Dynamik: Band 2 Systeme von starren Körpern 9783111364193, 9783111007007

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S A M M L U N G G O S C H E N B A N D 903

DYNAMIK Von

Prof. Dr. Wilhelm Müller, München II Systeme von starren Körpern Mit 41 Figuren Zweite, verbesserte Auflage

W a l t e r de G r u y t e r & Co. vormals G. J . Göschen'sche Verlagshandlung / J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung / Georg Reimer / Karl J. Trübner / Veit & Comp. Berlin 1952

Alle R e c h t e , i n s b e s o n d e r e das Ü b e r s e t z u n g s r e c h t , von der V e r l a g s h a n d l u n g v o r b e h a l t e n

Archiv-Nr. 11 09|03 Satz: Walter de Gruyter & Co., Berlin W 3 5 Druck: A. W . Hayn's Erben, Berlin SO 36 Printed in Germany

Inhaltsverzeichnis

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Literatur

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I. D a s S y s t e m u n d s e i n e K r ä f t e

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1. Kapitel. Grundbegriffe 1. 2. 3. 4. 6. 6. 7. 8.

7

Begriff des Systems Hauptformen der Kräfte Ansätze für die Reibung. Gleit- und Haftreibung . Bemerkung zur Anwendung auf die Schraube . . Tragzapfenreibung Stützzapfenreibung Rollreibung Bohrreibung . . . .

7 8 9 11 11 13 14 14

2. Kapitel. Die synthetische Methode 9. Allgemeines 10. Zusammenstellung einiger Fälle 11. System eines Fahrzeugs mit Rädern 12. Synthese des Kurbeltriebes 33. Beispiel eines Systems mit zwei Freiheitsgraden .

16 15 17 18 21 24

3. Kapitel. Systeme von starren Körpern ohne äußere Kräfte 14. Planetenbewegung 15. Innere Kräfte und Drehung 16. Massenausgleich von mehrkurbeligen. Maschinen .

25 25 26 27

4. Kapitel. Die inneren Kräfte eines bewegten Körpers . 17. Innere Kräfte und Momente eines starren Körpers 18. Deformierbare Systeme ohne Biegungsfestigkeit . 19. Hängendes Seil 20. Seilform infolge Fliehkraft bei der Rotation. . . 21. Stationäre Bewegung von Seilen und Treibriemen 22. Seilsteifigkeit

30 30 33 34 34 36 38

II. D a s P r i n z i p Anwendung

der v i r t u e l l e n

Arbeiten

und

seine

5. Kapitel. Statische Grundlagen 23. Grundgleichung 24. Punktsysteme 25. Ein Beispiel 26. Anwendung auf Hebevorrichtungen. Der Hebel. . 27. Flaschenzug 28. Der Fall eines indifferenten Gleichgewichts . . . l»

39 39 39 40 41 43 44 45

4

Inhaltsverzeichnis Seite

6. Kapitel. Das d'Alembert-Lagrangesche Prinzip der virtuellen Arbeiten 29. Allgemeine Bedeutung 30. Verhalten der Reaktionskräfte 31. Beispiel aus der Punktdynamik" 32. System von starren Körpern 33. Beispiele zweier durch Seil und Rolle bewegter Körper 34. Aufzug und Fallmaschine 35. Atwoodsche Fallmaschine mit Berücksichtigung des Seügewichts 36. Beispiel für den rheonomen Fall 37. Das Energie- und Stabilitätsprinzip 7. Kapitel. Reduktion von Massen und Kräften . . . . 38. Masse, Kraft und Beschleunigung 39. Beispiele 40. Energiesatz beim Kurbeltrieb einer Dampfmaschine 41. Schwungradberechnung 42. Verfahren von Wittenbauer

47 47 48 49 49 50 52 53 54 55 57 57 58 60 62 64

III. U n s t e t i g e B e w e g u n g e n 65 8. Kapitel. Momentan- und Stoßvorgänge 65 43. Allgemeine Ansätze 65 44. Stoßgleichungen 67 45. Der freie ebene Stoß 68 46. Beispiel für den schiefen und zusammengesetzten Stoß 68 9. Kapitel. Beispiele für den Dreh- und Reibungsstoß . 70 47. Stoß an einer ebenen Wand 70 48. Stoß geführter Körper. Stoßmittelpunkt . . . . 71 49. Wirkungsgrad eines Stoßwerkes 72 50. Stoß zweier Drehkörper 73 51. Fall der plötzlichen Fixierung 74 IV. M e t h o d e der L a g r a n g e s c h e n G l e i c h u n g e n II. Art 10. Kapitel. Umrechnung auf allgemeine Koordinaten. . 52. Begriffsbestimmungen 53. Ableitung der Grundgleichungen 54. Energiesatz 55. Das Hamiltonsche Prinzip

