Das Reziprozitätstheorem für eine Klasse pseudoholomorpher Funktionen mehrerer komplexer Variabler [Reprint 2021 ed.] 9783112584224, 9783112584217

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S I T Z U N G S B E R I C H T E DER SÄCHSISCHEN A K A D E M I E DER W I S S E N S C H A F T E N ZU L E I P Z I G Mathematisch-naturwissenschaftliche Band

108 • Heft

WOLFGANG

Klasse 5

TUTSCHKE

DAS REZIPROZITÄTSTHEOREM FÜR E I N E KLASSE PSEUDOHOLOMORPHER FUNKTIONEN MEHRERER KOMPLEXER VARIABLER

AKADEMIE - VERLAG 1969

.

BERLIN

BERICHTE ÜBER DIE VERHANDLUNGEN DER SÄCHSISCHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN ZU L E I P Z I G MATHEMATISCH-NATURWISSENSCHAFTLICHE

KLASSE

Verfasser- imd Sachregister 1896 — 1945 der Abhandlungen und Berichte 1961. 100 Seiten - gr. 8° - Jl 7,SO

Band 07 H e f t 1*) Heft 2*) H e f t 3*)

Prof. Dr. ERICH STRACK, Beobachtungen über den endogenen Anteil des Kot-Stickstoffs. 1949 Prof. Dr. ERNST HOLDER, Über die Variationsprinzipe der Mechanik der Kontinua. 1950 Dr. H. GERSTNER / Dr. H . BAARK / Dr. H . GRAUL, Der Wechselstrom widerstand der Froschhaut. 1950 Heft 4*) Prof. Dr. HERBERT BECKERT, Existenz- und Eindeutigkeitsbeweise f ü r das Differenzverfahren zur Lösung des Anfangswertproblems, des gemischten Anfangs-Randwert- und des charakteristischen Problems einer hyperbolischen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit zwei unabhängigen Varaiblen. 1950 Heft 5*) Prof. Dr. HERBERT BECKERT, Über quasilineare hyperbolische Systeme partieller Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei unabhängigen Variablen. Das Anfangswertproblem, die gemischte Anfangs-Randwertaufgabe, das charakteristische Problem. 1950 Heft 6*) Prof. Dr.-Ing. ENNO HEIDEBROEK, Das Verhalten von zähen Flüssigkeiten, insbesondere Schmierflüssigkeiten, in engen Spalten. 1952 Heft 7*) Prof. Dr. HAN8 SCHUBERT, Über eine lineare Integrodifferentialgleichung mit Zusatzkern. 1950 Heft 8*) Dipl.-Phys. HELMAR KRUPP, Bestimmung der allgemeinen Lösung der Schrödinger-Gleichung f ü r Coulomb-Potential. 1950

Band 9S Heftl*) Heft 2 Heft 3*) Heft 4*) Heft 5*)

Prof. Dr. WALTER SCHNEE, Über magische Quadrate und lineare Gitterpunktprobleme. 1951 Prof. Dr.-Ing. ENNO HEIDENROCEK, Über die Beziehungen zwischen Schmierung und Verschleiß bei geschmierter Gleitreibung. Nachdr. 1954. 36 Seiten — 5 Abb. — 8° — M 2,75 Prof. Dr.-Ing. e. h. KARL KEGEL, Der Salzstock Mirowo bei Provadia in Bulgarien. 1961 Prof. Dr. HERBERT BECKERT / Prof. Dr. HANS SALIIS, Bemerkungen über die Verbiegung hyperbolisch gekrümmter Flächenstärke / Über Abels Verallgemeinerung der binomischen Formel. 1951 Prof. Dr. ERICH STRACK, Die Dauerinfusion als Verfahren zur Erforschung des Kohlenhydratstoffwechsels des Tierkörpers. 1952

Band »» Heft 1*) Heft 2*) Heft 3 Heft 4*) Heft 5

Band 100 Heft 1 Heft 2 Heft 3 Heft 4 Heft 5 Heft 6 Heft 7

Prof. Dr. HEINRICH BRANDT, Über das quadratische Reziprozitätsgesetz. 1951 Prof. Dr. G. SPACKEIER, Der Gebirgsdruck und seine Beherrschung durch den Bergmann. 1951 Prof. Dr. ERNST DIEPSCHLAG, Die Anwendbarkeit der Regelungstechnik in der Hüttenindustrie 1952. 38 Seiten - 12 Abbildungen - 8° - M 3,90 Prof. Dr. ALBERT FROMME, Die Bedeutung der Entwicklungsgeschichte, besonders des Mesenchyms, f ü r die Klinik. 1952 Dr. ROBERT BÖKER, Die Entstehung der Sternsphäre Arats 1952. 68 Seiten - 4 Abbildungen - 2 Falttafeln - 3 Tabellen - 8° - M 5,60 Prof. Dr. HEINRICH BRANDT, ü b e r Stammfaktoren bei ternären quadratischen Formen 1952. 24 Seiten - 8° - M 2,25 Dr. PAUL GÜNTHER, Zur Gültigkeit des Huygensschen Prinzips bei partiellen Differentialgleichungen vom normalen hyperbolischen Typus 1952. 43 Seiten — 8° — M 5, — Dr. ALFRED MÜLLER, Die Schaubarkeit in der Axonometrie 1952. 22 Seiten - 3 Falttafeln - 8° - M 3, Prof. Dr.-Ing. ENNO HEIDEBROEK, Die Beziehungen zwischen Härte, Schmierung und VerBchleißfestigkeit Nachdruck 1954. 40 Seiten - 10 Abbildungen - 8° - M 3,40 Prof. Dr. ROBERT SCHRÖDER, Frauenheilkunde in Forschung und Praxis 1052. 22 Seiten - 8° - . M 1,35 Dr. ROLF REISSIG, Die pandiagonalen Quadrate vierter Ordnung. 1952. 54 S. — 8° — M 5, — Prof. Dr. MAX ROBITZSCH, Die Erforschung der Atmosphäre, ihre Methodik und ihre Probleme 1953. 30 Seiten - 12 Abbildungen — 4 Kunstdrucktafeln - 8° - M 2,50

Band 101 Heft 1 Heft 2 Heft 3*) Heft 4*)

Prof. Dr. KURT SCHWABE, Periodische Erscheinungen bei der anodischen Auflösung des Zinks 1954. 33 Seiten - 14 Abbildungen - 8° - 1 3 , Dr. UDO PIRL, Positive Lösungen einer nichtlinearen Integralgleichung 1953. 44 Seiten - 2 Abbildungen - 8° - M 4, Dr. JOACHIM FOCKE, Asymptotische Entwicklungen mittels der Methode der stationären Phase. 2., unveränderte Auflage. 1967 Prof. Dr. HANS SALI£, Zur Verteilung natürlicher Zahlen auf elementfremde Klassen. 1954 *)

vergriffen Fortsetzung

auf tlcr 3.

