Estadística y probabilidad en la hidrología : (diseño hidrológico) 9786124011467, 6124011468

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ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD HIDROLOGIA

(Diseño Hidrológico)

Abelardo M. Díaz Salas

EN LA

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD HIDROLOGIA

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(Diseño Hidrológico)

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Abelardo M. Díaz Salas

Ingeniero agrícola. Universidad Nacional Agraria La Molina. Lima-Perú. Magíster of Sciantie en Ingeniería de Recursos Hídricos. Universidad Nacional Agraria La Molina. Lima-Perú. Profesor principal de la Facultad de Ciencias Agrarias de la Universidad Nacional sariiago Antúnez de Mayolo. Huaraz-Perú.

== diante de la Escuela de Posgrado de la Universidad Nacional Agraria La Molina. >-oerama de Doctorado en Recursos Hídricos. Lima-Perú.

3achiller en Ingeniería Civil. Universidad Católica Los Ángeles de Chimbote. Huaraz-Perú

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD EN LA HIDROLOGÍA (Diseño Hidrológico)

Edición a cargo de

:

Asamblea Nacional de Rectores

Fondo Editorial Calle Aldabas 337 - Surco Teléf.: 275-4608

Web: www.anr.edu.pe Presidente

Autor

Primera Edición

:

Dr. Iván Rodríguez Chávez

:

Abelardo M. Díaz Salas Instituto de Estudios Universitarios "José Antonio Encinas"

A

Noviembre 2010

:

1000 ejemplares Año 2010

Impreso en Perú

Tiraje

Registro de Proyecto Editorial.

:

11501021001114

ISBN

:

978-612-4011-46-7

Hecho Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N“:

2010-15871

Diseño de carátula Billy Solano Anchante Diseño, diagramación e impresión

—:

Instituto Pacífico S.A.C. Jr. E. Larrabure y Unanue N* 188 - Of. 63, Urb. Sta. Beatriz - Lima 1 / Teléf.: 332-5766 E-mail: institutoQaempresarial.com

Web: www.aempresarial.com

Queda terminantemente prohibida por la ley del Perú la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, químico, óptico, incluyendo sistema de fotocopiado, sin autorización escrita de la Asamblea Nacional de Rectores y Autor.

“Hay que trabajar como si uno fuera a vivir eternamente,

y vivir como si uno fuera a morirse hoy mismo” OG MANDINO

A mi esposa Ing. Flor Consuelo Vergara Tinoco y a mis

hijos Abelardo y Pablo. Al Colegio Nacional Mixto Pachacútec del distrito de

San Marcos, de la provincia de Huari, de la Región Ancash, donde estudié la secundaria.

Presentación

M

e complace sobremanera facilitar la publicación y entregar a profesores y

alumnos de ciencias y tecnología este libro de Estadística y probabilidad en la Hidrología (Diseño Hidrológico) que tiene como autor al ingeniero aoelardo M. Díaz Salas, profesor del curso en la Universidad Nacional Santiago

Antúnez de Mayolo de Huaraz.

>:n pertenecer a esta esfera profesional altamente especializada, en el Perú la

obliografía sobre estas materias es casi inexistente. Además

de este hecho, y fundamentalmente

por su pertinencia, este texto cobra

s.ngular importancia por el problema de escasez del agua que, según pronósticos, esionales que aplicaban la estadística se ayudaban de tablas etación fácil, estos - --mal estandarizada, etc.), cuyo manejo no es de interpr zan objetivamente visuali no tablas estas de s usuario los -convenientes surgen porque dad, con la ayuda actuali la En -s procedimientos de la generación de dichas tablas. ina de métodos discipl la de s miento conoci los con == 'as computadoras personales y etación y interpr la cual - _méricos, es posible generar las tablas estadísticas, con lo . sencillo hace se =" ¿cación de la estadística y probabilidades trabaja con la ley de =- hidrología y en cualquier otra disciplina cuando se probabilidades adecuada --obabilidades, es necesario conocer la ley O leyes de seleccionar el modelo Para as). (muestr - adecuadas para los datos experimentales de chi-cuadrado, prueba la o ejempl por como s, =zecuado existen varios método io generar necesar es drado, zara realizar la prueba de bondad de ajuste de chi-cua .= ores de la variable aleatoria. do para eventos extremos Después de seleccionar el modelo probabilístico adecua o descargas) para un ejempl de diseño (por

—áximos), se cuantifica el evento se encuentra de tres ==terminado período de retorno. El período de retorno de diseñoel análisis económico. te median O riesgo de nivel un ndo asumie — 2neras: empírica, capítulos segundos, primer capítulo trata sobre la estadística descriptiva; en los s probabilísticos modelo los y lidad probabi -="cero y cuarto se estudia las leyes de ¿s usados en la hidrología. n estimar los parámetros de =- el capítulo quinto se estudia los métodos que permita En el capítulo sexto se trata o). continu o o =s distribuciones de probabilidad (discret n seleccionar el modelo permite que ticos estadís y gráficos == "os diversos métodos

de datos (muestra). En el os modelos probabilísticos adecuados para un conjunto ilidad y el período de probab la entre existe que n apítulo séptimo se analiza la relació Los valores de diseño =-orno. En el capítulo octavo se estudia el diseño hidrológico. modelo probabilístico un para y retorno - drológico se calculan para un período de o de retorno de diseño. =cecuado, este capítulo está orientado a determinar el períod datos hidrológicos. =- todos los capítulos existen ejemplos de aplicación usando Santiago Antúnez de Mayolo go llegar mi agradecimiento a la Universidad Nacional haber hecho realidad la por apoyo, su por es Rector de . a la Asamblea Nacional - uplicación del presente libro. te publicación, por favor = nalmente, debo indicar que si existen errores en la presen ción. =enen comunicar para realizar su respectiva correc

CAPÍTULO

Estadística aplicada en la hidrología

1.1. Generalidades La interpretación del comportamiento espacial y temporal de las variables hidrológicas (precipitación, descargas, etc.) se puede realizar mediante la estadística. En hidrología es costumbre trabajar con los datos como los mostrados en el cuadro N* 1.1.1., estos datos son recopilados de las oficinas como del Servicio Nacional de Meteorología e Hidrología (SENAMHIen el Perú. Los datos tienen dos partes: la fecha de suceso, en este caso los años, y los números que representan la ocurrencia o suceso de una variable hidrometeorológica (datos observados o medidos), que son las descargas máximas instantáneas anuales en este caso. En la hidrología se recopilan

datos como

lo indicado

en el cuadro

N? 1.1.1. (muestra), con el objeto de inferir las conclusiones respecto a la fuente de observaciones (población). Comúnmente en la hidrología para evaluar el comportamiento de los datos en el espacio y en el tiempo, son graficados de dos maneras: gráfica de la serie histórica o las gráficas de

las frecuencias. Los estudiantes están más familiarizados con la gráfica de la serie histórica como se muestra en la figura N* 1.1.1.

Estapística Y PROBABILIDAD EN LA HiDROLOGÍA (DISEÑO HiproLócico)

Cuadro N* 1.1.1.

