Ebene und sphärische Trigonometrie [Reprint 2019 ed.] 9783486778076, 9783486778069

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EBENE UND

SPHÄRISCHE

TRIGONOMETRIE VON

HEINRICH

V E R L A G

VON

R.

M Ü N C H E N

DÖRRIE

O L D E N B O U R G 1950

Copyright 1950 by R. OLDENBOURG, München Satz und Druck: „ M U S T E R - S C H M I D T " KG., Göttingen Buchbinderarbeiten: R. OLDENBOURG, München

Vorwort. Bei dem gewaltigen U m f a n g und der außerordentlichen Mannigfaltigkeit d e r mathematischen L e h r b u c h l i t e r a t u r Deutschlands erscheint es fast unbegreiflich, daß an deutschen Lehrbüchern d e r Trigonometrie auffälliger Mangel herrscht. Zur A u s f ü l l u n g dieser empfindlichen Lücke beizutragen, ist d e r Zweck des vorliegenden Buches. D a s Ziel, welches dem Verfasser bei seiner A r b e i t vorschwebte, k a n n k u r z wie folgt umrissen werden. U n t e r Trigonometrie v e r s t a n d m a n bekanntlich ursprünglich lediglich die L e h r e von den Beziehungen zwischen den W i n k e l n u n d Seiten eines Dreiecks; dieser engen A u f f a s s u n g gegenüber h a t sich der Trigonometriebegriff h e u t e wesentlich gewandelt: d i e T r i g o n o m e t r i e umfaßt jetjt alle mathematischen Untersuchungen ü b e r Winkel, gleichgültig, ob es sich um Dreiecks- oder a n d e r e W i n k e l handelt, u m f a ß t m. a. W. die Untersuchung d e r Eigenschaften d e r K r e i s f u n k t i o n e n Sinus u n d Cosinus. D a bei einer so allgemein gefaßten Begriffsbildung ein die gesamte Trigonometrie enthaltendes Lehrbuch zu unförmlicher Dicke anschwellen, v o r allem a b e r auch mit entlegeneren P a r t i e n wie F o u r i e r reihen und Integralen trigonometrischer F u n k t i o n e n über Wunsch u n d Bedarf d e r meisten Leser weit hinausgehen würde, so w a r eine praktischen E r w ä g u n g e n entsprechende Beschränkung des Problemkreises unerläßlich. D e m g e m ä ß zerfällt das vorliegende Buch in zwei H a u p t t e i l e : Ebene und Sphärische Trigonometrie. Im ersten Teil w e r d e n die grundlegenden Eigenschaften d e r Kreisfunktionen, das A u f t r e t e n dieser F u n k t i o n e n in der Geometrie sowie die Beziehungen d e r K r e i s f u n k t i o n e n z u r E x p o n e n t i a l f u n k t i o n e r ö r t e r t ; d e r zweite Teil ist der Schilderung d e r wichtigsten Gesetje der Kugeldreiecke 3*

u n d i h r e r Anwendungen, gewidmet. U b e r Einzelheiten in d e r Umfangsbemessung sagt ein Blick auf das Inhaltsverzeichnis alles Nähere. W a s dabei die zum Verständnis d e r zahlreich vorkommenden Reihenentwicklungen notwendigen analytischen Vorkenntnisse anbetrifft, so w i r d dem Leser, dem diese Kenntnisse nicht geläufig sind, keineswegs zugemutet, sie sich u n t e r H e r a n ziehung a n d e r e r Bücher m e h r oder weniger umständlich zu beschaffen: er findet diese Vorkenntnisse in .hinreichender Ausführlichkeit u n d zugleich wünschenswerter K ü r z e bequem j e w e i l s an O r t u n d Stelle vermittelt. D e r Verfasser h a t sich ernstlich b e m ü h t , den Stoff so einfach, abwechslungsreich u n d a n r e g e n d wie möglich zu gestalten, sowie die D a r s t e l l u n g durch zahlreiche A n w e n d u n g e n auf ber ü h m t e u n d wichtige P r o b l e m e d e r Geometrie, Feldmessung, Geodäsie, N a u t i k u n d Sphärischen Astronomie weitgehend zu beleben. Er gibt sich d e r H o f f n u n g hin, gezeigt zu h a b e n , d a ß T r i gonometrie k e i n e trockene Zusammenstellung von F o r m e l n bedeutet, d a ß sie v i e l m e h r einen Zweig d e r mathematischen Wissenschaft bildet, welcher an Fülle d e r Ideen, an F a r b e n p r a c h t u n d aesthetischer W i r k u n g d e n reinen Geometrien in nichts nachsteht. H o f s t e t t e n bei Ebern, im Juli 1949. Heinrich

4*

Dörrie

Inhaltsverzeichnis. I. Teil: Ebene Trigonometrie. Seite 1. Abschnitt: Die Hauptsätze der ebenen Trigonometrie § 1 Winkelmessung 1 § 2 Definition der Kreisfunktionen 4 § 3 Verlauf der Kreisiunktionen 10 16 § 4 Periodizität der Kreisfunktionen § 5 Kreisfunktionen und Rechtwinkeldreieck 25 § 6 Spezielle Funktionswerte • 28 § 7 Winkel-Verdopplung und -Verdreifachung 31 34 § 8 D a s Additionstheorem § 9 Multiplikation und Division 42 § 10 Die Verwandlungsformeln 46 § 11 Moivres Formel • 51 § 12 Der Cosinussat} 58 61 § 13 Der Sinussatj § 14 Geometrische Darstellung der Sinus und Cosinus von Dreieckswinkeln 67 § 15 Der Sinus -Tangenssat} 69 § 16 Der Tangenssat} 72 § 17 Schranken für den Sinus eines spitjen Winkels 75 80 § 18 Schranken für sin x und cos x § 19 Quasiarithmetische Reihen 85 88 § 20 Mittelwerte der Kreisfunktionen § 21 Näherungsformeln für sin x und cos x 90 § 22 Trigonometrische Tafeln 97 § 23 Ableitungen der Kreisfunktionen 103 § 24 Newtons Näherungsgleichung 107 § 25 Zyklometrische Funktionen . . . 110 § 26 Die Arcustangensreihe 115 § 27 Die Arcussinusreihe 121

