Al azar : la probabilidad, la ciencia y el mundo 9788474324327, 8474324327

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Ivar Ekeland

AL AZAR

Grupo: CIENCIAS NATURALES y DEL HOMBRE Subgrupo: PROBABILIDAD, MATEMÁTICA Y TEORÍA DEL CAOS

Editorial Gedisa ofrece los siguientes títulos sobre

CIENCIAS NATURALES y DEL HOMBRE pertenecientes a sus diferentes colecciones y series (Grupo "Probabilidad, matemática y teoría del caos") IVAR EKELAND STEPHEN

Al azar

R. GRAUBARD La inteligencia artificial (comp.)

WILLIAM ASPRAY

John von Neuman y el origen de la computación moderna

AL AZAR La probabilidad, la ciencia y el mundo

por

Ivar Ekeland

Título del original en francés: Au hasard © 1991 by Éditions du Seuil

Traducción: Alberto Luis Bixio

Cubierta: Gustavo Macri

Primera edición, Barcelona, España, 1992

Derechos reservados para todas las ediciones en castellano

© by Editorial Gedisa, S. A. Muntaner 460, entlo., l' Te!. 201 60 00 08006 - Barcelona, España

ISBN: 84-7432-432-7 Depósito legal: B-28.914! 1992

Impreso en España

Printed in Spain Impreso en Libergraf, Avda. Constitució, 19,08014 Barcelona Queda prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio de impresión, en forma idéntica, extractada o modificada, en castellano o cualquier otro idioma.

Indice

PREFACIO........................................................................... 1. 2. 3. 4. 5. 6~

Alea......................................................................... El destino La anticipación El caos , El riesgo La estadística.........................................................

CONCLUSION

9 13 45 75 97 143 165 187

Prefacio

Mientras la Biblia hebraica sitúa la confusión primigenia, el caos original, en el comienzo de los tiempos, los Eddas escandinavos lo sitúan en un período intermedio. Ese es el momento del Ragnarok, del crepúsculo de los dioses, de la destrucción del mundo que se verifica entre la historia de los hijos de Odín y la nueva edad de oro que surgirá de las ruinas. Veamos lo que dice de esto la Voluspa, la visión de la sibila, texto grandioso que abarca el conjunto del ciclo en una visión profética.!

Tiempos de fuego, tiempos de hierro, Hendidos están los escudos. Tiempos de rayo y de ferocidad, Antes del derrumbamiento del mundo. Los gigantes se lanzan al asalto en un barco construido con uñas de muertos. El perro Garm, que ladra en las puertas del infierno, rompe su cadena la serpiente Midgard surge del fondo del océano y combate con el dios Thor, el lobo Fenrir da muerte a Odín, a quien venga su hijo Vidar, el fresno Yggdrasil, a cuyo amparo las tres Nomas fijan los destinos humanos, se rasga de arriba abajo, el sol se oscurece, la tierra se hunde en el mar, el incendio lo devora todo hasta las estrellas.

1 Sobre una traducción de la Voluspa, véase Renaud-Krantz, Anthologie de la poésie nordique ancienne, París, Gallimard, 1964.

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¿Por qué no hemos de pensar que aquellos tiempos son los nuestros y que en medio del caos en que se desarrolla nuestra historia no encontramos, unos junto a otros, fragmentos del mundo antiguo y de la futura edad de oro, así como la suave arena de una playa revela a través de la lupa una multitud de gránulos multicolores y diversos? Por eso me pareció posible, y en ciertos aspectos necesario, poner en relación dos textos que están separados por un milenio: algunas páginas de una antigua saga y unos fragmentos de un tratado moderno sobre el azar. Si una historia habla de suerte, de magia o de destino, la otra habla de alea, de caos o de riesgo, pero se trata de la misma historia. Comienza en la época antigua en la que la misma palabra griega roX11 abarcaba todos esos aspectos y expresaba asimismo la existencia. Abrimos el libro, como lectores en busca de distracción o de saber, y progresivamente descubrimos que nosotros somos los actores. Lo mismo que Jano, el azar tiene varios rostros, y es la riqueza de esas múltiples caras lo que he querido pintar. No quise imponer a esa diversidad el marco artificial de un árbol bien recortado, ni imponer al pensamiento la unidad retórica de una exposición bien hilvanada. Acaso sea también conveniente que el azar tenga alguna parte en la manera en que se aborde esta obra. Lector, este libro tiene seis capítulos. Torna un dado y ya sabes lo que hay que hacer.

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Alea

Torstein Frode cuenta que en Hising había una ciudad que estaba ligada en su suerte tanto a Noruega como a Suecia. Los dos reyes convinieron entonces en echar suertes por ver a quién de ellos les correspondería; arrojarían los dados y el ganador sería aquel que obtuviera el total de puntos mayor. El rey de Suecia sacó dos seis y dijo que no valía la pena que el rey Olav probara suerte, pero éste, mientras sacudía en la mano los dados, le respondió: "Hay todavía dos seis en estos dados, y no es difícil que Dios, mi Señor, los haga salir". Tiró los dados y obtuvo dos seis. El rey de Suecia volvió a echar los dados y obtuvo de nuevo dos seis. Luego el rey Olav tornó a jugar y uno de los dados mostró todavía un seis pero el otro se quebró en dos pedazos, con tanta fortuna que indicó siete. Entonces la ciudad le tocó a él.' Según una tradición minoritaria pero bien atestiguada, el rey Olav Haraldssen en aquella ocasión había manipulado el azar. Algunos le atribuyen, desde el comienzo de una vida que debía llevarlo a la canonización, poderes milagrosos tales como curar a enfermos e inválidos o alcanzar ayuda del más allá para combatir junto a él. Se dice que también tenía el poder de hacer que los dados se detuvieran en la cara que deseaba. Para otros, lo mismo que ciertos combatientes llamados berserher, provistos en las grandes ocasiones de una fuerza sobrehumana que los hacía invulnerables, el rey Olav r Snorri Sturlasson, Saga de saint Olav, pág. 94.

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Haraldssen era capaz de una destreza sobrenatural que le permitía lanzar los dados tan hábilmente que su carrera terminaba naturalmente en la cara del dado que él había elegido. Un antiguo cronista hasta asegura que esa aptitud no era innata, y cuenta cómo el rey la adquirió entrenándose con dados cada vez más pequeños. Otros, por fin, lo acusan rotundamente de hacer trampas. Sus dados estaban cargados, lo cual explica que el número seis saliera con tanta regularidad, y uno de ellos estaba hábilmente astillado de suerte que no quedaba rastro aparente de nada. De manera que Olav Haraldssen había montado así todo el espectáculo hasta llegar a la sorpresa final, que sólo lo era para el rey de Suecia y su comitiva. Verdad es que en una tirada de dados todo puede ser sospechoso: el dado mismo, la forma y la rugosidad del tapete, la manera de lanzarlo. Si lo analizamos a fondo hasta podemos preguntarnos dónde está el azar. No está ni en la carrera del dado ni en sus saltos, que están regidos por el determinismo de la mecánica racional. El juego de billar se basa en los mismos principios y a nadie se le ha ocurrido pensar que sea un juego de azar. De manera que, en última instancia, el azar está en la torpeza, la inexperiencia o la ingenuidad del que tira los dados... o en el ojo del observador. Por lo demás, puede uno imaginar perfectamente una civilización en la cual tirar dados sea un deporte y el billar un juego de azar. Las reglas serían ciertamente diferentes. El dado debería tener las dimensiones y el peso de una bola de billar y la partida se desarrollaría como nuestro actual juego de bochas. El jugador tomaría algunos pasos de impulso y lanzaría su dado con la intención de acercarlo lo más posible a un testigo. La cifra que apareciera en la cara superior figuraría en la cuenta de los puntos y el lanzador hábil o experimentado regularía en consecuencia su tiro. Por lo que se refiere al billar, nada más fácil que convertirlo en un juego de azar. Basta con inclinar la mesa, con proveerla de dispositivos que rechacen y desvien la bola y con disponer seis troneras en la parte inferior de la mesa o en otros lugares del billar, de suerte que la bola caiga necesariamente en una de ellas. Como aquí no se busca favorecer la

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destreza, el gatillo disparador será mecánico, la bola se enviará contra la pendiente mediante un resorte que el jugador ajustará más o menos. Ese billar mecánico será tan aleatorio como los dados tradicionales. Se presta menos a este uso, pues un cubilete de dados se puede llevar fácilmente en un bolsillo y se puede disponer de él en cualquier circunstancia, pero en el plano de los principios nada impide imaginar a aquellos dos reyes decidiendo sobre la suerte de la ciudad con un aparato de este tipo. Unos siglos después el progreso tecnológico hará que el billar mecánico se convierta en billar eléctrico y el juego de azar se cambiará de nuevo en juego de destreza. Yo no comparto esa triste sospecha y quiero creer que en aquella circunstancia, como en tantas otras, el rey Olav Haraldssen se mostró digno de su fama de santidad. Recurrir a la suerte puede entonces entenderse de varias maneras, especialmente corno una ordalía, como un juicio de Dios, y sin duda era así como lo entendía el cronista. Un espíritu moderno preferirá ver en esto una manera de dividir en dos una cosa indivisible. Como los dos reyes se reconocían derechos iguales sobre la ciudad y como no tenían principios que afirmar ni intereses que defender, vieron en un condominio más inconvenientes que ventajas y escogieron ese medio para ejercer sus derechos. Dar a alguien la mitad de un objeto o concederle una posibilidad entre dos de tenerlo por entero equivale más o menos a lo mismo, y es esta última solución la única que puede emplearse cuando el objeto en cuestión es indivisible. Este procedimiento es hoy muy bien conocido por los teóricos de la economía, que han recurrido a él para afirmar que todos los bienes son indefinidamente divisibles. Semejante procedimiento es de gran flexibilidad y se presta a numerosas generalizaciones. Por ejemplo, si los dos reyes hubieran querido reconocer a uno de ellos dobles derechos de los derechos del otro, les habría bastado con hacer tirar los dados por una tercera persona y entonces la ciudad hubiera correspondido a uno por un total de ocho o menos y al otro por un total de nueve o más. El primero habría tenido así dos posibilidades entre tres de ganar, contra una posibilihttp://www.esnips.com/web/Scientia

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dad entre tres solamente en el caso del segundo rey, lo cual refleja bien la proporción de la unidad con el doble que se había convenido. Para respetar la simetría y acallar las susceptibilidades, hasta se podría haber confiado un dado a cada uno de los reyes y remitirse al total de los dos jugadores. Aun cuando los dos reyes obraran de buena fe y aun cuando la equidad fuera la única preocupación, no es menos cierto que tenían que resolver un problema: ¿cómo echar suertes de una manera perfectamente honesta, exenta de toda sospecha de fullería? ¿Es siquiera esto posible? ¿Se reduce el azar a una actitud psicológica o a una convención social o bien existe un azar puro, independiente de toda manipulación humana? Encontramos debatida esta cuestión de manera muy notable en un manuscrito que desgraciadamente desapareció, pero del cual Jorge Luis Borges me dio una copia que él sacó en los archivos del Vaticano. Según Borges, el manuscrito data de los años 1240-1250 y formaba parte sin duda de los documentos incorporados en el expediente de canonización de Olav Haraldssen. Su autor es un hermano Edvin, del monasterio franciscano de Tautra, Noruega, que no nos es conocido por ninguna otra cosa. Al leerlo no puede uno sino asombrarse. Las audacias del hermano Edvin recuerdan demasiado las de su contemporáneo Roger Bacon para que la condenación de este último no alcanzara al hermano Edvin. Tal vez ambos recibieron juntos en Oxford las enseñanzas de Robert Grosseteste y tal vez terminó como Bacon sus días en la cárcel. Si el hermano Edvin compuso otros escritos, éstos no sobrevivieron sin duda a la condenación de 1277, de manera que sólo el olvido salvó de la destrucción al manuscrito que nos ocupa, a menos que haya quedado protegido por su condición de documento de atestiguación. El hermano Edvin comienza teniendo en cuenta las acusaciones de fulleria lanzadas contra el rey Olav. Ese rumor se difundió muy tardíamente, mucho después de la desaparición del último testigo ocular, en tanto que a partir de la muerte del rey Olav se constituyó en el pueblo cristiano una tradición, viva y vigorosa aun hoy, que afirmaba la santidad del 18

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rey en todas las circunstancias. Esa tradición se fundaba en numerosos signos milagrosos, y el episodio que hemos citado no es el menor de ellos pues manifestaba el eficaz sostén dado por Nuestro Señor a su discípulo. La rotura del dado sólo puede interpretarse como un milagro que convertía doce en trece; y aquí acude inmediatamente al espíritu el episodio de la multiplicación de los panes; pero nosotros no evocaremos ejemplos tan grandes para ilustrar una materia tan trivial como el sorteo de una ciudad. En todo caso ésa era la interpretación de los testigos, como lo muestra la actitud del rey de Suecia y de su comitiva; nadie informa que se hubiera puesto en tela de juicio el resultado, como no habría dejado de hacerlo el rey si hubiera tenido alguna duda sobre el carácter milagroso del hecho. Por otro lado, Olav Haraldssen, contra toda probabilidad, podría haber manipulado las suertes en aquella ocasión y esto no invalidaría en nada su carácter de santo. A nadie se le ocurriría cuestionar la santidad del patriarca Jacob. Sin embargo, como está relatado en el capítulo XXX del Génesis, cuando Jacob ajustó un contrato con su suegro Labán, manifestó una actitud que en un hombre corriente habría sido calificada de tramposa, pero que en un hombre de Dios ayuda sencillamente a que se manifieste la voluntad del Altísimo. Para satisfacción del copista y edificación del lector, recordemos el texto sagrado: "Y le dijo Labán: '¿Qué te daré?' Y respondi6 Jacob: 'No me des nada; si hicieres por mí esto, volveré a apacentar tus ovejas. Yo pasaré hoy por todo tu rebaño, poniendo aparte todas las ovejas manchadas y salpicadas de colaP\ y todas las ovejas de color oscuro, y las manchadas y salpicadas de color entre las cabras; y esto será mi salario. Así responderá por mí mi honradez mañana, cuando vengas a reconocer mi salario; toda la que no fuere pintada ni manchada en las cabras, y de color oscuro entre mis ovejas, se me ha de tener como de hurto'. Dijo entonces Labán: 'Mira, sea como tú dices'. y Labán apart6 aquel día los machos cabríos manchados y rayados, y todas las cabras manchadas y salpicadas de

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color, y toda aquella que tenía en sí algo de blanco, y todas las de color oscuro entre las ooejas, y las puso en manos de sus hijos. y puso tres días de camino entre sí y Jacob; y Jacob apacentaba las otras ooejas de Labán. Thmó luego Jacob uaras uerdes de álamo, de auellano y de castaño, y descortezó en ellas mondaduras blancas, descubriendo así lo blanco de las uaras. Y puso las uaras que había mondado delante del ganado, en los canales de los abreuaderos del agua donde uenían a beber las ovejas, las cuales procreaban cuando uenian a beber. Así concebían las ouejas delante de las oaras; y parían borregos listados, pintados y salpicados de diversos colores. y apartaba Jacob los corderos, y ponía con su propio rebaño los listados y todos los que eran oscuros del hato de Labán. Y ponía su hato aparte, y no lo ponía con las ouejas de Labán. y sucedía que, cuantas ueces se hallaban en celo las ouejas más fuertes, Jacob ponía las uaras delante de las ouejas en los abreuaderos, para que concibiesen a la uista de las uaras. Pero cuando uenían las ouejas más débiles, no las ponía; así eran las más débiles para Labán, y las más fuertes para Jacob."2 En cuanto a la legitimidad misma de jugar a los dados la posesión de una ciudad, ella se apoya en la más alta autoridad que exista, puesto que la túnica de Nuestro Señor fue echada a suertes, como lo atestiguan unánimemente los cuatro evangelistas; San Juan es el más explícito sobre este punto:s "Entonces los soldados, cuando hubieron crucificado a Jesús, tomaron sus oestidos y los hicieron cuatro partes, para cada soldado una parte, y también la túnica, mas la túnica era sin costura, de un solo tejido de arriba abajo. Dijeron pues entre sí: '[No la rasguemos sino que echemos suertes so-

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Génesis xxx, 31-42. San Juan XIX, 23-24.

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bre ella a ver de quién será!', para que se cumpliera la escritura que dice: 'Diviserunt sibi vestimenta mea, et super vestem meam miserunt sortem'."!

Hay que hacer notar que el ganador del sorteo no está citado y que, tanto en la Escritura como en la tradición, se pierden los rastros del precioso objeto a partir de aquel mismo momento. Tratábase pues de afirmar un principio antes que de referir un destino particular, y ese principio indicaba que las cosas indivisibles no deben dividirse. La tradición reconoció desde muy temprano en la túnica inconsútil una imagen de Nuestra Santa Madre Iglesia, cuya unidad debe ser preservada de los herejes, los cismáticos y otros seguidores del demonio. Pero el mismo principio se aplica también a cosas de menor importancia, como una ciudad que es indivisible por su naturaleza, de manera que el proceder de Olav Haraldssen estaba plenamente legitimado. Asimismo podriamos invocar otros testimonios de menor importancia. "Las suertes se echan en un regazo; pero su entera decisión es del Altísimo" (Proverbios XVI, 33). La suerte designa a Matías para completar los Doce (Hechos 1, 26) y designa a Zacarías para entrar en el santuario (Lucas 1, 9). Es mediante la suerte, "urin" o "tummim", como el Todopoderoso designa a los culpables -Ionatán (I Samuel XIV, 37-43), Jonás (Jonás 1, 1-10) y Acán (Josué VII, 10-23), y como designa a Saúl rey de Israel (1 Samuel x, 20-24). Según la expresión de San Agustín ("Enarrationes in Psalmos", Ps 30.16 enarr. 2 serm. 2), "Sors non est aliquid mali, sed res, in humana dubitatione, divinam indicans voluntatem".5 Hasta aquí la demostración del hermano Edvin es irreprochable tanto desde el punto de vista del razonamiento como desde el punto de vista de la ortodoxia. Pero a partir de ese momento se deja arrastrar visiblemente por su tema y se desvía del camino indicado por la prudencia.

4 "Se dividieron mis vestidos y tiraron a suertes mi túnica", Ps 22.19. "En sí misma la suerte nada tiene de malo, sino que es algo que indica la voluntad divina cuando el hombre duda." 5

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Habiendo establecido firmemente en una primera parte que el resultado de un sorteo bien realizado no puede ser otra cosa que la manifestación de la voluntad divina, el hermano Edvin plantea enseguida el problema práctico de preservar esa manifestación de las interferencias humanas que son siempre posibles. La segunda parte del manuscrito pasa extensamente revista a los diversos juegos de azar conocidos en la época -naipes, dados, lotería- y muestra cómo un manipulador hábil y mal intencionado puede alterar el resultado y, por tanto, impedir que se manifieste la voluntad divina. Llega a la conclusión de que el empleo de instrumentos materiales suscitará siempre alguna duda sobre la regularidad de las operaciones y abre así la puerta a todas las objeciones. El hermano Edvin propone por fin una solución muy original. En las grandes circunstancias, como aquella en que se reunieron Olav Haraldssen y el rey de Suecia, cuando es importante para todos que el procedimiento de echar suertes sea irreprochable, cada uno de los participantes elige un número en secreto y lo escribe en un rollo de pergamino sellado. En el día fijado, los dos reyes o sus representantes entregan los pergaminos a un árbitro, hombre docto y piadoso, asistido por amanuenses capaces de calcular. El árbitro rompe los sellos y lee los dos números; los amanuenses los suman, dividen la suma por seis y anuncian el resto. Hay seis posibilidades:

1

2

3

4

5

o

que son el equivalente de los seis resultados posibles de echar un dado:

1

2

3

4

5

6

y la posibilidad que es anunciada se considera el resultado de echar suertes. Por ejemplo, si un rey eligió 17 y el otro 3051, la suma será 3068 y el resto 2. Esa es la cifra que anunciará el árbitro. Según nuestra tabla, ese resultado corresponde a una salida de 2 con un dado, pero el procedimiento del hermano Edvin ofrece la ventaja de no ser afectado ni por la ha22

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bilidad ni por la mala intención. Se trata del azar, del azar más puro que pueda imaginar un fraile del siglo XIII. El hermano Edvin se lanza entonces a consideraciones matemáticas muy interesantes. Hace notar que, si se multiplicara en lugar de sumar, el procedimiento sería vergonzosamente manipulable: 'bastaría que uno de los jugadores eligiese un múltiplo de seis para que el resultado fuera un O, cualquiera que haya sido la elección del adversarío. En efecto, nos encontraríamos aquí frente al producto de los dos números antes que frente a su suma y, si uno de los factores es divisible por 6, el producto lo será igualmente. La segunda observación del hermano Edvin es la de que lo único que importa en el resultado final es el resto de la división por seis de los dos números escogidos. Así, vimos que si uno elige 17 y el otro 3051, el resultado será 2. Si reemplazamos 17 por 5 y 3051 por 3, que son los restos de las divisiones por 6, tenemos 5 + 3 = 8, que da de nuevo el resultado de 2. El hermano Edvin llega a la conclusión de que es inútil que los jugadores elijan grandes números pues no se restringen en nada las posibilidades al limitarse a números que van de 1 a 6. Sin embargo, observa, la elécción de números dentro de un abanico mayor da a los jugadores la ilusión de que enriquecen las posibilidades, y es bueno que así lo crean. La última parte del manuscrito es una discusión de los diversos medios para mejorar el método. Naturalmente se extiende al caso de tres jugadores o más, y el hermano Edvin hace notar que si los participantes son sólo dos, puede haber cierta ventaja en introducir un tercero. Por ejemplo, en los casos en que entran en juego intereses importantes, como el destino de una ciudad, se puede pedir al Santo Padre que envíe desde Roma un tercer número cuyo sello se rompa en el mismo momento en que se rompan los otros dos. Se hará entonces la suma y se tomará el resto de la división por seis para obtener el resultado. Así, si a los dos números 17 y 3051 se agrega 442, la suma se convierte en 3510 y el resultado es O, que corresponde a una salida de 6 en la tirada de un dado. Introducir al tercer jugador y el hecho de que éste sea independiente de los otros dos garantizarán mejor aun la imparcialidad del lance. http://www.esnips.com/web/Scientia

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Por fin, el hermano Edvin indica que en ciertos casos puede uno verse en situación de jugar solo, y entonces se pregunta cómo consultar la suerte sin que intervenga otro jugador. Confiesa que no llegó a resolver el problema a su satisfacción, pero propone provisionalmente el siguiente procedimiento. El jugador elige un número de cuatro cifras y lo eleva al cuadrado. Obtiene así un número de siete u ocho cifras, del cual suprime las dos últimas y la primera o las dos primeras a fin de obtener un número de cuatro cifras. Repite entonces la operación cuatro veces y toma el resto de la división por seis del último número obtenido. Por ejemplo, partiendo de 8653, lo eleva al cuadrado (74 874 409) Y se queda con las cuatro cifras del medio (8744). Repitiendo la operación obtiene sucesivamente: 8653

8744

4575

9306

6016

y dividiendo el último número por 6 obtiene un resto de 4, que equivale a una salida de 4. La ventaja del método consiste, salvo excepciones, en que es imposible prever el resultado final si no se efectúan los cálculos del caso, los cuales, como lo subraya el hermano Edvin, no están al alcance de cualquiera, pues se necesita gran práctica con el ábaco, esto es, conocer el "cálculo indio" tal como está expuesto, por ejemplo, en el Liber Aba de Leonardo Fibonacci.e De manera que el resto de la división por 6 del número inicialmente elegido es 1, en tanto que el resultado final es 4, de suerte que muy listo tendria que ser quien lo hubiera previsto. El hermano Edvin no deja de indicar que el procedimiento puede hacerse aun más seguro aumentando el número de cifras conservadas (seis en lugar de cuatro, por ejemplo, y partiendo de un número de seis cifras) o aumentando el número de operaciones, siempre claro está que ese número se fije al comienzo y que el jugador no se ponga a cambiar la regla en el curso de la partida. 6 La notación griega y la notación romana se prestaban poco para realizar operaciones numéricas, de manera que el menor cálculo simbólico era una gran hazaña.

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Pero el hermano Edvin no deja tampoco de mostrar el defecto de su método, defecto que está justamente en la existencia de excepciones. No se necesita gran saber para prever que si uno parte de 0000, los números sucesivos serán todos 0000 y el resultado final, por tanto, O. La aparición de ceros puede perturbar el juego de manera más insidiosa. Si se parte de 1001, por ejemplo, se dará con 0200 en la primera operación y luego se obtendrá sucesivamente 0400, 1600, 5600, 3600, 9600, 1600, con lo que termina el circuito, es decir que el ciclo 1600, 5600, 3600, 9600, 1600 se reproduce indefinidamente. Se hace pues perfectamente posible prever el resultado de la cuarta tirada, de la decimoséptima o de la millonésima y así hacerse trampas a uno mismo. El hermano Edvin propone algunos paliativos, especialmente la obligación de elegir el primer número de cuatro cifras diferentes y sin ceros. Pero es demasiado perspicaz para no darse cuenta de que además de estas excepciones evidentes pueden existir otras más sutiles. Y hasta tal vez esas excepciones sean el indicio de una regularidad más profunda, disimulada a nuestros ojos inexpertos, pero que un análisis mejor inspirado puede sacar a la luz. ¿Cómo saber si no hay una fórmula escondida que dé el resultado de manera simple y directa, no sólo en casos particulares como el del 1001 sino en el caso de todos los números? El hecho de que seamos incapaces de hallar semejante fórmula no nos garantiza que ella no exista. Si existe, el azar queda eliminado de nuestro juego. Quien la halle podrá guardarla para sí mismo y hacer fortuna aceptando apuestas en cada partida, o bien revelarla y reducir a la nada el resultado de tantos esfuerzos. El manuscrito termina con esa nota melancólica que quizá sea un presentimiento. Es fácil imaginarse los disgustos que el manuscrito podia acarrear a su autor. El hermano Edvin maneja los números como si fueran cosas, sin preocuparse por su sentido oculto. ¿Qué cosa positiva puede salir de una intervención tan reductora? Es notorio, por ejemplo, según lo afirma explícitamente San Juan, que el número de la Bestia es 666 (Apocalipsis XIII, 18). ¿Qué ocurriría si ese número apareciera durante los cálculos? ¿No sería ése el signo más explícito de la intervención del demonio? ¿Cómo no pensar http://www.esmps.com/web/Scientia

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que el resultado estará viciado? Al abandonar las interpretaciones tradicionales, el hermano Edvin se exponía a que lo acusaran de practicar la adivinación, y hay motivos para pensar que se lo haya acusado en efecto. Después de un eclipse de varios siglos, los problemas planteados por el hermano Edvin y sus escrúpulos morales volvieron a ser de actualidad cuando hubo que inculcar el azar a los ordenadores. Ya no se trataba de especulaciones desinteresadas ni de pruebas de santidad, sino que se trataba de construir un arma termonuclear, la bomba H, cuyo primer prototipo se hizo estallar en 1952. Ese éxito era la culminación de un esfuerzo científico y tecnológico sin precedentes, llevado a cabo por los Estados Unidos después de la famosa carta de Einstein dirigida al presidente Roosevelt y marcado especialmente por las bombas lanzadas en Hiroshima y Nagasaki. Los cálculos relativos a la bomba A se habían realizado a mano, con la ayuda de reglas de calcular y calculadoras de manivela. ENIAC, la primera calculadora electrónica -un monumento de treinta metros de largo, tres metros de alto, noventa centímetros de ancho, 18 000 tubos de vacío y más de 500 000 soldaduras- ya estaba dispuesta a funcionar a fines de 1947. Durante su largo período de gestación, se había tomado la decisión de utilizarla para simular el comportamiento de los neutrones en un material fisible, un paso crucial en el desarrollo de una bomba termonuclear. Los expertos que habían construido la bomba A, especialmente Enrico Fermi y John von Neumann, habían abordado el problema y llegado a la conclusión de que sólo podía tratárselo mediante métodos estadísticos. En cualquier momento, un neutrón tiene cierta probabilidad de entrar en colisión y cada colisión tiene cierta probabilidad de producir una simple difusión del neutrón que entra en colisión o bien una fisión que da nacimiento a varios neutrones nuevos. Cada trayectoria individual es pues el resultado de una partida jugada según reglas complejas pero con probabilidades conocidas. La idea consiste en confiar a la máquina el cuidado de

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jugar un gran número de esas partidas, en echar a suertes las decisiones según las probabilidades indicadas y en estudiar estadísticamente los resultados obtenidos. Así nació el método de Monte Cario. Mientras esperaba que entrara en funcionamiento ENIAC, Fermi había inventado una pequeña vagoneta, bautizada inmediatamente FERMIAC, que se desplazaba sobre un plano de sección del reactor para materializar una trayectoria neutrónica posible; cada vez se sorteaba la dirección del desplazamiento y la distancia de la próxima colisión. Había también otros ajustes que se modificaban mucho según el material que atravesaba el neutrón. Ese pequeño aparato quedó relegado al depósito de los accesorios cuando comenzó a funcionar ENIAC, la cual a su vez llegó a ser caduca a partir de 1952, cuando comenzó a funcionar en Los Ajamos MANIAC. En todas esas máquinas el método de Monte Cario dio excelentes resultados. Ese método constituye hoy uno de los principales instrumentos de cálculo en fisica. El método de Monte Cario, pues ése es su nombre, es un método simple y versátil. Para tomar un ejemplo de Stanislaw Ulam, supongamos que yo quiera conocer la probabilidad de acertar en un solitario. Por supuesto, esto depende del orden inicial del paquete de cartas. Ahora bien, hay 52! = 52 x 51 x 50 x 49 x 48 x ... x 3 x 2 x 1 maneras diferentes de distribuir 52 cartas. Ese número (el factorial de 52, que se indica con el signo de exclamación) es enorme, puesto que se escribe con setenta cifras y es tan grande que queda excluida la posibilidad de examinar sistemáticamente todas las distribuciones posibles para contar las partidas ganadoras. La probabilidad buscada: número de partidas acertadas número de distribuciones posibles es, pues, inaccesible mediante un cálculo exacto. En cambio, se puede dar una estimación empírica jugando sólo un número pequeño de partidas -algunos centenares o algunos mihttp://www.esnips.com/web/Scientia

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llares- siempre que los naipes sean cuidadosamente barajados entre una distribución y otra. En otras palabras, se estima la probabilidad desconocida lanzando al azar e independientemente cierto número de distribuciones entre las 52! distribuciones posibles, y tomando nota de la proporción de las partidas ganadas en la muestra así conseguida. Es fácil programar un ordenador para un solitario y, por lo tanto, para concluir la partida en algunos milisegundos, sea una determinada distribución ganadora o no. Pero todavía falta que el ordenador aprenda a barajar las cartas, es decir, a elegir una distribución entre 52! posibles, afectada cada una por la misma probabilidad de l/52!, y esto independientemente de las elecciones anteriores. En la práctica, representaremos los naipes con números y entonces el ordenador deberá sacar al azar un primer número de 1 a 52, luego un segundo número entre los 51 restantes, después un tercero entre los 50, y así sucesivamente hasta agotar la serie. ¿Cómo realizar todas esas tiradas de manera equiprobable e independientemente de las anteriores? En el bridge esto se hace mezclando las cartas entre cada reparto, lo cual es menos sencillo de lo que parece. El fullero sabe barajar las cartas de manera tal que le toque a él la mejor mano y el prestidigitador sabe recoger del mazo una carta que se ha deslizado en su interior. Tampoco es suficiente que el que da las cartas baraje bien; es menester que baraje durante un buen tiempo, por lo menos siete veces según estudios recientes. Si se reúnen todas esas condiciones, los jugadores no tratarán de recordar el orden de las cartas del reparto anterior para obtener información sobre la distribución en marcha: considerarán los dos repartos como independientes. Esto no impide que, una vez distribuidas las cartas y cuando tienen en la mano las suyas, los jugadores se hagan una idea de la repartición de los naipes. Esa idea se basa no en los recuerdos que tienen del reparto anterior (el as de pique había salido antes del rey; recuerdo perfectamente que el rey seguía inmediatamente al as en la baza, y ahora, como tengo el as de pique en la mano, el rey debe de estar a mi izquierda), sino en la hipótesis de que las cartas restantes están uniformemente repartidas (tengo cuatro piques, quedan 28

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nueve distribuidos entre tres jugadores, de manera que es probable que cada uno tenga tres). Esta es la idea que se expresa cuando se dice que las tiradas son equiprobables. Ya se trate de barajar cartas, ya se trate de echar dados, el azar sólo procede de la torpeza humana: somos incapaces de dominarnos suficientemente para inmovilizar un dado a nuestro gusto o para dirigir individualmente las cartas del mazo. La comparación no deja de ser instructiva y hace resaltar los límites de esta manera de crear el azar. Poco importa quién eche los dados, pero no dejaremos que cualquiera baraje las cartas. Alguien demasiado torpe no llegará a hacerlo bien y alguien demasiado hábil para dar las cartas despertará nuestra desconfianza. ¿Cómo proceder entonces con un ordenador, totalmente inaccesible a la torpeza y cuyo comportamiento no deja ningún lugar a la incertidumbre? En el fondo éste es el problema que planteaba el hermano Edvin, y si nuestros medios técnicos han alcanzado enormes progresos, no cabe decir lo mismo de nuestra reflexión. El método de íos cuadrados sucesivos fue el primer métodcutilizado (hoy lleva el nombre de von Neumann), pero muy pronto se advirtió que al cabo de cierto número de tiradas el método daba infaliblemente el número 2100, luego 4100, luego 8100, luego 6100 y luego de nuevo 2100, y que a partir de ese momento se repetía indefinidamente: 2100,

4100,

8100,

6100,

2100,

y las excepciones son justamente aquellas que había señalado el hermano Edvin y cuyo defecto consiste en finalmente llegar a un ciclo (por lo demás, diferente del anterior) más rápidamente. Un instante de reflexión nos convence muy rápidamente de esto. El ordenador toma un número de cuatro cifras, lo eleva al cuadrado cierto número de veces y cada vez retiene sólo las cuatro cifras del medio, de manera que el resultado final es un nuevo número de cuatro cifras supuestamente obtenido al azar. Para sacar varios números al azar, se itera el procedimiento, es decir que se parte del último número obtenido para obtener el siguiente. Así, cada tirada depende entera y exclusivamente de la anterior. Si la primera es http://www.esnips.com/web/Sdentia

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8653, la segunda 8744 y la tercera 4575, se puede afirmar con certeza que cada vez que salga el 8653 lo seguirán él 8744 Y el 4575. Una de las caracteristicas fundamentales del azar es la independencia de las sucesivas tiradas, independencia que desaparece en la simulación; por eso se manifiestan los ciclos. Consideremos a un croupier sin imaginación que maneje su ruleta con un pedal y que pretenda contrarrestar el azar haciendo salir los números en un orden preciso. El hombre hace pues una lista, lo más aleatoria posible, y se atiene a ella. Después del 7 hará salir siempre el 35, después del 35 el 13, después del 13 el 22 y así sucesivamente, poniendo cuidado en hacer salir cada vez un número diferente para evitar sorpresas. Pero en la ruleta hay sólo 37 números, contando el O, de modo que al cabo de 37 tiradas, a lo más, el croupier estará obligado a repetir un número que ya ha salido, el 7 por ejemplo. A partir de ese momento, vuelve al orden anterior, es decir que hará salir sucesivamente el 35, el 13, el 22, etcétera, hasta que el 7 salga de nuevo; luego el 13, el 22, indefinidamente. ¿Cuánto tiempo tardarán los jugadores en darse cuenta de ese manejo? Así como un croupier mecánico produce en la ruleta a lo sumo un ciclo de 37 tiradas, el método de los cuadrados sucesivos, o cualquier otro método determinista, llegará a un ciclo de a lo sumo 10000 tiradas, pues 10000 es el número total de los números de cuatro cifras. Puede uno buscar paliativos, trabajar con números de cinco cifras, por ejemplo, lo cual nos permite tener la esperanza de poder llegar hasta 100000, pero la limitación fundamental subsistirá. También se puede encubrir la realidad, como hacía el hermano Edvin, al dar como resultado final sólo el resto de la división por 6. Esto permite hacer como que uno elige un número entre O y 5, siendo así que en realidad se elige un número de O a 9999. De manera que las sucesivas tiradas: 6016

1922

6940

1636,

4

2

4

4,

se leerán:

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y se tendrá la ilusión del azar, puesto que un 4 puede estar seguido de un 2 o de un 4, como si las tiradas fueran independientes. Desgraciadamente el primer 4, que representa 6016, no es el mismo que el segundo 4, que representa 6940. La máquina trabaja con 6016 y 6940 Y muestra 4 y 4, lo mismo que un ilusionista que engaña al espectador valiéndose de un juego de espejos. Para engendrar números aleatorios, en nuestros dias se ha abandonado prácticamente el método de los cuadrados sucesivos. Se prefiere utilizar generadores aritméticos descritos por fórmulas del tipo:

X, = ax,,-l + e módulo M, que expresan que la n-ésima tirada X, se obtiene tomando el resultado de la (n - 1) -ésima tirada X n _ 1 , multiplicándolo por a, agregando e y dividiendo por M. El resto de esta división es el resultado de la n-ésima tirada. Los números enteros a, e y M caracterizan al generador y se eligen de una vez por todas. Estos generadores aritméticos presentan los mismos defectos que el método de las cuadraturas. Cada tirada está completamente determinada por la precedente y por lo tanto se observarán Ciclos cuya dimensión máxima es M. En la práctica se elige con preferencia M = 232 , que hace muy fácil la división por M en máquinas que trabajan en binario, o se elige M = 231 - 1, caso en que la división por M no es más dificil y tiene la ventaja de ser un número primo. En el caso de números tan grandes las dimensiones de los ciclos son tales que éstos no se pueden observar en la práctica: el número 230 es del orden de mil millones. Se puede, pues, abrigar la esperanza de haber contrarrestado el azar de manera satisfactoria. Desgraciadamente no hay nada de eso. El problema de los ciclos representa sólo el primer escollo y hay muchos otros en nuestro camino. En realidad, el concepto de azar se descompone en una multitud de propiedades tan diversas que a veces parecen contradictorias. Por ejemplo, hemos hablado de la independencia de las tiradas sucesivas, pero no http://www.esnips.com/web/Scientia

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hemos dicho nada de su distribución. Lo que deseamos es que ella sea uniforme, es decir, en el caso del método de las cuadraturas, por ejemplo, que todos los números de O a 99 salgan con la misma frecuencia. Ahora bien, se sabe que toda serie de tiradas sucesivas termina por estabilizarse en un ciclo que será en general

2100,

4100,

8100,

6100,

2100,

yesos cuatro números salen pues con una frecuencia de 114 y los otros ya no salen más (frecuencia O). La repartición uniforme sólo puede existir, pues, en un período transitorio en el que el ordenador no haya tenido aún el tiempo de llegar al ciclo límite y en el que se puede esperar que las tiradas sucesivas se distribuyan más o menos uniformemente entre O y 9999. Se pueden ajustar los parámetros a y c de los generadores aritméticos para que sus ciclos tengan un período muy prolongado. Hasta se puede hacer que haya un solo ciclo que por turno afecte a puntos de O a M - 1. La distribución es entonces uniforme en el sentido de que los M números de O a M - 1 salen cada uno una vez por ciclo y tienen por lo tanto la misma frecuencia 11M. Pero, después de todo, lo que hace el ordenador en este caso es sencillamente sacar los M primeros números en un orden diferente del orden natural; y, ¿cabe hablar de azar en una operación de este género? También aquí el azar está en el ojo del observador; lo que nos hace parecer una sucesión como aleatoria es nuestra incapacidad de abarcar de un solo golpe mil millones de números o más, junto con nuestra ignorancia de la regla de que se sirve el ordenador para clasificarlos. Pero un observador más perspicaz sabrá tal vez discernir en esa distribución regularidades ocultas que serán otros tantos indicios de que aquí no se trata del azar. Veamos un ejemplo simple de semejante situación. Supongamos que deseamos echar a suerte un punto del intervalo (0,1), según una repartición uniforme. En primer lugar decidimos sobre la precisión con la cual hemos de trabajar y fijamos 32 bits, por ejemplo. Esto quiere decir que el ordena32

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dor sólo considerará números cuya representación binaria no comprenda más que 32 signos. Esto equivale a reemplazar el intervalo (O,lJ por una red de M = 232 puntos equidistantes entre O y 1. Una vez hecho esto se echará a suertes uno de ellos utilizando un generador aritmético.

X, + 1 =

ax" +

c

módulo M.

