Fisica Meccanica e Termodinamica. Con esempi ed esercizi

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Corrado Mencuccini

Vittorio Silves

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Corso di fisica per le facoltà tecnico-scientifiche corredato di esempi ed esercizi

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Liguori Editore F

INDICE

Prefazlone

PARTE PRIMA - VIECCANICA I.

Il metodo sclentlfico

I.l. 1.2. I.3. I.4. I.5. I.5.1. I.5.2. 1.5.3. I.6.

Introduztone Defin1z1one operatlva delle grandezze fislche

S1stem1 d1 unlta d1 m1sura ed equazlom dlmenstonah La grandezza fis1ca «tempo» Relazronl funz1onal1 Rappresentazione tabulate Rapplesentazzone grafica Rappresentazzone analztzca

Alcune propneta delle funz1on1

II.

Cmematlca del punto matenale

II.l. II.2. II.3. II.4. II.4.l II.4.2 II.4.3 II.4.4 II.4.5 II.5. II.6. II.7. II.8. II.9.

La pos1z1one Ivetton defin1z1on1 Alcune defin1z1on1 relat1ve alle matnct Operaz1on1 sul vetton

La legge orana dl un punto materxale La veloc1ta medta I 11m1t1 dl una funzlone La denvata Denvata del vettor1 Velocxta ed acceleraz1one 1stanta-

II.10. II 11

Mot1 p1an1 su tralettona qua1s1as1 Dalla accelerazlone alla legge orana

Pzodotto di un vettore V pet un numero k Somma dt vettorl (0 nsulranre) Dlflelenza dl due vetton Prodotto scalare fra due vettorz Prodotto vettoriale fra due vetton

Eserczzz del capztolo II Suggertmentl per la soluzzone deglz eserczzl del capitolo II

III.

I pnnclpl della dmamlca del punto matenale

III.l. III.2.

Definlzlone (stanca) d1 forza

Pr1nc1p1o dl relattvlta

Sistemi di riferimento inerziali ........................ ._ Ptincipio di inerzia ...................................... _. Forza e accelerazione ................................... ._ Massa inerziale e massa gravitazionale .............. ._ Misura dinamica di forze e secondo principio della dinamica ........................................................ ._ Le leggi delle forze ..................................... ._ Trasformazioni galileiane e invarianza relativistica del II principio della dinamica ............................. _. Sistemi non inerziali e forze dette apparenti o fittizie Esercizi del capitolo III _ . . . . _ . _ . . . . _ . . . . . _ . . . . . . _ . . _ . . . . ._ Suggerimenti per la soluzione degli esercizi del capitolo III

Conseguenze del II principio della dinamica Infinitesimi ................................................ _ _ Differenziale .............................................. _ _ Integrale ................................................... ._ Impulso e quantità di moto ........................... _. Momento angolare e momento della forza ......... ._ Lavoro di una forza. Teorema delfenergia cinetica ._ Calcolo del lavoro e integrale di linea . . . . . . . . . . . . . . . ._

Campi di forze conservativi. La funzione potenziale . Funzioni di più variabili. Derivate parziali e diflerenziali Forme diflerenziali lineari e diflerenziali esatti . . . . . . . ._ Calcolo della funzione potenziale . . . . . _ . . . _ . . . . . . . . . . _ . ._

Il teorema della conservazione dell°energia meccanica Sistemi a un sol grado di libertà ..................... _. Condizioni di equilibrio per un punto materiale ed energia potenziale ............................................. _. La potenza ................................................ _. Esercizi del capitolo IV . . . _ . _ . . . . _ . . . . . . . . . . _ . . . . . . . _ . _ . . .. Suggerimenti perla soluzione degli esercizi del capitolo IV

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Le leggi delle forze Le leggi della gravitazione universale ................ _. Il teorema di Gauss e il campo gravitazionale generato da una massa avente simmetria sferica .............. _. Le leggi di Keplero e la loro giustificazione dinamica La forza peso ............................................. ._ Il potenziale efficace e la forza di richiamo verso l'orbita di equilibrio ......................................... ._ Forze elastiche ........................................... _. Forze viscose di resistenza del mezzo ............... .. Moto di un grave sottoposto a forza di resistenza viscosa Moto oscillatorio smorzato . . . . . . . . . . . . . . . . . _ . _ . . . . . _ . . . . .. 3%

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Reazioni vincolari ........................................ ._ Forze di attrito ........................................... _. Attrito statico ............................................. _. Attrito cinematico radente ............................... ._ Attrito volvente ........................................... ._

Oscillazioni forzate e oscillatori accoppiati .......... ._ Oscillatore in due dimensioni _ _ . . _ _ . _ _ . . . . _ _ _ . _ . . . . . _ _ . . .. Oscillatore forzato ........................................ __ Oscillatori accoppiati ..................................... _.

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Esercizi del capitolo V ................................... .. Suggerimenti per la soluzione degli esercizi del capitolo V

5.

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Numeri complessi ....................................... _.

