Ebene und sphärische Trigonometrie [5. Aufl. Reprint 2015] 9783111360058, 9783111002743

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SAMMLUNG

G Ö S C H E N

EBENE UND

BAND

99

SPHÄRISCHE

TRIGONOMETRIE von

DR. P H I L .

GERHARD

HESSENBERG

weil. ord. Prof. an der Technischen Hochschule Berlin

F ü n f t e A u f l a g e durchgesehen von

DR. H E L L M U T H

KNESER

o. P r o f . an d e r U n i v e r s i t ä t T ü b i n g e n

M i t 60 F i g u r e n

WALTER DE GRUYTER & CO. vormals G. J . Göschen'iche Verlagehandlung · J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung · Georg Reimer • Karl J. T r ü b n e r · Veit & Comp. B E R L I N

195 7

CD Copyright 1957 by Walter de Gruyter & Co. — Alle Hechte, elinchL der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlags* handlung vorbehalten. —Archiv-Nr. 110099. — Druck: Lindemann & Lüdecke, Berlin SO 38. — Printed In Germany.

Inhaltsverzeichnis. Einleitung. § § § §

1. 2. 3. 4.

Seite

Der Funktionsbegriff Die Ermittelung- der Funktionswerte Die Berechnungsmethoden der Elementargeometrie Trigonometrie und Elementargeometrie

9 10 12 15

Erster Teil: Ebene Trigonometrie. §

§ § §

Erstes Kapitel: Das rechtwinklige Dreieck. 5. Die trigonometrischen Funktionen spitzer "Winkel. a) Sinus und Tangente, b) Kcjinus und Kotangente. c) Sekante und Kosekante, d) Die Komplementensätze. e) Die trigonometrischen Tafeln. 6. Die Auflösung der rechtwinkligen Dreiecke . . . 7. Erste Anwendungen a) Das gleichschenklige Dreieck, b) Das Rechteck, c) Der Sehnensatz. 8. Die algebraischen Gleichungen zwischen den Funktionen desselben Winkels a) Allgemeine Divisionssätze, b) Der Pythagoreische Lehrsatz.

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Zweites Kapitel: Die trigonometrischen Funktionen beliebiger Winkel. § 9. Der erste Quadrant 27 a) Kartesische Koordinaten, b) Polarkoordinaten. c) Sinus und Kosinus, d) Der Komplementensatz. § 10. Der zweite Quadrant 30 a) Sinus und Kosinus, b) Der Vierteldrehungssatz, c) Der Supplementensatz. 1*

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Inhaltsverzeichnis. Seite

§11. Beliebige Phasen a) Die Skala auf dem Einheitskreis, b) Sinus und Kosinus. § 12. Die Drehungs-und Umklappungssätze a) Die Drehungssätze, b) Die Umklappungssätze. c) Verwandte Phasen. § 13. Tangente und Kotangente a) Definition, b) Drehungs- und Umklappungssätze der Tangente, c) Geometrische Darstellung, d) Verlauf der Tangente und Kotangente, e) Bestimmung der Phase durch ihre Funktionen.

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Drittes Kapitel: Das schielwinklige Dreieck. § 14. Die SIDUS der Dreieckswinkel

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a) Die Höhenformel, b) Die Inhaltsformel. c) Der Sehnensatz, d) Der Sinussatz. §15. Anwendungen 46 §16. Die Kosinus der .Dreieckswinkel 50 a) Die Projektionsformel, b) Die Kosinusi'ormel. c) Der Kosinussatz § 17. Anwendungen 51 § 18. Die Tangenten der halben Dreieckswinkel . . . 53 a) Die Tangentenformel, b) Anwendung. § 19. Die Formeln von Mollweide und Kapier . . . . 55 a) Die Formeln von Mollweide, b) Der Tangentensatz. c) Anwendung. Viertes Kapitel: Die Addltionstheoreme. § 20. Die Addition und Subtraktion der Winkel . . . a) Bau der Formeln; Stichproben, b) Die Vertauschbarkeit der Phasen, c) Umkehrung einer Phase. d) Vierteldrehung einer Phase, e) Komplement einer Phase, f) Verwandte Phasen, g) Vielfache von 90°. h) Zwei Formeln und ein Quadrant, i) Eine Formel und zwei Quadranten. § 21. Beweise der Additionstheoreme a) Erster, b) zweiter, c) dritter, d) vierter Beweis. § 22. Die Addition und Subtraktion der Sinus und Kosinus § 23. Das Additionstheorem der Tangente a) Folgerungen aus den Formeln (I). b) Desgl. aus (ΧΠ)

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Inhaltsverzeichnis.

