Cento pagine di algebra lineare 8882180689, 9788882180683

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ALGEBRA LINEARE a cura di N. CHIARLI - S. GRECO - P. VALABREGA

LIBRERIA UNIVERSITARIA LEVROTTO & BELLA - TORINO

PAGINI

DI,•• ALGEBRA LINEARE a cura di N. CHIARLI - S. GRECO - P. VALABREGA

LIBRERIA UNIVERSITARIA LEVROTTO & BELLA - TORINO

Copyright @ 1994 Levrotto & Bella di Gualini T. & C. di Gualini Elisabetta S.a.s., Corso' 'ittorio Emanuele, 26/F - Torino I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento totale o parziale con qualsiasi mezzo ( compresi i microfilm e le copie fotostatiche), sono riservate per tutti i paesi Finito di stampare nel mese di settembre 1994

Stampato dalla M. S./Litografia s.r.l., Torino per conto della Levrotto & Bella Editrice S.a.s. Corso Vittorio Emanuele, 26/F - Torino

INDICE Capitolo I: Spazi vettoriali reali 1. Generalita sugli spazi vettoriali. 2. Intersezioni e somme di sottospazi.

I-1 I-12

Capitolo II: Dipendenza lineare e basi 1. Vettori linearmente indipendenti e dipendenti. 2. Generatori e basi di uno spazio vettoriale.

II-1 II-4

Capitolo III: Matrici 1. Generalita sulle matrici. III-1 2. Operazioni sulle matrici. III-8 3. Matrice trasposta. Matrici simmetriche e antisimmetriche.

Capitolo IV: Applicazioni lineari 1. Applicazioni lineari in generale.

2. Applicazioni lineari e matrici.

IV-1 IV-10

Capitolo V: Sistemi lineari e determinanti 1. Sistemi lineari. V-1 · V-15 2. Determinanti. 3. Matrici invertibili e determinanti. V-19

Capitolo VI: Autovalori e autovettori 1. Autovalori e autovettori in generale.

2. Matrici simmetriche reali.

Vl-1 VI-9

Capitolo VII: Equazioni e sistemi differenziali 1. Equazioni differenziali. 2. Sistemi differenziali lineari

VII-1 VII-7

III-15

Capitolo I SPAZI VETTORIALI REALI 1.

Generalita sugli spazi vettoriali.

In questo capitolo introdurremo il concetto di spazio vettoriale; si tratta di un concetto matematico astratto che nasce da varie situazioni matematiche concrete (risoluzione di sistemi lineari e di equazioni differenziali, calcolo delle matrici ... ). In realta noi vedremo in questo libro solo certi spazi vettoriali e alcune applicazioni semplici; ma la teoria degli spazi vettoriali ha applicazioni hen piu vaste di quanto non si veda qui. Per arrivare al concetto di spazio vettoriale esamineremo proprieta comuni ad alcuni insiemi fra cui:

vane

- l'insieme R 2 i cui elementi sono le coppie (x 1,x2 ) di numeri reali; - l'insieme Rn i cui elementi sono le n-uple (x 1 , ... ,x0 ) di numeri reali. Piu precisamente constateremo che in tali insiemi si possono effettuare due operazioni (somma tra due coppie o n-uple e prodotto di una coppia o n-upla per un numero reale) e che inoltre queste operazioni rispettano certe regole comuni. Queste operazioni con relative regole sono caratteristiche degli spazi vettoriali e ci condurranno alla definizione generale.

I-2

1.1. Lo spazio vettoriale R2 • Consideriamo l'insieme R 2 i cui elementi sono le coppie di numeri reali; in esso introduciamo due operazioni, che chiameremo somma e prodotto e denoteremo come si denotano usualmente la somma e il prodotto tra numen. A. Somma. La somma (a,b) + (c,d) di due elementi di R 2 si definisce come la coppia (a + c,b + d), dove a+ c e b + d sono somme nel senso ordinario dei numeri reali, ovvero: (a,b) + (c,d) = (a+ c,b+ d); ad esempio (4,-2) + (4,7)

= (8,5).