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Definizione dell'algoritmo complesso . _ . _ . . _ _ . . _ _ . . . _ . . _ ._ Interpretazione geometrica dei numeri complessi ..... ._ Rappresentazione polare dei numeri complessi . _ . _ _ . . _. Rappresentazione esponenziale dei numeri complessi _.

699 700 700 701

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14 Indice

\l_".\'.\'.\' .|>.›) quando sia stato specificato il modo in cui essa può essere /nisurata, cioè espressa tramite un numero (ricavato dalla osservazione) che la caratterizza. Una condizione essenziale è che il risultato della misura sia riproducibile, cioè che la misurazione eseguita sulla stessa grandezza (nelle stesse condizioni) fornisca lo stesso numero indipendentemente dal soggetto che esegue la misura o, come si dice, indipendentemente dallo sperimentatore. In questo libro verrà data, via via che ne sentiremo Pesigenza, la definizione operativa di molte grandezze fisiche, e ciò servirà anche a meglio approfondire il concetto di misura: processo che a volte viene eseguito in maniera diretta (cioè mediante confronto fra grandezze omogenee, ad esempio fra lunghezze se di lunghezze stiamo parlando) ma che spesso è più comodo o addirittura necessario compiere in maniera imliretta (cioè misurando grandezze diverse da quella in esame, il cui valore sia però legato, tramite leggi note, alla grandezza che si vuole misurare). In questo paragrafo e nel prossimo discutiamo la definizione operativa di due grandezze fisiche di carattere geometrico, cioè la lunghe::a (ad esempio la lunghezza di uno spigolo di una lastra metallica rettangolare) e l”area (ad esempio l”area della superficie della stessa lastra). Per giungere alla definizione di misura diretta, i passi da compiere sono sostanzialmente i seguenti:

Deduzione

a) Si stabilisce un criterio di con/i-onto fra due grandezze qualunque appartenenti alla categoria in esame, in base al quale sia possibile definire il concetto di uguaglianza fra grandezze omogenee. Nel caso della grandezza fisica lunghe::a ci limitiamo a considerare, per semplicità, segmenti rettilinei. Il criterio di confronto tra due segmenti si basa sulla capacità di accertare la sovrapposizione geometrica degli estremi dei segmenti a confronto. In base a questo criterio di confronto, due segmenti si dicono avere la stessa lunghezza se i due estremi del primo possono essere simultaneamente portati a coincidere con i due estremi del secondo. Nel caso di linee curve il concetto di lunghezza può essere facilmente esteso a partire dalla lunghezza di segmenti rettilinei. Basterà pensare spezzata la linea curva in una serie di corde tanto numerose, e quindi tanto piccole, da avvicinarsi quanto si vuole alla configurazione geometrica della linea curva considerata. In pratica si usano dei campioni deformabili (ad esempio uno spago o un «metro da sarto››) per i quali si ammetta che, al variare della forma, non cambi la lunghezza. In pratica, i due segmenti, le cui lunghezze si vogliono confrontare, vengono disposti uno di fianco all'altro con un estremo coincidente. Se anche l°altro estremo coincide, le lunghezze dei due segmenti (dei due spigoli) sono uguali per definizione; in caso contrario è maggiore la lunghezza di quel segmento che copre completamente l°altro. b) Il secondo passo per la misura consiste nel definire il criterio di somma di due grandezze fisiche omogenee. Nel caso delle lunghezze, la lunghezza a è per definizione pari alla somma delle due lunghezze b e c, se disponendo uno di seguito all`altro sulla stessa retta i segmenti b e c (il primo estremo di c coincidente con il secondo estremo di b), quando il primo estremo di a coincide con il primo estremo di b il secondo estremo di a coincide con il secondo estremo di c.

Uguaglianza di grandezze omogenee

Definizione operativa

Misura Riproducibilitii della misura

Nlisura diretta

Misura indiretta

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Criterio di somma i

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22 Parte prima: I

Una volta definita la somma, risultano definiti i multipli e i sottomultipli di una certa lunghezza a. Un segmento b ha lunghezza pari ad na (con n intero), quando la sua lunghezza è pari alla somma delle lunghezze di n segmenti di lunghezza a; un segmento b ha lunghezza a : n = a/n quando, sommandolo ad altri (n -1) segmenti di pari lunghezza, si ottiene una lunghezza pari ad a. Unità di ni isura

c) Come terzo passo, occorre operare la scelta dell°um'ia di iii/siii'a o campione per la grandezza fisica considerata. Nel caso di lunghezze si sceglie un regolo canipioiie, la cui lunghezza viene convenzionalmente assunta aver valore 1 (unità di misura delle liingliezzc). Secondo una conven-

zione internazionale ormai universalmente adottata, l°unità di misura delle lunghezze è la lunghezza di un regolo di platino-iridio depositato al Bureau des Standards di Parigi (metro canipionc). Il campione di lunghezza è dato anche, in modo più universale, in termini di lunghezza d'onda di una determinata radiazione luminosa. Dal 1960 il metro campione è definito come una lunghezza 1_650.763,7 volte la lunghezza d'onda nel vuoto della riga spettrale rosso-arancio dell°atomo di cripton_

