Elementos de Geometría

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REY PASTOR

PUIG ADAM

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ELEMENTOS DE

GEO·

COLECCION ELEMENTAL INTUITIVA MADRID

PROLOGO DE LA PRIMERA EDICION

DOS PALABRAS PARA LOS CHICOS

Es propled11d. Queda hecho el depósito que marca l& Ley.

Aquf te presentamos, lecl.or querido, a los que han de durante esle curso tu compaíieros de trabajo: unas tijeras, ovillo de hilo, una regla, un par de escuadras, un compás, rollo de papel de calco, anos cartones, un paquete de lápices y monf6n muy grande de hojas de papel.

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Ni un solo día debes empezar la lecci6n de Geometría sin tener al lado estos tus buenos compañeros, ni terminar de estudiarla sin dejar ta mesa materialmente llena de recortes y de papeles con figuras. Núm. Rg\ro.: 6.242·63 Depósito Legal: M. 10.HO 1959

NUEVAS

GRA.Fl0.&.8,

s.

A. - Andrés Mellado, 18. -M..6.t>Rl D

Si alguna vez el libro fe hace pensar, no lo desdeñes, pues es entonces precisamente cuando mayores beneficios te proporciona. La Geometría empez6 siendo casi un juego y ha resultado, andando el tiempo, el edi/ icio racional más hermoso y perfecto que ha construido el pensamien(o humano.

CUATRO PALABRAS PARA LOS MAYORES

Al publicar estos ELEMENTOS DE Gr.oME.TRfA, segundo tomo de nuestra Colección Elemental lntuitil;a, no podemos reprimir cierto temor a la crítica española, aunque sinceramente declaramos que nos preocupo menos la simpatía de los crí(icos que la de los niños, para quienes ha sido pensada y escrita esta obrita, como lo fue la de «Elementos de Aritmética•. Nuestros temores no pueden fundarse en la excelente acogida dispensada a esta última, acogida por la que estamos oioamente agradecidos, sino, de una parle, en la residencia que la inercia opone ineoitablemente a todo ensayo, y de otra, en loa excluelol1mos de los criterios extremistas.

Nos explicaremos mejor: los partidarios de la enseñanza intuifil)O ( «intuitilJa» se ~ítala la Colección)· encontrarán quizá en el libro demasiadas demostraciones; los partidarios de la enseñanza logística hallarán, sin duda, en él un exceso 'de desenfado inluitioo. Conocida es la fórmula en la qae se deslindan los papeles de la l6gica y de la intuición en la Matemática; la intuición e• el faro que nos gvía para descubrir las oerdades matemáticas, pero éstas deben luego cimen~arse sólidamente mediante el raciocinio puro. Una enseñanza matemática completa, debe, pues, cultioar a la vez una y otra facultades del espíritu, en grado adecuado al deaarrollo mental del alumno. Pero éste oaría tan considerablemente de un año a otro, y aun de unos alumnos a otros, que no es posible formular un sistema pedagógico determinado en este grado de enseñanza, como no sea una política dé eclecticismo y de adapiaci6n a cada caso particular. Por estas y otras consideraciones hemos procurado hacer un libro de carácter «marcadamente intuitioo» en el sentido de apelar

comtantemente a los ejemplos vioos de la realidad, invitando al alumno a conatruir y a observar; intuitivo también en el sentido de prescindir de la constante distinción entre pos~ulados y teoremas; dis~inción inútil, porque no se comprende su necesidad a estas edades.

Pero no hemos deadeñado ninguna ocasi6n propicia para iniciar al educando en los razonamientos deductivos, puestos casi siempre en tipo de imprenta má.t pequeño, o en forma tal que el alumno de muy tierno entendimiento pueda inconscientemente resbalar sobre ellos sin dificultad, mientras que el de mente máa madura pueda ahondar en ellos, recibiendo su interés y su belleza. De intento hemos omitido, ain embargo, las demostraciones difíciles o contraproducentes, entre las cuales contamos muchas de las relativa.s a posiciones de rectas y planos en el espacio, que aún recordamos con terror de nuestros tiempos estudiantiles.

