Einführung in die Determinantentheorie einschließlich der unendlichen und der Fredholmschen Determinanten [Reprint 2020 ed.] 9783112359549, 9783112359532

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Verlag von Veit & Comp, in

Leipzig

Lehrbuch der

Physik zu eigenem Studium und zum Gebrauche bei Vorlesungen. Von

Dr. Eduard Riecke,

o. Professor der Physik an der Universität Göttingen.

Zwei Bände. Vierte, verbesserte und vermehrte Auflage. Mit g e g e n 800 F i g u r e n im T e x t . Lex. 8. 1908. geh. 26 Ji, geb. in Ganzleinen 28 Ji. „ . . . Das Buch zeigt eine Art von künstlerischem Gepräge, das die Lektüre dieses Werkes zu einem wahren Genüsse macht. Ein besonders günstiger Umstand ist es, daß der Verfasser die theoretische wie die experimentelle Seite der Physik in gleichem Maße beherrscht; dementsprechend sind die Beziehungen zwischen beiden m i t e i n e r V o l l k o m m e n h e i t z u r D a r s t e l l u n g g e l a n g t , w i e sie z u v o r noch n i c h t e r r e i c h t w o r d e n ist." (Zeitschrift f ü r den physik. und e h e m . Unterricht.)

Vorlesungen über Thermodynamik von

Dr. Max Planck,

o. ö. Professor der theoretischen Physik an der Universität Berlin.

Mit f ü n f F i g u r e n im T e x t . Zweite, verbesserte Auflage, gr. 8. 1905. kart. in Ganzleinen 7 Ji 50 fy.

Die fundamentalen physikalischen

Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung. Von

Dr. Woldemar Voigt,

o. Professor der Physik an der Universität Oöttingen.

8.

Mit 52 F i g u r e n im T e x t . 1898. geh. 5 Ji, geb. in Ganzleinen 5 Ji 60 3j!.

Kompendium der theoretischen Physik. Von

Dr. Woldemar Voigt,

o. Professor der Physik an der Universität Göttingen.

Zwei Bände, gr. 8. geh. 32 Ji, geb. in Halbfranz 36 Jt. E r s t e r B a n d . Mechanik starrer und nichtstarrer Körper. Wärmelehre. 1895. geh. 14 " geb. in Halbfranz 16 Ji. Z w e i t e r B a n d . Elektrizität und Magnetismus. Optik. 1896. geh. 18 Ji, geb. in Halbfranz 20 Ji.

Verlag von Veit & Comp, in

Leipzig

Funktionentheoretische Vorlesungen von

Heinrich Burkhardt,

o. Professor der Mathematik an der Technischen Hochschule München.

Zwei Bände. M i t z a h l r e i c h e n F i g u r e n im T e x t , gr. 8.

geh. 22 Ji 60 3jg, geb. in Ganzleinen 25 Ji 60 3jt.

Ersten Bandes erstes Heft. Algebraische Analysis. Zweite, durchgesehene und vermehrte Auflage. 1908. geh. 5 Ji 60 3]f, geb. in Ganzleinen 6 Ji 60 3p. Einführung in die Theorie der analytischen Funktionen einer

E r s t e n B a n d e s zweites H e f t .

komplexen Veränderlichen. Dritte, durchgesehene und vermehrte Auflage. 1908. geh. 7 Ji, geb. in Ganzleinen 8 Ji. Zweiter Band. Elliptische Funktionen. Zweite, durchgesehene und verbesserte Auflage. 1906. geh. 10 Ji, geb. in Ganzleinen 11 Ji.

Lehrbuch der

Differentialgleichungen. Von

Dr. Heinrich Liebmann, Professor an der Universität Leipzig.

Mit z a h l r e i c h e n F i g u r e n , gr. 8.

1901.

geh. 6 Ji, geb. in Ganzleinen 7 Ji.

Anwendung der

Differential- und Integralrechnung auf

Geometrie. Von

Dr. Georg Scheffers,

o. Professor an der Technischen Hochschule Charlottenburg.

Zwei Bände. M i t v i e l e n F i g u r e n im T e x t . Lex. 8.

geh. 23 Ji, geb. in Ganzleinen 25 Ji.

E r s t e r B a n d . Einführung in die Theorie der Kurven in der Ebene und im Räume. 1901. geh. 10 Ji, geb. in Ganzleinen 11 Ji. Z w e i t e r B a n d . Einführung in die Theorie der Flächen. 1902. geh. 13 Ji, geb. in Ganzleinen 14 Ji.

Einführung in die

Determinantentheorie einschließlich der unendlichen und der Fredholmschen Determinanten

von

Dr. Gerhard Kowalewski, P r o f e s s o r an der Universität Bonn.

Leipzig V e r l a g von V e i t & Comp. 1909

Druck yon Metzger & Wittig in Leipzig

Vorwort Dieses Buch ist aus Vorlesungen und Übungen entstanden, die ich während meiner mehr als zehnjährigen Lehrtätigkeit in Leipzig, Greifswald und Bonn gehalten habe. Dem entspricht die Begrenzung des Stoffs und die Art der Darstellung. Es soll hier eine E i n f ü h r u n g in eine große und wichtige Disziplin geboten werden, die in neuester Zeit durch Übertragung des Determinantenbegriffs ins abzählbar und ins kontinuierlich Unendliche noch erheblich angewachsen ist. Die F B E D H O L M sehen Determinanten, die für die linearen Integralgleichungen dieselbe Bedeutung haben, wie die gewöhnlichen Determinanten für lineare Gleichungssysteme mit n Unbekannten, habe ich in der H I L B E B T sehen Weise durch Grenzübergang aus gewöhnlichen Determinanten abgeleitet. Auf diesem Wege ergeben sich auch sehr einfach die F B E D H O L M sehen Minoren und die Relationen zwischen ihnen, auf denen F B E D H O L M s Auflösung der linearen Integralgleichungen beruht. In dem Kapitel über unendliche Determinanten ist bei der Betrachtung der linearen Gleichungssysteme mit unendlich vielen Unbekannten auch die schöne Theorie dargestellt, die E B H A B D SCHMIDT für diese Systeme begründet hat. Ebenso wird am Schluß des Buches E. SCHMIDTS Behandlung der linearen Integralgleichungen in ihren Hauptpunkten entwickelt. Dieser Teil des Buches kann daher zur Einführung in das Studium der Integralgleichungen dienen, die sich unter den Händen H I L B E R T S zu einer der umfassendsten und bedeutsamsten mathematischen Theorien entwickelt haben.

Vorwort

IV

Auf Seite 541ff.findet der Leser die hauptsächlichsten Literaturnachweise. Wünscht er eine vollständigere Bibliographie, so verweisen wir ihn auf den Artikel von E. NETTO im ersten Band der Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften oder auf das Werk von T. Munt: The theory of determinants in the historical order of its development, London 1906. Bonn, im April 1909. Gerhard Kowalewski

Inhalt Seite

1. Kapitel: Historische Bemerkungen 2. ,, Definition der w-reihigen Determinante 3. „ Einfachste Eigenschaften der Determinanten 4. „ Unterdeterminanten 5. „ Systeme linearer Gleichungen 6. „ Multiplikation von Matrizen und Determinanten 7. „ Determinanten, deren Elemente Minoren einer andern sind . 8. „ Symmetrische Determinanten 9. „ Schiefsymmetrische Determinanten 10. „ Orthogonale Determinanten 11. „ Resultanten und Diskriminanten 12. „ Lineare und quadratische Formen 13. „ Einiges aus der Elementarteilertheorie 14. „ Funktionaldeterminanten 15. „ WHONSKI sehe und GRAM sehe Determinanten 16. „ Einige geometrische Anwendungen der Determinanten . . 17. „ Determinanten von unendlicher Ordnung 18. „ Die linearen Integralgleichungen 19. „ Die HiLBERTSchen Eigenfunktionen eines reellen symmetrischen Kerns Literaturnachweise und Anmerkungen Sachregister

1 6 23 32 45 65 78 111 132 159 178 210 253 289 320 337 369 455 505 541 545

Erstes Kapitel.

Historische Bemerkungen. § 1.

Die Determinanten bei

LEIBNIZ.

LEIBNIZ kam auf die Determinanten bei Behandlung der Aufgabe, aus n + 1 linearen Gleichungen mit n Unbekannten xlf x%,..., xn diese Unbekannten zu eliminieren. Er führte eine sehr zweckmäßige Bezeichnungsweise ein, die im wesentlichen auch heute noch in der Determinantentheorie benutzt wird. Er schrieb nämlich die n + 1 Gleichungen in folgender Weise: 10 + 11 • ^ + 12 - x2 + ...+ ln-xn = 0,

20 + 21 • 30 +

81 •

+ 22 • xa + . . . + 2n • xn = 0, x1

+

3 2 • X2 +

.. . +

3n • xn =

0,

Jeder Koeffizient ist hier durch zwei Indizes symbolisiert, von denen der erste die Gleichung, der zweite die Stelle innerhalb der Gleichung anzeigt. Im Falle n = 1 findet man als Eliminationsresultat 10-21 - 11-20 = 0, im Falle n — 2 -

10 - 21 • 3 2 +

11 - 2 2 - 3 0 +

12 - 2 0 • 31

10 - 22 - 31 -

11 - 2 0 - 3 2 -

12 • 21 - 30 =

0

und so fort. LEIBNIZ gelangte durch Induktion zu einem allgemeinen Theorem, das er in einem Brief an den Marquis DE L'HOSPITAL (vom 2 8 . April 1693) ausspricht: „Datis aequationibus quotcunque sufficientibus ad tollendas quantitates, quae simplicem gradum non egrediuntur, pro aequatione prodeunte primo sumendae sunt omnes combinationes possibiles, quas ingreditur una tan tum coefficiens uniuscunque aequationis; secundo eae combinationes opposita habent signa, si in eodem proKOWALHWSKI, Determinanten

1

2

Die Determinanten bei Leibnix

deuntis aequationis latere ponantur, quae habent tot coefficientes communes, quot sunt unitates in numéro quantitatum tollendarum unitate minuto; caeterae habent eadem signa." Es seien beliebig viele Gleichungen gegeben, die zur Elimination der den ersten Grad nicbt überschreitenden Unbekannten ausreichen. Um die resultierende Gleichung, zu erhalten, hat man zunächst alle möglichen Kombinationen zu bilden, in die aus jeder Gleichung nur ein Koeffizient eingeht 1 Bringt man dann in der resultierenden Gleichung alles auf eine Seite, so haben diejenigen Kombinationen entgegengesetzte Zeichen, die so viele gemeinsame Koeffizienten enthalten, als es Einheiten in der um 1 verminderten Zahl der zu eliminierenden Unbekannten gibt 2 Die übrigen haben dieselben Zeichen. Wenn zwei Produkte 3 . . .» + 1, rn

und

l s 0 •2®j . . . n + 1, s„

n — 1 gemeinsame Faktoren haben, so entsteht s0, slt . . ., sn aus »r0, r l f . . ., rn durch eine T r a n s p o s i t i o n , d. h. durch Vertauschung zweier Glieder. Das nach der LEIBNIZ sehen Vorschrift gebildete Eliminationsresultat lautet also 2 * - l r 0 - 2 r 1 . . . » + l , rn = 0. Die Summation erstreckt sich über alle {n + 1)! Permutationen r 0 , »-j, . . ., rn der Indizes 0, 1, . . . , n, und s ist gleich + 1 oder — 1, je nachdem ra, rlt . . rn aus 0, 1, . .., n durch eine gerade oder uDgerade Anzahl von Transpositionen hervorgeht. 2 « - l»-o- 2 »i • • • » + i, »•„ ist das, was wir heutzutage eine (n + l)-reihige D e t e r m i n a n t e nennen. Es war ein glücklicher Gedanke von LEIBNIZ, zur Bezeichnung der Koeffizienten eines linearen Gleichungssystems Doppelindizes zu benutzen. In dem zitierten Brief finden wir folgende Bemerkung über die Bedeutung einer guten Bezeichnungsweise: 1

Gemeint sind die Produkte 1 r0 • 2 r, . . . n + 1, r„, wobei r 0 , r x ,. .., rn eine Permutation von 0, 1, . . . , n ist. • d. h. n - 1. 8 «o, s,, ..., i, ist wie r 0 , r u ..., rn eine Permutation von 0, 1, ..., n.

Die Determinanten bei Gramer

3

„Une partie du secret de l'analyse consiste dans la charactéristique, c'est à-dire dans l'art de bien employer les notes dont on se sert, et vous voyez, Monsieur, par ce petit échantillon, que Yiète et Descartes n'en ont pas encore connu tous les mystères." § 2.

Die Determinanten bei

CBAMEB.

LEIBNIZ fand nicht die Zeit, um seine Erfindung, von deren großer Tragweite er bei verschiedenen Gelegenheiten spricht, weiter zu verfolgen. So geriet sie denn ganz in Vergessenheit. Als GABBIEL CBAMEB, der Verfasser der „Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques" (1750), sich mit Systemen linearer Gleichungen beschäftigte, stieß er ganz u n a b h ä n g i g von L E I B N I Z noch einmal auf die Determinanten. Im Anhang seines großen Werkes zeigt er, wie man n lineare Gleichungen mit n Unbekannten durch Determinanten auflöst. Wir wollen die kurze Note hier vollständig wiedergeben. „Man habe mehrere Unbekannte

z, y, x, v, . . . und ebenso viele Gleichungen Ax = Zlz+ Y1y A2 = Z*z + Yiy A3 = Zsz+ Ysy A* = Z*z + Y*y

+ + + +

X1x+ V*v+ . ; ., X2x + V2v+ X3x+ V3v+ . . X*x + V*v + . . .,

Dabei sollen die Buchstaben A\ A2, A3, Ä* .. . nicht wie gewöhnlich die Potenzen von A bedeuten, sondern die als bekannt vorausgesetzte linke Seite der ersten, zweiten, dritten, vierten, . . . Gleichung. Ebenso sind Z\ die Koeffizienten von z, die von y, die von x, die von v, ...,

Y\

n

...

X\

X2,

...

v\ n ... in der ersten, zweiten, . . . Gleichung.

l*

4

Die Determinanten bei Cramer

Diese Bezeichnungsweise vorausgesetzt hat man, wenn nur e i n e Gleichung mit e i n e r Unbekannten z vorliegt, Z

AX

~Zr'

-

Sind zwei Gleichungen und zwei Unbekannte z und y da, so findet man AL 7* - A' y = z

und

— ZiY* - z* y1

y -

Z' A»

Zx

-

£

8

A1

ys _ z t y 1

Sind d r e i Gleichungen und d r e i Unbekannte x, y und % da, so findet man y x8 - ¿8 y x 8 + r» x 1 + ¿ 8 y x 8 - a 9 y 8 x» Ä i y« x» 8 z = z 1 ï > î ' - 2» y x* y x + z* p ï 1 + z 8 r i ! y*xi y

_

a; =

Z1AIXT — Z 1 -A3 X» - 8 ^S _ ZI Y*X* - z

X s + Z ' A3 X1 + Z» 4 1 X* - Z ' A» X 1

y x 3 + z 8 y s x i + z8 y ' x 8 - z» y 8 X '

Y*A* - ZI Y^A* - Z8 y.-d» + z 8 y 3 ^ ' + z 8 y ^

y» Jfa _

ya^s _ z% yi £3 +

Zi

ys X i

+ Zt

- Z3

y

yi^s _ z s yi-Xi

Die Prüfung dieser Formeln liefert folgende allgemeine Kegel. Die Anzahl der Gleichungen und der Unbekannten sei n. Man findet dann den Wert jeder Unbekannten, indem man n Brüche bildet, deren gemeinsamer Nenner ebenso viele Glieder hat, als es verschiedene Anordnungen von n verschiedenen Dingen gibt. Jedes Glied setzt sich aus den Buchstaben Z, Y, X, V, . . . zusammen. Sie werden immer in derselben Reihenfolge geschrieben. Man erteilt ihnen aber als Exponenten die n ersten Ziffern in allen möglichen Reihenfolgen. So hat, wenn drei Unbekannte da sind, der Nenner 1.2-3 = 6 Glieder; sie sind zusammengesetzt aus den drei Buchstaben Z, Y, X, die der Reihe nach die Exponenten 1 2 3,

1 3 2,

213,

2 31,

312,

321

erhalten. Man gibt diesen Gliedern die Zeichen + oder — nach folgender Regel. Wenn auf einen Exponenten in demselben Gliede mittelbar oder unmittelbar ein kleinerer Exponent folgt, so will ich dies ein D e r a n g e m e n t nennen. Man zähle nun bei jedem Gliede die Derangements. Ist ihre Anzahl gerade oder Null, sa erhält das

5

Die Determinanten bei Gramer

Glied das Zeichen + , ist sie ungerade, so erhält das Glied das Zeichen —. Z. B. gibt es in dem Gliede ZlY2X3 kein Derangement. Glied

Dieses Glied erhält also das Zeichen + . z

Das

3 yiA-a

hat auch das Zeichen + , weil es zwei Derangements aufweist; 3 vor 1 und 3 vor 2. Dagegen erhält das Glied Z3

Y2X\

das drei Derangements aufweist, 3 vor 2, 3 vor 1 und 2 vor 1, das Zeichen —. Nachdem so der gemeinsame Nenner gebildet ist, erhält man den Wert von x, indem man diesem Nenner einen Zähler gibt, den man dadurch bildet, daß man in allen Gliedern Z in A verwandelt. Der Wert von y ist ein Bruch, der denselben Nenner hat und als Zähler eine Größe, die sich ergibt, wenn man in allen Gliedern des Nenners Y in A verwandelt. In ähnlicher Weise findet man den Wert der übrigen Unbekannten. Allgemein zu reden ist das Problem bestimmt. Aber es kann besondere Fälle geben, wo es unbestimmt bleibt und andere, wo es unmöglich wird. Das geschieht, wenn man den gemeinsamen Nenner gleich Null findet; d. h. bei nur zwei Gleichungen, wenn i y2-

z

Z2 7 ! = 0 ,

bei drei Gleichungen, wenn Zl YzX3—

Zx Y3X2-Z2

Y1XS+Z2

Z3 F^Y2-

Z3 r2^1«

0

ist usw. Sind alsdann die Größen A , A , A ,.. . so beschaffen, daß auch die Zähler gleich Null sind, so ist das Problem unbestimmt, denn die Brüche die die Werte der Unbekannten geben müßten, sind unbestimmt. Wenn dagegen die Größen A1, A2, A3,. . . so beschaffen sind, daß, während der gemeinsame Nenner gleich Null ist, die Zähler oder einige von ihnen nicht Null sind, so ist das Problem unmöglich oder es sind wenigstens die unbekannten Größen, die es lösen können, alle oder zum Teil unendlich. Hat man z. B. die beiden folgenden Gleichungen 1

3

2 = 3z - 2 y , so findet man

5 = 6 z — 4y,

3

6

Paarungen zwischen zwei Systemen von n Dingen

x- und y sind also unendliche Größen, die sich zueinander verhalten wie 2 zu 3. Rechnete man die Unbekannten nach den gewöhnlichen Methoden aus, so käme man auf die sinnlose Gleichung 2 _ S ~ 8' Denn die erste Gleichung gibt * =• f » + $ und die zweite Also hat man was ein Unsinn ist, wenn x und y endliche Größen sind. Wenn sie aber unendlich sind, so kann man ohne Sinnlosigkeit sagen, daß und gleichzeitig

* = §y + i * = }y

+1

ist. Denn die endlichen Größen f und sind im Vergleich zu den unendlichen Größen x und \y nichts. Die beiden Gleichungen * = fy + § reduzieren sich also auf

und

* - * » + die darin besteht, daß jede der n Zahlen durch sich selbst ersetzt wird. Man nennt sie die I d e n t i t ä t . Wo sie als Faktor auftritt, kann man sie streichen. Man benutzt deshalb für sie das Symbol 1. Zu jeder Substitution 5 gibt es eine Substitution S, so daß SS = 1 ist. Schreibt man 80 SOll sein.

Mi) - MS)(ÄH M2)-

Daraus ergibt sich

Offenbar ist auch

ÄS-1.

Man nennt nrn und a i s i a 2 s t . . . a n „ n , die n — 2 gemeinsame Faktoren haben, in der Determinante mit verschiedenen Zeichen auftreten. Mau kann die Glieder der ra-reihigen Determinante auch in folgender Form schreiben 8850

(? 2 .'.'!»)

Die Paarung (ri r2 • • • rn\ U 2 ...nj ist gerade oder ungerade, je nachdem r

i> r2' • • •> r n eine gerade oder ungerade Permutation ist (vgl. § 6). Die m- reihige Determinante läßt sich also definieren als die über alle Permutationen von 1, 2, . . . , n erstreckte Summe 2 8 § n (rx > r2> • • •» »'J- a r.l 0 r 1 2 • • • Or„„ . Das ist die Definition von Cbamer (vgl. § 2). §10.

Zweireihige und dreireihige Determinanten.

Im Falle n = 2 gibt es zwischen den Zeilen und Spalten nur die beiden Paarungen ( l 2)

und

Q l) '

Die erste ist gerade, die zweite ungerade. Zu der ersten gehört das Glied zu der zweiten das Glied in der Determinante.

«11 °22 > - «12 «21

22

Zweireihige und dreireihige Determinanten Man hat also

Die Regel zur Berechnung einer zweireihigen Determinante können wir durch nebenstehende Figur veranschaulichen.. Die starklinig verbundenen Glieder geben ein Produkt, vor welches das Zeichen -j-, die punktiert verbundenen Glieder ein Produkt, vor welches das Zeichen — zu setzen ist. Fig. 2. Im Falle n — 3 gibt es sechs Paarungen zwischen den Zeilen und Spalten, nämlich folgende: /I 2 3\ U 2 3)'

/I 2 3\ [1 3 2)'

/I 2 3\ 1,2 3 l j '

( 1 2 3\ \2 1 3J'

t\ 2 3\ 1,3 1 2)>

/I 2 3\ U 2 lj'

Wir haben sie so aufgeschrieben, daß zwei benachbarte durch eine Transposition auseinander hervorgehen, mithin verschiedenen Klassen angehören. Für die dreireihige Determinante gilt also folgende Formel: «11 °12 «IS «21 «22 «23 «81 «32 «33

«11 «22 «33 + «12 »23 «31 + «13 «il «32 =

•

Die Regel zur Berechnung einer dreireihigen Determinante läßt sich auch durch eine Figur veranschaulichen (Fig. 3). Wieder sind V^A /* < \ / ' \ > A s A

V

Fig. 3.

die Glieder stark verbunden, deren Produkt das Zeichen + erhält, und die Glieder punktiert verbunden, deren Produkt das Zeichen — erhält. § 11.

Beispiele.

Der Leser zeige durch Ausrechnen, daß 1 a —a 1 und

= 1 +a2

23

Vertauschung der Zeilen mit den Spalten 1

e

-b

1

a

~c b -a

ist.

= 1 + a2 + b2 + c2

1

Er verifiziere ferner, daß 10 -1 at 1 , dividiert durch 0 - 1 o. gleich

—1 a»

a1

i + -T»i -I1 -o,L

ist.

Endlich beweise er die Formeln a

i + a2

und

1 = a.1 a„2 a,3 V a, , 1a, , a 2 + °3

0

«i + «2 I

1

1

. = a. a„ a, a. ( 1 2 » * \ O; r at

a

s +

,

M «3 ; 1

a3

I

1

Drittes Kapitel.

Einfachste Eigenschaften der Determinanten. § 12. Vertauschung der Zeilen mit den Spalten. Die beiden Matrizen a

ll ai2 • ••«in an ai 2 •••a2n

«»2 • • • ann hx h,hl l22 • ••hn Kl

. . bnn

mögen in solcher Beziehung zueinander stehen, daß immer . ,

ist.

brt = aer

\

o4 )

23

Vertauschung der Zeilen mit den Spalten 1

e

-b

1

a

~c b -a

ist.

= 1 + a2 + b2 + c2

1

Er verifiziere ferner, daß 10 -1 at 1 , dividiert durch 0 - 1 o. gleich

—1 a»

a1

i + -T»i -I1 -o,L

ist.

Endlich beweise er die Formeln a

i + a2

und

1 = a.1 a„2 a,3 V a, , 1a, , a 2 + °3

0

«i + «2 I

1

1

. = a. a„ a, a. ( 1 2 » * \ O; r at

a

s +

,

M «3 ; 1

a3

I

1

Drittes Kapitel.

