Circuitos eléctricos. Análisis por nudos y por mallas: Teoría y Problemas resueltos [1 ed.] 8490522995, 9788490522998

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Este libro se centra en el análisis sistemático de circuitos eléctricos mediante las ecuaciones de nudos y las ecuaciones de mallas. En el primer capítulo se hace un breve análisis del número de ecuaciones y de incógnitas que, en general, conlleva la resolución de un circuito eléctrico. El segundo capítulo se centra en el método basado en las ecuaciones de nudos, y el tercer capítulo en el método de las ecuaciones de mallas. Cada capítulo incluye una parte con los conceptos teóricos necesarios para abordar con éxito cada uno de los problemas resueltos de forma detallada. Es una obra realizada con gran esfuerzo pedagógico, con más de 150 figuras, de forma que sea fácilmente comprensible y de amena lectura.

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Alfonso Bachiller Soler es Ingeniero Industrial, Ingeniero Aeronáutico y Doctor por la Universidad de Sevilla; actualmente es profesor Titular de Universidad del Departamento de Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Sevilla.

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Ramón Cano González es Ingeniero Técnico Industrial, Ingeniero en Automática y Electrónica Industrial y Doctor por la Universidad de Sevilla; actualmente es profesor Titular de Universidad del Departamento de Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Sevilla.

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ISBN: 978-84-9052-299-8

[email protected] www.editdiazdesantos.com

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Teoría y problemas resueltos

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ALFONSO BACHILLER SOLER RAMÓN CANO GONZÁLEZ

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CIRCUITOS ELÉCTRICOS. ANÁLISIS POR NUDOS Y POR MALLAS

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ALFONSO BACHILLER SOLER RAMÓN CANO GONZÁLEZ

0Circuitos Eléctricos. Análisis

por nudos y por mallas Teoría y problemas resueltos

1824-1887

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Gustav Robert Kirchhoff

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Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas Teoría y Problemas resueltos

Alfonso Bachiller Soler, Ramón Cano González Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Sevilla

© Alfonso Bachiller Soler, Ramón Cano González, 2021 (Versión papel) © Alfonso Bachiller Soler, Ramón Cano González, 2021 (Versión electrónica)

Reservados todos los derechos. Queda prohibida, salvo excepción prevista en la ley ,cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública y transformación de esta obra sin contar con la autorización de los titulares de propiedad intelectual. La infracción de los derechos mencionados puede ser constitutiva de delito contra la propiedad intelectual (art.270 y siguientes del Código Penal). El Centro Español de Derechos Reprográficos (CEDRO) vela por el respeto de los citados derechos. Ediciones Díaz de Santos Email:[email protected] www.editdiazdesantos.com

ISBN: 978-84-9052-327-8 (Libro electrónico) ISBN: 978-84-9052-299-8 (Libro en papel)

A nuestros alumnos y maestros

Índice

Índice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2. Método de nudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.1. 2.2. 2.3. 2.4.

Tensiones de los nudos . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones de nudos en circuitos resistivos . . . . . Ecuaciones de nudos en circuitos de corriente alterna Casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Circuitos con fuentes reales de tensión . . . 2.4.2. Circuitos con fuentes ideales de tensión . . . 2.4.3. Circuitos con fuentes dependientes . . . . .

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Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 P. 2.1. P. 2.2. P. 2.3. P. 2.4. P. 2.5. P. 2.6. P. 2.7. P. 2.8. P. 2.9. P. 2.10. P. 2.11. P. 2.12. P. 2.13. P. 2.14. P. 2.15.

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Índice

IV

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45 . 47 50 52 55 58 63 65 68 70 73 76 79 . 81 82 85 88 . 91 93 96 98 102 . 104 106

3. Método de mallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.1. 3.2. 3.3. 3.4.

Intensidad de malla . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones de mallas en circuitos resistivos . . . . . Ecuaciones de mallas en circuitos de corriente alterna Casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Circuitos con fuentes reales de intensidad . . 3.4.2. Circuitos con fuentes ideales de intensidad . 3.4.3. Circuitos con fuentes dependientes . . . . .

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Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 P. 3.1. P. 3.2. P. 3.3. P. 3.4. P. 3.5. P. 3.6. P. 3.7.

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1 Introducción Un circuito eléctrico es un conjunto de elementos eléctricos interconectados entre sí. En general, resolver un circuito eléctrico consiste en calcular la tensión y la intensidad de cada uno de dichos elementos, ya que, a partir de dichas magnitudes, se pueden obtener fácilmente otras, como son la potencia y la energía. En todo circuito eléctrico se han de cumplir simultáneamente las leyes de Kirchhoff y las ecuaciones de definición de cada uno de los elementos. Debido a que los elementos de un circuito están interconectados entre sí, se debe cumplir la ley de Kirchhoff de intensidades en cada uno de los nudos 1 del circuito. Asimismo, se debe cumplir la ley de Kirchhoff de tensiones en cada uno de los caminos cerrados (lazos o bucles) que se puedan establecer en el circuito. Por último, la tensión y la intensidad en cada uno de los elementos del circuito debe cumplir la ecuación de definición propia del elemento. A continuación se hará un análisis del número de incógnitas y del número de ecuaciones involucradas en el cálculo de las tensiones e intensidades de los elementos de un circuito. En este sentido, en un circuito eléctrico formado por n nudos y c elementos de dos terminales se tienen 2c incógnitas que corresponden a la tensión e intensidad en cada uno de los elementos. Por otro lado, en este mismo circuito se pueden plantear las siguientes ecuaciones linealmente independientes: • Ley de Kirchhoff de intensidades: n − 1. • Ley de Kirchhoff de tensiones: c − n + 1 (Nº de mallas). • Ecuación de definición de los elementos: c. Se puede comprobar que el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones. Hay que destacar que en este análisis no se ha tenido en cuenta la reducción del número de incógnitas (y por tanto del número de ecuaciones) procedente de las fuentes independendientes de tensión y de intensidad.

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Un nudo es un punto de interconexión de dos o más elementos de un circuito.

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Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

Ejemplo 1.0.1. En el circuito de la Figura 1.1, obtener las ecuaciones que permiten calcular la tensión e intensidad de todos los elementos. Se han indicado los nudos del circuito así como los caminos cerrados donde se aplicarán las leyes de Kirchhoff de intensidad y de tensión respectivamente.

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Figura 1.1. Solución. Se puede comprobar que el circuito tiene 3 nudos y 4 elementos: n=3 ; c=4 En este caso, el número de incógnitas son 8 (2c=2 · 4=8): U1 , U2 , U3 , U4 , I1 , I2 , I3 , I4 En cuanto a las ecuaciones: • Ley de Kirchhoff de intensidades: n − 1=3 − 1=2 Nudo A : − I1 − I3 − I4 = 0 Nudo B : I3 + I4 − I2 = 0 Se puede observar que la ecuación resultante de aplicar la ley de Kirchhoff de intensidades al nudo C es linealmente dependiente de las anteriores, por lo que no aporta información adicional. • Ley de Kirchhoff de tensiones: c − n + 1=4 − 3 + 1=2 Camino cerrado a : U3 − U4 = 0 Camino cerrado b : U4 + U2 − U1 = 0 • Ecuación de definición de los elementos: c = 4 I1 = −Ig U2 = R2 I2 U3 = R3 I3 U4 = R4 I4

Capítulo 1. Introducción Reordenando las ecuaciones, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones expresado en forma matricial:      0 0 0 0 0 −1 0 −1 −1 U1 0 0 0 0     0 −1 1 1    U2   0   0 0 1 −1 0     0 0 0  U3   0    −1 1 0 1     0 0 0 0    U4  =  0  0 0 0 0     1 0 0 0   I1  −Ig    0 1 0 0     0 −R2 0 0     I2   0  0 0 1 0     0 0 −R3 0 I3 0  0 0 0 1 0 0 0 −R4 I4 0 Los circuitos relativamente sencillos se pueden analizar aplicando las leyes de Kirchhoff junto con las relaciones tensión-intensidad en cada elemento, tal y como se ha descrito anteriormente. Sin embargo, a medida que el circuito se vuelve más complicado, implica un número cada vez mayor de elementos y es necesario emplear técnicas de análisis que faciliten su resolución. Eligiendo de forma conveniente un conjunto “básico” de variables, es posible reducir el sistema de 2c ecuaciones visto anteriormente. A partir de dicho conjunto de variables básicas se puede obtener cualquier otra variable del circuito. Si dichas variables básicas son las tensiones de los nudos, entonces da lugar al método de análisis por nudos, mientras que si se eligen como variables básicas las intensidades de malla, entonces da lugar al método de análisis por mallas. Dichos métodos permiten resolver un circuito con un número mínimo de ecuaciones. En los dos capítulos siguientes se analizarán dichos métodos y se resolverán un conjunto de problemas de diversa índole mostrando la casuística que se puede presentar en la realidad. Una cuestión importante que cabría preguntarse, una vez asimilados los dos métodos de análisis, es la selección del método más eficiente en cada problema. En términos generales, eso lo determinan dos factores: 1. Según la naturaleza del circuito • • • • •

Circuitos con elementos en serie y fuentes de tensión: Mallas. Circuitos con elementos en paralelo y fuentes de intensidad: Nudos. Circuitos con menos nudos que mallas: Nudos. Circuitos con menos mallas que nudos: Mallas. Circuitos que no son de disposición plana: Nudos.

2. Según la información requerida • Si se requieren las tensiones de los nudos: Nudos. • Si se requieren las intensidades de malla: Mallas. No obstante lo anterior, cabe destacar que el método de análisis por nudos es más fácil de programar en un computador que el método de análisis por mallas. Como curiosidad, el método de nudos es el usado para el planteamiento de las ecuaciones de flujo de cargas de un sistema eléctrico de potencia.

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2 Método de nudos El objetivo del método de análisis por nudos es, para un circuito eléctrico, plantear de forma sistemática por inspección un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas sean las tensiones de los nudos.

2.1. Tensiones de los nudos La tensión de un nudo cualquiera del circuito se define como la diferencia de potencial entre dicho nudo y uno de referencia. En este caso, el nudo de referencia será uno de los nudos del circuito. Por tanto, cuando se habla de la tensión de un nudo, en realidad es la tensión de dicho nudo con respecto al nudo de referencia. En la Figura 2.1 se muestra un elemento de dos terminales conectado al nudo j y al nudo k. Una vez conocida la tensión del nudo j, uj , y la tensión del nudo k, uk , es posible calcular la tensión del elemento como sigue: ujk = uj − uk

(2.1)

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Figura 2.1. Tensiones de los nudos. En el caso de circuitos que solo contengan resistencias (impedancias) y fuentes de intensidad, una vez conocidas las tensiones de los nudos se puede obtener cualquier otra magnitud del circuito. En el caso de las fuentes de intensidad, su incógnita es la tensión, que se puede obtener como diferencia entre las tensiones de los nudos a los que está conectada. En el caso de las resistencias (impedancias), una vez conocida la tensión de cada uno de 5

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Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos sus nudos, se puede obtener la tensión en las mismas y teniendo en cuenta la ecuación de definición, es decir, la ley de Ohm, es posible obtener la intensidad que circula por cada una de ellas. Por tanto, queda demostrado que las tensiones de los nudos constituyen un conjunto de variables básicas, a partir de las cuales se puede obtener cualquier otra variable del circuito. El caso de circuitos que contengan fuentes de tensión y fuentes dependientes se tratará más adelante.

2.2. Ecuaciones de nudos en circuitos resistivos Con objeto de desarrollar las ecuaciones de nudos, se considerará el nudo genérico j que se muestra en la Figura 2.2.

Figura 2.2. Nudo genérico j. Aplicando la ley de Kirchhoff de intensidades (k 6= j) gs ij1 + . . . + ijk + . . . + ij(n−1) = ige j − ij

(2.2)

gs donde ige j es la intensidad de la fuente de intensidad que está entrando en el nudo j, y ij es la intensidad de la fuente de intensidad que está saliendo del nudo j. Teniendo en cuenta la relación tensión-intensidad en cada una de las conductancias, resulta: gs Gj1 [uj − u1 ] + . . . + Gjk [uj − uk ] + . . . + Gj(n−1) [uj − un−1 ] = ige j − ij

Reordenando términos se obtiene lo siguiente:   Gj1 + . . . + Gjk + . . . + Gj(n−1) uj gs g − Gj1 u1 − . . . − Gjk uk − . . . − Gj(n−1) un−1 = ige j − ij = ij

(2.3)

(2.4)

Extendiendo este mismo análisis a los n−1 nudos del circuito, se obtienen n−1 ecuaciones similares a la anterior, las cuales se pueden expresar en forma matricial:     g  GN(1,1) · · · GN(1,n−1) u1 i1      .. . . .  . .. .. (2.5)   ..  =  ..  . GN(n−1,1)

···

GN(n−1,n−1)

un−1

ign−1

Capítulo 2. Método de nudos

7

⇓ GN UN = IN donde GN se denomina matriz de conductancias nodales. UN se denomina vector de tensiones de nudos. IN se denomina vector de intensidades inyectadas en los nudos. Según la ecuación (2.4) es fácil comprobar que los elementos de la matriz GN se calculan como sigue: X GN(j,j) = Gjk (sumatorio de todas las conductancias que tienen un terminal en el nudo j) k

GN(j,k) = −

X

Gjk (sumatorio, cambiado de signo, de todas las conductancias que tienen un terminal en el nudo j y otro en el nudo k)

Asimismo, los elementos del vector IN se calculan como sigue: P gs (sumatorio de las fuentes de intensidad igj = ige j − ij que inciden en el nudo j, positivas si entran en el nudo y negativas si salen) A continuación, a partir del circuito de la Figura 2.3, se mostrará a nivel práctico la aplicación del desarrollo teórico anterior. El objetivo es, usando la ley de Kirchhoff de intensidades y las relaciones tensión-intensidad en cada elemento, obtener un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas sean las tensiones de los nudos. Posteriormente se comprobará que este sistema se puede obtener directamente por inspección del circuito.

+

+

_

+

_

_

Figura 2.3.

+ _

8

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos Se puede comprobar que el circuito tiene 3 nudos, siendo el nudo C el que se ha tomado como referencia. Las tensiones de los nudos son las siguientes: UA , UB Aplicando la ley de Kirchhoff de intensidades al nudo A y al nudo B resulta: Nudo A : I1 + I3 + I4 = 0 Nudo B : − I3 − I4 + I2 = 0

(2.6)

Por otro lado, las ecuaciones de definición de los elementos son las siguientes: I1 = −Ig 1 I2 = U = G2 U2 R2 2 1 I3 = U = G3 U3 R3 3 1 I4 = U = G4 U4 R4 4 A continuación es necesario relacionar la tensión de cada elemento con las tensiones de los nudos: U1 U2 U3 U4

= UA = UB = UA − UB = UA − UB

De esta forma, las ecuaciones (2.6) quedan como sigue: Nudo A : − Ig + G3 (UA − UB ) + G4 (UA − UB ) = 0 Nudo B : − G3 (UA − UB ) − G4 (UA − UB ) + G2 UB = 0 Reordenando términos se obtiene lo siguiente: Nudo A : (G3 + G4 )UA − (G3 + G4 )UB = Ig Nudo B : − (G3 + G4 )UA + (G2 + G3 + G4 )UB = 0 Expresado en forma matricial, finalmente se obtienen las ecuaciones de nudos:      I G3 + G4 −G3 − G4 UA = g (2.7) −G3 − G4 G2 + G3 + G4 UB 0 Es importante destacar que, a partir de un circuito dado, se pueden obtener por inspección las ecuaciones de nudos directamente considerando el valor de los elementos y la conectividad que exista entre ellos. Recalcando aún más, la idea es construir directamente

Capítulo 2. Método de nudos

9

la matriz GN y el vector IN a partir de la información del circuito. En todos los problemas desarrollados en el libro, el objetivo es el planteamiento de las ecuaciones por inspección. Así, la ecuación matricial (2.7) se puede obtener directamente del circuito de la Figura 2.3. Puede observarse que GN(1,1) =G3 + G4 , GN(2,2) =G2 + G3 + G4 y GN(1,2) =GN(2,1) = −G3 − G4 . Ejemplo 2.2.1. En el circuito de la Figura 2.4, obtener las ecuaciones de nudos.

Figura 2.4. Solución. Se puede observar que el circuito tiene 3 nudos, uno de los cuales se toma como referencia. En el nudo 1 inciden las conductancias G1 y G2 , por tanto el término diagonal (1,1) será la suma de ambas conductancias. En el nudo 2 inciden las conductancias G2 y G3 , por tanto, el término diagonal (2,2) será la suma de ambas conductancias. El nudo 1 y el nudo 2 están conectados directamente a través de la conductancia G2 , por tanto, el término no-diagonal será dicha conductancia con signo cambiado. Respecto al término independiente, se puede observar que en el nudo 1 está entrando la intensidad Ig1 y en el nudo 2 está saliendo la intensidad Ig2 , por tanto el primer término será Ig1 y el segundo término −Ig2 . En resumen, las ecuaciones de nudos son las siguientes:      Ig1 G1 + G2 −G2 U1 = U2 −Ig2 −G2 G2 + G3

2.3. Ecuaciones de nudos en circuitos de corriente alterna En el caso de circuitos en régimen permanente de alterna y teniendo en cuenta que se usan las técnicas fasoriales, entonces las ecuaciones de nudos tienen la siguiente estructura:      g Y N(1,1) · · · Y N(1,n−1) U1 I1     ..  .. .. .. ..   = .  . . . . Y N(n−1,1)

···

Y N(n−1,n−1) ⇓ YN UN = IN

donde

U n−1

g

I n−1

10

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos YN se denomina matriz de admitancias nodales. UN se denomina vector de tensiones de nudos. IN se denomina vector de intensidades inyectadas en los nudos. Los elementos de la matriz YN se obtienen de la siguiente forma: X Y N(j,j) = Y jk (sumatorio de todas las admitancias que tienen un terminal en el nudo j) k

Y N(j,k) = −

X

Y jk (sumatorio, cambiado de signo, de todas las admitancias que tienen un terminal en el nudo j y otro en el nudo k)

Los elementos del vector IN se obtienen como sigue: g

Ij =

P

ge

gs

Ij − Ij

(sumatorio de las fuentes de intensidad que inciden en el nudo j, positivas si entran en el nudo y negativas si salen)

Ejemplo 2.3.1. En el circuito de la Figura 2.5, obtener las ecuaciones de nudos.

Figura 2.5.

Solución. Y1+Y2

−Y 2

−Y2

Y2+Y3

!

U1 U2

! =

I g1 − I g2

!

Capítulo 2. Método de nudos

11

2.4. Casos particulares Hasta el momento solo se han tratado circuitos con resistencias y fuentes de intensidad. A continuación se muestra el procedimiento para obtener las ecuaciones de nudos en el caso de circuitos que contengan fuentes reales de tensión, fuentes ideales de tensión y fuentes dependientes. Con ello se cubre prácticamente la totalidad de casuística que puede aparecer a la hora de plantear las ecuaciones nudos de forma sistemática por inspección. Asimismo, dentro de estos casos particulares queda incluido el tratamiento que se le puede dar, por ejemplo, a las bobinas acopladas, las cuales se pueden modelar como fuentes dependientes. 2.4.1.

Circuitos con fuentes reales de tensión

Cuando en el circuito hay fuentes reales de tensión, para plantear por inspección las ecuaciones de nudos es conveniente sustituirlas por su correspondiente fuente real de intensidad equivalente, tal y como se muestra en la Figura 2.6. Una vez hecha la sustitución entonces se sigue el mismo procedimiento descrito anteriormente.

+

+

+

+

_

_

+

+

_

_

Figura 2.6. Equivalencia de fuentes reales.

12

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

Ejemplo 2.4.1. En el circuito de la Figura 2.7, obtener las ecuaciones de nudos.

+

_

Figura 2.7. Solución. Se puede observar que el circuito tiene una fuente real de tensión, la cual se sustituirá por una fuente de intensidad equivalente, tal y como se muestra en la Figura 2.8.

Figura 2.8. Según la Figura 2.8:  Gg + G1 + G2 −G2

−G2 G2 + G3

    Ug Gg U1 = U2 −Ig2

2.4.2. Circuitos con fuentes ideales de tensión En circuitos donde hay fuentes ideales de tensión, el procedimiento a seguir para plantear las ecuaciones de nudos por inspección es el siguiente: 1. Sustituir cada fuente de tensión ideal por una fuente de intensidad ideal de valor Ix (I x en el caso fasorial) desconocido. La referencia de dichas fuentes es arbitraria. 2. Plantear por inspección las ecuaciones de nudos. 3. Eliminar las intensidades desconocidas que aparecerán en el término independiente procedentes de las fuentes ideales de tensión que han sido sustituidas. Para ello caben dos posibilidades:

Capítulo 2. Método de nudos • Si la fuente de tensión ideal está conectada entre un nudo cualquiera y el nudo de referencia, entonces la intensidad desconocida solo aparecerá en una de las ecuaciones del sistema. En este caso, dicha ecuación se elimina. • Si la fuente de tensión ideal no está conectada al nudo de referencia, entonces la intensidad desconocida aparecerá en dos ecuaciones del sistema (en una con signo + y en la otra con signo −). En este caso, se sumarán ambas ecuaciones, dejando la ecuación resultante formando parte del sistema de ecuaciones. Se puede observar que por cada una de las fuentes ideales de tensión se elimina una ecuación del sistema, por lo que será necesario añadir una ecuación adicional, como se indica en el siguiente paso. 4. Por cada fuente ideal de tensión, añadir al sistema de ecuaciones una ecuación que relacione la tensión de dicha fuente con las tensiones de los nudos. Estas ecuaciones vienen a sustituir a las ecuaciones que se eliminaron en el punto anterior.

Ejemplo 2.4.2. En el circuito de la Figura 2.9, obtener las ecuaciones de nudos.

+

_

Figura 2.9.

Solución. Según la Figura 2.9 se puede observar que hay una fuente ideal de tensión, la cual se sustituirá por una fuente ideal de intensidad de valor desconocido Ix tal y como se muestra en la Figura 2.10. Nótese que la tensión en extremos de esta fuente es Ug , tal y como se ha señalado en la Figura 2.10.

+ _

Figura 2.10.

13

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos Según la Figura 2.10:  G1 + G2 −G2

−G2 G2 + G3

    Ix U1 = −Ig2 U2

Como la fuente ideal de tensión está conectada entre el nudo 1 y el nudo de referencia entonces Ix aparece en una sola ecuación. En este caso, se elimina la primera ecuación y en su lugar se incorpora la ecuación que relaciona la tensión de la fuente ideal con las tensiones de los nudos. De esta forma: 

1 −G2

0 G2 + G3

    Ug U1 = U2 −Ig2

Ejemplo 2.4.3. En el circuito de la Figura 2.11, obtener las ecuaciones de nudos.

+

14

_

Figura 2.11.

Solución. Según la Figura 2.11 se puede observar que hay una fuente ideal de tensión, la cual se sustituirá por una fuente ideal de intensidad de valor desconocido Ix tal y como se muestra en la Figura 2.12.

+

_

Figura 2.12.

Capítulo 2. Método de nudos Según la Figura Figura 2.12:  G1 0

0 G3

    Ig1 + Ix U1 = U2 −Ig2 − Ix

Como la fuente ideal de tensión no está conectada con el nudo de referencia entonces entonces Ix aparece en dos ecuaciones. En este caso hay que sumar las dos ecuaciones que contiene a Ix e incorporar la ecuación que relaciona la tensión de la fuente ideal con las tensiones de los nudos. De esta forma:      Ig1 − Ig2 G1 G3 U1 = 1 −1 U2 Ug

2.4.3. Circuitos con fuentes dependientes En circuitos con fuentes dependientes 1 , el tratamiento es el mismo al visto hasta el momento para las fuentes independientes. Sin embargo, una vez realizado el tratamiento de las fuentes reales y de las fuentes ideales, en el término independiente aparecerán las magnitudes de control, las cuales no son las incógnitas del sistema. En consecuencia, por cada fuente dependiente hay que encontrar una relación entre la variable de control y las tensiones de nudos. Finalmente, habrá que reordenar términos para que el sistema quede expresado solo y exclusivamente en función de las tensiones de los nudos. Hay que destacar que introducen asimetría en la matriz de conductancias/admitancias de nudos. Ejemplo 2.4.4. En el circuito de la Figura 2.13, obtener las ecuaciones de nudos.

+

_

Figura 2.13.

1

Fuentes cuyo valor depende de la tensión o intensidad existente en otra parte del circuito. A dicha tensión o intensidad se conoce como magnitud de control de la fuente dependiente.

