Die Mechanik des Himmels: Band 1 [Reprint 2020 ed.] 9783112351260, 9783112351253

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DIE MECHANIK DES

H

I

M

M

E

L

S

VORLESUNGEN VON

CARL LUDWIG CHARLIER, O. PROFESSOR AK DER UNIVERSITÄT LUND.

ERSTER BAND. MIT

ZAHLREICHEN

FIGUBEN.

LEIPZIG VERLAG VON VEIT & COMP. 1902

.

Druck von Metzger à Wittig in Leipzig.

V o r w o r t .

Dies Werk enthält, der Hauptsache nach, die Vorlesungen, die ich seit dem Herbste 1898 an der Universität zu Lund gehalten habe. Als Ziel habe ich mir gesteckt, eine möglichst einheitliche Darstellung des jetzigen Standpunkts der Untersuchungen über die Mechanik des Himmels, insofern sich dieselbe mit der Bewegung von Massenpunkten beschäftigt, zu geben. Es ist dabei mein Hauptstreben gewesen, die astronomisch wichtigen Resultate hervorzuheben, indem ich gleichzeitig die mathematische Eleganz und Schärfe, welche besonders die neueren Untersuchungen auf diesem Gebiete ermöglicht haben, zum Ausdruck zu bringen suchte. Ich bin mir der Unvollkommenheit meiner Arbeit völlig bewusst. Eine Entschuldigung dafür kann ich nur darin suchen, dass es in der Uebergangsperiode, in welcher die Astronomie sich befindet, besonders schwierig ist, das Wesentliche von dem Unwesentlichen zu unterscheiden. An einigen Stellen ist vielleicht die mathematische Seite des Problems zu stark hervorgehoben auf Kosten der astronomischen, an anderen vielleicht umgekehrt, obgleich ich stets bestrebt gewesen bin, ein gesundes Gleichgewicht zwischen diesen beiden Hauptgesichtspunkten einzuhalten. Um bei den mathematischen Untersuchungen die Fühlung mit der astronomischen Praxis zu wahren, habe ich an den wichtigeren Punkten numerische Beispiele — meistens dem Planetensystem entnommen — hinzugefügt, die geeignet sein können, die astronomische Bedeutung der Untersuchung zu beleuchten. Der vorliegende erste Band enthält die allgemeinsten Resultate über das Zwei- und Drei-Körperproblem. Der Theorie der secularen Störungen habe ich einen ausführlichen Abschnitt gewidmet. Die

Vorwort.

IV

Bewegung eines Punktes, der von zwei festen Centren nach dem NEWTON'schen Gesetz attrahirt wird, habe ich sehr vollständig behandelt, indem ich von den Untersuchungen von STAUDE über bedingt periodische Bewegungen ausgegangen bin. In dem Abschnitt über das Problem der zwei Körper wird eine einfache Theorie der Kometenschweife gegeben. In dem Anhange habe ich einige Tafeln aufgenommen, die für die numerische Berechnung der Störungen der Planeten — im Besonderen der kleinen Planeten — von Nutzen sind. Der zweite Band, der im nächsten Jahre erscheinen soll, wird hauptsächlich die Theorie der periodischen Lösungen des Problems der drei Körper und die Untersuchungen über die Convergenz der Reihen behandeln. Dem Herrn Professor M. BBENDEL bin ich zu besonderem Dank verpflichtet für seine grosse Freundlichkeit, diesen Band in Bezug auf die deutsche Sprache zu prüfen und zu berichtigen. Endlich spreche ich dem Herrn Verleger meinen herzlichen Dank aus für seine Bereitwilligkeit, die Vorlesungen zum Druck zu bringen, und für die Sorgfalt, mit welcher der Druck ausgeführt worden ist. L u n d , Mai 1902. C. V. L. Charlier.

I n h a l t .

Seite

Vorwort

. . .

m

Sätze aus der Determinantentheorie . Ueber Functionaldeterminanten Vielfache Lösungen eines Systems von Gleichungen Lineare Substitutionen Lineare Differentialgleichungen mit periodischen Coefficienten . . Beispiele zum vorigen Paragraphen § 7 . Die Bewegungsgleichungen von LAQRANQE § 8. Canonische Bewegungsgleichungen § 9 . Die HAMILTON-JACOBI'ache partielle Differentialgleichung . . . . § 10. Variation der Constanten in einem mechanischen Problem . . .

3 6 13 16 22 34

Erster Abschnitt. Hilfssätze aus der Mathematik und der Mechanik. § § § § § §

1. 2. 3. 4. 5. 6.

41

56 62

69

Zweiter Abschnitt. Veber die Differentialgleichungen in der Mechanik. Bedingt periodische Bewegungen. § 1. Integration der H A M I L T O N - J A O O B I ' s c h e n Differentialgleichung durch Separation der Variabein. Theorem von STÄCKEL § 2. Bewegungen, die durch einen Freiheitsgrad bestimmt sind. Libration und Limitation § 3. Bedingt periodische Bewegungen

11 85 97

Inhalt.