Se podrán ajustar las constantes a y c para que haya un solo ciclo (de periodo MJ, lo cual hace que los M puntos del intervalo (0,1) salgan cada uno una vez por ciclo. Se puede considerar, pues, que todos tienen la misma frecuencia 11M y que así se ha realizado un sorteo uniforme en el intervalo (O,lJ. Pero ¿qué ocurre si se quiere echar a suertes un punto dentro de un cuadrado siguiendo siempre una distribución uniforme? Digamos que el cuadrado es de lado 1; cada punto del cuadrado está representado entonces por dos números, x e y, ambos comprendidos entre O y 1, representando uno su proyección horizontal (abscisa), el otro su proyección vertical (ordenada). Si se reemplaza, como antes, el intervalo (0,1) por M puntos equidistantes, se obtienen M posibilidades en el caso de la proyección horizontal x y M posibilidades en el caso de la proyección vertical y, lo cual corresponde a M x M = M2 posibilidades para el punto (z, y J. Por último se obtienen M2 puntos uniformemente repartidos en el cuadrado. Para echar a suertes uno de esos puntos es suficiente echar sucesivamente sus dos proyecciones x e y. Si esas tiradas son independientes y están uniformemente repartidas se puede obtener cualquier punto del cuadrado, cada uno con la misma frecuencia 11M 2 • Pero es necesario que las dos tiradas sean independientes, y es esto lo que nos permitirá mostrar el defecto del generador aritmético. Utilicémoslo para echar a suertes las dos proyecciones del punto buscado; primero la horizontal, x, luego la vertical, y. Estas dos tiradas parecen independientes. En realidad, sabemos que no lo son, puesto que el generador deduce cada tirada de la anterior, y por lo tanto y de x, mediante la fórmula: y=ax+c

móduloM.

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Un ejempo de generador aritmético: Trátase aquí de un modelo rudimentario que nos permite sacar "al azar" un número entero entre O y 9. Partiendo de X = O e iterando se obtiene sucesivamente:

Xs=8

Xg = O Xl = 3 X2 = 6

X7 = 1

Xs=4 x,- 7

X3 = 9 ~=2

XIO = O =Xg Xn = 3 = Xl

X¡; = 5

es decir, un ciclo completo que comprende todos los números enteros entre O y 9. Esto equivale a escribirlos en un orden diferente del orden natural. El ordenador conserva en la memoria la última cifra suministrada y cada vez que se apela de nuevo a ella da la siguiente en la lista. Este generador puede utilizarse para sacar "al azar" un punto del intervalo (0,1). Para hacerlo se reemplaza el intervalo por 10 puntos equidistantes:

O 1 2 3 O = -, -, -, -, 9 9 9 9

4 5 6 7 8 9 -, -, -, -, 9' 9 9 9 9 9

= 1

que se pueden representar geométricamente:

O

1

2

3

•

4

•

5

6

7

8

9

Ordenándolos como hemos ordenado los números enteros obtenemos una regla de sucesión que representamos simbólicamente (cada punto está relacionado con su sucesor por una flecha) así:

En diez tiros se recorre todo el intervalo. También aquí el ordenador conserva en la memoria la última posición alcanzada y da el tiro

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x,,+1

=

x" +

3 módulo 10

siguiente cada vez que se le pide que ech~ a suertes una nueva posición. Esta manera de proceder no es evidentemente aleatoria, pero conserva muchas de las propiedades de una sucesión de tiradas independientes y equirrepartidas que bastan para engañar a un observador poco atento.

Pero las insuficiencias de este generador aritmético se manifiestan de manera flagrante desde el momento en que uno quiere utilizarlo para echar a suertes puntos de un cuadrado. El cuadrado (0,1) x (0,1) es reemplazado por 10 x 10 = 100 puntos

ª 9

7

9 6 9 5 9 4 9

~2

9 1 9 1

ij

Y se echan a suertes sucesivamente las dos coordenadas de cada punto. Así, si la. coordenada horizontal es 0, la coordenada vertical deberá ser el sucesor de 0/9, esto es, 3/9. En total esto solo da diez posibilidades en el caso de 100 puntos;

•

~

9

•

;¡ 4 9

•

9

•

~

9

§ 9

1 9

a9

•

• y esta vez nadie podrá engañarse: esos puntos no están equirrepartidos.

Las tiradas no son pues independientes.

Los generadores aritméticos de uso corriente hacen intervenir subdivisiones mucho más finas y ciclos mucho más largos (M - 232 ) , Sin embargo esos ciclos existen y pueden conducir a desagradables sorpresas.

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Como hay M posibilidades para x, cada una de las cuales determina perfectamente y, sólo habrá M posibilidades para la pareja (x, y) en lugar de las M2 posibilidades que hubiera dado el azar. El generador aritmético sólo tiene acceso a M de los M2 puntos del cuadrado; o sea, una proporción de MfM2 = = 11M. Es decir que la inmensa mayoría de las posiciones le es inaccesible. Además, ya no hay ninguna garantía de que los M puntos posibles estén uniformemente repartidos en el cuadrado. Se forma un ciclo de M puntos, que serpentea en un conjunto de M2 puntos, y es perfectamente posible que ese ciclo se concentre en ciertas regiones del cuadrado y que abandone por completo otras. Poseemos, pues, un medio de discernir si tiradas sucesivas equirrepartidas en (0,1) son verdaderamente independientes: agruparlos por pares para obtener puntos del cuadrado y examinar si estos puntos están equirrepartidos. Si lo están no se puede objetar nada; tal vez un agrupamiento por paquetes de tres mostraria una dispersión irregular de puntos en el cubo y revelaría asi correlaciones que podrían habérsenos escapado. Pero si no están equirrepartidos, se puede afirmar que las tiradas consideradas están ligadas, es decir, que el resultado de cada una depende de las anteriores. Esto es lo que se llama un test de independencia. Un generador aritmético puede pasarlo perfectamente con éxito: es posible elegir el coeficiente a y el entero M (el valor de e no tiene mucha influencia) para que los puntos obtenidos parezcan uniformemente repartidos en el cuadrado. Pero hay muchos otros tests de independencia, y un generador que engaña a un determinado test puede ser puesto en evidencia por otro. En realidad, cada test tiene sus favoritos, es decir, reconoce ciertos generadores y no reconoce otros. De conformidad con el viejo adagio, el ordenador puede engañar a un test todo el tiempo y a todos los tests algún tiempo, pero no puede engañar a todos los tests todo el tiempo. El problema está aquí en que un generador aritmético no posee la inagotable riqueza del azar. Si Xl> X 2 , ••• , X. son tiradas independientes equirrepartidas, si se puede extraer de ellas una de dos, reagruparlas por paquetes de dos o modificarlas, se obtendrán siempre tiradas independientes equi36

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rrepartidas; transformaciones más complicadas, tales como

X~,~, ... , X~ (cada resultado está elevado al cuadrado) darán

tiradas aún independientes, según una distribución 'que ya no es uniforme pero que en cambio se puede calcular. En cambio, si un generador aritmético construye una serie Xl> X2 , oo., X, equirrepartida, esto no quiere decir que reagrupando los términos por paquetes de dos se obtendrá una serie equirrepartida en el plano ni que elevándolos al cuadrado se repartirán según la ley deseada. Por cierto que desde que se concibió el generador aritmético podía hacerse esa objeción; pero, ¿que ocurrirá con agrupamientos por paquetes de tres o con la serie de los cubos Xf,~, oo., X3n ? ¿Y que pasará si caemos en la fantasía de cambiar el orden de los términos? ¿Se comportará como una serie aleatoria la serie obtenida? Se puede imponer al generador estas tareas suplementarias y otras más, pero se corre siempre el riesgo de que el generador encuentre un test que no había sido previsto a priori y que se traicione. Por otro lado, el azar salta espontáneamente por encima de todos los obstáculos que se le pongan en el camino. En este estadio de nuestra reflexión, cuando nos damos cuenta de que los ordenadores más poderosos son incapaces de reproducir las propiedades que atribuimos espontáneamente al azar, reaparecen las dudas. ¿Existe realmente el azar o somos víctimas de una ilusión? Tal vez se trate de una noción esencialmente matemática, de una idealización de la realidad, así como la recta infinita y sin espesor del geómetra es una idealización de la línea trazada en el cuaderno de un escolar. El físico práctico ya no se plantea esta cuestión. El físico que quiere calcular una integral valiéndose del método de Monte Carlo no trata de imitar el azar en general. La serie de números que le da el ordenador sólo le interesa en la medida en que le permita obtener lo más rápidamente posible una buena aproximación al valor buscado. En general, trabajará en un espacio de dimensión N y para él será crucial que al reagrupar las tiradas por paquetes de N se obtengan puntos equirrepartidos en ese espacio. En cambio, poco le importa el resultado de los tests de independencia o de equirreparhttp://www.esnips.com/web/Scientia

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tición que nada tienen que ver con su problema. De las infinitas propiedades de una serie de tiradas independientes y de igual ley, el fisico práctico sólo retendrá aquellas que le interesen directamente y construirá en consecuencia su generador aritmético; el resultado final alguna vez habrá perdido hasta la apariencia de azar. Es posible adoptar otra actitud que consiste en tener conciencia de que no podemos construir series verdaderamente aleatorias y que hay que ir a buscar el azar donde éste se encuentra, es decir, en la naturaleza. Por eso algunos generadores de números sacados "al azar" combinan un procedimiento aritmético, semejante a los que hemos descrito, con la operación del reloj, instrumento siempre presente en el corazón de los ordenadores. En ciertas etapas del cálculo basta con mirar la hora y hacerla intervenir en la serie de las operaciones. Por ejemplo, se puede tomar como punto de partida Xo de un generador aritmético el tiempo transcurrido desde el 14 de julio de 1900 a las 17 horas, expresado en segundos. De esta manera un alea natural viene a reforzar un alea artificial. Este modo de recurrir al exterior puede llevarse mucho más lejos. Construir un generador aritmético adaptado a las necesidades del fisico es una tarea ardua y utilizar los instrumentos accesibles en el comercio entraña riesgos. Puede uno entonces sentirse tentado de utilizar tablas de números aleatorios, obtenidas mediante un montaje experimental antes que mediante un algoritmo matemático. Las primeras tablas fueron de origen demográfico, pero bien pronto tendieron a volverse hacia dispositivos fisicos. Y fue así como la Rand Corporation publicó en 1955 una lista de un millón de cifras, extraídas de un ruido de fondo electrónico. Desgraciadamente, algunos años después se advirtieron errores de montaje que viciaban los resultados y comprometían la independencia de las sucesivas tiradas. Esto demuestra que acorralar al azar con un mecanismo físico no es más fácil que hacerlo con un algoritmo matemático, sobre todo cuando se trata de producir series muy largas de tiradas aleatorias.

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Nos encontramos, pues, en un callejón sin salida, como los dos reyes de la historia contada por Torstein Frode, cuando los seis salieron tres veces seguidas y comenzó a surgir un malestar. Es entonces cuando interviene el azar que perturba la imagen que nos hacíamos de la situación, que rompe el marco estrecho de nuestras previsiones para crear algo verdaderamente nuevo, algo semejante al modo en que Alejandro Magno cortó el nudo gordiano. La realidad se quita su máscara, el elemento indivisible se rompe en dos, la cifra que sólo podía ser un 10 un 6 se hace un 7. La naturaleza se burla de nosotros, que nos vemos relegados fuera de un mundo que se disimula ante nuestra mirada, y así nos sentimos extraños y ridículos. Ese es el sentimiento que experimentaron los físicos con motivo de la revolución científica que comenzó con el descubrimiento de la radiactividad, cuando tantos hechos evidentes se revelaron engañosos. Establecido como elemento constitutivo primero de la materia, el átomo, esa unidad fundamental cuyo nombre mismo significa indivisible, se revela constituido por electrones que gravitan alrededor de un núcleo el cual, a su vez, no tarda en mostrar que está constituido por neutrones y protones. Pero muy pronto los hombres de ciencia comprenden que no han llegado aún a la realidad última. Se destruirán protones y neutrones en aceleradores cada vez más potentes y de sus restos aparecerán otras partículas, también ellas "elementales": piones, lambdas, sigmas, rhos, más de cuatrocientas actualmente. En la década de 1970 se constituye la cromodinámica cuántica que muestra, por debajo de esta profusión de elementos constitutivos, otros más elementales aun: los quarks. Algunas partículas (los bariones) se descomponen en tres quarks; otras (los mesones) en un quark y un antiquark, En el momento en que escribo estas líneas se conocen cinco quarks diferentes y se sospecha la existencia de un sexto, lo cual ya permite entregarse a grandes fantasías. Por lo demás, hay otras seis partículas de espín 1/2 (los leptones), que no se descomponen en quarks, especialmente el electrón y los neutrinos. Si pasamos a las partículas de espín 1, hallamos otras 12: el fotón, los gluones (ocho) y los W (tres). Debemos, pues, atenemos a veintiséis http://www.esnips.com/web/Scientia

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elementos constitutivos cuyas diversas combinaciones deberían permitir explicar todas las variedades de partículas observadas, de modo que por el momento el cuadro parece completo. Hasta el día, claro está, en que una teoría más ambiciosa anule este cuadro. Los físicos no han renunciado a su sueño de la "gran unificación", una teoría que abarque la mecánica cuántica y la relatividad general, de suerte que cada paso dado en esta dirección acarreará una modificación profunda en el paisaje. Cada vez que creemos poseer el elemento constitutivo último de la realidad, el ladrillo elemental de que está construido el universo, dicho ladrillo se quiebra en pedazos como el dado del rey Olav. Para los platónicos esto evoca irresistiblemente la octava hipótesis del Parménides. Más prosaicamente, se trata de una cacería en la que la presa se escurre y escapa perpetuamente, como en esos dibujos animados de la gran época en los que se despliega un verdadero genio para ridiculizar al cazador. Bien comprendemos la nerviosidad de éste y con cuánta pasión perfecciona trampas cada vez más ingeniosas para reducir por fin a la presa que es su martirio. Sabemos bien que todos sus esfuerzos serán vanos y que se romperá la crisma una vez más, pero él cree tan firmemente en su empresa y se perturba tan poco en cada ocasión que la crueldad y el ingenio con que el dibujante vuelve contra el cazador las situaciones más favorables nos dejan palpitantes y admirados. Nosotros, como conocedores de la cuestión, sabremos apreciar la habilidad con que la naturaleza se escurre ante nosotros y muy especialmente la manera en que utiliza al azar para disimularse. Del universo de la molécula pasamos al reino de la mecánica cuántica. Verdad es que ésta hace algunas incursiones en el dominio macroscópico y que fenómenos como la superfluidez o la superconductividad forman ya parte de nuestra percepción. La teoría se presenta como el díptico de un retablo cuyo primer postigo es puramente determinista. Este postigo pinta la evolución de los sistemas físicos aislados. Cada uno de ellos está representado por un vector de estado tomado dentro de un espacio de dimensión infinita, el espacio de Hilbert. Es propio de la mecánica cuántica apelar a ese espa-

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cio para describir el estado de un sistema físico aislado, y a los físicos les ha costado cierto trabajo habituarse a esto, El malestar se manifiesta especialmente en la terminología, donde la expresión "vector de estado" se impone con dificultades frente a su sinónimo "función de onda". Pero la evolución misma es puramente determinista; está regida por una ecuación diferencial, la ecuación de Schriidinger, y se despliega, pues, en un espacio de Hilbert en lugar de hacerlo en los espacios de dimensión finita habituales. Si quisiéramos ser perfectamente rigurosos nos veríamos obligados a abordar una sola función de onda, la del universo en su totalidad, pero, lo mismo que en la física clásica, consentimos en hacer aproximaciones y consideramos que ciertos subsistemas están aislados, por lo menos momentáneamente, y que tienen su propia función de onda: partículas, átomos o moléculas. El otro postigo del díptico es puramente probabilista. Describe las operaciones de medición. Medir una magnitud física, una posición, una velocidad o una energía significa transferir el sistema del primer postigo al segundo. El resultado de la medición se obtendrá como un acto de echar a suertes. Más precisamente, el vector de estado puede analizarse como una suma de componentes, los "estados propios" de la magnitud considerada, y cada una corresponde a un valor bien determinado de la magnitud. La operación de medir tiene misteriosamente el efecto de proyectar el sistema a uno de esos estados propios; lo que decide es un sorteo efectuado según reglas precisas. El estado propio echado a suertes determinará el valor que será registrado por el instrumento y será el del sistema después de la medición. De manera que la mecánica cuántica sería puramente determinista si no fuera por la presencia del observador. Somos nosotros quienes, en busca de información y efectuando una medición, perturbamos la evolución del sistema e introducimos en él un elemento aleatorio. Lo cierto es que resulta imposible prever el resultado de una sola medición. A lo sumo, la teoría permite calcular a priori todos los resultados posibles y la probabilidad de cada uno de ellos. Esto no quiere decir que la mecánica cuántica no sea precisa o no permita hacer ciertas previsiones. Sólo que esas previsiones serán de http://www.esníps.com/web/Sdentia

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naturaleza estadística, referentes a un gran número de mediciones o a fenómenos macroscópicos, lo cual no excluye una gran precisión. Como ejemplo podemos considerar que el momento magnético del electrón tiene un valor experimental de 1,00115965221 (con una incertidumbre del orden de 4 respecto de la última cifra) y un valor teórico (por lo tanto, calculado a priori) de 1,00115965246 (con una incertidumbre cinco veces mayor). Esto representa una precisión de 4 x 109 , o sea, una desviación del orden de un milímetro en 4000 kilómetros. ¡Qué extraña es, sin embargo, esta teoría! Examinemos, por ejemplo, el desplazamiento del fotón. Se emite el fotón en un punto E (punto emisor) y volvemos a encontrarlo en un punto R (receptor); entre los dos puntos hay una pantalla perforada con dos agujeros A y B. La óptica geométrica nos dice que para observar luz en el punto R es menester que éste esté alineado, ya con E y A, ya con E y B. En cambio, la mecánica cuántica nos enseña que cualesquiera que sean las posiciones de los agujeros, y especialmente si no hay alineación, un fotón emitido desde el punto E tiene siempre cierta probabilidad de ir a dar al punto R. Y esto es efectivamente lo que se observa si los agujeros practicados en A y B son suficientemente pequeños. Esto contradice, desde luego, la intuición grosera según la cual el fotón es un corpúsculo que se propaga en línea recta; sin embargo, no es éste todavía el aspecto más sorprendente de la situación. Siempre de conformidad con la mecánica cuántica, el fotón que encontramos en R tiene cierta probabilidad de haber pasado por A y cierta probabilidad de haber pasado por B, sin que se pueda determinar nunca con certeza qué camino siguió efectivamente. Como se trata de una partícula elemental, por esencia indivisible, la pregunta parece natura!. Sin embargo la pregunta está desprovista de sentido si creemos en la experiencia, pues se pueden mostrar en el punto R franjas de interferencias cuya única interpretación posible es que el fotón pasó a la vez por Ay por B. Si tratamos de forzar una respuesta tendiendo una trampa al fotón, es decir, colocando por ejemplo en A y en B dos detectores que descubran el paso del fotón, se comprueba que éste pasa ahora ya sea por A o por B (uno só42

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lo de los detectores se activa), ¡pero las franjas de interferencias desaparecen! La intercalación de un instrumento de medición suplementario modifica pues el fenómeno. Al tratar de localizar el fotón en A o en B forzamos el sistema, que entra en un estado extraño a su evolución espontánea, y al hacerlo introducimos un elemento aleatorio. Digamos, por ejemplo, que para realizar una medición es necesaria una interacción tan compleja entre el sistema y el observador que parámetros extraños a uno y a otro -pero representados en la función de onda del universo-- desempeñan un papel crucial y que el resultado sólo puede ser aprehendido de manera estadística. Esta no es más que una hipótesis y acaso hasta una metáfora. Sólo una cosa es segura: en mecánica cuántica medir es echar suertes. La pregunta que acude a los labios es: "Muy bien, pero ¿quién echa suertes?" No es el observador y probablemente tampoco la partícula. Hay una respuesta posible, sólo que no gustará a todo el mundo. Puede uno no plantear la cuestión como Niels Bohr, pero si se la plantea como Einstein y si se decide que Dios no juega a los dados con el universo nos encontramos en un callejón sin salida, si no se demuestra que también ese echar suertes es sólo una ilusión. De ahí las encarnizadas tentativas de Einstein y de sus discípulos por demostrar la existencia de "variables ocultas" en mecánica cuántica. La tesis que Einstein defendió hasta su muerte es la de que sólo tenemos acceso a ciertas varia- ' bIes que determinan el estado de un sistema cuántico. Si pudiéramos observarlas todas, podríamos predecir -por lo menos en el corto plazo-- la evolución del sistema y el resultado de cualquier medición. Pero ciertas variables se nos ocultan, y es esta ignorancia lo que crea la ilusión del azar; somos como un observador colocado bajo una mesa de vidrio transparente sobre la cual se desarrolla una partida de naipes; el observador sólo verá el dorso de las cartas y no podrá comprender la evolución del juego. A pesar de la íntima convicción de Einstein, la teoría de las variables ocultas no recibió nunca la menor sombra de confirmación. En el plano conceptual, von Neumann y muhttp://www.esnips.com/web/Sdentia

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chos otros procuraron mostrar que esa teoria era incompatible con los fundamentos de la mecánica cuántica. Si no llegaron a demostrar su imposibilidad absoluta, no dejaron sin embargo de establecer que semejante teoria debía tener propiedades por lo menos tan paradójicas como las propiedades de la mecánica cuántica. En el plano experimental, Einstein, Podolski y Rosen indicaron un camino que, al correr de los años y gracias principalmente al descubrimiento que hizo Bell de ciertas desigualdades violadas si existieran efectivamente variables ocultas, ha culminado en manipulaciones realizables. 'lbdas ellas se inclinaron por la negativa. Nos encontramos, pues, acorralados con la idea de que el azar que interviene en la mecánica cuántica no puede reducirse a un determinismo subyacente. El determinismo macroscópico, el determinismo que impera en nuestra escala, es reducible al azar cuántico gracias a las leyes de la estadística que se aplican a cantidades inmensas de partículas. De manera que el azar parece ser el dato fundamental, el mensaje último de la naturaleza. Nos vemos, pues, reducidos a atenemos a alguna enorme máquina, espía de partículas elementales. Tal vez llegue un día en que se domestique el azar cuántico y se lo utilice en dispositivos en miniatura, que veremos en las calculadoras de los escolares y en las máquinas que funcionan con monedas. 'lbdos, los que calculan así como los que juegan, tendrán entonces acceso a la fuente misma del azar, puro e inalterable. Pero ese azar domesticado ya no será capaz de sorprendernos; esperaremos una decisión entre varias opciones que ya conoceremos de antemano. La conmoción ante lo imprevisto, el júbilo de ver retroceder bruscamente el horizonte y el temor de los peligros que entrañan estas tierras recién descubiertas, todos esos sentimientos que nos agitan cuando vemos partirse el dado y surgir el siete, debemos buscarlos en nuestra historia y no en nuevas tecnologías.

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El destino

El rey Olav Trygueseen. partió para Tunsberg, donde convocó al ting. Allí en un discurso proclamó que quien se dedicara abiertamente a la magia o a la hechicería o que practicara el seidi deberta abandonar el país. Luego hizo investigar a todos aquellos que en la ciudad o en los alrededores se entregaban a esas prácticas. Entre los tales se encontraba un hombre llamado 0yvind Kjelda, que descendía de Harald el de los Hermosos Cabellos y que era muy versado en el seid y en la magia. El rey Olav los reunió a todos en una gran sala en la que les ofreció un festfn y puso cuidado en que no les faltara nada y en que las bebidas fueran fuertes. Cuando todos estuvieron ebrios, el rey hizo poner fuego a la casa, que se quemó con todos sus ocupantes, con la excepción de 0yvind Kjelda, quien se escapó por el techo. Habiendo llegado lejos de la ciudad, el mago se encontró en el camino con algunos viajeros que iban a ver al rey. Les pidió que anunciaran al rey que 0yvind Kjelda había escapado del incendio, que nunca volvería a caer en manos del rey Olav y que continuaría practicando su arte. Cuando los viajeros se presentaron al rey le contaron todo lo que 0yvind les había encomendado. El rey dijo que ciertamente era una lástima que 0yvind no hubiera perecido. Llegada la primavera, el rey partió hacia el oeste y se 1 El seid o sejdr era un conjunto de ritos mágicos, destinados especialmente a la adivinación, que parece haber sido una de las prácticas esenciales del paganismo nórdico y que desapareció con la cristianización, a menudo brutal, de los países escandinavos.

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instaló en sus propiedades del Vik. Hizo saber en toda la región que al llegar el verano formaría un ejército y partiría hacia el norte del país. Luego se dirigió hacia Agder. A fines de la cuaresma, se puso en camino hacia el Rogaland y pasó la noche de Pascua en Agvaldsnes, situada en la isla de Karm, con trescientos hombres. Aquella misma noche llegó 0yvind Kjelda a bordo de un navío de ltneo:r Su tripulación estaba compuesta por hombres que practicaban el seid y por hechiceros de toda clase. 0yvind y sus hombres desembarcaron en la isla y comenzaron a echar sus sortilegios. Desplegaron una niebla tan densa que el rey y sus hombres no podían verlos. Pero cuando llegaron a Agvaldsnes se había hecho de día y las cosas resultaron muy diferentes de lo que había previsto 0yvind. Su magia se volvió contra ellos y la niebla que habían conjurado se cernió sobre ellos de suerte que no veían más con los ojos que 'con la nuca y no hacían más que dar vueltas en redondo. Los guardias los descubrieron sin poder comprender sus manejos. Avisaron al rey, que se levantó y se vistió, lo mismo que su comitiva. Cuando vio a 0yvind y a sus compañeros dio la orden de armarse y que los hombres fueran a identificarlos. Los hombres del rey reconocieron a 0yvind y lo hicieron prisionero junto con los demás. 0yvind fue conducido ante el rey y debió confesarle lo que había ocurrido. El rey Olav los hizo atar a todos en un arrecife que quedaba cubierto por el mar con la marea alta. Así perecieron 0yvind y sus compañeros. Desde aquella época la roca se llama Skratteskjoer, el Arrecife de los Magos.3 Esta siniestra historia es bien conocida por todos los noruegos. En la edición clásica de la Heimshringla, que poseo y que debo a mi abuelo, el relato está acompañado por una espléndida ilustración de Eílif Peterssen. En ella se ve el perfil de 0yvind que domina las olas; toda su vida está concentrada en la mirada, en tanto que alrededor sus compañeros se

2 Un navío de línea, un drakkar, por oposición a la nave redonda, que era mercante. 3 Saga de Olav Trygueeeen, 63.

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abandonan a las olas y a lo lejos el agua, el cielo y la tierra se unen en un horizonte indistinto. Todavía hoy me pregunto cuáles habrán sido en aquel momento los pensamientos de ese Prometeo atado a la roca mientras esperaba que el mar acudiera a él una sola vez. Más allá de la sed de venganza y de la compasión por sus compañeros, ¿se habrá elevado su espíritu de esta situación elemental a las grandes especulaciones metafisicas? ¿Se habrá planteado las cuestiones eternas? ¿Por qué las cosas son así y no de otra manera? ¿Por qué hay algo antes que nada? Según la inmortal definición de Wittgenstein, "die Welt is alles, was der Fall ist":4 el mundo es todo lo que tiene lugar, todo lo que acaece, todo lo que somos, todo lo que uno comprueba. Nuestra primera experiencia es la de la contingencia. Esa roca está allí, es bien real, como las ligaduras que me sujetan y como el agua que sube. Todo eso es lo que constituye mi universo y en el cual debo encontrar mi lugar. El niño sediento de descubrimientos pasa de un porqué a otro porqué; la edad madura, más juiciosa, medita y responde: ,

"Die Ros' ist ohn' Warum; sie blühet, weil sie blühet. Sie acht' nicht ihrer selbst, fragt nicht, ob man sie siehet.í» Pero, ¿es completa esta contingencia? ¿O deja parcialmente un lugar al sentido? ¿Podemos contentarnos con una comprobación de hecho o debemos buscar una razón? ¿Los hechos se suceden al azar o el mundo marcha siguiendo ciertas reglas que podemos descubrir y utilizar? Muy a menudo el orden de las cosas no nos gusta, y algunas personas llegan hasta a dar su vida para modificarlo; lo cierto es que la búsqueda de sentido forma parte de la vida humana. Pero, antes de llevar la discusión a ese nivel, consideremos los orígenes, consideremos la aparición de la vida en la Tierra y el árbol de

1ractatus logicc-philosophicus, l. "La rosa no tiene porqués; florece porque florece. No se cuida de sí misma ni se pregunta si alguien la ve." Angelus Silesius, Le Pelerin Chérubique, según la traducción de Eugene Susini, París, PUF, 1964. 4 5

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la evolución del cual el hamo sapiens es una rama tal vez pasajera. Ese árbol nos indica una primera respuesta: cada nicho ecológico es un oasis de regularidad en el que las diversas especies se articulan con rigurosa lógica. Desde el momento en que el primer bípedo hizo fuego, el género humano aplica los recursos de su cerebro a buscar las regularidades del mundo y utilizarlas en su beneficio para suplantar las otras formas de vida. La búsqueda de sentido se hace sólo con miras a una acción, en general agresiva. De manera que para la razón humana es un ejercicio dificil elevarse por encima de las necesidades inmediatas de la acción y ni siquiera resulta claro que la razón se adapte a semejante esfuerzo. Intentémoslo sin embargo y tratemos de representarnos al homo sapiens en su situación original. Los órganos sensoriales le transmiten al cerebro un flujo continuo de informaciones que el cerebro debe tratar. De una manera que se nos escapa enteramente, el cerebro analiza esa información, separa situaciones tipo y las extrapola en el tiempo. Así, en la sabana primitiva, la retina del hamo sapiens recibe un paquete de fotones en los que su cerebro discernirá un conjunto de formas, entre las cuales reconocerá la de la planta nutritiva. El cerebro dispondrá entonces extraer la raíz y activará el procedimiento complejo en cuyo final la raíz majada, lavada y cocida llegará a ser por fin un alimento comestible. Una acción de este tipo descansa en un número casi infinito de reglas comprobadas en el pasado y proyectadas al futuro, y descansa asimismo en la facultad de reconocer en el presente las situaciones a que dichas reglas se aplican. Todas esas reglas constituyen el sentido (por lo menos operativo) que damos al mundo. Decir que el mundo no tiene sentido significa que no discernimos en él ninguna regla, que no comprendemos el pasado y que no podemos predecir el futuro; ésta es la contingencia total que parece dificilmente compatible con la existencia, aun precaria, de una conciencia individual. Decir que el mundo tiene un sentido significa, si ese sentido fuese perfectamente comprendido, que el pasado y el futuro están abiertos ante nosotros como un libro. La verdad se sitúa a mitad de camino, es decir que discernimos sentido

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localmente, lo cual nos permite obrar en ciertas direcciones, pero en otras direcciones el sentido se nos escapa. Ilustremos la situación con un ejemplo muy simple. Imaginemos que la información sensorial se presenta al cerebro en la forma de una serie continua de bits, es decir, de ceros o de unos:

o O 10 1 OOO 110 11 O ... , y reemplacemos el cerebro por un pequeño demonio que tomamos de Maxwell. Nuestro demonio no recibe otra información que aquella que le llega por el canal sensorial y en cada instante se agrega un nuevo bit a la cadena que él ya conoce. Como es un demonio, vive eternamente. Al fin de los tiempos habrá, pues, acumulado una serie infinita de O y de 1, y entonces nos preguntamos si ese mundo tiene un sentido. Esta manera de plantear la cuestión escamotea varios problemas importantes, especialmente el de la percepción (¿cómo hace el cerebro para clasificar la información que le llegá?) y el problema.da la acción (que repercute en la percepción, pues el cerebro no recibe pasivamente la información, sino que da órdenes para realizar acciones en consecuencia, especialmente para confirmar las informaciones recibidas o para buscar otras nuevas). Pero este modo de enfocar las cosas tiene la ventaja de que se puede abordar una respuesta. Por supuesto, si la cadena infinita que observó nuestro demonio en el curso del tiempo es constante, compuesta únicamente de ceros: 0000000 ... o únicamente de unos: 1111111 ... , el demonio responderá inmediatamente que ese mundo tiene un sentido. Lo mismo ocurrirá si la serie es periódica, es decir, si regularmente alternan los valores cero y uno: http://www.esnips.com/web/Sdentia

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o 10 10 101 ... , o bien:

o O100 1 OO1 ... ; el pequeño demonio está ante un universo particularmente simple y transparente. En este último caso las leyes de la física son tres: después de 1 viene O después de (1,0) viene O después de (0,0) viene 1. Si la serie no es ni constante ni periódica, nuestro demonio tratará de reducirla a algunas reglas simples. Esas reglas pueden ser evidentes, como en el caso de las series: O1 OO11 OOO 11 1 OOOO1111 OOOOO ... , (un cero seguido de un uno, luego dos ceros seguidos de dos unos, luego tres ceros seguidos de tres unos, etc.) o bien: 010001101100000101011100101 ... Esta última serie fue introducida en la bibliografía matemática por D. G. Champemowne.s Se forma escribiendo una después de otra todas las combinaciones posibles de O y 1, primero las de una cifra (O y 1), luego las de dos cifras, luego las de tres cifras y así sucesivamente. Todas esas combinaciones se escriben en el orden lexicográfico, es decir que, entre las combinaciones de la misma longitud, se escribe primero la que sólo contiene ceros, 00... 0, luego se introducen los unos y se termina con 11... 1. Se parte pues de O, al que sucede 1 (combinaciones de un término); luego se escribe sucesivamente, 00, 01, 11 (combinaciones de dos cifras) antes de escribir por orden las combinaciones de tres cifras, luego de cuatro cifras, de cinco, de seis, etcétera. 6

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Journal ofthe London Mathematical Society, 8, 1933, págs. 254-260.

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Una combinación dada de Oy de 1 aparecerá en la serie, no una sola vez, sino una infinidad de veces. Así 10 aparece en su rango como tercera combinación de dos cifras, pero también aparece antes, como encuentro de 1 y de la primera cifra de 00, y después, especialmente en las combinaciones de tres cifras, 010, 100 Y 110. Aparecerá igualmente en las combinaciones de cuatro, cinco, seis y más cifras por más que se desarrolle la serie. En realidad, se muestra que si consideramos dos bits consecutivos como un mensaje (hay, pues, cuatro mensajes posibles: 00, 01, 10 y 11), la frecuencia del mensaje 10 en esta serie infinita es de 1/4. De manera que la serie de Champernowne presenta todos los caracteres clásicos de una sucesión de tiradas de una moneda a cara o cruz: cada mensaje sale con una frecuencia que no depende de su longitud. Así, hay dos mensajes de longitud uno, O y 1, que aparecen cada uno con una frecuencia 112. Las obras completas de Victor Hugo, una vez trascritas en bits constituyen un mensaje de longitud aproximada de 109 , mil millones de bits, que, como todos los mensajes de esta longitud, aparecerá con una frecuencia de 11(1 000 000 000 x 999 999 999 x ... ... x 3 x 2). Esta frecuencia es tan débil que el hecho correspondiente no tiene ninguna posibilidad de ser observado entre dos big bang, pero nuestro demonio tiene ante sí toda una eternidad y podrá leer y volver a leer Nues-

tra Señora de París. En resumidas cuentas, la serie de Champernowne contrarresta tan bien el azar que uno se engañarla si la regla de formación no fuera tan evidente. Pero basta con complicar esta regla para colocar al observador en situación embarazosa. Tomemos, por ejemplo, un mecanismo simple que construya un número x,,+l partiendo del anterior x", según la fórmilla:

x,,+l

= 1 - Jl X;.

Demos al parámetro Jl el valor 1,5, elijamos como valor inicial Xo ~ O y engendremos la serie infinita X" X:!, X3 , ••• con ayuda de la fórmula anterior. Sus doce primeros términos se escriben así: http://www.esnips.eomlweb/Scientia

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Xl X2 X3

x, X¡;

x, X7

x,

x, XIO Xn Xl2

= = = = = = = = = = = =

1 -0,5 0,625 0,4140625 0,7428283691 0,172309021 0,9554644019 - 0,369368335 0,7953505496 0,05112625479 0,9960791591 - 0,4882605368

Reemplacemos entonces X, por O si X, < O, y por 1 si O < x". Se obtiene una serie de ceros y unos que comienza así: 1, O, 1, 1, 1, 1, 1, O, 1, 1, 1, O y si se continúa este ejercicio para obtener algunos términos suplementarios, tenemos: ' 1, 1, 1, 1, 1, O, 1, 1, 1, O, 1, O, 1, 1, 1, 1, 1, O, 1, 1, 1, O, 1, O, 1, 1, 1, 1, 1, O. Esta vez la regla de formación ya no es evidente y un observador humano podría emitir la hipótesis de que se encuentra en presencia de una serie de tiradas independientes. Haciendo un promedio de las primeras observaciones obtendrá para las frecuencias respectivas de O y de 1 los valores empíricos que le sirven de base para sus cálculos estadísticos; aquí, por ejemplo, encuentra en los 42 primeros términos frecuencias empíricas de 10/42 en el caso del O y de 32/42 en el caso del 1. El estadígrafo puede asimismo (gracias a la hipótesis de independencia) evaluar las frecuencias teóricas de diferentes mensajes y compararlas con frecuencias empíricas. Así, si las tiradas fueran independientes y si las frecuencias de 10/42 y 32/42 correspondieran a la realidad, la pareja 01 debería tener una frecuencia de 320/1764 (alrededor de 0,18), lo mismo por lo demás que la pareja 10, siendo así que 54

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la pareja 00 debería tener una frecuencia mucho más débil, 100/1764, o sea alrededor de 0,06. Ocurre que nuestro aparatito, como la seríe de Champernowne, imita perfectamente bien tiradas independientes, tanto que las frecuencias calculadas estarán próximas a las frecuencias observadas, de modo que nuestro estadígrafo se sentirá reconfortado con la idea -errónea- de que se las está viendo con el azar. Encontró al mundo un sentido, pero un sentido probabilista. Porque el verdadero determinismo se le escapa, cree que en la escala microscópica los fenómenos están regidos por el azar y que las leyes físicas no pueden ser sino estadísticas. Pero nuestro demonio no tiene las limitaciones intelectuales de los físicos humanos; hasta se lo puede considerar omnisapiente y podrá remontarse en la serie:

°

1, O, 1, 1, 1, 1, 1, O, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1,0, 1, 1, 1, 1, 1,0, 1, 1, 1,.0, 1,0, 1, 1, 1, 1, 1,

hasta su ley constitutiva x,,+1 = 1 - Ji~. Para él, el mundo es puramente determinista. Los valores del parámetro Ji = 1/2 Y de la condición inicial X¿ = determinan toda la evolución. Este es el último refugio de la contingencia, la única pregunta que todavía queda sin respuesta: ¿por qué este mundo antes que otro? Es decir, en última instancia, ¿por qué esos valores antes que otros? Una vez conocidos esos valores, el universo ya no tiene ninguna sorpresa. La diversidad de los términos de la serie es sólo aparente y su infinitud no es más que una ilusión. Para conocer todos los términos basta con conocer dos números, Ji y Xo. Si por ejemplo mi demonio quiere transmitir a un colega los 42 primeros términos de la serie, considerará mucho más económico enviar el mensaje"Ji = 1/2, X¿ = O" que transcribir la lista que figura más arriba, con la condición, claro está, de que el destinatario conozca la fórmula x,,+1 = 1- Ji~. Procuremos en cambio representarnos lo que sería un mundo desprovísto de sentido, es decir, puramente contingente. En nuestro modelo ese mundo se resume en una serie infinita de y de 1 ante la cual al propio demonio se confiesa

°

°

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vencido. La serie está allí, simplemente, y no la engendra ningún mecanismo determinista. De ahí, [en primer lugar, la imposibilidad de anotarla! Pues si doy los treinta primeros términos:

o OO 11 O 110 11111 OOO 1 O 10 10 OO 100 11 ... , por más que ponga puntos suspensivos para indicar que la serie continúa, nadie puede adivinar que el término trigésimo primero es un O. Por definición, este hecho no puede ser sino comprobado, pero no inferido, de los valores de los términos anteriores. El único modo de comunicar el término trigésimo segundo es escribirlo, de suerte que me haria falta un millón de ceros o de unos para comunicar el primer millón de términos de la serie y otro millón para comunicar el segundo, de manera que la serie completa es incomunicable a menos que disponga del Libro de arena, esa famosa obra que Borges extravió en los estantes de la Biblioteca Nacional de la Argentina y que comprendía una infinitud de páginas. Afortunadamente, nuestro demonio ha vuelto a encontrar ese libro y entonces anota concienzudamente todos los términos de la serie. Así nos aproximamos a una definición de la contingencia. Una serie infinita se llamará contingente si no se la puede definir de manera más económica que transcribiéndola completamente. Pediremos también que en nuestra escala, la de los pobres seres humanos, la serie continúe siendo contingente. Pues si tomo una serie contingente y le pongo 101000 ceros.t la serie continuará siendo contingente -y el demonio que la abarca toda lo sabe-, pero yo moriré antes de advertirlo y conmigo toda la especie humana. Pediremos pues que los primeros mensajes que nos llegan, es decir, los primeros términos de la serie, aparezcan también ellos como contingentes, o sea, que no puedan anotarse de manera económica. Aquí debemos precisar un poco nuestro pensamiento. Imaginamos escaques o casillas en cada una de las cuales es-

7 Es decir, un número enorme, mucho mayor que el número de partículas del universo conocido.

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cribimos un O o un 1. Si se da un mensaje de longitud N (1os N primeros términos de la serie, por ejemplo), siempre se lo puede comunicar copiándolo lisa y llanamente, con lo cual ocupa N casillas. Pero puede uno también ser más astuto. Primero se le indicará al destinatario cuántos ceros y cuántos unos hay. Cada una de esas cifras, transcrita con base 2, ocupa a lo más log N casillas. y por lo tanto se ha utilizado 2 log N casillas (es decir, log N para indicar el número de ceros así como para indicar el número de unos). Por otra parte, hemos reducido considerablemente la incertidumbre, pues con no ceros Y n, unos sólo pueden elaborarse (no + n,)! no! n,!

mensajes distintos. En la segunda parte de la transmisión del mensaje bastará indicar el número de orden del mensaje querido lo cual ocupa, siempre en casillas, el logaritmo del número anterior. Una vez hechos todos los cálculos, se comprueba que en el caso. de que N sea bastante grande se puede transmitir cualquier mensaje de longitud N utilizando a lo sumo no no n, nI) - N ( N log N + N log N

casillas. Recordemos que no es el número de ceros Y n, es el número de unos. La cantidad puesta entre paréntesis es célebre: es la entropía del mensaje considerado. Esta definición fue dada por C. E. Shannon, el fundador de la teoría de la informa8 La notación lag N designa el logaritmo de N en base 2, es decir, un número que figura en todas las calculadoras y que crece mucho más lentamente que N. Grosso modo, es el número de cifras necesarias para escribir N en base 2. A título de ejemplo, el logaritmo de 1 es 0, el logaritmo de 2 es 1, el logaritmo de 112 es -1 y el logaritmo de 2" es n. El logaritmo de un número inferior a 1 es negativo, lo cual explica la aparici6n del signo - en la fórmula de la entropía.

