Cento pagine di geometria analitica piana 8882180069, 9788882180065

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GEOMETRIA ANALITICA PIANA con teoria elementare delle funzioni e numeri complessi a cura di N. CHIARLI - 5. GRECO - P. VALABREGA

LIBRERIA UNIVERSITARIA LEVROTTO & BELLA - TORINO

MGINI

DI,•• GEOMETRIA ANALITICA PIANA con teoria elementare delle funzioni e numeri complessi a cura di N. CHIARLI - S. GRECO - P. VALABREGA

LIBRERIA UNIVERSITARIA LEVROTTO & BELLA - TORINO

©

Copyright 1994 levrotto & Bella di Gualini T. & C. di Gualini Elisabetta S.a.s., Corso Vittorio Emanuele, 26/F - Torino I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento totale o parziale con qualsiasi mezzo ( compresi i microfilm e le copie fotostatiche ), sono riservate per tutti i paesi Finito di stampare nel mese di ottobre 1994

Stampato dalla M. S./Litografia s.r.l., Torino per conto della Levrotto & Bella Editrice S.a.s. Corso Vittorio Emanuele, 26/F - Torino

INDICE

Capitolo 0: Richiami e preliminari 1. Come si misurano gli angoli 2. Coordinate nel piano 3. Richiami di trigonometria 4. Cambiamenti di riferimento

0-1 0-3 0-6 0-8

Capitolo I: I vettori del piano 1. 2. 3. 4. 5. 6.

I vettori applicati La somma di vettori Prodotto di un numero per un vettore Componenti dei vettori 11 prodotto scalare Vettori liberi

1-1 1-2 1-5

1-6 1-9 1-12

Capitolo II: La retta nel piano 1. 2. 3. 4. 5.

Distanza di due punti, punto medio, punti simmetrici Rappresentazioni analitiche della retta. Parallelismo, ortogonalita, angolo tra due rette lntersezione di due rette Fasci di rette

11-1 11-2

11-7 11-9 11-10

Capitolo III: La circonferenza 1. Equazione della circonferenza 2. lntersezioni tra una retta e una circonferenza. Rette tangenti 3. lntersezione di due circonferenze 4. Fasci di circonferenze

111-1 111-3 111-6 111-9

Capitolo IV: Le coniche 1. Generalita sulle coniche

2. 3. 4. 5. 6.

L'ellisse L'iperbole La parabola Un esercizio riassuntivo Retta tangente a una conica non degenere in un suo punto

IV-1 IV-4 IV-6 IV-11 IV-13 IV-14

Capitolo V: Aspetti elementari di teoria delle funzioni reali 1. Funzioni reali di una variabile reale 2. Disequazioni algebriche 3. Qualche proprieta dei grafici

V-1 V-12 V-16

Capitolo VI: Numeri complessi ed equazioni algebriche 1. I numeri complessi in forma algebrica 2. I numeri complessi in forma trigonometrica 3. Radici n-esime dei numeri complessi 4. Polinomi ed equazioni algebriche

VI-1 Vl-4 Vl-9 Vl-10

Capitolo 0 RICHIAMI E PRELIMINARI Questo capitolo riassume alcuni concetti fondamentali, che dovrebbero essere hen noti dalla scuola media superiore, allo scopo di uniformare il linguaggio e le notazioni. Non sostituisce i testi delle superiori, ai quali si rimanda per tutti i dettagli.

1. Come si misurano gli angoli Consideriamo una semiretta OA e facciamola ruotare in senso antiorario intorno al punto O fino alla posizione OB: la semiretta OA percorre in questa rotazione un angolo cp, mentre il punto A percorre un arco di circonferenza. L'angolo cp si puo misurare con due unita di misura diverse:

-gradi - radianti.

