Die Mechanik des Himmels: Band 2 [Reprint 2020 ed.] 9783112351307, 9783112351291

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DIE MECHANIK DES

H

I

M

M

E

L

S

VORLESUNGEN VON

CARL LUDWIG CHARLIER, O. PROFESSOR AN DER UNIVERSITÄT LUND.

ZWEITER BAND. MIT ZAHLREICHEN

EIGUBEN.

LEIPZIG VERLAG VON VEIT & COMP. 1907

.

Druck TOD Metzger & Wittig in Leipzig,

Schlusswort. Den zweiten Band meiner Vorlesungen über die Mechanik des Himmels habe ich mit einem Abschnitt über Mechanische Quadratur eingeleitet. Da das Problem der drei Körper in complicirteren Fällen nicht analytisch integrirt werden kann, hat man, besonders in der letzten Zeit, sich der mechanischen Quadratur bedient, um derartige Fälle zu behandeln, und es erschien deswegen angemessen, die betreffenden Methoden auseinanderzusetzen. Ich habe an einem ausführlichen Beispiel gezeigt, wie man bei der canonischen Form der Bewegungsgleichungen zweckmässig die Rechnungen anordnen soll. Durch die Untersuchungen von JACOBI und MALMSTEN, die ich hier auseinandergesetzt habe, ist der Werth des Restgliedes in der EüLEs'schen Reihe gut bekannt. Ich mache darauf aufmerksam, dass es nicht unmöglich erscheint, diese Restuntersuchungen zu erweitern, so dass man im Stande sein wird, die zu befürchtenden Fehler in einer mechanischen Integration direct zu beurtheilen, was von grosser Bedeutung für den numerischen Rechner sein würde. Bei der Besprechung der periodischen Losungen halte ich mich ziemlich ausführlich bei solchen in der Nähe der Librationscentra auf. Spätere Entdeckungen haben die practische Wichtigkeit dieser Lösungen dargethan. Die grundlegende Arbeit H I L L ' S über periodische Lösungen in der Nähe der Massen gebe ich vollständig wieder. Dann folgt die Methode POINCABÉ'S zur Aufsuchung periodischer Bahnen und ihre Anwendung auf Lösungen der verschiedenen Gattungen. In Bezug auf die periodischen Lösungen der dritten Gattung zeige ich, wie solche Lösungen mit endlichen Werthen der Bahnexcentricitäten gefunden werden können. Dagegen habe ich nachträglich gefunden, dass meine Behauptung, dass die von POINCARÉ gefundenen kreisförmigen Lösungen dieser

IV

Schlusswort.

Gattung nicht stattfinden würden, nicht stichhaltig ist. Die Elemente r und T' sind zur Aufsuchung solcher Lösungen nicht geeignet, wie aus § 8 hervorgeht. Im zehnten Abschnitt behandle ich die Frage von der Convergenz der Reihen in der Mechanik des Himmels. Betreffend das Problem der zwei Körper liegt meines Wissens hier zum ersten Male eine vollständige Behandlung hierher gehörender Convergenzfragen vor. Die betreffenden Vorlesungen wurden im Frühjahr 1903 gehalten und lagen im September desselben Jahres gedruckt vor, obgleich die Veröffentlichung erst später geschehen konnte. Im März 1 9 0 4 hat LBVI-CIVITA der Accademia dei Lincei eine Abhandlung eingereicht, worin er die Lage der singulären Punkte der KEPLEB'schen Gleichung bestimmt und zu ähnlichen Resultaten wie den meinigen kommt. Eine Lücke ist in den Untersuchungen der Paragraphen 1 und 2 insofern vorhanden, als in Bezug auf die hyperbolische Bewegung die Entwicklungen nach Potenzen der Excentricität nicht untersucht worden sind. Diese Lücke ist später von BLOCK ausgefüllt worden (Meddelanden pän Lunds Observatorium No. 23). In Bezug auf das Problem der drei Körper untersuche ich die Entwicklung nach Potenzen der störenden Massen und die Reihen in der Störungstheorie. Das wichtige Theorem von BEUNS und die interessanten Untersuchungen GYLDEN'S über die Wahrscheinlichkeit der Divergenz sind hier von grundlegender Bedeutung. Der Abschnitt endet mit dem Nachweis, dass man bei den practischen Anwendungen der Störungstheorie zwar Reihen erhält, die eine gewisse Zeit convergiren, dass aber bei dem jetzigen Standpunkt der Theorie mit der Zeit wachsende Differenzen zwischen Theorie und Beobachtung auftreten können, ohne dass es möglich ist zu entscheiden, ob diese Differenzen von der Einwirkung fremder Körper herrühren oder auf die Unvollkommenheit der Theorie zurückzufuhren sind. Giebt es eine für practische Zwecke anwendbare Form der Integrale des Problems der drei Körper, welche für alle Zeiten gültig ist? Die Frage muss vorläufig offen bleiben. Das wichtigste Streben des theoretischen Astronomen ist augenblicklich, eine solche Form aufzusuchen. Ich vermag nicht zu sagen, ob man dem Ziele nahe

