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German Pages 65 Year 1896
Die Grundlage der modernen Wertlehre:
Daniel Bernoulli, Versuch einer neuen Theorie der Wertbestimmung von Glücksfällen Herausgegeben von
Alfred Pringsheim
Duncker & Humblot reprints
Die Grundlage der modernen Wertlehre:
Daniel
Bernoulli,
Versuch einer neuen Theorie der
Wertbestimmnng von Glücksfällen.
Die Grundlage der modernen Wertlehre :
Daniel Bernoulli, Versuch einer neuen Theorie der
Wertbestimmung von Glücksfällen (Specimen Theoriae novae de Mensura Sortis).
Aus dem Lateinischen übersetzt und m i t Erläuterungen versehen von Professor D r . A l f r e d
Pringsheim.
Mit einer Einleitung von Dr. L u d w i g F i c k.
Leipzig-, Verlag
von D u η c k e r & 1896.
Humblot.
Alle Rechte vorbehalten.
Einleitung. I n den letzten J a h r z e h n t e n i s t eine der H a u p t l e h r e n der theoretischen N a t i o n a l ö k o n o m i e , die L e h r e v o m W e r t , wiederholt
v o n verschiedenen
Revision u n t e r z o g e n
Seiten
worden.
Die
einer
gründlichen
ältere
Wissenschaft
betrachtete den W e r t als etwas d e n G ü t e r n des, als ein V e r h ä l t n i s
zwischen
innewohnen-
einem G u t u n d
einem
anderen, oder als das V e r h ä l t n i s zwischen einem G u t der Gesamtmasse der ü b r i g e n G ü t e r .
und
W e n n auch manche
unserer K l a s s i k e r , w i e n a m e n t l i c h T h o m a s R o b e r t M a l t h u s , in
ihren
allgemeinen
Erörterungen
erkennen
u n d be-
tonen, dafs der W e r t nichts anderes ist, als die A c h t u n g , i n der
ein G u t
bei den Menschen,
die seiner bedürfen,
steht, so h i e l t doch die M e h r z a h l der führenden Geister an der A n s c h a u u n g fest, eine solche A u f f a s s u n g des W e r t e s sei f ü r die V o l k s w i r t s c h a f t s l e h r e herkömmlich,
die Formen,
unfruchtbar.
i n denen der
Es war
Wert
in Er-
scheinung t r i t t , u n d die m a n als Gebrauchs- u n d T a u s c h w e r t unterschied,
für D i n g e
ganz verschiedener A r t z u
halten; j a , manche Theoretiker
gingen
Begriffe als Gegensätze z u bezeichnen. wert
so w e i t , Den
diese
Gebrauchs-
h i e l t m a n i n der oberflächlichen B e t r a c h t u n g , d i e
m a n i h m w i d m e t e , f ü r dasselbe w i e die N ü t z l i c h k e i t
und
wufste m i t i h m n i c h t v i e l a n z u f a n g e n ; m a n w a n d t e sich deshalb z u m T a u s c h w e r t , den m a n eingehender F o r s c h u n g Samml. staats w. S c h r i f t e n . — B e r n o u l l i .
1
2 unterzog.
Während
man
—
unter
Tauschwert
meist
das
verstand, was m a n heute vielfach — v i e l l e i c h t n i c h t ganz glücklich — „objektiven
Tauschwert"
nennt,
war
man
sich i m V e r l a u f d e r U n t e r s u c h u n g g e w ö h n l i c h n i c h t bewufst,
dafs
man nur
W e r t e s v o r sich hatte,
eine der E r s c h e i n u n g s f o r m e n
des
sondern m a n g l a u b t e i n den E r -
ö r t e r u n g e n über den T a u s c h w e r t eine erschöpfende W e r t lehre z u liefern. Bei in
ihren Forschungen
dem
sinnenfälligen
w a r e n die meisten A u t o r e n
Schein,
des g e w ö h n l i c h e n L e b e n s
den der
darbot,
Tauschverkehr
befangen.
Man
sah,
dafs die Menschen G ü t e r , die sie i n i h r e m Besitz haben, u n t e r e i n a n d e r austauschen, u n d meinte, solche Güter, die gegeneinander irgend
eine
vertauscht Eigenschaft
Diese
gemeinsame
Wert
zu
dafs
finden,
die G ü t e r ,
zu in
werden
pflegen,
müfsten
gleichem
Grade
besitzen.
Eigenschaft u n d so k a m
die
im
glaubte
man
in
ihrem
m a n z u der Auffassung,
Tauschverkehr
gegeneinander
umgesetzt werden, g l e i c h w e r t i g seien ; der W e r t w a r dam i t z u einer Eigenschaft der G ü t e r gemacht.
Diese A u f -
fassung des W e r t e s g i n g aus d e m schon erwähnten U m stände hervor, dafs m a n sich fest an den T a u s c h w e r t anklammerte, gemeinen zu dafs
dabei
aber behauptete,
untersuchen.
man dazu kam,
Tausche würden
die A n s c h a u u n g z u
im
hegen,
g l e i c h w e r t i g e G ü t e r gegeben
pfangen , während Vorkommnisse
den W e r t
all-
E s ist e i g e n t l i c h w u n d e r b a r ,
eine aufmerksame
des t ä g l i c h e n Lebens
und
Beobachtung lehren
kann,
beim emder dafs
niemals gleiche W e r t e ausgetauscht werden, sondern dafs j e d e r Tauschende ein G u t , dessen W e r t (für i h n ) geringer ist, hingiebt, langen.
u m ein solches v o n höherem W^ert z u er-
W e n n m a n d a v o n ausgeht,
ausgetauscht werden, warum
die Menschen
dafs gleiche W 7 erte
so ist g a r k e i n G r u n d einzusehen, überhaupt
d u r c h diese S c h w i e r i g k e i t
miteinander
tauschen;
ist es w o h l z u erklären,
dafs
3 Adam Smith
a u f die sonderbare A n n a h m e
d e m Menschen ein T a u s c h t r i e b
kam,
es sei
eingeboren.
Dafs die eben geschilderte L e h r e , nach w e l c h e r der W e r t eine i n d e n G ü t e r n selbst liegende Eigenschaft ist, niemals
zur
u n u m s c h r ä n k t e n H e r r s c h a f t gelangte,
n i c h t b e s t r i t t e n werden. t e n sich S t r ö m u n g e n w o h l sagen:
W e r t e s hatten. nicht
weiter
geltend,
richtigere, als
kann
Besonders i n D e u t s c h l a n d machdie a n d e r e ,
Anschauungen
wir
können
vom Wesen
des
A b e r lange Z e i t k a m es a u f dieser Seite bis z u v e r e i n z e l t e n A n l ä u f e n ,
u n d die
sogenannte klassische W e r t t h e o r i e b e h i e l t die O b e r h a n d ; v o r allem deswegen, w e i l k e i n e ausgebildete T h e o r i e da war, die den K a m p f hätte a u f n e h m e n k ö n n e n .
Der
Bau
der klassischen W e r t l e h r e , an dem so viele scharfsinnige K ö p f e gearbeitet hatten, w a r so fest gefügt u n d i n einigen T e i l e n v o n so bestechender K l a r h e i t , dafs die zerstreuten B e m e r k u n g e n einzelner Gelehrten, die eine g r u n d s ä t z l i c h andere A u f f a s s u n g des W e r t p r o b l e m s verrieten, n i c h t dagegen i n die W a g s c h a l e fallen k o n n t e n ,
u m so w e n i g e r ,
als die U r h e b e r solcher B e m e r k u n g e n sich n u r selten der Tragweite waren
und
dessen, was deshalb
sie v o r g e b r a c h t
selbst
Standpunkt verharrten.
nicht
hatten,
bewufst
folgerichtig auf
ihrem
V i e l l e i c h t der einzige M a n n , der
sich der W i c h t i g k e i t seiner a b w e i c h e n d e n A n s i c h t e n bewufst
war,
und
der
auch v o n
seinem S t a n d p u n k t
aus
d e n V e r s u c h machte, die E r s c h e i n u n g e n des menschlichen V e r k e h r s v o l l s t ä n d i g z u e r k l ä r e n , w a r G o s s e n 1 ; aber sein B u c h blieb
unbeachtet
und
konnte
infolge
dessen
die
herrschende T h e o r i e n i c h t stürzen. Es ist das V e r d i e n s t 1
von J e v o n s 2 ,
Menger3
und
E n t w i c k e l u n g der Gesetze des menschlichen Verkehrs, Braunschweig 1854. 2 T h e theory of political economy. London 1 8 7 1 ; 3. Aufl. 1888. 3 Grundsätze der Volkswirtschaftslehre. W i e n 1871. 1*
Walras1,
der
alten
Werttheorie
eine neue L e h r e
ent-
gegengestellt z u haben, die a l l e n E r s c h e i n u n g e n unseres Wirtschaftslebens
gerecht
den K a m p f gegen aufnahm.
zu
werden
strebt,
die a l t e n A n s c h a u u n g e n
Dafs diese d r e i M ä n n e r
ziemlich
und
die
mit Erfolg gleichzeitig
u n d g ä n z l i c h u n a b h ä n g i g v o n einander i h r e Lehrgebäude errichteten, ist b e k a n n t . wichtigen Beziehungen
G l e i c h w o h l zeigen i n manchen ihre Gedankengänge
würdige Übereinstimmung.
eine m e r k -
M a n pflegt heute diese neuen
W e r t t h e o r i e n , a n l e h n e n d an Wiesers g e s c h i c k t gewählten Ausdruck,
als G r e n z n u t z e n t h e o r i e n
z u bezeichnen,
und
es ist n i c h t z u leugnen, dafs der B e g r i f f des Grenznutzens (von Jevons „ f i n a l degree o f u t i l i t y " wohl weniger
glücklich
2
„rareté" 8
—
und von Walras — genannt)
der ge-
meinsame E c k s t e i n dieser Systeme g e n a n n t w e r d e n darf. I n · der Auffassung lehre
Lehre hervor,
hauptsächlich
v o m Grenznutzen durch von
tritt
die
wichtige
die sich die moderne der
klassischen
Wert-
unterscheidet,
n ä m l i c h die Auffassung, dafs der W e r t n i c h t eine E i g e n schaft
eines Gutes
an s i c h ,
sondern
dafs
er eine
z i e h u n g z w i s c h e n einem einzelnen w i r t s c h a f t e n d e n
BeSub-
j e k t u n d einem G u t e i s t ; ferner k o m m t d a r i n die n i c h t m i n d e r w i c h t i g e Auffassung z u m A u s d r u c k , dafs der B e g r i f f des W e r t e s g a r n i c h t losgelöst v o n der V o r s t e l l u n g einer kann4.
bestimmt
begrenzten
Quantität
gedacht
werden
M a n k a n n z. B . n i c h t v o n d e m W e r t des Eisens
oder der B a u m w o l l e schlechtweg reden, m a n k a n n auch 1 Elements d'economie politique pure. Lausanne, Paris, Basel 1874,1877. Theorie mathématique de la ricliesse sociale. Lausanne, Paris, Rom, L e i p z i g 1883. Übersetzt von v . W i n t e r feld unter dem T i t e l : Mathematische Theorie der Preisbestimmung der wirtschaftlichen Güter. Stuttgart 1881. 2 T h e o r y of pol. econ., 3. Aufl. S. 51. 3 Théórie mathém. de la rich. soc. S. 20. 4 V g l . L u j o Brentano i m Jahrbuch für Gesetzgebung, Verwaltung und Volkswirtschaft im Deutschen Reich. I I , 5 7 1 .
—
5 —
n i c h t beurteilen, ob das E i s e n oder die B a u m w o l l e w e r t v o l l e r i s t , sondern m a n k a n n
stets n u r
v o n dem W e r t
einer bestimmten M e n g e dieser G ü t e r reden.
