Fundamentos de Matemáticas para Bachillerato. Tomo II [3 ed.] 9789942922106

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FUNDAMENTOS DE AAATEAAATICAS PARA BACHILLERATO TERCERA EDICION

FUNDAMENTOS

DE AAATEAMTICAS PARA BACHILLERATO TERCERA EDICION

FUNDAMENTOS

DE AAATEAAATICAS PARA BACHILLERATO TERCERA EDICION

FCNM Facultad de Ciencias Naturales y Matematicas Rector

M.Sc. Sergio Flores M a c f a s

Decano

M.Sc. O s w a l d o Valle S a n c h e z

Vicerrectora

Ph.D. C e c i l i a Paredes V e r d u g a

Subdecana

Ing. Janet Patricia Valdiviezo

COMITE EDITORIAL PROFESORES AUTORES

PROFESORES COLABORADORES

Mgtr. Miriam Ramos Barberan

Mgtr. Pablo A l v a r e z Z a m o r a

Mgtr. Guillermo Baquerizo Palma

Mgtr. Carlos S a l a z a r Lopez

Ing. Alejandro Carrion Torres

M.Sc. Luis Rodriguez O j e d a

ASISTENTES ACADEMICOS

DISENADORES GRAFICOS

Biol. V a n e s s a Hinojosa Ramos

Lcdo. Juan G o m e z G o n z a l e z

Ing. Kevin Lucon Rivas

Lcda. Martha O r t e g a Romero

Sr. Jose Ascencio Moreno

Lcdo. Christian C a s c a n t e Cherres

Ing. Miguel O r d o f i e z M e r a

REVISION T E C N I C A UNIVERSIDAD SANTA AAARIA, CHILE Profesores del Area de Matematicas Campus Guayaquil

UNIVERSIDAD CENTROCCIDENTAL USANDRO ALVARADO, VENEZUELA Profesores del Area de Matematicas

Eladio Oliveros S a u c o Licenciado en Educacion Especialidad: Matematica

Jorge Vielma Barrios Ph.D. Especializacidn: Matematicas

Moises Villena Mufioz Magister en Docencia e investigacion Educativa

Miguel Vivas Cortez Doctor en Ciencias Mencion: Matematicas

Datos de catalogacion bibliogrdfica RAMOS, M.; B A Q U E R I Z O , G . ; C A R R I O N , A. FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS PARA BACHILLERATO TERCERA EDICION - TOMO II ESPOL - FCNM, Ecuador, 201 7 ISBN: 978-9942-922-10-6 Area: Ciencias Formato: 21 x 29.7 cm

Paginas: 712

Copyright© 2017 Derechos reservodos 2017 Escuela Superior Politecnicc del Litoral - ESPOL Facultad de Ciencias Naturales y Matematicas - F C N M Tercera Edicion - Junio 2017 lEPI Derechos de Autor - G Y E - 0 0 8 2 7 2 ISBN Obro Completa - 978-9942-922-08-3

Titular de la Obra: Escuela Superior Politecnica del Litoral - ESPOL Facultad de Ciencias Naturales y Matematicas - F C N M Campus Gustavo Galindo Velasco, Km. 30.5 Via Perimetral Telefonos: ( 5 9 3 - 4 ) 2 2 6 9 5 2 6 - 2 2 6 9 5 2 7 - 2 2 6 9 5 3 8 e-mail: [email protected] wv/w.fcnm.espol.edu.ee

Ni la totalidad ni parte de esta obra puede ser reproducida, registrada o transmitida, por un sistema de recuperacion de informacion, en forma o medio alguno, sea electronico, mecanico, fotoquimico, magnetico o electrooptico, incluyendo fotocopiado, grabacion, o cualquier sistema de almccenamiento y captacion de datos, sin permiso previo por escrito del titular de la obra (ESPOL - FCNM). El prestamo, alquiler o cualquier otra forma de cesion de uso de este ejemplar requerira tambien la autorizocion del titular de la obra (ESPOL - FCNM) o sus representantes. Guayaquil - Ecuador

Impresion: TASKI S.A. Impreso en Ecuador / Printed in Ecuador

REPUBLICA D E L ECUADOR MINISTERIO DE EDUCACION Y CULTURA DIRECCION NACIONAL DE ASESORIA JURIDICA

No.

443

E L MINISTRO DE EDUCACI6N Y C U L T U R A CONSIDERANDO: QUE

la Ley Organica de Educacion en su Art. 12 expresa que el cicIo diversificado procura la preparaclon interdisciplinaria que permita la Integracion del alumno a las diversas manifestaciones del trabajo y la continuacion de los estudios en el cicIo post bachillerato o en el nivel superior, atendiendo a los requerimientos del desarrollo social y economico del pais y a las diferencias y aspiraciones individuales.

QUE

con Oficio MAT 0580 - 2006, de fecha 19 de julio de 2006, el Ing. Washington Armas C , Director del Institute de Ciencias Matematicas de la Escuela Superior Politecnica del Litoral, solicita el aval de esta Cartera de Estado, para la obra " F U N D A M E N T O S D E MATEMATICAS PARA E L BACHILLERATO".

QUE

dentro de las funciones de Direccion Nacional de Curriculo determinadas en el Art. 62 literal I) del Reglamento Organico Funcional, publicado en el Registro Oficial No. 983 de 8 de julio de 1996, consta la de "Aprobar y evaluar las propuestas que en materia educativa y cultural se desarrollen especfficamente en el campo del sistema no escolarizado, educacion basica, bachillerato, y post-bachillerato".

QUE

con Memorando No. 135 DINCU-06 de fecha 31 de julio del 2006 la Direccion Nacional de Currfculo emite informe tecnico favorable respecto del Libro " F U N D A M E N T O S D E M A T E M A T I C A PARA B A C H I L L E R A T O " , producida por la Escuela Superior Politecnica del Litoral.

QUE

es politica de Estado el velar por el mejoramiento de la calidad de la educacion, y el Ministerio de Educacion y Cultura, debe proporcionar a estudiantes y docentes del bachillerato obras que aporten significativamente a la mejor formacion de los bachilleres de todas las modalidades y especializaciones.

EN USO de sus atribuciones que le confieren el numeral 6 del Art. 179 de la Constitucion politica del Estado y el literal f) del Art. 29 del Reglamento General de la Ley Organica de Educacion,

Direccion: San Salvador E6-49 y Eloy Alfaro

R E P U B L I C A D E L ECUADOR MINISTERIO DE EDUCACION Y CULTURA DIRECCION NACIONAL DE ASESORIA JURIDICA ACUERDA: Art. 1 D E C L A R A R al libro " F U N D A M E N T O S D E M A T E M A T I C A S PARA B A C H I L L E R A T O " del Institute de Ciencias Matennaticas de la E S P O L como obra de consulta de alto valor cientffico y pedagogico para el primero, segundo y tercer anos de bachillerato (cuarto, quinto y sexto cursos). Art. 2 R E C O M E N D A R que todas las instituciones educativas de segunda ensenanza del pafs, incorporen en sus bibliotecas el libro " F U N D A M E N T O S D E MATEMATICAS PARA B A C H I L L E R A T O " para ser utilizado por docentes y estudiantes. COMUNIQUESE Y P U B L I Q U E S E . - En la ciudad de S a n Francisco de Quito, Distrito Metropolitano, a 12 2006

—RatJH/SneJo'Corra I MINISTRO DE EDUCACION Y

MOG/SM 12-09-2006

Direccion: San Salvador E6-49 y Eloy Alfaro

PREFACiO La Facultad de C i e n c i a s Naturales y M a t e m a t i c a s , F C N M , d e la Escuela Superior Politecnica del Litoral, g e n e r a d o r a de conocimientos en M a t e m a t i c a s , una de las ciencias b a s i c a s del conocimiento humano, tiene como parte de su mision, a l i n e o d a a los principios d e E S P O L : "Formarprofesionales que contribuyan aI desarrollo cientifico, tecnologico,

social, economico,

de

excelencia

ambiental y politico del

pais".

Consecuentes con esta d e c l a r a c i o n , se ha c o n s i d e r a d o oportuno disenar y desarrollar la presente o b r a "Fundamentos

de Matematicas

para Bachillerato"^ue

en su T e r c e r a Edicion, misma que incluye dos

tomos, constituye un a p o y o dirigido a estudiantes de Bachillerato, N i v e l Preuniversitario y Universitario, revisando temas f u n d a m e n t a l s de precalculo como b a s e esencial p a r a su futuro estudio matematico en niveles superiores, convirtiendose en un recurso d e consulta a lo largo d e la v i d a . C o n el afan de difundir el conocimiento y potenciar el saber c o n o c e r , s a b e r h a c e r y s a b e r ser,

los

profesores podran h a c e r uso de los recursos de esta o b r a como a y u d a d i d a c t i c a en la o r g a n i z a c i o n y contenido de sus closes, logrando h o m o g e n e i d a d en simbologia y lenguaje matematico utilizados. Los desafios, a u t o e v a l u a c i o n e s , ejemplos resueltos, ejercicios propuestos, a s i como los F u n d o R E T O S tienen como objetivo esencial que el lector profundice sus conocimientos conforme v a a v a n z a n d o en el estudio de los capitulos. En particular, los ejercicios propuestos que forman parte del trabajo autonomo del estudiante, han sido disetiados c u i d a n d o la a p l i c a c i o n progresiva de dichos conocimientos, e m p e z a n d o por lo mas elemental p a r a llegar a niveles mayores de dificultad. Consecuentemente, la orientacion d e la o b r a promueve la a p l i c a c i o n de los temas tratados en diferentes ramas del q u e h a c e r cientifico, fomentando la investigacion, lo cuol en el siglo XXI, representa un pilar c l a v e en la p r e p a r a c i o n a c a d e m i c a del nino, joven o adulto en g e n e r a l . La cristalizacion de esta o b r a , no hubiera sido posible, sin la c a l i d a d y aporte a c a d e m i c o s d e un equipo d e profesores, integrado por los Magister Miriam Ramos B a r b e r a n y Guillermo B a q u e r i z o P a l m a ; y por el Ingeniero Luis Carrion Torres; contando a d e m d s con el invaluable aporte de profesores, profesionales y estudiantes que siempre estuvieron conscientes de la n e c e s i d a d de renovar esta o b r a , d e d i c a n d o l a r g a s horas de trabajo, motivados esencialmente por la responsabilidad historica de poner a disposicion de las partes interesadas, una o b r a a c t u a l i z a d a , c a p a z d e responder a las e x i g e n c i e s p e d a g o g i c a s y a c a d e m i c o s del mundo moderno. Definitivamente, c u a n d o los estudiantes culminen sus estudios de Bachillerato, la etopa universitario les d e p a r a r a nuevos retos en el estudio de las M a t e m a t i c a s ; en este sentido, un mundo sorprendente de a p l i c a c i o n e s les permitiran modelar y a n a l i z o r procesos tecnicos, economicos, productivos y cientificos, e m p l e a n d o de m a n e r a eficiente diferentes recursos informaticos, todo lo cuol resultora mucho mas facil osimilor si los bases del Precalculo estan bien ofionzados, g e n e r a n d o s e osi la seguridad necesario p a r a continuor enfrentandose a un futuro c o d a v e z mas competitivo en el mundo de la ciencio y lo tecnologfo. A h o r a , o n c e anos desde que se adquirio el compromise intelectuol, social y etico de a c t u a l i z a r la edicion anterior, la Facultad d e j a constoncia del cumplimiento con este compromise en c o n c o r d o n c i a con la trascendencio de la o b r a , misma que fue d e c l o r o d a como "...obra de consulta de alto valor cientifico y pedagogico

para el primero, segundo

y tercer arios de bachillerato...

", en el A c u e r d o N o . 4 4 3 del

12 de septiembre de 2 0 0 6 , suscrito por el Dr. Raul Vallejo C o r r a l , Ministro de E d u c a c i o n y Cultura; recomendondo que "...todas las instituciones educativas de segunda

ensehanza

del pais, incorporen

en

sus bibliotecas el libro... ", onhelondo que la o b r a siga mereciendo el reconocimiento de todos quienes impulsan el a v a n c e a c a d e m i c o del pais.

AGRADECIMIENTOS

A las autoridades de la E S P O L , M . S c . Sergio Flores M a c i a s , Rector y Ph.D. C e c i l i a Paredes V e r d u g a , Vicerrectora, lideres maximos de nuestra querida a l m a mater. A los directivos de la Facultad de C i e n c i a s Naturales y Matematicas, M . S c . O s w a l d o V a l l e S a n c h e z , D e c a n o e Ing. Janet Patricia V a l d i v i e z o , S u b d e c a n a , por depositor en nosotros la c o n f i a n z a y brindarnos el ambiente propicio p a r a la reolizacion de esta o b r a que redundara en beneficio de estudiontes, profesionales; y, de la Patria toda. Al equipo de asistentes a c a d e m i c o s y diseiiodores graficos, profesionales y estudiontes politecnicos, por su oporte significotivo como resultodo del trabajo colectivO realizodo dio y noche, entregondo lo mejor de SI p a r a la moterializacion de esta Tercero Edicion de Fundamentos de Matematicas p a r a Bachillerato. A los profesores c o l a b o r a d o r e s de lo E S P O L y a los profesores e n c a r g o d o s de la revision tecnica de la Universidad Santo M a r i o de Chile y Universidad Centroccidental Lisandro A l v a r a d o de V e n e z u e l a , por su importante y oportuna intervencion p a r a el engrandecimiento de esta obro. A los profesores de la F C N M , Mot. J o r g e M e d i n a y M P C . W e n d y Plato; a lo osistente d e D e c a n a t o , S e c . Ejec. E v a Briones; y, al grupo de ex-oyudontes del Deportomento de Matematicas, Ing. Cristhion hiernandez, Ing. Jonathan Solis, Ing. Christian Contreros, Sr. Luis G a r c i a y Srto. Karen Castro, quienes c o o p e r a r o n de forma efectivo en el desorrollo de la presente edicion. Al representante poro Europa de lo W F N M C ( W o r l d Federation of Notional Mathematics Competitions), Lcdo. Francisco Bellot Rosado, por su valiosa contribucion como e v a l u a d o r experto en competencias internocionoles de Matematicas.

A

DEDICATORIA

A nuestras families, por su infinito amor, a p o y o y comprension, sin los cuales hubiero sido imposible concretar esta o b r a . A los estudiontes

de nivel secundorio y superior que deseen odquirir, profundizar

y

consolidar

conocimientos motematicos p a r a forjar bases robustas a fin d e escolor, con p a s o firme, c a d a peldono de su formacion a c o d e m i c o y profesional. A nuestra querida y r e c o r d o d a Y o l a n d a Figueroo, fuente permanente de inspiracion y fortalezo.

SOBRE LOS AUTORES Miriam Ramos Barberan Su titulo de maestria fue otorgado por la Facultad de Ciencias Naturales y Matematicas de la E S P O L en 2 0 0 9 . Actuolmente, curso el Doctorodo en Estadfstica Multivarionte A p l i c a d a ofrecido por la Universidad de S a l a m a n c a , Espafia. Dentro de su alma mater, se desempeno como profesora desde 1988 hosta la presente fecha, en el a r e a de Matematicas. Su experiencia en lo ensefionza o b a r c a cursos preuniversitorios a nivel de Precalculo; osf como cursos universitorios a nivel de C a l c u l o Diferencial e Integral,

Metodos

Cuantitativos I y II, A l g e b r a Lineal e Ingenieria de la C a l i d a d . Ho participado como autora en una exitosa serie de libros desde 2 0 0 6 hosto 2 0 0 9 * . E n el 2 0 0 8 y 2 0 1 0 ,

eloboro foscfculos coleccionobles de

circulocion nocionol p a r a Diario El Comercio osociodos al libro Fundamentos de Matematicas p a r a Bachillerato.

Guillermo Baquerizo Palma Finalize su maestria en la Facultad de Ciencias Naturales y Matematicas en 2 0 1 1 . En la ESPOL, se desenvuelve como Coordinodor en el A r e a de Matematicas de los cursos de Nivelacion desde 2 0 1 4 .

Se

dedico a lo docencia a portir de 1 9 9 6 y su experiencia involucre catedro de Precalculo, C a l c u l o Diferencial, Optimizaci6n

Combinatoria y Grofos,

Fundamentos

de Computaci6n, Base de Datos, Desorrollo de

Aplicaciones Computocionales y Sistemas Administrativos Finoncieros. Ho participado en c a l i d a d de outer en une exitose serie de libros desde 2 0 0 6 hosto 2 0 0 9 * . En el 2 0 0 7 , colaboro en " M o d u l o y propuestas poro el mejoramiento de lo enseiianza y oprendizoje en Ciencias Naturales y M a t e m a t i c a " como parte de un proyecto de cooperocion con la Universidad de Viria del M a r de Chile y el Oberstufen Kolleg de Alemonia.

Alejandro Carrion Torres Lo Facultad de Ingenieria en Electricidad y Computacion le otorgo su titulo de Ingeniero en Electronica y Telecomunicaciones en 2 0 1 2 . En la a c t u a l i d a d , es docente de Matematicas en los cursos de Nivelacion desde 2 0 1 3

y se encuentra cursando la Maestria de Ciencias Matematicas de la Universidad

de Lo

H a b a n a , C u b a . C o m o estudiante politecnico, se desenvolvi6 en forma destocodo cumpliendo el rol de ayudonte o c a d e m i c o de Precalculo, Calculo Diferencial e Integral desde 2 0 0 3 hosto 2 0 0 9 . Adicionolmente, porticipo como coloborodor en el proyecto del libro Fundamentos de Matematicas poro Bachillerato desde 2 0 0 6 hasto 2 0 0 8 . En el 2 0 0 7 , dio a p o y o como asistente de catedra en el Programo de Capocitocion a profesores de Secundaria ofertodo por la Facultad de Ciencias Naturales y Matematicas.

* M i r i a m Ramos y Guillermo B a q u e r i z o hon publicodo: M a t e m a t i c a s Bdsicos Versi6n Preuniversitoria (2006);

Fundamentos de M a t e m a t i c a s poro Bachillerato: Primero Edici6n (Abril - 2 0 0 6 ) ,

Segundo

Edicion ( M a y o - 2 0 0 6 ) , Reimpresion (Septiembre - 2 0 0 7 ) ; Fundamentos de M a t e m a t i c a s poro: O c t a v o ario de E d u c a c i o n Basico ( 2 0 0 9 ) y N o v e n o ofio de E d u c a c i 6 n Basico Guillermo Baquerizo

porticipo

(2009).

junto con otros colegos de la Facultad de C i e n c i a s Naturales

y

M a t e m a t i c a s en lo eloborocion del libro Fundamentos de M a t e m a t i c a s p a r a Decimo aiio de E d u c a c i 6 n Basico ( 2 0 0 9 ) . Mientros que A l e j a n d r o Carrion porticipo en c a l i d a d de estudiante coloborodor durante lo eloborocion de los libros de Fundamentos d e M a t e m a t i c a s poro Bachillerato: Segundo Edicion y Reimpresion.

SOBRE LA PORTADA La fotograffa de la portada muestro una vista exterior del primer centro construido como parte del Porque del Conocimiento, mds c o n o c i d o como P A R C O N . S e ubica en los predios del C a m p u s G u s t a v o G o l i n d o V e l a s c o de la E S P O L , ol norte de G u a y a q u i l . 1 6 5 hectareos fueron destinados p a r a el porque tecnol6gico, el cuol e m p e z 6 su fose de construccion a portir del ofio 2 0 0 8 . El primer centro antes referido, Centro de Tecnologios de Informocion (CTI), fue inaugurodo el 1 7 de noviembre de 2 0 1 1, mismo que posee caracterfsticas de un edificio inteligente porque su estructura civil, organizocion de oficinos, laboratories, sistemas de c o m u n i c a c i o n , climatizacion y control de a c c e s o fueron disefiodos teniendo como premiso lo flexibilidod y el uso eficiente de energfa. El diserio y construcci6n del P A R C O N constituye una vivo e v i d e n c i a de lo contribucion de las M a t e m a t i c a s en lo materializaci6n de edificios como el del C T I , presentondo la ormonico combinacion de estructuros geometricas en tres dimensiones, soportada con un gran despliegue de calculos numericos. Poro la E S P O L , P A R C O N

es uno de sus mds importontes proyectos a troves del cuol se pretende

promover lo culturo de innovacion, integrando o lo producci6n, investigacion y e d u c a c i 6 n como factores clove p a r a el desorrollo de lo sociedod ecuotoriano, contribuyendo o lo transformaci6n de lo estructura productivo extroctivista en una economfo de olto valor a g r e g o d o , a l i n e a n d o s e a la estrotegio endogeno en el Plan Nocionol p a r a el Buen Vivir.

P A R C O N , ESPOL

Christian Cascante Cherres F O T O G R A F O Y ARTiSTA C . G .

•Illllllllllllll —

I

P R E S E N T A C I O N AL LECTOR

I

GLOSARIO DETERMINOS

CAPITULO

7

IX

GEOMETRfA PLANA

1

Desafio

1

Introduccion

2

7.1 Figuras Geometricas en el piano

3

Autoevaluacion

8

7.2 Closes de rectos en el piano

10

Autoevaluacion

16

7.3 Angulos

18

7.3.1 Clasificaci6n de los angulos segun su medida

22

7.3.2 Clasificacion de los angulos de acuerdo a su posicion

23

Autoevaluacion

26

7.4 Poligonales y polfgonos

28

7.4.1 Semejanza y Congruencia

32

7.4.2 Polfgonos Semejantes y Congruentes

36

Autoevaluacion

38

7.5 Triangulos

40

7.5.1 Semejanza y congruencia de triangulos

57

7.5.2 Resolucion de triangulos

67

Autoevaluacion

82

7.6 Cucdrilateros

84

Autoevaluacion

89

7.7 Perfmetro y area de un polfgono

91

Autoevaluacion

105

7.8 Circunferencia y cfrculo

107

Autoevaluacion 7.9 Polfgonos y circunferencias Autoevaluacion 7.10 Figuras circulores

CAPlTULO

8

120 '

122 128 130

Autoevaluacion

145

Respuesta al desaffo

147

Ejercicios Propuestos

148

FundaRETOS

183

GEOMETRfA DEL ESPACIO

185

Desaffo

185

lntroducci6n

186

8.1 Sistema tridimensional

1 87

Autoevaluacion

193

8.2 Poliedros

N

196

8.2.1 Caracterfsticas

196

8.2.2 Prismas

199

8.2.3 Pirdmides

201

8.2.4 Longitudes en poliedros

202

8.2.5 Area de la superficie de un poliedro

204

8.2.6 Volumen de un poliedro

21 2

Autoevaluaci6n

220

8.3 Solidos de revolucion

223

8.3.1 Cilindros

224

8.3.2 Conos

232

8.3.3 Esferas

242

Autoevaluacion

255

8.4 Poliedros y cuerpos redondos Autoevaluacion

CAPITULO

-

266

Respuesta al desaffo

269

Ejercicios Propuestos

271

FundaRETOS

291

9 I NUMEROS COMPLEJOS

293

Desaffo

293

Introduccion

294

9.1 Definicion y representacion geometrica

295

Autoevaluacion 9.2 Operaciones Autoevolucion 9.3 Aplicaciones

"^PITULO

258

303 306 324 327

Autoevaluacion

336

Respuesta al desaffo

339

Ejercicios Propuestos

340

FundaRETOS

349

10 VECTORES

351

Desaffo

351

Introduccion

352

10.1 Vectores en el piano y en el espocio

353

Autoevaluacion 10.2 Operaciones Autoevaluacion 10.3 Espacios vectoriales reoles

358 361 386 389

10.3.1 Combinacion lineal

395

10.3.2 Dependencia e independencio lineal

396

Autoevaluacion

399

}

10.4 Aplicaciones geometricas en

CAPiTULO

11

y

Autoevaluacion

413

Respuesta al desaffo

416

Ejercicios Propuestos

417

FundaRETOS

429

GEOMETRfA

ANALITICA

EN 431

Introduccion

432

11.1 Puntos y rectos

433

11.1.1 Distancia entre dos puntos

433

1 1.1.2 Punto medio de un segmento de recto

437

1 1.1.3 Ecuaci6n de lo recto

439

1 1.1.4 Pendiente de una recto

443

1 1.1.5 Distancia de un punto a una recta

451

Autoevaluacion

455

1 1.2 Circunferencia

458

Autoevaluacion

480

Autoevaluacion 1 1.4 Elipse Autoevaluacion 11.5 Hiperbolo

12

431

Desaffo

1 1.3 Parabola

CAPITULO

402

482 495 497 51 1 513

Autoevaluacion

531

Respuesta ol desaffo

533

Ejercicios Propuestos

534

FundaRETOS

545

ESTAPfSTICAY PROBABILIDADES

547

Desaffo

547

Introduccion

548

12.1 Metodos y conceptos

549

Autoevaluacion 1 2.2 Organizocion de los datos Autoevaluaci6n

557 559 569

1 2.3 Medidos de tendencio central y no central

571

12.3.1 Medidos de tendencio central

571

1 2.3.2 Medidos de tendencio no central

582

Autoevaluacion

585

1 2.4 Medidos de dispersion Autoevaluacion 12.5 Representacion grdfico Autoevaluacion

587 592 594 608

12.6 Probabilidades

610

Autoevaluacion

616

12.7 Conjuntos y probabilidades

618

Autoevaluacion

638

Respuesta ol desaffo

640

Ejercicios Propuestos

641

FundaRETOS

657

Apendice A

659

Postulodos de Euclides

Apendice B

661

Postulodos Postulodo de Covolieri

Apendice C

663

Sistema de coordenodos polores

Respuestas a Ejercicios

671

Bibliografig

679

P R E S E N T A C I O N AL LECTOR

La estructura d e esta o b r a e n m o r c a d o en el diseno d e c o d a una d e sus p a g i n a s , facilito lo visualizocion de su contenido, coptondo la atencion del lector y motivondo el proceso d e o p r e n d i z o j e . Poro tener una idea global d e esta obra en su Tomo II, a continuacion se presento un enfoque panoramico de sus componentes.

»

Tabia de Contenido

Reflejo lo estructura general del libro y en forma especifico los contenidos ol interior d e los capitulos, incluyendo subsecciones,

desaffo,

introduccion,

autoevaluaciones,

secciones, ejercicios

propuestos y fundoRETOS.

Algebra: Ramci de las matematicas que Hene par objeto de estudio ia generalizaciori d mediante expresiores compueslas de conslonles (numeros) y vaiiables (letras). AmbigOedad: C om porta mi enlo, hecho, palabra o expresion que puede entenderse o inlei Analogia: Relacion de semeiama entre cosas dislintas. Arreglo: Orden y colocacion correctos de una cosa. Axioma; Proposicion o enunciodo que se considera evidente

o requiere damostracior.

Azar: Trotomiento adecuado de la aleatoriadad, que a su vez

dependiente de algi

Blela: Elemerito del molor encargado de Iransn

la preslon de los gases que actua sobre el | o lo que es lo mismo, es ui^ esbbar de la ca la de Iranslormocion del movimienio olternoti rolativo (cigiielial)Bosquejo: Traza primera y no definitiva de u ingenio.

obfo piclorici

mo finalidod k desd, Bungee: Tipo de deporte extremo el cuol tier tobillos la cua taro sujetada por el oiro olfuro, con cuerdo elastica amarroda a nivel di en donde comenzo la caido, provocando que el individuo ascienda y descienda hasto que el solto desoporezca por complelo j^'^aracterfstkas: Todos aquelbs aspectos o variables que configuran el estado e identic' ll^Hcular, que puede ser una persona, animal, vegetal, objeto o incluso una condicior Sh.*: Lado que junto con otro forma el dngulo recto de un tridngulo reclanguir b^quridod en el conocimianto; adhesion Firme del sujela al conti motor del automovil y otras moquinos qut a biela, y est6 destinado a tran-*-^

Glosario de terminos Contiene el significado de p a l a b r a s que se utilizan en esta obro, con el proposito d e ocloror dudos o imprecisiones.

I

Capitulos Esta obra contiene d o c e capitulos, los cuales hon sido seleccionados con base en las exigencios octuoles del conocimiento que debe odquirir un estudiante durante lo etapo del bachillerato y reforzor en lo etopo preuniversitoria y universitorio. El Tomo II hoce referenda a los siguientes seis capitulos:

^••••^•••i Geometria Plana C o n el estudio de los principoles figuras geometricas en el p i a n o , se obtiene una percepcion diferente del entorno que nos rodeo, logrando identificor y describir los formos poligonales o circulores en los objetos circundontes; y estobleciendo a d e m a s , relevontes relociones entre ellos. A partir de estos procesos, es posible colculor longitudes y a r e a s , oplicandolos a situaciones practicos de lo vido diorio.

Geometria del Espacio

^^^^mmmm

U n a v e z interiorizodos los principales aspectos de lo geometrfo p l a n a , la transicion a la geometria en el sistema tridimensional se vuelve mas sencillo; de esta monero, se definen poliedros y solidos de revolucion, onolizondo

sus principales elementos y caracterfsticas, no solo poro relacionarlos, sino

tambien poro r e a l i z a r calculos de longitudes, a r e a s superficioles y volumenes, cuyo a p l i c a c i o n o b a r c a desde situaciones cotidianos, hosto e l o b o r o d a s estructuros vinculados con el quehocer profesional.

Numeros Complejos

mmmammm^

Se responde a problemos que, en el contexto de los numeros reoles, fueron cotegorizodos como corentes de solucion. Lo estructura y representacion de este conjunto numerico se combino con la trigonometrfo, geometrfo, onalisis funcionol y manipulacion algebroico, poro desorrollar

conceptos esencioles de

trascendente aplicacion en compos como la electricidad y mecanica de fluidos.

•

—

I Vectores

El analisis vectorial en el piano y en el e s p a c i o , o p o y o d o en sus definiciones, caracterfsticas y operaciones, preparo ol lector poro comprender temos centrales en el estudio de las matematicas como el de espacio vectorial real. Aplicaciones de cardcter geometrico permiten determinor proyecciones, asf como colculor a r e a s de figuras pianos y volumenes de cuerpos en el e s p a c i o .

— I

Geometria Analitica en

Se porte de conceptos primarios p a r a describir lugores geometricos de rectos y conicos en el piano, estobleciendo sus principales ecuociones, elementos y grdficos. Lo geometria onalftico englobo todos los conceptos previomente revisodos en esta obro; y sus aplicaciones, resulton de mucho utilidod en diferentes compos del quehacer humono como las telecomunicociones, la salud, el disetio arquitectonico y la ostroffsico.

wamm^^m^m

EstadistJca y Probabilidades

Esta obra se enfoco en la Estadfstica Descriptivo, osi como en la parte introductorio de la Teorfo de Probabilidades. Se logra orgonizar conjuntos de datos y realizar representociones graficos, odemos de determinor medidos de tendencies y de dispersion. C o n esto, se pretende fomentar el interes por esta ciencio transversal, indispensable poro el logro de ovonces significativos en investigacion y tecnologio.

II

El e s q u e m a d e t a l l a d o de la intraestructura correspondiente a c a d a capitulo se describe a continuacion:

7

Geometria Plana

Ei v i a j e intercotitinental Un ecuatonano decide viajar desde Quito - Ecuador liasta Pisa - itolia, ticcieudo escali | en Salem - Estados Unidos. en su vioie de relorno. Poro ei eteclo, Irorra su tglo en ei mope | describiendo un tnanaulo, de monero rai que las lonairudes de sus indos (en pulgadas). s

Desaffo Se plonteo ol inicio de c o d a capitulo con el proposito de captar lo atencion del lector e intuitivomente despertor unicomente

su

curiosidod sus

por

resolverlo,

conocimientos

previos.

usondo De

tol

monera, se evito el pensomiento meconizodo en la resolucion de problemos, a d e m a s de creor interes por lo lecturo del capitulo en su totolidod.

Introduccion

Con el estudio de b geometria, se propone inicialmente el andlisis de !• los diferentes objetos qje nos rodean. De liecho, es tazonobie pensor qi !• geometria se remonton a los mismos origenes de lo humonidod, pues e closificabo-a jn de monero inconsciente-los objetos que tenio o su olreded En lo obsttoccion ds es'os forces 0 infori geometrio.

Introduccion

Puesto qje en este capitulo se fro cor ob|etos en dos dimenaones, tet en forma natural conceptos tales cc angulos. poligonos y figuras circul areas. Para ello. podemos usor ins permitan medir y determmQr las ci abjetos y poder calcular adiciory posicion, Nos refenmos ol • ^ borrador. escuodro. Irarspo'

S e proporciona ol lector una referenda opropiodo de c o d a capitulo mediante antecedentes fiistoricos y

biograficos,

osi

como de su

trascendencio en los matematicas.

importoncio

y

,

d 8

Secciones

Geometria

del

Espacio

• 8 1 Sistema tridimensional ; Objetivos

C o d a capitulo ho sido dividido en temos, de a c u e r d o a los conceptos que se pretenden onolizor. Estos ogrupaciones, denominodos secciones, muestron de monero detallado c o d a topico con la profundidad y aplicaciones que el coso omerita. C o d a seccion se encuentra numerado segun corresponda ol capitulo que se esta anolizondo.

III

Objetivos A l f i n a l i z a r esfo s e c c i o n el •

R e c o n o c e r los

diferentes'

•

Identificor los p o l i e d r o s n:

•

D o d o un p r i s m a , r e c o n o c a d o un p r i s m a , identirii

Objetivos Al inicie de c o d a seccion, se plonteo de monero

D a d o un p a r a l e l e p i p e

especffice lo que se pretende logror luege de su

D a d a una piram' '

respective revision y estudio. El cumplimiente de les objetivos

U a d a una p m

confirmord

le comprension

de

los

diferentes contenidos.

T c s . c o n la particu,^

rjltorque tantoxcomo^itienen no,' ',os numeros complejos. Definicion 9.1

(Numeros complejos)

El conjunto de los numeros complejos puede

Definiciones

C =

{x + yi/x.y

e 1

tal que:

Estas declaraciones representan los conceptos mas

(x, + v,/) + ( x , + V2;) = (X

relevontes que el lector no d e b e olvidor. En lo medido

(x,+>'iO(x2 + V:0 = (x,x-.

que

el lector comprendo con absolute claridad

c o d a una de las definiciones, podra gorontizar la

J-cuenta que en este conji'^ • fin formn •

osimilocion de les contenidos per cepitule.

jiizamos los ceros ^ ds polinomioles en el copitUK OS valores no son reoles. on la definicion de los numeros complejc Teorema

9.1

La ecuacion polinomica: a„x" + a „ _ | X " ^ ' + ...-

tiene n raices o ceros complejos, cont

9.35 Aplicacion de numero'

IV

Teoremas Censtituyen enunciedos que proporcienen el recurso neceserio poro complementer le importoncio del morco teorico de definiciones y demostreciones.

A -A

Figure 1 0 . 4 : Inverses adit

Ejemplos resueltos

E j e m p i o 1 0 . 4 D e m o s t r a c i o n d e p r o p i e d a d e s d e los vect '

Sean V

Representan aplicaciones concretas y directas a

\ v e c t o r e s en B.-'. d e m u e s t r e q u e ( V ,

partir del onalisis de c o d a temo. La complejidod a demostracion consideraremos;

de los mismos guardo un orden creciente en c a d a seccion. Algunos

a.

de los ejemplos seleccionados

J-.

a,)

tienen relacion con otros ramos de los ciencias y con la vido cotidiono.

10.1 Vectores en ei piano y en ei espacio

11 En coda casilla, marque con un / los gral aquellos que no cumplan esto condicion.

Autoevaluaciones Se

•cos marcados con X ni

incluyen

al final

de c o d a

seccion con

lo

intencion de que el lector evalue los conocimientos bdsicos odquiridos.

C o d a autoevaluacion consta

de preguntos a ser desorrollados en los espacios indicados, contando en los cosos pertinentes, con los respuestas ol final del libro.

•• • Respuesta al desafio Eldesofio propuesto ol inicio del capitulo presenta su solucion p a r a que el lector despeje sus inquietudes y dificultades. De esto forma, el usuorio puede reflexionar sobre sus debilidodes o fortolecer,

o distancia tecorrida por la onda de ^ o Z' es:

si

fuero el c a s o , sus estrategias de planteamiento y resolucion del problemo.

V

Ejercicios Propuestos Hocio

la culminocion del capitulo, se plantean

ejercicios orgonizodos por seccion, los mismos que tienen g r a d e s de dificultod oscendente y se presenton en forma de preguntos de tipo Verdodero/Folso, O p c i o n Multiple y de Desorrollo. El proposito de estos ejercicios es promover el trabajo independiente y la autocritica por parte del estudiante. A l final del libro se muestran los respuestas o estos ejercicios.

Software de hojos de calculo

Iconos comp ementarios Estos

iconos

oporecen

odjuntos

a

ejercicios

seleccionados que requieren lo utilizocion

de un

software odicionol como a p o y o paro la resolucion y verificacion de los mismos.

Software de groficacion

FundaRETOS A l finalizar c o d a capitulo se plantean dos ejercicios de un grodo de dificultod superior a los ejemplos resueltos, de autoevaluacion y propuestos. El lector podra resolverlos una v e z que domine en forma absolute todo el contenido del cepitule, e le v e z que hoyo modurodo en su rociocinio pare lo resolucion de problemos.

VI

Apendices

-Geometria Analitica en "B?

Apendice C

Sistema d e coordenadas polares

Incluye informacion complementaria que contribuye a la comprension d e contenidos asociodos a los capitulos

d e Geometria Plana,

El piano polar comprende o mas de los elementos antes detollodos, un conjunto de circLrnfersncios concenlricos ol polo y rectos que conKenen a! polo en lo drreccion de los angulos notable), tal como se mue

Geometria del

Espacio y Geometria Analitica en R^.

Respuestas

Capilulo 7. Geometria Plana Autoevalui 1) b] k^2. c] No; 2) al Sf son colineales, b] No son coiineales; 3) SI son congrueni ^ 1 )

a] l,b)0,cl 0, d) l ; 3 ) ^ ^ ^ ^ l ) a = 3r,ogudo,p = i43°,obfa; o, 5 = 95°, obtuso; 2) No son obiicuos

pei^endiculares; 3) S = 20°; 4j Si,

bastaquei.,||L,yL,±i.;^2) b|flE|^0,|j; 3) o leflaxion con respecio ol eje V, b) Si, c] La coordenado X combia de signo...

3) o| , b) I, c) 0; 4) SI son semBJcntBs;

5)i-3unidades^olAblX,c)/,dl/,e|/,Fl/,9lX.hlX;2)

..olelogramo,

bl Noes poralelogromo; 3) 12 cuodrildteros; 4) o]l^^ = 7a +2h.b] a/b = IS, c] a = 360 unidodes/6 = 20 unjdades

1) a] 7

b] 12 M, C] 20 u; 2) o) !4, b) STT, c| 5, d) 70;

3)Z,-4unidades;4)A=^(2+V3)cm;5)Loaproximacidnesexcelente,suresulladoe5;iH= ^

1) olradio,b) seconte, c] didmetro, d|tangenie,e| cuerdo, fj orco; 3) ^ = 10 cm'

?3^3)« = ( . i ^ ) i ; 4 ) ^ = 2(27 + 10V2)^; 5j Falsa ^

1) i ' = ( f ; . + 8).;

2) o) ^ = 25 (5ir + 28) cm\0 cm-; 3) ,4 = 171 it cml

Contienen plonteodos,

los

resultodos

tonto

o nivel

de

los

problemos

d e Autoevaluaciones

como d e Ejercicios Propuestos.

Estos

resultodos

se presenton por capitulos, d e a c u e r d o ol orden establecido en este libro, exceptuando aquellos que requieren demostraciones o construccion d e toblos y graficos.

Bibliografia Andonegui, M, [20061, RazonesyPropardones. Venezuela: Federacion interne y Alegria, Serie Desarrollo del pensamiento matemalico N" 1 1.

Reflejo el cotalogo del material d e consutlo y d e

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Andreescu, T., & Feng, 2. (2005). 103 Trigonometry Problems From the Training of the i/JI IMO Team. USA: Springer Science & Business Medici.

de esta obro, y o seon textos o pdginos v/eb.

Andreescu, T., & Geica, R. 12007]. PUTNAM and BEYOND. USA: Springer SciencJ Business Media. Ansaloni, A. (1998), Matematicas Preuniversitarias: Ton /// Inscuaaones (Segur Venezuela: Editorial Reverte. Apostol, T, M, (19761- Introduction to Analytic Number Theory[?f\ ^ Verlag New York.

Ed). U S i

^f, M- N., & Wernick, W. (2010)- Problems & Solutions in Euclider^ ^publications Inc.

VII

GLOSARIO DETERMINOS

.

,\f i^cmi on oto;

Algebra: Rama de las matematicas que tiene per objeto de estudio la generalizacion del calculo aritmetico mediante expresiones compuestas de constantes (numeros) y variables (letras). Ambiguedad: Comportamiento, hecho, palabra o expresion que puede entenderse o interpretarse de diversas maneras. Ana log ia: Relacion de semejanza entre cosas distintas. Arreglo: Orden y colocacion correctos de una cosa.

nu eb .osml-onu *»b .otnuq nu ab o f "'^ '

;--n- .

.^QQ

Axioma: Proposicion o enunciado que se considera evidente y no requiere demostracion. omiuaoJ

•miuri^j

Azar: Tratamiento adecuado de la aleatoriedad, que a su vez es dependiente de algun suceso fortuito. Biela: Elemento del motor encargado de transmitir la presion de los gases que actua sobre el piston al cigijeiial, o lo que es lo mismo, es un eslabon de la cadena de transformacion del movimiento alternativo (piston) en rotativo (cigiJenal).

^

^ , - ,

Bosquejo: Traza primera y no definitiva de una obra pictorica, y, en general, de cualquier produccion del ingenio. Bungee: Tipo de deporte extremo el cual tiene como finalidad lanzarse desde un sitio con varios metros de altura, con una cuerda elastica amarrada a nivel de sus tobillos, la cual estara sujetada por el otro extremo a! sitio en donde comenzo la caida, provocando que el individuo ascienda y descienda hasta que el impulso inicial del salto desaparezca por complete. Caractensticas: Todos aquellos aspectos o variables que configuran el estado e identidad de una entidad en particular, que puede ser una persona, animal, vegetal, objeto o incluso una condicion o escenario. Cateto: Lado que junto con otro forma el angulo recto de un triangulo rectangulo. Certeza: Seguridad en el conocimiento; adhesion firme del sujeto al contenido de un enunciado. Ciguenal: Pieza del motor del automovil y otras maquinas que consiste en un eje con varios codos, en coda uno de los cuales se ajusta una biela, y esta destinada a transformar el movimiento rectilineo de los pistones en rotativo, o viceversa. Concepto: Elemento basico del pensamiento. Puede expresarse mediante palabras y otorgarle o no algun tipo de valor. Sera un concepto real conforme ese valor que se le ha otorgado demuestre potencial para afectar a algo o alguien. Su estudio promueve el conocimiento humano. Conceptualizacion: Accion o proceso mediante el cual se desarrollan ideas abstractas o conceptos a partir de la experiencia o comprension consciente, que no es necesariamente verdadera, sobre algun tema. Contexto: Termino que deriva del vocablo latino confexfusy

que se refiere a todo aquello que rodea, y a sea

fisica o simbolicamente, a un acontecimiento. A partir del contexto, por lo tanto, se puede interpreter o entender un hecho. Corolario: Una afirmacion que sigue inmediotamente a un teorema. Una proposicion B es un corolario de una proposicion o teorema A si B puede ser deducida sencillamente de A. Cota: Entidad que limita los elementos matematicos acotados.

;

Curva: En matematicas, es una Ifnea continua de una dimension, que varia de direccion paulatinamente. Criterio: Norma para conocer la verdad, juicio o discernimiento. Dado legal: Objeto de forma poliedrica preparado para mostrar un resultado aleatorio cuando es lanzado sobre una superficie horizontal, en cuyo caso los resultados ocurren con una probabilidad que sigue una distribucion uniforme discrete.

IX

(

Dato: Representacion simbolica (numerica, alfabetica, etc.) de un atributo o caracterfstica de una entidad. El dato no tiene valor semantico (sentido) en sf mismo, pero, convenientemente tratado (prbcesado), se puede utilizar en la realizacion de calculos o toma de decisiones. Dimension: Numero relacionado con las propiedodes metricos o topologicas de un objeto matematico. Enunciado: Expresion lingui'stica de una proposicion. Se trata de una oracion que afirma o niega algo, y que, en logica solo puede ser verdadera o false. Los argumentos logicos se estructuran a partir de enunciados: premisas y conclusion. Equidistar: Dicho de un punto, de una linea, de un piano o de un solido, cuando se hallo a igual distancia de otro determinado. Espacio: Conjunto, usualmente con olguno estructura odicionol. Por ejempio: espacio euclideo, espocio vectorial, espacio topologico, espacio uniforme, espacio metrico. Espacio Euclidiono: Tipo de espacio geometrico donde se satisfacen los axiomas de Euclides de la geometria. La recta real, el piano euclideo y el sistema tridimensional de la geometria euclidiana son casos especiales de espacios euclidianos de dimensiones 1, 2 y 3 respectivomente. Estada: Estancia, permanencia en un lugor. Estadistica: Rama de las matematicos que se utiliza para describir, analizar e interpretar fenomenos donde interviene el azar y que permite a otras ciencias generar modelos matematicos empiricos donde se considera el componente aleotorio. Formula: Expresion breve y precisa del modo de hacer, resolver o conseguir algo. Fraccion: Numero racional escrito como un entero (el numerodor) dividido por un entero no nulo (el denominador). Freso: Herramienta rototivo de corte utilizado para extraer material de una pieza cuando se quiere Never a cebo un proceso de mecenizedo. Grado: En trigonometrie, se considera como la unidad de medida angular y se representa con el simbolo °. En este libro se considera la escola sexagesimal. En las funciones polinomieles, se denomino osi el mayor exponente que tiene alguna de sus incognitas. Grdfico de una funcion: Esqueme de representecion de uno funcion de vorioble real, de tal manera que se facilite el onalisis de sus coracterlsticas. Hipotesis: Afirmocion matematico que se cree verdadera, pero no ho side demostreda. Tambien se denomino conjeturo. Por ejempio: la conjeturo de Goldbach o la hipotesis de Riemonn. Hipotenusa: Lode opuesto el ongulo recto en un triongulo rectdngulo. Inferencia: Accion y efecto de deducir algo como conclusion de otra coso, es decir, conducir a un resultado. LoTeX: Sistema de composicion de textos, orientodo a la creacion de documentos escritos que presenten una alta colidod tipografico. Por sus coracteristicos, es usado en lo generacion de articulos y libros cientfficos que incluyen, entre otros elementos, expresiones matematicos. Lema: Afirmocion que forma parte de un teoremo mas elaborado. Por supuesto, la distincion entre teoremas y lemas es orbitrario. El lemo de Gauss y el lema de Zorn, por ejempio, son considerados demosiado importontes para algunos autores. Lenguoje de programacion: En informatica, es cualquier forma de escrituro que posee determinadas instrucciones que, combinadas y modificodos correctamente, podrdn ser interpretados y osf resultor en un programa, pagino web, etc. Longitud: Del latin longitudo, constituye la distancia existente entre dos puntos. En el Sistema Internocional de Unidades se mide en metres. X

Lugar geometrico: Conjunto de puntos, en el piano o en el espacio, que poseen una propiedod comun y suelen formor figuras. Matemdticas: Del griego |id6nna (matfiema): ciencia, conocimiento, oprendizaje; naermaiiKoq (mathemotikos): omante del conocimiento. Es el estudio de patrones en las estructuras de entes obstractos y en los relaciones entre ellos. Algunos matematicos se refieren a ella como la «Reina de los Ciencias». Multimedia: Se aplica a la tecnologi'a o sistema que utiliza distintos medios de comunicocion combinados, fisicos o digitales, como textos, fotogrofias, imagenes de video o sonido, para presentar informacion. Nexo: Cualquier elemento que sirve para unir a otros dos. Notacion: Sistema de signos convencionales que se utiliza en una disciplina determinoda para representor ciertos conceptos. Numero: Simbolo que representa de manera abstrocto una contidad. Nocion fundamental de las matematicos que permite contor, closificor o medir magnitudes, pero que no puede ser objeto de definicion rigurosa. Paralelismo: iguoldod de distancia entre todos los puntos de dos o mas Ifneos o plonos. Patron: Conjunto de elementos que forman una unidad diferenciodo y que se repiten o lo largo del tiempo, por lo que pueden tomorse como modelo o punto de referenda. Piston: Pieza de una bomba o del cilindro de un motor que se mueve hocio arribo o hacia obojo impulsondo un fluido o bien recibiendo el impulso de el. Piano cristalografico: Tipo de piano que contiene a los centres de tres atomos en una red cristolina, uniendo tres nudos de uno celdilla, determinodos por los I'ndices de Miller. Probabilidad: Teoria desarrolloda para describir los sucesos oleotorios. Es la caracterfstica de un suceso del que existen razones para creer que se reolizora. Postulado: Proposicion que, sin ser evidente, se odmite como cierto sin demostracion. Recursive: Proceso, funcion o rutina que se ejecuto repetidos veces, basodos en su propia definicion, hasta que se sotisface una condicion especffica. Recta Numerica: Representacion del ordenamiento de los numeros reales. Usualmente, morcamos 0 en el medio, los numeros negatives en lo izquierdo, y los numeros positives en lo derecfie. Los flechos indicon que lo recto se extiende infinitemente en ombos direccienes. Restriccion: Limitacion o reduccion que se produce en olguno coso. Similitud: Similoridad en opariencia, caracter o noturelezo entre persenes y coses. Sistema de numeracion: Conjunto de sfmbolos y regies de generacion que permiten construir todos los numeros vdlidos en el. Submdice: Letra o numero de pequeno tomone que se coloca en el lede derecfie y en lo parte inferior de un signo grefico pare indicer elgo. Superficie: Perte mas externa de un cuerpo que lo limito o seporo de lo que lo rodeo. Superindice: Letra o numero de pequeno tamano que se celece en el lede derecho y en la parte superior de un signo grefico pora indicer olgo. Teorema: Afirmecion que puede ser demostrede come verdodere dentro de un morco logico. En metemotices, une efirmecion debe ser interesonte e importonte pero ser considerado un teoremo. Tronsportador: Instrumente que mide dngules en gredes sexegesimeles. Variable: Elemento de uno formulo, proposicion o olgoritmo que puede odquirir o ser sustituido por un velor cuolquiere. Los voleres que une verieble es copez de recibir pueden ester definides dentro de un ronge. En muches uses, lo centrorio de une vorioble es una constente.

XI

FCNM

Facultad de Ciencias Naturales y Matematicas

7

Geometrio

Plono

El viaje intercontinental Un ecuatoriano decide viajar desde Quito — Ecuador hosto Pisa — Italia, hociendo escola en Salem-Estados Unidos, en su viaje de retorno. Para el efecto, trozo su ruta en el mapo, describiendo un triongulo, de manera tal que las longitudes de sus lodos (en pulgadas), son numeros enteros consecutivos. Si se conoce que una de las medionas del triongulo formodo, es perpendicular a olguno de sus bisectrices, determine las longitudes de los lodos del triongulo.

Si no puede resolver este desoffo, busque la solucion en lo pdgina correspondiente del presente capftulo. pag. 1

Introduccion

Con el estudio de la geometria se propone inicialmente el onalisis de la forma que poseen los diferentes objetos que nos rodeon. De fiecho, es rozonable pensar que los origenes de la geometria se remontan a los mismos origenes de la fiumanidad, pues el hombre primitivo closificobo -oun de manera inconsciente- los objetos que tenia a su olrededor segun su forma. En lo obstroccion de estas formas comienzo el primer ocercamiento informal e intuitivo a lo geometria. Puesto que en este capftulo se trabojara solamente con objetos en dos dimensiones, tendremos que trotor en forma natural conceptos tales como puntos, rectos, dngulos, polfgonos y figuras circulores, perfmetros y areas. Para ello, podemos usar instrumentos que nos permitan medir y determinar los cualidodes de esos objetos y poder colcular adicionalmente su tamoiio y posicion. Nos referimos al uso de popel, lapiz, borrador, escuadro, tronsportador y compos, entre otros elementos de uso didactico. Cuando hablomos de geometrfa, es inevitable hacer referencio a Euclides, quien en su libro "Los E/ementos" [2)00 a.C), expuso los conocimientos geometricos de lo Grecio cldsico y plonteo cinco postulodos en su sistema. Los plonteomientos sentados en la geometrfa euclidiana son de mucho utilidod hasto lo presente fecho poro la comprension de propiedodes y oxiomos. Pero, como producto de un mayor onalisis del quinto postulado, posteriormente oparecio la denominado geometrfa elfptica o riemanniono en honor ol oleman Bernhord Riemann y la geometrfa hiperbolica propuesto por el ruso Nicolai Lobochevsky. Pero tambien tenemos uno de los famosos problemos de la geometrfa griega denominado lo c u a d r a t u r a del circulo, en el cuol se trato de obtener, dodo un cfrculo, un cuadrado cuya area mido exactamente lo mismo que el area del cfrculo. Anaxagoras fue el primero en intentor resolverlo, dibujondo en las poredes de su celdo cuando fue hecho prisionero por cuestiones polfticas. Este problema tampoco pudo ser resuelto por los geometros de la ontigijedad, y llego a ser el parodigma de lo imposible. ePuede el lector resolver este problema con exoctitud? Lo geometria plana tiene una omplio voriedod de usos en los diserios industrioles, osf como en el diserio de infogroffos para lo creacion de morcas que quedon en la retina de los consumidores. Tambien podemos asociarlo con diferentes situaciones arquitectonicas 0 escalo o diversos aplicaciones de ingenierfo como lo geometrfa computacional. Es tan util, que con este capftulo intentaremos combiar fovorablemente la perspectivo del lector sobre esta romo de la matematico y esperomos preparorlo pora el posterior onalisis de lo geometrfa del espacio.

pag. 2

7

Geometria

Plana

7.1 Figuras Geometricas en el piano Objetivos Al finalizor esta seccion e! lector podra: •

Identificor figuras geometricas pianos.

•

identificor puntos, rectos, rayos y segmentos de rectos.

•

Dodos varies puntos del piano, reconocer si son o no colineales.

•

Distinguir figuras convexas, congruentes, simetricas y asimetricas.

Tal como hemos estudiodo en contenidos onteriores de esta obra, el sistema de ejes coordenados en el plono cartesiono constituye un medio de representacion bidimensional. En el presente capftulo, se pretende anolizor desde una perspectivo geometrico, subconjuntos no vocfos del piano con corocterfsticas especiales. Definitivomente, lo interpretocion geometrico de los diferentes figuras en dos dimensiones, sera de mucfia utilidod poro realizar calculos relevantes y oplicorlos a lo resolucion de problemos relocionodos con la vido cotidiano, sentondo bases solidos poro el futuro onalisis en tres dimensiones. Asf por ejempio, lo posibilidad de caracterizar una moscoto, el croquis de un sector en una ciudod, lo focfiado de una cosa, un circuito electrico, entre otros, revela el alcance y lo utilidad de lo geometrfa en los diferentes compos del quehocer fiumono de nuestro sociedod.

Figura 7.1 Construcciones geometricas en dos dimensiones.

pag. 3

Ejempio 7.1 Figuras Geometricas Pianos. Las figuras geometricas pianos aparecen en diferentes objetos de nuestro entorno; por ejempio, en un documento de identificocion personal, en io portado de un libro; y, en ei morco de un espejo.

^ ^ ^ ^ gmjBUMDHjKyADOR

|»-

En el estudio de lo Geometria Plana existen conceptos primitivos que no se pueden definir con base en otros elementos yo conocidos, estos son el p u n t o , ia recta y io semirrecta (o royo).

P

Generolmente, ol punto se lo representa con letros moyuscuios del alfobeto espanol.

Figura 7.2: Punto en el plono.

La recta suele denotarse con letros moyuscuios o minusculas del alfobeto espanol.

Figura 7.3: Recto en el piano.

O

Como se indico en el capftulo de Trigonometria, bosto decir que cualquier punto que pertenezca o una recto, lo divide o esta en dos semirrectas o royos. Al punto O de lo figura adjunta se lo denomino o r i g e n de la semirrecta.

Figura 7.4: Semirrecta o royo.

El punto y lo recto don lugar a nuevos conceptualizaciones geometricas como los que se citon o continuocion.

pag. 4

7

Geometria

Plana

Conceptos asociados a puntos y rectos Puntos colineales Son oquellos que pertenecen o lo mismo recto.

Figuro 7.5: Puntos colineales. En lo figura anterior los puntos Q,R,Sy

Tson colineales.

Segmento de recta Es un subconjunto de la recto que esta limitado por dos puntos distintos que pertenecen a ello, generolmente conocidos como extremes.

A

B Figura 7.6: Segmento de recto. En lo figura anterior, A y B son los extremes del segmento. Poro fines practices, se sobreentendero a^ue AB representa el segmento de recto o su longitud.

Punto medio de un segmento de recta Es un punto C que pertenece ol segmento AB, tol que AC — CB .

Figura 7.7: Punto medio de un segmento de recta.

pag. 5

Una figura F se denomina convexa, si y solo si, pora cado par de puntos que pertenecen o lo figura, el segmento de recto definido por ombos puntos esta incluido en lo figura, es decir: F es convexa = \/ P^Pi^F

F no es convexa

{

c F)

F es convexa

Figura 7.8: Convexidad de figuras.

Es lo relocion entre figuras geometricas con iguai medida, tales que ol traslodorse, rotarse, reflejarse y superponerse una o otro, coinciden; es decir, tienen lo mismo forma y el mismo tamofio. El simbolo que geometricamente se utiliza poro indicar congruencia es = .

A

Figuro 7.9: Congruencia de figuras.

pag. 6

7

Geometria

Plana

Figura 7.10: Simetrfa de figuras.

Si una figura no es simetrica se denomina asimetrica. Toi como se observa en lo Figura 7.11, en estos cosos no existe una recto que divido o los figuras en dos que sean congruentes.

Figura 7.11: Figuras asimetricas.

pag. 7

Figuras Geometricas en el piano Autoevaluacion

1)

Considere la funcion de variable real / ( x ) = 2x - 4 - 3. a)

Ubique los puntos P j ( - 1 , 3), el plono cartesiono.

H

-7

1

-6

1

1

-5 -4

-3

H

-2

(2, - 3 ) y P^ (5, 3). Luego, grafique la funcion/en

h

-1 -1

H

1

1

1

1

1

i

\

2

3

4

5

6

7

X

-2 -3 -4 -5

b)

Determine el numero real k tol que x = k sea el eje de simetrfa de lo f u n c i o n /

c)

eSe puede afirmor que P^ es el punto medio del segmento P^P-^, dado que P^P^ = P^P^'^]u%\\\\C{\je su respuesta.

pag. 8

7 2)

Geometrio

Determine si los puntos de codo conjunto mostrodo son colineales o no. a)

3)

Plono

Si

A = { ( - 1 , - 1 ) , (0,0),(1,1)}

b)

B = {{x, y)/y = -x} u {(3, S)}

n, n], grafique las funciones de variable real: f(x) = - sen

y

X —

gix)=

cos(x)-\

y determine si los figuras resultantes son congruentes o no.

y 1-1-

-TC

-Till

7t/2

-1-2--

pag. 9

7.2 Closes de rectos en el plono Objetivos Al finalizar esta seccion el lector podra: •

Identificor rectos secantes, perpendiculores, oblicuas, porolelos y coincidentes.

•

Construir rectos perpendiculores y parolelos en ei piano.

Definicion 7.4 (Rectos secantes) Dos rectos son secantes si y solo si se intersecan en un punto.

^1

Figura 7.12: Rectos secantes. Ejempio 7.2 Rectos secantes. Dos Ifneos imoginarias que se trozon en lo direccion de dos ovenidos que se cruzon; asf como los que siguen lo direccion de los soportes en una tobla de plonchar, representon ejemplos de rectos secantes.

Definicion 7.5 (Rectos Parolelos) Una recto es porolela o otro cuando, o no se intersecan o son coincidentes. Lo notacion para e! paralelismo es Li \\L2 y se lee "I-i es porolela a L2".

pag. 10

7

Geometrio

Piano

Figura 7.13: Rectas paralelas. En el piano, un punto exterior a una recto esta contenido en una y solo una recto paralela o dicho recta. Los propiedodes del paralelismo entre rectas son: • Todo recto es porolelo o si misma. (Reflexiva). L\\L •

Si una recto es porolelo o otro, oquella es paralela a lo primera. [Simefrica]. {Li\\L2)^{L2\\L0

• Si una recto es porolelo a otro, y esta a su vez paralela o una tercera, la primera es porolelo o lo tercera. [Transitiva). [(Zl||Z2)A(L2||i^3)]^(i^l||i:3) • Todos las rectos porolelos entre si tienen lo mismo direccion. Ejempio 7.3 Rectas porolelos.

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

Lineos imaginarias que siguen lo direccion de los escalones en una escolero; osi como los que siguen los fronjos de una bandero, constituyen ejemplos de rectas porolelos.

pag. 11

Ejempio 7.4 Trazado de rectas porolelos. 1. Trazar con lo reglo un segmento de recto en cualquier parte de lo hoja.

2. El lado de lo escuodro que sirve para medir, hocerlo coincidir con el segmento de recto trazado y el otro lodo recto apoyarlo contra la reglo.

3. Mover la escuadro opoyado sobre la reglo, hosta que se obtenga lo distancia adecuodo poro trazar el otro segmento de recta paralelo.

A partir de lo definicion 7.5, un caso particular de rectas porolelos es el de rectas coincidentes, denominadas osf porque estdn formadas por el mismo conjunto de puntos.

pag. 12

7

Geometrio

Plana

1

Definicion 7.6 (Rectas oblicuas y perpendiculares) Dos rectas oblicuas son aquellas que ol intersecarse en un punto P, determinon en el piano que las contiene, cuotro dngulos cuyos medidas son moyores o menores que 90°. Dos rectos perpendiculares son aquellas que ol intersecarse en un punto P, determinon en el piano que las contiene, cuatro dngulos congruentes que miden 90° coda uno. Lo notacion para lo perpendiculoridad es Z) .LZa y se lee "Li es perpendicular o Lj".

Figura 7.15: Rectas perpendiculares. En el piano, un punto perteneciente o exterior a una recto estd contenido en una y solo una recto perpendicular a dicho recta. Los propiedodes de la perpendiculoridad entre rectas son: • • •

Si una recto es perpendicular o otro, esta es perpendicular o lo primera. [Simefrica]. (Zil 12)^(^2! A) Si dos rectas ol intersecarse forman angulos odyocentes congruentes, son perpendiculares. Los lados de un dngulo recto y sus semirrectos opuestos, determinon rectas perpendiculares.

A partir de lo definicion 7.4, los rectas oblicuas y perpendiculares constituyen cosos porticulores de rectas secontes.

pag. 13

Ejempio 7.5 Rectas perpendiculares. Las manecillas del reloj en la posicion nnostrada y las esquinas de un monitor, representan ejemplos de segmentos que pertenecen a rectas perpendiculares.

Ejempio 7.6 Trazado de rectas perpendiculares. 1. Trazar con lo reglo un segmento de recta en cualquier parte de lo hoja.

2. Hocer coincidir el lado de lo escuodro que sirve para medir, con el segmento de recto trozodo y el otro lado recto apoyarlo contra lo reglo.

3. Trozor el segmento de recta perpendicular usondo la reglo.

pag. 14

7

Geometrio

Plono

Relacionando perpendiculoridad, porolelisnno e interseccion entre rectas, se obtienen las siguientes propiedades:

•

En el plono, dos rectos perpendiculares o una tercera son paralelas entre sf. miL,)A{L2lL,)]=:^(L4L2)

•

Si una recto interseco o una de dos paralelas, interseco tambien o lo otro. [(Zi n Z2 ^ 0 ) A (Z2IIL,)]

(L, nL.i^

0)

Ejempio 7.7 Rectas perpendiculares, porolelos y oblicuas.

..amm^^^^mmmm^^^

Dada lo siguiente figura, determine lo posicion relative de las rectas.

Solucion: a) b) c) d) e)

m Lp m Lq m\\n p\\q r y 5 son oblicuas.

pag. 15

1)

Considere los rectosZ^, L^,L^ toles que:

\\L^ y L^LL^

En codo cosillo, coloque 1 si

lo proposicion es verdodero y 0 si es folso.

2)

a)

Si existe uno recto L que cumple lo condicion de que L\\L^,

b)

Todo recto L es perpendiculor o L^, si —i(L \\L^).

c)

Existe ol menos una recta L tal que L\\L^y

d)

Si para una recto L se cumple que —i{L \\L^), entonces

entonces

L\\L^.

L\\Ly

Los r e c t o s L j j Z ^ j L j y Z ^ groficodos cumplen queZ^ \\L^,L^LL^

—i(LLL^). y

-^(L^\\L^).

a)

Escribo tres proposiciones verdoderos que involucren ol menos a dos de las cuatro rectas.

b)

Escribo tres proposiciones folsos que involucren al menos o dos de los cuatro rectas.

pag. 16

7

Geometrio

Plono

En el siguiente piano se hon ubicado los puntos P, Q, R, S, T. Dibuje los rectas L ^ , L^, y

que cumplon lo siguiente:

•

Z-j, L ^ ,

contienen ol punto P.

•

Z j contiene al punto 2 y-^111-^2"

•

[(Z^ es oblicuo o Z^)

•

{R e Z ) A [(iS e Z ) v (TeL

(R ^Z^)] es una proposicion falsa. )] es una proposicion verdodero.

S

• R

•

T

•

P

•

Q

•

Utilizando los instrumentos geometricos odecuados, dibuje los rectas Zj,Z2,Z2 y Z ^ tales que Z j y Z^ seon paralelas; Z^ sea perpendicular a Z^; y, Z^ sea oblicua respecto a Z^.

pag. 17

7.3 Angulos Objetivos Al finalizar esta seccion el lector podro: •

Construir lo bisectriz de un angulo.

•

Ciasificar los angulos de acuerdo a su medida.

•

Ciasificar los dngulos de acuerdo a su posicion a partir de tres rectas, tal que una de ellas sea transversal a las otras dos.

•

Aplicar definiciones de closes de angulos en la resolucion de problemas.

Una vez tratado el concepto de dngulo en el capitulo 5 de esta obro, con el proposito de oplicorlo geometricamente, se hoce necesario definir aspectos adicionoles relacionados con su medida, construccion; y, closificocidn. Definicion 7.7 (Bisectriz de un dngulo) Es el conjunto de todos los puntos que equidistan de los lados del dngulo. Lo bisectriz de un dngulo ABC es un rayo que contiene al segmento BD, tal como se visualize en la figurd:

Figura 7.16: Bisectriz de un dngulo. A partir de esto definicion se concluye que 4-ABD = 4-DBC. Ejempio 7.8 Construccion de lo bisectriz de un dngulo. Dodo el dngulo CBA.

pag. 18

Geometria Plana

Con B como centro, tracese un arco que interseque ambos lados del angulo en F y G .

B

Con F c o m o centro, tracese un arco en la region que corresponde al angulo.

B

A

Con G como centro y la misma abertura de compos que en el tercer paso, tracese un arco que interseque al anterior, generando el punto H.

pag.

5)

Unanse 5 y el punto i / d e interseccion de los orcos poro dibujor lo bisectriz del dngulo. A F B

H

C

Demostracion En lo figura adjunto suponga que: BEes\a contenido en la bisectriz de ^ABD —> 4-ABE y 2^EBD tienen igual medida. BG estd contenido en lo bisectriz de 4-DBC

4-DBG y 4- GBC tienen iguol medido-

Como liABD y 4-DBC son suplementorios, entonces se cumple: 0 + e + a + a = 180° 20 + 2 a = 1 8 0 ° e + a = 90° Pero 0 + a es la medida del dngulo EBG. :.

