Festigkeitslehre mittels Spannungsoptik [Reprint 2019 ed.] 9783486769951, 9783486769944

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FESTIGKEITSLEHRE MITTELS SPANNUNGSOPTIK VON

DR. PHIL. LUDWIG FÖPPL O. P R O F E S S O R ΛΝ D E R T E C H N I S C H E N H O C H S C H U L E M Ü N C H E N

UND

DR.-ING. HEINZ N E U B E R

P R I V A T D O Z E N T A N D E R T E C H N I S C H E N H O C H S C H U L E MÜNCHEN

M I T 80 A B B I L D U N G E N

M Ü N C H E N U N D B E R L I N 1935 V E R L A G VON R . O L D E N B O U R G

D r u c k von R. O l d e n b u r g , M ü n c h e n u n d B e r l i n . C o p y r i g h t 1935 b y R . O l d e n b o u r g , M ü n c h e n u n d B e r l i n . P r i n t e d in G e r m a n y .

Vorwort. Die Anwendung spannungsoptischer Verfahren in der Festigkeitslehre h a t in den letzten J a h r e n i m m e r mehr an Bedeutung zugenommen. Namentlich in E n g l a n d , Amerika und J a p a n arbeiten seit einer Reihe von J a h r e n eine große Zahl von Forschern an spannungsoptischen Aufgaben. In englischer Sprache ist auch das umfangreiche

W e r k über

diesen

Gegenstand

» A Treatise on Photoelasticity« v o n C o k e r und Filon erschienen. I m Gegensatz hierzu hat sich das spannungsoptische Verfahren in Deutschland nur langsam entwickelt und erst in der allerj ü n g s t e n Zeit bringt man unter dem Eindruck der großen E r folge, die mit diesem Verfahren erzielt worden sind, auch in Deutschland der Spannungsoptik größere B e a c h t u n g entgegen. Der weiteren Entwicklung auf diesem Gebiet steht der Umstand h e m m e n d im Wege, daß bis j e t z t noch kein B u c h in deutscher S p r a c h e über diesen Gegenstand existiert. E s schien uns daher eine lohnende Aufgabe, diese L ü c k e mit dem vorliegenden B u c h e auszufüllen. W i r konnten dabei die Erfahrungen, die wir seit 6 J a h r e n bei den Versuchen auf unserer optischen Bank im Mechanisch-technischen L a b o r a t o r i u m der .Münchener

Hoch-

schule gesammelt haben, verwerten. Dem Anfänger seien vor allen Dingen die ersten beiden Abschnitte sowie Abschnitt I V , der die Zusammenstellung der Münchener Versuche e n t h ä l t , zur L e k t ü r e empfohlen. Abschnitt I I I ist etwas schwieriger zu lesen ; dies gilt besonders von Paragraph I I I , 12, der den Einfluß dor Poissonschen K o n s t a n t e n auf die Übertragung der Ergebnisse v o m Modell auf die große Ausführung enthält, und von P a r a graph

I I I , 13,

der sich

mit

einer

Untersuchung über die 1*

__

4

-

hydrodynamische Deutung gewisser ebener Spannungszustände beschäftigt. Beide Paragraphen stellen zum Teil neue, bisher noch unveröffentlichte Forschungsergebnisse dar. Im übrigen haben wir uns um eine möglichst einfache und anschauliche Darstellung bemüht. Wir übergeben das Buch der Öffentlichkeit mit dem Wunsche, daß es dazu beitragen möge, die spannungsoptischen Methoden in Deutschland zu fördern. München, im April 1935. L. F ö p p l und H. N e u b e r .

Inhaltsverzeichnis. Seite

Vorwort I.

Grundlagen suchung

3 der optischen

S p a n n 11 η g s U n t e r 7

1. Der ebene Spannungszustand 2. Der ebene Spannungszustand, bezogen auf das Netz der Hauptnormalspannungen 3. Beschreibung der Versuchseinriehtung für die optische Spannungsuntersuchung 4. Einfaches Beispiel zur B e s t i m m u n g der Isoklinen und Hauptspannungstrajektorien 5. Messung der maximalen Schubspannung m i t Hilfe der Kompensation 6. Der Strahlengang und die Isochromaton II. D i e v o l l s t ä n d i g e n A u s w e r t u n g s v e r f a l l r e n

. . . .