B. Prodotto. Dato un numero reale r e un elemento (b,c) di R 2 chiamiamo prodotto di r per (b,c) e denotiamo con r(b,c) la coppia (rb,rc): r(b,c) = (rb,rc); ad esempio 5(- 9,7) = (- 45,35): Abbiamo pertanto definito due operazioni nell'insieme R 2 delle coppie: presi comunque due elementi (a,b), (c,d) di R 2 ad essi e associato un elemento di R 2 che e la loro somma, presi comunque un numero reale r e un elemento (b,c) di R 2 ad essi e associato un elemento di R 2 che e il loro prodotto. E' molto semplice vedere che valgono le seguenti 8 proprieta: S1. (Proprieta commutativa della somma): (a,b) + (c,d) = (c,d) + (a,b) per ogrii coppia di elementi di R 2 ;

S2. (Proprieta associativa della somma): (a,b) + ((c,d) + (e,D) = ((a,b) + (c,d)) + (e,f) per ogni terna di elementi di R 2 ;

1-3

cio significa che in una somma di tre elementi di R 2 si puo calcolare la somma parziale dei primi due elementi ed a questa sommare il terzo, ovvero si puo sommare al primo elemento la somma parziale del secondo con il terzo, senza cambiare il risultato; Ad esempio: (1,1) + ((4,0) + (3,2)) =(1+ 7,1+ 2) = (8,3)

= (1,1) + (4+3, 0+2) = (1,1) + (7,2) =

mentre ((1,1) + (4,0)) + (3,2) = (1+4,1+0) + (3,2) =

=(5,1) + (3,2) = (8,3). S3. (Esistenza dello zero o elemento neutro per la somma): esiste uno ed un solo elemento di R 2, cioe la coppia (0,0), chiamato zero (o anche elemento neutro rispetto alla somma) e indicato con il simbolo OR2, che sommato con ogni altro lo lascia invariato: (a,b) + (0,0)

= (0,0) + (a,b) = (a,b)

per ogni elemento di R 2 . S4. (Esistenza dell'opposto rispetto alla somma): per ogni elemento (a,b) di R 2 esiste uno ed un solo elemento di R 2 , cioe la coppia (-a,-b), indicata con il simbolo -(a,b) e chiamata opposto di (a,b), che, sommato con (a,b), da come risultato OR2 = (0,0): (a,b) + (- (a,b))

= (a,b) + (-a,-b) = (a-a,b-b) = (0,0);

ad esempio si ha: (- 9,1) = opposto di (9,-1); Pl. se (a,b) e un elemento di R 2 ed r, s sono due numeri reali, si ha:· (rs)(a,b)

= r(s(a,b)) = s(r(a,b));

P2. per ogni elemento (a,b) di R 2 si ha: l(a,b) = (a,b)

I-4

(la moltiplicazione per 1 lascia invariato ogni elemento); Dl. (1 a proprieta distributiva): per ogni coppia di elementi (a,b), (c,d) di R 2 e per ogni numero reale r si ha:

r((a,b) + (c,d))

= r(a,b) + r(c,d);

D2. •2a proprieta distributiva): per ogni elemento (a,b) di R 2 e per ogni scelta di r, s numeri reali si ha: (r+s) (a,b)

= r(a,b) +

s(a,b).

La dimostrazione delle otto proprieta ora elencate e piuttosto semplice e si basa sulle proprieta hen note della somma e del prodotto di numeri reali. Ad esempio la proprieta S1 si vede come segue: (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)

(per definizione di somma di coppie)

= (c+a,d+b)

(per la proprieta commutativa della somma di numeri)

= (c,d) + (a,b).

(per definizione di somma di coppie)

Quanto ad S3 basta osservare che 0

R

2

= (0,0) e chc si ha:

(0,0) + (a,b) = (O+a,O+b) = (a,b) e chc

(a,b) + (0,0) = (a+O,b+O) = (a,b) per ogni clemento (a,b).

