Der Spannungszustand in rechteckigen Platten [Reprint 2019 ed.] 9783486742442, 9783486742435

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Der Spannungszustand in rechteckigen Platten Von

î)r.=3ng. H. Hencky Assistent an der Technischen Hochschule Darmstadt

Mit 12 Abbildungen im Text und 7 Tafeln

München und Berlin Druck und Verlag von R. Oldenbourg

1913

Vorwort. Die vorliegende Schrift wurde in diesem Jahre als Dissertation eingereicht und stellt einen unveränderten Abdruck derselben dar. Da bis jetzt für die rechteckige Platte eine zur numerischen Berechnung geeignete und gleichzeitig vom S t a n d p u n k t der Elastizitätstheorie einwandfreie Lösung auch bei Beschränkung auf die einfachsten Belastungsfälle und Randbedingungen fehlte, dürfte die Herausgabe in Buchform besonders mit Rücksicht auf die praktischen Anwendungen gerechtfertigt erscheinen. Für viele Ratschläge, welche die Brauchbarkeit der Schrift zu erhöhen geeignet waren, sei mir gestattet, Herrn Professor Kayser in Darmstadt an dieser Stelle meinen Dank auszusprechen. Darmstadt,

im August 1913. H. Hencky.

Inhalt. Einleitung:

Die wichtigsten der zurzeit vorliegenden Lösungen des

Plattenproblems auf Grund der gewöhnlichen Theorie I A b s c h n i t t : Die Differentialgleichung der gebogenen Platte . . . .

Seite

1 5

II. A b s c h n i t t : Rechteckige Platten mit gleichmäßig verteilter Belastung 1. Die auf vier Seiten frei gelagerte Platte 2. Die auf vier Seiten eingespannte Platte

10 10 34

III. A b s c h n i t t : Ebene Platten mit konzentrierter Belastung in Plattenmitte 1. Die einer Einzellast äquivalente verteilte Last 2. Die größte Beanspruchung von Kreisplatten in Plattenmitte . . 3. Die quadratische, auf vier Seiten frei gelagerte Platte . . . . 4. Die quadratische, auf vier Seiten eingespannte Platte . . . .

54 54 57 63 83

S c h l u ß : Die Grenzen für die Geltung der gewöhnlichen Platt^ntheorie.

93

Benutzte Literatur: L o v e , Lehrbuch der Elastizität (d. v. Timpe), 1907. F ö p p l , Technische Mechanik, Bd. V. Enzyklopädie der math. Wissenschaften, Bd. IV, Mechanik, 25, 14 b u. c (Tedone Timpe) und 27, 8 (v. Karmin). J a h n k e - E m d e , Funktionentafeln mit Formeln u. Kurven, Leipzig u. Berlin 1909. L i g o w s k i , Tafeln der Hyperbelfunktionen und der Kreisfunktionen, Berlin 1890. N i e l s e n , Elemente der Funktionentheorie. R u n g e , Theorie und Praxis der Reihen.

A n m e r k u n g : In Abb. 6 S. 56 ist das obere Kräftesystem zu weit n a c h links verschoben. Die K r ä f t e G, G — dG oben müssen mit den Kräften G + dG, G unten bzw. in denselben Geraden liegen.

