Formelsammlung zur praktischen Mathematik [Durchges. Neudr. Reprint 2019 ed.] 9783111372549, 9783111015088

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Sammlung

Göschen Band

1110

Formelsammlung zur praktischen Mathematik Von

Dr. habil. Günther Schulz apl. Professor an der Technischen Hochschule Berlin

M i t 10 A b b i l d u n g e n lJiiichgesehenei

W a l t e r

d e

Xeudiuik

G r u y t e r

&

C o .

vormals G. J. Goschen'süie V e r l a g s h a n d l u n g • J. G u t t e n t a g , Verlagsb u c h h a n d l u n g • Georg R e i m e r • Karl J. T r ü b n e r • Veit & Comp, Berlin 1945

Alle R e c h t e , i n s b e s o n d e r e d a s von d e r V e r l a g s h a n d l u n g

Übersetzungsrecht, vorbehalten

A r t h i v - N r . i l U 10 Druck von W a l t e r de G r u y t e r & Co., P r i n t e d in G e r m a n y

Berlin W 55

Inhaltsverzeichnis.

Seite

I. A b s c h n i t t . Allgemeine Hilfsmittel. § 1. Zahlenwerte S 2. Unendliche Reihen § 3. Fehlerbetrachtungen § 4. Der logarithmische Rechenstab § 5. Nomographic

4 8 18 15 18

II. A b s c h n i t t . Ausgleichsrechnung. § 1. Auagleichung direkter Beobachtungen § 2. Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen § 3. Auflösung der Normalgleichungen

24 29 38

III. Abschnitt. Auflösung v o n Gleichungen. § 1. Vorbemerkungen § 2. Allgemeines Verfahren der Näherungsfolgen § 3. Das Newtonsche Verfahren u n d die regula falsi § 4. Verfahren zur Berechnung der Wurzeln algebraischer Gleichungen § 5. Systeme von Gleichungen

49 62

IV. A b s c h n i t t . Interpolation. § 1. Differenzenrechnung § 2. Das Interpolationspolynom § 3. Interpolation In Tafeln § 4. Interpolation bei F u n k t i o n e n zweier Veränderlicher § 5. Numerische Differentiation § 6. Numerische Integration '.

67 72 70 82 84 86

V. A b s c h n i t t . Quadratur u n d ¡Summation. § 1. Mittelwert verfahren § 2. Quadratur u n d K u b a t u r durch Interpolationsreihen § 3. Quadratur durch Summation; Summationsformeln

88 94 96

VI. Abschnitt. A n n ä h e r u n g willkürlicher- F u n k t i o n e n Reihen gegebener. § 1. Allgemeiner Ansatz § 2. Annäherung durch Orthogonalsys «me § 3. Harmonische Analyse

41 42 46

durch

VII. Abschnitt. Integration von Differentialgleichungen. § 1. Das Verfahren von Runge, Heuii u n d K ut.ta § 2. Das Verfahren der wiederholten Quadratur § 3. Die Verfahren von Adams u n d Stürmer § 4. Das Differenzenverfahren f ü r gewöhnliche Differentialgleichungen § 5. Das Differenzenverfahren f ü r partielle Differentialgleichungen

100. 105 108 111 114 116 126 132

Literatur

144

Sachregister

146

Sämtliche vorkommenden Größen sind, wenn es nicht ausdrücklich anders angegeben ist, als reell vorausgesetzt. Die vorkommenden F u n k t i o n e n sollen innerhalb eines abgeschlossenen Bereichs endlich, eindeutig, reeüwertig und statig sein sowie dort, Ableitungen genügend hoher Ordnung besitzen. 1*

I. Abschnitt. Allgemeine Hilfsmittel. § 1.

Zahlenwerte.

Bimmialkoeffizienten. )vi (n — v)! v!' v/

1.