Einfachste Eigenschaften der Determinanten. § 12. Vertauschung der Zeilen mit den Spalten. Die beiden Matrizen a

ll ai2 • ••«in an ai 2 •••a2n

«»2 • • • ann hx h,hl l22 • ••hn Kl

. . bnn

mögen in solcher Beziehung zueinander stehen, daß immer . ,

ist.

brt = aer

\

o4 )

24

Vertauschung

der Zeilen

mit

den

Spalten

Die &te Zeile der einen Matrix ist also identisch mit der &ten Spalte der andern. Um die eine Matrix aus der andern zu erhalten, muß man deren Zeilen als Spalten aufschreiben. Die Umwandlung der Zeilen in Spalten und der Spalten in Zeilen läßt sich dadurch bewirken, daß man die Matrix um die Hauptdiagonale (d. h. die von links oben nach rechts unten laufende Diagonale) herumklappt. Da die Zeilen und Spalten der ersten Matrix die Spalten bzw. Zeilen der zweiten Matrix sind, so ist jede Paarung iß zwischen Zeilen und Spalten der ersten zugleich eine Paarung zwischen Zeilen und Spalten der zweiten, und sgn hat in beiden Fällen denselben Wert; denn die Hauptpaarung1 der ersten Matrix ist auch die Hauptpaarung der zweiten. Jedes Glied der Determinante «11

1n

«21 «28 •

•

zn

ani , an2-

. ann

ist also ein Glied der Determinante "ll b13 '. •. •. b, "in b

fi22

6„1 Kt

• *• •

Kn

. . bnn

d. h. beide Determinanten sind gleich. Satz 1. W e n n die Z e i l e n und Spalten einer D e t e r m i nante mit den S p a l t e n bzw. Z e i l e n einer andern der R e i h e nach identisch sind, so h a b e n beide D e t e r m i n a n t e n denselben Wert. Anders ausgedrückt: Die D e t e r m i n a n t e b l e i b t u n g e ä n d e r t , wenn man die M a t r i x um die H a u p t d i a g o n a l e herumklappt. Der obige Satz ermöglicht es uns, jedes Theorem, das wir über die Zeilen einer Determinante beweisen, sofort auf die Spalten zu übertragen und umgekehrt. 1

Die Hauptpaarung besteht darin, daß jede Zeile mit der gleichnamigen

Spalte gepaart wird.

Vertauschung der Zeilen

25

§ 13. Vertauschung der Zeilen. Wir betrachten wieder zwei Matrizen,

und

,

ani am • •, . aim Ki

•hn

Ki

•h«

Ki

. b1111

Die zweite gehe aus der ersten durch Vertauschung zweier Zeilen hervor, etwa der r ten und der s ten . Jede Paarung Sß zwischen Zeilen und Spalten der ersten Matrix ist zugleich eine Paarung zwischen Zeilen und Spalten der zweiten Matrix. Aber sgn - i - ' « a 2 r , a i r , • • • a»rK = ~ 2 Nehmen wir an, daß

n sind und

rt ...>•„« 1 r, «2 r, • • • an rn •

= r2 ist und setzen wir

«ir, = ««2,., -= a 3 r a = . . . = anTn = 1, alle übrigen a aber gleich Null, so reduziert sich obige Gleichung auf d. h.

Cr1r,...rn = — «r, r, ... r„ > Cr,r,...rs = 0 .

Alle Koeffizienten cTlr2...rn» in denen zwei Indizes r gleich sind verschwinden also. Man darf daher annehmen, daß in D die zweiten Indizes rx, r 2 , . . rn sämtlich,verschieden sind. rx, r2, . . ., rn ist dann eine Permutation der Zahlen 1, 2, . . n . Vertauschen wir jetzt die erste und die zweite Zeile, so verwandelt sich ^¡ e r i r,...T n O'ir 1 dir, • • • ®n r„ in oder

2C • • •> Sn (Sm+1 < Sm+2 < • • • < S„) • Jedes Glied von M hat dann die Form (T1 • • • rm\ Dabei stellt 1

eine Paarung der Zeilen rlt.rt, . . dar und die Hauptpaarung lautet

rm mit den Spalten Sj,

Jedes Glied von N hat die Form sgn Dabei bedeutet

' ' ' r™] \ffm+l • • • ffJ

eine Paarung der Zeilen r B + 1 , r m + 2 , . . rn mit den Spalten sm sn+i, . . sn, und die Hauptpaarung ist hier (rm +1 • • • \'»+i • • • », Multipliziert man ein Glied von M mit einem Glied von N, hat das Produkt folgendes Aussehen: r r < sgn | r ™ + 1 " ' r "l a r i 0 l sgn |( i • • • J"\ Wi • • • ^ ^m+l ' ' ' an In A hat

den Faktor sgn wobei als Hauptpaarung figuriert. 1

(1 2 . . . »\ [ \ 2 . . . n)

. «21 X1 + °22 X2 + • • * + «2» Xn = h '

(1)

• ««1*1 + «»2

+ ••• + ann V = V

Ein Wertsystem xlt x2,..., xn, füllt, nennt man eine L ö s u n g . 1

Das ist gerade die von

LEIBNIZ

das alle diese Gleichungen er-

benutzte Schreibweise. (Vgl. §

1.)

46

Cramer sehe Regel

Wir wollen annehmen, daß «il «12 • • «1« «21 «22 • «2»

A =

. ann

a

nl

die D e t e r m i n a n t e des Systems, von Null verschieden ist. Art sei das algebraische Komplement von are. Multiplizieren wir die Gleichungen des Systems der Reihe nach mit A l»> A2t> •••> An»> also mit den algebraischen Komplementen der Elemente der s ten Spalte, und addieren dann alles, so ergibt sich Ax = b1A1,+

b2Ä2.+

... +

bnAn).

Der Koeffizient von xt wird nämlich «Ii Al,+

a Ä

+ antÄn>

it 2,+

und ist nach Satz 15 gleich Null, wenn t ^ s, und nach Satz 14 gleich A, wenn t = s ist. Aus den Gleichungen (1) folgen also die Gleichungen (T)

\At.+

btAt

jl

+ ... + b.Av.

( s = 1 ) 2

w).

Das Umgekehrte gilt aber auch. Multiplizieren wir in (I) die s t e Gleichung mit art und addieren dann alles, so erhalten wir Qrl X-. Qrn X 1 1 &r2- 2 ' ** I ™ n — rb' • Denn der Koeffizient von bt wird (tr\ Atl + Ort Att + ... + arn A,„ Ä ' ist also nach Satz 15 gleich Null, wenn und nach Satz 14 gleich 1, wenn t = r ist. Wir sehen, daß das System (1) die Lösung (1) hat und außerdem keine. entsteht aus a

i.A.+

dadurch, daß man durch b2, ..., bn Daraus ergibt Induktion gefunden

a

2.A2.+

••• +

a

n.An»

die Elemente der s ten Spalte der Reihe nach ersetzt. sich folgende Eegel, die von Ckameb durch worden ist (vgl. § 2):

Cramer

sehe

47

Regel

Man ersetze die E l e m e n t e der s1™ Spalte von A der Reihe nach durch 6 l t b2, . . bn und bezeichne die so entstehende Determinante mit At. Dann l a u t e t die Lösung des Systems (1): ilj -An Wenn blt b2, Determinanten

bn alle gleich Null sind, so hat jede der A>

'••>

eine Spalte mit lauter Nullen. xx =

Satz 16.

0 ,

x2

A

Es ist daher

=

0 ,

.

x

n

= 0 .

Aus a

n

x

+

x

a

l 2

x

2

+

... +

a

l n

x

n

=

0 ,

«21 X1 + «22 X2 + • • • + «2» Xn = «»i

und

+ «»2 ^ + • • • + «„» ». =

x

i

0

»

0

«11 «12 • •«1» «21 «22 * • «2 n + 0 «nl «„2-

folgt ^

=

0,

x

. ann

= 0 ,

2

...,

x

n

= 0 .

Beispiele. Um die Gleichungen a

aufzulösen, hat man in

l

x +

b1y

=

c1,

o2 x + h V = C2 «A

einmal die erste Spalte, ein zweites Mal die zweite Spalte durch o.

zu ersetzen.

Dadurch ergeben sich die Determinanten ci K C b

22

t

«i

>

«2C2

und die Lösung unserer Gleichungen lautet:

48

Oramerseke

c

l

b

Regel

«1^1

l

C b

a b

a

a

22

22 i°l

Vorausgesetzt wird, daß

i \

a b

°2C2

22

C

d

d, X

=

C

1

2 : C ¿3 ¿3 3

d

2

C

°1 6X a

2

a

3

=

—

3

2 C

3

«1 1 1 «2 ¿2 C2 ; «2 62 °2 «3 ¿3 C3 3 3 3 a

%

3

b

Ö

C

y

b

«1 d , «2 ¿2 : °3 h 3 d

b

ß

b

l

C

1

Xln n i c h t aus l a u t e r N u l l e n besteht. Wenn die Systeme (1) n i c h t unabhängig sind, so auch, daß zwischen ihnen eine l i n e a r e R e l a t i o n Damit meinen wir dann, daß die Gleichungen (2) sich Wertsystem l 2 , . . ., l m befriedigen lassen, das nicht Nullen besteht. Ist l h ungleich Null, so sagen wir, daß wähnten linearen Relation das System

sagen wir besteht. 1 durch ein aus lauter in der er-

X

hl> Xh2> • • •» Xhn

vorkommt. .Satz 16. D i e S y s t e m e (1) sind dann und nur dann l i n e a r u n a b h ä n g i g , wenn der R a n g der Matrix (1) g l e i c h m ist. Für m = 1 ist der Satz offenbar richtig. Wir können uns also auf m > 1 beschränken. Wenn die Systeme (1) nicht unabhängig sind, so ist in der Matrix (1) eine Zeile eine lineare Kombination der andern. Wir dürfen diese Zeile streichen, ohne daß der Rang der Matrix sich 1

Diese Bedeweise wenden wir nur im Falle m > 1 an. 4*

52

Lineare

Unabhängigkeit

ändert (vgl. § 23 Nr. 6). Der Rang einer (m — l)-zeiligen Matrix ist aber höchstens gleich m — 1, also kleiner als m. Damit ist ein Teil des Satzes 16 schon bewiesen. Nehmen wir jetzt an, daß der Rang r der Matrix (1) kleiner als m ist. Im Falle r = 0 sind die Systeme (1) sicher nicht unabhängig. Sie bestehen alle aus lauter Nullen. Jedes ist also eine lineare Kombination der andern. Im Falle r > 0 können wir durch Vertauschung der Zeilen bewirken, daß in den r ersten Zeilen eine von Null verschiedene r-reibige Determinante steht. Es lassen sich dann n — r Hilfssysteme i/r+1.1' Vr +1.2»

1

• •' %- + l.n

fr+2.1' Hr + 2.2» • • Vnli

Vni'

• '

Vr +2.» Vn

so bestimmen, daß die Determinante . . . as,In D =

X.VI

•

'r + 1 . 1

"r +l»n ' * * Vnn

ungleich Null ist. Man wählt in den r ersten Zeilen eine von Null verschiedene r-reihige Determinante, setzt die Hauptelemente ihres Komplements gleich 1 und die übrigen y ^lle gleich Null. Dann reduziert sich die LAPLACEsche Entwickelung nach den r ersten Zeilen auf ein Glied, das abgesehen vom Vorzeichen gleich jener r-reihigen Determinante ist. Wenn wir nun auf die Gleichungen1 Ax®ll + • • • + KXr 1 + K + 1 Hr+\>! + • • • + KVnl = Xlhl >

h «i, + • • • + K*r» + h +1 Vr + 1.2 + • • • +\y»t • ' • + KXr» + K+l

Vr + l.n + • • • + KV«n = XAn l

die Cbamer sehe Regel (§ 22) anwenden, so erhalten wir l 1

-

D


' ' •> Xhn ersetzt. DT + 1,Dr+2, ..., Dn enthalten daher r + 1 Zeilen der Matrix (1). Da alle (r + l)-reihigen Determinanten in (1) gleich Null sind, weil der Bang r sein soll, so gibt die LAPLACEsche Entwickelung nach jenen r + 1 Zeilen £ r + 1 = 0 , Dr+2 = 0, £>„ = 0 . Är + i> h = r + 1, . .

a S0 • • •> ^n ^ gleich Null, und man hat für n Gleichungen von der Form X

hl = h2 =

X

^11 + • • • + KXrl > 12 + • • • + K Xr2 >

X

X

X hn = 1 n + • ' • + K Xrn • Jede Zeile der Matrix (1) ist demnach eine lineare Kombination der r ersten Zeilen. Damit haben wir auch den zweiten Teil von Satz 16 bewiesen. Wir können unser Resultat auch so formulieren: Satz 17. W e n n d e r R a n g der M a t r i x (1) gleich r i s t (r > 0), so l a s s e n sich u n t e r den S y s t e m e n (1) r, a b e r n i c h t m e h r u n a b h ä n g i g e a u s w ä h l e n . H a t man r u n a b h ä n g i g e a u s g e w ä h l t , so ist j e d e s d e r S y s t e m e (1) eine l i n e a r e K o m b i n a t i o n von ihnen. Wir beweisen im Anschluß hieran noch folgenden Satz: Satz 18. W e n n in e i n e r M a t r i x eine von Null v e r s c h i e dene r - r e i h i g e D e t e r m i n a n t e v o r h a n d e n ist, (r > 0), d e r e n (r + l ) - r e i h i g e S u p e r d e t e r m i n a n t e n 1 alle gleich Null s i n d , so ist der R a n g d e r M a t r i x g l e i c h r. Wenn eine Determinante ein Minor einer anderen ist, so nennt man diese andere eine S u p e r d e t e r m i n a n t e von jener. Wir wollen annehmen, daß in der Matrix (1) die Determinante

\t ' • Xlr X X 21 X22 ' ' 2r X

Xr ,1 Xr 2„ . • Xrr 1

Damit diese Superdeterminanten sich bilden lassen, muß man eventuell Zeilen und Spalten mit lauter Nullen hinzufugen.

54

Lineare Unabhängigkeit

ungleich Null ist, während alle (r + l)-reihigen Superdeterminanten von ihr gleich Null sind. Da die Matrix

X

12 x22 • ' • Xr2 Xh2

(h = r + 1, ..., m\ s = r + 1, . . » )

den Rang r hat und in den r ersten Zeilen eine von Null verschiedene r-reihige Determinante vorkommt, so ist nach Satz 17 die letzte Zeile eine lineare Kombination der r ersten. Wir sehen, daß in der Matrix

(Ä = r + 1, . .

n)

die n — r letzten Spalten lineare Kombinationen der r ersten sind. Wir dürfen also nach § 23 die n — r letzten Spalten streichen, ohne daß der Rang der obigen Matrix sich ändert. Dieser Rang ist daher gleich r und aus Satz 17 folgt, daß die letzte Zeile eine lineare Kombination der r ersten ist. Dies gilt für h = r + 1, ..., m, und wir dürfen deshalb in der Matrix (1) die m — r letzten Zeilen streichen, ohne daß der Rang dieser Matrix sich ändert. Die Matrix (1) hat also den Rang r. Hieraus ergibt sich folgendes Verfahren, um den Rang einer Matrix zu bestimmen. Man sucht ein von Null verschiedenes Element auf. Gibt es kein solches, dann ist der Rang der Matrix gleich Null. Ist ein von Null verschiedenes vorhanden, so muß man seine zweireihigen Superdeterminanten betrachten. Sind sie alle gleich Null, dann hat die Matrix den Rang 1. Andernfalls muß man unter jenen Superdeterminanten eine nicht verschwindende heraussuchen und ihre dreireihigen Superdeterminanten prüfen. Sind sie alle gleich Null, dann ist der Rang der Matrix gleich 2. Andernfalls muß man unter ihnen eine von Null verschiedene auswählen und ihre vierreihigen Superdeterminanten betrachten usw.

Systeme

§ 25.

von

linearen

homogenen

55

Gleichungen

Systeme von linearen homogenen Gleichtuigen.

Eine lineare homogene Gleichung mit hat die Form aj Zj + a2 x2+

n

Unbekannten

. . . + anxn

=

xlt

x

2

, . . x

n

0.

Wir wollen ein System von m solchen Gleichungen betrachten, A = ®11 X\ "1"fl12X2 + n = 0 a X X = 0 U - 21 1 "f" ®22 2 + • • + «2» X n

(1)

'f m=

a

mlXl

+.

a

m2X2

+

. +'

= 0

a mn n

und seine Lösungen bestimmen, d. h. diejenigen Wertsysteme die allen Gleichungen (1) genügen. Es kommt, wie wir sehen werden, darauf an, welchen Rang r die Matrix 'n

a

i2 • • • °ln

2 71

(2)

hat, die man die M a t r i x des S y s t e m s (1) nennt. Ist r = 0, d. h. Bind alle a gleich Null, so ist jedes Wertsystem x2, ..., xn eine Lösung von (1). Im Falle r > 0 können wir die Gleichungen (1) in einer solchen Reihenfolge schreiben, daß in den r ersten Zeilen von (2) eine von Null verschiedene r-reihige Determinante auftritt. Sollte m > r sein, so sind nach § 24 die m — r letzten Zeilen in (2) lineare Kombinationen der r ersten. Man hat also für h = r + 1, . . . , a

n

h\

=

°11 + Kt

A2

Kl

«An =

K\

a

n

+

• • • + Kr

ß

12 + ^A2 ®22 + • • • + ^Ar

a

in + Kl

a

2n +

• • ' + Kr

a

T\ '

ü

r2 >

«r«

Multipliziert man der Reihe nach mit xlt x2, .. ., a; und addiert dann, so ergibt sich = Kl fl + *A2 U + ' " • + welche Werte auch die x haben mögen. fh

Kr

fr'

56

Die Lösungen des reduzierten

Systems

(3)

auch eine Lösung von (1) ist. Beide Systeme haben also dieselben Lösungen. Satz 19. Hat ein System linearer homogener Gleichungen den Rang r (> 0), so kann man sich bei der Bestimmung der Lösungen auf r Gleichungen des Systems beschränken, in deren Matrix eine von Null verschiedene w-reihige Determinante vorkommt. Man nennt die m Gleichungen (1) linear unabhängig oder kurz unabhängig, wenn ihre Koeffizientensysteme, d. h. die Zeilen der Matrix (2), im Sinne von § 24 unabhängig sind. Im Falle m > 1 bedeutet dies, daß keine Gleichung aus den übrigen durch lineare Kombination hervorgeht. Im Falle m = 1 kommt die Unabhängigkeit darauf hinaus, daß nicht alle Koeffizienten Null sind. Der obige Satz läßt sich hiernach auch so formulieren: H a t ein System l i n e a r e r homogener Gleichungen den Rang r, so kann man sich bei der Bestimmung der Lösungen auf r unabhängige Gleichungen des Systems beschränken. Diese r unabhängigen Gleichungen wollen wir das reduzierte System nennen. § 26. Die Lösungen des reduzierten Systems. Durch eine geeignete Numerierung der Unbekannten können wir bewirken, daß in dem reduzierten System «11 xi+ + • • • + «!«*» = 0 » «21 Xl + «22 X2 + • • • + %nXn = 0 ' «rl X1 + « „ « * + • • • + «r» die Determinante «11 «12

_

=

0

a.1 r

«21 «22 • • • «2 r

. a.rr O-, o. von Null verschieden ist. Im Falle r = n liefert die Crameb sehe Regel a, = 0, x2 = 0, . . x n = 0 als einzige Lösung.

Die Lösungen des reduzierten Systems

57

Satz 20. W e n n d e r B a n g e i n e s S y s t e m s l i n e a r e r h o m o gener Gleichungen gleich der Anzahl der Unbekannten i s t , 1 so m u ß m a n , um d a s S y s t e m zu b e f r i e d i g e n , a l l e Unb e k a n n t e n gleich Null setzen. Im Falle r < n können wir a; r + 1 , . . xn beliebige Werte beilegen und dann auf die Gleichungen a

X

n

! + • • • + «lr XT = ~ («l.r + l Xr + 1 + • • • + «1« ®J >

anx,+

...+

a2r Xr = - (a3>p + 1 xr + l + . . . + a2n xn),

°rl *l + • • • + °rr Xr = ~ («„ , +1 ^r+1 + • • • + «rn Xn) die CEAMEESche Kegel anwenden. Bezeichnen wir mit Ati die Determinante, die aus A entsteht, wenn man die s t e Spalte durch a,,

n), so ist nach der Cramebsehen Regel: 2

ersetzt (t = r + 1, . . X

l

=

~ " T ^ l . r + l Xr+1 + • ' • + -^1« Xr)>

X.% — ~

+ l Xr + \ + • • • + An

X

»

Mr, r + 1 Xr +1 + • • • + An 1 "«)'

r

Diese Gleichungen besagen, daß ®1> x2> • • •» Xn eine lineare Kombination der folgenden n — r Lösungen ist: Ä

l.r+1 A '

Ä

l.r+2 A ' An A

'

-^2, r + 1 A ' •

r+1 • •>

Ä

A

2, r + 2 A ' ' A J» A

'•

•

•}

r.r + 2 A A rn

, 1, 0 , . . . , 0 , 0

l

g

-, 0, 0, . . . , 1 .

1 Wir könnten auch sagen: „Wenn ein System linearer homogener Gleichungen so viel unabhängige Gleichungen enthält als es Unbekannte gibt, usw." * Wir wenden zugleich Satz 5 und 6 an.

58

Methode von Frobenius zur Bestimmung eines Fundamentalsystems

Diese n — r Lösungen sind u n a b h ä n g i g (vgl. § 24) und j e d e L ö s u n g u n s e r e s S y s t e m s i s t eine l i n e a r e K o m b i n a t i o n von ihnen. Umgekehrt ist j e d e lineare Kombination von ihnen eine Lösung unseres Systems. "Wenn wir p beliebige Lösungen hinschreiben, so sind darunter höchstens n — r unabhängige. Fügen wir nämlich noch die obigen n — r Lösungen hinzu, so wird dadurch die Anzahl der unabhängigen Lösungen nicht vermindert. Da aber die p ersten Lösungen lineare Kombinationen der n — r letzten sind, so haben wir jetzt genau n — r unabhängige. n — r unabhängige Lösungen besitzen hiernach immer die Eigenschaft, daß jede Lösung eine lineare Kombination von ihnen ist. Nehmen wir nämlich zw. n — r unabhängigen Lösungen irgend eine (» — r + l)4" hinzu, so besteht zwischen ihnen eine lineare Kelation, in der diese (« — r + l) to vorkommen muß (vgl. § 24), weil sonst die n — r ersten nicht anabhängig wären. Die (n — r + l)46 ist also eine lineare Kombination der n — r ersten. Man nennt ein System von unabhängigen Lösungen, aus denen sich jede Lösung durch lineare Kombination ergibt, ein F u n d a mentalsystem. Satz 21. W e n n d e r R a n g r e i n e s S y s t e m s l i n e a r e r h o m o g e n e r G l e i c h u n g e n k l e i n e r a l s die A n z a h l n der Unb e k a n n t e n i s t , so g i b t es F u n d a m e n t a l s y s t e m e von n — r Lösungen. Um ein solches Fundamentalsystem zu erhalten, braucht man nur n — r unabhängige Lösungen zu suchen.

§ 27.

Methode von FBOBENIUS zur Bestimmung eines Fundamentalsystems.

Um ein Fundamentalsystem von Lösungen für r unabhängige lineare homogene Gleichungen °11 «I + «12 «21 X1 + «32 °rl

+•

• + • •

+ «r2 X2 +

•

+ainXn = o . +ainXn = 0 ,

• + ®rn

zu finden (r < n), kann man so verfahren.

= 0

Methode von Frobenius zur Bestimmung eines Fundamentalsystems

59

Man fügt zu

n — r neue Zeilen «r + 1 , 1 « r + 1 , 2 • ' •

a

r+l,n

°r+ 2,1 «r + 2,2 " • * «r + «,n "-»1

n2

•

•

•

«„,

derart hinzu, daß die Determinante «ii «12 • 1n «21 «22 * •a2n

D =

««2 *. . ati ti nicht verschwindet. Daß dies möglich ist, wissen wir aus § 24. Bezeichnet man nun mit Aht das algebraische Komplement von aht in D, so sind die Wertsysteme A t +i,i > r + 1,2* ' • " Ar + l,n> A A A r +2,2 > •• •> r + 2,n> f +2,1 '

A

(2)

A

A

A

nl >

n2 >

Lösungen von (1). Das folgt aus Satz 15 in § 20. Wenn wir noch zeigen, daß sie unabhängig sind, so wissen wir, daß sie ein Fundamentalsystem bilden. Aus den Gleichungen A A

1 r + l,l + hÄr+2,l

Mr K Ar

X A

+ 1,2 + 2 r+2,2 +

+ ••• + K-rA,,1

= 0

A

> 0

+ • • • + K-r «2 = >

1,„ + K Ar + 2,n + • • • + K-r Ann =

folgt aber, wenn man der Reibe nach mit a,'AI ' [h — r + 1, . . ., n) multipliziert und dann addiert, Vr-D

= 0

(h = r + 1, ...,

Alle % sind also gleich Null. der Lösungen (2) bewiesen.