Sehlusswort.

v

ist oder nicht. Es ist indessen sehr schwierig, eine Übersicht von Untersuchungen zu geben, welche bis jetzt zu keinem Abschluss gekommen sind. Im § 1 des elften Abschnittes leite ich das wichtige Transformationstheorem von JACOBI ab. Im Anschluss hierzu zeige ich, wie man das Theorem in zwei verschiedenen Eichtungen erweitern kann, deren ich mich bediene, um bei der Behandlung des Problems der drei Körper vom Zwei-Centren-Problem auszugehen. Dieser Weg scheint viel versprechend, und ich habe in den Vorlesungen einige Schritte zur weiteren Verfolgung des Problems gethan, ohne indessen bis jetzt zu einem Abschluss gekommen zu sein. In § 2 gebe ich eine vollständige Behandlung von mechanischen Problemen mit einem Freiheitsgrad, die in § 4 auf das DELAUNAY sehe Problem ihre Anwendung findet. Mit Hilfe dieser Untersuchungen über das ÜELAUNAY'sche Problem werden in § 5 und § 6 die Commensurabilitäten niedrigen und höheren Grades untersucht. Die Discontinuitäten, welche bei den Commensurabilitäten höheren Grades auftreten, bilden die grösste Schwierigkeit bei der Aufsuchung einer allgemein gültigen Form für die Integrale des Problems der drei Körper. Die drei letzten Paragraphen sind der trigonometrischen Form dieser Integrale gewidmet. Die von TISSERAND versuchte Methode, mit Hilfe der ÜELAUNAT'schen Transformationen zu dieser Form zu gelangen, wird erörtert. Sie scheitert an den Commensurabilitäten höheren Grades, die übrigens in der einen oder der anderen Form auch alle anderen bis jetzt aufgestellten Methoden, zu dieser Form zu gelangen, illusorisch machen. Im § 8 wird gezeigt, dass man in Bezug auf das asteroidische Drei-Körper-Problem zu practisch anwendbaren trigonometrischen Reihen gelangen kann, die für die kleinen Planeten mit ihren raschen Perihel- und Knoten-Bewegungen den störungstheoretischen Reihen mit Entwickelungen nach Potenzen der Zeit vorzuziehen sind. Im neunten Paragraphen wird die Methode von BOHLIN, zu einer trigonometrischen Form der Integrale zu gelangen, auseinandergesetzt. Sie besitzt die Eigenthümlichkeit, die kleinen Divisoren gänzlich zu vermeiden. Diese treten indessen anderswo in ver-

VI

Schlusswort.