Umschlagseitc

S I T Z U N G S B E R I C H T E DER SÄCHSISCHEN A K A D E M I E DER W I S S E N S C H A F T E N ZU L E I P Z I G Mathematisch-naturwissenschaftliche Band 108 • Heft 5

WOLFGANG

Klasse

TUTSCHKE

DAS R E Z I P R O Z I T Ä T S T H E O R E M FÜR E I N E K L A S S E PSEUDOHOLOMORPHER FUNKTIONEN MEHRERER KOMPLEXER VARIABLER

AKADEMIE - VERLAG 1969

•

BERLIN

Vorgelegt durch Herrn Maier in der Sitzung vom 9. Dezember 1968 Manuskript eingeliefert am 9. Dezember 1968 Druckfertig erklärt am 13. April 1969

Erschienen im Akademie-Verlag GmbH, 108 Berlin, Leipziger Straße 3—4 Copyright 1969 by Akademie-Verlag GmbH Lizenznummer: 202 • 100/402/69 Gesamtherstellung: VEB Druckerei „Thomas Müntzer", 582 Bad Langensalza Bestellnummer: 2027/108/5 • ES 19 B 2 3,30

J U ie Bedeutung der Theorie der pseudoholomorphen Funktionen besteht bekanntlich darin, daß durch sie funktionentheoretische Gesichtspunkte auf die Theorie partieller Differentialgleichungssysteme — die allgemeiner als das CAUOHY-RiEMANNsche System sind — angewandt werden können. Eine für die eindimensionale Theorie grundlegende Aussage ist das Reziprozitätstheorem (vgl. [1, 8]), nach dem pseudoholomorphe Funktionen w(z) auf holomorphe Funktionen (z) zurückgeführt werden können: w(z) = &(z) • exp CO(z)

(Formel von

THEODORESCTT).

I n der folgenden Arbeit soll für eine Klasse pseudoholomorpher Funktionen gezeigt werden, wie analog auch bei mehreren komplexen Variablen pseudoholomorphe Funktionen auf holomorphe zurückgeführt werden können. Dabei spielt in die lokalen Fragestellungen die Theorie der vollständigen partiellen Differentialgleichungssysteme für mehrere zu bestimmende Funktionen hinein; globale Gesichtspunkte führen auf das CousiNsche Problem ( C O U S I N I I ) . Durch das Reziprozitätstheorem folgt zum Beispiel, daß das Nullstellengebilde einer pseudoholomorphen Funktion mehrerer komplexer Variabler eine analytische Menge ist. Andererseits ergeben sich Beweise für die Existenz pseudoholomorpher Funktionen mit bestimmten Eigenschaften. Z. B . wird die globale Existenz einer nullstellenfreien pseudoholomorphen Funktion nachgewiesen. 1. Integrationsprobleme für partielle Differentialgleichungssysteme im Komplexen Gesucht werden komplexwertige Funktionen iv(zv . . . , zn) = u(xv

. . . , xn, yx, . . . , yn) + %

. . . , xn, ylt . . . , yn) .

-Realteil u und Imaginärteil v von w sollen stetige partielle Ableitungen erster Ordnung besitzen. Dann wird definiert

1*

4

WOLFGANG TUTSCHKE

Setzt man e — + 1 im Fall der Ableitung ~

und e = — 1 im Fall von

8w , 8w 8w . , i' , , —;, so kann man —• und —= zusammenlassend durch 02* SZj 8z?

1 /iü + 2 ya^- '

fü.\ + 1 / i L _ 8xj) 2

e

e

0^7 ausdrücken. F ü r j = 1, . . . , n seien f} = «j + ib} und ylt . . . , yn) , b f a , . . . > xnt 2/i> • • • > y«). > xnt Vi> • • • > y„)

und

dfa, . . . >

Vit • • • > Vn)

sollen (lokal) Potenzreihenentwicklungen zulassen. Dann werden Lösungen der Differentialgleichungssysteme 8w

t

i

/i\

+

(2)

bzw.

(j = 1 n) gesucht. Spaltet man die komplexen Systeme (1) bzw. (2) in reelle Differentialgleichungssysteme f ü r u und v auf, so ergibt sich 8v

8u

_

,

(3) ' • e du w r ~ ^

+ dv 2 b i + 2 d i U' + 2 C i U

'

wobei e = 1 im Fall des Systems (1) und e = — 1 im Fall des Systems (2) du

dv

zu setzen ist. Aus (3) erkennt man, daß die Ableitungen —-, •— para8u

8x

dv

i

metrisch sind, während — , — wesentliche Ableitungen sind 1 ). Syj

Sx

i

s

8yj

Um die Vollständigkeitsbedingungen (Integrierbarkeitsbedingungen) f ü r das System (3) anzugeben, werden die Gleichungen (3) differenziert: 8

11j 8xk

8xj 8xk

82v

82u 8xj- 8yk

1

+

~ 8xk

1

L v

8xk

8xk '

+

2

'

1

8xk

»L_2i»> 1 8xk'

(4) 1

n 8as " 8yk

„ 8c* ' " 8yk ™

„ 8d~ ~ 8yk"

1

„ 8u „ _ 8v " ^ 0^ ~ "" 8y~k '

(5) ') Welche Ableitungen wesentlich und welche parametrisch sind, hängt davon ab, nach welchen Ableitungen man auflöst.

