Culegere de probleme de trigonometrie pentru licee

Citation preview

59. tg 135° . Sa se verifice identitaiile: 60. cos (oc+�)cos (� - �)=cos2oc - sin 2 �61. sin (oc+�)sin (oc - �)=1 - cos 2oc - sin 2 �' 62. a) cos (oc+�)sin (oc -�)-=sin occosoc - sin �cos�; b) sin oc= = sin (oc -�)cos�+sin� cos (oc -�);] · c)) cosoc=cos (oc+�) cos�+ +sin (oc+� )sin�. 63. sinocsin (� -y)+sin�sin (y -oc) + sinysin (oc -�)=O. 64. cosoc+cos (120° -oc)+cos (120° +oc)=O.

-�--

{3

sin or. - sin , 1-'f.l) _ .@ tg oc( -------. 2

2

_

'- 66_ tg (oc+ �)

sin or. cos or. + sia (3 cos (3 sin2 or. s�n2 (3 =,sm . or. cos or. -- sm (3 cos (3

, C!Jtgoc = tg (oc -�)tg !X tg� j; 6 . t (oc+�) +tg (oc -�)= . \ l.i 8 g 1 n=» (3 _ tg +tg f.l - tgoctg r'" 69 • �IX1

70.

tg (oc -�)+tg�2tg or. sec2 (3 - tg2 or. tg2 (3 • >

ctgor. + ctg (3 (3 + sin (3 sin (ix + (3) + cos (or. - (3)=cos ----------� sin (or. - (3) + cos (or.+ (3) cos (3 - sin (3

71. tg (oc - �) + tg (� -y) + tg (y - oc)=tg (oc - �) tg (� -y)tg (y - oc). 72. Din egalitatea: tg(or. - (3) tg or.

sn + � 2 Y =1, sa se deduca rela\ia: tg2y=tgoc tg �2

sm or.

.

73. Sa se arate ca expresia: E =cos2oc - 2 cosoccos�cos (oc+�) + cos2 (oc+�) este independenta de oc. 74. !;,tiind caoc+� +y= ;c: , sa se verifice egalitaiile: a) tgoctg� +tg� tgy+ 2 +tgytgoc=1; b) ctg oc+ctg� +ctgy=ctgocctg �ctgy. 75. !;,tiind ca oc+�+y = ;c:, sa se verifice identita\ile: a) sin 2oc + +sin� sinycosoc=sin 2 � +sinocsinycos �= sin 2y + sinocsin�cosy; tg or. tg (3 tg y . b) tgsoctgs�tgsy - tgsoc - tgs�_,tg3y = 3 cos or. cos (3 cos y 76. !;,tiind ca oc +�+y = � , sa se verifice identitatea: 4 (1+tgoc)(1+tg�) (1+tgy)_.= . 2(1 +tgoctg� tgy). 77. !;,tiind ca oc+�=y, sa se verifü:ie identitatea: cos2oc+cos2 � + cos2y - 2 cosoccos�cosy =1. 78. Sa se demonstreze ca dacaoc�i� sint un ghiuri ascu\ite, iar tgoc = ! �i tg � = 2 1 . t = a I a unc1 oc+� = •

4

62

7t

2 sincc + cos 3cc - cos 5t1: . 2 sincc + sin 3cc - sin 5cc = 2 coscc - cos 3cc - cos 5cc 2 cos cc + sin 3cc + sin 5cx sin cc + sin 3cc + sin 5cc =

161. .- ·

;;62 Ki) L. ?Cl

fk))

C;

COS

cc +

COS

3cc +cos 5cc

sin cc + sin 3cc + sin 5cc

tg 3 ot ;

+

sin

7cc +

sin 9cc

=tg 5ot j

coscc +cos 3cc + cos 5cc + CQS 7cc + cos 9cc sin cc + sin 3cc + ... + sin (2n - 1) cc CJ = tg not. =I= cgs {2n---t}a --- -------_cos cc+ cos 3oc +

- ----

�tiind ca ex+ (3 + y = 7t, sa se verifice identita\ile: a) sin cc+ sin.� - sin y =ctg .r_; Y'J si�� + si� y - s�ncc = tg ..ê_. tg ]_. 2 2 2 . sm � + sm y + sm cc cos 7.. +cos � +cos y - 1 y tg- tg- tg 2 2 tg + tg � + tg y 2 ---�-�- _ (sin cc + sin � + sin y) 2 2coscccos�cosy tg2 ex+ (tg ex+ tg (3 + tg y) (ctg ex+ ctg (3 + ctg y) = tg (3�tg:y sec2 ex.