BEIBG [)or el vertice)

Las bisectrices de dngulos opuestos por el vertice, pertenecen a una mismo recto.

pag. 20

7

Geometrio

Plono

Demostracion Considere dos segmentos de rectas AD y BC que se intersecan en el punto O como se muestro en lo siguiente figura:

Dibujomos los bisectrices de 4-DOCy

4-AOB que incluyen a OF y OE, respectivamente:

Se observo que: m 4-DOF + m liFOC + m4. COA + m4.A0E + m^EOB e + 0 + m2iCOA + a + a + m^BOD = 360° 26 + p + 2a + (j) = 360°

+ m 4-BOD = 360"

Como 4-COA y 4-BOD son opuestos por el vertice, P = (|); luego: 2e + p + 2 a + p = 360° 29 + 2p + 2a = 360° Simplificando:

e + p + a = 180° .'. OFy OE pertenecen o una misma recto.

pag. 21

7.3.1 Clasificacion de los dngulos segun su medida De acuerdo a su medida, los dngulos pueden ser: Nombre

Definicion

Figura

Mide mds de 0° y menos de 90° Angulo agudo

Esto es entre 0 y — radianes.

Mide 90°. Angulo recto Esto es ^

radianes.

Mide mds de 90° y menos de 180°. Angulo obtuso Esto es entre y y ^ radianes.

Mide 180°. Angulo llano Esto es 71 radianes. Mide 360°. Angulo complete Esto es 271 radianes. Cuadro 7 . 1 : Closificocidn de los dngulos segun su medida. Al dngulo recto tambien se lo suele representor con un pequeho cuadrodo en su vertice, tal como se puede aprecior en el siguiente ejempio. Ejempio 7.9 Angulos segun su medida. Determine el nombre de codo dngulo e indique que close de dngulo es, segun su medida.

R

T

Solucion: a) b)

pag. 22

Se nombra al dngulo GFE y como mide 110°, es un dngulo obtuso. Se nombra al dngulo SIR y como mide 90°, es un dngulo recto.

7

Geometrio

Plono

7.3.2 Clasificacion de los dngulos de acuerdo a su posicion Si intersecamos dos rectas oblicuosLj yZ^con una recta transversal

(oquello que interseco

o dos o mds rectas), se forman de manera natural ocho dngolos, cuatro en codo punto de interseccion.

Figura 7.17: Angulos en rectas secontes. Se denominan d n g u l o s externos o los dngulos que estdn en lo region externa a los rectas L j y L ^ . De esto manera, son externos los dngulos 1, 2, 7 y 8. Se denominan d n g u l o s internos o los dngulos que estdn en la region interna o las rectas y L^. De esto manera, son internos los dngulos 3, 4, 5 y 6. Se denominan d n g u l o s correspondientes o los dngulos no consecutivos que estdn a un mismo lado de lo recto transversal Ly Uno de los dngulos es interno y el otro externo. De esto manera, son correspondientes los pores de dngulos 1-5, 2 - 6 , 3 - 7 , 4 - 8 . Se denominan d n g u l o s alternos externos a los dngulos que estdn ubicodos externamente con respecto a los rectas Z j y L^; y, en distintos lodos determinodos por lo recta transversal Ly De esto manera, son alternos externos los pares de dngulos 1—7 y 2—8. Se denominan d n g u l o s alternos internos o los dngulos que estdn ubicodos internamente con respecto a los rectas L j y L^; y, en distintos lados determinodos por la recta transversal Ly De esta manera, son alternos internos los pores de dngulos 3-5 y 4 - 6 . Se denominan d n g u l o s c o n j u g a d o s (o contrarios) externos a los dngulos externos que estdn ubicodos en el mismo lado respecto o lo recto transversal Ly De esto manera, son conjugados externos los pores de dngulos 1-8 y 2—7. Se denominan d n g u l o s c o n j u g a d o s (o contrarios) internos o los dngulos internos que estdn ubicodos en el mismo lodo respecto o lo recto transversal Ly De esto manera, son conjugados internos los pares de dngulos 3-6 y 4 - 5 . En el coso de que dos rectas paralelas L^ y L^sean intersecadas por una recto tronsversol Ly se verifica que los dngulos correspondientes son de iguol medido, osi como los dngulos alternos internos y alternos externos. pag. 23

En resunnen, para el caso de rectas porolelos intersecadas por una transversal, los dngulos 1, 3, 5, 7 son de iguol medida entre si; del mismo modo que los dngulos 2, 4, 6, 8. Esta situocion se oprecio en la Figura 7.18.

Figura 7.18: Angulos en rectas secontes (L^ \\L^]-

Propiedades •

Los medidas de dngulos opuestos por el vertice son iguoies. Si dos dngulos alternos internos son congruentes, entonces los otros dos dngulos alternos internos tambien lo son.

^

•

Los dngulos internos a un mismo lodo de la recto transversal o dos rectas paralelas, son suplementorios.

•

Los dngulos externos a un mismo lodo de lo recto transversal a dos rectas paralelas, son suplementorios.

•

Todo recta transversal a dos rectas porolelos forma dngulos alternos externos congruentes.

•

Toda recta transversal o dos rectas porolelos forma dngulos alternos internos congruentes.

Ejempio 7.10 Angulos.

^ H H ^ M B B B M M B

Si las r e c t a s y L 2 mostrados en la figura adjunto son paralelas,xyzson medidas de dngulos en grados sexogesimoles, determine el valor dex -z.

pag. 24

7

Geometrio

Plono

Solucion: Como los angulos de medida 3z y z + 20° son opuestos por el vertice, tenemos: 3z = z + 20" 2z = 20° z = 10° Como los dngulos de medida x y 3z son conjugados externos: x + 3 z = 180°

x=

180°-3z

x = 180°-3(10°) x = 150° El valor solicitado es: x - z = 1 5 0 ° - 10°= 140" Ejempio 7.11 Angulos de acuerdo o su posicion. En la figura adjunto, si las rectas my n son porolelos, demuestre que:

Solucion: Se trozon tres porolelos a las rectas my n: A m

n Luego, dada la presencia de dngulos olternos internos, se cumple que: m4.ABC=ai

m4.Cj5£» = 0i - a,

m4.EDB = Qi-ai

m4.FZ)£=

m4.DFG = a2-Qi + ai

m4-GFH=Q2-i(h-^i+o-i)

w 4 - Z H F = 82-a2 + 9 i - t t i

- (Gj - aO = a2 - Oj + aj =

Q2-o.2+^\-o.\

—> 62-a2 + 0 ! - a i = a3 .'. 0i + 02=ai + a 2 + t t j

pag.

7.3 A n g u l o s

Autoevaluacion

1)

Con el uso de un tronsportodor, determine lo medida de cada dngulo y escribala junto a cado uno. Adicionalmente, indique si se trato de un dngulo agudo u obtuso.

2)

Construya lo bisectriz de codo dngulo mostrado a continuocion. gSon oblicuas estos bisectrices?

pag. 26

7

Geometria

Piano

Determine, analiticamente, la medida 5 en grados sexagesimals si: •

a --^radianes

•

L es paralela a

es lo medida del dngulo suplementario ol dngulo de medida p. y es oblicua respecto o L .

L contiene a lo bisectriz del dngulo de medida y.

Considere los rectas y que se intersecan con una tercera recto gExiste lo posibilidad de que todos los dngulos generados sean congruentes? Explique.

pag. 27

7.4 Poligonales y polfgonos Objetivos Al finalizar esta seccion el lector podro: Dados varies puntos no colineales del piano, identificar b poligona y el poligono que forman. Dodo un poligono simple, identificar su tipo segun el numero de la dos. Dado un poligono regular, explicar sus principales coracteristicas. Aplicar el Teorema de Thales para establecer segmentos.

proporciona idodes entre

Dados dos poligonos, reconocer si son semejantes o congruentes. Una p o l i g o n a l es una lineo continua que se obtiene por lo union de segmentos de rectas que tienen distinto direccidn.

Figura 7.19: Poligonal. El conjunto P1P2 ^ P2P3 -P3P4 U ... U P„Pi, de segmentos consecutivos no colineales se denomino linea p o l i g o n a l c e r r a d a de n lados, (n > 3). Los puntos P^ Pj, ... , Pn se denominan vertices de la poligonal y los segmentos Pi PiP^-, ••• ,PnP\, son los lados de la poligonal. / Si los segmentos de lo lineo poligonal cerrodo solo se intersecan ol ser consecutivos (en los vertices), entonces lo poligonal divide al plono en dos partes: lo una interior limitodo por lo poligonal y lo otro exterior a lo poligonal.

Pi

Pi

exterior interior

^

P5

Pa

Figura 7.20: Poligonal cerrada.

pag. 28

7

Geometria

Plana

La union de todo poligonal con su interior se denomino poligono simple.

Un poligono simple puede ser convexo o no convexo.

Poligono simple convexo

Poligono simple no convexo

Figuro 7 . 2 1 : Convexidod de poligonos. En el presente libro nos interesa el estudio de los polfgonos simples convexos. Por ello, codo vez que en lo posterior se utilice el termino poligono, se sobreentenderdn ombos coracteristicas. Los elementos fundamentals de los poligonos son: vertices, lados, diagonales, dngulos interiores y exteriores. Una d i a g o n a l es el segmento de recto que une dos vertices no consecutivos de un poligono. En un poligono, los diogonoles estdn en su interior.

Ps

P4

Figura 7.22: Poligono. En el poligono antes mostrado, se tiene que: ^2^5 un vertice del poligono; P1P2 es un lodo del poligono; P2P5 es una diagonal del poligono; aes lo medido de un dngulo exterior; y. Pes lo medida de un dngulo interior.

pag. 29

De acuerdo con el numero de lados, los poligonos reciben diferentes nombres. Numero de lados

Nombre

3

Tridngulo

4

Cuadrildtero Pentdgono

6

Hexdgono

7

Heptdgono

8

Octagono

9

Eneagono

10

Decagono

11

Endecdgono

12

Dodecdgono

13

Tridecagono

14

Tetrodecdgono

15

Pentodecdgono

16

Hexadecdgono

17

Heptodecdgono

18

Octodecdgono

19

Eneodecdgono

20

Isodecagono

Cuadro 7.2: Nombres de poligonos segun numero de lados. Ejempio 7.1 2 Poligonos.

.^^mmm^^^^^^

Los formas de las sefiales de transito son simbolos estondorizados a nivel mundial y constituyen un cloro ejempio del uso de poligonos en la vido diario.

Propiedades • •

La suma de las medidas de los dngulos intenores de un poligono de n ladds es iguala(«-2)(180°). La sumo de las medidas de los dngulos exteriores de un poligono cuoiquiera es constonte e iguol o 360°.

•

El numero de diagonales que se pueden trozor desde un mismo vertice de un poligono de n lados es in — 3).

•

El numero de diagonales que se pueden trazar en un poligono de n lodos es 2

pag. 30

7

Geometria

Plana

Ejempio 7.13 Polfgonos. Si en un polfgono se hon trozodo un total de 35 diagonales, determine lo sumo de los medidas de los dngulos interiores de dicho polfgono. Solucion: Primero debemos calculor el numero n de lados del polfgono, utilizondo lo expresion motemdtico que lo relaciono con el numero D de diogonoles: D = ^^^^

.

En este caso D = 35 y por lo tonto: njn - 3) 2 n^~-3n = 70 «2 - 3« - 70 = 0 (n-lO)

{n + 7) = 0

Entonces: (« - 10 = 0) v ( « + 7 = 0) De donde n= 10, lo cuol quiere decir que se troto de un decdgono. No se considero el volor de n = - 7 , porque no es solucion geometrica. Luego,\la sumo de los medidos de los dngulos interiores del poligono es: (10 ^ 2)(180°) = (8)(180°) = 1440".

Definicion 7.9 (Poligono Regulal Un poligono de n lodos se dice que es regulor. si y solo si todos sus lodos tienen iguol longitud y sus dngulos tienen iguol medida. Ejemplos de poligonos regulares son el tridngulo equildtero y el cupdroqo.

Figuro 7.23: Polfgonos regulares. Es de observarse que todo poligono regular es convexo.

pag.

Ejempio 7.14 Polfgonos. Determine la razon entre las medidas del dngulo exterior e interior en un isodecagono regular. Solucion: El dngulo exterior de un isodecdgono regular (20 lados) mide:

360°

= 18° y el

dngulo interior, que es el suplemento del dngulo exterior, mide 162°. Luego, lo razon requerido es: 18° 162°

1 9

7.4.1 Semejanza y Congruencia Los diseiiodores industrials construyen modelos que luego se fabricordn en tamario natural; por ejempio, el modelo del aeroplano tiene lo mismo forma que el avion real. Los figuros qu^guorddh cierto proporcionolidod monteniendo lo mismo forma, se denominan semejantesLEste concepto tambien se opiico en disenos orquitectonicos. El simbolo de semejanzo o utilizor en este libro es ~. Los automoviles se fabricon utilizando lo produccion en codeno. Los componentes producidos deben ser de identico tomofio y forma, poro poderlos empleor en cualquier outomdvil de lo lineo de montoje. Los repuestos tambien deben ser identicos. En geometria, o los figuros que tienen el mismo tomorio y lo mismo forma se les denomino c o n g r u e n t e s , concepto que ya fue definido. Recordemos tombien que el simbolo de congruencia o utilizor en este libro es ^ .

Dodo un conjunto de ol menos tres rectas porolelos intersecodos por dos transversales, las rectas paralelas determinon en dichos rectas transversales, segmentos correspondientes proporcionoles.

D

Asi, en lo figura anterior, las rectas L\,L2,L^y Li, son porolelos, estobleciendose por el Teoremo de Tfiales que los longitudes de los segmentos pertenecientes a una de los rectos transversales (Z5) son proporcionoles a los longitudes de los segmentos correspondientes a

pag. 32

7

Geometria

Plana

la recta transversal opuesta (Z-g). Matematicamente, esta relacion de proporcionolidod entre los longitudes de los segmentos de recto se expresaria como: AB A'B'

^

BC B'C

^

CD CD'

Corolario del Teorema de Thales Si los lodos de un dngulo o sus prolongociones se intersecan con un hoz de rectos porolelos, los segmentos correspondientes que se determinon en los lodos del dngulo son proporcionoles.

En lo figuro, si L, 11 L, II -^3II U, entonces: -4^ PF

= -M^^ o bien - 4 ^ = MRPE CF DE

Ejempio 7.15 Aplicacion del Teorema de Tfioles En el bosquejo que se presento o continuacidn, si Li \\Lj, OA = 2x+ 12, AB = 4x, 0C = 5x+ 8, C D = 4x+ I, determine los longitudes de dichos segmentos. O A

C

D X Solucidn: Si se trozo imaginariamente una recto por el punto O parolelo a L^y L2, se puede aplicar el corolario del Teorema de Tholes y se tiene lo proporcidn: OA _ AB,^ OC CD

2x+\2 5x + 8

4x_ 4x+l

pag. 33

( 2 x + 1 2 ) ( 4 x + l ) = 4x(5x + 8) 8x2 + 50x+ 12 = 20x2 + 32x 12x2-ISx-12 = 0 S't'

2x2-3x-2 = 0 (x-.2)(2x+1) = 0 Esta es una ecuacion de segundo grade cuyas reices son X i = 2 y X 2 = El segundo velor debe descerterse pues conduce o vdlores negatives para las longitudes de les segmentos. Luego, nos quedo x = 2, que si es vdlido come longitud. De esto manera, las longitudes requeridas de los segmentos estorion dedes per: 0A = l6u,AB

= Su,0C

donde u denote unidades.

= lSuyCD--9u,

Ejempio 7.1 6 Aplicacion del Teorema de Tholes. En le siguiente figure, les rectos I, m y n son porolelos, los segmentos AB, BC y DF miden 5, 3 y 7 unidodes, respectivemente. Determine le longitud del segmento EF.

1

D

E c

F

_

•m -n

/ /

1

Solucion: AB

DE

BC

EF

Aplicende el Teoremo de Tholes.

AB

DE + 1= = +1 EF BC

Sumondo 1 o ombos miembros de lo iguoldod.

AB

BC

DE

EF

BC

BC

EF

EF

AB+BC BC

pag. 34

DE+EF EF

Expresonde 1 come una fraccion.

Sumando frocciones homogenees.

7

Geometria

AB+BC

DF EF

BC 5+ 3

Plana

Sumando longitudes.

Reemplozondo valores. EF Simplificando y despejondo EF.

EF = — u

Ejempio 7.1 7 Aplicacion del Corolario de Thales. En el siguiente bosquejo, se conoce q u e 5 es el punto medio d e ^ C y que ademds, DC y AE son segmentos porolelos. Demuestre que B tambien es el punto medio de DE.

Solucion: DB

BC

BE

AB

AB =--BC DB

BC

BE

BC

DB

= 1

BE DB=BE

(1)

Por el Corolorio de Thales. Por ser B punto medio de AC. Reemplozondo en (I).

Simplificando.

)

Por propiedades de los frocciones.

Con lo que se demuestro que B es el punto medio de DE.

pag. 35

7.4.2 Poligonos Semejantes y Congruentes Como yo se menciono onteriormente, el termino semejonzo induce a similitud e n f o r m a de dos objetos y el termino congruencio induce a i g u a l d a d de dos objetos. Poro expresor e identificar con propiedad estos coracteristicas que pueden tener dos poligonos, se empleon los siguientes definiciones. Definicion 7.10 (Pohgonos semejantes} Seon P i , P2, ... , P „ los vertices de un poligono de n lodos y Q\, Q2, ... , Qn los vertices de otro poligono, tombien de n lodos. Los dos poligonos se denominan semejontes, si y solo si existe una funcion biyectivo definido entre los vertices del primer poligono, con imdgenes en los vertices del segundo, construido de tol monero que o Pi le corresponde Q^, a P2, Q2 y asi sucesivomente; y ademds, se cumple que:

1)

P P r 2 Q.Q.

PA

p p

Q2Q,

QnQ.

2) [m4.Pi = m4.Qi] A [/n4.P2 = w ^ a ] A ... A [AW4.P„ = m i g j

Definicion 7.11 (Poligonos congruenres) Seon P i , P2, ... , P „ los vertices de un poligono de n lodos y Qi, Q2, ... , Q„ los vertices de otro poligono, tambien de n lodos. Los dos poligonos se denominon congruentes, si y solo si existe uno funcidn biyectiva definido entre los vertices del primer poligono, con imdgenes en los vertices del segundo, construido de tol monero que, o Pi le corresponde Qi, a P2, Q2 y osi sucesivomente, y odemds lo longitud del segmento PjP2 es iguol a lo longitud del segmento 2 , 2 2 ' 7' medidas de 4-Pi, 4-P2, — , 4-P„ son iguoies o los medidas de 4.Q1, 4-Q2, -^iT^^n, respectivamente.

pag. 36

7

Geometria

Plana

P4

Q4

Figura 7.25: Poligonos congruentes. Observese que el concepto de semejonzo es mds omplio que el de congruencia. Ademds, ^os poligonos semejontes poro los cuales A: = 1, son congruentes.

e j e m p i o 7.18 Semejonzo de polfgonos. Determine si los pentdgonos regulores que se muestran a continuocion son semejantes. Q2

1.6 cm

Solucion: Como los poligonos son regulares, entonces se cumple: .

•

P1P2

P2P3

_ P3P4

_ P4P5

Q1Q2

Q2Q3

Q3Q4

Q4Q5

_ P5P1 Q5Q1

0-32 cm _ l l.6cm

^ 5

[m4-Pi = m4-Qi] A [m4-P2 = ^n^-Qi] A ... A [m4-Ps = fn^-Qs]

Por lo tonto: Los polfgonos P i ^2-^3 ^4-^5 y Qi ^2 ft 24

son semejontes.

pag. 37

7.4 Poligonales y p o l i g o n o s

1)

2)

Autoevaluacion

Considere los siguientes puntos ubicodos en el plono. o)

Poro codo coso, trace uno lineo poligonal que contengo ol menos 4 de los 5 puntos mostrodos.

b)

En codo coso, trace uno poligonol cerrodo usondo los 5 puntos presentodos.

Considere los puntos P ( 2 , 1), Q(6, 0),R(3, a)

Grofique el poligono PQRS... cuondo

cuondo a= 1

a-0

y

y

5--

5--

4--

4--

3--

3--

2-

2--

1--

1-H

1

pag. 38

2) y Sia, 2a+3), siendo a e R + u {0}.

h

2

H

3

4

1

5

h

6

H

1

1

1

1

\-

2

3

4

5

6

7 b)

Geometria

Plana

Puede notar que lo recto 2x+ 3y = 12 contiene o los puntos Q{6, 0) y R (3, 2). - Con esto informocion, determine un intervolo de volores reoles poro a tol que el poligono PQRS sea convexo.

3)

Considerondo los puntos P,(\, 0), P^il, 0), P,i2, 1), P{i-\,

0), P{(-2, 0), Pi{-2,

1); y,

los poligonos PjP2-P3 Y ^{^2^3 groficodos o continuocion en el plono. y 1-

-2

-1

o)

sCudI es el efecto observodo?

b)

eLos dos figuros son congruentes?

c)

gPor que rozdn ocurre este efecto? Tome en cuento los coordenodos de los puntos.

pag. 39

7.5 Triangulos Objetivos Al finalizar esta seccion el lector podra: •

Dado un tridngulo, clasificorlo de acuerdo a la longitud de sus lados y a la medida de sus dngulos.

•

Dado un triangulo, identificar sus propiedades y elementos notables.

•

Construir diversos triangulos con tecnicas y materiales apropiados, identificando sus principales coracteristicas.

•

Dados dos triangulos, aplicar los criterios de semejanza y congruencia existentes en la resolucion de problemas.

•

Dado un triangulo rectangulo, determiner la medida de alguno de sus elementos, empleando relaciones trigonometricas.

•

Dado un tridngulo rectangulo, determiner la medida de alguno de sus lados, empleando el Teorema de Pitdgoras.

•

Dado un tridngulo no rectangulo, resolverlo empleando la Ley de los Senos o la Ley de los Cosenos.

•

Dado un problemo de la vida cotidiana asociado a triangulos, plantearlo y resolverlo analiticamente, interpretando la solucion dentro de su contexto.

Definicion 7.12 (Triangulos) Un tridngulo es un poligono de tres lodos. Dodos tres puntos no colineales A, B y C, estos determinon el tridngulo ABC.

Los velos de los borcos presenton diferentes formos de tridngulos, los mismos que pueden closificorse segun lo longitud de sus lodos o lo medido de sus dngulos.

Figura 7.26: Velos triongulores de los borcos. pag. 40

7

Geometria

Criterio

Plana

Figura

Closes

C Escaleno Es un tridngulo que no tiene lados congruentes

\

b/ c

Por la longitud de sus lados

Isosceles Es un tridngulo que tiene dos lodos congruentes

A'

A/ c C / \s con a/ \a / \s 4/ \R a

\ Un tridngulo

sus tres lodos se dice que es equildtero (

Rectangulo Es un tridngulo que tiene un dngulo recto

b c

Por lo medida de sus dngulos

Acutdngulo Es un tridngulo que tiene tres dngulos ogudos

r A

c C

Un tridngulo acutdngulo con sus tres dngulos \

, / r'N b/ \a / \s 4/\ se dice que es c equidngulo

Obtusdngulo Es un tridngulo que tiene un dngulo obtuso

Cuadro 7.3: Clasificacion de tridngulos. pag. 41

Elementos notables de un triangulo Entre los principales elementos del tridngulo, tenemos a los lados, vertices, dngulos interiores y dngulos exteriores. •

Lados: son los tres segmentos que definen la poligonal.

•

Vertices: son los puntos de interseccion de los segmentos que conformon los lados.

•

A n g u l o s interiores: son aquellos formodos por coda par de lodos consecutivos del tridngulo.

•

A n g u l o s exteriores: son oquellos formodos por un lodo del tridngulo y lo prolongocidn del otro lodo consecutivo hocia lo region exterior.

Propiedades •

Lo sumo de los medidas de los dngulos ogudos de un tridngulo rectdngulo,'es iguol a 90".

•

Los dngulos interiores de un tridngulo equildtero miden 60°.

•

En todo tridngulo, la medida de un dngulo exterior es lo sumo de los medidos de los dngulos interiores no contiguos.

•

En todo tridngulo, lo medida de un dngulo exterior es mayor que lo de cualquier dngulo interior no odyocente.

•

Lo sumo de los medidas de los dngulos exteriores de cualquier tridngulo es iguol o lo medida de cuatro dngulos rectos (360°).

•

Todo tridngulo equidngulo es equildtero, y viceversa.

Adicionolmente, se describen los rectos y puntos notobles del tridngulo con los cuoles se pueden resolver problemas prdcticos como el detollodo o continuocion: Un fobriconte monufocturo un producto que se vende en tres ciudodes A, B y C. Se deseo construir una fdbrico en un punto que equidiste de los tres ciudodes.

pag. 42

7

Geometria

Plana

A

1

Las tres bisectrices del tridngulo son semirrectos que se intersecon en un unico punto, el cuol equidisto de los lodos del tridngulo. Este punto se denomino incentro, denotodo por / en lo figuro, y es el centro de lo circunferencio inscrita en el tridngulo (circunferencio que es tongente a los lodos del tridngulo).

Figura 7.27: Incentro y bisectrices. A^

B

Lo m e d i o t r i z de un segmento AB es el conjunto de todos los puntos que equidistan de los extremos de este segmento. Los tres mediatrices del tridngulo son rectos que se intersecon en un unico punto, el cuol equidisto de'los vertices del tridngulo. Este punto se denomino circuncentro, denotodo por O en lo figura, y es el centro de lo circunferencio circunscrito ol tndngulo (circunferencio que contiene los vertices del tridngulo).

Figura 7.28: Circuncentro y mediatrices. Lo olturo relative o un lodo del tridngulo es el segmento de recto perpendiculor o este lodo, trozodo desde el vertice opuesto hosto dicho lodo o su prolongocidn. Los tres olturos del tridngulo son segmentos de recto que se intersecon en un unico punto. Este punto se denomino o r t o c e n t r o , denotodo por H en lo figura. El termino se deriva de aria, redo, en referencio ol dngulo formodo entre codo uno de los lodos y sus olturos relotivos. Las olturos y los lodos del tridngulo son inversomente proporcionoles en longitud. Figura 7.29: Ortocentro y alturas.

Figura 7.30: Boricentro y medionos.

Lo m e d i o n o de un lodo del tridngulo es el segmento de recto que tiene por extremos el punto medio del lodo y el vertice opuesto ol mismo. Los tres medionos del tridngulo se intersecan en un unico punto. Este punto se denomino boricentro, denotodo por G en lo figuro. El boricentro coincide con lo nocidn fisico de centro d e g r o v e d o d , tombien denominodo centro d e moso.

pag. 43

Es importante recalcar que los p u n t o s / y G se locolizon en la region interna del tridngulo, mientras que los puntos OyHpueden estor dentro o fuera de esta region. Ejempio 7.19 Ortocentro en un tridngulo.

\„^mmmmmmm^^^m^^^m^^^^^

Trace las tres olturos de un tridngulo ocutdngulo y obtenga el ortocentro. Solucidn: o)

Se construye uno olturo, trozondo un segmento perpendicular o uno de los lodos del tridngulo (o o lo prolongocidn del lodo), que contengo como uno de sus extremos el vertice opuesto o dicho lodo y el otro extremo pertenezco ol lodo en referencio.

iMIlllllllllllllllllllllllllll

b)

Se repite el poso anterior en los otros dos vertices, poro construir los dos olturos restontes.

~ I'll, "in,

c)

pag. 44

El ortocentro H es el punto de interseccion de los tres olturos.

7

Geometria

Plana

Ejempio 7.20 Puntos notables del tridngulo. Se tienen tres perritos alrededor de un ploto de olimento balonceado, tal como se

Si se dibujo un tndngulo en cuyos vertices estdn los tres perritos, determine el punto notable (incentro, circuncentro, ortocentro o boricentro) en el cuol debe colocorse el ploto de comido poro que los tres perritos se ubiquen a lo mismo distoncio de dicho ploto. Solucion: Por definicion, ol trozor los mediatrices de todo tridngulo se obtiene el circuncentro. El punto notoble denominodo circuncentro es el centro de lo circunferencio circunscrito, la cuol contiene o los vertices del tridngulo como puntos de lo circunferencio que diston la mismo longitud de su centro O, que en este coso coincide con la ubicacidn que debe dorse al ploto de comido.

Circuncentro

Entonces, poro gorontizor que los tres perritos esten a lo mismo distoncio del ploto de comido, este debe colocorse en el circuncentro. Este ejempio resuelto tiene similitud con el problemo de la ubicacidn de lo fdbrico respecto 0 los ciudodes A,By C, que se describio en pdginos previos. Lo respuesto es similar, yo que 01 formor un tridngulo entre estos tres ciudodes, lo fdbrico deberio estor ubicodo en forma equidistonte de los ciudodes cuondo se considere el circuncentro. pag. 45

/

Ejempio 7.21 Recta de Euler. La recta de Euler contiene el boricentro G, el circuncentro O y el ortocentro H de todo tridngulo. Dibuje un tridngulo acutdngulo no equildtero y un tridngulo obtusdngulo en donde se visuolice lo recto de Euler con los tres puntos notobles G, OyH. boTucion:

A continuocion, se muestro una de los posibles soluciones poro el tridngulo ocutdngulo no equildtero:

Recta de Euler

Ahoro se muestro una de los posibles soluciones pora el tridngulo obtusdngulo:

A

\

\a de Euler

Lo sumo de los medidos de los dngulos interiores de un tridngulo es iguol o 180°

Demostracion Sea el tridngulo orbitrorio ABC.

pag. 46

7

Geometrio

Plono

Prolonguemos el lodo AB y trocemos por B uno recto porolelo ol lodo AC. Se cumple que: m4.BAC = m4.DBE m4ACB = m4.EBC Por otro porte: m 4- CBA + m 4EBC + m 2iDBE = 180" Esto es: m4-CBA + m4.ACB + m4.BAC = 180° E[emplo 7.22 Triomguilos^ Dodo el tridngulo PQR donde RS pertenece o lo bisectriz de 4-PRQ y RT a \a bisectriz de 4SRQ, determine lo medido del dngulo RTF. R

\ 4{r\

9

Solucidn: m4RQP = AA°

Por definicion del suplemento de 136° R

p

40' 136"

m4PRQ=m°-

(40° + 44°) = 96°

\

Por sumo de medidas interiores de un tridngulo.

de

dngulos

R 96°

P

/44°

9

pag. 47

m^PRS = m2iSRQ= 48°

Por lo bisectriz de 4-PRQ.

R ^48° 48°^

'^44^

40°^

Q

Por lo bisectriz de ^iSRQ.

m^SRT=lA°

R

i\

p

40"

S

""^^^^^^^

T

Q

Por sumo de los medidas de onguios.

m4.PRT=rmi. PRS + m4-SRT

w4.Pi?r= 48°+ 24° = 72° R

P

S

\

m

S

m4-RTP = 180° - (72° + 40°) = 68°

Por sumo de las medidas de los angulos interiores de un triangulo.

Por lo tanto, la medido del angulo RTPes 68°. R

p

pag. 48

m

Q

T

I

7

Geometria Plana

Teorema 7.5 En todo triangulo la suma de las longitudes de dos lados cualesquiero es mayor que lo longitud del tercer lado.

Demostracion Considere un triangulo escaleno ABC. Si se construye el triangulo isosceles DBC, observe que:Cfi = 5 D = a ^

En donde se cumple que: 4.D ^ 2iBCD m4.ACD>m2!,D AD>AC AB +

BD>AC

AB+BC>AC c+

.-. a +

a>b o b

Analogamente: a+

b>c

b+

c>a

Este resultado tombien se conoce como relacion de existencia o desigualdad triangular, lo cuol puede expresarse asi: b-c c, se cumple que:

a-cQ°) ~ sen{15°)

1005gn(30°)

~

sen{15°)

El valor de sen{15°) fue obtenido previomente en el ejempio 7.41, por lo tonto, se procederd o reemplozorlo directomente en lo expresion: Entonces:

L =

loosen (30°) sen{l5°)

.-. I = 50(V6-V2'

pag.

80

100 yfe + yfl m

200

V6-V2^200(V6-V2)

yfe + S'yfe-^l

6-2

7

Geometria Plana

Ejempio 7.43 Angulos de elevocion.

Un globo es otodo ol punto mds alto de un puente recto con tensores. Paro determinor lo longitud de la alturo del globo respecto a la superficie del puente, uno persono mide lo longitud del puente y los dngulos de elevocion del globo desde c o d a extremo del puente, determinondo que lo longitud de este es de 3 0 0 pies y los dngulos de elevocion miden 30° y 45°. Colcule lo longitud de lo alturo a lo cual se encuentra el giobo respecto o lo superficie del puente.

Solucion: S e tendrd entonces un tridngulo con las siguientes corocteri'sticos:

300 pies 300-X

ton(30°)

x = ton

= X

to«(45°)

^ = hy/3 (30°)

=

h

300 300 - j c

X

=

X =

300 =

h X

ton ( 4 5 ° )

+

-

1

= 300 - A

Iguolondo los dos expresiones anteriores:

hS

= 300-h

+ h = 300

h^

-»

/if>/3 + l ] = 3 0 0 ^

300

^ ^ u u _

S +l

S-l

V £ _ i ^ A/3-1

300(>/3-1) 5^

3-1

;

I , ^

-4

h=

^S^ A/3+1

.

A = 150(>/3-l);7/e5

^

1^

Por lo tonto, el globo se encuentro o 150 (V3 - 1 ) p i e s d e lo superficie del puente.

pag. 81

7.5 Triangulos

Autoevaluacion

1)

Complete lo siguiente toblo: Closes de triangulos Por la medida d e su dngulos Por lo longitud d e sus lodos

2)

Construya la recta de Euler paro el tridngulo isdsceles mostrodo o continuocion:

3)

Considerondo lo figura odjunto, onolice c a d o proposicidn, y coloque en c a d o cosillo 1 si es verdadero y 0 si es falsa.

L

1 O)

b) c)

pag. 82

[(X =

2 ) ^ ( 2

= 30°)]

x+yi^6Q° x+y-z2 lx+5

x = 2V3 u

Con lo cuol:

Lo longitud de la olturo del tridngulo equildtero t esy = ^^a = ^2~(2) = V3 M Por lo tanto: X + >; = 2 V 3 + V 3 = 3 V 3 M Lo longitud x + y corresponde a lo olturo del tridngulo equildtero cuyo lodo tiene por longitud L que es tambien lo longitud de lo hipotenuso del tridngulo j:?:

x^y=fL Obteniendo lo longitud de la hipotenuso del tridngulop:

L=-^{x

+

y)=j^{3^l3)^6u

Luego, lo hipotenuso del tridngulop mide 6 u.

Ejempio 7.51 Areo de lo superficie de cuadrilateros. f

Se cubre el piso de un dormitorio con 4 baldosos identicas. Coda boldoso es un cuadrado negro en donde se ha pintado un cuadrado bianco cuyos vertices son los puntos medios de coda lodo de dicho baldosa. Determine que porcentoje del total corresponde al piso negro.

Solucidn: Al dividirse coda boldoso en cuatro partes, se tiene que:

Con lo cual, se concluye que el piso negro corresponde al 5 0 % del total.

pag. 95

S'\ P, Q y R son los puntos medios de los lodos indicodos, determine el valor de verdad de cada una de los siguientes proposiciones: I)

El cuodrildtero OPQR es un paralelogramo.

II)

PRIOQ

III) El perimetro del cuodrildtero OPQR es AC + BD. Solucidn: I)

Dodo que los \r\angu\os ADCy RDQ son semejontes (Criterio ALL), los dngulos CAD y QRD tienen iguol medida; por lo tanto, AC \\ De monero ondlogo, se concluye que OP \\AC y por tronsitividad, i ? ^ || OP. Bajo el mismo andlisis, se concluye que PQ \\ . En consecuencia, el cuodrildtero OPQR tiene sus lodos parolelos de dos en dos y constituye un paralelogramo. Luego, la proposicion I) es verdodero.

II)

Ahoro bien, como OPQR es un paralelogramo cualquiero, no podemos osegurar que PR X OQ. Luego, la proposicion II) es falsa.

III) Finalmente, el perimetro del paralelogramo OPQR es:

Per{OPQR) = l{OP + PQ) Puesto que OP y PQ representon lo mitod de AC y BD, respectivamente, se tiene:

PeriOPQR) = 2f^^AC + ^BD^=AC

+ BD

Entonces el perimetro del cuodrildtero OPQR es igual o AC + BD. Luego, lo proposicion ill) es verdodero.

pag. 96

7

Geometria Plana

Para figuras semejantes, se tiene que la relacion entre las areas es iguol ol cuadrado de lo relacion entre cualquiero de sus elementos lineales.

b K

a-

2

(b) 2 Kb')

[hj

A(F2)

(c] 2 [c'i

/

\

Ejempio 7.53 Areas de figuras semejantes. En lo siguiente figuro MN II AB, siendo MN = 3 cm y AB = 5 cm. Determine lo rozon entre el drea de lo superficie del trapecio ABNMy el dreo de lo superficie del tridngulo ABC.

C

Sol ucion: Puesto que MV i| AB, resulta que A M V C ~ AABC . ^(AM^Q Luego:

A(MBC)

IMN \2

AB J

Por lo tanto, ^ ( A M V Q =

I 9

f-1

2

.5,

A(AABC),

9 25 y puesto que el drea de lo superficie del

trapecio ABNMes iguol ol dreo de lo superficie del tridngulo ABC menos el dreo del tridngulo MNC, tenemos que:

Aiiz^ABNM) = AiA ABC)

16\ I 9\ A(AABQ = ^ A{AABC) [251 \25l

16 Luego, lo rozon requerido es-^r^.

pag. 97

Ejempio 7.54 Perimetros de poligonos. Uno logortijo ovisto una arono que se encuentra a una determinodo altura del piso tol como se indica en el siguiente bosquejo:

no XrQ nS^Oi^tf'^'' 20 cm

-my/

2 3 45°

Lagortijo

Si lo distancio entre lo logortijo y la ororio es de 20 cm, los anchos de los bloques 1, 2 y 3 miden 4, 5 y 6 respectivamente, y lo altura del bloque del centro mide 6 cm: a)

Calcule lo longitud de lo olturo o lo que se encuentra lo oroiia respecto ol piso.

b)

Calcule lo longitud de la olturo a lo que se encuentra lo telaroiia respecto ol piso.

c)

Calcule los distoncios que deberion recorrer la oroiio y lo lagortijo para llegor o lo teloraiia.

Solucidn: a]

h

,^e«(45°) = ^

^

= 2 0 5 e n ( 4 5 ° ) = 20

^V2^ V 2 ,

h b) '

=10V2c?w

h , . =h + h telarana

to«(45°)

. arana

= |

^

h = 9cm 9 cm—>i

^ . . ™ . . = ( 9 + 10V2)cm c)

Poro llegor o lo teloroiia, lo oroiio debe recorrer: < . * = 4 + (l0V2-6) + 5 + 9+10V2-6

=(l2 + 20^^' cm

pag. 98

+6

7

Geometria Plana Para llegar a la telarana, la lagartija debe recorrer:

nJ

4 . , . . , . = 20V2 + 12 + 20V2 4a.a.,.-12 + 40V2cm Por lo tanto, poro llegar a lo telarana, la orofia y la lagartija deben recorrer (12 + 20V2 ) cm; y, (12 + 40a/2 ) cm, respectivamente.

Ejempio 7.55 Areas.

-.rf».,.i.Aa*iL.

rum

Cuatro tridngulos rectdngulos isosceles de iguoles dimensiones se sobreponen de ocuerdo a lo figura adjunta.

Si cada tridngulo se sobrepone desde el punto medio de uno de los lados congruentes del tridngulo que le precede, determine la relacion R entre el dreo de la region superpuesta y el drea de lo superficie total de los cuatro tridngulos.

Solucidn: Por las caracteristicas de lo construccion, cada tridngulo gronde se puede dividir en cuatro tridngulos pequefios, congruentes entre si.

pag. 99

I

Tres de los tridngulos pequenos pertenecen a lo region superpuesta, y dado que los cuatro tridngulos grandes se conforman de un total de 16 tridngulos pequefios, la relacion entre sus dreos serfo: n

•'^Superpuesta ^-tridngulo grande

Con lo cual, la relacion requerido es

3

•^visnguitrpequeHo triangulo pegueiio)

3 16

Ejempio 7.56 Areas. |,

En lo siguiente figura My Nson los puntos medios de dos de los lados del cuadrado

ABCD. A

M

B

2u

D

C

Calcule el dreo de lo superficie del trapecio NMBD, en u^. Sol ucion: El dreo solicitodo se colculord restando el dreo de lo superficie del tridngulo AMN del drea de lo superficie del tridngulo ABD.

*^B

•^Tridngulo ABD -

2

(1)(1)

1

^Tridngulo AMN''

A

—A

^Trapecio NMBD ~-^Tridngulo ABD

-.A

—7

-^Tridngulo AMN~

L—^,y2 2^2

Por lo tanto, el dreo de la superficie del trapecio requerido es 1.5 u^.

pag. 100

7

Geomefrio Piano

Ejempio 7.57 Perimetros y dreos. Calcule el perimetro del trapecio, si el dreo de lo superficie del cuadrado es iguol a 4 crn^ y el dreo de lo superficie del tridngulo rectdngulo isosceles es igual a 4.5 crn^.

IP

^ a

a

Solucidn:

Como el dreo de lo superficie del cuodrodo {AQ =

tiene un valor iguol o 4 cm^,

lo longitud de su lodo debe medir: / = y[A^ = ^/4 = 2 cm. _ ^ \ Como el dreo de lo superficie del tridngulo rectdngulo isosceles (A Aj-=

tiene un valor iguol a 4.5 cm^, lo longitud de sus lados congruentes debe ser:

a = /61 cm

pag. 101

Ejempio 7.58 Perfmetros y areas. Sea la funcion/: R

R cuyo regIa de correspondencia es f\x)--x^

- 'ix:

y

V

9 4

3 2

0

i'

/ /

A

Si el tridngulo AOV es isosceles, siendo V el vertice de la grdfico de la funcidn, determine: o) b)

El perfmetro del tridngulo. El dreo de lo superficie del tridngulo.

Solucidn: Poro determinor cudndo fix) = 0, se resuelve la ecuacion cuodrdtico: -x^-3x=0

=> x ^ + 3 x = 0

=> x ( x + 3) = 0 =>

(x=0)v(x=-3)

Lo ordenada del vertice K s e obtiene evoluondo /'cuando x = - - y :

''sY

-3

Luego, el vertice es V

^ 3 ^ __9 ~

9_9 4

2~ 4

'_3 9

[

2'4

Se aplico el Teorema de Pitdgoros para determinar lo longitud de VO: 9

vo =

81

/ m

3

16

4

El perfmetro del tridngulo ^ O F e s :

Per =

ra+o5+If=-713+-Vi3+-=2 2

.-. P e r = - ( V l 3 +

pag. 102

3)M

+-

7 b)

Geometria Plana El area de la superficie del tridngulo AOV es:

:. A = — u

Ejempio 7.59 Perfmetros y dreos. Sean los funciones / : R i - > R y g : R i - > R cuyos reglas de correspondencio son: / W = i-f

y

g{x) = x-3

y

,A D

/

/

/B

\

0

^

fc

g /

En el mismo piano cortesiono se fio groficodo el trapezoide simetrico ABCD (deltoide), tol como se indica.

Calcule: o) b)

El perfmetro del deltoide. El drea de lo superficie del deltoide.

pag. 103

Solucion: a)

Se obtiene el valor de la funcion / c u a n d o x = 0 : / ( 0 ) = 1 Se obtiene el valor de lo funcidn g cuando x = 0: g{0) = — 3 A d e m d s , / ( x ) = 0 y g ( x ) = 0, cuando x = 3. Por lo tanto, las coordenodos de los vertices A, By C son: • • •

^(0,1) ^(3,0) C(0,-3)

Como el trapezoide es simetrico, su cuarto vertice es D ( - 3, 0). Se oplico el Teorema de Pitdgoras en los tridngulos rectdngulos OAB y

OBC: AB = ^(OBf + [OAJ = ^ ( 3 ) ' + (1)' = VlO M BC = ^(OBJ

+ (ocf = ^{3f

+ {3f = V l 8 = 3>/2 M

Por la simetrio del deltoide: AB^DAy

BC= CD.

El perimetro del deltoide es:

Per = AB + BC + CD + DA Per = AB + BC + BC + AB Per = 2('AB + BC^ :. Per = 2(M + 3^)u b)

El dreo del deltoide es dos veces el dreo de lo superficie del tridngulo ACD:

l-h, ^Deltoide ~ ^-^Tridngulo ~ ^

^Deltoide

pag. 104

= (AO+0C)-0D

=

= {M){3)

lhi^ACOD

7

Geomefrio Plana

7 7 Perimetro y a r e a de un polfgono

1)

Calcule el perimetro de cada uno de los poligonos mostrados a continuacion: a)

2)

Cuodrildtero

b)

Paralelogramo

c)

Cuadrado

Determine el dreo de la superficie en de coda polfgono mostrado a continuacion. (Note que las figuras no estdn dibujados a escalo). a)

3)

Autoevaluacion

Tridngulo

b)

Rombo

c)

Cuadrado

d)

Trapecio

eCudI es lo longitud L del lodo del cuadrado que tiene igual valor de dreo y perfmetro?

pag. 105

4)

5)

Suponga que se tiene una cinta fina no elastica de 65 cm con lo que se deseo decoror el borde de una coso de cortulina como se observo en la figura adjunta. Si 5 cm de coda extremo de la cinto no debe ser pegodo a lo cortulina, calcule lo longitud h de lo altura que deberfo tener lo caso.

Tridngulo equildtero Cuodrodo

Considere lo grdfico de lo funcidn f(x) = cos(x) + 1 y la region R correspondiente ol conjunto de verdad del predicado:

y0

+l f(x) = cos(x)+ 1

0m4-AOE c]m2iODE a = 1 8 0 ° - w 4 . ^ 5 C = 1 8 0 ° - 5 8 ° = 122°

Con lo cuol, la medida requerido es de 122°. Ejempio 7.68 Angulos en lo circunferencia. En el siguiente bosquejo, considere que m 4- BOA = S m 4-AOD y determine la medida del dngulo semi - inscrito ADE.

Solucidn: m4.BOA + m4.AOD= 180°

Angulos suplementarios

Sm4-AOD +

Condicidn del problemo

m 4.AOD = 10°

m4.AOD=\S0° A w 4 - 5 0 ^ = 160°

Medidas de dngulos centrales

m 4. BDA =^m4- BOA = 80°

Propiedad de dngulo inscrito

m 4.BDA + m 4-ADE = 90°

Medida de dngulo semi - inscrito

/w4-^£' = 90°-80°=10° Por lo tonto, el dngulo semi-inscrito mide 10°.

pag. 119

7.8 Circunferencia y circulo

1)

Autoevaluacion

Considere lo siguiente circunferencio C , cuyo centro es el punto O. Ademds, los puntos P , e , i? y 5 pertenecen o C , 0 ^ 1

y QRWL^WL^,

odicionolmente,!^^ C = {S}.

Complete el crucigromo con lo polobro faltante en coda literal.

a)

O P e s u n ... de C.

b) c)

es una recto ... de C. P^esun... deC. es una recto ... a lo circunferencia C

d) e)

QR es una ... de C.

f)

@ ~ e s un ... de C d

a

e

b f

c

2)

Un onillo y una monedo son colocados sobre una mesa. Si se observan los objetos, pueden considerorse como una circunferencia y un circulo, respectivamente.

O pag. 120

7

Geomefrio Plana

a]

Explique con sus propios polobros, lo diferencia entre estos dos conceptos, utilizando los objetos del ejempio.

b)

Proporcione un ejempio de circunferencia y uno de circulo que se relocionen con su vido diorio.

En la circunferencia C mostrado o continuacion, se cumple que:

•

es tangente o C en el punto P.

•

es tangente o C en el punto Q.

• i? es el punto de interseccion entre

Y L^.

• A es un punto que pertenece a C. • e = 60°

Considerando estos condiciones, determine el valor de

to«^(co).

pag. 121

7.9 Polfgonos y circunferencias Objetivos Al finalizar esta seccion el lector podro: •

Determinar las relaciones entre los elementos que conforman circunferencias y poligonos, inscritos o circunscritos.

Definicion 7.18 (Poligono inscrito o circunscrito) Un polfgono se dice inscrito en una circunferencia si todos sus vertices son puntos de lo circunferencia; recfprocamente, la circunferencia se dice circunscrito al polfgono. Un polfgono se dice circunscrito a una circunferencia si sus lodos son segmentos tangentes o la circunferencia; recfprocamente, lo circunferencia se dice inscrito en el polfgono.

Polfgono inscrito

Poligono circunscrito

Una propiedad importonte de los polfgonos regulares es que siempre pueden inscribirse en una circunferencia.

Figura 7.35: Polfgonos inscritos. Tol como se puede observer, en la figura 7.35 (a), (b) y (c),L„y r representon las longitudes de cado uno de los n lodos de los polfgonos y lo longitud del radio de coda circunferencia circunscrito, respectivamente. Lo apotema a„ en un polfgono regular de n lados es un segmento cuyo longitud es iguol o lo distoncia perpendicular desde ei centro de lo circunferencia circunscrito fiasta un lodo del polfgono. pag. 122

7

Geometria Plana

En la figura 7.35 (a), (b) y (c), a„ = OP; y, es posible demostrar que a^, =

^ 4 = ^^C^ y

a^ = •^2^', siendo r en coda uno de los cosos, lo longitud del radio de la circunferencia circunscrito. De monera ondlogo, los polfgonos regulares pueden siempre circunscribirse a una circunferencia, tol como se muestra en lo figura 7.36. Dicfio figura presento las relaciones entre los medidas de radio de los circunferencias y lados de los polfgonos circunscritos.

\ \ /

0

0 r y

r

\

Z3=2V3r

/ /

.0

--2r

(a)

(b)

(c)

Figura 7.36: Polfgonos circunscritos. Si tomamos una circunferencia y en ella inscribimos un polfgono regulorPden lados, poro n finito, C - P „ > 0 , donde C e s la longitud de la circunferencia y P„ el perfmetro del polfgono; 0 medida que n oumento (n 00), lo diferencia C - P„ se fioce infimo, es decir, P„ C. Esto serd expresado diciendo que C es el Ifmite de P„ cuando n crece indefinidomente, lo cuol se denota como: lim

P„=C

La longitud del radio de lo circunferencia inscrito en un tridngulo rectdngulo es igual o lo sumo de los longitudes de los catetos, menos lo longitud de la hipotenuso, todo dividido entre dos.

pag. 123

El producto de los longitudes de dos lodos cualesquiera de un tridngulo, es igual al producto de lo longitud del didmetro de lo circunferencia circunscrito a este, por la longitud de lo altura relativa ol tercer lado.

En un tridngulo, lo rozon entre la medida de un lodo y el seno de lo medida del dngulo opuesto es igual a lo longitud del didmetro de la circunferencia circunscrito ol tridngulo.

los tres lodos, dividido poro cuatro veces la longitud del radio de lo circunferencia circunscrito ol tridngulo.

Ejempio 7.69 Polfgono circunscrito.

^^^^^mam^^m

ABC es un tridngulo equildtero y DEFG es un rectdngulo cuyo segmento DE mide b unidades, como se observa en lo figura. Si la circunferencia mostrada estd inscrito en el tridngulo GFC, determine la longitud de su didmetro.

B Solucidn: Se puede observor que DE = GF= b. la circunferencia se ha inscrito en el tridngulo GFC, que tambien debe ser equildtero, y se cumple que:

: . d = ^ = ^ = ^ = ^ b u n M ^ les V3

pag. 124

V I

V3

3

7

Geomefrio Piano

Ejempio 7.70 Polfgonos inscritos y circunscritos. El triangulo equilatero de lo figura mostrado estd circunscrito o lo circunferencia que tiene un cuadrado inscrito en ello. Si el lodo del tridngulo tiene una longitud de 1 m, calcule el dreo de lo superficie del cuodrodo.

Solucion: Lo relacion entre la longitud L del lodo en e! tridngulo equildtero y la longitud r del radio de lo circunferencia inscrito es:

2Sr

/ /

=L

L O

r

2V3

S

r =—m 6 En un cuodrodo inscrito en una circunferencia se tiene la siguiente relacion entre lo longitud de su lodo y la longitud del radio de lo circunferencia circunscrito:

L = 42r Z = ^/2 v 6 .

T ^ L =— m 6 En consecuencia, el dreo de la superficie del cuodrodo es:

V Dy

6

pag. 125

Ejempio 7.71 Angulos en circunferencia circunscrito. Si la estrello inscrita en la circunferencia, de centro O, tiene todos sus lados y dngulos congruentes, calcule lo medida a en grados sexogesimoles.

ft

Solucidn: En lo figura dada se colocan los vertices Ay B;y, se dibujan los radios OA y OB poro tener el dngulo central BOA.

Se puede determinar lo medida del dngulo central BOA en virtud de lo congruencia de todos sus lodos y dngulos: 360°

m^BOA = ^

= lT'

Por otro parte, lo medido del dngulo inscrito en una circunferencia es iguol o lo mitod de la medida del dngulo central que lo subtiende. En este coso:

a = y w 4.B0A = y (72°) = 36° Por lo tonto, lo medida requerido a es 36°.

pag. 126

7

Geomefrio Piano

Ejempio 7.72 Angulos en circunferencia circunscrito. Se tiene un dodecdgono regular inscrito en la circunferencia con centro en O, calcule la medida en grados sexogesimoles de los angulos ABC y ADB.

Solucion: La medida del dngulo inscrito en una circunferencia es igual o la mitod de la medida del dngulo central que lo subtiende. En este caso, m 4-ABC es iguol a lo mitod de m 4-AOC y m 4-ADB es lo mitad de m 4-AOB. Se puede determinar la medida de 4-AOC considerando que se trato de un dodecdgono regular: » ™ m4.AOC = = 30° 12 Entonces: m 4. ABC = ^m4.AOC

= ^ (30°)

.-. m4.ABC= 15° Ndtese que m4-A0B = 5 m 4-AOC, osf: 1 m4-ADB = —4.A0B

=—{5 m4-AOC)

; w 4 . ^ £ » 5 = y ( 5 ) ( 3 0 ° ) = 75°

Por lo tonto, m 4-ADB = 75°.

pag. 127

7.9 Poligonos y circunferencias

Autoevaluacion

1)

Construyo la circunferencia circunscrito a los siguientes poligonos regulares.

2)

Construyo la circunferencia inscrita en los siguientes polfgonos regulares.

3)

Obtenga una expresion olgebroico pora lo longitud a de lo opotemo de un octdgono regular cuyo lodo tiene longitud L. Considere que tan

pag. 128

7 4)

Ceometria Plana

En el cuadrado se han inscrito cinco circunferencias cuyas longitudes de radios son Ry r,y que ademas, son tangentes entre si, tal como se muestra en la siguiente figura.

S'\ = 4r, determine una expresion para el area A de la superficie del cuadrado en funcion del parametro r.

5)

Colifique la siguiente proposicion como verdadera o falsa, considerando el triangulo ABC mostrado: B

"El radio de la circunferencia inscrito en el triangulo

mide — unidodes"

pag. 129

7.10 Figuras circulares Objetivos Al finalizar esta seccion el lector podra: •

Reconocer las caracteristicas de las principales figuras circulares.

•

Calculor perimetro y area de figuras circulares.

•

Calculor perimetro y dreo de superficies sombreadas.

Perimetro del circulci El perimetro del cfrculo coincide en su medida con lo longitud de la circunferencia. Tol como se menciono en el copftulo 5 de esto obra, calculor lo longitud de lo circunferencia es equivolente o colcular lo longitud de un arco que corresponde o una vuelto completo:

Longitud de arco = 9r siendo 0 lo medida en radianes del dngulo y r lo longitud del radio de la circunferencia. Luego:

Per ( Circulo ) = Inr Ejempio 7.73 Perfmetro de figuras circulares. Los conductos de cables telefonicos estdn construidos poro contener tres cables, cuyos secciones transversoles son circulares y tangentes ol conducto y entre sf; y cuyos radios r miden 1 cm. Determine el perfmetro del conducto.

ucto

Solucidn: De la figura se puede observar que/? = OP + 1. Debido o que el tridngulo que se forma uniendo los centros de los tres cfrculos menores es equildtero, con longitud de lodos Z = 2 cm, se puede deducir que: OP = ^h

(O es el ortocentro)

Por otra parte: h= y^ L

(h es lo longitud de la olturo del tridngulo equildtero)

Luego 5 F = | - ( ^ ) ( 2 ) = ^

cm y

= OP + 1 = ^

+ 1 cm.

Por lo tonto, el perfmetro del conducto es:

Per = 2KR = 2n{0P + 1) = 2 7 i ( ^ + l ] =

pag. 130

+ 2) TI cm

7

Geometria Plana

Ejempio 7.74 Perfmetro de figuras circulares. Si O es el centro de lo circunferencia o partir de la cuol se fia dibujado lo semicircunferencia mostrado de radio de longitud R = 2cm, determine el perfmetro de lo region sombreada.

A

O

Solucidn:

R

B n

Lo semicircunferencia OA tiene radio de longitud r = 2" = 1 cm. El perimetro a calculor serfo lo longitud de la semicircunferencia pequeiio OA, mds lo longitud del segmento de recto OB, mds la longitud de la semicircunferencia gronde BA.

Per=62+OB+^

= ^ (Inr)

+ R + ^

(2TIR)

Per = I [271(1)] +2+^ 1 ro. [27r(2)] = TT + 2 +27i

2

Per = {3%+2) cm

Area del circulo El dreo del circulo es el Ifmite de las dreos de los polfgonos regulares inscritos en lo respective circunferencia.

lim A{P„)= A (Circulo) «->Q0

Si consideromos un polfgono regular p de n lodos, de perfmetro Per(p) y longitud a de la apotemo, podemos descomponerlo en n tridngulos congruentes cuyo lodo opuesto ol dngulo principal tiene longitud / , siendo a lo longitud de la altura relativa a este lado, de tal forma que:

A{Poligono) = ^2^ = ^ ^ AiPoligono) =

M^h^

Consideremos ohoro un cfrculo de longitud r de radio y los polfgonos regulares inscritos y circunscritos a ese cfrculo. Si hocemos crecer el numero de lodos («—>oo), lo longitud de los opotemos se oproximon o lo longitud del radio del circulo. Diremos entonces que el dreo de la superficie circular es oproximodomente iguol al drea de lo superficie de un polfgono regular con numero ilimitado de lodos ( « ^ o o ) ; esto es, el semiproducto de lo medida del perfmetro por lo longitud del radio. pag. 131

A S I se obtendria que:

Aiarculo)

= ^

A{Circulo) = ^

^

^

^

A{Circulo) = %r"

Ejempio 7.75 Area relacionada con figuras circulores. Determine el dreo de lo region sombreodo si el cuadrado circunscrito tiene lodo de longitud An.

Solucidn: A(Cuadrado) =A{Regidn sombreadd) + A(Circulo) A{Regidn sombreada) = A{Cuadrado)

-A(Circulo)

A (Region sombreada) = 4^- nilf = 16 - 47i; = 4(4 - TT)

Ejempio 7.76 Area de figuras circulares. Colcule el dreo de lo superficie de un circulo en el que se ho inscrito un cuodrodo de 50 metros cuodrodos de dreo.

Solucidn: Tenemos: 50 = L^

Z = V50=5V2 w

Como se troto de un cuodrodo inscrito: L = r yfl =^ r=5m Por tonto: A(Circulo) = nr^ = 25 Tzm^

pag. 132

7

Geometria Plana

A mas del circulo, se conocen otras figuras circulares de importancia tales como:

A

B

Sector circular Es la region del circulo comprendida entre dos radios y el arco que subtienden.

Segmento circular Es la porcion del circulo comprendida entre una cuerda y el arco correspondiente.

C o r o n a o anillo circular Es la region comprendida entre dos circulos concentricos (que tienen el mismo centro).

Area del sector circular Si 0 es la medida en radianes del angulo central de un sector circular, estoblecemos una regIa de tres simple, a saber:

2n radianes 9 radianes

A{Sector circular)

Por tanto:

A{Sector circular) = -A^

pag. 133

Si G esta dado en grades sexagesimales:

A{Sector circular) =

Area del segmento circular El area del segmento circular se obtiene como la diferencia entre las areas del sector circular y del triangulo correspondiente. De la figura anterior, podemos deducir que:

A(Segmento circular) = AiSector circular AOB) - A {Triangulo AOB) El area del triangulo isosceles AOB se puede calcular como en radianes. Asi:

A{Segmento circular) = -^r^ 9 -

r^ sen(Q), con 9 expresado

sen(Q)

A{Segmento circular) = y r ^ (9 - sen{%))

Area de la corona circular El area de la corona circular se obtiene como la diferencia entre las areas de los circulos concentricos.

A(Corona circular) = A(Circulo de longitudR de radio) - A(Circulo de longitud r de radio) A{Corona circular) = nR^ - nr^ A{Corona circular) — niji^ - r^)

pag. 134

7

Geometrio Plana

Ejempio 7.77 Area relacionada con figuras circulares.

El triangulo^5Ces equilatero,^5 =BC = AC = ayP, M,N son los puntos medios de sus lados. Determine el area de la region sombreada.

B

Solucion: El area As de la superficie sombreada puede ser calculada mediante la diferencia entre el area de la superficie del tridngulo equilatero y la de los tres sectores circulares de longitud de radio y medida de angulo radianes. Asi:

As = A^-3A^ sc

Asc = a\

Asc =

/TT^ 2 9 \ 1a^% 24; *

As =

4

8

As=fi2^-n)u^

pag. 135

Ejempio 7.78 Area de figuras circulares. Determine el porcentaje del area de la superficie sombreada respecto del area total del cfrculo.

Solucion: Si la medida del angulo central indicado es

radianes o 45°, la superficie

sombreada corresponde a un sector circular con un dngulo de ^^radianes o 315". Por lo tanto, el porcentaje del area de la superficie sombreada respecto del total, serfa:

4151X 100 = - J X 100 = 87.5% Ejempio 7.79 Area de figuras circulares.

mamammmKmrnHm^

Si la figura adjunta corresponde a un semicirculo de radio de longitud r = 2a, determine el area de la superficie sombreada, considerando que el tridngulo ABC es rectangulo isosceles.

A

A = i2%-\)a^

pag. 136

7

Geometria Plana

Ejempio 7.80 Area de figuras circulares. En la figura adjunta, la longitud del radio del cfrculo es 5 cm. Si los dngulos centrales AOB y DOC miden

V

respectivamente, calcule el

area de la superficie sombreada.

Solucion: El area de la superficie sombreada serd obtenida restando el area del cfrculo menos el area de los dos sectores circulares. Asf:

A-s - A:~ A c , ~ Calculando el area del cfrculo:

Ac = nr^ = TZ {sf = 25n cm^ Calculando el area de ambos sectores: (5/

2571

-cm

Ac, =

V6y

2571 12

-cm

Calculando el area de la superficie sombreada:

A r = yf3pies Se desea entonces, determinar el perfmetro del hexagono. El radio de la circunferencia es congruente con la apotema del hexagono y dado que se puede dividir al hexagono en seis tridngulos equildteros cuya longitud de lado es Ly longitud de altura es r, se tiene:

2(V3) = V3L L = 2 pies M=Perip) = 6(2) =12 pies Calculados el perfmetro M y longitud r de la apotema del hexagono, es posible calcular el drea de captacion:

A Aff, ' , ^ ^ K P ) • a {M)(r) (12)(V3') Ac = A{Hexagono) = = —-— = Ac = 6V3 pies^

pag. 144

Geometrio Plono

V.___

2)

:

Observe la siguiente figura, en la cual a = 40 cm, b = 30 cm y r = 10 cm. K

a

*H

a)

Determine el area A de la region sombreada.

b)

Si se considera n » 3.1416, obtenga un valor aproximado del drea calculada.

V

3)

^

/

Determine el drea de la superficie sombreada del siguiente bianco de punteria. Tome en cuenta que las circunferencias son concentricas y tienen radios cuyas medidas son 2, 5, 8, 11, 14 y 17 COT.

pag. 146

Respuestg a I desafio En el triangulo ABC, considere a BD como un segmento que pertenece a la bisectriz del dngulo B; slendo AE una mediana de dicho tridngulo.

STATE OF OBtooK

Luego, observe que los tridngulos ABD y DBE son congruentes.

B

A Por lo tanto: ~ = c

a = 2c

Como a,byc deben ser numeros enteros consecutivos, observe la tabIa que se construye a partir de la condicion obtenida.

2

3

1

4

3

2

Donde a = 2, Z) = 3 y c = l n o cumplen con todas las condiciones de existencia de tridngulos ya que en este caso, no se da que a + o b . Por lo tanto, estos posibles valores no constituyen una solucion al problema planteado. ASI a = 4, 6 = 3, c = 2 son ias longitudes (en pulgadas) requeridas de los lados del tridngulo .iBC, ya que cumplen con las condiciones necesarias para la existencia de dicho tridngulo.

pag. 147

1)

Se muestran varias definiciones erroneas, identifique el error y luego reescriba la definicion correctamente. •

Puntos colineoles Son todos aquellos puntos que pertenecen a una misma curva.

•

Punto medio de un segmento de recta Es un punto C que pertenece al segmento definido por los puntos A y B, tal que

AC = AB. •

Convexidad Una figura F se denomina convexa cuando existe un par de puntos que pertenecen a la figura, tal que el segmento de recta definido por ambos puntos estd incluido en la figura.

2)

•

Congruencia Es la relacion entre figuras geometricas con igual medida, tales que al trasladarse, rotarse, reflejarse y superponerse una a otra, coinciden; es decir, tienen la misma forma y el mismo tamano. El simbolo que geometricamente se utiliza para indicar congruencia es ~ .

•

Simetria Es la propiedad que tiene una figura, tal que al dividiria mediante una recta horizontal denominada eje de simetria, las dos partes en las que se divide son figuras congruentes.

Determine el valor de verdad de cada proposicion: a) b) c) d) e)

3)

Si C es un punto medio del segmento AB y D tambien lo es, entonces Cy D son puntos diferentes. Si una figura es asimetrica, entonces no tiene eje de simetria. Si una figura se divide mediante un eje en dos partes congruentes, entonces es simetrica. Basta que una figura geometrica sea convexa para que no sea concava. Si dos figuras son congruentes, entonces son simetricas.

Para las formas dados, determine el numero de ejes de simetrfa. a)

b)

' pag. 148

A

Geometrio Plono

7 4)

Considere los siguientes puntos en el piano cartesiano: . • •

P(l,l) G(5,0) i?(-l,3)

• S(4,6) • T(2,4) I)

Construya y determine la longitud de los siguientes segmentos, utilizando una regIa, recuerde graficor los puntos en una escala 1:1. a)

PQ

b)

RS

c)

W

d)

re

e) II) 5)

^

-

Sefiale el punto medio de coda segmento.

De las siguientes figuras, identifique cudles son simetricas y cudles son asimetricas. En el caso de ser simetricas, determine el mdximo numero de ejes de simetria que pueden trazarse.

pag. 149

6)

Dibuje una figura simetrica a la figura dada con respecto al eje de simetria L especificado.

7)

Dibuje cinco figuras convexas.

8)

Dibuje cinco figuras no convexas.

9)

Considere la siguiente sucesion de puntos en el piano definido mediante la expresion recursive: V« > 1

Pn-xifnJn.x);

V « > 2 , / „ = / „ _ i + / „ _ 2 ; / o = 0,/i

a) b) c)

Grafique los cinco primeros puntos. Determine si al tomarlos en ternas, estos puntos son colineoles. Construya segmentos de rectas distintos entre los cinco primeros puntos generados.