Contamos con la ayuda y el buen criterio de cada profesor para distinguir el grado prudencial de eoidencia («sensible» o «lógica») susceptible de lograr en cada caso. La Geome(ría es, por su natara.leza Y haata por su abolengo histórico, la ciencia más indicada para este género de ensayos.

• • • El plan que hemos seguido, y que no se ajusta por completo a nuestro primitioo deseo, requiere alguna obseroación. Un libro de Geometría, aun de carácter totalmente intuitivo, debe tener un esqueleto sobre el que pueda construirse un edificio racional. La Geometrfa es~dia las propiedades intrínsecas de las figuras, es decir, las que no alteran con el movimiento de las mismas. A cada clase de mooimientos corresponde una clase de propiedades y un instrumento que permite realizarlas. Problemas imposibles o difíciles con ciertos instramentos, se hacen posibles o fáciles con otros, Ceñirse a un grupo reducido de ellos es, pues, limitar los recursos prácticos de la Geometría y hasta encerrar en pobres angosturas todo su alcance te6rico.

Así, Por ejemplo, el empleo del papel de calco tiene, además de su eoiden1e utilidad prác(ica, un gran interés teórico, porque permite efectuar .de una oen ciertos tipos de mooimiento, mientra• que con la regla y el compás es preciso efectuar para cada punto una construcción especial, y no apal'ece en ella el concepto de grupo, que es el fu ndamento de la Geometría elemental y de las Geometrías superiores. Este concepto ha sido nuestra gufa, y por esta causa hemoa aplazado, Por ejemplo, el uso del compás has~a llegar al grupo de mooimienlos en los cuales es el instrumento natural. De todas· veras deseamos que los profesores españoles acojan con simpatía este humilde ensayo, que se aparta algo de la sólida y admirable arquitectura euclídea (a la que estamos tan habituados). No es el primero que se hace desde que Klein lanzó la idea de grupo en su famoso programa de Erlangen e indicó la conoeniencia de tomarlo como base, aun en la enseñanza elemental.

• • • Inútil será repetir aquí cuánto agradeceremos todas laa indicaciones que fiendan a corregir las numerosas imperfecciones de nuestros libros. Los originales de esta obrita han posado tambicfn por la censura p'reoia de dioersos alumnos antes de ir a manos del Úpógra/o. Nos han ayudado en esta tarea las niñas Mcfndez, Canellada, l raoedra Beltrán Sanclto y Noguera , y los niños V áldés y Sanz A lonso. Recordaremos siempre gratamente el entusiasmo que han puesto en esta tarea.

Madrid, septiembre de 1928.

INDIC E DE LOS ELEMENTOS DE GEOMETRIA Paginas Dos PALABRAS PARA LOS CHICOS .. . .. . . . . . .. CUATRO PALABRAS PARA LOS MAYORES ... .. .

PRIMERA PARTE.-CE.OMETil(A

DEL

V VI

PLANO

CAPITIJLO PRJMERO.- Los segmentos y los ángulos Lección l.'-La recta y el plano ... 2.&- Los segmentos ..... . 3.•-Medida de segmentos .. . 4."-Los ángulos .. . ... ... . . . 5.ª- Medidas de ángulos ......... .. . 6. ' -Líneas quebradas y polígonos . . . . .. Notas al capítulo primero . . . . . . . ..

3 9 15 21 27 31 35

CAPITIJLO 11.- Los mooimientos del plano Lección 7.'"-Los movimientos y la igualdad de figuras 8.'-La simetría axial y la perpendicularidad .. . 9.•-La traslaci6n y el paralelismo. (Angulos) .. . 10.-La traslación y el paralelismo. (Segmentos) 11.-La rotación, la simetría central y la circunferencia . .. ............... ......... ........ . 12.- Propiedades de la circunferencia .. . . . . . .. . .• 13.-Construcciones fundamentales con la regla y el compás ....... . . Notas al capítulo JI ... . .. ... .. . . .. . .. . .. .. . . ..

