Problemas de Física Resueltos y explicados

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Problemas de Física Resueltos y explicados

M. R. Ortega Girón

Problemas de Física (Resueltos y explicados) ● M. R. Ortega

Mecánica 4 Autor: Manuel R. Ortega Girón. Ilustrado, x+238 pág., 17×24 cm, rústica. Contenido: Ondas progresivas. Fenómenos ondulatorios. Ondas estacionarias. Acústica física. Acústica musical y arquitectónica. Apéndices.

Termología

Lecciones de Física Mecánica 1

Autores: Manuel R. Ortega Girón. José A. Ibáñez Mengual Ilustrado, xii+430 pág., 17×24 cm, rústica. Contenido: Conceptos previos. Temperatura y dilatación. Gases ideales y reales. Ecuaciones térmicas de estado. El calor y su medida. Propagación del calor. Primer principio de la Termodinámica. Segundo Principio de la Termodinámica. Potenciales termodinámicos. Transiciones de fase. Teoría cinética de los gases. Física estadística. Apéndices matemáticos. Tablas.

Autor: Manuel R. Ortega Girón. Ilustrado, xii+360 pág., 17×24 cm, rústica. Contenido: Introducción. Álgebra vectorial. Vectores deslizantes. Análisis vectorial. Cinemática de la partícula. Cinemática del sólido rígido. Principios de la Mecánica Clásica. La ley de la inercia. Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación de la cantidad de movimiento. Las fuerzas de la Naturaleza. Sistemas de referencia en rotación. Trabajo y energía. Conservación de la energía. Momento angular. Fuerzas centrales. Movimiento armónico simple. Oscilaciones amortiguadas y forzadas. Superposición de movimientos armónicos simples.

Autor: Manuel R. Ortega Girón Ilustrado, viii+328 pág., 17×24 cm, rústica. Contenido: Un total de 50 prácticas de Mecánica, Ondas, Termología, Electricidad y Magnetismo, Electrónica y Óptica apropiadas para los laboratorios de Física de Primer Ciclo de las Facultades y Escuelas Técnicas.

Mecánica 2

Problemas de Física

Autor: Manuel R. Ortega Girón. Ilustrado, xii+386 pág., 17×24 cm, rústica. Contenido: Geometría de masas. Sistemas de partículas. Sistemas de masa variable. El problema de dos cuerpos. Colisiones. Estática del sólido rígido. Dinámica del sólido rígido. Trabajo y energía en el movimiento general del sólido rígido. Ecuaciones de Euler. Dinámica impulsiva del sólido rígido.

Mecánica 3 Autor: Manuel R. Ortega Girón. Ilustrado, x+332 pág., 17×24 cm, rústica. Contenido: La ley de la Gravitación Universal. El campo gravitatorio. Elementos de elasticidad. Elastostática. Estática de los fluidos. Tensión superficial. Cinemática de los fluidos. Dinámica de los fluidos ideales. Dinámica de los fluidos reales. Flujo viscoso.

Prácticas de Física (Física General)

Autor: Manuel R. Ortega Girón Ilustrado, viii+450 pág., 17×24 cm, rústica. Contenido: Un total de 450 problemas de Mecánica, Ondas, Termología, Electricidad y Magnetismo apropiados para lo estudiantes de Primer Ciclo de las Facultades y Escuelas Técnicas.

Problemas de Física Resueltos y explicados

Manuel R. Ortega Girón

Departamento de Física Aplicada. Universidad de Córdoba.

Problemas de Física Resueltos y explicados Décima edición: diciembre 2011

© Copyright. Reservados todos los derechos. Ninguna parte de este libro puede ser reproducida por cualquier medio, incluidas las fotocopias, sin el permiso por escrito del autor.

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Manuel R. Ortega Girón

Editor:

Manuel R. Ortega Girón CL Santa Cruz, 10 14.012 Córdoba. España. Tfnos.: +34 957 280051 e-mail: [email protected] http://www.uco.es/users/mr.ortega

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Reprografía Don Folio 14.013 Córdoba. España.

