Berechnung der Gleich- und Wechsel-Stromnetze 9783486751505, 9783486751499

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BERECHNUNG DER GLEICH- UND WECHSELSTROMNETZE VON

ING. KARL MUTTERSBACH DOZENT AM T E C H N I K U M STERNBERG I MECKLENBURG

MIT 88 ABBILDUNGEN

MÜNCHEN UND B E R L I N 1925 DRUCK UND VERLAG R. O L D E N B O U R G

Alle Rechte, einschließlich des Übersetzungsrechtes, vorbehalten. Copyright 1925 by R. Oldenbourg, München und Berlin.

Vorwort. Das vorliegende Buch, welches meine Vorträge »Berechnung elektrischer Leitungsnetze« veröffentlicht, enthält in allgemeinverständlicher Form alles für die Leitungsdimensionierung Erforderliche. Behandelt sind söwohl die Gleichstrom- als auch die Wechselstromnetzsysteme mit besonderer Beachtung der in der Praxis am häufigsten vorkommenden Belastungsfälle. Den sich oft geltend machenden Bedürfnissen, die Selbstinduktion und Kapazität größerer Wechselstromleitungen und die damit verbundenen Spannungsverluste zu ermitteln, ist auch hier Rechnung getragen. Vorzüglich die während meiner praktischen Tätigkeit gesammelten Erfahrungen waren mir die besten Grundlagen, und ich hoffe mit dieser Veröffentlichung dem Studierenden und angehenden Ingenieur ein Hilfsbuch zu bringen. Diesem Zweck mögen besonders die vielen ausführlich durchgerechneten Zahlenbeispiele dienen, welche auch zum besseren Verständnis der den Knotenpunktnetzberechnungen zugrunde liegenden Reduktionsmethode erforderlich sind. S t e r n b e r g i. Mecklbg. 1925. Karl Muttersbach.

Inhaltsverzeichnis. Seite

1. Kapitel: Grundzüge der Leitungsdimensionierung Die mechanische Festigkeit elektrischer Leitungen 2. Kapitel: Die Erwärmung elektr. Leitungen 3. Kapitel: Der Spannungsabfall elektr. Leitungen

. . . .

1 1 2 7

A. Die offenen Leitungen. 1. Fall: Offene, einfach belastete Leitungen 2. » Offene, mehrfach belastete Leitungen 3. » Offene, gleichförmig belastete Leitungen 4. • Offene, gleichförmig belastete Leitungen mit Einzelbelastungen 5. » Offene, abgezweigte Leitung

7 9 12 14 16

B. Die geschlossenen Leitungen. 1. Fall: Die Ringleitung 2. » Leitungen, zwischen zwei Speisepunkten liegend 3. » Geschlossene, gleichförmig belastete Leitungen 4. » Geschlossene, gleichförmig belastete Leitungen mit Einzelbelastungen 5. » Geschlossene, abgezweigte Leitungen 6. » Geschlossene Leitungen mit mehreren Speisepunkten . . .

36 39 42

C. Geschlossene Leitungen mit ein und mehreren Knotenpunkten. 7. Fall: Leitungen mit einem Knotenpunkt, von drei Speisepunkten Strom erhaltend 8. » Leitung mit zwei Knotenpunkten 9. » Die Transfigurationsmethode 10. » Leitungsbezirke

43 53 62 71

D. Berechnung der Leitungsquerschnitte fttr Netce mit Knotenpunkten E. Die Spelseleitungen 4. Kapitel: Berechnung der Gleichstrom-Dreileiternetze 5. Kapitel: Die Wechselstromleitungssysteme a) Das Einphasensystem ß) Das Zweiphasensystem y) Das Dreiphasensystem 6. Kapitel: Berechnung des Spannungsverlustes mit Rücksicht auf die Selbstinduktion der Leitungen 7. Kapitel: Die Kapazität der Leitungen 8. Kapitel: Die Wirtschaftlichkeit elektr. Leitungen

30 34 34

81 82 83 86 86 92 93 99 107 116

1. Kapitel.

Grundzüge der Leitungsberechnung. Für die zur Übertragung der elektrischen Energie dienenden Leitungen gelten hinsichtlich ihrer Dimensionierung folgende Bestimmungen: a) Elektrische Leitungen müssen genügende mechanische Festigkeit aufweisen; b) die Temperaturzunahme der Leitungen muß in zulässigen Grenzen liegen; c) der Spannungs- bzw. Energieverlust in den Leitungen darf das zulässige Maß nicht überschreiten; d) die Energieübertragung muß eine wirtschaftlich günstige sein. ad a)

Die mechanische Festigkeit elektrischer Leitungen.

Das gebräuchlichste Leitmaterial ist Kupfer, jedoch muß dasselbe eine Leitfähigkeit von etwa 57 aufweisen, entsprechend einem spezifischen Widerstand von 0,0175 Q. Aluminium, das vorzüglich während der Kriegszeit als Ersatz für Kupfer herangezogen wurde, findet zurzeit wegen seines geringen Gewichts speziell für Freileitungen große Verwendung. Die Leitfähigkeit des Leitungsaluminiums muß einem Wert von etwa 33 entsprechen. Ersatzmaterialien, wie Zink und Eisen, die besonders während der Spätkriegsjahre gebräuchlich waren, kommen zurzeit für Neuanlagen nicht in Frage; Zink hat sich wegen seiner plastischen Eigenschaften und Sprödigkeit, Eisen wegen seiner geringen Leitfähigkeit und schnellen Verwitterung nicht bewährt. Zur Erzielun^ größerer Festigkeit der Aluminiumfreileitungen verwendet man neuerdings auch Aluminiumseile mit Stahlseele. Die Erfahrung wird lehren, ob derartige Verbundseile sich bewähren. Mit Rücksicht auf die mechanische Festigkeit elektrischer Leitungen sind in den Vorschriften des V. D. E. folgende Mindestquerschnitte festgelegt: Muttcrsbacb,

Berechnung der Stromnetze.

1

—

2

—

T a b e l l e I. Art der Verlegung

Leitungen in und an Beleuchtungskörpern Pendelschnüre Isolierte Leitungen bei Verlegung in Rohr- oder auf Isolierkörpern, deren Abstand nicht größer als 1 m ist, und für ortsveränderliche Leitungen Isolierte Leitungen in Gebäuden und im Freien, bei denen der Abstand- der Befestigungspunkte 1—20 m beträgt Blanke Leitungen in Gebäuden und im Freien an Gebäuden, in Höfen, Gärten u.dgl. auf Isolierkörpern verlegt, deren Abstand 1—20 m beträgt Freileitungen auf Isolierkörpern verlegt, deren Abstände 20—35 m betragen (Hausanschlüsse, Ortsnetze u. dgl.) Freileitungen auf Isolierkörpern in Abständen über 35 m Erdungsleitungen in elektrischen Betriebsräumen . . . Erdungsleitungen in anderen Räumen

Mindestquerschnitt Kupfer

Aluminium

0,5 0,75

1 1

1

1

4

6

4

6

6 10 16 4

16 25

•

— —

Blanke Kupferleitungen werden bis zu 16 mm 2 als Massivleitung, bei größeren Quersehnitten in verseilter Ausführung verlegt.

2. Kapitel.

ad b) Die Erwärmung elektrischer Leitungen. Die durch den elektrischen Strom verursachte Temperaturerhöhung eines Leiters ist proportional dem Quadrate des durch den Leiter fließenden Stromes und umgekehrt proportional der dritten Potenz des Leiterdurchmessers, ist ferner abhängig von dem Material des Leiters und der Beschaffenheit der Leiteroberfläche. Um jegliche mit der Erwärmung verbundene Feuersgefahr oder auch nur Isolationsdefekte auszuschließen, darf nach den Vorschriften des V.D.E. die Temperaturzunahme isolierter Leitungen 20°C nicht überschreiten. Als maximale Raumtemperatur ist hierbei 30° C angenommen, so daß die zulässige Höchsttemperatur einer Leitung 50° C beträgt. Bezüglich dieser zulässigen Leitungserwärmung sind nach den Vorschriften des V.D.E. folgende höchstzulässige Dauerbelastungen für Normalquerschnitte bestimmt:

—

3

—

Tabelle

Q

Kupfer J.i

II. Aluminium

J.

