Meccanica della Frattura 9788893853859

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INGEGNERIA STRUTTURALE A cura di

Alberto CARPINTERI

MECCANICA DELLA

FRATTURA

Collana di INGEGNERIA STRUTTURALE

A cura di

ALBERTO CARPINTERI

MECCANICA DELLA

FRATTURA

I

AUTORI • Prof. Giovanni ALPA Università di Genova Istituto di Scienza delle Costruzioni • Prof. Pietro BOCCA Politecnico di Torino Dipartimento di Ingegneria Strutturale • Prof. Alberto CARPINTERI Politecnico di Torino Dipartimento di Ingegneria Strutturale • Prof. Andrea CARPINTERI Università di Parma Dipartimento di Ingegneria e Architettura • Prof. Silvio VALENTE Politecnico di Torino Dipartimento di Ingegneria Strutturale

ISBN 978-88-9385-385-9 © Copyright 2023 Società Editrice Esculapio s.r.l. Via Terracini, 30 – 40131 Bologna www.editrice-esculapio.com – [email protected] Stampato da: Digital Team - Fano (PU) Printed in Italy Le fotocopie per uso personale (cioè privato e individuale, con esclusione quindi di strumenti di uso collettivo) possono essere effettuate, nei limiti del 15% di ciascun volume, dietro pagamento alla S.I.A.E del compenso previsto dall’art. 68, commi 4 e 5, della legge 22 aprile 1941 n. 633. Tali fotocopie possono essere effettuate negli esercizi commerciali convenzionati S.I.A.E. o con altre modalità indicate da S.I.A.E. Per le riproduzioni ad uso non personale (ad esempio: professionale, economico o commerciale, strumenti di studio collettivi, come dispense e simili) l’editore potrà concedere a pagamento l’autorizzazione a riprodurre un numero di pagine non superiore al 15% delle pagine del volume. CLEARedi - Centro Licenze e Autorizzazioni per le Riproduzioni Editoriali Corso di Porta Romana, n. 108 - 20122 Milano e-mail: [email protected] - sito: http://www.clearedi.org.

Indice

VII

Prefazione

1. INTRODUZIONE di Alberto Carpintcri ............................ .. .... . I. I.

Resistenza, duttilità cd energia di frattura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.

Stato tcnsionalc piano

3

1.3.

Stato deformativo piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4.

Tubo cilindrico di grosso spessore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.5.

Foro circolare in una lastra tesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.6.

Funzioni analitiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.7.

Metodo di Kolosoff- Muskhelishvili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.8.

Foro ellittico in una lastra tesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2. I FONDAMENTI FISICO-MATEMATICI DELLA MECCANICA DELLA

FRATTURA di Alberto Carpinteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2. I .

Premesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.2.

Criterio energetico di Griffith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.3.

Metodo di Westergaard

................................... .........

45

2.4.

Modo II e Modi Misti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

2.5.

Metodo di Williams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

2.6.

Relazione tra energia di frattura ~re e valore critico Krc del fattore di intensificazione degli sforzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

2.7.

Criterio di diramazione della fessura in condizioni di Modo Misto

71

2.8.

Zona plastica all'estremità della fessura

...............................

74

2.9.

Effetti dimensionali e transizione duttile-fragile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

2.10. Modello della fessura coesiva e fenomeno dello snap-back

..........

............. ...

84

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

3. LA DETERMINAZIONE SPERIMENTALE DEI PARAMETRI DI TENACITA'

ALLA FRATTURA di Pietro Bocca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

3.1.

Premesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

3.2.

Determinazione del fattore critico di intensificazione delle tensioni Krc per i material i metallici (Norma ASTM E399) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99 V

3.3.

Prove dinamiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.4.

Prove in campo elasto-plastico

3.5.

Determinazione dell'energia di fr attura della malta e del calcestruzzo (Raccomandazione RILEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

3.6.

Metodo proposto per la determinazione della tenacità alla frattura delle ro.cce

3.7.

Prove non distruttive

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

. 123

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

4. L'APPLICAZIONE DEL METODO DEGLI ELEMENTI F1NITI Al PROBLEMI DI MECCANICA DELLA FRATTURA di Silvio Valente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 4.1.

Problema elasto-statico

4.2.

Formulazione degli elementi finiti in coordinate generalizzate . . . . . . . . . . . . . . 148

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.3.

Formulazione degli elementi finiti isoparametrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

4.4.

Condizioni di convergenza monotona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

4.5.

Problemi di convergenza nella Meccanica della Frattura Elastica Lineare . . . . . 159

4.6.

Utilizzazione diretta della soluzione analitica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

4.7.

Utilizzazione cli una proprietà degli elementi finiti isoparametrici . . . . . . . . . . . 162

4.8.

Meccanica non-lineare della frattura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

5. I FENOMENI DI FATICA E CORROSIONE NELLE STRUTTURE METALLICHE di Andrea Carpinteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 5.1.

Premesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

5.2.

Sollecitazioni cicliche ad ampiezza costante: approccio sperimentale . . . . . . . . 208

5.3.

Sollecitazioni cicliche ad ampiezza variabile: approccio sperimentale . . . . . . . . 212

5.4.

Sollecitazioni cicliche ad ampiezza costante: approccio analitico

5.5.

Applicazioni dell a legge di Paris-Erdogan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

. . . . . . . . . . . 217

5.6.

Sollecitazioni cicliche ad ampiezza variabile: approccio analitico . . . . . . . . . . . 227

5.7.

Influenza delle condizioni ambientali sui fenomeni di fatica

. . . . . . . . . . . . . . . 233

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

6. LA PROPAGAZIONE DINAMICA DELLA FRATTURA NELLE CONDOTTE IN PRESSIONE di Giovanni Alpa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 6.1. 6.2.

Premesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Collocazione del problema nell'ambito delle formulazioni generali della meccanica della frat!ura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

6.3.

Propagazione della frattura nei gasdotti interrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

6.4.

Velocità di propagazione della frattura

6.5.

Interpretazione grafica del fenomeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

6.6.