VI

Dritter Abschnitt. Beiregung1 eines Punktes, der von zwei festen Centren nach dem Newton'schen Gesetz attrahirt wird. Seite

§ 1. Allgemeine Betrachtungen § 2. Die Constante h der lebendigen K r a f t negativ. Librationsfalle . . § 3. Die Constante h positiv § 4 . h gleich Null § 5. Zwei oder mehrere Wurzeln der Gleichung = 0 oder der Gleichung S (/i) = 0 fallen zusammen. Limitationsbewegungen. § 6. Periodische Bewegungen § 7. Zusammenstellung der verschiedenen B a h n f o r m e n , die bei der Attraction eines Körpers nach zwei festen Centren auftreten können § 8. Beispiele

117 122 129 132 134 145 152 156

Vierter Abschnitt. Das Problem der zwei Körper. § 1. § 2.

Allgemeine Betrachtungen Integration der HAMiLTON-jAcoBi'schen Differentialgleichung für das Zwei-Körperproblem

§ 3.

Geradlinige Bewegung,

§ § § § §

Elliptische Bewegung, h^ negativ Parabolische Bewegung. gleich Null Hyperbolische Bewegung. h t positiv Die K r a f t repulsiv. Kometenschweife D a s Zwei-Körperproblem als Beispiel wegungen

4. 5. 6. 7. 8.

§ 9.

e —0

172

. . .

177 185 188 194

periodischer

Darstellung der Coordinaten als Functionen der Zeit

169

. . . . . . .

bedingt

167

Be205 210

Fünfter Abschnitt. Das Problem der drei Körper. § 1.

Allgemeine Integrale des Problems der drei K ö r p e r

219

§ 2. § 3.

Bewegungsgleichungen f ü r relative Coordinaten Canonische relative Coordinaten

228 234

§ 4.

jAcoBi'sche canonische Coordinaten

237

Inhalt.

VII Seite

§ 5. Variation der Constanten. Canonische Elemente 242 § 6. Variation der Constanten bei relativen Coordinaten 256 § 7. Die Integrale der lebendigen Kraft und der Flächen unter Anwendung von verschiedenen Coordinaten 261 § 8. Ueber osculirende Elemente 266 § 9. Elimination der Knoten. Stabilitätsbeweise von LAPLACK . . . . 269 § 10. Reduction der Differentialgleichungen des Problems der drei Körper auf vier Freiheitsgrade 279

Sechster Abschnitt. StiSrungstheorie. § 1. Einführung neuer canonischer Elemente

289

§ § § §

296 301 315 324

2. 3. 4. 5.

Form der Entwickelung der Störungsfunction Entwickelung der Störungsfunction Principien der Störungstheorie Coefficienten von LAPLACE

Siebenter Abschnitt. Theorie der seeularen Störungen. § § § §

1. 2. 3. 4.

§ 5. § 6. § 7. § 8. § 9. § 10. § 11. § 12.

Allgemeine Betrachtungen Ueber den seeularen Theil der Störungsfunction Seculare Störungen, wenn nur zwei Planeten vorhanden sind . . Fortsetzung. Trigonometrische Ausdrücke für die seeularen Störungen der Excentricität und der Perihellänge Fortsetzung. Seculare Störungen der Neigungen und der Knoten. Bedeutung der unveränderlichen Ebene Beliebige Zahl von Planeten. Seculare Störungen der elliptischen Bahn Beliebige Zahl von Planeten. Seculare Störungen der Bahnebenen Methode von JACOBI , die Wurzeln der Fundamentalgleichung numerisch zu berechnen Resultate von STOCKWELL , die seeularen Störungen der grossen Planeten betreffend Ueber den Fall, dass die Fundamentalgleichung vielfache Wurzeln besitzt Die seeularen Störungen der kleinen Planeten Die seeularen Störungen der kleinen Planeten. Fortsetzung . .

335 340 344 351 358 363 373 378 385 399 410 424

vin

Inhalt. Anhang. Seite

T a f e l I. T a f e l II.

Die Elemente der grossen Planeten auf die unveränderliche Ebene bezogen. Erläuterungen 439 Elemente der kleinen Planeten auf die unveränderliche Ebene bezogen. Erläuterungen

441

T a f e l III und IV. Hilfstafeln zur Berechnung der secularen Störungen der kleinen Planeten. Erläuterungen

469

Register

487

§ I. S ä t z e aus der Determinantentheorie. Eine Determinante A aus n2 Elementen wird geschrieben: xll>

A

"12» • '

"in

21 >

=

a

2n

I ,, a n2' „,..., >ann I o b1'

oder gekürzt: ^ ~ I aij I

= 1 , 2 , . . . n).

Das Multiplicationstheorem lautet: I ai3 | x ! Äy I = I Cy | ,

wo C

H = «¡1 hh

(1)

+ aii bJ2 + • • • + ain bin •

Da jede Determinante eine lineare Function eines jeden ihrer Elemente ist, so ist immer dJ öa

ij

dem Coefficienten von ay gleich, wenn die Determinante vollständig entwickelt wird.

(2)

Man hat auch immer Sa

jn

8A \i

8A

dA

d A da. Jl

dA ni

>iS

*2J

dA d anj .

