Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio: Teoría y problemas resueltos [1, 2 ed.] 9788490524992, 9788490524916

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Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio

Teoría y problemas resueltos Volumen I

2ª Edición

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio

Teoría y problemas resueltos Volumen I

2ª Edición

Alfonso Bachiller Soler, Ramón Cano González Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Sevilla

© Alfonso Bachiller Soler, Ramón Cano González, 2023 (Versión papel) © Alfonso Bachiller Soler, Ramón Cano González, 2023 (Versión electrónica)

Reservados todos los derechos. Queda prohibida, salvo excepción prevista en la ley ,cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública y transformación de esta obra sin contar con la autorización de los titulares de propiedad intelectual. La infracción de los derechos mencionados puede ser constitutiva de delito contra la propiedad intelectual (art.270 y siguientes del Código Penal). El Centro Español de Derechos Reprográficos (CEDRO) vela por el respeto de los citados derechos. Ediciones Díaz de Santos Email:[email protected] www.editdiazdesantos.com

ISBN: 978-84-9052-499-2 (Libro electrónico) ISBN: 978-84-9052-491-6 (Libro en papel)

A nuestros padres

Índice

Índice Prólogo

III VII

1. Transitorios de primer orden 1.1. 1.2.

1.3.

1.4. 1.5. 1.6.

1.7.

1

Introducción Circuitos de primer orden 1.2.1. Circuito RC 1.2.2. Circuito RL 1.2.3. Ecuación diferencial genérica de un circuito de primer orden Respuesta transitoria de los circuitos de primer orden 1.3.1. Respuesta natural 1.3.2. Respuesta forzada o de régimen permanente 1.3.3. Respuesta completa 1.3.4. Condiciones iniciales Generalización de la respuesta transitoria Procedimiento para la obtención de la respuesta de un circuito de primer orden Casos que provocan impulsos 1.6.1. Condensadores en paralelo 1.6.2. Bobinas en serie Modelo de condensador y bobina con condiciones iniciales

Problemas resueltos P. 1.1. P. 1.2. P. 1.3. P. 1.4. P. 1.5. P. 1.6.

1 2 3 4 6 7 7 9 9 10 11 12 17 17 18 20

23

RC con excitación de continua RL con excitación de continua RC sin fuentes de excitación RL sin fuentes de excitación RL con excitación de continua RC con excitación de continua

23 25 27 29 31 33 III

Índice

IV

P. 1.7. P. 1.8. P. 1.9. P. 1.10. P. 1.11. P. 1.12. P. 1.13. P. 1.14. P. 1.15. P. 1.16. P. 1.17. P. 1.18. P. 1.19. P. 1.20. P. 1.21. P. 1.22. P. 1.23. P. 1.24. P. 1.25. P. 1.26. P. 1.27. P. 1.28. P. 1.29. P. 1.30. P. 1.31.

RL con excitación de alterna RL con excitación de alterna RC con excitación de alterna RC con excitación de continua RL con excitación de continua RC con excitación de continua y de alterna RC. Condensadores en paralelo con excitación de continua RC. Condensadores en serie con excitación de continua RL. Bobinas en serie con excitación de continua RL. Bobinas en paralelo con excitación de continua RL. Transitorios concatenados con excitación de continua RC. Transitorios concatenados sin fuentes de excitación Condensadores en paralelo. Respuesta impulsional Condensadores en paralelo. Respuesta impulsional RC. Respuesta impulsional con excitación de continua Bobinas en serie. Respuesta impulsional RL. Respuesta impulsional con excitación de alterna RC. Equivalente Thévenin con excitación de continua RC. Equivalente Thévenin con excitación de continua RC. Constante de tiempo infinita con excitación de alterna RC. Respuesta impulsional, transitorios concatenados, constante de tiempo infinita, excitación de continua RL. Constante de tiempo infinita con excitación de alterna RL. Constante de tiempo infinita con excitación de continua Obtención de la ecuación diferencial Obtención de la ecuación diferencial

2. Transitorios de segundo orden 2.1.

2.2.

2.3. 2.4.

Circuitos de segundo orden 2.1.1. Circuito RLC serie 2.1.2. Circuito RLC paralelo 2.1.3. Ecuación diferencial genérica de un circuito de segundo orden Respuesta transitoria de los circuitos de segundo orden 2.2.1. Respuesta natural 2.2.2. Respuesta forzada o de régimen permanente 2.2.3. Respuesta completa 2.2.4. Condiciones iniciales Procedimiento para la obtención de la respuesta de un circuito de segundo orden Generalización de la respuesta transitoria de los circuitos de segundo orden

Problemas resueltos

36 38 40 43 45 47 51 53 56 58 62 65 69 71 73 76 78 82 86 89 92 95 98 99 101

103 103 104 107 110 111 111 113 113 114 116 118

121

Índice P. 2.1. P. 2.2. P. 2.3. P. 2.4. P. 2.5. P. 2.6. P. 2.7. P. 2.8. P. 2.9. P. 2.10. P. 2.11. P. 2.12. P. 2.13. P. 2.14. P. 2.15. P. 2.16. P. 2.17. P. 2.18. P. 2.19.

RLC serie. Cálculo de condiciones iniciales 121 RLC serie sin fuentes de excitación 123 RLC paralelo sin fuentes de excitación 129 RLC serie sobreamortiguado con excitación de continua 135 RLC serie subamortiguado con excitación de continua 138 RLC serie sobreamortiguado con excitación de alterna 142 RLC serie críticamente amortiguado con excitación de continua 145 RLC paralelo sobreamortiguado sin fuentes de excitación 148 RLC paralelo críticamente amortiguado con excitación de alterna 152 Obtención de la ecuación diferencial 157 Obtención de la ecuación diferencial 159 RLC serie sobreamortiguado con equivalente Thévenin de continua 162 RLC sin amortiguamiento y sin fuentes excitación 166 RLC serie sobreamortiguado con excitación de alterna 170 RLC paralelo subamortiguado con excitación de continua 174 RLC paralelo subamortiguado con excitación de continua y respuesta impulsional 178 RLC paralelo subamortiguado con excitación de continua 182 RLC paralelo subamortiguado con excitación de alterna 185 RC, RL y RLC serie subamortiguado con excitación de continua. Transitorios concatenados 188

3. Transformada de Laplace 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5.

3.6.

V

Introducción Definición Principales propiedades y teoremas Transformada de Laplace de las funciones más usuales Aplicación al análisis de circuitos eléctricos 3.5.1. Introducción 3.5.2. Relación tensión-intensidad en el dominio s Resistencia Bobina Condensador Fuentes independientes Fuentes dependientes Bobinas acopladas 3.5.3. Impedancia y admitancia 3.5.4. Leyes de Kirchhoff 3.5.5. Metodología de resolución Transformada inversa de Laplace 3.6.1. Metodología de cálculo de la transformada inversa de Laplace 3.6.2. Polos reales simples, p1 ̸=p2 ̸=· · · = ̸ pm 3.6.3. Polo real múltiple

195 195 195 196 197 197 197 198 198 199 200 202 202 203 204 204 205 207 208 208 209

Índice

VI

3.6.4. Polo complejo conjugado

Problemas resueltos P. 3.1. P. 3.2. P. 3.3. P. 3.4. P. 3.5. P. 3.6. P. 3.7. P. 3.8. P. 3.9. P. 3.10. P. 3.11. P. 3.12. P. 3.13. P. 3.14. P. 3.15. P. 3.16. P. 3.17. P. 3.18. P. 3.19. P. 3.20. P. 3.21. P. 3.22. P. 3.23. P. 3.24.

Primer orden con excitación de continua Primer orden con excitación de continua Primer orden con excitación de continua Primer orden con excitación de continua Primer orden con excitación de alterna Primer orden con excitación de continua y alterna Segundo orden sobreamortiguado sin fuentes de excitación Segundo orden subamortiguado con excitación del alterna Segundo orden sobreamortiguado con excitación del alterna Segundo orden sobreamortiguado sin fuentes de excitación Condensadores en paralelo. Respuesta impulsional Primer orden con excitación de alterna Primer orden con excitación de alterna Primer orden con fuente dependiente y excitación de continua Bobinas acopladas Bobinas acopladas Segundo orden con excitación impulsional Segundo orden con excitación exponencial Primer orden con excitación de continua y respuesta impulsional Primer orden sin fuentes de excitación Primer orden sin fuentes de excitación y respuesta impulsional Primer orden con excitación lineal con el tiempo Primer orden con excitación de continua Segundo orden sobreamortiguado con excitación de continua y respuesta impulsional

210

213 213 215 217 219 221 223 226 228 230 233 235 237 239 242 244 247 249 251 254 256 258 260 262 265

Prólogo

E

l título de este libro, Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos, indica claramente que su contenido trata uno de los temas fundamentales de la teoría de circuitos eléctricos, como también lo son el de Circuitos Trifásicos o el de Fuentes Dependientes, en el contexto de la Ingeniería Eléctrica; pero en mi opinión, la importancia del comportamiento transitorio de los circuitos rebasa los límites de la ingeniería eléctrica, siendo también un puntal básico de la ingeniería electrónica, principalmente para sus ramas digital, de potencia y de telecomunicaciones. El estudio del régimen dinámico de los circuitos permite interpretar correctamente cierto tipo de comportamientos eléctricos que se escapan, incluso a ingenieros, de un primer razonamiento. Ejemplos de ello son la aparición de tensiones muy superiores a las de los propios generadores en circuitos y en redes eléctrica con efectos destructivos, los disparos intempestivos de interruptores diferenciales en viviendas o la actuación esporádica de las protecciones durante la puesta en servicio de transformadores. Los transitorios están también presentes en los circuitos electrónicos digitales, debido a que su naturaleza binaria obliga a los transistores a trabajar como interruptores ideales a elevadas velocidades, generándose en cada conmutación un periodo transitorio. Igual ocurre en la electrónica de potencia, donde, por motivos de rendimiento, los semiconductores también trabajan como interruptores, conmutando miles de amperios en fracciones de microsegundos. En estos casos, el régimen permanente de los circuitos se convierte en una secuencia continua de regímenes transitorios. El funcionamiento transitorio en los dispositivos electrónicos supone rápidas variaciones de la tensión y de la intensidad que pueden provocar perturbaciones electromagnéticas en los propios circuitos y en los que se encuentran en sus proximidades. Los requisitos normativos de Compatibilidad Electromagnética son uno de los puntos clave del diseño electrónico y constituyen hoy una disciplina en los estudios de ingeniería de telecomunicaciones e industrial. Sirva este preámbulo para destacar la importancia que tiene el estudio del régimen dinámico de los circuitos, tanto eléctricos como electrónicos, para los futuros profesionales de estas especialidades. VII

VIII

Prólogo El estudio de los transitorios se aborda en este libro enunciando en primer lugar los conceptos teóricos fundamentales, que son posteriormente consolidados con la ayuda de problemas resueltos y comentados de creciente dificultad. Si bien en la práctica profesional los circuitos complejos suelen resolverse mediante simulación y no con herramientas matemáticas como las ecuaciones diferenciales o la transformada de Laplace, resulta fundamental la interpretación y valoración de los resultados numéricos y ello solo es posible si se cuenta con los necesarios conocimientos teóricos. Este libro está elaborado por dos profesores del Departamento de Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Sevilla, con experiencia en transitorios eléctricos avalada por sus investigaciones en este campo en sus respectivas tesis doctorales. Ramón Cano y Alfonso Bachiller, además aportan cada uno más de 20 años de experiencia docente en Teoría de Circuitos y asignaturas afines. En el ámbito industrial, Alfonso y Ramón han desarrollado proyectos en colaboración con las principales empresas suministradoras de energía y algunos de sus trabajos han tenido repercusión internacional. El texto está organizado en tres capítulos: Transitorios de primer orden, Transitorios de segundo orden y Transformada de Laplace. Cada capítulo comienza con la teoría correspondiente, apoyada en ejemplos de aplicación, seguida de una colección de problemas resueltos y comentados. En las tres partes se consigue el justo equilibrio entre la teoría necesaria para comprender los conceptos y su aplicación mediante problemas. Equilibrio que es, sin duda, el resultado de muchas horas de pizarra. Los autores, como en todas sus publicaciones, han conseguido con su obra que el lector tenga esa buena impresión que da un libro nada más abrirlo cuando las figuras y la tipografía son de calidad y guardan armonía. Por último, deseo al lector que este libro le ayude a superar con éxito las asignaturas relacionadas con los circuitos eléctricos en su etapa de estudiante y que sepa extraer lo fundamental de su contenido y conservarlo a lo largo de su futura profesión. Vicente Simón Sempere Profesor Titular de Universidad Dpto. Ingeniería Eléctrica Universidad de Sevilla

1 Transitorios de primer orden

1.1. Introducción En los circuitos cuyos elementos pasivos son únicamente resistencias, las tensiones e intensidades responden de forma inmediata a la evolución de las fuentes de excitación. En este tipo de circuitos, conocidos como circuitos estáticos, las tensiones e intensidades de los elementos vienen dadas por ecuaciones algebraicas y cada instante puede ser analizado sin tener en cuenta los instantes anteriores. Esto no es así en los circuitos que contienen elementos almacenadores de energía, bobinas o condensadores, en los que la relación entre tensión e intensidad viene definida por una ecuación diferencial que hace que la respuesta del circuito sea dinámica. En este tipo de circuitos, denominados circuitos dinámicos, para determinar la respuesta en un instante cualquiera es necesario conocer la evolución anterior de la misma. En los circuitos dinámicos excitados con fuentes de continua o de alterna, una vez que ha trascurrido un cierto tiempo (régimen transitorio) se alcanza el denominado régimen permanente, donde la respuesta se estabiliza en un valor constante o bien se repite periódicamente, según la excitación sea de continua o alterna, respectivamente. A modo de ejemplo, en la Figura 1.1 y Figura 1.2 se ha representado la respuesta de un circuito RC cuando se excita con una fuente de tensión continua y fuente de tensión alterna respectivamente. En ellas puede observarse cómo, tras el régimen transitorio, se alcanza el régimen permanente.

+

+ _

Figura 1.1. Conexión de un circuito RC a una fuente de corriente continua. 1

2

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

+

+ _

Figura 1.2. Conexión de un circuito RC a una fuente de corriente alterna. En general, la transición de un régimen permanente a otro diferente involucra un periodo transitorio. Estos procesos transitorios pueden tener su origen en diversas acciones, entre las que destaca la apertura y cierre de interruptores, cortocircuitos o cualquier otra variación de la topología o de los parámetros del circuito.

1.2. Circuitos de primer orden Los circuitos de primer orden son aquellos en los que cualquier tensión o intensidad se obtiene a partir de una ecuación diferencial de primer orden. En general, son de primer orden: • Los circuitos en los que solamente existe un único elemento almacenador de energía eléctrica: bobina o condensador, Figura 1.3.

Figura 1.3. Circuitos de primer orden con un único elemento almacenador de energía. • Los circuitos en los que existiendo varios elementos almacenadores de energía del mismo tipo se pueden transformar en uno solo equivalente, Figura 1.4 y Figura 1.5.

Figura 1.4. Circuito con dos condensadores conectados en serie y en paralelo.

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

3

Figura 1.5. Circuito con dos bobinas conectadas en serie y en paralelo.

1.2.1.

Circuito RC

En primer lugar se considerarán los circuitos de primer orden en los que solo existe un condensador o varios que pueden sustituirse por un único equivalente. Al existir un único condensador, el resto del circuito estará formado por fuentes y resistencias, pudiendo ser sustituido por su equivalente de Thévenin, como se muestra en la Figura 1.6. De esta forma, el estudio del circuito RC serie, excitado por una fuente de tensión, engloba a todos los circuitos de primer orden cuyo elemento almacenador es un condensador.

+

+

_

+

_

_

+ _

Figura 1.6. Circuito RC y su equivalente Thévenin. A continuación se obtendrá la ecuación diferencial que define el comportamiento de las distintas variables del circuito de la Figura 1.6. Ecuación diferencial de la tensión del condensador Aplicando la ley de Kirchhoff de tensiones: uC (t) + uR (t) = ug (t)

(1.1)

Teniendo en cuenta la ley de Ohm en la resistencia: uC (t) + R · i(t) = ug (t)

(1.2)

Usando la ecuación de definición del condensador i(t) = C

duC (t) dt

(1.3)

4

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos y tras ordenar términos, resulta: ug (t) duC (t) 1 + u (t) = dt RC C RC

(1.4)

Ecuación diferencial de la intensidad Derivando la ecuación (1.2) se obtiene: dug (t) di(t) duC (t) +R = dt dt dt

(1.5)

Usando la ecuación de definición del condensador (1.3) dug (t) i(t) di(t) +R = C dt dt

(1.6)

y reordenando términos, se llega a: di(t) 1 1 dug (t) + i(t) = dt RC R dt

(1.7)

Ecuación diferencial de la tensión en la resistencia Si se deriva la ecuación (1.1): dug (t) duC (t) duR (t) + = dt dt dt

(1.8)

y usando la ecuación de definición del condensador (1.3), se obtiene lo siguiente: dug (t) i(t) duR (t) + = C dt dt

(1.9)

Finalmente, aplicando la ley de Ohm en la resistencia y ordenando términos, se tiene que: dug (t) duR (t) 1 + uR (t) = (1.10) dt RC dt Observando las ecuaciones diferenciales obtenidas para cada una de las variables, (1.4), (1.7) y (1.10), puede comprobarse que todas ellas poseen los mismos coeficientes y solo difieren en el término independiente. 1.2.2.

Circuito RL

Se consideran ahora los circuitos de primer orden que poseen una bobina o varias que pueden ser agrupadas en una sola equivalente. El resto del circuito estará formado exclusivamente por fuentes y resistencias, no existiendo más elementos almacenadores de energía. Este parte del circuito puede ser sustituido por su equivalente de Norton, que estará formado por una fuente de intensidad en paralelo con una resistencia, como se muestra en la Figura 1.7.

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

5

+

+

_

_

Figura 1.7. Circuito RL y su equivalente Norton. A continuación se obtendrá la ecuación diferencial que define el comportamiento de las distintas variables del circuito RL paralelo excitado con fuente de intensidad de la Figura 1.7. Ecuación diferencial de la intensidad por la bobina Aplicando la ley de Kirchhoff de intensidades: iL (t) + iR (t) = ig (t)

(1.11)

Considerando la ley de Ohm en la resistencia iL (t) +

u(t) = ig (t) R

(1.12)

y teniendo en cuenta la ecuación de definición de la bobina u(t) = L

diL (t) dt

(1.13)

finalmente resulta, tras reordenar términos: R diL (t) R + iL (t) = ig (t) dt L L

(1.14)

Ecuación diferencial de la tensión del circuito Derivando la ecuación (1.12) se obtiene lo siguiente: dig (t) 1 du(t) diL (t) + = dt R dt dt

(1.15)

Usando la ecuación de definición de la bobina (1.13) dig (t) u(t) 1 du(t) + = L R dt dt

(1.16)

y reordenando términos, se llega a: dig (t) du(t) R + u(t) = R dt L dt

(1.17)

6

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos Ecuación diferencial de la intensidad por la resistencia Derivando la ecuación (1.11) dig (t) diL (t) diR (t) + = dt dt dt

(1.18)

y usando la ecuación de definición de la bobina (1.13), se obtiene lo siguiente: dig (t) u(t) diR (t) + = L dt dt

(1.19)

Finalmente, aplicando la ley de Ohm en la resistencia y después de ordenar los términos, resulta: dig (t) diR (t) R + iR (t) = (1.20) dt L dt Puede observarse que los coeficientes de las ecuaciones diferenciales obtenidas para cada una de las variables, (1.14), (1.17) y (1.20), son los mismos en todos los casos y solo difieren en el término independiente. Esto permite escribir una ecuación genérica para todas ellas. 1.2.3.

Ecuación diferencial genérica de un circuito de primer orden

En la Figura 1.8 se muestran las ecuaciones diferenciales de todas las variables de los circuitos RC y RL obtenidas en los apartados anteriores.

+ +

_

_

+

+

_

_

Figura 1.8. Según la Figura 1.8, puede observarse que todas las ecuaciones pueden expresarse de la forma genérica df (t) 1 + f (t) = g(t) (1.21) dt τ

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

7

donde f (t) denota la tensión o intensidad considerada, g(t) es una función relacionada con la fuente excitación del circuito y τ es una constante que depende de los parámetros de los elementos pasivos del circuito. La constante τ se denomina constante de tiempo, y su unidad en el SI es el segundo. Esta constante es característica de cada circuito y su valor es: • Circuito RC: τ =R·C • Circuito RL: τ =L/R Debe tenerse en cuenta que, si en el circuito de primer orden existen varios condensadores que pueden agruparse en uno solo, C representa la capacidad equivalente. Análogamente, L representa el coeficiente de autoinducción de la bobina equivalente. Por último, R es la resistencia equivalente del circuito pasivo visto desde los terminales de L o de C. Por tanto, en el caso más general: • Circuito RC: τ =Req ·Ceq

• Circuito RL: τ =Leq /Req

1.3. Respuesta transitoria de los circuitos de primer orden Como se ha expuesto, todas las tensiones e intensidades de los circuitos de primer orden vienen dadas por la ecuación diferencial lineal de primer orden de coeficientes constantes: df (t) 1 + f (t) = g(t) dt τ

(1.22)

La solución de esta ecuación servirá para obtener la respuesta transitoria de las distintas variables del circuito. Matemáticamente, la solución general de la ecuación diferencial puede expresarse como la suma de la solución general de la ecuación homogénea más una solución particular de la ecuación completa. En los circuitos eléctricos, la solución de la homogénea es conocida como respuesta natural del circuito, mientras que a la solución particular se la conoce como respuesta forzada o de régimen permanente. Por tanto, la solución de la ecuación diferencial (1.22) puede expresarse como f (t) = fn (t) + fp (t)

(1.23)

donde fn (t) es la respuesta natural del circuito y fp (t) es la respuesta forzada o de régimen permanente. A continuación se describe cómo determinar cada una de ellas. 1.3.1.

Respuesta natural

La respuesta natural se corresponde matemáticamente con la solución de la ecuación diferencial homogénea, es decir, de la ecuación igualada a cero df (t) 1 + f (t) = 0 dt τ

(1.24)

8

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos cuya solución, para t ≥ 0 es:

fn (t) = K · e−t/τ

(1.25)

Cabe señalar que en la ecuación homogénea (1.24) no aparece el término g(t), que era el término debido a la fuente de excitación. Por tanto, la solución de esta ecuación es la respuesta de circuito si se anulasen las fuentes de excitación, de ahí que reciba el nombre de respuesta natural del circuito. La respuesta natural de un circuito de primer orden es una exponencial cuya tasa de decrecimiento viene marcada por el valor de la constante de tiempo, τ . En la Figura 1.9, puede observarse que cuando ha transcurrido un tiempo igual al valor de la constante de tiempo, la respuesta natural se ha reducido de su valor inicial, K, a 0,368K, es decir, se ha reducido un 63,2 % de su valor inicial. Aunque matemáticamente la respuesta natural no desaparece nunca en el tiempo, en la práctica puede considerarse que cuando el tiempo trascurrido es igual a 5τ , la respuesta natural es despreciable, ya que tiene un valor de solo 0,007K.

Figura 1.9. Constante de tiempo. Decrecimiento de la respuesta natural. En la Figura 1.10 puede observarse cómo un mayor valor de la constante tiempo se corresponde con una mayor duración de la respuesta natural.

Figura 1.10. Influencia de la constante de tiempo sobre la respuesta natural.

Capítulo 1. Transitorios de primer orden 1.3.2.

9

Respuesta forzada o de régimen permanente

La respuesta forzada se corresponde matemáticamente con una solución particular de la ecuación diferencial completa. Esta solución particular es normalmente del mismo tipo que el término independiente g(t), lo que significa que, en este caso, es del mismo tipo que la excitación del circuito. Ya que la respuesta natural tiende a cero, la respuesta forzada es la que permanece en el tiempo, de ahí que en los circuitos eléctricos se le conozca también como respuesta en régimen permanente. Para obtener una solución particular de una ecuación diferencial de coeficientes constantes pueden utilizarse diferentes métodos matemáticos, como variación de los parámetros y coeficientes indeterminados, entre otros. Sin embargo, para los circuitos eléctricos con excitaciones de continua y de alterna se han estudiado técnicas específicas para la obtención del régimen permanente. Por ello, la respuesta forzada se obtendrá utilizando dichas técnicas. 1.3.3.

Respuesta completa

Conocidas la respuesta natural y la respuesta de régimen permanente, la respuesta completa será: f (t) = fn (t) + fp (t) = K · e−t/τ + fp (t) (1.26) Si se ha obtenido la respuesta en régimen permanente, fp (t), y se ha determinado la constante de tiempo del circuito, τ , solo queda calcular el valor de la constante K para tener completamente definida la respuesta completa de la variable considerada. El valor de la constante K se obtiene a partir del valor inicial de la variable, es decir, a partir de f (0+ ). Así, en t=0+ se verifica que

de donde

f (0+ ) = K + fp (0+ )

(1.27)

K = f (0+ ) − fp (0+ )

(1.28)

Con lo que finalmente se obtiene lo siguiente:   f (t) = fp (t) + f (0+ ) − fp (0+ ) · e−t/τ

(1.29)

Esta expresión permite obtener la tensión o intensidad de cualquier elemento de un circuito de primer orden, donde: • f (t) es la variable tensión o intensidad considerada. • fp (t) es la respuesta en régimen permanente de dicha variable. • fp (0+ ) es el valor en t=0+ de la respuesta en régimen permanente. • τ es la constante de tiempo del circuito. • f (0+ ) es el valor inicial de la variable. En el apartado siguiente se mostrará cómo calcular f (0+ ) en los circuitos de primer orden.