Die
That-
sache, dafs das W e r t u r t e i l stets v o n der V o r s t e l l u n g einer M e n g e begleitet
sein m u f s ,
dafs sie auch v o n den
übersehen werden k o n n t e ; dieser
Thatsache
schenkt w u r d e ,
ist f r e i l i c h
so einleuchtend,
älteren T h e o r e t i k e r n
nicht
die
erklären
nicht
ganz
aber aus d e m U m s t a n d , dafs genügende
sich manche
Beachtung der
ge-
sonderbaren
I r r w e g e , a u f denen sich die alte T h e o r i e m i t u n t e r bewegte. Jevons, M e n g e r u n d W a l r a s nahmen, j e d e r i n seiner Weise, ihrer
die
Quantitätsverhältnisse
Betrachtung.
Die
zum
Ausgangspunkt
Wertschätzung,
die
der
schaftende Mensch den G ü t e r n angedeihen läfst,
wirtbezieht
sich stets a u f b e s t i m m t e M e n g e n derselben, u n d die G ü t e r mengen, die dem Menschen z u r V e r f ü g u n g stehen, beeinflussen
die W e r t s c h ä t z u n g .
Menger
führt
aus, w i e
ein
isoliert wirtschaftender Mensch dem einzigen S a c k K o r n , den er hat, eine ungemein grofse B e d e u t u n g beilegt, w e i l von
seinem Besitz die E r h a l t u n g
des L e b e n s
abhängt.
E i n e m zweiten Sack l e g t er schon w e i t w e n i g e r B e d e u t u n g bei, w e i l dieser n i c h t m e h r n ö t i g i s t , u m sein L e b e n zu fristen, sondern n u r zu r e i c h l i c h e r e r N a h r u n g dient.
Noch
g e r i n g e r ist der W e r t des d r i t t e n Sackes, den er v i e l l e i c h t z u r Aussaat v e r w e n d e t .
Mit
einem zehnten Sack weifs
unser Robinson v i e l l e i c h t nichts besseres anzufangen, als Papageien z u f ü t t e r n ,
die i h m i n müfsigen S t u n d e n die
L a n g e w e i l e v e r t r e i b e n sollen. stehende
Menschen h a t ,
ist der G r e n z n u t z e n des i n Rede stehen-
den Gutes.
Nach
Teil
D e r N u t z e n , den der letzte
zur Verfügung
des V o r r a t s
für
diesem G r e n z n u t z e n bemifst
unseren sich der
W e r t , den eine Mafseinheit des Gutes f ü r das betreifende S u b j e k t hat. D a die verschiedenen K o r n s ä c k e f ü r unseren Mann
fungible
Dinge
sind,
so legt
G r e n z n u t z e n eines Sackes K o r n
er den n a c h
bemessenen W e r t
dem nicht
—
6 —
n u r dem Sack N r . 10, sondern j e d e m seiner Säcke b e i ; d e n n die E n t b e h r u n g ,
die
er
bei V e r l u s t
irgend
eines
Sackes erleidet, ist n i c h t gröfser als die E n t s a g u n g ,
die
es kostet, a u f die F ü t t e r u n g der Papageien z u v e r z i c h t e n ; der G r u n d wird,
liegt
darin,
z u hungern,
sondern
dafs j e d e r
dafs es w o h l
aber
immer
die V ö g e l
niemand
noch V ö g e l fliegen
einfallen
zu
füttern,
lassen w i r d ,
um
den g e m i n d e r t e n V o r r a t n u r n o c h f ü r diejenigen Z w e c k e zu verwenden,
die i h m a m w i c h t i g s t e n scheinen.
ähnliche Betrachtungen
Ganz
w i e diese, die aus Mengers Ge-
dankenkreis entnommen i s t 1 ,
finden
sich bei Jevons, u n d
a u c h W a l r a s geht v o n analogen V o r s t e l l u n g e n aus. Der
Hauptgedanke
dieser
also der,
•
dafs der W^ert
einer
Grenznutzentheorien
ist
bestimmten Teilquantität
eines Gutes u m so g e r i n g e r ist, j e m e h r T e i l m e n g e n z u r V e r f ü g u n g stehen,
oder m. a. W . : dafs der W e r t einer
n e u h i n z u t r e t e n d e n E i n h e i t g e r i n g e r ist als der W e r t der l e t z t e n schon i m Besitz des betrachteten S u b j e k t s befindlichen
Einheit,
tretenden
oder:
Einheit
dafs
sich als
der W e r t eine
einer
n e u hinzu-
abnehmende
Funktion
der A n z a h l der besessenen E i n h e i t e n darstellt. Diese A n s c h a u u n g ist, w i e oben schon b e r ü h r t ,
nicht
ganz neu, sondern sie w u r d e schon f r ü h e r von verschiedenen G e l e h r t e n m e h r oder w e n i g e r d e u t l i c h e n t w i c k e l t . W o h l einer der ersten dieser G e l e h r t e n w a r D a n i e l B e r n o u l l i ; mindestens ist er d e r erste uns b e k a n n t e
Autor,
der sich der T r a g w e i t e dieser A n s c h a u u n g bewufst war. D i e k l e i n e A b h a n d l u n g , i n w e l c h e r D a n i e l B e r n o u l l i die Grundzüge hat,
tritt
seiner A n s i c h t
über
den W e r t
a u f den folgenden B l ä t t e r n
zum
niedergelegt ersten M a l e
i n deutscher Sprache v o r das P u b l i k u m . B i o g r a p h i s c h e A n g a b e n ü b e r den A u t o r , die gewöhn1
Übrigens finden sich ganz ähnliche Ausführungen schon bei Thompson : A n i n q u i r y into the principles of the distribution of wealth. (1824.) 3. A u f l . 1869. S. 57 ff.
— lieh
einen H a u p t t e i l
alter S c h r i f t e n
7 —
in Einleitungen
bilden,
sind
hier
zu
wohl
Neuausgaben
unnötig,
da
die
H a u p t v e r d i e n s t e unseres A u t o r s n i c h t a u f v o l k s w i r t s c h a f t l i c h e m Gebiete liegen, u n d da er überdies durchaus n i c h t etwa eine u n b e k a n n t e Gröfse ist, die m a n dem P u b l i k u m erst vorstellen müfste.
Es sei n u r e r w ä h n t , dafs D a n i e l
B e r n o u l l i i m J a h r e 1700 i n G r o n i n g e n als S o h n des P r o fessors der M a t h e m a t i k J o h a n n B e r n o u l l i geboren w u r d e . Er
gehörte
welcher
somit
durch
unterbrochene entstammte. Petersburg, tomie
der
berühmten
mehr
als
Reihe
der
1725
Gelehrtenfamilie
zwei Jahrhunderte
an,
eine
hervorragendsten
un-
Forscher
w u r d e D a n i e l B e r n o u l l i Professor
1733 Professor i n Basel,
und Botanik,
später
zunächst für
auch f ü r P h y s i k ;
1782, nachdem er schon einige Z e i t
er
in
Anastarb
v o r h e r d e m öffent-
l i c h e n L e h r a m t entsagt hatte. D i e uns h i e r interessierende A b h a n d l u n g w u r d e i n der Z e i t ,
als B e r n o u l l i i n Peters-
b u r g w a r , verfafst u n d z w a r i m J a h r e 1730 oder ( w a h r scheinlicher) 1731 ; herausgegeben
wurde
sie i m
Jahre
1738 v o n der P e t e r s b u r g e r A k a d e m i e der Wissenschaften unter
dem T i t e l :
S p e c i m e n theoriae
1
novae de m e n s u r a
sortis, auetore D a n i e l e B e r n o u l l i . W i e m a n aus dem S c h r i f t c h e n selbst sieht, w a r e n es n i c h t eigentlich n a t i o n a l ö k o n o m i s c h e F r a g e n , die unseren Denker
zu
einer
Untersuchung
über
das W e r t p r o b l e m
veranlafsten, sondern F r a g e n aus dem Gebiete der W a h r scheinlichkeitsrechnung.
In
diesem Z w e i g e
der M a t h e -
m a t i k w u r d e damals w i e auch heute oftmals die A u f g a b e gestellt,
den W e r t
die sich f ü r ergeben.
Bernoulli
solche A u f g a b e n erklären, 1
der G e w i n n a u s s i c h t e n z u berechnen,
die verschiedenen T e i l n e h m e r
da
kann
sich m i t
z u lösen pflegte,
alle
Lösungen
von
der
eines Spieles
Art,
wie
man
nicht
einverstanden
der
Voraussetzung
Commentarli academiae scientiarum imperialis Petropolitanae. Tomus V . Petrop. 1738. S. 175—192.
— ausgingen, alle
dafs
Spieler
Hoffnung
der
sei,
sofern
des Spiels
Bernoulli
Gewinn-Aussicht nur
die
f ü r j e d e n Spieler
behauptet,
a u f gleichen
Personen i n
-
Wert
derselbe
Bedingungen sind.
der
8
die
dafs die g l e i c h
Gewinn
für
die
für
objektiven gleichen
berechtigte
verschiedenen
sehr verschiedenem G r a d e w e r t v o l l sei, j e
n a c h den Vermögensumständen, i n denen sich diese Personen befinden ; denn d e r W e r t zuwachses für eine Person je
gröfser
jekts
ist.
Kernpunkt
das
Vermögens-
Stamm vermögen
Diesen Gedanken der
eines
s e i u m so g e r i n g e r ,
vorliegenden
kann
dieses
Sub-
m a n w o h l als den
Abhandlung
ansehen.
Es
ist h i e r i m wesentlichen das ausgesprochen, was w i r oben als den H a u p t s a t z der G r e n z n u t z e n t h e o r i e n Bernoullis
Gefühl
empört
etwas i n den G ü t e r n sieht,
dafs
die
sich
dagegen,
selbst liegendes
gleiche
Geldsumme
bezeichneten. den W e r t
zu b e t r a c h t e n ; für
die
als er
Bedürfnis-
b e f r i e d i g u n g der verschiedenen Menschen eine sehr verschiedene B e d e u t u n g haben k a n n , j e nach der
Wichtig-
k e i t der Bedürfnisse, die n o c h i h r e r B e f r i e d i g u n g harren ; er s i e h t ,
dafs f ü r
einen reichen M a n n ,
m i t t e l b a r s t e Lebensbedürfnisse Geldsumme die f ü r
verhältnismäfsig
einen A r m e n ,
der
bereits
für
dessen un-
gesorgt
wenig Wrert
d a r b e n mufs,
ist,
haben
eine kann,
v o n ungemein
grofser B e d e u t u n g ist. Dafs B e r n o u l l i n i c h t ,
w i e Gossen,
Jevons,
W a l r a s u n d i h r e Nachfolger,
den V e r s u c h
hat,
aus eine A n a l y s e
v o n seinem S t a n d p u n k t
samten V o l k s w i r t s c h a f t ,
Menger,
unternommen der
ge-
insbesondere des Tausches u n d
d e r P r o d u k t i o n z u geben,
k a n n uns b e i dem damaligen
Stande der V o l k s w i r t s c h a f t s l e h r e n i c h t w u n d e r n .