Descargas máximas instantáneas anuales del río Querococha (m*/s)

¿Año

Q

Año

Q

Año

Q

1953-1954

6.94

1963-1964

5.88

1973-1974

7.48

1954-1955

7.95

1964-1965

9.10

1974-1975

10.72

1955-1956

6.50

1965-1966

6.52

1975-1976

10.21

1956-1957

6.77

1966-1967

9.80

1976-1977

8.97

1957-1958

6.39

1967-1968

4.93

1977-1978

8.13

1958-1959

6.26

1968-1969

3.98

1978-1979

8.96

1959-1960

8.90

1969-1970

6.87

1979-1980

4.89

1960-1961

8.00

1970-1971

6.70

1980-1981

9.40

1961-1962

9.40

1971-1972

8.90

1981-1982

10.78

1 962-1963

7.56

1972-1973

5.80

+

]

Fuente: Hidroservice

Los conceptos de muestra y población se diferencian en el número de

datos. La muestra tiene una cantidad reducida de datos en comparación con los datos de la población que pueden tener finita O infinita cantidad de datos. La definición de población en la estadística es utilizada por-

que las primeras investigaciones se hacían en las poblaciones humanas

ico especialmente por los economistas y sociólogos, el trabajo estadíst

se realizaba en una parte de la población humana llamado muestra. Por tanto, las definiciones de población y muestra se deben a las primeras investigaciones. En hidrología se acostumbra usar estas mismas defini-

ciones y decimos que el número de datos de una población es infinito; por ejemplo, no es posible conocer la totalidad de sucesos (observaciola nes) de las descargas máximas instantáneas anuales en un punto de cuenca.

ABELARDO M. Díaz SALAS

+

7 8L61-2Z61

C861-1861

7 VL6L-EL6L

+ 9961-5961

-

2961-1961

0Z61-6961

+ 8561-2561

1

Ps6lec6L |

ho

Descarga (m/s)

>

Tiempo (Años)

Figura N* 1.1.1. Descargas máximas instantáneas anuales

del río Querococha

1.1.1. Muestra

Es el conjunto de observaciones (datos) que se obtienen de alguna fuente de observación (población). El número de datos de una muestra es finito, es decir, se puede cuantificar por ejemplo la mues-

tra del cuadro N? 1.1.1. que tiene 29 datos de descargas máximas

instantáneas anuales. Si la muestra es representativa de la población, entonces se pueden inferir conclusiones importantes acerca de la población, a partir de los análisis de los datos muestrales. i.

Estadísticas de la muestra

Son magnitudes que se calculan para caracterizar a un conjunto

de observaciones o datos llamada muestra aleatoria extraída de

una población. Usualmente a la estadística de la muestra se le denomina estadístico o estadística. El valor del estadístico no es una magnitud constante, por ejemplo el promedio de las precipitaciones máximas diarias anuales de una estación determinada es diferente para una muestra de 10 años frente a una muestra de la misma estación de un período de 20 años de registro. Por tanto, un estadístico se puede definir como una función de las variables aleatorias que constituyen una muestra. A los estadís-

ticos se acostumbra representarlos mediante el alfabeto Latino, como por ejemplo el promedio se representa por x.

E

CO) Estapística Y PROBABILIDAD EN La HIDROLOGÍA (DISEÑO HIDROLÓGI

1.1.2. Población

número Es la fuente de observación o de los datos, por ejemplo el s insde datos de la población formada por las descargas máxima porque , infinito es oha Queroc de n tantáneas anuales de la estació desde se considera a las descargas máximas instantáneas anuales esta en anual tánea instan a el primer suceso de la descarga máxim la lizar contabi podrán se estación de aforo; como es lógico, nunca totalidad de estos datos.

l..

Parámetros de una población Son magnitudes que caracterizan a la población y cuyo valor no

se puede calcular con exactitud, sólo se pueden estimar a través de los estadísticos. Los parámetros dependen básicamente del a tipo de distribución de la variable aleatoria que representa nes itacio precip las de ión poblac la o, la población; por ejempl ución medias anuales puede ser explicada mediante la distrib o”. El za varian la y media la normal, cuyos parámetros son

valor del parámetro no se ve afectado por muestras tomadas

de la población. A los parámetros se acostumbra representarlos mediante el alfabeto griego, como por ejemplo la media poblacional se representa por y.

1.2.Métodos estadísticos la poblaSon los métodos que permiten obtener conclusiones acerca de

estadística ción a partir de la muestra, o por medio de muestras; la palabra ntes estudia Los ticos. estadís se usa comúnmente en vezde usar métodos

ticos, es en el curso de Estadística están aprendiendo los métodos estadís

r las concludecir, están aprendiendo las técnicas que permiten obtene tamiento de la siones relacionadas a la población, analizando el compor muestra.

s en principios Los métodos estadísticos, o la estadística, están basado to de obserconjun matemáticos que describen el comportamiento de un los datos mismos sin vaciones (muestra), donde se centra la atención en decir, la estadística considerar las causas que influyeron en el suceso; es de causalidad. es una ciencia de descripción de los resultados y no define como una Por las consideraciones indicadas, a la estadística se permiten recopitécnica que proporciona un conjunto de métodos que

esta parte de la lar, clasificar y presentar los datos en forma adecuada, a parte de la estadística se le denomina la estadística descriptiva. La otra la población a estadística que permite tomar decisiones relacionadas a ación de parámetros partir de la muestra es la estadística inferencial (estim y prueba de hipótesis).

o

ABELARDO M.. Díaz SALAS

1.3.Estadística descriptiva La estadística descriptiva recopila, clasifica, presenta y describe los datos;

es la parte de la estadística que se ocupa de describir la muestra, sin inferir conclusiones acerca de la población, también se le denomina estadística deductiva.

1.3.1. Recopilación La recopilación de la información en la hidrología se realiza tomando muestras (datos), dado que no es posible recopilar todos los datos

de la población referente a una variable hidrometeorológica. Como se trata de una muestra y se considera que la recopilación de los datos se efectúa al azar, se dice que el muestreo es aleatorio y por consiguiente a la muestra se le denomina muestra aleatoria. Un ejemplo de datos recopilados se muestra en el cuadro N* 1.3.1. En los cursos de Estadística los estudiantes están acostumbrados a trabajar con datos de encuestas, o con datos de las notas de los exámenes de un curso; en la hidrología estos datos son medidos o observados en el campo en una estación hidrometeorológica (datos medidos o observados por SENAMHI u otra institución). 1.3.2. Clasificación Los datos hidrometeorológicos que se recopilan son registrados como se muestra en el cuadro N? 1.3.1. Para facilitar la interpretación y la evaluación correspondiente, estos datos deben ser clasificados o categorizados o distribuidos en clases; es decir, los datos deben ser

organizados en clases o grupos. La clasificación se logra ordenando los datos luego se número tiene sus

según su magnitud en forma ascendente o descendente y agrupan en clases. Al clasificar los datos, se determina el de datos en cada clase, dado que cada una de estas clases límites (valores) superior e inferior definidos.

Estapística Y PROBABILIDAD EN La HiDROLOGÍA (DisEÑñO HibroLóGiIco)

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muestra se calcula mediante la siguiente ecuación:

fe.=lim—m—l=

i

(1.3.14.)

