BOECE, TRAITE DE LA MUSIQUE 2503517412, 9782503517414

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BOECE Traite de la musique

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BOECE

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TRAITE DE LA MUSIQU E

Introduction, traduction et notes par Christian MEYER

BREPOLS

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© 2004, Brepols Publishers u.v., Turnhout, Belgium All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording, or otherwise, without the prior permission of the publisher. D/2004/0095/118 ISBN 2-503-517 41-2

AVANT-PROPOS

Le De institutione musica a ete redige par Boece vers 510 d' apres des auteurs grecs. L'intention de l'auteur etait de fournir un manuel pour l' enseignement de la musique dans le cadre des etudes quadriviales. Redecouvert al' epoque carolingienne, le traite de Boece devait constituer taut au lang du Mayen Age le texte de reference pour l'enseignement de la musique. Plus de 150 manuscrits copies entre le IXe et le XV 0 siede, deux editions imprimees (1491/ 2 et 1546) ainsi qu'un volumineux corpus de gloses souvent recopiees en meme temps que le texte lui-meme, temoignent de la fortune de l'ouvrage de Boece jusqu'au seuil des Temps modernes. L'unique edition scientifique a ete publiee en 1867 par Gottfried Friedlein dans la collection des classiques des Editions Teubner a Leipzig. Ce texte a servi de rfference a l' edition de la Glossa maior par Michael Bernhard et Calvin Bower (1993-1996, 3 vol.). Depuis sa publication, le De institutione musica a fait l' objet de plusieurs traductions. La traduction d'Oscar Paul (Leipzig, 1872), qui tient davantage de la paraphrase, est aujourd'hui scientifiquement perimee. Calvin Bower a donne en 1989 une banne traduction anglaise du traite saus le titre Fundamentals ef Music (Yale University Press, 1989). Ce faisant, Calvin Bower a mis en evidence l'excellence, mais aussi les limites du texte de G. Friedlein. En collationnant certains passages sur un groupe-temoin de dix manuscrits des rxe et Xe siecles, le traducteur a notamment propose quelques ameliorations ponctuelles clont sa traduction rend campte. Outre les ameliorations apportees au texte de Friedlein, Calvin Bower a propose une nouvelle edition des nombreux diagrammes contenus dans le traite. Une traduction italienne due a Giovanni Marzi a paru a Rome en 1990. Cette traduction est accompagnee d'une reproduction en fac-simile de l'edition de G. Friedlein.

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AVANT-PROPOS

La presente traduction a ete redigee a la suite de ma participation aux travaux d' edition et de traduction du Tractatus de musica de Jeröme de Moravie, en collaboration avec Esther Lachapelle (Bruxelles), Guy Lobrichon (Paris, College de France) et Marcel Peres (Royaumont, 1990-1995). Les remarques de Marie-Noel Colette, Directeur d'Etudes a l'Ecole Pratique des Hautes Etudes (Paris), ont largement contribue, en derniere instance, ala mise au point de cette traduction. Je tiens enfin a remercier les Editions Brepols qui ont accepte cet ouvrage, M. Christophe Lebbe et tout particulierement M. Patrick De Moor qui en a realise la difficile rmse en page.

INTRODUCTION

Le De institutione musica a vu le jour au seuil du VI° siede de notre ere. Il est l' ceuvre d' un j eune patricien romain ebloui par la culture et la philosophie grecque, meme si son sejour a Athenes ou, plus vraisemblablement, a Alexandrie, demeure inverifiable. L'ouvrage s'inscrit dans un projet litteraire et pedagogique clont l'ambition est d' assurer un fondement scientifique aux quatre sciences mathematiques de la connaissance du monde : arithmetique, musique, geometrie et astronornie. La Musique, selon la definition qu' en donne Boece au premier livre de son De institutione arithmetica, s' oppose a l' Arithmetique, comme science de la multitude rapportee a autre chose qu'elle meme 1 . Dans la pensee de l'Antiquite tardive, cette relation indeterrninee ouvre la Musique au monde : la musique a pour objet non seulement le monde dans sa complexite physique structuree par le nombre - « le ciel lui-meme, la combinaison des elements ou la diversite des saisons » (I,2) - mais aussi l'homme, avec ce melange de rationnel et d'irrationnel selon lequel s'unissent les elements de son corps et les parties de son ame. Les vicissitudes de la transmission du De institutione musica font que cette vaste propedeutique musicale se bornera - pour les lecteurs du Mayen Age a nos jours - a l' etude des sons produits par les corps sonores. Le contenu

Le De institutione musica se presente saus la forme de cinq livres clont le dernier est incomplet- sans doute, par suite de l'etat lacu1 « Horum ergo illam multitudinem, quae per se est, arithmetica speculatur integritas, illam vero, quae ad aliquid, musici modulaminis temperamenta pernoscunt, inmobilis vero maguitudinis geometria notitam pollicetur, mobilis vero scientiam astronominae disciplinae peritia vendicat » (De inst. arithmetica, I,l; ed. G. Friedlein, p. 9, 1. 1-6).

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INTRODUCTION

naire de l'archetype de la tradition manuscrite 2 • Le premier est une introduction generale, de caractere plut6t philosophique, qui pose les fondements de la theorie de la musique pythagoricienne. Le second et le troisieme procedent a la demonstration mathematique des principes enonces dans le premier livre. Le quatrieme presente une realisation de ces principes mathematiques sur le monocorde et expose le systeme des tons de transposition. Le cinquieme livre est une traduction paraphrasee du premier livre des Harmoniques de Ptolemee qui engage une approche plut6t critique de la doctrine pythagoricienne exposee dans les quatre premiers livres. L'apparente lisibilite de ce plan tend a faire oublier que l'ouvrage est sans doute une habile compilation clont l' analyse demeure complexe et, sur bien des points, fort conjecturale3 • Les trois premiers livres semblent avoir puise pour l' essentiel dans un traite aujourd'hui perdu de Nicomaque clont on ne possede plus qu'un ensemble de fragments recomposes sous la forme d'un opuscule de douze chapitres transmis sous le titre d' Harmonikon enchiridion4 . Ces trois livres presentent le corps de la doctrine pythagoricienne. Ajoutes au premier ils forment en outre un expose coherent de cette « musique faite sur les instruments » que Boece annonce au terme de Süll prologue. Le quatrieme a sans doute ete ecrit a partir de materiaux epars ou, peut-etre, a partir d'un traite grec redige par un auteur familiarise avec les theories de Ptolemee. Le cinquieme livre enfin est une paraphrase du premier livre des Harmoniques de Ptolemee.

PREMIER LIVRE Le prologue de l'ouvrage (chapitres 1 et 2) insiste surtout sur la caracteristique majeure de la science de la musique, asavoir qu' eile est la seule des quatre disciplines mathematiques a associer la Voir ci-dessous, p. 10-11. Voir Ubaldo Pizzani, « Studi sulle fonti de! De institutione musica di Boezio », Sacris Erudiri, 16 (1965), p. 5-164, passim; Calvin M. Bower, « Boethius and Nicomachus: An Essay Concerning the Sources of De institutione Musica», Vivarium, 16 (1978), p. 1-45. 4 Musici scriptores Graeci: Aristoteles, Euclides, Nicomachus, Bacchius, Gaudentius, Alypius (.. .), Carolus Janus (ed.) (Leipzig: Teubner, 1895; reimpr. Hildesheim: Olms, 1962), p. 209282. 2

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INTRODUCTION

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demarche speculative et l' exploration de la verite a une dimension ethique. La musique n'est pas seulement connaissance du monde, mais elle exerce egalement un pouvoir sur les etats de l'ame et du corps. Le prologue s'acheve sur la tripartition de la musique en musica mundana qui explore l'harmonie du monde, des elements et des saisons, la musica humana sur laquelle repose l'harmonie de l'ame et du corps - ces deux theories ne sont pas developpees dans le De institutione musica tel qu'il nous est parvenu5 - enfin une definition de la musique « produite par les instruments ». L' expose de cette « musique » commence par un chapitre expliquant le röle du mouvement dans la production du son clont la quantification fonde l' expression mathematique du phenomene sonore (chapitre 3). Les chapitres 4 a 7 definissent les dass es de rapports et les rapports des consonances tandis que les chapitres 8 a 11 examinent les röles respectifs des sens et de la raison dans la connaissance des intervalles et des consonances. Ces explications s'articulent autour de l'evocation de la decouverte mythique des rapports des consonances par Pythagore (eh. 10). Une classification des emissions vocales (voces) et des explications sur le mecanisme de l'audition (chapitres 12-14) completent cette etude. Les chapitres 15 a 19 posent l' axiomatique du systeme pythagoricien : les rapports des consonances premieres et leur « combinaison » (octave, quinte, quarte), l'impossibilite de partager le ton en deux moities egales, la composition de l' octave. Les chapitres suivants (20 a 27) presentent les traits fondamentaux de l' echelle des sons du grand systeme parfait : l'historique de l' acquisition progressive des sons a partir du « tetracorde de Mercure » (20) ; les trois genres de la division du tetracorde - diatonique, chromatique, enharmonique - (21); la liste des degres du grand systeme parfait (22) ; la structure tetracordale de l' echelle des sons (23-26) ; enfin les correspondances entre les cordes et les planetes (27). Les chapitres 28 a 32 prolongent le propos des premiers chapitres de ce livre en developpant une theorie generale de la consonance : mecanisme physique de la production de la consonance

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Sur ce point, voir ci-dessous, p. 10-11.

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INTRODUCTION

(28), fondements mathematiques (29), theorie de la pereeption selon Platon (30) et selon Nieomaque (31), les eonsonanees dans l'ordre de la pereeption et de la eonnaissanee rationnelle (32). Le ehapitre 33 reeapitule les aequis theoriques de ee premier livre avee une foree conclusive. Le dernier ehapitre (34) rappelle que le « musieien » est avant tout un homme de savoir qui maitrise les prineipes speeulatifs de sa diseipline.

DEUXIEME LIVRE Les deuxieme et troisieme livres presentent un earaetere plus austere et apportent la demonstration des elements presentes dans le premier. Le deuxieme livre est surtout un abrege d'arithmetique. Les ehapitres 4 a 11 presentent la theorie des classes de rapports - multiples, superpartiels, superpartients, multiples superpartiels et multiples superpartients - et leurs engendrements mutuels ainsi que les regles permettant de trouver les rapports eontinus. Les ehapitres 12 a 17 rappellent la theorie des moyennes arithmetique, geometrique et harmonique. Le ehapitre 18 evoque, a la suite de 1,32, la theorie pythagorieienne etablissant le rapport de subordination entre l' ordre de la eonnaissanee et l' ordre de la pereeption fondant la sueeession des consonanees. Les differentes theories mathematiques des relations entre les nombres strueturent a eet egard la representation de l' ordre des eonsonanees. Boeee oppose ainsi les theories de Nieomaque a eelles d'Eubulides et d'Hippasus (eh. 29-20). Cet expose sur les fondements mathematiques de la theorie des eonsonanees est prolonge par une serie de demonstrations validant les correspondanees entre rapports et eonsonanees (eh. 21-27). Les quatre derniers ehapitres du seeond livre font la demonstration mathematique de deux propositions prineipales de la theorie pythagorieienne : l'indivisibilite du ton en deux moities egales (2830) et la neeessaire constitution de l' oetave par einq tons et deux demi-tons, contrairement a la theorie d'Aristoxene selon laquelle l' oetave est formee de six tons.

INTRODUCTION

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TROISIEME LIVRE Le troisieme livre est entierement consacre a l' exploration des subdivisions du ton. Les quatre premiers chapitres developpent une longue refutation de la these d' Aristoxene sur la composition de l' octave. Le premier chapitre pose les fondements mathematiques de l'impossibilite de diviser le ton en deux moities egales, a savoir l'impossibilite de concevoir la moyenne geometrique d'un rapport superpartiel. La subdivision du ton et du demi-ton selon Philolaos occupe les chapitres 5 a 8. Ces theories semblent convoquees ici comme une sorte de modele simplifie des micro-intervalles. La subdivision du ton met en evidence - partant de la difference entre les termes du rapport correspondant au demi-ton (256:243) - la structure suivante : ton (27) = diesis (13) + apotome (14) ou diesis (13) + diesis (13) + comma (1). De meme, partant du schisma (un demi-comma) et du diaschisma (une demi-diesis), il serait possible selon Philolaos de composer une « moitie exacte » de ton saus la forme d'un double diaschisma + un schisma. Les chapitres 9 et 10 demontrent qu'il est possible de percevoir des consonances non seulement un intervalle comme le ton, mais des intervalles encore plus petits comme le demi-ton mineur, l' apotome et le comma, en les realisant sur un instrument de musique ou en les chantant. Ces demonstrations sont animees par l'idee que la connaissance intellectuelle est vaine si elle ne s'appuie pas sur l' experience pratique.

a l'aide

Le chapitre 11 revient - a la suite du premier chapitre - sur la question centrale de ce livre a savoir celle de la moyenne des rapports superpartiels. Les derniers chapitres etablissent, sur la base de calculs a l'aide de nombres entiers, les valeurs approchees des rapports du comma, du demi-ton et de l' apotome taut en les comparant les uns aux autres.

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INTRODUCTION

QUATRIEME LIVRE

Le quatrieme livre est eompose de trois unites relativement independantes.

La construction du grand systeme paifait sur le monocorde. Les deux premiers ehapitres paraphrasent le prologue et les neuf premieres propositions de la Sectio canonis, un aneien traite pythagorieien developpant sur le modele des Elements de geometrie d'Euclide les relations entre des prineipes mathematiques et des evidenees aeoustiques. Les deux ehapitres suivants (3 et 4) exposent les prineipes des notations musieales greeques. Selon U. Pizzani, ees ehapitres seraient empruntes au theorieien gree Gaudentius dans la traduetion latine de Mutianus 6 • Les ehapitres 5 a 11 exposent deux divisions du monocorde. La premiere (ehapitre 5) est strietement geometrique et n' etablit que les degres du genre diatonique selon un proeede « aseendant » consistant a determiner les degres de l' eehelle sueeessivement du grave a l' aigu a partir d'une quadripartition initiale de la eorde. La seconde division (ehapitres 6-11) propose une eonstruetion « deseendante »des einq tetracordes du grand systeme parfait dans les trois genres diatonique, ehromatique et enhannonique. Les earaeteristiques consonantiques de ee grand systeme parfait, valide par la demonstration arithmetique, sont resumees dans les ehapitres 12 et 13. Selon U. Pizzani, l'expose sur les eordes stables, semi-mobiles ou mobiles (eh. 13) serait emprunte a Nicomaque. La forte eoherenee theorique de eet ensemble de ehapitres presentant la eonstruetion mathematique du grand systeme parfait et la classifieation des eordes, suggere que Boeee pourrait avoir extrait ees pages (eh. 512) d'un traite - aujourd'hui perdu - de Nieomaque 7 . La theorie des tons de transposition.

Les ehapitres 14 a 17 forment un corps doetrinal assez homogene et qui fut sans doute l'un des plus importants dans la reeeption du texte de Boeee. 11 a nourri l'imagination des theorieiens

U. Pizzani, « Studi sulle fonti », p. 122; hypothese discutee et rejetee par C. M. Bower, «Boethius and Nicomachus », p. 14-19. 7 C. M. Bower, « Boethius and Nicomachus », p. 26-27.

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de la musique du Moyen Age et fait l' objet de nombreux commentaires, parfois contradictoires 8 . Le chapitre 14 traite des aspects des trois consonances simples - quarte, quinte et octave - et les analyse par rapport i la structure du grand systeme parfait, notamment par rapport aux degres stables de l' echelle des sons. Les chapitres 15 i 17 expliquent la formation des tons de transposition consistant i decaler, vers l'aigu, la double octave du grand systeme parfait selon une progression par tons et demi-tons correspondant i la serie par ton, ton, demi-ton, ton, ton et demi-ton (TTSTTS), soit le premier aspect d'octave (considere dans l'ordre descendant). L'influence des Harmoniques de Ptolemee sur ces chapitres semble avoir ete surevaluee. On retiendra plut6t sur ce point la thcse de Calvin Bower selon laquelle ces chapitres pourraient avoir ete traduits i partir d'une source grecque unique, ecrite du temps de Ptolemee ou plus tard, par un « theoricien plut6t conservateur dans son attitude face i la theorie de la musique, mais neanmoins bien informe »9 .

La validation des consonances par l 'oui"e. Le quatrieme livre s'acheve sur un chapitre decrivant la maniere de faire entendre sur un monocorde les consonances d'octave, de quinte et de quarte et que Boece semble bien avoir puise dans les Harmoniques de Ptolemee.

CINQUIEME LIVRE Le cinquieme livre ouvre de nouvelles perspectives, mais il s'agit, pour l'essentiel d'une paraphrase du premier livre des Harmoniques de Ptolemee. Les premiers chapitres developpent une reflexion critique sur les conditions et les limites d'une exploration empirique des sons, opposant l'approche pythagoricienne - proprement rationnelle - a celle d'Aristoxene plus favorable a l'intuition des sens. Cette double approche est exposee de maniere exemplaire

Sur ces discussions, voir Lucas Kunz, «Die Tonartenlehre des Boethius », Kirchenmusikalisches ]ahrbuch, 31-33 (1936-1938), p. 5-24; Henri Potiron, Boece, theoricien de la musique grecque (Paris, 1969; Travaux de /'Institut Catholique de Paris, 9), p. 95-107; U. Pizzani, « Studi sulle fouti », p. 128, passim; C. M. Bower, « Boethius and Nicomachus », p. 27-37. 9 C. M. Bower, « Boethius and Nicomachus », p. 37. 8

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dans la question de savoir si la quarte redoublee a l' octave peutetre consideree ou non comme une consonance (chapitres 7 a 10). Les chapitres 11 et 12 presentent la classification ptolemaYque des intervalles. Les chapitres suivants (13 et 14) resument la refutation par l' experience que l' octave ne se compose pas de six tons entiers comme le voulait la theorie d' Aristoxene. Les derniers chapitres conserves presentent les differents types de division du tetracorde selon Aristoxene, Archytas et Ptolemee. Un texte inacheve? Tous les temoins « complets » du De institutione musica que nous possedons, s'achevent, brutalement, au milieu d'une phrase, sur les mots « ut in diatonicis generibus nusquam una ». Boece a-t-il abandonne a cet endroit Süll projet OU cette interruption est-elle le fait d'un accident materiel survenu au cours de la transmission du texte? On peut objecter a la premiere hypothese le fait que l'on possede un sommaire detaillant le texte integral de ce cinquieme livre. Si l'on retient en outre l'hypothese que les titres des chapitres ont ete ajoutes - et assez maladroitement - apres la redaction du traite lui-meme 10 , nul doute par consequent que ce cinquieme livre devait avoir ete entierement redige. Dans certains manuscrits (clont les plus anciens > dans Je genre chromatique et d' « enharmonique » dans le genre « enharmonique » (soit 10 degres en tout).

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Diatonici.

Proslambanomenos Hypate hypaton Parhypate hypaton Lichanos hyp. diatonos 25 Hypate meson Parhypate meson 216 Lichanos meson diatonos Mese Trite synemmenon Paranete synemme5 non diatonos Nete synemmenon Paramese Trite diezeugmenon Paranete diezeug10 menon diatonos N ete diezeugmenon Trite hyperboleon Paranete hyperboleon diatonos 15 Nete hyperboleon

Chromatis.

Enarmonii.

Proslambanomenos Hypate hypaton Parhypate hypaton Lichanos hyp. chrochromatice Hypate meson Parhypate meson Lichanos meson chromatice Mese Trite synemmenon Paranete synemmenon chromatice Nete synemmenon Paramese Trite diezeugmenon Paranete diezeugmenon chromatice N ete diezeugmenon Trite hyperboleon Paranete hyperboleon chromatice Nete hyperboleon

Proslambanomenos Hypate hypaton Parhypate hypaton Lichanos hyp. enarmomos Hypate meson Parhypate meson Lichanos meson enarmomos Mese Trite synemmenon Paranete synemmenon enarmonios N ete synemmenon Paramese Trite diezeugmenon Paranete diezeugmenon enarmomos N ete diezeugmenon Trite hyperboleon Paranete hyperboleon enarmonios Nete hyperboleon

Quae sint inter voces in singulis generibus proportiones.

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XXIII. Hoc igitur modo per singula tetrachorda in generum proprietates facta partitio est, ut omnia quidem diatonici generis quinque tetrachorda duobus tonis ac semitonio partiremur. Diciturque in hoc genere tonus incompositus idcirco, quoniam integer ponitur nec aliquod ei intervallum aliud iungitur, sed in singulis intervallis integri sunt toni. In chromate vero semitonio ac semitonio incompositoque triemitonio posita divisio est. Idcirco autem incompositum hoc triemitonium appellamus, quoniam in uno collocatum est intervallo. Potest enim appellari triemitonium in diatono genere semitonium ac tonus, sed non est incompositum; duobus enim id perficitur inter-

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du diatonique

du chromatique

de l' enharmonique

Proslambanomenos Hypate hypaton Parhypate hypaton Lichanos hypaton diatonique Hypate meson Parhypate meson [216] Lichanos meson diatonique Mese Trite synemmenon Paranete synemmenon diatonique Nete synemmenon Paramese Trite diezeugmenon Paranete diezeugmenon diatonique Nete diezeugmenon Trite hyperboleon Paranete hyperboleon diatonique Nete hyperboleon

Proslambanomenos Hypate hypaton Parhypate hypaton Lichanos hypaton chromatique Hypate meson Parhypate meson Lichanos meson chromatique Mese Trite synemmenon Paranete synemmenon chromatique Nete synemmenon Paramese Trite diezeugmenon Paranete diezeugmenon chromatique Nete diezeugmenon Trite hyperboleon Paranete hyperboleon chromatique Nete hyperboleon

Proslambanomenos Hypate hypaton Parhypate hypaton Lichanos hypaton enharmonique Hypate meson Parhypate meson Lichanos meson enharmonique Mese Trite synemmenon Paranete synemmenon enharmonique Nete synemmenon Paramese Trite diezeugmenon Paranete diezeugmenon enharmonique Nete diezeugmenon Trite hyperboleon Paranete hyperboleon enharmonique Nete hyperboleon

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Des rapports qu'il y a entre les sons dans chacun des genres. XXIII. C'est ainsi clone que l'on realise, tetracorde apres tetracorde, une distribution conforme au caractere propre de chaque genre. Ainsi nous avons divise tous les cinq tetracordes du genre diatonique par deux tons et un derni-ton. Il a ete egalement dit que dans ce genre, le ton est noncompose. Aussi est-il pris dans sa totalite et jamais on ne lui ajoute d'autre intervalle, bien au contraire : dans chacun des intervalles le ton est entier. Dans le genre chromatique en revanche, la division procede par derni-ton, derni-ton et un triherniton non-compose. Nous l'appelons non-compose puisqu'il se trouve dans un seul et meme intervalle. Certes, dans le genre diatonique, on peut cependant parler de triherniton pour le derni-ton-pluston, mais il n' est pas non-compose car il est realise par deux intervalles.

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vallis. Et in enarmonio genere idem est. Constat enim ex diesi et diesi et ditono incomposito, quod scilicet propter eandem causam incompositum nuncupamus quomam in uno conlocatum est intervallo. Quid sit synaphe.

