Die Mechanik des Himmels: Band 2 [2., durchgesehene Aufl. Reprint 2019] 9783111424163, 9783111059402

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DIE MECHANIK DES

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VORLESUNGEN VON

CARL L U D W I G C H A R L I E R O. PROFESSOR AN DER UNIVERSITÄT LUSD

ZWEITER BAND MIT ZAHLREICHEN

FIGUREN

ZWEITE, DURCHGESEHENE AUFLAGE

BERLIN UND

WALTER

LEIPZIG

DE G R U Y T E R

& CO.

YORMAIS O. J. aÖSCHEü'aCBE ViBiAGSHASDLUNQ - J. ODTTKHTAO, VEBLAQ3BÜCHBAKDLÜKQ • OEOBO BKIMEE - KAHL J. TRÜBNEK - VEIT * COMP.

19 2 7

MANULDRUCK VON F. ULLMANN G. M. B. H., ZWICKAU SA.

Schlnsswort. Den zweiten Band meiner Vorlesungen über die Mechanik des Himmels habe ich mit einem Abschnitt über Mechanische Quadratur eingeleitet. Da das Problem der drei Körper in complicirteren Fällen nicht analytisch integrirt werden kann, hat man, besonders in der letzten Zeit, Bich der mechanischen Qnadratnr bedient, um derartige Fälle zu behandeln, und es erschien deswegen angemessen, die betreffenden Methoden auseinanderzusetzen. Ich habe an einem ausführlichen Beispiel gezeigt, wie man bei der canonischen Form der Bewegungsgleichungen zweckmässig die Sechnungen anordnen soll. Durch die Untersuchungen von JACOBI und MALMSTEN, die ich hier auseinandergesetzt habe, ist der Werth des Bestgliedes in der EULEIT'schen Reihe gut bekannt Ich mache darauf aufmerksam, dass es nicht unmöglich erscheint, diese Bestuntersuchungen zu erweitern, so dass man im Stande sein wird, die zu befürchtenden Fehler in einer mechanischen Integration direct zu beurtheilen, was von grosser Bedeutung für den numerischen Bechner sein würde. Bei der Besprechung der periodischen Losungen halte ich mich ziemlich ausführlich bei solchen in der Nähe der Librationscentra auf. Spätere Entdeckungen haben die practische Wichtigkeit dieser Lösungen dargethan. Die grundlegende Arbeit H I L L ' S über periodische Lösungen in der Nähe der Massen gebe ich vollständig wieder. Dann folgt die Methode POINCAR1:'S zur Aufsuchung periodischer Bahnen und ihre Anwendung auf Lösungen der verschiedenen Gattungen. In Bezug auf die periodischen Lösungen der dritten Gattung zeige ich, wie solche Lösungen mit endlichen Werthen der Bahnexcentricitäten gefunden werden können. Dagegen habe ich nachträglich gefunden, dass meine Behauptung, dass die von POINCAB£ gefundenen kreisförmigen Lösungen dieser

IV

SehlussworL

Gattung nicht stattfinden würden, nicht stichhaltig ist Die Elemente r und T ' sind zur Aufsuchung solcher Lösungen nicht geeignet, -wie aus § 8 hervorgeht. Im zehnten Abschnitt behandle ich die Frage Ton der Convergenx der Reihen in der Mechanik des Himmels. Betreffend das Problem der zwei Körper liegt meines Wissens hier zum ersten Male eine vollständige Behandlung hierher gehörender Convergenzfragen vor. Die betreffenden Vorlesungen wurden im Frühjahr 1903 gehalten und lagen im September desselben Jahres gedruckt vor, obgleich die Veröffentlichung erst später geschehen konnte. Im März 1904 hat Lsvi-Civm. der Accademia dei Lincei eine Abhandlung eingereicht, worin er die Lage der singulären Punkte der KEPLEB'schen Gleichung bestimmt und zu ähnlichen Besultaten wie den meinigen kommt Eine Lücke ist in den Untersuchungen der Paragraphen 1 und 2 insofern vorhanden, als in Bezug auf die hyperbolische Bewegung die Entwickelungen nach Potenzen der Excentricität nicht untersucht worden sind. Diese Lücke ist später von BLOCK ausgefüllt worden (Meddelanden pän Lunds Observatorium No. 23). In Bezug auf das Problem der drei Körper untersuche ich die Entwickelung nach Potenzen der störenden Massen und die Reihen in der Störungstheorie. Das wichtige Theorem von BBUNS und die interessanten Untersuchungen GTLD£N'S über die Wahrscheinlichkeit der Divergenz sind hier von grundlegender Bedeutung. Der Abschnitt endet mit dem Nachweis, dass man bei den practischen Anwendungen der Störungstheorie zwar Beihen erhält, die eine gewisse Zeit convergiren, dass aber bei dem jetzigen Standpunkt der Theorie mit der Zeit wachsende Differenzen zwischen Theorie und Beobachtung auftreten können, ohne dass es möglich ist zu entscheidet, ob diese Differenzen von der Einwirkung fremder Körper herrühren oder auf die Unvollkommenheit der Theorie zurückzuführen sind. Giebt es eine für practische Zwecke anwendbare Form der Integrale des Problems der drei Korper, welche für alle Zeiten gültig ist? Die Frage muss vorläufig offen bleiben. Das wichtigste Streben des theoretischen Astronomen ist augenblicklich, eine solche Form aufzusuchen. Ich vermag nicht zu sagen, ob man dem Ziele nahe