10 für i 4= j \A f ü r i ~j

0 für i

•

A für i — j

In gleicher Weise erhält man d'-A da

ijSaki

als den Coefficienten von ay ahl bei der Entwickelung der Deter-

4

Hilfssätze

aus der Mathematik und der Mechanik.

minante. Die Ausdrücke für diese abgeleiteten Functionen werden erhalten — bis auf das Zeichen — indem man aus der Determinante diejenigen Reihen und Zeilen wegstreicht, die sich in denjenigen Elementen schneiden, welche in dem Nenner des Differentialquotienten vorkommen. SämmÜiche Differentialquotienten einer Determinante lassen sich als ganze Functionen der Differentialquotienten erster Ordnung ausdrücken. Wenn man die adjungirte Determinante von a t j mit «¡j bezeichnet, so daß also: dA an = da--' ij so bekommt man nach dem Multiplicationstheorem und unter Berücksichtigung von (2): I ttij I X I ßy I =

und mithin

,

= An~K

(3)

Hieraus und nach (1) bekommt man weiter: d2A A-. "da{Jdakl

4

( )

cekj, cckl

dA dJ da { . da k l

dA u

da

8A kj '

8a

Für den Differentialquotienten dritter Ordnung bekommt man in ähnlicher Weise: «y> ««. u iq d'A K A2 (5) kl> akq d 'd a,T d a> a «1W W aM Aus (4) folgt: d'A d*A = A a da n kj oder, da die Gleichung eine Identität ist und A also wegdividirt werden kann: (6)

8

1

%

8 a

ki

8 a

u

8 a

Ich verweise in Bezug auf den Beweis auf

kj

LAURENT

: Traité d'Analyse I.

§ 1.

Sätze aus der Determinantentheorie.

5

Aus (4) folgt weiter, daß für A = 0 8A 8a{j

(?)

8A dakl

8A dA daH 8 akj

Ein System von linearen Gleichungen: «n

+ «12 x 2 + • • • + a l n x n = Äj

«21 *l + «22 *2 + • • • + a 2n X n = K

(8)

1 a a,nl x.1 +1 an£- .r„* +1 . . . + nn .rn = hn

hat zur Lösung

+

o»

+- +

unter Voraussetzung, dass A =(= 0. Ist J = 0, sind aber die Differentialquotienten erster Ordnung nicht sämmtlich gleich Null, so lautet die Lösung von (8): (10)' wo

Xj = X,«Sa,,. ~ +^ S^ K .8a ,8a t rj

V0 = 1 , '2 , '. . . » );>,

einen beliebigen Werth (1,2, . . . n) annehmen kann.

Sind die rechten Glieder von (8) sämmtlich gleich Null, so bekommt man aus (10) die bekannte Formel: (11)

dA 5 a »i

~

dA da,

( j = 1,2, . . . » ) .

Wenn A — 0, so sind somit die Gleichungen (8) nicht von einander unabhängig, und man kann durch (10) oder (11) n — 1 von den Grössen xj durch eine derselben linear ausdrücken. Wenn nicht nur A, sondern auch sämmtliche Unterdeterminanten = Differentialquotienten) erster Ordnung verschwinden, dann hat man, wenn z. B. - ^ L - ± o 8 an dai2 ' '

6

Hilfssätze aus der Mathematik und der Mechanik.

folgende Ausdrücke für x} (\2)

x -

§ 2.

d A

*

x

I

diJ

x

I V A

rj

Ueber Functionaldeterminanten.

Wenn y^, y2, . . . yn n Functionen der n Veränderlichen xl, x2, . .. xn bezeichnen, dann nennt man Functionaldeterminante oder JAcoBi'sche Determinante (weil zuerst von J A C O B I näher studirt) die folgende: s Vi dy t dyi 8 xl 8 xt dx„ dy* 8y t dy t dyi J = 8 xl 8 xt dx„ (1) 8Xj 8yn 8y„ 8 Xi' d xt'

8 yn ' d xn

Dieselbe wird auch öfters in folgender Weise bezeichnet: j _ fl(yi»y».•••.»«) _ di,Xs, ... . xn)

(2)

Wenn ylty2, • • • yn die partiellen Differentialquotienten einer Function f sind, also: df » • ' a i ' so wird die Determinante die Hessische Determinante von f genannt, und ihr Ausdruck ist somit: (3)

H =

B,f 8 x. 8 x-

{hj = 1 , 2 , . . . w).

Jede Functionaldeterminante lässt sich als Quotient zweier Determinanten darstellen. Wenn nämlich djxlf djx2, . . . djxn irgend ein System von gleichzeitigen unendlich kleinen Aenderungen von x2, . . xn bezeichnen, so sind die entsprechenden Aenderungen von y1,y2,...,yn durch folgende Formel gegeben:

6

Hilfssätze aus der Mathematik und der Mechanik.

folgende Ausdrücke für x} (\2)

x -

§ 2.

d A

*

x

I

diJ

x

I V A

rj

Ueber Functionaldeterminanten.

Wenn y^, y2, . . . yn n Functionen der n Veränderlichen xl, x2, . .. xn bezeichnen, dann nennt man Functionaldeterminante oder JAcoBi'sche Determinante (weil zuerst von J A C O B I näher studirt) die folgende: s Vi dy t dyi 8 xl 8 xt dx„ dy* 8y t dy t dyi J = 8 xl 8 xt dx„ (1) 8Xj 8yn 8y„ 8 Xi' d xt'

8 yn ' d xn

Dieselbe wird auch öfters in folgender Weise bezeichnet: j _ fl(yi»y».•••.»«) _ di,Xs, ... . xn)

(2)

Wenn ylty2, • • • yn die partiellen Differentialquotienten einer Function f sind, also: df » • ' a i ' so wird die Determinante die Hessische Determinante von f genannt, und ihr Ausdruck ist somit: (3)

H =

B,f 8 x. 8 x-

{hj = 1 , 2 , . . . w).