10

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos 1.3.4.

Condiciones iniciales

La transición de un régimen permanente a otro diferente involucra, en general, un periodo transitorio. En este periodo transitorio se produce una redistribución de la energía almacenada en bobinas y condensadores, y un cambio en el estado energético de las fuentes. La redistribución de energía no puede tener lugar instantáneamente, lo que implica que, en ausencia de respuestas de tipo impulsional, se cumple que: • La tensión en el condensador no puede sufrir discontinuidades: uC (0+ ) = uC (0− ) • La intensidad en la bobina no puede sufrir discontinuidades: iL (0+ ) = iL (0− ) Teniendo en cuenta estas premisas, puede calcularse el valor inicial de cualquier tensión o intensidad, f (0+ ), resolviendo el circuito en el que: 1. Las fuentes de excitación, eg (t) e ig (t), se sustituyen por sendas fuentes de valor constante: Eg = eg (0+ ) ; Ig = ig (0+ ) 2. En el caso de un circuito RC, el condensador se sustituye por una fuente de tensión de valor: uC (0+ ) = uC (0− ) = U0 3. En el caso de un circuito RL, la bobina se sustituye por una fuente de intensidad de valor: iL (0+ ) = iL (0− ) = I0 En la Figura 1.11 se ha sintetizado el procedimiento a seguir, en el caso de un circuito con condensador, para obtener el circuito en t=0+ que permite calcular los valores iniciales de cualquier variable. Análogamente, en la la Figura 1.12, se muestra el procedimiento para el caso de un circuito con bobina.

+

_

+ _

+

+

_

Figura 1.11. Obtención del circuito en t=0+ . Circuito con condensador.

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

_+

11

_+

Figura 1.12. Obtención del circuito en t=0+ . Circuito con bobina.

1.4. Generalización de la respuesta transitoria Hasta ahora se ha considerado que el periodo transitorio objeto de análisis comienza en el instante t=0. No obstante, el estudio desarrollado en apartados anteriores puede generalizarse a cualquier instante t=t0 . Esto será de gran utilidad cuando se quieran analizar varios transitorios concatenados que comienzan en diferentes instantes. Para ello, teniendo en cuenta que se trata de sistemas invariantes en el tiempo, si el transitorio comenzara en t=t0 , la respuesta completa sería:   −(t−t )/τ + 0 f (t) = fp (t) + f (t+ (1.30) 0 ) − fp (t0 ) e Igualmente, para el cálculo de la condiciones iniciales, debe tenerse en cuenta que, en ausencia de respuestas de tipo impulsional: • La tensión en el condensador no puede sufrir discontinuidades: − uC (t+ 0 ) = uC (t0 )

(1.31)

• La intensidad en la bobina no puede sufrir discontinuidades: − iL (t+ 0 ) = iL (t0 )

(1.32)

Teniendo en cuenta estas premisas, puede calcularse el valor inicial de cualquier tensión o intensidad, f (t+ 0 ), resolviendo el circuito en el que: 1. Las fuentes de excitación, eg (t) e ig (t), se sustituyen por sendas fuentes de valor constante: + Eg = eg (t+ 0 ) ; Ig = ig (t0 ) 2. En el caso de un circuito RC, el condensador se sustituye por una fuente de tensión de valor: − uC (t+ 0 ) = uC (t0 ) = Ut0 3. En el caso de un circuito RL, la bobina se sustituye por una fuente de intensidad de valor: − iL (t+ 0 ) = iL (t0 ) = It0

12

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos La Figura 1.13 y la Figura 1.14 resumen el procedimiento a seguir para obtener el circuito en t=t+ 0 que permite obtener los valores iniciales de cualquier variable en dicho instante.

+

_

+ _

+

+

_

Figura 1.13. Obtención del circuito en t=t+ 0 . Circuito con condensador.

_+

_+

Figura 1.14. Obtención del circuito en t=t+ 0 . Circuito con bobina.

1.5. Procedimiento para la obtención de la respuesta de un circuito de primer orden A modo de resumen, se enumeran los pasos a seguir para obtener la tensión o intensidad de cualquier elemento de un circuito de primer orden durante un transitorio que comience en t+ 0 . Si denotamos por f (t) la variable que se desea calcular, esta vendrá dada por:   −(t−t )/τ + 0 f (t) = fp (t) + f (t+ (1.33) 0 ) − fp (t0 ) · e Cada uno de los términos de la expresión anterior se calculan como sigue: 1. Determinar la respuesta de la variable en régimen permanente, fp (t) para t≥t0 . Para este punto puede utilizarse cualquiera de las técnicas conocidas de análisis de circuitos en régimen permanente en corriente continua o alterna, según sean las fuentes del circuito. Para obtener fp (t+ 0 ) basta con sustituir t=t0 en la expresión de fp (t) obtenida. En el caso de que el circuito para t≥t0 no posea fuentes de excitación independientes, fp (t) será nula.

Capítulo 1. Transitorios de primer orden 2. Determinar la constante de tiempo del circuito, τ , para t≥t0 . El valor de esta constante viene dado por τ =Req Ceq (o τ =Leq /Req ), si el circuito posee condensadores (o bobinas). En primer lugar se obtendrá el circuito pasivo anulando las fuentes independientes y se asociarán todos los condensadores (bobinas) en uno equivalente. Si esto no fuera posible, no se trata de un circuito de primer orden. A continuación se determinará la resistencia equivalente del circuito desde los extremos del condensador equivalente (bobina equivalente). 3. Determinar f (t+ 0 ), valor inicial de la variable considerada. Sea cual sea la variable que se quiere determinar para t≥t0 , es necesario conocer la tensión del condensador − uC (t− 0 ) (intensidad de la bobina iL (t0 )) justo antes de comenzar el transitorio, − instante t0 . Esta variable es, en principio, la única que se mantiene constante desde t− 0 + a t+ 0 . Conocido este valor, se podrá analizar el circuito en t=0 , donde el condensador − (bobina) se sustituye por una fuente de tensión (intensidad) de valor uC (t− 0 ) (iL (t0 )). Además, todas la fuentes independientes se sustituyen por fuentes de valor constante e igual al valor de la fuente en t=t+ 0. Cabe señalar que los tres pasos anteriores son independientes entre sí, por lo que el orden puede alterarse libremente. Con ello, se habrán determinado todos los términos que constituyen la respuesta completa de la variable buscada. Ejemplo 1.5.1. En el circuito de la Figura 1.15, en t=0 se cierra el interruptor. Calcular la tensión uC (t) y la intensidad i(t) para t>0, sabiendo que uC (0− )=4 V.

+

+ _

Figura 1.15. Solución. Al tratarse de un circuito de primer orden, la tensión uC (t) y la intensidad i(t) vendrán expresadas por:   uC (t) = upC (t) + uC (0+ ) − upC (0+ ) · e−t/τ   i(t) = ip (t) + i(0+ ) − ip (0+ ) · e−t/τ A continuación se determinará la respuesta en régimen permanente, la constante de tiempo y la condición inicial de estas variables. Respuesta en régimen permanente. En este caso, una vez cerrado el interruptor, la única fuente de excitación es de corriente continua, por lo que habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 1.16, donde el condensador se ha sustituido por un circuito abierto.

13

14

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

+

+ _

Figura 1.16. Circuito en régimen permanente de corriente continua. Resolviendo el circuito de la Figura 1.16 se obtienen las magnitudes en régimen permanente: ip (t) = 0 A ; upC (t) = 15 V Asimismo:

ip (0+ ) = 0 A ; upC (0+ ) = 15 V

Constante de tiempo. Al ser un circuito de tipo RC, la constante de tiempo es la siguiente: τ = RC = 3 · 6 = 18 s Condiciones iniciales. Según el enunciado, antes de cerrar el interruptor la tensión del condensador es uC (0− )=4 V. Para obtener las condiciones iniciales se empleará el circuito en el instante t=0+ . Dicho circuito se obtiene a partir del circuito original, una vez cerrado el interruptor, sustituyendo en este caso el condensador por una fuente de tensión de valor uC (0+ ). Salvo respuesta de tipo impulsional, la tensión en el condensador no varía al cerrar interruptor, por tanto: uC (0+ ) = uC (0− ) = 4 V El circuito en el instante t=0+ se muestra en la Figura 1.17.

+

+

Figura 1.17. Circuito en t=0+ . A partir del circuito de la Figura 1.17 es fácil obtener i(0+ ): i(0+ ) =

15 − 4 11 = A 3 3

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

15

En consecuencia, i(t) y uC (t) para t>0 son las siguientes:   uC (t) = upC (t) + uC (0+ ) − upC (0+ ) · e−t/τ = 15 + [4 − 15] · e−t/18 = 15 − 11 · e−t/18 V    +  −t/τ 11 11 −t/18 p p + i(t) = i (t) + i(0 ) − i (0 ) · e =0+ − 0 · e−t/18 = ·e A 3 3

Ejemplo 1.5.2.√En el circuito de la Figura 1.18, en t=0 se cierra el interruptor. Sabiendo que ig (t)=20 2 sen(5t + 45◦ ) A, calcular la intensidad iR (t) para t>0.

Figura 1.18.

Solución. Al tratarse de un circuito de primer orden, la intensidad iR (t) vendrá dada por:   iR (t) = ipR (t) + iR (0+ ) − ipR (0+ ) · e−t/τ A continuación se determinará la respuesta en régimen permanente, la constante de tiempo y la condición inicial de esta variable. Respuesta en régimen permanente. En este caso, una vez que el interruptor se cierra, la única fuente de excitación en el circuito resultante es de corriente alterna. Por ello, habrá que resolver el circuito en régimen permanente de alterna, para lo cual se usará el circuito en el dominio fasorial mostrado en la Figura 1.19.

Figura 1.19. Circuito en régimen permanente de alterna. p

Resolviendo el circuito de la Figura 1.19 se obtiene I R : 1 10

p

I R = 20∠45◦

1 10

+

1 25j

= 20∠45◦

25j ≈ 18,57∠66,8◦ A 10 + 25j

16

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos Una vez obtenida la intensidad en régimen permanente en el dominio fasorial, se obtendrá la intensidad en régimen permanente en el dominio temporal: √ ipR (t) = 18,57 2 sen(5t + 66,8◦ ) A cuyo valor para t=0+ es el siguiente: √ ipR (0+ ) = 18,57 2 sen(66,8◦ ) ≈ 24,14 A Constante de tiempo. Al ser un circuito RL, la constante de tiempo (para t>0) es la siguiente: L 5 1 τ= = = s R 10 2 Condiciones iniciales. Antes de cerrar el interruptor no circula intensidad por la bobina, por lo que iL (0− )=0 A. Para obtener la condición inicial se empleará el circuito correspondiente al instante t=0+ . Dicho circuito se obtiene a partir del circuito original, una vez cerrado el interruptor, sustituyendo, en este caso, la bobina por una fuente de intensidad de valor iL (0+ ). Salvo respuesta de tipo impulsional, la intensidad de una bobina no varía al cerrar interruptor, por tanto: iL (0+ ) = iL (0− ) = 0 A Además, la fuente de alterna ig (t) se sustituye por una fuente de valor constante igual a ig (0+ ), que en este caso es: √ ig (0+ ) = 20 2 sen(0 + 45◦ ) = 20 A El circuito en el instante t=0+ se muestra en la Figura 1.20.

Figura 1.20. Circuito en t=0+ . A partir del circuito de la Figura 1.20 es fácil obtener iR (0+ ): iR (0+ ) = 20 A Finalmente, la intensidad iR (t) para t>0 es la siguiente:   iR (t) = ipR (t) + iR (0+ ) − ipR (0+ ) · e−t/τ √ = 18,57 2 sen(5t + 66,8◦ ) + [20 − 24,14] · e−2t A

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

17

1.6. Casos que provocan impulsos Como se ha indicado anteriormente, las tensiones de los condensadores y las intensidades de las bobinas no pueden sufrir discontinuidades en ausencia de respuestas de tipo impulsional. Sin embargo, en determinadas situaciones estas variables pueden sufrir una discontinuidad de tipo salto, apareciendo un escalón en su evolución, llevando asociada una respuesta impulsional. Estas situaciones son dos: • Conexión en paralelo de condensadores con distinta tensión inicial. • Conexión en serie de bobinas con distinta intensidad inicial. 1.6.1.

Condensadores en paralelo

Considérese el circuito de la Figura 1.21 donde los condensadores C1 y C2 se conectarán en paralelo al cerrarse el interruptor en t=t0 . En el instante t− 0 , justo antes de cerrar el − interruptor, los condensadores se encuentran cargados a diferente tensión, u1 (t− 0 )̸=u2 (t0 ). Al cerrar el interruptor, ambos condensadores quedan en paralelo y necesariamente tendrán + + que igualar sus tensiones, es decir, u1 (t+ 0 )=u2 (t0 )=u(t0 ). En este caso no se puede aplicar, como se ha hecho hasta ahora, que la tensión de cada condensador se mantiene + desde el instante t− 0 al instante t0 .

+

+

+

+

+

_

_

_

_

_

Figura 1.21. Conexión de dos condensadores en paralelo. Para obtener el valor de la tensión común de los dos condensadores en t+ 0 se aplica el principio de conservación de carga, el cual establece que la carga total en un sistema aislado es constante. Esto implica que la carga total almacenada no puede cambiar bruscamente. De esta forma: + Σqi (t− 0 ) = Σqi (t0 )

⇒

− + C1 u1 (t− 0 ) + C2 u2 (t0 ) = (C1 + C2 ) u(t0 )

(1.34)

Por tanto, la tensión que tendrán ambos condensadores en t+ 0 será: u(t+ 0)=

− C1 u1 (t− 0 ) + C2 u2 (t0 ) C1 + C2

(1.35)

A partir de ese instante, puede considerarse que el circuito posee un solo condensador de capacidad Ceq =C1 +C2 cargado a la tensión u(t+ 0 ). Aunque la carga total se conserva, existe un transvase de carga desde un condensador a otro en un tiempo infinitesimal. Esto solo puede conseguirse si la intensidad que circula es

18

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos muy elevada, concretamente de tipo impulsional. La intensidad que circula en el instante de cerrar el interruptor se puede calcular teniendo en cuenta la ecuación del condensador C2 : du (t) du (t) i(t) = C2 2 ⇒ i(t)dt = C2 2 dt (1.36) dt dt − Integrando ambos miembros entre t+ 0 y t0 resulta:

Z

t+ 0

t− 0

Z i(t)dt = C2

t+ 0

t− 0

du2 (t) − dt = C2 u(t+ 0 ) − C2 u2 (t0 ) ̸= 0 dt

(1.37)

Teniendo en cuenta que la función delta de Dirac o impulso unitario satisface las siguientes propiedades ( Z t+ 0 ∞ si t = t0 δ(t − t0 ) = δ(t − t0 )dt = 1 (1.38) 0 si t ̸= t0 t− 0 se deduce que el valor de la intensidad será:
− i(t) = C2 u(t+ 0 ) − u2 (t0 ) · δ(t − t0 )

(1.39)

Si en lugar de dos condensadores, se tienen n condensadores con diferentes tensiones iniciales que se conectan en paralelo en un instante t0 , la tensión de todos ellos en t+ 0 viene dada por: Pn C u (t− ) + Pn i i 0 u(t0 ) = i=1 (1.40) i=1 Ci A partir del incremento de tensión que sufre cada condensador, puede determinarse la intensidad que circula por él en t0 según:
− ii (t) = Ci u(t+ (1.41) 0 ) − ui (t0 ) · δ(t − t0 ) En esta última ecuación se han supuesto referencias pasivas, es decir, que la intensidad calculada es la que circula del terminal positivo al negativo de la tensión. 1.6.2.

Bobinas en serie

En el circuito de la Figura 1.22 se tienen dos bobinas por las que circulan sendas intensidades i1 (t) e i2 (t). Al abrirse el interruptor, las bobinas quedarán conectadas en serie siendo, por tanto, la misma intensidad para ambas. Si en el instante t− 0 las intensidades tienen − valores diferentes, i1 (t− )̸ = i (t ), cuando se abra el interruptor las bobinas no podrán 2 0 0 + + mantener estos valores ya que debe cumplirse que i1 (t+ )=i (t )=i(t 2 0 0 0 ). En esta caso no se puede considerar, como se ha hecho hasta ahora, que la intensidad de las bobinas se + mantienen desde el instante t− 0 al instante t0 . Para obtener el valor de la intensidad inmediatamente después de abrir el interruptor, se tendrá en cuenta el principio de conservación de flujo, el cual establece que el flujo total

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

_

_

+

19

+

Figura 1.22. Conexión de dos bobinas en serie. no puede cambiar bruscamente: + − − + Σϕi (t− 0 ) = Σϕi (t0 ) ⇒ L1 i1 (t0 ) + L2 i2 (t0 ) = (L1 + L2 ) i(t0 )

(1.42)

Por tanto, la intensidad que circula por ambas bobinas en t+ 0 será: i(t+ 0)=

− L1 i1 (t− 0 ) + L2 i2 (t0 ) L1 + L2

(1.43)

A partir de ese instante, puede considerarse que el circuito posee una sola bobina de coeficiente de autoinducción Leq =L1 +L2 con intensidad inicial i(t+ 0 ). La discontinuidad que aparece en la intensidad de cada bobina lleva asociada una respuesta de tipo impulsional en su respectiva tensión. La tensión a la que se ve sometida la bobina L1 se puede calcular teniendo en cuenta su ecuación: u(t) = L1

di1 (t) dt

⇒

u(t)dt = L1

di1 (t) dt dt

(1.44)

− Integrando ambos miembros entre t+ 0 y t0 resulta:

Z

t+ 0

t− 0

Z u(t)dt = L1

t+ 0

t− 0

di1 (t) − dt = L1 i(t+ 0 ) − L1 i1 (t0 ) ̸= 0 dt

(1.45)

Teniendo en cuenta las propiedades de la función delta de Dirac (1.38), el valor de la tensión será:
− u(t) = L1 i(t+ (1.46) 0 ) − i1 (t0 ) · δ(t − t0 ) El estudio puede extenderse fácilmente a n bobinas con intensidades iniciales diferentes que, en un instante determinado t0 , se conectan en serie. La intensidad de todas ellas en t+ 0 viene dada por: Pn L i (t− ) + Pn i i 0 i(t0 ) = i=1 (1.47) i=1 Li

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

20

Finalmente, a partir del incremento de intensidad que sufre la intensidad de cada bobina, puede determinarse la tensión a la que se ve sometida cada una de ellas en t0 :
− ui (t) = Li i(t+ (1.48) 0 ) − ii (t0 ) · δ(t − t0 ) En esta última ecuación se han supuesto referencias pasivas para la tensión e intensidad de cada bobina.

1.7. Modelo de condensador y bobina con condiciones iniciales En las situaciones en las que un condensador tenga carga inicial o que por una bobina circule una determinada intensidad inicial, se pueden establecer modelos que facilitan su tratamiento. Para el caso del condensador, si la tensión inicial es uC (t+ 0 ), entonces la tensión en el mismo para cualquier instante de tiempo t≥t+ se puede expresar de la siguiente forma 1 : 0 uC (t) =

uC (t+ 0)

Z + t

t+ 0

iC (λ) d dλ = uC (t+ 0 ) + uC (t) C

(1.49)

donde udC (t) es la tensión de un condensador descargado. De esta forma se obtiene el circuito equivalente de la Figura 1.23.

+ _ +

Figura 1.23. Circuito equivalente de condensador cargado inicialmente. Para la bobina, si la intensidad inicial que circula por ella es iL (t+ 0 ), entonces la intensidad en la misma para cualquier instante de tiempo t≥t+ se puede expresar de la siguiente 0 forma: Z t+ 0 u (λ) + L d iL (t) = iL (t0 ) + dλ = iL (t+ (1.50) 0 ) + iL (t) L t donde idL (t) es la intensidad de una bobina sin condición inicial. De esta forma se obtiene el circuito equivalente de la Figura 1.24.

1

Se ha usado la variable λ para evitar que coincidan la variable de integración con el límite superior de integración.

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

+

_ Figura 1.24. Circuito equivalente de bobina por la que circula una intensidad inicial. Estos modelos se pueden usar en cualquier situación, sin embargo será especialmente útil para resolución de circuitos donde haya condensadores conectados en serie y/o bobinas conectadas en paralelo.

21

Problemas resueltos

P. 1.1. RC con excitación de continua En el circuito de la Figura 1.25, el condensador se encuentra descargado cuando en t=0 se cierra el interruptor. Calcular la tensión uC (t) y la intensidad i(t) para t>0.

+

+ _

Figura 1.25. Solución. Según el enunciado, antes de cerrar el interruptor, es decir, para t=0− , el condensador está descargado. Esto significa que uC (0− )=0 V. Para obtener las condiciones iniciales se empleará el circuito en el instante t=0+ . Dicho circuito se obtiene a partir del circuito original, una vez cerrado el interruptor, sustituyendo en este caso el condensador por una fuente de tensión de valor uC (0+ ). Salvo respuesta de tipo impulsional, la tensión en el condensador no varía al cerrar interruptor, por tanto: uC (0+ ) = uC (0− ) = 0 V El circuito en el instante t=0+ se muestra en la Figura 1.26, a partir del cual es fácil obtener i(0+ ): 10 i(0+ ) = = 5A 2 23

24

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

+

+

Figura 1.26. Circuito en t=0+ . A continuación se obtendrán las magnitudes de interés en régimen permanente. En este caso, una vez cerrado el interruptor, la única fuente de excitación es de corriente continua, por lo que habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 1.27, donde el condensador se ha sustituido por un circuito abierto.

+

+ _

Figura 1.27. Circuito en régimen permanente de corriente continua. Resolviendo el circuito de la Figura 1.27 se obtienen las magnitudes en régimen permanente: ip (t) = 0 A ; upC (t) = 10 V Asimismo:

ip (0+ ) = 0 A ; upC (0+ ) = 10 V

Al ser un circuito de tipo RC, la constante de tiempo es la siguiente: τ = RC = 2 · 3 = 6 s En consecuencia, i(t) y uC (t) para t>0 son las siguientes:   i(t) = ip (t) + i(0+ ) − ip (0+ ) · e−t/τ

= 0 + [5 − 0] · e−t/6 = 5 · e−t/6 A   uC (t) = upC (t) + uC (0+ ) − upC (0+ ) · e−t/τ

= 10 + [0 − 10] · e−t/6 = 10 − 10 · e−t/6 V

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

P. 1.2. RL con excitación de continua En el circuito de la Figura 1.28 se cierra el interruptor en t=0. Calcular la intensidad iL (t) y la tensión uL (t) para t>0.

+ _ Figura 1.28. Solución. Antes de cerrar el interruptor no circula intensidad por la bobina, por lo que iL (0− )=0 A. Para obtener las condiciones iniciales se empleará el circuito en el instante t=0+ . Dicho circuito se obtiene a partir del circuito original, una vez cerrado el interruptor, sustituyendo, en este caso, la bobina por una fuente de intensidad de valor iL (0+ ). Salvo respuesta de tipo impulsional, la intensidad de la bobina no varía al cerrar interruptor, por tanto: iL (0+ ) = iL (0− ) = 0 A El circuito en el instante t=0+ se muestra en la Figura 1.29.

+ _ Figura 1.29. Circuito en t=0+ . A partir del circuito de la Figura 1.29 es fácil obtener uL (0+ ): uL (0+ ) = 4 · 3 = 12 V A continuación se obtendrán las magnitudes de interés en régimen permanente. En este caso, como la única fuente de excitación es de corriente continua, habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 1.30, donde la bobina se ha sustituido por un cortocircuito. Resolviendo el circuito de la Figura 1.30 se obtienen las magnitudes en régimen permanente: ipL (t) = 4 A ; upL (t) = 0 V

25

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

+ _ Figura 1.30. Circuito en régimen permanente de corriente continua. Asimismo:

ipL (0+ ) = 4 A ; upL (0+ ) = 0 V

Al ser un circuito de tipo RL, la constante de tiempo es la siguiente: τ=

L 1 = s R 3

En consecuencia, iL (t) y uL (t) para t>0 son las siguientes:   iL (t) = ipL (t) + iL (0+ ) − ipL (0+ ) · e−t/τ = 4 + [0 − 4] · e−3t = 4 · (1 − e−3t ) A   uL (t) = upL (t) + uL (0+ ) − upL (0+ ) · e−t/τ = 0 + [12 − 0] · e−3t = 12 · e−3t V En la Figura 1.31 se ha representado gráficamente la evolución temporal de iL (t) y uL (t).

iL (t) [A]

4

2

0 0.00

uL (t) [V]

26

0.25

0.50

0.75

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

1.50

1.75

2.00

1.00

1.25

1.50

1.75

2.00

12 10

5

0 0.00

t [s]

Figura 1.31. Evolución temporal de iL (t) y uL (t).

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

P. 1.3. RC sin fuentes de excitación El circuito de la Figura 1.32 está en régimen permanente cuando en t=0 se abre el interruptor. Calcular la intensidad iC (t) para t>0.

+

Figura 1.32. Solución. En primer lugar se obtendrá la tensión en el condensador antes de abrir el interruptor, es decir, para el instante t=0− . Para ello se tendrá en cuenta que el circuito se encuentra en régimen permanente antes de que el interruptor sea abierto. Como la única fuente de excitación es de corriente continua, habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 1.33, donde el condensador se ha sustituido por un circuito abierto.