0,5

7,5

6

0,75

9

6

Ja

J.

1

11

6

8

6

1,5

14

10

11

6 10

2,5

20

15

16

4

25

20

20

15

6

31

25

24

20 25

10

43

35

34

16

75

60

60

35

25

100

80

80

60

35

125

100

100

80

50

160

125

125

100

70

200

160

155

125

95

240

200

190

160

120

280

225

220

200

150

325

260

255

225

185

380

300

240

450

350

310

540

430

400

640

500

500

760

600

625

880

700

800

1050

850

1000

1250

1000

In Tabelle II bezeichnet: q = Querschnitt in mm 2 ; / „ = hochstzulässige Dauerstromstärke in Amp; J, = Nennstromstärke der Abschmelzsicherung in Amp. Die Nennstromstärke entspricht etwa dem 0,8 fachen Wert des zulässigen Dauerstromes hinsichtlich der Voraussetzung, daß gebräuchliche Schmelzsicherungen eine Überlastung von etwa 25% dauernd aushalten, bevor sie schmelzen. Sind Leitungen gegen auftretende Überströme durch Maximalautomaten geschützt, so sind diese für die höchstzulässige Dauerstromstärke einzustellen. Blanke Leitungen bis zu 50 mm 2 Querschnitt, sowie auch nicht unterirdisch verlegte Ein- und Mehrleiterkabel unterliegen gleichfalls den bezüglich Tabelle II geltenden Vorschriften. Blanke Leitungen über 50 mm 2 und Freileitungen sind derart zu bemessen, daß sie durch den stärksten normal vorkommenden Betriebs1*

—

4

—

ström keine für den Betrieb oder die Umgebung gefährliche Temperatur annehmen können. In Betrieben mit stark schwankender Belastung können bei kurzzeitig auftretenden Stromstößen die in Tabelle II gegebenen Werte der zulässigen Dauerbelastung überschritten werden, sofern dadurch die Übertemperatur in zulässigen Grenzen bleibt. Werden Leitungen in Räumen verlegt, deren Temperatur über 30° C ist (Trockenräumen, Kesselhäuser u. dgl.), so muß ein entsprechend größerer Querschnitt gewählt werden. Unterirdisch verlegte Kabel können wegen der besseren Abkühlung durch den Erdboden höher belastet werden als nicht unterirdisch verlegte Kabel; bei einer üblichen Verlegungstiefe von etwa 70 cm darf die Temperaturerhöhung 25° C betragen. Mit Rücksicht auf die Belastung unterirdisch verlegter Kabel gelten laut Vorschrift des V . D . E . folgende Bestimmungen: T a b e l l e III. ElnVerseilte Verseilte lelterZweileiterVierleiterVerseilte Dreileiterkabel Quer- kabel für kabel kabel bis schnitt Oleichbis bis In strom mm* bis 700 V 3000V 10000V 8000V 10000V 20000 V 30000V 3000 V 10000V

Konzentrische Kabel Zwei- I Dreileiter 1 leiter bis 3000V

3000 V

55

1

24

17

1.5

31

22

2,6

41

4

55

42

37

34

6

70

53

47

43

10

95

70

65

66

do

57

55

70

16

130

95

90

85

80

75

70

90

75

25

170

125

115

110

105

100

95

120

100

120

115

145

120

160

140

180

150

29

95

36

210

150

140

136

125

115

50

260

190

175

165

156

135

125

70

320

230

215

200

190

170

160

185

170

220

185

95

385

275

?65

240

225

200

185

220

205

270

220

120

450

315

290

280

260

230

215

250

240

310

266

150

510

360

335

315

300

265

250

290

275

360

290

185

575

405

380

360

340

300

330

310

405

330

240

670

470

420

396

350

385

470

385

310

785

545

490

460

445

560

455

400

910

635

570

645

530

500

1035

625

1190

800

1380

1000

1585

Obige Werte gelten, solange nicht mehr als zwei Kabel in gemeinsamem Graben nebeneinander liegen. Sind die Kabel in Kanälen angeordnet oder zu mehr als zwei im Erdboden gemeinsam verlegt, so ist die höchstzulässige Dauerbelastung auf % der in der Tabelle angegebenen Werte zu ermäßigen. Die Nennstromstärke der Abschmelzsicherung setzt man auch hier gleich dem 0,8 fachen Wert des zulässigen Dauerstromes. Für intermittierenden Betrieb gilt das bezüglich der isolierten Leitungen Gesagte. Belastungstabellen für Aluminiumkabel sind nicht aufgeführt, diesbezügliche Werte erhält man jedoch aus folgender Überlegung: c•l Die Stromwärme einer Leitung vom Widerstande R = --- iBt: 0 = 0,24-7*. —? • Nach Gleichsetzung der Werte für Kupfer und Aluminium wird: 0,24 •/&, —

= 0,24-A,.-^-;

hierin bezeichnet: c = spezifischer Widerstand, für Gu c = 0,0175; für AI c = 0,0306; l = Leiterlänge in m; q = Querschnitt in mm 2 ; also erhält man: Jbu • 0,0175 = Jh • 0,0306, woraus =

= 0,756-Jca,

d. h., ein Aluminiumleiter müßte mit 24,4% geringer belastet werden, wie ein Kupferleiter von gleichem Querschnitt. Bei Verlegung von Ein- oder Mehrphasenleitungen in Rohr mit Metallmantel ist zu beachten, daß in jedem Zeitmoment die Summe der in einem Rohr fließenden Ströme Null sein muß, also sämtliche zu einem Stromkreise gehörigen Leiter in einem Rohr zu verlegen sind. Durch Einzelverlegung werden leicht Wirbelströme in dem Metallmantel induziert, die einen Energieverlust und eine unter Umständen starke Erwärmung des Mantels verursachen. Aus den Belastungstabellen erkennt man, daß die Stromdichte einer Leitung (Amp pro mm2) mit zunehmendem Querschnitt abnimmt. Der Grund hierfür ist die verhältnismäßig günstigere Abkühlung kleinerer Querschnitte gegenüber den größeren. Bezeichnet sd die Stromdichte, so wird: Jä

—

6

—

7 5 nach Tabelle II variiert dieser Wert zwischen — = 15 Amp/mm 2 und 1250 ' löoö = 1 , 2 5 A m P / m m 2 Zur Verminderung des Leitungsvolumens wäre es daher zweckmäßig, bei Übertragung großer Leistungen mit niederen Spannungen, statt eines starken Querschnitts mehrere schwächere zu wählen. Beispiele. Mit wieviel Amp dürfte im Höchstfall ein Gleichstrom-Einleiterkabel für 250 Volt dauernd belastet werden und wie stark wäre das Kabel zu sichern, wenn a) dasselbe aus Kupfer, b) aus Aluminiumbestände? ad a). Nach Tabelle III wird für q = 10 mm 4 (Cu) der zulässige Dauerstrom / , j = 9 5 A m p ; die Nennstromstärke der Abschmelzsicherung wird dann: j , = 0,8 • Jä = 0,8 • 95 = ~ 80 Amp. ad b). Ein gleiches Aluminiumkabel wäre mit 24,4% weniger zu belasten, also: Ja = 0,756 • 95 = ~ 72 Amp; die erforderliche Sicherung wäre dann: J, = 0,8 • 72 = ~ 60 Amp. Für eine Leistung von 160 Kilowatt, die bei einer Spannung von 220 Volt Gleichstrom übertragen werden soll, ist die erforderliche, durch Innenräume führende Leitung bezüglich ihrer zulässigen Erwärmung zu dimensionieren. Der durch die Leitung fließende Strom wird: ,

160 • 1000

„oa .

wofür laut Tabelle II ein Querschnitt q = 500 mm 2 (Cu) erforderlich ist. Vorteilhaft wäre es jedoch, mehrere kleinere Querschnitte zu wählen. Soll beispielsweise der Strom auf 2 parallel geschaltete Leiter J 728 verteilt werden, so fließt durch jeden Leiter ^ ~ Amp und hierfür wäre ein Querschnitt q = 185 mm 2 erforderlich, also insgesamt 2 • 185 = 370 mm 2 . Man hätte somit bei dieser Anordnung an Kupferquerschnitt 500 — 370 = 130 mm 2 gespart. Würden mehrere Leiter parallel geschaltet, so würde der Gesamtquerschnitt und somit das Gesamtvolumen der Leitung noch geringer. Verteilt man Ströme auf parallele Leitungen von ungleichem Querschnitt oder Leitwert, so ist zu beachten, daß sich die Ströme der Leitungen zueinander verhalten wie die reziproken Werte der Leitungswiderstände.