1.2. Lo spazio vettoriale Rn· Estendiamo ora quanto visto per R 2 all'insieme Rn (n ~ 2) delle n-uple (x 1, ..... ,xn) di numeri reali; precisamente introduciamo le operazioni seguenti: (xi,••···,xn) + (y1,·····,Yn) = (x1+ Y1,····,xn+ Yn) a(x 1,..... ,xn) = (ax 1,..... ,axn). Si noti che questa somma e questo prodotto per un numero soddisfano alle proprieta S1-S2-S3-S4, Pl-P2, Dl-D2 sopra elencate.

1-5

In particolare si noti che - l'elemento neutro rispetto alla somma, che chiameremo ORn'

e la

n-upla (0,0, ... 0), - l'opposto dell'elemento (x1, ..... ,xn) e l'elemento (- x 1, ..... ,- xn). Per n

= 2 ritroviamo l'esempio visto sopra.

Osservazione. Cio che abbiamo visto per l'insieme Rn in realta vale anche per n =1; in questo caso si tratta dell'insieme R dei numeri reali con le solite operazioni di somma e di prodotto, per le quali le otto proprieta sono ovviamente soddisfatte. 1.3. Altri insiemi con operazioni di somma e prodotto.

(per chi conosca i numeri complessi e i vettori del piano e dcllo spazio). I.Nell' insicmc C dci numcri complcssi sono definiti una somma tra due numcri complcssi (quella solita) e un prodotto di un numero complesso per un numero reale (quello usuale). Queste due operazioni soddisfano alle otto proprieta gia viste per R 2 e Rn. Ad esempio l'clemento neutro, che sommato con ogni altro lo lascia invariato, e ii numero complesso 0; l'opposto di z c ii numero complesso - z, ecc. 2. Nell'insieme V3 dei vettori ordinari dello spazio a tre dimensioni sono definiti la somma tra due vettori e ii prodotto di un numero per un vettore e sono verificate le otto proprieta. Ad csempio l'elcmento neutro e il vettore nullo, l'opposto del vettore v e ii vettore -v, ecc. 3. Anche nell'insieme Vz m implica che l'insieme {v 1, ... ,vp} none libero. 2. Se dim V = m e v 1 , ... ,vm sono elementi di V allora

- l'insieme {v 1, ... ,vm} genera V see solo se e libero - l'insieme {v 1, ... ,vm} genera V see solo se (vi, ... ,vm) e una base di V. - l'insieme {v 1, ... ,vm}

e libero V see solo se (v 1, ... ,vm) e una base di V.

Esempi. (i) R ha dimensionc 1 perche una sua base c format.a dal numcro 1; R 2 ha una base format.a da due vcttori c quindi ha dimcnsione 2; Rn ha dimcnsione n pcrche una base e formata dai versori fondamentali chc sono n. I versori fondamcntali di Rn formano la cosiddctta base canonica di Rn. (ii) L((2,2),(4,4)) ha dimensione 1 perchc una sua base anchc dal solo (4,4)).

e formata dal solo vcttore (2,2) (o

Dimensione di un sottospazio. Se W e un sottospazio di V, allora: (i)

dim W~dim V

(ii)

dim W

= dim V see soltanto se W = V.

In particolare: dim W soltanto se W = Rn.

~

n per ogni sottospazio di Rn e dim W

= n see

11-8

2.5. Come trovare una base di uno spazio vettoriale (metodo degli scarti). Supponiamo di conoscere un sistema di generatori di uno spazio vettoriale V, ovvero sia V = L(v 1 , ... ,vm). Se i generatori sono Li., abbiamo gia una base di V. Se non sono indipendenti allora occorre cercare un altro insieme di generatori che sia libero. A questo scopo si puo utilizzare 1.3. per scartare alcuni fra i generatori in modo tale che i generatori rimasti siano linearmente indipendenti. Si opera come segue: 1. Si eliminano tutti i vettori vi che sono nulli;