7. Die Auswertungsverfahren von Coker-Filon 8. Die theoretischen Grundlagen des Neuberschen Verfahrens a) Allgemeine Koordinatenbeziehungen f ü r die vier orthogonalen Netze b) Folgerungen aus den Gleichgewichtsbedingungen . c) Der R a n d d) Der R a n d mit k o n s t a n t e r N o r m a l b e l a s t u n g und der lastfreie R a n d e) Folgerungen aus der Verträglichkeitsbedingung . . f) Singuläre P u n k t e und A s y m p t o t e n des p - K - Netzes 9. Die zeichnerische A u s f ü h r u n g des Neuberschen Verfahrens m i t Beispielen a) Die Ausgangspunkte d e r p-Linien am R a n d . . . . b) Die R i c h t u n g der p-Linien am R a n d mit kons t a n t e r Normalbelastung und am lastfreien R a n d . e) Die R i c h t u n g der p-Linien im Innern d) Der A b s t a n d der p-Linien e) Das p - Ä - N e t z f) Beispiele

7 11 14 21 23 25 31 31 36 37 40 43 44 47 49 52 52 52 55 58 59 60

—

6

—

Seite

10. Die Auswertung unter Zuhilfenahme des Seifenhautgleichnisses I I I . S o n d e r f r a g e n zur o p t i s c h e n S p a n n u n g s m e s s u n g

65

.

68

11. Singulare Punkte bei der optischen Spannungsmessung

68

12. Das Auftreten und die Berücksichtigung der Poissonschen Konstanten in der Spannungsoptik

74

13. Die Hauptspannungslinien als Stromlinien

88

IV. A n w e n d u n g keitslehre

der

Spannungsoptik

in

der

Festig100

14. Die wichtigsten Ergebnisse der bisherigen spannungsoptischen Untersuchungen im Münchner MechanischTechnischen Laboratorium 100 15. Versuche bei Verwendung optisch sehr aktiver Modellwerkstoffe 113

I. Grundlagen der optischen Spannungsuntersuchung. 1. Der ebene Spannungszustand. Man spricht von einem ebenen Spannungszustand, wenn es sich um einen scheibenförmig ausgedehnten Körper handelt, der nur in der eigenen Ebene belastet wird, wobei man annehmen d a r f , daß die dabei auftretenden Spannungen an allen Punkten über die Dicke der Scheibe hin gleichmäßig verteilt sind. Wir wollen die x-i/-Ebene eines rechtwinkeligen Koordinatenkreuzes in die Scheibenebene gelegt und ein rechtwinkeliges Scheibenelement von den Abmessungen dx, d y herausgeschnitten denken (s. Abb. 1). Die am Element angreifenden Spannungen sind als positiv in die Abbildung eingetragen. Bei den Normalspannungen a sind die positiven Spannungen die Zugspannungen im Gegensatz zu den negativ gezählten Druckspannungen. Dagegen ist bei den Schubspannungen kein physikalischer Unterschied zwischen positiven und negativen Schubspannungen. \Yir nennen sie positiv, wenn sie am Element in der Richtung angreifen, wie es Abb. 1 veranschaulicht, d. h. wenn sie auf den Schnittflächen des Elementes mit den Koordinaten χ dx bzw. y -f- dy in Richtung der positiven y- bzw. positiven a?-Achse gerichtet sind. Aus Abb. 1 liest man als Bedingungen für das Gleichgewicht am Element in Richtung der x- und y-Achse die folgenden Gleichgewichtsgleichungen ab:

—

8

—

Da keine weiteren Gleichgewichtsbedingungen bestehen, handelt es sich demnach um die drei unbekannten Funktionen σχ, σν, τ von χ und y, zwischen denen vorläufig nur die beiden Gleichungen (1) bestehen. Die Aufgabe ist also statisch unbestimmt; d . h . sie kann vom Standpunkt der Statik allein betrachtet auf unendlich viele Weisen gelöst werden. Man sieht dies noch deutlicher, wenn man die sog. A i r y s c h e S p a n n u n g s f u n k t i o n F einführt durch die Beziehungen: _ °x ~ a y

τ

~

Ô2F

òy2' m

-F ò ζ2 '

Ò

ò2F òxòy

'

Durch diesen Ansatz werden die beiden Gleichungen (1) identisch befriedigt, wobei die Wahl der Funktion F zunächst nur an die Bedingung geknüpft ist, daß die gegebene Randbelastung richtig herauskommen muß. Damit bleibt aber noch eine unendliche Mannigfaltigkeit für die Spannungsfunktion F übrig. Zur eindeutigen Festlegung der Spannungen ist noch eine weitere Bedingung für die Spannungen bzw. für die Spannungsfunktion erforderlich. Diese Bedingung muß sich aus der Eigenschaft des verwendeten Stoffes ableiten lassen; denn bei den bisherigen Betrachtungen sind die Stoffeigenschaften noch gar nicht berücksichtigt worden. Sie gelten ζ. B. für einen plastisch deformierten Körper ebenso wie für einen elastisch beanspruchten Körper. Wir wollen weiterhin, wenn nicht ausdrücklich etwas anderes vermerkt ist, stets den rein elastischen ebenen Spannungszustand voraussetzen. Dann ist aber der Formänderungszustand mit den Spannungen durch das Hookesche Gesetz verknüpft. Nennen wir die Verschiebungen eines Scheibenpunktes in Richtung der x- und y-Achse ξ bzw. η, so lassen sich daraus die Dehnungen in den beiden Richtungen des Koordinatensystems εχ und ey stfwie die Winkeländerung γ eines in Richtung der Koordinatenachsen herausgeschnittenen rechten Winkels durch

9 -

i

—

l

ò χ '

Εχ

ò

η

(3)

ò7/' ^ ò y

V _L

Ò

=

^ ~~~ ò χ ausdrücken.

N a c h dem Hookeschen

_όξ__ E t

Gesetz gilt

1 I

~ ò x

E

ό η

i

fi» = -ν

=

ò y

m

I

1

(4)

E

ò η

όξ

ò χ

ò

Indem man die ersten

\°x

τ G'

y

beiden Gleichungen

(4) nach

σ

χ

und a y auflöst, erhält man in2 Or

=

E

m,2 — m2

1 E

1

Ò J ò x

ò η

+ ^ m

Ò 7]

m2 — 1 \ ò y

+

ò y

(δ a)

I

M m ò χ

wozu w i r noch die dritte Gleichung (4) hinzufügen: öll \ò χ

(5 b )

ÒÌJÌ

Zwischen den drei elastischen Konstanten E,

G und

1

besteht bekanntlich der folgende Zusammenhang: m

r —

2(w

~

-

1) '

F

(6)

£

U m die oben als erforderlich erkannte dritte Bedingungsgleichung für die Spannungen abzuleiten, die zusammen mit den beiden Gleichungen (1) die A u f g a b e erst eindeutig macht, wenden wir auf die 0X

die Laplacesche

Spannungssumme

+ Oy

m E =

m-

( ò ξ 1 \ò χ

I

òì

l

ò

y

(7)

Operation A

=

ò2

ò2

Ò X,

2

+

Ò,J2

an und erhalten dafür λ ,

ι

*

Δ (σ χ + Oy) =

-

m E

lò3 ξ 1 \òχ3

ό

ò3£ ò x d y

2

ò

χ2

3

η

òy

ό3η\

ò

y3j

(8)

— 10 — Andererseits folgt aus den beiden Gleichgewichtsgleichungen (1), indem man die erste partiell nach χ und die zweite partiell nach y differenziert und beide addiert, Οχ , ò χ2 '