Jede Functionaldeterminante lässt sich als Quotient zweier Determinanten darstellen. Wenn nämlich djxlf djx2, . . . djxn irgend ein System von gleichzeitigen unendlich kleinen Aenderungen von x2, . . xn bezeichnen, so sind die entsprechenden Aenderungen von y1,y2,...,yn durch folgende Formel gegeben:

§ 2. a

a X X. l 9rl as,

>y1

a

Ueber

1 ^

1

Functionaldeterminanten.

Ö X,

»

9 a;„

^

jif2 ~ Q Xi " j 1 ! + j ^ a ] 2 I

•

•

+

•

•

+

9y„ ö«.

Nun ist aber nach dem Multiplicationstheorem: 1 \ x i 4*, »J I I "

P Ö wo

=

4- rf.- ar = dj y., und man hat somit: 7 =

(4)

d

iVi d'l xJ

9 X;

{i,j

=

1,2,...,

Aus diesem Satze kann man verschiedene wichtige Eigenschaften der Functionaldeterminanten ableiten; im Besonderen folgt hieraus unmittelbar, dass: dy> dxj

(5)

du, 9^

X

dus

und speciell 1 =

(6)

9 Xi 9 u,

X

9 u, dxi

Der wichtigste Satz, der sich auf Functionaldeterminanten bezieht, ist in dem folgenden, von J A C O B I aufgestellten Lehrsatz enthalten: Die Determinante

von Functionen, die nicht unabhängig

der sind, verschwindet,

und Functionen, deren Determinante

sind nicht unabhängig

von

von einanverschwindet,

einander.

Der erste Theil dieses Satzes wird von bewiesen.1

JACOBI

in folgender Weise

JACOBI: Ueber Functionaldeterminanten, herausgegeben von OstWALD's Klassiker Nr. 78. 1

P . STXCKFX.

8

Hilfssätze aus der Mathematik und der Mechanik.

Es soll bewiesen werden, dass die Determinante von Functionen, die nicht unabhängig von einander sind, verschwindet. Es seien f0,fx, • . • fn nicht unabhängig von einander, es bestehe vielmehr zwischen ihnen die Gleichung: (?)

/7(/-0,/i,.../;) = o,

die zu einer identischen wird, wenn man für f0>fi> • • • j fn die Ausdrücke in den Veränderlichen x0,xi>. . . ,xn einsetzt, denen sie gleich sind. Differentiirt man die vorhergehende Gleichung nach den einzelnen Veränderlichen, so erhält man folgendes System von Gleichungen: df1.sn dfLdn. ö»o df0 dx„ dfi "' ö d f „ ' _ I/o dJI ÖA dn df^ 81[ df„'rdxl d f i ^ - - - ' r d x l 8fn'

0 = n

_du_ sn 8£ dJI dx„ ö f , ^ dxn dft

du, dxn

811 dfn '

Diese n + 1 Gleichungen lassen sich ansehen als ein System linearer Gleichungen zwischen der gleichen Anzahl von Unbekannten 8JT dJI dJI ö/ö' d f 1 ' ' " ' d f n ' bei dem die constanten Glieder gleich Null sind. Bei einem solchen System muss nach (9) § 1 die Determinante verschwinden, falls nicht etwa alle Unbekannten gleichzeitig verschwinden. Es können aber B Ii nicht alle Grössen -r-r- u. s. w. gleichzeitig verschwinden, denn das ö/o würde bedeuten, daß II von allen f0,fx, . . . fn frei wäre. So oft also die Functionen f o > f \ > - - - i f „ nicht unabhängig von einander sind, muß: M = 0 dwj werden.

(i,j

Und das war zu beweisen.

=0,1,...,«)

§ 2.

Ueber

9

Funetionaldeterminanten.

Der Beweis von JACOBI für den zweiten Theil des Satzes — dass Functionen, deren Determinante verschwindet, nicht unabhängig von einander sind — ist etwas umständlicher. Er ist indessen einfach und übersichtlich und ich gebe deswegen diesen Beweis hier wörtlich wieder. Wir wollen mit A0, Al, . . . , An die Ausdrücke bezeichnen, die man in der Determinante / =

= 0 , 1 , . . . , n)

der Reihe nach mit M

djo dx*

M.

ÖXa Ö

multiplicirt findet. Gleichungen:

Dann hat man nach (2) § 1 die identischen

(3)

dFLx 0RR '_ OA dx0~.

U

RT d

cc,r,.'

ÜA

FLT B x0"

"

1

1

R)

M

rr.

IR_ dx„'

RT

»7

»'

(9)

0 =

A

dx0' °

+

Sfn

J^

A

1 + * •*

+

Sfn dx„ flfA'

Wir wollen annehmen, daß die Functionen unabhängig von einander sind; sind sie es nämlich nicht, so gilt bereits, was wir beweisen wollen, dass die Functionen nicht unabhängig von einander sind. Man kann nun n von den Veränderlichen x0, . . . , xn, etwa xltx2,. . . , xn durch xa und / j , f2, . . . fn ausdrücken. Führt man diese Ausdrücke von xt, x2, . . . , xn in die Function /"„ ein, so wird / 0 eine Function der Veränderlichen: X

Off\>fi> • • • > fn'

Die partiellen Differentiale in Bezug auf diese Veränderlichen wollen wir in Klammern einschliessen. Dann wird:

10

Hilfssätze aus der Mathematik und, der Mechanik. M

_ (Hl)

dx0 ~ [dxj

4. fiA) +

M

4- fOÄ)

M

j.