Condizioni di arresto o di propagazione

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.62

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

VI

Prefazione

Nel presente volume sono raccolte le lezioni tenute nell'ambito del Corso di Approfondimento Su «La Meccanica della Frattura: Fondamenti e Applicazioni Strutturali», organizzato dal COREP (Consorzio per la Ricerca e l'Educazione Permanente) e dal Dipartimento di Ingegneria Strutturale del Politecnico di Torino, e svoltosi presso il Politecnico di Torino, dal 4 al 6 Giugno 1990. Nel Capitolo I si introducono i concetti fondamentali di resistenza specifica, energia di frattura e duttilità, e sì mostra come, mentre i primi due rappresentano proprietà intrinseche del materiale, il terzo costituisca una caratteristica strutturale, legata alle dimensioni dell'elemento. Si richiama inoltre la nozione classica dì «concentrazione degli sforzi», in relazione ai casi di fori, circolari ed ellittici, presenti in lastre sottoposte a trazione. Nel Capitolo 2 si ripropone l'ormai storico criterio energetico di Griffith, dopo di che vengono descritti nei dettagli i due metodi analitici, rispettivamente dovuti a Westergaard (Metodo dei Potenziali Complessi) e a Williams (Metodo degli Sviluppi in Serie), che determinano la potenza della singolarità del campo tensionale nell'intorno dell'estremità di una fessura, o, più in generale, nell'intorno del vertice di un angolo rientrante. Definita quindi la nozione innovatrice di «intensificazione degli sforzi», si pongono in diretta correlazione tale trattazione tensionale con quella energetica, tramite la dimostrazione dovuta ad lrwin. Nella seconda parte del capitolo vengono discussi i tre modi elementari di sollecitazione della fessura (apertura, taglio, strappo), i fenomeni non lineari, di plasticizzazione e danneggiamento, che sempre si riscontrano all'estremità delle fessure reali, nonché gli effetti dimensionali, e la connessa transizione duttile-fragile, che si verificano a causa di tali fenomeni. Nel Capitolo 3 sono descritte tuue le più importanti metodologie di prova tuttora utilizzate per la determinazione sperimentale dei parametri di tenacità alla frattura. Sono riportati gli aspetti salienti relativi alla Norma ASTM E399, per la determinazione del fattore critico di intensificazione degli sforzi Kw per i materiali metallici, alla Raccomandazione RILEM, per la determinazione dell'energia di frattura :FF di malte e calcestruzzi, e, infine, al Metodo ISRM, per la determinazione della tenacità alla frattura delle rocce. Si fa cenno, inoltre, alle prove dinamiche, alle prove in regime elastoplastico e alle più note tecniche di indagine non-distruttiva per il rilevamento dei difetti. Nel Capitolo 4 sono trattate le principali tecniche numeriche, basate sul Metodo degli Elementi Finiti, capaci di simulare i processi di formazione, di avanzamento stabile, di propagazione instabile o di arresto, delle fessure. Dopo avere richiamato la forVII

mulazione generale del metodo, si sviluppano in dettaglio le formulazioni specifiche che riproducono la singolarità tensionale all'estremità della fessura, una volta considerato il solido linearmente elastico. Tra queste risultano particolarmente interessanti sia l'utilizzazione diretta, tra le funzioni di forma, della soluzione analitica, sia il posizionamento dei nodi in particolari punti dell'elemento finito («quarter point element technique»). Per quanto riguarda i modelli non-lineari, viene trattato in 111odo specifico quello della fessura coesiva, sia per i problemi di propagazione collineare (Modo I), che per i problemi di propagazione con traiettoria curvilinea (Mode Misto). Tale modello rappresenta una generalizzazione di quelli proposti da Barenblatt e Dugdale. Nel Capitolo 5 sono descritti i fenomeni di fatica e corrosione che avvengono nelle strutture metalliche. Vengono richiamati gli approcci sperimentali di Wohler, per sollecitazioni cicliche ad ampiezza costante, e di Miner, per sollecitazioni cicliche ad ampiezza variabile. Viene quindi descritta la legge di Paris-Erdogan, che rappresenta un approccio analitico al problema della propagazione lenta di un difetto o di una cricca. Sono mostrati esempi relativi a difetti superficiali che evolvono sino a diventare passanti. Nel caso di sollecitazioni ad ampiezza variabile, si considerano i relativi spettri di carico, caratteristici ad esempio per le navi, gli aerei, i ponti o gli apparecchi di sollevamento. Il capitolo si chiude con alcune considerazioni sugli effetti che hanno, sulla velocità di propagazione dei difetti, la temperatura e le sostanze chimicamente aggressive. Nel Capitolo 6 è riportata un'analisi, razionale e approfondita, della propagazione dinamica della frattura nelle condotte in pressione per il trasporto di gas. Tenendo conto, nel bilancio energetico, anche dell'energia cinetica, nonché dell'energia dissipata per la plasticizzazione delle pareti del tubo, è possibile generalizzare la trattazione di Griffith e pervenire a condizioni di arresto o di propagazione della frattura, che sono state confermate anche a livello sperimentale. La Meccanica della Frattura è una disciplina ancora giovane, che si sta comunque affermando in tutti i settori più avanzati dell'ingegneria, come metodologia di progetto e di verifica strutturale. Essa introduce il concetto nuovo di tenacità del materiale, parametro che, insieme alla scala dimensionale dell'elemento strutturale, determina il livello di duttilità, o di fragilità, del comportamento a rottura. Le implicazioni su di un fattore di rilevanza economica e sociale quale è oggigiorno la «sicurezza», sono evidenti. La tenacità è diventata pertanto l'altra proprietà, oltre alla resistenza, su cui si deve puntare nell'ideazione e nella realizzazione dei nuovi materiali, siano essi a matrice metallica, polimerica, ceramica o cementizia. Un mio sincero ringraziamento va ai Colleghi ed Amici Giovanni Alpa, Pietro Bocca e Silvio Valente, nonché a mio fratello Andrea Carpinteri, per la competenza e la chiarezza con cui hanno trattato argomenti cosl complessi. Alberto CARPINTERI Politecnico di Torino Gennaio I 992

vm

1

Introduzione

Alberto Carpinteri

1.1. Resistenza, duttilità ed energia di frattura

.........................................

3

1.2. Stato tcnsionalc piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IO

1.3. Stato deformativo piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4. Tubo cilindrico di grosso spessore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.5. Foro circolare in una lastra tesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.6. Funzioni analitiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.7. Metodo di Kolosoff-Muskhelishvili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.8. Foro ellittico in una lastra tesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