Por las consideraciones indicadas para definir el modelo probabilístico adecuado como normal, exponencial, etc., para un conjunto de datos observados (muestra), es necesario determinar la función de densidad empírica, lo cual se compara con la función de densidad teórica. Sobre el tema de selección del modelo adecuado se trata en el capítulo VI. 1.3.3. Presentación de datos Después de la clasificación de datos, es necesario presentar los resultados en forma de tablas y en forma de gráficos, con la finalidad de facilitar su interpretación y su posterior análisis. i.

Presentación tabular o distribuciones de frecuencias La presentación tabular o las distribuciones tabla de distribuciones de frecuencias es una los datos de la muestra en cierto número de muestra el número de datos en cada clase, a

de frecuencia o tabla que divide clases, donde se este número de

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD EN LA HIDROLOGÍA (Diseño HIDROLÓGICO)

datos en cada clase se le conoce con el nombre de frecuencia de clase o simplemente frecuencia. La presentación tabular o la tabla de frecuencias tienen el siguiente formato: Cuadro N* 1.3.3. Formato de la tabla de frecuencias (m3/s) Frecuencia relativa (5)

ii.

Presentación en forma gráfica

Una distribución de frecuencia como lo indicado en el cuadro N? 1.3.3. es más fácil de interpretar en presentaciones gráficas. Las presentaciones gráficas son: histograma, polígono de frecuencias, distribución de frecuencias acumuladas, distribuciones de frecuencias relativas acumuladas y función densidad empírica. ii.1. Distribuciones de frecuencias absolutas

Existen dos representaciones gráficas de las distribuciones de las frecuencias absolutas. ii.1.1. Histograma de frecuencias absolutas

Un histograma o histograma de frecuencias consiste en una serie de rectángulos que tienen las siguientes características: +

Las bases de los rectángulos son trazadas en el eje de la abscisa, el centro de cada rectángulo es la marca de clase y el ancho del rectángulo es igual al tamaño de cada intervalo de clase (Ax).

+

Laaltura de cada rectángulo es la frecuencia absoluta de cada intervalo de clase.

El histograma se obtiene trazando en el eje de la abscisa la columna 2 y en el eje de las ordenadas la columna 4 del cuadro N* 1.3.3.

AñeLarDO Mi. Díaz SALAS

111.2. Polígono de frecuencias absolutas Un polígono de frecuencias es un gráfico de línea que se obtiene uniendo los puntos medios de las partes superiores de los rectángulos del histograma de frecuencias absolutas. El polígono de frecuencias (absolutas) se obtiene graficando la columna 3 en el eje de la abscisa y en el eje de la ordenada la columna 4 del cuadro N* 1.3.3. Para que el polígono de frecuencias llegue al eje horizontal, a ambos lados de la columna 3 se agrega un intervalo de clase con

frecuencia igual a cero. 11.2. Distribuciones de frecuencias relativas Son dos las presentaciones gráficas de la distribución de frecuencias relativas. 1.2.1. Histograma de frecuencias relativas Un histograma o histograma de frecuencias relativas consiste en una serie de rectángulos que tienen las siguientes características: +

Lasbases de los rectángulos son trazadas en el eje de la abscisa, el centro de cada rectángulo es la marca de clase y ancho del rectángulo es igual al tamaño de cada intervalo de clase (Ax).

+

Laaltura de cada rectángulo es la frecuencia relativa de cada intervalo de clase.

El histograma se obtiene trazando en el eje de abscisa, la

columna 2 y en el eje de la ordenada la columna 5 del cuadro N* 1.3.3.

1.2.2. Polígono de frecuencias relativas Un polígono de frecuencias es un gráfico de línea que se -

obtiene uniendo los puntos medios de las partes superiores de los rectángulos del histograma de frecuencias relativas. El polígono de frecuencias relativas se obtiene graficando la columna 3 en el eje de la abscisa y en el eje de la ordenada columna 5 del cuadro N* 1.3.3. Para que el polígono de

frecuencias llegue al eje horizontal a ambos lados de la columna 3 se agrega un intervalo de clase con frecuencia igual a cero. ii.S. Distribuciones de frecuencias absolutas acumuladas. Ojivas Hay dos tipos de ojivas: la curva que representa las frecuencias absolutas acumuladas menores al límite superior del

cada intervalo de clase denominada frecuencias absolutas

E

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD EN LA HiDROLOGÍA (Diseño HibroLÓGICO)

acumuladas menores y la curva que representa las frecuencias acumuladas mayores al límite inferior de cada intervalo de clase denominada frecuencias acumuladas mayores.

Por tanto las ojivas se obtienen graficando los límites superiores o inferiores de cada intervalo de clase en la abscisa y las frecuencias absolutas acumuladas en el eje de la ordenada. Lo que comúnmente se usa son las frecuencias absolutas acumuladas menores que se obtienen trazando en el eje de la abscisa los límites superiores de cada intervalo de clase y en el eje de la ordenada la columna 6 del

cuadro N? 1.3.3. 1i,4, Distribuciones de frecuencias relativas acumuladas. Ojivas Estas ojivas se obtienen usando las frecuencias relativas, a cambio de frecuencias absolutas del caso anterior. Por tanto las ojivas se obtienen graficando los límites superiores

o inferiores de cada intervalo de clase en la abscisa y las frecuencias relativas acumuladas en el eje de la ordenada. Como se ha indicado, lo que comúnmente se usa son las frecuencias relativas acumuladas menores, que se obtienen

trazando en el eje de la abscisa los límites superiores de cada intervalo de clase y en eje de la ordenada la columna

7 del cuadro N* 1.3.3. 11.5. Función de densidad empírica

El gráfico de la función de densidad empírica se obtiene trazando en la abscisa los datos de la columna 3 y en la ordenada los datos de la columna 8 del cuadro N* 1.3.3, El gráfico es paralelo al polígono de frecuencias relativas, siendo más pequeños los valores en eje vertical, los puntos son unidos mediante una curva.

1.3.4. Aplicaciones en hidrología La estadística descriptiva descrita hasta esta parte en la hidrología tiene dos aplicaciones: relacionar las frecuencias relativas con las probabilidades y obtener la función de densidad empírica.

1)

Relación entre las frecuencias relativas con las probabilidades y las frecuencias relativas acumuladas con las probabilidades

acumuladas. En el capítulo II se estudia la ley de probabilidades donde a las descargas máximas o cualquier evento extremo se considera como eventos independientes, la probabilidad de evento se representa por:

ABELARDO M. Díaz SALas

pl

(1.3.15,) n

Donde: fr = frecuencia relativa

n = número total de datos

La probabilidad acumulada se calcula mediante la siguiente ecuación:

PIX2x) ==

ra

]

(1.3.16,)

n

Donde: X = variable aleatoria

x = valor de la variable aleatoria m= número de orden del dato ordenado en forma descendente n; = número de datos que superan o igualan a x.

Y fr, = suma de frecuencias relativas ordenadas en forma descendente. Para el cálculo de la ecuación (1.3.16.) algunos autores indican

que al denominador se debe sumar 1, de tal manera que la probabilidad de exceder o igualar al dato más bajo no resulte 100% (no permite hacer inferencias estadísticas). Pero como

se trata de comparar la frecuencia relativa con la probabilidad en este capítulo se utilizará la ecuación (1.3.16.).

