EMTF Tagung Bestimmung von Porosität und Permeabilität aus Bohrlochmessungen der induzierten Polarisation (IP) oder der nuklearmagnetischen Resonanz (NMR) auf der Grundlage einer fraktalen Porenraumgeometrie [1 & 2]

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Kolloquium „Elektromagnetische Tiefenforschung“, 9.-13.3.98, Neustadt/Weinstraße

Bestimmung von Porosität und Permeabilität aus Bohrlochmessungen der induzierten Polarisation (IP) oder der nuklearmagnetischen Resonanz (NMR) auf der Grundlage einer fraktalen Porenraumgeometrie Teil 1: Porositäts-Permeabilitätsbeziehung und NMR-Anwendungsbeispiel Hansgeorg Pape1, Christoph Clauser2 & Jörn Bartels2 1Geodynamik, Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität, Nussallee 8, D-53115 Bonn 2Geowissenschaftliche Gemeinschaftsaufgaben (GGA), Stilleweg 2, D-30655 Hannover

Kurzfassung Eine Gemeinsamkeit von den beiden bohrlochgeophysikalischen Untersuchungsmethoden, der induzierten Polarisation (IP) im Zeitbereich und der nuklearmagnetischen Resonanz (NMR), besteht darin, daß Relaxationskurven mit einer Verteilung von Relaxationszeiten gemessen werden. Mit Hilfe von Porenraummodellen läßt sich aus der Verteilung von Relaxationszeiten eine Verteilung von Porenradienklassen ableiten. Diese gibt dann Aufschluß über die Porosität und zusätzliche Strukturparameter wie die Porenradien der freien Porosität und der Mikroporosität. Diese Zusatzinformationen über die Struktur erlauben es, anschließend aus der Porosität die Permeabilität zu bestimmen. Als Fallbeispiel für die Auswertung von NMR-Messungen dient die geothermale Erkundungsbohrung Hamburg-Allermöhe 1, die aufgrund der relativ starken Anhydritzementation des RätSandstein-Aquifers besonderes Interesse erfährt.

Abstract A common feature of both well logging methods, induced polarization (IP) and nuclear magnetic resonance (NMR), is the measuring of relaxation curves with a distribution of relaxation times. On the base of pore space models it is possible to derive the pore radius distribution from the relaxation time distribution. Then, the pore radius distribution yields the porosity and additional structure parameters such as the pore radii of the free porosity and of the microporosity. All these additional informations about structure allow to calculate permeability from porosity. The geothermal exploration well Hamburg-Allermöhe 1 serves as an example for calculating permeability from a NMR-log. In this case comes a special interest from the fact of a strong cementation of the Rät sandstone aquifer.

Einleitung Sowohl bei der Methode der induzierten Polarisation (IP) im Zeitbereich als auch bei nuklearmagnetischen (NMR-) Messungen wird das zeitliche Abklingverhalten einer Meßgröße untersucht, um Aufschluß über die Geometrie und stoffliche Eigenschaften eines porösen Mediums zu erhalten. Im Falle der IP wird nach dem Abschalten eines elektrischen Gleichstroms die Abnahme einer Potentialdifferenz gemessen. Diese beruht auf der Entladung von Ionenwolken, die sich vorher an bestimmten Zentren an der Porenwand gebildet hatten. Bei der hier betrachteten NMR werden die Kernspins von Protonen der wässrigen Porenraumfüllung durch einen kurzen Radiofrequenz- (RF-) Puls in einem stationären Magnetfeld ausgerichtet, wodurch eine resultierende Magnetisierung entsteht, deren Größe von der Zahl aller im Porenraum vorhandener Protonen abhängt. Die Protonen können bei Zusammenstößen mit der Porenwand (Kristallgitter-Relaxation) und mit geringerer Wahrscheinlichkeit bei Zu-

sammenstößen untereinander (Spin-Spin-Relaxation) Energie abgeben, so daß ihr Beitrag zur Magnetisierung fortfällt. Beide Methoden, IP und NMR, sind in der Lage Aufschluß über die Porenraumgeometrie zu geben, weil der Relaxationsprozeß mit einer Wanderung der Energieträger, der Ionen bzw. der Protonen, verbunden ist. In einem Falle, bei der IP, bewegen sich die Ionen sowohl durch Diffusion als auch durch elektrolytische Stromleitung von der Porenwand ins Innere der Poren, bis ein Zustand gleichmäßiger Verteilung erreicht ist. Im anderen Fall, bei der NMR, sind die Träger der antiparallel zum Magnetfeld ausgerichteten magnetische Momente zunächst gleichmäßig im Porenraum verteilt, und sie müssen erst zur Porenwand diffundieren, bevor sie durch Wechselwirkung mit dem Kristallgitter in die Parallelstellung umklappen können. Da die Porenraum Geometrie in einem Gestein sehr kompliziert ist, resultieren Relaxationskurven mit einer Verteilung von Relaxationszeiten. Um die Interpretation der Relaxationskurven zu vereinfachen, wurde so vorgegangen, daß elektrische Ersatzschaltbilder aufgestellt wurden. Außerdem wurde ein geometrisches Porenraummodell entwickelt, das mit den Ersatzschaltbildern verknüpft werden kann und zugleich in der Lage ist, die Transportprozesse Diffusion, elektrische Leitfähigkeit und Strömung zu erklären. Wir verwenden hier ein fraktales Porenraummodel, das als nächstes mit seinen petrophysikalischen Zusammenhängen vorgestellt werden soll. In einem besonderen Kapitel wird auf die Porositäts-Permeabilitäts-Beziehung eingegangen. Anschließend wird ein einfaches elektrisches Ersatzschaltbild für die Relaxation bei der NMR vorgestellt. Damit sind alle Voraussetzungen geschaffen, um ein Fallbeispiel für die Gewinnung eines Porositäts-Logs und eines Permeabilitäts-Logs auf der Grundlage einer NMR-Messung im Bohrloch vorzuführen.

Fraktales Porenraummodell Die einfachsten Porenraummodelle in der Gesteinsphysik bestehen aus glattwandigen zylindrischen Kapillaren. Im Falle von Rißporosität können die Kapillaren durch parallelwandige Spalte ersetzt werden. Beide Modelle ergeben die gleichen Zusammenhänge, wenn der Kapillarradius mit der Rißweite gleichgesetzt wird. Die wesentliche Eigenschaft ist die glatte Oberfläche des Porenraums, die aber bei natürlichen Gesteinen nur in Ausnahmefällen realisiert ist. Meist läßt sich feststellen, daß der Porenraum über einen weiten Skalenbereich hierarchisch strukturiert ist. Diesem Strukturtyp wird ein spezielles fraktales Porenraum-Modell, das sogenannte „Pigeon hole“- Modell (Pape et al., 1982, 1987) gerecht (Abb. 1). Da die Kapillaren Einschnürungen besitzen, muß zwischen hydraulischen Radien reff und geometrischen Poren rsite unterschieden werden (Abb. 1). Die geometrischen Porenbäuche sind durch Porenhälse verbunden, die den Radius der hydraulischen Kapillaren bestimmen. Die selbstähnliche Struktur besteht darin, daß jeder geometrischen Pore mit dem Radius r0 eine bestimmte Anzahl N kleinere halbkugelige Ausbuchtungen vom Radius r0 /v, die „pigeon holes“, als Unterstrukturen zugeordnet sind. Diese Ausbuchtungen haben selbst wieder feinere Ausbuchtungen, die in selbstähnlicher Weise konstruiert sind. Dasselbe Konstuktionsprinzip gilt für die Festkörpermatrix, beginnend mit kugelförmigen Körnern vom Radius rgrain, auf denen die Unterstrukturen als Vorwölbungen aufgewachsen sind, wobei sich die jeweiligen Unterstrukturen von Porenraum und Festkörpermatrix verzahnen. Der beschriebene Modellbauplan kann mathematisch bis zu unendlich feinen Strukturen fortgesetzt werden. Für petrophysikalische Zwecke macht es jedoch nur Sinn, Strukturen bis zur Größenordnung von Molekülen zu betrachten. Mit Hilfe des fraktalen Modells läßt sich leicht klarmachen, daß geometrische Größen wie die spezifische Oberfläche vom Auflösungsvermögen der Meßmethode abhängen. Ebenso ist es ersichtlich, daß beim Einpressen von Quecksilber in ein fraktales Modellgestein mit steigendem Einpreßdruck nacheinander immer weitere Generationen von „pigeon-holes“ gefüllt werden. Diese entsprechen dann den Porenradienklassen bei der Bestimmung einer Porenradienverteilung mit Hilfe der Quecksilberintrusionsmethode.