{ d f j dx0 + [ d f j dx0 f

i (lf,\ • • •

Sfn

[dfj

df0

und ferner, wenn ¿irgend einen der Indices 1 , 2 , . . . , n bezeichnet: dfo /o _ / M i i L (Mi s i , , ( i n Aid«, ~ [ d f j dx< T [ d f j öxt ^ ' •• ^ [ d f j dz," Setzt man diese Ausdrücke in (8) ein, so erkennt man, dass die Ausdrücke, die der Reihe nach mit: (dfo\

(8fA

(df0\

multiplicirt sind, wegen (9) identisch verschwinden.

Mithin ergiebt

sich die bemerkenswerthe Formel:

Verschwindet also die Determinante auf der linken Seite, so Bf\ muss entweder f - ^ i oder die Determinante: vö®J i s t

¿= \¥

ai)

l

I dxj

(hj,

=

1,2,...,«)

verschwinden. W i r setzen voraus, dass die Behauptung für n Functionen gilt, oder dass n Functionen nicht unabhängig von einander sind, wenn ihre Determinante verschwindet.

Mithin würden, wenn die vorher-

gehende Determinante Ä verschwände, die Functionen in Bezug auf xx>x%,.

, f2, . . . , fn

. . , xn nicht unabhängig von einander sein, und

das widerspricht der Voraussetzung, die wir gemacht haben.

Folg-

lich muss der andere Factor ( y ^ j verschwinden, und hieraus folgt, dass f0

allein von

, /*2, . . . , fn

gedrückt werden kann.

ohne

die Veränderliche x0 aus-

Mithin sind die Functionen

f0,f\,•••,/*„

nicht unabhängig von einander, was zu beweisen war. Nachdem wir die Behauptung für n + 1 Functionen bewiesen haben, sobald sie für n Functionen gilt, wird sie allgemein gelten,

§ 2.

Ueber

sobald sie für zwei Functionen erhärtet ist. dermaßen.

Das geschieht folgen-

Es seien f0 und fx Functionen von x0 und xv minante verschwindet, oder es sei identisch: M

11

Functionaldeterminanten.

M

_ M

8 x0 8 xt

deren Deter-

M = o.

dxl

d xa

Nun ist / j entweder eine Constante oder enthält wenigstens eine der beiden Veränderlichen, etwa xv und dann läßt sich xx durch ,r0 und f[ ausdrücken. Setzt man diesen Ausdruck in f0 ein, so wird: dx„

IA 8xl

mithin 0 =

\8xJ

[ d f i ) 8x„'

fiA) 1A,

=

\8fJ

M M _ M M dx0 8 Xi

8xt'

= /dfA dfKm

dxt 8 x0

\8x 0 J 8 x,

8f

zweite Factor 8 verschwindet nicht,' da wir voraussetzen, daß fDer x gerade xl enthalten soll, mithin ist:

(53 oder die Function f0, ausgedrückt durch x0 und fv wird frei von x0 und ist eine Function von fx allein. Hiermit ist dargethan: So oft die Identität: I/o M

8 x0 8 xl

_MM-=:0 8 xt 8 xQ

besteht, ist entweder eine Constante oder f0 eine Function von fv und es sind also die Functionen f0 und fx nicht unabhängig von einander. Und das war zu beweisen. So lautet der JACOBi'sche Beweis für diesen wichtigen Satz. Die obigen Theoreme können auch in folgender Weise ausgedrückt werden:

12

Hilfssätxe aus der Mathematik und der Mechanik. 1. Functionen,

einander

deren Determinante

nicht verschwindet,

sind

von

unabhängig.

2. Die Determinante sind, verschwindet Beispiel.

von Functionen, die unabhängig

von einander

nicht.

Es seien gegeben die folgenden drei Gleichungen: x' + y1 + x* = r2, (x - af + y* + x% = r», ax+ßy

+ yx — 5 = 0.

II

Die Bedingungen dafür, daß diese Gleichungen von einander unabhängig, sind zu suchen. Die Functionaldeterminante lautet: y, * x — a, y, *

a, o, 0 = 4 x — a, y, X

A r

A r

= 4a

Die Determinante verschwindet, und die Gleichungen sind also nicht unabhängig von einander, wenn: a = 0,

oder

ß-r

= o.

Im ersten Falle werden in der That die zwei ersten Gleichungen identisch, im letzteren Falle wird die dritte Gleichung aus den anderen abgeleitet, indem man die Gleichungen von einander subtrahirt. Die Determinante verschwindet auch, wenn y und % solche Werthe haben, dass yy - ßx = 0 . Die nähere Untersuchung solcher Fälle wird in dem folgenden Paragraphen gegeben. Wenn die n Gleichungen, welche die Grössen y1,y2,

. . • , yn und

xx, x2, . . ., xn mit einander verbinden, impliciter Form sind, also von der Form:

so kann man die Functionaldeterminante:

§ 3.

Vielfache Lösungen eines Systems von Gleichungen. | Iii I dxi

(V =

13

«)

1,2,

folgendermassen bilden. Man hat dxj

\ d x-j

d£

dyn

+ dyn dxj

dyl dXj

und mithin iäfA \ d xj

=

M Èh . d y, d Xj

M dy2 d Xj+

+

dfi dy n dyn dxj'

und es ist also: dyi 8 Xj - ( - " " ¡ ( I f )

ÈA S Vj oder (12)

M

dXj

§ 3.