Uber-
h a u p t b e s c h r ä n k t sich unser A u t o r a u f eine B e t r a c h t u n g des W e r t e s
des
Geldes
in
seinem V e r h ä l t n i s
zum
ge-
samten Vermögensbestande, u n d diesen Vermögensbestand b e t r a c h t e t er gleichfalls n i c h t als eine S u m m e k o n k r e t e r
— Güter,
9
-
sondern n a c h seinem G e l d w e r t .
gedanken,
dafs
Seinen
der Vermögenszuwachs
geschätzt w i r d ,
je
mögen schon w a r ,
gröfser
um
Haupt-
so g e r i n g e r
das v o r h e r vorhandene V e r -
s p r i c h t B e r n o u l l i aus, ohne eine Be-
gründung zu versuchen;
er geht a u c h n i c h t d a r a u f ein,
z u fragen, ob diese W e r t r e g e l f ü r j e d e A r t v o n G ü t e r n , oder n u r f ü r gilt. der
das Geld,
f ü r das a l l e i n er sie f o r m u l i e r t ,
M a n k a n n n i c h t leugnen, dafs diese B e s c h r ä n k u n g Betrachtung
auf den Geldwert
ihre
Vorzüge
hat;
denn es k o n n t e unserem A u t o r n i c h t d a r a u f a n k o m m e n , e i n System der N a t i o n a l ö k o n o m i e z u schreiben,
sondern
es l a g i h m n u r daran, einen g u t e n G e d a n k e n , den er f ü r eine
Bereicherung
hinaus h i e l t , Freilich
der
Wissenschaft
in
alle
Zukunft
niederzulegen u n d a n s c h a u l i c h z u machen.
sagt
Walras,
dafs
das
Dazwischentreten
des
Geldes, so sehr es den T a u s c h v e r k e h r i n der P r a x i s erleichtere,
die T h e o r i e
l i c h mache,
und
des Tausches schwerer
dafs
verständ-
es deshalb f ü r eine wissenschaft-
liche U n t e r s u c h u n g geraten sei, v o m N a t u r a l t a u s c h auszugehen
1
; es m a g sein,
dafs diese B e h a u p t u n g f ü r eine
g r ü n d l i c h e , elementare A n a l y s e , w i e sie W a l r a s so meisterhaft f ü h r t , i h r e R i c h t i g k e i t hat ; f ü r die B e t r a c h t u n g B e r noullis dagegen,
die n u r den Z w e c k h a t ,
einen k ü h n e n
G e d a n k e n b l i t z n i c h t v e r l o r e n gehen z u lassen, mir
gerade
die
den Geldwert
von
ihm
gewählte
sehr a n g e b r a c h t ,
erscheint
Beschränkung
u n d es scheint m i r ,
auf als
ob a u f diese W e i s e der G r u n d g e d a n k e l e i c h t e r i n seiner W i c h t i g k e i t anschaulich g e m a c h t w e r d e n k ö n n e als d u r c h die g a r
nicht
so u n ä h n l i c h e n
und
ohne
Zweifel
noch
g r ü n d l i c h e r e n B e t r a c h t u n g e n , v o n denen W a l r a s ausgeht. Dafs
für
einen
isoliert
wirtschaftenden
Menschen
der
zehnte Sack K o r n n i c h t so v i e l w e r t ist w i e d e r einzige erste, ist a l l e r d i n g s 1
richtig,
u n d ist
auch
Theorie math, de la rich. soc. S. 13.
nicht
gerade
—
10 —
schwer einzusehen, aber f ü r uns, die w i r v o n J u g e n d auf i n e i n e m e n t w i c k e l t e n T a u s c h v e r k e h r stehen, s i n d solche Sätze
doch
weiteres
einigermafsen
einleuchtend;
ungewohnt
und
nicht
ohne
dagegen ist B e r n o u l l i s Satz
von
d e m m i t der Gröfse des Besitzes abnehmenden W e r t des n e u h i n z u t r e t e n d e n Geldes u n m i t t e l b a r anschaulich, weshalb unser A u t o r ohne Z w e i f e l die t ä g l i c h e E r f a h r u n g strengen B e w e i s
berechtigt w a r ,
z u berufen,
sich a u f
ohne sich a u f
einen
seiner g r u n d l e g e n d e n B e h a u p t u n g
ein-
zulassen. E i n solcher B e w e i s läfst sich w o h l g a r n i c h t führen, ohne
a u f die einzelnen
Weise, w i e Gossen
und
Güter die
zurückzugreifen,
späteren
in
Theoretiker
der dies
w i r k l i c h g e t h a n haben, i n d e m sie zeigten, dafs jedes w i r t schaftende Mittel
auf
Subjekt die
deren es b e d a r f ,
ihm
zur
Verfügung
Beschaffung
die
der
verschiedenen
so v e r t e i l t ,
stehenden Güter,
dafs b e i a l l e n G ü t e r n der
G r e n z n u t z e n a u f den gleichen B e t r a g h e r a b s i n k t 1 ; aber
der G r e n z n u t z e n eines jedes einzelnen Gutes
während fällt, nutzen,
so s i n k t
auch die S u m m e
weil fort-
dieser G r e n z -
welche selbst den G r e n z n u t z e n des ganzen V e r -
1 Dieser Satz w i r d merkwürdigerweise häufig so ausgesprochen, als ob er nur für v e r n ü n f t i g wirtschaftende Subjekte Geltung habe. Dafs dies Gesetz i n diesem F a l l e ziemlich bedeutungslos wäre, ist k l a r ; denn ein Gesetz, das nur auf „vernünftige" Menschen Anwendung findet, spielt i n der Volkswirtschaft sicherlich keine grofse Rolle. Überdies müfste man immer erst, wissen, was sich jeder Schriftsteller eigentlich unter einem vernünftigen Menschen vorstellt. N a t ü r l i c h k a n n k e i n Zweifel sein, dafs ein vernünftiger Mensch seine M i t t e l i n anderer Weise zur Beschaffung von Gütern verwendet wie ein unvernünftiger; denn er hat eine andere Rangordnung der Bedürfnisse; aber als sicher müssen w i r annehmen, dafs jeder Mensch seine M i t t e l so eint e i l t , dafs der Grenznutzen aller Güter, die er sich verschafft, gleich ist.
— raögens
11 —
als E i n h e i t aufgefafst
darstellt.
So k o m m t
man
a u f einem U m w e g z u dem Satze, den B e r n o u l l i als einen u n m i t t e l b a r k l a r e n ausspricht, z u d e m Satze n ä m l i c h , dafs der
Wert
eines Vermögenszuwachses
eine
abnehmende
F u n k t i o n des schon v o r h a n d e n e n V e r m ö g e n s ist. B e r n o u l l i , der sich, w i e gesagt,
a u f der einen Seite
eine gewisse B e s c h r ä n k u n g auferlegt, i n d e m er b e i seiner B e t r a c h t u n g sich n u r a u f den W e r t des Geldes, als des Repräsentanten des V e r m ö g e n s i m allgemeinen, setzt uns a u f
der
staunen d u r c h
anderen
Seite
die K ü h n h e i t ,
einigermafsen
mit
der
bezieht, in
Er-
er v e r s u c h t ,
das
W e r t p r o b l e m der mathematischen B e h a n d l u n g z u g ä n g l i c h zu machen. hauptung,
E r b e g n ü g t sich n ä m l i c h n i c h t m i t der B e dafs der W e r t des Vermögenszuwachses
eine
abnehmende F u n k t i o n des S t a m m v e r m ö g e n s ist, sondern er s p r i c h t den Satz aus, dafs der W e r t dieses Zuwachses (sofern der Z u w a c h s als u n e n d l i c h k l e i n v o r g e s t e l l t w i r d ) der Gröfse des v o r h e r v o r h a n d e n e n V e r m ö g e n s u m g e k e h r t proportional
sei.
Aus
dieser A n n a h m e ergiebt
sich f ü r
den W e r t dieser V e r m ö g e n s z u n a h m e die G l e i c h u n g einer logarithmischen noullis,
Kurve
(§ 10).
In
der
Annahme
Ber-
dafs der W e r t des Zuwachses dem B e t r a g e des
Stammvermögens genau u m g e k e h r t p r o p o r t i o n a l sei, l i e g t ohne Z w e i f e l
viel willkürliches;
w i r d uns n i c h t b e w i e s e n ; bar.
denn
ihre
Richtigkeit
j a , sie ist v i e l l e i c h t unbeweis-
A b e r auch, w e n n diese H y p o t h e s e stets unbewiesen
bleiben sollte, u n d selbst w e n n sie falsch wäre, so k ö n n e n w i r der K ü h n h e i t ,
m i t der B e r n o u l l i sie aufgestellt
hat,
unsere A n e r k e n n u n g n i c h t versagen, u n d es ist v i e l l e i c h t n i c h t ganz angezeigt, sie m i t souveräner V e r a c h t u n g
von
der H a n d z u weisen, w e n n m a n erwägt, dafs i n neuerer Zeit
durch
anderer
die V e r s u c h e E . H . W e b e r s ,
Forscher
Empfindungslebens sind,
auf
verschiedenen
Gesetzmäfsigkeiten
Fechners
und
Gebieten
unseres
entdeckt
worden
die dem B e r n o u l l i s c h e n W e r t g e s e t z
durchaus ent-
— sprechen.
12 —
Z u d e m u n t e r l i e g t es w o h l k e i n e m Z w e i f e l , dafs
B e r n o u l l i s l o g a r i t h m i s c h e K u r v e der W a h r h e i t bedeutend n ä h e r k o m m t , als die geraden L i n i e n , m i t denen Gossen sich
zu
Kurve
behelfen für
suchte,
und
manche Z w e c k e
vielleicht
auch
ist
Bernoullis
brauchbarer
als
die
ganz u n b e s t i m m t e n K u r v e n , deren sich Jevons u n d W a l r a s bedienen In
e i n e r B e z i e h u n g müssen w i r v o m S t a n d p u n k t e
der m o d e r n e n W e r t t h e o r i e aus, den E r ö r t e r u n g e n unseres Autors
die Z u s t i m m u n g v e r s a g e n ,
u n d z w a r n i c h t etwa
deshalb, w e i l die G r u n d g e d a n k e n , v o n denen er ausgeht, z u anderen Schlüssen führen, als die L e h r e n , a u f welche sich die neueren W e r t t h e o r e t i k e r s t ü t z e n , Bernoulli nicht
sondern, weil
selbst die Schlüsse aus seiner eigenen Theorie
m i t genügender Schärfe
gezogen h a t ,
da er noch
einigermafsen i n den alten A n s c h a u u n g e n befangen w a r . I n § 6 w i r d n ä m l i c h der F a l l besprochen, dafs j e m a n d 100000 Dukaten jährliches
besitze u n d aus diesem V e r m ö g e n ein
Einkommen
von
5000 D u k a t e n
beziehe;
ein
A n d e r e r besitzt h a l b so v i e l V e r m ö g e n u n d bezieht daraus e i n h a l b so grofses E i n k o m m e n . u n t e r solchen U m s t ä n d e n Dukat
so v i e l w e r t
zweiten.
für
sei w i e
B e r n o u l l i behauptet, dafs den ersten Menschen ein halber D u k a t
Offenbar ist dieser Schlufs n i c h t zulässig; denn
es t r i t t d a r i n die A u f f a s s u n g z u T a g e , etwas
ein
für den
s e i , das u n a b h ä n g i g v o n
als ob der W e r t
dem S u b j e k t ,
W e r t s c h ä t z u n g v o r n i m m t , gedacht w e r d e n könne.
das
die
W 7 enn
B e r n o u l l i s B e h a u p t u n g e n über den W e r t des ganzen u n d des h a l b e n D u k a t e n w i r k l i c h eine zulässige Schlufsfolger u n g aus seiner T h e o r i e wäre, so w ü r d e diese ganze T h e o r i e 1 Aus §§ 7 ff. geht m i t genügender Deutlichkeit hervor, dafs die Bernoullischen Gleichungen und K u r v e n nicht genau dieselbe Bedeutung haben wie die der neueren T h e o r e t i k e r ; genauer auf diesen P u n k t einzugehen, würde hier zu weit führen.
— hinfällig
durch
macht.