10

11 12 13 14 15 16

15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120

i;

i 7 28 84 210 462 924 1716 3003 5005 8008

(,)=-•

—

— 1 — 8 1 36 9 120 45 330 165 792 495 1716 1287 3432 3003 6435 6435 11440 12870

2. Fakultäten und ihre dekadischen Logarithmen n 2 3 4 5 6 7

n\

log10w! 2 6 24 120 720 5 040

0,301030 0 0,778151 3 1,380 211 2 2,079181 2 2,857 332 5 3,702 430 5

Zahlenwerte.

5

w!

n 8 9 10 11 12 13 14

3 39 479 6 227 87 178

3. Summen

S(m =

log 1 0 w! 40 362 628 916 001 020 291

4,605 520 5,559 763 6,559 763 7,601155 8,680 337 9,794 280 10,940 408

320 880 800 800 600 800 200

5 0 0 7 0 3 4

TO

m

o ö» om

1 2 3 4 5 6 7 8

2 10 28 60 110 182 280 408

2 34 196 708 1958 4550 9352 17544

2 130 1588 9780 41030 134342 369640 893928

o(8) «m

q(10) om

2 514 13636 144708 925958 4285190 15814792 49369224

2 2050 120148 2217300 21748550 142680902 707631400 2855115048

4 . Bernoullische Zahlen. Diese Zahlen sind durch die symbolische Gleichung (B + l f — 0, »1=2,3,4,...; B 0 = l derart definiert, daß nach Ausführung der n-ten Potenz des Binoms B" durch Bv zu ersetzen ist. Für n = 2 und n = 3 erhält man beispielsweise 2Bj_ + 1 = 0

und

3J3 2 + S B t + 1 = 0 .

Die Werte der Bernoullischen Zahlen sind sämtlich rational. Bo = R

=

— 6 —

1>

=

— 2> -®2 =

B- = At = #11 =

1. 4 2'

R — 8—

1 3 0'

R

6'

=

Bt = — .i ,

#18 = ' " " = 0 ,

— 5 1 0 — 66"'

R — 11—

B

601 2'TTt)'

R — 7 °14—!'•••

6

Aligemeine Hilfsmittel.

Die Numerierung ist bisweilen von der obigen abweichend, indem Bu, Bv Ba, ß 5 , S „ . . . überhaupt nicht eingeführt werden und B2v 0 = 1, 2, 3 , . . . ) mit (— l ) " - 1 Bv bezeichnet wird.

5. Eulersche Zahlen. Diese Zahlen sind durch die symbolische Gleichung ( £ + l)» + ( £ - l ) " = 0 , „ = 1 , 2 , 3 , . . . ; E0=l derart definiert, daß nach Ausführung der w-ten Potenz der Binome E" durch Ev zu ersetzen ist. Die Werte der Eulerschen Zahlen sind sämtlich ganzzahlig. E0=l, E2=— 1, Ei=b, £7, = —61, jB 8 = 1385, JS10 = —50521, jE 12 = 2 702765,. . B 1 = £ 3 = E 6 = • • • = 0. 6. Weitere Konstanten. 1/2 = 1,414 213 562 4 1/3 = 1,732 050 807 6 j/lÖ = 3,162 277 660 2 j/2 = 1,259 921 049 9 l/lO== 2,154 434 690 0 j/iÖO = log10 2 = loge 2 = log,, 10 = e=

4,641588 833 6 0,301029 995 7 0,693 147 180 6 2,302 585 093 0 2,718 281 828 5

- - = 0,367 879 441 2

e

e2 = 7,389 056 098 9

42 = 0,135 335 283 2 e ]/e = 1,648 721 270 7 log10 e = 0,434 294 481 9

Zahlenwerte.

log10 log 10 e = 9,637 784 311 3 7i = 3,141592 653 6

— 10

— = 0,318 309 886 2 71

7t1 = 9,869 604 4 0 1 1 42= 71

0,101 321183 6

] / n = 1,772 453 850 9 ]fn

0,564189 583 5 = 2,506 628 274 6 = 0,398 942 280 4

71

2

= 1,253 314137 3

j / l = 0,797 884 560 8 3

] / n = 1,464 591887 6 —

'71

= 0,682 784 063 3

log107r = 0,497 149 872 7 log€ n = 1,144 729 885 8 1 = arc 57° 1 7 ' 4 4 " , 8 0 6 247 = arc 57°,295 779 5 1 3 1 = arc 3 437',746 770 78 = arc 206 264",806 247 arc 1° = 0,017 453 292 52 arc 1' = 0,000 290 888 208 7 arc 1 " = 0,000 004 848136 811 C = 0,577 215 664 9 (Eulersche Konstante).