=

(

I (ÊA) > I {dxj

IV.

•I ÎA • I dVj

Vielfache Lösungen eines Systems von Gleichungen.

Eine der wichtigsten Anwendungen der Theorie der Functionaldeterminanten bezieht sich auf die Untersuchung der vielfachen Lösungen eines vorliegenden Systems von Gleichungen. Es sei:

m

9i (yi>ya> • • • >yn; = °> x y3> • • • ,yn\' ) = o, y,(»i>y2' • • • .y„; *) = o

ein System von n gleichzeitigen Gleichungen, in denen ausser den Grössen yl,y.i, • . . , yn auch ein Parameter x vorkommt. Wir nehmen nun an, dass zu dem Werth x = x0 das Werthsystem y\,y\,. . ., y°n gehört, und wollen nun diejenigen Werthe von y1,yi, • • • ,yn bestimmen, die einem Werth von x in der Nähe von x = x0 entsprechen.

§ 3.

Vielfache Lösungen eines Systems von Gleichungen. | Iii I dxi

(V =

13

«)

1,2,

folgendermassen bilden. Man hat dxj

\ d x-j

d£

dyn

+ dyn dxj

dyl dXj

und mithin iäfA \ d xj

=

M Èh . d y, d Xj

M dy2 d Xj+

+

dfi dy n dyn dxj'

und es ist also: dyi 8 Xj - ( - " " ¡ ( I f )

ÈA S Vj oder (12)

M

dXj

§ 3.

=

(

I (ÊA) > I {dxj

IV.

•I ÎA • I dVj

Vielfache Lösungen eines Systems von Gleichungen.

Eine der wichtigsten Anwendungen der Theorie der Functionaldeterminanten bezieht sich auf die Untersuchung der vielfachen Lösungen eines vorliegenden Systems von Gleichungen. Es sei:

m

9i (yi>ya> • • • >yn; = °> x y3> • • • ,yn\' ) = o, y,(»i>y2' • • • .y„; *) = o

ein System von n gleichzeitigen Gleichungen, in denen ausser den Grössen yl,y.i, • . . , yn auch ein Parameter x vorkommt. Wir nehmen nun an, dass zu dem Werth x = x0 das Werthsystem y\,y\,. . ., y°n gehört, und wollen nun diejenigen Werthe von y1,yi, • • • ,yn bestimmen, die einem Werth von x in der Nähe von x = x0 entsprechen.

14

Hilfssätze aus der Mathematik und der Mechanik.

Wir setzen zu dem Zweck: x =x0

+

Vi

+ Vi,

und die Gleichungen (1) lauten somit: i +

+ %>•••>/„

+

+

= 0,

wo i ' = 1 , 2 , . . . , b . Entwickeln wir nun diese Gleichungen nach dem TAXLOB'schen Lehrsatze und beachten, dass nach der Voraussetzung:

so bekommt man zur Bestimmung von q l f rj 2 , . . ., t]n die Gleichungen:

(2)

dVi 'l ^ dy,'1*

-r dy/'"^

V^h + dy l 5 ^ '»2 8 Vi 3

+ ••• + Sy„ x N »'» + dx

ö^i

1

Sy^

2

'»

dx &

+

oxs

2

n

= 0»

•

wo B1,Bi, . . ., Rn die Glieder zweiten oder höheren Grades in den. Entwickelungen bezeichnen. Bezeichnen wir nun die Functionaldeterminante von q> mit A% so dass: (31

'

A = d d(ylt y„...,

d % > • • • > 1 n sieb durch zwei beliebige von ihnen r]2 — ausdrücken lassen, so erhält man aus (9) für s zwei Gleichungen von der Form: o = El n \ + Ah v2 + E3n\ + o = F, n\ + f2 % r,2 + f3 n\ + (Fin1

+ \i,)£ + Fs

kann. den Grössen — z. B. tjx und = 1 und s = 2

+ ^ ? | + f6

+ + f7 f

und wenn die Coefficienten E und / ' n i c h t verschwinden, so bekommt man nun also eine vierfache Lösung der Gleichungen (2). Wir finden also, dass, wenn die Functionaldeterminante für bestimmte Werthe der Grössen x und yi verschwindet, zu diesen Werthen immer eine vielfache Lösung des vorliegenden Systems von Gleichungen gehört. Beispiel.

Man betrachte die Gleichungen:

(x - a)s + y* - 1 = 0, x2 + y* - 1=0, wo a einen Parameter bezeichnet. Die Functionaldeterminante lautet: A= 4

x-a,

y y

= -4

ay,

welche verschwindet, wenn a = 0, in welchem Falle die Gleichungen nicht unabhängig sind, und für y = 0. Dem letzteren Falle entspricht in der That eine Doppellösung des vorliegenden Systems.