kleideter Form auf und üben immer noch ihren nachtheilgen Einfluss auf die Convergenz aus. Es war meine Absicht, an diesen Untersuchungen die mit den Stabilitätsfragen in Zusammenhang stehenden Probleme zu erörtern. Es handelt sich dabei theils um die Stabilität der verschiedenen particularen Lösungen zum Problem der drei Körper, theils um die Frage von der Stabilität im Planetensystem. Diese kann so formulirt werden: sind die Abstände der Planeten von der Sonne für alle Zeiten zwischen endlichen von Null verschiedenen Grenzen eingeschlossen? Verschiedene Betrachtungen, die zum Theil in den hier vorliegenden Vorlesungen zu finden sind, haben mich im Laufe der Zeit zur Ueberzeugung geführt, dass diese Frage verneinend, beantwortet werden muss. Ich halte es indessen noch verfrüht, die Gründe dieser Ueberzeugung auseinanderzusetzen, und habe daher die Behandlung der Stabilitätsfragen hier nicht mit aufgenommen. Indem ich diesen Band abschliesse, erlaube ich mir den Herren, die mir in der einen oder der anderen Weise bei der Fertigstellung desselben behilflich gewesen sind, meinen herzlichen Dank auszusprechen. Ich richte mich dabei in erster Reihe an Herrn Prof. B R E N D E L , der mit nie versagender Geduld die Abzüge auch von diesem Band in Bezug auf die deutsche Sprache verbessert hat. Herr Cand. G. NOESN ist mir in vieler Hinsicht bei der Ausarbeitung der Vorlesungen behilflich gewesen und hat im Besonderen den grössten Theil der numerischen Rechnungen des achten Abschnittes ausgeführt, wofür ich ihm hiermit meinen besten Dank abstatte. Herrn Dr. A. W I L K E N S verdanke ich ein sorgfältiges Verzeichniss der Druckfehler im ersten Bande, das zum Theil am Ende dieses Bandes wiederzufinden ist. Zuletzt will ich dem Herrn Verleger für die Geduld, mit welcher er Verspätungen meinerseits mit der Fertigstellung des Manuscriptes u. dergl. aufgenommen hat, meinen besten Dank aussprechen. Lund, den 18. September 1907. C. V. L. Charlier.

Inhalt. A c h t e r Abschnitt. Mechanische Quadratur. § § § § §

1. 2. 3. 4. 5.

Die EüLEs'sche Summationsformel Anwendungen der EuLEB'schen Reihe Relationen zwischen Differentialquotienten and Differenzen . . . Formeln für mechanische Quadratur Numerische Beispiele

Seite

3 17 23 44 53

Neunter Abschnitt. Periodische Lösungen. § § § § § §

1. 2. 3. 4. 5. 6.

§ 7. § 8. § 9. § 10. § 11. § 12. §13.

Strenge Lösungen des Problems der drei Körper Periodische Lösungen in der Nähe der Librationscentra . . . . Die HiLL'sche Grenzcurve Periodische Lösungen in der Nähe der Librationscentra. Forts. . Periodische Lösungen in der Umgebung der Massen Das CAUCHY'sche Existenztheorem. Erweiterung desselben von PorecARfc Methode von POINCARS, die periodischen Lösungen aufzusuchen . Fortsetzung. Methode von POINCAR£, die periodischen Lösungen aufzusuchen Die Form der Entwickelung der Störungsfunction Periodische Lösungen der ersten Gattung Periodische Lösungen der zweiten Gattung Periodische Lösungen der dritten Gattung Andere Gattungen periodischer Lösungen

89 102 111 117 137 172 187 198 202 206 215 231 240

Inhalt.

Vili

Zehnter Abschnitt Convergenz der Bethen in der Mechanik des Himmels. § § § §

1. 2. 3. 4.