7.2 Closes de rectas en el plono • 10)

•

•

• •

Defina: a) b) c)

11)

= l

Rectas secantes. Rectas paralelas. Rectas oblicuas.

Determine el valor de verdad de cada proposicion: a)

Una recto es paralela a otra cuando no tienen punto alguno de interseccion.

b)

S'\ er\\once% L^l-Ly

c)

Si {L^LL^) A ( L j X L ^ ) , entoncesHZ^.

d)

Existe una recta que es paralela a si mismo.

e)

Todas las rectas paralelas tienen la misma direccidn.

12)

Dibuje, con la ayudo de una regIa, tres figuras que se relacionen con su vido diorio y que representen las caracteristicas del paralelismo entre rectas.

13)

Dibuje, con la ayudo de una reglo, tres figuras que se relacionen con su vido diorio y que representen las caracteristicas de lo perpendiculoridod entre rectas.

14)

Dibuje, con la ayudo de una reglo, tres figuras que se relacionen con su vido diorio y que representen las caracteristicas de la oblicuidad entre rectas.

pag. 150

7

Geometria Plana

15) Empleando reglo y escuadra, trace una recto paralela y otra perpendicular a cada una de los rectas dodos:

16) Mencione los nombres de dos colles del centro de la ciudad en que vive cuyas direcciones seon: a) b) c)

Paralelas. Perpendiculores. Oblicuas.

17) Dy E son dos puntos en un segmento de recto AX y F algun punto en otro segmento AY. FD y FE intersecon el segmento de recto AZ en los puntos By C, dividiendolo en tres partes. Si M e s algun punto del segmento AZ, lo prolongacion de DM interseca a AY en P; y, la prolongacion de EM interseca a AY en Q, interprete y bosqueje la situocion planteado.

pag. 151

18)

Sean Ay B dos puntos en el plono, sea C un punto en el segmento AB y sea D uno sobre la prolongacion de AB tal que:

AC -BD =AD BC = k donde k es una razon dodo.

A •

C •

B •

D «

C y D dividen interna y externomente al segmento AB en dicho valor k, entonces, diremos que los puntos Cy D son armonicos conjugodos deAyB. Demuestre que, si Cy D son armonicos conjugodos deAyB, entonces Ay B son armonicos conjugodos deCyD.

7.3 Angulos 19)

® *

Determine el valor de verdad de coda proposicion con respecto a lo siguiente

a) b) c) d) e)

20)

® ® •

Si los dngulos 2 y 7 son externos, entonces 3 y 6 son alternos internos. O los dngulos 3 y 2 son opuestos por el vertice, o, 1 y 5 son correspondientes. La suma de los medidas de los dngulos 1 y 3 es igual a it, porque 2 y 8 son dngulos conjugodos externos. El par de dngulos 2 y 6 son correspondientes, ounque el par de dngulos 2 y 7 seon alternos internos. Bosto que lo medida del dngulo 3 sea conocido, para determinar la medida de los dngulos 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8.

Dodos las siguientes medidas de dngulos, construya lo bisectriz de los mismos. Luego, compruebe lo construccidn, utilizando un graduodor: a)

b) c) d) e)

pag. 152

a=75° P = 90° X=110° 9 = 35° \|/=120°

Geometria Plana

7

21) Si en la figura L || M, entonces la medida a es igual a : a) b) c) d) e)

30° 40° 50° 70° 110°

M

22) Dodo lo figura, si L || M, determine las medidas foltantes, en grados sexagesimales.

L

23) Si los rectas Zi yLi son paralelas, lo medida

a) b) c) d) e)

en grados sexagesimales es igual o:

40° 100° 116° 90° 110°

24) Si en la siguiente figura se conoce que: x = 73°, y - x = 32°, identifique cudi de las siguientes proposiciones es verdadera: a) b) c) d)

Los dngulos de medidaszyx son congruentes. Los rectas my n son paralelas. Los rectas my n no son paralelas. Los dngulos de medidasx ey son suplementarios.

pag. 153

26)

Si en la siguiente figura LM II AB, identifique la proposicion verdadera:

a) b) c) d) e)

m 4.LED + m 4.DFB = 120° m^BFCi^m^AFD 4- CEL y 4- BFE son suplementarios. m2iMEC = m4-EFA m 4-BFE + m 4.FEM < 180°

7.4 Poligonales y poligonos # # • • ® 27)

Todas los figuras regulares simetricas son convexas. a) Verdadero

28)

Si un poligono tiene 14 lados, la sumo de las medidas de sus dngulos interiores es2150°. a) Verdadero

pag.

b) Falso

154

b) Falso

7

Geometria Plana

29) Determine las medidas ay b en la figura adjunta.

30) Determine las medidas a, b y c en \a figura adjunta.

pag. 155

32)

En la siguiente figura donde ^ 5 || DE; m 4-HBA lo medida x es igual a :

30°; m 4.DCH= 120°. Entonces,

E, a) b) c) d) e)

33)

40° 80° 45° 30° 60°

Determine, segun sea el caso, los medidas a, b, c, d, e, / , considerando que los figuras externos son rectdngulos.

\

b)

/ \

V / a\

15°/

/a

34)

/75°\

/ 0 \

'

a\

La sumo de las medidas de los dngulos interiores y exteriores del hexagono convexo no regular ^ 5 C D £ ' F e s igual a :

a) b) c) d) e)

pag. 156

360° 600° 720° 980° 1080°

7

Geometria Plana

35) Considere un poligono d e « lados. Si el numero total de diagonales del poligono es 170: a) b) c)

Determine el valor de n. Calcule el numero de diagonales que pueden trazarse desde un mismo vertice. Calcule la sumo de las medidas de los dngulos interiores.

36) Se conoce que lo sumo de las medidas de los dngulos interiores y exteriores de un poligono convexo es 1 0 8 0 ° . a) b) c) d)

Calcule su numero de lados. Especifique el nombre del poligono y dibujelo. Calcule lo cantidad de diagonales que pueden trazarse desde un mismo vertice. Calcule lo cantidad total de diagonales que pueden ser trazodos en su interior.

37) Si se tiene un endecdgono, determine: a) b)

El numero de diagonoles que se pueden trozor desde alguno de sus vertices. El numero total de diagonales que se pueden trozor en su interior.

38) Se tiene el poligono irregular de lo siguiente figura que no estd a escala.

Calcule: o) Lo medida x. b) La cantidad de diagonales que pueden trazarse desde un mismo vertice. c) Si el poligono fuero regular y tuviera la misma cantidad de lodos que el de lo figura, 3cudl serio lo medida de uno de sus dngulos interiores?

pag. 157

39) La triangulacion de un polfgono p es la descomposicion d e p en triangulos obtenidos por un conjunto maximo de diagonales trazadas desde un mismo vertice. Conociendo esto, demuestre que:

a) b)

Coda polfgono tiene una triangulacion. Coda triangulacion de un polfgono p con n vertices tiene n-2 triangulos.

40) Complete la siguiente tabia:

Triangulo Cuadrilatero Pentagono Hexagono Octagono Eneagono 41) El octagono regular que se muestra tiene 8 lados congruentes y uno de sus lados ha sido prolongado para formar el angulo de medida x.

Determine: a) La medida x. b) La medida _y.

42) Demuestre que: a) b) c)

La sumo de las medidas de los angulos exteriores de un polfgono cuolquiera es constonte e igual a 360°. El numero de diagonales que se pueden trazar desde un mismo vertice de un polfgono de n lados es ( « - 3 ) . El numero de diagonales que se pueden trazar en un polfgono de n lados es «(«-3) 2

pag. 158

•

7

Geomefria Plana

43) En la figura

44) En la figura

\\ ademas T y S son rectos tronsversoles. Calcule la

||

\\ ademds T y S son rectos tronsversoles. Determine el valor

de X y la longitud del segmento CD.

45) De ocuerdo a la figura, determine: a)

EF,s\AB

=5u,CD

b)

BC,s\FG

= 6u, CD =21 uyGH

c)

GH,s\EF

= 20 u, DC =50 uyAB=

d)

EF,s\FG

=2\u,AB

= \5uyGH

= \5uyBC

=2Au. = lSu. 40 u =30u.

pag. 159

7.5 Triangulos

#

•

•

® •

46) Determine el valor de verdad de coda proposicion: a) b) c) d)

La sumo de las medidas de los angulos interiores de un triangulo es siempre 360°. Todo circuncentro se localiza en el interior del triangulo. El ortocentro de todo triangulo se localiza en el interior del triangulo. Si en un triangulo rectangulo sus catetos miden 2 y 5 unidodes, entonces su hipotenusa mide 7 unidodes.

47) Si las longitudes de los lados de un triangulo miden: 2cm, '{6cm y {{3 +\)cm, entonces es VERDAD que: a) b) c) d) e)

Uno de sus El triangulo Uno de sus El triangulo Uno de sus

angulos interiores mide 75°. es rectangulo. angulos interiores mide 30°. es obtusangulo. dngulos interiores mide 80°.

48) Respecto a la figura mostroda: AB BC AD DE

= lOu = 8M = 4M es parolelo a BC.

Determine DE. 49) Considere para la generacion de ternas pitagoricas la siguiente expresion matematica: {x,y,z) = ab.

2

'

2

Determine al menos 10 ternas pitagoricas y a portir de ellos construya los triangulos respectivos. 50) Reolice lo requerido en coda literal. a)

En la figura mostroda, el triangulo ABC es rectangulo, AB =

unidodes y los

catetos AC y BC miden ky (k+ 1) unidodes respectivamente. Determine el valor de k, en unidodes. A

pag. 160

Geomefria Plana Defermine la medida a en grades sexagesimales.

• "1007

(20°/'

/

/2a \

1

En el triangulo rectangulo ABC se tiene que CD es perpendicular o AB y que DE es parolelo a BC. C E>
rS

7.10 Figuras circulares

•

•

•

• •

ICQ)El area de un circulo cuyo diametro mide 6 cm, es 9% cm^. o) Verdodero

b) Folso

101) Si el perimetro de uno circunferencia mide 30 7t cm, su diametro mide 20 cm. o) Verdadero

b) Folso

102) Existe una circunferencia de longitud r de radio y perimetro/"tal que r y P pertenezcon ol conjunto de los numeros rocionoles. o) Verdadero

b) Folso

103) Calcule el area de lo region sombreodo, si el rodio del cfrculo externo mide 6 CAW y el rodio de los cfrculos internos mide 2 cm.

104)Colcule el perimetro P y el area A de lo region sombreada en lo siguiente figuro:

pag. 178

7

Geometria Plana

105) En la figura adjunta, el triangulo es rectangulo e isosceles y su cateto mide a unidodes. Desde el vertice A de este triangulo, se dibujo un cuorto de circunferencia y desde el centro de su hipotenusa se dibujo una semicircunferencio. Entonces, el area de lo region sombreada, denominodo lunula, en unidodes cuodrodos, es iguol o:

106)La figura mostrodo es una semicircunferencio dibujodo o portir de una circunferencio de centro O y de longitud r de radio. Si B es un punto de tongencia y AD = DB = BE = EC, entonces el area de lo region sombreodo, en u^, es iguol o:

107) Si R,Sy Tson los centros de los circunferencios que oporecen en lo figura; y, ABCDEF es un hexagono regular, calcule el area de lo region sombreada.

pag. 179

108)En la siguiente figura, PR es el radio del circulo, el cuol es congruente con un lado del rectangulo NPRM. Si el circulo tiene un area igual a An err? y el rectangulo tiene un area iguol o 8 err?, entonces el perimetro de lo region sombreodo, en em, es igual o:

a) b) c) d) e)

71 + 8 7t+10 7t+12 271 + 8 2 71+12

M

R

110) Tol como se muestra en lo figuro odjunto, se colocon dos circunferencios concentricos cuyos radios miden I m y 2 m de longitud, respectivomente. Si lo medida a es 7i/3, el areo de lo superficie del trapecio circular es:

pag. 180

7

Geometria Plana

i n ) El area comun entre el hexagono regular y el circulo, mostrados en lo figura, si se conoce que lo apotema del hexagono regulor mide ,

97t

b)

37t

c) d)

^

m , tiene un valor, en ir?, de:

4 2771

4 71

112) Se inscribe un cuadrado en una circunferencia cuyo radio mide 2 cm, tol como lo muestra lo figura. Luego, el perimetro de lo region sombreodo es:

a) b)

{n+^)cm (71

+ 2V2) cm

c)

{n-^)cm

d)

(271 +

e)

2(71

V2) cm

+ ^2)

cm

113) En lo siguiente figura se muestra un cuadrado A 5 C D cuyo lodo tiene 12 cm de longitud. Si en coda vertice del cuadrado se ha trazodo un arco de circunferencia, el areo de lo region sombreada, expresodo en cm^, es:

o)

1+271

b)

36(4 + 71)

c)

36(4-71)

d)

1447t

e)

3671

- 12

pag. 1 8 1

114) La circunferencia con centro en O esta inscrita en el cuadrado ABCD. Ademas, se conoce que AB = S cm y que AD y BC son los diametros de las semicircunferencios tangentes. Colcule el area de lo region sombreada. A

B

D

C

115) El hexagono de lo figuro es regular y su apotema tiene una longitud de 4 a cm. Determine el perimetro de lo region sombreodo.

pag. 182

El copo de nieve En ei diagrama mostrodo, se presento una secuencio de poligonos PQ, F j , P2, ... , P^, ••• Conociendo que lo superficie limitado porPo tiene como areo \ que PQ es un triangulo equilatero, se puede obtener P^+j o portir de P/^, operondo de lo siguiente manero: •

Trisecar coda lodo de P^.

•

Construir un triangulo equilatero hocio afuero, tomando como uno de sus lodos el segmento centrol de lo triseccion.

•

Eliminar el segmento central de lo triseccion.

Si este procedimiento se cumple poro A; = 0 , 1 , 2 , 3 , . . . , escribo S„ como el area de lo region limitado porP^; y luego, calcule lo sumo (S„^ si el procedimiento se reolizo indefinidomente.

Como dato curioso, este problema hace referenda a la curva de von Koch (copo de nieve), uno de los primeros ejemplos de fractales que fue utilizado como logotipo de la Olimpiada Internacional de Matematicas

de 1991 en Suecia.

pag. 183

La relacion circulo-triangular ABC es un triangulo ocutangulo en el cuol BD y CE son sus olturos desde los vertices By C (D e AC y E e AB] y el ortocentro // = 5Z) n CE. Un cfrculo con diametro DE interseco los lodos v45 y AC en los puntos F y G , respectivamente. Si los segmentos F G y AH tienen en comun el punto K y conociendo que BC = 25 u, BD =20 uy BE =1 u, determine lo longitud del segmento AK.

pag. 184

FCNM

Facultad de Ciencias Naturales y Matematicas

8

Geometria del Espacio

Desaflo

La vigilancia epidemiologica El gobierno de cierto pais ha creado un laboratorio centinelo para que un grupo de cientificos desarrolle lo vocuno contra un virus que omenozo con extinguir parte de una poblacion. Una de los habitociones del loborotorio, cuya figura se muestra o continuacion, debe cumplir con los especificociones indicodos:

A' H

C A

B •

Lo hobitocion es un prisma recto.

•

ABCD es un porolelogromo.

•

El porolelogromo ABCD tiene un perimetro de 18 w.

'

BD'= {33 m;AV = 9 m; H = A m

Algunos muestros deben estor climotizodos con la temperoturo mas bojo posible, y se conoce que el sector donde se los ubicora se encuentro en el punto donde los diogonoles del laboratorio se intersecon. Este grupo de cientificos necesita determinor lo ubicocion de dicho punto, osi como el area de lo superficie total de su lugor de trobojo. Su aporte como conocedor de motematicos consiste en determinor una posible solucion a lo solicitodo por el grupo de expertos. Si no puede resolver este desafi'o, busque lo solucion en lo pagino correspondiente del oresente capitulo. pag. 185

Introduccion

El ambiente espacial en el que dfa a dia nos desenvolvemos los seres humonos esta conformado por elementos geometricos concretos que desde muy pequefios oprendemos a orgonizar mentolmente en el entorno fomilior y que luego, junto o los habilidodes y destrezas que desorrollomos en el proceso de formacion ocademico, nos permiten brindor soluciones a problemos relocionodos con las diferentes areas de lo ciencio. Tomando como punto de portida la geometria plono, es posible definir figuras en el espocio, los cuoles estan presentes en lo sociedod actual en los diferentes procesos industrioles, construcciones orquitectonicos, obros de arte, osi como en los diversos rincones de lo noturolezo, cuondo observomos estructuros moleculores, habitats de onimoles, porticulos viroles, entre otros de sus sorprendentes elementos. Sin embargo, los origenes geometricos doton de lo ontiguo Grecio, cuondo se plonteo el famoso problema de lo duplicocion del cubo. Cuenta lo leyendo que lo peste osolaba lo ciudod de Atenos, hasto el punto de llevor o lo muerte o Pericles. Un embojodor de lo ciudod fue al oraculo de Delfos, paro consultar que se debio hocer poro erradicor lo mortal enfermedad. Tros consultar ol oraculo, la respuesto fue que se debia duplicor el oltor consogrodo a Apolo en la islo de Delfos. El oltor tenia una peculioridod: su formo cubico. Los otenienses construyeron un oltor cubico en el que los medidas de los lodos eron el doble de los medidas del oltar de Delfos, pero lo peste no ceso. Consultodo de nuevo, el ordculo odvirtid a los atenienses que el oltor no era el doble de gronde, sino 8 veces mayor, puesto que el volumen del cubo es el cubo de su arista ((2a)^ = ScP). Nodie supo como construir un cubo cuyo volumen fuese exoctomente el dobb del volumen de otro cubo dodo, y el problemo motemdtico persistid duronte siglos (no asi lo enfermedad). Con simples evidencios histdricas como los grondiosos pirdmides de Egipto, una de los siete morovillas del mundo antiguo, construidos en el oiio 2660 o . C ; y, con todos los ovonces de este siglo, seguromente lo humonidod precisord de mds y mds gente involucrodo en nuevos aplicociones tridimensionoles, de oquf que el estudio de los conceptos bdsicos que se onolizordn en el presente capitulo constituyen sin dudo un excelente impulso motivodor en oras de seguir fomentando en nuestro medio, investigociones relocionodos con el inconmensuroble y demandonte quehocer geometrico.

pag. 186

8

Geometria del Espacio

8.1 Sistema tridimensional Objetivos Al finalizar esta seccion ei lector podrd: •

Identificar figuras geometricas en el espacio.

•

Definir conceptos osociodos a los pianos en el espacio.

•

Famiiiorizorse con un sistema tridimensional.

•

Ubicor ternas ordenodos en el espacio.

Cuando se pienso y onolizo coda uno de los objetos o entes que nos rodeon, resulto focil concluir que se necesitan tres dimensiones paro poder reolizor su representacion geometrica. Ejempio 8.1 Figuras geometricos espaciales.

^^^^HMBBBBB^^^MI

Los figuras geometricas espaciales hocen referencia o diferentes objetos que conocemos, tales como una cojo de regolo, una piramide de Masiow, un recipiente de papas fritos, un vaso de vidrio o un bolon de futbol.

pag. 187

En el estudio de lo Geometrio del Espacio tambien existen conceptos primitivos que no se pueden definir y que inclusive ya fueron tratados en el capitulo de Geometria Plana, tales como el punto y lo recto; sin embargo, ofioro trobojoremos adicionalmente con pianos. Un plono usuolmente se denoto con una letro moyuscula del olfabeto griego, por ejempio 77. Dodo que no es posible graficor pianos en toda su extension, en esto obro utilizoremos poralelogramos para representarlos.

Conceptos asociados a pianos Puntos coplanares Son aquellos puntos que pertenecen a un mismo plono.

Recta paraiela a un piano En este coso la recto no esta contenido en el plono y se cumple quel n77= 0 .

L

Recta contenida en un piano En este coso la recta L es paraiela al plono 77 y se trota de un subconjunto de 77. Siendo asi, se cumple que L n 77 = 7..

Recta que interseca a un piano En este caso el resultado de la interseccion entre lo recta Z, y el piano 77 es un punto P en el espacio. Podrio ocurrir que L sea perpendicular a 77. En ambos casos se cumple que Z, n 77 = P.

Rectos alabeadas Dos rectos en el espacio tridimensional se dice que son olabeodas cuando no son paralelos ni se intersecan.

pag. 188

8

Geometrio del Espacio

Semiplano Es el conjunto de puntos del plono que estan o un mismo lodo de lo recto L . Codo semiplono se puede identificar utilizondo subindices como i7i y 112, PO"" ejempio.

i7,

77,

Pianos paralelos Un plono es parolelo o otro cuando no se intersecan o son coincidentes. La notacion paro el porolelismo es: 77i ||772 y este se puede expresar como:

(i7i II 772) = m

n 772 = 0 ) V (i7, = 772)].

Pianos secantes Se definen osf dos plonos en el espacio 77i y 772 que no son paralelos. Observe que la interseccion de un par de pianos que son secantes es una lineo recta.

Un sistema tridimensional o espacio euclidiano convencionol pretende ubicor un objeto, fi'sicamente hoblondo, que tengo oncho, largo y profundidod. Lo que ya se ho aprendido poro graficor funciones de uno variable eon el plono cartesiono, ahoro se omplio ol monejo de tres dimensiones, tol como se muestra en el siguiente sistemo tridimensional. Puede apreciorse que todo piano en este sistema siempre divide ol espacio en dos semiespocios.

Figura 8 . 1 : Sistema tridimensional.

pag. 189

Observe que se tienen tres pianos que dividen al espacio en ocho secciones diferentes, a las que se denomina OCtantes. El termino octante de un sistema tridimensional seria analogo al termino cuadrante de un sistema bidimensional (piano cartesiano). Los signos de las tres dimensiones x, y, z, varian segun cada octante. Octan«| 1

V

+

II

-

III IV

+ +

•

—

V VI VII VIII

-

+

+

-

-

1

+ + + + -

-

Quiere decir que para representar un punto en el sistema tridimensional se necesita una terna ordenado de la forma (x, y, z). En una aplicacion practice, esto puede hacer referencia al anchox, el largo 7; y, la altura o profundidad z de un cuerpo en el espacio.

Ejempio 8.2 Ubicacion de puntos. Ubique en el sistema tridimensional los siguientes puntos: a)

P ( 0 , - 4 , 5)

b)

2(1,3,2)

c)

i ? ( - 3 , 1,3)

d)

5(1,-2,-3)

Sol ucion:

pag. 190

8

Geometria del Espacio

Definicion 8.1 (Angulo diedro) Es la region del espacio comprendida entre dos semiplanos que se intersecan en una recta comun. Al angulo diedro se lo suele denominor simplemente diedro; a los semiplanos se los denomina caras del diedro; y, al borde comun se lo denomina arista del diedro. Dos pianos secantes determinan angulos diedros. Un ejempio de estos dngulos lo encontramos en la figura que se forma al abrir una tarjeta de cumpleafios. Aunque resulta claro que la extension de pianos, semiplanos y rectos es infinite, para propositos didacticos se representora dicfio extension utilizondo paralelogramos y segmentos de recta.

arista

Figura 8.2: Angulo diedro. En el diedro ABCDEF, ABCD y CDEF representan las caras del diedro, y CD represento su arista. Se denomina d n g u l o rectilineo al angulo formado por dos rectos perpendiculares, DA y DE, con respecto a lo arista CD, coda una situoda en caras diferentes del diedro y que ademas tienen un punto en comun con dicha arista. La m e d i d a del d n g u l o d i e d r o es la medida a de su angulo rectilfneo. Ejempio 8.3 Angulos diedros.

pag. 191

Definicion 8.2 (Angulo poliedro) Es la region del espacio comprendida entre semiplanos que se intersecan en un extremo Vy que tienen un punto comun con la poligonal d que es subconjunto de un piano que no contiene a F. A las semirrectas que se intersecan con uno de los vertices de la poligonal se las denomina aristas del dngulo poliedro y el punto Fse denomina vertice del dngulo poliedro. Por ejempio, el angulo triedro es un angulo poliedro formado por el vertice V, tres aristas representadas por VA, VB, VC, y tres caras identificadas como VAB, VBC, VCA. V

\ B ^ B Figura 8.3: Angulo poliedro (triedro). La interseccion del angulo triedro con el piano 77 determine el triangulo A'B'C, el cual constituye la poligonal d. Ejempio 8.4 Angulos poliedros. Dos poredes y el techo forman en el rincon de una fiabitacion un dngulo triedro. Las piramides y los obeliscos tienen usualmente ejemplos claros de dngulos tetroedros en su parte superior.

pag. 192

Geometria del Espacio

8

Sistema t r i d i m e n s i o n a l

Autoevaluacion

Considerando las siguientes figures pianos, piense en un cuerpo tridimensional para el cual una de sus vistas sea la figura indicada y dibujelo en lo tobla odjunta. Por ejempio, la vista superior de una Iota de atun es un circulo. a) Cuadrodo

2)

b) Rectangulo

c) Tropecio

Anolice las siguientes situociones y responda con la justificocion correspondiente: a)

Se encuentra de mudanza en su nuevo coso, desemborcondo muebles, electrodomesticos, indumentorio, y demds. En un momento se detiene a desconsor, disponiendose a examinar lo cojo de carton, aun seiloda, de su nuevo televisor. En ese instante, se le ocurre contar los angulos diedros y triedros que observe, acuantos son?

b)

Imagine que ha eloborodo una deliciosa geletino con perlas de caromelo en su interior. Si consideromos cada perle como un punto en el espacio, spuede afirmor que los puntos siempre seran coplonores?

Vs^

c]

J

Supongo que ho dejodo dos boligrafos sobre la mesa y que luego uno de estos ho caido al piso, opuntendo el que esto en le mesa ol norte y el otro, ol oeste. Si cada boligrafo se prolongoro y considerara como recta, sse podrfa asegurar que estas rectos son olabeodas?

pag. 193

3)

4)

Escriba el numero del octante ol que pertenecen los siguientes puntos:

a)

Pi ( 1 , 1 0 , - 1 )

b)

c)

f

"

d)

P4 ( - 1 , - 2 , 1 )

P2(-l,2,3)

e)

P5(l,-8,9)

P3(-5,-5,-5)

f)

^^6(1, 1,0.1)

1

Ubique las siguientes ternos en el sistema tridimensional:

P (2, 2, 3), Q (0, 2, 1), R (2, - 2 , 0), S (3, 0, 0)

5)

Dibuje un piano 77y ubique lo siguiente: a) b)

c)

pag. 194

Una recta L que pertenezca al piano 77. Dos puntos P, Q que pertenezcan a 7. y un punto 7? que pertenezca a uno de los semiplanos resultantes. El triangulo PQR.

8

Geometrio del Espacio

En la siguiente figura, los pianos 77] y772 son paralelos. Coloque 1 en cada casilla si la proposicion es verdadero y 0 si es falsa.

a) b)

Si lo recta L es paralela a 77], entonces es paralela a 7723PeL[Penj]

c)

Los pianos 772 V ^3 so" secantes.

d)

Los pianos 77i y 773 son secantes.

e)

3 P e Z [ P G (77iU772)^]

En la siguiente figura, los pianos 77^, 772 ^ ^3

'o^ tridngulos isosceles ABC y

DEF, que ademas, son congruentes. Si AB = BC, calcule la medida a del angulo diedro, si 0 = 1 radian.

E

/

\B A A \\

/n. Df-

2,-^

\

Vx, 1

V,

pag. 195

8.2 Poliedros Objetivos '"I

Al finalizar esta seccion el lector podra: •

Reconocer los diferentes elementos de un poliedro.

•

Identificor los poliedros regulares y sus corocteristicas.

•

Dodo un prisma, reconocer los elementos que lo conforman.

•

Dodo un prisma, identificor si es obiicuo, recto o regulor.

•

Dado un poralelepipedo, onalizor sus principales coracteristicos.

•

Dodo una piramide, reconocer los elementos que lo conformon.

•

Dado una piramide, identificor si es oblicua. recta o regular.

•

Dado un prisma, calcutor el area de su superficie lateral, el area de la superficie de sus bases, el area de la superficie total; y, su volumen.

•

Dado uno piramide, colculor el area de su superficie lateral, el area de la superficie de su base, el area de la superficie total; y, su volumen.

•

Dada una piramide truncada, calcular el area de su superficie loteroL el area de la superficie de su base, el area de ia superficie total; y, su volumen.

8.2.1 Caracteristicas En esta seccion se clasificaran diferentes cuerpos que se pueden presenter en el espacio, atendiendo a los elementos estudiados onteriormente. Definicion 8.3 (Poliedro) Se define como poliedro al cuerpo que esta limitado por superficies pianos (denominodas caras) de contorno formado por segmentos de rectos (denominados cristas de las caras). Los vertices del poliedro son los vertices de las caras. Ejempio 8.5 Poliedros. Algunos mineroles tallodos y en estodo natural presentan formos poliedricas relocionodas con los cuerpos que se estudiordn en esto seccion.

pag. 196

8

Geometrio del Espacio

Un p o l i e d r o es convexo si esta limitado por polfgonos convexos.

Propiedades Coda arista de una cara pertenece tambien a otro cara y unicamente a otra. Estas caras se denominan contiguas. Dos caras contiguas pertenecen a pianos distintos. El piano que contiene a coda cara deja a todas las demos a un mismo lado del espacio, es decir, en un mismo semiespacio. El numero de aristas es igual al numero de caras mas el numero de vertices disminuido en 2 (Teoremo de Euler).

Figura 8.4: Poliedro. En el poliedro antes mostrado, se tienen los vertices A, B, C, D, E, A', B', C, D', E'; las aristas AB, BC, CD, DE, EA, AB', WC , CD', DE', 'WI', AA', BB', CC', DD', EE', y las caras AEE'A', BAAB', CBB'C, DCC'D', EDD'E', ABCDE, A'B'C'D'E'. En cada vertice deben concurrir ol menos tres cristas. La d i a g o n a l de un poliedro es el segmento de recto que une dos vertices situados en caras diferentes. Por ejempio, ^ D ' e s una diagonal del poliedro en la figura anterior. Segun el numero de sus coros, los poliedros se denominan asi: N u m e r o d e Coras

Nombre

4

Tetraedro

5

Pentaedro

6

Hexaedro

7

Heptaedro

8

Octoedro

10

Decoedro

12

Dodecoedro

20

Icosaedro

Cuodro 8 . 1 : Nombres de poliedros segun su numero de coros. pag. 197

Definicion 8.4 (Poliedro regular) Un poliedro de n caras se dice que es regular, si y solo si todas sus coros son poli'gonos regulares congruentes y sus dngulos poliedros tambien son congruentes. Los poliedros regulares, tambien denominados solidos platonicos (en honor a Platon), son solo cinco:

1. Tetraedro regular: Esta limitado por 4 caras que son tridngulos equilateros. Tiene 4 vertices, 4 dngulos triedros, 6 aristas y 6 angulos diedros.

2. H e x a e d r o r e g u l a r o cubo: Estd limitado por 6 caras que son cuadrados. Tiene 8 vertices, 8 angulos triedros, 12 aristas, 12 dngulos diedros; y, 4 diogonales que se intersecan y son congruentes.

3. O c t o e d r o regular: Esta limitado por 8 cores que son tridngulos equilateros. Tiene 6 vertices, 6 angulos tetroedros, 12 cristas y 12 dngulos diedros.

4. D o d e c o e d r o regular: Esta limitado por 12 caras que son pentdgonos regulares. Tiene 20 vertices, 20 dngulos triedros, 30 aristas y 30 dngulos diedros.

5. Icosaedro regular: Estd limitado por 20 caras que son tridngulos equilateros. Tiene 12 vertices, 12 dngulos pentaedros, 30 aristas y 30 dngulos diedros.

Al unir los puntos medios de las caras de estos poliedros regulares, se obtienen nuevos poliedros que tambien son regulares y se denominan duales. Por ejempio, el dual del octoedro regular es el hexaedro regular.

pag. 198

8

Geometria del Espacio

Entre los poliedros mds importontes figuron los prismas y los p i r d m i d e s , los cuoles serdn estudiados a continuacidn.

8.2.2 Prismas Definicion 8.5 (Prisma) Un prisma es un poliedro en el cual existen dos caras congruentes paralelos, denominados bases y coros laterales que conectan los lados congruentes de los caras paralelos. A una recta que es paralela a una de las aristas de una coro lateral se la denomina recto generatriz. En un prisma, las caras laterales son paralelogramos y son paralelos a la recto generatriz G.

Figura 8.5: Prisma pentagonal. En lo figura anterior los bases del prisma son los pentdgonos PxPiP^PAPsy

Q1Q2Q3Q4Q5,

las coros laterales del prisma son Q4Q3P3P4, Q3Q2P2P2, Q2Q1P1P2, Q1Q5P5PU

Q5Q4P4P5,

y, G es una recto generatriz porolelo a los aristas P i Qi, Pj Q2, P3Q3, P4Q4, PsQsEl segmento de recta de longitud minima h entre los pianos que contienen a las bases se denomina a l t u r a del prisma y es perpendicular a ombos pianos. Un prisma cuyos bases son polfgonos regulares se denomina p r i s m a regular. Si los oristos laterales son perpendiculares ol piano que contiene una base, el prisma se denomina prisma recto; coso contrario, se denomina o b i i c u o , tol como se muestro en lo figurn 8.6. En el p r i s m a recto, la altura es congruente con las oristos laterales y sus caras laterales son rectangulos. pag. 199

Figura 8.6: Prismas recto y obiicuo. Definicion 8.6 (Prisma recto regular) Es aquel cuyos oristos laterales son perpendiculares a los pianos que contienen a las bases; y, en el que odemds los polfgonos de sus bases son regulares.

Adicionolmente, los caras laterales de un prisma recto r e g u l a r son rectdngulos congruentes entre sf, tal como se puede evidencior en lo figura 8.7 que se presenta o continuacidn:

Figura 8.7: Prisma recto regular. Definicion 8.7 (Poralelepipedo) Un poralelepipedo es un prisma cuyos bases son paralelogramos.

A un poralelepipedo recto rectangular se le denomina o r t o e d r o .

Figura 8.8: Ortoedros.

pag. 200

8

Geometria del Espacio

8.2.3 Pirdmides Definicion 8.8 (Piramide) Una pirdmide es un poliedro en el cuol existe una cara denominodo base y un punto que no pertenece ol mismo plono de la base, denominodo vertice, tol que las otros caras, denominados caras laterales, son tridngulos que conectan los lodos del poligono que constituye la base con el vertice.

F

/

/

/

1"''

/

\

,

/n

Figura 8.9: Pirdmide. En el poliedro anterior se tienen en la base pentagonal, los vertices P\, Pi, P3, P4, P5 y los aristas P / J , P / J , P^^, P^P^, P^^. Los aristas laterales de una pirdmide son los segmentos VP^, VP^, ... , VP^. Ademds, es importante recalcar que una pirdmide tiene solo una base. El segmento de recta de longitud minima h entre el vertice y el piano que contiene a lo base se denomina a l t u r a de lo pirdmide, siendo siempre perpendicular a dicho piano. Una p i r a m i d e es r e g u l a r si el poligono de su base es regular. Una p i r a m i d e recta es oquello en lo que el pie de su altura en lo base equidisto de todos los vertices del polfgono que constituye dicfio base; caso contrario, se dice que es o b l i c u a .

Figura 8.10: Pirdmides recta y oblicua.

pag. 201

i Definicion 8.9 (Piramide recta regular) Es aquello cuyo pie de altura equidisto de todos los vertices del poligono de su base, el cual es regular. Si lo pirdmide es recto regular, sus coros son tridngulos isosceles congruentes, denomindndose a p o t e m a de lo pirdmide a la altura de cuolquiero de estos tridngulos.

Figura 8.11: Pirdmide recto regular. Si una pirdmide se interseca con un semiespacio generodo por un piano porolelo a la base de la pirdmide, resultan dos cuerpos: una pirdmide y otro que se denomina p i r d m i d e truncada. Una p i r d m i d e t r u n c a d a tiene dos bases paralelos semejantes, las caras laterales son trapecios que unen los lodos semejantes de las bases paralelos; y, lo altura es el segmento de recto de longitud minima h entre ellos.

Figura 8.12: Pirdmide truncada. En lo figura anterior, los bases de lo pirdmide truncada son los pentdgonos ABCDE A'B'C'D'E', las caras laterales son EAA'E', ABB'A', BCC'B', CDD'C, DEE'D'.

y

8.2.4 Longitudes en poliedros En ocasiones, se fiace necesario determinar longitudes de segmentos de rectos en el espacio relacionados con poliedros, tal como se presenta en los siguientes ejemplos.

pag. 202

8

Geometria del Espacio

Ejemplo 8.6 Longitudes de diagonales en el espacio. Demuestre que en un paralelepipedo recto rectangular el cuadrado de la longitud de una diagonal es igual a la suma de los cuadrados de las tres dimensiones.

Solucion: Hipotesis: a, b y c son las dimensiones de un paralelepipedo recto rectangular con diagonal de longitud d. Tesis: d"^ =

+ b^ + cP-

En la figure, d es la longitud de la hipotenusa del tridngulo rectdngulo

BHE:d^=p^ + c^

(I)

En e! tridngulo rectdngulo ABE, p es la longitud de su hipotenusa, entonces:

p^^a' + b^

(II)

Luego, reemplazando (II) en (I), se tiene: d^ =

+ b^+ cP'

Ejemplo 8.7 Longitudes de diagonales en el espacio. Calcule la longitud de la diagonal de un cubo cuya arista mide a unidades.

Solucion: En el cubo o hexaedro regular, las tres dimensiones son iguales:

a=b=c

d^ = a^ + a^ + a^ ^ d^= 3a^ d =ay[3u

pag. 203

Ejemplo 8.8 Longitudes de diagonales en el espacio. El poliedro mostrado es un prisma recto hexagonal regular cuya arista de la base mide 6 cm y cuya arista lateral mide 5 cm.

Calcule la longitud de la diagonal AB.

Solucion: Observe que la diagonal de mayor longitud del hexdgono en la base mide 12 cm, ya que el hexdgono estd constituido por seis triangulos equildteros.

Se tiene el siguiente tridngulo rectdngulo, en el cual se puede aplicar el Teorema de Pitdgoras:

A AB = yJh'+d' h

AB = ^{5f

B

.:

+ {uf

= 725 + 144 = V l 6 9

AB = 13 cm

8.2.5 Area de la superficie de un poliedro Los disenadores profesionales y decoradores de interiores necesitan determinar la cantidad de material que se requiere para decorar superficies. En ocasiones, objetos familiares tales como mesas auxiliares o vitrinas, tienen formas de prisma o pirdmide; y, con frecuencia, se hace necesario calcular el drea de estas superficies. Para determinar el area de la superficie de los cuerpos poliedros calculamos el area de coda uno de los poligonos o caras que forman su superficie, sumando luego las areas obtenidas.

pag. 204

8

Geometria del Espacio

En los prismas y en las piramides se tienen los siguientes tipos de areas: •

Area de la superficie lateral (Ai): Es la suma de las areas de las superficies de las caras laterales.

•

Area de la superficie de la base (AB): ES el area de la superficie de una de las bases.

•

Area de la superficie total (AT): ES la suma del area de la superficie lateral mds el area de la superficie de la base, en el caso de pirdmides; o, es la suma del area de la superficie lateral mds el dupio del drea de la superficie de la base, en el caso de prismas.

a) Area de poliedros regulares Para calcular el drea de la superficie total Ax de un poliedro regular, basta con multiplicar el drea de la superficie de una de sus caras por el numero de caras del poliedro. Por ejemplo, en el cubo con longitud a de arista, AT = 6a^.

b) Area de las superficies de un prisma recto Ai^Per-h AT = AL + 2AB

AT==

Per-h+2AB

Siendo Per: perfmetro de una de las bases; h: longitud de la altura o de la arista lateral; y, ^5: drea de la superficie de una de las bases. Es importante anotar que el drea de la superficie de la base no se especifica, pues puede ser la de cualquier poligono.

c) Area de las superficies de una pirdmide recta regular Para el drea de la superficie lateral, se calcula el drea de la superficie de uno de los triangulos isosceles que son las caras laterales, y se multiplica por el numero de caras laterales n.

Donde:

n es el numero de caras laterales de la pirdmide. a es la longitud de la arista de la base. p es la longitud de la apotema de la pirdmide. AT^AI+AB

El drea de la superficie de la base no se especifica, pues puede ser la de cualquier poligono regular.

pag. 205

d) Area de las superficies de una pirdmide truncada recta regular El area de la superficie lateral de una pirdmide truncada recta regular es igual al producto de la semisuma de los perimetros basales por la longitud de la apotema de ^ la pirdmide.

/Per + Per'\ Donde:

•P

Per y Per' son los perimetros de las bases. p es la longitud de la apotema de la pirdmide truncada. AT = Ai+

AJBsuperior + AB inferior

El drea de las superficies de las bases no se especifica, pues pueden ser la de cualquier poligono regular. Ejemplo 8.9 Area de la superficie total de un prisma. Calcule el drea de la superficie total de un prisma recto hexagonal regular, si su arista lateral mide 4 V T m y su arista de la base mide 2m. Solucion:

P^Q, = 4V3" m Qx

P^P^ = 2m OP es la apotema del hexdgono regular y su longitud se calcula como:

OP = Pi

/ Pi

P

OP = ^[3 m

P3

Analizando la base del prisma, se tiene que:

Per{base) = 6(2)= 12w Per(base) OP AB = 2 AB =

6 Area{cara lateral)

AL

=

AL

= ;6(2)(4V3")] = 4873" w2

Ar = AL + 2AB

pag. 206

AT =

48VT+12VT

.-. AT

= 60^3 m^

Geometria del Espacio

8

Ejemplo 8.10 Diagonal de un ortoedro. La suma de las tres dimensiones de un ortoedro es 15 w y el drea de su superficie total es 200/w^. Calcule la longitud de la diagonal del ortoedro.

a Solucion:

a + b + c= I5m AT =^ 200 Por cuanto:

AT=2ab + 2ac + 2bc = 200

a + b + c=15 ia + b + cf = il5y a^ + b^ + cP- + 2ab + 2ac + 2bc = 225 Teniendo en cuenta que: Reemplazando en (1):

= a^ + b^ + d^ + 2ab + 2ac + 2bc = 225 j 2 + 200 = 225 J2^25

.-. d=5m Ejemplo 8.11 Area de superficies en el espacio. La figura adjunta es un cubo cuya arista mide a cm. Calcule el valor del drea de la superficie sombreada.

Solucidn: El drea de la superficie por calcular corresponde a la de un rectdngulo en el cual debemos determinar la longitud b de uno de sus lados, siendo el otro de longitud c, congruente con la arista del cubo.

pag. 207

Aplicando el Teorema de Pitdgoras: a b = yja^ + cP- = 42 a cm a A = A =

b-c

(V2

a)(a)

.". A = V Y a^cm^

Ejemplo 8.12 Area de la superficie lateral de una pirdmide. Determine el drea de la superficie lateral de un tetraedro, cuyas caras laterales son congruentes, si se conoce que su apotema mide el triple de la arista de la base y la longitud de la circunferencia circunscrita a la base es 24 nm. lucion:

P2 A

Longitud de la circunferencia = 27r( OP^) = 24 TI m => OP^ =

r=l2m.

En la circunferencia circunscrita al tridngulo, se cumple que: L3 = yfSr y en este caso, 1,3 = -PyPj. ^

= V3 ( O P ; ) = 1 2 V 3

& 3 ( l 2 V 3 " ) = 36V3m A, = 3( - ^ ) = 3 ( ^ ^ ) .-. AL = 1 944 m2

I pag. 208

= ( 3 ) (^2V3 I36VT)

8

Geometria del Espacio

Ejemplo 8.13 Area de superficies de pirdmides.

Un recipiente con forma de pirdmide recta regular tiene la parte superior abierta. Esta parte es un hexdgono regular con las dimensiones que muestra la figura. Si se van a pintar 100 de estos recipientes, por dentro y por fuera, con una pintura que cubre 450 pies^ por galon, acudntos galones se requieren?

2 pies

pies

Solucion: La parte superior es un hexdgono regular formado por 6 tridngulos equildteros. La longitud de cada lado del tridngulo seria entonces I pie.

la superficie triangular de cada cara a pintarse tiene el siguiente valor de drea.

3 pies

A = -?r- pies^

Como son 6 caras =^ Ai = 6A = 9pies'^. Como es por dentro y por fuera =^A2 = 2Ai = lS pies^. Como son 100 recipientes = ^ ^ 3 = 100^42 = 1 800 pies^. Como son 450 pies^ por galon =^ 4 galones. Luego, se requerirdn 4 galones para pintar los 100 recipientes.

pag. 209

Ejemplo 8.14 Areas de superficies de prismas. Considere el monumento hecho en piedra de la figura adjunta:

Este monumento estd formado por tres ortoedros con bases cuadrados de 1 m, 0.7 m y 0.3 m de longitud de lado; y, alturas que miden 0.3 m, 0.6 m y 1 m, respectivamente. Si el monumento estd osentado en el piso, determine el drea de su superficie, en nf, para poder cubrirlo de pintura. Solucion: Una de las posibles formas de determinar el drea de la superficie que se desea pintar es: •

Calcular el drea de la superficie lateral de los tres ortoedros: ^ w . / = 4(l)(0-3) + 4 ( 0 . 7 X 0 . 6 ) + 4(0.3)(1)= 1.2+ 1.68+ 1.2 A,

=4.08^2

Lateral

•

Calcular el drea de la superficie de coda base y restar el drea de la superficie de las bases de los ortoedros cuyos lados miden 0.7 m y 0.3 m, V . respectivamente. ^Superficial ^ "^S, '^Superficial

A^

^^3 ~ "^^2 ~ '^^3

(^)(^)

^ . = Irn^

Superficial

•

Finalmente, se suman los valores previamente obtenidos: Total

'^Lateral '^Superficial

=4.08 + 1 Total

.: A^^=5.08 rr? Total

Ejemplo 8.15 Areas de superficies de prismas. El drea de la superficie total de un hexaedro regular es igual a 216 cwp'. Si se tiene un ortoedro cuya base coincide con la base de este hexaedro, pero con una altura que es congruente con la diagonal del hexaedro, calcule el drea de la superficie total del ortoedro.

pag. 210

Geometria del Espacio

8 Sol ucion:

El hexaedro regular tiene seis caras congruentes, y todas son cuadrados. A partir del drea de la superficie total, se calcula la longitud de su arista:

^

=60^ = 216

a = 6cm

= 36

Total

La longitud de la diagonal del cubo se la calcula aplicando el Teorema de Pitdgoras dos veces:

J = ^(6V2) +6^ x = V36+36

d = yl72 + 36

x = ^/72 x = 6 ^ 2 cm

d = 6'j3 cm

El ortoedro tendrd las siguientes dimensiones, en centfmetros:

El drea de la superficie total del ortoedro es igual a: Aotal = ^^'^ Lateral + 2 Avca^ase =

+

•••^otal=^^^^^W

pag. 211

8.2.6 Volumen de un poliedro En esta seccion se calculara el volumen de un cuerpo poliedrico con las caracteristicos estudiadas en las secciones anteriores. Se denomino volumen V de un cuerpo geometrico a la medida del espacio que ocupa. A partir del cdlculo del volumen del p a r a l e l e p i p e d o recto r e c t a n g u l a r se pueden derivar las reglas que permiten calcular el volumen de los demds poliedros.

V=(a-b)-h V=a-h-h Figura 8.13: Ortoedro. El cubo es un ortoedro con todas sus aristos de igual longitud, entonces su volumen es:

V=a-a-a

a

a Figura 8.14: Cubo.

Un p a r a l e l e p f p e d o siempre se puede transformar en un ortoedro de base equivalente y de igual altura, por lo que su volumen es tambien igual al producto del drea de la superficie de la base por la longitud de la altura.

Figura 8.15: Transformacidn de un paralelepipedo. De igual forma, un paralelepfpedo siempre se puede descomponer en dos prismas t r i a n g u l a r e s equivalentes, trazondo, por ejemplo, un piano que contenga a dos diagonales poralelos, situados respectivamente en dos caras tambien poralelos del cuerpo.

pag. 212

8

Geometrio del Espacio

Figura 8.16: Prismas equivalentes. El volumen de coda prisma triangular de lo figura 8.16 es igual a la mitod del volumen del paralelepipedo. Por el postulado de Cavolieri (vease apendice B] se establece que todo prisma triangular se puede descomponer en tres pirdmides o tetraedros de igual volumen. De aqui se obtiene que el v o l u m e n d e un t e t r a e d r o es igual a lo tercera parte del volumen del prisma de igual base triangular; entonces, el volumen de una pirdmide de base triangular es:

V=\{AB-h)

Figura 8.17: Volumen de un tetraedro. El resultado anterior es vdlido para cualquier pirdmide: "El volumen de una pirdmide es igual a la tercera parte del producto del drea de la superficie de la base por la longitud de la altura". Veomos como se obtiene el v o l u m e n en el caso de una p i r d m i d e p e n t a g o n a l : Si unimos A con Dy B con D, lo base queda descompuesta en tres tridngulos. Los pianos que contienen dichos diagonales y el vertice descomponen la pirdmide en tres tetraedros de igual volumen.

P

Figura 8.18: Pirdmide pentagonal.

pag. 213

Vipirdmide PABCDE)

= V{tetraedro PEAD)

V{pirdmide PABCDE)

= ^ AEAD • h + ^ A^SD • h +

Vipirdmide PABCDE)

= ^ {AEAD + A^BD + ABCD) • h

Vipirdmide PABCDE)

+ V{tetraedro PABD) + V{tetraedro PBCD) ~ABCD-h

= y {AABCDE) • h

El v o l u m e n de u n a p i r d m i d e t r u n c a d a recta regular de bases paralelas es igual a un tercio del producto de la longitud de su altura por lo sumo del drea de las superficies de las dos bases con la medio geometrico entre ellas.

En una pirdmide truncada recto regular con altura de longitud h y bases poralelos de dreas B y B', el volumen estario dodo por:

B' -

/ V=^-h-{B

/

'

\

+ B' + ^iB•B')

yJB • B' es la media geometrico entre B y B'.

B Figura 8.19: Pirdmide truncada.

Ejemplo 8.1 6 Volumen de un poliedro regular. Determine el volumen de un tetraedro regulor, siendo su base el tridngulo P\ cuyo iodo tiene longitud L.

pag. 214

Geometria del Espacio

8 Solucion:

Area de la superficie de un tridngulo equildtero. Ademos en el AVP^H: Hes el ortocentro de AP1P2P3. Como:

P3M

Longitud de lo altura del tridngulo equildtero.

En AVP^H:

^

{Wf -{Wlf-

(Pjlf

Teorema de Pitdgoras.

En conclusion:

1 ViTetraedro regular) ^^ABH V(Tetraedro regular) =

[ 12 j

, el cual se mide en unidades cubicos.

Ejemplo 8.1 7 Volumen de un prisma. Los lingotes de oro son barros moldeadas como la de lo figura, cuyos dimensiones se miden en cm, siendo sus extremos trapecios isosceles poralelos. eCudI es el volumen del lingote mostrado?

Solucidn:

Con lo cual, V= 60 crn^

i pag. 215

Ejemplo 8.1 8 Volumen de un prisma regular. Calcule el volumen de un prisma recto hexagonal regular cuya altura mide 10 cm, y cuyo drea de la superficie lateral es el cuddrupio del drea de lo superficie de una de sus bases.

Solucion: PP'= 10

COT

Q

AI = AAB

A^ =

(I)

Peribase) • a 6{PQ){pQ^) 2

2

AL = 6 Area(cara lateral) AL =

6[(PQ){PP')]

AL = 60{PQ)cm^

(II)

Utilizondo (I) y (II): 60{PQh4{^{PQff) 10 =

^PQ

PQ^M^cm

El volumen del prisma se calcula como: V{Prisma)=AB-h V{Prisma) = {^iPQif ^ ) V{Prisma) =

2>{^(^Ym)

:. V{Prisma) = 500^13 cm^

pag. 216

{PF)

Geometria del Espacio

8

Ejemplo 8.19 Volumen de un prisma.

Un muro de contencion de hormigon mide 80 pies de longitud, con extremos como los de la figura. aCudntos pies cubicos de hormigon se emplearon poro construir este muro?

Solucion: El volumen que ocupo este muro de hormigon se puede obtener dividiendo su base en tres partes. Sean: Vi, el volumen del prisma de base rectangular cuyo largo y oncho miden 6' y 2'. F2, el volumen del prisma de base en forma de tropecio cuyos lodos poralelos miden 2' y 4' respectivomente; y, lo longitud de su olturo es 3'. F3, el volumen del prisma de base cuadrado en lo cual su arista mide 2'. En cualquiera de los tres cosos, la longitud de la profundidad es 80'. El volumen total Fj- es: VT= F J +

F2+

F3

VT = AB^- h+AB2- h + Ae^- h VT=^h[AB^ + AB2 + AB^

F r = 8 0 _(2)(6) +

(2 + 4)(3)

+ (2)(2)

F r = 8 0 ( 1 2 + 9 + 4)

Fr= 80 (25) VT=20mpies^ Por lo tonto, se emplearon 2000pies^ de hormigon poro construir este muro.

pag. 217

Ejempio 8.20 Areas y volumenes. La base cuadrada de un ortoedro se encuentra inscrita en una circunferencia cuyo radio mide 2^/2 m. Si la altura de este ortoedro mide 10 m, calcule el area de su superficie total y el volumen que puede contener.

cuadrado inscrito:

Se aplica el Teorema de Pitagoras y se deduce que: L = "{ir = V2 (2^2) = 4 m El area de la superficie total del ortoedro es igual a :

4../ =^>^«z...«/ + 2 i r e a ^ ^

=4^1 +

21^ =4(l0)(4) + 2(^^^

El volumen del ortoedro es igual a : Volumen = AreaBase • h = L^h = ( 4 ) ^ ( l 0 ) Volumen = 160 m^

Ejempio 8.21 Areas y volumenes. Determine el volumen y el area de la superficie total de un taburete en forma de una piramide truncada recta cuyas bases son cuadrados de 24 cm y 14 cm de longitud de sus lados; y, cuya apotema mide 13 cm de longitud.

pag. 218

8

Geometria del Espacio

Solucion: La representacion geometrica de la situacion sen'a: 14 cm

24 cm Acorde con la imagen mostrada se puede formar un triangulo rectangulo con medidas hy 5 cm para sus catetos; y,p para su hipotenusa. En este triangulo, se puede aplicar el Teorema de Pitagoras: h = ^J{l3f-(5f

= \2cm

Las areas correspondientes son: •

Area de la base inferior: Aj= (24)^ = 576 cm^.

•

Area de la base superior: Ag= (14)^ =196cm^.

.

El area de la superficie lateral es: Ai = 4 ( ^ ^ ^ ^ ) (13) = 988 cm^.

Por lo tanto, el area de la superficie total sera igual a : Af = Aj^ Aj A^ .47. =

988 + 576 + 196 = 1760 cm^

El volumen sera igual a : F=

\h(As+Aj+^mA])

- ^

(196+576+V196-576 )

Es decir, el volumen sera igual a : 4(772 + 3 3 6 ) cw^ F=4432cm2

pag. 219

8.2 Poliedros

1)

Autoevaluacion

Se han colocado dos pirdmides formodos por ccros loteroles que son triongulos equiloteros y de base cuodrodo, sobre dos coros no contiguos de un cubo, cuyo arista mide a unidodes, tal como se muestra en la figura: H

Determine el valor de a para que la longitud i/de la oltura del poliedro sea (8^/2+8) cm.

v..„,.,:. 2)

• _ „ , , „ . . , . . „ „„..„.._„

— _

-., —

„.^..-.,,

.,..,,„.,.——

Se desea construir 70 piramides rectos, de carton fino y base cuadroda, que cumplon lo siguiente relocion entre la longitud de cualquiero de las oristos de lo base y la longitud de su oltura:

k-1. h~2

pag. 220

8

Geomefrio del Espocio

Si el volumen de coda piramide debe ser 144 cm^, determine la cantidad Mde carton fino, en cnP', que demandara la construccion de las 70 pirdmides.

3)

Se desea colocar pequenos cubos cuyos oristos miden 5 cm en una cajo mas gronde de 20 cm X 30 cm X 50 cm. Si cado cubo peso -^kgy\a

cojo JQ kg, determine el peso en

kg de lo cojo con los cubos.

4)

A partir del material con el que se construye un prisma regular de base cuodrodo cuyo lado mide 3>/3 c/n y cuyo oltura mide 27 cm, se deseo construir un cubo macizo.

pag. 221

a)

Calcule la longitud a de lo oristo del cubo que se procuro construir.

b)

Si se reunen 27 de estos cubos formondo un cubo mas gronde y se pinton solo oquellos que quedan en el exterior, determine el area, en cnP', de la superficie o cubrir.

Poro lo siguiente piramide recta truncoda regular cuyos areas de bases mayor y menor son By b, respectivomente, se cumple que:

B^ + b'^ =

6ncm^

Bb=\AAcm^ h = 5 cm

g. 222

Geomefrio del Espocio

8

8.3 Solidos de revolucion Objetivos Al finalizar esta seccion ei lector podra: •

Explicar las caracteristlcas de los cuerpos de revolucion.

•

Dado un cilindro de revolucion, calcular el area de su superficie lateral, el area de la superficie de sus bases, et area de la superficie total; y, su volumen.

•

Dado un cono de revolucion, calcular el area de su superficie lateral, el area de la superficie de su base, el area de lo superficie total; y, su volumen.

•

Dado una esfera, calcular el area de su superficie y su volumen.

•

Dado un rectangulo, triangulo rectdngulo, trapecio o semicirculo, calcular el volumen del solido de revolucion que se genera al girar la figura en torno a un eje.

•

Dada una region en el piano cartesiano y un eje de revolucion, calcular el volumen del solido que se genera ai girar la region en torno al eje.

Definicion 8.10 (Superficie de revolucion) Una superficie de revolucion es aquella generada por una linea o una curva plana continue, sin autointersecciones (los puntos de la linea son coplanares), que giro alrededor de una recta denominada eje de revolucion. La linea que giro se denomina generatriz.

Generatriz

Eje de revolucion

En general, las superficies de revolucion junto con superficies pianos perpendiculares al eje de revolucion que contienen a los extremos de la curva de revolucion, delimitan cuerpos solidos.

pag. 223

Definicion 8.11 (Solido de revolucion) Un solido de revolucion es ei cuerpo limitodo por una superficie de revolucion y dos pi

Los cuerpos de revolucion (cuerpos redondos) que estudiaremos en esta seccion, entre otros, son: el cilindro recto, el cono recto y la esfera.

Figura 8.20: Cuerpos redondos.

8.3.1 Cilindros Definicion 8.12 (Cilindro) Es un solido limitado por dos cfrculos paralelos y congruentes denominodos bases, y por segmentos de recto paralelos entre si cuyos extremos pertenecen a las bases, respectivomente.

Los cilindros son rectos si y solo si las bases son perpendiculares a los segmentos de recta que lo limiton. El eje del cilindro circular es una recta que contiene a los centros de las bases. A los cilindros que no son rectos se los denomina oblicuos. En el contexto de este libro, solo trataremos con cilindros rectos. pag. 224

8

Geomefrio del Espocio

Una forma de obtener un cilindro recto, es haciendo girar un rectangulo alrededor de uno de sus lados. A este cilindro se lo denomina cilindro de revolucion. CP

Bases

En un cilindro recto se distinguen elementos utiles para hacer calculo de areas y volumenes, a saber: Bases:

Son los cfrculos paralelos.

Altura:

Es el segmento perpendicular a las dos bases cuyos extremos son puntos de los pianos de las bases, respectivomente. Su longitud se denote por h.

Generatriz:

Es uno de los segmentos de recto paralelos entre sf, que une dos puntos de las circunferencias que forman las bases. Su longitud se denota porg.

Para los cilindros rectos, la oltura y generatriz son congruentes.

S

Figura 8.21: Cilindros recto y oblicuo.

Construccion de un cilindro Si se "desarrollo" un cilindro y se lo extiende en un piano, se obtienen un rectdngulo que forma su superficie lateral y dos cfrculos que constituyen sus bases.

/VWVvWs,

WvVWW/ pag. 225

De acuerdo a esta plantilla, para construir el cilindro se procede de la siguiente manera: 1)

2) 3)

Se construye el rectangulo con las dimensiones respectivas: la generatriz del cilindro es la oltura del rectangulo; y, la longitud de la circunferencia es el perimetro de cualquiero de sus bases. Se dibujan dos circunferencias que representan las bases del cilindro de manera tal que queden unidos al rectangulo. Se dibujan vorios pestonos sobre los rectangulos a efectos de poder armor la figura.

En los cilindros se pueden calcular las siguientes magnitudes: Area de la superficie lateral iA^): Es el area de la superficie del rectangulo cuyo base tiene por longitud el perimetro de la circunferencia y la longitud de su oltura es la distoncio entre bases, coincidente con la longitud de la generatriz. La expresion para calcular esta area es: Aj^ = Inrh = Inrg

Area de la superficie total {A^-, ES la sumo del area de la superficie lateral con el doble del area de la superficie de una de las bases. Aj.=A^+2Ag= A^=2nr{g

2%rg + 2nr^ + r)

Volumen ( F ) : Es el producto del area de la superficie de la base por la longitud de la altura. V = Agh = '!ir^h

Ejempio 8.22 Area de la superficie total de un cilindro.

.^^^^^^^^^^^^^M.

Jonatfian quiere calcular la cantidad de hojalata que se necesitara para construir 10 botes cerrados de forma cilindrica, cuyas bases miden 10 cm de diametro, midiendo su altura 20 cm. Solucion: Se grafica uno de los botes cilfndricos con los datos dados.

20 cm

10 cm

pag. 226

8

Geomefrio del Espocio Expresion pore calcular el area de la superficie lateral del cilindro.

Ai-lnrh

^i=23i(5)(20) = 2007icm2

^ j ^ = 20071 + 271(5)2

Se reemplozan valores y se aplican propiedodes de numeros reales. Expresion para calcular el area de la superficie total del cilindro. Se reemplozan valores y se aplican propiedodes de los numeros reales. Se simplifico la expresion.

^7^ = 25071 cw^ Totalf,„j^i^ta= (10)25071 = 2 5007t cm^

Se calcula la cantidad total de fiojalata requerido.

Por lo tonto, Jonathan tendra que emplear 2 500 7i ctrP' de hojalata para construir los 10 botes de forma cilindrica. Ejempio 8.23 Area de la superficie lateral de un cilindro. Luego de enlotor pescado para exportacion en recipientes cilfndricos, una empresa necesita colocar su marca adhesive que ocupa toda la superficie lateral de lo lata. Si la capacidod de la Iota es de 4SncnP, su oltura mide 3 cm y coda ncm^ del adhesive cuesto $0.05, calcule la inversion que debe reolizor la empresa para poder etiqueter une produccion mesivo de 10 000 lotos de pescedo.

Solucion: Si el volumen del cilindro es iguol a F = 7r r^h, es posible calcular lo longitud de su radio de lo siguiente manera: 2 ^ 4871 r =— = = 16 hn 3K

-»

r = 4cm

la marca adhesive se debe colocer sobre le superficie lateral de lo Iota. Esta area corresponde a un rectdngulo cuyo base es la longitud de le circunferencia:

pag. 227

A^ =

lnrh

4 = 27t(4)(3)

Para calcular la inversion, se oplica una regia de tres simple: "

ncm^

t $0.05

2471 crrr

. =»

x

M

= $1.20

Finalmente, se calcula la inversion total poro etiquetar lo produccion mosivo de las 10000 lotos: /=(10000)(1.20) /=$12 000 Con lo cual, lo inversion necesorio osciende a $12000. Ejempio 8.24 Volumen de cilindros. Un canal de desogue tiene forma de un tubo cilfndrico de 50 cm de largo, cuyos radios interno y externo tienen longitudes de 9 cm y 12 cm, respectivomente. Determine el volumen de cemento necesario para construir el canal. Solucion: Se deduce que el canal tiene lo siguiente forma: H R= 12 cm r = 9 cm H= 50 cm

pag. 228

Geometria del Espacio

8

El volumen del tubo cilfndrico sera el volumen del cilindro exterior menos el volumen del cilindro interior: ^=

"^EXT ~

V= KR^H

VINT

- Ttr^H

V= nH(R^ - r^)

F=;i(50)[(12)2-(9)2] F=7i(50)(144 - 81) F=7i(50)(63) F = 3 150 7icm3

El volumen de cemento necesario para construir el canal es 3 ISQncnr'. i

Ejemplo 8.25 Volumenes de cuerpos en el espacio.

...mmmmmmMs^mmsmK^

Analice la variacion que sufre el volumen de un cilindro si la longitud de su radio experimento un aumento del 25%, mientros que la longitud de su oltura disminuye en un 20%. Solucion: Se realizo un bosquejo del cilindro con sus dimensiones r y /z; luego se lo bosqueja con el aumento y disminucion requeridas, segun lo indicado:

El volumen del cilindro original esta dodo por: Por otra parte, el volumen del cilindro con los medidos modificodos es: F ' = 7u(r+ 0.25r)'

{h-Q.lh)

pag. 229

1

V' = n r +—r

h--h

4

J

'5 ^ V' = n —r v4 J v5 y

Relacionando ambos volumenes se obtiene:

r

V

5 r; _ 74^' ' ^ :R7^h

5 4

Con lo cual, se cumple que V = —V 4 Es decir: V

4y

J7-=

+1 J/= 4

)K + 0.25 F = F + 25% F

Siendo osi, se concluye que con los combios reolizodos ol cilindro original, su volumen se incrementa en un 25%. Ejempio 8.26 Volumenes de cuerpos en el espacio. La figura mostrada corresponde a la vista superior de una piscina cuyo profundidad es constante e igual a 2 w, con excepcion de la seccion que es utilizado por los niiios que tiene una profundidad de 0.5 m. B

D

Si AB = 3 m, BD = 24 my CD = 25 m, calcule la capacidod de la piscina en m^. Solucion: Se oplica el Teorema de Pitdgoros en el siguiente triangulo rectangulo:

pag. 230

Geometria del Espocio

8

BC =

BC

^(CD}-(BD)

{25f -{24f

=V625-576 = V 4 ^

BC = lm

La longitud del diametro del semicirculo pequefio es: AC=BC-AB=7-3 AC = Am

Lo copocidod de la piscina viene doda por su volumen. En este coso, es lo sumo del volumen del semicilindro pequefio, mas el volumen del ortoedro, mds el volumen del semicilindro grande: Semicilindro pequefio

Ortoedro

Semicilindro grande

24 m

2

V 2 ,

h^+BC-BD-h2+-Ti

1

'BC^'

V 2 ,

1 1 4971 F = ^7r(2)^(0.5) + (7)(24)(2) + ^ 7 i ^ (2) = 7r + 336 + z z Vzy 4 5371 + 1344

471 + 1344 + 497C:

m'

pag. 231

8.3.2 Conos Definicion 8.13 (Cono) Es un solido limitado por un circulo denominodo base y por segmentos de recta en los que un extremo pertenece a lo base y el otro es un punto comun denominodo vertice que no pertenece a dicfio base. Vertice

Base Los conos son rectos si y solo si el vertice se reflejo sobre el centro de lo base. El eje del cono es el segmento de recto que une el vertice con el centro de la base circular. A los conos que no son rectos se los denomina oblicuos. En el contexto de este libro, solo trataremos con conos rectos. Una forma de obtener un cono recto, es haciendo girar un triangulo rectangulo alrededor de uno de sus cotetos. A este cono se le denomina cono de revolucion. Vertice

En un cono se distinguen elementos utiles para hacer calculo de areas y volumenes, a sober: Base:

Es el circulo que lo limita.

Altura:

Es el segmento perpendicular a la base cuyos extremos son un punto del piano de la base y el vertice. Su longitud se denota por h.

Generatriz:

Es uno de los segmentos de recto que tiene un extremo en la circunferencia de lo base y el otro extremo es el vertice. Su longitud se denota porg.