—

7

—

3. Kapitel.

Der Spannungsabfall elektrischer Leitungen. Der in Leitungen auftretende zulässige Spannungsabfall darf betragen : a) Für Verteilungsnetz mit Glühlichtbelastung bis 2,5%; ß) für Verteilungsnetz mit Kraftbelastung bis 10%. Größerer Spannungsabfall für Beleuchtungsanlagen macht sich am Brennen der Glühlampen empfindlich bemerkbar, das Glühlicht hat nur bei normaler Spannung wirtschaftliche Lichtausbeute. Entsprechend der Stromzuführung zu den Stromverbrauchern unterscheidet man offene und geschlossene Leitungen.

A. Die offenen Leitungen. 1. Fall.

Offene, einfach belastete Leitungen.

Die Stromverbraucher werden in Reihe oder auch parallel an das Netz geschaltet. Ersteres kommt sehr selten, hauptsächlich nur für Bogenlampenschaltungen in Frage. Parallel- geschaltete Stromverbraucher haben, abgesehen von dem Spannungsabfall in der Leitung, gleiche Betriebsspannung. Setzt man voraus, daß Hin- und Rückleitung eines Stromverbrauchers gleichen Querschnitt und Leitwert haben, so könnten Hin- und Rückleitung als ein Leiterstrang markiert werden, jedoch wäre bei der Berechnung die doppelte Länge zu berücksichtigen.

Fig. 1.

Bezeichnet in Fig. 1: A = Stromzuführungs- oder Speisepunkt der Leitung; J = Belastung am Ende der Leitung in Amp; l = einfache Länge der Leitung in m; bezeichnet ferner: c = spezifischer Widerstand, bezogen auf die Länge 1 m und 1 mm 2 Querschnitt; g = Leitungsquerschnitt in mm 2 ; R = Leitungswiderstand in Ohm; E = Betriebsspannung in Volt; e — zulässiger Spannungsabfall der Leitung,

-

so folgt:

8

—

e=J-R;

es ist aber:

also auch:

e — J7 C 9 1 Es war nun l die einfache Leiterlänge, also würde mit Rücksicht auf Hin- und Rückleitung der Spannungsabfall: 2-c-J-l und der Leitungsquerschnitt: q

=

2-c-J-l

Ist e nicht in Volt, sondern als Prozentfaktor gegeben, so folgt: 2c-J-l e•E

(1)

Wfire die Belastung in Watt bekannt, erhält man: 2c-TV-l wenn N die Belastung in Watt bezeichnet {N = J • E). Beispiele. Die Zuleitung eines Gleichstrommotors habe eine einfache Länge von 90 m, es darf in der Leitung ein Spannungsabfall von 5 % auftreten. Wie groß müßte der Kupferquerschnitt der Leitung sein, wenn der Motor effektiv 5 PS bei einem Wirkungsgrad rj = 0,85 leistet und die Betriebsspannung 220 Volt betrage ? Die Stromaufnahme des Motors wird: 7 =

ö!Sö-

= 1 9

'

6 5 A m p

-

Für Kupfer ist der spezifische Widerstand c = 0,0175, Leitwert: 1 1 g = y = Ö^175 = 5 7 ' also ist auch: _ 1 J_

und der

—

9

—

Gemäß Gleichung (1) wird der Leitungsquerschnitt: 2 c-J-l q=

9 =

e-E

2 • 19,65 - 90 _ , 5 7 - 0 , 0 5 - 2 2 0 = 5,63 m m ,

gewählt nach Tabelle II ein Normalquerschnitt q = 6 mm*. E r w ä r m u n g s k o n t r o l l e : Für einen Kupferquerschnitt q = 6 mm* wird laut Tabelle II die höchstzulässige Dauerbelastung Jt = 31 Amp. Tatsächlich fließt nur ein Strom von 19,65 Amp, also ist der Querschnitt genügend feuersicher. Eine Leitung sei nach Fig. 1 belastet mit 50 Glühlampen a 25 Watt. Die einfache Leitungslänge betrage 110 m, die Betriebsspannung 220Volt, es darf 2,5% Spannungsabfall auftreten. Wie groß müßte der Kupferquerschnitt der Leitung sein? ?==

2

c-N-l e-E*

2 • 50 • 25 • 110 57-0,025-22^ =

4 m m

"

Dieser Querschnitt würde einer Erwärmungskontrolle völlig genügen. 2. Fall.

Offene, mehrlach belastete Leitungen. l

B

O

Jt

'3 I I

Flg. 2.

u

In Fig. 2 bezeichnet: l = einfache Leiterlänge vom Speisepunkt A bis zum Be lastungspunkt; L = Teillängen von A bis B, B bis C usw.; i = Belastung der Konsumstellen in Amp; J = Stromstärke, fließend in den Längen L; bezeichnet ferner: r — Leitungswiderstände der Längen l\ R = Widerstände der Längen L,

—

10

—

so wird nach dem Kirchhof fachen Gesetz: = jj -f l2 + ¿j + l 4 l J t — l2 3 "1" A = ¿3 + h Jt ' it. Der Gesamtspannungsabfall der Leitung von A bis E ist gleich der Summe der von den Strömen i hervorgerufenen Spannungsverluste: « = h • + h • r2 + ¿3 • r 3 + i4 • r„ oder für eine mit einer beliebigen Anzahl i-Strömen belastete offene Leitung wird der gesamte Spannungsabfall: •m

e=Zi-

r

(a)

(i • r heißt auch das Strommoment, analog den Momenten der Mechanik). Bezüglich der Leiterströme J würde man nach Fig. 2 für den Gesamtspannungsabfall erhalten: e = 7, • R1 + J2 • R2 + y3 • Ra + J4 • Ä4, oder für den allgemeinen Fall einer mehrfach belasteten, offenen Leitung wird: e= I J R (b) Mit Berücksichtigung der Hin- und Rückleitung werden die Leitungswiderstände : r—2——9 c-L R = 2 Ist der Querschnitt und Leitwert für Hin- und Rückleitung konstant, so würde also nach Gleichung (a) der Gesamtspannungsabfall: 2c • z1 • l, g

e oder nach Gleichung (b): e

2c —

\ i i i i i i i n m J t i i i n M H ¿Ti® J /• 2L

I M

x

^!

1

I Amp.pro m. '

F i g . 22.

die Gesamtbelastung jeder Hälfte wieder in Mitte des Stranges angreifend; das Belastungsmoment jedes Stranges wird dann: J V i'- V 2 2

4

8

und der Leitungsquerschnitt: 2c e-E

i' • l'* 8 -

c-i'-1 4 e-E

(8)

Beispiel. Eine geschlossene Leitung sei nach Fig. 22 gleichmäßig belastet mit i' = 0,2 Amp pro Meter, die gesamte Leitungslänge l' = 90 m, die Betriebsspannung E = 220 Volt, der zulässige Spannungsabfall e — 3%; wie groß müßte der Leitungsquerschnitt sein? Nach Gleichung (8) wird der Querschnitt: •

*

0,2 • 90* , — 1,073 mm 22, 57 • 4 • 0,03 • 220

gewählt Verbandsquerschnitt q = 1,5 mm*. E r w ä r m u n g s k o n t r o l l e : Nach Tabelle II wird für einen Querschnitt q = 1,5 mm 2 Kupfer die zulässige Dauerbelastung 3*

-

36

—

Jd = 14 Amp; tatsächlich fließt im ersten Leiterteil nur ein Strom , J

0,2-90 g . 2 = 9 Arn P>

also ist der Querschnitt genügend feuersicher. Eine Leitung zwischen zwei Speisepunkten ist mit vielen kleinen Stromabnahmen belastet, und zwar kann man annehmen pro Meter mit 6 Glühlampen ä 16 Watt. Die Betriebsspannung betrage E = 220 V, die gesamte Leitungslänge l' = 125 m. Wie groß wird bei einem zulässigen Spannungsabfall von 3% der Leitungsquerschnitt? Gemäß Gleichung (8) folgt: c • i' • /' 9 = -, •E Der Strom pro Meter wird: i • 16 _ i' — V2 2o06 =~ 0,437 Amp *

0,437 • 1252 = 4,54 mm 2 , 57 • 4 • 0,03 • 200

abgerundet auf Verbandsquerschnjtt q = 6 mm 8 . E r w ä r m u n g s k o n t r o l l e : Für q = 6 mm 2 Kupfer wird nach Tabelle II der zulässige Dauerstrom Jd = 31 Amp; tatsächlich fließt im Höchstfall nur: . ... , 0,437 • 125 J — —— . = 27,3 Amp; z die Erwärmung der Leitung ist also in zulässigen Grenzen. Fall IV.