La probabilidad de ocurrencia de que un evento sea menor a un valor se determina mediante la siguiente ecuación:

prx fra = suma de frecuencias relativas de los datos ordenados de menor a mayor

E

HibroLÓGICO) EstapísTiCA Y PROBABILIDAD EN LA HIDROLOGÍA (Diseño

Obtención de la función de densidad empírica. cionar gráficaLa función de densidad empírica sirve para selec un conjunto de mente el modelo probabilístico adecuado para o probabilísdatos (muestra). El tema de la selección del model nte capítulo tico adecuado se ve en el capítulo VI. En el prese

2)

ientes se trata de la obtención de valores y figuras correspond a la función de densidad empírica.

Ejemplo 1.1.

de distribuPara los datos del cuadro N? 1.1.1., hallar la tabla ncias, las frecue de ción de frecuencias, histogramas, polígonos

a)

densidad funciones de distribución acumulada y la función de empírica.

bilidad que Hallar la frecuencia relativa de cada dato, la proba (ecuación o minad deter el evento sea mayor o igual a un valor

b)

a un 1.3.16.) y la probabilidad de que el evento sea menor

valor dado (ecuación 1.3.17.) Solución a): 1.

se muestran Los datos ordenados del cuadro N' 1.1.1.

cuadro N* 1.3.4. Cuadro N* 1.3.4. Descargas máximas instantáneas anuales

(m?/s) del río Querococha ordenadas en forma ascendente

8.96

2.

Enel cuadro N? 1.3.4. se observa que: Xmáx. = 10.78 Xin. = 3.98 n

3.

= 29

Siguiendo el procedimiento indicado se obtiene: R =10.78-3.98 = 6.8 K =5.48= 5 Ax = 1.361

9

en el

ABELARDO M.. Díaz SALAS

4.

Los demás resultados se muestran en el cuadro N* 1.3.5. y en las figuras del N* 1.3.1. al N* 1.3.7.

Cuadro N?* 1.3.5.

Tabla de frecuencias de las descargas máximas instantáneas anuales del río Querococha-Estación Querococha (m?/s)

Intervalo de clase 2 A

¿

..

1

:

:

Marca de clase 6 :

3.980-5.341

4.661

2

5.341-6.702

3

6.702-8.063

Frecuencia | Frecuencia absoluta relativa 6 5)

Pos lada acumula (0).

nes tada acimul tm

pación de O emplrica 8)

0.103

0.076

3

0.103

3

6.022

7

0,241

10

0.345

0.177

7.383

d

0.241

17

0.586

0.177

4

8.063-9.424

8.744

8

0.276

25

0.862

0.203

5|

9.424-10.785

10.105

4

0.138

29

1.000

0.101

Total

29

1.00

h

12 104

3

6-7

2,

0 3

4

: 5

r 6

7

8

9

, 10 Descarga (m/s)

4

Figura 1.3.1. Histograma de frecuencias absolutas de las descargas máximas instantáneas anuales del río Querococha

: 11

12

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD EN La HiDROLOGÍA

(Diseño

HIDROLÓGICO)

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10

11

12

DESCARGA M3/5) _) Figura 1.3.2. Polígono de frecuencias absolutas de las

descargas máximas instantáneas anuales del río Querococha

30

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8

" 3

10 DESCARGA

Figura 1.3.3. Frecuencias absolutas acumuladas menores de las descargas máximas instantáneas anuales del río Querococha

,

a

11

Ea

(M3/5)

FRECUENCIA RELATIVA

ABELARDO M. Díaz SALAS

0.2 0.15 B.1 0.05

10 11 DESCARGA (M3/5)

2 m a e a 37 a = a

0.103

ba

o 2 A

FRECUENCIA RELATIVA

Sa da 161]

Figura 1.3.4. Histograma de frecuencias relativas de las descargas máximas instantáneas anuales del río Querococha

3

4

>

6

7

3

9

10

11

DESCARGA (M3/5)

Figura 1.3.5. Polígono de frecuencias relativas de las descargas máximas instantáneas anuales del río Querococha

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

En La HiproLoGíA

(Diseño

HiDROLÓGICO)

1.2 10.785, 1.000 1

9.424, 0.862

3 E 08-

E

3

S

8.063, 0.586

g 06 -

EE

2 S 047

6.702, 0.345

e

vu E]

3

5

024

5.341, 0.103

3.980, 0.000 4

3

2

5

6

7

9

8

11

10

12

Descarga (m?/s)

Figura 1.3.6. Frecuencias relativas acumulas menores de las descargas máximas instantáneas anuales del río Querococha

0.25 0.203 5 02. 5 EDo 30.15 y Y

3

Éo

o

8

017

Lal

3

2

Q

Zo

054

0

0

2

0.000

:

12

14

Descarga (m3/s)

Figura 1.3.7. Función de densidad empírica de las descargas máximas instantáneas anuales del río Querococha

Solución b):

De las ecuaciones del (1.3.15.) al (1.3.17.) se obtienen el cuadro N* 1.3.6. y figuras N* 1.3.8. y 1.3.9.

|

ABELARDO MI. DÍAZ SALAS

Cuadro N? 1.3.6.

Frecuencia relativa, frecuencia relativa acumulada mayor y menor obtenidas aplicando la ley de la probabilidad (datos del cuadro N* 1.1.1.)

Descara quis q

Frecuencia relativa (+ > 2)3

Número de datos que son . superiores

Námero de datos que son inferiores a q

10.78

0.0345

10.72 10.21

Ojiva mayor

Ojiva menor

a

5)

(6)

1

29

0.034

1.000

0.0345

2

28

0.069

0.966

0.0345

3

27

0.103

0.931

9.80

0.0345

4

26

0.138

0.897

9.40

0.0345

5

25

0,172

0.862

9.40

0.0345

6

24

0.207

0.828

m

E ñ

0 Qe 29

9,10

0.0345

7

23

0.241

0.793

8.97

0.0345

8

22

0.276

0.759

8.96

0.0345

9

21

0.310

0.724

8.90

0.0345

10

20

0.345

0.690

8.90

0.0345

11

19

0.379

0.655

8.13

0.0345

12

18

0.414

0.621

8.00

0.0345

13

Le

0.448

0.586

7.95

0.0345

14

16

0.483

0.552

7.56

0.0345

15

15

0.517

0.517

7.48

0.0345

16

14

0.552

0.483

6.94

0.0345

17

13

0.586

0.448

6.87

0.0345

18

12

0.621

0.414

6.77

0.0345

19

11

0.655

0.379

6.70

0.0345

20

10

0.690

0.345

6.52

0.0345

21

9

0.724

0.310

6.50

0.0345

22

8

0.759

0.276

6.39

0.0345

23

7

0.793

0.241

6.26

0.0345

24

6

0.828

0.207

5.88

0.0345

25

5

0.862

0.172

5.82

0.0345

26

4

0.897

0.138

4.93

0.0345

27

3

0.931

0.103

4.89

0.0345

28

2

0.966

0.069

3.98

0.0345

29

1

1.000

0.034

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

EN La HibROLOGÍA

(Diseño

HIDROLÓGICO)

Frecuencia relativa acumulada mayor

1.20

1.00 y

0.80 +

0.40 7

0,20 4

0.00

7

7

4

2

Y

7

6

8

7

10

12

Descarga máxima instantánea anual del río Querococha (m?/s)

Figura 1.3.8. Frecuencias relativas acumuladas mayores

o la probabilidad de la descarga de ser igualado o superado a q

Frecuencia relativa acumulada menor

1.207

1.00 y

0.60 y

0,40 7

0.20 4

0.00

7

0.00

2.00

7

4.00

Y

6.00

7

8.00

10.00

12.00

Descarga máxima instantánea anual del río Querococha (m?/s)

Figura 1.3.9. Frecuencias relativas acumuladas menores o la probabilidad de la descarga de ser menor a q

Ejemplo 1.2.

