Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio: Teoría y problemas resueltos [2, 1 ed.] 8490524920, 9788490524923

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Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio

Teoría y problemas resueltos Volumen II

Alfonso Bachiller Soler, Ramón Cano González Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Sevilla

© 2023.

Alfonso Bachiller Soler, Ramón Cano González

Reservados todos los derechos.

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Ediciones Díaz de Santos E-mail: [email protected] Internet: www.editdiazdesantos.com

ISBN: 978-84-9052-492-3 Depósito legal:

Diseño de cubierta: P55 Servicios Culturales CB. Diseño de maquetación (LATEX): F. Javier Payán Somet. Impreso en España

A nuestros padres

Índice

Índice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nota de los autores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prólogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III IX XI

1. Transitorios de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Circuitos de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Circuito RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Ecuación diferencial genérica de un circuito de primer orden Respuesta transitoria de los circuitos de primer orden . . . . . . . 1.3.1. Respuesta natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Respuesta forzada o de régimen permanente . . . . . . . 1.3.3. Respuesta completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4. Condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Generalización de la respuesta transitoria . . . . . . . . . . . . . Procedimiento para la obtención de la respuesta de un circuito de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Casos que provocan impulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1. Condensadores en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2. Bobinas en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modelo de condensador y bobina con condiciones iniciales . . . . .

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1 2 3 4 6 7 7 9 9 10 11

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12 17 17 18 20

Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

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23 26 29 33 36

1.1. 1.2.

1.3.

1.4. 1.5. 1.6.

1.7.

P. 1.1. P. 1.2. P. 1.3. P. 1.4. P. 1.5.

RC con excitación de continua RC con excitación de continua RL sin fuentes de excitación . RC con excitación de continua RL con excitación de alterna .

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. . . . . III

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Índice

IV

P. 1.6. P. 1.7. P. 1.8. P. 1.9. P. 1.10. P. 1.11. P. 1.12. P. 1.13. P. 1.14. P. 1.15. P. 1.16. P. 1.17. P. 1.18. P. 1.19. P. 1.20. P. 1.21. P. 1.22. P. 1.23. P. 1.24. P. 1.25. P. 1.26. P. 1.27. P. 1.28. P. 1.29. P. 1.30. P. 1.31. P. 1.32. P. 1.33. P. 1.34. P. 1.35. P. 1.36. P. 1.37. P. 1.38. P. 1.39. P. 1.40. P. 1.41. P. 1.42.

RL con excitación de alterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 RC y RL con excitación de continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 RL y RC con excitación de continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 RC. Equivalente Thévenin con excitación de continua . . . . . . . . . . . . 49 RL. Equivalente Thévenin con excitación de continua . . . . . . . . . . . . 52 RL. Equivalente Thévenin con excitación de continua . . . . . . . . . . . . 55 RC. Equivalente Thévenin con excitación de continua . . . . . . . . . . . . 58 RC. Condensadores en serie con excitación de continua . . . . . . . . . . 61 RC. Condensadores en serie con excitación de continua . . . . . . . . . . 65 RL. Bobinas en paralelo con excitación de continua . . . . . . . . . . . . . 69 RC. Condensadores en serie y en paralelo sin fuentes de excitación . . . . . 72 RL. Bobinas en paralelo sin fuentes de excitación . . . . . . . . . . . . . . 76 RL. Transitorios concatenados con excitación de continua . . . . . . . . . . 80 RL. Transitorios concatenados con excitación de continua . . . . . . . . . . 85 RL. Transitorios concatenados con excitación de continua . . . . . . . . . . 89 RC. Transitorios concatenados con excitación de continua . . . . . . . . . 93 RC. Transitorios concatenados con excitación de continua . . . . . . . . . 97 RL. Transitorios concatenados con excitación de continua . . . . . . . . . . 100 RL. Transitorios concatenados con excitación de continua . . . . . . . . . . 103 RC. Transitorios concatenados con excitación de continua . . . . . . . . . 106 RC. Transitorios concatenados con excitación de continua . . . . . . . . . 109 RL. Transitorios concatenados con excitación de continua . . . . . . . . . . 113 RL. Transitorios concatenados con excitación de alterna . . . . . . . . . . 117 RL. Transitorios concatenados con excitación de continua y de alterna . . . . 121 RC. Transitorios concatenados, condensadores en serie con excitación de continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 RL. Transitorios concatenados, bobinas en paralelo sin fuentes de excitación 132 RC. Transitorios concatenados, condensadores en serie con excitación de continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 RL y RC. Transitorios concatenados con excitación de continua . . . . . . . 142 RL. Transitorios concatenados, constante de tiempo infinita con excitación de continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 RL. Bobinas en serie sin fuentes de excitación. Respuesta impulsional . . . 151 RC. Condensadores en paralelo sin fuentes de excitación. Respuesta impulsional 154 RL. Respuesta impulsional con excitación de continua . . . . . . . . . . . 157 RC. Respuesta impulsional con excitación de continua . . . . . . . . . . . 161 RL. Respuesta impulsional con excitación de continua . . . . . . . . . . . 165 RL. Respuesta impulsional con excitación de continua . . . . . . . . . . . 169 RC. Transitorios concatenados, respuesta impulsional y excitación de continua 171 RL. Transitorios concatenados, respuesta impulsional con excitación de continua 176

2. Transitorios de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Índice 2.1.

2.2.

2.3. 2.4.

Circuitos de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Circuito RLC serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Circuito RLC paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. Ecuación diferencial genérica de un circuito de segundo orden . . . Respuesta transitoria de los circuitos de segundo orden . . . . . . . . . . 2.2.1. Respuesta natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Respuesta forzada o de régimen permanente . . . . . . . . . . . 2.2.3. Respuesta completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4. Condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Procedimiento para la obtención de la respuesta de un circuito de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Generalización de la respuesta transitoria de los circuitos de segundo orden

V

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181 182 185 188 189 189 191 191 192

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194 196

Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 RLC serie. Cálculo de condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 RLC serie sobreamortiguado sin fuentes de excitación . . . . . . . . . . . 201 RLC serie subamortiguado sin fuentes de excitación . . . . . . . . . . . . 204 RLC serie críticamente amortiguado con excitación de continua . . . . . . . 208 RLC serie sobreamortiguado con excitación de continua . . . . . . . . . . 211 RLC serie subamortiguado con excitación de continua . . . . . . . . . . . 214 RLC serie subamortiguado con excitación de alterna . . . . . . . . . . . . 217 RLC serie sobreamortiguado con excitación de alterna . . . . . . . . . . . 221 RLC paralelo sobreamortiguado sin fuentes de excitación . . . . . . . . . . 224 RLC paralelo sobreamortiguado con excitación de continua . . . . . . . . . 227 RLC paralelo subamortiguado con excitación de continua . . . . . . . . . . 231 RLC paralelo sobreamortiguado con excitación de alterna . . . . . . . . . . 236 RLC paralelo subamortiguado con excitación de continua . . . . . . . . . . 239 RLC paralelo críticamente amortiguado con excitación de alterna . . . . . . 242 RLC serie subamortiguado con equivalente Thévenin de continua . . . . . . 246 RLC sin amortiguamiento y sin fuentes de excitación . . . . . . . . . . . . 251 RLC serie críticamente amortiguado con equivalente Thévenin de continua . 255 RLC paralelo sobreamortiguado con equivalente Thévenin de continua . . . 258 RLC paralelo sin amortiguamiento y RC con excitación de continua . . . . . 262 RLC paralelo subamortiguado con excitación de continua y RLC sin amortiguamiento. Transitorios concatenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 P. 2.21. RLC serie sobreamortiguado con excitación de continua y respuesta impulsional 273 P. 2.22. RLC paralelo subamortiguado con excitación de continua y respuesta impulsional 276 P. 2.23. RLC paralelo subamortiguado con excitación de continua y respuesta impulsional 281 P. 2.1. P. 2.2. P. 2.3. P. 2.4. P. 2.5. P. 2.6. P. 2.7. P. 2.8. P. 2.9. P. 2.10. P. 2.11. P. 2.12. P. 2.13. P. 2.14. P. 2.15. P. 2.16. P. 2.17. P. 2.18. P. 2.19. P. 2.20.

3. Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 3.1. 3.2.

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

287 287

Índice

VI

3.3. 3.4. 3.5.

3.6.

Principales propiedades y teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformada de Laplace de las funciones más usuales . . . . . . . Aplicación al análisis de circuitos eléctricos . . . . . . . . . . . . . 3.5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2. Relación tensión-intensidad en el dominio s . . . . . . . . . Resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bobina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Condensador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fuentes independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . Fuentes dependientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bobinas acopladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.3. Impedancia y admitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.4. Leyes de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.5. Metodología de resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformada inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1. Metodología de cálculo de la transformada inversa de Laplace 3.6.2. Polos reales simples, p1 ̸=p2 ̸=· · · = ̸ pm . . . . . . . . . . 3.6.3. Polo real múltiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.4. Polo complejo conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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288 289 289 289 290 290 291 292 294 294 295 296 296 297 299 300 300 301 302

Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 P. 3.1. P. 3.2. P. 3.3. P. 3.4. P. 3.5. P. 3.6. P. 3.7. P. 3.8. P. 3.9. P. 3.10. P. 3.11. P. 3.12. P. 3.13. P. 3.14. P. 3.15. P. 3.16. P. 3.17. P. 3.18. P. 3.19. P. 3.20. P. 3.21.

Segundo orden subamortiguado con excitación de continua . . . . Segundo orden subamortiguado con excitación de continua . . . . Primer orden con excitación de continua y respuesta impulsional . Segundo orden sobreamortiguado con excitación de continua . . . Segundo orden subamortiguado con excitación de continua . . . . Segundo orden sobreamortiguado con excitación de continua . . . Primer orden con excitación de continua y con excitación tipo lineal Primer orden con excitación de alterna y respuesta impulsional . . Primer orden con excitación de alterna . . . . . . . . . . . . . . Primer orden con excitación de alterna . . . . . . . . . . . . . . Condensadores en paralelo. Respuesta impulsional . . . . . . . Segundo orden sobreamortiguado con excitación de continua . . . Segundo orden subamortiguado con excitación de continua . . . . Segundo orden sobreamortiguado con excitación de alterna . . . Bobinas acopladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Segundo orden con excitación impulsional . . . . . . . . . . . . Segundo orden sobreamortiguado con excitación de continua . . . Segundo orden con excitación impulsional . . . . . . . . . . . . Segundo orden subamortiguado con excitación de continua . . . . Primer orden con fuente dependiente y excitación de continua . . Segundo orden sin fuentes de excitación . . . . . . . . . . . . .

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305 307 309 311 314 316 317 320 323 325 327 330 332 333 335 337 339 341 345 348 350

Índice P. 3.22. Primer orden con excitación exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . P. 3.23. Primer orden con excitación impulsional . . . . . . . . . . . . . . . . . . P. 3.24. Bobinas acopladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VII

352 355 356

Nota de los autores

U

na vez consolidado el primer volumen de Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos, es muy grato ofrecer al lector este segundo volumen con más problemas resueltos. Hemos querido mantener la misma estructura que el primer volumen y, además, nuestro empeño ha sido que ambos se pudieran trabajar de forma independiente, sin necesitar el uno del otro. Para ello, no ha habido más remedio que incorporar de nuevo la parte teórica aún siendo conscientes que es exactamente la misma que la del primer volumen. Se ha puesto especial empeño en la representación de forma gráfica de aquellos resultados que hemos considerado como más destacables para motivar al lector a que adquiera el hábito de representar gráficamente los resultados teóricos obtenidos en este tipo de problemas de análisis transitorio. En cuanto a las unidades de las diferentes magnitudes que se usan en los problemas, hemos intentado equilibrar la rigurosidad y la claridad del texto. Somos conscientes que las unidades son fundamentales en cualquier problema de Ingeniería pero también entendemos que, durante la resolución de un problema, se puede obviar su indicación en muchas situaciones. En particular, los problemas de la transformada de Laplace, se ha mantenido el criterio de solamente indicar las unidades en las magnitudes finales para así evitar desviar la atención del lector. Los autores

IX

Prólogo

E

l lector interesado en el análisis de los circuitos eléctricos se encuentra con una cantidad ingente de obras en la literatura especializada que abordan esta temática, la mayoría de las cuales dedican habitualmente uno o dos capítulos al régimen transitorio de circuitos. Es pues este libro singular y de especial interés, al ser su eje principal el estudio teórico y práctico de transitorios que resulta esencial en sí mismo y como preludio ineludible del régimen permanente. Ya en el prólogo del primer volumen de esta obra se pone de manifiesto la relevancia del estudio de los regímenes dinámicos de los circuitos eléctricos y electrónicos, motivando muy acertadamente al lector que busca profundizar en esta área de estudio de los circuitos. Con objeto de enfatizar aún más la importancia del estudio del régimen transitorio en circuitos eléctricos, es interesante recordar algunas temáticas de la ingeniería eléctrica donde este estudio es de especial relevancia, ya sea en tareas de diseño, modelado, planificación o de operación de la red eléctrica. Es, por ejemplo, el caso de estudio de la posible actuación errónea de aparamenta de protección y corte durante el transitorio por faltas espurias, o el de los transitorios que surgen en la conexión y desconexión de condensadores a las redes eléctricas. Muy importante también es el fenómeno de resonancia interna en transformadores, o los transitorios a generar y estudiar cuando se desea cuantificar la inductancia y capacitancia de la bobina de un transformador, entre otros muchos que se podrían nombrar. La comprensión de todos estos fenómenos y comportamientos requiere de una adecuada asimilación de los fenómenos transitorios en circuitos lineales básicos, paso ineludible para su aplicación a casos prácticos que el ingeniero, eminentemente eléctrico, habrá de acometer. Por su parte, en este segundo volumen se aborda, al igual que el primero, el estudio teórico y práctico de transitorios en circuitos lineales de primer y segundo orden, tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de Laplace. Destaca esta segunda obra por la gran variedad de ejemplos prácticos que incluye, estando presentes en los mismos numerosos componentes habituales de los circuitos eléctricos: por supuesto resistencias, bobinas y condensadores, pero también fuentes dependientes, bobinas acopladas e interruptores que modifican la topología y conectividad de los circuitos. Se aborda el análisis cuando las excitaciones al circuito son tanto fuentes de continua como de alterna, los dos grandes XI

XII

Prólogo tipos dominantes de señales eléctricas, si bien se incluyen también otras excitaciones como las de tipo impulso, estas últimas de gran relevancia en numerosos casos prácticos. Las representaciones gráficas incluidas en la obra enriquecen de forma notable los ejemplos estudiados, facilitando al lector la compresión de los regímenes dinámicos. Los autores de esta obra, Alfonso Bachiller y Ramón Cano, son Doctores Ingenieros Industriales que desarrollan su actividad en el Departamento de Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Sevilla desde hace más de 20 años. Su profundo conocimiento de los circuitos eléctricos no se limita a su dilatada experiencia adquirida en el desarrollo de sus actividades docentes, pues sus relevantes contribuciones en investigación y transferencia tecnológica a la industria pivotan en torno a los regímenes transitorios de circuitos eléctricos. Toda esta experiencia respalda la tarea aquí acometida, que constituye sin lugar a dudas una obra seria, rigurosa y de gran valor formativo para los ingenieros y profesionales que lidien en su quehacer diario con circuitos eléctricos. Esther Romero Ramos Catedrática de Universidad Dpto. Ingeniería Eléctrica Universidad de Sevilla Sevilla, 2 de marzo de 2023

1 Transitorios de primer orden

1.1. Introducción En los circuitos cuyos elementos pasivos son únicamente resistencias, las tensiones e intensidades responden de forma inmediata a la evolución de las fuentes de excitación. En este tipo de circuitos, conocidos como circuitos estáticos, las tensiones e intensidades de los elementos vienen dadas por ecuaciones algebraicas y cada instante puede ser analizado sin tener en cuenta los instantes anteriores. Esto no es así en los circuitos que contienen elementos almacenadores de energía, bobinas o condensadores, en los que la relación entre tensión e intensidad viene definida por una ecuación diferencial que hace que la respuesta del circuito sea dinámica. En este tipo de circuitos, denominados circuitos dinámicos, para determinar la respuesta en un instante cualquiera es necesario conocer la evolución anterior de la misma. En los circuitos dinámicos excitados con fuentes de continua o de alterna, una vez que ha trascurrido un cierto tiempo (régimen transitorio) se alcanza el denominado régimen permanente, donde la respuesta se estabiliza en un valor constante o bien se repite periódicamente, según la excitación sea de continua o alterna, respectivamente. A modo de ejemplo, en la Figura 1.1 y Figura 1.2 se ha representado la respuesta de un circuito RC cuando se excita con una fuente de tensión continua y fuente de tensión alterna respectivamente. En ellas puede observarse cómo, tras el régimen transitorio, se alcanza el régimen permanente.

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Figura 1.1. Conexión de un circuito RC a una fuente de corriente continua. 1

2

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

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Figura 1.2. Conexión de un circuito RC a una fuente de corriente alterna. En general, la transición de un régimen permanente a otro diferente involucra un periodo transitorio. Estos procesos transitorios pueden tener su origen en diversas acciones, entre las que destaca la apertura y cierre de interruptores, cortocircuitos o cualquier otra variación de la topología o de los parámetros del circuito.

1.2. Circuitos de primer orden Los circuitos de primer orden son aquellos en los que cualquier tensión o intensidad se obtiene a partir de una ecuación diferencial de primer orden. En general, son de primer orden: • Los circuitos en los que solamente existe un único elemento almacenador de energía eléctrica: bobina o condensador, Figura 1.3.

Figura 1.3. Circuitos de primer orden con un único elemento almacenador de energía. • Los circuitos en los que existiendo varios elementos almacenadores de energía del mismo tipo se pueden transformar en uno solo equivalente, Figura 1.4 y Figura 1.5.

Figura 1.4. Circuito con dos condensadores conectados en serie y en paralelo.

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

3

Figura 1.5. Circuito con dos bobinas conectadas en serie y en paralelo.

1.2.1.

Circuito RC

En primer lugar se considerarán los circuitos de primer orden en los que solo existe un condensador o varios que pueden sustituirse por un único equivalente. Al existir un único condensador, el resto del circuito estará formado por fuentes y resistencias, pudiendo ser sustituido por su equivalente de Thévenin, como se muestra en la Figura 1.6. De esta forma, el estudio del circuito RC serie, excitado por una fuente de tensión, engloba a todos los circuitos de primer orden cuyo elemento almacenador es un condensador.

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Figura 1.6. Circuito RC y su equivalente Thévenin. A continuación se obtendrá la ecuación diferencial que define el comportamiento de las distintas variables del circuito de la Figura 1.6. Ecuación diferencial de la tensión del condensador Aplicando la ley de Kirchhoff de tensiones: uC (t) + uR (t) = ug (t)

(1.1)

Teniendo en cuenta la ley de Ohm en la resistencia: uC (t) + R · i(t) = ug (t)

(1.2)

Usando la ecuación de definición del condensador i(t) = C

duC (t) dt

(1.3)

4

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos y tras ordenar términos, resulta: ug (t) duC (t) 1 + u (t) = dt RC C RC

(1.4)

Ecuación diferencial de la intensidad Derivando la ecuación (1.2) se obtiene: dug (t) di(t) duC (t) +R = dt dt dt

(1.5)

Usando la ecuación de definición del condensador (1.3) dug (t) i(t) di(t) +R = C dt dt

(1.6)

y reordenando términos, se llega a: di(t) 1 1 dug (t) + i(t) = dt RC R dt

(1.7)

Ecuación diferencial de la tensión en la resistencia Si se deriva la ecuación (1.1): dug (t) duC (t) duR (t) + = dt dt dt

(1.8)

y usando la ecuación de definición del condensador (1.3), se obtiene lo siguiente: dug (t) i(t) duR (t) + = C dt dt

(1.9)

Finalmente, aplicando la ley de Ohm en la resistencia y ordenando términos, se tiene que: dug (t) duR (t) 1 + uR (t) = (1.10) dt RC dt Observando las ecuaciones diferenciales obtenidas para cada una de las variables, (1.4), (1.7) y (1.10), puede comprobarse que todas ellas poseen los mismos coeficientes y solo difieren en el término independiente. 1.2.2.