15

16

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos Solución. Según la Figura 2.13:  G1 + G2 −G2

−G2 G2 + G3

    αUα U1 = −Ig2 U2

Se puede observar que en el término independiente aparece la variable de control, Uα , de la fuente dependiente. A continuación hay que encontrar una relación entre Uα y las tensiones de los nudos. Según la Figura 2.13: Uα = U1 − U2 Por tanto:

 G1 + G2 −G2

−G2 G2 + G3

    α(U1 − U2 ) U1 = −Ig2 U2

Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de nudos:      0 G1 + G2 − α −G2 + α U1 = −Ig2 U2 −G2 G2 + G3

Problemas resueltos

P. 2.1. En el circuito de la Figura 2.14, obtener las ecuaciones de nudos en forma matricial.

Figura 2.14. Solución. Según la Figura 2.14: 1 1 −1 3 + 2 +1  −1 1+1+ −1 −1 3

1 3

−1 3

1 3

    U1 8  4 −1  U2  =  1 U3 7−4−8 + 2 +1

Efectuando operaciones resulta:  11     −1 −1 U1 8 6 3 −1 7 −1 U2  =  4  3 −1 U3 −5 −1 11 3 6

17

18

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

P. 2.2. En el circuito de la Figura 2.15, obtener las ecuaciones de los nudos indicados en forma matricial.

Figura 2.15. Solución. Según la Figura 2.15, se puede observar que entre el nudo 1 y el nudo 3 hay conectadas en serie dos conductancias, las cuales se pueden sustituir por una conductancia equivalente de valor 3 S. Si entre dichas conductancias se hubiera indicado un nudo entonces dicha sustitución no sería correcta ya que entonces se eliminaría de la formulación dicho nudo. Teniendo en cuenta la citada sustitución de las dos conductancias en serie entonces:      1+2+3 −2 −3 U1 0  −2 2+1+4 −4  U2  =  3  −3 −4 3+1+4 U3 2−3 Efectuando operaciones resulta:      6 −2 −3 U1 0 −2 7 −4 U2  =  3  −3 −4 8 U3 −1

Capítulo 2. Método de nudos

P. 2.3.

En el circuito de la Figura 2.16, obtener las ecuaciones de los nudos marcados en forma matricial. A partir de las tensiones de los nudos, obtener la intensidad I.

+

Figura 2.16.

Solución. Según la Figura 2.16, se puede comprobar que hay una fuente de tensión real, es decir una fuente de tensión ideal en serie con una resistencia. Para plantear las ecuaciones de nudos es conveniente que dicha fuente se convierta a una fuente de intensidad tal y como se muestra en la Figura 2.17.

Figura 2.17.

19

20

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos Según la Figura 2.17:      1 + 2 + 0,5 −1 −0,5 U1 4   U2  = 1 −1 1+1+2 −1 −0,5 −1 1 + 1 + 0,5 U3 2 Efectuando operaciones 

    4 3,5 −1 −0,5 U1  −1 4 −1  U2  = 1 −0,5 −1 2,5 U3 2

y resolviendo se obtienen las tensiones de los nudos: U1 =

19 14 5 V ; U2 = V ; U3 = V 3 18 9

Según la Figura 2.17, la intensidad I se calcula como sigue: (U1 − U2 ) · 1 = I ⇒ I =

5 19 11 − = A 3 18 18

Capítulo 2. Método de nudos

21

P. 2.4.

+

En el circuito de la Figura 2.18, obtener las ecuaciones de nudos en forma matricial y, a partir de ellas, calcular las tensiones de los nudos.

Figura 2.18. Solución. Según la Figura 2.18, se puede comprobar que hay una fuente de tensión ideal. Para plantear las ecuaciones de nudos, dicha fuente de tensión se sustituirá por una fuente de intensidad ideal de valor desconocido Ix tal y como se muestra en la Figura 2.19. Obviamente, la tensión de la fuente de intensidad ideal es la correspondiente a la de la fuente de tensión ideal.

+

_

Figura 2.19. Según la Figura 2.19:  2+3  0 −2

0 1 −1

    −2 U1 Ix −1  U2  = −Ix + 8 2+1+4 U3 0

(2.8)

En la ecuación (2.8), además de las tensiones de los nudos, las cuales son las incógnitas del problema, aparece la intensidad Ix , la cual no es una incógnita del problema. Se puede

22

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos observar que dicha variable (Ix ) aparece en dos ecuaciones del sistema, en una de ellas sumando y en la otra restando, debido a que la fuente de intensidad ideal está conectada entre dos nudos y ninguno de ellos es el nudo de referencia. Para eliminar dicha variable de las ecuaciones basta con sumar la primera y la segunda ecuación y añadir la relación entre las tensiones de los nudos que fija la fuente de tensión ideal anteriormente sustituida. De esta forma:      2+3 1 −2 − 1 U1 Ix − Ix + 8  1  U2  =   −1 0 10 −2 −1 2 + 1 + 4 U3 0 Efectuando operaciones 

    8 5 1 −3 U1  1 −1 0  U2  = 10 −2 −1 7 U3 0 y resolviendo se obtienen las tensiones de los nudos: U1 =

32 −78 −2 V ; U2 = V ; U3 = V 11 11 11

Capítulo 2. Método de nudos

23

P. 2.5.

En el circuito de la Figura 2.20, obtener las ecuaciones de los nudos señalados en forma matricial. A partir de las tensiones de los nudos, obtener la intensidad I.

+ +

Figura 2.20.

Solución. Según la Figura 2.20, se puede comprobar que hay una fuente de tensión ideal y una fuente de tensión real. Para plantear las ecuaciones de nudos, dichas fuentes de tensión se sustituirán por sendas fuentes de intensidad, una ideal y otra real, tal y como se muestra en la Figura 2.21.

+ _

Figura 2.21.

24

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos Según la Figura 2.21:  1 0,5 + 1 +  −1 −1 2

1 2

−1 1+1+ −1

1 0,5

−1 2



   U1 4 −1  U2  =  1  U3 Ix 1 + 1 + 12

(2.9)

En el sistema de ecuaciones (2.9), además de las tensiones de los nudos, las cuales son las incógnitas del problema, aparece la intensidad Ix , la cual no forma parte de las incógnitas del problema. Se puede observar que dicha variable (Ix ) aparece en una única ecuación del sistema debido a que la fuente de intensidad ideal está conectada entre el nudo 3 y el nudo de referencia. Para eliminar dicha variable basta con quitar la tercera ecuación y sustituirla por la ecuación que relaciona la tensión del nudo 3 y el nudo de referencia que fija la fuente de tensión ideal anteriormente sustituida. De esta forma:     1 1 −1   −1 4 U1 0,5 + 1 + 2 2 1  −1 U2  = 1 1 + 1 + 0,5 −1 2 U3 0 0 1 Efectuando operaciones      4 U1 3,5 −1 −0,5 −1 4 −1  U2  = 1 U3 2 0 0 1 y resolviendo:

23 31 V ; U2 = V ; U3 = 2 V 13 26 Una vez obtenidas las tensiones de los nudos, la intensidad I se calcula como sigue: U1 =

(U1 − U2 ) = I · 1 ⇒ I =

23 31 − ≈ 0,577 A 13 26

Capítulo 2. Método de nudos

25

P. 2.6.

+

En el circuito de la Figura 2.22, obtener la ecuación del nudo 1. A partir de la tensión del nudo 1, calcular la potencia absorbida por la resistencia de 6 Ω.

+ _ +

Figura 2.22. Solución. Según la Figura 2.22, se puede comprobar que hay dos fuentes reales de tensión. Para plantear las ecuaciones de nudos, dichas fuentes de tensión se sustituirán por sendas fuentes reales de intensidad tal y como se muestra en la Figura 2.23.

Figura 2.23. Según la Figura 2.23, el circuito resultante solo tiene un nudo (sin considerar el de referencia), por tanto:   1 1 1 + + · U1 = 6 − 3 + 1 2 3 6 Resolviendo se obtiene la tensión U1 : U1 = 4 V Una vez obtenida la tensión del nudo 1 entonces, según la Figura 2.22, la tensión de la resistencia de 6 Ω (con las referencias marcadas en dicha Figura) es la siguiente: UR = U1 − 6 = 4 − 6 = −2 V

26

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos En consecuencia:

UR2 (−2)2 2 = = W R 6 3 Es importante destacar que la potencia de la resistencia de 6 Ω hay que calcularla usando el circuito original de la Figura 2.22. No es válido el uso del circuito de la Figura 2.23 ya que se han usado equivalentes de las fuentes de tensión. Se puede comprobar que si se calcula la potencia de la resistencia de 6 Ω del circuito equivalente de la Figura 2.23 no se obtiene el mismo resultado que el valor correcto usando el circuito original. PR =

Capítulo 2. Método de nudos

P. 2.7. En el circuito de la Figura 2.24, obtener las ecuaciones de nudos en forma matricial.

+

_

+

+ _

Figura 2.24. Solución. Según la Figura 2.24, se puede comprobar que hay dos fuentes ideales de tensión: una independiente y otra dependiente. Para plantear las ecuaciones de nudos, dichas fuentes de tensión se sustituirán por sendas fuentes ideales de intensidad tal y como se muestra en la Figura 2.25.

+

_

+

+

_

_

Figura 2.25. Asumiendo que la conductancia conectada entre el nudo 1 y el nudo 3 tiene un valor genérico G, entonces:      Iy G 0 −G U1      1 + 15 −1  U2  = 0,5Ua   0 −G −1 G+1 U3 Ix Se puede observar que en el término independiente aparecen las intensidades Ix y Iy , las cuales no son incógnitas del problema. Dichas incógnitas (Ix y Iy ) aparecen en sendas ecuaciones del sistema debido a que las fuentes de intensidad ideales están conectadas, respectivamente, entre el nudo 3 y el nudo de referencia y entre el nudo 1 y el nudo

27

28

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos de referencia. Para eliminar dichas variables basta con eliminar la primera y la tercera ecuación y sustituirlas por las relaciones entre las tensiones de los nudos fijadas por las fuentes de tensión anteriormente sustituidas. De esta forma:      0,4Ib U1 1 0 0      (2.10) 0 1 + 51 −1 U2  = 0,5Ua  0

0

14

U3

1

La presencia de fuentes dependientes en el circuito provoca que en el término independiente del sistema de ecuaciones aparezcan las variables de control de dichas fuentes. En este caso, dichas variables son Ib y Ua . El siguiente paso es relacionar las variables de control con las tensiones de los nudos. Según la Figura 2.25: (2.11)

Ua = U3 − U1 U2 = 5 · Ib ⇒ Ib =

U2 5

Sustituyendo las relaciones (2.11) y (2.12) en el sistema (2.10) resulta:      U1 1 0 0 0,4 · U52      0 1 + 15 −1 U2  = 0,5 · (U3 − U1 ) 0 0 1 U3 14 Reordenando términos  1 − 0,4 5  0,5 1 + 15 0

0

    0 U1     −1 − 0,5 U2  =  0  14 U3 1 0

y efectuando operaciones se obtienen finalmente las ecuaciones de nudos:      0 1 −0,08 0 U1      1,2 −1,5 U2  =  0  0,5 U3 14 0 0 1

(2.12)

Capítulo 2. Método de nudos

P. 2.8.

+

En el circuito de la Figura 2.26, obtener las ecuaciones de nudos en forma matricial. A partir de ellas calcular las tensiones de los nudos, la potencia absorbida por la resistencia de 3 Ω y la potencia absorbida por la fuente de intensidad dependiente. _

+

Figura 2.26. Solución. Según la Figura 2.26, se puede comprobar que hay dos fuentes ideales de tensión: una independiente y otra dependiente. Para plantear las ecuaciones de nudos, dichas fuentes de tensión se sustituirán por sendas fuentes ideales de intensidad, tal y como se muestra en la Figura 2.27. +

_

+ _

Figura 2.27. Según la Figura 2.27:  1 2

 0

−1 2

−1 2 −1 3

0 1+ −1 3

1 3 1 2

    0,2I2 + Ix U1      U2  =  − Ix  Iy U3 + 1 + 13

Se puede observar que en el término independiente aparecen las intensidades Ix y Iy , las cuales no son incógnitas del problema. La incógnita Ix aparece en dos ecuaciones ya

29

30

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos que la fuente de intensidad ideal correspondiente está conectada entre el nudo 1 y el nudo 2, ninguno de ellos es el de referencia. Para eliminar Ix de las ecuaciones se sumarán las ecuaciones 1 y 2, y se incorporará la relación de tensiones que fija la fuente de tensión conectada entre los nudos 1 y 2. Por otro lado, la incógnita Iy aparece en una sola ecuación, ya que la fuente de intensidad ideal correspondiente está conectada entre el nudo 3 y el de referencia. Para eliminar Iy basta con quitar la tercera ecuación y en su lugar incorporar la relación entre la tensión del nudo 3 y el de referencia que fija la fuente de tensión conectada entre el nudo 3 y el de referencia. De esta forma: 1    1  U1 0,2I2 1 + 13 −1 2 2 − 3      −1 0  U2  =  I1  (2.13) 1 U3 4 0 0 1 La presencia de fuentes dependientes en el circuito provoca que en el término independiente del sistema de ecuaciones aparezcan las variables de control de dichas fuentes. En este caso, dichas variables son I1 y I2 . El siguiente paso es relacionar las variables de control con las tensiones de los nudos. Según la Figura 2.27: U3 − U1 = 2 · I1 ⇒ I1 = I1 + I2 +

U3 − U1 2

(2.14)

U3 −U3 + U1 −3U3 + U1 = 0 ⇒ I2 = −I1 − U3 = − U3 = 1 2 2

Sustituyendo las relaciones (2.14) y (2.15) en el sistema (2.13) resulta:
   1 1  U1 1 + 13 −1 0,2 · −3U23 +U1 2 2 − 3      U3 U1 −1 0  U2  =  1  2 − 2 U3 0 0 1 4 Reordenando términos 1 1 2 − 0,1 1 + 3  −1  1 + 21 0

0

−1 2

−

1 3 + −1 2

1

    0 U1 0,3      U2  = 0 U3 4

y efectuando operaciones se obtienen finalmente las ecuaciones de nudos:      U1 0 0,4 1,ˆ 3 −0,5ˆ3      1,5 −1 −0,5  U2  = 0 U3 4 0 0 1 Resolviendo se obtienen las tensiones de los nudos: U1 = 2 V ; U2 = 1 V ; U3 = 4 V La potencia absorbida por la resistencia de 3 Ω es la siguiente: P3Ω =

(U2 − U3 )2 (1 − 4)2 = = 3W 3 3

(2.15)

Capítulo 2. Método de nudos Por otro lado, la potencia absorbida por la fuente de intensidad dependiente es la siguiente:   −U3 + U1 P0,2I2 = −U1 · 0,2 · I2 = −U1 · 0,2 · − U3 2   −4 + 2 = −2 · 0,2 · − 4 = 2W 2

31

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

P. 2.9. En el circuito de la Figura 2.28, obtener las ecuaciones de nudos en forma matricial. A partir de ellas calcular la tensión entre los nudos 2 y 4. +

32

Figura 2.28. Solución. Según la Figura 2.28, se puede comprobar que la fuente ideal de tensión conectada en serie con la resistencia de 7 Ω se podría sustituir por su equivalente en forma de fuente real de intensidad. Sin embargo, si se realiza tal sustitución entonces se perdería el nudo 4. Por tanto, la fuente de tensión conectada entre el nudo 1 y el nudo 4 se tratará como fuente ideal de tensión. Para plantear las ecuaciones de nudos, dicha fuente de tensión se sustituirá por una fuente ideal de intensidad, tal y como se muestra en la Figura 2.29. _

+

Figura 2.29. Según la Figura 2.29:  1 −1 4  −1  4

 0 0

0

4

1 4

+ −1 4

0

1 4

−1 4 1 1 + 4 7 + −1 7

  2I + Ix     0  U2   2  =      −1   U3   0  7 0

1

1 7



U1

U4



− Ix

Capítulo 2. Método de nudos

33

Se puede observar que en el término independiente aparece la intensidad Ix , la cual no es una incógnita del problema. Dicha incógnita aparece en dos ecuaciones, ya que la fuente de intensidad ideal correspondiente está conectada entre el nudo 1 y el nudo 4, ninguno de ellos es el de referencia. Para eliminar Ix de las ecuaciones se sumarán las ecuaciones 1 y 4, y se incorporará la relación de tensiones que fija la fuente de tensión conectada entre los nudos 1 y 4. De esta forma:     1 −1 −1 1  2I U1 4 4 7 7 −1  −1 1 + 1     0  U2   2    4 4 4 4 (2.16)   =  1 −1 −1  1    0   0 U + + 1 3 4 4 7 7 1

0

−1

0

9

U4

La presencia de fuentes dependientes en el circuito provoca que en el término independiente del sistema de ecuaciones aparezcan las variables de control de dichas fuentes. En este caso, la fuente dependiente de intensidad introduce la variable de control I. El siguiente paso es relacionar dicha variable de control con las tensiones de los nudos. Según la Figura 2.29: U − U3 U4 − U3 = 7 · I ⇒ I = 4 (2.17) 7 Sustituyendo la relación (2.17) en el sistema de ecuaciones (2.16) resulta:  1   U4 −U3  −1 −1 1  U1 2· 7 4 4 7 7   −1  −1 1 + 1     0  U2   2  4 4 4 4   =       −1 1 1 −1 0  U3   0  4 4 + 7 +1 7 U4 1 0 0 −1 9 Reordenando términos  1 4  −1  4

 0 1

1 4

−1 4 −1 4

−1 2 7 + 7 −1 4 1 1 + 4 7 +1

0

0

+

1 4

1 7

 2  U1 7

−

  0     0  U2  2   =  −1       0 U 3 7 −1

9

U4

y efectuando operaciones se obtienen finalmente las ecuaciones de nudos:  1    −1 1 −1   U1 0 4 4 7 7 2 −1  −1  U  2 0  4   2   4 4   =  −1 39 −1  0  U3  0 4 28 7 1

0

0

−1

U4

9

Resolviendo se obtienen las tensiones de los nudos: U1 = 20 V ; U2 = 16 V ; U3 = 4 V ; U4 = 11 V En consecuencia, la tensión entre los nudos 2 y 4 es la siguiente: U24 = U2 − U4 = 16 − 11 = 5 V

34

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

P. 2.10. En el circuito de la Figura 2.30, calcular las tensiones instantáneas en los nudos y sus √ correspondientes fasores, sabiendo que i(t)=10 2 sen t A.

Figura 2.30. Solución. En primer lugar se ha obtenido el circuito en el dominio fasorial mostrado en la Figura 2.31, en el que cada elemento pasivo se ha sustituido por su impedancia correspondiente y la fuente de intensidad se ha sustituido por su fasor.

Figura 2.31. Según la Figura 2.31: 1 2

+

1 1 1 2 − j − j 1 −1 2 + j

1 2

+1

−1 1 2 + j 1 1 − 2j + 2j

! −

1 j

U1

!

U1

!

10∠0◦

=

U2

0

Simplificando 1 + 2j

−0,5 − j

− 0,5 − j

1,5 + j

!

U2

=

10∠0◦

!

0

y resolviendo, se obtienen las tensiones de los nudos: U 1 ≈ 6∠ − 51,55◦ V ; U 2 ≈ 3,71∠ − 21,8◦ V Por tanto, las tensiones instantáneas en los nudos son las siguientes: √ u1 (t) = 6 2 sen(t − 51,55◦ ) V √ u2 (t) = 3,71 2 sen(t − 21,8◦ ) V

!

Capítulo 2. Método de nudos

35

P. 2.11. En el circuito de la Figura 2.32, calcular las tensiones instantáneas en los nudos y sus √ correspondientes fasores, sabiendo que√ ia (t)=10 2 sen(10t) A, ib (t)=10 sen(10t − 45◦ ) A y ic (t)=10 2 cos(10t) A.

Figura 2.32. Solución. En primer lugar se ha obtenido el circuito en el dominio fasorial mostrado en la Figura 2.33, en el que cada elemento pasivo se ha sustituido por su impedancia correspondiente y las fuentes de intensidad se han sustituido por su fasores correspondientes. Es importante destacar que se ha usado la función seno para obtener los fasores de las distintas fuentes.

Figura 2.33. Según la Figura 2.33: −1 j

+

−1 2j

1 2j

−1 2j

1 2

+

! 1 2j

U1

10∠0◦ +

!

U2

=

−10 √ ∠ 2

10 √ ∠ 2 ◦

− 45◦

− 45 + 10∠90◦

Simplificando 0,5j

0,5j

0,5j

0,5 − 0,5j

!

U1 U2

! =

15,81∠ − 18,43◦

!

15,81∠108,43◦

y resolviendo se obtienen las tensiones de los nudos: U 1 ≈ 26∠ − 57,53◦ V ; U 2 ≈ 25,3∠ − 161,57◦ V

!

36

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos Por tanto, las tensiones instantáneas en los nudos son las siguientes: √ u1 (t) = 26 2 sen(10t − 57,53◦ ) V √ u2 (t) = 25,3 2 sen(10t − 161,57◦ ) V

Capítulo 2. Método de nudos

37

P. 2.12. Analizar el circuito de la Figura 2.34 mediante las ecuaciones de nudos y calcular: a) El valor de la fuente I para que la resistencia de 5 Ω no absorba potencia. b) La potencia compleja cedida por la fuente de tensión de 20j V.

+

+

Figura 2.34. Solución. Según la Figura 2.34, se puede comprobar que hay dos fuentes reales de tensión. Para plantear las ecuaciones de nudos, dichas fuentes de tensión se sustituirán por sendas fuentes reales de intensidad, tal y como se muestra en la Figura 2.35.

Figura 2.35. Según la Figura 2.35: 1 5

−1

!

−1

+1 1 8

+1+

1 4

U1 U2

! =

I − 50j 50j + 5j

!

38

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos Simplificando 6 5

−1

! ! −1 U1 11 8

U2

=

I − 50j

!

55j

(2.18)

a) La potencia de la resistencia de 5 Ω se puede calcular siguiente forma: P5Ω =

U12 5

Para que dicha potencia sea nula se tiene que cumplir que U1 =0 V. A partir de las ecuaciones de nudos (2.18), imponiendo la condición de que U 1 =0 V, se obtiene el valor de U 2 y de I: U2 =

55j = 40j V 11/8

I = 50j − U 2 = 50j − 40j = 10j A b) Según la Figura 2.34, la potencia absorbida por la fuente de 20j V se calcula según: ∗

S 20j = 20j · I g ∗

El valor de I g se calcula a partir de la tensión del nudo 2: Ig =

U 2 − 20j 40j − 20j = = 5j A 4 4

En consecuencia: S 20j = 20j · (5j)∗ = 20j · (−5j) = 100 W Como la fuente absorbe una potencia activa de 100 W significa que cede una potencia activa de −100 W.

Capítulo 2. Método de nudos

39

P. 2.13. Analizar el circuito de la Figura 2.36 mediante las ecuaciones de nudos y calcular: a) La potencia activa absorbida por la resistencia. b) La potencia reactiva absorbida por el condensador. c) La potencia activa y reactiva cedida por la fuente de intensidad de 1∠0◦ A.

+ +

Figura 2.36. Solución. Según la Figura 2.36, se puede comprobar que hay dos fuentes ideales de tensión. Para plantear las ecuaciones de nudos, dichas fuentes de tensión se sustituirán por sendas fuentes ideales de intensidad, tal y como se muestra en la Figura 2.37.

_

+

+

_

Figura 2.37. Según la Figura 2.37:    

−1 5j

−1 5j 1 5j

−1

0

1 5j

+1

    − Ix U1        ◦  0   U 2  =  I y − 1∠0  1 U3 2∠90◦ + 1∠0◦ 1 − 2j −1

40

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos Se puede observar que en el término independiente aparecen las intensidades I x y I y , las cuales no son incógnitas del problema. Tanto I x como I y aparecen en una sola ecuación, ya que las correspondientes fuentes de intensidad ideales están conectadas, respectivamente, entre el nudo 1 y el de referencia y entre el nudo 2 y el de referencia. Para eliminar I x e I y de la formulación, basta con eliminar la primera y la segunda ecuación y en su lugar incorporar las relaciones entre la tensión del nudo 1 y el de referencia, y entre la tensión del nudo 2 y el de referencia que fijan las fuentes de tensión conectadas entre los citados nudos, respectivamente. De esta forma:      1 0 0 U1 3∠0◦       0     ◦ 1 0    U 2  =  − 5∠90  −1

0

1−

1 2j

U3

2∠90◦ + 1∠0◦

Resolviendo se obtienen las tensiones de los nudos: U 1 = 3∠0◦ V ; U 2 = 5∠ − 90◦ V ; U 3 = 4∠0◦ V a) La potencia activa absorbida por la resistencia es la siguiente: PR =

|3∠0◦ − 4∠0◦ |2 |U 1 − U 3 |2 = = 1W 1 1

b) La potencia reactiva absorbida por el condensador es la siguiente: QC =

U32 42 = = −8 var −2 −2

c) La potencia compleja absorbida por la fuente intensidad de 1∠0◦ A se calcula como sigue:
S I 2 = U 2 − U 3 · (1∠0◦ )∗ = (5∠ − 90◦ − 4∠0◦ ) · (1∠0◦ ) = −4 − 5j VA En consecuencia, la fuente de intensidad I 2 cede 4 W y 5 var.

Capítulo 2. Método de nudos

41

P. 2.14. En el circuito de la Figura 2.38, obtener las ecuaciones de nudos en forma matricial.

+

Figura 2.38. Solución. Según la Figura 2.38, se puede comprobar que hay una fuente de tensión real. Para plantear las ecuaciones de nudos, dicha fuente de tensión se sustituirá por la fuente de intensidad real equivalente tal y como se muestra en la Figura 2.39.