2. Si supponga che il primo dei vettori non nulli sia un certo vi ; allora 1

vi sara il primo dei vettori da conservare; 1

3. Si elimina ogni vettore vj successivo a vi 1 e che sia multiplo di vi 1 ; 4. Sia vi il primo vettore successivo a vi che non sia multiplo di questo; 2

1

allora vi sara il secondo vettore da conservare; 2

5. Sia vi il primo vettore successivo a vi che non sia c.l. di vi 3

2

1

e di vi ; 2

allora v1· sara il terzo vettore da conservare; 3

6. Si prosegue nello stesso modo fino a esaurire tutti i vettori; I vettori rimasti continuano a generare V (facile verifica) e inoltre sono l.i. per 1.3.; quindi formano una base di V. Esercizio. Si trovi una base dcllo spazio vettoriale V contenuto in R 3 .

= L((l ,0,1,),

(2,2,2), (1,2,1))

Soluzionc. Nessuno dci gencratori assegnati e nullo, quindi (1,0,1) si conscrva; (2,2,2) non e c.l. di (1,0,1) e va conscrvato; (1,2,1) e invccc ugualc a -(1,0,l) + (2,2,2) e quindi va scartato. La base cercata e formata da (1,0, 1) e (2,2,2). Ne segue chc V ha dimensione 2.

11-9

2.6. Come completare un sistema libero ad una base. Supponiamo che sia V = L(w 1,... ,wm) e sia inoltre (v 1, ... ,vr) un sistema libero di elementi di V; allora (v 1,... ,vr) si puo completare con l'aggiunta di alcuni fra i vettori w 1,... ,wm in modo tale da ottenere una base di V. Consideriamo in effetti l'insieme ordinato di vettori (v1, ... ,vr, w 1, ... ,wm); esso e un insieme di generatori di V perche contiene i vettori w 1, ... ,wm che gia generano V; se si applica il metodo degli scarti per ottenere una base di V, nessuno dei vettori v 1, ... ,vr viene scartato perche sono Li.; pertanto verranno scartati solo alcuni fra i vettori successivi e la base conterra i Vettori V1,···,VrEsercizio. Si determini una base dcllo spazio V generato da (1,0,1,0), (3,0,0,1), (4,1,0,0) e contenente il vettore v = (2,2,2,2).

Soluzione. I vettori (2,2,2,2), (l,0,1,0), (3,0,0,1), (4,1,0,0) gencrano V; inoltre (2,2,2,2) non va scartato perche non nullo, (l,0,1,0) non va scartato pcrchc non e multiplo dcl precedcntc; se (3,0,0,1) = a(2,2,2,2) + b(l ,0,1,0) allora si deve avere 2a+b = 3, 2a = 0, 2a+b = 0, 2a = 1 e le quattro equazioni sono incompatibili. Quindi il terzo vcttore c indipendente dai primi due. Poiche V ha un sistema di trc gcncratori, una sua base non puo contenere piu di tre vettori (cioe dim V ~ 3: si veda 1.7); ne segue che i tre vettori trovati formano una base contencnte (2,2,2,2) come richiesto. E' dcl tutto inutile provarc a vedcrc se il quarto vettore e dipendente dai tre prccedcnti, pcrchc il tcorema sulla dimensione ci dice chc deve csserlo necessariamente.

Capitolo III MATRICI 1.

Generalita sulle matrici.

1.1. II concetto di matrice. Una tabella come la seguente

(! -~ ~) 0 -2 5

e una matrice con tre righe e tre colonne; si tratta dei tre vettori di

R3

(1,3,2), (4,-1,8), (0,-2,5) scritti uno sotto l'altro su righe orizzontali, ovvero di tre vettori di R 3 (1,4,0), (3,-1,-2), (2,8,5) scritti uno di fianco all'altro incolonnati. Se vogliamo segnalare il fatto che il numero 1 si trova sulla prima linea orizzontale (o riga) ma anche sulla prima linea verticale (o colonna), scriveremo: 1 = au; in modo analogo scriveremo: -2 = a 32 , per indicare che l'elemento -2 si trova sulla terza riga e sulla seconda colonna. In conclusione: au= 1, a 12 = 3, a 13 = 2, a 21 = 4, a 22 = -1, a23 = 8, a31 = 0, a32 = -2, a33 = 5.