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cíon.s Se trata de un número positivo (el signo menos puesto delante de la fórmula corrige el signo de los logaritmos negativos), que representa la cantidad de informaciones transmitidas por cada mensaje a un destinatario que conoce no y ni' Se la puede escribir de nuevo haciendo intervenir las frecuencias empíricas Po = no/N y Pi = n/N de Oy de 1: - (Po log Pi + Pi log Pi)'

En el caso de frecuencias iguales, Po = Pi = 112, la entropía vale 1 y comprobamos que nuestra astucia necesita N casillas para codificar el mensaje. Es exactamente lo que exigía una simple transcripción, de manera que no hemos ganado nada. En cambio, si las frecuencias son distintas, Po = 113 Y Pi = 2/3, por ejemplo, la entropía vale 0,9182958343 y podemos, pues, transmitir el mensaje utilizando sólo 0,9183 x N casillas en lugar de N, o sea que hemos ganado más de un 8%. En el caso límite en que el mensaje sólo contiene ceros (o sólo unos) la entropía es nula. Hay un solo mensaje que comprenda sólo ceros y si el destinatario sabe que Pi = O es inútil decirle algo más: el hombre conoce el contenido del mensaje antes de haberlo recibido. En este sentido, la cantidad de informaciones suplementarias que le aporte ese mensaje particular es ciertamente nula. Inversamente, si el destinatario sabe que Pi = 112, esto le da la posibilidad de elegír entre una multitud de mensajes posibles y de saber que el efectivamente transmitido representa una información importante. Estamos pues en condiciones de precisar esta idea de un universo totalmente contingente, sin regla alguna que pueda permitir una predicción: es menester que los mensajes que ese universo nos dirige no puedan ser condensados. Es menester, pues, que los N primeros términos de la serie que anota nuestro demonio puedan ser comunicados sólo utili-

9 C.E. Shannon, "A mathematical theory of communication", BeU 8Y8tem Technical Journal, 27, 1948, págs. 379-423 y 623-656. Véase asimismo el libro de A. 1. Kbintchine, Mathematical Foundations of Information Theory, Dover, Nueva York, 1957.

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zando N bits. En términos matemáticos, es menester que la entropía valga 1 o, más exactamente, que se aproxime a 1, cuando el mensaje se hace bastante largo. Aquí aparece una dificultad. Es inevitable que un mundo sin ninguna regla exhiba grandes regularidades en ciertas zonas. Por ejemplo, es seguro que nuestra serie presentará en alguna parte mil ceros consecutivos. Si en efecto no los presentara, nos habríamos topado con una ley constitutiva, a saber, "no puede haber mil ceros consecutivos", con lo cual se tendrá una regla de predicción infalible: "Después de novecientos noventa y nueve ceros viene necesariamente un uno". y hasta es seguro que esas sucesiones de mil ceros se reproducen una infinidad de veces. Si no fuera así, si por ejemplo ese hecho sólo pudiera producirse setenta y siete veces, la misma ley: "Después de novecientos noventa y nueve ceros viene necesariamente un uno" sería verdadera desde el momento en que hubiera pasado la septuagésima séptima sucesión de mil ceros, y entonces se habría encontrado también una regla de predicción. Pero una secuencia tan organizada como de mil ceros seguidos puede comunicarse de manera mucho más económica que anotando las cifras una después de la otra. Basta con decir: "Contar mil ceros a partir de este lugar", y ya está todo dicho. A causa de regularidades de este género, es inevitable que se puedan transmitir los N primeros términos de la serie con menos de N casillas y, por lo tanto, que la entropía no sea exactamente igual a 1, sino ligeramente inferior. Tomemos otro ejemplo: si alineamos símbolos de imprenta en lugar de ceros y de unos, si por ejemplo imaginamos a un mono que teclea en una máquina de escribir, el resultado será un texto escrito, texto por lo demás infinito si el proceso continúa eternamente. En su mayor parte ese texto estará desprovisto de sentido, pero podemos concebir que de vez en cuando, entre los "gfwsavk" y los "jmuuzxnmlkj", el azar haga aparecer una palabra que podamos reconocer, las más de las veces una palabra breve como "es", algunas veces algo más largas como "estival". Muy rara vez se verá una frase completa, pero nuestro demonio dispone de toda la eternidad. Tiene tiempo de esperar la primera oración de Nuestra Sehttp://www.esnips.com/web/Sdentia

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ñora de Paris, tiempo de esperar el primer párrafo, tiempo de esperar el primer capítulo, tiempo de esperar la obra completa, tiempo de esperarla en dos ejemplares, tiempo de esperarla en cuatro mil quinientos noventa y dos ejemplares consecutivos. Durante todo ese tiempo, se escriben otras obras ante sus ojos, especialmente este mismo libro e incluso sus capítulos futuros que yo todavía no conozco en el momento de escribir estas líneas, y los libros que escriban otros. Suponiendo que el demonio no conozca La guerra y la paz o Nuestra Señora de Paris, tendrá ocasión de leerlas por primera vez, lo cual le permitirá reconocer los otros ejemplares a medida que vayan apareciendo. De manera que podrá abreviar considerablemente el mensaje reemplazando el texto in extenso por la indicación "en este lugar, ejemplar suplementario de tal obra". Cada inserción de este tipo disminuye la entropía, en tanto que cada sucesión de símbolos incoherentes la aproximaal. Veamos, pues, nuestra definición final: una serie es contingente si la entropía de los N primeros términos permanece próxima a 1, su máximo, y tanto más se aproxima a 1 cuanto mayor sea N. En otras palabras, la comunicación de los N primeros términos de la serie necesita un poco menos de N casillas o, para decirlo en el lenguaje de la teoria de la información, N bits. Esta definición se debe al gran matemático ruso A. N. Kolmogorov (1903-1987), el fundador de la teoria de las probabilidades. Entre sus numerosos títulos de gloria figura el de haber introducido el empleo de la entropía como instrumento de análisis en este tipo de cuestiones. La definición original que Kolmogorov había dado de la contingencia presentaba sin embargo grandes dificultades en el plano estrictamente lógico, dificultades que por fin fueron superadas por el matemático sueco P. Martin-LOf. Una serie contingente en el sentido de Kolmogorov y de Martín-Lof es, pues, la formulación de un mundo en el cual la única regla es que no hay reglas. Observemos que se trata por el momento de una construcción puramente lógica en la que el azar, en el sentido del cálculo de las probabilidades, no tiene ningún lugar. Para señalar este punto hemos preferido llamar a esas series "contingentes" antes que "aleatorias", co60

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mo Kolmogorov o Martin-Lof, Esas series son ciertamente aleatorias, en el sentido de que no puede haber procedimiento alguno para adivinar un término de la serie partiendo de los anteriores, ni siquiera un procedimiento para condensar la información contenida en sus N primeros términos, pero tales series no se obtienen como consecuencia de tiradas independientes según una ley dada, como quiere el modelo clásico de la teoría de las probabilidades. El milagro está en que los dos puntos de vista se reúnen. Según una intuición fundamental de Kolmogorov, las series contingentes que hemos descrito son aleatorias en el sentido de la teoría de las probabilidades. En realidad, se muestra que si una serie es contingente en el sentido de Kolmogorov y de Martin-Liif, la frecuencia de los ceros y de los unos en cualquier muestra se aproxima siempre a 1/2. Midamos bien el alcance de esta propiedad. No decimos solamente que hay más o menos tantos ceros como unos en los N primeros términos de la serie y que las proporciones respectivas de Oy de 1 se aproximan tanto o más a 1/2 cuanto mayor es N, sino que. decimos también que, cualquiera que sea el procedimiento de muestreo o de extracción elegido, las muestras extraidas de la serie deben presentar la misma propiedad. Así, en el caso de la serie periódica O1 O1 O1 O1 ... , observando sólo un término de dos se extrae la muestra OOOO'" , es decir, una serie constante en la que la frecuencia de los ceros es 1 y la frecuencia de los unos es O. De manera que una serie periódica no puede ser contingente en el sentido de Kolmogorov. En lo tocante a la serie de Champernowne, se podrá construir una muestra observando sucesivamente los términos de rango: 3 =1 + 2 x 1,

11 =3 + 22 x 2,

35

=11 + 2

3

x 3, ...

la regla es la de que si la (n - l)-ésima observación se ha hecho sobre el término de rango r, la n-ésima deberá hacerse sobre el término de rango r + 2 n x n. La muestra así extraída de la serie de Champernowne es la serie constante OOO... La serie de Champernowne no es, pues, tampoco contingente en el sentido de Kolmogorov. http://www.esnips.com/web/Scientia

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Por supuesto que el procedimiento adoptado no debe ser anticipador, es decir que nos obligue a declarar antes de que se haya efectuado la tirada si se conservará o no su resultado. En otras palabras, uno debe poder decidir, conociendo su rango pero no su valor, si un término de la serie se conserva en la muestra o no. ¡Evidentemente, no hay que tomar los N primeros términos, rechazar todos los 1 y pretender que se ha extraído una muestra que sólo presenta ceros! En el caso de las series contingentes en el sentido de Kolmogorov, cada muestra extraída según un procedimiento no anticipador presentará una frecuencia empírica de Oy de 1 cercana a 112. Estas series pasarán asimismo tests estadisticos más sutiles (demasiado técnicos para que los tratemos aquí), basados en la hipótesis de que las series son el resultado de tiradas sucesivas independientes y equiprobables. En realidad, desde el punto de vista operativo, son exactamente series de tiradas independientes y equiprobables, pues se manifestarán tales en todas las pruebas a que pueda someterlas el ingenio humano. Recapitulemos. Hemos pasado de un extremo al otro. Por un lado, las series engendradas mecánicamente por una regla de iteración. Aun cuando ellas parezcan aleatorias a un observador poco avisado (es el fenómeno del caos determinista), representan un mundo puramente determinista en el cual el futuro es previsible exactamente partiendo del pasado. En el otro extremo, las series contingentes, que atestiguan un mundo totalmente desprovisto de sentido en el que la única regla es que no hay reglas y en el que nunca se podrá arrancar al pasado ninguna certeza sobre el futuro. [Cuál no será nuestra sorpresa al ver surgir entonces otra racionalidad! Ese mundo que rechaza todas las reglas deterministas se pliega dócilmente al cálculo de las probabilidades. Esas series construidas con tanto cuidado para que nunca se pueda prever el resultado de una tirada individual se revelan accesibles a las predicciones estadísticas. Se trata, pues, del modelo probabilista que aparece en el polo contrario del modelo determinista. Ellos dos constituyen los polos entre los cuales oscila nuestra comprensión del mundo: a medida que nos alejamos de uno nos aproximamos al otro. 62

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Un mundo rigurosamente no determinista debe ser perfectamente probabilista. ¿Y ese mundo en el que muere 0yvind Kjelda y en el que vivimos nosotros? No sabemos dónde situarlo dentro de esta escala que vincula el azar con la necesidad, pero paradójicamente esto tiene poca importancia. Si la realidad última está descrita por el cálculo de las probabilidades, el mundo estará sometido a las leyes de la estadística. Estas leyes permiten admitir hechos independientes preñados de incertidumbre en la escala microscópica, para obtener una casi certeza en la escala macroscópica. Esto es lo que hace que el determinismo sea para nosotros un hecho de la experiencia. 0yvind puede predecir con certeza que morirá dentro del cuarto de hora siguiente. Verdad es que la marea que sube se descompone en una multitud de moléculas, cada una de las cuales está regida por el cálculo de las probabilidades, pero el número de las moléculas es tal que las suertes individuales construyen una certeza ineluctable. No cabe abrigar la esperanza de ver detenerse la marea al pie de la roca o de levantarse para tragar a los verdugos, hechos ambos posibles sin embargo, pero infinitamente poco probables. Este es el sentido del segundo principio de la termodinámica. Aun cuando la situación estructurada que comprobamos hoy sea extraordinariamente improbable en relación con el caos primordial, esa situación existe y, partiendo de aquella masa amorfa, la evolución se realiza según leyes estadísticas, es decir, de manera ordenada. Verdad es que retornamos a esa masa amorfa primordial, pero no de cualquier manera. A menos que los milagros se perpetúen y que a una situación de partida ridículamente improbable se agregue un desarrollo aun menos probable, hay que prever que lo que se impondrá en la escala macroscópica es la evolución más probable. En otros términos, la entropía del sistema, que parte de un valor extraordinariamente bajo, debe orientarse hacia su valor máximo. Esta intuición fue formulada por Boltzmann en su teoria de los gases perfectos y gran mérito suyo es el de haber mostrado que el crecimiento de la entropía era en la escala macroscópica una consecuencia de lo que él llamó la hipótesis del "caos molecular". No podemos esquivar el determinismo. Si lo echamos por http://www.esnips.com/web/Sdentia

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la puerta, postulando una incoherencia total, el determinismo entrará por la ventana bajo el manto de leyes estadísticas. Su naturaleza se nos escapa, ya sea mágica, ya sea matemática, ya sea analógica o mecánica, pero su presencia parece ser una necesidad lógica, establecida de manera irrefutable por Kolmogorov y sus discípulos. Algunos siglos antes y con el disfraz de un formalismo diferente, encontramos la famosa prueba de la existencia de Dios dada por San Anselmo. Por definición, Dios posee todas las perfecciones; ahora bien, la primera de todas las perfecciones es existir, luego Dios existe. Para decirlo en lenguaje escolástico, la esencia de Dios abarca su existencia. Del mismo modo, la existencia del determinismo, que es una cuestión de hecho, procedería directamente de su naturaleza, que es una cuestión matemática. Si el argumento de San Anselmo ya hoy no nos convence, ello se debe a que estamos habituados a distinguir las cuestiones de hecho y las cuestiones de derecho. El hombre moderno es dualista y separa netamente el universo material, donde se deciden las cuestiones de hecho, de un universo intelectual donde se debaten las de derecho y donde se enfrentan las teorías. La cuestión del nexo entre estos dos universos (que sin embargo es fundamental, si pretendemos comprender nuestra relación con el mundo) ya no le interesa al hombre moderno; si tuviera que elegir, relativízaría de buen grado el segundo universo en beneficio del primero. Por eso estamos vísceralmente convencidos de que no se puede demostrar que algo existe. Tenemos pues buenos motivos para tratar de encontrar el error de San Anselmo. Se lo puede señalar ya en las premisas del argumento, a saber: que Dios tiene todas las perfecciones y que una de esas perfecciones es existir. Yo prefiero atacar más directamente la cuestión de la existencia. En matemática disponemos de una formulación de este concepto y de ella resulta que los objetos que no existen están dotados de propiedades miríficas y permiten demostrar cualquier cosa. Por ejemplo, si una fracción irreductible p / q tiene como cuadrado el número 2, entonces su denominador q debe ser a la vez par e impar. Muy justamente se llega a la conclusión de que semejante fracción no puede existir, es decir, que "1/2 64

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no es un número racional; esto es lo que se llama una demostración por el absurdo. El argumento de San Anselmo es la primera mitad de una demostración por el absurdo, cuya conclusión no puede ser otra que la no existencia de Dios. Claro está que nadie dio todavía la segunda mitad de la demostración, la que permita llegar a la contradicción decisiva; pero la duda subsiste y, si algún día se elimina, sólo podrá serlo negativamente. Imaginemos al primer matemático griego o babilonio que estudió -J2 en la forma de una fracción p / q. Después de muchos esfuerzos tal vez logró demostrar que el denominador debía ser un número par y tal vez hiciera un teorema sobre esto, hasta que un día otro matemático, rival o sucesor suyo, demostró que ese denominador debía ser también impar. Asimismo, nada nos garantiza que partiendo de las mismas premisas, a saber: que Dios posee todas las perfecciones, no se pueda llegar lógicamente a una conclusión opuesta, a saber: que Dios no existe. En este momento la única conclusión obligatoria sería entonces la de que efectivamente Dios no puede existir. Muchos siglos han pasado desde los días de San Anselmo y la lógica formal ha hecho suficientes progresos para que en adelante evitemos este género de trampas. También el análisis de Kolmogorov, que parece instaurar el determinismo como ley del mundo por la simple fuerza de un razonamiento matemático, nos opondrá mayor resistencia. Ese análisis está ciertamente bien fundado en el plano de la pura lógica. Nos vemos pues forzados a aceptar la idea platónica de que la infinita variedad del mundo está dispuesta para toda la eternidad por algunos teoremas. Las cosas son, los acontecimientos se suceden, pero todo eso está necesariamente estructurado por la matemática. Esta marca, pues, un límite a la contingencia porque procede claramente del universo del derecho y no del universo del hecho. No se puede imaginar que la matemática sea de otra manera que como es y el universo físico mismo está constreñido por las leyes de la matemática. Así nos hemos elevado por encima de la contingencia del mundo y hemos creído que encontrábamos refugio en la matemática. El físico que descubre una ley insospechada, el ingeniero que calcula una estructura, el economista que busca http://www.esnips.com/web/Sdentia

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correlaciones son hombres que atestiguan la potencia de la matemática y sostienen la esperanza de que algún día el mundo esté enteramente abierto a ella. Ese día se podrá decir que el hombre dominó la contingencia y que el universo es por fin transparente. El físico habrá unificado la relatividad general y la mecánica cuántica, el psicoanalista habrá formulado las leyes del inconsciente y la humanidad exclamará: "Por fin hemos comprendido. Las cosas son así porque no podían ser de otra manera". Pero entonces surge insidiosa pero persistente la duda: esto es demasiado hermoso. ¿Por qué asignar esa condición particular a las actividades cerebrales de una especie viva prisionera en su rinconcito del universo? ¿Por qué la matemática escaparía a la influencia del azar? Esa necesidad a que se refiere la matemática, ¿no es ella misma contingente? ¿No habría podido la matemática ser diferente de lo que es hoy en este planeta? En primer término, en la matemática no hay ningún lugar para la contingencia. Todo es cierto o verdadero por necesidad; en matemática no hay ni comprobación de hecho ni argumento de autoridad. Desde Euclides, todos los matemáticos tienen la misma imagen de su ciencia: esa ciencia descansa en algunos axiomas simples cuyas combinaciones, de conformidad con ciertas reglas lógicas, permiten demostrar otras proposiciones. La verdad se extiende, de alguna manera, por contagio, y axiomas básicos reconocidos como tales se extienden a todo lo que ellos permiten demostrar, es decir, según se creyó, al conjunto de la matemática, que estaba fundada en una pura necesidad lógica con exclusión de toda contingencia exterior. La matemática estaba así resguardada del azar y de la historia. Fue Kurt Godel quien en 1930 dio la prueba de que esa imagen era falsa. En un famoso teoremaw publicado al año siguiente, demostró que cualquiera que sea el sistema de axiomas y de reglas adoptado (siempre claro está que haya

10 Véase K Godel, E. Nagel, U. Newman, J. Y. Girard, Le Théoréme de Gódel, París, Le Seuil, 1989.

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sido un número finito de ellos) se podrá enunciar una proposición relativa a los números enteros que no pueda ni demostrarse ni invalidarse dentro de ese sistema. En otras palabras, hay proposiciones matemáticas que son verdaderas pero que no se pueden demostrar. Sólo se las puede comprobar si tiene uno vista bastante aguda. Nuestro demonio de Maxwell, que puede abarcar con una sola mirada la infinitud de los números enteros, comprueba inmediatamente si una propiedad es verdadera o no lo es. Pero el ser humano no posee esa facultad. Sólo puede comprobar de visu una propiedad aritmética si los números a que ella se refiere no son demasiado grandes.u Si son demasiado grandes, el único recurso que tiene el ser humano es buscar una demostración; si no la encuentra, esto no quiere decir necesariamente que la propiedad en cuestión sea falsa. Tal vez haya tomado un mal camino y algún otro más inteligente o más afortunado pueda encontrar el método adecuado. La matemática está plagada de conjeturas, es decir, de cuestiones que están en suspenso y que esperan, a veces desde hace siglos, ser resueltas. El teorema de Godel muestra la posibilidad de que no lo sean nunca. Y Godel va aun mucho más lejos, puesto que el teorema permite construir explícitamente una proposición indecidible dentro del sistema considerado. Esa proposición puede tomarse entonces como un nuevo axioma y agregarse a los axiomas ya existentes para constituir un nuevo sistema que a su vez entrañará una proposición indecidible, que de nuevo podrá agregarse a los axiomas anteriores para constituir un nuevo sistema, y así indefinidamente. Pero en cada etapa hay una ambigüedad: si una proposición es indecidible, su contraria también lo es, de suerte que uno puede elegir aquella que se toma como axioma. Según que elija uno la proposición o su contraria, se obtienen dos matemáticas diferentes, dotadas ambas de una perfecta coherencia interna, pero incompatibles entre sí. El teorema de Godel afirma en definitiva la existencia de una

11 A título de ejemplo, el mayor número primo conocido hoyes 2 2109L 1.

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infinidad de matemáticas distintas, todas hijas de la misma necesidad. La matemática no está únicamente determinada por la lógica; en ella tiene también su lugar lo arbitrario. Entonces dos actitudes son posibles. Se puede sostener que los objetos matemáticos, como los números enteros, tienen una existencia independiente, de manera que toda proposición que se refiera a ellos debe ser verdadera o falsa, independientemente del hecho de que sea demostrable o no. Sólo hay pues una matemática legítima, la que da cuenta exactamente de todas las propiedades de los números enteros. Esta es la actitud platónica, por lo demás adoptada por el propio Godel (quien en su artículo de 1931 hace notar que la proposición que él construye es indecidible pero "verdadera") y por la mayor parte de los lógicos, que se refieren a un "modelo estándar" de los números enteros, es decir, en última instancia, a la intuición que ellos tienen de dichos números. También se puede ser pragmático y considerar que los objetos matemáticos sólo tienen existencia operativa. Una cuestión indecidible es una cuestión sin respuesta porque no puede ser resuelta por la experiencia fisica. Cualquiera que sea nuestra inclinación no hay asidero desde el que podamos decretar que la respuesta debería ser sí antes que no. Esta es una actitud que se asemeja a la de Niels Bohr en mecánica cuántica: la cuestión no se formula. La mayor parte de los matemáticos son platónicos. Esto se debe a la belleza trascendente del edificio matemático, que no parece construido por manos humanas. También se debe a nuestra experíencia de investigadores, pues tenemos más la impresión de penetrar los secretos de la naturaleza, de extraer de su incomprensión verdades eternas, que de estar manejando objetos domésticos. El momento del descubrimiento es el momento de la iluminación: por fin veo las cosas como son; el misterio que las rodeaba se ha disipado. En esos momentos, la evidencia es tal que se impone el mito platónico de la metempsicosis, según el cual las almas contemplan las verdades eternas durante su estada en los infiernos antes de beber el olvido en las aguas del Leteo y de regresar a la tierra para recomenzar un nuevo ciclo. 68

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Pero quien haya estudiado la historia de la matemática no puede sino sentirse invadido por la duda. Por supuesto, algunos grandes creadores desempeñaron un papel eminente. ¿Qué sería el análisis sin Newton y Leibniz, el álgebra sin Galois, la geometría sin Gauss? Pero la historia de la matemática no depende únicamente de algunas intuiciones geniales. Se inscribe en el desarrollo general de las ciencias y de las técnicas: el naciente análisis estuvo orientado por la mecánica celeste y el libro en el que Gauss establece los fundamentos de la geometría es también un tratado de geodesia. Si las circunstancias históricas hubieran sido diferentes, si las necesidades que había que satisfacer hubieran sido otras, ¿no habría sido diferente la matemática? Si la Tierra hubiera sido el único planeta que gira alrededor del Sol y si no hubiera tenido un satélite, durante tantos siglos no se habrían acumulado las observaciones y creado sistemas para explicar las perturbaciones del movimiento de astros móviles en la esfera de los fijos, la mecánica celeste no existiría y no reconoceríamos la matemática de hoy. Creemos ver un itinerario obligado, un desarrollo lógico que tiende hacia un fin. La ilusión de la teleonomía consiste en integrar el estado actual en un proceso evolutivo y en interpretar el pasado en función del presente. Allí donde vemos un progreso regular a lo largo de un camino trazado por toda la eternidad tal vez no haya más que una marcha al azar según solicitaciones exteriores, como dice Antonio Machado, citado por D. Ruelle en un contexto parecído.u

Caminante, son tus huellas el camino y nada más; caminante, no hay camino, se hace camino al andar. 13

12 "Are OUT mathematics natural?", Bulletin ofthe American Mathematieal Society, 19, 1988, págs. 259-268. 13 Traducción al francés: "Marcheur, le chemin ce sont tes traces et rien de plus; mercheur; il n'y a pas de chemin, c'est toi qui le traces en mar-

chant".

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No podemos sino maravillarnos de la singularidad de nuestro propio destino. El edificio de la ciencia lo mismo que la historia humana incorporan una buena parte de arbitrariedad, y uno se pone a pensar en lo que habria podido ser, pero que por fin no fue. Somos los sobrevivientes de un implacable proceso de selección que eligió entre la infinita variedad de futuras posibilidades la que finalmente se realizará. Los acontecimientos así apartados por esa divinidad sin rostro que se llama el azar tienen tanto derecho a la existencia como el acontecimiento elegido que en adelante formará parte de nuestra experiencia. Nuestro único mérito es existir, sin razón aparente y a expensas de otras posibilidades, ciertamente tan ricas y tal vez más seductoras. ¿Por qué yo? La pregunta no tiene respuesta. No debe sorprender que aquel que se abandona a esta clase de pensamientos sufra una crisis de identidad: ¿qué es este mundo tan contingente?, ¿qué es este yo ante tantas otras existencias virtuales? Para concluir dejemos la palabra al poeta:«

Esta vida estrambótica e inaudita: en medio de un gran número de pretendientes una célula masculina llega hasta una célula femenina y yo llego al ser. Nada de asombroso tiene que yo dude de ser yo mismo. y después, esta sociedad

donde todos se ladran unos a otros como en una perrera, enteramente convencidos de ser ellos mismos. Guerras, sacrificios humanos. No creo haber existido más tiempo que hasta el momento de la fecundación, maculada concepción. 14

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Gunnar Ekelüf "Detta oerhorda", en Opus Incertum, 1959.

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Yo, un espermatozoide, doy vueltas en redondo con [grandes sacudidas de flagelo en busca del huevo del mundo. Pero, ¿dónde encontrarlo? Ante el asalto de esta contingencia multiforme, la humanidad trata de identificar los determinismos subyacentes, es decir, trata de dar un sentido al mundo. Como ya vimos, puede tratarse de encadenamientos necesarios o de regularidades estadísticas: todo consiste en discernírlas. El sentído puede ser una conquista personal del individuo o el fruto de una antigua tradición. El sentido también puede imponerse por la fuerza. La violencia es contingencia pura, pero su estadio último consiste en imponer un sentido. El tirano quiere no sólo ser obedecido, quiere ser amado. El ocupante extranjero conquista el país y exige la adhesión de las poblaciones expoliadas, como ese coro que saluda la expulsión de Filemón y de Baucis por Fausto:

Das alte .Wort, das Wort erschallt: Gehorche willig der Gewalt. Denn bist du kühn, und hiiltst du Stich? Dann wage Haus, und Hof, und... dich.w Siempre, como lo ha mostrado Claude Lévi-Strauss, los hombres atribuyeron a ciertos símbolos el poder de interpretar el mundo y hasta de transformarlo. Eso es lo que se llama una teoría: un conjunto de elementos fundamentales, de reglas formales que permiten combinarlos para formar elementos nuevos, un juego de correspondencias entre el universo formal así creado y el mundo ambiente. Es en esta correspondencia misteriosa donde se sitúa el determinismo, siendo así que los diversos formalismos propuestos y luego abandonados son innumerables como las civilizaciones que los crearon. Nosotros tenemos una preferencia cultural por el esquema que asocia 15

"Resuena la antigua palabra: Cede de buen grado a la violencia.

¿Eres acaso audaz y haces frente? Arriesga entonces tu techo, tus bienes y a ti mismo" (Goethe, Segundo Fausto, último acto).

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un modelo matemático con una verificación experimental, pero otros esquemas son lógicamente posibles y han sido utilizados. Entre ellos la magia, con todas las ciencias ocultas que nos ha transmitido la tradición y de las cuales el seid de los antiguos noruegos no es más que la expresión local en un determinado tiempo y un determinado lugar. Raros son los documentos que nos informan con alguna precisión sobre lo que era el seid, y la acción devastadora de los reyes eristianizadores tuvo mucho que ver en este olvido voluntario. Afortunadamente nos queda el recuerdo de Egil Skalagrimsson, gran vikíngo y gran escaldo, maestro del seid, quizá la personalidad más notable de la antigüedad nórdica, La saga de Egil es ella misma una obra maestra tal que se sospecha que su autor fue Snorri Sturlasson; la saga nos informa cómo utilizó el seid contra el rey Erik Hacha de Sangre y la reina Gunnhíld. Al salir de Noruega, después de haber ajustado cuentas con sus enemigos, Egil plantó un nidstang, una estaca de maleficio, en la que puso una cabeza de caballo vuelta hacia el interior del país mientras pronunciaba la siguiente imprecación: "Erijo aquí una estaca de infamia y la vuelvo contra el rey Erik y la reina Gunnhild; y lanzo esta maldici6n a los espíritus tutelares que habitan en este país a fin de que pierdan todos sus caminos y nadie encuentre puerto de salvaci6n antes de haber expulsado del país al rey Erik y a la reina Gunnhildí.ie La maldición fue grabada en runas sobre el poste y algunos años después el rey Erik y la reina Gunnhild fueron expulsados de Noruega y obligados a exíliarse en las islas Orcadas. Los reyes tuvieron su desquite cuando Egil, arrastrado a la costa por una tempestad, cayó en sus manos. Quisieron ejecutarlo inmediatamente, pero Egil tenía en la comitiva del rey amigos que defendieron su causa e hicieron valer la usanza de que no debía matarse a nadie entre la caída de la noche y el nacimiento del día: "Rey, ¿no es un asesinato dar muerte a un hombre durante la noche?" Egil tuvo, pues, una noche de gracia que aprovechó para componer una obra maestra de la

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Saga de Egil Skalagrimsson, pág. 57.

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poesía nórdica, en verdad el primer poema rimado, una oda en que cantaba la gloria de su enemigo; al día siguiente la declamó en presencia del rey Erik y de su corte. Para un escaldo en situación desesperada aquélla era una manera reconocida de salvar su cabeza; y en adelante el poema se conoció con el título de Hovudlausn: "Rescate de la cabeza". En esta historia se encadenan varios determinismos: la práctica del seid, el respeto de una costumbre, el arte poético. Nosotros ya no reconocemos como nuestro ninguno de esos determinismos. Con los vikingos desaparecieron el seid, la poesia escáldica y ese extraño respeto por una costumbre que no quería que se diese muerte ni al peor enemigo una vez caída la noche. Pero, la necesidad que expresaban esos determinismos de identificar y de construir oasis de regularidad en el desierto de la contingencia es todavía la nuestra hoy, aun cuando la satisfagamos por otros medios. El formalismo y el rigor de la poesia de los escaldos no van en zaga del rigor y del formalismo de la matemática moderna, y quien sabe ajustar los kjenningern respetando las reglas de la aliteración sabrá también desarrollar los teoremas siguiendo las reglas de la lógica. En ambos casos, la creatividad es lo que cuenta; ella es la que da el sentido y la belleza y la que distingue a los artistas de los obreros del arte. Si la poesía escáldica ha caido en desuso, ello se debe a su exceso de formalismo. Si el seid ha desaparecido, ello se debe a que fue vencido por otras prácticas. La humanidad engendra así sistemas que viven durante un tiempo y luego mueren por enfermedad o por accidente. El seid sin duda había servido bien a 0yvind Kjelda en otras ocasiones, y ahora en el momento decisivo lo abandona sin que se comprenda realmente lo que ocurrió. Un determinismo suplanta a otro, la mecánica celeste desaloja a la astrología, pero subsiste siempre esa misteriosa correspondencia entre los universos intelectuales que creamos y el mundo bien material en que vivimos. 17 Las reglas muy estrictas de la poesía de los escaldos habían llevado a reemplazar muchas palabras usuales por metáforas, los kjenninger, que respondían mejor a las exigencias de la aliteración y que se hicieron cada vez más refinadas en el curso de los siglos.

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3 La anticipación

El recuerdo del rey Olav Trygvessen es inseparable del recuerdo de su drakkar, Ormen Lange, el Drag6n Largo. El rey lo había hecho construir según el modelo de un drakkar que había llevado de Hálogaland y que ya era un navío soberbio. Pero por su tamaño y su belleza el nuevo drakkar debía sobrepasar a su modelo, llamado en adelante el Dragón

Corto. La fama del Dragón Largo había cundido por los mares. En ocasión de la última expedición del rey Olav, sus enemigos, los reyes de Suecia y de Dinamarca y también eIjarl Eirik, con 71 navíos, le tendieron una emboscada cerca de la isla de Svolder, situada en las costas meridionales del Báltico. La flota del rey Olav, que ignoraba la presencia del enemigo, zarpa para regresar a Noruega. Los barcos más pequeños parten primero; como son asimismo los más rápidos, pronto se pierden de vista. El rey Olav Trygvessen se queda atrás con sus once navíos mayores a los que un traidor, eljarl Sigvalde, debe guiar hacia alta mar a través de un canal con aguas de profundidad suficiente para el calado de los barcos. En realidad, los conduce derechamente a la boca del lobo.

Svein de Dinamarca, Olav de Suecia y el jarl Eirik estaban allí presentes con todos sus ejércitos. El tiempo era hermoso y el cielo estaba claro; los jefes subieron a un promontorio, cada uno acompañado de su séquito. Vieron alejarse por el mar una larga hilera de naves. Luego vieron un navío http://www.esnips.com/web/Sdentia

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grande y majestuoso que surcaba las aguas hacia ellos; los dos reyes exclamaron entonces: "¡Qué barco imponente y qué hermoso! Debe de ser el Dragón Largo". Eirik replicó: "No es el Dragón Largo"; y tenía razón, porque aquel drakkar pertenecía a Eindride de Gimsan. Unos instantes después vieron pasar otro drakkar muchos mayor que el primero. El rey Svein dijo entonces: '%0 que Olav Trygoessen tiene miedo; no se atreve a enarbolar insignia alguna en su barco". Pero Eirik respondió: "Ese no es el navío almirante. Conozco el barco y su vela, que tiene listas de colores. El que pasa ahora es Erling Skjalgsson; dejémoslo ir. Para nosotros es mejor que este drakkar la falte al rey Olav, pues nos causaría mucho daño armado como está". Poco después vieron los drakkars del jarl Sigvalde y los reconocieron; los drakkars se dirigían hacia ellos. Luego aparecieron tres drakkars a toda vela, el primero de los cuales era realmente de un tamaño excepcional. Entonces el rey Svein dio la orden de que se embarcaran porque llegaba el Dragón Largo. Eirik dijo: "Ellos [los noruegos] tienen otros barcos grandes e imponentes como el Dragón Largo; esperemos todavía un poco". Los hombres empezaron entonces a murmurar: "El jarl Eirik se resiste a combatir y a vengar a su padre. Es una gran vergüenza y el rumor se difundirá por todo el mundo: aquí estamos inactivos con nuestra flota inmensa, y el rey Olav se hace a la vela ante nuestras narices". Continuaban aún discutiendo cuando vieron cuatro drakkars con las velas tendidas; uno de ellos ostentaba una enorme cabeza de dragón cubierta de oro. Entonces el rey Svein se levantó y dijo: "El Dragón Largo me llevará a gran altura esta tarde, pues seré yo quien lo conduzca". Los otros exclamaban que el Dragón era un barco gigantesco y hermosísimo y que quien había hecho construir semejante navío era hombre audaz. Pero Eirik dijo, de manera que pocos pudieran oírlo: '~un cuando el rey Olav no tuviera un drakkar mayor que éste, el rey Svein y sus daneses por sí solos nunca llegarían a capturarlo". Thdos descendieron a las naves y comenzaron a desarmar las tiendas. Pero mientras los jefes esperaban comentando los hechos que acabamos de relatar vieron aparecer tres poderosos drakkars y detrás de ellos un 78

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cuarto, y ese último era realmente el Dragón Largo. Los otros dos navíos que habían visto y que habían tomado por el Dragón Largo eran el Tranen y el Ormen Stutte, el Dragón Corto. Pero apenas hubieron visto el Dragón Largo, todos lo reconocieron por lo que era y ya no discutieron más; se trataba de Olav Tryguessen. que se hacía a la vela. Thdos los hombres se embarcaron y se prepararon para el combate. 1 Los enemigos de Olav Trygvessen enfrentan aquí un problema de decisión muy típico. No deben descubrirse sino en el momento en que el drakkar del rey esté a la vista. Si se muestran demasiado pronto, se dará el alerta y el rey tendrá tiempo de escaparse. Si se embarcan demasiado tarde, el rey ya habrá pasado y una ocasión como aquélla no volverá a presentarse. Deben reconocer, pues, el Dragón Largo. La dificultad está en que nunca habían visto esa nave o, mejor dicho, sólo uno de ellos la había visto, pero los demás no le tienen gran confianza. Acusado de cobardía, se encuentra reducido al silencio durante el resto de la discusión. De manera que los dos reyes deben guiarse por la reputación del Dragón Largo. Tienen de él una descripción general, saben que es muy grande, que está ricamente adornado y que sale de lo común para afianzar el orgullo de su poseedor, Olav Trygvessen, cuyo esplendor era ya legendario. Como por otra parte el arte de la construcción naval no ofrece una variedad infinita y como los reyes son por necesidad conocedores de los drakkars, se hacen por fin una idea bastante precisa del Dragón Largo, una idea mucho más precisa que la que nosotros podemos hacernos hoy de esa nave. Pero esto no impide que se engañen cinco veces. Cada vez tienen buenas razones para equivocarse. Cada drakkar es mayor y más hermoso que el anterior y cada vez parece que se ha llegado al tamaño máximo. Cada vez que pasan los navíos las opiniones se dividen, unos cada vez más seguros de sí mismos, otros cada vez menos. Sólo la aparición del ver-

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Saga de Olav Tryguessen, 100.