36 42 48 53 57 63 69 74

CAPITULO 111.-Propiedades de los triángulos y polígonos Lecci6n 14.-Los triángulos .......... ............. ......... . 15.-Construcción de triángulos ... ... ... . ....... . 16.-Nuevas construcciones y lugares geométricos .. . 17.-Los cuadriláteros (el paralelogramo y el rectángulo) •...................................... 18.-Los cuadriláteros (el rombo, el cuadrado Y' el trapecio) ............ ... ..... . 19.-Los poHgonos regulares ........ . Notas al capítulo l!l ..• ..... .....•

76 83 89 96

108 109 114

.CAPÍTULO IV.-Las dreas Lección 20.-Noción de área ... ... .. . . .. 21.-Las áreas de los polígonos .. . 22.-EI. teorema de Pitágoras ... .. . 23.-Longitud de la circunferencia .. . . .. ... . .. 24.-Area del círculo y de las figuras circulares Notas al capítulo IV ... ... ... ... . ........

P•gluas 115 120 126 132 137 141

CAPÍTULO V .-La :semejanza Lección 25.-La proporcionalidad ele segmentos 26.-La semejanza de triángulos ... . .. 27.-La semejanza en general ... .... .. 28.-Relaciones métricas derivadas de la semejanza. Notas al capítulo V .. . ... .. . ... ... .. . CAP(TlJLo Vl.-Posiciones da recias y plano• Lección 29.-Determinac.ión del plano ... ... ... .. . .. . 30.-Rectas y planos perpendicularea .... .... . 31.-Los ángulos diedros y la perpendicularidad entre planos ..... .......... .... .. 32.-La rotación y las simetrías ... ... . .. ... .. . 33.-La traslación y el paralelismo ... .. ...... . 34.-Paralcfümo de rectas y planos ... ... . .. Notas al capítulo' VI ... ... ... ... . .. .. . CAPfTULo VIL-Los poliedros y su deaarrollo Lección 35.-Los ángulos triedros y poliedros... . .. 36.-Los prismas ... .. . ... .. . . .. 37.-Las pirámides ... ... ... ... ... .. .. .. 38.-Los polígonos regulares... . .. •.. ... .. . Notas al capítulo VU . .. .. . .. . .. . ... .. ...... .

CAPÍTULO VIIl.-Las superficies y los cuerpos de revoluci6n Lección 39.-EI cilindro de revolución ... ... . .. 40.-EI cono de revolución •.. .. . ... .. . ... ... .. . . .. 41.-La superficie esférica y la esfera .............. . 42.-Figuras esféricas y área de la superficie esférica. CAPÍTULO IX.- Los volúmenes Lección 43.-Volúmenc$ de prismas y cilindros ........... . 44.-Volúmencs de pirámides, de conos y de figuras esféricas ... ... .. . .. : Notas al capítuJo IX ... APt.NOJCE.. -Noticia sobre las cónicas

143 148 1:54 161 165

PARTE PRIMERA

169 174

·GEOMETRfA DEL PLANO

179 184 189 193 197

198 204 210 215 219

220 226 231 236

241

247 252 253

¡

-

- -----

CAPITULO PRIMERO LOS SEGMENTOS Y LOS ÁNGULOS

Lección x."-La recta y el plano.

(INSTRUMENTO: LA REGI.A.}

1

x. Cuerpo, superficie, línea, punto. 'l'odos tenemos una noción de Jo que es un cuerpo, una superficie, una línea, por el uso que de estas palabras ~e hace en el lenguaje ordinario. Decimos, por ~jemplo, que una mesa es un cuerpo, y al l:acer una raya sobre ella, decimos que se traza una Unea sobre la superficie de la mesa. " Si, en lugar de hacer una raya, se apoya simplemente un lápfa bien afilado, la huella que deja se suele llamar punto. Claro e~ que, por muy afil'ado que esté el lápiz, si se mira dicha huella con una buena lente de aumento, parecerá un borrón, pero la Geometría prescinde de esto, y fonna por abstrae.. cióo un concepto ideal de punto, imposible de definir de un modo preciso.

......

.