Figura 2.39. Según la Figura 2.37:  4 − 5j   5j 0

5j 5 + 2j − 5j −5

0



U1





−3I



    −5 U 2  =  − 40∠30◦  5 U3 − 3∠0◦ + 40∠30◦ + 3I

42

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos Simplificando:  4 − 5j   5j

5j 5 − 3j −5

0

    −3I U1     −5 U 2  =  − 40∠30◦  ◦ 5 U3 37,43∠32,30 + 3I 0

(2.19)

La fuente dependiente de intensidad provoca que en el término independiente del sistema de ecuaciones aparezca la variable de control de dicha fuente. En este caso, la fuente dependiente de intensidad introduce la variable de control I. El siguiente paso es relacionar dicha variable de control con las tensiones de los nudos. Según la Figura 2.39: I = 5 · (U 2 − U 3 ) + 40∠30◦

(2.20)

Sustituyendo la relación (2.20) en el sistema (2.19) resulta:  4 − 5j   5j

5j

0

5 − 3j −5

0







  −3 · 5 · (U 2 − U 3 ) + 40∠30◦



    −5 U 2  =  − 40∠30◦    5 U3 37,43∠32,30◦ + 3 · 5 · (U 2 − U 3 ) + 40∠30◦

Reordenando términos  4 − 5j 15 + 5j  5 − 3j  5j 0

U1

−5 − 15

    −120∠30◦ U1     − 40∠30◦ −5  U 2  =   ◦ ◦ 37,43∠32,30 + 120∠30 5 + 15 U3 −15

y simplificando, se obtienen finalmente las ecuaciones de nudos:      4 − 5j 15 + 5j −15 −120∠30◦ U1      5 − 3j −5  U 2  =  − 40∠30◦   5j 157,41∠30,55◦ 0 −20 20 U3

Capítulo 2. Método de nudos

P. 2.15. En el circuito de la Figura 2.40, obtener las ecuaciones de los nudos marcados en forma matricial.

+

+ +

Figura 2.40. Solución. Según la Figura 2.40, se puede comprobar que hay una fuente ideal de tensión y dos fuentes reales de tensión. Para plantear las ecuaciones de nudos, la fuente ideal de tensión se sustituirá por una fuente ideal de intensidad, y las dos fuentes reales de tensión se sustituirán por sendas fuentes reales de intensidad, tal y como se muestra en la Figura 2.41.

_

Figura 2.41.

+

43

44

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos Según la Figura 2.41:  1 1 0  jXC1 + R1   1 0  R2  −1 0 R1

−1 R1







E g1 jXC1

 − I g3

 U 1          =   0  U 2   I g3 − I g1 + I x     E g2 1 1 U I + + I − + 3 x g2 jXL2 jXL2 R1

Se puede observar que en el término independiente aparece la intensidad I x , la cual no es una incógnita del problema. Dicha incógnita aparece en dos ecuaciones, ya que la fuente de intensidad ideal I x está conectada entre dos nudos y ninguno de ellos es el de referencia. Para eliminar I x de la formulación, basta con sumar la segunda y la tercera ecuación y en su lugar incorporar la relación entre la tensión del nudo 2 y el nudo 3 que impone la fuente de tensión que ha sido sustituida anteriormente. De esta forma:     

1 jXC1

+

1 R1

0

−1 R1

1 R2

0

−1

−1 R1 1 jXL2

+ 1



U1

 

  

1   R1   U 2 

U3



E g1 jXC1

  = I g3 − I g1 + 

− I g3 E g2 jXL2

E g3

   + I g2  

Capítulo 2. Método de nudos

P. 2.16. En el circuito de la Figura 2.42, obtener las ecuaciones de los nudos marcados en forma matricial.

+ _

+ _

Figura 2.42. Solución. Según la Figura 2.42, se puede comprobar que hay una fuente real de tensión dependiente de tensión. Para plantear las ecuaciones de nudos, dicha fuente real de tensión se sustituirá por una fuente real de intensidad tal y como se muestra en la Figura 2.43.

+ _

Figura 2.43. Se puede observar también que, en el circuito de la Figura 2.43, la fuente de intensidad I g se encuentra conectada en serie con la resistencia R2 . Al no estar marcado como nudo el punto de conexión de ambos elementos, es necesario efectuar el equivalente para poder plantear las ecuaciones de nudos. Como es sabido, el circuito equivalente de una fuente de intensidad conectada en serie con una resistencia es una fuente de intensidad del mismo valor. De esta forma, el circuito queda tal y como se muestra en la Figura 2.44.

45

46

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

+ _

Figura 2.44. Según la Figura 2.44:  1 1 jXL2 + R1 + 



−1 jXL1

1 jXL1

−1 jXL1

1 jXL1

+

1 jXc +jXL3

U1





!

=

U2

βU C R1

+ Ig

− Ig

 

En el circuito hay una fuente dependiente de intensidad controlada por U C . El siguiente paso es relacionar U C con las tensiones de los nudos. Según la Figura 2.44: UC = U2 · En consecuencia:  1 1 1 jXL2 + R1 + jXL1  −1 jXL1

jXc jXc + jXL3

−1 jXL1 1 jXL1

+

1 jXc +jXL3

 

U1 U2

!

 =

β R1

·

U 2 ·jXc jXc +jXL3

+ Ig

 

− Ig

Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de nudos:   ! ! β jXc 1 1 −1 1 + + − · Ig U1 jXL2 R1 jXL1 jXL1 R1 jXc +jXL3   = 1 −1 1 U − Ig + 2 jXL1 jXL1 jXc +jXL3

Capítulo 2. Método de nudos

P. 2.17.

_

+

En el circuito de la Figura 2.45, obtener las ecuaciones de los nudos 1 y 2 en forma matricial.

+ +

_

Figura 2.45. Solución. Según la Figura 2.45, se puede comprobar que hay dos fuentes reales de tensión, sin embargo su tratamiento será distinto. La fuente de tensión conectada entre el nudo 3 y el de referencia se encuentra en serie con el condensador conectado entre el nudo 2 y el nudo 3. Como entre ambos elementos hay marcado el nudo 3, no se puede realizar la conversión a su equivalente en forma de fuente de intensidad ya que, entonces, se perdería el nudo 3. Por otro lado, la fuente de tensión dependiente conectada en serie con la resistencia de R2 es posible convertirla en su equivalente en forma de fuente de intensidad real. Para plantear las ecuaciones de nudos, la fuente real de tensión se sustituirá por una fuente real de intensidad, y la fuente ideal de tensión se sustituirá por una fuente ideal de intensidad tal y como se muestra en la Figura 2.46.

+ _ +

Figura 2.46.

_

47

48

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos En el circuito de la Figura 2.46, la fuente de intensidad I g se encuentra conectada en serie con la resistencia R1 . Al no haber marcado un nudo en el punto de conexión de ambos elementos, es necesario efectuar el equivalente para poder plantear las ecuaciones de nudos. Como es sabido, el circuito equivalente de una fuente de intensidad conectada en serie con una resistencia es precisamente dicha fuente de intensidad. De esta forma, el circuito queda tal y como se muestra en la Figura 2.47.

+ _ _

+

Figura 2.47. Según la Figura 2.47:     

1 jXL2

+

1 R2

−1 jXL1

+

−

1 jXL1

1 R2

−1 jXL1 1 jXL1

+

− 1 jXc

1 R2

+

1 R2

−1 jXc

0

    C U1 I g + βU R2     −1     −βU C   jXc  U 2  =  R2    1 U − Ix 3 jXc 0

Se puede observar que en el término independiente aparece la intensidad I x , la cual no es una incógnita del problema. Dicha incógnita aparece en una ecuación, ya que la fuente de intensidad ideal I x está conectada entre el nudo 3 y el nudo de referencia. Para eliminar I x de la formulación, basta con eliminar la tercera ecuación y en su lugar incorporar la relación entre la tensión del nudo 3 y el nudo de referencia que indique la fuente de tensión que ha sido sustituida anteriormente. De esta forma:     

1 jXL2

+

1 R2

−1 jXL1

+

− 0

1 jXL1

1 R2

−1 jXL1 1 jXL1

+

− 1 jXc

0

1 R2

+

    C U1 I g + βU R2     −1   −βU C  = U    jXc R2   2   U 1 − Ug 3 0

1 R2

En el circuito hay una fuente dependiente de intensidad controlada por U C . El siguiente paso es relacionar U C con las tensiones de los nudos. Según la Figura 2.47: UC = U2 − U3

Capítulo 2. Método de nudos

49

En consecuencia: 

1 jXL2

   

+

1 R2

−1 jXL1

+

−

1 jXL1

1 R2

−1 jXL1 1 jXL1

+

0

−

1 R2

1 jXc

+

  I g + Rβ2 · (U 2 − U 3 )      −β −1   = · (U − U ) U    2 3 jXc    2   R2 U − Ug 1 3 0

1 R2

0



U1



Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de nudos:     

1 jXL2

+

1 R2

−1 jXL1

− 0

+

1 jXL1

1 R2

−1 jXL1 1 jXL1

+

1 R2

− 1 jXc

0

+

− 1 R2

β R2

β R2

+

β R2

−1 jXc



   Ig U1      U = 0  − Rβ2      2  U3 − Ug 1

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

P. 2.18. En el circuito de la Figura 2.48, obtener las ecuaciones de nudos en forma matricial. _

+

+

50

_ +

Figura 2.48. Solución. Según la Figura 2.48, se puede comprobar que hay dos fuentes de tensión ideales. Para plantear las ecuaciones de nudos, dichas fuentes se sustituirán por dos fuentes ideales de intensidad, tal y como se muestra en la Figura 2.49. _

+

_

+

+ _

Figura 2.49. Según la Figura 2.49:     

1 R1

−1 R1

−1 R2

−1 R1

1 R1

−1 R2

0

        U2  =  βUa + Ix    1 U − I + I + R3 3 x y

+

1 R2



U1





Ig



0

1 R2

Se puede observar que en el término independiente aparece la intensidad Ix y la intensidad Iy , las cuales no son las incógnitas del problema. Para eliminar Ix de la formulación, basta con sumar la segunda y la tercera ecuación, y en su lugar incorporar la relación entre

Capítulo 2. Método de nudos

51

la tensión del nudo 2 y el nudo 3 que indique la fuente de tensión que ha sido sustituida anteriormente. De esta forma:  1     1 −1 −1 Ig U1 R1 + R2 R1 R2  −1     1 1 1   − 1    R2 R1 R2 + R3  U2  = βUa + Iy   R1 0

U3

−1

1

αIa

Por otro lado, para eliminar I y hay que quitar la segunda ecuación y en su lugar incorporar la relación entre la tensión del nudo 3 y el nudo de referencia que indique la fuente de tensión que ha sido sustituida anteriormente. De esta forma: 

1 R1

  

+

−1 R1

1 R2

0

0

0

1

 −1   U1 R2



Ig



        1  U2  =  Ug  −1

U3

αIa

En el circuito hay una fuente dependiente de tensión controlada por Ia . El siguiente paso es relacionar Ia con las tensiones de los nudos. Según la Figura 2.49: Ia = En consecuencia:    

1 R1

+

1 R2

−1 R1

0

0

0

1

U1 − U2 R1

 −1   U1 R2



Ig



      1  U2  = 

Ug

  

−1

α·

U3

U1 −U2 R1

Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de nudos:  1    1 −1 −1   Ig U1 R1 + R2 R1 R2           0 0 1   U2  = Ug  −α R1

1+

α R1

−1

U3

0

52

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

P. 2.19. En el circuito de la Figura 2.50, obtener las ecuaciones de los nudos marcados en forma matricial. +

+ _

+ _

Figura 2.50. Solución. Según la Figura 2.50, se puede comprobar que hay dos fuentes de tensión: una real y otra ideal. Para plantear las ecuaciones de nudos, la fuente real de tensión se sustituirá por una fuente real de intensidad y la fuente ideal de tensión se sustituirá por una fuente ideal de intensidad, tal y como se muestra en la Figura 2.51. _

+

+ _

Figura 2.51. Se puede observar también que, en el circuito de la Figura 2.51, la fuente de intensidad I g se encuentra conectada en serie con la resistencia R2 . Al no haber marcado un nudo en el punto de conexión de ambos elementos, es necesario efectuar el equivalente para poder plantear las ecuaciones de nudos. Como es sabido, el circuito equivalente de una fuente de intensidad conectada en serie con una resistencia es una fuente de fuente de intensidad del mismo valor. De esta forma, el circuito queda tal y como se muestra en la Figura 2.52.

Capítulo 2. Método de nudos _

53

+

+ _

Figura 2.52. Según la Figura 2.52: 

1 jXL2

   

1 R1

+

    βU C U1 R1 + I g + I x         −1 = U   − I − I jXc g x     2  1 1 U + 0 3 jXL3 jXc

0

0

0

1 jXc

0

−1 jXc

En el término independiente aparece la intensidad I x , la cual no es una incógnita del problema. Para eliminar I x de la formulación, basta con sumar la primera y la segunda ecuación y en su lugar incorporar la relación entre la tensión del nudo 1 y el nudo 2 que indique la fuente de tensión ideal U g . De esta forma: 

1 jXc

−1 jXc

−1

1

0

0

−1 jXc

1 jXL2

   

+

1 R1

1 jXL3

+

1 jXc

    βU C U1 R1          U 2  =  U g     U3

0

En el circuito hay una fuente dependiente de tensión controlada por U C . El siguiente paso es relacionar U C con las tensiones de los nudos. Según la Figura 2.51: UC = U2 − U3 En consecuencia:     

1 jXL2

+

1 R1

1 jXc

−1

1

0

−1 jXc

−1 jXc

    β(U 2 −U 3 ) U1 R1         0  U 2  =  U g     1 1 + U 0 3 jXL3 jXc

54

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de nudos:  1     β β 1 1 −1 0 U1 jXL2 + R1 jXc − R1 jXc + R1           −1 1 0   U 2  = U g    −1 1 1 0 U3 0 + jXc jXL3 jXc

Capítulo 2. Método de nudos

P. 2.20.

+

En el circuito de la Figura 2.53, obtener las ecuaciones de nudos 1, 2 y 3 en forma matricial.

_

+

+

_

Figura 2.53. Solución. Según la Figura 2.53, se puede comprobar que hay dos fuentes de tensión: una real y otra ideal. Para plantear las ecuaciones de nudos, la fuente real de tensión se sustituirá por una fuente real de intensidad y la fuente ideal de tensión se sustituirá por una fuente ideal de intensidad, tal y como se muestra en la Figura 2.54.

+ _

+

_

Figura 2.54. Se puede observar también que, en el circuito de la Figura 2.54, la fuente de intensidad I g se encuentra conectada en serie con la resistencia R2 . Al no haber marcado un nudo en el punto de conexión de ambos elementos, es necesario efectuar el equivalente para poder

55

56

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos plantear las ecuaciones de nudos. Como es sabido, el circuito equivalente de una fuente de intensidad conectada en serie con una resistencia es una fuente de intensidad del mismo valor. De esta forma, el circuito queda tal y como se muestra en la Figura 2.55.

+ _

_

+

Figura 2.55. Según la Figura 2.55: +

1 R1

−1 jXL

−

1 R1

  −1 −  jXL  0

1 R1

1 jXL

+

1 R1



1 jXL

    βU C U1 R1 + I x      −βU C = 0  U    − I 2 g  R 1    0

1 jXC

0

U3

Ig

En el término independiente aparece la intensidad I x , la cual no es una incógnita del problema. Para eliminar I x de la formulación, basta con quitar primera ecuación y en su lugar incorporar la relación entre la tensión del nudo 1 y el nudo de referencia que indique la fuente de tensión ideal que ha sido sustituida anteriormente. De esta forma: 

1

  −1 −  jXL  0

0 1 R1

1 jXL

+ 0

    Ug U1      −βU C = 0  I − U    g 2 R    1 

0 1 R1

1 jXC

U3

Ig

En el circuito hay una fuente dependiente de tensión controlada por U C . El siguiente paso es relacionar U C con las tensiones de los nudos. Según la Figura 2.55: U C = −U 3

Capítulo 2. Método de nudos En consecuencia:  1   −1 −  jXL  0

0 1 R1

1 jXL

+ 0

    Ug U1      −β·(−U 3 ) = 0  − I U   g   2   R1  1 U I 3 g jXC 0

1 R1

Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de nudos:      1 0 0 Ug U1      −β    −1 − 1 1 1      jXL R1 jXL + R1 R1  U 2  =  − I g    1 0 0 U3 Ig jXC

57

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

P. 2.21. En el circuito de la Figura 2.56, obtener las ecuaciones de los nudos marcados en forma matricial.

+

+

58

_

+ _

Figura 2.56. Solución. Según la Figura 2.56, se puede comprobar que hay una fuente de tensión real independiente y una fuente de tensión ideal dependiente. Para plantear las ecuaciones de nudos, la fuente real de tensión se sustituirá por la fuente real de intensidad equivalente y la fuente ideal de tensión se sustituirá por una fuente ideal de intensidad tal y como se muestra en la Figura 2.57.

+

_

+ _

Figura 2.57.

      



+

1 jXC3

+

1 jXC2

1 jXC2

0

+

−

0

1 jXL1

−1 jXL1

−1 R

1 jXC2

+

−1 jXC3

−

1 jXC2

−1 jXL1

1 jXL1



1 R

+ Ig

0

+



1 jXC4

1 jXL2

−

+

−1 jXL2

+

Ug jXL1

1 jXC3

−1 R

    Ug I x − jXL1 + 2I    =   − I − 2I  g  

1 R

−1 jXC3

1 jXC4 1 jXC1

+

−

+

1 jXC4

1 jXC4 1 jXL2

−1 jXL2

0

0

  U1    U    2      U 3    U4

Capítulo 2. Método de nudos 59

Según la Figura 2.57:

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

1 jXC4

+ 1 jXL2

+ 1 jXC1

−

0



0

−1 jXL2

 Ug + Ig jX  L1      4U  =    − I g − 2I   

1 jXC4

0 0

      

1 jXL1

+

1 jXC2

+

1 jXC3

−1 jXL1

−

1 jXC2

1 jXC3

+

−

1 jXL2 1 R

+

0 1

−1 R

0

−1 jXC3

−1 jXC3

+

1 jXC4

−1 jXL2

0

1 jXC4

  U1    U    2      U 3    U4

Se puede observar que en el término independiente aparece la intensidad I x , la cual no es una incógnita del problema. Para eliminar I x de la formulación, basta con quitar la segunda ecuación y en su lugar incorporar la relación entre la tensión del nudo 2 y el nudo de referencia que indique la fuente de tensión ideal que ha sido sustituida anteriormente. De esta forma:



60

Capítulo 2. Método de nudos En el circuito hay dos fuentes dependientes controladas por U y por I. El siguiente paso es relacionar U e I con las tensiones de los nudos. Según la Figura 2.56: U = U4 − U3 I=

−U 4 jXC1

1 jXC4

+ 1 jXL2

+

 + Ig 

−1 R

0

−1 jXC3

0

      

Ug jXL1

1 jXC4

− −1 jXL2

1 0

1 jXC2

− −1 jXL1 1 jXC3

+ 1 jXC2

+ 1 jXL1



      − U ) 4(U 4 3    =   − I − 2 · −U 4   g jXC1    0

1 jXC1

− 1 jXL2 1 jXC3

+

1 R

+

0

−1 jXC3

+

1 jXC4

−1 jXL2

0

0

1 jXC4

   U    2      U 3    U4



U1



En consecuencia:

61

      



1 jXL1

+

1 R

+

   =   



−

0

− Ig

+

      



1 jXC4

+ Ig

0

Ug jXL1

−1 jXL2

0

+

0

1 jXC3

−1 jXC3

1 jXL2

1 jXC2

−1 R

−

−1 jXC3

−1 jXL1

4

1 jXC3

1

+

0

1 jXC2

1 jXC4 1 jXC1

−1 jXL2

  U1    U  −4   2     − jX1C4 − jX2C1  U 3    1 1 U4 + jXL2 + jXC4 0

62

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de nudos:

Capítulo 2. Método de nudos

63

P. 2.22. En el circuito de la Figura 2.58, obtener las ecuaciones de nudos en forma matricial. _

+

+

+ _

Figura 2.58. Solución. Según la Figura 2.58, se puede comprobar que hay dos fuentes de tensión ideales. Para plantear las ecuaciones de nudos, dichas fuentes se sustituirán por dos fuentes ideales de intensidad, tal y como se muestra en la Figura 2.59. _

+

+

+

_

_

Figura 2.59. Según la Figura 2.59:  1 1 R + R2  1  −1  R1  0

−1 R1 1 R1

0

0



U1





−Ig



    0 U2  αIa + Ix  =       1 Ig + Iy − αIa U3 R3

Se puede observar que en el término independiente aparece la intensidad Ix y la intensidad Iy , las cuales no son las incógnitas del problema. Para eliminar tanto Ix como Iy de la formulación, basta con quitar la segunda y la tercera ecuación y en su lugar incorporar

64

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos la relación entre la tensión del nudo 2 y el nudo de referencia que indique la fuente de tensión que ha sido sustituida por la fuente de intensidad Ix , y la relación entre la tensión del nudo 3 y el nudo de referencia que indique la fuente de tensión que ha sido sustituida por la fuente de intensidad Iy . De esta forma: 

1 R1

  

+

1 R2

−1 R1

0



U1





−Ig



0

1

        0  U2  = βUa 

0

0

1

U3

Ug

En el circuito hay dos fuentes dependientes controladas por Ia y por Ua . Sin embargo, debido a la estructura del circuito, en el término independiente de las ecuaciones solo aparece la variable de control Ua . El siguiente paso es relacionar dicha variable con las tensiones de los nudos. Según la Figura 2.58: Ua = U1 − U3 En consecuencia:    

1 R1

+

1 R2

−1 R1

0

1

0

0

    0 −Ig U1         0  U2  = β · (U1 − U3 ) 1

Ug

U3

Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de nudos:  1     1 −1 0 −Ig U1 R1 + R2 R1       −β     1 β   U2  =  0  0

0

1

U3

Ug

Capítulo 2. Método de nudos

P. 2.23. En el circuito de la Figura 2.60, obtener las ecuaciones de los nudos señalados en forma matricial.

+

_

Figura 2.60. Solución. Según la Figura 2.60 se puede comprobar que hay una fuente dependiente real de tensión. Para plantear las ecuaciones de nudos, dicha fuente real de tensión se sustituirá por la fuente dependiente real de intensidad equivalente, tal y como se muestra en la Figura 2.61.

Figura 2.61. En el circuito de la Figura 2.61, la fuente de intensidad dependiente βI a se encuentra conectada en serie con la inductancia jXL1 . Al no haber un nudo marcado en el punto de conexión de ambos elementos, es necesario efectuar el equivalente para poder plantear las ecuaciones de nudos. Como es sabido, el circuito equivalente de una fuente de intensidad conectada en serie con una inductancia es una fuente de intensidad del mismo valor. De esta forma, el circuito queda tal y como se muestra en la Figura 2.62.

65

66

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

Figura 2.62. Según la Figura 2.62: 

1 R

−1 R

0

 0  

1 jXL2

+

−1 jXL3

1 jXL3

−1 jXL3

−1 R



1 jXC2

+

1 jXL3

U1





βI a − I g



        −αI b   U 2  =  jXL2 − βI a     + R1 U3 0

En el circuito hay dos fuentes dependientes controladas por las variables Ia y Ib . El siguiente paso es relacionar estas variables de control con las tensiones de nudos. Según la Figura 2.62: Ia =

U2 − U3 jXL3

I b = −βI a = −β ·

U2 − U3 jXL3

En consecuencia: 

1 R

  0  

−1 R

0 1 jXL2

−1 R

+

−1 jXL3

1 jXL3

−1 jXL3

1 jXC2

+

1 jXL3

+

1 R

    2 −U 3 β · UjX − Ig U1 L3          αβ U 2 −U 3   U 2  =  jXL2 − β  jXL3    U3

0

Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de nudos: 

−β jXL3

1 R

   0 

−1 R

1 jXL2

+

1 jXL3

−

αβ jXL2 jXL3

−1 jXL3

−1 R

+

β jXL3

−1 jXL3

+

+

β jXL3

αβ jXL2 jXL3

1 jXC2

+

1 jXL3

    −I g U   1     − jXβ   U =  0  L3   2 

+

1 R

U3

0 (2.21)

Capítulo 2. Método de nudos

67

Otra solución válida se puede obtener si se eligen las siguientes relaciones entre las magnitudes de control y las tensiones de los nudos: Ia =

U2 − U3 jXL3

I b = −I g −

U1 − U3 R

En este caso, las ecuaciones de nudos resultantes son las siguientes: 

−β jXL3

1 R

  −α  R·jXL2  −1 R

1 jXL2

+

1 jXL3 −1 jXL3

−1 R

+

β jXL3

−1 jXL3

−

1 jXC2

+

β jXL3

β jXL3

+

+

1 jXL3



U1





  α R·jXL2  U 2  +

1 R





U3



−I g



   αI g  =  jXL2  (2.22)   0

Es interesante destacar que si se multiplica la primera ecuación del sistema (2.21) por (−α/jXL2 ) y se suma a la segunda ecuación, el resultado es justamente la segunda ecuación del sistema (2.22). Obviamente, ambos sistemas son equivalentes.

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

P. 2.24. En el circuito de la Figura 2.63, obtener las ecuaciones de nudos en forma matricial.

+

68

Figura 2.63. Solución. Según la Figura 2.63, se puede comprobar que hay una fuente real de tensión, la cual se sustituirá por la fuente real de intensidad equivalente, tal y como se muestra en la Figura 2.64.

