Formelsammlung Mathematik [Reprint 2018 ed.] 9783486812442, 9783486272543

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Formelsammlung Mathematik Von

Professor Dr. Karl Bosch Institut für angewandte Mathematik und Statistik der Universität Stuttgart-Hohenheim

R. Oldenbourg Verlag München Wien

Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Bosch, Karl: Formelsammlung Mathematik / von Karl Bosch. - München ; Wien : Oldenbourg, 2002 ISBN 3-486-27254-3

© 2002 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0 www.oldenbourg-verlag.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Gesamtherstellung: Druckhaus „Thomas Müntzer" GmbH, Bad Langensalza ISBN 3-486-27254-3

Inhaltsverzeichnis Vorwort

IX

Mathematische Symbole und Bezeichnungen

X

1. Grundlagen der Geometrie

1

Planimetrie (ebene Geometrie) Stereometrie (Volumen und Oberfläche)

1 4

2. Mathematische Grundlagen

5

Aussagenlogik Mengen Abbildungen und Funktionen Induktionsbeweis Rechnen mit reellen Zahlen Komplexe Zahlen Kombinatorik

5 5 7 8 8 15 17

3. Zahlenfolgen und Reihen

18

Folgen (Zahlenfolgen) Unendliche Reihen

18 21

4. Grundlagen der Finanzmathematik

24

Grundbegriffe und Bezeichnungen Zinseszinsrechnung bei einmaliger Zahlung Zinseszinsrechnung bei regelmäßigen Zahlungen Rentenzahlungen aus einem Kapital K Tilgungsrechnung Abschreibungen

24 24 25 30 31 33

5. Differenzialrechnung bei Funktionen einer Variablen . .

35

Grundbegriffe Grenzwerte von Funktionen Stetigkeit Differenziation (Ableitungen) Relative Anderungsrate und Elastizität Kurvendiskussion Taylorentwicklung Grenzwertbestimmung bei unbestimmten Ausdrücken Potenzfunktionen Polynome (ganzrationale Funktionen) Gebrochen rationale Funktionen Funktionenfolgen Funktionenreihen Potenzreihen

35 36 37 39 43 45 48 49 50 52 53 55 56 57

VI

Inhaltsverzeichnis

Exponentialfunktionen Logarithmusfunktionen Trigonometrische Funktionen (Winkelfunktionen) Arcusfunktionen (zyklometrische Funktionen) Hyperbelfunktionen (hyperbolische Funktionen) Areafunktionen (inverse Hyperbelfunktionen) Numerische Verfahren zur Nullstellenbestimmung Ableitungen elementarer Funktionen

6. Integralrechnung bei Funktionen einer Variablen

59 60 62 65 67 68 70 71

. . .

72

Stammfunktion Unbestimmtes Integral Bestimmtes Integral Integration durch Partialbruchzerlegung Uneigentliche Integrale Anwendungen der Integralrechnung in der Ökonomie Numerische (näherungsweise) Integration Tabelle von Grundintegralen Tabelle weiterer Integrale

72 72 73 75 76 77 79 81 82

7. Differenzial- und Differenzengleichungen

83

Gewöhnliche Differenzialgleichungen Systeme von gewöhnlichen Differenzialgleichungen Differenzengleichungen

83 87 91

8. Differenzialrechnung bei Funktionen zweier Variabler

93

Grundbegriffe Grenzwerte und Stetigkeit einer Funktion Differenziation Taylor-Entwicklung Lineare Approximation und Hesse-Matrix Extremwerte und Sattelpunkte ohne Nebenbedingung Extremwerte unter einer Nebenbedingung

93 94 95 99 100 101 102

9. Integralrechnung bei Funktionen zweier Variabler . . .

104

Parameterabhängige Integrale Inhalte ebener Flächen Volumina von Körpern Inhalt eines räumlichen Flächenstücks Variablentransformationen bei Doppelintegralen Relative Extremwerte und Sattelpunkte unter Nebenbedingungen .

.