III-2

Quando si voglia indicare una matrice con m righe ed n colonne occorre introdurre per ogni elemento un doppio indice che segnali la posizione dell'elemento all'incrocio fra una riga e una colonna, come si vede nella tabella seguente (che e appunto una matrice con m righe ed n colonne):

Si noti che il primo indice segnala la riga e il secondo la colonna. Una matrice con n righe ed n colonne si dice quadrata di ordine n. Esempi. Le seguenti matrici hanno rispettivamente 2 righe e 5 colonne e 4 righe e 2 colonne, e in particolare non sono quadrate: 1 1 2 0 -1 ) A= ( 8 9 2 -5 5

B

=(

41 -1 2 -6 0 -2 5

J

Ad esempio nclla matrice B si ha: b41 = - 2, mentre b 14 non esiste perche non esistc la quarta colonna. Nella matrice A si ha: a 13 = az3 = 2, a 14 = 0.

1.2. Spazio delle righe e delle colonne. Rango. Abbiamo detto che ogni riga della matrice A = ( ~:.1

~:.n ) e un

::: aml ··· amn

vettore dello spazio vettoriale Rn; abbiamo quindi m vettori R1

= (a11,···,a1n)

che generano il sottospazio R = L(R 1, ... ,Rm) di Rn, detto spazio delle 1ighe di A.

In modo analogo abbiamo n vettori colonna C1

= (a11,···,am1)

III-3

che generano il sottospazio C = L(C 1 , ... ,Cn) di Rm, detto spazio delle colonne di A. Si puo dimostrare il seguente

Teorerna. Lo spazio delle righe R e lo spazio delle C colonne di una matrice hanno la stessa dimensione. Definizione. Il numero dim R = dim C si chiama rango della matrice A e si denota p(A). Esempio. La matrice A= (

~

i ~ ~ 51 )

ha rango 2. In effetli lo spazio delle righe

e

generato da due righe l.i .. Per quanto riguarda lo spazio delle colonne esso e generato da 5 colonne; le prime 2 colonne sono Li., e le colonne dalla terza in poi sono c. I. delle prime due Quindi le prime due colonne formano una base dello spazio delle colonne, che ha quindi dimensione 2, in accordo col teorcma.

Osservazione. Una matrice con m righe ed n colonne non puo avere rango superiore al piu piccolo fra m ed n: in effetti lo spazio delle righe e contenuto in Rn che ha dimensione n e lo spazio delle colonne e contenuto in Rm che ha dimensione m (cfr. cap II, 2.4). 1.3. Rango di una rnatrice ridotta per righe o per colonne. Ci sono particolari matrici il cui rango e calcolabile in modo semplice e diretto: si tratta delle matrici ridotte per righe o per colonne. 1 1 2 0 -1 )

Esempio 1. La matrice A = ( 0 9 2 -5 5

e ridotla per righe. Cio significa che nella 0 4 0 8 7 prima riga c'e un elemento non nullo (a 11 = 1) al di sotto del quale ci sono esclusivamente elementi nulli (a2 1 = a3 1 = O); nella seconda riga c'e un clemento non nullo (a23 = 2) al di sotto del quale ci sono solo elementi nulli (a33 = O); nella terza riga c'e un elemento non nullo (ad esempio a34 = 8) al di sotto del quale ci sono elementi nulli (questa condizione e soddisfatta automaticamente perche Ia terza riga e anche l'ultima). E' molto facile vedere che ii rango di una tale matrice, cioc Ia dimensione dello spazio delle righe, vale 3 = numero delle righe. In effctti la prima riga non c nulla c la seconda riga non puo essere multipla dclla prima pcrchc a21 = 0 mcntre a 11 =t:- O; infinc la terza riga non puo essere c.l. dclle prime due, in quanto l'eguaglianza a(l, 1,2,0,-l)+b(0,9,2,-5,5) = (0,4,0,8,7) produce le equazioni incompatibili: a= 0, 2a +2b = 0, a +9b = 4, ... ,

