Elementos de Álgebra 9788524401909

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arnaldo garcia yves lequain

PROJETO

A

EUCLIDES

Prefácio Este livro evoluiu de notas de aula utilizadas num curso oferecido anualmente no IMPA. Foi escrito com a preocupação de poder ser utilizado como livro de referência num curso básico de Álgebra das universidades brasileiras. Não se faz uso de resultados que não sejam estabelecidos no texto.

O livro está dividido em três partes. Os capítulos I, IH, III e IV podem ser adotados como texto de um curso sobre a teoria dos anéis, com algumas aplicações à teoria dos números e à geometria algébrica. Os capítulos 1, V, VI, VII podem ser adotados como texto de um curso sobre a teoria dos grupos. Os capítulos I, II, VIII, IX podem ser adotados como texto de um curso sobre a teoria dos módulos finitamente gerados sobre domínios euclidianos, com aplicações à teoria dos operadores lineares em espaços vetoriais de dimensão finita. Os exercícios são parte importante do livro. Alguns deles são integrados ao corpo do livro; eles estendem, desenvolvem e clarificam idéias abordadas no texto e devem ser encarados como parte integrante deste. Outros são colocados no final dos capítulos. Grande contribuição foi dada pelas várias turmas de alunos do IMPA, através de perguntas, dúvidas e observações, e somos gratos por isto. Gostaríamos também de agradecer aos nossos colegas Nicolau Corção Saldanha e Carlos Gustavo Tamm Moreira pela apresentação de sugestões matemáticas importantes, e a Rogério Dias Trindade pelo excelente trabalho de composição e editoração eletrônica do texto deste livro. ARNALDO YvESs

GARCIA LEQUAIN

Rio de Janeiro, dezembro de 2001

Conteúdo DIVISAO E FATORAÇÃO EM ANÉIS Introdução

........ccccce erre

CAPÍTULO I Anéis e Domínios [1 [2

[3

7

Definições e Exemplos .......icciiiiciiiciiic ir 7 Anéis de Polinômios .........cccciciiciiiiiiccco 2.15 Domínios

Euclidianos

........icccciicicicc cr

[4

Homomorfismos de Anéis

5

Exercícios

19

........icciciiiiiicciccrra 30

......cccciccic

CAPÍTULO II Fatoração Única I.1 I.2 H.3 I.4

3

Definições e Exemplos .........ccciiciiiiicciicicees Fatoração em Domínios Noetherianos ................. Fatoração Única em Anéis de Polinômios ............. Exercícios .....ccciccccc er

34

39

39 45 54 65

CAPÍTULO III Polinômios 71 WI.1 Raízes e Fatores de um Polinômio ..........ccccc.... 11 HI.2 Critérios de Irredutibilidade .......cccccccccccc 76 HI.3

Resultante de dois Polinômios

1.4 WI.o

Polinômios Simétricos .....cccciciiciiticciscre er 97 Teorema da Base de Hilbert ........cccccicccc 104

WI.6

Exercícios

CAPÍTULO IV

........ccccccccici

......ccccciiciic eee

Aplicações

84

107

113

IV.1

Somas de dois Quadrados

Soluções Inteiras de Xº+Y2=Zº

119

IV.3 IV.4

Teorema de Bezout ......cciciciciiiccc cr Exercícios ..cccicccl

121 129

IV.2

.........ccciciiccicccc 113

GRUPOS CAPÍTULO V Teoria Básica dos Grupos V.1 Exemplos de Grupos ......ccccciiiciiii V.2 Subgrupos .......cccccccce ne V.3 Classes Laterais e Teorema de Lagrange ............. V.4 Subgrupos Normais e Grupos Quocientes ............ V.5 Homomorfismos de Grupos .........ccciicccccc V.6 Grupos Cíclicos ......ciicicciciicis cc V.7 Grupos Finitos Gerados por dois Elementos ......... V.8 Produto Direto de Grupos ..........ccccciiiiccc V.9 Produto Semidireto de Grupos ........cccccccii V.10 Grupos de Permutações .........ccciicccccciccci V.ll Exercícios ......cccccciciics cics CAPÍTULO VI.1 VI.2 VI.3 VI.4 VI.5 VI.6 VI.7

VI

Estudo de um Grupo via Representações por Permutações Representação de um Grupo por Permutações ...... Teoremas de Sylow ........ccccccciiiiiiis crer p-Grupos Finitos ........cccciiicccccc ee Classificação dos Grupos Simples de Ordem < 60 ... Classificação dos Grupos de Ordem < 15 ........... Propriedades de A, e Às ......cciiiiiiiiciccre Exercícios ......ccccicicic cera

135 135 142 147 152 159 172 182 197 200 218 239

249 250 258 266 268 275 280 285

CAPÍTULO VII Grupos Solúveis 293 VII.1 Teorema de Jordan-Hólder ........ccccccccc 293 VII.2 Grupos Solúveis .....ccccicccccccic sa 300 VII.3

Exercícios

...ccccccc

3504

MÓDULOS CAPÍTULO VIII.1

VIII.2 VIII.3 VIII.4 VIII.5S

SOBRE DOMÍNIOS EUCLIDIANOS VIII

mente

Gerados

Diagonalização de Matrizes

Aplicações

309

..........cicciccco. 309

Módulos e Homomorfismos ............ccicccc. Submódulos de um Módulo Livre ................ Estrutura dos Módulos Finitamente Gerados ...... Exercícios ......ccccccc rr

CAPÍTULO IX IX.1 IX.2 IX.3

Matrizes e Módulos Finita-

318 327 332 338

341

Estrutura dos Grupos Abelianos Finitamente Gerados 341 Forma Canônica de Jordan .......ccccccccc cc 342 Exercícios ....ccccccccciic rr err 348

ÍNDICE ......cc

353

NOTAÇÕES ......

361

Introdução

A verificação das afirmações seguintes sobre os números primos é imediata: 2=1241º

é soma de dois quadrados,

3

não é soma de dois quadrados,

5=922 41º

é soma de dois quadrados,

7

não é soma de dois quadrados,

11

não é soma de dois quadrados,

13=32 +42?

é soma de dois quadrados,

17 =4241?

é soma de dois quadrados.

Agora, observamos que 5, 13, enquanto 3, 7, 11 são números ria fácil verificar que se p é um do que, digamos 1000, então se ele é do tipo 4k + 1, e não

inteiros

17 são números primos do tipo 4k+1, primos do tipo 4k+3; ainda mais, senúmero primo ímpar qualquer menor o primo p é soma de dois quadrados é soma de dois quadrados se ele é do

tipo 4k + 8. E então natural propor a seguinte conjectura:

3

4

INTRODUÇÃO

Conjectura: Um número primo p é soma de dois quadrados se e somente sep— 2 oup é do tipo 4k+4 1.

Fermat (1606-1665) considerou esta conjectura e demonstrou a sua validade. À seguir, damos uma idéia do método que usaremos para uma demonstração. Primeiro, lembramos que se R é o conjunto dos números reais e

C = R +

Ri é o conjunto dos números complexos, a função norma

N:C-R+R SR

a+bi>

(a+bi)(a — bi)

preserva a multiplicação. De fato, se para todo a = att EC denotamos seu conjugado a — bi por à, então é imediato verificar que temos a) =a5,Va,8€C,e portanto que

N(af) = af 08 = aaBf = N(o)N(8). de p é um número primo que é soma de dois quadrados, então

p=aqº+b

= (a+ibl(a-— ib) com a,b E Z, isto é, o primo p se

fatora num produto de dois elementos de Zfil:= (r+Hiy | x,y E Z),

cada um desses fatores tendo norma 1 (pois a norma é igual a a2+bº + 1). Reciprocamente, se um número primo p se fatora num

produto de dois elementos de Zf[i| de normas * 1, então

pv” =N(p)=NIa+riblc+rid]=N(a+ridN(c+id), isto é, temos p? = (a? + b?)(c? + d?).

INTRODUÇÃO

5

Agora,

po

=

(a? + b2)(cº + dê)

Lo

7

CrRen

1

p

+

a +b

primo

EN

>

(Ut

Do

=p

isto é, o primo p é soma de dois quadrados. Assim, para um número primo p, obtivemos que: p é soma de dois quadrados de inteiros

y

p se fatora num produto de dois elementos de Z[i| de normas + 1. Em

outras palavras, o problema de caracterizar os inteiros primos

que são somas de dois quadrados é equivalente a um certo problema

de fatoração no anel Zfi].

É via este caminho de fatoração em Zi] que vamos querer provar a validade desta “conjectura”.

Para isto, naturalmente, devemos es-

tudar o problema da fatoração em Z/i] e, em particular, o problema

da fatoração única.

É usual provar que o domínio Z tem a propriedade de fatoração

única como consequência do teorema seguinte: Teorema.

(Algoritmo da divisão em Z, de Euclides).

Sejama,be Z, b+0.

Então existem t,r E Z tais que

a=bt+r

com

lIr|

y=az (verifique).

b) Dado x E K, x £ 0, a condição M.4') garante a existência de

um inverso com respeito à multiplicação; é fácil verificar que esse inverso é único. De fato, se y e y' são dois inversos de x com respeito

à multiplicação, temos: y=yl=y(zx-y)=(yr)-y=ly=y. Denotaremos por x”! este inverso multiplicativo.

c) O axioma M.4”) é mais forte que o axioma M.4) Logo, em particular, um corpo é um domínio.

(Verifique).

d) Todo domínio D com um número finito de elementos é um corpo.

De fato, para x € D, x É 0, considere o conjunto (x” | n E NJ. Pela finitude de D existem dois inteiros n; < n tais que 7"! = q”;

portanto x: 7"? "17! = 1 e o elemento x possui um inverso.

Exemplo 1.1.5. Nos seis primeiros exemplos que seguem, + denota a adição usual em C e - denota a multiplicação usual em C.

a) (Z,+,-) é um domínio. b)

(Q,+,:), (R,+,:), (C, +,-) são corpos.

c) Seja Zlil = fa+bi la, be Z+. Então (Zlil, +,-) é um domínio chamado

anel dos inteiros de Gauss.

d) Ia+by3]abe

Z), +,

)e(fa+biv3|a,be Z),+,-) são

domínios.

e) Mais geralmente, se n é um inteiro positivo, temos então que

fa+by/nlabeZh+,

domínios.

)e(fa+biyn|a,be Z),+,:) são

ISEC. |.1:

DEFINIÇÕES E EXEMPLOS

f) fa+bi

11

| a,b E Q) é um corpo; na procura de um inverso

multiplicativo para a + bi, lembre-se que (a + bi)(a — bi) = a2 + b? E Q. Esse corpo será denotado por Q(i).

g) Dados dois anéis

(Ari, do) 1

e

(42, +55), podemos construir 2

um novo anel da maneira seguinte: definimos no conjunto Ay x Ay:= [(03,02); q E Aj,as E As) as operações:

(01,02) + (04,05) := (ay + al, aa + db) (a1,42)

, (01,45)

=

(a

01,0

> ay).

É rotina verificar que (4; x A5,+,:) é um anel, chamado produto direto de À; com As, onde o elemento neutro com respeito à adição é (04,, 04,) e o elemento neutro com respeito

à multiplicação é (1a,, 14).

h) Mais geralmente, dados r anéis (A,,+, ), 1

fina a noção de produto direto 4, x --- x À,. i) Se f:R definimos:

>» Reg:R

—

fog:R fog:R

(A, +,:), de rr

R são duas funções de R em R, =

To

=>

To

R

fax)+g(x) R

fa) g(g).

Então ((funções de R em R+, &,0) é um anel comutativo com unidade, mas não é um domínio.

j) Seja M,xn(R) o conjunto das matrizes n xn com entradas em

R:; sejam + a adição usual de matrizes e - a multiplicação usual de matrizes. Então, (M,xn(IR), +,:) é um anel não-

comutativo se n > 2.

Exercício 1.1.6. Mostre que se no Exemplo e) acima substituimos

o anel dos inteiros Z pelo corpo dos números racionais Q (i.e., se tomamos a,b € Q), então obtemos corpos.

12

[CAP. |: ANÉIS E DOMÍNIOS

Exemplo 1.1.7. (Anel dos inteiros módulo n).

Sobre Z, definimos a relação = da 8 |

Seja n um inteiro positivo.

maneira seguinte: para a,b € Z, a=b

>

n

a-bé um múltiplo de n.

Em vez de escrever a = b, escreve-se também a = b(modn) e n

diz-se que a é côngruo a b módulo n. E imediato verificar que = é uma relação de equivalência, isto é, a =

n

a=b>b=a nr

n

a=bb=c>aze. n

n

n

Se a € Z, então, por definição, sua classe de equivalência módulo o inteiro n consiste no conjunto (b € Z; b = ab, i.e., no subconjunto n

fa + kn;k € Z!. ela será denotada por à ou a + nZ. Denotaremos

por Z/nZ o conjunto das classes de equivalência módulo n; é claro

que Z/nZ = 10,1,...,n— 1h. Sobre Z/nZ, definimos duas operações: PD: Z/nZ x Z/nZ

—

ZjnZ

(7,9)

—

T+y

O: Z/nZ x ZnZ

—

ZlnZ

(7,9)

>

Ty.

n

Note que Z representa uma classe de equivalência, classe esta

que admite outras representações 7º (com x — xº = kn para algum

k e Z). Similarmente, a classe de equivalência y tem várias representações. E necessário verificar que nossas definições das operações & e O são boas no sentido do resultado não depender da escolha n

n

das representações das classes de equivalências; de maneira precisa,

[SEC. 1.1: DEFINIÇÕES E EXEMPLOS

13

é necessário verificar que

s IJ s Il)

t=%

vEy

> r+ty=r+y

e

Ty=uy,

e

Ty = ay.

z

sis II

isto é, deve-se verificar que x!

phstusa+r

Deixamos essa verificação ao leitor.

Veremos agora que (Z/nZ, &, O) é um anel onde: n

mn

o elemento neutro para €& é a classe 0 n

o elemento neutro para O é a classe 1 n

o inverso de Z com respeito à operação &

éaclasse

n

—gz.

Verificamos que o axioma A.1) é satisfeito, isto é, vz,9,2€Z/nZ,

(1O)Dz=7O(7O2). mn

n

n

n

por definição de &

+

|

W

=(rx+y)+z

S

por definição de &

8]

1OWBZ

D

Com efeito, temos:

(y + 2) + 2) =TI0(yOZ)

n

pois + é associativa em Z por definição de & por definição de €.

Deixamos como exercício a verificação dos outros axiomas.

O anel (Z/nZ, 2,0) se chama o anel dos inteiros módulo n. n

mn

14

[CAP. |: ANÉIS E DOMÍNIOS

Definição 1.1.8. Seja (4,+,-) um anel e seja 1 um subconjunto não-vazio de 4. Dizemos que Í é um ideal de À se o e

cv+yETl, Va,yel axel, Vrxel, Vac A.

Exemplo 1.1.9. a) Seja n > 0 um inteiro. Claramente, o subconjunto nZ := fzn | z € ZJ é um ideal do anel dos inteiros. b) Mais geralmente, seja (4,+,-) um anel e sejam q,...,0 elementos do anel 4. Então, claramente, o subconjunto Aa

+

ecc

+

Aa;

—

tao

++

aa;

|

01,...,0

ideal de (A, +,:) que será denotado por (a4,..., ay).

E

Ab

é

um

O conceito de ideal permite fazer uma construção totalmente

análoga à construção do anel (Z/nZ, &, O) dos inteiros módulo n: nm

Exemplo 1.1.10. (Anel quociente módulo um ideal).

Sejam (A, +,-) um anel e 7 um ideal de A. Sobre 4, definimos

a relação de congruência (mod 1): paraa,be À, a=b(mod!)

&

a-bel.

É imediato verificar que esta relação é uma relação de equivalência. de a € À, então por definição, sua classe de equivalência módulo f

consiste no subconjunto (b E A; b = a(mod 1)), isto é, no subconjunto (a+c; c€ T); ela será denotada por à ou a+1. Denotaremos

por A/I o conjunto das classes de equivalência módulo 1. Sobre este conjunto A/T, definimos duas operações o e O da maneira seguinte:

para T,y E A/I, TOVI=THY

Deixamos

e

TOVI=T:).

ao leitor a tarefa de verificar que as operações € e O Io TI estão bem definidas e que (A/I, O, 2) é um anel, chamado de anel quociente de A módulo T.

[SEC. 1.2: ANÉIS DE POLINÔMIOS

I.2

Anéis

15

de Polinômios

Seja (4, +, -) um anel. Um polinômio numa variável sobre A é uma

sequência (ao, a1,...,Gn,..- ), onde a; E À para todo índice e onde a; + O somente para um número finito de índices.

Seja 4 = (polinômios numa variável sobre A+. No conjunto A,

definimos as operações seguintes:

B:

Ax A

—

(a0,01,..-); (bo,br,...)

H5>

Ax A

—

A

+

(Co, C1,--.)

C:

(ao,01,...),

(bo,br,...)

A (ao + bo,a1

+ br,...)

onde Co = G0b0 Cy

=— a001

Cn —

agbr

Deixamos

ao

anel onde:

+

a1b

+ Q10n-1

leitor

+ 49bn-2

+:

a verificação

de

+an-by

+ Ando

que

(4,6,0)

é um

e o elemento neutro de & é o elemento (0,0,0,...) e o elemento neutro de O é o elemento (1,0,0,...) e o inverso de (a9,01,...,Gn,... ) com respeito à operação O é o elemento (—ao, —01,...,—Qn,...). Observe que a multiplicação de 4 é comutativa pois a multiplicação de 4 é comutativa.

Se (ao, 44, . .. ) é um elemento de 4, então o símbolo (ag, a1,...)”

designará o elemento

(a9,01,...)O (a9,01,... JO:

Num

a

n

A

vezes

O(a9,01,...).

16

[CAP. |: ANÉIS E DOMÍNIOS

Usando as definições de & e O, é fácil ver que

(0,...,0, (e

0n,0,0,0,...) = (0,,0,0,...)0(0,...,0,1,0,0,...) Ne

lugar n+4

e que

(ee,

1

lugar n + 1

(0,...,0,1,0,0,...) = (0,1,0,0,...)”. 4 eee e, lugar n+ 1

Portanto (00,01,...,0n,0,0,...)=

(9,0,0,...)

& [(01,0,0,...)0 (0,1,0,0,...)]

& [(a5,0,0,...)0(0,1,0,0,...)7

PD...

& |(a,,0,0,...)0(0,1,0,0,...)"]. Por razões de ordem prática, vamos utilizar o símbolo X para

designar o elemento (0,1,0,...).

Também,

no lugar de escrever

(a;,0,0,...), vamos escrever a;; assim, o símbolo a; vai ser usado para designar duas coisas distintas: o elemento a; de 4 e o elemento (a;,0,0,...) de 4; no entanto, isto não vai criar confusão. Finalmente, no lugar de escrever & e O, vamos escrever + e -; assim, O símbolo + (respectivamente o símbolo -) será usado para designar

duas coisas distintas:

a adição de 4 e a adição de 4 (respectiva-

mente a multiplicação de 4 e a multiplicação de 4); no entanto, isto também não vai criar confusão. Com essas convenções, o elemento

(a0,01,...,0n,0,...) é igual à soma aq + a X +-:-+a,X”,

onde

a;X" designa a; - X'. Vai ser conveniente representar o elemento (09,01,..-,0n,0,...) pela expressão ag + a X +---+aX”; então n

A =

[Da i=0

nencacA!

c as operações deste anel são simplesmente

as operações com

as

quais todo mundo está acostumado. Vamos denotar o anel (4, +,-) por A[X|, e chamá-lo de anel de polinômios numa variável sobre A.

[SEC. 1.2: ANÉIS DE POLINÔMIOS

17

Definição 1.2.1. Seja A um aneleseja H(X):= ao +taX+---+ anX” E A[X| com a, £ 0. O inteiro n se chama o grau de f(X).

O coeficiente a, se chama o coeficiente líder de f(X). Quando o coeficiente líder for igual a 1, o polinômio é dito mônico. Observe que não definimos a noção de grau para o polinômio nulo.

Exercício 1.2.2. 1) Sejam 4 um anele f(X),g(X) E AX] 1 10h. a) Mostre que se À é um domínio, então

grau(f(X) -g(X)) = grau f(X) + grau g(X). b) Mostre que A[X] domínio.

é um domínio se e somente se 4 é um

2) Dê um exemplo de um anel e de polinômios f(X) e g(X) que não satisfazem a igualdade acima.

Por indução, podemos definir o anel de polinômios em k variáveis sobre o anel A do modo seguinte:

AX, X6] = (AX, 0 Xe DIXA. Olhamos mais de perto o caso k = 2. Por definição, A/X1, X5] = (A|X1|)[X5]: logo um elemento qualquer do anel A/X,, X5] é do tipo ((a00,

com

Ci

401,-::50,...),.

E

ÁÃ,

V

o, (0n0,0n1,.::40,...,),(0,0,...),...)

t, 9.

Note que o elemento ((0,1,0,...),(0,0,...),...) é representado por X, eo elemento ((0,0,...),(1,0,...),(0,0,...),... ) é representado por X,.

Não é mais um luxo utilizar esses símbolos X, e X5.

eles, o elemento qualquer acima se escreve como ao(X1)

+

a (X1)

. Xo

+.

+

An(X1)

. X>,

Com

18

[CAP. |: ANÉIS E DOMÍNIOS

onde ag(X1)

=

00

a(X1)

= 0

+ aÃ

An(X1)

=

+

no

+

Goi X1

+

ago Xf

+...

+ ao X* +...

Ani X1

+

Ano X?

+...

Utilizando a comutatividade e a distributividade no anel A|[X1, X5], podemos escrever um mesmo elemento de diversas maneiras. Por exemplo:

ArXD)+(3+42X, +2X5X

+ (Xi — 2X DX?

= (1 43X) + (2X, + X9)X + (1— 2X9) X7 + (2X9)X;

= (1) + (3X) + (X2 + 2X X9) + (Xi XP) + (QXÊX, — 2X2 XD). Observe que na primeira linha os termos estão arranjados de

modo a ter potências de X, com coeficientes em A/X,]; na segunda

linha, eles estão arranjados de modo a ter potências de X, com coe-

ficientes em A/X,); na terceira linha, os termos de mesmo grau estão agrupados (o grau de um termo Xi X7 é definido como sendo i + 5). Dependendo do problema considerado, pode ser mais conveniente usar uma ou outra das representações.

Observação 1.2.3. Dado f(X) = Si ouX' E A[X], podemos considerar a função polinomial associada f : AS A, definida por f (0) = 3 qua. É bom observar que um polinômio diferente de zero pode ter a função identicamente nula como função polinomial

associada; esse é o caso com H(X):=1.X+1.X?

al

e (Z/22)|X]

|

OI

.

“co + 1.

pa

+

Ol No

pois

Vo +1=0.

No entanto, veremos mais tarde que isto não pode ocorrer se À é um domínio com um número infinito de elementos.

[SEC. 1.3: DOMÍNIOS EUCLIDIANOS

I.3

Domínios

19

Euclidianos

Essencialmente o algorítmo de Euclides diz que em Z podemos fazer a divisão de um elemento a por um elemento b obtendo um “resto pequeno”, ou mais precisamente, um resto cujo valor absoluto é menor do que o valor absoluto de b. É essa idéia que queremos generalizar.

Para isso, precisamos então de um conjunto com duas

operações (adição e multiplicação) e uma maneira de “medir” se um elemento do conjunto é menor do que um outro. Um domínio euclidiano será um domínio no qual existe um algoritmo similar ao algorítmo de Euclides. Definição 1.3.1. Um domínio euclidiano (D, +,-,) é um domínio

de integridade (D, +,:) com uma função p: DIO,

>N=(0,1,2,...)

que satisfaz as propriedades seguintes:

|) Va,be D,b%0, existem t,r € D tais que a=bt+r

com

|

p(r) < p(b) our =0.

2) pla) < (ab), Va,be DIO). Observação 1.3.2. a) Dados dois elementos « £ 0, 8 + O de um

domínio euclidiano (D,+,-,y), nós os comparamos, via a função y, em N com a ordem usual. É claro que poderíamos fazer isso

com uma função p: DA 410+ — S onde S seria um conjunto total-

mente ordenado qualquer no lugar de N; assim, teríamos uma noção de divisão com resto nesses domínios também. Além disso, se supusermos a condição mais forte que S seja bem ordenado, isto é, que todo subconjunto não vazio de S tem um menor elemento (N com a ordem usual é bem ordenado), então todas as propriedades que vamos provar para os domínios euclidianos seriam também satisfeitas.

20

[CAP. |: ANÉIS E DOMÍNIOS

Por isso, vários autores dão uma definição de anel euclidiano usan-

do uma função y: DA 404 — S com S conjunto bem ordenado qualquer no lugar de N com a ordem usual [vide P. Samuel, About Euclidean Rings, Journal of Algebra 19 (1971), 282-301). No en-

tanto, não se sabe se, com essa definição mais geral, tem-se uma classe maior de domínios.

b) Na definição de domínios euclidianos exigimos que a função y

satisfizesse a condição pouco natural p(a) < (ab), Va,be DO).

Essa exigência é puramente técnica; ela vai permitir simplificar as provas dos teoremas. É bom notar que essa exigência não restringe nossa definição de domínio euclidiano; de fato, é possível mostrar

que se existe uma função y que satisfaz a condição 1), então existe também uma função 1 que satisfaz as duas condições 1) e 2) [vide P. Samuel, artigo acima citado, p. 284]. c) Nesse mesmo artigo, P. Samuel generaliza o conceito “euclidiano” para anéis que não são necessariamente domínios.

Agora vamos provar alguns teoremas que fornecem exemplos importantes de domínios euclidianos. Em cada caso, consideraremos o problema do cálculo efetivo e da unicidade do quociente e do resto da divisão de um elemento por outro.

Teorema 1.3.3. (Algoritmo de Euclides para Z). Sega | |: Z — Na função valor absoluto.

Então:

(1) (Z,+,:,| |) é um domínio euclidiano, isto é, o (Z,+,:)

éum domínio,

e Va,be Z, b+0,

existemt,r E Z tais que

a=bt+4r

e Va,be Z 110),

com

lal< |abl.

|

ri 0, e isso de maneira única.

DEMONSTRAÇÃO. (i)e (ii): Que (Z, +, -) é um domínio, já foi visto. Se be Z1 10), temos |b| > 1, e consequentemente al 0 ea >

0.

Neste caso,

temos b > 1 e existe um único inteiro t tal que

tba. tb

O

]

D

(t+ Wo a *——— x Não-nulo

Observe que este inteiro t é necessariamente tal que O < t < a, de modo que calculando 06, 1b,2b,...,ab, vamos efetivamente encontrá-lo. Tome r = a — tb (que pode ser efetivamente calculado pois a e b são dados e t foi calculado); temos a = bt+r com r > 0;

além disto, de (t+ 1)b > a, obtemos |r|=r = a —tb1 (já que N(5) é um inteiro positivo), e consequentemente

N(c)Agora < Nía) - N(8) = N(a(f). vejamos a divisão: Sejam «,8 e Zh) CC,

6 + 0.

Digamos que a =a+bie

8 =c+di com a,b,c,d E Z. Procuramos dois elementos t,r € Zi] tais que a = 8t+r com N(r) < N(8), isto é, procuramos um

elemento t E Zfi] tal que

N(a— Bt) < N(B)

isto é, procuramos t € Z[i] tal que N s — t)

< 1. Como SEC =

R + Ri, existem x,y E R tais que 3 — x + iy. Afirmamos que x e y podem ser efetivamente calculados, e pertencem a Q. De fato, 1

—

BB

1

c— di

ctdi

ecer+do

c

é

]D—>————— |TDT———T+

C

|>———

cC4r+d

do.

í————1

ce+d?!

logo,

1

orgao) (5

” si)

ac+bd

be-—ad.

“ora tara! OO

[SEC. 1.3: DOMÍNIOS EUCLIDIANOS

209

Agora, escolhemos eEZtalque|r-—el N a

função grau.

Então:

(1) (KI[X], grau) é um domínio euclidiano, isto é:

e K|X| é um domínio.

26

[CAP. |: ANÉIS E DOMÍNIOS

e VHX,g(X)

e

HIX,g(X)

UX), r(X) E KIX] tais que

FX=—)9(X) 4X)+ r r(X)

com

+

O,

existem

(SEEs (ÃO) < u

polinômios

grau gt)

e VHX), 9(X) E KIX] NO), grau f(X) < grau(f(X)9(X)). (11) Tais polinômios t(X) er(X) podem ser efetivamente caleulados.

(ii)

Tais polinômios t(X) er(X) são unicamente determinados.

Agora, observando que todo elemento não-nulo de um corpo é invertível, isto é, possui inverso com respeito à multiplicação, obtemos o Teorema 1.3.8 como consequência da seguinte proposição um pouco mais geral.

Proposição 1.3.9. Sejam (R,+,:) um anel e R(X] o anel de polinômios numa variável sobre R. Seja H(X) E RIX| um polinômio e seja g(X) E R[X] um polinômio cujo coeficiente líder é invertível em R.

Então,

(1) Existem t(X),r(X) E R[X] tais que grau r(X)
grau g(X) = m, escreva f(X) = a, X” + -+acomn>2mea,

£O0,e

escreva (X)

= baX” +... +bo.

Fela hipótese, o coeticiente líder bm de g(X) é invertível em R, logo

> € Re portanto; EE An X"O " € R(X]; observe que; On XT m é exatamente O volinôrmio pelo qual se precisa multiplicar o primeiro

termo de g(X) para se obter o primeiro termo de f(X). então

Temos

FOO = ra X"M9(X) m

-

(ar

25nOm- Dri -

esod (anom

—

nb

x

om

4

chame isso de A(X)ER[X]

e HX)

— (X)panX"”

+ A(X).

foram efetivamente calculados.

Observe que ÀUn

€ f(X)

28

[CAP. |: ANÉIS E DOMÍNIOS

de fi(X) = O ou se grau f(X) < grau g(X) = m, acabou: tome t(X) = An X"M er(X)= f(X). Sep=grau A(X)>m, repita o processo com fi(X) e g(X) no lugar de f(X) e g(X), isto é,escreva f(X)=cXº+--.+cocomn-1>p>mec&O,e

tome fo(X) = f(X) —

Cp XP

g(X); temos então

100 = 900) | 1 an XT mod+ ep XP]em + fo(X), com Br Un, po Cp, fo(X) efetivamente calculáveis. Se f(X) = 0 ou se grau fo(X) < m, acabou: tome t(X) = 5 An XT Aco XP er(X) = fo(X). Segrau fo(X) > m, repita o processo. Como grau f(X) > grau A(X) > grau f(X) > ..., obtemos depois de um número finito de passos um polinômio f;(X)

nulo ou de grau menor que m. Tome r(X) = f(X).