104 104 105 106 106 115

10. Differenzialrechnung bei Funktionen von n Variablen .

109

Grundbegriffe Differenziation

109 110

Inhaltsverzeichnis

VII

Extremwerte und Sattelpunkte ohne Nebenbedingungen Extremwerte und Sattelpunkte unter Nebenbedingungen

114 115

11. Vektoren

117

12. Matrizen

121

13. Determinanten

124

14. Lineare Gleichungssysteme

127

15. Eigenwerte von Matrizen - quadratische Formen . . .

131

Grundbegriffe Geraden im R 2 Geraden im R 3 Ebenen im R 3

117 119 120 120

Grundbegriffe Funktionen einer Matrix

121 123

Zweireihige Determinanten Dreireihige Determinanten n-reihige Determinanten

124 124 124

Grundbegriffe Gaußscher Algorithmus Lösungen bei regulären Matrizen Berechnung der inversen Matrix

Grundbegriffe Eigenwerte und Eigenvektoren bei symmetrischen Matrizen Hauptachsentransformation bei symmetrischen Matrizen Quadratische Formen

127 128 130 130

. . .

131 132 133 133

16 Lineare Optimierung (Programmierung)

135

Literaturverzeichnis

147

Sachwortverzeichnis

149

Lineare Optimierung bei zwei Variablen Lineare Optimierung bei n Variablen (n > 3) Allgemeine Problemstellung Standardform der linearen Optimierung Kanonische Form der linearen Optimierung Simplexverfahren Ausgangseckpunkt aus einer kanonischen Form Ausgangseckpunkt für eine beliebige Standardform Duale lineare Optimierung

135 137 137 138 139 140 144 145 146

Vorwort In der vorliegenden Formelsammlung sollen die wichtigsten Begriffe, Formeln und mathematische Methoden zusammengestellt werden, die in der M a t h e m a t i k für Wirtschaftswissenschaften benötigt werden. Der Autor ist b e m ü h t , die einzelnen Formeln und Verfahren sehr ausführlich darzustellen. Durch viele Hinweise und manche Beispiele sollen die Anwendungsmöglichkeiten deutlich gemacht werden. Die ausführliche Darstellung soll dazu dienen, dass spezielle Formeln und Verfahren auch dann benutzt werden können, wenn der jeweilige Stoff in der Grundvorlesung nur ganz knapp oder überhaupt nicht behandelt wurde. Ein Beispiel dafür ist die lineare Programmierung mit dem Simplexverfahren. Ausführlich werden mathematische Begriffe und Beispiele aus der Ökonomie behandelt. Ein Beispiel dafür ist das Kapitel Finanzmathematik. Dadurch wird diese Formelsammlung zu einem ausführlichen Nachschlagewerk für alle Studierenden der Wirtschaftswissenschaften an den Universitäten und Fachhochschulen und alle Personen, die in ihrem Berufsleben mit Begriffen der Betriebs- und Wirtschaftswissenschaften konfrontiert werden. Der A u f b a u ist so gewählt, dass die Formelsammlung auch von Studierenden anderer Fachrichtungen benutzt werden kann. Seit vielen Jahren hält der Autor an der Universität Hohenheim die zweisemestrige Vorlesung Mathematik für Wirtschaftswissenschaften. Aus dieser Lehrtätigkeit ist diese Formelsammlung entstanden. Für die kritische Durchsicht von Teilen des Manuskripts möchte ich mich bei F r a u Dr. S. Kröner, Frau Dipl. Math. R. Ritz, Herrn Dipl. M a t h . A. Janßen und Herrn Dipl. Math. A. Meister recht herzlich bedanken. Allen Personen, welche diese Formelsammlung benutzen, wünsche ich viel Erfolg. Für Hinweise und Verbesserungsvorschläge bin ich jederzeit dankbar.

