Meccanica razionale. Esercizi [2 ed.]

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GIANCESARE BELLI CARLOMOROSI ENRICOALBERTI

MECCANICA RAZIONALE ESERCIZI

S E C OND A E D IZION E

MASSONMD Milano . Parigi . Barcellona 1994

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INDICE

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Cop. 7 Qinematice \ Cop. fi ^c/ Distribuzíoni di masso \ Cop. 9 'Stotica dei sistemi di punti Cap. I Statíca d,elcorpo rigido Cap. 5 Statica d,ei sistemi d,í corpi rigidi Cop. 6 Azioni ínterne in sistemi orticoloti . Cop. 7 Statica dei fiIi . . Cop. 8 Principio dei lauori uirtuali Cap. . 9 Dinamica del pvnto \-/ Cop. ,\ Dinamico del corpo rigído -\)/ Cap. '{\ X. Dínamica d,ei sistcmi . Cop..X Equazionidi Lagrange Cap. Meccanica relotiua . .')

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(ernEg 1pa,r) aua111o1s oloul !p Iî1e anP I [,srr] a [,grr] al opuof,as ero opuauoduroC 'S 3 alenEn e els".lls slalleJ orluat 1t pa'gf s - zn -ed eza Rîlrole^ "un ?rJ?Jo areloEue Rtlf,ola^ eun eq o)sIP II Inî elol rad 'essg eptnE eun ns alelf,slJls "zuas -or ar{3 of,slp IaP oset olou ueq il ll}"Jut euoll -îorJ rs !e1se,1uof, o1î"1uo) lP N olund ons I" ouJolle olJol"loJ ? otslP IaP oîour IP.olle,l 'A ?î€ulPJoof, 3l sssS eualluelu Is e)errul opuen$

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Cap:7: Cinematica lg II) Se la velocità angolare dell'asta è assegnata,possiamo considerare il solo disco come un corpo rigido corl un solo grado di libertà, vincolato dal vincolo di puro rotola^urento'al vincolo mobile dato dall'asta (il punto .úf non quindi è il centro di istantanea rotazione del disco, avendo la stessavelocità d"l punto corrispondente "d dell'asta). La velocità, angolare del disco e del suo centro G si ottengono allora dai precedenti risultati (1) e (B) semplicemente ponendo à : r. Ben d.iversaè la situazione se vogliamo calcolare le grandezzevirtuali d e v,"; ricordando la definizione, dobbiamo considerare I'atto di moto del disco pensando l,asta fissata, cioè porre 0 :0 nelle (r) e (a). L'atto ài moto virtuale del disco è n"ilt;;;;;; con 'Il centro di istantanearotazione,la velocità v'" è parallela all'asta evale 6sf 6t, mentre la velocità angolarer./ ha una componente oraria 6sl R6t. Detto altrimenti, , le coordinate di G sono le (Z) con 0 :1t per cui si ha: c:scoslú*.Bsinf

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Ac=ssin?ú_.Rcos1ú

(4)

Calcolarev6 vuol dire derivare le (a) rispetto a t, per cui:

: PqEA.' * dsc(s,ú) i.-dsAt ed analogamenteper úc' mentre per calcolarela velocità virtuale occorre considerare ú come costante dc6(s, ú) 6s .., _ ------;-vzG -

ós

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6t

8s.1.6 Si analizzì Io spostanento vìrtuale del sistema canucola fssa-carruc ola mobile di frgwa.

Assumiamo che il filo, di lunghezzacostanre, sia vincolato alla periferia dei dischi da un vincolo di puro rotolamento é che i tratti di filo liberi siano Íerticali. In tali ipotesi, il sistema è olonomo con due gradi di libertà, la sua configurazioneessendodeterminata se si conosce,ad esempio,lg,Lg.lglrg?a s dellS_ molla e la quota y del punto .4. Analizziamo ora lo spostamentovirtuale del sistema mediante il principio di sovrapposizione.

'else.ilaP a .rrIrsIPrePolou lp olle,I a PP PlJeqil lP lper? ! "uraîsrs "reulrrrrele(I 'ossg ess?.[" ol13ds[J p oIoEve un ornd lp op"u!^ lp ewul|3u! ? pe otuerdJe|rclor un uol lrlJslp rns eletttodde ? eperl rossga oewqllar ass'Pun ns aJ".psrJlsezuesoueloloI lqrsp anp r turn8g Ip IaN t'T'sg "ura?s1s

Iulrrrreî q ("''s F sg'0 *- ng)eruarrr'îrerrp ernp"rtrseruaparar.,*|J;;rtl;HJ: tluatuelsods anp t red rfl a I 'r'!'? | olou ouos a.rluaur'o1ou g uou (o.rapg rp erualoal p rad 'elsrsa alerauaE u1 aqc) elrqou e1 rad 'J'l'? II eqr eugut rÀJessorS "lornJrer

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o?r?oru?urc:7'dog

Cap.l: Cinematico

Per il vincolo di puro rotolamento tra dischi e asta e tra dischi e arisefisso,il sistema ha un solo grado di libertà; infatti, nota la posizionedel centro G del disco grande, ad esempiomediante la sua ascissar, la confi.gurazione del sistema è completamentedeterminata e la velocità di ogni altro punto è esprimibile in funzione di r e ù. L'atto di moto del disco grande è rotatorio attorno al punto ff di contatto con I'asse fisso,con velocitàrangolareoraria un: ilR mentre, per le stesseragioni, I'atto di moto del disco piccolo è rotatorio attorno al punto Il di contatto con I'asse fisso. con velocità angolareor. osserviamo ora che le direzioni H A e K B sono parallele,formando un angolo a/2 con I'asseu, per cui va e vB sono parallele. Poichéperò le loro componenti lungo I'asta devono essereuguali, per la proprietà caratteristica [1.S] dell'atto di moto rigido, ne segueche va : vB e quindi che I'atto di moto delliasta è traslatorio. con velocità diretta come in fi.gurae data da:

ne.: 2Rcos(aIz)#.:rOcos(aI2) ln particolare, l'inclinazione c dell'a.starimane costante. Infine, da 2ù cos(al2) : 2r cos(al2)a,

YA = v B

segueche la velocità angolareoraria del discopiccolo è c.r,: ilr. ha: wn:

àlR

,

u, : ùlr

t

In conclusione,si

aaeta: Zùcos(al2)

con c costante,dipendentedalla configurazionedel sistemain un istante prefissato. ln particolare, la distanza tra i punti di appoggio dei dischi (o tra i loro centri) rimane costante.

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Rq)ola^ aT 'p sotg1f r : 0'lo u?lt : tî 'eu e11ees -orzer8alur rp ltuslsoî allap "unpoddo eun uof, 'anod tsopualod'qlraqtl 1poper8 un uo) ornouolo alueurererq) ? ernalsls g pr .rad ' ouel,rg: frg nwgig09 : s9

osotg1f xg: gg r?ulsUU0g = frg '

:"Jolle (C ( C -1;) v t: vt : H g H) X9" " q Is :oPuessg oloEuepl 1ap '(ern3g Wa^) NHC o1otue11e.r eluaueî.redde g olund I" ouJolls olJotetoJ ? oJslp

(o1ue1ra6 '11otue1.r1 uot olt"luot I Iap otoru Ip 011",1'sa1seq3 Ip eualoal 11.rad e ossrp lap )/ a .g 11undanp Iap lluauelsods pE 'o1uarue1o1oro.rnd Ip olotu1,r II rad rl"? e zg nutsallugut tluaruelsodsanp tlo8uelJ?enp Ie our"lP eS 'ouellnsrr 'fr,g '(a1ee1yar')6 uof, IJol q11eo1aa a (aleluozzgo) z a,r111adsg -3ls"J1 eluaurer^ o ouos olorn IP ltt" !n) I (11oEueg1 anp lap potze.rnEguor el ou"nPIÀlP -ut er{f, alsulproof, a1 /î a t uof, olu"n{llPul

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Cap.7: Cinematico LI

Es.l.9 Analizzare Ia cinematÍea dì un dìsco, di raggio R e centro G, che rotola senza. súrisciare su un piano fsso, mantenendo ìl proprio asseparallelo al piano.

Nelle condizioni assegnate,la configurazione del disco è individuata da quattro coordinate, ad qgmpiq le coordinate t e y del suo centro G rispetto alla terna ca.rtesianadi figura e due angoli di Eulero, che possiamo assunere, senza perdita di generalità, come gli angoli ú e p di precessionee rotazione propria rispettivamente. Indicando infatti come in figura una terna cartesiana destra solidale con il disco, il vincolo per cui I'asse si mantiene parallelo al piano si traduce nella condizione o: ît

: rl2

per il terzo a.ngolodi Eulero. Dalla definizione di angoli di Eulero, seguepoi che rprg e I'assédei nodi, di versore N, sono come in. dicato in figura. Studiamo ora la condizione di puro rotolamento sul pia,no fisso, per cui si ha:

vrt :0

+

vc * u A (I J -G )

:o

Con riferimento alla terna fissa, tale equazione diventa allora: ài + új +Lt

^

(-.Ek) : o

da cui segueche: ù-Rwr:9,

ù+Rw":g

Utilizziamo ora le formule [f.Ot che danno le componenti di r.r sugli assi fissi ed otteniamo così le seguenti relazioni differenziali per le coordtnate di configurazione del disco: (1) -9, it+ Rcosry'y2 ú+l?sin{tP :g

ar"r'srrîs orrr errep ealrr*s "zuas "roror "ron' "rranb .tfffii:TiffiT::;-,j

eudo'rd euorz"îoJ rp o1oEue,1 ordruasaps alassegnd e.raqrl eun) qpaqu rp "reurpJoo, oper8 un uor ourouoroeuralss un rpurnb oJpurrr) .r1rqe.rEa1ur eluaru?r^Àoouos a Q I

g -o lo 4 t u r sA+ 0 ,

0 : e o rf u s o tagt

.e?u"rso) ruorzerar enp aroîue'ad : o.t-^ #ffifft:,f):T"#::ffJffi#

olo)ur^ a1e1'ro tp tluauoduror a1 rad tluapaca.rd ruorsserdsaallap otuo) opuauoJ o:2 m

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o: (x-H) Vo

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Cop.7: Cinematica 19

PROBLEMI PROPOSTI Problema 1.1 NeI sisúemadi frgwa, iI disco rotola senza strìscìarc, ìI frIo è àvvolto sul disco con un vincolo dì pwo rotolamento e passa su un pìolo /îsso a quota R. Detta s, l'ascissa dì G rispetto a B, dare la velocitàtdi A ìn funzione di r e ù. t1t + 1/t - flP) Iro: dente I

, verticale ascen-

Problema 1.2 Nel sisúemadi frgwa, iI dìsco di nggio r rotola senza striscìare all'intetno del profiIo semicircolare dì raggio R, mobìle lungo I'asset, con ì1 centro G vincolato a scorîeîe lungo l'asse verticale y lîsso. Detta c I'ascissa di A rispetto ad O, esprimere in funzione di x e ù Ia velocìtàr angolarc

del disco. lw: à:( R- r ) /, ria I

Problema 1.3 L'asta AB di frgura è appoggiata ad un asse fsso e ad un disco di raggio R, con víncolo di puro rctolamento. II disco rotola senza strisciare lungo l'asse lîsso. NeIIa confrgurazione in cui l'asta forma un angolo d, con I'asse lîsso, esprimere Ia velocìtà di B e Ia velocità, angolare dellrasta in funzione dì a e della velocitàt angolare {l del disco. f ," : nn(l + cosa)fcosc ; t^r: -o(1 cosa)/ cosa I

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Cop,7: Cinematico 21

Problema 1.7 Un'asta AB ha l'estremo A incernierato nel centro di un disco di taggío r chetotoLa senza stúsciarc lungo un asse lîsso, ed è vincolata a passare per un punto O di tale asse. Determínare in funzìone della confrgurazione dell'asta e della sua velcr;ità, àngolarc i me dulÍ delle velocítàt di A e del punto dell,asta a contatto con O. . lrtt:

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I rà | l----;-1, lcos.al

lrirsinalaO:l-----;-l I lcoszcl'

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Distribuzioni di rnassa r ' "'

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1)

BARICENTROE CENTRODI MASSA Per una distribuzionediscretao continuadi materia,il centrodi massaè I'unico punto F definito rispettivamentedalle condizioni

r_ : p (P o , I D* re r-F) J

P )d ' r: o

[2.1]

essendop la densità (l'integrale di volume va naturalmentesostituito dà un integrale bi e monodimensionali). di superficieo di linea per distribuzioni di maÉrsa Per un corpo rigido, il baricentro è il centro delle forze peso. Esso è ancora dato dalle [2.1] (le ma.ssem; e la densità p potendo esseresostituite rispettivamente dai pesi p; : trtig e dal peso specificok: Èc).

Per semplicità., nel seguitosi parlerà.di baricentroancheriferendosi al centro di massa. (, l-j" l' : r CATCOLODI F La coordinataE di F lungoun genericoasseÍ è data da: 1s- ) ,rn;r; m-

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I prar

i.

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12.21

I

PROPRIETA' Pl) n baricentro di n sistemi materiali S;, ciascunodi massa rn; e baricentro F;, è il baricentro delle t? masseposte ognuna nel rispettivo baricentro P; (proprietà distributiva). , ' P2) Per corpi omogenei,la posizionedi F non dipende dal valore del peso specifico (o della densità) e coincidecon la posizionedel "centro geometrico" del corpo.

rt uls o soc Ig'zl a7 _ u1 ^"J7 + r, zurs\ + o "sot :"JorJ' '3 ass?(ruo) g p ?rs a g aur'rro uor -radu asseun rp o103ue.J 'rt IS od'roe1apouerd 1auruerseîJsf,Isse Ip srddoc eurrfr,,rers ro ouerd odroc un Jod (gI

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ezu"lsrp"r4opuassa_,uy?,:";fi :lF,l"",:il:itJ#r:,J#_:""#:tÍ:.{i;

.un Ip ass?un p" ouJoî1" euorz"loJ,11"p r1nr"11o arrgladn",11"p ""r*,, , '(oue1d a o^Jnr alsuorsuarurprq ", in" o arsuorsuarurprJlaîuarrrs^rrladsrr) " odroe II eîuauaîuoc (eeuq o aregredns)ossa,ruocouJoluo) ourrur[r leu ornualuo] Q d (rd 'oue1d I" a assErJJe auatgedde d' 'a1er.re1eru erJlauru,s rp ass" un ur{ pa ouerd e odror 11ag 'ouerd lau srs 4, 'alerrafiru ?rJraunursrp ouurd un eq odroe' as (sd ocsout ,p tuorznquystq :6.dog

VZ

Cap.2: Distribuzíoni di massa

25

- Iopryd,o (lrodotto d'inerzia).

d,ovef,u è definito da I,u:

14) Per un corpo tridimensionale r, sia (O; ryz) una terna cartesiana ortogonale e sia n un asse per O con coseni direttori drsd2;as . Si ha allora: l.t .71 1..'l

Ir.: nlon

dove n è il vettore colonna dei cosenidirettori dell'asse,E è il vettore trasposto e -16è la matrice d'inerzia rispetto ad O, definita da: Jry

( t,

1,"\

[2.8]

'o: \'r:', !:, 'í: ) con i momenti d'inerzia ed i prodotti d'inerzia definiti da:

r y : l n é + 2 2 ) d ,r , r " :lr é + yz) d .r

I , : 1pf u2 + 2 2 ) d r , Iry:-

f I p a y d ,r

J

,

Per i momenti principali di Ir: A, Iy: B, Ir: C.

Iv r:

lnerzta

I

pyzdr

,

,, (L., : Ilt : Irt:

Ir":-

[z.s]

f

I przdr

t'

i2.101

O) è frequentela notazione

i5) Se in un punto O concorrono tre assi di simmetria materiale per il corpo, tali assi coincidono co;t gli assi principali d'inerzia del corpo rispetto ad O. 16) Se un corpo piano ha un a.ssedi simmetria materiale, in ogni punto dell'asse la terna principale d'inerzia è data dall'asse di simmetrra, dall'asse ad esso complanare ed ortogonale, e dall'asse perpendicolare al piano e passante per il punto.

e y a zyq r y . tyt f r+zyzfiaryr fi

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a y orlua) Ip orsrp un IP e { of,grf,adsosed e Ar orEE"r rp o)srp un Ip euorzrsodd"J^oseil"p aurof,sJntg oJeJeprsuorour?rssod "l "lnua?îo {d gp olorler Iap eug p1 'em3g rp z esse.l 1ns srroJl Is d er{r ereÀJassoollnllzu? our?rs -sod ,errlaurulls 1p qlagdord a1 opu"zzÍllfl

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olgf 1t autoao*?rtp ,auotsua. Dnsol .oztol oun op ossatdea o1{ un ,, ,"::::T(, 7 :aqr ouerddes (2.de3) IIg oru Iep sf,rt"îs el.r"e .gO a rap a osad Oy 1p I1?"rî otrdord ,O auorz'(lle ollaE8os lap olund ? er{t ounl.roddo,g Ir ollntrzue "r"r"pr.,ro, 'g ,O 6p rleualeur rlund ar1 tep orJq -1lrnba,1 aluaureî" Jrdas' e.rezzrleu" ourcrss d ."ulels.rs yepouqnrnba lp wotzern7guoc q arewúrlalr.e 'g à essgoutlo?nrr"r ellns a+rl1trV ezues a p? efqelnJszt1 osad tp e "loteJJors erygryaa$aur? oB II . d,osadeq,olg Ins oyrl -le ezuesory[gu! ,q oury1aue1,ba d wad ou -ueq g pa C ryeqapw tqundt ,eleuqtal. ouerd an ur o1sod Atn&g rp "rrralsrs IaN f.g.Eg t7und, tp tut?lsrs t?p D2tîoîS :g.dog

OV

Cap.S:Stotica dei sístemídi punti 4l

Chiaramente,le quote di C ed E sono arbitrarie (dipendendotra I'altro dalla lunghezzadel filo) per cui si hanno infinite posizioni di equilibrio per C ed E. n risultato è inoltre indipendente dall'esserele carlucoline ,4 e B a quote uguali o diverse.