2. Abschnitt: Anwendungen auf geometrische und arithmetische Probleme § 28 Der Dreiecksinhalt § 29 Dreieckswinkelbeziehungen § 30 Vierecksinhalt § 31 Der Sat} von Ptolemäus § 32 Umkreisradien

129 132 134 137 141 5*

Seite

§ § § § § § § § § §

33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

Kubische Gleichungen regulärer Vielecke Casus irreducibilis Anschluß an eine Landesvermessung Das Kreisbinom D e r Dreiwinkelsat? Zwölf Ungleichungen Der Satj von Pappus Das reguläre Siebzehneck D e r Satj von Feuerbach D e r Sat} von Morley

3. Abschnitt: Kreisfunktionen und Exponentialfunktion § 43 Definition der Eulerschen Zahl e § 44 Definition und Grundeigenschaft der Exponentialfunktion § 45 Die Exponentialreihe § 46 Die Exponentialkurve § 47 Exponentialfunktion und Kreisfunktion . , § 48 Periodizität der Exponentialfunktion § 49 Vorteile von Eulers Formel • § 50 D e r Satj von Cotes § 51 Die logarithmische Funktion § 52 Die Kreisfunktionen komplexen Arguments

143 146 148 151 155 161 170 174 177 181

.

183 190 193 198 200 206 209 216 219 223

4. Abschnitt: Unendliche Reihen und Produkte § 53 Grenzwert und Konvergenz 228 § 54 Unendliche Reihen und Produkte 234 § 55 Gaufi' Konvergenzkriterium 240 § 56 Gleichmäßige Konvergenz • 244 § 57 Potenzreihen 251 § 58 Abels Stetigkeitssatj . 259 § 59 Zwei Logarithmusprobleme 265 § 60 Die logarithmische Reihe auf ihrem Konvergenzkreise . . . 270 § 61 Tannerys Satj 273 § 62 D e r Exponentiallimes 276 § 63 Die unendlichen Produkte für Sinus und Cosinus 279 § 64 Teilbruchzerlegung der Cotangens- und Cosecansfunktion . 283 § 65 Das Multiplikationstheorem der Kreisfunktionen 289

II. Teil: Sphärik. 1. Abschnitt: Die Hauptsätze der sphärischen Trigonometrie § 66 Bogen und Winkel auf der Kugel § 67 Das Polardreieck . I 68 Grundformeln des Kugeldreiecks 6*

301 307 310

Seite

§ § § § § § § § § § § § §

69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81

Der Edsensinus Das rechtwinklige Kugeldreieck Der zweite Cosinussat} Ungleichungen Die Halbstückrelationen Die Formeln von Mollweide und Napier Der sphärische Exzeß Stewarts Sat} Die Projektionssätje Regula sex quantitatum Der Sat} von Legendre Gaufi' Näherungsformeln Änderung des Kugeldreiecks

315 320 323 328 333 336 340 346 350 358 363 366 370

2. Abschnitt: Anwendungen der sphärischen Trigonometrie auf Raumgebilde § 82 Der Umkreis § 83 Der Inkreis § 84 Der Tetraederinhalt § 85 Die Vierpunktrelation § 86 Der Umkugelradius des Tetraeders § 87 Eulers Polyedersat} § 88 Die reguläre Ecke § 89 Die regulären Polyeder § 90 Der Sat} von Ptolemäus § 91 Lexells Sat} § 92 Die Kreispotenz § 93 Die Chordale § 94 Kugelkreisbüschel § 95 Berührung zweier Kugelkreise § 96 Polarität auf der Kugel § 97 Polarbild eines Nebenkreispaares § 98 Nochmals Umkreis und Inkreis § 99 Der Sat} von Hart

373 376 . 380 381 383 384 386 387 395 397 399 402 405 408 412 418 421 424

3. Abschnitt: Sphärische Astronomie § § § § § §

100 101 102 103 104 105

Die Merkatorkarte Die Loxodrome Das Horizontalsystem Das Äquatorialsystem Zeitwinkel und Sternzeit Die Sonnenuhr

427 431 434 436 440 442

7*

§ § § § § § § § § § § § § § §

106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

D a s nautische Dreieck Bestimmung des Schißsorts aui See Standlinien Das Ekliptiksystem Das astronomische Dreieck Die Zeitmessung Die Zeitgleichung Keplers Gleichung Die wahre Anomalie als Funktion der mittleren Approximation der Zeitgleichung Gauß' Zweihöhenproblem Gaufi' Dreihöhenproblem Sternuntergang Fehlerabschätzung Problem der kürzesten Dämmerung

Seite

445 448 451 452 455 457 461 465 468 472 474 478 481 482 487

Aufgaben. Ebene Trigonometrie I. Rechtwinklige und gleichschenklige Dreiecke II. Schiefwinklige Dreiecke Aulgaben analytischen Charakters

491 494 500

Sphärische Trigonometrie I. Reine Geometrie II. Anwendungen 1. Terrestrische Aufgaben 2. Dreiecke an der Himmelskugel

8*

504 507 509

Errata Erläuterung: 37* bzw. 374 heifit Seite 37 Zeile 4 von obeD bzw. unten.