8

Allgemeine Hilfsmittel.

§ 2.

Unendliche Reihen.

7. Taylorspher Lehrsatz: Ist die Funktion / ( x ) in einem Intervall mindestens n-mal differentiierbar und sind x und x + h bzw. x und a zwei diesem Intervall angehörende Stellen, dann gilt f(x + h)=f(x)

(1)

1

+

flhf(x)+^hT(x)

+ • • • + (nliy-hn-lfn-r>(*) 0
1J •

- f£] ^

~ [Si[xl] = 1 L

~[i]l]-

Kordrolle: Man berechnet [yS] -

[2]

= ^

[«ST] -

" j [aS] = [«S. 1 ],

dann muß sein [yy,l}+ [¡(8,1] +

[88] -

[2/2,1]+ [yl,l] = [22,1] +

[d, 1 ] =

I= [®S | = [yS,l], [2Ä, 1 ] ,

[ 2 / i , l ] + K l ] + [U,l] = [18,1], [yS, 1 ] + [zS, 1 ] + [IS, 1 ] = [SS, 1], Rechnung: Man bildet

Kontrolle: Man' berechnet

[yy> 1J

!]. [88,1);

40

Ausgleichsrechnung.

dann muß sein [ « , 2] +

[zl, 2 ] = [zS, 2], [zl, 2 ] [iS,2]+[lS,2]= [SS, 2].

+

[II,

äj =

[W, 2J,

Rechnung: Man bildet

[II, 2]-^[zl,

2]= [11,3],

Kontrolle: Man berechnet

[zz, ¿\ dann muß sein

^

[II, 3 ] = Rechnung: Es ist 2] ==[yl,l]_ V [«,2]' [yy, 1 ]

[iS, 3 ] =

[SS, 3],

[yz, 1] ''[yy, 1 ] ' [a;®]

[w] =

'' [asic]

s

[a;®]'

[H, 3 ] ,

[«, 1]

'

_

[xx] • [yy, 1] • [zz, 2]

[zz] • [yy] — [yz] • [yz]' Mittels der Gewichte p p ,'P p(t berechnen sich die mittleren Vsv, ?V be: Fehler von rj,'Qzu m , - , ,

W

«

-

1

/

—

i

m

,

-

|

/

W

Literatur zu Abschn. I I : E. Czuber, Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Anwendung auf Fehlerausgleichung, Statistik und Lebensversicherung, I. Bd., 4. Aufl., Leipzig und Berlin 1924. b\ R. Helmert, Die Ausgleichsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate, 2. Aufl., Leipzig und Berlin 1907.

Vorbemerkungen..

41

C. Runge u. H. König, Vorlesungen über numerisches Rechnen, Berlin 1924. K a p I I I : Ausgleichungsrechnung. W. Weitbrecht, Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate (Sammlung Göschen Bd. 302 u. 641), 2. Aufl., Berlin und Leipzig 1943 u. 1920.

III. Abschnitt. Auflösung von Gleichungen. § 1.

Vorbemerkungen.