A2 1

An

»).

Damit ist die Unabhängigkeit

60

n — 1 unabhängige lineare Gleichungen mit n homogenen Unbekannten

§ 28.

n — 1 unabhängige lineare Gleichungen mit n homogenen Unbekannten.

Bei n— 1 u n a b h ä n g i g e n Gleichungen «n ®21

^ + «12 + «32

x

*2+ • • • + « ! „ ^2 + ' • ' + a2»

n

= °> = 0 >

«,,-1,1*1 + «»-1,2 *2 + • • • + «.-1,.®» - 0 besteht ein Fundamentalsystem aus einer einzigen Lösung, die von 0, 0, . . 0 verschieden ist. Bezeichnet man mit Dt diejenige Determinante der Matrix a.1 n . . a„ •*H-1,H» die durch Streichung der s t e n Spalte entsteht, FsoBENivssche Methode die Fundamentallösung Dlt — D2, ..,.(-1 Das algebraische Komplement von ant in

so liefert die

ist nämlich Streicht man den gemeinsamen Faktor (— l)*" 1 , so findet man die angegebene Lösang. Jede andere Lösung hat die Form -XD2, ..., ( - l p W , . Beispiel.

folgt

Aus a1 xl + a2 x2 + a3 x3 = 0, bY Xj + b2 xa + 63 x3 = 0

oder, anders geschrieben,

a„2 «3

«1 «3 h ¿3

hh 0«2 «3 »3

«3 «1

h

«1 «2

\ h «1 «2 ¿2

Beliebige lineare Oleichungssysteme

61

Vorausgesetzt wird dabei, daß die drei Determinanten auf der rechten Seite nicht alle gleich Null sind. § 29.

Beliebige lineare Gleichungssysteine.

Wir wollen jetzt ein System von m linearen Gleichungen betrachten, die nicht alle homogen sind. Ein solches System lautet «11 X1 + «12 X2 + * * * + «1» Xn = b\ ' «zi x i + «22 X2 + • • • + «2» X« = h '

(1)

«„i «.».. n — mbm . 7711 1 +1 mZ«£» 1+ • • • +1 fflfl Wenn x1, x2, ..., xn eine Lösung von (1) ist, so ist ajj, x2, . . ., xn, 1 eine Lösung von

(2)

«11 ^ + «12 X2 + • ' ' + «in *« + bl X«+l = b X «21 X1 + «22 X» + • ' * + «2n Xn + 2 n+l=0>

a nx ' + m b n+1 x ,,=0. aml, x.1 4- am2„ cc„ 2 1+ . . . 1+ mn Ist umgekehrt eine Lösung von (2) und a; n+1 von Null v e r s c h i e d e n , so ist x

X X n+1 n +1 n+1 eine Lösung von (1). Wir finden also alle Lösungen von (1), wenn wir alle Lösungen von (2) aufsuchen, bei denen « n + 1 von Null verschieden ist. Es sind nun zwei Möglichkeiten vorhanden. Entweder erfüllt jede Lösung von (2) auch die Gleichung

s» + i = ° oder es gibt Lösungen von (2), die dieser Gleichung n i c h t genügen. Im zweiten Falle hat das System (1) eine Lösung, im ersten Falle dagegen nicht. Wir müssen also feststellen, ob die Systeme (2) und «11 X1 + «12 X2 + * " • + «in *« + h Xn+X X

X

X

X

«21 1 + «22 2 + • • • + «2 n n + h n +1 =

0

'

0

»

(2) 1 a x „ 1+ m „x, m n ml 1 +1 am22 +1 . . . + mn n 2L » +.,1 = 0 ', x„» +1 ,, = 0 dieselben Lösungen haben oder nicht.

62

Beliebige lineare Gleichungssysteme

Hat (2) denselben Rang wie (2), so ist jedes Fundamentalsystem von (2) auch ein Fundamentalsystem von (2), d. h. (2) und (2) haben dieselben Lösungen. Hat (2) den Eang r und (2) den Hang r + 1, so bestehen die Fundamentalsysteme von (2) aus n — r + 1, die von (2) aber aus n — r Lösungen. Es gibt also Lösungen von (2), die nicht Lösungen von (2) sind. Wenn nun die Matrix «11 «12 • »1 «21 «22 *• • «2«h «ml «m2 *. . amnh 0 0 . .. 0 1 den Eang r + 1 hat, so gilt dasselbe von der Matrix «11 «12 * *•«1»0 «21 «22 * *•«2»0 «ml «m2 • *•«m„0 0 0 . ... 0 1 Dann hat aber «11 «12 • •• «1» «21 «22 •• • «2»

den Bang r, also denselben Rang wie «11 «12 • ••«1« h «21 «22 • ••«2« h «ml «m2 ". '. aM K Damit ist folgender Satz bewiesen: Satz 22. Das System «n *i + «i2 *t + '' ' + ai«x»

= bi >

«21 X1 + «22 X2 + • • • + «2» Xn = h> «»1 ®1 + «m2 ^2 + • • • + «m»*» = K h a t dann und njpr dann eine Lösung, wenn die Matrizen

B e l i e b i g e l i n e a r e

63

O l e i c h u n g s s y s t e m e

«11 «12 • • • «In

«11 «12 • • • «1»

«21 «22 • • • «2 n

und

l

b

«21 «22 • • • «2» h

«ml «m2 • • ' mn m von g l e i c h e m R a n g e sind. Man kann diesen Satz noch einfacher beweisen, indem man sich direkt auf § 24 stützt. Wenn das System (1) eine Lösung hat, so bedeutet dies, daß a

b

i>

• • • >

b

b

m

eine lineare Kombination von «11 > «ai > • • • > «m 1 «12 >«22» • • •> «m2

ist.

Dann hat aber nach § 23 (Bemerkung 6) die Matrix

(3)

denselben Bang wie

«12 «2: «17» « 2 71 • •

97171

«11 «21

• •

ml

«12 «22

• •

. a m3-

(4)

also auch (3)

denselben Bang wie (?)

t

«1 « «2 n " "

.

\

• K

..

h

a mn

«11 «12

• '

«21 «22

• •• « 2 »

•

.

« » 1 «m2 • •

«i«

a mn

«11 «13

• •• « 1 « h

«21 «22

* ' • «2« h

«ml

' •

Ü

m i

.

a mn

K

(vgl. § 23, Bemerkung 1). Wenn (3) und (4) beide vom Bange r sind und man wählt in (3) r unabhängige Zeilen aus, so ist nach § 24 jede andere Zeile

64

Beliebige

lineare

Gleichungssysteme

in (3) und in (4) eine lineare Kombination von ihnen. Also ist b l , b t , . . . , b n eine lineare Kombination der Zeilen von (3). Dies bedeutet aber, daß das System (1) eine Lösung hat. Wie viele Lösungen hat nun das System (1), wenn überhaupt Lösungen vorhanden sind? asj', x 2 ' , . . s e i eine bestimmte Lösung und x1, x2, . . ., xn eine beliebige Lösung von (1). Setzen wir so ergibt sich durch Subtraktion der Gleichungen und die Gleichung

«AI X1 + aMX2 + • • • + ahnXn = K • ' * + ahnXn = h

«M*l' +

«Al2/l + «A2% + + «A n V n = { i - (Ä = 2, ...,»»). Umgekehrt folgt aus den beiden letzten Gleichungen durch Addition die erste. Wenn also xx', x2\ . . e i n e bestimmte Lösung von (1) und y^, y2,.. ., yn eine beliebige Lösung des Systems (5) ist, so ist

«n Vi + «12 Vi + • • • + «i» V« = 0, . «21 Vi + «22 Vz + • • • + «2» 2/*= «»ifl + «•! % + • • • + x

i

+

Vi>

x

2

+ y%>'

0

a

• •» xn

mnVn= +

y«

immer eine Lösung von (1) und jede Lösung von (1) läßt sich in dieser Form darstellen. Im Falle r = n läßt das System (5) nur die Lösung yx =

°>

y% -

• • •» yn =

0

zu. Dann gestattet auch das System (1) nur eine Lösung, vorausgesetzt, daß die Matrix (1) denselben Bang hat wie (3), d. h. den Rang n. Im Falle r < n sei fn» y%i>

2/12» 2/22'

1» Vn-r, ein Fundamentalsystem von (5). in folgender Form darstellbar:

• • •> • • *'

1 2' • ' '» ^n-r Dann sind alle Lösungen von (1)

P r o d u k t

x

2

z w e i e r

=

Z /

+

¿ j

=




h - r V n - T . n -

Die X darf man beliebig wählen. Sechstes Kapitel.

Multiplikation von Matrizen und Determinanten. § 30.

Produkt zweier Systeme von n Zahlen.

xlf x2, . . x n und ylf y2, • • -,yn Wir wollen den Ausdruck

seien zwei Systeme von n Zahlen.

mit (xy) bezeichnen und das i n n e r e P r o d u k t 1 oder kurz das P r o d u k t der beiden Systeme nennen. Dieses Produkt kommt also dadurch zustande, daß man jede Zahl des einen Systems mit der entsprechenden Zahl des anderen Systems multipliziert und die Resultate addiert. Man sagt auch, daß das innere Produkt zweier Systeme durch Z u s a m m e n s e t z u n g oder K o m p o s i t i o n der beiden Systeme entsteht. Man meint damit, daß die entsprechenden Zahlen multipliziert und die Resultate addiert werden. § 31.

Definition des Produkts zweier Matrizen.

Wir betrachten zwei Matrizen mit m Zeilen und n Spalten: «11 «12 • •«i» «21 «22 * •«2»

(A)

.

«ml «m2 •

und (B)

a m n

h l

*12 •

•

h

n

h i

h %

'

•

h

n

K

•

K

i

i

*

*

^ m n

1

Diese Bezeichnung rührt von H. GHASSMANN her. Da wir hier nur eine ' Art von Produkten brauchen, können wir statt „inneres Produkt" einfach „Produkt" sagen. KOWALEWSKI, Determinanten

5

P r o d u k t

x

2

z w e i e r

=

Z /

+

¿ j

=




h - r V n - T . n -

Die X darf man beliebig wählen. Sechstes Kapitel.

Multiplikation von Matrizen und Determinanten. § 30.

Produkt zweier Systeme von n Zahlen.

xlf x2, . . x n und ylf y2, • • -,yn Wir wollen den Ausdruck

seien zwei Systeme von n Zahlen.

mit (xy) bezeichnen und das i n n e r e P r o d u k t 1 oder kurz das P r o d u k t der beiden Systeme nennen. Dieses Produkt kommt also dadurch zustande, daß man jede Zahl des einen Systems mit der entsprechenden Zahl des anderen Systems multipliziert und die Resultate addiert. Man sagt auch, daß das innere Produkt zweier Systeme durch Z u s a m m e n s e t z u n g oder K o m p o s i t i o n der beiden Systeme entsteht. Man meint damit, daß die entsprechenden Zahlen multipliziert und die Resultate addiert werden. § 31.

Definition des Produkts zweier Matrizen.

Wir betrachten zwei Matrizen mit m Zeilen und n Spalten: «11 «12 • •«i» «21 «22 * •«2»

(A)

.

«ml «m2 •

und (B)

a m n

h l

*12 •

•

h

n

h i

h %

'

•

h

n

K

•

K

i

i

*

*

^ m n

1

Diese Bezeichnung rührt von H. GHASSMANN her. Da wir hier nur eine ' Art von Produkten brauchen, können wir statt „inneres Produkt" einfach „Produkt" sagen. KOWALEWSKI, Determinanten

5

66

Definition des Produkts zweier Matrizen

Das Produkt der r t e n Zeile von (A) und der s t e n Zeile von (B) bezeichnen wir (vgl. § 30) mit (arbs). Es ist also («r bs) = arl Kl + ar2bs2+ • • • + «r» Kn • Aus diesen m 2 Produkten können wir die folgende quadratische Matrix bilden K bi) («] b3) • • • («i K) K h) K h) • •' K 6m) (°„A) K A ) • • • Die Determinante dieser Matrix, also die Determinante («1 bl) («1 h) •• • («i K) K

b

i) K h) •

Kh)

KA)

•

•

• •

•

(«2 bJ ( « •

K)

nennt man das P r o d u k t der beiden Matrizen (A) und (B), und man schreibt a

n

a

i2 •

«21 °22 •

•

•a2n

•

aml. a7»a». • amn

K

b

K\

b

n

•hn

•

m2 •* ' bmn

(«i ö i) («i K) •

•

(«2 6 l) («2 h) '

• (®2 K)

Kbi)

•

Kh)

•

(«i bJ

K K)

Im Falle m = 1 haben wir es mit dem Produkt zweier Systeme von n Zahlen zu tun. § 31 ist also als eine Verallgemeinerung von § 30 anzusehen. § 32.

Produkt zweier Determinanten.

Wenn m = n ist, sind Ä und B zwei quadratische Matrizen mit n Zeilen. Wendet man auf das Produkt A B mehrere Male den Satz 6 an (bezogen auf die Spalten), so ergibt sich, daß A B gleich

(i)

«1 r2 f>2r, • • airnKrn «2ro hrt • • «2 rnbnrn

2 «iir, &lr,

a

nr2 b2n . • anrn K rn

ist. Jede der Zahlen rx,r2,. . rn kann die n Werte 1, 2, . . annehmen. Die Summe besteht also aus »" Determinanten.

n

67 Nun ist aber nach Satz 5 «Ir, ilr, «lr.

blr,

•

a^ Ti b lr> «2r. anri

b[

anr. b >r,

•

•

«1 rn

K

«lr,

rn

•

02rnbnr„

•

ar.rnbnrn

=

•

• «In,

«2 r, 02rs •

• «2r„

air,

0»r„ •

ann

•

b\r.

b-2

. . .

bn,

« » > »

Wenn zwei von den Indizes r1, r2, . . ., rn einander gleich sind, hat die Determinante «1 r. dir,

•

02 r, •

(2)

On r2

•

• «2rB •

anT%

zwei übereinstimmende Spalten, ist also (vgl. Satz 3) gleich Null. Wir können uns daher auf diejenigen Wertsysteme rH 2 beschränken, die aus lauter verschiedenen Zahlen bestehen. Die Summation bei (1) erstreckt sich dann über alle Permutationen von 1, 2 , . . . , » . Setzen wir a u «12 • • «1„ «21 «22 • • «2»

—

« » i ««2 • . ann so ist die Determinante (2) gleich ± St (vgl. § 13). Hauptglied «lr, «2r2 • • • Dieses Glied hat in 21 den Faktor 8

/I 2 . . .

s g n

W

V

• •

n\ r

J

'

Die Determinante (2) ist demnach gleich

und dieJSumme (1) läßt sich so schreiben: Setzen wir

hl

bm

bi2

•••

bm

h i

• • •

hn

h i

In (2) lautet das

68

Produkt

zweier

Determinanten

so ist (vgl. § 9) = 2s8

n

b 2r

(* \ . . . r )

' ' ••'

bnr

«-

Die Summe (1) wird also gleich 9133. Satz 23. D a s P r o d u k t d e r b e i d e n M a t r i z e n J

11 b12 •••

und

Kn

b

h\ n Ki

b

m •

•

•

Kn

ist gleich dem P r o d u k t i h r e r D e t e r m i n a n t e n . Wir können diesen Satz auch so formulieren: Satz 24. D a s P r o d u k t d e r b e i d e n D e t e r m i n a n t e n an

«12 • •«1»

«21 «22 • • «2»

und

Ki

b

•Kn

Ki

b

•Kn

l2 ' 22 •

. b11» Ki bn2 ««2- • ann l ä ß t sich a l s w - r e i h i g e D e t e r m i n a n t e s c h r e i b e n , u n d z w a r hat man a

nl

«21 «22 * * ' «2

Kl

b

Kl

b

22 '

Ki K2 •

•Kn . bnn

• («i K) («2 *>l) («2 K) • • («2 K) («i K) K K) •

12 • ••Kn =

Mi) K K ) • • K K )

wobei ist.

M . ) =

a

rl Kl +

«r3 Ki + • • • + a ,.rn bs n

Man nennt diese Multiplikation zweier Determinanten die M u l t i p l i k a t i o n n a c h Z e i l e n . Es gibt noch drei andere Arten, zwei Determinanten zu multiplizieren. Man kann vor der Multiplikation die Zeilen von 9t oder die Zeilen von 95 oder auch die Zeilen von 9t u n d die Zeilen von als Spalten schreiben und dann nach Zeilen multiplizieren. Die Elemente der Produktdeterminante entstehen dann durch Komposition der Spalten von 9t mit den Zeilen von 95 oder der Zeilen von 91 mit den Spalten von SB oder der Spalten von 91 mit den Spalten von 95. Endlich kann man noch die beiden Faktoren 91 und SB vertauschen. So läßt sich z. B. das Produkt von D =

K

K

und

A =

ßi

ß*

?i

Yi

Das Quadrat der Vander monde sehen Determinante

69

zunächst auf folgende vier Arten als zweireihige Determinante schreiben: b

i ßi + hßi> h Yi + h 72 1 ßl + C2 ßi ' C1 7l + C2 r2 (Zeilen von D mit den Z e i l e n von A komponiert). C

hßi + hn, h ß2 + b2 y2 C ß l ßl + 2 » l ßi+OiYz (Zeilen von D mit den S p a l t e n von A komponiert), ß

K ßi + h 7i + C2 72 (Spalten von D mit den Z e i l e n von A komponiert), b

i ßi + ci7i, hßi + OiY* | 2 ßl + C2 7l, h ß2 + C2 72 I (Spalten von D mit den S p a l t e n von A komponiert). h

Vertauscht man D mit A, so erhält man vier andere Ausdrücke für D A, die aber aus den obigen durch Umklappung um die Hauptdiagonale entstehen. § 33.

Das Quadrat der

VANDERHONDE sehen

Determinante.

Um eine Anwendung des Multiplikationssatzes der Determinanten zu haben, wollen wir das Quadrat der in § 21 betrachteten VANDEBMONDEschen Determinante berechnen. Multiplizieren wir „11-1 „71-2 ... 1 V

=

a"

a!}~ . . . 1

a'r1 « r 2 . . . 1 mit sich selbst, indem wir Spalten mit Spalten zusammensetzen, so ergibt sich F2= V-i °n-a • • • ®o Dabei hat sk folgende Bedeutung: + s0 ist also gleich n.

+

+

( 4 - 0 , 1, 2 , . . . )

70

Produkt rechteckiger Matrizen Aus § 21 wissen wir, daß F n 2 gleich («i - « 2 ) 2 K - «3)2 • • • ( « ! - «J 2 ( a 2 - a3)2 . . . (a2 —a„) 2 a

K-i -

n?

ist, also gleich dem Quadrat des Differenzenprodukts der n Zahlen alt a2, . . an. Das Quadrat des Differenzenprodukts läßt sich demnach durch die Potenzsummen sk ausdrücken, und zwar in Form einer Determinante, deren Elemente solche Potenzsummen sind. § 34.

Produkt rechteckiger Matrizen.

Wenn wir zwei rechteckige Matrizen b b

ll l2'--bl,

«11 «12 «21 «22 ' ' ' «2n

6

und

«ml «wi2 • • * amn

21622---62.. b

ml

(m>„)

• • • ^mn

nach Zeilen multiplizieren, so ist es erlaubt, in jeder Matrix k Spalten mit lauter Nullen als (n + l) t e , (n + 2) te , . . . , ( « + 7c)te Spalte hinzuzufügen. Dabei bleiben nämlich die Elemente (ar bs) der Produktdeterminante völlig ungeändert. Im Falle m >ra können wir durch Hinzufügen von m — n Spalten mit lauter Nullen die Matrizen quadratisch machen. Dann wird nach Satz 23 ihr Produkt gleich dem Produkt von zwei m-reihigen Determinanten, deren jede wenigstens eine Spalte mit lauter Nullen enthält, also gleich Null ist. Satz 25. M u l t i p l i z i e r t m a n zwei M a t r i z e n m i t m Z e i l e n u n d n S p a l t e n , so i s t d i e P r o d u k t d e t e r m i n a n t e im F a l l e m > n g l e i c h Null. Da wir den Fall m = n schon in § 32 untersucht haben, bleibt nur noch der Fall m < w übrig. In diesem Falle ist das Produkt der beiden Matrizen gleich der folgenden Summe (vgl. Satz 6):

2

«in

hn

«2r,

hr,

Air,

hr, •

•

h

• «2rm

r, •

0>mrh%r2

•

b

mrm Krm

71 d. h. gleich dir, «lr, (1)

2

• • «lr m 02 r, 02r, • • «2 rm

hri i>2r,_ • • • K

• amrm Jeder von den Indizes r1, r2, ..., rm nimmt die Werte 1, 2, . . . , n an, so daß die Summe aus nm Gliedern besteht. Wir können aber von denjenigen Systemen rlt r2, . . ., rm absehen, bei denen zwei Indizes gleich sind, weil ihnen verschwindende Glieder von (1) entsprechen. Die Glieder der Summe (1) lassen sich in Gruppen zusammenfassen, und zwar wollen wir alle Glieder, die aus einem bestimmten durch Vertauschung der Indizes rx, r 3 , . . . , rm entstehen, mit diesem zu einer Gruppe rechnen. Die Summe der Glieder einer solchen Gruppe läßt sich also in folgender Weise schreiben:

(2)

2

«igi ®ie! • • aUm °2e, a2Sl • • °2em

hoei1

">em •

• amem Diese Summe besteht aus ml Gliedern und pj, g2, . . . , (>m ist eine Permutation von rlt r2, . . rm.1 Die Determinanten

• a 2 ßm

und

• a2 • • • Qj

¿- e g u m m e (2) läßt sich in folgender Weise

schreiben:

«lr, ®lr2 • • • ffllr, 02r, 02r, • • • 02r,

2

s

1 2

8n

Qi Qz

. m •

o_

biei b?e* •••b* Sm '

®»r2 • • • °mr, Nun ist aber Ölr, &lr.; • • • b U m b2r, &2rä • • • ^mrj bmTi . . . bll)rm

Die Summe (2) wird also gleich 01 r, «lr, •

•

«2r, 02rt •

• °2r m

a

mrt • • a™rm

•

blr, ¿lr, •

• birm

hr, b2rt •

• h2rm

bmti bmrt.

und (1) ist die Summe aller dieser Produkte. Um zu wissen, wie viele solcher Produkte es gibt, braucht man nur zu ermitteln, auf wie viele Arten sich unter n Dingen m (< n) Dinge herausgreifen lassen, oder wie viele Kombinationen von n Dingen zur m t e n Klasse existieren. Wir wissen, daß es I n\ [ml

n! »»!(» — m)\

solche Kombinationen gibt. Satz 26. D a s P r o d u k t z w e i e r M a t r i z e n m i t m Z e i l e n u n d » S p a l t e n f i n d e t m a n im F a l l e wi < n, i n d e m m a n j e d e m-reihige D e t e r m i n a n t e der einen Matrix mit der entsprechenden D e t e r m i n a n t e der andern Matrix m u l t i p l i z i e r t und alle diese P r o d u k t e addiert. Das Produkt der beiden Matrizen ist also gleich dem Produkt zweier Systeme von | ^ j Zahlen im Sinne von § 30. Um das eine System zu erhalten, schreibt man die m-reihigen Determinanten der einen Matrix in irgend einer Reihenfolge auf. Das andre System besteht aus den entsprechenden Determinanten der andern Matrix.

