Die Mechanik des Himmels: Band 1 [2., durchgesehene Aufl. Reprint 2019] 9783111424156, 9783111059396

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DIE MECHANIK DES

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VORLESUNGEN VON

CARL L U D W I G C H A R L I E R O. PROFESSOR AN DER UNIVERSITÄT LÜND

ERSTER BAND MIT ZAHLREICHEN

FIGUREN

ZWEITE, DURCHGESEHENE AUFLAGE

B E R L I N UND L E I P Z I G

WALTER

DE G R U Y T E R

& CO.

Y0KMAL8 0 . 1 . OOBCHEH'sCBE VULAOSHAllDLUXa - J. OUTT*KTAO, VEMAOSBUCHHANDLUNG - GEOBO BIIXEB - KAHL J. THÜBHEB • TSIT * COMP.

19 2 7

MANULDRUCK VON F. ULLMANN G. M. B. H., ZWICKAU SA.

V o r w o r t .

Die3 Werk enthält, der Hauptsache nach, die Vorlesungen, die ich seit dem Herbste 1898 an der Universität zu Lund gehalten habe. Als Ziel habe ich mir gesteckt, eine möglichst einheitliche Darstellung des jetzigen Standpunkts der Untersuchungen über die Mechanik des Himmels, insofern sich dieselbe mit der Bewegung von Massenpunkten beschäftigt, zu geben. Es ist dabei mein Hauptstreben gewesen, die astronomisch wichtigen Resultate hervorzuheben, indem ich gleichzeitig die mathematische Eleganz und Schärfe, welche besonders die neueren Untersuchungen auf diesem Gebiete ermöglicht haben, zum Ausdruck zu bringen suchte. Ich bin mir der Unvollkommenheit meiner Arbeit völlig bewusst Eine Entschuldigung dafür kann ich nur darin sucheD, dass es in der Uebergangsperiode, in welcher die Astronomie sich befindet, besonders schwierig ist, das Wesentliche von dem Unwesentlichen zu unterscheiden. An einigen Stellen ist vielleicht die mathematische Seite des Problems zu stark hervorgehoben auf Kosten der astronomischen, an anderen vielleicht umgekehrt, obgleich ich stets bestrebt gewesen bin, ein gesundes Gleichgewicht zwischen diesen beiden Hauptgesichtspunkten einzuhalten. Um bei den mathematischen Untersuchungen die Fühlung mit der astronomischen Praxis zu wahren, habe ich an den wichtigeren Punkten numerische Beispiele — meistens dem Planetensystem entnommen — hinzugefügt, die geeignet sein können, die astronomische Bedeutung der Untersuchung zu beleuchten. Der vorliegende erste Band enthält die allgemeinsten Resultate über das Zwei- und Drei-Körperproblem. Der Theorie der secularen Störungen habe ich einen ausführlichen Abschnitt gewidmet Die

rv

Vorwort.

Bewegung eines Punktes, der von zwei festen Centren nach dem NEWTorfschen Gesetz attrahirt wird, habe ich sehr vollständig behandelt, indem ich von den Untersuchungen von STAUDE Uber bedingt periodische Bewegungen ausgegangen bin. In dem Abschnitt über das Problem der zwei Körper wird eine einfache Theorie der Kometenschweife gegeben. In dem Anhange habe ich einige Tafeln aufgenommen, die für die numerische Berechnung der Störungen der Planeten — im Besonderen der kleinen Planeten — von Nutzen sind. Der zweite Band, der im nächsten Jahre erscheinen soll, wird hauptsächlich die Theorie der periodischen Lösungen des Problems der drei Körper und die Untersuchungen über die Convergenz der Reihen behandeln. Dem Herrn Professor M. BBENDEL bin ich zu besonderem Dank verpflichtet für seine grosse Freundlichkeit, diesen Band in Bezug auf die deutsche Sprache zu prüfen und zu berichtigen. Endlich spreche ich dem Herrn Verleger meinen herzlichen Dank aus für seine Bereitwilligkeit, die Vorlesungen zum Druck zu bringen, und für die Sorgfalt, mit welcher der Druck ausgeführt worden ist L u n d , Mai 1902. C. V. L. Ch&rlier.

Inhalt. Balte m

Vorwort

Erster Abschnitt. Hilfss&tze aas der Mathematik und der Mechanik. g § § § § §

1. 2. 3. 4. 5. 6.

§ t.

Sätze aus der Determinantentheorie Ueber Functionaldetenhinanten Vielfache Lösungen eines Systems von Gleichungen Lineare Substitutionen Lineare Differentialgleichungen mit periodischen Coefficientcu . . Beispiele zum vorigen Paragraphen. Die Bewegungsgleichungen von LAQBANOE

g 8. Canonische Bewegungsgleichungen § 9. Die HAviLT0N-JAC0Bi'sehe partielle Differentialgleichung . . . . § 10. Variation der Constanten in einem mechanischen Problem . . .