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dadero Dragón Largo pone fin a la discusión. La evidencia está a la vista, ya no hay necesidad de discursos y todos se precipitan a los barcos. Retrospectivamente, una vez caído el velo de sus ojos, todos se preguntan cómo han podido dejarse engañar por imitaciones tan débiles. La descripción dada de un drakkar gigantesco y cubierto de oro sólo podía convenir a ese navío de cuento de hadas que avanza bajo el cielo. Pero no. Esa es la ilusión clásica y tal vez inevitable de quienes escriben una historia y que asignan a sus actores los ojos del espectador que conoce el desenlace del relato. Ciertamente es muy difícil tener a posteriori en nuestros recuerdos la frescura de la primera impresión. Como el rey Svein no ha visto el Dragón Largo puede confundirlo con el Dragón Corto y convencer de ello a los demás. La fineza de razonamiento y los conocimientos en materia de construcción naval no le valen de nada. Sólo la aparición de Olav 'Irygvessen en su Dragón Largo podrá desengañarlo. La incertidumbre es uno de los hechos fundamentales de la historia humana y de nuestra vida cotidiana. Permanentemente nos es necesario tomar decisiones dentro de un contexto que no apreciamos muy bien. Una justa apreciación de la situación es decisiva para poder juzgar las consecuencias de nuestros actos. Para ayudarnos, disponemos de nuestra experiencia pasada y de todo un saber acumulado por nosotros mismos o por otros. Y sin embargo nunca estamos seguros de haber hecho un buen diagnóstico. Y sin embargo debemos obrar corriendo el riesgo de tomar una decisión que (una vez que el futuro haya revelado el verdadero estado de cosas) podrá parecer no sólo peligrosa sino también estúpida. Observemos que aquí no se trata de aventurarnos a lo desconocido. La situación que procuramos analizar está dentro de un marco conocido. Sabemos que existe cierto número de situaciones tipo que explican lo que observamos, y nosotros intentamos saber simplemente cuál de ellas es la correcta. Ese drakkar inmenso y magnífico pertenece a la flota del rey Olav, pero ¿es realmente el Dragón Largo? 80

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Es preciso interrogar el acontecimiento mismo, como hizo Juan Bautista desde el fondo de su prisión cuando envió a sus discípulos para preguntar a Jesús: "¿Eres tú Aquel que debe venir o debemos esperar a otro?" (San Mateo XI, 2-6; San Lucas VII, 18-23). La condición humana nos impone obtener una respuesta sólo ambigua a esta pregunta: "Id y declarad a Juan las cosas que habéis visto y oído: los ciegos ven, los cojos andan, los leprosos son limpiados y los sordos oyen, los muertos son resucitados y la buena nueva es predicada a los pobres, y ¡bienvenaventurado aquel que no hallare tropiezo en mil" Este es un tema que se repite en el Nuevo Testamento: hay que saber leer el signo de los tiempos. Y esa lectura no puede ser puramente objetiva pues ella condiciona una decisión personal y arriesgada. Aquel que quiera oír, que oiga. y un segundo tema se mezcla con el primero: el hecho de que la fe conduce a la realización. Para aquel que decidió oír, el reino de Dios ya está aquí. Para la comunidad de los creyentes, las promesas están ya en parte realizadas: "Y continuaban perseverando. todos en la enseñanza de los apóstoles y en la comunión fraternal unos con otros, en el quebrar el pan y en las oraciones. Y toda persona tuvo temor, y muchas maravillas y señales fueron hechas por medio de los apóstoles. Y todos los creyentes estaban juntos y tenían todas las cosas comunes. Vendían las posesiones y las propiedades para repartir el producto de ellas entre todos, según cada cual tenía necesidad" (Hechos n, 41-45). Una fe compartida y la espera en común del Juicio Final determinan comportamientos que confirman la opción inicial. La profecía se realiza si suficientes personas creen en ella, algo así como sí la llegada de Olav Trygvessen dependiera del número de quienes reconocían su drakkar. Esta propiedad que tienen ciertas predicciones de realizarse por sí mismas siempre que haya suficientes personas que se adhieran a ellas es una de las constantes de la vida social. Si estoy convencido de que una determinada persona me es hostil adoptaré mis disposiciones para prevenirme de sus manejos, pero al hacerlo me aseguraré ciertamente su enemistad, si la enemistad no existía ya desde el comienzo. Si un dehttp://www.esnips.com/web/Sdentia

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terminado partido político proclama que la perfidia de nuestros vecinos hace inevitable la guerra, el futuro tiene muchas maneras de darle la razón. Si esa opinión se impone, puede ser el origen de una carrera armamentista de desenlace dudoso o hasta puede ser el origen de un ataque preventivo, pues si ha de estallar la guerra, preferiremos nosotros tomar la iniciativa antes que aguardar el momento en que el supuesto enemigo haya realizado preparativos a la altura de sus intenciones. Es más, aun cuando el partido belicista no tenga muchos adeptos en nuestros país, el simple riesgo de que su opinión se imponga puede inquietar suficientemente a nuestros vecinos para que tomen algunas disposiciones militares que inmediatamente serán denunciadas como la confesión implícita de intenciones hostiles que acreditarán así las tesis belicistas, con lo cual se pondrá en marcha un mecanismo mortal. El terreno en que mejor se analizó este tipo de situaciones es el dominio económico. Hace ya mucho tiempo que los investigadores estudian el papel que desempeñan las predicciones de los agentes económicos en el funcionamiento de la economía; y los investigadores introdujeron así el concepto de anticipación racional. Se trata de previsiones que luego la realidad confirma y que fortalecen a los agentes económicos en su manera de ver las cosas. Por ejemplo, uno puede creer o no creer que los ciclos económicos estén relacionados con los ciclos solares, en otros términos, que las manchas solares desencadenan las crisis económicas; pero todos aquellos que lo creen tomarán sus disposiciones y, si son suficientemente numerosos o suficientemente influyentes, sus acciones sumadas determinarán, en efecto, una crisis que les dará la razón. Los incréduos no tendrán más remedio que convertirse a lo que en adelante será una constante de la economía... , hasta que prevalezca otra opinión diferente. El hecho básico de la vida económica es la incertidumbre. Incertidumbre sobre el futuro, ciertamente. ¿Quién puede saber hoy lo que rendirá una inversión dentro de treinta años? El problema depende de tantos parámetros diversos, algunos de los cuales, como la evolución política o los progresos tecnológicos, se salen del marco propiamente económico, que nuestra mirada se pierde y nosotros renunciamos a toda

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previsión seria. Pero también existe una incertidumbre sobre el presente. A pesar de los indicadores estadísticos regularmente publicados y comentados, nadie sabe cuál es el estado real de la economía. Las recesiones se siguen unas a otras y se parecen entre sí, pero siempre es dificil reconocer tanto su comienzo como su fin. "¿Hemos salido por fin de la crisis?" Periódicamente esta pregunta cobra actualidad alternada con esta otra: "¿Ya ha sobrevenido la crisis?" Lo cierto es que los indicadores económicos, ya se trate del nivel de los precios, ya se trate de la tasa de desempleo o del balance del comercio exterior, para ser objetivamente mensurables requieren también una interpretación. Por sí mismos, esos indicadores son ambiguos, así como un mismo síntoma puede corresponder a varias enfermedades. Pongámonos, por ejemplo, en la situación de un productor que ve subir los precios en su sector. Debe discernir si se trata de una ilusión monetaria (en ese caso se limitará a ajustar sus precios al nivel general de la inflación), de un crecimiento transitorio de la demanda (en ese caso deberá afrontarla con los medíos de producción existentes) o de un movimiento de fondos (en ese caso tendrá que invertir lo más rápidamente posible para que esas nuevas partes del mercado que aparecen no sean tomadas por la competencia). Un error de apreciación puede llevarlo al desastre, por haber invertido en un momento no oportuno y encontrarse con un exceso de capacidad de producción y un pesado endeudamiento o por no haber percibido las tendencias de la plaza, de manera que ya no puede ocupar su lugar en un mercado en expansión. Los consumidores también deben afrontar este tipo de problemas: demorarán en realizar una inversión fuerte, en una vivienda o un automóvil, esperando que bajen los precios o las tasas de interés. El resultado es que todos los agentes de la economía están preguntándose permanentemente sobre lo que pasa. No se necesita ser un especialista para comprobar que uno está en un período de crisis o de expansión. Lo que es dificil es discernir los cambios de tendencia. Quien haya previsto correctamente el fin de la crisis tendrá una ventaja decisiva sobre sus competidores, aún paralizados por la aprensión. http://www.esnips.com/web/Sdentia

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El punto más notable de este análisis es que las apreciaciones de los agentes forman parte integrante de la situación que tratan de analizar. Si todos juzgan que la crisis todavía ha de durar, no se harán inversiones, el consumo quedará deprimido y la crisis se prolongará. Si, en cambio, todos estiman que ya se ha salido de la crisis, habrá liquidez disponible para realizar inversiones. La demanda se hará sentir bruscamente y se tendrá la reactivación tan esperada. En la realidad, por supuesto, las opiniones estarán divídidas hasta que una de ellas se imponga y la situación se equilibre, así como la aparición del Drag6n Largo puso de acuerdo a todo el mundo. Presentir las opiniones de los demás, anticipar las reacciones de los agentes antes de que ellos mismos tengan conciencia de ellas es, pues, un ejercicio que tiene una importancia extrema en cuestiones económicas. Lo peor es ese estado de expectativa general en el que cada uno se mete en su cueva esperando días mejores; el ideal es esa confianza general que todos los gobiernos buscan y que permite a los agentes, productores o consumidores, no ver los riesgos que corren. Se trata de los mismos mecanismos que entran en juego en la bolsa y que determinan en gran medida los precios de las acciones. Ciertamente las consideraciones económicas son primordiales y los malos resultados económicos hacen caer las cotizaciones. Pero en las grandes bolsas, como Wall Street, y en el caso de los valores más importantes, la masa de las transacciones se compone de compras y ventas realizadas en el día. Es evidente que un operador que conserva sus papeles menos de veinticuatro horas se preocupa poco acerca de lo que las acciones puedan producir dentro de cinco años. Lo que determina el precio es el mercado, es decir, las anticipaciones o previsiones que millares de operadores de todo el mundo tienen sobre las reacciones de sus colegas. Este punto ya había sido observado por Keynes. "Los profesionales de la inversión pueden compararse a competidores de esos concursos organizados por la prensa que deben elegir los seis rostros más bonitos entre cien fotograftae; el premio corresponde a aquel cuya elecci6n convenga mejor a las preferencias medias expresadas p~r la mayoria; 84

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de manera que cado cual debe elegir, no los rostros que le parecen más bonitos, sino aquellos que, según él piensa, deben llamar la atención de los otros competidores, de suerte que todos examinan el problema desde el mismo ángulo. No se trata de elegir a conciencia y según nuestra convicción las caras que son realmente más bonitas, ni siquiera aquellas que la opinión media considere realmente más bonitas. Aqut hemos llegado al tercer grado en el que usamos nuestra inteligencia para anticipar lo que la opinión media piensa sobre cuál será la opinión media. Y yo sé que hay personas que razonan en el cuarto o en el quinto grado». 2 Puede uno apreciar algún tanto estas sutilezas entregándose a ciertos juegos infantiles como la morra, en el que los adversarios abren la mano simultáneamente y en que se trata de presentar el mismo número de dedos que el adversario; o juegos como el de "papel-tijeras-guijarro", en el que a una señal dada se presenta la mano abierta o dos dedos o el puño cerrado, según reglas fijas: el papel gana al guijarro, el guijarro a las tijeras y las tijeras al papel. En este juego uno se propone tener una ventaja sobre el adversario. Si éste ha ganado en el lance anterior jugando "papel" mientras que yo había jugado "guijarro", el adversario se sentirá tentado de jugar lo mismo que lo hiciera ganar; ésta es una actitud ingenua que podría llamarse el grado cero de la astucia. Pero esto supone que yo mismo vuelva a jugar "guijarro", es decir, que no modifique una estrategia perdedora. Es más probable que yo prevea la reacción del adversario y que juegue entonces "tijeras", con lo cual desbarato la estrategia ingenua. Si el adversario es capaz de un mínimo de reflexión, considerará probable que yo trate de modificar una estrategia perdedora y reproducirá mi razonamiento. Anticipándose a mi conclusión, tratará de vencer a "tijeras", lo que lo llevará a jugar "guijarro"; éste es el primer grado de la astucia o de la artimaña. Nada me impide seguirlo en ese terreno y por lo tanto jugar "papel"; y si él piensa que yo haré eso, jugará "tijeras".

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A General Theory of Unemployment, Interest and Money, capítulo

12, V.

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De manera que el segundo grado de la astucia se asimila al grado cero, es decir, que la misma estrategia puede adoptarse tanto por ingenuidad como por sutileza. ¿Y qué decir de los grados tercero, cuarto o aun más? Recordemos también en el fútbol la angustia del portero (arquero, guardameta, guardavalla, según los países) en el momento del penalty (tiro penal). Le está prohibido desplazarse antes de que la pelota haya sido lanzada, y su reacción debe ser prácticamente simultánea para tener una posibilidad de detener el tiro. Como no tiene tiempo para realizar los ajustes mínimos, deberá hacer todo lo posible para prever lo que haga el adversario, decidiendo, por ejemplo, de qué lado aflojará los músculos. Algunos porteros tratan efectivamente de adivinarlo teniendo en cuenta las costumbres del tirador, su estado de fatiga y los anteriores tiros penales. Pero el adversario no es tampoco tonto y procurará asimismo anticipar la actitud del portero. Por eso muchos otros renuncian a entrar en este juego sin fin de las anticipaciones recíprocas y se entregan al azar o a la impresión del momento. "El guardameta trata de establecer hacia qué lado va a lanzar la pelota el otro, dice Bloch. Si el portero conoce al delantero del centro, sabe hacia qué lado dirigirá el tiro en general. Pero el delantero del centro, por su parte, puede también prever el razonamiento del portero. Este continúa reflexionando y se dice que esta vez la pelota no irá dirigida al mismo lado. Sí, pero ¿y si el delantero del centro sigue el razonamiento del portero y se prepara a dirigir el tiro hacia el lado habitual? Y así sucesivamente, y así sucesivamente. "3 Lo que surge más claramente de todas estas situaciones es que no puede haber método alguno que garantice éxito a uno de los jugadores. Efectivamente, hay que partir del principio de que ambos son racionales, de que disponen de la misma información y de que por lo tanto cada uno de ellos está en condiciones de reproducir los razonamientos del adversa-

3 Peter Handke, Die Angst des 7brmanns beim Elfmeter, traducido por Anne Gaudu, L'Angoisse du gardien de but au moment du penalty, París, Gallimard, colección "Folio", 1982.

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rio. Si existiera un razonamiento irrefutable que, por ejemplo, convenciera al portero de que debe reaccionar dirigiéndose hacia la derecha, ese argumento estaría igualmente en posesión de su adversario quien, juzgándolo perfectamente convincente, prevería no menos perfectamente la reacción del portero y lanzaría la pelota hacia el otro lado. Por eso, lo mejor que haya podido hacer la teoría de los juegos en el análisis de este género de situaciones es haber introducido en la decisión un elemento de azar. Si el portero echa una moneda a cara o cruz para decidir hacia qué lado se lanzará, está inmunizado permanentemente contra la agudeza intelectual de sus adversarios y, a la larga, una vez sobre dos habrá tenido razón. Pero debe resistir a la tentación de confiar en su propia agudeza intelectual, lo cual infaltablemente lo llevaría a los engranajes de las anticipaciones. Si, por ejemplo, comprueba que los tiros penales se lanzan sistemáticamente a su lado derecho, no por eso debe dejar de lanzarse hacia su lado izquierdo. Pues todo cambio de estrategia de su parte sería rápidamente observado por el adversario, que aprovecharía la oportunidad para dirigir algunos tiros hacia el lado izquierdo. En realidad, esos tiros sistemáticos hacia un solo lado tienen tal vez la finalidad de convencer al portero de que abandone su estrategia de cara o cruz y vuelva a una competencia de anticipaciones en la cual el adversario se siente más cómodo. Cuando el matemático E. Borel propuso en 1930 introducir un elemento de azar en las estrategias de los jugadores, consideraba ante todo un principio de economía que permitía eliminar la astucia y los cálculos y salir de ese ciclo infernal de las anticipaciones recíprocas. En nuestros días se insiste más bien en los efectos informacionales de esas estrategias aleatorias. En el fútbol, el portero deja definitivamente en situación de incertidumbre a sus adversarios. Los razonamientos más finos de éstos, sus estrategias más sutiles, no podrán impedir que ese jugador tenga razón en un promedio de una vez en dos. Ni la traición les valdrá si el portero confía a su amante la intención de echar una moneda a cara o cruz para determinar el lado que defenderá; si esa información llega a sus adversarios no mejorará las posibilidahttp://www.esnips.com/web/Scientia

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des de éxito que puedan tener. El portero hasta puede proclamar urbi et orbi que no sólo en un determinado partido, sino durante toda su carrera, habrá de remitirse al azar, y será imposible sacar ventaja de esa declaración. Desde luego, de esta manera, por otra parte, se priva de mejorar su porcentaje de éxitos aprovechando, por ejemplo, tendencias estadísticas que pudiera observar en sus adversarios. Pero al hacer esto introduciría en su propia estrategia una tendencia estadística (es decir, que tendería a defender un lado más frecuentemente que el otro) de la cual un adversario astuto podría sacar partido. En otras palabras, el hombre debe saber renunciar a triunfos fáciles en el breve plazo para no entregar información que podría ser explotada contra él en el largo plazo. Vamos a reformular todo este análisis en un marco más apto, que es el marco del póquer. Puede parecer paradójico que se aconseje a un jugador de póquer echar a suertes su decisión y sobre todo que ésta resulte óptima en ciertas circunstancias. Sin embargo es lo que vamos a hacer, por lo menos en una versión ultrasimplificada del juego de póquer. Los resultados que obtengamos serán cualitativamente válidos para el póquer mismo, pero los cálculos efectivos son demasiado complejos para exponerlos así. La partida se juega sólo contra un banquero. Para comenzar hacemos una apuesta. El banquero debe seguir, es decir, apostar una suma igual. Una vez hecho esto, toma un paquete de cartas nuevo, lo abre y retira los sietes, que pone frente a sí; luego baraja las cartas restantes y nos invita a cortar. A renglón seguido introduce el mazo en una caja y la primera carta es para nosotros. El banquero la toma con una larga espátula y nos la desliza con la cara vuelta hacia abajo. No se sacarán más cartas. Se trata de superar el siete del banquero. El as vale uno; hay pues en el juego veinticuatro cartas inferiores al siete y veinticuatro superiores, de manera que de dos posibilidades hay una de que nuestra carta sea ganadora y una de que sea perdedora. Después de haber lanzado una discreta mirada a nuestra carta, tenemos dos posibilidades: pasar o reenvidar. Si 88

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pasamos, el banquero recoge las posturas y la partida termina. Si reenvidamos hay que volver a apostar, siempre la misma suma. El banquero puede entonces "pasar" o pedir ver la carta. Si "pasa", recogemos las posturas; si pide ver, debe depositar de nuevo, siempre la misma suma. Volvemos nuestra carta, el banquero tiene su siete y la carta superior gana las apuestas. En todos los casos el juego termina en ese punto. Un primer análisis muestra que hay exactamente cuatro estrategias posibles: - reenvidar con una buena carta y pasar con una mala, - reenvidar siempre, - pasar con una buena carta y reenvidar con una mala, - pasar siempre. A todas luces hay que descartar esta última porque lleva seguramente a perder la puesta inicial. Por otro lado, no se ve por qué el jugador ha de pagar el derecho de participar en el juego (ése es el sentido de la puesta inicial) si ha decidido pasar siempre. La tercera estrategia parece paradójica. Sin embargo ofrece una posibilidad de ganancia en el caso de que el banquero se retire después de haber uno reenvidado. Pero si el banquero pide sistemáticamente ver la carta la pérdida es máxima, pues uno gana una puesta cada vez que posee una buena carta y pierde dos puestas cada vez que posee una mala carta, lo cual se traduce en una pérdida promedio de una puesta y media. Las otras dos estrategias son más plausibles. La primera hace perder una puesta si la carta es mala y ganar una puesta si la carta es buena, a menos que el banquero reenvide, y en ese caso se ganan dos puestas. Si el banquero pasa sistemáticamente, la esperanza de ganar es nula. En cuanto a la segunda estrategia (reenvidar siempre) el resultado depende de la estrategia del banquero: - si el banquero pasa sistemáticamente, uno gana una puesta en todos los casos, - si pide ver la carta, se pierden dos puestas con una mala carta y se ganan dos puestas con una buena, y otra vez es nula la esperanza de ganar. Pongámonos ahora en el pellejo de un jugador inveterahttp://www.esnips.com/web/Scientia

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do que acude al casino a jugar todas las noches. Cualquiera que sea la estrategia que adopte, a la larga el banquero la descubrirá y adoptará la correspondiente defensa. Si el jugador reenvida sistemáticamente, el banquero pedirá sistemáticamente ver la carta, y si el jugador pasa siempre teniendo una mala carta, el banquero nunca pedirá verla. Parece pues que el banquero puede siempre reducir a cero la esperanza de ganar del jugador. Vista la cuestión de esta manera resulta claro que todas estas estrategias presentan el mismo defecto: el hecho de usarlas sistemáticamente las revela. Y es esa información lo que el banquero puede utilizar contra el jugador, una vez que la ha obtenido, y lo que le permite reducir a cero la esperanza del jugador. Si el jugador quiere aumentar esa esperanza, deberá hallar un medio de disimular la información, de ocultar la estrategia que utiliza. Ese medio existe y es justamente utilizar una estrategia aleatoria. Si el jugador decide que con una mala carta pasará de tres veces dos veces, pero reenvidará de tres veces una vez, el cálculo muestra que su esperanza de ganar llega a 1/3 de la puesta, es decir, un término medio de una puesta ganada cada tres partidas, lo cual dista mucho de ser desdeñable. Por supuesto que al jugar así priva al banquero de la posibilidad de sacar de las partidas que se desarrollan una información utilizable. Cualquiera que sea la estrategia adoptada por el banquero (que pase sistemáticamente, que pida ver sistemáticamente o que también él adopte una estrategia mixta), la ganancia promedio no se verá afectada y su adversario continuará embolsando una puesta cada tres partidas. Esto ocurrirá, por supuesto, con la condición de que el jugador permanezca fiel a la estrategia fijada al principio. es decir, que con una mala carta reenvidará una vez cada tres veces. El cálculo muestra que esa manera de jugar es óptima, que ninguna otra estrategia permite desbaratar mejor toda defensa. Reenvidar con una mala carta tiene un nombre: eso se llama tirarse un farol, farolear, gastar un bluf{. Un bluff que alcanza éxito permite ganar la partida con cartas que normalmente no habrían debido permitirlo. El principiante se 90

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deslumbra por esta posibilidad y farolea a troche y moche, o bien, por el contrario, se queda paralizado y no se atreve a arriesgarse. Pero el jugador experimentado sabe que debe perder un bluff con soltura para que el adversario que lo sorprendió en flagrante delito sepa que uno es capaz de farolear y la próxima vez que uno reenvida se vea incitado a seguir, puesto que se quiere que en la segunda vuelta el banquero pase con una mala carta y siga con una buena. El bluf{persigue dos objetivos contradictorios, puesto que uno quiere que en la segunda vuelta el banquero pase con una buena carta y siga con una mala. Para alcanzar esos objetivos hay que mantener la incertidumbre en el adversario y por lo tanto adoptar una estrategia imprevisible. Para que sea imprevisible, la estrategia debe ser aleatoria. No vale la pena farolear sistemáticamente, aun respetando la proporción ideal de una vez cada tres veces, por ejemplo decidiendo farolear siempre en la tercera ocasión (con tres malas cartas, pasar las dos primeras veces y reenvidar la tercera vez). A la larga el banquero descubrirá el sistema y podria obtener ventaja de esa información. Por ejemplo, sabrá que si nos ha encontrado en flagrante delito de bluff (hemos reenvidado y él ha podido ver la carta), en adelante esperará a que hayamos pasado dos veces y que a partir de allí puede permitirse retirarse sistemáticamente cada vez que ponemos una puesta. Esta nueva estrategia disminuirá nuestra esperanza de ganar. Bien se ve que el banquero tiene interés en explorar permanentemente nuestras reacciones a fin de descubrir las fallas que presenta nuestra resolución o las tendencias involuntarias que podríamos dejar traslucir en nuestra manera de jugar. Para el banquero la mejor estrategia es también aleatoria. El cálculo muestra que si el jugador ha reenvidado, el banquero debe retirarse una vez cada tres y pedir ver la carta dos veces cada tres. Para que una estrategia sea realmente impenetrable y continúe siendo imprevisible de una partida a otra partida, lo mejor es que sea imprevisible para aquel que la aplica y, por lo tanto, que sea aleatoria. Si el jugador decide hacer un bluff en función del desarrollo de la partida o de una impresión del momento, su razonamiento corre el peligro de ser pehttp://www.esnips.com/web/Sdentia

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netrado, y su impresión de ser compartida. Si echa un dado para decidir si reenvidará si sale un uno o un dos y que pasará si sale un tres o más, está a cubierto de toda anticipación ... , con la condición de que haga esto fuera de la vista de su adversario. Pero aquí la obediencia debe ser ciega, pues no es cuestión de influir en la suerte o de interpretar las cosas de través, como hacía el juez Bridoye, quien dictaba sentencia echando los dados.

"Procedo igual que vosotros y en todo de acuerdo con los usos judiciales a los que por obligación hemos siempre de someternos: ut M. extra. de consueto c. ex literis, et ibi Innoc. Una vez que he visto, revisto, leído, releído, papeleado y hojeado las demandas, comparecencias, exhortos, alegatos, interdictos, contradichos, encuestas, réplicas, comisiones, informes, contestaciones, dúplicas, triplicas, escrituras, reproches, confrontaciones, aclaraciones, acciones declinatorias, evocaciones, envíos, reenvíos, conclusiones, decisiones de no proceder, señalamientos, confesiones y otras drogas y especias, tanto de una parte como de la otra, según es obligado en todo buen juez, no. Spec. de ordinario § iij, et tit, de offi omn. ju. § fi, et rescriptis praesenta. § j. Coloco pues sobre el extremo de la mesa de mi despacho todo el montón de papeles del demandado y le tiro los dados, al igual que hacéis vosotros, señores y es noto l: Favorabiliores ff. de reg. juro et in c. cum

sunt eod. tito lib. vj. qui dict: Cum sunt partium jura obscurs, reo favendum est potius quam actori. Una vez hecho esto, pongo sobre el otro extremo de la mesa los papeles del demandante, lo mismo que hacéis vosotros, señores, porque visum visu. Ya que, opposita juxta se posita magis eluescunt, ut noto in l. j. § uideamus, ff. de his qui sunt sui vel alíe. juro et in l. munerum. j. mixta ff. de muner. et honor, al mismo tiempo que tiro también los dados. - Pero decidnos, amigo mío -preguntó TrinquameHe-, ¿cómo podéis aclarar los puntos oscuros de los derechos que cada una de las partes litigantes pretende? - Igual que vosotros -mntestó Bridoye-; el caso está

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en proceder cuando hay grandes montones tanto en una parte como en la otra. Entonces empleo mis dados pequeños siguiendo la ley Semper in stipulationibus, ff. de reg. juro y la ley versal versificada, q. eod. tito Semper in obscuris quod minimum est sequimur canonizada in C. in obscuris eod. tito lib. vj. También tengo otros dados mayores, hermosos y no faltos de cierta armonía, que utilizo, igual que vosotros, señores, cuando la cuestión que hay que dilucidar se presenta más clara, es decir, cuando los montones de papel son menores. - y una vez hecho eso, amigo mío -preguntó Trinquamelle-, ¿cómo falláis? - Lo mismo que vosotros, señores -respondió Bridoye-. La sentencia se dicta a favor de aquel que primero consiguió el número más favorable en el dado judicial, tribunalicio y pretorial. Así lo establecen nuestros códigos ff. qui po. in pig. l. potior. lego creditor. C. de consul., l. j. Et de reg. juro in vj. Qui prior est tempore potior est jure?»

No nos burlemos de Bridoye a quien, por lo demás, Rabelais trata con mucha indulgencia. Pues al fin de cuentas, en el curso de los siglos, jueces y sacerdotes, generales y dictadores, reyes y emperadores decidieron las cuestiones más graves tirando los dados, consultando el vuelo de un ave, la caída de un caballo, el apetito de las gallinas sagradas, las entrañas de los animales sacrificados, interpretando el nacimiento de un monstruo, el paso de un cometa, las manchas de café, las divagaciones de la sibila, las brasas del hogar, una nube de humo, las líneas de la mano, un estornudo, un grito, 'un sueño. En este frenesí que tiene la humanidad de consultar la suerte y de interpretar los signos, ¿no está el deseo de penetrar las intenciones de otro Ser? ¿Estamos empeñados en una partida contra un Jugador cuya suprema habi-

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Rabelais, Gargantúa y Paniagruel, Libro tercero, capítulo XXXIX.

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lidad consiste en disimular no sólo su estrategia sino también su existencia y lo que él espera de nosotros? ¿O sencillamente tenemos miedo de los riesgos y tratamos desesperadamente de librarnos de la responsabilidad que pesa sobre nuestros hombros? Verdad es que en el caso de una decisión habitual, cuando las ocasiones de recobrarse no han de faltar, puede uno permitirse engañarse y también se pueden apreciar los éxitos estadísticos de las estrategias aleatorias. Las pérdidas de hoy estarán compensadas mañana por ganancias. Pero ¿quién podrá apreciar la soledad en que se encontraban los atenienses antes de la batalla de Salamina? Las otras ciudades griegas habían cedido a los medos casi sin combatir. Sólo los atenienses abandonaron su ciudad y se lanzaron al mar a pesar de su inexperiencia; transportaron a sus mujeres y niños a la isla de Salamina, donde permanecieron dispuestos a afrontar en el estrecho a un ejército y una flota diez veces superiores en número. Si la decisión resultaba mala no habria una segunda posibilidad; los hombres serían pasados al filo de la espada, las mujeres y los niños quedarían reducidos a la esclavitud y la historia olvidaría a los atenienses y su ciudad. Aunque ejemplos tan extremos son raros, permanentemente estamos tomando decisiones que a veces son graves y en circunstancias que no se reproducirán. Un casamiento o la elección de una profesión comprometen toda nuestra vida; una inversión como la compra de una casa presenta riesgos financieros importantes. Cada una de estas decisiones es única en su género y está rodeada de incertidumbre: al tomarlas sabemos que no podremos volver atrás y que sin embargo no disponemos de todos los elementos del problema. Puede pues uno sentir la tentación de reunir toda la información posible, por más que ella tenga una remota relación con el problema mismo, y considerar el apetito de las gallinas sagradas o el aspecto de las manchas solares. Y siempre podemos beneficiarnos con un efecto autorrealizador. Si los cónyuges están convencidos de que su matrimonio comienza con felices auspicios, esta circunstancia puede facilitar la vida conyugal. Si todos los inversores están persuadidos de que las manchas solares provocan crisis económicas, adoptarán sus 94

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disposiciones apenas se hagan abundantes las manchas, y así provocarán la crisis que habían previsto. Los oráculos y todas las formas de adivinación desempeñan a todas luces un papel social importante, pues orientan las previsiones individuales hacia una situación favorable a la colectividad y aumentan así sus posibilidades de realización. Cuando los caldeos ponen sitio a Jerusalén los profetas recorren la ciudad en todos los sentidos para predecir la llegada de los egipcios y el levantamiento del sitio; esos profetas desempeñan su papel social. Hay que ser Jeremías para atreverse a predicar el derrotismo: "Quien permanezca en esta ciudad morirá por la espada, el hambre y la peste; pero el que salga y se rinda a los caldeos vivirá y su vida salva será su botín" (Jeremías, XXXVIII, 2). Bien se comprende la reacción violenta de los comandantes de la plaza y del rey Sedequías, que lo arrojan a una cisterna. Pero precisamente su no conformismo es la mejor señal de que Jeremías ha sido elegido por Yahvé. Por lo demás, éste es el sentido último del apólogo de Bridoye, puesto que el episodio termina con la historia del relator o componedor de procesos (capítulo XLI). Cuando la querella entra en su fase de decrepitud después de una larga vida, cuando las partes se han arruinado en procesos y apelaciones, cuando agotaron el crédito de su familia y de sus amigos y cuando hace ya tiempo que la cólera deja lugar a la lasitud, llega el momento de la conciliación. Las partes aspiran ahora a la paz. Sólo un reparo las contiene: la ignominia de tener que dar el primer paso. Entonces es suficiente una señal exterior para que el juicio cese, un conciliador interviene y los dos adversarios se reconcilian mientras toda la querella queda enterrada. Poco importa entonces cuál sea la decisión final, siempre que haya una. Bridoye puede muy bien tirar sus dados, pequeños o grandes, en el fondo de su despacho ante los montones de escritos. El proceso llegó a la perfección, se han olvidado desde tiempo atrás los motivos de queja iniciales. El oráculo de Bridoye crea las condiciones formales que permiten reconciliarse a las partes y reparar el desgarrón del tejido social. Remitirse a la suerte sería absurdo si se tratara de aplicar criterios lógicos o morales. Pero resulta perfectamente razonable si se trata de dar una señal social, http://www.esnips.com/web/Scientia

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como en el caso de dos automovilistas que llegan simultáneamente a un cruce de calles y aceptan que el color del semáforo decida el orden de paso. En una célebre conferencia sobre los cuentos de Las mil y una noches, Borges hablaba de un cuento que no he podido encontrar en mi edición. Se trata de un habitante de El Cairo que en un sueño recibe la orden de ir a Ispahan, a cierta mezquita donde lo espera un tesoro. El sueño se repite varias veces, de suerte que nuestro hombre emprende el viaje. Este no es asunto de poca monta: el viajero pasa de una caravana a otra caravana, se ve a merced de malandrines de toda especie y por fin, agotado y despojado de todo, llega a Ispahan. Va a pasar la noche a la mezquita en cuestión, que en realidad es una madriguera de ladrones. Aquella misma noche justamente la policía lleva a cabo una batida. Copiosamente apaleado, el cairota comparece ante el cadí y debe explicarle su presencia. Cuenta entonces su historia y el magistrado estalla en una risa homérica, hasta el punto de perder el equilibrio. Cuando consigue dominarse, enjugándose los ojos llenos de lágrimas, le habla en estos términos: "Extranjero ingenuo y crédulo, has de saber que ya van tres veces que sueño que debo ir a El Cairo, a cierta calle donde encontraré una casa y en esa casa un jardín, en ese jardín una fuente, un cuadrante solar y una vieja higuera, y bajo la higuera un tesoro. Jamás le presté crédito y hoy veo cuánta razón he tenido. 'Ibma algún dinero, regresa a tu casa y en adelante guárdate de los sueños que te envía el maligno". El cairota le da las gracias, regresa a su casa, va a su jardín, cava junto a su higuera entre la fuente y el cuadrante solar, y encuentra el tesoro. La belleza de esta historia está en que tanto el cadí como el viajero pueden felicitarse de la excelencia de su respectivo juicio. Sus análisis diametralmente opuestos están los dos plenamente confirmados por los hechos. El cadí morirá en Ispahan burlándose de los ingenuos que hacen un viaje tan largo en busca de un tesoro que no existe, y el cairota se regocijará toda su vida por haber creído en su sueño. Ambos, cada uno a su manera, obtuvieron una anticipación perfecta. 96

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4 El caos

Einar Tambarskjelve se encontraba a bordo del Gran Dragón, junto al mástil. Era arquero y nadie lo aventajaba en destreza y fuerza. Einar disparó contra el jarl Eirik; la flecha se clavó en la barra del timón, justo por encima de la cabeza del jarl, y la punta se hundió hasta las aletas. El jarl la vio y preguntó si alguien había descubierto al arquero, pero una nueva flecha enfiló hacia él. Le pasó muy cerca, entre un brazo y el cuerpo, y fue a dar a una tabla que atravesó de parte a parte. El jarl dijo a uno de sus hombres, del cual algunos dicen que se llamaba Finn y otros que era de casta finlandesa (también él era un gran arquero): "Apunta a ese mocetón que está junto al mástil". Finn disparó y su flecha alcanzó el arco de Einar en el medio, en el mismo momento en que éste lo tendía por tercera vez. El arco se rompió en dos pedazos. El rey Olav preguntó entonces: "¿Qué es ese gran ruido?" Einar le respondió: "Es Noruega, señor, que se os escapa de las manos". "No es para tanto -dijo el rey-; toma mi arco y tira con él", y le arrojó su arco. Einar lo tomó y, al tenderlo, inmediatamente la punta de la flecha sobrepasó hacia atrás la vara. Einar exclamó: "¡Demasiado blando, es demasiado blando el arco del rey!"; dejó el arco, tomó una espada y un escudo y se lanzó a la lucha,'

i

Saga de Olau Tryguess_n, 108.

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La batalla de Svolder terminó con una derrota noruega. Al fin de una lucha encarnizada, los defensores del Gran Dragón sucumbieron ante el número superior. Los que no murieron con las armas en la mano saltaron por la borda para no caer en manos del enemigo. Entre ellos se contaba el rey Olav Trigvessen, cuyo cuerpo nunca se encontró y cuya desaparición permanece aureolada de misterio. En cambio Einar Tambarskjelve sobrevivió a la matanza. Tenía entonces sólo dieciocho años y si la saga nos indica este detalle lo hace porque era un honor único haber sido elegido tan joven para formar parte de la guardia personal del rey. Personaje notable en muchos aspectos, Einar será uno de los compañeros más fieles del rey Olav el Santo y morirá muchos años después, asesinado con su hijo en una emboscada tendida por el rey Harald el Rudo. Noruega se dividió entre los tres aliados victoriosos: los reyes de Suecia y de Dinamarca y el jarl Eirik. Los tres abandonaron triunfalmente el lugar de la batalla a bordo de los magníficos navíos de Olav Trygvessen; el jarl Eirik iba delante, en el Gran Dragón. Faltó poco para que el resultado de la batalla fuera completamente diferente. Las flechas de Einar Tambarskjelve pasaron dos veces muy cerca del jarl Eirik, una a algunos centímetros de la cabeza, la otra cerca del pecho. Lanzadas con esa fuerza, ninguna habría perdonado la vida deljarl. En cambio, la flecha de Finn alcanzó el arco de Einar en el mismo momento en que éste lo tendía por tercera vez, milagro de precisión en el espacio y en el tiempo. ¡Qué suerte para uno y qué desgracia para el otro! Si eljarl Eirik hubiera sido muerto, el Gran Dragón se habría impuesto y la victoria habría cambiado de campo. Olav Trygvessen habría conservado su reino y Noruega evitado ese largo período de desórdenes que concluiría con el advenimiento al poder de Olav Haraldssen. Sin duda este personaje habría permanecido en la sombra y careceríamos hoy de esa obra maestra que es la saga de Olav el Santo. Puede uno maravillarse de que algunos centímetros en la trayectoria de una flecha puedan cambiar los destinos humanos y decidir la suerte de un reino. En última instancia, 100

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esto se traduce en algunas décimas de milímetro a la izquierda o a la derecha en la posición del arquero, y en algunas décimas de segundo de más o de menos en el momento en que dispara. El buen tirador sabe sacar partido de su gran sensibilidad. Porque un desplazamiento ínfimo de la mano determina una modificación sensible en la trayectoria es posible e interesante el tiro con el arco. Este exige una precisión de movimientos y una fineza de apreciación que un novicio dísta mucho de poseer naturalmente, pero que se pueden adquirir a la larga medíante un entrenamiento metódico y obstinado. En virtud de una práctica rigurosa nos hacemos una especie de segunda naturaleza, la cual nos permite nuevas percepciones. No se necesita semejante ascetismo para arrojar una piedra, pero los que lanzan piedras son menos eficaces que los arqueros, a menos que se sirvan de una honda, arma que tampoco está al alcance de cualquiera. Pascal ya había observado que los asuntos de mayores consecuencias son decididos por hechos imponderables: "La nariz de Cleopatra, si hubiera sido más corta, habria cambiado toda la faz de la tierra/:» Efectivamente, si la flota de Marco Antonio se desbandó en la batalla de Actium cuando la victoria estaba a su alcance, ello ocurrió porque todos vieron que el navio almirante se alejaba del campo de batalla detrás de la galera de Cleopatra, que abandonaba un combate demasiado rudo. ¿Hubiera sido muy diferente un mundo romano en que reinara Antonio en lugar de Augusto? Podemos dudarlo, pero también podemos estimar que el florecimiento intelectual que dístinguió al siglo de Augusto estaba muy relacionado con la personalidad de éste y la de su amigo Mecenas y que, sin ese accidente, hoy no tendriamos ni a Virgilio ni a Horacio ni a tantos otros creadores que marcaron tan profundamente nuestra civilización. Recuerdo haber leído hace ya mucho tiempo una narración de ficción científica de la que he olvidado el título y el autor. Si la relato aquí, lo hago en parte por curiosidad, para

2 Blaise Pascal, Pensées; en Oeuvres completes, París, Gallimard, Colección "La Pléiade", fragmento 180.

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saber si otros la han leído también y por si pudieran ayudarme a encontrarla de nuevo. La historia comienza pintando a un profesor de física que vegeta en un laboratorio de segundo orden. Insatisfecho con su suerte y a escondidas de quienes lo rodean y casi de sí mismo, va a consultar a una especie de morabito, quien lo somete a un interrogatorio muy coherente y al terminar le anuncia que todos sus sinsabores habrán de acabar si consiente en cambiar una letra de su nombre. Ahora bien, se trata de un nombre polaco, a todas luces impronunciable sin un entrenamiento especial (la historia ocurre en los Estados Unidos), pues las consonantes son mucho más numerosas que las vocales. Avergonzado de su credulidad, el físico sin embargo accede; emprende los trámites necesarios y al cabo de algunos meses se entera de que ha sido nombrado para ejercer una cátedra importante en una prestigiosa universidad. El fondo del asunto se explica porque su solicitud de cambiar de nombre, por su carácter verdaderamente módico, había llamado la atención de la policía. Esta comprendía muy bien que con un nombre semejante el físico adoptara otro o hiciera alguna modificación drástica. Pero cambiar una sola letra para pasar de un nombre impronunciable a otro que no lo era menos realmente llamó la atención de las autoridades competentes. El expediente fue elevado al servicio de contraespionaje, que se dedicó a buscar los homónimos en el Este y descubrió en sus ficheros a un especialista soviético en un dominio un poco descuidado de la física nuclear. Enseguida se emprendieron investigaciones sistemáticas, las cuales revelaron que todos los especialistas conocidos de ese preciso dominio habían desaparecido de la circulación en el curso del año, sin duda en provecho de algún laboratorio clandestino. Pasando de una cosa a otra se descubrió un vasto esfuerzo militar de la Unión Soviética, se evitó una tercera guerra mundial y accesoriamente, no sabiendo qué hacer con el modesto investigador cuya solicitud había desencadenado toda esa operación, se lo alejó de la esfera militar y se le propuso un puesto de prestigio en un laboratorio civil. La clave de la historia está en su conclusión. Por supuesto, el morabito era en realidad un extraterrestre. Acaba102

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ba de ganar una apuesta a uno de sus amigos: obtener un efecto de primer orden (se evitó la destrucción de un planeta) mediante un impulso de décimo orden (el cambio de una letra del nombre de un personaje oscuro). El perdedor acudió para comprobar su derrota y se quedó muy mohíno; propuso entonces una apuesta a doble o nada: ¿puedes invertir lo que has hecho y obtener la destrucción del planeta por obra de un impulso de décimo orden? El otro aceptó la apuesta, y aquí termina la historia.