Es.3.5 Due punti materiafi P e Q, di ugual p6o p, sono appoggíaúisu una semicirconfe' renza frssa,di raggio R e diarnetro orizzontale. I due puntí sono collegati da un frfiodì peso úrascunbìLee lunghezzaI : nRl2; il fr\o e iI punto Q sono appoggiati senza at' trito, P è appoggiato con attrito di coefficiente p. Determinare Ie confrgurazionìdi equilibrio di P eQ. lndichiamo con d l'angolo che individua la posizionedi Q (vedi figura) e consideriano separatamenteI'equilibrio dei due punti. Per il punto P si ha (utilizzando le precedenti osservazionisulla tensionedel filo): pcos0:Qri-Tp

,

psind:Or

mentre per il punto Q è: psinî:Tq

,

pcos0: \!r

Utilizzando ora il fatto che îp :?q (vedi le osservazionidel precedenteesercizio)la relazione di Coulomb [a.l] per P implica che: lcos0-sin0l (psind

l o rl S p l arvl'

Da tale disequazionesegueche le posizioni di equilibrio sono tutte e sole quelle per

c u i ( 0 < 0 < rl z): tand )

I l+

tt

(ir2t)

,

1a I+ tt

tand (

1 L- tt

(p ,_ = q ( ttu + . . . * rt z + q )d

+

toprSg (a1se aqqeJes auotzelrrull e1 I + u eP ollnlllsof, a a)aÀul oS '?lq ;' q oureruaÌlolJ Inl rad (arelleqrJ l€ru gnd ts uou a asso; odroe I oJerrmu 1t 'auresa ur e1) ar1 aulurel IP as€q eJarlur.l rad et3Eodde aroFa;ul Q "ululel aql oJerqs 1pu1nb .g osef, IaN 'u Ip aJa)sa.rf,le e llllJlsa.r qrd ardtuas ? auolzellrull "l

r +u >u n

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+

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:arorraJur eurruel ellap orluat 1ep arrlred e 7f q ezzaqEunl rp ol33odde tp oluaurEas 1t oJlua aJapef,alap oJluef,IJeq me 1t dz osed 1p odroe un IP 3113JÌ Is :oll"6ll3p arrlred e eurrrrel u rp of,)olq orrrauaE un opueJaPtpuot olszztleraua8 eJasse gnd opolaur 1

gNolzv uflsso tptltt

tdtoc rp rru??lrc r?p o?!?ots :g'do7

99

Cap.5: Statica dei sistemi di corpi rigidi Îeomdo conto dei precedentirisultati, e del principio di azionee reazione, le forze csscitate sulla larnina sono indicate in figura, per cui le equazioni cardinali R.:0:

M ,1:s,

Or1":Q

,

lb,+y*iDz"1O"u:pi

a(p-es ")* ol :

(DA"*aDa"*eer:p+q

bea"-tf,:o,

implicano che le reazioni vincolari esternein A, B,z

o,t:(0,-#,0)

,

OBy:o

sono date da

, iDa:10,0,f) , ÍDn:@,T,rLfl

67

lgfrlo - aEz: No :'"?*41 glla: xo : Ha :agl?ld, 'IqrsIP ! erl a?elrr -r6seezroJaI ?q)uou 'oytqypnba1p e1se1eu8as -seauonern?guoc e1gqcrcd ,! tp orcIeA oruw lrn F alewwJeTep 'o7ug7eru8o tp ezuasseuI 'q aluelso) rp g a V uoc'g orB?eta eilow eun ep rye?a11ot d osedpnBa rp'rcua8orno!{tslp a4 ep oynr -Itsor ? etn?g rp ewapls II g'g BtualqoJd

IgtAzlF: 6 tYf7d: C tq f :' u !' o r tI 'else Pa o)stP erl H u! ewlq -rrreJl vzJoJ e[Iap oppow y 'auorzetn?guoc a1elu 'a altqrssoderc tlu lp "leluozzyoJlns vleuq?w V O uor oyqrllnbel gqcted C lp orot -e^ U pa d tp eJoIeAorillulw F eJeururnlaq 'alllp p egecrldde'g oyueanouttp 'etteto etddoc eun pa (d a1uelcgaot uoc) orqezs H ur or88oddel e?uoddns rc e'e11orneI lutwqa îs aluapa?ardeualsls ;ap' Z'g BuralqoJd

la g t - 6 ' ld f" s q :Y

uoz 'g1so)psurs - gsoîy :!p auonnyos6 |

'ourlw tuào tp ezuasse ut 'a1ecrylat ouetd un ur o?s -od'etn?g tp ewaqls y rcd ouqt1rnba 1p 1uolz -etn?guot aI T'g BtualqoJd "Jeuftrrrela(I

IJSOdOUd II [SlBOUdtptîtt tdtoc tp na?lsrs pP o?rlols :g'dog

89

Cap.S:Statica dei sistemi di corpi rigidí

Prolrlema 5"4 I due rcmbi artìcalati di figura sana cosúiúuiúida quattra asúeomogenee, di egual lunghezza I e peso p, mant* nute in una confr.gura,ziane con BOC :7116 rispettivamente da un tirante OC e d,a un puntoneAB" Determinare I'aziane del tirante e del puntone" [ ,Voc -- 2p ; NtB : ZplJil

Problema 5.5 Il sisúemadi frgura,in equilibrio in un piano verticale, sí compone di un disco di raggio 2R, girevole attorno al proprio centra fisso O, di un discb di raggio R e peso úra.scurabile, che rotola senza stdsciare suJprimo, e di un'a.súaamageneadi pesop e lunghezzaSR che uniscei centri dei dischi. Si deúerminina Ie candizioni cui devono soddisfare i momenti C1 e C2 di due coppìe applìcate ai díschi perché l'equilíbrio sia possibile, nonché Ia confrguraaionedi equilibrio. Izct : cz I pR; cosd :2ctlpRl

Problema 5.6 Nelsisúemadi fi.gun, posto in un piano verticale, i due dischì di raggi R e2R possonorotolare senza strisciare rispeútìvamente sugli assÍ orizzantali r e nt, postì a dìstanza2R" Un frIo di pesotrascura,bileè avvolto sul secondodt'scon si appoggiasenza súrisciaresul primo, passaper un punfo fisso O dell'a,ssen e scende verticalmenúesosúenendo un cantrappesap" DetermÍnare iI mamento C della coppia da applicare al disca dí raggìa 2R affinchéil sìsúemasia rn equiJibriocon I'angolo di frgura 0:r13.

T'

IC:3pfi1

6S

':il

Ì

I G / r t u) \uetfi: sl 'oyqlgnbal "l$ssns ?rIruge orslp p enclldde ep etddot e1ap C oluouro(a our.rss"u eJoIeAI! eleu[rrrJal€(I IaP 'ezueJeluoJJlJ ellap orluo) Iep JaT ennvlp e eÀorl Is orslP PP orlu?." E erp eryl ? oru pp ezzeqtuq erl 'olqne ossals oI uor '.tg or8?et Ip pssg ezuaralvo"m ?un ns essed erIJ osadW oru un'd eguengeot "Melwserl lp olylrc uoc 'e8yorrtters ossa rp nS 'eÍe)rl -tat eprn8 eun o?unl e[qow oJlua) I erl r or8?et e d osedlp o"slp rrn !'g BrualqoJd

/l

tptDu rdtot rp rru?lsrst?p o?t?o?S:g'dog

OL

Cap.6 Azioni interne in sisterni articolati

In questo capitolo esaminiamo più in particolare sistemi articolati piani isostatici, cioè dotati di vincoli, esterni e interni, necessa,rie suf6cienti a mantenerli fissi. I vincoli sono supposti lisci (l'eventualepresenzadi carrelli, appoggi o pattini scabri richiederebbesemplicementeI'uso della relazionedi Coulomb [3.a] in tali punti). In queste condizioni la configurazionedi equilibrio è assegnatae le reazioni vincolari esterne ed interne sono univocamente determinabili. Per il calcolo delle reazioni vincolari si possonoutilizzare i metodi indicati nel capitolo precedente,che completiamo con ulteriori informazioni che ne rendono più veloce I'esecuzione REAZIONI VINCOLARI ESTERNE Per il calcolo delle reazioni vincolari esterne si possono ulilizzare le equazioni cardinali applicate all'intiero sistema. Se queste tre equazioni non sono suffi.cienti,si possono impiegare le equazioni cardinali applicate a parti del sistema. Risultano in particolare utili, per sistemi articolati, le equazionidei momenti rispetto alle cerniereapplicate a parti del sistema, evidenziando eventualmente anche reazioni vincolari interne. REAZIONI VINCOTARI INTERNE Le reazionivincolari irÍternesonoreazionidi vincoli interni sulle aste: per il principio di azione e reazione, le aste esercitanosui vincoli azioni uguali ed opposte alle reazioni. Trattandosi di vincoli interni, essiesercitanoreazioni su più aste ed in generaletali reazioni sono diverse tra loro. Non è quindi opportuno "tagliare" i vincoli, ma è preferibile "tagliare" le aste in prossimitàdei vincoli, evidenziarecioè la reazionedel vincolo su una determinata asta e, tenendo conto del principio di azionee reazione, evidenziareanche I'azione dell'asta sul vincolo. Per determinare le reazioni così

ruorzeurquro)rlrqrssodal apnt aurof,rsof, arqg al epuel eî{f,/;zg a or.re.roglue 'popadns g 'auotssardurof,s uof, asJeÀrpruorzua^uor alunsse eJess.a ouossod eluerul"Jnl"N itr tossardurolauar,r '(osa1auaraeJorJaJur o11anb olerpenb arorradnsolsl p 'o1ee1pureurof, ? atuallag oluertrourp as) rrouagur 1ap arqg al epual aqr /.;zga1ua11ag oluarnorn p pa (or.reroosuasur arelonJ e aqqarepuat olerpenb o1uaua1a,1) erJ?Jog or1Ee1rp auorz"(l'(*o1e.n1, q olerpenb o1uarua1a,1) arrolz"Jl p lV. aprsse euorz?31:e^rltsod errrof,elunsse ouos Is ol"slpq ordrnasa,galq 'ole.rpenb 1apll?l anp rns rlsoddo rsra,r opuaurnssra auorzeeJe euolze 1pogdpupd lap oluot g1t auarl rs euorzueAuorelsanb u1 '?Jlsrurstp alred el€llrJesa ruorz? "ll"p al a?"f,rpurouos oJlsrursolel Ins aJluau 3e1se,11ap el"lrrrese ry alred "rlsap "ilpp 'olerpenb 1ap Iuorz?a1.radouEasrp .ruorzua^uof, al orref,rpure)f,e{ al oJîsapol"l 1nS or?sruisa oJlsap r1"[ anp rcp rleluasa.rdder'q8e1 anp elu?rpetuelsanb olî"Jlsa "p ElsBIp ourlleJl un ererrpul pB els f ou8asIr aluaualuoeolerpenb I oloqunsolsanb î ,. q odtl 1ap oloqtuls un eluerpdE ruorzua uof, rl"l arsrlpur osn ,g (ll {Eh 'rluauodtuor,alo3ursellep o$a^ 1eopren8r.r "rs "îeraprsuot alred e11eoprenErrets ouEasrp ruorzua^uoeasrrardalarrrnsseeuEosrqau.ra1 "ls" Ip -ur luorze allap alol" Ir aluau?ro run areurrrrJalap.ra1odred a1uauprn1etr1'/41 a7ua77ay[ olu?urour o]uaruour aluauodurof,?f,run.l aJlueur o11,6o7 pp '9 1ap "l]ap ? ?uotzpeleursu{f, (eaur1e11ealeru.rou)elsanb e eJ"lo)rpuedradauorzaJrp aîuau "ileu p^ll"luasardder eeuq e11ealua8uel) +duroc el e .M ?ptssa euowúeî"urelq) (e1se,11ap euorzaJrpsllau eluellnsrJ Iap alueuodurof, eJ"Jeprsuof, ar4pnlens-uo),[ "ls"(llap "l 'ossa p" aleuo8olro auorzaJrpur oluauroru 1apaluauoduor a oueld 1eu "l alu"lln$r 1aprluauodruof,anp al auJalu ,:o,* qrrrad ou"uretrlf, gsnrerd tmalqord ra.p

r"porezzrla*er") rp"rrnu Qosse,"rs" 'fr,"r,:Tl:::JlL"ru;ffiffi:J

'o1und 1au aluasard oleul8eunur orlsef,ul Ip ouJelur olo?ur^ un rp ruorz"al alsJaprsuoe aiassa ouossod olund tuEo ur

auralul luorz" a1 eJl rleples rsresuad gnd epltp ?lserun 'oro1 lll"Jl "p "lrnlrlsof, elred eun e}"îrf,Jesa ruorzs el d ul 2uJ?lur tuotzÍ) ?t{rlod 'sJ}le(llns "ls?(llep "p ou"rrrenlf, rs :11red anp q apl^lp ls d olund ons un ur else(un opuerl?e; (r "l IN?ISJNI

INOIZY

'(s'd*C aqf,rre tpaa) areturar a1 aluaEunrEuof,el aurol alleJrp e alsoddo pa rlenEn ouos ereruJef,ellep_eperllns al"llf, -Jase lJ"lof,ur^ ruolzeal èl uteJlg? t16oogoterut??ut oirtv?s ?ls?.un u arelottlred u1 '(ossa ur rlualJoruof, ats? al a11n1a1er1?"1ouos rs es ossals olof,ur^ g osarduror) eleraqrl rlred e11ealerqdde rleurpJ"f, ruorzenba a1 aretardtur ouossod Is el"rzuapr^e

!îop?tyv

rur?lsts ur eulelut tuorzv :g'dog

ZL

Cap.6: Azioni interne in sístemi articolatí 7g di queste e di quelle. A volte le azioni interne vengono riportate in diagrammi che ne visualizzano l,andamento lungo l'asta' In tari diagramrni, è indicato il segnosecondore convenzioni assuntel in particolare, il diagrarnma del momento flettente è riportato dalla parte delle fibre tese. iii) Per determinare le azioni interne in un puato p in genere si utilizzano le equazioni cardinari appricatead una dete due p*ii irr."t ii*,oe .asta. se entrambi gli estremi dell'asta sono vincolati, si procedealla uliber azione,di uno di essi mediante il calcolo delle reazioni vincolari interne o esterne (vedi paragrafi precedenti). Tagliata allora I'asta in un punto P ed evidenziatele azioni interne si ha un tratro di asta totalmente libero' Applicando a questo tratto l,equazionedel risultante proiettata in direzione di .r/ e ? si hanno ,i"o"rrir.."*ì" t,u"ior,e assiare ed il taglio, applicando inveceI'equazione d.eimomenti con polo in p si ha il momento flettente. Non sempre è però necessario ricorrere a questo metodo generale. se ad esempio tagliando in P il sistema esso risulta diviso in due parti dì cui almeno una libera, le azioni interne possono essere determinate direttamente utirizzando le equazioni cardinali applicate a questaparte, in generalenon rigida. Ricordiamo ancheche per determinare il taglio tiirr-u"to flettente in un punto P di un'asta rettilinea, incernierata "i agli estremi basta utiliz zarele equazioni dei momenti con polo negri estremi per i due tratti in cui p divide |asta, In questo modo non occorrecalcolarein preced.enza alcuna reazionevincolare (ved_i.Es.l). un'osúc rettilinen, scaricae incernierata agri estremirèsoggetta a sola azione assiale costante in ogni suo punto. se invece l'asta è scarica, ma non ;il;*;i|, anche un taglio ed un momento flettente (vedi anche Cap.S). iv) In generalele azioni interne variano da punto a punto in una medesimaasta. se in un punto interno ail'asta è concentratauna forza, attiva o reattiva, l,azione assialeed il taglio hanno nel punto una discontinuità a salto pari alle componenti della forza, mentre il momento flettente è continuo. se in un punto è applicata una coppia' il momento flettente ha una discontinuità a salto pari al momento della coppia' mentre I'azioneassiale ed il taglio sono continui. Nei punti di discontinuità le azioni interne non sono definite. osserviamoespricitamenteche a differenzadi un carico concentrato, il peso proprio di un'asta è una forza distribuita con continuità chenon provocaquindi ,-'v'vLo discontinuità, nelle azioni interne. Le azioni interne negli estremi di un'a-stacoincidonocon le reazioni esercitate dai vincoli ivi presenti o con le forze ivi applicate. In particolare, se in un estremo vi è

'"rîls(un auorz?(un "p "uJalul aîuarrresrlrleu" eJJnpap Jad opolaur aruof, er{f, oîsollnrd 'r1e11nsrl a11tn lep "lg!Je^ aruof, alrnqlJlslp azJoJ al a auralur al ruorzela.r aresn ounlJoddo grad ,g luolue IIE1 "Jl 'ouJa1ul luorz€ e1rad alunsse ruorzueluof, all"p apuadlp ruEas g ezuapuods.rroe e1 "Jl

"llnqlJîslp

ergrradsszroJ aluaE'e1eluauodurof, olnpo.o,rr trla*r,aìTJ:I "llap "l

auolz"(llep r e olladstr sl"Arrep '"îm,l oEunl elmqlrtslp €lglmds ezrog e11ap "T alelrrJou aXuauodrnor olnpou ur erl3enBn or18e11ap r pe olladqr el? lJap sT "l 'osoloEue olund un eîuelîag oluaîtroru p .rad 1pu1nb er11dr4 ollE"l leu .î1nulluorqp eun 'or13e1 olnpotu ur eqEen8n alua11ag oluaurour u pe olledsrr rrap lr lap "l" "rI 'a1e8a1orol ouos 'else,l oEunl z €ssrrse(llop luorzunJ 'auralur ruorz? ùaulfg?t slse(un r{ "J1 "l 'axuallag oluernour Ir aJellnuus aAep rs oura.Ilsa alel uI ollaJr"f, un o eJaluJat ?un

!?op?t?tD tut?lsts ut ?ur??ut ruotzv :g'dog

lL

Cop.6: Azioní ínterne in sistemi orticolati 16

ESERCIZIRISOTTI

Es.6.l Un arco a tre cerniereOAB è posúo in un piano verticale, con O e B alla súessa quota. Le aste OA e AB hanno ugual lunghezza l, pesi p e q rispettivnmsnfs, s 16tmano un angolo a con I'oúzzontale. Determìnare Ie rcaaioni vìncolari nelle cerniere O e B ed il momento flettente nelle asúe.