Die zurzeit vorliegenden Losungen des Plattenproblems für rechteckige Begrenzung. Eine ausführliche Darstellung des Entwicklungsganges der Plattentheorie zu geben, kann nicht der Zweck dieser Arbeit sein, da derselbe in den verbreitetsten Lehr- und Handbüchern*) der Elastizitätstheorie bereits eine erschöpfende Behandlung erfahren hat. Es sollen daher hier nur diejenigen Lösungen besprochen werden, welche zu der vorliegenden Arbeit in näherer Beziehung stehen. Die erste Lösung des Problems einer rechteckigen, durch gleichmäßig verteilte Auflast beanspruchten Platte rührt von Navier her. Man erhält diese in der äußeren Form sehr einfache Lösung durch Entwicklung der Auflast in eine doppelt unendliche Fouriersche Reihe, für deren einzelne Glieder sich die Differentialgleichung der gebogenen Platte in einer die Randbedingungen befriedigenden Weise streng integrieren läßt. In ganz ähnlicher Weise läßt sich auch der Fall der Einzellast in Plattenmitte behandeln, da man die Einzellast durch ein vierseitiges Prisma mit unendlich kleiner Basis und endlichem Volumeninhalt ersetzt denken kann. Die Naviersche Lösung, welche nur für Platten möglich ist, welche auf vier Seiten freigelagert sind, wurde von M. Levy ergänzt, so daß das Problem für alle überhaupt möglichen Randbedingungen einer theoretischen Behandlung zugänglich wurde. M. Levy hat auch eine Methode gefunden, welche es erlaubt, zweifach unendliche Reihen zu umgehen und durch einfach unendliche Reihen zu ersetzen. Auf Grund dieser Methoden von M. Levy, welche auch den Ausgangspunkt der vorliegenden Arbeit bilden, hat fCstanave**) die Differentialgleichung der gebogenen Platte für eine Reihe verschiedener Randbedingungen integriert. *) Enzyklopädie der math. Wissenschaften Bd. IV, Mechanik 25,14 b u. c (TedoneTimpe), Bd. IV, Mechanik, 27, 8 (v. Karmin). L o v e , Lehrbuch der Elastizität, 1907 (übers, von Timpe). **) L o v e , Lehrbuch der Elastizität, S. 564. £ s t a n a v c , Ann. ¿c. norm (3), 18, (1900). 1

Alle bis jetzt bekannten Lösungen haben aber das Gemeinsame, daß sie die Belastung der Platte in einfach oder zweifach unendliche Reihen entwickeln und also der Randbedingung an der P l a t t e n o b e r s e i t e nicht direkt, sondern durch allmähliche Annäherung genügen. Nun besteht bei gleichmäßig verteilter Belastung der Belastungskörper aus einem rechtwinkligen Parallelepiped, bei einer Einzellast aus einem Prisma mit unendlich kleiner Basis. Obgleich eine Entwicklung in konvergente Reihen stets möglich ist, ist die Konvergenz der trigonometrischen Reihen doch so schwach, daß von einer numerischen Berechnung der Spannungsgrößen außerhalb der Plattenmitte nicht die Rede sein kann.*) Gerade wegen ihrer Allgemeinheit sind daher die besprochenen Lösungen nicht geeignet, den Spannungszustand einer Platte bei gleichmäßig verteilter Auflast oder mit einer Einzellast in der Mitte in einer Weise zu beschreiben, welche sich zur numerischen Berechnung eignet. Über die bestehenden Lösungen der Differentialgleichung D A findet sich eine Bemerkung bei Föppl, Vorlesungen über technische Bd. V, S. 110: »Für die rechteckige Platte läßt sich f 0 bei beliebig Belastung durch eine doppelt unendliche Reihe darstellen, mit praktisch nicht viel anzufangen ist.«

A C0 = p Mechanik gegebener der aber

Diese Bemerkung hat eine Reihe von Arbeiten über das Plattenproblem veranlaßt. Ein Versuch, auf einfacherem Weg zum Ziel zu kommen, rührt von Simic**) her, welcher die elastische Fläche durch eine endliche Reihe von Ausdrücken von der Form (a 2 — x 2 ) m (b2 — y2)n darstellt, wobei rn und n ganze Zahlen größer als 2 sein müssen, damit die Randmomente verschwinden. Da aber der dieser Lösung entsprechende Belastungskörper in den Plattenecken die Ordinaten 0 hat, ist die Ermittlung der Auflagerkräfte für gleichmäßig verteilte Last auch nicht in angenäherter Weise möglich. In dem Buche von Hager »Die Berechnung ebener rechteckiger Platten durch trigonometrische Reihen« ist der Versuch gemacht^ den Satz vom Minimum der Formänderungsarbeit für die Plattenberechnung nutzbar zu machen. Bei der Platte fällt aber die Randbedingung an der Plattenoberseite mit der Differentialgleichung zusammen; wird auf die Differentialgleichung keine Rücksicht genommen, so wird damit zugleich auch Calcul des Hourdis

die wichtige Randbedingung an der friedigt.

Plattenoberseite nur angenähert be-

E s gilt daher für diese Reihen dasselbe, was bei den .Navier, M. Levy und ICstanave bemerkt wurde.