Metro campione

Ciò fatto, siamo finalmente in grado di definire operativamente la grandezza fisica lunghezza, specificando l”operazione che va compiuta per misurarla; operazione consistente nel confrontare la lunghezza incognita coi

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multipli e sottomultipli dell'unità di misura. La misura del lato della nostra

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lastra di lamiera vale ad esempio (in cifre decimali) 2,124 metri, se esso ha lunghezza pari a quella della somma di due regoli di lunghezza 1 metro, più un regolo di lunghezza l/10 di metro (decimetro), più due regoli di lunghezza l/l00 di metro (centimetro), più 4 regoli di lunghezza 1/1000 di metro (millimetro). Per facilitare l°operazione di misura, vengono costruiti dei regoli su cui sono direttamente indicati, mediante tacche numerate, i multipli e sottomultipli della unità di misura. Se di una certa lunghezza incognita si esegue la misura ripetutamente (n volte) cercando di raggiungere il livello di precisione massimo consentito dagli strumenti in nostro possesso, si riscontra in generale che i risultati non sono tutti fra di loro uguali, ma fluttuano leggermente intorno a un certo valore. Nel caso in esame, si potrà ottenere ad esempio una sequenza del tipo: 2,124; 2,123; 2,124; 2,125; 2,126; 2,124; ecc. Queste fluttuazioni sono dovute a errori casuali' di varia natura (allineamento non perfetto; variazioni di lunghezza del regolo; ecc_)_ Un modo conveniente per rappresentare gli errori è quello di riportare le misure in un grafico (detto istogramma) del tipo di quello mostrato in figura. Questa distribuzione dei risultati delle misure consente immediatamente di ricavare una stima dell”errore tipico da cui è affetta ogni singola misura. Nell°esempio riportato, vediamo che circa il 70% dei risultati giacciono in un intervallo di ampiezza A1 = 4 mm. Si usa allora dire che la misura I Al = 2 mm, e si scrive: ha un errore standard o pari a o = -2-

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3 Significato di oe che vi è una probabilità di circa il 30% che il risultato di na misura capiti all estemo di un intervallo di ampiezza 2o.

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Il metodo scientifico 23

Una volta effettuato un certo numero n di misure (siano 1,- = ll, 12, __., 1,, i risultati ottenuti), è conveniente prendere come valore rappresentativo della grandezza misurata il valore medio I degli n risultati ottenuti

(7: /1+/,n...+/, =

li)/ny

Approfondimenti su questo tema sono argomento della teoria degli errori che qui non sarà sviluppata.

1.3. Sistemi di unità di misura ed equazioni dimensionali

l

Pensiamo ora di volerdare, analogamente al caso della lunghezza L, la definizione operativa dell°area A. Per misurare l”area A di una superficie (ad esempio quella della lamiera rettangolare di cui al precedente paragrafo) procederemo secondo una semplice estensione di quanto visto nel caso della lunghezza. Il criterio di confronto fra due superfici è basato sulla loro sovrapposizione: quella delle due che ricopre completamente l'altra ha per definizione area maggiore. Le difficoltà connesse con eventuali differenze nelle forme, che possono dare problemi nel giudicare la sovrapponibilità, possono essere risolte immaginando che una delle due superfici (che, a titolo di esempio possiamo per semplicità immaginare realizzata in carta) possa essere ritagliata in un numero qualsiasi di parti. Altrettanto immediato è definire il

criterio di somma. Scelta ora un”unità (potremo scegliere ad esempio l'area di un foglio rettangolare di carta), possiamo misurare l”area della nostra superficie, che risulterà espressa da quel numero A che rappresenta il numero di volte che la superficie incognita contiene l°unità di misura (cioè il numero di superfici unitarie che vanno poste una vicina all'altra per ricoprire completamente la superficie da misurare). Se ora effettuiamo, su diverse superfici rettangolari, la misura delle lunghezze a e b dei lati e la misura A dell'area, si riscontra che esiste una legge che lega fra di loro queste grandezze. Precisamente, si riscontra che vale una relazione di proporzionalità fra l'area e il prodotto delle lunghezze dei lati: t

i

i i ii

A = Kab

[1.l]

Se, ad esempio, si raddoppia la lunghezza di uno dei due lati lasciando invariato l”altro, si trova che la misura dell°area fornisce un numero doppio. E evidente che il valore numerico del coefficiente di proporzionalità K dipende dalle unità di misura che sono state (arbitrariamente) scelte per misurare le lunghezze e le aree. Se ad esempio, lasciando invariata l'unità di misura delle lunghezze (cosicché il prodotto ab resta espresso dallo stesso numero) si prendesse come unità di misura delle aree un foglio di carta dimezzato rispetto al caso precedente, ltarea A sarebbe espressa da un numero doppio: e ciò comporterebbe per la costante Kdella [I.1] un valore doppio rispetto al caso precedente. Per rendere la legge [I.l] più semplice possibile, conviene scegliere, come unità di misura dell”area, l°area del rettangolo di lati a = b = 1, cioè l”area del quadrato di lato unitario: se l”unità di misura delle lunghezze è il metro, quella delle aree sarà il metro quadrato. La [I.l] diviene così: A = ab