Abb. 1: Schematischer Querschnitt durch einen Sandstein nach dem „Pigeon hole“-Modell. Es werden geometrische Poren mit dem Radius rsite von hydraulischen Modellkapillaren mit dem Radius reff unterschieden.

Ein Maß für die Stärke der selbstähnlichen Strukturierung der Porenwand ist die fraktale Dimension D, die sich nach Mandelbrot (1977) aus den Parametern N und v des fraktalen Modells ergibt: D = log N / log v.

(1)

Mit Hilfe der fraktalen Dimension läßt sich die Abhängigkeit einer Meßgröße M vom Auflösungsvermögen der Meßmethode darstellen: M (λ1 ) = M (λ2 ) (λ1 / λ2) (Dt - D),

(2)

Dabei sind λ1 und λ2 die kleinsten Längen, die mit zwei Meßmethoden aufgelöst werden können, und Dt ist die topologische Dimension der Meßgröße. Wenn die spezifische Oberfläche Stot die Meßgröße darstellt, ist Dt = 2 und Gl. (2) wird: Stot (λ1 ) = Stot (λ2 ) (λ1 / λ2) (Dt - D),

(3)

Für das integrierte Volumen V(r), das in den „pigeon holes“ sämtlicher Radienklassen mit Radien ≤ r steckt, gilt nach Gl. (2) mit Dt =3:

V(r) / Vpor = (rmax-1) (3-D) r (3-D),

(4)

wobei Vpor das gesamte Porenvolumen einschließlich der Poren mit dem größten Porenradius rmax bedeutet. Gl. (4) beschreibt die mit dem Volumen gewichtete, kumulative Porenradienverteilung bei einer Integration mit zunehmenden Radien. In logarithmischer Form ergibt Gl.(4) eine Geradengleichung mit der Steigung (3-D): log (V(r) / Vpor ) = (3-D) log r + log C1,

(5)

mit C1 = (rmax-1) (3-D). Differentiation von Gl. (4) nach d log r ergibt: d (V(r) / Vpor ) / d log r = C1 (3-D) ln10 r (3-D).

(6)

Für eine doppelt-logarithmische Darstellung der Volumenverteilung nach Radienklassen werden zweckmäßigerweise Porenradienklassen mit ri < r ≤ rj und konstantem log (rj / ri) gewählt. Für das Teilvolumen dieser Klassen ∆ V(r) folgt: ∆ V(r) = (d (V(r) / Vpor ) / d log r) log (rj / ri) = C1 (3-D) ln10 log (rj / ri) r (3-D),

(7)

und in logarithmischer Form: log ∆ V(r) = (3-D) log r + log C2 ,

(8)

mit C2 = C1 (3-D) ln 10. Ein Vergleich von Gl. (8) mit Gl. (5) zeigt, daß in beiden Darstellungen Geraden mit der gleichen Steigung (3-D) auftreten. Die vorstehenden Ableitungen zeigen, wie die fraktale Dimension experimentell bestimmt werden kann. Der eine Weg beruht auf Gl. (3) , wobei mehrere Messungen der spezifischen Oberfläche mit unterschiedlichem Auflösungsvermögen durchgeführt werden (Pape et al. 1982, 1987). Eine andere Methode besteht in der Auswertung von Porenradienverteilungen entsprechend den Gleichungen (5) oder (8) (Kulenkampff, 1994). Bei diesen Untersuchungen ergab sich ein Mittelwert von D = 2.36 für einen großen Probensatz von verschiedenen Reservoirsandsteinen aus Nordwestdeutschland. An diesen Gesteinen wurden außer Messungen von Porosität, spezifischer Oberfläche und Porenradienverteilung Bestimmungen der Permeabilität und der elektrischen Leitfähigkeit durchgeführt. Aus diesen Untersuchungen wurden die folgenden empirischen Beziehungen für die im „Pigeon hole“-Modell vorkommenden Radien rgrain, rsite und reff, die fraktale Dimension D und die Porosität φ gewonnen (Pape et al. 1987): rgrain / rsite = ( rgrain / reff )kr ,

(9)

mit kr = 0.39, wenn rgrain /reff > 30, sowie φ = 0.534 ( rgrain / reff )kr (D-3) .

(10)

In den Gleichungen für die spezifische elektrische Leitfähigkeit und für die Permeabilität tritt die Tortuosität T auf, die mit der Porosität zu einem als Formationsfaktor F = T/φ bezeichneten Ausdruck zusammengezogen werden kann. Für die Tortuosität wurde ein zu Gl. (10) analog aufgebauter Ausdruck gefunden (Pape et al. 1987):

Τ = 1.34 ( rgrain / reff ) 0.67 (D-2)

(11)

Für den Formationsfaktor gilt die als erste Archie-Formel (Archie, 1942) bekannte empirische Beziehung: (12) F = A φ-m. Dieser Zusammenhang läßt sich auch aus der fraktalen Modelltheorie ableiten (Pape und Schopper, 1988). Dabei ergibt sich für m und A: -m = (0.67(D-2))/(0.39 (D-3))-1, A=1.34/0.534-m+1.

(13a) (13b)

Die von Gl. (9) bis Gl. (13) angeführten Beziehungen gelten für Sandsteine. Wie von Pape und Schopper (1987, 1988) gezeigt wurde, lassen sich kristalline Gesteine mit Rißgeometrie mit einem leicht abgewandelten fraktalen Modell behandeln. Zusätzlich zu den Strukturen des „Pigeon hole“Modells, die über den ganzen Bereich von relevanten Größenordnungen verteilt sind, wurden zwei Generationen von Lamellenstrukturen in das zusammengesetzte Modell eingebaut, die auf den Klüften gesproßten Sekundärmineral-Bildungen entsprechen. Diese bewirken eine zusätzliche Oberflächenvergrößerung gegenüber der geglätteten Messung, die durch den Lamellenfaktor q > 1 beschrieben wird. Auf der Grundlage der entsprechenden petrophysikalischen Laboruntersuchungen ergab sich für den Falkenberg-Granit aus Bayern eine fraktale Dimension von 2.24. Außerdem treten an die Stelle der Gleichungen (3), (10), (11) und (12) die folgenden Beziehungen: Stot (λ1 ) = Stot (λ2 ) q (λ1 / λ2) (Dt - D) ,

(14)

φ = 31.62 q0.76 (rgrain/reff) -0.76 ,

(15)

T = 0.1469 (rgrain/reff)0.19 ,

(16)

F = 1.67 q0.19 φ -1.25 ,

(17)

mit q=5.8 und D=2.24.

Permeabilitäts-Porositäts-Beziehungen Die folgenden modelltheoretischen Betrachtungen über die Permeabilität beruhen auf der KozenyCarman-Gleichung (Kozeny, 1927; Carman, 1937, 1948, 1956), in der die Permeabilität k von der Porosität φ, der Tortuosität T sowie dem effektiven hydraulischen Porenradius reff des Kapillarsystems abhängt: k = (φ/T) (reff)2 /8.

(18)

Diese Gleichung basiert auf einem Kapillarbündel-Modell. Es definiert reff als den Radius der gewundenen und zylindrischen Modellkapillaren. Obwohl der Radius reff nicht direkt gemessen werden kann, läßt er sich aufgrund von Beziehungen, die für die geometrischen Modelle gelten, durch die spezifische, auf das Porenvolumen bezogene Oberfläche Spor oder durch den Kornradius rgrain und die Porosität φ ersetzen. Dieses Vorgehen gestaltet sich recht einfach für Modelle mit zylindrischen Kapillaren oder Kugelpackungen, während im Falle eines fraktalen Modells verschiedene zusätzliche Überlegungen angestellt werden müssen. Unabhängig von einem zugrundegelegten Modell kann der effektive Porenradius aus gemessenen Porenradienverteilungen abgeschätzt werden. Nach den Untersuchungen an einem großen Datensatz von Rotliegend-Sandsteinen aus Nordostdeutschland läßt sich nach Pape et

al. (1989) reff durch den Medianwert R50 der Porenradienverteilung ersetzen, wenn dieser größer als der halbe erste Quartilradius (R25/2) ist, im anderen Falle durch letzteren Ausdruck. In einem Gesteinsmodell mit glatten Kapillaren ergibt sich für die spezifische, auf das Porenvolumen bezogene Oberfläche Spor unmittelbar ein Ausdruck, der umgekehrt proportional zum effektiven Porenradius reff ist: Spor = 2π reff / {π (reff2)} = 2/ reff .