Reihen

von

Die vorliegende Arbeit unterscheidet sich von den bereits erwähnten Lösungen von M. Levy und festanave durch die Verwendung der Grundlösung. Co = C (a2 — ( — y2) für gleichmäßig verteilte Last p und durch Verwendung der Grundlösung

für den Fall der Einzellast in Plattenmitte. Die Verwendung dieser Grundlösungen und biharmonischer Funktionen als Zusatzlösungen ermöglicht eine Darstellung der elastischen Fläche durch e i n f a c h unendliche Reihen, vun denen schon das erste Glied ziemlich genaue Werte für die Spannungen ergibt. Die Verwendbarkeit der Reihen zur numerischen Berechnung ist durch die angegebenen Tabellen für verschiedene Werte des Seitenverhältnisses der Platten hinreichend bewiesen. Besonders unbefriedigend ist die Berechnung der Rand Scherkräfte und Auflagerreaktionen rechteckiger Platten, worauf auch in einer in diesem J a h r e erschienenen Dissertation von Dr.-Ing. Stephan »Über die Berechnung der homogenen quadratischen Platte« hingewiesen ist. Hier widersprechen sich die Ergebnisse geradezu. Während Simic und Hager die Eckreaktionen 0 erhalten, treten nach Stephan verteilte negative Eckkräfte auf. Obgleich dieses Ergebnis mit der Erfahrung nicht in Widerspruch steht, ist doch eine exakte Behandlung dieser Frage wünschenswert. In der vorliegenden Arbeit ist daher die Berechnung der Auflagerkräfte ausführlich behandelt. E s ergibt sich, daß die negativen Auflagerkräfte stets die Dimension von Einzelkräften haben, welche in den Ecken angreifen. Was ferner die Berechnung des größten Moments infolge einer Einzellast anlangt, so muß auch hier der gegenwärtige Stand der Theorie als unbefriedigend bezeichnet werden. Man verfährt gewöhnlich so, daß man die Einzellast auf eine kleine, im übrigen beliebige Fläche verteilt denkt. Damit kann aber das größte Moment, welches bei Zusammenziehung der konzen1»

trierten Last auf einen Punkt auftritt, nicht berechnet werden, weil das Moment dann alle Werte bis oo annehmen kann. Im folgenden wird der Versuch gemacht, die Einzellast durch eine nicht nur statisch sondern auch e l a s t i s c h äquivalente verteilte Last zu ersetzen. Es ergibt sich, daß die Einzellast angenähert durch einen Kegel ersetzt werden kann, dessen Basiskreis einen Radius gleich der Plattendicke hat. Diese kegelförmige Verteilung wird auch für die rechteckige frei gelagerte und eingespannte Platte angenommen. Dieselbe bringt die Intensität des Momentes in eine einfache Abhängigkeit von der Plattendicke. Bei den Entwicklungen in Fourier'sche Reihen ist bei den folgenden Ausführungen stets vermieden worden, daß die darzustellenden Kurven Ecken oder geradlinige Strecken enthalten, da jede Unstetigkeit in den Funktionen selbst oder in ihren Ableitungen die Konvergenz der Reihen erheblich herabsetzt. Die Spannungen und Momente sind so berechnet, wie sie sich aus den Gleichgewichtsbedingungen ergeben, um nicht auf die' zurzeit noch nicht völlig geklärte Frage nach der Bemessung der Bruchgefahr eingehen zu müssen. *) Es handelt sich hier speziell um Fourier'sche Reihen für symmetrische Funktionen, da nur symmetrische Belastungsfälle behandelt werden.