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XXIII!. Sed in his ita dispositis constitutisque tetrachordis synaphe est, quam coniunctionem dicere Latina significatione possumus, quotiens duo tetrachorda unius medietas termini continuat atque coniungit, ut in hoc tetrachordo: Hypate hypaton Parhypate hypaton Lichanos hypaton Hypate meson Parhypate meson Lichanos meson Mese. Hie igitur est unum tetrachordum: hypate, parhypate, lichanos, hypate meson, aliud vero : hypate meson, parhypate meson, lichanos meson, mese. In utrisque igitur tetrachordis hypate meson adnumerata est, superiorisque tetrachordi ea est acutissima, posterioris vero gravissima, estque ista coniunctio una eademque chorda, ut hypate meson duo tetrachorda coniungens eadem hypaton ac meson tetrachorda in superiore descriptione iunxit. Est igitur synaphe, quae coniunctio dicitur, duorum tetrachordorum vox media, superioris quidem acutissima, posterioris vero gravissima. Quid sit diazeuxis.

XXV. Diazeuxis vero appellatur, quae disiunctio dici potest, quotiens duo tetrachorda toni medietate separantur, ut in his duobus tetrachordis.

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Dans le genre enharmonique il en va de meme : il est forme par diesis, diesis et un diton non-compose. C'est pour la meme raison (217] que nous disons qu'il est non-compose, puisqu'il est place dans un seul et meme intervalle. Ce qu'est la synaphe. XXIIII. Dans les tetracordes, tels que nous les avons construits et disposes, il y a synaphe - en latin nous appelerions cela « coniunctio » (conjonction) - chaque fois que deux tetracordes se trouvent associes ou relies par l'intermediaire d'un seul et meme terme, comme, par exemple, dans les tetracordes suivants : Hypate hypaton ( Parhypate hypaton Lichanos hypaton Hypate meson ( Parhypate meson Lichanos meson Mese Voici clone un premier tetracorde: hypate, parhypate, lichanos, hypate meson, et un second : hypate meson, parhypate meson, lichanos meson, mese. L' hypate meson est prise en compte dans l'un et l'autre tetracorde: eile est la plus aigue du tetracorde precedent, en revanche la plus grave du tetracorde suivant. Cette conjonction est une seule et meme corde, de sorte que l'hypate meson, conjuguant deux tetracordes, relie, dans le diagramme cidessus les tetracordes hypaton et meson. La synaphe, par consequent, que l'on appelle « conjonction », est le degre median de deux tetracordes, le plus aigu du tetracorde precedent et le plus grave du suivant.

(218]

Ce qu' est la diazeuxis.

XXV. On parle de diazeuxis - nous dirions disiunctio (disjonction) chaque fois que deux tetracordes se trouvent separes par l'intermediaire d'un ton, comme dans les deux tetracordes suivants :

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Hypate meson Parhypate meson Lichanos meson Mese Paramese Trite diezeugmenon Paranete diezeugmenon Nete diezeugmenon. Duo igitur esse tetrachorda evidenter apparet quandoquidem octo sunt chordae. Sed diazeuxis est, id est disiunctio, inter mesen ac paramesen, quae inter se pleno differunt tono. De quibus evidentius explicabitur, cum unumquodque studiosius explanandum posterior tractatus adsumpserit. Sed diligentius intuenti quinque, non amplius, tetrachorda repperiuntur: hypaton, meson, synemmenon, diezeugmenon, hyperboleon.

Quibus nominibus nervos appellaverit Albinus.

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XXVI. Albinus autem earum nomina Latina oratione ita interpretatus est, ut hypatas principales vocaret, mesas medias, synemmenas coniunctas, diezeugmenas disiunctas, hyperboleas excellentes. Sed nobis in alieno opere non erit inmorandum.

Qui nervi quibus sideribus comparentur.

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XXVII. Illud tantum interim de superioribus tetrachordis addendum videtur, quod ab hypate meson usque ad neten quasi quoddam ordinis distinctionisque caelestis exemplar est. Namque hypate meson Saturno est adtributa, parhypate vero Ioviali circulo consimilis est. Lichanon meson Marti tradidere. Sol mesen obtinuit. Triten synemmenon Venus habet, paraneten synemmenon Mercurius regit. Nete autem lunaris circuli tenet exemplum.

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Hypate meson ( Parhypate meson Lichanos meson Mese Paramese ( Trite diezeugmenon Paranete diezeugmenon Nete diezeugmenon II est evident que l'on est en presence de deux tetracordes bien qu'il y ait huit cordes. Or il y a diazeuxis, c'est-a-dire disjonction, entre la mese et la paramese qui sont l'une et l'autre separees d'un ton entier. Nous nous en expliquerons plus clairement dans un expose futur ou l' on entreprendra d'exposer plus precisement toutes ces choses 59 . Mais l'observateur le plus attentif ne trouvera que cinq tetracordes, pas un de plus : l' hypaton, le meson, le synemmenon, le diezeugmenon et l' hyperboleon.

Par quels noms Albinus designait les cordes. XXVI. Albinus 60 traduisit les noms des cordes en latin : il appela principales (principales) les hypates, mediae (moyennes) les meses, coniunctae (conjointes) les synemmenes, disiunctae (disjointes) les diezeugmenes, excellentes (excellentes) les hyperbolees. [219] Mais ne nous arretons pas plus longuement a un ecrit etranger a notre entreprise. A quels corps celestes certaines cordes sont comparees. XXVII. A propos des tetracordes clont il a ete question plus haut, il semble en outre qu'il y ait lieu d'ajouter cela: de l'hypate meson jusqu'a la nete on a pour ainsi dire le modele de l' ordre et de la partition du ciel. L' hypate meson est attribuee a Saturne, la parhypate est semblable a l' orbite de Jupiter. La lichanos meson est rapportee a Mars. Le soleil regit la mese. Venus possede la trite synemmenon et Mercure commande la paranete synemmenon. La nete est a l'image de l'orbite lunaire. Cette rfference fait sans doute allusion aux chapitres du livre IIII consacres du monocorde. 6° Cf ci-dessus, n. 37.

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Sed Marcus Tullius contrarium ordinem facit. Nam in sexto libro de re publica sie ait: Et natura fert, ut extrema ex altera parte graviter, ex altera autem acute sonent. Quam ob causam summus ille caeli stellifer cursus, cuius conversio est concitatior, acuto et excitato movetur sono, gravissimo autem hie lunaris atque infimus. Nam terra nona inmobilis manens, una sede semper haeret. Hie igitur Tullius Terram quasi silentium ponit, scilicet inmobilem. Post hanc qui proximus a silentio est, dat Lunae gravissimum sonum, ut sit Luna proslambanomenos, Mercurius hypate hypaton. Venus parhypate hypaton, Sol lichanos hypaton, Mars hypate meson, Juppiter parhypate meson, Saturnus lichanos meson, Caelum ultimum mese. Quae vero sint harum inmobiles, quae vero in totum mobiles, quae autem inter inmobiles mobilesque consistant, cum de monochordi regularis divisione tractavero, erit locus aptior explicandi.

Quae sit natura consonantiarum.

XXVIII. Consonantiam vero licet aurium quoque sensus diiudicet, tarnen ratio perpendit. Quotiens enim duo nervi uno graviore intenduntur simulque pulsi reddunt permixtum quodammodo et suavem sonum, duaeque voces in unum quasi coniunctae coalescunt; tune fit ea, quae dicitur consonantia. Cum vero simul pulsis sibi quisque ire cupit nec permiscent ad aurem suavem atque unum ex duobus compositum sonum, tune est, quae dicitur dissonantia.

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Mais Mareus Tullius propose un ordre inverse. Voiei ee qu'il dit au sixieme livre de la Republique : « La nature se presente de telle maniere que des sons graves emanent de l'une des parties extremes, les sons aigus de l'autre. C'est pour eela que l'orbite la plus elevee de la sphere eeleste, eelle qui porte les etoiles et clont la revolution est la plus rapide, se meut avee un son aigu et strident, tandis que l'orbite de la lune, la plus basse, se meut avee le son le plus grave. La terre, la neuvieme, demeurant immobile, eonserve toujours la meme plaee. »61 Tullius eonsidere clone pour ainsi dire la terre eomme le silenee - evidemment, elle est immobile. Apres eelle-ei, il affeete a la lune le son le plus grave, eelui qui est le plus proehe du silenee : la lune est clone le proslambanomenos, Mereure l' hypate hypaton, Venus la parhypate hypaton, le soleil la lichanos hypaton, Mars l'hypate meson, Jupiter la parhypate meson, Saturne la lichanos meson, le Ciel le plus eloigne la mese. Certaines sont immobiles, d'autres en revanehe sont entierement mobiles, d'autres encore tiennent a la fois des immobiles et des mobiles: je m'en expliquerai a un endroit plus approprie, a savoir lorsque je traiterai de la division du monoeorde regulier62 •

[220]

Quelle est la nature des eonsonanees.

XXVIII. Le sens de l' oui:e reeonnait la eonsonanee ; la raison eependant en appreeie le poids. En effet, ehaque fois que l'on tend deux eordes, l'une etant plus grave, qu'elles sont mises en vibration simultanement et qu' elles font entendre un son pour ainsi dire homogene et agreable - les deux voix vont alors se fondre pour n'en former qu'une, eomme si elles etaient jointes l'une a l'autre: on obtient alors ee que l'on appelle une eonsonanee. En revanehe, lorsqu'elles sont mises en vibration simultanement, que ehaeune semble aller son propre ehemin et qu'elles ne se melangent pas pour offrir a l' oreille un son agreable et unique compose de deux autres, il y a alors ee que l'on appelle une dissonanee.

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Ciceron, Republique, 6, 18.

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Ci-dessous IIII, 13.

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Ubi consonantiae repperiantur.

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XXVIIII. In his autem comparationibus gravitatis atque acum1n1s has consonantias necesse est inveniri, quae sibi commensuratae surrt, id est quae notam possunt comm unem habere mensuram, ut in multiplicibus duplum quod est illa pars metitur, quae inter duos est terminos differentia, ut inter duo et quattuor binarius utrosque metitur; inter duos atque sex, quae tripla est, binarius utrosque metitur; inter novem atque octo eadem unitas est, quae utrosque metiatur. Rursus in superparticularibus, si sesqualtera sit proportio, ut quattuor ad sex, binarius est, qui utrosque metiatur, quae scilicet utrorumque est differentia. Quod si sesquitertia sit proportio, ut si octo senario comparentur, idem binarius utrosque metitur. Id vero non evenit in ceteris generibus inaequalitatum, quae supra retulimus, ut in superpartiente. Nam si quinarium ad ternarium comparemus, binarius, qui eorum est differentia, neutrum metitur. Nam semel ternario comparatus minor est, duplicatus excedit. Item bis quinario comparatus minor est, tertio vero supergreditur. Atque idcirco hoc primum inaequalitatis genus a consonantiae natura disiungitur. Amplius: quod in his, quae consonantias formant, multa similia surrt, in illis vero minime, id probatur hoc modo: Namque duplum nihil est aliud nisi bis simplum, triplum nihil aliud nisi tertio simplum, quadruplum vero idem est quod quarto simplum, sesqualterum bis medietas, sesquitertium ter pars tertia, quod haud facile in ceteris inaequalitatum generibus invenitur.

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Ou se trouvent les consonances. XXVIIII. Dans ces comparaisons de gravite et d'acuite, il importe de decouvrir cette sorte de consonances qui soient commensurables entre elles, c'est-a-dire qui admettent une mesure commune. Dans les multiples, par exemple, le double est ce que mesure la part constituee par la difference entre deux nombres: ainsi entre 2 et 4, 2 mesure l'un et l'autre; entre 2 et 6 qui sont en rapport triple, 2 mesure l'un et l'autre; entre 9 et 8, c'est l'unite elle-meme qui mesure l'un et l'autre. Venons-en aux superpartiels. Soit un rapport sesquialtere comme 4:6: 2 mesure l'un et l'autre - c'est aussi la difference entre les deux nombres. S'il s'agit d'un rapport sesquitierce comme 6:8, 2 mesure egalement l'un et l' autre de ces nombres. II n' en va pas de meme dans les autres classes d'inegalites clont il a ete question plus haut63 , comme dans la classe des superpartients. Car si nous comparons 5 a 3, 2 qui est leur difference, ne mesure ni l'un ni l'autre. En effet, 2 rapporte une seule fois a 3, est plus petit [que ce nombre], multiplie par 2, il le depasse. 2, pris deux fois et rapporte a 5, est plus petit [que ce nombre], [221] en revanche il est superieur a 3. C'est la raison pour laquelle cette classe d'inegalite a ete la premiere a avoir ete ecartee de l'essence de la consonance. Ajoutons que dans les termes qui forment les consonances, il y a beaucoup de choses semblables; dans les autres, il y en a tres peu. En voici la preuve: le double en effet n'est rien d'autre que deux fois le simple, le triple, rien d'autre que le rapport du simple a 3, de meme le quadruple celui du simple a 4. Le sesquialtere est deux fois la moitie, le sesquitierce trois fois le tiers 64 • De telles choses ne se trouvent pas aussi facilement dans les autres classes d'inegalites.

Ci-dessus I,4. Ces deux demieres propositions demeurent obscures. Une glose du IX' siede observe que « dans le sesquialtere, il n' existe pas plus de deux moities dans le nombre le plus petit. De meme, dans le sesquitierce, on ne trouve pas plus de trois tiers » (Glossa maior, I,29,56).

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Quemadmodum Plato dicat fieri consonantiam.

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XXX. Plato autem hoc modo fieri in aure consonantiam dicit. N ecesse est, inquit, velociorem quidem esse acutiorem sonum. Hie igitur cum gravem praecesserit, in aurem celer ingreditur, offensaque extrema eiusdem corporis parte quasi pulsus iterato motu revertitur. Sed iam segnior nec ita celeri ut primo impetu emissus cucurrit, quocirca gravior quoque. Cum igitur iam gravior rediens nunc primum venienti gravi sono similis occurrit, miscetur ei unamque ut ait consonantiam miscet.

Quid contra Platonem Nicomachus sentiat.

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XXXI. Sed id Nicomachus non arbitratur veraciter dictum neque enim similium esse consonantiam sed dissimilium potius in unam eandemque concordiam venientium. Gravem vero gravi si misceatur, nullam facere consonantiam, quoniam hanc canendi concordiam similitudo non efficit, sed dissimilitudo, quae, cum distet in singulis vocibus copulatur in mixtis. Sed hinc potius Nicomachus fieri consonantiam putat: Non, inquit, unus tantum pulsus est, qui simplicem modum emittat vocis, sed semel percussus nervus saepius aerem pellens multas efficit voces. Sed quia haec velocitas est percussionis, ut sonus sonum quodammodo conprehendat, distantia non sentitur et quasi una vox auribus venit. Si igitur percussiones gravium sonorum commensurabiles sint percussionibus acutorum sonorum, ut in his proportionibus, quas supra retulimus, non est dubium, quin ipsa commensuratio sibimet misceatur unamque vocum efficiat consonantiam.

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Voiei eomment, selon Platon, on obtient une eonsonanee. XXX. Selon Platon, la consonanee se produit a l' oreille de la maniere suivante 65 : il est neeessaire, dit-il, que le son le plus aigu soit aussi le plus rapide. Celui-ei clone, devarn;:ant le son grave, penetre vivement dans l'oreille et apres avoir heurte la partie la plus profonde de eet organe, en revient, par un mouvement de retour, eomme sous l' effet d'un ehoe. Mais sous l'effet d'une impulsion moins vive que la premiere, sa eourse se trouve des lors affaiblie. C'est pourquoi il est aussi plus grave. Done lorsque le son le plus grave revient, semblable au son grave qui vient a sa reneontre, il se melange a ee dernier et, eomme le dit Platon, se mele en une eonsonanee. En quoi Nieomaque s' oppose a Platon. XXXI. Mais Nieomaque pense que eela n'est pas la verite, qu'il n'y a pas de eonsonnanee entre des sons semblables, mais plutot des sons differents parvenant a un seul et meme aeeord66 • Si un son grave se mele a un son grave, il ne produira aueune eonsonanee, puisque ee n'est pas la ressemblanee, [222] mais bien la dissemblance qui realise eet aeeord dans le chant. Cette derniere, puisqu'il y a separation entre des sons isoles, les eombine en sons meles. Mais voici eomment Nieomaque eorn;:oit la genese de la eonsonanee : une seule impulsion, dit-il, ne suffit pas a produire un son, aussi simple que soit sa mesure: une eorde frappee une seule fois frappe l'air a plusieurs reprises et produit de nombreux sons. Or la rapidite de ee battement est telle qu'un son en reeouvre un autre; on ne perc;:oit aucun intervalle : un seul son en somme parvient aux oreilles. Ainsi clone, si les vibrations des sons graves sont eommensurables avee les vibrations des sons aigus, eomme dans les rapports clont il a ete question plus haut, nul doute que eette eommensuration assure une fusion et reunit les sons en une seule eonsonanee.

Platon, Timee, Süa-b. On ne conna!t aucun texte de Nicomaque sur les theories exposees dans ce chapitre et dans le suivant (cf. Bower, Sources, p. 7; Bower, Boethius, p. 49, n. 133). 65

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Quae consonantia quam merito praecedat.

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XXXII. Sed inter omnes quas retulimus consonantias habendum iudicium est, ut in aure, ita quoque in ratione, quam earum meliorem oporteat arbitrari. Eodem namque modo auris afficitur sonis vel oculus aspectu, quo animi iudicium numeris vel continua quantitate. Proposita enim numero vel linea nihil est facilius quam eius duplum oculo vel animo contueri. Item post dupli iudicium sequitur dimidii, post dimidii tripli, post tripli partis tertiae. Ideoque quoniam facilior est dupli descriptio, optimam Nicomachus putat diapason consonantiam, post hanc diapente, quae medium tenet, hinc diapente ac diapason, quae triplum, ceteraque secundum eundem modum formamque diiudicat. Non vero eodem modo hoc Ptolomaeus, cuius omnem sententiam posterius explicabo.

Quo sint modo accipienda, quae dicta sunt.

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XXXIII. Omnia tarnen quae dehinc diligentius expedienda sunt, summatim nunc ac breviter adtemptamus, ut interim in superficie quadam haec animum lectoris assuefaciant, qui ad interiorem scientiam posteriore tractatione descendet. Nunc vero quod erat Pythagoricis in more, ut, cum quid a magistro Pythagora diceretur, hinc nullus rationem petere audebat, sed eis erat ratio docentis auctori tas, idque fiebat, quamdiu discentis animus firmiore doctrina roboratus ipse earundem rerum rationem nullo etiam docente repperiret: ita etiam nunc lectoris fidei quae proponimus commendamus, ut arbitretur diapason in dupla, diapente in sesqualtera, diatessaron in sesquitertia, diapente ac diapason in triplici, bis diapason in quadrupla proportione consistere. Post vero et ratio diligentius explicabitur et quibus modis aurium quoque iudicio consonantiae musicae colligantur, ceteraque omnia, quae superius dicta sunt, amplior tractatus edisseret, ut

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De l' ordre des consonances selon leur merite. XXXII. Mais de toutes les consonances que nous avons admises, il faut decider, du point de vue de l' audition mais aussi de la raison, laquelle d'entre-elles doit etre tenue pour meilleure. De meme que l'oreille est affectee par les sons, ou l' oeil par l' apparence des choses, le jugement de l'ame est sensible aux nombres ou a la quantite continue. Soit un nombre ou une ligne, rien rien de plus facile pour l'oeil ou pour l'esprit que d'en apprecier le double. Apres l'appreciation du double vient celle de la moitie, apres la moitie celle du triple, apres celle du triple celle du tiers. Aussi, puisque la description du double est plus facile, Nicomaque pense que la consonance d' octave est la meilleure ; apres celle-ci vient la quinte qui fait la moitie, puis la quinte-plus-octave - le triple -, puis il evalue les autres de la meme maniere et selon le meme principe. Ptolemee, en revanche, ne voit pas les choses de la meme maniere - j'expliquerai plus loin toute sa theorie 67 • Comment comprendre ce qui vient d'etre dit. XXXIII. Toutes ces choses seront precisees ulterieurement. [223] Nous tenterons a present de les resumer brievement afin d' accoutumer provisoirement l' esprit du lecteur a une approche superficielle de cette matiere; des developpements ulterieurs le plongeront au coeur du savoir. Voila, a present, quelle faait la coutume chez les Pythagoriciens : ce qui venait d'etre dit par le maitre Pythagore, personne n'osait en demander la raison, car l' autorite meme de l' enseignant leur tenait lieu de raison. Cette attitude se prolongeait jusqu'au moment ou l'esprit de l'eleve, affermi par une doctrine plus forte, decouvrait par lui-meme la raison de ces choses, sans l'aide d'aucun maitre. De la meme maniere, nous recommandons au lecteur d' accorder creance a ces propositions: il considerera que l'octave est en rapport double, la quinte en rapport sesquialtere, la quarte en rapport sesquitierce, la quinteplus-octave en rapport triple, la double octave en rapport quadruple. On expliquera ensuite plus precisement pour quelle raison et de quelle maniere les consonances sont apprehendees par l' audition et tout ce qui par ailleurs a fae dit auparavant. Un expose plus developpe leur sera consa-

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Cf V,7-12.

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tonum sesquioctavam facere proportionem eumque in duo aequa dividi non posse, sicut nullam eiusdem generis proportionem, id est superparticularis; diatessaron etiam consonantiam duobus tonis semitonioque consistere; semitonia vero esse duo, maius ac minus; diapente autem tribus tonis ac minore semitonio contineri; diapason autem quinque tonis ac duobus minoribus semitoniis expleri, ne que ad sex tonos ullo modo pervenire. Haec omnia posterius et numerorum ratione et aurium iudicio conprobabo. Atque haec hactenus. Quid sit musicus.

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XXXIII!. Nunc illud est intuendum, quod omnis ars omnisque etiam disciplina honorabiliorem naturaliter habeat rationem quam artificium, quod manu atque opere exercetur artificis. Multo enim est maius atque auctius scire, quod quisque faciat, quam ipsum illud efficere, quod sciat; etenim artificium corporale quasi serviens famula tur, ratio vero quasi domina imperat. Et nisi manus secundum id, quod ratio sancit, efficiat, frustra sit. Quanta igitur praeclarior est scientia musicae in cognitione rationis quam in opere efficiendi atque actu ! Tantum scilicet, quantum corpus mente superatur; quod scilicet rationis expers servitio degit. Illa vero imperat atque ad rectum deducit. Quod nisi eius pareatur imperio, expers opus rationis titubabit. Unde fit, ut speculatio rationis operandi actu non egeat, manuum vero opera nulla sint, nisi ratione ducantur. lam vero quanta sit gloria meritumque rationis, hinc intellegi potest, quod ceteri ut ita dicam corporales artifices non ex disciplina sed ex ipsis potius instrumentis cepere vocabula. Nam citharoedus ex cithara, auloedus ex tibia, ceterique suorum instrumentorum vocabulis nuncupantur. Is vero est musicus, qui ratione perpensa canendi scientiam non servitio operis sed imperio speculationis adsumpsit. Quod scilicet in aedificiorum bellorumque opere videmus, in contraria scilicet nuncupatione vocabuli. Eorum namque nominibus vel aedificia inscribuntur vel ducuntur triumphi, quo-

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cre : qu'un rapport sesquioctave produit un ton et que celui-ci ne peut etre divise en deux parties egales de meme qu' aucun autre rapport du meme genre, a savoir superpartiel; mais aussi que la quarte est une consonance formee de deux tons et d'un derni-ton; qu'il y a deux derni-tons, un plus grand et un plus petit; que la quinte renferme trois tons et un derni-ton plus petit; mais que l' octave est formee de cinq tons et de deux demi-tons plus petits et qu' eile ne saurait d' aucune maniere totaliser jusqu' a six tons. Tout cela, je le demontrerai plus loin, a la fois par la theorie des nombres et l'appreciation de l'oreille. C'est tout pour l'instant.

