Fonksiyonel Analiz

Citation preview

F O N K S İ Y O N E L A N A L İ Z

Mustafa BAYRAKTAR

Atatürk Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik BttlUmü

M2URUM-1987

İÇİNDEKİLER 1. B Ö L Ü M ÖN

B İ L G İ L E R

M dinle .......... İ- 2 Kartezyen çarpım vebağıntı............................... 1-3 ttHlşün................................................. 1-4 İkili İşlem............................................. 1- 5 Kısmî sıralı cünle....................................... 1- 5 Problemler.........................................

1 4

7 9 10

14

2. B ö L ü M M E T R İ K

U Z A Y L A R

2“1 Metrik uzay..............................................16 2- 2 Açık ve kapalı cünleler.................................. 23 2- 3 Problemler......................................... 31 2-4 Tamlık.................................................. 33 2- 5 Metrik uzayların tamlaştınlışı............................ . 2- 5 Problemler........................................ 46 3. B ö L U M B A N A C H

U Z A Y L A R I

3- 1 Lineer uzaylar............. 48 3-2 Normlu uzaylar............................ .......56 3-3 EİJclldean ve üiiteruzayla^............................... 59 3-4 SUrekli fonksiyon uzaylar’ ............................... 65 3- 4 Problemler......................................... 69 3-5 Oonveks cünleler ve sonluboyutlu normlu uzaylar ..........71 3-5 Tanlık ve sonlu boyut .......... *.................. 75 3-6 Problemler........................................... 82

4 .B ö L U M

L İ N E E R O P E R A T Ö R L E R 4-1 Lineer operatör............ 85 4-2 Sürekli lineer operatör............. ........... .......... 92 4- 3 Sonlu boyutlu uzaylarda lineer operatörler ve fonksiyoneller.......................................... 101 4- 3 Problemler.. ...................................... 106 5.B Ö L U M N O R N L U

55-

U Z A Y L A R L A İ L G İ L İ ESAS T E O R E M L E R l Hahn-Banach ve açık dönüşüm teoremi............... ........108 2 Kapalı lineer operatörler ve kapalı grafik teoıemi............. 118 5- 2 Problemler....................................... 123 e.BÖLltN

H İ L B E R T U Z A Y L A R I 6- 1 Hilbert uzayı kavramı......................... ...125 6-2 İç çarpım uzayının diğer önemli özellikleri............... 132 6-3 Ortagonal Kocıpleman..................................... 134 6- 3 Problemler........................................ 141 6-4 Hilbert u z a m d a fonksiyonellerin tesbiti................. 142 6- 6 Hilbert eşlenik operatörler.............................. 148 6- 5 Problemler....................................... . 7.B Ö L U M B A N A C H C E B İ R L E R İ 7.1 Cebir................................................. 154 7- 2 Aritmetik birim (regüler) olan elemanlar................. 159 7-3 Sıfırın topolojik bölenleri........................ 161 7-4 Spektrun....... ........................................ 162 7-5 Spekcral yarıçap için formül................. 7- 5 Problemler.................................... 170 Kaynaklar.............................................. 171 Serrbol İndeksi......................................... 172 Konu İndeksi........................................... 175

168

Ö N S Ö Z Bilindiği gibi fonksiyonel analiz daha çok cebirsel ve topolojik yapıların çalışılmasını konu edinmiş bir daldır. Bu kitap, bu konuları lisans seviyesinde verme gayesiyle hazırlanmıştır. Konuların seçilişi ve takdiminde bu mak­ satla özel bir titizlik gösterilmiştir. Kitabın kendi ken­ dine yeterli ve bUtUnlUk arzetmesine dikkat edilmiştir. Yukarıda belirtilen sebeplerden dolayı ilk İki bölUmde cUmle teorisinin bazı kavramları ile metrik uzaylara yer verilmiştir. Ancak burada hemen belirtelim ki bu konulara mUmkUn olduğu kadar kısa temas edilmiştir. Bir başka ifade ile bu konular, ilerideki böltlmlerde İhtiyaç duyacağımız kadarı il« verilmiştir. Üçüncü bölüm Banach uzaylarına ayrılmış, temel kav­ ramlarla önemli bazı teoremler verilmiştir. Dördüncü bölüm

dir. ///

Yukarıdaki teoremin karşıtı şudur. (1.11) TEOREM * S,A cümlesinin bir parçalanışı ise bu

S ailes ı A üzerinde bir denklik bağıntısı tarif eder. İSPAT x S - t A ^ l c İ ve A aC A > ,

A nın bir parçalanışı o l ­

sun. a,beA olmak üzere " a - b ^ a . b e A ^ olarak tarif edilirse bu bağıntı A üzerinde bir denklik bağıntısıdır. Gerçekten a,b,ceA olmak üzere Dİ) Her aeA İçin ayrrımın tarifinden dolayr acA1 olacak şekilde AjCS vardır. 0 halde a - a dır. D2) a-b ise a/beAj^ dır. O halde b-a dır. 03) a ~b ve b~c ise a,ceAA olacağından a-c dir. /// Burada acA^ İse a — A^ olduğuna dikkatinizi çekeriz. i -2 Dönüşüm t Bu kısımda matematiğin her dalında kulla­ nılan ve çok önemli olan Özel bir bağıntı çeşidini ele alaca­ ğız. Buna fonksiyon denir. X ve Y iki cümle ise X den Y ye bir dönüşüm

"x in herbir elemanını Y nin bir (veya birtek) elema­

nına tahsis eden kaide" diye tarif edilirse de standart kesin­

8

lik Ölçülerine göre buradaki "kaide*

kelimesi belirsizlik arz-

eder. Bu sebeple dönüşümün kesin tarifini aşağıdaki gibi v e r ­ mek istiyoruz. (1.12) ¿XxV

TARİF t X ve Y boş olmayan iki cümle ve f~{(x,y)}

olsun. Aşağıdaki şartlar saklanıyorsa f ye dönüşüm (veya

X den ¥ ye dönüşüm denir)

denir.