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§ 24. Doppelte nnd halbe Winkel a) Die Funktionen des doppelten Winkels, b) Sinus und Kosinus des halben Winkels, c) Die Tangente des halben Winkels, d) Quadranten und Vorzeichen. § 25. Die Bedeutung der Additionstheoreme Fünftes Kapitel: Geometrische Anwendungen der Additionstheoreme. § 26. Ableitung der Dreieckssätze aus dem Kosinussatz a) Der Sinussatz und die Tangentenformel, b) Der Winkelsummensatz, c) Die Formeln von Mollweide und Napier, d) Weiteres Formelmaterial. Übungen. 27. Rationale Dreiecke 28. Polygonzüge a) Phasen und Vektoren, b) Die Projektionen eines Polygonzuges, c) Die Berechnung der Schlußlinie. § 29. Anwendungen a) Reguläre Polygonzüge, b) Polygonzüge mit zwei Seiten, c) Die reinquadratische Gleichung zwischen sin φ und cos φ. d) Das Dreieck. Sechstes Kapitel: Das Viereck. § 30. Die Teildreiecke a) Bezeichnungen, b) Die Zahl d. unabhängigen Stücke, c) Die Gleichung zwischen den Seiten und Diagonalen. § 31. Die Gleichungen zwischen den Winkeln a) Die Ecken- und Dreiecks-Winkelsummen, b) Die Sinusgleichungen. c) Das Sehnen viereck. d) Berechnung der Winkel aus yier gegebenen. § 32. Inhaltsformeln nnd besondere Vierecke a) Der Inhalt nnd die Seiten, b) Der Inhalt und die Diagonalen, c) Das Gelenkviereck, d) Das Sehnenviereck, e) Das Trapez.

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Zweiter Teil: Sphärische Trigonometrie. Siebentes Kapitel: Vorbereitungen aus der sphärischen Geometrie. § 33. Die Kreise auf der Kugel 101 a) Groß- und Kleinkreise, b) Der sphärische Ab-

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Inhaltsverzeichnis.

Seite stand, o) Die sphärische Längenmessung, d) Das natürliche Winkelmaß (Bogenmaß), e) Das sphärische Zweieck. f) Pol und Polare. § 84. Das sphärische Dreieck 107 a)Bulersche Dreiecke, b) Das Scheiteldreieck. c)Die Nebendreiecke, d) Der Inhalt des sphärischen Dreiecks. e) Das Polardreieck. § 35. Aufgabe und Methode der sphärischen Trigonometrie 114 a) Die Grundaufgaben. b) Die Bedingungen der Lösbarkeit, c) Das Dreikant, d) Die Polarecke, e) Sphärische Trigonometrie und Stereometrie. Achtes Kapitel: Das rechtwinklige sphärische Dreieck. § 36. Die Grundformeln 119 a) Der „sphärische Pythagoras", b) Ein Winkel und zwei Seiten, c) Zwei Winkel und eine Seite, d) Die Napiersche Regel. § 37. Die Auflösung der rechtwinkligen Dreiecke . . . 122 a) Die sechs Grundaufgaben; Zahl der Lösungen. b) Bedingungen für die gegebenen Stücke. § 38. Geometrische Ergänzungen 124 a) Spitze Katheten, b) Der Vertauschungssatz. ^Anwendungen des Yertauschungssatzes.

§

§ § § §

Neuntes Kapitel: Das schiefwinklige sphärische Dreieck. 39. Die ganzen Winkel und Seiten . . . . . . . . a) Die Nebendreiecke, b) Der Sinussatz, c) Der erste Kosinussatz, d) Der zweite Kosihussatz. e) Rechnerische Herleitung des zweiten Kosinussatzes. f) Der Kotangentensatz. 40. Die halben Winkel und Seiten . a) Die halben Winkel, b) Die halben Seiten, c) Geometrische Deutungen. 41. Die Formeln von Mollweide und Napier . . . . 42. Die Formeln von L'Huilier und Serret 43. Die Auflösung der schiefwinkligen Dreiecke . . .

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Inhaltsverzeichnis.