Convergenz der Reihen im Problem der zwei Körper Convergenz der Beihen im Problem der zwei Körper. Fortsetzung Die HiLL'sche Grenzcurve Convergenz der Entwickelungen nach Potenzen der störenden Massen § 5. Convergenz der Beihen in der Störungstheorie § 6. Convergenz der Beihen in der Störungstheorie. F o r t s e t z u n g . . .

Seite

255 273 289

296 304 321

Elfter Abschnitt. Ueber die Form der Integrale im Problem der drei Körper. § 1. Ein Transformationstheorem in der Mechanik § 2. Ueber mechanische Probleme mit einem Freiheitsgrad § 3. Entwickelung der Störungsfunction im asteroidischen Problem § 4. Das DELAUNAY'sche Problem § 5. Ueber die CommensurabilitSten niedrigen Grades § 6. Ueber Commensurabilitfiten höheren Grades § 7. Ueber die Darstellung der Integrale des Problems der in rein trigonometrischer Form § 8. Ueber die Darstellung der Integrale des Problems der in trigonometrischer Form. Fortsetzung § 9. Ueber die Darstellung der Integrale des Problems der in trigonometrischer Form. Zweite Fortsetzung Sachregister Berichtigungen zum ersten Bande

Dreikörper-

333 356 367 375 388 418

drei Körper

434

drei Körper drei Körper

447 466 477 479

§ I. Die EuLER'sche Summationsformel. Unter dem Namen mechanische Quadratur werden alle solchen Rechenoperationen verstanden, mittelst welcher man den Werth eines Integrals berechnen kann, ohne die Integration analytisch auszuführen. Die Methoden, die man zu diesem Zwecke benutzt, lassen sich mehr oder weniger direct auf eine Formel zurückführen, die ungefähr gleichzeitig von MACLAURIN und von ETJLEB gefunden wurde, und die gewöhnlich mit dem Namen JEULER'sehe Summationsformel oder EULER'sche Reihe bezeichnet wird. Ich habe es deswegen für zweckmässig betrachtet, diesen Abschnitt mit der ausführlichen Auseinandersetzung der Eigenschaften dieser interessanten Formel anzufangen. — Der Uebergang zu den gewöhnlichen Formeln für mechanische Quadratur geschieht dann ohne Schwierigkeit. Dieser Weg hat ausserdem den wichtigen Vortheil, dass man mit Hilfe der eingehenden Untersuchungen über die EuLER'sche Reihe zu einer Auffassung der Grösse des Fehlers, den man bei einer numerischen Berechnung des Integrals zu befürchten hat, gelangen kann. Um die EuLER'sche Summationsformel abzuleiten, geht man von der Identität CO f{a + co) - f[a) = Jf'{a + ca-z)dz o aus.

Durch theilweise Integration giebt diese

CO W HO j f { a + co- z) dz = / zf'{a + co - x) + J z f" [a + 03 - z ) d z , 0 0 0 1*

Mechanische Quadratur.

so dass

CO f[a + a) - f{a) = (of'{d) +Jzf'{a

+

m-z)dz

o

ist.

Wird dies Verfahren weiter fortgesetzt, so erhält man - f{a) = -2- f (a) + £ f («) + ••• +

A f{a) = f{a + (1)

£

o

wo P = /VH( 0

+

»—

Durch Differentiation erhält man aus (1) J f («) =

(« + « ) - f (a) = | f ( a ) +

(«) + . . . +

Ct>

~

o ~

Durch theilweise Integration erhält man aber

0

^

- -

(«) +

/-¡S-•Pdz.

0

—

Man hat also O) A

f w =

(«)+|r » + - + - — / > ) + / o w

=

~ r i « ) r » + . . . + - £ > ( « ) + J p

T

P d

Z >

§ 1.

Die

EuLEü'sche

5

Summationsformel.