1

I Introduzione

1.1. RESISTENZA, DUTTILITA' ED ENERGIA DI FRATTURA

I materiali strutturali vengono tradizionalmente catalogati, in base alle caratteristiche della curva tensione-deformazione a( e) , in due distinte categorie: materiali duttili e materiali fragili. Mentre i primi mostrano ampi tratti non lineari nel diagramma a( e) , prima di pervenire alla rottyra, i secondi si rompono in modo improvviso, quando la risposta è ancora sostanzialmente elastica e lineare. Una seconda caratteristica che li distingue nettamente è il rapporto tra resistenza a trazione e resistenza a compressione. Mentre per i materiali duttili tale rapporto è vicino all'unità, per i materiali fragili esso si presenta di molto inferiore (in alcuni casi, 10 - 1 + 10- 2 ). Le differenze di comportamento dipendono in gran parte dai meccanismi microscopici di danneggiamento · e di frattura, che, nei vari materiali di impiego strutturale, si presentano notevolmente diversi. Nelle leghe metalliche, ad esempio, si verificano degli scorrimenti tra i piani atomici e cristallini, che danno luogo ad un comportamento di tipo plastico o duttile, con notevoli deformazioni permanenti. Nei calcestruzzi e nelle rocce, d'altra parte, le microfessure e gli scollamenti tra i componenti granulari e la matrice, possono estendersi e concorrere a formare una fessura macroscopica che separa improvvisamente in due parti l'elemento strutturale. Questo processo di fessurazione instabile produce un comportamento di tipo fragile [l]. Peraltro, non è sempre evidente quale sia l'ambito microscopico in cui avvengono i meccanismi di danneggiamento. Tale ambito può presentare dimensioni assai diverse, in funzione della natura dei meccanismi e della eterogeneità del materiale. Nei cristalli il danneggiamento avviene a livello atomico, con le vacanze e le dislocazioni; nelle leghe metalliche le cricche si propagano a livello intergranulare o transgranulare; nei calcestruzzi, infine, le fessure si enucleano all'interfaccia tra gli inerti granulari e la matrice cementizia. Si comprende quindi come la scala del danneggiamento venga a dipendere dalla regolarità del solido e quindi dalla dimensione delle eterogeneità in esso presenti [2] . Accanto ai materiali da costruzione tradizionali, si sono aggiunti oggi nuovi mate3

Alberto Carplntcrl

riali, altamente eterogenei cd anisotropi, poiché rinforzati da fibre e composti da più lamine. Tali materiali, detti compositi, possono essere a matrice polimerica, metallica, ceramica o cementizia. In essi i meccanismi di danneggiamento sono essenzialmente due: lo sfilamento delle fibre e la dclaminazionc (cioè lo scollamento degli strati). La distinzione tra materiali duttili e materiali fragili non è sempre cosl netta nella pratica, anche perché la duttilità del materiale dipende dalla temperatura ambientale e, come si dimostrerà nel seguito, anche dalla dimensione dell'elemento strutturale. Quest'ultima è la dipendenza concettualmente più ardua da intendere, poiché in questo modo la duttilità cessa di essere una proprietà del materiale per diventare una proprietà dcli' intera struttura. Si consideri una prova di trazione uniassi,1/e eseguita su di un provino o campione di materiale duttile, ad esempio un acciaio (fig. 1.1). Il provino abbia l'usuale forma a clessidra, per evitare che la rottura avvenga nelle zone terminali di ammorsamcnto alla macchina di prova. Sia A 0 l'arca della sezione trasversale iniziale del provino nella zona mediana ed R,0 la distanza iniziale tra due sensori incollati in due punti distinti della zona mediana. Tale distanza venga misurata da un dispositivo elettrico che collega i due punti. Si definisca la tensione nominale a , come il rapporto tra la forza F trasmessa dalla macchina di prova e l'area iniziale A 0 :

a=F/A 0 .

(I.I)

Si trascurano così le contrazioni laterali clastiche cd, evcntualmcntè, plastiche. Si definisca poi la dihlt,v,ione convcnzion.1/c E, come il rapporto tra la variazione di distanza tra i due sensori, 6 e, e la distanza iniziale R. 0 : ( 1 .2)

=6

é

F

e; fo .

o

U

I Materiale duttile I s

F

a= Ao

:' ' ''A' :' B

62 E=-

E

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I• F

Fig. 1.1. Prova di trazione unia.~siale.

4

€ pi.

I•

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el. •

I

E

Fig. 1.2. Tensione nominale in funzione della dilatazione convenzionale (materiale duttile).

I Introduzione

F

a

L Strizion e

F

a~-~--- - -----------Ep

Flg. 1.3. Fenomeno della strizione.

Flg. 1.4. Diagramma a -

E

E:

con snervamento.

Tale dilatazione è quella media, relativamente al tratto sotto controllo. È molto probabile che, durante la prova, e specialmente in regime non lineare, la dilatazione non sia uniforme e quindi non sia puntualmente coincidente con quella media. Si riportino ora sul piano a - e tutte le coppie di punti registrati durante il processo di caricamento (fig. 1.2). Tra i punti O cd L il diagramma è lineare cd clastico. Da I,, in POi la risposta non è più. lineare cd il materiale comincia a snervarsi. Scaricando il provino, si evidenziano delle deformazioni permanenti epl. • In questo modo parte dell'energia di deformazione è restituita (triangolo ABA' ), cioè quella relativa alla deformazione ee1. , mentre la restante è dissipata plasticamente (area OLAA' ). Caricando nuovamente il provino, si ripercorre elasticamente il tratto A' A , parallelo al tratto OL. Giunti in A, il provino si snerva di nuovo ad una tensione a > a,. .- Il materiale vergine, quindi, si snerva a livelli di tensione più bassi di quanto non faccia il materiale già precedentemente snervato. Tale fenomeno è detto incrudimento del materiale (in inglese: «hardening» ). Continuando ad aumentare la forza applicata F , si riprende a percorrere il tratto non-lineare AU. In questa fase l'incremento di tensione per incremento unitario di dilatazione (ciò che si chiama solitamente rigidezza tangenziale) continua a diminuire, sinché non si annulla nel punto U. Giunti nel punto U , se il processo di caricamento è pilotato dalla forza esterna F , il provino si rompe, poiché F non può ulteriormente aumentare. D'altra parte, se il processo di caricamento è pilotato dalla variazione di distanza l:!..R. (cioè, elettronicamente si impone a tale grandezza una rampa nel tempo), è possibile indagare sul comportamento del materiale al di là del punto di resistenza ultima U . Oltre il punto U , infatti, la rigidezza tangenziale diventa negativa e, ad incrementi