Seite

Dritter Teil: Berechnung und algebraische Anwendung der trigonometrischen Funktionen. Zehntes Kapitel: Elementare Berechnungsmethoden. 44. Die regulären Polygone 140 45. D i e Funktionen kleiner Winkel 141 a) Die Berechnung des Bogenmaßes, b) Die Berechnung des Sinus, c) Die Berechnung des Kosinus. 46. Sphärische und ebene Trigonometrie 144 Elftes Kapitel: Der Moivresche Satz. 47 Die Addition von Vektoren 144 § 48. Die Multiplikation von Vektoren 146 § 49. Die muliiplikative Zerlegung 148 a) Reine Streckungen, b) Halbdrehungen, c) Viertel drehungen. d) Reine Drehungen überhauDt. e) Potenzen und Wurzeln, f) Einheitswurzeln. § 50. Die additive Zerlegung 150 a) Reeller und imaginärer Teil, b) Das Rechnen mit komplexen Zahlen, c) Der Zusammenhang beider Zerlegungen. § 51. Der Moivresche Satz 153 a) Die Additionstheoreme, b) Die Funktionen der Vielfachen eines Winkels, c) Die Potenzen des Sinus und Kosinus. § 52. Die unendlichen Reihen 155 Zwölftes Kapitel: Die Methode der Hilfswinkel. § 53. Trigonometrische Logarithmierung § 54. Trigonometrische Auflösung der quadratischen Gleichung § 55. Trigonometrische Auflösung der kubischen Gleichung § 56. Beispiele kubischer Gleichungen Anhang: Übungsbeispiele

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Anmerkungen des Verfassers. Formeln und Formelgruppen, die an sich oder für spätere Entwicklungen wichtig sind, sind römisch beziffert. Diese Bezifferung ist für jedes einzelne Kapitel durchlaufend geführt. Die räumlichen Figuren im zweiten Teil sind senkrechte Projektionen. In der Tafel II des Anhangs ist derjenige Winkel, der am meisten von einer vollen Sekundenzahl abweicht, stets so abgerundet worden, daß die Winkelsumme genau 180° ergibt. Dreiecke mit unrunden Seitenzahlen stellt man sich aus den in Tafel II angegebenen durch Multiplikation der Seiten mit einem gemeinsamen Faktor her.

Anmerkung zur 5. Auflage. Um den zugleich meisterhaften und persönlichen Stil der Darstellung zu erhalten, wurden die Änderungen beschränkt auf solche, die durch veränderte Zeitumstände nötig waren. An Stelle früherer Verweise auf andere Werke wurden zwei kurze Anhänge hinzugefügt.

Einleitung. § 1 . Der Funktionsbegrif!. Wenn der Wert einer Größe u von den Werten andörer Größen x, y, ζ usw. abhängt und durch deren Angabe mitbestimmt wird, so nennt man u eine „Funktion" der Größen x, y, χ usw. und diese die „Argumente" der Funktion. Der Wert einer S u m m e beispielsweise hängt davon ab, welche Werte wir den S u m m a n d e n erteilen, und ist bestimmt, sowie diese gegeben sind; die S u m m e ist also eine „F u η kt i o n " der Summanden; diese sind ihre „ A r g u m e n t e " . Analog ist das P r o d u k t eine Funktion der F a k t o r e n , die D i f f e r e n z eine Funktion von M i n u e n d u s u n d S u b t r a h e n d u s , der Q u o t i e n t eine Funktion von Z ä h l e r und N e n n e r . Die P o t e n z e n x9, x* usw. sind Funktionen der Basis x, die W u r z e l n Funktionen des R a d i k a n d e n ; der L o g a r i t h m u s ist eine Funktion des N u m e r u s . Bereits aus diesen wenigen elementaren Beispielen lassen sich durch Kombination unbegrenzt viele neue Funktionen bilden, wie 1?x 2 -\-y 2 , (x + y + x)n, (log a;)2, log log χ usw. Auch die Geometrie hat es mit der gegenseitigen Abhängigkeit von Größen zu tun und lehrt uns dadurch Funktionen kennen. Auf Grund der Kongruenzsätze ist beispielsweise ein Dreieck der Gestalt und Größe nach durch seine drei Seiten vollständig bestimmt; es sind also seine

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Einleitung.