Qu'est-ce qu'un musicien? XXXIII!. 11 convient, a present, d' avoir a l' esprit que tout art et meme toute science tient par nature la raison pour plus honorable que l'artefact, realise par la main et le travail de l'artisan. [224] Il est bien plus important et plus noble de savoir ce que fait chacun que de realiser ce que chacun sait. En effet, l'habilete physique repond a nos besoins comme un serviteur; la raison en revanche ordonne en maitresse. Et si la main n'ceuvre pas selon ce que la raison lui ordonne, eile agit en vain. C'est dire que la science de la musique tient bien davantage son erninence de la connaissance rationneile que de la rnise en ceuvre et en acte. Et c'est dans la meme mesure que le corps est domine par l' esprit : car quiconque est depourvu de raison est voue a la condition de serviteur. La raison, en revanche, commande et conduit a quelque chose de juste. Ainsi si l'on n' obeit pas a son commandement, l' ceuvre depourvue de raison sera chancelante. 11 s'ensuit que la reflexion rationneile n'a pas besoin de l'acte d'execution; en revanche, les travaux manuels sont vains s'ils ne sont guides par la raison. D'ailleurs on comprendra toute la valeur et le merite de la raison a partir de ce fait : tous ceux qui ceuvrent a la matiere tiennent, comme je vais le dire, leur denomination non point de leur savoir, mais bien plut6t de leurs instruments. En effet, le citharede tient son nom de la cithare, l' aulete de l' aulos, et ainsi les autres de leurs instruments respectifs. Mais est musicien, en revanche, celui qui, respectant la raison, soumet la science du chant non pas au service de l' ceuvre, mais a l' empire de la reflexion. A cet egard, la construction de monuments et les travaux de guerre temoignent d'un usage inverse dans l'attribution des

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rum imperio ac ratione instituta surrt, non quorum opere servitioque perfecta. Tria igitur genera surrt, quae circa artem musicam versantur. Unum genus est, quod instrumentis agitur, aliud fingit carmina, tertium, quod instrumentorum opus carmenque diiudicat. Sed illud quidem, quod in instrumentis positum est ibique totam operam consumit, ut surrt citharoedi quique organo ceterisque musicae instrumentis artificium probant, a musicae scientiae intellectu seiuncti surrt, quoniam famulantur, ut dictum est : nec quicquam afferunt rationis, sed surrt totius speculationis expertes. Secundum vero musicam agentium genus poetarum est, quod non potius speculatione ac ratione, quam naturali quodam instinctu fertur ad carmen. Atque idcirco hoc quoque genus a musica segregandum est. Tertium est, quod iudicandi peritiam sumit, ut rythmos cantilenasque totumque carmen possit perpendere. Quod scilicet quoniam totum in ratione ac speculatione positum est, hoc proprie musicae deputabitur, isque est musicus, cui adest facultas secundum speculationem rationemve propositam ac musicae convenientem de modis ac rythmis deque generibus cantilenarum ac de permixtionibus ac de omnibus, de quibus posterius explicandum est, ac de poetarum carminibus iudicandi.

Explicit de musica id est armonica institutione liber primus.

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noms. Les monuments portent les noms de ceux a l' autorite et la raison desquels ils doivent leur existence et non point de ceux qui les ont realises par leur travail et leur condition d' esclave et il en va de meme des chefs de guerre dorrt Oll celebre le triomphe. En musique, trois genres sont mis en ceuvre : dans le premier genre on joue des instruments, dans le second on compose des chants, dans le troisieme Oll juge a la fois des realisations instrumentales et chantees. Celui qui s' en tient aux instruments et qui y consacre toute son activite comme les citharedes et tous ceux qui exercent leur art sur l' orgue ou d'autres instruments de musique - [225] sont exclus de la comprehension de la science musicale puisqu'ils ne sont que des serviteurs, comme nous l'avons dit: ils ne font aucun usage de la raison et sont depourvus de tout esprit de reflexion. La seconde classe de gens qui font de la musique, est celle des poetes: ils s'adonnent au chant, moins par reflexion et par raison que par un certain instinct naturel. C' est pourquoi il convient egalement de les dissocier de la musique. La troisieme classe est celle qui detient la competence de juger, qui lui permet d' apprecier distinctement les rythmes, les melodies et le chant dans son ensemble. Puisque cette derniere classe se fonde entierement sur la raison et la reflexion, il faut en faire le genre propre de la musique. Est musicien celui qui, en se fondant sur la reflexion, ou sur la raison qui preside et convient ala musique, possede la faculte de juger des modes, des rythmes, des genres de cantilene, des melanges sonores et de tout ce qu'il faudra expliquer par la suite, ainsi que des chants des poetes.

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Incipiunt capitula libri secundi. 1. Proemium. II. Quid Pythagoras esse philosophiam constituerit III. De differentiis quantitatis et quae cui sit disciplinae deputata. IIII. De relativae quantitatis differentiis. V. Cur multiplicitas ceteris antecellat. VI. Quid sint quadrati numeri deque his speculatio. VII. Omnem inaequalitatem ex aequalitate procedere eiusque demonstratio. VIII. Regulae quotlibet continuas proportiones superparticulares inveniendi. VIIII. De proportione numerorum, qui ab aliis metiuntur. X. Qui ex multiplicibus et superparticularibus multiplicatis fiant. XI. Qui superparticulares quos multiplices efficiant. XII. De arithmetica geometrica armonica medietate. XIII. De continuis medietatibus et disiunctis. XIIII. Cur ita appellatae sint digestae superius medietates. XV. Quemadmodum ab aequalitate supradictae processerint medietates. XVI. De armonica medietate deque ea uberior speculatio. XVII. Quemadmodum inter duos terminos supradictae medietates vicissim locentur. XVIII. De consonantiarum merito vel modo secundum Nicomachum. XVIIII. De ordine consonantiarum sententia Eubulidis et Hippasi. XX. Sententia Nicomachi, quae quibus consonantiis obponantur. XXI. Quid oporteat praemitti, ut diapason in multiplici genere demonstretur. XXII. Demonstratio per inpossibile diapason in multiplici genere esse. XXIII. Demonstratio diapente, diatessaron et tonum in superparticulari esse. XXIIII. Demonstratio diapente et diatessaron in maximis superparticularibus esse. XXV. Diapente in sesqualtera, diatessaron in sesquitertia

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I. II. III. IIII. V. VI. VII. VIII. VIIII. X.

XI. XII. XIII. XIIII. XV. XVI. XVII. XVIII. XVIIII. XX. XXI. XXII. XXIII. XXIIII. XXV.

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Avant-propos De la philosophie, selon la conception de Pythagore. Des differentes sortes de quantite et de leur savoir respectif Des differentes sortes de quantite relative. Pourquoi la multiplicite l' emporte sur tous les autres. Ce que sont les nombres carres ; une reflexion a leur propos. Que toute inegalite procede de l' egalite - demonstration. Regles pour trouver un nombre quelconque de rapports superpartiels continus. Du rapport des nombres qui sont divises par d' autres. Ce que l' Oll obtient a partir des multiples et des multiples superpartiels. Quels superpartiels engendrent quels multiples. Les moyennes arithmetique, geometrique et harmonique. Des moyennes continues et disjointes. Pourquoi a-t-on appele ainsi les moyennes ci-dessus. Comment les moyennes exposees ci-dessus naissent-elles de l' egalite? De la moyenne harmonique : un examen plus pousse. Comment disposer entre deux termes les moyennes precedemment etudiees. Du merite ou de la mesure des consonances selon Nicomaque. Opinion d'Eubulides et d'Hippasus sur l' ordre des consonances. Quelles consonances sont opposees a quelles autres : l' opinion de Nicomaque. Voici ce qu'il convient de presupposer pour demontrer que l' octave appartient au genre multiple. Demonstration par l'absurde que l'octave est du genre multiple. Demonstration que la quinte, la quarte et le ton appartiennent a la classe des superpartiels. Demonstration que la quinte et la quarte correspondent aux rapports superpartiels les plus grands. La quinte est en rapport sesquialtere, la quarte en rapport sesquitierce et le ton en rapport sesquioctave.

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esse, tonum in sesquioctava. XXVI. Diapason ac diapente in tripla proportione esse, in quadmpla bis diapason. XXVII. Diatessaron ac diapason non esse secundum Pythagoricos consonantias. XXVIII. De semitonio, in quibus minimis numeris constet. XXVIII!. Demonstrationes non esse .CCXLIII. ad .CCLVI. toni medietatem. XXX. De maiore parte toni, in quibus minimis numeris constet. XXXI. Quibus proportionibus diapente ac diapason constent et quoniam diapason sex tonis non constet.

Expliciunt capitula. Incipit liber secundus. Proemium.

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I. Superius volumen cuncta digessit, quae nunc diligentius demonstranda esse proposui. Itaque priusquam ad ea veniam, quae propriis rationibus perdocenda surrt, pauca praemittam, quibus elucubratior animus auditoris ad ea quae dicenda surrt accipienda perveniat.

Quid Pythagoras esse philosophiam constituerit. 20

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II. Primus omnium Pythagoras sapientiae studium philosophiam nuncupavit, quam scilicet eius rei notitiam ac disciplinam ponebat, quae proprie vereque esse diceretur. Esse autem illa putabat, quae nec intentione crescerent, nec deminutione decrescerent nec ullis accidentibus mutarentur. Haec autem esse formas magnitudines qualitates habitudines ceteraque quae per se speculata inmutabilia surrt, iuncta vero corporibus permutantur et multimodis variationibus mutabilis rei cognatione vertuntur.

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XXVI.

L'octave plus quinte se trouve en rapport triple, la double octave en rapport quadruple. XXVII. La quarte plus octave n' est pas une consonance selon les Pythagonc1ens. XXVIII. A propos du demi-ton : quels en sont les nombres les plus petits? XXVIIII. Demonstrations que 243 :256 n'est pas la moitie du ton. XXX. De la plus grande partie du ton, quels en sont les plus petits nombres. XXXI. Quels sont les rapports de la quinte et de l' octave et pourquoi l' octave ne se compose pas de six tons.

Avant-propos I. Le precedent livre exposait l'ensemble des choses que je me propose

a present de demontrer minutieusement. Avant d'en venir a ce qui doit etre enseigne selon ses propres raisons, voici quelques prealables qui permettront a l' esprit de l' auditeur, ainsi mieux prepare, de comprendre les choses clont il conviendra de parler. De la philosophie, selon la conception de Pythagore 1. II. Pythagore fut le premier de tous a appeler « philosophie » l'etude de la sagesse. Il posait en effet qu'elle etait la connaissance et le savoir de ce qui, au sens propre et veritable, meritait le nom d'etre. On peut parler d'etre, pensait-il, pour ce qui ne s'accroitrait pas par augmentation, ni ne decroitrait par diminution et qui ne se modifierait sous l' effet d' aucun accident. Teiles sont les formes, les grandeurs, les qualites, les rapports et tout ce qui, considere en soi, demeure immuable, [228] mais qui, uni a des substances materielles, se transforme et se trouve affecte de variations multiples, de par son affinite avec un element soumis au changement.

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Voir De inst. arithm., !, 1 (p. 7.21-8.11).

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De differentiis quantitatis et quae cui sit disciplinae deputata. 5

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5

III. Omnis vero quantitas secundum Pythagoram vel continua vel discreta est. Sed quae continua est, magnitudo appellatur, quae discreta est, multitudo. Quorum haec est diversa et contraria paene proprietas. Multitudo enim a finita inchoans quantitate crescens in infinita progreditur, ut nullus crescendi finis occurrat; estque ad minimum terminata, interminabilis ad maius, eiusque principium unitas est, qua minus nihil est. Crescit vero per numeros atque in infinita protenditur nec ullus numerus, quominus crescat, terminum facit. Sed magnitudo finitarn rursus suae mensurae recipit quantitatem, sed in infinita decrescit. N am si sit pedalis linea vel cuiuslibet alterius modi, potest in duo aequa dividi, eiusque medietas in medietatem secari eiusque rursus medietas in aliam medietatem, ut nunquam ullus secandi magnitudinem terminus fiat. Ita magnitudo, quantum ad maiorem modum, terminata est, fit vero, cum decrescere coeperit, infinita. At contra numerus quantum ad minorem modum finitus est, infinitus autem incipit esse, cum crescit. Cum igitur haec ita sint infinita, tarnen quasi de rebus finitis philosophia pertractat, inque rebus infinitis repperit aliquid terminatum, de quo iure passet acumen propriae speculationis adhibere. Namque magnitudinis alia sunt inmobilia, ut quadratum vel triangulum vel circulus, alia vero mobilia, ut sphera mundi et quicquid in eo rata celeritate convertitur. Discretae vero quantitatis alia sunt per se, ut tres vel quattuor vel ceteri numeri, alia vero ad aliquid, ut duplum, triplum aliaque quae ex comparatione nascuntur. Sed inmobilis magnitudinis geometria speculationem tenet, mobilis vero scientiam astronomia persequitur, per se vero discretae quantitatis arithmetica auctor est, ad aliquid vero relatae musica probatur obtinere peritiam.

DE INSTITUTIONE MUSICA

101

Des differentes sortes de quantite et de leur savoir respectif 2 • III. Toute quantite selon Pythagore est soit continue, soit discrete. La quantite continue s'appelle la grandeur, la quantite discrete multiplicite. Elles possedent chacune une propriete differente et presque opposee. La multiplicite, qui commence par une quantite finie, en croissant, progresse vers l'infini, en sorte qu'elle ne rencontre aucun terme a sa croissance. Elle est limitee quant au minimum, mais illimitee quant a son maximum. Elle a pour origine l'unite qui n'admet rien de plus petit. Elle croit au moyen des nombres et s'etend a l'infini, et aucun nombre, quel que soit son accroissement, ne lui impose de terme. En revanche, la grandeur rec;:oit une quantite finie pour sa mesure, mais elle decroit a l'infini. Soit en effet une ligne d'un pied ou de toute autre mesure, elle peut etre divisee en deux parties egales, et sa moitie peut a nouveau etre divisee en son milieu, et cette nouvelle moitie en deux autres : ainsi le processus de division de la grandeur ne connait jamais de fin. Ainsi la grandeur, bien qu'elle soit lirnitee quant a sa mesure la plus grande, devient infinie des lors qu'elle a commence a diminuer. En revanche, le nombre est lirnite quant a sa mesure la plus petite, mais il devient infini des lors qu'il croit. Bien que ces quantites soit infinies, la philosophie en traite cependant comme de choses finies, et dans ces choses infinies elle decouvre quelque chose de lirnite sur quoi elle pourrait ajuste titre appliquer ses theories dans toute leur subtilite. Parrni les grandeurs, les unes sont immobiles, comme le carre, le triangle ou le cercle, les autres [229] mobiles, comme la sphere du monde et tout ce qui en elle evolue a une vitesse prescrite. Parmi les quantites discretes, certaines le sont en soi, comme trois ou quatre ou tout autre nombre, d'autres, comme le double, le triple, sont en relation avec quelque chose, et d'autres naissent d'un rapport. La geometrie s'attache a la speculation de la grandeur immobile, l'astronomie se consacre a la grandeur mobile, l'arithmetique a autorite sur la quantite discrete en soi, la musique - on le montrera - procure l' experience de la quantite discrete en relation avec quelque chose d' autre.

2

Voir De inst. arithm„ I, 1 (p. 8.15-9.6).

102

ANICIUS MANLIUS SEVERINUS BOETHIUS

De relativae quantitatis dijferentiis.

10

15

20

IIII. Ac de ea quidem quantitate discreta, quae per se est, in arithmeticis sufficienter diximus. Relatae vero ad aliquid quantitatis simplicia quidem genera sunt tria, unum quidem multiplex, aliud vero superparticulare, tertium superpartiens. Cum vero multiplex superparticulari superpartientique miscetur, fiunt aliae ex his duae, id est multiplex superparticularis et multiplex superpartiens. Horum igitur omnium talis est regula : Si unitatem cunctis in naturali numero volueris comparare, ratus multiplicis ordo texetur. Duo enim ad unum duplus est, tres ad eundem triplus, quattuor quadruplus et in ceteris eodem modo, ut subiecta descriptio docet. 1. II.

25

230

1. III.

1. IIII.

1. V.

Si vero superparticularem proportionem quaeras, naturalem sibi compara numerum detracta scilicet unitate, ut tres duobus - sesqualter est enim - quattuor tribus, qui sesquitertius est, quinarium quaternario, qui sesquiquartus est, et in ceteris eodem modo, quod monstrat subiecta descriptio.

----------- ---sesqualter

5

II.

sesquiquartus

III.

IIII.

sesqmtertius

10

I. VII.

1. VI.

sesquisextus

V.

VI.

VII.

sesqmquintus.

Superpartientes autem tali modo repperies. Disponas naturalem numerum a ternario scilicet inchoantem. Si unum igitur intermiseris, superbipartientem effici pernotabis; quod si duo, supertripartientem; quod si tres, superquadripartientem, idemque in ceteris.

103

DE INSTITUTIONE MUSICA

Des differentes sortes de quantite relative 3 . IIII. Or, de la quantite discrete en soi, nous en avons suffisamment parle dans les livres d' arithmetique. Il y a trois genres simples de la quantite rapportee a quelque chose d'autre: le premier est le multiple, le deuxieme le superpartiel et le troisieme le superpartient. Lorsque le multiple est mele au superpartiel ou au superpartient, on obtient deux autres genres : le multiple superpartiel et le multiple superpartient. Voila la regle de tous ces genres. En comparant l'unite a toutes les autres quantites dans la serie des nombres naturels on obtient la sequence ordonnee des multiples. Deux est le double de un, trois le triple du meme, quatre le quadruple, et ainsi de suite de la meme maniere, comme le montre le diagramme suivant :

1 2

1 4

1 3

1

5

1 6

1 7

Si tu cherches un rapport superpartiel, compare un nombre naturel a luimeme, auquel tu auras retranche une unite, comme trois a deux - le sesquialtere -, quatre a trois - c' est le sesquitierce -, cinq a quatre - le sesquiquarte [230], et ainsi de suite, de la meme maniere, comme le montre le diagramme ci-dessous : sesqmalter

2

sesqmsexte

sesqmquarte

4

3 sesqmtierce

6

5

7

sesqmquinte

Voici la fo;:on clont tu trouveras les superpartients. Dispose la serie des nombres naturels en commern;:ant par trois. Si tu intercales un nombre, tu verras que tu auras obtenu un superbipartients; si tu en intercales trois, tu obtiendras un superquadripartients, et ainsi de suite.

3

Voir De inst. arithm., !, 22 (p. 46.6-9); !, 23 (p. 46.23-47.6); !, 24; !, 28 (p. 58.18-26).

104

ANICIUS MANLIUS SEVERINUS BOETHIUS

superquadripartiens

superbipartiens III. 15

IIII.

V.

VI.

VII.

VIII.

VIIII.

supertripartiens

Ad hunc vero ordinem spectans et compositas ex multiplici et superparticulari vel multiplici et superpartienti proportiones lector diligens speculabitur. Sed de his tarnen omnibus in arithmeticis expeditius dictum est. 20

25

231

5

10

Cur multiplicitas ceteris antecellat. V. Sed in his illud est considerandum, quod multiplex inaequalitatis genus lange duobus reliquis videtur antiquius. Naturalis enim numeri dispositio in multiplicibus unitati, quae prima est comparatur, superparticularis vero non unitatis comparatione perficitur, sed ipsorum, qui post unitatem surrt dispositi, numerorum, ut ternarii ad binarium, quaternarii ad ternarium et in ceteris ad hunc modum. Superpartientium vero lange retro formatio est, quae nec continuis numeris comparatur, sed intermissis, nec semper aequali intermissione, sed nunc quidem una, nunc vero duabus, nunc vero tribus, nunc quattuor, atque ita in infinita succrescit. Amplius : multiplicitas ab unitate incipit, superparticularitas a binario, superpartiens proportio a ternario initium capit. Sed de his hactenus. Nunc quaedam, quae quasi axiomata Graeci vocant, praemittere oportebit, quae tune demum, qua spectare videantur, intellegemus, cum de uniuscuiusque rei demonstratione tractabimus.

Quid sint quadrati numeri, deque his speculatio.

15

VI. Quadratus numerus est, qu1 gem1na demensione in aequa concreverit, ut bis duo, ter tres, quater quattuor, quinquies . V., sexiens . VI., quorum est ista descriptio :

105

DE INSTITUTIONE MUSICA

superbipartients

3

4

superquadripartients

5

6

7

8

9

supertripartients En considerant attentivement cette ordonnancement, le lecteur applique observera les rapports composites associant multiple et superpartiel ou multiple et superpartients. Mais de toutes ces choses il a ete question plus longuement dans les livres d'arithmetique. Pourquoi la multiplicite l'emporte sur tous les autres 4 • V. Sur ce point il faut relever que la classe d'inegalite des multiples semble de loin superieure aux deux autres. En effet, dans le cas des multiples, la serie naturelle des nombres est rapportee a l'unite, qui est premiere. En revanche, le superpartiel n'est pas obtenu par rapport a l'unite, mais par rapport a ces nombres qui sont places a la suite de l'unite, comme 3:2, 4:3, et ainsi de suite, de cette fac,:on-Ia. La formation des superpartients se fait en reculant bien davantage : [231] elle consiste a comparer des nombres non point continus, mais discontinus, et d'une discontinuite non point reguliere, mais procedant par des intervalles tantöt de 1, tant6t de 2, de 3 ou de 4, et ainsi de suite a l'infini. Plus generalement la multiplicite commence par l'unite, la superpartialite par 2. Sur ce point, cela suffit. II convient apresent de poser ce que les Grecs appelleraient des axiomes et clont nous percevrons l'utilite lorsque nous procederons a la demonstration de chacun des points. Ce que sont les nombres carres; une reflexion

aleur propos5.

VI. Un nombre carre est un accroissement resultant du produit d'une mesure par elle-meme: ainsi 2 fois 2, 3 fois 3, 4 fois 4, 5 fois 5, 6 fois 6. En voici un diagramme :

4 5

Voir De inst. arithm., l, 26-27. Voir De inst. arithm., II, 10-11.