Stuttgart-Hohenheim

Karl Bosch

Mathematische Symbole und Bezeichnungen N N0 Z Q C R R R_ Rn i = ^ —1

Menge der Menge der Menge der Menge der Menge der Menge der Menge der Menge der Menge der imaginäre

natürlichen Zahlen natürlichen Zahlen einschließlich der 0 ganzen Zahlen rationalen Zahlen komplexen Zahlen reellen Zahlen nichtnegativen reellen Zahlen nichtpositiven rellen Zahlen n-tupel reeller Zahlen (n-dim. Vektoren) Einheit mit i 2 = — 1

A V A B A O B -i < > < > ± ^f |x | n! (a;b) [a;b] (a;b] [a;b) [a;oo) ( a ; oo)

logisches und logisches oder (nichtausschließend) aus A folgt B A äquivalent B (aus A folgt B und aus B folgt A ) nicht kleiner größer kleiner gleich größer gleich plus minus minus plus Betrag von x: | x | = x für x > 0 ; | x | = — x für x < 0 = 1 • 2 •... • n n-Fakultät {x 6 R | a < x < b} (offenes Intervall) {x G R | a < x < b} (abgeschlossenes Intervall) { x G R | a < x < b} (halboffenes Intervall) {x G R | a < x < b} (halboffenes Intervall) {x G R | x > a} (unbeschränktes Intervall) {x G R | x > a} (unbeschränktes Intervall)

( — oo ; b ] ( — oo ; b ) ( — oo; + oo)

{x G R | x < b} {x G R | x < b} R

(unbeschränktes Intervall) (unbeschränktes Intervall) (Menge der reellen Zahlen)

a j + a 2 + . . . + an

(Summe der n Zahlen)

n

a; i—1 n

a; i=l x € M x£ M A UB A f l B ( = AB) A A \B det(A) = | A |

a j • a2 • . . . • a

(Produkt der n Zahlen)

x ist Element von M x ist nicht Element von M A vereinigt mit B (Vereinigung, Vereinigungsmenge) A Durchschnitt B (Durchschnitt, Schnittmenge) Komplement von A Differenz von A und B Determinante der Matrix A

1. Grundlagen der Geometrìe Planimetrie (ebene Geometrie) Rechtwinkliges Dreieck 7 = 90°

a + ß = 90° a , b Katheten

c Hypothenuse Höhe h = , • b p , q Hypothenusenabschnitte Sinus:

_

a c

_ h _ Gegenkathete b Hypothenuse

Kosinus:

cos a _= bc _= P£ _

Ankathete Hypothenuse

Tangens:

_ a _ h _ Gegenkathete _ s j n Q lan a — k — p — Ankathete -cosa AnlfatVlptp

Kotangens: ctg a = g = £ —= Ankathete h Hypothenuse Satz des Pythagoras

a 2 + b 2 = c2

= ^

=

cbs

Thaleskreis Jeder Peripheriewinkel über dem Kreisdurchmesser beträgt 90° Gleichschenkliges Dreieck

. cos Q sin a

Höhensatz a2 = q c ;

Kathetensatz (Satz von Euklid) Flächeninhalt F = ^

—

2

inQ

h2 = p q

2

1. Grundlagen der Geometrie

Gleichseitiges Dreieck a = ß = 7 = 60°

C

Seitenlänge a Höhe h = ¿p- a l Flächeninhalt F =

a / ^

\a

h

/ 60°\ A

/ 60°\ a

B

Vierecke und Kreis Figur Rechteck

b

^ Quadrat

Parallelogramm

a

Rhombus (Raute) (gleichseitiges Parallelogramm)

b/lh A

a

/; a c

Trapez (Viereck mit zwei parallelen Seiten) Kreis

ab

2a+ 2b

a2

4a

ah = absina

2a+ 2b

2• a sina

4a

a+ c 2

a+b+c+d

r.

a

a b/ A

Umfang

r-

a

A

Flächeninhalt

0

1 :

\b

7r r 2

h n

2 7T r

Planimetrie

3

Strahlensätze Die beiden Schenkel eines Winkels werden durch zwei parallele Transversalen A J B J und A 2 B 2 geschnitten.

parallel

1. Die zwischen den Transversalen liegenden Abschnitte auf einem Schenkel verhalten sich wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Schenkel. Für die Längen der Strecken gilt S A | ! SA 2

SBJ : SB 2

2. Die Längen der Transversalen verhalten sich wie die vom Scheitelpunkt S aus gemessenen Abschnitte auf den Strahlen: AjBJ : A 2 B 2 = SA1 : SA 2 = SBj : SB 2