Schlusswort.

y

ist oder nicht Es ist indessen sehr schwierig, eine Übersicht von Untersuchungen zu geben, welche bis jetzt zu keinem Abschluss gekommen sind. Im § 1 des elften Abschnittes leite ich das wichtige Transformationstheorem von JACOBI ab. Im Anschluss hierzu zeige ich, wie man das Theorem in zwei verschiedenen Bichtungen erweitern kann, deren ich mich bediene, um bei der Behandlung des Problems der drei Körper vom Zwei-Centren-Problem auszugehen. Dieser Weg scheint viel versprechend, und ich habe in den Vorlesungen einige Schritte zur weiteren Verfolgung des Problems gethan, ohne indessen bis jetzt zu einem Abschluss gekommen zu sein. In § 2 gebe ich eine vollständige Behandlung von mechanischen Problemen mit einem Freiheitsgrad, die in § 4 auf das DELAUNAYsehe Problem ihre Anwendung findet Mit Hilfe dieser Untersuchungen über das DELAUNAR'sche Problem werden in § 5 und § 6 die Commensurabilitäten niedrigen und höheren Grades untersucht. Die Discontinuitäten, wclche bei den Commensurabilitäten höheren Grades auftreten, bilden die grösste Schwierigkeit bei der Aufsuchung einer allgemein gültigen Form für die Integrale des Problems der drei Körper. Die drei letzten Paragraphen sind der trigonometrischen Form dieser Integrale gewidmet Die von TISSEEAND versuchte Methode, mit Hilfe der DELAÜNAY'schen Transformationen zu dieser Form zu gelangen, wird erörtert. Sie scheitert an den Commensurabilitäten höheren Grades, die übrigens in der einen oder der anderen Form auch alle anderen bis jetzt aufgestellten Methoden, zu dieser Form zu gelangen, illusorisch machen. Im § 8 wird gezeigt, dass man in Bezug auf das asteroidische Drei-Körper-Problem zu practisch anwendbaren trigonometrischen Reihen gelangen kann, die für die kleinen Planeten mit ihren raschen Perihel- und Knoten-Bewegungen den störungstheoretischen Beihen mit Entwickelungen nach Potenzen der Zeit vorzuziehen sind. Im neunten Paragraphen wird die Methode von BOHLIN, ZU einer trigonometrischen Form der Integrale zu gelangen, auseinandergesetzt Sie besitzt die Eigenthümlichkcit, die kleinen Divisoren gänzlich zu vermeiden. Diese treten indessen anderswo in ver-

VI

Schhuswort.