I.S.B.N. Depósito legal: ii

Problemas de Física

Prólogo del autor Este libro viene a completar mi obra Lecciones de Física, que viene teniendo una amplia y buena acogida, durante más de tres décadas, en diversas Universidades Españolas. Problemas de Física, así como el conjunto de la obra en la que se integra, es un libro concebido como apoyo a la enseñanza de la Física en los estudios universitarios, tanto de carácter técnico como científico, presentando un nivel apropiado para la Física que se imparte en los Primeros Cursos de nuestras Facultades y Escuelas Técnicas. Desde la más remota antigüedad, la enseñanza se ha enfrentado con dos problemas básicos: decidir qué conocimientos se deben transmitir (contenidos) y acertar cómo puede hacerse esa transmisión (forma). En el aspecto de contenidos, la mayor parte del contenido de este libro procede de mi experiencia personal y de los exámenes propuestos a los alumnos a quienes he impartido la asignatura, y corresponde a los descriptores oficiales correspondientes a los Fundamentos Físicos de la Ingeniería, que se han venido manteniendo prácticamente invariables con el paso del tiempo. En el aspecto formal, durante la preparación de este libro he pretendido la consecución de dos objetivos principales que entiendo que deben orientar la docencia de las asignaturas de Física de Primer Ciclo de los estudios universitarios: familiarizar al alumno con el conjunto de los conceptos y leyes básicas que constituyen la esencia de la Física y desarrollar en el estudiante la habilidad para manejar esas ideas y para aplicarlas a situaciones prácticas concretas. En Problemas de Física se hace un uso intenso de figuras y esquemas para facilitar la comprensión de los problemas, su tratamiento y soluciones. Además, hay un aspecto que conviene destacar: en muchos de los problemas, las figuras representan en gran medida la solución del mismo, lo que realza la importancia de las figuras y esquemas en el planteamiento resolución de los problemas. Córdoba, diciembre 2011.

Manuel R. Ortega Girón

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Problemas de Física

A Estela y Olga

Desde la infancia he sido criado en el estudio de las letras y, como quiera que me aseguraban que por medio de éstas se podía adquirir un conocimiento claro y seguro de todo aquello que es útil para la vida, yo tenía un vivísimo deseo de aprenderlas. Pero cuando acabé el curso de los estudios, al finalizar los cuáles es costumbre ser admitido en la jerarquía de los doctos, cambié enteramente de opinión. Por que me encontraba turbado y confuso entre tantas dudas y errores que me parecía no haber obtenido otro provecho, al procurar instruirme, que el descubrir cada vez mejor mi ignorancia. René Descartes (1596-1650) El Discurso del Método.

Manuel R. Ortega Girón

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Problemas de Física

Problemas de Física Resueltos y explicados

Manuel R. Ortega Girón

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Lecciones de Física Mecánica 1 1. Álgebra vectorial. 2. Vectores deslizantes. 3. Análisis vectorial. 4. Cinemática de la partícula. 5. Cinemática del sólido rígido. 6. Principios de la Mecánica Clásica. La ley de la inercia. 7. Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación de la cantidad de movimiento. 8. Las fuerzas de la Naturaleza. 9. Sistemas de referencia en rotación. 10. Trabajo y energía. 11. Conservación de la energía. 12. Momento angular. Fuerzas centrales.

Mecánica 2 13. Movimiento armónico simple. 14. Oscilaciones amortiguadas y forzadas. 15. Superposición de movimientos armónicos simples. 16. Geometría de masas. 17. Sistemas de partículas. 18. Sistemas de masa variable. El problema de 2-cuerpos. 19. Colisiones. 20. Estática del sólido rígido. 21. Dinámica del sólido rígido. 22. Trabajo y energía en el movimiento general del sólido rígido. 23. Ecuaciones de Euler. 24. Dinámica impulsiva del sólido rígido.