75 75 75 76 78 79

Inhaltsverzeichnis

5 Seite

11. Kapitel. Anwendungen der Lagrangeschen Gleichungen 56. 57. 58. 59. 60. 61.

Kurbeltrieb Das Doppelpendel Fall kleiner Schwingungen Sonderfall . . Regulatorbewegung Regler und Maschine

81 81 82 83 84 85 88

12. Kapitel. Ergänzungen zur Kreiseltheorie 93 62. Der schwere Kreisel. Bewegungsgleichungen und Integrale 90 63. Reguläre Präzession und Nutationsschwingung. . 93 64. Stabilisierungskreisel 96 66. Näherungslösung 98 66. Kreiselwirkung ohne Dämpfung 99 67. Die Wirkung der Dämpfung 100 Sachverzeichnis

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Literatur Literatur (Auswahl)

B. A. M. E. A.

1. Z u r V e k t o r l e h r e G a n s , Einführung in die Vektoranalysis, Leipzig 1929 H o f m a n n , Einführung in die Vektorrechnung, München 1951 L a g a l l y , Vorlesungen über Vektor-Rechnung 1934 L o h r , Vektor- und Dy;idenrechnung, Berlin 1939 L o t z e , Vektor- und Affinor-Analysis, München 1950

2. Z u r D y n a m i k ( e i n s c h l . S t a t i k ) d ' A l e m b e r t , Traité de Dynamique. Paris 1743 E u l e r , L., Theoria Motus corporum solidorum seu rigidorum ex primis nostrae cognitionis principiis . . . (1765), Opera omnia, Ser. I I , Vol. 3, Zürich 1948 F ö p p l , A., Vorlesungen über technische Mechanik I , I I , IV, V I I , München u. Berlin 1938—43 F ö p p l , L., Aufgaben aus der techn. Mechanik, München u. Berlin 1930—32 G r a m m e l , R., Der Kreisel, 2 Bde., Berlin, Göttingen, Heidelberg 1950 Hamel, Elementare Mechanik, Leipzig 1922 — Theoretische Mechanik, Berlin, Göttingen, Heidelberg 1949 H e u n , K . Lehrbuch der Mechanik, 1. Teil, Leipzig 1906 J a u m a n n , G., Bewegungslehre, Leipzig 1904 K a u f m a n n , W., Einführung in die technische Mechanik, Berlin 1949 K l e i n , F., S o m m e r f e l d , A., Theorie des Kreisels, Bd. I—IV, Leipzig 1910 L a g r a n g e , J . L., Mécanique analytique, I., Paris 1788 L o r e n z , H . , Lehrbuch der technischen Physik, Bd. I, Berlin 1924 L o v e , A. E . H . (Polster), Theoretische Mechanik, Berlin 1920 M a r c o l o n g o , R. (Timerding), Theoretische Mechanik, Leipzig-Berlin 1911—12 N e w t o n , I., Philosophiae naturalis principia matematica, London 1686 Neudruck 1938 N i e l s e n , J . , Vorlesungen über elementare Mechanik, Berlin 1935 P o c h I , Th., Einführung in die analytische Mechanik, Karlsruhe 1949 — Lehrbuch der technischen Mechanik, I . Bd., Berlin 1949 R o u t h , E. J . (Schepp), Dynamik der Systeme starrer Körper, I. u. II., Leipzig 1898 S c h a e f e r , C., Prinzipe der Mechanik, Berlin u. Leipzig 1910 S o m m e r f e l d , A., Vorlesungen über theoretische Physik, I . Bd., Wiesbaden 1049 T h i r r i n g , II., Einführung in die klassische Mechanik, Berlin 1948 T r o o s t , A., Leitfaden der techn. Mechanik, Göttingen 1949 V o i g t , "W., Elementare Mechanik, 2. Aufl., Leipzig 1901 W o l f , K., Lehrbuch der technischen Mechanik starrer Systeme, Wien 1931