[I.2]

Arca di una superficie

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24 Parte prima: I

Sistema di unità di misura

E questa una procedura che viene adottata sistematicamente in fisica. Ogni volta che si sente Pesigenza di introdurre una nuova grandezza, la scelta della sua unità di misura viene fatta in un primo momento in maniera del tutto arbitraria. Se tuttavia, in seguito, sperimentando su tale grandezza si trova che essa è legata da una legge generale (rappresentata da una equazione matematica) ad altre grandezze fisiche, la sua unità di misura viene scelta in modo da rendere l`equazione la più semplice possibile dal punto di vista numerico. Si costruisce così quello che si chiama un sistema di unità di misura.

Grandezze fondamentali

Grandezzc derivate

Una grandezza, come la lunghezza, per la quale l'unità di misura sia scelta arbitrariamente (come è per il metro) viene detta fondamentale; una grandezza invece, come l°area, la cui unità di misura sia legata all”unità di misura di altre grandezze (metro quadrato) al fine di semplificare la struttura numerica di una legge, viene detta grandezza derivata. La legge che lega la grandezza derivata alle grandezze fondamentali fornisce in generale anche un modo per eseguime la misura in maniera indiretta: ad esempio l”area del rettangolo può essere ricavata misurando i lati, e poi calcolando l”area stessa tramite la [I.2]. Va notato che una volta scelto il metro quadrato come unità di misura delle aree, mentre l'area del rettangolo è espressa dalla [l.2], l°area di altre figure geometriche è espressa da una legge del tipo A =ƒab

[I_3]

dove a e b sono due lunghezze caratteristiche della figura, ed f è un numero caratteristico della forma della figura (fattore di forma). Ad esempio per i triangoli a e b sono base ed altezza, ed fvale 1/2; per i cerchi sia a che b sono pari al raggio r, mentre fvale rc; ecc. Questa constatazione si presta a due osservazioni. La prima è che per una grandezza derivata la scelta dell'unità di misura presenta comunque un certo grado di arbitrarietà. Ad esempio si potrebbe scegliere - se lo si rite-

Fattore di forma

nesse più comodo - come unità di misura delle aree l`area del cerchio di raggio 1 metro; in tal caso per l”area A del cerchio varrebbe la semplice legge A = il, mentre per i rettangoli la [1.2] diverrebbe A = ab/ir. L°altra osservazione è che l”area A di qualunque figura è proporzionale tramite il coefficiente puramente numerico f (
0); subito dopo l”urto, il suo verso si è invertito (essa è negativa, v < 0). In realtà, nel brevissimo tempo in cui è avvenuto l”urto, la pallina è stata rallentata, si è fermata (v = 0), e poi ha acquistato velocità di segno opposto (linea sottile in figura); tuttavia può essere conveniente, per molti scopi, schematizzare Pandamento della velocità con una funzione discontinua (linea in grassetto).

v > O

o%_› v< 4 ||A|| = /(21 (- 1)“'

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V1--V2

V2

La differenza D fra due vettori 172 e 172 (D = 17, - 172) è definita come la somma del vettore 172 e del vettore - 172. La differenza D è rappresentata geometricamente (vedi figura) dall”altra diagonale del parallelogramma costruito coi due vettori (dalla diagonale che congiunge Pestremo libero di 172 con l°estremo libero di 172). Si verifica facilmente che il vettore differenza ha come componenti le differenze delle componenti omologhe dei vettori 17, e 172: Dx = Vlx _ V2x

Dy = Vly _ V2›'

[II.10]

D2 = Vlz _ V22

II.4.4. Prodotto scalare fra due vettori Dati due vettori 172 e 172 si definisce il loro prodotto scalare 171 - 172 come quel numero (quantità « scalare ››) dato dal prodotto dei due moduli vl e v2 per il coseno dell”angolo compreso

Prodotto scalare

V2

A

6

71

L7,-172 = 172 - 172 = v2 v2 cos 61

[II.1l]

La [II.1l] può essere interpretata anche come il prodotto del modulo di 172 per la proiezione di 172 su 172 (o viceversa, come prodotto del modulo di v2

per la proiezione di vl su 172).