UJ

Af

n

l

- {a) =

i r

f n { a ) +

f j r -

F d i

Werden diese Gleichungen der Reihe nach mit 1, AL A>, .. ÄN_I MN~1 multiplicirt und die Coefficienten AL, AT, . . A n _i so bestimmt, dass, wenn sämmtliche Gleichungen summirt werden, die Coefficienten von f" {a), f" (a), . . ., f n (a) auf der rechten Seite verschwinden, so erhält man A2co2,

A f{a)

+ A1 mAf(a)

+ A2 co*Jf"(a)

+

...

+

An .1 a>»-if«- i

(a) =

(2) =

®/"(«)

~

R

n>

wo CO

(3)

- - / [ - § - +

.71 — 1 % G) , + -

+

j %>. W C> t—1-| P ^ - i j r

d z .

Die Formel (2) ist die EuLEB'sche Reihe. Die Coefficienten A1, A2 u. s. w. sind durch folgende Formeln bestimmt: l + 4 =0, Li

Ii.

Ii.

Li

Mechanische Quadratur.

6

durch welche die Coefficienten A1, A2 u. s. w. successive berechnet werden können. Führt man die Bezeichnung (4)

=

ÜL

•¿i Mr_1 , + r—1 +

+

Ir-lU

ein, so können die Bedingungsgleichungen für die Coefficienten Alt A2 U. S. W. kurz in der Form (5)

^ (1) = 0

(r = 2, 3 . . . ra)

geschrieben werden. Wird in den Ausdruck (3) für Rn z = um eingesetzt, so bekommt man I

(6)

(Dn{u)Pdu.

o Die Untersuchung über das Kestglied — B n — der EuLEB'schen Eeihe, wie diejenige über den Werth der Coefficienten Ar hängt also nahe mit den Eigenschaften der Function 0 (w) zusammen. Wir wollen deswegen zuerst diese Function näher untersuchen. Wir bemerken zuerst, dass nach (4) und (5) (7)

0>r(0) = 0 = («), die wir noch brauchen, um das Restglied der EuTiEB'schen Reihe näher zu studiren, werden leicht erhalten, wenn man mit S c h l ö m i l o h die Function (U)

=

euv — 1 e —1

einführt. Wird diese Function nach Potenzen von v entwickelt, so erhält man offenbar (II*)

= m=l Die Formel (11) giebt aber

g{v, 1— u)=g{-v,u) so dass, in Hinsicht auf (11*), (12) wo m = 2 , 3, 4 , . . .

+ v,

- « ) = (-I)"®.(«),

§ 1.

Die

EULER'sehe,

9

Svmmationsformel.

Es ist weiter identisch l « ¿v-i — ev — 1

£_ e*"-l

e® —

1

oder

so dass nach (11*) und (8*)

Es ist also «-(I)Diese Formel giebt nach (9) (13)

®!» + i(i) = 0

wogegen

(1-1,2...),

Mi)—2 M1-^)-

(13*)

Aus (12), (13) und (13*) gehen die wichtigsten Eigenschaften der Functionen (m) und tf>2i+i(«) leicht hervor. Es ist nämlich (14)

=

und (14*) 0 2 i + 1 («) =

i IÜ.

i 21- 1 T2»-1

i H1 2 i + 1 "I' io 12*

A U jIj

2*- 2

8

+ ...+ -4.2{-2-M

II

2i—1 2i - 1

Es ist also im Besonderen — 1)

Si«

10

Mechanische Quadratur.

welche Function für u = 0 und für u = 1 verschwindet und zwischen diesen Werthen negativ bleibt Die Function hat ein einziges Minimum, das man für u = \ erhält, und es ist

übereinstimmend mit (13*). Es lässt sich nun zeigen — und dies ist der Hauptsatz über die Function (w) — dass 0i{u), für Werthe von u zwischen 0 und 1, positiv ist mit einem einzigen Maximum (für u = i), dass 6 («) stets negativ, (u) stets positiv bleibt u. s. w., vorausgesetzt, dass u zwischen den Grenzen 0 und 1 liegt. Um dies zu beweisen, wollen wir annehmen, dass 0 2 . (m) positiv ist und ein einziges Maximum besitzt zwischen 0 und 1. Wir wollen dann zeigen, dass 2;+2 (w), für Werthe von u zwischen 0 und 1, negativ bleibt und ein einziges Minimum besitzt. Nach (14) und (14*) hat man (15)

0>2i+i [u) = 2i{u) +

A2r

Da ) . . .,

X (a + i m).