(111) Se existem polinômios t;(X),rm(X),to(X),ro(X) e R[X] tais

que f

—

gt

+

Ty

=

gto

+

ro

srau

com

então g(X) - [t(X) — ta(X))

mM

«

grau

g

grauro (B,+, -) um homomorfismo de anéis. A

A

B

B

1) Sejaker f:= (face 4; f(a) =0/ €C 4. Então ker f é um ideal de (4, +14) (verifique) chamado núcleo de f. 2) Seja Im f:=(f(a);

ae AIC B. Então (Im D+)

é um anel

(verifique) chamado imagem de f. 3) f é injetivo se e somente se ker f = (0) (verifique). Definição

1.4.3. Um

homomorfismo de anéis f: 4 >

isomorfismo se ele é injetivo e sobrejetivo.

B é um

Note que neste caso, a aplicação inversa f!: B — A também é

um homomorfismo de anéis (verifique). Quando existe um isomorfismo entre dois anéis 4 e B, dizemos que A e B são isomorfos.

Teorema 1.4.4. (Teorema dos isomorfismos). Seja f: (A, +,:) > (B, 8,0) um homomorfismo de anéis. Então, a aplicação f abaixo é um isomorfismo de anéis:

f(Afkerf, ker 0,0) f kerf a

>

(imfo,0)

o

fla).

DEMONSTRAÇÃO. Primeiramente, devemos verificar que f é uma função bem definida, isto é, se a,,a, € A são tais que q, = q», então

f(a1) = f(as). E de fato, se à, = à», então temos a; — ap E ker f, logo f(a; — ao)= 0; além do mais f(a, — ao) = f(a,) — f(as), pois f é um homomorfismo; portanto, f(a1)= f(as). Agora, f é claramente uma aplicação sobrejetiva e é um homomorfismo pois, para elementos a,,a2 E 4, temos:

o

fla o, ão)= f(ay Tas) —

e

f(a

Oo, ão) =

( f(a

tas)

(an) Pf(ao) (a) & f(ão)

(01) 0 f(a o)

pela definição de O, pela definição de f

pois f é um homomorfismo pela definição de f.

(verifique).

[CAP. |: ANÉIS E DOMÍNIOS

Finalmente, temos que ker f = fã E (A/ker f): f(a) = 0 (ae (A/ker f); ae ker f) = (0); logo f é injetiva. Teorema

1.4.5. (Teorema chinês dos restos).

números inteiros positivos dois a dois primos aplicação diagonal A:

Z

2

Sejam mi,...,M,

entre si.

—

Z/mZ

5

(2c+mZ,...z+mZ)

modm;

= 2

modmo

|

|

Iz E Z tal que

= 2

R

Então,

x---xZ/mZ

é sobrejetiva. Equivalentemente, Y 21,...,2Zr EL,

2=2

LJ

32

modm,.

DEMONSTRAÇÃO. Note primeiro que a aplicação À é um homomorfismo entre os anéis

(Z,+,)

e

(Z/mZ, B O)x---x(Z/m,Z, 6,0). ma,

O núcleo desse homomorfismo

mi

Tr

À é

ker A:=[2€2Z;2=0,...,2= 0)

— (2 € Z; z múltiplo de m;,...,z múltiplo de m,+. Sendo my, ma,...,m, dois a dois relativamente primos, temos ker A=(z€Z;

z múltiplo dem,...mj=m...mZ.

Pelo Teorema dos isomorfismos, À induz um isomorfismo

A:Zim...mZ > ImA,

a

[SEC. 1.4: HOMOMORFISMOS DE ANÉIS

So

o que implica em particular que ambos os lados acima têm a mesma cardinalidade:

|Z/m...mZ| = |[ImAÃl,

Isto é,

ImÃl=my...m.

Por outro lado, temos também

Imà CZ/mZx---xZ/mZ e Z/mZ

xx

Z/mZ| = |Z/mZ)...|Z/mZ

Portanto, concluímos que Imà que À é sobrejetiva.

= Z/m;Z

=m...m.

x --: x Z/m,Z,

isto é, [)

Observação 1.4.6. O teorema anterior estabelece um resultado que envolve os conjuntos Z e Z/miZ x --- x Z/m,Z, e a aplicação A entre estes conjuntos. No entanto, a prova que demos consistiu em observar que, na realidade, estes conjuntos tinham estruturas de anéis e a respeito das quais a aplicação À era um homomorfismo de anéis. Aí, ao confrontar propriedades desses dois anéis através desse homomorfismo, obtivemos o resultado desejado. Isto ilustra a importância do conceito de homomorfismo entre dois anéis: ele estabelece uma interdependência entre duas estruturas, interdependência que pode trazer à luz resultados e relações até então escondidos. Evidentemente, a prova que demos do Teorema 1.4.5 nos permite enunciar a seguinte versão um pouco mais “sofisticada”. Teorema 1.4.7. Sejam mi,...,m, primos entre si. Então, a aplicação

inteiros positivos dois a dois

A:Zlm.mi

—

ZlmZx-xZmZ

z+tm..mi

—S

(2+mZ,...,z+mZ)

é um isomorfismo de anéis.

34

[CAP. |: ANÉIS E DOMÍNIOS

Definição

1.4.8. Seja 4 um anel e seja y: Z > A o

momorfismo de Z em A (vide Exemplo 1.4.2d) acima).

(único) ho-

O núcleo

ker y é um ideal de Z, logo existe um único inteiro c > O tal que ker y = cZ. Este inteiro c é chamado de característica do anel À. Exercício 1.4.9. Mostre que a característica de um domínio é igual a O ou igual a um número primo. Exercício 1.4.10. Sejam A um anel, 1 um ideal de 4 e

p: AX]

—

> ax

—

(A4/DIX)

> ax,

a) Mostre que y é um homomorfismo de anéis.

b) Mostre que T[X] := [52

quX'; a € T, n € NJ é um ideal

de A[X] e que os anéis A[X]/I[X] e (A/N[X] são isomorfos.

L.5

Exercícios . Procure os elementos invertíveis para a multiplicação no anel 2/1272

(Z/12 , 8,0)

. Mostre que o número de Fermat 2? + l, ie. 232 +1, não é primo. Para isto, observe que 641 sendo primo, Z/641Z é um corpo; observe também que 641 = 22 + 5º 641=2".5+41. Agora, da segunda igualdade, tire a expressão de 5(mod 641), substitua esta expressão na primeira igualdade e veja que 641

divide 2% + 1.

[SEC. 1.5:

EXERCÍCIOS

So

3. Seja n um inteiro positivo que não é primo.

(Z/nZ, B,O) não é um domínio. n

Mostre que o anel

n

4. Mostre que todo ideal não-nulo de Zfi] contém algum elemento positivo de Z.

5. Seja (4, +,-) um anel comutativo com 1. Um ideal P de 4 é dito ideal primo se P ç Aese LyEA WEpl=ser

ou

ve P.

(Ver, por exemplo, que o ideal 22 é um ideal primo de (Z, +, -),

mas que o ideal 4Z não é um ideal primo de (Z,+,-)). Um ideal M de A é dito ideal máximo (ou ideal maximal) se M

ç A e se não existe ideal propriamente contido entre M

e 4, isto é, se não existe ideal J tal que M ç J ç A.

(Por

exemplo, ver que o ideal 2Z é um ideal máximo de Z). a) Mostre que um ideal 1 é primo se e somente se o anel quociente 4/1 é um domínio.

Mostre que um ideal 1 é máximo se e somente se o anel

quociente 4/1 é um corpo.

Mostre que todo ideal máximo é um ideal primo.

b) Seja B um anel e seja A = B/X] o anel de polinômios

numa variável sobre B. Mostre que o ideal (X) de 4 é primo se e só se B é um domínio.

6. Seja A = [f:R — Ri com as operações D

definida por

hef:R—s dr

R f(x)

+ folx),

50

[CAP. |: ANÉIS E DOMÍNIOS

O

definida por

AhSf:R—s

R

ri

fix) - fox).

Seja r E R; mostre que M, := (fe A| f(r) = 0) é um ideal máximo de 4. Dê um exemplo de ideal 7, próprio e não-nulo,

(Le, IG AeT+(0))

que não seja ideal máximo de 4.

Exiba dois elementos a, 5 do anel Zfi), 8 £ 0, para os quais é possível fazer a divisão de a por $ de quatro maneiras distintas. (Á prova do Teorema 1.3.7 sugere como fazer para

encontrar tais elementos).

Seja m € Z tal que |m| é um número primo. Seja Z[Vm] := fa+bym |a,be Z). Seja

9: Zlv/m] SN

a + by/m-— la? — mb”.

a) Mostre que y preserva a multiplicação, isto é, que

pla: B) = p(a) -p(B), Va,B e Zlym].

b) Param = 2,-2,3, mostre que (Z[/m], y) é um domínio euclidiano. Dica. Faça uma argumentação similar àquela feita para

provar que (Zl[i|, Norma) é euclidiano. Nota.

Como

será visto mais

tarde,

existem

primos

m

tais que os domínios Z|//m| não são euclidianos. Seja K um corpo e seja y: K —

nula.

N a função identicamente

Mostre que (K,y) é um domínio euclidiano, e mostre

que o quociente e o resto são unicamente determinados e efe-

tivamente calculáveis (o resto é sempre igual a zero). 10. Sejam y: À, Mostre que

p: AX] P(X)

—

= ap.

— A, um homomorfismo de anéis e aq € As. existe

4

um

único

com d(a,)

homomorfsmo

— pla),

Va

de

anéis

E As, tal que

ISEC. 1.5:

EXERCÍCIOS

37

11. a) Mostre que R[X]/(X* + 1) é um corpo isomorfo a C.

b) Mostre que Z[X]/(X* + 1) é um domínio isomorfo a Zfi].

12.

Seja py: A, — Às um homomorfismo de anéis. Seja 1 um ideal de A, contido em ker y. Mostre que a aplicação p:

Ay/T

———

a é um homomorfismo

Às

(a)

(bem definido) de anéis, chamado de

homomorfismo induzido.

13. Sejam m,n dois inteiros.

Mostre que o Menor Múltiplo Comum entre m e n é a característica do anel Z/mZ x Z/nZ.

Capítulo II Fatoração II.1

Unica

Definições e Exemplos

Seja D um anel.

Seja a € D; um elemento b € D é um divisor ou

fator de a (em D) se existe c E D tal que a = bc; dizemos também que b divide a, ou que a é múltiplo de b, e denotamos bla. Um elemento a € D é invertível (em D) se existe b € D tal que ab = 1. Denotaremos por D* o conjunto dos elementos invertíveis.

Dois elementos a,b € D são associados (em D) se existe u E D,

u invertível em D, tal que a = ub.

Um elemento não-invertível a € D (0) é irredutível (em D) se a possui apenas fatoração trivial em D, isto é, Vb,ce Dtais que a = bc, então b ou c é invertível em D.

Observe que os únicos divisores de um elemento irredutível a são os elementos associados de a em D e os elementos invertíveis. Um elemento não-invertível p € D é primo se

Vabe Sejam a1,...,Gh

Comum

(M.D.C.)

D, pla-b= pla

ou po.

E D; um elemento d € D é um

de a,...,an

Maior Divisor

se d divide a,,...,an e se todo

elemento d' € D que divide a,,...,an, divide d também. Maior Divisor Comum de a;,...,an pode não existir. 39

Um

tal

AQ

[CAP. lt: FATORAÇÃO ÚNICA

Exercício

11.1.1.

Seja D

Mostre que dois M.D.C. ciados em D.

um

domínio

para a4,...,a,

e sejam

a,,...,m

€

D.

São necessariamente asso-

Por este exercício, num domínio temos a unicidade (a menos de multiplicação por elementos invertíveis) do M.D.C.; em um anel,

não temos essa unicidade em geral. Por isso, consideraremos o M.D.C. somente em domínios, e logo poderemos falar do M.D.C. de a4,...,Ô,n que denotaremos por M.D.€. fa;,...,a,+. Os elementos a),...,a, são ditos primos entre si ou relativamente primos se M.D.C. fa,...,ant = 1. Exemplo

11.1.2.

1) Em Z:

e (la cZ|aéinvertível) = (1,-1). e Dadoa ce Z, (bEZ|b é associado aa) = (a, -—a). e (ac Z|aéirredutível) = (tp | p primol. 2) Em Zfi]: o lo e Zl]

(41,4).

| aéinvertívell)

=

(a

e Zhl

| N(o)

=

1) =

e Dado a € Zlfil, (8 € Zfil | 8 é associado a al = [+a, tia. e (fo Ee Zjil

| a é irredutível; será determinado

(vide Corolário

IV.1.3).

Observamos

mais tarde

que este conjunto

irredutíveis contém (fa € Zlil | N(a) é primo?.

de

3) Em K|[X|, onde K é um corpo: o (H(X) E KIX| | f(X) é invertível) = KN (O). o Dado f(X)

E KIX|, fg(X)

E KIX]

HX) = EH) ke KAOS

| g(X) é associado a

o (H(X)e KIX| | F(X) é irredutível) = ?.

[SEC. 1.1:

DEFINIÇÕES E EXEMPLOS

41

Observe que: a) (polinômios de grau 1) € ftirredutíveis de K|X!]).

No caso de K — €, o Teorema Fundamental da Algebra garante que esses dois conjuntos são iguais. No caso de um corpo K qualquer, os dois conjuntos não são iguais em geral; procure um exemplo.

b) Em

Q/[X], é sempre possível determinar efetivamente se um

polinômio dado é irredutível ou não (ver no livro de van der Waerden, Modern Algebra, 825 p. 77). Para um corpo K qualquer, em

geral não é possível. Em todo caso, mesmo em Q/X|, é um proble-

ma difícil determinar quando um polinômio é irredutível ou não;

o método mencionado acima (devido a Kronecker) pode exigir um

número finito tão grande de operações que na prática não é muito útil. Desenvolveremos critérios práticos que nos permitirão resolver o problema de irredutibilidade em alguns casos particulares. 4) Num domínio euclidiano (D,qy)

e face D|aéinvertívell = fae D | v(a) = y(1)) (Note que para todo a + 0, temos p(a) = p(a- 1) > p(1)). e Dadoae D, (be D|bé associado a af = (au [ue DI E

be DI lb) = (a).

e (ace D|airredutível) =

?.

Estes fatos seguem diretamente da seguinte afirmação: Afirmação [I[.1.3. Sejam a e b elementos não-nulos de um domínio

euclidiano (D,y). Então,

p(b) = p(ba) p(b) < p(ba)

sea é invertível, sea não é invertível.

DEMONSTRAÇÃO. Seja a um elemento invertível do domínio D, isto é, a,1/a € D. Pela definição da função y, temos

e(0) < ela) < o ( (ab) ) = e(6)

42

[CAP. Il: FATORAÇÃO ÚNICA

Reciprocamente,

suponha que y(b)

domínio euclidiano e como ab

= (ba).

0, podemos

Sendo

(D,y)

um

fazer a divisão de b

por ab: existem elementos t,r € D tais que

b = (ab)t + 7 com

[ão

< lab) = lb)

our =.

Afirmamos que r = 0; caso contrário, der = b— (ab)t = b(1 — at), obteríamos p(r) = y(b(1 — at)) > «(b), em contradição com a condição y(r) < y(b). Assim, temos r = 0, isto é, b(1 — at) = 0. Como D é um domínio e como b * 0, obtemos que 1 —- at = 0,e logo que a é invertível em D. []

Em geral o conjunto fa E D | a é irredutível: não é conhecido (vide o caso particular D = K[X], K um corpo). No entanto, temos Afirmação I[.1.4. Seja (D,9) um domínio euclidiano que não seja um corpo. Seja ô=minty(d) | de D, d não-invertível)

= min(g(d) | d E D, p(d) > (1)

Então, (ae D|y(a)=0hC DEMONSTRAÇÃO.

(ae D |a é irredutível).

Seja a € D tal que p(a) = d. Como 6 > y(1),

então a não é um elemento invertível. Afirmamos que a não possui fatoração não-trivial em D. De fato, se a = bc com c não-invertível,

então pela Afirmação 11.1.3,

p(b) < p(bc) = pla) = à. Pela definição de 6, concluímos que y(b) = «(1) e portanto que o

elemento b é invertível em D.

[]

Definição 11.1.5. Um domínio D é domínio de fatoração única ou domínio fatorial se todo elemento não-nulo e não-invertível de D se escreve de “maneira única” como produto de elementos irredutíveis de D, isto é, de maneira precisa:

ISEC. 1.1:

DEFINIÇÕES E EXEMPLOS

43

(1) Todo elemento não-nulo e não-invertível de D é produto finito de fatores irredutíveis. (1) Se (pih, pode-se calcular efetivamente ef E D tais que M.D.C. ta,bk = ea + fb, se a divisão em D for efetiva. DEMONSTRAÇÃO.

mos

mostrar

p(IN4OD) = ordenado, (1 que y(a) seja I = (a), isto te D.

que

que

(1) Seja 1 + (0) um ideal do domínio D. Quere-

o ideal

1 é principal.

Considere

o conjunto

(ola) [ae Ta + 0) CN. Como N é bem N 10) possui um menor elemento; seja a € I tal o menor elemento de p(1 À (0)). Mostraremos que é que VE E TI, temos é = at para algum elemento

Seja € E T; pela condição euclidiana, existem t,r € D tais

ێ=at+r

com

y(r)atel=>-atel

>

rea mm,

r=é-—atel,

pois é Ef

logo p(r) < o(a) é impossível já que p(a) é o menor elemento de p(IN fO)); portanto 7 = 0, isto é £ = at como queríamos. (11) Sejam a,b E D

40).

Utilizando somente que D é um

domínio principal, obtivemos no Teorema 11.2.1 a existência de ele-

mentos e, f € D tais que MDC

(a,b! = ea + fb, sem poder no

entanto calcular estes elementos e e f. Agora, vamos mostrar que se (D,) for um domínio euclidiano e se a divisão em D for efetiva, então os elementos e e f podem ser efetivamente calculados. Pela propriedade euclidiana, existem t,,74 € D tais que a=bt,i+4r,

e Ser;

= 0, acabou:

plri) < o(b)

com

our,

M.D.C.

(+1)

0.

(a,b) existe e é igual a b, que

pode se escrever O-a+1-b.

e Ser, £0: Sejaa € D. Então em virtude de (*1), o elemento a divide a e b se e somente se a divide b e r;; assim

M.D.C.ta,b)

existee é iguala d

!

M.D.C.(b,ri)

existe e é igual a d.

Agora consideramos b e 74; existem to,1r9 € D tais que b =

Tito

e Se r3 = 0, acabou:

+

75

com

M.D.C.

9)

(ira


1, então f(X) é primitivo em D|X]. Vejamos agora o

comportamento do conceito de “irredutibilidade” e do conceito de

“elementos associados”, na passagem entre D/X| e K[X|.

Lema 11.3.6. (Gauss). corpo de frações.

Seja D um domínio fatorial e seja K seu

1) Se g(X) E D|[X] tem grau > 1, então g(X) é irredutível em D|X| see só se g(X) é primitivo em D|X! e irredutível em KIX).

[SEC. 11.3: FATORAÇÃO ÚNICA EM ANÉIS DE POLINÔMIOS

61

2) Seg(X) eh(X) são primitivos em D[X], então g(X) e h(X) são associados em D|[X| seesóseg(X) eh(X) são associados em K|X). 3) Se F(X), 9(X) E D[X], então

(IX) -g(X)) = HX)) clg(X)). DEMONSTRAÇÃO. 3) Sejam d = c(f(X)) e d = c(g(X)). Temos HX)=d f(X) e g(X)=d-g(X), com A(X) e g(X) primitivos; logo, F(X) - g(X) = dd". A(X)gi(X) e, portanto,

(HX) - (X)) = (dad AX) (X)) = dd - (H(X)n(X)). Então, para provar a afirmação, basta provar que c(f(X)gi(X)) é invertível em D (equivalentemente, que o produto de dois polinômios

primitivos A(X),g(X) é um polinômio primitivo). Escreva

AOOIgn(O

FX)

=a+ÓX+-

gu(X)

=b+bX+

=0+raX+

tax”, E BmX,

+ cam" t”,

onde c; — >. 0;bp.j+le=i

Seja p um elemento irredutível qualquer de D; queremos mostrar que dc; tal que pf c;. Sendo A(X) e g(X) primitivos, podemos

considerar os primeiros coeficientes a, e b, tais que pf as e p4 br. Então o coeficiente c,,, não é divisível por p, pois temos:

Cr+s

—

(Lo

Dr+s

+

p divide

+

1

brss-1

+

ee

+

p divide

ade

p divide

+

Naa p não divide

+

Us+1

br-1

De?

p divide

+

As

+

As

bo

a

p divide

Dry 1+

62 1)

[CAP. Il: FATORAÇÃO ÚNICA “”

Suponha por absurdo que temos g(X)

= h(X)!(X)

com

ambos h(X),(X) e K[X] de grau > 1. Podemos então escrever

hnaX) = (a/b)h(X) e AX) = (a/b5)2(X) com a,b, d',b E D, b+Ob £0, hi(X), f(X) E D|X)] polinômios primitivos de grau > 1 e, portanto, temos g(X) = (aa'/bb)hi(X)t(X) ou equivalentemente bb'g(X) = aa h,(X)t4(X). Vemos que

bb'c(g(X)) = c(bb'g(X)) = claa'hy(X)t(X)) —

aa c(hi(X)t4 (X))

=

qq.

Portanto (aa'/bb') = c(g(X)) E D. Assim,

9X) = (aa! [ob (A(O) com (aa'/bb)hy(X) e D[X] de grau > 1 e com A(X)

E D|X] de

grau > 1, isto é, g(X) é produto de dois fatores de grau > 1 no

anel D|X!; absurdo.

2) Sejam g(X), A(X) dois polinômios primitivos em D[X]. É imedi-

ato ver que se g(X) e h(X) são associados em D[X], então eles são

também associados em K[X]. Reciprocamente, se gy(X) e h(X) são associados em K|X], então temos g(X) = =-h(X) com e invertível em K|X|, isto é, com ce € K À (0). Sendo K o corpo de frações de

D, temose = a/bcoma,b e D,b 0. Escrevendo bg(X) = ah(X), vemos que o conteúdo do lado esquerdo desta igualdade é be o do lado direito é a. Não podemos concluir que a = b pois o conteúdo é definido somente a menos de multiplicação por um elemento invertível de D; no entanto, podemos concluir que a e b são associados

em D, logo que : = a/b é invertível em D. Portanto g(X) e h(X) são associados em D/X). 0

[SEC. 11.3: FATORAÇÃO ÚNICA EM ANÉIS DE POLINÔMIOS

DEMONSTRAÇÃO

DO TEOREMA

HX)e DIX|C KIX|.

11.3.1:

63

Considere um polinômio

Existência de uma fatoração em elementos irredutíveis em D/[X]. Seja f(X) € D[X] um polinômio de grau > 1. Escreva f(X) = d- f(X), onde d € Dé o conteúdo de f(X) e f(X) é primitivo em D|[X]. Como D é fatorial, o elemento d possui uma fatoração d = pj...p; com py,...,p; irredutíveis em D e portanto

irredutíveis em D/X]). Como fi(X) e D[X| c K[X], A(X) possui uma fatoração em K|X], digamos fi(X) = q(X)...q(X) com q(X) E KI|X], q; (X) irredutível em K[X|, Vi = 1,...,r. Escreva q(X) = (a;/b;))gi(X) com a;,b; E D,b; £D e q(X) € DX] primi tivo; g;(X) sendo irredutível em K[X], então g;(X) é irredutível em

K|X| e logo, pelo Lema 11.3.6, gi(X) é irredutível em D[X]. Temos FX)

= q(X)....(X) = (01... .0,/br.. bo) (X)...q(X)

e portanto, b4 .

dr f(X)

—

d..

A

q(X)

.. qu(X).

O conteúdo do lado esquerdo da igualdade é b;...br pois A(X)

é

primitivo; o conteúdo do lado direito é aj ...ar pois cada q;(X) é primitivo. Portanto b,...b, e a,...a, são associados em D, e logo (a1...0,/bj...b,) é um elemento invertível de D. Denotando este elemento por 7, temos que

FOX) = (mpipa... pe a(X)...ar(X) é uma fatoração de f(X) em elementos irredutíveis de D[X]. Unicidade da fatoração. Considere duas fatorações em D[X]: fatores irredutíveis de grau 2 1

HA) =

pr...Pi

ee, em

q(X) ...qr(X)

fatores irredutíveis de grau O

“

fatores irredutíveis de grau > 1 HX)

=

UI... Ur fatores irredutíveis de grau O

vi(X)...v(X)

64

CAP. Il: FATORAÇÃO ÚNICA

Vemos que p, ...p;e wu... ur são ambos iguais ao conteúdo de f(X) e logo ps ...P; = EU ...Us, com E invertível em D. Pela unicidade da fatoração em D, obtemos que t = t' e, módulo a ordem, p; €

u; são associados em D e logo também em D|[X].

eq(X)..g(X)

= w(X)...v(X):

pela hipótese,

Agora, temos

os q(X)

e os

v;(X) são irredutíveis em D[X], logo são irredutíveis em K[X| (pelo Lema 11.3.6). Pela unicidade da fatoração em K|[X] obtemos que r = r' e módulo a ordem, que g;(X) e v;(X) são associados em K|X!:; q(X) e v;(X) sendo irredutíveis em D[X] de grau > 1, eles são primitivos em D[X], e portanto, são associados em D|X] (pelo Lema 11.3.6). L) Exercício 11.3.7. No teorema anterior, dê uma nova prova da unicidade da fatoração em D[X], verificando que a condição (ii') da Proposição 11.1.8 está satisfeita.

Exercício 11.3.8. Seja D um domínio fatorial e seja K seu corpo das frações.

a) Se f(X) € K|X] tem algum coeficiente igual a 1 (por exemplo se f(X) é mônico), então existe d € D tal que df(X) é primitivo em D[X1.

b) Sejam A(X) e fa(X) E K[X], ambos com algum coeficiente iguala 1. Se A(X)f(X)

estão em D[X].

E D|[X], então ambos fA(X) e fo(X)

Dica: No item b), utilize o item a) e o item 3) do Lema [[.3.6. c) Seja fi(X) primitivo em D/[X].

Se f(X)

f(X) - f(X) e D|[X], então f(X) e D[X1.

E K[X] é tal que

À seguir, enunciamos um resultado importante sobre anéis de

polinômios (colocado neste ponto do livro embora não envolva o teorema de Gauss).

[SEC. 11.4: EXERCÍCIOS

65

Proposição 11.3.9. (Decomposição em frações parciais). Sejam K um corpo e K(X) o corpo de frações de K|X1. 1) Sejam a(X),b(X) E K[X] e seja d(X) = TE, pil(X)" a fatoração de b(X) em elementos irredutíveis de K|X]. Então é possível encontrar efetivamente c(X),...,c(X) € K|X| tais que

d(X) q (XxX)

dX)

DE

2) Sejam c(X) E K|X], p(X) E K|X) irredutível de grau d er um inteiro positivo.

Então é possível encontrar efetivamente

a(X), B(X),...,B(X) B(X) = 0) tais que d(X)

p(X)”

E K[X]

o

com grau B(X)

+

< d (ou

BHX) (X)

Xy

DEMONSTRAÇÃO. 1) Aplique o Corolário 11.2.3.1) com fi(X) := pi(XIT.. pea( XL f(X) = p(X) e k(X) = a(X), e faça uma indução sobre t.

2) Faça divisões sucessivas por p(X).

II.4

[]

Exercícios

1. Calcular o M.D.C. em Q/X] dos seguintes pares de polinômios: a) X!+Xº+2X] 4 X4+le Xº+4X2 44X +43. b) 4Xº + 7Xº+2Xº +11 esXº+ X+41 )XI4X 42X IX SI e XI XIX X4I. 2. Calcular o M.D.C. em Zi] dos seguintes pares de elementos: a) 8+% b) 3+2ie

e

—1I+Ti 2-1.

66

[CAP. Il: FATORAÇÃO ÚNICA

3. Seja Zliv7| = fa+ibv7 |a,b E Z) com a adição e a multiplicação usuais em €.

a) Procurar os elementos invertíveis de Z[iv'7].

Dica: Use a função norma (N(4y) = 9%, Vy € C).

b) Mostrar que Z[iv7] não é um domínio fatorial.

Dica: Mostre que 2.2.2.2 e (3 +1V7)(3 — iv'T) são fa-

torações distintas em elementos irredutíveis de Z[iv7]. 4. Seja N: Zfi) — N a função norma.

a) Seja a € Zli]. Se N(a) é irredutível em Z, mostre que «

é irredutível em Zfi].

b) Sejam a, 5 dois elementos de Zfi| e seja y o M.D.C. de ae jem Zlil. 1) Mostre que N(y) divide o M.D.C. de N(a) e N(6) em Z.

2) Se N(a) e N(85) são primos entre si em Z, mostre que « e 8 são primos entre si em Zli). c) Mostre que a recíproca de b) é falsa, exibindo dois ele-

mentos a, 8 € Zli| tais que

a e ) são primos entre si em Zfi]. N(a) e N(8) não são primos entre si em Z. 5. Seja py: Ay — Às um homomorfismo de anéis. Mostre que

a) p(Aj) E AS.

b) A inclusão em a) pode ser estrita, mesmo se supomos que y é um homomoriismo sobrejetivo.

6. Seja D um domínio que não é um corpo e seja

«a É O um

elemento não-invertível em D. Seja D[X] o anel de polinômios em uma indeterminada com coeficientes em D.

ISEC. 11.4: EXERCÍCIOS

67

a) Mostre que o maior divisor comum entre a e X existe em D|X] e é igual a 1. b) Mostre que não existem e(X), f(X) d(X)arf(X)X =1.

€ DI|X] tais que

c) Mostre que o ideal (a, X) de D[X] não é principal. 7. Sejam HF um corpo e F|X,Y|

o anel de polinômios em duas variáveis. Mostre que F[X,Y| não é domínio principal. .

o

-

Determine a decomposição casos seguintes:

=

..

em frações parciais de

X

0%)

nos

a) Em Q/X),a(X)

led(X)=(X+DAX+3(X +45).

b) Em Q/X),a(X)

Le XX) =(X2-2(X3— 9).

c) Em R[X],a(X)

Te

d(X)=(Xº- M(Xº — 9).

. Seja D um domínio. a) Mostre que um elemento primo não-nulo é irredutível. b) Mostre que a recíproca é falsa em geral, isto é, podem

existir elementos irredutíveis que não são primos. À Proposição 11.1.8 diz que a recíproca é verdadeira se D é um domínio fatorial.

10. a) Seja FP

:= Z/11Z.

Mostre que Xº 4 1 é irredutível em

Fu|X]. Mostre que o ideal (X2 + 1) é maximal de Fy[X]. Mostre que H1[X]/(X* + 1) é um corpo com 121 elementos.

b) Sejam p um número primo e E, := Z/pZ. um polinômio irredutível em F,[X| de grau n. FAXIMJ(X)) é um corpo com p” elementos.