Lo que muestra este apólogo y lo que subraya la reflexión de Pascal es el hecho de que ínfimas modificaciones pueden tener consecuencias mayores en el desarrollo normal de un proceso temporal. El fenómeno es bien conocido en matemática con el nombre de inestabilidad exponencial. Se sabe, por ejemplo, que en meteorología la amplitud de una perturbación se duplica cada tres días si nada contraría su desarrollo. Para decirlo en lenguaje matemático, las ecuaciones que rigen la circulación atmosférica y de las que depende por lo tanto el clima tienen la propiedad de la inestabilidad exponencial. A una condición incial dada, es decir, a cierto estado de la atmósfera en la superficie del globo (presión, temperatura, humedad), corresponde una evolución futura perfectamente determinada, resultado de un cálculo en el que el azar no interviene. Si ahora se modifica muy ligeramente esta condición inicial, si por ejemplo una mariposa aletea o si se enciende una vela, ese cambio ínfimo tendrá sólo pequeñas consecuencias en los primeros instantes o en los primeros días, tanto que no podrá distinguírse el estado primero de la atmósfera del estado modificado. Pero ese cambio ínfimo tiene tendencia a amplificarse con el tiempo a un ritmo exponencial; si se duplica cada tres días, se multiplicará por 300 cada mes, por 100000 cada dos meses y por 10 30 cada año. Esta es una cifra enorme que nos dice, en efecto, que el aleteo de una mariposa o la llama de una vela pueden ser causa de un ciclón al término de un año, teniendo en cuenta una atmósfera testigo en la que, siendo todas las demás cosas iguahttp://www.esnips.com/web/Scientia

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les y de no haber existido esa mariposa o esa vela, no se habría dado el ciclón en ese momento. Por supuesto, esto no quiere decir que hay que desconfiar de las mariposas ni que las velas dañen el ambiente. El futuro normal de una perturbación está compensado por otras. Es muy probable que el ligero soplo de aire creado por una mariposa o por una bujía se diluya entre los millones de otras perturbaciones que agitan la atmósfera en cada instante. Pero a veces las perturbaciones pueden conjugarse y, si se reúnen circunstancias favorables, el más ínfimo soplo de aire bastará para precipitar la atmósfera en un proceso evolutivo complejo cuyo término remoto será un ciclón o alguna otra catástrofe mayor, como esa roca que hallándose en equilibrio inestable está a merced del menor empujón. Esto quiere decir que, si se pretende prever lo que haya de ocurrir, si se quiere decir, por ejemplo, qué tiempo hará en París en la misma fecha del año próximo, es menester realmente tener en cuenta todo, hasta las mariposas que vuelan en las selvas amazónicas y los cirios que arden en las iglesias. En la práctica esto no es posible; ¿cómo recoger y cómo tratar semejante cantidad de observaciones? Por eso la ciencia meteorológica, por más que disponga de los ordenadores más poderosos que uno sepa construir, es incapaz de pronosticar el tiempo a muy largo plazo. Todas estas ideas están ahora muy de moda, pero se las puede hacer remontar, como muchas otras, a John von Neumann. Principal consejero científico del gobierno norteamericano durante la guerra, von Neumann había reflexionado mucho sobre las posibilidades de los ordenadores electrónicos cuyos primeros ejemplares fueron construidos en Los Alamos bajo su dirección. Uno de los principales problemas estratégicos es prever correctamente el tiempo atmosférico -se conoce la importancia decisiva que tuvo esta predicción en ellan. zamiento de la operación Overlord-; por eso muy pronto se apeló a las nuevas posibilidades del cálculo automático. Von Neumann se dio rápidamente cuenta de las limitaciones de esta manera de encarar las cosas y comprendió que la índole de las ecuaciones en relación con las condiciones iniciales impediría siempre todo pronóstico preciso a largo plazo. Pero 104

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como tenía un gran espíritu llegó también a una conclusión más original: la posibilidad de que esa misma inestabilidad permitiera tal vez dirigir el tiempo. Después de todo, si el batir de un ala o la llama de una vela pueden tener tan grandes repercusiones, ¿por qué no provocarlas a propósito? Acaso fuera más fácil dirigir el tiempo que preverlo. Cuando conducimos un automóvil, sacamos partido de una inestabilidad análoga. Para que ésta se manifieste, basta con soltar el volante: vemos entonces que la trayectoria del automóvil se curva, primero ligeramente, luego cada vez con mayor fuerza, hasta que el coche se sale del camino o da una vuelta completa. Por eso, un dedo basta para conducir un automóvil que pesa una tonelada o más. Desgraciadamente, en el caso de la atmósfera no hay un mecanismo que permita controlar la inestabilidad de manera tan directa. El efecto de una pequeña perturbación sólo se hace sentir mucho tiempo después: un año si nos atenemos a la escala del aleteo de una mariposa. Si uno quiere obtener efectos más directamente observables y por lo tanto más controlables, hay que generar en la atmósfera perturbaciones mucho más importantes cuya energía sea del orden de una explosión tennonuclear. Remitamos al lector a las aventuras de Blake y Mortimer en SOS Météores, para que encuentre a través de los maravillosos dibujos de Edgar P. Jacobs la antigua línea de Sellos y sus inmediaciones empapadas de lluvia y para que vea qué clase de energías colosales había tenido que dominar el profesor Miloch para controlar el tiempo. 'Ibdavía estamos muy lejos de semejante tecnología. Observemos, para terminar, que todos estos fenómenos dependen de la escala en que nos situemos. En la escala de un año, la inestabilidad exponencial se traduce en la imposibilidad de pronosticar el tiempo. Ningún cálculo será suficientemente preciso para decirnos si lloverá en Paris en la misma fecha del próximo año. Si nos situamos en una escala más reducida, ya no afrontamos ese problema: con bastante éxito se logra pronosticar el tiempo que hará mañana y no se necesita ser un especialista para adivinar el tiempo que hará dentro de un minuto o hasta dentro de una hora. En cambio, si nos situamos en una escala mayor, por ejemplo, la de un http://www.esnips.com/web/Scientia

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milenio. el tiempo atmosférico se convierte en el clima. y la inestabilidad exponencial se manifiesta bajo una luz diferente. En efecto, en esa escala la cuestión ya no es pronosticar el tiempo. sino determinar ciertas regularidades que los geógrafos clasifican y estudian con el nombre de clima. Clima oceánico o continental. clima templado o tropical. ecuatorial o polar...• la lista nos es familiar y nunca hemos puesto en tela de juicio la existencia de esas grandes regularidades que aproximadamente producen las mismas condiciones en las mismas épocas. Cuando el tiempo parece apartarse de esas regularidades. cuando los años se suceden más cálidos y más secos que de costumbre, ello se debe a que el clima está perturbado y sus causas han de buscarse en algún agente exterior, como la contaminación atmosférica o la bomba atómica. y sin embargo, ¿por qué esperar en la escala de algunos milenios una regularidad que no se observa en la escala de un día o de un año? En el curso de la misma estación. los días se suceden, algunos soleados y otros nublados, algunos secos y otros lluviosos. ¿No es razonable pensar que ocurra lo mismo en todas las escalas y que a periodos frios sucedan naturalmente períodos cálidos sin que haya necesidad de explicar el fenómeno por la acción de algún agente exterior? ¿Hay que invocar realmente los ciclos del Sol para explicar las eras de glaciación o éstas son simplemente el resultado de la evolución interna de un sistema exponencialmente inestable? El concepto mismo de clima. ¿tiene un sentido más allá de algunos siglos? ¿Por qué obstinarse en ver una regularidad en lo que manifiestamente no la tiene y tratar continuamente de explicar desviaciones con referencia a una norma que sólo existe en nuestro pensamiento? Consideremos. pues. este planeta tan singular según lo ven los astronautas: una joya azul que flota en un cielo de ébano. En su superficie se ve el juego blanco de las nubes, portadoras de lluvias que atestiguan corrientes atmosféricas. Esta tierra es única en más de un sentido y especialmente porque sólo podemos seguir ese eterno ballet sin poder predecir sus figuras con mucha anticipación. En la escala geológica. veríamos variar el nivel de los océanos y desplazarse el frente de los glaciares de manera aleatoria. Y sin 106

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embargo, [oh paradoja!, este carácter imprevisible casi total está acompañado de una gran estabilidad estructural. Año tras año, aunque a veces se hace esperar, el monzón vuelve a recorrer las costas de Asia desde la India a la China. El anticiclón de las Azores se desplaza según las estaciones y los años, pero no desaparece: sabemos que en cualquier momento encontraremos un gran anticiclón en las inmediaciones de Gibraltar. Si el Creador ofreciera a nuestros ojos otra Tierra construida según las mismas reglas con que está construida la nuestra, veríamos en aquélla desarrollarse un espectáculo enteramente semejante al que observamos aquí. Verdad es que el tiempo no sería más previsible que el nuestro y que la sucesión de los climas no sería menos errática en aquel planeta, pero en cada instante el espectáculo que se nos ofreciera nos sería familiar. Un hermoso día en aquel planeta se asemejaría enteramente a un hermoso día de esta Tierra. Volveríamos a encontrar allí la sucesión de las estaciones con su acompañamiento de meteoros, el monzón en Asia y el anticiclón de las Azores en el Atlántico, con la condición, claro está, de que la distribución de los continentes fuera más o menos la misma. En otras palabras, condiciones geográficas semejantes producirán efectos climáticos semejantes, en tanto que no es cierto que condiciones atmosféricas 'semejantes en un instante dado produzcan condiciones atmosféricas semejantes un año después. La inestabilidad exponencial impide toda previsión cuantitativa a largo plazo, pero no excluye previsiones de . orden cualitativo incluso en plazos muy remotos. Tal vez el lector juzgue que nos admiramos por bien poca cosa. No se necesita tener gran cacumen para darse cuenta de que la atmósfera es un sistema de una complejidad extrema, en el que regiones muy alejadas por la distancia o la altitud terminan por influirse recíprocamente. A esta circunstancia se agrega la influencia de la superficie terrestre y del vacío interplanetario con los que la atmósfera está en contacto permanente. ¿Cómo puede sorprender que un sistema tan complicado tenga un comportamiento complejo? El carácter aleatorio de todo pronóstico parecería deberse sencillamente a la imposibilidad de dominar todos los parámetros significativos. http://www.esnips.com/web/Scientia

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Sin embargo, esto no es así. No por el hecho de que el sistema sea complicado su comportamiento es imprevisible. Existen sistemas muy simples cuyo comportamiento es también muy complicado. En realidad, el gran mérito del meteorólogo E. Lorenz consiste en haber reducido la multitud de las ecuaciones que rigen la evolución de la atmósfera a solamente tres y en haber mostrado que el modelo reducido conservaba la complejidad casi infinita del original. La inestabilidad exponencial y la dificultad de predecir que es su consecuencia son, pues, fenómenos corrientes que se manifiestan en situaciones muy variadas, tanto en las más simples como en las más complejas. Para comprenderlas bien lo mejor será estudiarlas en un ejemplo simple. Abandonemos momentáneamente la meteorología con sus millares de variables relacionadas por ecuaciones diferenciales, para considerar sistemas descritos por una sola variable x. Bastará, pues, con un solo número para definir completamente el estado del sistema: es el valor tomado por la variable de estado en el instante considerado. Continuando nuestro esfuerzo de simplificación, consideraremos que el tiempo es discreto, es decir, que la variable tiempo sólo puede asumir valores enteros n = 1, 2, 3, ... , el valor n = O indica el instante inicial y los valores negativos n = -1, -2, -3, ... representan instantes del pasado más o menos alejado. La evolución del sistema en el curso del tiempo queda pues completamente descrita por la serie X n de los valores que toma la variable de estado x en todos los instantes n del pasado (para n < O) y del futuro (para n > O), serie que es por lo tanto doblemente infinita, puesto que n toma todos los valores enteros positivos y negativos. Un sistema será determinista si el estado X n en el instante n está vinculado con el estado anterior Xn_l por una relación del tipo:

La función! es la ley del sistema. Su sola presencia garantiza que toda la historia del sistema y todo su futuro están inscritos en el estado inicial Xo' En efecto, una simple aplicación de la fórmula anterior da sucesivamente Xl = !(xo), luego: 108

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y, según la fórmula general, X n = fn(xo) y así sucesivamente. Se dice que X n es la n-ésima iterada de xo. Estos modelos de una sola variable de estado y de tiempo discreto, por simples que puedan parecer, no dejan por eso de reproducir muy bien fenómenos que uno pudiera creer propios de modelos de varias variables de estado y de tiempo continuo. La inestabilidad exponencial es uno de esos fenómenos. Comparemos por ejemplo los dos sistemas: Xn

= Xn_l + 10,

Xn

= 10

y

x

Xn_l'

Estos sistemas conducen a dos fórmulas explícitas que dan el estado en el instante n en función del estado inicial: Xn

=

Xn_l

+ n x 10,

y Xn

=

Xn-l X

lOn,

que manifiestan dos comportamientos muy diferentes en los . sistemas que son perfectamente deterministas. En el primer caso se pasa de un estado al siguiente agregando una cantidad fija a la variable descriptiva. Semejante sistema perpetúa indefinidamente la precisión de las observaciones. Si por ejemplo se cometió un error de 0,001 en el estado inicial, ese mismo error afectará los estados sucesivos, por lejos que nos proyectemos hacia el futuro o que nos remontemos en el pasado. La fórmula explícita X n = Xo + IOn muestra que el error sobre Xo repercute en Xo sin reducción ni amplificación. En cambio, en el segundo caso la fórmula explícita X n = IOn Xo muestra que los errores se multiplican por 10 en cada iteración y por lo tanto se amplifican muy rápidahttp://www.esnips.com/web/Scientia

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mente cuando se desciende por el curso del tiempo. Un error de 0,001 en el valor inicial Xo se convierte en un error de 1 a partir de la tercera iteración, de 1000 en la sexta iteración, de 10n-3 en la n-ésima. Una manera gráfica de ver esto consiste en imaginar que la variable de estado x representa la posición de un punto en un círculo, posición contada en número de vueltas partiendo de una posición de referencia A. Así, el valor x = O de la variable de estado significa que el punto representativo M está en A. El valor x = 114 significa que M se obtiene a partir de A dando un cuarto de vuelta en el sentido positivo (sentido inverso al de las agujas de un reloj); x = 112 representa el punto diametralmente opuesto a A en el círculo y x = 1 da de nuevo el punto A. Es esencial observar que dos valores de x que difieren en 1 corresponden a posiciones que difieren en una vuelta completa, es decir, que esos valores representan en realidad el mismo punto en el círculo. Las dos leyes deterministas que hemos expuesto se manifiestan entonces con comportamientos muy diferentes. Con la primera, X n = Xn_1 + 10, el punto representativo M permanece fijo: se lo desplaza diez vueltas completas en cada iteración, es decir, que se lo vuelve a encontrar permanentemente en el mismo emplazamiento. Esta ley no es, pues, más que una manera complicada de describir la inmovilidad: el punto representativo del sistema permanece donde estaba al principio. Por supuesto, un error de percepción o un pequeño desplazamiento del punto inicial vuelven a encontrarse tal cual en todo momento. No ocurre lo mismo en el segudo sistema. La ley adoptada se traduce ahora en un desplazamiento efectivo del punto representativo, desplazamiento que depende a la vez de la posición inicial y del instante considerado. Un punto situado en A al comienzo (xo = O) permanecerá allí indefinidamente (x n = O). Si por el contrario se parte del punto B diametralmente opuesto a A en el círculo (xo = 112), volverá uno a encontrarse en A desde la primera iteración y allí permanecerá (x n = 10nl2 es un número entero puesto que n > 1). De manera general, si el valor inicial Xo tiene un desarrollo decimal finito, es decir, si se escribe Xo = ao, al az ag... aNOOO... , como 110

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todas las cifras después de aN son ceros, entonces el punto representativo M se encontrará en A desde la n-ésima iteración para no moverse más. Por otro lado, si el valor inicial Xo necesita un desarrollo decimal infinito, el movimiento será mucho más complicado. Muy precisamente, si la posición inicial está dada por Xo = ao, a, a2 a3"" con una infinidad de cifras después de la coma, la posición en el instante n se obtendrá corriendo la coma n espacios hacia la derecha. Así, en la primera iteración se obtiene X, = ao al> a2 a3a••.. ; por supuesto, se pueden olvidar las dos cifras anteriores a la coma que corresponden a un número entero de vueltas y no influyen por lo tanto en la posición. Esta está determinada por las cifras restantes: 0, a2 a3a•..• Asimismo, la posición en el instante n estará dada por Xn = 0, an.l an+2"'; la indicación más importante está dada por a n. " que determina la posición en el círculo más O' menos en 1/10. Desde este punto de vista nuestro sistema funciona como una lupa o, mejor dicho, como un microscopio que, con mayores aumentos, revela cada vez más detalles. . Cada observación suplementaria revela un decimal más. La posición inicial está esencialmente dada por a" la primera cifra después de la coma; pero a partir de la observación siguiente esta cifra ya no tiene ninguna importancia y se hace preponderante a2' En cada etapa hay que buscar cifras cada vez más alejadas de la coma para tener una idea de la posición del punto representativo: para conocer el estado del sistema en el instante n hay que conocer el estado inicial Xo hasta (n + 1) cifras después de la coma. Esto significa que si uno quiere ser capaz de predecir toda la evolución futura del sistema debe conocer todas las cifras después de la coma, lo cual manifiestamente no es realista. El matemático podrá decir que coloca un punto en la abscisa 1/2 o en "'2 o en 1t; ésta es una operación puramente intelectual, una abstracción geométrica en la que se manejan puntos inmateriales sin forma ni espesor. Pero en la realidad, la precisión de las observaciones no puede ser ilimitada. Un modelo matemático como el que hemos propuesto no tiene pues significación fisica por debajo de cierta escala o más allá de cierta duración. El comportamiento en el largo plazo http://www.esnips.com/web/Scientia

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está pues determinado por fluctuaciones que se sitúan fuera del modelo considerado. Peor aún, por más que se pueda todavía seguir el sistema, se observa una pérdida de precisión regular con el correr del tiempo. Si uno conoce el estado con N decimales en el instante inicial t = O, sólo conocerá N - 1 en el instante siguiente t = 1 Y N-n en el instante t = n, hasta perder toda información en el instante t = N. En otros términos, los errores se multiplican por 10 en cada etapa hasta quedar degradada toda la información que se tenía inicialmente. Esta es la inestabilidad exponencial. En el caso de un sistema que tenga esa propiedad (que sea unidimensional y simple como el que acabamos de describir o que sea multidimensional y complejo como la atmósfera), la dinámica obra como un revelador: ofrece poco a poco toda la información que está contenida en las condiciones iniciales y que es inaccesible a una observación directa a causa de que es necesariamente limitada la precisión de nuestras mediciones. En el caso elemental que hemos tratado, la n-ésima observación revela el (n + l)-ésimo decimal de la posición inicial. En el caso de la meteorología, el tiempo que observemos dentro de un año revelará informaciones sobre el estado de la atmósfera de hoy, informaciones que se sitúan en una escala demasiado fina para que podamos percibirlas directamente. También se puede adoptar otro punto de vista y considerar que toda información es necesariamente finita, que es vano, por ejemplo, tratar de conocer con más de doce cifras significativas, que es el límite actual de precisión de las constantes fisicas. En ese momento no hay revelación, sino que hay verdadera creación de información. Si sólo se pueden conocer los doce primeros decimales del estado inicial, Xo = O, a¡ a2'" a¡2, la duodécima observación X¡2 = a¡3'" a24 aporta una información realmente nueva. Asimismo, seria muy dificil y hasta imposible y singularmente falto de interés extraer de las condiciones meteorológícas que reinen dentro de un año las informaciones que hoy nos faltan sobre el estado de la atmósfera actual. Es mejor considerar que hay creación de información con el correr del tiempo. Según el punto de vista en que uno se sitúa hay, pues, 112

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revelación o creación de información. En ninguno de los casos una información esencial sobre la evolución futura del sistema está disponible. Se puede considerar que esa carencia se debe a nuestra insuficiencia (caso en el cual hay revelación de una información latente) o, por el contrario, que esa carencia está en la naturaleza de las cosas, lo cual significa que el duodécimo decimal que aparece en cada observación es una creación ex nihilo. Puede uno expresarlo cómodamente diciendo que la evolución futura del sistema depende del estado, tal como lo comprobamos hoy, y del azar. Así tendemos el velo del azar sobre las informaciones que renunciamos a conocer. En la primera interpretación se trata de un azar relativo, humano, como cuando un jugador no puede controlar suficientemente los dados que echa para que .salga el número que desea. En la segunda interpretación se trata de un azar esencial, natural, como el azar que reconocemos en la mecánica cuántica. Pero, haya creación o simple revelación de información, se plantea siempre la misma pregunta: ¿a qué ritmo? Esto es lo que mide la entropía del sistema. El concepto de entropía sufrió no pocas vicisitudes. Aquí nos referimos a las ideas de Shannon y de Kolmogorov, es decir, que nos situamos en el punto de vista de la teoría de la información y dé los sistemas dinámicos y no nos entregamos a ninguna interpretación que atienda a conceptos de orden o de desorden. La entropía de un sistema dinámico es para nosotros un número que mide la velocidad a la cual el sistema crea (o revela) información. En el caso de un sistema unidimensional en un círculo, como los dos casos anteriores, el conocimiento de un decimal suplementario permite localizar el punto en cuestión con diez veces más de precisión ya que, de todos los puntos cuyo desarrollo decimal comienza por O, a¡ a2... aN, sólo una proporción 1/10 admite como (N + l)-ésimo decimal una cifra dada, por ejemplo 3. En otras palabras, los números cuyo desarrollo decimal comienza por O, a¡ a2... aN ocupan un pequeño intervalo, dividido en diez subintervalos iguales que corresponden a las diez posibilidades de aN+¡; decir que el (N + l)-ésimo decimal es un 3 elimina 9 de esos 10 subintervalos. De modo que http://www.esnips.com/web/Scientia

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la revelación de los sucesivos decimales divide cada vez por diez el campo de las posibilidades. Convendremos en que esta ganancia de un factor 10 corresponde a una entropía de 1. Así, la revelación de dos decimales suplementarios corresponde a la ganancia de un factor 100 = 102 y, por lo tanto, a una entropía de 2. En cambio, el statu quo, es decir, el factor de ganancia 1 = 100 corresponde a una entropía de cero. La entropía de un sistema mide la ganancia de precisión media aportada por cada nueva observación. Por ejemplo, en nuestro primer sistema, X n = Xn_l + 10, del cual hemos observado que corresponde a la inmovilidad pura y simple, la entropía es O, lo cual significa que una nueva observación no aportará ninguna información suplementaria. Pero en el segundo, X n = 10 x Xn_h cada nueva observación da un decimal suplementario, lo cual significa que la entropía de ese sistemaes de 1. En el caso de los sistemas multidimensionales, la situación es complicada por el hecho de que pueden presentarse simultáneamente fenómenos de estabilidad y de inestabilidad exponencial. Expliquemos esto. Veamos primero lo que seria, en el círculo, un sistema unidimensional descrito por la ley X n = x n j lO. En cada etapa, la variable de estado (número de vueltas a partir de Al está dividida por diez, lo cual hace que tienda rápidamente a O y que uno termine siempre por encontrarse en el punto A, que corresponde al estado x = O. Este punto es lo que se llama un atractor. Cualquiera que sea la posición de partida M o elegida, el punto representativo Mn en el instante n tiende ineluctablemente hacia A a medida que transcurre el tiempo. Este es un fenómeno de estabilidad (y no ya de inestabilidad) exponencial, que corresponde a una pérdida (y no ya a una ganancia) de información: poco importa de dónde se haya partido pues siempre terminará uno por encontrarse en el punto A. 'lbda información sobre la posición inicial se revela a la larga redundante. Fácilmente se puede mostrar este mismo fenómeno en un sistema multidimensional. Imaginemos por ejemplo que el conjunto representativo sea un disco. En otras palabras, a cada punto M del disco corresponde un estado del sistema; 114

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estamos pues frente a un sistema de dimensión dos. Como en el caso unidimensional, especificamos enseguida la ley que define la sucesión de los estados. Aquí convendremos en que si el estado en el instante n está en el punto Mn , el estado en el instante (n + 1) estará en el punto Mn+h medio del segmento aMn; a es el centro del disco. Formalmente, la ley del sistema se escribirá así: aMn+! = aM.J2, lo cual es el análogo bidimensional de las leyes que hemos considerado hasta ahora. El comportamiento del sistema es fácil de describir: cualquiera que sea el punto de partida Mo, el punto-representativo M n se aproxima indefinidamente al centro a a medida que transcurre el tiempo, es decir, a medida que n crece. Se expresa este hecho diciendo que el estado representado por el punto a es un atractor para el sistema. Fácil es construir de manera análoga un atractor para un sistema de dimensión tres. Basta con tomar lo que los geómetras llaman un toro (es decir, un cuerpo en forma de neumático, un anillo circular lleno) y comprimirlo alrededor de su alma. Más precisamente, el toro tiene un eje de simetria (el cubo de la rueda) y las secciones por planos que pasan por ese eje son discos. Los centros de esos discos describen un círculo simétrico en relación con el eje: es lo que llamamos el alma del toro. Al contraer, como se ve en la figura, cada uno de esos discos alrededor de su centro, definimos una ley determinista para la totalidad del toro, que se encuentra así comprimido alrededor de su alma. Esta es, pues, un atractor para el sistema tridimensional así construido: el punto representativo M, converge hacia la proyección del punto inicial M¿ sobre el alma del toro. El atractor es un poco más complejo que en el caso anterior puesto que se trata de una curva en lugar de ser un punto, y esta complejidad vuelve a encontrarse en el movimiento, puesto que el estado final hacia el cual tiende el sistema depende del estado inicial: a dos puntos de partida diferentes corresponden dos proyecciones diferentes sobre el alma del toro. Hemos visto, pues, ejemplos de sistemas inestables y ejemplos de sistemas estables con propiedades muy diferentes. Pero uno de los aspectos más fascinantes de los sistemas multidimensionales es el hecho de que puedan presentar sihttp://www.esnips.com/web/Sdentia

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Un atractor simple en el toro

alma sección

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El toro es un cuerpo sólido construido alrededor de un círculo (el alma del toro) y cuyas secciones transversales son discos. En adelante nos limitaremos a representar la sección transversal.

primera iteración

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segunda iteración

atractor

multáneamente estas dos propiedades, que sin embargo son contradictorias. En efecto, como disponemos de varias dimensiones, podemos imaginar leyes deterministas que dilaten en ciertas direcciones y que contraigan en otras. Esto conduce a construcciones geométricas espectaculares, de las cuales Stephen Smale fue el iniciador. Le debemos especialmente el ejemplo que hemos de describir ahora y que nos abrirá la puerta del misterioso reino de los atractores extraños. Volvamos a considerar el toro de hace unos instantes y comprimámoslo sobre su alma como acabamos de hacer. Pero esta vez le haremos sufrir una transformación suplementaria: lo estiraremos y lo enrollaremos sobre sí mismo. El resultado es, no ya un toro, sino una anilla entorchada, retorcida, que se enrosca dos veces alrededor del alma del toro original y que ocupa un volumen más reducido que éste. Los puntos del toro representan siempre los estados del sistema. Si M es uno de ellos, designaremos con f(M) el punto que le corresponde en la transformación anterior; se trata de un punto del anillo doble y por lo tanto de un punto del toro, puesto que uno está -contenído en el otro. La evolución del sistema está regida por la sucesión M n+1 = f(M n ) , que es el análogo exacto de las leyes que hemos visto hasta ahora. Sólo que esta vez el comportamiento del sistema es mucho más complicado. En cada etapa, el conjunto de los estados se estira en la dirección longitudinal (la del alma del toro) y se contrae en las dos direcciones transversales (las de las secciones). Una primera consecuencia es la de que el punto representativo Mn no se limitará a permanecer en una misma sección transversal sino que girará alrededor del toro. Pero, sobre todo, los dos efectos se conjugan para imponer un atractor que ya no es ni un punto ni una curva, sino que es algo mucho más complicado y que habrá de bautizarse con el nombre de fractal, según la terminología de Benoit Mandelbroto Para ver este atractor tratemos de seguir, no un punto, sino el toro entero. Su primer avatar (obtenido en la primera etapa) es el doble anillo entorchado. En la etapa siguiente, cada uno de sus bucles se desdobla a su vez y obtenemos un cuádruple anillo entorchado contenido en el anillo doble enhttp://www.esnips.com/web/Scientia

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El atractor de Smale La ley determinista que está en la base del atractor de Smale es la siguiente:

estiramiento, encogimiento, con pérdida de volumen \

/

repliegue doble

retorno al toro inicial

Se construyen sucesivamente toros cada vez más delgados dando vueltas dos, cuatro, ocho, dieciséis, 2n veces alrededor del toro inicial. Cada uno de ellos es una aproximación al atractor de Smale. La aproximación es tanto mejor cuanto mayor sea n, es decir, cuanto mayor sea nuestro poder de resolución. El atractor mismo es un límite que corresponde a una resolución infinita. Así, el collar de oro de A1leberg, formado a primera vista por tres toros yuxtapuestos, revela al examen un mocárabe

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en el toro de toros más delgados y toda una fauna exuberante. La técnica prodigiosa desplegada por el artista (filigrana, granulación, repujado, troquelamiento) sólo le permite realizar una aproximación, preciosa pero imperfecta, del objeto verdadero que él lleva dentro de sí y que por la fineza y la variedad de sus detalles no puede ser realizado por la mano del hombre.

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torchado, el cual está contenido a su vez en el toro inicial (anillo simple). Pasando de etapa en etapa, llegamos a ocho, dieciséis, treinta y dos vueltas, con lo que agotamos sucesivamente todas las potencias de 2. Obtenemos así una serie infinita de anillos entorchados y encajados, cada vez más finos, como cuando el cincel de un escultor trabaja un bloque de mármol para sacar de él una estatua. Lo que encontramos al cabo de todo esto no es un hecho majestuoso sino que es un objeto suficientemente complicado para haber merecido la denominación de atractor extraño. Para hacerse una idea de él puede uno, por supuesto, representarse una anilla trenzada compuesta por una infinidad de bucles que se enrollan en el toro inicial. Esto es seguramente exacto, pero no agota toda la riqueza de la estructura de un atractor extraño. Lo que importa aquí es el ritmo binario. Es fácil representar el atractor en un nivel de precisión dada, por ejemplo, haciendo calcular a un ordenador las transformadas sucesivas de un punto cualquiera. La elección de este punto inicial no tiene importancia; después de una fase transitoria, sus transformadas se encontrarán en el atraetoro Representando en un gráfico sus posiciones sucesivas, se verá formar una nube cuyos contornos, al precisarse poco a poco, dibujarán una urdimbre de tubos capilares que se enroscan alrededor del toro. Pero si pasamos a un aumento mayor, por ejemplo aumentando la precisión de los cálculos, tendremos la sorpresa de ver cómo cada uno de esos capilares se desdobla en dos tubos más finos, y sólo la imprecisión de las observaciones pudo hacernos creer que los dos tubos eran sólo uno. Es en esa red compleja donde circulan los puntos M n representativos del estado del sistema. Comprendamos bien esta paradoja. 'Ibdos los puntos del toro representan estados potenciales y cada uno de ellos puede servir de estado inicial. Pero la evolución natural del sistema hace que después de una breve fase transitoria el punto se limite a una región mucho más pequeña, aracnídea, y que la mayor parte de esos estados potenciales no pueda observarse nunca. Este es, pues, el atractor de Smale, que tal vez le parezca al lector una construcción un tanto artificial. Pero las ecuacio120

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nes de la meteorología contienen también su atractor extraño, como lo mostró Lorenz en un célebre artículo. El atractor de Lorenz no tiene exactamente la misma estructura que el atractor de Smale; éste es un objeto intermedio entre una curva y una superficie, mientras que el atractor de Lorenz es un objeto intermedio entre una superficie y un volumen. Para dar una idea del objeto, imaginemos un libro al que se le hayan arrancado todas las páginas salvo aquellas cuyo número contiene únicamente las cifras 2, 3, 4, 6, 7 y 8 (ni O, ni 1, ni 5 ni 9). En un libro de 100 páginas nos quedarían dos fajos distintos constituidos por páginas que van de 22 a 48 y de 62 a 88. Esos fajos sólo contienen en realidad dieciocho páginas en lugar de veintisiete; por ejemplo, del prímer fajo hay que retirar todavía las páginas 25, 29, 30, 31, 35, 39, 40, 41 Y 45. En el caso de un libro de mil páginas obtenido, por ejemplo, subdividiendo cada una de las páginas del libro anterior en diez páginas más delgadas, vemos aparecer lagunas en esos fajos homogéneos. En el lugar de la página número 22 deberían encontrarse diez páginas numeradas de 220 a 229, pero le faltan cuatro: las páginas 220, 221, 225 y 229. En realidad, entre las páginas 222 y 248, veremos reconstituirse un nuevo fajo de dieciocho páginas en todo análogo al fajo que observábamos en la escala anterior. Se advertirá que la proporción de páginas restantes está multiplicada por 6/10 en cada etapa; de manera que de un 60% en un libro de diez páginas se pasa a un 36% en un libro de cien páginas y a un 21,6% en un libro de 1000, es decir que el libro ralea. En última instancía, hay que representarse un libro que tenga una infinidad de páginas infinitamente delgadas, siempre con la misma encuadernación inicial. Casi todas las páginas han sido arrancadas, puesto que la proporción de páginas intactas ha caído a cero, pero todavía queda una infinídad de páginas que se presentan en fajos de dieciocho. Más exactamente, cada página de ese libro es ella misma un libro, reproducción fiel del original. Y cada página de cada uno de esos volúmenes que aparecen en número incalculable es ella misma un libro confeccionado según el mismo modelo. El atractor de Lorenz se presenta como una superficie http://www.esníps.com/web/Scientía

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El atractor

z

x

Este dibujo representa una trayectoria típica, en tres dimensiones, del sistema de Lorenz.

dx dt=-ax+oy dy dt =bx-y-xz dz

dt = -cz + xy. Vemos cómo la trayectoria salida del punto O describe anillos divergentes alrededor del punto A, lo abandona para dar una vuelta alrededor del punto B, luego volver alrededor de A, luego de B, y así indefinidamente. Se observa, pues, una sucesión infinita de oscilaciones cuya alternancia parece aleatoria pues el número de vueltas descritas cada vez es extremadamente variable. Si se deja que el movimiento continúe, la trayectoria al acumularse termina por dibujar un objeto foliado, intermedio entre una curva y una superficie: es el atractor de Lorenz.

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deLorenz

La piedra grabada de Vallstenarum da una representación muy simplificada de ese movimiento. Representa una especie de laberinto cuyo plano general evoca un trébol de cuatro hojas que son exploradas sucesivamente. El sistema de Lorenz comprende una infinidad de hojas todas unidas al mismo tallo. Las hojas se reúnen en ramilletes y cada uno de éstos da la ilusión de constituir una sola hoja, pero la complejidad de la estructura subyacente queda revelada por el comportamiento caótico de las trayectorias, obligadas a seguir por turno cada hoja y por lo tanto, a pasar de un ramillete al otro de manera imprevisible.