(19)

Nach Gl. (2) läßt sich reff in der Kozeny-Carman-Gleichung durch Spor ersetzen: -2 k = (1/2) (φ/T) (Spor) .

(20)

Ein Gesteinsmodell mit möglichst einfacher Geometrie der Festkörper-Komponente besteht aus einer Kugelpackung. Der folgende Zusammenhang ergibt sich aus der Überlegung, daß dieselbe Grenzfläche zwischen Fluid und Mineralkörnern einerseits als Spor auf das Porenvolumen, anderseits als Smtx auf das Matrixvolumen normiert werden kann: 2/ reff = Spor = Smtx (1-φ)/φ = 4π(rgrain)2 /{(4/3)π (rgrain)3}{(1-φ)/φ} = (3/rgrain){( 1-φ)/φ}.

(21)

durch Einsetzen von Gl. (21) in die Kozeny-Carman-Gleichung (18) erhält man: 2 3 2 k = (1/18) T -1 (rgrain) φ / (1-φ) .

(22)

Die Gleichungen (20) und (22), die für die Permeabilität aus Gesteinsmodellen mit glatten Oberflächen abgeleitet wurden, lassen sich nur in Ausnahmefällen auf natürliche Gesteine anwenden. Die Ableitungen der Formeln für die Permeabilität, die sich aus dem fraktalen Modell ergeben, sind anderen Orts ausführlich dargestellt (Pape et al. 1982, 1987, 1998). Wenn die spezifische Oberfläche bekannt ist, wird Gl. (20) des glatten Kapillarbündelmodells ersetzt durch: k = 475.3 (φ/T) Spor (-2/(3-D))

(Spor in µm-1 und k in µm2).

(23)

Wenn der Kornradius als bekannt vorausgesetzt wird, tritt an die Stelle von Gl. (22) des glatten Kugelmodells: (24) k = (1/8) (φ/T ) (rgrain )2 (2 φ) 2 / ( 0.39( 3 − D )) . Durch Einsetzen der Archie-Beziehung Gl. (12) in Gl. (24) ergibt sich für durchschnittliche ReservoirSandsteine mit den Parametern m = 2, A = 0.67, D = 2.36 und für ein mittleres rgrain = 200 µm: k = 191 (10 φ)10

(nm2)

für φ > 0.1

(25)

In einer Studie von Pape et al. (1998) wurde die Permeabilitäts-Porositäts-Beziehung auf der Grundlage von größeren Mengen von k- und φ-Daten für verschiedene Sand- und Tongesteine untersucht. Dabei konnte für den Porositätsbereich φ > 0.1 das Verhalten nach einem Potenzgesetz mit dem Exponenten 10 bestätigt werden. Für die Bereiche 0.01 < φ < 0.1 und φ < 0.01 mußten jeweils kleinere Exponenten für eine Anpassung der Potenzfunktion an die Daten angenommen werden. Unabhängige Messungen der elektrischen Tortuosität und der Porenradienverteilungen zeigten, daß für kleine Porositäten die Tortuosität und der effektive Porenradius gegen einen Grenzwert laufen. Diesem Verhalten

wird eine Darstellung von k als Summe von Potenzfunktionen gerecht, wobei jeder Term in dem entsprechenden Porositätsintervall dominiert: k = a φ + b φexp1 + c (10 φ)exp2 ,

(26)

mit exp1 = m und exp2 = m + 2/ (kr (3-D)). Die Vorfaktoren und Exponenten wurden für verschiedene Gesteinstypen, nämlich für reine Sandsteine, durchschnittliche Sandsteine, tonige Sandsteine und Tongesteine, kalibriert. Für den Normaltyp eines Sandsteins gilt die Beziehung: k = 31φ + 7463φ2 + 191(10φ)10

(nm2).

(27)

Diese Gleichung gehört zu Gesteinen mit dem Exponenten m = 2 aus der Archie-Gleichung und einer fraktalen Dimension D = 2.36. Zu den selteneren Sandsteinen mit glatteren Porenwänden aufgrund von diagenetischer Quarzzementation gehört der Fontainebleau-Sandstein, für den Bourbie und Zinszner (1985) folgende Permeabilitäts-Porositäts-Beziehung fanden: k = 303 (100φ)3.05

(nm2) für φ > 0.08,

(28a)

(28b) k = 0.0275 (100φ)7.33 (nm2) für φ ≤ 0.08. Ein Vergleich mit Gl. (22), in der der Term φ3 auftritt, zeigt, daß die stärker porösen FontainebleauSandsteine mit einem glatten Kugelmodell, in dem die Tortuosität konstant ist, erklärt werden kann. In diesem Fall nimmt die fraktale Dimension den Grenzwert D = 2 an. Daraus folgt nach Gl. (13 a) für den Exponenten in der Archie Gleichung m = 1. Damit und mit kr = 1 ergibt die allgemeine Permeabilitäts-Porositäts-Beziehung Gl. (26) ebenfalls den Wert 3 für den Exponenten des dritten Terms. Bei dem einen Fallbeispiel für ein Permeabilitäts-Log, der Geothermie-Bohrung HamburgAllermöhe 1, wurde an Hand von Kernmaterial die Permeabilitäts-Porositäts-Beziehung für den RätSandstein-Aquifer untersucht (GTN-Bericht, 1997). Diese läßt sich durch folgende Ausgleichsfunktion beschreiben: (nm2). (29) k = 0.309 (100φ)4.85 Die allgemeine Permeabilitäts-Porositäts-Beziehung Gl. (26) läßt sich auch auf kristalline Gesteine anwenden. Für den Falkenberg-Granit ergibt sich durch Einsetzen der Parameter kr = 1, m = 1.25 und D = 2.25 unter Fortlassung des ersten Terms nach Kalibrierung der Vorfaktoren mit den Kerndaten aus Pape et al. (1987): k = 234 φ1.25 + 2094 (10 φ)3.88

(nm2).

(30)

10 10 10

2

Permeabilität (nm )

10 10 10 10 10 10 10

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

-1

10

-2

10

-3

10

-4

10

3 4 56

0

10

2

3 4 5 67

1

10

Porosität φ (%)

2

3 4 5 67

2

10

Abb. 2: Doppelt-logarithmische Auftragung der Permeabilität gegen die Porosität für verschiedene konsolidierte und lockere, reine und tonhaltige Sandsteine sowie den Falkenberg-Granit. Die fünf Linien am Kopf der Legende sind mit größeren Datenmengen kalibriert worden, während die Symbole zu Formationen gehören, die durch kleinere Datenmengen repräsentiert sind. Permeabilitäts- und Porositätsdaten, die nicht einzeln zitiert sind, stammen von Debschütz (1995), Iffland und Voigt (1996) und Kulenkampff (1994).

Gl. (27), durchschnittlicher Sandstein k = 155φ + 37315φ2 + 630(10φ)10 (nm2), Rotliegend-Sandstein von NO-Deutschland k = 6.2φ + 1493φ2 + 58(10φ)10 (nm2), toniger Sandstein k = 0.1φ + 26φ2 + (10φ)10 (nm2), Tonstein Gl. (28), Fontainebleau-Sandstein (Bourbie and Zinszner, 1985) Sand (Schopper, 1967) Kaolin (Michaels and Lin, 1954) Karbon-Sandstein und -Tonschiefer Jura-Tonstein (Schlömer and Krooss, 1997) Rät-Sandstein von Allermöhe Gl. (29), k-φ-Beziehung für Rät-Sandstein von Allermöhe Falkenberg-Granit Gl. (30), k-φ-Beziehung für Falkenberg-Granit

Die kalibrierten Kurven von Gl. (27) bis (30) und zusätzliche an größeren Datensätzen gewonnene Kurven sind in einem doppelt-logarithmischen Permeabilitäts-Porositäts-Diagramm (Abb. 2) dargestellt.