Seja f(X) Mostre que

68

[CAP. Il: FATORAÇÃO ÚNICA

11. Seja D um domínio principal. a) Se p é um elemento irredutível de D, mostre que D/(p) é um COrpo. b) Seja p um ideal não-nulo de D. Mostre que as condições seguintes são equivalentes:

(1) p é um ideal maximal. (li) p é um ideal primo. (iii) existe irredutível p € D tal que p = (p). 12. Sejam D um domínio e K seu corpo de frações. Um subconjunto S de D é dito sistema multiplicativo de D se s,2€5S>5>>5989€5. 1Ees, 0&5S.

Dado umtal S, seja Ds:= (te K; Ide D, ds E S tais que £€ = d/st. Mostre que Ds é um subanel de K que contém o domínio D. Mostre que

(ão

primos p de D

tais que pNS = 0

| —» tideais primos de Ds)

p—

;pEp,sES)

é uma bijeção, cuja inversa é dada por PNDaP.

13. Seja C(X) o corpo de frações de C[X]. Mostre que todo elemento de C(X) pode ser escrito como uma soma de um polinômio em C/X] com uma combinação C-linear de termos da forma (X — a)”, ondeae CenenN.

[SEC. 1.4:

EXERCÍCIOS

69

14. Seja m um inteiro livre de quadrados tal que m = 1(mod 4). Considere o anel

Zlvm] = fa+bvm |a,be 2h. a) Mostre que 2 é irredutível em Z[/m!|. b) Verifique que 21 (1 + m)

zivm,

e que 21 (1 — /m) no anel

c) Verifique que no anel Z[/ml|X], os polinômios f(X) =

2X —-(1+/m)eg(X)=2X-(1- m) mas f(X) - g(X) não é primitivo.

são primitivos,

d) Conclua que Z[,/m| não é domínio fatorial. Dica (item a)): Verifique que a função y definida por p(a+by/m) = a? — bêm preserva a multiplicação. Se 2 = o - 8 com «,5 € Zlym], então 4 = p(a) - y(8). Raciocinando

módulo 4, mostre que [a? — b2m| = 2 é impossível. 15. a) Sejam 4,,...,4,

direto.

anéise B:=

À; x--:x

4, o produto

Seja B* o conjunto dos elementos invertíveis de B.

Verifique que B* = ((a,,...,m,) E B; a; é invertível em 4,,

Vi=1,...th

b) Sejam n,r dois inteiros. Mostre que 7 é invertível no anel

Z/nZ se e somente se n e 7 são primos entre si, e portanto

que H(Z/nZ)* = H(l 1 em Z[X].

e f(X) não tem fator de grau 1 em Z|X|; com efeito, se ele tivesse,

este fator (que tem que ser mônico pois f(X) é mônico) seria do tipo

X-a coma € Z, isto é, teríamos Xº- X2+1=(X —-a)g(X) com

g(X) E Z|X]; olhando para o termo constante, teríamos 1 — am

com m € Z, logo a = +1, isto é, +1 seria raiz de X! - Xº+4 1:

no entanto, é imediato verificar que nem 1, nem —1, são raízes de

ISEC. Hl.2:

CRITÉRIOS DE IRREDUTIBILIDADE

TT

XxX! —- Xº +1. (Observe que se tivéssemos trabalhado em Q[X] no lugar de Z|X|, a priori a poderia ser qualquer elemento 4 0 de Q

e logo não daria para verificar, um por um, que nenhum a de Q é raiz de f(X)).

o f(X) não tem fator g(X) de grau 3 em Z/X]; com efeito, se ele tivesse, teríamos f(X) = g(X)h(X), onde h(X) E Z[X] teria necessariamente grau 1; mas isto é impossível pelo caso precedente.

e f(X) não tem fator de grau 2 em Z[X]; com efeito, se ele tivesse,

teriamos

Xº-X4+1=(Xº+aXx+b(Xº+cX +d) coma,b,c de Z (termo constante) (termo em X) (termoem Xº)

1=bd, 0 = ad + bc = b(a+c) -1=d+ac+b =9b-—

a?,

logo b=d=+l; logoa=c-c; logo a2-1=2b=+2:

assim a? = 3 ou a” = —1, o que é impossível.

Exemplo 1I1.2.2. Seja (X) = Xº +aXº -1€ Z[X]) coma £0. Então f(X) é irredutível em Z[X] (verifique).

Ágora, se À é um anel e 1 é um ideal de 4, já sabemos que a aplicação

AX] — (A/DIX]

HX) := DaX' ss fX) := DaX é um homomorfismo de anéis. Escolhendo o ideal 1 de maneira adequada, pode-se esperar que o anel A/I seja relativamente simples para a análise do polinômio reduzido f(X). Conseguindo informações sobre o reduzido, pode-

mos esperar traduzí-las em informações sobre o polinômio f(X).

78

ICAP. Ill: POLINÔMIOS

Proposição

111.2.3.

Sejam

A

um

domínio,

1 um

ideal deÀ

f(X) E A[X] um polinômio mônico. Se o polinômio reduzido f(X) é irredutível em (A/D|X], então f(X) é irredutível em A[X|. DEMONSTRAÇÃO.

Proposição

e

Exercício.

111.2.4. Seja f(X)

Seja p um número primo. a) Sejam 71,...,7,

E Z|X|]

as raízes de F(X)

um polinômio mônico. em Z/pZ.

Caso f(X)

tenha uma raíz q E Z, então existe um índice i E (1,...,r) tal que a = Yi;(mod p).

b) Suponha que grau H(X) >3 e que AX) =(X -Py(X) com p(X) irredutível em (Z/pZ)|X]. Então f(X) é irredutível em Z|X|, ou f(X) possui uma raíz a E Z tal que a = y(mod p). DEMONSTRAÇÃO. a) Como p é um número primo, então Z/pZ é um corpo, logo (Z/pZ)|X] é um domínio fatoriale X —-%,,...,X — 9, são os fatores irredutíveis de grau 1 de f(X). Caso f(X) tenha uma raíz a em Z, então X — a é um fator de f(X) em Z[XÍ, logo X — à é um fator de f(X) em (Z/pZ)[X], logo existe um índice 1€ (1,...,rl tal que a = 9, 1.e., tal que a = y;(mod p). b) Suponha que f(X) não seja irredutível em Z[X], logo que HX) = 9(X)h(X) com g(X), h(X) E Z|X|] mônicos de grau > 1. Temos então

FOX) = (X)H(X)

em

(Z/pZ)[X].

Pela hipótese, f(X) = (X —3)p(X) é uma fatoração em elementos irredutíveis em (Z/pZ)|X]. Como (Z/pZ)|X| é um domínio fatorial,

concluímos que (X) = X —-% ou h(X) = X — %, e portanto que (X)=X

-aouh(X)=X

—-acoma€EZ,

a=7ymodp.

[1]

Exemplo II1.2.5. a) Seja f(X) = Xº + (1329) Xº + 3002X + 12.001 E Z[X|. Olhando módulo 3, temos

HX) = Xº+2X +1€ (Z/37)[X].

[SEC. Hll.2: CRITÉRIOS DE IRREDUTIBILIDADE

79

Este polinômio f(X) é irredutível em (Z/3Z)[X] pois, se ele fosse redutível em (Z/3Z)[X], então ele teria um fator de grau 1, logo possuiria uma raiz em (Z/3Z), o que é absurdo pois f(0) = 1 £0, HD) =1760,f(2)=1%0. Logo f(X) é irredutível em Z[X). b) Seja f(X) = Xº — 15X? + 10X — 83 € Z[X]. Olhando agora módulo 2, temos f(X) = Xº+X2+1 € (Z/2Z)|[X], que é irredutível em (Z/2Z)|X]. Logo f(X) é irredutível em Z[X]. Exemplo II1.2.6. O polinômio f(X) = Xº — 15X2 + 10X — 84 é irredutível em Z/X). DEMONSTRAÇÃO.

Basta mostrar que f(X) não tem raízes em Z.

Uma raiz em Z tem que ser um divisor de 84, portanto basta ve-

rificar que +1, +2, +3, +4, +6, +7, +12, +14, +21, +98, +42 e +84 não são raízes de f(X).

Vamos utilizar a proposição anterior para diminuir o número destas verificações. Mod 3Z, temos

FX) =X(Xº+1)

em

(Z/32)[X]

e, claramente, Xº + 1 é irredutível em (Z/3Z)[X]. Logo se a é raiz de f(X) em Z, então a = O(mod3). Portanto bastaria verificar que +3,+6, 412, +21, +42 e +84 não são raízes de f(X). Queremos limitar ainda mais o número destas verificações. Mod 5Z, temos

MMX) =(X-4(Xº+4X +41) em (Z/52)[X] e, claramente, Xº + 4X 4 1 é irredutível em (Z/5Z)|X]. Logo se a é raiz em Z de f(X), então «a = 4(mod5). Portanto bastaria verificar que —6, —21 e 84 não são raízes de f(X). Facilmente verifica-se que números inteiros negativos $ não são

raízes de f(X), pois f(6) < 0. Verifica-se finalmente diretamente que f(84) £ 0. Concluímos então que f(X) é irredutível em Z|X].

L]

80

[CAP. Ill: POLINÔMIOS

Observação II[.2.7. O método do Exemplo anterior foi fazer considerações (mod p), para diversos primos p em Z, acumulando então informações que nos permitiram concluir algo sobre o polinômio original f(X)

de Z|X|.

À seguir, estabelecemos um critério que se destaca pela facilidade de seu uso quando se conhece os elementos irredutíveis de um domínio fatorial.

Teorema [I1.2.8. (Critério de Eisenstein). Sejam D um domínio fatoriale (X) =aX”"+a,X"!+..-+ay E D[X] um polinômio de graun > 1. Se existe um elemento irredutível p E D tal que

p1 am Pp

| Qi,

p

então f(X)

Va


1 em D[X]

(equivalentemente, o polinômio f(X) é irredutível em K(X], onde

K é o corpo de frações de D). DEMONSTRAÇÃO.

Suponha que a afirmação seja falsa, isto é supo-

nha que f(X) = g(X)h(X) com (XX) =aX

+ecraX+ae

D|X|,

as%o0,

MMX) =X +: +AX + DX), st>1 (equivalentemente, st

p | do

|ee

pº 1 ao Digamos

pois D é fatorial

e pr ho

ou

|p|Boeptao.

que seja o caso p | 2) e p 1 Bo (o outro caso seria tratado

de maneira análoga). Temos Un

—

Os:

Dt a,

|

—> ptase ptb.

[SEC. 111.2: CRITÉRIOS DE IRREDUTIBILIDADE

81

Seja x, comu

1.

Suponha

que exista um elemento

primo pe Dtalqueptas,pla; Vi>1,pºtan. Mostre que f(X) não é o produto de dois fatores de grau > 1 em D[X].

84

ICAP. HI: POLINÔMIOS

WI.3

Resultante

de dois Polinômios

Seja D um domínio fatorial. linômios

de grau

>

Dados f(X),g(X)

1, estudamos

e D[X] dois po-

neste parágrafo

a questão

de

f(X) e g(X) possuirem um fator comum em D[X] de grau > 1. Poderíamos estudar esta questão através de aplicações repetidas do algoritmo de Euclides. No entanto, será conveniente introduzir um novo conceito:

a resultante de dois polinômios.

Definição 1I1.3.1. Seja D um domínio.

Sejam

f(X)

=ÔwX"+aXTi+.ta,s,

(X)

=bX"+bXTI +.

ag

+bm,

£ 0,

boo,

dois polinômios em D[X] de grau > 1. A resultante de HMX) e 9(X), denotada por R,,, é o elemento do domínio D dado pelo determinante da matriz (m +n) x (m + n) abaixo: à)

1

On

E

Um

m linhas

Ref.

—

do bo

by

Zn

bn-1

bn-1

bo

3

A

Dn

Do

Dm

, n linhas

bm!

sendo que existem m linhas de a;'s e existem n linhas de b;'s, e as

linhas são completadas com zeros.

A resultante entre um polinômio f(X) e sua derivada f(X) (quando f'(X) não é constante), é chamada discriminante de f(X).

ISEC. 11.3: RESULTANTE DE DOIS POLINÔMIOS

85

Exemplo 111.3.2. Seja f(X) = Xº+a,X + as € C|X].

Vamos

calcular o discriminante de f(X). Temos

HÃO SO

So

Ryf =

OVO tm

HX)=Xº+0Xº + 09X + as, f(X) =3Xº +0X + as, do

43

Ó

O

a,

as

Õ

49

Ó

3

O

49

aa

O

0O|=4a;+27a3.

Antes de procurar as informações que a resultante Ry, carrega, vamos

mostrar

que a resultante pode

ser escrita como

uma

combinação linear não trivial dos polinômios f(X) e g(X).

certa

Mais

precisamente:

Lema

111.3.3. Seja D um domínio.

Sejam H(X),g(X)

dois polinômios de graus n > 1 em >1,

a) Se R;g

0 eseh(X)

grau 1. Temos

OO) = AVOP(X) com f(X) E DEI, grau fi(X) < grau f(X), HX) = hM X)g(X) com gi(X) E DIX], graug(X) < graug(X).

É claro que A(X)g(X) = g1(X)f(X); portanto, pelo lema anterior, segue que Rs; = 0.

b) Reciprocamente, suponhamos que Rs q = O. Pelo lema anterior, parte b), existem dois polinômios f(X),g(X) E D[X| tais que:

AOOINX) —

(0X) HH),

com grau f(X) < grau f(X) egraug(X) < graug(X). Como D é um domínio fatorial, então D[X| é um domínio fatorial e todos os fatores irredutíveis de grau > 1 de f(X) em D[X] devem aparecer no produto f(X)g(X); nem todos eles podem aparecer em fi(X) pois temos grau á(X) < grau f(X):; assim, pelo menos um dos fatores irredutíveis de grau > 1 de f(X) deve dividir g(X). [] Corolário 111.3.7. Sejam D € D' dois domínios, sendo D fatorial.

Sejam f(X),g(X) E DIX] degrau > 1. Então, H(X) e g(X) têm um fator comum de grau > 1 em D|X] se (e somente se) eles têm um fator comum de grau > 1 em DX).

DEMONSTRAÇÃO. Se os polinômios f(X) mum de grau > 1 em D'([X], então Rs, = Como D é um domínio fatorial, e como g(X) têm um fator comum de grau > 1

[1.3.6b).

e g(X) têm um fator coO pelo Teorema [1.3.6a). Rs, = 0, então f(X) e em D[X], pelo Teorema

o

[SEC. lH.3:

RESULTANTE DE DOIS POLINÔMIOS

89

Exercício 111.3.8. Sejam D um domínio e (X)

e g(X) e D/X|

dois polinômios de grau > 1, tais que Rs, 0. Seja a € D. Mostre que se existe zo € D tal que a divida f(xo) e g(xo), então a divide

a resultante Ry-

Vamos precisar do seguinte resultado técnico: Proposição

111.3.9. Seja D um domínio.

FX)

Sejam

= agX” +ÓuXTI+..sta,

(X) = bXT ABNT

vo,

tbm,

bo fO,

dois polinômios em D|[X] de grau > 1. Então a resultante Rpg é uma

soma

de termos

do tipo

ta; ...Gbi---bi,

comúndccctimtj+o +HIn=nM.

DEMONSTRAÇÃO.

Rsg = det(Cij)i 1, vamos prová-lo para polinômios em n variáveis. Para polinômios simétricos f em n variáveis de grau < 1 0 teorema é trivial; de fato, tais polinômios f têm a forma f=-a(XM+X

+

+X)+ao,

e claramente f = h(s1), onde que temos a igualdade entre Por indução, supomos que simétricos de grau < k, com Escrevemos

f(X1+,..., X,)

com

...

Xn)

+od(X

—

E À,

A(X,,...,Xn) = 1X, + ao. Observe o grau de f e o peso de h. o teorema foi provado para polinômios k > 2. nas n variáveis X,, X5,..., Xn-

como

polinômio

coeficientes em A[X1, Xo,..., Xn-1]: HX,

ag,41

Po(X1,

e.

XD)

os Xa )XE +

na variável X,

XG

+

(Xi, 0.0, Xno1),

e com

(1)

com grau p(X1,...,Xn-1) são dois pontos distintos de L;NC, então, pelo Teorema

de Bezout, L, NC = (P, Po). Similarmente, L;NC = (P;, Pu) para cada ri = 1,...,6. Como

4

€ C,

Á

+

P,, P,

e L;

NC

=

tP,, Po,

então

4

É

Li.

Similarmente, 4 É L; para cadai = 1,...,6. Como

tP,, Psy =

Qy

e

L;NLhLe

(L;

NC)

N

(Ly

NC)

=

(P,, Po

0, então Q, É C. Similarmente, Q1, Qo,03 É O.

NM

Para yu € R*, considere agora o polinômio g(X, Y)

Afirmamos que graug = 3. Vi=1,...,6.

Llals

+ Ulatile.

De fato, graug

< 3 pois grau?, = 1,

Por outro lado, os pontos A, P>,()

estão sobre a curva Vr(g) Li. Logo, pelo teorema No entanto, é impossível ufotse, O que é absurdo graug = 83.

=

são distintos e

determinada por 9, e também sobre a reta de Bezout, ou graug > 3 ou ?, divide 9. ?, dividir g, pois, neste caso, ?, dividiria pois R[X,Y]| é um domínio fatorial. Logo,

[SEC. |V.3:

TEOREMA DE BEZOUT

127

Escolha o número real 4 de maneira tal que o ponto 4 se en-

contre sobre a curva Vr(g), isto é, tome u=

Com

esta escolha,

4

(a, Bala,

Bts(a,

B)

tola, B)la(a, B)bela, 8)

os sete pontos

P,,..., Fe,

À

se encontram

na

interseção de €' com Vr(9). Pelo teorema de Bezout, f divide 9; então, existe um polinômio h(X,Y) de grau 1 tal que g = fhe portanto

Vr(9) = Vr(f) U Ve(h). Obtemos finalmente que Q,, Qs, Q3 estão sobre a reta Vr(h). De fato, Q1, Q5, Q3 pertencem a Vr(g), e não pertencem a €. []

Exercício

IV.3.3.

(Complemento

do Teorema

IV.3.2).

Sejam

P,,..., Pg seis pontos distintos sobre uma cônica irredutível €.

a) Se as retas PP, e P,P; são paralelas, se as retas PP e PP, se intersectam em (), e se as retas PP, e Ps P, se intersectam em ()5, então a reta 0,03 é paralela à reta PP». Dica: Tome um ponto P, * P, “muito perto” de P, na cônica C, e compare o caso PP... P; com o caso PB... P.. 1 b) Se as retas PP, e PP; são paralelas, se as retas BP; e P; Ps são paralelas, então as retas PP, e PsP, são também paralelas. Dica: Tome um ponto P, £ P, “muito perto” de P, na cônica C, um ponto PF; £ Pe “muito perto” de Pg na cônica C, e compare o caso PP... PP; com o caso PP... PB.

128

ICAP. IV: APLICAÇÕES

Item

a)

Item b)

Teorema IV.3.4. (Teorema de Pappus). Sejam À; e As duas retas concorrentes. Sejam P,, P3, P; três pontos distintos sobre Ay e P,, Pi, Pe três pontos distintos sobre As. Se as retas PP, e PP; se intersectam em (1, se as retas BP; e PsPs se intersectam em (), ese as retas PP, e PP, se intersectam em (23, então os pontos (21,()2,4)3 são colineares.

P,

DEMONSTRAÇÃO. Faça uma prova análoga à prova do teorema de Pascal, escolhendo o ponto Á na interseção de À; com Ás. []

[SEC. IV.4:

EXERCÍCIOS

IV.4

129

Exercícios

l.a) Mostre que —6 + 48i é um múltiplo de 2 + 4 em Zfil. b) Procure a fatoração de —6 + 48i em fatores irredutíveis em Zi).

2.

Seja n um inteiro do tipo 4k + 3.

a) Mostre que n possui um fator primo do tipo 42 + 3 que aparece com uma potência ímpar na fatoração de n.

b) Mostre que a equação Xº + Y? = nZ? não possui uma

solução em Zº diferente de (0,0,0).

c) Mostre que a equação Xº + Y? = n não possui solução em Q, 1.e., que n não é soma de dois quadrados em Q.

3. a) Mostre que Z[V'3] = Z[X]/(X? — 3). b) Seja p € Z um número primo.

Mostre que p é um ele-

mento primo de Z[v'3] se e somente se o polinômio X? — 3 é

irredutível em (Z/pZ)|X].

. O objetivo deste exercício é mostrar que todo inteiro positivo é uma soma de quatro quadrados de números inteiros. Seja Q:—CxC, com as operações & e & definidas por:

(0,0) 6(y0)=(a+y,8+6) (1,8) 8 (7,6) = (ay — 86,6 + 89), onde Z denota o complexo-conjugado de z € TC. Considere a

função py: Q — R>o definida por

pl(a, 8)) := (aà + 88).

130

[CAP. |V: APLICAÇÕES

Observe quesea

= a +iae

ab

cd

8 = as+ias, então p((a, 8)) =

a? + a2 + az + az. Considere o seguinte subconjunto de Q: o

m=

(5455).

(5+5)):

|

abc

DOR

de Z

com

modo

a) Mostre que (Q), &, 9) é um anel não comutativo com unidade.

Mostre que a função y é multiplicativa, isto é, mostre que

p(lroy)=y(vp(y),

VYryeg.

Mostre que todo elemento não-nulo de Q tem inverso multiplicativo. Mais explicitamente, verifique que

(a, 6)! — (E

8)

169)

|

b) Mostre que (H, &,&) é um subanel de Q tal que p(z) E Z,

Var e H. Verifique que este anel é isomorfo ao anel dos quaternios inteiros de Hurwitz introduzido na Observação IV.1.7.

c) Mostre que (H,€,9,y) tem a seguinte propriedade euclidiana: dados dois elementos y e x não-nulos de H, existem elementos t,r € H tais que

v=t9rer Dica.

com

q(r) z|y ou eju.

ISEC. IV.4:

EXERCÍCIOS

131

Um elemento x de H, x não-invertível em H, é dito irredutível se, Vy,w

€ H, temos

t=y8w>youw éinvertível em H. Mostre que se x € H é um elemento central e irredutível, então o elemento x é primo. f) Seja p € Z um número primo. não é irredutível em H.

Mostre que o elemento (p, 0)

Dica. Utilize que existem inteiros a,b € Z tais que o número

primo p divide (a? + b? 41) e que vale a seguinte igualdade

(arti;b)S(a-i,—b)=(a24+6+1,0).

g) Seja p € N um número primo. inteiros a,b,c,d € Z tais que

Mostre que existem números

4p=a+b + ce + dº. h) Seja n € N tal que 2n é uma soma de quatro quadrados de inteiros.

Então n também é uma soma de quatro quadrados

de inteiros. Dica.

a“ + b? —

Do

fa+b

2

2 4

a-bN*

2

'

1) Conclua que todo número primo p € N é uma quatro quadrados de inteiros.

soma de

j) Usando a propriedade multiplicativa da função «y, mostre que o produto de duas somas de quatro quadrados de inteiros é anda uma soma de quatro quadrados de inteiros. Conclua que todo número inteiro positivo é uma soma de quatro quadrados de inteiros.

132

[CAP. IV: APLICAÇÕES 5. Sejam

P

=

(71,%y),...,P;

do plano real R?.

= (75,Y)

cinco pontos distintos

a) Mostre que o: Rê

—s

(020, 011, 4025 410; 401, 490) +—

Rº

2 9 (az0%; + a T;y; + agay; + ...4

é uma aplicação R-linear.

b) Mostre que existe ao menos uma cônica passando pelos cinco pontos P,,..., Ps.

c) Mostre que se duas cônicas distintas contêm esses pontos, então quatro dos pontos são colineares.

6. Seja K um corpo infinito e seja f(X,Y) E K|X,Y| irredutível de grau 2. Se Va(f) + À, então Vk(f) é um conjunto infinito. Dica. Considere um ponto (a,b) E Vk(f) e as retas Ly dadas porY -b=ao(X — a) com a € K. Considere La N Vk(f).

Capítulo V Teoria Básica dos Grupos V.1

Exemplos

Definição V.1.1.

de Grupos

Um conjunto G com uma operação GxGsG

(a,b)-5a-b é um grupo se as condições seguintes são satisfeitas:

(1) A operação é associativa, isto é, a-(b-c)=(a-b)-c

Va,b,ceG.

(11) Existe um elemento neutro, isto é, JSeeG

talquee-a=a-ce=a,

VaceG.

(1;) Todo elemento possui um elemento inverso, isto é, VaceG,

dbeG

talquea-b=b-a=e.

O grupo é abeliano ou comutativo se: (iv) À operação é comutativa, isto é, a-b=b.a, 135

VabeG.

136

ICAP. V: TEORIA BÁSICA DOS GRUPOS

Observação

V.1.2.

1) O elemento neutro é único.

e=e-e = e

pois e” é elemento neutro, pois e é elemento neutro.

e,e' € G são elementos neutros de G, então

De fato, se

2) O elemento inverso é único. De fato, sejaa € G, esejam b,b' E G dois elementos inversos de a; temos:

b=b.e=b-(a-b)

=(ba)b=e-b=b

pois b é inverso de a,

pois b é inverso de a.

Denotaremos o único inverso de a por q”. 3) Da unicidade do inverso de um elemento a € G, obtém-se o fato mais geral seguinte: Se a,b e G, então a equação X -a = b tem uma única solução

em G, a saber b-a.

De fato, se c é uma solução de X - a = b, então temos c-a =D,

logo c-a-a! =b.a! eportantoc=b-a”!.

Por outro lado, b-a”!

é claramente uma solução. De maneira similar, obtém-se que a equação a - X = b tem uma única solução em G, a saber a! -b.

4) Em decorrência da Observação V.1.2 3), para mostrar que um

elemento f € G é igual ao elemento neutro do grupo, basta mostrar que f-a= a para algum elemento a E G.

5) (a-b)1 =b7!.a”! Nota:

(Verifique).

Muitas vezes deixaremos de indicar a operação do grupo,

escrevendo G para denotar um grupo (G,-). Também, quando não existir ambiguidade, escreveremos ab no lugar de a - b.

Pela definição, se (4, +,-) é um anel, então (4, +) é um grupo

abeliano. Pela definição, um corpo (K, +,-) é um conjunto K com duas operações + e - tal que (K, +) é um grupo abeliano, (K — (0+, -) é um grupo abeliano, e vale a distributividade.

[SEC. V.1:

EXEMPLOS DE GRUPOS

Exemplos

1)

137

de grupos:

(Z, +) é um grupo abeliano infinito. (Z/nZ, 6) é um grupo abeliano finito com n elementos. n

2)

(Q, +), (R, +), (C, +) são grupos (aditivos) abelianos.

(Q1104,:), (RTOF, -), (CA 0), -) são grupos (multiplicativos) abelianos.

Se p é um número primo, abeliano.

3)

((Z/pZ) N (0),0) é um grupo p

Lembramos que se (4,+,:) é um anel, comutativo ou não, então A* representa o conjunto dos elementos invertíveis de A; (A*,-) é um grupo (prove) que será abeliano se o anel for comutativo. Em particular, se K é um corpo ese Maxn(K) é 0 anel das matrizes n x n com entradas em K, então

((Maxn(H))*,:) é um grupo (em geral não abeliano, pois o produto de matrizes não é uma operação comutativa); tal

grupo é denotado

por GL(n; K)

e é chamado

grupo

linear

geral sobre K.

3)

Considere (Z/nZ, B,O).

Por definição, o conjunto dos ele-

mentos de ((Z2/nZ)*, O) consiste das classes 7 onde o inteiro pertence ao conjunto (| 1 tal que a* = e. Neste caso, denotando por n a ordem de a, temos

t>0,

0d =el=140,n,2n,...1

DEMONSTRAÇÃO.

e

(o)=fe

a... ar.

(1) > (ii) Como (a) = (0” |m € Z), e como,

por hipótese, o grupo (a) é finito, existem p,q € Z, p q tais que a? — q!. Sem perda de generalidade, podemos supor que p > q. Como o? = qº, então a?! — e, e portanto existe t > O tal que

q =e. (ii) > (1). Consideramos o inteiro r := min(t > 1; a* = e). Queremos mostrar que 7 = n. afirmação seguinte:

Afirmação

V.2.13.

(a)

Para isto, basta claramente provar a

=

fe,a,a?,...,a”!)

e, a,02,...,0"7! são todos distintos.

e os elementos

ISEC. V.3:

CLASSES LATERAIS E TEOREMA DE LAGRANGE

147

DEMONSTRAÇÃO DA AFIRMAÇÃO: Suponhamos que q? = a! com O (1) é óbvio. (1) => (ii) Suponhamos que gHg! C H, Vg € G; queremos mostrar que H € gHg!, Vg € G. Sejamentãohe Hege G; temos

h=g(g'hg)g" eglg 'Hg)g* CgHg.

0

Definição V.4.2. Um subgrupo H é um subgrupo normal de G (e escrevemos H a G) se ele satisfaz as afirmações equivalentes da proposição

anterior.

Neste

caso,

as classes laterais à esquerda

de

H são iguais às classes laterais à direita de H; vamos chamá-las de classes laterais de H.

154

[CAP. V: TEORIA BÁSICA DOS GRUPOS

Exemplo V.4.3. 1) (e), G são subgrupos normais de G. 2) Z(G)4G. Mais geralmente, se H < Z(G), então HaG.

(Provel!).

3) G' = ([ryr ly! | x,y € G) é um subgrupo normal de G. DEMONSTRAÇÃO.

junto fryr ly!

Primeiro, observe que se chamamos de S o con-

|zx,yeGhesea

E S, então a! E S; conse

quentemente, se É é um elemento qualquer de G' = (S), então é se escreve da forma É = q1...«n com q,,...,a, € S. Segundo, se g E G, temos

969" = g(m...an)g | = (gang D(gasg e consequentemente,

para ver que gég!

!... (gang*)

E G', basta ver que vale

goag t E S quando « E S. Seja então a = xyz ty! um elemento

de S; temos

gag”! = g(xyz 'y Dg! = (gxg Dgyg gr 'g = (9x9 gyg geg )'(gyg tes. 4) Se(G:H)=2,então

gy !g")

HaG.

Para mostrar isso, vamos mostrar que zH = Hx, Vz € G.

zeHentãozH=H=Hz.Sezx

é H temos

Se

cH + H, Hx + H.

Como (G : H) = 2, existem exatamente duas classes laterais à es-

querda, que são então zH e H. Agora, uma relação de equivalência num espaço decompõe o espaço na união disjunta de suas classes de

equivalência; assim zH = GN H. Da mesma forma, Hr = GH. Portanto tH =GNH = Hz.

5) Se G é um grupo abeliano, então todo subgrupo de G é normal

em G. A recíproca é falsa em geral. Veremos mais tarde que o grupo (Qs (grupo dos quaternios com 8 elementos) não é abeliano apesar de todos seus subgrupos serem normais em (Qs.