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Cinematica del punto materiale 43

Dalla [II.1l] segue che se 172 e 172 sono fra di loro ortogonali, allora 171 - 172 = O; mentre se it', e 172 sono paralleli, allora 17, - v°2 = v1 v2. In particolare, per un qualunque vettore v' si ha: v'- 17 = v2

[III.l2]

Con semplici considerazioni geometriche (vedi figura), si conclude facilmente che vale la proprietà 2.. < 172- 173 = 173 >< 171-172 = 172 >< 173 ~171. Il prodotto misto è nullo se due qualunque dei vettori sono fra loro paralleli. Infatti, se ad esempio v2 è parallelo a v1, ciò significa che v2x, v2y, v2, sono proporzionali a vlx, vly, v12; e dunque il determinante è nullo perché la matrice ha due righe proporzionali. i i

ii

i

II.5. La legge oraria di un punto materiale

i

Consideriamo un punto materiale che si muove nello spazio. Il suo moto ci è noto se conosciamo la sua posizione in funzione del tempo: se cioè conosciamo la legge che ci consente di calcolare, per ogni valore del tempo t, dove il punto si trova. Stabilito un sistema di riferimento cartesiano, la posizione può essere determinata specificando le coordinate x, y, z dèil'punto§"pieir“iöùi il 'm'oto"ci' ènoto se conosciamo come variano le coordinate in funzione del tempo (equazioni parametriche del moto):

1

x = X (t)

[_å{'.»'~"i

1513 I

y = y(f)

[II.l9]

z = :(1) Un modo più compatto, rispetto alle [II.l9], per specificare il moto, è di scrivere ' ~i

z*-.(21-1 Vettore posizione

Rflpptesentazione cartesiana .;¬. ~›.,.1 ~ -' ;...1›~:`.i:«'«. 2;.) re,-..-.-›.;^ . .ii .. ›.›-›.›2 _,›

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Velocità

ff 1 ' I rappresentare un vettore

E.Il.6. Un /nodo e que/lo di usare coordinate cosiddette polari: in coordinate polari il vettore F e speci/icatowdal suo tt1tWiT/'B7-,`"dêlT'ã”tTgôló”'6*' clie"ies^sol _/örma con l'asse 2 (0 < 9 < ir), e

Rappresentazione polare

dal/ 'angò_/o`ì>i`c/1e` il piano individuato da F e dall 'asse :forma con il piano z X

Z

(0 < (D < 21:). T/"ovvare la re/azionefia le coordinate polari e quelle cartesiane del vettore' 7.

Dalla figura, con evidenti considerazioni geometriche si ricava 2 I

2x= rsin8cos y = rsin 6 sin =rcos9~ Z

\ \ r sine `\

rcosß

[II.22]

che rappresentano le espressioni delle coordinate cartesiane x, y, z in funzione delle coordinate polari r, 6, 0 t ae l c h e, se x-2 < o (ma X4: 2), risulti ` '

ii !

x2-4 x-2

t

x2 - 4

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Laf(X)= X _ 2 non e definita per x = 2; ma per ogni x ¢ 2 possiamo scrivere:

i i

X2-4

l

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X-2

L

Dunque la condizione

i

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1

(X+2)(X-2)

2 _

);_ 24 _ 4

(X - 2)

Z

V

”+2

< c equivale, per x #= 2, alla condizione

lx † 2 - 4| 0). si ha:

i < -;`< -I-. Sln .\' COS .\' `

[ii.2s

U

z.

Cinematica del punto materiale 53 Se fosse ~-:- < x < 0, il verso della disuguaglianza [ll.27] si inverte; ma la [ll.28] continuaa valere. Perx -› O, sia la funzione costante./lx) = l che la funzione l _ . . g(.\') = R- tendono a l; per il teorema del limite comune deve dunque essere .\'

l

l

. X iim__= i Slfl .\'

.\~0

.

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Per il teorema del quoziente, anche la funzione íx- tende a l.

Prima di chiudere questo paragrafo dedicato al limite delle funzioni, diamo qualche altra definizione. Una funzione f(x) si dice__c_anti'iiítaHnelpti/ito,,\^U,_se essa è_ definita in xo (esiste cioè Ia ?ix§))',"se esištíil limite lim f(x), e se queste due ' quantità coincidono: _,__,¬z_,A_íi.,_____..__._--›-eg: xò " '~ '*› - « t “ '* '^ ' ` ' t ' ` '

i

lim f(X) = f(X0)Una funzione si dice tontinita nel/ 'intervallo [a, b] se essa è continua in tutti i punti“`dell”intervallö. Questa definizione precisa quanto avevamo anticipato qualitativamente nel par. l.5. Come abbiamo già anticipato, la maggior parte delle funzioni che useremo sono funzioni continue; può tuttavia capitare che una funzione tra quelle che useremo non sia continua in qualche punto (ad esempio la funzione tg x non è continua, né è definita, per x = ir/2). Se una funzione f(x) ha in xz, limite uguale a zero (lim f(x) = O), si dice che

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< P) .L 5 perché 7-// €_ Pertanto si ha:

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dv _ dr -(t>›]=%--oxi››+v.< P) _i_ v e -07 = 0 perche P= cost. Si ottiene dunque:

I \7 - (Tx P) = costante = 0

(perché vi, = 0),

e quindi

' \7 J_ (rx P)

durante tutto il moto. Pertanto i vettori \7, T- e P sono sempre complanari ed il moto avviene in un piano fisso rispetto al sistema di riferimento inerziale scelto. Al polo Nord, rispetto al sistema di riferimento inerziale, il piano di oscillazione è fisso ed il suolo terrestre gli ruota sotto. Per un osservatore solidale alla Terra il piano del pendolo ruota in senso orario con la velocità angolare ci della Terra e quindi con un periodo di 24 ore.