Anderer Beweis des Multiplikationssaixes der Determinanten

73

§ 35. Anderer Beweis des Mnltiplikationssatzes der Determinanten. Das Produkt der Determinanten • • «•. und

91 =

b

SB =

n hl

b

12 • •• hn 22 • • • h n

b

hl bn2 kann man durch eine (2 w)-reihige Determinante darstellen. Entwickelt man nämlich die (2re)-reihige Determinante «11 «12 ' . a,1 n 0 0 . . o «21 «22 * . tt„ Sa 0 0 . . 0 «»1 «n3 • . ann 0 0 . . 0 11 °12 • • em bn ¿12 • •hn C 21 e22 • • C2n h! b22 ' •hn C

C

nl en2 '

b • c«« nn m h2-

. bnn

nach den n ersten Zeilen (vgl. § 19), so reduziert sich diese Entwickelung auf ein einziges Glied. Denn in den n ersten Zeilen ist 9t die einzige von Null verschiedene Determinante und ihr algebraisches Komplement ist SB. Die Elemente crt können wir ganz beliebig wählen. Wir wollen nun alle ers mit zwei verschiedenen Indizes gleich Null setzen, alle ert mit gleichen Indizes aber gleich —1. Die (2w)-reihige Determinante lautet dann a «ii «12 • • m 0 0 . . . 0 «21 «22 • • «2n 0 0 . . . 0 «»1 «»2 • . ann 0 0 . . . 0 b -1 0 . . 0 l2- -hn 0 - 1 . . 0 hi b22 •••hn 0 . • - 1 7)1 hl hi- . . bnn Addieren wir hier zur (n + s)ten Spalte (s = 1, 2, . . ., n) die mit bls multiplizierte erste, ferner die mit bis multiplizierte zweite Spalte usw., schließlich die mit bna multiplizierte n t e Spalte, so bleibt die Determinante ungeändert (vgl. Satz 7). Andererseits hat sie nach dieser Umformung folgende Gestalt: 0

74

Anderer Beweis des MuUiplikationssatxes der Determinanten

°11 a l i «»1 a2i-

•

a

•

a

•

m

Pn Pu •

i n Pn

Pn

•

•Pin

• •

•Pin

«.1 ani • . aiin Pn 1 Pni * ' Pnn - 1 0 . . 0 0 0 . .. 0 0 - 1 . . 0 0 0 . .. 0 0 .

0

.

0

0 . .. 0

Dabei ist irr»

rl

Ii

'

r i i s '

'

rnn»

pri entsteht also durch Komposition der r ten Zeile von 91 mit der stea Spalte von Die obige (2 w)-reihige Determinante entwickeln wir nun nach den n letzten Zeilen. Diese Entwickelung reduziert sich auf ein einziges Glied, weil es in den n letzten Zeilen nur eine von Null verschiedene Determinante gibt, nämlich - 1 0 .. . 0 0 - 1 .. . 0 = c—ir 0

0

. . -1

Ihr Komplement ist Pn Pn • • • Pi» Pn

Pn

•

•

Pin

Pill

Pn2

• • '

Pnn

•

Um das algebraische Komplement zu erhalten, muß man noch den Faktor 1)1 + 2 + . . . + » + (« + 1) + (n + 2) + ... + 2n

hinzufügen (vgl. Satz 11). Nun ist aber 1 + 2 + . . . + » + ( » + l ) + (» + 2) + . . . + 2» = 2(1 + 2 + ... + n) + n\ Der fragliche Faktor ist also ( — 1)"* und die (2 w)-reihige Determinante, d. h. 9t 93, wird gleich Pn Pil

• • •

Pn

Pn 1 Pili

Pin Pin

x

' '

Pnn

.

Anderer

Beweis

denn ( - l f

+

des

Multiplikationssalxes

rechteckiger

Matrizen

75

" ist gleich 1, weil w3 +

n =

+

1)

eine gerade Zahl ist. § 36. Anderer Beweis des Multiplikationssatzes rechteckiger Matrizen. Auch der Multiplikationssatz rechteckiger Matrizen läßt sich durch das in § 35 benutzte Verfahren beweisen. Wenn die beiden Matrizen 11 b,„12

b,1

°21 «22 • • • «2»

un(J

b

21

a ml fflm£ . . . ™

a ,

In

. . .

b. _

• • •

K,

K

b

K \

mi

zu multiplizieren sind und m kleiner als n ist, so bilden wir die folgende (m + n)-reihige Determinante

D

0 0

0 0

0

0

ibn

hi

=

b

12

b

U,

b

22 h

0

OJJ

a12

0

«21

«22

0

®.l

a

m2

. •

.

a. a

mn 6in l, - 1 0 . . 0 ro2 o - 1 . . 0 0 0 . -1

Addieren wir zu der s ten Spalte die mit btl multiplizierte (m + l) te , die mit bt2 multiplizierte (m + 2)te, die mit bsn multiplizierte (m + Spalte (s = 1, 2, . . m ) , so wird («i h ) («i K) • • • («i K ) «ii «12 • • • «i« («2 h) («2 K) • ' • («2 K) «21 «22 • * * «2« D

_

\ K

j

b

l )

o o 0

K A ) • • • M J «ml am2 o o - i o ... o 0 0 0 -1. .. 0 0

...

0

0

0...-1

76

Anderer Beweis des Multiplikationssatxes rechteckiger Matrizen Entwickeln wir nach den n letzten Zeilen, so ergibt sich («i bi) («i h) ••• («i bJ D = (-1)"

^

^

''• ^

Kb->) • • •

Kh)

bm)

KhJ

{ — \ f D ist also das Produkt der beiden Matrizen im Sinne von § 31. Wir können nun aber auf D, ohne vorher eine Umformung vorzunehmen, den LAPLACEsehen Satz anwenden. Entwickeln wir nach den m ersten Zeilen, so kommen nur die Determinanten

M =

«lr,

•

0 2 r, « 2 r s •

•

" 2 rm

ümr, • • amrm in Frage. Dabei sind rx, r 2 , ••.,rm und es ist r!1 + i>2 + ••• + Qn- m + (rn + 1) + (m + 2) + . . . + « ist. K hat dann nach dem

LAPLACE sehen

Satz den Wert

Das algebraische Komplement M von M ergibt sich aus K durch Multiplikation mit (— l) r , wobei T =

1+

2 +

... +

m + (m + rj + (m + r2) + . . . + {m + r j ,

so daß MM = {-])n~m

ist.

+ a+ I

MM'

Offenbar wird nun . Um Art zu erhalten, muß man in D die r t e Zeile und die ste Spalte streichen und dann mit ( — l ) r + * multiplizieren. Die Determinante

A

=

Al Ai •

• An

A l Aa •

• A»

A i Aa • nennt man die zu D r e z i p r o k e Determinante. Man erhält also zu einer gegebenen Determinante D die reziproke, indem man jedes Element von D durch sein algebraisches Komplement ersetzt Multiplizieren wir D und A nach Zeilen, so ergibt sich 0 ... 0

D

D A

0D...0

=

0 0 ...

In der Tat ist «rl A l +

a

r2

Aa

+

D

+ «r« A n

im Falle r ^ s gleich Null und im Falle r = s gleich I) (vgl. § 20). In der Produktdeterminante sind daher die Hauptelemente gleich D und die übrigen Elemente alle gleich Null. Sie hat also den Wert D", so daß D

A

—

D

n

ist. Wenn D nicht verschwindet, so folgt hieraus A

=

.« — l

Ü

79 Satz 27. D i e r e z i p r o k e e i n e r von N u l l v e r s c h i e d e n e n w - r e i h i g e n D e t e r m i n a n t e i s t e b e n f a l l s von N u l l verschieden. S i e i s t n ä m l i c h g l e i c h der ( « — l ) t 3 n P o t e n z dieser Determinante. § 38. Die Minoren der reziproken Determinante. M sei ein reihiger Minor von A (1 ^ p < n). Seine Zeilenindizes seien r 1} r2, . . ., r , seine Spaltenindizes s2, . . s p . Mit (>j, g 2 , . . . , Q n _ p wollen wir die Zeilenindizes und mit ffj, cr2, . . n_p durch 0, so entsteht eine »-reihige Determinante Ä, die gleich t M ist; e hat den Wert Entwickelt man nämlich Ä nach den Zeilen , . . . , g n _ p , so reduziert sich die Entwickelung auf ein Glied, weil in den genannten Zeilen nur eine von Null verschiedene Determinante vorhanden ist, die den Wert 1 und das algebraische Komplement « M hat. Wir wollen jetzt A und D nach Zeilen multiplizieren. Dann läßt sich von der Produktdeterminante A D folgendes sagen: In den Zeilen rx, rt, ..., rp sind die Hauptelemente 1 gleich D, weil °rl Arl + °r2 4-2 + "•+«,» Am = D > alle übrigen Elemente aber gleich Null, weil im Falle 9 == r a A

.i n

ist.

+ ••• + a.nAm

+

Die Elemente der Zeilen (»j, g 2 , . .

0

Q n _ p in Ä D lauten

O'iol

a

2ol

• • • fflno,

®la,

«2o2

• • • Ono,

an-p &2on-p • • •

=

an-p •

Ä D wird also nach dem LiAPLAOEschen Satze gleich 1

Das heißt die Elemente mit gleichen Indizes.

80

Die Minoren der reziproken

Determinante

• aen-p" l a

dg? a2

e,a.

Dp

• aen-p"t ßn-p an-p

a

ei"n-p "

oder, was dasselbe ist, gleich a

£>l °t

Dp

• aet°n-p

a

a

ei"i

ei«i

• aei «n-p

en-pa i ^Qn-pa2 * • aen-p »n-p

a

Da 4 = tM war, so ergibt sich im Falle D ungleich Null, a

e, °t

M =

Dp~1e

• aei«n-p

a

et"i

a

en-p°i ®Sn-p'

' aen-p "n-p

Bezeichnen wir mit M den Minor von D, der dem Minor M entspricht, d. h. dieselben Zeilen und Spaltenindizes wie M hat, so läßt sich die obige Formel auch so schreiben: M =

DP~XM.

Dabei bedeutet M das algebraische Komplement von M in der Determinante D. Satz 28. D sei e i n e von Null v e r s c h i e d e n e D e t e r m i n a n t e u n d A die r e z i p r o k e von ihr. I s t d a n n M ein j ) - r e i h i g e r Minor von A und M d e r e n t s p r e c h e n d e Minor von D, so u n t e r s c h e i d e t sich M von dem a l g e b r a i s c h e n K o m p l e m e n t von M n u r um den F a k t o r Dp~1. Wir können auch sagen: Das a l g e b r a i s c h e K o m p l e m e n t von M' u n t e r s c h e i d e t sich von M' n u r um den F a k t o r Z J P - 1 . M' ist das Komplement von M, also der Minor von D, der dem Minor M' entspricht. Die algebraischen Komplemente der Elemente von A sind hiernach gleich den entsprechenden Elementen von D, multipliziert mit dem Faktor Dn~2. Die reziproke Determinante der Beziproken ist also wieder die ursprüngliche Determinante, nur daß alle Elemente den Faktor I f ' % erhalten haben.

Die

§ 39.

Reziproke

einer

verschurindenden

Determinante

81

Die Reziproke einer verschwindenden Determinante.

Wir haben bisher angenommen, daß D von Null verschieden ist. Jetzt wollen wir den Fall D = 0 erledigen. Und zwar beweisen wir folgenden Satz: Satz 29. W e n n e i n e D e t e r m i n a n t e g l e i c h N u l l ist, so h a t i h r e .Reziproke e n t w e d e r den R a n g 1 o d e r den R a n g 0. Wenn D = 0, so ist der Rang von D entweder gleich n — 1 oder kleiner als n — 1. Im letzten Falle sind alle Art gleich Null, d. h. die zu D reziproke Determinante hat den Rang Null. Im ersten Falle haben die linearen Gleichungen a

+

x1

n

al2

®21 Xl

+

a

«nl

+

a

x2 +

. . . +

X

22

2 +

• • • +

X

n2

2 +

«j

n

x

=

n

a

2nXn

=

• • • +

0 , 0

»

0

=

nur e i n e unabhängige Lösung (vgl. Satz 21), aus der sich jede andre durch Multiplikation mit einem Faktor ergibt. Diese unabhängige Lösung sei x^ =

B

x2

i t

=

B

, . . „

2

x

n

= B

.

n

Dann läßt sich jede Lösung in der Form X B

schreiben.

1

,

X B

2

, . .

X B

n

Nun ist offenbar A

A

r\>

r2>

A

• • •>

A

rl

=

A

r

A

'

t2

=

(r =

m

eine Lösung unseres Systems. man hat

1

>

2

>

• • •»

n

)

Also gibt es eine Zahl Ar, so daß A

rB2>

A

' ' •>

rn

~

2

Die » Elemente Are der reziproken Determinante drücken sich somit durch die 2 n Zahlen A

l t

Ä

2

, . . . ,

An

und

B

1

, B

2

, . . . , B

n

in der Form aus A

r , =

A

r

B

, .

(r,

s = l ,

2 , . . . ,

n).

Daraus folgt, daß alle zweireihigen Determinanten Arltl ATl,i Ar,»,

gleich Null sind. Ar,B.t

A

r2*t

Eine solche Determinante ist nämlich gleich A

Kowalbwski, Determinanten

u

B

— h

A

rt

Aft

= 0.

82

Die reziproke Determinante eines Produkts zweier Determinanten

Die Sätze in § 37 und § 38 gelten also auch im Falle D = 0. Denn in der Matrix der reziproken Determinante verschwinden dann alle mehr als einreihigen Determinanten. Daß die Sätze 27 und 28 im Falle D = 0 ihre Gültigkeit bewahren, können wir auch aus den Betrachtung«! in § 15 entnehmen. Ersetzen wir die Hauptelemente an, a22, . . ., ann durch «ii + -^T> «»« + -£-»•••» %n + - y

(p-1,

2,...)»

so ist D von Null verschieden, sobald nur p genügend groß ist. Dann also gelten die Sätze 27 und 28. Lassen wir nun p unbegrenzt zunehmen, so ergibt sich mit Hilfe von § 15, daß unsere Sätze im Falle D = 0 bestehen bleiben. § 40.

Die reziproke Determinante eines Produkts zweier Determinanten.

Wir wollen die beiden Determinanten «11 «12 • . a.In «21 «22 • • «2 n

b

und

°»1 «»2 •. . ann

n bi2 • •hn hi hi • • hn

h\ hi

•

• hn nn

miteinander multiplizieren, und zwar nach Zeilen. Um zu der Produktdeterminante («i h) («i h) • • K h) («2 h) («2 h) • •M„) Kh)

Kh) • •MJ

die reziproke zu bilden, muß man das algebraische Komplement ers von (ar bt) aufsuchen. (—l) r +"e rs ist das Produkt zweier Matrizen, die man erhält, indem man in der Matrix «u «12 • ' «21 «22 • '

• t . «nl «n2 * ' ann die r t e Zeile und in der Matrix

Das Theorem von Sylvester

83

bl\ bl2

K

bM

••• h . ••• b2»

Ki nl n2 . . . 6»n die « t o Zeile streicht. Dieses Produkt kann man aber nach § 84 auch durch Komposition der (n — l)-reihigen Determinanten beider Matrize» gewinnen. Die (n — l)-reihigen Determinanten der ersten Matrix lauten:

( - i)r+1Ai,

( - i)r+2Ar2, ...,(-

iy*-Arm,

die der zweiten:

• • • , ( - 1 )'+nB,n. Das fragliche Produkt wird demnach gleich

(-

Bn + Ar2B,2 + ...+

ArnBJ

und oTt gleich

Ai B,x + Ar2B,2 + ... + ArnB,n = (ArB,). Man erhält also die Elemente cTt, indem man die reziproken Determinanten der beiden gegebenen nach Zeilen multipliziert

§ 41.

Das Theorem von

SYLVESTEB.

Wir wollen die n — 1 letzten Zeilen von

A=

mit a u multiplizieren.

ai

71

Dann erhalten wir (vgl. Satz 5)

—

ona21 OjX a22 . . . au a2n ail anl

«11 «»2 • • • «11 ann

Subtrahieren wir jetzt von der zweiten Zeile die mit a21 multiplizierte erste Zeile, von der dritten die mit a31 multiplizierte erste, . . . , von der w4®" die mit anl multiplizierte erste, so ergibt sich (vgl. Satz 7)

84

Das Theorem von Sylvester «11 «12 «1» 0 «11 «22 - a 12 a 21 .. • «11«2»- «1» «21 0 «11 «„2 - «12 «»1 • • «11« n » - «1» «»1

d. h. (vgl. Satz 14) alj1A = a n

«11 «22 - «12 «21

«11 «2n - «1'21 » «i

Im Falle a n ungleich Null folgt hieraus M e"

«11 «22«21» «11 «28 (1) a«-*A = «11 «32~ «12 «31 >«11 «33

«11 ««2- «12 n\> «11 ««3-«13 «nl» • a

Die Formel gilt aber auch für die rechte Seite gleich ( - 1 ) " " 1 « ! ! «13 •••«!»

o n «2« — ®i 1 n««21 an «3n — ® 1i n»«31

«13 «21' * «13 «31» •

= 0.

•

1

-,

« „

—a,1 n«»1

Dann wird nämlich

ioi «O, • . - OßQ1 . . a,31 . . ani

Im Falle n > 2 sind also in (1) beide Seiten gleich Null. Im Falle n = 2 reduziert sich die Formel (1) auf A = A, wenn wir a", durch 1 ersetzen. Die Elemente der Determinante rechts in(l) sind die zweireihigen Minoren von A, welche o n als einreihige Unterdeterminante enthalten, oder die zweireihigen S u p e r d e t e r m i n a n t e n von an. Setzen wir zur Abkürzung = 6r(

(r, s = 2, 3, ...,

n),

so läßt sich Formel (1) so schreiben: b

a»~*A =

(1)

2Z b33 •••b2n b 3i b33 ••• b3n K* Ks---

1

«n

K

Man kann sich hiervon auch dadurch fiberzeugen, daß man zuerst 0 annimmt und dann a,, nach Null konvergieren läßt.

85

Das Theorem von Sylvester

Auf die Determinante hi hs • hi

B =

b33

-h»

• ••hn

hi hs • . bnn

können wir wieder die Formel (1) anwenden. hi h »

so ist

hi

h.

= ßr.

(T>

Setzen wir

= 3> 4> • •

S

n)>

ßs3 ßn • • • ßsn b«-*B

(2)

=

ßi3 ßii • • • ßin ßn3 ßni ' " * ßnr,

Formel (1) liefert aber, angewandt auf die Determinante

die Gleichung

«il «12 «1» «21 «22 «2 Ä «ri «rS «r*

(r, s = 3, 4 , . • -, w),

hi

hs

hih.

=

ßr,'

so daß (2) folgende Gestalt annimmt: C 33

b»-3B =

a»-i

C3l

' • • C3n • C. '4 n

Hieraus ergibt sich unter Beachtung von (1) 3n (2)

H 73A

=

Hierbei haben wir o^ =(= 0 angenommen. Die Formel (2) gilt aber auch für an = 0, wie sich sofort ergibt, wenn man a n nach Null konvergieren läßt. Die Elemente der Determinante

C

=

86

Das Theorem von Sylvester

sind die dreireihigen Saperdeterminanten von Ò

22

von

=

Man kann hiernach folgenden Satz vermuten: Satz 30. Die aus den (Ä + l)-reihigen S a p e r d e t e r m i n a n t e i 1A 2h

gebildete D e t e r m i n a n t e ist gleich n — h —1

®11 ®12 2h

• a.

hh

Um sich von der Richtigkeit des Satzes zu überzeugen, brauch man nur zu beweisen, daß er richtig bleibt, wenn man h durch A+l ersetzt (A < n).1 Das geschieht aber in folgender Weise. Setzen wir zur Abkürzung

b.

(r, s = A + 1 , .

=

so lautet die Formel des Satzes 30 b Ä+l h+1, ft+2 • bh+l, n b b h+2 h+ 2, ft+2 ' • bh+2,n

(3)

Kh +1

Kh + 2 • . a,ih

•

Kn

- A- 1

"ì»

. . . a.•2 h vl °»2 • • • ann

a

1

Für h = X und h = 2 gilt der Satz.

87

Das Theorem von Sylvester Nun ist aber ^A + l, A+l ^A+l, h + 2 ' •\ + l,n ,n-h-2 ^A+2, A+l ^A+2, A + 2 • ^A + 2, n °h + l,h + l

(4)

K, A +1 K,h+2 • ..

ßh+2, h+2 ' ' ßh+2, n ßn, A+2 '* ' ßnn

bnn

Dabei hat ßTg folgende Bedeutung: ^h+1, A+l ^A+l,» r, h + 1

r.

(r, s = h + 2, . .

n).

Wendet man nunmehr auf die Determinante «11 «21

«1. «12 • •• «1,A+1 «22 • • ' «2, A + l «2.

+ 1+ l , . «A+1,1 «A + 1,2 •• • «A + 1, A«A «r2 • • • «r, A+l «r. «rl den Satz 30 an, so ergibt sich

ßr.=

«1A «11 «12 • ' • «21 «22 «2 A «AI «A2 • " «Afc

«11 «21

«l.A+l «1. «12 • «22 • • ' «2, A+l «2.

«A+l,. l «A + 1,1«A+l, 2 •• • «A +1, A + «rl «r2 • •• «r, A + l «r.

man also

0.

«11 «21

«12 «22

"l.A+l A +1

2 8

=

(r, s = A +

2,...,n),

«A + 1,1 «A+1,2 ' ' * «A+l, A+l «A+l,. aV, A +1 t2 rl so wird ßh+2, A+2'"" ßh+2, « ßn,h+ 2

ßnn

n — h —1

CA+2,A+2*"CA+2,

Cn,

h+

2

•' *

n

Cnn

Die Formel (4) liefert also unter Berücksichtigung von (3)

88

Das Theorem von Sylvester h + 2, A + ß2h + 2, A + 3 '• Ch + 2, n

C ß

h+3, ft+2

h + 3, h + 3 • Ch +3, n C

°n,h + 2

=

«11 «21

-

C

n,h+ 3

«12 • «l.A l «22 • • • «2, h + 1 • •

«A+1,1 «A + 1,2

•

+

'

n - h - 2

«11 «12 '

•

a

in

«21 «22 * • «2 n

• «A+l, Ä+l

«nl ««2 "

•

a

nn

Dies ist aber der Satz 30, nur daß h durch h + 1 ersetzt ist. Wir haben hierbei angenommen, daß «21 «22

«2 A

«/ll «A2 ' ' ' «AA ungleich Null ist; denn es wurde durch «11 «12 * • «1A ii — h — 1 «21 «22 ' • «2 A «AI «A2 • • «AA dividiert. Ersetzt man a n , a 32 , . . ., ahh durch • 1 ®ii+y

, 1 , 1 «22•••>.ahh + j

und läßt p die Folge 1, 2, . . . durchlaufen, dann ist bei genügend großem p 1 • • «1A «ii + P «12 1 «21 a„22 + ~P ' ' • «2 A •

1 • -«AA + V von Null verschieden, so daß also Satz 30 anwendbar ist. Bei der Ausführung des Grenzüberganges hat man sich auf § 15 zu stützen. Es ergibt sich dann die Allgemeingültigkeit des Satzes 30. Für den Fall w = A + 2 ist das Sylvester sehe Theorem ein Spezialfall von Satz 28 in § 37. «AI

«A2

•

89 § 42. Geränderte Determinanten. Von der Determinante «in35!

yn *

Vi V»

sagen wir, daß sie aus

«ii «12 " •«1» A = «21 «22 • • «2» «»1 ««2- . ann durch R ä n d e r u n g entstanden ist, und nennen sie eine g e r ä n d e r t e Determinante. Solche Determinanten traten in § 41 auf. Die Determinante « 1 1 «12 • «21 «23 •

Ä2 =

xu

X

X

x

12 2% 21

•«1„ • «2»

. . ann

x

m Vn »1« • ••»m Zll ~12 X 2/21 2/22 •••y-Zn 2l «22 «ni «»2 •

nl

entsteht aus A durch zweimalige Ränderung. Determinante A j>-mal, so ergibt sich

R

p =

« 1 1 «12 •

X X • «1 1 n« 11 12

«21 «22 '

• «2 n

X

•

Rändert man die 1

p

X

X

21 22 • • 2p

. ann nl Xn2- . Xnp Vn 012 • •2/i„ zn «12 • « n l «»2 •

2/21 2/22 • •2/ 2 „ «21 2/j>i Vpt •

• ypn pl

Z

22 •

%

P2-

• XPP

Wir wollen zuerst die einfach geränderte Determinante betrachten. Entwickeln wir R1 nach der letzten Spalte, so erhalten wir ^

n=1

l)' + 1 + "x

7

+*A.

Y^ entsteht aus durch Streichung der letzten Spalte und der fi Ua Zeile. Bezeichnen wir mit a

= —2

ferner 0

0

x r i l . . . Xr,P

0

x

r

t

l

. . .