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-

-

-5....:..... Superlicie plana y linea recta. También, por él lenguaje corriente, tenemo8 una idea de la aplicación de e5tos términos. ·Decimos-,· ppr ejempló, que la superficie de .ú na mesa. ,o de un ·t ablero ea ~la.na, · y qqe es recta la lín~ ·que trazalD.os sobre aquélla apoyando el lápiz en el borde de una regla. •~

· Con .una buena :lente de aumento, dejaríamos, sin duda, de ' llamar línea al trazo del lápiz, y la superficie de la mesa ya no nos parecerla plana. La Geometrí~ supone U'10S planos· y unas rectas ideales que no pueden definirse más qi,ie de un· modo in

A'B';

AB


b, es decir, si puestos en contacto de modo que coincidan dos extremos, el extremo libre del puntero viene a. a caer dentro del listón. Una vez cortado el nuevo puntero, sobrab r;. un pedazo de listón que lla------maremos resto o di/erencia. De un modo general : Dados dos segme~tos a y b, si es a > ' b, podemos desc;omponer el primer segmento, llamado minuend9, en suma de dos: uno igual al segundo segmento, llamado sustraen,¡.:,, y otro llamado diferencia y que se presenta así a~ b. El lector enunciará y probará las propiedades dt: la resta de segment0s recordando las de la resta de números.

es

1i

Sumas y restas combinadas. Para efectuar sumas y restas combinadas; por ejemplo a+ b - e+ d - e, puede procederse de do5 modos, como en Aritmética con los números: 1.º) Llevaremos el segmento b a continuación del a hacia la derecha, con ló que obtendremos a+ b; a partir del extremo. llevaremos el segmento e hácia la izquierda, con lo que obtendremos 11'+ b - e; a partir del nuevo extremo llevaremos d a la derecha, y por fin, e a la izquierda, y re:.. sultará a+ b - e+ d - e. Este procedimiento consiste, pues, en efectuar las operaciones en el orden en que aparecen. 14.

~·---

J

-

r4-

Sumando todos los segmentos prece4idoa del alg. no . +, y aparte luego todos los segmentos precedidoa del signo - y restando ambas sumas. La experiencia prueba qúe los resultados colncld•n. 2.º)

-:----a+'/J-c+d-e-----. -e ¡_e .,.._

,,1 L eción 3."-Medida de·segmentos. (INSTlUJMENTO:

¡.

LA .REGLA GRA- -

DUADA.•)

1

- - - - -- -- - - . L1u1 11 •• 111.,110,l11111111tl

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XS·· Representación de los segmentos por sus medidas. En la lección anterior hemos utilizado el transportador de segmentos para compararlos y sumarlos; pero esto que tan c6mbdo es en el dibujo, puede no sedo cuando se trate de segmentos grándes'.

+d

EJERCICIOS Traza a pulso segmentos de extremo• dado1. 2. 0 Ejercítate en trazar a pulso segmento• l¡¡u1t11 y compruébalos luego con el portasegmentos. · 3.0 Dibuja varios segmentos en rectu dl1tlnt11 y habltdato a compararlos a ojo, ordenándolos de mayor a mencv, Comprue. ba esta ordenación con el portase~mento1. · 4·º Ordena, por su estatura, a varios de tut rompaft1ro1. 5.0 ¿Qué es mayor, tu altura o In lonjzltud dt la mt11l1 del piano, etc.? Es fác.iJ equivocarse al compornr 1o¡m1nto1 verticales y horizont:1les. Fíjate en el lárgo de tu cnmo. 6. 0 Dibuja un se.g mento a de 2 cm, otro l> de 3,5 cm, otro e de 4 cm y otro d de 2,5 cm. Construye con In rcJlll '1 11 pnrtall.C· mentos, los segmentos siguientes (sin ralculnr) : a+ a, que designaremos poi: 2a. a+a+a, que designaremos por 3a. ,ft, ... Af!álogamente, 4a, 5a, .6a, ... ab, 3,b, 4b, ... :IC, 7.° Construye los segmentos si~uicnte11 (111n call'ulnr) 1 1.u

Por ejemplo, al comprar una cantidad de escera para esterar los corredor~s de una casa, seria sumamente engorroso tener que. llevar a la tienda ut1 trozo de papel o de cuerda igual a cada corredor. Peor seda todavfa el problema de la comparación de dos carreteras.

Se evita el transporte directo de segmentos eligiendo un segmento fijo que se llam~ u1iiilad, y midiendo ca~ segmento .mediante Ja unidad elegida. Cualquier segmentó puede representarse perlectame11-te por su medida o longitud, de tál modo que para comparar y sumar los segmentos basta comparar y sumar sus m~didas. Recordem