Die Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate und ihre spezielle Anwendung auf die Geodäsie nebst einem Anhange von Beispielen [Reprint 2020 ed.] 9783112377680, 9783112377673

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Die

Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate und ihre spezielle Anwendung auf die Geodäsie nebst einem Anhange von Beispielen •on

Richard Ahrens XgL Landmesser

Mit 13 Figuren

Leipzig G. J. Göschen'sche Verlagshandlung 1906

Alle

Rechte

von der Verlagshandlung vorbehalten.

Spamersehe Buchdruckerei, Leipzig R.

Inhaltsverzeichnis. Abschnitt A. Kinflhrnng. B § § § §

1. 2. 3. 4.

Einleitung Prinzip der Ausgleichung Die verschiedenen Arten von Fehlern Ausgleichungsaufgaben

Seite

1 2 3 4

Abschnitt B. Ausgleichung direkter Beobachtungen. $ 1. § 2. f3. § 4. § 5.

Fehlerfortpflanzungsgesetz Einfaches arithmetische« Mittel Gewichte Fehlerfortpflanzung der Gewichte Allgemeines arithmetisches Mittel bei Beobachtungen mit ungleichen Gewichten § 6. Beobachtungsdifferenzen $ 7. Nichtlineare Funktionen von Beobachtungen

§ 7 1$ 17 18 21 24

Abschnitt C. Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen. f 1. Aufstellen der Fehler bzw. Verbesserungsgleichupgen . % 2. Normalgleichungen § 3. Einführung von Näherungswerten und Auflösung der Normalgleichungen § 4. Proben für die richtige Aufstellung und Auflösung der Normalgleichungen § 5. Herleitung des mittleren Fehlers der Unbekannten . .

27 29 31 36 42

IV

Inhaltsverzeichnis. Seite

$ 6. Linearmachen von Funktionen vermittelnder Beobachtungen 44 § 7. Vermittelnde Beobachtungen ungleichen Gewichtes . . 47 Abschnitt D. Ausgleichung bedingter Beobachtungen. § 1. Einführung § 2. Aufstellung der Fehlergleichungen § 3. Ungleiche Gewichte

49 50 51

Abschnitt E. Aufgaben. L Kapitel. Aufgaben über vermittelnde Beobachtungen. § 1. Stationsausgleichung Stationsausgleichung für unvollständige Eichtlingsmessungen % 2. Ausgleichung eines BQckw&rtseinschnittes § 3. Ausgleichung eines Vorw&rtsabschnittes § 4. Ausgleichung eines durch Vorw&rtsabschnitt und Bfickwftrtseinschnitt festgelegten Punktes % 5. Ausgleichung eines geometrischen Nivellements . . . .

54 58 61 70 80 84

II. Kapitel. Ausgleichung von An/gaben nach bedingten Beobachtungen. $ 1. § 2. % 3. % 4. § 5.

Auflösung eines Dreiecks 87 Stationsausgleichung 88 Ausgleichung eines Höhennetzes 92 95 Ausgleichung von Dreiecksnetzen Allgemeine Bemerkungen über Aufstellung von Bedingungsgleichungen in Dreiecksnetzen 101

Abschnitt A. § 1. Einleitung. Alle unsere Messungen sind mit kleinen Fehlern behaftet, die teils der Unvollkommenheit der zu ihrer Beobachtung benutzten Instrumente, teils der Unvollkommenheit der Sinne des Beobachters, teils anderen unberechenbaren Einflüssen zuzuschreiben sind. Diese Fehler, welche das Resultat unserer Beobachtungen gesetzlos beeinflussen, so daß es bald mehr bald weniger, bald nach der einen, bald nach der anderen Seite von dem wahren Werte der Beobachtung abweicht, nennen wir unregelmäßige, auch zufällige Fehler. Wohl davon zu unterscheiden sind jene regelmäßigen oder konstanten Fehler, die unter gleichen Umständen in gleicher Weise die Messungsergebnisse in demselben Sinne beeinflussen, die jedoch, wenn sie auch durch die Art der Messung nicht ganz beseitigt werden können, in ihrer Ursache und Wirkung erkennbar sind und sich in jedem Falle berechnen lassen. Die Ausgleichungsrechnung beschäftigt sich ausschließlich mit den Fehlern der ersten Gattung, nicht aber mit den konstanten oder gar groben Fehlern. Letztere müssen vielmehr ganz der Beobachtung fern bleiben, jene durch geeignete Messungsmethoden fortgeschafft, berechnet und bei dem Endresultat in Rücksicht gezogen werden. Im folgenden sollen nur Beobachtungen in den Kreis unserer Betrachtungen gezogen werden, die frei von konstanten Fehlern sind, und es soll deijenige Fehler resp. Verbesserung berechnet werden, der die größte Wahrscheinlichkeit hat, das Resultat der Wahrheit am nächsten zu bringen. A h r e n s , Die Ausgleichungsrechnung.

1

2

Abschnitt A.

Einführung.

