Ebene Trigonometrie [12 ed.]

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lAMBACHER S(HWE|ZER MMHEMATISCHES UNTERRKHISWERK

EBENE TBIGONOMETBIE

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LAMBACHER-SCHWEIZER

MATHEMATISCHES UNTERRICHTSWERK fir ho‘herc Schulen

EBENE TRIGONOMETRIE

990 ERNST KLETT VERLAG STUTTGART 705

MATHEMATISCHES UNTERRICHTSWERK FUR HOHERE SCHULEN Heramgagobon mm

Fri-idem Dr. THEOPHIL LAMBACHER. Stung-r1. Oberltudiendirektor Profeuor WILHELM SCHWEIZER, Tiibingen in Verbl'ndung mil Gymnuidprofeuor WALTER GOTZ. Stuttgart-End Clan-nu.

Obenmdiendireklor KARL LOFFLER, Rottenburg a. N. and unlcr Milarbail mm Obeutudiendireklor Dr. WALTER FRANKE Hamburg — Cymnninlprofeuar HELMUT HOLE, Reutlingen Obenuhuht AUGUST MERTENS, Munster/Went. — Profeuor KURT SCEONWALD, Hamburg Obemhnlnt Dr. PAUL SENGENEORST. Rndenberg (Ii-n.) Universititlprofeuor Dr. HEINRICH SIEDENTOPF Taking“

.EBENE TRIGONOMETRIE bearbeitet uon

WILHELM SCHWEIZER

Gcgumbcr Ilium Auflugcn iu mu: I

2 Sci“ 7/8: Schreibweilo den Bogenmlflel (chemo S. 16. 20. 64. 68) Niel: DIN 1302 no" die in Gradual} Ingegebeno Winkelgroflo der Crimea-rt nah

Ill gleioh angelehen warden mit der im BogenmnB ungcgebenen Winkelgraflo. El in dennloh riohlig Ill Iohreibcn 1' =- n/lBO; Ibgelehnt werden die Sehreibweiun are 1' — 3/180 and 1" a n/180 und die Unlenoheidung lwilchen w and 9" I 9 Aufg. 12 b; Anleilung Illl' Tran-formation § 15 Aufg. 23 ... 25 (mar Vorbereitung der Summonformeln) § 19 Aufg. 5; unlemheide Phuen- and Kuwenvenohizbung

12. Auflage.

1225 24 23

1972 71 7o 69

Alle Drucke dieser Auflage kiinnen im Unterricht nebeneinander benutzt werden. Die letzte Zahl bezeichnet das Jalu- dieses Druckes.

Gedruckt bei Ernst Klett in Stuttgart, Rotebiihlstr. '17

Inhaltsverzeichnis I. Trigonomelriache Funktionen spitzer Winkel. Berechnung den rechtwinkligen Dreiecln §1DieSinuafunktion............................ 1 §2DieKosinuefunktion.................... ..... §3DieTangensfunktion................... ........ 9 §4DieKotangenlfunktion............... ........ ...12 § 5 Zusammenhinge zwischen den Funktionen desselben Winkela . ....... . 15 § 6 Die Logarithmen der Winkelfunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 § 7 Uberblick fiber die Berechnung des rechtwinkligen Dreiecks ...... . . . . 20

§8VermischteAufgaben...........................

25

II. Funklionen beliebiger Winkel. Du schiefwinklige Dreieck § 9 Die trigonometriachen Funktionen fiir beliebige Winkel . . . . . . . . . . . . §10 Schaubilder der trigonometrischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . .

30 33

§11DerSinuuatz..............................

35

§12DerKosinuuatz.............................

40

§l3 Der Tangenuatz. Der Halbwinkelsatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 14 Uberblick Iiber die Berechnung deg achiefwinkligen Dreiecks. Landesvermessung §15VermiachteAufgaben...........................

44 48 53

III. Summenformeln §16 Trigonometrische Funktionen von Winkelsummen . , . . . . . . . . . . . . §17 Funktionen des doppelten und halben Winkels . . . . . . . . . . . . . . . . §18 Summon von trigonometrischen Funktionen . . . . . . ..... . . . . . . §19Sinuskurven............................... §20 Trigonometrische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2l Schwierigere Anwendungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57 60 62 64 68 71

§22VermischteAufgaben...........................

75

Geschichtliches..-...... ......

79

GriechischesAlphabet.............................

80

Personen-undSachvemichnis.........................

IV

Bezeichnungen:

6

Erklirung (Definition)

9

Satz

*5.

Aufgabe kann iiberschlagen werden

[8.]

besonders schwierige Aufgabe

Die Voriibungen werden dutch kursiven Kleindruck gekennzeichnet

l'——705I12

Personen- und Sachverzeiclmis (Die Zahlen bedeuten Seitenzahlen)

Abu Nasr 36, 80 Agypter 79 Ahmes 79 Albimni 80 Almagest 79 Amplitude 34, 6411' Ankreishalbmesser 53 Araber 79 Aristarch 79 Aryabhata 79 Asymptote 35 Aufschlagen 3, 6, 10, 13 Ausschlag 34 Babylonier 79 Basis 52 Bhaskara 79 BogenmaB 7, 33, 35 Brechungsgesetz

28, 55 Breitenkreis 28fl' Cheopspyramide 26

Halbwinkelsatz 46 Hansen 72, 73

Hauptaufgaben

36,

41, 45, 47, 48

Heronische Formel 47

Himmelskunde, Aufg. 28 Hippaxch 79 Hiihen 50 Hfihenwinkel ll Horizontalparallaxe 29 Horizontalwinkel 53 Inkreishalbmesser 46 Interpolation 3 Invar, Draht aus 52 irrationale Zahlen 3, 10 Kane 9, ll, 15, 22, 51 Kennzahlen 18 Kosinusfunktion 6 —kurve 7, 34 —satz 40$, 80

Einheitskreis 7, 15, 31 Erdkunde 28, 44, 51, 56, 71 Ergfinzungslogarithmus 19, 37

Erhebungswinkel 11 Euler 80 Fadenkreuz 52 Fliicheninhalt 40, 47, 53 Gaul}, Carl Friedrich 80 gefiihrlicher Kreis 72 Geschwindigkeit 28, 29, 55 gleichachenkliges Dreieck 23 Griechen 79 Grundaufgaben 20 Grundformeln 15 IV

Optik, Aufg. 28, 55 optische Achse 52 Ordnung von Dreiecken 51

Kotangensfunktion 12 —kurve 13, 34

Krfifte, Aufg. 27, 28,

Periode 33 Phasenverschiebung 65 Physik, Aufg. 27, 44, 55 Polygonzug 56 Pothenot 71, 73 Projektionssatz 44 Ptolcmiius 54, 79 Pythagoras 15, 17, 21, 41, 54 Raumgeometrie 24, 26, 50, 54 Rechenstab beim Sinussatz 37 — bei Winkelfunkuonen l9

rechtwinkliges Dreieck 20, 22, 26

regelma'iBiges Vieleck 25

Regiomontanus 80 Riickwfirtseinschneiden 53, 71, 72, 80

44

Kreis, Aufg. 24 Lfingenkreis 29 Landesvermessung 51, 80 Libellen 52 Logarithmen 18 —tafeln 3 Luftbildaufnahmen 53

Mollweide 46

Schaubilder 4, 7, 10, 13, 33, 64 Scheitelwert 34 Schwingungen 65 Sclegvingungsweite Sehnenfunktion 79 Selmensatz 24, 38 Sehwinkel 22, 56 Senkungswinkel ll Signalpunkte 52 Sinusfunktion 1, 79

Nasir Eddin Tuai 35,

-—kurve 7, 34, 64 —satz 35, 80

80

29 spitzwinkliges Dreieck 36, 41 Standlinie 22 stumpfwinkliges Dreieck 36, 41

Summe von trigonometrischer Funktion 62 Superposition 66 Tafeldifl'erenz 4, 6, 10, 13

Tangensfunktion 9H —kurve 13, 34 —satz 44

Teilkreis 53 Theodolit 52 Tiefenwinkel ll Triangulierung 51, 80 trigonometrische Gleichungen 68, 78 — Punkte 52 Uberlagerung 66 Umformungen 25, 75 Umkreishalbmesser 39 Vertikalwinkel 53 Vieta 80

Vorwiirtaschneiden 39, 50, 53 Wellenlfinge 34 Wellenlehre 34 Winkel, kleine 16 Winkelmessung 52 —summe 57

—steine 52

Mond, Entfernung 29

Neigungswinkel 1, 5, 9, 12, 15, 22, 24, 50, 54

Sonne, Entfernung

Singlgsschwmgu'

ngen

Snellius 71, 72, 73, 80

Zelmerlogarithmen 18 Zusammensetzung von Schwingungen 66 Zwischenschalten

3, 7, 1o, 13

I. Trigonometrische Funiitionen spitzer Winkel Berechnung dos rechtwinkligen Dreiecks In der Geometric haben wir dutch maBstfihliches Zeichnen von Dreiecken hfiufig Aufgaben

gelfist, bci denen z. B. nach der Hfihe eines .

-—l°|-—

Baumes (1.1) oder nach der Entfernung zweier Punkte (1.2) gefragt war, nachdem geeignete Streckcn und Winkel gemessen wurden. Bei manchen dieser Aufgaben reicht die geringe Genauigkeit einer zeichnerischen Lb‘sung aus (1.1), bei anderen Aufgaben abet, wie sie bei Vermessungen allcr Art auftreten, geniigt die

14- to elnen Baumes

zeichnerische Behandlung nicht. Hier springt die Trigonometrie1 ein, die mit Hilfe rechnerischer Beziehungen zwischen den Seiten und

Winkeln von Dreiccken die Berechnung geometrischer Figuren mit beliebiger Genauigkeit

erméglicht. Wir beginnen der Einfachheit halber mit rechtwinkligen Dreiecken. 1.2. Entlernung W 1

Die Sinusfunktion

1. Das Schild in Abb. 1.3 gibt die Neigung ciner Zahnradbahn on. Dubai bedeum 1: 5, dafi auf 5m waagrechte Entfernung ein Héhenunlerschied can In: komnu. (V31. ouch § 3, Aufg. 19.) a) Beslimme den Neigungswinkel a dun-h Zeichnung.

b) Welcher Héhenunterschied kommt auf cine waagreclue Entfernung von 20 m; 50m; 100m F Zeichno wieder und vergleiche mit a). Warum geniigl es, die Neigung durch ein Vorluihnis festzulegen ?

c) Zeicluw Neigungswinkel, die zu den Verhiilmissen l : 8; 1:4; 1: 2 gehéren. dj Beslimme zeichnerisch die Vchnisse, welche zu den Neigungswinkdn a = 10°; 20°; 30°; 40° geluiren.

2. Ersatze in Vorl‘ib. 1 ,,waagrechle Entfernung“ durch ”Weglfinge“.

fl

Zeichne und rechne wieder. Was finder: sich gegenfiber Voriib. 1 .7

1. gonia (griech.) = Winkel; trigonon (griech.) = Dreieck; metron (griech.) = MaB

13' ESE?"

1

§ 1

(3

Die Sinusfi‘nktion

In allen rechtwinkligen Dreiecken, die in einem spitzen Winkel iibereinstimmen, hat das Verhfiltnis von irgend zwei entsprechenden Seiten denselben Wert. Beweis (2.1) :

a ,4

Die Dreiecke sind fihnlich, also gilt z. B.: a c

I

a . c’ ’

,

b_b c _ 3’

5

c 2.1. Ahnliche Dreiecke

a __ a’ l) _ l7

Jedes dieser Verhfiltnisse hingt nur von der GréBe des Winkels a: ab, ist also cine Funktion von 0:. Man nennt solche Funktionen Winkelfunktionen oder auch trigonometrische Funktionen, weil sie bei cler Berechnung von Dreiecken verwendet warden. Im folgenden werden diese Funktionen der Reihe nach na‘iher hetrachtet.

Im rechtwinkligen Dreieck bezeichnet man das Verhiltnis Iler Gegenkathete eines spitzcn Winkels a: zur Hypotenuse als den Sinus1 des Winkels a.

Man schreibt dafiir: sin a (lies: Sinus 0:). Es ist also (2.1): sin a: = 9- =

c

Gegenkathete Hypotenuse

Bemerkung: Da der Sinus ein Verhfilmis zweigr Strecken darstellt, so ist er

eine reins (unbenannte) Zahl. Dasselbe gilt fiir die in §2 bis 4 erklirten Winkelfunktionen.

Wertetafel der Sinusfunktion

1. In Abb. 3.1 ist der Halbmesser des Viertelkreises und damit auch die Hypotenuse der rechtwinkligen Dreiecke gleich 1 dm. Durch Abmessen der Lote (Gegenkatheten) erhz‘ilt man daher die Tafel:

a | 10°| 20°| 30°] 40°| 50°| 60°| 70°| 80° sin a | 0,17 | o,34| 0,50| 0,64 | o,77| 0,87| 0,944 0,98 Fiir a: = 0° and a: = 90° ergibt sich kein rechtwinkliges Dreieck. Strebt jedoch an -> 0°, so strebt sin a —> 0; strebt a: —> 90°, so strebt sin a: —> 1. 1. Unpriinglich jiva (indisch) = Selma, duaus unbisch dschiba, verwechselt mit dschaib (arab.) = sinus (lat.) = Kriimmung, Each

2

Die Sinusfunklion § 1

Man setzt daher fest: sin0° = 0

@

and

sin90°= 1

Es gilt also: Wichst 0: von 0° bis 90°, so nimmt sin at zu von 0 bis 1. 2. Sehr viele Sinuswerte sind irrationale Zahlen. Aus dem (gestrichelten) rechtwinklig-gleichschenkligen Dreieck in Abb. 3.1 folgt z. B. sin 45° = w} Vi. 3. Mit den Mitteln der h6heren Mathematik but man genaue Tabellen fiir sin a: aufgestellt. Unsere Logan-ithmentafel1 enthfilt eine 4stellige Sinustafel fi'u' alle Winkel von 0° his 90° mit' einer Schrittléinge von 10’ bzw. 6’. Zwischenwerte erhéilt man dutch Zwischenschalten (Inter-

polieren; vgl. Algebra §36 und §63): a) Aufschlagen van Sinuswerten (Kletts Math. Tafelwerk, S. 10/11). 1. Beispiel: Ans der Tafel liest man ab: sin 24,7° = sin 24° 42’ = 0,4179. 1. Kletts Mathematisches Tafelwerk hat als Schrittlfinge 6’ --- 0,1°. In anderen Tafeln betrfigt die Schrittlfinge oft 10’. 90 0

80°

60°

50°

’// I

40°

[Inks/Issr/‘ec/re

/

30°

3 \ \ \

——

20°

00

3.1.

Zeichnerische Bestlmmung von sin a:

§1

Die Sinusfunklion

2. Beispiel: Wie groB ist sin 35° 43' ? sin 35° 42’ = 0,5835; sin 35° 48’ = 0,5850; Tafeldifferenz D = 15 (zt). Wfichst der Winkel um 6’, so wéichst der Sinus um 0,0015. Wiichst der Winkel um 1’, so wiichst der Sinus um rund 0,0015 - 4 ~ 0,0003. Also ist sin 35° 43' = 0,5835 + 0,0003 = 0,5838.

b) Aufschlagen von Winkeln, deren Sinus gegehen ist. 1. Beispiel: Ist sin a: = 0,7793, so ergiht die Tafel: a: = 51,2° = 51° 12’.

2. Beispiel: Wie groB ist a, wenn sin a: = 0,8323 ist ? 0,8320 = sin 56° 18’; 0,8329 = sin 56° 24’; Tafeldifferenz D» = 9 (zt). Wichst der Sinus um 0,0009, so wiichst der Winkel um 6’.

Wiichst der Sinus um 0,0003, so wéichst der Winkel um rund 6’ ' 3‘ = 2'. Also ist a: = 56° 18’ + 2’ = 56° 20’.

Aufgaben l.

Drficke in jedem Dreieck von Abb. 4.1 sin a und sinfi durch die Seiten

aus.

Bestimme zeichnerisch nach Abh. 3.1 die Werte sin 5°, sin 15°, . . . sin 85° 3.

auf 2 Dezimalen. Vgl. die Sinustafel. Berechne sin 30°, sin 45°, sin 60° mit Hilfe geeigneter rechtwinkliger Dreiecke auf 3 Dezimalen.

4 Zeichne ein Schaubild der Sinusfunktion zwischen 0° und 90°. (Waagerechte Achse: 10° 2 1 cm, senkrechte Achse: sin 90° = l 2 5 cm.)

Bestimme aus dem Schaubild von Aufg. 4 nfiherungsweise a) die Werte sin 18°; sin 33°; sin 47°; sin 63°; b) die Winkel ac, wenn sin a: = 0,2; 0,4; 0,6; 0,75 ist.

6 Schlage die folgenden Sinuswerte auf: a) 0) i) :1)

sin sin sin sin

31° 81° 75° 17°

10’ 35' 14’ 29’

b) 1') k) 0)

sin 62° 10’ sin 46° 17’ sin 57° 3' sin 5° 44’

‘c) *g) * 1) *p)

sin 75° sin 71° 8' sin 40° 43’ sin 85° 2’

r) sin 28,3° s) sin 49,8° ‘"t) sin 9,25° 7. Schlage zu folgenden Sinuswerten die Winkel auf:

d) h) m) q)

sin 89° 30’ sin 76° 51’ sin 27° 16' sin 86° 48’

u) sin 0,65°

a) sin at = 0,2896

*b) sin ac = 0,9744

d) sin 3 = 0,9963

c) sin a = 0,9997

l'e) sin [3 = 0,9648

f) sin ,6 = 0,9403

g) sin y = 0,7189 k) sin 6 = 0,7670 n) sin a = 0,1704 Bestimme den Winkel a:

I"h) sin y = 0,8940 * 1) sin 6 = 0,5868 l"0) sin e = 0,8204

i) sin y = 0,9761 m) sin 6 = 0,3350 p) sin e = 0,2200

zeichnerisch und mit der Tafel, wenn

a) sin a: = ; 1)) sin a = g 0) sin a = 0,7 (1) sin at = 0,45 ist. 4.1.