Fİ) Her xcX için (x,y)cî olacak şekilde bir ytY vardır. F2) f iyi tariflidir. Yani

(x,y2)Cf ise y^ - y 2

dir.

f, X den Y ye bir dönüşüm ve (x,y)ef ise çoÇu kez y, f (x) ile gösterilir ve y ye f nin x deki deleri veya f altında x İn görüntüsü denir. X cümlesine f nin tarif cümlesi,f(X) — (f(x): xcXj cümlesinede f nin değer cümlesi (veya X in görüntüsü) de­ nir. B * Y ise f *(B) - { x c X : f(x)cB| cümlesine ise 3 nin ters görüntüsü denir. f nin X den Y ye bir dönüşüm olduğunu belirtmek için f:X •* Y

veya

X Î Y

notasyonlarından birini kullanacağız. X den Y ye bir dönüşüme fonksiyonda denir. Fakat bu yim daha çok Y 9 F

de­

veya Y £ C olması halinde kullanılır.

dönüşümler genellikle sonsuz sayıda eleman ihtiva eden cümlelerdir. Bu sebeple onların belirtilmesinde cümlelerin be­ lirtilmesindeki ikinci yol kullanılır. Bunun içinde, sıralı İkililerin ortak ÖzelliÇi, bu İkililerin bileşenleri arasında bir eşitlik kurularak verilir*

Böylece birinci

bileşenin

verilmesi halinde ikinci bileşen bu eşitlik yardımıyla hesap­ lanır. Mesela, f-ilx,y)

i y - 2x) - { (x,f (x)) : f ( x ) - 2 x

“ Fx

F,

R d e n F y e bir dönüşümdür. Burada y - f ( x ) - 2x eşitliği f nin elemanlarını belirtmece yeter. Bu sebeple f dönüşümünü belirt­ mek için daha çok aşağıdaki ifadelerden birini kullanırız :

9

1)

f:»

» , f(x) - 2 x olarak tarif edilen bir dönüşCta

2)

f, » den » y e

3)

f: » • * » ,

olsun f(x) - 2x olarak tarif edilsin.

y - 2 x olsun.

Birinci ve ikinci ifadeler - Y oluyorsa her yey için f(x) - y olacak şekilde bir xeX varsa) rine (veya örten) denir. x ^ x ^ X

ve x^

f ye

üze­

x2 İken tlx^) / f(x2)

ise (veya Xj,x2 cX ve ftx^) - f ( x 2) olması * ¿ “ *2 olmasını rektiriyorsa)

(veya

ge­

f ye birebir denir.

f:X-*Yveg:Y-''Z

birer dönüşüm olsun, g o f:X * 2,

(gof)(x) *• g (f (x)) olarak tarif edilen g e f dönüşümüne bileş­ ke dönüşüm denir. f, x den Y ye herhangi bir dönüşüm ise ters bağıntının tarifinden f 1 - { (y,x): (x,y>ef) dır. f birebir ve «zerine o l ­ madıkça f” 1 ,

y

den X'e bir dönüşüm olamaz, f nin birebir

üzerine olması halinde f’ 1 dönüşümdür ve bu dönüşüme f şümünün tersi denir, f birebir ve üzerine ise f

:Y

ve dönü­

■* X dönü­

şümü x - f“ 1 (y) **y - f(x) olarak tarif edilir.

1-4. ikili İşle» * Bu kısımda İşlemi tarif ederek bir kaç misal vereceğiz. (1,14) TARİF * A boş olmayan bir cümle o:AxA

olmak

üzere

A dönüşümüne A da ikili işlem denir.* üzerinde ikili i?

lemin tarif edildiği bu A cümlesine ise cebirsel yapı adı veri lir ve (A,o) ile gösterilir. * Daha genel o l a r a k o:An - A dönüşümün» n - U b i r l i , n -*2 i s e o yc i k i l i v . s d e n i r .

______________ iş l e n d en ir. n - İ

i * * o ye

10 o» A da ikili bir işlem olsun« ki görüntüsünü

(a,b)eAxA nin o altında­

aob ile gösterelim. Dönüşümün tarifine dikkat

edilirse şu iki şartın saflanması gerekir: 1) A bu işleme göre kapalıdır. Yani

a,b f-A için aob 0 ve |x| - 0 * * x - 0 dır.

17

2) |-x| - |x| dır. J)

|x*y { < |x |+ ly l

d ır.

Yine yukarıdaki tariflerden görülmektedir ki limit ve süreklilik tariflerinde, x,yelR (veya Zj.z^ecî olmak Üzer« d(x,y)-|x.y|(veya d(z1 ,z2> - | V Z 2 l)Oİ* rak tarl£ e d U e " bir fonksiyon kullanılmıştır. Şekil 2.1. ı \

•H

A%

\t--y . 4

6

2

İR

d(2 ,6 ) - j 2 -6 | - 4

d(zr z2)~ |*j- * 2 1

Şok i] 2.1.

Analizde ve geometride olduğu gibi matematiğin bir .çok dalında soyut (elemanlarının mahiyeti bilinmeyen) bir cümle­ nin elemanlarına uygulanabilir bir mesafe kavramına

ihtiyaç

duyulmuştur. Fonksiyonel analizde 60 yılı açkın gelişmeler so­ nunda R

veya C den daha genel olan keyfi bir X cümlesinde bir

mesafe-uiaklık fonksiyonu tarif edilerek b u cümledeki dizilerin yakınsaklığı ve yine bu cümlede tarifli fonksiyonların stiıekll1A9i gibi çeşitli konular incelenmiştir. Fonksiyonel analizde çok faydalı ve önemli olan bu kavram aşağıda takdim edilmiştir.

o

(2.1 ) TARİF (Metrik ve metrik uzay) .*X boş olmayan bir

cümle olsun. d7xxX * iT fonksiyonu aşağıdaki şartları sağlıyor­ sa d ye X de metrik (veya uzaklık-mesafc-fonksiyonu) ve (X,d) Ç^ftinede metrik uzay denir.