«11 • •«1P Vi», Vi,,

X

r,P 9i,,yiMzn • • • 1 P 0

ypH VPH «PI"" 2V.1 • • Xr,p 0 0 ®rt 1- • xnp 0 0

=

yp*iyp>txpx • • • «„., PP X

~ 2 ^ei ei

' •

yPi y, 2 • • • yPn *,i * , « • • • **

mit

A12 . . Aln 0 0 . . 0 -¿22 • • Ain 0 0 . . 0 jn-1

ergibt sich

An'xRB p =

0 0 0

4,2- • 4.« o o . . 0 0 .. 0 1 0. .0 o .. 0 Ol. . 0 o .. 0

A 0

0 A

0

0

(A^l)

. . . •

0 0. . 1 0 0

a ^ ^12 • Xlp afc X22 ' ••V2P • '

. • A Xnl np Ä Ä ( 2 Vi) • • ( nVl) «11 «12 • ••«IP • «21 «22 • • • «2 p

( 4 yp) ( 4 yP) • •(ÄnyP)%Pi

«,2- . . «„J>„P

Andere Berechnung von Rp

97

Dabei haben wir = (ArVk)

24-vf»,

gesetzt (r = 1, 2, . . n \ k = 1, 2, . . Multiplizieren wir jetzt noch An'1Rp 1 0 . . .0 O l . . .0

0 0

mit

0 . .. 0 0 . .. 0

0 0 . . . 1 0 0 . .. 0 0 0 . . • 0 2 , 1 z»0 0 . . .0Z21

'p-l —

0 0..

•

•

p

so erhalten wir

A n - 1 Z " - 1 R np =

wobei

A 0

0 A

.. . ..

0 0

0

0

..

A

X

l) iZ2 Xl) • (Z2 Xi) • •(Zpx2)

A (A y?) K yP) •• •( „yf)

»,)

• •

•

J-

'A

(A Vi) (A 2/1) • K2/1) iA {¿2 2/2) ••(A«y

.)

0

0 z

• (Zp*n) . 0 . 0

0

0

.

^

z

x re = xT) e gesetzt ist (r — 1, 2, . . » ; k = 1, 2, . . ., Wir wollen jetzt -4" -1 Zf~l Rp nach den n ersten Zeilen entwickeln. Ein Minor, der die Zeilenindizes 1 , 2 , . . . , « und die Spaltenindizes r

i> r2> • •

hat, wobei und

»•'„_£, n + fcj, n + k2, ...,»

1 Sf, ty < r2' < . . . < r'B_e ^ n l^k1

+

••

( X 2/0 • • • {¿r

s ZP~e

(Ar,

und

n

yt

).. . (Ar

n

+

k'p-

yK) yk)

e = (— l)fe + i) + • +i> + *.' + ••• +k'p~e.

Um das algebraische Komplement zu erhalten, muß man das Komplement mit S" = (— 1)1'+.•..+«+r 1 '+...+r' n _ e + (» + *,)+...+(« + *e) multiplizieren. Man bestätigt leicht, daß ««'«" = ( - l ) e ist. Nach dem LAPLACE sehen Satz hat man also An~1ZP-1Rp = (Ar, . ••(AreyK) faO • .(Z*exri) (1) A—eZ*~e (Ay*) • •(Z*e%) Nach § 34 ist (Zklxn) . . . (Zkexn) (ZklxTe)...(Zkexre)

gleich Zk, i

xTl i . . . xTi p

Zke 1 .. . ZkeP

%re 1 • • • Xr^p

also gleich

Zt'k,to k Z>k O 'jl. •

•

•

kZu

Q l

Xr, l, Xr

e

Xrt i

h ••• X r e lg

99

Andere Berechnung von Rp

Ebenso ist •

•

•

(A

gleich

also gleich

(Arey*e)

K i • • -An n

Vk, I • • •y^n

\

¡ V ••• y«e*

i • • A-en

A »i • •• ^e'i-

Da nun

Vk st • • •y^'e

M

y*e\

• • Äre 'e

ART SI • • • ARLS

= Je

A? «i' • •

und

Ar

-1

Ä. i * r p

e 'e

Zs-1

=

Z,

ist, so finden wir An-e

ZP-e

(Zk, Xri)

.. •

( A y^) • ••

(Z*e*r,)

(An y*e) •

•(z*s\)

•

«r.i, • • • X r ,

y*>) {A'ey«e)

2/k,«, • • • VK>o

- / • ' r ' S h i M " . . . . , . ^ Setzen wir dies in Gleichung (1) ein und dividieren durch A"'1 so ergibt sich. die Entwickelung, die wir in § 42 fanden. Der Fall AZ = 0 erledigt sich durch eine Stetigkeitsbetrachtung. § 44. Zweiter Beweis des

SILVESTER sehen

Unter Benutzung von § 42 wollen wir jetzt den Satz noch einmal beweisen. Wir setzen an °12 • ••aih a n «22 ' • a2h • = M •

hi ah2 ' • •ahh

a

Satzes. SYLVESTEB

sehen

100

Zweiter Beweis des Sylvester sehen Satzes

und bezeichnen mit Mea das algebraische Komplement von aea in M. Dann ist die geränderte Determinante

b.

«11 «12 ' '' * «1 A «1. «31 «22 • ' ' «2 A«3, =

(r, s = h + 1, ..., n)

«AI «A 2 •' • «AA ari «r2 • ' •«rA «r. *

nach § 42 gleich

i a M

r. -^ae>

h a

ro Mga.

Das Produkt ^A + 1,A + 1 ••• ^A + l

,n

M . . bnn

können wir durch folgende m-reihige Determinante darstellen:

AI 0

"An 0 bA + l.A + l *• b,A + l,»

0 ... 0

bn, .n ,+, 1 . . . I> nn

Wir addieren in dieser Determinante zu der (h +1)*6" Zeile die mit die mit

^ i « multiplizierte erste Zeile,

a

a

+

M2a multiplizierte zweite Zeile,

•

die mit 2

die mit 2 ® a + 2,o Mha multiplizierte Ato Zeile. a

Ähnlich machen wir es bei den folgenden Zeilen bis zur »»*•.

Zweiter

Beweis

des

Sylvester

sehen

101

Satzes

Nach dieser Umformung, die an dem Wert der Determinante nichts ändert, steht an der Stelle von brs a„M.

Die h ersten Elemente der r teu Zeile (r = h + 1. ..., n) lauten: ara

M

e a

,

. . . ,

2

°eh

a

r o

.

Nun ist aber von den Summen 2oelMe.

( f f - 1 , 2 , . . . , Ä)

e

nur die erste von Null verschieden, und zwar gleich M. Ebenso ist von den Summen (ff = 1 , 2 , . . . , * ) e

nur die zweite gleich M, während die übrigen verschwinden, usw. Daraus geht hervor, daß 2 e,a 2

aS2

Ora

M

e

a

=

M a

r

l

,

a

M

e

a

=

M a

r

2

,

r a

8,"

2 aeft aro Me„ = Ma rh ist. Unsere »-reihige Determinante lautet also ••«ik «AI I f lnl,

•

ahh

•

U t t

•

M ( t

a

i , h

.

+ \

a. In

«A, A + l All . M a k + i , h h + 1,A + 1 ' M

n h

M

h

a

a

n ,

h

+

1

•

, ,

„

Itfl

und ist gleich p—i

e"

«12 • • «1» «21 «22 • • «2»

-

h

««1 «»2 • . ann Andererseits war die w-reihige Determinante gleich ^h + l.h

+ l

•

•

.

K + l , n

b nn

102

Dritter Beweis des Sylvester sehen Satzes Im Falle M

0, ergibt sich somit = 31« . bnn

^n.Ä+1

Diese Formel gilt aber auch im Falle M = 0. Um das zu erkennen, braucht man nur a u , a22, . . ., ahh durch 1

1

1

1

1

1

zu ersetzen und p die Folge 1, 2, 3, . . . durchlaufen zu lassen. § 45. Dritter Beweis des Sylyesteb sehen Satzes. Betrachten wir die zu A =

1n "ii aii • a i2 . • a2n a«i

reziproke Determinante

«„s

•

• ann

Ai2 . •An A.n At'An und in ihr den Minor ä» =

A, Ai • • An À -"/i+l.fc+l • ' • À h +1, n

A n,

A +1

• •A• nn

Streichen wir in diesem Minor die Zeile r und die Spalte s, so entsteht eine (re — h — l)-reihige Determinante, die nach § 38 gleich aU • •• «1» «1. An-h-2 = b rs ahl • •• ahh ahs • arh ar» ist, multipliziert mit (—l) r + *. Das algebraische Komplement von Art in SR ist also arl

und die zu 9K reziproke Determinante hat den Wert

Der Sylvester-Frankesche Determinantensatz

Jin-h)(n-h-2)

103

^A+l, h + 1 • • ^A+l, 71

K,h+1 " ^nn 1 Andererseits ist diese reziproke Determinante gleich SR»-*-1 oder, da an = gleich

n-h-l l)2

j^n -hDaraus folgt

ou = K, h+1

"

.

•

«i» n— h — 1

A

^nn

• ahh

Das ist aber der SYLVESTEKsche Satz. Der Fall A = 0 wird wieder durch eine Stetigkeitsbetrachtung erledigt. § 46. Der

SILVESTEB-FRANKE

sehe Determinantensatz.

Der SYLVE8TEE-FKANKE8che Satz bezieht sich auf die Determinante, die man aus den m-reihigen Minoren einer w-reihigen Determinante A bilden kann (m < w). Wir denken uns die m - reihigen Minoren von A so angeordnet, daß in einer Zeile (Spalte) immer Minoren stehen, die in denselben m Zeilen (Spalten) enthalten sind. W i r wollen die N=

Kombinationen der Zahlen 1, 2, ..., n

zur w tei1 Klasse in irgend einer Beihenfolge mit 1, 2, . . ., N numerieren und unter 9Jir( denjenigen »»-reihigen Minor verstehen, dessen Zeilenindizes die Kombination r und dessen Spaltenindizes die Kombination s bilden. Die Determinante der m-reihigen Minoren läßt sich dann so schreiben: ®?n 90?i2 • • • Min A

=

®i2i SR22 • • • 2Haw

•••9

104

Der

Sylvesler-Frankesehe

Determinantensatx

Bezeichnen wir mit aT die Summe der Indizes, aus denen die Kombination r besteht, so bleibt die obige Determinante ungeändert, wenn man jedes 2Wr> durch ersetzt. Denn A verwandelt sich in äWii % . w 2 1 21*22 •

•

m »

W N1 wenn man die Zeilen der Reihe nach mit (-1)% (-1)% ( - l p multipliziert und dann mit den Spalten dasselbe macht. Dabei hat man aber Am im Ganzen mit ( _ l)2(o, + = £ v « - » ) ^ U - ä - 1 / .

Diese Formel enthält den verallgemeinerten STLVESTEB sehen Satz. Der Fall ^1 = 0 erledigt sich durch eine Stetigkeitsbetrachtung. Satz 33. Die aus den m-reihigen S u p e r d e t e r m i n a n t e n des Minors B g e b i l d e t e D e t e r m i n a n t e i s t gleich einer Potenz dieses Minors m u l t i p l i z i e r t mit einer Potenz der D e t e r m i n a n t e A.

Beziproke einer symmetrischen Determinante

111

Für m = h + 1 reduziert sich die Formel des Satzes auf D= Bn~h~lA. Dies ist das SYLVESTER sehe Theorem aus § 41. Der obige Beweis des verallgemeinerten Satzes entspricht dem in § 45 gegebenen Beweis des speziellen Theorems.

Achtes Kapitel.

Symmetrische Determinanten. § 49. Definition. Eine Determinante «21 «22 * * * «21

heißt symmetrisch, wenn ihre Matrix beim Herumklappen um die Hauptdiagonale ungeändert bleibt, d. h. wenn ar»= afr ist (r, s = 1, 2, ..., w). Wenn man eine beliebige Determinante nach Zeilen oder nach Spalten mit sich selbst multipliziert, so entsteht eine symmetrische Determinante. Ein Minor einer Determinante soll wie in § 17 ein H a u p t minor heißen, wenn seine Hauptelemente zugleich Hauptelemente der Determinante sind. Ein Hauptminor entsteht also, wenn man die Zeilen mit den Indizes r1, r 2 , . . ., rp und die Spalten mit d e n s e l b e n Indizes unterdrückt. Die H a u p t m i n o r e n e i n e r s y m m e t r i s c h e n D e t e r m i n a n t e sind offenbar e b e n f a l l s symmetrisch. § 50. Die Reziproke einer symmetrischen Determinante. Wir wollen die Komplemente der Elemente ara und atr in einer symmetrischen Determinante betrachten. «11 «12 • • • «1» «21 «22 • • • « 2 « «ni a ni - ' • «»

un,|

«11 «21 • • • ««1 «12 «22 * * " «n2

Beziproke einer symmetrischen Determinante

111

Für m = h + 1 reduziert sich die Formel des Satzes auf D= Bn~h~lA. Dies ist das SYLVESTER sehe Theorem aus § 41. Der obige Beweis des verallgemeinerten Satzes entspricht dem in § 45 gegebenen Beweis des speziellen Theorems.

Achtes Kapitel.

Symmetrische Determinanten. § 49. Definition. Eine Determinante «21 «22 * * * «21

heißt symmetrisch, wenn ihre Matrix beim Herumklappen um die Hauptdiagonale ungeändert bleibt, d. h. wenn ar»= afr ist (r, s = 1, 2, ..., w). Wenn man eine beliebige Determinante nach Zeilen oder nach Spalten mit sich selbst multipliziert, so entsteht eine symmetrische Determinante. Ein Minor einer Determinante soll wie in § 17 ein H a u p t minor heißen, wenn seine Hauptelemente zugleich Hauptelemente der Determinante sind. Ein Hauptminor entsteht also, wenn man die Zeilen mit den Indizes r1, r 2 , . . ., rp und die Spalten mit d e n s e l b e n Indizes unterdrückt. Die H a u p t m i n o r e n e i n e r s y m m e t r i s c h e n D e t e r m i n a n t e sind offenbar e b e n f a l l s symmetrisch. § 50. Die Reziproke einer symmetrischen Determinante. Wir wollen die Komplemente der Elemente ara und atr in einer symmetrischen Determinante betrachten. «11 «12 • • • «1» «21 «22 • • • « 2 « «ni a ni - ' • «»

un,|

«11 «21 • • • ««1 «12 «22 * * " «n2

112

Beispiele symmetrischer Determinanten

sind, weil unsere Determinante symmetrisch ist, völlig identisch. Streichen wir also in beiden Matrizen die r t e Zeile und die s to Spalte, so bleiben identische Matrizen übrig. Die erste ist aber die Matrix des Komplements von art, die zweite entsteht aus der Matrix des Komplements von atr durch Herumklappen um die Hauptdiagonale. Das Komplement von art ist also gleich dem Komplement von atT. Multipliziert man beide mit (— l) r + ", so ergibt sich die Gleichheit der algebraischen Komplemente von art und atr. Satz 34. Die Reziproke einer symmetrischen Determin a n t e ist ebenfalls symmetrisch. § 51. Beispiele symmetrischer Determinanten. HANKEL sehe

Determinanten. HANKEL hat sich mit einer speziellen Art symmetrischer Determinanten beschäftigt, die folgende Gestalt haben: X X „n 1 X2 •

X

2 X3

•

• • • Xn+1

X

n ^B+l

'

• • X2 n — 1

Wie man sieht, ist hier also Wir wollen die dreireihige

H A N S E L sehe

Determinante

betrachten. Subtrahieren wir von der dritten Zeile die zweite und dann von der zweiten die erste, so ergibt sich

Subtrahieren wir jetzt von der dritten Zeile die zweite, so kommt x

2 — xi > X 3 — 2x2 + X1 '

x

3 ~~ x2 > X 4 — 2xs + X2 »

x

i — xa X 5~ 2*4+ a3

Beispiele symmetrischer Determinanten

113

Machen wir schließlich mit den Spalten dieser Determinante dasselbe, was wir mit den Zeilen der HANKELsehen Determinante getan haben, so finden wir zunächst X^j xg a!j, x3 — 2x2

X^ Xj , XQ Tg x3 lx 2 -)x4 2x3 x2 , xx — 3a3 + 3X2 — x1, .r5 — + 3x3 — x2

x^,

und dann X

•"l) a;2 — £Cj, x3 — 2z2 + iCj. Die aus

2 Xl! i 2a;2 + Xj '2 s £r3 — + a^, — 3xg + üx.2 — a^ - 3^3 + %x% - x1, rs - 4x4 + 6a;3 - 4a;2 + x1 -

gebildete H A N K E L sehe Determinante bleibt also ungeändert, wenn man die x der Beihe nach durch xlt Axv A*x1, A3x1, A4x1 ersetzt. Dabei ist Jxi=xt-xl, A2 x1 = x3 — 2 x2 + x1, A3 x1 = xt — 3 x3 + 3 x2 — xx, A*xx = xb — 4 xi + 6 x3 — 4 x2 + xl. Bildet man die sukzessiven Differenzenreihen von 1 xi i X3> Xi> X&1 also X ®2 — xl> x3 X2> 3> XS Xi> x

i

so sind

+ X1> »4, - 2 «3 + aj2, aJ6 - 2 + x3, x^ — 3 x3 + 3 x2 — x1, x5 — 3 xt + 3 xs — x2, x s - 4x 4 + Qx3 - 4a;2 + x1, -

2

x

2

Axx, A2x1}

A3x1,

A*xx deren Anfangsglieder. Es ist klar, daß man im allgemeinen Fall genau dieselben Betrachtungen anstellen kann. Die HANKELsche D e t e r m i n a n t e X

1 X2 X 2 X

n Xn+1

Kowalkwski, Determinanten

• • ' X» + l ••

X

in-l

114

Beispiele symmetrischer Determinanten

i s t g l e i c h der ÜANKELSchen D e t e r m i n a n t e J2xlt

Jxlt 4"-1

..

xl,

Dabei sind Ä*xx, . .A2n~2

Axlt

xx

die Anfangsglieder der Differenzenreihen von x

l> x2> • • •) x2n — 1 '

u

Wenn die k Differenzenreihe von xlt x.2,..., x2n_1 aus lauter gleichen Zahlen besteht, so nennt man xx, x2, . . ., x2n-1 eine a r i t h m e t i s c h e Reihe kUr Ordnung. Alle folgenden Differenzenreihen (wenn es deren gibt) bestehen aus lauter Nullen. Nehmen wir an, daß x x , . x 2 n j eine arithmetische Reihe (n — l) ter Ordnung ist. Dann haben wir Anx1 = 0,

J» + 1!B1 = Ü) . . . ,

J2n~2xl

= 0.

Die Determinante reduziert sich auf ein einziges Glied, nämlich1 Da es in der Reihe genau

n, » — 1, • •

1

Derangements gibt, so ist die HANKEL sehe Determinante gleich nfn-l) C— 1) - 2 (J-1^Bilden x2, ..x2n_1 eine arithmetische Reihe von niedrigerer als (» —l)*® Ordnung, so ist J n ~ l x 1 = 0, AnXy = 0 usw. Die ÜANKELSche D e t e r m i n a n t e ist dann also gleich Null. Ist • also x1, x2, . . . , x a n _ 1 eine geometrische Reihe, so lautet die erste Differenzenreihe {q-

l)x2,

...,(?-

1)®2„_2.

die zweite Differenzenreihe 1 anti ist gleich Null, wenn « , > 1 ist, a„_ 1 | ( | ist gleich Null, wenn s, > 2 ist usw. Daher muß s, = 1, s2 = 2, . . . sein.

115

Beispiele symmetrischer Determinanten

( 7 - l ) 2 * ! , ( ? - I ) 1 « , , . . . . ( ? - 1) 2 ^ 2 „_s usw. J x

Man hat daher

1 =

(

q

- l)xlt

A*Xl

= {q-

Jx1

D i e aus

\fXl,

=(?_l)2»-2a;i.

A2n~2xl

gebildete H a n k e l s e h e Determi-

nante ist dann von folgender Form x\

>

(9 - 1 ) « ! .

( 9 - l)x 1 ,

(9

(9~

(9

• ...

(9-

••,

(9( 9 ~ l)a«-8®1

Subtrahiert man von der zweiten Zeile die mit q — 1 multiplizierte erste Zeile, so entsteht eine Zeile mit lauter Nullen. D i e HANKELsche D e t e r m i n a n t e ist also g l e i c h N u l l , wenn xx, x2, . . ., x2n_1 eine g e o m e t r i s c h e R e i h e bilden. Zyklische Determinanten.

Als z y k l i s c h e Determinante bezeichnet man eine Determinante von der Form C1

c2 .

C2 C3

•

6n

• •

C1

0« C1 *

•

C»-l

Die (k + Zeile einer solchen Determinante entsteht aus der fcteu durch zyklische Permutation, d. h. dadurch, daß das zweite Element zum ersten, das dritte zum zweiten, das » t o zum ten (n — 1)^" und das erste zum ra Element gemacht wird. Wir wollen die Zahlen l)4®

C«

+ l> Cv + 2> * • •

durch die Festsetzung definieren, daß cfc = ci sein soll, sobald k — l durch n teilbar ist. C1 =

Cn

+1

C2 =

Cn+2 =

=

°2n + l C2n+2 =

=

Danach haben wir ••• '

••• '

Unsere zyklische Determinante läßt sich jetzt auch so schreiben: 8*

116

Beispiele symmetrischer

Determinanten

. . . c, . . . e.n +1

Die z y k l i s c h e D e t e r m i n a n t e ist also eine spezielle ÜANKELSche D e t e r m i n a n t e , nämlich die Hankelsehe Determinante der 2ra — 1 Zahlen e2>

• • •> Cn1 Cl> Ci> • • •> ßn — l •

Die zyklische Determinante läßt sich in n Faktoren zerlegen, wenn man sich der » t e n E i n h e i t s w u r z e l n bedient, d.h. der Wurzeln der Gleichung « " - 1 = 0. Wir bezeichnen diese Wurzeln mit xx, xt, aus ihnen die Determinante F=

., xn und bilden

1 ••• ^ 1/j» m 2 w W -t 1 '' '

1 x nn n • • • n Mit ihr multiplizieren wir unsere zyklische Determinante, die wir C nennen, und zwar fuhren wir die Multiplikation nach Zeilen aus. Die Elemente der Produktdeterminante haben dann die Form: «h + CÄ +i * + eh+2x* + • • • + 6h +._i wobei h eine der Zahlen 1, 2, . . . , n und x eine der Wurzeln xx, x2, ..., xn ist. Da xn = 1 ist, können wir statt des obigen Ausdrucks auch schreiben: K + l*"-" oder, weil ist, d. h.

+1

+

+ «H»-!®""1) +

C» + l = ei>

cn+2~e2>

•••>

+ — + e»n~h) CÄ + n - l

o1 ¿B-Ä + 1 + .. . -J- cnxn~h x*-h + 1{el +e2x + ... +

+ n,

enxn-1).

Setzen wir also f(x) = e1+e2ic

+ ... +

so lautet die Produktdeterminante CV:

e,«»-1,

— Ch-\

Beispiele symmetrischer Determinanten

117

xffixj, X

n'XfK)

V'VK), x, f{xj),

«1 ffcx)'

oder

f{xY)

X

JiXn)

•»

f{x2)...f{xn) y\1l rr n - 1

Nun ist aber n 111 —* 1* ' rr 1 CC n /r tV^

/y»

(n-l)in-2) 2

= (-1)

y-

1 1

C\7» xj n ' Wir haben daher

(»-!)(»-2) 2

CF-(-l)

f[x1)f{xi)...f(xj.r.

V ist aber von Null verschieden (vgl. § 21), weil die n Wurzeln xlt x2, .... xn alle verschieden sind. Aus der obigen Gleichung folgt demnach (w-l) fw-2") 2 C-(-l) f(xl)f{x2)...f{xj. Zum Schluß wollen wir noch zeigen, daß sich das Produkt zweier zyklischer Determinanten (abgesehen vom Vorzeichen) als zyklische Determinante schreiben läßt. Um dies für die beiden zyklischen Determinanten C

X

G

=

G

i

3

°3

und

r =

RI

Y2

Y2 r3

r3 YX

VIYX

Y2

zu zeigen, multiplizieren wir G und - r =

7i r2 Ys Y3 Vi Yi Y2 YZ YX

nach Zeilen. 1

1

Dadurch erhalten wir

Bei — T entsteht die Zeile aus der (k + l)toI1 durch zykliche Permutation, während es bei T umgekehrt ist.