35. Losung (oder Wurzel) einer Gleichung / (x) = 0 heißt eine Zahl a, wenn sie Nullstelle der Funktion f ( x ) ist, wenn also / ( a ) = 0 ist. Wir beschränken uns hier auf die Berechnung reeller Wurzeln. Dabei bedeutet numerische Berechnung die Darstellung durch einen Dezimalbruch. Die in § 2 gegebenen Verfahren lassen sich auf algebraische 1 ) und transzendente Gleichungen / ( » ) = 0 anwenden. F ü r algebraische Gleichungen kommen noch weitere spezielle Verfahren in Betracht (s. § 4). Sätze, mittels derer Anzahl und Lage der Würzein algebraischer Gleichungen zu bestimmen sind,' sind in 51 und 52 angegeben. Sämtliche der folgenden Verfahren erlauben beliebige Steigerung der Genauigkeit; sie sind streng, d. h. sie erfordern kein Probieren und erlauben eine Fehlerabschätzung. Die Existenz der zu berechnenden Lösung muß zuvor gesichert sein. Insbesondere können die Verfahren auch zum Wurzelziehen benutzt werden, wenn die mit Logarithmentafeln zu erreichende Genauigkeit nicht ausreicht. Beispielsweise wird man zur Be7

rechnung von 1/738 die algebraische Gleichung x 1 — 738 = 0 nach einem der geschilderten Verfahren auflösen. Die Verfahren der Näherungsfolgen (§ 2 u. 3) bestehen darin, daß man ausgehend von einem Näherungswert x1 f ü r *) Eine gleich Null gesetzte ganze rationale Funktion beißt algebraische Gleichung.

Auflösung von Gleichungen.

42

die Wurzel a eine Zahlenfolge a^, x2, bestimmt, die gegen die Wurzel a konvergiert. Die Folge /(a^), f(x.t), f(o^),. • • konvei giert also gegen / (a) — 0. Die genannten Verfahren erfordern nur die Berechnung von Werten der Funktion f(x) und (zum Teil) ihrer Ableitungen. Diese Berechnung ist besonders einfach, wenn Tafeln für die Funktionen vorliegen, bei algebraischen Gleichungen geschieht sie mit Hilfe des Hornerschen Schemas (s. 45). Ein besonderer Vorteil der Verfahren der Näherungsfolgen liegt darin, daß sich kleinere Fehler und Irrtümer im Verlauf der weiteren Kechnung ausgleichen, so daß man nicht wieder von vorn zu beginnen braucht. Das Graeffesche Verfahren zur Bestimmung der Wurzeln algebraischer Gleichungen (s. 49) verwendet keine Näherung folgen, sondern beruht auf gänzlich andersartigen Überlegungen. Wegen Berechnung komplexer Wurzeln vgl. die Bemerkung in 54, 46 und 49. § 2. Allgemeines Verfahren der Näherungsfolgen. !lß. Vorausgesetzt ist, daß man ein endliches Intervall A • • • B kennt, in dem eine einzige Lösung a der Gleichung f(x) = 0 liegt, die berechnet werden soll. Eine Zahl % dieses Intervalls wird als erste Näherung genommen. Dann berechnet man ausgehend von dieser Zahl Zj.mit Hilfe von passend zu wählenden Konstanten cv c2,. .. nacheinander — (1)

H" C1 /

)'

c2 /(# 2 ) , »H I = X,. + Cvf(xt.) ,

Vorausgesetzt wird: I. Die Ableitung von f(x) sei nichtnegativ, es gelte

Allgemeines Verfahren der Näherungsfolgen.

(2)

ü 0 ist. Bei ganzen rationalen Funktionen f(x) geschieht die Berechnung der Werte von /, /', / " , . . . mit Hilfe des Hornerschen Schemas. 42. f(x)=ex — 3x2 = 0; — 0,5 < a < - 0 , 4 . f"(x)=exf'(x) = e* — 6x, 6. xv V e** 3x? 1 —0,5 —0,039 0,61 —3,0 0,25 0,75 2 —0,461 0,63065 —2,766 0,21252 0,63756 —0,00203 3 -0,45897 3,07 < T W < 3,611 f 0,5 < x < —0,4. — 5,39 0, 0,046 < l < 0,823

48

Auflösung von Gleichungen.