Ul) d(x,y) >0 v« d

* 0 o olduğundan t monoton artandır. Bu taktirde

. . nin sağlandığını görmek kolaydır. M3) ün saklandığını göster­ mek için (2.6) teoremindeki a ve b yi a " zı" cı ve b “ ci_wi ola" rak alalım { ( - { ç u s ) . Bu taktirde

12i~wjl


±r>

c) sr «x°) - S ( x jr) - (xex : d(x,xQ )-r) r o o

(açık yuvar)

-

(kapalı yuvar) (yuvar yUzeyi)

olarak tarif edilir. Bu üç halin herbirinde xQ 'a merkez ve r ye de yarıçap denir. Görülüyor ki a merkezli ve r yarıçaplı açık bir yuvar, merkeze olan uzaklığı r den daha küçük olan X*e ait noktaların cümlesidir. Ayrıca tariften S(^oir ) - B ( x 0 sr) - B(xo jr) olduÇu görülür. Noc f Metrik uzaylardaki çalışmalarımızda Euclidean geo­ metrisindeki terminolojiye benzer bir terminolojiyi kullanmak bazı kolaylıklar Bağlıyacaktır. Ancak herhangi bir metrik uzay­ daki küre ve yuvarların İR3

deki küre ve yuvarlarla aynı özel-

24

ilklere sahip olmadıkına dikkat etmek lazım. Mesela bir diskr* metrik uzayda r / 1

için S(x0 >r) — 0 dur.

(2 . D ) MİSAL

d metriği B , B

2

ve B

3

de sırasıyla

dlx,y) - |x-y| - /(x-y) 2 , d(x,y) — i M x ^ - y ^ T ^ M x ^ - y ^ T ^ v e d(x,y) ~ v (x^-y^)2 * ix2~y2 t2 * Îx3-y3 )2 ra Euclidean metrik denir) lımı, B 2 ve B 3

de B(xQ ir),

xq

B

olarak tarif edilirse

(bunla"

de Br (x0 ) ■ (x0 -r,xQ +r) açık ara­

merkezli ve r yarıçaplı dairenin içi

de B(xQ jr), xQ merkezli ve r yarıçaplı kürenin içi olur* (X,d) dlskre bir metrik uzay ise r 1

dır. (2.3) misalindeki d^, d^ ve d^ metriklerine göre B 2 koordinat düzleminde

(0,0) ın 1-yuvarı (yani B^((0,0>) açık

y u v a r l a n ) geometrik olarak aşağıda gösterilmiştir.

t

«

9

t -1. !>• -I.ih

;».0)

•Hm

■ıı.m 1, -!*•

-

w«, - t)

A. Şekil 2.S (0,0) ın dj.l-yuvarı

(2.H)

Şekil 2.7

Şekil 2.6 (0,0) ın d2, 1-yuvarı

(0,0) ın dj, 1-yuvarı

TARİF (Açık cüml e-ka p* 1 1 cümle) t X bir metrik

uzay ve M c x olsun. Her xcM için Br l x ) C M olacak

şekilde

r(y) > 0 sayısı varsa M ye X de açık denir. X İn K altcümlesinin X deki tümleyenl yani K ' — X - K , X de açıksa K ya cümle denir.

kapalı

25 3u tariflerden X in keyfi bir altcümlesinin açık

veya

kapalı olacaÇı anlaşılmamalı. Yani X metrik uzayındaki bir cüm­ lenin mutlaka açık veya kapalı olması gerekmez. Metrik

uzay­

larda öyle cümleler vardır ki bu cümleler ne açıktır nede ka­ palı. Mesela d , R d e mutlak değer metrisi olmak üzere Ar(a,b]cR cümlesi böyle bir cümledir. A açık deöildir, çünkü

Br ( b ) C A

olacak şekilde r>0 sayısı yoktur. Kapalı delildir, çünkü R - A — "*

(b,»> açık değildir. (2 .1$ )

hîsal

, d, R

de bilinen metrik (mutlak değer

metriği) olmak üzere ( R ,d) metrik uzayını düşünelim.

(0,1)

*Çik aralığı açık bir cümledir. Gerçekten, xe(0,l) ve e - m i n < U - x | , | x |> ise Be (x)C(0,l) rak a , b e R

(Sekil 2.3). Daha genel ola­

ve a < b olmak üzere (a,b) açık aralımı açık

cümledir. A y r ı c a ^ R her x e R

dır

nin kendiside açık bir cümledir.

iÇ j.n B ( x » e ) C R

dır. jo-e

—

x

x *e -l

.................................pM seee** *

bir çünkü

R

e — min{|l-x|,|x|)

Şekil 2.*. (•,1) açık aralığı açık bir etoledir.

Tariften delayı İR-(#*1) kapalıdır. [a,b] kapalı aralımı İR de açık cümle değildir. Çünkü « veya b merkezli her yuvar bu aralıca ait olmayan noktalar ihtiva eder. Bununla beraber [a,b] (216)

m Is a l

, [a,b] de açıktır.

, diskre bir metrik uzay ise X in her

altcümlesi X de açıktır, çünkü M C X ve xeM ise e, 0 0 sayısı vardır. Dolayısıyla B(x;c') C f “ x (ü) yani f”X (U) açıktır. Tersine olarak U nun Y de ve f ^(U) nunda X de açık o l ­ duğunu kabul ederek £ nin sürekli olduğunu gösterelim. e>0 ve ­ rilmiş olsun. (2.Î7) teoreminden f(a) nin B(£(a)*e) e-civarının Y de açık bir cümle olduöunu biliyoruz. O halde kabulden dola­ yı f~1 (B(f(a)*e)), X ın açık bir altcümlesidir. Bu taktirde B(a*e')c: f”1 (B(f (a) » O ) olacak şekilde bir C

sayası vardır. Buradan £ ( B (a;e')CB(f(a)ı

e)) elde ederiz ki bu (tariften dolayı)