Das Reziprozitätstheorem

=

8yj 8xk

^

+

2

8Xj 8xk

^

+ 2

8xk

^

5

+ 2 ^

dxk

+ 2

8xk

3

^

+ 20,-^,

0xk

' 8xk

(6) tyj 8yk

8Xj 8yk

8yk

8yk

8yk

1 8y k

8yk

(?) Setzt man (6) in (5) und (4) in (7) ein, so folgt für die zweifach wesentliche Ableitung zweiter Ordnung: 8hi e •— — — = 6yj 8yk

-

82v

£

^

s-

e2u 8yt 8yk

„ 8bk b 2 £ — + 8xj

dXj 8xk

8Xj ^

82u

= —e-

+ 2e

—

8Xj

1

8yk

8ak

^

—

8ck

1

u —

— —2 —— 2

2 edk

„ 8ck 2 e-1-v 8Xj

8yk

h 2e — + 2e —

8yk

8u

r

8yk

„

8xk 8xa

„ 8dk 2 e — •u + 8xj

8Xj

8yk

+

1

^

„ 2edk

8u — 8xk

8yk

„ 8dk 2e — v

8yk

u —

2

v

8yk

8yk

dv

In (8) werden für — , — die aus (3) folgenden Werte eingesetzt. Setzt 8Vk 8yk g2v man den dadurch entstehenden Ausdruck für e mit dem entsprechenden Ausdruck für e {8ai

8bj

S2V

8ak

\8yk

8xk

'¿Vi

¡>y* 0yj 8bk\

8yi

Wh

gleich, so erhält man „

,

dXjj

,

\

8xk

8yk

8X,-

8yJ

Durch eine entsprechende Rechnung folgt aus (9) /

8oa

\

8bA

8xk

8ak

8yk

8bk\

8Xj

„

8tj,jl

,

,

\

8yk

,

,

8xk

8Vj

, .

8Xj)

(11)

6

WOLFGANG

TUTSCHKE

Die Gleichungen (10), (11) sind identisch in u, v erfüllt, wenn gilt (Vollständigkeitsbedingung) dci . L Sxk 8di 8xk 1

(8ak

2" Wj 1

(8bk

2

fe

8bk\ +

£

1

-

£

fe

1

W

j

8Xj

dCi

8dt

dCi.

8yk

dXj

8y}

— £ —=

^

8dk _

8yk

8Vj

+

e

/8bj

)

e

IIOI

,

wj

K

'

-— — £ —^ ,

! 8 a 8 b : \

Wil ~ T 8ak\

8ds dCi. L -_ _L £

I £ ~r

=

K

c?

=

{ d l

~

v

'

(13) '

,

k dj)

-

K

~

{d

* ~bl

'

c

dk) (14)

8aj\ £

^

)

ak

+

Ci

h )

*

%

+

c

*

b , )

•

( 1 5 )

Die Gleichungen (12), (13) kann man komplex zu 89j

_

8zk

im Fall e = 4 - l bzw. zu

sgj

8gk

(16)

8Zj

_• 8 z

(17)

j

im Fall e = — 1 zusammenfassen. Die komplexe Zusammenfassung von (14), (15) liefert in den Fällen e = + 1 bzw. £ = — 1 die Bedingungsgleichuiigen bzw. (19)

Die Integrationstheorie vollständiger Differentialgleichungssysteme (vgl. [5]) ergibt eine Lösung des folgenden Anfangwertproblems für das System (1) bzw. (2): Gesucht ist in einer Umgebung von {x\, . . . , y\, ... , yl) eine Lösung w(zv . . . , zn), die für y1 = y\, . . . , yn = y°n vorgeschriebene Werte w(x1

+

i y l , . . .

,xn

+

i yl) =

j = l, ...,n,

(20)

j = 1, . . . , n ,

(21)

wenn co Lösung des Systems 3

91 .

ist. Unter der Voraussetzung *>9j

= ^,V„Vt>-

(22)

existiert in einer Umgebung von ZQ = (zj, . . . , z¡¡) £ G eine eindeutig bestimmte Lösung co des Systems (21), die der Anfangsbedingung (i/° = = Im [Z;0]) tu (x x + i y l , . . . , x „ + i yl) = 1

(23)

genügt. Das folgt aus Satz 2. Damit ist die folgende Aussage bewiesen: S a t z 4 : Ist 0 holomorphe Funktion, so existiert unter der Voraussetzung (22) in einer Umgebung von Zn eine Lösung w des Systems (20), für die w

+ i yl, • • • , xn + i y°n) = 0 (x1 + i yl

. . . , xn + i yl)

(24)

gilt.

Nun sei umgekehrt w eine gegebene Lösung des Systems (20) (die partiellen Ableitungen erster Ordnung sollen existieren und stetig sein). Wieder sei co die Lösung des Anfangswertproblems (23) für das Differen2 ) Alle hier betrachteten Funktionen besitzen sogar bezüglich der 2 n reellen Veränderlichen xn, ylt . . ., yn Potenzreihendarstellungen.

Das Reziprozitätstheorem

9

tialgleichungssystem (21). Dann gilt 8 8w — (/ w - e x p (,- c o ) w ) = — • e x p (i - c o )\ +i w • exp /( - c o )\ • /

8o

- >\ ^j

= gj.w • exp (— co) + w • exp (— co) • (— g}) = 0 , also ist w • exp (— co) = 0 eine holomorphe Funktion. Damit besitzt die Funktion w die (lokale) Darstellung w = 0 • exp co. Berücksichtigt man noch (23), so ist insgesamt gezeigt: S a t z 5 : Unter der Voraussetzung (22) läßt sich eine Lösung w des Systems (20) lokal in der Form w = 0 • exp co darstellen, wobei 0 eine holomorphe Funktion ist, für die (24) gilt. Die Aussagen der Sätze 4 und 5 heißen das lokale Reziprozitätstheorem. Da beim Übergang von einer Lösung w des Systems (20) zu einer holomorphen Funktion 0 einerseits und zur Zuordnung einer Lösung w zu einer gegebenen holomorphen Funktion 0 andererseits dieselbe Funktion co auftritt (falls die Normierungsbedingung (24) gestellt wird), bedeutet das: Ordnet man einer Lösung w des Systems (20) die holomorphe Funktion 0 = w • exp (— co) zu und danach dieser holomorphen Funktion durch 0 • exp co eine Lösung des Systems (20), so erhält man wieder die Ausgangsfunktion: (w • exp (— co)) • exp co = w . Jetzt sei das System 8w

— = g} w , gegeben,

• ^ j = 1, . . . , n ,

!OK\ (25)

wobei i? = jr.v„v., 8zk 8Zj

(26)

sei. Ist co die durch co (xx + i y\, . . . , x„ + i yh) — 1 festgelegte Lösung des Systems (27

>

so gilt in Analogie zu den Sätzen 4 und 5 S a t z 6: Ist w Lösung des Systems (25), wobei (26) erfüllt sein soll, so ist 0 = w • exp (— co) antiholomorphe Funktion. < Umgekehrt: Ist 0 gegebene antiholomorphe tion, so ist 0 • exp co Lösung des Systems (25). Der Beweis ergibt sich durch eine entsprechende Rechnung. 2 Tutschke