Mecánica 3 25. La ley de la Gravitación Universal. 26. El campo gravitatorio. 27. Elementos de elasticidad. 28. Elastostática. 29. Estática de los fluidos. 30. Tensión superficial. 31. Cinemática de los fluidos. 32. Dinámica de los fluidos ideales. 33. Dinámica de los fluidos reales. 34. Flujo viscoso.

Mecánica 4 35. Ondas progresivas. 36. Fenómenos ondulatorios en medios ilimitados. 37. Fenómenos ondulatorios en medios limitados. 38. Ondas estacionarias. 39. Acústica física. 40. Acústica musical y arquitectónica. Apéndices.

Termología 1. Conceptos previos. Temperatura y dilatación. 2. Gases ideales y reales. Ecuaciones térmicas de estado. 3. El calor y su medida. 4. Propagación del calor. 5. Primer principio de la Termodinámica. 6. Segundo Principio de la Termodinámica. 7. Aplicación simultánea del Primer y Segundo Principios. 8. Potenciales termodinámicos. 9. Transiciones de fase. 10. Teoría cinética de los gases. 11. Física estadística. Apéndices y Tablas.

Problemas de Física Prácticas de Física

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Problemas de Física

Materias Los códigos se corresponden con el Índice de Materias de Lecciones de Física, del mismo autor. M01. Álgebra vectorial. M02. Vectores deslizantes. M03. Análisis vectorial. M04. Cinemática de la partícula. M05. Cinemática del sólido rígido. M06. Principios de la Mecánica Clásica. La ley de la inercia. M07. Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación de la cantidad de movimiento. M08. Las fuerzas de la Naturaleza. M09. Sistemas de referencia en rotación. M10. Trabajo y energía. M11. Conservación de la energía. M12. Momento angular. Fuerzas centrales. M13. Movimiento armónico simple. M15. Superposición de movimientos armónicos simples. M16. Geometría de masas. M17. Sistemas de partículas. M18. Sistemas de masa variable. El problema de 2-cuerpos. M19. Colisiones. M20. Estática del sólido rígido. M21. Dinámica del sólido rígido. M22. Trabajo y energía en el movimiento general del sól. ríg. M24. Dinámica impulsiva del sólido rígido. M25. La ley de la Gravitación Universal. M27. Elementos de elasticidad. M29. Estática de los fluidos. M31. Cinemática de los fluidos. M32. Dinámica de los fluidos ideales. M33. Dinámica de los fluidos reales. M34. Flujo viscoso. M35. Ondas mecánicas. T00. Termodinámica. E01. Campo eléctrico. E02. Corriente continua. E03. Campo magnético. E04. Corriente alterna.

Manuel R. Ortega Girón

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Problemas de Física

Física Universitaria: Problemas de Física

Vectores. M01.1

1. Consideremos el vector A y la dirección definida por el vector B. Descompongamos el vector A en dos: uno paralelo y otro perpendicular a la dirección del vector B. Demostrar que los vectores componentes de A son (A˜B/$)eB y (Bu(AuB)/$2.

El vector A tiene como componentes los vectores A1 y A2, tal como se indica en la figura. El módulo de la componente del vector A en la dirección del vector B es la proyección de A sobre B, de modo que lo obtenemos multiplicando escalarmente A por el versor en la dirección de B; esto es,

A1  A ¸ eB  A ¸

B B

A

De modo que el vector A1 viene expresado por

A2



 B¬ A1  žž A ¸ ­­­eB žŸ B ®

A1

B

En cuanto a la componente A2, de la definición del producto vectorial se sigue la expresión del módulo de A2; esto es,

A q B  AB sen R  B A sen R  BA2

l

A2 

AqB B

Puesto que la dirección del producto vectorial AuB es normal al plano del papel y entrante, la del producto Bu(AuB) será la del vector A2, de modo que este vector vendrá dado por

A 2  eB q

A q B

B



B q A q B

B2

Física Universitaria: Problemas de Física

Vectores. M01.2

2. Hallar el vector que representa la superficie del triángulo determinado por los vectores A  5i 8 j 9k y B  6i  j 5k concurrentes en un punto dado.