Relaxation bei der NMR und Zusammenhang mit der Porenradienverteilung Bevor wir zu komplizierten Porenraumgeometrien übergehen, betrachten wir den NMRProzeß in einem einfachen Kapillarmodell mit einheitlichem Porenradius. In diesem Fall klingt die Kurve der gemessenen Magnetisierung exponentiell ab, d.h. es handelt sich um sogenannte DebyeRelaxation, die immer dann auftritt, wenn sich die in einem elastischen Glied gespeicherte Energie über ein Reibungsglied entläd. Damit haben wir ein mechanisches Analogon für die Beschreibung der

Relaxation gewählt. Genausogut kann das elektrische Analogon für Prozesse aus anderen Bereichen der Physik in Form von elektrischen Ersatzschaltbildern benutzt werden. Im Falle der DebyeRelaxation wird die Ersatzschaltung durch ein einfaches R-C-Glied dargestellt (Abb. 3). Dabei wird das elastische Glied durch den Kondensator vorgestellt, für den ein lineares Gesetz für die Abhängigkeit der Spannung U von der Ladung Q gilt, wobei die reziproke Kapazität C als Proportionalitätskonstante auftritt: U = C -1 Q .

(31)

Nach Schließen des Stromkreises fließt die Ladung des aufgeladenen Kondensators durch einen Ohmschen Widerstand. Bei der Stromleitung handelt es sich um einen Reibungsprozeß, Abb. 3: Elektrischer Schaltkreis für Debye-Relaxation

der durch eine lineare Differentialgleichung mit der Stromstärke I und dem Widerstand R beschrieben wird: (32) dQ/dt = I = R -1 U . Einsetzen von Gl. (31) in Gl. (32) und Integration nach Trennung der Variablen ergibt die Relaxationsfunktion: (33) Q / Q0 = U / U0 = exp (-t/ (C R)) , wobei der Index 0 für den Zeitpunkt t = 0 gilt. Die Zeit τ = C R, für die die Spannung auf den Wert U0/e sinkt, wird als Relaxationszeit bezeichnet. Für den Prozeß der Gitter-Relaxation der Magnetisierung M in einer Kapillare vom Radius r gelten Gleichungen, die ähnlich aufgebaut sind. Das lineare elastische Gesetz besteht aus der Gleichung für den osmotischen Druck p: p/(R T)= V -1 n ,

(34)

mit der Gaskonstanten R, der absoluten Temperatur T, der Molzahl n der Protonen mit antiparallelem Spinmoment und dem Volumen V. Die Differentialgleichung (32) wird ersetzt durch eine entsprechende Gleichung für die Abnahme der Protonenzahl, die ein antiparalleles Spinmoment tragen. Die Protonenspins verlieren die energiereichere Antiparallelstellung durch Gitterrelaxation, wozu die Protonen mit der Porenwand zusammentreffen müssen: dn/dt = ρ S p/(R T) .

(35)

Da bedeutet ρ die Oberflächenrelaxivität und S die Oberfläche der Porenwand. Entsprechen Gl. (33) ergibt sich für die NMR-Relaxation: M/M0 = n/n0 = exp (-t ρ (S/V)).

(36)

Daraus ergibt sich für die Relaxationszeit T1 der longitudinalen Relaxation bzw. T2 der transversalen Relaxation:

1/T1 = 1/T2 = ρ (S/V) = ρ Spor

(37)

In einem porösen Medium mit glatten Kapillaren vom Radius r gelten die Gleichungen (19) und (20), so daß mit Hilfe der Relaxationszeiten T1 oder T2 der Porenradius und anschließend die Permeabilität berechnet werden kann. Außerdem ist die Anfangsmagnetisierung ein Maß für die Porosität. Als nächstes kommen wir zum allgemeineren Fall einer Porenradienverteilung. Bei der konventionellen Auswertung von NMR-Relaxationskurven wird ein Kapillarbündelmodell zugrundegelegt, wobei die Kapillaren zwar verschiedene Radien entsprechend einer Radienverteilung haben. Jedoch werden sie nicht vernetzt, sondern isoliert betrachtet und die einzelnen Beiträge der Radienklassen zur Magnetisierung aufaddiert. Dann stellt sich die Relaxationsfunktion als Summe von Exponential-Termen dar, die den einzelnen Radienklassen mit Index i zugeordnet sind: M/M0 =

∑

ai exp (-t/ Ti ) ,

(38)

i

wobei Ti für T1i oder T2i steht. Bei dem Ansatz nach dem Kapillarbündelmodell handelt es sich um ein vereinfachtes Verfahren. Im Teil 2 dieser Arbeit wird ein elektrisches Ersatzschaltbild vorgeschlagen, das der fraktalen Struktur des Porenraumes besser Rechnung trägt. Nachdem zu einer Relaxationskurve eine geeignete Verteilung von Relaxationszeiten gefunden wurde, ergibt sich aus den Relaxationzeiten Ti und den Gewichten ai unmittelbar die zugehörige Porenradienverteilung.

Bestimmung der Permeabilität aus NMR-Bohrlochmessungen Am Beispiel der Bohrung Hamburg-Allermöhe 1 soll die Gewinnung eines Porositäts-Logs aus einer NMR-Messung gezeigt werden. Als Ausgangsbasis wurde ein NMR-Log der Fa. Schlumberger verwendet. Als Ergebnis der Messung lag für jede Teufe eine Verteilung von transversalen Relalaxationszeiten (T2) der transversalen Magnetisierung vor. Diese war bereits nach dem Kapillarbündelmodell in eine Verteilung von Porositätsklassen umgerechnet. Für die Berechnung der Permeabilität wurden drei Klassen unterschieden: 1.) freies Porenvolumen mit weiten Kapillarradien, 2.) Porenvolumen in engen Kapillaren und 3.) an Tonminerale gebundenes Porenvolumen, die zusammen das Gesamtporenvolumen ausmachen. Die entsprechenden Porositäten werden folgendermaßen bezeichnet: φff (ff = free fluid), φsc (sc = small capillary bound), φclay (clay = clay bound) und φ (Gesamtporosität). Die Grenze zwischen freier Porosität und der an kleine Kapillaren gebundenen Porosität wurde durch die Relaxationszeit T2 = 3 ms festgelegt. Bei der Berechnung der Permeabilitäten aus den NMR-Porositäten wurde zwischen den Gesteinen mit mehr als 75% freier Porosität von der Gesamtporosität und den übrigen Gesteinen unterschieden. Für die erste Gruppe konnte die aus Kernuntersuchungen abgeleitete PermeabilitätsPorositäts-Beziehung (Gl. 29) angewandt werden. Für den anderen Fall (φff < 0.75 φ) wurde die Permeabilität für die beiden Porositätsklassen der freien Porosität und der an kleine Kapillaren gebundenen Porosität getrennt mit Hilfe der Kozeny-Carman-Gleichung (18) berechnet und addiert:

k = k1 + k2 , k1 = (1/8) (φff / T ) (reff,1 )2 , k2 = (1/8) (φsc / T ) (reff,2 )2 ,

(39)

wobei T = 3, reff,1 = 1000 nm und reff,2 = 100 nm angenommen wurde. Das so gewonnene Permeabilitäts-Log (Abb. 4) stimmt gut mit den vorhandenen Kernmessungen ein. Teilaquifer geringpermeable Schichten Perforationsstrecke

3150

Teufe (m)

3200

3250

3300 0

5

10

15

Porosität (%)

a)

20

25 10

-1

10

0

10

1

10

2

3

10

10

4

10

5

10

6

2

Permeabilität (nm )

b)

Abb. 4: Permeabilitäts-Vorhersage für den Rät-Aquifer der Bohrung Hamburg-Allermöhe 1 auf der Grundlage eines NMR-Logs. (a): Das NMR-Log liefert die freie Porosität (gepunktete Linie), die an feine Kapillaren (Radius < 100 nm) gebundene Porosität (rechts von der gestrichelten Linie bis zum schwarzen Bereich) und die an Tonminerale gebundene Porosität (schwarz ausgefüllter Bereich). Die Kreise geben die an Kernproben gemessenen Porositäten an. (b): Permeabilität, berechnet aus NMR-Porositäten (Linie) und Kern-Porositäten (Kreise).