13
—
die folgende E i n w e n d u n g ,
die er selbst
E r sagt, es sei aus der t ä g l i c h e n E r f a h r u n g
kannt,
dafs
es reiche L e u t e g i e b t , die sich u m
einzigen D u k a t e n m e h r absorgen als andere ä r m e r e , doch
freigebigere
Leute
um
mehrere
Dukaten
q u i b u s unus ducatus magis c o r d i est,
be-
einen je-
(„Sunt,
q u a m sunt plures
d u c a t i h o m i n i m i n u s d i v i t i magis a u t e m generoso"). D i e s e r unstreitig
richtig
Einwand
zwar nicht etwa, halb,
beobachteten T h a t s a c h e ist aber
gegen B e r n o u l l i s T h e o r i e
kein
zu e n t n e h m e n ,
und
w i e er selbst z u m e i n e n s c h e i n t ,
des-
w e i l solche F ä l l e so selten s i n d , dafs m a n sie b e i
A u f s t e l l u n g einer allgemeinen Regel vernachlässigen dürfte, sondern deshalb, w e i l diese F ä l l e , auch w e n n sie noch so häutig w ä r e n , Hypothese jeden
sein W e r t g e s e t z
sagt nichts w e i t e r ,
nicht
umstofsen.
Seine
als dafs der W e r t eines
b e l i e b i g k l e i n e n G e w i n n s dem schon v o r h a n d e n e n
Vermögen
umgekehrt
p r o p o r t i o n a l sei ( „ v a l d e p r o b a b i l e
est l u c r u l u m q u o d v i s semper e m o l u m e n t u m afferre summae b o n o r u m reciproce p r o p o r t i o n a l e " § 5).
D i e s e r Satz k a n n
f ü r einen a r m e n V e r s c h w e n d e r ebensogut g e l t e n w i e f ü r einen reichen Geizhals ; denn er behauptet durchaus n i c h t , dafs f ü r
verschiedene M e n s c h e n , die
ein g l e i c h grofses
V e r m ö g e n besitzen, ein gleicher V e r m ö g e n s z u w a c h s g l e i c h viel wert
sei.
Uber
die W a h r h e i t
dieser
letzteren B e -
h a u p t u n g läfst sich e i g e n t l i c h g a r nichts sagen; d e n n u m eine solche B e h a u p t u n g aufstellen z u k ö n n e n , müfste m a n voraussetzen,
dafs alle Menschen v o l l k o m m e n g l e i c h ge-
artet wären, oder dafs sie sich wenigstens i n B e u r t e i l u n g ihrer
wirtschaftlichen
Angelegenheiten
von
denselben
Grundsätzen leiten liefsen ; v o n solchen Voraussetzungen, die n a t ü r l i c h ganz u n b r a u c h b a r wären, ist B e r n o u l l i n i r gends ausgegangen, w e n n a u c h v i e l l e i c h t n i c h t bestritten w e r d e n k a n n , dafs i h m an der angezogenen Stelle etwas ähnliches vorgeschwebt sitzer
von
haben mag.
100000 D u k a t e n
ein
Dafs
Dukat
für
gerade
den Beso
viel
— wert ist, halber,
wie
für
folgt
14 —
den Besitzer v o n 5 0 0 0 0 D u k a t e n ein
also
aus B e r n o u l l i s Wertgesetz
nur
dann,
w e n n m a n sich u n t e r den beiden L e u t e n gewisse „ N o r m a l menschen"
vorstellt,
gerechtfertigt
ist.
eine V o r s t e l l u n g , die d u r c h nichts
A u s B e r n o u l l i s Gesetz folgt n u i \ dafs
f ü r jeden, also sowohl f ü r den Besitzer der 50 000 D u k a t e n als
auch für
d e n der
letzten D u k a t e n
in
100000
die
Wertschätzung
des
einem gewissen V e r h ä l t n i s steht z u r
W e r t s c h ä t z u n g des vorletzten, oder aller anderen i n seinem Besitz b e f i n d l i c h e n oder v o n i h m erhofften ; u n d dies g i l t auch für
einen geizigen M i l l i o n ä r ,
der
sich n i c h t
ent-
schliefsen k a n n , eine M a r k f ü r das Mittagessen auszugeben ebenso g u t w i e f ü r einen Habenichts, der soeben 2 M a r k g e f u n d e n hat u n d die H ä l f t e d a v o n ohne B e d e n k e n verschenkt.
Auch
das i n § 5 angeführte Beispiel v o n dem
Gefangenen steht m i t der H y p o t h e s e n i c h t i n W i d e r s p r u c h . W e n n man sieht,
dafs unser A u t o r n i c h t genügend
v o n der A n s c h a u u n g d u r c h d r u n g e n w a r , aus n i c h t
angängig
i s t , z u sagen,
dafs es d u r c h -
ein G u t sei f ü r den
einen Menschen m e h r w e r t als f ü r den anderen, sondern dafs
es i m m e r n u r a n g e h t , z u f r a g e n :
welches G u t hat
f ü r unser S u b j e k t m e h r W e r t ? o d e r : w i e v e r h ä l t sich für dieses S u b j e k t
der W e r t des Gutes a zu dem W e r t des
Gutes b? wenn man Grundlagen,
von
also s i e h t ,
denen aus
dafs B e r n o u l l i sich die
seine T h e o r i e
verstanden
w e r d e n mufs, n i c h t g e n ü g e n d k l a r g e m a c h t hat, so k ö n n t e man
Bedenken
tragen,
rungen
zu
folgen.
scheint
er zu f ü h l e n ,
ihm
Aber dafs
in
in
seinen weiteren E r ö r t e -
wahrhaft
die alte
genialer
Weise
Anschauungsweise,
d i e i h m g e l e g e n t l i c h noch a n h ä n g t , u n b r a u c h b a r i s t ;
er
w e n d e t sich deshalb v o n i h r ab, w e n n auch ohne sie ausdrücklich im
für verfehlt zu erklären,
übrigen Teile
Wertschätzung*, geht,
und
seines Schriftchens
u n d beschäftigt sich nur
n o c h m i t der
soweit sie v o n einzelnen S u b j e k t e n aus-
begiebt
sich d a m i t a u f den B o d e n ,
a u f dem
allein
seine T h e o r i e
—
15
—
die
Wissenschaft
fördern
konnte.
( Q u i a vero nos deinceps c o n s i d e r a b i m u s u n u m eundemque h o m i n e m , n i h i l i d ad nos a t t i n e b i t . ) D i e mathematischen B e t r a c h t u n g e n , die i n den bis 12 angestellt w e r d e n ,
sind r i c h t i g ,
§§7
sofern m a n sich
a u f d e n B o d e n des z u G r u n d e gelegten Wertgesetzes stellt. U n t e r dieser Voraussetzung gelten die d o r t niedergelegten Formeln
nicht
nur,
wie
Bernoulli
zu
meinen
scheint
(§ 6 a. E.), f ü r N o r m a l m e n s c h e n , sondern ebensowohl f ü r einen k n a u s e r i g e n Reichen w i e f ü r einen f r e i g e b i g e n A r m e n . Diese B e t r a c h t u n g e n beschäftigen sich ausschliefslich dam i t , die W e r t s c h ä t z u n g e n , die ein einzelnes S u b j e k t verschiedenen G ü t e r m e n g e n angedeihen läfst, z u messen, u n d sie greifen nirgends ü b e r dies G e b i e t hinaus. z. B . die F o r m e l
des § 12 a u f den
Wenn wir
i n § 6 besprochenen
F a l l v o n den beiden Menschen, v o n denen der eine 1 0 0 0 0 0 u n d der andere 5 0 0 0 0 D u k a t e n V e r m ö g e n hat, anwenden, so erhalten w i r f ü r den W e r t ( y ^ ,
den der erste dieser
L e u t e einem D u k a t e n b e i l e g t : y i = b ! l o g | q q q q q ì
den
z w e i t e n finden w i r , dafs er einem halben D u k a t e n folgenden W e r t beilegt : y 2 = Wenn
b 2 log
n u n angenommen
annehmen,
dafs
wird
= bx =
b 2 log
b 2 ; d. h. w e n n
die beiden M e n s c h e n
genau
psychologischen E i g e n t ü m l i c h k e i t e n h ä t t e n , der F a l l e i n t r e t e n ,
den B e r n o u l l i
- M M , wir
dieselben
dann würde
als den n o r m a l e n an-
sieht ; d a n n w ü r d e y x = y 2 , d. h. es w ü r d e d a n n f ü r den ersten
unserer Menschen
ein D u k a t genan so v i e l w e r t
sein, w i e für den z w e i t e n ein h a l b e r ; aber diese A n n a h m e ist r e i n
willkürlich.
O b w o h l die o r i g i n e l l e n G e d a n k e n , die B e r n o u l l i ü b e r das W e r t p r o b l e m
i n der j e t z t n e u herausgegebenen A b -
h a n d l u n g niedergelegt h a t t e , weder v o n i h m selbst n o c h v o n anderen G e l e h r t e n i n einer f ü r die N a t i o n a l ö k o n o m i e
—
16 —
w a h r h a f t f r u c h t b a r e n W e i s e ausgebeutet w u r d e n , u n d obwohl
die U m w ä l z u n g
der W e r t l e h r e ,
die seit dem E r -
scheinen dieses Schriftchens noch w e i t länger als ein J a h r h u n d e r t a u f sich w a r t e n liefs, w o h l k a u m d i r e k t u n d v i e l leicht
auch n i c h t einmal i n d i r e k t an B e r n o u l l i a n k n ü p f t ,
so blieb seine H y p o t h e s e doch n i c h t unbeachtet. Vor
allem
seiner 1812
ist h i e r L a p l a c e z u n e n n e n ,
veröffentlichten T h é o r i e
der sich i n
a n a l y t i q u e des pro-
b a b i l i t é s ganz a u f den B o d e n des B e r n o u l l i s c h e n G e d a n k e n ganges stellt.
E r bezeichnet, w i e h e r k ö m m l i c h , das P r o -
dukt
aus d e m erhofften G e w i n n i n die W a h r s c h e i n l i c h -
keit,
mit
Hoffnung nung, von
der
dieser G e w i n n e i n t r i t t , als mathematische
und
unterscheidet
der Gröfse
des erhofften Vermögenszuwachses
der W a h r s c h e i n l i c h k e i t , Teil
d a v o n die moralische Hoff-
v o n der er sagt, dafs sie gleichfalls a b h ä n g i g sei
wird,
dafs
und
m i t der uns dieser Z u w a c h s z u
sich aber
aufserdem
diese
moralische
H o f f n u n g n a c h tausend verschiedenen U m s t ä n d e n regele, welche fast niemals einer D e f i n i t i o n u n d noch schwieriger einer
Berechnung
unterworfen
werden
könnten.
Man
k ö n n e diese moralische H o f f n u n g auch definieren als das P r o d u k t aus d e m W e r t des Gewinnes i n die W a h r s c h e i n l i c h k e i t , m i t der der G e w i n n e i n t r i t t ; n u r müsse man u n t e r Wert
des G e w i n n e s
dabei n i c h t den absoluten sondern
den r e l a t i v e n W e r t verstehen. zu schätzen,
U m diesen r e l a t i v e n W e r t
sei es n a h e l i e g e n d ,
a n z u n e h m e n , dafs der
r e l a t i v e W e r t eines u n e n d l i c h k l e i n e n Vermögenszuwachses dem absoluten W e r t
dieses Zuwachses
direkt
und dem
G e s a m t v e r m ö g e n der betreffenden Person u m g e k e h r t proportional i s t 1 .
H i e r ist also dieselbe A n n a h m e gemacht
wie von Bernoulli. Werkes
führt
An
Laplace
einer
anderen
die A u s d r ü c k e
Stelle
desselben
fortune
physique
u n d fortune m o r a l e i n die Wissenschaft e i n , die seitdem 1
Oeuvres de Laplace, Bd. V I I .