3 6 13 16 22 34 41

56 62 69

Zweiter Abschnitt Ueber die Differentialgleichungen In der Mechanik. Bedingt periodische Bewegungen. § 1. Integration der HmiLTON-jAOOBi'schen Differentialgleichung durch Separation der Variabein. Theorem von STICKKL G 2. Bewegungen, die durch einen Freiheitsgrad bestimmt sind. Libration und Limitation § 3. Bedingt periodische Bewegungen , , ,

77 85 97

VI

Inhalt. Dritter A b s c h n i t t Bewegung eines Punktes, der TOB zwei festen Centren n>eh dem Newton'sehen Gesetz attrahlrt wird. Seite

§ 1. § 2. § 3. §4. § 5.

Allgemeine Betrachtungen Die Constaute h der lebendigen Kraft negativ. Librationa falle . . Die Constante h positiv h gleich Null Zwei oder mehrere Wurzeln der Gleichung R(i) = 0 oder der Gleichung S(ji) = Q fallen zusammen. Limitationsbewegungen. § 6. Periodische Bewegungen § 7. Zusammenstellung der verschiedenen Babnformen, die bei der Attraction eines Körpers nach zwei festen Centren auftreten können § 8. Beispiele

117 122 129 182 134 145 152 156

Vierter A b s c h n i t t Bas Problem der zwei Körper. § 1. Allgemeine Betrachtungen 167 § 2. Integration der HAKU.TON-JACOBi'schen Differentialgleichung für das Zwei-Körperproblem 169 § 3. Geradlinige Bewegung, c = 0 172 § 4. Elliptische Bewegung. A, negativ 177 § 5. Parabolische Bewegung. A, gleich Null 185 § 6. Hyperbolische Bewegung. A, positiv 188 § 7. Die Kraft repulsiv. Kometenschweife . . 194 § 8. Das Zwei-Körperproblem als Beispiel bedingt periodischer Bewegungen 205 § 9. Darstellung der Coordinaten als Functionen der Zeit 210

Fünfter A b s c h n i t t Das Problem der drei Körper. § § § §

1. 2. 3. 4.

Allgemeine Integrale des Problems der drei Körper Bewegungsgleichungen für relative Coordinaten Canonische relative Coordinaten «IicoBi'sche canonische Coordinaten

219 228 234 237

Inhalt

vn Seite

g 6. Variation der Constanten. Canonische Elemente § 6. Variation der Constanten bei relativen Coordinaten § 7. Die Integrale der lebendigen Kraft und der Fliehen unter Anwendung von verschiedenen Coordinaten § 8. Ueber osculirende Elemente § 9 . Elimination der Knoten. Stabilitätsbeweise von LAPLACE . . . . § 10. Reduction der Differentialgleichungen des Problems der drei Körper auf vier Freiheitsgrade

242 256 261 266 269

279

Sechster A b s c h n i t t St&runystheorie. § § § § §

1. 2. S. 4. 5.

Einführung neuer canonischer Elemente Form der Entwickelung der Störungsfunction Entwickelung der Störungsfonction Principien der Störungstheorie Coefficienten von LAPLACE

289 296 301 315 324

Siebenter Abschnitt Theorie der secnlaren Störungen. § § § §

1. 2. 3. 4.

§ 5. § 6. g 7. § 8. g 9. g 10. g 11. § 12.

Allgemeine Betrachtungen Ueber den secnlaren Theil der Störungsfunction Seculare Störungen, wenn nur zwei Planeten vorhanden sind . . Fortsetzung. Trigonometrische Ausdrücke für die secularen Störungen der Excentricität und der Perihellänge Fortsetzung. Seculare Störungen der Neigungen und der Knoten. Bedeutung der unveränderlichen Ebene Beliebige Zahl von Planeten. Seculare Störungen der elliptischen Bahn Beliebige Zahl von Planeten. Seculare Störungen der Bahnebenen Methode von JACOBI, die Wurzeln der Fundamentalgleichung numerisch zu berechnen Resultate von STOCKWSLL, die secularen Störungen der grossen Planeten betreffend Ueber den Fall, dass die Fundamentalgleichung vielfache Wurzeln besitzt Die secularen Störungen der kleinen Planeten Die secularen Störungen der kleinen Planeten. Fortsetzung . .

335 340 344 351 358 363 373 378 385 399 410 424

Tin

Inhalt. Anhang. Seit«

T a f e l I. Die Elemente der grossen Planeten auf die nnyerfinderiichu Ebene bezogen. Erl&uterungen 439 T a f e l II. Elemente der kleinen Planeten anf die unveränderliche Ebene bezogen. Erl&uterungen 441 T a f e l III und IV. Hilfstafeln zur Berechnung der secnlaren Störungen der kleinen Planeten. Erlftuterungen 4G9 Register

487

ERSTER ABSCHNITT HILFSSÄTZE AUS DER MATHEMATIK UND DER MECHANIK

CiiASUEK, Mechanik de* Himmels. I.