£ nin sürekli olduğunu

ifade eder./// Şimdi metrik uzaylarla ilgili iki kavram daha takdim edeceğiz. M, X metrik uzayının bir altcümlesi olsun. Bu taktir­ de X in bir x0 noktasının (kİ bu nokta M nin bir noktası olabi­ lirde olmıyabillrde) herbir e-civarı xQ dan farklı bir y€M nok­ tası ihtiva ediyorsa bu xQ noktasına M nin yığılma (veya limit) noktası denir. M nin limit noktalarının

cümlesi ile M nin

noktalarından İbaret cümleye M nin kapanışı denir ve M ile gös­ terilir. Şu halde M-MUMj dir. M, M yı ihtiva eden en küçük kapalı cümledir. M nin kapa­ lı olması için gerek ve yeter şart M — M olmasıdır. (2.22)

mîsal

a) F

de a« hem (a,b) nin hemde [a,b} nin

bir limit noktasıdır. Görüldüğü gibi bu limit noktası cümleye ait alabileceği gibi olmıyabillrde. b) A " ( 0 ) u ( l ( 2 ) C E

olsun. Bu taktirde 0,

A nin limit noktası değildir. Mesela B(0:1), A nin 0 dan başka noktasını ihtiva etmez. A nin F

deki limit noktalarının cüm­

lesi [l,2] dir. c) F

nin herhangi bir x noktası Q nun bir

29

limit noktasıdır. Çünkü her e >0 için birer metrik uzay ve X — X^xX 2 o l ­ sun. x,y£X ve x — (x^,x2 ), y — (y^»y2 > olmak üzere

33

a) d(x,y) ■*d1 (x1 >y 1) ♦ d 2 > - d 1 lxn , a , 0 )) - d 3 (xn ,(l, 0 )) - 1 /n dır. c >0 için l/enQ ol* ması halinde d(xn , (1,0))n

ise û *x n'yn* ‘*'d *x »Y) dlr.

+ x olduğunu farzedelim. Bu taktirde c - 1

olduğunda d(x

,x)*l olacak şekilde bir n# sayısı bu-

l a b i l i n z . Böylece a - m a x { d t ^ ,x),... ,d olmak üzere M3) üçgen eşitsizliğinden dolayı her n için d(xn ,x) nın sınırlı olduğunu ifade eder. Şimdi x

-*x ve x n * Y Yani fxn * n *n x ve Y 9İ^i i^i ü "

roitinin olduğunu kabul edelim. Bu taktirde, 0 0 için n>nQ olduğunda n

,(xn ,x) < - Ş olacak şekilde bir n# - n # (e) sayısı vardır. Böylece üçgen eşit­ sizliğinden m,n>n^ için d(xa ,x n ) n için lx 0 ’x n+]Jn

için lx p l< 1 * n*l I+c " k l

dır. -maks{ |x^| ,|x2i,..., |xn(} olsun, k-maks {k1,k2> ise n-1,2,... için |xnl Cauchy dizisinin (x^ ) altdizisinin b ye yak m s a m a s ı halinde (xn ) nin de b ye yakınsayacağını gösterelim. Üçgen eşitsizliğinden (2.36)

lxn“b| “ lx n-x i + x i -b lilxn-x il ♦ |xA -b| m m m m

yazılabilir.

-*■b olduğundan im >n^ olduğunda

m

|x^

-b| < —

c

m

ve (X ) bir Cauchy dizisi oldudu için n,i >n olduBroda |x-x. I n ■* m o * 'n i ' < «i- c 2

olacak şekilde n* ve n o o

tamları vardır. n'n. o o m o

alalım. Bu taktirde n > nQ için (2.36) dan l*n -b|iV

b|

olur, sag taraf n * » için sıfıra yaklaştığından *n - z6C dir/// (2.38) TEOREM ı Kompleks sayıların sınırlı dizilerinin

: tzt l

cümlesi.

d(Z,w) — SUpi|* 4 “V| I ) İ6 NI metriğine göre tamdır. İs p a t

un metrik uzay olduğu (2-5) d. gösterildi.

2 n " izl ' *S'*'*) olmalt ÜICr° ' *■" da blr CaUChY dizisi olsun. Bu taktirde m,n>nQ olduğunda

d(z ,z ) - sup(|z?-zj|} 0 ve i - 1 , 2 , . . . o

nak üzere keyfi fakat sabit her i için m,n>no olduğunda (2.39)

|

# a AeF) olsun. x,yeL ve acF olmak üzere lineer işlemler

x+y ■ - ( a ^ b ^ a ^ b j , .. •« V V s . x - a ( a x#a 2 #•••

“ (aax »aa2 , • • • »aan )

olarak tarif edilirse kolaylıkla görülür ki L - F n , F üzerin­ de bir lineer uzaydır, özel olarak F - R olması halinde L - R reel lineer uzay olur. L nin özdeş elemanı 0 « (0,0,... »0) ve X*L nin tersi ise -x • (-ax ,-a 2 , ...,-a^) dir. Bu misaldeki sıralı n-lilerin yerine (ax ,a2 ,...) *°n" suz dizilerini alarak tu dizilerin cümlesini F„ ile göstere­ lim. Yukarıdaki toplamıve skalerle çarpma tariflerine benzer tariflar yapılarak F— un F üzerinde bir vektör uzayı olduğu kolaylıkla gösterilebilir.

*

50

(3.3)

mîsal

t F - C ve L = Çx reel sayıları bir Cauchy

dizisi

nin tam oluşundan dolayı f limit fonksiyonunu

f(x)— lim

f (x) olarak tarif edebiliriz. Bu taktirde mf nin t y« nokta n n 9 nokta yakınsadığını" veya mt, t nin nokta nokta iieitidir"

t i

deriz. Daha açık olarak f , f ye nokta nokta yakınsaktır demek her xcx ve her c > 0 için n > n Q olduğunda |fn (x)-f(x)J " f0}

3 **4 -5) R 4 reel vektör uzayında alınan

(1,1,0,0),

(0,1,-1,0)

ve (t,t,I,3) vektörlerinin lineer bakımsız olup olmadı­ ğını gösteriniz. 3 **4 -6 ) Problem 4 deki gibi tarif edilen

c[0,l]

uzayında

||f|j — /|f(x)|dx olarak tarif edilirse c[o,l] O lu bir uzay olduğunu gösteriniz.