Danksagung Die Untersuchungen wurden gefördert durch das Bundesministerium für Bildung, Wissenschaft, Forschung und Technologie über KFA-Jülich BEO im Rahmen des Verbundvorhabens “Hydraulisches,

thermisches und mechanisches Verhalten geothermisch genutzter Aquifere”; Förderkennzeichen 032 6995 A.

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Kolloquium „Elektromagnetische Tiefenforschung“, 9.-13.3.98, Neustadt/Weinstraße

Bestimmung von Porosität und Permeabilität aus Bohrlochmessungen der induzierten Polarisation (IP) oder der nuklearmagnetischen Resonanz (NMR) auf der Grundlage einer fraktalen Porenraumgeometrie Teil 2: Elektrische Ersatzschaltbilder und IP-Anwendungsbeispiel Hansgeorg Pape1, Grinat2, M. & Christoph Clauser2 1Geodynamik, Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität, Nussallee 8, D-53115 Bonn 2Geowissenschaftliche Gemeinschaftsaufgaben (GGA), Stilleweg 2, D-30655 Hannover

Kurzfassung Bei der induzierten Polarisation (IP) im Zeitbereich und bei der nuklearmagnetischen Resonanz (NMR) beruht das Relaxationsverhalten der Meßgröße nicht nur auf elektrischen bzw. magnetischen Prozessen, sondern auch auf der Diffusion in einem Porenraum mit komplizierter Geometrie. Im Sinne einer vereinfachten mathematischen Beschreibung werden die verschiedenen physikalischen Einflußgrößen in die beiden Gruppen elastische Glieder und Reibungsglieder eingeteilt. Damit wird ein elektrischer Ersatzschaltkreis entworfen, für den eine Verteilung von Relaxationszeiten berechnet werden kann. Das elektrische Ersatzmodell wurde in der Weise aufgestellt, daß ein Zusammenhang zwischen Widerständen und Kondensatoren einerseits und Teilvolumina eines fraktalen Porenraummodells andererseits besteht. Für dieses Porenraummodell gelten die petrophysikalischen Zusammenhänge, die im Teil 1 vorgestellt sind. Auf diese Weise läßt sich aus der Verteilung der Relaxationszeiten die fraktale Dimension des Porenraums, die Porosität und schließlich die Permeabilität bestimmen. Die IP-Untersuchungen wurden an der ultratiefen Bohrung KTB-Oberpfalz HB des Kontinentalen Tiefbohrprogramms der Bundesrepublik Deutschland (KTB) durchgeführt und beziehen sich auf kristalline Gesteine mit Rißporosität.

Abstract The relaxation of the measured property in induced polarization (IP) and in nuclear magnetic resonance (NMR) is not exclusively based on electrical or magnetic processes, but also on diffusion inside a complicated pore space. In order to simplify the evaluation method, different physical properties are classified as elastic term or as frictional term. These terms build up an electrical equivalent circuit, for which the distribution of relaxation times can be calculated. This equivalent circuit has been established in such a way, that resistors and capacitors can be attributed to partial volumes of a fractal pore space model. Several petrophysical relationships which are valid for this model of porous rocks are stated in part 1. On this base it is possible to calculate fractal dimension, porosity and permeability from relaxation curves. The evaluated IP-logs were measured in the ultradeep borehole KTB-Oberpfalz HB of the German Continental Drilling Program (KTB), where microfissured basement rocks were penetrated.

Einleitung Bei der induzierten Polarisation (IP) im Zeitbereich wird eine Relaxationskurve der Polarisationsspannung gemessen, bei der nuklearmagnetischen Resonanz (NMR) das Abklingverhalten der Magnetisierung. Obwohl es sich zunächst um grundverschiedene Prozesse handelt, werden viele Gemeinsamkeiten deutlich, wenn die Einzelprozesse für die mathematische Behandlung so verallgemei-

nert betrachtet werden, daß sie entweder als elastischer Prozeß oder als Reibungsprozeß einzustufen sind. Außer elektrischen und magnetischen Prozessen spielt bei IP und NMR die Diffusion eine wichtige Rolle. Diese liefert einen Beitrag zu den Reibungsprozessen. Mit Hilfe der elastischen Terme und der Reibungsterme, die als Kondensatoren bzw. Widerstände dargestellt werden, kann ein elektrischer Ersatzschaltkreis aufgestellt werden, mit dem sich die verschiedenen physikalischen Prozesse einheitlich beschreiben lassen. Für die betrachteten physikalischen Teilprozesse spielen die geometrischen Verhältnisse eine große Rolle, so daß sich das zugrunde gelegte geometrische Porenraummodell in der Konstruktion des elektrischen Ersatzschaltbildes widerspiegelt. In Teil 1 wurde als einfaches Beispiel die DebyeRelaxation in einem Kapillarmodell mit einheitlichem Porenradius vorgeführt. Im folgenden sollen kompliziertere Schaltbilder entwickelt werden, die zu dem in Teil 1 erklärten, fraktalen Porenraummodell passen. Ein wesentliches Merkmal dieser Schaltbilder ist die Selbstähnlichkeit, die sich in einem kaskadenhaften Aufbau und in konstanten Verhältnissen der Größen von Widerständen und Kapazitäten zeigt. Wir beginnen mit der Modellierung der IP-Relaxation. Das resultierende Ersatzschaltbild kann in abgewandelter Form auch für die Interpretation von NMR-Relaxationskurven verwendet werden. Als Ergebnis der Auswertung der IP-Abklingkurven erhalten wir zunächst zwei Parameter, den Abklingexponenten m und die Grenzrelaxationszeit τmax. Danach wird gezeigt, wie die elektrischen Größen mit geometrischen Größen verknüpft werden können. Dieser Auswerteschritt führt zur fraktalen Dimension D und zur Porosität φ. Schließlich wird die Permeabilität k mit Hilfe einer Permeabilitäts-Porositäts-Beziehung bestimmt.

Modellierung der IP-Relaxation Die folgende mathematische Beschreibung der IP-Relaxationskurven auf der Basis eines fraktalen Porenraummodells stützt sich auf Pape et al. (1996) und Vogelsang et al. (1992), wobei einige Erweiterungen hinzukommen. Bei der Meßanordnung der IP gelten zunächst dieselben Verhältnisse wie bei der Gleichstromgeoelektrik. Durch zwei Stromelektroden wird im umgebenden Gestein ein elektrischer Gleichstrom erzeugt. Aus der Stromstärke I und der Primärspannung Vp läßt sich unter Berücksichtigung eines nur von den Abständen zwischen den Elektroden abhängigen Geometriefaktors K der scheinbare spezifische elektrische Widerstand ρa ermitteln: ρa = K (Vp / I )

(1)

Während des Gleichstromflusses bauen sich im Gestein an bestimmten Stellen in der Nähe der Porenwand Ladungswolken aus positiv bzw. negativ geladenen Ionenwolken auf. Nach dem Abschalten des Gleichstroms geht die Potentialdifferenz an den Potentialelektroden nicht sofort auf Null zurück, sondern fällt zunächst auf einen Bruchteil der Primärspannung ab, um anschließend in Form einer Abklingkurve gegen den Endwert Null zu laufen. Dieses Verhalten läßt sich durch die Polarisation des Gesteins und das allmähliche Entladen der Ionenwolken erklären. Die Expansion der Ionenwolken beruht sowohl auf der Potentialdifferenz zwischen Anionen- und Kationenwolken als auch auf dem osmotischen Druck. Dadurch wird ein Prozeß der elektrolytischen Stromleitung und ein Diffusionsprozeß in Gang gesetzt. In Abb. 1 ist dargestellt, wie man sich beide Prozesse in dem fraktalen Porenraum des in Teil 1 beschriebenen „Pigeon hole“-Modells von Pape et al. (1987) vorstellen kann. Zu Beginn des Relaxationsprozesses ist die Diffusion der beherrschende Vorgang. Deshalb soll dieser Prozeß zunächst isoliert betrachtet werden. Das Ergebnis liefert dann eine Asymptote für den Anfangsteil der gemessenen Abklingkurven. Der Diffusionsprozeß kann durch das in Abb. 2a dargestellte Ersatzschaltbild modelliert werden. Es besteht aus einer Kaskade von Kapazitäten, die durch Widerstände verbunden sind. Ein ähnlicher Schaltkreis wurde von Liu (1985) für die Polarisation einer Elektrode mit fraktaler Oberflächenstruktur entworfen. Die Ergebnisse von Liu, die das sogenannte „Constant phase angle“-Element betreffen, können später übernommen werden.