Geschlossene, gleichförmig belastete Leitungen mit Einzelbelastungen.

Die Leitung Fig. 23 ist gleichförmig belastet mit i' Amp pro Meter; die Einzelbelastungen sind ix und i2. Denkt man sich wieder die gleichmäßig verteilte Belastung in Leitungsmitte angreifend, so werden die Speisepunktströme: i'-~2+ h - h + h •h Jl = i' • l' -(- ¿i

lg

J//.

Man findet hieraus die Stromumkehr der Leitung; dieser Stromumkehrpunkt a kann in einem beliebigen Punkte zwischen Speisepunkt

—

37

—

/ und I I liegen. Befindet sich z. B. a im Abstände x vom Speisepunkt / entfernt, so wird der Leitungsquerschnitt: 9

1 c - Z i - l

=

e

E

Z i - l = ' j . / ,

J' • X*

- f

OL

n f n 111 n m/i 1111\i 111 n \ ¡LAmp.prom.

Fig.

23.

Beispiel. Eine Leitung zwischen zwei Speisepunkten sei nach Fig. 23 belastet mit i' = 0,3 Amp pro Meter, = 18 Amp, = 25 Amp; die Längen sind: l' = 250 m, = 60 m, l 2 = 200 m. Es darf e = 2,5% Spannungsabfall bei einer Betriebsspannung von 250 Volt auftreten; der Kupferquerschnitt soll ermittelt werden. i' •

~f" h "

"4" h ' h

_

st

' i i

0,3 •

+ 25 • 60 + 18 • 200

' i i

J ,

58 Amp

250 =

i'

• l

¿j -j-

+

i

t

—

Stromumkehrpunkt a: • . J i = J

lAB

ß\

/> F l g . 25.

Hieraus ergibt sich der Stromumkehrpunkt im Netz, also dort wo der größte Spannungsabfall auftritt. Die geschlossene Leitung zerfällt in zwei offene Leiterstränge, in denen der gesamte zulässige Spannungsabfall auftreten darf; zu berücksichtigen ist dabei jedoch, daß auch in der Zweigleitung ein Spannungsverlust auftritt. Befindet sich z. B. der Stromumkehrpunkt in A, so darf der gesamte zulässige Spannungsabfall auftreten, in der Leitung von / bis B und von II bis B e — £ia + = e UA + b•

—

40

—

Liegt zufällig der Stromumkehrpunkt in a, so ist: e =

f/.< =

f//„

=

FIIA

+

f A B-

Den Querschnitt der Zweigleitung bestimmt man unter Zugrundelegung des dort zulässigen Spannungsverlustes. Beispiel. Eine Leitung sei nach Fig. 25 belastet mit tj = 40 A m p , i 2 = 15 Amp, t3 = 20 A m p ; die Leitungslängen sind Zx = 70 m, l t = 40 m, l 3 = 30 m, /4 = 50 m, l A B = 60 m. Es sollen Kupferquerschnitte unter Zugrundelegung einer Betriebsspannung von 220 Volt und einem Spannungsabfall von 2,5% ermittelt werden: .

2 0 - 5 0 4 - 1 5 - 8 0 + 40.120 . 70 + 40 + 30 + 5 0 " " =

J l

J

A m p

'

40 + 15 + 20 — 36,8 = 38,2 A m p .

=

n

36,8

Der Stromumkehrpunkt liegt in a, dann wird der Querschnitt der Hauptleitung: 2-36,8-70

2 c Z i - l gi"

=

e.E

=

57^0,025 - 220 =

16'° m m

abgerundet auf einen Verbandsquerschnitt q = 25 qi«

;

mm 2

qn,i — 25 mm 2 .

Der Spannungsverlust, auftretend von II

bis A, wird nun:

auf die Zweigleitung entfällt dann: £ab =

£-e

U

A = 2,5 — 1 , 5 7 - - 0,93»/«,

dann wird der Zweigquerschnitt: 2-15-60 q A B

=

57TÖ^W3T22Ö =

... 1 5

'

4

~

16

m m

"

Die Querschnitte würden einer Erwärmungskontrolle genügen.

Die geschlossene Leitung, Fig. 26, ist zu berechnen. Gegeben ist die Betriebsspannung E — 220 Volt, der zulässige Spannungsabfall e = 3,3%, wobei zu berücksichtigen ist, daß in der Hauptleitung, also von I bis I I , 2 % nicht überschritten wird. Die Stromaufnahme des Motors wird:

yM= wSö = 19'5 Amp"

Ermittlung der Speisepunktströme: . J

1 7 - 4 0 + 1 0 - 1 1 0 + 19,5

'

"

Jn

=-- 20 +

i m -

19,5 +

240

10 +

17 — 33 :

• e 50

60

33 A m p ,

33,5 A m p . Ol

C

6S 20

|

_

7Q

10

SO

20

1 3 0 + 20-180

" "

50 5——

8 ¿CS

30 •~12 D

5PSe q-0,86 F i g . 2«.

Q u e r s c h n i t t d e s H a u p t s t r a n g e s : Der Stromumkehrpunkt liegt in A, v o m Speisepunkt / fließt zu diesem P u n k t ein Strom v o n Jt — 2 0 = 13 A m p , der restliche Strom 19,5 — 1 3 = 6,5 A m p wird v o m Speisepunkt II geliefert: 2 2 0 - 6 0 + 13-110 = 21 ~ 25 mm 2 . 57 "0,02-220 Der

Querschnitt

ist

auf

Verbandsquerschnitt

abgerundet,

müßte der Spannungsabfall kontrolliert werden: J

A ^ qiA

20 - 60 +

13-110

0,0168 = 1,68%

25 • 220

57

— eiA = — qiiA

=

3,3 — 1,68 =

1,62 %

25 m m 2 .

Querschnitt der Zweigleitung A B: ?AB

2cZi-1

=

2 • 19,5 • 80

Qa b —Zweigleitung f

57 • 0,0162 • 220

15,3 ~

16 mm 2 .

CD:

C D = £ — f HC (17 +

£

=

"

c

57 *

10 + 6,5) • 40 25-220

t C D = 3,3 — 0,855 = qcD -

=

_

0,00855 =

2,445 %

2

5-50+12-80

57

0,02445 • 220

7,9 ~

10 m m 8 .

Sämtliche Querschnitte sind genügend feuersicher.

0,855 o/o

also

— Fall VI.

42

—

Geschlossene Leitungen mit mehreren Speisepunkten.

Zur Berechnung derartiger Leitungen zerlegt man das Netz in den Speisepunkten und erhält Leiterstränge zwischen zwei Speisepunkten liegend.

Das Netz Fig. 27, in den Speisepunkten zerteilt, ergibt die drei c, deren Berechnung bekannt ist. Leitungen Fig. a f

I ® r

m

Jj

# J

F i g . 27 a .

Dyj

7 F i g 2Tb.

)W 3w

j-,•nr

F i g . 27 C.