Circuito RL

Se consideran ahora los circuitos de primer orden que poseen una bobina o varias que pueden ser agrupadas en una sola equivalente. El resto del circuito estará formado exclusivamente por fuentes y resistencias, no existiendo más elementos almacenadores de energía. Este parte del circuito puede ser sustituido por su equivalente de Norton, que estará formado por una fuente de intensidad en paralelo con una resistencia, como se muestra en la Figura 1.7.

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

5

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_

_

Figura 1.7. Circuito RL y su equivalente Norton. A continuación se obtendrá la ecuación diferencial que define el comportamiento de las distintas variables del circuito RL paralelo excitado con fuente de intensidad de la Figura 1.7. Ecuación diferencial de la intensidad por la bobina Aplicando la ley de Kirchhoff de intensidades: iL (t) + iR (t) = ig (t)

(1.11)

Considerando la ley de Ohm en la resistencia iL (t) +

u(t) = ig (t) R

(1.12)

y teniendo en cuenta la ecuación de definición de la bobina u(t) = L

diL (t) dt

(1.13)

finalmente resulta, tras reordenar términos: R diL (t) R + iL (t) = ig (t) dt L L

(1.14)

Ecuación diferencial de la tensión del circuito Derivando la ecuación (1.12) se obtiene lo siguiente: dig (t) 1 du(t) diL (t) + = dt R dt dt

(1.15)

Usando la ecuación de definición de la bobina (1.13) dig (t) u(t) 1 du(t) + = L R dt dt

(1.16)

y reordenando términos, se llega a: dig (t) du(t) R + u(t) = R dt L dt

(1.17)

6

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos Ecuación diferencial de la intensidad por la resistencia Derivando la ecuación (1.11) dig (t) diL (t) diR (t) + = dt dt dt

(1.18)

y usando la ecuación de definición de la bobina (1.13), se obtiene lo siguiente: dig (t) u(t) diR (t) + = L dt dt

(1.19)

Finalmente, aplicando la ley de Ohm en la resistencia y después de ordenar los términos, resulta: dig (t) diR (t) R + iR (t) = (1.20) dt L dt Puede observarse que los coeficientes de las ecuaciones diferenciales obtenidas para cada una de las variables, (1.14), (1.17) y (1.20), son los mismos en todos los casos y solo difieren en el término independiente. Esto permite escribir una ecuación genérica para todas ellas. 1.2.3.

Ecuación diferencial genérica de un circuito de primer orden

En la Figura 1.8 se muestran las ecuaciones diferenciales de todas las variables de los circuitos RC y RL obtenidas en los apartados anteriores.

+ +

_

_

+

+

_

_

Figura 1.8. Según la Figura 1.8, puede observarse que todas las ecuaciones pueden expresarse de la forma genérica df (t) 1 + f (t) = g(t) (1.21) dt τ

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

7

donde f (t) denota la tensión o intensidad considerada, g(t) es una función relacionada con la fuente excitación del circuito y τ es una constante que depende de los parámetros de los elementos pasivos del circuito. La constante τ se denomina constante de tiempo, y su unidad en el SI es el segundo. Esta constante es característica de cada circuito y su valor es: • Circuito RC: τ =R·C • Circuito RL: τ =L/R Debe tenerse en cuenta que, si en el circuito de primer orden existen varios condensadores que pueden agruparse en uno solo, C representa la capacidad equivalente. Análogamente, L representa el coeficiente de autoinducción de la bobina equivalente. Por último, R es la resistencia equivalente del circuito pasivo visto desde los terminales de L o de C. Por tanto, en el caso más general: • Circuito RC: τ =Req ·Ceq

• Circuito RL: τ =Leq /Req

1.3. Respuesta transitoria de los circuitos de primer orden Como se ha expuesto, todas las tensiones e intensidades de los circuitos de primer orden vienen dadas por la ecuación diferencial lineal de primer orden de coeficientes constantes: df (t) 1 + f (t) = g(t) dt τ

(1.22)

La solución de esta ecuación servirá para obtener la respuesta transitoria de las distintas variables del circuito. Matemáticamente, la solución general de la ecuación diferencial puede expresarse como la suma de la solución general de la ecuación homogénea más una solución particular de la ecuación completa. En los circuitos eléctricos, la solución de la homogénea es conocida como respuesta natural del circuito, mientras que a la solución particular se la conoce como respuesta forzada o de régimen permanente. Por tanto, la solución de la ecuación diferencial (1.22) puede expresarse como f (t) = fn (t) + fp (t)

(1.23)

donde fn (t) es la respuesta natural del circuito y fp (t) es la respuesta forzada o de régimen permanente. A continuación se describe cómo determinar cada una de ellas. 1.3.1.

Respuesta natural

La respuesta natural se corresponde matemáticamente con la solución de la ecuación diferencial homogénea, es decir, de la ecuación igualada a cero df (t) 1 + f (t) = 0 dt τ

(1.24)

8

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos cuya solución, para t ≥ 0 es:

fn (t) = K · e−t/τ

(1.25)

Cabe señalar que en la ecuación homogénea (1.24) no aparece el término g(t), que era el término debido a la fuente de excitación. Por tanto, la solución de esta ecuación es la respuesta de circuito si se anulasen las fuentes de excitación, de ahí que reciba el nombre de respuesta natural del circuito. La respuesta natural de un circuito de primer orden es una exponencial cuya tasa de decrecimiento viene marcada por el valor de la constante de tiempo, τ . En la Figura 1.9, puede observarse que cuando ha transcurrido un tiempo igual al valor de la constante de tiempo, la respuesta natural se ha reducido de su valor inicial, K, a 0,368K, es decir, se ha reducido un 63,2 % de su valor inicial. Aunque matemáticamente la respuesta natural no desaparece nunca en el tiempo, en la práctica puede considerarse que cuando el tiempo trascurrido es igual a 5τ , la respuesta natural es despreciable, ya que tiene un valor de solo 0,007K.

Figura 1.9. Constante de tiempo. Decrecimiento de la respuesta natural. En la Figura 1.10 puede observarse cómo un mayor valor de la constante tiempo se corresponde con una mayor duración de la respuesta natural.

Figura 1.10. Influencia de la constante de tiempo sobre la respuesta natural.

Capítulo 1. Transitorios de primer orden 1.3.2.

9

Respuesta forzada o de régimen permanente

La respuesta forzada se corresponde matemáticamente con una solución particular de la ecuación diferencial completa. Esta solución particular es normalmente del mismo tipo que el término independiente g(t), lo que significa que, en este caso, es del mismo tipo que la excitación del circuito. Ya que la respuesta natural tiende a cero, la respuesta forzada es la que permanece en el tiempo, de ahí que en los circuitos eléctricos se le conozca también como respuesta en régimen permanente. Para obtener una solución particular de una ecuación diferencial de coeficientes constantes pueden utilizarse diferentes métodos matemáticos, como variación de los parámetros y coeficientes indeterminados, entre otros. Sin embargo, para los circuitos eléctricos con excitaciones de continua y de alterna se han estudiado técnicas específicas para la obtención del régimen permanente. Por ello, la respuesta forzada se obtendrá utilizando dichas técnicas. 1.3.3.

Respuesta completa

Conocidas la respuesta natural y la respuesta de régimen permanente, la respuesta completa será: f (t) = fn (t) + fp (t) = K · e−t/τ + fp (t) (1.26) Si se ha obtenido la respuesta en régimen permanente, fp (t), y se ha determinado la constante de tiempo del circuito, τ , solo queda calcular el valor de la constante K para tener completamente definida la respuesta completa de la variable considerada. El valor de la constante K se obtiene a partir del valor inicial de la variable, es decir, a partir de f (0+ ). Así, en t=0+ se verifica que

de donde

f (0+ ) = K + fp (0+ )

(1.27)

K = f (0+ ) − fp (0+ )

(1.28)

Con lo que finalmente se obtiene lo siguiente:   f (t) = fp (t) + f (0+ ) − fp (0+ ) · e−t/τ

(1.29)

Esta expresión permite obtener la tensión o intensidad de cualquier elemento de un circuito de primer orden, donde: • f (t) es la variable tensión o intensidad considerada. • fp (t) es la respuesta en régimen permanente de dicha variable. • fp (0+ ) es el valor en t=0+ de la respuesta en régimen permanente. • τ es la constante de tiempo del circuito. • f (0+ ) es el valor inicial de la variable. En el apartado siguiente se mostrará cómo calcular f (0+ ) en los circuitos de primer orden.

10

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos 1.3.4.

Condiciones iniciales

La transición de un régimen permanente a otro diferente involucra, en general, un periodo transitorio. En este periodo transitorio se produce una redistribución de la energía almacenada en bobinas y condensadores, y un cambio en el estado energético de las fuentes. La redistribución de energía no puede tener lugar instantáneamente, lo que implica que, en ausencia de respuestas de tipo impulsional, se cumple que: • La tensión en el condensador no puede sufrir discontinuidades: uC (0+ ) = uC (0− ) • La intensidad en la bobina no puede sufrir discontinuidades: iL (0+ ) = iL (0− ) Teniendo en cuenta estas premisas, puede calcularse el valor inicial de cualquier tensión o intensidad, f (0+ ), resolviendo el circuito en el que: 1. Las fuentes de excitación, eg (t) e ig (t), se sustituyen por sendas fuentes de valor constante: Eg = eg (0+ ) ; Ig = ig (0+ ) 2. En el caso de un circuito RC, el condensador se sustituye por una fuente de tensión de valor: uC (0+ ) = uC (0− ) = U0 3. En el caso de un circuito RL, la bobina se sustituye por una fuente de intensidad de valor: iL (0+ ) = iL (0− ) = I0 En la Figura 1.11 se ha sintetizado el procedimiento a seguir, en el caso de un circuito con condensador, para obtener el circuito en t=0+ que permite calcular los valores iniciales de cualquier variable. Análogamente, en la la Figura 1.12, se muestra el procedimiento para el caso de un circuito con bobina.

+

_

+ _

+

+

_

Figura 1.11. Obtención del circuito en t=0+ . Circuito con condensador.

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

_+

11

_+

Figura 1.12. Obtención del circuito en t=0+ . Circuito con bobina.

1.4. Generalización de la respuesta transitoria Hasta ahora se ha considerado que el periodo transitorio objeto de análisis comienza en el instante t=0. No obstante, el estudio desarrollado en apartados anteriores puede generalizarse a cualquier instante t=t0 . Esto será de gran utilidad cuando se quieran analizar varios transitorios concatenados que comienzan en diferentes instantes. Para ello, teniendo en cuenta que se trata de sistemas invariantes en el tiempo, si el transitorio comenzara en t=t0 , la respuesta completa sería:   −(t−t )/τ + 0 f (t) = fp (t) + f (t+ (1.30) 0 ) − fp (t0 ) e Igualmente, para el cálculo de la condiciones iniciales, debe tenerse en cuenta que, en ausencia de respuestas de tipo impulsional: • La tensión en el condensador no puede sufrir discontinuidades: − uC (t+ 0 ) = uC (t0 )

(1.31)

• La intensidad en la bobina no puede sufrir discontinuidades: − iL (t+ 0 ) = iL (t0 )

(1.32)

Teniendo en cuenta estas premisas, puede calcularse el valor inicial de cualquier tensión o intensidad, f (t+ 0 ), resolviendo el circuito en el que: 1. Las fuentes de excitación, eg (t) e ig (t), se sustituyen por sendas fuentes de valor constante: + Eg = eg (t+ 0 ) ; Ig = ig (t0 ) 2. En el caso de un circuito RC, el condensador se sustituye por una fuente de tensión de valor: − uC (t+ 0 ) = uC (t0 ) = Ut0 3. En el caso de un circuito RL, la bobina se sustituye por una fuente de intensidad de valor: − iL (t+ 0 ) = iL (t0 ) = It0

12

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos La Figura 1.13 y la Figura 1.14 resumen el procedimiento a seguir para obtener el circuito en t=t+ 0 que permite obtener los valores iniciales de cualquier variable en dicho instante.

+

_

+ _

+

+

_

Figura 1.13. Obtención del circuito en t=t+ 0 . Circuito con condensador.

_+

_+

Figura 1.14. Obtención del circuito en t=t+ 0 . Circuito con bobina.

1.5. Procedimiento para la obtención de la respuesta de un circuito de primer orden A modo de resumen, se enumeran los pasos a seguir para obtener la tensión o intensidad de cualquier elemento de un circuito de primer orden durante un transitorio que comience en t+ 0 . Si denotamos por f (t) la variable que se desea calcular, esta vendrá dada por:   −(t−t )/τ + 0 f (t) = fp (t) + f (t+ (1.33) 0 ) − fp (t0 ) · e Cada uno de los términos de la expresión anterior se calculan como sigue: 1. Determinar la respuesta de la variable en régimen permanente, fp (t) para t≥t0 . Para este punto puede utilizarse cualquiera de las técnicas conocidas de análisis de circuitos en régimen permanente en corriente continua o alterna, según sean las fuentes del circuito. Para obtener fp (t+ 0 ) basta con sustituir t=t0 en la expresión de fp (t) obtenida. En el caso de que el circuito para t≥t0 no posea fuentes de excitación independientes, fp (t) será nula.

Capítulo 1. Transitorios de primer orden 2. Determinar la constante de tiempo del circuito, τ , para t≥t0 . El valor de esta constante viene dado por τ =Req Ceq (o τ =Leq /Req ), si el circuito posee condensadores (o bobinas). En primer lugar se obtendrá el circuito pasivo anulando las fuentes independientes y se asociarán todos los condensadores (bobinas) en uno equivalente. Si esto no fuera posible, no se trata de un circuito de primer orden. A continuación se determinará la resistencia equivalente del circuito desde los extremos del condensador equivalente (bobina equivalente). 3. Determinar f (t+ 0 ), valor inicial de la variable considerada. Sea cual sea la variable que se quiere determinar para t≥t0 , es necesario conocer la tensión del condensador − uC (t− 0 ) (intensidad de la bobina iL (t0 )) justo antes de comenzar el transitorio, − instante t0 . Esta variable es, en principio, la única que se mantiene constante desde t− 0 + a t+ 0 . Conocido este valor, se podrá analizar el circuito en t=0 , donde el condensador − (bobina) se sustituye por una fuente de tensión (intensidad) de valor uC (t− 0 ) (iL (t0 )). Además, todas la fuentes independientes se sustituyen por fuentes de valor constante e igual al valor de la fuente en t=t+ 0. Cabe señalar que los tres pasos anteriores son independientes entre sí, por lo que el orden puede alterarse libremente. Con ello, se habrán determinado todos los términos que constituyen la respuesta completa de la variable buscada. Ejemplo 1.5.1. En el circuito de la Figura 1.15, en t=0 se cierra el interruptor. Calcular la tensión uC (t) y la intensidad i(t) para t>0, sabiendo que uC (0− )=4 V.

+

+ _

Figura 1.15. Solución. Al tratarse de un circuito de primer orden, la tensión uC (t) y la intensidad i(t) vendrán expresadas por:   uC (t) = upC (t) + uC (0+ ) − upC (0+ ) · e−t/τ   i(t) = ip (t) + i(0+ ) − ip (0+ ) · e−t/τ A continuación se determinará la respuesta en régimen permanente, la constante de tiempo y la condición inicial de estas variables. Respuesta en régimen permanente. En este caso, una vez cerrado el interruptor, la única fuente de excitación es de corriente continua, por lo que habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 1.16, donde el condensador se ha sustituido por un circuito abierto.

13

14

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

+

+ _

Figura 1.16. Circuito en régimen permanente de corriente continua. Resolviendo el circuito de la Figura 1.16 se obtienen las magnitudes en régimen permanente: ip (t) = 0 A ; upC (t) = 15 V Asimismo:

ip (0+ ) = 0 A ; upC (0+ ) = 15 V

Constante de tiempo. Al ser un circuito de tipo RC, la constante de tiempo es la siguiente: τ = RC = 3 · 6 = 18 s Condiciones iniciales. Según el enunciado, antes de cerrar el interruptor la tensión del condensador es uC (0− )=4 V. Para obtener las condiciones iniciales se empleará el circuito en el instante t=0+ . Dicho circuito se obtiene a partir del circuito original, una vez cerrado el interruptor, sustituyendo en este caso el condensador por una fuente de tensión de valor uC (0+ ). Salvo respuesta de tipo impulsional, la tensión en el condensador no varía al cerrar interruptor, por tanto: uC (0+ ) = uC (0− ) = 4 V El circuito en el instante t=0+ se muestra en la Figura 1.17.

+

+

Figura 1.17. Circuito en t=0+ . A partir del circuito de la Figura 1.17 es fácil obtener i(0+ ): i(0+ ) =

15 − 4 11 = A 3 3

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

15

En consecuencia, i(t) y uC (t) para t>0 son las siguientes:   uC (t) = upC (t) + uC (0+ ) − upC (0+ ) · e−t/τ = 15 + [4 − 15] · e−t/18 = 15 − 11 · e−t/18 V    +  −t/τ 11 11 −t/18 p p + i(t) = i (t) + i(0 ) − i (0 ) · e =0+ − 0 · e−t/18 = ·e A 3 3

Ejemplo 1.5.2.√En el circuito de la Figura 1.18, en t=0 se cierra el interruptor. Sabiendo que ig (t)=20 2 sen(5t + 45◦ ) A, calcular la intensidad iR (t) para t>0.

Figura 1.18.

Solución. Al tratarse de un circuito de primer orden, la intensidad iR (t) vendrá dada por:   iR (t) = ipR (t) + iR (0+ ) − ipR (0+ ) · e−t/τ A continuación se determinará la respuesta en régimen permanente, la constante de tiempo y la condición inicial de esta variable. Respuesta en régimen permanente. En este caso, una vez que el interruptor se cierra, la única fuente de excitación en el circuito resultante es de corriente alterna. Por ello, habrá que resolver el circuito en régimen permanente de alterna, para lo cual se usará el circuito en el dominio fasorial mostrado en la Figura 1.19.

Figura 1.19. Circuito en régimen permanente de alterna. p

Resolviendo el circuito de la Figura 1.19 se obtiene I R : 1 10

p

I R = 20∠45◦

1 10

+

1 25j

= 20∠45◦

25j ≈ 18,57∠66,8◦ A 10 + 25j

16

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos Una vez obtenida la intensidad en régimen permanente en el dominio fasorial, se obtendrá la intensidad en régimen permanente en el dominio temporal: √ ipR (t) = 18,57 2 sen(5t + 66,8◦ ) A cuyo valor para t=0+ es el siguiente: √ ipR (0+ ) = 18,57 2 sen(66,8◦ ) ≈ 24,14 A Constante de tiempo. Al ser un circuito RL, la constante de tiempo (para t>0) es la siguiente: L 5 1 τ= = = s R 10 2 Condiciones iniciales. Antes de cerrar el interruptor no circula intensidad por la bobina, por lo que iL (0− )=0 A. Para obtener la condición inicial se empleará el circuito correspondiente al instante t=0+ . Dicho circuito se obtiene a partir del circuito original, una vez cerrado el interruptor, sustituyendo, en este caso, la bobina por una fuente de intensidad de valor iL (0+ ). Salvo respuesta de tipo impulsional, la intensidad de una bobina no varía al cerrar interruptor, por tanto: iL (0+ ) = iL (0− ) = 0 A Además, la fuente de alterna ig (t) se sustituye por una fuente de valor constante igual a ig (0+ ), que en este caso es: √ ig (0+ ) = 20 2 sen(0 + 45◦ ) = 20 A El circuito en el instante t=0+ se muestra en la Figura 1.20.