118

Beispiele symmetrischer Determinanten C

-cr=

1 Yl +«2^2+ C3 y3 ' C 1^3+ C 2/l+ C 3 y2> C1 Y2 + C2 X3 + C3

"l^l + CsY2+ßlYs>

C

+ C3 Yl + «1 / 2 ' C2 / 2 + C3 / 3 + C1

2

C s n + ^ y s + ß ! ^ » C3 ^3 + ClYy + C2 /a ' C8 Yi + ! Ys + % Yl

oder

e

e

-cr=

C

C

C

e

i Yl + 2 Yl + 3 Ts» 1 r 3 + 2 /l + 3 ' C1 Yi + ß2 Ys + 6s Yl C iYs + e2Yi+esYt, IY2+e2Ys + esYi- Gi YI + H y2 + e3 r3

e 6

C

iY2 + c2YS+cSYi,

1 YL + C2 / 2 +

Ys • ci Ys + pTp

konjugiert komplex; denn die entsprechenden Elemente sind eis. Wir sehen also, daß die Hauptminoren von 9*

132

Definition der schiefsymmelrischm

Determinanten

11 c13 . • Cln C 21 ß22 ' • C2n C

C

nl ßu2positiv oder jedenfalls nicht negativ sind. Dasselbe gilt von den Zahlen a l t i-l,l V l j ä ' ' ' I die nach Satz 38 gleich Null ist. Da n gerade ist, so ist die reziproke Determinante von B symmetrisch. Man hat also As = Ar • Wegen 5 = 0 sind in der reziproken Determinante alle zweireihigen Minoren gleich Null (vgl. § 39). Insbesondere ist Ä

" A" \ = A„ A.-A* = 0. r Ar As; " " * Wir setzen voraus, daß Satz 40 für (w — 2) - reihige schiefsymmetrische bereits bewiesen ist. Solche Determinanten sind Arr und A,.. SS Es ist also und jedes uT setzt sich aus den Elementen von A durch Additionen, Subtraktionen und Multiplikationen zusammen. Die Vorzeichen der a r können wir noch beliebig wählen. Nehmen wir an, daß «j 4= 0 ist» Nachdem wir uns dann bei a x für ein bestimmtes Vorzeichen entschieden haben, wollen wir « 2 , . . . , u n so wählen, daß wird {r = 2, 3, . . n ) .

Ar = aiUr Das können wir, weil A4 4 rr= u a«Ur2 '1lr = -Ml

ist. Jetzt sind u x , u%, . . . , a n völlig bestimmt. Man sich Jeicht, daß As=arU. (»•, « = l, 2, . . .,» - I )

überzeugt

136 ist.

Man hat nämlich

also

Ai\

Ais

Ari

A-s

ai Ar>=

= 0, «i8«,«.«

woraus wegen « j =(= 0 das Behauptete folgt. Sollte « j = 0 sein, so gehe man statt von a x von irgend einem andern a r aus, das nicht gleich Null ist. Sollten cc1, a 2 , . . . , a n alle verschwinden, so sind auch alle Art gleich Null, und man hat A r . = "r a «'i r > S = 1,2, 1). Auf Grund der Relationen Ar.=

wird nun A

ar as

(r, « = 1, 2, . .

= 2 "r U. arn a„> = K » «1 +

w - 1)

n «2 + • ' • +

1.« "n-\Y-

§ 60. Zweiter Beweis des Satzes 40. Dem Glied

/ 1 2 . . . n\ sgn \rir2 . . . r j ®lr> ^ ' " ' der Determinante «11 «12 * • • «1« a A = «21 «22 • • • i„

öflr«

wollen wir die S u b s t i t u t i o n (vgl. § 7) /I 2 . . . » \ \ r i »i • • • r J zuordnen. Dann sind die n\ Glieder von A mit den n\ Substitutionen der Zahlen 1, 2, . . ., n gepaart. 5

sgn

1 2 ... ri

r2

n\

••• rJ

ist gleich + 1 oder —1, je nachdem S eine g e r a d e oder u n g e r a d e Substitution ist. Wir denken uns jede Substitution in ihre Zyklen zerlegt berücksichtigen dabei auch die eingliedrigen Zyklen. Wenn die Determinante A s c h i e f s y m m e t r i s c h ist, so spricht jeder Substitution S, in der ein eingliedriger Zyklus kommt, ein verschwindendes Glied von A. Enthält £ den

eine und entvorein-

Zweiter Beweis des Satzes 40 gliedrigen Zyklus (r), so tritt in dem zugehörigen Determinantenglied der Faktor a r r auf, der gleich Null ist. Alle Substitutionen, die eingliedrige Zyklen enthalten, können wir also beiseite lassen. Wir betrachten jetzt diejenigen Substitutionen, in denen ein Zyklus mit ungerader Elementzahl vorkommt. Enthält eine Substitution mehrere solche Zyklen, so soll unter ihnen der Zyklus der e r s t e heißen, in dem das niedrigste Element auftritt. £ sei eine Substitution von der betrachteten Art und der erste Zyklus mit ungerader Elementzahl sei (^ r 2 . . . rp). p ist eine der Zahlen 3, 5, . . . . Ersetzen wir den Zyklus [rx r2 . . . r ) durch [rp rp_l . . . fj), so entsteht eine von 5 verschiedene Substitution 5 und man hat (vgl. § 7) sgn S = sgn 8 . (r r j . . . J-j) ist bei S der erste Zyklus mit ungerader Elementzahl. Kehrt man also den ersten derartigen Zyklus bei um, so gelangt man wieder zu S. Die beiden Determinantenglieder, die zu S und zu S gehören, unterscheiden sich nur in p Faktoren. An die Stelle von a

r, r, • • • arp-i Tp arpr,

tritt beim Ubergange von S zu 5 a

rprp-r

• • • «r.r, «r, rp ' ( ~ l f «r, r,. • • • =

"r, r., • • •

a

r p - i rp

rp «r^r, a

rpr, •

Die zu '2i>ri"

Wir wollen sie in zwei Klassen sondern. rechnen wir a

r,r»,

Zur e r s t e n Klasse

0>r,rt,

zur z w e i t e n Klasse a

r,r,i

a

Ttrh,

•

•

a

i-2ffr,-

Machen wir dies für alle Zyklen {rl r2 ... r2s), (sj s2 ... so„), . . . von S, so geben die Faktoren erster Klasse das Produkt P = «r.rj ••• « r ! f . , r ! s «V* ••• a«.2o_,s2a •••> die Faktoren zweiter Klasse das Produkt Q =

r, • • • a>-2sr,

®»s»3 • • •

a

«2(Ji,

Sowohl in P als auch in Q haben wir n/2 Faktoren mit durchweg verschiedenen Indizes. und

(?)

r

i> r2> • • •> r2e-l> r2g, S,» s2> • • - , «2a-l, «2a, • • •

•(&) r2> r3> • • •> r*e> ri> S2> S3> • • s2°> sl> • • • sind also Permutationen von 1, 2, . . . , n. Die erste enthalte p, die zweite q Derangements. Dann ist nach § 6 (Schluß) denn man hat

sgn S = (— 1 )*> + «;

Das zu S gehörige Determinantenglied lautet demnach Man gelangt von diesem Produkt auf folgende Weise zu S zurück. 1 stehe in den Doppelindizes von P mit k2 zusammen, k2 in den Doppelindizes von Q mit k3. Im Falle k3 = 1 ist (1ä2) ein Zyklus von S. Wenn k3 noch nicht gleich 1 ist, so suche man den Index ki auf, der in P mit k3 zusammensteht, dann den Index ft5, der in Q mit ki zusammensteht, und fahre fort, bis man zu 1 gelangt und einen Zyklus von S gewinnt. Darauf beginne man mit dem niedrigsten der noch übrigen Indizes wieder einen Zyklus. Man sieht zunächst nach, mit welchem Index er in P zusammensteht, usw.

139 Wenn man in dem Produkt P zwei Faktoren vertauscht, so bleibt ungeändert. Denn diese Vertauschung läßt sich durch zwei Vertauschungen j e zweier Indizes in $ bewirken. Ebenso bleibt (— l ) y P ungeändert, wenn man die beiden Indizes irgend eines Faktors ars von P vertauscht. Denn dadurch verwandelt sich (—l) p in — (—1 )J) und andererseits tritt an die Stelle von oy s. der Faktor a sr . = — « rs . Aus dem Obigen geht nun hervor, daß ist, wobei sich die Summation über alle v e r s c h i e d e n e n Ausdrücke ( - l ) f P erstreckt. Als verschieden betrachten wir solche Ausdrücke, die auch nicht identisch werden, wenn man die Relationen a r s = — a s r benutzt. Wie viele solche Ausdrücke ( — \y P gibt es? Der Index 1 kann mit jedem der n — 1 Indizes 2, 3, . . . , n zusammenstehen. Wenn ein Glied z. B. den Faktor « ] 2 enthält, so kann 3 mit jedem der n — 3 Indizes 4, 5, . . ., n verbunden sein. Enthält ein Glied die Faktoren a12 aSi, so kann 5 mit jedem der n — 5 Indizes 6, 7, . . . . n vereinigt sein usw. Man sieht auf diese Weise, daß es («. - 1) (« - 3) . . . 3 • 1 verschiedene Ausdrücke (— l ) p P gibt. Beispiel. Um die obigen Betrachtungen dem Leser noch klarer machen, wollen wir den Fall n = 4 als Beispiel benutzen. Es gibt hier folgende Ausdrücke (—1 y P : Ci\2

a

i i 1 ai3

Cl42

zu

> ®14 ®23 '

Das Quadrat von -

1)* P =

(«13

ci

u

+

«13

«43

+

a14

a,

3

f

wird «12 a3i

«12 « 3 1 • «13 «42 +

«12 «34 ' «14 «23

+

«13 «42 ' «12 «34 +

• «12 «31 +

«13 «42 ' «13 «42 +

«13 «42 ' «14 «23

+

«14 «23 ' «12 «34 +

«14 «23 ' «13 «42 +

«14 «23 ' «14 «23 •

Die den einzelnen Gliedern entsprechenden Substitutionen sind folgende:

140 (12) (34), (1342), (1432),

(1248), (1234), (18) (24), (1324), (1423), (14) (23).

Das sind gerade die Substitutionen in den Elementen 1, 2, 3, 4, die nur Zyklen mit gerader Elementzahl enthalten. Die zugehörigen Glieder der schiefsymmetrischen Determinante «11 «12 « 1 3 « 1 4

A

=

«21 «22 «23 «24 «31 «32 « 3 3 « 3 4 « 4 1 « 4 2 «43 « 4 4

geben folgende Summe:

—

«24 «43 «31 «31 «24 «42 —

«

1 4

« 4 3

« 3 2

i\ ~ an

a

a

4 2

>3 ü3\

a

+

n

a

« 2 3

« 3 2

*

In Anbetracht der Relationen «,.,= — asr ist sie mit dem oben angegebenen Quadrat von identisch.

«13 «ä4 +

§ 61.

«13 « 4 2 +

«14 « 2 3

PFAFFsche Aggregate.

In § 60 zeigten wir, daß eine schiefsymmetrische Determinante Mter Ordnung [n gerade) das Quadrat einer aus 1 • 8 . . . ( » - 1) Gliedern bestehenden Summe ist.

Dabei bedeutet P ein Produkt von der Form «r,r,

fti-3

rt

ar n

- X rn >

WO

'2' eine Permutation von 1, 2, . . . , n mit p Derangements darstellt. J e zwei Glieder jener Summe werden auch dann nicht identisch, wenn man die Relationen ars— — asr berücksichtigt. Man nennt 2 ( — l ^ P ein PFAFFsches A g g r e g a t und bezeichnet es nach J A C O B I mit (1, 2, . . . , n). Die Glieder von (1, 2, . . ., n), di6 den Faktor ci k i enthalten, haben die Form

Pf äffsehe Aggregate (-1V

141

«r.r, ••• «,•„-!,•„,

wobei r3, r4, . . ., rn eine Permutation der Zahlen k3, kif . . ., kn ist, die in der Reihe 1, 2, n übrig bleiben, wenn man kl und k> streicht. In der Permutation klt

k2, r3,

, . . .,

rn

mögen k Derangements von kx und k2 herrühren. p = k +

Dann ist

p,

wenn wir mit p die Anzahl der Derangements in r3, rv ..., bezeichnen. Es wird hiernach ( - l) p fl-fc, nrsr, •. •

rn

r H = ( - 1)" a% „2- ( - l) p a r , u . . . a rn _ x Tn ,

und die Summe aller Glieder von (1, 2 , . . . , « ) , die den Faktor aki enthalten, lautet 1)" «*. * 2 ( ~ 1)

?

•••

r H = ( - 1)* akl

(k3,

kj .

(k3, k4, .. ., kn) wollen wir das K o m p l e m e n t und (-i)*(k3,

K,

. . . , kn)

das a l g e b r a i s c h e K o m p l e m e n t von aki^ in (1, 2, . . Bezeichnen wir dieses algebraische Komplement mit sich (1, 2, . . n) so schreiben: + a42 9!„ + . . . +

(1, 2 , . . . , » ) - akl

n) nennen. so läßt

a».*»,-1

In jedem Glied von ( 1 , 2 , . . . , n) kommt nämlich der Index k vor. Ersetzt man die Elemente a

kl>

a

a

i\>

a

bezüglich durch wobei l^k

k2> • • •» akn

i2> ' '

«In»

sein soll, so geht (1, 2, . . ., n) in «n*

über; denn 2tÄ1, .. %kn sind von dem Index k gänzlich frei. Das Quadrat von (1, 2, . . ., n), d.h. die schiefsymmetrische Determinante «11 «12 • • «In «21 «22 ' • «2» «„1 «„2- • «nn 1

Das Glied mit a kk fällt wegen a l k = 0 fort, wie wir auch 9f** wählen. Wir wollen aber 31** = 0 setzen.

142

Die Reziproke einer sckiefsymmetrischen Däerminante

verwandelt sich dabei in eine Determinante mit zwei übereinstimmenden Zeilen (und Spalten). Daraus folgt, daß «11**1 + «».«». + • •• + «!„ *»„- ist, sobald l von k verschieden. § 62. Die Reziproke einer schiefsymmetrischen Determinante gerader Ordnung. (1, 2, . . ., n) sei ungleich Null und plement von akl in (1, 2, . . ., n), Akl aber plement von akl in der Determinante (1, 2, Um die Beziehung zwischen und man, daß a

kl Al

das algebraische Komdas algebraische Kom. . ., nf. Akl zu finden, bedenke

+ «*2 Ai + • • • + akn An = (1. 2> •• •> nf

und S

, l A l + i , 2 i M + • " •+ a *n A kn = ° außerdem aber «« + «*2 «*2 + • • • + «*,«», = (1, und ®.1«*1 + « . ! * « + • • • + « . . * » . - < > Man ersieht hieraus, daß Atl Akt (1, 2, ..., n) ' (1, 2, ...; ») ' • • (l, und 2t

is^k)> 2, . .

»)

Ak„ 2,..., n)

21

dasselbe System von n linearen Gleichungen mit nicht verschwindender Determinante befriedigen. Da ein solches System nur eine Lösung hat, so folgt di!

(1, 2,

oder Ai

..n)

= 3i *«

= (1. 2, . .., n) 3t u .

Durch eine Stetigkeitsbetrachtung überzeugt man sich, daß diese Formel auch im Falle (1, 2, . . ., n) = 0 gilt. Die algebraischen Komplemente von akl in dem PfAFFScheo Aggregat (1, 2,. . ., n) und in der Determinante ( 1 , 2 , . . . , rif unterscheiden sich also nur um den Faktor (1, 2, . . ., n).

Linecre Gleichungen mit einer schief symmetrischen Determinante § 63.

143

Lineare Gleichungen mit einer von Null verschiedenen schiefsymmetrischen Determinante.

Das System an x1 + a12 x, + • • • + aln

=

a21 xi + aM x2 + . . . + a.lnxn = b2,

(1)

a,n 1x,14-1 a n„2x„i 4-1 . . . +1 nn n = bn', dessen Determinante schiefsymmetrisch und von Null verschieden sein soll, hat nach § 22 nur die Lösung b, Au + b., + ... + bnAni (1, 2, . . ., »y i + 6, A,., + . .. + bnAn, A„ X., = (1, 2, ..., nf

b,

+ bn + . .. + b„ An„ X„ = b, An (1,2,..., »)* Wegen der Relationen ^ = (1, 2, . . »)*„ nimmt diese Lösung folgende einfachere Form an: _ b, %„ + bt%, + ... + b„ 9t„, ~ (1,2,...,») b, 91,, + bt + ... + bn X -2 — ! (1,/i 2,o ..., «)„V" x

= A?(> » + V®*« + ••• + M i , , . (I, 2, ..., n)

Der Ausdruck entsteht aus «i* «i» + « 1 * * 1 k + --- + oder aus (1, 2, . . ., n), indem man

a

«kK*

bezüglich durch b l> b2> • • •' bn ersetzt. Schreibt man statt blt b2, . . bn fl

l,»+l» «2,»+l» • • •> < W l so geht

oder

-«»+1,1'

«n+1,.2' • •

-a»+l,n'

144

Rang einer schief symmetrischen Determinante

dadurch aus (1, 2, . . n) hervor, daß man den Index k durch » + 1 ersetzt. Es gilt also für die Auflösung des Systems folgende Eegel, die ein Analogon der CRAMER sehen Regel ist (vgl. § 22): Man ersetze in P = (1, 2, . . ., n) den Index k durch 1. Das so entstehende Aggregat heiße Pk. Dann lautet die Lösung des Systems (1) Zl _ pA ) • • •) • = ®L — PP ' ,»^2 — P '

§ 64.

Pn

x

n

= p —

Rang einer schief symmetrischen Determinante.

Die schiefsymmetrische Determinante «11 «12 • «21 «22 * • «2»

(1)

«»1 «»2- • «n„ habe den Rang r. Dann ist (vgl. § 52) die Matrix ihrer r-reihigen Minoren vom Bange 1. Ist nun z. B. «k, 1, «It, i, • • • ak, lr «Mi

Ci

>hU • • • afc>!r

a

krll «lr,.l, • • • d'krlr

von Null verschieden müssen wegen

< k2 < . . . < kr und

• • «Ar, kr

• al,h

a

«¡2 'i «iî

akrk, «*,. t,- • • «Mr

«'ri, «r

k,k, ak„k, . • • «*,*>•

• • • «t, lr a =

< l2 < . . . < lr), so

k7 i, «Jt.i,

•

•

•

a^ir

rh • • • « * r lr «i-, (, akik

• •• ahlr

a

hK

a

kk,

a

hK

dl, kr

a

. . . aki ,r

a

k„ l, • • • «fc, lr

°*rh

• • • akrlr

kkr

Rang

einer

sehiefsymmetrischm

1 4 5

Determinante

auch aklk1

a »t*i a^k,

Ukyk,

•

•

•

aklur

•

al;kr

akh

t •

•

ahh

•

• ah

ahh

-

•

• • a

ükykr

'r «I.lr

h l r

ungleich Null sein. Damit ist der folgende Satz bewiesen: Satz 41. In einer schiefsymmetrischen D e t e r m i n a n t e vom R a n g e r gibt es einen von Null v e r s c h i e d e n e n r - r e i h i g e n Hauptminor. Da eine schiefsymmetrische Determinante von ungerader Ordnung den Wert Null hat, so muß d e r R a n g r s t e t s g e r a d e sein. Wenn in dem Symbol (1, 2 , . . ., ») gewisse Zahlen gestrichen werden, so entsteht ein ähnliches Symbol (A^,

k2,

. . k

p

) .

Wir wollen [klt k2, . . ., kp) einen p-gliedrigen M i n o r von (1, 2, . . ., n) nennen. Im Falle eines geradenp ist [kl, k2, . . ., kp) ein PFAFF sches Aggregat. Im Falle eines ungeraden p soll

iK> K>

•>

kP)

=

0 sein -

Hat die schiefsymmetrische Determinante (1) den Rang r, so gibt es nach Satz 41 unter den r-gliedrigen Minoren von (1, 2 , . . n ) einen von Null verschiedenen. Alle mehr als r-gliedrigen Minoren von (1, 2, . . ., n) sind dagegen gleich Null. (fcj, k2, ..., Äp) sei ein nichtverschwindender Minor von ( 1 , 2 , . . . , »). Dagegen seien alle {p + 2)-gliedrigen Minoren, in denen (Ä;lt k . . . , k ) als Minor steckt, gleich Null. Dann ist der Rang von (1) gleich p. E s sei z. B . 1 (1, 2 , . . . , und 2 >

(1,

2,

. . . , p ,

k,

/) =

0 .

Bezeichnen wir mit

(k,

l =

p +

1,

. . . ,

p

«)

®nt> ®n

die algebraischen Komplemente von akV

atl>

aik>

aU

in der schiefsymmetrischen Determinante 1

Durch Vertauschnng von 1, 2, . . . , n läßt sich dieser Fall herbeifuhren.

KOWALEWSKF, D e t e r m i n a n t e n

10

146

Bang einer schiefsymmetrischen Determinante an . . . alp alk a

Pi

• • • afp

a

Pk

au a

Pi

= (1, 2, . . ., p, k, l ) \

«*i • • • akP akk i , «,2- . . app

gleich Null sind. Nach Satz 18 können wir also schließen, daß (1) den Bang p hat. Um den Hang der Determinante (1) zu finden, kann man jetzt so verfahren. Man sucht in (1, 2, ...,«) einen zweigliedrigen Minor, der von Null verschieden ist Gibt es keinen solchen, so hat (1) den Hang 0. Andernfalls lassen sich die Indizes 1, 2, . . n so vertauschen, daß gerade (1, 2) von Null verschieden ist Sind alle Aggregate (1, 2, k, V) gleich Null (ft, l = 3 , . . n ) , so ist (1) vom Range 2. Andernfalls läßt sich durch Yertauschung von 3, 4,..., n bewirken, daß gerade (1, 2, 3, 4) von Null verschieden ist Sind alle Aggregate (1, 2, 3, 4, k, l) gleich Null (k, l = 5,..., «), so hat (1) den Bang 4. Andernfalls läßt sich durch Yertauschung von 5, 6, . . . , n bewirken, daß gerade (1, 2, 3, 4, 5, 6) von Null verschieden ist. Usw. Wir seh$n hieraus, daß nach geeigneter Yertauschung der Indizes 1, 2, . . . , n die Aggregate (1, 2), (1, 2, 3, 4), . . . , (1, 2, . . . , r) von Null verschieden sind, während die Aggregate

Lineare Gleichungen mit schiefsymmetrischer Determinante

147

(1, 2, . . r, k, J) verschwinden [k, l = r + 1 , . . n } . 1 r ist dabei der Sang von (1). Bei einer symmetrischen Determinante läßt sich etwas Ähnliches erreichen. Es gilt nämlich auch für symmetrische Determinanten der folgende Satz. Wenn die (p + l)-reihigen und (p + 2)-reihigen Hauptminoren, in denen ein von Null verschiedener p- reihiger Hauptminor steckt, alle verschwinden, so ist der Rang der symmetrischen Determinante gleich p.2 Hieraus ergibt sich leicht, daß eine symmetrische Determinante an a.12 In

vom Bange r nach geeigneter Yertauschung der Indizes 1, von folgender Beschaffenheit ist: In der Reihe ' a n a u . . . Oj,

2 , n

sind das erste und letzte Glied von Null verschieden und nie zwei benachbarte Glieder gleich Null. § 65.

Lineare Gleichungen mit verschwindender schiefsymmetrischer Determinante.

Wir betrachten das System (1) in § 63, dessen Determinante schiefsymmetrisch und gleich Null sein soll, n braucht also jetzt nicht gerade zu sein. Aus § 29 wissen wir, daß das System dann und nur dann Lösungen besitzt, wenn die beiden Matrizen »11 a12 . ,• • «1» «21 »22 • • • «2»

(1)

«»1 1 9

• •

a

nn

Man denke sich (1) eventuell durch Nullen geändert. Beweis ebenso wie bei der schiefsymmetrischen Determinante. 10*

148

Lineare Gleichungen mit schief symmetrischer Determinante

und «11 «12 • ' «21 «22 ' ' •«2» h •

(2)

• « ! »

«»1 «»2" K gleichen Rang haben, Nun ist der Rang der schiefsymmetrischen Matrix «11 «12'--«1»&1 «21 «22 • " " «2n 2 b

(3)

a,nl

aiia . . . aR 9 mm A hn -b2...-bnO

höchstens um 1 höher als der von (2). Bezeichnen wir also mit rlt r2, r3 den Rang von (1) bzw. (2) bzw. (3),. so ist r Und r \ = 2 = »"3 = r2 + 1 » also auch r i = r3 — r i + !• Da rx und rs gerade Zahlen sind, so folgt hieraus *8 = V Wenn rx = r3 ist, so muß auch rx = r2 sein. Denn es ist immer r t :§r 2 Ein Gleichungssystem «11 X1 + «12 x2 + • • • + «i» «21 ^ + «22 *2 + • • • + «2»

= bi > = h>

««1 + «»2 + ••• + «»„ = K mit schiefsymmetrischer Determinante hat also dann und nur dann eine Lösung, wenn die Matrizen (1) und (3) von gleichem Range sind. Bezeichnen wir den gemeinsamen Rang von (1) und (3) mit r, so läßt sich durch Vertauschung der Indizes 1,2, . . . , n erreichen, daß (1, 2, .... r ) * 0 ist. Nach § 24 sind dann die « + 1 — r letzten Zeilen von (3) lineare Kombinationen der r ersten.1 Wir dürfen uns deshalb auf die r ersten Gleichungen des Systems beschränken. Diese schreiben wir in folgender Form: 1

Den trivialen Fall r = 0 lassen wir beiseite.