s

All>crto Carpintcri

positivi di spostamento òl!., corrispondono incrementi negativi della form F. Ciò è dovuto al fenomeno della contni:àone lmsversale plastica o ::;ll izione (fig. 1.3), per cui l'arca A della sezione effettiva diventa notevolmente minore di A 0 , in una banda localizzata compresa tra i due sensori. Infine, raggiunto un punto S terminale, il provino cede di schianto, sebbene il processo di caricamento sia a deformazione controllata. Nel caso di alcune leghe metalliche, come gli acciai a basso tenore di carbonio, al limite di proporzionalità L segue uno snervamento improvviso, così che la dilatazione aumenta di una quantità finita sollo carico costante (fig. 1.4 ). In questi casi è quindi facile individuare il valore della tensione di snervamento uniassiale a P , essendo questa coincidente con il limite di proporzionalità al . Quando invece al limite di proporzionalità segue il tratto incrudente, è più difficile definire a P • Si usa allora, per convenzione, quel valore della tensione la cui dilatazione permanente spi. allo scarico è pari al 2 %0 • Mentre i materiali duttili presentano comportamenti simili a trazione e compressione, i materiali fragili mostrano comportamenti considerevolmente diversi. I calcestruzzi, ad esempio, sono duttili in compressione e frngili in trnzionc, e presentano una resistenza ultima a compressione che è circa di un ordine di grandezza maggiore di quella a trazione. Una prova di trazione su di un campione di calcestruzzo, se condotta pilotando il carico (come si suole dire, a carico controllato), mostra una risposta approssimativamente clastica e lineare e poi , all'improvviso, una brusca caduta del carico stesso, che corrisponde alla repentina formazione di una fessura. Tuttavia, le moderne tecniche elettroniche pcnncttono oggi di pilotare la deformazione (input = deformazione s, output= tensione a) . Così facendo, si evidenzia la curva di risposta post-rottura del materiale cementizio (fìg. 1.5). Solo recentemente ci si è resi conto dcli 'esistenza di un esteso ramo di incrudimento negutivo (in inglese: «softening») e della possibilità di dissipare, da parte del materiale, una notevole quantità di energia per unità di volume. Tale energia è rappresentata dall'arca sottesa dalla curva a( s) .

a

u

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I

Ram o ch e d ip end e '--- - d alla lungh ez za Q0 (€ no n uniforme)

Fig. 1.5. Diagramma cr 6

é

con incrudimento negativo (in inglese: «soflcning»).

1 Introduzione

a au E/ ddcr

W max

cioè, quando la lunghezza del provino, o meglio la distanza i 0 tra i punti di cui si stima lo spostamento relativo, è superiore al rapporto tra modulo elastico e massimo modulo tangente della legge coesiva. Ciò è dovuto al fatto che, durante la fase di incrudimento negativo, la tensione a diminuisce e, mentre il punto rappresentativo della zona fessurata scende lungo la curva a( w) (fig. 1.6), il punto rappresentativo della zona integra scende lungo la retta a( t:) (fig. 1.5) e descrive uno scaricamento elastico. Se la lunghezza i 0 è sufficientemente grande, la contrazione elastica prevale sulla dilatazione della zona fessurata, dando luogo al fenomeno precedentemente descritto. Il «softening» a pendenza positiva rappresenta un fenomeno inquadrabile nell'ambito della Tooria delle Catastrofi [4] . Se infatti il processo di carico è pilotato dalla dilatazione convenzionale E:, o dall'allungamento Ili, una volta raggiunto il punto U (fig. 1.7 .a), si ha una caduta verticale del carico, sino ad incontrare il tratto «sof·tening» inferiore che è a pendenza negativa. Il tratto UQT viene così ignorato e diventa virtuale. Per rilevare sperimentalmente questo tratto, è necessario pilotare il processo di carico mediante l'apertura w della fessura, cosa che oggi la tecnica elettronica consente. L'instabilità sopra descritta, con termine anglosassone, è detta «snapback>>. Tutti i materiali relativamente fragili (come il calcestruzzo, la ghisa, il vetro, il plexiglass, ... ), che possiedono un basso valore della energia di frattura ~IC , con le normali lunghezze l 0 dalla base di misura presentano una brusca caduta del carico quando il comportamento globale del campione è ancora elastico lineare. Concludendo queste premesse, è opportuno osservare come resistenza ed energia di frattura siano proprietà intrinseche del materiale, mentre la duttilità dipenda da un fattore strutturale come la lunghezza del campione. Nel Capitolo 2 questo argomento verrà ripreso, e lì si vedrà come tra i fattori che influenzano la duttilità, o la fragilità strutturale, rientri appunto la scala dimensionale dell'elemento strutturale.

1.2. STATO TENSIONALE PIANO

Lo stato tensionale piano [5] tendenzialmente si verifica in lastre sottili, caricate da forze contenute nel proprio piano medio (fig. 1.9). Le incognite dei problemi tensionali piani sono originariamente cinque: le tre componenti di tensione a:,;, a 11 , r:,; 11 , e le due componenti di spostamento u, v. Le equazioni risolventi sono alù-ettante e sono costituite dalle due equazioni indefinite di equilibrio: (1.10.a) (1.10.b)

aa:,;

ar:,;11

8r:,;

"

Q

-

Òa

11 11 --+-+.97'=0 OX a'J Il

e dalle tre equazioni costitutive elastiche: 10

,rz, _

òx + òy + 7

1

1 Introduzione

Stato tensionale piano (cr,

= O)

cr,

z Flg. 1.9. Lastra sottile caricata da forze contenute nel proprio plano medio.

(1.11.a)

g"':::;

I E(cr"'-vcr11),

(1.11.b)

g11:::;

I E(cr11-vcr,),

(1.11.c)

"f:.11:::;

2( I+ v) E r:i:11·

L'equazione di compatibilità:

2 2 8 2é"' 8 é _ 8 7"' - - + -211- - - -11 8y2 8x 8x8y'

( I . I 2)

in base alle relazioni (1.1 I), è esprimibile in tennini tensionali: ( 1.13)

~

~

~r

8y2 (cr:,; - vcrll) + 8x2 (cri/ - vcr:,;):::; 2( I+ 1,1) 8xà; .

Derivando d'altronde le equazioni indefinite di equilibrio (I. I O), ordinatamente rispetto a x e y , e sommando le equazioni risultanti, si ottiene: ( 1.14)

8 2cr:,;

2 8 crIl

8~

2 8 TZJI - - 8x8y .

851'.; _

-----------8x2 8y 2 8x 811

?--

Se si moltiplicano entrambi i membri della (1.14) per ( I + v) , si ottiene lo stesso secondo membro della (l.I3). Per la proprietà transitiva:

82 82 8y2 (cr:,: - vcrll) + 8x2 (cri/ - vcr:,;):::; ( 1.15)

-

- -( l + 1,1)

[ 82 cr"' 82 crIl 8!fT"' 851'.;] 8x 2 + 8y 2 + 8x + 8y .

11

,\lberto Carpinteri

Raccogliendo i tennini, si ottiene infine: ( 1.16) Se le forze di volume sono nulle, dalle (1.10) e (1 .16) si ottiene il seguente sistema di tre equazioni differenziali nelle tre funzioni incognite a,,, a v, r,,v : (1.17 .a) (1.17 .b) (l.17.c)

aa,,

ax

+

ar,,v a;o,

ar,,v aav --+-=O

ax

ay

2

v' (a,,+av)=0 .

