Elemente de teoria spațiilor Banach

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CONSTANTIN NICULESCU

NICOLAE POPA

ELEMENTE DE TEORIA SPATHLOR BAN.ACH

EDITURA ACADEMIEI REPUBLICII SoCIALISTE ROMANIA Bucuresti, 1981

PREFATA

Actut d,e m,agtet"e al teoriei spa!,iilor Banach l-u consti,tuit Jd,rd, t'ndoiald aparilia, monograJi,ei, lui $tefan Banach,, Th6orie des ope.rations lindaires, dar unele cercetd,ri asullra, spaliilor Banaclt particulare ca de enemplu l, Lpl\,lf (/ < p < m) sau C(K) (preco,t"ttt,;i a operatarilor itefini,ti pe acestea) fuseserd, il,ezaoltate cu mult tnainte d,e D. Hitbert piF. Riesz.in prezent ea constitu,ie una d,intre ramu,r'ile cele m,ai actit:e ale analizei fu'nc!,ionale, Jiinil' totod,atd, si cea mai apropia,tit ca spirit idei,lor dezaoltate sau sugerate d,e S,t. Banach. Spa,tiut

nu trc perntite sd, facem aici un' istoric complet al etsoluliei teori,ei spa!,iilor Banach. Cititorul interesat I)a gd,si in, monografia lui M. M. Dag 137) o ercelentd, prezentare a situa,tiei pdnd, tn, anwl 1972, 4n oreme ce perioada 1960-1975 este analizatd, eu compteten!,d de M. I- Kad,e!, An culegeren, de reJerate 1250). Bcoptul prezente'i cd,rli este de a enpune rezu,ltatele fundamentale ale' teoriei spaliilor Banach, An special acelea care se 4,nscri,u pe linia contribuliilor lui $t. Banach, gi A. Grothendieck. Pentru a men!,ine caracterul unitar ,si awtoconlinut al cd,r,tii nu a Jost posibild, aprofund,area ci,torua d,ireclii, noi de cercetare, pe c&re 6nsd, le suplinint prin, referin!,e bibliografice. Pri,ntre acestea, se atld, teoria spaliilor superrefleriue (uezi comentariul ile la pagina 85), teoria spa,tiilor cu structurd locald, necond,i!,ionatd, (tsezi comentar"iwl d,e la pagina 117) si Xtroblema structurii locale a spaliilor Banach (uezi comentariul ile la pagina 15). Elemente ile toptologie generald, teoria md,swrii gi analizd, func!,i,onald si,nt presuptu,se tam,iliare cititorului. Materialul prezentat aici a fost dezbd,tu,t 4n, cad,rul uttwi seminar ;ti,in!,iJic ilesJd,gurat 6n, decurswl anilor 1975-1978 la (Jniuersitatea ilin Buaurepti. Euperien!,a d,obtnd,itd, cu ocazia acestui seminar a retiefat utilitatea sccli,unilor ile euercilii (i,nsolite d.e indicalii), precum ,si a introducerit i,n tent a, u,nor comentarir. menite sd, subliu,ieze coneuiuni i,ntre rezultate, sd ofere, inJorm,a,,tii, sd, su,gereze probleme noi sau sd, aminteascd, altele clasice 6ncd nerezoltsate.

AUTORII

CUPRINS

I

CAPITOLUL I. Spafii de ;iruri

1,1. Spatii Banach fir.it dinlenSionale . 7,2. Ba.ze Schauder 1.3. $iruri bazice

. . .

26 33

1.4. Sumabilitate i, Spatii Banach . 1.5。

Spatil Banach care nu contin 4

1.6. Spatii Cu baztt neconditionatう

38

.

1.7. Spaliile lui R. C. Jarnes Exercilii

. . .

45

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・・

CAPITOLUL II.Teoria clasictt a spalii10r Balllacll

. .

. .