Figura 1.20. Circuito en t=0+ . A partir del circuito de la Figura 1.20 es fácil obtener iR (0+ ): iR (0+ ) = 20 A Finalmente, la intensidad iR (t) para t>0 es la siguiente:   iR (t) = ipR (t) + iR (0+ ) − ipR (0+ ) · e−t/τ √ = 18,57 2 sen(5t + 66,8◦ ) + [20 − 24,14] · e−2t A

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

17

1.6. Casos que provocan impulsos Como se ha indicado anteriormente, las tensiones de los condensadores y las intensidades de las bobinas no pueden sufrir discontinuidades en ausencia de respuestas de tipo impulsional. Sin embargo, en determinadas situaciones estas variables pueden sufrir una discontinuidad de tipo salto, apareciendo un escalón en su evolución, llevando asociada una respuesta impulsional. Estas situaciones son dos: • Conexión en paralelo de condensadores con distinta tensión inicial. • Conexión en serie de bobinas con distinta intensidad inicial. 1.6.1.

Condensadores en paralelo

Considérese el circuito de la Figura 1.21 donde los condensadores C1 y C2 se conectarán en paralelo al cerrarse el interruptor en t=t0 . En el instante t− 0 , justo antes de cerrar el − interruptor, los condensadores se encuentran cargados a diferente tensión, u1 (t− 0 )̸=u2 (t0 ). Al cerrar el interruptor, ambos condensadores quedan en paralelo y necesariamente tendrán + + que igualar sus tensiones, es decir, u1 (t+ 0 )=u2 (t0 )=u(t0 ). En este caso no se puede aplicar, como se ha hecho hasta ahora, que la tensión de cada condensador se mantiene + desde el instante t− 0 al instante t0 .

+

+

+

+

+

_

_

_

_

_

Figura 1.21. Conexión de dos condensadores en paralelo. Para obtener el valor de la tensión común de los dos condensadores en t+ 0 se aplica el principio de conservación de carga, el cual establece que la carga total en un sistema aislado es constante. Esto implica que la carga total almacenada no puede cambiar bruscamente. De esta forma: + Σqi (t− 0 ) = Σqi (t0 )

⇒

− + C1 u1 (t− 0 ) + C2 u2 (t0 ) = (C1 + C2 ) u(t0 )

(1.34)

Por tanto, la tensión que tendrán ambos condensadores en t+ 0 será: u(t+ 0)=

− C1 u1 (t− 0 ) + C2 u2 (t0 ) C1 + C2

(1.35)

A partir de ese instante, puede considerarse que el circuito posee un solo condensador de capacidad Ceq =C1 +C2 cargado a la tensión u(t+ 0 ). Aunque la carga total se conserva, existe un transvase de carga desde un condensador a otro en un tiempo infinitesimal. Esto solo puede conseguirse si la intensidad que circula es

18

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos muy elevada, concretamente de tipo impulsional. La intensidad que circula en el instante de cerrar el interruptor se puede calcular teniendo en cuenta la ecuación del condensador C2 : du (t) du (t) i(t) = C2 2 ⇒ i(t)dt = C2 2 dt (1.36) dt dt − Integrando ambos miembros entre t+ 0 y t0 resulta:

Z

t+ 0

t− 0

Z i(t)dt = C2

t+ 0

t− 0

du2 (t) − dt = C2 u(t+ 0 ) − C2 u2 (t0 ) ̸= 0 dt

(1.37)

Teniendo en cuenta que la función delta de Dirac o impulso unitario satisface las siguientes propiedades ( Z t+ 0 ∞ si t = t0 δ(t − t0 ) = δ(t − t0 )dt = 1 (1.38) 0 si t ̸= t0 t− 0 se deduce que el valor de la intensidad será:
− i(t) = C2 u(t+ 0 ) − u2 (t0 ) · δ(t − t0 )

(1.39)

Si en lugar de dos condensadores, se tienen n condensadores con diferentes tensiones iniciales que se conectan en paralelo en un instante t0 , la tensión de todos ellos en t+ 0 viene dada por: Pn C u (t− ) + Pn i i 0 u(t0 ) = i=1 (1.40) i=1 Ci A partir del incremento de tensión que sufre cada condensador, puede determinarse la intensidad que circula por él en t0 según:
− ii (t) = Ci u(t+ (1.41) 0 ) − ui (t0 ) · δ(t − t0 ) En esta última ecuación se han supuesto referencias pasivas, es decir, que la intensidad calculada es la que circula del terminal positivo al negativo de la tensión. 1.6.2.

Bobinas en serie

En el circuito de la Figura 1.22 se tienen dos bobinas por las que circulan sendas intensidades i1 (t) e i2 (t). Al abrirse el interruptor, las bobinas quedarán conectadas en serie siendo, por tanto, la misma intensidad para ambas. Si en el instante t− 0 las intensidades tienen − valores diferentes, i1 (t− )̸ = i (t ), cuando se abra el interruptor las bobinas no podrán 2 0 0 + + mantener estos valores ya que debe cumplirse que i1 (t+ )=i (t )=i(t 2 0 0 0 ). En esta caso no se puede considerar, como se ha hecho hasta ahora, que la intensidad de las bobinas se + mantienen desde el instante t− 0 al instante t0 . Para obtener el valor de la intensidad inmediatamente después de abrir el interruptor, se tendrá en cuenta el principio de conservación de flujo, el cual establece que el flujo total

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

_

_

+

19

+

Figura 1.22. Conexión de dos bobinas en serie. no puede cambiar bruscamente: + − − + Σϕi (t− 0 ) = Σϕi (t0 ) ⇒ L1 i1 (t0 ) + L2 i2 (t0 ) = (L1 + L2 ) i(t0 )

(1.42)

Por tanto, la intensidad que circula por ambas bobinas en t+ 0 será: i(t+ 0)=

− L1 i1 (t− 0 ) + L2 i2 (t0 ) L1 + L2

(1.43)

A partir de ese instante, puede considerarse que el circuito posee una sola bobina de coeficiente de autoinducción Leq =L1 +L2 con intensidad inicial i(t+ 0 ). La discontinuidad que aparece en la intensidad de cada bobina lleva asociada una respuesta de tipo impulsional en su respectiva tensión. La tensión a la que se ve sometida la bobina L1 se puede calcular teniendo en cuenta su ecuación: u(t) = L1

di1 (t) dt

⇒

u(t)dt = L1

di1 (t) dt dt

(1.44)

− Integrando ambos miembros entre t+ 0 y t0 resulta:

Z

t+ 0

t− 0

Z u(t)dt = L1

t+ 0

t− 0

di1 (t) − dt = L1 i(t+ 0 ) − L1 i1 (t0 ) ̸= 0 dt

(1.45)

Teniendo en cuenta las propiedades de la función delta de Dirac (1.38), el valor de la tensión será:
− u(t) = L1 i(t+ (1.46) 0 ) − i1 (t0 ) · δ(t − t0 ) El estudio puede extenderse fácilmente a n bobinas con intensidades iniciales diferentes que, en un instante determinado t0 , se conectan en serie. La intensidad de todas ellas en t+ 0 viene dada por: Pn L i (t− ) + Pn i i 0 i(t0 ) = i=1 (1.47) i=1 Li

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

20

Finalmente, a partir del incremento de intensidad que sufre la intensidad de cada bobina, puede determinarse la tensión a la que se ve sometida cada una de ellas en t0 :
− ui (t) = Li i(t+ (1.48) 0 ) − ii (t0 ) · δ(t − t0 ) En esta última ecuación se han supuesto referencias pasivas para la tensión e intensidad de cada bobina.

1.7. Modelo de condensador y bobina con condiciones iniciales En las situaciones en las que un condensador tenga carga inicial o que por una bobina circule una determinada intensidad inicial, se pueden establecer modelos que facilitan su tratamiento. Para el caso del condensador, si la tensión inicial es uC (t+ 0 ), entonces la tensión en el mismo para cualquier instante de tiempo t≥t+ se puede expresar de la siguiente forma 1 : 0 uC (t) =

uC (t+ 0)

Z + t

t+ 0

iC (λ) d dλ = uC (t+ 0 ) + uC (t) C

(1.49)

donde udC (t) es la tensión de un condensador descargado. De esta forma se obtiene el circuito equivalente de la Figura 1.23.

+ _ +

Figura 1.23. Circuito equivalente de condensador cargado inicialmente. Para la bobina, si la intensidad inicial que circula por ella es iL (t+ 0 ), entonces la intensidad en la misma para cualquier instante de tiempo t≥t+ se puede expresar de la siguiente 0 forma: Z t+ 0 u (λ) + L d iL (t) = iL (t0 ) + dλ = iL (t+ (1.50) 0 ) + iL (t) L t donde idL (t) es la intensidad de una bobina sin condición inicial. De esta forma se obtiene el circuito equivalente de la Figura 1.24.

1

Se ha usado la variable λ para evitar que coincidan la variable de integración con el límite superior de integración.

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

+

_ Figura 1.24. Circuito equivalente de bobina por la que circula una intensidad inicial. Estos modelos se pueden usar en cualquier situación, sin embargo será especialmente útil para resolución de circuitos donde haya condensadores conectados en serie y/o bobinas conectadas en paralelo.

21

Problemas resueltos

P. 1.1. RC con excitación de continua El circuito de la Figura 1.25 está en régimen permanente cuando en t=0 se cierra el interruptor. Calcular la intensidad iR (t) para t>0.

+

Figura 1.25. Solución. En primer lugar se obtendrá la tensión en el condensador antes de que se cierre el interruptor, es decir, para el instante t=0− . Para ello se tendrá en cuenta que el circuito se encuentra en régimen permanente. Como, en esta situación, la única fuente de excitación es de corriente continua, habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 1.26, donde el condensador se ha sustituido por un circuito abierto. A partir de la Figura 1.206 se obtiene la tensión en el condensador en t=0− : uC (0− ) = 6 V 23

24

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

+

+ _ Figura 1.26. Circuito en t=0− . Salvo respuesta de tipo impulsional, que no es el caso, la tensión en el condensador no varía al cerrar el interruptor, por tanto: uC (0+ ) = uC (0− ) = 6 V Una vez cerrado el interruptor, es decir, para t>0, el circuito resultante se muestra en la Figura 1.27.

+

+ _ Figura 1.27. Circuito para t>0. Para obtener la condición inicial de la intensidad iR (t) se empleará el circuito correspondiente al instante t=0+ . Dicho circuito se obtiene sustituyendo el condensador por una fuente de tensión de valor uC (0+ ). El circuito en el instante t=0+ se muestra en la Figura 1.28.

+ +

Figura 1.28. Circuito en t=0+ .

Capítulo 1. Transitorios de primer orden A partir del circuito de la Figura 1.28 se obtiene iR (0+ ): iR (0+ ) = (1 + 3) ·

1/6 4 = A 1/6 + 1/6 + 1/2 5

A continuación se obtiene el valor de la intensidad iR (t) en régimen permanente. En este caso la única fuente de excitación es de corriente continua. De esta forma habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua que se muestra en la Figura 1.29, donde el condensador se ha sustituido por un circuito abierto.

+

Figura 1.29. Circuito en régimen permanente de continua. Según la Figura 1.29: ipR (t) = Asimismo:

6 = 0,5 A 6+6

ipR (0+ ) = 0,5 A

Al ser un circuito RC, la constante de tiempo es la siguiente: τ = Req C donde Req es la resistencia equivalente desde los terminales del condensador, la cual es fácil comprobar que corresponde a la conexión paralelo de las dos resistencias de 6 Ω, en serie con la resistencia de 2 Ω: Req =

6·6 + 2 = 5Ω 6+6

Por tanto:

5 s 2 Una vez obtenida la condición inicial, la respuesta en régimen permanente y la constante de tiempo, a continuación se obtiene iR (t) para t>0:     −t/τ 4 p p + + iR (t) = iR (t) + iR (0 ) − iR (0 ) · e = 0,5 + − 0,5 · e−2t/5 A 5 τ = Req C = 5 · 0,5 =

En la Figura 1.30 se ha representado gráficamente la evolución temporal de iR (t).

25

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

0.8 0.6

iR (t) [A]

26

0.4 0.2 0.0 0

2

4

6

8

10

12

t [s]

Figura 1.30. Evolución temporal de iR (t).

P. 1.2. RC con excitación de continua El circuito de la Figura 1.31 está en régimen permanente cuando en t=0 se abre el interruptor. Calcular las tensiones uC1 (t), uC2 (t) y uC3 (t) para t>0.

+

+

_

_ +

_ Figura 1.31.

Solución. En primer lugar se obtendrá la tensión de cada uno de los condensadores antes de que se abra el interruptor, es decir, para el instante t=0− . Para ello, se tendrá en cuenta que el circuito se encuentra en régimen permanente antes de que el interruptor se abra. Como, en esta situación, la fuente de excitación es de corriente continua, habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 1.32, donde cada condensador se ha sustituido por un circuito abierto. Según la Figura 1.32: uC1 (0− ) = 0 V uC2 (0− ) = 1 · 103 · 1 · 10−3 = 1 V

uC3 (0− ) = 1 · 103 · 1 · 10−3 = 1 V

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

+

+

_ +

_

_

Figura 1.32. Circuito en t=0− . Salvo respuesta de tipo impulsional, que no es el caso, la tensión de cada condensador, inmediatamente después de abrir el interruptor, no varía, por tanto: uC1 (0+ ) = uC1 (0− ) = 0 V uC2 (0+ ) = uC2 (0− ) = 1 V uC3 (0+ ) = uC3 (0− ) = 1 V Una vez abierto el interruptor, el circuito resultante se muestra en la Figura 1.33.

+

+

_

_ +

_

Figura 1.33. Circuito para t>0. Según la Figura 1.33, el condensador 1 se descarga sobre la resistencia de 1 kΩ que se encuentra conectada en paralelo con el mismo. Como la tensión de dicho condensador en t=0+ es cero entonces la tensión del mismo se mantiene constante e igual a cero para t>0. Por otro lado, según el circuito resultante de la Figura 1.33, por el condensador 2 no puede circular intensidad y en consecuencia su tensión permanente constante e igual a 1 V. En consecuencia, la tensión del condensador 1 y la tensión del condensador 2 para t>0 son las siguientes: uC1 (t) = 0 V uC2 (t) = 1 V Por último se analizará la evolución de la tensión del condensador 3, para ello se tendrá en cuenta el circuito de la Figura 1.34. A continuación se obtiene el valor de la tensión uC3 (t) en régimen permanente. En este caso la única fuente de excitación, en el circuito resultante, es de corriente continua. De esta forma habrá que resolver el correspondiente circuito en régimen permanente de

27

28

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

+ _ Figura 1.34. Circuito simplificado para t>0. continua que se muestra en la Figura 1.35, donde el condensador se ha sustituido por un circuito abierto.

+ _ Figura 1.35. Circuito en régimen permanente de continua. Según la Figura 1.35: upC3 (t) = 1 · 103 · 1 · 10−3 = 1 V cuyo valor para t=0+ es el siguiente: upC3 (0+ ) = 1 V Al ser un circuito RC, la constante de tiempo es la siguiente: τ = RC = 1 · 103 ·

1 1 −3 10 = s 4 4

En consecuencia, uC3 (t) para t>0 es la siguiente:   uC3 (t) = upC3 (t) + uC3 (0+ ) − upC3 (0+ ) · e−t/τ = 1 + [1 − 1] · e−4t = 1 V Atendiendo a los resultados obtenidos, se puede observar que no hay periodo transitorio. Los tres condensadores están en régimen permanente independientemente de la posición del interruptor.

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

P. 1.3. RL sin fuentes de excitación El circuito de la Figura 1.36 está en régimen permanente cuando en t=0 los interruptores cambian de posición. Calcular la intensidad i(t) para t>0, sabiendo que L1 =1,25 H, L2 =10 H y L3 =6 H.

Figura 1.36. Solución. En primer lugar se obtendrá la intensidad por cada una de las bobinas antes de que los interruptores cambien de posición, es decir, para el instante t=0− . Para ello se tendrá en cuenta que el circuito se encuentra en régimen permanente antes de que los interruptores cambien de posición. Como, en esta situación, la única fuente es de corriente continua, habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 1.37, donde cada bobina se ha sustituido por un cortocircuito.

Figura 1.37. Circuito en t=0− . Según la Figura 1.37: iL1 (0− ) = 2 A ; iL2 (0− ) = 2 A ; iL3 (0− ) = 0 A Cuando los interruptores cambian de posición, el circuito resultante se muestra en la Figura 1.38.

29

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

30

Figura 1.38. Circuito para t>0. Debido a como están conectadas las bobinas, se puede observar que la intensidad de las mismas no sufre un cambio brusco cuando los interruptores cambian de posición. En consecuencia: iL1 (0+ ) = iL1 (0− ) = 2 A iL2 (0+ ) = iL2 (0− ) = 2 A iL3 (0+ ) = iL3 (0− ) = 0 A La intensidad de cada bobina se puede expresar de la siguiente forma: iL1 (t) = iL1 (0+ ) +

1 L1

iL2 (t) = iL2 (0+ ) +

1 L2

1 iL3 (t) = iL3 (0 ) + L3 +

Z

t

0+ Z t 0+

Z

uL1 (λ)dλ = 2 + idL1 (t) uL2 (λ)dλ = 2 + idL2 (t)

t

0+

uL3 (λ)dλ = 0 + idL3 (t)

donde idL1 (t), idL2 (t) y idL3 (t) son las intensidades de tres bobinas descargadas 2 . De esta forma se obtiene el circuito de la Figura 1.39, según la cual, es fácil comprobar que se pueden asociar en paralelo las bobinas 2 y 3, dando lugar al circuito de la Figura 1.40, donde idLeq23 (t) = idL2 (t) + idL3 (t) y Leq23 =

L2 · L3 10 · 6 60 = = H L2 + L3 10 + 6 16

Según la Figura 1.40, se puede observar que las bobinas L1 y Leq23 tienen la misma condición inicial y están conectadas en serie, por lo que se pueden sustituir por una bobina 2

Se ha usado la variable λ para evitar que coincidan la variable de integración con el límite superior de integración.

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

Figura 1.39. Circuito para t>0.

Figura 1.40. Circuito para t>0. equivalente de valor Leq = L1 + Leq23 = 1,25 +

60 = 5H 16

con la siguiente intensidad inicial, tal y como se muestra en la Figura 1.41: iLeq (0+ ) = 2 A

Figura 1.41. Circuito equivalente para t>0. Para obtener la condición inicial de la intensidad i(t) se empleará el circuito en el instante t=0+ . Dicho circuito se obtiene a partir del circuito de la Figura 1.41 sustituyendo la bobina por una fuente de intensidad de valor iLeq (0+ ). El circuito en el instante t=0+

31

32

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos se muestra en la Figura 1.42.