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replegada sobre sí misma en el espacio habitual de tres dimensiones. Pero si se lo mira en el microscopio, se ve aparecer una estructura foliada (hojaldrada) semejante a la que acabamos de describir. En otras palabras, nuestro instrumento de observación, como no puede abarcar el conjunto del atractor, corta artificialmente páginas de lo que en realidad es una sola y vasta hoja. Así, si nos atenemos al movimiento surgido de un punto preciso Mo, sólo al cabo de un tiempo bastante prolongado veremos aparecer el punto representativo M, en el campo de visión de nuestro instrumento; y cuanto mayor sea el aumento empleado, más se reducirá ese campo de visión y más tiempo deberemos esperar. Si proseguimos la experiencia deberemos esperar de nuevo mucho tiempo antes de que el punto representativo M n retorne a nuestro campo de visión y podamos volver a verlo. Entonces lo observaremos en otra página del libro; esas páginas se comunican fuera de nuestro campo de visión, necesariamente muy restringido, y sobreviene el deslizamiento. El atractor de Smale y el atractor de Lorenz tienen en común la propiedad de que si se los examina con aumentos cada vez más importantes se encuentra idénticamente la misma estructura ordenada. Se expresa esto diciendo que se trata de fractales. Si situamos los objetos clásicos de la geometría en una escala de cuatro grados: los puntos (dimensión cero) en el primer grado, las curvas (dimensión uno) en el segundo, las superficies (dimensión dos) en el tercero y los cuerpos (dimensión tres) en el cuarto, las fractales se sitúan naturalmente en posiciones intermedias. La dimensión fractal del atractor de Smale está comprendida entre 1 y 2 Y la del atractor de Lorenz está comprendida entre 2 y 3. Estas dimensiones intermedias manifiestan que el sistema no ocupa todo el espacio que le corresponde o, mejor dicho, que únicamente ciertos estados son interesantes desde el punto de vista de la dinámica. En mecánica o en física, es clásico introducir lo que se llama el número de grados de libertad: se trata del número de parámetros necesarios para especificar completamente el estado del sistema considerado. En el sistema de Smale es, pues, 2, y en el sistema de Lorenz es 3. El hecho de que la dimensión del atractor sea inferior significa que el sistema no explotará to124

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das esas posibilidades, ni explorará todos los estados teóricamente posibles (fuera de una breve fase transitoria). Es en el campo de la hidrodinámica donde estas ideas tuvieron el más vivo éxito. Uno de los fenómenos fisicos más importantes y menos comprendidos es, en efecto, la turbulencia. Se conocen y se estudiaron desde hace mucho tiempo las ecuaciones de Navier-Stokes. Sabemos deducir el comportamiento del fluido si las fuerzas de arrastre son débiles o si la viscosidad del fluido es grande. Pero desde el momento en que entramos en el régimen turbulento, es decir, desde el momento en que aparecen torbellinos, somos incapaces de predecir el movimiento. Hoy se admite que esta situación se debe a la presencia de un atractor extraño que aparece más allá de un umbral crítico. Esta hipótesis, expuesta por primera vez por David Ruelle y Floris Takens en un artículo célebre de 1971, dista mucho de ser puramente teórica. Ella vincula directamente la inestabilidad física, observada experimentalmente, con una inestabilidad matemática subyacente en las ecuaciones del movimiento. Sobre todo, la hipótesis postula que por más que el sistema sea de dimensión infinita (es necesaria una infinidad de variables para describir un solo estado del fluido; en efecto, hay que indicar su posición y su velocidad en cada punto del volumen que ocupa), el fenómeno de la turbulencia se desarrolla en dimensión finita. En efecto, el atractor tiene una dimensión finita, que se puede calcular en función de las condiciones impuestas al fluido; en ese atractor se desarrolla la evolución del fluido apenas terminada la fase transitoria, y el atractor será pues el teatro de la turbulencia. Una vez más volvemos a encontrar una intuición genial de Andrei N. Kolmogorov que, cuarenta años atrás, había lanzado la idea de que bastaría un número finito de grados de libertad para describir el estado de un fluido turbulento. Se le ocurrió esta idea al estudiar la degradación de la energía en el curso del movimiento, pues los grandes torbellinos dan nacimiento a torbellinos más pequeños, hasta que se alcanza una escala en la cual la viscosidad del fluido detiene su caída a través de las dimensiones. Kolmogorov hasta había calculado cuántas variables deberían bastar para describir el http://www.esnips.com/web/Scientia

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estado de un fluido turbulento; en otros términos, había estimado la dimensión del atractor. ¿Hay necesidad de decir que esa estimación ha sido confirmada por la teoría actual? Después de esta prolongada digresión podemos volver a hablar ahora de la entropía. En el caso de un sistema multidimensional puede haber a la vez pérdida y ganancia de información al transcurrir el tiempo; lo cual corresponde a la presencia simultánea de direcciones de contracción y direcciones de dilatación. La pérdida de información se manifiesta por el hecho de que el sistema se coloca muy rápidamente en un atractor, cuya dimensión puede ser mucho más reducida que la dimensión del espacio de los estados y donde se desarrollará lo esencial de la evolución. La ganancia de información se mide por la entropía, como ya indicamos cuando hablamos de los sistemas unidimensionales. Pero esta vez haremos la medición en el atractor. En otras palabras, comenzamos por eliminar toda la información redundante al abandonar la mayor parte del espacio de los estados para concentrarnos en el atractor. En el sistema así restringido, la información restante es significativa y aumenta -o se revela- exponencialmente con el transcurso del tiempo. De manera que si dos puntos del atractor no pueden distinguirse a causa de la precisión limitada de nuestros instrumentos, una observación suplementaria tal vez nos permita detectarlos. Una entropía de 1 significa que en cada etapa el número de puntos susceptibles de ser discernidos, en un nivel de precisión dado, está multiplicado por 10. Esta definición evidentemente es defectuosa: no se puede hacer referencia al "número de puntos"; por pequeña que sea la parte del atractor considerada, esa parte contiene una infinidad de puntos. Sería mejor hablar de "área" o de "volumen", teniendo en cuenta que los conceptos de área o de volumen invocados aquí están adaptados al atractor y especialmente a su dimensión propia (que puede ser un número fraccionario). Hablar de área nos sitúa en la dimensión dos, hablar de volumen nos sitúa en la dimensión tres, lo cual hace que los matemáticos prefieran hablar de "medida" para no tener que pronunciarse sobre la dimensión del atractor. Ela126

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borar una noción satisfactoria de medida en el atractor, una noción que pueda adaptarse a la estructura muy particular de un atractor extraño, constituye uno de los principales problemas de la teoria. Hoy este problema ha sido en gran parte resuelto gracias especialmente a los trabajos de Yasha Sinaí, David Ruelle y Rufus Bowen, quienes mostraron la existencia de una "medida ergódica" dotada de propiedades notables. Esa medida nos permitirá reinterpretar toda la dinámica en términos estadísticos y nos suministrará un modelo probabilista del sistema que suplirá su ley determinista cuando ésta nos falle. Expliquemos este punto. Hasta ahora hemos descrito el sistema desde el interior, hemos expuesto el número de grados de libertad y hemos usado la ley determinista para construir un atractor dentro del espacio de los estados. Pero ¿es verdaderamente realista este procedimiento? Independientemente de las situaciones académicas, esos datos no nos son accesibles. En hidrodinámica, por ejemplo, estamos lejos de poder medir la dirección y la velocidad de derrame en cada punto del fluido, y sin embargo es eso lo que haría falta para definir completamente un estado. La realidad física consiste más bien en presentar una variable considerada como significativa y en tratar de medirla lo más precisamente posible; En otros términos, nunca se observa directamente el estado interno M, sino que se lo conoce por intermedio de una función X(M). Si el sistema parte de un estado inicial Mo, la sucesión de los estados M o, M" M2 ••• , M; determina una serie de valores X(Mo), X(M,), X(M 2 ) , ' ••• , X(M n ) para la variable X elegida, y son esos valores los que se observan y aquellos de que hay que dar cuenta. Podrá tratarse de la velocidad de derrame, medida en un punto particular del fluido, o de cualquier otro dato pertinente, como la presión. Por supuesto, se podrán observar muchas variables simultáneamente, como la velocidad y la presión en un punto dado, lo cual equivale a hacer de X(M) un vector de dos componentes y no un número. Lo que nos dicen los resultados de Sinaí, Ruelle y Bowen es que una explicación probabilista de la observaciones X(Mo), X(M,), X(M2 ) , oo., X(Mn ) es no sólo posible, sino legitihttp://www.esnips.com/web/Scientia

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ma. La medida ergódica del atractor está asociada a una probabilidad de éste y la serie X(Mo), X(M,), X(M2 ) , ••• , X(Mn ) tiene todas las propiedades estadísticas de una muestra de n valores echados a suertes en el atractor según la probabilidad ergódica. Disponemos, pues, de la ley de los grandes números: cuando se agregan observaciones (n crece indefinidamente) el término medio empírico

X(Mo) + X(M,) + X(M2 ) + ... + X(Mn ) n tiende al valor medio calculado según la medida ergódica de Sinaí, RueIle y Bowen, con una probabilidad 1. Desde un punto de vista estadístico se puede pues considerar que esta serie de valores es aleatoria y que resulta de tiradas independientes del atractor, efectuadas según la probabilidad ergódica. Esta se podrá, pues, poner de manifiesto experimentalmente mediante la ley de los grandes números. La ventaja de esta interpretación probabilista consiste en que es sólida; no necesita ningún conocimiento profundizado del sistema, de sus estados posibles o de las leyes que rigen su evolución. Es una explicación general, una especie de comodín, que es posible en una multitud de circunstancias y aun cuando (como aquí) el sistema sea fundamentalmente determinista. En otras palabras, poco importa que el azar esté en la naturaleza o en el ojo del observador, la interpretación probabilista no se verá afectada por esa circunstancia. Observemos que no se trata solamente de decir que esta serie de observaciones podría ser el resultado de echar a suertes. La interpretación es cierta cualquiera que sea la serie de valores: la esencia del azar es que todo es posible, hasta lo improbable. La interpretación probabilista va más lejos. Afirma que la muestra observada es no sólo posible, sino probable, y de ello se sigue que los valores medios calculados en largos períodos terminarán por estabilizarse alrededor de los valores teóricos. Esta conclusión es bastante general para continuar siendo válida aun cuando no se sepa casi nada sobre el sistema. Lo que podría aportar un conocimiento más preciso sería sa128

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ber (no ya que una muestra se saque según cierta ley de probabilidad, con todos los riesgos que esa operación entraña, incluso el de ver invalidadas por la suerte nuestras previsiones estadísticas) cuál será exactamente el resultado de la tirada, como hace un fullero hábil que sabe engañar a la gente. y como un jugador que quiere prevenirse contra el fraude, el observador no debe recurrir ciegamente a los métodos estadísticos. Sólo en última instancia puede uno permitirse recurrir a un modelo probabilista, esto es, cuando se ha renunciado a comprender el sistema desde el interior y cuando está uno dispuesto a contentarse con una descripción fenomenológica y con previsiones estadísticas. Hoy existen métodos que permiten analizar una serie de observaciones Xo, Xl> ••• , x; para investigar un modelo determinista subyacente. Esos métodos consisten esencialmente en interpretar cada serie de m valores como las coordenadas de un punto en dimensión m y en ver cómo se reparten los puntos así obtenidos. Por ejemplo, con m = 2 nos veremos llevados a construir los puntos

y a estudiar su repartición en el plano. Si visiblemente se agrupan en objetos de dimensión inferior dibujando curvas o fractales, ello indica que estamos frente a un sistema determinista; lo que designan los puntos es la imagen del atractor. Si en cambio los puntos se reparten más o menos regularmente en vastas playas dibujando nubes uniformemente grisáceas, es inútil buscar un modelo determinista que tenga un atractor de dimensión inferior a 2. Hay que hacer entonces el mismo trabajo en tres dimensiones con los puntos M o = (xo, Xl> X2), M 1 = Mn_2

=

(Xl> X2,

(X n_2' Xn_h

xa), ... ,

xn ) ·

Según la manera en que se repartan en el espacio, se detectará o no la presencia de un atractor de dimensión inferior a tres. Con un ordenador suficientemente poderoso y siempre que se disponga de suficientes observaciones, se puede contihttp://www.esnips.com/web/Scientia

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nuar este trabajo hasta m = 10, lo cual ha permitido discernir la presencia de atractores en movimientos turbulentos y hasta en la cotización de las acciones de Wall Street. Insistamos una última vez en el hecho de que, si esos métodos permiten prevenirnos contra el desconocimiento de un modelo determinista subyacente en el fenómeno estudiado, y si por lo tanto nos permiten eliminar una forma de azar que se debería únicamente a la ignorancia del observador, no por eso dejaría de existir un azar esencial, medido por la entropía. El observador mejor informado sólo dispone de instrumentos de una precisión limitada. Si conoce perfectamente la ley del sistema conocerá las constantes fisicas y el estado inicial sólo con doce decimales, y ese trigésimo tercer decimal, cuyo valor ignora el observador, al amplificarse gradualmente perturbará las previsiones que hayamos podido hacer hasta negarles toda validez en el largo plazo. Ciertamente, en sistemas deterministas, el estado inicial determina el estado final. Pero la inestabilidad exponencial hace que de un conocimiento aproximado del estado inicial no se pueda deducir un conocimiento aproximado del estado final. Si la entropía no es nula, la precisión de las predicciones se degrada a medida que pasa el tiempo, de manera que son necesarias observaciones periódicas para seguir la evolución del sistema. La ausencia de observaciones nos deja en alguna parte del atractor, en una incertidumbre completa. No data de hoy la toma de conciencia de las dificultades que causa la inestabilidad exponencial en materia de predicciones. James Maxwell y Henri Poincaré, el físico más grande y el matemático más grande del siglo XIX, escribieron sobre el tema páginas definitivas. Maxwell recuerda que, si bien es indudable que las mismas causas producen los mismos efectos, la sensibilidad a las condiciones iniciales hará que causas semejantes no tengan necesariamente efectos semejantes. En su Ciencia y método, Poincaré se expresa así: "Una causa muy pequeña, que se nos escapa, determina un efecto considerable que no podemos dejar de ver y entonces decimos que ese efecto se debe al azar". Al desarrollar esta idea, Poincaré dice: "¿Por qué los meteorólogos encuentran tan difícil prever 130

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el tiempo con alguna certeza? ¿Por qué las lluvias, las temo pestades mismas nos parecen llegadas al azar, de modo que mucha gente cree natural rezar para que caiga la lluvia o haga buen tiempo, cuando en realidad encontrarían ridículo pedir con una plegaria un eclipse? Vemos que las grandes perturbaciones se producen por lo general en las regiones donde la atméefera está en equilibrio inestable. Los meteor6lagos bien ven que ese equilibrio es inestable, que algún cicl6n se dará en alguna parte, pero ¿dónde? No están en condiciones de decirlo; una décima de grado más o menos en un punto cualquiera y el ciclen estalla aquí y no allá y extiende sus estragos en comarcas que de otra manera no habrían sido devastadas. Si se hubiera conocido esa décima de grado podría habérselo sabido de antemano, pero las observaciones no fueron ni bastante rigurosas ni bastante precisas y por eso todo parece debido a la intervención del azar". Este texto es tanto más notable por haber sido escrito en 1908, más de medio siglo antes del descubrimiento del atraetor de Lorenz, en una época en la que no se disponía de la potencia de cálculo que hoy nos permite simular numéricamente el comportamiento de los sistemas más generales. Ese texto atestigua, pues, una intuición verdaderamente genial de Poincaré que éste había forjado mediante la práctica rigurosa de las ciencias físicas, especialmente la mecánica celeste, terreno en el que tuvo ocasión de estudiar de cerca los sistemas integrables y de interesarse por el cálculo de las perturbaciones. Hasta el advenimiento de los ordenadores, la única manera de estudiar el comportamiento de un sistema era resolver explícitamente las ecuaciones de evolución, lo cual sólo es posible en una clase muy reducida de sistemas, llamados integrables. Para los sistemas próximos a sistemas integrables existen asimismo métodos que permiten resolver parcialmente las ecuaciones y deducir el comportamiento del sistema en intervalos de tiempo que pueden ser importantes, pero de los cuales no se puede garantizar que se extiendan al infinito. Por ejemplo, se puede describir el corto plazo (como en todos los sistemas) y hasta el plazo mediano (de una duración que es dificil de estimar) pero no se puede describir el largo plazo http://www.esnips.com/web/Scientia

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(reservado a los sistemas integrables). Esto es lo que se llama el método de las perturbaciones, que está en la base de todos los cálculos astronómicos; luego tendremos ocasión de volver a considerar este punto. El concepto de sistema integrable sufrió diversas modificaciones en el curso de los siglos. Es bastante claro si se lo refiere al ejemplo fundador, al paradigma que inspiró toda la ciencia moderna: el sistema de Kepler. Trátase aquí de describir el movimiento de un planeta que gira alrededor del Sol. El movimiento está enteramente determinado por tres leyes, descubiertas de manera experimental por Kepler: el planeta describe una elipse en la que el Sol ocupa uno de los focos; la velocidad del planeta es constante (el planeta se desplaza, pues, más rápidamente en las porciones de la órbita próximas al Sol); y su período de revolución es proporcional a la potencia 3/2 del eje mayor (de manera que un planeta situado cien veces más lejos girará mil veces más lentamente). La gloria inmortal de Newton se funda en haber formulado las ecuaciones de la gravitación y en haberlas resuelto en el caso muy particular en el que el universo se reduce a dos cuerpos celestes. Newton encuentra así el movimiento kepleriano como consecuencia lógica y necesaria de una ley de atracción en función de lIr 2 (la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de las distancias) y demuestra que ese movimiento es perfecta e indefinidamente previsible. Por lejos que nos proyectemos hacia el futuro o que nos remontemos al pasado, podemos dar la posición del planeta. Aquí no hay huella alguna de inestabilidad. Claro está que, si uno comete un error al comienzo sobre la posición o la velocidad del planeta, el error repercutirá en el cálculo de su trayectoria: la elipse quedará deformada o mal situada. Pero ese cálculo está hecho de una vez por todas. En adelante, ni la trayectoria calculada ni la trayectoria real variarán y la posición calculada debe obligadamente estar próxima a la posición real, indefinidamente. Los errores no se amplificarán al pasar el tiempo (como en el caso de la inestabilidad exponencial) y la entropía del sistema es nula. Pero el planeta Tierra no es el único que gira alrededor de su Sol. Se trata entonces de saber si propiedades de esta132

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bilidad tan deseables se extienden a todo el sistema solar tal como lo conocemos, con sus grandes planetas provistos de sus satélites, sus cometas y sus asteroides, sin contar todos los objetos celestes cuya existencia aún ignoramos. Desde los comienzos de la mecánica celeste la cuestión se expuso de manera muy concreta. La órbita de la Luna alrededor de la Tierra, por ejemplo, dista mucho de ser elíptica o siquiera periódica a causa de la influencia considerable de la atracción solar; la descripción precisa de su movimiento ocupó la atención de los más grandes espíritus de la astronomía, desde Newton hasta Poincaré. La órbita de la Tierra alrededor del Sol está mucho más próxima a la elipse kepleriana. La principal fuerza perturbadora se debe a la influencia de Júpiter y esa fuerza es del orden de 1120000 de la atracción solar, mientras que, en el caso de la Luna, la relación de la fuerza central (la atracción terrestre) con la principal perturbación (la atracción solar) es sólo de 1150. Además, la escala temporal no es la misma: un año terrestre vale doce meses lunares. El resultado es el de que podemos ir mucho más lejos en nuestras predicciones en el caso de la Tierra que en el caso de la Luna. Pero hasta en el caso de la Tierra hay una frontera (por lo demás, dificil de situar) más allá de la cual el cálculo de las perturbaciones deja de ser válido. Lo que ocurre detrás de ese horizonte escapa completamente a nuestra mirada. De manera que no estamos en condiciones de responder a una pregunta tan importante como ésta: ¿es estable el sistema solar? ¿Permanecerá indefinidamente la Tierra en una órbita cercana a la que conocemos ahora? O bien: ¿está condenada a escaparse al vacío intersideral o a estrellarse contra el Sol? Poincaré dedicó gran parte de su actividad científica a este problema. Mostró especialmente que el problema de los. tres cuerpos, es decir, el estudio del movimiento de tres masas en interacción gravitacional, no es integrable. De modo que una versión simplificada del sistema solar reducida al Sol, a Júpiter y a la Tierra escapa ya a la resolución explícita y entonces nace la sospecha de que el sistema solar es en realidad caótico. Por supuesto, Poincaré no poseía los medios de eliminar o de confirmar esa sospecha, por más que su obra contenga múltiples presunciones en favor de una confirmahttp://www.esnips.com/web/Sdentia

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ci6n de la sospecha. 'Ibdavía hoy la cuesti6n está lejos de ser resuelta. Sin embargo, disponemos de presunciones suplementarias que son el resultado de simulaciones numéricas realizadas en superordenadores puestos al servicio de los cálculos astron6micos. El último de esos cálculos simula la evoluci6n del conjunto del sistema solar en 200 millones de años y pone de manifiesto una inestabilidad exponencial: las perturbaciones se multiplican por 10 ' 0 (diez mil millones) en cien millones de años. Es decir que, en una duraci6n que en la escala de los tiempos astron6micos o hasta geol6gicos es muy breve, una fluctuaci6n de un centímetro en la posici6n inicial puede traducirse al fin de cuentas en un desplazamiento de un mill6n de kil6metros. En cambio, en los diez primeros millones de años el ordenador muestra una gran estabilidad de movimiento, que sigue de cerca las predicciones de la teoria de las perturbaciones. No habrá que creer que una simulaci6n teórica de este tipo nos permita extender nuestra capacidad de predicci6n más allá de ese umbral de 10 millones de años. Desde el momento en que el sistema es caótico, las menores perturbaciones asumen importancia, especialmente los errores de "redondeo" que el ordenador por fuerza debe cometer a cada paso. El ordenador troncha todos los resultados de los cálculosintennedios para reducirlos al número de decimales deseado, y el efecto acumulado de esas pequeñas inexactitudes puede desnaturalizar por completo el resultado final. Aquí el ordenador no es pues un instrumento de previsi6n cuantitativa sino que crea una fuerte presunci6n en favor de un resultado cualitativo para indicar que el sistema es ca6tico y que, en una duraci6n del orden de algunos centenares de millones de años, las 6rbitas planetarias pueden sufrir variaciones muy importantes. Acaso haya que ver en esta inestabilidad la causa de las grandes variaciones climáticas de que fue teatro la Tierra en el curso de su historia. Ya hoy se atribuye a las pequeñas oscilaciones de la 6rbita terrestre (cuyo período es del orden de 10 mil años) la sucesi6n de las eras glaciares cuyos rastros se encuentran en los estratos geológicos superiores. Pero la escala de tiempo es aquí mucho mayor y los efectos potencia134

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les son devastadores. Tal vez también Marte se benefició antes con una posición muy favorable y Venus releve a un planeta azul devastado por sus habitantes. En esa escala de tiempo todo es posible. El curso de los planetas, que es el símbolo mismo de la estabilidad en la escala humana (como un reloj dispuesto por el Creador entre los astros) no es más que un movímiento imprevísible y desordenado mirado con los ojos de la eternidad. Este ejemplo es rico en enseñanzas. En primer lugar, nos muestra que los sistemas integrables -y, por lo tanto, prevísibles- forman una clase extraordinariamente restringida; el sistema de Kepler es integrable, pero basta con modificarlo muy ligeramente para obtener sistemas cuya entropía ya no es nula. El caos es la regla y la integrabilidad es la excepción. Asimismo el estudio de la mecánica celeste nos preserva de una enfermedad común que consiste en querer buscar las causas. En un sistema no integrable, resulta vano querer aislar una relación causal. Si hoy un demonio desplazara la Tierra algunos centímetros en su órbita, en un plazo suficientemente lejano ese desplazamiento afectaría todas las órbitas planetarias, y ese efecto sólo puede calcularse o contemplarse considerando todo el sistema solar en su con-o junto. Por supuesto, lo primero que lile modifica es el movimiento de la Tierra y por lo tanto su acción perturbadora sobre el movímiento de los demás planetas; éstos experimentarán esa acción y en una segunda fase se producirá una lenta modificación de sus trayectorias. Al verificarse esto, las posiciones respectivas de los planetas evolucionarán, con su interacción gravítacional, y por último se verá afectado todo el sistema solar en una escala de diez a cien millones de años. De manera que no se puede calcular el efecto de un simple impulso limitándose a una simple consideracion de la órbita terrestre; hay que tener en cuenta el efecto primario sobre esa órbita, pero también el efecto secundario constituido por las modificaciones de las perturbaciones gravítacionales debidas ·a las modificaciones de las órbitas planetarias; luego hay que tener en cuenta el efecto terciario que no dejará de tener el efecto secundario cuando los cambios correspondientes del movímiento de la Tierra hayan repercutido sobre los otros plahttp://www.esnips.com/web/Sdentia

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netas, y así sucesivamente. En suma, una vez salidos del corto plazo, sólo podemos tratar el sistema en su conjunto. En un sistema determinista, por lo general, no se pueden aislar subsistemas y, por lo tanto, no se puede atribuir tal efecto a tal causa. Si consideramos un choque inicial, como el que produce nuestro demonio al desviar a la Tierra de su trayectoria, las consecuencias de ese cambio en el largo plazo sólo pueden evaluarse rastreando de nuevo la evolución completa del sistema con estos nuevos datos. En general, se obtendrá un estado global completamente diferente del estado que habría prevalecido si el choque no se hubiese producido, y será vano tratar de comparar esos estados. No se podrá decir que una determinada cosa ha cambiado pero que otra no ha cambiado y pretender así haber identificado los efectos del choque inicial. Una modificación local puede determinar un cambio global, así como el golpecito de una varita mágica nos transporta a un mundo diferente. El único efecto que hay que atribuir a esta causa es la totalidad de la situación nueva, lo cual evidentemente aporta poca información. Una propiedad fundamental de los sistemas dinámicos consiste en que éstos sólo pueden aprehenderse globalmente. Esta regla tiene una sola excepción: los sistemas integrables; y en la primera línea de éstos hay que colocar los sistemas lineales. Dejando a un lado estas situaciones muy particulares, la investigación de las causas o el análisis de las consecuencias de un hecho singular nos arrastran muy rápidamente a un dédalo incalculable en el que quedaremos prisioneros a menos que nos resignemos a admitir que ninguna influencia es demasiado pequeña para ser pasada por alto y que el menor impulso pone en tela de juicio el desarrollo del universo. Este modo de pensar nos es tan extraño porque tenemos la juiciosa costumbre de limitar nuestro horizonte a un futuro que la experiencia nos indica como previsible. Nuestro conocimiento basta ampliamente para fechar los eclipses a los que se refieren las antiguas crónicas y para prever el tiempo que hará mañana. En duraciones tan cortas, los sistemas considerados son aproximadamente lineales y por lo tanto integrables. El cuadro se complica en plazos más largos cuando se dan interacciones debidas a la falta de "Ji136

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nealidad", hasta el punto de que el futuro de la parte mejor aislada se confunde con el futuro del sistema en su totalidad. Para precisar aun más las cosas, quiero recordar que una definición corriente del azar consiste 'en considerarlo la intersección de series causales independientes. Un señor pasa por la calle en el momento en que una teja se desprende del techo; la teja lo alcanza y el hombre muere inmediatamente. Ahora bien, ese transeúnte se dirigía tranquilamente a sus ocupaciones y la teja estaba sometida a los caprichos del viento. Hay aquí dos series de sucesos que tienen su propia lógica; son tan evidentemente distintos, y su resultado común es tan desproporcionado, que inmediatamente se habla de mala suerte y por consiguiente de azar. Ahora bien, no hay, no puede haber, series causales independientes en el universo. El transeúnte ejerce desde la calle una fuerza de atracción sobre la teja puesta en lo alto del edificio y la bocanada de viento que la desprende es inseparable de todo un contexto meteorológico en el que la actividad pasada de la víctima ha tenido su parte. Hablar de independencia es sólo un enfoque cómodo y supone una visión miope de los hechos, que es menester abandonar si se intenta un análisis más afinado o si se quiere tener un horizonte más amplio. Un demonio desplaza un electrón en Sirio, algo que está muy debajo del umbral de nuestra percepción. Al hacerlo, el demonio modifica todas las fuerzas de atracción que ese electrón ejercía sobre las demás partículas del universo y especialmente sobre las moléculas gaseosas que constituyen la atmósfera terrestre. Sólo harán falta unos pocos segundos para que ese mínimo impulso, propagado y amplificado por las colisiones de las moléculas, se traduzca en modificaciones perceptibles. Y entonces interviene la inestabilidad meteorológica, de suerte que el ligero soplo de aire que apareció así en el mar Caribe llegará a ser un ciclón que devastará la costa oriental de los Estados Unidos. Tratar de aislar las causas de un hecho que nos llama la atención es una empresa que no puede ser sino limitada; si queremos llevarla demasiado lejos, corremos el riesgo de vernos a merced de los movimientos de los electrones de Sirio. Del vasto universo sólo podemos aprehender una pequeña http://www.esnips.com/web/Scientia

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parte a la vez, y ni siquiera sabemos cuándo aquello que hemos olvidado tendrá más importancia que lo que estamos viendo. Somos como un viajero perdido en medio de la niebla; su mirada delimita una pequeña esfera familiar y tranquilizadora, pero más allá de los muros grises que lo rodean comienza el reino de los espíritus. En el año 413 a. C., en el mes de agosto, el cuerpo expedicionario ateniense se encuentra frente a Siracusa. Acaba de sufrir una aplastante derrota al intentar apoderarse de las alturas que dominan la ciudad y su situación es ahora crítica. Mortunadamente le queda la flota y con ella la posibilidad de abandonar el sitio para regresar a Atenas o para encontrar una base de operaciones más favorable. Dos de los generales atenienses, Demóstenes y Eurimedón, ven la urgencia y quieren embarcarse inmediatamente, pero la indecisión del tercero, Nicias, retrasa la partida. Esto da tiempo al espartano Gilipo, que manda las fuerzas siracusanas, para recorrer Sicilia en busca de refuerzos. En Selinonte, encuentra una flota que los del Peloponeso habían enviado en su auxilio durante la primavera y que llega a su destino después de numerosas peripecias. Arrojada a las costas libias por una tempestad, la flota encuentra allí colonias aliadas y se demora para prestarles ayuda contra los libios. Luego bordea la costa africana para dirigirse finalmente a Sicilia por el trayecto más corto. Ancla por fin en Selinonte, donde encuentra a Gilipo, quien la conduce inmediatamente a Siracusa con otros refuerzos. La llegada de esa flota empeora aun más la situación de los atenienses, que lamentan haber dejado pasar la ocasión de partir sin ser molestados. El propio Nicias ya no manifiesta ninguna oposición; se hacen los preparativos de la marcha en el mayor secreto. Las tropas aprovecharán la oscuridad de la noche para embarcarse y la flota saldrá por fin de esa rada donde está prisionera para llegar a alta mar, cuando de pronto sobreviene el eclipse de luna del 27 de agosto del año 413 a. C. Muy impresionados por el acontecimiento, los hombres piden aguardar todavía un tiempo y los adivinos declaran que es necesario demorar la partida en tres veces nueve 138

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días; Nicias, hombre muy piadoso y apasionado por los oráculos y la adivinación, ni siquiera quiere oír hablar de partir antes de la fecha fijada. ¿Hay necesidad de decir que todo aquello terminará muy mal? Los refuerzos de hombres y naves llevados por Gilipo tienen mucho tiempo para prepararse y equiparse para el combate decisivo. La flota ateniense, encerrada en la rada de Siracusa e incapaz de maniobrar, queda destruida ante los ojos de sus soldados. Estos se verán obligados a intentar una retirada por vía terrestre, retirada que deberían haber hecho por barco. A los tres días todo termina con un desastre en el que perecen los generales y casi todo el ejército, ya por el hierro de los siracusanos, antes y después de los combates, ya en las canteras de piedra, adonde se los destinó en condiciones abominables. Las causas inmediatas de esta derrota, además de la indecisión de Nicias que la hizo posible, son dos hechos debidos a la suerte: la llegada de la flota del Peloponeso y el eclipse de luna. Ambos hechos nos ofrecen una ilustración perfecta del desarrollo de dos seríes causales independientes y, por lo tanto, de cierta concepción del azar. Desde el punto de vista de los espartanos, la flota de auxilio y Gilipo forman parte del mismo sistema y la acción de ambos agentes está coordinada hacia un solo objetivo: la victoria sobre los atenienses. Pero a partir de cierto momento, los agentes pierden contacto; Gilipo está en Sicilia y los refuerzos en Libia y ambos son en adelante subsistemas aislados que obran independientemente el uno del otro, cada cual siguiendo su lógica propia y reaccionando a los acontecimientos. Cada uno de los subsistemas tiene una excelente razón para estar en Selinonte aquel día, uno porque ha planificado racionalmente su incursión, el otro porque aquél es el punto más cercano de la costa africana. Estas dos razones son independientes, así como las peripecias, sicilianas o africanas, que pusieron ritmo al tiempo de los actores; de manera que el azar consiste justamente en que esas dos historias diferentes se reúnan en el mismo lugar el mismo día. El caso es más claro todavía en el eclipse de luna. Para nosotros, que conocemos la mecánica celeste y las leyes de http://www.esnips.com/web/Sdentia

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Kepler, no hay, desde luego, ninguna intervención del azar en el hecho de que un eclipse de luna se haya producido el 27 de agosto del año 413 antes de nuestra era. La mejor prueba de ello está en que ese eclipse nos permite hoy fechar los acontecimientos relatados por Tucídides, y no lo inverso. Las efemérides nos dan las fechas de los eclipses en todo el período histórico, es decir, durante tres milenios a contar desde hoy. Podemos asimismo calcular las fechas de los eclipses en los tres mil próximos años: los movimientos respectivos de la Tierra, de la Luna y del Sol son la expresión de un determinismo estricto y son perfectamente previsibles, por lo menos en la escala de la historia humana. Esos movimientos no están visiblemente influidos por el hecho de que algunos millares de hombres estén combatiendo en alguna parte del planeta Tierra. Por otra parte, teniendo en cuenta los conocimientos científicos de aquella época, ni los atenieneses ni los espartanos podían imaginarse que los eclipses de luna fueran previsibles, y fijaban sus estrategias sin tener en cuenta esta posibilidad. Tenemos pues un caso en el que dos sistemas evolucionan independientemente, uno siguiendo un determinismo fisico y otro siguiendo un determinismo histórico, hasta el 27 de agosto del año 413 a. C., fecha en la que el primero produce sobre el segundo un efecto importante. Para quien esté inserto en el determinismo histórico, mida resulta más inquietante que la irrupción de un fenómeno inexplicado, de una contingencia pura. Desde que el primer antropoide pisó la Tierra el hombre trata de sobrevivir adaptándose a su ambiente, es decir, sacando lecciones de la experiencia para prever algún tanto el futuro. Aceptar lo inexplicable, resignarse a lo imprevisto, significa dejar abierta una brecha en el frente donde luchamos permanentemente contra una naturaleza hostil, y tal vez signifique comprometer la supervivencia de la especie. Hay pues, urgentemente, que atribuir un sentido oculto a los hechos que no tienen sentido aparente, es decir, los hechos que no se insertan inmedíatamente en el determinismo que reconocemos al término de una experiencia milenaria. En semejantes circunstancias, el hombre primitivo invocará a los dioses y tratará de apaciguarlos, mientras que el hombre moderno invo140

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cará al azar y hará cálculos estadísticos. Pero únicamente el

descubrimiento de un determinismo oculto podrá dejar resuelta la cuestión. Y esto no es fácil, según hemos visto, ni siquiera en el caso de sistemas muy simples, pero mientras dicha cuestión no se resuelva, ningún científico podrá darse por verdaderamente satisfecho. Así concebido, el azar no puede sino referirse a una experiencia humana en una situación histórica dada. Lo que es alea o destino para Tucídides ya no lo es para su lector moderno. El eclipse que produce un terror supersticioso en el ejército ateniense sería hoy sólo una curíosidad frente a un suceso raro y espectacular y sólo suscitaría una preocupación estética. Palpamos así que el azar es siempre una respuesta dada a una pregunta que un hombre se hace. Si un suceso pasa inadvertido, si se ]0 juzga poco interesante o si se lo puede explicar por otras razones, a nadie se le ocurrirá hacer intervenir el azar en ese caso. El eclipse de luna planteó esta cuestión aNícias y a sus hombres; a nosostros ya no nos la plantea. Coincidencias muy notables como la llegada simultánea a Selinonte de Gilipo y de los refuerzos que habían salido en su auxilio ocurren todos los días y nadie hace hincapié en ellas ni se asombra. Imaginemos que algún mercader cartaginés haya llegado a aquel puerto el mismo día en que llegó la flota del Peloponeso. Esto es muy posible y hasta probable, a causa de la intensidad de las relaciones comerciales que mantenían los cartagineses con los beligerantes. Pero la historia no nos conservó el recuerdo de ese hecho pues, siendo en principio tan notable como la llegada de Gilipo, no tenía la misma significación. De las tres coincidencias ocasionadas por esa llegada simultánea, Gilipo y el cartaginés, el cartaginés y los hombres del Peloponeso, los hombres del Peloponeso y Gilipo, únicamente esta última retiene la atención y suscita interrogaciones. Pero las tres coincidencias son igualmente notables o igualmente triviales, según el punto de vista en que uno se sitúe. Igualmente triviales, pues no hay nada más común que la llegada de viajeros a un puerto mercantil y bien cabe esperar que algunos de ellos lleguen el mismo día. Igualmente notables, pues son igualmente improbables; para brillar http://www.esnips.com/web/Scientia

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con el mismo destello sólo les falta la voluntad de un observador que las sacará de la oscuridad, así como el rey Midas transformaba en oro todo lo que tocaba. Si habláramos latín, diriamos egregium por "notable" y la etimología traduciria inmediatamente nuestro pensamiento: e-gregium, fuera del rebaño, así como se pone aparte, entre individuos idénticos, a aquel que presenta una singularidad por lo arbitrario de una elección. El cartaginés puede no tener ningún interés en la guerra del Peloponeso y en la expedición de Sicilia; en ese caso ignorará la llegada de Gilipo pero se maravillará de encontrar entre los recién llegados a un amigo que había perdido de vista desde mucho tiempo atrás. Ese suceso es lo que le llama la atención y del cual se maravillará toda la vida, en tanto que el historiador que narra la guerra se eleva por encima de los destinos individuales. Para Tucídides, esa multitud de coincidencias accidentales constituye el ruido de fondo y aquí su tarea consiste en distinguir la verdadera señal, la única digna de ser transmitida a las futuras generaciones: la llegada de Gilipo. '. De manera que la diversidad de los puntos de vista privilegia de pronto uno, y de pronto el otro, de los múltiples acontecimientos simultáneos que un observador perfectamente desapegado considerará con una indulgente indiferencia, así como la sonrisa de Buda acoge nuestras vicisitudes. Cada uno examina su suerte con la angustia que da la certeza de vivir sólo una vez y con la conciencia de su propio yo. Esa es la maya, la gran ilusión. Buda ve girar la gran rueda, contempla el ciclo eterno de las reencarnaciones, sabe que la vida que me toca hoy no es más que un episodio de una historia infinita en la cual desempeñaré todos los papeles, unos tras otros. No hay azar porque no hay sentido, no hay razón de privilegiar un momento particular de esta historia, o esta historia misma antes que otra. La reivindicación de la identidad que nos hace exclamar"¿Por qué me ocurre esto a mí?" sólo puede culminar en la falta de sentido y en el sufrimiento. El azar se disuelve en la dulce indiferencia del mundo.

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El riesgo

Después de tantas digresiones, exploraciones y comentarios, el lector habrá de perdonarnos que por un momento dejemos la obra de Snorri Sturlasson para hacer una incursión a la saga de Njál el Quemado. Esta es la más tardía, pero también la más larga y acaso la más lograda de las grandes sagas islandesas, último y magnífico florecimiento de un género que debía decaer poco a poco para convertirse en la novela cortesana y el cantar de gesta. La saga de Njal se basa aún en hechos estrictamente históricos puesto que el episodio central, el incendio de la finca de Bergthorshvall donde perecieron Najl y sus hijos, está atestiguado por otras fuentes, como por ejemplo el Landnamabok y la batalla campa! que tuvo lugar en el atthing de 1011 durante el proceso referente a! incendio. El autor anónimo de la saga conservó el estilo lapidario que era ya el estilo de Snorri, y la obra en su totalidad es un monumento a una civilización que estaba a punto de desaparecer. Njal ve llegar los acontecimientos y la destrucción final de su familia, así como Odín prevé el Ragnarok, la rebelión de los gigantes y el fin del mundo, hechos que es incapaz de impedir. La amistad entre NjM de Bergthorshvall y Gunnar de Hlidárendi es una de las claves de la obra. Gunnar es un héroe, capaz de saltar su propia altura armado de pies a cabeza y es un arquero sin igual. Para todo confía en Nj8.l y sólo pretende vivir en paz, pero ni los sabios consejos de uno ni las buenas intenciones del otro pueden impedir que un encadenamiento ineluctable de provocaciones, de represalias y de venganzas conduzca a Gunnar a su perdición. Una vez más http://www.esnips.com/web/Sdentia

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es denunciado por sus enemigos ante el althing, la asamblea suprema, que lo condena a tres años de exilio. Ese exilio no tiene nada de deshonroso, pues la posición social de Gunnar se verá hasta fortalecida por el suplemento de gloria y de bienes que él no dejará de traer de su expedición. En cambio, si no parte será declarado fuera de la ley y entonces quedará a merced de sus enemigos, que podrán darle muerte impunemente. Veamos la narración de la partida de Gunnar de HIidárendi; su hermano Kolskegg lo acompaña.

Gunnar hizo transportar hasta la nave sus artículos personales y los de su hermano. Cuando llegaron todas sus provisíones y el barco estaba dispuesto, Gunnar fue a Bergthorshvall y a las otras propiedades para visitar a la gente y agradecerle el apoyo que le habían prestado todos aquellos que habían estado de su parte. Al día siguiente, muy temprano, Gunnar se preparó para embarcarse y declaro a todos los de su casa que se marchaba de veras. Todos estaban afligidos pero esperaban que regresaría. Cuando estuvo pronto, Gunnar abrazó a sus gentes y salieron todos para despedirlo. Gunnar plantó su alabarda en el suelo, saltó a la silla y él Y Kolskegg se alejaron. Cabalgaron hasta el Markarfljót. Entonces el caballo de Gunnar se encabritó y lo hizo caer de la silla. Estando así, Gunnar fijó sus ojos en las colinas y en la finca de Hlidárendi y dijo: "¡Qué hermosa colina! Nunca me pareció tan hermosa. Los campos dorados, el heno segado... Vaya regresar a mi casa y 110 me marcharé". Kolskegg le dijo: "No des a.tus enemigos la alegría de quebrantar los acuerdos. Nadie espera eso de tu parte. Y bien puedes decir que todo ocurrirá como lo indicó Njdl". Y dijo Gunnar: "No me marcharé y quisiera que tú también te quedaras". Kolskegg replicó: "De ninguna manera, 110 obraré vilmente ni en esta ni en ninguna otra circunstancia en que se haya confiado en mí. Esto es lo único que podría separarnos. Dí a mis parientes y a mi madre que no tengo la intención de volver a ver Islandia pues me enteraré de tu muerte, hermano, yeso no me incitará a 146

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regresar". Y alli se separaron. Gunnar regreso a Hlidárendi pero Kolskegg se embarc6 y partió para el extranjero. Hallgerd se alegr6 de ver regresar a Gunnar a su casa, pero la madre de éste no dijo gran cosa.

"Hallgerd se alegró de ver regresar a Gunnar a su casa, pero la madre de éste no dijo gran cosa." Rara vez se ha ido tan lejos en el arte de la atenuación y en la expresión de la desaprobación. Hallgerd es la mujer de Gunnar, y el lector de la saga ha tenido tiempo de conocer su carácter vengativo y la animosidad que sentía por su marido. No porque lo ama se regocija del regreso de Gunnar, sino porque así se le presenta la ocasión de vengarse de él. En cambio, la madre de Gunnar, que acaba de ver partir a sus dos hijos sin estar segura de que volvería a verlos antes de su muerte, se encierra en el silencio cuando uno de ellos regresa. Ella sabe, él sabe, todos saben que aquello es un suicidio. La alegría de Hallgerd es indecente, los reproches de la madre también lo serían; y hasta serían inútiles pues Gunnar sabe lo que ella piensa sin que tenga necesidad de decirlo. La madre anda por la casa muda como el dolor. Lo cierto es que la decisión de Gunnar tiene el carácter súbito e irrevocable de las catástrofes naturales. Nada la anuncia. Gunnar está presente en el althing cuando se trata su causa, asiste a los esfuerzos de NjAl para llegar a un arbitraje y no manifiesta descontento por los acuerdos celebrados. Por el contrario, promete a NjAl que los respetará y hace sus preparativos de marcha. Se despide de las gentes de su casa y sólo por un accidente (una piedra que se desliza o una sombra que pasa) su caballo se encabrita y le ofrece la ocasión de revocar su decisión. Este cambio sobreviene en el peor momento y hace que su hermano Kolskegg lo abandone; tal vez ésa fuera la única manera de que pudiera deshacerse de ese aliado . indefectible. A partir de ese momento los acontecimientos se precipitan. En el verano siguiente declaran a Gunnar proscrito en el althing y a partir del otoño sus enemigos organizan una expedición que finalmente da cuenta de él. http://www.esnips.com/web/Scientia

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y todo esto porque, por azar, se volvió, porque su mirada se posó en la casa donde había vivido como si la viera por primera vez levantarse en la colina, rodeada de campos luminosos y olorosos. ¿Por qué se encabritó el caballo? ¿Dependen realmente de circunstancias tan insignificantes decisiones tan graves? Si el casco del caballo se hubiera posado diez centímetros más lejos o si los jinetes hubieran pasado diez minutos después, esa caída no se habría producido o no habría sido Gunnar quien cayera. El y su hermano habrían cumplido los tres años de exilio, habrían regresado al país cubiertos de gloria y honor y sus enemigos habrían quedado definitivamente reducidos al silencio. El asedio de Hlidarendi, donde pereció Gunnar, y el incendio de Bergthorshvall, que consumió a Njál y a sus hijos, no se habrían producido y hoy no leeríamos la saga de Njlll el Quemado. Gunnar se despide de su madre, de su mujer, de sus hijos, de sus amigos. Cabalga hacia la costa junto con su hermano; en algunos instantes más se encontrarán en el mar y al cabo de unas pocas horas Islandia se habrá borrado de su horizonte. El alma de Gunnar ya se adelanta hacia las Orcadas o Noruega. ¿Qué destino le espera allá? Un azar, una mirada, y Gunnar cambia de decisión y de destino. Su decisión es indefendible y él lo sabe, pero es irrevocable y Gunnar se atiene a ella. Sus amigos han hecho lo posible para disuadirlo; en adelante a él no le queda más remedio que rechazar la ayuda de sus amigos por el temor de arrastrarlos en su caída. Y todo eso porque la campiña al alborear es hermosa alrededor de Hlidárendi.