in norm-

70

3-4,7) x keyfi bir cümle ve Y — (Y,d) bir metrik uzay olsun. B(X,Y) - {f : f : X Y

sınırlı dönüşüm) olmak

d^tf »g> " sup {d (f (x), g(x)î

Üzere

: xeX)

olarak tarif edilen d^ in metrik olduğunu gösteriniz. 3-4.S) Norm fonksiyonunun tarifindeki Nl) şartının | {x) (««O x - 0 olarak alınabileceğini gösteriniz. 3 - 4 .9 ) L bir lineer uzay olmak üzere ||.||tX + K

ile p > 0

fonksiyonu

sayısı verilsin. Her x,ycX için

1) 1 1 x| | - x**x - 0 2) ||Xx|| - |a|p ||x|| 3) I |x+y| | < l | x | M |y| | şartları sağlanıyorsa L ye (veya (L,||.||,p) p-normlu uzay denir,

(p-1

üçlüsüne)

ise X normlu uzay olur). Bu

||.|| fonksiyonuna p norm denir. Her p-normlu lineer uzayın d(x,y) - ||x-y|| ve d(x, 0 ) - ||x|| ile bir metrik uzay olduÇunu gösteriniz. 3-4.10) L bir lineer uzay olsun. p : L * 3 %

fonksiyonu aşağıdaki

şartları saklıyorsa p ye yarı norm denir. a) p(Xx) — |X|p(x)

(L nin mutlak homogenlik özellisi)

b) p(x+y) n olacak şekilde sınırlı olmayan bir (yR ) dizisi ihtiva eder. Bu

* D a h a k a t i n o l a r a k d i s i a e l k o m p a k t d a n i r . Bu a n a l i z d e ö n e a l i b i r k o m p a k t l ı k ç e ş i d i d i r . B u n d a n b a ş k a iki ç e ş i t d a h a k o a p a k l ı k v a r d ı r . F a k a t a e t r i k u z a y l a r d a bu Üç ç e ş i t k o n p t k l ı k ç a k ı ş t ı ğ ı için ayırt etaege gerek yoktur.

80

dizi yakınsak bir altdiziye sahip olamaz. Çünkü yakınsak altdizi sınırlıdır. Bu taktirde tariften dolayı M kompakt olamaz. Fakat M kompakt idi. Bu tezat iddiayı ispatlar. /// Bu

Lenunanın tersi genelde doğru delildir.

e

V3.5S) j t e o r b m

(Kompaktlık): N sonlu boyutlu normlu bir

uzay ve M, N nin bir altcümlesi olsun. M nin konmak t

olması

için gerek ve yeter şart M nin kapalı ve sınırlı olmasıdır.

İs p a t ı (3.57) Lemroasından dolayı kompaktlık, kapalı­ lık ve sınırlılığı gerektirir, şimdi bunun tersini ispat ede­ ceğiz. M kapalı ve sınırlı olsun. Boy N — n ve {e1 #e. , . . . #e ), — • n N nin herhangi bir bazı olsun. M de herhangi bir (xm ) dizisi alalım. Herbir x_ » m m e l ta2* e 2 * - " * a n olarak ifade edilebilir. M sınırlı olduğundan dır. Her m için l|x l l ^ k olsun.

(xm ) de sınırlı­

(3.48) dan dolayı c > 0 olmak

üzere

K i l l - n l I - l l  - i " e i l l i c l ai m I dır. Şu halde sayıların (a^™ ) dizisi (i sabit) sınırlı ve Bolzano-Weierstrass teoreminden dolayı sahiptir

yıkılma noktasına

(Burada l ^ i ^ n dir) . (3.48' daki isnatta

olduğu

gibi netice olarak (xm ) nin yakınsak Lir (z^) altcizisi var­ dır. z

-*z-Ia.e. olsun. M kanalı olduğundan zcM dir. Bu, M

de keyfi bir (xm ) dizisininfM de yakınsak bir altdiziye sahip olduğunu gösterir. O halde M kompaktır./// Bu tartışmalardan şu sonuçlar çıkart

Rn

lu boyutlu herhangi bir normlu uzayda) kompakt kesin olarak kapalı ve sınırlıdır.

de

(veva ¿ o n ­ altcümleler

Şu halde kapalılık

ve

sınırlılık korapaktlığı tarif etmek için kullanılabilir. Ancak bu sonsuz boyutlu normlu uzaylarda yapılamaz.

»

Bu hususla ilgili olan ve 1918 yılında F.Rlesz tarafın­ dan ispat edilmiş Lemma aşağıdadır. {3.59) Lemma

(r.Riesz)ı N normlu bir uzay (keyfi boyut­

81 lu) ve Y, x m

kapalı bir has altcümlesi olmak üzere X ve V,

N hin altuzayları olsun. Bu taktirde (0,1) aralısındaki her ® reel sayısı ve her yCY için

llx||-ı

,

||*-y||>e

olacak şekilde bir xcX vardır. İ s p a t , v e X-Y keyfi bir eleman ve bunun Y ye olan u *aklığı a yani ( a - i n f | |v-y| | yev olsun (Şekil 3.4). Y kapalı olduğun­ dan a > 0 dır. 6 g (0 ,1 ) olsun, tnfimu^un tarifinden dolayı (3.60)

a < ||v-yQ || < -Ş—

olacak şekilde bir y0£Y vardır.

(Dik-

Şekil 3.4

kat edilirse 0 < © < 1 olduğundan a/ 8 > a dır) c—

1

olmak üzere x - c ( v - y Q )

ltv-y 0 1 | olsun. Bu taktirde | | x | | - l dır. Şimdi her yeY için ||x-y|li0 olduğunu gösterelim :

I|x-y|İ - i|c(v-yQ)-y|| -c| |v-y0-c-1y| | — c| (v-y1 |l

.

(Y1 - Y 0*c’1yî

dır. y altuzay olduğundan y ^ - y ^ c ^ y s Y dir. O halde a nın Arifinden dolayı llv-y^M^a dır. c nin yukarıdaki deflerini kullanarak (3.60) dan I Ix-y I I - cI |v-y J I > ca - — 1 l|v-y0 H

> -a-- e a/e

elde edilir. yCY keyfi olduğundan ispat tamamlanmış olur./// (3.S8) dan dolayı sonlu boyutlu norralu bir uzayda ka-

32

palı birim yuvar kompaktır. Tersine olarak Riesz Lemması aşa­ ğıdaki faydalı, ve dikkate deÇer neticeyi verir. (3.61)

teorem

(sonlu boyut)

s N normlu bir uzay olsun.