I. Das System und seine Kräfte 1. K a p i t e l Grundbegriffe 1. B e g r i f f des S y s t e m s . Wir haben im ersten Teil die wichtigsten Gesetze für die Bewegung des einzelnen starren Körpers besprochen. Schon hier mußten wir gewisse Bindungen und Bewegungsbeschränkungen mit berücksichtigen, die durch die Anwesenheit von anderen im allgemeinen ruhenden Körpern bedingt sind. Wenn der stützende Körper nicht mehr in Ruhe, sondern selbst in Bewegung begriffen ist oder wenn man sich den Einzelkörper in Teilkörper zerlegt denkt, die sich gegenseitig stützen und in ihrer Beweglichkeit beeinflussen, so gelangt man zum Begriff des Systems von starren Körpern, die durch die besondere Art ihrer Verbindung eine gewisse kinematische Einheit bilden. Im besondern umfaßt dieser Begriff den technisch wichtigen Getriebeverband, der durch kinematische Gesetze beherrscht wird, so daß die Bewegung eines Gliedes die Bewegung der übrigen mit bedingt (vgl. I. Teil). Abgesehen von der gewöhnlichen Stützung, können die Teilkörper in irgendwie gesetzmäßiger Weise verbunden sein, etwa durch Zugketten, Seile oder Treibriemen, die über Köllen oder Wellen geführt werden, um die Bewegung zu übertragen oder fortzuleiten, oder um Translation und Drehung ineinander überzuführen, oder durch Gelenke und Zapfen, um eine relative Drehung eines Körpers gegen den anderen zu ermöglichen, oder auch durch eingeschaltete „Kulissen", durch welche die Führung eines Gliedes in einer bestimmten Bahn bewirkt wird. Abgesehen von dieser Art der unmittelbaren Verbindung, wie sie namentlich in der Maschinen- und Getriebetechnik vorkommt, kann sich die Einheit auch darin aussprechen, daß die beteiligten starren Körper, wie etwa die Planeten unseres Sonnensystems, durch fernwirkende Kräfte zusammengehalten werden, die für das System als Ganzes natürlich die Bedeutung von inneren

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Das System und seine Kräfte

Kräften haben und daher genau so zu beurteilen sind wie die Spannungen oder Druckkräfte zwischen den Teilen eines Getriebes. Zur Behandlung der Dynamik der Systeme stehen verschiedene Methoden zur Verfügung, die wir jedenfalls an Hand von mehreren praktischen Beispielen besprechen wollen. Dabei werden wir auch mit einigen allgemeinen Prinzipien der Mechanik in Berührung kommen, ohne das Hauptziel, nämlich die praktische Anwendbarkeit aus den Augen zu verlieren. 2. H a u p t f o r m e n der K r ä f t e . Wir schicken zunächst eine Übersicht über die wichtigsten Arten von Kräften voraus, die in den folgenden Entwicklungen in Ansatz zu bringen sind und knüpfen dabei an bereits Bekanntes an. a) Eingeprägte Kräfte sind als gegeben und in ihrer physikalischen Gesetzmäßigkeit und Größe von vornherein als bekannt anzusehen. Es sind meist äußere Kräfte, die, wie früher auseinandergesetzt wurde, an den Massen- oder Volumenelementen der Körper angreifen oder räumlich verteilt sind. Man kann im besonderen von Feldkräften sprechen, wenn die Kräfte einem das System umgebenden Vektorfelde von fernwirkenden Volumenkräften zugehören, wie im Falle der Gravitation oder Schwerkraft, von Triebkräften, wenn sie an einer Stelle des Systems angreifen, um so die Bewegung der anderen Teile zu veranlassen, wie im Falle der auf den Kolben einer Dampfmaschine wirkenden Dampfkraft oder der Muskelkraft, die sich an einem Mechanismus betätigt. Diese Kräfte bilden wegen ihrer flächenhaften Angriffsform den Übergang zu den inneren Kräften. b) I n n e r e K r ä f t e wie Spannungen, z. B. Zugspannungen in den Seilen und Treibriemen oder Druckspannungen, die in den starren Gliedern des Systems und wie auch die Spannungen im Innern der starren Körper während der Bewegung auftreten können. Auch die Volumenkräfte, z. B. Attraktionskräfte zwischen den Teilen, können, wie gesagt, für das System als Ganzes als innere Kräfte beurteilt werden. Für alle zwischen zwei Körpern wirksamen Kräfte, ob sie Fernkräfte oder Berührungskräfte sind, gilt das aus dem