Figura 1.42. Circuito para t=0+ . Según la Figura 1.42:

i(0+ ) = −2 ·

1 7,5 1 1 + 7,5 10

=

−8 A 7

Se puede observar que el circuito resultante es un circuito RL sin fuentes de excitación. En este caso, al no haber fuentes de excitación en el circuito resultante no hay régimen permanente. De esta forma: ip (t) = 0 A ; ip (0+ ) = 0 A Al ser un circuito RL, la constante de tiempo (para t>0) es la siguiente: τ=

L Req

donde Req es la conexión en paralelo de la resistencia de 10 Ω y la resistencia de 7,5 Ω. Por tanto: L 5 7 τ= = = s Req 6 7,5 · 10 7,5 + 10 En consecuencia, i(t) para t>0 es la siguiente:    +  −t/τ −8 −8 −6t/7 p + i(t) = i (t) + i(0 ) − i (0 ) · e =0+ − 0 · e−6t/7 = ·e A 7 7 p

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

33

P. 1.4. RC con excitación de continua El circuito de la Figura 1.43 está en régimen permanente cuando en t=0 el interruptor cambia de posición. Calcular la tensión u(t) para t>0.

+

+

_ Figura 1.43. Solución. En primer lugar se obtendrá la tensión en el condensador antes de que el interruptor cambie de posición, es decir, para el instante t=0− . Para ello se tendrá en cuenta que el circuito se encuentra en régimen permanente antes de que el interruptor cambie de posición. Como, en esta situación, la única fuente de excitación es de corriente continua, habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 1.44, donde el condensador se ha sustituido por un circuito abierto.

+

+ _ Figura 1.44. Circuito en t=0− .

A partir de la Figura 1.44 se obtiene la tensión en el condensador en t=0− aplicando el concepto de divisor de tensión: uC (0− ) = 5 ·

50 = 2V 75 + 50

Salvo respuesta de tipo impulsional, que no es el caso, la tensión en el condensador no varía al cambiar de posición el interruptor, por tanto: uC (0+ ) = uC (0− ) = 2 V Una vez el interruptor cambia de posición, el circuito resultante es el mostrado en la Figura 1.45.

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

+

+

_

_ Figura 1.45. Circuito en t>0.

Para obtener la condición inicial de la tensión u(t) se empleará el circuito en el instante t=0+ de la Figura 1.46, donde el condensador se ha sustituido por una fuente de tensión de valor uC (0+ ).

+

34

+

+

_

+

_

+ _

Figura 1.46. Circuito en t=0+ . Según la Figura 1.46, aplicando el concepto de divisor de tensión, resulta:   u(0+ ) = 2 − 15u(0+ ) ·

10 2 1 = − 3u(0+ ) ⇒ u(0+ ) = V 10 + 40 5 10

A continuación se obtiene el valor de la tensión u(t) en régimen permanente. Se puede observar que en el circuito de la Figura 1.45 no hay ninguna fuente de excitación independiente. En consecuencia no hay régimen permanente: up (t) = 0 Asimismo:

up (0+ ) = 0

Al ser un circuito de tipo RC, la constante de tiempo es la siguiente: τ = Req C donde Req es la resistencia equivalente desde los terminales del condensador. El calculo de dicha resistencia equivalente se realizará teniendo en cuenta el circuito de la Figura 1.47 en el que se ha sustituido el condensador por una fuente de tensión de valor desconocido ux (t). El objetivo es obtener la relación que existe entre ux (t) e ix (t).

+

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

35

_ +

+

_

_

Figura 1.47. Circuito para el cálculo de la Req . Según la Figura 1.47: ux (t) = 15u(t) + 40 · ix (t) + 10 · ix (t) = 15u(t) + 50 · ix (t) Por otro lado: u(t) = 10 · ix (t)

En consecuencia:

ux (t) = 15 · 10 · ix (t) + 50 · ix (t) = 200 · ix (t) ⇒ Req =

ux (t) = 200 Ω ix (t)

De esta forma:

1 = 5s 40 Por tanto, la tensión u(t) para t>0 es la siguiente:     1 1 u(t) = up (t) + u(0+ ) − up (0+ ) · e−t/τ = 0 + − 0 · e−t/5 = · e−t/5 V 10 10 τ = Req C = 200 ·

En la Figura 1.48 se ha representado gráficamente la evolución temporal de u(t). 0.10

u(t) [V]

0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 0

5

10

15

20

t [s]

Figura 1.48. Evolución temporal de u(t).

25

30

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

36

P. 1.5. RL con excitación de alterna En el circuito de la Figura 1.49, calcular el primer instante de tiempo t0 en el que debe cerrarse el interruptor para que la intensidad iL (t) carezca de respuesta natural.

+

Figura 1.49. Solución. Según la Figura 1.49, es fácil comprobar que, antes de cerrar el interruptor, por la bobina no circula intensidad. Por tanto: iL (t− 0 ) = 0A Salvo respuesta de tipo impulsional, que no es el caso, la intensidad por la bobina no varía al cerrar el interruptor, por tanto: − iL (t+ 0 ) = iL (t0 ) = 0 A

A continuación se obtiene el valor de la intensidad iL (t) en régimen permanente. En este caso, una vez que el interruptor se cierra, la única fuente de excitación, en el circuito resultante, es de corriente alterna. De esta forma habrá que resolver el circuito en régimen permanente de alterna, para lo cual se usará el circuito en el dominio fasorial mostrado en la Figura 1.50.

+

Figura 1.50. Circuito en el dominio fasorial. Según la Figura 1.50: p IL

Ug ∠0◦ Ug ∠0◦ Ug = =p =p ∠ − arctan ωL 2 2 2 R + jωL R + (ωL) ∠ arctan( R ) R + (ωL)2



ωL R



Capítulo 1. Transitorios de primer orden Una vez obtenida la intensidad en régimen permanente en el dominio fasorial se obtendrá la intensidad en régimen permanente en el dominio temporal:    √ Ug ωL p · cos ωt − arctan iL (t) = 2 · p R R2 + (ωL)2 cuyo valor para t=t+ 0 es el siguiente: ipL (t+ 0)=

√

2· p

Ug

   ωL · cos ωt0 − arctan R R2 + (ωL)2

Al ser un circuito RL, la constante de tiempo (para t>t0 ) es la siguiente: τ=

L R

Una vez obtenida la condición inicial, la respuesta en régimen permanente y la constante de tiempo, a continuación se obtiene iL (t) para t>t0 :  p +  −t/τ iL (t) = ipL (t) + inL (t) = ipL (t) + iL (t+ 0 ) − iL (t0 ) · e Para que la intensidad iL (t) carezca de respuesta natural entonces inL (t)=0. Por lo tanto:  p +  p + −t/τ inL (t) = 0 ⇒ iL (t+ = 0 ⇒ iL (t+ 0 ) − iL (t0 ) · e 0 ) = iL (t0 ) Sustituyendo valores √

Ug

   ωL ⇒ · cos ωt0 − arctan R R2 + (ωL)2    ωL 0 = cos ωt0 − arctan R

0=

2· p

y resolviendo, se obtiene el instante de tiempo t0 en el que debe de cerrarse el interruptor: ! ωL π + arctan   2 R ωL π ωt0 − arctan = ⇒ t0 = R 2 ω

37

38

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

P. 1.6. RL con excitación de alterna El circuito de la Figura 1.51 se encuentra en régimen permanente cuando en t=0 el interruptor pasa a la posición 2. Calcular la intensidad iR (t) y la tensión uL (t) para t>0, sabiendo que eg (t)=300 sen(1000t − 30◦ ) V.

+ + _ Figura 1.51. Solución. En primer lugar se obtendrá la intensidad de la bobina antes de que el interruptor cambie de posición, es decir, para el instante t=0− . Para ello se tendrá en cuenta que el circuito se encuentra en régimen permanente. Como, en esta situación, la única fuente de excitación es de corriente continua, habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 1.52, donde la bobina se ha sustituido por un cortocircuito.

Figura 1.52. Circuito en t=0− . A partir de la Figura 1.52, aplicando el concepto de divisor de intensidad, se obtiene la intensidad por la bobina en t=0− : iL (0− ) = 5 ·

1/20 = 3A 1/30 + 1/20

Capítulo 1. Transitorios de primer orden Salvo respuesta de tipo impulsional, que no es el caso, la intensidad por la bobina no varía al cambiar de posición el interruptor, por tanto: iL (0+ ) = iL (0− ) = 3 A Para t>0, el circuito resultante se muestra en la Figura 1.53.

+ + _ Figura 1.53. Circuito para t>0 . Para obtener la condición inicial de la tensión uL (t) y de la intensidad iR (t) se empleará el circuito correspondiente al instante t=0+ . Dicho circuito se obtiene sustituyendo la bobina por una fuente de intensidad de valor iL (0+ ) y la fuente de tensión de alterna por una fuente de tensión de valor eg (0+ ). El circuito en el instante t=0+ se muestra en la Figura 1.54, donde eg (0+ ) = 300 sen(1000 · 0 − 30◦ ) = −150 V

+ + _ Figura 1.54. Circuito en t=0+ . A partir del circuito de la Figura 1.54 se obtiene uL (0+ ) y iR (0+ ): uL (0+ ) = eg (0+ ) − 3 · (10 + 20) = −150 − 90 = −240 V iR (0+ ) = −3 A

A continuación se obtiene el valor de la tensión uL (t) y de la intensidad iR (t) en régimen permanente. En este caso, la fuente de excitación es de corriente alterna. De esta

39

40

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos forma habrá que resolver el circuito en régimen permanente de alterna, para lo cual se usará el circuito en el dominio fasorial mostrado en la Figura 1.55.

+ + _ Figura 1.55. Circuito en el dominio fasorial. Según la Figura 1.55:

p

IR

300 − √ ∠ − 30◦ 2 = ≈ 7,04∠144,29◦ A 10 + 20 + 3j

p

p

U L = −3j · I R ≈ 21,11∠54,29◦ V Una vez obtenida la tensión y la intensidad en régimen permanente en el dominio fasorial, se obtendrá el régimen permanente en el dominio temporal: √ upL (t) = 21,11 2 sen(1000t + 54,29◦ ) V √ ipR (t) = 7,04 2 sen(1000t + 144,29◦ ) A cuyos valores para t=0+ son los siguientes: √ upL (0+ ) = 21,11 2 sen(54,29◦ ) ≈ 24,24 V √ ipR (0+ ) = 7,04 2 sen(144,29◦ ) ≈ 5,81 A Al ser un circuito RL, la constante de tiempo (para t>0) es la siguiente: τ=

L Req

donde Req es la resistencia equivalente desde los terminales de la bobina, la cual es fácil comprobar que corresponde a la conexión serie de las dos resistencias de 20 Ω y 10 Ω: Req = 20 + 10 = 30 Ω Por tanto: τ=

L 3 · 10−3 1 = = 4s Req 30 10

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

41

Una vez obtenida las condiciones iniciales, las respuestas en régimen permanente y la constante de tiempo, a continuación se obtiene uL (t) y iR (t) para t>0:   uL (t) = upL (t) + uL (0+ ) − upL (0+ ) · e−t/τ √ 4 = 21,11 2 sen(1000t + 54,29◦ ) + [−240 − 24,24] · e−10 t V   iR (t) = ipR (t) + iR (0+ ) − ipR (0+ ) · e−t/τ √ 4 = 7,04 2 sen(1000t + 144,29◦ ) + [−3 − 5,81] · e−10 t A En la Figura 1.56 se ha representado gráficamente la evolución temporal de uL (t) y iR (t).

uL (t) [V]

0

−100 −200 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

iR (t) [A]

10 5 0 −5 −10

t [ms]

Figura 1.56. Evolución temporal de uL (t) y iR (t).

42

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

P. 1.7. RC y RL con excitación de continua En el circuito de la Figura 1.57, el interruptor se cierra en t=0. Sabiendo que uC (0− )=3 V y iL (0− )=1 A, calcular la intensidad i(t) para t>0.

+ + _ Figura 1.57. Solución. Según la Figura 1.57, una vez cerrado el interruptor, el circuito resultante se muestra en la Figura 1.58.

+ + _ Figura 1.58. Circuito para t>0. Se puede observar que la fuente de tensión está conectada en paralelo con el circuito RC y con el circuito RL. De esta forma, se pueden analizar por separado los dos circuitos de la Figura 1.59.

+

+ + _ Figura 1.59. Circuito RC y circuito RL para t>0.

Capítulo 1. Transitorios de primer orden Una vez calcula la intensidad iC (t) y la intensidad iL (t), la intensidad i(t) se obtiene como suma de ambas: i(t) = iC (t) + iL (t) Para calcular la intensidad iC (t) se analizará el circuito RC de la Figura 1.59, mientras que la intensidad iL (t) se calculará a partir del circuito RL de la Figura 1.59. Análisis del circuito RC Salvo respuesta de tipo impulsional, que no es el caso, la tensión en el condensador no varía al cerrar el interruptor, por tanto: uC (0+ ) = uC (0− ) = 3 V A continuación se obtiene el valor de la tensión uC (t) en régimen permanente. En este caso, la única fuente de excitación es de corriente continua. De esta forma habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua que se muestra en la Figura 1.60, donde el condensador se ha sustituido por un circuito abierto.

+ + _ Figura 1.60. Circuito en régimen permanente de continua. Según la Figura 1.60: Asimismo:

upC (t) = 10 V upC (0+ ) = 10 V

Al ser un circuito RC, la constante de tiempo es la siguiente: τ = RC = 3 · 3 = 9 s En consecuencia la tensión uC (t) para t>0 es la siguiente:   uC (t) = upC (t)+ uC (0+ ) − upC (0+ ) ·e−t/τ = 10+[3 − 10]·e−t/9 = 10−7·e−t/9 V Una vez obtenida la tensión del condensador se calcula la intensidad por el mismo teniendo en cuenta la relación tensión-intensidad en un condensador:   duC (t) −7 −t/9 −7 −t/9 iC (t) = C · =3· ·e = ·e A dt 9 3

43

44

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos Análisis del circuito RL Salvo respuesta de tipo impulsional, la intensidad por la bobina no varía al cerrar el interruptor, por tanto: iL (0+ ) = iL (0− ) = 1 V A continuación se obtiene el valor de la intensidad iL (t) en régimen permanente. En este caso, la única fuente de excitación es de corriente continua. De esta forma habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua que se muestra en la Figura 1.61, donde la bobina se ha sustituido por un cortocircuito.

+

Figura 1.61. Circuito en régimen permanente de continua. Según la Figura 1.61: ipL (t) = Asimismo:

10 = 5A 2

ipL (0+ ) = 5 A

Al ser un circuito RL, la constante de tiempo es la siguiente: τ=

L 6 = = 3s R 2

En consecuencia la intensidad iL (t) para t>0 es la siguiente:   iL (t) = ipL (t) + iL (0+ ) − ipL (0+ ) · e−t/τ = 5 + [1 − 5] · e−t/3 = 5 − 4 · e−t/3 A Una vez obtenidas las intensidades iC (t) e iL (t), la intensidad i(t) para t>0 es la siguiente: −7 −t/9 i(t) = iC (t) + iL (t) = ·e + 5 − 4 · e−t/3 A 3 En la Figura 1.62 se ha representado gráficamente la evolución temporal de i(t).

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

45

i(t) [A]

4

2

0 0

5

10

15

20

25

30

35

40

t [s]

Figura 1.62. Evolución temporal de i(t).

P. 1.8. RL y RC con excitación de continua En el circuito de la Figura 1.63, el interruptor se abre en t=0. Sabiendo que uC (0− )=2 V y iL (0− )=1 A, calcular la tensión uC (t) y la intensidad iL (t) para t>0.

+ _

Figura 1.63. Solución. Según la Figura 1.63, una vez abierto el interruptor, el circuito resultante se muestra en la Figura 1.64.

+ _

Figura 1.64. Circuito para t>0. Se puede observar que la fuente de intensidad está conectada en serie con el circuito RL y con el circuito RC. De esta forma, se pueden analizar por separado el circuito de la

46

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos Figura 1.65 y el de la Figura 1.66.

+ _ Figura 1.65. Circuito RL para t>0.

Figura 1.66. Circuito RC para t>0.

Para calcular la intensidad iL (t) se analizará el circuito RL de la Figura 1.65, mientras que la tensión uC (t) se calculará a partir del circuito RC de la Figura 1.66. Análisis del circuito RL Salvo respuesta de tipo impulsional, que no es el caso, la intensidad por la bobina no varía al abrir el interruptor, por tanto: iL (0+ ) = iL (0− ) = 1 A A continuación se obtiene el valor de la intensidad iL (t) en régimen permanente. En este caso, la única fuente de excitación es de corriente continua. De esta forma habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua que se muestra en la Figura 1.67, donde la bobina se ha sustituido por un cortocircuito.

Figura 1.67. Circuito en régimen permanente de continua. Según la Figura 1.67: Asimismo:

ipL (t) = 10 A ipL (0+ ) = 10 A

Al ser un circuito RL, la constante de tiempo es la siguiente: τ=

L 1 = s R 3

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

47

En consecuencia la intensidad iL (t) para t>0 es la siguiente:   iL (t) = ipL (t) + iL (0+ ) − ipL (0+ ) · e−t/τ = 10 + [1 − 10] · e−3t = 10 − 9 · e−3t A En la Figura 1.68 se ha representado gráficamente la evolución temporal de iL (t). 12

iL (t) [A]

10 8 6 4 2 1 0 −0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

t [s]

Figura 1.68. Evolución temporal de iL (t).

Análisis del circuito RC Salvo respuesta de tipo impulsional, que no es el caso, la tensión en el condensador no varía al cerrar el interruptor, por tanto: uC (0+ ) = uC (0− ) = 2 V A continuación se obtiene el valor de la tensión uC (t) en régimen permanente. En este caso, la única fuente de excitación es de corriente continua. De esta forma habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua que se muestra en la Figura 1.69, donde el condensador se ha sustituido por un circuito abierto.

+ _ Figura 1.69. Circuito en régimen permanente de continua. Según la Figura 1.69: Asimismo:

upC (t) = 10 · 2 = 20 V upC (0+ ) = 20 V

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos Al ser un circuito RC, la constante de tiempo es la siguiente: τ = RC = 2 · 3 = 6 s En consecuencia, la tensión uC (t) para t>0 es la siguiente:   uC (t) = upC (t)+ uC (0+ ) − upC (0+ ) ·e−t/τ = 20+[2 − 20]·e−t/6 = 20−18·e−t/6 V En la Figura 1.70 se ha representado gráficamente la evolución temporal de uC (t). 25 20

uC (t) [V]

48

15 10 5 2 0 0

5

10

15

20

t [s]

Figura 1.70. Evolución temporal de uC (t).

25

30

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

P. 1.9. RC. Equivalente Thévenin con excitación de continua El interruptor del circuito de la Figura 1.71 se cierra en t=0. Calcular la tensión uC (t) para t>0, sabiendo que uC (0− )=20 V.

+

+

+ _

_

Figura 1.71. Solución. Para facilitar el estudio del transitorio, se obtendrá el equivalente Thévenin visto desde los terminales del condensador (terminales a y b), tal y como se muestra en la Figura 1.72.

+

+ _

Figura 1.72. Circuito visto desde los terminales del condensador. Para obtener el equivalente Thévenin se calculará en primer lugar la tensión a circuito abierto y posteriormente la intensidad de cortocircuito. Con respecto al cálculo de la tensión a circuito abierto entre los terminales a y b, en la Figura 1.73 se muestra el circuito que hay que resolver.

+

+ + _

_

Figura 1.73. Circuito para calcular la tensión a circuito abierto entre los terminales a y b. Según la Figura 1.73: uab (t) = 2i(t) + 4 · i(t)

49

50

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos Como i(t)=0 A entonces: uab (t) = 2 · 0 + 4 · 0 = 0 V Por otro lado, a continuación se calculará la intensidad de cortocircuito entre los terminales a y b, tal y como se muestra en la Figura 1.74.