Figura 2.64. Según la Figura 2.64:     

1 R1

+

1 jXC

0 −1 jXC

−1 jXC

0 1 jXL

+

−1 jXL

−1 jXL

1 R2 1 jXC

+

1 jXL

    Ug U1 − αI     R1       U 2  =  αI     U3 + R13 0

En el circuito hay una fuente dependiente de intensidad controlada por la variable I. El siguiente paso es relacionar esta variable de control con las tensiones de nudos. Según la Figura 2.64: U − U3 I= 2 jXL

Capítulo 2. Método de nudos En consecuencia:  1 1 0 R1 + jXC   1 0  jXL +  −1 jXC

−1 jXL

−1 jXC −1 jXL

1 R2 1 jXC

+

1 jXL

      Ug U 2 −U 3 − α U1 R jX 1 L           U −U   2 3  U 2  =  α jX  L    1 U3 + R3 0

Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de nudos:  1     1 α −1 α Ug U1 R1 + jXC jXL jXC − jXL      R1       1 α −1 α 1 0   U 2  =  0  jXL + R2 − jXL jXL + jXL     −1 −1 1 1 1 U + + 0 3 jXC jXL jXC jXL R3

69

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

P. 2.25. En el circuito de la Figura 2.65, obtener las ecuaciones de los nudos marcados en forma matricial. +

_

+

_ +

70

Figura 2.65. Solución. Según la Figura 2.65, la fuente de tensión de 5 V se encuentra en paralelo con la resistencia de 5 Ω, y la fuente de intensidad de 6 A está en serie con la resistencia de 1 Ω. Dichas configuraciones se sustituirán por los equivalentes mostrados en la Figura 2.66.

+

+

Figura 2.66. De esta forma, el circuito queda como se muestra en la Figura 2.67. Atendiendo al circuito de la Figura 2.67, se puede observar que hay dos fuentes de tensión ideales. La fuente dependiente de tensión ideal de 4Ia se sustituirá por una fuente de intensidad ideal de valor desconocido Ix , mientras que la fuente de tensión ideal de 5 V se sustituirá por una fuente ideal de intensidad de valor desconocido Iy , dando lugar al circuito de la Figura 2.68.

Capítulo 2. Método de nudos

71

_

+

+

_ +

Figura 2.67.

_

+

_

+ _

+

Figura 2.68. Según la Figura 2.68: 

−1 2

1 2

 −1   2 0

1 2

+

1 2 −1 4

    Ix − 6 U1     −1     6 − 2Ub  4  U2  =   0

+

1 4

1 4

U3

Iy + 2Ub

En el término independiente aparece la intensidad Ix y la intensidad Iy , las cuales no son incógnitas del problema. Para eliminar tanto Ix como Iy de la formulación, basta con quitar la primera y la tercera ecuación y en su lugar incorporar la relación entre la tensión del nudo 1 y el nudo de referencia que indica la fuente de tensión que ha sido sustituida por la fuente de intensidad Ix , y la relación entre la tensión del nudo 3 y el nudo de referencia que indica la fuente de tensión que ha sido sustituida por la fuente de intensidad Iy . De

72

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos esta forma:



−1

 −1   2

0 1 2

1 2

+

0

0

U1



0

1



4Ia





−1    4  U2 

1 4

+





   = 6 − 2Ub  5

U3

En el circuito hay dos fuentes dependientes controladas por Ia y por Ub respectivamente. El siguiente paso es relacionar dichas variables de control con las tensiones de los nudos. Según la Figura 2.68: −U2 2 Ub = U1 − U2 Ia =

En consecuencia:  −1  −1   2

0 1 2

+

0

1 2

0 +

1 4







2 +

1 2

0

+

4·

−2

0

  0      −1      4  U2  = 6 1



U1



U3

y simplificando se obtienen finalmente las ecuaciones de nudos: 

−1

2

  

3 2

−3 4

0

0

0

    U1 0     −1      4  U2  = 6 1




5

0

1 4

−U2 2



   = 6 − 2 · (U1 − U2 )

U3

1

1 2





−1    4  U2 

0

Reordenando términos  −1  −1  +2  2

U1

U3

5

5

Capítulo 2. Método de nudos

P. 2.26. En el circuito de la Figura 2.69, obtener las ecuaciones de nudos en forma matricial. _

+

+

+

_

Figura 2.69. Solución. Según la Figura 2.69 se puede comprobar que hay dos fuentes ideales de tensión: una independiente y otra dependiente. Para plantear las ecuaciones de nudos, dichas fuentes se sustituirán por sendas fuentes ideales de intensidad, tal y como se muestra en la Figura 2.70.

_

+

+ _ _

Figura 2.70.

+

73

74

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos Según la Figura 2.70:  1 1 R2 + jXL  −1   R2    0  0

−1 R2 1 jXC

0

+

1 R2

0

−1 jXC

−1 jXC

1 jXC

0

0

    Ix U1         0 Ig  U 2      =       0  U 3   αU + I y      1 U I − I − 4 x y R 1

Se puede observar que en el término independiente aparecen las intensidades I x y I y , las cuales no son incógnitas del problema. Para eliminar I x de la formulación, basta con sumar la primera y la cuarta ecuación y en su lugar incorporar la relación entre la tensión del nudo 1 y el nudo 4 que indique la fuente de tensión que ha sido sustituida por la fuente de intensidad I x . De esta forma:     1 1 1  −1 0 −I y U1 R2 + jXL R2 R1           −1 1 1 −1 0  U 2   I g   R2 jXC + R2 jXC   =         1 −1      U αU + I 0 0 y jXC jXC   3    U U 1 0 0 −1 4 g De igual forma, para eliminar I y de la formulación, basta con sumar la primera y la tercera ecuación y en su lugar incorporar la relación entre la tensión del nudo 3 y el nudo 4 que indica la fuente de tensión que ha sido sustituida por la fuente de intensidad I y . Así:     1 1 −1 1 1 1  αU U1 R2 + jXL R2 − jXC jXC R1           −1 1 1 −1 0  U 2   I g   R2 jXC + R2 jXC   =         U   βI   0 0 1 −1   3    U4 Ug 1 0 0 −1 En el circuito hay dos fuentes dependientes controladas por las variables I y U . El siguiente paso es relacionar estas variables de control con las tensiones de nudos. Según la Figura 2.70: I=

U1 jXL

U = U2 − U1 En consecuencia:  1 1 R2 + jXL   −1  R2    0  1

−1 R2

−

1 jXC

1 jXC

1 jXC

 1  U1 R1

1 R2

−1 jXC

      0  U 2     =     U   −1   3  U4 −1

+ 0

1

0

0



α(U 2 − U 1 )



Ig

      

U1 β jX L

Ug

Capítulo 2. Método de nudos Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de nudos:  1    1 −1 1 1 1  0 U1 R2 + jXL + α R2 − jXC − α jXC R1           −1 1 1 −1 0   U 2   I g  R2 jXC + R2 jXC    =        −β  0 1 −1 U 3   0  jXL      Ug U4 1 0 0 −1

75

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

P. 2.27. En el circuito de la Figura 2.71, obtener las ecuaciones de nudos en forma matricial. _

+

+

76

_

+

Figura 2.71. Solución. Según la Figura 2.71, se puede comprobar que hay dos fuentes ideales de tensión: una independiente y otra dependiente. Para plantear las ecuaciones de nudos, dichas fuentes se sustituirán por sendas fuentes ideales de intensidad, tal y como se muestra en la Figura 2.72.

+

_

+

_

+

_

Figura 2.72.

Capítulo 2. Método de nudos Según la Figura 2.83:  1 −2j

  0     0  0

0

0

1 6

0

0

1+

0

    −3∠15◦ − I x U1         ◦ 0  U 2   3∠15 − I y    =        −1 U 3   Iy     U4 I x + 2U B 1 0

1 3j

−1

Se puede observar que en el término independiente aparecen las tensiones I x y I y , las cuales no son incógnitas del problema. Para eliminar I x de la formulación, basta con sumar la primera y la cuarta ecuación y en su lugar incorporar la relación entre la tensión del nudo 1 y el nudo 4 que indique la fuente de tensión que ha sido sustituida por la fuente de intensidad I x . De esta forma:      1 0 −1 1 −3∠15◦ + 2U B U1 −2j           0 ◦ 1 0 0  U 2   3∠15 − I y   6   =         1   0 0 1 + 3j −1 U 3   Iy      U4 4I A 1 0 0 −1 De igual forma, para eliminar I y de la formulación, basta con sumar la segunda y la tercera ecuación y en su lugar incorporar la relación entre la tensión del nudo 2 y el nudo 3 que indique la fuente de tensión que ha sido sustituida por la fuente de intensidad I y . Así:      1 0 −1 1 −3∠15◦ + 2U B U1 −2j       U    0  1 1 ◦ + 1 −1 3∠15       6 3j   2 =          U 3     0 4∠10◦ 1 −1 0      4I A U4 1 0 0 −1 En el circuito hay dos fuentes dependientes controladas por las variables I A y U B . El siguiente paso es relacionar estas variables de control con las tensiones de nudos. Según la Figura 2.72: U4 − U3 1 = U2 − U1

IA = UB En consecuencia:  1 0 −1 −2j   0 1 1 1 + 3j  6    0 1 −1  1 0 0

    U1 −3∠15◦ + 2 · (U 2 − U 1 )         −1 3∠15◦  U 2      =       ◦      U 4∠10 0   3   1

−1

U4

4·

U 4 −U 3 1

77

78

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de nudos:  1     −1 1 −3∠15◦ U1 −2j + 2 −2       0   1 1 3∠15◦  1 + 3j −1   U 2   6      =       ◦   0  U 3   4∠10  1 −1 0    1

0

4

−5

U4

0

Capítulo 2. Método de nudos

P. 2.28. En el circuito de la Figura 2.73, obtener las ecuaciones de los nudos 1, 2 y 3 en forma matricial.

+

Figura 2.73. Solución. Según la Figura 2.73, se puede comprobar que hay una fuente real de tensión, la cual se sustituirá por una fuente real de intensidad, tal y como se muestra en la Figura 2.74.

Figura 2.74. Según la Figura 2.74:     

1 R1

+

1 jXC

−1 R1 −1 jXC

−1 R1 1 jXL

+

−1 jXL

−1 jXC −1 jXL

1 R1 1 jXC

+

1 jXL

    Ig U1         U 2  =  − αI    Ug 1 U3 + R2 R2

79

80

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos Se puede observar que en el circuito hay una fuente dependiente de intensidad controlada por la variable I. El siguiente paso es relacionar esta variable de control con las tensiones de nudos. Según la Figura 2.73: U3 − Ug I= R2 En consecuencia:  1 1 −1 R1 + jXC R1   1 −1  R1 jXL +  −1 jXC

−1 jXL

−1 jXC −1 jXL

1 R1 1 jXC

+

1 jXL

+

1 R2

    Ig U1         − α · U 3 −U g   U 2  =  R2     U3

Ug R2

Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de nudos:  1     1 −1 −1 Ig U1 R1 + jXC R1 jXC           αU g  −1 1 1 −1 α   U 2  =  R2  R1 jXL + R1 jXL + R2     Ug −1 1 1 1 −1 U 3 R2 jXC jXL jXC + jXL + R2

Capítulo 2. Método de nudos

81

P. 2.29.

+

En el circuito de la Figura 2.75, obtener las ecuaciones de los 3 nudos marcados en forma matricial.

Figura 2.75. Solución. Según la Figura 2.75, se puede comprobar que hay una fuente de tensión real. Para plantear las ecuaciones de nudos, dicha fuente se sustituirá por una fuente de intensidad real, tal y como se muestra en la Figura 2.76.

Figura 2.76. Según la Figura 2.76 se obtiene las ecuaciones de nudos: 1    1 1 −1 3∠0◦ U1 j + 4j + 1 −j         1 1 1 1 −1   U 2  =  2∠60◦ −j j + 3j + −5j 3j   −1

−1 3j

1+

1 3j

+

1 4j

U3

− 3∠0◦

   

82

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

P. 2.30. En el circuito de la Figura 2.77, obtener las ecuaciones de los nudos señalados en forma matricial.

+

+ _

+

Figura 2.77. Solución. Según la Figura 2.77, se puede comprobar que hay dos fuentes de tensión reales y una fuente de tensión ideal. Para plantear las ecuaciones de nudos, las fuentes de tensión reales se sustituirán por sendas fuentes de intensidad reales mientras que la fuente de tensión ideal se sustituirá por una fuente de intensidad ideal de valor I x , tal y como se muestra en la Figura 2.78.

+ _

Figura 2.78. Se puede observar también que, en el circuito de la Figura 2.78, la fuente de intensidad de 4∠20◦ A se encuentra conectada en serie con la conductancia de 5 S. Al no haber marcado un nudo en el punto de conexión de ambos elementos, es necesario efectuar el equivalente para poder plantear las ecuaciones de nudos. Como es sabido, el circuito equivalente de una fuente de intensidad conectada en serie con una conductancia es una fuente de intensidad del mismo valor. De esta forma, el circuito queda tal y como se muestra en la Figura 2.79.

Capítulo 2. Método de nudos

83

+ _

Figura 2.79. Según la Figura 2.81:  2 + 4 + 3j −4   −4 4+4  0

−4

0



U1





    U  =    2 

−4 4 − 2j + 2

200∠0◦ + 4∠20◦



Ix

  

− 4∠20◦ − 120∠0◦

U3

En el término independiente aparece intensidad I x , la cual no es incógnita del problema. Para eliminar I x de la formulación, basta con quitar la segunda ecuación y en su lugar incorporar la relación entre la tensión del nudo 2 y el nudo de referencia que indique la fuente de tensión que ha sido sustituida por la fuente de intensidad I x . De esta forma:      200∠0◦ + 4∠20◦ 2 + 4 + 3j −4 0 U1       U  =    0 1 0 2I a   2    0

−4

4 − 2j + 2

− 4∠20◦ − 120∠0◦

U3

En el circuito hay una fuente dependiente de tensión controlada por I a . El siguiente paso es relacionar esta variable de control con las tensiones de nudos. Según la Figura 2.77: I a = 2 · (U 3 + 60∠0◦ ) En consecuencia:  2 + 4 + 3j   0  0

−4

0

1

0

−4

4 − 2j + 2

Reordenando términos  2 + 4 + 3j −4   0 1  0

−4

 200∠0◦ + 4∠20◦       U  = 2 · 2 · (U 3 + 60∠0◦ )    2   

0 −4 4 − 2j + 2

U1



U3



− 4∠20◦ − 120∠0◦

   200∠0◦ + 4∠20◦ U1     U  =  240∠0◦   2  U3

− 4∠20◦ − 120∠0◦

   

84

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos y simplificando se obtienen finalmente las ecuaciones de nudos: 

6 + 3j

−4

  

0

1

0

−4

   200∠0◦ + 4∠20◦ U1       −4  240∠0◦  U 2  =  0

6 − 2j

U3

− 4∠20◦ − 120∠0◦

   

Capítulo 2. Método de nudos

85

P. 2.31. En el circuito de la Figura 2.80, obtener las ecuaciones de los nudos marcados en forma matricial.

+ _

+ + _

Figura 2.80. Solución. Según la Figura 2.80 se puede comprobar que hay dos fuentes de tensión reales: una dependiente y otra independiente. Para plantear las ecuaciones de nudos, dichas fuentes se sustituirán por sendas fuentes reales de intensidad, tal y como se muestra en la Figura 2.81.

+ _

Figura 2.81.

86

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos Según la Figura 2.81:     

1 jXL1

+

−1 jXL1

1 jXC1

−1 jXL1

1 jXC2

+

1 jXL1

−1 jXC1

+

−1 R

1 R

−1 R

−1 jXC1

1 jXC1



Ug jXC1

  = 

1 R

+

+ I g − 4I



+

− Ig +

2U R

−U g jXC1

2U R

−

1 XL2

+

1 jXC3 +jXL3

  U1      U 2   U3

   

En el circuito hay dos fuentes dependientes controladas por las variables I y U . El siguiente paso es relacionar estas variables de control con las tensiones de nudos. Según la Figura 2.81: I=

−U 3 jXC3 + jXL3

U = jXC3 · I = jXC3 ·

−U 3 jXC3 + jXL3

En consecuencia:     

1 jXL1

+

−1 jXL1

1 jXC1

−1 jXL1

1 jXC2

+

−1 jXC1

1 jXL1

−1 jXC1

+

−1 R



−1 R

1 R 1 jXC1

+

1 R

+

1 XL2

+

1 jXC3 +jXL3

 −U 3 + I g − 4 · jXC3 +jXL3      −U 3 2  − I + · jX · = g C3 jXC3 +jXL3  R     −U g −U 3 2 −R · jXC3 · jXC3 jXC1 +jXL3 Ug jXC1

  U1      U 2   U3

   



+

1 jXC1

−1 jXC1

−1 jXL1

1 jXL1 1 jXC2

+ −1 R

1 jXL1

−1 jXL1

+

1 R 1 jXC1

+

1 R

+

1 XL2

−1 R

+

+

−1 jXC1 4 jXC3 +jXL3

1 jXC3 +jXL3

−

2·jXC3 R(jXC3 +jXL3 )

−

2·jXC3 R(jXC3 +jXL3 )

U3

−U g jXC1

   U  g U1 jXC1 + I g          U 2  =  − I g    

Capítulo 2. Método de nudos

Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de nudos:

87

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

P. 2.32. En el circuito de la Figura 2.82, obtener las ecuaciones de nudos en forma matricial.

+

88

+

_

+ _

Figura 2.82. Solución. Según la Figura 2.82, se puede comprobar que hay dos fuentes de tensión ideales. Para plantear las ecuaciones de nudos, dichas fuentes se sustituirán por sendas fuentes de intensidad ideales de valores desconocidos I x y I y respectivamente, tal y como se muestra en la Figura 2.83.

+ +

+

_

_

_

Figura 2.83.

Capítulo 2. Método de nudos Según la Figura 2.83:  1 0 −2j   0 1  6    0 0  0 0

0

0

0 1+

1 3j

−1



U1





I x + 2U B

89



       ◦ 0  U 2   − I x − 3∠15     =       −1 U 3   3∠15◦     I y − 2U B U4 1

En el término independiente aparecen las intensidades I x y I y , las cuales no son incógnitas del problema. Para eliminar I x de la formulación, basta con sumar la primera y la segunda ecuación y en su lugar incorporar la relación entre la tensión del nudo 1 y la del nudo 2 que indique la fuente de tensión que ha sido sustituida por la fuente de intensidad I x . De esta forma:  1     1 0 0 2U B − 3∠15◦ U1 −2j 6       1     −1 0 0 4I A   U 2       =        ◦ 1  0  0 1 + 3j −1 U 3   3∠15      I y − 2U B U4 0 0 −1 1 Para eliminar I y de la formulación, basta con quitar cuarta ecuación y en su lugar incorporar la relación entre la tensión del nudo 4 y el de referencia que indique la fuente de tensión que ha sido sustituida por la fuente de intensidad I y . De esta forma:  1     1 0 0 U1 2U B − 3∠15◦ −2j 6       1     −1 0 0 4I A    U 2       =        1  0  0 1 + 3j −1 U 3   3∠15◦      ◦ 4∠10 U4 0 0 1 0 En el circuito hay dos fuentes dependientes controladas por I A y U B . El siguiente paso es relacionar estas variables de control con las tensiones de nudos. Según la Figura 2.83: U4 − U3 1 = U1

IA = UB En consecuencia:  1

−2j

  1     0  0

1 6

0

−1

0

0

1+

0

0

0

1 3j



U1





2U 1 − 3∠15◦

      U −U 0  U 2   4 · 4 1 3   =     −1 U 3   3∠15◦    U4 4∠10◦ 1

       

90

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de nudos:  1     1 0 0 −3∠15◦ U1 −2j − 2 6         1 0  −1 4 −4   U 2        =       ◦  1  0 0 1 + 3j −1 U 3   3∠15     0

0

0

1

U4

4∠10◦

Capítulo 2. Método de nudos

P. 2.33. En el circuito de la Figura 2.84, obtener las ecuaciones de nudos en forma matricial.

+

_

Figura 2.84. Solución. Según la Figura 2.84, se puede comprobar que hay una fuente de tensión dependiente ideal. Para plantear las ecuaciones de nudos, dicha fuente se sustituirá por una fuente de intensidad ideal de valor desconocido I x , tal y como se muestra en la Figura 2.85.

_

+

Figura 2.85.

91

92

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos Según la Figura 2.85:     

1 jXL1

+

1 jXL3

+

−1 jXL1

1 R

−1 jXL1

1 jXL1

−1 R

+

−1 R

1 jXL2

0 1 jXC

0

+

1 R

    Ix U1         U 2  =  − I x − I g − αI b    U3

Ig

En el término independiente aparece la intensidad I x , la cual no es incógnita del problema. Para eliminar I x de la formulación, basta con sumar la primera y la segunda ecuación y en su lugar incorporar la relación entre la tensión del nudo 1 y la del nudo 2 que indique la fuente de tensión que ha sido sustituida por la fuente de intensidad I x . De esta forma:     1  1 1 −1 −I g − αI b U1 jXL3 + R jXL2 R           1 0  U 2  =  βI a  −1    1 1 −1 0 + U I 3 g R jXC R En el circuito hay dos fuentes dependientes controladas por I a y I b . El siguiente paso es relacionar estas variables de control con las tensiones de nudos. Según la Figura 2.85: U3 − U1 R U − U2 Ib = 1 jXL1

Ia =

En consecuencia:  1 + R1 jX  L3   −1  −1 R

1 jXL2

1 0

−1 R

    1 −U 2 U1 −I g − α · UjX L1         U 3 −U 1 0   U 2  =  β· R    1 1 + U Ig 3 jXC R

Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de nudos:  1     1 α 1 α −1 −I g U1 jXL3 + R + jXL1 jXL2 − jXL1 R          β −β −1+ R 1   U 2  =  0  R    −1 1 1 0 U3 Ig R jXC + R

Capítulo 2. Método de nudos

93

P. 2.34. En el circuito de la Figura 2.86, obtener las ecuaciones de los nudos indicados en forma matricial.

+ _

+

Figura 2.86. Solución. Según la Figura 2.86, se puede comprobar que hay una fuente de tensión dependiente ideal y una fuente de tensión independiente real. Para plantear las ecuaciones de nudos, dichas fuentes se sustituirán por una fuente de intensidad ideal de valor desconocido I x y por una fuente de intensidad real, tal y como se muestra en la Figura 2.87. Hay que destacar que la fuente de intensidad I g2 conectada en serie con la resistencia R4 no se puede sustituir por su equivalente en forma de fuente ideal de intensidad, ya que entonces se perdería el nudo 5.

+ _

Figura 2.87.

94

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos Según la Figura 2.87: 

1 R1

          

+

−1 jXC

1 jXC

−1 jXC

1 jXC

+

1 R2

1 R3

+

+

1 R4

0

−1 R1

−1 R3

−1 R2

0

−1 R3

−1 R1

−1 R2

0

0

−1 R4

0

1 R3

+

1 R5

0 1 R1

+

1 R2

+

1 jXL

+

1 R6

0

I g1



0



 U   1 −1   U 2 R4        0  U    3    U   0  4   1 U5 R4



  0    I = x    − I g1 − I x − 

       Ug   R6 

I g2

En el término independiente aparece la intensidad I x , la cual no es incógnita del problema. Para eliminar I x de la formulación, basta con sumar la tercera y la cuarta ecuación y en su lugar incorporar la relación entre la tensión del nudo 3 y la del nudo 4 que indique la fuente de tensión que ha sido sustituida por la fuente de intensidad I x . De esta forma:            

1 R1

+

−1 jXC

1 jXC

−1 jXC −1 R1

1 jXC

+

1 R2 −1 R3

+ −

1 R3

+

1 R4 1 R3

1 R2

0

−1 R1

−1 R3

−1 R2

+

1 R5

1 R1

+

1 R2

+

1 jXL

0

0

1

−1

0

−1 R4

0

0

I g1   0   −I − = g1    2I a  

0

+

1 R6



 U   1 −1   U 2  R4        0  U 3     U   0  4   1 U5 R4

     Ug  R6     

I g2

En el circuito hay una fuente dependiente de tensión controlada por I a . El siguiente paso es relacionar esta variable de control con las tensiones de nudos. Según la Figura 2.86: Ia =

−U g − U 4 R6

Capítulo 2. Método de nudos

95

En consecuencia: 

1 R1

          

+

−1 jXC

1 jXC

−1 jXC

1 jXC

+

−1 R1

1 R2 −1 R3

1 R3

+ −

+

1 R4

1 R2

1 R3

0

−1 R1

−1 R3

−1 R2

+

1 R5

1 R1

+

1 R2

+

1 jXL

0

0

1

−1

0

−1 R4

0

0

I g1



0

+

1 R6



 U   1 −1   U 2  R4        0  U 3      U   0  4   1 U5 R4



    0     U  −I − g   g1 = R 6      2 · −U g −U 4    R6   I g2

Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de nudos:            

1 R1

+

−1 jXC

1 jXC

−1 jXC −1 R1

1 jXC

+

1 R2 −1 R3

+ −

1 R3

+

1 R4 1 R3

1 R2

0

−1 R1

−1 R3

−1 R2

+

1 R5

1 R1

+

1 R2

+

0

0

1

−1 +

0

−1 R4

0

0



I g1

  0    − I g1 − =   −2U g   R6  I g2

     Ug   R6     

0

1 jXL 2 R6

+

1 R6



 U   1 −1   U 2 R4        0  U    3    U   0  4   1 U5 R4

96

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

P. 2.35. En el circuito de la Figura 2.88, obtener las ecuaciones de los nudos indicados en forma matricial.

+

Figura 2.88. Solución. Según la Figura 2.88, la fuente de intensidad dependiente 3I α está conectada en serie con la resistencia R1 y con la fuente de tensión U α . Para plantear las ecuaciones de nudos, dicha asociación se sustituirá por un equivalente, quedando únicamente la fuente de intensidad, tal y como se muestra en la Figura 2.89.