Die den Speisepunkten zufließenden Ströme sind: J' =

J , +

J

J" = J i i J i n

V I

J'"

=

J/v +

Jv-

—

43

—

C. Geschlossene Leitungen mit ein und mehreren Knotenpunkten. Als Knotenpunkte eines Netzes gelten solche Punkte, in denen drei oder mehrere Leitungen zusammenstoßen. Knotenpunkte sind nicht mit den Speisepunkten, die lediglich Stromzuführungspunkte eines Netzes sind, zu verwechseln. Die Berechnung eines Netzes mit Knotenpunkten kann nach verschiedenen Methoden erfolgen; die Schwierigkeit der Berechnung besteht in der Ermittlung der Stromverteilung; ist dieselbe bekannt, so bestimmt man leicht die Stromumkehrpunkte und Spannungsverluste. Eine sehr häufig angewandte, fruchtbare Methode zur Bestimmung der Stromverteilung ist die Reduktions- und Kombinationsmethode, die auch nachstehenden Berechnungsbeispielen zugrunde gelegt ist. Fall VII. Leitung mit einem Knotenpunkt, von drei Speisepunkten Strom erhaltend. In Fig. 28 bezeichnet: I, II und III — Speisepunkte der Leitung, a = Knotenpunkt der Leitung, l = einfache Leiterlänge in.m, q = Leiterquerschnitt in mm 8 , i = Belastung in Amp. Entsprechend der Reduktionsmethode gelten zunächst sämtliche Knotenpunkte im Netz als Speisepunkte; es zerfällt dann das Netz in

drei einfach geschlossene Leitungen, Fig. 29. Die sich ergebende Stromverteilung sei mit »Stromverteilung X« benannt, also die Ströme: Jal

lall

Ia III'

Die den Knotenpunkten zugeführten Hilfsströme sind tatsächlich nicht vorhanden, müssen also wieder subtrahiert werden. Man bestimme

—

44

zu diesem Zweck Stromverteilung B, bei der die Knotenpunkte als einzigste Belastungspunkte im Netz mit den Strömen belastet werden, die sie bei Stromverteilung A als Speisepunkte zu liefern hatten.

Die Belastung im Knotenpunkt a wird somit: Ja =

Jui-\-Jait-\-

Ju

III-

Man erhält das Netz Fig. 30 mit der Knotenpunktbelastung J„. Zur Ermittlung der Stromverteilung B muß das Netz.reduziert werden auf einen Leiterstrang zwischen zwei Speisepunkten mit der Belastung J„ (vgl. Methode nach Frick Kennely, Herzog und Feldmann).

Ww F i g . 30.

Soll z. B. das Netz Fig. 30 in eine Leitung zwischen zwei Speisepunkten verwandelt werden, so könnte man zwei der sich parallel geschalteten Leitungen kombinieren in eine Leitung. Parallele Leitungen, also solche, die von Speisepunkten zu einem Knotenpunkt führen, können als parallele Widerstände betrachtet werden; vorausgesetzt ist hierbei gleiche Spannung der Speisepunkte. Bezeichnen Ru

/?2 und R3 die Widerstände / „ , / / „ und

III„,

so würde ein kombinierter, gleichwertiger Widerstand aus R2 und r "

x

— '

R

R*' 2

+ R

3

'

R3:

— 45 es ist nun:

2 c-lt 1f 2 = — ?2

—

2 c-l3

, n3 = — >?3

, ti x

2 clt ——-—, 9x

wenn lx und qx = Länge und Querschnitt der Ersatzleitung bezeichnet. Man erhält somit: 2 2 c •L q,

c

2

c • la

02 2 c • l2

?s .2c-l3

^ ?3 Wäre der Querschnitt und Leitwert der Leitungen konstant, so 2 c

hebt sich — und man könnte also statt der Widerstände mit deren 9 Längen rechnen. Einen konstanten Querschnitt erhält man, indem sämtliche Leitungen auf einen Einheitsquerschnitt gebracht werden; die Stromverteilung einer Leitung ändert sich ja nicht, wenn die Leitungswiderstände vor und nach der Reduktion die gleichen sind. Bezeichnet: q = tatsächlicher Leitungsquerschnitt, q' = reduzierter oder Einheitsquerschnitt, l = tatsächliche Leitungslänge, l' = reduzierte Leitungslänge, so folgt: c•i q ~

c-r q'

und die reduzierte Länge wird: V=t3i

(9)

Für das Netz Fig. 30 wäre ein einheitlicher Querschnitt q' bestimmt; aus vorhergehender Gleichung folgt dann die Ersatzlänge für die Längen l2 und l 3 : 4 c2 2-cL

'

'

y - ( * . + *.) =

( 1 0 )

Die Wahl des Einheitsquerschnitts ist beliebig; um Rechnung zu ersparen, wählt man jedoch den am häufigsten im Netz vorkommenden Querschnitt. In Gleichung (10) müssen für die auf einen Einheitsquer-

-

46

-

schnitt umgerechneten Leitungen, deren reduzierte Längen nach Gleichung (9) eingesetzt werden. Das Netz besteht jetzt aus den Längen ^ und lx mit dem Speisepunkt I und dem gedachten Speisepunkt II, I I I , die Belastung im Punkte a liegend, Fig. 30. Die Stromverteilung B wird nun: T

Ja * k

jII lll-^a = Ja

jIa-

Rückwärtsgehend löst man jetzt die Kombination auf, wobei die Ströme der Leitungen IIa und lila ermittelt werden. Nach dem Kirchhoffschen Gesetz verhalten sich bei parallelen Widerständen die Zweigströme wie die reziproken Werte ihrer Widerstände, also verhält sich auch der Gesamtstrom zu einem Zweigstrom wie der Zweigwiderstand zum Kombinationswiderstand JII III

a

jfla

Jlla

Q(j

JII III~a

Jh

Jllla

Rx

Rx

Für alle Leitungen war ein Einheitsquerschnitt gewählt, also würden c-l in obiger Gleichung für R = —— sich c und q fortheben, und man könnte statt der Widerstände deren Längen einsetzen; man erhält dann: Jll IH^r " h JII a I;t und der Zweigstrom wird: Jlla= Jllla

(11)

+ = Jll Ill+a

Jlla-

Stromverteilung A und B werden jetzt vom Knotenpunkt aus superponiert (überlagert) und die tatsächliche Stromverteilung ermittelt. Ist beispielsweise Jall>

Jlla,

so fließt tatsächlich vom Knotenpunkt a ein Strom: J'a II = Ja II

Jlla

zum Speisepunkt II; wäre jedoch der Strom nach Stromverteilung B größer als der nach Stromverteilung A, so fließt der Differenzstrom zum Knotenpunkt a. Kontrollrechnung muß ergeben: 1. X Knotenpunktströme = Null. 2. Z Speisepunktströme = 2 Stromabnahmen.

Die resultierende Stromverteilung ergibt die Stromumkehrpunkte, und man kann somit unter Zugrundelegung der tatsächlichen Leiterquerschnitte die Spannungsverluste ermitteln. Beispiel. Für das Leitungsnetz Fig. 31 sind die Spannungsverluste zu ermitteln ; die Betriebsspannung betrage 220 Volt, es sind die Längen in Meter, die Belastungen in Amp und die Querschnitte in mm 2 bekannt.

7J7r

17,7 I

|

~5Ö

A

0 ^

0,j

a

20

Ü~

i

I T ]

8

10

Q0

©

19,5

g

J

25.5

4/7

&

0,73 25 50

257c

Flg. 31.

E r m i t t l u n g der S t r o m v e r t e i l u n g A\ K n o t e n p u n k t e ten als S p e i s e p u n k t e . ,

10-50 + 8 1 1 0 130

a1 =

,

Ja II

.... '

P'

6 - 4 0 + 20-100 • jgö — 17,2 Amp,

=

, '"

=

gel-

25-50 140

=

QQ =

8'9

AmP-

Ermittlung der Stromverteilung B\ Knotenpunkt a gilt als einzigster Belastungspunkt im Netz, mit den Strömen belastet, die er vordem als Speisepunkte zu liefern hatte: ja

=

Jai

+

Ja II

+

Ja iii

=

10,6 + 17,2 + 8,9 = 36,7 Amp.

Als Einheitsquerschnitt wähle man q' = 10 mm*, man erhält dann nach Gleichung (9) für die Leitung IIa deren reduzierte Länge: r =

1

Y ^ ( 3 0 + 60 + 40)10 q 16

=

8

U

m

Die Leiterlängen Ia und l i l a bleiben konstant, da deren Querschnitte gleich dem Einheitsquerschnitt sind, vgl. Fig. 32.