0-2

i) Misura degli angoli in gradi. Se facciamo ruotare OA di un giro completo in senso antiorario percorriamo, per definizione, un angolo di 360 gradi; pertanto un grado e la misura di un angolo pari a dell'angolo di una rotazione completa

s!o

(detto anche angolo giro). Le misure in gradi si denotano con il segno 50 gradi. Ricordiamo che:

0 ;

ad esempio 50° vuol dire

- 90° e la misura dell'angolo retto, uguale ad un quarto di angolo giro. In tal caso OA e OB sono perpendicolari. - 180° gradi e la misura dell'angolo piatto, uguale a meta dell'angolo giro. Le semirette OA e OB risultano opposte.

ii) Misura degli angoli in radianti. Supponiamo ora che la misura del segmento OA sia r e che la semiretta OA ruoti in senso antiorario sino ache il punto A abbia percorso un arco di lunghezza r. A

L'angolo AOB cosi ottenuto misura, per definizione, un radiante. Le misure degli angoli in radianti si denotano con numeri senza alcun simbolo particolare: per indicare un angolo di 5 radianti si scriven\ 5 e basta (con l'intesa che tutto il contesto si riferisce a radianti). Poiche la circonferenza di raggio r misura 2rrr si ha: - 2rr radianti corrispondono ad un angolo giro; - 1t radianti corrispondono ad un angolo piatto; - ~ radianti corrispondono ad un angolo retto.

iii) Come si passa da gradi a radianti e viceversa. Poiche un angolo giro misura 360° e anche 2rr radianti si ha: 360° = 2rr radianti

0-3

e quindi se y e la misura di un angolo in gradi e p stesso angolo in radianti risulta:

e la misura dello

y p 360 = 27t

In partico1are si ha, ricordando che 7t = 3.1415 ... 1 ° = 32: 0 radian ti 1 radiante

= 0.0174 radianti circa

= 32~0

gradi

= 57.297° circa.

In matematica si usano generalmente i radianti per misurare gli angoli. Cio significa che, se non viene esplicitamente detto ii contrario, le misure sono in radianti (anche in questo libro, a partire dal prossimo paragrafo).

2. Coordinate nel piano 2.1. Coordinate cartesiane Nel piano ex fissiamo un punto O e due rette r ed s passanti per 0 tali che: - r ed s siano ortogonali - r ed s siano orientate in modo che la semiretta positiva della retta r si possa sovrapporre alla semiretta positiva della retta s con una rotazione antioraria di - su entrambe le rette lunghezze.

¥ (come in figura)

e stata scelta la stessa unita

di misura per le

0-4

y

s

s ------------------ P(a,b)

0

R

r

X

Le due rette orientate si chiamano assi coordinati. La retta orizzontale si chiama asse x (o asse delle ascisse), quella verticale asse y (o asse delle ordinate). Fissare gli assi coordinati su a equivale a fissare un sistema di coordinate cartesiane Oxy su a. 11 punto O si chiama origine delle coordinate.

Sia P un punto qualunque del piano, e consideriamo le proiezioni ortogonali R ed S di P sugli assi coordinati. Siano a e b le misure con segno 1 dei segmenti OR e OS rispettivamente. I numeri a e b nell'ordine si dicono coordinate di P (nel dato sistema di coordinate). 11 numero a si dice ascissa di P, il numero b si dice ordinata di P. Quindi ad ogni punto P del piano a resta associata una coppia (a,b) di numeri reali, cioe la coppia ordinata delle sue coordinate. Viceversa, data una coppia (a,b) di numeri reali, consideriamo sull'asse x il punto R tale che la misura con segno del segmento OR sia uguale ad a, e sull'asse y il punto S tale che la misura con segno del segmento OS sia uguale a b.

1 La misura del segmento OR si prende positiva se R si trova, rispetto ad 0, dalla stessa parte della freccia dell'asse x, negativa se si trova dalla parte opposta. Analogamente la misura di OS si prende positiva se S si trova, rispetto ad 0, dalla stessa parte della freccia dell'asse y, negativa se si trova dalla parte opposta.

0-5

Consideriamo poi la retta per R e ortogonale all'asse x, e la retta per S ortogonale all'asse y. Esse si incontrano in un punto P, che ha evidentemente coordinate (a,b). In conclusione, fissato un sistema di coordinate cartesiane nel piano o., abbiamo stabilito una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano e le coppie ordinate di numeri reali. In virtu di questa corrispondenza e possibile identificare i punti di o. con le coppie delle loro coordinate. Per dire che un punto P ha coordinate (a,b) scriveremo: P(a,b) (anche la notazione P = (a,b) e usata diffusamente). Gli assi cartesiani suddividono il piano o. in quattro regioni dette quadranti: il primo quadrante e quello in cui le coordinate sono entrambe positive. 11 secondo, ,terzo, quarto quadrante si susseguono in senso antiorario. Esempi. 1. P(0,0) e i1 punto 0, cioe l'origine delle coordinate. 2. I punti dell'asse delle x sono i punti P(a,0), quelli dell'asse y sono i punti Q(0,b). 3. P(2,5) appartiene al primo quadrante, Q(- 2,-1) appartiene al terzo quadrante.