Auf

falsch:

89 1

.

x

S1D

2

sin

x

2

richtig: sin sin

x x

2n

11816

4 v -)- 1

4v—1

1216

9793,

979323846 . . . ,

12812

•^n — 1) ^ ti )

» (

168

174 und 174 1

23119 249g 2546

— i, x n )

X

14

konzentralaren

6

n

lim tn oo 5RP

kozentralen lim tn n ->oo 5RnP

2it 1 2 re — — { 1 + lim 2n + 2re -j- 2 ' 2re -[- 3

2723

1 2

—

4719

(2 M + 2 e sin M)

4718

sin 2 M E —

471.

sin 3 E sin 3 M

2re-j- 1 2re + 3 + u

sin (2 M -f- 2 e sin M) sin 3 M

Erster Teil Ebene Trigonometrie Erster

Abschnitt

D i e H a u p t s ä t z e der ebenen

Trigonometrie

§1 Winkelmessung;. Die Mathematik benutzt zur Messung von Winkeln zwei Methoden, die wir die p r a k t i s c h e Methode und die theoretische Methode nennen wollen, ohne damit zu behaupten, daß die theoretische Methode unpraktisch ist. B e i der praktischen Methode, man könnte sie auch in Ansehung ihres Alters die k l a s s i s c h e Methode nennen, dient als Winkeleinheit der Grad(l°). Der Grad ist der 3608teTeil des Vollwinkels oder der 1808te Teil eines gestreckten Winkels oder endlich der 90 ste Teil des rechten Winkels. Demnach umfaßt die Hälfte eines Rechtwinkels 45 Grad oder 45°. Ein Kreissextant ist ein Kreissektor, dessen Zentriwinkel 60° mißt. Für genauere Winkelmessungen benutzt man noch die abgeleiteten kleineren Winkeleinheiten 1 Minute = 1' und 1 Sekunde Dörria: Trigonometrie

= 1". Eine Minute ist der 60 ste Teil eines Grades, -eine Sekunde der 605te Teil einer Minute, so daß 1° = 60', 1' = 60" ist. Ergibt sich die Notwendigkeit, die hier eingeführte Minute bzw. Sekunde von der Zeitminute (1m) bzw. Zeitsekunde (1 s ) zu unterscheiden, so s a g t man ausführlich „Winkelminute" bzw. „Winkelsekunde" oder auch wohl „Bogenminute" bzw. „Bogensekunde". S c h r i f t l i c h ist dieser Unterschied schon durch die Bezeichnungen kenntlich gemacht. Bei Hinzunahme der abgeleiteten Einheiten 1' und 1" zur obigen Ausgangseinheit 1° können wir sagen: N a c h der p r a k t i s c h e n M e t h o d e w e r d e n die Winkel in G r a d , Minuten und S e k u n d e n g e m e s s e n . So ist z. B. der Zentriwinkel des regulären Siebzehnecks, der also V17 des Vollwinkels ausmacht, 21° 10' 35,3", wobei der Fehler noch nicht eine Hundertstel Sekunde beträgt. Will man auf Minuten- und Sekundenangaben verzichten, so muß man natürlich zur dezimalen Schreibweise greifen. Der obige Winkel ist dann 21,17647° Da man bei Benutzung der dezimalen Schreibweise mit der einen Winkeleinheit „Grad" auskommt, so sagt man auch statt „Der Winkel W ist nach der praktischen M e t h o d e gemessen" „Der Winkel W ist im G r a d m a ß gemessen". Bei der t h e o r e t i s c h e n Methode—so genannt, weil sie vorwiegend bei theoretischen Untersuchungen Anwendung findet— wird ein Winkel als von den Winkelschenkeln begrenzter Kreisbogen dargestellt, der um den Winkelscheitel als Zentrum mit möglichst einfachem Radius, d. h. mit dem Radius 1 beschrieben wird. Die Länge dieses Bogens ist das Maß oder die Größe des Winkels, und man sagt „ d e r Winkel i s t im B o g e n m a ß gemessen". 2

Man muß zugeben, daß d i e s e Bestimmung des Winkels und seiner Größe die natürlichste Sache von der Welt ist, natürlicher jedenfalls als die Messung des. Winkels im Gradmaß! Bei dieser theoretischen oder Bogenmaßmethode dient als Winkeleinheit gewissermaßen die Längeneinheit selbst, genauer genommen der Bogen e des Einheitskreises, dessen Länge gleich der Längeneinheit ist. Wir nennen diesen als Winkeleinheit dienenden Bogen in Ermangelung eines besseren Ausdrucks ein twe (Anfangsbuchstaben der drei Wörter „theoretische, Winkel, Einheit"). [Engländer und Franzosen nennen den Bogen e ein „radian".] Das twe umfaßt im Gradmaß v°, wo sich die Zahl v aus der Proportion C: = v : 360 bestimmt. Das gibt v1

180

57,29577951

Für die Umwandlung aus Gradmaß in Bogenmaß und umgekehrt haben wir also die Umwandlungs vor schrift i 80 v== — =57,29577951. Um = v° it Um einen Winkel von haben wir a tlüe—a v°= im Bogenmaß

in Bogenmaß: a twe zu verwandeln also a—a:v oder a=m*

im Gradmaß

Die hier auftretende einfache Linearfunktion -7— a von a heißt 180 der A r c u s v o m und wird abgekürzt arc a geschrieben: arc a =

180

wobei a i n G r a d gemessen zu denken ist. Für die Umwandlung eines Winkels von a Grad in Bogenmaß: a twe dient sonach die leicht zu merkende i«

3

Umwandlungsformel a — arc a

Natürlich gibt es auch arc 1'; das ist 1° a r c l

Ebenso ist

_

und allgemein

7t

60 -

arc 1" =

Ferner arC

'

= a r c

10800-

648 000'

10800

arC Y

"

_

648 000

180 1 10800 1 648 000 '* Die rechte Seite der legten Gleichung stellt den Winkel a° ß' y" im Bogenmaß, d. h. in twe dar. Zusatz 1. Oben wurde gezeigt, daß die theoretische WinkelEinheit (das tive) 57,29578° umfaßt. Wir geben noch an 1 twe = 3437,747', 1 twe = 206265" (206264,8"). Zusatz 2. Es ist erwünscht, bei einem Bogen A (A Längeneinheiten) eines Kreises vom Radius r sofort angeben zu können, wieviel theoretische oder praktische Winkeleinheiten der Bogen umfaßt. Um diese Frage zu beantworten, zeichnen wir den konzentrischen Einheitskreisbogen a, dessen Endpunkte auf den Verbindungslinien des Kreiszentrums mit den Endpunkten des Bogens A liegen. Der durch den Bogen A bestimmte Winkel umfaßt atwe, und es gilt die Proportion A:a = r: 1. Folglich: D e r Bogen A e i n e s K r e i s e s von R a d i u s r b e s t i m m t den Winkel — twe. D a s sind v A : r Grad = l ^ d Grad, r nr§ 2