1

§ I. Sätze aus der Determlnantentheorie. Eine Determinante A aus n2 Elementen wird geschrieben: "il» ^i»

«u

A = "ni» n%f • ' • ' " „ „ oder gekürzt: ¿ = |ay I ( ' » > = ! > 2 , . . . n ) . Das Multiplicationstheorem lautet: l«y| X I h 1 = 1^1»

wo C

U = öi! bh + ait bit + • • • + ainbJ»

(1)

Da jede Determinante eine lineare Function eines jeden ihrer Elemente ist, so ist immer

1A 8

dem Coefficienten von a y gleich, wenn die Determinante vollständig entwickelt wird. Man hat auch immer

(2)

«

dA ,

dA ,

,

dA

(0 für i^j

8A , . «

dA . , dA (0 für i^j + ••• + «.« = | A für l = /

In gleicher Weise erhält man d'A da t } da k l als den Coefficienten von a^ akt bei der Entwickelung der Deterl*

Hilfssätze aus der Mathematik und der Mechanik.

4

minante. Die Ausdrücke für diese abgeleiteten Functionen werden erhalten — bis auf das Zeichen — indem man aus der Determinante diejenigen Reihen und Zeilen wegstreicht, die sich in denjenigen Elementen schneiden, welche in dem Nenner des Differentialquotienten vorkommen. Sämmtliche Differentialquotienten einer Determinante lassen sich als ganze Functionen der Differentialquotienten erster Ordnung ausdrücken. Wenn man die adjungirte Determinante von a^ mit a,-,- bezeichnet, so daß also: 8J "y so bekommt man nach dem Hultiplicationstheorem und unter Berücksichtigung von (2): I «y I X | atj | = A",

und mithin (3)

Hieraus und nach (1) bekommt man weiter: 1 ay, cea ctkj, a k l

8'J A da.j da kl

(4)

dJ dJ _ dJ 8J_ da.. 8 akl 8 au 8ak}

Für den Differentialquotienten dritter Ordnung bekommt man in ähnlicher Weise: cci}, a i v a i q 8*J u A' d a..d a d a„„ "Vi (5) kq lj «ir pq !

a

fV

a

pi>atq

Aus (4) folgt: A

8'J = - A da { j da k l 8a.ldakj'

oder, da die Gleichung eine Identität ist und A also wegdividirt werden kann: d'J d'J (6) ôa do 8 a ( j d a kl u kj 1

Ich verweise in Bezug auf den Beweis auf

LAURENT:

Traité d'Analyse I.

§ 1. Sätze aus der Determinantentheorie.

5

Aus (4) folgt weiter, daß für A = 0 dA dA d atJ- do^j

(7)

dA dA ^ an ^ akj

Ein System von linearen Gleichungen: a

^

n *i +

x

t + • • • + /r, • • • fn nicht unabhängig von einander, es bestehe vielmehr zwischen ihnen die Gleichung: (?)

W o , / ; , •• •£,) = ,

die zu einer identischen wird, wenn man für f0>fi>--->fn die Ausdrücke in den Veränderlichen x0,xl>.. . ,x n einsetzt, denen sie gleich sind. Differentiirt man die vorhergehende Gleichung nach den einzelnen Veränderlichen, so erhält man folgendes System von Gleichungen: u

d/iöiz a^öiz - öS» "ö/ö * 'dx,

n _ K,~dx

fl/i l

V~dx.

" '

•

M dx„' df. '

ÖJ.ÖA df,'rdxl

3JT , df. SJl a/i ^ • • • dx1 df.'

dfo^dx.

df,

• '•

dx,

df.'

Diese n + 1 Gleichungen lassen sich ansehen als ein System linearer Gleichungen zwischen der gleichen Anzahl von Unbekannten

dn

dn

d f , ' df.;

eil

df.'

bei dem die constanten Glieder gleich Null sind. Bei einem solchen System muss nach (9) § 1 die Determinante verschwinden, falls nicht etwa alle Unbekannten gleichzeitig verschwinden. Es können aber dH nicht alle Grössen u. s. w. gleichzeitig verschwinden, denn das d f» würde bedeuten, daß II von allen /¡,,/i, . •. fn frei wäre. So oft also die Functionen f0,fi,.. . , f„ nicht unabhängig von einander sind, muß: M dxi werden.

= 0

(i,j = 0 , 1 , . . . , « )

Und das war zu beweisen.

§

2.

Ueber

Functionaldeterminanten.