Le caratteristiche elastiche E, 11, del materiale non appaiono nelle equazioni risolventi (1.17). Si deduce quindi che il campo tensionale piano non dipende in alcun modo dal materiale, ma solo dalle condizioni al contorno. La stessa cosa naturalmente non si può dire del campo defonnativo (1.11), e quindi degli spostamenti elastici da esso indotti . Si assuma che le componenti del campo tensionale siano ottenibili per derivazione di una funzione incognita et> , detta funzione delle tensioni o funzione di Airy: a2

(l.18.a)

a,,= ayi '

(l.18.b)

(]V= ax2 ' ai r,,v = - axay .

(1.18.c)

a2

In tal caso le equazioni indefinite di equilibrio (1.17 .a, b) risultano essere identicamente soddisfatte, mentre l'equazione di compatibilità ( 1.17 .c) è soddisfatta se e solo se: (1.19)

ovvero: (1.20) Una funzione et> che soddisfi l'equazione (1.20) è detta biarmonica.

. 1.3. STATO DEFORMATIVO PIANO

Lo stato defonnativo piano [5] tendenzialmente si verifica in solidi cilindrici o prismatici di grosso spessore, caricati da forze ortogonali alle generatrici e a distribuzione costante lungo le stesse generatrici (fig. 1.10). Se le basi sono considerate vincolate 12

I Introduzione

Stato deformativo piano (E, = O)

z Fig. 1.10. Solido cilindrico caricato da forze ortogonali alle generatrici.

assialmente, è lecito a~sumcrc una dilatazione nulla in senso assiale, stato deformativo che si ripeta sezione per sezione. La condizione cli annullamento della dilatazione assiale:

gz

= O , e uno

(1.21) fornisce la tensione assiale in funzione delle altre due tensioni normali: ( 1.22) Inserendo la (1.22) nelle equazioni costitutive elastiche, si ricava: (1.23.a)

gx =

~

[(l - v

(1.23.b)

év=

~

[ oo, il campo tensionale (1.57) riproduca le condizioni all'infinito (1.47), mentre sul bordo del foro, T = R, si abbia: ( 158)

a,, = a( 1 - 2 cos 219) ,

con a, = T,,, = O . La tensione circonfcrenziale è massima per 19 = 1r/2 e 19 = f1r, e cioè alle estremità del diametro ortogonale alla direzione di trazione (fig. 1.12):

a,,

( I .59)

20

a,,(max) = 3a.

I Introduzione

Il cosiddetto fallorc di concentrazione delle tensioni, nel caso di foro circolare, è pertanto uguale a 3, e risulta indipendente dal raggio del foro. D'altra parte, la tensione circonferenzialc è minima per ,9 = O e ,9 = ?T, e cioè alle estremità del diametro collineare alla direzione di trazione (fìg. 1.12):

a.,

a.,(min) = -a.

( 1.60)

In tali punti è quindi prevista una compressione, così come in tutti gli altri punti per cui ,r

.a

"

5

.a

7

-6 À•-3(Àn-l)(Àn-2)[/~+(Àn+I) 2fn]. n

Raccogliendo i fattori comuni, in definitiva si ottiene: v'2(a, +a,,)= (2 .66)

L

r˥-3 {

(Àn - 1)2 [/~ + (Àn + 1)2 fn]+

n

59

Alberto Carpinteri

L'equazione (2.66) è identicamente soddisfatta dall'annullamento dell'espressione entro parentesi graffa, la quale contiene soltanto funzioni angolari: (2 .67) L'equazione differenziale del quarto ordine (2.67), e quindi la congruenza, sono soddisfatte identicamente dalla seguente fonna trigonometrica: (2 .68)

f 11 (,'J) = A 11 cos(>. 11 + 1),'J+ B 11 cos(>. 11 -1),'J+

+ C11 sin(>. 11 + 1),'J+ D 11 sin(>. 11 -1),'J.

Mentre i primi due addendi della (2.68) rappresentano la soluzione simmetrica {Modo I), i rimanenti due addendi rappresentano la soluzione antisimmetrica (Modo II). Le condizioni al contorno sui bordi del settore elastico esprimono l'annullamento delle tensioni circonferenziale (e quindi nonnale al bordo) e tangenziale: (2.69.a)

cr6 {±o:) = O,

(2.69.b)

rr,,(±o:) =O ,

per qualsiasi raggio r > O . Dalle (2.64.b, c) si ottiene: (2.70.a)

fn(±o:) = O,

(2.70.b)

f~(±o:) = O.

Utilizzando la soluzione (2.68), le (2.70) si esplicitano come segue: (2.71.a)

(2.71.b)

A 11 cos(>. 11 + l)o:+ B 11 cos(>. 11 ±D11 sin(>. 11

-

l)o:±C11 sin(>. 11 + l)o:±

-

l)o:= O,

± A 11 (>. 11 + 1) sin(>. 11 + l)o: ± B 11 (>. 11

-

1) sin(>.n - l)o:+

+ 0 11 (>. 11 + 1) cos(>. 11 + l)o: + Dn(>. 11

-

1) cos(>. 11

l)o: =O .

-

Le due precedenti equazioni possono venire separate, in modo tale da ottenere due sistemi di equazioni algebriche lineari ed omogenee, nelle incognite rispettivamente A 11 ,B11 e C11 ,D11 : (2.72.a)

A 11 cos(>. 11 + l)o:+ B 11 cos(>. 11

(2.72.b)

A 11 (>. 11 + 1) sin(>. 11 + l)o: + B 11 (>. 11

· (2.72.c) (2.72.d)

0 11 sin(>. 11 + l)o: + D 11 sin(>. 11

-

-

l)o: = O, 1) sin(>. 11

-

l)o: = O,

-

l)o: =O,

0 11 (>. 11 + 1) cos(>. 11 + l)o: + D 11 (>. 11

-

1) cos(>. 11

-

l)o: =O.

Le prime due equazioni sono relative ai problemi simmetrici (Modo I), mentre le rimanenti due sono relative ai problemi antisimmetrici (Modo II). Per ottenere soluzioni 60

2 I fondamenti fisico-matematici della meccanica della frattura

diverse dalla ovvia, devono annullarsi i determinanti dei coefficienti dei due sistemi. Le incognite An e Bn saranno perciò definite a meno di un fattore, qualora si verifichi:

(2.73.a)

(Àn - 1) sin(),n - l)a cos(Àn + l)a- (Àn + 1) cos(Àn - l)a sin(Àn + l)a:::: O,

cosl come le incognite Cn e Dn saranno definite a meno di un fattore, nel caso in cui:

(2.73.b)

(Àn + 1) sin(Àn - l)a COS(Àn + l)a- (Àn - 1) cos(Àn - l)a sin(Àn + l)a:::: O.

