Einführung in die mathematische Behandlung der Naturwissenschaften: Kurzgefaßtes Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung mit besonderer Berücksichtigung der Chemie [11. Aufl. Reprint 2019] 9783486762402, 9783486762389

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Einführung in die Mathematische Behandlung der Naturwissenschaften Kurzgefaßtes Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung mit besonderer Berücksichtigung der Chemie von

W. Nernst

A. Schoenflies f

o. Professor an der Universität Berlin

o. ö. Professor der Mathematik an der Universität Frankfurt a.M.

Elfte, von W. Nernst und Dr.W. Orthmann neubearbeitete Auflage Mit 108 Figuren

MÜNCHEN UND BERLIN 1931

VERLAG VON R.OLDENBOURG

Alle Rechte, einschließlich des Übersetzungsrechtes, vorbehalten. Druck von R. Oldenbourg, München.

HERRN PROFESSOR DR. WILHELM OSTWALD IN LEIPZIG FREUNDLICHST ZUGEEIGNET VON DEN VERFASSERN

Vorwort zur ersten Auflage. Zweck des vorliegenden Buches ist es, Jüngern der Naturwissenschaften das Studium der höheren Mathematik zu erleichtern; wir haben versucht, in knapper Form die für naturwissenschaftliche Rechnungen wichtigsten Kapitel der Infinitesimalrechnung zusammenzustellen und durch fortwährende Anwendung der mathematischen Lehrsätze auf naturwissenschaftliche Probleme dem Verständnis nach Möglichkeit entgegenzukommen. Allgemein kann man sagen, daß eine naturwissenschaftliche Disziplin die Methoden der höheren Mathematik zur Erweiterung und Vertiefung der durch direkte Beobachtungen gewonnenen Ergebnisse um so häufiger zu Rate zieht, je weitere Fortschritte die theoretische Bearbeitung der unmittelbaren Versuchsresultate macht. Im besonderen beginnt gerade die neuere Entwicklung der theoretischen Chemie sich die Methoden der höheren Mathematik nutzbar zu machen. So bemerkt z. B. Herr H. J a h n in der Vorrede zu dem soeben erschienenen Grundriß der Elektrochemie: »Auch die Chemiker müssen sich allmählich an den Gedanken gewöhnen, daß ihnen die theoretische Chemie ohne die Beherrschung der Elemente der höheren Analysis ein Buch mit sieben Siegeln bleiben wird. Ein Differential- oder Integralzeichen muß aufhören, für den Chemiker eine unverständliche Hieroglyphe zu sein, . . . . wenn er sich nicht der Gefahr aussetzen will, für die Entwicklung der theoretischen Chemie jedes Verständnis zu verlieren. Denn es ist ein fruchtloses Bemühen, in seitenlangen Auseinandersetzungen halb klar machen zu wollen, was eine Gleichung dem Eingeweihten in einer Zeile sagt.« Die Auswahl des Stoffes geschah hauptsächlich nach dem Gesichtspunkte, durch das Gebotene das Studium der physikalischen Chemie wie auch der Elemente der theoretischen Physik zu erschließen. Allein auch der Physiologe, Botaniker, Mineraloge etc. wird sich für die mathematischen Bedürfnisse seines Faches daraus hinreichend orientieren können G ö t t i n g e n , im August 1895. Die Verfasser.

VI

Vorwort.