Paris 1847.
S. 204 ff.
—
17 —
das B ü r g e r r e c h t e r w o r b e n haben. tune p h y s i q u e findliche Güter
eines Menschen
E r bezeichnet als for-
die i n seinem Besitz be-
G ü t e r s u m m e , als f o r t u n e morale den W e r t dieser für
das
Zuwachs,
besitzende
Subjekt.
Entsprechend
dem
den die fortune p h y s i q u e einer P e r s o n erhält,
g e w i n n t L a p l a c e f ü r den z u g e h ö r i g e n Z u w a c h s an f o r t u n e morale den A u s d r u c k : Bernoullis
k dx ^ , welche F o r m e l m i t d e r j e n i g e n
ühereinstimmt
In
dem vier
Jahre
später
herausgegebenen Essai p h i l o s o p h i q u e sur les p r o b a b i l i t é s wiederholt Laplace Hoffnung
und
diese B e t r a c h t u n g e n über moralische
relativen W e r t
ausdrücklich auf Daniel Poisson rechnet
für
stimmt
und beruft
sich
diesmal
Bernoulli.2
völlig
mit Laplace überein;
den moralischen
Wert
er be-
eines V e r m ö g e n s z u -
wachses den uns b e k a n n t e n A u s d r u c k , den er als „ B e r noullische
Grundformel"
schiedene
Beispiele
Auch
spätere
bezeichnet u n d f ü h r t
für
diesbezügliche R e c h n u n g e n
Mathematiker
haben
sich
ver-
durch.3
eingehend
m i t Bernoullis A b h a n d l u n g beschäftigt 4. W o h l der erste N a t i o n a l ö k o n o m , der a u f die Bedeut u n g der H y p o t h e s e n B e r n o u l l i s a u f m e r k s a m machte, w a r Hermann.
Er
scheint
diese H y p o t h e s e
n i c h t aus
O r i g i n a l a b h a n d l u n g , sondern n u r aus der A n f ü h r u n g Essai des Laplace z u kennen.
im
Hermann lehrt wie Ber-
n o u l l i , dafs der W e r t eines Gutes u m so k l e i n e r i s t , gröfser
der
je
das V e r m ö g e n der die S c h ä t z u n g v o r n e h m e n d e n
1
Laplace, Bd. V I I , S. 474 ff. Essai, S. 30 f. der deutschen Übersetzung von Tönnies, herausgegeben von Langsdorf. Heidelberg 1819. 3 Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitsrechnung; deutsche Ausgabe von Schnuse. Braunschweig 1841. § 24 und Anhang I I . 4 Cf. besonders Lacroix : T r a i t é élémentaire d u calcul des probabilités. 4. A u f l . Paris 1864. S. 1 1 6 — 1 3 3 . 2
S a m m l . staatsw. S c h r i f t e n . — B e r n o u l l i .
2
— Person dafs
ist;
ja,
der W e r t
er
18 —
pflichtet
sogar
der
Annahme
dem Stammvermögen umgekehrt
bei,
propor-
tional sei1. Fechner trachtung;
widmet
unserem
Problem
eine k u r z e Be-
er b e h a n d e l t B e r n o u l l i s H y p o t h e s e
als
einen
Specialfall des v o n i h m so genannten W e b e r s c h e n Gesetzes, welches sich a l l g e m e i n so aussprechen l ä i s t : „ E i n positiver oder
negativer Zuwachs
giebt
zum
einen oder anderen Reize
i m m e r denselben E m p f i n d u n g s z u w a c h s ,
w e n n sein
V e r h ä l t n i s z u m Reize, d e m er zuwächst, dasselbe bleibt, w i e sich auch seine absolute Gröfse ä n d e r t " . Fechner Wert
Indem nun
das physische V e r m ö g e n als d e n Reiz u n d den
dieses
Vermögens
als
die
Empfindung
auffafst,
s p r i c h t er B e r n o u l l i s W e r t g e s e t z i n folgenden W o r t e n aus: „ U m einen g l e i c h e n Z u w a c h s z u dem, was L a p l a c e die fortune
morale nennt,
z u gewähren, mufs der Zuwachs z u
d e r f o r t u n e p h y s i q u e i m V e r h ä l t n i s s e dieser fortune sique stehen". formel:
=
Auch
Fechners
psychophysische
u n d seine M a f s f o r m e l :
phy-
Grund-
y = k log ~
s t i m m e n m i t den v o n B e r n o u l l i e n t w i c k e l t e n W e r t f o r m e l n überein2. Grofse B e d e u t u n g mafs F r i e d r i c h A l b e r t L a n g e dem W e r t g e s e t z B e r n o u l l i s bei. Hypothese
formuliert
hat,
N a c h d e m er die Bernoullische f ä h r t er f o r t : „ D i e s e r zuerst
v o n B e r n o u l l i aufgestellte Satz w u r d e v o n L a p l a c e w e i t e r e n t w i c k e l t u n d erschien seitdem häufig i n den L e h r b ü c h e r n der W a h r s c h e i n l i c h k e i t s r e c h n u n g , ohne dafs m a n die ungeheure B e d e u t u n g ahnte, welche er n u n m e h r d u r c h die 1
Staatswirtschaftliche Untersuchungen. München 1882. S. 73. I n dem Beispiel, das dort beigebracht wird, entfernt sich Hermann allerdings wieder von Bernoulli ; doch würde es zu weit führen, hierauf näher einzugehen. 2 Fechner, Elemente der Psychophysik. L e i p z i g 1860. I , S. 2 8 6 ; I I , S. 10 ff.
—
19 —
F o r s c h u n g e n v o n Ε . Η . W e b e r u n d F e c h n e r erhalten h a t " . „ E s ist k a u m z u b e z w e i f e l n ,
dafs dies Gesetz a u f einen
grofsen T e i l der socialen u n d politischen P h ä n o m e n e v e r schiedenster A r t A n w e n d u n g blofse
findet,
w i e d e n n schon die
unbewiesene A n n a h m e seiner G ü l t i g k e i t a u f
ganze Reihe e i g e n t ü m l i c h e r
Erscheinungen
lebens ein überraschendes L i c h t w i r f t " .
eine
des V ö l k e r -
Nachdem Lange
ein Beispiel gegeben hat, f ä h r t er f o r t : „ E s genügt, hier gezeigt z u haben, dafs d i e mathematische G r u n d l a g e d e r T h e o r i e des G l ü c k s , welche uns die B e r n o u l l i s c h e F o r m e l a n die H a n d g i e b t ,
keineswegs
s t e h t , sondern b e i m
g e g e n w ä r t i g e n Stande der Wissen-
schaften als einer
der
vereinzelt
sichersten
und
in
der
Luft
bestbegründeten
P u n k t e i n diesem ganzen G e b i e t e der F o r s c h u n g z u betrachten i s t " 1 . U n t e r den englischen N a t i o n a l ö k o n o m e n w a r J e v o n s w o h l der erste, der a u f B e r n o u l l i s B e t r a c h t u n g e n a u f m e r k sam m a c h t e ,
die er aber erst k e n n e n gelernt z u haben
scheint, nachdem er seine eigenen G e d a n k e n schon selbstständig entwickelt dafs Jevons empfangen
hatte ; m a n
k a n n also
nicht
d u r c h unseren A u t o r wesentliche hätte.
Überdies
hat
er
sagen,
Anregung
die B e d e u t u n g
des
B e r n o u l l i s c h e n Schriftchens, das i h m i m O r i g i n a l offenbar u n b e k a n n t w a r , entschieden
unterschätzt.
Es sei gestattet, z u m Schlufs n o c h einige W^orte ü b e r die vorliegende Neuausgabe h i n z u z u f ü g e n . H e r r Professor A.
Pringsheim
in
München
hatte
die
Freundlichkeit,
B e r n o u l l i s A b h a n d l u n g z u übersetzen u n d einige A n m e r k u n g e n auszuarbeiten, die das V e r s t ä n d n i s der mathematischen T e i l e der E r ö r t e r u n g e n e r l e i c h t e r n sollen. V i e l l e i c h t k a n n es sonderbar erscheinen, dafs die E r ö r t e r u n g e n über das sogenannte P e t e r s b u r g e r P r o b l e m
in
diese Ausgabe a u f g e n o m m e n sind, da sie f ü r den n a t i o n a l 1
D i e Arbeiterfrage,
3. A u f l . W i n t e r t h u r 1875. S. 113 ff. 2*
— ökonomischen dennoch
Leser
20
keine
— direkte
schien es n i c h t a n g e z e i g t ,
Bedeutung
vollständig wiederzugeben,
besonders
Problem,
selbst a u s d r ü c k l i c h
wie B e r n o u l l i
haben ;
die A b h a n d l u n g unda gerade
dieses
bemerkt
(cf. S. 46), d e n e i g e n t l i c h e n A n s t o i s z u r A u f s t e l l u n g seiner W e r t - T h e o r i e gegeben hat u n d andererseits i n der reichen L i t t e r a t u r , die sich m i t d e m P e t e r s b u r g e r P r o b l e m befafst, Bernoullis
Ansichten
über
w o r d e n sind.
Dafs
das
Problem
fragliche
den W e r t
die L ö s u n g , aufstellt,
öfters
besprochen
die unser D e n k e r f ü r den K e r n
der
Sache
offenbar n i c h t t r i f f t ,
ist neuerdings w o h l selten oder nie
bezweifelt w o r d e n 1 ,
u n d w i r d von H e r r n Pringsheim in
einer A n m e r k u n g a u s f ü h r l i c h
begründet.
Ludwig Fick. 1
cf. Bortkewitsch 1895, S. 337.
in
Conrads
Jahrbüchern ;
Jahrg.
VERSUCH einer neuen Theorie der
Wertbestimmung von Glücksfällen von
Daniel Bernoulli, übersetzt und durch Anmerkungen erläutert von Alfred
Pringsheim.
§ 1. Seit die M a t h e m a t i k e r der W e r t b e s t i m m u n g
angefangen h a b e n ,
von Glücksfällen
zu
w u r d e v o n ihnen behauptet: M a n e r h a l t e einer der
Gewinnhoffnung, einzelnen
wenn
möglichen
treten können, dukte
durch
dividiere
1
;
indenen
u n d das A g g r e g a t
die
Zahl
dabei
aller
wird
den
man die
Gewinne
Zahl derFällemultipliziere,
sich m i t
beschäftigen, Wert Werte
mit
der
sie
ein-
dieser
möglichen
vorausgesetzt,
ProFälle dafs
1
Man pflegt das Resultat dieser Operation als den W e r t der m a t h e m a t i s c h e n Hoffnung — zum Unterschiede von der später zu betrachtenden m o r a l i s c h e n — zu bezeichnen. Bedeutet a l 7 a 2 , · · *a n die A n z a h l der Fälle, i n denen beziehungsweise die Gewinne g 1 ? g 2 , · · * g n eintreten, so bestimmt sich nach dem i m T e x t e gesagten der W e r t h der mathematischen Hoffnung durch die F o r m e l : g! + a2 g 2 + · · · + a n g n h = aj + a 2 + · · · + a n ' oder wenn man setzt : a x 4" a 2 Ι * · · · 4" a n — s, wo also s die A n z a h l a l l e r ü b e r h a u p t Fälle bedeutet: Τ
a
l
.
a
2
,
,
a
n
möglichen
— die betrachteten scheinen.