Si noti come, nel caso di A 1 e B 1 , il sopraddetto fattore di proporzionalità coincida con il fattore di intensificazione delle tensioni K 1 , così come, nel caso di C 1 e D 1 , esso coincida con il fattore K II . Dalla (2.73.a) e tenendo conto delle ben note relazioni trigonometriche: (2.74.a)

sin x cos 11 - cos x sin 11 === sin ( x - 11) ,

(2.74.b)

sin x cos 11 + cos x sin y === sin( x + 11),

si ricava la condizione: (2.75.a)

-À,.sin2a=== sin2>.na.

Analogamente, dalla (2.73.b) si ha: (2.75.b)

+ Àn sin 2 a === sin 2 Àn a .

Le (2.75) sono le equazioni agli autovalori relative al problema del settore elastico, da cui sono ricavabili gli esponenti ( >-n + 1) dello sviluppo in serie (2.63). Più precisamente, dalla (2.75.a) si ottengono gli autovalori del problema simmetrico, mentre dalla (2.75 .b) si ottengono gli autovalori del problema antisimmetrico. I termini degli sviluppi in serie (2.64) risultano finiti o infinitesimi per r - O+ ,. qualora l'autovalore corrispondente soddisfi la disequazione: (2 .76)

Peraltro, l'energia di deformazione contenuta in un intorno infinitesimo di raggio R dell'apice del settore, è infinita se: (2 .77)

Si ha infatti:

(2 .78)

61

Alberto Carpinteri

e l'integrale risulta divergente per (2.Àn - 1) ~ -1. Pertanto, per l'analisi della singolarità dominante del campo tensionale al vertice del settore, sono di interesse solo gli autovalori compresi nell'intervallo: (2 .79)

Le equazioni agli autovalori (2.75) possono essere riscritte nella forma che segue: ( 2 .80)

sin2.À,.a 2'An(l'

sin2a

= =F-2-· Q

con O ~ 2 a ~ 2 1r • Dal punto di vista grafico, le equazioni (2.80) possono essere risolte piuttosto agilmente, intersecando la funzione oscillante y = sin 2 .>.a/2 .Àa con le rette orizzontali y = =f sin 2 a/2 a. Si possono cosl distinguere quattro casi principali (fig. 2.16). (1) O ~ 2 a ~ 1r (angolo convesso o cuneo). Il primo autovalore del problema simmetrico >- 1 non esiste oppure è >- 1 ~ 1 . Il primo autovalore del problema anti simmetrico è >-u = 1 . Non vi è quindi alcuna singolarità tensionale nel caso in cui il settore elastico sia convesso. (2) 1r < 2 a ~ 1.431r (angolo concavo ottuso). Il primo autovalore del problema simmetrico è >- 1 < 1 , mentre si ha ancora >- II = l . Vi è quindi soltanto una singolarità tcnsionale simmetrica. (3) 1.431r < 2 a < 21r (angolo concavo acuto). I primi autovalori, sia del problema simmetrico che di quello antisimmetrico, sono entrambi minori di uno: >- 1 < l, >- II < 1 . Si hanno quindi entrambe le singolarità tcnsionali, simmetrica ed antisimmetrica, seppure quella simmetrica risulti di ordine superiore. (4) 2 a = 21r (angolo concavo nullo o fessura). In questo caso si ha: >- 1 = >- II = Solo nel caso di angolo concavo nullo (oltre a quello di angolo piallo), il primo autovalore è seguito da una infinità numerabile di altri autovalori:

½.

2Jl

Fig. 2.16. Risoluzione grafica dell'equazione agli autovalori. 62

2Àa

2 I fondamenti fisico-matematici della meccanica della frattura

(1 - À,)

0 .5

"'o

a,

0 .4

e

>-o~,-IH,I

-

"'

~

!:!

0 .3

ai

u

"'eN QJ

o

Q.

0 .2 .

0 .1

}'

O.O

o

.n: 4

.n: 2

2.n:

.n:

4

Flg. 2.17. Potenza della singolarità tenslonale (simmetrica) In funzione dell'angolo di apertura dell'intaglio.

(2 .81) o, equivalentemente: (2 .82)

>. = n n

2'

n = numero naturale .

La potenza della singolarità tensionale simmetrica è rappresentata in fig. 2.17, in fun zione dell'angolo 1 d'apertura dell ' intaglio. Per 1 = O, l'intaglio a V diventa una fessura, e si ritrova infatti la classica singolarità r- 112 • All'aumentare di 1 si ha una transizione, che, sino a 1 '.::::'. f , è molto lenta, ma che poi, tra f e 7T , subisce una forte accelerazione. Ovviamente, quando 1 = 1r , l'intaglio scompare così come svanisce la singolarità del campo tensionale. Quando invece l'angolo rientrante è retto, 1 = f , si ha la potenza ( 1 - >. 1 ) '.::::'. O.45 .

2.6. RELAZIONE TRA ENERGIA DI FRATTURA :§'1c E VALORE CRITICO K 1c DEL FATTORE DI INTENSIFICAZIONE DEGLI SFORZI Il criterio di Griffith , trattato al Paragrafo 2.2, rappresenta il primo criterio energetico di meccanica della frattura. Negli anni che seguirono, tra il 1920 e il 1950, gli sforzi dei Ricercatori furono tutti tesi, come si è visto nei precedenti paragrafi , alla definizione del campo tensionale singolare nell'intorno dell'estremità della fessura. Fu soltanto nel 1957 che Irwin [ 10) pose in diretta correlazione le due diverse trattazioni: quella energetica, di Griffith, e quella tensionale, di Muskhelishvili, Westergaard e Williams. Per quanto riguarda un criterio energetico più generale di quello di Griffith, che faceva riferimento ad una particolare geometria (lastra infinita con fessura rettilinea, 63

Alberto Carpinleri

_L

i'@

fd& =

= 2a.

2(a + da)

1---1

1---i ~

t

~

-r

(a)

tIF

(bl

F

F

= costante

a+ da) I

E]

I I

o,._____........, _ I ________ d,5 (C)

Flg. 2.18. Processo di carico a forza Imposta.

sottoposta a stato tensionale unifonne all'infinito) e ad un processo di carico a deformazione controllata, si vedrà come il concetto di energia potenziale totale consenta di definire un criterio indipendente dal controllo effettuato sul processo di carico. Si consideri un J?focesso di carico a forza imposta su una lastra con fessura iniziale di lunghezza 2 a (fig. 2.18.a). Per un certo valore critico della forza F si assuma che la fessura si estenda della lunghezza 2 da (fig. 2.18.b), così da produrre un incremento di cedevolezza dC e quindi uno spostamento incrementale di ciascuna estremità della lastra pari a (fig. 2.18.c):

(2 .83)

do= FdC.