Vorwort zur elften Auflage. Seit der 1. Auflage des vorliegenden Werkes im Jahre 1895 haben sich die Verhältnisse natürlich weitgehend geändert, indem die grundlegende Bedeutung der Differential- und Integralrechnung für die Chemie und andere der Mathematik früher fernstehende Naturwissenschaften immer mehr anerkannt und auch praktisch gewürdigt wird. Auch die neue Auflage hat unverändert dieselben Ziele, nämlich dem der Mathematik ferner Stehenden die Anwendung ihres Rüstzeugs möglichst zu erleichtern. Es ist daher selbstverständlich, aber sei zur Vermeidung gelegentlicher Mißverständnisse nochmals ausdrücklich betont, daß das Buch nicht für Mathematiker von Fach geschrieben wurde, kaum auch dem Physiker oder Astronomen viel helfen kann, weil diese von jeher sich eindringlich mit der höheren Mathematik haben beschäftigen müssen. Für den Chemiker und andere Naturforscher aber sind häufig die üblichen mathematischen Vorlesungen, etwa analytische Geometrie, Differentialrechnung, Integralrechnung, Differentialgleichungen usw. (je etwa 4stündig) zu zeitraubend, so daß eine Zusammenfassung dieser Vorlesungen in knappster Form, aber durch zahlreiche praktische Anwendungen erläutert, von Nutzen sein und sogar zu einem eingehenderen Studium der Mathematik gelegentlich anregen kann. Die Auswahl der praktischen Beispiele ist natürlich nicht frei von Willkür, und insbesondere darf man nicht erwarten, daß unser Lehrbuch etwa ein Kompendium der theoretischen Physik irgendwie ersetzen kann; wenn die gewählten Beispiele einen Einblick in die ungeheure Vertiefung, die einzelne Probleme der Naturwissenschaften durch Einführung mathematischer Methoden gewinnen, zu geben imstande sind, so haben sie ihren Zweck vollkommen erfüllt. Leider ist Prof. Schönflies am 27. Mai 1928 verstorben, seine Mitarbeit ist unersetzlich. Die beiden Unterzeichneten haben die vorliegende Neubearbeitung, die der Natur der Sache nach mit tiefgreifenden Änderungen nicht verbunden sein konnte, unternommen, und sich dabei auf gelegentliche Kürzungen einerseits, und auf einzelne Zusätze, insbesondere im Kapitel über Differentialgleichungen, anderseits beschränkt, wobei das Bestreben dahin ging, den Umfang des Werkes, was zeitgemäß erschien, etwas zu verkleinern. Wer durch die Lektüre dieser Schrift sich zur Vertiefung oder Erweiterung seiner mathematischen Kenntnisse angeregt fühlt,

Vorwort.

den möchten wir weisen :

VII

auf die folgenden ausführlicheren Werke hin-

L. K i e p e r t , Grundriß der Differentialrechnung und Integralrechnung, 4 Bde, 13.—15. Aufl., 1922—1923, (Hellwing, Hannover). H. v. M a n g o l d t , Einführung in die höhere Mathematik, 3 Bde, 4 . - 5 . Aufl., 1923—1930 (Hirzel, Leipzig). S e r r e t - S c h e f f e r s , Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung, 3 Bde, 6.—8. Aufl., 1921—1924 (Teubner, Leipzig). Nernst.

Orthmann.

Inhaltsverzeichnis. Erstes

Kapitel.

Die Elemente der analytischen Geometrie. § 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. § 7. § 8. § 9. §10. §11. §12. §13. §14. §15. §16. §17. §18. §19. §20. §21. §22. §23. § 24. § 25.

Die graphische Darstellung Der Koordinatenbegriff Das Grundprinzip der analytischen Geometrie Die Gleichung des Kreises Die Gleichung der Parabel Die Gleichung der geraden Linie Eigenart der durch gerade Linien dargestellten Gesetze Aufgaben über die gerade Linie Zwei gerade Linien Die Gleichung der Ellipse Aufgaben über die Ellipse. Die Direktrix Die Gleichung der Hyperbel Die Direktrix der Hyperbel Die Transformation der Koordinaten Die gleichseitige Hyperbel und ihre Asymptotengleichung Die Bewegung eines Punktes Die Gleichung von v a n d e r W a a l s Die Gleichung der Dissoziationsisotherme Die Koexistenz verschiedener Aggregatzustände Graphische Darstellung eines Kreisprozesses Die Polarkoordinaten Rechtwinklige räumliche Koordinaten Flächen und Kurven in räumlichen Koordinaten Vektoren und ihre Zusammensetzung Analytische Darstellung der Vektorenzusammensetzung Zweites

geite

1 4 7 9 10 12 16 18 19 21 23 25 27 28 31 32 33 36 37 38 39 42 44 48 50

Kapitel.