Wir wählen 1 = 0,82 und erhalten j a — x31 ^ 7,8 • 1 0 - 6 Die obige Gleichung hat noch zwei weitere Wurzeln, die angenähert gleich 0,91 und 3,73 sind. 43. E i n e Verfeinerung

des Newtonschen Verfahrens

erhält

man, wenn man die Kurve y— f(x), nicht wie in 41 durch ihre Tangente, sondern durch eine Parabel, m-ter Ordnung ersetzt, die sie im Punkte xv, yv = f(xv)-von m-ter Ordnung berührt. Der Schnittpunkt dieser Ersatzkurve mit der Abszissenachse liefert eine neue Näherung xv+\. Man rechnet nach der Formel (5)

X v + i

=

X v

- L _ r _

f

oder (6)

x

v + 1

= x

v

/

/"

- j - —

2

/7" 2

f - [ - j

r

t""\ f - — j — ,

entsprechend den Näherungsgraden m = 2 und m = 3. Die /, /', /", / " ' , . . . auf der rechten Seite der Gl. (5) oder (6) sind jeweils an der Stelle x„ zu berechnen. Diese Formeln bieten gegenüber dem gewöhnlichen Newtonschen Verfahren nur dann einen. praktischen Vorteil, wenn die Ableitungen sich leicht berechneli lassen oder in Tafeln zu finden sind; die Konvergenz der xv gegen die Wurzel ist schneller, aber die Rechenarbeit beim einzelnen Schritt umfangreicher. 44. Die regula falsi. Man geht von zwei solchen Näherungswerten und x2 für die Lösung a der Gleichung f(x) = 0 aus, daß f(xx) und f(x2) verschiedenes Vorzeichen haben, und berechnet die Folge (7)

Xv-

f{%v)—f(Xv-Jc)

f(Xv) (v— 2 , 3 , 4 , . . . ) .

Die xv konvergieren gegen die Lösung, falls /' (x) in einem Intervall A • • B, in dem die Lösung a und die Näherungen xv liegen, überall dasselbe Vorzeichen hat und falls f(xv) und

Verfahren zur Berechnung d. Wurzeln algebraischer Gleichungen. 49 f(x v _k) verschiedene Vorzeichen haben. in (7) ist die letzterhaltene Näherung, f ü r d i e f ( x _ i c ) ein anderes Vorzeichen als f(xv) hat. (Man wird also zunächst versuchen, k = 1 zu nehmen und erforderlichenfalls auf av—2i . . . zurückgreifen.) v

§ 4. Verfahren zur Berechnung der Wurzeln algebraischer Gleichungen. 45. D a s H o r n e r s c h e S c h e m a . Bei der praktischen Bestimmung der Wurzeln algebraischer Gleichungen tritt stets die Aufgabe auf, eine ganze rationale Funktion f ( x ) =

a

n

x

n

+

a

n

_ i

x " —

1

-\

(- a

x

x

+

a

,

0

deren Koeffizienten av reell vorausgesetzt seien, an einer Stelle x = £ zu entwickeln, d. h. die Koeffizienten Av der Entwicklung f ( x ) = A

( x - i )

n

n

+ A

_

n

1

( x - i )

n

1

-

+

• •

•

+

A

{ x ~ ^ ) + A

1

i

,

zu bestimmen. Gleichzeitig hat man damit die Werte von f ( x ) und der Ableitungen /' ( x ) , f " ( x ) , . . . an der Stelle x — f gefunden, f sei zunächst reell. Zur Lösung der Aufgabe berechnet man nacheinander die Polynome k

f

( » ) =

{

X

)

_

=


«2) + a a (2) I o)(®— — « 2 )/( a o> sH ^ M + (a—ffl 0 )(«— 1 «i) • • • (x~«n-l)/(«o> «i> • • •> «») l + (k— a0)(»—«1) • • • (x—an)f(x, cip, a^ .. ., an). Ist / ( x ) eine reelle Funktion der reellen Veränderlichen x, dann gilt (3)