Per quanto riguarda il calcolo delle reazioni vincolari nelle cerniere esterne O e B, possiamo scrivere tre equazioni per tutto il sistema: fio:0: E, :0

vo

Ho-En :

Mo : O:

Vo{V6

BHa

: p* q

t sprcosa+ tllcosc : VB2lcosa

e, come quarta equazione, Itequazione del momento per una sola asta, ad esempio O.'4.,rispetto al polo l. (così da non far intervenire la forza esercitata in ,4, dall,asta

AB): Ml^:o,

ff6lsin

Da queste quattro equazioni segueche:

Eo:HB -4llco tc 4

,

"+e*cosa:

Vo=

A questo punto, possiamo agevolmente de terminare il momento fl.ettentenelle aste. per I'asta di sinistra OA consideriamol,equazio. ne del momento rispetto a P per il generico tratto OP, di lunghezzac, così da eliminare le altre due azioni interne lf e ?; si ha così (indicando in figura le sole forze che hanno momento non nullo rispetto a p):

Sptc 4t

V6lcosa

tr ,B-

P *S q 4

Cap.6: Azioní ínterne in sistemi orticoloti 75

ESERCIZIRISOTTI

Es.6.1 Un arco a tre cernìereOAB è posúo in un piano verticale, con O e B alla súassa quota. Le aste OA e AB hanno ugual lunghezza l, pesi p e q ríspettivzmente, e forrna.noun angolo a con |'orizzontale. Determinare Ie reazionì vincolari nelle cernìere O e B ed iI momento flettente nelle asúe.

Per quanto riguarda il calcolo delle reazioni vincolari nelle cerniere esterne O e B, possiamo scrivere tre equazioni per tutto il sistema:. fio:0: fir:0

Vo

Ho-HB z

Ms - O:

Vo*VB:p+q IB prccxa+ lltcosc:

BHs

VB2lcosa

er come quarta equazione,Itequazionedel momento per una sola asta, ad esempio O/, rispetto al polo .4 (cosìda non far intervenire la forza esercitatain L dall,asta AB): MÎ^:0.

Ifslsin

Da queste quattro equazioni segueche: E6-HB=P]3cota 4

,

"+e*cosc:

Vo=

A questo punto, possiamo agevolmente de terminare il momentoflettentenelle aste. per I'a.stadi sinistra O,4 consideriamoI'equazio. ne del momento rispetto a P per il generico tratto OP, di lunghezzar, così da eliminare le altre due azioni interne tr/ e î; si ha così (indicando in figura le sole forze che hanno momento non nullo rispetto a p):

3p*q 4'

V6Icosa

rr ,B:-

P *S q 4-

-lal elserun

Q cg

eql ollnllzu"

'?f,IJ?tS "aullll olu"IÀJasso

'a?se ?IPU al"rsse auolze.I oJermarclecl ' l zezueryl P e ora d a F ) -tya^ e1ns g vo) 'I!1L ezzar7?unl a a[gern"s -et1 osad Ip ? Cg 'Igt7ezzeqtunl a d osed 1p ouerd un u1 e1sod 'eeua&outo q yg'apctyat 'etntg lp uJltr-lsost ern11nr1s e;1ap Z'g'sg

'(t) olelpsu II anEas'g oPu"ugrlla 'tnr ep "roJu"

(s- t) t- tw o: :s'- l ^psoc:!ós'-l 1ó- sa + lw o:9o.o, " s

:o: alr y : o: aEAI

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eq rs (auorz?eJ a auolze rp otdrcugrd II opusprof,ga) l7a7 ns lluepo)ald tuorzua,tuoe al uoC '(eaurl11ar else(l oPuasse o1*ralersse auorze.l a g e V alaluJaf, allau azJoJal rsor oruprurulla) g. e a V pv olladsu luorzas enp al red oluaurou IaP luolzenba a1 ol ?guDt?u?oPu"Japlsuo)atgV els""losells-?Ìl)Iduas oruel^IJts'Ag"d'yluolzas aqqalss uou y q a O ul IJslof,ul^ luolzeal allaP rad reopuaraJrg 'elr"ssa)au "lels taql oIu"I^IessO auolz?ulluJalap e1 'a1ua1lag otuaruoru olos II olsalq)lJ olels assoJas

(r)

("-r)";frb:@)t711 :lnr ?P 0 :î? socs&zl-p uls

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' :"q rs 'o11osIp alqg al epual eq) alualleg oluaruoruI eJo)ue opuarunsse24g oye4octraua8 un tp ezzaq8unl dg - s ets'gy e1se,1lad "l opolu uI oPuapacoJd'atddooouollerus?rl uou aq) tlolÙ1'trIP y a oEoleueoîînl Iap : @)tIN at[) I^rassoIS O rruarlsar13auezuasarde1red arassaalap aruof,'O : (l){W

@_ ù"#*:

@)r7r :INf, "P

lO* p u r sso 1 + t I N O : p s or ro 1 -la s o f , 2 r,r

:O: aShl

:g'dog llolo?t?to na?lsrs ur ?ur?lur luolzv

sL

Cep.6: Azioni ínterne in sistemi artieolati 7l

Conformementeall'intuizione, supponiamoche sia un puntone: la sua azioneassiale iY è quindi costante in ogni punto e può calcolarsi dall'equazione del momento rispetto ad O per I'asta O,4.:

M 3^ : 0,

d'n+-Nactt/Z:o vz

=>

N"a: h

Per quanto rigua^rdaI'azione assiale'rrLOA, osserviamoche essaè continua in quanto L;apressionedel puntone è ortogonale all'asta (e quindi provoca discontinuità nel tasho î ma non in N): essapuò quindi esserecalcolata considerandoun solo tratto di asta. Inoltre, poiché .4 è un estremo libero, è senz'altro opportuno considerare I'equazionedel risultante in direzionedell'asta per il tratto AP (AP: c): suppo nendo N a trazione si ha allora:

N -J =rL:o 2l\/2

+

,/Z

N:efr

L'azione assiale in OA è quindi una funzione lineare della distanza da A, ed ha un valore massimo N = plJi nella cerniera O.

8s.6.3 La struttura rigida di figura, in * quilibfio in un piano vertìcale con un incastro in O, è omogenea,di peso specifrcok. Determinare Ie azioni interne in un geneúco punto della struttura.

Si può procedere in diversi modi. Un primo modo è quello di considerareun tratto CP (m : r,0 ( x x

tlw_ : a :gLldz_îLtlw : N I cs

{'h

ig V O:tW :glgL|ld_:N O: lW: LtlgtlW Z- Zlgvd: N : CICI 'a!se eilau aunlu!

'

tfrowe aI eJePxPc

'g C lp ?pw e egecllddv 14{ oluawoú tP ertreJo etddot eun uoJ ? e[eluozzlJo O C aox 'ayeultat ouerd un ur o1sod q aruagsls p- 'd osad tp eauatowo 'CY rP Pe silqeJ "vorzeJJe -n?s'er? osad e 7 ezzaq?unl len8a ouueq a1se al etn8g rp 9'9 ?uralqord "rn?tnrts "IIaN

I euotssardruoce

dV : r :gvvld + gtlnz - îzlgnta - voN dEI:s 2gLvld+gtlov+tzlgnxa- aoN glzlVi + d) : va71ls: ca 7 1 l 'b apc11rca oilre> un atsBe C u! 'gV lP oqPou olund Iou oleraturarq ? go e?s.e.fi"P g orÚeJlxrrT 'ql;qetn)se4 osad e 77 ezzatl8unl eq CV erl osad a ezzaq8unl ouveq gO a VO -uaw 'd, l 7'9 BtuolqoJd 'etn8g tp ernllnrls "IIaN tIDIo?tIJo ua?lsrs ur ?ur?1ut ruorzv :9'do9

?8

ín sistemi ortiealoti 85

i $ l l

Problema 8.7 Nefla súruúturarappresentata in fr.gura,Ie aste omogenaeAE ed ED hanno lunghezzaI e pesop, Ie asie rìmanenti hanno paso úrascurabitre.Una forza, di rce dulo F ed ìnclìnata di r la rispetto all'orìzzontale, è applicata in C. Si deúerminino Ie azionì a"ssialinelle aste di peso úrascurcbile. INt,

- Nae:Fl2r/l-Plz

Nne- -F12+ pl/z; !"t:

NcD : -plz - 3F l2{2

Flz + plJz

(a trazione)l

Problema 6.8 .lfeJ/astruútura di fi.gura, Ie aste hanno ugual lunghezzal e pesop, ad eccezionedi AC che àa peso úra.scumbìle. Determinare le azioni interne in AC.

IiV : +plJl; î:0;

É D I vz

MÍ : a ftirante)l

t\,f

tvl.

Cap.7 Staticà dei fili

EQUAZIONIINDEFINITE DI EQUITIBRIO In ogni punto internodel filo, p : p(s), vargonole equazioni differenziali:

F+o*#:o

, # Ar:o

[7.1]

dove Î(s), F(s),o(s) sono rispettivamentela tensione, laforzaspecifica attiva e la forza specifica reattiva distribuite con continuità rungo il filo. La tensioneT(s) è la forza esercitatain P(s) dal tratto di filo di ascissacurvilinea m.aggioredi s sul tratto di ascissaminore. se negli estremi A e B, di ascisserispettive s : 0 e s : l, sono applicate le forze fa e fs , si hanno le condizioni al contorno: fe*T,l:0

,

fe-Ta:0

[7.2]

Per vincoli lisci e forze specifiche attive conservative si ha l,integrale primo: T +U:

costante

[7.3]

dove [/ è il potenziale delle forze specifrcheattive. CASO PIANO Proiezione su assi cartesiani ffssi cry Le equazioni [2.1] diventano:

Fr+Qr * # : o Fy +o y* #

-0

T, - T"y'(x) -0

4s: 1/tlyn@

dr

[2.+)

orurJd al€r8alur(l uor

[o'2,]

"llnîIlsos

0 : qo * t {

'ruorz"J8alur szues auorsual €l ef,sluJoJer{t r[S'Z] (ellqlssod opu"nb

elueltrllln eJessa qnd sEIJd

, 0: { +" o+ ir LJ P

"l

, 0: !*r,r :ou"îue^lp [g'l] Folzenna aT

olcsll ofl.{oud 'aluauodruo) ?ns eun o auolsua? €?ou ? as'h'll e1 a'ruarlsa rltap auotztsod e1 "l a es'[g't] QoIl opue)eJslppos'aruesaur eualqord 1ap aqegtmds ouJoluof, I" "lou "l ruorzrpuof, al uo) a [g'f] tsl uol el€ulluJa]aP eJassaouolaP O 'C 'P l]u"]so) eJl arl

- (, +fi)wt'ìo: I t(c+fr)uqs

[e'r]

:ep sl"p Q (er > vs) g e y rlund 1er1 osarduor olg Ip oll"rî 1ap1 ezzaqEunl "rI [ r'r ]

( s - n )d , : g

'

(c +

:"p slep rod q auorsual

| ) Uwr a o :

"T'atuepuaf,se

n t , ' d , p-' J el"tlpaa /l a al"luozzlJo 3 uol

(.pc+ f ) u' o tn *cr = @ ) n

lg'rl

:euogzenbaIp

"auII "l

opuof,as auodstp Is olg 11'outrd olsanb u1 'orrraJlse oJll?(lleP a oJaqll ouraJlsa

arnddo (11essgas) o1g IaP ruraJlsa enp 1eP un ur ezro3 sllap auolzarlp "lFP "ls?rldde ol"npl^rpur 1od q ouerd g 'orgreads osed 1ap euoIzeJIP 3l aluaualuoc /îz ouetd un u1 olg un erEFalle rs 'l ezzaqEunl a d orgttads osad 1p 'a11q1pua1seul Pa oaueBoruo'o.raq11

YIUYNgTYD

elsan$

Is'rl

o1 .radq auolzelord 'auorzern8guof,el ?lou .radelezzqtln 4td Iru IP In) "Is IP olt3er F e I aÀoP 'olg II erE8alle rs tn) opuof,aseaull "llaP "rnleÀJnl

6:e 6aeg,

0:1+" -JJP o+ ir'

0=

sP

a16+t/

:ou"lua lp [t'l] tuolzenra e'I Bîasu.rJlur BuJa+ B[[ns arrolualord 'euolzernE ol rad q auorzarordelsen$ -guor €l elluEorur q 11enb1apfaqrl 1g .rad "l€zzrIln 4ld auorzenba,lq (z)f - /i a,rop 'olg II erttalle Is IR) opuoms "aull "lleP "u"Isó1.rer !l{ l?p o?tîols :;'dop

88

Cop.7; Statica dei fiIi

FROFILO SCABRO In un filo teso su un profilo piano e convesso,scabro di coefficiente p, in assenzadi forze specifiche attive e in condizioni di equilibrio limitc la tensione vale: T{0) : TasPe

[7.10]

dove îr1 è la tensionein un punto .4 e d è I'angolo di awolgimento, contato positivamente da .A nel verso di î crescente

89

aulPro ozral I" (e) e1ero11eopueddnlrasle1erra1a q sauorsuele1pupb a ,re aluelsol ?or?'olorrrd 3 rad auorznlos (S) e1,(ag = 1) osal oîlotu ets olg U lnl q os€l "l IaN "q (oZ < I aqe aluasard opuaual ,0 < ? rad l qurs : /i eaul1 e "Uap D?'l : I auorzenbarp e]]ar e11aprrgerE r opu"ruo'Juot u a n fo - I opuauodaJrnpap aluaulo,laEe gnd rs auorznlos?f,run(unrp aluaueuJaTrrnu eJsuruualap qnd ts (o < ,, rad) auorznlos?f,runrnr e1'ra "zualsrsa,l) aruapuars'er1 auorzenberunrp rs '' "lî"Jr

(e)

p

- qqst?z : I p ns D

"^rlnlosrr

- r{so f,D- - 6.

auorzrpuof, elue^rp (Z) et erlueru "l

,

O:C

:rroleAI 0 n ouerrldrul (f) a1 Q.rad

(z)

.7 o p,

(c +

;-)uursr? (c + ;)u"lsn - I :"ssals eaull

(r)

g:

(? )f

,

"llep

ezzaqtunl e1 a

( ")n

0:

g rad a y .rad eawl or8Eessed1ep at"p ouJoluof, I" mor4puo) al "llap opuauodrur O , C ,p r?u"lsol el areurrrrJalep rpurnb .g'y Ip IS Ip o1paú olund "tleJt 1au autEtro uol 'e:n8g IP ou"Isolr"t srualsrs Ie orrrsrraJrJIJ .?tlpornor arorE3eru.ra6

'[e'l] '[r'r] '[g'l] auorznlosefiop osn "Ft",taE oruer)r"J'rurallsaenp lau ol"ssg ,aluesadoau -a8otuo olg un rp orrqrpnba.llap rsopu€11"1tr

'(oZ osr,l o4ow eB = ù o[g It lw ur oss, uy enznleuy f "relo)tged 'ox,ezveprP e a eTonb epe gsod g e V ryund enp u! .ruraJ?se . "ssals v8e o1essg'd otgnads osad a 7 ezzaqàunyyp 'oeue8owop" eqqlpuelsav!o[g un 1p oytqynb -e tp aúoveJntguoc eI alewwJale1 T.t.Bg

IJ1OSIU IZICUSSS

lî{ l?p o?ttols :2.dog

06

T

Cap.T: Statica dei fili

ia ú si deduce che q - a3/2 (z(t -za))-r/2

;in questo ordine di approssimazione,la configurazione del filo è allora la parabola di equazione:

u: '

{3.(l ==2o) (r2 \" - az) 2o"/2

8s.7.2 Un frlo OB, omogeneoed inestendibile, di peso specifrcop e lunghezza/, è fssaúoin un estremo O ed è appoggiato senza attrito su un piolo liscio A, posto aIIa súessa quota di O a distanza2a: iI tratto rimanente

A (a,o)

AB del frlo pende liberamente. DeterminareIa lunghezzadel tratto AB.