[SEC. V.4:

SUBGRUPOS NORMAIS E GRUPOS QUOCIENTES

155

Exercício V.4.4. Procure todos os subgrupos normais de 53 e D.. Teorema V.4.5. Seja G um grupo e seja H um subgrupo normal de G. Então o conjunto das classes laterais, com a operação induzida de G, é um grupo.

DEMONSTRAÇÃO. Deixamos essa demonstração a cargo do leitor; o elemento neutro de G/H é a classe lateral H; o elemento inverso da classe gH é a classe g!H. 0 Definição V.4.6. Sejam G um grupo e H um subgrupo normal de G. O grupo de suas classes laterais, com a operação induzida de G, é chamado de grupo quociente de G por H; ele será denotado por

G/H ou por £.

Proposição V.4.7. mutadores. Então,

Sejam G um grupo e G' seu subgrupo dos co-

a) G/G' é abeliano. b) G' é o menor subgrupo normal de G com esta propriedade, isto é, se H) Seja a € KH. Então existem k E K e he Htais que a = kh. Temosa! = h-lk-!l e HK. Como HK

é por hipótese um subgrupo de Ge al e HK, então a E HK; assim, provamos que KH €C HK. Para provar a inclusão contrária,

tome y € HK. y1

Como HK é um subgrupo, temos y! e HK; logo

= hoko com

Y=ko'ho' € KH.

ho € H,

ko E K.

Tomando

= KH.

Para provar que HK

Portanto temos HK = KH.

(r!=k'h'eKH=HK.

0)

[SEC. V.4:

SUBGRUPOS NORMAIS E GRUPOS QUOCIENTES

157

Corolário V.4.10. Sejam H e K dois subgrupos de G. K for normal em G, então HK é um subgrupo de G. DEMONSTRAÇÃO.

Se H ou

Faremos a prova no caso em que HaG

e K é

um subgrupo qualquer; o outro caso é totalmente análogo. Vamos

mostrar que HK = KH. Seja a = hk e HK. Temos a = Ak = kk !hk = k8 com 8:=k"!hk e H pois H 4G; portanto a = kf € KH. Provamos então que HK C KH. Para provar a inclusão

contrária, seja y = kh e KH.

Temos y = kh = khk”!k = dk com

ó:=khk-! e H pois H 4G; portanto y = dk e HK. Corolário Então HK

V.4.11. Sejam H e K dois subgrupos normais é um subgrupo normal de G.

O

de G.

DEMONSTRAÇÃO. Já sabemos, pelo corolário anterior, que HK é um subgrupo de G. Para provar que HK é subgrupo normal devemos mostrar que

ghkg' ec HK,

VgeEG,

VheH,

VkeK.

E de fato, temos

ghkg” = (ghg)gkg”") E HK, pois por hipótese, H e K são ambos normais em G.

0)

Vamos agora exibir uma relação entre a cardinalidade do conjunto HK e a cardinalidade do subgrupo H N K no caso em que

|IG| < oo.

Note que na proposição abaixo não temos hipótese ne-

nhuma sobre o conjunto HK Proposição V.4.12. finito G. Então:

ser um grupo.

Sejam H

HK|= DEMONSTRAÇÃO.

e K

dois subgrupos de um grupo

HIIK|

HnK|

Considere a seguinte função: v:HxkK —s HK

(A, k) —

hk.

158

[CAP. V: TEORIA BÁSICA DOS GRUPOS

Claramente, a função y é sobrejetora e &(H x K) = |HI|K|. Vamos

provar que y”!(x) tem exatamente |H N K| elementos, Vx E HK.

Provado este fato, é claro que temos então a igualdade desejada. Seja x = hAk e HK. Vamos mostrar que

v“(hk) = ((ha !,ak);

ae HNK),

o que nos dará claramente que |p"!(7)| = |H N K|. A inclusão D é clara. Para ver a inclusão inversa, sejam hi € He ki €E K tais que (h1,k1) E py” !(hk). Temos h;k; = hk, logo kk! = h7!h; tomando

a=kk!=h!htemosaceHNKe(h,k)=(ha!,ak). Proposição V.4.13. Seja G um grupo. Sejam H e K grupos de G tais que HK seja um subgrupo. Então,

dois sub-

(HK:K)=(H:HNK) (e smilarmente, (HK :H)=(K:HNK)). DEMONSTRAÇÃO. À proposição afirma que se o lado esquerdo da igualdade é finito, então o lado direito também é finito e vale a igualdade; e vice-versa.

No caso em que |G| < oo, podemos dar a prova simples seguinte: HK ET

(HK:K)= HK E

JH

=

H

pelo Teorema V.3.5,

A

“H.HNK)

HnKpo So

pela Proposição V.4.12,

?

elo Teorema V.3.5

o

No caso geral (i.e., no caso em que |G| pode ser infinita), seja fhatocr um sistema de representantes das classes laterais à esquerda de HNK em H. Evidentemente, se mostramos que (ha acer

ISEC. V.5: HOMOMORFISMOS DE GRUPOS também é um sistema querda de K em HK, primeiro que sea * remos h, = he? com

mos te

HNKe

159

de representantes das classes laterais à esteremos provado a proposição. Ora, vejamos 6, então haK & hgK. De fato, senão te? € K; mas, como £ = ha ha E H, tere-

portanto h(HNK)

= h(HN

Agora vejamos que toda classe lateral à esquerda de do tipo haK, para algum a € 7. De fato, seja EK, E tal classe lateral; escrevendo é = hk com he H, k EK = hkK = hK, e escolhendo a E T tal que h E teremos £K = hK = hgK. Exercício V.4.14. Seja G um grupo. Mostre que AB (G,º), Id(g) = 9, é um homo-

morfismo chamado

2)e:G

Vabe G.

identidade.

> G, e(g) = eg, para todo g € G, é um homomorfismo

chamado homomorfismo

trivial.

3) Seja n E Z fixo. Então, pp: (2,4) > (Z,+), Pnlz) = nz, é um homomorfismo. Mais geralmente, se (G,-) é um grupo abeliano então Pr: G — G, Pn(9) = 9”, é um homomorfismo. 4) Seja HaG, então p: G > G/H, y(9) = 9H, é um homomorfismo chamado de projeção canônica.

5) Seja g € G fixo.

Então, LT: G —

homomorfismo bijetivo.

G, Ly(x)

= gxg"!, é um

160

[CAP. V: TEORIA BÁSICA DOS GRUPOS

6) Considere os elementos 1

=— (1,0),

Co

—

(0,

1)

e

Os

—

(1,

1)

de

(Z/2Z)x(Z/22).

fi: 2/27 — (2/22) x (2/27)

0 — (0,0) 1 >

Q;

é um homomorfismo injetivo (Vi = 1,2,3). Propriedades

elementares:

Seja f: (G,-) — (G, x) um homomorfismo de grupos. Então: 1) f(eg) = eg.

De fato,

f(ec) = f(ec - ec) = flec) x Ff(ec).

») Ha) = far De fato, 3) ker f:i=

eg=f(eo)-Hr-x)=f(x)x f(x!).

(xe

G | f(x) = eçi é um subgrupo normal de G

DEMONSTRAÇÃO.

Vejamos primeiramente que ker f < G. Dados

chamado núcleo do homomorfismo f.

z,y E ker f, temos:

Hay) =f(x)x fly) =eg x eg = eg,

Ha )=fa)"=eç =eg;

portanto ker f < G.

que:

grg

Para provar que ker f «G

*ekerf,

V9geG

e

devemos mostrar

Vreker

f.

E de fato, temos

Hgxg = f(9) x f(x) x f(gD) = f(9) x eg x fg)! = f(9) x f(g) ! = eg. O

ISEC. V.5:

HOMOMORFISMOS DE GRUPOS

161

49) Im(P) = (ye G|y = f(g) para algum g € G) é um subgrupo de G (Prove!), chamado Imagem de f. 5) Se H é um subgrupo de G, então f(H) é um subgrupo de G e

temos f!(f(H)) = Hker f. DEMONSTRAÇÃO.

À prova de que f(H) é um subgrupo é similar à

prova de que Im(f) é um subgrupo de G (note que Im(f) = f(G)). Vamos provar que f!(f(H)) = Hker f. Seja h-k € Hker f, isto é,heHekeker f; temos

Fh-k) = FHh) x Hk) = fh) x eg = F(h) e FU); provamos assim que

Hker f Cf (F(H)). Para provar a inclusão contrária, tome y e f!(f(H)). Por definição, f(y) e f(H); existe então h E H tal que f(y) = f(h), logo, multiplicando por f(h”!) à esquerda, tal que f(h)”! x f(y) = eg, isto é, tal que hT! .ye ker f. Assim, y=h-(h!.y) € Hker f. C]

Note

que

a igualdade

f!(f(H))

=

Hker f implica

que

f(f(H)) é um subgrupo de G, pois ker f é um subgrupo normal de G. Mais geralmente, temos: 6) Se H é um subgrupo de G, então f!(H) é um subgrupo de G

contendo ker f e temos que f(f1(H)) = HN Im(f). DEMONSTRAÇÃO.

À hipótese H < G implica eg € H e, portanto,

temos

f'(H)D

f'(eg) = ker f.

Deixamos a cargo do leitor a prova de que f!(H) é subgrupo.

Verifiquemos a igualdade f(f(H)) = HNImf. e À inclusão f(f'(H)) CH N Im(f) é trivial. e Para provar a inclusão oposta, tome y €

KH N

Im(f);

como o

elemento y € Im(f), existe g E G tal que f(g) = y. Como y E H,

então ge f HH) e assim y = f(g) e FCI H(H)).

DO

162

[CAP. V: TEORIA BÁSICA DOS GRUPOS

Note que no caso particular em que f: G — G é um homomorfismo sobrejetor temos:

ITD)

=H.

7) ker f = (ec) & f é injetiva. (Prove!) 8) Se O(x) < oo então O(f(x)) divide O(x). DEMONSTRAÇÃO.

Seja n = O(x). Temos x” = eg, logo

eg = Jteo) = Ha") = f(x)”, e portanto O(f(x)) divide n (vide Proposição V.2.12).

a

9) Sejam f:(G,)>(G,x) eh: (9,x) > (H,O) dois homomor-

fismo de grupos. Então a composição ho f: (G,) > (K,O) é um homomorfismo. DEMONSTRAÇÃO.

Sejam x,y € G quaisquer. Temos

ho f(x -y)= (fa y)) = (fx) x f(y)) = h(f(x)) O h(F(9)) = (ho f(r))O (ho f(y)).

L]

Definição V.5.3. Um homomorfismo f: G — G é um isomorfismo se existe um homomorfismo g: G — G tal que fog =idçego

f = idg. Quando existe um isomorfismo entre dois grupos G e G, dizemos que G e G são isomorfos e denotamos G = G.

Proposição V.5.4. Seja f: (G,:) > (G,x) um homomorfismo de grupos.

Então, f é um isomorfismo se e somente se f é bijetivo.

DEMONSTRAÇÃO.

(=>) trivial.

(

Rr

0º

Ra

>

2

164

[CAP. V: TEORIA BÁSICA DOS GRUPOS

1234 (4921) = br Rn ab —

Ri

o 6 >

By

28 + Rm Mostre que y é um homomorfismo, logo um homomorfismo bijetivo, e portanto um isomorífismo.

Teorema V.5.6. (Teorema dos isomorfismos). Seja f: (G,:) > (G,x)

um homomorfismo de grupos.

Então,

1) À função induzida

é um isomorfismo. 2) As seguintes funções subgrupos de G Ea contém ker H

1-1 +

Hr

HH)

+

tsubgrupos de f(G))

HH) K,

são bijeções, inversas uma da outra. Além disso, estas bijeções levam subgrupos normais em subgrupos normais, isto é:

a) HaG > HH) a f(G). b) HS HG) =>

(HO) 4G.

[SEC. V.5:

HOMOMORFISMOS DE GRUPOS

165

DEMONSTRAÇÃO. 1) Primeiramente, devemos verificar que f é uma função bem definida, isto é, se gker f = gker f então temos

f(g) = f(g).

Mas, gker f = gker f implica que g = 9- k, para

algum k € ker f e, portanto,

Hg) = H9-k) = fg) x H(k) = H(9) x eg = (9). Agora, f é claramente uma função sobrejetora e, para q,9' E G, obtemos

flgker f- g'ker 1) = Hlgg)ker 1) =FHg-9) — (9) x f(9) = f(gker f) x f(g'ker f); assim f é um homomorfismo.

Agora,

ker f = (gker f| f(9) = eg) — (gker f |g e ker f) =ker f; assim ker f = feg/rer fy ou seja, a função f é injetiva.

2) Já sabemos que f'(f(H)) = H(ker D), VH

que (IF (H)

rf)

assim

outra.

que

=HNHG),

=H,eseHc

as duas

funções

VH f(h).

Claramente, flyu(H) = f(H) eker(f|lu) = (ker NH.

Aplicando a

parte 1) do teorema dos isomorfismos ao homomorfismo f|y, obtemos o corolário. U Corolário função

puto

V.5.8.

Seja H

um

-

(normais) de G .

que contém H

subgrupo

|

normal

de G.

Então

a

G subgrupos (normais) de —

H

K > K/H

é uma bieção.

DEMONSTRAÇÃO. Considere o homomorfismo q: G — E, dado por (9) = gH. Claramente, y é um homomorfismo sobrejetor e ker py = H. Aplicando a parte 2) do teorema dos isomorfismos ao homomorfismo y, obtemos o corolário. L) Corolário V.5.9. Sejam HaG

K

Hnk

e K HaKH e, portanto,

faz sentido considerar o grupo quociente KH/H. Considere o homomorfismo canônico KH > KH/H e seja plx à sua restrição ao subgrupo K < KH, isto é:

KH

Plr: K — “Ho ks

Claramente, ker(vlx) = (ke agora a € KH/H; temos a = he H;logo a = (kh)H = kH jetor. Aplicando agora a parte homomorfismo |K, obtemos o Corolário V.5.10.

H/K DEMONSTRAÇÃO.

K |kH = Hj = HNK. Seja (kh)H para algum k E K e algum = plK(k) e portanto p|x é sobre1) do teorema dos isomorfismos ao corolário. []

Sejam K 3; éfácilver que p: G > G, p(x) = x”!, é um homomorfismo

[SEC. V.5:

HOMOMORFISMOS DE GRUPOS

169

bijetivo e portanto um automorfismo de G; p não é a aplicação identidade pois p(y) = y * £y e portanto, pela Observação V.5.15,1), p não é automorfismo interno. Assim, em particular, obtemos que

Z>

nte

To.

—n

Zdl-

Toso

ZdZ

o —T

(comd>3)

são exemplos de automorfismos que não são internos. Definição

V.5.16.

Um subgrupo H de G é dito subgrupo carac-

terístico (denotado por H H.

e Para H = (id,a,0”), temos S3/H= (e = id,B) e procuramos os homomorfismos injetivos de (e= id, BY em S3. Ora, para que uma aplicação 1) de je = id, BY em S; possa ser um homomorfismo,

é

necessário que y(/) tenha ordem igual a um divisor da ordem de j,

i.e., um divisor de 2; para ser injetiva, é necessário que 1)(5) id. Portanto, temos exatamente três candidatos a homomorfismos injetivos de fe = id,8) em S3, a saber os homomorfismos definidos

por y(8)= 8,08 ou a28. É imediato verificar que, definidos desta maneira e com W(id)= id, os três candidatos são de fato homomorfismos injetivos de ( = id, 8) em S3. Portanto, obtemos (Homomorfismos de S; em S3 com núcleo fid,a,a?H —

(ve O Plida,a2)

Ve:

—

(go:

ge(a)

53

—

53;

fid, 8) —

id,

—

93) ge(8)

be(B) —

—

a 8,

o" 8, b —

l = Ô, Õ,

),

1,2) 2).

172

[CAP. V: TEORIA BÁSICA DOS GRUPOS

e Para H = Ss, temos S3/H = id). É claro que p: fid) — 63 definido por p(id) = id é o único homomorfismo (injetivo) de (id) em 53 e portanto que

fHomomorfismos de 53 em S3 com núcleo S3| = [Homomorfismo trivial). Exercício V.5.23. Determinar os homomorfismos do grupo 53 em Z/27, x Z/27.

V.6

Grupos

Proposição

V.6.1.

Cíclicos a) Se H

(Z,+) scesóseH =nZ

b)mZ O nZ seesóse DEMONSTRAÇÃO.

€

Z,

então

comnenN.

H

é um

subgrupo

de

m |n; neste caso, temos (mZ : nZ) = n/m.

a) já foi feita.

b) É claro que mZ 2 nZ & m|n. Suponhamos que nZ < mZ

< Z; tomando K = nZe

H = mZ

no Corolário V.5.10, obtemos

Z/nZ,

o

zo

mZ/nZ mZ portanto, n/(mZ : nZ) =m e daí (mZ : nZ) = n/m.

Proposição

V.6.2. Seja G = (a) = [...,ale,a,a2,...)

grupo cíclico de ordem infinita.

Então:

[]

um

a) A função f: (Z,4) > (G,º), f(z) = à”, é um isomorfismo. b) O elemento a” gera G see somente sez= 1 ouz=-l. DEMONSTRAÇÃO.

a) À função f: (Z,+) > (G,:), f(z) = a”, é um

homomorífismo pois

HMara)j=0"2

=9"2.02=f(m)-f(vo),

Va,meZ;

ISEC. V.6:

GRUPOS CÍCLICOS

173

a função f é claramente uma bijeção e portanto um isomorfismo. b) À função f: z > a” sendo um isomorfismo, temos que a” gera G se e somente se z gera Z. Agora, claramente, os únicos elementos que geram Z são z = louz=-l. [)

Proposição V.6.3. Seja G = (a) = (fe,a,...,a""!) um grupo cíclico de ordem finita igual an.

Então:

a) A função f: (Z/nZ,&) > (G,:), f(m) = a”, é um isomorfismo.

b) O elemento a” gera G se e somente se M.D.Cim,nj =. DEMONSTRAÇÃO. a) Como vimos na prova da Proposição anterior, a função f de Z em G dada por z +» a” é um homomorfismo, claramente sobrejetor. Sendo isomorfo a G, o grupo Z/ker f tem n elementos e portanto ker f = nZ.

b) À função m + a” sendo um isomorfismo, a” gera G se e somente se m gera (Z/nZ, &), logo se e somente se M.D.C.(m,nk=1. OD Proposição

V.6.4.

Seja G =

cíclico finito de ordem n.

(a) = fe,a,... ja”!

a) Se H é um subgrupo de G, então H é cíclico.

um grupo De maneira

precisa, H = (a”) onde m é o menor inteiro positivo tal que a” E H; o subgrupo H tem ordem igual a n/m.

b) Sed é um divisor den, então existe um único subgrupo H de G com ordem igual a d. Este subgrupo H é igual a (a"/9).

DEMONSTRAÇÃO.

À proposição é uma consequência da Proposição

V.6.3 e da Proposição V.6.1. Fazemos abaixo uma prova direta que utiliza, essencialmente, os mesmos argumentos.

a) Seja m o menor inteiro positivo tal que a” E H. Claramente, (a”) C H. Reciprocamente, seja a“ € H; vamos mostrar que m | u

174

[CAP. V: TEORIA BÁSICA DOS GRUPOS

(o que claramente implicará que a” € (a”)). Fazendo a divisão de u por m, temos

u=qgm+r

logo a” = (a")].a”.

com

OU 1.

então

b) Temos (Z/2Z)* = (7/22) x (2/2227) para cada inteiro t > 2. DEMONSTRAÇÃO. a) Podemos supor t > 2, pois o caso t = 1 já foi provado na Proposição V.6.6. Considere o homomorfismo sobrejetivo de grupos multiplicativos

(2/2) > (Z/pZy

a-a+r+pZ > a + pZ.

Temos ker f = (a; «a = Imodp+. temos também | ker f| = p'!.

Pelo Teorema dos isomorfismos,

AFIRMAÇÃO 1. ker f é um grupo cíclico gerado por p + Para provar esta afirmação, basta ver que ——

(p+I)

pt —2

+1

em

1.

(Z/p'Z).

E de fato, temos (aqui usamos p primo ímpar): (p +

=p"!4+1£1

1)?

-s

Ci t— o

(mod p'.

Consideramos agora o seguinte subgrupo H de (Z/p'Z)*: H.=la

| qr

— 1h.

[SEC. V.6:

GRUPOS CÍCLICOS

181

Sea e HNker f, então O(a) divide p — 1 e divide também p*, logo O(a) = 1. Portanto H Nkerf = (1). AFIRMAÇÃO

2. H é um grupo cíclico com |H| =p — 1.

De fato, primeiramente observamos guintes

que das duas relações se-

IH ker fl 2 e se supomos o resultado provado para t — 1, temos

To(a”) = Ty o Tyra”) = To(a") = (Tola) —

(as rs

—

ars

Com isso obtemos que todo elemento do grupo (a,b) pode ser

escrito na forma a"b” com v,w E N. Agora, a condição b” E (a) permite escrever este elemento a”b” na forma a” bi com v' E Ne com O

Aut(H,) Ty,

que satisfaz a condição T'(kk) = T'(k)oT(k), Vk,k' € Ky, ie., a aplicação T' é um homomorfismo. Já que H, é isomorfo a H e K, isomorfo a K, então sabemos pelo

Corolário V.9.15 que existe um homomorfismo o: K — Aut(H) tal

que K, x H, seja isomorfo a K X H. Portanto, afim de mostrar que G é isomorfo a K x H, basta mostrar que G é isomorfo a K, x H,. T!

Primeiro,

observe que HK,= KH,

(pois H, «G), e observe

que todo elemento g € G se escreve na forma g = hk, com he H,

e k e K;,, de maneira única (pois, se g = hk = h'k', então temos hTih = kk!eHnNnk, = fere, portanto, h= h' ek = k). Agora, considere a aplicação

p:KxH T'

— G

(k,h)— Pela observação

anterior a aplicação p é uma

agora que p é um homomorfismo:

p((k,h)

hk. bijeção.

Vejamos

(k',h9) = p(kk',h - TU(hO) = p(kk',hkh'k!)

= hkh'k kk = hkh'k' = (kh) -o(k,h).

O

[SEC. V.9:

PRODUTO SEMIDIRETO DE GRUPOS

215

Este Teorema V.9.16 é uma ferramenta útil para determinar a estrutura de um grupo G.

Exemplo V.9.17. A menos de um isomorfismo, Z/15Z é o único

grupo de ordem 15.

DEMONSTRAÇÃO. Afirmação

Seja G um grupo de ordem 15.

1: O grupo G possui um elemento de ordem 3.

fique)

(Veri-

Afirmação 2: O grupo G possui um elemento de ordem 5. De fato, suponhamos que G não possua elementos de ordem 5. Então, pelo Teorema de Lagrange, todos os elementos £ e teriam ordem igual

a3. TomereGYlereyeG(z).

a) e,x,7º,y,y” são elementos distintos, por razões elementares.

bD)e,T,22,y,y>, Ly,y 1º são sete elementos distintos. De fato, temos que xy É fe, x,12,y,y”) por razões elementares, e por ser o inverso de zy, o elemento y*x” também não pertence a este conjunto. O) e,L,X,y,y, Ly, Y X2, xy", yr? são nove elementos distintos. fato,

xy”

É

fe,z,7º,y,yº,xy)

por

razões

elementares;

De

também,

zyº + yr? pois caso contrário, teríamos zy” = y'x”, logo multi-

plicando ambos os lados por xy” à direita, obteríamos (xy)? = y e tomando

absurdo.

os inversos de ambos

os lados, zyº — y*, o que seria

Logo zy” É fe, x,7º,y,yº,Ly,yL”) e, por ser o inverso

de xy”, o elemento yzx? também não pertence a este conjunto.

D) LL, TU, VT, XY UT, Ly, y x são onze elementos distintos. De fato, z“y É fe, 7,1º,y,y”, Ly, Ly”) por razões elementares; também z2y £ y'zº pois, caso contrário, teríamos z2y = y'T*, logo multiplicando ambos os lados por yr”

à direita, obteríamos

z = (yr?) e, tomando os inversos de ambos os lados, 1º = y'z?, o que seria absurdo; similarmente, z2y % yL” pois, caso contrário, os elementos x” e y comutariam, logo

(2,0) = (e, 2, 2,y, 0 y, Ly, yo,

y, xy)

seria um subgrupo de G contendo 9 elementos, o que seria absurdo pelo Teorema

de Lagrange.

Logo

xºy

É

fe, x, 7 ,y,y', xy, y x”,

216

[CAP. V: TEORIA BÁSICA DOS GRUPOS

zy”, ya”), e por ser o inverso de xy, o elemento y2x também não pertence a este conjunto.

e) eLLyY, Ly, Y LL, Ly, YL, Ly, yr, ry, yr são 13 elementos distintos. De fato, xºy” É fe,x,xº,y,Y”, Ly, ZY”, Ly) por razões

elementares; também x2y? + yºxº pois, caso contrário, 7º e y” comutariam, logo (x2, 1?) seria um subgrupo de G contendo 9 elementos, o que seria absurdo pelo Teorema de Lagrange; similarmente,

trocando os papéis de x e y no argumento dado em c), obtemos 22yº + yx*; finalmente, trocando os papéis de x e y no argumento

dado em d), obtemos x2yº

y'x. Logo

Ty É ler, y,y IV

LIV, YT, Ty, yo),

e por ser o inverso de z*y”, o elemento yx também este conjunto.

não pertence a

f) Adicionando xyz e x2y?x? ao conjunto anterior, temos 15 elementos distintos. De fato, se tivéssemos xyz = xy”, então multiplicando ambos os lados por x? à esquerda, obteríamos yz = 1'*2y?

que sabemos ser absurdo pelo item e); similarmente, se tivessemos

eyz = yix*, então multiplicando ambos os lados por x? à direita, obteríamos xy = wy!x'*? que sabemos ser absurdo pelo item e). Logo

zyz não pertence ao conjunto de 13 elementos dado no item e), e por ser o inverso de xyz, o elemento x2y*z? também não pertence

a este conjunto de 13 elementos.

g) O elemento xyºx não pertence ao conjunto de 15 elementos dado

no item f). De fato, substituindo y por y” no argumento dado no item Í), obtemos que zy?z não pertence ao conjunto de 13 elementos dado no item e); também, zy“x 4 xyz pois, caso contrário, teríamos zy'z = xyz, logo multiplicando ambos os lados por x? à direita e à esquerda, obteríamos yº = y, o que seria absurdo; similarmente, zyz + xºy'x? pois caso contrário, teríamos xyz = x2y2x”, logo

multiplicando ambos os lados por yº à direita, obteríamos (xyº)? = (7212)? e, tomando os inversos de ambos os lados, xy? = z“y*, O

que seria absurdo.

[SEC. V.9:

PRODUTO SEMIDIRETO DE GRUPOS

217

Assim, supondo a não existência de elemento de ordem 5 em G,

isto nos leva à existência de 16 elementos distintos em G, o que é absurdo. Logo, a Afirmação 2 esta provada. Afirmação 3: O grupo G possui pelo menos um subgrupo H de ordem 5 que é normal em G ou um subgrupo K de ordem 3 que é normal em G. De fato, seja n o número de subgrupos de ordem 5. Pela Afirmação 2, temos

1 2 tal que O! tis aliz),...ar21ip)) = (toa(is)... 0"! (i5)).

Denotaremos este ra-ciclo (iza(ia)...a"2!(i5)) por 09. Obser-

vamos que 04 e 09 são disjuntos. Se a restrição de a ao complemen-

tar do conjunto fix, a(i1),...,a"!i1), iz,alio),... a identidade,

13

E

acabou:

(1, 2, ..., n+

À (ia,

a

=

air),

ojos

=

0504.

...) ano t(a,),

Senão,

19, ais),

His)f é a tomamos

...s ar

t(i9))

tal que a(is) £ ia e continuamos o processo. Claramente este processo vai ter que parar depois de um número finito de etapas, e vamos obter que «a = 0105...0+, onde 01,092,...,0, são ciclos disjuntos de comprimentos > 2. Agora, para provar a unicidade, suponha que temos também Q = T2...Tu COM T4,7T9,...,Tu Ciclos disjuntos, cada um deles de comprimento > 2. Como m...Tulii) = a() £ ày e como os

[SEC. V.10:

GRUPOS DE PERMUTAÇÕES

221

T;'s são ciclos disjuntos, existe um único 7; tal que T;(i1) = a(i1).

Como os ciclos 7;'s comutam entre si, podemos supor que 9) = 1 e então temos m(ij) = a(ij). Vamos mostrar que 7 = 0. O

ciclo 7 não pode deixar a(i) fixo, isto é, 7; não pode mandar a(i1) sobre a(i1), pois 7 já manda ij sobre a(i1); como os 7;'s são ciclos disjuntos, então, Vj > 2, 7; deixa a(i,) fixo e portanto a(a(i1)) = Ti(a(i1)); assim vale que n(o(i1)) = a?(i1). De maneira similar obtemos que n(o*-!(i1)) = a*(ij), Vk > 0, e portanto que T; = 04.

Similarmente, trabalhando com i, no lugar de à, vamos

obter que 73 = 093; continuando assim, obteremos que u = t e que a

menos da ordem o; = 7;, para cada j = 1,...,t.

[1]

O fato de poder escrever de maneira única todo elemento do grupo 9, como um produto de ciclos disjuntos vai ajudar muito a

fazer computações no grupo Sn.

Exercício V.10.6. Seja p um número primo e seja n € N. Mostre

que todo elemento de ordem p no grupo $, é um p-ciclo.

Mostre

que Sp não tem elemento de ordem kp com k > 2. Se t é um inteiro

positivo, mostre que o grupo S, possui elementos de ordem pº se e

somente se n > pº.

Exercício V.10.7. Mostre que as possíveis ordens de elementos do

grupo 57 pertencem ao conjunto (1,2,3,4,5,6,7,10, 124.

Proposição V.10.8. a) Todo elemento de Sn é um produto de transposições, isto é, Sn = (Itransposições)). b) Sa = ((12),(13),...,(1n)). c) Sn = ((12),(23),...,(n— 1n)). DEMONSTRAÇÃO.

a) Temos id =

(12)(12)

E ((transposições)).

Em virtude da proposição precedente, basta mostrar que todo ciclo

(aj... a) é um produto de transposições, e de fato, temos (arão ...a,) = (ma;)(aa--1)... (aras)(ajas).

b) Em virtude da parte a), basta mostrar que toda transposição (27) pertence a ((12), (13),...,(1n)), e de fato, temos (15) = (1:)(19)(1:), se 1,4,7 são distintos.

222

[CAP. V: TEORIA BÁSICA DOS GRUPOS

c) Para todo inteiro 1 > 2, temos (1: + 1) = (Iú(ii + 1)(li); portanto o subgrupo ((12), (23),...,(n — 1n)) contém (li), para cada i = 2,...,n.

Assim, pelo item b), este subgrupo é igual a S,.

Observação V.10.9.