§ 4. Lineare Substitutionen. Wenn man die Grössen x1,xi,...,xn gegen neue Grössen V\iy%> • • • iV n vertauscht, welche mit den vorigen durch lineare

16

Hilfssätxe

aus der Mathematik

und der Mechanik.

und jedem Werth von | entsprechen zwei verschiedene Werthe von Tjv Man hat also hier eine Doppellösung. Würden nun weiter auch sämmtliche Unterdeterminanten erster Ordnung von A verschwinden, so würde man die Lösung von (2) in folgender Weise erhalten: Aus (7) erhält man:

wo s einen beliebigen Werth ( 1 , 2 , . . . ,n) annehmen Da nun in diesem Falle nach § 1 n — 2 von Vi > % > • • • > 1 n sieb durch zwei beliebige von ihnen r]2 — ausdrücken lassen, so erhält man aus (9) für s zwei Gleichungen von der Form: o = El n \ + Ah v2 + E3n\ + o = F, n\ + f2 % r,2 + f3 n\ + (Fin1

+ \i,)£ + Fs

kann. den Grössen — z. B. tjx und = 1 und s = 2

+ ^ ? | + f6

+ + f7 f

und wenn die Coefficienten E und / ' n i c h t verschwinden, so bekommt man nun also eine vierfache Lösung der Gleichungen (2). Wir finden also, dass, wenn die Functionaldeterminante für bestimmte Werthe der Grössen x und yi verschwindet, zu diesen Werthen immer eine vielfache Lösung des vorliegenden Systems von Gleichungen gehört. Beispiel.

Man betrachte die Gleichungen:

(x - a)s + y* - 1 = 0, x2 + y* - 1=0, wo a einen Parameter bezeichnet. Die Functionaldeterminante lautet: A= 4

x-a,

y y

= -4

ay,

welche verschwindet, wenn a = 0, in welchem Falle die Gleichungen nicht unabhängig sind, und für y = 0. Dem letzteren Falle entspricht in der That eine Doppellösung des vorliegenden Systems.

§ 4. Lineare Substitutionen. Wenn man die Grössen x1,xi,...,xn gegen neue Grössen V\iy%> • • • iV n vertauscht, welche mit den vorigen durch lineare

§ 4. Lineare

17

Substitutionen.

Relationen verbunden sind, so entsteht eine lineare Substitution. Bei einer solchen ist also allgemein: = Yixv i + yi2 y% + •••

+rini/„,

= Yn Vi + YnSt + • • • + YinVn'

(1) x

+rn »y» + • • • +ynnVn-

n=rn\y\

Man nennt diese Substitution orthogonal, wenn (2)

i>

2

;

=

i>V ¿=1

Setzt man die Gleichungen (1) in (2) ein, so bekommt man für eine orthogonale Substitution folgende Relationen zwischen den Coefficienten: (3)

y. - I

0 für

r i *

welche Gleichungen auch in folgender Weise geschrieben werden können: " _ J 0 für fi ju v Ypi Yri I i 11 v i=0 [+ » P — Die Anzahl dieser Relationen zwischen den Coefficienten in +

einer orthogonalen Substitution ist

^,

und da die ganze

2

Zahl der Coefficienten gleich n ist, so ist die Zahl der unabhängigen Coefficienten also n (n — 1) 2

Für n = 3 hat man also drei unabhängige Coefficienten (die EuLER'schen Winkelcoordinaten). Es lässt sich zeigen, dass in dem allgemeinen Fall die n2 Coefficienten sich rational durch 1) unbestimmte Grössen ausdrücken lassen. Mit Hilfe der Relationen (3) erhält man nach dem Multiplicationstheorem A2 = +

1.

Die bekannteste orthogonale Substitution ist diejenige, durch Ckaelier , Mechanik des Himmels. I.

2

18

Hilfssätze

aus der Mathematik

und der

Mechanik.

welche man die Veränderungen der Coordinaten bei einer Drehung eines rechtwinkligen Coordinatensystems ausdrückt. Von besonderem Interesse sind die Transformationen eines Polynoms zweiten oder höheren Grades mittels orthogonalen Substitutionen. Ganze homogene Functionen nennt man Formen. Diese Formen sind quadratisch, cubisch u. s. w., je nach ihrer Gradzahl. Dieselben werden binäre, ternäre u. s. w. Formen genannt, je nachdem die Zahl der eingehenden Veränderlichen zwei, drei oder höher ist. Eine quadratische Form (4)

f = ^aiJxlxj

(i,j = 1 , 2 , . . .

,n),

wo a { j = aji, kann immer durch eine orthogonale Substitution in eine Summe von nur Quadraten transformirt werden. Macht man nämlich die Substitution (1) in (4) und bestimmt die Coefficienten y{j so, dass (5)

2

Yip. ri* = 0

für

(i =|= v,

so bekommt man zur Bestimmung von y y hier

Relationen.

+ ^ u Relationen dazu, und hiermit hat man die genügende Zahl von Gleichungen zur Bestimmung der Coefficienten

Da die Substitution orthogonal sein soll, kommen noch

n

Diese Bestimmung geschieht in der folgenden Weise. Man kann (5) folgendermaassen schreiben: Ym Kl Yiv + «12 rty + • • • +

22 - S> • " ->a2n = 0

Biese Gleichung hat (für reelle afj) nur reelle Wurzeln. Dieser Satz wird in folgender Weise bewiesen. Es seien s^ und sv zwei conjugirte imaginäre Wurzeln. Die entsprechenden Coefficienten /¡^ und yiv müssen dann auch conjugirt sein, so dass man setzen kann: 2*

Hilfssätze aus der Mathematik und der Mechanik.