Ponendo ), : AB,la parte di filo OA si dispone secondouna catenaria di lunghezza J-). Lungo il tratto verticale AB la tensionevaria linearmentecon la quota, come segue dall'integraleprimo [7.3]; in particolare, è nulla in B, non essendoviforze applicate, e in ,4,vale: Ta: pÀ

(1)

D'altra parte, poiché il piolo in ,4 è liscio, la tensioneha lo stessovalore immediatamente a sinistra di ,4 (vedi figura) ancoracome conseguenza della [2.3]. possiamo quindi studiareI'equilibriodel tratto di sinistraancoracon le lT.6l,[7.7],[z.g],con il riferimento cartesianocome in figura. In base a quanto ottenuto nel preced.ente Es.1 si ha allora: C:O

,

D:

-o.orh9 d.

(2)

mentre a è determinata dall,equazione trascendente

/-)

: 2asinh I

a

(3)

per cui il calcolo di À è ricondotto al calcolodi a. Osserviamoinfine che per la [?.2] si ha: Te:

p(ye - D) :

-pD

(4)

9t

!u rsd1p7 - zD *

"l"d :

\O

o:Y0+p+ !1d-

:rpulnb ? :y q auorz?eJ a g' q E "ll"p ezJoJ€llsp a1e1o1 osad alep 'au.re1sa '!1d1ep ezroJallap eîuellnsrr II olFu er{f,orJessat "rs -au ? olg 1ap opqlpnba,l rad 'e1red "rtl?rg and - ,) : YO'

&Í)+sJ:v11qvA

:rnt .redtg - aa tv6 - Y; aqe lll"Jul eq rs .e.rntg e1rc olueurreJrr uo3 '[g'l] oupA a1erta1ur,1pp , oluoluor euorzrpuoJ osn J"J Ie lz't]1 "llep aluar)gns e g' 1p elonb eJ"urrrrJelapJad "l

ZI

'g e v firlaJls -a ryEet1 e1onb rp ezu"ragtp eI eleu[wrop(I 'qeluozzlro.fins g

c\,

olo?rn vn lp erywpu! D olnpoú rp ezro! eun eP g u! o?nuslsos? pa v ow?rlsa.il"u ol"ssg p '7 ezzeq7unl e d ocgrnds orad rp 'eEqW -ualsaul pe oaua8oano'€IV olg un g.!.sg

'olg ll .radorrqrlmberp ruorz -e.rnEguoranp lpupb a ruorznlos enp ouueq Is ! < t rad a.rluaru'auorznlos !s uou I > I "q rad :o1g 1ap ezzaq8unl e1 lad I eîrurrl arol ef,npepts (0 < n f o : 7 -€À un rp "zuel$se.l uot' o7f 7l-: 6 Ip a lqsoeg/1 * ?qu1s: n rp rrge.rt r opueluo.q;uoeordruase pe) olzrt o11anbe oSoleue orge.rE -Jesaaluepe)erd 1ap olpn+s oun ?p laluaueer.rawnu eJossa "?losF ond (S) el aq) aJe/uassope 1nb orrrerlrurl rC p

(s)

;{ soer +-q qst , z-l

aluapuof,s?r1auorzenbarllep auorznlos (a1en1ua,ra) *l Qo ar{r erolle an8as (p)-(1)

"ll.C

!ú !?p o?t?otg :2'dog

Z6

Cop.7: Stotico dei fili

99

[,e due precedentirelazioni fornisconola quota di B: G-Q.t

- yB= - :- _

G

2Gl sin p

* *,'p'

pp

(1)

Per ottenere tale risultato non è quindi necessariofar uso della teoria dela catenarial è però orrvio che anche per questasecondavia, che consentedi determinare completarnenteIa configurazionedel filo, si perviene alla quota di B. Le costanti a, c, D e I'ulteriore incognita 16 si determina.nocon le condizioni: .passaggioper A:

D * acosh C : O

tensioneorizzontalecostante:

ap:

pendenzadella catenaria in B:

GcosF

sinh(39 * C) : 1anp

lunghezza dellacatenaria:,

: orirh(f

+ q

(2)

-asinh C

Naturalmente si potrebbero scriverecondizioni diverse,ma equivalenti: ad esempio alla terza delle (2) può sostituirsi la condizione: valore della tensionein B:

c:

p (y a- D)

Dalle (2) si ottiene così:

sinhC - tang- =!-' Gc o s î D :

;'

sinh(34 ------' ., * C) -t :1anp

_G coso, /, * (,ur,6 _ ^_lp ^1, ' GcosP' P V

per cui la configurazionedel filo è completamentedeterminata. In particolare il precedenterisultato (1) si ottiene richiedendoche yp : y{r: na), da cui segue che: YB:

Gcosp

--*lttnP

(z)

(zl"t,t a ! o)

o?( a )o ' o 7 ( ù t j

:aJassa a ep terlEg elle oluerulJayr uoc 1o1g ?or) al"rlrJou) erggrads II osra^ ezueraJuof,Jrrellep ello^rr arassaaaap (ezùareJuoJJr) "ll" auorzsal e1 .a aJassaa^ap olg rp olund ruEo ur tapqtssod Ers 'osa1 CV l\ "llrJ)sap auotze.rnEguoc el aq)Jad 'yd : ca auorsual C ur arrnpo.rd tp o11anbaluatue*nd "un opuassa CBr al"f,rtJa^ olleJl lap ottaJa(l 'ezuera;uolrrJ olet3Eodde CV o11l-r].l "lls olos Ir areraprsuor aleJnl"u Q 'olg Iap ezzaqEunl ellap olollet Iep eug Iy "rurunu

(r)

2 I< Y

o 2R. Poiché tale limitazione è più restrittiva della (1), segueche la lunghezza ^ minima del filo è I : .r?(2+ zn lz).

Ds.7.5 Un frIo di pesotra"scurabilee di lunghezza (tr - 2a)R è appoggìato, con attrito di coefficiente p,, ad una semicirconîerenza fissa, di raggio R e diametrc orizzontale. AgIì esúremi A e B del frIo sono posti due punti materiali, di pesi rispettivi p e q (q ) p), appoggiati senza attrito alla semìcircorferenza. Determinate iI massl'mo valore del rapporto qfp perché all'equìlibrio A e B siano alla súessaquota.

Poichéi punti materiali.A e B sonoappoggiatisenzaattrito, proiettando le rispettive equazioni di equilibrio sulla tangente alla semicirconferenza otteniamo: T4 :p c o s a .

,

T B -g c o s 0

T a lT a : q lp

D'altra parte, il filo è vincolato con vincolo scabro,con un angolo di awolgimento (zr - 2a): la condizione di equilibrio limite [7.10] implica allora che il massimo rapporto dei pesi è: qlp:

TnlTe - 4t(t-2a)

9E

_.__1--

'auwu ouqfilnbe lP lvolz -lpuor u! epln8 eile oglttodde ernwu aqc oW olle4 pp ezzaqtanl eI ereurwrelog lp 'q ezúe$ -!p e V tp ollos ry p eTsod 3rl eguengeoc seJqe?se[e$rozzyo eplnE ns e8&od lp "un -de rs V oureJlsa.fieuopssg q .lezzeqîuny " e d otgoeds osad 1p 'egqypue1nw pa oauat ewo olg un seletrgtez.oueld un a7 t L.Eg.

.(a1ue1sorelonb olg opùassa,[g.l] II " ourrrd a1erEa1ur,11ep aqf,u" an3esaluelsor sts J aqr otî"J II) 'nlottd ._ J el€^ a olg n otunl eluelsol Q J oluts1.rad .u7f7 - t uot O : d - r?uls6'

O:psolO

- 1, J.

O: 3 TP

:"roll" oru?ruello [9./,] ere"uFt alellarord ouqplnbe rp 1uolz -ul "ural "ilns -enba a11eq 'epluozzrro ouerd un q ? o1g II 'ezuara;uourf, ?un opuo3asolsodslp opuassg

'o1und ons Juto ul oH euosuel eI eJeulwrap1 1ap 'a etnTtadetwes rp elez!y"^ ess'" oller ouo) an lp apg Ip " opyàEodde ,ezuateg -radns eile "lueure-alelse -voJ4J eun opaolírs o1e€teqle oyqygnba uy q td otgpads osad a 7 ezzeq?unl rp .oaaa3 -owo pe eilqlpuafsau.r'osnrr;r oIg vn g.l.sg

It{ l?p o?ttaîS :2"dog

S6 l l;

tl ,' -.:?

Cap.I: Staticadei fiti Denotiamo con À la lunghezza del tratto appoggiato, che indichiamo con BE. Incondizioni di equilibrio limite, la distribuzione di forze è quella indicata in figura, per cui: Tp = p,p\

(1) Consideriamo ora il tratto di filo libero .4.8. Con riferimento agli assi di figura, abbiamo le seguenti condizioni per determinare le in_ cognitea, C, D, rg, Tg: passaggioper A:

D*acosh C:h

passaggioper E:

D + acosh(2 'a

+ Cl:O t

I _ À : asinh(19 + q _osinhC

lunghezza: tensionein E:

o:

pendenzain E:

(2)

lt p

sinh(I9 * C) :6

Dalle condizioni (1)-(?) segueallora che

À è soluzioned.ell,equazione algebrica:

A2-2^(t+ph)+t2-hz:o da cui, tenendo conto che deve essere r ) À, r ) hrseguel,unica soruzione:

A :l *

ph -\l L z(JT ó+ztlh

Noto l, gli altri par4metri introdotti sono dati da: a:-D:pÀ,

coshg:Ll_h *^

OSSERVAZIONE All'equazione (A) si può pervenire più rapi_ damente utilizzando I'integrale primo [2.31. Infatti dall'equazionedel risultante vertìcale per il tratto libero .48 sì deduce che Tau : p(f - À) e quindi che

Ta-

pn(l-A j2 a p zoz1 z

Pertanto la condizisne T6 - Ts : pÀ diventa

ff i-pp\ : ph equivalentealla (3).

t

tE:

-tt^C

(C < 0)

(3)

gT

I{go.: r) s lld: (g/cd)qurs I 'ortgryrnba rp ruourpuoc ut'apm8 eilep O eu -orzasrelwJlep g ezlJ|e9.stp eI eteururrels(I lp .ú aleluazzuo e^tlle ezJoJ eun acsr8e g oure4sa;1ns .eleluozztro eJt.leJ a e[eJtlJ?A eun ,alsq aptn8 anp e lWIoJu!^ g ,1 ezzeqtunl e d otgoeds V rrrre4se lF eq " osad rp toaua8ouo olg vn g.t Buralqord

I d: rl .ouqryrnbetp tuolnpuot w elonb srzrrsssrrrrp auomrsodeilau erc g gqctad q ry eJoIeAU areunrrJayep.o1uq1etp ezuas* uI 'ZlAu ezzaq7unla d ocgneds osad rp'oaua8orao ? (IV oW U Z.! Buralqord

a

à

il $ -* t

'1

I t"

J

t il

r{ t

l( slq so tg : n

eluapuaf,s?J1 auorzenba.llapauorznlos q /i a elonb arassaouo^ap g"crun(l ey I "ssaîs "lle 'oltqyrnba rp auorzetn8guo) e)urn.un eq ls eq" areJglJa1 .a1traurvJaqqapued a rg ot88et rp ?Jelozrlr olgotd un pe ory4le ezues o1ertfiod Ae q 7f gtt, - 7 ezzaqtuq lp ,gV e3qlpuaq -eq pa oauatowo oH vn T.l BtualqoJd IISOdOIId

II^[gTsOUd

lN gp D?t?ots:2.dog

ìl-

Cap.T: Statica dei fiti Froblema 7.4 (Jn semicerchioomogeneo, di nggio R e pesoq, è incernierato ii O ed è mantenuto in equilibrio col diametro oriz_ zontale da un frlo amogeneo,dì peso specifrco p e lunghezza rR, frssatoin O e tirato in A da una forza verticale F. Determinare ìl valore della forza ed il mas_ simo valore di p perché tale configuraziane sia possibile.

: clR(4 I F : (c + pnL)lz;pmas,

î'

lr

") I

Problema 7.5 (Jn'asta omogeneaAB, di lunghezzaL e pesoq, è vincolata agli estremi a due guide, una orìzzontalee l,iltra verticale. In B è frssatoun fiIo omogeneopesante di peso specifrcop, cheha l,altio esúremojî,s_ sato nel punto O di incontrc delle guide. Determinare Ia lunghezza I del fiIo affinché in condizioni di equìIibrio l,asta formi un an_ golo dì r fB con l,orìzzontale.

I,:ft"i^hry-#l Problema 7.6 Un disco di raggio R può rotolare senza stfisciare su una guida iriz_ zontale, soggetto ad una coppia antioraria di momento M. AI suo centro è fssaúo 1,_ estremo A di un frlo omogeneo pesante di peso specificop e lunghezza l, che ha I'altro estremo B fissato alla stessaquota di A. Determinare Ia freccia del frIo in condizioni di equilibrìo.

I î : 6/4M, + t, p,R, - zM)lzuel

r"

99

l8

= rl I4q.q= " L 'Pd

t7' .V E P P

soytqlgnbelP laolqPuú u! ezr:naqlpelqqe g ,?WuWe oW PP 7 ezzagtuq eI ereulrnta?€Q : g apluozzlto ezJo! eun Pe ol}ettos 'y rad aluessed epsyl aleluozzgo epya8 evn Pe erl oleIoJurl'g orret1srrl a ossg V ovra.4sra; .1ezzerqtun1a d ocglnds osad 1p 'agqypuags +lv! pa oauetowo olg un 8'l erualqord

i,,' i i] $

= vt' - uu-+ùry)! Í (tlu" - zl*q ' - ( n lu a g f:tl 'v nd o1g rrJauorsual el ?r1ouou'glu lP o)Ís- un o.rd;ns fiEodde F oIg $'oJ'rq;;pba W ryolslP ereulEJa?B(I -uor ul '?rpugfe g IP oInPoIDf 'úepluoz oÚe4fi.l eq -firo esJoJ ean Pe o11ettos tI uor pe 'o4e qrgdolund leu of"ssg V ov'atltèJ ;o""g i oltql a;rlpttlt olgotd un ns.eyîtodde p'Tezzaqilanl a d ocg1ndsosad Jp 'ayqgpuels -arr! p" auaaouo olg un l'l Btualqord Iú l?p orllrrîS :2'doP

0OT

T

-T

f -IIl

it

I I

iI

I

Cap.,8

Principio dei lavori virtuali

Si può utilizzare per lo studio dell'equilibrio di sistemi soggetti a vincoli perfetti (lisci o di puro rotolarnento). Per vincoli bilateri assumeI'espressione: N

6*L :f" ,xó4 -o

VóPi,

d=l

[8;r]

con F; risultante delle forze attive agenti su JD;e 6p; spostamento virtuale di p;: Il lavoro virtuale relativo alle forze applicate a ciascun punto P può essereespresso sia in forma intrinseca:

F x ó p : lFllóplcos0

[8.2]

con d angolo tra F e óP, sia in forma cartesiana: FxóP:F,6r*Fr69*F"62

[8.3]

dove argrz sono le coordinate cartesianee 6s,6yr6z i loro differenziali. Il principio dei lavori virtuali è pa^rticolarmentesignificativo nel caso di sistemi olonomi: il lavoro virtuale, espressoin funzione delle coordinate libere gr . . . gn e t t dei loro differenziali 6qt,... ,6qn, aÉrsume la forma:

6*L:

D

q*(o t , . . . , Q n )6 q 1 ,

lc:1

[8.4]

e, dovendoesserenullo per ogni scelta di dgp, dà luogo ad un sistema dÌ n equazioni pure di equilibrio, indipendenti, in numero pari al numero di gradi di libertà, del sistema: Q* (q r," ' ,9 n )

: 6

(k : 1, ... ,n)