106 II. IIII.

20

25

232

s

10

15

20

ANICIUS MANLIUS SEVERINUS BOETHIUS

III. VIIII.

IIII. XVI.

V. VI. VII. VIII. XXV. XXXVI. XLVIIII. LXIIII.

VIIII. LXXXI.

X. C.

Superius igitur dispositus numerus naturalis est latus quadratorum inferius descriptorum. Continui enim naturaliter sunt quadrati, qui sese in subiecto ordine consequuntur, ut IIII. VIIII. XVI. et ceteri. Si igitur continuum quadratum minorem a continuo quadrato maiore sustulero, quod relinquitur, tantum erit, quantum est, quod ab utrorumque quadratorum lateribus iungitur. Ut si quattuor auferam novenario, .V. sunt reliqui, qui ex duobus et tribus, qui sunt utrorumque quadratorum latera, coniunguntur. Item novenarium aufero de eo, qui sedecim numeris adscriptus est, septem sunt reliqui, qui scilicet ex ternario quaternarioque coniunctus est, qui praedictorum quadratorum latera sunt; idemque est in ceteris. Quod si non sint continui quadrati, sed unus inter eos transmissus sit, fit eius quod relinquitur medietas id, quod ex utriusque lateribus efficitur. Ut si quaternarium de sedecim quadrato auferam .XII. relinquuntur. Quorum .XII. medietas est is numerus, qui ex utrorumque lateribus convenit. Sunt autem utrorumque latera duo et quattuor, quae senarium iuncta perficiunt. Atque in ceteris idem modus est. Sin vero duo intermittantur, tertia pars erit eius quod relinquitur id, quod utrorumque latera coni ungun t. Ut si quattuor de .XXV. auferam intermissis duobus quadratis, reliqui .XXI. sunt. Eorum vero latera sunt duo et quinque, qui efficiunt septem, qui sunt pars tertia numeri .XXI. Atque haec est regula, ut, si tres intermissi sint, pars quarta sit id, quod ex utrorumque lateribus efficitur, eius, quod subtracto minore a maiore relinquitur; sin quattuor transmittantur, quinta, atque uno plus vocabulo numeri partes venient, quam fit intermissio numerorum.

107

DE INSTITUTIONE MUSICA

2 4

3 9

4 16

5 25

6

7

36

49

8 64

9

81

10 100

Le nombre naturel de la rangee superieure correspond au cote des nombres carres de la rangee inferieure. Les nombres carres qui se succedent dans la rangee inferieure forment une suite par nature continue, soit 4, 9, 16, etc. Si je retranche par consequent un nombre carre plus petit du nombre carre plus grand qui lui est contigu, le reste equivaut a la somme des cotes de ces deux nombres carres. Donc, sije retranche 4 de 9, il reste 5, somme de 2 plus 3 qui forment respectivement les cotes des deux carres. De meme, sije retranche 9 du nombre 16, il reste 7, somme [232] de 3 plus 4 qui sont les cütes des carres en question. Et il en va de meme dans tous les autres cas. Si les nombres qrres ne sont pas contigus - par omission d'un seul entre eux - , la moitie de ce qui reste est egal a la somme des cotes de chacun de ces carres: sije retranche 4 du carre 16, il reste 12, clont la moitie est la somme des cotes des deux carres. Les cotes de ces carres sont respectivement 2 et 4, clont la somme est egale a 6. On procede de la meme maniere pour les autres. En revanche, si l'on omet deux nombres carres, le tiers de ce qui reste est egal a la somme des deux carres en question. Ainsi, sije retranche 4 de 25, par omission de deux carres, il reste 21. Or les cotes de ces carres sont 2 et 5, qui font 7, soit le tiers de 21. Voici la regle: si trois nombres carres sont omis, le quart de la difference entre le plus grand et le plus petit sera egal a la somme des cotes des deux carres ; lorsque quatre sont omis, ce sera le cinquieme. Ainsi le nombre des parts sera-t-il toujours d'une unite superieure au nombre de carres OilllS.

108

ANICIUS MANLIUS SEVERJNUS BOETHIUS

Omnem inaequalitatem ex aequalitate procedere eiusque demonstratio.

25

30

233

5

10

15

20

VII. Est autem, quemadmodum unitas pluralitatis numerique principium, ita aequalitas proportionum. Tribus enim praeceptis, ut in arithmetica dictum est, multiplices proportiones ex aequalitate producimus, ex conversis vero multiplicibus superparticulares habitudines procreamus. Item ex conversis superparticularibus superpartientes comparationes efficimus. Ponantur enim tres unitates vel tres binarii vel tres ternarii vel quilibet aequi termini et sit primus primo aequus in sequenti scilicet ordine constitutus, secundus vero primo ac secundo, tertius primo, duobus secundis ac tertio. Ita enim numero progresso fit duplex, multiplicitatis prima proportio, ut descriptio monet : I. I.

I. 1111.

Nam unitas in secundo ordine constituta aequa est primae unitati in superiore loco dispositae. Item binarius aequus est primae unitati ac secundae unitati; item quaternarius aequus est unitati primae ac duabus unitatibus secundis atque unitati tertiae, et est 1. II. llII. dupla proportio. Quod si de his idem feceris, tripla comparatio procreabitur, ac de tripla quadrupla; de quadrupla quincupla, ac deinceps talis currit habitudinum procreatio. Rursus isdem tribus praeceptis superparticulares fient, ut uno probemus exemplo. Convertamus nunc et priorem maiorem numerum disponamus llII. II. 1. Ponatur igitur primus primo aequus, id est .llII., secundus primo scilicet et secundo, id est .VI., tertius primo, duobus secundis et tertio, id est . VII II., quibus dispositis sesqualtera notatur esse proportio. IIII. IIII.

25

I. II.

II. VI.

I. VIIII.

Atque id si de triplis fiat, sesquitertia, si de quadruplis, sesquiquarta, consimilibusque in alterutra parte vocabulis

DE INSTITUTIONE MUSICA

109

Que toute inegalite proeede de l'egalite - demonstration6 . VII. Par ailleurs, de meme que l'unite est a l'origine de la pluralite et du nombre, de meme l'egalite est a l'origine des rapports. C'est a l'aide de trois regles en effet - eomme il est dit dans l' Arithmetique - que nous produisons des rapports multiples a partir de l'egalite, et que nous generons des rapports superpartiels a partir de multiples inverses. De meme, partant de superpartiels inverses, nous realisons des rapports superpartients. Soient trois unites, ou trois 2, ou trois 3, ou n'importe quels termes egaux : le premier nombre plaee dans la seeonde rangee sera egal au premier, le seeond au premier plus le deuxieme, le troisieme au premier, plus deux fois le deuxieme, plus le troisieme. Ainsi, par une progression numerique, on obtient le double, premier rapport de la multiplieite, eomme l'indique ee diagramme :

1 1

1 2

1 4

En effet, le 1 de la seeonde rangee est egal au premier 1 de la rangee superieure; 2 est egal au premier 1, plus le deuxieme ; 4 est egal au premier 1, plus deux fois le deuxieme 1, plus le troisieme 1. Or 1, 2, 4 forment un rapport double. Si tu procedes de meme a l'aide de ces derniers nombres, tu genereras un rapport triple, et a partir du triple un quadruple, a partir d'un quadruple un quintuple, et c'est ainsi que va la generation des rapports. Nous montrerons par un exemple comment selon ces trois regles on obtient des superpartiels. Procedons tout d'abord al'inversion et plai;:ons tout d'abord le nombre le plus grand: 4, 2, 1. Posons clone clone le premier egal au premier (soit 4), le deuxieme egal au premier plus le deuxieme (soit 6), le troisieme egal au premier, plus deux fois le second, plus le troisieme (soit 9). Une fois disposes, on observe que le rapport est sesquialtere :

4

1 2 9 4 6 Si l' on proeede a partir de triples, on obtient le rapport sesquitierce, a partir de quadruples le sesquiquarte, et avec des denominations semblables

6

Voir De inst. arithm., !, 32 (p. 66.5-71.4).

110

234

5

10

15

20

25

ANICIUS MANLIUS SEVERINUS BOETHIUS

proportionalitas ex multiplicitate nascetur. Ex superparticularitate vero conversa ducitur superpartiens habitudo. Disponatur enim conversim sesqualtera comparatio VIIII. VI. 1111. Ponatur igitur primus primo aequus, id est .VIIII., secundus primo ac secundo, id est .XV. tertius primo, duobus secundis et tertio, id est .XXV. Ac disponantur in ordinem hoc modo : VIIII. VIIII.

VI. XV.

IIII. XXV.

Superbipartiens igitur ex conversis sesqualteris habitudo producta est. Quod si quis ad hanc speculationem diligens scrutator accedat, ex sesquitertiis conversis supertripartientem producit ceterisque similibus vocabulis adaequatis cunctas ex superparticularitate superpartientes species procreari mirabitur. Ex non conversis autem superparticularibus, sed ita, ut ex multiplici procreati sunt, manentibus necesse est multiplices superparticulares creari. Ex manentibus vero superpartientibus ita, ut ex superparticularibus prodierunt, non alii nisi multiplices superpartientes procreabuntur. Ac de his quidem hactenus; diligentius enim in arithmeticis libris de hac comparatione est disputatum.

Regulae quotlibet continuas proportiones superparticulares inveniendi. VIII. Saepe autem accidit, ut tres vel quattuor vel quotlibet aequas superparticularium proportiones de musica disputator inquirat. Sed ne id casu atque inscitia facientes error ullus difficultatis inpediat, hac regula quotlibet aequas proportiones ex multiplicitate ducemus. Unusquisque multiplex ab unitate scilicet computatus tot superparticulares habitudines praecedit suae scilicet in contrariam partem denominationis, quotus ipse ab unitate discesserit, hoc modo ut duplex sesqualteras antecedat,

DE INSTITUTIONE MUSICA

111

de part et d'autre, la proportion7 naitra de la multiplicite. Le rapport superpartient en revanche est tire d'une superpartialite inversee. Disposons de maniere inverse le rapport sesqualtere: 9, 6, 4. Posons le prernier nombre egal au prernier (soit 9), [234] le deuxieme egal au premier plus le deuxieme (soit 15), le troisieme egal au prernier, plus deux fois le deuxieme, plus le troisieme (soit 25). Disposons-les dans l' ordre comme ceci : 9 9

6 15

4 25

Le rapport superbipartient est ainsi cree a partir des sesquialteres inverses. Lc chcrcheur attentif qui se livre a ce calcul, produit, a partir de sesquitierces inverses un rapport supertripartient. Et en utilisant, dans tous les autres cas des appellations analogues, il sera surpris de produire a partir de la superpartialite toutes les especes superpartientes. Les multiples superpartiels doivent etre produits a partir de superpartiels non inverses, mais demeurant tels qu'ils ont ete crees a partir du multiple. En revanche, a partir de superpartients demeurant inchanges, tels qu'ils sont produits a partir des superpartiels, il ne naitra rien d'autre que des multiples superpartients. Mais nous avons assez parle de cela. D'ailleurs ces rapports ont ete discutes de la maniere la plus exhaustive dans les livres de l' Arithmetique8.

Regles pour trouver un nombre quelconque de rapports superpartiels . 9 contmus. VIII. II arrive souvent qu'un commentateur de la Musique cherche trois, quatre ou un nombre quelconque de rapports superpartiels identiques. Afin qu'aucune erreur, par hasard ou par ignorance n'entrave sa tache, nous allons, a l'aide de la regle suivante et partant de la multiplicite, deriver autant de rapports egaux que l' on voudra : tout multiple etabli a partir de l'unite, sera a la tete d'autant de rapports superpartiels, c'est-a-dire places dans la section perpendiculaire a celle de sa definition, qu'il sera lui-meme eloigne de l'unite. Ainsi, le double precede les rapports sesBoece utilise ici pour Ja premiere fois Je terrne proportionalitas. Voir Bower, Boethius, p. 58, n. 18 et p. 65, n. 34; Guillaumin, Arithm., p. 215-216, note 103. 8 De inst. arithm., !, 29. 9 De inst. arithm., II, 2 et!, 28 (p. 59.21-60.3). 7

112 30 235

ANICIUS MANLIUS SEVERINUS BOETHIUS

triplex sesquitertias, quadruplex sesquiquartas, ac deinceps in hunc modum. Sit igitur duplorum terminorum subiecta descriptio. I.

II. III.

5

10

15

25

30

VIII. XII. XVIII. XXVII.

XVI. XXIIII. XXXVI. LIIII. LXXXI.

In superiore igitur descriptione binarius primus multiplex unum ad se ternarium habet, qui possit facere sesqualteram proportionem. Ternarius vero non habet, qui ei possit esse sesqualter, quoniam medietate deficit. Rursus quaternarius secundus est duplex. Hie duos sesqualteros antecedit, senarium et novenarium, qui medietate caret; atque idcirco nullus ei in habitudine sesqualtera comparatur. Et in ceteris idem est. Tripli vero eodem modo sesquitertios creant. Sit enim similis in triplo descriptio: I.

20

IIII. VI. VIIII.

III. IIII.

VIIII. XII. XVI.

XXVII. XXXVI. XLVIII. LXIIII.

LXXXI. CVIII. CXLIIII. CXCII. CCLVI.

In superiore igitur descriptione sesquitertias proportiones ita natas videmus, ut primus triplex unum sesquitertium antecedat, secundus duos, tertius tres, semperque pars tertia in ultimo numero naturali quodam fine claudatur. Quod si quadruplum statueris, eodem modo sesquiquartos invenies, si quincuplum sesquiquintos ac deinceps. Singuli denominatione multiplices tot superparticulares praecedunt, quoto loco ipsi ab unitate discesserint. Unam vero tantum quadrupli dispositionem ponemus, ut in ea, sicut in ceteris, lector diligens acumen mentis exerceat.

DE INSTITUTIONE MUSICA

113

quialteres, le triple les sesquitierces, le quadruple les sesquiquartes [235] et ainsi de suite de cette maniere-la. Voici le diagramme des termes doubles:

1

2 3

4 6 9

8 12 18

27

16 24 36

54 81

Dans le diagramme qui precede, le nombre 2, premier multiple, ne possede aupres de lui qu'un seul nombre, 3, qui puisse former un rapport sesquialtere. En effet, le nombre 3 ne possede pas de nombre qui puisse etre en rapport sesquialtere avec lui, puisqu'il n'a pas de moitie. En revanche, 4 est le deuxieme double. Il precede deux sesquialteres, 6 et 9, lequel n'a pas de moitie. De ce fait, aucun nombre ne peut lui etre associe selon un rapport sesquialtere. Il en va de meme pour les autres. Les rapports triples creent de la meme fayon des sesquitierces. Le diagramme est en effet analogue pour les triples : 1

3 4

9 12 16

27 36

81 108

48

144

64

192 256

Dans le diagramme presente ci-dessus, nous voyons que les rapports sesquitierces sont produits de teile fayon que le premier triple precede un seul rapport sesquitierce, le deuxieme deux, le troisieme trois; et ainsi selon une sorte de limite naturelle le dernier nombre n'admet pas de tiers 10 . Si tu poses le rapport quadruple, tu trouveras de la meme maniere des rapports sesquiquartes, s'il s'agit du quintuple ce seront des sesquiquintes et ainsi de suite. Les rapports multiples precederont ainsi autant de rapports superpartiels qu'en vertu de leur denomination propre ils sont euxmemes eloignes de l'unite. Posons a present seulement le dispositif du rapport quadruple afin que le lecteur attentif exerce sur lui, a l'instar de tous les autres, toute sa finesse d' esprit : 10 Selon le sens donne au verbe claudere, cette derniere precision pourrait egalement souliguer le fait que chaque dernier nombre contient le nombre precedent plus un tiers de celuici (ainsi 4 = 3 + 1, soit 1/3 de 3; 16 = 12 + 4, soit 1/3 de 12, etc.).

114 236

ANICIUS MANLIUS SEVERINUS BOETHIUS

I.

IIII.

V.

XVI. XX. XXV.

LXIIII.

CCLVI.

LXXX.

cccxx. cccc.

c. cxxv. D.

DCXXV.

5

Haec igitur speculatio ad hanc utilitatem videtur inventa, ut, quotienscunque quattuor vel .V. vel quotlibet sesqualteros vel sesquitertios vel sesquioctavos vel quotlibet alias proportiones quis investigare voluerit, nullo errore laba10 tur; utque non ei numero prima tales proportiones quaerat aptare, qui, quanti sunt propositi, tot praecedere et post se habere non possit, sed disponat potius multiplices videatque quantos superparticulares requirit, eumque multiplicem respiciat, qui eo loco ab unitate recesse15 rit; ut in superioribus descriptionibus si tres sesqualteros fortasse quaesierit, ut non a quaternario ingrediatur investigationem - hie enim, quoniam secundus est duplus, duos tantum praecedit, tertiumque ei aptare non poterit sed ut ab octonario medietates temptet apponere. Hie 20 enim, quoniam tertius est, tres, quas quaerit, sesqualteras proportiones efficiet. Et in ceteris eodem modo. Est etiam aha augendi proportiones via hoc modo. Radices proportionum dicuntur in eisdem comparationibus minimae proportiones. Disponatur enim numerus naturalis 25 unitate mulctatus : II. III. IIII. V. VI. VII. Minimae igitur proportiones sunt sesqualtera .III. ad .II., sesquitertia .IIII. ad .III., sesquiquarta .V. ad .IIII., et deinceps in infinitum, et quaecunque se proportiones unitate praecesserint. Propositum igitur sit, duas sesqualteras proportiones con237 tinua comparatione producere. Sumo radicem sesqualteram eamque dispono: .II. et .III. Multiplico igitur binarium per binarium, fiunt .IIII. Item ternarius per binarium crescat; erunt .VI. Rursus ternarium in semet ipsum 5 ducemus; fiunt .VIIII. Qui disponantur hoc modo: III.

II.

IIII.

VI.

VIIII.

Inveniemus igitur duas propositas sesqualteras proportiones .VI. ad .IIII. et .VIIII. ad .VI. Sit nunc propositum

DE INSTITUTIONE MUSICA

[236]

1

4 5

16 20 25

64 80 100 125

115

256 320 400 500 625

Cette methode semble avoir ete imaginee pour l'usage que voiei : eelui de ne eourir aueun risque d' erreur ehaque fois que l' on souhaite reehereher quatre, einq ou un nombre quelconque de sesquialteres, de sesquitierees, de sesquioetaves, ou de tout autres rapports. Qu' on ne eherehe clone point a adapter de tels rapports au premier nombre venu qui ne pourrait preeeder (et avoir apres lui) autant de nombres que l' on envisage. Disposons plutöt les multiples, voyons eombien de rapports superpartiels [eontinus] sont requis et prenons en eonsideration le multiple qui sera eloigne d'autant de l'unite. Reportons-nous aux deseriptions preeedentes : a supposer que tu eherehes trois rapports sesquialteres, veille a ne pas eommeneer ton ealeul a partir de 4 - ee nombre, en effet, puisqu'il est le deuxieme double, preeede seulement deux rapports sesquialteres et il est impossible de lui en assoeier un troisieme. En revanehe, il faut essayer de eonstruire les rapports a partir de 8. Ce nombre, en effet, puisqu'il est le troisieme, permettra de eonstruire les trois rapports sesquialteres que l'on eherehe. Il en va de meme pour les autres. Il existe une autre maniere de developper des rapports. La voiei. On appelle « raeines des rapports » les rapports minimaux au sein de ees eomparaisons. Disposons la suite naturelle des nombres privee de l'unite : 2 3 4 5 6 7. Les rapports minimaux sont le rapport sesquialtere (3:2), le rapport sesquitieree (4:3), le rapport sesquiquarte (5:4) et ainsi de suite a l'infini, selon une marehe reglee par l'unite. Proposons-nous clone de produire deux rapports sesquialteres en relation de eontinuite. [237] Je pose la raeine sesquialtere: 2 et 3. Je multiplie 2 par 2: j'obtiens 4. Je multiplie ensuite 3 par 2: j'obtiens 6. Multiplions apresent 3 par lui-meme: eela fait 9. Je dispose ees nombres de la maniere suivante:

2 4

3

6

9

Nous trouvons ainsi deux rapports sesquialteres 6:4 et 9:6. Proposons-nous

a present

d' en ealculer trois. Je dispose les memes

116 10

15

ANICIUS MANLIUS SEVERINUS BOETHIUS

tres invenire. Dispono eosdem numeros, quos supra in exquirendis duabus sesqualteris habitudinibus proposueram, ipsasque sesqualteras proportiones. Multiplico binario quaternarium, fiunt .VIII., rursus senarium binario, fiunt .XII., rursus novenarium binario, fiunt .XVIII., rursus novenanum ternario, fiunt .XXVII. Disponantur igitur hoc modo : II. IIII. VIII.

20

25

III. VI.

XII.

VIIII. XVIII.

XXVII.

Atque hie modus erit in ceteris. Ut si sesquitertias proportiones velis extendere, ponas sesquitertiorum radices, quae sunt quaternarius atque ternarius ad se invicem comparati. Atque ad hunc modum multiplices. Quodsi sesquiquartas sesquiquartorum dispones radices, eademque multiplicatione sesquiquartos quotlibet extendas. Quantum autem nobis hae considerationes prosint, sequens ordo monstrabit. De proportione numerorum, qui ab aliis metiuntur.

238

5

10

15

VIIII. Si duos numeros eorum differentia integre fuerit permensa, in eadem sunt proportione numeri, quos sua differentia mensa est, in qua erunt proportione etiam hi numeri, secundum quos eos sua mensa est differentia. Sint enim numeri .L. .LV. Hi igitur ad se invicem sesquidecima habitudine comparantur, et est eorum differentia quinarius, qui scilicet est pars decima numeri .L. Hie igitur metietur quidem .L. numerum decies .LV. vero undecies. Secundum .X. igitur atque .XI. numeros .LV. et .L. propria differentia, id est quinarius permetietur, et sunt .XI. ad .X. sesquidecima comparatione compositi. In eadem igitur sunt proportione numeri, quos propria differentia integre permensa est, in qua sunt hi, secundum quos eos propria differentia permensa est. Quod si qua differentia numerorum ita eos numeros, quorum est differentia, metiatur, ut eandem mensuram numerorum pluralitas excedat idemque in utrisque sit excessus et sit

117

DE INSTITUTIONE MUSICA

nombres que eeux que j'avais proposes auparavant pour trouver les deux rapports sesquialteres ainsi que les deux rapports sesquialteres eux-memes. Je multiplie 2 par 4: j'obtiens 8; puis 6 par 2: eela fait 12; puis 9 par 2: eela fait 18; enfin 9 par 3: eela fait 27. Disposons-les de la maniere suivante:

2 4 12

8

3 6

9

18

27

Et ainsi de suite pour les autres. Pour developper des rapports sesquitierees, pose les raeines des sesquitierees que sont 4 et 3 eompares l'un a l'autre, puis tu les multiplieras de la meme maniere. En disposant ainsi les raeines sesquiquartes des rapports sesquiquartes tu developperas par la meme multiplieation autant de sesquiquartes que neeessaire. A quoi nous servent toutes ees eonsiderations, la suite de l' expose le montrera.

Du rapport des nombres qui sont divises par d' autres. VIIII. Soient deux nombres que leur differenee mesure integralement: [238] ees nombres mesures par leur differenee seront dans le meme rapport que les nombres qui les mesurent a l'aide de leur differenee. Soient les nombres 50 et 55. Ils sont en rapport sesquideeime et leur difffaenee est 5, a savoir le dixieme de 50. Ce nombre, clone, mesure 50 dix fois, et 55 onze fois. Ainsi clone leur propre differenee, a savoir 5, mesure 55 et 50 a l' aide des nombres 10 et 11. Or 11 et 10 sont en rapport sesquideeime. Les nombres que divise parfaitement et integralement leur propre difffaenee, sont par eonsequent dans le meme rapport que les nombres qui les mesurent a l'aide de leur propre difffaenee. Si l'on mesure deux nombres par leur differenee, de teile sorte (1.) qu'il subsiste une quantite 11 au terme de la mesure de ees nombres, (2.) que l'exeedent soit le meme pour l'un et l'autre nombre et (3.) que la mesure par la differenee soit inferieure aux nombres initiaux : ees deux nombres,

11

Strictement superieure

a 1.