Usando las informaciones de los cuadros N* 1.3.5., N* 1.3.6. y de las figuras N? 1.3.6. y N* 1.3.9. hallar: 1.

¿Qué porcentaje de las descargas máximas instantáneas anuales del río Querococha son menores a 6.71 m/s?

2.

¿Cuál es la probabilidad de que las descargas máximas instantáneas anuales del río Querococha sean menores a 6.71 m/s?

ABELARDO M. Díaz SALAS

3.

¿Qué porcentaje de descargas máximas instantáneas anuales

del río Querococha son superiores a 8.06 m3/s? 4.

¿Cuál es la probabilidad de que las descargas máximas instantáneas anuales del río Querococha sean mayores a 8.06 m*/s?

5.

¿Qué porcentaje de las descargas máximas instantáneas anuales del río Querococha están entre 6.7 y 8.06 m?*/s?

6.

¿Cuál es la probabilidad de que las descargas máximas instantáneas anuales del río Querococha estén entre 6.7 y 8.06 m3/s?

7.

¿Qué porcentaje de las descargas máximas instantáneas anuales del río Querococha están entre 6 y 8 m*/s?

8.

¿Cuál es la probabilidad de que las descargas máximas instantáneas anuales del río Querococha estén entre 6 y 8 m*/s?

Solución Como se ha indicado, para solucionar este ejemplo es necesario considerar las variables hidrológicas como variables aleatorias (suceden al azar); es decir, el suceso es independiente del tiempo, por esta razÓn al clasificar los datos observados no se tiene en cuenta la secuencia en el tiempo. De la tabla de distribución de frecuencias (cuadro N? 1.3.5.), del cuadro N* 1.3.6. (frecuencias relativas acumuladas

según la ley de probabilidades), de las figuras de las frecuencias relativas acumuladas menores (figura N? 1.3.6. y N* 1.3.9.) se obtienen:

L.

El 34.5% de las descargas máximas instantáneas anuales del río Querococha son menores a 6.71 m/s (obtenida del cuadro N* 1.3.5. comulna 6 y de la figura N* 1.3.6.). La probabilidad de que las descargas máximas instantáneas anuales del río Querococha sean menores a 6.71 m/s es 10 . P(Q 8.06) ==0.414,

sean mayores

a 8.06 m/s

es

Es decir, hay 12 datos que son mayores

EN La HiDROLOGÍA

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

(Diseño HIDROLÓGICO)

a 8.06 como se observa en cuadro N* 1.3.6. y en la figura N? 1.3.8. 5.

El porcentaje de las descargas máximas instantáneas anuales del río Querococha que están entre 6.71 y 8.06 m/s es:

100[1 — (0.345 + 0.414)] = 24.1%. 6.

La probabilidad de que las descargas máximas instantáneas

anuales del río Querococha estén entre 6.71 y 3.06 m3/s es 0.241

P(6.711.349 2.

m

ó P [Q21,.349 =-

]=0.9

Solución b

El caudal promedio del período de registro es q=1.724m"s, del cuadro N* 1.3.8., se obtiene la probabilidad de persistencia:

P=(0.552-0.517)

1.724-1.76 1.71-1.76

Por tanto se tiene: P(Q > q) =0.54

+0.517 =0.54

ABELARDO M. Díaz SALAS

Solución c Resumiendo se tiene: a.

PMQ>1.76m/s)

b.

PIQ>7) = 0.54

= 0.5

C.

P(Q>1.503 ms) = 0.75

d.

P(Q>1.349 ms) = 0.90

En el río Querococha, según estos resultados en cien años, el comportamiento de los caudales probablemente será: a. Q=> 1.76 m/s se presentarán 50 años y en los 50 años restantes los caudales serán menores a 1.76 m?/s. b. Q=q= 1.724 m/s se presentarán 54 años y en los 46 años restantes los caudales serán menores a 1.724 mi/s (caudal promedio). c. d.

Q> 1.503 mi/s se presentarán 75 años y en los 25 años restantes los caudales serán menores a 1.503 m/s. Q > 1.349 ms se presentarán 90 años y en los 10 años restantes los caudales serán menores a 1.349 mi/s.

Los resultados anteriores indican que no es recomendable diseñar obras hidráulicas como un canal para caudal prome-

dio O para caudal con 50% de persistencia, porque la obra

prestará servicio óptimo aproximadamente la mitad del tiempo (horizonte del proyecto); por consiguiente, el proyecto se sobredimensionaría. Para obras de riego es recomendable trabajar

con 75% de persistencia y en obras de centrales hidroeléctricas

se diseñan los canales para caudales con 90% de persistencia, porque la demanda de agua para generar energía eléctrica es más exigente que en los proyectos de riego.

1.3.5. Descripción de datos La razón fundamental de clasificar los datos en una tabla y graficar las frecuencias es para describir la naturaleza de la distribución de frecuencias. La descripción se realiza mediante los estadísticos o los estadígrafos. l.

Estadísticas de posición

Son números que indican la localización del valor medio o valor central de la distribución de frecuencias, estos estadísticos son denominados como medidas de localización o medidas de tendencia central; por tanto, las medidas de posición determinan la

Locía (Diseño HIDROLÓGICO) EstapísTICA Y PROBABILIDAD EN LA Hioro

s de una distribución de ubicación del valor central de los dato ción comúnmente usados frecuencias. Los estadísticos de posi

son: media, mediana y moda.

tra en la figura N* 1.3.10., La ubicación del valor central se mues de los datos de la muestra donde se observa que el valor central tivamente al valor central A y B son iguales y menores cuantita

de la muestra C y D.

—A— Distr. A —5-— Distr. B —>— Distr. € —+-— Distr. D

Variable Hidrológica

l) ión o de localización (valor centra Figura 1.3.10. Estadísticas de posic

de la distribución de frecuencias

i.1.

Media

más usadas son la media En la hidrología estadística las medias aritmética y la media global.

1.1.1. Media aritmética

mético, es un estadístico que Llamada también promedio arit ribución; es decir, localiza el localiza el valor central de la dist El de la distribución en el eje de la abscisa.

centro de gravedad mediante las siguientes valor de la media aritmética se calcula ecuaciones:

1.

Para datos no clasificados

(1.3.18.)

ABELARDO M. Díaz SALAS

Donde: x = valor de la variable hidrometeorológica n = número total de datos de la muestra ¡=1,2,....n Para los datos clasificados o agrupados K Y¿ xn; i=1

K Y xm; df

K =D

5

-

xfr;

(1.3.19.)

>

Ma

x=

T

2.