Diese Aufgabe zu lösen ist Gegenstand der Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate, wie sie von ihrem Entdecker Gauß im Jahre 1795 resp. 1809 genannt wurde. § 2. Prinzip der Ausgleichung. Durch einmaliges Beobachten einer Größe sind wir noch nicht klar, ob und welchen Fehler wir begangen haben. Erst wenn wir die Beobachtung häufiger machen, haben wir eine Vorstellung von dem Fehler und seiner Größe. Haben wir z. B. in einem Dreieck zwei Winkel gemessen, den dritten aber durch Rechnung bestimmt, so bleiben wir im unklaren über den begangenen Fehler. Erst die Messung des dritten Winkels gibt uns durch die Differenz der gemessenen und der theoretischen Winkelsumme Aufschluß fiber den begangenen Fehler. Aus diesem Grunde müssen wir also bei der Ausgleichung immer mehr Beobachtungen haben, als zur einmaligen Bestimmung der auszugleichenden Größe notwendig sind. Durch die überschüssigen Beobachtungen werden wir, da sie nicht übereinstimmen, auf das Vorhandensein von Fehlern aufmerksam gemacht Da aber jede Beobachtung die Wahrscheinlichkeit für sich hat, der wahren Größe sehr nahe zu kommen, so ist klar, daß wir aus den mit zufälligen Fehlern behafteten Beobachtungen nicht die streng richtigen Werte finden, sondern die günstigsten, d. h. solche, die der Wahrheit sehr nahe kommen. Um zu diesen Näherungswerten zu gelangen, müssen wir jeder Beobachtung eine Verbesserung zulegen, so daß alle verbesserten Werte übereinstimmen oder als Teile eines Ganzen dieses Ganze in der richtigen Weise ergeben. Gleichzeitig entspricht es aber auch dem Verstände, möglichst wenig an den Beobachtungen zu ändern, und somit stellen wir den Hauptsatz auf: „Die Summe der Quadrate der Verbesserungen soll ein Minimum sein." Bezeichnen wir mit Z, l3 l s die verschiedenen Beobachtungen, mit x den Wert, der die größte Wahrscheinlichkeit hat, der richtige zu sein, mit vl v2 vs . . . die jeder Be-

2

Abschnitt A.

Einführung.

Diese Aufgabe zu lösen ist Gegenstand der Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate, wie sie von ihrem Entdecker Gauß im Jahre 1795 resp. 1809 genannt wurde. § 2. Prinzip der Ausgleichung. Durch einmaliges Beobachten einer Größe sind wir noch nicht klar, ob und welchen Fehler wir begangen haben. Erst wenn wir die Beobachtung häufiger machen, haben wir eine Vorstellung von dem Fehler und seiner Größe. Haben wir z. B. in einem Dreieck zwei Winkel gemessen, den dritten aber durch Rechnung bestimmt, so bleiben wir im unklaren über den begangenen Fehler. Erst die Messung des dritten Winkels gibt uns durch die Differenz der gemessenen und der theoretischen Winkelsumme Aufschluß fiber den begangenen Fehler. Aus diesem Grunde müssen wir also bei der Ausgleichung immer mehr Beobachtungen haben, als zur einmaligen Bestimmung der auszugleichenden Größe notwendig sind. Durch die überschüssigen Beobachtungen werden wir, da sie nicht übereinstimmen, auf das Vorhandensein von Fehlern aufmerksam gemacht Da aber jede Beobachtung die Wahrscheinlichkeit für sich hat, der wahren Größe sehr nahe zu kommen, so ist klar, daß wir aus den mit zufälligen Fehlern behafteten Beobachtungen nicht die streng richtigen Werte finden, sondern die günstigsten, d. h. solche, die der Wahrheit sehr nahe kommen. Um zu diesen Näherungswerten zu gelangen, müssen wir jeder Beobachtung eine Verbesserung zulegen, so daß alle verbesserten Werte übereinstimmen oder als Teile eines Ganzen dieses Ganze in der richtigen Weise ergeben. Gleichzeitig entspricht es aber auch dem Verstände, möglichst wenig an den Beobachtungen zu ändern, und somit stellen wir den Hauptsatz auf: „Die Summe der Quadrate der Verbesserungen soll ein Minimum sein." Bezeichnen wir mit Z, l3 l s die verschiedenen Beobachtungen, mit x den Wert, der die größte Wahrscheinlichkeit hat, der richtige zu sein, mit vl v2 vs . . . die jeder Be-

§ 3. Die verschiedenen Arten von Fehlern.

3

obachtung zukommende Verbesserung, so lassen sieb die letzteren herleiten aus: »! = X — lt 1*2 ~ 1 30 ~~~ Vs =

X — l

z

/j

.

Es besteht nun die Bedingung, daß die Summe der Quadrate der Verbesserungen ein Minimum sein soll; also: t* + «5 + f$ + . . . ein Minimum, oder durch Einführung der obigen Werte für v ein Minimum. Hieraus läßt sich durch Behandlung nach dem T a y l o r schen Lehrsatze von den Maxima und Minima der günstigste Wert herleiten, wie weiter unten gezeigt wird. Zum besseren Verständnismitsei[j;]noch die gesagt, Summe daß vl -f Vg + vt + ..., mit [o] die Summe Oj + o^ -f o, + • • • > überhaupt mit allen von einer eckigen Klammer umschlossenen Ausdrücken die Summe gleichartiger, nur in der Ordnungszahl verschiedener Ausdrücke bezeichnet wird.

§ 3. Die verschiedenen Arten von Fehlern. Der Durchschnittsfehler D ist der Quotient aus der absoluten Summe der wahren Fehler e dividiert durch ihre Anzahl. Z. B. seien bei der Messung einer Linie folgende wahren Fehler unterlaufen: 0,01m 0,03»» 0,05 m 0,06 m 0,08 m, so ist der Durchschnittsfehler 0,01 + 0,03 + 0,05 + 0,06 + 0,08 2 3 D QQ16m 5 5 ' Der mittlere Fehler ist die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate der wahren Fehler einer Beobachtungsart dividiert durch ihre Anzahl: [et] l/[ec] m:

§ 3. Die verschiedenen Arten von Fehlern.

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obachtung zukommende Verbesserung, so lassen sieb die letzteren herleiten aus: »! = X — lt 1*2 ~ 1 30 ~~~ Vs =

X — l

z

/j

.