[8.51

sls uou auotzernBguoe '(rr'"g tp"n) o > T*g :o'r111sod llueltrelsodse eluapuodsruor el?nlJl^ oJoÀ"I II afilr"d e1?appns " Ilenllega "llep rró ar{f,eJ")grJa^eÌuarf,gns e (O ? Ióg oldrnasape 'rllqtsrar'eJrltuolzelJ^ ouueq rs otu"rf,rp,eleurprooeeun ouaurl" :ad qenb a11au)ueuguo)IP, ruorzernEguoltleleads rp ??rlrqrssode1 areururesarad '1pu1nb'artloltlred u1 rad ouqrilnba,11ap "zualslsa 'A alos e allnt otrqtllnba 1p luolztsod rnc rad a11anb > 7,g ouos rl"nlJr^ rJo^"I rap ordrrurrd I rad 'ua1e[un qo]ul^ e o11a8?os ? ?ulatqs il es

gNolzv ugsso

[rra]

0 9C: 7 , 9 IP alenîJIA oro^sl :Q O oluatuoru 1p erddoc "un

uI 'apJof,uof, osJa^ ul llunss" ouos oy'{ a'auorzelol 1p oloEue'9 alop p'are1orr1.red

lorsl

090w +c9xlr :7*9 :?îrrroJe11auerglldurasIs [6'8] auorssardsa,l 'ouetd ost) IaN '6l olod

oI11 a eÀIî13 ezroJ ellaP aluetlnslJ II ? U e^oP 1e olladsrr a?uellnstr oluaurour Il Q

[ o' e]

tx oItr +ogxll :7*9 :3p

ossardsa alassa aqrue ond onir'

odror un pe alectldde ezJoJellep al"nlr,,, oJo^el II

.(1.dec nan) o1? 09 a^op auorz"lor Et a odror1apolundun rPaFnlrl^ olueu"+sods "l "ursa?rugur [e'e]

{ o - a )vt * o g :d g

:opt8tr otulsallugut oluaurelsods ollap elilIrJoJ el uo) oî"1of,1"f,alessa gnd opr3rr odroc un P" atuaualJedde 4' olund un IP d9 alsnlJl^ oluauelsods o1

rbg

îfr euolue}If,allos ellaP {@ aluauoduor pEg :rpulnb Q {ó eleulProof, el oPuof,es "^I}1" I:{

ú t f : r *s :rlnuello tso) ?19 oPuslJsir olnuallo rl"nlJr^ rro^el r opusrrnuos a aJaqq eleurPloof, el "tlorr "lls "un aJassagnd alenlrrl oJolel II mlouolo lulalsls leu :auolzlsodderrros rp ordpupd II ale

Cap.8: Principio d,eí lavori virtuali TEOREMA DELLA STAZIONARIETA, DEL POTENZIALE se il sistema è olonomo, i vincoli perfetti e bilateri e le forze attive conservative, con potenziale U, si ha la condizionecaratteristica di equilibrio: 6U:O

[8.12j

se il potenziale è espressoin fùnzione delle coordinate libere: U : U (qr," ' ,8n),l e n equazionipure di equilibrio sono:

AU

(/c:1,2...,n)

;- :Q oqh

[8.1s]

Potenziali delle sollecitazioni più frequenti Forze centrali: se F è una forza centrale, di componenteradiare]r(r), il potenziare è:

tr(r):

r6yau

f'

ln particolare si ha:

forza elastica tr'(r) : -lv forza coulombiana F(r) = +

[8.14]

I

.+

U(r) : -!kr, 2 U(r) : _ 9

=+

U : *py

[8.1b]

.,-s\

dove il segno* corrispondead una scelta della quota y in versoconcordealla forza peso, il segno - ad una scelta di gr in verso opposto al peso. coppia : se il momento di una coppia, di direzione costante, ha componente : M(0) secondotale direzione, i11'1 il potenziale è: S0

U(0 ):1 1 J

M(u )du

lr t: t

In particolare si ha: =+

I

t

Forze di direzione costante: se : F r(vD è una forza di direzionecostante i, con componentedipendentedalla sola coordinata corrispondentey, si ha:

forza peso F(V) : *p

I

I

-t

r

u(v): ,pyo, lu

x

[8.16]

II !

lorsl

"r#! * ,"-o :r*e

:"urroJ e11auossardsa alessa lpurnb gnd a1en1r1'roJo^el g 'auorzeltrallos 's^11€Jasuof, ezJoJ ellap e^I1€^rasuot alred e11apaletzualod 1t zP uor €llpq Is eS I?'9 un IP olnqllluoî allap e1*g olnqrJluo? un IP a a^Il" resuol uou azJoJ allaP te,ule,rresuof, euolzsÌIf, ? ?tuuros atuof, al.enîJl^ oJoÀ31II er€lotlef, allqtssod q "À111" un eS -alios ellap alred eun olos a IJal"Iq a Ftrouolo llof,ur^ e ollatBos ? "tna+qs

gNOIZYATTSSSO

Igle]

\h)

"t"'*î.:

u)n

eq :a1e1zua1od

rz,nur - (.1)g eEny.rlua) szJoJ e1 '(et'deC lparr) areloEutsqtllola^ sns "l o a'aletzraut uou aJole^Jesso{llap euolz"loJ Ip esserllsP ezu"}slp 3l ? J as :e8n;1'r1uat Bzrot eun IP aletzualod II eqlu" aupdse elnruro; a1e;) (s ezzaqBunl rp 'eaury,unf,

[lt'e]

"llorrJ

n ",,r1-:

L=")

:a1etzualod 1p tealle,rra srJo) ?lu ?tao o * saldut ot auolz"llsellos azro; eun p" o8onl ouuep g o V lruallsa tl8au ellrrasa ?sse aqr alsoddo pa 11en3n :B[[oIAI €un alue}so3 \p gV eaulll1lal "lloIII "lsp enp al 's ezzaqEunl Ip a {

"f,Ils?la

ec+: (ùn

\ia

: "qIs c aîI l?}so) olualnol urpelddo reun.Iedarel ol tl .redul ./{ IP ,erddoc e11apoueld a^oP leu auolz"Xor 1p o1oEue,1Q A

o$a^ II uof, apJof,srpo aprof,uot

T!'

Cap.8: Principio dei lauori virtuali

105

ESERCIZI RISOLTI

DÉ.E.I- II sistema articolato di frgura (panr'44:afo)è costiúuiúoda quattrc a.steOA, AB, h{ E, N H, di rispettive lunghezze2J,Zl, l, l, con M e lI punúi medi rispettivarnentediOA e AB- II srsúemaè posúoin un piano orizzonúale, coa O lîsso, ed è soggetto ad una forza Í applicata ìn B e parallela ad AB. Determìnare Ia forza f da applicare in H perché iJ sisúema sia in equilibrio in una a.sqnata cohfigurazione.

,r/

Si può osservareche lo spostamentodel punto B è il doppio dello spostamento di .U. poiché per ogni configurazionesi ha: B - O :2(H

- O)

=+

68 :26H

Dal principio dei lavori virtuali si ha allora: 6*L:F

i 0; il moto descritto è quindi compatibile con il vincolo del filo di esercitare mlo azioni di trazione e non di compressione.

8s.9.8 Un punto matefiale p, dì massarn, zppoggìato ad un píano orizzontale, è colle gato mediante un fr.fio,di lunghezza costante I ?.rnassatnscurabile, ad un punto di massa e m, scorrevole lungo una guida verticale. InizialrnsnssQ è fermo a quota h, mentre p ha velocità,uo. In asseazadí attúto, determinareín funzìone della pasìzíonel,atto di moto del sìstemae Ia tensioae del frlo. I sistema ha due gradi di libertà: si assu_ nano come coordinate libere le coordinate nlari di P nel piano, rispetto ad un riferi_ nento con origine in O. adicando con y la quota di e al di sotto di ), I'inestendibilità del filo implica che: p*y:

t

(t)

ialla quale segueowiamente che : _p. f )onsiderandoseparatamenteil moto dei due punti, il moto di p è un moto centrale, unica forza nel piano essendola tensione ? del filo, direttacome la direzioneradiale )P: pertanto la velocità areolaresi conserva.La leggefondamentareper p diventa uora: m(ì-p0'):-f

(2)

p20:(t_h)v. (3) 'ell'equazione (3) si è tenuto conto dete condizioni iniziali: i(0) :0eO1o;: tl(t - h). a proiezionein direzioneverticale discend.ente dell'equazionedi moto per e (te:ndo presenteche ù : -p) dà luogo all'equazione:

-mi:mg -T

14)

'O ut l€ru aEunrt uou d olund p sosel 1e1.ur eqluy

+ r ) y ( v- r ) : ! :uof, 'q - t ) d > lelglof,Jrf, ?uoJof, auar^ ororu il r > as 3aru.roglrm aJ?lof,Jrf, v "llau " e d IP oloru Il I : Y es '4 > d ) q - I ar"lo?Jrf, ?uorof, rp olour "11"., "r"r.nir dr II I < 1 es eq? (0 : / aqr eEuodru ls a algrzruralu"q.$.Il" y' ou3as lJeprsuor .rp Ir Is 'g'sg.1au eurof,olueru"11esa) eroru? auarlto Is ,(V y ópo4 jlpuris llî"Jul ù6lpo: otlotu raluaruerrllelrlenbtouels tluaurl^oru rluapuodsrrol r .orzt)rasaeluasald 1apa g'sg,llaP nirals.tsI RllsJe.Àlpa1a1ùe1sòuou 'eurof,eJ? Jassoaluessa.ralulalesseQnd "4 II SNOIZYAUSSSO .9. opnd g .rad arcloafe Rllrola^ ellep a erualsrsII oîlnt .radelE.raua,llapauorzeuesuosel rluarur.rdsa . ?so ?- Qr d

-anred gnd rs (r)

,

g: n_ J

:ruorzenbaanp al A opueururrlaalueup11a.rlp41d a4u "rt auorzenbaúun pe'g'.g,1 rad o11apo1uenbr "att 1ap "1r"**io1*,ry

I trNOIZV^USSSO

(r)

(ffi

- r)íoz+ (d-, - )D:7t

: lsof,opuauello ,îl _ 1: (g)d elernul euorzrpuor3l uof, odrual 1eolladsr ouerrEalul pa red (s) e10rnerqendtrio* / 'o1'rarnelalduro)ons g .radlolorn !p olte,l aluaul"rzr"d olos aaFf,sap(g) auolzenla,l (g)

ld-î )'-'-T-* , +6 \u9:r \(^ |o"('t

:€tuelsrs lep euolz"Jntguoe

( s) .

, .

"nep

auolzunJur euolsual

9- =

"ilep

auorsserdsa,lpulnb a

.E dz,:d

ín'('l - ù

:oq?lyaxlo(Z) e11ep.geo11adsr(l) qageolladn.r

(g) elopuaalosrg

oTynd pp o?ruall6,:g:6ot

fgT

Cap.9: Dinomica del punto 135

PROBLEMI PROPOSTI Problema 9.1 Nel sisúemadi frgura, pe súo in un pìano vettìcale, ì punti materiali P e Q hanno ugual massa m, iI frIo ha ma.ssa trascurabìIe e lunghezza costante. Supponendo lisci úuúti i vincolì, si calcoli il movimento a partire dalla confrgurazioneiniziale di quiete, con Ia molla di lunghezza nulla. .

1

o

rrlo.

- ( t - cos/zn l *t) 1 r : )e 4 t2 # 4k mo . s -;f(1-cos

2k

1/llr-lmt11

Problema 9.2 Un punto mateúale P, di massa m, è mobìIe in un piano orìzzontale Iiscio, collegato ad O da un fiIo di lunghezza I e massa trascurabile e soggetto ad una resistenza idraulica di modulo F : maz ll Noúa la velocità iniziale us, determinare iI moto e calcolare Ia perdita di energia cìn* tíca duratúe il púmo giro.

Id : log(1*vstll); AE : mvfi(t-e-4"7121

Problema 9.3 Un punto P, di massarn, è vincolato ad una guida vertìcale e circolare lìscia, di raggio R. Esso è soggetto ad unaforza orizzontale F cosúanúe ed è atfuatto vers C da una molla di costante k. Sapendo che inizialmente P è in quiete in C, determinare, ín funzione della posizìone,la velocità di P e la reazione vincolare. I o' : zR((ms - eB)(1 - cosd) + F sinl) lrn O : 3.F'sind- rng + J(*g - &,?)(1- cosd) con 0 : COP, lD centripetal

mvz/ |

Ca p .1 O del corpo rigido

Dinamica

: r!

In un sistema di riferimento inerziale le equazioni necessariee sufficienti per la determinazione del moto di un corpo rigido sono l'eguozíonedella quantità di moto

8.:R +R ,

Iro.r]

dt

e I'equozionc del momento delle quantítà dí moto [10.2]

+ : M o * M , o - vo Ae

essendoO un polo scelto arbitrariamente e vp la sua velocitàr. R e R' sono rispettivamente il risultante delle forze attive e quello delle forze reattive agenti sul corpo, Mo è il momento delle forze attive rispetto al polo O e }l{'s il momento delle reazioni vincolari rispetto allo stessopolo. La quantità di moto Q e il momento delle quantitàrdi moto rispetto al polo O,Îo, sono così definite:

Q: l,*'a, ,

îo:

r l{P

Jr

-O)Al.,l'rd.r

[10.3]

Poichési dimostra che Q - ffii,cioè la quantità di moto è ugualeal prodotto della massa del corpo per la velocitàrdel suo baricentro, la [10.1] può scriversi sotto la forma di equazionedel moto del boricentroz ú

I

r il

rna:R+R '

[10.4]

Se come polo O si prende un punto fisso oppure il baricentro o un punto la cui la forma più semplice: velocità,è parallela a quella del baricentro la [fO.Z]a"ssume

J f.? :Mo * M'o

t o,

che è quella più comuneor"diu utilizzata.

Iro.sl

lrrorl

, U+ U : lLJP q op1E1.t odror un Ip ololn II elu"Jng :auorzenba.l "ts)grra^

YIDUSNS.TTSOYI^IfiUOgJ '2,'de1 Ir epa^ rs ?rzraul Ip Iluaruoru lep olof,lef, II Pe llstuau"puol 'rleJluallJeq

[ot'ot]

"IzJauI.p

plapdord a1 la6

rledpupd lluaruoru I ouos O e g'y

1 . tl + lb A + $ y :

a,rofl

é7

:"llnsrr IîleI{I 'd; e arep gnd 1saqc atrlduas aluerrrJ"loorlredauorssardsa.lle ? oluau4pe)ord olsanb Ip R+lllln,T "lnÀop

lo'orl

lyutv( o-d )+d J:oJ

:olrodserl Ip elnuJoJ ?llaP IsoPuaÀres d. orluaf,rreq 1e olladsrr olour 1p q111uenb ellap oluetuotu II aJ€lo3l"f, el"raua8 ul , It

rellqtssod auarauoc['auorz"lor ? ell li Ip esse(llpauatl.reddeuou O olod 1i t'.! "au€lue]sl opuenb aqeue'as o olrol"ÌoJ oloru IP ol?" un Pe allqllnplr ? uou oloru IP olterl eS (t I '.rss? ["]

oPuo?as f|,

arelo8ue qlr)ola^ ellap Iîuauodwor a1 t'b 'd letzraul 1p lpdputrd lsse l1EeplJosra^ I ouos { '[ 'l lO e olladsr odroc 1ap?rzraur rp rledtrut.rd lluauroru t ouos 3 'g 'y arcp

Is'ot]

\rc + tla +ldy : o7 auolssardsa,l

aluaualredde p olund un alu"Ipetu aJ"lof,l"3gnd 1sauolzsloJ IP ass?.11" "auelu"lsl pe olladsrr oloru rp Rllluenb allap oJ oluauroruy 'oíJlyi\ot ? olou 1p o11e,1eg (q *utv (O - d) : oJ

lrorl

:od.ror1ap oloru IP o11e,1ag(e or?ua)rreqII d. uo) opu"rlpur'e11nstr qll"ola^ uo"Effiiffiq ^ 'olotu rp q111uenballap oluarnow lap olo)1"f, 1t ossalduoc q1d q arluau

lg'orl :"lilrrroJ el aluelpau elof,le) Is oloru tp g111uznbe1 oJ Ip o Ò lp oloclBC

optîtt odtoc 1epD?rruvur1:67'dog

8gT

lri'oil

l f *I:

L JP

:auorzenba,lel"f,ErJa^q optEp odror un IP oloru II alusrng

YICUgNg,llgo YWguogJ 'Z'\EC Ir

"pa^

Is tsIzraul IP lluaruoru tap olof,l"f, II Pe 1eluau"puol 'rleJluatlr?q

"tzJauI.P

11a1'rdord q1 'ra6

lledleurrd lÌuaruout I ouos C a g'y

a'roir

I,t + f . b A + rd Y :4 J

lororl

:"îpslr I?teJqI 'd; e areP gnd 1saqe €1n^op Q oluaulPetord olsanb Ip Rllllln.l arrldu:asaluarxrelo)r1redauorssardsa,lle

m lv (o - d ) + 'J:

lo'orl

oJ

IsoPua^res :olrodserl Ip "lnuroJ "llaP eJ"loelec alerauaEut d. orluaru?q 1e olladsrr oloru gp q111uenbellep oîuaruoru II IP esse.ll€auatlredde uou O olod 1i 'altqtssode qll I *"r,r,ror['"uolz"]or "auslu"lsl eg (e I opuenb alcue 'as o orrolplor oîou Ip o1l" un Pe allqlmPlr Quou oîoru IP o11e,1 -:-

-t- -

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I

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'rss" q"l oPuo)asr, rp 11ed1cur'rd lluauodruor a1t'b'd !e1zrau1 lsse y8ap uosre^ r areloBueRII)olaA "llap 3 ouos { '!'\ iO e olladstr odroc 1apsIzJauI1prledtrurrd lluarnoln I ouos 3 g '7 atop

XrC+ lnA+$y - oJ.

le'otl

auolssardsa,l alu"rpsru axeloJl"f, gnd 1seuolz"loJ IP ess?Éllealuaualredde I olund un "auelu"lsr pe olladsrr oloru rp -q*lllusnbellaP oJ olueuroru y'íuillo-foi ? olour lp o11e,1ag (q :o J

rutv( O- d)

llotl

:odror 1aP

olour Ip o11e,1ag (e orlua)rrecl Ir d. uor opu"f,lpur 'e11nsr Rlpola^ uotTffifrffi7q ^ 'olour 1p q1l1uenbellaP otueruou laP olo)lsf, 11ossaldtrroeq1d q arluau |Ur:

lg'orl

:"FrrrroJ

"l

b eluelpalll

"lotrl"f,

rs olour 1p q1l1uenbe1 oJ Ip a O Ip olotl€C

opt|tt odtoc l?p o?rruautq :g7'dop

887

Cap.70: Dinamica d,elcorpo rigído 1Bg doveII e il' sonole potenzedelle forze esterneattive e reattive e ? I'energiacinetica del corpo. ?, II, II' sono così definite:

r:i .