La variazione dell'energia potenziale totale dovuta alla propagazione infinitesima della fessura è: (2 .84)

64

dW = dL- 2Fdé,

2 I fondamenti fisico-matematici della meccanica della frattura

=

= 2(a

2a

+ da)

1---1

I--!

~~

~

!F

%

+F+dF (b)

(a)

F

,,

lì = costante

--

dF

-

/1I / F = K6

I I

I I I I QL------'--~-----6 (C)

Flg. 2.19. Processo di carico a spostamento imposto.

ove con dL sì è indicata la variazione dell'energia elastica dì deformazione e il secondo addendo rappresenta la variazione dell'energia potenziale dei carichi estemì. Per il Teorema dì Clapeyron e valutando graficamente l'area ombrata del triangolo dì fig. 2.18.c, sì ha: (2.85) e quindi, applicando la (2.83): (2 .86)

dL

= F 2 dC.

In conclusione sì ottiene pertanto una diminuzione dell'energia potenziale totale: ( 2 .87)

dW

= -F2 dC. 65

Alberto Carpinlcri

Si consideri ora un processo di carico a spostamento imposto sulla lastra già prcccdcnlcmcnlc considerala (fig. 2.19 .a). Per un ccrlo valore crilico dello sposlamcnlo 8 si assuma che la fessura si cslcnda della lunghezza 2 do (fig. 2.19.b ), cosl da produrre un dccrcmcnlo di rigidezza dK e quindi un dccrcmcnlo della forza cslcma pari a (fig. 2.19.c): (2.88)

dF=lidK .

La variazione dcli' energia polcnzialc Lolalc, dovula alla propagazione infinilcsima della fessura, in qucslo secondo caso risulta pari alla variazione dell ' energia claslica di deformazione, poicM i carichi cslcmi per ipolesi non compiono lavoro incrementale:

dW = dl,.

( 2 .89)

Per il Teorema di Clapcyron e valulando graficamenle l'arca ombrala del triangolo di fig . 2.19.c, si ha:

( 2 90)

=2

dW

(

½8 dF) ,

e quindi, applicando la (2.88): (2.91)

dW=f}dK.

Poiché la rigidezza è l'inverso della cedevolezza, si ha : (2 .92)

dK = d

1 (_!_) = - e c

2

dC.

Inserendo la (2 .92) nella (2.91) , si ouienc: (2 .93)

82 dW= -c2 - dC I

e infine, poiché 8/C = F, si ouiene nuovamenlc l' espressione (2.87). Il calcolo differenziale mostra in sostanza come la differenza tra le aree dei due triangoli ombrali delle figure 2.18.c e 2.19.c, cosliluisca un infinitesimo di ordine superiore rispello alle aree dei triangoli stessi. Si è pertanto dimostrato come l'energia potenziale ~otale diminuisca sempre della stessa quantità F 2 dC , in seguito ad una estensione infinitesima della fessura, indipendentemente dal controllo effettuato sul processo di carico. Per il Principio di Conservazione dell'Energia deve valere il seguente bilancio tra la variazione dell'energia pott:nziale totale e l'energia di frauura:

(2 .94) 66

2 I fondamenti fisico-matematici della meccanica della frattura

ove , = ':Y',c/2 è l'energia superficiale specifica, l'energia necessaria, cioè, a rompere i legami chimici e atomici che connettono due superfici unitarie e contigue della materia. La (2.94) rappresenta la formulazione più generale del criterio di Griffith (2.3). Considerando anche propagazioni virtuali, e non solo reali, della fessura, si definisce il concello di for7,a generaliu,al1J di pmpagaxione della fessura ,'y'1 (in inglese: «strain energy release rate»):

(2 .95) ove dA rappresenta la superficie incrementale di frauura. Il parametro ~, si definisce quindi come l'energia potenziale totale rilasciata per incremento unitario dell'arca di frattura: (2.96) e risulta ~ssere una quantità positiva, rappresentando dW in ogni caso un decremento. La propagazione fragile della fessura avviene realmente allorché :Y'1 uguagli il suo valore critico: (2.97.a) Poiché il campo tensionale nelle vicinanze dell'estremità della fessura è univocamente definito dal fauore K 1 , è lecito peraltro a~sumere che la propagazione instabile della fessura avvenga allorché esso raggiunga il suo valore critico: (2.97.b) È evidente quindi come i due criteri di frattura, quello energetico (2.97 .a) e quello tensionale (2.97.b), abbiano un'origine del tutto diversa. I due valori critici, :Y'JC della variazione di energia potenziale totale (energia di frattura), e K ,e del fallore di intensificazione degli sforzi, non sono tuttavia indipendenti ma sono legati da una relazione fondamentale, che verrà qui di seguito ricavata. Un primo semplice modo di ottenere la relazione che lega ':Y',c e K,c, è quello di considerare il caso della lastra fessurata infinita, caricata all'infinito da uno stato tensionale uniforme. Secondo Griffith la condizione di instabilità è fornita dalla (2.6), mentre secondo Irwin e tenendo conto della (2.39), essa è:

(2 .98)

Poiché le condizioni (2.6) e (2.98) riguardano lo stesso problema fisico e presentano entrambe la semilunghezza a della fessura elevata all'esponente -1 /2 , è immediato ottenere: (2 .99)

67

Alberto Carplnterl

Si può così constatare come K 10 e ~JC siano in relazione tramite il modulo elastico E del materiale. Si è dimostrato infatti nel Capitolo 1 come i campi tensionali piani non dipendano da E. Ne segue quindi l'indipendenza del fattore K 1 dal modulo elastico E , oltre che dal coefficiente di Poisson 11 • Se si ragiona invece in termini energetici, e quindi di energia di frattura, l'influenza di E risulta manifesta. La relazione (2.99) riguarda i valori critici del fattore di intensificazione degli sforzi e della forza generalizzata di propagazione della fessura. Essa può comunque essere estesa anche ai valori generici di questi due parametri, tramite una dimostrazione dovuta a Irwin [10]. Si consideri una lastra piana fessurata, soggetta ad uno stato tensionale piano ed a spostamenti imposti sul suo contorno esterno («fixed grip condition»). Sia a la lunghezza della fessura e ~ a l'estensione del segmento dell'asse X su cui si considerano noti gli sforzi a 11 (fig. 2.20.a). Si consideri quindi una estensione virtuale della fessura, in modo che essa presenti la lunghezza incrementata o+ .1 a (fig. 2.20.b). Siano v gli spostamenti verticali delle facce della fessura in questa nuova configurazione, supposti noti sul medesimo segmento di estensione .1 a . Se si assume che l'estensione .1 o sia talmente piccola che su di essa valgano i campi asintotici di tensione e spostamento di Westergaard, e si applica il Teorema di Clapeyron al fenomeno di richiusura della fessura (dallo schema b allo schema a di fig. 2.20), si ha la seguente variazione di energia potenziale totale: (2,100) con: (2.101)

a 11

K1 = a 11 ( ,9 = O) = ✓2?T(-1a -

r) '

dalla (2.34.b), e: (2.102)

v

2 )1;2 K

= v( ,9 = 7T) = 2 ( ;

j

rl/2,

dalla (2.48.a). , Inserendo le (2.101) e (2.102) nell'integrale (2.100) si ha:

(2 .103)

2 K21

.1W= - 1T

E

1

lio (

o

r ) 1/2 dr .1a-r '

--

e risolvendo l'integrale risulta: (2.104)

68

K2

1 -1W=.1a. E

2 I fondamenti fisico-matematici della meccanica della frattura

0

(a)

a

LJ a

y

(b)

a+ LJ a

Fig. 2.20. Propagazione virtuale della fessura.