Es besteht nun die Bedingung, daß die Summe der Quadrate der Verbesserungen ein Minimum sein soll; also: t* + «5 + f$ + . . . ein Minimum, oder durch Einführung der obigen Werte für v ein Minimum. Hieraus läßt sich durch Behandlung nach dem T a y l o r schen Lehrsatze von den Maxima und Minima der günstigste Wert herleiten, wie weiter unten gezeigt wird. Zum besseren Verständnismitsei[j;]noch die gesagt, Summe daß vl -f Vg + vt + ..., mit [o] die Summe Oj + o^ -f o, + • • • > überhaupt mit allen von einer eckigen Klammer umschlossenen Ausdrücken die Summe gleichartiger, nur in der Ordnungszahl verschiedener Ausdrücke bezeichnet wird.

§ 3. Die verschiedenen Arten von Fehlern. Der Durchschnittsfehler D ist der Quotient aus der absoluten Summe der wahren Fehler e dividiert durch ihre Anzahl. Z. B. seien bei der Messung einer Linie folgende wahren Fehler unterlaufen: 0,01m 0,03»» 0,05 m 0,06 m 0,08 m, so ist der Durchschnittsfehler 0,01 + 0,03 + 0,05 + 0,06 + 0,08 2 3 D QQ16m 5 5 ' Der mittlere Fehler ist die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate der wahren Fehler einer Beobachtungsart dividiert durch ihre Anzahl: [et] l/[ec] m:

4

Abschnitt A. Einführung.

Auf voriges Beispiel angewendet ergibt sich 0,0001 + 0,0009 + 0,0025 + 0,0036 + 0,0064 n, tn' ~ K 0,0135 = 0,0027 , m = ± 0,05. Dieser Fehler heißt auch die mittlere Abweichung vom arithmetischen Mittel. Den wahrscheinlichen Fehler erhält man, wenn man alle bei einer Messung überhaupt möglichen wahren Fehler ohne Rücksicht auf ihre Vorzeichen der Größe nach ordnet und denjenigen herausgreift, der von den übrigen ebenso oft überschritten, als nicht erreicht wird. Aus folgender Fehlerreihe: 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 ist der wahrscheinliche Fehler 2,5, da dieser von den ersten Fehlern zehnmal nicht erreicht, von den anderen zehnmal überschritten wird. Sind die wahren Fehler unendlich und folgen sie dem Gaußschen Fehlergesetz, so ist der wahrscheinliche Fehler W = 0,6745 m und der Durchschnittafehler B = 0,8000 m, wo m den mittleren Fehler bezeichnet. § 4.

Ansgleichnngsatifgaben.

Die Aufgaben, bei denen die Methode der kleinsten Quadrate angewendet wird, sind sehr mannigfaltig, und wir gliedern sie in folgende drei Abteilungen: 1. Ausgleichung d i r e k t e r Beobachtungen: Die unbekannten Größen sind untereinander unabhängig und unmittelbar beobachtet. Jede Größe kann für sich allein behandelt werden. 2. Ausgleichung v e r m i t t e l n d e r Beobachtungen: Die auszugleichenden Größen, die zwar unabhängig voneinander sind, können nur im Zusammenhange mit anderen Größen, also mittelbar beobachtet werden. 3. Ausgleichung bedingter Beobachtungen: Die gesuchten Größen, die unmittelbar beobachtet werden, müssen gewissen Bedingungen genügen, wie z. B. die Winkel in einem Viereck 360° ergeben müssen.

4

Abschnitt A. Einführung.

Auf voriges Beispiel angewendet ergibt sich 0,0001 + 0,0009 + 0,0025 + 0,0036 + 0,0064 n, tn' ~ K 0,0135 = 0,0027 , m = ± 0,05. Dieser Fehler heißt auch die mittlere Abweichung vom arithmetischen Mittel. Den wahrscheinlichen Fehler erhält man, wenn man alle bei einer Messung überhaupt möglichen wahren Fehler ohne Rücksicht auf ihre Vorzeichen der Größe nach ordnet und denjenigen herausgreift, der von den übrigen ebenso oft überschritten, als nicht erreicht wird. Aus folgender Fehlerreihe: 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 ist der wahrscheinliche Fehler 2,5, da dieser von den ersten Fehlern zehnmal nicht erreicht, von den anderen zehnmal überschritten wird. Sind die wahren Fehler unendlich und folgen sie dem Gaußschen Fehlergesetz, so ist der wahrscheinliche Fehler W = 0,6745 m und der Durchschnittafehler B = 0,8000 m, wo m den mittleren Fehler bezeichnet. § 4.

Ansgleichnngsatifgaben.

Die Aufgaben, bei denen die Methode der kleinsten Quadrate angewendet wird, sind sehr mannigfaltig, und wir gliedern sie in folgende drei Abteilungen: 1. Ausgleichung d i r e k t e r Beobachtungen: Die unbekannten Größen sind untereinander unabhängig und unmittelbar beobachtet. Jede Größe kann für sich allein behandelt werden. 2. Ausgleichung v e r m i t t e l n d e r Beobachtungen: Die auszugleichenden Größen, die zwar unabhängig voneinander sind, können nur im Zusammenhange mit anderen Größen, also mittelbar beobachtet werden. 3. Ausgleichung bedingter Beobachtungen: Die gesuchten Größen, die unmittelbar beobachtet werden, müssen gewissen Bedingungen genügen, wie z. B. die Winkel in einem Viereck 360° ergeben müssen.

Abschnitt B.