Donde:

Xar Xy10=»1x, = Marcas de clase n,, n,,...n, = frecuencias absolutas A

frecuencias relativas

K

= número de intervalos de clase

n

= número total de datos de la muestra

Ejemplo 1.4. De los datos del cuadro N* 1.1.1., hallar la media aritmética considerando datos sin agrupar y datos agrupados (clasificados). Descargas máximas instantáneas anuales del río Querococha (m/s)

AñO

0

AñO

0

Año

Q

1953-1954

6.94

1963-1964

5.88

1973-1974

7.48

1954-1955

7.95

1964-1965

9.10

1974-1975

10.72

1955-1956

6.50

1965-1966

6.52

1975-1976

10.21

1956-1957

6.77

1966-1967

9.80

1976-1977

8.97

1957-1958

6.39

1967-1968

4.93

1977-1978

8.13

1958-1959

6.26

1968-1969

3.98

1978-1979

8.96

1959-1960

8.90

1969-1970

6.87

1979-1980

4.89

1960-1961

8.00

1970-1971

6.70

1980-1981

9.40

1961-1962

9.40

1971-1972

8.90

1981-1982

10.78

1962-1963

1972-1973

SO (Diseño

HIDROLÓGICO)

a ea

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD EN La HiproLOGÍA

Considerando datos sin agrupar aplicando la ecuación (1.3.18.) se obtiene: x = 7.68 m*/s Considerando como datos agrupados aplicando la ecuación (1.3.19.) se obtiene: K mm

Intervalo de clase (2)

Marca de clase (3)

1

3.980 - 5.341

4.66

2

5.341 - 6.702

6.02

2

6.702 - 8.063

7.38

4

8.063 - 9,424

8.74

3

9.424- 10.785

10.10

Frecuencia. | Frecuencia absoluta (1) relativa (5)

Columna 05)

Columna ra

0.10

13.98

0.48

7

0.24

42.14

1.45

Z

0.24

51.66

1.78

9

0.28

69.92

2.41

4

0.14

40.40

1.39

29

1.00

218.1

7.52

3

Total Promedio

PDZ

El promedio es x = 7.52 m%/s (ecuación 1.3.19.) 1.1.2. Media global

La media global es útil en hidrología, por ejemplo en el análisis de saltos donde los datos recopilados se dividen en submuestras, por lo que es necesario calcular la media de cada submuestra y el promedio global se calcula mediante la siguiente ecuación:

2mX 8

(1.3.20,)

n

xl

Donde:

=

media global

n=

número de datos de cada submuestra

n =

número de datos de la muestra

m =

número de submuestras

x, =

media de cada submuestra

Mediana La mediana es un estadístico que localiza el valor central de una distribución de frecuencias, lo cual se calcula después de ordenar los datos en forma ascendente o descendente. La

A

Solución

: Y

ABELARDO M.. Díaz SALAS

mitad de los datos ordenados son inferiores a la mediana y la otra mitad son superiores a la mediana. La mediana se calcula para datos agrupados y no agrupados. 1.

Para datos no agrupados La mediana se calcula mediante las siguientes ecuaciones:

|

Em X (m2)

X=

Xx

(n/2) +X [n +22]

|

(1.3.21,)

|

(1.3.22,)

2

Donde: Xy) Xo,:»:, X, =datos de la muestra no agrupados ordenados en forma creciente o decreciente. X_. m

n

= mediana

=mnúmero total de datos de la muestra.

La ecuación (1.3.21.) se usa cuando n es impar y la ecuación (1.3.22.) cuando n es par.

Según la ley de probabilidades la mediana representa la variable hidrológica con 50% de persistencia. 2.

Para datos agrupados o

clasificados

Para calcular la mediana de datos agrupados es importante definir la clase mediana. La clase mediana es el intervalo de clase que contiene la mediana; esta clase se identifica a partir de las frecuencias absolutas o relativas y es la clase que acumula la mitad del número total de datos (n/2 ó

0.5n) o los que superó por primera vez la mitad de los datos. La clase mediana se calcula mediante las ecuaciones siguientes:

ln= [Lo E )0% 8 lev gr)

X= Lats (CP) Am

]

(1.3.23,

(1.3.24,)

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD EN LA HiproLOGÍA (Diseño HIDROLÓGICO)

La ecuación (1.3.24.) se obtiene de la figura N* 1.3.11. Por semejanza de triángulos 123 y 145 se obtiene:

Nm (n/2)>

Nim-1

—Lm017Lm

Nm-1

Xi

(1.3.25,)

Lam

a

Siendo:

l

we = Lo

Lo

)

(1.3.26,)

Reemplazando la ecuación (1.3.26.) en (1.3.25.) se obtiene:

zp

1,

W..((n/2) —N ol(0/2)= Nm)

(1.3.27,)

Nin =Nim-1

Donde: Nm

m-1

(1.3.28,)

i=1

[

Mo Nip 1

m = Xx, = L, = La. = n= N,., = n, w,

)

(1.3.29,)

clase mediana mediana límite inferior de la clase mediana límite superior de la clase mediana número total de los datos de la muestra frecuencia absoluta acumulada hasta la clase inmediatamente anterior a la clase mediana = frecuencia absoluta acumulada de la clase mediana = ancho de la clase mediana

ABELARDO M.. Díaz SaLas

Y

ON

Figura 1.3.11. Ilustración gráfica de la clase mediana

Es importante comentar que la media está influenciada por los valores extremos de los datos de la muestra y como es la medida del centro de gravedad de la distribución, tiende a inclinarse hacia el de mayor valor o mayor frecuencia. Si hay datos extremos que difieren considerablemente del resto de los datos, la media no localiza el

centro de gravedad en el valor medio de la distribución, en cambio la mediana no es influenciada por los valores extremos y localiza el centro de la distribución en posición central; por tanto, la mediana

resulta mejor estadístico en el sentido de la localización del valor central de la distribución, sin embargo en general la media es más representativa que la mediana como estadístico de localización, según García [71. Ejemplo 1.5. De los datos del cuadro N* 1.1.1., hallar la mediana considerando datos sin agrupar y datos agrupados (clasificados). Descargas máximas instantáneas anuales del río Querococha (m3/s) Año

Q

Año

o

Año

Q

1953-1954

6.94

1963-1964

5.88

1973-1974

7.48

1954-1955

7.95

1964-1965

9.10

1974-1975

10.72

1955-1956

6.50

1965-1966

6.52

1975-1976

10.21

1956-1957

6.77

1966-1967

9.80

1976-1977

8.97

1957-1958

6.39

1967-1968

4.93

1977-1978

8.13

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD EN LA HiDROLOGÍA (Diseño HIDROLÓGICO)

Año

Q

Año

Q

Año

Q

1958-1959 1959-1960 1960-1961 1961-1962 1962-1963

6.26 8.90 8.00 9.40 7.56

1968-1969 1969-1970 1970-1971 1971-1972 1972-1973

3.98 6.87 6.70 8.90 5.80

1978-1979 1979-1980 1980-1981 1981-1982

8.96 4.89 9.40 10.78

Solución 1.

Mediana de los datos no agrupados

Considerando datos sin agrupar, pero ordenados, aplicando la ecuación (1.3.21.) donde n=29 (impar) se obtiene:

maz 2.

= x,5=7.56m7s (ver cuadros N? 3.4. y N* 1.3.6.)