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Se il pendolo si trova alla latitudine A, si può ripetere il ragionamento sviluppato nel caso di pendolo a 1 polo Nord, salvo che ora la componente di velocità angolare che interessa è quella radiale, il cui modulo e ( 0; e dunque ancora la forza tende ad allontanare il punto dalla posizione xl.

Minimi dell'energia potenziale: equilibrio stabile

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in cui la tangente al_l_a__fun_@Qn/e¬_WI[(x)Nsonoorizzontali: nell”esempio di iígura, ciò áeíade in xl , xz, x3, dove la U(x) ha rispettivamente un punto di massimo, di min_i_mQm_eW_di† tlessvo (dove la tangente alla curva interseca la c'urv-amšlteissaf Öuesti punti, dove la tangente è orizzontale, si dicono punti di stazionarietà. I ._._____............,a....~ ... v... . ôU > 0 (U e, creIntorno a xl lajgrzdape zjepzf/sivva. Infatti_ per x < x, , T

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Intorno a una posizione di flesso, la forza risulta attrattiva da una parte , (nell esempio di figura, per x > x3); ma repulsiva dal1”altra parte (per x < x3); e ciò è sufficiente perché la posizione di equilibrio risulti instabile. Infine, affinché un certo intervallo rappresenti una zona di equilibrio

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indifferente, deve essere su tutto que1l`intervallo 0 = 12 = %, cioè la fun/ Wi/¬!”

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" Sono Posizioni di equilibrio indifferente quelle posizioni circondate da un dominio all'interno del quale l'energia potenziale sia stazionaria l (costante). Tutte le altre posizioni di stazionarietà (quelle che rappresentano massimi del potenziale, o quelle in cui il piano tangente interseca la curvfl . U(x,y,z)) sono posizioni di equilibrio instabile.

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Fra le posizioni in cui queste tre condizioni sono soddisfatte, solo le posi2f0Hi 671€ e21u171B›'i0 stabile

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zione potenziale deve essere costante in quel1'intervallo. fi`2@iÖHímeHfi›ipossono essere fatti nel caso generale di un punto che si muove liberamente nello spazio sottoposto a un campo conservativo la cui energia potenziale sia U = U(x, y, z). Le posizioni di equilibrio sono quelle in cui le tre componenti del campo di forze siano nulle, e ciò comporta che sia

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T Conseguenze del II principio della dinamica 143

Queste conclusioni valgono anche nel caso che sul punto materiale agisca, oltre al campo di forza conservativo, anche una forza di attrito che si oppone al movimento (cioè con direzione sempre opposta alla velocità).

lV.l2. La potenza Consideriamo un sistema fisico S che, esercitando delle forze su un sistema materiale M in movimento, compie lavoro L. Si definisce come potenza Werogata a un certo istante dal sistema S il rapporto in quell 'istante _/ra il lavoro elementare e il tempo elerneritare in citi

eìì7”e"š't'a"t'oH,s`iiolíZ21M`"` 'W I I 0 I `“""5'é"'ñi"d7ichiamo con AL il lavoro che il sistema S compie nell”intervallo di tempo compreso fra r e 1+ At, si ha dunque _

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[lV.88]

Nel caso particolare che il sistema materiale M che subisce il lavoro sia un punto materiale, se dš è lo__spostamento elementare che il punto compie nel tempo elementare dz e fil risultante delle forze che agiscono sul punto stesso, si ha:

dL = ƒ- dš per cui _.

dz f-ds - --=ds -_ =_=-_= W di di f di fv _.

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iv. [ 89] ..`)

dove \7 è la velocità del punto. La poteggmgliegaáun certo istante ag/'sce_su un punto materiale in movimento è_pÉt7ima“l prodotto scailareifra il risultante fdelle fÖ_r2ë "clie agiscortomšill“punto e la velocità \7 del punto stesso._

La potenza Whia le dimensioni di un lavoro diviso un tempo; nel sistema metrico internazionale S.I. essa si misura in watt W ( un watt è Pari a un Joule al secondo: l W = Éä7misura molto Spesso usata nella pratica è anche il cavallo vapore Hp, pari a 735 watt:

1Hi› = 735 w = 0,735 kw.