Definition der Kreisfunktionen. Wir denken uns einen Kreis £ vom Zentrum 0 und Radius 1, den sog. E i n h e i t s k r e i s . Die Lage eines PunktesPauf © fixieren 4

wir durch seine Abstände von zwei festen zueinander rechtwinkligen durch 0 laufenden Achsen, der waagrechten X-Achse oder A b s z i s s e n a c h s e und der lotrechten y-Achse oder O r d i n a t e n a c h s e . Jede dieser Achsen denken wir uns aus zwei „Hälften" bestehend, die x-Achse aus der von 0 nach rechts laufenden „positiven" Hälfte und der von 0 nach links laufenden „negativen" Hälfte, ebenso die y-Achse, aus der von 0 nach oben laufenden positiven Hälfte und der von 0 nach unten laufenden negativen Hälfte. Auch eine solche Hälfte wird häufig Achse genannt, die erst genannte z. B. die „positive x-Achse", die letjt genannte die „negative y-Achse". Abszissenachse und Ordinatenachse werden mit dem gemeinsamen Namen „ K o o r d i n a t e n a c h s e n " bezeichnet. Der Schnittpunkt 0 der Koordinatenachsen heifit K o o r d i n a t e n u r s p r u n g oder kurz U r s p r u n g (wohl auch N u l l p u n k t ) . Allgemein wird die Lage eines beliebigen Punktes Z durch seine sog. K o o r d i n a t e n , nämlich seine A b s z i s s e x und seine O r d i n a t e y fixiert. Unter der Abszisse x des Punktes Z versteht man den Abstand dieses Punktes von der Ordinatenachse, wobei dieser Abstand positiv oder negativ gerechnet wird, je nachdem er von der y-Achse aus nach rechts oder links läuft. Unter der Ordinate y des Punktes Z versteht man den Abstand des Punktes Z von der Abszissenachse, wobei dieser Abstand positiv oder negativ genommen wird, je nachdem man, um von der x-Achse nach Z zu kommen, nach oben oder unten gehen muß. Vielfach erklärt man auch in umgekehrter Reihenfolge; erst die Ordinate wie oben und dann die Abszisse wie folgt: Unter der Abszisse des Punktes Z versteht man den — auf der Abszissenachse liegenden — Abstand des Ordinatenfußpunktes vom Koordinatenursprung 0. (Ordinatenfußpunkt ist natürlich der Fußpunkt des von Z auf die Abszissenachse gefällten Lots.) Dabei wird dieser Abstand positiv oder negativ gerechnet, je nachdem er auf der positiven oder negativen Abszissenachse liegt. 5

Die Abstände des Punktes Z von den beiden Achsen werden mit Vorzeichen behaftet, damit die Lage von Z durch die beiden Koordinaten x und y eindeutig bestimmt ist, damit man m. a. W. sofort weiß, in welchem Quadranten der Ebene der Punkt Z liegt. Unter einem Q u a d r a n t e n versteht man dabei den Raum des Rechtwinkels, der von einer x-Achsenhälfte und einer yAchsenhälfte gebildet wird. Es gibt also im ganzen vier Quadranten: der erste Quadrant ist der Rechtwinkelraum, der von der positiven x-Achse und positiven y-Achse begrenzt wird, der zweite Quadrant ist der von der positiven y-Achse und negativen x-Achse eingeschlossene Rechtwinkelraum, der dritte Quadrant ist der Rechtwinkelraum, der von der negativen xAchse und der negativen y-Achse gebildet wird, und der vierte Quadrant endlich ist der von der negativen y-Achse und positiven x-Achse eingeschlossene Rechtwinkelraum. So wird also auch die Lage eines beliebigen Punktes P des Einheitskreises durch seine Abszisse und Ordinate bestimmt. Unsere Aufmerksamkeit gilt im folgenden insbesondere Winkeln. Dabei wird ein Winkel durch einen Bogen des Einheitskreises (£ festgelegt. Wir wählen auf © einen festen Anfangspunkt A, einen sog. Nullpunkt für Winkelabmessungen, als welchen wir den Schnittpunkt des Einheitskreises mit der positiven Abszissenachse nehmen. Darauf tragen wir den Winkel, auf den wir unsere Aufmerksamkeit lenken wollen, als Bogen des E i n h e i t s k r e i s e s von A aus „im positiven Sinne", d. h. im entgegengesetzten Sinne des Uhrzeigers (also links herum) auf Gc ab, wodurch etwa der Bogen A P — tu in Anspruch genommen wird. Wir sprechen dann von dem Winkel w mit dem Endpunkte P (und dem ein für alle Mal fixierten Anfangspunkte A). Nun zur Definition der Kreisfunktionen sin tu und cos w! Unter dem Sinus des Winkels tu, abgekürzt geschrieben: sin w, gesprochen: Sinus tu, versteht man die Ordinate des Winkelendpunkts.

6

Unter dem C o s i n u s d e s W i n k e l s w, abgekürzt geschrieben: gesprochen: Cosinus w, versteht man die Abszisse des Winkelendpunkts. cos w,

In der Figur sind der Winkeln; und sein Sinus v sowie sein Cosinus u dargestellt (u — OF, v—

FP,

P F I O Ä ) .