2.2. Coordinate polari

Un sistema di coordinate polari (0,s) nel piano o. e costituito da un punto O (detto polo) e da una semiretta s uscente da O (detta asse polare).

LP(p,,p)

0

s

0-6

La posizione di un punto P del piano e individuata dalla distanza p di P da 0, e dall'angolo

0). In particolare logal = 0, logaa = 1). Casi particolari: y = log x (o y = ln x), quando a= e; y = Log x (o y = LOG x), quando a= 10. 8. Altre funzioni si possono ottenere facendo operazioni aritmetiche o componendo (vedi 1.5) funzioni note. Ad esempio: y = sinx + x

y = xex

y = log (1 + ✓ x 2 - 1)

1.2. Dominio e immagine di una funzione Una funzione f viene data di solito mediante un formula matematica, senza precisare per quali valori della variabile indipendente ha senso calcolare f, cioe senza precisare esplicitamente I.

Definizione di dominio. Si chiama dominio della funzione f (dom f) il piu grande sottoinsieme I di R nel quale ha senso calcolare f. Esempi. 1. f(x) = ~ ha senso solo per x ~ -1, perch6 una radice quadrata e dcfinita solo quando ii radicando e positivo o nullo. Quindi dom f = { x E R I x ~ - 1). 2. f(x) = 5/ 10 ha senso solo per x 1:- 2, in quanto per x non ha scnso di videre per 0. Quindi dom f = R \ {2).

= 2 il denominatore si annulla e

3. f(x) = ln(l- x2) ha senso solo quando l-x 2 > 0, cioe per -1 < x < 1, in quanto il logaritmo edefinito solo per numeri positivi. Quindi dom f = { x E R I - 1 < x < 1). 4. II dominio di f(x)

= sin x+X 1

si ottienc osservando che la frazione

mcntre il seno di ogni numcro edefinito; quindi si ha dom f = R*.

5. Il dominio di f(x) = xn e tutto R se n ~ 0 e R* sen< 0. 6. f(x)=tgx hacomedominio R\(

1t

2

+k1t,k=0,±l,±2, ... }.

Attenzione. N el cercare il dominio si ricordi che - un denominatore non deve mai essere nullo;

e definita per x 1:- 0,

V-4 - una radice quadrata ha senso solo quando il radicando e ~ O; - il logaritmo e definito solo per numeri > O; - l'esponenziale e definito sempre; - sin x e cos x sono sempre definite, mentre tg x e definita quando tc

x -::t:- 2 + kn, k intero.

Definizione di immagine. Sia f: I ➔ R una funzione. Si chiama immagine di f, e si denota col simbolo Im f, l'insieme dei numeri reali y tali che y = f( x) per qualche x in I. In simboli: Im f = { y E RI esiste x E I tale che f( x) = y} Esempi. 1. La funzione f(x) = ex ha per immagine l'insieme

Rf.

2. La funzione f(x) == In x ha per immaginc R. 3. La funzionc f(x)

=-{; ha per immagine

R+ .

4. Le funzioni y = sin x e y =cos x hanno per immagine { y ER 1-1~ y ~ 1 }. 5. La funzione y = tg x ha per immagine tutlo R.

1.3. Grafico di una funzione Consideriamo un piano con un riferimento cartesiano Oxy. Si chiama grafico della funzione f: I ➔ R l'insieme dei pun ti P di coordinate (x,f( x)), con x E I. In altre parole il grafico di f y

= f(x),

e la curva di equazione con x EI.

Poiche per ogni x0 E I esiste un solo valore f( x0 ), il grafico di f e incontrato in un solo punto dalla parallela all'asse y di equazione x = x 0 , con x0 E I.