Si el cono es recto, su oltura esta contenido en lo region interior y odemas forma con un

Figura 8.22: Conos recto y oblicuo. pag. 232

8

Geometria del Espacio

Construccion de un cono Si se "desarrolla" un cono y se lo extiende en un piano, se obtienen el sector circular que forma su superficie lateral y el cfrculo de la base.

De ocuerdo a esta plantilla, para construir el cono se procede de la siguiente manera: 1)

2) 3)

Se construye el sector circular con las dimensiones respectivas: la generatriz del cono es el radio del sector; y, la longitud de arco del sector es el perimetro de la base. Se dibuja una circunferencia que represente a la base del cono de manera tal que quede unida al sector circular. Se dibujan varias pestofias sobre el arco del sector circular y la generatriz a efectos de armor lo figura.

En los conos se pueden calcular las siguientes magnitudes: Area de la superficie lateral (Ai): Es el area de lo superficie que limitan las generatrices, la cual puede colcularse a partir del area del sector circular formodo de manera tal, que su radio es congruente con la generatriz del cono, y su arco tiene la misma longitud que lo circunferencia de la base.

=7crg

pag. 233

Area de la superficie total {A^: Es la suma del area de la superficie lateral con el area de la base. A^ = A^+Ag = nrg + nr^ Aj. =

nr(g+r)

Volumen (V): Es un tercio del producto del area de la superficie de lo base por lo longitud de la altura. V=\A^h

Ejempio 8.27 Area de la superficie lateral de un cono. La mama de Logan ha decidido hocerle una fiesta. Si hizo 10 gorros de forma conica con carton, scuanto carton utilize si las dimensiones de cada gorro son 15 cm de radio y 25 cm de generatriz? Solucion: Tomando como referencia uno de los gorros:

A^ = nrg

Expresion para calcular el area de la superficie lateral de un cono.

A^ = n {15){25) = 375 Kcm^

Se reemplazan valores y se realiza la multiplicacion.

^

Total

, . , „ x ^-.^^ 7 . = 375 71 (10) = 3 750 71 cw^ carton ^ '

Total del area de la superficie del i j corton empleodo.

Siendo osf, la mamd de Logan utilize 3750 ncm^ de carton para hacer los 10 gorros.

pag. 234

Geometria del Espacio

8

Ejempio 8.28 Area de la superficie lateral de un cono. Un cono recto cuya altura mide 3 m, tiene un area de la superficie lateral de 6 71 m^. Determine la medida a del dngulo que la generatriz forma con la altura.

Solucion: h = 3m Ai = 6'KnPAi = nrg

=>

6

rg=6

r =— m g

Por el Teorema de Pitagoras: g^ = h^ + r2

Por tanto:

g'

g4-9g2-36 =0 (g2-12)(g2 + 3) = 0 (g2 = 12)v(g2 = - 3 )

De donde:

g = VT2 = 2V3 m

Ademas:

, . h 3 cos{a) = — = •

g

2V3

V3 2

a - ^

6

radianes

Ejempio 8.29 Volumen de un cono. Determine el volumen de un cono construido a partir de un sector circular, cuyo radio y angulo central miden 2 cw y y radianes, respectivamente. Solucion: La longitud de arco L^^ del sector circular es: ^sc

T

^sc^sc

= ^71

pag. 235

Proyectando el cono en un piano lateral se obtiene:

Por el Teorema de Pitagoras:

Ejempio 8.30 Volumen de un deposito conico.

,„m^^mm^mmmam

Si un deposito de agua tiene la forma de un cono circular recto invertido, cuyo radio mide 2 my cuyo altura mide 6 m, determine: a) b)

Lo capacidad maxima del deposito. El volumen en el deposito cuando la altura que alcanza el nivel de agua es de 4 m.

Solucion: a)

pag. 236

Ubicando los elementos del cono, se tiene:

Geometria del Espacio

la capacidad maxima se calcula a partir del volumen del deposito: 3 Reemplazondo los datos proporcionados, se tiene:

3 Por lo tanto, la capacidad maxima del deposito es 871 m^. Construyendo un bosquejo para esta situacion particular cuando el nivel del agua existente en el deposito alcanza una determinada altura, se tiene:

Las longitudes del radio y altura del deposito pueden relacionorse con las del radio y altura que alcanza el nivel del agua en este instante, utilizando para esto, el concepto de semejanza de triangulos, ya que AABC ~ ADEC.

pag. 237

h

r

h' f

h'

r'

h

A partir de lo anterior, se cumple que: — = — =^ r' = Luego, reemplazondo los datos proporcionados: ,...(4)(2)

4

6

3

Finalmente, calculamos el volumen de agua en el instante requerido: 4 _Tt{rfh' V =

3

'(4) 3

64 n

27

Por lo tanto, el volumen de agua en el instante requerido es

Si un cono se interseca con un piano paralelo a la base del mismo, resultan dos cuerpos: un cono y otro que se denomina cono truncado. Un cono truncado tiene dos bases circulares porolelas semejontes, de areas A y A',y lo longitud h de la altura es la distoncio minima entre ellas. Los secciones transversales de un cono dividen a lo altura, a las generatrices y a las bases en partes proporcionales, ademas: V

Figura 8.23: Cono truncado recto. Se puede considerar que el cono truncado de revolucion de bases porolelas, es un solido de revolucion generado por la rotacion de un trapecio rectangulo en torno de un eje que contiene el lado perpendicular o sus lados porolelos.

pag. 238

Geometria del Espacio

8

Donde: g es lo longitud de la generatriz. P es el perimetro de la base mayor = 2%r. P' es el perimetro de la base menor = 2nr'. ^

Entonces: AL =

2itr + 2%r'

7^

g = n{r + r') • g

Area de la superficie total: AX = AL + AB + AB' Donde ^ s y y i g ' s o n los areas de las superficies de las bases. Luego: AT = n(r + r ' ) - g + nr^ + n{r'y

AT

= Jt[(r + r')- g + r^ + ir'f

El volumen de un cono truncado esta dodo por:

r _

1

V=-^%h[ir^

+ {r')^ + rr')\

ry r': Longitudes de los radios de las bases. h: Longitud de la altura.

Ejempio 8.31 Area de lo superficie lateral de un cono truncado. La pantalla de una Idmpara tiene la forma de un cono truncado cuyo radio de la base mayor mide 16 cm, radio de lo base menor 10 cm; y, su altura 12 cm. Si el material con el que esta construido cuesta $50 por metro cuadrado, determine el costo del material utilizado en lo pantalla. Aproxime su respuesto con dos decimales.

•4

pag. 239

Ubicando los elementos del cono truncado, se tiene:

Segun lo requerido en el problema, se debera calcular el area de la superficie lateral del cono truncado, cuyo expresion esta doda por: AL = -K{r +

r')g

Con este proposito, primero se calculora la longitud de la generatriz del cono truncado:

g = V(12)2 + ( 1 6 - 1 0 ) 2 g = V l 4 4 + 36 = a / 1 8 0 = 6 V 5 cm Calculando el area de la superficie lateral del cono truncado: = 71 ( r +

r') g

= ^ (10 + 16) 6^/5 = 156 V5 71 cm^ = 0.0156 r = V5

pag. 300

9

Numeros

tan(0) = — = - 2 ^

Complejos

0 = arctan(-2)

obien 0 = 27t-arctan(2)

iiln-arctanil]

.•.z = l - 2 / = V5e ^

^

Ejempio 9.8 Modulo y orgumento de un numero complejo. Determine el modulo y el orgumento de los siguientes numeros complejos; luego. grofiquelos en el diogromo de Argond y expreselos en forma polar: o)

Zl=-2^/3+2^•

b)

Z2 = - 5 - 5 z

Solucion: o)

z,=-lS

+ 2i

Eje Imaginario

2

Pi

^

-2V3

3

Eje Real

-2V3

57t

, 571

Zj = - 2 ^ / 3 + 2^•

b)

z,=r,e

Zi =

4e

6

Eje Imag nario

Z2 = - 5 - 5 /

n =542

-5 1

Eje Real

'"^i/

to«(0,) = - ^ = l 0.=

-5

5n

j5n

Zj =

-5 - 5z

z^-

r^e ^

z, = 5j2e

4 =5V2e

i(

3n 4)

pag. 3 0 1

Ejempio 9.9 Forma polar de un numero complejo. Identifique el modulo y el orgumento fundamental de los siguientes numeros complejos. -'I

6

z,=le

Z3=e

Solucion: Numero Complejo .71 Zi =

2e

Argumento

.1171

6 ^ 2e ^ . 7t

z^=-5e

Modulo

. 7C

.71

6

. 471

r,=5

3 = 5 ( - l ) e 3 = 5 ( e ' ' ^ ) e 3 = 5e 3

3+'l

Un

r,=2

3

Z4=3^=e^

^= e ^

e,=|/«(3)

^4=1

Ejempio 9.10 Forma rectangular de un numero complejo.

I

Exprese en forma rectangular los siguientes numeros complejos: , 57t Zi =

2e 3 _.5k

b)

22=-3e

4

Solucion: .571

a)

b)

Zj=2e

3 = 2

Z2=-3e

3V2 2

pag. 302

4 = -3 -I

+ isen

CO.?

.3V2

. 3

COS

J

f5n> [ 3

(

5n^

I

4j

J

=2 (

+ isen V

—

'1

2

5n^ 4;

2

= -3

+ z 2

2

Numeros

Complejos

9.1 Definicion y representacion geometrica Autoevaluacion

1)

Complete los cosilleros de lo siguiente toblo segun correspondo. Numero complejo conjugodo

Numero com alejo original Forma rectangular

Par ordenado

Par ordenado

Forma rectangular

(1,1) (-71,-3) - 2 + 4/ 0 + 3/

2)

Determine los numeros reales ayb,

tales que:

fl(2 + / ) + b(l - 2/) = 5(/ + 2/2 + 3/^ + 4/4 + 5 / 0

3)

Exprese en forma polar (z = re'^) los siguientes numeros complejos, considerondo que 9 € [0, 271).

a)

zi = V8 + V8 /

b)

z , = - ^/T5 + 0/

c)

Z3

= 0-13/

pag. 303

4)

Exprese en forma rectangular los siguientes numeros complejos:

b)

f

\ 7r(l-2/f c)

= -2e

3

i arctan

5)

Considere el numero complejo w = - 8 e a)

' 3

dado en forma polar.

Grafiquelo en el siguiente diogromo de Argond.

Im

4--

H -8

h-4

-8--

Nota: >/7«2.65

pag. 304

H

1

4

8

Numeros b)

6)

Complejos

Obtenga la representacion de w en forma rectangular.

Colifique coda proposicion como verdadero o falsa. En coso de ser verdadera, demuestrela; y, en caso de ser falsa, proporcione un controejemplo. o)

V z e C se cumple que arg(z) = arg{z).

b)

Seaz^^e'^®"^^"^^; 6 € R A A: e N Q , entonces ZQ = Z J = - = Z ; ^

pag. 305

9.2 Operaciones Objetivos Al finalizar esta seccion el lector podro: •

Demostrar propiedodes de los operaciones de nunneros complejos.

•

Aplicar las propiedades de los operaciones de numeros complejos.

•

Dodos dos o mas numeros complejos, reolizar operaciones multiplicocion, division y potenciocion de numeros complejos.

•

Dado un numero complejo, determinar sus raices y explicar la relacion geometrica

de sumo,

Suma de numeros complejos Lo suma entre dos numeros complejos zj y es otro numero complejo, cuya parte real es la sumo de las partes reales de ombos; y, cuya parte imoginoria es lo sumo de los partes imaginarias de los referidos numeros. Esto operocion se puede representor osi: (.^1,

+

fe,

= (.^1+^2,

y\^y^

Lo suma de numeros complejos Zi, Z2, Z3 cumple con los siguientes propiedades: V Z J J Z J G C

VZi,

[Z1 + Z2-Z2+Z1

Z2, Z3 € C

[Zi + (Z2 + Z3)] =

3 ( 0 , 0 ) e C V ( x , j ) e C fe>;)+(0, 0) = (0,0)+(x,>;) = (x,>;)]

{x,y) + ix*,y*) = (0,0)] Cuadro 9 . 1 : Propiedades de lo sumo de numeros complejos. Ejempio 9.11 Demostracion de propiedades de numeros complejos^ Demuestre que: Zj + (z2 + Z3) = (zj + Z2) + Z3, Vzj, Z2, Z3 € C . Solucion:

Zi + {z2+z^)= ixi,yi) + [(x2,>^2) +

fe^JFs)] Definicion de numeros complejos.

= (.^i>>'i) + fe + '^3,>'2+>'3)

Suma de complejosZ2yZ3.

= [Xi + {x2+Xi), yi + (y2+ys)] Suma de complejos Zj y(z2 + Z3). = [(xj +X2) +X3, (yi + J2) +>'3] Propiedad asociativa de numeros reales.

=

(xi+X2,j'i+>'2)+(^3)>'3)

z7+ (zi + 23) = (Zl + Z2) + Zi

pag. 306

Sumo de complejos (zi +

Z2)yZ3.

9

Numeros

Complejos

La resta de numeros complejos es factible debido o que lo sumo algebraica cumple con la propiedad del inverso oditivo. En este coso, se sumo el minuendo ol inverso oditivo del sustroendo. Ejempio 9.12 Resto de numeros complejos. Sean z = (2, - 3 ) , z = ( - 4 , 1) y z . = (5, 3 ) , obtenga en forma rectangular: a) b)

^2-^3

c)

^3-^1

d) e) Solucion:

-z^ = (2-{-

4), - 3 - 1) = (6, - 4) = 6 - 4/

a)

^1-

b)

h- - Z 3 = ( - 4 - 5 , l - 3 ) = ( - 9 , - 2 ) = - 9 - 2 /

c)

h- - z , = ( 5 - 2 , 3 - ( - 3 ) ) = ( 3 , 6 ) = 3 + 6/

d) e)

^ 2 -

- z , = ( - 4 - 2 , l - ( - 3 ) ) = ( - 6 , 4 ) = - 6 + 4/ - Z 2 = ( 5 - ( - 4 ) , 3 - l ) = ( 9 , 2 ) = 9 + 2/

Multiplicocion de un numero complejo por un numero real Sean a G R y z e C , esta operacion se define como:

az = a(x,y) = {ax, ay) Sean a , P 6 R y z, Z ] ,

e C , entonces se cumple que:

za

1.

az =

2.

a(Pz)-(aP)z

3.

0(z) = (0,0)

4.

(a + P)z = a z + Pz

5.

a(zi+z2) = a z i + az2

Cuadro 9.2: Propiedades de lo multiplicocion de un numero complejo por un numero real.

pag. 307

Ejempio 9.13 Demostracion de propiedades de numeros |j^°|j]j]P^,^i°j^|| Demuestre que: a(Pz) = (ap)z, V z e C, Va, p e R. Solucion: z = ix,y) Pz = (Px, Py)

a(Pz) = (aPx, aPjv) a(pz) = (aP)(x,>') a(Pz) = (aP)z

Definicion de un numero complejo. Producto de un numero complejo por un numero real p. Producto de un complejo (pz) por un numero real a. Producto de un complejoz por un numero reoi (aP).

Multiplicocion de numeros complejos S e a n z i = (x^, yy) y Z2= {X2,y2), el producto entre Z i y Z2 esta dodo por:

zi Z2 = (xi, yi) ix2, y2) = (^i X2 -yiyi,

xi y2 + X2yi)

Esto operacion poro los numeros complejos Z i , Z2, Z3 cumple con las siguientes propiedades: Conmutotivo

Z1Z2 = Z 2 Z i 21(^2^3) = ( 2 1 2 2 ) 2 3

Asociativa

1

3(1,0) G C V ix,y) E C [(x,yXl, 0) = (1,0) (x,y) = ix,y)]

Elemento neutro multiplicative

Wix,y) e C - {(0,0)} 3(x*,>;*) e C [(x,y) (x*,y*) = (1,0)]

Elemento inverso multiplicotivo

Cuadro 9.3: Propiedades de lo multiplicocion de numeros complejos. En la ultima propiedad, el elemento inverso multiplicative es:

ix*,y*) = {^.x'^+y'^

X +y

Ejempio 9.14 Demostracion de propiedodes de numeros complejos. emuestre que: Z i Z2 = Z2 z\, Vzj, Z2 e C . Solucion: Z\Z2 = ( ^ l , > ' l ) ( ^ 2 , > ' 2 ) = (XiX2 - y i y 2 , ^ l > ' 2 + ^ 2 j ' l ) = (X2Xi - > ' 2 7 l , > ' 2 ^ 1 +3^1 ^2) = (^2,.y2)(^I,>'l)

Definicion de numeros complejos. Definicion de producto entre numeros complejos. Propieded conmutotive del producto de numeros reales. Definicion de producto entre numeros complejos.

Z i Z2 = Z2 Z i

Resulto de mucho utilidod sober como se comporton los operaciones antes estudiados sobre los numeros complejos y sus respectivos conjugodos.

pag. 308

9

Numeros

Complejos

Asf, si z, Z j , Z2 € C , siendo z = X + 3^/, se tienen las siguientes propiedades:

1. z + z = 2x 2. z - z = 2v/ 3. zz = x^+y 1 1 z z z z z x2+_y 5. (y)=z 4.

6. 7. ^1^2 =^1^2 Cuadro 9.4: Propiedades de los conjugodos de numeros complejos. La propiedad 4 se emplea poro el elemento inverso multiplicative de z. Ejempio 9.15 Demostracion de propiedades de numeros complejos. Demuestre que: z^ + Z2=z^ + z^, Vzj, Z j e C . Solucion:

: Z . + z, - ixi,y,)

Definicion de numeros complejos.

+ ix2,y2)

= (X1 + X2 ,yi+y2) I

= ixi + =

X2,-(yi+y2))

(X1 + X 2 , - 7 1 - 7 2 )

= (xi,-yi) Z j + Z^

Definicion de sumo de numeros complejos.

+ (^2,-72)

= z^ + z^

Definicion del conjugodo de un numero complejo. Aplicacion de la propiedad distributive. Definicion de sumo de numeros complejos.

J

Definicion de conjugodos de numeros complejos.

Seen los numeros complejos z^ y z^, su producto tambien puede ser representodo en forma polar de lo siguiente monero:

(z,=r,e®')A(z2=r2e®^) ZiZ2 = Z i Z j = r,r2

cos (0j + 82) + / sen (Gj + 62 )^

Division de numeros complejos Paro determinar el cociente entre dos numeros complejos, con denominodor no nulo, se debe multiplicar y dividirpor el correspondiente complejo conjugodo del denominodor de la froccion, a fin de expresor como un numero real el denominodor de dicfio froccion. | =f

|;z,^(0.0) pag. 309

Ejempio 9.1 6 Operaciones entre numeros complejos. Sean zi = ( 1 , - 1 ) y Z 2 = ( - 3 , 4 ) , reolice los siguientes operociones: 2zi + 3z2

a)

b)

c)

z^-Zi

ziZ2

d)

Solucion: 2zi + 3z2 = 2 ( 1 , - 1 ) + 3 ( - 3 , 4 ) = (2, - 2 ) + ( - 9 , 1 2 ) = ( - 7 , 10)

a)

^ - z i = (-3,4)-(1,-1) = (-3,-4)-(1,-1) = (-4,-3) z,Z2= 2i_

Z2 z, Z2

( l , - l ) ( - 3 , 4 ) = ( - 3 + 4 , 4 + 3) = ( l , 7 )

\-i - 3 + 4i -7-i 9 + 16

1-i

- 3 - 4i \ - 3 + 4z ; \ - 3 - 4 / / 7 1 . 25 25'

( - 3 - 4 ) + ( - 4 + 3)z ( - 3 ) 2 + (4)2

Ejempio 9.1 7 Expresiones algebraicos.

Determine el valor de la expresion: ^ _^

f

+ ^

^( •

Solucion: i

Se podri'o definir el numero z = (3, - 2 ) .

i

Su conjugodo seria z = (3,2).

•

Lo expresion original se convierte

I

Pero:

I

z2= ((3) (3) - ( - 2 ) ( - 2 ) , (3) ( - 2 ) + ( - 2 ) (3)) ^ (9 - 4, - 6 - 6) = (5, - 1 2 )

I

z2 = ((3) (3) - ( 2 ) (2), (3)(2) + (2)(3)) = (9 - 4, 6 + 6) = (5 , 1 2 )

I

z z = 32+(-2)2 = 1 3 z

_ ^ '''^ ~

^

_2 — —

^ _ ( 5 , - 1 2 ) + ( 5 , 1 2 ) _ 10 + 0i 13 13

z ^ z

El resultodo de esto expresion es un numero real puro. Sean los numeros complejos Zj yz2, su cociente tambien puede ser representodo en forma polar, de lo siguiente monero: ^1 ^1

= r,e ' ^A I Z 2 = r-,e

/e, _ r,e '

r cos (61 - 02) + z sen (0i - Oj)

21

'"1

Zi

h *-

pag. 310

9

Numeros

Complejos

Adicionalmente, el modulo de los numeros complejos z, z j , Z2 cumple con los siguientes propiedades, de las cuales lo sexto hoce referencio a lo desiguoldad triangular:

1z| = jz|

1.

2. \z, + z,\|Z,+Z2|

Cuadro 9.5: Propiedades del modulo de los numeros complejos. El argumento de los numeros complejos z i , Z2 cumple con las siguientes propiedades: 1. arg{z) = -

arg{z)

2. arg{ziZ2) = arg(zi) + arg(z2) 3. «^(|)

= argizO - argiz2)

; Z2 ^

(0, 0)

Cuadro 9.6: Propiedades del argumento de los numeros complejos. Ejempio 9.1 8 Demostracion de propiedades de numeros complejos^ Demuestre que: arg (z, Z2) = arg (zj) + arg (zj), Vz,, Z j e C .

Solucion: Expresomos Zj y Z2 en forma polar: Zi =

j-e, r,e

Z2 =

r^e

= r,Aarg{z,)

= Q,

= r^Aarg{z2)

= Q2

Reolizondo el producto Zi Z2, tenemos: ((61+62

z,z,=r,r,e Luego: argizi Z2) = 01+92 arg{zi Z2) = argiz{) + a ^ ( z 2 )

pag. 3 1 1

Ejempio 9.1 9 Modulo de numeros complejos. = 1 - 3i y Z2 = 2 + i, determine el modulo del

Seon los numeros complejos numero e Solucion: Reolizomos lo division — , osi: Zi

Zi^(l-3/) Z2 (2 + / ) zi

-

(2-1)

2+ 3/2-/-6/

_

(2-/)

1

1 - 7/

4-/2

7 .

5 Luego reemplozomos este cociente en el numero dodo: 1

^2 _ g V

iEL

5

7 . 1 .

g Z — gJ

- — J7

_ g J g J 7

Podemos concluir que el modulo del numero complejo dodo es r = e^. Ejempio 9.20 Multiplicocion y division de numeros complejos. Dodos los numeros Zj = / y Z2 = 1 + /, reolice los siguientes operociones: a)

Z1Z2

Zl

Solucion: a)

zi =

0 + /,

Z2 =

1 +/

ri = VO+T=l, r2 = Vr+T = V2 XI =

'

0 A 7 I > 0 , tow(62) = j

2

'

=l

Obteniendo los argumentos de coda numero complejo.

4 Definicion del producto entre numeros complejos.

/ 01 + 02 Z1Z2 =

r.r^e"^

Z1Z2 =

"2

4

{\)(42)e (3n] COS

+

[ 4 ) Z1Z2

pag. 312

=

-J2

Obteniendo los modulos de coda numero complejo.

Producto en forma polar.

isen

^4

J

Expresondo el producto formo rectangular.

en

9

Numeros Complejos

Simplificando el producto.

= -1 +/

Z1Z2

ne

Aplicondo

22

la definicion de lo

division.

1

r7t_7ti 2 4

Cociente en forma polar.

V2. £1. = -

1

^2

Z2

1

71 + i sen

UJ —

V2 4i

UJ —

Expresando

el

cociente

en

formo rectangular.

S .4~2 —+1—

i_ _

Simplificando el cociente.

Potenciacion de numeros complejos Si « e Z"*", aplicondo multiplicaciones sucesivas se tiene: z" = zz ... z (n foctores). Aunque tombien se puede empleor lo forma polar:

Ejempio 9.21

m

z"=

{re^y

z"=

r"e'"^

Potenciacion de numeros complejos.

Dodo el numero complejo z = -

- y / , calcule z ^

Solucion:

^

2

2

I / / 1y ' ~ \ 2~/''"v T /

obteniendo la representacion polar del numero complejo.

p^g. 313

tan{Q)

_

1

V3-

e

Argumento de z .

6

z = iln

z

=

z

= cos(7n) + i senilii)

z

= -1+0/

Ejempio 9.22

Potenciacion del numero complejo. Determinando lo representacion rectangular de z^.

Potenciacion de numeros complejos.

Dodo el numero complejo z = ^ + ^ ^ calcule z ' ' ' . 1 - /• V 3 Solucion: El numero complejo d a d o puede escribirse como:

= ^ •

z, = 1 + / V 3 V3

to« (90 =

r,=V(l)^ + (V3')^ =

e.=f

=2

^Jm

z>=2e'^ Z2 = l - i V 3 r2=V(l)' + ( - V I ) '

5%

r2 = V r + 3 = 2 Z2=2e

3 47t

z =-

pag. 3 1 4

2e

= e

tan (62)

• 3

=

-V3

9

Numeros Complejos

Luego:

10

i

3

1

[

= e

407t'| 3

Yo que lo medido del angulo -

coincide con la medido de - ^

; y, por

27t

angulos coterminoles coincide con - y - , tenemos:

+1 sen

2+

2

I

Ejempio 9.23 Potenciacion de numeros complejos.

_

C a l c u l e el valor de la siguiente expresion: (1 + /)^^*^/. Solucion: Obtenemos el modulo del numero complejo z = 1 + /. r = V ( l ) ' + ( l ) ' = V T T T = V2

ton(e) = y -(J) Expresando z en forma polar: z 100

=

i

; n

100

1

100

y reolizondo lo potenciacion

22 e

100 100

cost C05(7t) + /5'e«(jt)

100 — _ 2 5 0

Reolizondo el producto por / , tenemos:

(i+iy°°/=-2^'/=25V^

Partiendo de lo representacion polar, y si hacemos r = 1, obtenemos el teorema propuesto por Abrofiom De Moivre:

[cos(Q) + i sen(e)]" = cos{n 9 ) + / sen{n 9 ) ;

V9 e R V « e Z

Esta expresion es importante porque relaciona o los numeros complejos con la trigonometria. La expresion cos{Q) + i sen(Q) puede obreviorse como cis(Q).

pag. 3 1 5

Desarrollando el segundo miembro medionte el teoremo del binomio, reduciendolo o lo forma x+yi e igualondo partes reoles y partes imoginorios, se deducen ciertos expresiones poro cos(nQ) y sen(nQ) como polinomios de grodo n en cos{Q) y sen(Q). Ejempio 9.24 Identidodes trigonometricas con De Moivre.

Empleando el Teorema de De Moivre, d e d u z c o uno expresion p a r a cos(2Q) y otra poro sen(2Q). Solucion: Si « = 2 en la expresion del Teorema de De Moivre, se obtiene: [cos(Q) + i sen{Q)f = cos{2Q) + / sen{2Q)

(I)

Desarrollando el termino de lo izquierdo de esto i g u a l d a d : [cosiQ) + / sen{%)f=

+ 2i

COS\Q)

cos{Q) sen{Q) +

[cos{Q) + i sen{%)f = cos\%) + f sen\Q) + 2 [cos(Q)

+ i sen{Q)f =

[COS\Q)

-

sen\Q)

[cos(e) sen{Q)]i

W(e)] + 2 [sen{Q) co5(e)]z

(||)

Igualondo los terminos correspondientes de los expresiones (I) y (II), las partes reoles y las partes imoginorias nos indicon respectivomente que: cos{2Q)

= COS\Q)

-

sen\Q)

sen{2Q) = 2 sen{Q) cos{Q) El lector puede recordor estas identidades trigonometricas de angulo doble en el copi'tulo correspondiente de esto obro.

Ejempio 9.25 Potenciacion de numeros complejos.

O b t e n g a el modulo y argumento del siguiente numero complejo:

z =

(-1+0

Solucion: Seon los numeros complejos Zj = 1 - / V 3 , z^ = - 1 + / . Poro focilitar las operociones con los potencies de estos numeros complejos, se expreson z^ y z^ en forma polar: Paro = ^l' + ( - J ^ f = ^

= 2

1

^ . 571

z, =1-/V3

pag. 3 1 6

z, =2e 3

9

Numeros Complejos

Para z^:

ton(02) = —

=>

62 =

Entonces: '

Z

1A

.571^^

, 371

/ 10 _"

. 2571

. 157t

257C 3

=e

157tl

2

r507i-457i

, 57t

=e

= e

Por lo tonto: •

El modulo del numero complejo es: z — l.

•

El argumento del numero complejo e s : arg[z) =

5n

Considerondo la medido del angulo coterminal, el argumento es - — . 6 Ejempio 9.26 Potenciacion de numeros complejos.

Colifique lo siguiente proposici6n como verdodero o f a l s a , justificando su respuesta.

V « e N

(V2 + / V 2 ) " + ( - V 2 + / V 2 f =

i"2"^hen V t y

Soluci6n: Se expreson los numeros complejos en forma polar:

= V2+zV2 = V(^) 0j = arctan

z, = 2e

•I

z^=-42

+(^)

+ i42

=2 n 4

02 = arctan

371

.3n Z2

= 2e

4

pag.

317

La expresion se tronsformo en:

2e

4 j

=2"e

+2

4

S\n = 2: /

71

U

2+e

. 37C

2;=4

—

V

+ i sen

(A —

UJ

+ COS

4(0 + / + 0 - ; ) = 0

U J

+ i sen

[2)

Por lo que: le 2 + g

2

0^-8

.". La proposicion es falsa.

Radicacion de numeros complejos Si z = r e ' ® es un numero complejo diferente de cero y « e Z"*", existen precisomente n diferentes numeros complejos W q , W\,

w „ _ i que son las roices « - e s i m a s de z.

S e a w = 5 e ' P una rofz « - e s i m a , debe cumplirse que w " = z . Esto es: 6 ' ' e " ' P = r e ' ^ , con lo cual 5 = de los dngulos « P y 0 deben tener lo misma medido, por lo cual sus periodicidades hon de diferir en un muitiplo entero de 2ti:. Es decir: /?(3 = e + 2A:7i, A : e Z Por lo tonto, todas los roices n - e s i m a s de z = r e ' ^ vienen dados por lo expresion:

= V7i^= V 7 e ' ( T ^ ) ; k =

Q,\,2,...,n-\

Estos rafces pertenecen o uno circunferencio centrada en el origen c u y a longitud de radio es iguol o lo « - e s i m a rafz real positiva de r. El argumento de una de ellos es (3 = — y las demos estan uniformemente distribuidos o lo largo de tal circunferencia, s e p a r a d a s un angulo c u y a medida es — .

n Ejempio 9.27 Rodicocion de numeros complejos.

D a d o ei p r e d i c a d o p { x ) : + \ = 0 ,

determine h.p{x) .

Solucion: El problema se reduce o extroer los rafces cuartas de - 1. ^ ^ Q.

Expresando en forma rectangular el numero complejo.

pag. 3 1 8

9

Numeros Complejos

r = VTTo = i

Expresdndolo en forma polar. i

i

k= 0 WQ

= le

i 4

4

;A: = 0 , 1 , 2 , 3 .

C a l c u l a n d o su primero rafz.

•I

cos

—

UJ

+ / sen

(A —

U J Forma rectangular de la primera rofz.

k=l

Colculondo su segunda rofz. i

4+X^

W] = le

cos

4

= e

r37c^

+ / sen

U J

V2 , V2

f3n\

14 J Forma rectangular de lo segunda rafz.

k=2

C a l c u l a n d o su tercero rofz.

W2 = l e

= e

U J

1^2 = —

V2

+ i sen

V2..

U J Forma rectangular de lo tercero rofz.

A; = 3

C a l c u l a n d o su cuorto rafz. n , 611^

W3 =

le

V2

= e

U J

4

+ i sen

V2..

14

J Forma rectangular de la cuarta rafz.

pag. 319

Comprobacion: Si graficamos las cuatro roices obtenidas en el piano complejo, se compruebo que los mismas estdn l o c a l i z a d a s sobre una circunferencia de radio unitario, centrada en el origen, y estan s e p a r a d a s - y , tal como se muestro en la siguiente figuro:

Im

El lector puede comprobor que al elevar a la cuorto potencia cualquiero de los rafces obtenidas, resulta el numero complejo original.

Ejempio 9.28 Radicacion de numeros complejos.

Seo el conjunto referencial R e = C y el predicado de una var iable:

Tobule el conjunto de verdad Pq){x).

Solucion: Se trabojo con lo expresion de numeros complejos:

-{\ i)x' =

f+i

-{\ i)x'=.-\ i 4_

^ z =

pag. 320

(/-I) (!-/)_

" " ( 1 + 0(1-/)" / = 0 - l /

/+

+

1+ 1

2i _

~~ 2~

.

^

9

Numeros Complejos

S e expresa el numero complejo en su formo polar:

= A/0'+(-lf =1

e=

371

Los rafces cuartas de z vienen d o d a s por la siguiente expresion: (3n

+2kn

V^g{0,1,2,3}

•

w,

Por lo tanto, los cuatro raices cuartas son: i

I

Q O

i

J

[In] Q

I

0

i

J

fllTt' o

i

\ J ; W3 = e

^

0 0

;

El conjunto de verdad es: (3K'

i

i

Ap{x) =

V ^

i

8

)

,e

,

fi0

Ejempio 9.29 Ecuaciones con numeros complejos.

S e a el conjunto referencial R e = C y el predicado:

p[z):-z'= 4

-I

—-

I

I —I

Determine el conjunto de v e r d a d Ap{z) y dibuje sus elementos en el piano complejo.

Solucion: Se despeja —z

de la expresion dodo: =•

1-/

i-\

- z 4 = - —

z' = \

z'=l

+ Oi

z' = 1^0' Se deben obtener las cuatros rafces cuartas del numero z con la siguiente expresion:

z , = ^

= ^

= le"

'

^;

Vyt€{0,l,2,3}

Se evaluo lo expresion poro los diferentes valores de k:

pag. 3 2 1

=

= le

= (cos ( 0 ) + / sen (O)) = 1 + 0 ? = 1 2 =

cos

z^ = \i " = (co^

V2y

+ i sen

(TI) +

sen

(TT)) = - 1 + 0 / = - 1

f cos V

S e puede notar que:

= 0-/ = -?

U J

= z ^ = z^ = z ^ = z ^

i^=/^=(-ir=G-r=i Observe que las cuatro rafces estan locolizodos sobre una circunferencia de radio unitario, centrada en el origen, y estdn s e p a r a d a s y - radianes, tal como se muestra en lo siguiente figuro:

Im

O

I—I

.:

Ap[z) =

Re

{\,i,-l,-i]

Ejempio 9.30 Ecuaciones con numeros complejos.

Seo el conjunto referencial R e = C , determine el conjunto de verdad del siguiente predicado: 1

i'

pag. 3 2 2

0

0

z'

0

f

-1

= 1

9

Numeros Complejos

Solucion: Dodo que el determinante solicitado corresponde al de una matriz triongulor inferior, su determinante se obtiene multiplicondo los elementos de lo diagonol principol:

rfe(W = (l)(-')(-l) = - ' En el predicado se indico que: ( ^ e / ( ^ ) = 1

=>

—z^=l

=>

= —1

De oqui que el objetivo es determinar las raices cubicas del numero complejo w = - 1 . Esto e s : z = ^

=

^

Se expresa el numero complejo w en forma polar:

= l) A (e = 7l)

w = le'm

Los tres roices cubicas del numero complejo estan d o d a s por lo siguiente expresion: 1 i

n + 2kn

•

VA:e{0,l,2}

Se evalua lo expresion paro los diferentes valores de k: 1

/

Z„ = l 3 e 3 =

z^ = \^e'^ =(cos[n)

z. = P e

3 =

cos

v

•••

+ i sen

COS

2

+ isen{-E))^-l

(5n^ [ 3

J

+ / sen

1 >/3. A p ( z ) = 2 con « e N . Demuestre que:

S\z^=e

"

( 0 < A : < « - 1 ) , entonces z / = 1 y z i * = Z i .

pag. 3 4 5

3 3 ) Exprese el binomio de Newton correspondiente o: yas[0,

371/2) u (37i/2, 27i].

3 4 ) Calcule el modulo,

la parte

real y lo

parte

l + sen[a)

+

1 + sen{a)

- i cos [a)

imaginorio

icos[a)

, con n

de z " siendo n e Z,

p e [0,7i) u (71, 27i], si: z=-

1 + co^(p) + i

sen(^)

1 + co5(P) - i

sen(fi)

35) Demuestre que poro todo entero positivo n se cumple que: sen[a)

+

icos{a)

sen{a)-icos[a)

-

cos 2n

— a 2

jj

+ / sen In

71 — a 2

3 6 ) s C u a l de las siguientes expresiones es equivalente

.1

d)

e)

44-

i _ V 3 , 2 2 '

4

4

3 7 ) Sobiendo que n es un numero entero, demuestre que: o)

( l + / ) " = 2 2 cos + i sen V V 4 ;

' nK^

(

b)

[yf3-if=2" COS V

\

I 6J

- i sen

u

J/

3 8 ) Considere el numero complejo z = \ \ y demuestre que si z + entoncesz'" + 4 r = 2 c o s ( m B ) , Vz e C , V m e N .

pag. 3 4 6

= 2 cos ( 0 ) ,

9

Numeros Complejos

3 9 ) Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones con numeros complejos:

U2 + 3i)x-(l+i)y °'

= 3+4i

\(1-3/>-(l-2^> = -2-6^

(2 + i)x + (l-i)+yi

b)

2y=\+7i =0

4 0 ) Si Zi = 7 - / y Z 2 = 3 + / , entonces el modulo del numero complejo e^^ es: a) e

c) 2e

b) e - '

d) 10

e)

41) Verifique que:

a) {cos ( 3 0 ° ) + / sen (30°)f= b)

2L +1 sen 71 cos [6j \6j

=

cos

[3)

+ i sen

I

4 2 ) Determine las roices indicodas y grofiquelos en el plono complejo:

o)

Roices cubicos de 2 7 cisl^^j

b)

Roices cuartos d e - 1 .

c)

Roices cuartas de i.

d)

Raices cubicas de 64 cos(n).

4 3 ) Poro los siguientes literoles, realice lo indicodo: o)

Determine las roices cubicas de 1 .

b)

Determine los rafces cubicos de - 1 .

c)

Determine los raices cuodrodos de - 2 -2i y representelos en el plono complejo.

d)

Determine las roices cuodrodos de 1 + iy/3 y expreselos en formo rectongulor.

e)

Determine las rafces cubicos de -l-i^J3

f)

Calcule ^Is + SjTi.

y expreselos en forma rectangular.

pag.

347

9.3 Aplicaciones •

•

•

•

•

4 4 ) Demuestre que sip(x) es un polinomio con coeficientes reales y r — a + bi, a, b G R es una rofz de p(x), entonces r tombien es uno rofz de p(x).

4 5 ) Demuestre que senh{ix) + cosh(ix) = e ' ^

4 6 ) Demuestre que senh{ix) = isen(x).

4 7 ) Demuestre que cosh^Qx) - senh^{ix) = 1 .

4 8 ) Seo f[x)

= x^ + a^x^ + a^x^ + a^x + a^ un polinomio cuyos coeficientes son numeros

reales. Si / ( I - / ) = 0 y / ( 2 + / ) = 0, determine lo suma de los coeficientes del polinomio.

4 9 ) Escriba una ecuacion de segundo grado que tengo por soluciones al numero complejo z = 1 + 2 / y su conjugado. 5 0 ) Paro los siguientes literoles, calcule: a)

ln{-l)

b)

ln{-i)

c)

/«(-3/)

d)

arcsen {2)

e)

arccos(3)

pag. 348

undaRET La triangulacion d e A r g a n d Suponga que A, B y C son tres puntos no colineoles correspondientes a los numeros complejos: ZQ

= ai, ^1 ~ 2

^2=1 +

"^^j 6, c G

R

Demuestre que lo curvo definida por lo e c u a c i o n : z = z^cos'^(t) + 2z^cos^[t)sen^{t) + z^sen'^(t) ;V/

GR

La region visual compleja

pag.

350

F

C

N

M

Facultad de Ciencias Naturales y Matematicas

10

•

•

•

Vectores

Desafio

La paleta de colores Una ama de casa desea pintar su cuarto de color ROSA CAREY, sin embargo en la ferreterfa solo disponen de latas de pintura con los siguientes colores: AZUL ROCA, PARDO ROJIZO y DORADO TRIGO. En la siguiente figura, se detollon los colores con sus componentes C M Y K . El modelo de colores C M Y K (CYAN, MAGENTA, YELLOW y KEY "BLACK" por sus siglas en ingles)

es la version moderna del antiguo modelo de coloracion que se utiliza en pintura y ortes plasticas, presentando una gama mas amplia de colores. Por ejempio, el AZUL ROCA se genera con CYAN al 5 0 % , MAGENTA ol 3 0 % , YELLOW al 2 0 % y KEY al 0 % .

Para obtener el color ROSA CAREY, aque porcentoje se debe tomor de coda lata de los colores disponibles?

DORADO TRIGO ROSA CARET C 30% M: 4 0 % Y: 3 0 % K:

0%

'

Si no puede resolver este desofio, busque lo solucion en la pagino correspondiente del presente copitulo.

pag. 3 5 1

Introduccion

Los vectores juegan un popel central y sus aplicaciones se evidencion en los diferentes compos de la ciencio. En matematicas, un vector es un elemento de una estructuro algebraico denominado espacio vectorial. En ffsica, un vector es un concepto que se utiliza para describir magnitudes tales como velocidodes, ocelerociones o fuerzas. En informatico, se lo conoce tambien como arreglo en una dimension. En biologfo, se dice que un vector es el elemento portodor del ogente infeccioso o patogeno, como podrio ser el mosquito Anopheles infectodo con Plasmodium, cousonte de la malaria; asf como el mosquito Aedes, transmisor de los virus del Dengue, Cfiikungunyo y Zika. En genetico y biotecnologio, un vector es un ogente que puede ser un pequeiio fragmento circular de A D N denominado plasmido, portador de un gen extrofio o modificodo. La principal aplicacion de estos vectores es la terapia genica, en lo cual se transfiere el gen deseado a una celula objetivo. Los graficos vectoriales han hecho posible desorrollor videojuegos, peliculos onimados y simulociones; asi mismo, el desorrollo en el ondlisis vectorial ha servido de soporte para el transporte oereo y el desplazamiento maritimo.

A Adicionalmente, es innegable la utilidad de los vectores en el cdlculo numerico, resolucion de ecuaciones lineales, ecuociones diferencioles y derivodos parcioles, oporeciendo en forma natural en temos de geometrio, estodistica y economia. Los aplicaciones en lo Ingenieria para descomponer fuerzas que octuon sobre un puente, edificio, ruedas dentodas, diseno de estructuros, calculos antisismicos, resulton cloves para las construcciones, proporcionondo asi la descomposicion vectorial, las bases necesorios para obtener resultodos confiobles. En el contexto de espacios vectoriales, los arreglos matriciales han facilitodo el desorrollo y comprension de temos que forman parte de la produccion cientffica de primer mundo, obriendo comino a la investigacion en temos de octuolidod, de oqui que el dominio de los temos fundamentals que se tratoran en el presente capitulo, sentara los conocimientos bosicos poro su futuro aplicacion en el contexto acodemico y profesionol.

pag. 352

10

Vectores

10.1 Vectores en el piano y en el espacio Objetivos Al finalizar esta seccion el lector podra: •

Explicor los elementos que identifican a un vector en el piano y a un vector en el espacio.

•

Dados dos puntos, en el piano o en el espacio, construir un vector con la direccion y sentido especificados.

•

Describir el vector cero.

•

Representor graficamente vectores en el piano y en el espacio.

•

Identificar condiciones para lo igualdad de vectores.

Existen muchos formas de definir un vector de acuerdo al contexto que se esta trabojondo, lo forma mas omplio esta enmorcodo en el algebra lineal, en lo cual se definen espacios vectoriales y a sus elementos se los denomina vectores. Para una comprension mas sencilla, en estos primeras secciones unicamente estudioremos el espacio vectorial R " , donde R es el conjunto de los numeros reales y « G N , lo cual permite definir que es un vector desde un punto de vista puramente geometrico o algebraico. Asf, podemos decir que un vector es un elemento de lo forma V = (a^, aj, ... , a,, ... , a„), donde a, es un numero real denominado coordenada /-esima del vector. Designaremos con R " ol conjunto de estos « - u p l a s , que tambien se denomina espacio algebraico ^-dimensional. Simbolicomente, el espacio algebraico antes referido puede representorse respetondo la estructuro de las « - u p l a s , o bien, disponiendo las coordenadas del vector en una motriz columno: I la, l " = { ( a i , a 2 , . . . ,a„)/(3i,a2,... , a „ (

•=


ai,a2 e .

En combio, cuando n = 3, se define el conjunto de vectores en el espacio: M?={(a,,a2,a^)/a,,a2,a^ER}

='

«1,«2.«3'

Con n = 2 o n = 3, podemos visuolizar graficamente los espacios correspondientes a R^, a troves de los sistemas de coordenadas.

pag. 353

En el mundo fisico existen magnitudes que estan osociodas o todo oquello susceptible de ser

medido (medir es comparar magnitudes de la misma especie, una de las cuales se ha tornado como unidad) y que quedon perfectomente determinodos, dondoles un valor numerico en una unidad conveniente. Estos son las magnitudes escalares, entre los cuales figuron, por ejempio, la presion ejercido por un gas en el interior de un recipiente, lo temperatura en un lugar del espacio; y, el trabajo que se realiza ol arrastrar un bulto desde un lugar a otro. Asf, la presion, la temperatura y el trabajo son algunos tipos de magnitudes escalares. Sin embargo, existen otras magnitudes que necesitan, ademas del valor numerico asignado, una direccion y un sentido poro quedor perfectomente determinodos. Si queremos situor (sober su posicion) a un olumno en el interior de un salon de closes respecto de la puerta, no nos bostarfo con medir la distoncio que existe entre el olumno y la puerta, sino que ademas fiobrfa que especificor lo direccion. Lo posicion de un objeto respecto de otro es una magnitud vectorial, asf como tambien lo son la velocidod, lo ocelerocion, entre otras. Geometricamente, un vector libre puede ser corocterizado por un segmento orientodo o dirigido en el piano o en el espacio, el cual contiene: •

Un origen, a considerar cuando interese conocer el punto de aplicacion del vector.

•

Una direccion o Ifnea de occion, coincidente con lo de lo recto que lo contiene o cuolquier otra recta parolelo.

•

Un sentido, determinodo por la punto de flecha localizada en el extremo del vector.

Sean a\ a2,b\, by e R . se define a un vector en el piano como el par ordenado ( a j , 02); y a un vector en el espacio, como lo terno ordenado (b,, b2, 63). Se representon con una letro ocentuodo o una letro con una flecha en su parte superior:

\=V

= {a„a2)

W=W=(b„b2,by)

Los escalares 0^,02', y, b,,b2, by se denominon coordenadas del vector y representon el recorrido en la direccion de coda uno de los ejes en el piano cortesiono o en el sistema tridimensional, respectivamente.

pag. 354

Vectores

10

Debido a que un segmento de recto dirigido puede considerarse como un vector en R.^ o R^, sus coordenadas en el piano o en el espacio, considerando dos puntos dados P y Q, pueden definirse por medio del vector PQ (cuyo origen es P y se dirige a Q] restando las coordenadas del punto P de los coordenadas de Q. Ejempio 10.1 Vectores en R^.

-t—r—

Grafique los siguientes vectores en R^, considerando los puntos especificados: a)

PQ, s i P ( l , 2 ) y e ( 2 , 5 ) .

b)

7?5,sii?(-3, l ) y 5 ( - 4 , 2 ) .

c)

7U,sir(-2,-4)yt/(-l,-5).

d)

H,si

^(3,-2)yZ(l,-4).

Solucion: Se determinon los coordenadas de coda vector: a)

P e = ( 2 - 1 , 5 - 2 ) = (1,3)

b)

i?5=(-4+3,2-l) = (-l,l)

c)

7l7 = ( - l + 2 , - 5 + 4 ) = ( l , - l )

d)

r Z = (l-3,-4+2) = (-2,-2) y

Q

5-4 3 + 2-

R

-6

-5

-4

-3

p

1--

42

^1

i

I

-2

2

i

^ 3

4

W

....U.-4

pag. 355

Ejempio 10.2 Vectores en R l Grafique los siguientes vectores en R^: b) V2 = ( - 3 , 0 , 5 )

a) V i = ( 4 , 2 , - 5 ) Solucion:

z

X

I

y

Sin duda, tanto los vectores en el piano como en el espacio merecen especial importancia; sin embargo, el desorrollo del presente copftulo se centrora principalmente en vectores en tres dimensiones, ya que su utilizacion permite una mejor vinculacion del lector con el entorno que lo rodea. Poro fines practicos, un vector en el plono cortesiono puede interpretorse como un vector en el espacio cuyo coordenada en z es iguol o cero. La magnitud, modulo o norma de un vector en el espacio, denotado por ||V||, es lo distoncio de su recorrido, es decir, lo longitud del segmento de recta correspondiente ol vector: iivii=V(«.r+(«.r+(«3r Se conoce como vector cero a un vector con recorrido nulo, el cual se denota por: 0 = (0, 0, 0) Notese que lo magnitud de este vector es cero. Geometricamente, cuolquier punto en el piano o el espacio se puede considerar como el vector libre cero, es decir, un vector cuyo origen y extremo final coinciden. pag. 356

10

Vectores

Igualdad entre vectores Supongamos que un segmento de recto tiene su inicio en el punto P y su extremo final en el punto Q, a el podemos asocior el vector V = P 2 - El segmento de recta osociodo a este vector V , que parte del origen y llego ol punto S, es congruente con el segmento de recto original que portio deP a Q, lo cual do lugar o lo igualdad entre vectores. y

Figura 10.2: Igualdad entre vectores. Los vectores V j = (a,, ^2, ^3) y V2 = (b,, bj, by) se dice que son iguales, si y solo si tienen iguol recorrido, es decir: ( V , = V2) o

[{a, =b,)A (a, = b.) A {a, - by)]

^^.^memmammmmmmmm

Ejempio 10.3 Igualdad de vectores.

Dados P i ( 3 , 2, - 4 ) y P 2 ( - 5 , 4, 2 ) , determine las coordenadas del punto P3 tal que

Solucion:

'

^:

El punto P3 tiene sus tres coordenadas desconocidos Py(a, b, c). El vector P ^

es ( - 5 - 3 , 4 - 2 , 2 + 4) = ( - 8, 2, 6).

El vector P2P3 es {a + 5,b-4.c-

2).

Se indica que ambos vectores son iguales, por lo que debe cumpiirse que: (a+5,Z)-4,c-2) = (-8,2,6)

=> =>

( a + 5 = - 8 ) A (Z) - 4 = 2) A ( c - 2 = 6) ( a = - 1 3 ) A ( 6 = 6 ) A ( c = 8)

^

Por lo tanto, el punto requerido queda determinado como P3 ( - 1 3 , 6, 8).

pag. 357

10.1 Vectores en el plono y en el espacio

1)

Autoevaiuacion

En cada casilla, marque con un / los graficos que representen un vector, y con una X aquellos que no cumplan esta condicion. b)

a)

d)

c)

J

r

gPor que los graficos morcodos con X no representon vectores?

2)

Considere los puntos O ( 0 , 0 ) , P ( - 3 , - 2 ) , 2 ( 3 , 3 ) , i ? ( 2 , 0 ) y 5 ( - 5 , 6 ) . a)

Determine los vectores

OS,PR,RQyQP.

y

b)

Grafique en el plono cortesiono los puntos O, P, Q,R,Sy cada uno de los vectores del literal anterior.

6 5 4 3 2 1 -6

H

-5

1-

-4

-3

H

-2

h

-1

-1 -2 -3

pag. 358

1

2

H >X 3

10

3)

Vectores

Considere dos funciones de variable real fyg.

a)

Se seleccionan dos puntos orbitrorios P y Q de los funciones, cuyos ordenadas son / ( X j ) y g(x^) respectivamente. Obtengo el vector V = PQ.

b)

4)

gQue sucede entre los funciones si B x j , X2 [V = O]?

Sean a, b e R y A: e N ; se definen los puntos - PkQk. Grafique el vector

(a, b), Qj^ (a - b, a + b) y el vector

correspondiente a coda uno de los siguientes puntos: y

Ej)

P , (1,1)

a)

P2(0,V2)

32

b)

P,i-l,l)

c)

PA-2,-l)

d)

Ps (0, - V 5 )

-1 --

e)

^6(2,-1)

-2--

1+ -3

-2

(1,1)

-1

-3-

pag. 359

5)

Ubique los siguientes vectores en el sistema tridimensional. V i = (6, 4, 0), V2 = (2, 0, 1), V3 = (3, 4, 3) z

y

6)

7)

Determine lo magnitud de los siguientes vectores de R^. a)

Vi = (6,4,0)

b)

V2=(2,0,l)

c)

V3 = ( 3 , 4 , 3 )

Considere la f u n c i o n / : R i-^ R^, definida por la siguiente reglo de correspondencio

/ ( 5 ) = {cos{s), sen(s), s) Se define el vector V , = OP, donde O es el origen de coordenadas y P=f (t), siendo t una constante real. Con base en los condiciones dados, determine lo magnitud de V , .

pag. 360

Vectores

10

10.2 Operaciones Objetivos Al finalizar esta seccion el lector podra: •

Definir e interpreter geometricamente las operaciones de suma vectorial, multiplicacion de un vector por un escalar, producto escalar y producto vectorial.

•

Demostrar y aplicor las propiedades de las diferentes operaciones a realizor con los vectores.

•

Colcular la medida del angulo que forman dos vectores.

•

Aplicar el concepto de vectores poralelos, vectores ortogonales y norma de un vector, empleando operaciones entre vectores.

•

Construir vectores unitarios sobre una direccion dado.

•

Calcular la proyeccion escalar y vectorial de un vector en la direccion de otro.

•

Reolizar demostrociones relacionados con operaciones entre vectores.

Asf como ocurre con las contidodes escalares, se vuelve imprescindible conocer las diferentes operaciones que se pueden reolizar en el contexto vectorial, asf como las principales propiedades que rigen dichas operaciones, tal como se vera en la presente seccion.

Definicion 10.2 (Suma vectorial) Sean losvectores V j = ( es decir que: 0 7^ 2 V 2 9 .

.". Lo proposicion es folso. Ejempio 10.6 Sumo vectorial. Construya un contraejempio poro demostrar que lo siguiente proposicion es falsa. "Sean los vectores no nulos V j , V2 en R ^ Si V j = kVj, A: e R , entonces se cumple que ||Vi + V2 i| = |lVi|| + IIV2II" Solucion: A continuacion se proporcionara un posible contraejempio: Sean los vectores: V i = ( l , 2, 3) y V2 = ( - l , - 2 , - 3 ) , se verifico que V j = - V2. Se efectuo la sumo vectorial V j + V2 = (0, 0, 0) y se obtiene: ||Vi + V21| = 0. Pero IIVill = IIV2II = ^PP + ¥+y

= V l + 4 + 9 = ^[l4, luego ||Vi|| + WVjW = 2^[]A.

Por lo tanto, se verifico que: l|Vi + V2i!7^||Vi|| + ||V2||

Definicion 10.3 (Resto vectorial) Sean losvectores V j = ( a i , 02, ay)Y\2 = {bi, Z>2, 63), su resto se denota por V j - V 2 y sus coordenadas son (a, - b,, 02 — ^2' ^s)-

1

pag. 363

Se puede observar que: V j - V2 = V j + (-V2). Para su interpretacion grafica, el vector resultante de lo resto esta sustentodo en el lodo foltonte del triangulo que se forma con V j y V2, para lo cual podemos colocar los vectores V j y V2, de modo que sus puntos iniciales coincidan, el vector V j - V2 es el vector cuyo punto inicial coincide con el punto final de V2 y cuyo punto final coincide con el punto final de V j .

Figura 10.5: Resto grofico de vectores. El vector V2 - V ; tiene lo mismo magnitud y direccion del vector V j - V2, pero sentido opuesto a este ultimo. De aquf que lo resto de vectores no es conmutativo. ultiplicocion de un vector por Sea el vector V - ( ^ i , GJ, a^} y un escalar |a G R , lo multiplicacion entre |.x y denota por |aV y sus coordenadas son (fiflj, ^.^2,

[lay).

El modulo del vector j^V es |J, veces el modulo de V , de la mismo direccion que V y de sentido iguol al de V , si |J, > 0. Si |j. < 0, el sentido de | i V sera contrario al del vector V . Se puede observar que fxV = 0, si y solo si )j, = 0 o V = 0. El producto o multiplicacion de un vector por un escolor posee los siguientes propiedades: Vfi, X G R V V G R ^ [ ( | i ^ ) V =

Asociativa

V | i , } I G R V V G R ^ [(M + >^)V = ^ V + ?^V

istributivas

Vfa G R V V , , V 2 G R^ [|i(Vi + V2) = | i V i + fiVa' Cuadro 10.2 Propiedades de lo multiplicacion de un vector por un escalar. Ejempio 10.7 Propiedades de los vectores. Demuestre que si | i ,

G R y V G R ^ , se cumple que: (H +

Solucion: Para la demostracion, conocemos que: [i,XeRyy Asf:

pag.

364

=

(a,,a2,

=

+

Vectores

10

Realizando el producto de un vector por un escolor: + ^ ) V = ((la + X)a„ (la + X)a2, ill + X)ay) Aplicando lo propiedad distributive de lo sumo de numeros reales, tenemos: (p. + XyV = (|iai + Xai, \ia2 + Xa2, \iay -\-Xa-i) Aplicando lo definicion de sumo de vectores: {\i + X)W = ( p a i , \ia2, \xay) + (Xai, Xa2, Xay) Aplicando la definicion del producto de un vector por un escolor: {\i + X)\ ^(^1, a2, ay) +

aa, ay)

Por lo tanto, {\i + X)\ \iW + X V , con lo que se demuestra lo propiedad. Ejempio 1 0.8 Operaciones entre vectores. Dodos los vectores V j = ( 5 , 4, 2) y V2 = (3, 2, 1), determine: o) V1+V2 b) V 2 - V 1 c)

4V,-3V2

Solucion: a) V1+V2 = (5 + 3,4 + 2 , 2 + 1) V1+V2 = ( 8 , 6 , 3 ) b) V 2 - V 1 = ( 3 - 5 , 2 - 4 , 1 - 2 ) V2-V1 = ( - 2 , - 2 , - 1 ) c) 4 V 1 - 3 V 2 = 4 (5, 4, 2 ) - 3 (3, 2 , 1 ) 4 V , - 3 V 2 = (20,16, 8 ) - ( 9 , 6, 3) 4 V 1 - 3 V 2 = (11,10,5) Ejempio 10.9 Igualdad vectorial. Determine, de ser posible, el valor del numero entero m poro que los vectores U = ^V^+fv2

\i{-n),sgn

y W = (\ -

'2m' 5m' 6

i f

' 24 ' 1 2

sean iguales, si se conoce que:

c yy,^\4isen

,COS

, V 3 tan

pag. 365

0,1,-

2

^

2' + -

1

^

^

1

1 W 2

2 2w

'•2-'

1 2^

+vJ'3'3,

^ 2 5 3 + 4m^ 3 6

6m

Para que U y W sean iguales, se debe cumplir que:

5m^

Im" ^ 2 6

~ 3

5

11

3 + 4m

12

6m

^

24 ~ 6

^

m^=2

A

m^ = 4

A

l l m = 6 + 8m

m -+yl2

A

m= ±2

A

m= 2

: . No existe valor alguno que se puedo osignor a m poro que U y W sean iguales. Lo multiplicacion de un vector por un escalar permite definir una relacion de paralelismo entre dos vectores. Definicion 10.5 (Vectores paralelos) Dos vectores no nulos y V2 son paralelos, si y solo si uno es multipio del otro; es decir, si existe un escalar |a ^ 0 tol que V2 = I^Vj, lo cual se denota por: V j || V2.

Escalar fj, > 0

Escalar | i < 0

V,

^

Figura 10.6: Multiplicaci6n de un vector por un escolor. Ejempio 10.10 Vectores paralelos.

.^mmmmmamt^^^m^mmm^m

Determine los valores reales 6e ky p, poro los cuales V j || V2, si se conoce que:

\, = {k,k + p, - 2 ) V2 = ( - ^ - ; ^ , 2 A 4 )

pag. 366

10

Vectores

Solucion: V l = HV2

(k,k + p, -2) = ii(-k~p,2p,

4)

De los terceras coordenadas y aplicando el principio de igualdad de vectores, se obtiene que \i = - 1 / 2 . Iguolondo los otras coordenadas, respectivamente, se tiene que los valores solicitodos son: k=p = 0.

Ejempio 10.11 Vectores paralelos.

TIIMIM^^^M^

Determine las coordenadas de un vector en R-^ tal que su modulo sea 3 y posea lo misma direccion y sentido del vector V = ( 3 , - 1, 5). Solucion: Denominoremos W al vector solicitado: W = (fli, aj, ay) Como los vectores W y V deben tener la mismo direccion, entonces: W = laV; p ^ 0 W=p(3,-1,5) W=(3M,-|a,5p) Si determinamos el modulo de W , tenemos:

Puesto que necesitomos que ||W|| = 3, obtenemos el valor de p:

pag. 367

A partir de lo cual, el vector W solicitado serio: W = W

(3,-1,5)

V35

( 9 [^f35 '

15 V 3 5 ' ^f35

Verificondo:

( 9 \2 + \^[35J \/

liwii =

( 15 f

+ \^f35

81 225 3 5 ^ 3 5 " 35 | = V9 ||W|| = 3

Definicion 10.6 (Producto escolor) Sean los vectores V j = (a,,

a^) y V2 = (b,, 62, by), su producto escolor se denota

por V J • V2 y se define como V j • V2 = a^b, + a2&2 + '^s^sEn el espacio tridimensional R^, el producto escalar tambien denominado producto punto por su notocion, es un tipo de "producto interno" que se puede definir en un espacio vectorial en general, y es una magnitud escolor que nos informa ocerca de lo tendencia de los vectores o opuntar hocio un mismo sentido. Se puede definir como una funcion: . : R ^ x R^H^R El producto escalar de vectores posee las siguientes propiedades: VVeR3[V'V =0 o

V=0;

; V V g R M V * V=||V|p > 0 ]

; VVi,V2gR3[Vi»V2 = V 2 ' \ V V , , V2, V3

6 R3 [ V , . (V2 + V 3 ) = V l . V2 + V l . V 3 ]

V p e R V V i , V2 e R ^ [ ( ^ V , ) • ¥3 = p ( V i • V2);

Vector nulo Definida positiva Conmutativo Distributive Asociativa

Cuadro 10.3: Propiedades del producto escolor de vectores. Ejempio 10.12 Propiedades del producto e s c a l a r . ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ Demuestre la siguiente propiedad poro tres vectores en R^: Vi-(V2+V3)=(V,.V2)+(Vi.V3)

pag. 368

Vectores

10

Solucion: Seon los vectores: \ [ a , , QJ, a^),y2 = {K V2 + V3

,

V2 + V3

h) y^-i = (^i, ;P + zD = R Luego, se puede obtener un sistema de ecuaciones o partir de la iguoldod de vectores que se debe cumplir: x(50,30,20,0) +X20,60,20,0)+z( 10,30,60,0)=(30,40,30,0) ' 5 0 x + 20>' + 10z = 3 0 30x + 60j' + 30z = 40 2 0 x + 203; + 6 0 z = 3 0

Ox+Oy+Oz

=0

Lo ultima ecuocidn se cumple paro todos los valores d e x, y, y z , por tanto puede ser descortodo del analisis y lo matriz d o d a , una v e z simplificodos los coeficientes del S . E . L . , se presento de lo siguiente monero: 5 0 X + 2 0 : F + 10Z = 3 0

5

2

|3'

30X + 60:F + 3 0 Z = 4 0

3

6

|4

2 0 x + 20>; + 6 0 z = 3 0

^2

2

13

1

1 y z = - .

Luego d e resolver el sistema, se obtiene que x = 12 Asf,

y='

los porcentojes requeridos, osociodos a las proporciones obtenidos, se pueden

oproximor con: 4 1 . 6 7 % , 3 3 . 3 3 % y 2 5 % , respectivomente. Por consiguiente, d e b e utilizarse 4 1 . 6 7 % d e color A Z U L R O C A , 3 3 . 3 3 % de color PARDO ROJIZO y 2 5 % de D O R A D O T R I G O poro obtener el color R O S A C A R E Y d e s e a d o .

pag. 4 1 6

10

Vectores

Ejercicios Propuestos

^^1^

10.1 V e c t o r e s e n el p i a n o y e n el e s p a c i o

1)

2)

•

•

•

•

^ ^ ^ ^

•

Defina: a)

Vector en el piano bidimensional.

b)

Vector en el sistema tridimensional.

c)

Vector nulo.

d)

Iguoldod vectorial.

Justificando su respuesto, califique los siguientes proposiciones como verdaderos o falsas:

3)

a)

Un vector esta definido siempre por dos puntos.

b)

Para que dos vectores sean iguales, sus c o o r d e n a d a s deberan ser iguales.

c)

Para definir un vector es necesario que este tenga magnitud, direccion y sentido.

d)

Un vector en el espacio esta definido por una terno o r d e n a d a de escalares.

e)

El modulo de un vector siempre es una cantidad positiva.

Determine el vector AB

pora c o d a par de puntos:

a)

^ ( 2 , 1)

,

5(3,4)

b)

A{-3,

;

5(10, - 5 )

c)

A{-\,-l)

d)

^ ( 0 , 1)

,

5(0,4)

e)

A{1, 0 )

;

5(-7,0)

f)

^(1,1,0)

;

5 ( 3 , 4, 2)

g)

^ ( 0 , - 3 , 4)

h)

^ ( 3 , 2, 3)

0)

i) i)

^ ( 8 , 0, 0 )

5 ( 2 , 1)

5(1,-1,1) ;

5 ( 3 , 1, 3)

;

5(0,1,0)

;

5(0,-1,2)

pag. 4 1 7

4)

tol que 4PiP2

5]

c poro que los vectores V i y V 2 sean iguales.

10.2 O p e r a c i o n e s

7)

P2P3.

= -3

Dodos los vectores V J = ( a + 6, a, 3 c ) y ¥ 2 = ( 4 - a , 3 - Z), a +Z?), determine los valores de a,by

6)

( 3 , 2 , - 4 ) y P2 ( - 5 , 4 , 2 ) , determine las c o o r d e n a d a s del punto P^

D a d o s los puntos

•

•

•

•

•

Defina: o)

Sumo vectorial.

b)

Resto vectorial.

c)

Multiplicacion de un vector por un escalar.

d)

Vectores poralelos.

e)

Producto escalar.

f)

Vectores ortogonales.

g)

N o r m a de un vector.

Califique las siguientes proposiciones

como verdaderos o falsas, justificando su

respuesto.

8)

a)

V X , Y G R M I | X + Y | | = ||X|| + ||Y||]

b)

V X e R ^ V A : e R [ | | A : X | | = A:||X||]

c)

VXeR^[||X|| = X«X]

d)

V X , YeRMl|X +Y|p + ||X-Y||2=4(X'Y)]

Determine de ser posible, los valores de a, b poro que los siguientes pores de vectores sean iguales; y luego, calcule el producto punto poro c o d a p a r e j a :

9)

o)

yi = i2a + b-l,3a-b)

;

V2=(26 + 3,2)

b)

V i = (Z),0)

;

\2=ia-3b

c)

\i=i-a-b,-a-b+iy,

d)

V i = (4a + 3 6 , a + 2 6 )

+

5,-a-b)

V2 = (2,3) ;

\2=(3a,-b-l)

Dodos los puntos en el plono cartesiano P(a, 1 ) , Q(4, b) y el vector PQ = ( 3 , - 3 ) , determine: o) b) c)

pag. 4 1 8

Los valores de los constantes a y b; a, b e K.