Figura 2.89. Según la Figura 2.89:  

1 jX1

+

1 jX3

+

−1 jX3

1 R2 +jX2

−

1 R3

+

1 R3

−1 jX3 1 jX3

+

−

1 R3

1 R3

+

 1 R4



U1 U2

! =

3I α Ig

!

Capítulo 2. Método de nudos

97

En el circuito hay una fuente de intensidad dependiente controlada por I α . El siguiente paso es relacionar esta variable de control con las tensiones de los nudos. Según la Figura 2.89: U1 Iα = R2 + jX2 En consecuencia:  1 1 1 jX + jX3 + R2 +jX2 +  1 −1 1 jX3 − R3

1 R3

−1 jX3 1 jX3

+

−

1 R3

1 R3

+

 1 R4



U1 U2

!

   U1 3 · R2 +jX 2  = Ig

Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de nudos:   ! 1 1 1 3 1 1 −1 U1 jX1 + jX3 + R2 +jX2 + R3 − R2 +jX2 jX3 − R3   = −1 1 1 1 1 − + + U2 jX3 R3 jX3 R3 R4

0 Ig

!

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

P. 2.36. En el circuito de la Figura 2.90, obtener las ecuaciones de los nudos señalados en forma matricial.

+

_

+ _ _

+

+

+ _ _

+

98

Figura 2.90. Solución. Según el circuito de la Figura 2.90, se puede comprobar que hay una fuente de tensión dependiente real (13Uβ en serie con R), la cual se sustituirá por la correspondiente fuente de intensidad dependiente real equivalente. La fuente de tensión dependiente ideal (5I1 ) se sustituirá por una fuente de intensidad ideal de valor desconocido Ix . La fuente de tensión dependiente ideal (3Uα ) se sustituirá por una fuente de intensidad ideal de valor desconocido Iy . Además, la fuente de intensidad de 1 A conectada en serie con la fuente de tensión de 150 V se sustituirá por su equivalente, quedando únicamente una fuente de intensidad de 1 A, tal y como se muestra en la Figura 2.91.

+ + _

_

+

_

Figura 2.91.

Capítulo 2. Método de nudos

99

Según la Figura 2.91: 1

R

+

            

1 R

+

−1 R

1 R

−1 R

1 R

+

1 R −1 R

0 −1 R

+

0 1 R

−

+

1 R

1 R

−1 R 1 R

−1 R

1 R

− +

1 R 1 R

0

+

−1 R

−1 R

0



−1 R

0

0

0

0

0

   U    2    U    3      U4       U5   

1 R

−1 R

0

0

−1 R

0

0

0

0

Iy



+

−1 R

1 R 1 R

+

1 R

0 +

−1 R

1 R

−1 R

1 R

+

1 R

U1



U6



   − I + 13Uβ  y  R    13Uβ   5 − 1 − R   =     −5       I x   − Ix

En el término independiente aparece las intensidades Ix y Iy , las cuales no son incógnitas del problema. Para eliminar Ix de la formulación, basta con sumar la quinta y la sexta ecuación y en su lugar se incorporará la relación entre la tensión del nudo 5 y la del nudo 6 que indique la fuente de tensión que ha sido sustituida por la fuente de intensidad Ix . De esta forma: 1

R

            

+

1 R −1 R

0 −1 R

+

−1 R

1 R 1 R

+

1 R −1 R

+ −

0 1 R

+

−1 R

1 R

1 R

1 R

−1 R

− +

1 R

−1 R

−1 R

−1 R

0

1 R

0

1 R

+

−1 R

0

0

−1 R

0

0

0

0



Iy



   − I + 13Uβ  y  R    13Uβ   5 − 1 − R   =     −5       0   5I1

0

0 1 R

+

−1 R

1 R 1 R

+ 1

  U1     0  U2       0  U3       0  U4      1  U  R   5 0

1 R

−1

U6

100

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos De la misma forma, para eliminar Iy de la formulación, se sumará la primera y la segunda ecuación y en su lugar se incorporará la relación entre la tensión del nudo 1 y la del nudo 2 que indique la fuente de tensión que ha sido sustituida por la fuente de intensidad Ix . De esta forma: 1

R

+

1 R

1 R

  −1    0    −1  R   −1   R

+

1 R

+

−1 R

1 R

1 −1 R

−

−1 R

1 R

−

0 1 R

1 R

−1 R

0

−

+

−1 R

1 R

0 1 R

0

0 1 R

0

1 R

+

0

0

−1 R

0

0

0

0

0 +

−1 R

1 R 1 R

1 R

+







13Uβ R



        0   U2   3Uα      13U     0  U3  4 − R β    =       0  U4   − 5          1     U 0 R   5   −1

1

U1

U6

5I1

En el circuito hay tres fuentes dependientes de tensión controladas por I1 , Uα y Uβ . El siguiente paso es relacionar estas variables de control con las tensiones de nudos. Según la Figura 2.91: U1 − U5 R Uα = U4 Uβ = U5 − U4 I1 =

En consecuencia: 1 1 1 1 1 R + R R + R + R   −1 1    0 −1 1  R − R   −1 −1  R R   −1  0  R 0

0

−1 R

−

−1 R

1 R

0 1 R

+ 0

1 R 1 R

+

−

−1 R

1 R

0

0

0

0

1 R

0

−1 R

0

0



13·(U5 −U4 ) R

+

−1 R

1 R 1 R

+ 1



    3U4      13·(U5 −U4 )   4 − R  =     −5       0  
U1 −U5 5· R

0

1 R



U1



    0  U2      0  U3      0  U4      1   R  U5  U6 −1

Capítulo 2. Método de nudos Reordenando términos 1 1 1 1 1 R + R R + R + R   −1 1    0 −1 1  R − R   −1 −1  R R   −1  0  R −5 R

0

−1 R

−

1 R

−1 R

−

+

1 R 1 R

0

−1 R

−

−13 R

13 R

+

1 R −1 R

0

0 0

13 R

0

0



+

−3

0 1 R

1 R

101

+

13 R

−1 R

1 R 1 R

+

1 R

1+

5 R

  U1     0  U2      0  U3      0  U4      1   R  U5  U6 −1 0



   0       4     =    − 5      0    0 y simplificando se obtienen finalmente las ecuaciones de nudos:   2    3 −2 11 −14 0 U1 0 R R R R R       −1 1    0 −3 0 0   U2   0        0  U   4  −2 2 −13 13 0       R R R R     3 =      −1 −1   3 −1     R   − 5 U 0 0 4 R R R          −1   −1 2 1      0 0 R R R  U5   0   R −5 0 U6 0 0 1 + R5 −1 0 R

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

P. 2.37. En el circuito de la Figura 2.92, obtener las ecuaciones de nudos en forma matricial.

+ _

102

+

_

Figura 2.92. Solución. Según la Figura 2.92, se puede comprobar que hay una fuente de tensión dependiente ideal (βU α ), la cual se sustituirá por una fuente de intensidad ideal de valor desconocido I x , tal y como se muestra en la Figura 2.93.

+ _ +

Figura 2.93.

_

Capítulo 2. Método de nudos

103

Según la Figura 2.93: 1

+

R

1 jXL1

   

+

−1 jXL1

1 jXL3

−1 jXL1

1 jXL1

−1 R

+

−1 R

1 jXL2

0 1 R

0

+

1 jXC

    Ig U1         U 2  =  − I g + I x − αI b    − Ix

U3

En el término independiente aparece la intensidad I x , la cual no es incógnita del problema. Para eliminar I x de la formulación, basta con sumar la segunda y la tercera ecuación y en su lugar incorporar la relación entre la tensión del nudo 2 y la del nudo 3 que indique la fuente de tensión que ha sido sustituida por la fuente de intensidad I x . De esta forma: 1 R

1 jXL1

+

   

−1 jXL1

−

−1 jXL1

1 jXL3

+

1 jXL1

1 R

0

−1 R

1 jXL2

+

1 R

    Ig U1      + jX1C   U  =  − I g − αI b     2  U3

−1

1

βU α

En el circuito hay dos fuentes dependientes controladas por I b y U α . El siguiente paso es relacionar estas variables de control con las tensiones de los nudos. Según la Figura 2.93: Ib =

U1 − U2 jXL1

Uα = U3 En consecuencia: 1 R

   

+

1 jXL1

−1 jXL1

+ −

−1 jXL1

1 jXL3

1 jXL1

1 R

0

+

−1 R

1 jXL2

1 R

    Ig U1       U 1 −U 2  = − I − α · + jX1C   U   g jX 2 L1     −1

1

U3

βU 3

Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de nudos: 1 R

+

1 jXL1

  −1  jXL1 − 

1 R

0

+

1 jXL3

+

α jXL1

−1 jXL1 1 jXL1

+

1 jXL2

1

−1 R

−

α jXL1



   Ig U1      1 + jX1C   = U 2 − Ig R      U3 0 −1 − β

104

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

P. 2.38. En el circuito de la Figura 2.94, obtener las ecuaciones de nudos en forma matricial.

+

Figura 2.94. Solución. En primer lugar, las bobinas acopladas se sustituirán por su modelo equivalente en forma de fuentes de tensión dependientes de intensidad, tal y como se muestra en la Figura 2.95.

+ _

+ _

+

Figura 2.95. Según la Figura 2.95, hay dos fuentes de tensión dependientes reales y una fuente de tensión independiente ideal. Las primeras se sustituirán por sus correspondientes equivalentes en fuentes de intensidad reales, mientras que la fuente ideal de tensión se sustituirá por una fuente de intensidad ideal de valor desconocido I x , tal y como se muestra Figura 2.96. Según la Figura 2.96:  1     I x − I g1 0 0 U1 jXL       0    I + I + jXM I b  1 0 g2  U 2  =  g1  jXL1 jXL1      1 1 U3 0 0 −I jXC + R x

Capítulo 2. Método de nudos

105

+ _

Figura 2.96. Para eliminar I x de la formulación, basta con sumar la primera y la tercera ecuación y en su lugar incorporar la relación entre la tensión del nudo 1 la del nudo 3 que indique la fuente de tensión que ha sido sustituida por la fuente de intensidad I x . De esta forma: 

1 jXL

   0  1

0

1 jXC

+

1 jXL1

0

0

−1

1 R



U1





−I g1



       I + I + jXM I b  g2  U 2  =  g1 jXL1     U3 U g

Por último, según la Figura 2.96: I b = −I g3 En consecuencia las ecuaciones de nudos son las siguientes: 

1 jXL

   0  1

0

1 jXC

+

1 jXL1

0

0

−1

1 R

    −I g1 U1        I + I − jXM I g3  g2  U 2  =  g1 jXL1     U3 U g

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

P. 2.39. En el circuito de la Figura 2.97, obtener las ecuaciones de nudos en forma matricial.

Figura 2.97.

+

+

Solución. En primer lugar, las bobinas acopladas se sustituirán por su modelo equivalente en forma de fuentes de tensión dependientes de intensidad, tal y como se muestra en la Figura 2.98.

_

106

_

Figura 2.98. A continuación, las fuentes de tensión dependientes reales se sustituirán por sus correspondientes equivalentes en fuentes de intensidad, tal y como se muestra Figura 2.99.

Figura 2.99.

Capítulo 2. Método de nudos

107

Según la Figura 2.99: 

−1 jX1

1 jX1

  −1  jX1  0

1 jX1

+



0

1 jX2

+

U1





Ig −

jXM I b jX1



         jXM I b M Ia   U 2  =  jX1 + jXjX 2    1 −jXM I a U + jX 3 2 jX

−1 jX2

1 R

−1 jX2

1 jXC

2

En el circuito hay dos fuentes dependientes controladas por las variables I a y I b . El siguiente paso es relacionar estas variables de control con las tensiones de los nudos. Según la Figura 2.99: I a = −I g Ib =

U3 jXC

En consecuencia: 

−1 jX1

1 jX1

  −1  jX1  0

1 jX1

+

1 jX2

    U3 M I g − jX · jX U1 jX1 C   
     jXM U 3  −1 M · −I g   U 2  =  jX1 · jXC + jX jX2 jX 2   
1 −jXM U + jX · −I 3 g 2 jX 0

+

−1 jX2

1 R 1 jXC

2

Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de nudos:   1    jXM −1 Ig U1 jX1 jX1 jX1 jXC      −I g jXM   −1 jXM   1 1 1 −1 = + + − U    jX1 jX  jX2 R jX2 jX1 jXC 1    2   jX2  −1 jX2

0

1 jXC

+

1 jX2

(2.23)

I g jXM jX2

U3

Otro sistema de ecuaciones equivalente al anterior se puede obtener teniendo en cuenta las siguientes relaciones entre las variables de control y las tensiones de los nudos (Figura 2.99): Ia =

−U 3 U − 2 jXC R

Ib =

U3 jXC

En consecuencia: 

−1 jX1

1 jX1

  −1  jX1  0

1 jX1

+

1 jX2

−1 jX2

0 +

1 R

−1 jX2 1 jXC

+

1 jX2

   U3 M I g − jX · jX U jX1 C   1      jXM jXM U3 −U 3  · + · −  U 2  =  jX1 jXC jX2 jXC     −jXM U3 · −U 3 − U 2 jX2

jXC

R

 U2 R

    

108

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de nudos:  1     jXM −1 Ig U1 jX1 jX1 jX1 jXC       −1 jXM jXM jXM   1 1 −1    + jX + R1 + jX  jX1 jX jX2 − jX1 jXC + jX2 jXC  U 2  =  0  1 2 2R   jXM jXM −1 1 1 U3 0 0 jX2 − jX2 R jXC + jX2 − jX2 jXC (2.24) Se puede comprobar que la segunda ecuación de (2.24) se puede obtener sumando las tres ecuaciones de (2.23), multiplicando el resultado por (jXM /jX2 ) y sumando la ecuación resultante a la segunda ecuación de (2.23). La tercera ecuación de (2.24) se puede obtener sumando las tres ecuaciones de (2.23), multiplicando el resultado por (jXM /jX2 ) y restando a la ecuación resultante la tercera ecuación de (2.23).

3 Método de mallas El objetivo del método de análisis por mallas es, para un circuito eléctrico, plantear de forma sistemática por inspección un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas sean las intensidades de malla. Hay que destacar que el método de análisis por mallas no es tan general como el análisis por nudos, ya que solo es aplicable a circuitos planos 1 .

3.1. Intensidad de malla En un circuito eléctrico, un bucle o lazo es un camino o una trayectoria cerrada que se puede establecer en dicho circuito y que no pasa más de una vez por un nudo. Una malla es un bucle que no contiene ningún otro bucle dentro de él. En este sentido, en cada malla puede definirse una intensidad (conocida como intensidad de malla) con las siguientes características: • Recorre todos los elementos del circuito que conforma dicha malla. • Son magnitudes indivisibles, que no se corresponden necesariamente con ninguna corriente eléctrica real. • Se representa habitualmente mediante una flecha, ubicada en el interior de la malla respectiva, que indica el sentido que arbitrariamente se le asigna a dicha intensidad. • Por conveniencia, todas las intensidades de mallas se orientan en el mismo sentido. En la Figura 3.1 se han representado tres mallas de un circuito con sus correspondientes referencias de intensidades. En la Figura 3.2 se muestra un elemento de dos terminales que pertenece a la malla j y a la malla k. Una vez conocida la intensidad de la malla j, ij , y la intensidad de la malla k, ik , es posible calcular la intensidad del elemento como sigue: ijk = ij − ik 1

Un circuito plano es aquel que puede dibujarse sin que sus elementos o conductores se crucen.

109

(3.1)

110

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

Figura 3.1. Representación de las intensidades de malla.

+

_

Figura 3.2. Referencia de las intensidades de malla en un elemento. En el caso de circuitos que solo contengan resistencias (impedancias) y fuentes de tensión, una vez conocidas las intensidades de malla se puede obtener cualquier otra magnitud del circuito. En el caso de las fuentes de tensión, su incógnita es la intensidad, que se puede obtener como diferencia entre las intensidades de las dos mallas a las que pertenezca. En el caso de las resistencias (impedancias), una vez conocida las intensidades de malla, se puede obtener la intensidad en las mismas y teniendo en cuenta sus ecuaciones de definición, es decir, la relación tensión-intensidad que las define, es posible obtener las intensidades que circulan por ellas. Por tanto, queda demostrado que las intensidades de malla constituyen un conjunto de variables básicas, a partir de las cuales se puede obtener cualquier otra variable del circuito. El caso de circuitos que contengan fuentes de intensidad y fuentes dependientes se tratará más adelante.

3.2. Ecuaciones de mallas en circuitos resistivos Con objeto de desarrollar las ecuaciones de mallas, se considerará la malla genérica j que se muestra en la Figura 3.3, donde m es el número de mallas del circuito que, como se ha visto anteriormente, está relacionado con el número de elementos y con el número de nudos según: m=c−n+1 (3.2) Aplicando la ley de Kirchhoff de tensiones (k 6= j) gn uj1 + . . . + ujk + . . . + ujm = ugp j − uj , k 6= j

(3.3)

y teniendo en cuenta la relación tensión-intensidad en cada una de las resistencias resulta: gn Rj1 [ij − i1 ] + . . . + Rjk [ij − ik ] + . . . + Rjm [ij − im ] = ugp j − uj

(3.4)

Capítulo 3. Método de mallas

+

111

_

+ +

_

_

+

_

_

+

Figura 3.3. Malla genérica j. Reordenando términos se obtiene lo siguiente:
Rj1 + . . . + Rjk + . . . + Rjm ij

(3.5)

gn g − Rj1 i1 − . . . − Rjk ik − . . . − Rjm im = ugp j − uj = uj

Extendiendo este mismo análisis a las c − n + 1 mallas del circuito, se obtienen c − n + 1 ecuaciones similares a la anterior, las cuales se pueden expresar en forma matricial:   

RM(1,1) .. . RM(c−n+1,1)

··· .. . ···

RM(1,c−n+1) .. .

  

RM(c−n+1,c−n+1)

i1 .. .





  =

ic−n+1

ug1 .. .

ugc−n+1

  

⇓ RM IM = UM donde RM Es la matriz de resistencias de malla. IM Es el vector de intensidades de malla. UM Es el vector de tensiones aplicadas a las mallas. Según la ecuación (3.5) es fácil comprobar que los elementos de la matriz RM se calculan como sigue: X RM(j,j) = Rjk (sumatorio de todas las resistencias pertenecientes a la malla j) k

RM(j,k) = −

X

Rjk (sumatorio, cambiado de signo, de todas las resistencias comunes a la malla j y la malla k)

112

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos Asimismo, los elementos del vector UM se calculan como sigue: ugj =

P

gn ugp j − uj

(sumatorio de las fuentes de tensión que pertenecen a la malla j. Con signo positivo si la intensidad de malla sale por el terminal positivo de la fuente, y negativo si entra)

A continuación, a partir del circuito de la Figura 3.4, se mostrará a nivel práctico la aplicación del desarrollo teórico anterior. El objetivo es, usando la ley de Kirchhoff de tensiones y las relaciones tensión-intensidad en cada uno de los elementos, obtener un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas sean las intensidades de malla. Posteriormente se comprobará que este sistema se puede obtener directamente por inspección del circuito.

+

_

+

+

_

+

_

_

+ _

Figura 3.4. Se puede comprobar que el circuito tiene 4 elementos y 3 nudos, por tanto el número de mallas del circuito es el siguiente: m=c−n+1=4−3+1=2

(3.6)

Las intensidades de dichas mallas se han indicado en la Figura 3.4 como Ia e Ib . Aplicando la ley de Kirchhoff de tensiones a la malla a y a la malla b resulta: Malla a : U3 − U4 = 0 Malla b : U4 + U2 − U1 = 0 Por otro lado, las ecuaciones de definición de los elementos son las siguientes: U1 = Ug U2 = R2 I2 U3 = R3 I3 U4 = R4 I4

(3.7)

Capítulo 3. Método de mallas A continuación es necesario relacionar la intensidad de cada elemento con las intensidades de malla: I1 I2 I3 I4

= −Ib = Ib = Ia = Ib − Ia

De esta forma, las ecuaciones (3.7) quedan como sigue: Malla a : R3 Ia − R4 (Ib − Ia ) = 0 Malla b : R4 (Ib − Ia ) + R2 Ib − Ug = 0 Reordenando términos se obtiene lo siguiente: Malla a : (R3 + R4 )Ia − R4 Ib = 0 Malla b : − R4 Ib + (R2 + R4 )Ib = Ug Expresado en forma matricial, finalmente se obtienen las ecuaciones de mallas:      0 R3 + R4 −R4 Ia = Ug −R4 R2 + R4 Ib Para resumir, es importante destacar que, a partir de un circuito dado, se pueden obtener por inspección las ecuaciones de mallas directamente considerando el valor de los elementos y la conectividad que exista entre ellos. El objetivo es construir directamente la matriz RM y el vector UM a partir de la información del circuito. En todos los problemas desarrollados en el libro, el objetivo es el planteamiento de las ecuaciones por inspección. Ejemplo 3.2.1. En el circuito de la Figura 3.5, obtener las ecuaciones de mallas.

+

+

_

_ Figura 3.5.

Solución. Se puede observar que el circuito tiene 2 mallas. A la malla 1 pertenecen las resistencias R1 y R2 , por tanto el término diagonal (1,1) será la suma de ambas resistencias. A la malla 2 pertenecen las resistencias R2 y R3 , por tanto el término diagonal (2,2) será la suma de ambas resistencias. Por otro lado, la malla 1 y la malla 2 comparten la resistencia R2 , por tanto el término no-diagonal será dicha resistencia con signo cambiado. Respecto al

113

114

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos término independiente, se puede observar que la intensidad de malla 1 sale por el terminal positivo de la fuente de tensión Ug1 y la intensidad de malla 2 entra por el terminal positivo de la fuente de tensión Ug2 , por tanto el primer término será Ug1 y el según término −Ug2 . De esta forma las ecuaciones de mallas son las siguientes:      Ug1 R1 + R2 −R2 I1 = −R2 R2 + R3 I2 −Ug2

3.3. Ecuaciones de mallas en circuitos de corriente alterna En el caso de circuitos en régimen permanente de alterna y teniendo en cuenta que se usan las técnicas fasoriales, entonces las ecuaciones de nudos tienen la siguiente estructura:   

Z M(1,1) .. . Z M(c−n+1,1)

··· .. . ···

Z M(1,c−n+1) .. .

  

Z M(c−n+1,c−n+1)

I1 .. .



g



U1 .. .

  =

I c−n+1

g

  

U c−n+1

⇓ ZM IM = UM donde ZM Es la matriz de impedancias de malla. IM Es el vector de intensidades de malla. UM Es el vector de tensiones aplicadas a las mallas. Los elementos de la matriz ZM se obtienen de la siguiente forma: X Z M(j,j) = Z jk (sumatorio de todas las impedancias pertenecientes a la malla j) k

Z M(j,k) = −

X

Z jk (sumatorio, cambiado de signo, de todas las impedancias comunes a la malla j y la malla k)

Los elementos del vector UM se obtienen como sigue: g

Uj =

P

gp

gn

Uj − Uj

(sumatorio de las fuentes de tensión que pertenecen a la malla j. Con signo positivo si la intensidad de malla sale por el terminal positivo de la fuente, y negativo si entra)

Capítulo 3. Método de mallas

115

Ejemplo 3.3.1. En el circuito de la Figura 3.6, obtener las ecuaciones de mallas.

+

+

_

_ Figura 3.6.

Solución. Z1 + Z2

−Z 2

− Z2

Z2 + Z3

!

I1 I2

! =

U g1

!

− U g2

3.4. Casos particulares Hasta el momento solo se han tratado circuitos con resistencias y fuentes de tensión. A continuación se muestra el procedimiento para obtener las ecuaciones de mallas en el caso de circuitos que contengan fuentes reales de intensidad, fuentes ideales de intensidad y fuentes dependientes. Con ello se cubre prácticamente la totalidad de casuística que puede aparecer a la hora de plantear las ecuaciones de mallas de forma sistemática por inspección. Asimismo, dentro de estos casos particulares queda incluido el tratamiento que se le puede dar, por ejemplo, a las bobinas acopladas, las cuales se pueden modelar como fuentes dependientes. 3.4.1.

Circuitos con fuentes reales de intensidad

Cuando en el circuito hay fuentes reales de intensidad, para plantear por inspección las ecuaciones de mallas es conveniente sustituir dichas fuentes por su correspondiente fuente real de tensión equivalente, tal y como se muestra en la Figura 3.7. Una vez hecha la sustitución entonces se sigue el mismo procedimiento descrito anteriormente.

116

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

+

+

+

_

_

+

+

+

_

_

Figura 3.7. Equivalencia de fuentes reales.