Ausgleichung direkter Beobachtungen. § 1. Fehlerfortpflanzungsgesetz. Zur Beurteilung der Genauigkeit von Messungen ißt es notwendig zu wissen, wie sich die mittleren Fehler der Einzelbeobachtungen auf ganze Aufnahmen fortpflanzen, n) Angenommen, es sei 1. z = a-l, wo x der günstigste Wert aus einer Reihe von Beobachtungen, l der einer einzelnen Beobachtung, a ein beliebiger Koeffizient ist. Ferner: 2. X = a • L, wo X = wahrer Wert der Unbekannten, L = wahrer Wert der Beobachtung ist Subtrahieren wir 1 von 2, so ist 3. X — x = a(L — t). Die erste Größe X — x stellt demnach den wahren Fehler der Ausgleichungsgröße, die zweite L — l den wahren Felder der Beobachtung dar, die wir mit ex bzw. e bezeichnen. Wir erhalten also: 4. Nehmen wir die Beobachtung als das arithmetische Mittel verschiedener direkter Beobachtungen an, so ist: 2

& + e'P + n

+ •• • »

a* e" + Q*e"2 + «V"» + • • • n

6

Abschnitt B.

Ausgleichung direkter Beobachtungen.

Die e sollen dieselben sein, so ist also, wenn wir zum mittleren Fehler übergehen: ml

=

o» i—1 n

=

mx

=

+ am

.

a*

m*.

b) Eine Größe x setze sich zusammen aus den beiden beobachteten Größen \ und also: x = \ + Zj Es sei ferner, wie oben: X = L

X—x

—

ex =

+

l

L3

Z/j — ij + ei

+

e2

Durch Subtraktion erhalten wir:

— lt

.

Jede beobachtete Größe l t und sei wiederum das Mittel aus mehreren Beobachtungen l\ l" l'{' resp. Vi 1% l'i'. . . , so daß ex sich bildet aus e'x usw. Es ist dann: «i = ei + e'2 usw. e '(' + f'a" Addieren wir diese Gleichungen, so ist: t

.

_//

i

ttt

e'P

=

&

+

#

J

i

J

i

-w

+

&

+

i

jt

i

_ttt

i

zu

ex + «I + = «1 + «i + «1 + «2 + «1 + «2 • Vernachlässigen wir zur Bequemlichkeit die dritte Beobachtung und gehen ins Quadrat über, so erhalten wir: ei2

+

+

&

2 (e[ & +

¿1 e'{ +

. . .).

Da nun alle e gleich wahrscheinlich positiv oder negativ sind, also kein Grund vorliegt, warum in der Reihe der Produkte die positiven oder negativen Größen überwiegen sollen, so sind die Durchschnittswerte der letzten zwei Glieder = 0 . Daraus folgt: + oder

&

=

n ml

ei2 + e»2

e72 +

n =

m\

e'P

n +

m\

.

B e i s p i e l zu a): Der Winkel a hat den mittleren Fehler + 6". In einer Rechnung gebraucht man den Winkel 2 a ; wie groß ist der mittlere Fehler von 2 a ?

§ 2. Einfaches arithmetisches Mittel.

7

Also X = 2« . ma = + 1 2 . ot2 = O*.»£ = 4 . 3 6 = 144; Beispiel zu b): Eine Länge a setzt sich zusammen aus den beiden anderen Längen b = 6,431 + 0,005 und c = 4,856 + 0,003 . Welches ist der Wert von a , wenn a = b + c ist, und welches ist der mittlere Fehler? m\ = ml + IM? = 25 + 9 = 34 . ma = +5,8 . Also ist a = 11,287 ± 0,006 . A n m e r k u n g : Ebenso gibt der mittlere Fehler für eine Größe, die sich aus der Differenz zweier anderen herleitet: ml = m\ + mj . c) An der Hand der vorigen Ableitungen möge der LeBer sich selbst den mittleren Fehler von £ = «o + a i + °a ^ + «s ¿3 + • • • ableiten. Durch Subtraktion X — x fallt OQ fort und wir erhalten zum Schluß: ml

=

a\m\

+

+

a\m%

+

...

Beispiel: Eine Länge x wurde in vier Abschnitten gemessen und zwar: lx = (235,47 + 0,07) w (Meter) viermal Z2 = (125,68 + 0,04) m dreimal l3 = ( 40,75 + 0,02) m zweimal = ( 18,87 + 0,01) m einmal. Es ist x= 4 + + 2Zg + Z4 == 420,77 m , ml = 16m? + 9ml + 4m| + mj = 909 , tnx = + 30 . Also ist x = (420,77 + 0,30) m .

§ 2. Einfaches arithmetisches Mittel. Eine Größe sei »mal gleich genau und unabhängig gemessen, und es haben sich dabei folgende Resultate ergeben: 1., Z3 . . . l n .

§ 2. Einfaches arithmetisches Mittel.

7

Also X = 2« . ma = + 1 2 . ot2 = O*.»£ = 4 . 3 6 = 144; Beispiel zu b): Eine Länge a setzt sich zusammen aus den beiden anderen Längen b = 6,431 + 0,005 und c = 4,856 + 0,003 . Welches ist der Wert von a , wenn a = b + c ist, und welches ist der mittlere Fehler? m\ = ml + IM? = 25 + 9 = 34 . ma = +5,8 . Also ist a = 11,287 ± 0,006 . A n m e r k u n g : Ebenso gibt der mittlere Fehler für eine Größe, die sich aus der Differenz zweier anderen herleitet: ml = m\ + mj . c) An der Hand der vorigen Ableitungen möge der LeBer sich selbst den mittleren Fehler von £ = «o + a i + °a ^ + «s ¿3 + • • • ableiten. Durch Subtraktion X — x fallt OQ fort und wir erhalten zum Schluß: ml

=

a\m\

+

+

a\m%

+

...