Anmerkung. Für s p i t z e Winkel w läßt sich eine Definition des Sinus und Cosinus geben, die den Vorteil bietet, auf dein Einheitskreis nicht Bezug nehmen zu o müssen. Man braucht zu dem Zwecke nur das Rechtwinkeldreieck OFP aus dem Zusammenhange mit unserer Figur zu lösen und erhält dann folgende einfache Definition: Man d e n k e s i c h ein R e c h t w i n k e l d r e i e c k mit der H y p o t e n u s e 1 u n d d e m s p i t z e n Winkel w, d a n n ist sin w d i e G e g e n k a t h e t e , cos w die A n k a t h e t e d e s Winkels w. Nach dieser für die trigonometrische Praxis wichtigen Bemerkung kehren wir zu unserer Figur zurück. Die beiden Größen y = sin lü und iz=eos w nennt man, weil sie mittels des Kreises (E erklärt werden, Kreis fünktionen. Der veränderlich zu denkende Winkel w ist die u n a b h ä n g i g e Variable, kürzer das A r g u m e n t ; u und v sind zwei Funkt i o n e n des Arguments Uf. Es muß gleich darauf aufmerksam gemacht werden, daß u und v nicht unabhängig von einander sind; vielmehr besteht zwischen ihnen die p y t h a g o r e i s c h e R e l a t i o n a i -J-w i = l, 7

ausführlich geschrieben: (sin

cos w f = \,

kürzer geschrieben: sin8u; + c o s 2 a » = 1 Diese pythagoreische Relation folgt sofort aus dem Anblick des rechtwinkligen Dreiecks O P F . Definition der K r e i s f u n k t i o n e n Tangens und Cotangens, Secans und Cosecans. Außer den beiden Funktionen Sinus und Cosinus gibt es noch einige andere häufig vorkommende Kreisfunktiojien. Es sind dies die Funktionen Tangens und Cotangens, Secans und Cosecans. Nennen wir den Winkel (das Argument), von dem diese Funktionen abhängen, wieder w, so schreiben wir diese Funktionen kurz tg iv, cot w, sec w, csc tu, wobei zu erwähnen ist, daß manche Autoren auch die Schreibweisen tan tu (statt tg w), ctg w (statt cot w), cosec w (statt csc w) verwenden. Diese Funktionen werden folgendermaßen definiert: tg w =

sinw cos uf

cotiü =

seco/ =

1 cos w

CSC IV

cosa; siniy, 1 sino;

Tangens und Cotangens sind also r e z i p r o k e W e r t e . Formelmäßig: tg Uf • cot ut — 1 Auch S e c a n s und Cosinus sind reziproke Werte, was ja schon in der Definition des Secans niedergelegt ist. 8

Eine ähnliche Relation wie zwischen Sinus und Cosinus besteht zwischen Secans und Tangens. Sie lautet (sec Uff — (tg Uf)2 = 1 oder, wie man gewöhnlich schreibt, sec2 Uf— tg2 Uf = 1 Der Beweis ist überaus einfach. Wir haben ,„ 1 sin2 tu 1 — sin 2 » sec 2 » — ts2 Uf — —-5 2 »— = § • ° cos » eos 2 » cos2Uf Da aber, der pythagoreischen Relation sin 2 » cos* Uf = 1 gemäß, 1 — sin 2 » = cos 2 » ist, so hat die rechte Seite unserer Gleichung den Wert 1, w. z. b. w. Zusatz 1. Bei den obigen Erklärungen haben wir den Winkel Uf zunächst im Bogenmaß ausgedrückt. Aber auch wenn er als Winkel a im Gradmaß ausgedrückt erscheint, so daß » — arc a ist, spricht man vom Sinus, Cosinus, Tangens, Secans etc. des Winkels a und versteht darunter den Sinus, Cosinus, Tangens, Secans etc. von » , in Zeichen: sin a = sin w, cos a = cos w, tg a = tg w, sec a = sec w etc. So ist z. B. sin 1 0 = sin -TT^i sin 30° = sin y sin 180° = sin it u.s.w. 180 6 TT

«

TZ

Zusatz 2. Die Funktion Cosinus heißt die Cofunktion der Funktion Sinüs. Umgekehrt heißt die Sinusfunktion die Cofunktion der Cosinusfunktion. Ebenso heißt die Cotangensfunktion die Cofunktion der Tangensfunktion und diese wieder die Cofunktion der Cotangensfunktion. Ähnlich bei Secans und Cosecans.

§3 Verlauf der Kreisfunktionen. Wir wollen uns jetjt eine erste Vorstellung über den Verlauf der Funktionen v — sinw und u = cos w verschaffen. Dazu nehmen wir wieder den Einheitskreis © zu Hilfe. Wir zerlegen (£ durch seine Schnittpunkte A, B, C, D mit der positiven Abszissenachse, positiven Ordinatenachse, negativen Abszissenachse negativen Ordinatenachse in die vier Quadranten I, II, III, und IV. Der Winkel (ü werde wieder von A aus im positiven Sinne als Bogen AP auf (5 abgetragen. Dann ist die Ordinate v des Winkelendpunkts P der Sinus, die Abszisse u von P der Cosinus des Winkels w: = sin tu, u — cos Uf. Bislang haben wir uns den Punkt P als einen zwar beliebig auf Gc ausgewählten, aber fest gehaltenen Punkt vörgestellt. Jetjt jedoch denken wir uns P beweglich und sprechen dann vom Mobil P. Das Mobil P (der Winkelendpunkt P) durchlaufe, in A beginnend, im positiven Sinne den Einheitskreis; was tun sein Sinus v und sein Cosinus u? Die Frage ist leicht zu beantworten. I. Während das Mobil P den ersten Quadrant durchwandert, steigt der Sinus von seinem Anfangswerte sin 0 = 0 ständig an, um 7t TZ beitf = 2 seinen höchstmöglichen Wert sin - = sin 90° = 1 zu V

erreichen; während der Cosinus von seinem Anfangswerte cos TZ TC 0 = 1 aus ständig fällt, um bei Uf = ^ den Wert cos ^ — cos 90° = 0 zu erreichen. IT Für w = -t = arc 45° sind u und v einander gleich, und 4 wegen u2 -f- v2 = 1 ist u = v — 1 : Y2 also, s i n ^ = sin 45° = 4 ¿i 10

cos ~ = cos 45° 4

¿1

Für iv — j (60°) liegt P genau lotrecht über der Mitte von 0 A, ist mithin u = - u n d wegen u2 +