1î zJr

l * u2ar , I[:I"rX y d,

, nr:f

d

iD; x v ; i

Iro.rz]

essendov; le velocità dei punti cui sono applicate le forze. CalcolodiîeIt a) sè I'atto di moto è traslatorio con velocità v, I'energiacinetica vale:

I

'11r:f,*u,

[10.131

u

b) Se I'atto di moto è rotatorit I'energiacinetica si può calcolaremediante l,espressione: +Bq2 *cr2):t=l.r, *(oo, z'

nI,:

I

2-

[10.14]

dove,4,,B,c, prg, rrJorroriferiti agli assiprincipali di inerziarelativi ad un punto dell'assedi istantanea rotazione e ^f, è il momento di inerzia rispetto all'asse di istantanea rotazione.

I'atto dimoto non è riducibile ad un atto di moto rotatorio,f.i deve ricorrere :" fl"ìal teorema di Koenig, traducibile, nel caso di un corpo rigido, nell;espressione:

il,

o nella equivalente:

+ +Ec"+ cr2) I (: )mo2 )tno' \

-

" : |m ' + I r,r'

Iro.rs] Iro.ro]

dove f, il momento di inerzia rispetto all'asse baricentrale parallelo ad o. Osserviamoche la [to.ts] è un casoparticolare della [ro.ts] e che, anchenel casodi atto di moto rotatorio, può talvolta essereopportuno utilizzareil teorema di Koenig anzichéla [ro.u]. Per quanto riguarda il calcolo delle potenze delle forze attive e reattive, si deve notare che se le forze applicate sono in numero finito si può utilizzare la definizione data nelle [to.tz], mentre nel casodi sollecitazionecontinua è meglio ricorrere all'espressione: II:

R x vg *Mg

xo

Iro.rz]

valida per un sistema di forze qualsiasi agente su un corpo rigido, al quale punto il Q deve appartenere.

[zz'or) lrz'orl

T)Y: JY

{ :eruroJ ellau eqJlr" altqr.u4rdsa

fl: n- J f

:auorzenba,lelstssns

ta,rtle,uasuos ouos e^Ille azJoJel e Issg a rllapad ouos 'p aletzualod uor IIof,uIÀI eS

ert.raua,gap apl3a1n1

loz'orl

.lsoo - roJ

+

O:

to,N

+ tory

:oloru lp plrluenb allep oluauotn Iap r auolza4P oPuo)es "l

aluauoduroc pl € Jasuof,ts 'odlol ps 11uaEeezJoJellap 'o11appnsodtl 1ep '9 olod un olos auolzaltP ?un oPuof,asalueuoortrof, ? aS "un "llnu _ _ * _ = i : = l -* ; ;

rf . : --. #

pe olladsrr oluauroru Iap l

"ssg

C : oJ

[ot'oi]

+

0:9ru+ortr a11ap :6 olod 1eolladsrr oîotu rp q111uenb

e e1a11ered oluaruoruIr s^Jasuof,rs 'olluaf,rJeq1ape11anb ?lllola^ alua^? o oJluatlJ"q Iotra1uapI)ulotroossg.9o1odunpeo11adstr11uaEe"zro3a11apffi oloru !p Ell+uenb a11apolrraruour 1ap auolz€,r.rasu{C uoL.

Es.lO.6 In un pìano vertìcale unrasta omo_ genea,di rnassam e lunghezzal, ha lrestremo A scorrevolelungo una guida orizzontale Iì_ scìa ed è ìnízialmente in posizìone veúicale discendente. Determinare, in funzìone della posizione delI'asta, il valorc del momento M della coppìa da applicare all'asta affinché Ia sua velocità" angolare u sì mantenga costante durante ìl moto.

Assumendo come coordinata libera I'ascissac dell'estremo ,4,e l,angolo d che l,asta forma con la direzione verticale, si osservi che nel problema si impone la legge di moto 0 : arú' Essendoliscio il vincolo in .4, la reazioneè diretta verticamlite-e quindi si conservala quantità di moto secondo l'assec di figura: esprimendo ," funzione delle coordinate ribere si ha z6r : î "" * (rl2) sin0 e pertanto:

Qx : cost. +

mùc - rn(ù+

:.ort. f,à.o"d)

(1)

Il moto risulta così determinato note che siano le condizioni iniziali. Per quanto riguarda il calcolo di M,è da escludere il ricorso al teorema di conservazione dell'energia in quanto si ignora se la coppia, incognita, ammetta potenziare.

.erEraui(llep el"J8alul,l ' .o1oul ?olr Ip ourlrd apr3alur un uo) lsJenllaJa Qnd otour lep euorzeurrrrJaîap ol ral"lúozzlJo euorzaJrp oleurroJ p o1oEue,1 elu"lparu euorzrsod "lse.Ilep "l "lenprÀrpql

"l

uof, elsanb

"p

essragr.rrdeuolzlsod e1 rcd essed egseryapy ouorlsal arprone opar olle.I eJeutwJaloo lP 'aleluozzrJoeuowls -od uga(ara! ? ?luauIevrul 'or1ueJlep "ts",I e1anb eye oXsod ezuar"Jrro)JrJ eIIa " "ssals ayuauagteddeBr ossg oTundIe ouJolle aIoAeJ 1t outed un rp ouJolrr\Ile efio)s el*rL "U oy?EetIp ezuereluo?rrJevn ns aqqola v "ssg ourcrlseJ eq 7ezzetrytunle ra rp eaueí "sspru -ouroelse.vn'a1ecrytatoueld un u1 t.OT.sfl

(z)

l1zuq ffi*

lqut : y,t1 6rurs

:augu eualtlo Is 'îo - 0 aqt e (t) e1a1e,req) 'J Ip euoTzelrap

"llau

'opuep.rorrg

v , ?,r l"Q e ezu$zQ ^,7 , d+ "28 ) *i:

+c "ù *l: a " a ft| *tZu

:auarllo rs 'Eruaoy rp "ural -oat I uof, J !p oloJle] 1 opuanEesa'alluaru 7,1urs0:6ut - ?N : ofrùut * 0W : lI ta1e,r rluaEe azro; ellap U ezualod e1 :[f f 'òf l errrroJe11auerEreu ara^tn .S -a,llap srua.roalIr a.r"zzlllln e11q1ssod

optîtt odtoc pp o?rraour1 :6y'dog

ZgT

C.op.10:Dinamica d,elcorpo rigido

tbg

Il calcolo dell'energia cinetica mediante il te. orema di Koenig e del potònziale della forza peso richiede la determinazione della posizione del baricentro G dell'asta in funzione di 0. Poiché: cc:

R(l *cos20) - f .o,a '2

lc:

R sin 2- o f,"rne

I'energia assumela forma seguente:

r - u=

1

Lm lz t o, ;m(ùL+ ùU* ; u er- meuc

7 t2, : !m(40z ----,- -, 'n g (.R sinr- t ' Z \ - - - + !B - 2atcoso\o2 r sind) .:0

dove si è tenuto conto delle condizioni iniziali d(0}: O1O;: 0. Si ottiene così; l

Àz o =_r q^ g mRsin2î - (ll2)sinî espressione che deve essele non negativa per tutti

i valori di 0 nell'intervallo

(1) in

es a rn e,ci oè0 t otlweulp oryrlry rp aluaegao? uoJ . otqecs g epm? e1 .ap)qtez. ouerd e 4 oyund Ir eJ? oll-eluo) U un ur ogsod 1 etn?g rp "rzatsrs il. e.TT.sg

'(Z) a (1) a11ep eurrrd e1er1 rluaEuel ruorz"ar al "t oPueururlaar{f,af,a^urt(s) erno euorzunba,l aluau"}leJrp a)sruJoJauorzs^rJap rad eqc a1er8a1ur,1 'etEraua,ylep uof, rsr"nuaJa gnd olour lap oro)reJ ar{) augur o-rr,rrn..g Ir

tti ( *+ *r ," glyrlle3au uou sl (oarlrsod arduras a

^|q

rt li

:, ns auorzslrrurl aluanEas e1 e:rldrul Ar^ Ip arluaru ,aqe arelelsuof, oîsrpatu*,,ro11, ,[

I + 6(u* 1 l: /vo c ' wJ ' w'

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Z,gT

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Cap.71: Dinomica dei sistemi Dando per scontato che il centro del disco si muova verticalmente, il sistema ha un solo grado di libertà; come coordinata libera sce gliamo la lunghezzao della molla, ed analizziamo separatarnente il moto del punto P e del disco. Sul punto P agisconole forze indicate in figura. Si osserviche il verso della componente01 della reazioneè noto grazie alle condizioni iniziali, poiché il punto è inizialmente fermo e la molla non esercita alcuna forza: il moto ha quindi inizio nel verso concorde con la tensione del filo e la reazione ha verso opposto sino all,arresto del punto. Dall'equazionefondamentaledella dinamica applicata al punto p si ha quindi: rni.=T-@7-ler

,

eN:m0

(r)

da cui segue che o7v è sempre positiva. L'equazione di coulomb [s.rsj, in cui possonoessereeliminati i moduli per le precedenticonsidelazioni, assegnaquindi il valore ilr: Ímg, per cui dalla (1) otteniamo: mi+kE:T-îrng

(2)

Si consideri ora il disco. L'inestendibilità del filo e I'assenzadi strisciamento tra disco e filo a.ssicurano che il.punto .I/ ha velocità nulla e che il punto K ha velocità. i verso il ba.sso;si deduce quindi che la velocità angolare ha componente oraria u : ù12È.. Dall'equazionedel momento delle quantità di moto rispetto al polo r/ si ottiene allora: 3 _ rngr - 2rT (3) Tmrr: Eliminando ? tra le (z) e (s) si ottiene così l'equazionepura di moto: L 11

.l

i * r * k x = ( r - f ) *o che, integrata con le condizioni iniziali r(O) : t(0) :0,

ha la soluzione:

t:g =.Dm!(l_cos ffirl Derivando rispetto al tempo ed imponendo che à : 0 otteniamo infine che si ha arresto per: t:T

llm

8e

(z)

(g1sot * gsot)g6u,rZ=.ft{ :oupruelîo (f) elpp ,(Z) rt opu"^rreg ewsvT-

Dn

'

gTursg - aft

:96 rcd eleluozzrJo oJleurerp 1ep,a.nlred e alslnl"A ouos d olund lap a else(llap g orluecl&q lep alonb a1 a,rop

(r)

O : afrîut - gfríut - 0I4l : lI

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:auorzunba,loluepad apn u euorzrpuof,elle etnprJ rs ert.raua,11ep Ir pe "ureJoeî

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:opuassg 'g rp uelod eîurprool al ouos g o1oEue,1 e 1so)AZ : g o - d eq) opue^resso?lelolFt eluaulrf,"J eJessagnd B. olund lap Rlrrola^ 'JlVoluaruorulap auotz"urwralepelp atuarlgns er8raua,llap E "T srrraloal p 'oleuEasse? oloru Ir pe R$aql1 rp oper8 olos url^ "q "tua1$s ll il{?lod

$l i

'owneve.Ilns eF].lesa ezuel -elao)Jr3 el ar[z erelo}urÀ euotreeJ eI ?wuou tawogtun ?vornelot el eÍrtryrenE nd egserge arcctldde ep eddot -g W e olo8ue,lpp

eilep W oluarnorn g etn8 euoruunJ w ?JeúrÍrrJeIaCI

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('epTuozzrto : CO oy?Eet a g

aJlua) Ip ezualoJuosJrJ rsJa/ronrlr ? "ssg "IInS ole[orurt eqrve q apnb p .utessew lp'g aull -Iau" un eJaJJoJsond sssa Ip nS .O eJeruleJ eIIe oulone o eyre?svl atelotuz ?g;aop^ uoJ eqont 'gV ezzaq?unl a ut ?ss?Er gp ,yg eau -e8owo else1 o[erlltal' ouerd un u1 g.TT.sfi

tru?lsrs t?p o?tutourg :yy,dog

fgT

Cap.17: Dinamica dei sistemí

Per il calcolo della reazionevincolare tra anellino e circonferenza, si consideri il moto del solo anellino, che percorre la circonfe. tenza con velocità di modulo costante 2R0 : ZEw ed ha quindi la sola accelerazionecentripeta:

(3)

o^:*:4u.fR

Il punto è soggetto, oltre che al proprio peso, alla reazione vincolare ú dell'asta, diretta normalmente ad essa, ed alla reazione O della circonferenza, diretta radialnl

mentel proiettando I'equazionedi moto del punto nella direzionedell'astaotteniamo allora: tn&,.cosd: -iDcosd * mgsinl da cui segue,tenendo conto della (3): Q : rng tan d - 4rnu2 R

Es.l.I..4 In un piano orizzontale un'asta omogeneaOA, di massa M e lunghezza l, è girevole attorno a.d O. Un punto mateúale P, di massa m, si muove lungo I'asta da.O veîso A, frenando opportunamente in moda da mantenere costanteiI modulo u della sua. velocìtà rispetto all'asta. Inizialmente P è in O e l'a.staha una velocìtà angolarews. Determinare Ia potenza del freno,

Il sistemaha due gradi di libertà, potendosisceglierecomecoordinate libere I'angolo d di rotazionedell'astae I'ascissas, misurata a partire d.ao, del punto p lungo I'asta. Poichéil moto di P rispetto all'asta è assegnato:s : îrú,e I'unica forza attiva agentesul sistemaè la forza internaesercitatadal freno, I'equazionedi conseryazione del momento delle quantità di moto del sistemarispetto alla cerniera O è sufficiente a determinare il moto; una volta determinato il moto, la potenza n del freno può calcolarsicon il teorema dell'energia.

165

.ernEg ut al"Fodlr a (1.deg rpaa) s a r a1"urpJoo) allap auorzerre^ ?lle aln^op ruorz"Jalaf,rs ol aluaruJ?rJolla^ opuauodurot aJelo3l€t ond rs auotz"Jalaf,f,".T 'd rp oîoul I ollnlrzue oErrJaprsuoc .Br eJrlJed e ,esnu "p -a1odr,io8unl 3, Ip s' essrf,s?rla y Ip s ?ssrf,s?.IeJaqtl aî"urpJoof altrof, ou?urnss? rs

.oluaurt^o{E [! ?JewwJel€P :EI : d uoc alarnb ut a?uau9lztq ? "ua?qs,I]"

'cg o?eryT .ut essewrp Ins olrJlrc ezuesoyer?Eodde I '4 ayeuaqera oqunduy1 .! otranwp ol!4p rP e?ueQwaoJ uo? eJqezs eplna "leluozztlo eun pe CV esnualodlrl uot egBodde rs a eI"J -ryaa ouerd un ur etet? .ut essr.lvt tp eauaí ewo 'CgV enlo?ueuT eurrrre[ e7 g.f .sg f

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',o

t, l.i

Íi ' ,y

Cap.77: Dinamico deí sistemi t6I Si ottengono così Ie equazioni: m(.i + Í cosa) : rng sin a rnisinc : ú - rrlgcosa

(1)

PoichéI'azionedel punto sulla lamina è volta verso I'interno della stessa, nelle condizioni iniziali di moto incipiente Ia sua componente orizzontale determina il moto della lamina, che awiene pertanto verso sinistra, almeno siao ad un eventuale arresto. La componentetangente alla guida delle reazioni vincolari della guida sulla lamina è quindi diretta verso destra, concordementeale notazioni di figura. L,equazione

dellasolalamina,in direzioneorizzontatee verticare, dà

::[11ffiJ:,:|,ili:,

n1, I :

-tlsin a * 02" (2)

0= Qy-mg-Vcosa Dalle (r) e (2) segueche: or = m(l * sin2a)i + mgsinc cosc Olv : rng(l + cos2c) * misina cosc

La relazione di Coulomb Or : /iDry, nella quale sono stati eliminati i moduli ssendo i loro argomenti positivi, fornisceI'equazionepura di moto: (1+ . it t ' a

- / s in a

c o s a )Í * g s i n c c o s c :

f C (l + cos2 a)

r cui soluzione,con le condizioni inizialiÍ(0) = i(0) : g 6.