Beispiel: Eine Länge x wurde in vier Abschnitten gemessen und zwar: lx = (235,47 + 0,07) w (Meter) viermal Z2 = (125,68 + 0,04) m dreimal l3 = ( 40,75 + 0,02) m zweimal = ( 18,87 + 0,01) m einmal. Es ist x= 4 + + 2Zg + Z4 == 420,77 m , ml = 16m? + 9ml + 4m| + mj = 909 , tnx = + 30 . Also ist x = (420,77 + 0,30) m .

§ 2. Einfaches arithmetisches Mittel. Eine Größe sei »mal gleich genau und unabhängig gemessen, und es haben sich dabei folgende Resultate ergeben: 1., Z3 . . . l n .

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Abschnitt B.

Ausgleichung direkter Beobachtungen.

Es soll der günstigste Wert x dieser Größen selbst und der mittlere Fehler der einzelnen Beobachtung wie auch der des günstigsten Wertes gesucht werden. Nach § 2 der Einleitung ist: »i h+ x vt = —lt + x va = —ls + x Vn = —In + X . Neben diesen Fehlergleichungen besteht noch die Bedingung: [»«] = «i + «3 + «5 + • • • «2 ein Minimum. Setzen wir die vorstehenden Werte von v in die Bedingungsgleichung ein, so ist: + xY + (-h + xY + (-la + XY+ ... (-/, + xY ein Minimum. Um diese Bedingung zu lösen, setzen wir den ersten Differentialquotienten dieser Funktion von x gleich Null. o = ] + [v\x .

[v]x wird gleich Null, da [v] gleich Null ist Setzen wir aus Gleichung 1 den Wert für [Z»J in Gleichung 2 ein, so ist [vv] = [Zq — [l\x. Zur Entwickelung des mittleren Fehlers einer einzelnen Beobachtung gehen wir wiederum von den Verbesserungsgleichungen ^ - - k + z aus. Setzen wir statt der Verbesserung den wahren Fehler e und statt des günstigsten Wertes x den wahren Wert der Beobachtung X , so ist (1)

(2)

e1 = —ll + X = «! — »j = iL —

e? — v2 Hieraus ist

X =

Aus (1) und (2) folgt durch Subtraktion: £x

= ez i = vi + £i = v1 + ex £

10

Abschnitt B. Ausgleichung direkter Beobachtungen.

Diese Gleichungen ins Quadrat erhoben geben: « ? - * ? + 2 « ! « , + «» 4 = »2 + 2», e, + 4 el =

vl+2vnex+el

[ee] = [w\ + 2ex[v] + n • el.

Der Ausdruck 2ex [u] wird, da wie oben [v] = 0 ist, auch hier gleich Null. Zum arithmetischen Mittel übergehend ist: [ec] _ [t?v] »• el n

oder

n

9

m2 =

n

[®rl I 2

-—i

n

+

ml. tn3

Da nun, wie weiter unten gezeigt wird, m\ — — ist, n so ist 2 [vv\ w m 1 -—=

oder

n

n

[vv] = n - m 2 — m-

und daraus m- (n — 1) = [v v\.

Folglich

» —1 d. h. das Quadrat des mittleren Fehlers einer Beobachtung ( ist gleich der Summe der Quadrate der Verbesserungen dividiert durch ihre um 1 verminderte Anzahl. Den mittleren Fehler des arithmetischen Mittels finden wir folgendermaßen. Es ist x==l1

+

lt

+

l3+...lH n

= l l

n

1 n

Nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz ist aber

lln n

§ 2.

Einfaches arithmetisches Mittel.

11

die mittleren Fehler der einzelnen Beobachtungen gleich, also mt = m^ = . . . mH . Dann ist: , und somit

seien

1 • n 2. — »i2 -m nl n m mz = + -7= > }n

d. h. der mittlere Fehler des arithmetischen Mittels ist gleich dem mittleren Fehler der einzelnen Beobachtungen dividiert durch die Wurzel aus der Anzahl der Beobachtungen. Nach Obigem war m2 = ^ ^ . die Gleichung: n—1 m* n ein, so ist *

M (» - 1)»

oder

m. *

Setzen wir dieses in

~ f n(n -

1)"

B e i s p i e l : Zur Festlegung der Achse einer Kurve wurde der Tangentenschnittwinkel viermal gleich genau gemessen, wobei sich folgende Resultate ergaben: = 148° 3 6 ' 4 6 " = 148° 36' 49" i = 148° 36' 4 2 " li = 148° 3 6 ' 4 3 " . Welches ist der günstigste Wert für den Winkel, welches ist der mittlere Fehler einer Beobachtung und wie groß ist die mittlere Abweichung vom arithmetischen Mittel? A u f l ö s u n g : Durch Addition der einzelnen l und Mittelbildung erhalten wir x = 148° 3 6 ' 4 5 " . Nun stellen wir die Verbesserungsgleichungen nach der Form auf v0 = —l0 ~h x und erhalten, wenn wir nur die letzten Sekunden berücksichtigen: -1 Vl = - 6 + B = v2 = - 9 + 5 = — 4 t>3 = —2 + 5 = + 3 i>4 = - 3 + 5 = + 2 P r o b e : [t>J = —5 + 5 - 0 .

12

Abschnitt B. Ausgleichung direkter Beobachtungen.