149

Determinanten gerader Ordnung

"il C1 + ••• + a ir Xr = - K,r+1 *r+l + • • • + arl ^ + ... + a„ xr = -

xr+l +---

B

«J + \

+ arnxn) + br

und wenden auf sie das in § 63 dargelegte Verfahren an. Wir wollen (1, 2, . . , r) = P setzen und unter Pk. (k= 1, 2, .'.., r; j = r + 1, ..., n+ 1) das PFAFF sehe Aggregat verstehen, das aus P entsteht, wenn man k in j verwandelt.1 Dann ist nach § 63 «^ -_

~

+1 ^r+l

—

• •" ~ ^1« xn + ^l.n+l , -

v — ~ ^2.1+1 ^r+l — •••-- ~ P2n Xn + Pj.n+l -

X . , -

„ _

^r.r+l Z)+l

P

,

Pyn Xn + ^r.n+l

Dabei darf man a; r + 1 , xn ganz beliebig wählen. Da auch die letzte Zeile der Matrix (3) eine lineare Kombination der r ersten ist, so erfüllen diese Werte der x auch die Gleichung + b2x2 + ... + bnxn = 0.

§ 66.

Determinanten gerader Ordnung, dargestellt durch PF ÄFF sehe Aggregate.

Wir betrachten eine Determinante von gerader Ordnung 2v und schreiben sie in folgender Weise:

D =

(1)

\\ . «1> «i'> h, V . • «2> a'» " K, K>

•

Vertauschen wir die erste und zweite Spalte, die dritte und vierte Spalte usw., so multipliziert sich D mit dem Faktor (— l) v . Es ist also 1

Statt 6,, bt, ...,

b„ schreiben wir wie in § 63 a t „ + l , . .., .a, „ + l .

Determinanten gerader Ordnung

150

«/) «2 '

a', n' a,R' b', n' b„, n'

oder (vgl. Satz 5) D=

(2)

V> 6i> V> 62>

V» — «i> K> K, «2'» —

~ttn> K, -h>

•

Aus (1) und (2) ergibt sich nun durch Multiplikation nach Zeilen Pn Pu ••• Pi» P21 P22 ••• Pin

(3)

Pn 1 Pn2 " ' Pna

wenn wir

ar a's — a'a r i +1 br b' fi— b'b r « 1 4-...=® "r setzen. Da offenbar Pr. = ~P.r> so ist die Determinante (3) schiefsymmetrisch. Mit (1, 2, ..., n) werde das PFAFFsehe Aggregat bezeichnet, dessen Quadrat die Determinante (3) ist. Dann folgt aus (3) (4)

.

Z) = (l, 2, ..., n).

Daß das Vorzeichen der rechten Seite richtig gewählt ist, erkennt man durch folgende Überlegung. In (1, 2, ..., n) tritt das Glied P\2 Ps4 ' ' * Pn-l,n mit dem Zeichen + auf. Nun ist aber P12 = a2 ~ Pst = • • • +hbi

> ~ • • •»

In dem ausgerechneten Produkt p12 p3i . . . pn.1>n kommt also das Hauptglied yon D, d. h. a

2 b3 V * * • mit dem Zeichen + vor, wie in D selbst, und kein andres Glied von (1, 2, n) enthält a1 a2' b3 b^'... als Bestandteil.

Schiefe Determinanten

151

Wir wollen Formel (4) auf die Determinante Oj atj' ¿j ¿>j' D =

«2 ö2' 62 V «3 ®3' 63 V

anwenden. so wird

Setzen wir p = a"*r a'» — si "*r a ' ^+ Jr i»' — «6 r6»' . D

= ft« ^34 + Pl3 1>« + ¿>14 ^23 > weil die rechte Seite gleich (1, 2, 3, 4) ist. Falls die Determinante (1) selbst schiefsymmetrisch ist, enthält die Formel (4) den Satz, daß das Quadrat eines PEAFF sehen Aggregats sich wieder als PiAFFsches Aggregat schreiben läßt, und zwar mit derselben Gliederzahl. § 67.

Schiefe Determinanten.

Wenn man die Hauptelemente einer schiefsymmetrischen Determinante durch irgendwelche Zahlen ersetzt, so entsteht eine Determinante, die man als schief bezeichnet. In einer solchen Determinante ist also a sr=~ar.(^«l Wenn die Hauptelemente einer schiefen Determinante alle gleich x sind, so können wir sie in folgender Form schreiben: an + x

aia

«21 ®22 +

D(s)-

..• x

• •

«in 2n

a

«i «»2 • •an« + Nach § 53 ist diese Determinante gleich a

a ((a.r .r = - ®J X

S2xn-* + . . . + Sn,

+

wobei Sk die Summe aller A;-reihigen Hauptminoren in der sebiefsymmetrischen Determinante D = bedeutet.

152

Kontinuanten

Da jeder Hauptminor einer schiefsymmetrischen Determinante selbst schiefsymmetrisch ist, so verschwinden nach Satz 38 alle *S mit ungeradem Index, während alle S mit geradem Index Summen von Quadraten sind (vgl. Satz 40). Die schiefe Determinante D(x) reduziert sich also auf xn+

S2xn-2+

S4xn-*

+ , . .

Wenn x > 0 ist, so wird J>(± x) = (± 1/V

+ S2 xn~2 +

x

n

+

...}.

Die Klammer besteht aus lauter nichtnegativen Gliedern, und eins von ihnen, nämlich xn, ist positiv. Wir sehen hieraus, daß die Gleichung D(s)- 0 keine von Null verschiedene r e e l l e W u r z e l h a b e n kann. Die Wurzel x = 0 hat sie nur dann, wenn D = 0 ist. § 68.

Kontinuanten.

Die K o n t i n u a n t e n sind schiefe Determinanten von der Form 1 0 . . 0 - 1 £C2 1 • . 0 0 -1 . 0 0

Die Elemente

0

0 .

^12' a-23> •••>

•

X

u

a

n-\,n

sind gleich 1, die Elemente a

21> «32' • ' •> an,n-\ gleich —1 und die Hauptelemente gleich x1} x2, ..., xn. Alle andern Elemente, sind gleich Null. Wenn man die Kontinuante Kn ausrechnet, so ist jedes Glied von ihr das Produkt gewisser x, versehen mit dem Koeffizienten 1. In der Tat ist Kx =

xx,

K2 = x1x2

+ 1

usw. Um uns von der Allgemeingültigkeit des Satzes zu überzeugen, entwickeln wir Kn nach der letzten Zeile. Dann erhalten wir

153

Kontinuanten

1 u . . 0 Ü -1 1 . . 0 0 0 - 1 Z3 . . 0 0 X

1

0

0

0 . . —1 1

Entwickeln wir die letzte Determinante (die aus Kn durch Streichung der letzten Zeile und vorletzten Spalte entsteht) nach der letzten Spalte, so ergibt sich K n = « nK w — , l+ * K , »-2 .

Diese Formel hätten wir auch direkt gewinnen können, und zwar durch Entwickelung von Kn nach der letzten Zeile und letzten Spalte (vgl. § 42). Wenn Kn_1 und K n _ i aus lauter Gliedern mit dem Koeffizienten 1 bestehen, so gilt dies wegen der obigen Rekursionsformel auch für K n . Nun haben und K2 die in Bede stehende Eigenschaft, folglich auch K s , K i t . . . Auf Grund der .Rekursionsformel ist es leicht, die Gliederzahl von Kn zu berechnen. Nennen wir sie kn, so ist offenbar K — K-i

• _

Da ist, so folgt

K-2 •

+

Äj = 1,

= 2

= = ®' fc4 = ftg ks = .5,

Ag — Ä/jj "j-

— 8

usw. Die Folge k1, k2, k3,;.. oder 1, 2, 3, 5, 8, . . ; hat die Eigenschaft, daß vom dritten Gliede ab jedes Glied die Summe der beiden vorhergehenden ist. Setzt man wie gewöhnlich so wird {a + b)n +1 = (a + b) (a + 6)»

Andererseits ist (a + 6)» + i ="2 i=o\

*) J I

+

bK

154

K o n t i n u a n t e n

Durch Vergleichung der beiden Ausdrücke für (a + b)n + 1 erkennt man, daß

TKHA

ist. Wenn man vereinbart, daß ^ j für k = — 1, — 2, . . . und für k = n + 1, w + 2, . . . gleich Null sein soll, so gilt diese Formel ganz allgemein. Mit ot werde nun die Summe aller ^ j bezeichnet, bei denen n + k = s ist. Dann folgt aus der obigen Formel c

, - Vi + • Die Folge cx, e2, e3, . . . hat also auch die Eigenschaft, daß yom dritten ab jedes Glied die Summe der beiden vorhergehenden ist. Da so stimmen die Folgen ^i» k , k , . . . und Cj, e , c , . . . in ihren beiden ersten Gliedern überein. Daraus folgt aber wegen ft» = An-1 +' än-2 und c„ii = cn-1. +i c n - „, 2 " daß sie in allen Gliedern übereinstimmen. Es ist also 2

3

2

3

HiKrVfiV-

Der Name Eontinuante hat seinen Ursprung in der Beziehung, die zwischen diesen Determinanten und den Kettenbrüchen (fractions Continus) besteht. Aus der Rekursionsformel K = x K _ + K _ ergibt sich & = , 1 n» ^ Kn.t n

a

n

oder, wenn wir K

"

=

o

setzen, =

+

Aus demselben Grunde ist aber 0„-i = «.-i +

l

1

n

2

Konlinuanten

155

Da nun

xt x2 + 1 = 0 2 = II. X. K, ist, so folgt aus den obigen Gleichungen *

1 = it.+ i «n-l +

H

. 1

l n-t + .

x

'

+

Ein Kettenbruch läßt sich also als Quotient von zwei Kontinuanten darstellen. Ersetzen wir xx, x 2 , x n durch xn, xn_v ...,xx und kehren in Kn und die Reihenfolge der Zeilen und Spalten um, so finden wir, daß der Kettenbruch «i +

1

** +. '• +

i

gleich dem Quotienten von X.1 1 0 . . 0 -1 1 . . 0 0 - 1 X9 . . 0 durch

0

0

0 .

•

1 0 . . 0 -l 1 . . 0 0 - 1 ¡v . 0 0

ist.

0

0 .

•

Ersetzt man in Kn alle x durch 1,7 so wird offenbar Knn = nk. Daraus folgt, daß die Determinante 1 1 0 .. . 0 - 1 1 1 .. . 0 0 -1 1 .. . 0 0 den Wert fc„ hat.

0

0 . .. 1

156

Die Determinanten W. Voigts § 69.

Die Determinanten W .

VOIGTS.

W. VOIGT, DBDDE und BALTZEB haben Determinanten von gerader Ordnung untersucht, die von folgender Form sind: a b e d . . —b a —d c . . D= «i - V i Sie setzen sich aus n Zeilenpaaren von der Form a b —b a

c d ... —d e . . .

zusammen. Die a, b, e, d, . . . sollen sämtlich reell sein. Wir vollen in D die mit der imaginären Einheit i multiplizierte te 2i/ Zeile von der (2v — l)4®11 abziehen (v = 1, 2, . . . , n) und, nachdem dies geschehen ist, die 2i/ te Zeile mit dem Faktor 2 i versehen. Dadurch erhalten wir

(2 I)"D =

a + bi, b — ai, — 2 bi, 2 ai, ax + i, bi—ali, — 2b1i, 2 a1i,

c + di, —2 di, c1+dli, —2 dxi,

d — ei, 2 ei, dt — c^i, 2 e1i,

Addieren wir jetzt zu der 2f t e n Zeile die [2v — l)16 (v = 1, 2, . n \ so ergibt sich

{2i)"D =

a + bi, b — ai, e-\-di, d — ei, . a — bi, b + ai, e — di, d + ei, . a1 + öji, 6j—Oji, Cj+dji, d1—c^i, . a1 — b1 i, + aj i, c1 — dj i, d1 + Cj i, .

oder, wenn wir aus der 2 ten , 4 ten , herausziehen, a+bi, — (a+bi), a — bi, a—bi, 2 nD « i + M > — («i+&!«)> «j — b1 i, «j — i,

. . 2 w t e n Spalte den Faktor i e + di, — (e+di), e — di, c—di, — [ßl + d1 i), Cj — d1 i, c1 — dj i,

157

Die Determinanten W. Voigts

Schließlich addieren wir zur 2i>ten Spalte die (2v — l) te (v = 1, 2, ..., n) und ziehen aus der 2ten, 4 t e n , . . 2 w t e n Spalte den Faktor 2 heraus. Dann finden wir a + bi, a — bi, D =

0, a — bi,

«i +b1i,

c-\-di, c — di,

0,

a

0, c — d i,

c1+d1i,

a

i ~ K i> i ~ h * >

0, c

~

*> \ ~

i>

Geben wir den Spalten 1, 2, ..., 2n die neue Eeihenfolge 1, 3,

2n — 1, 2, 4,

2n,

so tritt zu D der Faktor (—1)" hinzu. Dabei bedeutet b

=

2>

b

=

n

Regel auf (vgl. § 22), so ergibt sich1

GBAUEB sehen b

2 n

b

A

r

+ . . .

t

+

bnArn^

( r = l , 2 , . . . , n )

Für den Fall, daß bt = 1 ist und alle andern b gleich Null, hat man also r x

— A l l . X '

\

x

—

•*** A • '

2

X »

=

,

X

• •

A

Aus § 70 ist aber zu entnehmen, daß in diesem Falle die Gleichungen durch X

1

~

a

i » »

X

2

=

a

2 t >

' • •'

X

n ~

a

n ,

befriedigt werden. Da es nur eine Lösung gibt, so folgt Ä a

r > =

"

Satz 43. In einer orthogonalen Determinante, die den Wert 1 hat, ist jedes Element gleich seinem algebraischen Komplement. In einer orthogonalen Determinante mit 1

A„ ist das algebraische Komplement von ar, in A.

161

Produkt von zwei orthogonalen Determinanten

dem W e r t —1 sind die E l e m e n t e und ihre a l g e b r a i s c h e n K o m p l e m e n t e e n t g e g e n g e s e t z t gleich. Mit Hilfe der Relationen aTs = Art : A erkennt man, daß in einer orthogonalen Determinante das Produkt von zwei verschiedenen Zeilen gleich Null und das Produkt einer Zeile mit sich selbst gleich 1 ist. Man hat in der Tat I . , "rl A,t + arî A,2 + . . . + ®ri Ain rl a.l + r2 «,2 + • • • + arn °sn = J Der Zähler dieses Bruches ist aber gleich Null oder gleich 1, je nachdem r g s oder r = s. Satz 44. E i n e o r t h o g o n a l e D e t e r m i n a n t e b l e i b t orthogonal, wenn man sie um die H a u p t d i a g o n a l e herumklappt. § 72.

Produkt von zwei orthogonalen Determinanten.

Satz 45. Das P r o d u k t von zwei orthogonalen D e t e r minanten ist wieder eine orthogonale D e t e r m i n a n t e . Multipliziert man die beiden orthogonalen Determinanten a n «12 • •«1. «21 «22 • • «2»

hi und

hi hs

•hn •

•hn

hi hi • o»i «»2- • « „ » nach Zeilen, so entsteht eine Determinante

in welcher ist.

Crs

= «,1 hl + «,2 hi + • • • + am h

Danach wird Gr.Grt

= (2¡1

fe (2«r, /v) =p,r2 v

V

Summiert man-über die Werte r — 1, 2, . . n , so ergibt sich, da ist,

2raraarr = 0 (fS»).t 2 «r « = 1 2rCr.Cri =fi 2 W ' Man hat also C C C =1 2°r. rt-° («Si ) , 2 r r r. rs >

Kowalewski, Determinanten

11

162

Sätze

von

Brioschi

und

Siaoei

weil =

(«SO,

§

Sätze von

73.

Die Sätze von

D(x)

n

+ x

a12

...

aln

«21

=

SIACCI.

beziehen sich auf die Gleichung

BBIOSCHI a

und

BBIOSCHI

a2n

= 0

«»1 «»2 • • • « . . + * I unter der Voraussetzung, daß Z)(0) = A eine orthogonale Determinante ist. Multipliziert man D{x) mit «11 ~ X «12 • «21 «22 ~ X •

«i» 1n n 2n

«»1 ««2 • . a nn — X und zwar nach Zeilen, so ergibt sich (vgl. Satz 44) 1 D ( x ) D { - x )

=

(«12-•«2l) X,

(«21 -o, a )a:, . •> («„1 -«in)® 1 («»2 ' 2 1-- z

(«ln- «*l) x> K » Hieraus folgt für « g O 1 D{x)

D { — x ) =

xn

- X ,

«21- «12' 1 ¡r, «12 - «21' X X

• •» «nl - « i » • v «„2 ~«2» 1

«1» ~ «nl» «2»- «712' oder, wenn man 1

X = %

X

und

«„„ er —rsa , = i ri/?„ „

setzt, ßll D(x)D(—x)

+ ßil ßnl

ßli

* ßn

'

•

ßm

+

x •

•

ßin

߻2

•

—

X

163

Sätze von Briosehi und Siaeei

Da ßr, =~ ß,r> so können wir uns auf § 67 stützen. Dort sahen wir, daß die Gleichung ßn +* ßl2 • •• ßlH ß + x . n ßn • ßin = 0 ßnl

ßn2

•

•

ßnu+*

außer etwa % = 0 keine reelle Wurzel haben kanD. Daraus folgt, d a ß die G l e i c h u n g D{x) = 0 keine r e e l l e W u r z e l z u l ä ß t , die von 1 und s c h i e d e n ist. Schreibt man D{x) in der Form

— 1 ver-

so ist, wie wir wissen, Sk die Summe der A>reihigen Hauptminoren von A. Nach Satz 43 wird aber z. B. A"

an «12 • • • «1 k a 2l aM . . • «2 k

Aau =

k\ «ft2 • • • akk

a

Aals

. •

Ä
f*2 12 + ^2 12> •• •> a t*Ia21 + llh21> 1*2 22 ^"2 ^22' " •> f*na2n+ khn

Pian

1 b • •i Li ann4- Xnun 1+KKl' 1*2 "N3 + hhl> ...

Multipliziert man tp (A, (i) mit 6

11 b12 • • • h\n b2l hl ••• b2n

= ±1,

Kl Ki • • • K» und zwar nach Spalten, so ergibt sich Aj c n + ^ ± •'

*2C2»

• •> Kenn + t*n

ke«2>

«r. = « l A » + «2r h , + • • • + «»r K , • Multipliziert man

*nl >

• • > f «

a

22

+

a

« n +

X

«1»

12 9

H a

«2n

ft''

a

n2>

' ''

Ü2n

• • •> «mii +

n

Z~ f

Wir wollen nun annehmen, daß ^ ^ • • • P n

ist. a

n

=

Ä

Dann ergibt sieb, wenn wir noch X = 1 setzen, +

°12>

th>

«21» «ili t

•

«2 a

n2>

• •>

«in

• •>

«2»

=

°U + — > «12» 1 «21 » «22 + ^ >••»

•

Hierin liegt folgender Satz von

n2 *

SIACCI:

•i

2n a

^

Sätze von Brioschi und Siaeei

167

A d d i e r t man zu den H a u p t e l e m e n t e n e i n e r orthogon a l e n D e t e r m i n a n t e Z a h l e n , deren P r o d u k t gleich der o r t h o g o n a l e n D e t e r m i n a n t e ist (also gleich 1 bzw. — 1), so b l e i b t die neue D e t e r m i n a n t e u n g e ä n d e r t , wenn j e d e von diesen Z a h l e n durch i h r e n r e z i p r o k e n W e r t e r s e t z t wird. Schließlich beweisen wir noch ein Theorem über die Determinante 3t, die aus der orthogonalen Determinante

A

=

dadurch entsteht, daß man zu den Hauptelementen 1 addiert. reziproke Determinante von ®11 + 1, aU> • •> °21> a22 + 1, . 'f

«1» °2»

•

9t =

Die

•

1 • * t ««„+

n _

sei «Ii

hn •

*„1 «„2 • • • ? Der zu beweisende Satz bezieht sich gerade auf die Elemente dieser Determinante. 91 entsteht aus der Determinante ^2 ®12» Aj a 21 , A2«22+^2*

•>

K'hn

• •>

Ka2n

'

Kam>

indem man Ar = 0 und alle andern A gleich 1 setzt, ebenso alle (i gleich 1. Die obige Determinante ist aber, wie wir wissen, gleich a

fh n + A

t*ia2l>

lhan 1

^2ai2>

> Vi

168

Sätze von Brioschi und Stacci

Setzt man hier = 0 und alle übrigen k sowie alle fi gleich 1, so geht die Determinante offenbar in 2t — 91 TT

über; denn sie unterscheidet sich von 91 nur dadurch, daß aTT an die Stelle von arT + 1 getreten ist. Wir haben also die Gleichung Kr " ¿P* - « J oder, da A2 = 1 ist, d. h. (1 + A) 9l rr = 91. Wenn man in der Determinante hi h* • hn hi hi • • hn •

hi hin 2 • * ' ^nn brr = btt = 0 s) und alle übrigen Uauptelemente gleich 1 macht, ferner brt = btr = 1 und alle andern Elemente außerhalb der Hauptdiagonale gleich Null, so entsteht eine orthogonale Determinante mit dem Wert — 1. Wir wollen jetzt in a

K a i2 + Pt ht > K °2i + t*i hi > h

•> hain+ Kai«+

ni>

'

Pnhn Pnhn

Ana Tin+ iu r"n b n

A# = 0 und fi r = 0 setzen, alle andern 1, fi aber gleich 1. Dann geht «22 + 22> • • «»1+

171

Formeln

«2« + 2«

= 0,

6

«2» • • •> ann + Kn

»2+

so v e r s c h w i n d e n auch a l l e (n — l ) - r e i h i g e n Minoren von R. § 75.

Die CAYLEY sehen Formeln.

Zwischen den n 2 Elementen einer orthogonalen Determinante a A

=

n «12 •

3n

«21 «22 •

• «2»

«nl 0)i2.. .

•

« » »

bestehen der Definition gemäß die Relationen 1 7 ' I .ä 1+ flj.««. 2r 20 +1 • • • +1 nr ns = > «i,«!,. 1 »• j r + ¿r

Dividieren wir die Brüche

«

und

91

173

im Zähler und Nenner durch 51", so ergeben sich für die Elemente von A rationale Ausdrücke in 9t,, 91 91 ' • •" 91 ' 9tj „ 91*3 9t ' ' ' '' 9t ' (2) 31»-.,. 91 Wir wollen jetzt zeigen, daß die Determinante A, deren Elemente durch die Gleichungen (1) bestimmt sind, stets orthogonal ist und den Wert 1 hat, wie man auch die \n(n— 1) Parameter (2) wählen mag. Wir gehen also jetzt von einer beliebigen schiefen Determinante 9i aus, deren Hauptelemente alle gleich und von Null verschieden sind.1 Aus den Formeln (1) berechnen wir die Elemente von A und wollen beweisen, daß A orthogonal und gleich 1 ist. xlt x2, . .., xn seien n Veränderliche. Zu ihnen mögen die Veränderlichen y1, y,, . . .. yn in folgender Beziehung stehen: Vi = ?f21 Xl + ^22 Xi + • • • + %n x n'

(3)

wl x.l +1 2L,ni x„2 +' . . . +1 91nn„¡rn . Die Veränderlichen x1, %2, . . ., zn seien mit xlt x2, die Gleichungen yn =

(4)

.