Funk-

10

Wolfgang Tutschke

Setzt man 0 = 1, so ist nach Satz 4 bzw. nach Satz 6 die Funktion w = 1 • exp co3) Lösung des Systems (20) bzw. des Systems (25). Das bedeutet S a t z 7 : Zu jedem Punkt Z0e G gibt es eine Umgebung, in der eine nullstellenfreie Lösung des Systems (20) bzw. (25) existiert,4) Später wird gezeigt werden, wie man global nullstellenfreie Lösungen konstruieren kann. Nun sei w eine beliebige Lösung von (20) bzw. von (25) (wobei die Bedingungen (22) bzw. (26) erfüllt sein sollen) und w0 sei die nach Satz 7 (lokal) existierende nullstellenfreie Lösung. Dann ist für Lösungen von (20) — (—\ — — ( ÌZj \w0j ~ w% \ analog

für Lösungen des Systems (2). Daher gilt S a t z 8 : Lokal lassen sich alle Lösungen in der Form iv =

wo0

darstellen, wobei w0 eine (festgewählte) nullstellenfreie und 0 eine beliebig zu wählende antiholomorphe bzw. holomorphe Funktion ist. Es sei darauf hingewiesen, daß bei der oben gegebenen Herleitung des Reziprozitätstheorems der Begriff der Ableitung im verallgemeinerten Sinn nicht benötigt wird. Im komplex-eindimensionalen Fall kann das Reziprozitätstheorem bekanntlich durch Betrachtung von Zweifach-Integralen mit dem Integranden

/(£)

hergeleitet werden (vgl. [8]). Solche Q z Integrale lassen sich i. a. nur im verallgemeinerten Sinn nach z* differenzieren (nämlich dann, wenn/(£) nur stetig ist). 3 ) I m Fall des Systems (20) ist co Lösung von (21). Betrachtet man das System (25), so ist co Lösung des Systems (27). 4 ) Beweist man die Sätze 2 und 3 direkt, so kann man Satz 1 dadurch beweisen, daß man eine Lösung w von (1) bzw. von (2) in der Form w = wx w2 ansetzt und für w2 eine nullstellenfreie Lösung von (20) bzw. (25) wählt. Dann

8w1 vZ j

muß w1 dem System w2 -—- = f j bzw. w2

8w1 QZj

f j genügen. Die Bedingungen

(19) bzw. (18) ergeben sich dann gerade aus

6

dzt

dz*

bzw. .aus

8zk '

8Zj

D a s Reziprozitätstheorem

11

3. Das globale Reziprozitätstheorem Es sei w in G definierte, nicht identisch verschwindende Lösung des Systems (20) bzw. (25). Dabei seien die Vollständigkeitsbedingungen (22) bzw. (26) erfüllt. Dann gilt S a t z 9 : Ist für G das zweite COUSIN,scAe Problem lösbar, so läßt sich w in ganz G in der Form w = wo0 darstellen, wobei w0 eine nullstellenfreie Lösung und 0 eine antiholomorphe bzw. eine holomorphe Funktion in G ist. Um den' Beweis von Satz 9 vorzubereiten, wird gezeigt, wie man eine antiholomorphe Funktion auf eine holomorphe Funktion zurückführen kann: G sei eine offene Punktmenge des Cn. Durch das Funktionssystem ¿1 = 4 ,

j = l, . . . , » ,

(28)

wird G eineindeutig auf eine offene Menge G abgebildet. Eine in G antiholomorphe Funktion 0 wird dadurch zu einer in G holomorphen Funktion, denn für . . . , S„) = 0(zt ...,zt) gilt 8V _ v, ¡80 Szv 80 8z*\ 80

Nun ist — = 0, da 0 antiholomorph ist. czv ^

= 0

| | = ( f

= 0 und somit ^

= 0.

Umgekehrt liefert eine in G holomorphe Funktion bei der Umkehrabbildung Zj = z* in G eine antiholomorphe Funktion. Damit ist gezeigt: H i l f ssat,z 1: Durch die Abbildung (28) gehen antiholomorphe Funktionen in G in holomorphe Funktionen in G über. Jede in G holomorphe Funktion entspricht einer in G antiholomorphen Funktion. Als Folgerung ergibt sich aus Hilfssatz 1, daß auch für antiholomorphe Funktionen die folgende Aussage gilt: Ist 0 nicht identisch Null, so liegt in jeder Umgebung einer Nullstelle von 0 wenigstens ein Punkt, in dem 0 ^ 0 ist. B e w e i s v o n S a t z 9 : M> sei die gegebene Lösung. Nach Satz 8 gibt es zu jedem Punkt Zj e G eine Umgebung U}, so daß w in U} die Darstellung W = 2*

W0 j

0 j

12

WOLFGANG T Ü T S C H K E

besitzt. Dabei ist w 0 j eine nullstellenfreie Lösung des Systems (20) bzw. (25) und 0 ) eine antiholomorphe bzw. eine holomorphe Funktion. Entsprechend ist in einer Umgebung Uk von Zk w = wok 0k . I n TJ, n ük gilt W0j

=WQ k&k,

also 0 i = 0t h, wobei h = ^ ^ gesetzt wurde; h ist von Null verschiedene ' * co0j ° antiholomorphe bzw. holomorphe Funktion. Ordnet man der Umgebung U} die Funktion zu, so sind wegen h 4= 0 die Voraussetzungen des zweiten CousiNschen Satzes erfüllt. E s ergibt also eine in G antiholomorphe bzw. holomorphe Funktion 0, so daß in Uj (29)

0 = 0jh]

gilt, hj = 0, hj antiholomorph bzw. holomorph. Wegen w0j 0} = w0 k 0k in Uj n Uk folgt bei Berücksichtigung von (29) /

0

hj

\

w

0

hk j

Hieraus folgt zunächst

— ^ ^ = 0 in allen Punkten, in denen 0 =}= 0 hj hk ist. Wenn nicht jeder Punkt Za von U1 n U2, in dem 0 = 0 ist, Häufungspunkt von Punkten mit 0 =(= 0 ist, ist 0 = 0 in einer Umgebung von Z0. Dann muß aber 0 = 0 in ganz G sein. Dies wiederum ist nur bei w = 0 möglich. Also kann angenommen werden, daß in jeder Umgebung von Z0 Punkte mit 0 4= 0 liegen. Wegen der Stetigkeit von muß daher ^ ^ hj Setzt man

hk

— hu hs — 0 auch in Z0 und somit in ganz Uj n Uk sein.

w0 =

woj

hj

• in

TT

U] ,

so wird dadurch in ganz G (eindeutig) eine nicht verschwindende Funktion definiert. Wegen w = w0j 0} in U, gilt w= ^

V

0] h} = w0 0 .