El vector que define la superficie del triángulo formado S por los dos vectores viene dado por la mitad de su producto vectorial. En consecuencia, el vector S es un vector normal (perpendicular al plano) determinado por los vectores A y B, y su módulo vale 12 A B sen R , siendo  el ángulo que forman entre sí los vectores dados, y su sentido viene determinado por la regla de la mano derecha. Analíticamente, tenemos 5¬ 6¬  49 ¬­  24.5 ¬­ 1 1 ž ­­ ž ­­ 1 ž ­ ž ­ S  A q B  žžž 8 ­­qžžž1­­  žžž29­­  žžž14.5­­ 2 2 žž 9 ­­ žž 5 ­­ 2 žž 53 ­­ žž 26.5 ­­ Ÿ ® Ÿ ® Ÿ ® Ÿ ® Y su módulo (superficie del triángulo) es S  24.52 14.52 26.52  38.9

B A

Fundamentos Físicos de la Ingeniería

M.02. Vectores deslizantes.

1. El módulo de la resultante de un sistema de vectores es R = 6, el invariante escalar del sistema es M$R = 30 y las ecuaciones del eje central del sistema son 2x = y = 2z. Hallar: a) el momento mínimo; b) la resultante; c) el momento respecto al origen; d) el momento con respecto al punto (2, 1, 0).

El eje central del sistema de vectores pasa por el origen de coordenadas (0,0,0) y sus ecuaciones pueden expresarse en la forma: x y z , 2x y 2z o 1 2 1 Eje R central por lo que su versor director es §1· 1 ¨ ¸ 2 6 ¨¨ ¸¸ ©1¹ a) El momento mínimo es igual a la proyección sobre el eje central del momento en cualquier punto del espacio; esto es,

M0

e

M mín

M
R R

30 6

5 o M mín

M mín e

§1· 5 ¨ ¸ 2 6 ¨¨ ¸¸ 1 © ¹

b) La dirección de la resultante es la del eje central: esto es, §1· §1· 6 ¨ ¸ ¨ ¸ R Re 2 6 ¨ 2¸ 6 ¨¨ ¸¸ ¨1¸ ©1¹ © ¹ c) Dado que el origen de coordenadas pertenece al eje central, será §1· 5 6¨ ¸ 2 6 ¨¨ ¸¸ ©1¹ d) Aplicamos la fórmula de cambio de momentos: M0

MP

)))& M O  PO u R

M mín

§ 1 · § 2 · §1· 5 6¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 2  1 u 6 ¨ 2 ¸ 6 ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ ¨1¸ ©1¹ © 0 ¹ © ¹

Departamento de Física Aplicada Revisión: 25/01/06

§1· § 1 · 5 6¨ ¸ 6 6¨ ¸ 2  2 6 ¨¨ ¸¸ 6 ¨¨ ¸¸ 1  © ¹ © 3¹

-1Impresión: 30/03/2009

§ 1 · 6¨ ¸ 22 ¸ 6 ¨¨ ¸ © 13 ¹

Universidad de Córdoba

Fundamentos Físicos de la Ingeniería

M.02. Vectores deslizantes.

2. Un sistema de vectores deslizantes es tal que en el origen el momento resultante es nulo y en los puntos A(1,0,0)y B(0,1,0) los momentos son M A = aj + k y M B = i + b j - k, respectivamente. Determinar: a) Los valores de a y b en las expresiones de los momentos. b) La resultante del sistema. c) El eje central. d) Si estuviésemos describiendo con este ejercicio el movimiento de un sólido rígido, escriba de nuevo el enunciado del problema.

a) y b) Sea R = (li + mj + nk) la resultante del sistema. Relacionamos los momentos en A y B con el momento en O: ­ §0· )))& ° ¨ ¸ °M A M O  AO u R o ¨ a ¸ ¨1¸ °° © ¹ ® §1· ° )))& ¨ ¸ °M BO  u R o M O ¨b¸ ° B ¨ 1¸ °¯ © ¹ de modo que