Die Grundbegriffe der Differentialrechnung. § 1. Die Prinzipien der höheren Mathematik und die naturwissenschaftliche Vorstellungsart § 2. Die Tangente der Parabel § 3. Der freie Fall § 4. Die Wärmeausdehnung eines Stabes § 5. Grenzwert und Differentialquotient

55 59 61 64 65

X

I nhaltsverzeichnis. Seite

§ 6. Die physikalische Bedeutung des Differentialquotienten § 7. Der Funktionsbegriff § 8. Allgemeine Vorschrift für die Bildung der Differentialquotienten . .

67 68 71

Drittes Kapitel. Differentiation der einfachen Funktionen. § 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. § 7. § 8. § 9. § 10. §11. §12. §13. § 14.

Der binomische Lehrsatz Der Differentialquotient von xn Die trigonometrischen Funktionen Der Differentialquotient von sin x und cos x Der Differentialquotient von Summe und Differenz Der Differentialquotient des Produkts Der Differentialquotient des Quotienten Der Logarithmus und sein Differentialquotient Das Differential Die Exponentialfunktion Die Kreisfunktionen Das Differential einer Potenz für beliebige Exponenten Differentiation der Funktionen von Funktionen Stetigkeit und Unstetigkeit

74 76 76 79 83 86 87 89 95 99 101 103 105 109

Viertes Kapitel. Die Integralrechnung. § § § §

1. 2. 3. 4.

§ § § § §

5. 6. 7. 8. 9.

Die Aufgabe der Integralrechnung Der Integralbegriff Die Grundformeln der Integralrechnung Die geometrische und physikalische Bedeutung der konstanten Integration von Summe und Differenz Die Methode der teilweisen Integration Integration durch Einführung neuer Variablen Zerlegung in Partialbrüche Integration irrationaler Differentiale

112 113 118 Integrations120 124 125 127 133 139

Fünftes Kapitel. Anwendungen der Integralrechnung. § § § § § §

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Anziehung eines Stabes Hypsometrische Formel Erkaltungsgesetz von N e w t o n Maximadtemperatur einer Flamme Arbeitsleistung bei isothermer Ausdehnung eines idealen Gases . . Arbeitsleistung bei isothermer Ausdehnung eines stark komprimierten Gases

143 145 146 149 150 152

Inhaltsverzeichnis.

XI Seite

§ 7. Arbeitsleistung bei isothermer Ausdehnung eines sich dissoziierenden Gases § 8. Berechnung des Reaktionsverlaufs vollständig verlaufender Reaktionen § 9. Verlauf unvollständiger Reaktionen §10. Auflösungsgeschwindigkeit fester Körper

153 155 157 162

Sechstes Kapitel. Bestimmte Integrale. § § § § § § § §

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Die Fläche der Parabel Die Fläche einer Kurve Das bestimmte Integral Die Fläche der Ellipse und Hyperbel Der Inhalt der Kugel und des Rotationsparaboloids Rechenregeln und Sätze für bestimmte Integrale Mehrfache Integrale Integrale in Polarkoordinaten

163 166 169 173 175 177 182 187

Siebentes Kapitel. Die höheren Dilferentialquotienten und die Funktionen mehrerer Variablen. § § § § § § §