9

Der Beweis von JACOBI für den zweiten Theil des Satzes — dass Functionen, deren Determinante verschwindet, nicht unabhängig von einander sind — ist etwas umständlicher. Er ist indessen einfach und übersichtlich und ich gebe deswegen diesen Beweis hier wörtlich wieder. Wir wollen mit J 0 , J l t . . . , J n die Ausdrücke bezeichnen, die man in der Determinante (fJ-0,1,...,«) 3

der Reihe nach mit dx

multiplicirt findet Gleichungen:

0

d xi

d

x ,

Dann hat man nach (2) § 1 die identischen

(8)

(9)

Wir wollen annehmen, daß die Functionen unabhängig von einander sind; sind sie es nämlich nicht, so gilt bereits, was wir beweisen wollen, dass die Functionen nicht unabhängig von einander sind. Man kann nun n von den Veränderlichen i0)t1, . . . , xn, etwa x, , x , . . . , x durch x0 und f f , . . . f ausdrücken. 2

n

l t

3

n

Führt man diese Ausdrücke von x , x , . . . , x in die Function f0 ein, so wird /„ eine Function der Veränderlichen: l

x

2

n

O'fl>fi> ' • ' > f n '

Die partiellen Differentiale in Bezug auf diese Veränderlichen wollen wir in Klammern einschliessen. Dann wird:

10

Hilfssätze aus der Mathematik und der Mechanik. *A - (*A\ -i— IIA) dx0 - [dxj

+

M

[ d f j dx,

, IIA) +

U/i/

I A , +

. (IA\ •••

[d/J

iA a/i

und ferner, wenn ¿irgend einen der Indices 1 , 2 , . . . , n bezeichnet: M _ /M^ _u (IA) IA 4. j. /«H öx, - U / J 3 * r U / i / a«. ''' U / J öx von

unabhängig.

2. Die Determinante sind, verschwindet Beispiel.

von Functionen, die unabhängig

von einander

nicht.

Es seien gegeben die folgenden drei Gleichungen: * ' + y» + *» = r», (x - af + y* +

= r»,

nx + ßy + yx — Ä = 0 . Die Bedingungen dafür, daß diese Gleichungen von einander unabhängig, sind zu suchen. Die Functionaldeterminante lautet: x, y, x A = 4 x-a,y,x

a, 0, 0 = 4 x — a, y, x = 4 a Ä r

ß> r

Die Determinante verschwindet, und die Gleichungen sind also nicht unabhängig von einander, wenn: o = 0,

oder

ß -

r

- o .

Im ersten Falle werden in der That die zwei ersten Gleichungen identisch, im letzteren Falle wird die dritte Gleichung aus den anderen abgeleitet, indem man die Gleichungen von einander subtrahirt. Die Determinante verschwindet auch, wenn y und x solche Werthe haben, dass f y - ßx = 0 . Die nähere Untersuchung solcher Fälle wird in dem folgenden Paragraphen gegeben. Wenn die n Gleichungen, welche die Grössen yltyt, xx, x2,..

• • •, yn und

., xn mit einander verbinden, impliciter Form sind, also von

der Form: /•¡(yi.y«.• • •

*i>*2>---,*fl) = o

so kann man die Functionaldeterminante:

(*'= 1 , 2 , . . . , « ) ,

§ 3.

Vielfache Lösungen eines Systems von Gleichungen. I f j

{i,j = 1,2,.

I

18

. ., n)

folgendermassen bilden. Man hat (Mi] 4. M ^ J . \dx.j ^ dVl dxjT

0 - I i dxj

t

, M iy? dy. dx}

und mithin _ fdfi\ \dxj

=

dfi_ dy, dy, dxj

ÖA. dy* . dy, dx^

dfj dy.

dy. dxj'

und e9 ist also: dA

dyj

dyt dx:

oder dy
yn\x) = Q

ein System von n gleichzeitigen Gleichungen, in denen ausser den Grössen yl,yi,... , yn auch ein Parameter x vorkommt Wir nehmen nun an, dass zu dem Werth x = xQ das Werthsystem y\,y\,.. ., y°n gehört, und wollen nun diejenigen Werthe von ylty3,. . . , yn bestimmen, die einem Werth von x in der Nähe von x = x0 entsprechen.

14

Hüfesätxe aus der Mathematik und der Mechanik. Wir setzen zu dem Zweck: x = xü + i , !/i = f i + Vt,

und die Gleichungen (1) lauten somit: y\ + V t , . - . , f n +

+1) = 0,

wo t = 1 , 2 , . . . , n . Entwickeln wir nun diese Gleichungen nach dem TXYLOB'schen Lehrsatze und beachten, dass nach der Voraussetzung:

PO bekommt man zur Bestimmung von ij l t r) 3 ,. . ., rjn die Gleichungen: +

(2)

"Vi

dy,;h + jy^t 8