§2

Winkel, Höhen, Winkelhalbierenden, sein Inhalt sowie die Um-, In- und Ankreisradien usw. „ F u n k t i o n e n " der Seiten. Auf Grund des Satzes von der Winkelsumme ist ferner jeder Dreieckswinkel eine Funktion der beiden andern, nämlich das Supplement ihrer Summe, und die Ähnlichkeitssätze sagen aus, daß die Seitenverhältnisse durch die Winkel bestimmt, also Funktionen der Winkel sind, und umgekehrt. Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist eine Funktion der Katheten, die Diagonalen eines Vierecks sind Funktionen seiner Seiten und Winkel, dei Inhalt einer Pyramide ist eine Funktion der Höhe und des Inhaltes der Basis. § 2. Die Ermittelung der Funklionswerte. Jede Funktion stellt uns vor die Aufgabe, aus gegebenen Werten der Argumente den zugehörigen Funktionswert zu ermitteln. Bei a r i t h m e t i s c h definierten Funktionen geschieht dies durch R e c h n u n g ; die Werte von Summen, Differenzen, Produkten, Quotienten und Wurzeln bestimmen wir durch Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Dividieren und Radizieren. Den Logarithmus schlagen wir zwar in einer Tafel auf, aber auch diese ist natürlich durch Berechnung entstanden. Bei g e o m e t r i s c h definierten Funktionen ist dagegen die nächstliegende Ermittelung der Werte die sogenannte „graphische" (konstruktive, zeichnerische): aus den Argumenten, d. h. aus irgendwelchen zur Bestimmung einer Figur notwendigen und hinreichenden Stücken (etwa den drei Seiten eines Dreiecks) konstruiert man diese Figur durch Zeichnung, nötigenfalls unter Vergrößerung oder Verkleinerung des Maßstabes, und mißt an ihr die Funktionswerte, d. h. die Größen der übrigen, durch die gegebenen

Einleitung:.

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mitbestimmten Stücke (etwa die Winkel. Höhen usw. des aus drei Seiten gezeichneten Dreiecks) aus. Die Genauigkeit dieser graphischen Methode ist bei unsern üblichen Zeichenmaterialien und Werkzeugen eine drei-, bestenfalls vierstellige. Wo diese ausreicht, ζ. B. bei zahlreichen Aufgaben der Technik, findet in der Tat die graphische Methode ausgiebige Verwendung. Andere prakt i s c h e Bedürfnisse aber, wie die meisten der Geodäsieund der Astronomie, erheischen g r ö ß e r e Genauigkeiten, und eine t h e o r e t i s c h vollständige Lösrmg einer Aufgabe muß imPrinzip j e d e n v e r l a n g t e n G e n a u i g k e i t s g r a d ü b e r h a u p t zu erreichen gestatten. D a h e r e r g i b t s i c h a u c h f ü r geometrisch d e f i n i e r t e F u n k t i o n e n d i e F o r d e r u n g , die zu g e g e b e n e n A r g u m e n t w e r t e n gehör e n d e n F u n k t i o n s w e r t e durch R e c h n u n g z u e r mitteln. Da Zeichnungen auf ebenen Flächen ausgeführt werden, scheint das graphische Verfahren r ä u m l i c h e n Aufgaben gegenüber zu versagen. Jedoch lehrt ein besonderer Zweig der Geometrie, die „ d a r s t e l l e n d e G e o m e t r i e " , wie räumliche Figuren durch ebene Bilder darzustellen und räumliche Messungen und Konstruktionen an diesen Bildern auszuführen sind. Ebensowenig ist das graphische Verfahren dadurch beschränkt, daß unsere üblichen Zeiche ainstrumente nur einen begrenzten Bereich von Aufgaben theoretisch e x a k t zu lösen gestatten. Man kann allerdings mit Zirkel und Lineal einen Winkel nicht e x a k t in drei Teile teilen, einen Kreis e x a k t weder rektifizieren noch quadrieren u. a. m.; wohl aber lassen sich solche Aufgaben n ä h e r u n g s weise mit genau derselben Genauigkeit lösen, auf die das graphische Verfahren o h n e h i n beschränkt ist. Einen Winkel teilt man nicht nur in drei und mehr, sondern auch schon in zwei gleiche Teile am zweckmäßigsten und schnellsten durch systematisches Probieren, und für die zeichnerische Rektifikation des Kreises genügt ζ. B. die Kochanskysche Näherungskonstruktion völlig Dagegen büßt das graphische Verfahren seinen wesentlichen Vorzug, den der gedanklichen Einfachheit, gegenüber dem rech·

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Einleitung.

§3

nerischen sehr bald ein, sowie die erforderlichen Konstruktionen sich komplizieren.