Wird jede Function in dieser Reihe von der nächstfolgenden subtrahirt, so entsteht eine Reihe von Differenzfunctionen oder Differenzen. Hieraus erhält man in ähnlicher Weise die zweiten Differenzen, dann die dritten Differenzen u. s. w. Nun lassen sich aber die Ableitungen verschiedener Ordnung der Function Ä(x) durch solche Differenzen ausdrücken, und es ist also möglich, die Formel (5) in eine andere umzuformen, wo ausser den Functionswerthen X{a + roa), (r = 0, 1 , 2 . . . , s) nur die Differenzen verschiedener Ordnung vorkommen. Da aber die Differenzen numerisch viel leichter erhalten werden können als die Ableitungen, so erhält man in dieser Weise eine Formel, die für numerische Rechnungen bedeutende Vorzüge besitzt. Wir werden im nächsten Paragraphen die Relationen zwischen den Ableitungen einer Function und den Differenzen verschiedener Ordnung aufstellen, um dann im vierten Paragraphen zu den definitiven Formeln für mechanische Quadratur überzugehen.

§ 3.

Relationen zwischen Differentialquotienten und Differenzen.

Wir werden uns im Folgenden der ENCKß'schen Bezeichnungen für die Differenzen bedienen, deren Bedeutung aus dem nachstehenden Differenzschema hervorgeht.

§ 3. Belationen zwischen Differentialquotienten und Differenzen.

23

Im Allgemeinen werden indessen die Functionen A2i-1(a + sw) und

von Null verschieden sein. Die Formel (5) führt dabei leicht zur Berechnung des Werthes des Integrals, so oft die Ableitungen von l (x) ohne Mühe erhalten werden können. In vielen Fällen empfiehlt es sich indessen, einen anderen Weg einzuschlagen. Bei der Anwendung der Formel (5) braucht man nämlich die numerischen Werthe der Functionen X (a),

X (a + co),

X (a + 2 a>) . . .,

X (a + i m).

Wird jede Function in dieser Reihe von der nächstfolgenden subtrahirt, so entsteht eine Reihe von Differenzfunctionen oder Differenzen. Hieraus erhält man in ähnlicher Weise die zweiten Differenzen, dann die dritten Differenzen u. s. w. Nun lassen sich aber die Ableitungen verschiedener Ordnung der Function Ä(x) durch solche Differenzen ausdrücken, und es ist also möglich, die Formel (5) in eine andere umzuformen, wo ausser den Functionswerthen X{a + roa), (r = 0, 1 , 2 . . . , s) nur die Differenzen verschiedener Ordnung vorkommen. Da aber die Differenzen numerisch viel leichter erhalten werden können als die Ableitungen, so erhält man in dieser Weise eine Formel, die für numerische Rechnungen bedeutende Vorzüge besitzt. Wir werden im nächsten Paragraphen die Relationen zwischen den Ableitungen einer Function und den Differenzen verschiedener Ordnung aufstellen, um dann im vierten Paragraphen zu den definitiven Formeln für mechanische Quadratur überzugehen.

§ 3.

Relationen zwischen Differentialquotienten und Differenzen.

Wir werden uns im Folgenden der ENCKß'schen Bezeichnungen für die Differenzen bedienen, deren Bedeutung aus dem nachstehenden Differenzschema hervorgeht.

24

Medianische Quadratur.