V-5

Nota. Se x0 e I, per calcolare f(x 0 ) graficamente si opera come segue: si traccia la retta x = x0 , si considera il punto B in cui tale retta incontra il grafico di f (cioe la curva y = f(x)), e si determina l'ordinata di B come vis to nel cap. 0, n. 2. Ecco alcuni grafici (realizzati con programma MicroCalc 4.2 su elaboratore IBM in ambiente MS-DOS):

lxO, xii , 1-6,2831!, 6,2831!]

lyO, 11, 1-2,00000, 2,000001

V-6

y y

r

Ix □,

xll , 1-3.14159,

.141591

= tgx

···---x

.... ,,,.JL

y

y

...

···········-·-··············._.

X

..............

~

X

[y(J, • 11

, 1-10.0000, 10.00001

lx0, xll c 1-6.00000, 4,00011111

ly(J, yll, I- .111101111, 8,000001

V-7

y

y

-'------'--l---if--...;...-..;_-.;......-;...-.._.;-__..;.--; ....-

"""'===-=-_,;._ _;_ -1---_,;._

__,;.._

_;_..._..;__;.... -

0 [I((), xi] :

[-3.00000, 4,00000]

x

x [1111, !f.(I : 1-4.00000, 6,000001

1111, yl] : l-1,00000, ,.000001

y

y

----~-~-~-• .......... 1 .

l.O, xll : l-10.0000, 10,00001

11111,

l : l-5,00000, 5,000001

l.O, xll : 1-4,00000, 4,000001

lllll,

I : I 1 ,0000, 10,00001

X

V-8

1.4. Funzioni iniettive e funzioni suriettive

*

La funzione f: I ➔ R si dice iniettiva se per ogni x,x' E I, con x x' si ha necessariamente f( x) f( x'). Cio significa che ogni retta parallela all'asse x incontra il grafico di f in un solo punto, ovvero in nessun punto.

*

Esempi. 1. La funzione esponenziale y = ex e iniettiva;

2. La funzione y = In x e inicttiva; 3. f(x) = x 2 none iniettiva perche si ha, ad escmpio, f(l) = f(-1) = 1.

La funzione f: I ➔ R si dice suriettiva se Im f = R. Cio significa che ogni parallela all'asse x incontra il grafico di f in almeno un punto. Esempi. 1. f: R ➔ R dcfinita da f(x) = ex none suriettiva pcrche assume solo valori positivi (cioe y $ 0 non coincide con ex per nessun x). 2. f: Rt ➔ R definita da f(x) = In x

e suricltiva perche assume tutti i possibili valori

reali; cioc, dato comunque y E R, esiste x re

X

E

Rt tale chc y = In x. In effetti basta sceglie-

= CY.

3. f: R ➔ R dcfinita da f(x) = sin x none suriettiva pcrche sin x assume solo valori y tali che -1$ y $ 1.

1.5. Funzione composta Siano date due funzioni f: I ➔ R e g: J ➔ R. Si chiama funzione composta, e si denota denota col simbolo gof, la funzione che opera come segue: (go f)(x) = g(f(x))

La funzione composta e definita in un punto x0 E I see solo se l'espressione g(f( x0 )) ha senso e cioe se e solo se f(x 0 ) E J. In particolare se Im f ,;;; J allora f e definita in tutto I.

V-9 Esempi. 1. Siano date le funzioni f : R ➔ R e g: R f(x) = sin x e g(x) = x 2. Allara si ha: (gof)(x) e la funzione gof

➔

R definite rispettivamente da

=g(f(x)) = g(sin x) =(sin x)2

e definita SU tutto

R.

Ha scnso in questo caso anche la funzione fog, essa pure definita su tutto R, che opera come segue:

Notiamo che gof e fog sono diverse. 2. Siano date le funzioni f: R ➔ R e g: R+ ➔ R definite da f(x) = 1 + x e g(x) rispettivamentc. La funzionc composta gof opera come segue:

='Jx.

(gof)(x) = g(f(x)) = g(l+x) = ~ ed

edefinita solo per

x ;:;:: -1.

1.6. Funzione inversa Sia f: I ➔ R una funzione e sia J = Im f. Se f e iniettiva esiste la funzione inversa g: J ➔ R, che ad ogni y E J associa l'unico x e I tale che f(x) = y; si ha cioe g(y) = x. Ricordiamo tuttavia che anche per la funzione inversa conviene chiamare x la variabile indipendente (si vedano gli esempi). La funzione inversa di f, quando esiste, si denota con f- 1. In tal caso la scrittura y = f( x) equivale alla scrittura x = f- 1(y ).

e

Esempi. I. Sia f: R ➔ R definita come f(x) = ex. Sappiamo che f iniettiva e che Im f = R+. La sua inversa quindi esiste e non ealtro che la funzionc R+ ➔ R definita da x = In y; in realta noi dircmo che l'inversa di ex e In x, chiamando x per entrambe la variabile indipendente. 2. La funzione f: R ➔ R dcfinita da f(x) = sin x none iniettiva (perche, ad esempio, sin O = sin 7t), e quindi non ammette inversa.