S — {xcN ; ) |xJ | < 1 } kapalı birim yuvarı kompakt ise N

sonlu

boyutludur. İ s p a t t S nin kompakt fakat Boy N — • olduğunu

kabul

ederek bir tezata varalım. x^cN ve ||x^||M l olsun. Bu x ^ r N nin boyutu 1 olan layı

altuzayını gerer.

(3.52) teoreminden do ­

kapalı ve Boy N — • olduğundan

, N nin bir has alt-

cümlesidir. Riesz Lemmasından dolayı

ve

1 | x 2 - * x lI olacak şekilde bir X 2 ^N vardır. Bu x^ ve x^» N nin iki boyut­ lu kapalı bir Nj has altuzayını gerer. Yine Riesz Lemmasından dolayı her xetİ2 için ıı*3-xiı i 4 olacak şekilde normu 1 olan bir x^ vardır. Özellikle | |x3 -xx | | > - 5 -

,

I |x3 -x2 || > -idir. Bu şekilde devam ederek (tüme varımla)

MV*„I

(m / n)

olacak şekilde x neS elemanlarının

(xn ) dizisini elde ederiz.

Aşikâr olarak (xft) nin yakınsak bir altdizisi olamaz. Bu S nin kompaktlıÇına tezattır. 0 halde Boy

kabulUmüz yan­

lış yani Boy N < • dur.///

PROBLEMLER 3-6.1) i - l , 2 , . . . , n için |İ2* L lineer uzayı üzerinde iki norm ol­ sun. Bu normların L de aynı topolojiyi vermeleri için gerek ve yeter şart »| |x| Ix < 11 x| 12 < M \ \ * \ \ x olacak şekilde m ve M pozitif sayılarının bulunmasıdır. 3-6.7)

normlu bir uzay olsun. N deki bir (x ) dizisi x e X n noktasına yakınsıyorsa n

Hra I ı*n ı ı-ıı^ıı

n-*~ olduğunu gösteriniz. 3-6. Ş) Normlu bir uzaydaki açık birim yuvarın konveks olduğu­

nu gösteriniz. 3-6.5)

l

lineer uzay ve A C L olsun. Her x,y A için jo|*j6|— 1

olmak üzere ax+6ycA ise A ya mutlak konveks denir. E konveks ve A ve B ise mutlak konveks olsun. Bu taktirde a) xo +aE— (xo +otx * xcE)

64

b) A + B - (x+y : xeA, yc3) c)

aA — {ax * xcA)

cümlelerinin konveks olduğunu gösteriniz. 3-6.10) N normlu bir uzay ve xo«N olsun. fx * N-N, *o

f (x) - x + x xo

olarak tarif edilen f dönüşümünün birebir, üzerine ve sürekli olduğunu gösteriniz. Ayrıca f 1 do süreklidir* xo

3-6.11) X ve Y birer metrik uzay ve TıX * Y sürekli bir dönü­ şüm olsun. Üstelik farzedelim ki M, X ın kompakt bir altcümlesidir. M nin T altındaki görüntüsünün kompakt olduöunu gösteriniz. 3-6.12) X kompakt bir metrik uzay ve H C X

kapalı olsun. M nin

kompakt olduğunu gösteriniz. 3-6.13) X ve Y normlu iki uzay ve T : X •* Y lineer izomorf i ol' sun. T ve T -^ sürekli ise T ye lineer ve topolojik ef yapı dönüşümü denir. X ve Y ye ise lineer ve topoloji* eşyapılı uzay adı verilir. X, Y ile ve Y de Z ile lineer ve topolojik eşyapılı ise X ve Z ninde lineer ve topolojik eşyapılı olduğunu gösteriniz. 3-6.14) N ve N' skaler cisimleri aynı olan sonlu boyutlu norm" lu uzaylar ise bu uzayların lineer ve topolojik eşya' pılı olduğunu gösteriniz. 3-6.15) a)

(3.4Ö) Lemmasında N — R 2

. x ^ — (1,0), x 2 — (0^ 1 )

alındılında c > 0 sayısı en fazla ne olabilir? 3-6.16) X ve Y iki metrik uzay ve f : X

Y sabit bir dönüşüm

olsun, f nin sürekli olduÇunu gösteriniz. Bundan fay­ dalanarak sürekli dönüşümlerin açık cümleleri açık cümlelere d ö n ü ş t ü m ! yeceÇini gösteriniz. 3-6.17) Her an i

b olmak üzere a — , y2 - T(x2),... ,yn+1T(xn+l) 0l*cak şekilde x2,x2,... *xn+1£L vardır. BoyL-n oldu­ ğundan (x ,x2(...»xn+1> cümlesi lineer bağımlıdır. O halde “ lXl*° 2 X 2 t •••*°n.l“*n.l “ 0 °l*cak şekilde hepsi birden sıfır olmayan a 1 #a 2 »...#«n+l ska^Jfleri vardır. Eşitliğin her iki tarafının T altındaki görün­ d ü

alınırsa T(0) - 0 olduğundan

88

T(° 1 x 1 +a 2x 2* .. .♦an U * n+1> -
|i - I|x|1 < 1 |x|l + l|T(x)|j - 11(x,T(x)|| dır. Böylece (5.17) teoreminden dolayı P - 1 : B-*G(T)

p'^íx) —

ix,T(x)) ters dönüşümü sınırlıdır. Bu taktirde I

|T(x ) 11 < |lT(xí |M

|x| I- 11 (x,T(x) 11 - 1|p-1(x) 11 < I|p‘x|I I|x|I

yani T sınırlıdır./// (5.22) TEOREM (Kapalı linear operatör) normlu uzay

T: N

t N ve N'

N' bir lineer operatör olsun

ve

M de bir dizi olsun. T nin kapalı olması için gerek ve şart xn

birer (x^, veter

x ve T(xn ) + y olması halinde xeN ve T(x) — y olmasıdır.