+

+ _

Figura 1.74. Circuito para calcular la intensidad de cortocircuito entre terminales a y b. Según la Figura 1.74: 2i(t) + 4 · i(t) = 0 ⇒ i(t) = 0 A Por otro lado: icc (t) = −i(t)

Por tanto:

icc (t) = 0 A

Como tanto uab (t) como icc (t) son cero entonces para calcular la resistencia equivalente es necesario usar una fuente de prueba conectada entre los terminales a y b, una vez pasivado el circuito, tal y como se muestra en la Figura 1.75.

+ _

+

Figura 1.75. Circuito para calcular la resistencia equivalente entre terminales a y b. Según la Figura 1.74: Ux = 2i(t) + 4 · i(t)

i(t) = Ix Por tanto:

Ux = 2 · Ix + 4 · Ix = 6 · Ix ⇒ Req =

Ux = 6Ω Ix

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

51

Una vez obtenida la tensión a circuito abierto y la resistencia equivalente, se llega al circuito RC de la Figura 1.76.

+ _

Figura 1.76. Circuito RC resultante. Según el enunciado, antes de cerrar el interruptor, es decir para t=0− , la tensión del condensador es: uC (0− )=20 V. Salvo respuesta de tipo impulsional, la tensión en el condensador no varía al cerrar interruptor, por tanto: uC (0+ ) = uC (0− ) = 20 V A continuación se obtendrá la tensión del condensador en régimen permanente, upC (t). En este caso, como en el circuito resultante no hay fuentes de excitación entonces no habrá régimen permanente: upC (t) = 0 V ; upC (0+ ) = 0 V Al ser un circuito de tipo RC, la constante de tiempo es la siguiente: τ = RC = 6 · 5 = 30 s En consecuencia, la tensión uC (t) para t>0 es la siguientes:   uC (t) = upC (t) + uC (0+ ) − upC (0+ ) · e−t/τ = 0 + [20 − 0] · e−t/30 = 20 · e−t/30 V En la Figura 1.77 se ha representado gráficamente la evolución temporal de uC (t). 20

uC (t) [V]

15 10 5 0 0

20

40

60

80

100

t [s]

Figura 1.77. Evolución temporal de uC (t).

120

140

52

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

P. 1.10. RL. Equivalente Thévenin con excitación de continua En el circuito de la Figura 1.78, el interruptor se cierra en t=0. Calcular la intensidad iL (t) para t>0.

+

+ _

Figura 1.78. Solución. Para facilitar el estudio del transitorio, se usará el equivalente Thévenin visto desde los terminales de la bobina, tal y como se muestra en la Figura 1.79.

+

+ _

Figura 1.79. Circuito visto desde los terminales de la bobina. Para obtener el equivalente Thévenin, se calculará en primer lugar la tensión a circuito abierto y posteriormente la intensidad de cortocircuito. Con respecto al cálculo de la tensión a circuito abierto entre los terminales a y b, en la Figura 1.80 se muestra el circuito que hay que resolver.

+

+ _

+ _

Figura 1.80. Circuito para calcular la tensión a circuito abierto entre los terminales a y b. Según la Figura 1.80, aplicando la ley de Kirchhoff de tensiones: 10 = 7 · i(t) + 3i(t) ⇒ i(t) =

10 = 1A 10

Capítulo 1. Transitorios de primer orden Por otro lado:

uab (t) = 3i(t) = 3 · 1 = 3 V

A continuación se calculará la intensidad de cortocircuito entre los terminales a y b, tal y como se muestra en la Figura 1.81.

+

+ _

Figura 1.81. Circuito para calcular la intensidad de cortocircuito entre terminales a y b. Según la Figura 1.81, aplicando de nuevo la ley de Kirchhoff de tensiones: 10 = 7 · i(t) + 3i(t) ⇒ i(t) =

10 = 1A 10

Por otro lado: 3i(t) = 2 · icc (t) ⇒ icc (t) =

3i(t) 3·1 = = 1,5 A 2 2

Una vez obtenida la tensión a circuito abierto y la intensidad de cortocircuito entre los terminales a y b, se calcula la resistencia equivalente (resistencia Thévenin) de la siguiente forma: u (t) 3 Req = ab = = 2Ω icc (t) 1,5 De esta forma se llega al circuito de la Figura 1.82.

+

Figura 1.82. Circuito simplificado. Antes de cerrar el interruptor no circula intensidad por la bobina, por lo que iL (0− )=0 A. Salvo respuesta de tipo impulsional, la intensidad de la bobina no varía al cerrar interruptor, por tanto: iL (0+ ) = iL (0− ) = 0 A Una vez cerrado el interruptor, se obtiene el circuito RL de la Figura 1.83.

53

54

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

+

Figura 1.83. Circuito para t>0. A continuación se obtendrá la intensidad iL (t) en régimen permanente. En este caso, como la única fuente de excitación es de corriente continua, habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 1.84, donde la bobina se ha sustituido por un cortocircuito.

+

Figura 1.84. Circuito en régimen permanente de continua. Según la Figura 1.84: ipL (t) = Asimismo:

3 = 1,5 A 2

ipL (0+ ) = 1,5 A

Al ser un circuito de tipo RL, la constante de tiempo es la siguiente: τ=

L 40 = = 20 s Req 2

En consecuencia, la intensidad iL (t) para t>0 es la siguiente:   iL (t) = ipL (t)+ iL (0+ ) − ipL (0+ ) ·e−t/τ = 1,5+[0 − 1,5]·e−t/20 = 1,5·(1−e−t/20 ) A

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

P. 1.11. RL. Equivalente Thévenin con excitación de continua En el circuito de la Figura 1.85, el interruptor se cierra en t=0. Sabiendo que iL (0− )=0 A, calcular la tensión u(t) para t>0.

+ _ Figura 1.85. Solución. Según el enunciado, antes de que se cierre el interruptor, por la bobina no circula intensidad. Salvo respuesta de tipo impulsional, la intensidad por la bobina no varía al cerrar el interruptor, por tanto: iL (0+ ) = iL (0− ) = 0 A Para obtener la condición inicial de la tensión u(t), se empleará el circuito en el instante t=0+ . Dicho circuito se obtiene a partir del circuito original, una vez cerrado el interruptor, sustituyendo la bobina por una fuente de intensidad de valor iL (0+ ). El circuito en el instante t=0+ se muestra en la Figura 1.86.

+

+

_

_

Figura 1.86. Circuito en t=0+ . Según la Figura 1.86: 10 =

u(0+ ) u(0+ ) 10 + ⇒ u(0+ ) = = 5V 1 1 2

Se calculará también la tensión uab (0+ ) ya que será útil para calcular la resistencia equivalente desde los terminales de la bobina. Se puede observar que uab (0+ ) es la tensión

55

56

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos a circuito abierto desde los terminales de la bobina ya que, en este caso particular, la intensidad por la bobina es nula en t=0+ . Según la Figura 1.86: i(0+ ) =

u(0+ ) 5 = = 5A 1 1

Por tanto: uab (0+ ) = −3i(0+ ) · 1 + u(0+ ) = −3 · 5 · 1 + 5 = −10 V A continuación se obtiene la tensión u(t) en régimen permanente. En este caso, una vez cerrado el interruptor, la única fuente de excitación independiente es de corriente continua, por lo que habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua de la Figura 1.87 donde la bobina se ha sustituido por un cortocircuito. Además, también se obtendrá la intensidad por la bobina en régimen permanente ya que será útil para calcular la resistencia equivalente desde los terminales de la bobina. Se puede observar que ipL (t) es la intensidad de cortocircuito cuando se cortocircuitan los terminales de la bobina.

+ _ Figura 1.87. Circuito en régimen permanente de continua. Según la Figura 1.87, aplicando el análisis por nudos: (1 + 1 + 1) · up (t) = 10 + 3ip (t) ⇒ 3 · up (t) = 10 + 3ip (t) donde ip (t) = 10 −

up (t) = 10 − up (t) 1

Sustituyendo valores y simplificando resulta: 3 · up (t) = 10 + 3 · [10 − up (t)] ⇒ up (t) =

20 V 3

Por otro lado: ipL (t) = 10 −

up (t) up (t) 20 20 −10 − = 10 − − = A 1 1 3 3 3

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

57

Al ser un circuito RL, la constante de tiempo (para t>0) es la siguiente: τ=

L Req

donde Req es la resistencia equivalente desde los terminales de la bobina. Anteriormente se ha calculado la tensión uab (0+ ), la cual es en realidad la tensión a circuito abierto desde los terminales de la bobina. Además, también se ha obtenido la intensidad ipL (t), la cual es la intensidad de cortocircuito si se cortocircuitan los terminales de la bobina. Por lo tanto, la resistencia equivalente se puede obtener de la siguiente forma: Req =

uab (0+ ) −10 = = 3Ω ipL (t) −10/3

En consecuencia:

2 s 3 Una vez obtenida la condición inicial, la respuesta en régimen permanente y la constante de tiempo, a continuación se obtiene u(t) para t>0:     20 20 u(t) = up (t) + u(0+ ) − up (0+ ) · e−t/τ = + 5− · e−3t/2 V 3 3 τ=

En la Figura 1.88 se ha representado gráficamente la evolución temporal de u(t).

u(t) [V]

6

4

2

0 −0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

t [s]

Figura 1.88. Evolución temporal de u(t).

3.0

3.5

4.0

58

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

P. 1.12. RC. Equivalente Thévenin con excitación de continua En el circuito de la Figura 1.89, el interruptor se cierra en t=0. Sabiendo que uC (0− )=0 V, calcular la tensión u(t) para t>0.

+

+ _

_ Figura 1.89. Solución. Según el enunciado, antes de que se cierre el interruptor, uC (0− )=0 V. Salvo respuesta de tipo impulsional, la tensión del condensador no varía al cerrar el interruptor, por tanto: uC (0+ ) = uC (0− ) = 0 Para obtener la condición inicial de la tensión u(t), se empleará el circuito en el instante t=0+ . Dicho circuito se obtiene a partir del circuito original, una vez cerrado el interruptor, sustituyendo el condensador por una fuente de tensión de valor uC (0+ ). El circuito en el instante t=0+ se muestra en la Figura 1.90. Además, también se obtendrá la intensidad por el condensador en t=0+ ya que será útil para calcular la resistencia equivalente desde los terminales del condensador.

+

+

_ Figura 1.90. Circuito en t=0+ . Según la Figura 1.90, aplicando el análisis por nudos: (1 + 1 + 1) · u(0+ ) = 10 + 3i(0+ ) ⇒ 3 · u(0+ ) = 10 + 3i(0+ )

Capítulo 1. Transitorios de primer orden donde i(0+ ) = 10 −

u(0+ ) = 10 − u(0+ ) 1

Sustituyendo valores y simplificando resulta: 3 · u(0+ ) = 10 + 3 · (10 − u(0+ )) ⇒ u(0+ ) =

20 V 3

Por otro lado: iC (0+ ) = 10 −

20 20 −10 u(0+ ) u(0+ ) − = 10 − − = A 1 1 3 3 3

A continuación se obtiene la tensión u(t) en régimen permanente. En este caso, una vez cerrado el interruptor, la única fuente de excitación independiente es de corriente continua, por lo que habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua de la Figura 1.91 donde el condensador se ha sustituido por un circuito abierto.

+

+ _

_ Figura 1.91. Circuito en régimen permanente de continua. Según la Figura 1.91: 10 =

up (t) up (t) 10 + ⇒ up (t) = = 5V 1 1 2

Se calculará también la tensión upC (t) ya que será útil para calcular la resistencia equivalente desde los terminales del condensador. Según la Figura 1.91: ip (t) = 10 −

5 up (t) = 10 − = 5 A 1 1

Por tanto: upC (t) = −3ip (t) · 1 + up (t) = −3 · 5 · 1 + 5 = −10 V Al ser un circuito RC, la constante de tiempo (para t>0) es la siguiente: τ = Req C

59

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos donde Req es la resistencia equivalente desde los terminales del condensador. Anteriormente se ha calculado la tensión upC (t) y la intensidad iC (0+ ). Según la Figura 1.90, se puede comprobar que iC (0+ ) es la intensidad que cortocircuito si se cortocircuitan los terminales del condensador. Asimismo, según la Figura 1.91, se puede comprobar que upC (t) es la tensión a circuito abierto desde los terminales del condensador. Por lo tanto, la resistencia equivalente desde los terminales del condensador se puede obtener de la siguiente forma: up (t) −10 = 3Ω Req = C + = iC (0 ) −10/3 En consecuencia:

τ = 3 · 2 = 6s

Una vez obtenida la condición inicial, la respuesta en régimen permanente y la constante de tiempo, a continuación se obtiene u(t) para t>0:    +  −t/τ 20 p p + u(t) = u (t) + u(0 ) − u (0 ) · e =5+ − 5 · e−t/6 V 3 En la Figura 1.92 se ha representado gráficamente la evolución temporal de u(t).

6

u(t) [V]

60

4

2

0 0

5

10

15

20

t [s]

Figura 1.92. Evolución temporal de u(t).

25

30

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

P. 1.13. RC. Condensadores en serie con excitación de continua El circuito de la Figura 1.93 está en régimen permanente cuando en t=0 los interruptores cambian de posición. Calcular las tensiones uC1 (t) y uC2 (t) para t>0 sabiendo que uC2 (0− )=6 V.

+

_

+

+ _

Figura 1.93. Solución. En primer lugar se obtendrá la tensión del condensador 1 antes de que los interruptores cambien de posición, es decir, para el instante t=0− . Para ello se tendrá en cuenta que el circuito se encuentra en régimen permanente. Como la única fuente de excitación es de corriente continua, habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 1.94, donde la bobina se ha sustituido por un cortocircuito y el condensador 1 por un circuito abierto.

+

_

+

Figura 1.94. Circuito en t=0− . A partir de la Figura 1.94 se obtiene la tensión en el condensador 1 en t=0− : uC1 (0− ) = 20 ·

1 = 5V 3+1

Por otro lado, según el enunciado, la tensión del condensador 2 para t=0− es la siguiente: uC2 (0− ) = 6 V

61

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

62

Salvo respuesta de tipo impulsional, la tensión en cada condensador no varía al cambiar de posición los interruptores, por tanto: uC1 (0+ ) = uC1 (0− ) = 5 V uC2 (0+ ) = uC2 (0− ) = 6 V Por otro lado se sabe que la tensión de cada condensador se puede expresar de la siguiente forma: 1 uC1 (t) = uC1 (0 ) + C1 +

1 uC2 (t) = uC2 (0 ) + C2 +

Z

t

0+ Z t

i(λ)dλ = 5 + udC1 (t) (1.51) i(λ)dλ = 6 +

0+

udC2 (t)

donde udC1 (t) y udC2 (t) son las tensiones de sendos condensadores descargados 3 . De esta forma se obtiene el circuito de la Figura 1.95, según el cual, es fácil comprobar que se pueden asociar en serie los dos condensadores descargados y las dos fuentes de tensión correspondientes a las condiciones iniciales. Esto da lugar al circuito de la Figura 1.96, donde udCeq (t) = udC1 (t) + udC2 (t) y Ceq =

2·4 4 C1 · C2 = = F C1 + C2 2+4 3

_ +

+

+ _

+ +

Figura 1.95. Circuito para t>0. Según el circuito resultante de la Figura 1.96, se puede observar que se trata de un circuito RC con excitación de continua, donde la tensión del condensador se puede calcular de la siguiente forma: h i dp d + + udCeq (t) = udp (t) + u (0 ) − u (0 ) · e−t/τ Ceq Ceq Ceq 3

Se ha usado la variable λ para evitar que coincidan la variable de integración con el límite superior de integración.

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

+ _

+ +

Figura 1.96. Circuito simplificado para t>0. Hay que recordar que el condensador equivalente está descargado y por tanto: udCeq (0+ ) = 0 V La tensión en régimen permanente, udp Ceq (t), se obtiene resolviendo el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 1.97, donde el condensador se ha sustituido por un circuito abierto.

+ _

+ +

Figura 1.97. Circuito en régimen permanente de continua. Según la Figura 1.97: udp Ceq (t) = 20 ·

1 + − 11 = −6 V ; udp Ceq (0 ) = −6 V 1+3

Al ser un circuito de tipo RC, la constante de tiempo es la siguiente: τ = Req Ceq donde Req =

1·3 3 = Ω 1+3 4

Por tanto: τ = Req Ceq =

3 4 · = 1s 4 3

63

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos De esta forma: h i dp d + + udCeq (t) = udp (t) + u (0 ) − u (0 ) · e−t/τ Ceq Ceq Ceq   = −6 + [0 + 6] · e−t/1 = −6 · 1 − e−t V Una vez obtenida la tensión del condensador equivalente descargado, entonces la tensión de cada uno de los condensadores descargados se calcula aplicando el concepto de divisor de tensión capacitivo: C2 1/C1 = udCeq (t) · = udCeq (t) · 1/C1 + 1/C2 C1 + C2 1/C2 C1 udC2 (t) = udCeq (t) · = udCeq (t) · = udCeq (t) · 1/C1 + 1/C2 C1 + C2 udC1 (t) = udCeq (t) ·

  4 = −4 · 1 − e−t V 6   2 = −2 · 1 − e−t V 6

Por último, según la relación (1.51) se obtiene la tensión de cada condensador:   uC1 (t) = 5 − 4 · 1 − e−t = 1 + 4 · e−t V   uC2 (t) = 6 − 2 · 1 − e−t = 4 + 2 · e−t V En la Figura 1.98 se ha representado gráficamente la evolución temporal de uC1 (t) y uC2 (t). 6

uC1 (t) [V]

5 4 3 2 1 0 0

1

2

0

1

2

3

4

5

3

4

5

6

uC2 (t) [V]

64

4 2 0

t [s]

Figura 1.98. Evolución temporal de uC1 (t) y uC2 (t).

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

65

P. 1.14. RC. Condensadores en serie con excitación de continua En el circuito de la Figura 1.99, el interruptor se cierra en t=0. Suponiendo conocida la tensión de cada condensador en t=0− : uC1 (0− ), uC2 (0− ) y uC3 (0− ), calcular la tensión uC2 (t) para t>0.

+ _ + _ + _ Figura 1.99. Solución. Según el enunciado, antes de cerrar el interruptor, los condensadores están cargados a una determinada tensión inicial. Salvo respuesta de tipo impulsional, la tensión en cada condensador no varía al cerrar interruptor, por tanto: uC1 (0+ ) = uC1 (0− ) uC2 (0+ ) = uC2 (0− ) uC3 (0+ ) = uC3 (0− ) Por otro lado, se sabe que la tensión de cada condensador se puede expresar de la siguiente forma: 1 uC1 (t) = uC1 (0 ) + C1 +

uC2 (t) = uC2 (0+ ) +

1 C2

uC3 (t) = uC3 (0+ ) +

1 C3

Z

t

0+ Z t 0+ Z t 0+

i(λ)dλ = uC1 (0+ ) + udC1 (t) i(λ)dλ = uC2 (0+ ) + udC2 (t)

(1.52)

i(λ)dλ = uC3 (0+ ) + udC3 (t)

donde udC1 (t), udC2 (t) y udC3 (t) son las tensiones de tres condensadores descargados 4 . De esta forma se obtiene el circuito de la Figura 1.100, según el cual, es fácil comprobar que se pueden asociar en serie los tres condensadores descargados y las tres fuentes de tensión correspondientes a las condiciones iniciales. 4

Se ha usado la variable λ para evitar que coincidan la variable de integración con el límite superior de integración.