kleideter Form auf und üben immer noch ihren nachtheilgen Einfluss auf die Convergenz aus. Es war meine Absicht, an diesen Untersuchungen die mit den Stabilitätsfragen in Zusammenhang stehenden Probleme zu erörtern. Es handelt sich dabei theils um die Stabilität der verschiedenen particularen Lösungen zum Problem der drei Körper, theils um die Frage von der Stabilität im Planetensystem. Diese kann so formulirt werden: sind die Abstände der Planeten von der Sonne für alle Zeiten zwischen endlichen von Null verschiedenen Grenzen eingeschlossen? Verschiedene Betrachtungen, die zum Theil in den hier vorliegenden Vorlesungen zu finden sind, haben mich im Laufe der Zeit zur Ueberzeugung geführt, dass diese Frage verneinend beantwortet werden muss. Ich halte es indessen noch verfrüht, die Gründe dieser Ueberzeugung auseinanderzusetzen, und habe daher die Behandlung der Stabilitätsfragen hier nicht mit aufgenommen. Indem ich diesen Band abschliesse, erlaube ich mir den Herren, die mir in der einen oder der anderen Weise bei der Fertigstellung desselben behilflich gewesen sind, meinen herzlichen Dank auszusprechen. Ich richte mich dabei in erster Reihe an Herrn Prof. BRENDEL, der mit nie versagender Geduld die Abzüge auch von diesem Band in Bezug auf die deutsche Sprache verbessert hat. Herr Cand. G. NOE£N ist mir in vieler Hinsicht bei der Ausarbeitung der Vorlesungen behilflich gewesen und hat im Besonderen den grössten Theil der numerischen Rechnungen des achten Abschnittes ausgeführt, wofür ich ihm hiermit meinen besten Dank abstatte. Herrn Dr. A. WILSENS verdanke ich ein sorgfältiges Verzeichniss der Druckfehler im ersten Bande, das ziim Theil am Ende dieses Bandes wiederzufinden ist Zuletzt will ich dem Heim Verleger für die Geduld, mit welcher er Verspätungen meinerseits mit der Fertigstellung des Manuscriptes u. dergl. aufgenommen hat, meinen besten Dank aussprechen. L u n d , den 18. September 1907. C. V. L. Charlier.

Inhalt. Achter Abschnitt. Mechanische Quadratur. Seit«

§ § § § §

1. 2. 3. 4. 5.

Die EuLEit'sche Summationeformel Anwendungen der EoLEB'schen Reihe Relationen zwischen Differentialquotienten and Differenzen . . . Formeln für mechanische Quadratur Numerische Beispiele

3 17 23 44 53

Neunter A b s c h n i t t Periodische LSsnngren. § § § § § g

1. 2. 3. 4. 5. 6.

§ 7. § 8. § 9. §10. § 11. § 12. § 13.

Strenge Lösungen des Problems der drei Körper Periodische Lösungen in der Nfihe der Librationscentra . . . . Die Hiu'sche Grenrcurve Periodische Lösungen in der Nähe der Librationscentra. Forts. . Periodische Lösungen in der Umgebung der Massen Das CioCHT'Bche Existenztheorem. Erweiterung desselben von PoraciBi Methode von POINCAD6, die periodischen Lösungen aufzusuchen . Fortsetzung. Methode von Poraaixi, die periodischen Lösungen aufzusuchen Die Form der Entwickelung der Störongsfunction Periodische Lösungen der ersten Gattung Periodische Lösungen der zweiten Gattung Periodische Lösungen der dritten Gattung . Andere Gattungen periodischer Lösungen

89 102 111 117 137 172 187 198 202 206 215 231 240

Inhalt.

vm

Zehnter A b s c h n i t t Convergenz der Seihen In der Mechanik des Himmels. g § § §

1. 2. 3. 4.

(Konvergenz der Beihen im Problem der zwei Körper Convergenz der Beihen im Problem der zwei Körper. Fortsetzung Die Hoi/sche Grenzearve Convergenz der Entwickelangen nach Potenzen der störenden Massen § 5. Convergenz der Beihen in der Störangstheorie § 6. Convergenz der Beihen in der Störangstheorie. Fortsetzung • • •

8clt6 255 273 289 296 304 821

Elfter Abschnitt Ueber die Form der Integrale Im Problem der drei Körper. § 1. Ein TranBformationstheorem in der Mechanik § 2. Ueber mechanische Probleme mit einem Freiheitsgrad § 3. Entwickelang der Störangsfanction im asteroidischen Problem § 4. Das DELAUNAT'sche Problem § 5. Ueber die Commensurabilit&ten niedrigen Grades § 6. Ueber Commensurabilitfiten höheren Grades § 7. Ueber die Darstellung der Integrale des Problems der in rein trigonometrischer Form § 8. Ueber die Darstellung der Integrale des Problems der in trigonometrischer Form. Fortsetzung § 9. Ueber die Darstellung der Integrale des Problems der in trigonometrischer Form. Zweite Fortsetzung Sachregister Berichtigungen zum ersten Bande

333 35g Dreikörper367 375 33g 418 drei Körper 434 drei Körper 447 drei Körper 433 477 479