IIl-4

Naturalmente il rango dclla matricc resta idcntico se ci sono alcunc righe nullc, che non contribuiscono di certo ad aumentarc la dimcnsione dcllo spazio delle righe. 1120-lJ . . 0 9 2 -5 5 che differisce da A solo per l'aggiunta di Esemp10 2. La matnce B = ( 0 0 0 o o 0 4 0 8 7

una riga nulla ha rango 3 come A.

Possiamo quindi dare la seguente

Definizione di matrice ridotta. La matrice A = ( ~:.1

:::

~:.n )si dice

aml ... amn

ridotta per righe se in ogni riga non nulla c'e almeno un elemento non nullo (detto speciale) al di sotto del quale ci sono soltanto elementi nulli. 1l rango di una matrice ridotta per righe righe non nulle.

e sempre pari al numero delle

Osservazione. Si puo definire anche il concetto di matrice ridotta per colonne, ossia di matrice nella quale in ogni colonna non nulla c'e almeno un elemento (speciale) non nullo a destra del quale ci sono soltanto zeri. Il rango di una matrice ridotta per colonne e sempre pari al numero di colonne non nulle. Esempio 3. La matrice C = (

~ ~ Je ridotta per colonne: in effctti nella prima colonna -2 5

a31 = -6 c speciale mentre nella seconda colonna a 12 = 2 e speciale. Il ran go di C e 2.

1.4. Riduzione delle matrici e calcolo del rango. au ... aln)

Sia data la matrice A = ( ... ... ....

. Per calcolarne il rango in modo

aml ... amn

semplice noi utilizzeremo il cosiddetto metodo di riduzione, cioe trasformeremo A in una matrice che abbia lo stesso spazio delle righe (o delle colonne) e quindi anche lo stesso rango ma sia ridotta per righe (o per colonne).

IIl-5

Useremo a questo scopo tre tipi di trasformazioni (dette elementari) sulle righe (o le colonne) di A.

Trasformazioni El. Se ad una riga Ri si sostituisce la riga stessa moltiplicata per un numero a -:t:- 0 il rango resta invariato. In effetti i due spazi vettoriali L(R 1,.. ,,Ri, .. ,,Rm) ed L(R1, ... ,aRi, ... Rm) hanno la stessa dimensione perche sono lo stesso spazio vettoriale (individuato da due sistemi di generatori diversi). Questa trasformazione si denota con~

➔

a~

Trasformazioni E2. Se si scambiano due righe Ri ed Rj fra loro il rango non cambia. In effetti si ha che L(R 1 , ... ,Ri, ... ,Rj, ... Rm) ed L(R1 , ... ,Rj, ... ~, ... ,Rro) sono lo stesso spazio vettoriale (i generatori sono solo cambiati di ordine) e quindi la dimensione non cambia. Questa trasformazione si denota con

~ ~

R_j

Trasformazioni E3. Se ad una riga Ri si sostituisce la riga stessa sommata con un multiplo di un'altra riga Rj, il rango resta invariato. In sintesi: ~ viene sostituita da ~+ aRj, con i * j. In effetti si puo dimostrare che L(R 1 , ... ,~, ... ,Rm) ed L(R1 , ... ,~+aRj, ... ,Rro) sono ancora lo stesso spazio vettoriale (indiyiduato con generatori diversi). Questa trasformazione si denota con

~ ➔ ~

+ aR_j

Usando le trasformazioni elementari predette in modo adeguato e possibile ottenere una nuova matrice ridotta per righe che per quanto visto avra lo stesso spazio delle righe e quindi lo stesso rango di A. Addirittura si puo vedere che bastano le trasformazioni E3, le altre essendo in qualche caso utili ma non necessarie.