La teoría de la decisión quiere que cada cual contemple el conjunto de todos los acontecimientos posibles y les asigne probabilidades que traduzcan su mayor o menor plausibilidad. Una probabilidad cero significa que el suceso en cuestión se considera imposible de producirse y que, por lo tanto, puede hacerse abstracción de él. En cambio, un suceso de probabilidad uno se considera de segura realización, es decir, se tiene la seguridad de que el hecho ocurrirá. Las probabílí148

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dades intermedias, entre O y 1, indican numéricamente los diversos grados de certeza, así como las graduaciones del termómetro entre Oy 100 miden la temperatura del agua. Se pueden considerar esas probabilidades de muchas maneras. La más natural es apelar a expertos. Así es como corrientemente se evalúan los riesgos industriales y como se atribuye a sucesos como el "síndrome de China" (la fusión del núcleo de una central nuclear) una probabilidad que por cierto es ínfima, de 10- ' 0 a 1Q-5 según los autores del estudio y sus destinatarios, pero una probabilidad positiva. De manera análoga se expresa numéricamente la probabilidad de sufrir un accidente automovilístico en un determinado momento y en un determinado itinerario o la probabilidad de que fracase el lanzamiento de una nave espacial. La idea subyacente en estas evaluaciones es la de que un acontecimiento importante como un accidente siempre es el resultado evidentemente catastrófico de un concurso de circunstancias menores, de una urdimbre de pequeñas coincidencias de las cuales ninguna de ellas individualmente tendria importancia, pero cuya malhadada acumulación desencadena fenómenos de otra escala. Hace algunos años, la central nuclear de Three Miles Island tuvo un accidente grave porque una compuerta no había quedado bien cerrada, siendo que la lámpara testigo del tablero de mando la indícaba como cerrada. De manera que los operadores trabajaron varias horas con una imagen falsa de la situación y las medidas que tomaron la agravaron considerablemente. Tratábase de un proceso que por poco que interviniera la mala suerte aun más, por ejemplo que se abriera otra compuerta o que se rompiera algún conducto, podria culminar en un accidente aun más grave y llegar hasta el célebre síndrome chino. Ahora bien, la probabilidad de que una compuerta no se cierre puede ser evaluada razonablemente por un ingeniero, lo mismo que la probabilidad de que una lámpara testigo no se encienda, de suerte que es posible calcular la probabilidad global de semejante proceso. Confeccionando el catálogo exhaustivo de todos los procesos que pueden determinar el síndrome de China y evaluando la probabilidad de cada uno de ellos, se puede fijar una probabilidad al propio síndrome http://www.esnips.com/web/Scientia

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de China. Esa probabilidad se convierte entonces en un instrumento de gestión, en el sentido de que permite expresar numérica y objetivamente el riesgo. 'Ibdo mejoramiento tecnológico que disminuya esa probabilidad disminuye el riesgo. Pero ese mejoramiento no es necesariamente beneficioso, porque puede aumentar otros riesgos, corno el riesgo de contaminación de la atmósfera, que serán expresados numéricamente de manera análoga. Puede uno asombrarse de ver atribuir así probabilidades a hechos que nunca se produjeron y que deseamos que no se produzcan jamás. Se supone que los sucesos en cuestión se descomponen en microelementos independientes, cuya realización simultánea es necesaria así corno abrir ciertas puertas necesita la presencia de tres personas provista cada una de una llave diferente. Si esas personas pasan a través de la puerta un día cada diez días y si las fechas en que pasaron son independientes, la probabilidad de que se pueda abrir la puerta un día dado es 1110 x 1110 x 1/10 = 1/1000, es decir que se la podrá abrir una vez cada tres años. Si la puerta encierra a los cuatro jinetes del Apocalipsis, se podrá considerar que es demasiado grande el riesgo de verlos devastar la Tierra cada tres años. Entonces se hará que la puerta tenga ocho cerraduras en lugar de tres. El mismo cálculo indica una probabilidad de abrir la puerta una vez cada 3000 siglos. Corno la historia humana no se remonta a más allá de cincuenta o sesenta siglos, se puede estimar que el fin del mundo se ha desplazado a una fecha razonable. Pero, en definitiva, la teoría de las decisiones no requiere en modo alguno que se tengan bases objetivas respecto de las probabilidades sobre el futuro. Puedo estar perfectamente convencido de que el fin del mundo se producirá mañana por la mañana. Atribuiré a ese suceso la probabilidad 1 y obraré en consecuencia. Esta es una probabilidad subjetiva; no vale ni por la fuerza de las razones que aduzco ni por el número de personas que la comparten, sino que vale por mi convicción íntima. Si mañana no ocurre nada, me veré obligado a revisar esta probabilidad, pero mientras tanto ella determinará mi conducta. Y lo cierto es que en todos los cambios de era o de siglo vernos surgir a milenaristas que predi150

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cen el inminente fin del mundo, mientras sus adeptos abandonan sus bienes terrestres y se preparan para el retorno del Señor. No porque una convicción sea irracional tiene menos fuerza y no porque una probabilidad sea subjetiva deja de determinar la decisión. Así puedo evaluar la probabilidad de sucesos sobre los cuales sólo dispongo de informaciones muy imperfectas. ¿Quién no ha oído esas conversaciones de café en las que se desenmascara a los culpables de crímenes no castigados y en las que le comunican a uno la enfermedad secreta y la próxima muerte de hombres políticos eminentes? Sin duda los que propalan esos rumores les asignan algún crédito, y en ese caso dichos rumores deben repercutir en las predicciones y decisiones de quienes los difunden. Hasta puedo atribuir una probabilidad a hechos sobre los cuales no dispongo de ninguna información. Si he de apostar sobre un partido de pelota vasca y si mi única información es el nombre de los jugadores, echaré una moneda a cara o cruz, es decir que atribuiré a cada uno una probabilidad igual de ganar. Si se trata de una final de tenis, tengo la posibilidad de que los nombres me digan algo, y en ese caso saldré del equilibrio 50% - 50% que no hace sino traducir mi falta de información. Puedo ir un poco más lejos y preguntarme qué confianza tengo en mis probabilidades subjetivas, es decir, evaluar la fuerza de mis convicciones. Si estoy seguro de mí mismo, si por ejemplo los jugadores están lejos uno del otro en la clasificación ATP, responderé que mi evaluación es probablemente exacta y hasta podré negar a expresar numéricamente esta probabilidad. Así se producen respuestas complejas de este tipo: "Pienso que X tiene un 90% de posibilidades de imponerse a Y, y, teniendo en cuenta elementos de que dispongo, estoy seguro en un 60% de lo que manifiesto". Es claro que aquí el lenguaje probabilista traduce dos situaciones diferentes y que su precisión se adapta mejor al tenis que a la pelota vasca. Cuando digo que X tiene un 90% de probabilidades de vencer a Y me refiero a un modelo matemático en el que las suertes de que depende el resultado del partido han sido identificadas y pesadas, de manera que la cifra 0,9 aparece como el resultado de un cálculo, tal vez suhttp://www.esnips.com/web/Scientia

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mario pero siempre necesario. En una situación ideal en la que yo conociera íntimamente a X y a Y y en la que dispusiera de todos los elementos de apreciación, llegaría ciertamente a una evaluación bastante exacta de las posibilidades de cada jugador. En el otro extremo, si no conozco ni a X ni a Y y si ni siquiera he oído hablar de ellos, no poseo ninguna información que me permita decidir en un sentido o en el otro. Esto es lo que llamaré (siguiendo a numerosos psicólogos que han trabajado sobre el tema) una situación de "desconocimiento" o de "ignorancia", en tanto que la situación anterior, en la cual uno dispone de un modelo probabilista exacto, se calificará como "aleatoria" en recuerdo del juego de dados que en latín se dice alea. En la práctica, lo más frecuente es que nos encontremos en situaciones intermedias entre estos dos extremos. Entonces hablaremos de situaciones "inciertas". Esto es lo que expresaba quien decía que estaba seguro en un 60% de lo que manifestaba. Se situaba más cerca de lo aleatorio que de la ignorancia, en una escala continua que iba de una esfera a la otra. También se puede realizar la transición entre lo aleatorio y la ignorancia haciendo juegos de sorteo. Por ejemplo, se organizan dos encuentros, el primero entre dos jugadores a quienes conozco perfectamente bien (situación puramente aleatoria; estoy seguro en un 100% de mi modelo) y el otro encuentro entre dos jugadores de los que no sé nada (situación de ignorancia total; no tengo ninguna confianza en mi modelo). Se echará a suertes para decidir cuál tendrá efectivamente lugar. Me encuentro entonces en situación de incertidumbre, y el nivel de ésta depende de las probabilidades elegidas. Si la primera partida entre diez posibilidades de salir tiene seis posibilidades, diré que estoy seguro en un 60% de mi modelo o que mi nivel de confianza es del 60%. De manera que es posible pasar continuamente de lo aleatorio puro a la ignorancia total a través de todos los grados de la incertidumbre y es posible expresar numéricamente esos grados mediante probabilidades. La toma de decisión en un futuro incierto puede, pues -en principio por lo menosser enteramente reducida al cálculo de probabilidades. El ejemplo caricaturesco es la apuesta pascaliana a la existen152

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cia de Dios, al menos como la han entendido los autores de manuales. La probabilidad de que Dios exista es por cierto débil (tal vez 10-10 ) , pero las ventajas que obtendríamos de la existencia de Dios son tan grandes (una eternidad de felicidad, o sea, tal vez un 101000 en unidades que hay que precisar), que la ganancia (10- 10 x 101000 = 10100 , una cifra más que respetable) debe incitamos a obrar como si Dios existiera. El otro término de la apuesta, afectado por una probabilidad mucho mayor (1 - 1010 ; digamos 1 para no contar los decimales) pero de un beneficio mucho más débil (en el mejor de los casos, 100 años de felicidad, o sea 102 en las mismas unidades que antes) conduce a una esperanza de ganancia de 1 x 102 = 102 , cifra muy inferíor a la prímera. Rindamos justicia a Pascal y hagamos notar que probablemente esta interpretación no fuera la suya.! Desafortunadamente las cosas no son tan simples, porque el ser humano manifiesta por lo común aversión a! riesgo. En la situación que acabamos de describir, la ganancia potencial es ciertamente inmensa, pero la probabilidad de alcanzarla es tan débil que la apuesta se manifiesta en definitiva poco interesante, especialmente teniendo en cuenta la importancia de la inversión inicia! (probablemente toda una vida de renunciamiento y de ascetismo). Podrá uno muy bien estar dispuesto a apostar un franco en la proporción de ciento a uno. Pero se vacilará más en apostar 1000000 de francos en las mismas condiciones. Este género de aversión al riesgo es bien conocido por economistas y financistas y la sabiduría popular ha creado un proverbio: más vale pájaro en mano que cien volando. Por eso una inversión considerada arriesgada, una obligación de pacotilla o las acciones de una compañía endeble deben ofrecer un rendimiento más elevado que el rendimiento de las inversiones consideradas seguras o simplemente menos arriesgadas, porque de otra manera esas compañías no podrían coexistir en los mismos mercados fi-

1 Pascal, Pensées, compilación de Jacques Chevalier; en Oeuvres completes, París, Gallimard, colección "La Pléiade", especialmente el Diecurso de Filleau de la Chaise (págs. 1474-1501).

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nancieros. Del rendimiento calculado se sustrae una "prima de riesgo" que es tanto mayor cuando el riesgo en cuestión se considera más elevado. Pero a esta aversión por el riesgo se agrega una aversión por la incertidumbre, que es de otra naturaleza y mucho más dificil de expresar en cifras. Si se enfrentan dos jugadores iguales a los que conozco como tales, atribuiré a cada uno un 50% de posibilidades de ganar. En el caso de un partido entre dos desconocidos también llegaré a la conclusión de la igualdad de posibilidades, pero me encontraré en una situación mucho más incómoda. En realidad, como lo muestra una experiencia de psicología célebre debida a Ellsberg.s la aplicación del formalismo probabilista a situaciones de incertidumbre conduce a paradojas. La experiencia de Ellsberg es la siguiente. Se presentan a los sujetos dos urnas, cada una de las cuales contiene 100 bolillas, y se les anuncia que la primera urna contiene exactamente 50 bolillas rojas y 50 bolillas negras; en cuanto a la segunda urna, se dice simplemente que contiene sólo bolillas negras y/o bolillas rojas, sin precisar en qué proporción. Se realizan pues las apuestas por la primera urna. Los sujetos eligen un color y luego se extrae una bolilla. Los que adivinaron ganan $100, los demás no ganan nada. La experiencia demuestra que la mayor parte de las personas apuestan indiferentemente al rojo o al negro, es decir, que sus probabilidades subjetivas son 0,5 y 0,5. Luego se realizan las apuestas sobre la segunda urna. Las condiciones de apuesta son las mismas, pero esta vez los sujetos no tienen ninguna información sobre el contenido de la urna, salvo el hecho de que la bolilla que salga será negra o roja. Trátase pues de una situación de ignorancia respecto de la primera que era una situación aleatoria. De conformi-

2 D. Ellsberg, "Risk, ambiguity and the Savage axioms', Quarterly Journal ofEconomics 75, 1961, págs. 643-669; y Reply, 77, 1963, págs. 336342. Véase también H. Einhor y R. Hogarth, "Decision making under ambiguity"; en Rational Choice, Hogarth and Reder (comps.), University of Chicago Press, 1986, págs. 41-66.

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dad con la teoría, la mayoría de las personas apuestan indiferentemente al rojo o al negro, es decir, que también les atribuyen probabilidades subjetivas de 0,5 y 0,5. Y aquí llega por fin la paradoja. Se hace una tercera sesión de apuestas. Se ganan $100 en el caso de salir una bolilla roja, no se gana nada si sale una bolilla negra, pero el sujeto tiene derecho a elegir la urna de donde se saque la bolilla. Como las probabilidades subjetivas son las mismas para las dos urnas y como los sujetos estiman, por lo tanto, que en un caso como en el otro tienen de dos posibilidades una de ganar, la teoría exigiría que los sujetos eligieran indiferentemente una u otra urna. Pues bien, no ocurre nada de eso: la mayoría expresa una pronunciada preferencia por la primera urna (aquella en que son conocidas las proporciones de las bolillas). Esta preferencia es aun más marcada si se trata de perder $ 100 en lugar de ganarlos, pero en este caso se encuentran menos voluntarios. Ocurre, pues, como si la ignorancia fuera un factor de riesgo adicional que las probabilidades subjetivas por sí solas no llegan a tener en cuenta.

De todo este análisis se desprenden dos cuestiones. ¿Qué es el riesgo? ¿Cómo dominarlo? Nosotros distinguimos un riesgo aleatorio, que procede naturalmente de los métodos habituales del cálculo de probabilidades, y un riesgo de ignorancia, debido a una falta de información sobre lo que pueda ocurrir. Esta distinción no resistirá a un análisis fino (¿acaso el azar no es sino la expresión de nuestra ignorancia?), pero tiene una gran importancia práctica. La experiencia muestra que el ser humano está más dispuesto a aceptar el riesgo aleatorio que el riesgo de ignorancia, aun cuando en la mayor parte de las situaciones concretas ambos riesgos se presenten juntos. La sabiduría popular nos enseña que "más vale lo malo conocido que lo bueno por conocer", y el poeta nos lo díce asimismo por boca del príncipe de Dinamarca:

"Porque, ¿quién aguantaría los ultrajes y desdenes del mundo, las injurias del opresor, las afrentas del http://www.esnips.com/web/Scientia

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soberbio, las congojas del amor desairado, las tardanzas de la justicia, las insolencias del poder y las vejaciones que el paciente mérito recibe del hombre indigno, cuando uno mismo podría procurar su reposo con un simple estilete? ¿Quién querría llevar tan duras cargas, gemir y dudar bajo el peso de una vida afanosa si no fuera por el temor de un algo después de la muerte -esa ignorada regi6n cuyos confines no vuelve a traspasar viajero alguno--, temor que confunde nuestra voluntad y nos impulsa a soportar aquellos males que nos afligen antes que lanzarnos a otros que desconocemos?"3 Y, en realidad, si los individuos y los pueblos afrontan diariamente riesgos importantes con tal de que la experiencia les haya fijado límites, siente uno a los individuos mucho más desarmados desde el momento en que se trata de afrontar lo desconocido. La vida humana está hecha de riesgos aceptados. El hombre primitivo que vive de la recolección de los frutos de la tierra o de la caza no sabe si mañana encontrará algo para comer. El campesino que siembra hoy no sabe si, dentro de seis meses o un año, la cosecha le compensará sus trabajos. El comerciante que repone sus existencias no sabe si las venderá. Cada uno de estos riesgos se sitúa en un modelo experimentado, transmitido de generación en generación, modelo que asigna límites a lo posible y determina algunas probabilidades. El campesino conoce por experiencia o de oídas las diversas calamidades que pueden atacar su cosecha, las heladas y las sequías, las inundaciones y los incendios, los saltamontes y las enfermedades de las plantas. Y hasta puede imaginar cosas peores, como las diez plagas de Egipto, por más que éstas no se hayan reproducido según el recuerdo de los hombres. Pero ese campesino sabe que el cielo no le caerá sobre la cabeza. Sabe también que todas esas calamidades tienen pocas probabilidades de realizarse y que incluso se las puede reducir tomando ciertas precauciones y

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Shakespeare, Hamlet, Acto IlI, escena 1.

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practicando ciertos ritos, como lo atestigua el simple hecho de que él esté ahora cultivando la misma tierra después de tantas generaciones. Esto quiere decir que hay una posibilidad razonable de supervivencia, como la tuvieron sus antepasados antes que él, de manera que si este año se anuncia malo, el año siguiente sin duda habrá de ser mejor. Represéntese ahora el lector la irrupción de los conquistadores en el imperio incaico. La sociedad india estaba acostumbrada a correr cierto número de riesgos; era una sociedad campesina y los riesgos agrícolas le eran familiares; era también un imperio que se había establecido mediante la conquista, de manera que los riesgos militares no le eran desconocidos. Parece que esa sociedad no supo enfrentar el nuevo riesgo representado por esos seres barbudos y acorazados que montaban en animales desconocidos y manejaban extrañas lanzas de truenos; su manera de combatir desafiaba las leyes corrientes de la humanidad. Las razones de ese derrumbe desaparecieron con Atahualpa y millones de sus súbditos, pero parece plausible que esas razones tengan que ver con una incapacidad psicológica de correr ciertos riesgos. Mejor es someterse que combatir a un adversario cuya potencia se desconoce. En general, no pensamos que un campesino o un comerciante, que sin embargo corren diariamente ciertos tipos de riesgos, tengan necesidad de ser valientes. En cambio, el personaje del explorador es el arquetipo del coraje. ¿Por qué? Porque el explorador penetra en esa terra incognita, en esa parte de los mapas geográficos que queda en blanco y cuya vista suscita en nosotros tal malestar que los cartógrafos prefieren adornarla con viñetas o ceñirla con una inscripción: Hic sunt leones. Una información de este género, por fantasiosa que sea y por más que se la reconozca como tal, es más tranquilizadora que la falta de toda información. Y sin embargo esa zona que queda en blanco en el mapa es tal vez El Dorado, donde el menor río arrastra pepitas de oro, o es el país mítico que el Eterno prometió a su pueblo y donde manan la leche y la miel. El explorador se encamina tal vez hacia la fortuna; ¿por qué imaginar siempre lo peor si no es porque tememos lo desconocido? http://www.esnips.com/web/Sdentia

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Vemos, pues, dibujarse dos zonas de riesgo: el dominio de lo aleatorio, en el que impera el cálculo de las probabilidades, y el dominio de lo desconocido, donde la única regla es la prudencia. Sin duda esto bastaria para dar una imagen coherente de las decisiones humanas, si la frontera entre estos dominios no fuera imprecisa y el cálculo de probabilidades no se hubiera impuesto poco a poco como un instrumento universal. Por ejemplo, en la evaluación de los riesgos relacionados con las centrales nucleares, la comunidad política y téc-nica, apoyándose en modelos probabilistas, se opone a la opinión pública, que tiende a ser mucho más prudente. ¿Se trata simplemente de falta de información o falta de competencia por parte del público? ¿O es que el público duda de la validez de los modelos probabilistas? La importancia de este problemajustifica ciertamente que le dediquemos algunas páginas. La primera observación que debemos hacer es que, con demasiada frecuencia, cuando se hacen públicas las estimaciones oficiales de las probabilidades de accidentes, esas estimaciones están en abierta contradicción con las frecuencias observadas. El ejemplo más célebre es el de la NASA, que en 1985 estimaba la probabilidad de un accidente en la proporción de 1 a 100 000,' siendo que estudios anteriores habían llevado a la conclusión de una probabilidad del orden de 1 a 100 y que el cohete portador estalló en el vigesimoquinto lanzamiento. No conozco las evaluaciones oficiales (si es que se han publicado), pero dudo de que la probabilidad de un accidente en Three Miles Island o en Chernobyl haya sido estimada en su valor real. Y por fin, recordemos que el Titanic no podía irse a pique; la probabilidad de que se hundiera ni siquiera era ínfima, era nula. Uno puede siempre sospechar de políticos ambiciosos o de ingenieros fanáticos que falsean las cifras para imponer sus proyectos; pero, aun en circunstancias en las que no existen intereses materiales, las probabilidades de fracaso calculadas por personas competentes y de buena fe pueden reve-

• Space Shuttle Data for Planetary Misoion RTG Safety Analyolo, NASA, Marshall Space Flight Center, AL, 15 de febrero de 1985.

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larse sistemáticamente subvaluadas. Un artículo recienteé examina veintisiete mediciones de la velocidad de la luz publicadas entre 1875 y 1958. Cada una de ellas iba acompañada, como de costumbre, por una estimación del error propuesta por el propio experimentador: el artículo da un tipo de desviación que permite, en el caso de toda cantidad e, calcular la probabilidad de que el valor medido se aparte del valor exacto en más de e. Si se hace el cálculo tomando para e la diferencia entre el valor medido y el valor de 1984, considerado tan exacto que sirve hoy de patrón de longitud, encontramos en cada caso probabilidades inferiores al 0,5%. En otras palabras, si aceptamos las evaluaciones de los sucesivos experimentadores, hay que convenir en que los hechos se coaligaron realmente contra ellos para falsear sus resultados: se habría repetido veintisiete veces seguidas un hecho que sobre mil posibilidades de producirse tenía menos de cinco. La segunda observación es que lo imprevisto existe y que el error muy frecuentemente es humano. En Brasil y en 1987, en la ciudad de Goiana, dos vendedores de hierro viejo descubrieron en una clínica abandonada una cápsula que contenia alrededor de 100 gramos de un polvo fosforecente. Se trataba de cesio 137, radiactivo, que se encontraba así liberado en medio de la población de manera totalmente imprevista. Cuando por fin se puso freno a la diseminación, en diciembre de 1987, había 121 casos de contaminación consignados; cuatro de ellos resultaron mortales, y más de 100000 habitantes se habían presentado a exámenes de control de la radiactividad. El temor de la contaminación registrado en los mercados exteriores había hecho caer a la mitad de su valor la producción agrícola del estado de Goiás, y la producción industrial había sufrido igualmente. En suma, costos humanos y económicos considerables por un riesgo que nadie tenía conciencia de haber corrido. Y bien se pueden imaginar, partiendo del descubrimiento inicial, hechos aun más catastróficos. ¿Qué habría ocurrido, por ejemplo, si el cesio 137 hubie-

5 M. Henrion y B. Fischhoff, en American Journal ofPhysics, 54, 1986, pág. 791.

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ra caído en manos de extorsionadores y si Brasil hubiera tenido que afrontar la amenaza de una contaminación organizada? La experiencia demuestra que en materia nuclear el riesgo escapa en gran parte a la medición. En Three Miles Island como en Chernobyl, fueron hechos imprevistos los que condujeron al accidente, con la cooperación involuntaria de los operadores de la central. Se puede hablar de error humano, pero esto significa transferir directamente la responsabilidad de quienes concibieron la central hacia sus operadores. La falla humana debería integrarse en los mecanismos de seguridad y en los cálculos de confiabilidad, lo mismo que las fallas técnicas. Desde este punto de vista, un accidente debido a un error de los operadores es mucho más grave que un accidente debido a una falla técnica, pues si el error o la negligencia pueden hacer tanto daño, ¿qué no podría hacer la mala voluntad? Se podría pensar en eliminar estos riesgos concibiendo centrales enteramente automáticas, pero el riesgo humano no se limita a los operadores ni mucho menos. Después de todo, los ingenieros pueden engañarse, los expertos pueden mentir, los vigilantes pueden dormirse. Quienes toman las decisiones -y el público también- deben tomar en consideración todos estos riesgos y corresponde que los técnicos los aprecien. Hay que comprender que un solo riesgo descuidado o pasado por alto puede invalidar todos los cálculos de confiabilidad realizados sobre los riesgos restantes. Además, los factores que agravan un riesgo predominan ampliamente sobre los factores que tengan tendencia a disminuirlo. Imaginemos, por ejemplo, una central en la que la probabilidad de accidente fuera estimada en 1/1000000, una proporción de uno a un millón. Imaginemos que se hayan olvidado dos factores de riesgo, uno que multiplique el riesgo por 1000 y otro que lo disminuya en las mismas proporciones. De manera que durante un 10% del tiempo la central funciona en realidad con una probabilidad de accidente de 111000, durante otro 10% del tiempo con una probabilidad de accidente de 111000000000 y durante el 80% restante del tiempo con la probabilidad estimada antes, esto es, 111000000. Un cálculo 160

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simple muestra entonces que la probabilidad real de accidente es del orden de 1/10000 (una proporción de uno a diez mil). Esta probabilidad es más o menos insensible a todo lo que se pueda hacer para disminuir los riesgos conocidos. Si por ejemplo un trabajo estricto y asiduo sobre las normas de seguridad reduce la probabilidad de accidente durante el 90% del tiempo en el que el riesgo pasado por alto no opera, a 1/1000000000 (una proporción de uno a mil millones en lugar de uno a un millón), la probabilidad real de accidente será más o menos de 1/10000. A estas consideraciones poco alentadoras hay que agregar otra. Lo cierto es que en la historia de la humanidad nunca se han tomado decisiones que comprometan el futuro por tan largo tiempo. La industria nuclear produce desechos que continuarán siendo extremadamente peligrosos durante diez mil años por lo menos. Los desechos que no se han perdido (pues eso también ocurre) o que no vuelven a ser tratados se depositan en sitios especiales, minas abandonadas o cavernas graníticas, donde en principio permanecen en constante vigilancia. Pero diez mil años representan dos veces la edad de la escritura, dos veces la duración de la historia humana. Imaginemos que remotos antepasados en la noche de los tiempos, mucho antes de las primeras dinastías egipcias o chinas, mucho antes del nacimiento de las actuales religiones, nos hayan legado sepulcros que no hay que abrir y a los que ni siquiera debe uno acercarse. ¿Habrá permanecido fiel la guardia durante esta larga sucesión de imperios, de guerras y de calamidades? ¿Se habrá transmitido la orden? ¿Se habrá perpetuado el recuerdo? ¿O algún conquistador los habrá hecho abrir ante él para desafiar la leyenda? Sin duda podemos acariciar la esperanza de que los desechos nucleares no permanezcan depositados diez mil años, la esperanza de que mucho antes las generaciones futuras hayan encontrado una manera de curar el cáncer, una vacuna contra el SIDA, el secreto de la juventud eterna y el medio de desembarazarnos de nuestras inmundicias. Esas generaciones tratarán esos desechos en establecimientos no contaminantes o los enviarán al espacio exterior a bordo de cohetes que no exploten en vuelo. Esos mismos aparatos sehttp://www.esnips.com/web/Scientia

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rán sin duda muy cómodos para reconstituir la capa de ozono y esperaremos con curiosidad para ver cómo nuestros descendientes se las compondrán para disminuir el contenido de gas carbónico de la atmósfera. La verdad es que la civilización industrial avanza sin medir los riesgos que corre y sin concebirlos de manera global. Ciertamente se podría prohibir la energía nuclear, pero quemar combustibles fósiles tampoco es bueno y hasta las represas de aprovechamiento hidroeléctrico tienen sus inconvenientes. Lo que aquí se plantea es el problema de las fuentes de energía del planeta junto con tantos otros problemas que no llaman suficientemente la atención. ¿Dónde y cuándo se detendrá la epidemia de SIDA? Ya en ciertos países africanos la tercera parte de la población está infectada. ¿Hemos pensado en todas las consecuencias de esto? Hace más de cuarenta años poblaciones enteras fueron expulsadas de sus tierras y viven en campos de refugiados. Permitiendo que se perpetúe este género de situación, generación tras generación, creamos deliberadamente riesgos históricos mayores. ¿Quién los ha medido? ¿Quién los tiene en cuenta? Andamos como anestesiados entre los riesgos que nosotros mismos creamos. De vez en cuando un accidente nos sacude y nos saca de nuestro sopor, y entonces echamos una mirada al precipicio. Un accidente en Chernobyl y ya no bebemos más leche; un actor muere de SIDA y los policías comienzan a usar guantes; se produce una revolución popular y nos vamos a pasar las vacaciones a otro lugar. Como Gunnar de Hlídárendi, que cobró conciencia de sí mismo por una caída de caballo. Pero su gesto tenía otra grandeza. El estar expuesto a correr riesgos no es siempre el resultado de un cálculo. En materia económica, como ya lo hacía notar Keynes:" "Si la naturaleza humana no sintiera el gusto por el riesgo, si no experimentara más que una satisfacción pecuniaria al construir una fábrica o un ferrocarril, al explotar una mina o un establecimiento agrtcola, las inversiones

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A General Theory ofEmployment, Interest and Money, capítulo 12, m.

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justificadas s610 por un cálculo de rentabilidad no habrían tenido sin duda semejante extensi6n". Un poco antes Keynes había declarado que "cuando las empresas estaban en su mayor parte en manos de quienes las habían creado o de sus amigos y socios, la inuersion dependía de una suficiente abundancia de individuos de temperamento sanguíneo y de espíritu constructivo que se lanzaban a los negocios para ocupar sus existencias sin apoyarse realmente en un cálculo preciso de las utilidades con que se contaba". ¿Por qué los atenienses, en Maratón y luego en Salamina, corrieron el riesgo de enfrentar solos a un enemigo numerosísimo ante el cual tantas ciudades griegas habían capitulado, en tanto que los lacedemonios se atrincheraban en el Peloponeso? Escuchemos con qué orgullo, medio siglo después de los acontecimientos, los embajadores atenienses hablan a los lacedemonios en Esparta: "Nosotros declaramos que, solos, en Marat6n afrontamos al bárbaro y que cuando éste regreso, no viendo c6mo podíamos defendernos en la tierra, nos hemos embarcado en nuestras naves con todo nuestro pueblo y hemos librado la batalla de Salamina junto a nuestros aliadosí.t Por dos veces los atenienses aceptaron correr ese riesgo. Si su empresa hubiera fracasado ya nadie habría oído hablar nunca más de los atenienses. Pero la empresa triunfó y todavía se habla de ella veinticinco siglos después. Esquilo, el autor de tantas obras maestras, no quiere otro título de gloria sobre su tumba que el hecho de haber combatido en Maratón: "En la fértil Gela, esta tumba encierra a Esquilo, hijo de Euforián, ateniense. Ahora está muerto. Pero el lugar glorioso de Marat6n puede atestiguar su valor y el medo de largos cabellos hubo de experimentarlo". Se trata de casos en los que la conducta parece dictada, no por cálculos de utilidad, sino por imperativos morales que, una vez aceptados, no dejan lugar a ninguna otra opción. En el caso del soldado que libra un combate desesperado, ese imperativo será el sentimiento del honor o la solidaridad con 7

Tucídides, libro

1, capítulo

73.

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sus compañeros de armas. Para el capitalista, animado por la ética protestante, será el sentimiento de que el dinero debe fructificar, como en la parábola de los talentos. A partir del momento en que la conciencia se limita a una regla de decisión, sin considerar las alternativas, desaparece el concepto mismo de riesgo para dejar lugar al de destino. Cuando Gunnar cae del caballo y decide permanecer en su tierra, no pesa el pro ni el contra; lo que se le impone es su destino. Ya no recorrerá los mares, desterrado a causa de las intrigas de sus enemigos, aunque deba regresar dentro de tres años. En adelante su principal preocupación será la de no arrastrar a sus amigos en su caída, y morirá en su tierra con las armas en la mano. 'Iodo problema de decisión tiene una dimensión moral y cuanto más grave es la decisión más importante es esa dimensión. Como decía Albert Camus: "No hay azar en elegir lo que a uno lo deshonra".

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6

La estadística

"Entonces Faraón dijo a José: 'en mi sueño me parecía que estaba a la orilla del rio; y que del rio subtan. siete vacas de gruesas carnes y hermosa apariencia, que pacían en el prado. Y que otras siete vacas subtati después de ellas, flacas y de muy feo aspecto; tan extenuadas, que no he visto otras semejantes en toda la tierra de Egipto. Y las vacas flacas y feas devoraban a las siete primeras vacas gordas; y éstas entraban en sus entrañas, mas no se conocía que hubiesen entrado, porque la apariencia de las flacas era aún mala, como al principio. Y desperté. Vi también soñando que siete espigas crectan en una misma caña, llenas y hermosas. Y que otras siete espigas menudas, marchitas, abatidas por el viento solano, creetan después de ellas; y las espigas menudas devoraban a las siete espigas hermosas; y lo he dicho a los magos, mas no hay quién me lo interprete'. Entonces respondió José a Faraón: 'El sueño de Faraón es uno mismo; Dios ha mostrado a Faraón lo que va a hacer. Las siete vacas hermosas siete años son; y las espigas hermosas son siete años: el sueño es uno mismo. También las siete vacas flacas y feas que subian tras ellas son siete años; y las siete espigas, menudas y marchitas por el viento solano, siete años serán de hambre. Esto es lo que respondo a Faraón. Lo que Dios va a hacer, lo ha mostrado a Faraón. He aqut que vienen siete años de gran abundancia en toda la tierra de Egipto. Y tras ellos seguirán siete años de hambre; y toda la abundancia será olvidada en toda la tierra de Egipto, y el hambre consumirá la tierra. Y aquella abundancia no se echará a ver, a causa del hambre siguiente, que será grauisihttp://www.esnips.com/web/Scientia

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ma. Yel suceder el sueño a Fara6n dos veces significa que la cosa es firme por parte de Dios, y que Dios se apresura a hacerla. Por tanto, provéase ahora Fara6n de un var6n prudente y sabio, y p6ngalo sobre la tierra de Egipto. Haga esto Fara6n, y ponga gobernadores sobre el país, y quinte la tierra de Egipto en los siete años de la abundancia. Y junten toda la provisi6n de estos buenos años que vienen, y recojan el trigo bajo la mano de Fara6n para mantenimiento de las ciudades; y guárdenlo. Y esté aquella provisi6n en dep6sito para el país, para los siete años de hambre que habrá en la tierra de Egipto; y el país no padecerá de hambre',"! La tierra escandinava era dura con sus hijos, que bien pronto aprendieron a lanzarse al mar, más rico en recursos y promesas. La pesca y la piratería, las expediciones de conquista o de descubrimiento, ése era el universo de los vikingos. El jefe es aquel que lleva a sus hombres a la victoria. El poderío del reyes ante todo militar, el tributo y el saqueo son las fuentes de su riqueza. La mala estación es aquella en que resulta imposible la navegación. Desde las ricas tierras de Egipto y tal vez desde la Mesopotamia (dos milenios antes de que los hombres del Norte entren en la historia) nos llegan los mitos fundadores de la agricultura y los métodos de gestión que aún hoy aplican nuestros gobiernos. Verdad es que la Escandinavia conoció períodos de hambre. Snorri Sturlasson cuenta cómo Domalde, uno de los reyes míticos, uno de los primeros descendientes de Odín, fue sacrificado después de tres malas cosechas consecutivas:

"Domalde sucedi6 en el trono a su padre Visbur y rein6 en el país. Fue aquel un período de hambre y miseria. Los suecos organizaron entonces grandes sacrificios en Upsala. El primer otoño sacrificaron toros, pero la cosecha no mejoro por eso; en el otoño siguiente sacrificaron hombres y la cose-

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Génesis

XL1,

17-36.

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cha permaneció en el mismo nivel o peor aún. En el tercer otoño los suecos acudieron masivamente a Upsala para celebrar los sacrificios; los jefes se reunieron en un consejo y convinieron en que aquellos malos años se debían a Domalde, el rey, y en que debían apoderarse de él y sacrificarlo para obtener mejores cosechas; convinieron en prenderlo, en darle muerte y en untar con su sangre las piedras de sacrificio. Y así lo hieieron.": La responsabilidad del reyes aquí de orden mágico y ceremonial. Nos encontramos en ese período sombrío en el que el recuerdo de Odín está todavía vivo y en el que poco a poco la historia se va desprendiendo del mito. Una cosecha es el resultado visible de un juego complejo entre la sociedad humana y las potencias sobrenaturales que controlan la fertilidad del suelo, juego en el que el rey desempeña un importante papel. Tal vez Domalde haya sido víctima del seid, puesto que su suegra le había lanzado una maldición. Tal vez haya tenido que pagar el hecho de haber utilizado el seid contra su propio padre, el rey Visbur, a quien sorprendio y quemó en su residencia. Lo cierto es que aquel sacrificio dio los frutos esperados, puesto que su hijo Domar reinó después de él y Snorri precisa que vivió largamente y que el país gozó de abundancia y tranquilidad durante todos sus largos días. La historia de José nos presenta otro orden de responsabilidad burocrática y temporal. El faraón se interesa por lo que haya de ocurrir dentro de catorce años; quiere prevenir los males que se anuncian y tiene los medios materiales para hacerlo. Establecerá un impuesto especial del 20% en especie sobre los productos agrícolas y almacenará esa porción durante los siete años de abundancia. Un cuerpo de funcionarios especialmente creado y dirigido por un ministro con plenos poderes supervisará las operaciones. Para fijar las ideas, digamos que la cosecha llegará a un 125% más allá del nivel normal durante los siete años de abundancia y que llegará a un 75% del nivel normal durante los siete años flacos. La distribución que

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Heimskringla, Ynglinge-Saga, párrafo 15.