§2.1. Spatii vCCtOriale Ordonate . . ・. . . . . §2.2. Spatii nOrmate ordonate . . . . . . . . . . . . . . . . _ §2.3. Puncte eXtremale ・・ §2.4. Teoreinelc lui ■lak■ ltani de reprezentarc a SPatii10r de tip A■

f,1■ L

. . .

. . .

§2.5。 Slab compacitate in spatiile L.(μ ) 。. . ・ ・ . . . §2.6. Caracし crizarea Spatii10r L,(μ ,lR), . §2.7. Inegalit益 ,ile lui Clarkson,i,Bcurling . . . §2.8. Tcorclne de intcrpolarc . . . . . . . . . §2.9. Proprietユ ti de CXtensie ,i proiectie ale spatii10r C(S)Si f‐ 夕(l■ )・ . . ・・ . ・・ ・・

subspatii10r luiち [0,1],1≪ pく ∞ critcriului llli GrothcndieCk de

§2.10.Structura §2.11.Extcnsia

colnpacitate slab五

. . . .

§2.12.Exemplul lui A, Szankowski

Exerc itii

.

9 15 21

. . . . . . . . . . . .

51 51 56

60 63

67 77 79 86 91

95 104 109 114

CAPI'I'OLUL III. Operatori p-absolut srrrnabili

§3.5。 Tcorcma de dichotolllic a lui Maurey― RoScnthal _ §3.6.Aplicalii ale teol・ emei Maurcy― Roscnthal

. .

. .

.

CAPITOLUL IV Toorenlll lui Dvoretzki $ 4.1. Ilisuri invariante $ 4.2. NISsuri invariante pe grasmaniana

varietatea Stiefel E,

123 133

崚

Exercilli

119

９ ７ ８ ３ ４ ５

§3.l Teoria generali a operatOrilor p_absolut su― mabili . . . . . . . . . ・ ・ ・・ ・ §3.2. Proprietttti de factorizare ale opcratOrilor p― ab― solut sllmabili . . . §3.3. Inegalitatea lui Grothendieck . . 。. . . . absolut sumabili pe spaLii 二1(l■ ) §3.4. Operatori ρ―

165

lr,g 9i

pe

$ 4.3. Demonstrafia teorernei lui Dvoretzki $ 4.4. Aplicafli ale teoremei lul Dvoretzki

174 177 197

Appcndlx g A.1. \hriabile aleatoare independente $ A.2. Func[ia caracteristic5 g A.3. Convergenta seriilor de variabile aleatoare

8

2O4

911

221

Ilibllogratie

227

Inilex de subiecte pi ile autorl

235

Iurlex de notatil

236

Abstraet

237

Contcnts

238

cα ′ ′rθ ′〃′ I

SPATⅡ DE sIRURI

§1.1. Spal五 Banach finit dilnensionale

し 七謂眠b期 柵 毬 咄s棚 監 面ω :ili鍔 配 &絲 昭 酬 un instrllment pentru teOriL infinit dilllleILSiOnal飢 :そ lI「 .

Spatiile Bれ llス ch finit dilnelllsionale sint reflexive, au baz嵐 (care

poate fi aloaStt ILeCOnditionat尻 ),61nt conlplomentate ln orice spλ tiu Ballach

cttre le contine ca Sllbspat五

:説 Ftヅ

etC・

Toate spatiile Banach de dirllensiulle% ti∬

諾1冊 鶴

鉾 :讐 踏

ilSE蹴 胤 尻

Li酬

蹴 ヨ 1器 灘

sante si prOfullde a cれ ror s01utiOnare nOcesittt lln aparat lnatematic coln‐ plicalt,bazat pe demonstrarea unor inegallitttti fOarte fine.

Cde mtt simple wa,Banach』

1く rく

∞ ,fOrn■ ate

din toate潟

―

Si inZesttate l'espectiv cu norma:

i∬

か

角 亀

    ， い﹁′

‘ Ｉ Ｅ Ｃ ｌ 日 、

Σ っΨ

ν= ‖α‖

器 TEη 職1:.1電 籠ユ t山 辮 1

"ド

1(? (oor P:*.