1,8

=

y= ^

oder sin j = sin 60° = | >^3,

cos j = cos 60° =

Man präge sich fest ein: Bei w a c h s e n d e m s p i t z e n W i n k e l steigt d e r S i n u s w ä h r e n d d e r C o s i n u s fällt. II. Wenn das Mobil P den zweiten Quadrant durchwandert, durchläuft der Sinus dieselben Werte wie vorher, nur in um7t gekehrter Reihenfolge: er sinkt von sin ^ — s" 1 90° = 1 über sin ^ = sin 120° = £ V~% und sin sin 135° = 2 4 2 3 auf sin ic = sin 180° = 0 herab. Der Cosinus dagegen setjt seine im ersten Quadrant vollzogene Abnahme von 1 auf 0 weiter fort, fällt nämlich von cos ^ = cos 90° = 0, negativ werdend, über cos

^ 3

= cos 120° = — ^ und cos ^ r = 2 4

cos 135 0

= — ~ V2 bis auf seinen kleinstmöglichen Wert COSTC - cos 180° = — 1 herab. Man merke sich: Bei w a c h s e n d e m s t u m p f e m W i n k e l f a l l e n Sinus u n d C o s i n u s alle beide. Bei w a c h s e n d e m k o n k a v e m W i n k e l fällt d e r C o s i n u s u n u n t e r b r o c h e n (von -j- 1 auf — 1). III. Im dritten Quadrant setjt der Sinus, mit sin rc = 0 beginnend sein Fallen fort: er sinkt, negativ werdend, von 0 bis auf TZ

seinen kleinsten Wert sin 3 =

sin 270° = — 1 herab. Der 11

Cosinus dagegen wächst wieder ständig von cos ir = — 1 bis auf cos 3 ^ = 0. IV. Im vierten Quadrant endlich steigt der Sinus, mit sin 270° = — 1 beginnend, wieder bis zu seinem Ausgangswerte 0 an : sin 2 TT = sin 360° = Q. Auch der Cosinus wächst ununterbrochen: er steigt von cos 270° = 0 bis cos 3 6 0 ° = 1, welcher Schlußwert wieder mit dem Ausgangswerte cos 0 = 1 zusammenfällt.

OS

0' as

12

ff w i s ' w i s \ m'vtriä'isrw

Das beschriebene Wachsen und Fallen der beiden Kreisiunktionen wird zweckmäßig in zwei Schaukurven, der Sinuslinie und der Cosinuslinie, zur zeichnerischen Darstellung gebracht. Nebenstehende Figur veranschaulicht diese Linien. Wie die Überlegung an Hand des Einheitskreises (E erkennen läßt, besteht sowohl die Sinuskurve als auch die Cosinuskurve aus vier stetig folgenden InrwrnrurM aufeinander J60° kongruenten Bogen, die in' man ihrer Herkunft gemäß als Quadranten der Schaukurven bezeichnen kann.

Sowohl die Sinuslinie als auch die w e n d e t der a/-Achse ihre hohle S e i t e zu.

Cosinuslinie

In der Tat; betrachten wir z. B. siniP im ersten Quadrant des Einheitskreises an drei in gleichen Winkelabständen aufeinander folgenden Stellen l t f = a — 8, if = a, = a -j- o! Die zugehörigen Sinus seien a,

b,

c.

Wie die Figur zeigt, ist der Zuwachs b—a, den der Sinus in der ersten Hälfte des Intervalls (a—8, a-f-S) erfährt, größer als der Zuwachs C— b, den er in der zweiten Intervallhälite erfährt. Das bedeutet aber für die graphische Darstellung, daß die Sinuskurve im Intervall (a—5, a-j-o) gegen die iy-Achse hohl ist. Für die Cosinuslinie ist die Überlegung ganz ähnlich. Verlauf der T a n g e n s f u n k t i o n . Den Verlauf der Funktion t = tguf im Intervall Uf=0 bis U>— 2tz erschließen wir am bequemsten aus einem Diagramm. Auf dem Einheitskreise (E vom Zentrum 0 tragen wir die vier Winkel oder Bogen AP=iv, ABQ =n— u>, ABCR = n-\-ur, ABCDS = 27t— w ab Dann ist das Viereck PQRS ein Rechteck, dessen Diagonalen PR und QS Durchmesser von® sind. Sind noch F und G die Schnittpunkte -von PS und QR mit dem waagrechten Durchmesser AC, 13

so haben die beiden Strecken OF und OG dieselbe Länge h, ferner die vier Strecken FP, GQ, GR und FS dieselbe Länge k. Wir legen in A die (lotrechte) Tangente I an (5 und nennen ihre Schnittpunkte mit den Verlängerungen der Durchmesser RP und QS X und y und die Strecken AX und AY x und y. Es ist dann y=x. Nun bestimmen wir sukzessiv igtU,

tg(n — w),

tg (n + B/),

tg(2 ir — Uf):

, sin tu k , . . sin (it — tu) k tg Uf = = T-' tg (ic — Uf) = 7 { — —r = & cos Uf h ° cos(it — tu) —h tg ( « + © ) :

sin {n-\-tu)_—k cos ( i t + i f ) —h

b —5

h

k h

, ,n , sm(2it—tu) —k k ig(2ll—tU)= ^ r = —¡~ = — Tcos(2ir—tu)

h

h

Nach dem Strahlensatze ist aber FP AX , k x oder ÖF=OÄ ft= T=X = V' Folglich wird igtu=x, tg (i: — tu) = — y, ig ( w + » ) = + *, tg(2w—tu)=— y. Dieses Gleichungsquadrupel sagt aus: Durchläuft ein Mobil P, in A beginnend, im positiven Sinne den Kreis (5, wobei der Bogenabstand des Mobils von A jeweils den variablen von 0 bis 2n wachsenden Winkel tu bedeutet, so stellt der jeweilige Abstand des Schnittpunkts der Graden OP mit der Tangente X von A den Tangens des Winkels tu dar und zwar mit positivem oder negativem Vorzeichen, je nachdem dieser Schnittpunkt oberhalb oder unterhalb des waagrechten Durchmessers AC Hegt. Dieser einfache Sachverhalt liefert folgendes Ergebnis: D u r c h l ä u f t der Winkel tu den ersten Q u a d r a n t , so w ä c h s t der Tangens vom Anfangswerte Null stetig und 14