24 —
Fälle
Acceptiert
als g l e i c h m ö g l i c h
m a n diese R e g e l ,
er-
so l ä u f t
D a nun allgemein der Ausdruck — (für k =
die
1, 2, · · · n),
d. h. die Anzahl derjenigen Fälle, welche den Gewinn gk zur Folge haben, dividiert durch die Anzahl aller überhaupt möglichen Fälle, die W a h r s c h e i n l i c h k e i t für das E i n treten des Gewinnes gk darstellt, so k a n n man den W e r t der mathematischen Hoffnung etwas kürzer folgendermafsen definieren: D e r W e r t d e r m a t h e m a t i s c h e n H o f f n u n g i s t das A g g r e g a t aus d e n P r o d u k t e n der einzelnen m ö g l i c h e n Gewinne in die zugehörigen W a h r s c h e i n l i c h k e i t e n . H i e r b e i werden etwaige V e r l u s t e als „ n e g a t i v e " Gewinne i n Anrechnung gebracht. Bei einem nach den Regeln der B i l l i g k e i t eingerichteten Glücksspiele müssen die mathematischen Hoffnungen der beiden Gegner e i n a n d e r g l e i c h sein, bezw. der von dem einen Spieler zu leistende E i n s a t z mufs genau gleich seiner mathematischen Hoffnung sein. W e n n ζ. Β . A und Β ein W ü r f e l s p i e l vereinbaren, bei dem A bei sechs W ü r f e n mit einem W ü r f e l jedesmal soviel M a r k erhalten soll, als er Augen w i r f t , so ist nach den obigen F o r m e l n seine mathematische Hoffnung: 1- 1 + 1 - 2 + 1 - 8 + 1 - 4 + 1 - 5 + 1 - 6 = ~
={·
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
ι +
|·
2 +
1·
3
4·
4 +
1·
5 +
1·
6
=
3 1
;
d. Ii. er hätte, wenn das Spiel gerecht sein soll, an Β einen Einsatz von 3 1 /2 M a r k zu zahlen. Soll A jedesmal das Doppelte der geworfenen Augen i n M a r k erhalten, so oft er eine u n g e r a d e Zahl w i r f t , dagegen 6 M a r k an Β zahlen, falls er eine g e r a d e Zahl w i r f t , so w i r d : _ 1 * 2 + 1 - 6 + 1 -10 — 3 * 6 —
1 + 1 + 1 + 3
so dafs also das Spiel den Regeln der B i l l i g k e i t entspricht, ohne dafs A einen weiteren Ersatz zu leisten hat.
2
'
—
25 —
weitere A u s b i l d u n g dieser M e t h o d e offenbar l e d i g l i c h d a r a u f h i n a u s , alle ü b e r h a u p t d e n k b a r e n F ä l l e aufzuzählen,
sie
alsdann i n solche v o n gleicher M ö g l i c h k e i t z u sondern u n d demgemäfs i n K l a s s e n einzureihen. § 2. D i e zahlreichen Beweise, welche m a n f ü r diese Regel gegeben h a t ,
b e r u h e n bei genauerer P r ü f u n g
a u f der folgenden H y p o t h e s e : W e n n z w e i irgendetwas vorhanden, bevorzugt Chancen
erhoffen, warum
werden beider
persönlichen b e i belanglos,
so s e i k e i n e r l ei G r u n d
die
eine v o r
solle,
als
Verhältnisse
der
anderen
und daher seien
gleich
zu
nur
die
erachten;
des E i n z e l n e n
u n d es k o m m e
v o n denen das E i n t r e t e n
durchweg Personen
seien
die hier-
auf diejenigen
an,
des erhofften Ereignisses
ab-
hängt. Ein Richter
derartiges fällen:
Rechtsurteile geben, ist,
Urteil
hier
mögen
handelt
zu fällen,
nämlich Regeln,
öffentliche
sondern
darum,
Ratschläge
zu
v e r m ö g e deren j e d e r i m stände
einen G l ü c k s f a l l j e
mögensverhältnissen
vielleicht
es sich aber n i c h t
nach
seinen
besonderen
Ver-
abzuschätzen. §3.
Um
die
Richtigkeit
dieser
Bemerkung
w o l l e n w i r a n n e h m e n , einem a r m e n T e u f e l
zu
zeigen,
sei e i n L o s
zugefallen, d u r c h welches er m i t gleicher W a h r s c h e i n l i c h keit
entweder
kann.
Wird
nichts nun
oder
dieser
20000
den
Wert
Dukaten jenes
gewinnen Loses
auf
1 0 0 0 0 D u k a t e n z u schätzen haben, u n d w ü r d e er t h ö r i c h t handeln, w e n n er dasselbe f ü r 9000 D u k a t e n v e r k a u f t e ? Mir
scheint das n i c h t der F a l l , obschon i c h andererseits
meine, dafs ein sehr reicher M a n n seinen V o r t e i l v e r k e n n e n
26 — w ü r d e , w e n n er es e v e n t u e l l ablehnte, jenes L o s f ü r den obigen P r e i s z u erwerben.
W e n n i c h aber i n diesem F a l l e recht
habe, so erscheint es offenbar u n m ö g l i c h , den W 7 e r t eines Glücksfalles i n d e r W 7 eise abzuschätzen, dafs diese W e r t b e s t i m m u n g f ü r alle M e n s c h e n pafst, u n d daraus folgt zunächst, dafs die Regel des § 1 z u v e r w e r f e n ist.
Dagegen
k a n n , w i e b e i genauerer Ü b e r l e g u n g j e d e r m a n n
einsehen
w i r d , der i n j e n e r R e g e l gebrauchte A u s d r u c k W T e r t so definiert w e r d e n , dafs d a d u r c h die ganze Regel ohne Bed e n k e n f ü r alle W e l t a n n e h m b a r w i r d : lich
der
Wert
Preise sondern
(Geld-
einer
Sache
oder
nicht
es ist h i e r näm-
aus
ihrem
Tauschwert)
aus dem V o r t e i l ,
den j e d e r
einzelne
zieht. D e r P r e i s ( G e l d - o d e r T a u s c h w e r t ) sich aus
der
Sache
selbst
blofsen
z u bestimmen, daraus
bestimmt
u n d ist für alle g l e i c h ;
der
V o r t e i l aber h ä n g t v o n den Verhältnissen des E i n z e l n e n ab.
So mufs
es zweifellos f ü r
einen A r m e n m e h r w e r t
sein, tausend D u k a t e n z u g e w i n n e n , als f ü r einen Reichen, obschon der G e l d w e r t f ü r beide der
gleiche ist.
§4. H i e r m i t ist die Sache schon so w e i t geführt, dafs ein jeder l e d i g l i c h d u r c h A b ä n d e r u n g jenes einen A u s d r u c k s alles w e i t e r e selbst finden k ö n n t e : da aber meine H y p o these n e u ist, so w i r d sie d o c h n o c h einiger E r l ä u t e r u n g e n bedürfen.
I c h w i l l daher versuchen,
auseinanderzusetzen,
w i e i c h m i r die Sache zurecht gelegt h a b e ; dabei soll uns d e r folgende Satz als G r u n d r e g e l dienen : M u l t i p l i z i e r t man die einzelnen m ö g l i c h teile m i t eintreten
der
Anzahl
können
dieser Produkte
der
und durch
erscheinenden Fälle,
dividiert
in das
die Anzahl
Vor-
denen
sie
Aggregat
aller
mög-
l i c h e n F ä l l e , so e r h ä l t m a n e i n e n m i t t l e r e n V o r -
teil,
und der diesem
Vorteil
entsprechende
Ge-
27 winn
stellt
—
das W e r t m a f s
für
den
fraglichen
dar2.
Glücksfall
§5Auf
diese W e i s e
ergiebt
sich n u n a b e r ,
dafs
man
den W e r t eines Glücksfalles n i c h t b e s t i m m e n k a n n , w e n n n i c h t zugleich der V o r t e i l b e k a n n t ist, der einem j e d e n aus i r g e n d einem G e w i n n e kehrt
der
Gewinn
zur Erzeugung forderlich
erwächst, u n d a u c h umge-
angegeben
werden
kann,
eines b e s t i m m t e n V o r t e i l s
wäre
—
Dinge,
über
welcher
f ü r i h n er-
die sich k a u m
etwas
sicheres aussagen läfst, d a sie v o n z u v e r s c h i e d e n a r t i g e n Umständen
abhängen
können.
So
wird
z. B .
in
den
meisten F ä l l e n einem A r m e n d u r c h den gleichen G e w i n n mehr
gedient,
als
einem
Reichen;
nichtsdestoweniger
k ö n n t e f ü r einen Gefangenen, der 2000 D u k a t e n besitzt, aber noch
e i n m a l soviel z u r W i e d e r e r l a n g u n g der F r e i -
heit b e d a r f , sein,
ein G e w i n n
als f ü r
von
einen m i n d e r
2000 D u k a t e n m e h r w e r t
begüterten.
Immerhin
sind
Beispiele dieser A r t , obschon m a n deren u n z ä h l i g e k o n struieren k ö n n t e , i n W i r k l i c h k e i t selten. W i r w e r d e n uns also n u r m i t solchen F ä l l e n beschäftigen, w i e sie g e w ö h n lich vorkommen; ständnisses Menschen
halber
dabei
wollen
annehmen,
wir
des leichteren V e r -
dafs das V e r m ö g e n eines
i m m e r n u r d u r c h successives H i n z u t r e t e n u n -
e n d l i c h k l e i n e r I n c r e m e n t e stetig sich v e r m e h r e .
Alsdann
erscheint es aber i n h o h e m G r a d e w a h r s c h e i n l i c h , jeder
beliebig
kleine
Gewinn
einen
dafs
Vorteil
erzeuge, welcher dem schon vorhandenen
Ver-
2 Oder auch: Das Aggregat der P r o d u k t e der e i n z e l n e n m ö g l i c h e n Vorteile i n d i e e n t s p r e c h e n den W a h r s c h e i n l i c h k e i t e n s t e l l t d e n mittleren Vorteil d a r , u n d d e r j e n i g e Gewinn, w e l c h e r d i e s e n l e t z t e r e n g l e i c h f a l l s e r z e u g e n w ü r d e , ist das W e r t m a f s des f r a g l i c h e n G l ü c k s f a l l e s .
— mögen
umgekehrt
28
proportional
ist.
Zur
Er-
l ä u t e r u n g dieser H y p o t h e s e w i l l i c h zunächst sagen, was ich hier unter V e r m ö g e n was uns N a h r u n g ,
verstehe,
Kleidung,
n ä m l i c h alles das,
B e q u e m l i c h k e i t , j a auch
L u x u s u n d die B e f r i e d i g u n g i r g e n d w e l c h e r W ü n s c h e z u g e w ä h r e n i m stände ist.
Hiernach können w i r
eigentlich
v o n n i e m a n d e m sagen, er besitze garnichts, w e n n er n i c h t geradezu v e r h u n g e r t , u n d es w i r d f ü r die M e h r z a h l der H a u p t t e i l ihres V e r m ö g e n s i n i h r e r A r b e i t s k r a f t welche auch
die F ä h i g k e i t
bestehen,
z u betteln m i t umfafst:
wer
sich d u r c h B e t t e l n j ä h r l i c h 10 G o l d g u l d e n e r w i r b t ,
der
w i r d w o h l s c h w e r l i c h u n t e r der B e d i n g u n g , nie m e h r z u betteln
oder a u f andere W e i s e etwas z u e r w e r b e n ,
Summe Weise
von
50
Goldgulden
annehmen
und
auf
eine diese
sich der M ö g l i c h k e i t b e r a u b e n , nach deren A u f -
z e h r u n g w e i t e r z u e x i s t i e r e n ; j a selbst w e n n j e m a n d garn i c h t s besitzt u n d n o c h obendrein i n Schulden steckt, so möchte ich
es b e z w e i f e l n ,
ob er u n t e r der gleichen Be-
d i n g u n g die B e z a h l u n g seiner Schulden nebst einem noch w e i t gröfseren Geldgeschenke
annehmen w ü r d e .