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E.IV.23. Una automobile pesa 800 kg. Calcolare la potenza che deve erogare il motore per imprimere all'auto una accelerazione a = 3 m/s) alla velocità di

36, 72 e 108 Kmfli. La forza esercitata dal motore è parallela alla velocità; dalla [IV.89] si ha per- _ 3 _ W=f-v =fv = mav = 800 Kg ln corrispondenza delle tre considerate (pari rispettivamente a 10, 20 e 30 m/s, si ha: Wi =800-3-l0W= 24.000W=24kW=32,5Hp a

36 Km/h

W; = 800-3-20W = 48.000W=48kW -_~.65,0Hp a

72 Km/h

= 800 -3 -30 W = 72.000 W = 72 kW à 97,5 Hp' a 108 Km/h

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73 E;

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144 Parte prima IV

Esercizi del capitolo IV IV.1

Un corpo puntiforme di massa m = 0,2 kg si muove su traiettoria rettilinea con velocità v(t) = a + bt, con a e b costanti (a = 1 m/s; b = 0,5 m/s2)_ Quanto vale la forza applicata al corpo? (Rlsposlaí 0,1 N)

IV.2.

Un corpo puntiforme è inizialmente fermo all”origineAdi un sistema di riferimento cartesiano piano. Ilna forza F = (3 í+ 2j) N agisce sul punto (avendo indicato con í edj i versori degli assi coordinati) e, nell°intervallo di tempo t = 5 s, ne causa lo spostamento fino al punto P(l25 m; 83,3 m). Calcolare la massa del corpo. (Risposllt 0,3 kg)

IV.3

Un corpo di massa m = 10 kg si sta muovendo su una traiettoria orizzontale con velocità vo = 3 m/s, quando una forzafcostante inizia ad agire in verso opposto al movimento fino a fermare completamente il corpo in 10 s. Quanto vale l”impulso della forza nei lO s in cui agisce? Qual è il valore

della forza? IV.-1 /

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IV.5.

IV.6

(Risposte _ 30 tv- S; _ 3 to

Una forza orizzontale costante F- ION trascina due carrelli, di massa M = 1 kg ed m = 2 kg rispettivamente, collegati da un filo inestensibile e di massa trascurabile. I carrelli si muovono su un binario orizzontale. Nell'ipotesi che ogni altra forza sia trascurabile, calcolare la forza Fche il filo esercita sul punto A (gancio) del carrello di massa m. (Risposta: 1,67 N) Un'autom0bile di massa M = 1000 kg viaggia su una strada rettilinea orizzontale alla velocità v = 100 km/li. Quale forza frenante costante è necessario applicare all°auto perché si fermi in 100 ni? (Risposta: 3353 N) Un corpo si muove con velocità vo = 10 m/s, quando inizia a salire lungo la linea di massima pendenza di un piano inclinato liscio, che forma un angolo ot = 30° con l'orizzontale. Tenendo conto del fatto che il piano inclinato, essendo liscio (cioè privo di attrito) non esercita sul corpo forze tangenziali, calcolare la distanza l percorsa dal corpo sul piano inclinato, prima di arrivare ad annullare la sua velocità. Calcolare anche la velocità con cui torna a transitare per il punto di partenza, alla base del piano inclinato.

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IV.7.

(Risposte: 10,2 m; 10 m/s) Un corpo è appoggiato su un piano orizzontale privo di attrito ed è inizialmente in quiete. Ad un certo istante sul corpo agisce una forza impulsiva orizzontale di brevissima durata (At = 2- l0`3 s). Dopo questo colpo, il corpo si muove con velocità v = 20 m/s. Calcolare, in modo approssimato, di quanto si sposta il corpo nell°intervallo di tempo At = 2 - 10* s in cui la forza impulsiva agisce sul corpo. M (Rlsposlal 2 cm)

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IV.8.

IV.9.

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Un uomo lancia un sasso di massa in = 0,2 kg, verticalmente verso l°alto imprimendogli, con il braccio, una forza costante per un decimo di secondo. Il sasso arriva ad una quota lt = 10 m, rispetto al punto di distacco dalla mano dell”uomo, prima di iniziare a ricadere al suolo. Calcolare il valore della forza applicata dall'uomo al sasso, nella ipotesi che sia trascurabile la resistenza dell'aria. (Risposlm 301V) Un corpo di massa ml = 1 kg è appoggiato su un piano orizzontale privo di allfim C, tramite un filo inestensibile e di massa trascurabile, disposto come in figura, è trascinato lungo il piano da un corpo di massa m2 = 0,5 kg SOIt0Dosto alla forza di gravità. Nel dispositivo considerato, il filo passa sopfë UI1 Dí0lo P liscio e fissato al piano. Calcolare Paccelerazione con cui S1 mUOV¢ 11 COTDO ml e la tensione del filo. (Risposte: 3,27 m/S2; 3,27N)

