvG (41) T 27. yesfuerzos Figura Obtención de tensiones a partir G dx de las deformaciones longitudinales.
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32 PABLO DE LA FUENTE MARTÍN, CARLOS ZANUY SÁNCHEZ
El estado (I) se caracteriza por un plano de deformaciones uniforme, con ε(y) = εG. Mediante la que se puede obtener la tensión ley de Hooke (42) en cualquier fibra de la sección sería σ(y) = Eε G. mediante esas tensiones Integrando (o la fórmula de que los actuantes Navier), se obtiene esfuerzos el en estado a un axil, de valor: (I) se reducen
no es así en general, con lo que hay cierta incongruencia en el tratamiento seguido hasta ahora, ya en el canto. No obstante, se uniforme que γ no es puede seguir considerando que γ es única para toda la sección asumiendo un artificio de que existe una a cortante GAQ, con rigidez proporcio lo que existe entre el esfuerzo nalidad cortante y la deformación angular de la sección:
N EA HG (45) J Q GA (47) Q El término EA se denomina rigidez axil, y su inverso (1/EA) es la flexibilidad axil. La rigidez a cortante se construye por analogía dos rigideces EA y EI, recurriendo al En el estado (II) de la Figura 27 se puede seguir con las otras similar. Las tensiones en cada concepto área un procedimiento del de cortante AQ. La hipótesis de (41) evita la fibra se pueden obtener multiplicando las deforma Bernouilli necesidad del artificio anterior tensiones por ciones por E: σ(y) = -Eκy. Al integrar esas y conlleva que las deformaciones producidas el los esfuerzo son (o mediante se obtieneque cortante la fórmula de Navier), despreciables. Hablando en al términos Q, se diría que la sección actuantes en el estado (II) se reducen de GA es infinitaesfuerzos siguiente momento flector: mente rígida a cortante. En el apartado 7.5 de esta monografía se incluye un ejemplo para la estimación (46) M EI N de la importancia de la deformación por cortante. Las ecuaciones (45) a (47) relacionan los esfuer actuantes deformaciones, de flexión de zos EIse denomina rigidez en una sección con sus El término se denominan como ecuaciones constituti- la sección, (1/EI) y su inverso es la flexibilidad por lo que a fle sección y se pueden reescribir como sigue: xión de la sección. de la vas a las angulares y Con respecto deformaciones N las tensiones angulares, deberían ser propor ambas (48) HG (43). En se ha deacuerdo con (40) compro EA cionales M bado que la deformación angular era única en cada (49) sección, por lo que, de acuerdo con (43), tensiones N EI las una distribución en uniforme tangenciales seguirían Q J (50) el canto. Ya se ha visto en el apartado 4.6.4 que esto GAQ
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6. ANÁLISIS DE LA SECCIÓN pérdida de generalidad, se va a realizar el análisis de 6.1. Secciones homogéneas la sección Ω de la Figura 28(a), por dos formada cuyos módulos son El análisis de una sección permite obtener la distribución materiales 1 y 2, de deformación de tensiones y deformaciones en el canto de la misma, a E1 y E2, respectivamente. Cada material ocupa una partir de actuantes, En geparte de la sección, Ω y Ω , respectivamente. unos esfuerzos o viceversa. 1 2 neral, tal análisis puede llevarse a cabo usando las ecua ciones de equilibrio, de compatibilidad y constitutivas. : La condición de compatibilidad hace referencia a que la E distribución de deformaciones es lineal enel canto, con- secuencia de la hipótesis de Navier, como se vio en el apar- el comportamiento constitutivo asu- b y 2 tado 5.2. A su vez, mido es elástico y lineal, conforme 5.3. al apartado : E Finalmente, las ecuaciones de equilibrio expresan que los esfuerzos han de ser la resultante de las tensiones. (a) Se denominan secciones homogéneas a aquellas que están constituidas por un mismo material, es decir, las fibras de la sección tienen las mismas propie todas y N En estas condiciones, se ha visto dadeselásticas E y ν. de equilibrio de tensiones nor en 4.6. que lasecuaciones H2 2 males conducen a la fórmula de Navier(20) y, a su vez, la fórmula de Collignon (26) permite obtener la distri bución de tensiones tangenciales producidas por el es fuerzo cortante. Por tanto, la metodología para la obtención de las (b)
tensiones a partir de los esfuerzos en una sección homogénea sería tan simple como la aplicación de las ecua ciones (20) y (26) apropiadamente. Se debe notar que las propiedades mecánicas de la sección (área, momento de inercia yposición del centro de gravedad), intervi nientes en las ecuaciones (20) y (26), han de ser las de la sección efectivamente resistente. Lo anterior es importante en secciones donde haya limitación de tensio nes, no resistencia frente a tracciones, etc. En tales casos, las ecuaciones (20) y (26) son válidas solo en la sección efectivamente resistente, y frecuentemente es más sencillo el uso directo de las ecuaciones de equilibrio en las lasresultantes que los esfuerzos son de las tensiones.