—

48

Das Netz wird nun auf einen Strang zwischen zwei Speisepunkten reduziert. lila

Zu diesem Zweck kombiniere man die Leitung la

parallel

in Leitung lx.

7 w und der Kombinationswiderstand R =

1 1 —

oder: R

1 +

1

— r

+

2

r

—

3

ri-r2-

r t • r2 4-

• r3 + r 2 • r„

Für die Widerstände rv r2 und r3 der Leitungen c, d und e, deren c•l

W'erte nach der Gleichung R = — e i n g e s e t z t , ergibt: 4*

—

52

—

C-lc

C -.ld

c • le

C-l —Jl

c

9

' _ i _

C

9

'

l c

9

c

'

£

i

9

c

'J*

9

'l>

9

C-l'

Der Querschnitt y war konstant — Einheitsquerschnitt, also wird die kombinierte Länge: (10a) =

l'

1Ö5 • 218 • 99-,3 -- - 50 m. 185 • 218 + 185 • 99,3 + 218 • 99,3

Stromverteilung B wird nun: _

95,11-50

Ja-l'x =

J'x =

T ^ r J„ —

x

JI

= - w + w =

0 0 ß A

=

3 2

'

6

A m p

'

95,11 — 32,6 = 62,51 Amp.

* 9JS

F i g . 35.

Die Ströme werden nach Gleichung (11) au! die kombinierten Längen verteilt: J

'"=

J',„

=

Jx • lx

ln

J.l, h

=

• =

32,6 >96 = 220 jm —

Jlt,

..

0

. Amp,

= 32,6 — 14,2 = 18,4 Amp,

—

J

Hu

j II l e Jiv « =

53

62,51-50 = 16,85 Amp, 185

J'x-l'x

le J'x • l'x _ l„ ~

62,51-50 = 218

-/'* — J i i a — J j n „ =

14,3 Amp,

62,51 — 16,85 - - 14,3 =

31,36 Amp.

Es erfolgt jetzt die Superposition der Stromverteilung A und B (vgl. Fig. 35). Die resultierende Stromverteilung ist in Fig. 36 gegeben, man erhält die Stromumkehrpunkte A' und B' und denke sich dort das Netz

aufgeschnitten. Für die einzelnen Leiterstränge ermittelt man nun leicht die Spannungsverluste. Fall VIII.

Leitungen mit zwei Knotenpunkten.

Für das Leitungsnetz Fig. 37 soll bei gegebenen Querschnitten der Spannungsverlust ermittelt werden. Zur Bestimmung der StromverJ'

c

J § ) M

F l g . 37.

teilung reduziere man wieder, bis man einen Leiterstrang zwischen zwei Speisepunkten mit der Knotenpunktbelastung erhält.

—

54

—

Stromverteilung A> Knotenpunkte a und ß gelten als Speisepunkte; man erhält die Ströme: Jal,

Jalh

Jaß, Jßa, Jßlll

Und JfllV-

Stromverteilung B, Knotenpunkte gelten als einzigste Belastungspunkte im Netz. Die Knotenpunktströme sind: Ja = JaI-\~ Ja I I J a ß Jß — Jßlll + JßlV -)- JßaNun wähle man einen Einheitsquerschnitt und bestimme nach Gleichung (9) die reduzierten Längen. R e d u k t i o n u n d K o m b i n a t i o n des N e t z e s (vgl. Gleichung 10). Parallele Leitungen werden kombiniert, also: Leitung b |j Leitung a kombiniert in Leitung lx :>

C ||

»

d

D

»

»

l'x.

Das Netz ist nun reduziert auf einen Strang von konstantem Querschnitt mit den Knotenpunktbelastungen J„ und J^. zwischen zwei Speisepunkten liegend (Fig. 38).

F i g . 38.

Der Strom J„ kann nach ß verlegt werden, wenn die Strommomentensumme mit Speisepunkt /, II als Bezugspunkt konstant bleibt. Es muß also die Mehrbelastung in ß so bestimmt werden, daß der Spannungsabfall im Punkte ß mit I, II als Bezugspunkt derselbe bleibt. Die Strommomentensumme ist: Ja-lx+Jß(lx+e). Bezeichnet: /„' der nach ß verlegte Strom J„, so wird also:

Ist ferner: e = Spannungsabfall durch den Strom J„ auf der Länge l x hervorgerufen, e' = Spannungsabfall durch den Strom J„' auf der Länge lx-\- e hervorgerufen, , so wird: e = s' . oder:

jC-lx J„ •

c (lx + e) = J ,< • ,

—

55

—

woraus sich ergibt: J'

= J

(12)

1*

Man erhält nun die Leitung Fig. 39 und ermittelt die Stromverteilung: ja • v, H /, + e + r «

,

J

x

(r

+

= J a —j— Jß e

i m

—

-

Jy.

ß

Oy

r IT

OaL+Oß Flg. 30.

Die resultierenden Ströme J' und Jx (vgl. Fig. 38) findet man, nachdem der Strom J'„ nach Punkt a zurückverlegt ist. / ' — Jj y ./' (( J Jx

J ft

J ,

hierbei sind die Vorzeichen zu beachten, die die Stromrichtung ergeben. Rückwärtsgehend löst man die Kombination auf und verteile nach Gleichung (11) die Ströme Jx und Jx' auf die kombinierten Längen. Beide Stromverteilungen werden nun von den Knotenpunkten aus superponiert und die wahre Stromverteilung ermittelt. Beispiel. Für das Leitungsnetz Fig. 40 ist bei gegebenen Querschnitten die 60

21 50

I

70 4-0

25

35

42 30 11 Flg. 40.

Stromverteilung zu ermitteln; die Belastungen sind in Amp, die einfachen Leiterlängen in Meter bekannt.

—

56

—

Stromverteilung A : 42 • 30 30 + 4 0

Jal

21-60 60+ 50-

Ja II •

ß a

= 25 + 35 —

,

J

, P,v =

28,2 Amp,

q /o * P'

'

=

"

J

—

a ß

20 • 40 ß t

^ P '

1 1 , 4 5

35 • 45 + 25 (70 + 45) = 31,8 Amp, 25 + 70 + 45

Ja ßJ

•• 18 Amp,

2 5 - 5 0 + 1 5 ( 5 0 + 40) 60 + 40 + 50

17'33

=

AmP-

Stromverteilung B: Gewählt sei der Einheitsquerschnitt q = 2 5 mm 2 . Nach Gleichung (9) /' = ' J

bestimme man die reduzierten Längen:

110-25 = 172 m 16

IIa

V

9

5

'

2

l/Q

5

l n j ß = — j - g — = 14» m. Die Knotenpunktströme sind: J

a

=

J

+

a I

J ß = J ß „ +

]

u

U

+

J

J ß i n +

a f l

=

Ja iv

18 +

11,45 +

31,8 =

61,25

Amp,

= 28,2 + 8,43 + 17,33 = 53,96 Amp.

140 I

64.95

5026

3.7 613S

5d36

46.25

r

Flg. 41.

Man erhält Fig. 41 und kombiniere: Leitung Ii ja »

|| h „

hiiß ü livß

in Leitung lx »

»

l'x-

IF

—

57

Nach Gleichung (10) werden dann die kombinierten Längen: 172-70 = 49,7 m 172 + 70 x

_ 148-150 ~ 148 + 1 5 0 "

Die Kaotenpunktbelastung J „ wird nach ß verlegt, ergibt nach Gleichung (12) in ß einen Strom: J'

— J •

- - 49,7 49,7 + 140

* — 61 /. + 140 '

16 Amp.

Man erhält Fig. 42 und bestimme Stromverteilung B: Der Strom im Punkte ß ist:

J'u + J t i = 53,96 + 16 = 69,96 Amp, 69,96 • 74,5 = 19,7 Amp, 49,7 + 140 + 74,5 = J ' „ + 7^ — 7 , = 69,96 — 19,7 - 50,26 Amp.

J'm

_

OL

J ®

fi

19.7

T

5036

1

6336

Fig. 42.