§ 1· § l · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 0 ¸u¨m¸ ¨ 0 ¸ ¨n¸ © ¹ © ¹ §0· §l· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 1¸ u ¨ m ¸ ¨ 0 ¸ ¨n¸ © ¹ © ¹

§ 0 · ­a n ­a 1 ¨ ¸ °b 0 ¨ n ¸ o ®m 1 ¯ ¨ m ¸ °° © ¹ o ®l 1 § n · ­ n 1 ° m 1 ° ¨ ¸ ° 0 0 o b ® ¨ ¸ °¯n 1 °l 1 ¨ l ¸ © ¹ ¯

§0· §1· § 1· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ M A ¨ 1¸ MB ¨ 0 ¸ R ¨ 1¸ ¨1¸ ¨ 1¸ ¨ 1¸ © ¹ © ¹ © ¹ c) Puesto que el momento en el origen es nulo, el eje central pasa por el origen de coordenadas y tiene la dirección de la resultante R, de modo que viene dado por las ecuaciones: x y z o x y z 1 1 1 d) Un sólido rígido tiene un movimiento tal que, en un instante dado, las velocidades de tres de sus puntos... ... a) ... b) La rotación resultante. c) El eje instantáneo de rotación y deslizamiento.

Departamento de Física Aplicada Revisión: 25/01/06

-2Impresión: 30/03/2009

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Fundamentos Físicos de la Ingeniería

M.02. Vectores deslizantes.

v1 z 3. Dado el sistema de vectores deslizantes de la figura, determinar: a) Los invariantes del sistema. b) El eje central. c) El momento respecto al eje Oy. d) Un sistema equivalente al 1 anterior formado por dos vectores tales que la recta de acción de uno de ellos sea el eje Oy. v2 1 1

a) Los invariantes del sistema son: ­V1 =(0 1 0) ® ¯V2 =(0 0 1) MO

P1 =(0,0,1) P2 =(1,0,0)

)))& )))& OP1 u V1  OP 2 u V2

Ÿ

jk

R

§0· §0· §1· §0· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨0¸ u ¨1¸  ¨0¸ u ¨0¸ ¨1¸ ¨0¸ ¨0¸ ¨1¸ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹

z

§ 1· ¨ ¸ ¨ 1¸ ¨0¸ © ¹

§ 0 · § 1 · ¨ ¸¨ ¸ R ˜ M O ¨ 1 ¸
¨ 1¸ 1 Ÿ R
M O 1 ¨1¸ ¨ 0 ¸ © ¹© ¹ b) Obtenemos la ecuación del eje central determinando el vector de posición de un punto E que pertenece a dicho eje: )))& OE

y

x

R u MO R2

§ 0 · § 1 · 1¨ ¸ ¨ ¸ 1 u 1 2 ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ ©1¹ © 0 ¹

EC

v1

v2 y x

§ 1/ 2 · ¸ ¨ ¨ 1/ 2 ¸ ¨ 1/ 2 ¸ © ¹

§1· 1¨ ¸ 1 2 ¨¨ ¸¸ ©1¹

y la ecuación del eje es: x  xE Rx

y  yE Ry

z  zE Rz

Ÿ

x  1/ 2 0

y  1/ 2 1

z  1/ 2 Ÿ 1

­ x 1/ 2 ® ¯z 1  y

c) El momento respecto a un eje es la proyección sobre el eje del momento respecto a un punto cualquiera de ese eje. § 1· § 0 · ¨ ¸¨ ¸ M yy M O ˜ j ¨ 1¸
¨ 1 ¸ 1 Ÿ M yy  j ¨ 0 ¸ ¨0¸ © ¹© ¹ d) Sea A el vector cuya recta de acción es el eje Oy. Dado que R=A+B, el nuevo sistema será: ­ A (0 O 0) ® ¯B R  A (0 1-O 1)

PA

(0, 0, 0)

PB

( x, y , z )

El momento en cualquier punto debe ser el mismo para los dos sistemas MO

§ x · § 0 · § y  (1  O ) z · § 1· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ x ¨ y ¸ u ¨1  O ¸ ¨ ¸ ¨ 1¸ ¨ z ¸ ¨ 1 ¸ ¨ (1  O ) x ¸ ¨ 0 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ 1 ­O 1 ­ A j (0, 0, 0) ° Ÿ ®x 1 Ÿ ® ¯B k (1, 1, 0) ¯° y 1

)))& )))& OP A u A  OP B u B

­ y  (1  O ) z ° ® x 1 ¯°(1  O ) x 0

Departamento de Física Aplicada Revisión: 25/01/06

-3Impresión: 30/03/2009

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Fundamentos Físicos de la Ingeniería

M.02. Vectores deslizantes.