îspat t G(T) kapalıdır ** z — (x ,y)eĞTrj ♦zeĞ”(T) . (2.4l)-a) dan zcG(T) zR * 2 olmak üzere zn - (xn,T(xiJ)cG(T) dır. Böylece xn -x ve yn -y olur. Yine z- (x,y)eG(T> **x e N ve y - t

yani x f(x) - f (0) ♦ / g(t)dt o olur. Bu fcA ve T(f) - £ ’ olduğunu gösterir.

(5.21) teoreminden

dolayı T sınırlıdır. Bu bölümü 7. bölümde kullanacağımız bir kaç

teoremin

ispatını vererek bitirelim. N normlu bir uzay olsun. N nin N* dual uzayıda normlu bir uzay olduğu için N* ın bir dual uzayı vardır. Bu uzayıda ( N * ) * - N * * ile göstereceğiz. N** uzayına N nın ikinci dual uzayı denir. Fonksiyonel analizin önemli konu­ larından biri dual uzayların incelenmesi, özellikle bir uzay­ la onun dualı arasındaki irtibatın kurulmasıdır.

TEOREM t N normlu bir uzay ve N**, N nin ikinc

(S.23)

dualı olsun. Bu taktirde N den N** içine bir izometrik izomorfi

vardır. İ s p a t * xcN olsun. Bu x yardımıyla N* de tarifli lineer

bir Fx fonksiyoneli(yani FxcN**)bulmaya çalışacağız. feN*

ol­

mak Üzere Fx - (af+Bg)(x) - a f (x)+Bg(x) - “V

BF x (9>

olduğundan Fx lineerdir. Aynı zamanda Fx ın normu ,

l|Fxll -sup(|Fx(f)| î lifli 1 / 2 -

( i |x | 2 ) 1 / 2 i- 1 1

iç çarpım normunu düşünelim. Bu normdan elde edilen norm

met*

rişine, yani d(x,y) - ||x-y|| - ( I ^ ı - y ^ 2 ) 1 7 2 metrisine göre i

2

nin tam olduğunu ispatlıyarak t

2

nin bir Hil*

bert uzayı olduğunu göstermiş elacafız. (x“ f X 2 *-..) olmak üzere (xn ), t 2 de bir Cauchy

di ­

zisi olsun. Bu taktirde her e > 0 için m,n»n 0 olduğunda d(x ,x ) — ( z IX“ - x " | 2 ) 1 / 2 nQ )

dır. Demek ki i nin her sabit seçimi için (xj , x 2 ,...) C de bir Cauchy dizisidir,

ir

b

veya

ve (T tam olduğundan bu Cauchy di­

zisi yakınsaktır, m-** için xj + x^ olsun. Her i için bu limitler yardımıyla teşkil ettiğimiz diziyi x ile gösterelim. Yani x-(x^> x 2 ,...) olsun. Şimdi xm + x ve xei 2 oldudunu göstereceğiz. (6.14) den k - 1 , 2 ,... için İ |x? - x j | 2 < c 2 i- 1 1 yazılabilir, n -*•® için buradan k

fn

n

E |x. — x .|

i-1

1

.

ic

1

bulunur. Buradan da k ♦ • için

(m>n *k — 1,2,...)

°

131

I |x? - x . | 2 S.C2 i- 1 1 1

(6.15)

elde edilir. Bu gösterir kİ xm ~ x — (xA - x^Jet

dır. xm ei

ol­

duğundan (3.31) Minkowski eşitsizliğinden x-x

n

♦ (x-x )e l 2 n

sonucuna varılır. dır. O halde x

m

2

(6.14)'e dikkat edilirse

- x dır.

(6.15)

tso r e h

*

ispatlıyalm*

1 < p < - ve p

2 olmak üzere E|xi |p < -

olacak «eklide reel veya kompleks sayıların x - (x 1 #x 2 ,...) d i ­ zilerinin ip cümlesini düşünelim. «D

-

Z x.y. 1 X

1-1

iç çarpımına göre ip Hilbert uzayı değildir.

İs p a t * Teoremi ispat etmek için pj*2 için lp nin munun iç çarpımdan elde edilemiyeceğini

nor­

göstermek yeter. Bu­

nun için normun paralel kenar kanununu sağlamadığını göstere­ lim. x - (1,1,0, ...>, y - ( l , - l i0 f ...)cip olsun. Bu taktirde,

l l * l l - < î l*i lp >1/p i- 1 tarifinden

11x | |-||y|I - 21/P ve Il**yl I- I|x-y| |- 2

ise paralel kenar kanunun sağlanmadığını gösterir.

olur.

Bu

(6 .1 2 ) deki

ispata tamamen benzer bir yolla ( 2 yerine p almakla, l < p l * lsl S *L

seSJj’-» S S S 1 1

dır.

halde

141

(6.30) TBORBM t H bir Hilbert uzayı ve Y, H nın kapalı bir altuzayı ise Y -

y

1J~

dır.

İSPAT t (6.29)-4) den dolayı Y & Y X 1 dır. O halde teore­ mi ispat etmek için Y X1fcY olduğunu göstermek yeter. x e Y 1 X o l ­ sun. Bu taktirde (6.26) teoreminden dolayı x - y+ z olacak şekil de y e Y c y 1 1 vardır. Y iX bir vektör uzayı ve x e Y ' z - x - y E Y i L ve böylece z i Y 1

olduğundan

dir. Fakat yine (6.25) dan dolayı

zeYX dir. Bu iki husus birlikte düşünülürse z-Lz olur. Bu ise z - 0 olmasını gerektirir. Netice olarak x - y bulunur.Yani

xey

dir. xEYX L key£i olduğundan YXA c Y dir./// Aşağıdaki teoremle Hilbert uzayının bir

altcümlesinin

gerdiği yoğun altuzayla ilgili bir karakterizasyon verilecektir. (6.31) TBORBM t H bir Hilbert uzayı ve M / P ,

H nın her­

hangi bir altcümlesi olsun. M nin gerdiği uzayın H da

yoğun

olması için gerek ve yeter şart M"*-" {0} olmasıdır.