Pent】 lll a difereniia caZlll real de cel complex vom nota respectiv Z,(鈴 si 7,(鯰 ,C).Alte exclnple l■ divぱ se n■ odlll・ 1:

,IR)

se oblin combinind spa,iile finit dimensionale

″(刀 ,F),Spatilll tutぱ Or aplicatii10■ linitte r de la 2 2n F inzestrat cu norma‖ r‖ =sup{￨lr"￨￨; ￨￨∬ ￨￨≪ 1}; ヨ Θ F,prOdusul tensol'iallnzestrat cu mrl■

%￨^=inf{Σ ‖

IIQ I・ ￨二

la proiectiv尻

,

jΘ ■ ￨;%=Σ θ },

Eも F,produsul tensorial inze§ trat

cu norlna injectiv嵐

,

%lv=Sllp{〈 鶴,ノ Θγ*〉 ;ダ ∈コ*,グ *∈ F*,￨が ￨￨=￨グ *￨1事 ‖

1};

， Σ Ｈ

O

En

)

lp

,

1

(

p E m, spaliul tuturor ra-uplurilor n

:

{&t, . . . , a,}

clt

En inzestrat

frt €

Ou norma In

:

l,

{ll

ll

r, ll, . . . , ll r"ll} ll,.

Un mod d.e a exprima depS,rtarea dintre dou5, spalii Banach Z qi -F de aceearyi dimensiune iI constituie evaluarea arya-zisei distanle BanacltMuzur : d(D, F)

:

inf

ll

"

Il'

ll"'ll'

tuturor izomorfismelor T dela E pe I. Avem d(D, I) : 1 daed,r ryi numai dac[,, spaliile E qi -E sint izometrice. S5, not5,m ck cl(E,lr(n)) ( n pentru orice spaliu Banach Z de dimensiune zl. Intr-ader.Lr, se considerS, transforma.", 5 eiofir-+ {or}ff:,,. unde infimumul se crrnsiderS, dup5, mullimea

&:1

e lz(n), und.e baza {ra\ftt a l:ui D este intlicat5, in urmf,toaraa tr.1.1. Propozitie. (Auertrach). lie E un spaliw Banach, de dimensiu,?te n. Eui,std, m ateatori, nu.. ., no de normd,I ilin E si n, aector,i fi|, . . ., rf de nmmd I ilin E* astfel cd, n!(cj) : 8,, 1 ( ir j 4 n. Deci 2

∝

く

‘ ａＨ Ｔ

α

銑

Σロ ，

く

α

Ｘ

ｍ

「:111み 糧孟』棚 掏 協紹鵠鰍 折 諸h柵鴨f 削ギI醐i肌 撫∬:認島檻帯詣醐 u正 tar,1撃i%ξ ttlttLT瞥

lι

.,亀 D(″ ‐ ″す ・,″づ -1,″ ,″ ,.… ,″ ,)。 レ (″ )=D(″ 1,‐ ・ `+1,… )′

Amintim cu titlu informalt市 reL↓ iile(Vezi[78]):

α(ち (総 ),ι g(η ))=箆 : :￨,1く F,α く 2 sau 2く P,α ≪ ∞ α(ら (%),7g(?2))∼ lna xれ

'2,,し

Dm pr呼 面 ぃaL■ ■聰z儡

ミ l硼 凱

忘 P″

=Σ グ(″ )″"F010Sind

螂

2り ,1≪ rく 2≪ αく ∞

.

deTlttλ 胴

,

∫l胤 盤 懇 胤 咄

品棚 肥

o tehnich mult mai fin尻

ettFT器

F器

艦 ,Kade■ SnObar[111]

auれ rtttat

ctt orice sl■ bspatill %dilneIIsioILnl este imagilleal unei prOiec,ii

de IIorm沈

く /λ

10

.