Aus der Selbstähnlichkeit des fraktalen geometrischen Modells ergibt sich als wesentliche Vereinfachung, daß die Widerstands- (R-) und die Kapazitäts(C-) Glieder durch ein Potenzgesetz miteinander verknüpft sind: /R1)q .

Ci/C1 = (Ri (2)

Da die Ci und die Ri selbst von geometrischen Parametern abhängen, besteht eine Beziehung zwischen q und der fraktalen Dimension des geometrischen Modells, auf die später näher eingegangen werden soll. Zunächst sei erklärt, daß C1 und R1 den feinsten Porenraumstrukturen direkt an der Porenwand zugeordnet sind und höhere Indizes die übergeordneten Strukturen in Richtung auf das Poreninnere bezeichnen. Für die Diffusion besteht das lineare elastische Gesetz wie bei der NMR (siehe Teil 1) aus der Gleichung für den osmotischen Druck p: p/(R T) = V -1 n,

(3)

Abb. 1: Zwei Prozesse der Relaxation von Ionenwolken in einem fraktalen Porenraum: a) Expansion der Ionenwolken durch Diffusion b) Entladung durch elektrolytische Stromleitung

mit der Gaskonstanten R, der absoluten Temperatur T, der Molzahl n der Ionen und dem Volumen V. Dieser Gleichung entspricht im elektrischen Analogon: U = C -1 Q ,

(4)

mit der Spannung U und der Ladung Q. Der Reibungsprozeß der Diffusion wird durch folgende Differentialgleichung beschrieben: dn/dt = Ddiff (S /∆x) ∆p/(R T),

(5)

mit dem Diffusionskoeffizienten Ddiff , der Transportlänge ∆x und der Querschnittsfläche S. Das elektrische Analogon dazu ist die Gleichung für die Stromstärke I:

dQ/dt = I = R -1 U .

(6)

Abb. 2: Elektrische Ersatzschaltkreise für die induzierte Polarisation (IP) a) Getrennte Beschreibung des Diffusionsprozesses durch eine Kaskade von Kapazitäten, die durch Widerstände verbunden sind. Hierdurch wird die Warburg-Impedanz bzw. das „Constant phase angle element“ (CPA-Element) dargestellt. b) Der aus elektrolytischer Stromleitung und Diffusion bestehende Gesamtprozess wird durch eine Kaskade von RC-Gliedern, die durch Widerstände verbunden sind, beschrieben.

Das Ersatzschaltbild der Abb. 2a beschreibt stellvertretend durch elektrische Größen der Gleichungen (4) und (6) die diffusionsbedingte Konzentrations-Abnahme von sogenannten Überschußionen, d.h. von Ionen, die von ihren Gegenionen getrennt sind. Wir rechnen bei der Auswertung der Relaxationskurven mit elektrischen Größen. Dabei vertritt R -1 den Ausdruck D (S /∆x), und C steht an Stelle von V. Dieser Zusammenhang ist später von Wichtigkeit, wenn die Abhängigkeit dieser Größen von Länge und Querschnittsfläche der Volumenelemente des geometrischen Modells betrachtet wird. Daß die Relaxationskurve im Experiment durch Spannungsmessungen aufgenommen wird, steht der Betrachtung als Diffusionprozeß nicht entgegen, da die Überschußkonzentration der Ladung und damit der Spannung eines Kondensators proportional ist. Die Gleichungen (4) und (6) gelten für die einzelnen C- und R-Glieder der komplexen Schaltung von Abb. 2a. Außerdem ist die Summe der Ströme an den Knotenpunkten gleich Null. Damit läßt sich in folgender Weise ein Gleichungssystem für die Spannungen Ui an den Kondensatoren Ci und die zeitlichen Ableitungen dUi /dt aufstellen: C1 dU1/dt

= R1-1 (U1 - U2)

Ci dUi/dt

= -Ri-1-1 (Ui-1 - Ui) + Ri-1 (Ui - Ui+1)

Cn dUn/dt

= -Rn-1-1 (Un-1 - Un) + Rn-1 Un .

Dieses läßt sich umformen durch geeignetes Addieren der Gleichungen: C1 dU1/dt

= R1-1 (U1 - U2)

i

∑ j=1

Cj dUj/dt

= Ri-1 (Ui - Ui+1)

(7)

n

∑

= Rn-1 Un .

Cj dUj/dt

(8)

j=1

Nachdem die Widerstandsterme auf die linke Seite gebracht sind, ergibt sich durch weiteres Summieren das endgültige Gleichungssystem: n

n

∑ ∑R ) (

k=1

j

i−1

n

∑ ∑ (

k=1

Ck dUk/dt

= U1

j=k

n

n

Rj ) Ck dUk/dt +

∑ ∑R ) (

k=i

j=i

i

Ck dUk/dt

= Ui

j=i

n

∑R

n

Ck dUk/dt

= Un

(9)

k=1

Unter Benutzung von Gl. (2) reduzieren sich die Eingangsparameter auf C1 , R1 und q. Die numerische Lösung stellt die Abklingspannung M(t) als Summe von Exponentialtermen mit den Relaxationszeiten τi dar: n

M(t) = U1(t) =

∑ a exp(-t/τ ). i

i

(10)

i=1

Die numerisch gewonnenen Abklingkurven für die diffusionsgesteuerte Relaxation der Abb. 2a lassen sich sehr genau durch eine Potenzfunktion mit dem Abklingexponenten m < 0 annähern: M(t) ∝ t m .

(11)

Für eine solche Potenzfunktion gilt nach Mandelbrot (1987) folgende Integral-Darstellung: M(t) =

∫ [H(τ) exp (-t/τ)] dlnτ ,

(12)

wobei H(τ) als Frequenzspektrum bezeichnet wird, das selbst eine Potenzfunktion ist: H(τ) ∝ τ m.

(13)

Zur Umrechnung der numerisch bestimmten Vorfaktoren ai arbeiten wir lieber mit der integralen Verteilungsfunktion G(τ) mit τ

∞

∫

∫ H(τ) dlnτ .

0

0

G(τ) = H(τ) d ln τ /

(14)

Durch Einsetzen von Gl. (13) in (14) folgt, daß die Funktion 1- G(τ) ebenfalls eine Potenzfunktion mit demselben Exponenten m ist: 1-G(τ) ∝ τ m .

(15)

Ein Vergleich der Gleichungen für die Verteilung der Relaxationszeiten (13) und (14) mit den Gleichungen für die fraktale Porenradienverteilung (Gleichungen (7) und (4) in Teil 1 zeigt, wie sich beide Verteilungen aufgrund der Selbstähnlichkeit hinsichtlich des Funktionstyps entsprechen. Bei beiden Verteilungen ist der Exponent eine Funktion der fraktalen Dimension. Der Zusammenhang zwischen m und D soll später bei Besprechung der geometrischen Zusammenhänge geklärt werden. Für das Ersatzschaltbild der Abb. 2a gibt es auch analytische Lösungen. Für den Frequenzbereich beschreibt Liu (1985) eine Methode, die Impedanz mit Hilfe eines Kettenbruchverfahrens zu

bestimmen. Der hier behandelte Schaltkreis läßt sich in dieselbe Form wie bei Liu angegeben bringen. Mit dem Exponenten q aus Gl. (2) ist die Impedanz Z(ω): Z(ω) ∝ (i ω) -c = (i ω) -1/(1+q) ,