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r.. Conseguenze del II principio della dinamica 145 IV.10. Un piano liscio, inclinato di oi = 30° rispetto all`orizzontale, termina verso

l`alto con un piolo liscio, su cui può scorrere, senza attrito, un filo inestensibile e di massa trascurabile, che collega la massa ml = 2 kg con la massa nt; = -l kg. Inizialmente il sistema è in quiete e da questa situazione inizia a muoversi sotto Fazione della gravità. Ad un certo istante la massa ml urta il suolo. dopo essere scesa di un tratto verticale li = 2 m. Calcolare lo spostamento totale della massa ml lungo il piano inclinato, dal momento in cui inizia a muoversi al momento in cui arriva alla massima quota. (Risposta: 2 ni) IV.ll. Con una normale bilancia a molla tarata, una persona si pesa in un ascen-

sore che sale con accelerazione verticale a = 2 m/sz. Se la bilancia indica un peso di 100 kgp, quanto indicherebbe se la pesata fosse fatta a terra? (Risposta: 83 kgp) IV.12. Tre blocchi di massa ml, m2 ed ml sono disposti come indicato in figura. Il

piano su cui si muove m3 è orizzontale e privo di attrito. I pioli Psu cui slittano i fili di collegamento tra le masse non offrono attrito tangenziale. I fili sono inestensibili e di massa trascurabile. Calcolare faccelerazione con cui si muovono le masse, la tensione rl del tratto di filo CD e la tensione rl del tratto di filo AB. (ml = 2 kg;

m2 = l kg;

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ml = 3 kg)

(Risposte: 1,63 m/S2; 16,3 N; 11,4 N)

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Forza di attrito cincmaiico

IV.l3. Una forza di attrito dinamico si manifesta quando un corpo si muove a con-

tatto con un corpo esterno (per esempio quando un corpo si muove strisciando su un piano). Scliematizzando l'attrito come una forza costante in modulo e diretta sempre in verso contrario allo spostamento, risolvere il seguente problema. Un manicotto cilindrico di massa m = 0,3 kg può scorrere a contatto con un”asta cilindrica verticale. Per effetto di una forza impulsiva (di durata praticamente trascurabile) il manicotto, inizialmente fermo alla base dell`asta, viene lanciato verso l'alto e raggiunge una quota massima /1 = 3 ni. Successivamente il manicotto ricade al suolo e lo raggiunge con una velocità v = 5m/s. Calcolare il valore 1 dell'impulso della forza di lancio.

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(Risposta: 2,89 Ns) IV.l4. Su un corpo di massa m, inizialmente fermo, viene applicata, per un intervallo di tempo che va da t = 0 (istante iniziale) a t = t*, una forza di direzione e verso costanti, il cui modulo dipende dal tempo secondo la legge F= F0 senat, dove Fl, ed oz sono costanti. Calcolare il lavoro compiuto dalla forza nelkintervallo di tempo considerato. \

(m=lkg;

t=-à-s;

Fo=10N;

a=rrs")

(Risposta: 1,26 J) IV.15. Il sistema mostrato in figura consta di due masse Ml = 10 kg ed M2 = 6 kg, collegate da un filo inestensibile e di massa trascurabile, che può scorrere È-"sè senza attrito su un supporto semicilindrico S di massa MS = 1 kg. L”intero av.. › . ww. sistema è sostenuto da un dinamometro ancorato ad un sostegno fisso  Y. Mentre le masse Ml ed M2 si muovono per effetto della forza peso quale _.all. ,.5 , forza misura il dinamometro? (Risposta: ~ ,157N) .

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¬T 146 Parte prima: IV IV.16. Un corpo puntiforme di massa m = I kg si muove su traiettoria rettilinea

lungo l`asse x per effetto di una forza conservativa di energia potenziale U(x) data dalla relazione: A B U(x)=T2----;-

con A =10J-m2 e B= 5]-m,

Graficare la funzione U(x) per x > 0 e, sapendo che il massimo valore che assume la velocità del corpo è VMAX = 3 m/s, calcolare l`energia meccanica totale E del corpo e la forza sul corpo quando la velocità e massima. (Risposte: 3,87 J; O N) IV.17. Un punto materiale si muove su traiettoria rettilinea (asse x) per effetto di

una forza conservativa la cui energia potenziale e U(x) = Axz - Bxl con

A = io J/m2 e B = 2 J/mt.

Graficare la giunzione U(x). Individuare le posizioni di equilibrio nella

parte positiva dell`asse x. Di che tipi di equilibrio si tratta? (Risposte: .\' = 0; x = 1,58 in) IV.18

Un punto materiale di massa in = 2 kg si muove su una traiettoria rettilinea (asse x) essendo sottoposto ad una forza conservativa di energia potenziale U(x) = Axz. Se il punto passa per l`origine con velocità vo = 4 m/s, diretta verso la parte positiva dell”asse x, dove si ferma? (A = 4 J/m2) (Risposta: x = 2 m)

lV.l9. Un punto materiale di massa m = 0,2 kg si muove lungo l`asse x per effetto

di una forza conservativa di energia potenziale U(x) = ax, con oi = 1 J/m. Se il punto viene lasciato andare da fermo nella posizione di ascissa x* = 2 m, con quale velocità passa per l`origine dell`asse x? (Rlsposlaz 4,47 m/s) Forze interinolecolari

IV.20

La forza tra due molecole dipende dalla loro mutua distanza ed è descritta daIl”energia potenziale (di Lennard-Jones):

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