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20

25

30

239

5

10

15

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ANICIUS MANLIUS SEVERINUS BOETHIUS

deminutior differentiae mensura, quam est pluralitas numerorum, maiorem obtinebunt proportionem ad se invicem numeri, si eis illud, quod relinquitur post mensionem, retractum sit, quam fuerunt integri, cum eos propria differentia metiebatur. Sint enim numeri duo .LIII. et .LVIII. Hos igitur quinarius, qui est eorum differentia, metiatur. Metitur igitur .LIII. numerum quinarius decies usque ad .L. relinquit vero ternarium. Rursus .LVIII. numerum metitur idem undecies usque ad .LV. atque in eo iterum ternarium derelinquit. Auferatur igitur ex utrisque ternarius, fiunt .L. et .LV., qui disponantur hoc modo: LIII. L.

LVIII. LV.

In hoc igitur manifestum est, maioris esse proportionis inter se .L. et .LV. quam .LIII. ad .LVIII. In minoribus enim numeris maior semper proportio repperitur; quod paulo posterius demonstrabimus. Sin vero illa differentiae permensio numerorum multitudinem supervadat eademque utrosque numeri pluralitate praetereat, minore erunt proportione numeri superius mensi cum additione eius summae, qua utrosque metiens supervadit, quam fuerunt ante, cum eos propria differentia metiebatur. Sint enim numeri .XLVIII. et .LIII. Horum quinarius differentia est. Metiatur igitur .XLVIII. numerum quinarius decies, fiunt .L. Supervadit igitur .L. numerus .XLVIII. numerum binario. Idem .LIII. undecies metiatur, fiunt .LV. qui eisdem rursus duobus .LIII. numerum supervadit. Addatur utrisque binarius et disponantur hoc modo : XLVIII. LIII. LV. L.

Minore igitur sunt proportione .L. ad .LV. comparati cum additione scilicet binarii, quo differentia eos metiens supervadit, quam .XLVIII. et .LIII. numeri, quos eadem quinarii differentia mensa est. Maiores vero et minores proportiones hoc modo intelleguntur. Dimidia pars maior est quam tertia, tertia pars maior est quam quarta, quarta

DE INSTITUTIONE MUSICA

119

une fois soustrait ce qui reste apres la mesure, observeront entre eux un rapport superieur a celui qu'ils formaient lorsqu'il etaient entiers et qu'on les mesurait a l'aide de leur propre difference. Soient les deux nombres 53 et 58. Mesurons-les a l'aide de leur difference, a savoir 5. 5 mesure clone dix fois 53 jusqu'a hauteur de 50; il reste 3. En outre, le meme nombre mesure 58 onze foisjusqu'a hauteur de 55; il reste a nouveau 3. Retranchons 3 a l'un et l'autre, on obtient 50 et 55 que l'on dispose de la maniere suivante : 53 50

58 55

11 est evident, par consequent, que 50 et 55 forment un rapport plus grand que 53:58. En effet, pour des nombres plus petits [239] le rapport est toujours plus grand; nous le demontrerons un peu plus loin 12 • Supposons a present que la mesure par la difference soit superieure a chacun des nombres et les depasse l'un et l'autre d'une meme valeur: le rapport entre les nombres mesures auparavant, augrnentes de l' excedent de la mesure par la difference, sera alors inferieur au rapport qu'ils formaient lorsqu'on les mesurerait avec leur propre difference. Soient en effet les nombres 48 et 53. Leur difference est 5. 5 mesurant dix fois le nombre 48, on obtient 50. Le nombre 50 depasse par consequent le nombre 48 de 2. De meme, 5 mesurant 53 onze fois, on obtient 55, qui depasse 53 du meme nombre 2. Ajoutons 2 a l'un et a l'autre et disposons-les ainsi: 48 50

53 55

Le rapport 50:55 obtenu par l'addition de 2 - a savoir l'excedent de la mesure par la difference - est plus petit que 48:53 que mesurait la meme difference de 5. Voici comment concevoir les rapports plus grands et plus petits. La moitie est plus grande que le tiers, le tiers plus grand que le quart, le quart

12

A la fin de ce chapitre.

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25

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5

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ANICIUS MANLIUS SEVERINUS BOETHIUS

pars maior est quam quinta, ae deineeps eodem modo. Unde fit, ut sesqualtera proportio maior sit sesquitertia et sesquitertia sesquiquartam vineat. Atque idem in eeteris. Hine evenit, ut in numeris minoribus maior semper videatur proportio superpartieularium numerorum. Quod apparet in numero naturali. Disponatur enim numerus naturalis 1. II. III. 1111. V. Binarius igitur ad unitatem duplus est, ternarius ad binarium sesqualter est, quaternarius vero ad ternarium sesquitertius. Maiares vero sunt numeri ternarius et quaternarius, minores ternarius et binarius et unitas. In maioribus igitur minor et in minoribus maior proportio eontinetur. Hine apparet, quodsi aliquibus numeris proportionem eontinentibus superpartieularem aequa pluralitas addatur, maiorem esse proportionem ante aequae pluralitatis augmentum, quam postea quam eis pluralitas aequa sit addita. Qui ex multiplicibus et superparticularibus multiplicatis fiant.

X. Illud etiam praemittendum videtur, quod paulo post demonstrabitur, si multiplex intervallum binario fuerit multiplieatum, id etiam, quod ex illa multiplieatione naseetur, multiplex esse; quodsi id, quod ex tali multiplieatione proereatum sit, non fuerit multiplex, tune illud non esse multiplex, quod binario fuerit multiplieatum. Item si superpartieularis proportio binario multiplieetur, id quod fit, neque superpartieulare esse neque multiplex. Quod si id, quod ex tali multiplieatione naseetur, neque multiplex est neque superpartieulare, tune illud, quod binario multiplieatum est, vel superpartieularis vel alterius generis, non vero multiplieis.

DE INSTITUTIONE MUSICA

121

plus grand que le cinquieme, et ainsi de suite. Il s'ensuit que le rapport sesquialtere est plus grand que le rapport sesquitierce et que le sesquitierce l' emporte sur le sesquiquarte. Il en va de meme pour les autres. Il en resulte que des nombres en rapport superpartiel, plus ils seront petits, plus le rapport sera grand. La suite des nombres naturels le montre. Disposons en effet cette serie : 1, 2, 3, 4, 5. 2 :1 est en rapport double, 3 :2 en rapport sesquialtere; 4 :3 [240] en rapport sesquitierce. 3 et 4 sont des nombres plus grands, 3, 2 et 1 sont plus petits. Par consequent, dans le cas de nombres plus grands, le rapport est plus petit; il est plus grand dans le cas de nombres plus petits. Il apparait par la que si l'on ajoute une meme quantite a des nombres observant un rapport superpartiel, le rapport sera plus grand avant l'ajout de cette egale quantite, qu'apres.

Ce que l'on obtient

a partir des multiples et des multiples superpartiels.

X. Ceci etant dit, voyons - nous le demontrerons un peu plus loin -, si apres avoir multiplie par 2 un intervalle multiple, le produit de cette multiplication demeure un multiple. Si le produit de cette multiplication n' est pas un multiple, alors ce qui a ete multiplie par 2 n' etait pas un multiple. De meme, si l' on multiplie par 2 un rapport superpartiel, ce que l' on obtient ne sera ni superpartiel, ni multiple 13 . Eta ce propos, si ce qui est issu d'une teile multiplication n'est ni multiple ni superpartiel, alors ce qui est multiplie par 2 appartient soit au genre superpartiel, soit a un autre genre, mais non au genre multiple.

13 Une glose assez repandue dans les manuscrits du XI' siede donne l' exemple suivant : soit !es deux rapports sesquialteres continus 4:6:9, 9:4 n'est ni superpartiel, ni multiple (cf. Glossa maior, II,10,33).

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ANICIUS MANLIUS SEVERINUS BOETHIUS

Qui superparticulares quos multiplices efficiant.

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XI. His illud addendum est, duos primos superparticulares primam efficere multiplicem proportionem. Ut si sesqualter et sesquitertius coniungantur, duplicem creant. Sint enim numeri II. III. IIII. Ternarius ad binarium sesqualter, .1111. ad .III. sesquitertius, .1111. ad .II. duplus. Rursus primus multiplex primo additus superparticulari secundum multiplicem creat. Sint enim numeri II. IIII. VI. Quattuor namque ad .II. duplex est, primus scilicet multiplex, sex ad .1111. sesqualter est, qui est primus superparticularis, .VI. ad .II. triplus, qui secundus est multiplex. Quodsi triplum sesquitertio addas, quadruplus efficietur, si quadruplum sesquiquarto quincuplus, atque in hunc modum iunctis proportionibus multiplicium ac superparticularium in infinitum multiplices procreantur.

De arithmetica geometrica armonica medietate.

15

20

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242

XII. Quoniam vero de proportionibus quae erant interim tractanda praediximus, nunc de medietatibus est dicendum. Proportio enim est duorum terminorum ad se quaedam comparatio. Terminos autem voco numerorum summas. Proportionalitas est aequarum proportionum collectio. Proportionalitas vero in tribus terminis minimis constat. Cum enim primus ad secundum terminum eandem retinet proportionem, quam secundus ad tertium, dicitur haec proportionalitas, estque inter .III. terminos medius, qui secundus. Has igitur proportiones medii termini coniungentis trina partitio est. Aut enim aequa est differentia minoris termini ad medium et medii ad maximum, sed non aequa proportio, ut in his numeris 1. II. III. Inter .1. quippe ac .II. et inter .II. ac .III. tantum unitas differentiam tenet; non est autem aequa proportio; .II. quippe ad .1. dupli sunt, .III. ad .II. sesqualter.

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Quels superpartiels engendrent quels multiples 14 XI. On ajoutera a cela que les deux premiers superpartiels produisent le premier rapport multiple. [241] Joignons un sesquialtere et un sesquitierce: ils donneront lieu au double. Soient les nombres 2, 3, 4. 3:2 est en rapport sesquialtere, 4:3 est en rapport sesquitierce, 4:2 un double. En outre, le premier multiple ajoute au premier superpartiel cree le deuxieme multiple. Soient en effet les nombres 2, 4, 6. 4:2 est double, a savoir le premier multiple; 6:4 est sesquialtere - c' est le premier superpartiel - ; 6:2 est triple - c'est le deuxieme multiple. Si tu reunis le triple au sesquitierce, tu obtiendras un quadruple; si tu reunis le quadruple au sesquiquarte, tu obtiendras le quintuple. En reunissant de cette maniere les rapports multiples aux superpartiels, on obtient des multiples jusqu'a l'infini.

Les moyennes arithmetique, geometrique et harmonique 15 . XII. Puisque nous venons d'exposer ce clont il y avait lieu de traiter concernant les rapports, parlons a present des moyennes. Un rapport est une comparaison de deux termes entre eux. ]' entends par « terme » la valeur d'un nombre 16 • Une proportion est un ensemble de rapports egaux. Elle est constituee de trois termes au moins. Lorsqu'en effet le premier terme est dans le meme rapport au deuxieme que le deuxieme l' est par rapport au troisieme, on dit qu'il y a proportion; et parmi les trois termes il est un terme moyen, le deuxieme. Ainsi existe-t-il trois sortes de termes moyens reliant ces rapports. Ou bien la difference entre le petit terme et le moyen est egale a la difference entre le moyen et le plus grand; dans ce cas, le rapport n' est pas egal. Prenons par exemple les nombres 1, 2, 3: entre 1 et 2 et entre 2 et 3 l'unite seule fait la difference; le rapport cependant n'est pas le meme [242], car 2:1 est double, 3:2 sesquialtere.

Voir De inst. arithm„ II, 3. Voir De inst. arithm„ II, 40 (p. 137.8-18); II, 43 (p. 140.19-22 et 141.8-12); II, 44 (p. 144.26-145.3); II, 47 (p. 152.2-21). 16 Voir De inst. arithm. 1, 9 (p. 19.14-15) 14

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Aut est aequa in utrisque proportio non vero aequalibus differentiis constituta, ut in his numeris I. II. 1111. Nam .II. ad .I. ita sunt dupli, quemadmodum quaternarius ad binarium. Sed inter quaternarium binariumque binarius, inter binarium atque unitatem unitas differentiam facit. Est vero tertium medietatis genus, quod neque eisdem proportionibus neque eisdem differentiis constat, sed quemadmodum se habet maximus terminus ad minimum, ita sese habet maiorum terminorum differentia ad minorum differentiam terminorum, ut in his numeris III. 1111. VI. Nam .VI. ad .III. duplus est, inter .VI. vero et .1111. binarius interest, inter quaternarium vero ac ternarium unitas. Sed binarius comparatus ad unitatem rursus duplus est. Ergo ut est maximus terminus ad minimum, ita maiorum differentia ad minorum differentiam terminorum. Vocatur igitur illa medietas, in qua aequae sunt differentiae, arithmetica, illa vero, in qua aequae proportiones, geometrica, illa autem, quam tertiam descripsimus, armonica. Quarum haec subiciamus exempla: Arithmetica. 1. II. III.

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30

243

Geometrica. 1. II. IIII.

Armonica. III. IIII. VI.

Non vero ignoramus esse alias quoque proportionum medietates, quas quidem in arithmeticis diximus. Sed ad praesentem tractatum hae sunt interim necessariae. Sed inter has tres medietates proportionalitas quidem proprie et maxime geometrica nuncupatur idcirco, quoniam aequis proportionibus tota contexitur. Sed tarnen eodem utemur promiscue vocabulo proportionalitates etiam ceteras nuncupantes.

De continuis medietatibus et disiunctis. XIII. Sed in his alia continua est proportionalitas alia disiuncta. Continua quidem ut superius disposuimus;

DE INSTITUTIONE MUSICA

125

Ou bien il y a egalite de rapport, mais les differences entre les termes ne sont pas egales: par exemple pour les nombres 1, 2, 4. En effet 2:1 est double, de meme que 4:2. Mais entre 4 et 2 il y a une difference de 2, entre 2 et 1 une difference d'une unite. 11 y a un troisieme genre de moyenne dans lequel ni les rapports, ni les differences ne sont les memes. En revanche, le rapport entre le plus grand terme et le plus petit est egal au rapport entre la difference des termes les plus grands et celle des termes les plus petits. C' est le cas, par exemple, des nombres 3, 4, 6. En effet 6:3 est double; entre 6 et 4 s'insere 2, mais entre quatre et trois s'insere l'unite. Or 2:1 est en rapport double. Par consequent, le plus grand terme est au plus petit ce qu' est la difference entre les termes plus grands a la difference entre les plus petits. La moyenne dans laquelle les differences sont egales est dite arithmetique ; celle dans laquelle les rapports sont egaux est dite geometrique ; celle que nous avons decrite en troisieme lieu, est dite harmonique. Voici les exemples de chacune d' entre elles : arithmetique 1 2 3

geometrique 1 2 4

harmonique 3 4 6

Nous n'ignorons pas cependant qu'il existe d'autres moyennes de rapports. Nous en avons parle dans les livres d'arithmetique 17 . Or pour le present traite, nous n'avons besoin que de celles-la. Mais parmi ces trois moyennes, on parle, a juste titre et surtout, de proportion pour la moyenne geometrique puisqu'elle est formee toute entiere de rapports egaux. Nous nous servirons indifferemment de ce mot pour designer egalement les autres « proportions ».

[243) Des moyennes continues et disjointes 18 . XIII. Parmi ces moyennes on distingue la proportion continue et la proportion disjointe. La proportion continue est celle que nous avons eta17 18

De inst. arithm., II, 51-53. Voir De inst. arithm., II, 40 (p. 137.29 ss.).

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unus enim idemque numerus medius nunc quidem maiori subponitur, nunc vero minori praeponitur. Quotiens vero duo sunt medii, tune disiuncta proportionalitas nuncupatur, ut in geometrica hoc modo: I. II. III. VI. Nam ut est binarius ad unitatem, ita senarius ad ternarium; et vocatur haec disiuncta proportionalitas. Unde intellegi potest, continuam quidem proportionalitatem in tribus minimam terminis inveniri, disiunctam vero in quattuor. Potest autem in quattuor et in pluribus continua esse proportionalitas, si quidem hoc modo sit : 1. II. IIII. VIII. XVI. Sed hie non erunt duae proportiones, sed plures, semperque una minus, quam sunt termini constituti.

Cur ita appellatae sint digestae superius medietates.

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25

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5

XIIII. Idcirco autem una earum medietas arithmetica nuncupatur, quod inter terminos secundum numerum aequa est differentia. Geometrica vero secunda dicitur, quod similis est qualitas proportionis. Armonica autem vocatur, quoniam est ita coaptata, ut in differentiis ac terminis aequalitas proportionum consideretur. Ac de his quidem diligentius in arithmeticis disputatum est, nunc vero, ut commemoremus tantum, ista percurrimus.

Quemadmodum ab aequalitate supradictae processerint medietates. XV. Sed paulisper quemadmodum istae proportionalitates ab aequalitate procreentur dicendum est. Praedictum est enim, quod in numero valet unitas, idem in prop ortioni bus aequalitatem valere, et sicut numeri caput est unitas, ita proportionum aequalitatem esse principium. Quocirca hoc modo arithmetica medietas ab aequalitate nascetur. Positis enim tribus aequis terminis hi duo modi sunt, quibus haec proportionalitas producatur. Ponatur enim primus prima aequus, secundus primo ac secundo, tertius prima secundo ac tertio. Quod hoc monstratur

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127

blie plus haut 19 : un seul et meme nombre moyen se trouve place apres le plus grand ou avant le plus petit. En revanche, chaque fois qu'il y a deux termes moyens, on parle de proportion disjointe. Par exemple dans la moyenne geometrique: 1, 2, 3, 6. En effet, 2 est a 1 ce que 6 est a 3. C'est cela que l'on appelle une proportion disjointe. Il faut entendre par li qu'une proportion continue, la plus petite, est obtenue al'aide de trois termes, une proportion disjointe a l'aide de quatre. Cependant, Oll peut avoir une proportion continue de quatre nombres ou davantage, ainsi par exemple: 1, 2, 4, 8, 16. Dans ce cas, il n'y aura pas deux rapports, mais plusieurs, et toujours un de moins que de termes donnes.

Pourquoi a-t-on appele ainsi les moyennes ci-dessus 20 ? XIII!. Une de ces moyennes est appelee "arithmetique" parce que la difference entre les termes est egale en nombre. La deuxieme est dite "geometrique" parce qu'il y a similitude de rapport. On parle de moyenne harmonique parce qu' eile est construite de fac;:on a observer le meme rapport entre les differences et entre les termes. Nous en avons traite plus longuement dans les livres d'arithmetique21 . Mais a present parcouronsles afin de nous les remettre en memoire.

Comment les moyennes exposees ci-dessus naissent-elles de l' egalite ? XV. Il est necessaire d'examiner sommairement comment [244] ces proportions naissent de l' egalite. 11 a ete dit en effet que l'unite est aux nombres ce que l'egalite est aux rapports et de meme que l'unite vient en tete des nombres, de meme l' egalite est le principe fondateur des rapports. C' est pourquoi la moyenne arithmetique naitra de l' egalite. Soient trois termes egaux, il y a deux manieres de produire cette proportion. Posons le premier egal au premier, le deuxieme egal au premier et au deuxieme, le troisieme egal au deuxieme et au troisieme. C'est ce

19

20 21

II, 13. Voir De inst. arithm„ II, 48 (p. 155.2-9). De inst. arithm„ II, 40-53; en particnlier II, 48 sur la moyenne harmonique.

128 10

15

ANICIUS MANLIUS SEVERINUS BOETHIUS

exemplo. Sint unitates tres. Ponatur igitur primus primo aequus, id est unus, secundus primo ac secundo, id est .II., tertius primo secundo ac tertio, id est .III. eritque dispositio haec : I. I.

I. II.

I. III.

Rursus sint .III. binarii in aequalitate constituti II. II. II. Ponatur primus primo aequus, id est .II., secundus primo et secundo, id est .IIII., tertius primo secundo et tertio, id est .VI.; et erit dispositio haec : 20

II.

II.

II. IIII.

II. VI.

Rursus idem de ternario : III. III. 25

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245

5

III. VIIII.

Sed in his hoc speculandum est, quod si unitas fuerit ad aequalitatis principium constituta, unitas etiam erit in differentiis numerorum, ipsi vero numeri inter se nullum intermi ttunt. Sin vero binarius teneat aequalitatem, binarius est differentia et unus inter terminos semper numerus intermittitur. Sin vero ternarius, idem differentia est, inter numeros vero duo naturaliter constituti intermittuntur, ac deinceps ad hunc modum. Est etiam alia proportionalitatem arithmeticam procreandi via. Ponantur enim tres aequi termini, constituanturque primus primo ac secundo aequus, secundus primo ac duobus secundis, tertius primo, duobus secundis et tertio. Ut si sint tres unitates. Sit primus primo ac secundo aequus, id est .II., secundus vero primo ac duobus secundis, id est .III., tertius autem primo, duobus secundis et tertio, id est .IIII. I. II.

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III. VI.

I. III.

I. IIII.

Hie 1g1tur terminorum differentiam unitas tenet. Inter binarium enim et unitatem atque inter ternarium ac binarium unitas interest. Nullus vero naturalis numerus inter-

DE INSTITUTIONE MUSICA

129

qu'illustre l'exemple suivant. Soient trois unites. Posons clone le premier egal au premier, c'est-a-dire un, le deuxieme egal au premier et au premier, au deuxieme, c'est-a-dire 2, le troisieme egal au deuxieme et au troisieme, c'est a dire 3. On obtiendra le diagramme suivant: 1 1

1 2

1 3

Plal'Oportio.

CCCLilJL CCXCIIII.

quinque toni.

sex toni.

CCCCLXXlr. CCCXCIJ.

DXXllJI. CCLXXXYIII.

Yll. CLJII.

PXXXI. CCCCXLI.

183

DE INSTITUTIONE MUSICA

quarte et six tons l'octave d'un comma seulement, et ce comma se trouve dans 7153 unites, les premieres. C'est ce que montre de diagramme cidessous: [276] A

c

B

D

cinq tons

double quarte 262144 349525 113 354294 472392 moities des nombres ci-dessus 131072 174762213 177147 236196 nombres du premier rang plus leurs moities 393216 524288 531441 708588 difference entre les termes moyens 7153 Six tons Double 531441 262144 524288 Difference entre les extremes 7153 Nombres de premier rang disposes ainsi

262144 349525 113 4748 213

131072 174762213

393216 524288 quarte 1

guarte

1

354294

a l'aide des lettres A. B. C. D.