+

+ _

Figura 1.33. Circuito en t=0− . A partir de la Figura 1.33 se obtiene la tensión en el condensador en t=0− : uC (0− ) = 10 ·

2 = 2V 8+2

Salvo respuesta de tipo impulsional, la tensión en el condensador no varía al abrir el interruptor, por tanto: uC (0+ ) = uC (0− ) = 2 V Para obtener la condición inicial de la intensidad i(t) se empleará el circuito correspondiente al instante t=0+ . Dicho circuito se obtiene a partir del circuito original, una vez abierto el interruptor, sustituyendo el condensador por una fuente de tensión de valor uC (0+ ). El circuito en el instante t=0+ se muestra en la Figura 1.34.

27

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

+

Figura 1.34. Circuito en t=0+ . A partir del circuito de la Figura 1.34 se obtiene iC (0+ ): iC (0+ ) =

−2 = −1 A 2

A continuación se obtiene el valor de la intensidad iC (t) en régimen permanente. En este caso, una vez que el interruptor se encuentra abierto, no existe ninguna fuente de excitación en el circuito resultante, quedando únicamente conectado el condensador con la resistencia. El régimen permanente se corresponde con la respuesta forzada por las fuentes de excitación. En ese caso, al no haber fuente de excitación no hay régimen permanente. De esta forma: ipC (t) = 0 A ; ipC (0+ ) = 0 A Al ser un circuito RC, la constante de tiempo (para t>0) es la siguiente: τ = RC = 2 · 1 = 2 s Una vez obtenida la condición inicial, la respuesta en régimen permanente y la constante de tiempo, a continuación se obtiene iC (t) para t>0:   iC (t) = ipC (t) + iC (0+ ) − ipC (0+ ) · e−t/τ = 0 + [−1 − 0] · e−t/2 = −1 · e−t/2 A En la Figura 1.35 se ha representado gráficamente la evolución temporal de iC (t). 0.0 −0.2

iC (t) [A]

28

−0.4 −0.6 −0.8 −1.0

0

2

4

6

t [s]

Figura 1.35. Evolución temporal de iC (t).

8

10

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

29

P. 1.4. RL sin fuentes de excitación El circuito de la Figura 1.36 está en régimen permanente cuando en t=0 se abre el interruptor. Calcular la intensidad iL (t) y la tensión uL (t) para t>0.

+

+ _

Figura 1.36. Solución. En primer lugar se obtendrá la intensidad por la bobina de 5 H antes de abrir el interruptor, es decir, para el instante t=0− . Para ello se tendrá en cuenta que el circuito se encuentra en régimen permanente antes de que el interruptor sea abierto. Como la única fuente de excitación es de corriente continua, habrá que resolver el circuito correspondiente al régimen permanente de continua mostrado en la Figura 1.37, donde cada bobina se ha sustituido por un cortocircuito.

+

Figura 1.37. Circuito en t=0− . A partir de la Figura 1.37 se obtiene la intensidad la bobina en t=0− : iL (0− ) =

12 = 3A 4

Salvo respuesta de tipo impulsional, la intensidad en la bobina no varía al abrir el interruptor, por tanto: iL (0+ ) = iL (0− ) = 3 A Para obtener la condición inicial de la intensidad iL (t) y la de la tensión uL (t) se empleará el circuito en el instante t=0+ . Dicho circuito se obtiene a partir del circuito original, una vez abierto el interruptor, sustituyendo la bobina de 5 H por una fuente de intensidad de valor iL (0+ ). El circuito en el instante t=0+ se muestra en la Figura 1.38.

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

+ _

Figura 1.38. Circuito en t=0+ . A partir del circuito de la Figura 1.38 se obtiene iL (0+ ) y uL (0+ ): iL (0+ ) = 3 A ; uL (0+ ) = −3 · 3 = −9 V A continuación se obtiene el valor de la intensidad iL (t) y el de la tensión uL (t) en régimen permanente. En este caso, una vez que el interruptor se encuentra abierto, no existe ninguna fuente de excitación en el circuito resultante, por lo que no habrá régimen permanente. En consecuencia: ipL (t) = 0 A ; upL (t) = 0 V ; ipL (0+ ) = 0 A ; upL (0+ ) = 0 V Al ser un circuito RL, la constante de tiempo (para t>0) es la siguiente: τ=

L 5 = s R 3

Por tanto, iL (t) y uL (t) para t>0 son las siguientes:   iL (t) = ipL (t) + iL (0+ ) − ipL (0+ ) · e−t/τ = 0 + [3 − 0] · e−3t/5 = 3 · e−3t/5 A   uL (t) = upL (t) + uL (0+ ) − upL (0+ ) · e−t/τ = 0 + [−9 − 0] · e−3t/5 = −9 · e−3t/5 V En la Figura 1.39 se han representado gráficamente las funciones iL (t) y uL (t). iL (t) [A]

3 2 1 0 2.5

uL (t) [V]

30

−1

0

1

2

3

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

4

5

6

7

8

0.0 −2.5 −5.0 −7.5 −9.0 −10.0

t [s]

Figura 1.39. Evolución temporal de iL (t) y uL (t).

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

P. 1.5. RL con excitación de continua El circuito de la Figura 1.40 está en régimen permanente cuando en t=0 se abre el interruptor. Calcular la intensidad i(t) para t>0.

+

+

Figura 1.40. Solución. En primer lugar se obtendrá la intensidad por la bobina antes de abrir el interruptor, es decir, para el instante t=0− . Para ello se tendrá en cuenta que el circuito se encuentra en régimen permanente antes de que el interruptor sea abierto. Como las fuentes de excitación son de corriente continua, habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 1.41, donde la bobina se ha sustituido por un cortocircuito.

+

+

Figura 1.41. Circuito en t=0− . A partir de la Figura 1.41 se obtiene la intensidad la bobina en t=0− : iL (0− ) =

12 16 + = 6 + 8 = 14 A 2 2

Salvo respuesta de tipo impulsional, la intensidad en la bobina no varía al abrir el interruptor, por tanto: iL (0+ ) = iL (0− ) = 14 A Para obtener la condición inicial de la intensidad i(t) se empleará el circuito en el instante t=0+ . Dicho circuito se obtiene a partir del circuito original, una vez abierto el interruptor, sustituyendo la bobina por una fuente de intensidad de valor iL (0+ ). El circuito en el instante t=0+ se muestra en la Figura 1.42.

31

32

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

+

Figura 1.42. Circuito en t=0+ . A partir del circuito de la Figura 1.42 se obtiene i(0+ ): i(0+ ) = 14 A A continuación se obtiene el valor de la intensidad i(t) en régimen permanente. En este caso, una vez que el interruptor se encuentra abierto, la única fuente de excitación, en el circuito resultante, es de corriente continua. De esta forma habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua que se muestra en la Figura 1.43, donde la bobina se ha sustituido por un cortocircuito.

+

Figura 1.43. Circuito en régimen permanente de continua. Según la Figura 1.43: ip (t) = Asimismo:

12 = 6A 2

ip (0+ ) = 6 A

Al ser un circuito RL, la constante de tiempo (para t>0) es la siguiente: τ=

1 L = s R 2

Una vez obtenida la condición inicial, la respuesta en régimen permanente y la constante de tiempo, a continuación se obtiene i(t) para t>0:   i(t) = ip (t) + i(0+ ) − ip (0+ ) · e−t/τ = 6 + [14 − 6] · e−2t = 6 + 8 · e−2t A

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

33

P. 1.6. RC con excitación de continua El circuito de la Figura 1.44 está en régimen permanente cuando en t=0 se cierra el interruptor k1 y se abre k2. Calcular la intensidad i(t) para t>0.

+

+

Figura 1.44. Solución. En primer lugar se obtendrá la tensión en el condensador antes de que los interruptores cambien de posición, es decir, para el instante t=0− . Para ello se tendrá en cuenta que el circuito se encuentra en régimen permanente antes de que el interruptor k1 se cierre y que el interruptor k2 se abra. Como, en esta situación, la única fuente de excitación es de corriente continua, habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 1.45, donde el condensador se ha sustituido por un circuito abierto.

+

+ _

Figura 1.45. Circuito en t=0− . A partir de la Figura 1.45 se obtiene la tensión en el condensador en t=0− : uC (0− ) = 8 ·

2 = 4V 2+2

Salvo respuesta de tipo impulsional, que no es el caso, la tensión en el condensador no varía al cerrar el interruptor k1 y abrir el interruptor k2, por tanto: uC (0+ ) = uC (0− ) = 4 V Para obtener la condición inicial de la intensidad i(t) se empleará el circuito correspondiente al instante t=0+ . Dicho circuito se obtiene a partir del circuito original, una vez abierto el interruptor k2 y cerrado el interruptor k1, sustituyendo el condensador por

34

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos una fuente de tensión de valor uC (0+ ). El circuito en el instante t=0+ se muestra en la Figura 1.46.

+

+

Figura 1.46. Circuito en t=0+ . A partir del circuito de la Figura 1.46 se obtiene i(0+ ): i(0+ ) =

10 − 4 = 6A 1

A continuación se obtiene el valor de la intensidad i(t) en régimen permanente. En este caso, una vez que el interruptor k1 se cierra y se abre el interruptor k2, la única fuente de excitación, en el circuito resultante, es de corriente continua. De esta forma habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua que se muestra en la Figura 1.47.

+

Figura 1.47. Circuito en régimen permanente de continua. Según la Figura 1.47: ip (t) =

10 10 = A 1+2 3

Asimismo: ip (0+ ) =

10 A 3

Al ser un circuito RC, la constante de tiempo es la siguiente: τ = Req C donde Req es la resistencia equivalente desde los terminales del condensador, la cual es fácil comprobar que corresponde a la conexión paralelo de la resistencia de 1 Ω y la

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

35

resistencia de 2 Ω. Por tanto: τ = Req C =

2·1 1 1 · = s 2+1 2 3

Una vez obtenida la condición inicial, la respuesta en régimen permanente y la constante de tiempo, a continuación se obtiene i(t) para t>0:     10 10 10 8 −3t i(t) = ip (t) + i(0+ ) − ip (0+ ) · e−t/τ = + 6− · e−3t = + ·e A 3 3 3 3 En la Figura 1.48 se ha representado gráficamente la evolución temporal de i(t). 6.0

i(t) [A]

5.5 5.0 4.5 4.0 3.5 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

t [s]

Figura 1.48. Evolución temporal de i(t).

2.5

3.0

36

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

P. 1.7. RL con excitación de alterna El circuito de la Figura 1.49 está en régimen permanente cuando en t=0 se cierra el √ interruptor k1 y se abre el k2. Sabiendo que e(t)=100 2 sen(50t) V, calcular la intensidad iL (t) para t>0.

+

+

Figura 1.49. Solución. En primer lugar se obtendrá la intensidad de la bobina antes de que los interruptores cambien de posición, es decir, para el instante t=0− . Para ello se tendrá en cuenta que el circuito se encuentra en régimen permanente antes de que el interruptor k1 se cierre y que el interruptor k2 se abra. Como, en esta situación, la única fuente de excitación es de corriente continua, habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 1.50, donde la bobina se ha sustituido por un cortocircuito.

+

Figura 1.50. Circuito en t=0− . A partir de la Figura 1.50 se obtiene la intensidad por la bobina en t=0− : iL (0− ) =

20 = 5A 4

Salvo respuesta de tipo impulsional, que no es el caso, la intensidad por la bobina no varía al cerrar el interruptor k1 y abrir el interruptor k2, por tanto: iL (0+ ) = iL (0− ) = 5 A En este caso particular no es necesario plantear el circuito en t=0+ , ya que la única magnitud que interesa es la intensidad por la bobina, la cual ya se tiene su valor en dicho instante.

Capítulo 1. Transitorios de primer orden A continuación se obtiene el valor de la intensidad iL (t) en régimen permanente. En este caso, una vez que el interruptor k1 se cierra y se abre el interruptor k2, la única fuente de excitación, en el circuito resultante, es de corriente alterna. De esta forma habrá que resolver el circuito en régimen permanente de alterna, para lo cual se usará el circuito en el dominio fasorial mostrado en la Figura 1.51.

+

Figura 1.51. Circuito en el dominio fasorial. Según la Figura 1.51: p

IL =

100∠0◦ 10 = √ ∠ − 45◦ A 10 + 10j 2

Una vez obtenida la intensidad en régimen permanente en el dominio fasorial se obtendrá la intensidad en régimen permanente en el dominio temporal: ipL (t) = 10 sen(50t − 45◦ ) A cuyo valor para t=0+ es el siguiente: ipL (0+ ) = 10 sen(−45◦ ) =

−10 · 2

√

2

√ = −5 2 A

Al ser un circuito RL, la constante de tiempo (para t>0) es la siguiente: τ=

L 0,2 1 = = s R 10 50

Una vez obtenida la condición inicial, la respuesta en régimen permanente y la constante de tiempo, a continuación se obtiene iL (t) para t>0: h √ i   iL (t) = ipL (t)+ iL (0+ ) − ipL (0+ ) ·e−t/τ = 10 sen(50t−45◦ )+ 5 − (−5 2) ·e−50t A En la Figura 1.52 se ha representado gráficamente la evolución temporal de iL (t).

37

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

10 5

i(t) [A]

38

0 −5 −10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

t [s]

Figura 1.52. Evolución temporal de iL (t).

P. 1.8. RL con excitación de alterna En el circuito de la Figura 1.53 se cierra el interruptor en t=0. Calcular la intensidad iL (t) para t>0, sabiendo que e(t)=150 sen(500t) V.

+

Figura 1.53. Solución. Antes de cerrar el interruptor se sabe que iL (0− )=0 A. Como es sabido, salvo respuesta de tipo impulsional, la intensidad de una bobina no varía al cerrar interruptor, por tanto: iL (0+ ) = iL (0− ) = 0 A A continuación se obtendrá la intensidad por la bobina en régimen permanente, ipL (t). En este caso, como la única fuente de excitación es de corriente alterna, habrá que resolver el circuito en el dominio fasorial mostrado en la Figura 1.54. Según la Figura 1.54: √ (150/ 2)∠0◦ p IL = ≈ 0,95∠ − 63,43◦ A 50 + 100j

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

39

+

Figura 1.54. Circuito en el dominio fasorial. Una vez obtenida la intensidad en régimen permanente en el dominio fasorial se obtendrá la intensidad en régimen permanente en el dominio temporal: √ ipL (t) = 0,95 2 sen(500t − 63,43◦ ) ≈ 1,34 sen(500t − 63,43◦ ) A cuyo valor para t=0+ es el siguiente: ipL (0+ ) = 1,34 sen(−63,43◦ ) ≈ −1,2 A Al ser un circuito de tipo RL, la constante de tiempo es la siguiente: τ=

0,2 1 L = = s R 50 250

En consecuencia, iL (t) para t>0 es la siguiente:   iL (t) = ipL (t)+ iL (0+ ) − ipL (0+ ) ·e−t/τ = 1,34 sen(500t−63,43◦ )+[0 + 1,2]·e−250t A En la Figura 1.55 se ha representado gráficamente la evolución temporal de iL (t).

iL (t) [A]

1

0

−1 0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

t [s]

Figura 1.55. Evolución temporal de iL (t) .

0.05

0.06

40

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

P. 1.9. RC con excitación de alterna El circuito de la Figura 1.56 está en régimen permanente cuando en t=0 se cierra el interruptor k1 y se abre el k2. Sabiendo que e(t)=6 cos(10t) V, calcular la intensidad i(t) para t>0.

+

+

Figura 1.56. Solución. En primer lugar se obtendrá la tensión en el condensador antes de que los interruptores cambien de posición, es decir, para el instante t=0− . Para ello se tendrá en cuenta que el circuito se encuentra en régimen permanente antes de que el interruptor k1 se cierre y que el interruptor k2 se abra. Como, en esta situación, la única fuente de excitación es de corriente continua, habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 1.57, donde el condensador se ha sustituido por un circuito abierto.

+

+ _

Figura 1.57. Circuito en t=0− . A partir de la Figura 1.57 se obtiene la tensión en el condensador en t=0− : uC (0− ) = 10 ·

2 = 4V 2+3

Salvo respuesta de tipo impulsional, que no es el caso, la tensión en el condensador no varía al cerrar el interruptor k1 y abrir el interruptor k2, por tanto: uC (0+ ) = uC (0− ) = 4 V Para obtener la condición inicial de la intensidad i(t) se empleará el circuito en el instante t=0+ . Dicho circuito se obtiene a partir del circuito original, una vez abierto el

Capítulo 1. Transitorios de primer orden interruptor k2 y cerrado el interruptor k1, sustituyendo el condensador por una fuente de tensión de valor uC (0+ ). El circuito en el instante t=0+ se muestra en la Figura 1.58.

+

+

Figura 1.58. Circuito en t=0+ . A partir del circuito de la Figura 1.58 se obtiene i(0+ ): i(0+ ) =

e(0+ ) − 4 6 cos(10 · 0) − 4 = = 2A 1 1

A continuación se obtiene el valor de la intensidad i(t) en régimen permanente. En este caso, una vez que el interruptor k1 se cierra y se abre el interruptor k2, la única fuente de excitación, en el circuito resultante, es de corriente alterna. De esta forma habrá que resolver el circuito en régimen permanente de alterna, para lo cual se usará el circuito en el dominio fasorial mostrado en la Figura 1.59.

+

Figura 1.59. Circuito en el dominio fasorial. Según la Figura 1.59: √ (6/ 2)∠0◦ I = ≈ 4∠11◦ A − 0,2j · 2 1+ 2 − 0,2j p

Una vez obtenida la intensidad en régimen permanente en el dominio fasorial se obtendrá la intensidad en régimen permanente en el dominio temporal: √ ip (t) = 4 2 cos(10t + 11◦ ) A

41

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos cuyo valor para t=0+ es el siguiente: √ ip (0+ ) = 4 2 cos(11◦ ) ≈ 5,55 A Al ser un circuito RC, la constante de tiempo (para t>0) es la siguiente: τ = Req C donde Req es la resistencia equivalente desde los terminales del condensador, la cual corresponde a la conexión paralelo de la resistencia de 1 Ω y la resistencia de 2 Ω. Por tanto: 2·1 1 1 τ = Req C = · = s 2+1 2 3 Una vez obtenida la condición inicial, la respuesta en régimen permanente y la constante de tiempo, a continuación se obtiene i(t) para t>0: √   i(t) = ip (t) + i(0+ ) − ip (0+ ) · e−t/τ = 4 2 cos(10t + 11◦ ) + [2 − 5,55] · e−3t A En la Figura 1.60 se ha representado gráficamente la evolución temporal de i(t). 5.0 2.5

i(t) [A]

42

0.0 −2.5 −5.0 −7.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

t [s]

Figura 1.60. Evolución temporal de i(t) .

3.5

4.0

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

P. 1.10. RC con excitación de continua El interruptor del circuito de la Figura 1.61 se cierra en t=0. Sabiendo que el condensador está descargado antes de cerrar el interruptor, calcular la tensión uC (t) para t>0.

+

+ _

Figura 1.61. Solución. Según el enunciado, antes de cerrar el interruptor, es decir, para t0) es la siguiente: τ = Req C

43

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos donde Req es la resistencia equivalente desde los terminales del condensador, la cual es fácil comprobar que corresponde a la conexión paralelo de la resistencia de 10 Ω y la resistencia de 5 Ω. Por tanto: τ = Req C =

10 · 5 20 ·2= s 10 + 5 3

Una vez obtenida la condición inicial, la respuesta en régimen permanente y la constante de tiempo, a continuación se obtiene uC (t) para t>0:   uC (t) = upC (t)+ uC (0+ ) − upC (0+ ) ·e−t/τ = 2+[0 − 2]·e−3t/20 = 2−2·e−3t/20 V En la Figura 1.63 se ha representado gráficamente la evolución temporal de uC (t). 2.0 1.5

uC (t) [V]

44

1.0 0.5 0.0 0

5

10

15

20

t [s]

Figura 1.63. Evolución temporal de uC (t).

25

30

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

P. 1.11. RL con excitación de continua El interruptor del circuito de la Figura 1.64 se cierra en t=0. Calcular la tensión uL (t) para t>0, sabiendo que iL (0− )=0 A.

+ _

Figura 1.64. Solución. Según el enunciado, antes de cerrar el interruptor se sabe que iL (0− )=0 A. Para obtener las condiciones iniciales se empleará el circuito en el instante t=0+ . Dicho circuito se obtiene a partir del circuito original, una vez cerrado el interruptor, sustituyendo en este caso la bobina por una fuente de intensidad de valor iL (0+ ). Salvo respuesta de tipo impulsional, la intensidad de la bobina no varía al cerrar interruptor, por tanto: iL (0+ ) = iL (0− ) = 0 A El circuito en el instante t=0+ se muestra en la Figura 1.65.

+ _ Figura 1.65. Circuito en t=0+ . A partir del circuito de la Figura 1.65 es fácil comprobar que iL (0+ )=0, por lo que: i1 (0+ ) = i2 (0+ ) Aplicando el concepto de divisor de intensidad resulta:

i2 (0+ ) = 2 ·

1 8 1 1 + 8 2

= 0,4 A

45

46

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos En consecuencia:

uL (0+ ) = 5 · i2 (0+ ) = 5 · 0,4 = 2 V

A continuación se obtiene el valor de la tensión uL (t) en régimen permanente. En este caso, una vez cerrado el interruptor, la única fuente de excitación, en el circuito resultante, es de corriente continua. Como en régimen permanente de continua una bobina se comporta como un cortocircuito, entonces upL (t) = 0 V ; upL (0+ ) = 0 V Al ser un circuito RL, la constante de tiempo (para t>0) es la siguiente: τ=

L Req

donde Req es la resistencia equivalente desde los terminales a y b de la bobina. En la Figura 1.66 se muestra el circuito pasivo desde los terminales de la bobina.

Figura 1.66. Circuito pasivo desde los terminales de la bobina. Según la Figura 1.66: Req = 5//(2 + 3) = Por tanto: τ=

5 · (2 + 3) 5 = Ω 5 + (2 + 3) 2

L 1 0,5 = s = Req 5/2 5

Una vez obtenida la condición inicial, la respuesta en régimen permanente y la constante de tiempo, a continuación se obtiene uL (t) para t>0:   uL (t) = upL (t) + uL (0+ ) − upL (0+ ) · e−t/τ = 0 + [2 − 0] · e−5t = 2 · e−5t V En la Figura 1.67 se ha representado gráficamente la evolución temporal de uL (t).

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

47

2.0

uL (t) [V]

1.5 1.0 0.5 0.0 0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

1.50

1.75

2.00

t [s]

Figura 1.67. Evolución temporal de uL (t).

P. 1.12. RC con excitación de continua y de alterna En el circuito de la Figura 1.68, los interruptores se cierran en t=0. Sabiendo que uC (0− )=5 V y que e(t)=6 cos(10t) V, calcular la intensidad i(t) y la tensión uC (t) para t>0.

+

+

+ _

Figura 1.68. Solución. Salvo respuesta de tipo impulsional, que no es el caso, la tensión en el condensador no varía al cerrar los interruptores, por tanto: uC (0+ ) = uC (0− ) = 5 V Para obtener la condición inicial de la intensidad i(t) se empleará el circuito en el instante t=0+ . Dicho circuito se obtiene a partir del circuito original, una vez cerrados ambos interruptores, sustituyendo el condensador por una fuente de tensión de valor uC (0+ ) y las fuentes por su valor en t=0+ . El circuito en el instante t=0+ se muestra en la Figura 1.69, a partir del cual se obtiene i(0+ ): i(0+ ) =

e(0+ ) − 5 6 cos(10 · 0) − 5 = = 1A 1 1

48

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

+

+

+

Figura 1.69. Circuito en t=0+ . A continuación se obtiene el valor de la intensidad i(t) y de la tensión uC (t) en régimen permanente. En este caso, una vez cerrados los interruptores hay una fuente de tensión de corriente alterna y una fuente de tensión de corriente continua, por lo que, para su resolución, habrá que aplicar el principio de superposición. De esta forma, el circuito resultante cuando solamente está activa la fuente de tensión de corriente continua es el mostrado en la Figura 1.70, donde el condensador se ha sustituido por un circuito abierto y la fuente de tensión de corriente alterna se ha sustituido por un cortocircuito.