4. Sean dos sistemas de vectores deslizantes definidos por sus torsores {R;M} respectivos:

£ ¬  ¬² ¦¦ž1­­ žž2­­¦¦¦ ¦ž T1  ¤žž2­­ , žž4­­» P1 1, 0, 0

­ ­ ¦¦žž ­ žž ­¦¦ ¦ ¥Ÿ1® Ÿ2®¦ ¼

£ ¬  ¬² ¦¦ž0­­ žž0­­¦¦¦ ¦ž T2  ¤žž1­­ , žž3­­» P2 0,1, 0

­ ­ ¦¦¦žŸž1®­ Ÿžž3®­¦¦¦ ¥ ¼

a) Reducir cada uno de los sistemas al origen de coordenadas. b) Obtener la resultante y el momento resultante del sistema total. c) Determinar el eje central del sistema total. d) Obtener el torsor resultante.

El torsor de un sistema de vectores deslizantes queda definido por su resultante R y su momento resultante M con respecto a un punto P del eje central del sistema (reducción canónica). a) La resultante R i de cada sistema es invariante; el momento resultante M i cambia al pasar a otro punto de {T1} reducción. Reducimos los sistemas al origen de R1 coordenadas: {T2} 1­¬ 2¬­ 1­¬ 1­¬ 2­¬ M1 JJJG žž ­ žž ­ žž ­ žž ­ žž ­ ­ ­ ­ ­ ­ R2 R1  žž2­ M1,O  M1,P1 OP1 q R1  žž4­ žž0­qžž2­  žž3­ P1 ­ ­ ­ ­ P2 žŸž1­­® Ÿžž2­® žžŸ0­® žžŸ1­® žžŸ4­® M R 2 0­¬  ¬  ¬  ¬  ¬ M 0 0 1 0 O JJJG ž ­ ž ­­ ž ­­ ž ­­ ž ­­ R 2  žžž1­­ M 2,O  M 2,P2 OP2 q R 2  žžž3­­ žžž1­­qžžž1­­  žžž3­­ ­ žŸž1­® žžŸ3­­® žž0­­ žž1­­ žž3­­ Ÿ ® Ÿ ® Ÿ ® b) La resultante R y el momento resultante M O del sistema total de vectores en el origen de coordenadas es la suma de las resultantes y momentos resultantes de cada uno de los sistemas: 1­¬ 0­¬ 1¬­ 2­¬ 1­¬ 3¬­ ž ­ ž ­ ž ­ ž ­ ž ­ ž ­ R  R1 R 2  žžž2­­ žžž1­­  žžž3­­ M O  M1,O M 2,O  žžž3­­ žžž3­­  žžž6­­ R  14 ­ ­ ­ žŸž1­® žžŸ1­® žžŸ2®­ žŸž4­­® žžŸ3­­® žžŸ7®­­ c) Determinamos un punto P del eje central del sistema total y la ecuación de su eje central: 1¬ 3¬ 9¬ JJG R q M 14 x  9 14 y 1 14 z 3 1 žž ­­­ žž ­­­ 1 žž ­­­ O    q  OP  3 6 ž ž žž1­ ­ ­ 2 ž ž ­ ­ ­ 1 3 2 R 14 žž2­ žž7­ 14 žž3­ Ÿ ® Ÿ ® Ÿ ® d) Proyectamos el momento MO sobre la resultante R para obtener el momento mínimo: 3¬ 1¬ 1 ¬ 1 ¬ M