(16)

mit der Frequenz ω, dem Exponenten c > 0 und i = −1 . Da die Gl. (16) im komplexen Impedanzdiagramm eine Gerade durch den Ursprung darstellt, wird die durch sie beschriebene Impedanz bzw. das gesamte Ersatzschaltbild als „Constant phase angle element“ (CPA-Element) bezeichnet, denn für jeden Punkt auf der Geraden, d.h. bei jeder Frequenz ist der Phasenwinkel gleich -c π/2. Ein wichtiger Sonderfall, der schon früh theoretisch behandelt wurde (Warburg 1899, 1901; Mitoff and Charles 1972), ist das „CPA-Element“ mit c = 0.5 mit der Bezeichnung WarburgImpedanz, die in der Elektrochemie bei der Elektrodenpolarisation gemessen wird und Diffusionsvorgänge vor ebenen Elektroden charakterisiert. Aus Gl. (16) folgt q = 1. Für diesen Fall läßt sich der Ersatzschaltkreis von Abb 2a leicht in geometrische Verhältnisse umsetzen, indem z.B. vor einer glatten Porenwand auf der linken Seite parallele Scheiben gleicher Dicke angenommen werden. Dann sind alle Widerstände und Kapazitäten untereinander gleich, unabhängig davon, wie die Umrechnung von Größen des Diffusionprozesses in geometrische Parameter im Einzelnen gehandhabt wird. Als Ergebnis sei zunächst festgestellt, daß für glatte Porenwände mit D = 2 die Warburgimpedanz mit c = 0.5 zutrifft. Als nächstes ist der Zusammenhang zwischen dem Impedanz-Parameter c im Frequenzbereich mit dem Abklingexponenten m im Zeitbereich zu klären. Für die Warburgimpedanz ist die Abklingkurve gegeben durch: M(t) ∝ t -0.5 .

(17)

Allgemein gilt, daß für das Potenzgesetz der Gl. (11) die Fourier-Transformierte in den Frequenzbereich angegeben werden kann (Jonscher 1981): Z(ω) ∝ (iω) -m -1 .

(18)

Daraus folgt durch Vergleich mit Gl. (16): c = m +1

(19)

und q = -m / (1+m) .

(20)

Damit ist die Betrachtung der Relaxation durch reine Diffusion abgeschlossen. Anschließend soll als weiterer Prozeß die Entladung der Ionenwolken durch elektrolytische Stromleitung in die Betrachtung einbezogen werden. Das erfolgt mit Hilfe des Ersatzschaltbildes der Abb. 2b, das eine Erweiterung des „CPA-Elements“ von Abb. 2a darstellt, indem parallel zu jedem Kondensator Ci ein Widerstand R’i geschaltet sind. Zwei Sonderfälle lassen sich ganz einfach lösen. Beim 1. Fall werden alle Widerstände bis auf R1 fortgelassen. Übrig bleibt ein Ersatzschaltbild für das Cole-Cole-Modell (Cole und Cole 1941) mit der Impedanz: Z(ω) ∝ 1 / (1 + (i ω τ ) c) ,

(21)

mit der Zeitkonstanten τ . Der zweite leicht zu lösende Fall besteht aus einer Kaskade von RCGliedern, die alle die gleiche Relaxationszeit τ0 haben. Dann gilt zusätzlich zu Gl. (2) die weitere Selbstähnlichkeitsbeziehung: Ci/C1 = (R’i/R’1) r ,

(22)

mit r = -1. Da im Vergleich zum „CPA-Element“ lediglich alle Kapazitäten durch RC-Glieder ersetzt sind, lassen sich Impedanz und Abklingkurve leicht durch Analogiebetrachtungen angeben. Als Impedanz ergibt sich ein ähnlicher Ausdruck wie in Gl. (21), in dem nur die Klammern anders gestellt sind: Z(ω) ∝ 1 / (1 + i ω τ0 ) c.

(23)

Allein durch elektrolytische Stromleitung fließen die Ladungen von allen Kondensatoren nach demselben exponentiellen Zeitgesetz ab: M’(t) ∝ exp(-t/τ0).

(24)

Durch Kombination mit Gl. (11) und (10) des „CPA-Elements“ ergibt sich für die gesamte Relaxationsfunktion: M(t) ∝ t m exp(-t / τ0) = [

n

∑ a exp(-t/τ )] exp(-t /τ ) i

i

0

i=1

n

=

∑ a exp(-t (1/τ + 1/τ )) . i

i

0

(25)

i=1

Da in der Darstellung der Abklingkurve als Summe von Exponentialtermen alle auftretenden Relaxationszeiten 1/ (1/τi + 1/τ0) kleiner als τ0 sind, wird τ0 als Grenzrelaxationzeit τmax bezeichnet. Die durch Diffusion und elektrolytische Stromleitung bedingten Abklingkurven der IP werden bis auf einen Faktor, d.h. hinsichtlich ihrer Form, durch die beiden Parameter Abklingkoeffizient m und Grenzrelaxationszeit τmax vollständig beschrieben. Abb. 3: Beschreibung der NMR-Relaxation in einem porösen Medium mit einem elektrischen Ersatzschaltkreis. a) Die Relaxation beruht allein auf der Gitterrelaxation an der Porenwand. b) Zusätzlich findet im ganzen Porenvolumen Spin-Spin-Relaxation statt.

Modellierung der NMR-Relaxation Bei der NMR beruht der wesentliche Relaxationsvorgang, der zur Untersuchung der Porenstruktur dient, auf der Gitterrelaxation an der Porenwand. Ein einfaches Modell mit einheitlichem Porenradius, in dem allein die Gitterrelaxation berücksichtigt ist, wurde in Teil 1 besprochen. Wenn das fraktale „Pigeon hole“- Modell zugrunde gelegt wird, kann außerdem der Transport der Protonen durch Diffusion von den zentral gelegenen Teilvolumina zur Porenwand betrachtet werden. Die NMR-Relaxation in einem fraktalen porösen Medium kann mit den Ersatzschaltbildern in Abb. 3 modelliert werden, die ganz ähnlich wie die Ersatzschaltbilder für die IP-Relaxation (Abb. 2) aufgebaut sind. In Abb 3 b wurde zusätzlich zur Gitterrelaxation die Spin-Spin-Relaxation berücksichtigt, die in jedem Teilvolumen nach der gleichen exponentiellen Abklingfunktion stattfindet. Vor Beginn des Relaxationprozesses wird die Anfangs-Magnetisierung durch einen 90° Radiofrequenz- (RF-) Puls erzeugt, durch den ein Teil der Kernspins in eine antiparallele Stellung zum stationären Magnetfeld gebracht werden. Im elektrischen Analogon werdend alle Kondensatoren auf die gleiche Spannung aufgeladen. In den Schaltbildern entsprechen die Kapazitäten Ci im wesentlichen den Teilvolumina, die Widerstände Ri beziehen sich auf die Diffusion, R’1 auf die Gitterrelaxation und die R’’i auf die Spin-Spin-Relaxation. Die Auswertung der Ersatzmodelle kann analog zur IP-Relaxation erfolgen und wird an dieser Stelle nicht weiter behandelt, bleibt aber Gegenstand laufender Untersuchungen.

Zusammenhang zwischen elektrischen Größen der Ersatzschaltbilder und Porengeometrie Wie die Kapazitäten und Widerstände der Ersatzschaltbilder mit den geometrischen Parametern des fraktalen Porenraummodells zusammenhängen, ergibt sich aus den Gleichungen (3) bis (6) für die analogen Prozesse. Ein Vergleich des osmotischen Gesetzes (3) mit der Kondensatorgleichung (4) zeigt, daß die Kapazität ein Volumen V repräsentiert. Für den Diffusionprozeß, Gl. (5), sowie für die elektrische Leitfähigkeit , Gl. (6), gilt, daß der Widerstandsterm sich proportional zur Transportlänge L und umgekehrt proportional zur Querschnittsfläche S verhält. Danach läßt sich der für die Abklingkurve maßgebliche Parameter q aus Gl. (2) folgendermaßen durch Längen-, Flächen- und Volumenverhältnisse ausdrücken: (26) q = log (Ci/C1) / log (Ri/R1) = log (Vi /V1) / log [(Li /L1) / (Si/S1)] Aus der fraktalen Theorie folgt für die Teilvolumina Vi des zugrunde gelegten Modells mit einer fraktalen Dimension D: Vi/V1 = (Li/L1) 3-D .

(27)

Für die Querschnittsflächen gilt: Si/S1 = (Li/L1) 2-D .

(28)

Durch Einsetzen der Gleichungen (27) und (28) in Gl. (26) wird der Zusammenhang zwischen q und D erhalten: q = (3-D) / (D-1), D = (3/q +1) / (1/q +1).