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Definition der höheren Differentialquotienten oder Ableitungen. . . 1 9 3 Die höheren Ableitungen der einfachsten Funktionen 194 Physikalische Bedeutung der zweiten Ableitung 196 Geometrische Bedeutung des zweiten Differentialquotienten . . . . 199 Die höheren Differentiale 200 Die partiellen Differentialquotienten und das totale Differential . . 200 Differentiation von Funktionen, die aus mehreren Funktionen einer Variablen zusammengesetzt sind 207 § 8. Der planare und kubische Ausdehnungskoeffizient 209 § 9. Die höheren partiellen Differentialquotienten 211 § 10. Differentiation unentwickelter Funktionen 213 §11. Die Transformation der unabhängigen Variablen 215 §12. Die Brennpunktseigenschaften der Parabel 218 § 13. Die Brennpunktseigenschaften der Ellipse 220 §14.-Die Asymptoten der Hyperbel 223 § 15. Die Zustandsgieichung 224 Achtes Kapitel. Unendliche Reihen und Taylorscher Satz. § § § § §

1. 2. 3. 4. 5.

Beispiele unendlicher Reihen Der Konvergenzbegriff Die geometrische Reihe Allgemeine Sätze über Konvergenz der Reihen Die Reihe von M a c L a u r i n

227 228 229 232 235

XII

Inhaltsverzeichnis. Seite

§ 6. Die Potenzreihen für e®, sin x und cos x § 7. Die Reihe von T a y l o r § 7a. Das Restglied der Taylorschen und MacLaurinschen Reihe . . . . § 8. Die logarithmische Reihe § 9. Die binomische Reihe §10. Die Potenzreihe für tg x §11. Integration durch Reihen § 12. Die gliedweise Differentiation der Potenzreihen §13. Ermittelung unbestimmter Werte §14. Rechnen mit kleinen Größen Neuntes

238 240 242 244 246 248 249 253 255 263

Kapitel.

Theorie der Maxima und Minima. § § § § § § § §

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Bedingungen für ein Maximum oder Minimum Die Wendepunkte der Kurven Das Reflexionsgesetz Das Brechungsgesetz Das Minimum der Wärnieintcnsitat Vermischte Beispiele Maxima und Minima von Funktionen mehrerer Variablen Fehlerrechnung und Fehlergesetz von G a u ß Zehntes

267 269 272 273 275 276 280 282

Kapitel.

Auflösung numerischer Gleichungen. § § § § § §

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Graphische Deutung der Gleichungen Die Newtonsche Annäherungsmethode Trennung der Wurzeln Zahl der reellen Wurzeln einer Gleichung Der Fundamentalsatz der Algebra Transzendente Gleichungen

295 296 299 301 303 305

Elftes Kapitel. Differentiation und Integration empirisch festgestellter Funktionen. § 1. Differentiation § 2. Integration

308 313 Zwölftes Kapitel.

Beispiele aus der Mechanik und Thermodynamik. § 1. Geschwindigkeit 317 § 2. Beschleunigung und kontinuierliche Kraft 319 § 3. Bewegung eines Massenpunktes mit Reibung. — Theorie der Ionenbewegung 324 § 4. Ungedämpfte Schwingungen 326

Inhaltsverzeichnis.

XIII Seite

§ § § § §

5. 6. 7. 8. 9.

§ 10. §11. § 12. § 13. § 14.

Gedämpfte Schwingungen 329 Elektrische Schwingungen 336 Berechnung der mittleren Weglänge der Gasmoleküle nach C l a u s i u s 337 Das Verteilungsgesetz von M a x w e l l 343 Anwendungen des ersten Wärmesalzes. Änderung von Reaktionswärmen mit der Temperatur 347 Verdünnungswärme der Schwefelsäure 349 Analytische Formulierung des zweiten Wärmesatzes 350 Die Formel von Clausius-Clapeyron 352 Einfluß der Temperatur auf die chemische Affinität 352 Der neue Wärmesatz 353 Dreizehntes

Kapitel.

Einleitung in die Theorie der Kristallgitter. § § § § § § §

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Die kristallographischen Symmetrieelemente Punktnetze Symmetrische Punktnetze Die Punktgitter Symmetrische Punktgitter Der Aufbau der Kristallsubstanz Die Gitter von Diamant, Zinkblende und Sylvin Vierzehntes

358 362 364 367 370 378 383

Kapitel.

