Die komplementären Figuren der nichteuklidischen Ebene [Reprint 2019 ed.] 9783111558585, 9783111188034

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Sitzungsberichte der H e i d e l b e r g e r A k a d e m i e der Wissenschaften Stiftung H e i n r i c h L a n z Mathematisch - naturwissenschaftliche

Klasse

Abteilung A. : =

J a h r g a n g 1925.

2. A b h a n d l u n g . =

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Die komplementären Figuren der nichteuklidischen Ebene. Von

Ernst Roeser in Bottrop. (Mit 7 Figuren.)

Vorgelegt von Herrn H e i n r i c h

Liebmann

in der Sitzung vom 24. Januar 1925.

Berlin

und L e i p z i g

1925

W a l t e r de G r u y t e r & Co. v o r m a l s G. J. Göschen'sche V e r l a g s h a n d l u n g I J. G u t t e n t a g , V e r l a g s buchhandlung / G e o r g Keimer / K a r l J. T r ü b n e r / V e i t & Comp.

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Die komplementären Figuren der nicht' euklidischen Ebene. § 1.

Die Gleichungen des Fünfecks mit vier rechten Winkeln.

LOBATSCHEFSKIJ benutzt zur Herleitung seiner Formeln die Zuordnung zwischen rechtwinkligem Dreieck und Spitzeck. Es soll gezeigt werden, daß man dem rechtwinkligen Dreieck ein Fünfeck mit fünf rechten Winkeln zuordnen kann, an denen sich die Kette der fünf zugeordneten Dreiecke ablesen läßt. Betrachten wir zunächst ein Fünfeck mit vier rechten Winkeln, es steht in einfacher Beziehung zum allgemeinen Dreieck.

AVir denken uns von Ecke aus (der Winkel stumpf sein) das Lot auf seite gefällt, so entstehen ecke. In diesen ist:

der spitzen kann auch die Gegenzwei Spitz-

cos v1 = thmthh; sin v1

m chc„ cos v., = th l th h; sin v2 =che Also:

cos v = thmthl-

th2h

eingehet chmchl

cos v • ch m • cht = shmshl • th2h — chq • chc2 = shmshl- th2h shc1 shc2 — ehe T-. , shm j , shl Da sh c1 = -r-r und: shc2 = so kommt: chh cos v • chm •chl— shmshl th^h 41

^ ^ - • ch21 cWh

= shmshl— ch2c (1) chc = shmshl — chmchlcos v. Auf ganz ähnliche Weise wird noch eine andere Gleichung abgeleitet. Es ist in den Spitzecken: 1*

4

ERNST

ROESER:

. cha 7 J cos v1 = sha sh e1l;) sm v1 =

cos v2 = shb sh c2; sin v2 = .77 shb shc1

, cos v = sha =

sh a shb

Im Spitzeck ist:

(2)

7 shc2

also :

cha ehb chFh~

eh a • ehb ehe — sha shb-ehe, 1 chc02 — °— eh* Ii ih h

n, i,

cos v = sha

shb ehe — cha

ehb th2h —

cos v = sha

sh b ehe — cha

eh b

eh2h

Und endlich die dritte Gleichung, indem h zweimal ausgedrückt wird: shh = sh a ehm

(3)

sha:

= shb • eh i

shb = chi:

ehm

Wendet man diese drei Gleichungen auf ein Fünfeck an, bei dem die Seiten a und b durch a und b', der Winkel v durch n—v ersetzt ist, und führt für a' und b' wieder die komplementären Strecken a und b ein, für l und m die Parallelwinkel X und ¡u, so erhält man die Gleichungen: (4)

cosv

=

— cos[i

cosksin/u

(5)

che = eh a • chb — sha

(6)

sha:

sink shb

ehe .

cosv

shb = sin X : sin fi

Das sind aber dieselben Gleichungen, wie sie zwischen den Stücken eines Dreiecks mit den Seiten a, b, c und den Winkeln A, fi, v bestehen. Somit folgt der Satz: Zu j e d e m D r e i e c k a b c X ¡u, v g e h ö r t ein v i e r r e c h t w i n k l i g e s F ü n f e c k m i t den Seiten ca'b'ml und dem von m und l e i n g e s c h l o s s e n e n s p i t z e n oder stumpfen W i n k e l n — v, l l i e g t a gegenüber. A u ß e r d e m g i b t es noch z w e i F ü n f e c k e m i t den W i n k e l n n — X, n — ¡u und den entsprechenden Seiten. Geht man zum rechtwinkligen Dreieck über, indem man v = %_ werden läßt, so entstehen aus den Gleichungen 1 und 2 die neuen: (7)

chc —

(8)

ehc = etha

shm-shl • eth b

Es ergibt sich daher der Satz: Zu j e d e m r e c h t w i n k l i g e n D r e i e c k g e h ö r t ein F ü n f e c k mit l a u t e r r e c h t e n W i n k e l n , dessen e i n e S e i t e g l e i c h d e r

Die komplementären Figuren der nichteuklidischen Ebene.

5

H y p o t e n u s e i s t , die a n l i e g e n d e n S e i t e n sind g l e i c h den K o m plementärstrecken der K a t h e t e n , die gegenüberliegenden S e i t e n s i n d die P a r a l l e l l o t e d e r b e i d e ü W i n k e l , a l i e g t l g e g e n ü b e r . Z w i s c h e n d e n S e i t e n des F ü n f e c k s b e s t e h e n d i e B e z i e h u n g e n der N e p e r s c h e n R e g e l , d. h. es i s t d e r K o s i n u s e i n e r S e i t e g l e i c h d e m P r o d u k t d e r S i n u s der g e g e n ü b e r l i e g e n d e n u n d g l e i c h d e m P r o d u k t d e r K o t a n g e n t e n der anliegenden Stücke. Da jede Seite des Fünfecks Hypotenuse sein kann, so ergeben sich leicht die 5 Dreiecke aus Figur 2. c

a

b

%

b' l

c b

l' m

'u

m / a

V TO

a I

I

C

fi

52 — a n—ay 2 ' y ^—ß n n 5 — ß A 2 1

§ 2. Das rechtwinklige Fünfeck und die zugeordneten Spitzecke und rechtwinkligen Dreiecke.

Um außer den zugeordneten Dreiecken auch die zugeordneten Spitzecke kennen zu lernen, sei das Fünfeck noch einer näheren Betrachtung unterzogen. Eine Gerade durch A, die mit AD den Winkel ß bildet, kann b' nicht schneiden oder dazu parallel sein, denn es ist im Fünfeck: ch b' = cth c- cth l, da: ch b' = tthb ^ t =• —-i ist, cosß ' so folgt: cos ß = thc-thl Wäre die Gerade parallel zu b', so müßte sie mit l den Winkel X bilden, der bestimmt ist d u r c h : cos k = th l, also: cos Ä > cos ß X