u n u n t e r b r o c h e n ins positiv U n e n d l i c h e . In dem AugenTT

blicke, wo w den W e r t x = 2

ü b e r s c h r e i t e t , springt d e r

T a n g e n s von CO auf — OO, um dann w i e d e r , w ä h r e n d der W i n k e l den z w e i t e n Q u a d r a n t d u r c h w a n d e r t , s t e t i g und u n u n t e r b r o c h e n s t e i g e n d , die R e i h e d e r negat i v e n Z a h l e n bis zum E n d w e r t e 0 zu d u r c h l a u f e n . D a b e i i s t zu b e a c h t e n , daß zu s u p p l e m e n t ä r e n Winkelw e r t e n e n t g e g e n g e s e t z t e T a n g e n s w e r t e gehören. Beim Ubergang aus dem zweiten in den dritten Quadrant wird der Tangens wieder positiv, um dann während der Wanderung des Winkels durch den dritten und vierten Quadranten dieselben Werte in derselben Reihenfolge wie im ersten und zweiten Quadrant zu durchlaufen.

Obenstehende graphische Darstellung zeigt den Verlauf der Tangenskurve. 15

Was den Verlauf der Cotangens-, Secans- und Cosecansfunktion anbetrifft, so wird es dem Leser keine Schwierigkeit mehr bereiten, ihn zu schildern und die Schaukurven dieser drei Funktionen zu zeichnen. § 4

Periodizität der Kreisfunktionen. Man kann den Winkel iv, d. h. den Bogen AP des Einheitskreises Ge auch als den Weg auffassen, den das Mobil zurücklegt, um aus seiner Anfangslage A in die Lage P zu kommen. Diese Auffassung ermöglicht es, den Winkelbegriff auch auf Winkel auszudehnen, die größer als 360° und kleiner als 0°, d. h. negativ sind. Man definiert: Welchen Wert auch 4ie reelle Zahl Uf hat, der W i n k e l Uf ist der W e g IV, den ein auf dem Einheitskreise wanderndes Mobil beschreibt. Als Anfangspunkt dieser Wanderung dient, wenn nichts anderes vereinbart wird, der Punkt A. Wenn das Mobil z. B. den Einheitskreis zweimal im positiven Sinne durchläuft, beschreibt es den Winkel 4ic oder 720°; wenn es den Einheitskreis durchläuft und noch 30° weiterläuft, beschreibt es den Winkel 390° oder -it. Wenn das Mobil (in A beginnend) im negativen Sinne, d. h, im Uhrzeigersinne wandert, beschreibt es „ n e g a t i v e W i n k e l " , 7Ü z. B. den Winkel — oder — 90°, wenn es von A aus im Uhrzeigersinn den vierten Quadrant durchwandert. Daß ein so beschriebener Winkel negativ genannt und negativ in Rechnimg gestellt werden muß, zeigt auch folgende Überlegung. Wenn das Mobil im positiven Sinne zuerst den Bogen AH = a, dann den Bogen HK = b durchläuft, ist der beschriebene Winkel A0K=a-\-b. Wenn es dagegen zuerst im positiven Siniie den Bogen AH — a, dann im Uhrzeigersinne den Bogen HL = b durchläuft, ist der beschriebene Winkel A0L= a — b, wo16

raus zu ersehen ist, daß im Uhrzeigersinn beschriebene Bogen als negativ in Rechnung zu stellen sind. Unsere Überlegungen liefern — wie man sich am Einheitskreise leicht klar machen kann — folgende wichtige Eigenschaften der Kreisiunktionen: I Für jeden Winkel w ist sin (w -f- 2it) = s i n »

cos (a>-j- 2 l t )

=cos(V

oder, wenn der Winkel im Gradmaß ausgedrückt ist: a Grad, so daß w — arc a, sin ( a + 3 6 0 ° ) = sin a

cos ( a + 3 6 0 ° ) == cos a II

Für jeden negativen Winkel — p ist sin (—p) = — sinp ,

cos ( — p) = cos p

wobei p sowohl im Bogenmaß als auch im Gradmaß ausgedrückt sein kann. Die erste dieser Eigenschaften heißt in Worten: P e r i o d i z i t ä t ss a t z : D i e K r e i s f u n k t i o n e n S i n u s und C o s i n u s sind periodisch. I h r e P e r i o d e hat den W e r t 2tz (bzw. 360°). E r l ä u t e r u n g . Eine Funktion f (x) des Arguments x heißt p e r i o d i s c h mit der Periode P, wenn sie bei Vermehrung des Arguments um P unverändert bleibt, wenn also i(x+p)=nx) ist. Bei einer solchen Funktion kann man das Argument um ein beliebiges Multiplum der Periode vermehren oder vermindern, ohne eine Änderung der Funktion zu bewirken. So ist z. B. nach der obigen Periodizitätseigenschaft f (x + 3 P) = f ([* + 2P] + P) = i (x + 2P) = f ([* + P] + P) = f + P) = f(*) oder f (* — P) = f ([* — P] + P) = i(x) u. s. wDörri«: Trigonometrie

^

^

Wir prägen uns ein: S i n u s f u n k t i o n wie a u c h C o s i n u s f u n k t i o n b l e i b e n u n v e r ä n d e r t , wenn m a n den W i n k e l um ein b e l i e b i g e s g a n z z a h l i g e s V i e l f a c h e s v o n 2 it ( b z w . 3 6 0 ° ) v e r m e h r t oder vermindert. Die Periodizitätseigenschaft der Kreisfunktionen ist eine ihrer wichtigsten Eigenschalten. Die obige Definition einer „periodischen Funktion f (x) mit der Periode P " muß noch etwas genauer formuliert werden: f (x) heißt eine periodische Funktion mit der Periode P, wenn für j e d e s x f (x + P ) = f ( x ) ist und keine betraglich u n t e r h a l b P liegende Zahl p existiert, für welche gleichfalls b e i j e d e m x f ( x + p) =

ist.

f(x)

Erst bei dieser genaueren Definition der periodischen Funktion gewinnt der obige Satz „Die Funktionen sin x und cos x sind periodisch mit der Periode 2n" seine volle Bedeutung. Es gibt eben keine kleinere Positivzahlx als 2n, fiir welche b e i j e d e m x sin (x

X) = sin x oder cos (X-|-T) — cos x

ist. Von allen Zahlen X, die bei jedem x die Gleichung sin (x erfüllen, ist X =

X) = sin x oder cos (x -)- X) = cos x 2n 'die k l e i n s t e !