Autgaben, die auf partielle Differentialgleichungen führen. § § § § § §

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Allgemeine Vorbemerkungen Die Differentialgleichung der Wärmeleitung in einem Stab Das allgemeine Integral der Wärmeleitung Einige spezielle Fälle Gleichungen der Diffusion Theorie der galvanischen Polarisation

388 393 395 401 410 413

Übungsaufgaben. § 1. Aufgaben zur analytischen Geometrie § 2. Differentiation entwickelter Funktionen § 3. Höhere Differentialquotienten, Differentiation der unentwickelten Funktionen und der Funktionen mehrerer Variablen § 3a. Höhere Differentiale § 4. Transformation der Variablen § 5. Werte, die unter unbestimmter Form erscheinen § 6. Unbestimmte Integrale § 7. Bestimmte Integrale Beispiele aus der Geometrie und Mechanik § 8. Maxima und Minima § 9. Differentialgleichungen

418 421 423 424 425 429 430 432 435 440 441

XIV

I nhaltsverzeichnis. Anhang. — Formelsammlung.

g

§ § § § § § §

1. Potenzen und Wurzeln 444 2. Die Logarithmen 445 3. Die trigonometrischen Formeln 447 4. Reihen- und Summenformeln 449 5. Permutationen 452 5a.Wahrscheinlichkeitsrechnung 452 6. Auflösung der quadratischen Gleichung und der Gleichungen ersten Grades mit zwei Unbekannten 454 § 7. Formeln für Flächen und Körper 455 § 8. Näherungsformeln für das Rechnen mit kleinen Größen 457 § 9. Die einfachsten Formeln der Differentialrechnung 458 § 10. Die einfachsten Formeln der Integralrechnung 458 §11. Reihenentwicklungen 459 §12. Determinanten 460 § 13. Bezeichnung großer Zahlen 471 Sachregister

472

ERSTES

KAPITEL.

Die Elemente der analytischen Geometrie. § 1. Die graphische Darstellung. Gesetze und Vorgänge, die an Z a h l e n w e r t e gebunden sind, lassen sich am anschaulichsten g r a p h i s c h darstellen. Die graphische Darstellung ersetzt das Ziffernmaterial einer Tabelle durch ein geometrisches Bild s und bringt dadurch \ den Zusammenhang > t der Zahlen unmittel1 1> r bar zur Anschauung. 1

Fig. 1 gibt ein s* * Bild der Temperaturen eines Oktobertages. Die Zahlen » i i u 1 u 1t Vi von 0 bis 24 beziehen Fig.1. sich auf seine vierundzwanzig Stunden. Die L ä n g e n der in ihnen errichteten Lote messen die zugehörigen Temperaturen; die Endpunkte der Lote sind durch gerade Linien miteinander verbunden. Die Figur zeigt, daß um 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

usw.

4,7

6,8

9,0

usw.

Uhr die Temperatur 4,2 3,5 3,2

2,9 2,7 2,6

2,5 2,5 2,7 3,0

Grad betrug. Annäherungsweise kann man die wahrscheinliche Tagestemperatur auch für einen andern Zeitpunkt ablesen oder abschätzen, indem man sie gleich der Länge des in ihm errichteten, bis zum Linienzug gemessenen Lotes setzt. Das Bild des Temperaturverlaufs läßt sich dadurch verschärfen, daß man die Temperatur jede halbe Stunde beobachtet, in den Halbierungspunkten der Strecken 01, 12, 23 . . . die entsprechenden Lote errichtet und wiederum alle Endpunkte durch einen gebrochenen N e r n s t - S c h o e n f l i e s , Mathematik, t l . Aufl.

1

o

Erstes Kapitel. Die Elemente der analytischen Geometrie.