Rechtwlnkllge Dreiecke

Die Sinusfunktion § 1 9.

Bestimme zeichnerisch und rechnerisch die Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks ABC (2.1) ans: a)a=3cm, c=6cm c)a=3,2cm,c=5,6cm e)b=3,6cm,c=4,50m

*g)a=4cm,

b=3cm

b)a=4,3cm,c=5cm d)b=3cm, c=5cm f)b=2cm,

c=6cm

‘h)a=4cm,

b=2cm

I'i) a = 2,5 cm, b = 7,5 cm

10. In einem rechtwinkligen Dreieck ABC (2.1) ist: a) c= 80m,o¢=40° b) c= 150m,a=63°20' c) c=64,5m, fi= 36,8“ Berechne die fehlenden Winkel und Seiten des Dreiecks. Zeichne!

Anleitung: Aus sin a: = azc folgt a = c - sin (1. '11. Mache dasselbe fiir ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit: a) a = 5 cm, a: = 6511»° b) a = 35 m, [3 = 77°35’ c) b = 280 m,fi = 59°57. Anwendungen

Vorbemerkung: Uberlege hier und im folgenden, welche Genauigkeit beim Ergebnis sinnvoll ist. 12. Eine Leiter mit der Linge l = 7,5 m lehnt in der Hfihe h = 6,6 m (5,9 m) an einer Hauswand. Bestimme den Neigungswinkel gegen die Waag-

rechte (auf if genau). l3 a) Berechne den Neigungswinkel der Bahn in Vorflbung 2a (1.3).

1)) Die steilste Strecke der Zahnradbahn Stuttgart—Degerloch steigt auf jeden m Linge um 17 cm. Wie groB ist der Neigungswinkel?

c) Eine gerade StraBe steigt auf der Lfinge s = 180 111 um h = 13,5 111. Bestimme den Neigungswinkel. 14. Eine Bahn steigt auf einer Strecke a = 650m unter einem Neigungs'winkel a: = 2g und dann auf b = 530m unter fl ——= 3113’. Um wieviel m steigt sie im ganzen ? 15. Die Geislinger Steige steigt auf je 100m Lange durchschnittlich um

2% m und fiberwindet einen Hfihenunterschied h = 100 m. Wie lang ist sic und wie groB ist der durchschnittliche Neigungswinkel?

*16.

17.

.18.

Ein Abhang hat auf einer Strecke s = 120 111 die Neigung a: = 26°. Wie hoch ist der Hang ? Ein kugelffirmiger Freiballon mit dem Durchmesser d = 16 m wird unter einem Sehwinkel ac = 22’ beobachtet. Wie weit ist der Ballon vom Beobachter entfernt ?

Auf der Spitze eines Kirchturmes mit der Hfihe h = 24- m befindet sich eine Kugel. Sie wird von einem Punkt, der in waagrechter Richtung e = 18 m vom FuB des Turmes entfernt ist, unter einem Winkel a: = 52'

gesehen. Welchen Durchmesser hat die Kugel ? (Augenhfihe a = 1,5 In.)

5

2

Die Kosinusfunktion Im rcchtwinkligcn Drcicck bezcichnet man das Verhfiltnis der Ankathete eines spitzcn Winkcls a zur Hypotenuse als den Kosinus des Winkels oz. Man schreibt dafiir: cos 0: (lies: Kosinus 0;). Es ist also (6.1):

Da in Abb. 6.1 abet auch

g = sin ,6 = sin (90° — at) ist, so gilt der Satz: 6

Der Kosinus eincs Winkels ist glcich dem Sinus seines ErgfinzungsWinkcls3l cosaz=sin (90°—a) sin a= cos (90°—a)

Wcrtetafel der Kosinusjunktion

1. Man erhilt dutch Abmessen der waagrechten Katheten in Abb. 3.1

oder aber auf Grund des obigen Satzes aus der Sinustafel von S.2:

a | 0° |10°|20°|30°|40°|50°|60°|70°|80°|90° cosal 1 |0,98| o,94| 0,87I o,77| 0,64| o,50| 0,34.| o,17| o Insbesondere ist cos 0° = l

and

cos 90° = 0.

Es gilt also: 6

Wichst a: von 0° his 90°, so nimmt cos an ab von 1 bis 0. 2. Die Sinustabelle unserer Logarithmentafel kann nach dem Vorstehenden gleichzeitig als Kosinustabelle verwendet warden: a) Aufschlagen van Kosinuswerten (Kletts Math. Tafelwerk, S. 10/11). 1. Beispiel: Aus der Tafel liest man ab: cos 35,4° = 0,8151.

2. Beispiel: Wie groB ist cos 54° 17’ ? cos 54° 12’ = 0,5850; cos 54° 18' = 0,5835; Tafeldifferenz D = 15 (zt). Wichst der Winkel um 5', so nimmt der Kosinus ab um 0,0015 - g m 0,0012.

Also ist cos 54° 17' = 0,5850— 0,0012 = 0,5838. b) Aufschlagen van Winkeln, deren Kosinus gegeben ist. 1. Beispiel: Ist cos a: = 0,5764, so ergibt die Tafel: a = 54,8". 1. cosinus = complemcnti sinus (lat) = Sinus der Ergiinzung

6

Die Kosinuafunktion

§ 2

2. Beispiel: Wie groB ist cc, wenn cos a = 0,8323 ist ? 0,8329 = cos 33° 36’; 0,8320 = cos 33° 42'; Tafeldifferenz D = 9 (zt). Nimmt der Kosinus um 0,0006 ab, so wfichst der Winkel um rund 6' - g- = 4'.

Also ist a = 33° 36' + 4’ = 33° 40'. Schaubild der Sinus- und Kosinusfunktion In Abb. 7.1 ist ein Viertelkreis mit Radius 1 (,,Einheitskreis“) gezeichnet.

Mit seiner Hilfe sind wie in Abb. 3.1 die Sinus- und Kosinuswerte der Winkel 0°, 10°, 20°, . . . 90° konstruiert.

Um ein Schaubild der Sinus- und Kosinusfunktion zu erhalten, trfigt man in x-Richtung die Winkel und in y-Richtung die zugehorigen Sinusund Kosinuswerte ab. Auf der y-Achse ist die Einheitsstrecke natiirlich gleich dem Kreisradius (im Bild 4 cm). Auf der x-Achse trfigt man als MaB'des Winkels den Bogen ab, den seine Schenkel auf dem Einheitskreis abschneiden (”Bogenmafl“ des Winkels, vgl. 7.1). Da der Umfang des Einheitskreises 2n ist (warum 1’), so gehort z. B. zu 90° das BogenmaB 72—! (im Bild 4 ~27! cm a 6,3 cm), zu 30° gehért 761 (im Bild 2,1 cm). Auf diese

Weise wird auf beiden Achsen mit derselben Einheit gemessen.

1.1. Slnus- und Koslnuskurve

Verbindet man die erhaltenen Punkte der x, y-Ebene, so entsteht die

Sinuskurve und die Kosinuskurve. Die zugehorigen Funktionsgleichungen y=sinx und y=cosx. sind

~J

Bemerkung: Das Bogenmaf)’ x eines Winkels a: lfiBt sich auch ausdriicken als das Verhiilmis von zugehorigem Bogen zum Halbmesser (7.2):

7.2.

BogenmaB

§ 2 Dis Kosinusfunklion Das BogenmaB ist also eine unbenannte Zahl. Fiir r = l folgt: Das Bogenn eines Winkels ist gleich der Maflzahl des Bogens im Einheitskreis.

Beispiele: 360° = 2 at; 180° = 7!; 90° = g‘; 45° = ;; 1° = % = 0,0175; 181:) = 57930 = 1

Aufgaben l.

2.

3.

4.

Drticke in jedem Dreieck von Abb. 4.1 cos a: und cos fl durch die Seiten aus. Bestimme zeichnerisch nach Abb. 3.1 die Werte cos 5°, cos 15°, . . . cos 85° auf 2 Dezimalen und vergleiche mit der Kosinustafel.

Berechne cos 30°, cos 45°, cos 60° mit Hilfe geeigneter rechtwinkliger Dreiecke auf 3 Dezimalen. Driicke jeden Wert auch als Sinuswert aus. Zeichne nach Abb. 7.1 Schaubilder der Sinus- und Kosinusfunktion (Ein-

heit 5 cm). Wie driicken sich die oben angefiihrten Eigenschaften des Sinus und Kosinus im Schaubild aus ? Lies die Sinus- und Kfisinuswerte fiir 0°, 30°, 45°, 60°, 90° aus dem Schaubild ab. Fiir welchen Winkel x ist

sin A: = cos x?

Drficke die ‘ folgenden Kosinuswerte dutch Sinuswerte ans: cos 20°; cos 53°; cos 67133; cos 74° 50'; cos 42° 20’; cos 32° 7’; cos 49,4°; cos 68,7°; cos 4,35°. 6.

cos 17° 34’;

cos 8° 41’;

Driicke durch Kosinuswerte aus: sin 35°; sin 47°; sin 56219; sin 62° 40’; sin 73° 19’; sin l2,8°; sin 37,1°; sin 21,3°; sin 44,8°.

7.

Schlage die folgenden Kosinuswerte auf: a) e) i) n) r)

cos 27° 10’ cos 42° 46' cos 46° 52’ cos 9° 7’ cos 38,4°

1)) f) k) 0) 8)

cos 68° 50' cos 19° 53' cos 62° 39' cos 31° 11' cos 49,7°

*c) *g) ‘ 1) ’p) I"t)

cos 39° cos 14° 17' cos 77° 1’ cos 8° 59' cos 73,9°

(1) 11) m) q) 11)

cos cos cos oos cos

13° 25’ 34° 8’ 86° 34’ 6° 21’ 2,75°

Schlage zu den folgenden Kosinuswerten den Winkel auf:

9.

a) cos at = 0,7916 (1) cos fl = 0,7482 g) cos y = 0,6025

I"b) cos a: = 0,9892 *e) cos ,B = 0,9060 '11) cos y = 0,3408

0) cos a: = 0,9440 f) cos )3 = 0,8016 i) cos y = 0,1986

k) cos 6 = 0,1006

‘ 1) cos 6 = 0,4847

m) cos 6 = 0,6885

Bestimme den Winkel a: zeichnerisch und mit der Tafel, wenn

a) cosa = % 10.

b) cos ac = g

c) cos a: = 0,3

d) cos a = 0,55 ist.

Bestimme den Winkel at eines rechtwinkligen Dreiecks ABC (6.1) aus: a) b = 4,50m, c = 50m b) b = 2,50m, c = 6cm 0) a = 4cm, 0 = 4,8cm

11. In einem rechtwinldigen Dreicck (6.1) ist:

a) c = 50m, a = 36° b) c = 6,4m, fl = 51°40' c) c = 40,5m, at = 21°34’ Berechne die Ankathete des gegebenen Winkels. Zeichne!

Die Tangsmfunldion § 3

‘12. Bestimme die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks (6.1) mit: a) a = 3,2cm,fl = 61° b) b = 160 m, a: = 37°20’ c) a = 75m,fl = 43°19’ Amoendungen

13. Eine Leiter mit der Lingo l= 6,4 m lehnt an einer Wand. 1hr FuB ist a = 2,8 m von der Wand entfemt. Wie groB ist ihr Neigungswinkel ? l4. Ein Haus mit Satteldach ist b = 9,6 m breit und hat Sparren von der Lfinge l = 7,8 111, die am Dachtrauf s = 0,3 m fiberstehen. Bestimme den

Neigungswinkel der Sparren und die Hfihe des Daches. '15. Wie lang sind die Sparren eines Satteldaches, das b = 8,8 m breit und nnter 0: = 50° geneigt ist, wenn sie am Dachtrauf s = 0,25 m fiberstehen ? '\

)6. Ein Damm ist an der Krone k = 4,5 m breit. Die Bfischung ist (in der ~ Fallinie) l= 5,6m lang und unter a: = 38° geneigt. Wie breit ist der Damm an der Sohle ?

17. Ein gerades StraBenstfick mit der Lingo l = 320 m steigt unter a = 7,5° ' an. Wie lang ist es auf der Karte l : 25 000 ? 18. Welchen Neigungswinkel hat ein Abhang von der Lingo l = 320 m, wenn er auf der Karte 1 : 25 000 11 mm milk? 19. Eine Bahnstrecke hat auf der Karte l : 25 000 eine Lfinge von s = 18 mm und fillt unter a: = 8°. Wie lang ist sie ?

In

3

Die Tangensfunktlon

.

. Auf dam Schulhof win! im Lauf cine: Vomiting: In (1191' wuhiodmn Zeiteu die Lingo dos

Schaaens gemuun. den sin 2 an (anger unkncluer Fluclusmb wirfl. Man crhdlt die Wane: 4 m; 2,5 m; 1,6 m.

a) Bestimmo jedesmal uichnorisch den Winks! «in Sonnanurahlm. b) Gib in jodem Fall das Varhd‘lmis an, dds die Grfifle dines Winkel: kennuichnu. . Ein Treppengalindar is: urucr 35° 5339!: did Wang-rock“ geneigt. Bostl'mma zeichnerisch die Brain einer Slufe, warm ihrc Hfiho a) 12 cm, b) 18 on may.

. Zeichna rechminldigo Dreiecka mit der gamimamcn Kathe“ b = 4 cm and dor underen Kathetea = l, 2, 3,4, 5, cm. a) Mif?jedesmal den Winkel (1. Beobachw. wic a wa'chu,wenn sick dc: Verhdlmis a: b vsrgrfiflm.

b) Wie grofi win! a, warm sick a dam Wm 0 nfihen? c) Welchem Wort mihen sick a, warm 0 immer mhr wicks! P

9

Im rechtwinkligen Dreieck bezeichnet man das Verhiltnis der Gegenkathete eines spitzen Winkels a: zur Ankathete als den Tangens des Winkels ac.

Man schreibt dafiir: tan a: (lies: Tangens 0:). Es ist also (9.1): tan a =

a

B

=

Gegenkathete

'Anka'thete .

§ 3 Die Tangeawlhtion Wertetalel der Tangensfunkutm

1. In Abh. 10.1 ist der Halbmesser des Viertelkreises und damit auch die Ankathete der rechtwinkligen Dreiecke gleich 1 gesetzt. Dutch Abmessen der Gegenkatheten auf der Kreistangente1 in A erhfilt man die folgende Tafel:

a | 10° | 20° | 30° | 40° | 50° | 60° | 70° |80° tanal 0,18] 0,36 | 0,58 l 0,34| 1,19 l 1.73 | 2,75 | 5,67 Strebt a: —> 0°, so strebt tan a: + 0. Strebt a: —> 90°,

so wfichst tan oz fiber alle Grenzen, es strebt gegen

,,unendlich“. Man schreibt daffir kurz':

tan0°=0

tan90°= co

Wfichstavon 0° his 90°, so nimmt mnazuvonObisoo. 2. Wie die Sinus- und Kosinuswerte sind auch sehr

90° 30° 10,

viele Tangenswerte irrationale Zahlen. Aus Abb. 16.3 folgt z. B.: tan 60° = V3.

60° 50° 40°

~

3. Beim Aufschlagen von Werten aus der Tangens-

tabelle der Logarithmentafel wird ebenso zwischen8eschaltet wie bei der Sinustabelle: a) Aufschlagen von Tangenswertena Beispiel: Wie groB ist tan 65° 37' ? tan 65° 36' = 2,204; tan 65° 42’ = 2,215; Tafeldifferenz D = 11 (t).

30°

/ 20. Z/ 10 o ° 1

10-1- Tanoemwem

Wfichst der Winkel um 1’, so wfichst der Tangens um rund 0,011 ° -} N 0,002.

Also ist tan 65° 37’ = 2,206.

b) Aufschlagen van Winkeln, deren Tangens gegeben is! Beispiel: Wie groB ist ac, wenn tan a: = 0,7794 ist?

0,7785 = tan 37° 54'; 0,7813 = tan 38° 0'; Tafeldifferenz D = 28 (zt).

Wichst der Tangens um 0,0009, so wfichst der Winkel um rund 6’ ' 2-93 m 2’. Also ist a = 37° 56’.