Der Strom J „ ' , nach a zuriickverlegt, ergibt die resultierenden Ströme: J'

J

= x

J , — J'

= J

+

a

a

= 19,7 — 16 = 3,7 Amp,

J' = 6 1 2 5 + 3,7 — 6 4 , 9 5 A m p .

(vergi. Fig. 41).

Der Strom J' ist positiv, fließt also vom Knotenpunkt a nach ß. Rückwärtsgehend löse man nun die Kombination der Leitungen auf und verteile nach Gleichung (11) die Ströme auf die vorher in der Kombination vereinigten Längen: / 49 7 / , „ = J x - I* = 64,95 • ^ = 46,25 Amp, J

n

„ =

J u i ß =

J J'

— J

x

x

•

l u

=

64,95 =

46,25 = 18,7 Amp,

74,5 50,26 • ^

(vergi. Fig. 41).

= 25,3 Amp,

Jivfi = J ' x — J m ¡i = 50,26 — 25,3 = 24,96 Amp. Die Superposition der Stromverteilung A und B ergibt die resultierende Stromverteilung Fig. 43.

58

—

K o n t r o l l e a : 2 Knotenpunktströme — Null. Knotenpunkt a: 7,25 + 28,25 — 35,5 = 0 Knotenpunkt ß: — 24,5 + 7,63 + 16 = 0. 28.25

•21

I

7.25 3.55 28.25 ^2-

25

10.5

f

2^.5

55

70.25 M F i g . 43.

K o n t r o l l e b: Z Speisepunktströme = Z Stromabnahmen 70,25 + 2 8 , 2 5 + 36,87 +'47,63 = 21 + 42 + 25 + 35 + 15 + 25 +.20. Die Kontrollrechnung stimmt in beiden Fällen. Man hat den Stromumkehrpunkt A erhalten und kann nun für die sich ergebenden offenen Leiterzweige die Spannungsverluste unter Zugrundelegung der tatsächlichen Längen und Querschnitte (vgl. Fig. 40) ermitteln. Ist beispielsweise die Betriebsspannung E = 230 Volt und dürfte der Spannungsabfall e = 3 % in keiner Leitung überschritten werden, so würde man tatsächlich erhalten: 2 cZi-l 4

220 28S

S9.55 F l g . 45.

Die Knotenpunktbelastungen sind:

J„ = JaI

+ Jaf, + Jaß. + 5 = 5,45 + 11,23 + 6,82 + 5 = 28,5 Amp,

Jft = Jßu - f Jßa. - f JflI - f 15 = 3,77 + 8,18 + 12.6 + 15 = 39,55 Amp. Der Strom J„ nach ß verlegt ergibt nach Gleichung (12) in ß einen Strom: ha ™. 220 J' 16,0 Amp. 28,5« u— Ja 172,7 + 220 ha + Ix

—

61

—

Für die so erhaltene Leitung (Fig. 46) bestimme man nun die Stromverteilung:

/„ =

55,55 • 361 ~ 220 + 172,7 + 361 = 2 6 > 6 ^ P — Jy = 55,55 — 26,6 = 28,95 Amp.

(J'a + Jfl) l'ifi ha + U +

J'x = J'a +

l'lfl

Ä

ig)

ß 28.95

26.6

r

T'

16+39.55-55.55 F i g . 4«

Nachdem J' nach a zurückverlegt ist, wird die Stromverteilung (vgl. Fig. 45): J = J J

I

— J'a =

y

= J

a

26,6 — 16 =

+ J ' = 28,5 — 10,6 =

10,6 A m p , 39,1

»

Der Strom J' fließt also von a nach ß. Rückwärtsgehend löst man die Leitungskombination auf und verteile nach Gleichung (11) diesen Strom auf die zur Kombination gehörigen Längen (vgl. Fig. 45):

Jaß '

=

]• — Ja,J

- 10,6 — 9,17 = 1,43 Amp.

Stromverteilung A und B werden jetzt superponiert und die tatsächliche Stromverteilung ermittelt (vgl. Fig. 47). s

10 S&r

825 43.65

39.1 S45-33.65

4735

8J8-i*3-&75

20.4 | SU7-3.77>S4 15

10-

J 5

2&S5-IZ6-1&35 3735

2235

3235

F l g . 47.

K o n t r o l l e a: X Knotenpunktströme = Null. Knotenpunkt a: — 33,65 + 8,25 + 5 + 20,4 = 0

—

62

—

Knotenpunkt ß : 16,35 + 5,4 — 15 — 6,75 = 0. K o n t r o l l e b : Z Speisepunktströme = 2, Stromabnahmen: 47,35 + 43,65 = 10 + 5 + 10 + 6 + 10 + 5 + 15 + 10 + 5 + 5 + 10 91

=

91

Die Kontrollrechnung stimmt in beiden Fällen. Auf Grund der Stromumkehrpunkte im Netz ermittelt man leicht die Spannungsverluste. Fall I X .

Die Transtigurationsmethode.

Die Reduktionsmethode führt nicht zum Ziele, wenn sich im Netz eine geschlossene Figur von Knotenpunkten befindet. Besteht diese Figur speziell aus einem Dreieck von Knotenpunkten, so transfiguriere man dieses Dreieck in einen widerstandsgetreuen Stern, dessen Knotenpunktspannungsverluste gleich denen des Dreiecks sind.

Soll beispielsweise die Stromverteilung des Netzes Fig. 48 ermittelt werden, so verfährt man folgendermaßen: Man bestimme zunächst Stromverteilung A, Speisepunkte betrachtet, und erhält die Ströme:

Ja h Jitfa Juyi JßlSi Jfiai Jß yi Jyllh

Knotenpunkte

als

Jya und Jyß.

Alsdann bestimme man Stromverteilung B, Knotenpunkte gelten als einzigste Belastungspunkte im Netz. Zu diesem Zweck reduziere man, nachdem ein Einheitsquerschnitt gewählt ist, das Netz, indem zunächst das Dreieck in einen widerstandsgleichen Stern transfiguriert wird; die Sternseiten sind mit g, h und i bezeichnet (vgl. Fig. 49).

63 Nach Fig. 49 ist:

—

+

(I

l. + k

(h

+ /. =

l,) • h b +

+

(»)

l*

lf) • h

h +

lf

(b)

+ 1 .

Flg. 49.

Gleichung (b) von Gleichung (a) subtrahiert, ergibt: h + l, —

Ii =

-

I* • h +

h - h — h +

h • l
^ = 28,5 • =

—

J i v g

=

= 19,5 Amp,

28,5 —

19,5 =

9

A m p ,

hieraus bestimmt sich nun: J f g

-

—

J.«+,

= 9 — 7,33 = 1,67 Amp.

Der Strom ist positiv, fließt also von F nach G. Für Knotenpunkt G muß die Kontrolle ergeben:

Ja = Jin g + Jiv g + J f g = 33,29 + 19,5 + 16,7 = 54,46 Amp. Der Strom im Strang i x8 wird nun: • Im = jf + J'e + Jfg = 37,5 + 9,2 + 1,67 = 48,37 Amp. Dieser Strom verteilt sich auf die zu l x8 kombinierten Längen l x l und l 0 : J

I V F

= J =

A

-

l

48,37 •

* * - =

J ^ —

J ,

V

F

=

= 10,52 Amp,

48,37 — 10,52 = 3 7 , 8 5 Amp.

Der Strom Jx7 «verteilt sich auf die zu Ime 4- L und l n : J n , = /«, J «

+

m

=

J*7

= 37,85 • —

Jn.F

kombinierten Längen

= 30,2 Amp,

= 37,85 — 30,2 - - 7,65 Amp,

—

78

—

hieraus bestimmt sich wieder: Jef = J«+m - J'e = 7,65 - 9,2 = - 1,55 Amp. Der Strom ist negativ, fließt also von F nach E. Für Knotenpunkt F muß die Kontrolle ergeben (vgl. Stronverteilung Fig. ^6): JF= Juf + Jivf + Jef+Jgf= 30,2 + 1 0 , 5 2 - 1 , 5 5 - 1 , 6 7 = 37,5 imp. Im Leiterstrang

fließt nun ein Strom:

J,t = JE + J'D + JEF

- 34,41 + 4,66 —1,55 = 37,52 Amp.