20

ft, = «i + f ~ 1 ßu Vir = «i ~ V - l ßi-

Hieraus folgt

Yiv = «¡2 + ßi2Nun ist aber nach (3), weil die Substitution orthogonal ist, und Yin

~ 1>

welche Gleichungen sich offenbar unter den gemachten Voraussetzungen widersprechen. Die Wurzeln können also nicht imaginär ausfallen. Dagegen können mehrfache Wurzeln von (8) auftreten. Hat _F(s)=0 eine doppelte Wurzel, dann muss für diese auch i ? » = 0,

mithin

dF 0 = F (s) = — 3 ' ö a„ n

sein. Diese Gleichung mit

dF

8F ö aJ2

dF . . . — -5 ö a„„

5

multiplicirt lautet

0 _ F(s\— = —— — - — — ' d an 8au 8 an 8 an d an '"

6 F

d F

8ann 8au

Nach § 1 Formel (7) ist aber, weil F = 0, dF ij

da

also

dF dF 8 au 8 au

dF _ ki~

8a

8F u

8a

BF da kj'

8F 8F 8 au 8 au

8F 8 ait

dF ö ait

das letztere, weil die Determinante F symmetrisch ist. demnach 0

F (s) q

(öff,,)

(d a 2 J

"'

Man hat

(da„J'

aus welcher Gleichung nun folgt, dass sämmtliche Unterdeterminanten zu JF von der ersten Ordnung verschwinden.

§ 4.

Lineare Substitutionen.

21

In diesem Falle wird aber nach Formel (12) in § 1 die Lösung von (6) die folgende d*F dandan^lr

d*F 8 at j ö

d'F 8an dali^3V'

so dass die Coefficienten yiv sich durch zwei derselben ausdrücken. Durch die Gleichung kommt eine Bedingung hinzu. Man kann also einem von den Coefficienten, z. B. ylv, einen beliebigen Werth zuertheilen. Bei einer Doppelwurzel sr kann also einer von den entsprechenden Coefficienten yiv willkürlich gewählt werden. — Bei einer vielfachen Wurzel können mehreren von den Coefficienten beliebige Werthe zuertheilt werden. Die Form bleibt doch immer bestehen. Einer vielfachen Wurzel entsprechen mehrere Glieder mit demselben Factor s. B e i s p i e l 1.

Es sei die binäre Form

f - 3SC,2 +

xt + 3 V

gegeben; dieselbe soll durch eine orthogonale Substitution x

i = m Vi + t\i Vt

«2 = Tn Vi + r>2 Vt in eine Summe von Quadraten umgeformt werden. Man bekommt

fWEs wird also

4,

f"

3 -

= ( s - 7 ) ( s + l). ivS-yS,

und die entsprechenden Werthe der Coefficienten sind

Hilfssätze aus der Mathematik und der Mechanik.

22

B e i s p i e l 2.

Für die ternäre Form

f = V + 3 V + 8 x2 xs + 9 V

bekommt man

* ( » ) - ( ! - » ) ( 1 - + «) =

•+

AnfM

Ai fi (*) +

A,

•+

AnfM

m

A*

•+

AnfniX)>

ni

+

wo die Determinante (3)

14; 1 * 0 .

Wie ein solches System von Coeffieienten bei den praktischen Anwendungen thatsächlich gefunden werden soll, werden wir später untersuchen. W i r nehmen nun an, dass es möglich ist, ein Integral F(x) von P ( y ) = 0 zu finden von der Art, dass (4)

F{x + (o) =

sF{x).

Functionen dieser Art, die also so beschaffen sind, dass sie, wenn das Argument mit einer vollen Periode vermehrt wird, denselben Werth, mit einem constanten Multiplicator s multiplicirt, wieder annehmen, nennt man periodische Functionen von der zweiten Gattung. Die Benennung rührt von H E R M I T E her, welcher zuerst

24

Hüfssätxe aus der Mathematik und der Mechanik.

solche Functionen bei

dem Studium

der LAMii'schen Gleichung

untersucht hat. Dies Integral F(x) f2(x),

muss man auch durch die Functionen f\ (x),

. . . , fn (x) linear ausdrücken können.

(5)

F{x) = «, f . (*) + «,£(*)

Es sei hierzu

+ ••• + un fn {x),

wo Wj, m2 , . . ., un gewisse Coefficienten bedeuten, die nicht särnmtlich verschwinden können. Aus (4) und (5) folgt 4 F{x) = F(x + co) = u1f1{x + (o) + u2f2{x

=

+ a>) + ... + un fn {x + m) =

»! iAi h (*) + A2 AW + -- + An L (*)] + + «2 iAl A (*) + A* /",(*) + ••• + An fn Ml +

+

+ «. fl (*) + A, U (*) + ••• + An = « [«! /i (*) + + • • • + nnfn(X)]Es folgen also zur Bestimmung von ult u3, . . ., un die Gleichungen (Au -«)«!+

Ai

An «2

M1

+ (^22 -

AnUl +

+ ... S)U2

An U2

+

Anl un

+ • • • +

=

An Un

0,

=

+ • • • + (An ~ S) M«= 0 »

wo wenigstens einer der Coefficienten u unbestimmt bleibt.

Für s

bekommt man hieraus die folgende Gleichung: Au

(?)

G(s) =

—

s,

Ai > •

'

A2 > A% —s > ' > • •

A 7 1.1

Ai

An> • welche man die Gleichung in s oder die Fundamentalgleichung Hat