巽鵜聯1朧灘鞘 駅帥 蝋 IW撚lT警儲l酬 ι メ勁 mult/[pノ 2]de spttiile Cuclidielle lrom ttOta場 )=sign sin 2・ πι,(%=0,1,2,… .

avem:

lγ

θ%%ι Rα αθ_ α ,,ι ′ , l, ...,Cり ∈N

.), StSι

(ι

r pe [0,1]. Se remarctt usor ctt pellltru

1,Oα θ λθ

πl, .…

tp舶 ″ 0… ・ 0乱 =lt暑 1'蹴l謂 岩 身

1.1.2.Inegalitatea lui IIincin.Pθ sca7ctγ jZθ γ αl, ...,α ,, %∈

N,

'

% θγ ι■ く r O astJel i,ncit pentru orice Si,r {a,), d,e scalar,i, ori,ce dettd, nuntere naturale m { h, Si α

″で力尚

≪

Ｘ

α

¨Ｔ ａ白

.Sp{ι γ b)シ づ %ι ιし づ α ι α ι %θ γ ια 2)z θ

θθ′ θ %sを,oコ .2.3.Pentru a demonstra Atunci″ =1lm Σ α 00nsiderttm un"∈ Sp{θ π tθ を π }π =E・ jつ

く

{ι ,}″

Sι

.

Necesitatca rezultれ din corolarul■ “

suficienta S焼

pentru ttnull■ iti SCalari α %i.Oonforl■ l conditiei a)′ sirlll{α れ ,)“ eSte ull sir Cau― 。 Ca si in teorema l.2.2 se chy pelltru fiecareり . Stt plllleln α j==lilII α れ 2-c.332

17

arat焼

鋤lui

″=Σ α θ ulliCitatea π ′ π

o島

>

a)。

reprezentttrii fiind iar焼 § i o collsecinぃ

"-1

Orice spれ tiu Banach cu baztt Schalldereste separabil.Spal五 le Ballach separabilo uzuale s‐ au dovedit toate a avea baztt Schttllder,dar constructia ' ' efectivtt a ul■ ei baze este de rol妻 11尻 lln fapt dificil。

1.2.5 Exemple.a)Spalliile: θO(一 θO(口N′ scalari夕

pentル

R)respCCtiV%(口 N′ C))al s:ruri10r convergente la O de

lllzestrat cll norma sup;

む u五 br α de SCaL五 =翻 “ § ∫ 悦 Q狙 rO oxist沈 un Operator r∈ プ(ヨ ,E)′ de rang fillit,astfel c嵐 ￨lr″ 一 ″‖

:ぽ ]思 霧 蹴 穏り 域札 電 雅ltttl騒 観1絲 ∬埓 ° rd r J.→ コ ddh比 1肌 Ъ 胤彙継l宙Ⅷ撃 磯)」 寸考冴

ettettul蹄 1鷲 f罵

eオ

,%釧

§1.3. siruri bazice O generallizare llaturaltt a notiun五 de b&ztt Scha■ der este aceea de sir

bazlc.

■.3.1.Definilie.Un sir{″ π }π de elementeれ le ul■ lli spatiu Balllachヨ se nu― meSte rづ γbα Zjθ dactt el colllStituie o baztt Schauder pentrll spatil11 lilliar si nllchis(■ Otat cu Sp{θ ″ }。 )pe Care ll genereaz尻 .

Se arattt silnplu ctt orice spatiu Ballach illfillit dilllensionれ l oonゥ ilte 2).0 0ollSecinttt in■ ediattt a teoremei■ .2.4 este un sir bazic(cxerCitil11■ ・ urlllltttoarea:

■.3.2P10pozi↓ ie・ y%ゞ づ γ{″ η α θθ ι し 鶴θ θ%θ %2ι ι θα %%%づ Ψα んヨ ″%Bα %α θ jStα 悦 θθりo,j″ み α zづ θ α α θ %α づ α α θ ″ %K>l αsヴθ7'鈴 θ ら,j%π らθ 7θ

917ι

}ル

sι

:

￨』 jγ %ι γ %θ ″ り θ θゞ ″θ

Cё lllnai

唱￨≪ KI自 %￨

3α ″ う θSθ α γ づ πα ぃ θ 9θ 働 く %・

{α )π

mic nulnttr X pentru care are loc afirmatia de mai sus poart尻

jγ bα zjθ a αβ numele de θ ο %sι α %ι α 毎7%づ

Stt notttm ctt dac航

dttc尻 {″

`ι

{″ %}″

芳 ⊂(Sp{″ π }%)* }″

{″

η }ル・

este llIL§ ir bazic de collstallttt bazic尻

este sirlll biOrtOgollal ttsociれ

t′

atllllci

si

≪ ″ 芳‖≪ ‖ I■

1.Folosind teorema Ⅱahn― Banach de preltlngire este uneori lし

util stt privilln sirul biOrtOgonal asociat ca fttcind parte diII E*.

■.3.3.Definilie.Fie

E si P dOlltt spaぃ i BanaCh,i fie{″ π }π si{ν η },siruri irllri sint θ bazice ln E si respectiv F.ヽ rolll spllllle ctt cele dou尻 § θ λ り υ α ι θ %ι θ ・ dactt existtt un izOIIlorfism r∈ ″ (sp{″ π ,Sp(γ }η π

=ν ″′%≫

皿

λ― θ θ θλjυ αι %ι ιdalctt r se pOate a10ge

Voln splllle ctt celo dolltt sirtlri sint

a就

=

`})astfel Ctt r″

■ ・

irc淵 与 」 鳳上 島恩de

mtt sIゝ

si nunlれ i dac夙 ′seriれ corespllllztttoare Fづ %ι

θ{"π

}π

%90β 夕 bα zづ θ

飢 ツ:漱ざ ぃTrrge m E da。 ′ α ι θ%,ι %`昭9α ″πBα %α θ ん

θγι θθθ%α 7α Sθ θ αι ♭り づ o

ι θγ%ゞ j″ αθθ 7θ ttθ %ι θ αづ %E

jυ α ‐ θθttη ゞ ♭ α zり θθ θ λ

・ π一 ν π‖=α ■

.

￨=cπ +1

Deoarece‖ 均″ α 2 si ′din(づ )si(づ σ 鶴‖>α ′ )reZulttt c尻 ‖ ..￨￨ン (4Kα Σ =1

″

■)￨IZ%―

‖≪ %厖 十 ■

0onform teoremei l.3.4 rezultt deci c尻 tch市 alent cu{z%}π ・>

2. ・′

{物 ″ }π

este un sir bazic

α

％

〓

編 Σ謝

Spaliile Banach c, qi lo, 1 ( p ( oo, au tiecare o bazia Schauder remarcabilh {e,}o, unde 4, desemneazl qirul cu 1 pe a n-a, componentd, ,1i ln rest zero. Yom numi aceastd, bazd, baza naturaJri a spaliului in caluzd,1.3.8. Propozilie. b'ie D unul il,irutre spa!,i,ile co so,'tt lr, 1 < p < @. Atunci ; a) Ori,ce gir bazi,c rwrmal,izat

d,e blocuri, ale bazci naturale {e,}, esl,o ecbiaalent eu {e^}o pi Sp metr,ic cu D. b) Sp{a"}" este i,magi,nea unei proi,eali,d d,e normd, L pe D.

{ar}"

este iao-

{ Vom considera aici numai cazul cind E : lr. Fie {o"}" de scalari clintre care cel mult trn num[r finit sint nenuli. Atunci ‖Σ%%多 ‖=(Σ α π l%"￨12)1″ =(Σ α￨')1″ “ lρ

un

qir

,

de unde rezulttt a).

EVident,%ル ∈E“ si exiSt尻 Fic Eル =Sp{%π +1,… ・ ′%″ +1}′ %ン ∈ O proiectiC P de norm嵐 ■ ,3 オ ヨ″astfel c島 席(%π )=■ si ll"″ ￨￨=1・ “ “ 111iヨ pe Sp{併 π ,Va fi dattt do 1・

“

ヽ １ １ ノ

θ

α

″

／ １ １ 、

，

一 ∞Σ ．

〓

″

Ｐ

unde″

猛 Σ脊

}π

.