Aufgaben 1. Driicke in jedem Dreieck von Abb. 4.1 tan a durch die Seiten ans. 2. Zeichne Abb. 10.1 in grfiBerem MaBstab und lies dann die Werte tan 5°, tan 15°, 25°, . . . mfiglichst genau ab. 3. Berechne tan 30°, tan 45°, tan 60° mit Hilfe geeigneter rechtwinkli-

ger Dreiecke. 1. Daher die Bezeichnung "Tongan“ 2. Das Zeichen oo bedeutet ,,unendlic “. 3. Nach Kletts Mathematischem Tafelwerk, S. 12/13

10

|fi1lu L

9

und

Die Tangensfunktion § 3

4. Zeichne ein Schaubild der Tangensfunktion. (Beachte 10.1 und 7.1.) 5. Lies aus dem Schaubild in Aufg. 4 oder aus Abb. 10.1 Nfiherungswerte ab fiir: a) tan 13°, tan 26°, tan 39°, tan 52°, tan 65° b) Winkel ac, wenn tan at = 0,25; 0,5; 0,75; 0,9; 1,3 ist. :1

,6. "'Schlage die folgenden Tangenswerte auf:

a) e) i) n) r)

tan tan tan tan tan

23° 40’ 8° 45’ 72° 48’ 74° 3’ 26,7°

b) 1') k) 0) 5)

tan tan tan tan tan

39° 12° 7’ 46° 15' 80° 42’ 41,2°

*0) *g) * 1) I'p) *t)

tan tan tan tan tan

56° 20’ 25° 31' 51° 56’ 83° 34’ 54,15°

d) h) m) q) u)

tan tan tan tan tan

87° 33° 54' 62° 19' 87° 5’ 66,85°

7. Schlage zu folgenden Tangenswerten die Winkel auf: a) tan at = 0,2247 *b) tan 0: = 1,376 c) tan at = 5,066 (1) tan [3 = 0,1095 *e) tan [3 = 0,2260 f) tan f3 = 0,4937 g) tan y = 0,6388 *h) tan )1 = 0,7254 i) tan y = 0,9091 1:) tan 6 = 1,114 *1) tan 6 = 1,218 m) tan 6 = 2,093 n) tan a = 3,007 *0) tan a = 5,548 p) tan a = 11,65 Bestimme den Winkel ac zeichnerisch und aus der Tafel, wenn

a) tan at = % 7’9"

b) tan at = .3,

c) tan at = 1,3

(1) tan a: = 2,75 ist.

'Bestimme zeichnerisch und rechnerisch die Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks ABC (9.1) ans: 3.) a=3cm,b=4cm b)a=6cm,b=2,50m c)a

d)a=280m,b=360me)a=46m,c=80mf)b

5,4cm, b = 4,80m 9,6 m, c = 11,2 111

. In einem rechtwinkligen Dreieck (9.1) ist: a) b=50m,oc= 35° b) a=3,8cm,fl=51°20’ c) b=24m,a=62°7’ d) a = 120m, at = 41°13' e) b = 250m,fi= 58°47’ f) c = 6,4km, a = 48°28’ Berechne die fehlenden Winkel und Seiten des Dreiecks. Zeichne! Anwendungen

11. Berechne den Winkel der Sonnenstrahlen in Voriib. 1. 12. Wie hoch ist eine Tanne, wenn ihr Schatten s = 27,5 m lang ist und die Sonnenstrahlen unter dem Winkel a: = 38° 50’ einfallen? 13.

Ans ciner Entfernung e = 60 m erblickt man die Spitze eines Turmes unter dem Erhebungswinkel (Hfihenwinkel) a: = 27° 34' (11.1). Wie hoch ist der Turm, wenn die Augenhfihe a = 1,50 m betréigt ?

14. Unter welchem Erhebungswinkel erscheint die Spitze des Ulmer Miinsters (h = 161 m) von einer Stelle aus, die in waagrechter Richtung

e = 150 m vom FuB des Turmes entfemt ist? (Augenhiihe a = 1,5 m.) 15.

Von einem Aussichtspunkt A aus sieht man einen Punkt B in Tal unter dem Senkungswinkel (Tiefenwinkel) ,3 = 39° 21'.

Auf der Karte 1:25 000 betrfigt die Entfemung A—B = 18 mm. Wie hoch liegt A fiber B ? (Senkungswinkel warden gogen die Waagrechte gemessen.) 11

11.1

§ 4

Die Kolangemfunluion

16. Auf der Karte 1:25 000 haben zwei benachbarte 20-m-H6henlinien einen Abstand van a) 5mm, b) 3mm, 0) 1,5 mm. Welchen ‘Neigungswinkel (Bfischungswinkel) hat das Gelfinde an dieser Stelle? 17. Der Giehel eines Satteldachs ist b = 8,4 m breit and h = 5,4 m hoch.

Welche Neigung hat das Dach ? 18. Ein Walmdach ist a = 12 m lang, b = 8,8 m breit and h = 4,8 m hoch. Die Firstlfinge betrfigt l = 5,4 m. Bestimme dutch Zeichnung und Rech-

nung den Neigungswinkel a) der Dachfléichen, b) der Grate. 19. Liise Voriib. 1a, c, J van § 1 rechnerisch. Gib die ,,Steigung“ jeweils auch in Prozent an.

Bemerkung: Heute versteht man unter der ,,Steigung“ bzw. dem Gef‘élle einer Bahn, einer StraBe oder eines Hanges stets den Tangens des NeigImgswinkels. Die Steigung wird vielfach in % angegeben. 20. Bei den folgenden Alpenpfissen ist ihre grfiBte Steigung in % angegeben.

@IF

Berechne den zugehérigen Neigungswinkel. a) Semmering 8%, b) GlooknerstraBe 10%, c) Arlberg 13%, d) FempaB 15%, e) Tauernhtihe 22%, f) Katschberg 25%.

Die Kotangensfunktion

1m rechtwinkligen Dreieck bezeichnet man das Verhiltnis der Ankathete eines spitzen Winkels a zur Gegenkathete als den Kotangens des Winkels on. Man schreibt dafiirl: cot a. Es ist also (12.1): 2 Ankathete cot a = a = Gegenkathete Da aber auch ;= tan fl = tan (90°— 0:) ist, so gilt

9

Der Kotangens eines Winkels ist gleich dem Tangens seines Erginzungswinkels. tanoc=cot (90°—a) cota=tan (90°—a)

Wertetafel der Kotangensfunktion

1. Auf Grund des obigen Satzes erhilt man aus der Tangenstafel von S. 10:

a | 0° | 10° | 20° | 30°|40° | 50° | 60° | 70°] 80° |90° cotal oo |5,67|2,75|1,73|1,19|0,84|0,58|0,36|0,18| o 1. cotangens = complementi tangents (lat.) = Tangens der Erginlung

12

Die Kolangensfunluion § 4

col: 90° = 0

and

Insbesondere isl: cot 0° = co

Es gilt also @

Wichst a von 0° his 90°, so nimmt cot ac ah von 00 his 0.

2. Die Tangenstabelle unserer Logarithmentafel kann nach dem Vorstehenden gleichzeitig als Kotangenstabelle verwendet werden: a) Aufschlagen von Kotangenswerten (Kletts Math. Tafelwerk S. 12/13) Beispiel: Wie groB ist cot 8° 43’ ? cot 8° 42’ = 6,535; cot 8° 48’ = 6,460; Tafeldifferenz D = 75 (t).

Wfichst der Winkel um 1', so nimmt der Kotangens ab um rund

0,075 - ,1, N 0,012.

Also ist cot 8° 43’ = 6,535 —- 0,012 = 6,523. b) Aufschlagen mm Winkeln, wenn der Kotangens gegeben ist. Beispiel: Wie grofl ist 0:, won cot a: = 5,532 ist?

5,558 = cot 10,2° = cot 10° 12’; 5,503 = cot 10,3° = cot 10° 18’; Tafeldifferenz D = 55 (t).

Nimmt der Kotangens um 0,026 ab, so wfichst der Winkel um

0,l° - fig a: 0,05° Oder um 6' - fig .8 3'.

Also ist a = 10,20° + 0,05° = 10,25° = 10° 15’. oder a: = 10° 12' + 3' Schaubild der Tangens- and Kottmgensfunktion Wie in A111). 7.1 die Sinus- und Kosinuskurve, so sind in Ahb. 13.1 die

Tangenskurve und Kotangenskurve gezeichnet. Die zugehfirigen Funk-

tionsgleichungen sind y = tan x and y = cot x.

\

y

l———-—-q_______ /

/

/

I

v

I

/

I

/

|

//

I

/

/

/

fi

1 T

I"

+

|

//

“—— 1 ___..°°

‘1‘“(a,

I

o°+

// /

I

Tl

1|

11

6

[fl

3

30"

“5°

60°

13.1. Tangens- und Kotangenskurve

1T 7

90°

X

§ 4

Die Kolangensfunktion

Aufgaben 1. Drficke in jedem Dreieck von Abb. 4.1 cot oz und cot fl durch die Seiten ans.

2. Berechne cot 30°, cot 45°, cot 60° mittels rechtwinkliger Dreiecke und dn’icke jeden Wert auch als Tangenqwert ans. 3. Zeichne nach Abb. 13.1 Schaubilder der Tangens— und Kotangensfunktion (Einheit 5 cm). Wie driicken sich die oben angeffihrten Eigenschaften des Tangens und Kotangens im Schaubild aus ? Lies die Tangens- und Kotangenswerte fiir 0°, 30°, 45°, 60°, 90° aus dem Schaubild ab. Fiir welchen Winkel x ist tan x =_, cot ‘x ?

4. Drficke die folgenden Kotangenswerte dutch Tangenswerte aus: cot 40°; cot 63°; cot 22y; cot 32°50’; cot 57°18’; cot 69°8’; cot 6,8° 5. Driicke dutch Kotangenswerte aus : tan 70°; tan 25°; tan 53°; tan 46°20’; tan 64°48’; tan 29° 11’; tan 7°26'; tan 73,6°; tan 18,3°

6. Schlage die folgenden Kotangenswerte auf: a) cot 29° 10’ b) cot 74° 40' d) cot 32° 25’ e) cot 41° 26’ *g) cot 25° 13’ h) cot 16° 37’ k) cot 71° 16' " l) cot 50° 42’

n) cot 10° 54’

o) cot 8° 9'

I'c) -— f) i) m)

cot 81° cot 35° 58’ cot 83° 2’ cot 46° 23’

I'p) cot 15,6°

7. Schlage zu den folgenden Kotangenswerten die Winkel auf: a) (1) g) 1:)

cot a cot fl cot y cot 6

= = = =

0,7720 1,354 0,1988 5,108

‘b) *e) ‘h) * l)

cot a: cot 13 cot y cot 6

= = = =

2,356 2,002 0,4860 6,375

c) f) i) In)

cot at cot I3 cot y cot 6

= = = =

1,127 3,124 0,8712 10,211

8. Bestimme den Winkel a zeichnerisch und mit der Tafel, wenn

a) cot a: = 1}

b) cot a: = g

c) cot a: = 1,7

(1) cot at = 2,5 ist.

9. Bestimme den Winkel ac eines rechtwinkligen Dreiecks (12.1) aus: a) a = 4cm, b = 50m 1)) a = 4,5cm, b = 2,7cm c) a = 60m, b = 84m 10. In einem rechtwinkligen Dreieck (12.1) ist: a) a = 5cm, cc = 41.}° b) b = 6,5cm, fl = 62°29’ c) a = 55111, a: = 48°47’

Berechne die Ankathete des gegebenen Winkels. Zeichne! Anwendungen

11. Wie lang ist der Schatten eines senkrechten Fluchtstabes von der Lingo h = 2 m, wenn die Sonnenhiihel cc = 37,5° betréigt ?

12. Von einem Schiff aus erscheint die Spitze eines Leuchtturms, der h = 56 m hoch ist, unter dem Hiihenwinkel at = 5° 40'. Wie weit ist due 1. d.h. der Winkel der Sonnenstrahlen gegen die Waagrechte

14

Zusammenha’nge swiachon den Funktionen duselbcn Winkels § 5

Schiff von dem Leuchtturm entfernt, wenn sich das Auge des Beobachterl a = 5,8 m und der FuB des Turmes b = 7,5 m fiber dem Meeresspiegel befinden ?

13. Vom 3. Stock eines Hauses (h = 11,2 m) erscheint das jenseitige Ufer eines Flusses unter dem Tiefenwinkel a: = 8° 15’. Wie breit ist der FluB,

wenn das Haus vom diesseitigen Ufer a = 3,5 m entfernt ist? l4. Welchen Abstand haben zwei benachbarte 20-m-H6henlinien auf der

Karte 1:25 000, wenn der Neigungswinkel ,6 des Gelfindes 8) 5F, 1)) 14°, c) 23.}-0 betrfigt?

15. Lfise Aufg. 16 von § 3 mit Hilfe der Kotangensfunktion.

Zusammenhfinge zwischen den Funktionen desselben Winkels

1. Darstellung der 4 Winkelfunktionen am Einheilskreis In Abb.15.1 ist ein Viertel des Einheitskreises gezeichnet. Ffir einen beliebigen spitzen Winkel a werden dann die 4 Winkelfunktionen durch die Maflzahlen der fett ausgezogenen Strecken angegeben. Zeige dies!

(Vgl. auch 3.1, 7.1, 10.1 und 13.1.) 2. Aus Abb. 15.1 ergeben sich leicht die wichtigen Grundformeln:

9

sin2 a: + cos” a = l

’

(I)

com

sin a: tan a: — m

(II)

008“ cot d — m

(111)

tanorcota=1

tan a: = cot an cot cc =

tan a:

1

(IVa)

(IV 1)) (IV c)

I.—cos.1”._.| 15.1. Eké'mgligklgflktlonen

Leite die Formeln her. Verwende bei (I) den Satz des Pythagoras. Bemerkung: sin2 oz (lies: Sinus Quadrat a) bedeutet (sin a)“. 3. lat cine der 4 Funktionen gegeben, so lassen sich die 3 anderen be-

rechnen, ohne den Winkel aufzuschlagen. Die Lfisungen sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt. 15

§ 5

Zusammenha'ngo switcher: den Funluionon duaslben Winkels

I

Gesucht:

Gegeben : sin a:

cos a:

tan oz

—

Vl—sin'a

fin

sina

cot a:

—\,1-—-si113¢:¢ . sine:

V1 _ cos2 a

cos a:

cos a

VI— cos2 a

cos a

V1- cos’ a

_

tan a

tan a —-——-—— \/l+tan'az

1 —-—— Vl+tan2¢

~—

I

cot a:

1

V1 + cot2 a:

V1 + cotaa

cot a

cot a

1 tune:

_

Beim Beweis verwendet man die obigen Grundformeln oder abet eines der rechtwinkligen Dreiecke in Abb. 15.1. Ist z. B. tan a: gegeben, so verffihrt man nach Abb. 16.1.

tan a

4. Besondere Werle der 4 Winkelfunktionen Aus § 1 bis 4 und Abb. 16.2 und 16.3 folgt:

at

0°

30°

sin a

o

i.

cos a

1

tan a

0

45°

1

i- V§

i. Vi

4;-

0

1} V5

1

V3

cc

V3

1

162

45°

00 _

1} V3

1

V7

90°

1 vi .3. v5

-

cot a:

60°

60° 2

0

1

30°

5. Der Sinus und Tangens bei kleinen Wim

keln

16.3

V3

Zeichnet man die Figur in Abb. 15.1 fiir kleine Winkel a: (z. B. fiir at = 10°

ode: a: = 5°), so zeigt die Auschauungl, daB sin a: w tan a sowie sin a ~05 und tan ac ts a: ist, wenn man a: im BogenmaB miBt (vgl. S. 7).

So liefert z. B. die Logarithmentafel auf 4 Stellen genau: sin 5° = 0,0872; tan 5° = 0,0875; sin 1° =' 0,0175; tan 1° = 0,0175; 1. Eins genauo Begrfindung folgt spiter.

16

'

5° = 0,0873 1° = 0,0175

Zusammenhfinge zwischen den. Funktionen desselben Winkels § 5

Aufgaben l. Driicke die 4 Winkelfunktionen mit Hilfe der Seiten a, b, c eines recht-

winkligen Dreiecks aus (9.1) und beweise dann die Grundformeln von S. 15. 2. Leite die in den Tabellen von S. 16 enthaltenen Formeln und Werte her. (Beachte 16.1 his 16.3.) . Bestéitige die Merkregel:

sin 0° = .5 V0; sin 90° = %

sin 30° = % Vi;

sin 45° = % Vi;

sin 60° = 1} V3;

4

Gegeben: sine: = g; 4%; a}; %; 0,8; 0,3; 0,18. Gesucht: cos 0:. Gegeben: cos a: = —§; T57; §; §; 0,6; 0,9; 0,35. Gesucht: sin oz. Gegeben: tan a: = g; a}; 3.; 1,7; 0,45; 1,875. Gesucht: cot at. . Gegeben: cota = g; 3; -};; 2,4; 0,64; 0,1... Gesucht: tan a.

Berechne die 3 fibrigen Funktionen, wenn gegeben ist: a) tanaz=§ b) tanaz=2 c) tanaz=.}V5 d) cotaz=g~

e) cota=l,5

g) sinu=§

h) sina=0,7

i) sinaz=%V7

l) cosa¢=0,l

m) cosa=§V3

k) cosa=§

'

f) cota=iV§

Anleitung: Zeichne geeignete Dreiecke oder verwende die obigen Formeln. 9.

Welche Formeln ffir Winkelfunktionen erhfilt man, wenn man die Be-

ziehung c2 = a2 + be im rechtwinkligen Dreieck a) durch a”, b) durch

b“, c) durch c2 dividiert ? 10.

Beweise: a) 1+tan3a=

2 cos a:

b) l+cot2a= . 2 sin a:

ll. Schreibe einfacher:

a) tan a: - cos a:

1)) sin a: - cot a

cot a d) cos a: g) V1+cosa° Vl—cosa

sin a e) tanac f) cos’a _ h) sin‘ac—cos‘oc i) cosaz+sina~tanac

c) sin3a+sin a: - cosaa:

‘12 Zeichne im rechtwinkligen Dreieck ABC die Hiihe ED und driicke A—C, E, If), E, €17 mittels c und ac aus. Zeige, daB sich dann die Grundformel (I), der Satz des Pythagoras, der Hfihen- und Kathetensatz unmittelbar aus der Figur ablesen lassen.