IIl-6

Per ottenere la riduzione di A basta procedere come segue. Si considera la prima riga non nulla (e supponiamo per semplicita che sia proprio R 1) e in essa si sceglie un elemento (per semplicita a 11 ) non nullo, che deve diventare speciale. Allora si trasforma la seconda riga

. R3 1n . R3- -a 31 R 1 , ... "21n R2 - -a 21 R 1, 1a te rza nga

"R · •

an

a11

... ,

1a nga . m-es1ma . • ..."R"m 1n

Rm- aml R 1 ; e chiaro che tutti gli elementi sotto a 11 diventano nulli. Si au opera poi sulla successiva riga non nulla, diciamo R 2 e si supponga ad esempio a 22

-:t=

0. Allora si trasforma la terza riga R 3 in R3 - a 32 R 2 (si a22

noti che lo 0 acquisito nella prima colonna non si perde con questa trasformazione). Poi si procede nello stesso modo fino ad esaurimento.

Osservazione. Talvolta puo essere utile operare con la trasformazione Ri ➔ aRi + bRj, dove i ,;; j e a ,;; 0. Si tratta semplicemente della applicazione successiva di due trasformazioni: ~➔ a~ a~ ➔

a~+ bRj,

( si noti che a~ e la nuova riga i-esima dopo la prima trasformazione). • .

. .

.

.

1 1 2 I -1 1 9 2 -5 5

EserclZlo. S1 nduca per nghe la matnce B = ( 0 4 0 0 0

J

0 4 3 8 7

Soluzione. Si eseguono le seguenti trasformazioni sulle righe:

B-(i ~ ~ -~ i J -

040 0 0 0 4 3 8 7

R2-->R2-R1

---->

(6 ~ ~ -~ i J 040 0 0 0 4 3 8 7

R4-->R4+(4/3)R2

------>

Se ora si scambiano le righe R3 ed R4 si ottiene la matrice ridotta per righe

B'

=(i i~ }l J 0 4 0 0 0

Poiche B' e ridotta e ha quattro righe non nulle, p(B) = p(B') = 4.

(6 ~ ~ -~ i

040 0 0 0 4 3 0 15

III-7

1.5. Uso delle matrici per calcolare la dimensione di un sottospazio di Rn e per trovarne una base. II sottospazio V = L(v 1, ... ,vm) di Rn coincide con lo spazio delle righe della matrice M che ha come righe i vettori v 1 , ... ,vm; pertanto la dimensione di V coincide con il rango di M, che si puo calcolare con il metodo di riduzione. Le righe non nulle della matrice ridotta M' formeranno una base di V. Esempio 1. Sia data il sottospazio vettoriale V di RS generato da v = (1,2,3,4,5), w = (3,-l,4,6,0), z = (-1,5,2,2,10). La matrice che ha per righe v,w,z e 12345) M = ( 3 -1 4 6 o -1 5 2 2 10

e pertanto V coincide con lo spazio delle righe di M. Questa si puo ridurre per righe con le seguenti trasformazioni:

che portano alla matrice M'

1 2 3 4 5 ) -1 4 6 o

= (3

0 0 0 0 0

di rango 2. Quindi V ha dimensione 2 ed una sua base e formata dalle due prime righe di M', cioc da v e w. Esempio 2. Sia data il sottospazio vettorialc di R3 generato da v z = (1,2,1). La dimcnsione di V coincide con ii rango dclla matricc

= (1,2,3), w = (3,6,4),

1 2 3 )

M= (3 6 4 1 2 1

chc ha come righc i gcneratori di V. M si puo ridurre per righc con le seguenti trasformazioni:

che portano alla matrice 1 2 3 ) M' = ( O O -5 0 0 0

III-8 Essa ha rango 2 e quindi V ha dimensione 2. Una base di Ve formata da (1,2,3) e (0,0,-5): si noti che solo ii primo dci generatori fa parte della base trovata, mentre ii secondo elcmcnto della base ediverso da entrambi gli altri generatori assegnati in partenza. Cioe: la riduzione di una. matrice porta a trovare una base dello spazio V ma questa non si ottiene nccessariamente dal sistema di gencratori scartandone qualcuno.