Argument

Function

a —2 6)

f(a -2

a — (o

f [ a - co)

a + a

m +2m

f{a+ f{a

348 Diff.

a)

m

a

216 Diff.

l 8te Diff.

©)

/-,"(«-«)

/;» /•„> + «)

/• + i

+2(0)

Es ist also f0'(a - |d>) = / - ( a - «)-/•(«

/o'(a-i«»)"=/•(««)

-

2

-lco)-f0'(a-*co),

Ao» = / * 0 > + i®)-/"«>'(«-¿®) , /;-(« + «) = / ; > + /•„> + u. s. w. Nach dem Theorem von TAYLOB hat man, vorausgesetzt, dass die betreffenden Reihen convergiren, f(a) f(a +

=/•(«) = /'(«) +

(a) + -^f"

(«) + -j^/"'

(«) + •••

f{a + 2a>) = /•(«) + -g- /" («) + ^-V"

(«) + j f f " («) + •••

/•(« + 3 « ) = f(a) +

(«) + ^ f i " («) + •••

/ > ) +

u. s. w.

§ 3. Relationen zwischen Differentialquotienten und, Differenzen.

25

Hieraus erhält man durch Subtraction f0'(a+±co) = f(a+

m)-f{a)

f0'(a + §a>) = f{a + 2ca)-f(a+

=

(a) +

=

f («) +

+ ••• + •••

(a) +

u. s. w. Werden diese Eeihen von einander subtrahirt, so erhält man weiter f0" (a +

«) = f(; (a + |o>) - f-

+

= «Y"(«) +

ffl»r

(«)+•••

f0" (a + 2 « ) = /V (a + | « ) - f0' (a + | «) = « V " (a) + 2 ® 3 / " " (a) + . . . u. s. w. Hieraus bekommt man fo" («+!«)

= fo" (a + 2*)- f0" (« + ») = co*r u. s. w.

(«)+•••

Es ist leicht ersichtlich, dass sämmtliche Differenzen durch die Ableitungen der Function f(a) ausgedrückt werden können, und zwar wird die Differenz n ter Ordnung durch Ableitungen der nteu und höheren Ordnungen ausgedrückt. Wir wollen die Differenzen /ö'(« + *")>

fo" (" + "),

f0"'(a +

%m)...,

mit dem Namen adjungirte Differenzen der Function f(a) bezeichnen. Die adjungirten Differenzen der Function f(a + m) sind dann /ö'(« + i ® ) .

/ o " ( « + 2o)...f

+

26

Mechanische Quadratur.

und, allgemein gesprochen, sind alle Differenzen + *«. + ! • « )

(«=1,2,3,...)

als adjungirte Differenzen der Function f(a + sm) zu betrachten. Wir nehmen nun an, dass wir für /"o + y folgende Formel erhalten haben

(1)

+ Af ®»+2 fn+2 (a) + Af

f*+* («) +

...

Wir können hier a gegen a + a> vertauschen und erhalten f l (a + co +

mj = w«fn (a + m) +

(2)

+ Afm"+2f«+*{a

fn+l {a + a>) + +

+

+ A^ -~w)

=

«•/•»(«) + + ( - 1 + £«»>) /

+... Da

B{n)

+ \

§ 3. Relationen zwischen Differentialquotienten und Differenzen. 29 so erhalten wir die Recursionsformeln

(»)

s

2

-

2

"Ja

'

(8)

7}(»+l) 3 -

d(«)

st.

L_ , ZI U "f 13

12

, »(«) 3 '

u. s. w. Nun ist fo (a ~ \ ®) = /"(«) -/"(«-«) = -|f - r

w -

= y - r

w +

r

(«)+•••>

so dass nd) tsx - - - T g - ,

d(D _ , 2 13 '

D(1) 3

Die Formeln (8) geben RW

_

j,(M) 2 =

(9)

n

w(3«+l) 24 ' W2(»+l) 48

u. s. w. Es ist also f l (a - \