Zur Ubung und Wiederholung der Trigonometrie gibt es das TT-Programm Trigonometrie Kart. Ausgabe (Klettbuch 76532), Linson-Ausgabc (Klettbuch 7653)

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17

Die Logarithmen der Winkelfunktionen1 1. Wiederhole die Logarithmenscitu um! die Stills fiber Zehnerlogarithmen (Algebra § 62 and 63). Bilds Beispiele. 2. Wie grofl ist a) lg 10; lg 1; lg 0,1; lg 0,01; lg 0,001; lg 0,0001; b) lg 37; lg 3,7; lg 0,37; lg 0,037; lg 0,0037? Regeln?

1. Beim Rechnen mit Winkelfunktionen ist es vorteilhaft, statt der

(bisher benutzten) natfirlichen Werte der Funktionen ihre Zehner-

logarithmen zu verwenden. Man bezeichnet sie mit lg sin 0:, lg cos 0:, lg tan 01, lg cot a. Unsere Logarithmentafel enthz’ilt vierstellige Tabellen dieser Werte fiir a van 0° his 90”. 2. Bei den Kennzahlen dieser Logarithmen ist zu beachten:

a) Liegt a: zwischen 0° und 90°, so liegen sine: und cosac zwischen 0 und 1; lg sin a und lgcoso: sind daher stets negativ (vgl. Algebra §63). Man schreibt bei diesen Logarithmen zweckmfiBig

9.

—10 statt 0.

—1

8. ——10 statt 0. -—2usw. In der Logarithmentafel ist die Kennzahl -— 10 weggelassen. Beispiele: lg sin 15° 26’ = 9.4251 — 10 lg sin 74° 34’ = 9.9841 — 10 lg cos 37° 8’ = 9.9016— 10 lg cos 87° 13' = 8.6863 — 10 b) Ist a: < 45°, so ist tan at < 1, also lg tan a: negativ. An den Tafelwert

ist wie bei a) die Kennzahl —- 10 anzuhfingen.

Ist a> 45°, so ist tan 01> 1, also lg tan a positiv. Die Tafel gibt hier die Kennzahl unmittelbar an. Bei lg cot a: ist fiir a > 45° die Kennzahl —10 anzuhiingen. Beispiele: lg tan 15° 26' = 9.4410— 10 lg tan 74° 34' = 0.5590 lg cot 37° 8' = 0.1208

Aufgaben l. Schlage auf: a) lg sin 28° 36’ 1)) lg sin 15° 19’ e) lg cos 47° 8’

f) lg cos 88° 25’

i) lg tan 89° 31’ k) lg cot 41° 3’ 11) lg cos 32° 9' 2. Schlage zu a) lg sin at 0) lg sin y e) lg tan 0: g) lg tany

lg cot 87° 13' = 8.6868 — 10

0) lg sin 3° 11’

d) lg cos 13° 42’

g) lg tan 35° 17'

h) lg tan 70°43’

1) lg cot 5° 17’

m) lg cot 69° 46’

0) lg sin 78° 46’ p) lg tan 2° 18'

den folgenden Logarithmen die Winkel auf: = 9.8120 —- 10 b) lg sin )3 = 9.1191 — 10 = 9.9767 —- 10 d) lg sin 6 = 9.9980 —- 10 = 9.4319 — 10 f) lg tanfl = 8.8241 — 10 = 0.0160 h) lg tané = 1.1297

i) lg cos a: = 9.6845 — 10

k) lg cos )6 = 9.0792 — 10

1. Die Lehre von den Logarithmen ist. hier als bekannt vorausgesetzt (vgl. Algebra § 60 bis 65). 2. Kletts Mathematisches Tnfelwerk, Ausgabo A: Schrittlfinge 2’; Ausgabo B: Schrittliinge 6' = 0,l°. Beide Ausgaben untencheiden sick nur im logarithmischen Tail.

18

Die Logarithmen der Winkelfunluionen § 6

1) lg cos y = 8.9948 — 10 n) lg cot a: = 1.2537

m) lg cos 6 = 9.8565 — 10 0) lg cot fl = 9.3412 — 10

p) lg cot y = 9.1474 — 10

q) lg cot 6 = 0.2106 b) lg cos x = 9.8636 — 10 (1) lg sin x = 0.4299 — l

'3. a) lg tanx = 1.5555 c) lg cot x = 8.5897 — 10

e) lg cos x = 0.1376 — 1 g) lg sin A: = 9.9956 — 10 i) lg tanx = 0.4214

f) lg tanx = 9.0638 — 10 h) lg cot x = 0.0760 k) lg cos x = 0.9333 — 3

‘4. Wie groB sind ac und lg sin a, wenn sin a = 1; 0,1; 0,01; 0,001; . . . . ist ?

Welchem Wert nihern sich or und lg sin a, wenn sin at —> 0 strebt ? b) Beantworte a), wenn sin a dutch cos a, tan at, cot at ersetzt wird.

’5. Berechne ans lg cot a: unmittelbar lg tan a: und umgekehrt:

a) lg cot a: = 0.3518 c) lg tana = 8.7654 — 10

b) lg cot at = 9.2746 — 10 (1) lg tana = 1.0760

Ergiinzungslogarithmen bei Winkelfunktionen

Bemcrkung: Bezeichnet man (wie in Algebra §64) lg; =-—lgc als Erga’nzungslogarithmus von c (kurz: E lg c), so kann man entsprechend schreiben:

Elgsina=—lgsin¢=lg

sin a:

1

Elgtan ¢= lgm=lgcota

Elgcosa=—lgcosa=lg Elgcota=

cos a

1

lgm=lgtan¢

Beispiele: E lg sin 350 40' = — (9.7657 — 10) = 10 -- 9.7657 = 0.2343

E lg tan 35° 40’ = lg cot 35° 40' = 0.1441 E lg cot 35° 40' = lg tan 35° 40’ = 9.8559 — 10

‘6. Schlage statt der Logarithmen in Aufg. 1 die Ergfinzungslogarithmen auf. Winkelfunktionen auf dem Rechenstab Bei Rechenstiiben befindet sich auf der Vorder- hzw. Riickseite meist auch eine Sinuslaiter S und eine Tangensleiter T. a) Auf der Sinnsleiter S ist 1 + lg sin a abgetragen und a angeschrieben; a la'iuft von «1 = 5° 45’ bis a2= 90°, (la sin a, = 0,1 und sin «2: 1, also lg sin :21 = -—1 und lg sin «2 = 0 ist. Auf Leiter C bzw. D liiBt sich dann

sin a: ablesen, z. B. sin 30° = 0,5 (beachte in Abb. 19.1, 41:13 1 + lg sin 30° = 1 + lg 0,5 = 1 + (lg 5—1) = lg 5 ist). Der Kosinus ergibt sich aus cos a: = sin (90°— 0:) fiir a = 0° his a = 84° 15’.

b) Auf der Tangensleiter T ist 1 + lg tan a: abgetragen von ¢3= 5° 43' bis «4 = 45°, da tan a, = 0,1 und tan a. = l ist. tan a: Wild ebenfalls auf C bzw. D abgelesen, z. B. tan 30°= 0,577 (= y V3). .4 195

Liegt a: zwischen 45° und 84° 17’, so

1'

schreibtman g tanaz=1:cotaz=1:tan(90°—a),

:: 1

Z -:::.::::: Z

3 ::..: 3

4

I

7;

g

: {: 5 4

q 319”H1_5”._zp

2.5 39

also z.B. tan60°=1=tan30°=1,732.3

.‘3

Der Kolangens ergiht sioh aus cot¢=1=tnna.

' k—1+£g.Ai/n30°——.|

'5

19.1. DI. Slnusloltor S

19

§7 Uberblick iiber die Berechnung des rechlwinhligen Dreiecita c) Fiir a: < 5° 43' erhfilt man sin a: und tan a: wegen der Beziehung sin a: N tan a: N a: (vgl. S. 16) entweder mit Hilfe von 1° = 0,0175 (dieser Wert ist auf den Stfiben oft mit g bezeichnet) oder aher bei manchen Stfiben aus einer Leiter fiir are an, die mit S & T hezeichnet ist; abgelesen wird auf D.

70

Beispiel: sin 2,5° at tan 2,5° N 2,5° = 0,0436. Bestimme mit dem Rechenstab

a) sin 20° 30’ 1)) sin 34,6° c) cos 74,5° (1) cos 28° 40’ e) tan 25° 50' f) tan 58,5° g) cot 65° 10’ h) cot 20,3° i) sin 2,5° k) tan 4,2° 1) cos 87° m) col: 85° Lies auch die Logarithmen dieser Werte ab. Bestimme bei folgenden Gleichungen die Winkel mit dem Rechenstab.

9.

a) sin a = 0,470 1)) sin a = 0,185 (1) tana = 0,374 e) tan a = 1,520 Berechne mit-dem Stab

c) cos a = 0,875 f) cot a: = 0,632

a) 1,5 ' sin 30°

b) 24,8 - sin 18,4°

c) 348 - cos 42° 20'

(1) 16,4 -tan 25,5°

e) 254 ' tan 56° 10'

f) 1450 ' cot 62° 40’

sin 32°

h

5) 12,5

1

51,6

)

) sin 24,5°

146

" tan 35,6°

Uberblick iiber die Berechnung des rechtwinkligen Dteiecks

I. Durch wie viele Stficke (Seiten and Winkel) ist ein rochtwinkliges Dreiack bestimml? Welche verschiedenen Ffills lassen sicli dabei unterscheiden?

2. Welche Winkelfunklionen eignen sich zur Berechnung cine: ruhtwinkligen Dreiecks, wenn folgemie Sticks gegebcn sind: a)cundfi ”amulet c)bundc d)aundb

Ein rechtwinkliges Dreieck ist durch 2 Stiicke (Seiten und Winkel) bestimmt. Es treten daher

‘

17

’4

20‘;

die folgenden 4 Grundaufgaben auf:

'

Erste Aufgabe: Berechne cin rechtwinkligcs Dreicck aus der Hypotenuse und einem spitzen Winkel. Beispiel (20.1): Gegeben: c = 56,40 In, a = 38° 16’. Gesucht: a, b, fl.

Allgemeine Liisung . Sm

a =

Zahlenrechnung1 lg

a = 6 ° am a

c

c = 56,40 m

b cos at = Z

“+5 = 90

num

.

a—

b

o

= c ' cos a

_ .

fl — 9° — “

0

1.7513

a: = 38° 16' sin a 9.7919 — 10 — cos a 9.8949 — 10

,3 = 51° 44'

a = 34,93 In

a

1.5432

b = 44,28 1::

b

1.6462

1. Die Rechnung kann such ohnc Logarithmen oder mit dem Rechcnstab durehgefiihrt werdcn (vgl. S. 19/20). 20

Ubsrblick fiber die Benchnung dos rechminkligen Drciecks § 7

Zweite Aufgabc: Berechne ein rechtwinkliges Dreieck ans cine: Kathete und einem spitzen Winkcl.

Beispiel (20.1): Gegeben: a = 148,2 m, [3 = 56° 23'. Gesucht: b, c, a. Zahlenrechnung Allgemeine Lfisung tanfi=§

a = 148,2 m

'1

num

lg

a

2.1708

b=a~tanfi

_L

cos {3:}

c — cos fl

a+fl=90°

“=9oo—fl

fl = 56° 23' tan 5 0.1773 —— cos fl 9.7432 — 10 a: = 33° 37’ b = 222,9 m b 2.3481 c = 267,7 m 6 2.4276

Dritte Aufgabe: Berechne ein rechtwinkliges Dreieck aus der Hypotenuse und einer Kathete.

Beispiel (20.1): Gegeben: a = 345 m, c = 2,360 km. Gesucht: b, a, fi. Zahlenrechnung Allgemeine Lb'sung num lg , 0 sm a = c b = c - cos a fl = 90° — a

a = 345 m c = 2360 m a = 8° 24’ fl = 81° 36’ b = 2335 m

a c

2.5378 3.372 9

sin a 9.1649— 10 cos a: 9.9953 — 10 b 3.3682

Vierte Aufgahe: Bcrcchne ein rechtwinkliges Dreieck aus den beidcn Kathcten. Beispiel (20.1): Gegeben: a = 10,74 m, b = 6,48 m. Gesucht: c, 0:, fl. Zahlcnrechnung Allgemcine Liisung num lg t _a an a — E

a c= , sxn a fi = 90° — a:

a = 10,74 In

a

1.0310

b = 6,48 m

b

0.8116

c: = 58° 54’ [3 = 31° 6’ c = 12,54 m

tan a: 0.2194 sin a: 9.9326— 10 c

1.0984

Bemerkungen: 1. Sind zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks gegehen, so kann natiirlich auch der Satz des Pythagoras zur Berechnung der dritten Seite verwendet werden. Bei Aufgabe 3 eignet er sich auch gut fiir die logarithmjsche Rech-

nung (wieso ?). Fiihrc zur Probe diese Rechnung (lurch. 21

§ 7

Uberblick fiber die Berecbnung do: recluwinkligen Drciecks

2. Zahlreiche geometrische Figuren lessen sich dutch Zerlegung in rechtwinklige Dreiecke berechnen. Beispiele ? 3. Beachte: Jade Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Produkt aus a) der Hypotenuse und dam Sinus ihres Gegenwinkels, b) der Hypolenuse und dem Kosinus ihres anliegenden Winkels, c) der andem Kathete und dem Tangens ihres Gegenwinkels,

d) der andem Kathete und dam Kotangens ihres anliegenden Winkels. Aufgaben a. Rechlwlnkllge Dredeche 1. Berechne die fehlenden Seiten und Winkel in einem rechtwinkligen Drei_ eck (20.1), wenn gegeben ist: a) c = 68,75 In, [3 = 57° 43’ b) a = 43,60 m, a: = 37° 9' c) b = 275,6 m, a: = 64° 56’ d) b = 1,365 km, 5 = 74° 17'

e) b =

3,72 m, c = 11,28 m

g) a = 174,3 m, b = 239,6 m

f) c = 57,8

cm, a: = 29° 4’

h) a = 4,650 km, 6 = 5,250 km

2. In den rechtwinkligen Dreiecken von Abb. 4.1 sei gegehen:

a)P,q

g) 5,! n) u, a

Man

h) r,fl o) u, v

on.“

i) r,t p) w, a

@9143

k) 8,0: q) 0, w

t) x, a: u) y, a: v) x,y w) y, z Wie berechnet man die fibrigen Stficke ? 3. Mache dasselbe in Abb. 22.1, wenn gegeben ist: a) a, P

b) 99 h

i) a, b

k) c, a:

6) b,h

f) “913

c) h, 9‘

s) 9.0: l) b, c

09.0:

e)P,r

l) t,a: r) 10,}?

m) t,fi s) u, w

x) 5,3

y) a,fi 5'

d) P’fl

I

101%,!

m) b, [3

Nimm in einzelnen Aufgaben bestimmte

,4

Zahlenwerte an.

4. In welcher Entfernung etscheint die Turmspitze des Ulmer Miimters ‘ (h = 161 m) unter dem Hfihenwinkel a: = 10° ?

9‘

3 ,0 j

6 22"

5. Um diiBreite eines Flusses zu bestimmen, but man am Ufer die Stand-

linie AB = s = 85 m abgesteckt. Der A gegeniiberliegende Punkt C des anderen Ufers wird in B unter 4: ABC = a = 53° 16’ gepeilt. 6. Die Rohrleitung eines Kraftwerks ffillt um 360 m. Auf der Karte 1:25 000 miBt sie 3,2 cm. Wie groB ist ihr Neigungswinkel und ihre

Linge ? 7. Eine Zahnradbahn steigt auf einer Strecke s = 1350 m mit 13,5 %. Wie groB ist der Neigungswinkel und der H6henunterschied? Beachte §3, Aufg. 19.

Unter welchem Sehwinkel erscheint ein Mann (’1 = 1,82 m) in der Entfernung e = 6,50 m ? (Augenhfihe a = 1,50 m.) 22

Uberblick fiber die Berechnung des rechtwinkligen Dreiecks

§ 7

9. Von einem Leuchtturm aus, der h = 64 m hoch ist, erblickt man ein Boot

unter dem Senkungswinkel a: = 3,8°. Wie weit ist es entfernt ? 10. Von einem Turm (h = 48,5 m) erscheinen die beiden Ufer eines Flusses unter den Senkungswinkeln a = 62° 40' und fl = 22° 10’. Wie breit ist der FluB ? ll. Von einem Turm (h = 28,6 In), der 3 = 6,0 m vom Ufer eines Flusses entfemt ist, erscheint die FluBbreite unter dem Sehwinkel a: = 16,7°. Wie breit ist der FluB ?

l2. Um die Héhe eines Kirchturms zu hestimmen, hat man eine waagrechte Standlinie von der Linge s = 65,00 m abgesteckt, die auf den Turm zula’iuft. In ihren Endpunkten erblickt man die Turmspitze unter den

Hfihenwinkeln at = 49° 23’ und [3 = 26° 58’. Die Augenhiihe ist a = 1,60 m. Wie hoch ist der Turm?

[‘13.] Lfise Aufg. 12, wenn die Standlinie um h = 5,70 m ansteigt und der FuBpunkt des Turmes in der Verlfingerung der Standlinie liegt. 14. Von einem Fenster aus, das h = 8,60 m fiber dem Boden liegt, erscheint

der FuB eines Fabrikschornsteins unter dem Tiefenwinkel at = 14° 20’, die

Spitze unter dem Héhenwinkel fl = 56° 55'. Wie hoch ist der Schornstein ?