Wenn
n u n aber der B e t t l e r d e n o b i g e n V e r t r a g n i c h t eingehen will,
aufser
wenn
er
eine
Barsumme
von
mindestens
100 G o l d g u l d e n erhält, u n d j e n e r m i t Schulden belastete n u r dann, w e n n er 1000 G o l d g u l d e n b e k o m m t , so w e r d e n w i r sagen müssen, dafs der eine 100 der andere 1000 Goldg u l d e n reich sei, obschon n a c h dem g e w ö h n l i c h e n Sprachgebrauche j e n e r nichts, dieser aber n o c h w e n i g e r als nichts besitzt.2
a
2 a D i e wahre Bedeutung dieser auf den ersten Blick ziemlich befremdlich scheinenden Vermögens-Scliätzung erh e l l t erst aus den i m § 10 daraus resultierenden Folgerungen : man vergleiche hierzu insbesondere Anm. 4.
—
29
—
§6. N a c h A u f s t e l l u n g dieser D e f i n i t i o n k e h r e i c h z u d e r B e h a u p t u n g des v o r i g e n P a r a g r a p h e n z u r ü c k , dafs n ä m l i c h , falls nichts ungewöhnliches dazwischen einembeliebig kleinen Gewinne Vorteil
als u m g e k e h r t
hand enen V e r m ö g e n 3
tritt,
proportional
angesehen
der
aus
erwachsende dem
Vor-
werdenkann.
3
Zur Vervollständigung ist noch hinzuzufügen, dafs dieser V o r t e i l oder, wie er heute gewöhnlich genannt wird, der r e l a t i v e oder m o r a l i s c h e N u t z e n aufserdem als d i r e k t p r o p o r t i o n a l m i t dem G e l d - o d e r T a u s c h w e r t e (absoluten Werte) des betreffenden Gewinnes anzusehen ist (was B. offenbar als selbstverständlich voraussetzt). Der im Texte ausgesprochene Grundsatz, welcher speciell als das D a n i e l B e r n o u l i i s c h e Princip bekannt ist und die Grundlage der i n den folgenden Paragraphen entwickelten Theorie von der sog. m o r a l i s c h e n H o f f n u n g bildet, beruht: 1) auf dem E r f a h r u n g s g e s e t z e , dafs dieser V o r t e i l (relative oder moralische Nutzen) m i t der Gröfse des Gewinnes überhaupt z u n i m m t , andererseits- aber um so g e r i n g e r erscheint, j e gröfser das bereits vorhandene Vermögen war, m i t anderen Worten, dafs er eine z u n e h m e n d e F u n k t i o n des Gewinnes, eine a b n e h m e n d e des Vermögens sein mufs; 2) auf der H y p o t h e s e , dafs derselbe gerade d i r e k t p r o p o r t i o n a l m i t dem Gewinne und u m g e k e h r t p r o p o r t i o n a l m i t dem Vermögen variiert. Gegen den e r s t e n T e i l dieser H y p o t h e s e dürfte sich schwerlich etwas einwenden lassen: derselbe figuriert j a auch als Grundlage für die allgemein acceptierte Theorie von der m a t h e m a t i s c h e n H o f f n u n g und ist w o h l niemals angefochten worden. Dagegen w i r d man dem ζ w e i t e η Teile, welcher das specielle Eigentum D a n i e l B e r n o u l l i s ist und den eigentlichen K e r n p u n k t seiner Theorie bildet, den V o r w u r f einer gewissen W i 11 k t i r 1 i e h k e i t nicht ersparen können, und man darf auch ohne Ungerechtigkeit zugeben, dafs eine durchgängige, k r i t i k l o s e Anwendung dieses Principes zu offenbaren Ungereimtheiten führt. Immerhin
30 — E i n e genauere B e t r a c h t u n g der menschlichen N a t u r zeigt i n der T h a t , dafs dieser Satz i n den meisten F ä l l e n anwendbar
erscheint.
Einnahme
nicht
aber, jemand
Es g i e b t w e n i g e , die i h r e j ä h r l i c h e
vollständig
hat
aufbrauchen.
ein V e r m ö g e n
Gesetzt
nun
v o n 100000 D u k a t e n ,
e i n anderer ein solches v o n ebenso v i e l e n halben D u k a t e n . W e n n d a n n der erstere hieraus ein jährliches E i n k o m m e n v o n 5000 D u k a t e n , der letztere w i e d e r u m ein solches v o n ebenso v i e l e n h a l b e n D u k a t e n bezieht, so ist doch v ö l l i g k l a r , dafs f ü r den einen ein ganzer D u k a t e n gerade n u r so v i e l b e d e u t e t , dafs
daher
w i e f ü r den anderen
der G e w i n n
ein h a l b e r ,
eines ganzen D u k a t e n f ü r
und den
ersten n i c h t m e h r W e r t hat, als der G e w i n n eines halben Dukaten
für
den zweiten.
W e n n also j e d e r v o n diesen
b i n ich der Meinung, dafs dasselbe, m i t M a f s u n d V o r s i c h t angewendet, gute Dienste leisten und z. B. i n Fällen, wie die i n §§ 15, 16 behandelten, für die Praxis brauchbare W i n k e geben kann. A u f der anderen Seite ist nicht zu verkennen, dafs die Tragweite dieser Theorie nicht nur von B e r n o u l l i selbst, sondern auch von seinen Nachfolgern, sogar von dem grofsen L a p l a c e , zweifellos überschätzt worden ist. A b e r darum braucht man noch lange nicht, wie neuerdings J . B e r t r a n d i n seinem C a 1 c u 1 d e s P r o b a b i l i t é s (Paris 1888) gethan, dieselbe als einfach absurd zu verwerfen, zumal sein e i n z i g e s Argument eigentl i c h darin besteht, dafs er i n ganz lustiger Weise eine Geschichte von zwei Spielern k o n s t r u i e r t , die sich — selbstverständlich — über die Bedingungen eines zwischen ihnen zu veranstaltenden Glücksspieles nicht einigen können, weil j e d e r bei deren Festsetzung s e i n e e i g e n e V e r m ö g e n s l a g e nach Mafsgabe des B e r n o u l l i sehen Principes zur Geltung bringen w i l l . I m übrigen w i r d man selbst in diesem sonst gar nicht zur A n w e n d u n g des B e r n o u l l i sehen Principes geeigneten F a l l e eine i n d i r e k t e Bestätigung des eigentlichen Grundgedankens i n dem Umstände erblicken d ü r f e n , dafs ein einigermafsen feinfühliger Mensch sich nicht i n ein Glücksspiel m i t solchen Leuten einlassen wird, deren Vermögenslage allzusehr von der seinigen differiert.
—
31 —
beiden einen G e w i n n v o n e i n e m D u k a t e n m a c h t , so w i r d d e m z w e i t e n daraus indem
er j a
zwei
der d o p p e l t e halbe D u k a t e n
Vorteil
erwachsen,
gewonnen
hat.
Da
dieses B e i s p i e l e i n B i l d v o n allen anderen giebt, so halte i c h es f ü r überflüssig, solche noch anzuführen. der
obige
Satz
um
so r i c h t i g e r ,
A u c h ist
als die M e h r z a h l der
Menschen anderes V e r m ö g e n , als i h r e A r b e i t s k r a f t besitzt
und
von
dieser a l l e i n z u leben pflegt.
kaum
Freilich
g i e b t es auch L e u t e , die an e i n e m D u k a t e n m e h r hängen, als m a n c h e r andere,
der z w a r w e n i g e r r e i c h , aber frei-
g e b i g ist, an m e h r e r e n D u k a t e n .
D a w i r aber zunächst
i m m e r n u r einen u n d denselben Menschen ins A u g e fassen werden, so k o m m t dergleichen f ü r uns n i c h t i n B e t r a c h t . F e r n e r ist k l a r : w e r w e n i g e r F r e u d e a m G e w i n n hat, der t r ä g t auch einen V e r l u s t r u h i g e r .
D a aber doch z u w e i l e n
besondere U r s a c h e n existieren k ö n n e n , d e r e n t w e g e n sich die Sache anders verhält, so w e r d e ich, u m alle F ä l l e z u umfassen, führen
die
Untersuchung
u n d dann
erst
zunächst
ganz
allgemein
z u unserer speciellen H y p o t h e s e
übergehen. §7. E s bezeichne also (s. d. F i g u r S. 32) A B das v o r d e m E i n t r i t t des fraglichen Glüksfalles v o r h a n d e n e V e r m ö g e n . ü b e r der V e r l ä n g e r u n g B R v o n A B
die-
j e n i g e K u r v e B G S k o n s t r u i e r t , deren O r d i n a t e n C G ,
Sodann w e r d e
DH,
EL,
F M etc. die V o r t e i l e
darstellen,
welche den als
Abscissen aufgetragenen G e w i n n e n B C , B D , B E , B F etc. entsprechen. F e r n e r seien m, n, p, q etc. d i e j e n i g e n Z a h l e n , welche angeben, w i e oft die G e w i n n e B C , B D , B E , B F etc. eintreten
können,
lere Vorteil p o
_
alsdann
dargestellt
wird
(nach § 4) der
mitt-
durch:
m . CG + η • D H + ρ . E L + q . F M 4-... m + n + p + q + ...
E r r i c h t e t m a n n u n A Q senkrecht a u f A R u n d t r ä g t d a r a u f
—
AN =
P O ab,
32 —
so w i r d die Gerade N O — A B ,
d e n r e c h t m ä f s i g z u erhoffenden G e w i n n des fragliches G l ü c k s f a l l e s darstellen.
d. h. B P
oder den W e r t
W e n n w i r ferner
wissen w o l l e n , w i e grofs der E i n s a t z sein mufs, w e l c h e r der
obigen Glückshoffnung
Kurve
nach der
fortzusetzen,
entspricht,
entgegengesetzten
dafs j e t z t
so hat m a n die
Seite i n
die Abscisse
der Weise
B p jedesmal
den
V e r l u s t , dagegen die zugehörige O r d i n a t e po den diesem Verluste
entsprechenden N a c h t e i l
b e i einem Spiele
darstellt.
Da
aber
m i t gerechten B e d i n g u n g e n der Nach-
t e i l aus dem V e r l u s t g l e i c h d e m V o r t e i l e aus d e m G e w i n n sein
mufs,
so
hat m a n
An =
AN
oder :
po =
P O zu
n e h m e n : alsdann bezeichnet B p den E i n s a t z , d e n n i e m a n d
—
33 —
überschreiten sollte, der a u f seine Vermögensverhältnisse die gebührende R ü c k s i c h t
nimmt. §8.
Z u s a t z I . B e i der bisher v o n den G e l e h r t e n g e w ö h n l i c h angewendeten Hypothese, welche a u f d e r B e h a u p t u n g beruht, dafs j e d e r G e w i n n ausschliefslich n a c h sich selbst z u schätzen sei, u n d tionalen V o r t e i l
dafs er stets einen d i r e k t p r o p o r -
nach sich z i e h e ,
eine gerade L i n i e ; w e n n daher p o
_
w i r d die K u r v e
BS
wiederum:
m . CG + η . P H + ρ . E L + q . F M + . .. m + n+ p + q+
...
so folgt, sobald m a n a u f beiden Seiten die entsprechenden p r o p o r t i o n a l e n Gröfsen einführt, B p
_
dafs:
m . BC + η . B D + ρ . B E + q . B F + . .. m + n + p + q + ...
w i r d — v ö l l i g ü b e r e i n s t i m m e n d m i t der g e w ö h n l i c h angewendeten Regel. §9. Zusatz
II.
dem gröfsten
Wenn
AB
selbst i m V e r h ä l t n i s s e z u
ü b e r h a u p t m ö g l i c h e n G e w i n n e B F als u n -
endlich grofs erscheint,
so w i r d der B o g e n B M als eine
u n e n d l i c h k l e i n e gerade L i n i e betrachtet w e r d e n dürfen, und in
diesem F a l l e w i r d also w i e d e r j e n e g e w ö h n l i c h e
Regel P l a t z g r e i f e n :
dieselbe g i l t somit sehr näherungs-
weise bei allen Spielen, i n denen es sich u m v e r h ä l t n i s mäfsig k l e i n e S u m m e n handelt.