/(« 0 ,a 1 ; . . . , a n ) = ~ f

w

(i)

mit min (a0, av ..., an) < | < max (a0, av..., «.,), falls f(x) in diesem Intervall endliche, stetige Ableitungen bis zur w-ten besitzt. Die dividierten Differenzen w-ter Ordnung einer ganzen rationalen Funktion w-ten Grades sind konstant, dje von höherer als n-ter Ordnung verschwinden sämtlich. Schema zur Berechnung der dividierten Differenzen:

% «1 at «3

fo h U h

a

i — «0 / 1 - / 0 a2 — a0 / 2 - / 0 a3 — a0 / 3 - / 0

ho /20 fso

«2 «j /20 «3 -— ftj /30

/lO /2IO /10 /310

U f«ß, t a ß y , • • • ist hier zur Abkürzung für f(ax), f(ax, aß), /(®«! a ßi a y)i • • • geschrieben worden. Beim Rechnen benutzt man vorteilhaft (a2 — a0) — — a0) = a2 — av . . . 58. Von der Funktion y = f ( x ) seien jetzt die Werte yv= f(xr) an äquidistanten, der Größe nach numerierten Stellen . . ., x0, xv x2, x3,... (a?,,_|_i — h, xv= x0-{-vh)

Differenzen rechriung. gegeben. (4)

69

Man definiert Ayv

=

-yv+i

— yv,

Af{xv)=

f(x

v + 1

)—

f(x,,)

als Differenzen erster Ordnung. Die Differenzen höherer Ordnung sind entsprechend definiert durch f Ak aTc—1ür+1—A aTc—1y„ \ A y = A , „ v

I Ä^ir [A

1 9

\

j W ,,

f(xv)= A

\

f ( x

v + 1

Ak—lj/ ) — A

X » = 1)0,0,...

f(xv),

Jede Differenz läßt sich als in den Funktionswerten linearer Ausdruck schreiben Akyv

(6)

=

yv

— i ^ j yr+k_i

+

¡^j yv+k-->

+ ( - 1 )»(*)*. Umgekehrt ist (7)

y,+k

=

Vr + ( £ ) Ayv

+

(*) A*yv + • • • +

(^Akyf.

Zusammenhang mit den dividierten Differenzen: f{x0>

X

l'

X

2i • • •> Xn) —

•

Ist f(x) eine ganze rationale Funktion w-ten Grades, dann ist die n-te Differenz konstant und alle höheren Differenzen verschwinden. Als Differenzenschema wird die folgende Tafel der Funktionswerte und ihrer Differenzen bezeichnet.

/(«o)=.¥o /K)=?/i «3

L 2 °

A'y-1

>,i" , V - 1

2

Da, «/„jZli/,,,/! 2 «/,,,^! 3 ^,.. . in einer absteigenden Schrägzeile liegen, heißen die A absteige-)\de Differenzen oder auf Grund der Definition (4) auch vorwärts genommene Differenzen.

Interpolation.

70

Zur Probe wird benutzt l A * y = Ak~iy

(9)

^ — Ak~l

y

,

n>m.

Einfluß eines Meßfehlers auf das Difterenzenschema. Angenommen, die Funktionswerte seien alleO, nur an einer Stelle trete ein Fehler von der Größe s auf. Dann hat das Bifferenzenschema das folgende Aussehen Ayv

Vv 0

A»y, 0

0

0

0

0

£

£

— e

0

0

£

£

— 2e

0

£

— 4£

£

— Ö£

— Se 6s

3s £

0

0

0

0

£

10e —10 e

— 4s

5e

e

0 — s 0 0 0 0 Der Einfluß des Fehlers macht sich in einem Winkelraum geltend, der von einer aufsteigenden und einer absteigenden Schräglinie begrenzt ist, und zwar werden die höheren Differenzen immer stärker beeinflußt. Durch die Transformation (10)

h

wird das Intervall der Argumente gleich 1 und zugleich aus der Stelle x = x0 d ; e Stelle u ~ 0. Wir setzen rm [

'

Í / ( * ) = / ( * o + «*) = * • ( « ) , \AkF(u) = Ak-1F(u + 1) Ak-vF{u).