15. Bin Luftballon mit dem Durchmesser d = 15,4 m erscheint unter dem Sehwinkel at = 1,6", der untere Rand des Ballons unter dem Hfihen-

winkel fl = 37° 40’. Wie hoch steht der Ballon ? b. Gleichcchenkflgo Drelecke

16. In einem gleichschenkligen Dreieck (23.1) ist: a) b = 58,6 m, a: = 62° 41’ c) c = 124,8 m, [3 = 36° 17’

b) a = 45,2 m, d) c = 9,76 m,

y ' 98,1° 3) 79° 28'

e)a=65,4m, c=54,7m ‘f)b=3llm, c=517m ‘g) a = 1,65 km, ,3 = 77,3° ‘h) b = 4,3 cm, 3! = 136,7° Berechne die fehlenden Seiten und Winkel sowie den Flficheninhalt.

‘17. Mache dasselbe, wenn gegeben ist: a) a = 51,4 m,

h, = 43,8 m

h) h, = 5,80 m,

c) h, = 9,65 m,

y = 106,7°

d) c = 415,5 m, h, = 326 m

e) c = 86,35 m, h. = 78,45 m

a = 72° 14'

f) a = 4,8 cm,

h, = 3,4 cm

18. Die Diagonalen eines Rechtecks sind e = 7,2 cm (11,74 m) lang, ihr Winkel ist s = 64° 20’ (103,7°). Wie groB sind die Seiten ? 19. Wie lang sind die Diagonalen einer Raute mit der Seite a = 4,3 cm (35,8 m) und dem Winkel a: = 73,5° (117,3°) ?

l"20. Wie groB sind die Winkel einer Raute mit der Seite

a = 26,7 m (5,4 cm) und der Diagonale e = 48,8 m (6,6 cm) ? 21. Ein Drachen hat die Seiten a = 3,7 cm, b = 5,8 cm und

den Winkel a = 112,5°. Berechne die fibrigen Winkel und die Diagonalen.

23 23.1.

Glelchschenkllgel Dreleck

§ 7 Uberblick fiber die Bereclmung des rechminldigcn Dreioclu 22. Ein Turmdach hat die Form einer quadratischen Pyramide mit der Grundkante a = 4,28m und der Hfihe h = 6,45 m. Bestimme a) die Linge s und den Neigungswinkel a einer Seitenkante, b) den Flichen-

inhalt F und den Neigungswinkel ,3 einer Dachfléiche.

‘23. Bei dem Turmdach in Aufg. 22 sei gegeben: a = 5,32 m, s = 8,75 m. Bestimme h, 0:, [9, F dutch Zeichnung und Rechnung.

24. Ein Walmdach ist a = 12,4 m lang und b = 8,3 m hreit. Die trapezffirmigen Dachfléichen sind unter at = 35°, die dreieckigen unter fl = 50° geneigt. Bestimme a) die Hiihe des Daches, 1)) die Firstliinge, 0) die Lfinge

der Grate, d) den Neigungswinkel der Grate, e) die GréBe der Dachflfiche. Zeichnung und Rechnung! c. Kreise

25. Im Kreis mit Halbmesser r gehfire zum Mittelpunktswinkel ac die Sehne s und der Bogen b. Berechne die fehlenden Stiicke fiir: a) r = 3,2 cm, c) b = 6,3 cm, e) r=74cm,

ac = 112° at = 137° b=1,85m

1)) s = 4,7 cm, ’d) r = 8,75 m, ‘f) b=r,

a: = 83° s = 13,65 m s =5,0cm

26. Zwei Kreise haben die gemeinsame Sehne s = 486 mm. Die zugehfirigen Mittelpunktswinkel sind at, = 78° 46' and a, = 117° 18’. Wie groB ist das gemeinsame Flichenstiick ? 27.

Im Kreis mit Halbmesser r gehére zum Umfangswinkel a: die Sehne a. Dann gilt der Sehnensatz:

a = 2 r ° sin a:

Beweis?

‘28. Von Punkt P seien die Tangenten I? = I? an 0 (M, r) gezogen, und es sei MP = a and %: APB = 0:. Berechne die fehlenden Stiicke fiir: a) a = 6,7 cm,

r = 3,6 cm

c) r = 32,5 cm, ac = 82,5°

1)) r = 2,8 cm,

t = 5,2 cm

d) t = 1,68 m, a = 117,5°

29. Zwei gerade Eisenbahnstrecken schlieBen den Winkel t1 = 115° ein. Sie sollen durch einen Kreisbogen verbunden werden, (let in A und B beriih-

rend in die Geraden fibergeht.Wie groB ist sein Radius, wenn IE =480m betréigt ?

30. Ein Briickenbogen mit der Spannweite s=21,5m und der Héhe h = 3,45m kann als Kreisbogen aufgefaBt werden. Wie groB ist sein Mittelpunktswinkel und sein Halbmesser? 31. Zwei Riemenscheiben haben die Radien r1 = 35,4 cm and r2 = 14,6 cm. Der Mittelpunktsabstand ist a = 1,45 m. Wie lang muB der Riemen sein,

wenn sich die Scheiben a) im gleichen Sinn, 1)) im entgegengesetzten Sinn drehen sollen ?

32. Bei einem kegelffirmigen Turmhelm betréigt der Grundkreisdurchmesser d = 5,25 m und der Neigungswinkel der Mantellinien at = 57°. Wie groB ist a) die H6he, 1)) die Dachfléiche ? 24

Vermisclue Aufgaben § 8

d. negelmapige Video!” 33. Einem Kreis mit Radius 7 ist ein regelmfifliges n-Eck einbeschrieben (Seite 5, Umfang u, Fléiche F, Inkreisradius g). Berechne mittels Winkelfunktionen die fehlenden der 5 GriiBen r, s, u, F, 9 fiir: a)n=5, r=3,5cm *b)n=9, r=4,2cm c)n=8, s =1,75m d) n=7,g=3,20m *e) n=10,u=250m ‘1‘) n.=l2,F=62,5cm2

Bei welchen der Aufgaben lassen sich die gesuchten Werte auch ohne Winkclfunktionen berechnen ? (Vgl. Geom. A 2, § 56, and E 2, §60.) 34. Im Kreis mit Halbmesser r sei u. der Umfang des einbeschriebenen und

U,I der Umfangudes umbeschriebenen regelmfifiigen n-Ecks. U; bei a) Warum ist—21L:< at < 2—-:? Welchem Wert streben2——';_ und2— wachsendem n zu ?

b) Beweise: u. = 2m - sin

und U. = 2m - tan

c) Berechne u,| : 2 r und U. : 2 r nach b) ffir n = 5, 10, 20, 30, 60. Welcher

Niherungswert fiir n ergibt sich ? d) Warum ist es bei Benutzung einer vierstelligen Tafel sinnlos, in c) auch noch n = 180, 360, 720, . . . zu setzen ?

Bemerkung: Mit Hilfe mehrstelliger Sinus- und Tangenstafeln erhfilt man (vgl. Geom. A 2, §60, und E 2, § 68, sowie Kletts Math. Tafelwerk, S. 8): un

n

‘

U»

2r

2—!“

180

180 ‘sin 1° = 3,14143

180 ' tan 10 = 3,14191

360

360 sing-1° = 3,14155

360 - tan 21° = 3,14167

720 1800

720 sin 13 = 3,14158 1800 - sin-115° = 3,14159

720 ' tan }° = 3.14161 1800 ~ tan 315°= 3,14159

*35. Berechne die Diagonalen eines regelmiiBigen n-Ecks mit der Seite 5 fiir a) n= 8, s=2,70m, 1)) n=9, s= 18,50m. *8 Vermischte Aufgaben a. Umlormungen

Schreibe die folgenden Ausdriicke einfacher (vgl. §5): 1. a) sin2 a: ° cos ¢+ cos8 a:

b) cosa a+ cos2 a - tango:

2. a) sin ac—sinaz-cosaa

1)) (sin az+ cos 002+ (sin a—cos a)‘

3.3) coaa- m

b)tana'vm;

tana:

/)1+—m2 /5/: sin2 a—sin‘az ' cosza—cos‘az

l

1’) l—smza ) sin‘ ac—cos‘ a sinzac—cosza

l—cosaaz

”We c)

1 + l 1+sina l—sinaz

25

§ 8 Vermischtc Aufgaben " J;— sin’ a: — cos’ B cos2 a: — sinzfi

1)) sin' a: — sin’ 19 cos2 a — cos2 [3

c),

1 1 l + tan” a: + 1 + cot2 at

b. Rechtwinkuge Dreiecke

7. Berechne in Abh. 26.1—26.6 dieStrecken s, t, u, v, w, x, y, z, wenn die Strecke a

und die Winkel a: und 3 gegeben sind. Fiihre die Lésung erst allgemein durch und wiihle dann fiir a, 0:, f3 hestimmte Zahlen.

26.1

26.4 c. dander Raumgeomelflo

8. Berechne den Winkel, den die Raumdiagonale eines Wl'irfels a) mit einer Kante,

b) mit einer Flfiche bildet. y. Ein Quader hat die Kanten a— 5 cm, b— - 4 cm, c— —— 3 cm. A Berechne die Winkel a, p, y, welche die Raumdiagonale des Quadera mit den Kanten a, b, c bildet.

M Zeige allgemein, daB cos2 a: + cos’ fl + cos‘ y = l ist.

flie groB sind die Winkel a’, 5’, y’, welche die Raumdiagonale mit den drei verschiedenen Flfichen des Quaders bildet ? fl Wamm ist cos” az’ + cos2 ,8’ + cos’3 y’ = 2 ?

10. Welchen Winkel schlieBen zwei benachbarte Flfichen eines regelmiiBigen Oktaeders ein ? ll. Berechne fiir ein regelmiifliges Tetraeder den Winkel a) zwischen der Hfihe und einer Seitenkante,

b) zwischen zwei Fliichen.

12. Bestimme fiir die Chenpspymmidc den Neigungswinkel der Seitenflfichen und Seitenkanten, wenn die Grundkante a = 233 111 und die Htihe h = 148 m

miBt.

'26

Var-miscible Aufgaben § 8

l3. Ein Turmhelm hat die Gestalt einer regelmfifligen seehsseitigen (achtseitigen) Pyramide mit der Grundkante a = 2,8 m (2,25 In). Die Seitenkanten sind unter a = 68° (75°) geneigt. Berechne a) die Hfihe des Daches, b) die Liinge einer Seitenkante, c) den umschlossenen Dachraum, (1) die GrfiBe einer Daehfléiche, e) die Neigung einer Dachflache. 14. Ein senkrechter Kreiskegel hat den Grundkreishalhmeaser r = 3,2 cm und den Ofi'nungswinkel a: = 53°. Bestimme a) den Rauminhalt, b) den Mantel des Kegels.

15. Ein Kieshaufen ist h = 85 on hook and hat ale Grundfliiche ein Rechteck mit den Seiten a = 5,40m und 1) = 3,60 m. Der Bbschungswinkel betriigt

fl = 34°. Wieviel m3 Kies sind es ? (Der Haufen ist kein Pyramidenstumpf!)

16. Ein regelma‘iBiger fiinfseitiger Pyramidenstumpfmit der Seitenkante s = 3,7 cm hat die Grundkanten a = 4,5 cm und b = 2,6 cm. Bereehne

a) den Neigungswinkel der Seitenkanten und Seitenflfiehen, b) die Oberflfiche, c) den Rauminhalt dea Stumpfes.

[17.] Eine Ladung Sand, die P = 15 Mp wiegt, wird in Form eines Kegelstumpfes von der Hfihe h = 1 m ausgeeehiittet (Angewicht y = 1,7 p/cma). Wie groB aind die beiden Grundkreishalbmesser, wenn der Bfischungswinkel [I = 26°

betrfigt ?

‘

18. Berechne die Winkel an den Eeken a) dea Pyramidenwiirfels in Abb. 212.6 (Geom. A 2, § 67, Aufg. 8) b) des Raulenzwb'lfflachs in Abb. 205.6 (Geom. E 2, § 78, Aufg. 10) 19. Welchen Winkel bilden die Projektionsstrahlen mit der Bildebene bei einem Schrfigbild mit dem VerzerrungsmaBatab a) k = f, h) k = €- ? Wamm hingt der Winkel nicht vom Verzerrungswinkel an ab ? d. Au: der Phys":

20. In einem Punkt eines Kbrpers greifen zwei zueinander senkrechte Kriifte 5'31 und 5133 an, deren Betriige P1 = 24,5 kp und P, = 17,8 kp sind. Bestimme GrfiBe und Bichtung der resultierenden Kraft :p. 21. Zerlege die Kraft vom Betrag P = 74,2 kp in zwei zueinander senkrechte Teilkriifte, von denen die eine mit ihr den Winkel a = 3721-0 bildet.

22. Ein Schifi' wird vom Ufer aus mit der Kraft vom Betrag P = 375 kp an einem Seil gezogen, das mit

der Fahrtrichtung den Winkel a = 15° bildet. Wie groB ist die vorwfirtstreibende Kraft ?

[23.] Bei einem Segelboot, daa gegen den Wind kreuzt, bildet die Windrichtung mit der Fahrtrichtung den Winkel a: and mit der Segelstellung den Winkel p (27.1). Wie groB ist die vorwéirtstreibende Teilkraft S der Windkraftm ? Welche Bedeutung haben die iibrigen auftretenden Teilkriifte ? Beispieleza) a: = 75°, 13 = 30°, b) a = 75°, 19 = 37;. 27

‘—

21.1

§ 8 Vermischu Aufgabcn 24. Ein BenzinfaB wiegt P = 135 kp. Es wird auf einer ,,Schrotleiter“ (Neigungswinkel a = 25°) auf einen Lastwagen gerollt. a) Welche Kraft (parallel zur Leiter) ist zum Halter: des Fasses nfitig? b) Welchen Druck hat die Unterlage auszuhalten ? 25. Ein Wagen mit der Masse M = 1,8 t ffihrt auf einer StraBe, die unter 4% ansteigt. Welche Kraft ist nfitig, um ihn am Hinabrollen zu hindern, wen‘n die Reibung 2.}% des Druckes auf die Unterlage hetréigt ? (Vgl. § 3, Aufg. l9.)

26. Ein FluB ist a= 120m breit und hat eine durchschnittliche Strbmungsgeschwindigkeit vom Betrag v = 0,25 m/s. Welche Richtung muB ein Schwim-

mer einhalten, um an den gegenfiberliegenden Pnnkt des Ufers zu kommen, wenn er im stehenden Wasser 100 m in 2 Minuten 40 Sekunden zuriicklegt?

Wie lange braucht er zum Durchschwimmen des Flusses ? 27. Vom Fenster eines fahrenden Zuges aus scheinen senkrecht fallende Regentropfen mit der Senkrechten den Winkel at = 70° zu bilden. Welche Geschwin-

digkeit haben die Tropfen, wenn der Zug zu 100 m 12 Sekunden brancht ? 28 Geht ein Lichtstrahl von e'inem Staff in einen andern fiber, so ist nach dem Brechungst . sm a: gese 2. sin 3 a) Bestimme fl fiir a = 0°, 10°, 20°, . . . 90°, wenn n = % ist (Luft —> Wasser, 28.1).

b) Erléiutere die in Abb. 28.1 angegebene Konstruktion des Brechungswinkels fl.

0) Welchen Wert kann fl hbchstens annehmen ? Was folgt daraus fiir den umgekehrten

Strahlengang ? (,,Grenzwinkel der totalen Reflexion“.)

d) Stelle den Zusammenhang von or und 3 durch ein Schaubild in einem a, fi-Achsen-

23-1

kreuz dar.

e) Lfise Aufgabe a) his d) fiir n = 23- (Luft -> Glas). 29.

Um welchen Betrag wird ein Lichtstrahl parallel verschoben, wenn er cine Glasplatte von der Dicke 41: 1,8 cm durchquert und der Einfallswinkel

a: = 35° (70°) betréigt ? (n = %, vgl. Aufg. 28.) 30. Von einem Punkt eines Seeufers, der h = 75 m iiber dem Wasserspiegel liegt, erscheint eine kleine Wolke unter dem Erhebungswinkel a = 62,7°, ihr Spiegel-

bild unter dem Senkungswinkel fi = 67,3°. Bestimme die Hfihe der Wolke. 0. Au: der- Erd- and Himmelskunde

31. Wie groB ist der Halbmesser 9 des Breitenkreises, der zur geographischen Breite q) gehfirt, wenn der Erdhalbmesser r = 6370 km miflt? a) (p = 49,4° (Heidelberg) b) (p = 30,l° (Kairo) c) q: = 64,2° (Reykjavik) 28

Vermisrhte Aufgaben § 8

32. a) Wie lang sind die Breitenkreise von Freiburg i. Br. (1111 = 48°) und von Hamburg (tp2 = 53%°), wenn der Aquator 40000 km miBt? b) Welche Geschwindigkeit haben die beiden Orte infolge der Erddrehung? c) Wie lang ist ein Grad (eine Minute) dieser Breitenkreise ? d) Beantworte die Fragen a) bis 0) fiir deinen Heimatort. 33. a) Wie lang ist ein Grad (cine Minute) eines Lingenkreises ? Bemerkung: Eine Minute eines Langenkreises entspricht einer Seemeile (5m).

1)) Bei welchem Breitenkreis ist ein Grad 100 km (cine Minute 1 km) lang ? 34. Unter der Horizontalparallaxe eines Gestirns versteht man den Winkel a: (29.1), unter dem der Erdradius IM—B= r vom Mittelpunkt 0 des Gestirns

aus erscheint. (Ffir einen Beobachter in B befindet sich das Gestirn im Horizont.) a) Wie weit ist der Mond von

Gash/77

der Erde entfernt, wenn seine Hori-

zontalparallaxe a: = 57' betréigt ?1

b) Berechne die Entfernung Erde —Sonne (a: = 8,8”). 1. Vgl. Kletta Math. Tafelwerk, S. 4’.