V-10

Osservazione 1. Se f: I ➔ R e una funzione iniettiva ed f- 1 : J ➔ R e la sua inversa, le funzioni composte f· 1of e fof · 1 esistono entrambe. Inoltre si ha: (f· 1oO (x) = x per ogni x (fof· 1) (x) = x per ogni x

E E

I J.

Le ( 0 ) possono essere usate per verificare se f la possibile f- 1 si controlla se valgono le (0 ).

e invertibile: identificata

Esempi. 1. f(x) = x+2 e una funzione invertibile e la sua inversa f· 1(x) = x - 2. Infatti valgono le (0 ):

e la

funzione

f((f· 1(x)) = f(x-2) = (x-2)+2 = x f· 1(f(x)) = f· 1(x+2) = (x+2) - 2 = x. 2. Come abbiamo visto la funzione esponenziale ex funzione In x . Risulta, in accordo con l'oss. 1, e1n x =x (x > 0)

=x

(x qualsiasi).

(x ~ 0)

e invertibile e ha come inversa la funzione f· 1(x) = x2. f· 1(f(x)) = f· l("Jx.) = (Vx) 2 = x e f(f· 1(x)) = f(x2) = --Tx.z= x (per x ~ 0).

4. La funzione f(x) Infatti si ha:

="Jx.

In ex

e invertibile e la sua inversa e la

Osservazione 2. Se f(x) non e invertibile, e spesso importante trovare dei sottoinsiemi del dominio di f in cui f sia invertibile. Si puo usare, ad esempio, la seguente: Regola pratica. Si ricava (see dove si puo) x in funzione di y, determinando univocarnente il valore di x, e poi si scambiano i nomi delle variabili x e y. Esempi. 1. La funzione f(x) = x2 non c invertibile; tuttavia, se si restringe f al sottoinsieme R+, f diventa iniettiva e quindi invertibile. [Posto y = x2, l'inversa e la funzione x

= f· 1(y) ='/y. Siccome la variabile indipendente si indica con la lettera x, sara opportuno indicarla cosl: f ·1(x) ="Jx. ]. Si puo anche ricavare x = -'/y, trovando cosl l'inversa di f nell'insieme H = { x e R I x ::;; 0 }. 2. La funzione f(x) = (x+3)2-1 = x 2+6x+8 none invertibile perche si ha, ad esempio: f( 1) = 15 = f(-7). Tuttavia, sc si considera f definita ncl sottoinsieme

V-11 l=(xeRlx;:;,:-3},

f divcnta inicttiva c quindi inverlibile. La sua inversa f- 1 si ottiene come segue: poslo y = (x+3)2-l, si ricava x = - 3 + ~ (e non x = - 3 - ~ pcrchc x;:;,: - 3 ). La funzione inversa (con variabile indipendcnlc x c non y) e f- 1(x) = - 3 + ~ (dcfinita per x~-1). 3. La funzione y = sin x non e invertibile perchc, ad csempio, si ha: sin O = sin Tuttavia diventa invcrtibile se la si considera definita in I= ( x E R I OS: x < 21t}. La sua inversa, dctta arcoseno di J = (x

E

x e dcnolala col simbolo arcsin x, n R I -1 S:x S: I }. Ad escmpio si ha: arcsin 1 = 2 .

= 0.

e definita

n

in

n

einverlibilc perchc, ad esempio, si ha: cos 2 = cos (- 2 ) = 0. Tuttavia diventa invcrtibilc se la si considera dcfinila su I = ( x E R I O S: x < 21t}.