Die oben angegebene Eigenschaft II drückt man in Worten folgendermaßen aus: Paritätssatz der Kreisfunktionen: D i e S i n u s f u n k t i o n ist eine ungrade, die C o s i n u s funktion eine grade Funktion des Arguments. E r l ä u t e r u n g . Eine Funktion f (x) des Arguments x heißt g r a d e , wenn f ( — x) = f ( x ) ist; sie heißt u n g e r a d e , wenn f ( — x) = — f (x) ist. Beispielsweise ist f (x) = x 2 eine grade, 18

f (x) — X5 eine ungrade Funktion, während die Funktion f (x) = 2X weder grade noch ungrade ist. Der Paritätssatz gibt soiort Aufschluß über die Änderung der Funktionen Sinus und Cosinus bei Umwandlung des Arguments in sein Implement: Verwandelt man bei Sinus und Cosinus das Argument in sein Implement, so bleibt der Cosinus unverändert, während der Sinus in seinen entgegengesetzten Wert übergeht. In Zeichen: cos (2 it — bzw.

Uf)

=

cos

W

cos (360° — a) = cos a

sin

(2T.

— tu) = — sin Uf

sin (360° — a) = — sin a

Beweis. Nach dem Periodizitätssatz ist sin (2it — Uf) = sin (— w) und nach dem Paritätssatz weiter sin (— tu) = — sin tu. Ebenso ist cos (27i: — w) = cos (— Uf) — eos

Uf.

Argumentänderung um eine Halbperiode und um eine Viertelperiode. Da 2it (bzw. 360°) die Periode der Sinus- und Cosinusiunktion ist, gibt es keine unterhalb 2u liegende Zahl t, iür die bei jedem tu sin (uf-1-t)

— sin Uf oder cos [uf +

x) =

cos Uf

ist. Gleichwohl zeigen die Funktionen Sinus und Cosinus bei Abänderung des Arguments um TI (bzw. 180°) und x = it: 2 (bzw. 90°) noch ein sehr einfaches Verhalten, welches wir uns an unserer Einheitskreisfigur leicht zurechtlegen können. Ia. Winkeländerung um it bzw. 180°. Vermehrt oder vermindert man bei einer der beiden Kreisfunktionen Sinus und Cosinus das Argument 19

(den W i n k e l ) um ir b z w . 180°, so n i m m t die F u n k t i o n ihren e n t g e g e n g e s e t z t e n W e r t an. In Zeichen:

Dann ist

B e w e i s . In nebenstehender Figur sei Bogen AP = w, PQ ein Durchmesser des Einheitskreises also Bogen A P B C Q = ^ A r W , PF das von P, GQ das von Q auf AC gefällte Lot. sin Uf = FP,

sin (lv-\- 7t) = — GQ,

cos w — OF,

cos (tv +

= — OG.

Aus GQ = FP und OG = OF folgt sin (fy + it) = — sin

UJ

und

cos (w -)- n) = — cos

(ü

Für sin (w — ir) xmd cos (w — ti) verläuft der Beweis ganz ähnlich. I b . W i n k e l ä n d e r u n g um x b z w . 90°. V e r m e h r t man b e i S i n u s und C o s i n u s das Argument TT um x — TT bzw. 90°, so geht der S i n u s in den C o s i n u s , der 2 C o s i n u s in den e n t g e g e n g e s e t z t e n S i n u s ü b e r : sin (tu -f- x) = cos w bzw.

sin (a -(- 90°) = cos a

cos (uf -f- x) = — sin w cos (a + 90 °) = — sin a

Vermindert man dagegen das Argument um x = — bzw. 90°, so geht der Cosinus in den Sinus, der Sinus in den entgegengesetzten Cosinus über: 20

sin (w — x) = — cos

W

bz.w sin (a — 90°) = — cosa

cos (w — x) = sin w

9

öös (a — 90°) = sin a

9

Beweis. In nebenstehender Figur sei Bogen AP = IV, Bogen PBQ =

also Bogen APBQ

— tv + x, PF das von P, QG das von Q auf AC gefällte Lot. Dann ist sin (iv + x) = GQ, cos (iv -+- *) = — OG, cos w = OF, sin iv = FP. Da aber die Rechtwinkeldreiecke OGQ und OFP kongruent sind, ist GQ = OF und Hieraus folgt sin (tv -}- x) = cos IV und

OG - FP. cos {tv + x) = — sin w.

Für die Verminderung um x wird der Beweis ähnlich geführt. Ic. Umänderung des Arguments in sein Supplement. Supplements atz. Verwandelt man bei Sinus und Cosinus das Argument in sein Supplement, so bleibt der Sinus unverändert, während der Cosinus in seinen entgegengesetzten Wert übergeht: sin (TC — w) = sin w

cos (it — w) — — cos Uf

bzw. sin (180° — a) = sin a

cos (180° — a) = — cos a

Kennzeichnet man, wie üblich, das Supplement eines Winkels durch Uberstreichen, so wird etwas kürzer sin ep — sin cp

cos

—TC)= sin w = sin w, cos (7t — w) — cos (uf — 7t) = — cos Of. Id.

Umwandlung des Arguments in sein K o m p l e m e n t , Komplementsatz.

V e r w a n d e l t man den W i n k e l in sein K o m p j e m e n t , so geht j e d e K r e i s f u n k t i o n in ihre C o f u n k t i o n überIn Zeichen:

bzw.

sin (x — us) — cos w

cos (x — w) = sin w

sin (90° — a) = cos a

cos (90° — a) = sin a

Bezeichnet man das Komplement des beliebigen Winkels 9 mit ( p s o schreibt sich der Satz kurz sm 9 = cos