(29)

Aus der Form von gemessenen IP-Abklingkurven läßt sich der Abklingexponent m bestimmen. Daraus wird mit Gl. (20) q berechnet, das zur Berechnung der fraktalen Dimension nach Gl. (29) benötigt wird. Als nächste Größe interessiert uns die Gesamtporosität φ. Bei den nun folgenden Betrachtungen beschränken wir uns auf Gesteine mit Rißporosität. Dafür trifft die Überlegung zu, daß glatte Risse enger zusammenschließen können als rauhe Risse, bei denen die linke und die rechte Wandseite

unabhängig von einander strukturiert sind. Die Voraussetzung, daß die beiden Seiten eines Risses nach dem Aufklaffen nicht mehr zusammenpassen, wird leicht erfüllt, z. B. indem sie während der tektonischen Ereignisse seitlich gegeneinander verschoben wurden. Für ein einfaches fraktales Rißmodell, das in Abb. 4 im Querschnitt dargestellt ist, läßt sich der Zusammenhang zwischen Porosität und fraktaler Dimension ableiten, der allerdings nicht allgemein gilt, sondern vom Modell abhängt. In der Theorie der fraktalen Dimension gelten folgende beiden Grundgleichungen: Erstens gilt für den Zusammenhang zwischen der fraktalen Dimension D einer statistisch isotropen fraktalen Figur im Vektorraum mit der topologischen Dimension Dt und der fraktalen Dimension D* der Querschnittsfigur im Untervektorraum mit der topolischen Dimension D t* : D* = D - (D t - D t*) .

(30)

Zweitens berechnet sich die fraktale Dimension einer selbstähnlichen Figur aus der Anzahl N der Unterstrukturen, die auf die übergeordnete Struktur entfallen, und den Selbstähnlichkeitsfaktor v > 1: D = log N / log v .

(31)

Abb. 4: Darstellung eines fraktalen Risses im Querschnitt. Die Gesteinsmatrix ist schraffiert und das Porenvolumen weiß dargestellt. Dieses wird von der Porenwand abgegrenzt, deren Grundstruktur im Querschnitt durch den groben Polygonzug repräsentiert wird. Aus der Konstruktion des feineren überlagernden Polygonzuges der ersten Unterstruktur wird das Bildunggesetz erkennbar. Der eingezeichnete Winkel α bestimmt die Größe des Porenvolumens und die fraktale Dimension.

In Abb. 4 stellt die Schnittfigur der Kluftwand einen Polygonzug dar. Dessen selbstähnliches Bildungsgesetz wird mit dem in der Abbildung eingetragenen Winkel α ausgedrückt durch: N = 4 und v = 4(tg2 α + 1) -1/2 .

(32)

Nach Einsetzen von Gl. (32) in Gl. (31) erhält man unter Berücksichtigung, daß wir mit Gl (31) die fraktale Dimension D* der Schnittfigur ausrechnen: tg α = (2 4 (1-1/D*) -1) 1/2 .

(33)

Außerdem ist das zwischen oberer und unterer Kluftwand freigelassene Porenvolumen proportional zu tg α . Damit haben wir bis auf einen Faktor den prinzipiellen Zusammenhang zwischen dem Porenvolumen und der fraktalen Dimension hergestellt. Die folgende explizite Gleichung beruht auf einer Anpassung an Kerndaten aus dem KTB-Projekt (Berckhemer et al., 1997; Pechnig et al., 1997, Zimmermann, 1991): φ = φmin + φmax (2 4 (1-1/D*) -1) 1/2 / 3 1/2.

(34)

Dabei wurde für die Gesteine mit der fraktalen Dimension D = 2 eine Minimum-Porosität φmin = 0.3% und für die fraktale Dimension D = 3 eine Maximum-Porosität φmax von 6% angenommen. Nach Gl. (30) ergibt sich D* der Schnittfigur aus der fraktalen Dimension D des Gesteins zu D* = D-1.

Bestimmung von Porosität und Permeabilität aus IP-Bohrlochmessungen Als Anwendungsbeispiel für die Berechnung eines Porositäts- und Permeabilitäts-Logs aus einem im Zeitbereich gemessenen IP-Log soll die KTB-Hauptbohrung dienen. Die Messungen wurden 1991 von G.Grinat durchgeführt. Aus der Form der IP-Abklingkurven wurden für jede Teufe der Abklingexponent m und die Grenzrelaxationszeit τmax bestimmt (Pape und Vogelsang, 1996). Mit Hilfe der Gleichungen (20) und (29) wurde aus dem Abklingexponenten m die fraktale Dimension D bestimmt. Porosität Gneis Metabasit

Permeabiltät Kataklasit

Abb. 5: Porositäts- und Permeabilitäts-Log auf der Grundlage von IP-Messungen für einen Abschnitt der KTB-Hauptbohrung.

900

1000

a) Porosität und Gesteinstypen b) Permeabilität und KataklaseZonen nach Pechnig und Wohlenberg (1993).

1100

Teufe (m)

1200

1300

1400

1500

1600

1700 0

1

2

3

Porosität (%)

4

5

6

10

-3

10

-2

10

-1

0

10

1

10

10 2

Permeabilität (nm)

2

10

3

a)

b) Bestimmung von Porosität und Permeabilität aus IP-Bohrlochmessungen

Aus D ergibt sich nach Gl. (34) die Porosität. Für die Berechnung der Permeabilität k wurde eine Permeabilitäts-Porositätsbeziehung für kristalline Gesteine zugrundegelegt, die für KTB-Gesteine kalibriert wurde (Pape et al., 1998): k = 45 (10 φ)3 + 311 ( 10 φ )3.88

(nm)2 .

(35)

Eine ähnliche Porositäts-Permeabilitäts-Beziehung für den Falkenberg-Granit wurde in Teil 1 vorgestellt. Der in Abb. 5 dargestellte Abschnitt des Bohrprofils enthält einen über 400 m mächtigen Metabasit-Körper, der in Gneise eingebettet ist. Die Porositäts- und damit auch die PermeabilitätsVerteilung zeigt keine offensichtliche Abhängigkeit vom Gesteinstyp. Dagegen ergibt sich eine weitgehende Übereinstimmung der Teufenbereiche mit hohen Porositäten und Permeabiltäten mit den von Pechnig und Wohlenberg (1993) ausgehaltenen Kataklase-Zonen ihres Elektofazies- (EFA-) Logs. Für die KTB-Vorbohrung wurde von Zimmermann (Zimmermann, 1991; Pechnig et al. 1997) ein Porositäts-Log berechnet, das im Wesentlichen auf einem elektrischen Widerstands-Log beruht. Auch aus diesem Porositäts-Log wurde mit Gl. (35) ein Permeabilitäts-Log für einen Teufenabschnitt berechnet, der denselben Metabasit-Körper enthält (Pape et al. 1989). Dieses Log ähnelt dem hier dargestellt Permeabilitäts-Log auf der Basis von IP-Messungen und zeigt eine gute Übereinstimmung mit Kerndaten. Sowohl in der Vorbohrung als in der Hauptbohrung ist im hangenden und im liegenden Grenzbereich des Metabasitkörpers eine intensiv kataklastisch beeinflußte Zone vorhanden. Als Erklärung dafür kommt die durch den Fazieswechsel bedingte Diskontinuität der mechanischen Eigenschaften in Frage. Daß in dem hier vorgeführten Beispiel die Porosität und die Permeabilität aus der Form der IP-Abklingkurven und nicht aus elektrischen Widerstandsmessungen bestimmt wurden, hat einen triftigen Grund. Die Gesteine der KTB, die besonders gut leitfähig sind, haben diese Eigenschaft aufgrund von elektonischer Leitfähigkeit aufgrund ihres hohen Graphitgehaltes. Deshalb täuschen die niedrigen Widerstände im Log eine viel zu große Porosität vor. Diese Fehlerquelle spielt bei der hier dargestellten Auswertung der IP-Abklingkurven keine Rolle. Zum Abschluß muß angemerkt werden, daß in dem Permeabilitäts-Log die auf Mikroklüften beruhende Gesteinspermeabilität dargestellt ist. Es wird dabei keine Aussage über die Permeabiltät von Makroklüften gemacht, die für hydraulische Vorgänge eine viel größere Rolle spielt (Huenges et al., 1997; Zimmermann und Burkhardt, 1998).

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