+

+ _

Figura 1.70. Circuito en régimen permanente de continua. Según la Figura 1.70: 1 −20 = A 11 1 1 1+ + 3 2 20 20 p1 up1 ·1= ·1= V C (t) = −i 11 11 ip1 (t) = −

10 · 3

Por otro lado, cuando solamente está activa la fuente de alterna habrá que resolver el circuito en régimen permanente de alterna, para lo cual se usará el circuito en el dominio fasorial mostrado en la Figura 1.71, según el cual: Z eq1 = 2//3 = Z eq2 = Z eq1 //(−0,2j) =

2·3 6 = Ω 2+3 5

Z eq1 · (−0,2j)

Z eq1 + (−0,2j)

≈ 0,197∠ − 80,53◦ Ω

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

+

+ _

Figura 1.71. Circuito en el dominio fasorial. Por tanto: I

p2

p2

UC

√ (6/ 2)∠0◦ = ≈ 4,04∠10,67◦ A 1 + Z eq2 √ p2 = (6/ 2)∠0◦ − 1 · I ≈ 0,8∠ − 69,86◦ V

Una vez obtenidas las magnitudes en régimen permanente en el dominio fasorial se obtendrán las correspondientes magnitudes en régimen permanente en el dominio temporal: √ ip2 (t) = 4,04 2 cos(10t + 10,67◦ ) A √ ◦ up2 C (t) = 0,8 2 cos(10t − 69,86 ) V En consecuencia: √ −20 + 4,04 2 cos(10t + 10,67◦ ) A 11 √ 20 p p1 p2 uC (t) = uC (t) + uC (t) = + 0,8 2 cos(10t − 69,86◦ ) V 11 ip (t) = ip1 (t) + ip2 (t) =

cuyo valor para t=0+ es el siguiente: √ −20 + 4,04 2 cos(10,67◦ ) ≈ 3,8 A 11 √ 20 p + uC (0 ) = + 0,8 2 cos(−69,86◦ ) ≈ 2,21 V 11 ip (0+ ) =

Al ser un circuito RC, la constante de tiempo (para t>0) es la siguiente: τ = Req C donde Req es la resistencia equivalente desde los terminales del condensador, la cual corresponde a la conexión paralelo de la resistencia de 1 Ω, la de 2 Ω y la de 3 Ω. Por tanto: τ = Req C =

1 1 3 · = s 2 11 1 1 1 + + 1 2 3

49

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos En consecuencia, i(t) y uC (t) para t>0 son las siguientes:   i(t) = ip (t) + i(0+ ) − ip (0+ ) · e−t/τ √ −20 = + 4,04 2 cos(10t + 10,67◦ ) + [1 − 3,8] · e−11t/3 A 11   uC (t) = upC (t) + uC (0+ ) − upC (0+ ) · e−t/τ √ 20 = + 0,8 2 cos(10t − 69,86◦ ) + [5 − 2,21] · e−11t/3 V 11 En la Figura 1.72 se ha representado gráficamente la evolución temporal de i(t) y uC (t).

i(t) [A]

5 1 0 −5 −10 6

0.0

0.5

1.0

1.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

5

uC (t) [V]

50

4 2 0

t [s]

Figura 1.72. Evolución temporal de i(t) y uC (t).

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

P. 1.13. RC. Condensadores en paralelo con excitación de continua En el circuito de la Figura 1.73, el interruptor se cierra en t=0. Sabiendo que u(0− )=6 V, calcular la tensión u(t) para t>0.

+

+ _ Figura 1.73.

Solución. Según la Figura 1.73 se puede observar la conexión en paralelo de dos condensadores cargados inicialmente a la misma tensión de 6 V. Dicha configuración equivale a un único condensador cargado a la tensión inicial de 6 V, cuya capacidad equivalente es la siguiente: Ceq = C1 + C2 = 7 + 3 = 10 µF De esta forma, el circuito queda tal y como se muestra en la Figura 1.74.

+

+ _ Figura 1.74.

Salvo respuesta de tipo impulsional, la tensión en el condensador no varía al cerrar el interruptor, por tanto: u(0+ ) = u(0− ) = 6 V A continuación se obtiene el valor de la tensión u(t) en régimen permanente. En este caso, una vez cerrado el interruptor, la única fuente de excitación, en el circuito resultante, es de corriente continua. De esta forma habrá que resolver el correspondiente circuito en régimen permanente de continua que se muestra en la Figura 1.75, donde el condensador se ha sustituido por un circuito abierto. Según la Figura 1.75: 6 up (t) = 15 · = 9V 4+6

51

52

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

+

+ _

Figura 1.75. Circuito en régimen permanente de continua. Asimismo:

up (0+ ) = 9 V

Al ser un circuito RC, la constante de tiempo es la siguiente: τ = Req Ceq donde Req es la resistencia equivalente desde los terminales del condensador, la cual es fácil comprobar que corresponde a la conexión paralelo de la resistencia de 4 Ω y la resistencia de 6 Ω. Por tanto: τ = Req Ceq =

4·6 · 10 · 10−6 = 24 · 10−6 s 4+6

En consecuencia, u(t) para t>0 es la siguiente:   −6 u(t) = up (t) + u(0+ ) − up (0+ ) · e−t/τ = 9 + [6 − 9] · e−t/(24·10 ) V

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

53

P. 1.14. RC. Condensadores en serie con excitación de continua En el circuito de la Figura 1.76, el interruptor se cierra en t=0. Calcular las tensiones uC1 (t) y uC2 (t) para t>0 sabiendo que uC1 (0− )=12 V y uC2 (0− )=−2 V.

+ _

+

+ _ Figura 1.76. Solución. Según el enunciado, antes de cerrar el interruptor, los condensadores están cargados a una determinada tensión inicial. Salvo respuesta de tipo impulsional, la tensión en cada condensador no varía al cerrar interruptor, por tanto: uC1 (0+ ) = uC1 (0− ) = 12 V uC2 (0+ ) = uC2 (0− ) = −2 V Por otro lado se sabe que la tensión de cada condensador se puede expresar de la siguiente forma: 1 C1

Z

1 uC2 (t) = uC2 (0 ) + C2

Z

uC1 (t) = uC1 (0+ ) + +

t

0+

i(λ)dλ = 12 + udC1 (t) (1.51)

t

0+

i(λ)dλ = −2 +

udC2 (t)

donde udC1 (t) y udC2 (t) son las tensiones de sendos condensadores descargados 2 . De esta forma se obtiene el circuito de la Figura 1.77, según el cual es fácil comprobar que se pueden asociar en serie los dos condensadores descargados y las dos fuentes de tensión correspondientes a las condiciones iniciales. Esto da lugar al circuito de la Figura 1.78, donde udCeq (t) = udC1 (t) + udC2 (t) y Ceq =

2

C1 · C2 2·3 6 = = F C1 + C2 2+3 5

Se ha usado la variable λ para evitar que coincidan la variable de integración con el límite superior de integración.

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

54

+ _ + + + _

+ _

+

+

+

Figura 1.77.

Figura 1.78.

Según el circuito resultante de la Figura 1.78, se puede observar que se trata de un circuito RC con excitación de continua, donde la tensión del condensador se puede calcular de la siguiente forma: h i dp d + + udCeq (t) = udp (t) + u (0 ) − u (0 ) · e−t/τ Ceq Ceq Ceq Hay que recordar que el condensador equivalente está descargado y por tanto: udCeq (0+ ) = 0 V La tensión en régimen permanente, udp Ceq (t), se obtiene resolviendo el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 1.79, donde el condensador se ha sustituido por un circuito abierto.

+ _

+

+

Figura 1.79. Según la Figura 1.79: dp + udp Ceq (t) = 15 − 10 = 5 V ; uCeq (0 ) = 5 V

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

55

Al ser un circuito de tipo RC, la constante de tiempo es la siguiente: τ = RCeq = 5 ·

6 = 6s 5

De esta forma: h i h i dp d + + −t/τ −t/6 −t/6 udCeq (t) = udp (t)+ u (0 ) − u (0 ) ·e = 5+[0 − 5]·e = 5· 1 − e V Ceq Ceq Ceq Una vez obtenida la tensión del condensador equivalente descargado, entonces la tensión de cada uno de los condensadores descargados se calcula aplicando el concepto de divisor de tensión capacitivo: 1/C1 C2 = udCeq (t) · = udCeq (t) · 1/C1 + 1/C2 C1 + C2 1/C2 C1 udC2 (t) = udCeq (t) · = udCeq (t) · = udCeq (t) · 1/C1 + 1/C2 C1 + C2 udC1 (t) = udCeq (t) ·

h i 3 = 3 · 1 − e−t/6 V 5 h i 2 = 2 · 1 − e−t/6 V 5

Por último, según la relación (1.51) se obtiene la tensión de cada condensador: h i uC1 (t) = 12 + 3 · 1 − e−t/6 = 15 − 3 · e−t/6 V h i uC2 (t) = −2 + 2 · 1 − e−t/6 = −2 · e−t/6 V En la Figura 1.80 se ha representado gráficamente la evolución temporal de uC1 (t) y uC2 (t).

uC1 (t) [V]

15 14 13 12 0

5

10

0

5

10

15

20

25

30

15

20

25

30

uC2 (t) [V]

0

−1

−2

t [s]

Figura 1.80. Evolución temporal de uC1 (t) y uC2 (t).

56

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

P. 1.15. RL. Bobinas en serie con excitación de continua En el circuito de la Figura 1.81, el interruptor se cierra en t=0. Calcular la intensidad i(t) para t>0.

+

Figura 1.81. Solución. Según la Figura 1.81 se puede observar la conexión en serie de dos bobinas por las que, inicialmente, no circula intensidad. Al ser la misma intensidad para ambas, pueden sustituirse por una única bobina equivalente cuya intensidad inicial será la misma que la de cada una de ellas. Por tanto: Leq = L1 + L2 = 1 + 2 = 3 H De esta forma, el circuito queda tal y como se muestra en la Figura 1.82.

+

Figura 1.82. Antes de cerrar el interruptor no circula intensidad por la bobina, por lo que i(0− )=0 A. Como es sabido, salvo respuesta de tipo impulsional, la intensidad de una bobina no varía al cerrar interruptor, por tanto: i(0+ ) = i(0− ) = 0 A A continuación se obtiene el valor de la intensidad i(t) en régimen permanente. En este caso, una vez cerrado el interruptor, la única fuente de excitación, en el circuito resultante, es de corriente continua. De esta forma habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua que se muestra en la Figura 1.83, donde la bobina se ha sustituido por un cortocircuito.

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

57

+

Figura 1.83. Circuito en régimen permanente de continua. Según la Figura 1.83: ip (t) =

9 = 3 A ; ip (0+ ) = 3 A 3

Al ser un circuito de tipo RL, la constante de tiempo es la siguiente: τ=

Leq Req

donde Req es la resistencia equivalente desde los terminales de la bobina equivalente, la cual es fácil comprobar que corresponde a la conexión paralelo de la resistencia de 3 Ω y la resistencia de 1 Ω. Por tanto: τ=

Leq 3 = = 4s Req 3·1 3+1

En consecuencia, i(t) para t>0 es la siguiente:   i(t) = ip (t) + i(0+ ) − ip (0+ ) · e−t/τ = 3 + [0 − 3] · e−t/4 = 3 · (1 − e−t/4 ) A En la Figura 1.84 se ha representado gráficamente la evolución temporal de i(t).

i(t) [A]

3

2

1

0 0.0

2.5

5.0

7.5

10.0

12.5

15.0

t [s]

Figura 1.84. Evolución temporal de i(t).

17.5

20.0

58

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

P. 1.16. RL. Bobinas en paralelo con excitación de continua El circuito de la Figura 1.85 está en régimen permanente cuando en t=0 se cierra el interruptor k1 y se abre el interruptor k2. Calcular las intensidades iL1 (t) e iL2 (t) para t>0.

Figura 1.85. Solución. Antes de abrir el interruptor k2 es fácil comprobar que la intensidad por la bobina 2 es 8 A, es decir: iL2 (0− ) = 8 A Por otro lado, la intensidad por la bobina 1 antes de cerrar el interruptor k1, es decir, para el instante t=0− , se obtiene teniendo en cuenta que el circuito se encuentra en régimen permanente antes de que dicho interruptor se cierre. Como en esta situación, la única fuente de excitación es de corriente continua, habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 1.86, donde la bobina 1 se ha sustituido por un cortocircuito.

Figura 1.86. Circuito en t=0− . A partir de la Figura 1.86 se obtiene la intensidad por la bobina 1 en t=0− :

iL1 (0− ) = 10 ·

1 3 1 1 + 2 3

= 4A

Capítulo 1. Transitorios de primer orden Salvo respuesta de tipo impulsional, que no es el caso, las intensidades por las bobinas no varían al cerrar el interruptor, por tanto: iL1 (0+ ) = iL1 (0− ) = 4 A iL2 (0+ ) = iL2 (0− ) = 8 A Por otro lado, se sabe que la intensidad de cada bobina se puede expresar de la siguiente forma: Z t 1 + iL1 (t) = iL1 (0 ) + u(λ)dλ = 4 + idL1 (t) L1 0+ (1.52) Z t 1 d + u(λ)dλ = 8 + iL2 (t) iL2 (t) = iL2 (0 ) + L2 0+ donde idL1 (t) y idL2 (t) son las intensidades de sendas bobinas descargadas 3 . Esto da lugar al circuito de la Figura 1.87 para t>0.

Figura 1.87. A partir del circuito de la Figura 1.87, es fácil comprobar que se pueden asociar en paralelo las dos bobinas descargadas y las dos fuentes de intensidad. Esto da lugar al circuito de la Figura 1.88, donde idLeq (t) = idL1 (t) + idL1 (t) y Leq =

L1 · L2 3·6 = 2H = L1 + L2 3+6

Según el circuito resultante de la Figura 1.88, se puede observar que se trata de un circuito RL con excitación de continua, donde la intensidad de la bobina equivalente se puede calcular según h i dp d + + idLeq (t) = idp (t) + i (0 ) − i (0 ) · e−t/τ Leq Leq Leq 3

Se ha usado la variable λ para evitar que coincidan la variable de integración con el límite superior de integración.

59

60

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

Figura 1.88. Hay que recordar que la bobina equivalente está descargada y por tanto: idLeq (0+ ) = 0 A La intensidad en régimen permanente, idp Leq (t), se obtiene resolviendo el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 1.89, donde la bobina se ha sustituido por un cortocircuito.

Figura 1.89. Circuito en régimen permanente de continua. Según la Figura 1.89:

idp Leq (t)

Asimismo:

= −12 + 10 ·

1 3 1 1 + 2 3

= −8 A

+ idp Leq (0 ) = −8 A

Al ser un circuito de tipo RL, la constante de tiempo es la siguiente: τ=

Leq Req

donde Req es la resistencia equivalente desde los terminales de la bobina, la cual es fácil comprobar que corresponde a la conexión serie de la resistencia de 3 Ω y la resistencia de 2 Ω. Por tanto: Leq 2 2 τ= = = s Req 3+2 5

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

61

De esta forma: h i dp d + + −t/τ idLeq (t) = idp Leq (t) + iLeq (0 ) − iLeq (0 ) · e h i = −8 + [0 + 8] · e−5t/2 = 8 · −1 + e−5t/2 A Una vez obtenida la intensidad de la bobina equivalente descargada, se calcula la intensidad de cada una de las bobinas descargadas aplicando el concepto de divisor de intensidad inductivo: 1/L1 L2 = idLeq (t) · = idLeq (t) · 1/L1 + 1/L2 L1 + L2 1/L2 L1 idL2 (t) = idLeq (t) · = idLeq (t) · = idLeq (t) · 1/L1 + 1/L2 L1 + L2 idL1 (t) = idLeq (t) ·

i 6 48 h = · −1 + e−5t/2 A 9 9 i 3 24 h = · −1 + e−5t/2 A 9 9

Por último, según la relación (1.52) se obtiene la intensidad de cada bobina: 48 9 24 iL2 (t) = 8 + 9 iL1 (t) = 4 +

h i · −1 + e−5t/2 A h i · −1 + e−5t/2 A

En la Figura 1.90 se ha representado gráficamente la evolución temporal de iL1 (t) y iL2 (t).

iL1 (t) [A]

4 2 0

0.0

0.5

1.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

1.5

2.0

2.5

3.0

iL2 (t) [A]

8 7 6

t [s]

Figura 1.90. Evolución temporal de iL1 (t) y iL2 (t).

62

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

P. 1.17. RL. Transitorios concatenados con excitación de continua En el circuito de la Figura 1.91, el interruptor se encuentra en la posición 0. En t=0 el interruptor pasa a la posición 1 y en t=500 µs pasa a la posición 2. Calcular i(t) para t>0.

+

+

Figura 1.91. Solución. Según la Figura 1.91, dependiendo del estado en el que se encuentre el interruptor dará lugar a circuitos distintos y en consecuencia habrá que resolverlos por separado. En este sentido, se analizará un primer circuito en el intervalo de tiempo 00, la tensión de ambos condensadores permanece constante (Figura 1.109): uC1 (t) = uC2 (t) = 8 V

Figura 1.109. Por otro lado, según las referencias de polaridad mostradas en la Figura 1.108, la relación entre la tensión y la intensidad del condensador 2 es la siguiente: i(t) = C2 ·

duC2 (t) dt

Esta relación se puede expresar de la siguiente forma: i(t)dt = C2 ·

duC2 (t) dt dt

Integrando esta última expresión entre los límites infinitesimales de 0+ y 0− , que es el intervalo donde se produce la discontinuidad de tensión en ambos condensadores, resulta: Z

0+

Z

0+

i(t)dt = 0−

0−

C2 ·

  duC2 (t) dt = C2 · uC2 (0+ ) − uC2 (0− ) = 2 · [8 − 7] = 2 C dt

Teniendo en cuenta la definición de la función delta de Dirac, se obtiene i(t) para t>0: i(t) = 2 · δ(t) A

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

73

P. 1.21. RC. Respuesta impulsional con excitación de continua El circuito de la Figura 1.110 se encuentra en régimen permanente cuando en t=0 se cierra el interruptor. Sabiendo que C1 =1 F y que C2 =2 F, calcular la tensión de los condensadores para t>0.

+

+

+

_

_

+

Figura 1.110. Solución. En primer lugar se obtendrá la tensión en cada uno de los condensadores antes de que se cierre el interruptor, es decir, para el instante t=0− . Para ello se tendrá en cuenta que el circuito se encuentra en régimen permanente antes de que el interruptor se cierre. Como, en esta situación, las fuentes de excitación son de corriente continua, habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 1.111, donde cada condensador se ha sustituido por un circuito abierto.

+

+

+

_

_

+

Figura 1.111. Circuito en t=0− . Según la Figura 1.111: uC1 (0− ) = 10 V ; uC2 (0− ) = 7 V Antes de que el interruptor se cierre, los condensadores están cargados con una tensión diferente. Cuando el interruptor se cierra, ambos condensadores quedan en paralelo tal y como se muestra en la Figura 1.112. En el instante inmediatamente posterior al cierre de dicho interruptor, los condensadores quedan sometidos a la misma tensión a costa de que se produzca un impulso de intensidad. En este proceso instantáneo, la carga total almacenada en ambos condensadores no cambia,

74

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

+

+

+

_

_

+

Figura 1.112. Circuito para t>0. lo cual permite obtener la tensión a la que quedan sometidos según: uC1 (0+ ) = uC2 (0+ ) =

C1 · uC1 (0− ) + C2 · uC2 (0− ) 1 · 10 + 2 · 7 24 = = = 8V C1 + C2 1+2 3

A partir del instante t=0+ , los dos condensadores quedan conectados en paralelo con una tensión inicial cada uno de ellos de 8 V. En esta situación, ambos condensadores se pueden sustituir por un único condensador cuya capacidad equivalente es Ceq = C1 + C2 = 1 + 2 = 3 F cargado a la tensión inicial de 8 V. De esta forma el circuito queda tal y como se muestra en la Figura 1.113, donde u(0+ ) = 8 V

+

+

+

_ Figura 1.113. Circuito para t>0. A continuación se obtiene el valor de la tensión u(t) en régimen permanente. En este caso, las fuentes de excitación son de corriente continua. De esta forma habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua que se muestra en la Figura 1.114, donde el condensador se ha sustituido por un circuito abierto.

+

+

+

_

Figura 1.114. Circuito en régimen permanente de continua.

Capítulo 1. Transitorios de primer orden Según la Figura 1.114: ip (t) =

10 − 7 3 = A 8+8 16

Por tanto: up (t) = 10 − 8 · ip (t) = 10 − 8 · Asimismo:

75

3 = 8,5 V 16

up (0+ ) = 8,5 V

Al ser un circuito RC, la constante de tiempo es la siguiente: τ = Req Ceq donde Req es la resistencia equivalente desde los terminales del condensador, la cual es fácil comprobar que corresponde a la conexión paralelo de las dos resistencias de 8 Ω. Por tanto: 8·8 τ = Req Ceq = · 3 = 12 s 8+8 En consecuencia, u(t) para t>0 es la siguiente:   u(t) = up (t) + u(0+ ) − up (0+ ) · e−t/τ = 8,5 + [8 − 8,5] · e−t/12 V Obviamente, para t>0, las tensiones de ambos condensadores son las siguientes: uC1 (t) = uC2 (t) = u(t) = 8,5 + [8 − 8,5] · e−t/12 V En la Figura 1.115 se ha representado gráficamente la evolución temporal de uC1 (t) y uC2 (t).

uC1 (t) [V]

10

9

8

uC2 (t) [V]

8.5

−5

0

5

10

−5

0

5

10

15

20

25

30

15

20

25

30

8.0 7.5 7.0

t [s]

Figura 1.115. Evolución temporal de uC1 (t) y uC2 (t).

76

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

P. 1.22. Bobinas en serie. Respuesta impulsional El circuito de la Figura 1.116 se encuentra en régimen permanente cuando en t=0 los interruptores cambian de posición. Sabiendo que L1 =4 H y L2 =2 H, calcular la intensidad iL2 (t) y la tensión u(t) para t>0.

+ _ Figura 1.116. Solución. En primer lugar se obtendrá la intensidad de cada una de las bobinas antes de que los interruptores cambien de posición, es decir, para el instante t=0− . Con respecto a la bobina 2, es fácil comprobar que no circula intensidad en ese instante, por tanto: iL2 (0− ) = 0 A Con respecto a la bobina 1, se tendrá en cuenta que el circuito se encuentra en régimen permanente antes de que los interruptores cambien de posición. Como, en esta situación, la fuente de excitación es de corriente continua, habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 1.117, donde la bobina se ha sustituido por un cortocircuito.

Figura 1.117. Circuito en t=0− . Según la Figura 1.117:

iL1 (0− ) = 3 A

Antes de que los interruptores cambien de posición, la intensidad que circula por cada bobina es diferente, concretamente por la bobina 1 circulan 3 A y por la bobina 2 no circula intensidad. Cuando los interruptores cambian de posición, ambas bobinas quedan conectadas en serie tal y como se muestra en la Figura 1.118.

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

+ _ Figura 1.118. Circuito para t>0. En el instante inmediatamente posterior al cambio de posición de los interruptores, por las bobinas circulará la misma intensidad a costa de que se produzca un impulso de tensión. En este proceso instantáneo, el flujo total en ambas bobinas no cambia. Tomando como referencia de intensidad resultante iL2 (t), entonces: iL2 (0+ ) =

−L1 · iL1 (0− ) + L2 · iL2 (0− ) −4 · 3 + 2 · 0 = = −2 A L1 + L2 4+2

Es importante destacar que, en la expresión anterior, es necesario cambiar de signo a la intensidad iL1 (0− ), ya que su sentido es contrario al sentido de la intensidad iL2 (t), tomada como referencia. En este caso particular, a partir del instante t=0+ , es decir para t>0, la intensidad en ambas bobinas permanece constante (Figura 1.119): iL1 (t) = 2 A ; iL2 (t) = −2 A

Figura 1.119. Evolución temporal de iL1 (t) y iL2 (t). Por otro lado, según las referencias de polaridad mostradas en la Figura 1.118, la relación entre la tensión y la intensidad de la bobina 2 es la siguiente: u(t) = L2 ·

diL2 (t) dt

Esta relación se puede expresar de la siguiente forma: u(t)dt = L2 ·

diL2 (t) dt dt

77

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

78

Integrando esta última expresión entre los límites infinitesimales de 0+ y 0− , que es el intervalo donde se produce la discontinuidad de intensidad en ambas bobinas, resulta: Z

0+

Z

0+

u(t)dt = 0−

0−

L2 ·

  diL2 (t) dt = L2 · iL2 (0+ ) − iL2 (0− ) = 2·[−2 − 0] = −4 Wb dt

Teniendo en cuenta la definición de la función delta de Dirac, se obtiene u(t) para t>0: u(t) = −4 · δ(t) V

P. 1.23. RL. Respuesta impulsional con excitación de alterna El circuito de la Figura 1.120 se encuentra en régimen permanente cuando en t=0 se cierra el interruptor k1 y se abre el interruptor k2. Sabiendo que L1 =0,3 H, L2 =0,1 H, eg1 (t)=50 sen(10t) V y eg2 (t)=25 sen(20t) V, calcular la intensidad iL2 (t) para t>0.

+

+

Figura 1.120. Solución. En primer lugar se obtendrá la intensidad de cada una de las bobinas antes de que los interruptores cambien de posición, es decir, para el instante t=0− . Con respecto a la bobina 1, es fácil comprobar que no circula intensidad en ese instante, por tanto: iL1 (0− ) = 0 A Con respecto a la bobina 2, se tendrá en cuenta que el circuito se encuentra en régimen permanente antes de que los interruptores cambien de posición. Como, en esta situación, la fuente de excitación es de corriente alterna, habrá que resolver el circuito en régimen permanente de alterna, para lo cual se usará el circuito en el dominio fasorial mostrado en la Figura 1.121, según el cual:

I L2

25 √ ∠0◦ 2 = ≈ 3,95∠ − 26,57◦ A 4 + 2j

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

+

Figura 1.121. Circuito en el dominio fasorial. Una vez calculada la intensidad en el dominio fasorial se obtiene la intensidad en el dominio temporal √ iL2 (t) = 3,95 2 sen(20t − 26,57◦ ) A cuyo valor para el instante t=0− es el siguiente: √ iL2 (0− ) = 3,95 2 sen(−26,57◦ ) ≈ −2,5 A

Antes de que se cierre al interruptor k1 y se abra el interruptor k2, la intensidad que circula por cada bobina es diferente, concretamente por la bobina 1 no circula intensidad mientras que por la bobina 2 circula un intensidad de −2,5 A. Cuando los interruptores cambian de posición, ambas bobinas quedan conectadas en serie, tal y como se muestra en la Figura 1.122.