Considerando datos agrupados del cuadro N? 1.3.5., se calcula la mediana mediante el siguiente procedimiento: a.

Identificar la clase mediana En el cuadro siguiente se observa que 0.5 n = 0,5 * 29 = 14.5, entonces la clase o el intervalo de clase que superó la mitad de los datos por primera vez es el intervalo de clase N9 3. (columna 6); por tanto, acorde con la ecuación (1.3.23.) la clase mediana es:

Ko m = (Lala); Xy EL yor, m+1 1) > K,=16.702 — 8.063) nom 1 Tabla de frecuencias de las descargas máximas instantáneas anuales del río Querococha-Estación de Querococha (m%/s)

(0

o

o

0

a

acumulada | acumulada |

(6) 1

3

empirica

(8)

3.980-5.341

4.661

3

2

5.341-6.702

6.022

7

0.241

10

0.345

0.177

3

6.702-8.063

7.383

7

0.241

17

0.586

0.177

4

8.063-9.424

8.744

8

0.276

25

0.862

0.203

5 | 9.424-10,785

10.105

4

0.138

29

1.000

0.101

Total

29

1.00

b.

0.103

wm 0.103

0.076

La mediana se encuentra mediante la ecuación (1.3.24.), obteniéndose:

L

= 6.702

Asearpo

= 8.063 - 6.702 29/2

= 1.361

moon li

(-x) ni

(1.3.44.)

i=1

X¡Xy1:x.

= marcas de clase

Xx

=

S

= desviación estándar para datos agrupados

|

nm...n,

= frecuencias absolutas

|

K

=

número de intervalos de clase

|

n

=

número total de datos de la muestra

|

+ — Sig=0 es una distribución simétrica + »

|

|

promedio de los datos agrupados

Sig>0esuna distribución sesgada a la derecha (polígono de frecuencias con cola más larga a la derecha) Sig —_

(1.3.45.)

(n — Dn — 2)n — 3) S

1.

Para datos no agrupados n

—,4

Eo Y my = ———

(1.3.46,)

n

Donde: s

=

desviación estándar para datos no agrupados

x

=

promedio para datos no agrupados

x,

= valor del dato o =

n

número total de datos

Para datos agrupados K

My

A

A

(x= xy n; ! !

n

—

Donde: =

xl

s

= ol

Il

A

>

x.

pe

2.

=

1/2...,n

¡o

=

desviación estándar para datos agrupados promedio para datos agrupados marca de clase del intervalo i valor de la i-ésima frecuencia absoluta número de intervalo de clase número total de datos 172...k

(1.3.47.)

EN LA HIDROLOGÍA

Estapística Y PROBABILIDAD

(Diseño

HiprotóGICO)

Según Benjamín at el. [2] el valor del coeficiente de curtosis es

costumbre comparar con C, - 3 que es coeficiente de apunta-

tamiento de una curva continua de forma de una campana (curva normal). Sic, >3es una distribución leptocúrtica, picuda o puntiae

guda. Sic, =3esuna distribución mesocúrtica O moderada (curva

e

normal)

Sic, 8.06 m?/s y

+

Evento C= 6.71 m/s < Q < 8.06 m/s. Descargas máximas instantáneas anuales

del río Querococha ordenadas en forma ascendente (m?/s)

3.98 6.77 8.96

4.89 6.87 8.97

|

4.93 6.94 9.1

5.8 7.48 9.4

5.88 7.56 9.4

6.26 7.95 9.8

6.39 8 10.2

6.5 6.52 8.13 8.9 10.72 | 10.78

6.7 8.9

Solución La determinación del número de elementos de cada evento se realiza por conteo directo de las descargas ordenadas en forma ascendente o descendente, sin considerar los años de suceso como se muestra en el cuadro siguiente y N* 1.3.4. Descargas máximas instantáneas anuales del río Querococha

(resultados igualmente probables)

EsTapísTicCA Y PROBABILIDAD

EN La HiDRoLOGÍA

(Diseño

HiDroLóGIco)

El número de elementos de cada evento es: n, = 10, nz = 12yn¿=7 Ejemplo 2.2.

Considerando las descargas máximas instantáneas anuales del río Querococha, hallar la probabilidad de que las descargas sean menores a

6.71 m/s.

Solución

En el ejemplo 2.1. se observa que los caudales menores a 6.71 m?/s son en número de 10 (casos favorables) de un total de 29 datos (casos posibles), por tanto se tiene: m = n, = 10,n = 29. La probabilidad es: P(A) =P(Q< 6.71m/s) = 190.35 29 Este mismo resultado se obtuvo en el ejemplo 1.2.

2.6.1. Axiomas de probabilidad i.

Axioma l

Si A es un evento cualquiera, entonces se tiene: O

A=np=2.05;x = 2

Sustituyendo estos valores en la ecuación (4.2.10.) se tiene: -2.05

po=2) 2 220% 21

2

0.271

Este resultado es diferente con respecto al resultado hallado en el ejemplo 4.2.3., porque el valor de n no es grande y el valor de p no es pequeño.

4.3.Modelos probabilísticos continuos Los modelos probabilísticos continuos comúnmente usados en la hidrología son: normal, logarítmico normal, exponencial, Gamma, Pearson Ill y Gumbel. La distribución teórica adecuada para un conjunto de datos

muestrales se define mediante los métodos indicados en el capítulo VI. 4.3.1. Distribución normal

La función densidad de la distribución normal está dada por la siguiente ecuación:

Donde: fc9

=

función densidad de probabilidad variable aleatoria

Xx

o

= desviación estándar de la población

y.

=

media de población

En la ecuación (4.3.1.) y y s son parámetros de K distribución normal si la variable aleatoria se distribuye normalmente, se representa mediante la siguiente ecuación: (

X > Níu, 0?)

]

(4.3.2,

ABELARDO M. Díaz SALAS

Esta ecuación se lee cómo la variable aleatoria X tiene distribución normal con media y y variancia o?, en el cuadro N? 4.3.1. y en las figuras N* 4.3.1. y 4.3.2. se muestran los valores y la forma que tiene el modelo de distribución normal para varios valores de sus parámetros. Cuadro N* 4.3.1.