Um eine weitere Rechenprobe durch die Formel [vr] = [ZZJ — zu haben, stellen wir die [»»], die wir zur Berechnung der mittleren Fehler nötig haben, und [Z Zj sowie die [Zj auf: t7» = 1 ZJ = 36 ^= 6 v\ = 16 1\ = 81 lt = 9 v*= 9 3= 4 Z, = 2 Vj= 9 l4 = 3 p« = 4 [»»] = 30 [ZZ] = 130 [ZJ = 20 . Danach ist: 30 = 130 — 100 = 30 . Der mittlere Fehler einer Beobachtung ist: m ! = äfi — 10 ; m = +3,2 Sekunden. Der mittlere Fehler des arithmetischen Mittels ist: ini ml = — =-4a = 2,5; m, = +1,6" n und zur Probe:

Die Aufgabe hätte durch Einführung von Näherungswerten noch eine andere Lösung zugelassen. Wir setzen das noch unbekannte a; = j + i = -m,j , Pt = Wj ^i u s w Zur weiteren Erklärung wollen wir folgende Betrachtung anstellen: Eine Größe, etwa eine gerade Linie sei achtmal gleich genau gemessen, und die Messungen hätten die Längen . . . /8 ergeben. Dann ist die ausgeglichene Größe L = £[/], der mittlere Fehler einer Beobachtung m

j/i^yl und der mittlere Fehler von L = mx = ^ ^ r .

Vereinigen wir nun die 1. und 2. Messung zu einem Mittel: ft-ift + J»), ferner die 3., 4. und 5. Messung zu einem Mittel: « = i(is + h + h) > endlich noch die 6. und 7. Messung: h = i f t + h), so ist noch Ii = ig. Nennen wir entsprechend die Verbesserung zu Ii, die sich zusammensetzt aus vi und v3 r vi, die zu £ gehörige »J usw., so ist offenbar das System von Fehlergleichungen: v[ = x — li = x — + 7g) vi = * - fc = x + + k) vi = x - % = x - i(le + l,) vi = X — l't = X — lg . Damit nun die Ausgleich ung dasselbe Resultat ergibt, Wiedas aus den acht gleich genauen Beobachtungen, wonach: X

~

8

ist, so müssen wir jetzt die Gleichung aufstellen: + 26 + 6 = 21\ + X 2+3+2+1

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Abschnitt B. Ausgleichung direkter Beobachtungen.

Ist nun das Gewicht jeder einzelnen Beobachtung gleich 1, so ist das Gewicht von ti = 2 , das von ft = 3 , das von Ii = 2 und endlich das von ti = 1. m* Ist ferner das Gewicht p0 = —, , so ist »n0 m' », = 2 — d a s Gewicht von l', m[ Vi — ° flt] c

m*

»

»

y n H

»

»

»

1

» » » • m| Daraus ist wieder ersichtlich, daß die Gewichte proportional den Genauigkeitszahlen und umgekehrt proportional den mittleren Fehlern sind. Da sich nun die mittleren Fehler nie genau bestimmen lassen, so hat man es durch kleine Veränderungen derselben in der Hand, für die Gewichte gauze Zahlen zu bekommen, was auch hinsichtlich der Bequemlichkeit der Rechnung notwendig erscheint, zumal da es nur auf die Richtigkeit ihres Verhältnisses ankommt. Da wir uns nun den mittleren Fehler der einzelnen Beobachtung m selbst wählen können, so können wir ihn f&r jeden betreffenden Fall als konstant ansehen und das Gewicht ausdrücken durch:

Konstante = m2 jTO TT2 „2 • m »»0 0 B e i s p i e l : Ein Winkel tx ist mit Instrument I zu 48° 1 6 ' 2 3 " + 3 " „ „ II „ 48° 1 6 ' 1 5 " + 7 " gemessen. Wie verhalten sich die Gewichte dieser Messungen? Wie groß muß das Gewicht der Beobachtung I sein, wenn das von II = 5 ist; wie oft muß ferner unter der Annahme, daß Winkel II dreimal gemessen ist, Winkel I gemessen werden, damit er den mittleren Fehler + 4" erhält, wenn II den mittleren Fehler + 5 hat? =

$ 4. Fehlerfortpflanzung der Gewichte.

17

Die Gewichte verhalten sich: (1) i>1:p//=49:9. (2) 5: pu = 49:9 . Also muß Winkel et mit Instrument II ungefähr einmal gemessen werden. (3) j> / :3 = 25:16-j> J = rt. Also muß der Winkel a mit Instrument II ungefähr fünfmal gemessen werden.

§ 4. Fehlerfortpflanzung der Gewichte. Haben wir eine Große x = li-\-lt, so ist m\ = m\ + m{. Wir wollen die einzelnen mittleren Fehler durch das Gewicht ausdrücken und erhalten: m* _ m* m* , Px Pl P% oder i - i + i . _x Px Pl Pt Ist x = a1l1 + aili + so ist . . , . . ml — oj mj -f p\ — x\yp\ — [vlp] . Hierin wird wieder x[vp\ = 0 (nach (3)). Dann werden die Verbesserungsgleichungen mit den zugehörigen l multipliziert, summiert und ergeben: (4b) [vlp] = x\lp]-[lli)\. Setzen wir [vlpJ in Gleichung (4a) ein, so ist: [v vp] = [i lp\ — [lp\x . Es erübrigt nun noch, die mittleren Fehler herzuleiten. Nach § 2 war: r n , p m2 = ——in— 1 .

§ 5. Allgemeines arithmetisches Mittel.