+

Figura 1.122. Circuito para t>0. En el instante inmediatamente posterior al cambio de posición de los interruptores, por las bobinas circulará la misma intensidad a costa de que se produzca un impulso de tensión. En este proceso instantáneo, el flujo total en ambas bobinas no cambia. Tomando como referencia de intensidad resultante iL2 (t), entonces: iL2 (0+ ) =

L1 · iL1 (0− ) + L2 · iL2 (0− ) 0,3 · 0 − 0,1 · 2,5 = = −0,625 A L1 + L2 0,3 + 0,1

79

80

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos A partir del instante t=0+ , las dos bobinas quedan conectadas en serie con una intensidad inicial por cada una de ellas de −0,625 A. En esta situación, ambas bobinas se pueden sustituir por una única bobina equivalente de Leq = L1 + L2 = 0,3 + 0,1 = 0,4 H con una intensidad inicial de −0,625 A. De esta forma el circuito queda tal y como se muestra en la Figura 1.123, donde iL2 (0+ ) = −0,625 A

+

Figura 1.123. Circuito para t>0. A continuación se obtiene el valor de la intensidad iL2 (t) en régimen permanente. En este caso, la fuente de excitación es de corriente alterna. De esta forma habrá que resolver el circuito en régimen permanente de alterna, para lo cual se usará el circuito en el dominio fasorial mostrado en la Figura 1.124.

+

Figura 1.124. Circuito en el dominio fasorial. Según la Figura 1.124:

p I L2

50 √ ∠0◦ 2 = = 6,25∠ − 45◦ A 4 + 4j

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

81

Una vez obtenida la intensidad en régimen permanente en el dominio fasorial se obtendrá la intensidad en régimen permanente en el dominio temporal: √ ipL2 (t) = 6,25 2 sen(10t − 45◦ ) A cuyo valor para t=0+ es el siguiente: √ ipL2 (0+ ) = 6,25 2 sen(−45◦ ) = −6,25 A Al ser un circuito RL, la constante de tiempo (para t>0) es la siguiente: τ=

Leq 0,4 1 = = s R 4 10

Una vez obtenida la condición inicial, la respuesta en régimen permanente y la constante de tiempo, a continuación se obtiene iL2 (t) para t>0:   iL2 (t) = ipL2 (t) + iL2 (0+ ) − ipL2 (0+ ) · e−t/τ √ = 6,25 2 sen(10t − 45◦ ) + [−0,625 + 6,25] · e−10t A En la Figura 1.125 se ha representado gráficamente la evolución temporal de iL2 (t). 10.0

iL2 (t) [A]

5.0 0.0 −2.5 −5.0 −10.0 −0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

t [s]

Figura 1.125. Evolución temporal de iL2 t).

3.0

3.5

4.0

82

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

P. 1.24. RC. Equivalente Thévenin con excitación de continua El interruptor del circuito de la Figura 1.126 se cierra en t=0. Sabiendo que uC (0− )=6 V, calcular la tensión uC (t) para t>0.

+

+ + _

+ _

_

Figura 1.126. Solución. Para facilitar el estudio del transitorio, se obtendrá el equivalente Thévenin visto desde los terminales del condensador (terminales a y b), tal y como se muestra en la Figura 1.127.

+

+ + _

_

Figura 1.127. Circuito visto desde los terminales del condensador. Para obtener el equivalente Thévenin se calculará en primer lugar la tensión a circuito abierto y posteriormente la intensidad de cortocircuito. Con respecto al cálculo de la tensión a circuito abierto entre los terminales a y b, en la Figura 1.128 se muestra el circuito que hay que resolver. Se usará el método de análisis por mallas. Según la Figura 1.128:      15 −5 I1 8 − 5uR (t) = −5 25 I2 5uR (t) A continuación es necesario relacionar la variable de control de la fuente dependiente, uR (t), con las intensidades de malla. Según la Figura 1.128: uR (t) = 5 · I2

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

+

+

_

83

+ + _

_

Figura 1.128. Circuito para calcular la tensión a circuito abierto entre los terminales a y b . En consecuencia:



15 −5

    −5 I1 8 − 5 · 5 · I2 = 25 I2 5 · 5 · I2

Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de mallas:      15 20 I1 8 = −5 0 I2 0 Resolviendo, se obtienen las intensidades de malla: I1 = 0 A ; I2 =

8 A 20

Por tanto, la tensión uab (t) se calcula como sigue: uab (t) = 8 − 6 · I1 = 8 V Por otro lado, a continuación se calculará la intensidad de cortocircuito entre los terminales a y b, tal y como se muestra en la Figura 1.129.

+

+ + _

_

Figura 1.129. Circuito para calcular la intensidad de cortocircuito entre terminales a y b.

84

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos Aplicando nuevamente el método de análisis por mallas:      6 0 0 I1 8 0 9 −5 I2  = −5uR (t) 0 −5 25 I3 5uR (t) A continuación es necesario relacionar la variable de control de la fuente dependiente, uR (t), con las intensidades de malla. Según la Figura 1.129: uR (t) = 5 · I3 En consecuencia:  6 0 0

0 9 −5

    0 I1 8 −5 I2  = −5 · 5 · I3  25 I3 5 · 5 · I3

Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de mallas:      6 0 0 I1 8 0 9 20 I2  = 0 0 −5 0 I3 0 Resolviendo, se obtienen las intensidades de malla: I1 =

8 A ; I2 = 0 A ; I3 = 0 A 6

Por tanto, la intensidad icc (t) se calcula como sigue: icc (t) = I1 − I2 =

8 A 6

Una vez obtenida la tensión a circuito abierto y la intensidad de cortocircuito entre los terminales a y b, se calcula la resistencia equivalente (resistencia Thévenin) de la siguiente forma: u (t) 8 Req = ab = 6Ω = icc (t) 8/6 De esta forma se llega al circuito RC de la Figura 1.130. Según el enunciado, antes de cerrar el interruptor, es decir para t=0− , la tensión del condensador es: uC (0− )=6 V. Salvo respuesta de tipo impulsional, la tensión en el condensador no varía al cerrar interruptor, por tanto: uC (0+ ) = uC (0− ) = 6 V A continuación se obtendrá la tensión del condensador en régimen permanente, upC (t). En este caso, una vez cerrado el interruptor, la única fuente de excitación es de corriente continua, por lo que habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

+

+ _

Figura 1.130. Circuito RC resultante. mostrado en la Figura 1.131, donde el condensador se ha sustituido por un circuito abierto.

+

+ _

Figura 1.131. Circuito en régimen permanente de corriente continua. Según la Figura 1.131: Asimismo:

upC (t) = 8 V upC (0+ ) = 8 V

Al ser un circuito de tipo RC, la constante de tiempo es la siguiente: τ = Req C = 6 · 1 = 6 s En consecuencia, la tensión uC (t) para t>0 es la siguiente:   uC (t) = upC (t) + uC (0+ ) − upC (0+ ) · e−t/τ = 8 + [6 − 8] · e−t/6 = 8 − 2 · e−t/6 V

85

86

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

P. 1.25. RC. Equivalente Thévenin con excitación de continua El circuito de la Figura 1.132 se encuentra en régimen permanente cuando en t=0 se cierra el interruptor. Calcular la tensión uC (t) para t>0.

+

+

+ _ _ Figura 1.132.

Solución. Para facilitar el estudio del transitorio, se obtendrá el equivalente Thévenin visto desde los terminales del condensador (una vez cerrado el interruptor), tal y como se muestra en la Figura 1.133. Para mayor claridad se ha sustituido la variable de control uC (t) por uα (t).

+

+

+ _ _ Figura 1.133. Circuito visto desde los terminales del condensador.

Para obtener el equivalente Thévenin se calculará en primer lugar la tensión a circuito abierto y posteriormente la intensidad de cortocircuito. Con respecto al cálculo de la tensión a circuito abierto entre los terminales a y b, en la Figura 1.134 se muestra el circuito que hay que resolver.

+

+ + _ _

+ _

Figura 1.134. Circuito para calcular la tensión a circuito abierto entre los terminales a y b .

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

87

Según la Figura 1.134: ) 10 = 3 · i(t) + 2uα (t)

uα (t) = −0,5i(t) · 1

⇒ uα (t) = −2,5 V

Por tanto la tensión a circuito abierto entre los terminales a y b es la siguiente: uab (t) = uα (t) = −2,5 V Por otro lado, a continuación se calculará la intensidad de cortocircuito entre los terminales a y b, tal y como se muestra en la Figura 1.135.

+

+

+ _ _

Figura 1.135. Circuito para calcular la intensidad de cortocircuito entre terminales a y b. Según la Figura 1.135:  10 = 3 · i(t) + 2uα (t) 

uα (t) = 0

icc (t) = −0,5i(t) · 1

 

⇒ icc (t) =

−5 A 3

Una vez obtenida la tensión a circuito abierto y la intensidad de cortocircuito entre los terminales a y b, se calcula la resistencia equivalente (resistencia Thévenin) de la siguiente forma: u (t) −2,5 Req = ab = = 1,5 Ω icc (t) −5/3 De esta forma, para t>0, se llega al circuito RC de la Figura 1.136.

+

+ _

Figura 1.136. Circuito RC resultante.

88

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos Según el enunciado, antes de cerrar el interruptor, es decir, para t=0− , el circuito está en régimen permanente. En esta situación es fácil comprobar que uC (0− )=0 V. Salvo respuesta de tipo impulsional, la tensión en el condensador no varía al cerrar interruptor, por tanto: uC (0+ ) = uC (0− ) = 0 V A continuación se obtendrá la tensión del condensador en régimen permanente, upC (t). En este caso, una vez cerrado el interruptor, la única fuente de excitación es de corriente continua, por lo que habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 1.137, donde el condensador se ha sustituido por un circuito abierto.

+

+ _

Figura 1.137. Circuito en régimen permanente de corriente continua. Según la Figura 1.137: Asimismo:

upC (t) = −2,5 V upC (0+ ) = −2,5 V

Al ser un circuito de tipo RC, la constante de tiempo es la siguiente: τ = Req C = 1,5 · 1 =

3 s 2

En consecuencia, la tensión uC (t) para t>0 es la siguientes:   uC (t) = upC (t) + uC (0+ ) − upC (0+ ) · e−t/τ

= −2,5 + [0 + 2,5] · e−2t/3 = −2,5 · (1 − e−2t/3 ) V

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

89

P. 1.26. RC. Constante de tiempo infinita con excitación de alterna El circuito de la Figura 1.138 se encuentra en régimen permanente cuando en t=0 los interruptores cambian de posición. Sabiendo que ig (t)=6 cos(10t + 30◦ ) A, calcular la tensión uC (t) para t>0.

+

+ _

Figura 1.138. Solución. En primer lugar se obtendrá la tensión en el condensador antes de que los interruptores cambien de posición, es decir, para el instante t=0− . Para ello se tendrá en cuenta que el circuito se encuentra en régimen permanente antes de que los interruptores cambien de posición. Como, en esta situación, la única fuente de excitación es de corriente continua, habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 1.139, donde el condensador se ha sustituido por un circuito abierto.

+

+ _

Figura 1.139. Circuito en t=0− . A partir de la Figura 1.139 se obtiene la tensión en el condensador en t=0− : uC (0− ) = 10 V Salvo respuesta de tipo impulsional, que no es el caso, la tensión en el condensador no varía al cambiar de posición los interruptores, por tanto: uC (0+ ) = uC (0− ) = 10 V Una vez los interruptores cambian de posición, el circuito resultante es el mostrado en la Figura 1.140. Se puede observar que se ha sustituido la fuente de intensidad conectada en serie con la resistencia por su equivalente, quedando únicamente dicha fuente de intensidad.

90

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

+ _

+ _

Figura 1.140. Circuito para t>0. La tensión uC (t) se puede obtener de la siguiente forma:   uC (t) = upC (t) + uC (0+ ) − upC (0+ ) · e−t/τ En este caso particular, tal y como se muestra en la Figura 1.140, el circuito tiene una resistencia infinita vista desde los terminales del condensador y por tanto la constante de tiempo también resulta infinita. Hay que destacar que para calcular la resistencia equivalente es necesario pasivar el circuito, de forma que quedaría el condensador a circuito abierto. Al ser la constante de tiempo infinita, entonces: uC (t) = upC (t) + uC (0+ ) − upC (0+ ) A continuación se obtendrá la tensión del condensador en régimen permanente, upC (t). En este caso, como la única fuente de excitación es de corriente alterna, habrá que resolver el circuito en el dominio fasorial mostrado en la Figura 1.141.

+ _ Figura 1.141. Circuito en el dominio fasorial. Según la Figura 1.141: 6 −j 6 p √ ∠ − 60◦ V U C = √ ∠30◦ · = 5 2 5· 2 Una vez obtenida la tensión en régimen permanente en el dominio fasorial se obtendrá la tensión en régimen permanente en el dominio temporal: upC (t) =

6 · cos(10t − 60◦ ) V 5

cuyo valor para t=0+ es el siguiente: upC (0+ ) =

6 6 · cos(−60◦ ) = V 5 10

Capítulo 1. Transitorios de primer orden

91

Por tanto: uC (t) = upC (t) + uC (0+ ) − upC (0+ ) =

6 6 · cos(10t − 60◦ ) + 10 − 5 10

= 1,2 · cos(10t − 60◦ ) + 9,4 Otra formar de resolver el problema es analizado directamente el circuito de la Figura 1.140, según el cual 4 : uC (t) = uC (0+ ) +

1 0,5

Z

t

0+

ig (λ)dλ

Sustituyendo valores resulta: 1 uC (t) = 10+ 0,5

Z

t

6 cos(10λ+30◦ )dλ = 10+12·

0+

1 ·[sen(10t + 30◦ ) − sen 30◦ ] 10

Por tanto: uC (t) = 10 + 1,2 · [sen(10t + 30◦ ) − sen 30◦ ] = 9,4 + 1,2 · sen(10t + 30◦ ) V En la Figura 1.142 se ha representado gráficamente la evolución temporal de uC (t). 10

uC (t) [V]

8 6 4 2 0 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

t [s]

Figura 1.142. Evolución temporal de uC (t).

4

Se ha usado la variable λ para evitar que coincidan la variable de integración con el límite superior de integración.

92

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

P. 1.27. RC. Respuesta impulsional, transitorios concatenados, constante de tiempo infinita, excitación de continua En el circuito de la Figura 1.143 se sabe que uC1 (0− )=0 V, uC2 (0− )=5 V, C1 =3 F y C2 =2 F. Calcular la tensión uC1 (t) para t>0.

+

+

_

_

Figura 1.143. Solución. Según la Figura 1.143, el primer interruptor se cierra en t=0, el segundo en t=1 s y el tercero se abre en t=2 s. Por tanto, se analizará un primer circuito en el intervalo de tiempo 00: √ iL (t) = 2 · 1,7 cos(40t − 30,96◦ ) − 2,39 · e−10t − 1,67 · e−40t A En la Figura 2.40 se ha representado la evolución temporal de iL (t). 4 2

iL (t) [A]

144

0 −2 −4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

t [s]

Figura 2.40. Evolución temporal de iL (t).

0.7

0.8

Capítulo 2. Transitorios de segundo orden

P. 2.7. RLC serie críticamente amortiguado con excitación de continua El circuito de la Figura 2.41 se encuentra en régimen permanente cuando en t=0 se abre el interruptor. Calcular la tensión uC (t) para t>0.

+ _

Figura 2.41. Solución. Según el enunciado, antes de abrir el interruptor, el circuito se encuentra en régimen permanente. Como, en esta situación, la única fuente de excitación es de corriente continua, para calcular las magnitudes de interés en t=0− habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 2.42, donde el condensador se ha sustituido por un circuito abierto y la bobina se ha sustituido por un cortocircuito. Es importante destacar que, aparte de la tensión del condensador, también se ha representado la intensidad que circula por la bobina ya que será necesaria para el posterior cálculo de las condiciones iniciales.

+ _

Figura 2.42. Circuito en régimen permanente de continua para t=0− . El circuito de la Figura 2.42 se puede simplificar sustituyendo ambas fuentes reales de intensidad por su correspondiente equivalente en forma de fuente real de tensión tal y como se muestra en la Figura 2.43, según el cual: iL (0− ) =

20 − 5 = 5 · 10−3 A 2 · 103 + 1 · 103

En consecuencia: uC (0− ) = 20 − 2 · 103 · iL (0− ) = 20 − 2 · 103 · 5 · 10−3 = 10 V

145

146

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

+

+

+ _

Figura 2.43. Circuito en régimen permanente de continua equivalente para t=0− .

Una vez abierto el interruptor, es decir para t>0, el circuito resultante se muestra en la Figura 2.44.

+ _

Figura 2.44. Circuito para t>0.

A continuación se calculan las condiciones iniciales de uC (t): uC (0+ ) y u′C (0+ ). Para ello se analiza el circuito en t=0+ , que se obtiene sustituyendo el condensador por una fuente de tensión de valor uC (0+ ) y la bobina por una fuente de intensidad de valor iL (0+ ). Salvo respuesta de tipo impulsional, la tensión en el condensador y la intensidad por la bobina no varía de t=0− a t=0+ . Por lo tanto: iL (0+ ) = iL (0− ) = 5 · 10−3 A ; uC (0+ ) = uC (0− ) = 10 V De esta forma, el circuito en t=0+ se muestra en la Figura 2.45.

+

Figura 2.45. Circuito en t=0+ .

Capítulo 2. Transitorios de segundo orden

147

Analizando el circuito de la Figura 2.45 se obtiene iC (0+ ) y a partir de la cual el valor de u′C (0+ ): i (0+ ) 5 · 10−3 = 5 · 104 V/s u′C (0+ ) = C = C 0,1 · 10−6 Seguidamente se calcula la tensión uC (t) en régimen permanente. Como la única fuente de excitación es de corriente continua entonces habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua que se muestra en la Figura 2.46, donde el condensador se ha sustituido por un circuito abierto y la bobina por un cortocircuito.

+ _

Figura 2.46. Circuito en regimen permanente de continua. Según la Figura 2.46: upC (t) = 10 · 10−3 · 2 · 103 = 20 V La respuesta natural en un circuito de segundo orden está caracterizada por el valor del coeficiente de amortiguamiento, α, y de la pulsación de resonancia, ω0 . Al tratarse de una circuito RLC serie, los valores de dichos parámetros se obtienen en función de los valores de R, L y C según: α=

R 2 · 103 1 1 = = 104 s−1 ; ω0 = √ =p = 104 rad s−1 2L 2 · 0,1 LC 0,1 · 0,1 · 106

Como α=ω0 entonces la respuesta natural es críticamente amortiguada: unC (t) = (K1 + K2 · t) · e−αt La respuesta del circuito se obtiene como suma de la respuesta en régimen permanente y la respuesta natural. Por tanto: 4

uC (t) = upC (t) + unC (t) = 20 + (K1 + K2 · t) · e−10

t

El valor de las constantes K1 y K2 se calculan a partir de las condiciones iniciales: ) uC (0+ ) = 10 = 20 + K1 =⇒ K1 = −10 V ; K2 = −5 · 104 V/s u′C (0+ ) = 5 · 104 = −104 K1 + K2 Por tanto:

4

uC (t) = 20 + (−10 − 5 · 104 · t) · e−10 t V

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos En la Figura 2.47 se ha representado la evolución temporal de uC (t). 20 18

uC (t) [V]

148

16 14 12 10 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

t [ms]

Figura 2.47. Evolución temporal de uC (t).

P. 2.8. RLC paralelo sobreamortiguado sin fuentes de excitación El circuito de la Figura 2.48 se encuentra en régimen permanente cuando en t=0 los interruptores cambian de posición. Calcular uC (0+ ), iC (0+ ), iL (0+ ), iR (0+ ) y uC (10 µs).

+

+ _

Figura 2.48. Solución. Según el enunciado, antes de que los interruptores cambien de posición, el circuito se encuentra en régimen permanente. Como, en esta situación, la única fuente de excitación es de corriente continua, habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 2.49, donde el condensador se ha sustituido por un circuito abierto y la bobina se ha sustituido por un cortocircuito. Según la Figura 2.49:

Capítulo 2. Transitorios de segundo orden

+

+ _

Figura 2.49. Circuito en régimen permanente de continua para t=0− . −150 = −0,3 A 300 + 200 200 = 60 V uC (0− ) = 150 · 300 + 200 iL (0− ) =

Una vez que los interruptores han cambiado de posición, es decir para t>0, el circuito resultante se muestra en la Figura 2.50.

+ _

Figura 2.50. Circuito para t>0. Para calcular el valor de las magnitudes en t=0+ se analizará el circuito en dicho instante, el cual se obtiene sustituyendo el condensador por una fuente de tensión de valor uC (0+ ) y la bobina por una fuente de intensidad de valor iL (0+ ). Como es sabido, salvo respuesta de tipo impulsional, la tensión en el condensador y la intensidad por la bobina no varía de t=0− a t=0+ . Por lo tanto: iL (0+ ) = iL (0− ) = −0,3 A ; uC (0+ ) = uC (0− ) = 60 V De esta forma, el circuito en t=0+ se muestra en la Figura 2.51, según el cual: 60 = 0,3 A 200 iC (0+ ) = −(−0,3 + iR (0+ )) = −(−0,3 + 0,3) = 0 A iR (0+ ) =

149

150

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

+

Figura 2.51. Circuito en t=0+ . A partir de iC (0+ ) se puede calcular el valor de u′C (0+ ), que se necesitará para obtener uC (t): 0 i (0+ ) = u′C (0+ ) = C = 0 V/s C 0,02 · 10−6

La respuesta natural en un circuito de segundo orden está caracterizada por el valor del coeficiente de amortiguamiento, α, y de la pulsación de resonancia, ω0 . Al tratarse de una circuito RLC paralelo, los valores de dichos parámetros se obtienen en función de los valores de R, L y C según: G 1/200 = = 125 · 103 s−1 2C 2 · 0,02 · 10−6 1 1 ω0 = √ =p = 100 · 103 rad s−1 −3 LC 5 · 10 · 0,02 · 10−6 α=

Como α>ω0 entonces la respuesta natural es sobreamortiguada: unC (t) = K1 · es1 t + K2 · es2 t donde q

p (125 · 103 )2 − (100 · 103 )2 = −5 · 104 s−1 q p s2 = −α − α2 − ω02 = −125 · 103 − (125 · 103 )2 − (100 · 103 )2 = −2 · 105 s−1

s1 = −α +

α2 − ω02 = −125 · 103 +

Como el circuito para t>0 no tiene fuentes de excitación entonces no habrá respuesta en régimen permanente. Por tanto: 4

5

uC (t) = unC (t) = K1 · e−5·10 t + K2 · e−2·10 t V El valor de las constantes K1 y K2 se calculan a partir de las condiciones iniciales: ) uC (0+ ) = 60 = K1 + K2 =⇒ K1 = 80 V ; K2 = −20 V u′C (0+ ) = 0 = −5 · 104 K1 − 2 · 105 K2 Por tanto, para t>0: 4

5

uC (t) = 80 · e−5·10 t − 20 · e−2·10 t V

Capítulo 2. Transitorios de segundo orden

151

El valor de uC (t) para t=10 µs es el siguiente: 4

uC (10 µs) = 80 · e−5·10

·10·10−6

5

− 20 · e−2·10

·10·10−6

≈ 45,8 V

En la Figura 2.52 se ha representado la evolución temporal de uC (t).

uC (t) [V]

60

40

20

0 0.000

0.025

0.050

0.075

0.100

0.125

0.150

t [ms]

Figura 2.52. Evolución temporal de uC (t).

0.175

0.200

152

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

P. 2.9. RLC paralelo críticamente amortiguado con excitación de alterna El circuito de la Figura 2.53 se encuentra en régimen permanente cuando en t=0 los interruptores cambian de posición. Sabiendo que e(t)=326 sen(100t − 30◦ ) V, calcular la intensidad iC (t) para t>0.

+

+

Figura 2.53. Solución. Según el enunciado, antes de que los interruptores cambien de posición, el circuito se encuentra en régimen permanente. Como, en esta situación, la única fuente de excitación es de corriente continua, habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 2.54 donde el condensador se ha sustituido por un circuito abierto y la bobina se ha sustituido por un cortocircuito.

+

+

_

Figura 2.54. Circuito en régimen permanente de continua para t=0− . Hay que destacar que en t=0− interesa calcular la intensidad por la bobina y la tensión en el condensador ya que dichos valores permitirán resolver el circuito en t=0+ . Según la Figura 2.54: 200 = 2A 50 + 50 uC (0− ) = 50 · iL (0− ) = 50 · 2 = 100 V iL (0− ) =

Capítulo 2. Transitorios de segundo orden

153

Una vez que los interruptores cambian de posición, es decir, para t>0, el circuito resultante se muestra en la Figura 2.55.

+

Figura 2.55. Circuito para t>0. A continuación se calculan las condiciones iniciales de iC (t): iC (0+ ) y i′C (0+ ). Para ello se analiza el circuito en t=0+ , que se obtiene sustituyendo el condensador por una fuente de tensión de valor uC (0+ ), la bobina por una fuente de intensidad de valor iL (0+ ) y la fuente de tensión de corriente alterna por una fuente de tensión cuyo valor es e(0+ ). Salvo respuesta de tipo impulsional, la tensión en el condensador y la intensidad por la bobina no varía de t=0− a t=0+ . Por lo tanto: iL (0+ ) = iL (0− ) = 2 A ; uC (0+ ) = uC (0− ) = 100 V De esta forma, el circuito en t=0+ se muestra en la Figura 2.56.