1) Seja a E 54. À função

à: UX,...,X] — UXy,...,Xn] HM,

00, Xn) > FX aq

oo, Xo(n))

é um isomorfismo de anéis (Verifique!). 2) Um elemento «a € S, pode ser escrito como um produto de transposições disjuntas se e somente se sua ordem for igual a 2. 3) À decomposição de um elemento a E S, como produto de transposições não é única, mesmo se exigirmos um número mínimo de

transposições: por exemplo, (123) = (13)(12) = (23)(13).

No en-

tanto, vamos mostrar que a paridade do número de transposições em uma decomposição é bem definida.

Proposição V.10.10. Seja wu € S, esejjaa =7T,0---oT| uma fatoração qualquer de a como um produto de transposições. Se X1,,..., X, são indeterminadas sobre Z, então

W

I P(D) onde denotamos D = (subgrupos de G):; portanto, pelo Teorema V1.1.4, temos

C|=(G: No(S)). Itens a) eb).

Claramente,

basta mostrar que se P é um p-

subgrupo qualquer de G, então o subgrupo conjugado de S em G. Considere a seguinte representação de P:

T:P— as

P está contido num

P(C) TT

(SC

gSg * > agSg ta”. Sejam 9),,..., 4), as órbitas distintas desta representação e para cada 9); escolha um representante S; = 9:89; ' dentro de 9;. Clara-

mente |C| = 3

99;|; além disto, pelo Teorema VI.1.4, temos

[SEC. Vl.2:

TEOREMAS DE SYLOW

263

D;|= (P: E(S;)) = (P: PN No(S;)) e, pelo lema anterior, temos (P:PNNe(S;)) =(P: PNS,;). Portanto obtemos k

Cl=5 (P:PnS). 1=1

Das duas expressões obtidas para |C!|, tiramos que (G: Ne(S)) = DP

:PNS;).

(+)

Cada parcela (P : PNS,) é igual a 1 ou a um múltiplo é um p-grupo. Por outro lado, o primo p não divide (G um p-subgrupo de Sylow; logo, a fortiori, p não divide Consequentemente, existe 1 tal que p não divide (P : tal que (P:PNS;)=1e

portanto tal que PC

S;.

de p, pois P : S) pois S é (G : No(S)). PN S;), logo

c) Pelo item a), temos (p-subgrupos de Sylowk = (conjugados de SJ, logo np = (G: No(S)). Observação VI.2.11. Como caso particular do item a) do 2º teorema de Sylow, obtivemos que um p-subgrupo de Sylow S de um grupo G é normal em G se e somente se S é o único p-subgrupo de

oylow de G. Este caso particular já foi obtido como consegiiência

de um resultado geral elementar (cf. Exercício 14 do Capítulo V).

de G é um grupo e se p é um número primo, já vimos que existem p-subgrupos de Sylow, e que estes são conjugados entre si.

Já vimos também que o número n, deles é igual a (G : No(S)), onde

S é um qualquer deles.

Vamos

agora destacar duas propriedades

aritméticas muito simples do inteiro (G : Ng(S)), e portanto do inteiro n,.

Em

geral,

estas propriedades

não vão caracterizar o

inteiro (G : Ne(S)), mas elas vão localizá-lo num conjunto pequeno de divisores de |G|.

264

[ICAP. VI: ESTUDO DE UM GRUPO VIA REPRESENTAÇÕES

Teorema VI.2.12. (3º Teorema de Sylow).

Sejam p um número primo e G um grupo finito de ordem p”b, com (p,b) = 1. Seja n, o número de p-subgrupos de Sylow de G.

Então (o

divide b,

np = 1 módulo p. DEMONSTRAÇÃO.

Seja S um p-subgrupo de Sylow de G. Natural-

mente, temos que (G : No(S)) divide (G : S) =. Agora, consideramos a expressão (+) para (G : No(S)) estabelecida no decorrer da prova do Teorema VI.2.9.

Tomando

P = S

nesta expressão, obtemos k

(G: No(S)) => (S: SNS), 1=1

onde $1,...,Sy são representantes das distintas órbitas O,,..., Ok da representação seguinte

TS — P(O), onde € é o conjunto dos p-subgrupos de Sylow de G.

Evidente-

mente, podemos tomar S, = S; com esta escolha, obtemos

(G: No(S)

=(S:SNS)+5 (S: SNS) = Imodp. 1—2

Pelo Teorema V1.2.9, sabemos que n, = (G : Ng(S)). Portanto, obtemos os resultados desejados sobre n,. 1] Observação

VI.2.13.

1) No Teorema VI.2.12 mostramos que o

número de p-subgrupos de Sylow de um grupo G é côngruo a 1 módulo p. O seguinte resultado mais geral é devido a Fróbenius:

Se p é um primo e p” | |G], então o número de subgrupos de G

de ordem p” é cóôngruo a Í módulo p. Para uma prova deste resultado mais geral, o leitor pode ver N. Jacobson, Basic Algebra I, p. 81.

[SEC. V.2:

TEOREMAS DE SYLOW

265

2) Seja m um inteiro e seja p um número primo. Seja G um grupo de ordem m e n, o número de p-subgrupos de Sylow de G. Se não tivermos nenhuma outra informação sobre o grupo G, então, em geral, o 3º Teorema de Sylow não permite determinar o valor de n,. Por exemplo, sem = 6= 2x3, então o 3º Teorema de Sylow nos dá n5 = 1 ou n9 = 3, e sem outra informação sobre o grupo G, não temos como levantar a dúvida, pois ambos os casos podem acontecer: n) = IseG -Z/6Z en) =3seG = 5S3. Às vezes, para valores específicos de m, via a descoberta de

subgrupos de No(S), consegue-se propriedades suplementares do índice (G : Ne(5)) que permitem calcular n, precisamente.

Exemplo VI.2.14. Seja G um grupo de ordem 380 = 22 .5-19. Pelo 3º Teorema de Sylow, temos n; = Imod5 e ns; divide 2º . 19, logo n; = 1 ou 76. Similarmente, o 3º Teorema de Sylow nos dá nyy = 1 ou 20. Seja H um subgrupo de ordem 5 e seja K

um subgrupo de ordem 19. Vamos buscar propriedades de No(H) e de No(K) e mostrar que necessariamente ambos n5 e nj9 são

iguais a 1. Primeiro, afirmamos que n5 ou n19 é igual a 1; de fato, caso contrário, G possuiria 76 x 4 = 304 elementos de ordem igual a 5 (pois a interseção de dois subgrupos distintos de ordem 5 é igual

a (e)) e também possuiria 20 x 18 = 360 elementos de ordem 19, o que seria absurdo pois |G| = 380. Portanto, um dos subgrupos

H ou K é normal em G e, em todo caso, o conjunto HK é um subgrupo de G; a ordem deste subgrupo HK é igual a 5-19 = 95

pois, claramente, HN K = (ey. Agora, pelo 3º Teorema de Sylow aplicado

ao grupo

HK,

nós

vemos

que

HHK

possui

somente

um

subgrupo de ordem 5 (que necessariamente deve ser H) e somente um subgrupo de ordem 19 (que necessariamente deve ser K). Logo,

H é normal em HK

e equivalentemente,

logo ns = (G : Ne(H)) < (G : HK)

temos HK

C No(H);

= 22 e, portanto, ns = 1,

pois já sabíamos que ns; era igual a 1 ou 76.

Similarmente,

K é

normal em HK e equivalentemente, temos HK C No(K); logo no = (G: No(K)) < (G: HK) = 22 e, portanto, mo = 1, pois já sabíamos que n149 era igual a 1 ou 20.

266

CAP. Vl: ESTUDO DE UM GRUPO VIA REPRESENTAÇÕES

Proposição VI.2.15. Sejam G um grupo finito e p um número primo. Sejam S um p-subgrupo de Sylow de G e H um subgrupo de

G que contém o normalizador No(S).

Então:

1) No(H) = H. Em particular, Ne(Ne(S)) = No(S). 2) (G: H) = Imodp. DEMONSTRAÇÃO. 1) Seja 7 € Ne(H). É claro que o subgrupo S é um p-subgrupo de Sylow de H; como x € Ng(H),o subgrupo xSx”!

também

é um

p-subgrupo

de Sylow de H.

Logo,

pelo Teorema

V1.2.9, os subgrupos S e 57”! são conjugados em H, isto é, existe

elemento he H tal que S = hzSr th"! = hexS(hx)"!; logo temos hz € No(S) € H e portanto concluimos que x E H.

2) Claramente, temos

(6: No(S)) = (6: HH: No(S)) Como S é um V1.2.12, temos

p-subgrupo

de Sylow

de G,

então pelo Teorema

(G : Ne(S)) = Imodp.

Como Na(S) = Ne(S)N H = Ny(S), e como S é um p-subgrupo

de Sylow de H, então pelo Teorema VI.2.12, temos

(H: No(S)) = (H: Ny(S)) = Imodp. Portanto, concluímos que

(G: H) = ]modp.

VI.3

y-Grupos

[)

Finitos

As duas primeiras proposições abaixo já foram provadas na Seção VI.1. Nesta seção, o símbolo p denotará sempre um inteiro primo.

Proposição VI.3.1. Seja G fel um p-grupo finito. Então seu centro Z(G) tem pelo menos p elementos.

[SEC. VI.3:

P-GRUPOS FINITOS

Proposição VI.3.2. grupo G é abeliano.

267

Se G é um grupo de ordem p ou p”, então o

Proposição VI.3.3. Seja G um grupo de ordem p” subgrupo de G de ordem p" comr 1, supomos, como hipótese de indução, que a afirmação

vale para todos os p-grupos de ordem mostrar que a afirmação vale também que Z(G) £ (ej; escolha x E Z(G) x E Z(G), temos (x) 4G e x E No(H). Caso 1: r$ H. Considere o subgrupo K = H(x).

menor que |G|; queremos para o grupo G. Sabemos que tenha ordem p; como Consideramos 2 casos:

Como x É H e como x tem

ordem p, temos H N (x) = fel, e portanto |K| = |H||(x)| = p”+!. Além disso, K € Ne(H), pois x € No(H); portanto HaK. Caso 2: re H. Como

x € H e como o elemento x tem ordem p, temos que

H/(x) é um subgrupo de ordem p””! do grupo G/(z) e que G/(x)

tem ordem p”"! < p” = |G|.

Pela hipótese de indução, existe

um subgrupo K' de G/(x) tal que |K'| = 9” e ainda H/(x) a K”. Considere o homomorfismo canônico py: G — G/(x) e tome o grupo K = p MK"): temos então o(K) = K/(x) = K' e assim, temos

KI = (o||lK'|=p-p" = p"*!. Além disso, temos H/(x) 4K”',o

que implica em q" H(H/(x)) ap (K'),

isto é, HaK.

2) Segue diretamente da afirmação mais forte feita acima, na prova

do item 1), se tomamos G = L.

L]

268

[CAP. Vl: ESTUDO DE UM GRUPO VIA REPRESENTAÇÕES

Corolário VI.3.4. Seja G um grupo de ordem p”. Então existem subgrupos Ho = te), H,,H5,...,Hn =G tais que H;4H,, e tais que H;s1/H, é cíclico de ordem p, Vi=0,...,m-—1. DEMONSTRAÇÃO. Aplique começando com Ho = (e).

sucessivamente

a proposição

anterior []

Proposição VI.3.5. Sejam G um p-grupo finito e Z(G) seu centro. Seja H £ (ek um subgrupo normal de G. Então

Z(O)NH £ tel. DEMONSTRAÇÃO.

Considere a aplicação (onde H T:

G ——s

P(Ho)

9

LT: Ho > Ho

:= H):

hs ghg”. Claramente,

Z,; permuta

os elementos

de Ho,

pois H «a G;

logo

a aplicação T é uma representação de G. Sejam D(e) = (eb, DO(ha),...,9(hs) as órbitas desta representação; temos |H| = 1 +

O(ho)| + --- + |O(hs)).

que p não divide |9(h;)|.

é igual a 1 ou a um

Como p divide |H|, existe i > 2 tal Por outro lado, |O(h;)) = (G : E(h;))

múltiplo

de p.

Consequentemente,

1 > 2tal que (G: E(h;)) = 1 isto é, tal que E(h;) = G.

E(h;)= (ge G | gh; = hig), obtemos que h; E Z(G).

existe

Como

0)

Corolário VT.3.6. Sejam G um p-grupo finito e Z(G) seu centro. Seja H um subgrupo normal de G de ordem p. Então H está contido

em Z(G).

DEMONSTRAÇÃO.

VI.4

Segue diretamente da proposição anterior.

Classificação de Ordem

Problema:

dos Grupos

[l

Simples

< 60

Dado um grupo G de ordem n, determinar se G possui

um subgrupo normal não-trivial.

[SEC. VI.4:

CLASSIFICAÇÃO DOS GRUPOS SIMPLES DE ORDEM < 60

Vamos estudar este problema para alguns lizando idéias desenvolvidas até agora. Primeiro Método:

269

valores de n, uti-

Utilização dos Teoremas de Sylow.

Se, para um primo p que divide a ordem de G, podemos mostrar que existe um só p-subgrupo de Sylow de G, então este p-subgrupo é característico em G, e portanto, ele é normal em G.

Exemplo

VI.4.1. Se G é um grupo tal que |G| = pq com p,q

primos, então G possui um subgrupo normal não-trivial.

DEMONSTRAÇÃO.

Se p = q, então |G| = pº e sabemos que G é um

grupo abeliano; tomando x E G de ordem p, temos (x) 4G. Se p + q, podemos supor que p > q. Denotando por n, o número de p-subgrupos de Sylow de G, o 3º Teorema de Sylow nos dá np = Imodyp Nolq

| »

logo 8

n,=1 p

p oIs

p>4q > q.

Este único p-subgrupo de Sylow de G é normal em G.

[]

As vezes, os Teoremas de Sylow não dão a resposta diretamente, mas dão a resposta depois de uma contagem.

Exemplo VI.4.2. Se G é um grupo de ordem 56 = 22.7, então G

possui um subgrupo normal de ordem 7 ou um subgrupo normal de ordem 8.

DEMONSTRAÇÃO.

Seja n; o número de 7-subgrupos de Sylow de

G. Pelo 3º Teorema de Sylow, temos: n7 = Imod7

nal

H

logo

n;=1

o

8.

Se n7 = 1, então este único 7-subgrupo de Sylow de G é normal em G. Se n; = 8, observamos primeiro que se S; e 9 são dois 7-

subgrupos de Sylow de G distintos, então S/N,95 = fes, pois |S1| =

270

|S9| = 7.

[CAP. VI: ESTUDO DE UM GRUPO VIA REPRESENTAÇÕES

Assim,

sendo ny = 8, temos que existem 8 x 6 = 48

elementos distintos de ordem 7; sobram então 56—48 = 8 elementos.

Já sabemos que existe pelo menos um subgrupo H de G que tenha ordem 8 e, naturalmente, nenhum dos 48 elementos acima pode pertencer a H. Assim H tem que ser composto dos 8 elementos restantes e é, portanto, o único 2-subgrupo de Sylow de G; H então é um subgrupo normal de G. Obtemos assim que um grupo G de ordem 56 sempre possui um subgrupo normal de ordem 7 ou um subgrupo normal de ordem 8.

LU]

Outras vezes, é quando combinados com alguma propriedade suplementar sobre o índice (G : Ng(S)), que os Teoremas de Sylow dão a resposta procurada. O Exemplo VI.2.14 ilustra esta situação. Damos a seguir, um outro exemplo. Exemplo VI.4.3. Se G é um grupo de ordem 22.7. 13, então G possui um subgrupo normal de ordem 13.

DEMONSTRAÇÃO. Seja n13 o número de 13-subgrupos de Sylow de G. Pelo 3º Teorema de Sylow, temos: Ng

=

| mod

nasl?2

x 7

13

H

logo

ng=1

ou

14.

Seja S um 13-subgrupo de Sylow de G. Desejamos informações so-

bre (G : Ne(S)); para isto procuramos subgrupos entre S e No(S),

isto é, procuramos subgrupos nos quais S é normal. Pelo 3º Teorema de Sylow, temos ny = 1; seja então K o único 7-subgrupo de Sylow de G. Como K 4G, o produto KS é um subgrupo de G; sua ordem é 7 x 13. Aplicando o 3º Teorema de Sylow ao grupo KS, vemos que Sa KS. Assim ns = (G: No(S) P(faH |a e G)) é um subgrupo normal não-trivial de G, e está contido em H. Afirmamos que |ker T| = 2º ou 2º. De fato,

por um lado, como (e! £ker T C H, temos |ker T|= 2,2º,2º ou

2*. Por outro lado, como -E- — T(G) < P(faH |a e GD) = 8, temos |G/ker T| = 1,2,3, ou 6, isto é, temos |ker T| = 24.3,2º.3,24 ou 2º. Logo |ker T| = 2º ou 2º. Exemplo VI.4.5. Se G possui um subgrupo H * G com “poucos”

conjugados no sentido que |fconjugados de H em GH! < |G|, então

tomando C = (conjugados de H em G) = (9gHg!

| ge

G),a

representação T: G — P(C) é tal que ker Z (e+; além disso, é claro que ker Z = ()uec Ne(K) € No(H). Se No(H) G, temos ker 7 + G e portanto ker T é um subgrupo normal não-trivial de G

(contido em Ne(H)); se Ne(H) = G, o próprio H é um subgrupo

normal não-trivial de G.

Na procura da existência de um subgrupo de G com “poucos” conjugados em G, os Teoremas de Sylow poderão ser de grande

272

ICAP. Vl: ESTUDO DE UM GRUPO VIA REPRESENTAÇÕES

ajuda.

se H é número e na3/8, então H

Por

exemplo,

se G

é um

grupo

de ordem

72

=

2º. 3º,

um subgrupo de G de ordem 9 e se denotamos por n3 o dos 3-subgrupos de Sylow de G, então temos ny = 1 mod3 logo n; = 10u4. Sens =1,então HaG. Seny = 4, tem “poucos” conjugados pois, pelo 2º Teorema de Sylow,

(conjugados de H em G) = (3-subgrupos de Sylow de G+ e temos

41 < 72: portanto ker T, onde T:G

— P(gHg!

é um subgrupo normal não-trivial de G pois kerZ (G:Nd(H))=n5>1.

Exemplo

| g e G),

€C No(H)

e

VI.4.6. Seja G um grupo de ordem 189 = 3º. 7. Pelo

1º Teorema de Sylow, temos que existe um subgrupo H de ordem

3º. Seja C = (classes laterais à esquerda de H em G) e considere a representação T: G — P(C).

A maior potência de 3 que divide

IP(C)| = 7! é igual a 32; logo, a maior potência de 3 que divide IT(G)| é < 3º. No entanto, 3º divide |G|; portanto, 3 divide |ker 7

e ker T é um subgrupo normal não-trivial de G (contido em H).

Observação VI.4.7. Seja G um grupo de ordem 72 = 23.32:se H

é um subgrupo de ordem 9, então H não é um

“grande” subgrupo

de G (pois (G : H) = 8e temos 8! > 72) e, portanto, o método usando a representação T: G — P((aH | a € G)) não funciona, enquanto o método usando a representação T: G > P(gHg” | g € G])) funcionou. Observe no entanto que temos (G : No(H)) = 4 (conjugados de H em Gl = 1 ou 4, com 4! < |G| = 72, de modo que No(H) é um “grande” subgrupo de G e, portanto, o método

usando a representação T: G >

também funcionado.

P(faNc(H)

| a € GJ)) teria

Mais geralmente, temos: Exercício VI.4.8. Seja H um subgrupo de um grupo G. Considere as seguintes representações de G:

T:G>PlMHaNcdH)|aeGh)

TG > Pg9Hg |ge C). Mostre que ker T' = ker T.

[SEC. VI.4:

CLASSIFICAÇÃO DOS GRUPOS SIMPLES DE ORDEM < 60

273

Exercício VI.4.9. Seja n > 5 um inteiro. Seja H + (e) onde H é um subgrupo de A,. conjugados em Á,.

Mostre que o subgrupo H tem pelo menos n

Exercício VI.4.10. Procure todos os grupos simples de ordem inferior a 60 e conclua que eles são exatamente os grupos cíclicos de ordem prima. Proposição VI.4.11. Seja G um grupo simples de ordem 60. Então G é isomorfo ao grupo Às.

DEMONSTRAÇÃO.

Vamos primeiramente mostrar a seguinte afir-

mação:

AFIRMAÇÃO: Existe um subgrupo H de G que possui exatamente cinco conjugados. De fato, seja ny o número de 2-subgrupos de Sylow de G. Sabemos que n, = Imod?2

e que n

divide

15; logo n9 = 1,3,5 ou 15.

A igualdade n, = 1 é impossível pois, neste caso, o 2-subgrupo de Sylow seria normal em G. À igualdade no = 3 é impossível também pois, neste caso, denotando por K um 2-subgrupo de Sylow de G,

o subgrupo K teria “poucos” conjugados em G e portanto G pos-

suiria um subgrupo normal não-trivial. Logo, temos n9 = 5 ou no = 15. Se n9 = 5, então podemos tomar para H um qualquer 2-subgrupo de Sylow de G. Se n9 =

15, observamos

primeiramente

que devem

2-subgrupos de Sylow distintos K, e K5 tais que KNK5

existir dois

£ te). De

fato, caso contrário, G possuiria 15 x 3 = 45 elementos de ordem 2 ou 4; mas, G sendo simples, G deve possuir mais do que um 5subgrupo de Sylow, logo deve possuir pelo menos seis 5-subgrupos de Sylow, logo deve possuir pelo menos 6 x 4 = 24 elementos de ordem 5; assim, G teria pelo menos 45424 = 69 elementos, absurdo

pois |G| = 60. Assim, existem de fato dois subgrupos K, e K5 tais que |K,| = 4 = |Ko) e |K, N K5| = 2. Naturalmente, temos KnkKsgakK,e

KNKs,4 Ko,

pois subgrupos de índice 2 sempre são

274

ICAP. Vl: ESTUDO DE UM GRUPO VIA REPRESENTAÇÕES

normais, e portanto No(K, N K5) O (Ki, K5). Seja H = (Ki, K5),

e considere o seguinte diagrama: G

tem ordem

4:3.5

+

N(K,NKs)

| (K,kK)=H

LON K

K

V

V

Kunk,

têm ordem

4

tem ordem

2.

Temos Nç(K, N Ko.) £ G pois, G sendo simples, K,

MN K, não

é normal em G.

Assim, as possibilidades para a ordem de H são

caso, H seria um

“grande” subgrupo de G e portanto G possuiria

4.3 = 12 0u 4-5 = 20. A igualdade |H| = 20 é impossível pois, neste um subgrupo normal não trivial; logo temos |H| = 12.

Como H

não pode ser normal em G, temos necessariamente que No(H) = H

e portanto que H possui exatamente (G: N(H)) conjugados. Isto termina a prova da afirmação. Vamos

agora provar que G = As.

=(G:H)=5

Seja H um subgrupo dado

pela Afirmação e seja C = (conjugados de H): temos |C| = 5 = (G : No(H)). Considere a representação por conjugação TG

— 95

P(C) LT: C>0

g:Hg;' — ggiHg;'g”.

[SEC. VI.5:

CLASSIFICAÇÃO DOS GRUPOS DE ORDEM < 15

275

O subgrupo ker Z é um subgrupo normal diferente de G, pois ker 7 C No(H) S G; portanto, já que G é um grupo simples,

temos ker Z = fe). Assim T(G) é um subgrupo de S; de ordem 60;

logo T(G) = As, pois sabemos que As é o único subgrupo de Ss de índice 2. Logo G — As.

[]

Observação VI.4.12. O grupo Aut((Z/22) x (2/22) x (2/22)) tem ordem igual a 168 = (8 — 1)(8 — 2)(8 — 4) (Verifiquel!). Seria possível mostrar que se trata de um grupo simples e que não existe

nenhum grupo simples não-abeliano G com 60 < |G| < 168. Observação

VI.4.13.

Em

1981, depois de muitos anos de tra-

balho, foi completada a classificação dos grupos finitos simples. Uma apresentação integral deste resultado exigiria mais 10.000 pá-

ginas. (Ver Gorenstein, Finite Simple Groups: An Introduction to their Classification). É um fato que todos os grupos finitos simples são gerados por dois elementos. Isto mostra o quanto difícil seria um estudo geral dos grupos finitos gerados por dois elementos.

VI.5

Classificação dem < 15

dos

Grupos

de

Or-

Os grupos de ordem < 10 já foram classificados; para a conveniência do leitor, lJembraremos os resultados obtidos. Usando métodos elementares, os grupos de ordem 14 15 já foram classificados também; usando os teoremas de Sylow, classificaremos aqui os grupos de ordem pq, com p < q dois números primos, reobtendo portanto, como casos particulares, a classificação desses grupos de ordem 14 e 15. Naturalmente, classificaremos também os grupos de ordem 12. Os resultados serão sempre expressados a menos de isomorfismos. Grupos de ordem 1:

fel.

276

[CAP. Vl: ESTUDO DE UM GRUPO VIA REPRESENTAÇÕES

Grupos de ordem p, com p um número primo:

Z/pZ. Grupos de ordem 4:

Z/4Z,

(Z/27) x (2/27).

Grupos de ordem pq, p < q números primos: Seja G um grupo de ordem pq. Pelo 3º Teorema de Sylow, o grupo G possui um único subgrupo H de ordem q; naturalmente, H é isomorfo a Z/qZ e é normal em G. Pelo 1º Teorema de Sylow, o grupo G possui um subgrupo K

de ordem p; naturalmente, K é isomorfo a Z/pZ. Assim temos: G = HK HaG,

K

£1,

1; como v tem ordem p em ((Z/gZ)*,

por

-), q

Vi Z/37

152. Observação VI.5.1. É claro que Z/12Z, (Z/6Z) x (Z/2Z) e De

têm somente dois elementos de ordem 3; foi verificado no Exemplo

V.9.0 que (Z/4Z) x (2/32) também tem somente dois elementos mn

de ordem 3. Portanto, nenhum desses quatro grupos é isomorfo ao grupo das permutações pares Á,, que tem ordem 12 e contém mais do que dois elementos de ordem 3 (por exemplo, ele contém (123),

(132), (124)).

Portanto, necessariamente, o grupo A, é o grupo

(2/82) x (2/22) x (2/22) com

01: 2/37 — Aut((Z/27) x (2/22) Ls

m,

onde

ga ((1,0)) = (0,1),

qm((0,1)) = (1,1),

qa((1,1)) = (1,0).

Este é o grupo obtido no Exemplo V.9.13, e que, antes da hora, mas com boas razões, tinhamos denotado pelo símbolo As.

V1.6

Propriedades

de 4, e 4;

Começamos caracterizando o grupo alternado A, entre os grupos de ordem 12. Proposição VI.6.1. Seja G um grupo afirmações seguintes são equivalentes:

(1) G é isomorfo a As. (11) G não possui subgrupo de ordem 6.

de ordem

12.

Então

as

[SEC. VI.6:

PROPRIEDADES DE Aq E As

281

(ii) G não possui elemento de ordem 6. (1v) G tem exatamente quatro 3-subgrupos de Sylow.

DEMONSTRAÇÃO. Os grupos de ordem 12 (são exatamente cinco deles) foram classificados na seção anterior. Portanto, para ter uma

prova da proposição, basta olhar na descrição desses cinco grupos e observar que o grupo alternado A, é o único deles a satisfazer

qualquer uma das propriedades (1)-(iv). Vamos agora dar uma outra prova não usa a classificação dos grupos de deja H um 3-subgrupo de Sylow 3-subgrupos de Sylow de G; pelo 3º

da proposição, prova esta que ordem 12. de G e seja ng o número de Teorema de Sylow, sabemos

que ng=loung=4.

(1) => (ii) De fato, se G tivesse um subgrupo de ordem 6, tal subgrupo seria normal em G o que, pelo Teorema V.10.22, seria absurdo.

(ii) => (Wi) Trivial. (1ii) => (iv) Suponhamos que ng = 1. Então G possui exatamente dois elementos de ordem

aea*.

formam

3 que são, digamos,

os elementos

Os elementos de G que comutam com o elemento a Z(a), o centralizador de a em G, e, pelo Teorema

VI.1.4, temos (G : Z(a)) = |Cf(a)| = 1 ou 2, pois claramente

Ct(a) E fa,a?t.

Portanto |Z(a)|

= 6 ou 12; em todo caso,

existe b € Z(a) que tem ordem 2. Agora, já que ab = ba com O(a) = 3 e O(b) = 2, podemos concluir que O(ab) = 6, o que contradiz a hipótese.

(iv) => (1) Seja C = (conjugados de H em G) e considere a representação TG — P(C). Temos kerT €C No(H) = H, pois (G: No(H))=n3=4=(G: H),eportanto |ker T| = 10u83. A suposição |ker T| = 3 é impossível pois, neste caso, ker seria um

3-subgrupo

de Sylow

normal

de G, o que estaria

em contradição com a hipótese ng = 4. Logo |kerT| = 1e

282

[CAP. VI: ESTUDO DE UM GRUPO VIA REPRESENTAÇÕES

T:G > P(C) = Sy é um homomorfismo injetivo; sendo um subgrupo de ordem 12 de S4, T(G) é necessariamente igual a As pelo Corolário V.10.23b) e, portanto, G = As.

Proposição 1)

VI.6.2.

[1]

As seguintes afirmações são verdadeiras:

O grupo A, é um grupo de ordem 12 cujo único normal não trivial é o grupo de Klein:

subgrupo

K = Lid, (12)(34), (13)(24), (14)(23)1. 2)

O grupo Aq possui exatamente: um elemento de ordem 1; três elementos de ordem 2;

oito elementos de ordem 3.

3)

O grupo A, possui exatamente: três subgrupos de ordem 2, todos eles conjugados entre si; quatro

subgrupos de ordem

8, todos eles conjugados

entre si;

um subgrupo de ordem 4, isomorfo a (2/22) x (2/22); 4)

nenhum

subgrupo de ordem 6.

T( As)

As

—

DEMONSTRAÇÃO.

€ Aut(A4)

1), 2), 3).

—

Sa-

Essas propriedades de A, já foram

vistas no Capítulo V, com a exceção da conjugação entre si dos subgrupos de ordem 2. Verificamos que, por exemplo, os grupos

((12)(34)) e ((14)(23)) são conjugados em 44. Temos (123) E A, e

(123)(12)(34)(123)7! = (14)(23).

4) Foi visto no Exercício V.10.25. Proposição VI.6.3. 1)

As seguintes afirmações são verdadeiras:

O grupo A; é um grupo simples de ordem 60.

2) O grupo As possui exatamente:

um elemento de ordem 1; quinze elementos de ordem 2; vinte elementos de ordem 8; vinte e quatro elementos de ordem 5.