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Da wir hier aber mit ungleichen Gewichten zu rechnen haben, müssen wir jeder Verbesserung auch das ihr zukommende Gewicht zufügen und erhalten: mi =

[vvp\ n -

1

ist der mittlere Fehler einer Beobachtung vom Gewicht 1. Den mittleren Fehler des arithmetischen Mittels finden wir folgendermaßen: Es ist: Pl ?! + Pg h + • • • Pn In _ Pl J . Pt J • P, , + m2

\ p r

P\ 1 =

|

A

+

[ p r

i

1+

+ m

" \ j p r '

Pn

+

"' W '' Da wir die mittleren Fehler der einzelnen Beobachtungen nicht kennen, so wollen wir sie ausdrücken durch den mittleren Fehler der Beobachtung mit dem Gewicht 1. W*

Es ist nach § 3: », =

, woraus ml = — ist, ebenso

pt usw. Dadurch wird: _

p\

[p]

p^ 2

Pi

m*

pl

[P] Pi

w ' l b r

m!

" ' [P] P. '"ipir

ml

=

m*

[PY

Also ist der mittlere Fehler des arithmetische!) Mittels gleich der Wurzel aus dem Quadrate des mittleren Fehlers aer Beobachtung, die das Gewicht 1 hat, dividiert durch die Summe der Gewichte. Das Gewicht von x selbst findet man nach: p„: 1 = w2: 2

m ™2 ml

ml. i

~

m m2 [P]

W»

d. h. das Gewicht des arithmetischen Mittels ist gleich der Summe der Gewichte der einzelnen Beobachtungen.

20

Abschnitt B. Ausgleichung direkter Beobachtungen.

Beispiel: Eine Lange £ ist in verschiedenen Stationen gemessen and zwar: aas den verschiedenen Messungen ist: L 186,83 Li = 186,84 Gewicht pt = 2 186.85 Ln = 186,87 Gewicht pn = 4 IL 186,87 Lm = 186,86 Gewicht pm = 7 186,88 186,90 186,83 III. 186,85 186,80 186.86 186.87 186,86 186,90 186.88 Folglich ist Die Verbesserangsgleichangen lauten: = +2 pj = 2 va = x — La = — 1 pu = 4 vlu= x — L1U = 0 pm=-1 vj = x — Li

vlp1 =

+4

«iJ>* = —4 «»P»= 0

Probe: \yp\ = «1i;1 = 4 »,», = 1 »gP8 = 0

8 4 0

ii = 4 Z, = 7 k = 6

[vvp] = 12

^

= 16 = 49 = 36

Probe: [«rp]

¿iPi = 8 28 42 = 78

h k P i = 32 ^Z,j», = 196 IglsPt — 252 [Zij>] = 480 12 = 480 - 468

0

§ 6. Beobachtungsdifferenzen.

21

Der mittlere Fehler einer Beobachtung mit der Gewichtseinheit ist: m? = = 6; m = +2,4 cm. Der mittlere Fehler des arithmetischen Mittels ml = -JSJ = 0,4; mx = ±0,6 cm. § 6.

Beobachtnngsdiffereiizeii.

Werden die Beobachtungen verschiedener Größen in gleicher Weise wiederholt, so daß man aus ihnen Differenzen bilden kann, so können letztere zur Berechnung des mittleren Fehlers dienen. a) Gleiche Gewichte: Es sei dt = s - n dt = & — Vi usw. Dann ist: j p _ d\ + dl + • • • dl n Habe jedes l den mittleren Fehler m, so ist für eine Differenz M2 M* = mi + m*; m* = . 2 Es ist aber I; n foJglich m2 = i—J2 t» mittlerer Fehler einer Beobachtung. b) Ungleiche Gewichte: Es beziehe sich ® auf die Gewichtseinheit, dann verhält sich: < S)l:dl = m: mt

.

m,

=

©? + —

Aus den Proportionen folgt: m.

2n

+ ...

§ 6. Beobachtungsdifferenzen.

21

Der mittlere Fehler einer Beobachtung mit der Gewichtseinheit ist: m? = = 6; m = +2,4 cm. Der mittlere Fehler des arithmetischen Mittels ml = -JSJ = 0,4; mx = ±0,6 cm. § 6.

Beobachtnngsdiffereiizeii.

Werden die Beobachtungen verschiedener Größen in gleicher Weise wiederholt, so daß man aus ihnen Differenzen bilden kann, so können letztere zur Berechnung des mittleren Fehlers dienen. a) Gleiche Gewichte: Es sei dt = s - n dt = & — Vi usw. Dann ist: j p _ d\ + dl + • • • dl n Habe jedes l den mittleren Fehler m, so ist für eine Differenz M2 M* = mi + m*; m* = . 2 Es ist aber I; n foJglich m2 = i—J2 t» mittlerer Fehler einer Beobachtung. b) Ungleiche Gewichte: Es beziehe sich ® auf die Gewichtseinheit, dann verhält sich: < S)l:dl = m: mt

.

m,

=

©? + —

Aus den Proportionen folgt: m.

2n

+ ...

22

Abschnitt B. Ausgleichung direkter Beobachtungen.

Dieses in die Gleichung für m s eingesetzt gibt: mi m

ff =

Pi +

dm

/1 ©*]

Diese Methode hat vor der ersteren den Vorteil, daß sie weniger Rechnung erfordert, zumal da der Nenner in beiden Ausdrücken derselbe ist Uns näher über die Auflösung von Gleichungen durch Determinanten auszulassen, würde über den Rahmen des Werkchens hinausgehen. Wir wollen nur noch die Probe für das vorliegende Beispiel machen. Danach ist 207 • 3,527 - 1614 . 0,694 35 • 1614 - 207 • 207 ^ ~~ .

0 ^ ^ 2 0 7 ^ - 3 ^ 2 7 ^ 3 5 = 20213 ~ ^35 • 1614 - 207"- 207 ~~ 13641

= 9

§ 4.