02

2

& τ òxòy

oder nach Einführung der Gl. (5) m2E /Ò»! ό3ς m2 — 1 ' ò .r! òxòy2

, δ" ò y2

=

0

Formänderungsgrößen

ò χ2 òy

gemäß

ό3η\ ò y3 j

D a dieser Klammerausdruck mit der K l a m m e r von Gl. (8) übereinstimmt, folgt die gesuchte Beziehung zwischen den Spannungen Δ(σχ + ο , ) = 0 (9) Diese Gleichung wird als V e r t r ä g l i c h k e i t s - oder K o m p a t i b i l i t ä t s b e d i n g u n g bezeichnet, da sie die Bedingung für die Spannungen darstellt, die mit der Voraussetzung eines ebenen, rein elastischen Spannungszustandes verträglich sind. Mit Hilfe der Spannungsfunktion l ä ß t sich die Verträglichkeitsgleichung nach Gl. (2) umschreiben in ò4 F ò4 F ò4 F Δ Δ F = -^ς—r -(- 2 -τ-2 , 2ν - j + -

dp stellt demnach die stärkste Änderung von ρ oder den ò s. »p-Gradienten« dar. W i r w o l l e n i h n s t e t s a l s p o s i t i v z u g r u n d e l e g e n , indem wir die positive Richtung 4 als die Richtung der Z u n a h m e des p-Wertes festlegen. Wie wir später in I I . 9 zeigen, werden zweckmäßig nur diejenigen

— 39 — p-Linien gezeichnet, längs denen der p-Wert ein ganzes Vielfaches einer Einheitsspannung σ 0 ist, d. h. p =

3 σ 0 , 2 σ 0 , σ 0 , O,

— σ 0 , — 2 σ 0 , — 3 ο0

(6)

Setzt man noch σ0 = 1, so sind lediglich die ganzen Zahlen bei den p-Linien anzugeben. σ 0 ist dann der »Spannungsmaßstab«, der am Kopf der Zeichnung anzugeben ist (vgl. ζ. B. Abb. 25). Gehen wir längs einer Linie 4 von einer p-Linie zur nächsten, so nimmt der p-Wert um σ0 zu. Ist a der .

ι

. . ι

1

,

ITT

l

ι

Λ υ υ .

IO.

JJCI

-rt-USlttllU

Ufi

dabei zurückgelegte \veg, also der p-Linien Abstand zweier aufeinanderfolgender p-Linien (vgl. Abb. 13), so können wir näherungsweise den Gradienten os,

v(7)

α

setzen. Der dabei begangene Fehler ist dann um so kleiner, je kleiner wir cr0 gewählt haben. Auf Grund dieser Beziehung gehen die Gl. (5) über in ÒP

ò

-- =

ao

a

• Λ, sin

ÒP

os2

°o cos = — a

Λ

,(8) 0.

v

Entsprechende Beziehungen finden wir für die L i n i e n g l e i c h e r H a u p t s p a n n u n g s d i f f e r e n z (auch Linien gleicher Hauptschubspannung oder »Isochromaten« genannt, vgl. I. 6), welche wir als Linien 5 kennzeichnen wollen. Sie bilden mit ihrer orthogonalen Schar 6 das dritte Netz (s. Abb. 11). Da die Hauptspannungsdifferenz q = o x — a . z sich beim Fortschreiten längs der Linien 5 nicht ändert, gilt =

·

Die stärkste Änderung von q oder den »q-Gradienten«

m gibt

demnach der Differentialquotient ^ an, den wir immer als o se positiv ansehen wollen. Die positive Richtung 6 ist dann als Richtung der Z u n a h m e von q definiert. (Die positive Richtung 5 erhalten wir von Richtung 6 aus durch Drehung im Uhrzeigersinn.)