Linienzug verbindet. T r ä g t m a n die Temperaturen für noch kürzere Zeitintervalle in die Zeichnung ein, so wird der Linienzug mehr u n d mehr in ein K u r v e n b i l d übergehen; dieses Kurvenbild gibt die Darstellung des Temperaturverlaufs. Technisch erreicht man dies bekanntlich dadurch, daß m a n die zeichnende Person durch einen automatisch wirkenden A p p a r a t ersetzt, der in jedem Augenblick selbsttätig die vorhandene T e m p e r a t u r nach dem oben auseinandergesetzten Prinzip aufzeichnet. Fig. 2 gibt uns das Bild zweier L ö s l i c h k e i t s k u r v e n . h a t experimentell gefunden, d a ß bei den Temperaturen 0,05

4,32,

11,41,

18,38°

100 Teile Wasser folgende Gewichtsmengen 7,36,

8,16,

9,49,

10,81

Man

usw. Kaliumsulfat

lösen:

usw.

Trägt man hier die Temperaturen auf der horizontalen Geraden und die GewichtsNa,SO. mengen als Lote auf, so erK,SO, hält man die Löslichkeitskurve des Kaliumsulfats (K 2 S0 4 ), aus der m a n nunmehr S»— für jede zwischen den BeobFig. 2. achtungen liegende Temperat u r die Löslichkeit direkt ablesen kann. — Auf dieselbe Weise erhält man die gleichfalls in Fig. 2 verzeichnete, höchst charakteristische Kurve f ü r Natriumsulfat (Na 2 S0 4 ). In den vorstehenden Fällen wurde ein e m p i r i s c h gegebenes Zahlenmaterial durch eine Kurve veranschaulicht. Die graphischen Methoden sind aber auch dienlich, um bekannte, durch F o r m e l n gegebene Gesetze in einem Bilde darzustellen. Es sei z. B. die graphische Darstellung des B o y l e - M a r i o t t e schen Gesetzes zu geben. Das Mariottesche Gesetz gibt an, in welchem Verhältnis Druck und Volumen eines Gases sich ändern, wenn alle übrigen Eigenschaften desselben konstant erhalten werden. Befindet sich ein und dieselbe Gasmenge einmal unter dem Druck p, ein andermal unter dem Druck pu und sind v und Dj die entsprechenden Volumina, so besteht bekanntlich die Proportion 1) o: ü, = pt: p,

Erstes Kapitel. Die Elemente der analytischen Geometrie.

3

also die Gleichung: 2) pv =

p1v1.

Auf Grund dieser Gleichung erhält man die gesuchte graphische Darstellung folgendermaßen. W i r bestimmen zunächst eine Reihe zusammengehöriger Werte von Druck und Volumen.

Setzen wir im besonderen fest, daß das

Volumen Du das dem Druck p1 = 1 entspricht, die Größe

= 1

besitze, so geht die Gleichung 2) in pv = 1 über, und wir erhalten aus ihr folgende Tabelle Werte von p und v: p = 0,1 u = 10

0,2 5

0,5 2

1 1

2 05,

4 0,25

entsprechender

usw. usw.

W i r tragen nun auf einer horizontalen Geraden (Fig. 3) von einem Punkte O aus Strecken ab, deren Längen gleich den bezüglichen Werten von p sind, also gleich 0,1, 0,2, 0,5, 1, 2, 4 usw. und errichten in ihren End10

punkten Lote, gleich den zugehörigen Werten von v. Verbinden wir die Endpunkte der Lote 9 durch einen Kurvenzug, so ist die so erhaltene 8 Kurve das graphische Bild des Mariotteschen Ge- 7 setzes. Es versteht sich von selbst, daß wir, um 6 den genauen Verlauf der Kurve zu erhalten, eine 5 große Reihe von Punkten konstruieren müssen, ^ die auf ihr liegen. W i e später gezeigt wird (S. 32), 3 ist unsere Kurve ein Stück einer H y p e r b e l 1 ) . Sie x zeigt unmittelbar, daß, wenn der Druck sehr klein , wird, das Volumen unverhältnismäßig schnell 1 a a wächst, daß umgekehrt, wenn der Druck sehr ge- 0 Flg. 3. steigert wird, die Abnahme des Volumens sehr langsam vor sich geht usw. Das eben erörterte Verfahren, die Kurve des Boyle-Mariotteschen Gesetzes zu erhalten, ist, wenn wir ein g e n a u e s Bild von