D'altra parte, dalla (2.95) si ha: (2 .105) omettendo il segno algebrico negativo, poiché il processo di richiusura della fessura è esattamente l'inverso di quello sinora considerato. Il confronto tra le relazioni (2.104) e (2.105) fornisce infine la generalizzazione della (2.99): (2.106.a) che vale per gli stati tensionali piani. Per gli stati defonnativi piani, non è difficile dimostrare, tramite una revisione della posizione (2.43), che vale invece la seguente relazione: (2.106.b)

69

Alberto Carpintcri

Una verifica della coerenza delle formule (2.106) è offerta dall'analisi dimensionale:

( 2 .107)

La dimensione fisica dcli 'energia di fraltura corrisponde infatti a quella di un lavoro per unità di superficie, ovvero di una for1.a per unità di lunghezza. Nel caso della condizione di Modo Misto (Modo I+ Modo Il) è possibile estrapolare le precedenti argomentazioni:

(2. J08 .a)

~

W = 2

,\a 1 2

J

-a v dr+ 2 Il

1/ia O

J -r:i: 11 u dr ,

2

(2. J08.b)

Sviluppando i calcoli si ouicnc:

( 2 . 109)

In questo caso :ç, rapprcsc1it.1 la variazione dcli' energia potenziale totale per estensione virtu:1/c della fessura . lnfalli, quando è sollecitata in Modo Misto, una fessura non si estende collincanncnLe a se stessa. In rc.1/t:}, come si vcdr:\ nel prossimo paragrafo, essa si dimma (tìg. 2.21).

Fig. 2.21. Diramazione di una fessura soggetta a sforzo di taglio.

70

2 I fondamenti fisic:o-matematki della meccanica della frattura

2.7. CRITERIO DI DIRAMAZIONE DELLA FESSURA IN CONDIZIONI DI

MODO MISTO Come si è già accennato nel precedente paragrafo, il criterio energetico di Griffith si applica coerentemente soltanto nel caso di propagazione collincare della fessura, e cioè nel caso di Modo I. Esso non .può essere convenientemente applicato a situazioni in cui la fessura si dirama e cambia direzione, una volta sottoposta a condizioni biassiali di carico. Tali condizioni producono una sovrapposizione dei Modi I e II, che è convenzionalmente detta Modo Misto. Si tratterà quindi di determinare tutte le coppie di valori K 1 e Ku che provocano la crisi nell'intorno dell'estremità della fessura e quindi la propagazione di quest'ultima. Il primo criterio di diramazione, in ordine cronologico, è quello della massima tensione cirr:onferenziale, proposto da Erdogan e Sih [ l l] nel 1963. Esso è basato sull 'ipotesi che la fessura si estenda a partire dalla sua estremità, nella direzione normale a quella della massima tensione circonfcrenziale rr., . Essendo le tensioni nell'intorno dell'estremità esprimibili come prodotti di una funzione radiale per una funzione angolare, la suddetta direzione non dipende dal raggio r della circonferenza su cui si valuta il massimo della tensione rr., . Traducendo le espressioni (2.34) e (2.55) in coordinate polari, e sommando i relativi risultati si ottiene: (2.11 O.a) rrr = (

.:) cos 271 112

f[

K1

(

1 + sin

2

f)

+ K IJ

(

¾sin ,9 -

2 tan

f)] ,

(2.110.b) (2.110.c) L'angolo ,9 di diramazione si ottiene dalla condizione di stazionarietà:

(2 .111)

arr,, 8,9 - -

3 [K 1 sin ,9 + K 11 (3 cos ,9 - 1)) cos -,9 = 4(27rr) 1/ 2 2 3

= -2Tr1' = Q,

la quale può essere soddisfatta ponendo cos ,9 /2 = O, che corrisponde alla condizione di superficie a tensione tangenziale nulla ( Tr,i = O) per ,9 = ±1r , oppure: (2 .112) che fornisce l'angolo di diramazione della fessura. Per una fessura di lunghezza 2 a , soggetta ad uno stato tensionale biassiale generico all'infinito (fig. 2.22), i fattori di intensità delle tensioni sono: (2.113.a)

K 1 = rrp-v'na,

(2.113.b)

Ku

= Tp-v'na, 71

Alberto Carpinleri

tt tt tt t t f

[J] I l l l l Flg. 2.22. Fessura soggetta ad uno stato tensionale blassiale generico all'infinito.

essendo a fJ e Tp rispettivamente la tensione nonnale e tangenziale relative alla linea di fessura, agenti all'infinito. Le usuali relazioni di Mohr conducono alle seguenti espressioni: (2.114.a) (2.114.b) essendo a 1 , a 2 , le tensioni principali all'infinito, e /3 l'angolo di inclinazione della fessura(fig. 2.22). Secon m siindicailrapporto a 1 /a 2 ,leequazioni(2.114)possono riproporsi nella forma che segue: (2.115.a) K 1 =a2 0m [m + (1 - m) sin 2 /3], (2.115.b)

K 11 = a 2 ✓-iw (1 - m) sin

/3cos /3.

Le equazioni (2.112) e (2.115) portano ad una condizione che mette in relazione l'angolo di diramazione, {) , con l'angolo di inclinazione, /3: (2.116)

[m+ (1 - m) sin 2

/3] sin{)+

[½o -

m) sin 2/3] (3 cos {}-1) = O.

L'equazione (2.116) è equivalente alla seguente: 2( 1 - m) sin 2 /3

( tan

f)

2

( 2 .117)

-2[m+(l-m)sin 2 /3] (tanf)-(1-m)sin2f3=0 .

72

2 I fondamenti fisico-matematld della meccanica deRa frattura

90°

m=O .O "';:, 75° I LJ.Ì

5

60°

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