Grundbegriffe

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ersten Teil bekannte Wechselwirkungsgesetz (lex tertia Newtons). c) R e a k t i o n s k r ä f t e . Es sind flächenhaft verteilte Kräfte, die immer dann geweckt werden, wenn die durch die eingeprägten Kräfte bewirkte Bewegung eine Einschränkung durch starre Hindernisse erfährt. Auch die beim Gleichgewicht auftretenden Stützkräfte sind als Reaktionskräfte anzusehen. Alle Reaktionskräfte sind zunächst unbekannte Hilfskräfte, die aus den Gleichgewichtsgesetzen oder den Bewegungsgleichungen, d. h. aus rein kinematischen Bedingungen berechnet werden können. Auch die Haftreibung g;ehört zu den Reaktionskräften. d) R e i b u n g s k r ä f t e zwischen den Körpern und zwischen Körper und Stützfläche. Sie treten immer dann auf, wenn eine Bewegung tangential zur Stützfläche vorhanden ist und hängen in annähernd angebbarer Weise von den Reaktionskräften, namentlich von den Druckkräften ab und müssen, wenn sie nicht gerade zur Gruppe der Haftreibungen gehören, zu den eingeprägten Kräften gerechnet werden, weil zu ihrer Kenntnis empirische Daten notwendig sind. Von den inneren Reibungskräften, wie sie z. B. in elastischen oder flüssigen Körpern auftreten können, sehen wir im Gebiet der starren Dynamik ab. 3. A n s ä t z e f ü r die R e i b u n g . G l e i t - u n d H a f t r e i b u n g . Die mannigfache Art der Verbindung der Systemteile läßt es zweckmäßig erscheinen, zunächst die Reibungs- und Widerstandskräfte, die namentlich technisch von Bedeutung sind, näher ins Auge zu fassen. Die Stützung eines Körpers durch einen anderen kann, wie bekannt, ersetzt werden durch eine vom stützenden Körper ausgehenden Kraft, welche normal zur Berührungsebene, bzw. Stützfläche gerichtet ist. Wenn die äußere Kraft (z. B. als Gewicht) schief zur Stützfläche angreift, so tritt eine tangentiale Komponente auf, die als Reibung anzusprechen ist. Wenn die Kraftkomponente groß genug ist, um eine Bewegung zu veranlassen, so tritt die Gleitreibung als tangentiale Widerstandskraft, die angenähert als mit dem Normaldruck proportional gesetzt werden kann: R g = f N , wo der

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Das System und seine Kräfte

Faktor / eine von der Beschaffenheit der beiden einander berührenden Körper abhängige Materialkonstante ist. Diese Gleitreibung ist der Geschwindigkeit des gleitenden Körpers an der Berührungsstelle entgegengesetzt gerichtet. Der Koeffizient / nimmt von dem größten Grenzwert f„, der dem ersten Übergang aus der Buhe entspricht, bei der trockenen Reibung mit wachsender Geschwindigkeit ab, während bei Schmiermittelreibung f zunächst eine Abnahme zeigt, nach Überschreitung eines Minimums aber wieder zunimmt. Um die Haftreibung zu beurteilen, denken wir uns einen schweren Körper auf der schiefen Ebene mit dem Neigungswinkel x + r2F( den Winkel zwischen AB und der Vertikalen bedeutet, die virtuelle Arbeit des Laufgewichtes G^ ist — G ß (rcos 0, so kann hier wohl rj beständig abnehmen, ohne daß die Gleichung zu bestehen aufhört. Das System muß sich daher mit wachsender Energie von dem Gleichgewichtszustand entfernen, der daher einen l a b i l e n Charakter hat. Ebenso läßt sich zeigen, daß nach einer anfänglichen Entfernung aus der Gleichgewichtslage das System nicht in den früheren Zustand zurückkehrt, sondern vielmehr den Abstand weiter zu vergrößern sucht. c) Bei einer Wendestelle von rj kann je nach der Seite, auf der man sich aus der Gleichgewichtslage entfernt, das stabile oder das labile Verhalten eintreten. Der i n d i f f e r e n t e Fall endlich liegt vor, wenn das System nach der Störung in eine neue Gleichgewichtslage übergeht. In diesem Fall bleibt U konstant oder der Schwerpunkt bleibt in unserem Beispiel in einer horizontalen Ebene. Wir erinnern an das früher behandelte Beispiel der Zugbrücke.

Reduktion von Massen und Kräften

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Diese Betrachtung läßt sich nun auch auf den allgemeinen Fall eines beliebigen Potentials bei zwei oder mehr Freiheitsgraden übertragen. Sei z. B. U(q1q2) ein Minimum. Der tiefste P u n k t der Fläche z = U(q1q2) sei ßxß2. Dann grenzen wir um ihn ein kleines Gebiet ab, auf dessen Rand U überall größer ist als der Minimalwert UQ. Erschüttert man nun das System, so daß die kinetische Energie die Größe £ nicht überschreitet, so folgt E+U — U0 = E0 = e. Da E > 0 ist, so wird U — U0 < eJJ ^ U0 +