Ejemplo 3.4.1. En el circuito de la Figura 3.8, obtener las ecuaciones de mallas.

+

_ Figura 3.8.

Solución. Se puede observar que el circuito tiene una fuente real de intensidad, la cual se sustituirá por una fuente de tensión equivalente, tal y como se muestra en la Figura 3.9.

+

+

_

_ Figura 3.9.

Capítulo 3. Método de mallas

117

Según la Figura 3.9: 

Rg + R1 + R2 −R2

−R2 R2 + R3

  I1 = I2

Ug1 Rg

!

−Ug2

3.4.2. Circuitos con fuentes ideales de intensidad En circuitos donde hay fuentes ideales de intensidad, el procedimiento a seguir para plantear las ecuaciones de mallas por inspección es el siguiente: 1. Sustituir cada fuente ideal de intensidad por una fuente ideal de tensión de valor Ux (U x en el caso fasorial) desconocido. La referencia de dichas fuentes es arbitrario. 2. Plantear por inspección las ecuaciones de mallas. 3. Eliminar las tensiones desconocidas que aparecerán en el término independiente procedentes de las fuentes ideales de intensidad que han sido sustituidas. Para ello caben dos posibilidades: • Si la fuente ideal de intensidad pertenece a una sola malla, entonces la tensión desconocida solo aparecerá en una de las ecuaciones del sistema. En este caso, dicha ecuación se elimina. • Si la fuente ideal de intensidad pertenece a dos mallas, entonces la tensión desconocida aparecerá en dos ecuaciones del sistema (en una con signo + y en la otra con signo −). En este caso, se sumarán ambas ecuaciones, dejando la ecuación resultante formando parte del sistema de ecuaciones. Se puede observar que por cada una de las fuentes ideales de intensidad se elimina una ecuación del sistema, por lo que será necesario añadir una ecuación adicional como se indica en el siguiente paso. 4. Por cada fuente ideal de intensidad, añadir al sistema de ecuaciones una ecuación que relacione la intensidad de dicha con las intensidades de malla. Estas ecuaciones vienen a sustituir a las ecuaciones que se eliminaron en el punto anterior. Ejemplo 3.4.2. En el circuito de la Figura 3.10, obtener las ecuaciones de mallas.

+

_ Figura 3.10.

118

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos Solución. Según la Figura 3.10 se puede observar que hay una fuente ideal de intensidad, la cual se sustituirá por una fuente ideal de tensión de valor desconocido Ux tal y como se muestra en la Figura 3.11. Nótese que la intensidad por la fuente es Ig , tal y como se ha señalado en la Figura 3.11.

+

+

_

_ Figura 3.11.

Según la Figura 3.11:  R1 + R2 −R2

−R2 R2 + R3

    Ux I1 = −Ug I2

Como la fuente ideal de intensidad solo pertenece a una malla, entonces Ux aparece en una sola ecuación. En este caso, se elimina la primera ecuación y en su lugar se incorpora la ecuación que relaciona la intensidad de la fuente ideal con las intensidades de malla. De esta forma:      Ig 1 0 I1 = −Ug −R2 R2 + R3 I2

Ejemplo 3.4.3. En el circuito de la Figura 3.12, obtener las ecuaciones de mallas.

+

+

_

_ Figura 3.12.

Solución. Según la Figura 3.12 se puede observar que hay una fuente ideal de intensidad, la cual se sustituirá por una fuente ideal de tensión de valor desconocido Ux tal y como se muestra en la Figura 3.13.

Capítulo 3. Método de mallas

+

+

_

_

+

_

Figura 3.13. Según la Figura Figura 3.13:      Ug1 − Ux R1 0 I1 = −Ug2 + Ux 0 R3 I2 Como la fuente ideal de intensidad pertenece a las dos mallas entonces entonces Ux aparece en las dos ecuaciones. En este caso, hay que sumar las dos ecuaciones que contiene a Ux e incorporar la ecuación que relaciona la intensidad de la fuente ideal con las intensidades de malla. De esta forma:      Ug1 − Ug2 R1 R3 I1 = −1 1 I2 Ig

3.4.3. Circuitos con fuentes dependientes En circuitos con fuentes dependientes2 , el tratamiento es el mismo al visto hasta el momento para las fuentes independientes. Sin embargo, una vez realizado el tratamiento de las fuentes reales y de las fuentes ideales, en el término independiente aparecerán las magnitudes de control, las cuales no son las incógnitas del sistema. En consecuencia, por cada fuente dependiente hay que encontrar una relación entre la variable de control y las intensidades de malla. Finalmente, habrá que reordenar términos para que el sistema quede expresado solo y exclusivamente en función de las intensidades de malla. Hay que destacar que introducen asimetría en la matriz de resistencias/impedancias de malla.

2

Fuentes cuyo valor depende de la tensión o intensidad existente en otra parte del circuito. A dicha tensión o intensidad se conoce como magnitud de control de la fuente dependiente.

119

120

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

Ejemplo 3.4.4. En el circuito de la Figura 3.14, obtener las ecuaciones de mallas.

+ _

+

_ Figura 3.14.

Solución. Según la Figura 3.14:  R1 + R2 −R2

−R2 R2 + R3

    αIα I1 = −Ug I2

Se puede observar como en el término independiente aparece la variable de control, Iα , de la fuente dependiente. A continuación hay que encontrar una relación entre Iα y las intensidades de malla. Según la Figura 3.14: Iα = I2 Por tanto:

 R1 + R2 −R2

−R2 R2 + R3

    αI2 I1 = −Ug I2

Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de mallas:      0 R1 + R2 −R2 − α I1 = −Ug −R2 R2 + R3 I2

Problemas resueltos

P. 3.1. En el circuito de la Figura 3.15, obtener las ecuaciones de mallas en forma matricial. + + +

Figura 3.15. Solución. Según la Figura 3.15:      2 + 3 + 4 −4 I1 4+3 = −4 4+4 I2 −3 − 2 Simplificando:



    9 −4 I1 7 = −4 8 I2 −5

121

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

P. 3.2. En el circuito de la Figura 3.16, obtener las ecuaciones de mallas en forma matricial.

+

+

122

Figura 3.16. Solución. Según la Figura 3.16:      0 1+3+2 −2 −1 I1  −2 1+2+1 −1  I2  =  −5  I3 10 + 5 −1 −1 1+1+2 Simplificando:

    0 I1 6 −2 −1 −2 4 −1 I2  = −5 15 I3 −1 −1 4 

Capítulo 3. Método de mallas

P. 3.3. En el circuito de la Figura 3.17, obtener las ecuaciones de mallas en forma matricial. A partir de ellas, calcular las intensidades de malla, la tensión en la resistencia de 3 Ω y la potencia generada por cada fuente.

+ +

+

_

Figura 3.17. Solución. Según la Figura 3.17:  1+2  −1 −2 Simplificando:

    −1 −2 I1 7−6 1+2+3 −3  I2  =  0  −3 2+1+3 I3 6

    1 I1 3 −1 −2 −1 6 −3 I2  = 0 6 I3 −2 −3 6 Resolviendo se obtienen las intensidades de malla: 

I1 = 3 A ; I2 = 2 A ; I3 = 3 A Según la Figura 3.17, la tensión en la resistencia de 3 Ω es la siguiente: U3 = 3 · (I3 − I2 ) = 3 · (3 − 2) = 3 V La potencia generada por la fuente de 7 V es la siguiente: P7V = 7 · I1 = 7 · 3 = 21 W Finalmente, la potencia generada por la fuente de 6 V es la siguiente: P6V = 6 · (I3 − I1 ) = 6 · (3 − 3) = 0 W Se puede observar que la fuente de 7 V solo pertenece a la malla 1, por tanto su intensidad será la correspondiente a la malla 1. Por otro lado, la fuente de 6 V pertenece a la malla 1 y 3, en consecuencia su intensidad se obtiene como diferencia de las intensidades de la malla 1 y 3.

123

124

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

P. 3.4. En el circuito de la Figura 3.18, obtener las ecuaciones de mallas en forma matricial. A partir de ellas, calcular las intensidades de malla y la tensión U de la fuente de intensidad.

+

_

+

+

Figura 3.18. Solución. Según la Figura 3.18, se puede comprobar que hay una fuente ideal de intensidad. Para plantear las ecuaciones de mallas, dicha fuente de intensidad se sustituirá por una fuente ideal de tensión, tal y como se muestra en la Figura 3.19. + +

_

+

+

Figura 3.19. Según la Figura 3.19:  3+1  −1 −3

    −1 −3 I1 5 2 + 1 −2  I2  =  −8  −2 3 + 2 I3 −Ux

(3.8)

Se puede observar que en el término independiente aparece la tensión Ux , la cual no es una incógnita del problema. Dicha incógnita aparece en una sola ecuación, ya que la fuente de tensión ideal Ux pertenece a una sola malla (malla 3). Para eliminar Ux de la formulación, basta con eliminar la tercera ecuación y en su lugar incorporar la

Capítulo 3. Método de mallas relación entre la intensidad de malla 3 y la intensidad de la fuente de intensidad que ha sido sustituida anteriormente. De esta forma:      3 + 1 −1 −3 I1 5  −1 2 + 1 −2 I2  = −8 0 0 1 I3 −4 Simplificando



    4 −1 −3 I1 5 −1 3 −2 I2  = −8 0 0 1 I3 −4

y resolviendo se obtienen las intensidades de malla: I1 =

−71 −37 A ; I2 = A ; I3 = −4 A 11 11

Según la Figura 3.18, aplicando la ley de Kirchhoff de tensiones, la tensión de la fuente de intensidad se calcula como sigue:     −37 −71 U = 3 · (I1 − I3 ) + 2 · (I2 − I3 ) = 3 · +4 +2· + 4 = −3 V 11 11 A continuación se expone una forma alternativa de calcular U . Se puede observar en el circuito de la Figura 3.19 que las tensiones U y Ux son iguales. Una vez obtenidas las intensidades de malla, a partir de las ecuaciones (3.8) se puede realizar el producto de la tercera fila de la matriz de resistencias de malla por el vector columna correspondiente a las intensidades de malla y el resultado es el elemento tercero del término independiente, en este caso −Ux . De esta forma:  

I1 −3 −2 3 + 2 I2  = −Ux I3 En consecuencia: Ux = − (−3 · I1 − 2 · I2 + 5 · I3 ) = 3 ·

−71 −37 +2· − 5 · (−4) = −3 V 11 11

125

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

P. 3.5. En el circuito de la Figura 3.20, obtener las ecuaciones de mallas en forma matricial. A partir de ellas, calcular las intensidades de malla.

+

+

Figura 3.20. Solución. Según la Figura 3.20, se puede comprobar que hay una fuente ideal de intensidad. Para plantear las ecuaciones de mallas, dicha fuente de intensidad se sustituirá por una fuente ideal de tensión de valor desconocido Ux , tal y como se muestra en la Figura 3.21.

+

+ +

126

Figura 3.21. Según la Figura 3.21:  2+2+6 −6  −6 6+4+1 −2 0

    −2 I1 6 0  I2  =  Ux  2+3 I3 2 − Ux

Capítulo 3. Método de mallas Se puede observar que en el término independiente aparece la tensión Ux , la cual no es una incógnita del problema. Dicha incógnita aparece en dos ecuaciones, ya que la fuente de tensión ideal Ux pertenece a dos mallas (malla 2 y malla 3). Para eliminar Ux de la formulación, basta con sumar las ecuaciones segunda y tercera e incorporar la relación entre la intensidad de malla 3 y la intensidad de malla 2 que indique la fuente de intensidad que ha sido sustituida anteriormente. De esta forma:      2+2+6 −6 −2 I1 6  −6 − 2 6 + 4 + 1 2 + 3 I2  = 2 0 1 −1 I3 5 Simplificando



    10 −6 −2 I1 6 −8 11 5  I2  = 2 0 1 −1 I3 5

y resolviendo se obtienen las intensidades de malla: I1 =

19 119 −121 A ; I2 = A ; I3 = A 12 48 48

127

128

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

P. 3.6. En el circuito de la Figura 3.22, obtener las ecuaciones de mallas en forma matricial. A partir de ellas, calcular las intensidades de malla.

+

+ _

Figura 3.22. Solución. Según la Figura 3.22: 

3+2 −2

    −2 I1 2 = 4+2 I2 −2Ia

La fuente dependiente de tensión hace que en el término independiente del sistema de ecuaciones aparezca la variable de control Ia . El siguiente paso es relacionar la variable de control con las intensidades de malla. Según la Figura 3.22 es fácil comprobar que Ia =I1 . Por tanto:      3 + 2 −2 I1 2 = −2 4 + 2 I2 −2 · I1 Reordenando términos 

3+2 −2 + 2

    −2 I1 2 = 4+2 I2 0

y efectuando operaciones se obtienen finalmente las ecuaciones de mallas:      5 −2 I1 2 = 0 6 I2 0 Resolviendo se obtienen las intensidades de malla: I1 =

2 A ; I2 = 0 A 5

Capítulo 3. Método de mallas

129

P. 3.7.

+

En el circuito de la Figura 3.23, obtener las ecuaciones de mallas en forma matricial. A partir de ellas, calcular las intensidades de malla y la potencia cedida por cada una de las fuentes del circuito. _

+

Figura 3.23. Solución.

+

Según la Figura 3.23, se puede comprobar que hay una fuente de intensidad dependiente ideal. Para plantear las ecuaciones de mallas, dicha fuente de intensidad se sustituirá por una fuente ideal de tensión tal y como se muestra en la Figura 3.24. _

+ +

Figura 3.24. Según la Figura 3.24:      8 + 1 + 6 −6 −1 I1 −15  −6 6+1 −1  I2  = 15 − Ux  −1 −1 1 + 1 + 1 I3 −5I

(3.9)

130

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos Se puede observar que en el término independiente aparece la tensión Ux , la cual no es una incógnita del problema. Dicha incógnita aparece en una sola ecuación ya que la fuente de tensión ideal Ux pertenece a una sola malla (malla 2). Para eliminar la tensión Ux de la formulación, basta con eliminar la segunda ecuación y en su lugar incorporar la relación entre la intensidad de malla 2 y intensidad de la fuente de intensidad que ha sido sustituida anteriormente. De esta forma:      8 + 1 + 6 −6 −1 I1 −15   I2  = −2I  0 1 0 −1 −1 1 + 1 + 1 I3 −5I En el circuito hay dos fuentes dependientes, una de tensión y otra de intensidad. Dichas fuentes dependientes, en este caso particular, están controladas por la misma variable de control I. Dicha variable de control aparece en el término independiente de las ecuaciones. El siguiente paso es relacionar dicha variable de control con las intensidades de malla. Según la Figura 3.23: I = I1 − I3 En consecuencia  8 + 1 + 6 −6  0 1 −1 −1

    −1 I1 −15  I2  = −2 · (I1 − I3 ) 0 1+1+1 I3 −5 · (I1 − I3 )

Reordenando términos  8 + 1 + 6 −6  2 1 −1 + 5 −1

    −1 I1 −15  I2  =  0  −2 1+1+1−5 I3 0

y efectuando operaciones se obtienen finalmente las ecuaciones de mallas:      −15 15 −6 −1 I1 2 1 −2 I2  =  0  4 −1 −2 I3 0 Resolviendo, se obtienen las intensidades de malla: I1 = −2 A ; I2 = −2 A ; I3 = −3 A La potencia cedida por la fuente de 15 V es la siguiente: P15V = 15 · (I2 − I1 ) = 15 · (−2 + 2) = 0 W La potencia cedida por la fuente dependiente de tensión es la siguiente: P5I = 5I · (−I3 ) = 5 · (I1 − I3 ) · (−I3 ) = 5 · (−2 + 3) · 3 = 15 W La potencia cedida por la fuente dependiente de intensidad se calcula como sigue: P2I = Ux · 2I

Capítulo 3. Método de mallas La tensión Ux se puede obtener del sistema de ecuaciones (3.9) una vez conocidas las intensidades de malla:  
I1
−6 6 + 1 −1 I2  = 15 − Ux I3 Resolviendo: Ux = 15 + 6 · I1 − 7 · I2 + 1 · I3 = 15 + 6 · (−2) − 7 · (−2) + 1 · (−3) = 14V En consecuencia, la potencia cedida por la fuente dependiente de intensidad es la siguiente: P2I = Ux · 2I = 14 · 2 · (I1 − I3 ) = 14 · 2 · (−2 + 3) = 28 W

131

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

P. 3.8. En el circuito de la Figura 3.25, obtener las ecuaciones de mallas en forma matricial. A partir de ellas, calcular las intensidades de malla.

+ + +

132

Figura 3.25. Solución. Según la Figura 3.25:  10j − 6j 6j

6j 5 − 6j

Simplificando 

4j 6j

6j 5 − 6j

    I1 5∠45◦ − 3∠0◦ = 3∠0◦ + 6∠15◦ I2

    3,58∠81,39◦ I1 = 8,93∠10◦ I2

y resolviendo se obtienen las intensidades de malla: I 1 ≈ 0,8∠ − 67,4◦ A ; I 2 ≈ 0,56∠46,4◦ A

Capítulo 3. Método de mallas

P. 3.9.

+

En el circuito de la Figura 3.26, obtener las ecuaciones de mallas en forma matricial. A partir de ellas, calcular las intensidades de malla.

+

Figura 3.26. Solución. Según la Figura 3.26:  3 − 2j + 5j  −5j 0

−5j 6 + 5j −6

    I1 0 8∠10◦ −6  I 2  =  10∠0◦  −8∠10◦ 6 − 3j I3

Simplificando 

3 + 3j  −5j 0

−5j 6 + 5j −6

    I1 8∠10◦ 0 −6  I 2  =  10∠0◦  −8∠10◦ 6 − 3j I3

y resolviendo se obtienen las intensidades de malla: I 1 ≈ 2,16∠29,25◦ A ; I 2 ≈ 1,84∠85,98◦ A ; I 3 ≈ 0,77∠105,07◦ A

133

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

P. 3.10.

+

En el circuito de la Figura 3.27, obtener las ecuaciones de mallas en forma matricial. A partir de ellas, calcular las intensidades de malla y la potencia compleja suministrada por la fuente de intensidad.

Figura 3.27. Solución. Según la Figura 3.27, se puede comprobar que hay una fuente ideal de intensidad. Para plantear las ecuaciones de mallas, dicha fuente de intensidad se sustituirá por una fuente ideal de tensión, tal y como se muestra en la Figura 3.28. +

134

+

Figura 3.28. Según la Figura 3.28: 

2 + 3j + 5j −5j

−5j 2 + 5j − 8j

    I1 −5∠0◦ − U x = I2 Ux

(3.10)

Se puede observar que en el término independiente aparece la tensión U x , la cual no es una incógnita del problema. Dicha incógnita aparece en dos ecuaciones ya que la fuente de tensión ideal U x pertenece a dos mallas (malla 1 y malla 2). Para eliminar U x de la formulación, basta con sumar la primera y la segunda ecuación y en su lugar incorporar

Capítulo 3. Método de mallas la relación entre la intensidad de la malla 1 y la de la malla 2 que indique la fuente de intensidad que ha sido sustituida anteriormente. De esta forma:      I1 −5∠0◦ 2 + 3j + 5j − 5j −5j + 2 + 5j − 8j = −1 1 2∠15◦ I2 Simplificando 

2 + 3j −1

2 − 8j 1

    I1 −5∠0◦ = 2∠15◦ I2

y resolviendo se obtienen las intensidades de malla: I 1 ≈ 3,03∠ − 176,61◦ A ; I 2 ≈ 1,15∠162,83◦ A La potencia compleja que suministra la fuente de intensidad se calcula como sigue: ∗

S g = U x · (2∠15◦ )

La tensión U x se puede obtener del sistema de ecuaciones (3.10) una vez conocidas las intensidades de malla:  
I1 −5j 2 − 3j = Ux I2 Resolviendo: U x = −5j · I 1 + (2 − 3j) · I 2 = −5j · 3,03∠ − 176,61◦ + (2 − 3j) · 1,15∠162,83◦ ≈ 19,21∠96,19◦ V Por tanto: ∗

S g = U x · (2∠15◦ ) = 19,21∠96,19◦ · 2∠ − 15◦ ≈ 38,42∠81,2◦ VA

135

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

P. 3.11. En el circuito de la Figura 3.29, obtener las ecuaciones de mallas en forma matricial.

+

+

_

+ _

Figura 3.29. Solución. Según la Figura 3.29, se puede comprobar que hay una fuente ideal de intensidad dependiente. Para plantear las ecuaciones de mallas, dicha fuente de intensidad se sustituirá por una fuente ideal de tensión, tal y como se muestra en la Figura 3.30. +

136

+

+

_

+ _

Figura 3.30. Según la Figura 3.30:  3j − 4j  −3j 4j

−3j 2 + 3j −2

    I1 4j −U x −2  I 2  = 5∠0◦  2 − 4j −3I I3

Se puede observar que en el término independiente aparece la tensión U x , la cual no es una incógnita del problema. Dicha incógnita aparece en una ecuación ya que la fuente de tensión ideal U x pertenece a una sola malla (malla 1). Para eliminar U x de la formulación basta con eliminar la primera ecuación y en su lugar incorporar la relación

Capítulo 3. Método de mallas entre la intensidad de la malla 1 y la intensidad de la fuente de intensidad que ha sido sustituida anteriormente. De esta forma:      I1 −2U 1 0 0 −3j 2 + 3j −2  I 2  = 5∠0◦  4j −2 2 − 4j −3I I3 Se puede observar que en el circuito hay dos fuentes dependientes, una de tensión y otra de intensidad. Dichas fuentes dependientes están controladas por las variables de control I y U . Dichas variables de control aparecen en el término independiente de las ecuaciones. El siguiente paso es relacionar dichas variables de control con las intensidades de malla. Según la Figura 3.29:
U = 2 · I2 − I3 I = I3 − I1 En consecuencia:  1 −3j 4j

0 2 + 3j −2

Reordenando términos  1  −3j −3 + 4j


    I1 −2 · 2 · I 2 − I 3 0  −2  I 2  =  5∠0◦
2 − 4j −3 · I 3 − I 1 I3

4 2 + 3j −2

    I1 0 −4  I 2  = 5∠0◦  −2 0 2 − 4j + 3 I3

y efectuando operaciones se obtienen finalmente las ecuaciones de mallas:      I1 1 4 −4 0  −3j 2 + 3j −2  I 2  = 5∠0◦  0 −3 + 4j −2 5 − 4j I3

137

138

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

P. 3.12. En el circuito de la Figura 3.31, obtener las ecuaciones de las mallas indicadas en forma matricial.

+

+ +

Figura 3.31. Solución. Antes de plantear las ecuaciones de mallas, la fuente ideal de intensidad I g3 se sustituirá por una fuente ideal de tensión de valor desconocido U x , la fuente real de intensidad, I g1 en paralelo con R2 , se sustituirá por su equivalente en fuente real de tensión. Por último, el conjunto de la fuente real de tensión E g2 en paralelo con la fuente de intensidad I g2 se sustituirá por un equivalente en fuente de tensión siguiendo los pasos mostrados en la Figura 3.32. +

+

Figura 3.32. De esta forma se obtiene el circuito de la Figura 3.33. Según la Figura 3.33:  R2 + jXC1   − R2 0

−R2 R2 + jXL2 0

    E g1 + U x + I g1 R2 I1     0  I 2  =  − I g1 R2 + E g3 − E g2 − jXL2 I g2  R1 I3 − U x − E g3 0

Capítulo 3. Método de mallas

+

+ +

+

+

Figura 3.33. Se puede observar que en el término independiente aparece la tensión U x , la cual no es incógnita del problema. Para eliminar U x de la formulación, basta con sumar la primera y la tercera ecuación y en su lugar incorporar la relación entre la intensidad de la malla 1 y la malla 3 que indique la fuente de intensidad que ha sido sustituida por la fuente de tensión U x . De esta forma se obtienen las ecuaciones de mallas:  R2 + jXC1   − R2 1

−R2 R2 + jXL2 0

    E g1 + I g1 R2 − E g3 I1     0  I 2  =  − I g1 R2 + E g3 − E g2 − jXL2 I g2  −1 I3 I g3 R1

139

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

P. 3.13.

+

En el circuito de la Figura 3.34, obtener las ecuaciones de mallas en forma matricial.

+

_

+ _

Figura 3.34.

_

+

+

Solución. Según la Figura 3.34, se puede comprobar que hay dos fuentes ideales de intensidad, una independiente y otra dependiente. Para plantear las ecuaciones de mallas, dichas fuentes de intensidad se sustituirán por sendas fuentes ideales de tensión tal y como se muestra en la Figura 3.35.

+

140

+ _

Figura 3.35.