[]

ISEC. V1.6: 3)

PROPRIEDADES DE Aq E As

283

O grupo As possui exatamente:

quinze subgrupos de ordem 2, todos eles conjugados entre st; dez subgrupos de ordem 3, todos eles conjugados entre st; cinco subgrupos de ordem 4, todos eles conjugados entre s1;

todos eles são isomorfos a (Z/2Z) x (2/2);

seis subgrupos de ordem 5, todos eles conjugados entre si; dez subgrupos de ordem 6, todos eles conjugados entre st; todos eles são isomorfos a Ss; seis subgrupos de ordem 10, todos eles conjugados entre si; todos eles são isomorfos a Ds; cinco subgrupos de ordem 12, todos eles conjugados entre si; todos eles são isomorfos a Aq; nenhum subgrupo de ordem 15, 20, 30.

4) T(As) = As e Aut(As) = Ss. DEMONSTRAÇÃO.

1) É um caso particular do Teorema V.10.21.

2) Foi visto no Exercício V.10.26.1). 3) As afirmações sobre os subgrupos

de ordem

também vistas no Exercício V.10.26.2).

3, 4, 5 já foram

Deixamos ao letor a ve-

rificação de que 4; não possui subgrupos de ordem 15, 20, 30. Provaremos agora as afirmações feitas sobre os subgrupos de ordem 2, 6, 10, 12.

SUBGRUPOS

DE ORDEM

2: O grupo alternado A; possui 15 sub-

SUBGRUPOS

DE ORDEM

12: Claramente, as permutações pares dos

grupos de ordem 2 pois, em As, existem 15 elementos de ordem 2. Pelo Exercício V.10.26.1), esses elementos são produtos de duas transposições disjuntas. Como no caso de As, é fácil verificar que esses elementos são conjugados entre si em Ás.

conjuntos (1,2,3,44, 11,2,3,5+, 11,2,4,5),11,3,4,5/ nos dão 5 subgrupos de ordem 12 de As, todos eles As. Observe que, pelo Exercício V.10.26.2), As possui cinco subgrupos de ordem 4 e que cada um destes se

e 12,3,4,5) isomorfos a exatamente encontra em

284

[CAP. Vl: ESTUDO DE UM GRUPO VIA REPRESENTAÇÕES

exatamente um dos subgrupos de ordem 12 exibidos acima. Suponhamos agora que exista um outro subgrupo H de ordem 12 de

As. Tal subgrupo H não pode conter somente um subgrupo K de

ordem 4, pois, se contivesse, o subgrupo K seria normal em H, logo

Na(K)

normal

conteria estritamente H, pois sabemos que K também é

em

algum

dos cinco subgrupos

de ordem

12 já exibidos.

Logo Na.(K) seria igual a As, pois 4; não tem subgrupo próprio

de ordem > 12, o que seria absurdo pois 4; é simples. Assim, tal subgrupo HF contém mais do que um subgrupo de ordem 4, logo H não é isomorfo a A, e, pela Proposição VI.6.1, tal subgrupo H possui um elemento de ordem 6. Isto é absurdo, pois já sabemos que Às possui nenhum elemento de ordem 6. Assim, o grupo alternado A; possui exatamente cinco subgrupos de ordem 12, todos eles isomorfos a À,. Seja H um deles;

como As é simples, temos necessariamente Na(H) = H, logo (As : Na(H)) = (45: H) = 5 e, portanto, todos os cinco subgrupos de ordem 12 de A; são conjugados entre si.

SUBGRUPOS

DE

ORDEM

10:

Seja H

=

((12345),(14)(23)).

grupo H é um subgrupo de ordem 10; de fato, como

O

(14)(23)(12345)(14)(23) = (15432) = (12345)! € ((12345)), temos ((12345)) 4H; logo ((12345), (14)(23)) = ((12345))((14)(23)), e portanto, |H| = 5-2 = 10. Como As; é simples, e como A; não possui subgrupos

de ordem

20 ou 30, temos

Na,(H)

= H;

logo

(As: Nas(H)) = 6 e portanto H possui exatamente seis conjuga-

dos. Ágora, observe que se K, e K, são dois subgrupos quaisquer distintos de ordem 10 de As, se L; é o subgrupo de ordem 5 contido em K,, e L; é o subgrupo de ordem 5 contido em Ks, então Li É Lo, pois senão teríamos L; « (Ki, K5), onde (Kj, K5) = As

(pois (Ki, K5) contém K, de maneira própria), o que seria absurdo,

pois Ás é simples. Como sabemos existir somente seis subgrupos de ordem 5 em Ás, obtemos que existem no máximo seis subgrupos de ordem 10 em Á4;. Logo, o grupo alternado As possui exatamente seis subgrupos de ordem 10, todos eles conjugados entre si. Note que o subgrupo H é isomorfo ao grupo dihedral Ds.

ISEC. Vl.7:

EXERCÍCIOS

285

SUBGRUPOS DE ORDEM 6: Seja H = ((123), (23)(45)). O grupo H é um subgrupo de ordem 6; de fato, como (23)(45)(123)(23)(45) = (132) e ((123)), temos ((123)) «a H; logo ((123),(23)(45)) = ((123))((23)(45)) e portanto |H| = 3-2 = 6. Como As é simples, e como Ás; não possui nenhum subgrupo de ordem 30, temos

|Nas(H)| = 6 ou 12. A suposição |Na,(H)| = 12 é impossível, pois

já sabemos que os subgrupos de ordem 12 de 4; são isomorfos a As, e já sabemos que A, não possui nenhum subgrupo de ordem 6. Logo Na(H) = H, (As: Na(H)) = (45: H) = 10, e assim H possui exatamente dez conjugados em As. Agora, observe que se K, e K, são dois subgrupos quaisquer distintos de ordem 6 de As, se L, é o subgrupo de ordem 3 contido em K, e Ls o subgrupo de ordem 3 contido em K,, então L, É Ls pois senão teríamos Ly a (K,, K5), onde (K,, K5) é um subgrupo de 4; de ordem 12

ou 60 (pois (Ki, K,) contém K, de maneira própria), isto é, onde

(K, K5) é um subgrupo isomorfo a 4, ou a Ás, O que seria absurdo, pois sabemos que nem ÁA,, nem Ás, possuem um subgrupo normal de ordem 3. Como sabemos existir somente dez subgrupos de ordem 3 em As, obtemos que existe no máximo dez subgrupos de ordem 6 em Ás. Logo, o grupo alternado 4; possui exatamente dez subgrupos de ordem 6, todos eles conjugados entre si. Note que o subgrupo H é isomorfo ao grupo de permutações 53.

4) Foi visto no Exercício 51 do Capítulo V.

VI.7

N

Exercícios

1. Sejam p um

número

primo e G um

grupo não-abeliano de

ordem pº. Mostre que |Z(G)| = p. Mostre que Z(G) = G' e que G/Z(G) = Z/pZ x Z/pZ.

2. Mostre que se G é um grupo finito com apenas duas classes

de conjugação, então |G| = 2.

3. Seja G um grupo de ordem 11º . 13º. grupo abeliano.

Mostre que G é um

286

ICAP. VI:

ESTUDO DE UM GRUPO VIA REPRESENTAÇÕES

4. Sejam p um número primo e G um grupo finito. Sejam H um subgrupo normal de G e S um p-subgrupo de Sylow de G.

a) Mostre que H NS é um p-subgrupo de Sylow de H. b) Mostre que SH/H é um p-subgrupo de Sylow de G/H. Dica: Analise os índices no diagrama seguinte:

G | SH /

N

S

H À

/ SnH

Seja G um grupo abeliano finito. Mostre que G é isomorfo ao produto direto de seus subgrupos de Sylow.

Seja G um grupo abeliano finito. Seja m um inteiro que divide |G|. Mostre que existe um subgrupo K de G tal que |K| = m (i.e., a recíproca de teorema de Lagrange vale para os grupos

abelianos finitos).

a) Seja G um grupo abeliano finito. Mostre que existe uma série de subgrupos G = Ho Db H, D---D H, = (fe) tal que H;/H;,1 é cíclico de ordem prima, Vi = 0,...,n— 1. b) Sejam G um grupo e K um subgrupo normal de G tais

que G/K seja abeliano finito. Mostre que existe uma série de subgrupos G = Hb H,D---DH,=XK cíclico de ordem prima, V:=0,...,n—

1.

tal que H,;/H;

é

[SEC. Vl.7:

EXERCÍCIOS

287

8. Sejam p < q dois números primos e G um grupo de ordem pq. a) Mostre que G é abeliano se e somente se ele possui um só v-subgrupo de Sylow.

b) Se G não é abeliano, mostre que G é isomorfo a um subgrupo de S,, mas não é isomorfo a um subgrupo de 5,1.

c) Se G é abeliano, mostre que G é isomorfo a um subgrupo de Sp+q, Mas não é isomorfo a um subgrupo de Spyq-1.

. Seja r um inteiro, G um grupo infinito e H um subgrupo tal que (G : H) = r.

Mostre que existe um subgrupo K

normal em G, tal que (G: K) 1 e G um grupo de ordem p”q. Mostre que se

(p,q) + 42,34, então G possui um subgrupo normal de ordem

p”. Sep=2eq=s3,

de ordem 2” ou 2º"1.

mostre que existe um subgrupo normal

11. a) Seja G um grupo de ordem 22.3”, com n > 1. Mostre que

G possui um subgrupo normal de ordem 3” ou 3º-?.

b) Analisando o grupo A,, mostre que um grupo de ordem

22.3” pode não ter subgrupo normal de ordem 3”.

12. a) Sejam p < q dois números primos, q É 3, n > 1 um inteiro e G um grupo de ordem p2g”. Mostre que G possui um

subgrupo normal de ordem q”. Mostre que G é um produto semidireto de um grupo de ordem q” por um de ordem pº. b) Mostre que, a menos de isomorfismos, existem exatamente

5 grupos de ordem 20 = 22.5.

c) Mostre que, a menos de isomorfismos, existem exatamente

4 grupos de ordem 28 = 22.7.

d) Mostre que, a menos de isomorfismos, existem exatamente 2 grupos de ordem 45 = 32.5.

288

[CAP. VI:

ESTUDO

DE UM GRUPO VIA REPRESENTAÇÕES

e) (Generalização dos items b)-d)). Sejam p < q dois números primos, q É 3. Classifique os grupos de ordem p*q.

Dica: Considere os 3 casos seguintes: p? divide q — 1, p? não

divide q — 1 mas p divide q — 1, p não divide q — 1.

Observação:

O caso p = 2, g=3

(ie., o caso |G| = 12) é

diferente e foi tratado na Seção 5 deste capítulo.

13. a) Sejam p < q dois números primos, n > 1 um inteiro, e G

um grupo de ordem pg”. Mostre que G possui um subgrupo

normal de ordem q”. Mostre que G é um produto semidireto

de um grupo de ordem q” por Z/pZ.

b) Seja q £ 2 um número primo. Mostre que, a menos de isomorfismos, existem exatamente 2 grupos abelianos e 3 grupos

não abelianos de ordem 2gº. Dica:

Vai ser necessário encontrar os elementos de ordem 2

de Aut(Z/gZ x Z/gZ). Claramente, y: Z/gZ x Z/gZ — Z/qZ x Z/qZ definido por W((1,3))= (1, —5), V (2,7), é um tal elemento.

Verifique que Y py € Aut(Z/g2 x Z/gZ), py de ordem 2, q + Y,

existe

iorde JE Z/gZ x Z/qZ tal que pl(i,,3,)) É ips do);

(—ips—),,)Y, logo tal que P((i,,3,)) É (li, 5,)). Note então

que, * tomando (050) = p((ip,)0)), O automorfismo q é completamente determinado por «((ip,),)) = (ips Tg) e por

Agro) = (iodo): Verifique finalmente que V y1,7> € Aut(Z/g2x Z/g2), p1, Pp?

de ordem 2, py £ wy £ po, existe q E Aut(Z/gZ x Z/qg2) tal que o seguinte diagrama comuta:

Z/gLxZgl

—

pi 1

Z/qgZ x Zigl

ZlglxZ/qz 192

“>

Llgl xa

[SEC. Vl.7:

EXERCÍCIOS

289

14. a) Sejam pm < py < --< ps números primos, Mm No,...,Ns > linteiros e G um grupo de ordem pj! ps”... p7s.

Suponha que exista um subgrupo H tal que (G : H) = pi. Mostre que H é normal em G.

b) (Generalização de a)).

Sejam r,t dois inteiros tais que

r < p para todo fator irredutível p de t e seja G um grupo de ordem rt. Suponha que exista um subgrupo H de G tal que

(G:H) =r. Mostre que H é normal em G.

15. a) Sejam de ordem ordem q. de ordem

É < p < q três números primos e G um grupo

?pg. Mostre que G possui um subgrupo normal de Mostre que G é um produto semidireto de um grupo pq por Z//Z. (Dica: Utilize o exercício anterior).

b) Mostre que, a menos de isomorfismos, Z/455Z é o único grupo de ordem 455 = 5-7-13.

c) Mostre que, a menos de isomorfismos, existem exatamente

dois grupos de ordem 231 = 3-7-11, sendo um cíclico e um não abeliano. d) Mostre que, a menos de isomorfismos, existem exatamente dois grupos de ordem 385 = 5-7- 11, sendo um cíclico e um não abeliano.

e) (Generalização dos items b)-d)). Sejam ? < p< q três números primos tais que pf (g—- 1) e [£f(p—1) ou £+(g— 1)). Classifique os grupos de ordem ?pqg.

16. a) Sejam É < p
1 um inteiro e G um grupo de ordem 9”b com MDCtp-— 1,b) = 1. Seja H um subgrupo normal de ordem

p. Mostre que H € Z(G).

Dica: Como na prova da Proposição VI.3.5, considere a representação por conjugação T: G — P(Ho). Agora, utilizando o fato de todo elemento & e de H ser um gerador de H, mostre queseh,,ho€ H,hy Ze ho, então os estabilizadores E(h1)

e E(ho) são iguais.

b) Seja G um grupo não abeliano de ordem 231 = 3.7-11. Mostre que |Z(G)| = 11 c) Seja G um grupo não abeliano de ordem 385 = 5-7-11. Mostre que |Z(G)| = 7. 19. Analisando o grupo Á,, mostre que é possivel ter um grupo

G de ordem p”b com p primo, MDCfp — 1,b| = 1 e um subgrupo normal H de ordem pº tal que H N Z(G) = fel.

(Assim, a Proposição VI.3.5 não pode ser generalizada neste

contexto).

20. Seja G um grupo de ordem 24 = 2º.3. se e somente sen; =4en,=3.

21. Mostre que Aut(Q3) = S4.

Mostre que G = S4

[SEC. VI.7:

22.

EXERCÍCIOS

291

(Exercício muito trabalhoso). Mostre que, a menos de isomorfismos, existem exatamente 15 grupos de ordem 24. Dica:

Observe que pelo Teorema V.9.16 e pelo Exercício 20,

o grupo G é um produto semidireto se |G| = 24, G £ Su. 25. Procure todos os subgrupos de 54 e de Ss. 24. Suponha que existam apenas duas órbitas de um grupo G num conjunto finito €, cardinalidades m e n, respectivamente. para definir um homomoríismo de grupos o produto Sm X Sn-

para uma operação órbitas estas com Use esta operação entre o grupo G e

Capítulo VII Grupos VII.i

Solúveis

Teorema

de Jordan-Holder

Definição VII.1.1. Seja G um grupo. Uma série subnormal de G

é uma cadeia de subgrupos

G=GobGDbG,D---DG,

=

(e)

(9)

onde G;,1 é um subgrupo normal de G;, para 1 = 0,1,...,,n—1. Os grupos quocientes da série (*) são os grupos G;/Giy, para 1 = 0,1,...,n— 1. Numa série subnormal, o mesmo subgrupo pode ser repetido, e portanto alguns dos grupos quocientes podem ser

triviais.

O comprimento da série subnormal

inclusões estritas ou, equivalentemente,

(*) é o número de

o número de grupos quo-

cientes não-triviais.

Um refinamento da série subnormal (*) é uma série subnormal obtida a partir de (*) pela inserção de alguns (possivelmente nenhum) subgrupos. O refinamento é próprio se algum subgrupo distinto dos já existentes é inserido na série. A série subnormal (*) é uma admite um refinamento próprio.

série de composição

293

se ela não

294

[CAP. VIl: GRUPOS SOLÚVEIS

Exercício

V]I.1.2.

Verifique

que

as

afirmações

seguintes

são

equivalentes:

(1) À série subnormal (*) é uma série de composição. (ii) Vi=0,1,...,n — 1,0 grupo G;/G;y1 é um grupo simples. Observação VII.1.3. 1) Nem todo grupo admite uma série de composição; por exemplo, o grupo aditivo (Z, +) não admite uma

tal série (Verifique).

2) Todo grupo finito G * (ek admite uma série de composição.

Afirmamos primeiro que existe um subgrupo G, de G que satisfaz G

GG

Gi

4G

e que é maximal para esta propriedade, isto é, tal que GcCHSG Hac

o = H.

| > G

De fato, o subgrupo fe) está estritamente contido em G e é normal

em G. Caso ele seja maximal para essa propriedade, podemos tomar

Gi = (e); caso contrário, por definição mesmo, existe um subgrupo H 3 te) que satisfaz HS Ge HaG. Caso H seja maximal para

essa

propriedade,

podemos

tomar

G,

=

H;

caso

contrário,

por

definição mesmo, existe um subgrupo H' 2 H que satisfaz H'Ç G

e H'aG. Caso H' seja maximal para essa propriedade, podemos tomar Gy, = H'; caso contrário, continuamos o processo; este deve necessariamente parar pois obtemos subgrupos

H, H',...

cada vez

maiores, enquanto que o grupo G é finito. Mostramos agora que G possui uma série de composição.

Pela

G, 4G,

(eb,

afirmação, existe um subgrupo G, de G que satisfaz G| acabou:

e que é maximal

GbG,

para esta propriedade.

= (e) é uma série de composição.

Se G,

SG Ge

=

Se G, * teb,

pela afirmação aplicada ao grupo G+, obtemos a existência de um

subgrupo G» de G, que satisfaz Gs ç G,e G,44G,, e que é maximal

[SEC. VH.1:

TEOREMA DE JORDAN-HÔLDER

295

para esta propriedade. Se G, = fe), acabou: GD G;DbG, = (e) é uma série de composição. Se Gs» £ fe!, continuamos o processo

aplicando a afirmação ao grupo Gs». Esse processo deve necessariamente acabar pois obtemos subgrupos G4, (r9,... cada vez menores, enquanto que o grupo G é finito. Definição VII.1.4.

Sejam

G=GoDbG,D---DG,=te)

(*)

G=HobH,D--.DH,=te)

(8)

duas séries subnormais de G. Elas são ditas equivalentes se existe uma bijeção entre os grupos quocientes não-triviais da série (*) e os da série (**) tal que os grupos quocientes correspondentes são isomorfos. Observe que duas séries subnormais de G que são equivalentes possuem o mesmo comprimento. Observe também que

se (** é um refinamento de (*), então este refinamento é próprio se e só se as séries (*) e (**) não são equivalentes. Exemplo

VII.1.5.

1)

Z

307=

-

-

—

| Go

| Go

| GG

MD) > (9) > (10)

é uma série de composição de Z/30Z. cientes desta série são:

Co.ZL Go

57

GL

GG

29

-

> 10

| Gs

Verifique que os grupos quo-

GG

Gs

z

3H

2) A série dada no exemplo acima é um refinamento dela mesma; ela também é um refinamento das séries abaixo:

ozZ — (Dos> (5)> (0)o iz = (1) > (10) > 10).

296

ICAP. Vll: GRUPOS SOLÚVEIS

Note que as duas séries subnormais de Z/30Z acima não são equivalentes e também não são refinamentos uma da outra.

3) As seguintes séries subnormais de Z/30Z são séries de composição de Z/30Z: Z,

307 —

-

(D

-

|

>

|

Go

G1

Z 2-0»

7 mz=

-

(5)

—

(10)

|

(79

>

-

(0)

|

(13

(> (> 40)-

| | | | Ho HH H H l l e Ê (D > (2) > (10) > (0) | | | IR Ko Ko K K

Observe que elas são todas equivalentes, pois temos:

G1

52

K,

27

Gy

22

Gy

3%

Ko 50

K

3%

As séries de composição de Z/30Z dadas acima são equivalentes; o fato surpreendente é que isto é verdade para qualquer grupo G: duas séries de composição de G são sempre equivalentes. Este resultado é o teorema de Jordan-Hólder e provamos agora um lema que será usado na demonstração deste teorema.

[SEC. Vll.1:

TEOREMA DE JORDAN-HÓLDER

297

Lema VII.1.6. (Lema de Zassenhaus). Sejam H, H,, K, K quatro subgrupos de um grupo G tais que H,asH e KyaK. Então:

1) H(HNKi)

aH(HNK)

KH,

aK(HNKH)

NK)

H(HNK) Ho(HNK)

o

Kd(HNK) Kd(HNK)

DEMONSTRAÇÃO. 1) Como H,«H ecomo ENK, < H, então HU(HNKs) é um subgrupo de H, logo também um subgrupo de G.

Analogamente, H(HENK), K(HNK)e subgrupos de G.

K(HNK)

são também

Agora, queremos mostrar que H(HNK)«H(HNK), isto é, queVzxeH,Vye HNK,valeryH(Hnky(ry) | = H(HNK,). Ora, temos:

cyH(HNKy(ry)! = 2[yH (HO Kyo! =alyHy —

ZH,

e (H

ylHNnKoy Ho N

Kya”!

=H(HNKjr! — (HNKky)H! =(HNKH9H, = H(HNK.)

H,aH

pois

pois pela pois pela

veH

K,aK

º

ve HNK

re H, Proposição V.4.9 x !eH, Proposição V.4.9.

A prova de que K(H,NK)sK(HNK)

é análoga.

298

[CAP. Vil: GRUPOS SOLÚVEIS

2) Temos o diagrama H(HNK)

K(HNK)

NAN H(HNK,)

B:=HNK

K(H,NK)

(HNKMHNK) Queremos mostrar

Hi(HOH) + Ki(HNK) que Hank) É RAR) Para isto, vamos =. HOK que ambos são isomorfos a HNKOA Verifique que

H(HNK)

mostrar

= ABeque

(HNK(HNK)

= ANB.

Pelo item

1), sabemos que 44 AB. Portanto, pelo Corolário V.5.9, temos o HNK AB“* = Bo. | À prova H(HOR) ÀÉ THARUNAR Sp» Isto é,4 HOR) isomorfismo

K(HnkK + WORK) myTT de que Ki(HnkK)

Teorema

VII.1.7.

/

SOR

(HnkKy)(HNK)

/ é análoga.

O

(Teorema de Schreier).

Duas

séries subnor-

mais de um grupo G possuem refinamentos que são equivalentes.

DEMONSTRAÇÃO.

Sejam

G=GobGi>bG,D--:DG,

= teh,

(9)

G=HbDH,DH,D--DHm=te

duas séries subnormais de G.

(+)

Na série (*), entre cada G; e Gu,

coloque os grupos Gii(G;N H,) paraO (iii). Seja G = GoDbG,b--->G, = (e) uma série subnormal

com G;/Giy1 abeliano, Vi = 0,...,7r — 1. Sendo G um grupo finito,

então cada quociente G;/G;,1 é um grupo abeliano finito. Podemos

aplicar a Observação VI[.1.3 a este grupo quociente para obter uma série de subgrupos entre G; e G;,1 tal que cada grupo quociente desta série é cíclico de ordem prima. Fazendo isto para todo índice 1 = 0,...,7—1, obtemos uma série de composição de G cujos grupos quocientes são cíclicos de ordem prima. [] Definição VII.2.2. Um grupo é dito solúvel condições equivalentes da Proposição VII.2.1. Definição VII.2.3.

se ele satisfaz as

Uma série de subgrupos de um grupo G

G=Go>G>G,>--->G,=te) é dita uma série normal de G se temos G; 4G, para cada índice 1 = 0,1,...,7. Em particular, uma série normal de G é uma série subnormal de G.

Observação VI1.2.4. Seja G um grupo solúvel finito. 1) A série GDGDD>GYD...>G() — fe) é uma série normal de G

cujos grupos quocientes são abelianos (Verifique).

2) O grupo G possui uma série subnormal cujos grupos quocientes são cíclicos de ordem prima; no entanto, o grupo G não possui em geral uma série normal cujos grupos quocientes sejam cíclicos

de ordem prima (Vide exercício abaixo).

Quando possuir uma tal

série normal, diz-se que o grupo G é supersolúvel.

302

[CAP. Vil: GRUPOS SOLÚVEIS

Exercício VII.2.5. supersolúveis.

Mostre que 4, e S4 são solúveis mas não são

Exercício VII.2.6. Seja G um grupo finito que possui uma série normal G = HobH,b--->H, = (er com grupo quociente H;/H,; cíclico, para cada i = 0,1,...,r—1. 1) Mostre que qualquer refinamento desta série é ainda normal. 2) Mostre que G possui uma série normal cujos grupos quocientes são cíclicos de ordem prima, isto é, o grupo G é supersolúvel.

Exemplo VII.2.7. 1) Todo grupo abeliano é solúvel. 2) Todo p-grupo finito é solúvel (vide Corolário V1.3.4). 3) Todo grupo finito de ordem pºqº (onde p e q são primos) é solúvel. (Este é um resultado obtido por Burnside em 1904; ver M. Hall Jr., The Theory of Groups, Theorem 16.8.7, p. 291).

4) Todo grupo finito de ordem ímpar é solúvel. (Este é um resultado

profundo devido a Feit e Thompson: Solvability of groups of odd order, Pacific J. Math. 13 (1963), p. 775-1029). 5) Claramente, todo grupo simples não-abeliano não é solúvel; em particular, se n > 5, então o grupo alternado 4, não é solúvel.

6) Se n > 5, então o grupo de permutações S, não é solúvel (vide Corolário V.10.23). Teorema VII.2.8.

Seja G um grupo.

1) Seja H um subgrupo de G.

Se G é solúvel, então H é solúvel.

2) Seja H um subgrupo normal de G.

Então,

o grupo G é solúvel

se e somente se os grupos H e G/H são solúveis.

DEMONSTRAÇÃO.

1) É claro que HO

solúvel, então existe n tal que G”)

C GO, vi > 0. SeGé

= fe), portanto também

que Hº) = fe): logo o subgrupo H é solúvel. 2) Seja py: G — G/H o homomorfismo canônico.

tal

É fácil ver que

AG") = ((G)); então temos q(G2) = (CM) = (p(GO) = ((A(G)YY = (A(G)) e, por indução, temos a(G)) = ((G)JO = (G/H),

Vi

> 0.

teiro tal que GM)

Suponha que G seja solúvel e seja n um

= fe): temos então H()

= fes e (G/H)M

in-

=

ISEC. VIl.2:

(GM)

GRUPOS SOLÚVEIS

303

= p(fe)) = fe), isto é, os grupos H e G/H são solúveis.

Reciprocamente, suponha que os grupos H e G/H

sejam solúveis,

e sejam n e m inteiros tais que HP) = fe e (G/H)JM

= fel.

Como fe) = (G/H)M = (Gr), temos GIP C kery = H; logo Gtrtm) = (Gl) C H(m) — fe), e portanto G é solúvel. [1 Em geral, generalizações dos teoremas de Sylow para mais do que um primo são falsas. Por exemplo, o grupo Ás tem ordem

igual a 60 = 22.35, mas não possui nenhum subgrupo de ordem 2º . 5 (nem de ordem 3 - 5); vide Proposição V1.6.3. No entanto, sabemos

que tais generalizações valem para os grupos abelianos;

mais geralmente, elas valem para os grupos solúveis:

Teorema VII.2.9. (P. Hall, 1928). Seja G um grupo solúvel finito de ordem ab com (a,b) = 1. Então: 1) Existe um subgrupo de G de ordem a. 2) Todos os subgrupos de G de ordem a são conjugados entre st.

3) Se H é um subgrupo de G tal que |H| divide a, então existe um subgrupo K de G com|K|=atalqueH CH. DEMONSTRAÇÃO.

O leitor interessado pode consultar M. Hall Jr.,

The theory of groups, Theorem 9.3.1, p. 141.

[)

Os grupos finitos para os quais valem estas generalizações dos teoremas de Sylow são exatamente os grupos solúveis finitos. Mais forte ainda, a validade da generalização do 1º teorema de Sylow já caracteriza os grupos solúveis finitos: Teorema VII.2.10. (P. Hall, 1934). Seja G um grupo finito com a propriedade seguinte: para todo inteiro a tal que |IG| = ab com

(a,b) = 1, existe um subgrupo de G de ordem a. Então, G é solúvel.

DEMONSTRAÇÃO. Este teorema é essencialmente equivalente ao teorema de Burnside sobre a solubilidade dos grupos de ordem p”qé com p,q primos. O leitor interessado pode consultar M. Hall Jr,, The theory of groups, Theorem 9.3.3, p. 144. []

304

CAP. VIl: GRUPOS SOLÚVEIS

VII.3

Exercícios

l. Determine todas as séries de composição para o grupo Z/362. 2. Dê uma

nova prova do Teorema

VI1.2.8

usando

a caracteri-

zação (1) da Proposição VII.2.1. Sejam p um primo e G um p-grupo finito. Mostre que existe uma série fes=Hh CH CH C--. CH, =G tal que

o subgrupo H, é normal em G, Vi > 0, etal que H,,/H, é grupo cíclico de ordem p, Vi = 0,1,...,r — 1. Mostre que esta série de subgrupos pode ser escolhida “central”, isto é,

tal que H,,1/H, está contido no centro de G/H,, V1. Mostre que todo grupo de ordem < 59 é solúvel.

. Seja G = 5 x As.

Exiba uma série de composição para G.

Mostre que o grupo G não é solúvel.

a) Sejam H e K dois subgrupos de um grupo finito G. Suponha

que exista uma série de subgrupos como abaixo: G=GobDG,DG,D---DG,=H.

Mostre que (H : HNK) divide (G : K) e conclua que a ordem do conjunto H . K divide |G|. b) Exiba subgrupos H e K do grupo alternado A, que satisfazem as condições da parte a), embora o produto H - K não seja um subgrupo de As. Sejam T e G dois grupos e seja p: " > Aut(G) um homomorfismo de grupos. Um subgrupo H de G é dito T-invariante se as seguintes condições equivalentes são satisfeitas:

)VyeT,temos o(y)(H) CH. ii) V ye T, temos p(y)(H) = H. Uma

I-série subnormal

de G é uma série subnormal

G=GobGiDG,Db---DGh=tel

[SEC. VIl.3:

EXERCÍCIOS

305

tal que cada subgrupo G; é T-invariante, para? = 0,1,...,n.

Esta série é dita uma T-série de composição se ela não admite um [I-refinamento próprio; i.e., se cada quociente G;/G;,1 não possui um subgrupo normal próprio que seja [-invariante, para: =0,1),...,,n-—1.

a) Verifique que as condições i) e ii) são equivalentes. b) Prove um resultado do tipo do Teorema de Schreier e um

resultado do tipo do Teorema de Jordan-Hólder para o grupo G e seus subgrupos [-invariantes.

c) Expressar o conceito de série normal (vide Definição VI[.2.3) em termos do conceito de T-série subnormal de G, utilizando

um grupo [e um homomorfismo p: " — Aut(G) adequados.