PQ • QP

PQ

Lo grafico del vector PQ .

Vectores

10

10)

Considerando los siguientes puntos: P(2,

1), Q(-l,

-2),R{-1,

l)yS(-2,

3 ) , determine

las c o o r d e n a d a s del vector solicitado en c a d a literal, su correspondiente grafico en el plono y el modulo respectivo:

a)

V, = PQ

b)

V2 =

^

c)

3RS--PQ 4

11)

Poro c o d a literal realice lo indicado: a)

Sean V j y

dos vectores en

tales que V j = ( 3 , 0, - 2 ) y

= ( - 5 , 2 , 1).

Determine las c o o r d e n a d a s del vector V = 2 V i - 3 V 2 .

b)

S e a n los vectores en R ^ tales que \

=

(x

+

y,

x

-

y),

V 2 = ( x - 3y, 3 x + >') y

V 3 = ( 1 , - 1 ) . Determine, de ser posible, los valores de x , _v e R , poro que los vectores ( 2 V ] - V 2 ) y V 3 sean iguales.

c)

Dodos los vectores en R ^ tales que: V j = ( 1 , - 2 , 2 ) , V 2 = ( 2 , - 2 , 0 ) , ¥ 3 = ( 0 , 1 , - 7 ) y V = ( - 2 , 5 , 3 ) . Determine el valor de lo sumo ki + pora que se cumpla que

12)

V j + A:2 V 2 +

+ k^,

V3 = V .

S e a n los vectores en R^ tales que V j = ( 1 , - 2 , 3 ) , ¥ 2 = ( - 3 , 2 , 5 ) y ¥ 3 = ( 2 , - 4 , 1 ) , realice los siguientes operaciones:

a)

¥i-¥2

b)

3¥2+5¥3

c)

¥,-2¥3-¥2

d)

2¥i-4¥2+7¥3

1 3 ) Demuestre la siguiente propiedad:

V | a , X G R , V ¥ e R 3 [{[ik) ¥ = ^ ( X ¥ ) ]

pag. 4 1 9

14) Realice lo indicado poro los siguientes literales:

a)

S e a n V j , V 2 vectores en

tales que V j = ( 5 , 2 ) y V 2 = ( 7 , - 2 ) , determine un

vector V 3 tal que se cumpla que: V j • V 3 = 38 y V 3 • V 2 = 34.

b)

Dados los vectores

= ( 1 , 2 , - 1) y V 2 = ( 2 , 0, 1 ) , obtenga el resultado de la

siguiente operacion: ( 3 V i - 2V2) • ( V 2 - 2 V i ) ,

c)

Dados los vectores V j = (a^, 2, 3 ) y V 2 = ( - 2 , 4a, —2), determine los valores de a pora que ambos vectores sean ortogonales.

d)

Determine el valor de A: e R paro que los vectores V j = (71, e, A:) y V 2 = ( 1 , - 2 , 3 ) sean ortogonales.

e)

S e a n a = - 4 i + 3 j y b = 2 i - j , dos vectores en R ^ no colineales y otro vector c = 6 i - 7 j , determine los escalares ky m, tales que c = ka + mb.

15)

Demuestre lo siguiente propiedad: V V i , V2 G

16)

[||V, + V 2 I P - IIVi - V 2 I P = 4 ( V i • V 2 ) ]

Dodos los vectores V j , V 2 , V 3 en R ^ tales que \

=

( k +

1 , - 1 , 4 ) , V 2 = ( - 2 , 2k, 1)

y V 3 = ( 2 , - 1 , k), determine, de ser posible, el valor de A: e R poro que ( V 2 - V j ) s e a ortogonal o V 3 .

17) S e a n los vectores V = ( 2 1 , - 6 , - 7 ) , V j = ( 3 , 0, - 2 ) y el escolar k = 2, determine las c o o r d e n a d a s del vector V , paro que: V = 2 V j +

^2-

1 8) S e a n los vectores no colineales a = - 3 i + 2 j , b = i - 4 j y c = 5i - 3 j : a)

Dibuje los tres vectores en un mismo piano cartesiano.

b)

Determine los valores de n eRy

c)

Interprete geometricamente los resultodos del literal anterior.

pag. 4 2 0

m sR,

tales que c = m a + rib.

Vectores

10

1 9 ) Califique la siguiente proposicion como verdodero o folso, si es verdodero demuestrelo, c a s o contrario proporcione un contraejempio. "Si A y B son dos vectores en R^, entonces los vectores ||B|| A + ||A|| B y ||B|| A - IJAJI B son ortogonales". 2 0 ) La suma d e dos vectores en el espacio A y B es un nuevo vector cuyo modulo es iguol o 6 unidodes, tol que su primera c o o r d e n a d a es positiva y es lo mitad de lo segundo c o o r d e n a d a ; mientras que, lo segunda c o o r d e n a d a es iguol en valor pero opuesto en signo a lo tercera. Si adicionolmente A - B = ( 4 , 6, - 2 ) , determine los c o o r d e n a d a s de A y B .

21)

S e a n V , , ¥ 3 , V 3 vectores en R^ tales que V j = | - i + ( - 2 + V 3 ) j + k y

= 2i + j - k.

Si odemas se conoce que V j = a V 2 + V 3 siendo a e R , determine el valor d e a poro que V 3 sea ortogonal o V 2 .

22)

Determine las c o o r d e n a d a s de un vector unitario U en lo direccion del vector

1

2

W = 2 " V j + y V ^ , si se conoce que: H(4-7i)

V 2 sen y

sgn

v,=

cos

J

23)

tan

S e a n los vectores en R 2 :

V , = ( / o g ( l O O ) , l-sgn(sen(y2)))

V2 = (

1 [-11

\

/

a)

Determine las coordenadas d e c o d a vector.

b)

Determine los c o o r d e n a d a s de un vector unitario U en la direccion del vector V1 + V2.

c)

24)

C a l c u l e lo medida del angulo formado por los vectores V j y V 2 .

Determine lo proyeccion escolar del vector V j = i + 4 j - 2 k sobre la direccion del vector

i - j + 3k.

pag. 4 2 1

25)

D a d o s los puntos ^ ( 6 , 0 ) , 5 ( 3 , 5 ) y C ( - l , - 1 ) , lo norma de lo proyeccion vectorial del vector y i 5 sobre lo direccion del vector y4C es igual o:

16_

8V2

b)

4V6

c)

d)

Vso

^5

26)

El vector unitario ortogonal a los vectores V j = 3 i - 2 j + k y V 2 = 7 i - j + 3 k , es:

n-Je

_ V6 6 '

15 '

_

_ V6 iiVe

b)

c)

6 '

15 '

_ V6 V6

2 - V6 3

e)

27)

30

11V6

6 ' 15 ' d)

30

30

'30

6 '

15' 3

El vector V c u y a norma es iguol a la proyeccion escolar del vector ¥ 2 = ( 1 , 2 , - l ) y que es parolelo a ¥ 3 = = ( 1 , - 1 , 2 ) , estd dodo por:

a) 2'

2 '

5 _5 b)

_10

,3'

3'

3

2 '

2 '

.

c)

5

5 10

3'

3'3

5 _5

10

d)

e)

3'

pag. 4 2 2

3'3

= ( 3 , 4 , 1) sobre

Vectores

10

28)

29)

D a d o s los vectores V i = ([ TI - 41, /og (VTO ) ) y

= ( ^ ( V 2 ), 2 sgn

(e)):

a)

Determine los c o o r d e n a d a s de c o d a vector.

b)

Determine las c o o r d e n a d a s de un vector unitario U en la direccion de V 2 .

c)

Verifique si los dos vectores son ortogonales.

d)

C a l c u l e lo proyeccion escalar de V 2 - 2 V i en lo direccion de V j + 2V2.

e)

C a l c u l e lo proyeccion vectorial de V j + 2V2 en lo direccion de V 2 - 2 V i .

Determine P r o y y , V 2 , considerando los siguientes vectores:

\i{-Ti),

sen

sgn

v4y

-

,ln[4e)

,cos

v3y

7C

,^tan

V" /

30)

Determine el vector unitario U que es ortogonal a W = 2 i + 3 j - 3 k y V = i - 2 j + 3 k .

31)

S e a n los vectores en

:

-y''\sgn{n)

,4

271,

32)

tan\'^y^

o)

Determine los c o o r d e n a d a s de c o d a vector.

b)

Determine la proyeccion escolar de V 2 sobre V j .

Demuestre lo siguiente p ro p i e d a d: V V i , V2, V3 e R 3 [ V i

33)

X

(V2 + V3) = ( V ,

X

V2) + ( V i

X

V3)]

S e tienen los vectores no poralelos A y B en R^ tales que A • B = 5. Si odemas se conoce que | | C x B|| = A/2 y A = 2 B - 3 ( B x C ) , calcule el modulo del vector A .

pag. 4 2 3

34)

Si V J , V 2 y V 3 son vectores no poralelos en

• V 2 = 3 , IIV2 x V3II =-N/5 y

tales que:

V i = 3 V 2 - 2 ( V 3 x V 2 ) , determine el modulo del vector V j .

35)

S e a n los vectores V j = 2 i - j + k, V 2 = i + j + k y V 3 = V i x V 2 . El vector V 3 x V i e s : a)

(0,0,0)

b)

(2,8,4)

c)

(2,-8,4)

d)

(4,8,0)

e)

(4,-8,0)

10.3 Espacios vectoriales reales

36)

37)

• ••

Defina: o)

Espacio vectorial real.

b)

Combinacion lineol.

c)

Conjunto linealmente independiente de vectores.

d)

Conjunto linealmente dependiente de vectores.

Califique como verdaderos o folsos los siguientes proposiciones. Justifique su respuesto.

S e a V='R}

y la operacion © d e f i n i d o como

7u

38)

=

©

a)

3UeF, V V € F : U © V = V

b)

V V i , V 2 , V 3 e F : V i © ( V 2 © V 3 ) = (\, © V 2 ) © V 3

S e a V-

{ 0 , 1 , 2 } con lo sumo © y lo multiplicacion por escolar (8) definidas por:

e

9

0 1

0 0

2i

2

1

1 2 2

0

2

1 0 1

VVEF:

Determine si (V, © , (E>) constituye un e s p a c i o vectorial.

pag.

424

, entonces:

k ® y

=

V;ke]

Vectores

10

39) S e a F = .y./

^ly

. S e definen en V las operaciones:

Xj + X j +

fox + Ba-B^

3 X ]

yi J

y

yyyi

ocO J )

2 V

v2.

Determine si ( F , © , O ) es un espacio vectorial.

4 0 ) Dodo el conjunto de vectores de

tol que B = { ( 1 , 1 , 3 ) , ( 3 , 5 , 5 ) , ( 2 , 1 , 8 ) } , determine

si los elementos de B son linealmente independientes o linealmente dependientes.

41)

S e a n el espacio vectorial ( ^ 3 ^ , 1 , © , 0 ) y el conjunto T € M 3 x i t a l que: T = { ( 1 , 1 , 1 ) , (0, l , l ) , ( l , 0 , ; t ) } Determine poro que valores de k los elementos del conjunto T son:

42)

a)

Linealmente independientes.

b)

Linealmente dependientes.

S e a el espacio vectorial P2 y el conjunto S ^ P2, tal que: S = { l - x + 6x2, l - 5 x + x 2 , 5 + x + x 2 } Determine pora que valores de 5 los elementos del conjunto S son: o)

Linealmente independientes.

b)

Linealmente dependientes.

1 0 . 4 A p l i c a c i o n e s g e o m e t r i c a s e n R^ y R^

43)

•

•

•

•

•

Califique los siguientes proposiciones como verdaderos o falsas. Justifique su respuesto: o)

El a r e a de lo superficie del triangulo cuyos vertices son los puntos: A ( 1 , 1 , 1), 5 ( 2 , 1 , - 3 ) y C ( 0 , 1 , 2 ) es | M I

pag. 4 2 5

b)

El a r e a de la superficie del paralelogramo

cuyos diogonoles

pueden ser

representodas en el piano con los vectores A = 3 i + j - 2 k y B = i - 3 j + 4 k , es 2 0 V 3 u^. c)

El a r e a de lo superficie del triangulo sustentado en los vectores A = a + 3 b y B = 3 a + b, siendo a y b vectores tales que |{a{{ = ||b|| = 1 , con un angulo entre ellos que mide 60°, es 4 V 3 u^.

El volumen del paralelepipedo

sustentado en los vectores: A = ( 0 ,

2 , 1),

B = ( 3 , - 6 , 2 ) y C = ( l , 0 , 3 ) , es 8

Si cuotrode los vertices d e u n paralelepipedo son los p u n t o s : ^ ( 1 , 1 , 1 ) , 5 ( 3 , 1 , 2 ) , C ( 0 , - 4 , 1 ) , D{—2, —3, —2) y tres de sus aristas son los segmentos AB, ACy

AD,

entonces su volumen es igual o 19 u^.

44)

El a r e a de la superficie del triangulo cuyos vertices son A(9,

6, 3 ) , B(3,

6, 9 ) y

C ( 3 , 12, 3 ) , e s :

a)

45]

VT36w2

b)

Dodos los puntos

3V2M2

C)

2a, 3a), Q(3a,

18^3

a, -2a),R(-a,

^)

a, 2a) y S(2a, —*•

—>

el volumen del paralelepipedo sustentado en los vectores PQ, PR

46)

Si A(-l,

e)

2^[6

12

5a, a), determine —»•

y PS .

1 ) , B{3, 4 ) y C ( 2 , 6 ) son los vertices de un triangulo, entonces lo longitud de lo

altura relativo desde el vertice A es, en unidodes, igual o:

a)

9V5 3

b)

^

c) 5

1 1 ^ 3

d)

^

e) 3

1 1 ^ 5

4 7 ) Determine lo longitud de la olturo del paralelepipedo sustentado en los vectores que unen o P(2,

1 , 3 ) con Q(4, - 2 , 2 ) , i ? ( l , 1 , 3 ) y 5 ' ( - 4 , 0, 2 ) , si su base estd formado por

los vectores que unen o P con Qy

48)

S.

Si el volumen del paralelepipedo sustentado en

= ( 0 , a, 0 ) , V 2 = ( 3 , 4 , 0 ) , y

V 3 = ( 0 , 4 , 6 ) es 120 u^, determine el valor de a, siendo a e R .

pag. 4 2 6

Vectores 49)

Utilizando vectores y numeros complejos; y, conociendo ademds que en el triangulo ABC

de lo figura, M e s el punto medio del lado BC, demuestre que:

cot(5) = 2 cot(a) +

50)

co^(p)

El mecanismo que se muestra en lo figura es conocido como bielo, manivelo, corredero descentrodoyo que los puntos OjyBr^o

son colineales. S e pretende realizar un analisis

de posicion del piston ( 5 ) , siguiendo el procedimiento que se detolla o continuacion: o)

Determine los vectores que simulordn los barros del mecanismo, es decir, paro c o d a par de puntos del mecanismo se determinord un vector representado por un numero complejo en forma polar definido por un dngulo positive; por ejempio: O2A serd

b)

O2A

C r e e una ecuacion vectorial en forma polar, de tol monera que este involucrodo la posicion del piston, esto es O2B . N o t a : O b s e r v e que el vector O2B = O2A +AB

c)

y o lo v e z O2B = O2C + CB .

C o n oyudo del literal anterior, determine los variables desconocidos del problemo si 82 = 45°.

d)

Grafique la voriacion del vector CB paro c o d a 5 grados sexogesimales de giro de la manivelo en una vuelta, con los dotos presentes en lo toblo. Si fuese necesario, ayudese con una fioja de cdlculo.

pag. 4 2 7

Trayectoria del piston

Partes d e l Mecanismo

E s t a d o d e la

Descripcion

variable

Dates

1.4 pulg

Longitud de lo manivelo

Conocido

AB

Longitud de la bielo

Conocido

Apulg

O^C

Excentricidod

Conocido

\pulg

CB

Distancio entre

CyB

M e d i d a del dngulo de lo manivelo M e d i d a del dngulo de lo biela

pag. 428

Desconocido

Conocido

Desconocido

[0° - 360°]

El sistema vectorial S e a n a, b y c vectores tales que b y e

son ortogonales, pero a y b no lo son. Si m es un

numero real cuolquiera, resuelva el siguiente sistema pora el vector p.

a= I pXb=c ( p •

EUREKA!

pag. 4 2 9

Los mdices de Miller Los indices de Miller h,ky

I deun plono cristalografico estan definidos como los reciprocos

d e las intersecciones que el piano determina con los e'\esX, 7 y Z d e l sistema tridimensional. Pora obtener los indices d e Miller de un plono, primero se determina lo interseccidn de este con los ejes. U n a v e z obtenidos los numeros, se determinon sus reciprocos y multiplicamos c o d a uno d e ellos por el mfnimo comun multipio d e los tres. Pora las c e l d a s cristalinas mostradas, determine los indices del plono cristalografico, a s i como su dreo.

X

S u g e r e n c i a : Si el plono o indexor es parolelo o un eje d e c o o r d e n a d a s , el punto de interseccidn se debe suponer en el infinito y por lo tanto su c o o r d e n a d a cristalografico respectivo, como cero.

pag. 4 3 0

FCNM

Facultad de Ciencias Naturales y Matematicas

11

Geometria Analitica en M?

Desaflo

El sonido Para formar parte de las Fuerzas Armadas, los aspirantes deben pasar por pruebas que requieren de ciertas destrezas y habiiidodes tanto fisicas como mentales. El famoso tiro a! bianco es una de las pruebas a la cual se ven sometidos; y precisamente, en una prueba de rutina se da el siguiente evento: El sonido del disparo de una pistola y el impacto de la bala dando en el bianco son escuchados simultaneamente por un sargento que esta ubicado en el punto P. Considerando que el sonido viaja a una velocidad de w

la bala o v '%

siendo v > w, se desea determinar la ecuacion del lugar geometrico en terminos de x, y, u, V y c al cual pertenece P.

- c

0

c

Si no puede resolver este desofio, busque la solucion en la pagina correspondiente del presente capftulo.

pag. 4 3 1

Introduccion

En los temos precedentes de este libro se ha venido enfotizando en la importoncia de las matematicas para la vida y el desarrollo del quehocer humano. Por supuesto, la geometrfa analitica, al relacionar figuras geometricos con sus correspondientes ecuaciones algebraicas en un sistema de coordenadas cartesianas, permite representor situaciones o fenomenos del diario vivir con el proposito de fundamentar apropiadamente la toma de decisiones. Partir de un concepto geometrico como el punto para llegar al concepto olgebroico de par ordenado en R^; y, pensar en el mismo sentido en la relacion de puntos en el espacio y ternas ordenodos de numeros, constituye el fundamento esencial de la geometrfa analftica. La troscendencia de la geometrfa analftica ho dodo poso a su uso en una gran cantidad de aplicaciones; por ejemplo, hoy por hoy existen metodos computarizados para la deteccion por imagenes de enfermedades mortales como el cancer que vinculan tecnicos de procesamiento digital de imagenes con recursos analfticos que facilitan la extraccion de los elementos de referenda. El auge del desarrollo en materia de telecomunicociones ha encontrodo en las antenas con reflectores porabolicos la solucion para mantener conectadas por telefonfa fija o movil a cada vez mas personas en el mundo. Estas antenas, en sus diferentes operaciones de recepcion, transmision o full duplex (cuando son receptoras y transmisoras al mismo tiempo), permiten a partir de la descripcion de sus elementos y particularmente de su foco, reflejar las ondas electromagneticas necesorias para establecer lo comunicacion. La orbita que describe un astro que giro en torno a otro ha sido motivo de profundos analisis para obtener conclusiones contundentes relocionadas con nuestro sistema solar, verificandose que en estos fenomenos, generolmente el astro rey se situa en uno de los focos de una conico elfptico. Muchos son los oportes de la geometria analftica en temos de construccion de estructuras que embellecen diferentes partes del mundo. Artes, estilo y formas conicas se complementan poro construir verdaderos morovillas estructuroles cuyos principios geometricos estan basados en precisos modelos analfticos. La geometrfa analftica juega un rol clove en el mundo del precalculo y se convierte en una base necesaria poro cursos avonzados de Calculo de una o varias variables. Desde las necesidades mas artesanales, hasta las mas sofisticodas, tras el desarrollo analftico de elementos geometricos, seguromente existe un cumulo de aplicaciones, cuyos conceptos se desarrollaran en este capftulo.

pag. 432

11

Geometria Analitica enR^

11.1 Puntos y rectos Objetivos Ai finalizar esta seccion el lector podra: •

Explicar los elementos que definen una recta en ei piano en forma vectorial, simetrica, parametrica, general y de punto-pendiente.

•

Dodos dos puntos en el piano, coicular la minima distancia entre ellos y determinar las coordenadas del punto medio del segmento que ios une.

•

Obtener la ecuacion de una recta en el piano y graficaria, dados las condiciones sobre los elementos que la definen.

•

Identificar condiciones de la pendiente para el parolelismo y perpendicularidad entre rectos.

•

Identificar el angulo y punto de interseccion entre dos rectos secantes.

•

Coicular |a distancia entre un punto y una recta.

La recta, junto al punto y el piano constituyen entes geometricos fundamentales. Tol como se ho mencionado en esta obra, estos conceptos son considerados primitivos, ya que no es posible definirlos a partir de otros elementos ya conocidos; sin embargo, es factible eloborar descripciones de ellos con base en los siguientes postulados caracterfsticos, los cuales determinan relaciones entre dichos entes fundamentales: El punto es el inicio de todo. Existen infinitos puntos e infinites rectos. Un punto pertenece a infinitos rectos. Dos puntos determinan una unica recto en el piano al cual pertenecen. La recta determinodo por dos puntos en un piano, pertenece al mismo piano. Para continuor con el desarrollo del presente tema, ahora nos proponemos analizor olgunos conceptos relevantes.

11.1.1 Distancia entre dos puntos A partir del concepto de un punto como una parejo ordenoda Pix,y) y si se conocen las coordenadas de dos de ellos, se puede determinar la distancia que los separa midiendo la longitud del segmento de recto que los une. Por ejemplo, si queremos sober cuanto ha recorrido la peloto lanzoda desde el punto A por un jardinero derecho hasta lo tercera base (punto B] en una concha de beisbol

pag. 433

(vease la figure), esto sera posible si aplicomos el concepto de distancia entre los puntos referidos.

Comenzaremos por determinar la longitud de un segmento que es paralelo al eje fiorizontal:

B{-2, 1)

AB = | 4 - ( - 2 ) | AB = |6| AB - 6

Ai4, 1) >r

Si AB es paralelo al eje horizontal y las coordenadas de ^ y 5 son {x\, y\) y {x2, jFi), entonces AB = |

- ^21.

Ahora determinaremos la longitud de un segmento que es paralelo al eje vertical:

y •^(2,3) ^

Z8 = | 3 - ( - 2 ) |

Si AB es paralelo al eje vertical y las

AB =|5|

coordenadas d e ^ y 5 son (xi,_yi)y(xi,>'2),

AB =5

entonces^5 = |_yl->'2l•

^5(2,-2) A continuacion se describe el procedimiento poro determinar la longitud de un segmento que no es paralelo a los ejes coordenodos. Si se desea determinary45, podemos oplicar el siguiente y

/

/

B(-3, - 2 )

procedimiento.

/ r

•A(2,3)

Sea BC un segmento paralelo ol eje horizontal y AC un segmento paralelo ol eje vertical, entonces:

^ X

BC = \2- (-3)1 = 5yAC=\3-

(-2)| = 5.

Comov45Ces un triangulo rectangulo, podemos oplicar C(2,-2)

el Teorema de Pitagoros:

(ABy = (BCf + iACf Por lo tanto:

(ABY = (5f + i5f O bien:

AB = ^J25 +25 =5^I2u

pag. 434

11

Geometria Analitica en

Definicion 11.1 (Distancia entre dos puntos) S i ^ tiene c o o r d e n a d a s {xi,yi)y B Wene c o o r d e n a d a s (x2,y2), entre Ay B, estd dodo por: d(A, B) = ^ ( x i - Xj)^ + (

entonces lo distancia

I

-^2)^ •

En esta definicion, el orden en que se seleccionan los puntos no influye en el valor de la distancia. E j e m p i o 1 1 . 1 Distancia entre dos puntos.

Se tienen los siguientes puntos en el piano cartesiano ^ ( 1 , 9 ) , 5 ( - 4 , - 3 ) , C ( 0 , 4 ) y D ( 3 , 0 ) . Determine la distancia entre los p u n t o s ^ y B; y, luego entre los puntos C y D. Bosqueje en el piano cartesiano la situacion descrita. Solucion:

m

d{A.B)

= ^(.,-x,f+(y,-y,f=

d{A,B)

= yl25 + \44 =13 u

d{C,D)

= ^(x^-x^)

d{C,D)

= s/9 + l6 = 5u

+(9-(-3)f

^(l-{-4)f

=^(0-3f

+(y,-y^)

+ (4-0f

9-8 7 6 5 4

c

3 2 1

•i

1

1

1

1

1

1

-7 - 6 - 5 -4 - 3 - 2 - 1 -1

D 1

2

3

H

4

\

5

1

6

7

1

X

-2

-3 B

-4

pag. 4 3 5

E j e m p i o 1 1.2 Distancia entre dos puntos. I

Emplee

la

expresion

motematica

de

la

distancia entre dos puntos p a r a determinar #

5 ( 8 . 7)

si el triangulo ABC bosquejado en la figura, es isosceles.

A{-2, 0)

Solucion:

C(8.-2)

Se determinan las longitudes de los tres lados.

5C=.V02 + ( 7 - ( - 2 ) ) 2 = V 8 T IC-V(-2-8)2 + (0-(-2))^

=yfm

C o m o se puede observar, no existen dos lados que tengan lo misma longitud, por lo tanto, el AABC

no es un trjangulo isosceles.

E j e m p i o 1 1 . 3 Distancia entre dos puntos. Volviendo a la pregunto plonteada al inicio de esta seccion sobre la distancia que recorrio la pelota de beisbol y utilizando un sistema de c o o r d e n a d a s como ei de la figura, con origen en home (H), el jordinero esta en lo posicion del punto ^ 4 ( 2 8 0 , 2 0 ) , mientros que la tercera base se ubico en la posicion del punto 5 ( 0 , 9 0 ) .

5(0,90)

D

•

^(280, 20)

HiO, 0 )

C

Solucion: Utilizando la definicion de distancia entre ^ y B, tenemos: d(A, B) = V ( 2 8 0 - 0 ) 2 + ( 2 0 - 9 0 ) 2 d{A, B)= V(280)2 + ( - 70)2 4^4,5)=V78400 + 4900 6 / ( . 4 , 5 ) = V 8 3 300

d{A,B)=\Q^Im : . Lo pelota recorrio aproximadamente 2 8 9 pies.

pag. 4 3 6

11

Geometria Analitica enB}

11.1.2 Punto medio de un segmento de recta y

En la figura observe que los puntos (2, 1) y - 2 , -y

Q(-2, 3)

equidiston de los extremes de los R(0,1)

segmentos a los cuales pertenecen RS y PQ,

5(4,1)

(2, 1)

,

.

respectivomente.

Para el segmento fiorizontol RS, lo abscisa del punto (2, 1) es la semisumo de las obscisos de los extremes y la ordenode se montiene. Para el segmento verticol PQ, le o r d e n a d a del punto —2, - ^ j es la semisuma de las ordenedes de los extremes y le ebscise se mentiene.

Este mismo cencepto puede epiicerse pore etros segmentos de recte. S e e n Py (xi,yi) les coordenedes de un extreme y P2 (x2, yz) las ceordenodes del etro extreme, tel come se muestra en la siguiente figura.

P,(-^,-2) C o n P ] ( - 3 , - 2 ) y P2 ( 5 , 3 ) se verifica que: X1+X2

-3

5

= 1

yi+y2

-2 + 3

1

2

~

+

2

" 2 (

Es decir, el punto M t i e n e coordenadas

1\ 1, 7 7 , el cual equidisto de P i y de P2.

A continuacion se enunciara un teorema con el que se generelize este resultedo. Teorema 11.1 (Punto medio de un segmento d Si las coordenadas de les extremes del segmento

PiPT

sen P j {xi,yi) y P2 (x2, yo)

entonces las coordenadas del punto ui medio M d e P ] P 2 S o n : X1+X2

yi+yi]

2

pag. 4 3 7

E j e m p i o 1 1.4 Punto medio de un segmento de recto.

Si /V/es el punto medio 6eAB, donde (—4, - 2 ) son los c o o r d e n a d a s d e ^ y ( 2 , 1) son las c o o r d e n a d a s de M, determine las c o o r d e n a d a s de B.

Solucion:

S e a n {xB,yB)

las c o o r d e n a d a s 6e B.

B{xB,yB)

Por el teorema 1 1 . 1 , se cumple que: M ( 2 , 1)

^~

2

1 ' "

A{-4,-2)

--2+yB 2

Despejondo se obtiene XB = 8,

= 4. Con

lo c u a l , las c o o r d e n a d a s de B son ( 8 , 4 ) .

E j e m p i o 1 1 . 5 Punto medio de un segmento de recta.

Los p u n t o s ^ ( 1 , 3 ) , B(-5,

1) y C ( 3 , - 1 ) formon un triangulo en el piano cartesiano.

Determine las c o o r d e n a d a s de los vertices de un nuevo triangulo formodo por los puntos medios del triangulo original. Bosqueje la situacion descrita. Solucion: Los c o o r d e n a d a s del punto medio entre Ay B se calculon a s i :

M

l + (-5)

M

AB

3+ 1

MA-2,2)

AB

Las c o o r d e n a d a s del punto medio entre By Cse calculon a s i :

^B+^c

yB+yc

BC

M

-5 + 3 l + (-l)

BC

M,,

(-1.0)

Los c o o r d e n a d a s del punto medio entre ^ y C s e calculon a s i :

M

pag. 4 3 8

^^A+^c

AC

yA+yc^

2

M

^1 + 3 3 + ( - l ) ^

AC

2 '

2

^.c(2,l)

11

Geometria Analitica en

Al bosquejar la situacion descrita en el piano cartesiano, se obtiene lo siguiente:

y 4-

^(1,3) • •

B(-5,

2-

1)

• ft

-5

. M , c ( 2 , 1)

1-

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

M,c(-l,0)_j, C(3,-l) -2-

11.1.3 Ecuacion de la recta Si consideramos un sistema de c o o r d e n a d a s en dos dimensiones, a c o d a punto del piano le corresponden dos numeros reales o c o o r d e n a d a s x e^-. Ocurre odemas que con c o d a punto esta a s o c i a d o un vector y solamente uno: aquel que parte del origen y termina en el punto. C o n base en los postulados que se mencionaron al inicio de esta seccion, una recta se determine completamente por dos puntos distintos, es decir, dodos los puntos P i ( x i , yi) y Piixi^yi) que pertenecen a R ^ , existe una sola recta que contiene a ambos. A p o y a n d o n o s en el andlisis vectorial, partiremos de un punto arbitrario P(x, y)e

L y su

vector a s o c i a d o respective V = ( x , y), p a r a luego estoblecer lo relocion necesario entre dicho punto P y lo recta L. C o n la referenda de los puntos P^^^L Ly

& L, construimos los vectores V j y V j , que nos

serviran poro determinar las c o o r d e n a d a s de los vectores V2 - V j y V - V j .

pag. 4 3 9

Con esta construccion vectorial podemos concluirque p a r a que el pur\\oP{x,y) pertenezco a la recta L, es necesario y suficiente que el vector V - V j sea porolelo ol vector V2 — V j : P(x,j)eL = (V-Vi||V2-Vi) Ademds, por lo definicion de vectores parolelos dado en el copitulo anterior: ( V - V , II V2 [ V - V i = n(V2 - V i ) ]

(V2 - V , ) )

= (V - V, =

= [ ( X - x i , J - y,) = la(X2 - x i , 72 -

yi)]

Con lo cual: X - X i

=H(X2-Xi)

y - y i

=^(y2-yi)

'x=xi+

|a(x2-xi)

y=yi+

ii(y2-y\)

El numero )i G R es un pordmetro que corocterizo ol punto P, yo que poro distintos puntos en el piano, |J, toma diferentes volores. De aqui que estas ecuaciones reciben el nombre de e c u a c i o n e s p a r a m e t r i c a s de lo recto. Despejondo olgebroicomente este parametro )J. en las ultimas e c u a c i o n e s , tenemos que: ^-^1

^

y-yi y2-y\

X2-X1

Numericamente, esta e c u a c i o n tiene sentido c u a n d o X 2 ^x^y y2 J^yi. Esta igualdod define una ecuacion que describe el conjunto de puntos pertenecientes a lo recto L, cuando se conocen las c o o r d e n a d a s de dos puntos que pertenecen a ella, es decir:

Pix,y)GL

=

(x-xi X2-X1

_ y-yi

\

y2-y\

Si se conocen las intersecciones con los ejes coordenodos:

Podemos considerar que la recto L contiene a los puntos Pi(a, 0 ) y PziO, b). De esta monero, tenemos que:

P(x,y)sL

pag. 4 4 0

=

(x-a 10-a

_y-0\ b-Oj

11

Geometria Analitica en R

Esto es: P ( x , ; - ) E i . ( - ^ + l 4 ) Finalmente: P(x,y)eL

=

M

b

Esta ultima ecuacion se denomina f o r m a s i m e t r i c a de la ecuacion de la recta. En la expresion que se deduio poro lo ecuacion de la recta: — — — = — — — , los numeros y2-yi

Xi, y], X2 e y2 son las c o o r d e n a d a s de los puntos d a d o s P i y P2; por lo tanto, puede transformarse e n : P ( x , y ) e L = ((y2-yi)ix-xi)

=

P{x, y)e

- Xi)y - (y2 -yi) x i +

L = iiy2 -yi)x-

-x^)iy-y^)) - x O j i = 0)

Si reemplozomos: y2-yi -{x2-xi)

=a =b

- (yi - y\) xi + (X2 - xi)yi = c Podemos escribir: P ( x , y ) ^ L = ax + by + c = 0,

a,b,ceR'

Lo cual representa lo e c u a c i o n g e n e r a l de una recto en el piano. Y a que:

(>'2

- JiX^ -

^1) =

-

Xi){y -yi)

Y reemplozando los volores de ay b, se tiene: a{x-xi)

=

aix-xi)

+ b(y-y,)

Recordando que V - V i = (x-Xuy-yi)

-b(y-yi) =0

es un vector porolelo en lo direccion de la recto Z ;

y, considerondo el vector n = {a, b), puede observorse que lo ultima expresion es: n.(V-Vi) = 0 Esto es: n»(V-Vi) = 0

^

(nl(V-Vi))

Con este andlisis, podemos concluir que el vector n = {a, b) es ortogonal o la recto L y se lo denomina v e c t o r n o r m a l a lo recta.

pag. 4 4 1

Otra forma de definir una recto es conociendo su interseccidn con el eje Yy su direccion. Si queremos determinar lo ecuacion de la recto que interseca el eje 7 a una distancia b del origen y que forma un angulo de medida cp con la direccion del s e m i e j e X p o s i t i v e , se debe determinar las c o o r d e n a d a s del vector normal unitario n.

y

n\ b

e

/ El vector n es normal a lo recta y 9 es lo medida del dngulo que forma n con el s e m i e j e X positive, siendo 9 = ^ + cp . Los c o o r d e n e d e s de este vector, que e d e m a s es unitario, s e n :

n = {cos{%\ Puesto que:

co5(9) = cos ^ + (p = - ^eo(cp)

sen(Q) = sen ^ + (p = C05((p) Luego: n = ( - sen{(f)), co5((p))

pag. 4 4 2

n

Geometria Analitica en

De esta m a n e r a , la e c u a c i o n de la recto L e s : (- sen{(p))x + (cos{(py)y + c = 0 Para determinar el valor c, se c o n o c e que P(0, b) £ L: - (sen{(p))(0) + (cos((p))(b) + c = 0 Entonces: c = - b cos((p) Finalmente: ( - 5 e « ( c p ) ) X + (co5((p))y - b cos{(p) = 0 Si cos((p) 7^ 0, podemos dividir por este factor:

cos((p)

x+y-b=0

O tombien: y=

r^x + b COS{^))

P(x,y) e L= y = {tan((p))x + b Esto expresion representa la e c u a c i o n de una recto, c u a n d o se c o n o c e la medida del angulo (p que forma con respecto a lo direccion positive del e j e X , y que interseca el eje Y a una distancia b del origen. C u a n d o tan((p) no esta definida en los numeros reales, la recta es porolelo ol eje 7 y su ecuacion es de la forma x = k, ke

R.

11.1.4 Pendiente de una recta La tangente del dngulo que una recto forma con la direccion positivo del e j e X s e denomina p e n d i e n t e d e la r e c t a , lo c u a l puede denotarse por m = tan((p). la pendiente de una recto o de un segmento puede considerorse como lo rozon ^ ^ ^ ^ ' ^ ^ ^ ^ ^ tol avance como oporece en lo figura.

Elevacion

Avance

pag. 4 4 3

Definicion 11.2 (Pendiente de una recta) Si P i y P2 tienen c o o r d e n a d a s (xi, yi) y (xo, V2), respectivomente, entonces la pendiente m d e lo recta que los contiene es:

m =——~, si X i

— X T 7^

0.

X]-X2

Recta con pendiente cere

Recto c o n p e n d i e n t e i n d e f i n i d a

y

y (2,3)

m=

(2,-1)

(5,-2)

(-3, - 2 ) - 2 - (-2)

3-(-l)

m =

5-(-3)

4

—- = —

2-2 0 Si es porolelo ol eje Y, m

Si es porolelo ol eje X , m = 0.

±co.

Una recta parolelo ol eje X s e representa de lo forma y = k, donde k es una constante real. Su interpretacion prdctico se centra en que lo variable y no vorio si lo v a r i a b l e x combio. Esto situacion se presento, por ejempio, en un movil con velocidad constante en el piano, al groficar: Velocidad vs. Tiempo. Una recta porolelo ol eje F s e representa de lo forma x = A:, donde k es una constante real. Su interpretacion prdctico consiste en que la v a r i a b l e s no vorio si la variable j combio. Una situacion que refleja este comportamiento es la d e m a n d a de combustible en el plono, ol graficor: Precio vs. C a n t i d a d . Poro determinar la ecuacion de la recto de pendiente m que contiene al punto P o ( x o , >'o), portimos de las c o o r d e n a d a s de su vector normal unitario.

y

n L ^P()(-V-o..Vo)

n = (-5e«(cp), co5((p))

pag.

444

Geometria Analitica en La ecuacion de lo recta requerido serd del tipo:

(-5e«((p))x + (cos((py)y + c = 0 Si suponemos que cos((p)

0, podemos escribir:

c

0

O tombien: y

= mx-^h

Y dodo que PQ^L: b=y^-mx^ Finalmente:

Esta expresion se conoce como ecuacion de lo recta p u n t o - p e n d i e n t e . C o b e r e c o r d a r q u e lo forma j ' ^ / w x + Z? es equivalente o lo f o r m o y = ( t o « ( ( p ) ) x + Z), obtenido anteriormente, por lo que m es la tangente del angulo de medida (p que lo recta forma con el s e m i e j e X positivo. Tambien es cierto que todo recto en el plono se representa por una ecuacion general del tipo ax + by + c = Oy viceverso. D e s p e j o n d o s e obtieney =

PO""'°

E j e m p i o 1 1 . 6 Ecuacion de una recta.

^

cuando b^^O.

.^^^..^agBsmsmmmmm^^^^mmmmm^^Mmmmm

Determine lo ecuacion de lo recto L que contiene ol punto PQ(4, 2 ) y que es parol al e j e X Solucidn: Estableceremos lo ecuacion de la recta L, conociendo un punto que pertenecel ella y su pendiente. El punto que contiene es PQ{4, 2 ) y su pendiente serd m = 0, yo que es porolelaii ejeX

1

Luego, aplicando lo forma de la ecuacion punto-pendiente poro L, tenemos:

|

P ( x , )•-) G L = y Po(4, 2 ) e Z =

-

V(, = m{x

-

x,,)

v - 2 - 0 ( x - 4 )

pag. 4 4 5

La ecuacion de lo recta L seria: L: v = 2 Veomos lo grdfico de L:

y 6 5 -4-3 --

/'o(4, 2 )

2 1 + H

1

\

1

1

2

3

4

1

5

H

6

7

Ndtese que todo punto cuyo o r d e n ada es iguol o 2 , pertenece a lo recto solicitado.

E j e m p i o 1 1 . 7 Ecuacidn de una recto.

Determine la ecuacion de la recto que contiene ol punto

P Q O ?

4 ) y que es paralelo

ol eje 7. Solucion: Estableceremos lo ecuacidn de lo recta L, conociendo un punto que pertenece a ella y su pendiente. El punto que contiene es P^{i,

4 ) , y su pendiente no estd definida, y a que es

paralelo al eje 7. Lo ecuacion de lo recto L solicitado serd: P ( A - , v ) e A = ( . T = 3)

A n a l i z a n d o lo grdfico d e L , tenemos:

y A 6-5--

'Po(3.4)

43-2-

1

2

3

4

5

6

7

8

Notese que todo punto c u y a abscisa es 3 , pertenece a la recto solicitado.

pag. 4 4 6

11

Geometria Analitica en

E j e m p i o 1 1 . 8 Pendiente e intersecciones de uno recto.

Determine el valor de la pendiente y las intersecciones con los ejes coordenodos, de lo recto cuyo ecuacion e s : 3x + 2y = 6. Sol ucion: Para obtener el valor de lo pendiente de la recto, comparamos esta ecuacion con lo de una recto cuando se conoce un punto que pertenece o ello y su pendiente; osf:

P(x,y)e

L = [y-yQ = mix - XQ)]

J ) e s p e j a n d o _ v de lo ecuacion dodo:

2y^6-3x y=-^x+3 Luego, su pendiente w = — y . Ahoro determinomos las intersecciones con los ejes: •

C o n el eje X: Lo interseccion con el e j e X o c u r r i r d c u a n d o y = 0, osf:

0=-^x+3 .-. x =

2

C o n el eje Y: Lo interseccion con el eje F o c u r r i r d cuando x = 0, asf:

y

= -l(0)

+3

:.y = 3

'or lo tanto, lo pendiente de la recta tendrd el valor de — y y los i n t e r s e c c i o n S \n los ejes estordn dodos por los puntos Pi{2, 0 ) y ^ 2 ( ^ 5 3 ) , tal como se observe: Notese que la ecuacion de la recto puede ser e x p r e s a d a asf: ^

+ ^

y

= 1, lo cual se indicd

que constituye su forma simetrica, en donde los

3-'

denominadores de las fracciones que contienen

2--

x, y, representon los intersecciones con los ejes

1--

coordenodos.

pag. 4 4 7

Si al mismo tiempo consideramos dos rectos en el plono, solamente una de las siguientes situaciones ho de ocurrir:

(a)

(c)

(b)

En el c a s o (a) los rectos Z-i 7X2 se conocen como p a r a l e l a s ; el c a s o (b) presento rectos LiyLz

que son c o i n c i d e n t e s ; el c a s o (c) presento r e c t o s Z i y Z2 s e c a n t e s .

Ahoro queremos determinar en c o d a coso, que relaciones hay entre los coeficientes de los ecuaciones de los rectos Zj y Z2.

P{x,y) e Z i = ( a i x + Z^ij + c i = 0 ) = (a2X + b2y + C2 = 0 )

P{x, y)GL2

Empecemos por el c a s o (a); si n i = (ai, b{) es el vector normal a Z i y n2 = (a2> ^2), el vector normal a Z2y ademds sabemos que si Z i || Z2, se debe cumplir que: (ni

II

n2)

= (ni

= ^n2)

Es decir: ( a i = \ia2) A (b] = [ib2) En otras polabros, dos rectos Z i y Z2 son parolelos, si y solo si los coeficientes de las variables JC,jK, en sus ecuaciones olgebraicas, son respectivomente proporcionales:

£i^bi a2

b2

Con esto se deduce q u e - ^ = - ^ , y por t a n t o , - - ^ -

02

^

.

De la ecuacion general de una recto se sobe que m tiene el valor -

; por lo tanto, se

demuestro que mi = W 2 , es decir, que las pendientes de dos rectos parolelos son iguoles. S i , o mds de esto, se cumple que: C2

tendremos el c a s o (b), y ambos rectos serdn coincidentes, es decir, describirdn el mismo lugar

g e o m e t r i c o , siendo este, un conjunto de puntos que cumplen

condiciones o propiedodes geometricas.

pag. 448

determinadas

11

Geometria

Analitica

en

Teorema 11.2 (Pendiente de rectas paraieias) Las pendientes de dos rectas paraieias entre si tienen el mismo valor.

En el caso (c) se dan algunas situaciones de interes; por ejempio, el angulo que forman las dos rectas al intersecarse y el punto en el que se intersecan. La medida del angulo (p, formado por las rectas Z i y L2 (o su suplemento), puede calcularse mediante el siguiente procedimiento:

En primer lugar, conviene observar que los vectores normales i l i y n2 deben formar entre si el mismo angulo de medida cp (o su suplemento), si n\ (a^, b]) y n 2 = (02, b^): 111* n2 = ||ni|| ||n2|| cos{>'o)) Y calcular el punto de interseccion con lo recta L. La distancia requerida se calcularia como la distancia entre los puntos PQ Y el punto de interseccion de ambas rectas; sin e m b a r g o , este procedimiento no resulta muy eficiente.

y Po{xo,yo)

Otra opcion para el calculo de esta distancia, respoldodo en el analisis vectorial, seria construir un vector normal n , a la recto L . Desde un punto P(x,

y) perteneciente a L , se

construye el vector caracterizodo por el recorrido V = PPQ. la distancia por determinar sera el valor absoluto de la proyeccion escalar del vector V sobre el vector n .

pag. 4 5 1

Siendo el vector Y = (XQ -x,yo-y)

y n = (a, b).

la proyeccion escalar de V sobre el vector n estd d o d o por: P r o y . V ^ ^ Proy„V =

Proy„V =

ixQ-x,yo-y)'(a,b)

OXQ

axQ +by^-(ax

+ by)

+ by^ + c

Conno la distancia d{Po, L) siempre es positiva: ax^ + by^+c

Ejempio 11.10 Distancia de un punto a una recto. Determine la distancia del punto PQ(-2,

1) a la recto L: 2x - 3y + 2 = 0.

Solucion: La distancia de PQ a L , se calculo con: d(Po,L)^-

|(2)(-2) + ( - 3 ) ( l ) + 2|

1-4-3 +

d(Po,L)

= -

d(Po,L)

^ 5/11 13

21

^

5VI3"

El punto PQ se encuentra a — j - ^ — unidades d e la recta L

pag. 4 5 2

I

11

Geometria

Analitica

en

Ejempio 11.11 Distancia de un punto a una recta. Si las rectas L^: - x + y ~ \ 0 y

2x - 2y + k = 0 distan entre si V T u n i d o d e s ,

determine el producto de los valores de k que satisface esta condicion. Solucion: Como se puede concluir a partir de las ecuaciones de ambas rectas L , , L2, estas resulton paraieias, y para determinar la distancia entre ellas localizaremos primero un punto que pertenece a L-^, partiendo de su ecuacion:

L^:-x+y-

1 =0

Considerondo x = 1, reemplozomos en L j y tenemos

= 2, obteniendo el punto

PoiU2)eL,. Luego determinaremos lo distancia desde este punto P Q hasta la recto L j , de acuerdo con la expresion: =

d(Po,L2)

|(2)(l) + (-2)(2) + ^ ^{2f

=

d(Po,L2)

+

{-2f

+k

2-4 /8

Puesto que la distancia d{PQ, L2) debe ser ^/2u,

segun condicion del problema.

tenemos:

+k

2-4 V8

\-2

= V2

+ k\=yfT6

k=2±y[\6 De d o n d e : (^1 = 2 + 4 )

{k2 =

A

2-4)

Por lo tanto, (^1 = 6 )

A

(^2 = - 2 )

Y el producto de los valores de ke%: hk2={€){-2)

=

-\2

A partir de los valores de k, la grdfica de

y los posibilidodes para la recto L2

serian:

y =x + j

pag. 453

Ejempio 11.12 Ecuacion de una recta. /3 Determine lo ecuacion de lo recto L que contiene al punto Po\^'~^

n

V que forma

un dngulo de medida 9 con el s e m i e j e X p o s i t i v o , tal que cos ( 6 ) = —^=r.

Solucion: Para determinar lo ecuacion de la recta L solicitada, debemos contar con un punto que pertenece a ello y su pendiente. El punto es conocido: PQ

-^j.

El valor de lo pendiente de la recto corresponde a la tangente de 9; y, para determinar su valor construimos un tridngulo rectangulo tal que cos (0) =

, asi:

Luego, x = a / ( V 3 4 ) 2 - 9 = V25 = 5. De d o n d e tan ( 9 ) = y es el valor que representa la pendiente de la recto L, con lo cual su ecuacion seria:

15 12 1 2 j ; - 3 = 2 0 x - 15 2 0 x - 1 2 ; ; - 12 = 0 I: 5 x - 3 v - 3 = 0

pag. 454

11

Geometria

Analitica

en M?

n .1 Puntos y rectos

1)

2)

Autoevaluacion

Considere los puntos en el piano cartesiano A(—3, —2) y B(5, 4). a)

Determine las coordenadas para el punto medio M(h, k) del segmento AB.

b)

Si se define el punto N{h, k + 2), calcule el perfmetro P del triangulo ANB.

Determine los posibles valores de w e R para que la distancia de la recta y = mx + 4 al punto (3, —5) sea igual a 3 M.

pag. 455

3)

Determine la medida 0, en grades sexagesimales, del dngulo o g u d o f o r m a d o entre las rectas 1 ^ : 3x+y

4)

+ S = 0 y L^: x + 2y + S = 0.

Considere la recta Z : x - 4 j v - v T = 0 y el p u n t o P ( l , 3 ) . a)

Determine lo ecuacion general de lo recta Lp perpendicular a L que contenga al punto P.

J b)

Considere los puntos Q(a,

h) y R(8,

9 ) , siendo Q el punto de interseccion de Lp

con el eje Y; y, determine si V = QR es un vector normal a Lp.

pag. 456

Geometria

Analitica

en

Conicas En el libro "Conicas", de A p o l o n i o de Perga, se estudian las figuras que pueden obtenerse al intersecar un bicono con diversos pianos. Previo a este trobojo, existion estudios elementales sobre determinadas intersecciones de pianos perpendiculares a las generatrices de un cono. Si bien no disponio de la geometria analitica todovio, A p o l o n i o hace un tratomiento de las conicas que se aproximo mucho a oquello. Los resultados obtenidos por el fueron los unicos que existieron hosto que Fermaty Descartes, en una de las primeras aplicaciones de la geometria analitica, retomoron el problema, hociendo siempre lo solvedad de que no manejobon coordenadas negativos, con las restricciones que esto impone. Por lo antes expuesto, en las siguientes secciones se estudiaran porticulares

lugores

geometricos (subconjuntos del piano sujetos a una condicion), tales como circunferencios, parabolas, elipses e hiperbolos, todas ellas conocidos con el nombre generico de cdnicas, pues se pueden obtener como interseccion de una superficie conica con un piano.

Circunferencia

Parabola

Elipse

Hiperbolo

En el piano cortesiono, las conicas pueden representorse mediante la ecuacion:

Ax^ + 5 / + C x y + D x +

+ F = 0

en la cual, todos los coeficientes son numeros reales. Sin e m b a r g o , trataremos unicamente oquellos en las cuales el coeficiente C es igual a cero. Es importante tener en cuento que existen otros sistemas de coordenadas para representor elementos del piano, tal como el de Coordenadas Polares, sobre el cual refiere el Apendice

C de este libro.

pag. 457

11.2 Circunferencia Objetivos Al findlizar esta seccion el lector p o d r a : •

Obtener la expresion en fornna canonica o general de una circunferencia.

•

D a d a una expresion genera! cuadrdtica, determinar si corresponde o no a una circunferencia.

•

Representor

grdficamente

una

circunferencia

y

ubicar

sus

elementos

caracteristicos. •

Determinar las ecuaciones de rectas tangentes a una circunferencia.

•

Relacionar la circunferencia con otros conceptos motematicos para el cdlculo d e longitudes, areas y volumenes.

Definicion 11.3 (Circunfi Es el tugor geometrico de puntos en el piano que se encuentron o una distancia constonte r de un punto fijo 0{h,

J\x,y)

k). la distancia r es denominado

longitud del r a d i o y el punto fijo 0{h,

k) es el

0{h, k)

c e n t r o de lo circunferencia. Circunferencia = { P{x,

e R V d{0,

P) = r}

de la ecuacion de una circunf Considerese la circunferencia centrada en 0{h, para que un punto P{x,y)

k) y de longitud r de radio. Lo condicion

pertenezca a lo mismo es:

d{0,P)^r Es decir:

^{x-hf {x-hf

+ {y-kf + iy-kf

=r = r^

Si el centro de la circunferencia es el origen de coordenadas ( 0 , 0 ) , la f o r m a c a n o n i c a de la ecuacion de la circunferencia es:

Forma aeneral de la ecuacion de una circunferencia Considerondo que los coeficientes de los terminos cuodrdticos son iguales, se los puede agrupor con un factor comun A y obtener lo siguiente ecuacion:

A(x^ +y^) + Dx + Ey + F =

0;A,D,E,Fi

De oqui se deduce que, una condicidn necesaria poro que una expresidn cuadrdtica de este tipo represente una circunferencia, es que los coeficientes dex^

pag. 458

y y^ sean iguales.

11

Geometria

Analitica

en

Ejempio 11.13 Ecuacion de una circunferencia. ^ ^ D e t e r m i n e lo ecuacion general de la circunferencia centrada en el punto 0 ( 5 , — 2 ) y cuya longitud del radio es 3u. Solucion: La distancia de Pix,y)

al punto 0 ( 5 , - 2 ) es r = 3 w.

Para que el punto pertenezca o la circunferencia, se fio de verificar q u e : (x - 5)2 + iy + 2f = 9

y

x 2 - 1 0 x + 2 5 + / + 4-j; + 4 ^ 9

11 x 2 + / _

i 0 x + 4y + 20 = 0

1 I

- 1 -•

2 I

3

4

H

1

5 6 7 1

i

h-

-2 -• 0(5,-2)

-3 -_4 -5 --

Ejempio 11.14 Ecuocidn de una circunferencia. Determine lo ecuocidn general de lo circunferencia cuyo centro es 0 ( 1 , 1) y que

^

contiene al punto P{—2, 3 ) .

I

I

Solucion: Lo longitud del radio serd colculado con la expresion matemdtico de distancia entre los dos puntos d a d o s : r = V(-2-l)' + (3-l)2

y =VT3

A S I , lo ecuocidn de lo circunferencia es:

5 4--

Pi-2,3)

3-2--

(x-lf + (y-lf x^-2x+l+/-2y+\ U x^+y^-2x-2y-

=

(^mf

11 = 0

1-~3 -2 - 1

•0(1,1) 1

2

3 4 5

-2--3--

pag. 459

Ejempio 11.15 Ecuacion de una circunferencia. Determine la ecuacion de la circunferencia que tiene centro en el punto 0 ( 3 , 4) y es tangente a lo recta L:x-2y

+ 3 = 0.

Solucion: La longitud del radio es la distancia desde el centro de la circunferencia a la recto tangente especificoda:

r = d(0.

r =

L)

axQ + bya + c

(l)(3)-(2)(4) + 3

-2

r =

La ecuacion en forma canonica de lo circunferencia es: (x-3)^ + (j;-4)^ =

La ecuacion en forma general de lo circunferencia es:

x^-6x 5x^ +

+ 9+/-8y+l6

= j

5/-30x-40y+m=0 y

40(3,4) 3-

1-

pag. 460

11

Geometria

Analitica

en

Cdlculo de los elementos de una circunferencia Desarrollando la forma canonica de una circunferencia con centro en 0(h,

k) y longitud r

de radio, tenemos:

{x-hf

+ {y~kf

- 2xh + h^+f-

= r' 2yk + k^ = f^

x^+/-2hx-2ky+h^

+

e-r^=0

Es evidente que podemos relacionar esta ecuocidn con la forma general cuando ^ = 1, asf: (x^+f)

+ Dx + Ey + F= 0, siendo D = -2h,

E = -2ky

F =

+ k^ -

A partir de esta forma, es posible determinar los elementos de la circunferencia:

h= -

D

k = -D] 2)

+ - eV

-F

= D^ +

E^-4F

r =

Si ^

" ' " ^ — ^ < 0, ha de interpretarse que no existe la circunferencia y se dird, en este

caso, que se troto de una circunferencia imoginoria. Si ^

~

= 0, ha de interpretarse que no existe la circunferencia y en este caso, la

ecuocidn representa un punto con coordenadas (h, Si la ecuocidn presenta su forma general con A

k). I, serd necesario dividirlo por este

coeficiente, para conseguir una ecuocidn equivalente con A = l.

Ejempio 11.16 Ecuocidn de una circunferencia. Determine lo ecuacion de la circunferencia que contiene a los puntos (3. 2 ) . ( 2 , 4 ) y(-i,i). Solucion: Consideromos la ecuocidn de una circunferencia de lo forma:

(x^+/)

+ Dx + Ey + F=0

Para que dicho circunferencia contenga a todos los puntos dodos, estos hon de sotisfocer su ecuacion: (3,2) (2,4) ( - 1 , 1)

3^ + 2^ + 3D + 2E + F =0 =^ 3D + 2E +F = -\3 22 + 42 + 2 D + 4 £ + F = 0 =^2D + AE + F=-2Q {-\f+\^-D + E + F = 0 ^ - D + E + F = -2

pag. 4 6 1

Resolviendo este S.E.L. de tres ecuociones con tres incognitos, se obtiene: /) = - - ;

/i = - - 3 - ;

y

f=j

Asi, lo ecuocidn es: 0 X'

o

5 13 , 2 ^ - y X - y - V + y = 0

Con estos dotos y d o d o que lo ecuocidn se ojusto o lo forma general, con A = I, podemos obtener los coordenadas del centro y la longitud del radio mediante las relaciones:

D = -lh..

E = -2k,

F^lr+lc-r

De esta manera:

y 6

6

r =.

18

5-(2,4) 4-3--

O

.(3,2)

2--

( - 1 , 1)

•

1-H

-2

1-

-1

Paro obtener lo forma canonica de una circunferencia, partiendo de su forma general, tambien es posible hacer la complecion de los trinomios cuodrodos perfectos; paro luego determinar las principales caracteristicos y elementos de la conica.

Ejempio 11.17 Circunferencios. Calcule la distancia minima entre las circunferencios €{.

y C2. x^ + / - 20x + Ay+ 103 = 0. Solucion: C,: (x^ + 4x + 4 ) + ( V - - 6v + 9) = 0 + 9

{x + 2f+ ^

{y-3f={3f

O i ( - 2 , 3) A r, = 3 M

C,: (x^ - 20x + 100) + ( + ^

( x - 1 0 ) 2 + {y + 2f

=> a ( 1 0 , - 2 ) A 1-2 =

pag. 462

4v + 4 ) = - 1 0 3 + 100 + 4 =

{\f \u

+ }P- + Ax — 6y + A = 0

11

Geometria

Analitica

en R-

Para cumplir con lo solicitado, se calculo la distancia entre los centros y se restan los longitudes de los radios: J = J(-2-10f+{3 + 2f -r -r

= V l 6 9 - 3 - l = 13-4

La situocidn geometrica descrita se observa a continuacion:

y 1654•

1

; + 41 = 0 Solucion: a) (x2 + 2x) + ( / - 4 j ; ) = - l (x2 + 2x + 1) + ( / - 4 ^ + 4 ) = - 1 + 1 + 4 (x + If

+ (y-

If

= 4

En este caso, lo ecuocidn permite concluir que lo circunferencia existe, d o d o que lo suma de cuodrodos es positiva; luego, la longitud de su radio es r = 2 y su centro es el punto 0{— 1, 2). b) ( x 2 - 4 x ) + ( / + 6j^) = - 1 6 ( x 2 - 4 x + 4 ) + ( / + 63; + 9) = - 1 6 + 4 + 9 ( x - 2 ) 2 + (;; + 3)2 = - 3 En este coso, lo circunferencia no existe, yo que la sumo de cuodrodos es negativa. c) (x2 + 10x) + ( / - 8 j ; ) = - 4 1 (x2 + lOx + 25) + ( / _ 8^ + 16) = - 41 + 25 + 16

{x + 5f + {y-Af

=Q

En este coso, lo suma de cuodrodos es cero, por lo tonto, lo ecuacion representa un punto cuyas coordenadas son (—5, 4 ) . En lo siguiente grdfica se encuentron representodos los literales o) y c).

.

P(-5,4)

0(-l,2) — I

-5

pag. 464

1

-4

1

1 — 1

-3 -2

-1

H—*•

X

Geometria

Analitica

en

Ecuacion de la recta tangente a una circunferencia Un punto P puede pertenecer o no a la circunferencia; por lo tonto, se pueden dor los siguientes situaciones: •

Si el punto P pertenece a lo circunferencia, existe una recto tangente, y el radio es perpendicular a esta recto en dicho punto.

•

Si el punto P es exterior a lo circunferencia, existen dos rectas tangentes, y el centro de lo circunferencia equidisto de dichos rectas en los puntos de tangencio.

•

Si el punto P es interior a la circunferencia, no existe lo posibilidad de definir una recta tangente.

Ejempio 11.20 Ecuocidn d e la recto tangente a una circunferencia. Determine lo ecuocidn de los rectas tangentes a la circunferencia definido por C:x^

-2x

+ 3y-

18 = 0, si dichas rectas contienen los puntos:

a) ( 2 , 3 )

b)(5,5)

c)(l,l)

Solucion: Se compruebo si los puntos pertenecen o no a la circunferencia: a) ( 2 , 3 ) : 22 + 32 - 4 + 9 - 18 = 0 => ( 2 , 3 ) pertenece a lo circunferencia. b) ( 5 , 5 ) : 52 + 52 - 10 + 15 - 18 = 37 > 0 => ( 5 , 5 ) es exterior a la circunferencia. c) ( 1 , 1): 12 + 12 - 2 + 3 - 18 = - 15 < 0

( 1 , 1) es interior a lo circunferencia.

Segun este ondlisis, hobrd una recto tangente a la circunferencia que contiene el punto ( 2 , 3 ) , dos rectas tangentes que contienen el punto ( 5 , 5 ) , y ninguna en ( 1 , 1 ) .

pag. 465

mm a) Recta tangente a la circunferencia en el punto ( 2 . 3): Se ha de establecer lo ecuocidn de una recto que contenga a ( 2 , 3) y sea perpendicular ol radio en este punto. Centro de lo circunferencia:

O

2'

2

La recto que incluye ol radio y o los puntos ( 2 , 3) y

, - y j , tiene una pendiente

cuyo valor se calculo c o m o :

± 1

m =-

9^ 2

1-2

Lo pendiente de lo recta tangente es: 1

1

2

m

9

9

Luego, lo ecuocidn de la recto tangente es: j ; - 3 = —

(x — 2).

b) Rectas tangentes a la circunferencia que contienen el punto ( 5 , 5): En el coso del punto (5, 5) hay que determinar los ecuaciones de los rectas que, conteniendo o este, su distancia ol centro sea igual a la longitud del radio. Calculamos lo longitud del radio: 85

La ecuocidn de una recto que contenga a ( 5 , 5) es:

y - 5=

m{x-5)

mx —y + {5 — 5m) — 0 Lo distancia de ^ 1 , w + y - + 5 - 5w

r =•

V(m)2 + ( - l ) 2

o dicho recto es lo longitud del radio: 13

-4m

yjm^+ 1

Igudlondo la expresidn anterior con lo longitud del radio: 13

- 4m

•\lm~+ 1

pag. 466

11 -4m m^+\

85

11

Geometria

169

Analitica

enM?

- 5 2 / 7 ? + 16/772 = 8 5 + 85 w -

169 - 208 m + 64 nr = 85 + 85 m21/?72 + 2 0 8 / 7 7 - 8 4 = 0

m =

- 2 0 8 + V50320 42

Sustituyendo c o d a uno de estos valores de m en lo ecuocidn y — 5 = m (x - 5), se obtienen los ecuaciones de los dos rectas tangentes.

En la siguiente grdfica se encuentron representodos los situaciones de los literales a), b ) y c ) .

-4 -3 -2 -1 -1 _2

7

3

4

5

• 0(1,-

-3 -4 -5 -6

Ejemplo 11.21 Circunferencia y recto tangente. Dodo lo circunferencia cuyo ecuocidn es C:

+

_ I2x + lOy — 11 = 0,

obtenga las ecuaciones de las rectas tangentes o ella y que ademds sean paraieias o la recta L:x + y + A = 0.

pag. 467

Solucion:

Se determino lo forma canonica de lo ecuocidn de lo circunferencia: ( x 2 - 1 2 x + 36) + ( / + 1 0 v + 25) = 11 + 36 + 2 5

{x-6f+{y

+ 5f

=72

El centro de la circunferencia es 0(6,

- 5 ) y su radio r mi d e V 7 2 u.

Poro que la recto sea tangente o lo circunferencia, se debe cumplir que:

r = cliO,L)

=

^ ^/l27l2

»-5 + c

r =

V5

= >/72

c + 1 =12

Existen dos posibilidodes, (c = l l ) v ( c = - 1 3 ) , entonces las ecuaciones solicitadas son: •

L , : X + _y + 1 1 = 0

•

:x+v-13 = 0

La representocidn geometrica de lo situocidn descrita se observa a continuacion:

H

-6

-4

-2

2

4

6

h

10

0 ( 6 , -5)

-10 -12 -14-

468

12

14

16

18

11

Geometria

Analitica

en R~

Ejempio 11.22 Ecuacion de una circunferencia. Determine lo ecuacion de lo circunferencia que contiene o los puntos ^ ( 0 , 6 ) y B{\.

5) cuyo centro se localizo sobre lo recto L: x + y =• - 1.

Solucion; Partiremos de lo ecuocidn canonica de lo circunferencia;

{x-hf

+ (y-kf

= i^

Reemplozomos las coordenadas de los puntos Ay

(0-hf

+ (6-kf

= r^

(I)

(l-hf

+ i5-kf

= r^

(II)

C o m o ademds el centro 0(h,

B que pertenecen a ello:

k) pertenece o lo recto L, este debe sotisfocer su

ecuocidn; /7 + A - - - 1 (III)

h =- l - k

Reemplazondo (III) en (l) y (II), respectivamente: (1 +kf

+ {6-kf

= r^

(2 + kf + (5-kf

= r^

I+2k

+ k^+ 3 6 - m + k^ = r^

4 + 4k + k^ + 2 5 - m + k^ = f^ 2k^-\0k+31

(IV)

= r^

2 F - 6 ^ + 2 9 = r2

(V)

Restando los expresiones (IV) y (V) poro luego despejor k, se obtiene; 2/^2-10/^+37=

- 2 F + 6k-29 -Ak

r2

=-r2 = -% ^ = 2

Reemplazondo en (ill) el valor de ^ = 2, tenemos; A= - 1- 2 = - 3 Reemplazondo hyken

i :| ;| •!