—

40 —

Wie bei den p-Linien kommen nur jene (/-Linien in Betracht, für die der (/-Wert ein ganzes Vielfaches unserer Einheitsspannung σ 0 ist. (Bei dem in I, 6 beschriebenen Verfahren der Schwarz-Weiß-Linien ergeben sich die Isochromaten unmittelbar mit gleichem Intervall σ 0 !) Als Radius des Mohrschen Spannungskreises ist q = ^ y (ay — σχ)2 -f- 4 τ 2 , also entweder n u r positiv oder n u r negativ. Wir entscheiden uns für das p o s i t i v e Vorzeichen. Der Abstand zwischen zwei benachbarten ^-Linien sei b. Ferner sei β der Winkel zwischen den Richtungen 5 und 1 (bzw. 6 und 2) (s. Abb. 11). W i r erhalten auf Grund derselben Betrachtungen wie bei den p-Linien :

»« Endlich können dieselben Gedankengänge auf die I s o k l i n e n , längs denen der Winkel φ konstant ist, angewendet werden. W i r kennzeichnen sie als Linien 7. Sie bilden mit den Linien 8 das vierte orthogonale Netz. Definitionsgemäß wird òφ = 0 ò s7

(11)

W i r nehmen wieder den Gradienten

positiv an, so O Sg daß ψ in Richtung 8 zunimmt. Der Winkel zwischen den Richtungen 7 und 1 (bzw. 8 und 2) sei γ (s. Abb. 11). Es kommen praktisch nur jene Isoklinen in Betracht, längs denen φ ein ganzes Vielfaches eines Bezugswinkels ε beträgt (s. II, 7). Der Abstand zwischen zwei Isoklinen sei c. Dann erhalten wir wie bisher: όφ ε . òφ ε y - = ¿cosy (12) τ Ί - = - - η η γ , Im allgemeinen genügt bei der Ermittlung der Isoklinen, wie früher erwähnt, ein ε von 5° bzw. im Bogenmaß ε = 0,08727. b) F o l g e r u n g e n a u s den

Gleichgewichtsbedingungen.

Eine weitere Gruppe von charakteristischen Gleichungen ergeben sich auf Grund der Gleichgewichtsbedingungen. Entsprechend I, 2 Gl. (5) und (6) ist

12-+ c u n d β = γ + 90°¡ [ '

oder Ä

= _ 90° — γ, a' = c — b', w e n n c > b' u n d β = γ + 90°. (29)

— 43 — Ist

a b e r b' = c u n d

z u g l e i c h β = γ -j- 90°, so folgt:

t g a = φ , α' = 0, a = » Es handelt sich in diesem Falle um einen s i n g u l a re η d e r p - L i n i e n (s. Abs. f).

(30) Punkt

W i r d s c h l i e ß l i c h z u g l e i c h q=0 u n d c = 0, so ergibt sich b' = 0 und a' = 0. Es handelt sich in diesem Falle um e i n e n s i n g u l ä r e n P u n k t d e r H a u p t s p a n n u n g s l i n i e n . Wir werden in III, 11 auf die besonderen Eigenschaften dieser Punkte noch näher eingehen. In der Regel streben die jetzt unbestimmten Ausdrücke f ü r t g a und a ganz bestimmten Grenzwerten zu, die aus dem Verhalten in der Umgebung eindeutig hervorgehen, so daß diese Punkte also nicht zugleich singulare P u n k t e der p-Linien sind. Der

Rand.

Am Rand lassen sich weitere Aussagen über den Verlauf der p-Linien ableiten. Zu diesem Zweck betrachten wir ein längs der Hauptspannungsrichtungen 1 und 2 herausgeschnittenes Randelement, an welchem einerseits die Hauptspannungen a 1 und σ 2 , andererseits die normal zum Rand wirkende Spannung σ und die tangential zum Randwirkende Schubspannung τ angreifen Abb. 14. Der R a n d . {vgl. Abb. 14). Der Winkel zwischen Randtangente und Richtung 1 sei ψ. Das Element befindet sich im Gleichgewicht, wenn a : ; σ1 sin 2 -ψ -f- σ2 cos 2 ψ, r : : (öj — σ2) sin ψ cos ψ

(31)

oder mit Ol

=

p+ q

P a= 2 τ=

p — g.