+

+

+

_

Figura 2.56. Circuito en t=0+ . Según la Figura 2.56: 100 = 0,5 A 200 326 sen(−30◦ ) − 100 −163 − 100 ie (0+ ) = = = −1,315 A 200 200

iR (0+ ) =

154

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos Por tanto: iC (0+ ) = ie (0+ ) − iR (0+ ) − 2 = −1,315 − 0,5 − 2 = −3,815 A Por otro lado, según la Figura 2.56: uL (0+ ) = 100 V A partir de iC (0+ ) y uL (0+ ) se obtiene el valor de i′L (0+ ) y u′C (0+ ): uL (0+ ) 100 = = 50 A/s L 2 i (0+ ) −3,815 u′C (0+ ) = C = = −76 300 V/s C 50 · 10−6 i′L (0+ ) =

Seguidamente se analiza el circuito derivado en t=0+ , que se obtiene sustituyendo el condensador por una fuente de tensión de valor u′C (0+ ), la bobina por una fuente de intensidad de valor i′L (0+ ) y la fuente de excitación por una fuente de corriente continua cuyo valor es la derivada de su función en t=0+ . De esta forma, el circuito derivado en t=0+ se muestra en la Figura 2.57.

+

+

+

_

Figura 2.57. Circuito derivado en t=0+ . Según la Figura 2.56: −76 300 = −381,5 A/s 200 326 · 100 cos(−30◦ ) + 76 300 28 232,43 + 76 300 i′e (0+ ) = ≈ = 522,66 A/s 200 200

i′R (0+ ) =

Por tanto: i′C (0+ ) = i′e (0+ ) − i′R (0+ ) − 50 = 522,66 + 381,5 − 50 = 854,16 A/s A continuación se calcula la intensidad ipC (t) correspondiente al régimen permanente. Como la única fuente de excitación es de corriente alterna entonces habrá que resolver

Capítulo 2. Transitorios de segundo orden el circuito en régimen permanente de alterna, para lo cual se hará uso del circuito en el dominio fasorial mostrado en la Figura 2.58.

+

Figura 2.58. Circuito en el dominio fasorial. El circuito de la Figura 2.58 se puede simplificar sustituyendo la fuente real de tensión por su correspondiente equivalente en forma de fuente real de intensidad tal y como se muestra en la Figura 2.59.

Figura 2.59. Circuito en el dominio fasorial. p

Analizando el circuito de la Figura 2.58 se obtiene I C aplicando el concepto de divisor de intensidad: p

IC =

326 (1/ − 200j) √ ∠ − 30◦ · ≈ 0,58∠60◦ A (1/100) + (1/200j) + (1/ − 200j) 200 · 2

Una vez calculada la magnitud de interés en el dominio fasorial, es necesario obtener la función temporal asociada a dicho fasor: √ ipC (t) = 2 · 0,58 sen(100t + 60◦ ) A La respuesta natural en un circuito de segundo orden está caracterizada por el valor del coeficiente de amortiguamiento, α, y de la pulsación de resonancia, ω0 . Al tratarse de una circuito RLC paralelo, los valores de dichos parámetros se obtienen en función de los

155

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

156

valores de R, L y C según: Geq (1/200) + (1/200) = 100 s−1 = 2C 2 · 50 · 10−6 1 1 ω0 = √ =√ = 100 rad s−1 LC 2 · 50 · 10−6 α=

Como α=ω0 entonces la respuesta natural es críticamente amortiguada: inC (t) = (K1 + K2 · t) · e−αt La respuesta del circuito se obtiene como suma de la respuesta en régimen permanente y la respuesta natural. Por tanto: √ iC (t) = ipC (t) + inC (t) = 2 · 0,58 sen(100t + 60◦ ) + (K1 + K2 · t) · e−100t El valor de las constantes K1 y K2 se calculan a partir de las condiciones iniciales: ) √ iC (0+ ) = −3,815 = 2 · 0,58 sen(60◦ ) + K1 K1 ≈ −4,5 A =⇒ √ K2 ≈ 361 A/s i′ (0+ ) = 854,16 = 2 · 0,58 · 100 cos(60◦ ) − 100K + K C

1

2

Por tanto:

iC (t) =

√

2 · 0,58 sen(100t + 60◦ ) + (−4,5 + 361 · t) · e−100t A

En la Figura 2.60 se ha representado la evolución temporal de iC (t). 1

iC (t) [A]

0 −1 −2 −3 −4 0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

t [s]

Figura 2.60. Evolución temporal de iC (t).

0.25

0.30

Capítulo 2. Transitorios de segundo orden

157

P. 2.10. Obtención de la ecuación diferencial En el circuito de la Figura 2.61 deducir la ecuación diferencial de la intensidad i(t) en función de eg (t), R1 , R2 , L y C.

_+ Figura 2.61. Solución. Para facilitar la notación se han incluido una serie de variables que se muestran en la Figura 2.62.

+

_

_+

+ _

Figura 2.62. Aplicando la ley de Kirchhoff de tensiones al bucle formado por eg (t), R1 , L y C resulta: eg (t) = R1 · i(t) + uL (t) + uC (t) Sabiendo que uL = L ·

(2.67)

di1 (t) dt

entonces (2.67) queda como sigue: eg (t) = R1 · i(t) + L ·

di1 (t) + uC (t) dt

Si se deriva la ecuación (2.68) deg (t) di(t) d2 i1 (t) duC (t) = R1 · +L· + dt dt dt2 dt

(2.68)

158

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos y se tiene en cuenta que i1 = C ·

duC (t) dt

entonces:

deg (t) di(t) d2 i1 (t) i1 (t) + = R1 · +L· dt dt dt2 C Solo resta encontrar una relación entre i(t) e i1 (t). Dicha relación se obtiene aplicando la ley de Kirchhoff de tensiones al bucle formado por los elementos eg (t), R1 y R2 eg (t) = R1 · i(t) + R2 · (i(t) − i1 (t)) ⇒ i1 (t) =

(R1 + R2 ) · i(t) − eg (t) R2

Sustituyendo y reordenando términos resulta: eg (t) d2 eg (t) R1 R2 R deg (t) d2 i(t) di(t) i(t) 1 · + = · + + + 2 · 2 dt L (R1 + R2 ) dt LC (R1 + R2 ) dt2 L dt LC(R1 + R2 )

!

Capítulo 2. Transitorios de segundo orden

159

P. 2.11. Obtención de la ecuación diferencial El circuito de la Figura 2.63 está en régimen permanente antes de que el conmutador cambie de posición. Se pide: a) Obtener la ecuación diferencial que permite calcular u(t) para t>0. b) A partir de la ecuación diferencial obtenida en el apartado anterior calcular el coeficiente de amortiguamiento y la pulsación de resonancia, y en función de dichos valores deducir que tipo de respuesta natural tiene el circuito. c) Calcular u(0+ ) y u′ (0+ ).

+

+

+

_ Figura 2.63. Solución. a) Para t>0, el circuito resultante se muestra en la Figura 2.64, donde, además, se han incluido una serie de variables para facilitar la notación.

+

+

_

+ _

Figura 2.64. Circuito para t>0 s. Aplicando la ley de Kirchhoff de tensiones al bucle formado por la bobina, resistencia y condensador resulta: 24 = uL (t) + 10 · i(t) + u(t) Sabiendo que uL (t) = 2 ·

di(t) dt

(2.69)

160

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos entonces (2.69) queda como sigue: 24 = 2 ·

di(t) + 10 · i(t) + u(t) dt

(2.70)

Aplicando la ley de Kirchhoff de intensidades resulta: i(t) = iC (t) + iR (t) Sabiendo que u(t) = 2 · iR (t) ; iC (t) =

(2.71)

1 du(t) · 4 dt

entonces (2.71) queda como sigue: i(t) =

1 du(t) u(t) · + 4 dt 2

(2.72)

Sustituyendo (2.72) en (2.70) resulta:     d 1 du(t) u(t) 1 du(t) u(t) 24 = 2 · · + + 10 · · + + u(t) dt 4 dt 2 4 dt 2 Efectuando operaciones y reordenando términos resulta: du(t) d2 u(t) +7· + 12 · u(t) = 48 2 dt dt

(2.73)

b) Analizando la ecuación diferencial (2.73) se obtiene el coeficiente de amortiguamiento, α y la pulsación de resonancia, ω0 : 7 = 3,5 s−1 2√ ω02 = 12 ⇒ ω0 = 12 ≈ 3,46 rad s−1

2α = 7 ⇒ α =

Como α>ω0 , entonces la respuesta natural es sobreamortiguada. c) Para calcular u(0+ ) y u′ (0+ ) se analizará en primer lugar el circuito en t=0− . Según el enunciado, antes de que el interruptor cambie de posición, el circuito se encuentra en régimen permanente. Como la única fuente de excitación es de corriente continua entonces habrá que resolver el correspondiente circuito en régimen permanente de continua que se obtiene sustituyendo la bobina por un cortocircuito y el condensador por un circuito abierto tal y como se muestra en la Figura 2.65, según el cual: iL (0− ) =

12 = 1 A ; uC (0− ) = 2 · 1 = 2 V 10 + 2

Capítulo 2. Transitorios de segundo orden

+

+ _

Figura 2.65. Circuito para t=0− s. Salvo respuesta de tipo impulsional, la tensión en el condensador y la intensidad por la bobina no varía de t=0− a t=0+ . Por lo tanto: iL (0+ ) = iL (0− ) = 1 A ; uC (0+ ) = uC (0− ) = 2 V Para obtener u(0+ ) se analiza el circuito en t=0+ , que se obtiene sustituyendo el condensador por una fuente de tensión de valor uC (0+ ) y la bobina por una fuente de intensidad de valor iL (0+ ). De esta forma, el circuito en t=0+ se muestra en la Figura 2.66.

+

+

+ _

Figura 2.66. Circuito en t=0+ . Analizando el circuito de la Figura 2.66 se obtiene u(0+ ) y iC (0+ ) u(0+ ) = 2 V iC (0+ ) = 1 −

2 u(0+ ) = 1 − = 0A 2 2

Conocida iC (0+ ) y teniendo en cuenta que u(t)=uC (t) entonces: u′ (0+ ) = u′C (0+ ) =

iC (0+ ) 0 = = 0 V/s C 1/4

161

162

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

P. 2.12. RLC serie sobreamortiguado con equivalente Thévenin de continua En el circuito de la Figura 2.67, calcular la tensión en el condensador uC (t) para t>0, sabiendo que uC (0− )=20 V.

+ _

_+

+ _

Figura 2.67. Solución. Para facilitar el estudio del transitorio, se obtendrá el equivalente Thévenin visto desde los terminales del conjunto bobina-condensador, tal y como se muestra en la Figura 2.68.

+ _

_+

Figura 2.68. Circuito visto desde los terminales del conjunto bobina-condensador. Para obtener el equivalente Thévenin se calculará en primer lugar la tensión a circuito abierto y posteriormente la intensidad de cortocircuito. Con respecto al cálculo de la tensión a circuito abierto entre los terminales a y b, en la Figura 2.69 se muestra el circuito que hay que resolver.

+

_

+ _

+ _

Figura 2.69. Circuito para calcular la tensión a circuito abierto entre los terminales a y b.

Capítulo 2. Transitorios de segundo orden Según la Figura 2.69, aplicando la ley de Kirchhoff de tensiones: 10 = −7 · i(t) + 2i(t) ⇒ i(t) = Por otro lado:

−10 = −2 A 5

uab (t) = 2i(t) = 2 · (−2) = −4 V

A continuación se calculará la intensidad de cortocircuito entre los terminales a y b, tal y como se muestra en la Figura 2.70.

+ _

_+

Figura 2.70. Circuito para calcular la intensidad de cortocircuito entre terminales a y b. Según la Figura 2.70, aplicando de nuevo la ley de Kirchhoff de tensiones: 10 = −7 · i(t) + 2i(t) ⇒ i(t) =

−10 = −2 A 5

Por otro lado: 2i(t) = 4 · icc (t) ⇒ icc (t) =

2i(t) 2 · (−2) = = −1 A 4 4

Una vez obtenida la tensión a circuito abierto y la intensidad de cortocircuito entre los terminales a y b, se calcula la resistencia equivalente (resistencia Thévenin) de la siguiente forma: u (t) −4 Req = ab = 4Ω = icc (t) −1 De esta forma se llega al circuito RLC serie de la Figura 2.71.

_+

+ _

Figura 2.71. Circuito RLC resultante.

163

164

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos A continuación se calcularán las condiciones iniciales de la variable de interés: uC (0+ ) y u′C (0+ ). Para lo cual se analiza el circuito en t=0+ , que se obtiene sustituyendo el condensador por una fuente de tensión de valor uC (0+ ) y la bobina por una fuente de intensidad de valor iL (0+ ). Salvo respuesta de tipo impulsional, la tensión en el condensador y la intensidad por la bobina no varía de t=0− a t=0+ . Por lo tanto: iL (0+ ) = iL (0− ) = 0 A ; uC (0+ ) = uC (0− ) = 20 V De esta forma, el circuito en t=0+ se muestra en la Figura 2.72.

+

_+

Figura 2.72. Circuito en t=0+ . Según la Figura 2.72 se obtiene la intensidad iC (0+ ) y, a partir de esta, el valor de

u′C (0+ ):

u′C (0+ ) =

0 iC (0+ ) = = 0 V/s C 1/40

Seguidamente se calcula la tensión uC (t) en régimen permanente. Como la única fuente de excitación es de corriente continua entonces habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua que se muestra en la Figura 2.73, en el cual se ha sustituido la bobina por un cortocircuito y el condensador por un circuito abierto.

+ _

_+

Figura 2.73. Circuito en régimen permanente de continua. Según la Figura 2.73:

upC (t) = −4 V

La respuesta natural en un circuito de segundo orden está caracterizada por el valor del coeficiente de amortiguamiento, α, y de la pulsación de resonancia, ω0 . Al tratarse de un circuito RLC serie, los valores de dichos parámetros se obtienen en función de los valores

Capítulo 2. Transitorios de segundo orden de R, L y C según: α=

R 4 1 1 = 1 rad s−1 = = 0,05 s−1 ; ω0 = √ =p 2L 2 · 40 LC 40 · 1/40

Como α0.

+

+

_

_

Figura 2.75. Solución. Según el enunciado, antes de cerrar el interruptor, los condensadores están cargados a una determinada tensión inicial. Salvo respuesta de tipo impulsional, la tensión en cada condensador no varía al cerrar interruptor, por tanto: uC1 (0+ ) = uC1 (0− ) = 1 V uC2 (0+ ) = uC2 (0− ) = 4 V Por otro lado, se sabe que la tensión de cada condensador se puede expresar de la siguiente forma 1 uC1 (t) = uC1 (0 ) + C1 +

uC2 (t) = uC2 (0+ ) +

1 C2

Z

t

0+ Z t 0+

iC1 (λ)dλ = 1 + udC1 (t) iC2 (λ)dλ = 4 + udC2 (t)

Capítulo 2. Transitorios de segundo orden donde udC1 (t) y udC2 (t) son las tensiones de sendos condensadores descargados. Esto da lugar al circuito de la Figura 2.76.

+

+

_

_ +

+

Figura 2.76.

En el circuito de la Figura 2.76 se pueden asociar en serie los dos condensadores descargados y las dos fuentes de tensión correspondientes a las condiciones iniciales. Esto da lugar al circuito de la Figura 2.77, donde udCeq (t) = udC1 (t) − udC2 (t) y Ceq =

C1 · C2 4·4 = = 2F C1 + C2 4+4

+ _ + Figura 2.77. Circuito resultante para t>0.

A continuación se calcularán las condiciones iniciales de la variable de interés: iL (0+ ) y i′L (0+ ). Para lo cual se analiza el circuito en t=0+ , que se obtiene sustituyendo el condensador por una fuente de tensión de valor udCeq (0+ ) y la bobina por una fuente de intensidad de valor iL (0+ ). Salvo respuesta de tipo impulsional, la intensidad por la bobina no varía de t=0− a t=0+ . Por lo tanto: iL (0+ ) = iL (0− ) = 0 A

167

168

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos Por otro lado, udCeq (0+ ) hace referencia la tensión del condensador equivalente descargado en el instante t=0+ . Por tanto udCeq (0+ ) = 0 V De esta forma, el circuito en t=0+ se muestra en la Figura 2.78.

+

+

_

+ Figura 2.78. Circuito en t=0+ . Según la Figura 2.78 se obtiene la tensión uL (0+ ) y, a partir de esta, el valor de i′L (0+ ): i′L (0+ ) =

uL (0+ ) −3 = = −1,5 A/s L 2

La intensidad en régimen permanente, ipL (t), se obtiene resolviendo el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 2.79, en el cual se ha sustituido la bobina por un cortocircuito y el condensador por un circuito abierto.

+ Figura 2.79. Circuito en régimen permanente de continua. Según la Figura 2.79:

ipL (t) = 0 A

La respuesta natural en un circuito de segundo orden está caracterizada por el valor del coeficiente de amortiguamiento, α, y de la pulsación de resonancia, ω0 . En este caso, se puede comprobar que el circuito carece de resistencia y, por tanto: α = 0 s−1

Capítulo 2. Transitorios de segundo orden

169

Por otro lado, la pulsación de resonancia es la siguiente: ω0 = p

1 1 = 0,5 rad s−1 =√ LCeq 2·2

Como α=0 entonces la respuesta natural es sin amortiguamiento: inL (t) = K sen (ω0 t + φ) La respuesta del circuito se obtiene como suma de la respuesta en régimen permanente y la respuesta natural. Por tanto: iL (t) = ipL (t) + inL (t) = K sen (0,5t + φ) El valor de las constantes K y φ se calculan a partir de las condiciones iniciales: iL (0+ ) = 0 = K sen φ i′L (0+ ) = −1,5 = 0,5K cos φ Resolviendo, se obtiene el valor de K y φ: φ = 0◦ ; K = Por tanto:

−1,5 = −3 A 0,5

iL (t) = −3 sen (0,5t) A

En la Figura 2.80 se ha representado gráficamente la evolución temporal de iL (t).

iL (t) [A]

2

0

−2 0

5

10

15

20

25

30

t [s]

Figura 2.80. Evolución temporal de iL (t).

35

40

45

170

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

P. 2.14. RLC serie sobreamortiguado con excitación de alterna El circuito de la Figura 2.81 se encuentra en régimen permanente √ cuando en t=2 s se abre el interruptor. Calcular uC (t) para t>2 s sabiendo que ug (t)= 2 · 100 sen(t) V.

+

+ _

Figura 2.81. Solución. En primer lugar se obtendrá la intensidad de la bobina y la tensión en el condensador antes de abrir el interruptor, es decir, para el instante t=2 s− . Con respecto al condensador, es fácil comprobar que su tensión es nula, por tanto: uC (2 s− ) = 0 V Con respecto a la bobina, se tendrá en cuenta que el circuito se encuentra en régimen permanente antes de que el interruptor se abra. Como, en esta situación, la fuente de excitación es de corriente alterna, habrá que resolver el correspondiente circuito en régimen permanente de alterna, para lo cual se usará el circuito en el dominio fasorial mostrado en la Figura 2.82.

+

Figura 2.82. Circuito en el dominio fasorial. Según la Figura 2.82: IL =

100∠0◦ ≈ 31,62∠ − 18,43◦ A 3+j

Una vez calculada la intensidad en el dominio fasorial se obtiene la intensidad en el dominio temporal √ iL (t) = 31,62 2 sen(t − 18,43◦ ) A

Capítulo 2. Transitorios de segundo orden cuyo valor para el instante t=2 s− es el siguiente:   √ 2 · 360◦ − ◦ − 18,43 ≈ 44,46 A iL (2 s ) = 31,62 2 sen 2π Es importante destacar que en la operación anterior se han convertido los radianes a grados para obtener correctamente el ángulo. Una vez se abre el interruptor, es decir para t>2 s, el circuito resultante se muestra en la Figura 2.83.

+

+ _

Figura 2.83. Circuito para t>2 s.

A continuación se calcularán las condiciones iniciales de la variable de interés: uC (2 s+ ) y u′C (2 s+ ). Para lo cual se analiza el circuito en t=2 s+ , que se obtiene sustituyendo el condensador por una fuente de tensión de valor uC (2 s+ ), la bobina por una fuente de intensidad de valor iL (2 s+ ) y la fuente de tensión de corriente alterna por una fuente de tensión cuyo valor es ug (2 s+ ). Salvo respuesta de tipo impulsional, la tensión en el condensador y la intensidad por la bobina no varía de t=2 s− a t=2 s+ . Por lo tanto: iL (2 s+ ) = iL (2 s− ) = 44,46 A ; uC (2 s+ ) = uC (2 s− ) = 0 V Por otro lado: ug (2 s ) = +

√

 2 · 100 sen

2 · 360◦ 2π



≈ 128,59 V

De esta forma, el circuito en t=2 s+ se muestra en la Figura 2.84.

+

_

Figura 2.84. Circuito en t=2 s+ .

+

171

172

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos Analizando el circuito de la Figura 2.84 se obtiene la intensidad iC (2 s+ ) y, a partir ella, el valor de u′C (2 s+ ): u′C (2 s+ ) =

iC (2 s+ ) 44,46 = ≈ 14,82 V/s C 3

Seguidamente se calcula la tensión upC (t) correspondiente al régimen permanente. Como la única fuente de excitación es de corriente alterna entonces habrá que resolver el circuito en régimen permanente de alterna, para lo cual se hará uso de las técnicas fasoriales. En primer lugar se obtiene el circuito en el dominio fasorial, sustituyendo la resistencia, bobina y condensador por su impedancia ZR = 3 Ω ; ZL = j Ω ; ZC =

−j −j = Ω ωC 3

y la fuente de tensión por su fasor correspondiente: U g = 100∠0◦ V De esta forma el circuito en el dominio fasorial se muestra en la Figura 2.85.

+

+ _

Figura 2.85. Circuito en el dominio fasorial. p

Analizando el circuito de la Figura 2.85 se obtiene U C : p

U C = 100∠0◦ ·

−j/3 ≈ 10,85∠ − 102,53◦ V 3 + j − (j/3)

Una vez calculada la magnitud de interés en el dominio fasorial, es necesario obtener la función temporal asociada a dicho fasor: √ upC (t) = 2 · 10,85 sen(t − 102,53◦ ) V La respuesta natural en un circuito de segundo orden está caracterizada por el valor del coeficiente de amortiguamiento, α, y de la pulsación de resonancia, ω0 . Al tratarse de una circuito RLC serie, los valores de dichos parámetros se obtienen en función de los valores de R, L y C según: α=

R 3 1 1 = = 1,5 s−1 ; ω0 = √ =√ ≈ 0,577 rad s−1 2L 2·1 1·3 LC

Capítulo 2. Transitorios de segundo orden Como α>ω0 , la respuesta natural es sobreamortiguada, y teniendo en cuenta que el transitorio comienza en t=2 s, entonces: unC (t) = K1 · es1 (t−2) + K2 · es2 (t−2) donde s1 = −α +

q

α2 − ω02 = −1,5 +

p

1,52 − 0,5772 ≈ −0,115 s−1

s2 = −α −

q

α2 − ω02 = −1,5 −

p

1,52 − 0,5772 ≈ −2,885 s−1

La respuesta del circuito se obtiene como suma de la respuesta en régimen permanente y la respuesta natural. Por tanto: uC (t) = upC (t) + un C (t) =

√

2 · 10,85 sen(t − 102,53◦ ) + K1 · e−0,115(t−2) + K2 · e−2,885(t−2)

El valor de las constantes K1 y K2 se calculan a partir de las condiciones iniciales:   √ 2 · 360◦ + ◦ uC (2 s ) = 0 = 2 · 10,85 sen − 102,53 + K1 + K2 2π   √ 2 · 360◦ ′ + ◦ uC (2 s ) = 14,82 = 2 · 10,85 cos − 102,53 − 0,115K1 − 2,885K2 2π Esto da lugar al siguiente sistema de ecuaciones: −3,21 = K1 + K2

−0,185 = −0,115K1 − 2,885K2 Resolviendo resulta:

K1 ≈ −3,41 V ; K2 ≈ 0,2 V

Por tanto, para t>2 s: √ uC (t) = 2 · 10,85 sen(t − 102,53◦ ) − 3,41 · e−0,115(t−2) + 0,2 · e−2,885(t−2) V En la Figura 2.86 se ha representado gráficamente la evolución temporal de uC (t).

173

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

10

uC (t) [V]

174

0

−10

0

2

5

10

15

20

25

30

t [s]

Figura 2.86. Evolución temporal de uC (t).

P. 2.15. RLC paralelo subamortiguado con excitación de continua En el circuito de la Figura 2.87 el interruptor se cierra en t=0. Sabiendo que uC (0− )=0 V y iL (0− )=5 A, calcular la intensidad iR (t) para t>0.

+

+ _ Figura 2.87.

Solución. En primer lugar se calcularán las condiciones iniciales de la variable de interés: uR (0+ ) y u′R (0+ ). Para lo cual es necesario analizar el circuito en t=0+ y el circuito derivado en t=0+ . El circuito en t=0+ se obtiene sustituyendo el condensador por una fuente de tensión de valor uC (0+ ) y la bobina por una fuente de intensidad de valor iL (0+ ). Salvo respuesta de tipo impulsional, la tensión en el condensador y la intensidad por la bobina no varía de t=0− a t=0+ . Por lo tanto: iL (0+ ) = iL (0− ) = 5 A ; uC (0+ ) = uC (0− ) = 0 V De esta forma, el circuito en t=0+ se muestra en la Figura 2.88. Analizando el circuito de la Figura 2.88 se obtiene iR (0+ ): iR (0+ ) =

10 = 5A 2

Capítulo 2. Transitorios de segundo orden

+

+ +

_

Figura 2.88. Circuito en t=0+ . Por otro lado, se obtiene la tensión uL (0+ ) y la intensidad iC (0+ ) y, a partir de las cuales, el valor de i′L (0+ ) y u′C (0+ ): 10 − 0 uL (0+ ) = = 5 A/s L 2 i (0+ ) 5+5 u′C (0+ ) = C = = 5 V/s C 2 i′L (0+ ) =

A continuación se analiza el circuito derivado en t=0+ , que se obtiene sustituyendo el condensador por una fuente de tensión de valor u′C (0+ ), la bobina por una fuente de intensidad de valor i′L (0+ ) y la fuente de excitación por una fuente cuyo valor es la derivada de su función en t=0+ . Como la fuente de excitación es una fuente de tensión de corriente continua, su derivada vale cero y se sustituye por un cortocircuito. De esta forma, el circuito derivado en t=0+ se muestra en la Figura 2.89.