66

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

+ _ +

+ _ +

+ _ +

Figura 1.100. Circuito para t>0. Esto da lugar al circuito simplificado de la Figura 1.101, donde udCeq (t) = udC1 (t) + udC2 (t) + +udC3 (t) Ceq =

1 1 1 1 + + C1 C2 C3

uCeq(0+ ) = uC1 (0+ ) + uC2 (0+ ) + uC3 (0+ )

+ _ +

Figura 1.101. Circuito simplificado para t>0. Según el circuito de la Figura 1.101, se puede observar que se trata de un circuito RC con excitación de continua, donde la tensión del condensador se puede calcular de la siguiente forma: h i dp d + + −t/τ udCeq (t) = udp Ceq (t) + uCeq (0 ) − uCeq (0 ) · e

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

67

Hay que recordar que el condensador equivalente está descargado y por tanto: udCeq (0+ ) = 0 V La tensión en régimen permanente, udp Ceq (t), se obtiene resolviendo el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 1.102, donde el condensador se ha sustituido por un circuito abierto.

+ _ +

Figura 1.102. Circuito en régimen permanente de continua. Según la Figura 1.102: + udp Ceq (t) = Ig · R − uCeq (0 )

Asimismo:

+ + udp Ceq (0 ) = Ig · R − uCeq (0 )

Al ser un circuito de tipo RC, la constante de tiempo es la siguiente: τ = RCeq De esta forma: h i   dp d + + udCeq (t) = udp (t)+ u (0 ) − u (0 ) ·e−t/τ = Ig · R − uCeq (0+ ) ·(1−e−t/τ ) Ceq Ceq Ceq Una vez obtenida la tensión del condensador equivalente descargado, entonces la tensión en el condensador 2 descargado se calcula aplicando el concepto de divisor de tensión capacitivo: 1   C2 udC2 (t) = udCeq (t)· = Ig · R − uCeq (0+ ) ·(1−e−t/τ )· 1 1 1 1 + + + C1 C2 C3 C1

1 C2 1 1 + C2 C3

68

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos Por último, según la relación (1.52) se obtiene la tensión en el condensador 2: uC2 (t) = uC2 (0+ ) + udC2 (t)   = uC2 (0+ ) + Ig · R − uCeq (0+ ) · (1 − e−t/τ ) ·

1 C2 1 1 1 + + C1 C2 C3

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

P. 1.15. RL. Bobinas en paralelo con excitación de continua En el circuito de la Figura 1.103, el interruptor se abre en t=0. Sabiendo que la intensidad por cada bobina en t=0− es iL1 (0− ), iL2 (0− ) y iL3 (0− ), calcular la intensidad i(t) e iL1 (t) para t>0.

+

Figura 1.103. Solución. Según el enunciado, antes de abrir el interruptor, se sabe la intensidad que circula por cada una de las bobinas. Salvo respuesta de tipo impulsional, dichas intensidades no varían al abrir el interruptor, por tanto: iL1 (0+ ) = iL1 (0− ) iL2 (0+ ) = iL2 (0− ) iL3 (0+ ) = iL3 (0− ) Esto implica que la intensidad i(t) en t=0+ sea la siguiente: i(0+ ) = iL1 (0+ ) + iL2 (0+ ) + iL3 (0+ ) Por otro lado, se sabe que la intensidad de cada bobina se puede expresar de la siguiente forma: Z t 1 iL1 (t) = iL1 (0+ ) + u(λ)dλ = iL1 (0+ ) + idL1 (t) L1 0+ Z t 1 (1.53) u(λ)dλ = iL2 (0+ ) + idL2 (t) iL2 (t) = iL2 (0+ ) + L2 0+ Z t 1 iL3 (t) = iL3 (0+ ) + u(λ)dλ = iL3 (0+ ) + idL3 (t) L3 0+ donde idL1 (t), idL2 (t) y idL3 (t) son las intensidades de tres bobinas descargadas 5 . Esto da lugar al circuito de la Figura 1.104 para t>0. 5

Se ha usado la variable λ para evitar que coincidan la variable de integración con el límite superior de integración.

69

70

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

+

Figura 1.104. Circuito para t>0. A partir del circuito de la Figura 1.104, es fácil comprobar que se pueden asociar en paralelo las tres bobinas descargadas y las tres fuentes de intensidad. Esto da lugar al circuito simplificado de la Figura 1.105, donde idLeq (t) = idL1 (t) + idL2 (t) + idL3 (t) Leq =

1 1 1 1 + + L1 L2 L3

iLeq (0+ ) = iL1 (0+ ) + iL2 (0+ ) + iL3 (0+ )

+

Figura 1.105. Circuito simplificado para t>0. Según el circuito de la Figura 1.105, se puede observar que se trata de un circuito RL con excitación de continua, donde la intensidad de la bobina equivalente descargada se puede calcular según: h i dp d + + −t/τ idLeq (t) = idp Leq (t) + iLeq (0 ) − iLeq (0 ) · e Hay que recordar que la bobina equivalente está descargada y por tanto: idLeq (0+ ) = 0 A La intensidad en régimen permanente, idp Leq (t), se obtiene resolviendo el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 1.106, donde la bobina se ha sustituido por un cortocircuito.

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

+

Figura 1.106. Circuito en régimen permanente de continua. Según la Figura 1.106: idp Leq (t) =

Ug Ug + − iLeq (0+ ) ; idp − iLeq (0+ ) Leq (0 ) = R R

Al ser un circuito de tipo RL, la constante de tiempo es la siguiente: τ=

Leq R

De esta forma:   i h Ug dp + d + + −t/τ − i (0 ) · (1 − e−t/τ ) idLeq (t) = idp (t) + i (0 ) − i (0 ) · e = Leq Leq Leq Leq R Por último, teniendo en cuenta el circuito de la Figura 1.105, se obtiene la intensidad i(t) para t>0 según:   Ug i(t) = idLeq (t) + iLeq (0+ ) = − iLeq (0+ ) · (1 − e−t/τ ) + iLeq (0+ ) R Por otro lado, una vez obtenida la intensidad de la bobina equivalente descargada, se calcula la intensidad por la bobina 1 aplicando el concepto de divisor de intensidad inductivo: 1 1   U L L g 1 1 idL1 (t) = idLeq (t) · = − iLeq (0+ ) · (1 − e−t/τ ) · R 1 1 1 1 1 1 + + + + L1 L2 L3 L1 L2 L3 Por último, según la relación (1.53) se obtiene la intensidad por la bobina 1: 1  U L g 1 − iLeq (0+ ) ·(1−e−t/τ )· iL1 (t) = iL1 (0+ )+idL1 (t) = iL1 (0+ )+ R 1 1 1 + + L1 L2 L3 

71

72

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

P. 1.16. RC. Condensadores en serie y en paralelo sin fuentes de excitación El circuito de la Figura 1.107 está en régimen permanente cuando en t=0 el interruptor k1 cambia de posición y el interruptor k2 se abre. Sabiendo que C1 =1 F, C2 =6 F y C3 =10 F, calcular la tensión u(t) para t>0.

+ +

_

Figura 1.107. Solución. En primer lugar se obtendrá la tensión de cada uno de los condensadores antes de que los interruptores cambien de posición, es decir, para el instante t=0− . Para ello se tendrá en cuenta que el circuito se encuentra en régimen permanente antes de que los interruptores cambien de posición. Como, en esta situación, la única fuente es de corriente continua, habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 1.108, donde cada condensador se han sustituido por un circuito abierto.

+ +

+

_

_

+ _

Figura 1.108. Circuito en t=0− . Según la Figura 1.108: uC1 (0− ) = 2 V ; uC2 (0− ) = 2 V ; uC3 (0− ) = 0 V

Capítulo 1. Transitorios de primer orden Cuando el interruptor k1 cambia de posición y el interruptor k2 se abre, el circuito resultante se muestra en la Figura 1.109.

+ +

_

+

_

+ _

_

Figura 1.109. Circuito para t>0. Las tensiones de los condensadores 1 y 2 en t=0+ son las mismas que en t=0− : uC1 (0+ ) = uC1 (0− ) = 2 V uC2 (0+ ) = uC2 (0− ) = 2 V Debido a como están conectados los condensadores, se puede observar que la tensión del condensador 3 no sufre un cambio brusco de tensión con el cambio de posición de los interruptores, manteniéndose la tensión de 0 V que tenía en t=0− : uC3 (0+ ) = uC3 (0− ) = 0 V La tensión de cada condensador se puede expresar de la siguiente forma: 1 C1

Z

1 uC2 (t) = uC2 (0 ) + C2

Z

uC1 (t) = uC1 (0+ ) + +

uC3 (t) = uC3 (0+ ) +

1 C3

t

0+

iC1 (λ)dλ = 2 + udC1 (t)

t

0+ Z t 0+

iC2 (λ)dλ = 2 + udC2 (t) iC3 (λ)dλ = 0 + udC3 (t)

donde udC1 (t), udC2 (t) y udC3 (t) son las tensiones de tres condensadores descargados 6 . De esta forma se obtiene el circuito de la Figura 1.110. Según la Figura 1.110, es fácil comprobar que se pueden asociar en serie los condensadores descargados 2 y 3, dando lugar al circuito de la Figura 1.111, donde udCeq23 (t) = udC2 (t) + udC3 (t)

6

Se ha usado la variable λ para evitar que coincidan la variable de integración con el límite superior de integración.

73

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

74

y Ceq23 =

C2 · C3 6 · 10 15 = = F C2 + C3 6 + 10 4

+

+

_ +

_ +

+ _

+ _

Figura 1.110. Circuito para t>0.

+ _ +

+

+

_ +

_

Figura 1.111. Circuito para t>0. Según la Figura 1.111, la conexión paralelo del condensador 1 en serie con la fuente de tensión de 2 V y el condensador equivalente Ceq23 en serie con la fuente de tensión de 2 V, es equivalente a un único condensador cuya capacidad es Ceq = C1 + Ceq23 = 1 +

60 19 = F 16 4

cargado a la siguiente tensión inicial, tal y como se muestra en la Figura 1.112: uCeq (0+ ) = 2 V Se puede observar que el circuito resultante es un circuito RC sin fuentes de excitación. La condición inicial de u(t) es la siguiente: u(0+ ) = uCeq (0+ ) = 2 V

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

75

+

+ _

_

Figura 1.112. Circuito equivalente para t>0. En este caso, al no haber fuentes de excitación en el circuito resultante, no hay régimen permanente. De esta forma: up (t) = 0 V ; up (0+ ) = 0 V Al ser un circuito RC, la constante de tiempo (para t>0) es la siguiente: τ = RCeq = 8 ·

19 = 38 s 4

En consecuencia, u(t) para t>0 es la siguiente:   u(t) = up (t) + u(0+ ) − up (0+ ) · e−t/τ = 0 + [2 − 0] · e−t/38 = 2 · e−t/38 V En la Figura 1.113 se ha representado gráficamente la evolución temporal de u(t). 2.0

u(t) [V]

1.5 1.0 0.5 0.0 0

25

50

75

100

125

t [s]

Figura 1.113. Evolución temporal de u(t).

150

175

76

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

P. 1.17. RL. Bobinas en paralelo sin fuentes de excitación El circuito de la Figura 1.114 está en régimen permanente cuando en t=0 se abre el interruptor k1 y se cierra el interruptor k2. Calcular la tensión uL2 (t) para t>0.

+ _ Figura 1.114. Solución. Antes de cerrar el interruptor k2, es fácil comprobar que la intensidad por la bobina 2 es 0 A, es decir: iL2 (0− ) = 0 A Por otro lado, la intensidad por la bobina 1 antes de abrir el interruptor k1, es decir, para el instante t=0− , se obtiene teniendo en cuenta que el circuito se encuentra en régimen permanente antes de que dicho interruptor se abra. Como en esta situación, la única fuente de excitación es de corriente continua, habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 1.115, donde la bobina 1 se ha sustituido por un cortocircuito.

Figura 1.115. Circuito en t=0− . A partir de la Figura 1.115 se obtiene la intensidad por la bobina 1 en t=0− : iL1 (0− ) = 3 A Salvo respuesta de tipo impulsional, que no es el caso, las intensidades por las bobinas no varían al cambiar de posición los interruptores, por tanto: iL1 (0+ ) = iL1 (0− ) = 3 A iL2 (0+ ) = iL2 (0− ) = 0 A

Capítulo 1. Transitorios de primer orden Para t>0, el circuito resultante se muestra en la Figura 1.116.

+ _ Figura 1.116. Circuito para t>0. Por otro lado, se sabe que la intensidad de cada bobina se puede expresar de la siguiente forma Z t 1 + iL1 (t) = iL1 (0 ) + u(λ)dλ = 3 + idL1 (t) L1 0+ (1.54) Z t 1 d + u(λ)dλ = 0 + iL2 (t) iL2 (t) = iL2 (0 ) + L2 0+ donde idL1 (t) y idL2 (t) son las intensidades de sendas bobinas descargadas 7 . Esto da lugar al circuito de la Figura 1.117.

+ _ Figura 1.117. Circuito para t>0. A partir del circuito de la Figura 1.117, es fácil comprobar que se pueden asociar en paralelo las dos bobinas descargadas. Esto da lugar al circuito de la Figura 1.118, donde idLeq (t) = idL1 (t) + idL1 (t) y Leq =

L1 · L2 2·2 = = 1H L1 + L2 2+2

Según el circuito resultante de la Figura 1.118, se puede observar que se trata de un circuito RL con excitación de continua, donde la tensión de la bobina equivalente se puede calcular según: h i uLeq (t) = upLeq (t) + uLeq (0+ ) − upLeq (0+ ) · e−t/τ 7

Se ha usado la variable λ para evitar que coincidan la variable de integración con el límite superior de integración.

77

78

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

+ _ Figura 1.118. Circuito simplificado para t>0. A continuación se calcula uLeq (0+ ), para lo cual hay que resolver el circuito de la Figura 1.119 para t=0+ donde se ha tenido en cuenta que la bobina equivalente está descargada (idLeq (0+ ) = 0 A).

+ _ Figura 1.119. Circuito para t=0+ . Según la Figura 1.119: uLeq (0+ ) = −3 · 2 = −6 V La tensión en régimen permanente, upLeq (t), se obtiene resolviendo el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 1.120, donde la bobina se ha sustituido por un cortocircuito.

+ _ Figura 1.120. Circuito en régimen permanente de continua. Según la Figura 1.120: Asimismo:

upLeq (t) = 0 V upLeq (0+ ) = 0 V

Al ser un circuito de tipo RL, la constante de tiempo es la siguiente: τ=

Leq 1 = s R 2

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

79

De esta forma: h i uLeq (t) = upLeq (t)+ uLeq (0+ ) − upLeq (0+ ) ·e−t/τ = 0+[−6 − 0]·e−2t = −6·e−2t V Es fácil comprobar que, para t>0, uL2 =uLeq (t). En la Figura 1.121 se ha representado gráficamente la evolución temporal de uL2 (t).

uL2 (t) [V]

5.0 2.5 0.0 −2.5 −5.0 −0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

t [s]

Figura 1.121. Evolución temporal de uL2 (t).

3.0

3.5

4.0

80

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

P. 1.18. RL. Transitorios concatenados con excitación de continua En el circuito de la Figura 1.122, en el instante t=0 s se cierra el interruptor k1 y en t=0,1 s se cierra el interruptor k2. Calcular las intensidades iL (t) e i(t) para t>0.

+

Figura 1.122. Solución. Según la Figura 1.122, el interruptor k1 se cierra en t=0 y el interruptor k2 en t=0,1 s. Por tanto, se analizará un primer circuito en el intervalo de tiempo 00, en el dominio Laplace.

Capítulo 3. Transformada de Laplace

315

+

+

+

Figura 3.37. Circuito en el dominio de Laplace. Según la Figura 3.37, aplicando el método de análisis por nudos, se obtiene la tensión entre el nudo A y el nudo B:   1 1 12/s 12 + + 2s · UAB (s) = ⇒ UAB (s) = 2 4s 2 4s s(8s + 2s + 1) Por otro lado: UAB (s) = 2 · I(s)

Despejando y sustituyendo valores resulta: I(s) =

12 6/8 UAB (s)
= = 2 2 2 2s(8s + 2s + 1) s s + 14 s + 81

Atendiendo al denominador de I(s), se puede observar que el circuito es de segundo orden. Además, el coeficiente de amortiguamiento y la pulsación de resonancia son los siguientes: 1 1 ⇒ α = s−1 4 8 1 1 2 ω0 = ⇒ ω0 = √ rad s−1 8 8

2α =

Como α0, se muestra en la Figura 3.39.

+

Figura 3.39. Circuito en el dominio de Laplace. Según la Figura 3.39, aplicando el concepto de divisor de intensidad, se obtiene la intensidad I(s): 1 12 6 · (1 + 2s) 2
I(s) = 2 · = s 1 1 1 s s2 + 27 s + 1 + + 2 1 + 2s s Atendiendo al denominador de I(s), se puede observar que el circuito es de segundo orden. Además, el coeficiente de amortiguamiento y la pulsación de resonancia son los

Capítulo 3. Transformada de Laplace siguientes: 7 7 ⇒ α = s−1 2 4 ω02 = 1 ⇒ ω0 = 1 rad s−1

2α =

Como α>ω0 entonces la respuesta natural es sobreamortiguada.

P. 3.7. Primer orden con excitación de continua y con excitación tipo lineal El circuito de la Figura 3.40 está en régimen permanente cuando en t=0 se cierra el interruptor. Calcular I(s), transformada de i(t). A partir de I(s), obtener i(t) para t>0.

+

+

_

Figura 3.40. Solución. Según el enunciado, el circuito estaba en régimen permanente antes de cerrar el interruptor. En esta situación, es fácil comprobar que no circula intensidad por la bobina. Por tanto, el circuito en el dominio de Laplace, para t>0, se muestra en la Figura 3.41.

+

+

_

Figura 3.41. Circuito en el dominio de Laplace. Para calcular I(s) se aplicará superposición, dando lugar a los circuitos mostrados en la Figura 3.42, según la cual:

Ia (s) =

2 s2 3 s+ 2

=

2 s2 (s + 1,5)

317

318

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

+

+

_

Figura 3.42. Superposición en el dominio de Laplace. Por otro lado:

−6 Ib (s) = s · 3 1 + 3

1 −3 s = 1 1 s (s + 1,5) + 3 s

Aplicando superposición: I(s) = Ia (s) + Ib (s) =

s2

2 3 2 − 3s − = 2 (s + 1,5) s (s + 1,5) s (s + 1,5)

Descomponiendo en fracciones simples resulta: I(s) =

2 − 3s A B C = + 2+ s2 (s + 1,5) s s s + 1,5

Los coeficientes A, B y C se calculan como sigue:   1 d 2 − 3s 2 A= · s · 2 1! ds s (s + 1,5) s=0 −3 · (s + 1,5) − (2 − 3s) −3 · 1,5 − 2 = = ≈ −2,89 2 (s + 1,5) 1,52 s=0 2 − 3s 2 − 3s = ≈ 1,33 B=s · 2 s (s + 1,5) s=0 s + 1,5 s=0 2

2 − 3s 2 − 3s 2 − 3 · (−1,5) C = (s + 1,5) · 2 = = ≈ 2,89 2 s (s + 1,5) s=−1,5 s (−1,5)2 s=−1,5 Por tanto: I(s) =

2,89 −2,89 1,33 + 2 + s s s + 1,5

Efectuando la antitransformada de Laplace resulta: i(t) = L −1 [I(s)] = −2,89 + 1,33 · t + 2,89 · e−1,5t A

Capítulo 3. Transformada de Laplace

319

En la Figura 3.43 se ha representado gráficamente la evolución temporal de i(t).

i(t) [A]

2

1

0

−1

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

t [s]

Figura 3.43. Evolución temporal de i(t).