Da in jedem anderen Uk dieselbe Darstellung gilt, hat man mithin w in ganz G in der Form w = wo0 dargestellt; q.e.d.

Das Reziprozitätstheorem

13

Als Nebenresultat folgt (falls global eine beliebige Lösung w bekannt ist): S a t z 10: Es gibt global eine nullstellenfreie Lösung. Sind G}, j = 1, . . . , n, Gebiete in der z r Ebene, so ist für G = = Gl X • • • X Gn das zweite CousiNsche Problem für holomorphe Funktionen lösbar, falls von den n Gebieten Gn, . . . tGn wenigstens n — 1 einfach zusammenhängend sind (vgl. [2, 7]). Dasselbe gilt wegen Hilfssatz 1 aber auch für antiholomorpbe Funktionen. Denn es ist G = Gt X • • • X G„, wobei Gj, das durch zj = z* definierte (eineindeutige) Bild von Gf in der Zj-Ebene ist (bei der Abbildung Zj = z* bleibt Gebietseigenschaft und einfacher Zusammenhang erhalten). Damit hat man F o l g e r u n g aus S a t z 9 : In G1 X • • • X Gn gilt für Lösungen w des Systems (20) bzw. (25) das globale Reziprozitätstheorem, falls a) wenigstens n — 1 der n Gebiete Gx, . . . ,Gn einfach zusammenhängend sind und falls b) die Vollständigkeitsbedingungen (22) bzw. (26) erfüllt sind. Aus dem globalen Reziprozitätstheorem können folgende Aussagen gefolgert werden: S a t z 11: Ist w(z) = 0 in einer offenen Teilmenge von G, so muß w(z) = 0 in ganz G sein. Denn ist w nicht identisch Null, so ist w = wo0, w0^= 0. Da w = 0 in einer offenen Menge ist, muß dort 0 = 0 sein. Dann muß aber 0 und also auch w identisch Null in ganz G sein. Das widerspricht der Annahme, daß iv nicht identisch Null sein sollte. Schließlich gilt noch S a t z 12: Das Nullstellengebilde von w ist eine analytische das von (28) entworfene Spiegelbild einer analytischen Menge.

Menge oder

B e w e i s : Ist w identisch Null, so ist das Nullstellengebilde das ganze Gebiet G. Ist w nicht identisch Null, so ist w = w0 0, w0 =)= 0. Also wird das Nullstellengebilde durch 0 = 0 gegeben. Im Fall von (25) ist 0 holomorph, betrachtet man das System (20), so ist 0 antiholomorph. Durch die Abbildung (28) geht 0 dann in eine holomorphe Funktion über; q.e.d. w sei in einer Umgebung von (zj, . . . , «£) Lösung von (25) (wobei (26) erfüllt sei). Es sei w{z\, . . . , z%) = 0, jedoch w(0, . . . , 0, zn) nicht identisch Null. Stellt man w in der Form w = w0 0, w0 =j= 0, dar, so kann auch 0(0, . . . , 0, z„) nicht identisch Null sein. Mit Hilfe des WEIERSTRASSschen Yorbereitungssatzes kann man 0 lokal in der Form 0 =

0OP

14

WOLFGANG T U T S C H K E

darstellen, wobei 0O =)= 0 und P ein Pseudopolynom in zn — 2° ist. Damit folgt f ü r w die lokale Darstellung W = WQP ,

w0 = ii>0 0O =(= 0 .

I m Fall einer Lösung w des Systems (20) (unter der Voraussetzung (22)) hat man eine analoge Darstellung mit einem Pseudopolynom in (zn — 2°) *. Schließlich sei noch darauf hingewiesen, daß das Reziprozitätstheorem auch Möglichkeiten der angenäherten numerischen Berechnung pseudoholomorpher Funktionen bietet. Approximiert man 0 durch ein Polynom 0N, so ist w0 0S eine Näherungslösung von w0 0. Dabei k a n n f ü r alle w dasselbe w0 verwendet werden. 4. Der Satz von

COUSIN

II f ü r pseudoholomorphe Funktionen

E s sei 6 = G1 x • • • X Gn, wobei Gf, j = 1, . . . , n, Gebiet in der zr Ebene ist und wobei wenigstens n — 1 der n Gebiete Glt . . . , Gn einfach zusammenhängend sein sollen. D a n n gilt S a t z 13: Zu jedem e G soll eine Polyzylinder-Umgebung U^ und darin eine Lösung gegeben sein5). Im Durchschnitt U* j n U^ 2 zweier derartiger Umgebungen gelte für die zugehörigen Funktionen w%lt w* 2 W* J

2 ^ ;

wobei h stetig und =j= 0 sei. Dann gilt: Es gibt in ganz G eine Lösung w, die das durch die j in Uj vorgegebene Nullstellenverhalten besitzt. Das bedeutet: in U% ist w = w% h, h stetig und 4= w. Zum Beweis braucht m a n den folgenden H i l f s s a t z 2 : Ist eines der w% in einer offenen Menge identisch Null, so müssen alle w* identisch Null sein. B e w e i s : Ist in einer offenen Teilmenge von U* identisch Null, so ist w^ in ganz U^ identisch Null. Denn ist nicht in ganz U^ identisch Null, so k a n n man w # durch das globale Reziprozitätstheorem in U% darstellen : w w* = «>*o > *o =f= 0 . Ist n u n in einer offenen Teilmenge identisch Null, so gilt dasselbe f ü r 0O. Dann m u ß aber 0O und demzufolge auch w^ in ganz U% identisch Null sein. 5 ) Ist Lösung von (20) so soll die Vollständigkeitsbedingung (22) erfüllt sein. Im Fall des Systems (25) wird (26) vorausgesetzt.

14

WOLFGANG T U T S C H K E

darstellen, wobei 0O =)= 0 und P ein Pseudopolynom in zn — 2° ist. Damit folgt f ü r w die lokale Darstellung W = WQP ,

w0 = ii>0 0O =(= 0 .