İ s p a t t V - G e r M , H da yoğun ve xeMX olsun. Bu taktirde, x e v - H dir.

(2.41)-a) dan x n - x olacak şekilde V de (xn ) dizi­

si vardır. xeMX ve M X X V olduğundan - 0 dır. İç

çarpım

sürekli olduğundan (bakınız (6.19))^ -*• dır.

Demek

ki - ||x | | 2 — 0 -^x - 0 dir. xcM

-

keyfi olduğundan M

{0 }

olur. Tersine olarak şimdi H ~ - (0) olduğunu kabul edelim.x v ■*xl-M^xcMJ“*»x — 0 dır. O halde V X — tO) dir. Dikkat edilirse V,H nın bir altuzayıdır. Bu sebeple (6.26) da Y - V

alınırsa

- H

bulunur. /// PROBLEMLER

6-3.1) L bir lineer uzay olmak üzere - - 0 olduğunu gösteriniz. x 0 #y0 tL

blmak üzere her

x e

L

için

- ise x0 -Y0 olduğunu gösteriniz. 6 - 3 .2 ) x e »

olmak üzere ||x||^

Ix iI olarak tarif

edilen

normun bir iç çarpımından elde edilemiyeceğini gösteriniz.

142

6-3 *3) X bir iç çarpın uzayı olsun. X ın A ve B

altcUmlelerl

için l 1 İMİ olmasını gerektirir. Netice olarak ||f||~||z|| dir./// (6.35)

teorem

t X bir iç çarpım uzayı olsun. Her

için — ise v^ — v 2 dır. özellikle her

wex

için

— 0 ise v^ — 0 dır. İSPAT t Hipotezden dolayı

— -

dır. Özel olarak w — v^-v 2 için llv^-Vjll 2 — 0 olur. — v 2 elde edilir. Özellikle w —

—

0

Buradan

alınırsa — 0 -*l (v ^ | | 2

— O ^ V j — 0 bulunur./// Hilbert uzayları üzerindeki sınırlı lineer fonksiyonla­

we

145

rın pratikteki k u l l a n ı l ı ş ı m ı f(x) - < x , z > Riesz temsilinin basitli«5inden çıkar. Ayrıca bu (6.32) bağıntısı Hilbert uzayları operatörler teorisinde oldukça önemlidir. Bir kaç teorem daha vererek bu bölümü bitirmek istiyoruz. Bu maksatla bazı tarif ve özelliklerle işe başlıyalım.Hatırla­ nacağı gibi L ve W aynı bir skaler cisim üzerinde tarifli

iki

lineer uzayı olmak üzere fi L - W dönüşümü f(x*y) - f ( x ) +g(x) ve f(ax) -af(x)

şartını saklıyorsa f ye lineer dönüşüm denir. Bi ­

rinci şart yine saklanmak üzere f(ax) -5f(x ) olursa f ye eşle­ nik lineer dönüşüm adı verilir. (6.36) TARİF * I- ve K, aynı bir F < - R

veya C)

Üzerinde iki vektör uzayı olsun. Bu taktirde h: L x

w -► F

cismi dönüşü­

mü x . x ^ x ^ L ve y,y 1 (y 2eW İÇİn a ş a n d a k i şartları saklıyorsa h ya s-lineer fonksiyonel d e n i r . a)

h(xx*x2,y)- h ( x 1 ,y) + h ( x 2 ,y)

b)

h(x,y1+y2) -hix^j^i + h ( x , y 2 >

c) h(ox,y) — ah(x,y) d) h(x, 6 y) - 5 h(x,y) Bu tariften anlaşılacağı gibi bir s-lineer dönüşümü b i ­ rinci dekişkene göre lineer ikinci dekişkene göre ise eşlenik lineerdir. L ve W reel yani F - R

ise d) den

h(x,By) — Bh(x,y) elde edilir. Bu taktirde h her iki dekişkene göre lineer olur. Bu durumda h ya 2 -lineer fonksiyonel denir.

ı

(6.36) TARİF t N ve N* bir F skaler cismi üzerinde normlu iki uzay ve h: N x N ' ♦ F bir s-lineer fonksiyonel olsun.Her (x,y)eM x N' için (6.37)

|h(x,y)| olsun. Bu taktirde M C A dır (Bakınız problem 4.3-d)). Şimdi 4: C * A , morfi

4 (x) — M

olarak tarif edilirse ♦ bir epi-

(içine izomorf!) dır. Gerçekten, 4(x*y) " M

ve M (z) - ( x + y ) z - x z + y z - (M +M ) (z) olduA*y * Ty * y Şundan 4 (x+y) ™ M „ • M ♦ M ~4(x)+4(y) dir. x*y x y 4(ax)

cıx

- - M x (My (z)) - M x (yz)-x(yz)

-

(xy)z-:4V (z) olduğundan * ( x y ) - M - M o M ■ ♦ ( x ) o » ( y ) dır. Dexy xy x y mek ki 4 bir homomorfidir. Ayrıca 4(x) - 4.(y)

- M „ — xz — yz ve C birim elemanlı x y Şundan buradan anlaşılır ki x — y dır. Yani 4 birebir ve

oldudolu-

yısıyla epimorfidir. (7. S) TARİF (Banach cebiri)

t C birim elemanlı kcmpleks

bir cebir olsun. C de bir norm tarif edilmişse C ye

normlu

kompleks cebir denir. Ayrıca bu norm metriğine göre C

Banach

uzayı ve (7.6)

l|xy||iri B(C,C) nin bir alt Banach Cebiri olarak düşünülebilir. Bu (7.11)

misalindeki B(C,C) Banach cebiri ve bunun

sebeple bütün alt

Banach cebirleri, bir anlamda bütün Banach cebirlerinin yeri­ ne alınabilir. Bunu görmek o kadar zor delildir.

(7.4)

mise­

linden dolayı M_(x) - cx olmak üzere ♦ j C-*B(C,C), ♦ ( c )-m olac c rak tarif edilirse e bir epimorfidir. M e , C de birim opera­ tördür. Her ceC için ||c | | - | 1 m

|| olduğunun

gösterilmesine

gelince, l|Mc (x)|| - 11ex11