Ahnliche Dreiecke Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn jeweils zwei Winkel übereinstimmen. Durch eventuelle Spiegelung kann immer erreicht werden, dass die ähnlichen Dreiecke gleich orientiert sind. Nach dem Strahlensatz verhalten sich in ähnlichen Dreiecken entspreA=A' chende Seiten gleich: a':a = b ' : b = c ' : c

= k (k = Ahnlichkeitsfaktor)

Streckenteilung Mit Hilfe des Strahlensatzes kann eine Strecke in n gleiche Teile geteilt werden. Dazu werden von einem Endpunkt aus auf einer Hilfsgeraden n gleiche Strecken abgetragen. Durch die Punkte werden Parallelen zur Strecke B E gezogen.

4

1. Grundlagen der Geometrie

Stereometrie (Volumen und Oberfläche) Figur

Quader

/

/c

/

/

/a

/

/

a Prisma h

Oberfläche 0 Mantelfläche M

abc

0 = 2 ( a b + bc + ca)

a3

0 = 6 a2

Gh (G = Grundfläche h ::- Höhe)

M = Uh (U = Umfang der Grundfläche) 0 = Uh + 2G

w r2 h

0 = 2 7rr2 + M M = 27rrh

A

a Würfel

Volumen

/a

0}

nichtnegative reelle Zahlen

IR _ = { x 6 IR| x < 0 }

nichtpositive reelle Zahlen

C = {z = a + b i | a , b G R}

komplexe Zahlen; imaginäre Einheit i = ^ - 1 mit i 2 = - 1 (s. S. 15)

Manchmal wird auch die Zahl 0 zur Menge der natürlichen Zahlen gezählt. Wir benutzen jedoch die Bezeichnung N 0 . Die Dezimalbruchentwicklung einer rationalen Zahl ist endlich oder periodisch. Jede unendliche periodische Dezimalzahl ist eine rationale Zahl (s. S. 23). Jede unendliche nichtperiodische Dezimalzahl stellt eine irrationale Zahl, also eine reelle Zahl dar, die nicht rational ist. Die reellen Zahlen R sind alle Zahlen auf dem Zahlenstrahl. IR besteht aus den rationalen Zahlen sowie aus allen irrationalen Zahlen. Jede irrationale Zahl kann als nichtperiodische unendliche Dezimalzahl als Grenzwert einer Folge rationaler Zahlen dargestellt werden. Beispiele für irrationale Zahlen: >f2 ; >f5; tt (Kreisgröße); e =

lim ( l + i ) n = 2,7182818... (Eulersche Zahl). n—»oo

Abbildungen und Funktionen f: Abbildung von X in Y x e X => y = f (x) G Y jedes Urbild x besitzt genau ein Bild f (x) £ Y f: Abbildung von X auf Y jedes y £ Y besitzt mindestens ein Urbild x mit y = f (x) (surjektiv) f: eineindeutig (injektiv) f bijektiv zusammengesetzte -1 Abbildung g o f Umkehrabbildung f (gof)oh = g o ( f o h ) (gof)-1 =

f- -11 , 0 g. - 1

f"1(f(x))=x

x x ^ x 2 f(xi)^f(x2) O f ( x j ) = f ( x 2 ) =>• x1 =x2 O f ist eineindeutige Abbildung von X auf Y

(gof)(x)=g(f(x)) x = f

1

( y ) » y = f (x), falls f bijektiv ist (inverse Abbildung, Inverse) (Assoziativgesetz)

(Reihenfolge beachten)

und f ( f " 1 (y)) = y

für jedes x € X und y 6 Y

8

2. Mathematische Grundlagen

Induktionsbeweis (Beweis durch vollständige Induktion) Zu zeigen: Die Aussage A (n) ist für alle n (E N mit n > m £ N richtig 1. Induktionsanfang: Man zeige, dass J . ( m ) richtig ist (n = m ) 2. Induktionsschluss von n 0 auf n 0 + 1: Induktionsannahme: Die Aussage sei für ein n 0 richtig. Zu zeigen: die Aussage ist dann auch für n 0 + 1 richtig: A ( n 0 ) => A (n 0 + 1) Beispiel: n

A

(n):