Q y cos 2 ψ. sin 2 ψ.

• (32) • (33)

— 44 — Die normal zum Rand wirkende Belastungsspannung σ ist in der Regel bekannt, ψ ist nach Ermittlung der Hauptspannungsrichtung auch bekannt, ferner auch q, so daß Gl. (32) für die Ermittlung des p-Wertes am Rand herangezogen werden kann. Es wird ρ =

q

cos 2

2

ψ

(34)

o

Auf diese Weise ist der p-Wert längs des ganzen bekannt.

Randes

Am s c h u b s p a n n u n g s f r e i e n R a n d wird τ = 0 und entsprechend Gl. (33) y > = 0 oder 90°. D e r s c h u b s p a n n u n g s freie R a n d ist also zugleich H a u p t s p a n n u n g s l i n i e . Gl. (34) geht in diesem Fall über in p =

Weitere

± q

+

Vereinfachungen

(35)

2 a

ergeben

sich

an

Rändern,

längs denen σ konstant ist oder ganz verschwindet. d) D e r

R a n d mit k o n s t a n t e r

Normalbelastung

der l a s t f r e i e

und

Rand.

Hier wird nicht nur

ρ = i i q + const,

(36)

sondern wir dürfen diese Gleichung, die j a überall längs des Randes besteht, auch längs des Randes beliebig oft differenzieren. Hierbei müssen wir uns für eines der beiden Vorzeichen entscheiden. Wählen wir das -(—Zeichen, so entspricht dies ψ = 0, d. h. der Rand hat Richtung 1. Nach einmaliger Differentiation erhalten wir dann O S1

ο S

(37)

L

und damit entsprechend den Gl. (8) und (10) sin « = — ~ 0 · sin β

—

(38)

oder mit Gl. (18) nach Multiplikation mit b • ία'

sin

oc

= c sin

(39)

β

Aus Gl. (20) ergibt sich hiermit a! sin

Λ

= c sin β =

cos γ

(40)

— 45 — Dividieren wir jedes der drei Glieder in Gl. (21) durch eines von diesen, so wird cot ix = cot β + 2 tg γ. (41) Hat der Rand Richtung 2 (ψ = 90°), so ergibt sich in derselben Weise t g a = t g / S + 2 cot γ. . . . . . . . (42) Diese R e z i e h u n g e n sind f ü r den R a n d charakt e r i s t i s c h und lassen sich außerordentlich einfach zeichnerisch befriedigen, wie in 11,9 gezeigt wird. Aus den Gl. (21), (40) und (41) gehen übrigens noch bemerkenswerte Eigenschaften der p-Linien hervor. H a n d e l t es s i c h um e i n e n g e r a d l i n i g e n R a n d , der als nicht gekrümmte Hauptspannungslinie zugleich Isokline sein muß, so wird 7 = 0. Aus Gl. (41) folgt Λ = β, d. h. Isochromate und p-Linie haben jetzt gleiche Richtung. M ü n d e t die I s o k l i n e in den R a n d s e n k r e c h t e i n (dies bedeutet ein Extremum der Randspannung, vgl. 11,7), so wird γ = 90°. Aus Gl. (40) folgt α = 0 ° oder 180° und β = 0° oder 180°, d . h . s o w o h l die I s o c h r o m a t e a l s a u c h die ρ - L i n i e v e r l ä u f t in d e r n ä h e r e n U m g e b u n g d i e s e r S t e l l e p a r a l l e l zum R a n d . Während im allgemeinen am Rand mit konstanter Normalbelastung die Abstände der p-Linien durch ihre Richtungen und ihre Ausgangspunkte festgelegt sind, ist es in diesem Sonderfall, bei welchem die p-Linie im Rand liegt, von Interesse, für den Abstand bis zur nächsten p-Linie eine besondere Beziehung zu suchen. Setzen wir die eben festgestellten Werte von 2 + 90 0 , Ψ-2 + 180°, φ2 -+- 270°,

. . . (71)

bei ρ f ü r