I m Fall einer Lösung w des Systems (20) (unter der Voraussetzung (22)) hat man eine analoge Darstellung mit einem Pseudopolynom in (zn — 2°) *. Schließlich sei noch darauf hingewiesen, daß das Reziprozitätstheorem auch Möglichkeiten der angenäherten numerischen Berechnung pseudoholomorpher Funktionen bietet. Approximiert man 0 durch ein Polynom 0N, so ist w0 0S eine Näherungslösung von w0 0. Dabei k a n n f ü r alle w dasselbe w0 verwendet werden. 4. Der Satz von

COUSIN

II f ü r pseudoholomorphe Funktionen

E s sei 6 = G1 x • • • X Gn, wobei Gf, j = 1, . . . , n, Gebiet in der zr Ebene ist und wobei wenigstens n — 1 der n Gebiete Glt . . . , Gn einfach zusammenhängend sein sollen. D a n n gilt S a t z 13: Zu jedem e G soll eine Polyzylinder-Umgebung U^ und darin eine Lösung gegeben sein5). Im Durchschnitt U* j n U^ 2 zweier derartiger Umgebungen gelte für die zugehörigen Funktionen w%lt w* 2 W* J

2 ^ ;

wobei h stetig und =j= 0 sei. Dann gilt: Es gibt in ganz G eine Lösung w, die das durch die j in Uj vorgegebene Nullstellenverhalten besitzt. Das bedeutet: in U% ist w = w% h, h stetig und 4= w. Zum Beweis braucht m a n den folgenden H i l f s s a t z 2 : Ist eines der w% in einer offenen Menge identisch Null, so müssen alle w* identisch Null sein. B e w e i s : Ist in einer offenen Teilmenge von U* identisch Null, so ist w^ in ganz U^ identisch Null. Denn ist nicht in ganz U^ identisch Null, so k a n n man w # durch das globale Reziprozitätstheorem in U% darstellen : w w* = «>*o > *o =f= 0 . Ist n u n in einer offenen Teilmenge identisch Null, so gilt dasselbe f ü r 0O. Dann m u ß aber 0O und demzufolge auch w^ in ganz U% identisch Null sein. 5 ) Ist Lösung von (20) so soll die Vollständigkeitsbedingung (22) erfüllt sein. Im Fall des Systems (25) wird (26) vorausgesetzt.

15

Das Reziprozitätstheorem

Nun sei eine Umgebung, in der die zugehörige Funktion w^ identisch Null ist. U# sei weitere Umgebung der betrachteten Art. Die Mittelpunkte von U+ und L\ werden durch eine Kurve y verbunden. In jedem U* ist eine offene Hyperkugel K* enthalten. Die bilden eine offene Überdeckung von y. Nach dem Satz von HEINE-BOREL genügen endlich viele . . . , K)es zur Überdeckung von y (K^ ? gehört zu U^j). Es sei e = min (ßj, . . . , £„), wobei S] der Radius von K^j sei. Ist z(t), a sS t b, Darstellung von y, so werde a ^ t sS ¿> so weit unterteilt, daß die Länge der Teilintervalle < ö(e) ist, wobei ö(e) im Sinn der gleichmäßigen Stetigkeit zu z(t) gehört. Dann entsprechen den Teilintervallen Kurvenstücke yic, die jeweils ganz in einem Kka liegen. yk+\ liege in U^ Ist schon gezeigt, daß das in U*^ gegebene ko identisch Null ist, so folgt daraus, daß (in U^j,) auch identisch verschwindet. Denn in n ist w^ j-o = w%jth, h =t 0, also w* j0 = 0 in U^^ n U^^ und somit = 0 in ganz Schließlich folgt, daß in f / # die zugehörige Funktion identisch Null sein muß. B e w e i s v o n S a t z 13: Zunächst werde das System (25) betrachtet. Sind alle = 0, so ist w = 0 die für ganz 0 gesuchte Lösung. Unter Berücksichtigung des Hilfssatzes 2 folgt für jeden anderen Fall, daß nicht identisch verschwinden kann. Das Nullstellengebilde von w* ist also (wegen w* = • 0 nach Satz 9) eine analytische Menge, die nicht ganz U* ausfüllt. Jetzt werde n U%2 betrachtet. I n allen Punkten, in denen w* i =(= 0 ist, ist

holomorph. Also ist ^w ^ in U^ j n *i Da h in jedem kompaktem Teil von

2

meromorphe Funktion. n

2

wegen der vorausgesetz-

ten Stetigkeit beschränkt ist, besitzt ^w*i^ nur hebbare singuläre Stellen (vgl. [7]). Also ist h in UAtl n U^2 holomorph. Da auch h =j= 0 ist, kann auf diese holomorphe Funktion der übliche Beweisgang von COUSIN I I (vgl. [2, 3, 7]) übertragen werden. Ist dabei 0 die durch Kurvenintegrale mit CAUCHY-Kern definierte Funktion, so erhält man die gesuchte Lösung folgendermaßen: Sind Qt, Qf, Qr, Qs vier in einem Eckpunkt zusammenstoßende Quadrate, so wird dem Quadrat Qt die Funktion ¡o • exp ( — 0), analog Q} die Funktion • exp (— 0) usw. zugeordnet ,-o ist die in Qi vorgegebene Lösung usw.). Auf diese Weise erhält man eine eindeutige Funktion. Es ist nur noch zu zeigen, daß diese Funktion auch im Eckpunkt stetig und Lösung des gegebenen Differentialgleichungssystems ist.

16

WOLFGANG TUTSCHKE

Dazu bedenke man, daß z. B . ¿0 auch in einer vollen Umgebung des Eckpunktes eine von Null verschiedene Lösung des gegebenen Systems ist. Betrachtet man daher statt w *f„

• exp (— 0) ,

w^,, • exp ( - 0), . . .

(30)

die Punktionen ^ • e x p l - 0 ) ,

^ . e x p ( - 0 ) , . . . ,

(31)

so ist man auch wieder auf den holomorphen Fall zurückgekommen und kann in der üblichen Weise Stetigkeit und Holomorphie der durch (31) in einer Umgebung des Eckpunktes definierten Funktion zeigen. Hieraus folgt dann aber, daß die Funktionen (30) eine (auch im Eckpunkt) stetige Funktion liefern, die Lösung des gegebenen Differentialgleichungssystems ist. Dividiert man diese Lösung in j durch die dort vorgegebene Lösung so erhält man in TJ % % die in der Aussage des Satzes 13 geforderte Funktion h c). Für das System (20) kann durch die Abbildung (28) von den dann auftretenden antiholomorphen Funktionen auf holomorphe zurückgegangen werden; q. e. d. Die globale Existenz nullstellenfreier Lösungen kann aus Satz 13 erschlossen werden. Denn ist w% die nach Satz 7 in einer Umgebung eines Punktes existierende nullstellenfreie Lösung, so ist in j n i/t!

also ist Satz 13 anwendbar.