V

x ) Für Kurvenzeichnungen bedient man sich zweckmäßig des im Handel käuflichen Millimeter- oder Koordinatenpapiers. Um möglichste Genauigkeit zu erzielen, hat R e g n a u l t die von ihm beobachteten Dampfdruckkurven des Wassers auf Kupfertafeln aufgezeichnet. Vgl. darüber die Mémoires der Pariser Akademie, Bd. 21, S. 476 (1847).

1*

4

Erstes Kapitel. Die Elemente der analytischen Geometrie.

ihr haben wollen, ziemlich mühsam. Wir bedürfen dazu einer großen Reihe zusammengehöriger Werte von p und v. Es gibt aber noch eine zweite einfachere Methode. In der a n a l y t i s c h e n G e o m e t r i e wird direkt gezeigt (vgl. § 15), daß das Gesetz, welches die zueinandergehörigen Zahlenwerte von Druck und Volumen verbindet, durch das Bild einer Hyperbel dargestellt wird; sie l e h r t u n s m i t e i n e m S c h l a g e u n d in v o l l e r A l l g e m e i n h e i t , w a s w i r e m p i r i s c h n u r d u r c h ein l a n g w i e r i g e s V e r f a h r e n e r h a l t e n . § 2. Der Koordinatenbegriff.] Der einfache Gedanke, auf den sich die graphische Darstellung aufbaut, ist zugleich der Grundgedanke der analytischen Geometrie. Methodisch läuft er auf den Kunstgriff hinaus, Z a h l e n g r u p p e n geometrisch durch P u n k t e darzustellen. Diesen Kunstgriff erdacht und darauf ein konsequentes Lehrgebäude errichtet zu haben, ist das Verdienst von R é n é D e s c a r t e s (1596—1650). In einer kleinen Schrift, die den einfachen Titel »Géométrie« führt, hat er seine Methoden zum erstenmal zusammengestellt und im Jahre 1637 veröffentlicht 1 ). Mit diesen Methoden müssen wir uns nunmehr bekannt machen. Wir ziehen in der Ebene zwei gerade unbegrenzte Linien, die zunächst einen beliebigen Winkel miteinander einschließen mögen (Fig. 4). Ihren Schnittpunkt nennen wir O, die Linien selbst sollen durch XOX' und YOY' bezeichnet werden. Ferner nehmen wir einen Punkt P in der Ebene der Zeichnung beliebig an und ziehen durch P je eine Parallele zu den Geraden XX' und YY', die auf ihnen die Strecken OQ und OR abschneiden. Die Längen dieser Strecken mögen 7 und 5 Einheiten betragen. Wir bezeichnen die Strecke OQ resp. die Zahl 7 als die A b s z i s s e des Punktes P und die Strecke OR resp. deren Länge 5 als die O r d i n a t e . Wenn es sich nicht darum handelt, Abszisse und Ordinate voneinander zu unterscheiden, bezeichnen wir beide mit einem gemeinsamen Namen als K o o r d i n a t e n des Punktes P. Die nämliche Konstruktion können wir für jeden anderen Punkt J ) Sie ist im Jahre 1886 neu herausgegeben worden (Paris, Hermann), im Jahre 1894 in deutscher Übersetzung von L. S c h l e s i n g e r .

Erstes Kapitel. Die Elemente der analytischen Geometrie.