6.2. Secciones no homogéneas
Se denomina a una sección como no homogénea (o heterogénea) cuando esta está formada por más de un material, con propiedades elásticas diferentes. Sin
y
V y
V y
(c) Figura 28. (a) Sección heterogénea formada por dos materiales; (b) Plano de deformaciones en la sección; (c) Distribución de tensiones.
Debido a la hipótesis de Navier, la distribución de deformaciones en el canto de la sección será un plano, como el representado en la Figura 28(b). El plano de deformaciones queda completamente determinado por su valor en un punto O (εO) y por la pendiente, que es la curvatura de la sección (κ). En prin-
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34 PABLO DE LA FUENTE MARTÍN, CARLOS ZANUY SÁNCHEZ 'HELGR D OD KLSyWHVLV GH 1DYLHU OD GLVWULEXFLyQ GH GHIRUPDFLRQHV HQ HO FDQWR GH OD XQ punto ancho GH fibra SODQR de cada por el coeHFFLyQ SODQR FRPRO HO UHSUHVHQWDGR HQ OD )LJXUD VHUi cipio, el E (O de la sección es un punto cualquiera, que puede ser original tomado ficiente de coordenada Por transformación correspondiente (Figura GHIRUPDFLRQHVTXHGDFRPSOHWDPHQWHGHWHUPLQDGRSRUVXYDORUHQXQSXQWR2 İ \SRU origen y. tanto, 2de como la ladistribución 29). Esta está homogeneizada, es decir, DSHQGLHQWHTXHHVODFXUYDWXUDGHODVHFFLyQ ț (QSULQFLSLRHOSXQWR2HVXQSXQWR deformaciones de es: sección toda XDOTXLHUD TXH SXHGH VHU WRPDGR FRPR RULJHQ GH OD FRRUGHQDGD y 3RU WDQWR OD ella está compuesta por un único material, de módu GLVWULEXFLyQGHGHIRUPDFLRQHVHV H y H O N y (51) lo de deformación E*. y H Ny Dado H O elástico de los el comportamiento y lineal calcular b* y materiales 1 y 2, las tensiones se pueden OLQHDO por el módulo ODV WHQVLRQHV VH 'DGR HOiVWLFR HO FRPSRUWDPLHQWR multiplicando las \deformaciones GHORV PDWHULDOHV \de de cada material 28(c)]. En deformación [Figura SXHGHQFDOFXODUPXOWLSOLFDQGRODVGHIRUPDFLRQHVSRUHOPyGXORGHGHIRUPDFLyQGHFDGD 2 b* y iVHWHQGUi PDWHULDO )LJXUD F (QFDGDPDWHULDO ise tendrá: cada material VVi i yy EE i i HHOONN yy (52) Figura 29. Sección homogeneizada. )LJXUD 6HFFLyQKRPRJHQHL]DGD Por equilibrio de fuerzas horizontales, se FDOFXODU HOpuede FRPR OD HVIXHU]R KRUL]RQWDOHV 3RU HTXLOLEULR GH IXHU]DV VHSXHGH D[LO es el momento Por otra parte, M calcular el esfuerzo axil como la resultante de las ten(Ω*) estáti Mest,O ȍ HVHOPRPHQWRHVWiWLFRGHODVHFFLyQKRPRJHQL]DGDUHVSH HVXOWDQWHGHODVWHQVLRQHVQRUPDOHV 3RURWUDSDUWH est,O co de la sección