+

Figura 2.89. Circuito derivado en t=0+ . Analizando el circuito de la Figura 2.89 se obtiene i′R (0+ ): i′R (0+ ) =

−5 = −2,5 A/s 2

Seguidamente se calcula la intensidad ipR (t) correspondiente al régimen permanente. Como la única fuente de excitación es de corriente continua, entonces habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua que se muestra en la Figura 2.90, en el cual se ha sustituido la bobina por un cortocircuito y el condensador por un circuito abierto.

175

176

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

+

Figura 2.90. Circuito en régimen permanente de continua. Analizando el circuito de la Figura 2.90 se obtiene ipR (t): ipR (t) = 0 A La respuesta natural en un circuito de segundo orden está caracterizada por el valor del coeficiente de amortiguamiento, α, y de la pulsación de resonancia, ω0 . En este caso se trata de un circuito RLC paralelo, los valores de dichos parámetros se obtienen en función de los valores de R, L y C según: α=

1/2 1 1 G = = 0,125 s−1 ; ω0 = √ =√ = 0,5 rad s−1 2C 2·2 2·2 LC

Para ver con claridad que se trata de un circuito RLC paralelo es necesario analizar el circuito pasivo, es decir, con la fuente de tensión anulada o cortocircuitada, ya que la respuesta natural es propia del circuito e independiente de las fuentes de excitación que posea. Como α0, sabiendo que C1 =3 F y C2 =1 F.

+

+ _

+ _

Figura 2.92. Solución. En primer lugar se obtendrá la tensión en cada uno de los condensadores antes de que se cierre el interruptor, es decir, para el instante t=0− . Para ello se tendrá en cuenta que el circuito se encuentra en régimen permanente antes de que el interruptor se cierre. En esta situación es fácil comprobar lo siguiente: uC1 (0− ) = 10 V ; uC2 (0− ) = 0 V Por tanto, antes de cerrar el interruptor los condensadores están cargados con una tensión diferente cada uno de ellos. Cuando se cierra el interruptor, ambos condensadores quedan en paralelo. En el instante inmediatamente posterior al cierre de dicho interruptor, los condensadores quedan sometidos a la misma tensión a costa de que se produzca un impulso de intensidad. En este proceso instantáneo, la carga total almacenada en ambos condensadores no cambia, lo cual permite obtener la tensión a la que quedan ambos sometidos según: uC1 (0+ ) = uC2 (0+ ) =

C1 · uC1 (0− ) + C2 · uC2 (0− ) 3 · 10 + 1 · 0 30 = = V C1 + C2 3+1 4

A partir del instante t=0+ , los dos condensadores quedan conectados en paralelo con una tensión inicial cada uno de ellos de 30/4 V. En esta situación, ambos condensadores se pueden sustituir por un único condensador cuya capacidad equivalente es Ceq = C1 + C2 = 3 + 1 = 4 F cargado a la tensión inicial de 30/4 V. De esta forma el circuito queda tal y como se muestra en la Figura 2.93, donde uCeq (0+ ) =

30 V 4

Capítulo 2. Transitorios de segundo orden

+

+ _ Figura 2.93. Circuito para t>0+ .

A continuación se calcularán las condiciones iniciales de la variable de interés: iL (0+ ) y i′L (0+ ). Para lo cual es necesario analizar el circuito en t=0+ , el cual se obtiene sustituyendo el condensador por una fuente de tensión de valor uCeq (0+ ) y la bobina por una fuente de intensidad de valor iL (0+ ). Antes de cerrar el interruptor, por la bobina no circula intensidad al estar el circuito en régimen permanente y no haber excitación. Salvo respuesta de tipo impulsional, la intensidad por la bobina no varía de t=0− a t=0+ . Por lo tanto: iL (0+ ) = iL (0− ) = 0 A De esta forma, el circuito en t=0+ se muestra en la Figura 2.94.

+

+

+ _

Figura 2.94. Circuito en t=0+ . Analizando el circuito de la Figura 2.94 se obtiene la tensión uL (0+ ) y, a partir de la cual, el valor de i′L (0+ ): i′L (0+ ) =

30/4 30 uL (0+ ) = = A/s L 4 16

Seguidamente se calcula la intensidad ipL (t) correspondiente al régimen permanente. Como la única fuente de excitación es de corriente continua entonces habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua que se muestra en la Figura 2.95, en el cual se ha sustituido la bobina por un cortocircuito y el condensador por un circuito abierto. Analizando el circuito de la Figura 2.95 se obtiene ipL (t): ipL (t) =

10 = 5A 2

La respuesta natural en un circuito de segundo orden está caracterizada por el valor del coeficiente de amortiguamiento, α, y de la pulsación de resonancia, ω0 . Para comprobar

179

180

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

+

Figura 2.95. Circuito en régimen permanente de continua. que se trata de un circuito RLC paralelo se analizará el circuito pasivo, que se obtiene anulando las fuentes de excitación, tal y como se muestra en la Figura 2.96.

Figura 2.96. Circuito pasivo.

Según la Figura 2.96 se puede calcular la resistencia equivalente: Req =

2·2 = 1Ω 2+2

Al tratarse de un circuito RLC paralelo, los valores de α y ω0 son los siguientes: α=

Geq 1 1 1 = = 0,125 s−1 ; ω0 = √ =√ = 0,25 rad s−1 2C 2·4 4·4 LC

Como α0, sabiendo que iL (0− )=0 A y uC (0− )=0 V.

+

+

+

_

_

Figura 2.98. Solución. En primer lugar se calcularán las condiciones iniciales de la variable de interés: uL (0+ ) y u′L (0+ ). Para lo cual es necesario analizar el circuito en t=0+ y el circuito derivado en t=0+ . El circuito en t=0+ se obtiene sustituyendo el condensador por una fuente de tensión de valor uC (0+ ) y la bobina por una fuente de intensidad de valor iL (0+ ). Salvo respuesta de tipo impulsional, la tensión en el condensador y la intensidad por la bobina no varía de t=0− a t=0+ . Por lo tanto: iL (0+ ) = iL (0− ) = 0 A ; uC (0+ ) = uC (0− ) = 0 V De esta forma, el circuito en t=0+ se muestra en la Figura 2.99.

+

+

+

_ Figura 2.99. Circuito en t=0+ . Analizando el circuito de la Figura 2.99 se obtiene uL (0+ ) e iC (0+ ): uL (0+ ) = 0 V 2 iC (0+ ) = = 12 A 1/6

Capítulo 2. Transitorios de segundo orden Por otro lado, a partir de uL (0+ ) y de iC (0+ ) se obtiene i′L (0+ ) y u′C (0+ ): uL (0+ ) 0 = = 0 A/s L 1/25 i (0+ ) 12 u′C (0+ ) = C = = 12 V/s C 1 i′L (0+ ) =

A continuación se analiza el circuito derivado en t=0+ , que se obtiene sustituyendo el condensador por una fuente de tensión de valor u′C (0+ ), la bobina por una fuente de intensidad de valor i′L (0+ ) y la fuente de excitación por una fuente cuyo valor es la derivada de su función en t=0+ . Como la fuente de excitación es una fuente de tensión de corriente continua, su derivada vale cero y se sustituye por un cortocircuito. De esta forma, el circuito derivado en t=0+ se muestra en la Figura 2.100.

+

+ _

Figura 2.100. Circuito derivado en t=0+ . Analizando el circuito de la Figura 2.100 se obtiene u′L (0+ ): u′L (0+ ) = 12 V/s Seguidamente se calcula la tensión upL (t) correspondiente al régimen permanente. Como la única fuente de excitación es de corriente continua, entonces habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua que se muestra en la Figura 2.101, en el cual se ha sustituido la bobina por un cortocircuito y el condensador por un circuito abierto.

+

+ _

Figura 2.101. Circuito en régimen permanente de continua. Según la Figura 2.101:

upL (t) = 0 V

183

184

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos La respuesta natural en un circuito de segundo orden está caracterizada por el valor del coeficiente de amortiguamiento, α, y de la pulsación de resonancia, ω0 . Al tratarse de un circuito RLC paralelo, los valores de dichos parámetros se obtienen en función de los valores de R, L y C según: α=

G 6 1 1 = = 3 s−1 ; ω0 = √ =r = 5 rad s−1 2C 2·1 LC 1 ·1 25

Como α0.

+

+

_ Figura 2.102. Solución. En primer lugar se calcularán las condiciones iniciales de la variable de interés: uC (0+ ) y u′C (0+ ). Para lo cual es necesario analizar el circuito en t=0+ y el circuito derivado en t=0+ . El circuito en t=0+ se obtiene sustituyendo el condensador por una fuente de tensión de valor uC (0+ ) y la bobina por una fuente de intensidad de valor iL (0+ ). Salvo respuesta de tipo impulsional, la tensión en el condensador y la intensidad por la bobina no varía de t=0− a t=0+ . Como antes de cerrar el interruptor el circuito se encuentra en régimen permanente, es fácil comprobar lo siguiente: iL (0+ ) = iL (0− ) = 0 A ; uC (0+ ) = uC (0− ) = 0 V De esta forma, el circuito en t=0+ se muestra en la Figura 2.103.

+

+

Figura 2.103. Circuito en t=0+ . Analizando el circuito de la Figura 2.103 se obtiene iC (0+ ): iC (0+ ) =

e(0+ ) 10 cos(5 · 0) 10 = = = 1A 10 10 10

Por otro lado, a partir de iC (0+ ) se obtiene u′C (0+ ): u′C (0+ ) =

1 iC (0+ ) = = 50 000 V/s C 20 · 10−6

186

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos A continuación se calcula la tensión upC (t) correspondiente al régimen permanente. Como la única fuente de excitación es de corriente alterna entonces habrá que resolver el circuito en régimen permanente de alterna, para lo cual se hará uso del circuito en el dominio fasorial mostrado en la Figura 2.104.

+

+

_ Figura 2.104. Circuito en el dominio fasorial. El circuito de la Figura 2.104 se puede simplificar sustituyendo la fuente real de tensión por su correspondiente equivalente en forma de fuente real de intensidad tal y como se muestra en la Figura 2.105.

+ _ Figura 2.105. Circuito en el dominio fasorial. Según la Figura 2.105, aplicando el método de análisis por nudos, se obtiene lo siguiente:   1 1 1 1 1 p + + + · U C = √ ∠0◦ 10 0,0025j 10 −10 000j 2 Despejando resulta:

p

UC

1 √ ∠0◦ 2,5 · 10−3 2 √ ≈ ∠90◦ V = 1 1 1 1 2 + + + 10 0,0025j 10 −10 000j

Una vez calculada la magnitud de interés en el dominio fasorial, es necesario obtener la función temporal asociada a dicho fasor: upC (t) = 2,5 · 10−3 cos(5t + 90◦ ) V La respuesta natural en un circuito de segundo orden está caracterizada por el valor del coeficiente de amortiguamiento, α, y de la pulsación de resonancia, ω0 . Al tratarse de

Capítulo 2. Transitorios de segundo orden un circuito RLC paralelo, los valores de dichos parámetros se obtienen en función de los valores de R, L y C según: Geq 1/10 + 1/10 = 5 000 s−1 = 2C 2 · 20 · 10−6 1 1 ω0 = √ =p = 10 000 rad s−1 −3 LC 0,5 · 10 · 20 · 10−6 α=

Como α0.

+

+

_

Figura 2.106. Solución. Según la Figura 2.106, dependiendo del estado de ambos interruptores dará lugar a circuitos distintos y, en consecuencia, habrá que analizarlos por separado. A continuación se analiza el circuito en el intervalo de tiempo 00.

+ _ Figura 3.40. Solución. En la Figura 3.41 se muestra el circuito, para t>0, en el dominio de Laplace.

+

_

_+ Figura 3.41. Circuito en el dominio de Laplace. A partir del circuito de la Figura 3.41, se calcula la intensidad IL (s): 3 2 3s − 8 − 3s − 8 3s − 8 4 s 4s IL (s) = = 2 = 2 ≈ s + 12s + 16 (s + 1,53)(s + 10,47) s 4 s + 12s + 16 3+ + 4 s 4s Descomponiendo en fracciones simples resulta: IL (s) =

3s − 8 A B = + (s + 1,53)(s + 10,47) s + 1,53 s + 10,47

Capítulo 3. Transformada de Laplace

227

Los coeficientes A y B se calculan como sigue: 3s − 8 3 · (−1,53) − 8 A= = ≈ −1,41 s + 10,47 s=−1,53 −1,53 + 10,47 3 · (−10,47) − 8 3s − 8 = B= ≈ 4,41 (s + 1,53) s=−10,47 −10,47 + 1,53 Por tanto: IL (s) =

4,41 −1,41 + A s + 1,53 s + 10,47

Efectuando la antitransformada de Laplace resulta: iL (t) = L −1 [IL (s)] = −1,41 · e−1,53t + 4,41 · e−10,47t A En la Figura 3.42 se ha representado gráficamente la evolución temporal de iL (t). 3

iL (t) [A]

2 1 0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

t [s]

Figura 3.42. Evolución temporal de iL (t).

2.5

3.0

228

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

P. 3.8. Segundo orden subamortiguado con excitación del alterna

En el circuito de la Figura 3.43, el condensador está descargado antes de cerrar el interruptor. Sabiendo que e(t)=30 cos(5t) V, calcular I(s), transformada de i(t). A partir de I(s), obtener i(t) para t>0.

+

Figura 3.43.

Solución. Antes de cerrar el interruptor, la intensidad que circula por la bobina es nula, y, según el enunciado, el condensador está descargado. En la Figura 3.44 se muestra el circuito, para t>0, en el dominio de Laplace, donde E(s) = L [e(t)] = L [30 cos(5t)] =

30s s2 + 52

+

Figura 3.44. Circuito en el dominio de Laplace. A partir del circuito de la Figura 3.44, se calcula la intensidad I(s): E(s) I(s) = 12 + s + =

30s 30s2 + 52 = = (s2 + 52 )(s2 + 12s + 100) 12 + s + 100 s s2

100 s

30s2 (s − 5j)(s + 5j)(s + 6 − 8j)(s + 6 + 8j)

Capítulo 3. Transformada de Laplace

229

Descomponiendo en fracciones simples resulta: 30s2 (s − 5j)(s + 5j)(s + 6 − 8j)(s + 6 + 8j)

I(s) =

∗

∗

A A B B + + + s − 5j s + 5j s + 6 − 8j s + 6 + 8j

=

Los coeficientes A y B se calculan como sigue: 30s2 A= (s + 5j)(s + 6 − 8j)(s + 6 + 8j) s=5j =

30(5j)2 −750 = ≈ 0,78∠51,34◦ (5j + 5j)(5j + 6 − 8j)(5j + 6 + 8j) −600 + 750j

30s2 B= (s − 5j)(s + 5j)(s + 6 + 8j) s=−6+8j =

30(−6 + 8j)2 ≈ 1,95∠ − 104,47◦ (−6 + 8j − 5j)(−6 + 8j + 5j)(−6 + 8j + 6 + 8j)

Por tanto: I(s) =

0,78∠51,34◦ 0,78∠ − 51,34◦ 1,95∠ − 104,47◦ 1,95∠104,47◦ + + + A s − 5j s + 5j s + 6 − 8j s + 6 + 8j

Efectuando la antitransformada de Laplace resulta: i(t) = L −1 [I(s)] = 2 · 0,78 · cos(5t + 51,34◦ ) + 2 · 1,95 · e−6t · cos(8t − 104,47◦ ) A En la Figura 3.45 se ha representado gráficamente la evolución temporal de i(t).

i(t) [A]

1

0

−1 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

t [s]

Figura 3.45. Evolución temporal de i(t).

2.5

3.0

230

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

P. 3.9. Segundo orden sobreamortiguado con excitación del alterna El circuito de la Figura 3.46 está en régimen permanente antes de que los interruptores cambien de posición. El condensador de 12 F se encuentra descargado inicialmente. Sabiendo que e1 (t)=50 sen(10t) V y e2 (t)=25 sen(20t) V, calcular IL (s), transformada de iL (t). A partir de IL (s), obtener iL (t) para t>0.

+

+

Figura 3.46. Solución. En primer lugar se obtendrá la intensidad por la bobina antes de cerrar el interruptor, es decir, para el instante t=0− . Para ello se tendrá en cuenta que el circuito se encuentra en régimen permanente antes de que el interruptor se cierre. Como la única fuente de excitación es de corriente alterna, entonces habrá que resolver el circuito en régimen permanente de alterna, para lo cual se hará uso del circuito en el dominio fasorial mostrado en la Figura 3.47.

+

Figura 3.47. Circuito en el dominio fasorial. Según la Figura 3.47: 25 √ ∠0◦ 2 IL = ≈ 3,95∠ − 26,57◦ A 4 + 2j

Capítulo 3. Transformada de Laplace La función temporal asociada a dicho fasor es la siguiente: √ iL (t) = 2 · 3,95 sen(20t − 26,57◦ ) A Para t=0− , iL (t) tiene el siguiente valor: √ iL (0− ) = 2 · 3,95 sen(−26,57◦ ) ≈ −2,5 A En la Figura 3.48 se muestra el circuito, para t>0, en el dominio de Laplace, donde: E1 (s) = L [e1 (t)] = L [50 sen(10t)] =

50 · 10 s2 + 102

+

_+ Figura 3.48. Circuito en el dominio de Laplace. A partir del circuito de la Figura 3.48, se calcula la intensidad IL (s): 50 · 10 − 0,25 2 2 E1 (s) − 0,25 −2,5s3 + 4 750s IL (s) = = s + 10 = 2 (s + 102 )(s2 + 40s + 20) 2 2 + 4 + 0,1s + 4 + 0,1s s s Descomponiendo en fracciones simples resulta: IL (s) =

−2,5s3 + 4 750s (s − 10j)(s + 10j)(s + 39,5)(s + 0,5) ∗

A A B C = + + + s − 10j s + 10j s + 39,5 s + 0,5

231

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos Los coeficientes A, B y C se calculan como sigue: −2,5s3 + 4 750s A= (s + 10j)(s + 39,5)(s + 0,5) s=10j =

50 000∠90◦ −2,5(10j)3 + 4 750(10j) ≈ 6,13∠ − 101,34◦ ≈ (10j + 10j)(10j + 39,5)(10j + 0,5) 8 159∠ − 168,66◦

−2,5s3 + 4 750s B= (s − 10j)(s + 10j)(s + 0,5) s=−39,5 =

C= =

−2,5(−39,5)3 + 4 750(−39,5) ≈ 0,52 (−39,5 − 10j)(−39,5 + 10j)(−39,5 + 0,5) −2,5s3 + 4 750s (s − 10j)(s + 10j)(s + 39,5) s=−0,5

−2,5(−0,5)3 + 4 750(−0,5) ≈ −0,61 (−0,5 − 10j)(−0,5 + 10j)(−0,5 + 39,5)

Por tanto: IL (s) =

6,13∠101,34◦ 0,52 −0,61 6,13∠ − 101,34◦ + + + A s − 10j s + 10j s + 39,5 s + 0,5

Efectuando la antitransformada de Laplace resulta: iL (t) = L −1 [IL (s)] = 2 · 6,13 · cos(10t − 101,34◦ ) + 0,52 · e−39,5t − 0,61 · e−0,5t A En la Figura 3.49 se ha representado gráficamente la evolución temporal de iL (t).

10

iL (t) [A]

232

5 0 −5 −10 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

t [s]

Figura 3.49. Evolución temporal de iL (t).

2.5

3.0

Capítulo 3. Transformada de Laplace

233

P. 3.10. Segundo orden sobreamortiguado sin fuentes de excitación El circuito de la Figura 3.50 está en régimen permanente cuando en t=0 se abre el interruptor. Calcular U (s), transformada de u(t). A partir de U (s), obtener u(t) para t>0. ¿Qué tipo de amortiguamiento presenta el circuito?

+ +

_ Figura 3.50. Solución. En primer lugar se ha de calcular la intensidad por las bobinas antes de abrir el interruptor, es decir iL1 (0− ) y iL2 (0− ), para lo cual se analiza el circuito en régimen permanente que se muestra en la Figura 3.51, donde cada una de las bobinas se ha sustituido por un cortocircuito.

+

Figura 3.51. Circuito en régimen permanente de continua para t=0− . Según la Figura 3.51: iL1 (0− ) =

10 = 10 A ; iL2 (0− ) = 0 A 1

En la Figura 3.52 se muestra el circuito, para t>0, en el dominio de Laplace. Aplicando el método de análisis por nudos, se obtiene lo siguiente:   1 1 1 −10 + + · U (s) = 0,5s 2 2s + 6 s

234

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos Despejando resulta: U (s) =

−10 · (2s + 6) −10 · (2s + 6) = s2 + 8s + 12 (s + 6)(s + 2)

+

_ Figura 3.52. Circuito en el dominio de Laplace. Analizando el denominador de U (s), se puede observar que tiene dos raíces reales distintas, que se corresponden con la respuesta natural al carecer de respuesta forzada. Por tanto se trata de un circuito de segundo orden sobreamortiguado. Descomponiendo en fracciones simples U (s), resulta: U (s) =

A B −10 · (2s + 6) = + (s + 6)(s + 2) s+6 s+2

Los coeficientes A y B se calculan como sigue: −10 · (2s + 6) −10 · (2(−6) + 6) A= = = −15 s+2 −6 + 2 s=−6 −10 · (2s + 6) −10 · (2(−2) + 6) B= = = −5 s+6 −2 + 6 s=−2 Por tanto:

−5 −15 + V s+6 s+2 Efectuando la antitransformada de Laplace resulta: U (s) =

u(t) = L −1 [U (s)] = −15 · e−6t − 5 · e−2t V En u(t) también se puede identificar, en base a la respuesta natural, que se trata de un circuito de segundo orden sobreamortiguado.

Capítulo 3. Transformada de Laplace

235

P. 3.11. Condensadores en paralelo. Respuesta impulsional El circuito de la Figura 3.53 está en régimen permanente cuando en t=0 los interruptores cambian de posición. Calcular la tensión a la que quedan sometidos los condensadores y la intensidad i(t) para t>0.

+

+

+

_

_

+

Figura 3.53. Solución. En primer lugar se obtendrá la tensión en cada uno de los condensadores antes de que los interruptores cambien de posición, es decir, para el instante t=0− . Para ello se tendrá en cuenta que el circuito se encuentra en régimen permanente antes de que los interruptores cambien de posición. Como, en esta situación, las fuentes de excitación son de corriente continua, habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 3.54, donde cada condensador se ha sustituido por un circuito abierto.

+

+

+

_

_

+

Figura 3.54. Circuito en t=0− . Según la Figura 3.54: uC1 (0− ) = 10 V ; uC2 (0− ) = 7 V En la Figura 3.55 se muestra el circuito, para t>0, en el dominio de Laplace. Aplicando el método de análisis por nudos, se obtiene lo siguiente: (s + 2s) · U (s) = 10 + 14 Despejando resulta: U (s) =

10 + 14 24 8 = = V s + 2s 3s s

236

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

+

_ Figura 3.55. Circuito en el dominio de Laplace. Por otro lado: I(s) = 10 −

U (s) 8/s = 10 − = 10 − 8 = 2 A 1/s 1/s

Efectuando la antitransformada de Laplace resulta: u(t) = L −1 [U (s)] = 8 V i(t) = L −1 [I(s)] = 2 · δ(t) A

Capítulo 3. Transformada de Laplace

237

P. 3.12. Primer orden con excitación de alterna En el circuito de la Figura 3.56 está en régimen permanente. En t=0 se cierra el interruptor. Sabiendo que e(t)=12 cos(t) V, calcular U (s), transformada de u(t). A partir de U (s), determinar el régimen permanente y el valor de la constante de tiempo del circuito.

+

+

_

Figura 3.56. Solución. Con el interruptor abierto, es decir para t=0− , sabiendo que el circuito está en régimen permanente es fácil comprobar que la intensidad que circula por la bobina es nula. En la Figura 3.57 se muestra el circuito, para t>0, en el dominio de Laplace, donde E(s) = L [e(t)] = L [12 cos(t)] =

+

12s s2 + 1

+

+

_

_

Figura 3.57. Circuito en el dominio de Laplace. Según la Figura 3.57, aplicando el método de análisis por nudos, se obtiene lo siguiente:   1 1 1 E(s) + + · U (s) = 3 4s 6 3

238

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos Despejando resulta: 1 12s 4s · 2 2 E(s)/3 8s2 U (s) = = 3 s +1 = s +1 = 2 (s + 1)(s + 0,5) 6 + 4s + 8s 6 + 4s + 8s 12s + 6 24s 24s 24s Descomponiendo en fracciones simples resulta: ∗

U (s) =

8s2 B A A = + + (s − j)(s + j)(s + 0,5) s−j s+j s + 0,5

Se puede observar que las dos primeras fracciones simples se corresponden con la respuesta en régimen permanente ya que sus polos están asociados con la transformada de Laplace de la excitación de alterna, mientras que la tercera se corresponde con la respuesta natural. De esta forma, la constante de tiempo es la siguiente: τ=

1 = 2s 0,5

El coeficiente A se calcula como sigue: 8 · (j)2 8s2 = ≈ 3,58∠26,57◦ A= (s + j)(s + 0,5) s=j (j + j)(j + 0,5) Por tanto, la respuesta en régimen permanente se obtiene efectuando la antitransformada de Laplace resultando:   ◦ 3,58∠ − 26,57◦ p −1 3,58∠26,57 u (t) = L + = 2 · 3,58 · cos(t + 26,57◦ ) V s−j s+j

Capítulo 3. Transformada de Laplace

P. 3.13. Primer orden con excitación de alterna El circuito de la Figura 3.58 está en régimen permanente cuando en t=0 los interruptores cambian de posición. Sabiendo que e(t)=200 sen(100t + φ) V, con 0◦ 0.