Zur Ubung und Wiederholung der Trigonometrie gibt es das TT-Programm Trigonometrie Kart. Ausgabe (Klettbuch 76532), Linson-Ausgabe (Klettbuch 7653)

29

II. Funktionen beliebiger Winkel

Das schiefwinklige Dreieck 9

Die trigonometrischen Funktionen flit beliebige Winkel

I. Wiedorholo die Daraldlung der 4 Winkey‘unlaionen am Einheitskreis (§ 5, 15.1). Wis a'ndern sich die 4feu ausgezogenen Strecken in Abb. 15.1, menu a van 0° bis 90° wa‘chst? 2. Erweilero Abb. 15.1 sinngomcifl, warm a fiber 90° hinaus wa'chsl. Welche Erklcirungen fl'ir die Irigonometrischen Funktionen uumpfu Winhel liegen nalu P

In Abschnitt I wurden die trigonometrischen Funktionen nur fiir

Winkel zwischen 0° und 90° erklfirt. Bei zahlreichen Aufgaben der Mathematik, Physik und Technik kommen aber auch Winkel vor, die griiBer als 90° sind. Um diese Aufgaben losen zu kénnen, ist es notig, die

Erkliirung der Winkelfunktionen auf heliebige Winkel auszudehnen. 9

l Dreht man in einem xly-Achsenkreuz einen Strahl von der +x-Achse aus um 0 gegen den Uhrzeigersinn, so bezeichnet man den fiberstrichenen

Winkel als positiv; dreht man mit dem Uhrzeigersinn, so wird der Winkel negativ gerechnet. Beispiel: In Abb. 30.1 ist on = + 120°, fl = — 30°.

6

2 Trfigt man einen beliebigen Winkel a: wie in Abb. 30.1 bis 30.3 in ein rechtwinkliges xly-Achsenkreuz ein und schneidet seinen freien

Schenkel mit Q (0, r) in P (xly), so wird festgesetzt: sinaz=Z

cosa=i

tan«=z

cot¢=—

r r x Dabei ist r immer positiv, wfihrend x und y in den 4 Feldern die fiblichen Vorzeichen haben. Beiapiel: In Abb. 30.3 iat x=—3, y= 4, r: 5, also

sinac=§, cos¢=—%, tana=—-g~, cot¢=—{-. Bemerkung: Fiir spitze Winkel a: ergibt diese Festsetzung dasselbe wie die Erkléirung der Winkelfunktionen in Abschnitt I.

Poaltlver und neoaflver WInkeI

80.1802

Dis lrigonomurischen Funluionenfiir beliebigs Winks! § 9

Aus der obigen Erklfirung 2 ergcben sich die folgenden Eigenschaften und Formeln:

9 1 VorzeichenderWinkclfunktionenin den4 Feldern desAchsenkreuzes (31 .1) : Feld

I

II

III

IV

sin

+

+

—

—

cos

+

—

-—

+

tan and cot

+

—

+

—

Beweis: Beachte die Vorzeichen der Koordinaten von P1, P9 P3, P‘ (31.1) und Erkliirung 2.

9 2 sin (180°-a) = + sin a: cos (180°—a) = — cos n: tan (180°—az) = — tan a:

sin (180°+o:) = —sin a cos (180°+a) = — cos a: tan (180°+a) = + tan a:

cot (180°—az) = — cot at

cot (l80°+a) = + cot a:

sin (360°———oc) cos (360°—az) tan(360°-—a) cot (360°—a)

sin (—oz) cos (—a) tan (—a) cot (—¢x)

= = = =

— sin a: +coso: —tanac — cot a:

= = = =

— sin a: +cosaz —tanac _ cot a

Beweis: Verwende die 4 deckungsgleichen Dreiecke in Abb. 31.1. Beachte: Die Funktion bleibt jedesmal dieselbe, das Vorzeichen richtet sich nach Satz l.

6 3 Darstellung der Winkelfunktionen am Einheitskreis: Wéihlt man in Abb. 30.2, 30.3 und 31.1 den Halbmesser r = 1 and

verfiihrt wie in Abb. 15.1, so werden die Winkelfunktionen durch die MaBzahlen der fett ausgezogenen Strecken in Abb. 31.2 dargestellt.

Nach rechts oder oben gerichtete Strecken sind dabei positiv, nach links oder unten gerichtete negativ zu werten. Beachle: Der Tangens wird stets auf der Tangente im Punkt (110), der Kotangens stets auf der Tangente in (Oll) abgelesen. Wenn notig, wird dabei

der eine Schenkel des Winkels iiber den Scheitel 0 hinaus bis zum Schnitt mit der betreffenden Tangente verliingert.

59

Die trigonometrischen Funluionen fiir beliebige Winkel

Aufgaben 1. Schlage auf: a) sin 160° e) cos 110° i) tan 142° n) cot 99° 2. a) sin 211°

S”

e) cos 224,5° i) tan 314,2°

1)) f) k) 0) 1))

sin 134° 20' cos 126° 50’ tan 156° 40' cot 117,8° sin 246,3°

*c) *g) * 1) *p) *c)

sin 106° 53’ cos 140,3° tan 167,4° cot 146° 23’ sin 311,9°

f) cos 286° 39’ *g) cos (—73° 16’) k) tan (—26° 52’) * 1) tan 196° 11’

sin 96,2° cos 176,3° tan 104° 7’ cot 168° 41’ sin (—37° 4’)

h) cos (—124,3°) m) tan (—203°)

n) cot 187° 3' o) cot 279,2° ‘p) cot (.—147° 15’) q) cot 336,9° Stelle Formeln auf fiir die 4trigonometrischcn Funktionen von (360° + at), (720° + 0:), . . . (n ' 360° + at). Bestimme nach Aufg. 3: a) sin 400° b) sin 487° *c) cos 512° d) tan 576°

e) cot 600°

f) cos 840°

*g) tan 1000°

Fiir welche Winkel at ist: a) sin a positiv, cos a: negativ c) sin a: positiv, tana negativ e) cos a: positiv, tan a negativ g) sin at negativ, cot a: negativ 6 Suche die beiden zwischen 0° und 360°

7.

d) h) m) q) d)

h) sin (—2000°)

b) sin a: negativ, cos a positiv d) sin a: negativ, tana positiv 1') cos oz negativ, cot a: positiv h) cos ac negativ, tananegativ liegenden Werte von a fiir:

a) sin a = + 0,2588 (1) sin a = — 0,9580

*b) tanac = + 0,5581 *e) cos a = — 0,9909

g) cot a: = + 0,4820 k) cos a: = — 0,0857

*h) sin a = — 0,4782 * 1) sin at = + 0,7777

0) cos a: = + 0,9112 f) tana: = — 1,120

i) cot on = — 2,326 m) tana = + 1,976

Bestimme ac zeichnerisch nach 31.2 und vergleiche mit dem Tafelwert: a) sina= + 0,6 b) cosa= + 0,3 ‘0) tanoc= + 1,5 *d) cotoc= + 2 e) sina=—} f) tana=—3 *g) cosa=—g *h) cota=—%

. Schlage auf: a) lg sin 147° 20’ I"b) lg sin 94° 16’ c) lg sin 417,5° d) lg cos 312° 4’ ’e) lg cos 388,7° f) lg cot 196° 37' g) lg tan 234,3° *h) lg tan (—105°) i) lg cos (—67.}°) Warum kann man 2. B. lg sin 211°, lg cos 93°, lg tan 115° 16' nicht aufschlagen ‘? (Vgl. Algebra § 63.) 9.

10.

Suche die zwischen —180° und +180° liegenden Werte von oz ffir: a) lg sin a: = 9.7838 — 10 ‘11) lg sin 0: = 0.9915 —— 2

c) lg cos a: = 0.6272 — 1 e) lg tanoz = 8.8651 — 10

'd) lg cos ac = 9.9367 — 10 * f) lg tan a = 0.8486 — 1

g) lg cot at = 0.4567

*h) lg cot a: = 0.6660

Zeige, daB die in §5 fiir spitze Winkel hergeleiteten Grundformcln I bis IV auch fiir beliebige Winkel gelten.

‘11. Gib die besonderen Werte der 4 Winkelfunktionen an fiir: a) az= n -45°,b) a: n '30°,won= 0,-_-|; l, i2.:|: 3, ist. 32

4:

Schaubilder der trigonometrischen Funlaionen § 10

tan (90° + a) = — cot ac *12. a) Beweise: sin (90° + at) = + cos at cos (90° + a) = — sin a cot (90° + a) = — tana Vergleiche damit die trigonometrischen Funktionen von (90° —- a). b) Stelle entsprechende Formeln auf fiir (270° — a) und (270° + ac). Anleitung zu a): Fiihre wie in 33.1 zwei Achsenkreuze ein. Zeige: xi x’y .7 = — = cos a,usw. x’=y;y’=—xundsin(90°+a)= — r

10

P \

r

Schauliilder der trigonometrischen Funktionen

1. Lafl in Abb. 31.2 den Winkel mm 0° bis 360° wachsen and beobaclue dabei nacheinander die Juderung jeder der Winkelfimklionen. 2. Was ergibt sick in Voriib. 1, warm der Winks! a) fiber 360° hinaus zunimnu, b) von 0° an abnimmt ?

1. Werte der Winkelfunktionen zwischen 0° and 360° (vgl. 31.2): at

0° his 90°

90° his 180°

sina

Obisl

lbis0

cosac

lbisO

Ohis—l

tana

0bis+oo

—oobi30

180° bis 270° Obis—l

270° bis 360° —1bisO

—lbis0 0bis+oo

Obisl —oobisO

cote: +oobis0 Obis—oo +oobisO 2. Periodischer Verlauf der trigonometrischen Funktionen:

Obis—oo

LéiBt man in Abb. 31.2 den Winkel fiber 360° hinaus wachsen, so wieder-

holen sich die Werte der Winkelfunktionen; beim Tangens und Kotangens ist dies sogar schon nach 180° der Fall. Man sagt: Die trigonometrischen Funktionen sind periodisch. Die Periode betriigt beim Sinus und Kosinus 360°, beim Tangens und Kotangens 180°. sin (360° + 0:) = sin ac tan (180° + a) = tanoc cos (360° + a) = cos ac cot (180° + ac) = cot ac Bemerkung: MiBt man die Winkel as im Bogenmafl x (vgl. S. 7) statt im GradmaB, so kann man schreiben:

sin(2n+x)=sinx

tan(n+x)=tanx

cos(2:z+x)=cosx cot(n+x)=cotx Man sagt dann: sin 3: und cos x haben die Periode 2 a, tan x und cot x haben die Periode at.

3. Schaubilder der trigonometrischen Funktionen: Die Abb. 34.1 und 34.2 geben Bilder des Gesamtverlaufs der Funktionen y = sin x, y = cos x, y = tan x und y = cot x. Sie stellen Erweiterungen der Bilder in Abb. 7.1 und 13.1 dar. Wic bei diesen verwendet man zur Konstruktion den Einheitskreis und beachtet Abb. 31.2. Auf der 3—705/12

33

10

Sh c an11'“ 1 er der m'3onometns 'ch en Fnlu' u mm y=sinx

———,V=COSX

\

/'_\

'

321r//

,\\17r Ir 0° 9O‘\160°/2’270°m360° _________\____ 34.1. Slnus- und Koslnuskurve

I.

:

I

>|

'\\

\\

\

180°

} 270° 3

360° 2:"

5” £5; _

2

'2— \

—”

31'

7x \4—’50°

—”

—y-tanx

———y-cotx

5n

34.2. Tanaens— und Kotangenskurvo

x-Achse sind die Winkel im Bogenmafi abgetragen (vgl. S. 7). Der Periode 360° entspricht so die Wellenlinge 2n der Sinus- und Kosinuskurve. In der Physik sind diese Kurven grundlegend fiir die ”Wellenlehfe“. Der grfiBte Wert, den die Ordinate y bei der Sinus- und Kosinuskurve

erreicht, betrfigt 1. Man bezeichnet ihn als den Ausschlag, den Scheitelwert oder die Amplitude1 der Kurve. Aufgaben

l. Zeichne die Schaubilder der 4 trigonometrischen Funktionen nach Abb. 34.1 nnd 34.2. Wfihle als Einheit 3 cm (5 cm).

2. Lies aus den Schaubildem von Aufg. 1 Nfiherungswerte ab fiir a) sin 140°, sin (— 15°), cos 220°, tan 165°, tan (—20°), cot 100°, 1)) die Winkel x, fiir welche sin x = 0,4, cos x = —-0,6, tan x = 1,2 ist. 3. Gib nach Abb. 34.1 and 34.2 die Winkel at an, fiir welche sin 1: (cos 1:,

tan x, cat an) den Wert a) 0, b) 1, c) —1 hat. 1. amplitudo (lat.)=Woito 34

Dar Sinusmu § 11

4. Fiir welche Winkel x haben nach Abb. 34.1 und 34.2 a) sinx und cos x, b) tan x and cotx denselben Wcrt ? Wie groB ist dieser? 5. Wic findert sich nach Abb. 34.2 der Wort von tan x, wenn x a) van links, b) von rechts gegen .1- n bzw. 90° (g n bzw. 270°) strebt ? Welche Asymptoten hat demnach die Kurve y = tan 3:, welche y = cot x ? 6. Dumb welche Parallelverschiebung geht a) jede der 4 Kurven in Abb. 34.1 and 34.2 in sick selbst iiber, b) die Sinuskurve in die Kosinuskurve fiber? Grund ?

7 Welche Achsen- oder Punktsymmetrie besitzt jede der 4 Kurven in Abb. 34.1 und 34.2 ‘? An welchen Geraden muB man spiegeln, damit a) die Sinuskurve in die Kosinuskurve, b) die Tangenskurve in die Kotangenskurve fibergeht ‘P 9. Wie driicken sich die folgenden Gleichungen in den Schaubildern aus: a) sin (180° —- a) = sin a: 1)) sin (— a) = — sin a: c) cos (— a) = cos a: d) tan (——ac) = —tan a: e) cos (180°—a) = —cos a: f) tan (180°—ac) = —tan a: ?

Welche Symmetrieeigenschaften folgen aus diesen Gleichungen ? ‘10. Der Winkel 360° hat das BogenmaB 2n (vgl. S. 7 und S. 34). a) Gib folgende Winkel im BogenmaB an (als Bruchteile von 9:): 180°, 90°, 60°, 45°, 30°, 120°, 135°, 150°, 240°, 270°, 300°, 450°, 480°. b) Driicke 1° (1’) im BogenmaB ans (5 Dezimalen). c) Wie groB sind im BogenmaB: 7°, 25°, 48°, 110°, 160°, 400°, 1000°;

3° 4’, 11° 20’, 70,75°, 105,1"?1 ‘11. a) Gib die folgenden Winks] im GradmaB an: 7t, 47!, in, %n, 11,73, 311,73, filming-n, ga, 3a, 53:.

b) Wieviel Grade and Minuten entsprechen dem BogenmaB 1 ? c) Verwandle die folgenden BogenmaBe ins GradmaB: 0,5; 0,8; 1,25;

2,75; 4,0; 10,0; 0,3052; 1,7321.1 J, 1'

Der Sinussatz

1. Zsichns 3 Drsiscks, in densn nachsimndsr a > b, a_ -- b and a < b in. a) Vsrgleichs jedesmal dis Suite» G and b mu den Winksln a und 3.17m 15}?! sick amagsnP b) Pru'fs dutch Msuung nach, ob sick a: b wis at: B vsrha'lt. 2. Zsichns sin Drsieck aus a = 5 cm, b = 4 cm. a = 63°. Zsrlegs es wis inAbb. 36.1 in mi rschtwinklige Drekcks. Berschns dis Hlihs h and dorm Winks! 3.17c allgsmsins Buishung mischsn a, b, a und fl srgibt sich daboi?

Um auch schiefwinklige Dreiecke trigonometrisch berechnen zu kfinnen, werden in § 11 bis 13 Beziehungen zwischen den Stficken eines beliebigen Dreiecks aufgestellt. 1. Kletts Math. Tafelwerk enthilt auf S. 8 and 14 Tafeln Iur Winkslumrschnung von Grad in

BogsnmaB und umgekehrt.

35

§ 11 Der Sinussalz

6

Sinussatzl: Im Dreieck verbalten sich je zwei Seiten wie die Sinuswerte

ihrer Gegenwinkel.

a sind. 3:317},

b sinfi 3—siny;

odera:b:c=sinac:sinfi:siny

Beweis:

Spitzwinkliges Dreieck

Stumpfwinkliges Dreieck

0 36.1

Zum Slnussatz

InA BCD undAACDist h=asinfiundh=bsin¢,

InABCDundAACDist h=asinfiundh=bsinu’.

also

Wegen sin az’= sin (180°—a)= sine:

asinfi= b sine:

0dr

a_sina

e

B‘sinp

fl

a_sina:

oEtI_sinfi

Bemerkung: Andere Herleitungen des Sinussatzes finden sich in Aufg. 1 und 13 sowie in V. R3, § 6, Aufg. 3. L6sung van Hauptaufgaben mit dem Sinussatz

Wie bei der Konstruktion von Dreiecken unterscheidet man auch bei ihrer trigonometrischen Berechnung 4 Hauptaufgaben (vgl. Geom. A 1,

§ 18, bzw. E 1, §l4~): I. II. III. IV.

Gegeben Gegeben Gegeben Gegeben

sind sind sind sind

drei Seiten (s s 3). zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel (s w 8). eine Seite und zwei Winkel (s w w oder w s w). zwei Seitcn und ein Gegenwinkel (s s w).