homogeneizada del punto siones GHO normales: SXQWR UHIHUHQFLD HO SXQWR respecto GH 2 'DGR TXH 2 VH KDEtD HOHJLGR VLQ QLQJ de referencia O. Dado que el punto O se había elegi N ³:V y b y dy ¦UHTXHULPLHQWRRULJLQDOVHSXHGHGHFLGLUHQHVWHSXQWRTXHORPiVFRQYHQLHQWHHVTXH se puede deciningún ³:iEi H O Ny b y dy do sin original, requerimiento i O sea PDQHUD VHD HO FHQWUR GH JUDYHGDG GH OD VHFFLyQ KRPRJHQL]DGD 'H queHVWD HO PRPH dir en este punto que lo más conveniente es (53) de gravedad de la sección homogeneizada. GH KRUL]RQWDO UHVSHFWR GH 2 el VHUi QXOR \ OD HFXDFLyQ HTXLOLEULR TX HVWiWLFR centro b y HVHODQFKRGHODVHFFLyQHQODILEUDGHFRRUGHQDGD y (QODHFXDFLyQDQWHULRU estático de O elmomento respecto es el ancho De esta manera, En la ecuación anterior, b(y) de la FRPRVLJXH será (56), de equilibrio horizontal, nulo, y la ecuación sección en la fibra de coordenada y. 6HGHQRPLQDFRHILFLHQWHGHWUDQVIRUPDFLyQGHOPDWHULDO iDODUHODFLyQH[LVWHQWHHQWUHHO Se denomina coeficiente de transformación del queda como sigue: E GHO PDWHULDO GH GHIRUPDFLyQ GH XQ PyGXOR PyGXOR PDWHULDO GH
N A H GH GHIRUPDFLyQ i \ HO O material i a la relación existente de E el módulo entre HIHUHQFLD deformación del material i y el módulo N E A H O (57) de deforma de referencia E*: ción de un material 'HIRUPDDQiORJDDOGHVDUUROORDQWHULRUVHSXHGHHVFULELUODHFXDFLyQGHHTXLOLEULR Ei n i forma análoga De al desarrollo anterior, PRPHQWRVUHVSHFWRGH2HQOD)LJXUD se E i
E (54) n la ecuación de i E puede escribir equilibrio de momentos respecto de O en la Figura 29: QWURGXFLHQGRORVFRHILFLHQWHVGHWUDQVIRUPDFLyQ HQODHFXDFLyQ de transforma Introduciendo los coeficientes N y b y ydy M : V y b y ydy : E i H O i ción (54) en la ecuación (53): M V i y b y ydy ³ N : E ³ ni H O N y b y dy ¦ E ³ H O N y ni b y dy E ³ H O N y bi y dy ¦ : (58)
y b y dy : i N ¦i E n:i HO Ny b b y y dy E y n b y dy E ³ : ¦ ³ Ei H O N y b y ydy ,QWURGXFLHQGRHOFRHILFLHQWHGHWUDQVIRUPDFLyQGHFDGDPDWHULDO i i :i y ni b y dy EGH OD OILEUD E H O N bi FRRUGHQDGD y dy (Q DSDUHFH yGH WUDQVIRUPDGR OD i HFXDFLyQ DQWHULRU ¦ : HO³DQFKR (55) y
i Introduciendo de HO FRHILFLHQWH PXOWLSOLFDU HO DQFKR GH el coeficiente bi y TXH HVHO UHVXOWDGR b y RULJLQDO GH SRU transformación M b y HOKRUL]RQWDO material: N y ni b y ydy de cada E HO N y bi y ydy GHO PDWHULDO VLWXDGR ILEUD y/D HQ OD HFXDFLyQ E UDQVIRUPDFLyQ GH HTXLOLEULR : : i i E
H N y b
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