163_

0(

�---

0(

164. 165.

166. sin ex + sin (3 - sin y = 4 sin � sin _ê_ cos 1- . ·

6)·

sin ot - sin (3 + sin y = 4 sin

2

2

2

'i cos f sin f .

168. - sin ot + sin (3 + sin y = 4 cos � sin p_ sin 1- . 2

2

2

169. sin 2cx + sin 2(3 + sin 2y = 4 sin ot sin (3 sin y. 170. sin2 ot + sin2 (3 + sin2 y - 2 = 2 cos cx cos (3 cos y. 171. cos oc + cos (3 + cos y - 1 = 4 sin� sin f sin 1- . 2 0(

2

�

2

.

y

cos cx + cos �A - cos y + 1 = 4 cos -- cos -- sm - . 2 2 2 cos 2ot + cos 2(3 + cos 2y + 1 = - 4 cos ot cos (3 cos y. 174. tg '!: tg ..ê_ + tg '!: tg .r_ + tg ..ê_ tg 1- = 1. 2

2

2

2

+ ctg ..ê_2 +ctg .r_2

2

2

!2 ctg 1-2 • ctg cx ctg (3 + ctg ex ctg y + ctg (3 ctg y = 1.

175. ctg '!: 2

176.

=ctg .'.::. ctg 2

E. Ap licatii di(,)erse 177. Sa se transforme în prod us expresia: ,,- E = cos oc + cos (3 + cos y + cos (ot +

(3 + y). sincc + 2 sin 2cc + sin 3a

. :,S. -------'------ = tg 2ot. ) Swa se ver1·r·1ce 1.d entitatea: coscc + 2 �os2cc + cos 3oc 2r: Sr: +cos Hm . . Sa se verif.ice ega 1.1tat1 1 e: cos - +cos - = O. .

w

•

.

.

w

•

9

9

/280. ·s·sinr10°·-•sin 50° sin 70° = 1. Sa se verif ice identita\ile: cc cc . sin oc+sin 2cc r: + - } ctg {71" - - . 181 . ---- = sm ot ctg ( ) 2 coscc - 1

6

2

6

9

2

67

17. Sa se rezolve triunghiul ABC în care se dau razele R §i r, §tiind ca a2 + + b 2 + c2 = 8 R 2 • 18. Sa se rezolve un triunghi în care se dau o Iatura, aria �i raza cercului circumscris. 19. Sa se rezolve un triunghi cunoscînd suma a doua laturi, inaltimea corespun­ zatoare celei de-a treia laturi §i raza cercului circumscris. 20. Sa se rezolve un triunghi cunoscind razele cercurilor exinscrise. 21. Sa se rezolve un triunghi cunoscind un unghi, raza cercului circumscris �i distanta dintre centrul cercului circumscris �i centrul cercului inscris. 22. Fiind dat un triunghi §Ï cercul inscris in el se duc la el tangentele paralele cu laturile triunghiului. Se forn1eaza astfel trei triunghiuri interioare primului. Sa se arate ca: 1° suma razelor cercurilor înscrise in cele trei triunghiuri interioare este egala cu raza cercului înscris în triunghiul 0). 27. Se considera un segment AB al carui mijlcic este D. Prin D se duce o dreapta DC, care face eu AB un unghi oc. Sa se determine lungimea segmentului DC, .....--.... .....--.... �tiind câ BCD = 2 ACD. 28. Se considera un semicerc de diametru AB = 2R §Ï fie AD o coardâ a semicercu­ lui care face eu AB unghiul 2 oc §Î C mijlocul arcului BD. Sa se calculeze in functie de R §Ï oc laturile §i diagonalele patrulaterului ABCD §Ï sa se determine unghiul oc astfel încît perimetrul patrulaterului sa fie egal eu 4 Rm. 29. Pe un cerc cu centrul in O �i eu raza R se considerâ un punct fix A �i tangenta la cerc în acest punct. Pe aceastâ tangentâ se ia un punct B, astfel încît AB = a. Se une§te punctul B eu un punct M mobil pe cerc §i se cere: ........... 1 ° sa se calculeze lungimea segmentului BM in functie de R �i de qi = AOM; 2° sa se determine unghiul qi astfel incit BM = l. 30. Se considera un sfert de cerc AOB §i fie AT tangenta in punctul A. Notâm eu M un punct oarecare pe arcul AB �i eu N punctul în care dreapta OM .....--.... intersecteaza tangenta AT. Sa se determine AOM astfel incît MN = kMA, (k = const.). 159