* -

sinccosa + f(l--|:s1 ù -,z tGJ.i"%=sinc cosa) "-

úegrando poi rispetto al tempo la prima delle(f), con Ie condizioni iniziali s(o) : ,0) : 0, si ottiene:

si{ra_/cosc "_ 1*sin "a -/sin o .o.o "" _ *z

,j

rì t,

Dueî?- = r?ursUrn-= /t

a_\ x

:o ?urru"J arlualtr "JJaPRlrloJa^ "J D so3Ar ..-:fl?

:rpqnb a o)slp 1ap(er.rer +11ue)areloEue e.I .E R?!eo1aa rrursAr e ,I/ ,"d "p C eP n solAr "zu"lqp " uo) C rad aJearl.ra^ "1"1ror"rìo,1 auorr".r"1ur ,7 u, e^oJl ts of,srp "JJap Jepeuorz€îoreauelúe1sr "JoJ[" ."uTrtr?J Ip oJluat 11 auorz"ls"rl Ip f Ftlsola^ e11eaJenEnq "JIap 17 olund 1npq1rro1n,, e1 'eurtuel

\ -\ \, Dt1

uou of,slp II .D r.pr essrf,s?(J "JJns"rf,srJ+s ?q)lod eraqrl aurof,oru*"r"ln;o.'#;j ralqslap o?oru a'nurruraîap "r"urpJoof, lr alue'gns ;;,;;i",ffirrralurrl

u;;, rjrad riocura r " el.,ssns opuassa pa a^rl?^Jasuo) a^rlle azJoJ olleEEos opuassg " "uraîsrs Jr 'p etunl silow el uo) owJal oluaaqevtut ogsoddns ,?trra3srs ["p olow 11 "rrir_r"1"q 'aprn8ailap onarJw.ne elessg ,E alueFor tp .epou eun rp auoneJ[e o77"àao, g 'e.rcq; epluozzlJo eprni otrry e3qoúr "un 'otsrp pp C orqal .euurel enap esrruel II odrrpns aJ"rls,rJls ezues ,A otilEet eloloJ eq? essew rp .otsrp un rp .ercsry a1e47;r,tt " n " eprn8eun ns a7qow .ut essewrp ,rn1oa*1r7 euwre[ eun rp auodanot rc .eyecrTtat ouerd un ur ogsod .etnàg rp g.fT.Bfi "ruaîsrs I/

'T,/"tnqs6: e !?lou uaq olo,o el uo) psnue?odr,J o3unl epuars olund p "l 6r pa .elarnb ur ouerurJ surureJ "J

( r. soo + I ) _ < ?/ ;so;r?ur.

:as 'o)rleîs o?rJ1î" rp aluartgaor yr r/ o31aq

trNOIZYAUASSO rut?lsrs r?p o?ttuvurg :yy.dop

ggT

Cap.77:Dinamica d,eisistemi 169

Integrando rispetto al tempo la (1) si trova poi la relazionegeometrica: A:_ s ta n a -| c o s t. L'equazione di conservazione dell'energia:

' = u1' +:yÍJ='2 2"'2

r' +Lrn ù 2 tanza+:k '

Rzcos2o ' 2'rÚ'

2'uÙ

- ms rt a n a : E

derivata rispetto al tempo dà,luogo all'equazionedifferenziale:

a )i + kr: { } u + tY * m)ta n 2

m stana

che, integrata con le condizioni iniziali assegnatec(O) : d,ù(O):

0, ha la soluzione:

'

rl

i ;l it

rng tan e ':

Es.1l.7

r,

, , + [4 -

mg tan a, J to t k

!l

3M + (M + zm)tun2a

In un.piano verticale un disco ed

un anello omogenei, di ugual raggio ed ugual mÍùssa, rotolano senza strisciare lungo una guida rettilinea, inclinata di un angolo c su/I'oúzzontale.

,l

Tra disco ed anello si ha at-

trìto, di coeffi,ciente dinamico f . Determinare il moto del sistema a partire dalla quiete.

La presenzadell'attrito tra disco ed anello escludela possibilità di determinare il moto senza scomporre il sistema nelle sue parti; infatti nelle equazioni cardinali scritte per I'intiero sistema compaiono le reazioni esercitatedalla guida inclinata, che comportano I'introduzione di quattro funzioni scalari incognite, ed il teorema dell'energianon è sufficientea determinareil moto per la presenzain tale equazione della potenza della reazionevincolare interna tra disco ed.anello. Poiché è quindi in ogni caso necessarioconsiderareil moto di una parte del sistema, analizziamo separatamenteil moto del disco e dell'anello.

i I

J

i

pe olladstr olflp eIzJauI(p olueruour erIJ opu"n-rasso IaP apuarduroJ rs Ir "zu?1so3Jr) elsans '?ref,grJa^ ardruas a 'o11auepa o)$p er1 orE8odde,ypp elsodrur (ora1eilun olo?ul^ rp euorzrpuor e1 rg < ru6 ardrnas opuassa (aqr erlsoru 3l eJîua.o "puo3as

z ? p u l so l!G L : , : ?^e)rr Is 0 : (o)g : (0)z llerzrurruorzrpuof,el uoJ auorzenbaerurrd e1 0pue.rEa1'I It t

prJlg$u!---!

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:"ura1$s II eJoll€ auatllo rs ruorzeaba aJ? rîuapa)a.rd a11eg ì \l oÒ./

:t"**l

A te_UJ \IO_nw sg' ru

:aqr an8aseprnE e1 uo) oll€luo) lp H olund 1e olladsr oloru

rp glrluenb a11ap oluaurour 1ap auorzenba,llep ,o11au"(llapoJluao 1ap e11anbe alen8n a oJluof, ons lap Rlllola^ aqt aluasard opuaual a o)srp olos IJ rod opueuunesg "l

(z)

arq;f : ^26 :gurolnoC rp

(r)

")rurcurp

auorz"lal

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"lJ"

al€Jsrppos aÀap J6 arrop

f; "tr *z

:rpurnb Is )l olod 1e olladsrr olour rp elrluenb ellap oluaruoru lap auorzenba,lpq "q 'ernEg ur aurof, ellartp aluaEuel aluauoduoc 'olrureurp oîlrlte uof, oluaur?r)srJls rp auorzrp eluaruarrrJoJuof, ra ollau"(l osJarrossrp -uol "il" ezualeJuof,JrJells al"rrrJou eluau I"p "llo^rJ -odrnor eq auotz€al a1e1,ortEoddz arrlduas rp rsopuellq.rl lorsp Ir uof, ol1"?uor I" elnlop eJ"lo?ur^ auorzeal e1 elerqdde ? ollauerllns €l"lr)Jasa aJ?lof,ur^ auotz"ar 'eprnE "JI"p "JI" a osad Is aJllg .alerzlut auorzrsod arr? "llsp -red e €l"Jnstltr .orlual ons lap s uof, "ssr)s?(l oprr"rrpur rollaue olos Ir aurpsa ur ourcrpuard

Cap.71: Dinamica dei sistemi

JrÍJ-

un punto della circonferenza (I : JmR2 12) è minore, a parità di massa e raggio, del corrispondente momento d'inerzia dell'anello (I : zmni). L,accererazione angorare dell'anello, a parità di forze applicate, è quindi inferiore a quelra d.el disco, per cui se il disco è posto superiormente all,anello non se ne distacca.

8s.11.8

In un piano verticale due dischi omogenei, di ugual m:ìssa m e raggìo R, han_ no uno il centro.lîsso e lraltro iI centro mo_ bile lungo una guida verticale e collegato ad un punto .lîsso O da una molla di costante k. Un frlo si avvolge sul disco di centro mi bile , passa su quello a centro frsso e reca all'estremità uma massa puntiforme m. Calcolare il movimento del srsúema sapendo che inizÌalmenúe esso è fermo con Ia molla di Iunghezza R.

si assumano come coordinate libere del sistema l'angolo di rotazione d della carrucola fissa e la lunghezza r della molla, per le quali si hanno le condizio'i iniziali: : o1o; : 0, r(0) : ,R, i(0) : 0. Si .or,ria"rir,ì ;;;;;nte le due carrucole '!o) ed il punto P, evidenziando tra le forze agenti le tensioni dei due rami verticali di filo.

Tr

L

0

mg

Per l'inestendibilità e il non strisciamento del filo, p ha velocità Bd verticale discendente,ed uguale valore ha la componenete verticale ascend.ente della velocità di 11: comeseguedalla relazioneyH -yc :wA(H - C),lavelocità angolaredella carrucolamobile è allora 0 + l:/ n. si scrivanoora le seguentiequazionidi moto: componenteverticale d.ell,equazione ili moto per P, equazionedel momento delle quantità di moto rispetto al centro per

i

, u-tTr (? ,18

soe - 1)(49I-

il * fl: ,

:auarllo e11ap oluos opuauaî (7) 1s a rl"rzrurruorzrpuof, al uo) aurrural aurrural (f ) a11ap augur opuer8alul " "puof,as"l

(z)

{7 \ r o ,\'b*t J! - * , * ttt'A , -a):r Du tt g |

:a aleuEasse rlerzrur ruorzrpuo) al uol euolznlos ln) el

b ru !: x x*r u !.. 8

II

: alerzualaJrp euorzenba(l auarllo rs ruorzenba anp allep opu"urrurlg ,

(r)

o tu : r"Z + 1 a u z u'r' q u u ^L + r q --g u ) -u

:oloru gp arnd ruorzenba anp ouo)sruro;.erddor epuof,as sllau alrntrlsos 'aqc ruotsual al aJauallo ouossod rs ruorzenba rp erddor eurrd e11eq

T,Z a zJ:G* ù "r* zJ-r q-A*: r*

AzJ- A V: eL* - - zU r a_6ut: eyut

:erl rs autpJo,llau lalrqoru e1 rad c oJluas 1e olladsrr ololu rp qlllusnb ellap oluatuoul lap auorzenba "lo)nJref, pe oloru rp qlrluenb ellap auorzenba,llap alef,rlJa^ aluauodtuot .essg eloenJJ") pl

rut?lcrs r?p o?naourq :yy'dog

ZLI

Es.U.9 In un pìano orìzzontale due a.sre omogeneeAB e CD, di ugual massa m e lunghezze rispettìve I e 21, sono incernierate in B ed hanno gli estrcmi A e C vincolati a scorrere su ula guida rettilìnea liscia, coll* gati da una molla di costante k. IJ sisúemaè inizìalmente ìn quiete con Ie agte alliheate lungo Ia guida: calcolareIa velocitàt con cui, durante íI moto, A e C vengono a contatto.

:

Il sistema ha due gradi di lìbertà: si scelganocome coordinate libere I'ascissarl di B lungo la guida e I'incliìazione d dell'asta AB sulla guida. La differenza tra le ascissedi -4 e c vale 2lcosfl,.per crti la loro velocità relativa è :

I

i

':i !

ì

u = -2|.0 sinfl

(1)

.finale,,incui :0f Indicandoconàs econ u/ ivalori nellaconfiguraaione d risulta:

:rlz,

uÍ : -2t01 per la cui determinazioneè quindi necessarioconoscereI'atto di moto nella configurazionefinale. Il sistema ammette due integrali primi di moto: la componenteorizzontale della quantità di moto (per I'assenzadi f.orzeesterne con componente orizzontale) e I'energia meccanica. Per il calcolo di entrambe le quantitàrè utile valutare prefióinirrmente la velocità,dei baricentri G dell'asta AB e B dell,astaDC infunzione delle coordinatelibere e delle loro derivate: essesi ottengonoagevolmentederivando le relazioni geometriche:

tt

rG:E-5cos0 tB=t

t

,

Vc:1sinî

UB:lsinf

Tenendoconto delle condizioni iniziali, le leggi di conservazionesono allora:

e, :o : m(ù+f,à"iro) + mà:o r - u: E : d ll$ a r + I* U o + f , ò " i n i+l 1l à, r c os2 + +Lrn(t:'z d) + P02cos2 -

t #n'

+

|*pt

= 2p1z ros0)2 ,,i 'I

l

{z)

(4 + ù

"a

l gh rsut + g "sru

'auar11o Is J Ip a J Ip ruorssardsa aileu o

: t

:r-uorzeegndrueseunlJoddo a1 odop opuanrrrsos a (t) a1 opuealrag "lFsrJ Ir

(r)

ú : fr .{dt1 g)sotóU - (ó* p)u1s (d 1p)ursóA + (a * p)sorU : z :ouosor rp al"ulpJooxel(odo rp al€lz

-rur euorzeJlp uot aprJurof, r oss?.I tnJ ur "l ."-nrrl 'e.rn3g Ip olueurrraJrJ!p "urelqs IeN erE.raua.11apO pe olleCsul -ls lap "f,rlaurf, " oloru Ip lllluenb a11apoîueuroru 1"p ",rorr.,, I -Iasuof, eJnrrss? elrll" ezJoJ ezuasse;r1 !p "l . (o11oar,raluarnelalduror | g olg Ir opusnb oxund lep euorzrsod'0d red orSEer olunss" r Q!s orslp Ir uor.el"prlos euolzarrp atuor) o)srp Ins olg lap oluaurEl0as d o10Eue(la o?srp 1p lep euorzeloJrp p o1oEue,1 araqrl aleurproo) aruof,ousrunssers !ts1raqll per8 anp 1p "q "rue1$s I

'or"ro r"ofl

arlue?Iep AZ ezuerytpe eloll.ls opmnb o1 f -undpp ?tlro1e^eyepoqpow 1y "rrur-rr4"q I

.omerclo8ue .oasrp ?y)op^ eq arip 1ns oUoAAEe?uawql al ? olg F atuewrylzluI .ossg o o4uer tp 'g orE7et e W essew.rp o?Ep an ns atloz^lre Is erIs e1geJaJsell ?ssBrrrry a epgrpualsaul oyyjan lp ?ywa4sa.ge oqsod? u essew tp d ogundun eleluozzrJoouetd un ay OT.TT.sU

uttl ,19 :Q olleîuot

ùu8T ,19

19: l /n l e ouoEued 11und .t Inf, uo? eq.rrolaa e1 rne rad

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tru?lcrc r?p ttzrruot]r6 :y7.dag

VLT

Cap.77:Dinomica dei sístemi 175

,:

*!' ,'+!*ln'it2 n2e'1it+,r)'l +

(3)

42' Nella configurazioneiniziale I'angolop è nullo, mentre nella configurazione."fi.nale", in sui OP - ZR,l'arco di filo svolto è ugualea \/3R e quindi pt : Ji. Sostituendo nelle (Z) e (S) tale valore si ottiene allora (ponendo per semplicità di scrittura b:6ml(M +2m)): .

i ts +t{à1* v ):a6

(4)

à?* u(i t1+pòr:rZ

(5)

Escludiarno la soluzione data da: 0f:ro

,

0Í*gl:O

corrispondentead un moto rigido rotatorio uniforme attorno ad O, inaccettabileper il vincolo unilatero di appoggiodi P sulla circonferenzalla soluzionesignificativa è allora la seguente: l-b \wo ; ;

( 6)

e1 +vy:ffi , 0Í:ffi"0

Tenendoconto di tale risultato otteniamo infine:

(or + pì2 : ,?: R'à't + 3R2

\fi!

n'r3

OSSERVAZIONE In virtù dell'inestendibilitàdel frlo, la velocità di P può esserecalcolatamediante la leggedell'atto di moto rigido applicata agli estremi H e P del tratto di frlo libero. Dalla relaziore vp : vlr * r.rn (P - -tl) si deducerh.evp è somma di due"vettori: il primo, diretto come P - II, v4le.Rd, il secondo,perpendicolarea P - -F/,è pari z R9(à +,è). La condizionedi non strisciamentoassicurainfatti che la velocità del -punto ff del frlo è uguale a quella del corrispondentepunto del disco.

ut + w )(z f -z ) uv z :?rolp orr"ruallo (a) e11auo1ellnslr al"l opuanîrlsosa

, @ - u)* ! -. , K - : n ;(r) elpp opu"^p)ru .(rt1", rpar,) ourllnrlsanb e11anb " ",{r}"ler rp a ollaJJer lap Rtrloia^ sunxos aurof, 'ql1miaa allap euorzrsoduror rp euraJoal "llap lr uo) 'el"loll"l a TLEIAV: p alop Q ollarJ"l lep orluetr.req lap elr)ole^ "l"ls

tz)tft - ùp6ut: z.Gp *r*1*

(p-s)+nl*|* "rn

orlauerp)

a (ylu Ip olqulrur

O : nN + lr ( p -A )+ n l u t

(r)

"l

""^1

tt,b-

: t2- II : ?a-!a

!"O

:aleug auorzernEguol or$pnuas 1ap arelo3ue "llau Slllola^ €l a ollarrsr IeF ?}:)ole^ el lî?e a uof, opu€f,lpul pa rl€lzlu: ruorzrpuo) allap oluor opuauel (o1oru rp rprFalur anp r ous^rJls rs a (apluozzrro orlaureJp) .(el?ugD aFlzrur ruorzernEguor el alue.o"rlarrp ouFaprsuo) rs

/'?(p_u)+n

'o10ur tp eltluunb ellap ei"luozzrJo aluauodwor e1 a ertraua,llap euorz"^Jasuor el .o1oru gp lutrd rprEalur anp ar"zzrlrln ounpoddo q rqlraqrl rp lperB enp eq Ir pa "unlsrs auotzerntguo] erslo)rlJ?d eun ur oloIII rp olî".llns auorzsruJoJur.unaparqf,rJ Is gq)lod 'ofeluoz -z!rc1 rad ess?d oJlevrerp ons U opvenb ors el aleutwrela1

-.rp.ruras1ap ercp?ue ?y)op^

'eleluozzuosllns Vlu lp olewl?ut of,srpruras pp or:aurr.tp p) ourleJ a aluewrylztul -olleJreJ Ins "uralsrs Ir eJ"rrsrJ?s ezuas e1oloJ a g oúEet a ut escear eq o?slplwas y 'ayeTuozzuo eprn3 e1 o?unl oltrlle ezuas eIoAaJJo?s pa w ? "ssetll "q IeN TT.fT.sg

oilaJJe? 1t 'etn?g rp

"rueîsts

rut?îsrs r?p o?tutour1 :yy.dop

g.LT

Cap.17:Dinamica dei sístemi 1-77

che fornisce la velocitàl angolare 'finale'

richiesta.