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propone José conduce, pues, a consumir 125 - 25 = 100% del nivel normal durante el primer período, y 75 + 25 = 100% del nivel normal durante los últimos siete años. La operación da buenos resultados y es en efecto un gran éxito, por lo menos para el faraón, que se procuró grano gratuitamente y lo revendió a precio de oro (Génesis XLI, 56-57). Es evidente que una operación de este género exige una burocracia importante que siempre estuvo muy fuera del alcance de los reyes vikingos. Hay que registrar la producción, crear una red de almacenes reales, hacer depositar allí el 20% de la cosecha durante siete años, asegurar su conservación y llevar las cuentas; luego hay que revender las existencias a un ritmo suficiente para resistir siete años, lo cual impone tener una idea relativamente precisa de las necesidades de la población. Además de los habituales soldados, corchetes y agentes del fisco, será asimismo necesario un ejército de contadores y de estadígrafos. El faraón, que crea un cuerpo especializado, no se engaña sobre este particular. Sus escribas practicarán el cálculo económico.yla contabilidad analítica y el control de gestión; por otra parte se valdrán de su competencia técnica para llegar al poder político, a semejanza del propio José, convertido en Saphnat-Panéah y ministro del faraón: [una hermosa carrera! Aun en tiempos normales el gobierno de los dos reinos de Egipto (Bajo y Alto) se imponía manejar los recursos futuros y eso suponía una administración poderosa, capaz de delinear una política de largo plazo, de aclararla mediante predicciones y de imponerla inmediatamente. La economía era esencialmente agrícola y el país vivía según el ritmo de las crecidas del Nilo. De manera que regularmente era necesario evaluar la nueva cosecha, de un extremo al otro del país, estimar si sería suficiente, si había que almacenar una parte o si por el contrario había que echar mano de las reservas, llevar una contabilidad exacta de las entradas y de las salidas y tratar de adivinar cómo sería la próxima cosecha para administrar eficazmente los vaivenes del consumo del momento. José le simplifica al faraón considerablemente el problema, puesto que le predice de manera cierta cómo serán, no la próxima cosecha, sino las catorce siguientes. En función de 170

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ese pronóstico no hay necesidad de ser un gran economista para decidir la política que debe seguirse: economizar durante los siete años abundantes para redistribuir la producción durante los siete años dificil es. Pero el problema concreto, cuando uno no se beneficia con la ayuda directa del Altísimo, está en que no sabe cómo será el mañana. Si la cosecha es buena este año, no se sabe si será buena o mala el año siguiente y, por lo tanto, si hoy conviene almacenar o consumir. y si dos cosechas seguidas son buenas, no por eso estamos en mejor posición: ¿hay que continuar almacenando en previsión de los malos días que tardan en llegar o puede uno entregarse libremente a los goces del consumo? Sin esa premonición, el faraón puede atenerse a algunas recetas probadas. La primera, muy en boga aún hoy, consiste en ampliar el territorio de uno mediante la conquista y la anexión. Al hacerlo se diversifican los riesgos y así se disminuyen. En efecto, las otras tierras agrícolas de la Medialuna Fértil, Palestina, el Líbano, Siria hasta la Mesopotamia no están sometidas a las mismas vicisitudes que Egipto. La suerte de esas regiones depende en definitiva de las lluvias caídas en la doble cadena costera del Líbano y del Antelíbano, y no de las precipitaciones caídas en el remoto macizo etíope que alimenta al Nilo. Más lejos aun, en la Mesopotamia, tenemos un sistema de irrigación alimentado por el Tigrís y el Eufrates, que descienden del macizo de Capadocia. Tres economías sometidas cada una a sus propias vicisitudes, pero independientes las unas de las otras: si no llueve en Etiopía, ello no quiere decir que no llueva en el Líbano. Un imperio que se extendiera desde Egipto hasta la Mesopotamia sólo padecería hambre si no lloviera desde el Africa Central al Asia Menor. Sequías simultáneas en regiones tan alejadas pueden efectivamente producirse, pero con mucha menos frecuencia que las sequías locales. Si, por ejemplo, estima uno que cada siete años no se producirá la crecida del Nilo, que el Tigrís y el Eufrates tendrán poca agua y que esos hechos son independientes, la probabilidad de que se produzcan simultáneamente sólo tiene una relación de uno a cuarenta y nueve, es decir que el faraón puede juzgarse protegido de semejante catástrofe durante su reinado. http://www.esnips.com/web/Sdentia

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La otra receta consiste en atenerse al tiempo bueno o malo. Si efectivamente el año es malo, ello no implica necesariamente que el año próximo lo sea. Ciertamente pueden existir ciclos climáticos o darse manifestaciones de la cólera divina, pero en ausencia de indicios convincentes o probatorios, es razonable pensar que el tiempo que haga el año próximo es independiente del tiempo que hace este año. La consecuencia de esto es simple. Si estimamos, como antes, que los años de sequía tienen una frecuencia de uno a siete, la probabilidad de que se den en dos años consecutivos sólo tiene asignada una proporción de uno a cuarenta y nueve y la probabilidad de que se den siete años consecutivos de sequía está en la proporción de 1 a 823543. Este hecho es tan improbable que su realización seria prueba de una intervención sobrenatural o de un error en el modelo. En el centro de estos razonamientos, así como en todo análisis estadístico, encontramos el concepto de independencia. Esta puede ser espacial, debida a la distancia, o temporal, debida al olvido. Verdad es que desde cierto punto de vista la independencia no existe. La circulación atmosférica depende en última instancia de la irradiación solar y de la rotación de la Tierra. Las perturbaciones que uno observa aquí o allá no son más que consecuencias de las complejas interacciones que se desarrollan en el escenario de todo el sistema global. Las lluvias caídas en Etiopía y en Capadocia tienen causas comunes, pero alejadas unas de las otras. El astronauta lo sabe bien, pues al hallarse en órbita alrededor de la Tierra abarca de una sola mirada todo un hemisferio y admira el ballet de los sistemas nubosos. Pero las figuras son suficientemente variadas, su desarrollo presenta bastantes imprevistos para que la proporción de días de lluvia en Etiopía sea la misma, ya se la refiera a la totalidad del período, ya se la refiera únicamente a los días que llueve en Capadocia. En otras palabras, la comprobación de que llueve en Adis Abeba no modifica (o modifica demasiado ligeramente para que podamos apreciarlo) la probabilidad de que llueva en Ankara, y es ésta la idea que expresamos cuando afirmamos que dichos sucesos son independientes. Asimismo, la comprobación de que hoy llueve en El Cairo no nos informa sobre el tiempo que hará en 172

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el mismo lugar dentro de un año. En principio, la respuesta está contenida en el estado que hoy presenta la atmósfera. Pero dentro de 365 días habrá pasado suficiente tiempo para diluir el recuerdo del aguacero que acaba de caer en medio de otras innumerables influencias, más insignificativas aun, o por el contrario importantes, como el aleteo de una mariposa o un ciclón en el mar de la China. En la escala de un año la meteorología no tiene memoria. El que sabe que hoy ha llovido y el que no lo sabe están en igualdad de condiciones para predecir si lloverá dentro de un año. En estadística se aíslan hechos de los que se postula que son aleatorios, en un sentido matemático muy preciso. Nosotros lo esquematizamos representándonos cada hecho como una gran urna llena de bolillas rojas y de bolillas verdes; cada vez que hay que tomar una decisión, Dios saca una bolilla de la urna. Si la bolilla es verde el hecho se produce, si es roja no se produce. El trabajo del estadígrafo consiste en adivinar la proporción de bolillas rojas y de bolillas verdes. En el caso más simple, las extracciones de bolillas son independientes. Esto significa que si se efectúan varias extracciones sucesivas el resultado de la última no está influido por las anteriores. Una primera manera de garantizar esta independencia es poner de nuevo la bolilla extraída en la urna y sacudir ésta concienzudamente después de cada extracción para homogeneizar la repartición. La frecuencia empírica, es decir, el número de veces que salió la bolilla verde dividido por el número de extracciones, deberá acercarse entonces a la proporción de bolillas verdes que hay en la urna, con una aproximación tanto mayor cuanto mayor sea su número. Otra manera de asegurar la independencia es sacar las bolillas de urnas separadas. La probabilidad de extraer dos bolillas verdes, una de cada urna, se obtiene entonces multiplicando la probabilidad de sacar una bolilla verde de la primera urna por la probabilidad de sacar una bolilla verde de la segunda urna. Por ejemplo, si dos sucesos tienen cada uno una probabilidad 1/2 y son independientes, la probabilidad de que se den juntos es de 1/2 x 1/2 = 1/4. Hay varias maneras de realizar una dependencia (es

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mejor decir una correlación) entre ciertos hechos. Se lo puede lograr sacando bolillas de la misma urna. Para realizarlo, hay que introducir dos nuevos colores, el blanco y el negro. Si llamamos X e Y los sucesos considerados, el código de los colores será el siguiente: verde blanco negro rojo

= = = =

XeYsedan X se da, pero no Y Y se da, pero no X niXniYsedan

y Dios, como antes, sacará una bolilla cuando haya que tomar una decisión. Si los cuatro colores están en proporción igual (25% cada uno), encontramos las probabilidades asignadas antes a los dos hechos independientes de probabilidad 1/2 y la extracción así realizada es estrictamente equivalente a una extracción doble de dos urnas bicolores. Se dirá entonces, con derecho, que X e Y son independientes. En el otro extremo puede uno no colocar en la urna ni bolillas blancas ni negras; en ese caso X e Y están vinculadas de la manera más estrecha puesto que nunca se observa a la una sin la otra; no intentamos separar X e Y tratando de establecer si una es la causa de la otra; simplemente observamos que siempre aparecen juntas. Entre estos dos extremos se extienden todos los grados de la correlación. Examinemos como ejemplo lo que significan proporciones del 30% para el verde, 20% para el blanco, 20% para el negro y 30% para el rojo. Si uno está interesado sólo en el suceso X, advierte que éste se produce en el caso de una bolilla verde como en el caso de una bolilla blanca, es decir, que tiene 30 + 20 = 50% de probabilidades de producirse. Es pues la probabilidad que se atribuye a X en ausencia de toda otra información. Pero si, por otro lado, sabe uno que el suceso y se realizó, ello significa que la bolilla que se ha sacado es verde o negra. Atendiendo a las proporciones relativas, hay tres posibilidades sobre dos de que sea una bolilla verde y por lo tanto de que X se realice. Esta información adicional hace, pues, pasar la probabilidad del suceso X a un 60% en lugar del 50%. El hecho de que Y se haya dado au174

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menta la probabilidad de que se dé X; se dice entonces que los casos X e Y están positivamente correlacionados. Ciertamente se puedan tener en cuenta las correlaciones, pero la médula misma de la estadística es el estudio de los sucesos independientes. El más hermoso resultado de la estadística y el más universal es el teorema "central límite", que describe de manera muy precisa el resultado de un gran número de extracciones independientes. Imaginemos, por ejemplo, una urna que contenga en proporciones iguales bolillas blancas y bolillas negras. Instintivamente tiene uno la idea de que, si se efectúa un gran número de extracciones, se debería observar poco más o menos tantas bolillas blancas como bolillas negras, sin dejar de tener en cuenta que también puede intervenir la mala suerte y que salgan sólo bolillas negras. Este teorema nos da la frecuencia relativa de estos casos anómalos y nos permite comprobar que esa frecuencia disminuye muy rápidamente con el número de extracciones. Así, si se realizan 1500 extracciones, tenemos un número astronómico, 2 1500 , de posibilidades, pero para la mitad de ellas la frecuencia observada de las bolillas blancas estará comprendida entre 49% y 51%, es decir que la frecuencia se apartará menos del 1% de la proporción exacta. La probabilidad de observar entre 49% y 51% de bolillas blancas en 1500 extracciones es, pues, de 0,5 y llega a 0,954 si se efectúan 10 000 extracciones, y a 0,999 si se efectúan 27000 extracciones. En este último caso tenemos, pues, menos de una probabilidad entre mil de engañarnos al situar la proporción exacta en un 1% alrededor de la frecuencia observada. La primera enseñanza del teorema "central límite" es que la precisión aumenta como la raíz cuadrada del número de extracciones. En un nivel de confianza dado, 111000 por ejemplo (es decir que quiera uno tener menos de una posibilidad sobre mil de engañarse), y si la proporción de bolillas blancas que contiene la urna es de 112, la frecuencia exacta se situará dentro de un intervalo de 0,33% para ambas mitades de cada cien extracciones, dentro de un intervalo de 0,033% al cabo de diez mil extracciones y de uno de 0,0033% al cabo de un millón de extracciones. El intervalo se reduce en un factor 10 cada vez que el número de extracciones se http://www.esníps.com/web/Sdentia

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multiplica por 100, y el nivel de confianza queda fijo en 111000. En otras palabras, las extracciones anómalas continúan existiendo -siempre es posible sacar consecutivamente cien, diez mil o un millón de bolillas blancas-, pero su proporción disminuye. Se puede interpretar este resultado diciendo que errores aleatorios independientes tienen tendencia a compensarse si se los suma. El teorema "central límite" posee asimismo una interpretación geométrica que obtendremos tratando de representar mediante una curva el resultado de un gran número N de extracciones independientes. Imaginemos que se trata de bolillas blancas o negras y contemos nuestras bolillas blancas al terminar la operación. Bien podemos encontrarnos sin ninguna, si todas las extracciones dieron una bolilla negra; con N, si todas las extracciones han dado una bolilla blanca, además de todos los casos intermedios. En cuanto a cada cifra n comprendida entre O y N, registremos el número de lances que culminan en este total de bolillas blancas. Se obtiene así una curva de forma acampanada muy característica, llamada curva de Gauss, simétrica alrededor del valor medio N/2 (si la urna contuviera tantas bolillas blancas como bolillas negras). La universalidad de esta curva, que está presente en todos los dominios de la ciencia y de la técnica, es una de las consecuencias del teorema "central límite". Cuando se recopilan medidas, aparece una curva de Gauss. La estatura de los soldados en el día de su alistamiento, los errores de redondeo en los cálculos, las medidas experimentales de constantes fisicas se reparten de manera gaussiana. Y esto se comprende fácilmente si se considera que la estatura de un hombre depende de constantes que afectan a toda la población (tipo de alimentación, patrimonio genético), pero también de parámetros individuales (gustos alimentarios, nivel de vida, actividad física, herencia y mutaciones) cuya distribución es aleatoria. Cada individuo obtiene sus parámetros en el nacimiento y, como estas suertes tienen lugar de manera independiente a través de la población, la repartición de las estaturas en ésta se produce de conformidad con el teorema "central límite". Igualmente, cada medida física está sujeta a errores que proceden de fuentes diversas 176

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y debidos especialmente a las limitaciones del dispositivo ex-

perimental y a la imprecisión de los instrumentos empleados. Reproducir la experiencia, volver a tomar la medida, es llevar a cabo una nueva operación independiente de la anterior y, por lo tanto, ponerse en condiciones de aplicar el teorema "central límite". Tan vigoroso es este teorema que se extiende a dominios en los que el azar a todas luces no tiene ningún lugar. Por ejemplo, al campo de la aritmética. Recordemos primero que un número primo es aquel que no tiene divisores (salvo la unidad y él mismo, por supuesto). Así, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,23,29,31,37, son números primos; éste es el comienzo de una serie infinita que fascinó a los matemáticos desde la antigüedad más remota. Si un número no es primo, se descompone en factores primos; 6 tiene dos factores primos (6 = = 2 x 3) y 210 tiene cuatro factores primos (210 = 2 x 3 x 5 x 7). Para ser divisible por seis un número debe ser divisible por 2 y por 3. Ahora bien, la mitad de los números son divisibles por 2, una tercera parte de ellos es divisible por 3 y una sexta parte es divisible por 6. Como 1/6 = 1/2 x 1/3, existe una analogía formal con la regla de multiplicación de las probabilidades de hechos independientes. ¿Podemos ir más lejos y aplicar el teorema "central límite" como si realmente tuvieramos que vérnoslas con el azar? Esto es en alto grado paradójico; ¿qué puede haber más determinista que la serie de números enteros? Y, sin embargo, en 1939 Marc Kac y Paul Erdos mostraron que el número de factores primos sigue una repartición gaussiana. De manera precisa, el número de factores primos de un entero m es del orden de log log m y la proporción de enteros m en que ese número está comprendido entre log log m + a -J2 log log m

y: log log m + b -J2 log log m, está dada por la superficie situada bajo la curva de Gauss lt- 1J2 exp(-x2 ) entre x = a y x = b. Ocurre como si la serie http://www.esnips.com/web/Sdentia

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infinita de los enteros fuera el resultado de otras tantas tiradas o extracciones independientes entre los números primos, como si Dios hubiera creado primero los números primos y luego hubiera construido los demás echando a suerte entre ellos. El primer día sacó el 2 y el 3; y el 6 fue. El segundo día sacó el 2, el 3, e15 y el 7; y el 210 fue. Todo esto es estático. Para dar al concepto de independencia una dimensión dinámica nos ocuparemos del movimiento browniano. Se trata inicialmente del movimiento errático que anima a partículas microscópicas que están en suspensión en un líquido. Fue descubierto en 1827 por el botánico irlandés Robert Brown, e identificado en 1905 por Einstein y Smoluchowski como el efecto 'del movimiento aleatorio de las moléculas circundantes; Norbert Wiener y Paul Levy elaboraron la teoría matemática de este movimiento. Hoyes uno de los principales instrumentos de modelización de los fenómenos que dependen del tiempo y del azar; su ubicuidad no le va en zaga a la de la repartición gaussiana, con la cual por lo demás está estrechamente vinculada. El movimiento browniano es por definición un movimiento totalmente desprovisto de memoria. Una partícula de polen que se encuentra enmovimiento dentro del agua no sabe cuándo tendrá el choque siguiente ni en qué dirección ni con qué fuerza será propulsada. El modelo matemático idealiza esta situación y construye una partícula que en cada instante olvida de dónde procede, mira dónde está y decide adónde quiere ir. En otras palabras, el desplazamiento instantáneo debe ser independiente de la historia pasada; se puede imaginar que ese desplazamiento sea echado continuamente a suertes, Representémonos esta trayectoria en la que, en cada instante, se produce un cambio de dirección y de velocidad y que sin embargo es continua. ¡Qué enredo va a producir en el plano de la experiencia! Si se la amplía en ciertas porciones o si se trata de reducirla, volvemos a encontrar siempre la misma estructura en todas las escalas, una especie de línea quebrada que anda a tientas a través de nuestro campo de visión. Físicamente no podemos descender 178

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más abajo de la escala molecular, pero matemáticamente podemos extendernos indefinidamente y encontrar siempre el mismo aspecto general. En toda escala de tiempo, por pequeña que sea, la partícula cambia constantemente de dirección y de velocidad. Por eso las trayectorias del movimiento browniano evocan esas curvas continuas pero sin tangentes que los matemáticos del siglo pasado consideraban curiosidades un poco malsanas. El físico Jean Perrin hizo esta observación en su libro Los átomos, que llamó la atención del matemático Norbert Wiener. Fue Wiener quien en 1923 dio la primera definición matemática rigurosa del movimiento browniano. La dificultad era mostrar que existe efectivamente una entidad matemática dotada de todas las propiedades que los físicos atribuían comúnmente al movimiento browniano. Wiener resolvió el problema apoyándose en dos propiedades fundamentales. Por un lado, todas las trayectorias deben ser continuas. Por otro lado, una vez que fue observada la posición de la partícula en el instante t = O (posición por lo tanto conocida), su posición (aleatoria) en un instante ulterior t debe estar regida por una ley de Gauss, cuyos parámetros dependen por supuesto del tiempo t transcurrido. Todas las demás propiedades del movimiento browniano se deducen de estas propiedades. Una vez establecido sobre bases matemáticas sólidas, el movimiento browniano iba a desempeñar una parte central en la modelización de los fenómenos aleatorios. En las transmisiones, por ejemplo, la señal misma está siempre mezclada con un ruido de fondo; el problema de filtrado consiste en separar la una del otro. El propio Wiener resolvió por primera vez el problema al inaugurar instrumentos nuevos que acababa de crear. Por lo demás, sus resultados permanecieron mucho tiempo cubiertos por el secreto militar pues se aplicaban a una tecnología nueva que era el radar. Hoy se han descubierto métodos de filtrado más eficaces que se utilizan, por ejemplo, en los pilotos automáticos y en las guías inerciales de los aviones de combate o en los submarinos. Pero las aplicaciones del movimiento browniano van mucho más allá del tratamiento de la señal. Ya se trate de estudiar la propagahttp://www.esnips.com/web/Scientia

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ción de una epidemia, ya se trate de estudiar la difusión del calor, el movimiento browniano es el instrumento básico de la modelización. Estos últimos años se descubrió otra filiación del movimiento browniano. A fines del siglo pasado, un matemático llamado J. Bachelier sostenía una tesis 3 en la cual proponía, en realidad, modelizar la cotización de las acciones en la bolsa mediante un movimiento browniano. Ni los mercados bursátiles ni la técnica matemática estaban todavía a la altura de esta idea, de manera que Bachelier quedó sumido en la amargura y el olvido. Hubo que esperar los trabajos de Wiener para que esa idea volviera a lanzarse y cobrara auge, pues llegó a triunfar a partir de 1973, cuando Fischer Black y Myron Scholes demostraron su famosa fórmula que permite evaluar las opciones de cada acción. Debe comprenderse que la idea de modelizar las cotizaciones mediante un movimiento browniano no tiene nada de arbitrario sino que refleja ideas precisas sobre el comportamiento de los mercados bursátiles. Si aceptamos la idea de que éstos son eficientes, es decir, que el precio de una acción refleja toda la información disponible sobre ella, hay que admitir que las variaciones de ese precio reflejan la llegada de nuevas informaciones. Entre éstas, algunas eran previsibles y otras no lo eran. En lo que se refiere a las primeras, si el mercado hizo su trabajo ya se ha tenido en cuenta este hecho en el precio alcanzado por las acciones: el alza o la baja tuvo lugar con anticipación y la realización de aquello que estaba previsto ya no afecta a las cotizaciones. Estas sólo dependen, pues, de la parte realmente nueva de la información: la información que es imprevisible partiendo de los elementos de que se disponía antes. Desde este punto de vista, es natural asimilar las cotizaciones de la bolsa a un proceso de desarrollos independientes, es decir, en última instancia, a un movimiento browniano. Desde otro punto de vista, son los operadores quienes

3 Théorie de la spéculation, Annales scientifiques de l'École normale supérieure, 17, págs. 21-86, 1900.

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determinan las cotizaciones y uno no se resigna a la idea de que esos millares de personas repartidas en todo el mundo, cada una con sus intuiciones y sus fobias, sentadas ante sus pantallas se tomen ese trabajo para construir un movimiento browniano. Lo cierto es que esta hipótesis es suficiente para explicar (si no ya para prever) el 95% de los movimientos de las cotizaciones en un 95% de las situaciones bursátiles pero es en el 5% restante donde se despliega el ingenio humano y donde se hacen fortunas y se las pierde. Por lo demás, la utilización del movimiento browniano en la teoría financiera va mucho más allá de un simple ajustarse a las cotizaciones, pues ese movimiento permite determinar el precio de ciertos productos financieros, como las opciones. La opción sobre una acción es un convenio en virtud del cual uno se compromete a vender dentro de tres meses cierta acción a un precio determinado hoy. El comprador tiene el derecho de no ejercer la opción si el precio se revela por fin superior a la cotización verificada en el plazo. El poseedor de un gran paquete de acciones que desee prevenirse contra una caída de las cotizaciones querrá comprar las opciones correspondientes sin perjuicio de no ejercerlas si las cotizaciones permanecen estables. El que se las venda correrá un riesgo y por lo tanto debe ser remunerado. El problema del justo precio de la opción fue resuelto por Black y Scholes en 1973. La fórmula de estos autores no hace intervenir la probabilidad de que las cotizaciones suban o bajen sino tan sólo lo que se llama su "volatilidad", es decir, su trayectoria más o menos accidentada. De manera que no se pide a los operadores que hagan predicciones, ni siquiera estadísticas, sobre la evolución de las cotizaciones de las acciones; se les pide que se pongan de acuerdo sobre el valor de su volatilidad, es decir, en definitiva, que identifiquen uno de los parámetros que rigen al movimiento browniano. Así no hay necesidad de saber si la acción va a subir o bajar para determinar el precio de la opción. Este resultado tan notable está en la base de toda la teoría moderna de las finanzas y ha popularizado el movimiento browniano en personas que no se creían destinadas a practicar la matemática.

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Es simple y hermoso remitir la estadística al teorema "central límite" y a sus avatares, uno de los cuales es el movimiento browniano. Desdichadamente, el estadígrafo está frente a otros problemas. Más que cualquier otro científico, él experimenta dolorosamente el hecho de que no puede validar ningún modelo y que las únicas respuestas que puede aportar con alguna certeza son negativas. Hemos partido de unas urnas que contenían ciertas proporciones de bolillas de diversos colores y nos hemos preguntado si las frecuencias observadas de esos colores durante una sucesión de extracciones independientes se apartaban o no de las proporciones exactas. Desgraciadamente el estadígrafo no posee este observatorio privilegiado. Todo lo que se le da es una serie de observaciones y puede considerarse feliz si éstas son numerosas. El estadígrafo no puede reconocer el azar, sacar conclusiones sobre las bolillas que están en la urna, adivinar el contenido de ésta y afirmar que esas observaciones resultan de extracciones independientes. Siempre existe la posibilidad de que en la operación entren en juego otros mecanismos cuando se cree reconocer la presencia del azar, así como un jugador fullero sabe barajar y cortar los naipes de manera que puede distribuir las manos que desea. El estadígrafo no puede nunca confirmar un modelo probabilista. A lo sumo puede invalidarlo al comprobar que las observaciones son anómalas en relación con un modelo propuesto: si ese modelo fuera correcto las anomalías sólo habrían tenido una probabilidad muy baja de producirse. El estadígrafo comprueba o no si hay compatibilidad entre un modelo probabilista y una serie de observaciones. Llega a la conclusión de la incompatibilidad si la probabilidad dada por el modelo a las observaciones en cuestión es demasiado baja, por ejemplo del orden de 111000 o menos. Reconocemos aquí el viejo principio heurístico según el cual los sucesos de probabilidad demasiado baja no se producen, principio que nos lleva aquí a descartar el modelo propuesto. En cambio, si llega a la conclusión de la compatibilidad, es decir, si la probabilidad de la serie observada (tal como se la calcula partiendo del modelo propuesto) es del orden de 1110 o más, no se puede afirmar la validez del modelo, por más que la

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probabilidad se elevara a 9/10, a 99/100 o más aun. Lo cierto es que nunca se puede descartar la posibilidad de que otro modelo, mejor elegido, resulte mejor y que, en definitiva, el fenómeno considerado no dependa del azar. Evidentemente éste es el problema general de la ciencia. No tenemos acceso a los talleres del Creador, no sabemos realmente lo que sucede allí dentro y, como lo hacía notar alguien, tal vez habríamos tenido que darle algunos buenos consejos. Pero, por nuestra parte, sólo podemos trazar planes y verificar si las cosas ocurren como si esos planes fueran correctos. El hombre de ciencia está permanentemente buscando la experiencia decisiva que le permita invalidar una teoria. Pero en estadística esta actividad de verificación se extiende hasta el nivel tecnológico. En las fábricas, así como en los ministerios, en los terrenos de prácticas así como en las universidades, el estadígrafo emite hipótesis y las somete a prueba. En el caso del control de calidad, por ejemplo, se trata de verificar que la proporción de piezas defectuosas que salen de la producción en serie sea inferior a un umbral dado. El estadígrafo hará la hipótesis de que en efecto es así, se fijará un nivel de confianza y someterá a prueba la hipótesis con la muestra que se le suministra. La hipótesis quedará invalidada si el test la rechaza, es decir, si la hipótesis es incompatible (en el nivel de confianza fijado) con los resultados obtenidos. Esta manera de proceder por invalidación de modelos, si bien es poco ambiciosa, es en cambio extremadamente general y versátil. En el caso del control de calidad, lo interesante es el rechazo del modelo, pues el rechazo muestra que los valores atribuidos a ciertos parámetros no son los correctos, es decir, que no se han respetado los umbrales teóricos. En otras situaciones, lo interesante será la compatibilidad de un modelo probabilista con las observaciones, pues esa compatibilidad significará que no se puede excluir la hipótesis de que el fenómeno estudiado sea fruto del azar. Se trate de anotar preguntas de opción múltiple, de someter a prueba un nuevo medicamento o de analizar experiencias de parapsicologia, siempre debe formularse la pregunta: ¿el azar por sí solo pudo hacer esto? Si hay cien preguntas, cada una con cuatro http://www.esnips.com/web/Sdentia

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respuestas posibles, si no conozco nada del tema y si echo a suertes mis respuestas, puedo esperar acertar veinticinco veces. Por eso, en este género de prueba tenemos cero por veinticinco respuestas correctas o menos. La notación sólo comienza más allá y esto no excluye por lo demás las injusticias. Sólo si llega uno a descartar el azar puede exponer otras explicaciones, como por ejemplo, el saber del estudiante, los beneficios de la terapéutica o la transmisión del pensamiento. Mientras los tests estadísticos no lo excluyan, nada se habrá probado. Esto parece elemental, pero no lo es. Muy poca gente comprende que respondiendo al azar acertará muy frecuentemente y que además se podrán realizar series espectaculares. Observemos que el estadígrafo, por su parte, nunca puede demostrar la presencia del azar. Puede cerrarle ciertas puertas o dejárselas abiertas sin poder garantizar que el azar las utilice; basta entonces con que esta explicación no pueda excluirse. El único caso en que el estadígrafo puede afirmar la presencia del azar es aquel caso en que él mismo lo introduce. En un sondeo, por ejemplo, el estadígrafo pondrá cuidado en sacar sus muestras al azar, es decir, en organizar de una manera u otra extracciones independientes de bolillas que se encuentran en una urna. Esto parece muy sencillo y si se trata de sacar piezas en la salida de una fabricación en serie se puede efectivamente proceder de esta manera, pero si se trata de sondear a una población sobre sus opiniones políticas o sobre sus hábitos sexuales, la cuestión es enteramente diferente. ¿Cómo interrogar a la gente? ¿En la calle? ¿Y las personas que no salen de su casa o que andan en automóvil? ¿Por teléfono? No todos lo tienen y a veces un mismo número sirve a varias personas. ¿A domicilio? ¿Cómo echar suertes sobre todo el territorio, las ciudades y los campos reunidos? ¿Qué hacer si alguien se niega a responder? ¿Habrá que reemplazarlo o anotarlo de otra manera? ¿Y qué valen en definitiva las respuestas que obtenemos? ¿Quién me asegura la sinceridad de las personas? No se confiesan de buen grado ciertas preferencias políticas que sin embargo se manifiestan en la cabina electora!. ¿Habrá que tener en 184

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cuenta cierta parcialidad en las respuestas? ¿Y cómo hacerlo? El estadígrafo se ve rápidamente llevado a elaborar protocolos de experiencia extremadamente rigurosos en los que el azar sólo ocupa un lugar accesorio. En realidad, el gran descubrimiento de estos últimos años es el hecho de que la estadística puede prescindir perfectamente del azar. La generalización de las técnicas informáticas de gestión ha determinado la acumulación de masas enormes de datos en todos los domínios de la vida social y la simple clasificación de esos datos, sin hablar de su interpretación, plantea considerables problemas. Disponemos de los métodos estadísticos tradicionales, como el análisis factorial, pero han nacido nuevos métodos de clasificación automática y de análisis de datos que se remiten siempre a la estadística y no ya a un modelo probabilista. Hoy se procura más reconocer formas, representando, por ejemplo, los datos como puntos en un espacio de gran dímensión y tratando de separarlos en nubes lo más dístintas que sea posible. Este es un trabajo que hacemos con los ojos en dos dimensiones, pero que exige la ayuda de un ordenador y de cálculos complejos desde el momento en que el número de parámetros que hay que tratar pasa de tres. Trátase de un problema de geometria en el que 10 aleatorio ya no desempeña ningún papel. Pero la situación puede invertirse de nuevo. Cada vez más, la palabra "estadística" significa "tratamiento automático de datos" y el desarrollo de un tema está regido por la masa cada vez más importante de datos informatizados. Junto a los problemas tradícionales, como el de clasificación y el de interpretación, se plantean otros nuevos, como el de la compresión de datos: la masa que hay que almacenar es tal que las memorias de los ordenadores se saturan rápidamente y los tiempos de acceso se hacen prohibitivos. Es necesario pues tratar la información entrante para que ocupe menos bits en la máquina; en este trabajo de recorte y de reconstrucción, los modelos probabilistas y las estadísticas clásicas recobran paradójicamente todos sus derechos. Asimismo, nada de todo esto sería posible sin los progresos considerables realizados por los medios de cálculo desde hace diez o veinte años; pero el progreso tecnológico no es suficienhttp://www.esnips.com/web/Scientia

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te para dominar la explosión de datos disponibles, de manera que fue necesario desarrollar métodos de cálculo muy refinados sacando plenamente partido de la estructura interna de los ordenadores, como el cálculo paralelo. Se llega así a una situación en la que se concibe el ordenador en función del tipo de cálculos que deba efectuar. La circulación de los bits --es decir de los Oy de los 1- a través de la máquina en los diversos estadios del cálculo es una de las preocupaciones mayores de los que diseñan tales máquinas, de la misma manera que el arquitecto trata el flujo de viajeros que se mueve en una estación ferroviaria o en un aeropuerto gracias a los modelos probabilistas y a las estadísticas clásicas, que se toman así su desquite.

La estadística no está hecha para demostrar la existencia del azar o para detectar su presencia. Por el contrario, la estadística descansa en el postulado inicial de que el mundo es probable. Como todos nosotros, el estadígrafo parte del principio de que el mundo existe, sólo que él le pide algo más: le pide que sea probable. Es teóricamente posible (en todo caso perfectamente compatible con el cálculo de probabilidades) que a partir de mañana todas las monedas echadas a suertes salgan cara y que la ruleta del casino sólo haga salir rojo y par. Semejante acontecimiento es por cierto infinitamente poco probable, pero es posible, y si se produjera no habría por eso que cambiar una coma en los tratados estadísticos. Nos enseñaría entonces que si el Creador se decidiera a hacer de nuevo el universo habría muchas posibilidades de que fabricara un universo que se comportara más normalmente. Pero, mientras tanto, nos veríamos obligados a vivir en un universo improbable, en el que los ríos subirían hacia sus fuentes y la entropía disminuiría con el tiempo. Nosotros postulamos que no hay nada de eso. Creemos que vivimos en un universo donde los hechos de probabilidad demasiado baja no se producen y obramos en consecuencia. Hasta ahora la experiencia no nos ha desmentido, pero nadie puede garantizar el futuro.

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Conclusión

Aquella noche el rey Olav descansó en medio de su ejército y, según acabamos de decir, veló mucho tiempo y rogó a Dios por él y por sus hombres, de manera que durmió poco. Con el alba le vino algo de sueño y cuando se despertó ya era de dta. El rey se dijo que era hora de despertar al ejército y pidió que acudiera Tormod, el escaldo. Como éste no se hallaba lejos se presento enseguida y preguntó qué queria de él el rey. Este replicó: "Entonanoe un canto". Tormod se irguió y cantó con voz tan alta que todo el ejército lo oy6. Entonó el antiguo cántico de Bjarhe, cuyos primeros versos son: El día ha llegado con el sol,

Pánese enhiesto el plumaje del gallo: Es la hora en que el siervo Debe ir a sus labores. No pienso ni en el vino Ni en la risa de las mujeres, Antes bien me despierto Para Hildt y su feroz juego.

La batalla se libró aquel día, 29 de julio de 1030, en Stiklestad, y el rey Olav pereció en ella con la mayor parte de su ejército. Después de su muerte comenzó su verdadero destino. El pueblo y los barones cuya coalición lo había aplastado

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Una valquiria; el juego de Hild es la guerra.

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no tardaron en arrepentirse de haber abandonado Noruega en las manos del rey de Dinamarca. Llevaron el cuerpo de Olav Haraldssen con gran pompa a la catedral de Nidaros y fueron a buscar a su hijo Magnus, que se encontraba en su exilio ruso de Novgorod, para coronarlo. La reputación de santidad de Olav se extendió rápidamente por todos los países nórdicos y su tumba llegó a ser uno de los lugares de peregrinación más populares de la Edad Media. La catedral fue en gran parte destruida cuando se produjo la Reforma y hoy ya nadie sabe dónde descansan los restos de San Olav. Tormod el escaldo combatió junto al rey Olav y quedó gravemente herido en un costado. Murió aquella misma noche al arrancarse él mismo la flecha que lo había alcanzado. Snorri Sturlasson cuenta que las aletas de la punta de la flecha sacaron fibras cardíacas blancas y rojas y que Tormod dijo: "El rey nos ha alimentado demasiado bien. Las raíces de mí corazón están envueltas en grasa". Los hombres mueren, sólo el arte perdura. Los temas del viejo cántico, las labores cotidianas y el combate singular, la agobiante costumbre del presente y la inquieta esperanza del futuro resuenan todavía hoy. Por encima de la refriega, más allá del estruendo y del furor, se eleva un llamado a la armonía del mundo. Porque oyen ese llamado, los hombres de Olav Haraldssen aceptan seguirlo a un combate sin esperanza. y yo, ¿por qué he de aceptar consagrar mi vida a la ciencia? ¿Para descubrir que el azar me bambolea y que soy incapaz de prever, reducido a registrar lo existente, así como Fabrice cruzaba el campo de batalla de Waterloo? ¿Por qué entablar este combate, después de tantos otros, si me lleva ineluctablemente a coronar el azar como rey del universo? Es que yo también oí el canto de Tormod. El azar no es toda la ciencia, por más que yo le haya dedicado este libro. En mi trabajo de investigador son otros los dominios que exploro y en los que el azar no ocupa ningún lugar. La geometría, la relatividad general, la dinámica de los sistemas conservadores, la física de las partículas elementales son otras tantas teorías de una belleza casi sobrehumana en las que torno a encontrar la misma armonía que se expresa en la misma forma matemática, la forma de un principio variacional. 190

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Un principio variacional es un criterio matemático que permite distinguir una solución particular entre muchas otras soluciones posibles. El principio más simple, y el mejor conocido, es aquel que caracteriza la línea recta como el camino más corto de un punto a otro. Para aplicar este principio variacional debemos primero definir la distancia entre dos puntos, luego la longitud de una curva. Debemos entonces encontrar, entre la infinita variedad de curvas que van de un punto a otro, aquella cuya longitud sea la más pequeña. Así es como definiremos el segmento de recta, y todas sus propiedades ulteriores derivarán de esta propiedad fundamenta!. De esta manera habremos construido la geometría euclidiana, no sobre los axiomas de Euclides, sino sobre una sola propiedad simple, de acuerdo con el principio de economía. Este procedimiento sería sólo una curiosidad matemática si no lo encontráramos en el corazón de la física, Ya en el siglo XVII, Pierre de Fermat enunciaba que los rayos luminosos minimizan el camino óptico. Esto es someter a un principio variacional toda la óptica geométrica, es decir, la más avanzada de las ciencias de aquella época. Para sacar partido de este principio hay que definir primero el camino óptico, que no es exactamente la longitud, pero que la valora mediante el índice de refracción del medio atravesado. Luego hay que buscar, entre todas las trayectorias posibles, aquella que tenga el camino óptico más pequeño. Misteriosamente, es esta trayectoria la que toma el rayo luminoso. De manera que se la puede calcular: será un segmento de recta si el índice de refracción del medio es constante, y será una curva más complicada si ese índice varía. Todas las leyes de la óptica geométrica, ya se refieran a la reflexión, ya se refieran a la refracción o a los sistemas de lentes, son consecuencia de este único principio. Fue también Fermat quien redujo las leyes de la mecánica a un único principio variacional que llamó principio de menor acción. Este principio atravesó incólume las dos grandes revoluciones de la física contemporánea y se adaptó tanto a la relatividad general como a la mecánica cuántica. Es un principio que se encuentra siempre en el centro del saber; cada nueva crisis determina una reorganización alrededor de él y refuerza su posición centra!. http://www.esnips.com/web/Sdentia

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Esta economía de la ciencia ya había maravillado a los hombres del siglo XVII. ¿Por qué tiene ese papel el principio de menor acción? Esta pregunta resuena en la filosofia de la época, especialmente en Malebranche, pero sobre todo en Leibniz, cuya obra es el intento más audaz de responder a dicha pregunta. Afirmar que este mundo es el mejor de todos los mundos posibles es una formulación que demasiado evidentemente se presta a la chanza, pero que traduce la experiencia y el entusiasmo de la época. En el mismo instante en que Leibniz elaboraba el lenguaje del análisis matemático, veía cómo el mundo fisico se apoderaba de ese lenguaje como si fuera su lengua materna. Los principios variacionales se expresaban naturalmente y se veían nacer los métodos de cálculo que iban a permitir tratarlos. Leibniz presintió el desarrollo de la ciencia alrededor de este centro organizador y quiso comprender las razones de ello antes de ver sus frutos. No podemos sino admirar su audacia y compartir su maravillada estupefacción. Más de tres siglos después, perseguimos la misma síntesis. La misma visión alienta en nosotros. Desde el Parménides de Platón, sabemos que la verdad no se deja cercar, que, si hay una realidad última, ésta retrocede ante nosotros a medida que nos acercamos demasiado y termina por desvanecerse en la insignificancia. Pasando de partícula elemental en partícula elemental, de análisis psicológico en análisis psicológico, el descenso es sutil y sin término. Ese camino sólo puede ser una revelación de la contingencia y en él el azar será nuestro compañero de marcha. Pero el que buscamos es otro camino: un ascenso en el que veamos las cosas reunirse en lugar de dispersarse y en el que el azar nos abandone, así como Virgilio abandona a Dante a la entrada del Paraíso. La belleza será nuestra guía.

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Ivar Ekeland ALAZAR Este libro narra algunos episodios del texto medieval Las sagas de los reyes de Norvíega, del islandés Snorri Sturlasson 0179-1241). Cada episodio ejemplifica un aspecto de la teoría matemática del azar. En el amplio recorrido desde el clásico cálculo de probabilidad hasta la moderna teoría del caos, el le ctor encontrará los sistemas dinámicos, la teoría de la información, la lógica y la estadística, así como a lgunos temas centrales de la física contemporánea: la entropía, los fractales y los movimientos de Brown. Para Ivar Ekeland es posible, e incluso necesario, acercar dos textos separados entre sí por todo un milenio: una saga medieval y un tratado actual sobre el azar. Si la primera habla de suerte, magia o destino, el segundo se dedica a lo aleatorio, el caos y el riesgo. Los dos textos hablan de la misma historia, una historia que comienza en la Grecia antigua con la palabra tyché que abarcaba tanto en la ciencia como en la historia vivida todos los aspectos mencionados. ¿Cómo leer este libro? Pues bien, lector, puesto que tiene seis capítulos, tome usted un dado... ya sabe lo que puede hacer. Ivar Ekeland es .presidente de la universidad ParísDauphine y miembro del Centro de Investigación de las Matemáticas de la Decisión.

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