Da der Sinussatz cine Beziehung zwischen zwei Seiten und ihren Gegenwinkeln ausdriickt, kann er zur Lésung der Hauptaufgaben III und IV verwendet werden. 1. Der Sinussatz wurde von dem Araber Abu Nasr (um 1000) und den persischen Astronomen Nasir Eddin Tusi (1201 his 1274) aufgestellt.

2. Mit V.R. ist hier and im folgenden die .,Einfiihrung in die Vektorrechnung“ gemeint, die in Anhang zur ,,Analytischen Geometric“ enthalten ist. Es ist miiglich, diese Einfiihrung im Zusammenhnng mit der ”Trigonometrie“ Ill behandeln. (Bost.Nr. 7071, 16 Seiton, 56 Abb.)

36

Der Sinussatz § 11

Dritte Hauptaufgabe: Berechne ein Dreieck aus einer Seite und zwei Winkeln (s w w). Beispiel: Gegeben sind c = 186,6 m, a = 63° 16', fl = 41° 25'.

Allgemeine Liisung (36.1):

Es ist

y = 180° — (a + '13)

a = c an a: und (1 = c sm 5 sm am y Die Stiicke y, a and b ergeben sich daraus in eindeutiger Weise. Der Sinussatz gibt

andere Art:

Zahlenrechnung: 0 = 186,6 m

c

¢=63 o 16 r

' 81117

5 = 41° 25’

c

2.2709 9.9856 _ 10

__—____ ,— 2.2853

¢+p= 104°41' y = 75019, a=1723m

b = 127,6 m

X X

,

any

sine: 9.9509—10 x l sinfi 9.8205—10 l X

4:

2.2709

X X

Esinyl

0.01“

XI Xl

sine:

|

9.9509—10 X 4

sinfl 9.8205—10 x ——

a

2.2362

4.! \

a

2-2362

,8 und daher fl Spitz. Es gibt dann nur ein Lésungsdreieck. 2. Fall: Ist der Gegenwinkel der kleineren Seite gegeben, also a < b, so erhiilt man im allgemeinen 2 Werte fiir fl und damit zwei Lfisungsdreiecke (vgl. S. 38). Aufgahen

I

IV

d

V

/\

/\

a. Dreiecke and Vierecko

U

5‘

6

A

"‘

1. Bestimme die fehlenden Stiicke in Abb. 49.1 and 49.2, wenn ge-

49 1

geben ist:

‘7

'

a) u, a, {3

b) v, w, y

c) u, v, a:

*d) u, v, w

’e) w, a, y

f) a, [3,0

3) 5,6,8

h) a,c,e

’i) a,6,¢p

*k) a,c,¢p

2. Berechne im A ABC die fehlenden Seiten und Winkel aus: a)b=4,5cm, c =5cm, h,=3cm

*b) h, = 25,3 m, c) a = 55,6 111,

3.

a = 98,8°, c

= 66 m,

fl = 34,2° s, = 32,7 111

‘d) b = 6,25 m, e)c =160 m,

by, = 5,12 In, h¢=9lm,

so = 5,57 m w5=97m

[*f] h, = 4 cm,

w, = 4,4 cm,

s, = 5,3 cm

a) Bestimme die Winkel eines Dreiecks ans 0 : b: c = 3 : 5 : 7. II'b) Berechne Seiten und Winkel eines Dreiecks aus a:c=5:8, b=42,5m, y=85°40’.

4. Berechne die Seiten, die Winkel und die Flfiche eines Parallelogramms

aus den Diagonalen e = 58,76 m,f = 33,26 m and g: (e,f) = e = 101°48’. 5. Bestimme die Schenkel, die Winkel und die Flfiche eines gleichsclwnkligen Trapezes aus den Grundseiten a = 16,45 m and c = 7,23 m und der

Diagonale e = 14,16 In. 4—705/12

49

§ 14 Berechnung des schiqfwinkligen Drewcks. Landesvermessung

6. Berechne fehlende Seiten, Diagonalen und Winkel eines Trapezes aus: a) a = 748,2 m,

b = 532,4 m,

c = 306,5 m,

*b) a = 82,73 m, e = 143,52 m, a: = 98° 27’, 7.

d = 452,7 m

fl = 109° 42’

Mache dasselbe fiir ein Sehnenviereck aus den Stiicken

b = 4,5 cm, a) a = 5 cm, ‘b) a = 546 m, r = 326 mm,

f= 5,5 cm, ,3 = 68° 10’,

6 = 120° y = 97° 20’

*8. Berechne in einem Viereck die Stiicke c, d, e, y, 6 ans: a = 37,26 m, b = 59,84 m, f= 63,72 m, a = 111° 7’, f3 = 98° 16' I). Am der Raumgeomtrie 9.

Ein Turmdach hat die Gestalt einer senkrechten quadratischen Pyramide mit der Grundkante a = 5,40 m und der Seitenkante s = 8,10 m. Bestim-

me durch Zeichnung und Rechnung a) den Neigungswinkel einer Seitenkante, b) den Neigungswinkel einer Seitenflfiche,

[c] den Winkel, den zwei aneinanderstoflende Dachflfichen miteinander bilden.

*10. Mache dasselbe wie in Aufg. 9 fiir eine regelmfiBige sechsseitige (achtseitige) Pyramide mit a = 3,2 m und 8 = 8,0 m. 11. Die kfirzeste und die lfingste Mantellinie eines schiefen Kreiskegels sind s1 = 11,4 cm und s2 = 16,8 cm. Sie schlieBen den Winkel at = 32° 40’ ein.

Wie groB ist der Rauminhalt des Kegels ?

a) Welche Eigenschaften hat die (schraffierte)

,_

\\\\\\\\\\\\\\\“\‘

/A //

12. Ein Wf'irfizl wird wie in Abb. 50.1 mit einer Ebene geschmtten.

\

'I

Schnittfigur ? b) Bestimme ihre Seiten und Winkel durch Zeich-

nung und Rechnung fiir a = 12 cm, b = 9 cm.

c) Was ergibt sich ffirb=aund farb=£2‘?

50.1. Wfirfelschnitt

c. Entfernunaen and Rahal

13. Von zwei Punkten P und_Q ist Q unzuga’inglich. Fiir einen Punkt A kennt

man die Entfemung AP = a = 1108 m. Um F0 zu bestimmen, wird %: PAQ = a: = 44° 38’ and §: APQ = [3 = 107° 16’ gemessen. 14. Um die Entfemung zweier unzugéinglicher Punkte P und Q zu bestim-

men, hat man eine Standlinie E = a = 364,7 m (234,5 m) abgesteckt und 90° und leite ebenso (II b) in § 16 her. 25. Wihle in 56.3 a: = fl und fiihre dieselben Uberlegungen wie in Aufg. 233. und 24a dutch. Vgl. mit § 17.

56

16

Trigonometrische Funktionen von Winkelsummen i:

1. Berechm and vergleiche:

'

3f

§

f

,.

__, ,5

l»

:

I

a) sin (60' + 30°) and sin 60" + sin 30°

'.

-

III. Summenformeln

Ix , .

6) cos (60° + 30°) and cos 60° + cos 30'

c) sin (60° — 30°) und sin 60° — sin 30°

d) m. (60" — 30°) and tan 60° —tan 30°

2. L659 Aufg. 23 und 24 00155 15.

Sind die trigonometrischen Funktionen zweier Winkelocundfl gegeben,

so lassen sich aus ihnen die Funktionen van a: + ,6 und a: — fl berechnen, ohne die Winkel selbst zu kennen. Es gelten die Formeln: sin(a+fi)=sinacosfl+cosasinfl sin (ac—fi)=sinacosfl—cosasinfi cos(¢+fi)=cosazcosfl—smazsinfi

(Ia) (Ib) (Ila)

cos(a—fi)=cosa¢cosfi+sinasinfl

(IIb)

m=%;°.a°—.:.$

m)

2

Daraus folgt: 1—cos2a=2sin’a

l—cosa=2sin’§

(v 1')

(V a) 1+cos2a=2cosaa sin

_ a—

2

l—cos2a ——2— Vl+cos20c

005a=

l +cosa=20033§ sinE=1/T:@c

("I a)

T-

m

(VIII!)

2

0035:1/fl3 2

] l1—cosZac tantz=

2

(VI 1’)

2

1T“ “at“: 2 l+cosaz

(VII 1’)

Bemerkung: Andere Herleitungen der Formeln finden sich in Aufg. 9 und ll. 60

Funktionsn dc: doppelten and halben Winkels

§ 1']

Aufgaben 1. Fiihxe die Herleitung der Formeln I bis VII im einzelnen dutch. 2

.—

2. Beweise: cot 2 ac = M 2 cot a:

3. Berechne sin 2 ac, cos 2 a, tan 2 cc und cot 2 ac, wenn gegeben ist: a) sin a: = 0,8 (as spitz), b) cos a: = 15,-, 0) tan a: = i at . at . Berechne sm fi’ cos 2’ tan

a: 2 ans 8) cos a: = %, 1)) sin a: = 0,6.

5. Berechne aus bekannten Funktionswertcn die Werte der 4 trigonometrischen Funktionen fiir a) 15°, ’13) 7,5°, c) 22,5°.

6 Forme um: sin2a¢

a) 2sina:

2

b) cos a—cos2a

) sinza e 1+cosaz 7 Beweise:

l

”tuna—sine: tanaz+sinac

a) tana+cota= .

c) tan(45 o +a) _ tan (45 o- on) = 2tan2oc 2

e) tan (45 o +a)+tan (45 0v—— 0:) = cos 20: .

.

l—tanza

d) —m

‘)2sina+sin2a g 2sinac—sin2oc

"b) cotoc—tana= 2cot2a

sat

‘

.

c) 2cosa—cosa

2mg 2

Bewelse: a) smac =——-——

a

1 + tanai

(1) tan E=£ 2 l+cosaz *

a

sine:

— =—__ f) 001:2. l—cosa:

l—tanzg 2 b) cosaz=——— a: 1 + tanzi

*9 In Abb. 61.1 ist fiber E = 2 der Halbkreis beschrieben. AC schneidet die Lote durch B und M in E und F, ferner ist CD_|_AB und FGJ_AE gezeichnet. Es sei a: BAC = g.

a) Zeige, daB E = E—_G, also 4): BGE = %: BMC = on ist.

b) Warum ist g: BCD = {GFM = g? c) Dn'icke E, B_C, W, 13—1), (—21—) mittels cos 3 und sin ‘32—" fewer AT), 1?), CT) mittels cosac und sinoz aus und beweise Formel Ib und Vb.

d) Lies aus A ACD die Formel in

Aufg. 76) ab. 61

§ 18 Summm mm trigonomurischen Funluionan e) Driicke W, III—G, B—G, B—E mittels tang aus und heweise Formel III h.

f) Zeige, daB (T:IWF=H—B:A—G und M_D:m = BG:AG ist und beweise hiermit die Formeln in Aufg. 8. I'10. Beweise:

a) sin3a=3sina¢—4sin3a

b) cos3ac=4cos3a—-3cosac 7

so Formel Ia her. (Vgl. § 16, Aufg. l2.) l"l2. a) Driicke im schiefwinkligen Dreieck cos at nach dem Kosinussatz aus und zeige, daB dann geschrieben werden kann:

C

0

‘11. Driicke den Flicheninhalt der Raute in Abb. 62.1 in doppelter Weise aus und leite

1 PA A

1

5

”'1

Fem: W Hem: # wos=1+;_+€ b) Leite auf Grund von a) und Formel VIb und VIIb die Halbwinkel-

sitze ffir das Dreieck her (vgl. § 13). 18

Summen von trigonometrischen Funktionen

Nach Formel I in § 16 ist: sin(y+6)=sinycos&+cosysin6 sin (y—(S) = sinycosé—cosysind

Dutch Addition und Subtraktion folgt daraus:

sin(?+ 6)+ sin(y—6)= 2sinycosd sin (y+ 6)—sin(y—6)= 2cosysin6 Setzt man y+6= a, y—6=fl, so isty=%é,6=a_2_fi,und manerhfilt:

9

sinu+sinfi=2sin“;’3cos°‘—;—fl

(Ia)

sinu—sinfi=2¢osa;-fls' °‘_;§

(lb)

Ebenso ergibt sich aus Formel II in § 16:

9

eosaz+cosfl=2cosuTwcosa—;—fi

(Ha)

oosa—cosfl=—2sina;fisin a;fi

(IIb)

Bemerkungen: 1. Mit diesen Formeln kann man Summon und Differenzen von trigonometrischen Funktionen in Produkte verwandeln und sie dadurch fin- die logarithmische

Rechnung geeignet machen. 2. Eine andere Herleitung von Ia und Ib findet sich in Aufg. 9. 62

Summon von lrigonometrischen Funku'onen § 18

Aufgaben

1. Ffihre die Herleitung der Formel II im einzelnen durch.

2. a) Zeige: sin 75° + sin 15° = g- V6 und sin 75° — sin 15° = 1} V2 b) Berechne damit sin 75° und sin 15° (vgl. § 16, Aufg. 6). 3. Zeige: a) sin 48° + sin 12° = cos 18°

1)) cos 48° — cos 12° = — sin18°

/4(/Beweise:gruna-Fsmfi—tana-Zl-fl ’1”, sinu—sinfl=_cota+fi cosa+cosfl_ cosac—cosfi 2 5. Schreibe als Produkt: a)

sind—sin}? 1)) sina+sinfl

6. Fame um: a) tan¢+tanfi

cos a: — cos [3 cos a: + cosfi tan at + tan [3 0) —cota+ cotfi

1’) tana—tanfi

i Schreibe als Summe oder Differenz: ' sin a cos [3 1)) cos a: sin fl 0) sin a sin ’3 Anleitung: Gehe von Formel I und II in § 16 ans.

d) cos 0‘ cos fl

[*8.] Beweise: Sind a, fi, y die Winkel eines Dreiecks, so ist

a) sin¢+sinfl+siny=4cosgcosgcosg .

.

b) sma+sinl3

_.

_

. o_:. g

7.’

smy-4sm2sm20052

Anleitung: Wende auf sin a: + sin 5 die Forum] In von § 18 und auf sin y = sin (a + 3) die Formel 1‘ von § lain.

9. In 63.1 sind ABCID1 und ABC2D2 Rauten mit der Seite 1 und den Winkeln ac bzw. fl. Von A und B

sind auf DID2 und CIC, die Lote gefiillt his D und C. a) Zeige:

= dig—p:

6=

0‘ — fl 2

A

l

I

53.1

b) Beweise: ABCIDl + ABC2D, = 2 ABCD ABCID1 — ABCaD2 = ClDlDaC, c) Driicke die Flichen in b) durch die Winkel aus und leite so Formel Ia and 11) her.

63

19

Sinuskurven

Stellefiir disfolgenden Funku'onen Werlemfeln aufvon a = 0° bis a: = 360° bzw. van a: = 0 bis 1: = 2 a and uichno die zugehfirigen Schaubilder (Einheit 2 cm, vgl. § 10). Vergleiche die Kurven b) and c) in jeder Aufgabs mit der Kurve y = sin x. 1.a)y=sinx 2. a)y=sin:

b)y=2sinx b)y=sin2k

c)y=3sinz c)y=sin3x

3. a)y=sinz

b)y=sin(x+§n)

c)y=sin(x—%n)

Arten mm Sinuskurven

2._y_ _ _ 7......” —y= sinx ............ y: 25inx

1. Die Kurve

y = a - sin x

1-

Beispiele (64.1): a) y = 2 sin a: b) y = i- sin .1:

0

Die Kurve y= 2 sin 5:

.1-

entsteht durch Verdopplung der Ordinaten, die Kurve y=§sinx dutch Halbierlmg der Or-

___y= gsin x

‘2'

dinaten von y = sin x.

y = 2 sin A: hat daher die Amplitude 2, y = 2‘- sin A: die Amplitude %; die Periode ist dieselbe wie bei y = sin x, also 2 a (vgl. S. 33).

©

Die Kurve y = a - sin x hat die Amplitude [al and die Periode 2 1r. 2. Die Kurve y = sin kx Beispiele (64.2): a) y = sin 2 2: Die y-Werte kehren wieder, wenn 2 x = 360°, also x = 360°: 2 = 180° ist.

Die Kurve hat also die Periode n.

b) y = sin } x Die y-Werte kehren wieder, wenn g- x = 360°, also x = 360° : -;- = 720° ist. Die Kurve but also die Periode 4 7:.

Die Amplitude ist dieselbe wie bei y = sin x, nimlieh l.

6

Die Kurve y = sin kx hat die Amplitude l und die Periode 2 ‘ll' : k. ——y: sinx ......... y: singx ——-y: smzx

‘j

Sinuskurven § 19

4

\

y: sinxz

_.__y = 2m jx

\

wowYum

0.. .1 .

x

3N

Zil

\

If

0

/fl340° //

\

\\"// -z55.1

3. Die Kurvey = a 'sin kx Beispiel: y = 2 sin 3- x (65.1)

Aus der Verkniipfung von 1. und 2. folgt, daB die Kurve die Amplitude 2 und die Periode 2 n : g- = 3 n hat. 9 Die Kurve y = a - sin kx hat die Amplitude |a| und die Periode 2 "dc. 4. Die Kurve y = sin (a: + v) Beispiele (65.2):

a) y=sin (x+}n) Es ist y= 0 fiir x+in=0, also

fiir x = — f 7:. Die Kurve entsteht

daher durch Verschiebung y=sinx um 21? n nach links.

von

b)Es y=sin(x—%n) ist y: 0 ffir x~fn= 0,

also

fiir x = i 7:. Die Kurve entsteht daher durch Verschiebung von y = sin A: um i n nach rechts.