+

Capítulo 3. Método de mallas Según la Figura 3.35:  6 − 2j −6  −6 6 + 3j   0 0 0 −3j

0 0 1 −1

    −4I A I1 0     −U y −3j   I 2  =   −1  I 3  U y + 4I A − U x  1 + 3j I4 −4∠10◦

Se puede observar que en el término independiente aparecen las tensiones U x y U y , las cuales no son incógnitas del problema. U x aparece en una ecuación mientras que U y aparece en dos ecuaciones. Para eliminar U y de la formulación, basta con sumar la ecuación segunda y tercera e incorporar dentro de las ecuaciones la relación entre la intensidad de la malla 2 y la malla 3 que indique la fuente de intensidad ideal que se ha sustituido por la fuente de tensión U y . De esta forma:      I1 6 − 2j −6 0 0 −4I A     −6  6 + 3j 1 −1 − 3j  x  I 2  = 4I A − U  ◦     0   1 −1 0 I3 3∠15 0 −3j −1 1 + 3j −4∠10◦ I4 Para eliminar U x basta con quitar la segunda ecuación y en su lugar incorporar la relación entre la intensidad de la malla 3 y la intensidad de la fuente de intensidad ideal 2U B . De esta forma:      I1 6 − 2j −6 0 0 −4I A     0  0 1 0   I 2  =  −2U B    0 1 −1 0  I 3   3∠15◦  0 −3j −1 1 + 3j −4∠10◦ I4 En el circuito hay dos fuentes dependientes: una de tensión y otra de intensidad. Dichas fuentes dependientes están controladas por las variables de control I A y U B . Dichas variables de control aparecen en el término independiente de las ecuaciones. El siguiente paso es relacionar dichas variables de control con las intensidades de malla. Según la Figura 3.35: U B = −(−2j) · I 1 = 2j · I 1 IA = I3 − I4 En consecuencia:  6 − 2j  0   0 0

−6 0 1 −3j

0 1 −1 −1

    I1 0 −4 · (I 3 − I 4 )     0   I 2  =  −2 · 2j ·◦ I 1       0 I3 3∠15 ◦ 1 + 3j −4∠10 I4

Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de mallas:      I1 0 6 − 2j −6 4 −4  4j     0 1 0    I 2  =  0   0 1 −1 0  I 3   3∠15◦  0 −3j −1 1 + 3j −4∠10◦ I4

141

142

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

P. 3.14. En el circuito de la Figura 3.36, obtener las ecuaciones de las mallas indicadas en forma matricial. +

Figura 3.36. Solución. Según la Figura 3.36, el circuito tienen tres fuentes de intensidad: dos ellas son ideales, Ig1 y αIa , y una real, Ig2 con R3 . Para plantear las ecuaciones de mallas, dichas fuentes de intensidad se sustituirán por sendas fuentes ideales de tensión y por una fuente real de tensión respectivamente, tal y como se muestra en la Figura 3.37. + +

+

+

Figura 3.37. Según la Figura 3.35: 

R1 0  0 0

0 R3 −R3 0

0 −R3 R3 + R2 + R4 −R2

    0 0 I1     0   I2  =  Ux + R3 Ig2  −R2  I3  −R3 Ig2 − Uy  R2 I4 −Ug + Uy

Capítulo 3. Método de mallas Se puede observar que en el término independiente aparecen las tensiones Ux y Uy , las cuales no son incógnitas del problema. La tensión Ux aparece en una ecuación mientras que la tensión Uy aparece en dos ecuaciones. Para eliminar Uy de la formulación, basta con sumar la tercera y la cuarta ecuación e incorporar dentro de las ecuaciones la relación entre la intensidad de la malla 3 y la malla 4 que indique la fuente de intensidad ideal que ha sido sustituida por la fuente de tensión Uy . De esta forma:  R1 0  0 0

0 R3 −R3 0

0 −R3 R3 + R4 −1

    0 0 I1     0  I2  =  Ux + R3 Ig2      0 I3 −R3 Ig2 − Ug  1 I4 αIa

Para eliminar Ux basta con quitar la segunda ecuación y en su lugar incorporar la relación entre la intensidad de la malla 2 y la intensidad de la fuente de intensidad ideal que ha sido sustituida por la fuente de tensión Ux . De esta forma:      0 R1 0 0 0 I1 0     Ig1 1 0 0   I2     0 −R3 R3 + R4 0 I3  = −R3 Ig2 − Ug  0 0 −1 1 I4 αIa En el circuito hay una fuente dependiente de intensidad controlada por la variable Ia . El siguiente paso es relacionar esta variable de control con las intensidades de malla. Según la Figura 3.36: I2 − I1 = Ig2 + Ia ⇒ Ia = I2 − I1 − Ig2 En consecuencia:  R1 0 0 1   0 −R3 0 0

0 0 R3 + R4 −1

    0 0 I1     Ig1 0  I2  =   0 I3   −R3 Ig2 − Ug  1 I4 α · (I2 − I1 − Ig2 )

Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de mallas:      0 R1 0 0 0 I1 0     Ig1 1 0 0   I2     0 −R3 R3 + R4 0 I3  = −R3 Ig2 − Ug  α −α −1 1 I4 −αIg2 Puede observarse que la resistencia R2 no aparece en las ecuaciones finales ya que está conectada en serie con una fuente de intensidad, por lo que las intensidades de malla no pueden depender de su valor.

143

144

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

P. 3.15. En el circuito de la Figura 3.38, obtener las ecuaciones de las 3 mallas indicadas en forma matricial.

+

+ +

_

+ _

Figura 3.38. Solución. Según la Figura 3.38, se puede comprobar que hay dos fuentes de intensidad ideales: Ig y αIa . Para plantear las ecuaciones de mallas, dichas fuentes de intensidad se sustituirán por sendas fuentes ideales de tensión, tal y como se muestra en la Figura 3.39. + + +

+ +

_

+ _

Figura 3.39. Se puede observar también que la fuente de tensión U g1 se encuentra conectada en paralelo con la resistencia R3 . Al no haber una malla indicada que incluya ambos elementos, es necesario efectuar el equivalente para poder plantear las ecuaciones de nudos. Como es sabido, el circuito equivalente de una fuente de tensión conectada en paralelo con una resistencia es una fuente de tensión del mismo valor. De esta forma, el circuito queda tal y como se muestra en la Figura 3.40.

Capítulo 3. Método de mallas

+ +

+ +

_

+ _

+

Figura 3.40. Según la Figura 3.40:  R1 + R2  0 −R1

    Ug2 − βUa I1 0 −R1 0 0  I2  = βUa − Uy − Ug1  I3 0 R1 Uy − Ux

En el término independiente aparecen las tensiones Ux y Uy , las cuales no son incógnitas del problema. La tensión Ux aparece en una ecuación mientras que la tensión Uy aparece en dos ecuaciones. Para eliminar Ux y Uy de la formulación, basta con quitar la segunda y la tercera ecuación y en su lugar incorporar la relación entre la intensidad de la malla 2 y la malla 3 que indique la fuente de intensidad ideal que ha sido sustituida por la fuente de tensión Uy , y la relación entre la intensidad de la malla 3 y la intensidad que indique la fuente de intensidad ideal que ha sido sustituida por la fuente de tensión Ux . De esta forma:      Ug2 − βUa R1 + R2 0 −R1 I1   0 0 1  I2  =  Ig 0 −1 1 I3 αIa En el circuito hay dos fuentes dependientes controladas por las variables Ia y Ua . El siguiente paso es relacionar estas variables de control con las intensidades de malla. Según la Figura 3.40: Ia = I1 − I3 Ua = −R2 · I1 En consecuencia:  R1 + R2  0 0

    Ug2 − β(−R2 · I1 ) 0 −R1 I1  0 1  I2  =  Ig −1 1 I3 α · (I1 − I3 )

Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de mallas:      Ug2 R1 + R2 − βR2 0 −R1 I1  0 0 1  I2  =  Ig  −α −1 1 + α I3 0

145

146

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

P. 3.16. En el circuito de la Figura 3.41, obtener las ecuaciones de las mallas indicadas en forma matricial. + + + _

_

Figura 3.41. Solución. Según la Figura 3.41, se puede comprobar que en el circuito hay una fuente de intensidad ideal y una fuente de intensidad real. Para plantear las ecuaciones de mallas, dichas fuentes de intensidad se sustituirán por una fuente de tensión ideal y por una fuente de tensión real, respectivamente, tal y como se muestra en la Figura 3.42. + + + + _ +

_

Figura 3.42. Según la Figura 3.42:  R1 + R2  0 −R1

0 R3 0

    −βUa −R1 I1 0  I2  = βUa − Ux + Ig R3  R1 I3 Ux − Ug

Se puede observar que en el término independiente aparece la tensión Ux , la cual no es una incógnita del problema. Para eliminar la tensión Ux de la formulación, basta con sumar la segunda y la tercera ecuación y en su lugar incorporar la relación entre la intensidad de

Capítulo 3. Método de mallas la malla 2 y la malla 3 que indique la fuente de intensidad ideal que ha sido sustituida por la fuente de tensión Ux . De esta forma:      −βUa R1 + R2 0 −R1 I1  −R1 R3 R1  I2  = βUa + Ig R3 − Ug  0 −1 1 I3 αIa En el circuito hay dos fuentes dependientes controladas por las variables Ia y Ua . El siguiente paso es relacionar estas variables de control con las intensidades de malla. Según la Figura 3.41: Ia = I1 − I3 Ua = R3 · I2 − Ig R3 En consecuencia:      −β · (R3 · I2 − Ig R3 ) R1 + R2 0 −R1 I1  −R1 R3 R1  I2  = β · (R3 · I2 − Ig R3 ) + Ig R3 − Ug  0 −1 1 I3 α(I1 − I3 ) Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de mallas:      βIg R3 R1 + R2 βR3 −R1 I1  −R1 R3 − βR3 R1  I2  = −βIg R3 + Ig R3 − Ug  −α −1 1+α I3 0

147

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

P. 3.17.

+

En el circuito de la Figura 3.43, obtener las ecuaciones de las mallas indicadas en forma matricial.

_

+ _ +

Figura 3.43. Solución. Según la Figura 3.43, se puede comprobar que hay una fuente real de intensidad. Para plantear las ecuaciones de mallas, dicha fuente de intensidad se sustituirá por una fuente real de tensión, tal y como se muestra en la Figura 3.44.

+

148

_

+

+ _ +

Figura 3.44.

Capítulo 3. Método de mallas

149

Según la Figura 3.44:  R2 + R3 + jX1  − jX1  − R2

−jX1 R1 + jX1 + jX2 −jX2

    αI a I1     −jX2  I 2  =  − αI a + βI b + R1 I g  R2 + jX2 I3 − βI b − U g −R2

Se puede observar que en el circuito hay dos fuentes dependientes controladas por las variables Ia e Ib . El siguiente paso es relacionar estas variables de control con las intensidades de malla. Según la Figura 3.44: Ia = I3 − I2 Ib = I2 − I1 En consecuencia:  R2 + R3 + jX1  − jX1  − R2



−jX1 R1 + jX1 + jX2 −jX2

  I1   −jX2  I 2  = R2 + jX2 I3 −R2



α(I 3 − I 2 )

  =  − α(I 3 − I 2 ) + β(I 2 − I 1 ) + R1 I g  − β(I 2 − I 1 ) − U g

Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de mallas: 

R2 + R3 + jX1

−jX1 + α

 

− jX1 + β

R1 + jX1 + jX2 − α − β

− R2 − β

−jX2 + β

    0 I1     −jX2 + α I 2  =  R1 I g  − Ug R2 + jX2 I3 −R2 − α

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

P. 3.18. En el circuito de la Figura 3.45, obtener las ecuaciones de mallas indicadas en forma matricial.

+

Figura 3.45. Solución. Según la Figura 3.45, se puede comprobar que hay una fuente real de intensidad, la cual se ha sustituido por una fuente real de tensión, tal y como se muestra en la Figura 3.46.

+

150

+

Figura 3.46. Según la Figura 3.46:  1 + j + 4j  −j −1

−j j + 3j − 5j −3j

    I1 −1 3∠0◦ −3j  I 2  =  2∠60◦  1 + 4 + 3j −3∠0◦ I3

Efectuando operaciones se obtienen finalmente las ecuaciones de mallas:      I1 1 + 5j −j −1 3∠0◦  −j −j −3j  I 2  =  2∠60◦  −1 −3j 5 + 3j −3∠0◦ I3

Capítulo 3. Método de mallas

P. 3.19. En el circuito de la Figura 3.47, obtener las ecuaciones de mallas en forma matricial.

+ _ +

+ _

Figura 3.47.

+

Solución. Según la Figura 3.47, se puede comprobar que hay una fuente dependiente ideal de intensidad. Para plantear las ecuaciones de mallas, dicha fuente de intensidad se sustituirá por una fuente ideal de tensión, tal y como se muestra en la Figura 3.48.

+ _ +

+ _

Figura 3.48. Según la Figura 3.48: 

jXC1 + jXC2  −jX C1   0 −jXC2

−jXC1 R1 + R2 + jXC1 −R2 0

0 −R2 R2 + jXL −jXL

    Ug I1 −jXC2  I   0  0   2 =   −jXL  I 3   −U x  jXC2 + jXL I4 −αU

Se puede observar que en el término independiente aparece la tensión U x , la cual no es incógnita del problema. Para eliminar U x de la formulación, basta con quitar la tercera ecuación y en su lugar incorporar la relación entre la intensidad de la malla 3 y la intensidad que indique la fuente de intensidad que ha sido sustituida por la fuente de tensión U x . De

151

152

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos esta forma: 

−jXC1 R1 + R2 + jXC1 0 0

jXC1 + jXC2  −jX C1   0 −jXC2

0 −R2 1 −jXL

    Ug I1 −jXC2  I   0  0   2 =    I   βI  0 3 jXC2 + jXL I4 −αU

En el circuito hay una dos fuentes dependientes controladas por las variables I y U . El siguiente paso es relacionar estas variables de control con las intensidades de malla. Según la Figura 3.48: I = I2 − I1 U = −R1 I 2 En consecuencia:  jXC1 + jXC2  −jXC1   0 −jXC2

−jXC1 R1 + R2 + jXC1 0 0

0 −R2 1 −jXL

    Ug I1 −jXC2      0 0  I 2  =    I   β(I − I )  0 3 2 1 jXC2 + jXL I4 −α(−R1 I 2 )

Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de mallas:  jXC1 + jXC2  −jX C1   β −jXC2

−jXC1 R1 + R2 + jXC1 −β −αR1

0 −R2 1 −jXL

    I1 Ug −jXC2  I   0  0   2 =    I   0  0 3 jXC2 + jXL 0 I4

Capítulo 3. Método de mallas

P. 3.20. En el circuito de la Figura 3.49, obtener las ecuaciones de mallas en forma matricial.

+ _

+ _

Figura 3.49.

+

Solución. Según la Figura 3.49, se puede comprobar que hay una fuente ideal de intensidad, la cual se sustituirá por una fuente ideal de tensión de valor desconocido U x , tal y como se muestra en la Figura 3.50.

+ _

+ _

Figura 3.50. Según la Figura 3.50:  R1 + jXL2  −jXL2 0

−jXL2 R2 + jXc + jXL2 + jXL3 −R2

    I1 βU C 0 −R2  I 2  = −U x  R2 + jXL1 I3 Ux

Se puede observar que en el término independiente aparece la tensión U x , la cual no es incógnita del problema. Para eliminar U x de la formulación, basta con sumar la segunda y la tercera ecuación y en su lugar incorporar la relación entre la intensidad de la malla 2 y la malla 3 que indique la fuente de intensidad que ha sido sustituida por la fuente de

153

154

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos tensión U x . De esta forma:  R1 + jXL2 −jXL2  −jXL2 jXc + jXL2 + jXL3 0 −1

    I1 βU C 0 jXL1  I 2  =  0  1 Ig I3

En el circuito hay una fuente dependiente controlada por la variable U C . El siguiente paso es relacionar esta variable de control con las intensidades de malla. Según la Figura 3.50: U C = jXc I 2 En consecuencia:  R1 + jXL2  −jXL2 0

−jXL2 jXc + jXL2 + jXL3 −1

    I1 β(jXc I 2 ) 0  0 jXL1  I 2  =  1 Ig I3

Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de mallas:      0 I1 R1 + jXL2 −jXL2 − βjXc 0  −jXL2 jXc + jXL2 + jXL3 jXL1  I 2  =  0  0 −1 1 Ig I3

Capítulo 3. Método de mallas

P. 3.21. En el circuito de la Figura 3.51, obtener las ecuaciones de las mallas indicadas en forma matricial.

+

_

+

_

Figura 3.51. Solución. Según la Figura 3.51, se puede comprobar que hay una fuente real de intensidad, la cual se sustituirá por una fuente real de tensión, tal y como se muestra en la Figura 3.52.

+

_

+

_ +

Figura 3.52. Según la Figura 3.52:  R1 + jXC  −jXC 0

−jXC jXL + jXC + R3 −jXL

    I1 I g R1 + αU 0  −jXL  I 2  =  0 R2 + jXL −αU I3

En el circuito hay una fuente dependiente de tensión controlada por la tensión U . El siguiente paso es relacionar esta variable de control con las intensidades de malla. Según la Figura 3.52: U = jXL · (I 3 − I 2 )

155

156

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos En consecuencia: 

R1 + jXC  −jXC 0

−jXC jXL + jXC + R3 −jXL

    I g R1 + αjXL · (I 3 − I 2 ) I1 0  −jXL  I 2  =  0 R2 + jXL I3 −αjXL · (I 3 − I 2 )

Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de mallas:      I1 R1 + jXC −jXC + αjXL −αjXL I g R1  −jXC  I 2  =  0  jXL + jXC + R3 −jXL 0 −jXL − αjXL R2 + jXL + αjXL 0 I3

Capítulo 3. Método de mallas

P. 3.22.

+

En el circuito de la Figura 3.53, obtener las ecuaciones de mallas en forma matricial.

_ + +

_

Figura 3.53.

+

_

+

Solución. En la Figura 3.53, se puede comprobar que hay una fuente ideal de intensidad. Para plantear las ecuaciones de mallas, dicha fuente de intensidad se sustituirá por una fuente real de tensión de valor desconocido U x , tal y como se muestra en la Figura 3.54.

+ +

_

Figura 3.54. Según la Figura 3.54:  R1 + jXL2   − jXL2 0

−jXL2 R2 + jXL2 + jXc −R2

    Ux I1     −R2  I 2  =  − βU C + U g  R2 + jXL1 I3 βU C 0

Se puede observar que en el término independiente aparece la tensión U x , la cual no es incógnita del problema. Para eliminar U x de la formulación, basta con quitar la primera ecuación y en su lugar incorporar la relación entre la intensidad de la malla 1 y la intensidad

157

158

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos de la fuente de intensidad que ha sido sustituida por la fuente de tensión U x . De esta forma:      Ig 1 0 0 I1      −R2  I 2  =  − βU C + U g   − jXL2 R2 + jXL2 + jXc 0 −R2 R2 + jXL1 I3 βU C En el circuito hay una fuente dependiente de tensión controlada por la variable UC . El siguiente paso es relacionar esta variable de control con las intensidades de malla. Según la Figura 3.54: U C = jXc · I 2 En consecuencia: 

1

  − jXL2 0

0 R2 + jXL2 + jXc −R2

    Ig I1     −R2  I 2  =  − β(jXc · I 2 ) + U g  R2 + jXL1 I3 β(jXc · I 2 ) 0

Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de mallas:      Ig 1 0 0 I1      − jX R + jX + jX + βjX −R =  I 2  U g   L2 2 L2 c c 2 0 −R2 − βjXc R2 + jXL1 I3 0

Capítulo 3. Método de mallas

159

P. 3.23.

+

+

En el circuito de la Figura 3.55, obtener las ecuaciones de las mallas indicadas en forma matricial.

_

+ _

Figura 3.55.

+

+

+

Solución. Según la Figura 3.55, se puede comprobar que hay dos fuentes reales de intensidad, las cuales se sustituirán por sendas fuentes reales de tensión, tal y como se muestra en la Figura 3.56.

_

+ _ + _

Figura 3.56.

160

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos Según la Figura 3.56:  jXL1 + jXC2  − jX  L1   0

−jXL1

0

R + jXL1 + jXC3

−R

−R

R + jXC1 + jXC4

0

−jXC4

0



  I1    0  I 2    −jXC4  I 3   jXC4 + jXL2 I4 0



Ug

  I g jXC3 − U g − 2IR  =   2IR − 4U   0

En el circuito hay dos fuentes dependientes controladas por la variables U e I. El siguiente paso es relacionar estas variables de control con las intensidades de malla. Según la Figura 3.56: U = jXL2 · I 4 I = I3 En consecuencia:  jXL1 + jXC2  − jX  L1   0

−jXL1

0

R + jXL1 + jXC3

−R

−R

R + jXC1 + jXC4

0

−jXC4

0



  I1    0  I 2    −jXC4  I 3   jXC4 + jXL2 I4 0



Ug

  I g jXC3 − U g − 2 · I 3 · R  =  2 · I · R − 4 · jX · I   3 L2 4  0

Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de mallas: 

jXL1 + jXC2

−jXL1

   

− jXL1

R + jXL1 + jXC3

−R + 2R

0

−R

R + jXC1 + jXC4 − 2R

0

0

0

0

−jXC4 



Ug   I g jXC3 − U g   =   0   0

  I1  I  0   2   −jXC4 + 4jXL2  I 3  jXC4 + jXL2

I4

Capítulo 3. Método de mallas

P. 3.24. En el circuito de la Figura 3.57, obtener las ecuaciones de mallas en forma matricial.

+

_

Figura 3.57.

+

+

Solución. Según la Figura 3.57, se puede comprobar que hay dos fuentes ideales de intensidad: una independiente (I g ) y otra dependiente (βI a ). Para plantear las ecuaciones de mallas, dichas fuentes de intensidad se sustituirán por sendas fuentes ideales de tensión de valores desconocidos U x y U y respectivamente, tal y como se muestra en la Figura 3.58.

+

_

Figura 3.58. Según la Figura 3.58: 

jXL1 + jXL2

−jXL1

 

− jXL1

R + jXL1 + jXL3

− jXL2

−jXL3

   −U x + U y − αI b I1     −jXL3 − Uy  I 2  =   jXL2 + jXL3 + jXC I3 αI b −jXL2



Se puede observar que en el término independiente aparecen las tensiones U x y U y , las cuales no son incógnitas del problema. Para eliminar U x y U y de la formulación, basta con eliminar la primera y la segunda ecuación y en su lugar incorporar la relación entre la

161

162

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos intensidad de la malla 1 y la intensidad de la malla 2 que indica la fuente de intensidad que ha sido sustituida por la fuente de tensión U y , y la relación entre la intensidad de la malla 1 y la intensidad de la fuente de intensidad que ha sido sustituida por la fuente de tensión U x . De esta forma:      1 −1 0 βI a I1      1 0 0  I 2  =  I g   − jXL2 −jXL3 jXL2 + jXL3 + jXC I3 αI b En el circuito hay dos fuentes dependientes controladas por las variables I a y I b . El siguiente paso es relacionar estas variables de control con las intensidades de malla. Según la Figura 3.58: Ia = I2 − I3 Ib = I2 − I1 En consecuencia:  1  1  − jXL2

−1 0 −jXL3

    β(I 2 − I 3 ) I1     0 Ig  I 2  =   jXL2 + jXL3 + jXC I3 α(I 2 − I 1 ) 0

Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de mallas:      0 1 −1 − β β I1      1 0 0  I 2  = I g   − jXL2 + α −jXL3 − α jXL2 + jXL3 + jXC 0 I3

Capítulo 3. Método de mallas

163

P. 3.25. En el circuito de la Figura 3.59, obtener las ecuaciones de las mallas indicadas en forma matricial.

+

_

+

_ +

Figura 3.59. Solución. Según la Figura 3.57, se puede comprobar que hay dos fuentes ideales de intensidad: una independiente (6 A) y otra dependiente (2Ub ). Para plantear las ecuaciones de mallas, dichas fuentes de intensidad se sustituirán por sendas fuentes ideales de tensión de valores desconocidos Ux y Uy respectivamente, tal y como se muestra en la Figura 3.58. +

+

_

+ +

_ +

Figura 3.60.

164

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos Según la Figura 3.60:  1 + 2 −1  −1 1+2    0 0 −2

0

0 0 4 −4

    −Ux − 4Ia I1      Ux 0   I2      =   −4  I3   − Uy   I4 4+2 −5 −2

Se puede observar que en el término independiente aparecen las tensiones Ux y Uy , las cuales no son incógnitas del problema. Para eliminar Ux de la formulación, basta con sumar la primera y la segunda ecuación y en su lugar incorporar la relación entre la intensidad de la malla 1 y la intensidad de la malla 2 que indique la fuente de intensidad que ha sido sustituida por la fuente de tensión Ux . De esta forma:      −4Ia I1 1 + 2 − 1 −1 + 1 + 2 0 −2     6   1 −1 0 0    I2       =    0 0 4 −4  I3   − Uy   −2 0 −4 4 + 2 I4 −5 Para eliminar Uy de la formulación, basta con quitar la tercera ecuación y en su lugar incorporar la relación entre la intensidad de la malla 3 y a la intensidad que indique la fuente de intensidad que ha sido sustituida por la fuente de tensión Uy . Así:      1 + 2 − 1 −1 + 1 + 2 0 −2 I1 −4Ia      1 −1 0 0    I2   6     =    0 0 1 0  I3   2Ub  −2

−4

0

4+2

−5

I4

En el circuito hay dos fuentes dependientes controladas por las variables Ia y Ub . El siguiente paso es relacionar estas variables de control con las intensidades de malla. Según la Figura 3.60: Ia = I4 − I1 Ub = 2I2 En consecuencia:  1 + 2 − 1 −1 + 1 + 2  1 −1    0 0 −2

0 0 1 −4

0

Reordenando términos  1 + 2 − 1 − 4 −1 + 1 + 2  1 −1    0 −4 −2

0

−2

    I1 −4 · (I4 − I1 )     0  6  I2      =   0  I3   2 · (2I2 ) 

4+2

−5

I4

0

−2 + 4

0

0

1

0

−4

4+2

    I1 0  I   6    2     =    I3   0  I4

−5

Capítulo 3. Método de mallas y simplificando se obtienen finalmente las ecuaciones de mallas: 

−2

 1    0 −2

2

0

−1

0

−4

1

0

−4

    0 I1 2     0  I2   6     =  0 I3   0  6

I4

−5

165

166

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

P. 3.26. En el circuito de la Figura 3.61, obtener las ecuaciones de mallas en forma matricial.

+

Figura 3.61. Solución. En la Figura 3.61, se puede comprobar que hay dos fuentes ideales de intensidad: una independiente (I g ) y otra dependiente (αI). Para plantear las ecuaciones de mallas, dichas fuentes de intensidad se sustituirán por sendas fuentes ideales de tensión de valores desconocidos U x y U y respectivamente, tal y como se muestra en la Figura 3.62.