472392

moities des nombres ci-dessus 2384113 177147 236196

nombres du premier rang plus leurs moities 7153 531441 708588 quarte

comma

rapport du comma

262144 349525 113 4768 213

rapport du comma

354294

472392 5524288

quarte

ein tons six tons

7153

531441

184

ANICIUSMANLIUSSEVERINUSBOETHIUS

Quemadmodum Philolaus tonum dividat. 15

20

277

5

10

15

V. Philolaus vero Pythagoricus alio modo tonum dividere temptavit, statuens scilicet primordium toni ab eo numero, qui primus cybum a primo inpari, quod maxime apud Pythagoricos honorabile fuit, efficeret. N am cum ternarius numerus primus sit inpar, tres tertio atque id ter si duxeris .XXVII. necessario exsurgent, qui ad .XXIIII. numerum tono distat, eandem ternarii differentiam servans. Ternarius enim .XXIIII. summae octava pars est, quae eisdem addita primum a ternario cybum .XX. ac .VII. reddit. Ex hoc igitur duas Philolaus efficit partes, unam quae dimidio sit maior, eamque apotomen vocat, reliquam, quae dimidio sit minor, eamque rursus diesin dicit, quam posteri semitonium minus appellavere; harum vero differentiam comma. Ac primum diesin in .XIII. unitatibus constare arbitratur eo, quod haec inter .CCLVI. et .CCXLIII. pervisa sit differentia, quodque idem numerus, id est .XIII. ex novenario, ternario atque unitate consistat, quae unitas puncti obtineat locum, ternarius vero primae inparis lineae, novenarius primi inparis quadrati. Ex his igitur causis cum .XIII. diesin ponat, quod semitonium nuncupatur, reliquam .XXVII. numeri partem, quae .XIIII. unitatibus continetur, apotomen esse constituit. Sed quoniam inter .XIII. et .XIIII. unitas differentiam facit, unitatem loco commatis censet esse ponendam. Totum vero tonum in .XXVII. unitatibus locat eo, quod inter .CCXVI. ac .CCXLIII., qui inter se distant tono, .XXVII. sit differentia.

Ton um ex duobus semitoniis et commate constare. 20

VI. Ex quibus facile apparet, tonum duobus semitoniis minoribus et commate constare. Nam si totus tonus ex apotome constat ac semitonio, semitonium vero ab apotome differt commate, nihil est aliud apotome nisi semi-

277.17 ac] ab Fr

DE INSTITUTIONE MUSICA

185

Comment Philolaus divise le ton. V. Philolaus 10 , le Pythagoricien, a essaye de diviser le ton d'une autre maniere, etablissant le point de depart du ton a partir du nombre qui, le premier, produirait le cube a partir du prernier impair, nombre qui etait particulierement a l'honneur chez les Pythagoriciens 11 • Car, puisque le nombre 3 est le prernier impair, si l' on multiplie trois par trois et, le resultat ainsi obtenu, par trois, on obtiendra necessairement 27 qui est separe de 24 par un ton, observant lui-meme une difference de 3. 3 est en effet le huitieme de la somme 24, laquelle ajoutee a ce nombre donne 27, le premier cube a partir de trois. [277] Philolaus realise a partir de Ia deux parties, l'une plus grande que la moitie - il l'appela I'apotome -, l'autre plus petite que la moitie qu'il appela diesis et que la posterite appela le demi-ton plus petit. Leur difference est d'un comma. II imagina tout d'abord que la diesis se composait de 13 unites, puisque c'est la difference entre 256 et 243 et puisque ce meme nombre, a savoir 13, est forme de 9, de 3 et de l'unite, l'unite tient lieu du point, le nombre 3 du prernier rang impair et 9 celui du prernier carre impair. Pour toutes ces raisons, puisqu'il affecte 13 a la diesis - ce que l'on appelle le derni-ton -, il etablit que la partie restante du nombre 27 - qui est contenue dans 14 unites - est l'apotome. Or puisqu'entre 13 et 14 il y a une difference d'une unite, iljugea que l'unite devait etre posee en lieu et place du comma. Il place le ton tout entier dans 27 unites puisqu'entre 216 et 243 - entre lesquels il y a une distance d'un ton12 - , il y a une difference de 27.

Le ton se compose de deux derni-tons et d'un comma. VI. De tout cela il apparait a l' evidence que le ton se compose de deux derni-tons et d'un comma. Si, en effet, le ton tout entier se compose d'une apotome et d'un derni-ton, le derni-ton differe de l' apotome d'un comma

10

11 12

Philosophe et mathematicien grec (fin du V', debut du IV' siede av. J.-C.). Ce procede n'est connu que par Je texte Boece (cf Bower, Boethius, p. 95, n. 14). 243 et 216 sont en rapport sesquioctave.

186

25

ANICIUS MANLIUS SEVERINUS BOETHIUS

tonium minus et comma. Si igitur duo semitonia mmora de tono quis auferat, comma fit reliquum.

Demonstratio tonum duobus semitoniis commate distare.

278

5

10

15

20

25

VII. Idem vero hoc quoque probabitur modo. N am si diapason .V. tonis ac duobus minoribus semitoniis continetur, superantque .VI. toni diapason consonantiam uno commate, non est dubium, quin tonis quinis ab utroque spatio sublatis fiant reliqua ex diapason quidem duo semitonia minora, de sex vero tonis tonus. Atque hie tonus haec duo semitonia, quae relinquuntur, vincet commate. Quod si duobus eisdem semitoniis comma reponatur, aequabunt tonum. Constat igitur unum tonum duobus semitoniis minoribus et commate, quod in .VII.CLIII. primis unitatibus invenitur aequari.

De minoribus semitonio intervallis. VIII. Philolaus igitur haec atque his minora spatia talibus definitionibus includit. Diesis, inquit, est spatium, quo maior est sesquitertia proportio duobus tonis. Comma vero est spatium, quo maior est sesquioctava proportio duabus diesibus, id est duobus semitoniis minoribus. Schisma est dimidium commatis, diaschisma vero dimidium dieseos, id est semitonii minoris. Ex quibus illud colligitur: quoniam tonus quidem dividitur principaliter in semitonium minus atque apotomen, dividitur etiam in duo semitonia et comma; quo fit, ut dividatur in quattuor diaschismata et comma. Integrum vero dimidium toni, quod est semitonium, constat ex duobus diaschismatibus, quod est unum semitonium minus, et schismate, quod est dimidium commatis. Quoniam enim totus tonus ex duobus semitoniis minoribus et commate coniunctus est, si quis id integre dividere velit, faciet unum semitonium minus commatisque dimidium. Sed unum semitonium minus dividitur in duo diaschismata, dimidium vero commatis unum schisma. Recte igitur dictum est, integre dimidium tonum in duo dia-

DE INSTITUTIONE MUSICA

187

et l' apotome n' est rien d' autre que le plus petit demi-ton plus un comma. Par consequent, si l'on retranche deux demi-tons d'un ton, il reste un comma. Demonstration que le ton s'eloigne d'un comma par rapport a deux demi-tons. VII. La meme chose sera prouvee de la maniere suivante. Si l' octave contient cinq tons et deux demi-tons plus petits, [278] et si six tons depassent la consonance d'octave d'un seul comma, nul doute qu'apres avoir soustrait cinq tons de chacun des intervalles, il reste - partant de l' octave - deux demi-tons plus petits et - partant de six tons - un ton. Et ce ton surpasse d'un comma les deux demi-tons qui restent. Si l' on ajoute un comma a ces deux demi-tons, il realiseront un ton. Le ton, par consequent, est forme de deux demi-tons plus petits et d'un comma clont on sait qu'il est egal aux unites premieres 7153. Des intervalles plus petits que le demi-ton. VIII. Voici les definitions auxquelles Philolaus integre ces intervalles et des intervalles plus petits que ceux-la. La diesis, dit-il, est l'intervalle par lequel un rapport sesquitierce l' emporte sur deux tons. Le comma, en revanche, est l'intervalle par lequel le rapport sesquioctave l'emporte sur deux diesis, c'est-a-dire deux demi-tons plus petits. Le schisma est la moitie du comma, le diaschisma la moitie de la diesis, c'est-a-dire du demi-ton plus petit. De ces definitions on peut deduire cela : puisque le ton se divise pour commencer en un demi-ton plus petit et une apotome, il se divise egalement en deux demi-tons et un comma. II s'ensuit qu'il peut se diviser en quatre diaschismata et un comma. En revanche, la moitie entiere d'un ton - c'est le demi-ton - se compose de deux diaschismata - c'est-a-dire un demi-ton plus petit - plus un schisma - a savoir la moitie du comma. Puisque le ton tout entier reunit deux demi-tons plus petits et un comma, si l'on souhaite le diviser sans reste, on fera un demi-ton plus petit et la moitie d'un comma. Or un demi-ton plus petit se divise en deux diaschismata, tandis que la moitie du comma est egal a un seul schisma. II est clone juste de dire qu'une exacte moitie de ton peut etre divisee en deux

188 30

279

ANICIUS MANLIUS SEVERINUS BOETHIUS

schismata atque unum schisma posse partiri, quo fit, ut integrum semitonium minore semitonio uno schismate differre videatur. Apotome autem a minore semitonio duobus schismatibus differt; differt enim commate. Sed duo schismata unum perficiunt comma.

De toni partibus per consonantias sumendis.

s

10

15

VIIII. Sed de his quidem hactenus. Nunc vero illud videtur esse dicendum, quemadmodum per consonantias musicas imperata possimus spatia nunc extendere nunc vero remittere. Id autem lineariter fiat, lineaeque, quas describimus, vocis accipiantur loco. Sed iam sese ratio ipsa demonstret. Sit propositum toni spatium per consonantiam sumere in acutum scilicet atque gravem. Sit sonus .B.; ab hoc intendo alium sonum, qui diapente spatio ab eo, quod est .B., distet ad eum, qui est .C. Ab hoc remitto diatessaron consonantiam ad id, quod est .D. et quoniam inter diapente ac diatessaron tonus differentiam facit .DB. spatium tonus repertus est.

c

diapente

diatessaron

20

B

D

tonus

Ad gravem vero partem ita modulabimur tonum. Ab eo, quod est .B., diatessaron intendo ad .F. et ab .F. diapente remitto ad .K. Erit igitur .KB. tonus. Animadvertet igitur diligens lector ad .DB. quidem ad acutam partem effectum tonum, ad .KB. autem ad gravem.

189

DE INSTITUTIONE MUSICA

diaschismata plus un seul schisma. Il s'ensuit par la qu'un demi-tün entier differe du demi-tün plus petit d'un seul comma. Or l' apotome differe du demi-tün plus petit [279] de deux schisma : il differe en effet d'un comma. Or deux schismata realisent un comma.

De la perceptiün des parties du tüns au müyen des cünsünances. VIIII. Nüus avüns suffisamment parle de tüut cela. Il semble a present qu'il cünvient de dire cümment nüus püuvüns, a l'aide des Cünsünances musicales, tantöt tendre, tantöt relacher les intervalles requis. Il est püssible de proceder de maniere lineaire et les lignes que nüus trac:;:üns representent des Süns. Laissüns a present cette raisün se deplüyer. On se propüse d'apprehender un intervalle d'un tün par cünsünance, a savüir vers l'aigu et vers le grave. Süit le sün B. J'eleve a partir de ce sün un autre sün, C, qui est separe de ce sün B d'un intervalle de quinte. Partant de ce dernier, j'abaisse une cünSünance de quarte en D. Puisque le tün fait la difference entre la quinte et la quarte, l'intervalle DB realise un tün. quinte

c

D

quarte

B

tün

Mesurons ainsi un tün vers le grave: partant de B,j'eleve une quarte en F et de F j'abaisse une quinte en K. KB sera par consequent un tün. Le lecteur attentif s' apercevra que DB est realise vers l' aigu, KB en revanche vers le grave.

190

ANICIUS MANLIUS SEVERINUS BOETHIUS

280

K

tonus

diatessaron

B

F

' 1

diapente

1

s

10

Sit propositum minorem toni partem per consonantiam sumere in acutam atque gravem. Minor vero toni pars est spatium, quo duos tonos diatessaron consonantia transcendit. Sit enim sonus .A. lntendo ab .A. diatessaron ad .B. Rursus intendo a .B. diatessaron ad .C. Et ab .C. remitto diapente ad .D. Tonus est igitur .BD. Rursus a .D. intendo diatessaron ad .E. Remitto iterum ab .E. diapente ad .F. Tonus est igitur .DF. Duo igitur sunt toni .BD .. DF. Et erat .BA. integrum diatessaron; erit igitur .FA. minor toni pars, quod semitonium nuncupatur.

diatessaron

c

B

'D

F

A

1

1

1

1

1

diapente

281

Ad graviorem vero partem hoc modo. Sit sonus .A. lntendo duos tonos per consonantiam ad . G., diatessaron vero ab .G. remitto ad .K. Erit igitur .KA. minor semitonii pars, quod oportebat efficere.

191

DE INSTITUTIONE MUSICA

[280] quarte

ton

~~ K

B

F

quinte On se propose d' apprehender la plus petite partie du ton par consonance dans l'aigu et dans le grave. Orla plus petite partie est l'intervalle par lequel une consonance de quarte depasse deux tons. Soit le son A. ]' eleve a partir de A une quarte en B. J'eleve par ailleurs de B une quarte en C. Partant de C j'abaisse une quinte en D. BD est par consequent un ton. En revanche, a partir de D j'eleve une quarte en E. J'abaisse ensuite une quinte de E en F. DF est par consequent un ton. 11 y a clone deux tons: BD, DF. BA formait une quarte entiere: FA sera par consequent la plus petite partie du ton, ce que l'on appelle un demi-ton. quarte quarte

quarte

c

B

E

D

F

A

quinte quinte

[281] Vers le grave, on mesure le demi-ton de la maniere suivante. Soit le son A. ]' eleve deux tons, par consonance, en G, mais j 'abaisse une quarte de G en K. KA sera par consequent la partie plus petite, celle du derni-ton, ce qu'il convenait de realiser.

192

ANICIUS MANLIUS SEVERINUS BOETHIUS

5

K

tonus tonus G A------~---

1

diatessaron

Si tribus tonis diatessaron auferamus, apotome fit reliqua. Sint enim tres toni .AB .. BC .. CD. Ab his auferatur .AE. diatessaron. Erit igitur .EC. semitonium mmus, apotome igitur est .ED. tonus

tonus

10

A

B

tonus

c

E

D

i

1

1

1

diatessaron

s.

-----Apot.

Hanc igitur apotomen, si sit commodum, sie sumemus. Ac primum quidem ad acutum. Intendo tres tonos ab .A. eos, qui sunt .AB. et ab eo, quod est .B. ad .C. diatessaron consonantiam remitto et fit .CA. apotome reliqua. 282

B

tres toni

c

A

1 1 ~~~---di-·a-te_s_sa_ro_n_______~-~

193

DE INSTITUTIONE MUSICA

ton ton ~~

K

A

G quarte

Si de trois tons nous retranchons une quarte, on obtiendra l' apotome comme reste. Soient trois tons AB, BC, CD, clont je soustrais la quarte AE. EC par consequent sera le petit demi-ton. ED est par consequent l' apotome. ton

ton A

ton

c

B

E

D

demiton

apotome

quarte

Cette apotome, par consequent, dans la mesure ou cela nous arrange, voici comment nous la saisissons. Tout d'abord vers l'aigu. J'eleve trois tons a partir de A qui font AB, et a partir de B j'abaisse une consonance de quarte vers C. CA formera l' apotome comme reste. trois tons

c

B

A

~ quarte

apotome

194

s

ANICIUS MANLIUS SEVERINUS BOETHIUS

Quod si idem spatium ad gravem sonum velimus efficere, fit hoc modo: Sit sonus .A. Intendo semitonium minus, id quod est .AD., remitto ab .D. tonum eum, qui est .DE. Erit igitur .AE. ea, quam requirimus, apotome.

tonus

10

Sit propositum ad acutam partem comma sumere. Sit sonus .A. Intendo apotomen .AB., remitto semitonium minus .BC. Et quoniam semitonium minus apotome minus est commate, comma erit .CA.

B

Apot.

CA

I~ -S.

283

C.

Rursus ad gravem partem hoc modo. Intendo ab .A. sono semitonium minus, id quod est .AD., ab .D. vero remitto apotomen, id quod est .DE. Erit igitur comma .EA. ~-c. s. EA D

IrApot.

195

DE INSTITUTIONE MUSICA

Mais si l'on veut realiser le meme espace vers un son grave, on procedera ainsi : soit le son A. ]' eleve un petit demi-ton - a savoir AD -, a partir de D j'abaisse le ton DE. AE sera par consequent l'apotome que nous cherchons.

apotome

demi-ton

~~

E

A

D

ton

On se propose d' apprehender le comma vers l' aigu. Soit le son A. ]' eleve l' apotome AB, j'abaisse le petit demi-ton BC. Puisque le petit demi-ton est plus petit que l' apotome d'un comma, CA sera le comma.

apotome

B

C

A

~~

comma

demi-ton

[283] En revanche, vers le grave, on procedera de la maniere suivante. J'eleve a partir du son A un demi-ton plus petit - c'est-a-dire AD. En revanche, a partir de D j'abaisse l' apotome - c'est-a-dire DE. EA sera par consequent le comma.

comma

demi-ton

----------------------------

E

A

apotome

D

196

ANICIUS MANLIUS SEVERINUS BOETHIUS

Regula semitonii sumendi.

10

15

20

284

5

10

15

X. Oportet vero has omnes consonantias rite esse animo atque auribus notas. Frustra enim haec ratione et scientia colliguntur, nisi fuerint usu atque exercitatione notissima. Ut vero id, quod institutione musicae adorsi sumus, non mox auribus, quod iam provectorum in musica est, sed ratione interim censeatur, unum dabimus exemplum inveniendi spatii, quod videtur esse paulo difficilius, scilicet semitonii minoris, ut in utramque partem, acutam scilicet atque gravem rato possit ordine repperiri. Sit diatessaron .AB. Oportet igitur circa .AB. consonantiam minus semitonium ad graviorem partem acutioremque deducere. Intendo igitur .BC. diatessaron. Remitto rursus diapente .CD. Erit igitur tonus .BD. Diatessaron enim consonantia a diapente consonantia tono superatur, et .CB. spatium .DC. spatio .BD. spatio transcenditur. Rursus intendo diatessaron .DE., remitto autem diapente .EF. Tonus est igitur .DF. Sed et .BD. tonus erat. Semitonium igitur minus est .AF., quod subtractis duobus tonis .FD .. BD. ab .AB. diatessaron spatio relinquitur. Rursus remitto diatessaron .AG., intendo diapente .GH. Erit igitur .AH. tonus. Sed erat .AF. semitonium, erit igitur .FH. apotome. Rursus remitto diatessaron .HK., intendo diapente .KL. Tonus igitur est .HL. Erat autem tonus .HA., semitonium igitur minus est .LB. Sed erat tonus .DB., erit igitur .LD. apotome. Rursus intendo diatessaron .FM., semitonium igitur est .BM. Remitto diatessaron .LN., semitonium igitur est .NA. Per consonantiam igitur sumpta sunt circa .AB. diatessaron duo semitonia, .BM. quidem ad acutum, .NA. vero ad gravem partem, totumque .MN. minus est quam diapente; constat enim ex . V. semitoniis et apotome geminata, ex duobus igitur tonis et tribus semitoniis minoribus. Et quoniam duo semitonia unum tonum inplere nequeunt, sed relinquitur comma, totum .MN. spatium minus est spatio diapente consonantiae uno commate, quod facillime diligens lector intelleget.

DE INSTITUTIONE MUSICA

197

Regle pour apprehender le demi-ton. X. II importe que toutes ces consonances soient parfaitement connues, a l'esprit et aux oreilles. Car toutes ces choses seraient vainement reunies par la raison et la science si elles n' etaient pas connues a la perfection par l'usage et la pratique. Puisque ce que nous avons aborde au moyen de la theorie de la musique, nous n'en jugerons pas de sitöt par l'audition cela n'appartient qu'a ceux qui sont bien avances en matiere de musique - mais provisoirement par la raison, nous ne donnerons qu'un seul exemple quant a la maniere de trouver l'intervalle qui semble etre un peu plus difficile, a savoir le demi-ton plus petit, afin qu' on puisse le trouver selon un calcul bien precis, dans l'une et l'autre partie, a savoir l'aigue et la grave. Soit la quarte AB. II convient par consequent de deduire, partant de la consonance AB, un demi-ton plus petit a la fois vers le grave et vers l'aigu. J'eleve par consequent la quarte BC. J'abaisse en retour la quinte CD. BD sera par consequent un ton. La quarte en effet est surpassee d'un ton par la consonance de quinte et l'intervalle CB est surpasse de l'intervalle DC par l'intervalle BD. J'eleve a presentla quarte DE et j'abaisse la quinte EF. DF sera par consequent un ton. Or deja BD etait un ton. AF est par consequent un demi-ton plus petit, lequel subsiste apres que l'on ait soustrait les deux tons FD et DB de l'intervalle de quarte AB. J'abaisse a present [284] la quarte AG etj'eleve la quinte GH. AH sera par consequent un ton. Or AF etait un demi-ton : FH sera par consequent une apotome. ]' abaisse a present la quarte HK et j 'eleve la quinte KL. HL sera par consequent un ton. HA etait un ton : LB est par consequent un demi-ton plus petit. DB etait un ton : LD Sera par consequent l' apotome. J'eleve la quarte FM: BM est par consequent un demi-ton. J'abaisse la quarte LN : NA est par consequent un demi-ton. Partant de la quarte AB, deux demi-tons par consequent ont ete apprehendes par consonance: BM vers l'aigu, NA vers le grave. Le tout MN est plus petit qu'une quinte : il se compose en effet de cinq demi-tons et d'une double apotome, par consequent de deux tons et de trois demi-tons plus petits. Et puisque deux demi-tons ne peuvent combler un ton, mais qu'il reste un comma, l'intervalle MN tout entier est inferieur d'un comma par rapport a l'intervalle d'une consonance de quinte, ce que le lecteur attentif comprendra fort aisement.

198

ANICIUS MANLIUS SEVERINUS BOETHIUS

diatessaron

G~---K N A F

1

1

111

S.

S

H

D

11

111

S.

S.

1

diapente

20 285

s

Sed quoniam paululum de commatis ratione praediximus, non est defugiendum et in quali proportione idem ipsum comma contineatur ostendere - est enim comma, quod ultimum conprehendere possit auditus - dicendumque est semitonium minus ac semitonium maius quantis singillatim commatibus constare videantur, ipse quoque tonus quantis rursus commatibus coniungatur. Ac primum hinc conveniens sumatur initium.

Demonstratio Archytae superparticularem in aequa dividi non passe, eiusque reprehensio.

10

15

20

XI. Superparticularis proportio scindi in aequa medio proportionaliter interposito numero non potest. Id vero posterius firmiter demonstrabitur. Quam enim demonstrationem ponit Archytas, nimium fluxa est. Haec vero est huiusmodi. Sit, inquit, superparticularis proportio .A.B., sumo in eadem proportione minimos C.DE. Quoniam igitur sunt minimi in eadem proportione .C.DE. et sunt superparticulares, .DE. numerus .C. numerum parte una sua eiusque transcendit. Sit haec .D. Dico, quoniam .D. non erit numerus, sed unitas. Si enim est numerus .D. et pars est eius, qui est .DE. metitur .D. numerus .DE. numerum; quocirca et .E. nu-

199

DE INSTITUTIONE MUSICA

quartes

G

K

1

1

Ns A s F 1

1

H

D

L

1

1

1

s

B sM 1

E

C

1

1

quintes

Mais puisqu'au paravant il a ete brievement question du calcul du comma, on ne doit pas manquer de montrer dans quel rapport [285] se trouve ce comma - le comma, en effet, est le plus petit element perceptible a l' ouYe - et il faut indiquer de combien de comma le demi-ton plus petit et le demi-ton plus grand paraissent etre composes et de combien de commas le ton se compose a son tour. Choisissons pour commencer un point de depart approprie.