3.5

4.0

320

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

P. 3.8. Primer orden con excitación de alterna y respuesta impulsional El circuito de la Figura 3.44 está en régimen permanente cuando en t=0 se cierra el interruptor. Sabiendo que e(t)=100 cos(t) V, calcular I(s), transformada de i(t). A partir de I(s), obtener i(t) para t>0.

+

Figura 3.44. Solución. Como el circuito está en régimen permanente antes de cerrar el interruptor, se puede observar que la intensidad por la bobina y la tensión en el condensador son nulas. En la Figura 3.45 se muestra el circuito, para t>0, en el dominio Laplace, donde: E(s) = L [e(t)] = L [100 cos(t)] =

100s s2 + 12

+

Figura 3.45. Circuito en el dominio de Laplace. Según la Figura 3.45, la intensidad I(s) se puede obtener aplicando la Ley de Kirchhoff de intensidades: I(s) = I1 (s) + I2 (s) A continuación se calcula I1 (s) e I2 (s). Según la Figura 3.45: 100s 2 E(s) 200s 200s I1 (s) = = s +1 = 2 = 1 + 0,5s 0,5(s + 2) (s + 1)(s + 2) (s − j)(s + j)(s + 2)

Capítulo 3. Transformada de Laplace Descomponiendo en fracciones simples resulta: ∗

I1 (s) =

200s A A B = + + (s − j)(s + j)(s + 2) s−j s+j s+2

Los coeficientes A y B se calculan como sigue: 200s 200 · j 200∠90◦ ≈ A= = ≈ 44,72∠ − 26,57◦ (s + j)(s + 2) s=j (j + j)(j + 2) 4,47∠116,57◦ 200s 200 · (−2) = −80 B= = (s − j)(s + j) s=−2 (−2 − j)(−2 + j) Por tanto: I1 (s) =

44,72∠ − 26,57◦ 44,72∠26,57◦ −80 + + A s−j s+j s+2

Por otro lado, según la Figura 3.45: 100s 2 2 10s2 E(s) = s +1 = 2 I2 (s) = 10/s 10/s s +1 Se puede observar que el numerador y el denominador de I2 (s) tienen el mismo orden, por lo que es preciso efectuar el cociente de polinomios mostrado en la Figura 3.46.

Figura 3.46. Cociente de polinomios. Atendiendo a la Figura 3.46, I2 (s) se puede expresar de la siguiente forma: I2 (s) =

D(s) r(s) 10 = c(s) + = 10 − 2 A d(s) d(s) s +1

Una vez obtenidas I1 (s) e I2 (s) entonces: I(s) =

44,72∠ − 26,57◦ 44,72∠26,57◦ −80 10 + + + 10 − 2 s−j s+j s+2 s +1

321

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos Efectuando la antitransformada de Laplace resulta: i(t) = L −1 [I(s)] = 2 · 44,72 · cos(t − 26,57◦ ) − 80 · e−2t + 10δ(t) − 10 sen(t) A Se puede observar que la respuesta natural está asociada a la conexión serie de la bobina y la resistencia. En el condensador aparece un impulso de intensidad motivado por la conexión paralelo de la fuente de tensión de corriente alterna, cuyo valor en t=0 es distinto a la tensión del mismo en t=0− . De esta forma, aunque la presencia de una bobina y un condensador podría indicar un circuito de segundo orden, debido a la topología, el circuito es de primer orden. Además, cabe destacar que los polos asociados con la respuesta natural solo están en I1 (s), y no en I2 (s). En la Figura 3.47 se ha representado gráficamente la evolución temporal de i(t). 100 50

i(t) [A]

322

0 −50 −100 0.0

2.5

5.0

7.5

10.0

12.5

t [s]

Figura 3.47. Evolución temporal de i(t).

15.0

17.5

20.0

Capítulo 3. Transformada de Laplace

P. 3.9. Primer orden con excitación de alterna El circuito de la Figura 3.48 está en régimen permanente cuando en t=0 se cierra el interruptor. Sabiendo que e(t)=100 cos(2t) V, calcular I(s), transformada de i(t). A partir de I(s), obtener i(t) para t>0.

+

Figura 3.48. Solución. Como el circuito está en régimen permanente antes de cerrar el interruptor, se puede observar que la intensidad por la bobina y la tensión en el condensador son nulas. En la Figura 3.49 se muestra el circuito, para t>0, en el dominio Laplace, donde: E(s) = L [e(t)] = L [100 cos(2t)] =

100s s2 + 22

+

Figura 3.49. Circuito en el dominio de Laplace. Según la Figura 3.49, la intensidad I(s) se puede obtener aplicando la Ley de Kirchhoff de intensidades: I(s) = I1 (s) + I2 (s)

323

324

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos A continuación se calcula I1 (s) e I2 (s). Según la Figura 3.49: 100s 2 2 E(s) 100s2 100s2 I1 (s) = = s +2 = 2 = (s + 22 )(s + 10) (s − 2j)(s + 2j)(s + 10) 10 10 1+ 1+ s s Descomponiendo en fracciones simples resulta: ∗

I1 (s) =

100s2 A A B = + + (s − 2j)(s + 2j)(s + 10) s − 2j s + 2j s + 10

Los coeficientes A y B se calculan como sigue: 100 · (2j)2 100s2 ≈ 9,81∠78,69◦ = A= (s + 2j)(s + 10) s=2j (2j + 2j)(2j + 10) 100s2 100 · (−10)2 B= = ≈ 96,15 (s − 2j)(s + 2j) s=−10 (−10 − 2j)(−10 + 2j) Por tanto: I1 (s) =

9,81∠78,69◦ 9,81∠ − 78,69◦ 96,15 + + A s − 2j s + 2j s + 10

Por otro lado, según la Figura 3.49: 100s 2 2 E(s) 200 I2 (s) = = s +2 = 2 A 0,5s 0,5s s + 22 Una vez obtenidas I1 (s) e I2 (s) entonces: I(s) =

9,81∠ − 78,69◦ 96,15 200 9,81∠78,69◦ + + + 2 s − 2j s + 2j s + 10 s + 22

Efectuando la antitransformada de Laplace resulta: i(t) = L −1 [I(s)] = 2 · 9,81 · cos(2t + 78,69◦ ) + 96,15 · e−10t +

200 sen(2t) A 2

Se puede observar que la respuesta natural está asociada a la conexión serie del condensador y la resistencia. De esta forma, aunque la presencia de una bobina y un condensador podría indicar un circuito de segundo orden, debido a la topología, el circuito es de primer orden. En la Figura 3.50 se ha representado gráficamente la evolución temporal de i(t).

Capítulo 3. Transformada de Laplace

325

100

i(t) [A]

50 0 −50 0

2

4

6

8

10

t [s]

Figura 3.50. Evolución temporal de i(t).

P. 3.10. Primer orden con excitación de alterna En el circuito de la Figura 3.51 los interruptores cambian de posición en t=0. Sabiendo que iL (0− )=0 A, uC (0− )=0 V y que ig (t)=100 cos(3t) A, calcular U (s), transformada de u(t). A partir de U (s), obtener u(t) para t>0.

+

+ _

_

Figura 3.51. Solución. En la Figura 3.52 se muestra el circuito, para t>0, en el dominio Laplace, a partir de la cual:    2  10 1 · 0,5s s + 10s + 20 U (s) = Ig (s) · + = Ig (s) · s 1 + 0,5s s(s + 2) donde

  100s Ig (s) = L ig (t) = L [100 cos(3t)] = 2 s + 32

Por tanto:  2  100s s + 10s + 20 100(s2 + 10s + 20) U (s) = 2 · = s + 32 s(s + 2) (s − 3j)(s + 3j)(s + 2)

326

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

+

_ Figura 3.52. Circuito en el dominio de Laplace. Descomponiendo en fracciones simples resulta: ∗

100(s2 + 10s + 20) A A B U (s) = = + + (s − 3j)(s + 3j)(s + 2) s − 3j s + 3j s+2 Los coeficientes A y B se calculan como sigue:   100 · (3j)2 + 10 · (3j) + 20 100(s2 + 10s + 20) A= = ≈ 147,7∠ − 76,44◦ (s + 3j)(s + 2) s=3j (3j + 3j)(3j + 2)   100 · (−2)2 + 10 · (−2) + 20 100(s2 + 10s + 20) ≈ 30,77 B= = (s − 3j)(s + 3j) s=−2 (−2 − 3j)(−2 + 3j) En consecuencia: U (s) =

147,7∠ − 76,44◦ 147,7∠76,44◦ 30,77 + + V s − 3j s + 3j s+2

Efectuando la antitransformada de Laplace resulta: u(t) = L −1 [U (s)] = 2 · 147,7 · cos(3t − 76,44◦ ) + 30,77 · e−2t V

Capítulo 3. Transformada de Laplace

327

P. 3.11. Condensadores en paralelo. Respuesta impulsional El circuito de la Figura 3.53 está en régimen permanente cuando en t=0 los interruptores cambian de posición. Calcular I(s), transformada de i(t). A partir de I(s), obtener i(t) para t>0.

+

+

Figura 3.53. Solución. En primer lugar se obtendrá la tensión en cada uno de los condensadores antes de que los interruptores cambien de posición, es decir, para el instante t=0− . Para ello se tendrá en cuenta que el circuito se encuentra en régimen permanente antes de que los interruptores cambien de posición. Como, en esta situación, las fuentes de excitación son de corriente continua, habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 3.54, donde cada condensador se ha sustituido por un circuito abierto.

+

+ _

+ _

+

Figura 3.54. Circuito en t=0− . Según la Figura 3.54: uC1 (0− ) = 10 V ; uC2 (0− ) = 60 V En la Figura 3.55 se muestra el circuito, para t>0, en el dominio Laplace. Dicho circuito se puede simplificar mediante conversión de fuentes, dando lugar al circuito de la Figura 3.56. Según la Figura 3.56, aplicando el método de análisis por nudos resulta: 

 1 1 + s + 4s · UAB (s) = + 10 + 240 ⇒ UAB (s) = 50 · 10 s

1 250 ! 1 s s+ 50 s+

328

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

+

_+

_+

Figura 3.55. Circuito en el dominio de Laplace.

Figura 3.56. Circuito simplificado en el dominio de Laplace. Por otro lado: I(s) + 240 =

UAB (s) 1 4s

⇒ I(s) = 4s · UAB (s) − 240

En consecuencia: 1 1 s+ 250 ! − 240 = 200 · 250 − 240 I(s) = 4s · 50 · 1 1 s+ s s+ 50 50 s+

Se puede observar que el primer término de I(s) es un cociente de polinomios del mismo orden, por lo que, para descomponer en fracciones simples, previamente hay que efectuar la división de los mismos tal como se muestra en la Figura 3.46.

Figura 3.57. Cociente de polinomios.

Capítulo 3. Transformada de Laplace

329

Atendiendo a la Figura 3.57: 1 4 D(s) r(s) 250 = = c(s) + = 1 − 250 d(s) d(s) 1 1 s+ s+ 50 50

s+

De esta forma: 

 4  250   − 240 = 200 − 16 · 1 − 240 A I(s) = 200 ·  1 − 5 1 1 s+ s+ 50 50 Efectuando la antitransformada de Laplace resulta: i(t) = L −1 [I(s)] = −40 · δ(t) −

16 −t/50 ·e A 5

En la Figura 3.58 se ha representado gráficamente la evolución temporal de i(t).

i(t) [A]

0

−1 −2 −3 0

50

100

150

t [s]

Figura 3.58. Evolución temporal de i(t).

200

250

330

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

P. 3.12. Segundo orden sobreamortiguado con excitación de continua El circuito de la Figura 3.59 está en régimen permanente cuando en t=0 se abre el interruptor. Calcular U (s), transformada de u(t). A partir de U (s), determinar el coeficiente de amortiguamiento y la pulsación de resonancia, y, en función de estos deducir el tipo de amortiguamiento del circuito.

+ +

_ Figura 3.59. Solución. En primer lugar se ha de calcular la intensidad por las bobinas antes de abrir el interruptor, es decir iL1 (0− ) y iL2 (0− ), para lo cual se analiza el circuito en régimen permanente que se muestra en la Figura 3.60, donde cada una de las bobinas se ha sustituido por un cortocircuito.

+

Figura 3.60. Circuito en régimen permanente de continua para t=0− . Según la Figura 3.60: iL1 (0− ) =

60 60 = 3 A ; iL2 (0− ) = = 2A 20 30

En la Figura 3.61 se muestra el circuito, para t>0, en el dominio de Laplace. Mediante la conversión de las fuentes reales de tensión por sus equivalentes, se obtiene el circuito de la Figura 3.62. Según la Figura 3.62, aplicando el método de análisis por nudos, se obtiene lo siguiente:   1 1 1 6 3 4 + + · U (s) = − − 10 20 + s 30 + 2s s 20 + s 30 + 2s

Capítulo 3. Transformada de Laplace

+

+

_+

_+

_

Figura 3.61. Circuito en el dominio de Laplace.

+

_ Figura 3.62. Circuito en el dominio de Laplace. Despejando resulta: 6 3 4 − − 5 · (2s2 + 250s + 3600) U (s) = s 20 + s 30 + 2s = s(s2 + 50s + 550) 1 1 1 + + 10 20 + s 30 + 2s Atendiendo al denominador de U (s), se puede observar que el circuito es de segundo orden. Además, el coeficiente de amortiguamiento y la pulsación de resonancia son los siguientes: 50 = 25 s−1 2 ω02 = 550 ⇒ ω0 ≈ 23,45 rad s−1

2α = 50 ⇒ α =

Como α>ω0 entonces la respuesta natural es sobreamortiguada.

331

332

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

P. 3.13. Segundo orden subamortiguado con excitación de continua El circuito de la Figura 3.63 está en régimen permanente cuando en t=0 se cierran los interruptores k1 y k2 y se abre el interruptor k3. Calcular U (s), transformada de u(t). A partir de U (s), determinar el coeficiente de amortiguamiento y la pulsación de resonancia, y, en función de estos, deducir el tipo de amortiguamiento.

+

+ _ Figura 3.63.

Solución. Según el enunciado, antes de que los interruptores cambien de posición (t=0− ), el circuito está en régimen permanente. En esa situación se puede observar que la intensidad por la bobina es nula. Asimismo, la tensión en el condensador también es nula. En la Figura 3.64 se muestra el circuito, para t>0, en el dominio Laplace.

+

+ _

Figura 3.64. Circuito en el dominio de Laplace. Según la Figura 3.64, sustituyendo la fuente real de tensión por su equivalente en fuente real de intensidad y aplicando el método de análisis por nudos, se obtiene lo siguiente:   1 1 12/s + + 2s · U (s) = 2 + 4s 2 2 + 4s Despejando resulta: 12 s 1,5 2 + 4s
U (s) = = 1 1 s s2 + 43 s + 14 + + 2s 2 + 4s 2

Capítulo 3. Transformada de Laplace

333

Atendiendo al denominador de U (s), se puede observar que el circuito es de segundo orden. Además, el coeficiente de amortiguamiento y la pulsación de resonancia son los siguientes: 3 3 ⇒ α = = 0,375 s−1 4 8 1 1 ⇒ ω0 = = 0,5 rad s−1 ω02 = 4 2

2α =

Como α0, en el dominio de Laplace, donde E(s) = L [e(t)] = 2 ·

s2

10 20 = 2 2 + 10 s + 102

+

Figura 3.67. Circuito en el dominio de Laplace. A partir del circuito de la Figura 3.67, tras sustituir la fuente real de tensión por su fuente de intensidad equivalente, aplicando el método de análisis por nudos, se obtiene lo siguiente:   1 1 1 1 E(s) 4 + + + · UAB (s) = − 200 200 50 + 2s 4s 200 s Despejando resulta: E(s) 4 − [sE(s) − 800] (50 + 2s) 200 s = UAB (s) = 4s2 + 400s + 2 500 2 · (50 + 2s) · 4s + 200 · 4s + 200 · (50 + 2s) 200 · (50 + 2s) · 4s Por otro lado, según la la Figura 3.67:

20 s· 2 − 800 sE(s) − 800 UAB (s) s + 102 = 2 = 2 IL1 (s) = 50 + 2s 4s + 400s + 2 500 4s + 400s + 2 500 2 −200s − 5s − 20 000 = 2 (s + 102 )(s2 + 100s + 625) Atendiendo al denominador de IL1 (s), se puede observar que el circuito es de segundo orden. Además, el coeficiente de amortiguamiento y la pulsación de resonancia son los

Capítulo 3. Transformada de Laplace

335

siguientes: 100 = 50 s−1 2 √ ω02 = 625 ⇒ ω0 = 625 = 25 rad s−1

2α = 100 ⇒ α =

Como α>ω0 entonces la respuesta natural es sobreamortiguada.

P. 3.15. Bobinas acopladas El circuito de la Figura 3.68 está en régimen permanente cuando en t=0 los interruptores cambian de posición. Calcular I(s), transformada de i(t). A partir de I(s), deducir el orden del circuito y, en función de éste, obtener la constante de tiempo o el coeficiente de amortiguamiento y la pulsación de resonancia.

Figura 3.68. Solución. Según el enunciado, antes de que los interruptores cambien de posición, el circuito está en régimen permanente. En esta situación se puede observar que tanto la tensión en el condensador como la intensidad por las bobinas son nulas. Así, el circuito, para t>0, en el dominio de Laplace se muestra en la Figura 3.69.

+

_

+ _ Figura 3.69. Circuito en el dominio de Laplace. El circuito de la Figura 3.69 se puede simplificar sustituyendo la fuente real de intensidad por su fuente real de tensión equivalente, asociando las fuentes de tensión dependientes y las dos bobinas, resultando el circuito de la Figura 3.70.

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

+

_

336

_+ Figura 3.70. Circuito simplificado en el dominio de Laplace. Según la Figura 3.70: 

 5 1 + 1 + 15s · I(s) = 2 + 4sI(s) 2s 2s

Resolviendo se obtiene la intensidad I(s):

I(s) =

5 2s2 1 + 1 + 11s 2s

=

5/22 1 s s2 + 11 s+

1 22




Atendiendo al denominador de I(s), se puede observar que el circuito es de segundo orden. Además, el coeficiente de amortiguamiento y la pulsación de resonancia son los siguientes: 1 1 −1 ⇒ α= s 11 22 1 1 ω02 = ⇒ ω0 = √ rad s−1 22 22

2α =

Como α0.

+ +

_

_

Figura 3.71. Solución. En la Figura 3.72 se muestra el circuito, para t>0, en el dominio de Laplace.

_+ _+ Figura 3.72. Circuito en el dominio de Laplace. Según la Figura 3.72: 1+ I(s) =

10 s

10 + 2s +

2 s

=

2s2

s + 10 0,5 · (s + 10) 0,5 · (s + 10) = 2 ≈ + 10s + 2 s + 5s + 1 (s + 4,79)(s + 0,21)

Descomponiendo en fracciones simples resulta: I(s) =

0,5 · (s + 10) A B = + (s + 4,79)(s + 0,21) s + 4,79 s + 0,21

337

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos Los coeficientes A y B se calculan como sigue: 0,5 · (s + 10) 0,5 · (−4,79 + 10) A= = ≈ −0,57 (s + 0,21) s=−4,79 −4,79 + 0,21 0,5 · (−0,21 + 10) 0,5 · (s + 10) = B= ≈ 1,07 (s + 4,79) s=−0,21 −0,21 + 4,79 Por tanto: I(s) =

1,07 −0,57 + A s + 4,79 s + 0,21

Efectuando la antitransformada de Laplace resulta: i(t) = L −1 [I(s)] = −0,57 · e−4,79t + 1,07 · e−0,21t A En la Figura 3.73 se ha representado gráficamente la evolución temporal de i(t).