= =

x„ durch

x1 + %22x2 + • • • + +

« > . « »

+

• ••

+

« . . * „

verbunden. Die 81,., sind die Elemente von 9t. Es ist also %r = \% und (rS»). Daraus folgt (5) . . yn + %n = 9txn. Vl + ^ = 91^, y2 +z2=%x2, Löst man die Gleichungen (3) und (4) nach der CBAMEBsehen Regel auf, so ergibt sich 1

Ihren gemeinsamen Wert nennen wir ^ 9J. Nach § 67 kann 91 nicht gleich Null sein.

174

Die Cayley sehen Formeln «*, = «„ yx +

%

+ .. . +

«Bl

9t

= 12 »1 + ^22 2/2 + • • • +

(3)

y«>

und «a^ = « n

+ ä „ *2 + . . . +

*„

(4)

Unter Beachtung von (1) und (5) lassen sich die Systeme (3) und (4) auch so schreiben: «i = ®11 V\ + «21Vi + • • • + «»i 2/„. «2 = «12 2/i + «22Vi + • • + ««2 y«>

(3')

•

- «l»2/x + «2» y% + •

•

und

•

+

2/i = «11 Z1 + «12 ®8 + • % = «21 X1 «22 »2+ • II .

(40

««1 Xl + ««2 die Werte yl, •» y.» wie Gleichungen (4') geliefert werden, in (3') ein, so kommt = 2ar»(arl r

+ a ri % 2 + • • • + a rn Z J

(* = 1, 2, . .

n).

Da man den % beliebige Werte beilegen darf (weil sich die Gleichungen (4) nach den x auflösen lassen), so folgt hieraus 2r «,.«,« = 0

( s g t),

=

r

1

•

Die Determinante Ä ist also orthogonal. Um zu beweisen, daß A den Wert 1 hat, multipliziere man «1.» • « ' A

=

"

Mg.. 21

! , « «H 9t , , «IL.

mit

Zweireihige und dreireihige orthogonale Determinanten

175

«11 «12 • •«in 91 =

etwa nach Zeilen.

«21 «22 •

«„1 nl ««•> ni • Dann ergibt sich 1

A'ii

=

•ln «12 * 9t21 •«2„

nl «„2- . 9i Daraus ist zu ersehen, daß A den Wert 1 hat. § 76.

Zweireihige und dreireihige orthogonale Determinanten.

Um die Elemente einer zweireihigen orthogonalen Determinante vom Werte 1 zu finden, gehen wir nach § 75 von einer zweireihigen schiefen Determinante mit gleichen Hauptelementen aus: k

91 =

jU

—fjt X

Die reziproke Determinante lautet A (i —/i X Die Formeln (1) in § 75 liefern dann: 2 kp

2 k'

= - 1 + k* + fi* ' 2 ku

22

oder -

~~

A2 +•P* p* '

2 k Ii

As + ju' '

2JI' = - 1 + k* + [i* —

2lll

° 1 2 ~ k*+fi* ' Aa - 1 ann = k*+fi*

« Dividieren wir Zähler und Nenner durch Ä2 und setzen Xfri = t, so ergibt sich t - t*

~ 1 + t* ' _ 2t «21 ! + t2 > 1

° 12

2t

1 + À~ ' so lautet die dreireihige orthogonale Determinante: 1 + r2 t2 2(t-r s) 2 (s + r Q 2 2 2 2 2 2 1 + r + s + < ' 1 + r + s + < ' 1 + r s + s2 +

für a; = — ft', y = « / gleich Null sein, d. h. es muß die Gleichung gelten.

Sie sagt aber aus, daß ttyX + ß^'y und nicht wesentlich verschieden sind. Wählen wir ß { so, daß
^n-i» A>>

* • •> An-l

finden, die nicht alle Null sind und für alle Werte der x, y die Gleichung (31

I

(-¿o xm~l

+ -¿i xm~2y

+ • • • + Am_1 ym~v)9

erfüllen. Wären alle A gleich Null, so müßten auch alle B verschwinden. Sonst könnten wir x, y so wählen, daß die rechte Seite ungleich Null ist.1 Es sind also weder alle A noch alle B gleich Null. 1 Das folgt aus dem oben erwähnten Fundamentalsatz.

182

f und g haben mehrere gemeinsame

Linearfaktoren

Denken wir uns die Formen F=

i , ^ -

1

+ 4 xm~1y

+ . . . + A^

y™'1

+B1x»~1y

+ . . . + Bn_i «z»"1

und G = B0x»-1

in ibre Linearfaktoren zerlegt, ebenso f und g. Dann muß jeder Linearfaktor, der auf der linken Seite von (3) p-mal vorkommt, auch auf der rechten Seite j?-mal vorkommen. Unter den Linearfaktoren von f gibt es nun sicher einen, der in F weniger oft als in f auftritt; denn der Grad von F ist niedriger als der von f. Dieser Linearfaktor muß also in g vorkommen. Gr ist ein gemeinsamer Faktor von f und g. § 79. f und g haben mehrere gemeinsame Linearfaktoren. f und g mögen mehr als einen, etwa k + 1, gemeinsame Linearfaktoren haben. q sei das Produkt von k dieser Faktoren. Dann sind

binäre Formen vom (m — k)^n bzw. (n — k)*** Grade, die noch einen gemeinsamen Linearfaktor besitzen. Es besteht daher nach § 78 zwischen den Formen 1 xn-k-lff

xn-*-2yf,

xtn-k-lgf

xm-k-2ygf

.. .^

#

y»-k-l

f,

ym-k-l

g

eine lineare Relation, folglich auch zwischen den Formen x—*~2yf,

« \ xn-^-ig,

m k 2

x ~~

....

y g, ...,

y - ^ f , y—^g.

Das bedeutet aber folgendes: Streicht man in der Resultante von f und g von den n ersten Zeilen die k ersten, ebenso von den m letzten Zeilen die k ersten, und außerdem die k ersten Spalten, so entsteht eine Matrix, deren Rang kleiner als m + n — 2k ist, d. h. kleiner als die Anzahl ihrer Zeilen. Umgekehrt folgt, wenn dies der Fall ist, daß zwischen den Formen (1) eine lineare Relation besteht. Die m + n — 2 k Zahlen -^0»

' • *'

1» -®0»

• ' •> Bn-k-l

lassen sich nämlich so bestimmen, daß für alle Werte der x, y 1

d. h. zwischen den Koeffizientensystemen der Formen.

f und g haben mehrere gemeinsame IAnearfaktoren

1=

fo*—+

183

+ . . . + £„_»_, y ^ - ^ f

ist, ohne daß die A, B alle verschwinden. Wären alle A gleich Null, so müßten auch alle B gleich Null sein. Es sind also weder alle A noch alle B gleich Null. Denkt man sich nun die Formen und

(p = A a;-»-*-! + Ax xm-k-2y + B1 xn~1e~2y

V =

ym-"~1

+ ...+ + .. . +

B^.^y»-*-1

in Linearfaktoren zerlegt, ebenso f und g, so müssen in (2) links und rechts dieselben Linearfaktoren stehen. Von den m Linearfaktoren der Form f können höchstens m — k — 1 bei F vorkommen. Wenigstens k + 1 von ihnen kommen also bei g vor. D. h. f und g haben wenigstens k + 1 gemeinsame Linearfaktoren. Will man z. B. erkennen, wie viele Linearfaktoren die beiden Formen und

f=

a0x* + a1xsy

+ a2 x2y2 + azxy3

+ aty*

g = b0 xs + \ x*y + b2 xy2 + b3 y3

gemein haben, so muß man aus «0 «1 °2 ®3 aé 0 0 0 «1 «2 «3 «4 0 0 0 «0 «1 «3 ai *o h h *» 0 0 0 0 0 K *>* 0 0 0

0 0

h

h

0

h

h

h

0

h

h

die folgenden Matrizen herleiten: "o a, 0 «0 b

o

0 0

\ K

0

«2 «3 «4 0 «4 i °2 0 0 \ h \ h h 0 a

h

h

(durch Streichung der ersten a-Zeile, der ersten ¿-Zeile und der ersten Spalte),

184

f und g haben mehrere gemeinsame Limarfaktoren ö ai { b0 b,

(5)

2 % b2 b3

a

a

* 0

0 b0 6, b2 b3 (durch Streichung der beiden ersten a-Zeilen, der beiden ersten b-Zeilen und der beiden ersten Spalten). Dann sind folgende Fälle möglich: 1. Bang von (3) gleich 7. f und g haben k e i n e n gemeinsamen Linearfaktor. . 2. Bang von (3) kleiner als 7, Bang von (4) gleich 5. f und g haben e i n e n gemeinsamen Linearfaktor. 3. Bang von (4) kleiner als 5, Bang von (5) gleich 3. f und g haben zwei gemeinsame Linearfaktoren. 4. Bang von (5) kleiner als 3. f und g haben d r e i gemeinsame Linearfaktoren. Nehmen wir z. B. an, daß der Fall 3 vorliegt. Dann besteht zwischen den Formen ®o

+ °J x*y + «2 3 5 V + o3 ® V + a t xy*, a0x*y + ^ icV + a2 x2y3 + a3xy* +

aiyi,

b0 x5 + \ x*y + b2 xV + h «V> b0x*y + s?y2 + b2 x*y* + b3 xy*, h x 3 y 2 + b i x * y 3 + b2 x y * + h y 6 eine lineare Belation, aber nicht zwischen den Formen a0x* +

+ a2x2y2

b0x* + 6j a?y + b2x2y2

+ % x y* + % y*, +

\xy,

b0a?y + 6j x2y2 + b2xya +

b3y*.

Es besteht mit anderen Worten eine Identität von der Form (6) {A0 x2 + A,xy + J2 y2)g = (B0x + Bx y)f {A, B nicht alle Null), aber keine von der Form + Axy)g =

B0f.

Daraus ersehen wir, daß in (6) die Formen F= A0x* + AlXy + A2y2, G = B0x + Biy keinen gemeinsamen Linearfaktor haben. E s müssen daher alle Linearfaktoren von 1 ebenso oft in f vorkommen, d. h. f ist durch F teilbar. Setzen wir f=qF, so wird g = qO, und q ist vom zweiten Grade. Offenbar stellt q das Produkt der gemeinsamen Linearfaktoren von f und g dar.

R e s u l t a n t e

v o n

F o r m e n

g l e i c h e n

185

G r a d e s

§ 80. Resultante von Formen gleichen Grades. Die Resultante der beiden binären Formen wten Grades / " =

g

a

=

b

0

x

n

+

x »

0

a

-

a ; "

v

+

1

1

x " -

«/

y

+

.

+

.

. .

.

+

.

+

a

a

y

n

n

y

n

,

n

setzt sich aus den zweireihigen Determinanten der Matrix ( «o «i • • • »„

(1)

u zusammen (durch Multiplikationen, Additionen und Subtraktionen). Man erkennt dies, wenn man in der Determinante 0

i «o «x ! 0 a

0

0

K

0

a

b

n

0 0

\

0

|

0

n

n

0

. . .

b

0

b ,

. . .

b,,

den Zeilen 1, 2, . . 2n die Reihenfolge 1, n + 1, 2, n + 2, . . . , « , 2»

n (w — 1) gibt, wobei sich die Determinante nur mit dem Faktor (—1) 2 Entwickelt man nun . 0 % .. 0 \ 0 0 (2) 0 0 a

l

•

b , .

b

0 0

0

0 .. 0 .,

.

a

• •

K

0

a

l

b ,

.

•

. • •

•

a

n

K

nach den beiden ersten Zeilen, so ergibt sich a .

a .

b .

b .

M .

( r < s )

und Mrt ist, abgesehen vom Vorzeichen, die Determinante, die ans (2) durch Streichung der Zeilen 1 und 2 sowie der Spalten r + 1 und « 4 - 1 entsteht. Diese Determinante kann man wieder nach den beiden ersten Zeilen entwickeln usw.

186

Resultante

von Formen

gleichen

Grades

Es ergibt sich auf diese Weise, daß die Besultante von f und g eine Summe von Produkten ist, deren jedes n zweireihige Determinanten von (1) als Faktoren enthält. Z. B. läßt sich die Besultante zweier quadratischer Formen + ° i xv b0 X2 +

+

a2V2'

xy + bt y2

so schreiben «i

aa

0

b2

0

o h

0

0

0

0

0 0 a3

h

ai

+ P02

°3

0

0

h

0

0

a»2 «3

0

h

ao

h

h

h

0

at

«3

\

«0 «2

a3

K

h

0 0

«1 ¿1

h

0 0 «3

h

h

0

«0 — P0 3

\

0 0

h

h

«0

ai

bo

A

0 «S h

= - P o i {Pl2P23-PiS+P23P03) + P0ì(P0iP!t3-P03Pl3)—P03^>0lP23-PÒs)-

Resultante von f und (— ß x +

187

ay)g

Auf Grund der Identität a

«1

a

\

h

K

o

% «1 \ »1 kann man statt

a

i

s

h

2

«3 *3

= 2(i>01i>23 +¿>02^31 + PosPn) =

0

Pol ¿>23

auch schreiben

P02 P\i Dann wird die Besultante gleich

PoS Pl2 •

-Pol {CP12 +Po3)Pz3 Pib} P02 \Po2 P23 -Pos^isl -P03 \P02P13 - {Pli + PoalPos!-

Dies ist aber die dreireihige symmetrische Determinante P01

Po 2

Pos

P02 Pia + Pos Pis P03

P\ 3

PiS

Man kann hiernach vermuten, daß sich die Besultante von zwei Formen « t e n Grades als n - reihige symmetrische Determinante schreiben läßt, deren Elemente sich additiv aus den prt zusammensetzen. Diesen allgemeinen Satz hat CAYLEY bewiesen. § 81. Resultante von f und (— ßx + ay)g. Wir wollen die Besultante von f=a0xm+a1

xm—1y

+ . .. +

amym

und (— ßx + ay)g berechnen, wobei + \ x»~*y

+ . . . + bu_ly—

1

sein möge. Die Besultante von f und g werde mit Rfg, die von f und — ßx + ay = 1 mit Rfv endlich die von f und lg mit Rflg bezeichnet. Wir gehen darauf aus, eine Beziehung zwischen Rflg und Rfg, Rf , herzuleiten. Für Br i gilt übrigens die Formel

188

Resultante von f und «0

(-ßx-{-ay)g a

2 • • • «m 0 .. . 0

«i tt

- ß 0 ~ß 0

a

... 0

0 ..

0

.

a

= a0ce™ + ai«—»/? + . .. + anß- = f{a, ß). Man findet sie durch Entwickelung von Rf l nach der ersten Zeile. Setzt man lg = c0x" + 05»-1 y + . . . + enyn, so ist In 0

«i • • . 0 ®o • • . 0

0

0

a

o

c

o 0

c

0

0

o

. . • am . 0 •

•

..

. 0 •

c

»

sind daher die m letzten Zeilen lineare homogene Funktionen von a, ß. Entwickelt man also nach den m letzten Zeilen, so ergibt sich ein Ausdruck von der Form F{u, ß) = A0am + Al a™~lß + . . . + Amßm. Diese Form F(ce, ß) unterscheidet sich nun von f{a, ß) nur um einen von a, ß unabhängigen Faktor, und zwar ist F{u,ß) = f{a,ß)Rf> d.h. B

f,lg = Rf.i' Bf.gDavon können wir uns auf folgende Weise überzeugen. schreiben f(x, y) als Produkt von m Linearformen: f{x, y) = [xy: -x^y) . . . [xym - xmy).x Ist nun « = V ß = Vfl, ifi = 1, 2, . . m)

Wir

so haben f und lg den gemeinsamen Faktor l, so daß 1 Die a sind homogene ganze Funktionen der Veränderlichen xl, ylt Xi, yt, ..., xm, ym. Wir setzen die Linearfaktoren als verschieden voraus. Der andere Fall erledigt sich durch eine Stetigkeitsbetrachtung.

Zusammenhang der Resultante Rfg mit den Linearfaktoren R

sein muß oder

f , ig =

189

0

y,) = 0. Daraus ersehen wir, daß a y ^ — ß x ^ zu den Linearfaktoren der Form F{ct, ß) gehört. F(a, ß) ist also durch f(a, ß) teilbar. Da beide Formen von gleichem Grade sind, kann sich F{a, ß) von f(u, ß) nur um einen konstanten Faktor unterscheiden, d. h. um einen Faktor, der von u, ß frei ist. Um diesen Faktor zu finden, setzt man ß = 0. Dann wird F(a, ß) = a0 a™ Rfi g

und

f(u, ß) = a0 et™.

Der Faktor lautet also R'if 9 § 82.

Zusammenhang der Resultante Rf< g mit den Linearfaktoren von f und g.

Durch mehrfache Anwendung der in § 81 bewiesenen Formel finden wir, wenn ist (ij, l 2 , . .

tn Linearformen), R

f . g = R f , h R f , k • • • R f , bi • Nach jener Formel ist nämlich R

= R f , ¡. Rf,g> >

R

= R

f,g f,h

R

(, h ft9i'

(^i = h h • • • 0 =

l

4 • • • ln)

R

f,gn-2= Rt,ln-1 Rf,gn-1(in-1 = ln> Man gelangt von Rf g zu Rg< f, indem man die m letzten Zeilen an erster Stelle und die n ersten Zeilen an letzter Stelle schreibt. 8 Daraus ersieht man, daß Rs-m ¡1 R*mk- • • R>-m In

Setzt man K

=

SMs x

K=

so wird ly =

x

ry-yr

>

^

x

-y,

v

y*

Schreiben wir also kurz f*=n{Ly-%x)>

9 = n{xvy

M=1

so wird

V—1

-yrx),

(1)

Hieraus ersehen wir weiter, daß R

f,g - ttxi> yJ f(x2> %) • • •

yn)

und fyj = ^ " " f t t i » fli)*(l«> ii) • • • fljDie Formel (1) läßt unmittelbar erkennen, daß Rf g dann und nur dann verschwindet, wenn f und g einen Linearfaktor gemein haben. Denn die rechte Seite in (1) ist dann und nur dann gleich Null, wenn eine Determinante ^ V, — x r verschwindet, oder, was dasselbe bedeutet, wenn die Linearfaktoren £ * y - % x und x*y-yvx nicht wesentlich verschieden sind. § 83.

Invarianteneigenschaft der Resultante.

Ersetzt man in einer binären Form f{x, y) = a0xm + a1 x™~xy + .. . +

x, y durch ax-\-ßy

bzw.

yx-\-Sy

amym

Invarianteneigenschaft der Resultante

191

(«, ß, y, 8 Konstanten), so verwandelt sie sich in eine neue Form f'{x, y) = a0'xm + al'x»~1y + ...a'mymMan nennt diesen Prozeß eine l i n e a r e T r a n s f o r m a t i o n , und zwar sagt man, daß die Form f aas der Form f durch die lineare Transformation « ß^ r S) entsteht, oder auch, daß f bei dieser linearen Transformation in f übergeht. Die Determinante u ß r 8. heißt die Determinante der linearen Transformation [ a ^s ] . \r l Wir wollen jetzt außer f(x, y) noch die Form g{x, y) = b0 xn + \ xn~1y + . . . + bnyn betrachten. g'{x, y) = b0'xn + x»-1 y + . . . + &nV entstehe aus g (x, y) durch die lineare Transformation | ^ ^ j . Zwischen den Resultanten Rf.g und Rr< g> besteht dann, wie wir sehen werden, die Beziehung Br,, = (ad-ßy)™Rf,g. Um diese Formel zu beweisen, zerlegen wir f und g in Linearfaktoren: m n f=n{£y-%x), g — II{xry — yvx). =1

V=1

Ersetzen wir x, y durch ax + ßy bzw. yx + Sy, so verwandelt sich ^yin s i^yv + !J) + ßy) = f / y und xvy-yrx in xv{yx + Sy) — yr{ax + ßy) = xr'y — yj x. Dabei haben wir

192

Invarianteneigenschaft

der

Resultante

und 8 xy - ß yv = xr',

- y x

gesetzt. Nach § 82 ist

= yy'

8

V




ye

+1

gn — o yo

+ ff =

r +

s)

und wir können schreiben f { x , y )

g{x,y)

wo dann y\

ist.

i , v) =

(r < s, q + ff = Setzen wir *{*,

r +

aT

a

K

K

y

1

V

8

v),

in —a „o — l

xn

s)

f 0 X*- 1

v) =

y , ê,

2

X

+ f x * n~ xy

+ •••

+

y"- 1,

/;-!

so sind f0 , f x , . . Formen (n — Grades in f , ?/, d.h. es ist fo = «001"- 1 + «Ol i " - 2 * + ••• + c 0 ,„-i i " - 1 . l)t t>2Ì--- F(xI> Vii i»> flj f x cnp = f f a * i i > ( 2 < h > y ^ »ü yn; £lt y«, • i\xn, yni in, vj Nun ist aber

13»

Die Cayleysche Form der Resultante

196

x

/>r, yT) 9 yr) fiè,>V,) 9{Ì,,V.) _ f(Xr, yr) g(i„ v.) v> - yr f. '

F

K>

r yT l v.

I.» v,) =

weil

y)>

so ist offenbar ff (in,V.) Vn~Vi in

9 (ii, Vi) XiVi- Vi il

9i (Ii- *h) •

9 (in, Vn) BnVn-M n

9 (ii, Vi) ¡BnVl y»ii ~

9i (Ì„>

9n (Ii ' ^l) • * 9n (Im*

h» hi • ••h.n -1 ho K - •Kn -1

ir

ho hi

er-1 yn-2

' * ^n n--1

•

f.n-2 %•• & -1 §2

• Vi •

%

1 • «I»Vn

Der zweite Faktor ist die mit II bezeichnete Determinante. Um den ersten Faktor, den wir mit B bezeichnen wollen, zu berechnen, multiplizieren wir B mit P. Dann ergibt sich BP =

9l («!> V\) • • • 9i (xn> 2/»)

9n (Xl> Vi) ••• 9n K> Vn) oder, da im Falle p ^ v ist,

9^,

yr) = o

197

Die Cayleysche Form der Resultante BP = g{x1} y j g f a , »,)... n (» — 1) 1 = ( - \)~~z~P2,

also

g{xn, yJ

n(n — 1) B = (-1)

2

P.

Es besteht somit die Gleichung n(n —1) cnp — (— i) 2 1^,/zp, woraus im Falle II P ^ 0 folgt n (n — 1) C-(- 1 Der Fall H P = 0 erledigt sich durch eine Stetigkeitsbetrachtung. f(x,y) und g{x,y) mögen im ganzen k gemeinsame Linearfaktoren besitzen. Ihr Produkt werde mit t (x, y) bezeichnet. Man nennt t (x, y) den g r ö ß t e n g e m e i n s a m e n Teiler von f und g. Schreiben wir f und g in der Form f{x,y) = t{x,y)(p{x,y), g{x, y) = t{x, y) xf){x, y), so haben

n)

9&V)

=

cp{x,y)

y) t (!, v)

F{x, y; i, rj) = t{x, y) t{£,v) {x, y\ (£>V) y(S>v)

1 V

Ausführlich geschrieben lautet (x,y; (x, y\

-1

rj) = ^o®"

+

f o ^ + f i x

n

-

f

i ( f , rj)

K-\> 2

y +

•••

+ /;-12/"

1

Hieraus entnehmen wir, daß fo

=

'o>

f\ ~

h +

'o>

• ' •»

fn-l

=

ist fo> fi> • • •> fn-i s i n < l a l 8 0 lineare Kombinationen von t0, tx, tr_1. Umgekehrt lassen sich aber auch t0, tlt . . ty_1 als lineare Kombinationen von f0, fx, . . fn_x darstellen.

Diskriminante

einer binären

Ist in der Reihe X0, Xlt . . Glied1 XT, so hat man fr~Kt0>

199

Form

^ das erste von Null verschiedene

fr + \ ~ K*1 + ^r + X t0>

•••

Hieraus ergeben sich, da =j= 0 ist, der Reihe nach t0, tiy ..., linear ausgedrückt durch f0, /j, . . fn_v Das Koeffizientensystem der n Formen f0, fx, . . ., /n_1 hat hiernach denselben Rang wie das der Formen t0, t^,. . tv_-i. Wäre der Rang des letzteren kleiner als v, so gäbe es v Zahlen A0, Ax, . .., Av_1, die nicht alle Null sind und für alle Werte von i) der Gleichung genügen, also auch der Gleichung1 Apu(p{x, y) + {a x + ß y ) - ^ f , - J» ß f (x> V) + (« * + Z9 ») •-fy

enthalten sicher nicht beide den Faktor ax + ßy. Sonst müßte er nämlich in a