5. Differentialgleichungssysteme auf holomorphen Mannigfaltigkeiten Betrachtet wird jetzt eine komplex w-dimensionale holomorphe Mannigfaltigkeit M, z1, . . . , zn seien lokale Parameter. Im Gültigkeitsgebiet dieser Parameter werde das Differentialgleichungssystem (25) betrachtet, für das die Vollständigkeitsbedingungen (26) erfüllt seien. Ist z'e = = ze(zx, . . . , zn) eine (biholomorphe) Parametertransformation, so ist 8w 8z'e

^ v

8w

8zv

8zv 8z'e

6 ) Nach dem Verfahren, nach dem zu Beginn des Beweises von Satz 13 die Holomorphie von h gezeigt wurde, kann man auch zeigen, daß h holomorph ist.

16

WOLFGANG TUTSCHKE

Dazu bedenke man, daß z. B . ¿0 auch in einer vollen Umgebung des Eckpunktes eine von Null verschiedene Lösung des gegebenen Systems ist. Betrachtet man daher statt w *f„

• exp (— 0) ,

w^,, • exp ( - 0), . . .

(30)

die Punktionen ^ • e x p l - 0 ) ,

^ . e x p ( - 0 ) , . . . ,

(31)

so ist man auch wieder auf den holomorphen Fall zurückgekommen und kann in der üblichen Weise Stetigkeit und Holomorphie der durch (31) in einer Umgebung des Eckpunktes definierten Funktion zeigen. Hieraus folgt dann aber, daß die Funktionen (30) eine (auch im Eckpunkt) stetige Funktion liefern, die Lösung des gegebenen Differentialgleichungssystems ist. Dividiert man diese Lösung in j durch die dort vorgegebene Lösung so erhält man in TJ % % die in der Aussage des Satzes 13 geforderte Funktion h c). Für das System (20) kann durch die Abbildung (28) von den dann auftretenden antiholomorphen Funktionen auf holomorphe zurückgegangen werden; q. e. d. Die globale Existenz nullstellenfreier Lösungen kann aus Satz 13 erschlossen werden. Denn ist w% die nach Satz 7 in einer Umgebung eines Punktes existierende nullstellenfreie Lösung, so ist in j n i/t!

also ist Satz 13 anwendbar.

5. Differentialgleichungssysteme auf holomorphen Mannigfaltigkeiten Betrachtet wird jetzt eine komplex w-dimensionale holomorphe Mannigfaltigkeit M, z1, . . . , zn seien lokale Parameter. Im Gültigkeitsgebiet dieser Parameter werde das Differentialgleichungssystem (25) betrachtet, für das die Vollständigkeitsbedingungen (26) erfüllt seien. Ist z'e = = ze(zx, . . . , zn) eine (biholomorphe) Parametertransformation, so ist 8w 8z'e

^ v

8w

8zv

8zv 8z'e

6 ) Nach dem Verfahren, nach dem zu Beginn des Beweises von Satz 13 die Holomorphie von h gezeigt wurde, kann man auch zeigen, daß h holomorph ist.

Das Reziprozitätstheorem Wegen

17

= g v w folgt 8w 8ze

wenn

„

dz., 8ze

v

=

(32)

gesetzt wird. Das bedeutet: Auf der Mannigfaltigkeit M ist ein mit Koordinatentransformationen verträgliches Differentialgleichungssystem der Form (25) gegeben, wenn gilt: Sind gt, . . . , g„ die Koeffizienten bezüglich des Koordinatensystems zly . . . , zn und g[, . . . ,g'n diejenigen bezüglich z[, . . . , z'n, so soll im Durchschnitt der Gültigkeitsgebiete die Bedingung (32) erfüllt sein. Beispielsweise erhält man derartige Koeffizienten glt . . . , gn, wenn man 8W

gv = —• setzt, wobei W eine gegebene Funktion auf der Mannigfaltigkeit ist. 8z " J e t z t soll gezeigt werden, daß die Vollständigkeitsbedingungen (26) parameterinvariant sind. Aus (32) folgt =

g

g

32z,

|

£

8gv dzß 8zv

Durch Vertauschen von e und k bzw. von v und /u in der zweiten Summe folgt 82Zv — 8z'e = Ev 9" 8z'k 8z'e + Vt2Tp — 8zv — 8z'e 8z'— k

Durch Vergleich erkennt man: ist ^

8zv

=

8zft

soauch

8ze

=

8zk

Nun sei w eine Lösung von (25) auf der Mannigfaltigkeit M, w sei nicht identisch Null. Nach Satz 6 kann man w lokal durch das Reziprozitätstheorem darstellen: w = w0j 0j

in Uj, 0j antiholomorph.

Nun sei M diejenige Mannigfaltigkeit, die man durchL folge folgende Änderung der Parameter erhält: ersetzt. Wegen

(z1( . . . , z„) wird durch 8z',. 8z£

8z* 8zk

(z^ . . . , z„) = (zf, . . . , zj)

w ¡8z^Y

ist auch M holomorphe Mannigfaltigkeit.

=

18

WOLFGANG T U T S C H K E

Den Funktionen &] entsprechen auf M holomorphe Funktionen. Ist für M das zweite CousiNsche Problem lösbar, so kann man mit Hilfe dieser Lösung wie in 3. zeigen, daß für w global das Reziprozitätstheorem gilt. Das bedeutet: S a t z 14: Ist für M C O U S I N I I lösbar, so gilt für Lösungen von (25) auf M das globale Reziprozitätstheorem. Hinreichende und notwendige Bedingungen für die Lösbarkeit von C O U S I N I I können bekanntlich mit Hilfe der Cohomologietheorie angegeben werden (vgl. z. B. [4]).