Demonstration d' Archytas qu'un rapport superpartiel ne peut etre divise en parts egales, et critique 13 . XI. Un rapport superpartiel ne peut etre divise en parts egales par un nombre mediant proportionnellement intercale. Cela Sera demontre rigoureusement plus loin14 . En effet, la demonstration que donne Archytas est trop lache. Elle se presente de la maniere suivante : Soit, dit-il, le rapport superpartiel A :B. Je reduis ce rapport a ses plus petits nombres, soit C :DE. Puisque C et DE sont les plus petits nombres observant ce meme rapport, et sont en rapport superpartiel, le nombre DE depasse le nombre C d'une seule part de ce nombre. Soit D cette part. C'est pourquoij'affirme que D ne sera pas un nombre mais l'unite. En effet, si D est un nombre et s'il est une part du nombre DE, le nombre D mesure le nombre DE; c' est pourquoi il mesurera aussi le nombre E. 13 L'argumentation d'Archytas (c. 430-365 av. J.-C.) est iuconnue par ailleurs (cf Bower, Boethius, p. 105 n. 23). 14 Cf IIII,2 .

200

25

286

5

10

15

20

25

ANICIUS MANLIUS SEVERINUS BOETHIUS

merum metietur, quo fit, ut .C. quoque metiatur. Utrumque igitur .C. et .DE. numeros metietur .D. numerus, quod est inpossibile. Qui enim sunt minimi in eadem proportione quibuslibet aliis numeris, hi primi ad se invicem sunt, et solam differentiam retinent unitatem. Unitas igitur est .D. Igitur .DE. numerus .C. numerum unitate transcendit. Quocirca nullus incidit medius numerus, qui eam proportionem aequaliter scindat. Quo fit, ut nec inter eos, qui eandem his proportionem tenent, medius possit numerus collocari, qui eandem proportionem aequaliter scindat.

I

D. E.

Et secundum Archytae quidem rationem idcirco in superparticulari nullus medius terminus cadit, qui aequaliter dividat proportionem, quoniam minimi in eadem proportione sola differunt unitate, quasi vero non etiam in multiplici proportione minimi eandem unitatis differentiam sortiantur, cum plures videamus esse multiplices praeter eos, qui in radicibus collocati sunt, inter quos medius terminus scindens aequaliter eandem proportionem possit aptari. Sed haec, qui arithmeticos nostros diligenter inspexerit, facilius intellegit. Addendum vero est, id ita evenire, ut Archytas putat, in sola superparticulari proportione; non autem universaliter est dicendum. Nunc ad sequentia convertamur.

In qua numerorum proportione sit comma et quoniam in ea, quae maior sit quam .LXXV ad .LXXIIII. minor quam .LXXIIII. ad .LXXIII. XII. Primum igitur dico, quoniam hi numeri, qm comma continent, maiorem inter se retinent proportionem, quam .LXXV. ad .LXXIIII. minorem quam

286.15 nostros] numeros Fr (cf. Bower, Boethius, p. 105).

DE INSTITUTIONE MUSICA

201

II s'ensuit par li qu'il mesure aussi C. Le nombre D mesurera par eonsequent les nombres C et DE l'un et l'autre, ee qui est impossible. Ces nombres en effet sont les plus petits eu egard au:x autres nombres, quels qu'ils soient, a observer le meme rapport : ils sont premiers l'un envers l'autre et n'ont pour seule differenee que l'unite. L'unite, clone, est D. Par consequent le nombre DE depasse le nombre C d'une unite. C' est pourquoi aueun nombre moyen ne saurait etre intereale [286] pour diviser ee rapport de maniere egale. Il s'ensuit qu'il n'est pas possible non plus de plaeer entre les nombres qui observent ee rapport, un nombre intermediaire suseeptible de diviser ee meme rapport en parts egales.

C

D E

Ainsi, selon le raisonnement d'Arehytas, aueun moyen terme ne s'intereale dans un rapport superpartiel qui puisse diviser ee rapport de maniere egale, puisque les termes les plus petits de meme rapport ne different que . d'une unite - en verite, non point aussi eomme les plus petits nombres en rapport multiple presentent eette meme differenee d'une unite 15 , ear nous eonstatons qu'il existe, a l'exeeption des nombres eonstituant les raeines, bien d'autres multiples entre lesquels il est possible de plaeer un moyen terme divisant ee meme rapport de maniere egale 16 . Celui qui a attentivement etudie nos livres d'arithmetique le eomprend plus faeilement17. II faut clone ajouter que eela ne se produit, eomme Arehytas le pense, que dans le seul rapport superpartiel. La proposition ne doit pas etre generalisee. A present, passons a la suite. Dans quel rapport numerique se trouve le comma : il est plus grand que 75:74 et plus petit que 74:73 XII. En premier lieuj'affirme que les deux nombres qui eontiennent un comma, observent entre eux un rapport plus grand que 75:74 et plus petit

A savoir 2: 1. Archytas semble clone avoir soutenu que Je principe d'indivisibilite en parts egales du rapport superpartiel s'applique egalement aux plus petits nombres en rapport multiple (soit 1:2). La refutation de Boece sous-entend que pour etre vraie, cette consequence devrait s'appliquer i tous les multiples (cf aussi Glossa maior, III,11, 12, 123, 124). 17 De inst. arithm., I, 23.

15

16

202 287

s

10

15

20

25

288

5

10

ANICIUS MANLIUS SEVERINUS BOETHIUS

.LXXIII!. ad .LXXIII. Id vero ita demonstrabitur. Ac prima quidem illud reminiscendum est, quod .VI. toni diapason commate transcendunt. Sit igitur .A. quidem .CCLXII.CXLIIII. .B. autem diapason ad eum continens consonantiam, in duplici scilicet constitutam, .DXXIIII.CCLXXXVIII. .C. vero sex tonis ab .A. numero discedat, et sit .DXXXI.CCCCXLI., quae omnia ex secundi voluminis tonorum dispositione sunt colligenda. Inter .B. igitur atque .C. commatis proportio continetur. Aufero igitur .B. numerum de numero .C., relinquitur .D. in .VII.CLIII. unitatibus collocatus, qui .D. numerus minor quidem est, quam ut sit septuagesima tertia pars .B. numeri, maior vero quam ut eiusdem septuagesima quarta sit. N am si eundem .D. numerum, qui est . VII. CLIII. septuagies ter multiplicem, fit mihi .E. numerus in .DXXII . . CLXVIIII. unitatibus constitutus; si eum septuagies quater multiplicem, fit .F. numerus .DXXVIIII.CCCXXII. quorum quidem .E., qui per .LXXIII. auctus est, minor est .B. numero, .F. autem, qui per .LXXIII!., maior est .B. numero. Recte igitur dictum est, .D. eius, quod est .B. minorem quidem esse, quam septuagesimam tertiam partem, maiorem vero quam septuagesimam quartam. Quocirca et .C. numerus .B. numerum minore quidem parte eius, quod est .B. eundem .B. superat quam septuagesima tertia, maiore vero quam septuagesima quarta. Eius igitur, quod est .C., proportio ad id, quod est .B., maior quidem est quam .LXXV. ad .LXXIIII. minor vero quam .LXXIIII. ad .LXXIII. Nam in priore unitas septuagesima quarta est minoris, in posteriore vero eadem unitas septuagesima tertia.

c.

A. CCLXIL CXLIIIL

B. DXXIIIL CCLXXXVIIL

DXXXL CCCCXLL

D. VII. CLIII.

E. DXXII.CLXVIIIII.

F. DXXVIIII.CCCXXII.

Idem aliter explicandum, illo prius praesumpto, quod, si cui proportioni propria numerorum differentia aequa-

203

DE INSTITUTIONE MUSICA

que [287] 74:73. On le demontrera ainsi. Tout d'abord, il faut rappeler que six tons depassent l'octave d'un comma. Soit par consequent A 262144 et B, realisant a son egard une octave, constituee du double, 524288. C, en revanche, s'eloigne de 6 tons du nombre A, soit 531441. Tous ces elements doivent etre recueillis dans le tableau des tons du second livre 18 . B et C observent par consequent un rapport d'un comma. Je retranche le nombre B du nombre C: reste D qui correspond a 7153 unites. Ce nombre D est assurement plus petit que la soixante-treizieme partie du nombre B, il est plus grand en revanche que sa soixante-quatorzieme partie. En effet, sije multiplie le nombre D - a savoir 7153 - par soixantetreize, j'obtiens le nombre E forme de 522169 unites. Si je le multiplie par soixante-quatorze, j'obtiens le nombre F, 529322. De ces nombres, E, qui est un multiple de 73, est plus petit que le nombre B; F en revanche, multiple de 74, est plus grand que le nombre B. 11 est exact par consequent de dire que D est plus petit que la soixante-treizieme partie de B et plus grand que la soixante-quatorzieme partie. C' est pourquoi le nombre C depasse le nombre B d'une part plus petite que sa soixante-treizieme partie, mais d'une part plus grande que sa soixantequatorzieme. Par consequent le rapport de Ca Best plus grand que 75:74 et plus petit que 74:73. En effet, dans le premier rapport, elle est la soixante-quatorzieme partie [288] du nombre plus petit, en revanche dans le suivant l'unite en est la soixante-treizieme partie.

A

B

c

272144

524288

531441

D

E

F

7153

522169

529322

On peut expliquer la chose autrement. Plus haut il a ete presume que si l'on augmente pareillement les deux termes d'un rapport de leur propre is

II,31.

204

15

20

25

289

5

10

15

20

ANICIUS MANLIUS SEVERINUS BOETHIUS

liter augeatur, minor inter eos, qui post additionem fiunt, proportio continebitur, quam inter priores, qui ante additionem ullam quadam proportione distabant, ut sex et quattuor, si utrisque differentia sua, id est binarius, apponatur, fient .VIII. et .VI., sed inter .VI. et .IIII. sesqualtera, inter .VIII. et .VI. sesquitertia proportio continetur; minor vero est proportio sesquitertia sesqualtera proportione. Hoc igitur ita praedicto disponantur superiores numeri, qui proportionem commatis continebant, id est .DXXXI.CCCCXLI. et sit .A. Sit etiam .B. DXXIIII . . CCLXXXVIII. Horum differentia sit .C. VII.CLIII. .C. igitur numerus maiorem numerum, qui est .A. septuagies quinquies metiatur. Si ergo .C. numerum septuagies quinquies multiplicem, fiet mihi .D. numerus, qui est .DXXXVI. CCCCLXXV. Igitur .D. numerus eum, qui est .A., numero eo, qui est .E., antecedit, id est .V.XXXIIII. Rursus .C. numerus eum, qui est .B., metiatur septuagies quater, multipliceturque. Fiet igitur numerus .F. DXXVIIII. CCCXXII, qui .F. eo, qui est .B., maior est eodem .E. numero, qui est .V.XXXIIII. Ergo .D. numerus eum, qui est .A., transcendit .E. numero, .B. autem numerus ab eo, qui est .F., vincitur eodem .E. numero. Si igitur .E. numerum .A. numero apponamus, fiet .D., si vero .B. numero eundem .E. apponamus, fiet .F. Sed .D. numerus septuagies quinquies auctus est, per . C. scilicet multiplicatum, .F. autem septuagies quater multiplicato .C. crevit. Obtinent igitur inter se proportionem .D. atque .F., quam habent .LXXV. ad .LXXIIII. Sed .D. atque .F. sunt .A. atque .B. uno eis addito .E. Maiorem igitur necesse est proportionem contineri inter .A. atque .B. quam inter .D. atque .F. Namque .A. atque .B. numeris uno .E. addito effecti sunt .D. atque .F. Minor igitur proportio est inter .D. atque .F. quam inter .A. atque .B. Sed inter .D. atque .F. eadem proportio est, quae inter .LXXV. et .LXXIIII. Inter .A. igitur atque .B. maior proportio est quam inter .LXXV. et .LXXIIII. At .A. atque .B. comma continent; maior igitur proportio est commatis quam .LXXV. ad .LXXIIII.

DE INSTITUTIONE MUSICA

205

differenee, le rapport realise entre les nombres obtenus une fois l'addition effeetuee, sera plus petit que le rapport donne qu' observaient les nombres preeedents, avant l' addition. Prenons par exemple 6 et 4 : si l' on ajoute a ehaeun leur propre differenee, e'est-a-dire 2, on obtiendra 8 et 6 : entre 6 et 4 il y a un rapport sesquialtere, entre 8 et 6 un rapport sesquitieree. Or le rapport sesquitieree est plus petit que le rapport sesquialtere. Ceei etant clone enonee, disposons les nombres qui, ei-dessus, eontenaient le rapport du comma, e' est-a-dire 531441, soit A. Soit aussi B 524288. Soit C, 7153 leur differenee. Le nombre C par eonsequent doit mesurer le nombre plus grand, a savoir A, soixante-quinze fois. Si clone je multiplie le nombre C par 75, j'obtiens le nombre D qui est 536475. Par eonsequent le nombre D surpasse le nombre A d'un nombre E qui est 5034. Par ailleurs, le nombre C doit mesurer le nombre B soixantequatorze fois. (289] Faisons la multiplieation. On obtiendra le nombre F, 529322, lequel est plus grand que B de la valeur du nombre E, a savoir 5034. Done le nombre D depasse le nombre A d'un nombre E, tandis que le nombre B est depasse par F de ee meme nombre E. Si nous ajoutons le nombre E au nombre A, on obtiendra D; en revanehe si nous ajoutons au nombre B le meme nombre B, le resultat sera F. Or le nombre D est egal a soixante-quinze fois C, F est le produit de C par soixante-quatorze. D et F observent par eonsequent le meme rapport que 75:74. Or D et F sont egaux a A et a B, apres que E leur ait ete ajoute. Par eonsequent, le rapport entre A et B est necessairement plus grand que le rapport entre D et F. En effet D et F sont issus des nombres A et B auxquels a ete ajoute le nombre E. Par consequent, le rapport entre D et F est plus petit que le rapport entre A et B. Or entre D et F il y a le meme rapport qu'entre 75 et 74. Par consequent, le rapport entre A et Best plus grand que le rapport entre 75 et 74. Or A et B contiennent le comma. Par consequent le rapport du comma est plus grand que 75:74.

206

25

290

5

10

15

20

25

30 291

ANICIUS MANLIUS SEVERINUS BOETHIUS

A. .DXXXL .CCCCXLI.

B. .DXXIIIL .CCLXXXVIIL

D. .DXXXVL .CCCCLXXV.

E. V. .XXXIIII .

c. .VII. .CLIII . F. .DXXVIIII. .CCCXXII

Quoniam igitur ostendimus commatis proportionem maiorem esse quam eam, quam .LXXV. continent ad .LXXIII!. comparati, nunc ostendendum est, quemadmodum minorem inter se proportionem contineant numeri spatium commatis continentes quam .LXXIIII. ad .LXXIII. comparati. Id vero monstrabitur hoc modo. Reminiscendum prius est, quid secundo volumine dixerimus, cum de mensura differentiae loquebamur. Si enim ex qualibet proportione differentiam eorum numerorum, qui eam continent, auferamus, hi, qui relinquuntur, maiorem obtinebunt proportionem his numeris, qui erant ante differentiae deminutionem. Sirrt enim . VIII. et .VI. Ab his propriam aufero differentiam, id est .II., fiunt .VI. et .IIII. Sed in superioribus sesquitertia, in hac sesqualtera proportio continetur. Maior vero est sesqualtera proportio sesquitertia proportione. Sirrt igitur eidem .A. atque .B., qui surrt superius descripti, quorumque differentia .C. Multiplico differentiam .C. numeri septuagies quater, fit mihi numerus .F. scilicet .DXXVIIII.CCCXXII., qui .A. numero comparatus vincitur numero .G., scilicet .Il.CXVIIII. Rursus idem .C. multiplicetur septuagies ter; efficient numerum .K. id est .DXXII.CLXVIIII., qui comparatus .B. numero vincitur eodem .G. eisdem .II.CXVIIII. Sublato igitur .G. de numeris .A. atque .B. effecti surrt .F. atque .K. Minorem igitur proportionem retinebunt .A. atque .B. quam .F. atque .K. Sed .F. atque .K. eam retinent proportionem, quam .LXXIII!. ad .LXXIII. His enim multiplicato .C. effecti surrt. Minor est igitur proportio .A. atque .B. numerorum comma continentium, quam .LXXIII!. ad .LXXIII. Sed paulo ante monstratum est, eandem commatis proportionem maiorem esse quam .LXXV. ad .LXXIIII. Monstrati surrt igitur

DE INSTITUTIONE MUSICA

A

B

c

531441

524288

7153

D

E

F

536475

5034

529322

207

[290] Puisque nous avons montre que le rapport du comma est plus grand que le rapport 75:74, il faut montrer a present comment les nombres contenant l'intervalle du comma observent un rapport plus petit que 74:73. Nous le demontrerons de la maniere suivante. Souvenons-nous tout d' abord de ce que nous avons dit dans le deuxieme livre lorsque nous avons traite de la mesure de la difference 19 . Si, en effet, nous retranchons d'un quelconque rapport la difference des nombres qui le constituent, ceux qui restent observeront un rapport plus grand que ces nombres, avant soustraction de la difference. Soient 8 et 6. Je retranche de ces nombres leur propre difference, c'est-a-dire 2 :j'obtiens 6 et 4. Les premiers observent un rapport sesquitierce, le second est un rapport sesquialtere. Or un rapport sesquialtere est plus grand qu'un rapport sesquitierce. Soient par consequent A et B les memes qu'auparavant, et C leur difference. Je multiplie la difference C par 74: j'obtiens le nombre F, a savoir 529322, qui rapporte au nombre A, est depasse du nombre G, soit 2119. Par ailleurs, multiplions ce meme nombre C par 73 : on obtient le nombre K, c'est-a-dire 522169, qui compare au nombre B est depasse du meme nombre G, soit aussi 2119. Ayant par consequent retranche G des nombres A et B, on a obtenu F et K. A et B observent par consequent un rapport plus petit que F et K. Or F et K observent le rapport 74:73. En effet, on les obtient en multipliant C par ces nombres. Le rapport des nombres A et B contenant le comma est par consequent plus petit que 74:73. Or il a ete demontre un peu plus haut20 [291] que ce rapport du comma est plus grand que 75:74.

19 20

II,9. Dans ce meme chapitre.

208

5

10

ANICIUS MANLIUS SEVERINUS BOETHIUS

numeri, qui comma continent, maiorem quidem inter se habere proportionem quam .LXXV. ad .LXXIIII., minorem vero quam .LXXIII!. ad .LXXIII., quod oportebat ostendere. A.

B.

C.

.DXXXI.

DXXIIII.

.VII.

.CCCCXLI.

.CCLXXXVIII .

.CLIII .

K.

G.

.DXXVIIII.

.DXXII .

.II.

.CCCXXII.

.CLXVIIII.

E

.CXVIIII .

Quod semitonium minus maius quidem sit quam .XX. ad .XVIII!. minus vero quam .XVIII! S. ad .XVIII S. 15

20

292

5

10

XIII. Quod si ad semitonium minus talis speculatio convertatur, eius quoque proportionem facillime repperiemus, quae constat inter .CCLVI. et .CCXLIII. Sit igitur .CCLVI. A., .CCXLIII. B. Horum differentia .XIII. C. Dico, quoniam .A. ad .B. minorem retinet proportionem, quam .XVIIII S. ad .XVIII S. Metiatur enim .C. id, quod est .A., decies novies semis, id est multiplicetur C decies novies semis, fiunt .CCLIII S., quod sit .D., qui scilicet comparatus ad .A. eodem .A. duobus semisque transcenditur; sitque haec differentia .F. scilicet .II S. Rursus eadem .C. differentia .B. numerum metiatur octies decies semis id est multiplicetur octies decies semis, fient .CCXL S., quod sit .E. Igitur .E. comparatus ad .B. eodem .F. transcenditur, id est duobus semis .. D. igitur ab eo, quod est .A., et rursus .E. ab eo, quod est .B., eadem .F. differentia sunt minores. Subtracto igitur .F. ab eo, quod est .A. atque .B., facti sunt .D. atque .E.; maiorem igitur tenent proportionem inter se .D. atque .E. quam .A. atque .B. Sed .D. atque .E. eandem proportionem inter se retinent, quam .XVIIII S. ad .XVIII S .. A. igitur ad .B. minorem retinet proportionem quam .XVIIII S. ad .XVIII S. quod oportebat ostendere.

DE INSTITUTIONE MUSICA

209

On a ainsi prouve que les nombres qui contiennent le comma observent un rapport superieur a 75:74, mais inferieur a 74:73, ce qu'il convenait de montrer.

A

B

c

531441

524288

7153

F

K

G

529322

522169

2119

Le demi-ton plus petit est plus grand que 20: 19, mais plus petit que 19 et demi:18 et demi. XIII. Si l'on applique au demi-ton plus petit un tel calcul, nous trouverons aussi tres facilement le rapport qu'il y a entre 256 et 243. Soit A = 256, B 243 et C = 13 leur difference. J'affirme que A observe a l'egard de B un rapport inferieur a 19 et demi: 18 et demi. Mesurons en effet a l' aide de C 19 fois et demi ce qui est A, c' est-a-dire multiplions C par 19 et demi : on obtient 253 et demi, soit D qui compare a A est depasse par ce meme A de 2 et demi. Soit F cette difference, a savoir 2 et demi. [292] Par ailleurs, mesurons le nombre B 18 fois et demi par cette meme difference C - c'est-a-dire multiplions-la par 18 et demi: on obtiendra 240 et demi, soit E. Par consequent E compare a B est egalement depasse par le meme nombre F, c' est-a-dire 2 et demi. D et E seront clone respectivement inferieurs a A et B d'une meme difference F. En soustrayant F de A et de B on obtient D et E : D et E observeront ainsi un rapport plus grand que A et B. Or D et E observent entre eux le meme rapport que 19 et demi : 18 et demi. A observe ainsi a 1' egard de B un rapport plus petit que 19 et demi: 18 et demi, ce qui etait a demontrer.

=

210

15

20

25

293

ANICIUSiv1ANLIUSSEVERINUSBOETHIUS

CCLVI.

CCXLIII.

XIII.

CCLIIIS.

CCLXS.

IIS.

A.

B.

C.

D.

E.

F.

Videtur tarnen eadem proportio .CCLVI. ad .CCXLIII. maior esse ab ea, quam eontinent .XX. et .XVIIII. Sint enim A. B. C. idem, qui superius deseripti sunt. Metiatur igitur .C. differentia .A. terminum vieies, fient .CCLX., qui sint .D. Qui eomparati ad id, quod est .A., eundem quaternario transeendunt. Hie sit .F. Rursus idem .C. metiatur .B. deeies novies, fient .CCXLVII. Hie sit .E. Qui eomparati ad .B. eodem .F. transeendunt. D. igitur numerus .A. numerum et .E. numerus numerum .B. eodem .F. transeendunt. Adieeto igitur .F. his, qui sunt .A. atque .B., faeti sunt .D. atque .E. Maior igitur est proportio eorum, qui sunt .A. atque .B. quam eorum, qui sunt .D. atque .E. Sed .D. atque .E. vieies ae deeies novies multiplieatus C numerus effieit. Maior igitur est proportio eo rum, qui sunt .A. atque .B., qui seilieet semitonium eontinent, quam ea, quae est .XX. ad .XVIIII. CCLVI.

CCXLIII.

XIII.

CCLX.

CCXLVII.

!III.

A.

B.

C.

D.

E.

F.

5

Demonstratum igitur est semitonium minus maiorem quidem habere proportionem quam .XX. ad .XVIIII. minorem vero quam .XVIIII S. ad .XVIII S. Nune idem minus semitonium eommati eomparemus, quod est ultimum auditui subiaeens ultimaque proportio.

