Elemente de teoria ecuațiilor algebrice și transcendente (cu aplicații)

Citation preview

O. SACTER

E LEMENTE D.E TEORIA ECUATIILOR ALGEBRICE !jl TRANSCENDENTE (eu aplica/ii)

'IRI IOTECA SOCIETATII DE STIINTE MATEMATICE SI FIZICE DIN R.P.R.

EDITURA TEHNICA BUCURESTI - 1962

INTRODUCERE ln practicà, in diferite ramuri ale �tiinfei cît �i în matematici teoretice se ivesc multe probleme a càror rezolvare depinde de ecuapi algebrice sau de ecuafii transcendente. In �coala medie se studiazâ diferite tipuri de ecuafii de grad superior care se redue la rezolvarea celor de gradul intii !JÏ al doilea. Aceastà lucrare completeazà cuno�tinfele absolvenplor de §COal! medie fiind totodatà un · sprijin studenplor din primul an de studii, prin prezentarea anumitor caracteristici ale ecuapilor algebrice Ji • transcendente, aràtîndu-se �i unele aplicapi ale acestora. Este suficient sâ dàm in aceastâ privintA unele exemple de unde sa reiasâ importanta cuno�terü teoriei despre ecuatiile mai sus amintite. Se pune uneori urmâtoarea problemà care intervine la ope� ratiile de tra�re în unele sectoare industriale : Pe o tablà de zinc se trag doua cercuri concentrice de raze a p b (a>b). Ce unghi trebuie sa se formeze între razele OA � OA' (fig. 1) pentru ca din sectorul de co­ roanà circularà ABB'A' sa se poate forma un vas tronconic care sà aibà un volum dat V? Dacà notâm unghiul necDDOSCUt A' OA eu œ radiani, atunci înàlpmea trunchiului c:are se fonnea7.à este egalà eu f

112 l=(a-b) V 1 - 4,tz •

Pljr. 1.

Scriind c! volwnol tnmchiralui este V, obtïneœ ecuapa care De di pe Œ b) �(a3

V• - � [ 4,tJ

a2., + abœ• + fllr,,21= V• 4,tJ ¼2 4sl 2

3

B. CONSECINfE ALE TEOREMEI FUNDAMENT ALE

15. Ecaatïa /(z) =Aozm+A1 zm-1 + . .--. +Am= 0,

(1):

admite m riidiicirù reale sau imaginare. Dupâ cwn rezultà din teorema fundamentali, ecuapa ( 1) ad- • mite cel pntïn o râdicitti z 1 pentru care avem / (zi ) =0, urmeazi · deci cl polinomul /(z) adntite ca divizor pe z-z1 , astfel cà avem · /(z) = (z-zi )/1 (z),

iar ecaapa (1) devine (z-z1 }/1 (z) =0, ceea ce mai putem scrie z-z1 =-0 §i /1 (z) =0. La rindul ei /1 (z) =0, admite conform aceleea§i teoreme (fundamentale), œl Jtltïn o râdàcini z2 pentru care avem /1 (zJ =0 li prin unnare /1(z) = (z-z2)f2 (z) etc. Astfel cl avem mmitoarele egalitàti /(z) = (z-z 1)/1 (z),

/1

(z ) = (.z-z2) /2 (z),

/z(Z) = (Z-Z3)/3 (Z),

. .

. .

. .

.

.

(2)

.

f_1 (z) = (Z-Zm)/m (z),

Ao

llllde /m se redaœ la o constantâ egali eu pentru cA la fiecare �plqire CD Z-Z1, Z-Z2 ,·•· gradele descresc CU O unitate, iar pnmul termen al cttului and lmpiirfiri are drept coeficienl pe acela · al primului termen al deimpâqitului. lnnmltïnd, membru CD membru, egalitâtïle (2) §i simplifidnd ca prodasu[ /1 •/2 •/3 • .. • fm-i , obtïnem

(3) /(z) =Ao(z -z 1)(z-zz) ••• (z-zm) de mie daluceu1 ci rldlcinile ecaapei /(zl =0 stnt vaJorile care aaaleazl 1iec:are factor al· mcmbnlui drept diD egalitatea (3), adici IBlliiei& z, , z2, •.. , z., ceea ce demoastreazi ci easatla / (z) =0 ._.. 111 rldlcini reale uu complexe. . th lfi. Oin œle c:oustalate ta pet. 15 rrmltl dl an i,o,in om f(z) KTadal m • ducarnpa. tntr-an pradas de m fadori ,I� 30

Y-

- 2

R. Ecua� datll avtnd coefidentf rafionali, admffe rldidnDe -Y2-L

+ I ,1

Y2-t,.

Pol osind relafille dintre r.ldicinf �I coeffcientf

X1 +x 2+xa+X4+.r:1+Xe=1 � X1%,XaXcXs,re=-54

COnsidertlm XJ , X2 , %3 , %4 ridllcinile CUDOSCute de mai SUS, obfinenr �r &= l fi .rs,r6 = -6. Astfel cA ridllcinfle x6 �i x6 stnt -2 ,1 3. ., 21. DacA z1 , � , z3 , z, sînt r.ldAcinDe ecuatfei

•

z4+ a1z3+�+aaZ+a.=O,

11 se calculeze

S=

R. Avem S = 2

:E

(z1 +z2) (z3+z4).

:E z z =2a • 1 2

2

2'l. SI si afle condlfille ca media armonfdl a douA dia ridllcinile unef e gradul al patrulea s4 ffe egaUI eu media armonldl a celorlalte douA ::t R. Dac:l ecuafia este x'+ax3+bx2+c.r+d=0. trebnle si avem _!_+_!_=__!_+ _!_ X4 X1 X7 X3

Se �e condlffa 4 bdc=c3+Bad2. 23. SI se afle condifia ca ecuafia f(x)

=

=

_!· m

x'+ar3+bx2+c.r+d=O

(1)

ail aiba produsul a doul ridllcfnl ega1 eu produsul œlorlalte douA ridJdni. SI se foloseasdl rezultatul obfinut pentru rezolvarea ecuaflel geaerale de gradul al patrulea. R. Diu sfstemul de ecuafil x1 +x2 +.ra+r, = - a; (X1 + xi) (x, + .r4}+ +r1x2+ra.r4 =b; .r 1x2 (x3+x4)+ra.r4 (z1 +rv =-C;'j X1 XtXaXc=d � com:liffa r1.r,=zar, rezulti c'l=a"d.

Presupuntnd dl ecuafla (1) este gener.iUI � determlna un num.ir /t astfel ca ecuapa /(y+h)=O si tndeplineaadl condifia YiY2=Y.Y, • . A vem /(y+h)-f(h)+Yf(h)+Y'

ih)

r

+ya r5(h) +r=O.

Condlfia ca al avem 11 Ya=YaY, eate deci 2 36 (/' (/t)J =L/(h}J[,- (hff

(2),

eare este o ecaafle de graciai al treilea tn Il. Se cautl o rtdldn1 h a ecuaflel (2). Pentru aœatl ffloare a lal Il CIDie&piüidè /f,+11)=0 pe c:are o raolvlm cwlbd ci 1t12 =1a1,. � ce afllm rldldllfle 11 , h , 1a , 1, rldldnfle date TIii' fi

ecaatfa

h+1,, h+12, li+Ya ,1 lr+74 •

ecuaflei