(l), se obtiene;

(3)2 + ( 6 - 2 ) 2 = r2 r - = 9 + 16 = 25

r =5u

;3

pag. 469

Con lo cuol. lo ecuacion de lo circunferencia requerida serio:

(x + 3)2 + iy-

If

= 25

Luego, su grdfica serio:

\

6 5-4-3--

\ H

H

h

1 --

h

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2

-P -1

H

2

1

1

1

3

4

5

H

6

-2 -3

Ejempio 1 1.23 Circunferencia y tridngulo. Considere que los tridngulos ABO y BDO son rectdngulos. Determine lo ecuocidn general de la circunferencia centrada en 0(10,

10), si AB= Auy

B

A

D

O

Sol ucion:

MBD:

BD = 4cos

ABDO:

tan

pag. 470

v6y

4V3 v6y

=

2S

BD

1

2V3

DO

V3

DO

DO=6=r

m

4-ABD-^.

11

Geometria

Analitica

en

La ecuacion de lo circunferencia es: ( x - 1 0 ) 2 + 0 - 1 0 ) 2 = (6)2 - 20x + 100 + / - 20y + 100 = 36 x2 + > ; 2 - 2 0 x - 2 0 v + 164 = 0

Ejempio 11.24 Ecuocidn de una circunferencia. Determine la ecuocidn del lugar geometrico d o d o por lo siguiente i g u o l d o d : | z - l\=2\z

+

2i\,zE

Solucidn: Definimos un c o m p l e j o z = x+yiy\o

reemplozomos en lo iguoldod d o d o :

| z - l | = 2|z + 2/| \x + y i - l \ 2\x + yi + 2i\ \(x-l)+yi\ 2\x + (y + 2)i\ Calculondo los mddulos indicodos, tenemos: V ( X - 1 ) 2 + / = 2V;c2 +

+ 2)2

Elevondo ol c u o d r a d o ombos miembros y reduciendo los terminos semejontes: ( x - l ) 2 + / = 4[x2 + ( j ; + 2)2] x2 - 2x + 1 + / = 4(x2 +f x^-2x+\+f

= 4x^ +

+ 4>; + 4 ) 4y^+l6y+l6

3x2 + 3 / + 2 x + 1 6 ^ + 1 5 = 0 Completondo trinomios: x2 + f x + l ) + 3 ( / + f

3x + l)V3(, + + y 4 >

>^ + f )

20

f 20

Lo cuol representa lo ecuocidn de una circunferencia centrada en O ^ - y , - - j j y cuya longitud del radio es r =

— = —^— "

h i pag. 4 7 1

La grafica de la circunferencia seria:

H

-4

-3

-2

h

-1

2 -1

3

4

-

o, -3

-

-4

-

Ejempio 11.25 Circunferencia y recta tangente. *

Determine la ecuacion de la recto L que es tangente o la curvo

= 25 en el

punto ( 3 , 4 ) . Solucidn: Poro onolizor los datos proporcionados en el p r o b l e m a , procedemos o groficor lo cdnico d o d o y el punto.

y A 6 •5 43 2 -1 -




m = -

Con las coordenadas del punto (3, 4), y la pendiente m = determinar la ecuocidn de L:

procedemos o

v-4 = -|(,v-3) 4 v - 16 = -3.r + 9 Luego, L: 3x + 4v - 25 = 0 Ejempio 11.26 Circunferencia y tridngulo. De acuerdo al bosquejo que se presenta o continuacion, la ecuocidn de la circunferencia es: — lOx + yP- + 2\ 0, siendo AB un segmento tangente y el punto O su centro. Calcule el dreo de lo superficie del tridngulo ^450. y

2-

B

1

A

.0

-1

_0

Solucidn: Trabajamos en primer lugar, con lo ecuocidn de la circunferencia dado, a fin de determinar los coordenadas del punto O y lo longitud r de su radio. Asi: x2{X--

10x +1/2 + 21 = 0 10.Y + 25) + r + 21 - 2 5 = 0

(x-5)2 + v 2 - 4 Luego: 0(5, 0)y r = 2u.

pag. 473

D a d o que el segmento ^ 5 , por ser tangente a la circunferencia, es perpendicular ol radio, el tridngulo ABO

que se forma es rectdngulo con las siguientes longitudes:

B

A

He

A p l i c o n d o el Teorema de Pitdgoras, calculamos lo longitud AB,

iABf

=

{ASf

=

asi:

{5f-(2f 25-4

AB = -sf21 Luego, calculondo el dreo de lo superficie del tridngulo

tenemos:

Ejempio 11.27 Circunferencia y funciones trigonometricos. D o d a lo grdfica que se presenta o continuocidn, determine lo ecuocidn de lo circunferencia mostrodo si se conoce que f{x)

= sen

(x).

1--

O n 4

371

• X

2

-1-

Solucidn: De la grdfica se puede concluir que:

O(j,0

yr = j

Con lo cuol, se puede determinar lo ecuocidn de lo circunferencia solicitada: X —

pag. 474

16

11

Geometria

Analitica

en R'

Ejempio 1 1.28 Inecuaciones con numeros complejos que incluyen u n a d r c u n f e r e i ^ ^

Grofique en el piano complejo lo region determinodo por: 4 — zz > 0. Solucidn: Si consideromos el complejo z = x + > ' / , su c o n j u g a d o i = x - y z ' , y los reemplozomos en lo desiguoldod, tenemos:

4-(x+yi)(x-yi)>0 4 - x 2 - / > 0 De d o n d e : x 2 + / < 4 Esto regidn represento un circulo centrodo en el origen, cuyo rodio mide

2u.

Grdficamente tenemos:

y 2

1+ X

-2

1

-1

2

-1-2

Ejempio 11.29 I

1

Lugores geometricos.

Determine el lugar geometrico de los puntos P{x, y), tales que sus distancias o los puntos ^ ( 8 , 0 ) y B(0, 6) satisfocen lo proporcidn:

= -i-.

Solucidn:

I

PA =

^(x-Sf+y^

PB = ^jx^ +

iy-6f

I r ^1

Por hipdtesis: A/X2-16X + 6 4 + / 3x2 + 3^2 _ x 2 + y _ ^ x

4(x2 - 16x + 64 + / ) = x2 + /

- 12y + 36

_ i

+ i2y + 220 = 0 + 4y+2|0=0

pag. 475

Ya que los coeficientes d e x ^ yy^ son iguales, podria tratarse de una circunferencia donde:

Asf, los elementos de lo circunferencia, estorion dodos p o r :

6

3

20

r =

Lo grdfica de esto circunferencia se muestra o continuacion:

-4-

H

h

10 -2

12

i

1

h

14

16

18

- 1 - ^

20

X

22

•o(f.-2)

-4 -6 -8 -10 --

Ejempio 11.30 Circunferencia y volumen de un sdlido de revolucion. Determine el volumen del sdlido de revolucion que se genera al rotor la regidn limitodo por lo mitod del circulo definido por la inecuacion olrededor de la recto i : J = X + 1.

pag. 476

+3;^ _

_

12 < 0.

n

Geometria

Analitica

en

I

Solucion: A portir de lo inecuacion, tenemos:

x^+y^-4x-6y+l20 , x + 3>2y

A partir del predicado dodo, sombree en el siguiente piano cartesiano, la region que representa el conjunto de verdad Ap(x,y).

43 2 1 1 -4

1 -3

1 -2

1 -1 -1 -2 -3 -4 -

pag. 480

1

2

3

4

Geometria Analitica en M?

11 3)

Califique la siguiente proposicion como verdadera o falsa, justificando su respuesta: "Sean los conjuntos A =

e R V J C ^ + / < 16} y B = entonces A Q B " .

G RV4JC2 + (2^)^ = 3 6 } ,

i 4)

Considere la ecuacion (x-y)(x+y a)

+ 4) = 2 (32 -y^):

Verifique que corresponde a la ecuacion de una circunferencia y determine las coordenadas de su centro O.

f

b)

Obtengo lo ecuacion en forma general de lo recta L tongente a la circunferencia dodo, en el punto P(4, —4).

i

pag. 4 8 1

11.3 Parabola Objetivos Al finaiizar esta seccion el lector podra: •

Obtener la expresion en forma canonica de una parabola.

•

Dado una expresion general cuadratica, determiner si corresponde o no a una parabola.

•

Representor graficamente una parabola y ubicar sus elementos caracteristicos.

•

Relacionar la parabola con otros conceptosmatematicos para el calculo de longitudes y resolucion de sistemas de inecuaciones no lineales.

En el copitulo de Funciones de Variable Real, se presento lo grafica de la funcion / ( x ) = ax^ + bx + c como una parabola, cuyo vertice y eje de simetria pueden obtenerse de la ecuacion en forma canonica d e / Las parabolas estudiadas en ese capitulo tenian eje de simetria vertical; no obstante, la parabola tambien puede tener eje de simetria horizontal, en cuyo caso no representa una funcion dey en x, pero si una relacion entre estas dos variables. En esta seccion se estudiardn las parabolas con ejes de simetria vertical y horizontal de una forma mas amplia, de acuerdo a la definicion que se dard a continuacion. Definicion 11.4 (Parabola) Es el lugar geometrico de todos los puntos P(x,y) en el piano que equidistan de un punto fijo Fo y de una recta fija L. El punto Fq es denominado foco de la parabola; lo recto L es lo directriz de la parabola.

'P{x,r)

Parabola ={P (x,y) G R V d (P, F^) = d(P, L)}

Dodo una parabola, se denomina eje de simetria a la recto que contiene al foco y es perpendicular a la recta directriz. Se denomina vertice de la parabola al punto donde esta combio su monotonia. La distoncio entre el vertice y el foco de una parabola recibe el nombre de parametro de la parabola (suele denotarse porp). El segmento de recto perpendicular al eje de simetria que une dos puntos de la parabola y que incluye al foco, se denomina lado recto y su longitud es 4p. El valor e = ^ = 1, representara lo excentricidad de la parabola y cumple con la condicion: d{P,F)

=

ed(P,L)

Donde P es un punto arbitrario de la parabola, F s u foco, y L representa a la recta directriz.

pag. 482

11

Geometria Analitica en M?

Forma canonica de la ecuacion de una parabola Se supondra que el vertice es e! origen de coordenadas y que el foco se localiza en el semieje positivo de los ordenadas. En este caso, la directriz es una recta horizontal L de ecuacion y = —p, o sea, y+p = 0. Dado un puntoP(x,y) del piano, su distoncio al focoFQ{0,p) es d{P,FQ) = ^x^ + iy-pf

;

mientras que la distoncio del punto P a\a recto directriz es d{P, L) = \y + p\. la condicion para que el punto P pertenezca a la parabola, es que ambas distoncios coincidan:

^x^ + iy-pf

=\y+p\

Elevondo al cuadrado:

x^ + {y-pf x^+f--

=

{y+pf

2py +p^ = y^ + 2py+p^

y? - 2py = 2py Por lo tonto, la ecuacion de esta parabola, con vertice en el origen de coordenadas F ( 0 , 0) y foco en el punto (0,/?), es:

'

= 4py

Con base en la deduccion realizada, existen otros tres casos elementales de parabolas: •

Si el eje de simetria es vertical y el foco estd en el semieje negativo de las ordenadas Fo(0, - / ? ) , la ecuacion es:

•

Si el eje de simetria es horizontal y el foco esta en el semieje positivo de las obscisos FQ(/7, 0), lo ecuacion es: V- =

•

Apx

Si el eje de simetria es horizontal y el foco esta en el semieje negativo de las obscisos FQ(-P,

0), lo ecuacion es:

= - 4px

pag. 483

Si el vertice de una parabola es el punto V(h, k), considere los siguientes modelos: Coordenadas del foco

Recto directriz

Forma canonica

Grafica J

Fo(h,k+p)

L:y =

k-p

ix-hf

=

4p(y-k)

\

m, K)

L:y = k~p

}

Ly=k+p V{h, k)

Foih,k-p)

L:y = k+p

{x-hf

=

-Apiy-k) V' \

\

\

L:x = h-p

Fo(h+p,k)

L:x =

h-p

(y-kf

=

y

4pix-h) V(h,

^

y L:x = h+p

Fo(h-p,k)

L:x = h+p

iy-kf

=

-4p{x-h) ^^Vih,

k) >• X

Se pueden resumir estos casos observando que la variable con termino cuodrdtico determino la direccion del eje de simetria de la parabola, y el signo del termino lineal determino la direccion de la concavidad.

Forma general de la ecuacion de una parabola Una ecuacion de los tipos Ax^ + Dx + Ey + F=Oo By^ + Dx + Ey + F = 0; donde A, B, D, E, F G R y odemds A, E y B, D deben ser diferentes de cero respectivamente, siempre es posible reduciria a la forma canonica de una parabola. Para ello, se completa un trinomio cuadrado perfecto en la variable con termino cuodrdtico y se monipulo adecuadamente el otro miembro de la ecuacion. pag. 484

Geometria Analitica en

n

Ejempio 11.33 Ecuacion de una parabola. Determine lo forma canonica de lo ecuacion de lo parabola 2x-^ + 8x + - 5 = 0. Estoblezco las coordenadas de su vertice y foco, asi como la ecuacion de su recta directriz. Solucion: Puesto que la ecuacion dodo tiene un termino en x^, habrd que tronsformorla en una del tipo (x -hf = ± 4p(y- k). Asi:

2x2 + 8x + 3 ; ; - 5 = 0 2x2 +

^

+5

2(jc2 + 4x) = - 3 j ; + 5

(x2 + 4x) =

3

, 5

x2 + 4x + 4 = -^y 2 3 (x + 2f

+ ~- + 4 2

^ 13

y j + y

(x^2f

=

-^y-f)

Por lo tonto,

V(h,k)=v{-2,f)

yp = l

Se trata de una parabola con eje de simetria vertical y concava hocio abojo. Poro determiner los coordenadas del foco se le resto el parametro p a\a ordenodo del vertice:

^o(~^'T~i)=^o(~^'l?) Puesto que el eje de simetria es vertical, lo recta directriz es horizontal, y su ecuacion se obtiene sumdndole el parametro p ala ordenado del vertice:

y=

13

113 • + -?r 8 "= 24

Con lo cual, lo ecuocidn de lo recto directriz es:

L-y--24-

=o

pag. 485

y

86 -4 --

-4

Ejempio 11.34 Ecuacion de una parabola. Determine los elementos de lo parabola y'^ -4x + 6y+ 13 = 0. Solucion: Se procede como en el caso anterior, teniendo en cuenta que ohoro lo variable que oporece eievodo al cuadrado esy:

y^ + 6y =4x-l3 ( j ; + 3)2 = 4 x - 1 3 + 9 {y + 3)- =

4(x-\)

Se trata de una parabola con vertice en el punto V(l, -3), su parametro esp= 1, el eje de simetria es horizontal y el foco estd localizado a la derecho del vertice. Poro determinor las coordenadas del foco se le suma el parametrop o\a obsciso del vertice:

Foil+ 1,-3) m2, - 3 ) La ecuacion de lo recta directriz se obtiene restdndole el valor del parametrop a \a abscisa del vertice: L:

X

=

1- I = 0

Con lo cual se concluye que la recto directriz es el eje de los ordenadas. y

-2-3 -4-r -5-^

pag. 486

1

1

1

1

!

1

2

3

4

5

> X

11

Geometria Analitica en

Ejempio 11.35 Ecuacion de una parabola.

I

Determine lo ecuocidn de la parabola con eje de simetria horizontal que tiene su vertice en el punto V(2, 2) y que contiene ol punto P{1, 1). Solucion: Dodo que el eje de simetria de lo pordbolo es horizontal y por la ubicacion de los puntos Vy P, lo forma de su ecuacion serd:

(y-kf

=

-4p(x-h)

Reemplazando las coordenadas del vertice, tenemos:

(y-2f

=

-4p(x-2)

Tuesto que el punto ( 1 , 1) pertenece a lo pordbolo, debe sotisfocer su ecuacion:

(l-2f

=

-4pil-2)

De donde:

4p=l

Con base en lo anotodo, lo ecuocidn de lo pordbolo serio:

{y-2f f-4y

= -(x-2) + 4 = -x + 2

/ + x - 4>^ + 2 = 0 , siendo F(2, 2), Fo\j,2)

y

L:x=^

Su grdfica se presenta a continuacion:

42-

1 1 -8

1 1 -6

1

-4

•P

1 -2

I 21

1 1 4

6

-2 .

. J..-

pag. 487

Ejempio 1 1.36 Ecuacion de una pordbolo. Determine las coordenadas del vertice y el foco de la parabola cuya ecuocidn es.

Solucidn: Trabojomos en primer lugar con la ecuocidn dado:

|x2 + x - l = ^

Gompletando el trinomio como cuadrado perfecto: (X2+2JC+ 1 ) -

\-\=-2y

( x + \f = -2y + 2

^x+lf

=

-2{y-\)

Comporondo esto ecuocidn con lo de una pordbolo de lo forma:

{x-hf

=

-Ap{y-k)

Tenemos que: F ( - l , 1)

4p = 2

p= ^

Fn(-ll)

2 •-

-4

-3

-2

-1

- 1 •-

-2--

- 3 --

pag. 488

Geometria Analitica en

11

Ejempio 11.37 Ecuacion de una pordbola. Los extremos del lado recto de una pordbolo son los puntos (5, n) y (—5, n). Si el vertice de esto pordbolo estd en el origen y lo pordbolo es concava hocio abojo, determine lo ecuacion de lo conica.

Solucidn: Por hipdtesis:

n = -p Por definicion del lado recto: |4;7| = ! 5 - ( - 5 ) | 4/?= 10 5

P =

n = -p Entonces la ecuocidn de la pordbolo serio: x^ = -IQy, donde F ( 0 , 0), FQ{Q, L: 7 =

-

y su gronco se presenta o contmuocion:

y

2 -

-6

-4

-3

-2

-1 - 1 -- 2 -- 3 --

pag. 489

Ejempio 11.38 Parabola y recto. Sean los conjuntos referenciales Re^ = Re^ = R , determine la sumo de las obscisos y de las ordenadas de todos los elementos del conjunto de verdad del predicado:

p(x,y): 4x-3y

=4

Solucidn: Se despejo lo variable x de lo primera ecuocidn: ,2

X=

y

Se reemplozo en lo segunda ecuocidn:

4x-3y

=4

4

-3y = 4

{y-4){y

+ \) = Q

( j - 4 = 0 ) v ( > ; + l = 0) (;; = 4 ) v ( j = - l ) (4)' Si V = 4, entonces x = -^-^ - 4 4 (-if 1 Si

=—1, entonces x = —— = —

( 4valores: )^=4(4) Se verificon los

p[4,4):

4(4)-3(4) = 4

(-if

=4

;^(4,4) = i

14/

1 -3(-l) = 4 14/ Entonces,

Pq){x,y)- p = ~

Por condicion del problemo: A: = 4/? = 1

k=l

Anolizondo lo circunferencia, se tiene que: x^ + y^-2x-2y

( x ^ - 2 x + l) + ( / - 2 j + l) = 1

+l= 0

{x-lf+{y-lf

r^lu

Lo situacidn referido se observo en lo siguiente grdfica: y 43-21" —I

-6

1

1

-5

-4

1 -3

1

H-

-2 - 1

pag. 4 9 1

Ejempio 11.40 Parabola y circunferencia. Sean y 5 los puntos de interseccion entre la parabola P : ; ^ ^ + x ~ 4 = 0 y l a circunferencia C : x^ + y - 8x - 4 = 0. Si O es el centro de C, colcule el dreo de la superficie del tridngulo ABO, en u^. Solucidn: ':

/

= -(x-4)

':

(x-4f+/=20 6-543-

1 -H

1

O

h

-8 -7 - 6 -5 -4 -3 -2

1

2

3

4

H

5

6

h

7

8

9

-3-4--5-

Determinando los puntos de interseccion: ( x - 4 f - ( x - 4 ) = 20

u^-u-20

=0

( M - 5 ) ( M + 4) = 0

( w - 5 = 0 ) v ( w + 4 = 0)

(x-4-5 = 0)v(x-4+4-0)

^

(x = 9 ) v ( x = 0) ^

^ =±2

Se descarta el valor x = 9 ya que este genera curvas imoginorios, con lo cuol = ± 2 y los puntos serian A{0, 2), 5 ( 0 , - 2 ) y 0 ( 4 , 0). Una vez locolizados estos puntos, es posible calcular el dreo requerido:

Ejempio 11.41 Sistema de inecuaciones no lineales^ Dodo el siguiente sistema de inecuaciones no lineales, determine su solucidn:

/

pag. 492

/ - 4x > 0 + 4 x - 16 < 0 X > 0 ^

11

Geometria Analitica en

Solucion: Trobojomos con lo primera inecuacion considerandola como ecuocidn, osi:

72 - 4x = 0 Del ondlisis de esto expresion, observamos que se lo puede comparar con lo ecuocidn de una pordbola de lo forma:

{y-kf

=

Ap{x-h)

A partir de los comparaciones realizadas, tenemos:

Luego, trabojomos con la segunda inecuacion considerdndolo tambien como ecuocidn y compordndolo con la pordbola de lo forma (y — kf- = — Ap{x — h), tenemos: /

= -4x+16

y2 = -

4(x - 4)

Por lo tanto, V(4, 0),p - 1 y\a pardbolo serd concava hocio la izquierdo. Se determino la region definido por lo primera desigualdod despejondox: 4x 0, comprenderd todos los puntos del piano locolizados en los cuodrontes I y IV. Con base en el ondlisis reolizodo, procedemos a graficar los regiones referidas para obtener la solucidn del sistema, Asi:

3+1 2+1

1

+J

H

-1

m

-1 +

-2 +

-3 +

-4

Con lo que se puede observar la region comun a los inecuaciones dados, es decir, la solucidn del S.I.N.L. El lector puede confirmor los coordenadas de los puntos P i ( 0 , 4 ) , ^ 2 ( 0 , - 4 ) , ^ 3 (2, 2\A2 ) y P4 (2, -2\[2 \o el respectivo sistema de ecuaciones no lineales.

pag. 494

I

Geometria Analitica en 11.3 Parabola

1)

Autoevaluacion

Escoja la respuesta correcta. Sea a un numero real negativo, conforme \a\, la parabola definido por lo ecuocidn Ay^ + Ay- 3 = x - ( a + 4 ) , experimento un desplozomiento...

2)

a)

... hocio lo derecha

b)

... hocio lo izquierdo

c)

... hocio orribo

d)

... hocio abojo

Determine los coordenadas del vertice de lo pordbola definido por:

x^-2x + ?,y-A = Q

3)

Observe las siguientes grdficos. Explique el tipo de relacion (directa o inversa) que existe entre lo abertura de la pordbolo y el valor del pordmetro p.

y

1 20

X

pag. 495

4)

Determine la ecuacion del lugar geometrico definido por los puntos P(x, y) tales que su distoncio ol punto Q(-3, 1) sea iguol a su distoncio a la recta

L:y+1=0.

Bosqueje el lugar geometrico resultante, si se tiene en este coso, el punto Q(—2, 4 ) y lo recto L : > ' + x + 1 = 0 . y 108 -6 -4 -• 2-1

-14

1

-12

1

-10

1

1

1

-8

-6

-4

H

1

—I

-2

10

12

-2 +

5)

Sombree en el plono cartesiano, lo region R definido como:

R = {(x,y) € R V [ > ' 2 < 4 ( x + 4)] A [ > ; 2 < _ 4(x - 4 ) ] A [ > ; > 0]} y 5-4-3-2-1-—I

-7

1

1

1

1

1

-6

-5

-4

-3

-2

H

h-

-1 -1--

pag. 496

1

1

h

h-

14

11

Geometria Analitica en

11.4 Elipse Objetivos Al finaiizar esta seccion el lector podra: •

Obtener la expresion en forma canonica de una elipse.

•

Dada una expresion general cuodrdtico, determiner si corresponde a una elipse.

•

Representor graficamente una elipse, ubicando sus elementos caracteristicos.

•

Relacionar los elementos de las diferentes cdnicas.

•

Aplicar el concepto de elipse a situociones de la vida cotidiono.

Es el lugar geometrico conformado por todos los puntos en el plono cartesiano, tales que lo sumo de sus distoncios a dos puntos fijos, denominados focos F j y F j , es una constante. Elipse = {P{x, y)eR^/

d{P, F^) + d(P, F^ = constante}

P{x,y)

0{h,k)

lb

la El valor constante al cual se hace referencio en lo definicion es 2a y corresponde a lo longitud del eje mayor de la elipse que es mayor a lo distoncio entre ambos focos 2c. Los valores a y e se denominan semieje mayor y semidistoncio focal, respectivamente. El punto medio entre ambos focos se denomina centro de lo elipse de coordenadas 0{h, k). El segmento de recto perpendicular al eje mayor que contiene ol centro se denomina eje menor de la elipse y su longitud es lb. El valor b se conoce como semieje menor. Los ejes mayor y menor, asi como su prolongacion, son ejes de simetria de la elipse. Se denominan vertices de la elipse a los puntos F j y que se localizon a una distoncio a del centro de lo elipse. Estos puntos pertenecen a lo elipse y geometricamente se puede aprecior que son los puntos mds distantes de su centro. El segmento de recto perpendicular ol eje mayor que une dos puntos de lo elipse y que incluye a uno de los focos, se denomina lado recto y su longitud es

1^ a pag. 497

El valor e = — , representara la excentricidad de la elipse y asf como en el caso de la pordbola, cumple la condicion:

d(F,F)

=

ediP,L)

Donde P es un punto arbitrario de lo elipse, F olguno de los dos focos y L representa o cuolquiero de los rectos directrices de la elipse. En este sentido, es importante onotor que lo excentricidad de una elipse tomo valores entre 0 y 1 ; si este valor se ocerco o 0, la elipse tiende o ser una circunferencia; por otra parte, si este valor se aproxima a 1 , lo elipse tiende o ser un segmento de recta.

e -> 0

e ^

1

Cdlculo de la longitud del eje menor Ubicando un punto P que pertenece a lo elipse y a su eje menor; y, considerondo los focos Fj y , es posible oplicor el Teorema de Pitdgoros, obteniendose:

PF^

=^[h^

Por definicion de elipse:

W^+PF^ V^2T?

= 2a

+ V F T ? = 2fl ^

=> VZ)2 +

=> b =

=a ^

4^^

2VFT? = 2a

b'^ + c^ = a^ =>

=

-

Esta es lo distoncio b que representa lo longitud del semieje menor.

Forma canonica de la ecuacion de una elipse Lo ecuocidn de una elipse centrodo en el origen y con focos en F i ( - c, 0 ) y F2 (c, 0 ) , se puede obtener oplicondo la definicion (1) y utilizando una ecuocidn ouxilior opropiado (11):

d{P, F i ) + d{P, F2) = 2a

V(x

+ cf + (yf + V(x - cf + (yf = 2a

V(x

+ c)2 + (yf -

pag. 498

V(x

- cf + (yf =f

(I) (II)

Geometria Analitica en

11

Multiplicando las expresiones (I) y (II) para obtener / :

(yjix + cf + iyff - (yj(x-cy + (yff = 2af (x2 + 2x0 + c^+f)(x2 - 2x0 + c2 + / ) = 2af x^ + 2xc + +y^ -x^ + 2xc-c^-y^ = 2af Axe = 2af y_

2JCC

a Reemplazando/en (II) y sumondo las expresiones (I) y 2 ^^{x + cf + {yf

=2a +

~

Simplificando y elevondo al cuadrado:

{x+ cf + y^ =

+ 2xc +

a2

xV

x^ + 2xc + c^ + }P-=a^ + 2x0 + fl2 x^ x"

x^c^ —+

f-=a^-c^

C2

- o^\

Resolviendo y dividiendo lo expresidn entre = 1 Reemplazando

.

— (?• por I?-, tenemos:

x2

a

+

/

62

= 1

Ecuacion de una elipse con ejes paralelos a los ejes coordenados Si una elipse tiene sus ejes mayor y menor paralelos a los ejes de coordenadas, y su centro en el punto 0{h, k), se pueden dor los siguientes casos: Eje mayor horizontal:

= 1

pag. 499

Los vertices son los puntos de lo forma {h ± a, k) y los focos son de la forma (h ± c, k) y los rectos directrices, de la forma L'.x = h- — y L.: x = h + Eje mayor vertical:

(y-kf

—.

y

^ (x-hf

= 1

a''

Los vertices son los puntos de la forma (h, k ± a), los focos son de lo forma (h, los rectos directrices, de lo hrma L : y = k + — yL:y

k±c)y

= k- — .

c

c

Forma general de la ecuacion de una elipse Dada una ecuocidn del tipo Ax^ + B}P- + Dx + Ey + F = 0, donde A y B tienen el mismo signo, ademds A, B, D, E, F G R , siendo A del tipo

fc^

+

fc^

62

0, B

0, esta puede transformarse en otra

=± l .

Asi, la condicion necesario poro que lo ecuocidn cuodrdtico represente a una elipse es que los coeficientes yi y B tengon iguol signo, pero de diferente valor. Si el segundo miembro fuese positivo, se tendria una elipse centrada en (h, k). En el caso que resultare negativo, como una sumo de cuadrados es siempre positive, se tendria que ningun punto lo verifico y se hablo de una elipse imoginario. Asi mismo, si el segundo miembro es cero, lo ecuocidn representa un punto de coordenadas (h, k). Ejempio 11.42 Ecuocidn de una elipse. Exprese lo ecuocidn 4x^ + 9y - 8x + 1 By - 23 = 0 en su forma canonica. Si se troto de una elipse, determine su centro, sus focos, sus vertices y los ecuaciones de las rectas directrices. Solucidn: Se ogrupon los terminos en terminos en j :

con los terminos en x , y los terminos en yp- con los

(4x2-8x) + ( 9 / + 1 8 y ) - 2 3 = 0

pag. 500

n

Geometria Analitica en

Se extrae el factor comun, en coda parentesis, dado por el coeficiente del termino? de segundo grado:

4(x2 -2x) + 9 ( / + 2y)-23 = 0 Se completan los trinomios cuadrados perfectos: 4[(x - 1)2 - 1] + 9[(7 + 1)2 - 1] - 23 = 0 4 ( x - l ) 2 + 9 ( j ; + l ) 2 = 36 Se divide entre 36: 4(x-l)2 36

9(>^+l)2 36 "

"

*

(x-l)2 9 +

(y+lf 4 ~

'

Centro de la elipse: 0 ( 1 , - 1 ) ; a = 3 y 6 - 2. Por la forma de la ecuacion, se concluye que se trata de una elipse con eje mayor horizontal; y para determinar las coordenadas de los focos se debera sumar y restar c a la abscisa del centro. Z,2 = a2_^2

^

c2 = a2_^2 = 3 2 _ 2 2 = 5

=>,

c = V5"

Las coordenadas de los focos son: F,(l-V5",-1) F2(l+V5,-l) Las coordenadas de los vertices se obtienen restando y sumondo a la abscisa del centro O el valor de la longitud a del semieje mayor, con lo que se obtiene: F,(-2,-l) J>2(4,-1) Las ecuaciones de las rectos directrices estdn dados por: Li'.x-h--

> Li :x-l-^^^-^

Li :x = -—

pag. 501

Ejempio 11.43 Ecuacion de una elipse. Determine los elementos de la elipse 25x^ + \6yP- - 5Qx + 6Ay - 311 = 0 . Solucion: (25JC2 - 50x) + ( 1 6 / + 647) - 311 = 0 25(x2 - 2x) + 1 6 ( / + 4 y ) - 311 = 0 X2-2X=X2-(2)(1)X + (1)2-(1)2=(X- 1)2- 1 f

+ Ay=f

+ {2){2)y + {2f - (2)2 = ( j + 2 ) 2 - 4

Sustituyendo, la ecuacion es: 25(x - 1)2 - 25 + 16(:t; +2)2 - 64 - 311 = 0 25(x - 1)2 + 16(7 + 2)2 = 25 + 64 + 311 = 400 25(x-l)2 400 Jx-1)^ 400 25

16(y + 2)2 400 0

^

^^-J)^

^ 400 16

16

0 +

25

^ ^

Como el denominador de la segunda fraccion es mayor que el de la primera, a2 = 25 y Z>2 = 16, lo cual significa que la elipse tiene su eje mayor vertical. a^ = 25

a=^

b^=l6

ZJ = V T 6 = 4

Ademdsc2 = 2 5 - 1 6 = 9

=5

=^

c= V9=3.

Los coordenadas del centro son O ( 1 , - 2 ) . Los coordenadas de los vertices son: Fi(l,3) ^2(1,-7)

pag. 502

11

Geometria Analitica en

Las coordenadas de los focos son: F2(h-5) Las ecuaciones de las rectos directrices estdn dados por:

y >

86-

42-

-10

- i\6

-4

-2

: 2

4

6

?

10

12

-2- - . O -4-6c —o -10-

Ejempio 11.44 Ecuacion de una elipse. De ser posible, determine los elementos de la conica cuya ecuacion es: x2 + 3 / - 8 x - 1 2 j + 32 = 0 Solucion: (jc2 - 8x) + ( 3 / - Y2y^ + 32 = 0 (jc2-8x) + 3(y2_4y) + 32 = 0 (x - 4)2 + 3(3; - 2)2 - 16 - 12 + 32 = 0 ( x - 4 ) 2 + 3(>;-2)2 = - 4 Como el miembro de la izquierdo es la suma de numeros positivos y el miembro de la derecho es un numero negative, la ecuacion no tiene solucion y se trata de una elipse imaginaria.

pag. 503

Ejempio 11.45 Ecuacion de una elipse. Los focos de una elipse son los puntos F^{— 4 , 3 ) y FJ^2,3). El perimetro del triangulo cuyos vertices son F^, F^ y un punto de la elipse, es igual a 16 unidades, determine la ecuacion general de la elipse. Solucion: 4F,..F.}---2C

=6^

c= 3

A partir del perimetro del triangulo, se tiene que: d(P, F^) + d{P, F^ + 2c = 16 Por definicion: [2a] + 2 c = . 1 6 - ^ a + c = 8 - ^ a + 3 = 8 - > a = 5 Z,2 = a 2 _ ^ 2 ^ ^ 2 ^ 5 2 _ 3 2 _ ^ ^ 2 ^ 2 5 - 9 - > & 2 ^ 1 6 - > Z ) = 4 Con los datos proporcionados y valores calculodos, graficamos la elipse: V >

8 6 -

0

4-

• I 1

-6

I

1

-5

1

-4

I

!

-3

I

1

-2

I

2 -

) \

\ j

-1

1

1

J 2

1

) 3

1

^

^ 4

1

^

5

-2 -

Ahoro determinomos su ecuacion canonica:

(5f

(4f

25

16

Desarrollamos los productos notables para determinar la ecuacion en su forma general: 16(A- + 1)- + 2 5 ( > ' - 3 f = (25)(16) ^

16(^2 + 2 x + l ) + 2 5 ( / _ 6 v + 9) = 400

16x2 ^T^2x + \6 + 25y^ - 1 5 0 ^ + 225 - 400 -> 16x2 ^ 25y- + 32x - 1 5 0 v - 1 5 9 = 0 Ejempio 11.46 Elipse y recto. Determine lo ecuacion de lo elipse E cuya sumo de distoncias entre un punto perteneciente a ello y los focos F i ( - 1 , - 8 ) y F 2 ( - l , 8) es 20 z/. Luego, calcule la distancia entre el centro de £ ' y lo recto L: lOx + 8 j ~ 80 = 0. Grofique y £ en el piano cartesiono. Solucion: Por definicion de elipse, el valor de 20 w corresponde a 2a, esto es: 2a = 2 0 ^ a = 10

pag. 504

11

Geometria Analitica en R-

El centro de la elipse debe ser el punto medio entre los focos, es decir:

O

- l + (-l)

- 8 + 8^

2

=

2

O{-\,0)

Puesto que lo distancia entre ambos focos es 16, entonces: 2 c = 16 ^

c=8

En la elipse se cumple que: b^= a ^ - ^ b ^ ^ 1 0 0 - 64 = 36 => b=6 La ecuacion en forma canonica de la elipse con eje mayor vertical es: .2

36

100

=1

La distancia entre el centro de la elipse y la recto viene dada por:

d[0, L) =

(lO)(-l) + (8)(0)-80

%(8r

-10-80

90

90

45

VlOO + 64

Vi64

2V4T

V4T

Se pueden observor en un mismo piano cartesiono la recto y la elipse:

10 e0 642- - 8 - 6 - 4 -2^_

/

2

4 6

B 10

-4-6-10-

Ejempio 11.47 Elipse y circunferencia. Una eiipse concentrica con una circunferencia tiene por eje menor el diametro de dicha circunferencia, siendo la medido de su eje mayor que es poralelo al e j e X , 6 M. Si la ecuacion de la circunferencia e s x ^ - ' ^ x - 6y+ 2\, determine la ecuacion de la elipse y las coordenadas de sus vertices y focos. Solucion: Trabajamos en primer lugar con lo ecuacion de la circunferencia dada:

x2 + y 2 - 8 x - 6 y + 21 = 0

pag. 505

Completando los trinomios cuadrados perfectos:

(x2 -8x+ 16) + (j2 _ fy, + 9) = 25 - 21 (x - 4)2 + (_y - 3)2 = 4 A partir de esta ecuacion, se tiene que:

0(4,3); r = 2 u De acuerdo a los datos del problemo, la ecuacion de lo elipse solicitado forma: ^

(x-/z)2

(y-kf

Donde: 2a = 6 a = 3 (semieje mayor de la elipse). d=2r = 4 = 2b => 6 = 2 (semieje menor de lo elipse). Luego, lo ecuacion de lo elipse requerida es: (x-4)2 ^ ( v - 3 ) 2 _ = 1 9 4 A partir de esta ecuacion, se obtiene:

c- = a^-b^ ^ c2 = 9 - 4 ^

b^ = a^-c'V,(l,3)

FI(4-A/5,3)

F2(7,3)

F2(4 + V5',3)

c =V5

Llevando la ecuacion a lo forma general: 4(x - 4)2 + 9(y - 3)2 = 36

4(x2 - 8x + 16) + 9(y2 - 6v + 9) = 36 4x2 _ + 64 + 9 / - 54;; + 81 = 36 4x2 + 9 / - 32x - 54>; + 109 = 0 Lo situacion referida se presenta a continuacion:

6-5-4-3-

o

•X

pag. 506

Geometria Analitico en Ejempio 11.48 Eiipses. La elipse E^, que es concentrica con E2. 9x^ + 4)p-- 18x + Sj^ - 23 = 0, tiene por vertices ¥^{-4, - l ) y ^2(6, - 1 ) . Si lo longitud de su lado recto es 2m, determine lo ecuacion en forma canonica de £",. Bosqueje los grdficas de ambos eiipses en el piano cortesiono. Solucion: Se completan los trinomios cuadrados perfectos para determinar el centro de elipse E2: 9 x ' - 1 8 x + 4 / + 8 j ; = 23 9 ( x ' - 2 x + l ) + 4 ( / + 2 7 + 1) = 23 + 9 + 4

9 ( x - l ) ' + 4 ( j ; + l ) ' =36

(3f (2f 02{l-l),h2=\,k2 = -\,a = 3,b = 2,c = ^Ja^-b^=^{3f-{2f Se concluye que el eje mayor de la elipse E2 es vertical, por lo tanto: Y sus vertices y focos estdn situodos en:

r

V{h,k±a) F{h,k±c)

F(l,-1±3)

K{l-4)

f(i,-1±V5)

= Vs

V,{1,2)

F , ( i , - 1 - V 5 ) F,[\-\ S\

Como io elipse E-^ es concentrica con E2, entonces (92 =

c = 2y[5

pag. 507

La ecuacion de lo elipse Ey en su forma canonica es:

...

E - ( ^ . i l ^ . ^

' 25 5 La representocion grafica de ombas eiipses se muestra a continuacion:

21 --

-A

-3

-2

1

-1

2

-2--3--4

Ejempio 11.49 Aplicacion de elipse. En la figure adjunta se muestra una pista de correro lo cuol tiene una forma eliptico.: Despreciondo el espacio por donde el otleto corre y considerondo el bosquejo que se presenta a continuacion, determine el ancho de lo pisto a 10 metros de un extremo de lo misma.

50 m

•

100 m

^

Solucion: Graficomos lo pisto de correra con los condiciones dados en el plono cartesiano y escribimos su ecuacion en forma canonica:

pag. 508

n

Geometria Anolitico en

y 30-2010--

-+-

-+-

-50 -40 -30 -20

-+-10 -10

10

20

30

40

50

-+-

60

2h

-20 10

-30

a

b

(50f

(25)^

2500

625

Luego, determinamos la altura h cuando la obscisa es 40: (40f

ihf

2500

625

,

1600 2500

9 625

625

,

25

Por lo tanto, el ancho de lo pista o 10 metros de un extremo es de 30 metros.

Ejempio 11.50 Aplicacion de elipse. Los plonetos del sistema solar giron oirededor del sol a troves de orbitos en forma de eiipses, donde el Sol esto ubicodo en uno de los focos. Lo distancia medio de un ploneta ol Sol es to longitud del semieje mayor de lo orbito eliptico. Por otro parte, el Perihelio de un ploneta es su distancia menor ol Sol y el Afelio su distancia mayor, tal como se indica en el bosquejo. Si el Perihelio y el Afelio de Venus miden 107473 862 km y 108943 989 km respectivamente, calcule la distancia media de Venus ol Sol. Determine odemas una ecuacion que describo la orbita de Venus alrededor del Sol.

pag. 509

Afelio

Perihelio

Centro

O Sol

Solucion: Se observo que ol sumor el Afelio con el Perihelio de Venus se obtiene io longitud del eje moyor de la elipse: 2 f l = 107473 862 + 108 943 989 2a = 2 1 6 4 1 7 8 5 1 a= 108208 925.5 Atw Luego, lo distancia medio de Venus ol Sol es 108208925.5 km. Por otro parte, lo distancia c del centro de la orbita ol Sol, esta dodo por: c = Afelio-a

c = 108 943 989 - 108 208 925.5

->

c = 735063.5 km

Determinando el valor de b: b^ = a^-c^

/ r = (108208 9 2 5 . 5 ) 2 - ( 7 3 5 063.5)2

Z)« 108206428.83 Finalmente, una buena aproximacion de lo ecuacion canonica que describe el movimiento de Venus, es:

(108208 925.50)2

pag. 510

(108206428.83)2

1

n

Geometria Analitico en

11.4 Elipse Autoevaluacion 1)

Determine la ecuacion en forma general de lo elipse E groficoda a continuacion:

I 2)

J

Justificando su respuesta, califique la siguiente proposicion como verdodero o falsa: "Lo ecuacion de todo elipse con eje mayor paralelo a uno de los ejes coordenados puede ser definida, conociendo unicomente las coordenadas de sus vertices y uno de sus focos". r

pag. 511

3)

Se tienen los puntos y4(-7, 9), B{-1, -3) y lo recto L: 3y - 59 = 0. Considere lo elipse que cumplen con la c o n d i c i 6 n y l P + P 5 = 20.

definida por el conjunto de puntos

Si odemos L es una de sus rectas directrices, determine lo rozon t =

4)

•

Dodos R e ^ = R e ^ = R , se definen los siguientes predicados de dos variables:

P{^^y)-^

+ ^^^^

^i^^y)-

Y^25-^'

r{x,yy.\y\ 2a (por tonto c > a] y se puede considerar b = ^cp--d^. Este valor se denomina longitud del semieje conjugado de la hiperbola. El segmento de recta perpendicular al eje transverso, que une dos puntos de la hiperbola y que incluye a uno de los focos, se denomina lado recto y su longitud es

. El valor

representara lo excentricidad de lo hiperbola y asf como en el caso de lo parabola

e=

y elipse, cumple la condicion:

d{P,F) = ed{P,L) Donde P es un punto cualquiera que pertenezca a la hiperbola, F uno de los dos focos, y L cado una de las rectas directrices de lo hiperbola. En este sentido, es importonte anotor que lo excentricidad de una hiperbola tomo valores mayores que 1. Al igual que en la elipse, se consideraran en primer lugar las hiperbolas centradas en el origen de coordenadas y con focos en el eje de abscises.

Forma canonica de la ecuacion de una hiperbola Lo ecuacion de una hiperbola centrada en el origen y con focos en F\- c, 0) y F2 (c, 0), se puede obtener aplicando la definicion (I) y utilizando una ecuacion ouxilior apropiodo (II): \d{P, F,) - d{P, F2)\ 2a (se supondrd que d{P, F,) > d{P, F^))

]](x + cf + iyf -^|ix-cf

+ (yf =2a (I)

V(x + c)2 + (yf + V(x - cf + (yf =f

(II)

Multiplicondo las expresiones (I) y (II) poro obtener/: (V(x + cf + {yf

y - (V(x - cf + (yf J = 2af

(x^+2xc + c^ + / ) - ( x ^ - 2JCC + c^ + / ) = 2af x^+2xc + c^ +f-x^+2xc

-c^-f^2af

4xc = 2af f=

2xc a

Reemplazondo/en (II) y sumondo las expresiones (I) y (II):

2i{x + cf + {yf ^2a + 2xc_ a Simplificondo y elevando ol cuodrodo: (x + cf +f = a^ + 2xc +

pag. 514

11 Geometria Analitico en C2

x^ + 2xc + c^+/ = a^ + 2xc + — 2

L a"

-1

Resolviendo y dividiendo lo expresion por

Reemplazondo

—

- c?\

por b^, tenemos:

b^

Ecuacion de una hiperbola con ejes paralelos a los ejes coordenados Si una hiperbola tiene sus ejes transverso y conjugado paralelos o los ejes de coordenadas, y su centro en el punto 0(h, k), se pueden dar los siguientes cosos: •

Eje transverso horizontal:

—

,

b^

= \

O

Los vertices son los puntos de la forma {h ± a, k), y los focos son de la forma {h ± c, k) y las rectas directrices, de lo forma L:x

= h-~

y L. : x- h + —.

c

^

c

pag. 515

bje transverso vertical: ——^-^ a'

Li

—= 1

•0

Los vertices son los puntos de la forma (h, k±a),y y las rectas directrices, de la forma Li:y-k

+—

los focos son de la forma (h, k + c) y L2:y-k

c

.

c

En ambos cosos, los focos estan locolizodos en lo interseccion de lo circunferencia centrada en 0{h, k) y de longitud c de radio, con la prolongocion del eje transverso de lo hiperbola. Asintqigs Q

de una

hiperbola

Para el coso de una hiperbola con eje transverso horizontal, cuyo centro es el origen de coordenadas, la ecuacion se obtendrd de lo siguiente monero:

Despejandoj en la ecuacion:

b^

y=±

bx^ a

1- X« 21 2

Cuando x —> - oo o cuando x —> + co, el termino -p- se aproxima o cero, de modo que la expresion radical se aproxima a uno.

pag. 516

11

Geometria Analitica en

La grafica de la hiperbola se aproxima a las asfntotas oblicuas, cuyas ecuaciones son:

b

b

y= — X

A

v=

X

Para el caso de una hiperbola con eje transverso vertical, cuyo centro es el origen de coordenadas, lo ecuacion serfo:

Realizondo un procedimiento olgebroico similar, esto hiperbola tiene dos asfntotas oblicuas, cuyos ecuaciones son:

Si el centro de la hiperbola es 0(h, k), considere:

Eje transverso horizontal Las asfntotas oblicuas tienen las ecuaciones:

,{y-Jc)^^(x-h)

A (y-k) =

-^{x-h)

Eje transverso vertical Los osintotas oblicuas tienen las ecuaciones:

iy-k)

= f(x~h)

A

(j-J:) =

- f

Dos hiperbolas que tienen el mismo conjunto de asfntotas son denominadas conjugadas, como es el caso de los hiperbolas x^ -y^ = \ y^ — x^ = I.

Rectdngulo auxiliar Los dimensiones de este rectdngulo son 2a y 2b; geometricomente, las diagonoles de esta figuro plana formon parte de los asfntotas oblicuas o los cuoles se ho hecho referenda. El area de la superficie de este rectdngulo es 4ab unidades cuodrodas. Las hiperbolas cuyo rectdngulo ouxilior es un cuodrodo, es decir, que tienen iguoles longitudes de sus semiejes, se denominan hiperbolas equildteras.

pag. 517

Forma general de la ecuacion de una hiperbola Dada una ecuacidn del tipoAx^+ B/+ Dx +Ey +F =0, A,B,D, esta puede transtormarse en otra del tipo - ^ ^ — —

E, FE

R;Ai^O,B:^0,

= 1 o ———-^^—ri^=

1,

la cuol represento lo ecuacion de una hiperbola con eje transverso horizontal o vertical, respectivamente. Asi, la condicion necesorio para que lo ecuacion cuadrdtica represente o una hiperbola, es que los coeficientes^ y B tengon signos diferentes. Ejempio 11.51 Ecuacion de una hiperbola. A partir de la forma canonica de lo ecuacion de lo hiperbola:

x^-y^ + 2x + 4y- 12 = 0 determine su centro, vertices, focos, asfntotas y los ecuaciones de sus rectas directrices. Luego, grofique lo conico y sus elementos. Solucion: (jc2 + 2 x ) - ( / - 4 j ; ) - 12 = 0 (jc + 1)2 - 1 -

- 2)2 + 4 - 12 = 0

(x+l)2-(y-2)2=l-4+12 = 9 (x+l)2 9

(j;-2)2 9

Se troto de una hiperbola con el eje transverso horizontal, con centro en 0(-l, 2) y longitud de sus semiejes a = 3, b = 3. Los vertices son los puntos F j ( - 4, 2) y ¥2(2, 2). La semidistoncio focal es c = 4^^'+^ = VTs" = 3\f2 . Los focos son F^i-l - 3 V2, 2) y F j C - l + 3 ^2, 2). Pora determinar los osintotas oblicuas se igualo a cero el miembro izquierdo de la ecuacion en forma canonica, obteniendose:

x+\ y-2 x+1=-y+2

y=x+ 3 J =

1- X

Los ecuaciones de las rectas directrices estdn dados por:

L{.x=h-

1 ->

Z,,: x = - 1

^3)2

—

Lr.x =

-2-3V2"

3V2 Ly.x = h +

pag. 518

->

Z,:x = - 1 +

(3)2

3V2

L',:x =

- 2 + 3V2

11 Geometria Analitica en Su grafica serfa: y

A

O -10

\

-i

:

h-

-6

10

-4 ! - 2 -2-

Ejempio 11.52 Ecuacion de una hiperbolo. A partir de lo forma canonica de lo ecuacion de lo hiperbola:

H

4x2 -

9/ -

8x + 367 + 4 = 0

determine su centro, vertices, focos, osintotas y las ecuaciones de sus rectas directrices. Solucion: Se asocian los terminos que tengan lo mismo incognita y se extroen como foctores comunes, los coeficientes de los terminos cuodrdticos:

(4x2 4(x2 -

4=0 4>') + 4 = 0

8x) - ( 9 / - 36^) + 2x) - 9 ( / -

Se completan los trinomios cuodrodos perfectos en x e^^:

4(x - 1)2 - 4 - 9(>; - 2)2 + 36 +

4= 0

Se divide entre 36 y luego se multiplico toda lo expresion por - 1 poro obtener lo forma canonica de lo ecuacion de la hiperbola:

4(x-l)2

9(3^-2)2

36

36

(x-1)^

(3;-2)2

36

36

~

^

(j;-2)2 "

4

(x-l)2 9

pag. 519

Se trata de una hiperbola con el eje transverso vertical, con centro en 0 ( 1 , 2) y sus semiejes son a = y[A = 2 y b = 49 = 3. Los vertices son los puntos ( 1 , 2 ± 2 ) , es decir, F ] ( l , 4 ) y Vjil, 0). Lo semidistoncio focal es c = Va^ +

= VTs".

Los focos son los p u n t o s , 2 + V d ) y F^il, 2 - A / B ) . Asfntotas:

=>y-2 =

y-2^^{x-\)

±^{x-\y.

y-2

=

-^{x-\)

Los ecuaciones de las rectas directrices estdn dados por:

Li:y = k + c

> L^: y ^ 2 + ~=

,2

L2'.y — k Su grafica serfo:

>

(if 7~ 2 —

1-2•

26 + 4>/l3

L^: y =

13

26-WB

r —

->^2: J =

13

y

k

8-6--

4--

2\ O -6

-4

2

-

1

6

H

X

-2--4--

Ejempio 11.53 Ecuacion de una hiperbola. Determine lo ecuacion en forma canonica y en forma general de lo hiperbola con centro en el punto 0{-2, 3) si uno de sus focos es el punto F i ( l , 3) y su excentricidad es iguol a Solucion: Ya que lo distancia entre el centro O de la hiperbola y uno de sus focos es el porametro c, se deduce que: c = l - ( - 2 ) =1+2 = 3

pag. 520

n

Geometria Analitica en

La excentricidad puede expresarse en terminos de c y a, esto es, e = — => a = — .

a

3 3 Como tambien se indica que e = — , entonces a =

e

=> a = 2.

Los porametros a, by c estdn relocionodos osi en lo hiperbola: b^= c^ —

.

Entonces:

b^ = {3f-

(2)2=9-4=5

Como el centro O y el foco estdn en el eje transverso de lo hiperbola, el cuol es horizontal en este coso, su ecuacion canonica tiene lo forma:

H

a

^.(x+2r

{y-3f

^

5

4

Lo ecuacion en formo general se obtiene desorrollando lo expresion previa:

5{x + 2f-4{y-3f^^

5(.2+4x + 4 ) - 4 ( / - 6 ; . + 9) = 20

^

5x2 ^ 20x + 20 - 4:>;^ + 24>; H:

36 - 20 = 0

5x2-4j2+20x + 2 4 j - 3 6 = 0

Si se deseo, se puede dibujar la hiperbola onolizoda: y 7--

54-

o •

321 -

—I

-7

1

1

1

-6

-5

-4

1

1

1—

-3 -2 - 1

1

2

3

pag. 5 2 1

Ejempio 11.54 Ecuacion de una hiperbola. Determine las ecuaciones de los osintotas de una hiperbola que tiene como focos a los puntos ( 1 , 3) y F2 (7, 3) y como vertices o los puntos Vi (2, 3) y V2 (6, 3). Solucion: A partir de los coordenadas de focos y vertices, se concluye que se trato de una hiperbola con eje transverso horizontal y centro 0 ( 4 , 3), punto que equidisto de vertices y focos. Con la longitud del semieje transverso (a = 2) y lo distancia semifocol (c = 3), se puede obtener lo longitud del semieje conjugado:

P = c'-c^ =

(3f-{2f=5

Con lo cuol, lo ecuacion de lo hiperbola es: (x-4r

{y-3f

^

5

4

Al groficar la conica, con lo oyudo del rectdngulo ouxilior, es posible ubicor los puntos Pi,P2y O poro osi determinar las ecuaciones de los osintotas requeridas, tol como se muestra o continuacion: y 876-

•

54-

• 0 •

3 211 1

-2 - 1 -1

1 ] 2 3

1 1 1 1 4 5 6 7 S?

9

-2-

Considerondo los puntos respectivos paro los ecuociones de los asfntotas, es posible obtener coda una de ellos:

3 + V5-3

y-3 = V

y-3 =

pag. 522

2-4

(x-4)

(x-4)

y-3 =

y-3 =

3 + ^/5-3 (x-4) 6-4 v2.

(x-4)

23;-6 = - V 5 x + 4V5

2>;-6 = 7 5 x - 4 V 5

45x +

V5X-27+6-4V5 = 0

ly-6-A45=Q

n

Geometria Analitica en

Ejempio 11.55 Circunferencia e hiperbola. Los vertices de la hiperbola 9x^ — 6y^ — 12x + 2Ay + 66 = 0 son los extremos de uno de los didmetros de una circunferencia. Determine los coordenadas de los focos y vertices de lo hiperbola, osi como lo ecuacion de lo circunferencia que cumple lo condicion dodo. Solucidn: Anolizomos lo ecuacidn de la hiperbola, o fin de obtener lo informocion necesorio:

9x2 _ _ + 2 4 j + 66 = 0 9(x2-8x+ 1 6 ) - 6 ( / - 4 j ; + 4) = - 6 6 + 9(x - 4)2 - 6{y - 2)2 = 54 (x-4)2 6

(3;-2)2

9

144-24

~^

De donde se obtiene que:

b^ = 9

^

b= 3

C^ = b^ +

c2 = 6 + 9

fl2

c2=15 c = VT5 A partir del centro de la hiperbola 0 ( 4 , 2 ) , cuyo eje transverso es paralelo ol e j e X , se obtienen las coordenadas de sus focos y vertices: Fi(4-Vl5,2)

F2(4 + VT5,2)

r,(4-V6,2)

1^2(4 + A / 6 , 2)

Lo distoncio entre Vi y V2 es iguol o lo longitud del didmetro de lo circunferencia solicitoda: d(Vu V2) = V ( 4 - A / 6 - 4 - V 6 y + ( 2 - 2 ) ' d(Vi, V2) = A / 2 4 = 2 A / 6

Luego, lo longitud del radio es r = 46 u.

pag. 523

El centro de lo circunferencio coincide con el de lo hiperbola, es decir, el punto 0 ( 4 , 2). Entonces, sus ecuaciones en forma canonica y general son:

x^-%x+\6+f-Ay

+A=6

x^+f-%x-Ay+U

=Q

Sus grdficas serion los siguientes: y 5 -4 --

O

1 -1

2

H—•

h

--

Ejemplo 11.56 Parabola e hiperbola. El vertice de la parabola P:y = - 4x^ + 8x - 6 es el centro de la hiperbola H. Si se conoce que un vertice de lo hiperbola es el punto (3, —2) y que su excentricidad es 3/2, determine lo ecuacidn de H. Solucidn: A partir de la ecuacion de lo pardbolo, obtendremos los coordenadas de su vertice que serd el centro de lo hiperbola:

y=

-4{x^-2x)-6

j ; = -4(x2-2x + l ) - 6 + 4 j = _4(jc-

1)2-2

>' + 2 = - 4 ( x - 1)2

( x - l ) 2 = - i ( > ; + 2) Siendo osi, el vertice de lo pardbolo es el punto V(l, - 2 ) , el cual tambien serd el centro de lo hiperbola, concluyendose que se trato de una hiperbola con eje transverso horizontal cuyo ecuacidn es de lo forma:

pag. 524

11 Geometria Analitica en

a

A partir de las coordenadas del centro y conociendo uno de los vertices, lo distancia del centro a los vertices es: a = 2. Luego, considerondo como referencia lo excentricidad dodo, determinamos lo distoncio semifocal: c 3 - = >c = 3

a

2

Con los valores obtenidos, colculoremos la longitud del semieje conjugado:

b^ = c^-a^ = 9-4 = 5

b=45

Finalmente, se obtiene lo ecuocion de lo hiperbolo solicitoda osi como la grdfico correspondiente:

^^jx-lf

{y + 2f

4

H

1

1-

-5 - 4 - 3 - 2 - 1 -1 -2

^

5

—I

1

o

1—H

1

1

2

4

5 6

3

H-

-3 -4 -5 -6

Ejempio 11.57 Elipse e hiperbola.

I

Dado la hiperbola 3x^ — — 12x — 2 j + 8 = 0, determine l o ecuacion de una elipse, tol que sus focos son los vertices de lo hiperbola y sus vertices son los focos de lo hiperbola. Solucion: De la ecuacidn de lo hiperbola y completando trinomios cuadrados perfectos, se tiene: 3(x2 - 4x + 4) -

+ 23^ + 1) + 8 - 12 + 1 = 0

pag. 525

3(x-2f-iy+\f

=

-S+n-\

3 ( x - 2 ) 2 - ( _ > ; + 1)2 = 3 (x-2)2 1

jy+lf 3 " ^

Luego: a= l , 6 = V T y c = 2 Por hipotesis: '^Hiperbola ~ ^Elipse ~ 2 ^Hiperbola = '^Elipse = 1 Luego, en lo elipse: Z)2 = ^2 - c2 = 4 - 1 = 3 y su ecuacion seri'a: ii.

(x-2)2 4 +

jy+lf 3 -1

Llevondo o lo forma general esto ecuocion, tenemos: 3 ( x 2 - 4 x + 4 ) + 4 ( / + 2>'+ 1 ) = 12 3x2 + 4 / - 12x+8>' + 4 = 0 a=2

b = ^f3

c=l

0(2,-l)

Fi(0,-1)

Fi(l,-1)

F2(3,-l)

F2(4,-l)

La grafica de la elipse serfo: y

21 --

H

1

2

h

o - 2 -3--4-

pag. 526

3

H 4

»-x

n

Geometria Analitica en

Ejempio 11.58 Lugares geometricos. Determine lo ecuocion del lugor geometrico del conjunto de puntos en el plono, • toles que su distoncio ol punto ( - 1 , 2) seo el doble de lo distoncio o lo recto

L:x-2

= 0. 5

P(x,y) 4 ? -2 1+

-3

-2

"Solucion: Determinomos lo distoncio de los puntos del plono P{x, y) ol punto P(-l, 2) y o recto x = 2, poro luego iguolorlos con lo condicion dodo: V(x+l)2 + (j;-2)2 =2|2-jc| = 2 | x - 2 | Elevondo ol cuodrodo ombos miembros y reduciendo terminos semejontes:

(x+\f + iy-2f

= 4(x-2y

x^ + 2x+l+y^-4y

+ 4 = 4(x^ - 4x + 4 )

x^ + 2x + 1 + y^ - 4y + 4 = 4x^ - I6x + 16 3x^-\Sx-/

+

4y+n=0

Completondo trinomios cuodrodos perfectos y onolizondo esto ecuacion, tenemos: 3 ( x 2 - 6 x + 9 ) - ( / - 4 3 ; + 4 ) + 11 - 2 7 + 4 = 0

3(x-3)2-(j;-2)2=12

(x-3f

iy-2f 12

= 1

Con lo que se puede concluir que esta ecuacion represento una hiperbola cuyo eje transverso es horizontal y que tiene los siguientes corocterfsticas: 0 ( 3 , 2)

a^ = 4

a= 2

h'^=\2

b = ^/T2=2^fJ

pag. 527

Fi(l,2)

V2(5,2)

Fi(-1,2)

F2(7,2)

La siguiente grafica resume las caracteristicas anotadas:

y 86 • 4-

0

2

-2

—

-1

1

1

3

4

5

6

7

8

X

i

-2 • -4 -

Ejempio 1 1.59 Lugares geometricos. Determine lo ecuacion del lugor geometrico de los puntos del piano, tales que el valor absoluto de lo diferencio de las distoncias o los puntos P i ( 2 , 2) y Pzi^O, 2) es 6. Solucidn: De lo informocion proporcionada, se puede deducir que este lugar geometrico corresponde o una hiperbola. Los puntos y P 2 seri'on sus focos, por lo tanto su centro es 0(6, 2) y su eje transverso es horizontal. PP,-PP2=6

^

a= 3

2a = 6

c = OP^ = 0P^ = 4 ^2 = 3 ^ 2 - a 2 = 1 6 - 9 = 7

^

Z> = V 7

Lo ecuacion de la hiperbola seria: (^-6)2

9

pag. 528

{y-2f_

1

^

11 Geometria Analitica en Sus vertices y focos son: F,(3,2)

f^2(9,2)

F,(2,2)

F.(l(),2)

Lo grofico de este lugor geometrico se presento o continuacion: 8765432

0

11

-1-1-

1

2

:

1

[_

1

^

C

^

f-7

1

O

)

10

11

12

13

-2-3-

Ejempio 11.60 Aplicacion de hiperbola. Un borco novego siguiendo la troyectoria hiperbolico que se indica en lo figura adjunta. Una estocidn de guardacostas en M s e encuentra situodo 400 millas ol este de una estacion N. El borco navega 100 millos ol norte del segmento de recto que une My N. Desde ombos estaciones se envion serioles de radio simultdneamente o una velocidod de 290000 millos por segundo. Si lo serial envioda desde M l l e g a ol borco 0.0015 antes que la envioda desde A^y considerondo o A / y A ^ focos de lo hiperbola, determine lo posicidn del borco.

borco

M Estocidn

Estacion

pag. 529

Llamaremos t^, y a los tiempos que tordon en llegor ol borco los serioles enviodos desde M y N respectivomente, mientros que denotoremos como y a los distoncios y P{x. 100), ol punto que define lo posicion del borco.

V(x,

m)

Dm

M

TV (200,0)

(-200,0)

A partir de lo anterior, se tiene: D^=(290000)(^^) ' D^ = {290000){tf^) =

Dm-Dn

"

290000

(290 000) (0.001) = 190 millas

Como en la hiperbola se cumple que d[P,Fx)-d{P,F2) d{PA)-d{P,F2)

la = 290

Dm

= 2a , entonces: a = 145

Por otro parte, lo distoncio focal estd dodo por: 2c = 400

c = 200

Luego: b^=c^-a^= {200f - (145)^ = 40 000 - 21025 = 18975 La ecuacidn canonica de la hiperbola es:

y = 1

^

y' 21025

18975

= 1

Yo que lo ordenodo del punto P en el que se localizo el borco esy = 100, lo obscisa x se obtiene como: x2

(100)'

21025

18975

= l-^x = -

\

21025 1 +

10000

24367975

18975

759

Por lo tonto, lo posicidn del barco estd dodo por el punto de coordenados: 24367975 759

pag. 530

,100

^^(-179.18,100)

11

Geometria Anolitico enR^

11.5 Hiperbola

1)

Sean los puntos en el plono cartesiano A {yfJ, -j y B ^fS- ^

Autoevaluacion

determine la ecuacidn

de lo hiperbola H que tiene por lodo recto ol segmento ^ 5 y cuyo centro es el origen de coordenadas.

2)

Determine los ecuaciones de los osintotas oblicuas de lo funcidn de variable real:

pag. 531

Calcule el area de la superficie de la elipse inscrita en la circunferencia C: si se conoce que los focos de la elipse son los vertices de la hiperbola H:

+7^ = 25, = 16(>^ + 1).

Considere que el dreo de la superficie eliptico, en terminos de las longitudes ay b de sus semiejes, estd dado pom ab u^.

La ecuacion x^ —

= 4 represento una hiperbola equilatero. Bosqueje su grdfico y

determine los coordenadas de sus focos cuando giro 45° en sentido ontihororio.

532

Respuesta al desafio Si la persona que se encuentra en el punto A dispora, el sonido que se genera producto de lo detonocidn se propago por medio de ondos hosto llegor ol individuo locolizodo en el punto P, en t segundos. Mientras esto ocurre, lo bolo ho recorrido una distoncio de 2c unidades en tx segundos e impocto en el bianco produciendose el sonido respectivo, que es escuchodo en el punto P, segundos mds tarde.

Pix,y)

Colculondo los distoncias y sobiendo que distancia = {velocidad) {tiempo):

d{A,P) = ut = ^{x + cf + y' d{A,B) = vt,=2c^

2c t,=—;d{B,P)

=

ut,=,j{x-c)

Considerondo que el tiempo total t es lo sumo de los tiempos 2c_^V(x-c)

u{t^ + t2) = ^{x + c)

2

u

+y

y ^2'

2 = \[X

\

2

: + c) +y

Plonteondo una ecuacidn ouxilior:

f^^{x

+

cf+/+^{x-cy+y^

Multiplicondo las ecuaciones (I) y (II): 2CM/

^{x + cf+y']

2xv

-(^/(^

,x>0

Sustituyendo fy sumondo las ecuaciones (I) y (II

2cM

2xv

_ Fi-

^2

7

fcu^xv^'^ u

:+

cf+/

Simplificondo la expresion anterior se tiene lo ecuacion requerido, lo mismo que solo es vdlido si lo ubicocion del sargento corresponde o olgun punto en el piano cuya absciso es positive, segun lo imogen mostrada. Note que el lugor geometrico que se describe es el de una hiperbola sujeto o la restriccidn indicodo.

y u'c'

= 1; x>uc

pag. 533

11.1 Puntos y rectos

1)

•

•

•

•

Califique cada una de las siguientes proposiciones como verdoderos o folsos. En coso de ser verdoderos, demuestrelas; y en coso de ser folsos, justifique su respuesta con un contraejemplo. a) b) c)

El vector (a, b) es paralelo o lo recto definida por lo ecuacion ax + by + c = 0. El vector (2a, 2b) es perpendicular o lo recta cuyo ecuacidn es ax + by + c = 0. Si se tienen los rectas Li'. A^x + B i y + C i = 0 y L2. A2X + Bjy + C2 = 0, tales que n L2 = 0 , entonces poro olgun k real se cumple que A^ = kA2, B,=

d)

kB2 y

Qi^kC2.