ACHTER ABSCHNITT MECHANISCHE QUADRATUR

CHIEIJEB, Mechanik des Hlmnml». IL

1

§ I. Die EuLER'sche Summationsformel. Unter dem Namen mechanische Quadratur werden alle solchen Rechenoperationen verstanden, mittelst welcher man den Werth eines Integrals berechnen kann, ohne die Integration analytisch auszuführen. Die Methoden, die man zu diesem Zwecke benutzt, lassen sich mehr oder weniger direct auf eine Formel zurückfuhren, die ungefähr gleichzeitig von M a c l a u b i n und von E u l e b gefunden wurde, und die gewöhnlich mit dem Namen EnLE^sche Summationsformel oder EuLEitsche Heike bezeichnet wird. Ich habe es deswegen für zweckmässig betrachtet, diesen Abschnitt mit der ausführlichen Auseinandersetzung der Eigenschaften dieser interessanten Formel anzufangen. — Der Uebergang zu den gewöhnlichen Formeln für mechanische Quadratur geschieht dann ohne Schwierigkeit. Dieser Weg hat ausserdem den wichtigen Vortheil, dass man mit Hilfe der eingehenden Untersuchungen über die EüLEB'sche Reihe zu einer Auffassung der Grösse des Fehlers, den man bei einer numerischen Berechnung des Integrals zu befürchten hat, gelangen kann. Um die EuLEß'sche Summationsformel abzuleiten, geht man von der Identität

CD

2n(u)du, 0

oder nach (15) (20)

S, „ = J2 „ a>2»+i f»n*i [a +6 m).

Dieser allgemeine Ausdruck für das Restglied in der Euleb'sehen Reihe ist zuerst von M a l m s t e n gegeben worden ( C b e l l e ' s Journal für die reine und angewandte Mathematik Bd. XXXV (1847), abgedruckt in Acta Mathematica T. 5). Der ÄlALMSTEu'sche Ausdruck für das Restglied ist allgemein und vollständig unabhängig von den Eigenschaften der Function /"(a) und ist in den meisten Fällen auch bequem anzuwenden. Der folgende Ausdruck, der von J a c o b i herrührt ( C b e l l e , Bd. XII), ist zwar nicht immer anwendbar, führt aber zu einer noch bequemeren Formel für das Restglied. If enn nämlich (a + «(1 — a)) zwischen den Grenzen u = 0 und li = 1 das Zeichen nicht wechselt, kann man nach (19) schreiben i li2 n = - 0>2r.+l Q}in{d) Jpn 0 = -« 2 "2n (ö) W

+ l (ß

+

« (1 _ „)) d U

(« + « ) - ^

(«)] •

Nun haben wir aber bewiesen, dass die Function . w B = - w ycotgy

ist.

§ 2. Anwendungen der EtJLEs'schen Reihe.

21

wo •ff 2 ! = Ain

f{a +2 (o)

/T(

f0"{a + w)

co)

A

i®)

+

Es ist also fo'i*~

I«) =

f{a-(o)-f{a-2m),

/•«'(«+

i«) = / - ( a +

« ) - / »

u. s. w. /i" ( « - « ) = fo"i°)

-/;'(«+

i®)-/".'(a-*®).

fo" (« + ») == / i ' ( a + * » ) - / • , ' ( « + * « ) u. s. w. Nach dem Theorem von

TAYLOR

hat man, vorausgesetzt, dass

die betreffenden Reihen convergiren, f(a) f(a +

= f{a) a,)-/•(«)

+ - j f f (a) +

/•(« +2o,) = f(a) + -g- r («) + ^-V'

/•(a + 3 « ) = f{a) + *jLr

(«) + U. S. V.

+ ^

f

»

+

(«) + ^rV"

(«) +

+ ^

w +

r

-

-

-

§ 3. Relationen zwischen Differentialquotienten und Differenzen.

25

Hieraus erhält man durch Subtraction

U. 8. W.

Werden diese Seihen von einander subtrahirt, so erhält man weiter f : (« +

«) = f- (a + *a>)-

f0' (a + ±co) = »"/"(«)

fo" (a + 2 m) = f0' {a + \(o)-f'{a

+ | co) = «'/"(«)

+

®T

+ 20,«/-»

(«)+••• +

...

u. s. w. Hieraas bekommt man f'"

( a + |«)

= f0" (a + 2 o>) - /•„" (a +

= ©'/"" («) + • • ••

U. 8. W.

Es ist leicht ersichtlich, dass sämmtliche Differenzen durch die Ableitungen der Function f(a) ausgedrückt werden können, und zwar wird die Differenz wter Ordnung durch Ableitungen der nten und höheren Ordnungen ausgedrückt Wir wollen die Differenzen /i'(« + i ® ) .

/ o » + «),

/ö"'(« + l « ) - .

/?(«+£").•••

mit dem Namen adjungirte Differenzen der Function f(a) bezeichnen. Die adjungirten Differenzen der Function f{a + + -Ja>)

(8-1,2,8/...)

als adjungirte Differenzen der Function f(a + t + *")-/•-*