. Die Kurve y = sin (A: + v) entsteht durch Verschiebung von y = sin x in x-Richtung um den Betrag von 1:. v heiBt die Phasenverschiebung 1. Ist v positiv, so hat man eine Phaserworeilung (Verschiebung nach links); ist v negativ, so liegt eine Phasenverzb'gerung vor (Verschiebung nach rechts). Sinuskurven als Schaubilder mm Schwingungen

Bewegt sich ein Punkt P gleichformig auf G) (M, a) und projiziert man ihn wie in A111). 65.3 senkrecht auf einen l: phasis (griech.) = Erscheinung. Begrifi'sverschirfung in Aufg. 5. _ y=sinx

_—— y: Sin(X—fi1f) ......... y: sm(x+g1f)

5—705/12

\

§ 19 Sinuskurven

Schirm S, so fiihrt der Schattenpunkt P' auf- und abgehende Schwingungen aus. Ist x der Drehwinkel, so betriigt der Abstand des Punktes P’ von der

Mittellage M’:

y ___ a , sin a:

:

Die Kurve in 1. ist also ein Schaubild einer solchen Schwingung. Die Amplitude a heiBt daher auch Schwingungsweite. In der Physik und Technik treten diese Schwingungen hiufig auf, man nennt sie kurz Sinusschwingungen. Bemerkungen : . Dreht sich Ill—P mit der Winkelgeschwindigkeit a), so hat sich W nach der Zeit t um den Winkel x = a) - t weitergedreht. Es ist also y = a - sin a) t. 2. Betrachtet man einen Punkt Q des Kreises, dessen Radius M—Q mit W den

Winkel v einschlieBt, so giltfiir den Schattenpunkt Q’ die Gleichung y = a - sin (:6 + 12); man hat eine Phasenvoreilung gegeniiber P' (vgl. 4.).

Aufgaben l.

2.

Zeichne die Kurven in Abb. 64.1, 64.2, 65.1 und 65.2 ohne Benutzung einer Wertetafel (Einheit 2 cm). Zeichne Schaubilder der folgenden Funktionen. Gib jedesmal Amplitude und Periode an. Wfihle die Einheit passend.

a) y=2,59inx b) y=§sinx c) y=—25inx d) y=ncosx 3. Ebenso: a)y=sin§-x b)y=sin%x c)y=sinazx

4. Ebenso:

a)y=.}sin3x

b)y=,sini.x

c)y——¥2singx

5. Bestimme Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und zeichne:

6.

a)y= sin(x+g—n) b)y= sin(x—2n) c)y=2sin(x+-§- 7t) d)y=g-sin(x+%n) e)y= glsin(2x+1n)f)y= gsin(1}x+-§n) Wamm ist bei e) die Kurve um 11; n gegeniiber y= 7 sinI2 x verschoben, wéihrend die Verschiebung der Phase § :1: betrfigt ? Unterscheide die Verschiebung der' Phase (31,r n) und der Kurve ({r n). Wie ist es bei f) ? Wie lautet die Gleichung der Sinuskurve mit der Amplitude a und der

Periode a) i n, b) ,5- n, c) i- n, d) 5, e) 2,5 ? Zusammensetzung van Sinusschwingungen

Soll

ein Punkt gleichzeitig zwei (oder mehrere) Sinusschwingungen aus-

fuhren, so kommt es zu einer Zusammensetzung (Uberlagerung) dieser Schwingungen. Fallen dabei die Bewegungsrichtungen der Einzelschwingungen in eine Gerade, so addieren sich die Abstande y; and yn (vgl. 65.3), welche zu

den Einzelschwingungen gehfiren. Das Schaubild der resultierenden Schwingung entsteht daher aus den Schaubildern der Einzelschwingungen durch

Ordinatenaddition (Superposition 1) . 1. superponere (lat.) = dan'ibersotlen

66

___y=-sinx

............ y: sin 2X

Es sind dabei zwei Fiille zu

— y = sinx +sin2x

terscheiden : >21.”Fall:

Die beiden Sinus-

I

}ohwingungen haben verschiederw Perioden. Beispiel (67.1): Einzelschwingungen :

y1=sinx, yn=sin2x

37-1

Zusammengesetzte Schwingung: y = sin x + sin 2 x Die resultierende Schwingung ist zwar wieder periodisch (Periode 2 a), dock ist sie keine reine Sinusschwingung mehr.

2. Fall:

Die beiden Sinusschwingungen haben dieselbe Periode. Die

zwei Einzelschwingungen sind dann von der Form: I y; = a1 - sin x, yn = a, - sin (2: + v), wo v eine Phasenverschiebung ist.

Die Superposition ergiht: y=a1 -sinx+a,'sin(x+v) =a1-sinx+a,(sinxcosv+cosxsinv)

(1)

Im folgenden wird gezeigt, daB sich y auf die Form bringen liBt: y=a-sin(x+w)=a(sinxcosw+cosxsinw)

(2)

Aus (1) and (2) bekommt man nfimlich ffir a und w die Gleichungen: a'cosw=a1+a,'cosv (3) a-sinw=a,‘sinv

(4)

Durch Quadrieren und Addieren von (3) und (4) erhilt man:

a’=a13+a,2+2ala,-cosv

(5)

Durch Division von (3) and (4) ergibt sich:

tan w =

a. '5‘“ "

01 + a, ' cos 1)

(6)

Die resultierende Schwingung ist also eine reine Sinusschwingung mit derselben Periode wie die Einzelschwingungen. Sie hat eine Amplitude a und eine Phasenverschiebung w, die sich ans (5) und (6) berechnen lassen.

Beispiel (67.2): yI =25inx,

3’11 =9in(x+i"),

y =25inx+sin(x+%n) 67 ————— y = 25in x

312

.................. y = sln [x+§]l')

__ y = 25inx+sin(x+§1f)

§ 20

Trigonamurische Gleichungen

Ana (5) und (6) folgt:

a = V7= 2,646 und tanw = if. = 0,3464, also w = 0,3334 = 19° 6’. Die Uberlagerungskurve ist also y = V"? - sin (x + 0,3334) Bemerkung: Uberlagerungen von Schwingungen treten in der Physik hiiufig auf, so 2. B. heim Zusammenklang von Tonen und bei Wechselstrfimen.

Anfgaben

%Zeichne dutch Uberlagerung Schaubilder der Funktionen: firy=sinx+1sin2x b)y= 2sinx+lsin4x c)y=sinx+%sin3x d)y=sin(x+faz)+§sin3x Wfihle als Einheit mindestens 2 cm.

8. Mache dasselbe fiir die folgenden zusammengesetzten Schwingungen. Stella jede von ihnen als reine Sinusschwingung dar und gib deren Amplitude und Phasenverschiebung an.

42 _ _ — — 0o

a)y = sinx+ sin (x+g~n) b)y= isinx+sin(x—§n) c)y=sinx+cosx d)y=2sinx+300sx Forme a) und c) auch mit Hilfe der Formel 151'm § 16 um.

9. Zeige, daB die Grfiflen a und w in Gleichung (3) bis (6) von S. 67 sich geometrisch mit Hilfe des Parallelogramms in A111). 68.1 ergeben.

“-1

Bemerkung: Betrachtet man 411, a, und a als Betriige (d. h. Lingen) der Vektoren a1, a, und :1, so schreibt man in Abb. 68.1: n = a1 + 112. In dem rechtwinkligen x|y-Achsenkreuz liiBt sich nun darstellen: u1=ali, a,=a,cosv-i+a,sinv-i, =acosw-i+asinw'i, alsoacosw-i+asinw-i= (a1+a2cosv)-i+a,sinv-j.

Durch Vergleich der linken und rechten Seite folgt hieraus (3), (4) und (6). 10. Zeige zeichnerisch und rechnerisch, daB y = sin x + sin (A: + 3% n) +

sin (x + g 7:) an jeder Stelle an den Wert 0 hat. Bemerkung: y entspricht der Summe der Spannungen, die in jedem Augenblick in den 3 Leitern eines Drehstroms vorhanden sind. 20

Trigonometrische Gleichungen

l. Beuimme den Winkel x aus den Gleichungen: a)si.nx=% b) cosx=—l

c)tanx=l,6

d)sinx=—0,45

Wis vials Lb’sungen gibt es? ( Vgl. § 10.) 2. Wdcha Winkel hat ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuso c = 8 cm and dam Fldcheninhall F = 12 cm'? (Bueichne einen spiuen Winks! dc: Dreiecks mit x and stalls cine

Glu'chung fiir x auf.)

G

Gleichungen zwischen trigonometrischen Funktionen eines Winkels (oder mehrerer Winkel) heiBen trigonometrische Gleichungen oder auch goniometrische Gleichungon.

68

Trigonometn'sdw Glel'chungen § 20

b) 4sinx= 3cosx d) sin2x=2sinxcosx

Beispiele: a) 2sin’x—sinx: 1 c) sin2x+coszx=l

Man muB auch hier zwischen Bestimmungsgleichungen und idemischen

Gleichungen unterscheiden (vgl. Algebra § 5). Die Bestimmungsgleichungen gelten nur ffir bestimmte Werte des Winkels; diese sind aus der Gleichung zu errechnen (Beispiel a und b). Die identischen Gleichungen sind fiir alle Werte des Winkels richtig (Beispiel c und d). Liisung von trigonometrischen Bestimmungsgleichungen: Enthilt eine trigonometrische Bestimmungsgleichung nur cine Funktion des gesuchten Winkels (Beispiel 1), so faBt man diese Funktion als

Unbekannte auf and lost die Gleichung nach den Regeln der Algebra. Kommen in der Gleichung mehrere trigonometrische Funktionen vor, so formt man die Gleichung so um, (1:33 nur noch cine Funktion des

gesuchten Winkels auftritt (vgl. Beispiel 2 and 3). dabei zweckmfifiig, halben oder doppelten Winkel 1. Beispiel: 2 sin2 x— sin 1: = l 2. Beispiel: Lb‘sung: Man setzt sin :5 = z Liisung: Man underhiilt: 2z2—z—1 =0 z= 1 z = — 1}alsosinx=1 alsosinx=—,} I «1 = 90° x, = 210° x, = 330°

Manchmal ist es einzufiihren. 4 sin A: = 3 cos x dividiert mit cos x: 4tanx=3 tan x = x1=36°52’ x, = 216° 52'

Bemerkung: Da sin :7: die Periode 360° hat, so erhiilt man weitere Losungen, wenn man zu x1, x” x, Vielfache von 360° addiert. Doch sollen hier und im folgenden nur die zwischen 0° and 360° liegenden Losungen angegeben werdenl.

3. Beispiel: 3 sin x— 2 cos x+ 3 = 0 Erste Lb'sung: Man setzt cos x= Vl—sin’x and erhiilt: 3sinx+3=2 Vl—sinax 9sin3x+188inx+9=4(l—sin”x) l3sin2x+18sinx+5=0 sinx=

sinx=-—-1§§

x1 = 202° 37' x, = 337° 23' Probe fiir x1: fiir x2: fiir x3:

— 9 :l: \/81— 65 13 sinx=—l‘

I x3 = 270°

3 - (— T53) — 2 - (— +3) + 3 > 0, 3 '(”“r"’1.r)—2 - (+ -}§) + 3 = 0, 3-(— l)—2'0 +3=0,

x1 ist keine Lfisung, x2 ist Losung, xaist Losung.

Bemerkung: Wenn bei der Aufliisung eine Wurzel auftritt, die durch Quadrieren beseitigt wird, so ist eine Probe unerliiBlich (vgl. Algebra § 44 und 57).

1. Der Einfachheit halber wird x bier im GradmaB, nicht im BogenmaB, angegeben.

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§ 20

Trigonometn'schc Gleichungcn

Zweite Lfisung: Nach § 17, Aufg. 8 kann man Vsetzen: 2 1 2tanfx undcosx=1 _ tanagx l+tan31ix 1+tanai-x Diesergibt:3-2tan21-x—2(1—tan'21-x)+3(l+tan*i-x)=0 5tan3§-x+6tan%x+l=0 sinx=

tan% x=ii—5-9_—5 tan %. x = — .k

11; x = 168° 41' I x, = 337° 22'

tan %- x = — 1

%x= 135°

I x, = 270°

Anfgaben Lose die folgenden Gleichungen und macho die Probe. 1.a)2sinax—3sinx+l=0 *b)2cosax+3cosx+l=0 2. a)3sinx—Scosx=0 3. a) tanx=3cotx

*b) cosx+4sinx=0 *b)3tanx—cotx+2=0

4-. 5. 6. 7. 8.

‘b)cosx+cotx=1+sinx *b)3sin3x+7coszx=9 1'35 *b)5tan3x=6sinx ’b)5sinx+2cosx=4 b) 9sin2x+6sinxcosx+cos2x=0

a)2sinx—tanx=0 a) cos’x—3sin3x=l "3; a)2sinx=3cotx a)3sinx—4cosx=5 a) lZsin’x—7sinxcosx=12coszx

9. a) sin2x=1,2sinx

b) cos2x=cosx

*10. a) cos2x—sin2x= (sinx+cosx)' 1)) tan 2 x + cos2 x = sin2 x 11. a) Bringe die Kurven y = sin x and y = 2 cos x mm Schnitt und lfise so zeichnerisch die Gleichung sin x = 2 cos x. Begrfindung ?

b) Behandle chenso die Gleichung in Aufg. 4a und 9]). ‘12. Versuche zu Ibsen: a) cos2x+sin2x°tanx=l b)2cot2x=cotx—tanx l3. Wie groB sind die Winkel einer Raute mit der Seite a = 4 cm und dem Fliicheninhalt F = 10 cm”? 14. Unter welchem Winkel muB man zwei Bretter von der Breite a = 25 cm zusammenfiigen, damit eine Rinne mit der Querschnittsflfiche F = 250 cm' entsteht ? Wie viele Méglichkeiten gibt es ? l5. Bestimme die zwei Unbekannten in den folgenden Gleichungen: sinx + siny = 1,5 coax—cosy = 0,25 a) x +y = 120° '1’) x +y = 133° sinx_§ cosx_1

c)

siny — 3 x+y=73°

70

l'd)

cosy _ 2 x—y=50°

Schm'erigere Anwendungsaufgaben § 21

Anleitung zu a) und b): Wende die Formeln von §l8 an und bestimme x— y. Anleitung zu c): Bestimme dutch entsprechende Addition und Subtraktion (vgl. sin x — sin y Algebra § 2].) den Wert Von m

und verfahre dann wie hei a).

Bemerkung: Man kann Aufgabe a) his d) auch nach dem Einsetzungsverfain'en dutch Elimination einer Unbekannten Ibsen (vgl. Algebra § 32). * 21

Schwierigere Anwendungsaufgaben

Wis kann man on Hand einsr Karts zeichnarisch den eigenan Slandon im Gdfindefesllegen, warm drei bekanrm Punk“ sichtbar sind und ein Winkelmefigerfil zur Verfiigung sleht? Bilde sin Beispiel and zeichns.

Die Aufgabe van Snellius-Pothenoi:1

Aufgabe (71.1): Um die Lage eines Punktes P im Gelfinde zu bestimmen, peilt man von P aus drei bekannte Punkte A, B, C an und miBt

%: APC = 6 und %: BPC = e. Wie groB sind die Entfernungen 21—13, FP und ()7? (Riickwfirtseinschneiden nach drei Punkten.) Beispiel (71.1): Gegehen ist a = 957 m, b = 804 m, y = 123° 46', 6 = 43° 12', a = 49° 34’. Gesucht ist x, y, z.

Allgemeine Lb‘sung: Fiihrt man als HilfsgrbBen die Winkel (p und v ein, so ist

¢+w=360°—(7+6+e)

(1)

Es gelingt nun, auch 92— w zu berechnen. Aus A ACP und A BCP folgt nfimlich nach dem Sinussatz: __ b sin «p __ a sin wp

2

— sin 6 — sin a

()

also

sin «p a sin 6 sin 1]! = b sin 8

(3)

Der Wort der rechten Seite von (3) ist berechenbar; er werde kurz mit k bezeichnet: .asiné

‘bsine=k

(4)

Aus (3) und (4) folgt dann durch entsprechende Addition und Subtraktion: sin 9) — sin 1;: _ k — 1 sin (p + sin 1p _ k + 1 2cos

d

oer

‘P + W .

2

‘P — 'P

sm— 2

2. qv+w cos ¢—v sm 2

=

k—l

5

k+l

0

2

¢—w_k—l

‘P+'P

1. Snellius. Professor an der Universitiit Leiden, lfiste 1617 die

Aufgabe als erster. Pothsnot, Professor am College Royal de France, legte 1692 seine Liisung der Pariser Akademie vor.

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§ 21

Schwicrigere Anwmdungsaufgaben

Aus (6) erhéilt man «p — vp; zusammen mit (l) ergibt dies (p und 1p. Jetzt kann z nach (2) berechnet werden. Der Sinussatz liefert schlieBlich noch x and y. Bemerkungen : 1. Zeichnerisch erhéilt man P, wenn man den Kreis iiber A—C, der 6 faBt, mit

dem Kreis fiber B—C, der 1-: faBt, schneidet. Diese Lfisung versagt, wenn die beiden Kreise in einen Kreis, den Umkreis von A ABC, zusammenfallen (,,gef5hrlicher Kreis“). APBC ist dann ein Sehnenviereck, und es ist

)1 + a + e = (p + 1]! = 180°. Daraus folgt: cos “2' " = 0, Gleichung (5) darf also nicht in Gleichung (6) fibergefiihrt werden (Grand '2).