5

der Ebene ausführen. Wir erhalten dadurch zu jedem Punkt eine bestimmte Abszisse und Ordinate oder, wie wir auch sagen können, ein bestimmtes Zahlenpaar. Umgekehrt entspricht auch jedem Zahlenpaar auf Grund der obigen Konstruktion ein bestimmter P u n k t . Um z. B. den Punkt P' zu zeichnen (Fig. 5), der dem Zahlenpaar 2,5 und 3,5 entspricht, haben wir auf der Geraden OX' eine Strecke OQ' = 2,5 und auf OY' eine Strecke OR' = 3,5 abzutragen und durch die Endpunkte Parallelen zu ziehen; der Schnittpunkt dieser Parallelen ist P'. Da wir an und für sich die Strecken von der Länge 2,5 und 3,5 von 0 aus nach beiden Seiten der Geraden XX' und YY' auftragen können, so könnte es scheinen, daß wir nicht einen, sondern vier Punkte erhalten, nämlich P\ P", P'", P"". Um dem zu entgehen, treffen wir die auch sonst übliche Festsetzung, die Abstände solcher Punkte, die von 0 aus nach entgegengesetzten Seiten liegen, mit entgegengesetzten Vorzeichen zu versehen. Rechnen wir daher wie bisher OQ' und OR' als p o s i t i v , so haben wir OQ" und OR" als n e g a t i v anzusehen, und nun gehören die Punkte P', P", P'", P"" zu v e r s c h i e d e n e n Zahlenpaaren, nämlich zu + 2,5, + 3 , 5 ; - 2 , 5 , + 3 , 5 ; - 2 , 5 , - 3 , 5 ; + 2 , 5 , —3,5. Die Beziehung zwischen den Punkten und Zahlenpaaren ist daher eine solche, daß j e d e m P u n k t ein Z a h l e n p a a r , a b e r a u c h u m g e k e h r t j e d e m Z a h l e n p a a r ein P u n k t e n t s p r i c h t . Man nennt die beiden Geraden, von denen wir ausgingen, die K o o r d i n a t e n a c h s e n ; im besonderen die Gerade XOX' die A b s z i s s e n a c h s e und YOY' die O r d i n a t e n a c h s e . Jede von ihnen hat eine p o s i t i v e und eine n e g a t i v e Hälfte. Die Achsen teilen die Ebene in vier Teile, die man in der Reihenfolge, wie die römischen Zahlen in der Fig. 5 zeigen, als die vier Q u a d r a n t e n bezeichnet. Ferner heißt der Punkt 0 , d. h. der Schnittpunkt der Koordinatenachsen, der A n f a n g s p u n k t oder der U r s p r u n g des K o o r d i n a t e n s y s t e m s und der Winkel Y'OX' der K o o r d i n a t e n w i n k e l ; ist er ein rechter, wie dies in den Anwendungen meist mit Vorteil angenommen wird, so spricht man von r e c h t w i n k l i g e n Koordinatenachsen.

6

Erstes Kapitel. Die Elemente der analytischen Geometrie.

Da die Koordinaten des Punktes P (Fig. 4) nichts anderes sind als die Z a h l e n , die die Längen der Strecken OQ und OR angeben, so folgt, daß auch die Strecken PR resp. PQ in ihrer Länge die Abszisse und Ordinate von P darstellen. Es genügt daher, eine der von P ausgehenden Parallelen zu ziehen, um die Koordinaten von P zu erhalten. Die Abszissenachse enthält augenscheinlich alle diejenigen Punkte, deren O r d i n a t e den W e r t Null h a t , ebenso ist die Ordinatenachse der geometrische Ort aller Punkte, d e r e n Abszisse Null ist. Endlich ist der A n f a n g s p u n k t derjenige Punkt, dessen K o o r d i n a t e n beide gleich Null s i n d , der also dem Zahlenpaar 0,0 entspricht. Wir behandeln noch zwei Aufgaben unter Annahme eines rechtwinkligen Koordinatensystems. 1. Den Abstand eines Punktes P vom Anfangspunkt durch seine Koordinaten auszudrücken. Der gesuchte Abstand sei r. Die Koordinaten von P seien a und b, so daß also (Fig. 6) OQ = a und QP = b ist; so findet man gemäß dem pythagoreischen Lehrsatz sofort OPz = OQ2 + QP2 oder o

1) r2 = a2 + b\ x

Wird noch der Winkel POQ =