Si L es una recto cuyo ecuacion es y = kx + b, entonces la pendiente de lo recto

L es k. e)

2)

Dodo lo ecuacidn que define o lo recto Z: 3x + 2 ^ - 5 = 0, entonces es verdod que: o) b) c) d) e)

3)

L tiene pendiente 3/2. L interseca al eje F e n el punto (0, - 5 ) . L es perpendicular o lo recto 2x - 37 - 15 = 0. L es paralelo o lo recto 3x - 2;; + 5 = 0. El punto (3, 2) e L .

Si una recto tiene como su punto mds cercano ol origen a P i ( l , 3) entonces, una de los siguientes proposiciones es folso, identifiquelo. a) b) c) d) e)

4)

S\ = {(x, y) I X = Xq + at A y = yQ + bt A t E^'K), entonces W es una recto paralelo al vector (a, b) que contiene ol punto (XQ, J O ) .

La pendiente de lo recto es -1/3. Un vector normal o Z es n = ( l , 3). El puntoP(2, 3 ) e L . La ecuacidn de L e s x + 3_y - 10 = 0. Lo distoncio de lo recto ol origen es iguol o VIO.

Sean los puntos P i ( 8 , y) y P2 (0, - 6): o) b) c) d) e)

pag. 534

Si lo distoncio entre P i y P2 es de 10 w, determine los valores posibles d e j ^ e R . Determine las coordenadas de los puntos medios Mentre P j y P2. Escriba los ecuaciones en forma simetrico y en forma general de los posibles rectas L que contengon o los puntos P j y P2. Grafique los posibles rectas Z en el plono cartesiano. Escriba los ecuaciones en forma general de las rectas que son perpendiculores a los rectas L y que contienen ol punto P3 (— 3, 1).

11 Geometria Analitica en R' 5)

Determine la distancia y las coordenadas del punto medio entre los siguientes pares de puntos: a)

( 1 , 2)

( - 2 , 3)

b)

(0, 3)

(1,5)

c)

( - 2 , - 1 ),

(-3,4)

d)

(2,4)

(3,4)

e)

( - 4 , 6)

( - 7 , 6)

f)

(a, 1)

(2a, \);ae

g)

(5a, 2a)

(a, 3a) iae

6)

Determine lo forma general de lo ecuacidn de una recta si se conoce que contiene ol punto ( 1 , 3 ) y su pendiente es 9.

7)

Determine lo ecuacidn de una recto que contiene el punto (0, 6) y es: o) b) c) d)

8)

Paralelo ol eje X. Paralelo ol eje Y. Paralelo o lo recto 3x-2y = 6. Perpendicular o lo recto —2x + 7 — 1 = 0 .

Poro los siguientes literales, determine los ecuaciones de los rectas con coda una de los condiciones dodos. Grofiquelos en el piano cartesiano, usondo etiquetas cloros. Contiene al punto P ( 7 , - 1 ) y es perpendicular al vector V = b)

Contiene ol punto P ( l , 4) y es perpendicular ol vector V = l

c)

Contiene ol punto P ( 7 , - 1 ) y es paralelo al vector V =

d)

Contiene al punto P ( l , 4) y es paralelo al vector V = | ^ j -

13 j ^

^ j-

Contiene los puntos P ( 3 , - 2 ) y Q(4, 4 ) . 9)

El grdfico odjunto represento a una recto cuyo ecuacidn es: a)

y = 6x+2

b)

y = -3x+6

c)

y = 2x+6

d)

y = 6x-3

e)

y = 4x+6

pag. 535

10) Calcule la distancia entre la rectaZ: 3 x - 4 y + 1 2 = 0 y el p u n t o P ( 4 , - 1 ) . 11) Calcule lo distancia entre los rectos: 3x - 4^ = 1 y 3x - 4^ = 10. 12) La recto Z j es paralelo o lo recto Z2 que se muestra en la figura odjunto. Si lo distancia desde Z i ol origen de coordenadas es VTO unidades, determine su ecuacidn.

13) Demuestre onoliticomente que los puntos P(12, 1), Q(—3, - 2 ) y R{2, —1) son colineoles. 14) Calcule los coordenadas del punto medio y los puntos de triseccidn del segmento cuyos extremos son los puntos ( - 2 , 2) y (4, 10). 15) En el tridngulo cuyos vertices son (xi,7i); del boricentro son:

X1+X2+X3

3

(x2,>'2)

y ( X 3 , > ' 3 ) , demuestre que los coordenadas

7l+>^2+J^3

'

3

16) hloce 6 ofios usted compro una caso por $59000 y este ono fue ovoluodo en $95000. Suponiendo que el valor de lo coso estd relocionado lineolmente con el tiempo, determine cudI de las siguientes expresiones relociono el valor3; de la coso en ddlares para cualquier tiempo t en onos despues de la fecho de compro: a)

7 = 6 0 0 0 ^ + 59000

b)

7 = 6 0 0 0 ^ - 59000

c)

7 = 5 0 0 0 ^ - 59000

d)

7 = 5 9 0 0 ^ + 59000

17) Una moquinario agricola, cuyo valor iniciol era de $80 000, se deprecio en forma lineal sobre su tiempo de vido util de 10 ofios. Al final de los 10 arios, el equipo tiene un valor de $2 000. Exprese el valor7 de la moquinario en ddlares ($) como una funcidn del tiempo X en oiios. x = 3+f x = -l-2?i 18) El punto de interseccion de las rectas \ / e R y •< . es:

Yy = \-t

o) ( 5 , - 1 )

b) ( 2 , - 4 )

c) ( - 2 , - 4 )

[7 = 2 +A

d)

(5,-4)

19) Si R e = C ypjz): | z - /| = | z + I j , entonces A / » ( z ) es lo recto: a)

Z : X - 27 = 0

b)

Z : X + 27 = 0

c)

Z:2x+7 = 0

d)

Z:x-7 = 0

e)

Z:x+7 = 0

pag. 536

e)

(5,1)

Geometria Analitica en 20) Sean ABC y BCD dos tridngulos equildteros en el plono complejo que comporten un lodo. Dos rectas que contienen o D intersecon a los segmentosyiCy^P en los puntos M y N, respectivamente. Determine el punto de interseccion entre los rectas Li y L2, si se conoce que Li contiene a Ny D, mientras que L2 contiene o A, My C. 11.2 Circunferencia 21) Lo ecuacidn o) b) c) d) e)

+

•

•

•

•

•

- 4x + 6y - 3 = 0 represento en el piano:

Un punto con coordenadas (2, - 3 ) . Una circunferencia con centro en ( - 2 , 3) y radio 2. Una circunferencia con centro en (2, - 3 ) y radio 16. Una circunferencia con centro en (2, - 3 ) y radio 4. Un conjunto vacio.

22) Dodos dos circunferencios cuyos ecuaciones estdn dodos porx^ + y^- 2x + 6y + 9 = 0 y x^ +y^- 4x- 4y +4 = 0, entonces es verdod que: a) b) c) d) e)

Lo distancia minima entre ellas es 1. Lo distancia que sepora los puntos mds lejanos entre ombos conicas es V26 + 5. Los dos circunferencios son tongentes ol eje Y. El didmetro de una de ellos tiene longitud 1. Las dos circunferencios son tongentes entre si.

23) De ocuerdo o lo posicidn de lo recto 2x-y + 3 = 0 respecto de la circunferencia cuyo ecuacidn estd dado por x^ + y^ - 3x - 4y + 3 = 0, se puede ofirmar que: o) b) c) d)

La recto es seconte a la circunferencia. Lo recto es tongente o lo circunferencia. Lo recta es externa o lo circunferencia. Lo distoncio entre el centro de lo circunferencia y lo recta es V3^ unidades.

24) Determine lo ecuacidn de la circunferencia cuyo centro es el punto (4, 1) y que es tongente o lo recto L: 2x — 3y= 15. 25) Paro los siguientes literales reolice lo requerido y verifique sus resultados con el opoyo de un software groficodor: o)

Determine lo ecuacion de lo circunferencia C , en forma canonica, que es concentrica con lo curvo C^: x^ + y^ - 6x + 2y - 6 = 0 y que odemds contiene el punto P ( - 3 , 4).

b)

Determine lo ecuacidn en forma condnico de lo circunferencia que tiene el centro en el punto 0(3, 1) y es tongente o lo recta Z: 3x - 4 ^ + 5 = 0.

c)

Determine lo forma general de lo ecuacidn de lo circunferencia circunscrito ol tridngulo cuyos vertices son: ^ ( 0 , 0), B(3, 1), C ( 5 , 7).

d)

Determine lo ecuacidn en forma condnico de la circunferencia que contiene los puntos A(2, 1) y B(-2, 3), y cuyo centro pertenece o lo recto Z : jc + _y + 4 = 0. pag. 537

e)

Dadas dos circunferencios concentricos Q y C2, de las cuoles se conoce la ecuacidn de la primero circunferencia Q : y^- 2x+ 4y+ 4 = 0 y si ademds se sobe que CjBS tongente a lo recto L: 2x- y + 1 = 0, determine lo ecuacidn en forma condnico de C2.

f)

Determine las ecuaciones de las rectas que contienen ol punto P ( l l , 4) y son tongentes o lo circunferencia C : x^+ y^- Sx- 6y = 0.

g)

Determine lo ecuacidn de lo circunferencia C cuyo centro es el punto de interseccion de las rectas L^: x - y = I y Lj. 2x + 3 j = 22 y que ademds es tongente o la recto L^: 3x + 4y = 16. Determine tambien una recto L4 paralelo a Z3 que seo tongente o la circunferencia mencionodo.

h)

Determine lo ecuacidn de lo circunferencia C cuyo centro pertenece o la recto Li'. 6x + 7y — 16 = 0, si se conoce ademds, que es tongente a cado una de los rectas Z2: 8x + 15;; + 7 = 0 y Z3: 3x - 4_y - 18 = 0.

26) Lo menor distoncio, en unidades, entre la circunferencia C: (x + If + (y - Vf = 4 y la recto L : 3x - 4^ - 8 = 0, es: a) b) c) d) e)

1.00 1.25 1.50 1.75 3.00

27) Calcule lo menor distancia, en unidades, que fiay entre lo recto L : 3x - 2 j - 6 = 0 y lo circunferencia cuya ecuacidn es C: x^ + y^ - 6y + 3 = 0. 28) Determine lo ecuocion de lo circunferencia mostrodo en lo figura y calcule el dreo, en unidades cuodrodos, del circulo mostrodo. y

29) Seo lo funcidn de variable real cuyo reglo de correspondencio es: 2,

0C 1

.

^

1

1

1

1

1

1

-w

1^ 2 3 4 5 6

-2-3-

37) Poro los siguientes literales, reolice lo indicodo: o)

Determine los ecuaciones, en su forma general, de los pordbolos con vertice en el origen, si se conoce que lo distoncio entre su foco y su recto directriz es iguol o 1.

b)

Determine lo ecuacidn general de lo pardbolo con vertice en P(—2, 3) si lo ecuacidn de su recto directriz e s x = 1.

c)

Determine lo ecuacidn en forma general del lugor geometrico descrito por un punto que se mueve en el plono cartesiano de tol monero que su distoncio ol origen de coordenadas es iguol o su distoncio o lo recto L: y = —2.

d)

El centro de lo circunferencia C : +y^-2x -2y + 1 = 0 es el foco de lo pardbolo P. Determine lo ecuacidn de P, en forma condnico, si su recta directriz tiene por ecuacidn L: 2x - 3 = 0.

e)

El centro de lo circunferencia x 2 + y + 4 x - 87+ 18 = 0 es el foco de una pardbolo cuyo recto directriz es el eje X. Determine lo ecuacidn en forma general de lo pardbola.

38) La ecuacidn general de una circunferencia C q u e es tongente a los ejes coordenados y adicionalmente contiene ol vertice de lo pardbolo P: y^ — 4y — 4x + S = 0, es: a) b) c) d) e)

x'+/x'+fx'+fx^+fx'+f-

2x- 2y+\ 0 2x- 2y-\ 0 2x- 2y + 4 =0 2x- 2y-4 = 0 2x- •2y + 2 =0

39) Determine lo ecuacidn de lo pardbola cuyo vertice y foco son los mostrados en lo figura. n Foco

pag. 540

11

Geometria Analitica en

40) Determine la ecuacion en forma canonica de lo parabola P.

41) Un segmento se denomina foco! cuando une dos puntos de una pardbolo y o lo vez contiene o su foco. Demuestre que lo ecuacidn del lugar geometrico de los puntos medios de todos los segmentos focoles de lo pardbolo = 4px, estd dodo

pory^=2p(x-p). 42) En el eje de una pardbolo considere dos puntos fijos que equidistan del foco. Demuestre que lo diferencio de los cuodrodos de los distoncias desde estos puntos o cualquier recto tongente o lo pardbola, es constante. 11.4 Elipse 43) Determine lo ecuacidn en forma condnico de lo elipse que contiene el punto P(2, 1), cuyo eje menor mide 4 unidades y cuyo centro es el origen de coordenadas. 44) Determine lo ecuacidn en forma canonica de lo elipse cuyos vertices son los puntos Fi(0, 2 ) , ¥2(4, 2) y cuyo eje menor tiene una longitud de 2 unidades. 45) Lo distoncio focal de una elipse es iguol o 4 unidades y su centro es el origen de coordenadas. Si un punto de lo elipse disto de sus focos 2 y 6 unidades respectivamente, determine la ecuacidn en forma condnico de dicho elipse. 46) Determine lo ecuacidn, en forma canonica, de lo elipse centrada en el origen que contiene a los puntos: 4~3 4i

1,

vQ

42,

47) Determine las coordenadas del punto medio de lo cuerdo formodo con los puntos comunes entre la elipse E: x^ + 2y^ = 3 y lo recto L:x + 2y - \= 0. 48) Determine lo ecuacidn condnico de una elipse centrodo en el origen, cuyo distoncio focal mide 8V6 unidades, si se conoce que el dreo de lo superficie del rectdngulo circunscrito a la elipse es iguol o 80 unidades cuodrodos. pag. 5 4 1

49) Sean a, Z? G R A a>b>0,\as coordenadas de los p u n t o s d e los eiipses Ei.

+

-

y E2. b^+

a)

A = [{x,y)

I \xy\ a + b

b)

B = {(X,>')/(|^| = « ) A ( | > ' | =

c)

C = \{x,y)

y

X

=

interseccion entre

b^ estdn dados por:

Z.)}

ab ^a'+b'

1

50) Determine lo ecuacidn de lo elipse E que es concentrica con lo circunferencia C: x^+y^ — 2x + 4y + 1 = 0, si se conoce ademds que E es tongente ol eje Y; y, que uno de los vertices coincide con el vertice de la pardbolo = (x - 1)^+ 1. 51)

Determine la ecuacidn de lo elipse mostrodo en lo figura. >

g(x) = 2cos(^^x

1

f{x)

= sen

/

\

52) Si el centro de lo elipse mostrodo coincide con el vertice de lo pardbolo; y ademds, uno de los focos de la elipse con el foco de lo pardbola, determine lo ecuacidn condnico de la pardbola P. y

{x-if

, (v-2)2

53) Determine la forma general de la ecuacidn del lugor geometrico descrito por los puntos del plono cuya sumo de distoncias o los puntos ^ ( 0 , 1) y 5 ( 0 , - 1 ) es 4 u.

pag.

542

11 Geometria Anolitico en 11.5 Hiperbola

•

•

•

• •

54) Indique bajo que condiciones lo ecuacidn Ax^ + By^ + Dx + Ey + F=0 represento una hiperbola. 55) La ecuacidn 2x^ -y^+4x - 6y + 10 = 0 represento: o)

Un conjunto vocio.

b)

Una elipse con centro en 0(-\, 3).

c)

Una circunferencia cuyo radio mide 1 unidod.

d)

Una pardbola con recto directriz horizontal.

e)

Una hiperbola con centro en 0(-l, - 3 ) .

56) Si los osintotas de una hiperbola H tienen por ecuaciones L^: 2x + 3y + I = 0 y L2. 2x - 3>' - 5 = 0, su centro es el punto 0 ( 1 , - 1 ) . o)

Verdodero

b)

Falso

57) Una hiperbola tiene como focos o los puntos ( 3 , 3) y F2 ( 3 , - 5 ) ; y, como vertices a los puntos ( 3 , 1) y V2 ( 3 , - 3 ) . Luego, la ecuacion de una de los asfntotas de esto hiperbola es: x - 43 y - V3 - 3 = 0. o)

Verdodero

b)

Folso

58) La ecuacidn 3x2 _ 4 ^ ^ \6y - 18 = 0 represento: o)

Una elipse con centro en (0, —2).

b) c)

Una hiperbola con centro en (0, 2). Ningun lugor geometrico real.

d) e)

Un punto en el plono. Una pardbola con vertice en el punto

2J.

59) El conjunto de puntos del plono, tales que su distoncio ol punto ( 1 , 1) es el doble de su distoncio ol eje X, corresponde a: a)

Una elipse con centro en el punto ( 1 , 1).

b)

Una elipse cuyo eje mayor tiene una longitud de 4 unidades.

c)

Una pardbolo cuya recto directriz es j = 1.

d)

Una circunferencia cuyo radio mide 2 unidades.

e)

Una hiperbola con centro en el punto ^ 1 , - y ) -

60) Califique lo siguiente proposicidn como verdodero o falsa, justificando su respuesta: "El lugor geometrico conformodo por el conjunto de pur\\o% P{x,y), tales que su distoncio ol eje X e s el triple de su distancia ol punto P{2, - 1 ) , represento una hiperbola".

pag. 543

61) Determine la ecuacion general que describen los puntos en el piano, tales que su distancia al punto (2, 1) es iguol ol doble de lo distancia a la recta L: y + I = 0. 62) Grafique los siguientes hiperbolas, determinando los coordenadas de sus focos, las coordenadas del centro, la longitud del lodo recto, sus rectas directrices; y, osintotas. Compruebe su respuesta utilizando un software groficodor. / - X 2 =

a b)

1

x2=4/+16

z

I. 12

16

\

'

e) ^'

16

4

9

fe±l)l_(Zzi_i 16

"

63) Se tiene una circunferencia C : x2 + 3^+ 2x + 6_y + 6 = 0, de lo cual se conoce que su punto mds distante del e j e X e s el centro de lo hiperbolo i f que ademds comporte un vertice con lo elipse E:

9y^- Sx + 90y + 232 = 0. Si uno de los vertices de H es

el vertice mds cercano ol eje 7 d e lo elipse referida; y, un punto perteneciente a H es P{2, 0 ) , determine: o) b)

Las ecuaciones de C y £ en forma canonica. La ecuacidn de H en forma general.

c)

Las ecuaciones de los asfntotas oblicuas de H.

64) Determine lo ecuacidn del lugar geometrico de los puntos P del plono, tales que su distoncio ol punto A(l, 0 ) , es el triple de su distoncio a lo recto x = 2.

pag. 544

La fuente parabolica Se tienen tres puntos A, B, C, los cuoles se locolizon en uno de los pordbolos que se observon en lo fuente. Los tongentes o lo pardbolo en esos puntos formon un tridngulo AdNP ol intersecorse. Por otro parte, una recto paralelo ol eje de simetria contiene o 5 e interseca ol segmento

en (g.

4p Si se considero que lo funcidn m(y) = ^ — genera los valores de los pendientes de los rectas tongentes en cualquier punto de lo pardbolo: o) Demuestre que el cuadrildtero QMNP es un porolelogromo. b) Muestre que lo circunferencia circunscrito ol AMNP contiene ol foco F de la pardbolo. c)

Suponiendo que Q pertenece a dicho circunferencia, demuestre que lo recto directriz contiene o N.

d) Determine el lugor geometrico de los puntos Q, si AC vario de tal forma que contiene o Fy es perpendicular ol segmento BF.

Como

dato curioso,

la ciudod

de Guayaquil

cuenta con la Fuente

Monumental de Aguas Danzantes desde el 2011, un atractivo turistico que compiementa el Malecon

del Salado.

La pileta tiene 64

vertidores

que elevan el agua hasta 20 metros que permiten sobre una pantalla de agua a manera de cine, proyectar videos, ondulaciones y otras figures. Por la noche es un espectaculo

de chorros de agua de diversos

colores

danzando al compas de la musica y en sincronia con imagenes de la ciudad.

pag. 545

El enigma analitico Considere los puntos^4(0, 4/3), B(-l, 0) y C ( l , 0). Lo distoncio desde un punto P o lo recto que contiene ol segmento EC es lo medio geometrico de los distoncios desde ese punto o los rectos que contienen o los segmentos ^ 5 y AC, respectivomente. Conociendo estos ontecedentes: a)

Determine la ecuacidn del lugor geometrico que describe P.

b) Si una recto L contiene ol incentro del tridngulo ABC y se tienen exoctamente tres puntos en comun con el lugor geometrico de P, determine todos los posibles valores de ia pendiente k de lo recto L.

pag. 546

FCNM

Facultad de Ciencias Naturales y Matematicas

12

Estadistica y

Probabilidades

Los registros perdidos C o m o parte de la c o m p o n a "Ecuador Listo y Solidario", un grupo de 55 estudiantes se proponen preparar y vender dulces para donor lo recaudado a las victimas del terremoto acaecido en el Ecuador, el 16 abril de 2 0 1 6 . A efectos de llevar un control de las ventas, se registra la cantidad de dulces que c o d a estudionte vendio, identificandose que la mediana de la cantidad de dulces vendidos fue 28 y el rango de los datos, 15. Desafortunadamente, al momento de hacer cuentos, se perdieron los registros, aseverando uno de los estudiantes que el habia vendido 50 dulces. Respecto a esta ofirmacion y utilizando sus conocimientos de Estadistico, gconsidero usted que esto es posible?

4r-

Si no puede resolver este desafio, busque la solucion en lo pagina correspondiente del presente capftulo.

pag. 547

Introduccion

C u a n d o vemos una tabIa o un grafico referente a finanzas, pronosticos de ventas, preferencias televisivas, solud publico, comportamiento de consumidores, entre otros, acude a nuestro mente el termino estadistica. Se trota de una ciencia ton ontiguo como la motematico, que por su utilidod, es transversal o otras ciencias, brindandoles un soporte fundamental. En la historia de lo Estadistica tenemos tres etopos bien identificodos. Lo primero etapo correspondio o los censos, a troves de los cuoles se llevo un control de la poblacion y las riquezas existentes en un reino o pais. En una segunda instancia, lo corriente denominodo Aritmetico Politico fomento el onalisis de lo informacion numerica en relacion a lo economia, demogrofio y odministrocion de un Estado, frente o las descripciones cuolitotivas vigentes hasta esa fecho. El calculo de probabilidades ha f o r m a d o parte del tercer periodo, el cual no esta limitodo a los juegos de ozor, pues incluye el estudio de amplios fenomenos socioles y politicos, sin dejor de destacor lo simbiosis existente con las ciencias de la vido. A continuocion presentamos circunstoncios en los cuoles podemos notar lo utilidod de esta ciencia: •

Lo investigocion de mercado, con un buen soporte estadistico, es prioritorio

para

conocer

que tan

probable es que el posicionomiento de un producto nuevo tengo el exito esperodo. •

A una compoiiio osegurodora le intereso conocer los datos correspondientes a robos, occidentes y enfermedodes de una determinada region o pais, con el fin de asignar un precio o d e c u o d o a sus polizos.

•

Poro los industries es muy importante tener un control de sus procesos productivos, obteniendo muestras representotivos

que

permiton

tomor

medidos

preventivos o correctivos, de tol forma que se logre lo mejor colidad posible de sus productos. •

La prenso deportiva requiere que los resultodos de una discipline

como el futbol esten

debidemente

ectuelizedos, pore identificer el equipo mos goleedor, el premedio de goles por pertido, el jugedor que

^

he hecho mos osistencies de g o l , el erquero que he etejado mas penoles, y demos. Puesto que la Estadistica es lo ciencia que recolecta dotes, los o r g e n i z e , los anolizo y permite reelizer inferencios respecto e los mismos, es evidente que le epiicecion del conocimiento relecionedo con le Estedistice nos permitiro tomer decisiones recioneles o lo lergo de nuestros vides.

pag. 548

12

Estadistica y Probabilidades

12.1 Metodos y conceptos Objetivos Al finalizar esta seccion el lector podra: •

Explicor el rol de lo Estadistica en la sociedad y su oplicocion en el analisis de datos.

•

Distinguir entre Estadistica Descriptiva y Estadistica Inferencial.

•

Conocer los diferentes metodos de recoleccion de datos.

•

Identificor los errores mas comunes cuando se obtiene informacion basada en el analisis estadistico de datos.

•

Definir los terminos estadisticos, tipos de variables y escolas de medicion frecuentemente empleados.

Desde sus inicios, la Estadistico fio permonecido ligado ol Estado. El termino aleman

Statistik

hoce referencio o ello cuando Gottfried Achenwall introdujo ol analisis del Estado como un temo eminentemente estadistico. El concepto de censo, que en nuestro pais lo plonifico y ejecuta el Institute N o c i o n o l d e Estadistico y Censos (INEC), esta bosodo en el conteo d e los habitantes de nuestro pais con la finalidad de medir sus caracteristicas fundamentales. Las estadisticos provenientes d e un censo son muy importantes poro lo planificacion y el desarrollo d e un pais.

Figuro 12.1 Censo del ono 2 0 1 0 en Ecuador.

Algunos confunden comunmente los terminos osociodos con la Estadistica, d e b i d o a que esto palabra etimologicamente tiene tres significados: se uso poro referirse a la informacion estadistica; tombien se utiliza poro hocerolusion ol c o n j u n t o d e t e c n i c o s y metodos empleados en el analisis de lo informacion estadistica; y finolmente, el termino estadistico, en singular y masculino, se refiere a una medida colculodo a partir d e los datos d e una muestra.

pag. 549

Pero la Estadistica no solomente se encuentro al servicio del Estado, pues las diferentes organizaciones y personas la requieren poro entender con mayor facilidad la informacion cuantitotivo que se genera en su ambito de occion. En el estudio de la Estadistica se o b o r d a n dos grondes romos: la Estadistica Descriptiva y lo Estadistica Inferencial. Lo Estadfstica Descriptiva consiste en la presentocion de datos en forma de tablas y graficos. Esto comprende cuolquier octividad relacionodo con los datos y esta diseiiada para resumir o describir los mismos sin factores pertinentes odicionoles; esto es, sin intentor inferir resultodos que vayon mds alia de los dotos como tales. Los metodos estadfsticos que tradicionalmente se utilizan poro propositos descriptivos, sirven para o r g a n i z o r y resumir datos numericos. Lo Estadfstica Descriptiva trota de lo tobulocion de datos, su presentocion en forma grafico o ilustrativa y el calculo de medidas descriptivos. Estos tecnicos estadfsticos se aplicon de manera omplio en control de c a l i d a d , contabilidod, mercodotecnia, estudios de mercado, analisis deportivos, odministrocion de instituciones, educacion, polftica, medicina, y por aquellas personos que intervienen en lo tomo de decisiones. La Estadistica I n f e r e n c i a l se derivo de muestras, que son subconjuntos de una poblacion con alguno caracterfstica de interes. A partir de los observociones hechos a una parte de un conjunto numeroso de elementos, se infiere ocerco de los caracteristicas que posee la poblacion. Esto implico que su onalisis requiere de generolizociones que von mds olid de los datos muestrales. C o m o consecuencia, lo caracteristico mds importante del reciente ouge de la Estadfstica fio sido un combio en el enfosis de los metodos que sirven poro hacer generolizociones. La Estadfstica Inferencial investiga o onolizo una poblacion partiendo de una muestra t o m o d o . El m e t o d o estadistico es el conjunto de los procedimientos que se utilizan para medir los caracteristicas de los dotos, poro resumir sus volores i n d i v i d u a l s y poro anolizorlos, a fin de extroerles el maximo de informacion. Este metodo contemplo las siguientes etopos: 1)

Definicion del problemo.

2)

Recopilocion de los dotos existentes.

3)

Clasificocion y control de calidad de los datos.

4)

Codificacion y digitocion (en el coso que fuere necesario).

5)

Interpretocion y analisis.

6)

Presentocion.

pag. 550

12

Estadistica y Probabilidades

U n a de las actividades mas importantes en la Estadistica tiene que ver con la recoleccion de datos; por esc, se d e b e suponer que y a se los tiene o que se los ha obtenido a traves de simulacion. Puesto que los datos son los insumos principales para realizar los respectivos analisis, a continuacion se describen algunos metodos para recopilar datos.

Definicion 12.1 (Observacion) I

Esta tecnica

consiste- en

observar,

acumular

o

interpreter

las

octuaciones,

i

comportamientos y hechos de las personas u objetos, tal y c o m o los realizan

I

habitualmente.

^

La observacion es la tecnica mas antigua y una de las mds e m p l e a d a s en investigacion. En el acto de observacion se pueden distinguir: el observador, el objeto de observacion, los medios para observar, las condiciones de la observacion; y, el sistema de conocimientos relacionados con la finalidad de las observaciones y las interpretaciones que resulten de ellas.

Figura 12.2 O b s e r v a c i o n .

Definicion 12.2 (Cuestionario) Esta tecnica consiste en la e l a b o r a c i o n de una serie de preguntas o proposiciones i

redactadas en forma coherente y con una secuenciacion a d e c u a d a , en conjunto

I

con otras indicaciones necesarias, cuyo proposito es el de obtener datos relevantes

I

de los informantes.

pag. 551

Los cuestionorios pueden ser disenodos poro oplicorlos en investigociones estcdi'sticcs tales como censos o encuestas; en los primeros se investiga de forma exhoustiva a los informontes de la p o b l a c i o n , mientras que, en las segundos, solo a una parte de ello.

Figuro 12.3 Cuestionario,

Definicion 12.3 (Entrevista) Esta tecnica consiste en un d i a l o g o que se estoblece entre personas, pora lo cuol se debe articular una serie de preguntos con el fin de obtener informacion sobre el entrevistodo. En esencio, se trota de un d i a l o g o formal entre dos o mas personas.

Lo entrevista es personalizada y hoy una serie de factores a tomor en consideracion antes de proceder con su aplicocion, tales como: concertacion de la fecho y hora, establecimiento de los objetivos de lo entrevista, eleccion del tipo de preguntos y lo orientacion que se le vo 0 dar a la mismo.

Figuro 12.4 Entrevista. Definicion 12.4 (Simulacion) Esto tecnica consiste en lo generocion de datos en forma manual o por computodora. Poro esto ultimo se necesito de olgun oplicotivo informdtico o software que permito reolizor esto octividad.

pag. 552

12

Estadistica y Probabilidades

El sentido literal de lo polabro simulocion consiste en representor, fingir o octuor. Poro la ciencia, lo industrio o lo educacion tiene una connotocion similar, yo que se intento reproducir un proceso real con ciertas condiciones de prueba. Desarrollar una simulacion requiere en ciertas ocasiones de conocimientos mds complejos. Tombien es evidente que controlar los condiciones experimentoles poro un modelo de simulacion es mds sencillo que en un sistema real.

snr."

- J

M

mmammd

Figuro 12.5 Softv/ore de simulacion. Sin e m b a r g o , luego de tener los dotos recolectados, debe estar cloro para el lector que estos dotos necesiton ser orgonizados poro anolizorlos e interpretorlos. Errores estadisticos c o m u n e s . Existe lo posibilidod de cometer errores ol momento de recopilor los dotos que serdn procesodos, osi como durante el computo de los mismos. N o obstante, hoy otros errores que no tienen que ver con lo digitocion y no son tan fdciles de identificor. Algunos de estos errores son: •

Sesgo: H a y que ser completomente objetivo y no tener ideas preconcebidos ontes de comenzar a estudiar un problemo, evitondo que puedan influir en lo recopilocion y en ei onalisis de lo informacion. Se dice que hay un sesgo cuando el individuo d o mayor peso o los dotos que o p o y a n su opinion, que a oquellos que la contradicen. Un coso extremo de sesgo serfa lo situacion d o n d e primero se tomo una decision y despues se utiliza el onalisis estadistico pora justificor la decision yo t o m a d o .

•

Datos

no

comparables:

Establecer comporociones es una de los partes mds

importantes del onalisis estadistico, pero es extremadomente importante que tales comporociones se hogon entre datos que se presten o ello. •

Proyeccion d e s c u i d a d a d e t e n d e n c i a s : Lo proyeccion simplista de tendencios pasodos hocio el futuro, es uno de los errores que mds ho desocreditodo el uso del onalisis estadistico. H o y que tener en cuento que cualquier estadfstica que se reolice

pag. 553

es una fotografia instantanea, por lo cuol deben emplearse los historicos de otros estadfsticos previomente reolizodas antes de emitir cualquier resultodo concluyente sobre el fenomeno o hecho que se esto estudiondo.

y

J

1

•

1

2

1

3

i

4

[

5

1

6

7

X

M u e s t r e o incorrecto: En lo moyorfo de los estudios, lo informacion disponible es ton extensa que se hoce necesario inferir o partir de muestras, poro derivor conclusiones ocerco de lo poblacion o lo que pertenece lo muestra. Si lo muestra se selecciono correctamente, tendro basicomente los mismos propiedodes que lo poblocion de la cuol fue extrofdo; pero si el muestreo se reolizo incorrectomente, entonces puede suceder que los resultodos no seon representotivos de lo reolidod poblacional.

C o b e onotor que en este libro nos limitaremos o trotor lo Estodistico Descriptiva, pora lo cual definiremos algunos conceptos bdsicos osociodos o esto romo.

Conceptos bdsicos Ente: Cuolquier elemento que oporte informacion sobre lo caracterfstica que se estudio. Asf, si estudiamos lo estoturo de los nifios en un aula, c o d a nifio es un ente; si estudiomos el precio de los departomentos en un complejo habitocionol, c o d a deportamento es un ente.

I

Figuro 12.6 Ente.

Poblacion: Conjunto o coleccion de los entes de interes. C o d a ente presento corocterfsticos determinodos, observobles y medibles; por ejempio, en el elemento persono: nombre, e d o d , genero, peso, nocionalidod, etc. Por lo tonto, lo Estadistica se preocupo de estudior los caracteristicas de los elementos constituyentes de lo p o b l o c i o n , de onolizor su comportamiento e identificor posibles relaciones entre ellos.

pag. 554

12

Estadistica y Probabilidades

la poblacion se puede closificor, segun su tomoiio, en dos tipos: •

Poblacion f i n i t a : El numero de elementos es finito. Por ejempio: lo contidod de olumnos de uno escuelo o lo contidod de estudiontes en una universidod que tienen hosto 25 onos de e d a d .

•

Poblacion i n f i n i t a : El numero de elementos es infinite o ton grande que puede considerorse en contidod infinita. Por ejempio: los estrellos de lo via Idcteo o los resultodos posibles hosto obtener un 6 en el lonzomiento de un d o d o .

M u e s t r a : Lo moyoria de los estudios estadisticos, no se reolizon sobre lo poblacion por los oltos costos en tiempo y dinero, sino sobre un subconjunto o una parte de ello denominodo muestra, partiendo del supuesto de que este subconjunto presento los mismos caracteristicas de lo poblocion. Por ejempio, de una poblacion conformodo por "cuorento estudiontes de un curso de Motemdticos", se toma una muestra de quince de ellos para medir su estatura. V a r i a b l e : Es una caracterfstica que se osocia a los elementos de una muestra o p o b l a c i o n . Tiene lo propiedad de poder ser medida u observodo. Su expresion numerico es el d a t o . Los variables se pueden closificar en dos tipos: cuontitotivas y cuolitotivos. Variables cuontitotivas: Se expresan por medio de numeros y pueden ser: •

Discretas: Toman

un numero finito de valores intermedios entre dos numeros;

generalmente odmiten numeros enteros. Por ejempio: numero de moterios, contidod de medicos en un hospital; y , •

C o n t i n u a s : Tomon un numero infinite de volores intermedios entre dos numeros; generolmente se expresen per medio de interveles. Por ejempio: el peso y le estotura de una persono.

Variables cualitativas o a t r i b u t o s : N o se les esocie noturelmente un numero, sine el nombre de le cerecterfstice en estudio; se pueden clesificor en: •

O r d i n a l e s : Aquelles que sugieren uno ordenecion. Per ejempio: nivel de estudio, posicion de los genodores de un cencurso; y,

•

N o m i n a l e s : Aquelles que solo admiten una mera ordenacion olfobetico, pero no esteblecen orden por su contenido. Por ejempio: genero, estodo civil, color de cobello.

Les veriobles tombien se pueden closificor en: •

V a r i a b l e s u n i d i m e n s i o n a l e s : Solo recogen infermecion sobre une cerecterfstice. Por ejempio: e d e d de los olumnos de un colegio.

•

Variables b i d i m e n s i o n a l e s : Recogen infermecion sobre dos corecteristicos de le poblocion. Por ejempio: e d e d y estoturo de los olumnos de un colegio.

•

Variables m u l t i d i m e n s i o n a l e s : Recogen infermecion sobre tres e mds corocterfsticos. Por ejempio: e d e d , estotura y peso de los olumnos de un colegio.

pag. 555

Existen otros tipos de voriobles que se empleon en Estadistico, como son los variables independientes, variables dependientes, voriobles explicativos, variables de respuesto, entre otras, que no formon parte del estudio de este capftulo, pero que se pueden onolizar con mos detenimiento en un curso formal de esto ciencia. Antes de reolizor un estudio estadistico, es importante tener cloridod respecto de aspectos tales c o m o : eque se estd midiendo?, gcomo se estd midiendo?, gparo que se estd midiendo?, 3por que se esta midiendo?, gquien estd midiendo?, gen que momento se realizordn los mediciones? En sintesis, el proceso de medicion genera el tipo de variable y no su caracteristico o p r o p i e d a d por lo cual estd siendo estudiodo.

Escala de medicion de variables Entenderemos por m e d i r , el proceso que se reolizo ol asignar numeros o objetos, fenomenos o caracteristicas, segun ciertas regies de cuontificocion. Se asocia un numero y solo uno (correspondencio biunivoca) ol objeto o fenomeno que se quiere medir. Todo m e d i d a de uno variable estd referido o una escolo, que es una reglo o patron que permite osocior numeros a los objetos o fenomenos. Los tipos de escolo eston representodos en el siguiente cuodro:

ESCALA

D E F I N I C I O N OPERACIONAL

EJEMPLO

de la G e n e r o : mesculine/femenino variable son closificodos en cotegorias, Los observociones

Nominal

del otributo

solamente se puede verificor lo iguoldod Estodo civil: entre los cotegorias. N o m b r o n , pero no c o s o d o / s o l t e r o / d i v o r c i o d o / miden lo vorioble.

v i u d e / u n i o n de hecho Nivel socio economico:

Se pueden establecer relaciones de orden

Ordinal

entre los datos de lo vorioble:

moyor,

menor o iguol. Contiene a lo escolo nominol.

elto/medie/bejo Rendimiento ocodemico: excelente/regulor/en desarrollo/deficiente Temperaturo:

O r d e n o n los medidas y permiten reolizor

De intervalo

comporociones entre ellos. Usan un cero relative.

10 ° C , 12 T Rendimiento de une pruebe: [ 0 , 10]

De razon

Se pueden estoblecer rozones entre los Indice de meso cerporel: dotos. Poseen cero obseluto.

Peso versus Estoturo^

En el proceso de medicion usuelmente se cometen errores el memento de redondeor los volores obtenidos con uno determinede precision. El error mdximo generodo ol redondeor contidodes de este monero se conoce come e r r o r d e r e d o n d e o simetrico.

pag. 556

12

Estadistica y

Probabilidades

12.1 M e t o d o s y conceptos

1)

Autoevaluacion

La Estadfstica tiene relacion con muchas ciencias, aun con oquellos que errdneomente se pensorfo que no lo necesiton. Escojo una ciencia y explique, o troves de una oplicocion prdctico y de monero breve, lo importoncio de lo Estadistico en lo mismo.

2)

Poro reolizor proyecciones del comportamiento del colentomiento g l o b a l , con el poso de los ofios, se pueden distinguir dos procesos bien definidos:

CO2

Concentracion de Recoleccion y onalisis de los dotos o lo largo de los onos. Generocion de modelos motemdticos

b)

poro presenter proyecciones o futuro.

c ^O

O Q.

tz

D Q-

Aiios Indique el literal que corresponde o procesos de Estodistico Descriptivo o de Estadistica Inferencial, sustentando odecuodomente su respuesto.

V.,,, ..

,

_

_,_„.

., -.

pag. 557

3)

Identifique y explique el tipo de error estadistico cometido en los siguientes situaciones: o)

Se deseo determinor lo relacion existente entre los numeros que se obtienen ol lonzor un d o d o y lo mono con lo que se lonzo.

b)

Lo ultima vez que llovio hubo un choque de automdviles por su sector. Lo proximo vez que lluevo, tombien habrd otro choque en su sector.

4)

Identifique lo variable, el ente, lo muestra y la poblacion poro lo siguiente actividod estadistico: "Se

5)

desea

onolizor

el

peso

de

los

Voriable:

crustoceos de uno piscina comoronero.

Ente:

Pora esto, se extroen de monero aleatoria,

Muestra:

100 comorones de lo piscina".

Poblacion:

M a r q u e con un / , segun el tipo de variable que le correspondo o lo descripcion de c o d a literal.

Descripcion

a)

b)

Colificacion del servicio recibido:

Ordinal

M a l o , Regular, Bueno, M u y bueno, Excelente.

Nominal

Longitud del didmetro de los troncos de 50 drboles de un

Continuo

pequeno bosque.

Discreta

c)

Numero de resistencios de un circuito electrico.

d)

Ciudod de residencio de los estudiantes de una universidod.

e)

pag. 558

Tipo d e v a r i a b l e

Volumen mdximo de c o p o c i d o d de los envoses fobricodos por una empreso.

Continuo Discreta Ordinal Nominal Continuo Discrete

12

Estadistica y Probabilidades

12.2 Organizacion de los datos Objetivos Al finalizar esta seccion el lector podrd: •

Dodo un conjunto de dotos, orgonizorlos odecuodomente empleando tablas de frecuencias.

•

Reolizor onalisis estadisticos a partir de tablas que contienen

frecuencias

absolutos y relatives.

Una vez que los voriobles hon sido medidas, estos valores constituyen el conjunto de datos estadisticos, que deberdn ser procesodos y onolizodos por el investigador, o fin de convertirlos en informocidn poro la posterior tomo de decisiones. Con este proposito, existen olgunos tecnicos que serdn estudiodos en esto seccidn.

Tablas de frecuencias Segun el numero de observociones y la diferencio entre los valores mdximo y minimo (rango) de lo voriable, podemos closificor los toblos de la siguiente monero: Tablas t i p o I: El tomorio de lo poblacion o muestra es pequeiio. Por ejempio, los edodes de seis personas: 15, 18, 19, 2 1 , 2 4 , 2 8 . Los dotos s6lo se ordenon de monero creciente o decreciente. Tablas t i p o II: El tomoiio de la poblacion o muestra es grande y el rongo de la variable es pequefio. En estos toblos se ubicon los k dotos

E N ) , con volores diferentes y se ordenan

de forma creciente. Tablas t i p o III (TabIa d e intervalos): El tomoiio de lo poblocidn o muestra es grande y el rongo de la variable tombien es grande. En este coso, los dotos orgonizodos en forma creciente, se ogrupon en k intervolos (k e E j e m p i o 12.1 Toblo de frecuencios.

El numero diorio de llomodos telefdnicas reolizodas en una coso durante 30 dios, se fio t o b u l o d o asi: 2

4

1

3

2

5

3

1

3

4

1

1

1

5

3

1

2

3

2

1

5

3

4

2

3

4

1

2

5

5

pag. 559

Sea la variable: "numero diorio de llomodos telefdnicas", podemos observer que sus valores estdn entre 1 y 5, y que el total de dotos es 30. Por lo tanto, la tablo de frecuencias se estructura siguiendo los posos 1 y 2: 1)

O r d e n e los dotos en forma decreciente o creciente por c o d a columna y reolice el conteo: 1

1

2

3

3

1

1

2

3

4

5 5

1

1

2

3

4

5

1

2

2

3

4

5

1

2

3

3

4

5

i

5 2)

I

Hill

j

Estructure la toblo de frecuencias relocionondo el conteo con un numero (frecuencia):

1

8

2

6

3

7

4

4

5

5

Totol

30

E j e m p i o 12.2 Toblo de frecuencios.

Lo e d a d de un g r u p o de 30 personas se ho t o b u l o d o osi: 22

23

44

10

28

40

15

43

38

7

24

31

28

12

5

20

18

47

50

27

14

16

30

26

55

27

42

50

27

36

Sea lo voriable: " e d o d de las personas", observomos que sus valores estdn disperses y que estdn comprendidos desde 5 hosto 5 5 ; por le cuol, si se quiere eleboror une toblo, esto debe ser de intervales. A h o r o , los pesos que se deben seguir son: 1)

pag. 560

Determine el total de dotos. En este coso A'"=30.

Estadistica y

Probabilidades

Calcule el rango R de lo voriable con lo expresion R = x„^-

x„i„, en los

cuoles estdn considerodos el valor mdximo y minimo de dicho variable. Poro el ejempio,/? = 5 5 - 5 = 50. Determine el numero de intervalos. En este ejempio, se considerordn 13 intervalos. Calcule lo omplitud d e los intervalos A = -

R N" intervalos

, oproximondo ol

menor entero que es mayor o iguol que A. Poro el ejempio, ^ =

«4.

Construyo lo toblo considerondo que los k intervalos serdn de lo forma [ a , _ i , O j ) , 1 < / < ^, / e N . Poro el primer intervalo [OQ, valor de los dotos y

) , OQes el minimo

es iguol a UQ + A. Poro el segundo intervalo [a^,

^2),

a j y a se determine previomente y 03 es iguol 0 a-^+ A. Este procedimiento se sigue reolizondo p a r a los nuevos intervalos. Poro el ejempio, la toblo serio:

Intervalos de edodes [5,9)

2

[ 9 , 13)

2

[ 1 3 , 17)

3

[17,21)

2

[21,25)

3

[25, 29)

6

[ 2 9 , 33)

2

[ 3 3 , 37)

1

[37,41)

2

[41,45)

3

[45, 49)

1

[ 4 9 , 53)

2

[53, 57]

1

Total

30

Observe que todos los intervalos deberfan ser semiabiertos, a excepcion ultimo, que es cerrodo.

pag. 561

Tablas d e d i s t r i b u c i o n d e frecuencias: Generalmente, estas tablas se completan con distintos tipos de frecuencias, tales como: a) Frecuencia

a b s o l u t a : Es el numero de veces que aporece un valor, como

resultodo d e lo medicion d e la variable. Lo /-esima frecuencia absoluta se denota

b) Frecuencia a b s o l u t a a c u m u l a d a : Es el resultodo d e sumor o lo frecuencia obsoiuto del valor correspondiente, todos los frecuencias absolutos de los valores onteriores. Lo /-esima frecuencia obsoiuto acumulodo se denota p o r F ^ . c)

Frecuencia r e l a t i v a : Es el cociente entre lo frecuencia absoluta y el tomario A'^de lo muestro o poblacion. Lo /-esima frecuencia relativa se denota por /z,.

d)

Frecuencia

relativa a c u m u l a d a : Es el resultodo de sumor a lo frecuencio

relativa del valor correspondiente, los frecuencias relotivos d e los valores onteriores. Lo /-esimo frecuencia relativa ocumulodo se denoto por//,-.

Modelos de tablas estadisticas Tablas t i p o II (Variable c u a n t i t a t i v a discreta) Volores

Frecuencia

de lo

Frecuencia

Frecuencio relativa

relotivo

(hi)

ocumulodo (Hj)

obsoiuto

absoluta

variable

ifi)

ocumulodo ( F , )

Xi

A

^i=/i

h

fi

^2=/l+/2

h

h

^3=/l+/2+/3

...

fi

...

Fi=

H, = h,

H^ = hi+h2 + h2

...

t fj ...

fk Total

...

...

...

N ...

Fk=ifj=N

N

Frecuencio

... 7=1

1

Ejempio 12.3 Toblo de distribucion de frecuencias.

A partir d e los dotos del ejempio 1 2 . 1 , construyo lo toblo de distribucion de frecuencios tipo II.

pag. 562

12

Estadistica y Probabilidades

N° de i llamadas

1

Free. abs. if.)

Free, absoluta acumulado ( F , )

Frecuencia relativa( )

Free, relative acunnuloda (Hj) 0.27

1

8

8

2

6

14

3

7

21

^ » 0 23 30

0.70

4

4

25

30 = ' 5 - 0 . 1 3

0.83

5

5

30

30 = 6 - 0 - 1 ^

1.00

Total

30

30

15 ^ - ^ ^

^ 30

^ 0 20 5 "^-^^

0.47

1 f

1

1.00

Lo interpretocion de lo euorto filo de esta tabia seria: respecto ol numero de llamadas diorios en el mes, en 4 dias del mes onolizodo se hicieron 4 llamadas diorias; durante 25 dios se hicieron menos de 5 llamadas diorias; en el 1 3 % de los dios se realizoron 4 llamadas diorios y durante el 8 3 % de los 30 dias se realizaron menos de 5 llamadas diorias. Ejempio 12.4 Tablo de distribucion de frecuencias. Se realizo una encuesta a 100 estudiantes para conocer con que regularidad ocudfan ol medico durante el ofio, comprobandose que los entrevistodos reolizobon la visita al menos una vez, pero no lo hicieron mas de 5 veces al ono. • El 20% de los • El 6 0 % de los • El 80%) de los • El 3 0 % de los Elabore una toblo

entrevistodos visito ol medico 2 veces al ofio. entrevistodos visito ol medico menos de 4 veces ol ofio. entrevistodos visito ol medico menos de 5 veces ol ono. entrevistodos visito ol medico 3 veces ol ofio. de frecuencias obsolutas y relotivos.

Solucion: Si el 2 0 % de los entrevistodos visito ol medico 2 veces ol ono, significa que hubo 20 visitos anuoles de los estudiantes con esto carocteristico. Si el 3 0 % de los entrevistodos visito ol medico 3 veces al ono, significa que hubo 30 visitos onuoles de los estudiantes con esta corocteristico. Si un entrevistodo visito al medico menos de 4 veces ol oiio, quiere deeir que lo visito 1, 2 o 3 veces. Del 6 0 % hobrd que restar el 20% de los que lo hicieron 1 vez y el 30% de los que lo hicieron 2 veces, por lo que se concluye que hubo un 10%) de estudiantes que hicieron 1 visita onual, esto es, 10 estudiantes con esta caracteristico.

pag. 563

•

Si un encuestado visito ol medico menos de 5 veces ol ono, quiere decir que ocudio ol medico 1, 2, 3 o 4 veces. Del 8 0 % hobro que restar el 10%, el 2 0 % y el 3 0 % ya descritos, por lo que se concluye que hubo un 2 0 % de estudiantes que hicieron 4 visitas onuoles, esto es, 20 estudiantes con esto caracterfstica.

Pora deducir la cantidad de estudiantes que visitoron al medico 5 veces, debe restarse del 100%, el 10%, el 2 0 % , ei 3 0 % , el 2 0 % , y resulta un 20%. Por lo tonto, hubo 20 visitas onuoles con esto caracterfstica. Se concluye entonces que lo tobla serio: Visitas onuoles

Frecuencia absoluta (/J)

1

10

10

0.10

0.10

2

20

30

0.20

0.30

3

30

60

0.30

0.60

4

20

80

0.20

0.80

5

20

100

0.20

1.00

Total

100

Free, absolute Frecuencia ocumulodo (Fj) relotivo (hj)

Frecuencia relotiva acumulado

1.00

Tobias tipo III (Variable cuontitotiva continuo) Intervolos de lo Variable [ao, « i )

Marco de close

V

ao + « i

Free, relotivo acumulado

Y

h

/i fi

«2 + «3

...

^2=/l+/2 i^3=/l+/2+/3

i/2 = ^l+^2 h

H2, = hx+h2 + h^

... ^MCr

^MCkTotal

Free, absoluta t WSKS^v ocumuloda relotiva ;

(fi)

[«b«2) [«2>«3)

Free, obs.

2

2

...

fi

F r - t j

...

...

fk

Fk=i/rN

N

Hi= t h,-

...

...

1

La i-esimo morco de close {Xj^q') representa los dotos que se agrupon en ese intervalo (close) y es lo semisumo de los extremos del intervalo. A diferencio de lo tobla tipo II, la toblo tipo III es menos precisa en lo determinacion de los datos que pertenecen a una close o intervalo. pag. 564

12

Estadistica y Probabilidades

Ejempio 12.5 Tabia de distribucion de frecuencias. A partir de los datos del ejempio 12.2, construya lo toblo de distribucion de frecuencias tipo III.

Intervolos de edades i

Ji

F,

hi

Hi

[5,9)

7

2

2

0.067

0.067

[9, 13)

11

2

4

0.067

0.134

[13, 17)

15

3

7

0.100

0.234

[17,21)

19

2

9

0.067

0.301

[21,25)

23

3

12

0.100

0.401

[25, 29)

27

6

18

0.200

0.601

[29, 33)

31

2

20

0.067

0.668

[33, 37)

35

1

21

0.033

0.701

[37, 41)

39

2

23

0.067

0.768

[41,45)

43

3

26

0.100

0.868

47

1

27

0.033

0.901

[49, 53)

51

2

29

0.067

0.968

[53, 57]

55

1

30

0.033

1.00

[45,49)

Total

'

30

1.00

Lo interpretocion de lo euorto fila de esto toblo seria: ^4 = 2, significa que hay 2 personas con edades mayores o iguales que 17 oiios y menores que 21 onos. F^ = 9, significa que existen 9 personas con edades mayores o iguales que 5 anos y menores que 21 oiios. /z4 = 0.067, significa que los dos personas cuyos edades estan comprendidos en el intervalo [17, 21) representon el 6.7% del total. 7/4 = 0.301, significa que el 30.1%) de las personas tienen edades comprendidos en el intervalo [5, 21).

.J pag. 565

Ejempio 12.6 Tabia de distribucion de frecuencias. En un estudio reolizado o 40 personas ocerco del nivel de cotinina en nglml, se obtuvieron los siguientes resultados: 1

210

35

103

130

253

123

86

0

44

112

222

234

87

167

284

131

277

477

149

164

121

250

1

173

32

289

313

198

266

245

208

265

3

227

491

17

290

48

173

Construya una tobla de frecuencias obsolutas y relatives. Solucion: El total de dotos con el que se va o trabojor esjV=40. El rangoi? = 491 - 0 = 4 9 1 . Trobajaremos con 5 intervolos; por lo cuol, la amplitud de los intervolos es: ^ = ^=98.2*99 Vomos a utilizer 100 como la amplitud de los intervolos por ser un velor conveniente. Intervolos de lo Veriable

Marco de close

Free. obs. ifi)

Free. abs. acumulado

[0, 100)

50

11

11

[100, 200)

150

12

23

0.300

0.575

[200, 300)

250

14

37

0.350

0.925

[300, 400)

350

1

38

0.025

0.950

[400, 500]

450

2

40

0.050

1.00

XMC^

;

uM75

40

Total

Free. rel. {hi)

Free. rel. oeumuioda (^,) 0.275

i.oo

Ejempio 12.7 Toblo de distribucion de frecuencias. Determine los valores que hocen falto poro completor lo siguiente toblo de frecuencias: Intervolos de le vorioble

Free, absoluta ifi)

Free. obs. oeumulode (F;)

[0,10)

60

60

[10, 20)

fi

F2

0.4

[20, 30)

30

170

h

[30, 40)

/4

F4

[40, 50]

fs

200

Total

N

pag. 566

Free, relative (//,)

0.1

12

Estadistico y Probabilidades

Soi ucion: Primero determinaremos F2. Poro esto y conociendo que: F3 =/3 + F2, se obtiene: F2 = 1 7 0 - 3 0 = 1 4 0 . Paro colculor^, tenemos que 60 +J2 =-^2'

po""'° '^'^^fi = ^40 - 60 = 80.

En este coso F^ = N= 200 y poro colculor/^, partimos de lo definicion de h^. h,=

§- ^ / 4 = (^4)(iV) = (0.1)(200)=20

El valor de F4 lo determinamos sumando F3 +^4,

osf:

F4 =

F,+f, F4= 170 + 20 F4= 190 Siguiendo el mismo procedimiento, determinamosf^: fs = Fs-F, /5 = 2 0 0 - 190 /5=10 Luego de haber colculodo todas los frecuencias obsolutas, podemos obtener los frecuencias relotivos, dividiendolos paro A'^^ 200. 200 Verificando: N=/j

h^= ^ = 0.15 "3 200

"'"^

+/2 +/3 +/4 +/5 = 60 + 80 + 30 + 20 + 10 = 200

Escribimos entonces lo tobla complete: \s de lo Variable

Free. obs.

Free. abs. acumulado (F,)

Free, relotivo (/z,)

[0, 10)

60

60

0.30

[10, 20)

80

140

0.40

[20, 30)

30

170

0.15

[30, 40)

20

190

0.10

[40, 50]

10

200

0.05

Total

^

200

1.00

pag. 567

Ejempio 12.8 Tobla de distribucion de frecuencias Una empresa obtuvo ventas anuoles comprendidos entre los dos y los seis millones de dolores durante los ultimos diez aiios. • • •

Durante millones Durante dolares. Durante dolares.

tres oiios se obtuvieron ventas comprendidos entre tres y cuotro de dolares. ocho onos se obtuvieron ventas menores a los cinco millones de seis onos se obtuvieron ventas inferiores o los cuotro millones de

Elabore una toblo de frecuencias obsolutas y relatives. Solucion: Puesto que se indicon ventas entre dos y seis millones de dolares, se estoblecerdn los siguientes intervolos: [2, 3), [3, 4), [4, 5) y [5, 6]. En el intervalo [3, 4) la frecuencia obsoluto seria 3. En el intervalo [2, 3) la frecuencia obsoluto serfo 3, porque cuondo se indica que durante 6 onos se obtuvieron ventas inferiores a los 4 millones, debe restarse este valor de lo frecuencia 3 que ya se especifico pora el primer intervalo. En el intervalo [4, 5) lo frecuencia obsoluto seri'o 2, porque cuondo se indica que durante 8 ofios se obtuvieron ventas inferiores o los 5 millones, debe restarse este valor de la frecuencia 3 que yo se especifico paro el primer intervalo y tambien restarse el valor de la frecuencia 3 del segundo intervalo. Pero como lo referenda es poro un perfodo de 10 afios, poro el intervalo [5, 6] se tendrfa lo diferencio, una frecuencia obsoluto de 2. Los marcos de close corresponden al numero ubicodo en lo mitod de coda intervalo. Se concluye entonces que lo toblo serfo: Ventas Anuoles

Marco

(millones de dolares)

de close X^q

[2, 3)

2.5

3

0.30

[3,4)

3.5

3

0.30

[4,5)

4.5

2

0.20

[5,6]

5.5

2

0.20

10

1.00

Total

pag. 568

Frecuencia ! Frecuencia obsoluto ( y j ) relotivo (//,)

12

Estadistica y Probabilidades

12.2 Organizacion de los datos

1)

Autoevaluacion

Considere los dotos tobulodos poro los siguientes conjuntos y presentelos en una tobla tipo I. A = { 1 , 9 , 2, 8, 3, 7} B = { 3 , 3 9 , 92, 2 4 , 4 1 , 1 5 } C = { j c / ( x e N ) A ( j c e ( 8 , 11])}

2)

Los colificaciones de los estudiantes de dos cursos, luego de ocogerse a un riguroso sistemo de nivelacion, se presentan o continuacion: Curso 1

Curso 2

6

10

9

10

6

10

10

7

8

6

9

10

6

6

10

6

10

7

5

7

10

8

9

10

7

7

10

8

6

7

9

10

6

10

9

8

9

8

10

8

9

9

7

9

8

9

8

7

8

10

7

7

6

8

9

10

6

9

9

9

!)rdene estos datos en forma creciente

)r columnos, en los siguientes toblos:

Curso 1

b)

Curso 2

Complete los siguientes toblos de frecuencias: Curso 1 Colificaciones Frecuencia Curso 2 Colificaciones Frecuencia

pag. 569

3)

Los siguientes dotos corresponden o mediciones, considerando el centimetro mas cercono, de los longitudes de los alturas de 50 plantas escogidos oleatoriomente en un jordfn. 15

25

33

42

47

55

61

71

77

92

96

103

115

15

30

34

42

49

57

65

71

78

93

97

107

115

18

30

35

44

49

57

66

73

80

93

100

111

22

31

36

47

53

59

68

75

82

94

102

114

Complete la siguiente toblo tipo III, considerando las longitudes de los alturas de los plontos del jordfn. Puede hocer uso de una colculodoro.

Amplitud A:

Intervolos

F.

h.

H.

Total

4)

Conteste lo siguiente, tomondo en cuento lo tablo generodo en el ejercicio anterior. o)

gCuontos plontos tienen olturos que miden desde 15 hasto 74 centfmetros?

b)

gQueporcentojede los plantas tienen olturos cuyos medidas varfan desde 35 hosto 74 centfmetros?

c)

Partiendo de 15 centfmetros, ghosto que longitud de olturo se acumula el 8 0 % de los mediciones?

d)

eQue porcentoje de lo muestra seleccionodo representon oquellos plontos cuyos alturas miden desde 75 hosto 95 centfmetros?

pag. 570

[

J

12 12.3

Estadistica y Probabilidades

Medidas de tendencia central y no

central

Objetivos Al finalizar esta seccion el lector podra: •

Calcular e interpretar lo media aritmetica, media ponderodo, mediana y moda de una muestra.

•

Calcular e interpretar cuartiles, deciles y percentiles, o partir de una muestra.

A partir de los conceptos previomente onolizados, es cloro que o troves de los toblos de frecuencia, es posible obtener informacion importante sobre diferentes muestras obtenidos o partir de una determinodo poblocion; sin embargo, se hoce necesorio profundizar sobre el onalisis cuontitotivo de los dotos contenidos en los referidos muestras, empleando medidas que los resuman de manero optima. Con este proposito surgen los medidas de tendencia central y no central; denominodos osf porque en el primer coso, indicon hocio donde tienden a concentrorse los valores de un conjunto de datos; mientros que en el segundo, se tiene una idea de su variobilidod. Resulta claro entonces que ombos tipos de medidas se complementon y su estudio es esencial al momento de sintetizor o representor todos los dotos que son objeto de onalisis. 12.3.1 M e d i d a s d e t e n d e n c i a central A continuacion se definirdn las medidas mas relevontes de tendencia central, o troves de los cuoles sera posible representor o un conjunto de dotos. Definicion 12.5 (Medio aritmetica de una muestra) Si X representa una medido cuontitotiva de una poblocion, o partir de lo cual se toma una muestra de tomoiio n, la medio aritmetica es el promedio de los n dotos ( X i , X 2 , X 3 , ... , x „ ) obtenidos de dicho muestra. Se lo denota c o n x y se calculo de lo siguiente monero:

hi

_ X

X, + X, + X, - •

+... + x„

1=

1

Es importante indicor que lo medio poblocionol se calculo de monero similor considerando todos los N elementos de lo poblocion, constituyendo uno de los pardmetros que lo coracterizon. Usuolmente se representa por [i. pag. 571

Ejempio 12.9 Media aritmetica de una muestra.

^.

En un aula de 50 estudiantes, se toma una muestra oleotorio con 10 de ellos y se mide su estaturo, considerando el centimetro mds cercono, obteniendose los siguientes dotos:

168

•—

X2

X3

X4

X5

150

157

162

153

I

I

II I

11 I

158

II I I

I

I!

i

1

I

160

IIIIII II II II I

I

I

i

I

—

X7

— Xg

164

X9

^10

165

169

i

11

I I I I I I I I I .1

A portir de los dotos, colcule lo medio aritmetica de esto muestra. Solucion: En este coso n = 10, por lo tonto:

S 10

X =

10

^'

168 + 150 + 157 + 162 + 153 + 158 + 160 + 164 + 165 + 169 10

J = 160.60 Con lo cual, se concluye que los 10 estudiantes que constituyen lo muestra tienen una estaturo promedio de 160.60 cm que nos do una idea estimodo del promedio de estaturo de todos los estudiantes del aula. Ejempio 12.10 Medio oritmetica de una muestra. En una empresa de 50 empleados, un Auditor tomo una muestra aleotorio con el proposito de onolizor el comportomiento de los sueldos. Si se registron los sueldos que reciben mensualmente 6 empleados: $750, $675, $540, $580, $625 y $705, respectivomente, determine su medio aritmetica.

12

Estadistica y Probabilidades

Solucion: Poro esto situocion, dodo que se estd onolizondo el coso de seis empleodos, lo medio oritmetico se colculo con un valor n = 6 como sigue:

X -

1= 1

750 + 675 + 540 + 580 + 625 + 705

X «645.83 Con base en este resultado, se establece que los seis empleados de lo empresa reciben un sueldo promedio de oproximodomente $645.83. Ademas podria suponerse que el total de los 50 empleados percibirion un valor total estimado de $32291.50 (50 X $645.83).

Ejempio 12.11 Medio aritmetica de una muestra. En cierto evento ocho personas reolizon donociones, siete de ellos oporton $100 pero lo octavo oporto $15 300. Colcule el oporte promedio de los ocho donontes.

V 1I ;

Solucion: Colculondo lo medio aritmetica o promedio se tiene:

X -=

7{100) + 15300 ^ = 2000 8

pag. 573

Como se puede observer, los ocho personas donoron en promedio $2 000; sin embargo, estd cloro que lo moyoria dono un valor significativomente menor ol promedio. A partir del ejempio anterior, resulta evidente que lo media aritmetica se ve fuertemente influenciodo por valores extremos (muy grondes o muy pequerios), los cuoles estdn muy distontes del resto de elementos. Usuolmente o estos dotos se los conoce como atfpicos o aberrantes. Por otro parte, dependiendo de los diferentes condiciones de un problemo, es probable que o pesor de que los muestras tengon tomoiios y dotos diferentes, el valor de lo medio aritmetica sea el mismo, tol como se puede oprecior en el siguiente ejempio. Ejempio 12.12 Medio aritmetica de una muestra.

i^^Mm^^^MMMB^m

A partir de los siguientes conjuntos de datos: X, = { 2 0 , 4 0 , 6 0 , 8 0 , 1 0 0 } X , ={30,60,90} Colcule la medio aritmetica poro coda conjunto y exprese sus principoles conclusiones. Solucion: _

20 + 40 + 60 + 80 + 100

Xj=

_

30 + 60 + 90

= 60 3 Lo medio aritmetica paro ombos conjuntos es lo mismo y su valor es 60; sin embargo, es obvio que ni lo cordinolidod de ombos conjuntos ni los dotos son los mismos. X,

=

= 60

En los ejemplos descritos, se ho colculodo lo medio aritmetica poro dotos no tobulodos con su respectivo distribucion de frecuencias. Cuondo se trobojo con dotos tobulodos u orgonizodos en toblos tipo II o tipo III, se deben tomar en cuenta los siguientes recomendociones ol momento de calcular el valor de lo medio. 1. Si lo toblo es tipo II, siendo ke\o de observaciones distintos, x, coda una de los observaciones,/, la frecuencia obsoluto y n \a contidod de dotos, lo medio aritmetica estord dodo por:

_ X =

pag. 574

1=1

12 2.