10

Semitonium minus maius quidem esse tribus commatibus minus vero quattuor.

15

XIIII. Igitur demonstrandum proponimus semitonium minus maius quidem esse eommatibus tribus, minus vero quattuor, quod hine faeillime possis agnoseere: Sint tres numeri ita dispositi, ut inter se proportionem eontineant diapason et eam, quae dieitur sex tonorum. Sit enim .A. CCLXII.CXLIIII. Intendantur igitur ad .B. quidem quinque toni eontinui et sit .B. CCCCLXXII.CCCXCII.; ad .C. autem diapason eonsonantia referatur, et sit .C. DXXIIII.

211

DE INSTITUTIONE MUSICA

256

243

13

253112

240112

2112

A

B

c

D

E

F

Il semble cependant que le meme rapport 256:243 est superieur a eelui qu'il y a entre 20 et 19. Soient en effet ABC les memes nombres que ei-dessus. Mesurons par eonsequent 20 fois le terme A a l'aide de la differenee C: on obtient 260, soit D. Comparons ce nombre a A: il est plus grand que eelui-ei de 4, soit F. Mesurons par ailleurs B a l'aide de c 19 fois : Oll obtient 247' soit E. Compare aB, il depasse B de ce meme nombre F. Dorre les nombres D et A depassent respeetivement E et B de la meme difference F. Ainsi, lorsqu'on ajoute Fa A et B, Oll obtient D et E. Le rapport A:B est par eonsequent plus grand que le rapport D:E. Or en multipliant C par 20 et par 19 on obtient D et E. [293] A et B, qui eontiennent un demi-ton, observent par eonsequent un rapport superieur a 20:19 256

243

13

260

247

4

A

B

c

D

E

F

Il a ainsi ete demontre que le demi-ton plus petit possede un rapport superieur a 20: 19, mais inferieur a 19 et demi: 18 et demi. Comparons a present le demi-ton plus petit au comma, qui est le plus petit element pereeptible a l'audition et le rapport ultime.

Le demi-ton plus petit est superieur a trois comma, mais inferieur quatre comma

a

XIIII. Nous nous proposons clone de demontrer que le demi-ton plus petit est superieur a trois comma, mais inferieur a quatre. Tu peux tres aisement le deduire de ee qui suit : soient trois nombres disposes de teile sorte qu'ils observent entre eux un rapport d'oetave et eelui qui, dit-on, est de six tons. Soit A 262144. On eleve en B einq tons eontinus - soit B 472392. On rapporte a C une consonanee d'oetave - soit C 524288.

212 20

25

294

5

10

15

20

25

ANICIUS MANLIUS SEVERINUS BOETHIUS

CCLXXXVIII.; ad .D. autem sex toni intendantur, sitque .D. DXXXI.CCCCXLI. His ita positis et constitutis manifestum est inter .C. atque .D. comma constitui, eorumque differentiam esse VII.CLIII. Id autem sit .K. Remittantur igitur duo toni ab eo, quod est .B., ad id, quod est .E., et sit .E. CCCLXXIII.CCXLVIII. Rursus ab eo, quod est .E., intendo diatessaron, quod est .F. CCCCXCVII.DCLXIIII. Quoniam igitur inter .E. atque .B. duo sunt toni, inter .E. atque .F. diatessaron, inter .B. igitur atque .F. minus semitonium repperitur. Sublatis enim de diatessaron consonantia duobus tonis fit reliquum semitonium minus, quod in primis numeris constare praedixi .CCLVI. et .CCXLIII. Quos eosdem numeros, si millies nongenties quadragies quaterque multiplices, .B. atque .F. numeros explicabis. Quos necesse est eandem proportionem superius dictis numeris continere, qui uno atque eodem numero, id est M.DCCCCXLIIII. pariter multiplicati creverunt. Item ab eo, quod est .F., intendo diatessaron, scilicet ad .G. et sit .G. DCLXIII.DLII. Rursus ab eodem .G. remitto ad .P. duos tonos et sit .P. DXXIIII.CCLXXXVIII. Quod .P. necesse est ut eundem sonum quem .C. numerus exhibeat; ad aequalitatem namque eius tali ratione progressus est. Etenim ea, quae est .AC. diapason consonantia, quae constat .V. tonis ac duobus semitoniis minoribus, ab .VI. tonis commate superatur. Ab eodem igitur .A. termino numerus .P .. V. tonis ac semitoniis duobus recessit hoc modo. Ab eo, quod est .A., usque ad id, quod est .B., .V. nimirum colliguntur toni. Ab eo autem, quod est .B., usque ad id, quod est .F., minus esse semitonium pernotatur. .F. vero atque .P. idem rursus semitonium minus includunt .. A. igitur usque ad .P .. V. tonos ac duo semitonia minora produxit. Iure igitur .P. atque .C. eisdem numeris conscribuntur. Sed quoniam inter .F. atque .C. semitonium minus est, videamus ecqua sit eorum differentia, ut eam commati comparemus. Est autem eorum differentia XXVI.DCXXIIII. et sit hoc .M. Igitur .K. commatis differentia est, .M. autem semitonii minoris. Si igitur .K. 294.15 .V. om. Fr

DE INSTITUTIONE MUSICA

213

On eleve enfin en D six tons - soit D 531441. Ces nombres ainsi conyus et disposes, il est evident qu'il y a un comma entre C et D et que leur difference est 7153, soit K. Abaissons par consequent deux tons a partir de B en E - soit E 373248. Par ailleurs, j'eleve une quarte a partir de E - j'obtiens F 497664. Puisqu'il y a deux tons entre E et B, une quarte entre E et F, on trouve par consequent un demi-ton plus petit entre B et F. [294] En effet, apres avoir retranche deux tons d'une consonance de quarte il reste un demiton plus petit qui repose, comme je l'ai dit auparavant, sur les premiers nombres 256 et 243 21 • Si tu multiplies ces memes nombres par 1944, tu obtiendras les nombres B et F22 • Ces nombres observent necessairement le meme rapport que les nombres indiques plus haut, puisqu'ils ont ete multiplies l'un et l'autre de la meme fayon par un seul et meme nombre, a savoir 1944. De meme,j'eleve une quarte a partir du nombre F, a savoir en G- soit G 663552. Par ailleurs, partant de ce meme G j'abaisse deux tons en P soit P 524288. II est necessaire que P donne le meme son que le nombre C; et, en effet, il y a egalite selon le raisonnement suivant. De fait, AC, la consonance d'octave, qui se compose de cinq tons et de deux demitons plus petits, est depassee d'un comma par un intervalle de six tons. Voici comment le nombre P s'eloigne de ce meme terme A par cinq tons et deux demi-tons. A l'evidence, entre A et B se trouvent reunis cinq tons. Or du terme Bauterme F, on note qu'il y a un demi-ton plus petit. D'autre part, F et P renferment egalement un demi-ton plus petit. Par consequent A-P a produit cinq tons et deux demi-tons plus petits. II est juste par consequent d'affecter les memes nombres a p et a c. Mais puisqu'il y a un demi-ton plus petit entre F et C, voyons quelle est la difference entre ces termes et comparons-la au comma. Leur difference est 26624, soit M. K est la difference du comma et M celle du demi-ton plus petit. Multiplions le nombre K par 3: on obtient le nombre 21459,

21 22

III, 13, passim. 1944 = 243*8 (cf. II,30).

214

30 295

s

10

15

ANICIUS MANLIUS SEVERINUS BOETHIUS

numerum tertio auxerimus, fiet numerus XXI.CCCCLVIIII. et sit hoc .L. Si vero quater eundem numerum .K. multiplicare volueris, fient XXVIII.DCXII. et sit hie .N. Igitur .M. maior quidem est ab .L., idem autem .M. minor est ab .N. Sed .N. quater aucto commate succrevit, .L. autem tertio, .M. vero semitonii minoris obtinet differentiam. Iure igitur dictum est, minus semitonium minus quidem esse, quam .IIII. commata, maius vero quam tria.

B. CCCCLXXII. CCCXCII.

DXXIIII. CCLXXXVIII.

D. DXXXI. CCCCXLI.

E. CCCLXXIII. CCXLVIII.

F. CCCCXCVII. DCLXIIII.

P. DXXIIII. CCLXXXVIII.

G. DCLXIII. DLII.

A.

diatessaron

diatessaron

20

293

5

c.

CCLXII. CXLIIII.

K.

L.

VII. CLIII.

XXI. CCCCLVIIII.

M. XXVI. DCXXIIII.

N.

XXVIII. DCXII.

Apotomen maiorem esse quam quattuor commata minorem quam quinque, tonum maiorem quam . VIII. minorem quam . VIIII. XV. Eadem hac ratione et semitonium maius, quod apotomen dici supra retulimus, quot commatum sit, possumus invenire hoc modo: Sit .A. CCLXII.CXLIIII., quinque vero ab eo distans tonis sit .B. CCCCLXXII.CCCXCII., sex vero distans tonis ab eo, quod est .A., sit .D. scilicet .DXXXI.CCCCXLI. Inter .B. igitur atque .D. tonus est, .B. vero ab eo, quod est .C., distet semitonium minus et sit .C. CCCCXCVII.DCLXIIII. Relinquitur ergo inter .C. atque .D. apotome proportio. Nam cum sit tonus .BD., ex eo si auferas .BC. semitonium minus, .CD. relinquitur maius, quod apotomen esse supra retulimus. Inter .D.

215

DE INSTITUTIONE MUSICA

soit L. Si tu veux multiplier ce meme nombre K par quatre [295], cela fait 28612, soit N. M est par consequent plus grand que L; mais M est aussi plus petit que N. Or N correspond au comma multiplie par quatre, L au comma multiplie par trois ; M en revanche est egal a la difffaence du demi-ton plus petit. 11 est exact par consequent d'affirmer que le demiton plus petit est plus petit que quatre comma, mais en revanche plus grand que trois 23 . 6 tons

A 262144 4

B 72392

E 373248

F 497664

c 524288

p

524288

D 531441

G 663552

~~

quarte K 7153

quarte L 21459

M 26624

N 28612

L' apotome est supfaieure a quatre comma et inffaieure a cinq, le ton est superieur a huit comma et inferieur a neuf XV. Selon la meme argumentation, nous pouvons aussi savoir de combien de comma [296] se compose le demi-ton plus grand, celui que nous avons appele plus haut l' apotome24 • Soit A, 262144; B s' en eloigne de cinq tons, soit 472392; soit D aune distance de six tons de A, asavoir 531441. Entre B et D il y a par consequent un ton, B en revanche s'eloigne de C par un petit demi-ton; soit enfin C, 497664. 11 reste par consequent entre C et D un rapport d' apotome. En effet, puisque BD est un ton, si tu lui retranches le demi-ton plus petit BC, il reste CD, le demi-ton plus grand, qui est l' apotome, comme nous l' avons dit plus haut. Entre D et C

23

Sur cette demonstration et le chapitre suivant, voir: Barbera, Intepreting.

24

II, 30.

216 10

15

20

25

ANICIUS MANLIUS SEVERINUS BOETHIUS

ig1tur atque .C. est differentia XXXIII.DCCLXXVII. Hie autem sit .E. Sed erat commatis differentia .VII.CLIII. Hie sit .F. Si igitur .F., id quod est comma, quinquies multiplicem, fient mihi XXXV.DCCLXV. et sit hoc .G. Si vero idem .F. quater multiplicem, fit .K. numerus, qui est XXVIII.DCXII .. G. igitur ab eo, quod est .E., maius est, .K. minus. Sed .G. quinquies auctum est comma, .K. vero quater. Est autem apotomes differentia .E. Iure igitur dictum est apotomen minorem quidem esse quam quinque commata, maiorem vero quam quattuor. Ex hoc igitur conprobatur tonum maiorem quidem esse, quam surrt .VIII. commata, minorem vero quam .VIIII. Nam si minus semitonium maius quidem est quam tria commata, minus vero quam .IIII., apotome autem maior quidem est quam .IIII. commata, minor vero quam .V., iunctum semitonium minus semitonio maiori, quod est apotome, erit omne maius quidem .VIII. commatibus, minus vero .VIIII. Sed apotome atque semitonium minus unum efficiunt tonum. Tonus igitur maior quidem est .VIII. commatibus, minor vero .VIIII.

297 VI. toni sernitonium m.

5

A. CCLXII. CXLIIII.

B.

c.

CCCCLXXII. CCCXCII.

CCCCXCVII. DCLXIIII.

K. XXVIII. DCXII.

E. XXXIII. DCCLXXVII.

XXXV. DCCLXV.

D. DXXXI. CCCCXLI.

G.

F. VII. CLIII.

Superius dictorum per numeros demonstratio. 10

XVI. Sed quamquam per harre ratiocinationem demonstratum sit, quemadmodum tonus commatibus comparetur, non est tarnen quasi segnibus delassandum, quominus per se harre contra commata comparationem retinere tonus ipse monstretur. Sit igitur .A. quidem CCLXII.

217

DE INSTITUTIONE MUSICA

il y a par consequent une difference de 33777. Soit E ce nombre. Orla difference du comma etait 7153. Soit F ce nombre. Si je multiplie F, c'esta-dire le comma, par cinq, j' obtiens 35765, soit G. Si, en revanche, je multiplie F par quatre,j'obtiens le nombre K, 28612. G, par consequent, est plus grand que E, et K plus petit. Or G correspond au comma multiplie par cinq, K, en revanche, est egal au comma multiplie par quatre et E est la difference de l' apotome. Il est exact, par consequent, de dire que l' apotome est inferieure a cinq comma mais en revanche superieure a quatre. A partir de cela on demontre que le ton est superieur a huit comma, mais inferieur a neuf En effet, si le demi-ton plus petit est superieur a trois comma, mais inferieur a quatre, l' apotome sera clone superieure a quatre comma, mais inferieure a cinq. Le demi-ton plus petit joint au demi-ton plus grand, c' est-a-dire l' apotome, formera un tout superieur a huit comma, mais inferieur a neuf Or l' apotome et le petit demi-ton realisent un ton. Le ton, par consequent, est assurement superieur a huit comma, mais inferieur a neu(

6 tons

demi-ton plus petit

A 262144

B

c

472392

497664

D 531441

K 28612

E 33777

G 35765

7153

F

On demontre a l' aide des nombres ce qui a ete dit plus haut. XVI. Or bien qu'il ait ete demontre par cette argumentation ce qu'il en est du ton par rapport au comma, il ne faut pas malgre tout s'arreter la, en paresseux epuises, mais montrer quel rapport le ton lui-meme entretient par lui-meme a l'egard du comma. Soit par consequent A, toujours egal a 262144, B, distant de cinq tons,

218 15

20

298

5

ANICIUS MANLIUS SEVERINUS BOETHIUS

CXLIIII., .B. autem .V. ab eo distans tonis CCCCLXXII. CCCXCII., .C. vero diapason ad id, quod est .A., eontinens symphoniam seilieet in numeris DXXIIII.CCLXXXVIII., .D. autem ab eo, quod est .A .. VI. totos differens tonos DXXXI.CCCCXLI. .D. igitur ab eo, quod est C, distat eommate sexti toni ab diapason seilieet eonsonantia. Id autem sit .E. VII.CLIII. .D. autem ab eo, quod est .B. tono integerrimo distat, .VI. seilieet toni quinque tonis. Id autem sit .F. LVIIII.XLVIIII. Si igitur .E. novies auxero, fiet mihi .H. LXIIII.CCCLXXVII; sin vero oeties, fient LVII.CCXXIIII. Id sit .G. Sed .H. quidem .F. numero eomparatus superat, .G. vero superatur, et est .F. toni differentia, .H. autem novies multiplieatum eomma, .G. vero oeties. Demonstratus igitur est tonus minor quidem .VIIII. esse eommatibus, eisdem vero .VIII. eommatibus maior. VI toni

10

15

20

25 299

A.

B.

c.

CCLXII. CXLIIII.

CCCCLXXII. CCCXCII.

DXXIIII. CCLXXXVIII.

D. DXXXI. CCCCXLI.

E. VII. CLIII.

G. LVII. CCXXIIII.

F. LVIIII. XLVIII!.

H. LXIIII. CCCLXXVII.

Ita his praemissis lieet maius semitonium minore semitonio eommate distare monstratum sit, tarnen idem quoque per se et per subieetos numeros tali ratione probabitur. Sit .A. numerus CCCCXCVII.DCLXIIII., ab eo vero minus semitonium distans sit .B. numerus, qui iam supra quoque deseriptus est DXXIIII.CCLXXXVIII. Apotomen vero .

232

20

25

ANICfUS MANLfUS SEVERINUS BOETHIUS

Rursus quoniam .B. eius, quod est .C., sesqualter est, .B. igitur habet in se totum .C. et eius dimidiam partem. Duo igitur .B. aequi sunt tribus .C. Sed duo .B. aequi erant uni .A. Et unus igitur .A. aequus est tribus .C. Igitur .A. uno .C. triplex est. Et in numeris. Sit duplex quidem senarius ternario, sesqualter vero ternarius binario, senarius igitur triplex est binario.

,,..-

B.

c.

III.

II.

duplus

30 307

5

10

15

----.....

triplus

A. VI.

sesqualter.

Si sesqualtero intervallo sesquitertium demptum fuerit intervallum, erit quod relinquitur sesquioctavum. Sit enim .A. quidem eius quod est .B., sesqualter, at vero .C. eius, quod est .B., sesquitertius. Dico quoniam .A. eius, quod est .C., sesquioctavus est. Quoniam enim .A. eius, quod est .B., sesqualter est, .A. igitur habet in se .B. et eius dimidiam partem. Octo igitur .A. aequi sunt ad duodecim .B. Rursus quoniam .C. eius, quod est .B., sesquitertius est, .C. igitur habet in se .B. et tertiam eius partem. Novem igitur .C. aequi sunt ad duodecim .B. Duodecim autem .B. aequi erant ad octo .A. Et octo igitur .A. aequi sunt ad novem .C. Igitur .A. aequus est ei, quod est .C., et octavae eius parti .. A. igitur eius, quod est .C., sesquioctavus est. Et in numeris. Sesqualterum quidem intervallum sit novenarius ad senarium, sesquitertium vero octonarius ad senarium. Novem igitur ad octo sesquioctava proportio est. sesquioctavus ~

A. VIIII.

C. VIII.

B. VI.

~ sesquitert~

20

sesqualter

233

DE INSTITUTIONE MUSICA

deux B. Par ailleurs, puisque B est le sesquialtere de C, B possede par consequent C tout entier plus sa moitie. Deux B par consequent sont egaux a trois C. Or deux B etaient egaux a un seul A. Un seul A est egal par consequent a trois C. A par consequent est le triple d'un seul C. Voici pour les nombres: soit 6 le double de 3, soit 3 6 est par consequent le triple de 2.

a 2 le sesquialtere,

triple

A

B

c

6

3

2

~~ double

sesquialtere

Si l'on retranche a un intervalle sesquialtere un sesquitierce, il reste un sesquioctave. [307] Soit en effet A le sesquialtere de B et C le sesquitierce de B. ]' affirme que A est le sesquioctave de C. De fait, puisque A est le sesquialtere de B, A contient par consequent B et sa moitie. Huit A sont par consequent egaux a douze B. Par ailleurs, puisque C est le sesquitierce de B, C possede par consequent B plus son tiers. Neuf C sont clone egaux a douze B. Or douze B etaient egaux a huit A. Huit A sont par consequent egaux a9 C. A par consequent, est egal a C plus son huitieme. A est par consequent le sesquioctave de C. Voici pour les nombres: soit 9:6 l'intervalle sesquialtere, 8:6 l'intervalle sesquitierce. 9:8 est par consequent le rapport sesquioctave. sesquioctave ~

A

C

B

9

8

6

~ sesquitierce sesquialtere

234

25

308

s

10

15

ANICIUS MANLIUS SEVERINUS BOETHIUS

Sex proportiones sesquioctavae maiores sunt uno duplici intervallo. Sit enim quidam numerus .A., huius autem sit sesquioctavus .B., huius autem sequioctavus .C., huius autem sesquioctavus .D. et huius sesquioctavus .F. eiusque sesquioctavus .G. atque huius sesquioctavus .K. Id autem fiat secundum descriptum in arithmetica modum. Et sint numeri A. B. C. D. F. G. K. Et sit .A. CCLXII.CXLIIII., huius autem sesquioctavus, qui est .B., CCXCIIII. .DCCCCXII., huius autem sesquioctavus, qui est . C., .CCCXXXI.DCCLXXVI., huius autem sesquioctavus, qui est .D., CCCLXXIII.CCXLVIII., huius autem sesquioctavus, qui est .F., .CCCCXVIIII.DCCCCIIII., huius autem sesquioctavus, qui est .G., .CCCCLXXII.CCCXCII., huius autem sesquioctavus, qui est .K., .DXXXI.CCCCXLI. Et sunt .DXXXI.CCCCXLI., quod est .K., plus quam duplices a ducentis LX duobus milibus .CXLIIII., quod est .A. Sex igitur sesquioctavae proportiones ampliores sunt uno duplici intervallo. A. CCLXII.CXLIIII.

B. CCXCIIII.DCCCCXII.

C. CCCXXXI.DCCLXXVI.

D. CCCLXXIII.CCXLVIII.

F. CCCCXVIIII.DCCCCIIII.

G. CCCCLXXII. CCCXCII.

K. DXXXI.CCCCXLI.

Musicarum notarum per graecas ac latinas litteras nuncupatio.

20

III. Restat nunc quoniam sumus nervum secundum praedictas consonantias per regulam divisuri, quoniamque necessarios sonos tribus generibus cantilenae exhibebit ista partitio, musicas interim notas apponere, ut, cum divisam lineam isdem notulis signaverimus; quod unicuique nomen sit, facillime possit agnosci. Veteres enim

235

DE INSTITUTIONE MUSICA

Six rapports sesquioctaves sont plus grands qu'un intervalle double. Soit en effet un nombre A, B le sesquioctave de A, C le sesquioctave de B, D le sesquioctave de C, F le sesquioctave de D, G le sesquioctave de F, K le sesquioctave de G. Procedons selon la methode decrite en arithmetique. Soient les nombres AB C D F G K. Soit A 262144; soit B, le sesquioctave de A, 294912; soit C, le sesquioctave de B, [308] 331776; soit D, le sesquioctave de C, 373248; soit F, le sesquioctave de D, 419904; soit G, le sesquioctave de F, 472392 ; soit K, le sesquioctave de G, 531441. Or 531441, a savoir K, est superieur au double de 262144, c'est-a-dire A. Par consequent six rapports sesquioctaves sont plus grands qu'un intervalle double.

262144 294912 A

331776 B

373248

c

419904 D

472392 F

531441 G K

Denomination des notes de musique a l' aide des lettres grecques et latines 7 •

III. Puisque nous allons diviser la corde selon les consonances decrites plus haut et puisque cet etalonnage revelera les sons indispensables aux trois genres du chant, il reste a disposer les signes musicaux : ainsi, lorsque nous aurons designe a l'aide de ces signes la ligne une fois divisee, il sera alors tres facile de reconnaitre le nom propre a chacun.

Ce titre est a !' evidence errone puisque le texte re - La chromatique meson, qui est la chromatique des moyennes : pi grec avec un petit trait et sigma retourne avec un

n

petit trait en son milieu :r - La diatonique meson, qui est l' elargie des M

moyennes : my grec et pi grec prolonge TT

La mese, qui est la moyenne : iota et lambda couche

1