§10. Nachdem w i r geführt h a b e n ,
so die U n t e r s u c h u n g
ganz a l l g e m e i n
w e n d e n w i r uns j e t z t z u j e n e r oben er-
w ä h n t e n besonderen H y p o t h e s e , welche i n d e r T h a t v o r allen
anderen B e t r a c h t u n g
verdient.
Zunächst
ist
hier
u n t e r B e i b e h a l t u n g der Voraussetzungen des § 7 die N a t u r S a m m l . staatsw. S c h r i f t e n . — B e r n o u l l i .
3
—
34 —
d e r K u r v e sBS z u untersuchen.
D a w i r aber a u f G r u n d
unserer H y p o t h e s e u n e n d l i c h k l e i n e G e w i n n e z u betrachten haben, so w e r d e n w i r die G e w i n n e B C u n d B D als nahezu g l e i c h ansehen, sodafs also i h r e Differenz C D u n e n d l i c h klein wird.
Z i e h t m a n d a n n G r p a r a l l e l z u B R , so w i r d
r H d e n u n e n d l i c h k l e i n e n V o r t e i l darstellen, den j e m a n d m i t d e m V e r m ö g e n A C d u r c h den u n e n d l i c h k l e i n e n Gew i n n C D erwirbt.
D i e s e r V o r t e i l aber d a r f n i c h t blofs
n a c h d e m k l e i n e n G e w i n n e C D ( d e m er allerdings u n t e r sonst g l e i c h e n V e r h ä l t n i s s e n p r o p o r t i o n a l ist) abgeschätzt w e r d e n , sondern a u c h n a c h d e m vorhandenen A C , d e m er u m g e k e h r t p r o p o r t i o n a l ist. AC =
χ
CD =
dx
CG =
y
Vermögen
Setzt m a n also : rH =
dy,
aufserdem : AB =
α,
u n d bezeichnet b eine gewisse K o n s t a n t e , b . dx
ι 4
Diese
so hat m a n 4 :
„Differential-Gleichung": dy =
b · — X ist l e d i g l i c h die mathematische F o r m u l i e r u n g der i n § 5 ausgesprochenen (durch A n m . 3 vervollständigten) Hypothese, dafs j e d e r noch so kleine ( „ u n e n d l i c h - k l e i n e " ) G e w i n n , d. h. V e r m ö g e n s - Z u w a c h s dx einen V o r t e i l dy erzeugt, welcher diesem ersteren d i r e k t , dagegen dem b e r e i t s v o r h a n d e n e n Vermögen χ u m g e k e h r t p r o p o r t i o n a l ist, wobei also b einen, bis zu einem gewissen Grade w i l l k ü r l i c h zu wählenden, aber für alle Werte χ u η v e r ä n d e r l i c h e n „ P r o p o r t i o n a l i t ä t s - F a k t o r " bedeutet. Aus dieser Differential-Gleichung folgt zunächst, dafs zwischen χ und y eine Beziehung von der F o r m bestehen mufs : y = b - l g x + C, J
wo das Zeichen l g χ
den n a t ü r l i c h e n
Logarithmus von
—
35
d. h.
x, C eine K o n s t a n t e bedeutet. D e n n aus dieser letzteren Beziehung geht durch Differentiation wieder die obige Differential-Gleichung hervor. Der W e r t der Konstanten C ist nicht w i l l k ü r l i c h , sondern bestimmt sich aus der Bedingung, dafs i m F a l l e g a r k e i n G e w i n n gemacht, also auch k e i n V o r t e i l y erzielt w i r d , d. h. i m F a l l e y — 0, das Vermögen χ seinen ursprünglichen W e r t a behält, d. h. man h a t : 0 = b · lg α + C also:
c = — b-lgo, sodafs die obige „ I n t e g r a l - G l e i c h u n g " nimmt : y =
die F o r m an-
χ b · l g χ — b · l g a — b · l g —.
In W o r t e n : Geht infolge irgend eines E r eignisses eine u r s p r ü n g l i c h vorhandene Summe a in die S u m m e χ über, e r z i e l t also der B e s i t z e r des V e r m ö g e n s a e i n e n G e w i n n χ — a (bezw. w e n n χ — a n e g a t i v a u s f ä l l t , e i n e n V e r l u s t a — χ ) , so w i r d d e r relativ© o d e r moralische W e r t d i e s e s G e winnes (bezw. V e r l u s t e s ) d a r g e s t e l l t d u r c h die Formel: 7 =
b'lg
^
wo b einen positiven von a und χ unabhängigen Proportionalitäts-Faktor bedeutet (der lediglich von anderen U m ständen, wie Zeit, Ort, individuellen Verhältnissen u. dergl. abhängen kann). D a dieser r e l a t i v e G e w i n n - W e r t y n i c h t , wie dessen a b s ο 1 u t e r W e r t χ — α, von der D i f f e r e n z χ — α, sonX
dern von dem Q u o t i e n t e n — abhängt,
so erkennt
man,
dafs derselbe bei gleichen W e r t e n von χ und abnehmenden W e r t e n von a sehr viel s c h n e l l e r zunimmt, als der a b s o l u t e G e w i n n - W e r t χ — α, i n der Weise, dafs er geradezu
— Es
ist daher die K u r v e
36 — sBS eine l o g a r i t h m i s c h e L i n i e ,
über alle Grenzen wächst, wenn a unter jede Grenze herabsinkt. Ist χ > α, also χ — « p o s i t i v , so g i l t offenbar das gleiche von y ; dagegen w i r d für x < o : , geradeso wie χ — α, auch y n e g a t i v . Ist endlich χ = a, findet also weder Gewinn, noch Verlust statt, so w i r d auch : y = b · l g 1 = 0. I m F a l l e eines n e g a t i v e n Wertes a liefert die Formel :
( N B . χ immer als wesentlich positiv vorausgesetzt) für y einen k o m p l e x e n W e r t , d. h. einen solchen von der F o r m : Α + Β · V — 1 , und somit k e i n praktisch brauchbares Resultat. D i e Möglichkeit für das Eintreten dieses Falles erscheint aber gerade durch die i n § 5 eingeführte VermögensSchätzung definitiv a u s g e s c h l o s s e n , da j a nach der dort getroffenen Festsetzung das Vermögen a unter keinen U m ständen als eine n e g a t i v e Gröfse angesehen wird, und der äufserste noch als zulässig erscheinende G r e n z f a l l a = 0 nur für denjenigen e i n t r i t t , der geradezu am Verhungern ist. D a nun, wie bereits bemerkt, m i t u n b e g r e n z t a b n e h m e n d e n p o s i t i v e n W e r t e n von a der W e r t von y — wie k l e i n i m übrigen auch der positive W e r t χ angenommen werden möge — u n b e g r e n z t z u n i m m t , so w i r d man sagen müssen, dafs jenem Grenzfalle a — 0 der W e r t y = + 00 entspricht. Hiernach würde also aus jedem (noch so kleinen) G e w i n n e ein schlechthin als „ u n e n d l i c h g r o i ' s " zu bezeichnenden V o r t e i l nur demjenigen erwachsen, der jeder F ä h i g k e i t eines Erwerbes (einschliefslich des Betteins) beraubt, eben i m Begriffe ist, zu v e r h u n g e r n ; während jedem, dem noch irgend eine Existenz-Möglichkeit offen stellt, jeglicher G e w i n n einen allemal noch d u r c h Z a h l e n m e f s b a r e n V o r t e i l bringen würde, der nur als u m so g r ö f s e r anzuschlagen ist, j e s c h l e c h t e r des Betreffenden Vermögens-Verhältnisse sind. D u r c h diese den Anschauungen des gesunden MenschenVerstandes durchaus entsprechenden Ergebnisse findet die i n § 5 aufgestellte Vermögens-Definition ihre nachträgliche Rechtfertigung.
—
37 —
deren Subtangente stets = Gerade Q q i s t 5 .
b u n d deren A s y m p t o t e die
§11. V e r g l e i c h t m a n dieses Resultat m i t d e m i n § 7 gesagten, so ist offenbar: p o = b . i g 4 | u n d ebenso : CG =
Af! b . ] g ^ ,
AD D H = b . l g ^ ,
u . s . f.
5 Dafs die fragliche K u r v e die Y - A x e zur Asymptote h a t , erkennt man ohne weiteres daraus, dafs für χ = 0 : y = — co w i r d . Dagegen bedarf die auf die Subtangente bezügliche Bemerkung einer K o r r e k t u r oder zum mindesten, wenn man dem Ausdrucke „ S u b t a n g e n t e " die heute durchweg übliche Bedeutung beilegt, einer Modifikation. M a n hat hier nämlich unter „ S u b t a n g e n t e " n i c h t , wie sonst üblich, die Projektion der Tangente (vom Schnittpunkte m i t der A b s c i s s e n - Axe bis zum Berührungspunkte) auf die A b s c i s s e η - A x e zu verstehen, sondern die P r o j e k t i o n der Tangente — vom Schnittpunkte m i t der O r d i n a t e n - A x e bis zum Berührungspunkte — auf die O r d i n a t e n - A x e (d. h. m i t anderen W o r t e n : die S u b t a n g e n t e i m gewöhnlichen Sinne, jedoch für den F a l l , dafs man die Y - A x e zur A b s c i s s e n - A x e macht). Bezeichnet man nämlich die Länge dieser L i n i e m i t t und m i t φ und xp die W i n k e l , welche die Tangente, bezw. m i t der positiven Abscissenund Ordinaten-Richtung bildet, so hat man offenbar:
t —=
cot ψ =
tang φ =
und da h i e r : dy dx
=
b χ
wird, schliefslich : t =
b· —
dy
,
—
38
D a nun : p
o
=
m . CG + η . D H + ρ . E L + q . F M + ... m + η Η- ρ + q . . .
so f o l g t j e t z t : ,
ι
AB ^ÄP
/ =
.
.
AC S
\ 4
Ä B
q b , l g
Ä S
,
,
+
AD S
+
"
)
Ä B
:
(
,
,
+ P
m +
n
AE S
+ P+
ÄB c
l + ···)
und daher: A P = ( A O . A D 1 1 . AEP . A F « . . . ) . / m + n + p + q + ... S u b t r a h i e r t m a n h i e r v o n n o c h A B , so stellt der Rest B P den W e r t des f r a g l i c h e n Glücksfalles
dar6.
6
Wendet man wiederum die Bezeichnungen der Anm. 1 an, d. h. bezeichnet man die einzelnen zu erwartenden Gewinne m i t g x , g 2 , · · · g n ? die A n z a h l der Fälle, i n denen sie eintreten können, bezw. m i t a j , a 2 · · · a n , aufserdem das vorhandene Vermögen, wie oben, m i t a, so ergiebt sich als r e l a t i v e r W e r t des fraglichen Glücksfalles, oder, wie man auch (nach L a p l a c e ) zu sagen pflegt, als W e r t der m o r a l i s c h e n Hoffnung der A u s d r u c k : 1 Η =
{ ( a W V
+ g ^
· · · ( « + gn) a" }
Sl +
32 +
-
oder auch, wenn man wiederum ^ + a 2 + · · · + a n = ai Η =
(« +
g l
)
S Pl
wo p t =