Estadistica y Probabilidades

Si la tabia es tipo III, siendo k el numero de intervolos, Xjj^q coda morco de close, / , lo frecuencia obsoluto por intervalo y n \a cantidad de dotos, lo media oritmetica estord dodo por:

n

Es importante onotor que en este coso se hoce referenda a lo marco de close como una oproximocion del valor que tomo lo variable en determinodo intervolo. Ejempio 12.13 Medio aritmetica de una muestra pora dotos tobulodos. Se han entrevistodo o los 50 estudiantes de un poralelo de Cdlculo de una Variable en una Institucion de Educocidn Superior con el proposito de conocer su edad, registrdndose los datos y obteniendose lo siguiente tobla:

A partir de estos dotos, calcule lo edod promedio de los estudiantes de este poralelo.

Solucion: Tomondo como referenda lo toblo tipo II dodo, se tiene que: 4

X =

( l 8 ) ( 2 8 ) 4 - ( l 9 ) ( l 0 ) + (20)(9) + ( 2 l ) ( 3 ) 50

50

3c = 18.74 Por lo tonto, la edod promedio de los estudiantes en el poralelo onolizodo es 18.74 onos.

pag. 575

Ejempio 12.14 Media aritmetica de una muestra pora dates tabulados. Los salaries de 140 trobojodores de uno empreso fluctuon entre $ 400 y $ 800. Con el proposito de obtener el promedio seloriel, se hen definido ocho intervolos de close, generondose lo siguiente toblo: Sueldos en dolores

•

Morco de close

Frecuencia absolute

fi [400, 450)

425

20

[450, 500)

475

10

[500, 550)

525

30

[550, 600)

575

15

[600, 650)

625

25

[650, 700)

675

10

[700, 750)

725

15

[750, 800]

775

15

Determine el solorio promedio de los 140 trobojodores de lo empresa. Solucion: En este situocion perticulor, lo medio oritmetica se colcularfo de lo siguiente monero: 8 X

--

/= 1

140

(425) (20) + (475) (l O) +... + (725) ( l 5) + (775) (l 5)

X =•

140

jc»589.29 Asf, el solorio promedio requerido es de $ 589.29 oproximodomente. Ejempio 12.15 Medio oritmetico de uno muestre pero dotos tobulodos. Algunes colculodoras cientificos tienen la opcion de generar numeros oleotorios entre 0 y 1 con el comondo Ran # (g|||| + Q ) .

II

Verifique que lo medio aritmetica de por lo menos 40 numeros generodos de forma eleotorie entre 0 y 50 es oproximodomente igual ol promedio de estos volores extremos. Solucion: Utilizondo una colculodoro cientifica y oplicondo lo opcion poro la generocion de numeros oleotorios, se obtienen 40 numeros entre 0 y 1. Luego, paro que se determinen en el range requerido, se los ho multiplicodo por 50 o codo uno de ellos y se hon redondeedo los productos en forme simetrice, considerondo en este coso precision 0.5 y generondose lo table que se presento e continuacion, mismo que debido el concepto de oleotorieded, muestre uno de los multiples

pag. 576

12

Estadistica y Probabilidades

posibilidades para el conjunto numerico:

'21 " ~ 9

31

38

11

9

43

29

34

47

29

32

11

50

39

16

33

33

9

3

42

24

14

39

42

33

9

47

12

9

28

21

0

28

23

23

30

36

25

' 20

Calculando lo medio aritmetica de estos numeros, resulta que x = 25.8, valor que comporodo con el promedio de los volores extremos que en este caso es 25, resulta ser muy proximo, verificdndose lo requerido. Serio interesante que el lector repito el proceso oplicodo en el ejempio anterior, generondo nuevos conjuntos de numeros oleotorios. Hosto oquise ho colculodo lo medio aritmetica de un conjunto de dotos bajo lo consideracion de que coda observacion tiene iguol peso o ponderocion; sin emborgo, en los cosos en los cuoles la ponderocidn difiere, se recomiendo calcular lo medio ponderodo, cuya definicion se presento o continuacion. Definicion 12.6 (Medio Si X representa una medido cuantitotivo de una poblacion, o partir de lo cuol se tomo una muestro, lo medio ponderodo constituye una medido de posicion o de tendencio centrol poro cuyo calculo se considera que cada observacion tiene un peso cOi. Se denota como y se la calcula segun lo siguiente expresion: n

i=

1

- ; j = l,2,3,...,n

i= \ Ejempio 12.16 Media ponderodo de una muestra. Con el proposito de obtener el puntoje final que logro un deportisto en una competencio se multiplico por 2 el resultado de su primera morco; por 3 el de la segundo; y, por 4 el de su tercero morco. Si los morcos del deportisto son 8, 6 y 3, puntos, respectivomente, determine el puntoje medio obtenido.

1

pag. 577

Solucion: A portir de los dotos proporcionodos, se estructuro lo siguiente toblo: Morcos {Xj)

8

6

3

Pesos (ft),)

2

3

4

Luego, colculondo lo medio ponderodo se obtiene: (8)(2) + (6)(3) + ( 3 ) ( 4 ) 2 + 3+ 4

5.11

A partir de este resultado, se establece que lo puntuocion medio ponderodo es 5.11 puntos, oproximodomente. El lector puede verificar que en este coso, si se considerara que todos los marcos tienen lo mismo importoncio, lo morco medio corresponderia oproximodomente o 5.66 puntos, valor que difiere de lo medio ponderodo colculodo previomente.

Ejempio 12.17 Medio ponderodo de una muestro. Cierto comercionte odquirio 250 acciones de una compafilo o un precio de $40 por occion en el primer cuatrimestre de operociones; en el segundo cuatrimestre comprd 300 acciones odicionales a $50 codo una; y, en el ultimo cuatrimestre compro 200 acciones o $60 codo una. Determine el precio medio por occion durante el oiio tronscurrido. 4, 0>

Solucion: Dodo que lo contidod de acciones vorio segun el precio unitario de los mismos y del cuatrimestre correspondiente, el precio medio o colculorse deberd ser ponderodo, construyendo como poso previo, lo siguiente tobla: ! CUATRIMESTRE 40

50

60

250

300

200

(40)(250) + (50)(300) + (60)(200) 250 + 300 + 200

pag. 578

12

Estadistica y Probabilidades

Con base en el calculo realizodo, se establece que el precio medio por occion duronte el ario es de $49.33 oproximodomente. En los medidas referidos no ho sido necesorio ordenor los dotos; sin embargo, lo siguiente medido de tendencia central debe contar como poso previo o su cdlculo, con la ordenacion de los dotos de lo muestra onolizodo. Definicion 12.7 (Medi A partir de un conjunto ordenodo de dotos relotivo o lo medido de una poblocidn, de lo cuol se ha tornado una muestra, lo mediona es oquello que divide al conjunto de dotos, en dos subconjuntos, codo uno de ellos con iguol numero de elementos. Poro denotor simbolicamente la mediona, se utilizo el simbolox. Si se tienen n datos de este conjunto, debe considerorse lo siguiente poro el cdlculo de lo mediona: 1. Si lo contidod de dotos de lo muestra es impor, entonces lo mediona es el valor central, es decir: V 2.

J

2

Si la contidod de dotos de lo muestra es par, entonces lo mediona es el promedio de los dos valores centrales, es decir: X n

x =-

,2"

+

X \2

1

Ejempio 12.18 Mediona de una muestra. Considerondo los siguientes calificociones obtenidos en una leccion por parte de 20 estudiantes de un porolelo, determine lo mediona de los mismos.

15

12

10

17

20

19

17

9

13

15

16

18

19

20

14

6

5

10

11

18

pag. 579

Ordenando los dotos en formo descendente, se tiene: 20

20

19

19

18

18

17

17

16

15

15

14

13

12

11

10

10

9

6

5

Debido o que lo contidod de dotos es por, entonces lo mediono serd el promedio de los volores centroles:

X

=

Xgo) + -^(11)

2 15 + 15

x = l5 o tonto, lo mediono es 15 puntos y se relociono con los dos calificociones centrales, existiendo 9 colificaciones sobre la mediono y 9 bojo ello.

Comparondo la medio oritmetica y lo mediono; y, debido o que poro la primera se utilizon todos los dotos de lo muestra, mientros que poro lo segundo no ocurre iguol, podrfo pensorse que es siempre preferible calcular lo medio oritmetico; sin embargo este criterio no resulta del todo vdlido ya que lo presencio de valores extremos o aberrantes ofecta o lo mediono de manero imperceptible, mientros que lo medio aritmetica se afecto notoriomente. A mds de lo anotado, en ciertos ocosiones resulta de mucho utilidad fijor lo otencion en lo observacion u observaciones que mds se repiten. A continuacidn se hoce enfosis en esto medido. Definicion 12.8 (Moda de una muestro) La moda de una muestra es el volor de lo variable con mayor frecuencia obsoluto. Se lo denota como Mo. En general, puede haber mds de una modo, situocion que genera comportomientos bimodoles o polimodoles.

Ejempio 12.19 Modo de una muestra. A partir del conjunto de dotos que representon el peso en kilogromos de 36 nifios y que se resume en la siguiente tobla, determine su modo.

pag. 580

12

Estadistica y Probabilidades

7.6

10.8

13.1

14.6

15.5

17.8

8.7

10.9

13.1

14.7

15.7

18.0

8.9

11.1

13.4

14.9

16.0

18.3

9.4

11.5

13.5

15.1

16.3

18.8

9.7

12.2

14.3

15.3

17.5

19.6

10.5

12.3

14.5

15.4

17.6

19.9

Solucion: A partir de los dotos el valor de mayor frecuencia es 13.1, con lo cuol la modo serd 13.1 kg. Ejempio 12.20 Medidas de tendencia central. En un concurso de baile, porticiparon un total de 15 porejos. Codo una fue evaluodo por el jurodo y recibio una colificacion maxima de 100 puntos. Si los puntojes olconzodos fueron: 9 1 , 83, 88, 95,46, 53, 5 1 , 58, 83, 62,100, 7 2 , 4 5 , 4 4 , 95, calcule lo medio aritmetica, la mediono y lo modo de este conjunto de dotos.

Solucion: En este coso n= 15 y lo medio aritmetica es: _

91 + 83 + 88 + 95 + 46 + 53 + 51 + 58 + 83 + 62 + 100 + 72 + 45 + 44 + 95

X =•

15

x=l^»71.07 15 Paro obtener lo mediono, previomente se ordenon los dotos: 44, 45, 46, 5 1 , 53, 58, 62, 72, 83, 83, 88, 9 1 , 95, 95, 100.

pag. 581

Puesto que en este coso n es impor, lo mediona es: x = x 15+1 Lo distribucion de puntojes pora estos porejos de boiles es bimodol, yo que los colificaciones 83 y 95 se repiten dos veces codo una.

12.3.2 Medidas de tendencia no central Estos medidas permiten conocer elementos de corocteristicas porticulores o partir de un conjunto de dotos que no necesoriomente guordon relocidn con los valores centrales. En este sentido, se suelen utilizar una serie de valores que dividen o la muestra en tramos iguales. A estos valores se los conoce como cuantiles. Los cuantiles mds importontes se detollon o continuacion: o)

Cuartiles: Son los tres volores que particionon un conjunto de dotos ordenodos en cuotro tramos, concentrando codo uno de ellos aproximodomente el 2 5 % de los datos. Los cuartiles son denotados por g j , Q2 y Qj,, representondo al primero, segundo y tercero, respectivomente. Con base en lo indicado, el primer cuortil es un valor tol que no mds del 25%) de los observaciones en lo muestra ordenado en forma creciente tomon valores menores o iguales que Q^, odicionolmente, el segundo cuartil es oquel valor tol que no mds del 50%) tomon volores menores o iguales que Q2, finolmente, el tercer cuartil sirve de referenda poro estoblecer que no mds del 7 5 % de los dotos tomon valores menores o iguales que QT,. Lo posicidn de los cuartiles, segun el coso, se calculo de ocuerdo a lo siguiente expresidn: k: representa el numero del cuartil n: es el numero de observaciones

b)

Deciles: Son los nueve volores que distribuyen el conjunto de dotos, ordenodos de forma creciente, en diez tramos, de monero tol que codo uno de estos tramos concentre oproximodomente el 10%) de los dotos. Los deciles son identificodos como Dj, D2, D^,..., Dp y es posible osegurar que el 10% de los elementos de lo muestra toman valores menores o iguales a D^; 20% de los elementos tomon valores menores o iguales o D2; y osf sucesivomente, hosta el 9 0 % de los elementos que tomon valores menores a Dg. Lo posicidn de los deciles, segun el coso, se calcula de ocuerdo o lo siguiente expresidn: n + 10

pag. 582

1

j : representa el numero del decil n: es el numero de observaciones

12 c)

Estadistica y Probabilidades Percentiles: Son los novento y nueve valores que distribuyen el conjunto de datos, ordenodos de forma creciente en cien tramos, concentrando coda tromo oproximodomente el 1 % de los dotos. Los percentiles son identificodos como P j , P2, -P3, ... , entendiendose que el 1 % de los elementos de lo muestra tomon valores menores o iguales que Pi, el 2 % tomon valores menores o iguales que P2, osf hosto el 9 9 % de los elementos que tomon valores menores o iguales que P 9 9 . Lo posicidn de los percentiles, segun el caso, se calcula de ocuerdo o lo siguiente expresion: n+ 1

/: representa el numero del percentil n: es el numero de observaciones

100

Tomondo como referenda los definiciones de los cuontiles, es posible estoblecer relociones entre ellos, por ejempio:

ei

= ^25;

22 =

^5

= ^ 0 ;

^3 =

^75

En general, el procedimiento poro calcular el valor de los cuantiles, se resume o continuocidn: 1)

Ordene los datos en forma creciente.

2)

Identifique lo posicidn del cuontil.

3)

Busque el doto que corresponde o lo posicidn obtenido. Si los posiciones de los cuantiles (LQ^, L J ^ . , Lp.) son numeros rocionoles con parte decimal de lo forma e.d (siendo e lo parte entero y d\a parte decimal), el valor del cuantil se colculo como:

Con base en lo onotodo, el valor del cuantil no necesoriomente coincide con olguno de los dotos objeto de ondlisis. Ejempio 12.21 Cuontiles de una muestra.

,, ,

Si ol reolizor pruebos con una sustoncio se registron las siguientes temperoturos en grodos Celsius, utilizondo un equipo de medicidn con un error de 0.5°: 52°

47°

30°

35°

41°

43°

54°

36°

29°

39°

37°

44°

34°

45°

32°

46°

48°

27°

33°

42°

t pag. 583

Determine e interprete la temperatura correspondiente al: o) b) c)

Segundo cuartil. Octavo decil. Vigesimo percentil.

Solucion: Como primer paso se ordenon los dotos de temperatura en forma oscendente: 27°

29°

30°

32°

33°

34°

35°

36°

37°

39°

41°

42°

43°

44°

45°

46°

47°

48°

52°

54°

Luego, reolizondo los cdlculos correspondientes o coda literal, se tiene: 20 + 1

= 10.5 , por tonto el segundo cuartil se colculo como:

Ql = ^(10.5)

= ^(10)

+(0-5) (-^(11)

-^(10))

e2 = 3 9 + ( 0 . 5 ) ( 4 1 - 3 9 ) = 40 En este caso, lo temperatura correspondiente al segundo cuartil es 40°. El lector puede comprobor que este valor corresponde tambien a lo mediana de la distribucion de dotos.

b)

Ln=8

^20 + 0 10

= 16.8, por tonto el octavo decil se calculo como:

A = > . 8 ) = > )

+ (0-8) \^(17)-^(16)J

A = 4 6 + (0.8) ( 4 7 - 4 6 ) = 46.8 En este coso, lo temperatura correspondiente al octovo decil es 46.8°

Lp = 2 0

^20 + 1^ 100

= 4.2, por tonto el vigesimo percentil se colculo como: PlQ = -^(4.2) = ^(4) + (0-2) (^(5) - ^(4))

^20 = 3 2 + (0.2) ( 3 3 - 3 2 ) = 32.2 En este caso, lo temperatura correspondiente al vigesimo percentil es 32.2°

pag. 584

12

Esfadistica y Probabilidades

12.3 Medidas de tendencia central y no centraL

Autoevaluacion

Para los siguientes ejercicios, se sugiere el uso de una calculadora. 1)

En tres paralelos de una institucion educativa, se seleccionan nnuestras aleatorias de 10 estudiontes. Por grupo, se mide la estatura en metros de cada estudiante, obteniendose los siguientes resultados: Paralelo 1

1.66

1.68

1.79

1.70

1.74

1.77

1.67

1.68

1.74

Paralelo 2

1.68

1.75

1.75

1.71

1.66

1.69

1.67

1.72

1.80

Paralelo 3

1.68

1.77

1.79

1.71

1.74

1.72

1.74

1.77

1.69

a)

Para cada paralelo, determine la media aritmetica de las estaturas. Paralelo 1

b)

Paralelo 2

Paralelo 3

sQue la med a aritmetica c e dos muestras coincidon, es condicion suficiente para asegurar que las muestras son iguales? Explique. , . .

2)

,

_

.

.

La media aritmetica de las edades de cinco hermanos es igual a 8 anos. a)

Determine la media aritmetica de las edades que tendran dentro de 10 anos

b)

La media aritmetica de las edades de dos hermanos de otra familia tiene el jmismo valor que el promedio obtenido en el literal anterior. sCuantos alios tiene cada hermano de la otra familia, si la diferencia de sus edades es 4 alios?

pag. 585

3)

Se ha generado una toblo de tipo II para un conjunto de observaciones del espesor en milimetros de piezas metalicas, las mismas que se muestran a continuacion. Espesor fi

(mm)

hi

Hi

0.901

3

3

0.027

0.027

0.902

7

10

0.064

0.091

0.903

10

20

0.091

0.182

0.904

14

34

0.127

0.309

0.905

18

52

0.164

0.473

0.906

20

72

0.182

0.655

0.907

15

87

0.136

0.791

0.908

9

96

0.082

0.873

0.909

8

104

0.073

0.946

0.910

6

110

0.054

1.000

1.000

110

Considerando estos datos, y redondeando a 3 decimales, complete la siguiente tabIa: Media Aritmetica

4)

Mediana

Moda

r'cuartil

2^^° cuartil

3"^ cuartil

Considere los datos del ejercicio anterior y respondo: a)

gCuantas mediciones estan comprendidos desde 0.907 mm hosta 0.910 mm^

^_

^

^

^

•

b)

gQue porcentaje del total de mediciones corresponden a los valores desde 0.904 mm hasta 0.908 mw?

c)

gQue valor corresponde al nonagesimo percentil de la serie de datos?

pag. 586

12

Esfadistica y Probabilidades

12.4 Medidas de dispersion Objetivos Al finatizar esta seccion el lector podra: •

Dodo un conjunto de datos, colculor e interpreter su rango, varianza y desviacion tipica o estandar.

De acuerdo el meteriel revisedo, center con les medides de tendencia central es muy importente; sin embargo, no es suficiente con elles. Les medides de dispersion en generol estudien el comportemiento de un conjunto de datos, analizando por medio de un sole velor, si estos se encuentran dispersos o concentredos. En les lineos siguientes se definiron les principales medides de dispersion para dates de une muestre. Definicion 12.9 (Range de una muestra) Es una medida de dispersion que se calcula como la diferencia entre el maximo y el minimo velor observodo de un conjunto de dotes numericos. Se denote con R. Ejempio 12.22 Range de una muestra. Se reunen cinco ex-compefieres del colegio, cuyes ededes son: 21, 19, 24, 26 y 20 eiios. Determine el rengo de diche muestre. Solucion: i? = 2 6 - 19 = 7 El mayor del grupo tiene 26 ones y el menor 19; per le tento, el rengo es 7 eiios. Dedo un conjunto de dotes, le varianza y desviacion tipice muestrel, que son etres medides de dispersion, explicen el comportemiento de los elementos enelizedes respecto e su medio oritmetice, tel como se define e continuecion. Definicion 12.10 (Varianza muestral) Es una medida de la dispersion de los n valores de una variable respecto e su medio oritmetice. Simbolicemente, se le identifice como 5^ y se le celcule de le siguiente menere: n (x^-xf

n-l Con lo cuel se puede concluir que le verienzo no puede ser negetive y sere cero cuendo y solo cuendo todos les observecienes tengen el mismo velor.

pag. 587

Definicion 12.11 (Desviacion tipica o estandar Es una medida de dispersion que se calcula como la rafz cuadrada positivo de la varianza muestral. Simbolicomente se la denoto con s:

(Xi-xf

s=

i= 1

n-l

Es importante indicar que la desviacion estandar poblacional se calcula de monero similar considerando todos los tV elementos de la poblocion, constituyendo otro de los porametros que la caracterizon. Usualmente se denote con c, representandose entonces a la varianza poblacional como a^. Ejempio 12.23 Varianza y desviacion estandar muestrales. Se ha medido el tiempo de otencion a seis clientes que permonecion en la filo de un supermercado, todo lo cual fue tabulado en minutos: 2, 1, 3, 5, 4, 2, respectivamente. Calcule la varianza y desviacion estandar de los tiempos en la muestra seleccionada.

I Solucion: Los resultados de la medicion se pueden registrar en la siguiente tabIa: 1

2

3

4

5

6

2

1

3

5

4

2

Para el calculo de lo varianza y la desviacion estandar, se preciso calcular previomente la medio aritmetica de la muestra: n ^Xi X =

n _ _ Xj +

^~

pag. 588

+ Xj + ^4 +

6

+ Xg

12

Esfadistica y Probabilidades

la varianza seria:

s =(2 -

n- 1 x)

-\

+ (1 - xf + (3 - xf + (5 - xf + (4 - xf + (2 - x) 6-1

_ (2 - 2.83f + (1 - 2.83f + (3 - 2.83f + (5 - 2.83f + (4 - 2.83^ + (2 - 2.83f s' = 0.689 + 3.349 + 0.029 + 4.709 +1.369 + 0.689

Con lo cual, la varianza muestral es 2.17 minutos cuodrados, aproximadamente. Lo desviacion estandar se obtiene como: s = -Js^ w 1.47 minutos Resulto interesante verificar que, bojo el supuesto de que los datos provengan de una poblacion normal, mismo que oporece en la moyorio de las oplicaciones estadisticas, aproximadamente el 68% de los datos se ubican en el intervalo {x — s, x + s); considerando una desviacion antes ydespues de lo medio aritmetica. Siendo asi, para este caso: ( j c - ; y , x + 5 ) = (2.83 (x-^,x+^)

-

1.47,

2.83

+

1.47)

= (1.36, 4.30)

observandose que 4 de los 6 tiempos registrados estarian en este intervalo, es decir aproximadamente el 66.67%, valor muy cercano al 68% antes referido. Ejempio 12.24 Desviacion tipica. Una empreso tiene computodoras en stock, con las siguientes copocidodes de disco duro: 5 con 40 GB, 15 con 60 GB, 10 con 80 GB, 12 con 120 y 8 con 160 GB. gCual es la varianza y lo desviacion estandar de las copocidodes de los discos duros de este grupo de computodoras?

pag. 589

r - ^

^

l-*^

Solucion: Los resultados pueden ser tobulodos de acuerdo al siguiente detolle: ; Lgg^

Copocidod de disco duro (GB)

Contidad en stock

40 60

5 15

80 120 160

10 12 8

Calculondo lo medio aritmetica, para la toblo de frecuencias dodo, se tiene:

X =-

n _ (40) (5) + (60) (15)+(80) (10) + (l20) (l2) + (l 60) (8) X =

50

_

200 + 900 + 800 + 1440+1280

_

4620

X =

50

X =

50 x = 92.4 GB la varianza muestral para lo toblo de frecuencias dada, se calcula osi: k

n- 1 -\

^ (40 - i ) ' (5) + (60 - xj (15) + (80 - x)' (lO) + (l20 - x)' (l2) + (l60 - xj (8)

S =

50-1

_ (40-92.4) (5) + (60 -92.4) (15) +... + (160-92.4) (8) _ 76 712^00 49 « 1565.55 GB^ Luego, lo desviacion estandar es: 5 = ^1565.55 « 39.57 GB

pag. 590

~

49

12

Esfadistica y Probabilidades

Ejempio 12.25 Desviacion tipica. En cierto proceso productivo para fabricocion de piezas metalicas una corocteristico importante es el espesor de las mismas que se mide en milimetros, el cual deberfo montenerse, segun los especificaciones en 2.4±0.8 mm. Si existen dos lineos de produccion y se han tomodo muestras con ocho piezas eloborodos en coda lineo tal como se presenta en lo siguiente toblo; y, a coda una de ellos se le ha medido su espesor, realice el onalisis necesorio para indicar cual de ombos li'neas registra la menor voriobilidad. Linea A

2.5

2.3

1.9

2.0

2.4

1.8

2.2

1.7

Linea B

2.6

3.1

3.5

1.5

1.7

3.7

3.8

1.4

Solucion: Aplicaciones como lo referido son muy comunes en procesos productivos, en los cuoles, se controla la voriobilidad de los mismos que guordo relocion con el comportemiento de lo desviacion estandar o ti'pico. En este caso, el espesor de las piezas deberia tomor valores entre 1.6 mm y 3.2 mm, ' segun las especificaciones y se procedera o evaluor, a traves de lo desviacion estdndor en cual de ombos lineos este valor es menor, poro asegurar que en ese coso se estorio generondo la menor voriobilidad. Siendo osf, se calcula lo desviacion estandar poro coda muestra, obteniendose los 1 siguientes valores que hon sido truncados hasto tres decimales: Lineas de Produccion

Desviocion Tipica

A

0.292

B

1.009

Con estos resultados se concluye que la lineo A es la que registra lo menor desviacion y por ende la menor voriobilidad, siendo la li'nea que odemds esta generondo piezas dentro de los especificaciones.

pag. 591

12.4 Medidas de dispersion

Autoevaluacion

Para los siguientes ejercicios, se sugiere el uso de una calculadora. 1)

2)

Determine el rango de los siguientes conjuntos de datos y sefiale el conjunto que presenta menor dispersion. a)

A = {1.1, 1.2,2.3,3.4}

b)

B = {2, 3, 5, 6}

c)

€={0.1,0.2,0.3,0.4}

Obtenga el rango de los siguientes conjuntos de datos e identifique el conjunto que presenta mayor dispersion. Si dos conjuntos tienen el mismo rango, utilice lo varianza muestral.

b)

4.80

3.40

9.68

1.02

5.50

2.83

7.28

5.85 /

c)

5.28

8.77

0.11

6.76

Cdlculo de lo varianza muestral:

pag. 592

12 3)

Esfadistica y Probabilidades

Complete lo toblo odjunto y obtenga lo desviacion estandar muestral, considerando tres decimales en sus calculos. Xi

Xi-X

(Xi-xf

4.776 5.927 5.907 8.117 9.492 5.743 x = s

=

A partir de estos resultados, obtenga el intervalo I = (x - .y, x + 5), determine si los valores a = 4.000 y b = 5.000 pertenecen a dicho intervalo; y, calcule ademas el porcentaje de las observaciones que pertenecen ol intervalo I.

4)

Como resultado final de un analisis estodistico, se obtienen intervalos de la forma l = (x-s,x+s). Siendo Ij = (2.3,4.5) e l2 = (2.8, 3.6), gcual de estos intervalos presenta lo menor dispersion de los datos?

pag. 593

12.5 Representacion grafica Objetivos Al finalizar esta seccion ei lector podra: •

Dado un conjunto de dates, representor lo informacion utilizando histogromas de frecuencias, poligonales de frecuencia, diagramos de tallo y hojas, graficos de barros, diagramos de pastel; y, diogramas de cojas.

•

Interpretar informacion a partir de graficos estadisticos.

Al leer un diorio o elgune reviste, es comun encentrernos con elgun tipo de estudio o reporteje cuyes resultedos se muestren en tables y/o grdficos. Es importente, sober representor, leer e interpretar le informecion que se nos proporciene de este forma, reconeciendo les veriebles consideredes, osi como el comportemiento de les mismas. Los graficos permiten formernos une impresion inmediete ecerce de las corocteristicas mas relevantes de los variables objeto de estudio. A continuecion, se presenten olgunos de los grdficos que usuelmente se utilizen en el quehecer estodistico.

Histograma: IEs un grdfico formede per rectdngulos contiguos, cuye bese este dede per lo emplitud de cede intervalo y cuyos olturos corresponden a los frecuencias (absolutes e reletives) elcenzedes en dichos intervoles. Ejempio 12.26 Histogremo de frecuencios. Con los dotes orgenizedos en lo teble odjunto, se construye un histogremo de frecuencios como se muestra o continuecion: Presion ipsi) [50, 59) [59, 68)

f, 45

15 20

[68, 77)

37

[77, 86)

40

40 to

I

30

J

25 o o 20 -a o 15 ^

[86, 95)

26

[95, 104)

18

L»».„.-

pag. 594

10

Presion 50

.........

i [104,113]

c ua

15

59

77

86

95

104

12

Esfadistica y Probabilidades

Ejempio 12.27 Histograma de frecuencias. A partir del siguiente histograma de frecuencias relocionodo con longitudes en centimetros de ciertos componentes: fi

40 37

2 o a

o 'D

c

ID D

P

26 20 18 15

-7^

50

59

68

77

95

104

113

Longitudes

Colifique las siguientes proposiciones como verdaderas o folsos, justificondo sus respuestos: a) El numero total de datos es iguol o 168 y lo maxima frecuencia obsoluto es 40. b) El numero total de datos es iguol a 171 o la minima frecuencia obsoluto es 18. c) Al menos hoy una frecuencia absoluta que se repite tres veces. Solucion: a) Lo sumo de todos las frecuencias es iguol a 171, por lo que lo proposicion dodo es falsa. Como hoy una conjuncion de proposiciones y una de ellos es folso, se puede oplicor la ley de obsorcion de lo conjuncion de proposiciones. .•. Lo proposicion es folso. b) Puesto que la sumo de todos las frecuencias es iguol o 171, lo proposicion dodo es verdadero. Como hay una disyuncion de proposiciones y una de ellos es verdadero, se puede oplicor la ley de obsorcion de lo disyuncion. J

.". La proposicion es verdadero. c) La unico frecuencia que se repite es lo de 15 observaciones y solamente lo hoce dos veces. .". Lo proposicion es folso.

pag. 595

Poligonal de frecuencias:JEste grafico se obtiene o partir del histograma de frecuencias, uniendo las morcos de close con las frecuencias respectivos, formondo un par ordenodo. La poligonal formoda uniendo estos puntos, se cierro juntondo los valores extremos locolizodos en el eje horizontal con las morcos de close del primero y del ultimo intervalo; usualmente, a este grafico se conoce como Poligono de Frecuencias. Ejempio 12.28 Poligonal de frecuencias. Respecto ol ejempio 12.26, lo morca de close de coda intervalo se muestra o continuacion: Presion

\

^

..

.

,

:

''''^ [50, 59)

15

54.5

[59, 68)

20

63.5

[68, 77)

37

72.5

[77, 86)

40

81.5

[86, 95)

26

90.5

[95, 104)

18

99.5

[104, 113]

15

108.5

Poligonal de frecuencias .

fi

Presion

Ejempio 12.29 Poligonal de frecuencias.

....urn

Dada lo poligonal de frecuencias paro un conjunto de 30 edades de personos entre 10 y 35 onos:

pag. 596

12

Esfadistica y Probabilidades

J

1

10

'

4-..

]

'

15

«

1

20

'

1

25

30

35

40

MCi

Edad en anos Calcule lo medio ponderodo de este conjunto de edades, considerando la morca de close como la observacion mos representotivo dentro del intervalo.

Solucion: ^

^ ( 4 ) ( l 2 . 5 ) + (8)(l7.5) + (2)(22.5) + (8)(27.5) + (8)(32.5) 4+8 + 2 + 8 + 8 50 + 140 + 45 + 220 + 260

Mco =

30 715 30

« 23.83 La medio ponderodo de este conjunto de edades es aproximadamente iguol a 23.83 onos.

Diagrama de talio y hojas:|Este grafico es similor ol de un histograma de frecuencias y se obtiene realizando una separacion del digito que esta o la derecho, el mismo que hard los veces de hoja, de los cifras restantes, que formaran el tallo.

pag. 597

Ejempio 12.30 Diagrama de tallo y hojas. Construyo un solo diogromo de tollo y hojos pora los siguientes conjuntos de dotos relatives o colificaciones obtenidos durante dos semestres. I semestre

I! semestre

2.3

2.0

1.0

5.3

2.0

1.0 ' ~

4.5

4.6

1.6

4.5

4.6

3.6

2.0

3.0

1.3

6.5

3.0

1.3

5.0

2.7

4.4

5.0

4.7

4.4

1.5

5.5

5.5

4.5

5.5

5.5

Solucion: Poro este caso, la parte entero de lo colificocion constituye el tollo y los hojos son las cifras decimales de coda colificocion. En el lodo izquierdo estdn las colificaciones del primer semestre y en el lodo derecho estan los del segundo semestre. En el ejempio, el grdfico permite lo comporocion visual de lo distribucion de los colificaciones por semestre. El diagrama de tollo y hojos es el siguiente: I semestre

0 0

0 4

5 5

0 3

3 5

Tollo

5 6 0 7 6

6 5 4 3 2 1

II semestre 5 5 7 6 0 3

5 6 0

0 5

0

Tallo

Hojos

3 5

Hojos

Ejempio 12.31 Diagrama de tollo y hojas. Construyo el diogromo de tollo y hojos o partir de lo siguiente tablo en lo que se describen las medidas de olturas (en centimetros) de 36 plontos de lo especie Stevia rebaudiana.

PlO.5

1 9.7 I

18.8

8.9

8.7

10.9

15.7

11.1

13.4

11.5

18.0

15.4

12.3

13.1

15.1

14.5

17.8

15.3

13.5

12.2

7.6

10.8

17.5

17.6

14.6

18.3

16.0

13.1

14.3

19.9

14.7

14.9

19.6

15.5

9.4

Solucion: Si seleccionamos como valores del tollo los numeros 7, 8,9,..., 18 y 19, el diogromo de tollo y hojos resultonte se presenta o continuacion:

pag. 598

12

Esfadistica y Probabilidades alio

Hojas

Conteo porfilas

7

6

1

8

9,7

2

9

7,4

2

10

5,9,8

3

11

1,5

2

12

3,2

2

13

1,1,5,4

4

14

5, 3, 7, 9, 6

5

15

7, 4 , 1 , 5 , 3

5

16

3,0

2

17

5,6,8

3

18

8, 0,3

3

19

9,6

2

^

s

Ejempio 12.32 Diagrama de tallo y hojos. Poro el siguiente conjunto de dotos que representon las edades de 20 personos: 36

25

37

24

39

20

36

45

31

31

39

24

29

23

41

40

33

24

34

40

Construyo su respectivo diagrama de tollo y hojos, determinando ademas, el maximo numero de hojos presentes por filo. Solucion: Se elaboro el respectivo diogromo de tollo y hojos, de tal monero que lo cifro de lo deceno representord el tallo y lo cifra de lo unidad representoro los hojos. 2: 0 3 4 4 4 5 9 3: 1 1 3 4 6 6 7 9 9 4: 0 0 1 5 Por lo tanto, el mdximo numero de hojas es 9 y corresponde ol tallo etiquetado con 3 poro ios edades de lo muestra.

pag. 599

Ejempio 12.33 Diagrama de tallo y hojos. Se tiene el siguiente diogromo de tollo y hojas de un conjunto de edades: 1 2

6 0

8 2

7 1

8 3

4

5

Calcule lo mediono de este conjunto. Solucion: Se observo que hoy un total de 10 dotos. Como la contidad de dotos es par y se encuentran ordenodos, lo mediana se calcula con los dotos centrales, de esto monero: x=

•^(5) +

-^(6)

20 + 21

= 20.5 afios

Ejempio 12.34 Diogromo de tallo y hojos. Despues de preguntor lo contidad de veces ol ono que 10 compofieros de un curso hon ido ol cine, se obtiene el siguiente diagrama de tollo y hojas: 6 2 1

7 2 3

9 4

Colcule lo medio aritmetica de este conjunto. Solucion: Los datos que se identificon en este conjunto son: 16, 17, 19, 22, 22, 24, 27, 29,31,33 La medio aritmetica es iguol o: _ 16 + 17 + 19 + 22 + 22 + 24 + 27 + 29 + 31 + 33 x= 10

240 = 24 10

Lo medio oritmetico de este conjunto de visitas onuoles ol cine es igual a 24. Ejempio 12.35 Diogromo de tollo y hojas. Del siguiente diogromo de tallo y hojos se conoce que solamente tiene una moda. 1 1 3 4 5 5 5 4 4 4 5 6 6 6 0 0 1 2 2 2 x 4 9 9 A partir de x, determine el valor faltonte de este conjunto de dotos.

pag. 600

12

Esfadistica y Probabilidades

Solucion: Se puede notar que los numeros 15, 24 y 26 aparentemente tienen lo mayor frecuencia en el conjunto de datos, que en este coso es igual o 3. Tombien se puede notar que el numero 32 estd repetido 3 veces, pero lo condicion poro el conjunto dodo es que solamente hoy una modo, osi que el numero 32, con x = 2, serd lo moda del conjunto. En conclusion, el numero faltonte es 32. Ejempio 12.36 Diagrama de tollo y fiojos.

mi

Poro un conjunto de dotos de dos y tres cifras, se reolizo un diogromo de tollo y fiojas: 7 8 10

7 0

9 X

Si lo medio aritmetica de este conjunto es igual a 91, calcule el valor de x. Solucion: _ _ 76 + 87 + 89 + 100 + (l00 + x ) ^~ Pero, x = 91 Pero

5 x = 9 l ( 5 ) - ( 7 6 + 87 + 89 + 100+100)

x = 455-452 .-. x = 3 25

Grdfico de barras:jEste grdfico en el piano se utilizo poro representor dotos de variables cuolitativos o cuontitotivos discretos; y, consiste en una serie de borros rectangulores cuya alturo es proporcionol o lo frecuencia de cada uno de los valores osignodos a los variables.

20 15 10 5 0

A

'

B

'

C

•

D

'

Figuro 12.7 Grdfico de borros. pag. 601

Para construir un grafico de esto naturalezo, debera considerorse lo siguiente: 1. En el eje de abscisas se ubicon los corocterfsticas de lo vorioble en coso de ser cuolitativo; o los valores de esto variable, si fuere discreto. 2. En el eje de ordenados se groficon las borros con una oltura igual a la frecuencio (relativo o absolute) de los dotos. 3. El oncho de las borros debe ser el mismo y no deben superponerse. 4. Las borras pueden ser fiorizontales o verticoles, dependiendo de si los valores de lo variable hocen referencia ol eje horizontal o vertical. Existen cuatro tipos de grdficos de borros, dependiendo de la distribucion de los datos y del interes ol momento de representarlos, tal como se muestra a continuacion: a) UNA SERIE DE DATOS

b) DOS O MAS SERIES DE DATOS

250.000 ••

300.000 • • 250.000-•

200.000 ••

200,000 • •

150.000 ••

150.000 - 100.000 ••

100.000 • •

50.000 ••

50.000 - •

oL

0 1-25

26-50

51-75

1-25

76-100

26-50

51-75

W Mujeres

D Hombres

c) SERIE DE DATOS CON REGIONES 500.000

76-100

d) PIRAMIDES POBLACIONALES 100 o mas 90-99

400.000

fell

80-89 70-79

300.000

60-69

i

200.000 100.000

50-59 40-49

1 1

30-39 20-29 10-19

26-50 B Hombres

51-75

76-100

H Mujeres

1

1 1

0-9

1-25

1

I

1

10%

5%

1 0%

n Hombres

5%

H Mujeres

Figuro 12.8 Tipos de grdficos de borros.

Ejempio 12.37 Grdficos de borros En el proceso de odmision para una Institucion de Educacion Superior se selecciona una muestra de 317 aspirantes o quienes se les pregunta respecto o su preferencio entre cinco de las carreras que oferto: Ingenieria en Sistemas, Ingenieria Mecdnico, Ingenieria Electrica, Ingenieria Agricolo y Biologico e Ingenieria Qui'mica. A partir de los dotos tobulados, se obtuvo la siguiente toblo de frecuencias obsolutos:

pag. 602

10%

12

Estadisfica y Probabilidades Aspirantes a Institucion de Educacion Superior Carrera

Frecuencio Absoluto

Ingenieria en Sistemas

45

Ingenieria Mecdnico

80

Ingenierio Electrica

62

Ingenieria Agricola y Biologico

100

Ingenieria Qufmico

30

^^^^^m^

Construyo un grafico de barros apropiodo y presente sus principoles conclusiones. Solucion: En este coso existen cinco cotegorios que responden o lo preferencio de los ospirantes entrevistados. Al construir el diogromo de barros pora uno solo serie de dotos, en el eje fiorizontol figuron los nombres de las cinco carreras referidos por los estudiantes; mientras que en el eje vertical se registran los frecuencias obsolutos ocordes o los respuestos otorgodos por los entrevistados. El grafico de barros construido se muestra o continuacion: PREFERENCi, o 3

o < O

'u c (D u 0

100 •• 80

..

60 • • 40

••

20

••

0

-

INGENIERIA EN SISTEMAS

INGENIERIA MECANICA

INGENIERIA ELECTRICA

INGENIERiA AGRl'COLAY BIOLOGICA

INGENIERIA QUIMICA

Tal como se puede evidenciar, lo mayor preferencio de los estudiantes entrevistados se focolizo en la correro Ingenieria Agricolo y Biologico. Por otra parte, segun estos datos, el menor interes de los estudiantes se registro en lo correro Ingenieria Qui'mica.

Diagroma de pastel: ^Este nuevo recurso grafico sirve poro representor usualmente porcentajes y proporciones de variables cuolitotivos o cuontitotivos discretos. Poro obtener lo porcidn del pastel que debe considerorse, se hord referencia a un concepto trigonometrico bdsico. Supongomos que se deseo representor un 2 5 % . Este volor expresado en notocion decimal se multiplico por el valor de 3 6 0 ° que corresponde o un circulo completo. Esto es, ( 0 . 2 5 ) ( 3 6 0 ° ) = 90°, observe:

pag. 603

Figura 12.9 Representacion de un diogramo de postel. Como sugerencio odicionol, oiiadir colores ol diogromo permite uno cloro diferenciacion en los porcentajes que se estoblezcon. En varios aplicaciones informdticos se puede inclusive dibujar grdficos en perspectiva, simulando tres dimensiones. Ejempio 12.38 Diogromo de pastel. Un padre de fomilia distribuye sus gostos en cinco grondes rubros: Rubro

Porcentoje

Alimentocidn

40%

Educacion

30%

Viviendo

15%

Vestimento

10%

Solud

5%

Si usted elobora un diograma de pastel, determine lo medido del dngulo correspondiente ol rubro Alimentacion. Solucion: Como un circulo completo tiene 3 6 0 ° , el porcentoje de Alimentocion que es 4 0 % ol ser multiplicodo por 3 6 0 ° se tronsformo en 144°. Esto se puede evidenciar en el diagroma de pastel correspondiente: 5% 10%

15%

i ^ ^ ^ ^ ^

j Alimentacion I Educacion I Viviendo

•I Vestimenta •I Solud

Ejempio 12.39 Diogromo de pastel. Considere lo siguiente toblo en donde se indican los contidodes de usuorios por red social.

pag. 604

12

Estadisfica y Probabilidades Red social

^I

Contidcd estimodo de usuorios (en millones)

Focebook

1800

Twitter

900

Instagrom

600

Snopchot

200

Linkedin

100

Elobore un diogromo de pastel considerondo las redes socioles descritos y las contidodes de usuorios. Solucidn: Al sumor los diferentes contidodes se obtiene 3 600 millones de usuorios en total. Se colculan los porcentajes correspondientes y se obtiene lo medido ongular equivolente: Red social

Cantidad estimodo de usuorios (en millones)

Medida angular

'^'"'=1 « 5 0 %

180°

'O" = i 3600 4

25%

90°

16.670/0

60°

Focebook

3600

Twitter Instagrom Snopchot Linkedin

3600 3600 3600

Total

2

«

^

6

= '

«

5.550/.

20°

=

«

2.78-/.

10°

18

' 36

100%

360°

El diogromo de postel serd:

jjjjjl

Facebook

m

Twitter

HH

Instagram

imil III

Snapchat

Linkedin

pag. 605

Diagroma de Caja: |Este tipo de diogromo, denominodo tambien de Bigotes constituye una representacion grafico de un conjunto de dotos en el cuol se presenton corocteristicos relevantes como dispersion, desviocion de lo simetrfa y lo identificacion de lo presencia de valores otipicos o extremes, es decir, volores mucho mds grandes o mds pequenos que el comun de los dotos. Paro construir este diogromo se localizon los tres cuortiles, osi como los valores mdximo x^^-^ y minimo x^^y luego, se construye un rectdngulo o cojo cuyo oncho es lo diferencio entre el Tercer y Primer Cuartil, lo que se conoce como Rongo Intercuortilico RI, locolizdndose en su interior el 5 0 % de los observociones. Lo Ifneo al interior de lo coja corresponde ol valor de lo Mediono o Segundo Cuartil Q2, y, los bigotes se extienden desde coda extremo de la cojo. La identificocion de valores otfpicos puede hacerse a troves del criterio del Rongo Intercuortilico, segun el cuol todos oquellos observociones menores que Qi — \.5RI o mayores que ^ 3 + 1.5i?/se consideran valores extremes o otfpicos. A continuacion se presenta una ilustrocion de un diogromo de cajo con sus principoles elementos.

25% i?/(50%) 25%

Figura 12.10 Diogramo de Cojo.

Ejempio 12.40 Diogromo de Coja.

^ « H M B M

A portir de los dotos de edodes de uno muestra de veinte personos que se incluyen en lo siguiente toblo, construyo el correspondiente Diagromo de Cojo, identificondo sus elementos y precisondo sus principoles conclusiones. 27

39

42

20

17

28

50

26

25

38

41

25

28

28

32

36

45

24

33

40

Solucidn: A partir del andlisis de los datos, el lector podrd verificor los siguientes medidos o estadisticos:

pag. 606

12

Estadisfica y Probabilidades

Estadisticos

Valor

Media aritmetico

32.20

Mediono

30.00

Moda

28.00

Mdximo

50.00

Minimo

17.00

Primer cuortil

25.25

Segundo cuartil

30.00

Tercer cuartil

39.75

Rongo

33.00

Rongo intercuortilico

14.50

Vorionzo

77.85

Desviacidn tfpica

8.82

Al reolizor el Diogramo de Cojo, se tiene: 50.00

EDAD A partir de este diogromo, se puede concluir que: Los edodes de lo poblocidn comprendidos entre Q2 y estdn mds dispersos que los comprendidos entre y Q2. El bigote inferior (x^^y Q^) es mds corto que el superior (Qy x^^^), rozon por lo cuol el 2 5 % de los mds jdvenes estdn mds concentrodos que el 25 % de los menos jovenes.

d)

El Rongo Intercuortilico RI = - Qi = 14.50, indico que el 50%) de los personas en lo muestra tienen edodes que vorion como mdximo en 14.50 oiios. Por lo formo en lo que se presenta el diogromo, se observe que no existe simetrfa en lo distribucidn de los dotos ya que hociendo lo respectivo comparacion, lo distancio entre el segundo cuartil y el primero, osf como la distancia entre el segundo cuortil y el tercero no es lo mismo.

pag. 607

12.5 Representacion grafico

1)

2)

Autoevoluocion

A partir de las siguientes edades de los hobitontes de una comuno, obtengo el diogromo de tollo y hojos correspondiente. 30

32

32

32

33

33

36

39

40

41

41

43

43

43

44

49

49

52

53

59

60

60

61

61

63

69

69

70

70

70

Trace uno poligonal de frecuencias sobre el siguiente histogromo.

10

D

'o c

O ; 2 3 ) a ) - 1 6 , b) - 9 , c) (

1 -2

1

-2-i 5 + 2/

-2-i

'(}.0),d)(-2.2).

/1, d) As{x) = { 1 + 2/, 1 - 2/, - 4 + 2/, - 4 - 2 / } , e) A / ( x ) = { - 2 -

- 2 + 2V2/, 2 - V2/, 2 + V2/}; 18) A p ( x ) =

30)

1' _ 1 ) 2 ' 2}

b) (0, 0), ( 0 , - l ) , ( | , - j

^

16

CIS

2 V2/,

^ = 1 ; 19) - 2 + 2 / ; 2 0 ) a ) - 2 + 21, il±Vfl'+lJ

/, e) 0 + X {-if

= 0 + 0 /; 2 2 ) p = 0 V p = 2,

; 2 4 ) z = 1 ± 2/; 2 5 ) ( c ) ; 2 9 ) a) /, b) - /;

\3)

1 - 2 + 2/

; 3 1 ) a ) - 2 + 2i, b) - 1 - /; 3 3 )

1- /

"l(.en(a))""'(co5(«)/)'; k=0\'^J

34) |z «I = 1 , i?e (z") = co5(«P), /w (z") = sen{n^); 3 6 ) ( a ) ; 3 9 ) a ) x = 2 + / , ; ; = 1 + 3/, b ) x = ^ ^ , > ; = l + / ; 4 0 ) ( e ) ; 4 2 ) o]w,= 0 + 3i, b) iVo =

V2 , V2 . V2 , V2 . z, Wi = + + Z, W2=

Wi = CIS

V2 -

= - | V3 - | / ,

V2 . V2 Z - Z, W3=

V2 . —1,C]

|

V3 - | / ,

. Wo= CIS \ )

(9n] fl37l\ , d) Wo= 2 + 2V3 /, wi = - 4 + 0/, W2= 2 , W3 = c/^ 8 ), W2 - cis [ 8 j [ 8 /

2V3 /;

4 3 ) a ) w o = l + 0 / , W i = - - + —/,W2=-2-—2~'''^l^'o=2" + '2"'''^i = ~^+^''''^2= 2"—2"'' , 4nr3 . /'57c\ /137l\6 , V2 . ^6 V2 . , c) Wo= V2^ CZ5(^-^j,w, = V2^ CIS,d]wo= —

3pr . /47r\ i,Wi = -—

+ —

Y^'^I ^0=^2

CISl^-^j.

pag. 6 7 4

I

= 2 c r 5 (- y l ) , 4 8 ) 2 ; 4 9 )

- 2 x + 5 = 0.

Capitulo 10. Vectores

mmmmmmm^t Autoevaluaciones

i a i ) l ) a ) X , b ) X , c ) X , d ) ^;2)o)

OS =i-5,6),PR=i5,2),RQ=i\,3),QP

3) a) V = (xj - X j , g (X2) - f (xi)),

=(-6,-5);

b) S e tiene un punto de interseccion entre f y g;

6 ) a ) | | V l | | = 2V^,b)||V2||=^/5,c)||V3!| = V 3 4 ; 7 ) 1111 = V 1 + ?^ -j0.2) 1) a ) W j = ( 2 , 4 , 8 ) , b)

W2=(3, 3, 3), c) W 3 = ( 2 ,

2 , 6 ) , d) N, = 2, e) 7V2 = - 4 , f) W 4 = ( 0 , 0, 0 ) , g) W 5 = ( 4 , - 6 , 2 ) ;

2) e = - | - ; 3) a) P = {(a, b, c) e RV 3a-2b 4) o) U =

+ 4c = 0 } , b) Si se cumple, c) d ^

( - 4 , 0 , 3), b) W = ( - 6 4 , 0 , 4 8 ) 10.3)

u;

1) U n a r a z o n : N o se cumple A3;

2) Ej: P = A : ^ - 1, su inverso es: P ' = 1 - x ^ ; 3) a ) F a l s a , b) V e r d a d e r a ; 4) R no puede ser expresado como C L . de los vectores P y Q; 5 ) Si V = a V j + W2 + CV3, entonces a = 1 , b = ^[2-l-nyc

= n•,6)c^ = ^{b + 3a), C2=| ( a - 2Z?); 7) V j y V2 son L . I . ; 8 ) M i = 3M2,

los vectores son L . D . 10.4) 1) ^ = 4) V= 16V6 w ^ 5 )

w2. 2 ) b) 1 1^2. 3) a ) F a l s a , b) V e r d a d e r a , c) F a l s a ;

I0nhu\

Ejercicios Propuestos 2) a ) 0 , b) 1 , c) 1 , d) 1 , e) 0 ;

3)

a ) ( 1 , 3 ) , b) ( 1 3 , - 5 ) , c) ( 3 , 3 ) , d) ( 0 , 3 ) , e) ( - 9 , 0 ) ,

f) ( 2 , 3 , 2 ) , g) ( 1 , 2 , - 3 ) , h) ( 0 , - 1 , 0 ) , i) ( 0 , 0 , 0 ) , j) ( - 8 , - 1 , 2 ) ; 4) ^ 3 ^ ^ , | , - 6 ^ ; 5) a = 1 , = 2 y c = 1 ; 7) a ) 0 , b) 1 , c) 0 , d) 0 ; 8) a ) a = - 2 , Z) = - 8 , b^l,

V j » V 2 = \,c]

a,b G R A a + Z> + 2 = 0 , V j » ¥^ = 13, d) N o es posible determinar

a, b, ni V , . V , ; 9) a) a = 1 , Z> = - 2 , b) - 5 4 ; 10) a )

^)

V3=(-f,x)'

• V = 1 7 3 , b) a = - 1 ,

= ( - 3 , - 3 ) , b)

V2 = ( - 1 , 2 ) ,

""^^ a) V = ( 2 1 , - 6 , - 7 ) , b ) x = l , j ; = 0 , c ) - ^ ; 12) a ) ( 4 , - 4 , - 2 ) ,

b) ( 1 , - 1 4 , 2 0 ) , c) ( 0 , 4 , - 4 ) , d) ( 2 8 , - 4 0 , - 7 ) ; 14) a ) V3 = ( 6 , 4 ) , b) - 3 9 , c) a = 3 v a = 1 , d ) y t = 2 e ^ , e ) A : = - 4 , m = -5;16)/t = -l;17)V2 = ( ^ , - 9 , - | - ) ; 1 8 )

b]m = - ^ ,

pag. 6 7 5

« =-^;19)Verdadera;20)A=(3,5,-3),B =(-l,-l,-l);21)a =^ ; 2 2 ) U = ^ ( 2 , l ) 23) a) V , = (2, 0 ) ,

V2=

( 1 , 1 ) , b) U = ^ ( 3 ,

1), c) f,

24) -

25) (a); 26) (b)

2 7 ) ( e ) ; 2 8 ) a ) V , = ( - 1 , i ) , V2 = ( l , 2 ) , b) U = ^ ( 1 , 2 ) , c) Sf son ortogonales, d) ^ V S S e) P r o y ( V 2 - 2 v , ) ( V , + 2 v i = I

( 3 , 1 ) ; 2 9 ) P r ^ ^ = (o, | , | ) ; 3 0 ) U = ^

3 1 ) a ) V , = ( 2 , 1), V , = ( 0 , 1 ) , b ) ^ ; 3 3 )

(3, - 9 , - 7 )

||A|| = 2 V 7 ; 3 4 ) ||V,|| = / 2 9 ; 3 5 ) ( b )

3 7 ) a) V e r d a d e r a , b) V e r d a d e r a ; 3 8 ) N o es espacio vectorial; 3 9 ) Sf es espacio vectorial 4 0 ) Linealmente dependientes; 4 1 ) a ) Vki

{ 0 } , b) y t - 0; 4 2 ) a ) V 6 6 1 . - { - 1 , 0 , 1 }

b) 8 G { - 1 , 0 , 1 } ; 4 3 ) a ) 1 , b) 0 , c) 0 , d) 1 , e) 1 ; 4 4 ) ( c ) ; 4 5 ) 4 0 ^ 3 ; 4 6 ) ( e ) ; 4 7 ) 48)

^

\a\^f.

Capitulo 1 1 . Geometria Analitica en Autoevaluaciones l)a)M(l,l),

b)P=(V4r+VT7+10)w;2)/w

b) V s f es vector normal a b) Z : X -

= - ^ ; 3 ) e = 4 5 ° ; 4 ) a ) I p : 4 x + j ; - 7 = 0,

112) 1) C: (x - 2f + (y + \ = 25; 3) F a l s a ; 4) a) 0 ( - 2 , 2 ) ,

- 8 = 0 11.3) 1) ( b ) ; 2) '^(l , y ) ; 3) Relacion directa; 4 ) ( x + 3)^ = 4y

1) Z : 16x2 + 1 1 2 x + 2 5 ^ + 96 = 0; 2) V e r d a d e r a ; 3) / = 2)

A

3^2 = - T ^ ; 3 ) 1 5 7 t u'; 4) F,(2, 2)AF^i-2,

= | - n 5 ) 1)

x2 - 4 / = 4 ;

-2).

Ejercicios Propuestos 1) a) 0, b) 1 , c) 1 , d) 1 , e) 1; 2) ( c ) ; 3) ( c ) ; 4)a]y

= Qwy = - 1 2 , b) M ( 4 , - 3 ) v M ( 4 , - 9 ) ,

c) 3 x - 4 j ; - 2 4 = 0 , 4 - T = l v 3 x + 4 j ; + 2 4 = 0 , - ^ + - ^ = l , e ) 4 x + 3;^ + 9 = 0 , 4 x - 3 j + 1 5 - 0 ; 8 6 —8 —6 5) a) VTO, ( - 1 / 2 , 5/2); b) V 5 , ( 1 / 2 , 4 ) ; c) V 2 6 , ( - 5 / 2 , 3/2); d) 1 , ( 5 / 2 , 4 ) ; e) 3 , ( - 1 1 / 2 , 6 ) ; f)

[^a,

l ) , g) V l 7

Oa, 5a/2); 6]9x-y-6

J. , IT A Q\ 1 ^ = 7 + 3/ d) x + 2 ; ; - 1 2 = 0 ; 8) a) [^^.^^^M

pag. 6 7 6

= 0; 7) a) = 6, b) x = 0, c) 3x - 2 j ; + 12 = 0 ,

|x=l-3/

, (x=7-2^ |x=l+2/ ^ = - 1 + 3 / ' ^ ' ^ = 4 + 3/'

(3,^4^2/'^'

e

)

.

( c ) ; 1 0 ) ^ u ; 1 1 ) 1 2 ) L ^ : y = -3x+ 10; 14) Punto medio: (1,6), Puntos

-,9)

[y = —2 + ot

J

J

de triseccion: ( 0 , 14/3), ( 2 , 22/3); 16) ( a ) ; M) y = - 7 800x + 8 0 0 0 0 ; 18) ( a ) ; 19) ( e ) ; 2 1 ) ( d ) ; 2 2 ) ( c ) ; 2 3 ) ( a ) ; 2 4 ) ( x - 4 ) 2 + ( j ; - 1 ) ^ = 100/13; 2 5 ) a ) C : (x-3)2 + ( j ; + 1 ) ^ = 6 1 ,

3)2 + ( y -

b) C : ( x -

C2:

e)

1)2 = 4, c) C : 4x2

( x - 1)2 + iy + 2)2

= 5,

+4/

+x -

43>; = 0 , d)

C : ( x + 2)^ + ( j + 2f = 2 5 ,

f) L , : Ax - 3y - 32 = 0 , L^:

3x + 4j; - 49

= 0,

g) C : ( x - 5 ) 2 + ( ; ; - 4)2 = 9, L , : 3x + 4y - 46 = 0 , h) C : ( x - 5 ) 2 + {y + 2f = 1 ; - V 6 ; 2 8 ) ( x - 1)2 + (y - if

26) ( a ) ; 27) ^ 3 3 ) ( x - 2)2

= 8( j ;

= 2 , 2n u\) ^- n u\) ( b ) ;

- 1 ) ; 3 4 ) x2 - 2 x - 83; + 1 = 0 ; 3 5 ) ( b ) ; 3 6 ) C : x2 + /

P: / - 2 y - X - 2 = 0 ; 3 7 ) a ) P: x2 = 2y, P: x^ = -2y, P: / b) P: /

51)

= 2 x , P: /

- 67 + 12x + 33 = 0 , c) P: x2 - 4j; - 4 = 0 , d) P: {y - \f

e) P: x2 +

47)

+ 6x - 2>; + 1 = 0 ,

4x -

8>^ + 2 0 = 0 ;

( i 1 ) ; 48) ^

4x2 ^

= -

= -2x, (x-|),

3 8 ) ( a ) ; 3 9 ) x 2 - 8 7 + 8 = 0 ; 4 0 ) P: / = - 5 0 ( x - j - ) ;

+

= 1 ; 4 9 ) ( c ) ; 5 0 ) E: ( x - 1)2 +

- 6 4 = 0 ; 5 2 ) P: ( y - 2)2 = 4V7 ( x -

5);

53)

4x2 + 3 /

= 1; - 12 = Q.

5 5 ) ( e ) ; 5 6 ) ( a ) ; 5 7 ) ( a ) ; 5 8 ) ( b ) ; 5 9 ) ( e ) ; 6 0 ) F a l s a ; 6 1 ) x2 - 3 / - 4x - l O j + 1 = 0 , 6 3 ) a ) C : ( x + 1)2 + ( 3 ; + 3)2 = 4 , £ : ^ ^ ^ +(j+5)2= 1 , b ) / / : c) j ; = V 5

( x + l ) - 5

V j ;= - V5(x+1)

5x2-/+

l O x - l O y - 4 0 = 0,

- 5; 6 4 ) ^ ^ ^ 1 ^ - - ^ =

1,

6 5 ) 7 / : i ^ ± f ^ — ^ = 1 .

'

7l2/4

1/3

Capitulo 12. Estadistica y Probabilidades Autoevaluaciones 12.1)2)0)

Descriptiva,b)lnferencial;3)a)Datosnocomparables,b)Proyecci6ndescuidadade

tendencias;4) Variable: Peso, E n t e : c a m a r 6 n , M u e s t r a : lOOcamarones, P o b l a c i 6 n : C a m a r o n e s de la piscina; 5 ) a ) O r d i n a l , b) Continua, c) Discrete, d) N o m i n a l , e) Continua 12.2) 3) ^ = 2 0 ; 4) a ) 3 1 , b) 4 2 % , c)

94 cm, d)

•••••• 18%

12.3) 1)

a ) x^ = 1.71 m, x^ = 1.71 w , x^ = 1.73 w ;

pag. 6 7 7

2) a) X = 18 a n o s , b) 16 anos y 2 0 anos; 3) x = x = M o = 0 . 9 0 6 mm, Q2 = 0 . 9 0 6 mm, & = 0 . 9 0 7 mm; 4 ) a ) 3 8 , b) 6 9 . 1 % , c) P90 = 0 . 9 0 9 mm h]R

= A,c]R

= 0 . 3 , menor dispersion; 2)a]R

dispersion; 3) I

= (4.892, 8.428), a i

= 0.904

mm,

12.4) 1) a) i? = 2 . 3 ,

= 8 . 6 6 , b) /? = 4 . 4 5 , c]R

I, b G \, 6 6 . 6 7 % ; 4)

= 8 . 6 6 , mayor presenta

menor

dispersion 1 2 5 ) 2) Entre el 2° y 3° intervalo; 3) a) Total: 2 0 0 estudiantes, Hombres: 100, Mujeres:

100;

4)

A

mayor

rango

intercuartflico,

mayor

dispersion

de

los

datos

12.6)2)a)Q={l,2,3,4,5,6,7,8,9,10,ll,12},b)^={(2,3),(2,4),(3,2),(3,4),(4,2),(4,3)}, c) f2 = { s , c, h, w , i, m , m , e, n } ; 3) a) N o son mutuamente excluyentes, b) Sf son mutuamente excluyentes; 4) - | ; 5) y ; 6) y

Mf)

1) 0 . 1 8 ; 2) a) P ( A U B U C ) = y ,

b) P ( B n A ^ ) = 0, c) N o , P ( A ) ^ P ( A ^ n B ^ n C ^ ) , d) Sf, P ( A n B ^ ) > P ( C ) ; 3) b) I) 0 . 0 4 0 , II) 0 . 0 0 2 , III) 0 . 0 4 2 , IV) 0 . 9 5 8 ; 4) | | .

Ejercicios Propuestos 2) a) 0, b) 0 , c) 0, d) 0 , e) 1 ; 3) IV, III, II, V , I, V I ; 8) b) 8 0 % , c) 15 dfas, d) 1 7 % , e) 1 0 0 % ; 1 4 ) X = 1 7 . 5 1 6 , 4 modas: 15, 17, 18 y 19, x = 17, Valor M a x i m o = 2 7 , Valor Minimo = 12; 1 5 ) X = 8 0 . 7 1 , [ 7 7 , 8 6 ) , Valor Minimo = 5 0 , Valor M a x i m o = 1 1 3 , i? = 6 3 ; 16) a) 0, b) 1 , c) 0; 1 7) 8 2 ' ' C ; 1 8) ^ ^ ^ ^ ^ ; 19) a) Valor M a x i m o = 3 1 0 , Valor Mfnimo = 2 4 0 , b) X = 2 8 7 . 6 7 , X = 2 8 7 . 5 0 , Mo RI=

= 2 8 5 , c)

= 281.25,

= 287.50,

= 303.75,

22.50; 2 0 ) 2 0 2 libras; 2 1 ) $2401.60; 2 3 ) ( c ) ; 2 4 ) ( c ) ; 2 7 ) ( d ) ; 3 3 ) a) 0, b) 1, c) 1,

d) 0, e ) l ; 3 4 ) a) 0, b) 1, c) 0, d) 0, e) 0; 4 0 ) a) { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , ( 1 , 5 ) , ( 1 , 6 ) , ( 2 , 1), ( 2 , 2 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 4 ) , ( 2 , 5 ) , (2, 6 ) , ( 3 , 1), ( 3 , 2 ) , ( 3 , 3 ) , ( 3 , 4 ) , ( 3 , 5 ) , ( 3 , 6 ) , ( 4 . 1 ) , ( 4 , 2 ) , (4, 3), ( 4 , 4 ) , (4, 5), (4, 6), ( 5 , 1 ) , ( 5 , 2 ) , (5, 3), ( 5 , 4 ) , (5, 5), (5, 6), ( 6 , 1 ) , ( 6 , 2 ) , ( 6 , 3 ) , ( 6 , 4 ) , ( 6 , 5 ) , ( 6 , 6 ) } , b)

c) ^ ; 4 1 ) a) { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , ( 1 , 5 ) , ( 2 , 1 ) ,

(2.2) ,(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1), ( 5 , 2 ) , ( 5 , 3 ) , ( 5 , 4 ) , ( 5 , 5 ) } , b) ^ ;

4 2 ) a) N ( f 2 ) = 3 6 , b)

b)

4 5 ) ( c ) ; 4 6 ) a) N ( Q ) = 16, b) ^ ,

- ^ ;

4 4 ) a) N ( Q ) = 2 5 , b) ^ ;

c)

-^;

4 3 ) a) N ( Q ) = 2 1 6 , c) j i - ; 4 7 ) 0 . 1 5 ;

4 8 ) a) 0 . 3 4 , b) 0 . 0 1 , c) 0 . 0 9 ; 4 9 ) a) 0 . 1 , b) 0 . 3 7 5 , c) 0 . 2 5 ; 5 0 ) a) 0 . 5 8 , b) 0 . 2 4 , 0 . 1 8 ; 5 1 ) 0 . 3 5 ; 5 2 ) a) 0 . 1 8 , b) 0 . 1 5 ; 5 3 ) a) 0 . 5 , b) 0 . 5 ; 5 4 ) a) 0 . 5 , b) 0 . 8 1 2 5 ; 5 5 ) 0 . 3 7 7 .

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El desarrollo de Fundamentos de Matematicas p a r a Bachillerato como referente p a r a sentar las bases del precalculo, constituye una oportunidad p a r a enfrentar el estudio de temas c o d a v e z mas exigentes del presente siglo, cuyo limite solo depende de la decision del lector. Los 3 4 4 ejemplos resueltos, 1 5 4 ejercicios de autoevaluacion, 4 3 5 ejercicios propuestos, 6 desafios; y, 1 2 F u n d a R E T O S , sumados al valioso contenido de c o d a uno de los 6 capitulos correspondientes al Tomo II, brindan el impulso necesario p a r a continuar alimentando la pasion por el maravilloso mundo de las matematicas.

FCNM Facultad de Ciencias Naturales y Matematicas