4. La funzione

y = cos x

7t

non

La sua invcrsa, delta arcocoseno di x c dcnolala col simbolo arccos x,

e dcfinita su

J = ( x ER 1-1-S: x ~I}. Ad esempio si ha: arccos 1 = 0.

e invcrtibilc perchc, ad cscmpio, si ha: lg O = tg 1t = 0. Tuln n tavia divcnla invcrtibile se la si considera dcfinila su I = ( x E R I - 2 < x < 2 }. La sua

5. La funzione

y = tg x

non

inversa, delta arcotangente di x e dcnotata col simbolo arctg x, csempio si ha: arctg O = 0.

c dcfinita su lutto

R. Ad

V-12

Grafi.co dell'inversa di f: e il simmetrico del grafico di f rispetto alla bisettrice del I e III quadrante (retta x-y = 0) 6 :

........ ·····•··········

lxO, xll : 1·3,00000, 3,000001

[yO,

l : 1-3,IIOIDJ, 3,IIOIDJJ

2. Disequazioni algebriche Le disequazioni sono trattate nei testi di scuola media superiore, ai quali si rimanda lo studente che abbia necessita di approfondire i concetti. Qui facciamo una rapida rassegna di risultati, evidenziando anche l'aspetto geometrico. 2.1. Disequazioni lineari Una disequazione lineare nell'incognita x si presenta cosi: 6 Se P e un punto del piano e r e una retta, sia s la retta per P ortogonale ad r e sia Q ii punto di s diverso da P tale che d(Q,r) = d(P,r). Q si dice simmetrico di P rispetto ad r. Data una figura F, la sirnrnetrica di F rispetto ad r e costituita da tutti i punti che sono sirnrnetrici di punti di F rispetto ad r. Per rnaggiori dettagli si veda ii volume di esercizi.

V-13

1. ax+b ~ O

(a ;t: 0).

2. ax+b;;::: 0

oppure

Si vede facilmente che le soluzioni sono rispettivamente b

ovvero

x;;::: - -a sea< 0

ovvero

x

per la 1, e

~

b a

sea< 0

per la 2. Esempi. 1. La disequazione Sx-2 ~ 0 ha soluzioni x ~

2. La disequazione - 2x+8

~

l

0 ha soluzioni x ~ 4.

2.2. Disequazioni con valori assoluti Una disequazione del tipo lax+bl

~ c

I ax+b I ;;::: c

ovvero

o anche I ax+b I ;;::: I a'x+b' I si risolve ricordando che si ha: b

lax+b I= {

ax+ b se x;;::: --a - ax - b sex~-~a

Esercizio. Risolvere la disequazione: 14xl ~ 11-xl.

Soluzione. Se O~ x ~ 1 si deve avere: 4x 2:: 1-x, cioe x 2:: sex~ 1 sideveavere:

½;

4x~x-1, cioe x2::-};

. ' se x O

e e

a+1 smi>)

la formula di De Moivre si estende anche agli esponenti interi qualsiasi. Infatti, se n e un numero naturale si ha: [p(cos-0- + isin-0-)] -n

==

1 [p(cosi>+i sim'>)t

1 - pn( cos(m'>)+i sin(m'>))

== p-n(cos(- n-0-) + i sin (- n-0-)).

4. 100 Pagine di Geornetria Analitica Piana

VI-8

Cio permette, in particolare, di calcolare, in forma trigonometrica, l'inverso di un numero complesso non nullo e il quoziente di due numeri complessi (di cui il secondo non nullo).

.. .

. (]+j)36 2i .

Eserc1Z10. S1 calcoh

Soluzionc. Si ha int:anto I+

.

1

.. TC) = "\/_r,:1.2 (cos 4TC +ism 4

TC . . TC) 21. = 2(cos 2 +1 sm 2

e quindi

+i

1 2i

=

TC ) . . (TC TC )] 2-fi_ [ cos (4TC - 2 + 1 sm 4 - 2

= 1[cos(-~)+isin(-~)]

-fi.[

.. (7TC)] = 2 .cos( 47TC) + ism 4

Applicando la formula di De Moivrc econ facili calcoli si ottiene

l+i)36 = (-fi.)6 7TC . . 7TC . 1 (2i [cos 36( 4 ) + ism 36(4 )] = - 2 2.3. La formula di Eulero e l'esponenziale complesso Se z = x+iy e un numero complesso con x, y numeri reali) si definisce ez = eX(cosy+i siny) Dalle regale viste in 2.2 segue che valgono le usuali regale delle potenze, cioe:

In particolare: 1) Se z e un numero reale, ez ha l'usuale significato (cfr. Cap. V). 2) Se z = iy e un numero immaginario puro si ha eiY = cosy+isiny Questa formula,nota come formula di Eulero, permette di scrivere in modo piu breve la forma trigonometrica di un numero complesso: p(cost}+isim'})

= pei 1'>

VI-9

Le regole di calcolo viste in 2.2 sono cosi ricondotte alle regole sulle potenze: (pei ,'>)(p'ei t>') = pp'ei( t>+ t>')

3. Radici n-esime dei numeri complessi Sia n un intero positivo. Si dice radice n-esima di un numero complesso z ogni numero complesso w tale che wn = z. Se z = p(cos 1}+isin 1'}) e un numero complesso e w = r(cos 0 ai si dice coefficiente del termine di grado i. Se tutti i coefficienti sono nulli il polinomio si chiama polinomio nullo e si denota con 0. Seil polinomio e non nullo, il massimo indice k per cui ak -:I:- 0 si dice grado del polinomio.

Vl-11

Se tutti i coefficienti sono numeri reali il polinomio si dice reale. L'insieme dei polinomi complessi si denota con C[x], mentre l'insieme dei polinomi reali si denota con R[x]. Si ha pertanto R[x] ~ C[x]. Due polinomi p(x) = a 0 +a1x+ ... +anxn e q(x) = b 0 + bix+ ... +bmxm si dicono uguali see solo se m = n e ao =ho, ... , an= bm, Tra i polinomi sono definite le operazioni di somma, differenza e moltiplicazione, che si eseguono con le usuali regole del calcolo letterale. Esempi. 1) 3i - 2x + (1-i)x 2 e un polinomio complesso di grado 2. II coefficiente del termine di primo grado e - 2. II polinomio non e reale. 2) II polinomio 3x - (2t - 4i)x3 - 2x5 ha grado 5, ed e reale se e solo se t = a + 2i, con a reale. 3) I polinomi 3x - (2t - 4i)x3 - (t + 2)x 5 e 3x + (u + l)x 3 sono uguali see solo se hanno ordinatamente uguali i coefficienti, cioe se e solo se - (2t - 4i) = u + 1 { -(t+2)=0 cioe see solo se t = - 2 e u = 3 + 4i. 4) Due polinomi p(x) e q(x) sono uguali see solo se la differenza p(x) - q(x) e il polinomio nullo. 5) II grado del polinomio nullo non e definito. I polinomi di grado zero coincidono quindi con i numeri complessi non nulli.

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4.2. Radici di un polinomio Si dice che il numero complesso w e una radice del polinomio p(x) (o una soluzione dell'equazione p(x) = 0) se il numero p(w) e zero. Ad esempio nel paragrafo 3 abbiamo visto come si calcolano le radici del polinomio xn - z, cioe come si risolve l'equazione xn - z = 0. Si puo dimostrare che

Il numero complesso w e radice del polinomio p(x) se e solo se p(x) diuisibile per x - w, ossia see solo se esiste un polinomio q(x) tale che p(x)

e

= (x - w) q(x).

II polinomio q(x) si pub calcolare, ad esempio, con la hen nota regola di Ruffini. Esempio 1. Considcriamo il polinomio p(x) = x3+ i . Si ha p(i) = 0 (facile calcolo) e quindi esiste un polinomio q(x) tale che p(x) = (x-i)q(x). Effcttuando la divisione si vede che q(x) = x2+ix -1.

Sia w una radice del polinomio p(x). Si dice che w ha molteplicita m (dove m e un intero positivo) se p(x) e divisibile per (x - w)m ma non e divisibile per (x - w)m+l. Esempio. Considcriamo ii polinomio p(x) = x3 + 2x 2 + x. Si ha p(x) = x(x + 1)2, e quindi p(x) ha la radice w = - l con molteplicit.a 2.

4.3. II teorema fondamentale dell'algebra e la scomposizione dei polinomi complessi Vale il seguente:

Teorema fondamentale dell'algebra. Sia p(x) E C[x] un polinomio di grado n > 0. Allora p(x) eprodotto di polinomi complessi di primo grado. In particolare p(x) ha sempre almeno una radice in C.