8. Sejam G um grupo finito e H um subgrupo de G.

Dizemos

que o € Aut(G) estabiliza o subgrupo H seo(H) € H. Dea

notamos por H a interseção de todos os subgrupos normais de G que contém H (equivalentemente, o subgrupo H é o menor

subgrupo normal de G contendo H).

a) Mostre que se um automorfismo de G estabiliza H, então ele estabiliza também H.

b) Se existe uma série de subgrupos como abaixo: G=GoDbG,D>G,D--.DG,=H, mostre que então existe também uma série de subgrupos G=LobplybLb--DL,=H tal que cada automorfismo de G, que estabiliza o subgrupo H, estabiliza também cada um dos subgrupos L,, para cada 1=0,1,...,5.

Dica: Fazer uma indução sobre o índice (G : H).

Capítulo VIII Matrizes e Módulos Finitamente Gerados VIII.1

Diagonalização de Matrizes

Seja (D,y) um domínio euclidiano. Nesta seção vamos mostrar que qualquer matriz M = (a;;), com entradas a;; € D, pode ser “diagonalizada” através de uma sucessão finita das seguintes operações elementares em suas linhas e colunas:

*.1) Permutação colunas).

de

duas

linhas

(respectivamente,

de

duas

*.2) Substituição de uma linha (respectivamente, de uma coluna)

pela soma desta linha com um múltiplo de uma outra linha

(respectivamente, pela soma desta coluna com um múltiplo de uma outra coluna). De maneira precisa, vamos mostrar o seguinte resultado: Teorema

VIII.1.l.

Sejam m

>

1 en >

1 dois inteiros.

Seja

(D,y) um domínio euclidiano e seja M = (a;;) uma matriz m x n

com entradas em D. Então, através de uma sucessão finita de operações elementares em suas linhas e colunas, a matriz M pode 309

310

[CAP. VIll: MATRIZES E MÓDULOS FINITAMENTE GERADOS

ser transformada numa matriz diagonal da forma

a

do

O

O

onde 0 2e ? > 2 tais que ey não divida ex». Fazemos a divisão euclidiana de ep, por ey:

ew=qen+r

onder£O

e substituimos a primeira linha de M,

e

g(r)< (em),

por

(primeira linha de Ms) + (k-ésima linha de Ms). Nesta nova matriz My obtida depois da substituição da primeira linha de Ms descrita acima, substituimos a sua ?-ésima coluna por

(t-ésima coluna de M4) — q - (primeira coluna de M4). Desta maneira, obtemos uma matriz NV = Má = M cuja entrada na primeira linha e ?-ésima coluna é igual a r, logo uma matriz tal

que v(N) < lr) < p(emn) = t, o que é impossível pela definição de t. Isto termina a prova da Afirmação 2.

Agora, a matriz 4 obtida em (2) na Afirmação 2 é uma matriz

(m— 1) x

(n— 1) logo, por indução, existe uma matriz diagonal B,

316

[CAP. VIH: MATRIZES E MÓDULOS FINITAMENTE GERADOS

com B = À da forma:

(dy

)

O

O

)

com dz,...,dr E DN (0) e com d; dividindo d;,1, para cada j. Evidentemente temos en Ma

O

---

O

en

Ô

=

=

A

Ô

O

--.

0

Õ

B

Ó

e logo, fes

)

do Mm

Õ dr

O

O

/

Como e, divide cada entrada de 4, então e, divide cada entrada

de B também, pois as entradas de B são somas de múltiplos de en-

tradas de 4. Portanto e; divide d, e a demonstração está completa tomando

di

—

Cj.

[]

[SEC. Vill.1:

DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES

317

Observação VIII.1.4. A demonstração apresentada acima para o Teorema VIII1.1 é algorítmica. Para ver isto, temos que explicitar um algorítmo que nos permita obter uma matriz M tal

que My = Me

g(Mi) = UM)

:= minfo(N); N = Ms.

Dada

uma matriz não-nula M, levamos uma entrada de menor y-valor de

M

para a posição (1,1). Com argumentos análogos aos utilizados

na Afirmação

1 e na Afirmação 2, vamos obter uma seglência de

matrizes N; = M tais que a sequência de inteiros positivos p(N,) seja decrescente (caso r; £ O na Afirmação 1 ou caso r; £ O na Afirmação 2). Como segiências descrescentes de números naturais

são estacionárias, então depois de um número finito de passos va-

mos obter uma matriz M, desejado.

Observação

VIII.1.5.

= M

tal que (MM)

= t(M), como

O inteiro r > 0 no Teorema VIIL1.1 é

chamado de posto da matriz M. Os elementos não-nulos di, da, ..., dy do domínio euclidiano D são unicamente determinados, a menos de multiplicação por elementos invertíveis de D. Vamos dar agora uma prova desta unicidade. Para isto, vamos de-

notar aqui por (di, d»,...,d,) uma matriz m x n diagonal como

em (1). Sejam então NV = (d,,...,d)eN' = (dy...,d) duas matrizes m x n diagonais do tipo (1), tais que / = Nº. Vejamos

primeiramente que d; e d, são associados em D, isto é, que existe

um elemento u

€ D invertível tal que dy = ud,.

Como temos

dildo|... |d,, então d; divide cada entrada da matriz N e assim d);

divide cada entrada de qualquer matriz M4 satisfazendo NM, = N. Em particular, o elemento d; divide dj. De modo análogo, temos que d, divide d; e assim d, e d, são associados em D.

Vejamos

agora que dy e d; são associados em D. Como dilds|...|d,, então

dido divide cada menor 2 x 2 da matriz N e assim did, divide cada

menor 2 x 2 de qualquer matriz N

satisfazendo MN, = N. Em par-

ticular, o elemento dida divide d;d,. De modo análogo, temos que did, divide did» e assim did» e did, são associados em D. Como d;

e d, são associados, concluímos que d, e d, são também associados

em D. À unicidade de ds vai seguir de considerações análogas para os menores 3 x 3 e assim por diante.

318

[CAP. Vil: MATRIZES E MÓDULOS FINITAMENTE GERADOS

VIII.2

Módulos

e Homomorfismos

Definição VIII.2.1. Seja 4 um anel comutativo com unidade. Um grupo abeliano aditivo (M, +) dotado de uma multiplicação escalar AxM—sM

(am)->

am

é dito um A-módulo se satisfaz os seguintes axiomas (Va1,a2 € À eVYm,ma eM): a)

1.m

=m;

b) (ajas) -m = )

(ao cmi);

(mta) m=ua mam;

D) a(m+m)=a-m+Ha:ma. Seat AemeM, escreveremos também am para denotar o elemento a -m do módulo M. Definição VIII.2.2. Sejam 4 um anel e M um A-módulo. Um subgrupo N de M é um A-submódulo se a multiplicação escalar do módulo M preserva N, isto é, se a-neN, Seja M

um

mentos de M.

VaeÃ

A-módulo,

e

seja tEN

YnenN. e sejam

my,mo,...,m;

Consideramos o seguinte subconjunto N de M:

ele-

N = Am +Am+-c+Am=(amA+--+ame|a; e AS. Claramente, este conjunto N é um submódulo de M e ele é chamado de submódulo gerado por my,ma,...,my;. O módulo M é dito finitamente gerado quando existe um número finito de elementos my ma,...,my de M tais que M

=

Am,

+ Amo,

+

---+

Am.

[SEC. VIll.2: MÓDULOS E HOMOMORFISMOS

319

Neste caso, dizemos que mi, ma,...,m, é um conjunto de geradores para o módulo M.

O módulo M é dito cíclico se pode ser gerado por um elemento, isto é, se M = Am, para algum me M.

Exemplo

VIII.2.3. a) Seja 4 um corpo.

módulo coincide com a de A-espaço vetorial.

Então a noção de 4-

b) Seja 4 = Z. Seja (G, +) um grupo abeliano. Defina uma multi plicação escalar Z x G — G da maneira seguinte VzeZ,

VgeG,2z:g=94---+gsez>0, See

Z

e?

vezes

:9=(-9)+--+(-9) sez ab+ 1.

320

[CAP. VIll: MATRIZES E MÓDULOS FINITAMENTE GERADOS

Munido dessa multiplicação escalar, (A/T, +) é um ÁA-módulo cíclico,

gerado por 1. Os A-submódulos de 4/1 são exatamente os ideais do anel quociente A/I. f) Seja M um A-módulo e sejam N4,..., N, A-submódulos de M. Então

NM +--+N=(m++tn|nenN,,

um A-submódulo

Vi=1,...t)

é

de M.

g) Seja M um A-módulo e seja 1 um ideal do anel 4. Então IM := (

j=1

am;neN,ael,

m;emM,

h) Seja A um domínio e seja M

T(M)

:= (me

M

vi) é um A-submódulo de M. um A-módulo.

| Ja € ATO)

tal que am

Então temos que

= 0) é um A-

submódulo de M, chamado de submódulo de torção de M.

i) Seja t um inteiro positivo e considere o seguinte conjunto A* =I(m,a3,...,a) |a; € Ab Definindo a operação de adição coordenada a coordenada:

(a1,02,..,u)+H(aj,a5,...,0,))

=

(a +aj,a+a,...,m+a,),

e a multiplicação escalar da maneira seguinte

a-(a1,02,...,0) = (am,aas,..., aa), vemos que A* é um A-módulo. Sejam e, = (1,0,...,0),e3 = (0,1,0,...,),...,e = (0,...,0,1). Verifique que e,,€5,...,e; formam

um conjunto de geradores para

o módulo 4*; assim o A-módulo A* é finitamente gerado. Definição VTIII.2.4. Sejam M e M' dois A-módulos.

Uma aplica-

ção f: M —> M' é um homomorfismo de A-módulos se: a) f é um homomorfismo de grupos aditivos, isto é,

Fm

+ ma) = fimy) + flímo),

Ymy,meM.

b) fla-m)=a-f(m),vVaeAeYmemM.

[SEC. VIll.2:

MÓDULOS E HOMOMORFISMOS

321

Dizemos também que a aplicação f é A-linear, ou que f é um operador A-linear. Um homomoríismo de A-módulos é um isomorfismo de A-módulos se ele é bijetivo.

Definição VTIII.2.5. Sejam A um anel e (M,+) um A-módulo.

Seja N um A-submódulo de M. Então, em particular, (N, +) é um

subgrupo do grupo (M, +) e podemos considerar o grupo quociente

(M/N, +), isto é o conjunto fm + N |m E M+ das classes laterais

de N em M munido da adição +: M/N

x M/N —s

M/N

(mm +Nm+N > (m+mo)+N. Sobre este grupo (M/N,+), podemos considerar a seguinte multiN

plicação escalar:

AxM/N — M/N

(am+N)-—am+N. É fácil verificar que esta operação é bem definida e que M/N A-módulo, chamado de A-módulo quociente de M por N.

é um

Analogamente ao que foi feito para homomorfismos de grupos e

de anéis, temos os seguintes resultados (verifique-os): (i) Seja N um submódulo projeção

de um A-módulo

M

e considere a

canônica

t:M

—> M/N

mos

m+4 N.

Então 7 é A-linear, sobrejetora e com núcleo igual a N.

(ii) Sejam M e M' dois A-módulos e N um submódulo de M. Seja f: M — M' uma aplicação A-linear tal que ker f O N. Então

existe um único homomorfismo de A-módulos f: M/N > M' tal que f = for; ele é definido por f(m + N) = f(m).

322

[CAP. Vil: MATRIZES E MÓDULOS FINITAMENTE GERADOS

(ii) (Teorema dos Isomorfismos) Se no item (ii) acima temos que

ker f = N, então f é um isomorfismo de A-módulos entre o quociente M/N e a imagem do homomorfismo f.

(iv) Existe uma correspondência bijetiva entre os submódulos do quociente M/N e os submódulos de M que contém N. Exercício VIII.2.6. Seja 4 um anel. Seja M,,..., M, um conjunto finito de A-módulos. Coordenada por coordenada, defina uma

estrutura de Á-módulo sobre o seguinte conjunto: M Com

x-ccxMo=tim.smlmemM,

Vi=1,...,nh.

esta estrutura, dizemos que M, x ---x M, é o produto direto

dos módulos M,,...,M,.

a) Se N, é um A-submódulo de M; para à = 1,...,n, mostre que

(Mi, xx

Mi) /(Ni xx

No) = (Mi/Ny) xx

(Ma/N).

b) Se M é um Á-módulo isomorfo ao A-módulo M, x --- x Mn,

mostre que existem A-submódulos M,,..., M, de M tais que M; = Mi, Vi =h1,...,;n, e tais que para cada m E M, existem elementos Mm; E Mi, minados satisfazendo m = Mm

sMn € M, +": +H Ma.

unicamente deter-

Nestas condições, escrevemos

M=M6e---eM,. Observe que esta notação é compatível com a Notação V.8.3.

Exercício VIII.2.7. Sejam 4 um anel, (M,+) um A-módulo e 1

um ideal de 4. Como IM é um A-submódulo de M, então podemos

considerar o A-módulo quociente M/IM. Podemos também considerar o grupo quociente (M/IM, + ) munido da A/I-multiplicação escalar seguinte:

ISEC. VIll.2:

MÓDULOS E HOMOMORFISMOS

A/I

SZS

x M/IM

—

M/IM

(a+im+IM)

—

am + IM.

a) Verifique que esta 4/I-multiplicação é bem definida e que, com

ela, M/IM é um A/I-módulo.

b) Seja N um subgrupo do grupo (M/IM, + ). Mostre que o subgrupo N é um A-submódulo de M/IM A/I-submódulo de M/IM.

se e somente se N é um

De maneira similar à Definição 11.1.9, um A-módulo M é dito noetheriano se todo A-submódulo de M é finitamente gerado. Em particular, o próprio A-módulo M é finitamente gerado. Proposição VIII.2.8. Seja A um anel noetheriano e seja M um A-módulo finitamente gerado. Então M é A-módulo noetheriano.

DEMONSTRAÇÃO.

submódulo de M. indução sobre t.

Seja M

= Am, + --- + Ams,.

Seja N um ÁÀ-

Mostraremos que N é finitamente gerado por

Se t = 1, considere a aplicação pv: A—s at

Am, =M am.

Ela é um homomorfismo sobrejetivo de A-módulos. Considere o ideal J:= (ae Alam E Ny do anel 4. Então N = J.m; é finitamente gerado, pois J é ideal finitamente gerado.

Set>2,seja M':= Am,+---+ Am,. Seja b:= (5 € Alôm, E N + M9. É claro que b é um ideal de 4; como A é noetheriano,

324

[CAP. VIll: MATRIZES E MÓDULOS FINITAMENTE GERADOS

então b = Abo + --- + Ab, para um número finito de elementos bo, b1,...,bs em b. Portanto para cada i = 0,1,...,s, existen, € N tal que b;m1

— n;

€ M.

(3)

Afirmamos que

N = Ano+ An +---+ Ans+(NNM).

(4)

Claramente basta mostrar que N está contido no ÁA-módulo à direita na Igualdade (4). Seja então é E NC Am +M' = M e escreva £=- Bm, +m' com BE Aem' e M'. Logo 8 E b e escrevemos 5

Temos

—

OY900

então € =

Ang +:

+

ab

Gm

+...

+m'

+

=

ads

aobom

com

Ai;

E A.

+ ---+abm+m

+ Ans + M'; de fato, basta utilizar a Equação (3).

Escreva agora £ = ao,0,...,4, E A em"

então m” E NNM'

€

any + am +: + asn; + m”, onde e M'. Comoé E Ne comon, € N,

eisto prova a Igualdade (4).

Como Nn M' é um A-submódulo de M' e como M' é gerado por (t— 1) elementos, então, pela hipótese de indução, NN M' é um

A-módulo finitamente gerado. Por (4), concluímos que N também é um A-módulo finitamente gerado.

[)

Observação VTIII.2.9. Se 4 é um domínio arbitrário e M é um Àmódulo finitamente gerado, então podem existir A-submódulos de M que não são finitamente gerados.

Por exemplo, se X1,..., Xn,.-.-

é um conjunto infinito de indeterminadas sobre Q, então o anel de polinômios A := Q/X1,..., Xn,...| é um A-módulo cíclico, mas o ideal (X1,...,X,,...) é um A-submódulo que não é finitamente gerado.

ISEC. Vill.2:

MÓDULOS E HOMOMORFISMOS

Definição

VIII.2.10.

Seja M

329

um A-módulo.

espaços vetoriais, dizemos que os elementos são A-linearmente independentes se

Como

no caso de

my, ma,...,m;

de M

t

[»

j=1

aim; =0,

com

a; € 4)

>

(0,=0,

V9).

Um A-módulo finitamente gerado M é dito liwre se ele admite um conjunto finito de geradores my, ma,...,Mm, que são elementos A-linearmente independentes , ou equivalentemente, se o módulo

M é isomorfo a 4º. Para ver esta equivalência, considere o homo-

morfismo

g: 4*-—sM

(a1,.MU)

>

t

am;

1=1

Neste caso dizemos que (my, ma,...,my) é uma base para o módulo livre M.

Observe que M = Am, & --. E Am.

Exemplo VIII.2.11. a) Seja 4 um corpo. Então todo A-módulo finitamente gerado (i.e., todo A-espaço vetorial finitamente gerado) é um A-módulo livre.

b) Seja 4 um domínio. Ser > 2 é um inteiro e se ay,...,a, são ele-

mentos de 4, então q1,..., a, não são Á-linearmente independentes

(verifique). Se 1 é um ideal finitamente gerado de 4, então 1 é um A-módulo livre se e somente se ele é um ideal principal (verifique). c) Seja A um anel e seja t um inteiro > 1. Então os elementos er := (1,0,...,0),...,e; := (0,...,0,1) formam uma base do Amódulo livre A*, chamada base canônica de A.

d) Sejam 4 um anele M um A-módulo finitamente gerado. Então

M é isomorfo ao quociente de um A-módulo livre finitamente gerado por um submódulo. De fato, se m,,...,my é um conjunto de

326

[CAP. Vill: MATRIZES E MÓDULOS FINITAMENTE GERADOS

geradores de M, consideramos a aplicação A-linear sobrejetora p: As

M t

(a1,.

MU) +

Sami i=1

Então, pelo teorema dos isomorfismos para módulos, temos o iso-

morfsmo M = A*/N, onde N := kery é um submódulo do Amódulo livre Aº.

Se 4 é um anel noetheriano, então 4 possui ideais maximais. Isto segue diretamente do item a) do Teorema [1.2.1. Assim, todo domínio principal (e, em particular, todo domínio euclidiano) possui ideais maximais. Mais geralmente, usando o “Lema de Zorn”, pode-se mostrar que todo anel com unidade possui ideais maximais. Isto permite

provar

a seguinte proposição

num

contexto

bastante

geral, embora a utilizaremos somente para módulos sobre domínios euclidianos.

Proposição

VIII.2.12.

Seja À um

anel com unidade

e seja M

um A-módulo livre finitamente gerado. Então, todas as bases de M

possuem o mesmo número de elementos.

DEMONSTRAÇÃO. Seja m4,...,m, uma base do A-módulo M. Seja m um ideal maximal de A e considere a aplicação v:M am

+

—

+ame—s>

(Alm) x---x(A/m) (a.

.

04).

Ela é claramente um homomorfismo sobrejetivo de grupos aditivos cujo núcleo é igual a mM. Portanto, temos um isomorfismo de grupos aditivos:

vi: M/mM > (A/m) x cx (A/m). Neemnaaa

[eee

(5)

t vezes

Agora, M/mM dada por

tem uma estrutura natural de A/m-espaço vetorial

(a+m)-(m+mM):=amt+mM.

[SEC. VIll.3: SUBMÓDULOS DE UM MÓDULO LIVRE

327

É imediato verificar que a aplicação Y dada em (5) é um isomorfismo de espaços vetoriais. Portanto, obtemos que M/mM é um (A/m)espaço vetorial de dimensão t.

Se M possui uma outra base com n elementos então, pelo mesmo

argumento, obtemos que M/mM

é um (A/m)-espaço vetorial de

dimensão n. Naturalmente, pela propriedade básica dos espaços vetoriais, obtemos que t = n. [] Definição VII1.2.13. Seja 4 um anel com unidade. Seja M um A-módulo livre finitamente gerado. Então, a cardinalidade comum a todas as bases de M se chama o posto de M.

VIII.3

Submódulos

de um Módulo

Livre

Seja 4 um anel. Sejam N um A-módulo finitamente gerado, M um A-módulo livre finitamente gerado e f: N — M uma aplicação A-linear. Como em Álgebra Linear, uma vez escolhido um conjunto ordenado de geradores B = fv,,...,vnj para N e uma base ordenada B' = fw;,...,wm) para M, esta aplicação f pode ser representada por uma matriz m xn.

Para j € (1,...,n), escrevemos

mM

f(v;) = >

au;

com ai; E À,

1=1

e dizemos que a matriz M = (a;;) representa a aplicação f em relação a B e B'. Claramente, a matriz obtida para uma aplicação A-linear f vai depender do conjunto de geradores B de N e da base 6" de M escolhidos. Mostramos abaixo que as operações elementares em linhas e colunas de M, correspondem à mudanças do sistema de geradores para N ou à mudanças de base para M. Para simplificar, faremos isto através de exemplos:

Exemplo VIIT.3.1. (Verifique!): Sejam 4,N,M,n,m, f,5B,B,M como

acima:

328

[CAP. Vlll: MATRIZES E MÓDULOS FINITAMENTE GERADOS 1. Permutação

de linhas ou colunas.

a) Se na matriz M permutamos a 1? coluna com a 2? coluna, então a nova matriz obtida representa a mesma aplicação f em relação a Bj = (va,v,,v3,...,Unj e Bº. b) Se na matriz M

permutamos a 12 linha com a 22 linha,

então a nova matriz obtida representa a aplicação f em relação a Be Bj = (wa,Un, W3,..., Um).

2. Substituição de linha ou coluna. a) Se na matriz M da operação

substituimos a 1º coluna pelo resultado

(12 coluna) + À - (22 coluna),

com

hEe4,

então a nova matriz obtida representa a aplicação f em relação a

B»

—

tvs +

b) Se na matriz M da operação

Avg, Va,

U3, ++» Un)

e

B.

substituimos a 1º linha pelo resultado

(1º linha) + ÀA- (2º linha),

com

he4,

então a nova matriz obtida representa a aplicação f em relação a Be B, = (ww

— Aw,,W3,...,Wm).

Como consequência do Teorema VIII.1.1, temos: Corolário VIII.3.2. Seja D um domínio euclidiano. Sejam M,N

dois D-módulos livres finitamente gerados e Ff: N > Mum dDhomomorfismo. Então, existe uma base B = (u,...,un) de N e

[SEC. VIll.3: SUBMÓDULOS DE UM MÓDULO LIVRE

329

uma base B' = (wy,...,Wm! de M tais que a matriz que representa a aplicação f em relação a estas bases é da forma

[do

O

!

O

/

onde d,...,;dr pertencem a DN (0J e onde d; divide d;,1, para

cada

j=1,2,...,r—1.

DEMONSTRAÇÃO.

Exercício.

Vamos agora provar o seguinte resultado importante: Teorema VIII.3.3. Seja D um domínio euclidiano. Sejam M um D-módulo livre de postom e N um D-submódulo de M. Então:

a) O módulo N é livre, de posto r < m. b) Existe uma base B' = fw,,...,wumy de M di,...,dp E DN O) tais que: ed; divided,

Vj=1,...,r—l,

e diw,,...,dw,

é uma

base de N.

c) Dada uma base 71,...,Zm de geradores

de M

e dado um congunto ordenado

mM

Yi =

) 1=1

e existem elementos

mm

QT;

ss...

Yn —

) Dindi i=1

do submódulo N, uma base de N pode ser efetivamente encontrada.

330

CAP. VIll: MATRIZES E MÓDULOS FINITAMENTE GERADOS

DEMONSTRAÇÃO. a) e b). Pela Proposição VIII.2.8, o submódulo N é finitamente gerado. Sejam €C um conjunto qualquer ordenado finito de geradores de N, €C' uma base qualquer de M,:i:

N >

M

a aplicação de inclusão e considere a matriz M correspondente à aplicação 1 em relação a C e C'. Pelo Teorema VIII.1.1, através

de operações elementares em linhas e colunas, obtemos uma matriz

diagonal

[as

À

)

O

O

onde d; divide d; para j = 1,...,r — 1. Essa matriz M' é a ma-

triz correspondente à aplicação 1 em relação a um certo conjunto

de geradores B de N e a uma certa base B' = (w,,...,um) de M.

Isto quer dizer que B = fdw,,...,d;w,).

Portanto, agora,

falta somente mostrar que d;w,,..-.,dyriw, são D-linearmente independentes. Sejam a,,...,a, € D tais que r

0 — Du Us(dyrw;) =5 (as;dyw;. j=1

Usando que w,,...,w, são D-linearmente independentes, temos a;d; = 0, para cada q = 1,...,7. Como d; + 0 e como D é um domínio, concluímos que a; — 0, para cada q = 1,...,7.

c) Consideramos a matriz M := (a;;) obtida a partir das expressões

do conjunto de geradores y,...,Yn do submódulo N. Como indicado na Observação VIII.1.4, podemos levar efetivamente esta matriz M para uma forma diagonal após uma sucessão finita de

[SEC. VIll.3: SUBMÓDULOS DE UM MÓDULO LIVRE

SS

operações elementares entre linhas e colunas. Como visto no Exemplo VII.3.1, essas operações elementares nos conduzem a uma nova base para o módulo M e a um novo conjunto de geradores, efetivamente calculados, para o submódulo N. Os elementos não-nulos deste novo conjunto de geradores formam uma base de N. [) Exemplo VIIT.3.4. O objetivo deste exemplo é ilustrar num caso

concreto os passos da demonstração do Teorema VIII3.3. sidere o submódulo N de Zº gerado por:

Con-

Yi — (1,0,2,0);

—8).

Então

formamos

a

= (1,0,0,2):

Y3 — (O,

l, 1,0);

Ya — (0,0,3,

a matriz

11 0 0 0010 201 3º 020—3 cujas colunas representam

os geradores de N

canônica (e1,e2,€3,e4) de Z'.

em relação à base

A matriz acima pode ser colocada na forma diagonal abaixo 1 O 0 O

00 0 100 01 0]' 000

após as seguintes sete operações (verifique!):

o

1º 4º 3º 4º 5º 6º *

Operação: Operação: Operação: Operação: Operação: Operação: Operação:

Substituir Substituir Permutar Substituir Substituir Substituir Substituir

a 32 linha por (3? linha) - 2-(1º linha). a 2º coluna por (2º coluna) - (1º coluna). (22 coluna) com (3º coluna). 32 linha por (3º linha) - (2º linha). 42 linha por (4º linha) + (32 linha). 32 coluna por (3? coluna) + (4º coluna). 4º coluna por (4º coluna) —3- (3º coluna).

SSZ

[CAP. Vill: MATRIZES E MÓDULOS FINITAMENTE GERADOS

Sabemos que uma operação entre colunas significa uma mu-

dança no conjunto ordenado de geradores de N e que uma operação

entre linhas significa uma mudança na base ordenada de Zº. Descrevemos agora estas mudanças;

para isto vamos

denotar por 5,

(respectivamente, por B;) o novo conjunto ordenado de geradores

para o submódulo N (respectivamente, a nova base ordenada para Zº) obtido após a i-ésima operação entre linhas ou colunas, para cada 1 = 1,2,...,7. Temos então que:

Bi=ly,yoys,yu)

e

B-(lyyw-y,ysm)

B=(e+2es,e2,e3,e4]!;

Bs=(y,ys,Y—-yW,yW)

e

B=B;

e

B

= Bo;

B,=-B;

e

B,=(e+2es,e2+e3,e3,e4):

B,=bB,

e

B,=(e;+2es,e2+e3,e3— eg,e4];

B=ly,ysy-—-n+tyym) Br=tys,ysy—y+Hys

ec

dy

Bo

—uy)-—2wuj

B; e

7 =

Bs;

A forma diagonal obtida após as sete operações então nos dá as seguintes igualdades:

y =e;+2e3, Vemos

y3 = extes, yy—y+ya = e3—€4,

então que N

é isomorfo

y—yo)—2ya = 0.

a Zº e que (y,y3,y2 — W + Wa) é

uma base para o submódulo N.

VIII.4

Estrutura dos Módulos mente Gerados

Finita-

Podemos agora enunciar o teorema fundamental de estrutura para

módulos finitamente gerados sobre domínios euclidianos.

Teorema VIII.4.1. (Decomposição de torção). Seja D um domímio euclidiano.

Sejam M um D-módulo finitamente gerado e T(M)

seu submódulo

de torção.

Então,

[SEC. VIll.4:

ESTRUTURA DOS MÓDULOS FINITAMENTE GERADOS

333

a) Existem um inteiro t > 0 e um D-submódulo L = Dº tais que M=T(M

EL.

b) Existem elementos não-invertíveis di,...,ds E DN 40) satisfazendo a condição d; divide d;,1, para cada j =1,...,s—1, tais que

c)

T(M) = D/(dy) x ---x D/d,).

Ointeiro t é unicamente determinado. Os elementos di,...,ds, são unicamente determinados, a menos de multiplicação por elementos invertíveis de D.

Definição VIII.4.2. O inteiro t é denominado posto de M. Os elementos dr,...,ds são denominados coeficientes de torção de M.

Na prova do item c) do Teorema VIII.4.1, utilizaremos em várias

passagens o seguinte fato decorrente do Teorema dos Isomorfismos: de 1 e J são dois ideais de um anel À, então A/T —TATI) >

oc AM(I+J). [d+

J)

Faremos apelo também ao conceito de anulador de um módulo: N é um A-módulo, o anulador de N é definido por

A(N):=

face Alan=0,

se

Yne Ny

e utilizaremos os seguintes resultados fáceis de verificar:

e An(N) é um ideal de 4.

e Se N, e No são dois A-módulos isomorfos, então vale a igual-

dade An(N1) = An(N5).

DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA VIII.4.1L a)eb). Seja fay,...,Qm)

um conjunto de geradores para M; logo M = Da; + --- + Da,. Considere o seguinte homomorfismo sobrejetor de D-módulos: g: D”" ->M m (ay,

oa » Um)

—s

>

aja; =]

So4

[CAP. VIH: MATRIZES E MÓDULOS FINITAMENTE GERADOS

Pelo Teorema VIII.3.3, o núcleo K := kerg é um submódulo livre do módulo D” e existem uma base fw,,...,wWwm+ de D” e elementos di,...,d

E DIO),

comr

s'. Seja p € D

um fator primo de d,. Então, para q = 1,...,8s, p divide d; e logo

(p, d;) = (7); olhando no lado esquerdo de (7), temos

ny

xÃ.