1.6. Osservazione. Tutto quanto precede puo essere ripetuto sulle colonne di una matrice: con trasformazioni elementari sulle colonne si ottiene una matrice ridotta per colonne, le colonne non nulle di quest'ultima formano una base dello spazio delle colonne e il loro numero e il rango della matrice. La dimensione e una base di un sottospazio si possono pertanto anche trovare considerando la matrice che ha come colonne i generatori del sottospazio e lavorando sulle colonne della matrice. Attenzione. 11 rango di una matrice ridotta per righe (o colonne) e uguale al numero di righe ( o colonne ) non nulle. Questo e in generale falso per una matrice non ridotta. 1 2 3 )

Esempio. La matrice non ridotta M = ( 1 2 3

ha rango 1 pur avcndo tre righc non nullc.

1 2 3

2. Operazioni sulle matrici.

2.1. Somma di matrici. Fra matrici con m righe ed n colonne puo essere definita una somma come segue:

E' facile vedere che: (i) la somma di matrici gode della proprieta commutativa, cioe A+B=B+A per ogni coppia di matrici A,B aventi m righe ed n colonne;

III-9

(ii) la somma di matrici gode della proprieta associativa: A + (B + C) = (A + B) + C per ogni terna di matrici A,B,C aventi m righe ed n colonne; (iii) la matrice nulla (con m righe ed n colonne contenenti solo zeri)

N = ( -~ ::: -~ ) 0 ... 0

sommata con ogni altra la lascia invariata:

per ogni matrice A con m righe ed n colonne; talvolta N sara indicata con il simbolo O; (iv) la matrice

che viene detta opposta di A e denotata con il simbolo - A, sommata con A da come risultato la matrice nulla N: A+ (-A)= (-A)+ A= N, per ogni matrice A (in breve scriveremo: A - A = N oppure A - A = 0).

2.2. Prodotto di un numero reale per una matrice. Si puo anche definire il prodotto di un numero reale per una matrice A:

Si puo vedere facilmente che (i)

a(A+B) = aA+aB

per ogni numero reale a e ogni coppia di matrici A,B;, aventi m righe ed n colonne.

III-10

(ii)

(ab)A = a(bA) = b(aA)

per ogni coppia di numeri reali a,b e ogni matrice A; (iii)

(a+b)A = aA+bA

per ogni coppia di numeri reali a,b e ogni matrice A; (iv)

lA=A

per ogni matrice A (la moltiplicazione peril numero reale 1 lascia ogni matrice invariata). 2.3. Lo spazio vettoriale delle matrici m x n. Rispetto alle precedenti operazioni le matrici con m righe ed n colonne formano uno spazio vettoriale che si denota Rm,n.

2.4. Prodotto righe per colonne di due matrici. Fra due matrici puo essere definito in certi cas1 un prodotto, che cominceremo coll' illustrare su un esempio. Siano date le matrici A_ ( 1 1 2 o -1) -

8 9 2 -5 5

(12) 4 -1

B=

-6 o -2 5

1 0

Noi definiamo la matrice prodotto C = AB come segue: C ha 2 righe come A e 2 colonne come B; i suoi elementi si ottengono "moltiplicando le righe di A per le colonne di B", cioe considerando c 11 = l•l+ 1-4+ 2-(-6) + 0-(-2) + (-1)·1 = - 8 = somma dei prodotti degli elementi della prima riga di A per i corrispondenti elementi della prima colonna di B; c 12 = 1-2 + 1-(-1) + 2-0 + 0-5 + (-1)-0 = 1 = somma dei prodotti degli elementi della prima riga di A per i corrispondenti elementi della seconda colonna di B;

III-11

c21 = 8·1 + 9-4 + 2-(-6) + (- 5)·(- 2) + 5-1 = 47 = somma