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Dal teorema precedente si deduce subito, raggruppando i termini uguali, che un polinomio complesso p(x) = a 0 +a1x+ ... +anxn di grado n > 0 si puo scomporre nel modo seguente:

dove w1, ... , Ws sono le radici distinte di p(x), e m1, ... ,ms sono le rispettive molteplicita. Risulta inoltre m 1+•··+ ms= n. Esempio. II polinomio p(x) = x4 - 1 si decompone in C[xl nel modo seguente: p(x) = (x + l)(x - 1)(x + i)(x - i)

4.4. L'equazione di secondo grado in campo complesso Sia cxx 2+~x+y = 0 (ex':/- 0) un'equazione di secondo grado a coefficienti complessi. Anche in questo caso vale la hen nota formula risolutiva

~

dove il simbolo ± ✓ 2 - 4cxy indica l'insieme delle due radici quadrate del numero complesso z = ~2 - 4cxy. Tali radici quadrate si calcolano col metodo visto in 3.1. Esempio. Considcriamo l'cquazione x2+2x+ 1+i = 0. Le soluzioni sono date dalla formula X

=

- 2 ± ✓2 2 - 4(l+t)

2

.

r. = - 1 ± 'V -1

Si ha - i =cos(-?)+ i sin(-?). Le due radici quadrate di - i sono quindi z1 =cos(-~)+isin(-~)= ~(1-i), z2 =cos(-~+ rr) + isin(-j+ rr) = Le soluzioni dcll'cquazione sono quindi

~ (1- i).

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4.5. Scomposizione dei polinomio reali Il teorema fondamentale dell'algebra si applica anche ai polinomi di R[x], che sono particolari polinomi complessi. Anche per essi, dunque, si puo ottenere una decomposizione del tipo (0 ) in C[x]. Vediamo ora come tali polinomi si possono scomporre in R[x]. Cominciamo con il seguente:

Teorema (sulle radici di un polinomio reale). Sia p(x) un polinomio reale. Se a E C e una radice di p(x), anche e una radice di p(x), e inoltre a ed a hanno la stessa molteplicita.

a

Sia ora p(x) = a 0 + a1x + ... + anxn E Rix] un polinomio reale di grado n > 0. Usando il teorema precedente possiamo supporre che le radici distinte di p(x) siano dove r 1, ... , rt sono le radici reali e le altre sono non reali. Sempre per il teorema precedente w 1,w~ hanno la stessa molteplicita, e cosi pure w2,w2, .. ,,wh,Wh, La scomposizione di p(x) come polinomio complesso si puo quindi riscrivere nel modo seguente: p(x)

= an(x - r 1)

Ut

Ut

• ... •

Vt

- - V1

Vh

-

(x - rt) (x - w 1) (x -w 1) ·... · (x - wh) (x - wh)

Vh

= an(X - r1)u 1·... ·(X - rttt[(x - W1)(X -W1)r 1 ..... [(x - Wh)(x - Wh)rh dove u 1, ... , Ut, v 1, ... , vh sono le molteplicita. D'altra parte se z = a+ib (x - z)(x - z)

e un qualsiasi numero complesso si ha = x2 - (z+z)x + zz = x 2 - 2ax + ✓ a2+b2

che e un polinomio reale. Quindi effettuando i vari prodotti in parentesi quadre dell'espressione precedente si vede che il polinomio reale p(x) si scompone nel prodotto di polinomi reali irriducibili di primo e di secondo grado. Abbiamo quindi il seguente:

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Teorema. (scomposizione dei polinomi reali). Ogni polinomio reale di grado positivo e prodotto di polinomi reali irriducibili di primo e di secondo grado. Corollario. Ogni polinomio reale di grado dispari ha almeno una radice reale. Esempio. II polinomio p(x) = x3 + 2x 2 + 4x - 24 ha la radicc rcalc 2. Effettuando la divisione per x-2, si decompone in R[x] ncl modo seguente: (I)

p(x) = (x - 2)(x 2 + 4x +12).

±rs,

II polinomio q(x) = (x2 + 4x + 12) ha radici - 2 e quindi none scomponibile su R. La scomposizionc di p(x) su R e pcrtanto quclla data dalla (1).

Finito di stampare nel mese di ottobre 1994 presso la M. S./Litografia s.r.l. - Torino per conto della Editrice Universitaria Levrotto & Bella - Torino

ISBN 88-8218-006-9

9 788882 180065