(8)

S vezes

Agora, olhando no lado direito de (7), obtemos

TLD pT (pd)

sp (p, di)

(9)

Como D é um domínio euclidiano, o ideal (p) é maximal e portanto D/(p) é um corpo. Por (8), T/pT é um D/(p)-espaço vetorial de dimensão s. Sendo (p) maximal, temos (p, d;) = (p) ou (p, d;) = D. Portanto por (9), T/pT é um D/(p)-espaço vetorial de dimensão < s', i.e., temos s 1). Podemos reescrever (10) como abaixo:

Dix Po Doro (des 1/7)

(ds/p)

(dirs1/D)

(di/p)

(13)

Aplicando o item 1) da afirmação anterior no contexto do isomorfismo em (13), obtemos s — k = s — k' ou seja obtemos k = k”. Então, por (11) e (12), temos

(da) =": = (da) = (p) = (di) =": = (dy)

[SEC. Vill.4: ESTRUTURA DOS MÓDULOS FINITAMENTE GERADOS

337

Isto mostra que d; e d; são associados em D), para cada ) < k. Falta agora verificar que d; e d; são associados, para cada j = k + 1,...,s. Como 7(d,/p) = m(ds) — 1, aplicando a hipótese de indução ao isomorfismo em (13) obtemos, para cada ) = k+1,...,s,

que (d;/p) = (d;/p) e logo que (d;) — (d').

E

Seja d € D um elemento não-nulo e não-invertível. Sendo D um domínio euclidiano, e portanto um domínio fatorial, podemos escrever

d=pr'pj..Pe com p; elemento primo do domínio D e p; não-associado de p;, para

à £ 3. Pelo Teorema Chinês dos Restos (Teorema 11.2.7), obtemos

D/(d) = D/(pi') x D/(p5?) x ---x D/(pp'). Aplicando

este procedimento

aos D-módulos

cíclicos D/(di),

D/(do),..., D/(ds) que aparecem no Teorema VIII.4.1, obtemos:

Teorema VIII.4.3. (Decomposição primária). Seja D um domínio euclidiano. Sejam M um D-módulo finitamente gerado e T(M) seu submódulo de torção.

Então,

a) Existem elementos primos p1,...,Pu € D (em geral não todos distintos) e inteiros vy > 1,...,vy > 1 tais que

TM) = D/py') x: x D/(y). b) Os elementos pj',...,pi:

são unicamente

determinados,

menos de multiplicação por elementos invertíveis de D.

a

330

[CAP. VIll: MATRIZES E MÓDULOS FINITAMENTE GERADOS

VIII.5

Exercicios

1. Seja R um

anel comutativo

com

unidade e considere M

um

R-módulo simples (isto é, os únicos submódulos de M são (0) eM).

a) Mostre que M é isomorfo (como R-módulo) ao módulo R/M, onde M é um ideal maximal de R.

b) Seja M' um outro R-módulo simples e seja py: M > M' um R-homomorfismo. isomorfismo.

Mostre que ou y = 0 ou y é um

c) Considere o conjunto dos endomorfismos de M: Enda(M) = fy: M > M; q é R-homomorfismo +.

Mostre que (Endr(M), +,O) é um corpo, onde a mul-

tiplicação O é a composição

de funções e a adição é

definida por (4 + po)(m) = pi(m) + palm), YmeM. 2. Resolva os seguintes itens:

a) Mostre que os elementos m; = 2 em, = 3 formam um conjunto de geradores para Z como Z-módulo, isto é, mostre que Z = Zm;

+ Zms.

b) Seja M um R-módulo livre de posto finito, onde R é um

anel comutativo com unidade. Então um conjunto de geradores para M como R-módulo pode não conter uma base de M?

3. Seja R um anel tal que todo R-módulo finitamente gerado é livre. Mostre que R é um corpo. 4. Diagonalize a matriz 3 x 3 com entradas em Z:

—4

3 2

—S

l 6

—4

1 —2

[SEC. VIll.5:

EXERCÍCIOS

3359

5. Ache uma base para os seguintes submódulos de Zº: a) O submódulo gerado por v = (1,0,-—1), va = (2,-3,1), vs = (0,3,1) e vs = (3,1,5). b) O submódulo das soluções do sistema de lineares X+2Y +32 =X +4Y+9Z=0.

equações

6. Sejam D um domínio euclidiano, M um D-módulo finitamente gerado e N um D-submódulo de M. Mostre que

(Posto de M/N) = (Posto de M) — (Posto de N). 7. Sejam 4 e B duas matrizes quadradas m x m que sejam diagonalizáveis. Mostre que elas são simultaneamente diago-

nalizáveis (i.e., existe uma matriz invertível P tal que PAP”! e PBP”! são matrizes diagonais) se e somente se AB = BA.

Capítulo IX Aplicações IX.1

Estrutura dos Grupos Finitamente Gerados

Abelianos

Traduzimos para o contexto dos grupos abelianos os resultados obtidos no capítulo anterior: Teorema

IX.1.1.

eT(G):= (9€G;

Então,

Sejam G um grupo abeliano fintamente gerado

In £0 tal que ng = 0J seu subgrupo de torção.

a) Existem um inteiro t > 0 (chamado de posto de G) e um subgrupo L = Z! tais que G=T(G)OL. b)

(Decomposição de torção) Existem inteiros unicamente determinadost >0ed;/ >2,...,d; > 2 satisfazendo a condição d; divide d;,1, para cada j = 1,...,S— 1, tais que

G=Z/dZx---xZ/dZx 7. c) (Decomposição primária) Existem inteiros unicamente determinados t > 0 epy,...,pi: comp, m+tma++mMs,

e existem matrizes quadradas M, de tamanhos m, x m;, para cada 1=—1,2,...,8,

tals que

=|

Mm, O

O Mo

O O|

O

O

M,

isto é, se a matriz M é formada pelos blocos Mi, Ms,...,Ms dispostos ao longo da diagonal principal e todas as suas outras entradas são nulas.

ISEC. IX.2:

FORMA CANÔNICA DE JORDAN

343

Um bloco de Jordan é uma matriz quadrada com uma mesma constante (que pode ser nula) na diagonal principal, com as entradas logo abaixo da diagonal principal iguais a 1 e com todas as outras entradas nulas. Por exemplo, (o),

(4

o

Palas

a 1

0 «q

0 0

O

01a

10140

o

0 0

são os primeiros quatro blocos de Jordan possíveis. Uma matriz de Jordan é uma matriz quadrada formada por blocos que são blocos de Jordan. Se o tamanho da matriz é m = 3, temos as seguintes possibilidades para as matrizes de Jordan: a

00

1

a

0

O

1

a

,

q

O

0

O

Oo

Õ

O

1º

05

oq

O

O

Cg

;

O

O

0 Ó

as

À primeira matriz acima é formada de um único bloco, a segunda é formada de dois blocos e a terceira tem três blocos de Jordan. Seja V um espaço vetorial complexo de dimensão finita e seja T:V > V um operador C-linear. O teorema central desta seção afirma que existe uma base ordenada para V tal que a matriz de

T com relação a esta base (usando a mesma base ordenada no domínio e no contra-domínio) é uma matriz de Jordan. Demonstraremos este teorema como uma aplicação do teorema de estrutura para módulos finitamente gerados sobre domínios euclidianos. Tratamos inicialmente uma situação mais geral:

Sejam F um corpo, t uma indeterminada sobre F e F[t| o anel

de polinômios sobre F. finita sobre F e seja

Seja V um

T:V>V

Idéia-chave:

espaço vetorial de dimensão

um operador F-linear.

Considerar V com a estrutura de F'|t|-módulo dada

pela multiplicação escalar abaixo

6) cv = HD (v),

od44

[CAP. IX: APLICAÇÕES

onde se f(t) = 3-o it”, então f(T') denota o seguinte operador linear sobre V (abaixo, 1: V > V é a identidade): HT) = mT” +aasT

++

aT+agl.

Verifique que realmente a multiplicação escalar definida acima

faz de V um módulo sobre o anel de polinômios Fit).

Sendo V

de dimensão finita sobre F, ele é finitamente gerado como módulo

sobre Fit] e, sendo (Flt], grau) um domínio euclidiano, temos a seguinte decomposição de torção:

V=Fft/(d)x---xFtfl/(d), com d,...,d, E FIH) NF, d; divide dy,

Vj = 1,...,5— 1, onde

o isomorfismo acima é um isomorfismo de Flt])-módulos. Observe que a parte livre de V como F'it]-módulo é igual a (0), pois V é de dimensão finita sobre F enquanto que dimp Flt|) = oo. Portanto, temos uma decomposição

V-=WV06Woe---DW,,

onde W, é um Fit]-submódulo cíclico de V, de torção, para cada | = 1,...,8. Sendo um submódulo, W, é tal que t-W, CC Wi; logo temos T(W;) € W;, isto é, o submódulo W, é um subespaço

vetorial T-invariante.

Tomando bases ordenadas (como F-espaços

vetoriais) para Wi, Ws5,...,Ws, obtemos uma base ordenada para o espaço vetorial V em relação à qual a matriz do operador T' é

formada por blocos M1,...,M, pois T(W;) € W.,. Passamos agora a analisar cada um destes blocos correspondendo

a Tly:

W,

—

W,;.

O espaço

vetorial T-invariante

W;

é

isomorfo a Flit|/(d;) como Fft|-módulo. Podemos supor que d; é um polinômio mônico de grau> 1. (Aqui usamos pela primeira vez a operação elementar de multiplicação de uma linha ou coluna por

elemento invertível de Ft], ou seja, por elemento não-nulo de F). As condições de divisibilidade:

d; divide ds, do divide ds, etc...

implicam em particular que os blocos quadrados M4,Ms»,...,Ms

ao longo da diagonal principal são de tamanhos não-decrescentes, pois claramente temos

dimp Flt]/(d;) = grau(d;).

[SEC. 1X.2:

FORMA CANÔNICA DE JORDAN

345

Consideramos então o Flt)-módulo cíclico Fift|/(d(t)), onde o

polinômio d(t) = t* + ap at 1 +... +at+açg E Flt] é mônico de grau k > 1. O operador linear T age como multiplicação escalar por t, isto é,

T(a)=t:a,

Vae Fft/(d(t)).

Em relação à F-base ordenada B = (1,t,t2,... tt!) de FlH/(d(t)),

o operador

T é representado

pela seguinte

chamada de matriz companheira de d(t)): [o 1

— Go 0 1

O

(matriz

esta

)

— q

0

—Q9

1

N

matriz

Õ

—Qk-—92

l

“a1)

Essa matriz tem entradas iguais a 1 (um) abaixo da diagonal prin-

cipal e todas as outras entradas nulas, exceto as entradas na última coluna que são os inversos aditivos dos coeficientes do polinômio

mônico d(t).

Assim obtemos que existe uma F-base de V tal que a matriz de T em relação a esta base ordenada é formada de blocos

My, Mo,..., Ms

(de tamanhos não-decrescentes), que são as ma-

trizes companheiras dos polinômios mônicos não-constantes di, do,..., ds, respectivamente. À forma acima descrita para a matriz de um operador linear T', formada de blocos que são matrizes companheiras, é chamada de forma canônica racional.

Sendo Ft] um domínio fatorial, podemos fazer a decomposição de d(t) em produto de polinômios mônicos e irredutíveis em Ft]:

d(t) = pi(t)S - po(t)P... polt)*e.

346

ICAP. IX: APLICAÇÕES

Pelo Teorema Chinês dos Restos (Teorema 11.2.7), obtemos

Fé (att) = FIGO)

x ex FE) Mpelt)to).

Isto significa que podemos quebrar cada um dos blocos Ms,

Ms, -.., Ms, em sub-blocos, obtendo assim uma base ordenada para o espaço vetorial V com relação à qual a matriz de T é formada de blocos que são matrizes companheiras de potências de polinômios

mônicos irredutíveis de Fit].

Seja p(t) € Fit) um polinômio mônico irredutível e considere o Flt]-módulo cíclico FIt|/(p(t)º), onde s € N. O operador linear T age como multiplicação escalar por t. Seja k := grau(p(t)º) e assim k = s- grau(p(t)). Procuramos agora representar o operador T em relação a outras F-bases de Fit]/(p(t)º). Em relação à base ordenada (1,t,...,tt"!, o operador T é representado pela matriz

companheira de p(t)*. Uma outra F-base natural para o módulo Ft) /(p(t)º) é a seguinte: B=[tp(t)-1

| 0 M um operador C-linear com polinômio característico da forma

(t — a)º, com a E C. Suponha que o operador (T -ald) = S tenha posto 2 (isto é, a dimensão da imagem S(M) é igual a 2). Quais são as possíveis formas de Jordan do operador 7?

O

DD

ma

10. Determine a forma de Jordan da matriz 1 0 1 0 11

11. Qual é a forma de Jordan de uma matriz com polinômio ca-

racterístico (t — 2)2 . (t — 5)º tal que o espaço de autovetores

para o autovalor 2 tem dimensão 1, enquanto que o espaço para o autovalor 5 tem dimensão 2? 12. O polinômio minimal m(t) de um operador C-linear T:M>5M, onde M é espaço vetorial complexo de dimensão finita, é definido como o polinômio mônico de menor grau tal

que m(T) = 0.

a) Mostre que o polinômio minimal divide o polinômio característico de T. b) Mostre que cada raiz do polinômio característico é ainda uma raiz do polinômio minimal. c) Mostre que o operador T é diagonalizável se e somente

se m(t) não tem raízes múltiplas.

[SEC. IX.3:

EXERCÍCIOS

391

Dica: Como Clt|-módulo temos um isomorfismo (vide Seção

IX.2)

M = Cl

xXx 0X Cl

onde

dildo|---|ds,.

Verifique que os polinômios característico e minimal do operador T' são respectivamente:

c(t)=di(t)-- dt)

e

m(t)= dt).

13. Ache todas as formas de Jordan possíveis para matrizes 8 x 8 com polinômio minimal dado por t? - (t — 1)º.

ÍNDICE Pág. Algorítmo de Euclides ........cccicccccccccicc esses 20 Da Vo (7 DO 7 Anel de polinômios .........cccciccccccccs cerco 16, 25, 26 Anel dos inteiros de Gauss ........ccccccccos. 10, 23, 115, 119 Anel dos inteiros módulo n ........cccccccccccccsecrcctes 12 Anel dos quaternios inteiros ........ccccccccccciico 119, 130 Anel não-comutativo .........cccccccccccc ecra 8 Anel noetheriano ...........cccccc cr 44, 45, 105 Anel quociente módulo um ideal ...........ciiiiiiiccc 14 Anulador de um módulo ..........cccccccci cc 333 Aplicação A-linear ........cciicicici ss 327 AutomorÃsmo .........ccciiiccc ce 168 Automorfismo interno ..........ccccccciscs iss essere 168 Autovalor de um operador linear ........ccciiicccciccteo 350 Autovetor de um operador linear .........ccciiiiiciccs 350 Base canônica .......cccccccccccce cereais 329 Base de um módulo livre ..........cccciciisciicci cer 325 Bloco de Jordan .........ccccccicc cce ceara 343 Cadeia ascendente estacionária de ideais ...........ccci... 45 Característica de um anel ........cccccccciccc cnc nec 34 Centralizador de um elemento ...........cccccccccccci 259 Centro de um grupo ........ccccccccc cicero 144 Ciclo ...cccccccc erre 219 Ciclos disjuntos .......ccccccccccccc cer e rr rrra 219 Classe de conjugação de um elemento ................ 243, 259 Classe de conjugação de um subgrupo ...........cccco... 257 Classe lateral à direita de um subgrupo ................... 148 Classe lateral à esquerda de um subgrupo ................. 148

Classe lateral de um subgrupo normal .................... 153 Coeficiente líder de um polinômio ................... 17, 105

354

ÍNDICE

Coeficientes de torção de um módulo ............cccc... 333 Comprimento de uma série subnormal .................... 293 Comprimento

de um ciclo

.......cccccccciico 219

Comutadores ......ccciccc cce Cônicas irredutíveis ......ccciccccccc Conjugados de um elemento .........cccccccccccc. 243, Conjugados de um subgrupo ...........ciicicccccii Conteúdo de um polinômio .........cccccccccciccc cer Corpo ....ccccccc eee era

300 125 259 297 60 10

Corpo de frações de um domínio .........ciccccccciccca 56

Corpos finitos ........cccccccccccc encerra 67, 111 Critério de Ensenstem ......cccccccccce 80, 83

Curva plana afim .......cccc cce

121

Decomposição de torção de um grupo ...........ccccc.. 341 Decomposição de torção de um módulo ................... 332 Decomposição em frações parciais ............cccicciitie 65 Decomposição primária de um grupo ........ccccicccc. 341 Decomposição primária de um módulo ............c....... 337 Derivada de um polinômio .........ccciccccciciisis rs 72 Determinante de Vandermonde ...........ccccccccc 110 Diagonalização de matrizes .........ccccccccsicccice cc 309 Discriminante de um polinômio .........cccccc... 84, 94, 95 Divisor de um elemento ............cccciiccccici sera 39 Domínio .....ccccccc eee ar 9 Domínio de fatoração única ........cccccccccccicicce ce 42 Domínio de integridade .......cccccccciiis rr 9 Domínio euclidiano .......cccccciicsicec sena 19, 48 Domínio fatorial ......ccccccccc crer 42, 54 Domínio principal .......ccccccccccc see 44, 45, 68 Elemento Elemento Elemento Elementos Elementos Elementos

invertível .......cccccccclcc see irredutível ......cccccccc ce primo .........ccccccccclni ca 39, associados ........icccccccciicic rr primos entre si ..........cccciiiciicccs creo relativamente primos ...........ccccicicccc

39 39 81 39 40 40

ÍNDICE

SIDO

Endomorfismo de Módulo .......icciiicicicicicc cce 338 Equação das classes de conjugação ...........cccccccciio. 296 Estabilizador de um elemento .........cccciciiiiiicicc 294 Fator de um elemento ..........ciccccciiciii irei 39 Fator múltiplo de um polinômio ........cccccccicccccic 93 Forma canônica de Jordan de um operador linear ......... 347 Forma canônica racional de um operador linear ........... 349 Fórmula de interpolação de Lagrange ..........cccccccc. To Função de Euler .....ccccccccccc ess 69, 149, 179, 239 Função norma .........cccciiicccii career rara 23 Função polinomial ..........ccccccccc cesso 18 Grau de um polinômio .......ccccccccccicc screen GruUpO ecc e Grupo abeliano .........ccciiccie ssa Grupo abeliano finitamente gerado .........cciiicccco. Grupo alternado ........ccciiiccccc eee Grupo cíclico .....ccccccciiicc 145, 172, Grupo comutativo .......cccciicccicc ese Grupo das permutações ........cicicicicicccccceceo 138, Grupo das permutações pares ..........ccccciccccicciico Grupo das raizes n-ésimas da unidade ............... 143, Grupo de automorfismos de um grupo ...........cccci.. Grupo de Klein ......ccccsc eee Grupo dihedral ........cccicccccc cer 196, 239, Grupo dos quaternios generalizados .................. 196, Grupo finito gerado por dois elementos .............. 182, Grupo linear geral ........iccccciccc ciencia Grupo quociente por um subgrupo ..........ccccccccio. Grupo simétrico ........ccccc. eee 138, Grupo simples ........ccccicic cicero 228, 273, Grupo solúvel ......cccccccc eee 301,, 302, Grupo supersolúvel ........cciciccccciicce srs ren Grupos quocientes de uma série subnormal ...............

17 135 135 341 224 174 135 218 224 167 168 231 240 240 185 137 155 218 275 303 301 293

356

ÍNDICE Homomorfismo

canônico

Homomorfismo Homomorfismo Homomorfismo Homomorfismo

de anéis .......cccicccccccicc 30 de grupos ........cccccccccciscis 159 de módulos .........cccicciciciiic 320 identidade .......ccccccicicscc 30, 159

Homomorfismo

trivial

Ideal

........ccccccccicicicsc 30, 159

........ccicicccccc

..ccccc

14

Ideal finitamente gerado Ideal maximal

159

.........ccccccciicc cr

44, 105

......cccc

3º

Ideal primo .......ccccciiciee eee

Ideal principal ......ccciiccccici crer r rr

Identidades de Newton ......ccciiciccciiici Imagem de um homomorfismo ........ccccccccccc e 31, Índice de um SUDgrupo .......cccccccccccs cr 148, Inteiros de Gauss ........ccccccciccccic ca 10, 23, 114, Interpolação de Lagrange ........cccccicccccc is crr Isomorfismo de anéis

44

102 161 151 118 79

......cccciciicic

31

.........cccccccccccis cce as

162

.........cciciciicicic

321

Isomorfismo de grupos Isomorfismo de módulos

Lema de Cauchy

So

......cccccciic

ne

258, 200

Lema de Gauss ......ccccc A 60 Lema de Zassenhaus ........cccccicic 297

Linearmente independentes ...........ccccicicccic rca Maior Matriz Matriz Matriz

329

divisor comum ......cccccccccicecciseas aaa 22, 39 companheira de um operador linear ............... 345 de aplicação A-linear ......cccccciscicicccsrirerra 327 de Jordan de um operador linear ............. 343, 347

Matriz formada por blocos .........ccccccciccsc cc 342 Matrizes equivalentes ..........ccccicciccccce ces «318 Módulo .....ccccccc re 318 Módulo cíclico ......ccccccicicc er 319

Módulo finitamente gerado Módulo Módulo

.........ccccccccs 318, 323, 332

livre ....ccccic noetheriano .....ccccccicc

329 323

ÍNDICE

357

Módulo quociente por um submódulo ..................... 321 Módulo simples ..........cccccccccccccc cce rererere rea 338 Multiplicidade de uma raiz ........ccciiiiiciciccccicc rg Norma .....cccccccccc crer 23 Normalizador de um subgrupo ...........cccciciicc cc 257 Núcleo de um homomorfismo ..........cccccciccc e 31, 160 Número de Fermat ..........ccccccciccs see 35 Operador Órbita de Ordem de Ordem de

linear .........cccicccce cer um elemento ......iiiiiiiiiiiii um elemento .........cccccicicicitc cre 146, um grupo ........ccccicccce encerra 146,

321 254 149 149

p-ésimo polinômio ciclotômico .........ccccccciccsccccc 82 P-gIUPO ....cccccc errar rare 260 p-grupo Íinito ........cccccee errar 267, 268 p-subgrupo de Sylow .......ccciiciiiccc seres err rrrarerea 260 Pequeno Teorema de Fermat .............cccccccc... 113, 149 Permutação de linhas ou colunas .............cccc.. 310, 328 Permutação ímpar .........cccciciiss secs err 222 Permutação par .........ccccccisiccci ice eee 22.2 Permutações disjuntas .........ccicccciicccci sereno 219 Peso de um polinômio .........ccicccccciiicicec crer 98 Polinômio .....cccccccc eee errar 15, 17 Polinômio característico de um operador linear ........... 349 Polinômio ciclotômico ........ccciccccicictci sis 82 Polinômio homogêneo .........ccicccccc cce 19, 91, 92 Polinômio minimal de um operador linear ................ 390 Polinômio mônico ........ccciccccccc cce re a 17 Polinômio primitivo num domínio fatorial .................. 60 Polinômio simétrico ................. Reese ara 97, 98 Polinômios simétricos elementares ..........cccccccicccioo 98 Posto de uma matriz .........cccciccccccccisrcr erre 317 Posto de um grupo abeliano finitamente gerado ........... 341 Posto de um módulo finitamente gerado .................. 333 Posto de um módulo livre

.........cccccicllcc

327

358

ÍNDICE

Produto direto de anéis ........ccccciccciis cisco Produto direto de grupos .........ccccicicccc 142, Produto direto de módulos ........ccccicciiicccs cr Produto semidireto de dois grupos .............. 201, 207, Projeção canônica ........ccccccciccccsce cr 30, 159, Propriedades de À4 .....ccccciicciice sera 280, Propriedades de Às ......ccciicciiii 282,

11 197 322 213 321 282 283

r-Ciclo ..ccciccccc eee 219 Raiz de um polinômio ........cccccclili erra 11 Raiz n-ésima da unidade ......ccccicciiciic 143 Refinamento de uma série subnormal ..............c... 293 Representação de um grupo ........ccccccicicciiitesra 249 Representação linear .........ccciciiccciiccrcrrrrrrrea 2090 Representação por conjugação ..........iiciccicciiiiiio 253 Representação por permutações ..........ccciiiccciciie 250 Representação por translação ..........cccciiiiicicciii 259 Representação regular ...........ccccccciic scr 253 Representação transitiva .........ccccciicciiicicicc 254 Resultante de dois polinômios .................. 84, 88, 89, 90 Seção de um grupo quociente ........ccccccicic Série central .......ccccciiin e dérie de composição .......ccccciiiciii sc 293, Série normal .......ccccccicc cessa Série subnormal .........cccccccccccce cer Séries equivalentes .........cccccccc Sistema de representantes de uma partição ............... Sistema multiplicativo de um domínio ........ccccccc.. Soma de dois quadrados .......ccccccciiiciccsc 114, Soma de quatro quadrados ..........cccciciciccici 119, Subgrupo .....cciicccic errar Subgrupo característico ........ccccccciisi cc Subgrupo conjugado ..........ccccciin nisi Subgrupo de torção ........ccciicicccccc ecra Subgrupo de Sylow .........ccciciili cicero Subgrupo dos comutadores ..........cicccicicciirrerr

241 304 299 301 293 295 148 68 117 129 142 169 297 147 260 146

ÍNDICE

399

Subgrupo gerado por dois subgrupos ................. 156, Subgrupo gerado por um subconjunto .............cc..... Subgrupo normal .........ccccccccccs cer errerrr Submódulo ......ccccccc ssa 318, Submódulo de módulo livre .........ccccccicccsii cics Submódulo de torção .........ccccccccccicccs sic rarrra Submódulo finitamente gerado .........ccccccccccccce eo Substituição de linha ou coluna ..........ccccccccc. 311,

157 145 153 320 329 320 318 328

Teorema Teorema Teorema Teorema Teorema Teorema Teorema

chinês dos restos ................ 32, 33, 92, 178, da base de Hilbert ..........ccccccciicccecccs de Bezout ........cccciccciccice crer de Burnside .........iccccicciccc erre de Cayley ......ccccccicscs cce de Cayley-Hamilton ..........cccccccccs sec de Feit- Thompson ...........cccciccclli

337 105 123 302 218 349 302

Teorema Teorema Teorema Teorema Teorema

de de de de de

Teorema de Fermat (pequeno) .............c.coco. 113, 149 Teorema de Fermat (soma de quadrados) ............ 114, 117 Teorema de Fermat (último) ...........ccciciiiiiscieco 121

Gauss ........icccicccicccitic crer 54 Jordan-Holder .......cccciccccics cc 299 Lagrange ..........cccciicciccc scr 149 Newton ..........cccccciccccccce eee 98 Pappus .........ccccccccccc center erra 128

Teorema de Pascal (hexágono) ...........cciiiic iii 125 Teorema Teorema Teorema Teorema Teorema Teorema Tipo de

de P. Hall .........cccc re e de Schreier .......ccccicccicci cce de Sylow .....cccccccc cce 258, 261, 264, de Wilson ........ccccccciciccec een dos isomorfismos ...........ccccccccic. 31, 164, Fundamental da Álgebra ARDOR 41, 75, decomposição de uma permutação ...............

Transposição

......ccccccccc

Variedade algébrica afim

neces

.......ccccicccciiccs ces

303 298 303 235 322 347 225 219

104

NOTAÇÕES

QFRONZTWAOLU< —

qualquer que seja existe

O

complemento do subconjunto D em € B é o símbolo que denotará ... valor absoluto do número real q conjunto dos números naturais conjunto dos números inteiros conjunto dos números racionais conjunto dos números reais conjunto dos números complexos conjunto dos inteiros de Gauss conjunto das classes de equivalência de Z módulo n anel quociente de 4 por um ideal 1 número de elementos do conjunto S anel dos polinômios numa, variável sobre À anel dos polinômios em r variáveis sobre À

Um)

derivada do polinômio f(X) grau do polinômio f(X) resultante dos polinômios f(X) e g(X) maior divisor comum de a,,...,Gn menor múltiplo comum de a,,...,G a divide b a não divide 6 conjunto dos elementos invertíveis do anel 4 ideal gerado por ay,...,Gn H é um subgrupo de G

H é um subgrupo normal de G H é um subgrupo característico de G

subgrupo gerado pelo subconjunto S índice do subgrupo H em G

362

NOTAÇÕES

G/H,&

grupo quociente de G por um subgrupo normal H classe lateral à esquerda de H em G classe lateral à direita de H em G classe lateral de um subgrupo normal H em G ordem do elemento q núcleo do homomorfismo f imagem do homomorfismo f G é isomorfo a H subgrupo de torção de G subgrupo dos comutadores de G centro de G órbita do elemento x estabilizador do elemento x classe de conjugação do elemento 1 normalizador do subgrupo H em G

Im(f)

G=>H T(G) G'

Z(G)

Dz) E(x)

Ct(x)

Na(H) lg

automorfismo

T(G)

Aut(G) Gi xx Ga

G=Ho-...oH, G1

x Go

» (Gi

X Ga,:)

Sn

An Dn OQ GL(n,K) Mes N An(N)

M/N, M

T(M)

,GL(K)

interno associado ao

elemento g grupo dos automorfismos internos de G grupo dos automorfismos de G produto direto dos grupos G4,...,Gn G é produto direto dos subgrupos H,,..sH,

produto semidireto, via o: Gj — Aut(Gs) grupo grupo grupo grupo ordem grupo

das permutações de n letras das permutações pares de n letras dihedral de ordem 2n dos quaternios generalizados de 2” linear geral

M e N são matrizes equivalentes anulador do módulo N módulo quociente de M por um submódulo N submódulo de torção de M

NOTAÇÕES

Mixx M, M=-M, 6:::6M,

tr | Ph, tr; P)

363

produto direto dos módulos M;,,...,M, M é produto direto dos submódulos

Mi, Ma conjunto dos elementos x satisfazendo a propriedade P

Do asaca RSA (a PRA = nc cd

eo dao

AR A AO o

SANRU

Ace Ro) Pesto jr 5 a pr Matemática Pura e Aplicada (IMPA) e desenvolveu sua carreira matemática

Humboldt em duas ocasiões (Heidelberg/1987 e Essen/1990) e é membro titular da Academia Brasileira de Ciências desde 1998. Seus principais

[OS aca cao

cedo

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ESET do tc

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e Geometria Algébrica, especialmente em curvas algébricas sobre corpos La cuepinçelcaçvengariceas nda e ie a

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um dos poucos sofredores remanescentes do América Futebol Clube do Rio

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nos Estados Unidos, obtendo o doutorado na Universidade de Louisiana, em

Baton Rouge. Veio para o Rio de Janeiro em 1970 para passear um ano; tendo descoberto o sol (desconhecido dos residentes de Lille), Ficou até hoje

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