I. Abschnitt.

Die Differentialgleichung der gebogenen Platte. Der gewöhnlichen Plattentheorie*) liegen einige kinematische Voraussetzungen zugrunde, welche nie streng erfüllt sein können, deren Zulässigkeit jedoch durch genauere Untersuchungen**) geprüft worden ist. In der allgemeinen mathematischen Elastizitätstheorie ist nach Eintritt des Gleichgewichtszustandes jedem Punkt eines Körpers ein Tensor zugeordnet, der die elastische Deformation an diesem Punkt vollständig beschreibt und sich von Punkt zu Punkt in einer nur von den Randbedingungen abhängigen Weise stetig ändern kann. In vielen Fällen der Anwendungen legt man jedoch diesem Tensor willkürliche Beschränkungen auf, so z. B. besonders bei der Navierschen Balkentheorie und bei der Plattentheorie, wodurch der elastische Körper gewissermaßen durch eine gedachte elastische Maschine ersetzt wird, für welche die entwickelten Rechnungen dann streng gültig sind. Der Abkürzung wegen möge im folgenden der Inbegriff der Voraussetzungen einer Theorie, welche die Deformationsfähigkeit eines Körpers beschreiben bzw. einschränken, das kinematische Schema derselben genannt werden. Man nimmt zunächst an, daß die Mittelfläche der Platte eine Ausdehnung oder Verkürzung in ihrer Ebene nicht erfahren kann; daraus folgt für die Spannungen, welche die Platte in ihrer Ebene zu verzerren suchen, daß eine Beeinflussung der Verteilung der Verzerrungsenergie durch sie nicht eintreten kann. Diese Annahme wird unrichtig bei sehr dünnen Platten, bei welchen die Durchbiegung von derselben Größenordnung wie die Plattendicke ist, weil in diesem Fall die eben erwähnten Spannungen von der Platte zu einer Erhöhung ihrer Tragfähigkeit verwendet werden. *) L o v e , Lehrbuch der Elastizität, S. 522 u. f. F ö p p l , Vorlesungen über techn. Mech., Bd. V, S. 97 u. f. »•) J. D o u g a l l , Edinburgh, R. Soc. Trans., vol. 41 (1904)

Außerdem nimmt man an, daß jede Normale zur Mittelfläche bei der Formänderung geradlinig bleibt und in die Normale der entstehenden elastischen Fläche übergeht, und ferner, daß die Punkte dieser Normalen ihren Abstand vom Fußpunkt derselben nicht ändern. Diese Annahme hat zur Folge, daß die parallel zur Plattenebene gerichteten Spannungen lineare Funktionen des Abstands von der Mittelfläche werden; auf die Verteilung der Verzerrungsenergie haben nur die Momente, aber nicht die zur Plattenebene senkrecht gerichteten Scherspannungen Einfluß. Diese werden vielmehr aus den Momenten nach dem Gleichgewichtssatz berechnet. Die Annahme verliert ihre Berechtigung, wenn die Belastung auf der Platte sehr unregelmäßig aufgebracht ist und die Plattendicke nicht mehr als klein gegen die kleinste Stützweite der Platte angesehen werden kann, weil sich in diesem Fall die Scherkräfte an der Verteilung der Verzerrungsenergie stärker beteiligen.

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Abb. 1.

Da die Spannungen lineare Funktionen des Abstands von der Mittelfläche sind, so können sie in Momente und Resultanten zusammengefaßt werden, welche auf die Längeneinheit der geschnittenen Mittelfläche bezogen sind in der Weise, wie es durch die Abb. 1 erläutert wird. Die Biegungsmomente sollen positives Vorzeichen erhalten, wenn die hervorgerufene Krümmung konkav nach oben ist. Will man aus den Momenten und Resultanten die größten Spannungen h2 2 berechnen, so hat man die Momente durch -g-, die Scherkräfte durch ^ h (parabolische Verteilung vorausgesetzt) zu dividieren, wobei h die Plattendicke.

Zwischen d e m Biegungsmoment und dem K r ü m m u n g s r a d i u s eines ein1 M fachen Balkens b e s t e h t bekanntlich die Beziehung ^as vuraus" gesetzte kinematische Schema berechtigt dazu, diese Formel a u c h auf die P l a t t e a n z u w e n d e n , n u r m u ß die Q u e r k o n t r a k t i o n in derselben Weise berücksichtigt werden, wie es bei zwei senkrecht zueinander stehenden S p a n n u n g e n in der E b e n e geschehen m u ß . 1 Die K r ü m m u n g — entspricht also d e r Dehnung, das P r o d u k t E J (Steifigkeit — Elastizitätsmodul X T r ä g h e i t s m o m e n t )

dem

Elastizitätsmodul

und

die Momente My u n d Mx den S p a n n u n g e n . Die K r ü m m u n g e n nach zwei ö2 C Richtungen sind entsprechend unserer Vorzeichenfestsetzung

x1 )

4

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Demnach, da die Randmomente verschwinden, A3 n n

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Daher . _ D

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11).