Función de densidad de la distribución normal para diferentes valores de

y o

Xx

NCLD

N(0,D

Na,D

NQ,0.5)

N0,D

N(0,2)

-4.0000

0.0044

0.0001

0.0000

0.0000

0.0001

0.0270

-3.5000

0.0175

0.0009

0.0000

0.0000

0.0009

0.0431

-3.0000

0.0540

0.0044

0.0001

0.0000

0.0044

0.0648

-2.5000

0.1295

0.0175

0.0009

0.0000

0.0175

0.0913

-2.0000

0.2420

0.0540

0.0044

0.0003

0.0540

0.1210

-1.5000

0.3521

0.1295

0.0175

0.0089

0.1295

0.1506

-1.0000

0.3989

0.2420

0.0540

0.1080

0.2420

0.1760

-0.5000

0.3521

0.3521

0.1295

0.4839

0.3521

0.1933

0.0000

0.2420

0.3989

0.2420

0.7979

0.3989

0.1995

0.5000

0.1295

0.3521

0.3521

0.4839

0.3521

0.1933

1.0000

0.0540

0.2420

0.3989

0.1080

0.2420

0.1760

1.5000

0.0175

0.1295

0.3521

0.0089

0.1295

0.1506

2.0000

0.0044

0.0540

0.2420

0.0003

0.0540

0.1210

2.5000

0.0009

0.0175

0.1295

0.0000

0.0175

0.0913

3.0000

0.0001

0.0044

0.0540

0.0000

0.0044

0.0648

3.5000

0.0000

0.0009

0.0175

0.0000

0.0009

0.0431

4.0000

0.0000

0.0001

0.0044

0.0000

0.0001

0.0270

0.50 0.40

to)

0,30

0.20

0.00

+

Figura N* 4.3.1. Función de densidad de la distribución normal para igual sigma y diferentes medias

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

EN LA HibRoLOGÍA

(Diseño

HIDROLÓGICO)

0.90 0.80 0.70 0.60

—+—N(0,0.5) —o6—M(0,1)

fo)

0.50 0.40

——N(0,2)

0.30 0.20 0.10 0.00

Figura N? 4,3.2. Función de densidad de la distribución normal

para igual media y diferentes valores de sigma

La función acumulada de la distribución normal está dada por la siguiente ecuación:

Fo9= [£o0dx

(4.3.3,

Xx

La ecuación (4.3.3.) analíticamente no es integrable. Las ecuaciones (4.3.1.) y (4.3.3.) se simplifican definiendo una nueva variable llamada z que se expresa mediante la siguiente ecuación:

|

Z=

x—u

(4.3.4.

o

(

dx = odz

)

(4.3.5.)

Donde:

z =

variable normal estándar

La variable z tiene media cero (u = 0), y la variancia uno (0? = 1), entonces se representa por z >N(0,1). La función de densidad de Z está dada por la siguiente ecuación:

|

/)= 770

Ea 2

—=0E

Figura N* 4.3.3. Función de densidad de la variable normal estándar

La función de distribución de probabilidades o la función de distribución acumulada de la variable aleatoria (normal estándar) se obtiene integrando la ecuación (4.3.6.), que representa el área de la figura N? 4.3.3. para los diferentes valores de z. Matemáticamente se representa mediante la ecuación (4.3.7.):

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD EN La HiprotoGía (Diseño HIDROLÓGICO)

(4.3.7)

e =[_/()d:

P(2)= Lo

La ecuación (4.3.7.) al igual que la ecuación (4.3.3.) no es integrable analíticamente, los valores de la ecuación (4.3.7.) se obtienen de tablas, o se pueden obtener mediante las técnicas de métodos numéricos (integración numérica); o se pueden aproximar mediante el polinomio de Abramowitz y Stugen dada por Chow et ál. [51 cuya expresión matemática es:

B=, [1+0.196854|z|+ 0.115194|z|" +0.000344|z|' +0.019527 e]

|

(4.3.8)

|

z

|

|

¿ Donde:

|

|

Í E

z| = valor absoluto de z [

F(2)= B

Í

F(2)=1-B

Chow

paraz0

et ál. 15] indica que la ecuación

|

(4.3.9.)

)

(4.3.10.)

(4.3.8.) genera error de

0.00025. Los valores de x, según el modelo probabilístico normal, se obtienen reemplazando el valor de z obtenido con la ecuación (4.3.9.) ó (4.3.10.) en la ecuación (4.3.4.): (

X=X +0,

]

(4.3.11,)

Donde:

valor ajustado a la distribución normal

Xx

Xx

=

o, Xx =

promedio de la muestra desviación estándar de la muestra

z corresponde a P(X 0

(4.3.33,

x EQ)

2)

(4,3.34,)

En el cuadro N? 4.3.8. y en la figura N* 4.3.7. se muestran los

valores y la forma que toma la función densidad de la distribución exponencial para diferentes valores del parámetro ». Cuadro N? 4.3.8. Función de densidad de la distribución exponencial para diferentes valores de 2

X

E(0.5)

E(0,25)

0.00

0.5000

0.2500

ED 1.0000

0.50

0.3894

0.2206

0.6065

1.00

0.3033

0.1947

0.3679

1.50

0.2362

0.1718

0.2231

2.00

0.1839

0.1516

0.1353

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD EN LA HiDROLOGÍA (Diseño HIDROLÓGICO)

Xx

E0.5)

40.25)

ED

2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00

0.1433 0.1116 0.0869 0.0677 0.0527 0.0410

0.1338 0.1181 0.1042 0.0920 0.0812 0.0716

0.0821 0.0498 0.0302 0.0183 0.0111 0.0067

1.20 1.00 4 0.80 5

0.60 -

rr

0.404” 0.20 0.00 0

2

4

6

8

10 Xx

ac (0,5)

= x)=1-P(X 0

iy)

Los valores de z se obtienen de la siguiente ecuación (ver ecuación 4.3,4.):

Los parámetros 1 y o se obtienen utilizando el método de momentos o el método de máxima verosimilitud, aplican-

do cualquiera de los métodos se obtiene:

X= eN n=

Xx, =4=7.68

m s=

LS n-1%

m/s

(ver ejemplo 1.4.)

(vi)

2 - x)

=0=1.79

m/s

(ver ejemplo 1.7.)

(vii)

EsTApDísTICA Y PROBABILIDAD

EN LA HiDROLOGÍA

(DIseÑO

HioroLóaico)

Reemplazando (vi) y (vii) en (v) se obtiene: XX

z=

]

se

(vili)

Ss

Cuando z> 0 El valor de z para q=10.78

10,787.68 1.79

es:

=1.732

De la ecuación (ii) se obtiene: 1+0.196854/1.732] + 0.1 15194)1.732/' e Ñ

0.000344|1.732]* +0.019527/1.732|

c

a

(1x0)

= 0.041

De la ecuación (iv) se obtiene: Fíz)

=

1-B

para (z =

1.732)20

]

0)

Remplazando (ix) en (x) se obtiene: ( F(2)=1-B =P(Q 4)=1-P(Q10.78 m/s) =1-P(Q>7

EsTabísTICA Y PROBABILIDAD EN LA HiDROLOGÍA (Diseño HIDROLÓGICO)

8.2. Aproximación empírica La fijación del período de retorno se hace teniendo en cuenca las recomendaciones hechas en los libros, como por ejemplo las recomendaciones

de Chow et ál [51, página 430.

8.3.Análisis de riesgo Otra forma de determinar el tiempo de retorno es fijando un riesgo de

falla de la obra. La estructura puede fallar (colapsar) si la magnitud del evento hidrológico para el período de retorno T de diseño o igualada durante la vida útil de la estructura. El riesgo de lacionado con la vida útil del proyecto y con el período de ecuaciones que relacionan el riesgo hidrológico, el período la vida útil de la obra son:

es superada falla está reretorno. Las de retorno y

De la ecuación (7.10.) se tiene: 1 Pa P(X=x)

|

(8.1.)

De principio de probabilidades se tiene: (

PX

x)

]

(8.2.)

La ecuación (8.2.) representa la no ocurrencia del evento, es decir representa la probabilidad de que el evento no sea igualado ni superado, entonces para eventos independientes se tiene: +

Enlañola probabilidad de no ocurrencia del evento es: P(X