390,027 = -0,029, 13641 0,002 .

Proben für die richtige Aufstellung und Auflösung der Normalgleichungen.

Im vorigen Paragraphen hatten wir schon darauf hingewiesen, daß man durch die Summierung der einzelnen 8palten bei der Aufstellung der Normalgleichungen eine Probe gewinnt Wir können nun auch die Normalgleichungen selbst addieren und die so entstandene Gleichung, die Summengleichung, als eine Normalgleichung behandeln und mit der Rechnung weiterführen, so daß die erste Unbekannte nicht nur aus der reduzierten Normalgleichung, sondern auch gleichzeitig aus der reduzierten Summengleichung hervorgeht Wir wollen die Richtigkeit dieser Behauptung zunächst theoretisch und dann an unserem Beispiel praktisch erläutern.

36

Abschnitt C. Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen.

Ans diesen beiden Normalgleichungen ist: I [ab][af\ [b b][bf]

¿E = [o a] [o 6]

[a 6] [ft b]

' [ab][bf]-\bb][af]

[oo][6 6 ] - [ a 6 ] [ o 6 ] "

[af\[ad\

¿9 =

[&/•][«&] [a a] [a 5] [ab]\bb]

[af][ab]-\bf][aa] [a o] [6 6] — [a 6] ja £>]

Diese Methode hat vor der ersteren den Vorteil, daß sie weniger Rechnung erfordert, zumal da der Nenner in beiden Ausdrücken derselbe ist Uns näher über die Auflösung von Gleichungen durch Determinanten auszulassen, würde über den Rahmen des Werkchens hinausgehen. Wir wollen nur noch die Probe für das vorliegende Beispiel machen. Danach ist 207 • 3,527 - 1614 . 0,694 35 • 1614 - 207 • 207 ^ ~~ .

0 ^ ^ 2 0 7 ^ - 3 ^ 2 7 ^ 3 5 = 20213 ~ ^35 • 1614 - 207"- 207 ~~ 13641

= 9

§ 4.

390,027 = -0,029, 13641 0,002 .

Proben für die richtige Aufstellung und Auflösung der Normalgleichungen.

Im vorigen Paragraphen hatten wir schon darauf hingewiesen, daß man durch die Summierung der einzelnen 8palten bei der Aufstellung der Normalgleichungen eine Probe gewinnt Wir können nun auch die Normalgleichungen selbst addieren und die so entstandene Gleichung, die Summengleichung, als eine Normalgleichung behandeln und mit der Rechnung weiterführen, so daß die erste Unbekannte nicht nur aus der reduzierten Normalgleichung, sondern auch gleichzeitig aus der reduzierten Summengleichung hervorgeht Wir wollen die Richtigkeit dieser Behauptung zunächst theoretisch und dann an unserem Beispiel praktisch erläutern.

§ 4. Proben für die richtige Aufstellung.

37

In den einzelnen Fehlergleichungen verstehe man unter [s] die Summe der Koeffizienten der Unbekannten, also: S

1= + h + C1 + • • •; S2 = Of + &2 + C* + • • • usw. Zar Herleitung der SummeDgleichung zerlegen wir die in den Normalgleichungen enthaltenen Summen [aa], [a6] usw. und erhalten: («!«(! + a i a s + ...)l d t f + Cl t l 6 h \ V2 fl = fi fi + «2 fi ¿1' + k ft

, cos® n, _Q Oi = — x, — i

Probe: 2a = 2q 2b «!=

+26,2;

Og = + 1 0 2 , 7 ;

2« ! =

sinn,- • cosn,Xi — l

sinn,- • cosn,+52,5;

2a,—h205,8 ; [-72,5;

—9,3; 13,4;

bt

18,5

26,=-27,0

äs

h36,2;

20g

«4=

+7,3;

2a 4 =

+15,0;

64=+23,l;

264—(-46,3

o5=

-38,6;

205=

—77,0;

65 = — 2 0 , 4 ;

2 ^ = —40,8

bs=

-4,5;

26 x

26,=

-9,0

3. Stellen wir uns alle Resultate in einer Tabelle zusammen, so erhalten wir folgendes:

tl

to = it — 0

70° 2 3 ' 5 2 , 2 "

0° 0 0 / 0 0 "

82° 3 3 ' 1 3 , 9 "

» 0,0

+2,0

12° 0 9 ' 2 1 , 7 "

+ 1,5

+3,5

82° 5 3 ' 3 5 , 4 "

12° 2 9 ' 4 3 , 2 "

-2,0

0,0

162° 2 7 ' 2 4 , 1 "

92° 0 3 ' 3 1 , 9 "

-4,5

-2,5

297° 4 9 ' 4 8 , 0 "

227° 2 5 ' 5 5 , 8 "

-4,8

-2,8

[f] = - 9 , 8

-5,3

lß = n

+5,5

-2 5*

68

Abschnitt £. Aufgaben Aber vermittelnde Beobachtungen.

4. Bildung der

a'

V

-0,6 -4,4 -5,0 + 75,9 - 8 , 5 +67,4 + 9 , 4 +0,4 +9,8 - 1 9 , 5 +28,0 + 8,5 -65,4 -15,5 -80,9

afaf

r

s7

+2,0 +3,5 0,0 -2,5 -2,8

+85,3 + 28,4 +85,7 -85,5 -28,4 -85,9

a'V

aV

0,36 +2,64 +3,0 5760,81 -645,15 +5115,66 88,36 +3,76 +92,12 380,25 - 5 4 6 , 0 -165,75 4277,16 + 1013,70 +5290,86 10506,94

-171,05

10335,89

Danach lauten die Normalgleichungen: 10506,94