1 + 2 + ... + n = £ k = k=l

n • Cn + V9 1

'

für n = 1, 2 , . . . 1.9 1= -1richtig

1. Induktionsanfang: für n = 1 ist - A ( l ) :

2. Induktionsschluss von n 0 auf n 0 + 1: Für ein festes n 0 gelte . A ( n 0 ) : l+2

+

. . . + n0 =

n°-(n20 +

l + 2 + . . . + n0 + ( n

0 +

|+

1)

l)

= _

n

(n 0

° > °

+

l)

>

+

+ 1

(n 0 + l )

( n 0 + l ) - ( n 0 + 2) 2

A (n 0 + 1) ist also auch richtig, die Formel gilt damit für alle n G N

Das Rechnen mit reellen Zahlen Elementare Rechenoperationen (Kommutativgesetze) (Assoziativgesetze) (Distributivgesetze)

a + b = b + a; ab = ba (a + b ) + c = a + ( b + c ) ; ( a b ) c = a ( b c ) a ( b + c) = a b + a c ; (a + b ) c = a c + b c

(Kürzen und Erweitern) |

±

b

a±b.

=

a. c _ ac b d bd

a

/b

d

±

b

=

da^cb

(c

d

^

0 )

(Addition und Subtraktion)

/ QN

a . £ _ _b_ _ a d _ acl b'd § b c bc d

(Multiplikation) (b c d ^ 01

(Division)

Binomische Formeln (a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2

(a - b ) 2 = a 2 - 2 a b + b 2

(a + b) • (a - b) = a 2 - b 2 a

n_bn

=

(

a

_

b

).(

a

n-l

+ a

n-2

b + a

n-3b2+

+ a b

n-2

+

b

n-l)

Das Rechnen mit reellen Zahlen

9

Summen- und Produktzeichen

E(ai±b;)= ¿>¡±£>1 i=l i=l i=l

ft(v i=l

3»

(a; = a) (m < n)

JJ>

n n a i = a i • a 2••• • • a n i=l n 11 E[a = a i=l m IIv i=l i= II

n E a i = a i + a 2 + ... + an i=l n = n•a i=l m n n E a i + E a; = £ a ; i=l i=m+l i=l n n E(caj) = c - E a i i=l i=l

(c = Konstante)

n (c ai ) — c n • n ai i—i i=l bi)=

i=l

ftarftbi i=l

Fakultäten und Binomialkoeffizienten

(a+b)n = a n + ^ a

n

-

a

b + ... + ^ n "

J a b ^ + b

1

2. Mathematische Grundlagen

10

Äquivalente Umformungen und Lösungen von linearen Gleichungen a = b -O- a + c = b + c

für jede Konstante c

a = b o

für jede Konstante c ^ 0

a•c= b•c

x = — p für p ^ 0 px + q = 0


4q;

keine reellen Lösungen für p 2 < 4 q (komplexe Lösungen s. S. 16) Reelle Lösungen quadratischer Gleichungen Gesucht sind alle reellen Lösungen von x 2 + p x + q = 0, (p, q G R) 2 X — q für p 2 > 4 q (2 reelle Lösungen) l , 2 < X X

I 1

2 -—

für p 2 = 4 q

- B2

keine reelle Lösung (x — a) • (x — b) 0 X2

+ px = 0

(reelle Doppellösung)

für p 2 < 4 q (vgl. S. 16) Xj=a

V

x2 = b

O x • (x + p) = 0 O

x

a

=0Vx

2

=-p

Das Rechnen mit Ungleichungen a < b (a kleiner b)

O-

a +c b (a größer b)

b

für jede Konstante c g R

ac < bc

für jede Konstante c > 0

ac > bc

für jede Konstante c < 0

ab > 0

O a > 0 A b > 0 oder a < 0 A b < 0

(gleiche Vorzeichen)

ab < 0

•O a > 0 A b < 0

(verschiedene Vorz.)

oder a < 0 A b > 0

a < b (a kleiner gleich b) a < b V a = b

Deis Rechnen mit reellen Zahlen

11

Spezielle Ungleichungen (1 + x ) n > 1 + n x für x >

- 1 und n £ N

1£ i=l

. 1 i=l