θ =Σ ∝ “ レ `。

"=1

1.3.9. Observalie.Este illteresant de obseFvat ctt fiecare din propriettttile:

盤

:lll〕 li∬

§

缶l:'温 t灘 よ 託 T.猟 Tttle」 鶴氣 「 TttL用 電l暑』 『θ

[6]si TZafriri[241].

)・

1.3.10。

o Sα

づ

形

五 脇

島鰍

F扇

%

ι

′ ρ ユ

鮮鮒 翻 場富刑 鍮 捗] 認:蹴 亭 編れ ￨ち

de forma″

=Σ α・・Am■ Otat

cu{θ π }.baZa naturaltt a lui E.

`θ

un″ in cOntinuaro stt alegeI■ ■

α を F′ ‖ サ 亀‖=1,precum§ iun 1=Σ `∈ ,=1

lntreg rl astfel ca ２

く

α

∞Σ 一

24

Fo10sind Observatiれ de mai sus,putem alege un″

‖″2‖ =■ ,precurn

. si ul■ P2>rl aStfel c尻 α

∞Σ

{

鮒

〓

1■

´

ユ ゐら∈ Σ α

イ=ク ■ +1

2-3, etc.

.=Σ ν

acest mOd obtinem un sir bazic de blocuri

astfel c尻

2=

α r)θ 。 (r。 =o)

1.Oonform propozitiei l13.8,Sp{ν ″,一 ν ‖ z‖ E inchzhnea canonic島 Fie F=Sp{″ 。 Oonform pro― く 7}π si j:F二 rθ

Sι

.

pOZitiei l.4.2 putem asocia lui{″ ″ un Operator r∈ ≦ ′(θ 。 フF)definit prin }″

r({α π }2)=Σ α,″ Vom arttta ctt operatorul r*este cOmpact si atunCi *oユ ]* va fi de asemellea compact,ceea ce lll virtlltea propoziル iei l.2.6 り ,・

vれ lllcheial tlemollstratial teOrelllei.

Fie(γ ″}″ un sir de e10mente din bula unitate BI(F*)a llli F*.Dooarece F este separabil′ Bl(F*)CSte σ(F*′ 乃 ‐ 00mpact沈 §i metrizabitt si deci, *∈ BI(F*) tllec'Ild evelltual la un subsir,puteln presupulle ctt existtt un ν alstfel ch〈 f五 nd

Fo Stt definilln χ ИG ν′ν席〉→レ〈 ν*〉 pentrll orioo ν∈」 a lui_4.JLtunci ´ yi′

7∞ Cal

fllnctia caracteristic島

=2 〈

〈r*γ ″′χ И〉

"=夕

γ″〉=

一   〓 一

〈″И ′γ″〉→ 〈η,ν *〉 〈r*ν ち χИ〉

=

.

χИ ,ztt c R,este dons in ″}.OSte slab convergent *。 i titllnd seama si de propoziゥ ia l。 4.6, obtinem c沈 la rネ ν ‖r*ν ″一 _r・ ν*￨→ o deCi Ctt r*este compact.レ 「oⅡ l lncheia acest paragraf cu unele prOblelne privind prezellta ヽ lui θ o printre subspat五 1011■ ui dual. jθ ι γ θrθ Zづ ι づ υ θ θαθ%tι %θ γ 1.4.8.Lem■ .(ROSenthal[207]).Fづ θ{α },,た N οπα αS横 7 θ a: Dooarece sr21atiul linicnur gcnerat de functiile

3∞

Cntul de mai sus asigilltt ctt sirul{r*ν ′rational■■

t,′

潔ノ 猟%″ O

θ

"tsta

ηレ θ jげ j%jι αNe C N οs%b%鶴 ″づ

:

%″ :翼 鳳ε

γ tt δ }, 一 五π={ι at■lllLci∩ %‐4:≠ じ =1

CI;ん

(ι

)