59. Es ist vielfach praktisch, noch zwei andere Bezeichnungen der Differenzen zu verwenden. Die aufsteigenden oder rückwärts genommenen Differenzen sind definiert durch

71

Differenzenrechnung.

l 7 /(av) = / ( « , ) - / ( * , _ , ) , (12)

[ 7 i » = i » — ^ ( w —1), = F * - 1 * » — F * - 1 / < > — 1), die zentralen Differenzen durch

«z ) + {x — a0) (x — ax) (x — a2)f(a0, av a2, «3)+ ... + (x — a0) (x — a1)...(x — an_{) f(a0,av...,an) + ¿4+i0)-

(1)

Die Formel von Lagrange ist praktisch weniger wichtig; sie lautet v=oco (a„) (x — av) wobei (3) CD (x) = (x — «„) (x — AJ . . . (x — an) und (4) co' (a v ) ={av—«„)... (av — av_: )(av—av+1)...

(av - - an)

ist. Das Restglied in (1) und (2) ist (o)

p , x Kn+l{x)-

i x — ffio) (a — « i ) • • • (« — Q ¿ t t + l ) , ^ (i) (n + 1)! ' '

wobei | eine Stelle zwischen der kleinsten und größten der Zahlen iC) 5 •• ist* (6) min (a, a0, av . . a n ) < £ < max (x, a0, a1:..., an). Wenn f(x) ein Polynom m-ten Grades ist, ist fn+1\x) = 0, also auch Rn+1(x)= 0. Die rechte Seite von (1) und (2) ohne das Glied Rn+1(x) ist das Polynom w-ten Grades, das an den n-\-1 Stellen a0, av ..., an die Werte /(«„), f f a ) , . . . , f(an) annimmt. 63. Äquidislante Interpolatiomstellen. Die Interpolationsstellen av seien äquistant mit dem Abstand h. Wenn sie der Größe nach numeriert sind, sollen sie mit . . . . x ¡, x„. xv x2, xs,. . . bezeichnet werden. Es ist also

74

Interpolation. (7)

x

—

y + i

x

=

v

h,

x

= x

v

0

- \ - v h .

I ) Man wählt a.0 = x0, % — x0 + h, a2 = x0 + 2 / i , . . . 'u„\ m - t ( x

0

^ , ) +

x—x0Af(x0)

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(8)

(X—

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X0)

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(x—xJAZjjxg)

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h

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(« + 1)I m i n ( » , a; 0 , xn)(«) - ( ^ „ ^ ( « - H 0,1)74 < cos ™ < 0,990 180

für

10),

8 < x < 13,

— 1,10 • 1 0 - 1 2 < R s < — 1,08 • 1 0 - 1 2 . Der Abrundungsfehler überwiegt den Interpolationsfehler bei weitem; die hinter dem Gliede mit den vierten Differenzen abgebrochene Besseische Interpolationsformel erlaubte an dieser Stelle sogar die Benutzung einer 11-stelligen Tafel. 67. Inverse Interpolation. Gegeben sei eine Tafel f ü r die Funktion y—f (x) mit äquidistanten Eingangswerten xv (xv+i — xv— h). Zu einem vorgegebenen y-Wert soll durch Interpolation der zugehörige Wert x = x0 + uh berechnet werden. Da die yv nicht äquidistant sind, könnten nur Interpolationsformeln f ü r nicht äquidistante Eingangswerte verwendet werden. Man setzt praktischer die Stirlingsche (falls — 4) oder die Besseische Formel (falls i g u 5 S f ) an und löst sie mittels Iteration (vgl. 39) nach u auf. Im

81

Interpolation in Tafeln.

Fall der Stirlingschen Formel lautet die Rechenvorschrift, wenn f(x0 + uh) = F(u) gesetzt wird und zur Abkürzung für dkF(0), ökF{\), ökF{—\) gesetzt wird, K-i

1:

F ( u ) ~ F ( 0 ) -

U

^ d t

4 + Uv

— 1) +