+

Figura 3.65. Solución. Antes de cerrar el interruptor, la intensidad que circula por las bobinas es nula. Por otro lado, para calcular la tensión del condensador antes de cerrar el interruptor hay que resolver el circuito de continua mostrado en la Figura 3.66.

+

+ _

Figura 3.66. Circuito en t=0− . Según la Figura 3.66:

uC (0− ) = 10 V

En la Figura 3.67 se muestra el circuito, para t>0, en el dominio de Laplace. Mediante asociación de impedancias serie y de fuentes dependientes, el circuito de la Figura 3.67 se puede simplificar, obteniendo el circuito de la Figura 3.68, donde se han representado las intensidades de malla ya que será el método usado para su resolución.

_

245

+

_

+

Capítulo 3. Transformada de Laplace

+ +

+

Figura 3.67. Circuito en el dominio de Laplace.

_

+ +

Figura 3.68. Circuito en el dominio de Laplace simplificado. Según la Figura 3.68, aplicando el análisis por mallas, resulta:     10 10 −1 1 " # − 1 +  s  I (s) s s  s   a     I (s) =  10   −1 1 b + 10s + 4sI1 (s) s s s Teniendo en cuenta que I1 (s)=Ib (s) entonces:     1 −1 10 10 " # 1 + s  s − s  I (s) s    a    −1 1  I (s) =  10  b + 10s + 4sIb (s) s s s Reordenando términos y simplificando se obtienen finalmente las ecuaciones de mallas:     1 −1 " # 0 1 + s  s  Ia (s) =      −1 1  I (s) 10 b + 6s s s s

246

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos Este sistema de ecuaciones se puede simplificar multiplicando por s todos los términos, resultando:      1+s −1 Ia (s) 0 = 10 −1 1 + 6s2 Ib (s) Resolviendo, se obtienen las intensidades de malla: Ia (s) =

10 6

s(s2 + s +

1 6)

; Ib (s) =

10 6 · (1 + s) s(s2 + s + 61 )

Por tanto, la intensidad I(s) es la siguiente: I(s) = Ia (s) − Ib (s) =

10 6

s(s2 + s + 16 )

−

10 6 · (1 + s) s(s2 + s + 61 )

=

− 10 6 s2 + s +

1 6

Atendiendo al denominador de I(s), se puede observar que el circuito es de segundo orden. Además, el coeficiente de amortiguamiento y la pulsación de resonancia son los siguientes: 1 −1 s 2 1 1 ω02 = ⇒ ω0 = √ rad s−1 6 6

2α = 1 ⇒ α =

Como α>ω0 entonces la respuesta natural es sobreamortiguada. Descomponiendo en fracciones simples I(s) resulta: I(s) =

− 10 6 s2 + s +

1 6

=

− 10 A B 6 = + (s + 0,211)(s + 0,789) s + 0,211 s + 0,789

Los coeficientes A y B se calculan como sigue: − 10 − 10 6 6 A= = ≈ −2,88 s + 0,789 s=−0,211 −0,211 + 0,789

Por tanto:

− 10 − 10 6 6 B= = ≈ 2,88 s + 0,211 s=−0,789 −0,789 + 0,211 I(s) =

−2,88 2,88 + A s + 0,211 s + 0,789

Efectuando la antitransformada de Laplace resulta: i(t) = L −1 [I(s)] = −2,88 · e−0,211t + 2,88 · e−0,789t A

Capítulo 3. Transformada de Laplace

P. 3.16. Bobinas acopladas El circuito de la Figura 3.69 está en régimen permanente. En t=0 el interruptor cambia de posición. Determinar I(s), transformada de i(t). A partir de I(s), determinar el orden del circuito y, en función de éste, la constante de tiempo o el coeficiente de amortiguamiento y la pulsación de resonancia.

+

Figura 3.69. Solución. En primer lugar se calculará la intensidad que circula por cada bobina antes de que el interruptor cambie de posición. Para ello se tendrá en cuenta que el circuito se encuentra en régimen permanente antes del cambio de posición del interruptor. Como la única fuente de excitación es de corriente continua entonces habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 3.70, donde las bobinas se han sustituido por sendos cortocircuitos.

+

Figura 3.70. Circuito en t=0− . Según la Figura 3.70: iL1 (0− ) =

60 = 5 A ; iL2 (0− ) = 0 A 12

En la Figura 3.71 se muestra el circuito, para t>0, en el dominio de Laplace. Aplicando la ley de Kirchhoff de tensiones en ambas partes del circuito de la Figura 3.71 resulta: (3 + 2s) · I1 (s) − 10 + 2sI2 (s) = 0

(2 + 10 + 8s) · I2 (s) − 10 + 2sI1 (s) = 0

247

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

+

_

+

248

+ _

_

+ _

Figura 3.71. Circuito en el dominio de Laplace. Resolviendo se obtiene I2 (s), que según la Figura 3.71, coincide con I(s): I(s) = I2 (s) =

30/12 A s2 + 4s + 3

Atendiendo al denominador de I(s), se puede observar que el circuito es de segundo orden. Además, el coeficiente de amortiguamiento y la pulsación de resonancia son los siguientes: 2α = 4 ⇒ α = 2 s−1 √ ω02 = 3 ⇒ ω0 = 3 rad s−1

Capítulo 3. Transformada de Laplace

P. 3.17. Segundo orden con excitación impulsional En el circuito de la Figura 3.72 se sabe que uC (0− )=0 V y que iL (0− )=0 A. Calcular I(s), transformada de i(t). A partir de I(s), obtener i(t) para t>0.

_+

+ _

Figura 3.72. Solución. En la Figura 3.73 se muestra el circuito, para t>0, en el dominio de Laplace.

_+ Figura 3.73. Circuito en el dominio de Laplace. Según la Figura 3.73, aplicando el concepto de divisor de intensidad se obtiene la intensidad I(s): s s2 2 I(s) = 1 · = 2 s + 2s + 4 s 2 +1+ 2 s Se puede observar que el numerador y el denominador de I(s) tienen el mismo orden, por lo que, para descomponer en fracciones simples, previamente hay que efectuar la división de polinomios mostrada en la Figura 3.74.

Figura 3.74. Cociente de polinomios.

249

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos Atendiendo a la Figura 3.74, entonces I(s) se puede expresar de la siguiente forma: I(s) =

D(s) r(s) −2s − 4 −2s − 4 √ √ = c(s)+ = 1+ 2 = 1+ d(s) d(s) s + 2s + 4 (s + 1 − 3j)(s + 1 + 3j)

Descomponiendo en fracciones simples resulta: ∗

I(s) = 1 +

−2s − 4 A A √ √ √ + √ =1+ (s + 1 − 3j)(s + 1 + 3j) s + 1 − 3j s + 1 + 3j

El coeficiente A se calcula como sigue: √ −2s − 4 −2 · (−1 + 3j) − 4 √ √ √ ≈ 1,15∠150◦ A= = s + 1 + 3j s=−1+√3j −1 + 3j + 1 + 3j Por tanto: I(s) = 1 +

1,15∠ − 150◦ 1,15∠150◦ √ + √ A s + 1 − 3j s + 1 + 3j

Efectuando la antitransformada de Laplace resulta:

√ i(t) = L −1 [I(s)] = δ(t) + 2 · 1,15 · e−t cos( 3t + 150◦ ) A En la Figura 3.75 se ha representado gráficamente la evolución temporal de i(t). 1

0

i(t) [A]

250

−1 −2 −1

0

1

2

3

4

t [s]

Figura 3.75. Evolución temporal de i(t).

5

6

7

Capítulo 3. Transformada de Laplace

251

P. 3.18. Segundo orden con excitación exponencial El circuito de la Figura 3.76 está en régimen permanente. En t=0 el interruptor cambia de posición. Calcular UC (s), transformada de uC (t). A partir de UC (s), determinar el tipo de amortiguamiento así como el coeficiente de amortiguamiento y la pulsación de resonancia. Asimismo, calcular uC (t) para t>0.

+

+

+

_

_

Figura 3.76. Solución. En primer lugar se obtendrá la intensidad por la bobina y la tensión en el condensador antes de que el interruptor cambie de posición, es decir, para el instante t=0− . Para ello, se tendrá en cuenta que el circuito se encuentra en régimen permanente en ese instante. Como la única fuente de excitación es de corriente continua entonces habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 3.77.

+

+

+

_

_

Figura 3.77. Circuito en t=0− . Según la Figura 3.77: 10 = 1A 6+4 uC (0− ) = 6 · 1 = 6 V iL (0− ) =

En la Figura 3.78 se muestra el circuito, para t>0, en el dominio de Laplace.

252

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

+

_+

_+

_

Figura 3.78. Circuito en el dominio de Laplace. El circuito de la Figura 3.78 se puede simplificar mediante conversión de fuentes, dando lugar al circuito de la Figura 3.79.

+

_+

_

+

_ Figura 3.79. Circuito en el dominio de Laplace simplificado.

Según la Figura 3.79, aplicando el método de análisis por nudos resulta:   1 1 s 6/4 6 1 + + · UC (s) = + − 4 6+s 4 s+3 4 s+6

Capítulo 3. Transformada de Laplace Resolviendo se obtiene UC (s): UC (s) =

6s2 + 56s + 132 (s + 3) · (s2 + 7s + 10)

Atendiendo al denominador de UC (s), se puede observar que el factor (s + 3) corresponde a la fuente de excitación mientras que el factor (s2 + 7s + 10) es el relacionado con la respuesta natural. Por tanto, el circuito es de segundo orden y el coeficiente de amortiguamiento y la pulsación de resonancia son los siguientes: 2α = 7 ⇒ α = 3,5 s−1

ω02 = 10 ⇒ ω0 ≈ 3,16 rad s−1

Como α>ω0 entonces la respuesta natural es sobreamortiguada. Descomponiendo en fracciones simples UC (s) resulta: UC (s) =

6s2 + 56s + 132 A B C = + + (s + 3)(s + 5)(s + 2) s+3 s+5 s+2

Los coeficientes A, B y C se calculan como sigue: 6(−3)2 + 56(−3) + 132 6s2 + 56s + 132 = = −9 A= (s + 5)(s + 2) s=−3 (−3 + 5)(−3 + 2) 6s2 + 56s + 132 6(−5)2 + 56(−5) + 132 ≈ 0,33 = (s + 3)(s + 2) s=−5 (−5 + 3)(−5 + 2) 6s2 + 56s + 132 6(−2)2 + 56(−2) + 132 C= ≈ 14,67 = (s + 3)(s + 5) (−2 + 3)(−2 + 5) B=

s=−2

Por tanto:

0,33 14,67 −9 + + V s+3 s+5 s+2 Efectuando la antitransformada de Laplace resulta: UC (s) =

uC (t) = L −1 [UC (s)] = −9 · e−3t + 0,33 · e−5t + 14,67 · e−2t V Analizando uC (t) se puede distinguir que el primer término se corresponde con la respuesta forzada de la fuente de excitación exponencial, mientras que los dos términos restantes se corresponden con la respuesta natural sobreamortiguada.

253

254

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

P. 3.19. Primer orden con excitación de continua y respuesta impulsional El circuito de la Figura 3.80 está en régimen permanente. En t=0 el interruptor cambia de posición. Calcular U (s), transformada de u(t). A partir de U (s), obtener u(t) para t>0.

+ _ Figura 3.80. Solución. Antes de que el interruptor cambie de posición, el circuito se encuentra en régimen permanente y se puede comprobar que la intensidad por ambas bobinas es nula. En la Figura 3.81 se muestra el circuito, para t>0, en el dominio de Laplace.

+ _ Figura 3.81. Circuito en el dominio de Laplace. Según la Figura 3.81, la impedancia equivalente del circuito es la siguiente: Zeq (s) =

10s · (s + 52 ) 20s · (20s + 50) = 20s + 20s + 50 s + 54

Por tanto, la tensión U (s) se calcula como sigue: U (s) =

100 · (s + 25 ) 10 10s · (s + 52 ) 10 · Zeq (s) = · = s s s + 54 s + 54

Se puede observar que el numerador y el denominador de U (s) tienen el mismo orden, por lo que, para descomponer en fracciones simples, previamente hay que efectuar la división de polinomios mostrada en la Figura 3.82.

Capítulo 3. Transformada de Laplace

255

Figura 3.82. Cociente de polinomios. Atendiendo a la Figura 3.82, entonces U (s) se puede expresar de la siguiente forma:       D(s) r(s) 5/4 125 U (s) = 100 · = 100 · c(s) + = 100 · 1 + = 100 + V d(s) d(s) s + 45 s + 45 Efectuando la antitransformada de Laplace resulta: u(t) = L −1 [U (s)] = 100 · δ(t) + 125 · e−5t/4 V En la Figura 3.83 se ha representado gráficamente la evolución temporal de u(t). 125

u(t) [V]

100 75 50 25 0 −1

0

1

2

3

4

t [s]

Figura 3.83. Evolución temporal de u(t).

5

6

7

256

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

P. 3.20. Primer orden sin fuentes de excitación El circuito de la Figura 3.84 está en régimen permanente con u1 (0− )=u2 (0− )=0 V y u3 (0− )=10 V. En t=0 se cierra el interruptor. Calcular U3 (s), transformada de u3 (t). A partir de U3 (s), obtener u3 (t) para t>0.

+

+

_

+ _

_

Figura 3.84. Solución. En la Figura 3.85 se muestra el circuito, para t>0, en el dominio de Laplace. Mediante asociación de impedancias en paralelo, el circuito de la la Figura 3.85 se puede simplificar, obteniendo el circuito de la Figura 3.86.

+

_+

_

Figura 3.85. Circuito en el dominio de Laplace. Según la Figura 3.86:

I(s) =

10 s 1 1 1 + + s+1 s+1 s

=

10 · (s + 1) 3s + 1

Capítulo 3. Transformada de Laplace

+

_+

_

Figura 3.86. Circuito simplificado en el dominio de Laplace. Por otro lado: U3 (s) =

10 1 10 1 10 · (s + 1) 20/3 − · I(s) = − · = s s s s 3s + 1 s + 13

Efectuando la antitransformada de Laplace resulta: u3 (t) = L −1 [U3 (s)] =

20 −t/3 ·e V 3

Si se calcula el valor de la tensión u3 (t) en el instante t=0+ resulta: u3 (0+ ) =

20 −0/3 20 e = V 3 3

Se puede observar que u3 (0− )̸=u3 (0+ ) debido a que hay respuesta impulsional cuando el interruptor se cierra. Por otro lado, analizando u3 (t) se puede ver que corresponde a la respuesta de un circuito de primer orden. Sin embargo, en el circuito de la Figura 3.84 hay tres condensadores, por lo que debería haber resultado una respuesta de tercer orden. La topología del circuito hace que ese tercer orden teórico en realidad sea un primer orden. Se puede observar fácilmente como hay un bucle capacitivo además de un corte capacitivo que hace que el orden pase a ser uno.

257

258

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

P. 3.21. Primer orden sin fuentes de excitación y respuesta impulsional El circuito de la Figura 3.87 está en régimen permanente con iL1 (0− )=iL2 (0− )=0 A y iL3 (0− )=12 A. En t=0 se cierra el interruptor. Calcular IL3 (s) y U (s), transformadas de iL3 (t) y u(t) respectivamente. A partir de IL3 (s) y U (s), obtener iL3 (t) y u(t) para t>0.

+

_ Figura 3.87. Solución. En la Figura 3.88 se muestra el circuito, para t>0, en el dominio de Laplace.

+

_ Figura 3.88. Circuito en el dominio de Laplace. Según la Figura 3.88, aplicando el método de análisis por nudos:   1 1 12 1 + + · U (s) = s+1 s+1 s s Despejando resulta: U (s) =

12/s 4 · (s + 1) = 1 1 1 s + 31 + + s+1 s+1 s

Se puede observar que el numerador y el denominador de U (s) tienen el mismo orden, por lo que, para descomponer en fracciones simples, previamente hay que efectuar la

Capítulo 3. Transformada de Laplace

259

división de polinomios mostrada en la Figura 3.89.

Figura 3.89. Cociente de polinomios. Atendiendo a la Figura 3.89, entonces U (s) se puede expresar de la siguiente forma:       r(s) 2/3 D(s) = 4 · c(s) + =4· 1+ U (s) = 4 · d(s) d(s) s + 31 Efectuando la antitransformada de Laplace resulta: u(t) = L −1 [U (s)] = 4 · δ(t) + 4 ·

2 −t/3 8 ·e = 4 · δ(t) + · e−t/3 V 3 3

Por otro lado: IL3 (s) = 2 ·

U (s) 4 · (s + 1) 8
=2· = s+1 s+ s + 31 (s + 1)

1 3

Efectuando la antitransformada de Laplace resulta: iL3 (t) = L −1 [IL3 (s)] = 8 · e−t/3 A Se puede observar que, en la tensión u(t), aparece un término impulsional debido a que, una vez los interruptores cambian de posición, las intensidades de las tres bobinas inciden en un nudo. Esto obliga a que se mantenga el flujo total. Es decir, las intensidades de las bobinas experimentarán un cambio brusco a costa de que aparezca un impulso de tensión en ellas. Se puede comprobar que iL3 (0− )̸=iL3 (0+ ). Por otro lado, analizando iL3 (t) se puede ver que corresponde a la respuesta de un circuito de primer orden. Sin embargo, en el circuito de la Figura 3.87 hay tres bobinas, por lo que debería haber resultado una respuesta de tercer orden. La topología del circuito hace que ese tercer orden teórico en realidad sea un primer orden.

260

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

P. 3.22. Primer orden con excitación lineal con el tiempo El circuito de la Figura 3.90 está en régimen permanente cuando en t=0 los interruptores cambian de posición. Calcular I(s), transformada de i(t). A partir de I(s), obtener i(t) para t>0.

+

+

_

Figura 3.90. Solución. En primer lugar se obtendrá la tensión en el condensador antes de que los interruptores cambien de posición, es decir, para el instante t=0− . Para ello se tendrá en cuenta que el circuito se encuentra en régimen permanente antes de que los interruptores cambien de posición. Como, en esta situación, la fuente de excitación es de corriente continua, habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 3.91, donde el condensador se ha sustituido por un circuito abierto.

+

+ _

Figura 3.91. Circuito en t=0− . Según Figura 3.91:

uC (0− ) = 4 V

En la Figura 3.92 se muestra el circuito, para t>0, en el dominio de Laplace, según la cual: 2 4 − 2 s = 0,5 − s
I(s) = s 1 s s + 41 4+ s Descomponiendo en fracciones simples resulta: I(s) =

0,5 − s A B
= + s s + 41 s s + 41

Capítulo 3. Transformada de Laplace

_+

261

_+

Figura 3.92. Circuito en el dominio de Laplace. Los coeficientes A y B se calculan como sigue: 0,5 0,5 − s = 1 =2 A= s + 14 s=0 4 0,5 + 0,5 − s B= = s − 14 s= −1 4

Por tanto: I(s) =

2 3 − s s+

1 4

1 4

= −3

A

Efectuando la antitransformada de Laplace resulta: i(t) = L −1 [I(s)] = 2 − 3 · e−t/4 A En la Figura 3.93 se ha representado gráficamente la evolución temporal de i(t).

i(t) [A]

2

1

0

−1

0.0

2.5

5.0

7.5

10.0

12.5

15.0

t [s]

Figura 3.93. Evolución temporal de i(t).

17.5

20.0

262

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos

P. 3.23. Primer orden con excitación de continua El circuito de la Figura 3.94 está en régimen permanente con uC1 (0− )=1 V, uC2 (0− )=0 V y uC3 (0− )=1 V. En t=0 se cierran los interruptores. Calcular I(s), transformada de i(t). A partir de I(s), deducir el orden del circuito y, en función de este, determinar la constante de tiempo o el coeficiente de amortiguamiento y la pulsación de resonancia. Asimismo, obtener i(t) para t>0.

+

+ _

+ _ + _

Figura 3.94. Solución. En la Figura 3.95 se muestra el circuito, para t>0, en el dominio de Laplace.

+

_+

_+ Figura 3.95. Circuito en el dominio de Laplace. Desde los terminales a y b, el circuito se puede simplificar mediante conversión de fuentes y asociación de elementos tal y como se muestra en la Figura 3.96.

Capítulo 3. Transformada de Laplace

263

_+ _+

_+

_+

_+ _+ _+ Figura 3.96. Simplificación del circuito desde los terminales a y b. De esta forma, se obtiene el circuito simplificado en el dominio de Laplace mostrado en la Figura 3.97.

+

_+ Figura 3.97. Circuito simplificado en el dominio de Laplace. Según la Figura 3.97: 3 10 − 2s = 8,5 A I(s) = s 3 s + 23 1+ 2s

Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos Atendiendo al denominador de I(s), se puede observar que el circuito es de primer orden, cuya constante de tiempo es la siguiente: τ=

1 2 = s 3/2 3

A partir de I(s), efectuando la antitransformada de Laplace resulta: i(t) = L −1 [I(s)] = 8,5 · e−3t/2 A En la Figura 3.98 se ha representado gráficamente la evolución temporal de i(t). 8 6

i(t) [A]

264

4 2 0 −1

0

1

2

3

4

t [s]

Figura 3.98. Evolución temporal de i(t).

5

6

Capítulo 3. Transformada de Laplace

P. 3.24. Segundo orden sobreamortiguado con excitación de continua y respuesta impulsional El circuito de la Figura 3.99 está en régimen permanente con uC1 (0− )=3 V. En t=0 se cierra el interruptor. Calcular I(s), transformada de i(t). A partir de I(s), obtener i(t) para t>0.

+ + _

Figura 3.99. Solución. En primer lugar se obtendrá la tensión en cada uno de los condensadores y la intensidad por la bobina antes de que se cierre el interruptor, es decir, para el instante t=0− . Para ello se tendrá en cuenta que el circuito se encuentra en régimen permanente antes de que el interruptor se cierre. Como, en esta situación, la fuente de excitación es de corriente continua, habrá que resolver el circuito en régimen permanente de continua mostrado en la Figura 3.100, donde la bobina se ha sustituido por un cortocircuito y los condensadores por un circuito abierto.

+

+ + _

_

Figura 3.100. Circuito en t=0− . Según la Figura 3.100: uC2 (0− ) = 0 V 10 iL (0− ) = = 50 A 0,2

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Circuitos Eléctricos en Régimen Transitorio. Teoría y Problemas Resueltos Por otro lado, según el enunciado, la tensión del condensador 1 para t=0− es la siguiente: uC1 (0− ) = 3 V En la Figura 3.101 se muestra el circuito, para t>0, en el dominio de Laplace.

+

_+ Figura 3.101. Circuito en el dominio de Laplace. Según la Figura 3.101, realizando previamente conversión de fuentes y aplicando el método de análisis por nudos resulta:   1 3/s 50 10/s 1 + 3s + s + + − · UAB (s) = 0,2 4s 0,2 1/3s s Despejando y simplificando se obtiene UAB (s): UAB (s) =

36s 16s2 + 20s + 1

Por otro lado: I(s) =

UAB (s) 36s2 2,25s2 = = 2 2 1/s 16s + 20s + 1 s + 1,25s + 0,0625

Se puede observar que el el numerador y el denominador de I(s) tienen el mismo orden, por lo que, para descomponer en fracciones simples, previamente hay que efectuar la división de polinomios mostrada en la Figura 3.102.

Figura 3.102. Cociente de polinomios.

Capítulo 3. Transformada de Laplace

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Atendiendo a la Figura 3.102, entonces I(s) se puede expresar de la siguiente forma: I(s) =

D(s) r(s) −2,81s − 0,14 −2,81s − 0,14 = c(s)+ = 2,25+ 2 = 2,25+ d(s) d(s) s + 1,25s + 0,0625 (s + 0,05)(s + 1,2)

Descomponiendo en fracciones simples I(s) resulta: I(s) = 2,25 +

A B −2,81s − 0,14 = 2,25 + + (s + 0,05)(s + 1,2) s + 0,05 s + 1,2

Los coeficientes A y B se calculan como sigue: −2,81s − 0,14 −2,81 · (−0,05) − 0,14 A= ≈ 4,34 · 10−4 = (s + 1,2) −0,05 + 1,2 s=−0,05 B= Por tanto:

−2,81s − 0,14 −2,81 · (−1,2) − 0,14 ≈ −2,81 = (s + 0,05) s=−1,2 −1,2 + 0,05 I(s) = 2,25 +

4,34 · 10−4 −2,81 + A s + 0,05 s + 1,2

Efectuando la antitransformada de Laplace resulta: i(t) = L −1 [I(s)] = 2,25 · δ(t) + 4,34 · 10−4 · e−0,05t − 2,81 · e−1,2t A En la Figura 3.103 se ha representado gráficamente la evolución temporal de i(t).

i(t) [A]

1 0 −1 −2 −3

0

2

4

6

t [s]

Figura 3.103. Evolución temporal de i(t).

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