LITERATUR VERZEICHNIS [1] .L. BERS, Theory of pseudo-analytic functions. New York 1953. [2] F . CONÏOETO, Abelsche Funktionen und algebraische Geometrie. Berlin/ Göttingen/Heidelberg 1956. [3] B . A. (Dyne, -BBeneHHe B Teopnio $HHKUHH MHOTOX KOMnjieKCHbix nepeMeHHBix. Ifen. BTopoe, MocKBa 1962. [4] B . A. OyKC, CneiiHajibHbie rjiaBBi TeopHH aHajiHTHHecKHX (JiyHKUHH MHOTHX KOMnjieKCHbix nepeMeHHbix. H3H. BTopoe, MocKBa 1963. [5] E . GOURSAT, Leçons sur l'intégration des équations aux derivées partielles du premier ordre. 2. éd., Paris 1921. [6] L. HÖRMANDER, An introduction to complex analysis in several variables. Princeton/Toronto/London 1967. [7] W . F . OSGOOD, Lehrbuch der Funktionentheorie, HI- 2. Aufl., Leipzig/ Berlin 1929. [8] I . N . VEKUA, Verallgemeinerte analytische Funktionen. Berlin 1963 (Übers, aus dem Russ.).

Fortsetzung

von der 2.

UmtcMagseile

Heft 6*)

Prof. Dr.-Ing. ENNO HEIDEBROEK, Die Verantwortlichkeit des Ingenieurs. 1954

Heft 7

mit der Transformationsmethode bei quandratischer Approximation der Adiabate 1955. 32 Selten - 6 Abbildungen - 2 Tabellen - 8° - M 2,30 Dr. HELMUT SCHAEFER, Neue Existenzsätze in der Theorie nichtlinearer Integralgleichungen 1955. 40 Seiten - 8° - M 2,40

Heft 6

P r o f . D r . HANS SCHUBERT / D r . ERICH SCHINCKE, Z u r E r m i t t l u n g v o n

Unterschallströmungen

Band 102 H e f t l * ) Dr. PAUL GÜNTHER, "Über einige spezielle Probleme aus der Theorie der linearen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. 1957 Heft 2

Heft 3*) Heft 4 Heft 5 Heft 6 Heft 7

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Hodographen-

methode im Unterschall 1957. 25 Seiten — 8° - M 2,20 Prof. Dr. FRANZ RUNGE, Uber die Polymerisation ungesättigter organischer Verbindungen. 1957 Dr. VICTOR VALCOVICI, Une extension des liaisons non holonomes et des principes variationnels 1958. 39 Seiten - 8° - M 2,40 Dr. ROLF KLÖTZLEE, Beiträge zur Theorie mehrdimensionaler Variationsprobleme mit geknickten Extremalen 1958. 72 Seiten - 8° - M 4,30 Prof. Dr. PAUXA HERTWIG, Strahlenschäden und Strahlenschutz im zellulären Bereich 1967. 43 Seiten — 14 Abbildungen i. Text u. a. 4 Tafeln - 6 Tabellen - 8° — M 2 , Prof. Dr. WILHELM TREIBS, Entwicklungslinien der organischen Chemie 1967. 25 Seiten - 8° - M 1,40

Band 103 Heft 1 Prof. Dr. GEORG SPACKELER, Über die Möglichkeit einer Lieferung von Magnesiumsulfat als Düngemittel seitens des Kalibergbaus der Deutschen Demokratischen Republik P r o f . D r . ANTON ARLAND, M a g n e s i u m i m L a n d b a u

Heft 2*: Heft 3 Heft 4 Heft 5 Heft 6 Heft 7

1958. 38 Seiten - 1 Abbildung - 2 Landkatten - 8° - M 1,90 Prof. Dr. HEINRICH BREDT, Uber den Tod. Eine naturwissenschaftliche Betrachtung. 1958 Dr. HANS WUSSING, Über Einbettungen endlicher Gruppen 1968. 38 S. — 8° — M 2,60 Prof. Dr. ERNST NEEF, Über die Veränderlichkeit unserer geographischen Umwelt 1969. 19 Seiten - 8° - M 1,20 Prof. Dr. WOLFGANG LANGENBECK, Zur Biochemie der Spurenmetalle. Mit Diskussionsbeiträgen 1959. 16 Seiten - 4 Tabellen - 8° - M 1 , P r o f . D r . HANS SCHUBERT / D r . ERICH SCHINCKE, D i e B e r e c h n u n g e i n e r

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Band 104 Heft 1 Prof. Dr. KARL SCHMALFUSS, Über das Ausmaß der biologischen Bindung des elementaren Stickstoffs. Der Einfluß assimilierbarer StickstoffVerbindungen 1960. 19 Seiten - 2 Abbildungen - 6 Tabellen - 8° - M 1,36 Heft 2 Prof. Dr. ANTON LISSNER, Charakteristische Eigenschaften der Braunkohlen 1960. 20 Seiten - 10 Abbildungen - 3 Tabellen - 8° - M 2 , Heft 3 Prof. Dr. Fritz StTATHER, Zur Charakteristik pflanzlicher und synthetischer Gerbstoffe und deren kombinierte Verwendung bei der Gerbung 1960. 19 Seiten — 8° — M 1,10 Heft 4 Prof. Dr. HEINRICH PRELL, Bemerkungen zur Geschichte der englischen Längenmaß-Systeme 1962. 74 Seiten - 3 Tabellen - 8° - M 4,90 Heft 6 Prof. Dr. OTT-HEINRICH KELLER, Zur Berechnung des Galoisschen Körpers und der Galoisschen Gruppe einer Gleichung in erträglich vielen Schritten 1961. 23 Seiten — 8° — M 2,— Heft 6 Dr. ROLF KLÖTZLER, Die Konstruktion geodätischer Felder im Großen in der Variationsrechnung mehrfacher Integrale 1961. 84 Seiten - 1 Abbildung — 8° - 1 7 , Heft 7 Prof. Dr. ARTHUR SIMON, Gitteraufbau und Katalyse bei der Gasentschwefelung 1961. 21 Seiten - 16 Abbildungen - 8° - M 2,10 Ab Band 105: SITZUNGSBERICHTE DER SÄCHSISCHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN ZU LEIPZIG Band 105 Heft 1 Prof. Dr.-Ing. FRITZ OBENAUS, An der Grenze zwischen Hochspannungstechnik und Physik 1961. 19 Seiten - 14 Abbildungen - 8° - M 2,40 Heft 2 Prof. Dr. GEORG MERREM, Die klinisch-biologische Wertigkeit der Hirngeschwülste 1962. 23 Seiten - 7 Abbildungen - 2 Tabellen - 8° - M 1,90 •)

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