+ +

+

Figura 3.62. Según la Figura 3.62:  R1 0  R2 + jXL  0 − R1

−jXL

    Ux − Uy I1     −jXL  I 2  = U y − U g  R1 + jXL + jXC I3 0 −R1

Se puede observar que en el término independiente aparecen las tensiones U x y U y , las cuales no son incógnitas del problema. Para eliminar U y de la formulación, basta

Capítulo 3. Método de mallas con sumar la primera y la segunda ecuación y en su lugar incorporar la relación entre la intensidad de la malla 1 y la intensidad de la malla 2 que indique la fuente de intensidad que ha sido sustituida por la fuente de tensión U y . De esta forma: 

R1

  1 − R1

R2 + jXL −1 −jXL

    Ux − Ug I1     0  I 2  =  αI  R1 + jXL + jXC I3 0 −R1 − jXL

Para eliminar U x de la formulación, basta con quitar la primera ecuación y en su lugar incorporar la relación entre la intensidad de la malla 1 y a la intensidad que indique la fuente de intensidad que ha sido sustituida por la fuente de tensión U x . Así:      1 0 0 Ig I1      −1 0  I 2  = αI   1 − R1 −jXL R1 + jXL + jXC I3 0 En el circuito hay una fuente dependiente controlada por la intensidad I. El siguiente paso es relacionar esta variable de control con las intensidades de malla. Según la Figura 3.62: I = I2 En consecuencia:  1   1 − R1

0 −1 −jXL

    Ig I1     0  I 2  = αI 2  R1 + jXL + jXC I3 0 0

Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de mallas:      1 0 0 Ig I1      1 −1 − α 0   I 2  =  0  − R1 −jXL R1 + jXL + jXC I3 0

167

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

P. 3.27.

_

+

+

En el circuito de la Figura 3.63, obtener las ecuaciones de mallas en forma matricial.

_

+

Figura 3.63. Solución. Según la Figura 3.63, se puede comprobar que hay dos fuentes ideales de intensidad: una independiente (3∠15◦ A) y otra dependiente (2U B ). Para plantear las correspondientes ecuaciones de mallas, dichas fuentes de intensidad se sustituirán por sendas fuentes ideales de tensión de valores desconocidos U x y U y respectivamente, tal y como se muestra en la Figura 3.64.

+

+

_

+

168

_

+

+

Figura 3.64. Según la Figura 3.64:  6 − 2j  −6    0 0

−6

0

6 + 3j

0

0

1

−3j

−1

    −U x I1      −3j  − 4∠10◦ I 2       =    ◦ −1  I 3  U x + 4∠10 − 4I A   1 + 3j − Uy I4 0

Capítulo 3. Método de mallas Se puede observar que en el término independiente aparecen las tensiones U x y U y , las cuales no son incógnitas del problema. Para eliminar U x de la formulación, basta con sumar la primera y la tercera ecuación y en su lugar incorporar la relación entre la intensidad de la malla 1 y la intensidad de la malla 3 que indique la fuente de intensidad que ha sido sustituida por la fuente de tensión U x . Para eliminar U y , se suprime la cuarta ecuación y en su lugar se incorpora la relación entre la intensidad de la malla 4 y la intensidad que indica la fuente de intensidad que ha sido sustituida por la fuente de tensión U y . De esta forma:  6 − 2j  −6    1

−6 6 + 3j

0

0 0

    I1 4∠10◦ − 4I A     0 −3j  I 2   − 4∠10◦        =  ◦ −1 0   I 3   3∠15 0 −1 2U B I4 1

−1

En el circuito hay dos fuentes dependientes controladas por las variables I A y U B . El siguiente paso es relacionar estas variables de control con las intensidades de malla. Según la Figura 3.64: IA = I3 − I4 U B = 6 · (I 1 − I 2 ) − 2jI 1 En consecuencia:  6 − 2j −6  − 6 6 + 3j    1 0 0

0

    I1 4∠10◦ − 4 · (I 3 − I 4 )      0 −3j  − 4∠10◦ I 2         =   ◦  −1 0 3∠15 I 3      0 −1 2 · 6 · (I 1 − I 2 ) − 2jI 1 I4 1

−1

Reordenando términos y simplificando se obtienen finalmente las ecuaciones de mallas:      6 − 2j −6 5 −5 4∠10◦ I1     −6 6 + 3j 0 −3j  I 2   − 4∠10◦     =     3∠15◦    1 0 −1 0  I  3 0 − 12 + 4j 12 0 −1 I4

169

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

P. 3.28. En el circuito de la Figura 3.65, obtener las ecuaciones de las mallas indicadas en forma matricial.

+ _

+ + _

Figura 3.65.

+

Solución. Según la Figura 3.65, se puede comprobar que hay una fuente ideal de intensidad y una fuente real de intensidad. Para plantear las ecuaciones de mallas, dichas fuentes de intensidad se sustituirán por una fuente ideal de tensión y por una fuente real de tensión respectivamente, tal y como se muestra en la Figura 3.66.

+

170

+ _

+ + _

Figura 3.66.

Capítulo 3. Método de mallas

171

Según la Figura 3.66: 

R + jXC1 + jXL1

−R

−jXL1

0

   

−R

R + jXC2 + jXL2

−jXC2

−jXL2

− jXL1

−jXC2

jXC2 + jXL1

0

0

−jXL2

0

jXL3 + jXL2 + jXC3



I1



 I    2    I 3  I4



 U g − I g jXL1 − 2U     2U  =   − U + I jX  L1  x g 0

Se puede observar que en el término independiente aparece la tensión U x , la cual no es incógnita del problema. Para eliminar U x de la formulación, basta con quitar la tercera ecuación y en su lugar incorporar la relación entre la intensidad de la malla 3 y la intensidad que indique la fuente de intensidad que ha sido sustituida por la fuente de tensión U x . De esta forma: 

R + jXC1 + jXL1

−R

−jXL1

0

   

−R

R + jXC2 + jXL2

−jXC2

−jXL2

0

0

1

0

0

−jXL2

0

jXL3 + jXL2 + jXC3



U g − I g jXL1 − 2U



2U

    

  =  

4I

  I1  I    2    I 3  I4

0

En el circuito hay dos fuentes dependientes controladas por las variables I y U . El siguiente paso es relacionar estas variables de control con las intensidades de malla. Según la Figura 3.66: I = I4 U = jXC3 I 4 En consecuencia: 

R + jXC1 + jXL1

−R

−jXL1

0

   

−R

R + jXC2 + jXL2

−jXC2

−jXL2

0

0

1

0

0

−jXL2

0

jXL3 + jXL2 + jXC3

   =  

 U g − I g jXL1 − 2(jXC3 I 4 )   2(jXC3 I 4 )   4I 4  0

  I1  I    2    I 3  I4

172

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de mallas:  R + jXC1 + jXL1  −R    0 0

−R

−jXL1

R + jXC2 + jXL2

−jXC2

0

1

−jXL2

0

  U g − I g jXL1     0   =  0   0

  I1    −jXL2 − 2jXC3  I 2      −4 I 3  jXL3 + jXL2 + jXC3 I4 2jXC3

Capítulo 3. Método de mallas

P. 3.29. En el circuito de la Figura 3.67, obtener las ecuaciones de mallas en forma matricial.

+ _ +

_

Figura 3.67.

+

Solución. Según la Figura 3.67, se puede comprobar que hay dos fuentes reales de intensidad: una independiente y otra dependiente. Para plantear las ecuaciones de mallas, dichas fuentes de intensidad se sustituirán por sus fuentes de tensión reales equivalentes, tal y como se muestra en la Figura 3.68.

_ _ +

Figura 3.68.

_

+

+

173

174

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos Según la Figura 3.68: 

R + jXL1   − jXL1 0

−jXL1 jXL1 + jXL2 + jXL3 −jXL2

   −I g jXL1 − βU C I1     −jXL2  I 2  = I g jXL1 − αI b jXL2  jXC + jXL2 I3 βU C + αI b jXL2 0



En el circuito hay dos fuentes dependientes controladas por las variables I b y U C . El siguiente paso es relacionar estas variables de control con las intensidades de malla. Según la Figura 3.67: Ib = Ig + I1 − I2 U C = −jXC I 3 En consecuencia: 

R + jXL1   − jXL1 0   =

−jXL1 jXL1 + jXL2 + jXL3 −jXL2

  I1   −jXL2  I 2  jXC + jXL2 I3 0

−I g jXL1 − β · (−jXC I 3 )



I g jXL1 − α · (I g + I 1 − I 2 ) · jXL2

 

β · (−jXC I 3 ) + α · (I g + I 1 − I 2 ) · jXL2

Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de mallas: 

R + jXL1

  − jXL1 + αjXL2 − αjXL2

−jXL1

−βjXC

jXL1 + jXL2 + jXL3 − αjXL2

−jXL2

−jXL2 + αjXL2 jXC   −I g jXL1    I jX =  g L1 − αI g jXL2  αI g jXL2



I1



   I 2  + jXL2 + βjXC I3

Capítulo 3. Método de mallas

175

P. 3.30. En el circuito de la Figura 3.69, obtener las ecuaciones de las mallas indicadas en forma matricial.

+

Figura 3.69.

+

Solución. Según la Figura 3.69, se puede comprobar que hay una fuente de intensidad independiente real y una fuente de intensidad dependiente ideal. Para plantear las ecuaciones de mallas, la fuente real de intensidad se sustituirá por una fuente de tensión real, mientras que la fuente de intensidad ideal se sustituirá por una fuente de tensión ideal de valor desconocido U x , tal y como se muestra en la Figura 3.70.

+ +

Figura 3.70.

176

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos Según la Figura 3.70: 

−jX1

0

jX1 + jX2 + R2

−R2 − jX2

−R2 − jX2

R2 + jX2 + R3 + R4

0

−R3

R1 + jX1

 − jX  1   0 0

0



I1





Ug − Ux



  I    0   2     =   −R3  I 3   − R4 I g   R3 + jX3 I4 0 0

Se puede observar que en el término independiente aparece la tensión U x , la cual no es incógnita del problema. Para eliminar U x de la formulación, basta con quitar la primera ecuación y en su lugar incorporar la relación entre la intensidad de la malla 1 y la intensidad que indique la fuente de intensidad que ha sido sustituida por la fuente de tensión U x . De esta forma: 1



 − jX  1   0

0

0

jX1 + jX2 + R2

−R2 − jX2

−R2 − jX2

R2 + jX2 + R3 + R4

0

−R3

0

0



I1





3I α



  I    0   2     =   −R3  I 3   − R4 I g   R3 + jX3 I4 0 0

En el circuito hay una fuente dependiente controlada por la variable I α . El siguiente paso es relacionar esta variable de control con las intensidades de malla. Según la Figura 3.70: Iα = I2 − I3 En consecuencia: 

1

 − jX  1   0 0

0

0

0

jX1 + jX2 + R2

−R2 − jX2

−R2 − jX2

R2 + jX2 + R3 + R4

0

−R3



I1





 I   0   2    =  −R3  I 3    R3 + jX3 I4

 3 · (I 2 − I 3 )   0  − R4 I g   0

Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de mallas: 

1

 − jX  1   0 0

−3

3

0



jX1 + jX2 + R2

−R2 − jX2

0

−R2 − jX2

R2 + jX2 + R3 + R4

−R3

  I   0    2     =   I 3   − R 4 I g 

0

−R3

R3 + jX3

I1

I4





0

0



Capítulo 3. Método de mallas

177

P. 3.31. En el circuito de la Figura 3.71, obtener las ecuaciones de mallas en forma matricial.

+

+ _

+

Figura 3.71.

+

Solución. Según la Figura 3.71, se puede comprobar que hay una fuente de intensidad ideal. Para plantear las ecuaciones de mallas, dicha fuente se sustituirá por una fuente de tensión ideal de valor desconocido U x , tal y como se muestra en la Figura 3.72.

+

+ _

+

Figura 3.72. Según la Figura 3.72:  2 − 3j  3j    0    0 0

    100∠0◦ I1     − 2I   I 2   a      I  =  2I a     3       I 4   60∠0◦ 

3j

0

0

0

4 − 3j

0

0

−4

0

3 + 2j

−2j

−3

0

−2j

5 + 2j

0

−4

−3

0

2+3+4

I5

− Ux

Se puede observar que en el término independiente aparece la tensión U x , la cual no es incógnita del problema. Para eliminar U x de la formulación, basta con quitar la quinta ecuación y en su lugar incorporar la relación entre la intensidad de la malla 5 y la intensidad

178

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos que indique la fuente de intensidad que ha sido sustituida por la fuente de tensión U x . De esta forma:      100∠0◦ 2 − 3j 3j 0 0 0 I1  3j     4 − 3j 0 0 −4   I 2   − 2I a         0    0 3 + 2j −2j −3   I 3  =  2I a      ◦  0 −2j 5 + 2j 0  I 4   60∠0   0 0

0

0

0

−1

I5

4∠20◦

En el circuito hay una fuente de tensión dependiente controlada por la variable I a . El siguiente paso es relacionar esta variable de control con las intensidades de malla. Según la Figura 3.72: Ia = I4 En consecuencia:  2 − 3j 3j  3j 4 − 3j    0 0   0  0 0

0

0

0

0

0

3 + 2j

−2j

−2j

5 + 2j

0

0

    100∠0◦ I1     −4  I 2   − 2I 4          −3  I 3  =  2I 4     ◦  0  I 4   60∠0  0

−1

I5

4∠20◦

Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de mallas:      2 − 3j 3j 0 0 0 100∠0◦ I1      3j 4 − 3j 0 2 −4  I 2   0             0 0 3 + 2j −2j − 2 −3  I 3  =  0        0 −2j 5 + 2j 0  I 4   60∠0◦   0 0

0

0

0

−1

I5

4∠20◦

Capítulo 3. Método de mallas

P. 3.32. En el circuito de la Figura 3.73, obtener las ecuaciones de las mallas indicadas en forma matricial.

+

_

Figura 3.73. Solución. Según la Figura 3.73, se puede comprobar que hay una fuente de intensidad real, αI b en paralelo jXL2 . Dicha fuente se sustituirá por una fuente de tensión real. La fuente de tensión dependiente βI a conectada en paralelo con jXL1 se sustituirá también por su equivalente, quedando únicamente la fuente de tensión. Por último, la fuente ideal de intensidad I g se sustituirá por una fuente de tensión ideal de valor desconocido U x , tal y como se muestra en la Figura 3.74.

_

Figura 3.74.

+

+ +

179

_

180

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos Según la Figura 3.74:  R 0   0 jXL2 + jXL3 0

−jXL2

    βI a − U x I1     −jXL2  I 2  =  − αI b jXL2 − βI a  jXL2 + jXC I3 αI b jXL2 + U x 0

Se puede observar que en el término independiente aparece la tensión U x , la cual no es incógnita del problema. Para eliminar dicha tensión U x de la formulación, basta con sumar la primera y la tercera ecuación y en su lugar incorporar la relación entre la intensidad de malla 1 y la intensidad de malla 3 con la intensidad que indique la fuente de intensidad que ha sido sustituida por la fuente de tensión U x . De esta forma:      R −jXL2 jXL2 + jXC βI a + αI b jXL2 I1      −jXL2  I 2  =  − αI b jXL2 − βI a   0 jXL2 + jXL3 1 0 −1 Ig I3 En el circuito hay dos fuentes de tensión dependientes controladas por las intensidades I a y I b . El siguiente paso es relacionar estas variables de control con las intensidades de malla. Según la Figura 3.73: Ia = I1 Ib = En consecuencia:  R −jXL2   0 jXL2 + jXL3 1

0

−βI 1 −βI a = jXL1 jXL1

jXL2 + jXC −jXL2 −1

    1 βI 1 + α · −βI I1 jXL1 · jXL2     −βI 1   I 2  =   − α · jXL1 · jXL2 − βI 1  I3 Ig

Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de mallas:      L2 R − β + αβjX −jXL2 jXL2 + jXC 0 I1 jXL1      αβjXL2 jXL2 + jXL3 −jXL2  I 2  =  0   β − jXL1 Ig I3 1 0 −1

Capítulo 3. Método de mallas

181

P. 3.33. En el circuito de la Figura 3.75, obtener las ecuaciones de mallas en forma matricial.

+

Figura 3.75.

+

+

Solución. En primer lugar, las bobinas acopladas se sustituirán por su modelo equivalente en forma de fuentes de tensión dependientes de intensidad, tal y como se muestra en la Figura 3.76. _

_ +

Figura 3.76. Según la Figura 3.76: !

R + jX1

−R

−R

R + jX2 + jXC

I1

! =

I2

U g + jXM I b

!

− jXM I a

En el circuito hay dos fuentes de tensión dependientes controladas por la variables I a y I b . El siguiente paso es relacionar estas variables de control con las intensidades de malla. Según la Figura 3.76: I a = −I 1 Ib = I2 En consecuencia: R + jX1

−R

−R

R + jX2 + jXC

!

I1 I2

! =

U g + jXM I 2 jXM I 1

!

182

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de mallas: ! ! ! R + jX1 −R − jXM Ug I1 = − R − jXM R + jX2 + jXC I2 0

Capítulo 3. Método de mallas

183

P. 3.34. En el circuito de la Figura 3.77, obtener las ecuaciones de mallas en forma matricial.

+

+ _

Figura 3.77. Solución. En primer lugar, las bobinas acopladas se sustituirán por su modelo equivalente en forma de fuentes de tensión dependientes de intensidad, tal y como se muestra en la Figura 3.78.

+

_ +

+ _

+ _

Figura 3.78.

184

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos Según la Figura 3.78:  R + jX1 + jX3 −jX3  − jX jX + jX3 + jXC  3 2   − jX1 −jX2 0

−jX1 −jX2 jX1 + jX2 + jX4

−jXC 0   U g − jXM I b    jXM I b   =  jX I    M c − αI a

  I1    −jXC   I 2     0  I 3  jXC I4 0

En el circuito hay tres fuentes de tensión dependientes controladas por la variables I a , I b y I c . El siguiente paso es relacionar estas variables de control con las intensidades de malla. Según la Figura 3.78: Ia = I3 − I1 I b = −I 3 Ic = I1 − I2 En consecuencia:  R + jX1 + jX3  − jX3    − jX1 0

−jX3

−jX1

jX2 + jX3 + jXC

−jX2

−jX2

jX1 + jX2 + jX4

−jXC 

0 

  I1    −jXC  I 2     0  I 3  jXC I4 0

U g + jXM I 3    − jXM I 3    =  jXM · (I 1 − I 2 ) − α · (I 3 − I 1 )

Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de mallas:    R + jX1 + jX3 −jX3 −jX1 − jXM 0 I1     − jX jX + jX + jX −jX + jX −jX  3 2 3 C 2 M C  I 2       − jX1 − jXM −jX2 + jXM jX1 + jX2 + jX4 0  I 3  −α −jXC α jXC I4   Ug   0  = 0   0

Capítulo 3. Método de mallas

P. 3.35. En el circuito de la Figura 3.79, obtener las ecuaciones de mallas en forma matricial.

+

Figura 3.79. Solución. En primer lugar, las bobinas acopladas se sustituirán por su modelo equivalente en forma de fuentes de tensión dependientes de intensidad tal y como se muestra en la Figura 3.80.

+ +

_ +

_ +

_

+ _

Figura 3.80. Según la Figura 3.80:  jX1 + jX3   − jX3 − jX1

−jX3 jX2 + jX3 + jXC −jX2   =

  I1   −jX2  I 2  jX1 + jX2 + jX4 I3 −jX1

4 ∗ U g + jXM I b − jXM Id



4 ∗ jXM I d − jXM Ia

 

4 ∗ ∗ jXM I c − jXM I b + jXM Ia

185

186

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos En el circuito hay cuatro fuentes de tensión dependientes controladas por las variables I a , I b , I c y I d . El siguiente paso es relacionar estas variables de control con las intensidades de malla. Según la Figura 3.80: Ia = I3 − I1 Ib = I2 − I3 Ic = I1 − I2 I d = −I 3 En consecuencia:  jX1 + jX3   − jX3 − jX1   =

−jX3

  I1   −jX2  I 2  jX1 + jX2 + jX4 I3 −jX1

jX2 + jX3 + jXC −jX2

4 ∗ U g + jXM · (I 2 − I 3 ) + jXM I3



4 ∗ − jXM I 3 − jXM · (I 3 − I 1 )

 

4 ∗ ∗ jXM · (I 1 − I 2 ) − jXM · (I 2 − I 3 ) + jXM · (I 3 − I 1 )

Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de mallas:   

jX1 + jX3 ∗ − jX3 − jXM

− jX1 −

4 jXM

+

∗ jXM

∗ −jX3 − jXM

∗ 4 −jX1 + jXM − jXM



jX2 + jX3 + jXC

∗ 4 + jXM −jX2 + jXM

   I 2  I3

−jX2 +

4 jXM

∗ jXM

+   Ug   = 0  0

jX1 + jX2 + jX4 −

∗ 2jXM

I1



Capítulo 3. Método de mallas

187

P. 3.36. En el circuito de la Figura 3.81, obtener las ecuaciones de mallas en forma matricial.

+

Figura 3.81. Solución. En primer lugar, las bobinas acopladas se sustituirán por su modelo equivalente en forma de fuentes de tensión dependientes de intensidad, tal y como se muestra en la Figura 3.82.

+ _

+ _

+

Figura 3.82. Según la Figura 3.82, se puede comprobar que hay tres fuentes de intensidad ideales: I g1 , I g2 y I g3 . Dichas fuentes se sustituirán por tres fuentes de tensión ideales de valores desconocidos U x , U y y U z , respectivamente, tal y como se muestra en la Figura 3.83. Según la Figura 3.83: 

0

0

0 jX  L1  0 0   0 0 0

0

0

0

0

0

jXL + jXC

−jXC

−jXC

jXC + R

0

0

    Ux + Uy − Ug I1     0   I 2   U g − jXM I b          0  − Uy  I 3  =       0  I 4    0 0

jXL2

I5

jXM I a − U z

Circuitos Eléctricos. Análisis por nudos y por mallas. Teoría y Problemas resueltos

+

+ _

+ _

+

+

+

188

Figura 3.83. Se puede observar que en el término independiente aparecen las tensiones U x , U y y U z , las cuales no son incógnitas del problema. Para eliminar U y de la formulación, basta con sumar la primera y la tercera ecuación y en su lugar incorporar la relación entre la intensidad de la malla 1 y la de la malla 3 que indique la fuente de intensidad que ha sido sustituida por la fuente de tensión U y . De esta forma: 

0

0

jXL + jXC

−jXC

0

0

1

0

−jXC

jXC + R

0

0

 0 jXL1   −1 0   0  0 0

0

    Ux − Ug I1     0   I 2   U g − jXM I b          0  I g2  I 3  =       0  I 4    0 0

jXL2

I5

jXM I a − U z

Para eliminar U x y U z , se suprime la primera ecuación y la quinta, y en su lugar se incorpora la relación entre la intensidad de la malla 1 y la intensidad que indique la fuente de intensidad que ha sido sustituida por la fuente de tensión U x , y la relación entre la intensidad de la malla 5 y la intensidad que indique la fuente de intensidad que ha sido sustituida por la fuente de tensión U z . Así: 

1

0

 0 jXL1   −1 0   0 0  0

0

0

0

0

0

1

0

−jXC

jXC + R

0

0

    I g1 0 I1     0  I 2  U g − jXM I b          0 I g2  I 3  =       0 I 4    0 1

I5

− I g3

En el circuito hay dos fuentes de tensión dependientes controladas por las variables I a y I b , sin embargo, debido a la topología del circuito, en el término independiente solo aparece I b . El siguiente paso es relacionar esta variable de control con las intensidades de malla. Según la Figura 3.83: I b = −I 5

Capítulo 3. Método de mallas En consecuencia:  1 0  0 jXL1   −1 0   0  0 0

0

0

0

0

0

1

0

−jXC

jXC + R

0

0

189

    I g1 0 I1     0  I 2  U g + jXM I 5          0 I g2  I 3  =       0 I 4    0 1

− I g3

I5

Reordenando términos se obtienen finalmente las ecuaciones de mallas:     I g1 1 0 0 0 0 I1    0   jXL1 0 0 −jXM  I 2   U g         −1 0 1 0 0   I 3  =  I g2      0 −jXC jXC + R 0  I 4   0  0 0

0

0

0

1

I5

− I g3

       