0.8

i(t) [A]

338

0.6 0.4 0.2 0.0 0

5

10

15

20

t [s]

Figura 3.73. Evolución temporal de i(t).

25

30

Capítulo 3. Transformada de Laplace

P. 3.17. Segundo orden sobreamortiguado con excitación de continua El circuito de la Figura 3.74 está en régimen permanente. En t=0 se cierra el interruptor. Calcular U (s), transformada de u(t). A partir de U (s), obtener u(t) para t>0.

+

+ _

Figura 3.74. Solución. Antes de cerrar el interruptor, el circuito está en régimen permanente sin energía almacenada, es decir, iL (0− )=0 A y uC (0− )=0 V. En la Figura 3.75 se muestra el circuito, para t>0, en el dominio de Laplace.

+

+ _

Figura 3.75. Circuito en el dominio de Laplace. Según la Figura 3.75, tras sustituir la fuente real de tensión por su fuente de intensidad equivalente, aplicando el método de análisis por nudos, se obtiene lo siguiente:    1 + 1 +  4+s

1

  · U (s) = 10/s = 10 1 s 1  AB 2+ 2s

Despejando y simplificando resulta: UAB (s) =

10 · (s + 4)(4s + 1) s(6s2 + 29s + 5)

339

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos Por otro lado, aplicando el concepto de divisor de tensión se obtiene la tensión U (s): 4s = UAB (s) · 4s + 1 1 2+ 2s 40 · (s + 4) 10 · (s + 4)(4s + 1) 4s 40 · (s + 4)
= · = 5 ≈ 6 · (s + 4,65)(s + 0,18) s(6s2 + 29s + 5) 4s + 1 s + 6 · s2 + 29 6 6

U (s) = UAB (s) ·

2

Descomponiendo en fracciones simples resulta: U (s) =

A B 40 · (s + 4) = + 6 · (s + 4,65)(s + 0,18) s + 4,65 s + 0,18

Los coeficientes A y B se calculan como sigue: 40 · (−4,65 + 4) 40 · (s + 4) A= = ≈ 0,97 6 · (s + 0,18) s=−4,65 6 · (−4,65 + 0,18) B=

40 · (s + 4) 40 · (−0,18 + 4) = ≈ 5,70 6 · (s + 4,65) s=−0,18 6 · (−0,18 + 4,65)

Por tanto: U (s) =

0,97 5,70 + V s + 4,65 s + 0,18

Efectuando la antitransformada de Laplace resulta: u(t) = L −1 [U (s)] = 0,97 · e−4,65t + 5,70 · e−0,18t V En la Figura 3.76 se ha representado gráficamente la evolución temporal de u(t).

6

u(t) [V]

340

4

2

0 0.0

2.5

5.0

7.5

10.0

12.5

15.0

t [s]

Figura 3.76. Evolución temporal de u(t).

17.5

20.0

Capítulo 3. Transformada de Laplace

P. 3.18. Segundo orden con excitación impulsional El circuito de la Figura 3.77 está en régimen permanente cuando en t=0 se cierra el interruptor. Calcular U (s) y U1 (s), transformadas de u1 (t) y u(t) respectivamente. A partir de U1 (s) y U (s), obtener u1 (t) y u(t) para t>0.

+

+ _

_ Figura 3.77. Solución. Según el enunciado, antes de cerrar el interruptor, el circuito está en régimen permanente y, se puede observar, que en ese caso tanto la intensidad por la bobina como la tensión en el condensador son nulas. Así, en la Figura 3.78 se muestra el circuito, para t>0, en el dominio de Laplace.

+

+ _

_ Figura 3.78. Circuito en el dominio de Laplace. Según la Figura 3.78, aplicando el concepto de divisor de intensidad:

I1 (s) = 1 ·

1 1 1 + 1

=

1 s+1+

1 s

s2 + s + 1 s2 + 2s + 1

341

342

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos Por otro lado: I(s) = 1 − I1 (s) = 1 −

s2 + 2 + 1 s = 2 s2 + 2s + 1 s + 2s + 1

Obtenida la intensidad I1 (s), entonces la tensión U1 (s) es la siguiente: U1 (s) = 1 · I1 (s) =

s2 + s + 1 s2 + 2s + 1

Se puede observar que el numerador y el denominador de U1 (s) tienen el mismo orden, por lo que, para descomponer en fracciones simples, previamente hay que efectuar la división de polinomios mostrada en la Figura 3.79.

Figura 3.79. Cociente de polinomios. Atendiendo a la Figura 3.79, entonces U1 (s) se puede expresar de la siguiente forma: U1 (s) =

r(s) s s D(s) = c(s) + =1− 2 =1− d(s) d(s) s + 2s + 1 (s + 1)2

Según el denominador del segundo término de U1 (s) se puede observar que el tipo de respuesta natural que tendrá u1 (t) corresponderá a un circuito de segundo orden con amortiguamiento crítico, ya que tiene un polo doble. Descomponiendo en fracciones simples resulta: U1 (s) = 1 −

A B s =1+ + 2 (s + 1) s + 1 (s + 1)2

Los coeficientes A y B se calculan como sigue:   1 d −s 2 A= · (s + 1) · 2 1! ds (s + 1) s=−1 = −1|s=−1 = −1 B = (s + 1)2 ·

−s = −s|s=−1 = 1 (s + 1)2 s=−1

Capítulo 3. Transformada de Laplace Por tanto: U1 (s) = 1 −

343

1 1 + s + 1 (s + 1)2

Efectuando la antitransformada de Laplace resulta: u1 (t) = L −1 [U1 (s)] = δ(t) − e−t + t · e−t V En la Figura 3.80 se ha representado gráficamente la evolución temporal de u1 (t).

u1 (t) [V]

0.5

0.0

−0.5 −1.0

0

2

4

6

8

10

t [s]

Figura 3.80. Evolución temporal de u1 (t). Por otro lado, obtenida la intensidad I(s), entonces la tensión U (s) es la siguiente: U (s) = (s + 1) · I(s) =

s(s + 1) s s(s + 1) = = s2 + 2s + 1 (s + 1)2 s+1

Atendiendo al denominador de U (s) se puede comprobar que el tipo de respuesta natural que tendrá u(t) corresponderá a un circuito de primer orden. En este circuito en concreto, a pesar de ser de segundo orden a nivel topológico, en la tensión u(t) no se observa una respuesta de segundo orden. Esto ocurre cuando se producen cancelaciones matemáticas como consecuencia de simplificaciones que se realizan en los circuitos. Se puede observar que el numerador y el denominador de U (s) tienen el mismo orden, por lo que, para descomponer en fracciones simples, previamente hay que efectuar la división de polinomios mostrada en la Figura 3.81.

Figura 3.81. Cociente de polinomios.

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos Atendiendo a la Figura 3.81, entonces U (s) se puede expresar de la siguiente forma: U (s) =

D(s) r(s) 1 = c(s) + =1− d(s) d(s) s+1

Efectuando la antitransformada de Laplace resulta: u(t) = L −1 [U (s)] = δ(t) − e−t V En la Figura 3.82 se ha representado gráficamente la evolución temporal de u(t). 0.5

u(t) [V]

344

0.0

−0.5 −1.0

−1

0

1

2

3

4

t [s]

Figura 3.82. Evolución temporal de u(t).

5

6

Capítulo 3. Transformada de Laplace

P. 3.19. Segundo orden subamortiguado con excitación de continua El circuito de la Figura 3.83 está en régimen permanente cuando en t=0 se abre el interruptor. Calcular UC (s), transformada de uC (t). A partir de UC (s), obtener uC (t) para t>0.

_

+

+

Figura 3.83. Solución. En primer lugar se obtendrá la intensidad por la bobina y la tensión en el condensador antes de abrir el interruptor, es decir, para el instante t=0− . Para ello se tendrá en cuenta que el circuito se encuentra en régimen permanente antes de que el interruptor sea abierto. Como la fuente de excitación es de corriente continua, habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 3.84, donde la bobina se ha sustituido por un cortocircuito y el condensador por un circuito abierto.

+

+

_

Figura 3.84. Circuito en t=0− . Según la Figura 3.84: uC (0− ) = 0 V ; iL (0− ) =

10 = 10 A 1

En la Figura 3.85 se muestra el circuito, para t>0, en el dominio de Laplace.

345

346

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

+ +

_

_

+

+

_+ Figura 3.85. Circuito en el dominio de Laplace. A partir de la Figura 3.85, aplicando el concepto de divisor de tensión se obtiene la tensión UC (s): 1  10 10s + 10 s UC (s) = + 10 · = s s(s2 + s + 1) 1 +1+s s 10s + 10   = h √ i h √ i 3 −1 s − −1 − s s − 2 + 23 j 2 2 j 

Descomponiendo en fracciones simples resulta: UC (s) =

h  s s − −1 2 + A

= s−



−1 2

+

√

10s + 10 i h  3 −1 j s − 2 2 −

√

3 2 j

+

A s−



−1 2

Los coeficientes A y B se calculan como sigue: 10s + 10  A= h √ i 3 −1 √ s s − −1 2 − 2 j s= 2 + 23 j  √  3 10 · −1 + 2 2 j + 10   h  = √ √  3 3 −1 −1 −1 + j · + j − 2 2 2 2 2 −

√

√

3 2 j

i

∗

√

−

3 2 j

3 2 j

+

B s

i ≈ 5,77∠ − 150◦

Capítulo 3. Transformada de Laplace

B= h

s−



−1 2

 =h 0 − −1 2

√

+

10s + 10 i h  s − −1 2

3 2 j

i √ − 23 j

10  √ i h + 23 j 0 − −1 2 −

√

3 2 j

347

s=0

i = 10

Por tanto: UC (s) =

5,77∠150◦ 10 5,77∠ − 150◦   V √  + √  + 3 3 s s − −1 s − −1 2 + 2 j 2 − 2 j

Efectuando la antitransformada de Laplace resulta: uC (t) = L

−1

[UC (s)] = 2 · 5,77 · e

−t/2

cos

√

3 t − 150◦ 2

! + 10 V

En la Figura 3.86 se ha representado gráficamente la evolución temporal de uC (t). 12.5

uC (t) [V]

10.0 7.5 5.0 2.5 0.0 0.0

2.5

5.0

7.5

10.0

12.5

15.0

t [s]

Figura 3.86. Evolución temporal de uC (t).

17.5

20.0

348

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

P. 3.20. Primer orden con fuente dependiente y excitación de continua El circuito de la Figura 3.87 está en régimen permanente cuando en t=0 se cierra el interruptor. Calcular IL (s), transformada de iL (t). A partir de IL (s), obtener iL (t) para t>0.

_

+

+

+ _

Figura 3.87. Solución. En primer lugar se obtendrá la intensidad por la bobina antes de que el interruptor se cierre, es decir, para el instante t=0− . Para ello se tendrá en cuenta que el circuito se encuentra en régimen permanente antes de que el interruptor se cierre. Como, en esta situación, la fuente de excitación es de corriente continua, habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 3.88, donde la bobina se ha sustituido por un cortocircuito.

+

Figura 3.88. Circuito en t=0− . Según Figura 3.88: iL (0− ) =

12 = 4A 3

En la Figura 3.89 se muestra el circuito, para t>0, en el dominio de Laplace. Según la Figura 3.89: U (s) = Por otro lado: IL (s) =

12 4 − 2 · U (s) ⇒ U (s) = s s

U (s) 4 4/s 4 2 4 + = + = 2+ A 2s s 2s s s s

Capítulo 3. Transformada de Laplace

+

+

349

_ + _

Figura 3.89. Circuito en el dominio de Laplace. Efectuando la antitransformada de Laplace resulta: iL (t) = L −1 [IL (s)] = 2 · t + 4 A En la Figura 3.90 se ha representado gráficamente la evolución temporal de iL (t). 25

iL (t) [A]

20 15 10 5 0

2

4

6

t [s]

Figura 3.90. Evolución temporal de iL (t).

8

10

350

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

P. 3.21. Segundo orden sin fuentes de excitación El circuito de la Figura 3.91 está en régimen permanente cuando en t=0 se abre el interruptor. Calcular UC (s), transformada de uC (t). A partir de UC (s), obtener uC (t) para t>0.

+

+

+ _

_ Figura 3.91.

Solución. En primer lugar se obtendrá la intensidad por la bobina y la tensión en el condensador antes de que el interruptor se abra, es decir, para el instante t=0− . Para ello se tendrá en cuenta que el circuito se encuentra en régimen permanente antes de que el interruptor se abra. Como, en esta situación, la fuente de excitación es de corriente continua, habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 3.92, donde la bobina se ha sustituido por un cortocircuito y el condensador por un circuito abierto.

+

+

+ _

_

Figura 3.92. Circuito en t=0− . Según Figura 3.92, se obtiene la tensión u(0− ) aplicando el concepto divisor de tensión: u(0− ) = 10 ·

4 = 5V 4+4

Por otro lado: iL (0− ) = −2 · u(0− ) = −2 · 5 = −10 A

uC (0− ) = 0 V

En la Figura 3.93 se muestra el circuito, para t>0, en el dominio de Laplace.

Capítulo 3. Transformada de Laplace

+

+

+ _

_

Figura 3.93. Circuito en el dominio de Laplace. Según Figura 3.93, aplicando el método de análisis por nudos, se obtiene lo siguiente:   1 10 1 + + s · UC (s) = −2U (s) + 30 8s s Por otro lado: U (s) = 0 En consecuencia: 10/s 10 = 2 1 1 1 s + 30 · s + 18 + +s 30 8s 10 = (s + 0,0165 − 0,353j)(s + 0,0165 + 0,353j)

UC (s) =

Descomponiendo en fracciones simples resulta: UC (s) =

10 (s + 0,0165 − 0,353j)(s + 0,0165 + 0,353j) ∗

A A = + s + 0,0165 − 0,353j s + 0,0165 + 0,353j

El coeficiente A se calcula como sigue: 10 A= s + 0,0165 + 0,353j s=−0,0165+0,353j 10 10 = ≈ 14,16∠ − 90◦ = −0,0165 + 0,353j + 0,0165 + 0,353j 0,353j + 0,353j Por tanto: UC (s) =

351

14,16∠90◦ 14,16∠ − 90◦ + V s + 0,0165 − 0,353j s + 0,0165 + 0,353j

Efectuando la antitransformada de Laplace resulta: uC (t) = L −1 [UC (s)] = 2 · 14,16 · e−0,0165t · cos(0,353t − 90◦ ) V

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos En la Figura 3.94 se ha representado gráficamente la evolución temporal de uC (t).

20

u(t) [V]

352

10 0 −10 −20 0

20

40

60

80

100

120

140

t [s]

Figura 3.94. Evolución temporal de uC (t).

P. 3.22. Primer orden con excitación exponencial El circuito de la Figura 3.95 está en régimen permanente cuando en t=0 se cierra el interruptor. Calcular UL (s), transformada de uL (t). A partir de UL (s), obtener uL (t) para t>0.

+

_

+ _ Figura 3.95.

Solución. En primer lugar se obtendrá la intensidad por la bobina antes de que se cierre el interruptor, es decir, para el instante t=0− . Para ello, se tendrá en cuenta que el circuito se encuentra en régimen permanente en ese instante. Además, en esa situación la fuente de excitación es de corriente continua, por lo que habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 3.96. Según la Figura 3.96:

iL (0− ) = 4 A

En la Figura 3.97 se muestra el circuito, para t>0, en el dominio de Laplace.

Capítulo 3. Transformada de Laplace

Figura 3.96. Circuito en t=0− .

+

_

+ _

Figura 3.97. Circuito en el dominio de Laplace. Según la Figura 3.97, convirtiendo la fuente real de tensión en su fuente real de intensidad equivalente y aplicando el método de análisis por nudos resulta:   1 1 1 4 4 1 + + − + · UL (s) = 3 2s 2 3(s + 3) s s Resolviendo se obtiene UL (s): 6s 15
UL (s) = (s + 3) s + 35 Descomponiendo en fracciones simples UL (s) resulta: 6s A B 15
= UL (s) = + s + 3 s + 53 (s + 3) s + 35 Los coeficientes A y B se calculan como sigue: 6s 6 · (−3) 15 A = 15 3 = = 0,5 s+ 5 −3 + 35 s=−3

6s 15 B= (s + 3)

s=− 35


6 · − 35 = 15 3 = −0,1 −5 + 3

353

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos Por tanto: UL (s) =

0,5 0,1 V − s + 3 s + 53

Efectuando la antitransformada de Laplace resulta: uL (t) = L −1 [UL (s)] = 0,5 · e−3t − 0,1 · e−3t/5 V En la Figura 3.98 se ha representado gráficamente la evolución temporal de uL (t). 0.4 0.3

uL (t) [V]

354

0.2 0.1 0.0 0

2

4

6

t [s]

Figura 3.98. Evolución temporal de uL (t).

8

10

Capítulo 3. Transformada de Laplace

P. 3.23. Primer orden con excitación impulsional Del circuito de la Figura 3.99 se sabe que iL (0− )=10 A. Calcular IL (s), transformada de iL (t). A partir de IL (s), obtener iL (t) para t>0.

Figura 3.99. Solución. En la Figura 3.100 se muestra el circuito, para t>0, en el dominio de Laplace.

Figura 3.100. Circuito en el dominio de Laplace. Según la Figura 3.100, aplicando el método de análisis por nudos resulta:   1 10 1+ · UAB (s) = 1 − 2s s Despejando se obtiene UAB (s): UAB (s) =

2(s − 10) V 2s + 1

Por otro lado: IL (s) =

UAB (s) 10 2(s − 10) 10 10,5 + = + = A 2s s 2s(2s + 1) s s + 21

Efectuando la antitransformada de Laplace resulta: iL (t) = L −1 [IL (s)] = 10,5 · e−t/2 A

355

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

P. 3.24. Bobinas acopladas El circuito de la Figura 3.101 está en régimen permanente. En t=0 se cierran los interruptores. Calcular U (s), transformada de u(t). A partir de U (s), deducir el orden del circuito y en función de éste, obtener la constante de tiempo o el coeficiente de amortiguamiento y la pulsación de resonancia. Asimismo, calcular u(t) para t>0.

+ + _ Figura 3.101.

+

_

+

+

Solución. Antes de cerrar de que los interruptores se cierren, se puede comprobar que la intensidad que circula por las bobinas es nula. En la Figura 3.102 se muestra el circuito, para t>0, en el dominio de Laplace.

_

356

+ _ Figura 3.102. Circuito en el dominio de Laplace.

Mediante asociación de impedancias serie y de fuentes dependientes, el circuito de la Figura 3.102 se puede simplificar, obteniendo el circuito de la Figura 3.103. Según la Figura 3.103, realizando previamente conversión de fuentes y aplicando el método de análisis por nudos resulta:   1 1 10/s −4sI1 (s) 1+ + · U (s) = + s 10s 1 10s Por otro lado: U (s) = −4sI1 (s) + 10s · I1 (s) = 6s · I1 (s) ⇒ I1 (s) =

U (s) 6s

+

Capítulo 3. Transformada de Laplace

+

_

+ _

Figura 3.103. Circuito simplificado en el dominio de Laplace. En consecuencia: U (s)   1 10/s −4sI1 (s) 10/s −4s · 6s 1 · U (s) = + = + 1+ + s 10s 1 10s 1 10s Despejando y sustituyendo se obtiene la tensión U (s): U (s) =

10 V s + 67

Atendiendo al denominador de U (s), se puede observar que el circuito es de primer orden. Además, la constante de tiempo es la siguiente: τ=

6 s 7

Efectuando la antitransformada de Laplace se obtiene u(t): u(t) = L −1 [U (s)] = 10 · e−7t/6 V

357