Riportiamo qui di se$uito I'espressionedelle due quantitàr meccanichenella generica configurazione del sistema, caratterizzata dalle coordinate libere z à 0 di fignr". Calcolando le velocità del centro C del semidiscoe del suo baricentro G con le relazioni: vc :vH+qrA

(C - H),

YG:vcr*r.rn(G-C)

si ottengono le seguentiespressioni: Q, :Mi

* m(ù + Ro - dcosoit)

2g - u) :Mù2 + rn[(ù+ Rù2+ d2à2- z?t + ntacoseà]+ coso +(mR2lz - ma\à2- 2rnsd, che, valutate nelle configurazioni iniziale e finale, assumono le espressioni particolari utilizzate nelle (1) e (2).

8g.11.12 In un piano oriízontale, una Lamina quadrata, di n:iù,ssam e lato l, è gire. vole attotnoal suo centro O, Lungo un lato è mobile un'asúadi ugual massa e lunghezzal, con un esúremocollegato ad O da una molla di costante k. SupposúoiI sr'súemainizÍalmente fermo, con l'a.sta sovrappostaaI lato, si determini Ia v* locità angolare dell'asta quandoessasi ò spo stata di lf 2 rispetto aIIa lamina.

Il sistema amm6lfs due integrali primi di moto, il momento delle quantità di moto rispetto ad O e I'energia meccanica. ,A,ssuntecome coordinate libere l'angolo d di rotazione della lamina e I'ascissa dell'estremo A rispetto al vertice del quadrato con cui coincide all'istante iniziale, valutiarno preliminarmente la velocità.del baricentro M deli'asta, o con il teorema di Galileo o componendo gli atti di moto relativi alla variazione delle due coordinate

IeP ?)rl?ruaur? lsrleus(l Jad .o olund IB olladsrJ olleù?(llep oJîua) s e Iap e?s".llap auolz?ror rp "ssr)s"rl d olo8u".l q.'etsls Iap araqrl er"urpJoo, aruoJ ouepuaJd rs

.6 rcd oneueJ[ap og?essed. p C lp ey?ola\ e[ a olow F a?uernp ardraot else.l Motzerynso e17apezzatdrter[ aleu "q? -lwrapp :eyce.nop owal?s" un w oqul?Eodde olpueJ uoc a1amb w aluauleurw ? ewaqrc lI . uo) oryaueJlap O C orlu$ p e&el Ioc ,l alueJsor$ eilow eun .o otpaw olund Ie ouJolle elo,tax8 .gg ezzaq?unl a essew yen?n ,eauailottto b1serun ns oJl'rrsuls ry ezuas e[olor 'g or8Bet a .oaua&outo W essir-w tp oryaue un ale?uozzrJoouetd un u1 gf.TT.sg

ut'g tl

: !0

:areloFue qll)ola^ ellap otsarqrlr aJole^ a)sluJoJ ,(e) ,11",, elrnlrlsos ,eqc Il rC ,01 : t? 't ^

orueruatlo (r) nlpp ,zlI = s e tluepuodsrJror "lr)olaa

(z)

:eJoIIs a1 /s ttot a l g uol opue)rpuJ ' zs * vl zI Lzf 7 : osot alop

- 9,t. ilri*,?#l* irl: [,("

' z' + b' *[ os oc gz sr!"1\r ,- z8l

,2,

e z i. fl:n - J

^ , ) +" r l * i * " Uft,;

z tt

(r)

o: -Y u e z "l \u t '+,1rz

- ? lzs * -)u' bt * A;*

I

: o -o J

r"Jolls olu"Iuallo'g : (g)p.: (O)p g : (O)l : (O)s rl"rzrur ruorzrpuof, allap oluos opueueJ " e11epe11anbe alenEn "urru"l q'ot'ro1e1s€r1aluaure.rnd otoru rp orle un eq olerpenb 1e olladsrr aqc .e1se,11apa..el -o8ue g1leo1a,re1 'augur 'lzs*vlzIi areloerpuadrad elreolaa eun pa .s lwo " elaJlered 'e1se,1Je err)ora^ nrrn elnua?lo rsof, :aJaqrl "p*.ioduror "?JnsrJRlr)ora^ "J

Cap.77: Dinamíco dei sístemi lZ9 sistema,si rimanda all'Es. del Cap.1; qui basta ricordare che la velocità di C è come indicato in figurae che lavelocitàr angolare(antioraria) dell'anellò è: r.; : à - ulr. Per calcolarsI' arnpiezzadelleoscillazionidelI'asta occorre valutare d nella configurazione in cui li : 0 (inversione del moto), per cui dobbiamoanzitutto determinareI'atto di moto del sistema in funzione della configurazione: a tal fine, sono utili i due integrali primi di moto dati dal momento delle quantità, di moto rispetto ad O e dall'energiameccanica. Si ha allora, tenendoconto delle condizioni iniziali d(0) : O1O;: 0 e s(O) : 3.R,3(o): o:

_.

t o : 3 M R 2à +tvt" rr +MR (R I-.6)+M R2p- *l

:0

T-u - BM R 2 0 2 + )[" ,à r+(ft,-é+r|u )2l a ,1 i .- *,,* t r r ",+R\:

(r) sk} 2 ( 2)

ta (t) dà luogo all'equazionea variabili separabili: 1sR2+ s2)o:2&it

(3)

che, integrata con le condizioni iniziali, fornisce la rotazione dell,asta in funzione della posizionedell'anello:

e = a f u r t a n j - - " r . t . r ,a ) R t/5

\/5 '

t/5'

{4)

Eliminando poi .i tra le (2) e (3) si ottiene:

(tn2 + s2_)!1R2 + s2)

Mò2 : È (982 - s2)

2R2

(5)

Dalle (3) e (5) segueche il moto si inverte per s : *3ft" e dalla (a) si ottiene quindi l'ampiezza A delle oscillazionidell'asta:

e: 4"r.turr 9 \/5

{S

Per quanto riguarda il calcolo della velocità di c, ponendo nelle (B) e (s) s : 0 ed indicando con il suffisso/ le quantità,relative a tale confi.gurazione, otteniamo:

ot: -

6h 5M

,

èf :-R

15k 2M

on

N

utt, + w

-ln

:"Jolle ourcruallo t; : /; euorzenba,lpq .y rad orE8esssd 1eolund lap otoru Ip Rll? -u"nb oluaurour Iep asse,1p olladsrr alueuodtuoc aluawlern+euopuassa "llap "l "lpu lm t -lr zIW

*t #1='t {^*1

'

:"q rs al"ug auorzern8guor "JIaN

, om , l u. r + oI , , : r J

2 ."1 * ! + 9 r-! - ! : "

u 7't -- ' I zl WT " tW :"rolle eq rs l10o al"^ aq? ,eurrneJ ,(et.de3 a?uaulerurou pair) "JIe olu?utDut?c3l? rp sros eI aredruoa aq)ru"3?aur elrluenb"llaJrp ailap oJorrsl lau rnl "lrf,ora^ -rad 'eururel e11eolladsu slJnu R?Irole^ eq olund Jr eprzrur alu"tsrúlly .y ep d Ip oiESessed 1e aluapuodsrrroc r.e1?ug, e11anb a al"rzrur auorz"n?rs our"rJaprsuoc "l .sJru?f, -ratu et8raua.r a orour rp qlrluenb allap orua.ooTn ass?rll€olladsrr aluauoduroc e1 lap Due^Jasuo?rs surarsrs (asse,11e lap olo.o Il elu"Jnp e1a11ered(osad ezro; eJ a 3Ar113 ezroJ €f,run(r a ossg asse{ile alerrldde alrnr ouos auJalsa rJ"rof,ui^ ruorz?al ar ?qlrod .c eP s d Ip ?J a sulursl e11apouerd lap auorzeloJ Ip a o108ue,1eJaqrl alusrpJoof, arrrof,"zu?lsrp ou?urns 'se Is :R?Jaq11 pa ouerd euralqord un o uou aru?sa ur eualqord 1p tpert enP g "q

1

!ì

'y ur a8un6 opuenb olund PP ?lpop^ el areururrelr,1l .om a1a11o7 -{re ?lrxoIa| eq evturel eI a c e?rlJe| Ieu eunr -eI eile o11adsu owreJ e oyund y aluaw.r.lzlul 'îrr sssertr tp oyund un oy4le ezues a[ol -erro3s. ? CV ayeuo8elp e1 o?unT . gV elerll -JeA olel ons Ie ourol?e alotatl8 p ,7 o7e1e 7ag ?ss?trr rp .e1etpenb euruey eu11 ?T.TT.sg

a (ry :^-wz _19_J l/cT

:"roll€ als^ '"lse.lJap auorzanp3ll"

) = /g-lgg:la "lall.r"d'o11aue.1ap

orlua) Iap ?l,"ole^ 3rI

,ut?lcts t?p D?rutDur1 :yy.dog

OgT

Qap.17:Dinamica'dei sistemi 181

valore che, sostituito nell'equazione Tt - T; : A(J, fornisce u]:

u?:2s,t- (r+ s#)aBP

(1)

Affinché la (1) abbia soluzione i parametri del problema dev 0 sono di equilibrio instabile in virtù di un teorema di Liapounov).

lot'prl

{{L)!toy: V

, - Bruor O: lV {(A;.rtn1

",

+ B,lrap

:(a oper8 rp eerrqaEle)auorzenba.ilap1uotznloseilep alsp ouos {o polzeEnd aT

[o'rr]

!bgrb€

az8

- ttq : tbtb(b)tt"3tr: t

:al"rzualod 1ap {fig} aerrleru €l a €Jr}eurf, ert.raua,gap r areJaprsuof, eur 'lleurrou el"urpJoof, al eJelof,J"f, orJ?ssÍrf,eu {h" } af,rJl"ru "l "ls?q orad e. uou {o Iuolzeslnd a11apolo3l") II Jad .ts ?un ur ?unf,serf, "leurpJoof,

o : ttxln +'tx

le'rrl

rap ruorz"nba'u auror (rlerurou aleurprooe) {c aîeurproo" .rf,ruortrJ"",ro1roa}l::1l":i:: ouossod oloru rp alszztxeaurl el euorzrsodruor luorzenba ?ol3 Itou Ip (ouerssaq,llap eun alrqsls auorzernEguor ouJolurrllau Q lap oîoru p "llep "ulal$s orpnls oll"p apqrrnpop aql alerzualod otursseurun pe aluapuods.uor 1ap {{ó} "rs opqrpnba rp auorz"rn8guoo?un uof, 'Rlraqll rp 1per3 z as "llq-nt. "q "ruelqs II YJUtrgIT IO OOYUD Nn IC QId NOC II^ISJSISIO INOIZYITIDSO grOCCId

ii

'ruorzBlirf,so a11ap ezzardu".l ? eloreld qrd olrrenb alorlErruolu"l a euorz -erurssordde,la a|outrssotddoolour Ip ruorzenbaersruJoJ[s.lr] eqr ousr^Jasso "t

|

llrtl

I

(ob),,n-T'D:opor.radrp e

ls'rtl :auorzeqnd ourolle of,ruourJsoîoru un 1p auogzenba.l? aqt Ip '0ó - à uor auorze:nEguoe "lle

ls'etl

oÒ[(oó),,n-] : b[(ob) t/]-l + p(oo)"

:euorzenba,lp elrod gtr'[Z'ffJ a1 aluasa.rd opueue] e alrq"ls olrqllrnba rp auorz"Jntguot e11auó ep olunsse a.rol"^ p oó uoe opu"clprrJ '?lopu"zzrJeaurl a odrual p olladsrr [t.ft] auogzenba,lopue.uJap o erpnîs eJassa gnd aFqels orrqrpnba rp ruorzern8guo3 rl"1 Ip ElTulsso.rd ur oluaruhoru I

ruotmipcso a1octtd? plflqo$ :fy'dog

OgZ

Cop.1l: Stabilità,e piccole oscillazioní ZgL

ESERCIZI RISOLTI

Es.l4.l In un pìano veúicale un punto mateúale P di massa m è vincolato senza attrito ad una panbola di equazioney : ^r2.osciJlaDetermÍnare iI peúodo delle piccole zioni attorno aIIa posizionedi equilibrio stabile.

Essendo il punto soggetto a vincoli lisci e a forze attive conservative,possiamo indagare la stabilità dell'equilibrio studiandoneil potenziale. poiché: U : -mTU:

-mg\r,2

le posizioni di equilibrio sono individuate dall'equazione: U'(x):-2mg\x:o che ha I'unica soluziones :0. Essendopoi: u"(r):

-2mg\ Smgl\l.

: i

Avendo I'a.stauna distribuzione triangolare di densità, il suo baricentro si trova a 2ll3 d,aB. Detto d l'angolo antiorario dell'asta con I'orizzontale,il potenzialedelle forze agenti sul sistemaè:

u{0): *ot t"inl + mgtsind : uin,e f;{t"inil, Z*orsind |P

}rnot

I

ff la ,;

I*

Le configurazionidi equilibrio sono date dall'equazione:

u' {0) :

,

co,0 - kP sin0 cos0 : 0

I * il

F

che ha le soluzioni:

I

Itt

cos0:O

+

0:7112

e

sind:

Srng 3kl

Derivando ancora il potenzialesi ha:

U"(0): -i*nrsind - tet2 cos20 e risulta:

u " Q r 1 2 ) : - f,*o t+ kP> 0 perciò d : mentre:

r 12 è posizione di equilibrio instabile per il teorema d.i Liapounov,

( t" ( s i n o :ff i1: T +-kP o

-mS*cos0z

,^

:J

T

r

-r) 6 t : 2n

"

th

( 1 2 + r ) ;l: ln :eJassoousllnslJ eqf,

:

s : ea! *

- ,r"tT)"* : (v zr+ g)rap "n679

:[Of'lf] auorzenbe,llap ruorznlos all"p etepouoseuorz?lllrso a1a !p azuanbarg ,n,rut| \ -' ^ '*9 + tîu.t!\"'''"'?";,,:z*î-.,",J)E"'í,8*E_ ) or, * *

( d*î \.i-{

:1pupb,g

"tutft\ ii* $ ):(Q'Q)n: r

:gnrad allqetsog.rqllgnba rp auorzernEguot {!to) : y af,rr}errr "îlnsrr "lleu "T : rzp- zrp : rr, , uor ;,u9 - zzp 2 (tg- zp)por I .T6'V "7*l "r*!

(Í ""o4 rgzgrzo + cerezro + I?tt41 :

: [(,0- zp)soc * Zga*L + 2e"wlll: "?r?"r*

: [(I0- zp)soe +ie * Z? g * Zq:, lU : t "Q, zt fri "r "il*l - hl :?J*aurt erEraua ens

EJo orusrJaprsuof,

"[

"rualsls

lap auolz"llroso rp lporu I al"lnleÀ Jad

(F*1o \ : (o'o)s : s \' o' P"iE-)

:ellnsrJalrq€ls orrqrlnba 1p auorzrsode11au.alerzualod el?r)osse,g aerrleure1 1e 'alrq"lsur ot.rqtllnbarp ouos ruorze.rnEguof, aJll" al aq) ,rounoderT eJluau Ip II "rnrrsse "rualoaî orrqrlnba lp ? 0 - z0 e O: r0 euorzernEguor lalqf,rJrqrp 'a1gqe1s rad "l "ureroat Ir 'orururruun r^r eq (z1tr1)n er{f, ep "rr"JrJ Is Inl ? r ' ' (e O