9

*) R u n g e , Theorie und Praxis der Reihen (S. Schubert). **) Man kann die Koefßzienten auch einfach berechnen, indem man die Gleichuug y =£lncos

2» *

* beiderseits mit cos-^ry- x ix multipliziert und von o bis / integriert

i

«i

unter Beachtung der Formel J cos ^j- x cos

0

xix = 0 für m nicht gleich *.

—

14

—

Damit ist die Aufgabe für die frei gelagerte Platte gelöst. Die Gleichung der elastischen Fläche wird mit 5), 5a), 8), 9) und 11) i (y, nn) \ COS (., n — x i iH X o4 y i 2a n,4 n ~ n r ( T + Stof nn

•"+^ — 0 nn 2 T 1 /. - ^ H - 211 ~

1

nn

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2

(»>~ = 00) 8

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I (y = 00)

© i n ™ 11 299JI (V - X3)

Tafel IV

Die Momente rechteckiger, freigelagerter Platten (vgl. Tabelle) in Plattenmitte.

Fig. 1. Kornea te M,

in pa nach Bach in pa'

Fig. 2. Momente M. 0,5

— 1) = /

3!

i

daher

Tabelle der größten Momente in rechteckigen Platten. Im folgenden ist eine Tabelle der Maximalmomente und der mittleren Momente von rechteckigen Platten gegeben. Die Tafel IV gibt dieselbe graphisch wieder. Die Spalte 1 enthält die Momente Mv nach Formel 26 a), die Spalte 2 das mittlere Moment nach Formel 27 a). Der Koeffizient y> gibt das Verhältnis dieser beiden Werte an. Nähert sich dieser Koeffizient der Zahl 1,5, so nähert sich die Verteilung der Momente über den Plattenschnitt einer Parabel, nähert er sich aber der Zahl 1, so geht dieselbe Kurve in eine horizontale ungerade Linie über. Die Spalte 4 enthält die nach der Bachschen Formel M

— \ 13

Ämax —

i

V2

+ ( f ) 2

P g 2 *) 3

zum Vergleich mit den genauen Maximalmomenten berechneten Momente. Nach den preußischen Vorschriften wird von q> = 1,0 bis

erkennt.

2

1 b in

1,0

Mv in pa*

pa2

0.28 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38

1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 3,0 4,0 00

4

V = Af,™

Ai— nach Bach in pa*

M„

0,15 0,17 0,19 0,21 0,22 0,23 0,25 0,26

0,19 0,22 0,25

1.1 1,2 1,3 1,4 1,5

3

1,23 1,26 1,32 1,36 1,36 1,36 1,36

0,39 0,40 0,48 0,50 0,50

in

1,30 1,00

pa*

M« 1,23 1,15

0,17 0,18 0,19 0,19

1,11 1,08 1,05 1,04 1,03 0,95

0,19 0,19 0,20 0,20 0,21 0,21 0,22 0,23

0,19 0,19 0,17 0,15 0,15

0,38

V = Mx» I „ .

0,15

0,19 0,19 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,19 0,19

0,27 0,28 0,29 0,29 0,30 0,34 0,36

7

M* in pa*

MXUint

0,19 0,21 0,22 0,24 0,25 0,26

1,38 1,38 1,37 1,35 1,35

0.27 0,28 0,30 0,36 0,38 0,50

8

&

0,93 0,92 0,90 0,77 0,64 2,25

0,07

2. Die auf vier Seiten eingespannte Platte. Die Gleichung der elastischen Fläche. Als gesetzt

Grundlösung

der

Z* =

Die

C ( a * - # ) ( » - y * )

Neigungswinkel

Plattenrändern

werden

gemessen;

erhält

x =

Differentialgleichung kann wieder

man

der

für

mit C

Tangenten

durch

Gl. 5)

an-

das

die

an

=

die

elastische

Differentialquotienten

angegebene

partikuläre

a Ho d x

am

die

werden

Rand

y — b

=

- 2

Ca(b*-y*),

Fläche ^ o x

Integral

an und

am

den •0 oy Rand

— 35 — Ko

= — 2Cb(ai

Entwickelt man die Ausdrücke a2 reihen und setzt b = a