§ 3. Die Berechnungsmethoden der Elementargeometrie. Den ältesten zwingenden Anlaß zur rechnerischen Lösung geometrischer Aufgaben hat zweifellos die Flächenmessung gegeben; denn einerseits ist sie so alt, wie der geregelte Ackerbau und die Bodenverteilung, andererseits aber ist ihre d i r e k t e Ausführung durch Instrumente, die die Größe einer Fläche ebenso unmittelbar angeben, wie Maßstab und Transporteur diejenige von Strecken und Winkeln, erst im vergangenen Jahrhundert gelungen, und die grundlegenden Gedanken dieser, „ P l a n i m e t e r " gegenannten Flächenmeßinstrumente sind nichts weniger als elementar. Es mußten darum von alters her die Flächengrößen auf dem Umwege der R e c h n u n g aus direkt meßbaren Längen und Winkeln ermittelt werden, wobei übrigens von letzteren nur der r e c h t e Winkel benötigt wurde. Die Methoden der Flächenberechnung haben nun über das ursprüngliche Ziel hinausgeführt und auch die Berechnung von L ä n g e n ermöglicht, wofür der Pythagoreische Lehrsatz das- älteste und bedeutsamste Beispiel bietet. Mit seiner und der Proportionenlehre Hilfe vermochte alsdann die Elementargeometrie alle Zusammenhänge zwischen Strecken und Flächen überhaupt, zunächst am Dreieck, dann aber auch an allen aus Dreiecken aufgebauten Figuren (Polygonen und Polyedern) zu beherrschen. Wir wollen die grundlegenden Formeln für das Dreieck hier zusammenstellen, nachdem wir zuvor die im folgenden ständig zu benutzende Bezeichnung festgelegt haben. E s seien benannt mit:

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Einleitung;. A, G α. β, γ α, b, c Κ, h, Κ Ηα, Hb, Η„ ba und ca Λ Pi Qa, Qb, Qc M, 0 , 0 a , 0„, 0C

F

die Ecken des Dreiecks, die zugehörigen Winkel, die ihnen gegenüberliegenden Seiten, die zugehörigen Höhen, ihre Fußpunkte auf α, 6, c, die Projektionen HaG und HaB von b und c auf α (analog ab — HbG usw.), die Halbmesser und die Mittelpunkte des Umkreises, des Inkreises und der drei den Ecken Α, Β, C gegenüberliegenden Ankreise, der Flächeninhalt des Dreiecks.

Fig. 1. Endlich setzen wir zur Abkürzung: j a + 6 + c = 2s, — a + 6 + c = 2 s „ , W \ a-b + c = 2sb, * + b — c=2st; dann ist s der halbe Dreiecksumfang und: sa = s — a, sb = s—b, se — s — c,

!

b.

s„ + s 6 + s e = s, »8 + s6 — c> + = »« + «e =·

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Einleitung.

§3

Die Tangenten von den Ecken: A, B, C an den iQkreis haben die Längen: sa, sb, sc, an den Α gegenüberliegenden Ankreis: s, se, sj 1 ). Ans der Elementargeometrie sind folgende Formeln bekannt2):

(ΠΙ) a2 = 6 2 + c 2 + 2eöc; (V) 2 F = a h

(VII)

a

= bhb

JF=QS

= ch,·,

(IY) JT2· =

ssasbsc;

(VI) 4 r F = a b c ;

= QaSa — QbSb = Qc Sc.

Bei gegebenen Seiten 3 ) findet man ba, ab usw. aus (III), J7aus (IV), danach die Höhen aus (V), r aus (VI), ρ , ρα usw. aus (VII). Dagegen suchen wir unter unsern Formeln vergeblich nach solchen, in denen die "Winkel α, β, γ aufträten, und vermögen daher nur in speziellen Fällen über diese etwas auszusagen. Beispielweise wissen wir, daß, wenn a = 6 = c, so οί = β = γ = 6 0 ° , oder daß, wenn a ä + i 2 = e2, so γ,= 9 0 ° ist; in diesem zweiten Beispiele aber ist uns wiederum über die Größe der spitzen Winkel α, β keine allgemeine Aussage möglich. I n d e r T a t l i e f e r t uns d i e E l e m e n t a r g e o metrie k e i n e m e t h o d i s c h e n H a n d h a b e n zur B e r e c h n u n g von W i n k e l g r o ß e n ; d i e s e L ü c k e auszuf ü l l e n , i s t d i e A u f g a b e der „Trigonometrie". ' ) Berührt der Inkreis'die Seiten BC. CA und Α Ii iη 7'bzw. U bzw. W, sc ist = AW, BW = BT, CT = CU. Kennen wir diese drei Längen der R e i h « nach x, y und r, so ist y + ζ — α, ζ + χ — b, x + y - r, 2sa ~ b + c — α = 2x, also χ — und ebenso // ζ — λ·, . ^Nehmen wir statt des Inkreises den Α gegenüberliegenden Ankreis, aber dieselben Be;: ichnungen, so liegt jetzt Β zwischen Α und W , C zwischen Λ und U \ driber wird = 6 4-2 = e+ y — 2s 2.5;, — V λ- ζ ·\ ζ—ι — γ — ? / — 2 ζ , also χ * ΐ, ζ - Sfr und ebenso y — '·(.. 2 ) Die Beweise sind im Anhang (S, 100) gegeben. « ) F ü r a = 1 8 , b = U , e = 1 6 w i r d « = 21,