Dieser Strom verteilt sich auf die zu kombinierten Längen U + tundl.: , - „ Jm E = 37,52 - 29,7 Amp, Jj. + t = jx, — jin E = 37,52 — 29,7 = 7,82 Amp, hieraus findet man nun: Jde = Jx.+t— J'd = 7,82 — 4,66 = 3,16 Amp. Der Strom ist positiv, fließt also von D nach E. Die Kontrolle für Knotenpunkt E muß ergeben: Je = Jde + J f e + Juie = 3,16 + 1,55 4- 29,7 = 34,41 Amp. Im Leiterstrang lxS fließt nun ein Strom: JJt = JD + J'c + JDK = 22,57 + 7,5 + 3,16 = 33,23 Amp. Dieser Strom verteilt sich auf die zu lx6 kombinierten Langen lxi+hundli: Jiid = JX. ± = 33,23 • ^ = 26,9 Amp, Jx,+> = JXt — Jjid hieraus bestimmt man:

" 33,23 — 26,9 — 6,33 Amp,

Jcd -- JXl+h — J'c = 6,33 — 7,5 = — 1,17 Amp. Der Strom ist negativ, fließt also von D nach C. Für Knotenpunkt D muß die Kontrolle ergeben: Jn - Jde+

Jjid + Jcd = — 3,16 + 26,9 — 1,17 = 22,57 Amp

Der Strom im Leiterstrang l M wird nun: = Jc + J'b + Jcd = 25,69 + 5,7 — 1,17 = 30,22 Amp. Dieser Strom verteilt sich auf die zu l ^ kombinierten Läigen 1:3 +f und l„: J ,ft, Jic — JXt-~L= 30,22• ^ = 25,45 Amp, J

M

= JXt — JIC = 30,22 — 25,45 = 4,77 Amp,

—

79

—

hieraus wird nun: JBC. = • / * . , , - J'K = 4,77 — 5,7 = — 0,93 Amp. Das negative Vorzeichen gibt an, daß der Strom von C nach B fließt. Die Kontrolle für Knotenpunkt C muß ergebea: Je = JCD + Jic + JBC = 1,17 + 25,45 — 0,93 = 25,69 Amp. Im Leiterstrang l ^ fließt nun ein Strom: Jx. = JB+ J'A + JBC = 37,06 + 9,4 — 0,93 = 45,53 Amp. Dieser Strom verteilt sich auf die zu kombinierten Längen lx2 und l d : . oq * JJIB = JXT-^ = 45,53 • ^ = 20,7 Amp, Jx. - -- Jx, — JfiB = 45,53 — 20,7 = 24,83 Amp. Dieser Strom verteilt sich auf die zu l^ kombinierten Längen iI1+eundi4: , Jiv 24,83 • = 17,84 Amp, /,1+C = J,t — J IV B == 24,83 — 17,84 = 6,99 Amp, hieraus findet man: JAB

=

JXt+c

— J'A -= 6,99— 9,4 = — 2,41 Amp.

Der Strom fließt von B nach 4Für Knotenpunkt B muft,die Kontrolle ergeben: JB

===

JBC+ JIIB+JAB+JIVB=*0,93L+20,7

+17,84—2,41=37,06Amp.

Im X^eiterstrang l xl fließt nun ein Strom: JXl = JA + JAB = 44,73 — 2,41 = 42,32 Amp. Dieser Strom verteilt sich auf die zu l xl kombinierten Längen l a und /»: . 9 Jiv A = J X i - ^ f = 42,32 = 17,3 Amp, JiA= j.t — Jiva ~ 42,32 —17,3 = 25,02 Amp. Für Knotenpunkt A muß die Kontrolle ergeben (vgl. Stromverteilung Fig. 56): = JIA + JIVA + JAB = 25,02 + 17,3 + 2,41 = 44,73 Amp. Sämtliche Kontrollberechnungen stimmen. Die Superposition der Stromverteilung A und B ist in Fig. 58 dargestellt. Die resultierende Stromverteilung (vom punktierten Kreis umränderte Zahlen) ergibt die Stromumkehrpunkte im Netz, dasselbe JA

—

80

—

zerfällt in diesen Punkten in lauter offene Leiterzweige, für die man die Spannungsverluste leicht ermittelt.

Die Richtigkeit der resultierenden Stromverteilung ergibt folgende Kontrollrechnung: K o n t r o l l e a: Summe aller Knotenpunktströme = Null. Knotenpunkt A: 5,77 — 1,68 — 4,09 = 0 » B: 10,7 + 2,84 — 10,91—2,63 = 0 C: 15,45 — 5,37 — 10,08 = 0

—

81

—

Knotenpunkt D: 14,9 — 4,92 — 9,98 = 0 »> E: 6,8 —1,78 — 5,02 = 0 » F : 16,87 + 0,52 — 9,17 — 8,22 = 0 » G: 5,87—5,83 — 0,04 = 0. Die Kontrollrechnung ist richtig.

D. Berechnung der Leltungsquerscbnitte für Netze mit Knotenpunkten. Zur Bestimmung der Querschnitte müßte der zulässige Spannungsabfall und die Stromverteilung des Netzes bekannt sein. Letztere läßt sich aber nur bei gegebenen Querschnitten ermitteln. Man bestimme daher für Netze mit Knotenpunkten zunächst angenäherte Leitungsquerschnitte, indem man voraussetzt, daß die Stromverbraucher auf dem kürzesten Wege Strom zugeführt erhalten. Es werden also im Netz Stromumkehrpunkte angenommen und unter Zugrundelegung des zulässigen Spannungsverlustes für die sich ergebenden offenen Leiterstränge die Querschnitte ermittelt. Sollen beispielsweise für das in Fig. 31 skizzierte Netz die Leitungsquerschnitte ermittelt werden, so denke man sich das Netz in a aufgeschnitten, nimmt entweder die von und zu a fließenden Ströme entsprechend den Belastungen und Längen der Leiterstränge an, oder auch könnte man in diesem Fall annehmen, die Stromverbraucher erhalten ausschließlich ihren Strom von dem zum Leiterstrang gehörigen Speisepunkt. Nach Gleichung.(2) werden dann die Leitungsquerschnitte: 2c

v

.

Für einen zulässigen Spannungsabfall e = 2,5% und die Betriebsspannung E = 220 Volt, erhält man: _ ^ " -

2 57

10 • 50 + 8 (50 + 60) 0,025 - 220 =

6 • 40 + 20 (60 + 40) _ — A " " ~ 57 ' 0,025 • 220 ~~ 2 25-50 m " = 57 ' 0,025 - 220 = 7 , 9 5 m m '

q

q

8)8

mm

4 0

'

abgerundet auf Verbandsquerschnitt ergibt: qi„ = 10 mm2,

gu„ = 16 mm2,

qm« = 1 0 mm2.

Wie in dem Beispiel Fig. 31 gezeigt ist, wird nun auf Grund dieser Querschnitte die resultierende Stromverteilung ermittelt, und kann M u t t e r a b a c h , Berechnung der Stromnetze

G

—

82

—

man alsdann die Spannungsverluste im Netz bestimmen. Uberschreitet dieser Spannungsverlust in irgendeinem Strang den zulässigen Wert, so ist dort ein nächsthöherer Querschnitt zu wählen und mit diesem neuen Querschnitt das Netz noch einmal durchzurechnen. Außer dem Spannungsabfall müssen die Querschnitte auch der zulässigen Erwärmung der Leitung genügen.

E. Die Spelseleitangen. Speiseleitungen übertragen die Energie von der Kraftquelle zu den Speisepunkten eines Netzes. Da diese Speisepunkte möglichst konstante Spannung haben müssen, so muß der Spannungsverlust der einzelnen Speiseleitungen gleich groß sein. Nach dem V.D.E. darf der Spannungsabfall für GleichstromZweileiter-Speiseleitungen betragen: e = 5 -7- 10% der Betriebsspannung der Zentrale. Will man die Spannung der Speisepunkte kontrollieren, so ordne man von der Zentrale aus zu den einzelnen Speisepunkten Meßleitungen an, die in der Zentrale mittels eines Voltmeterumschalters mit einem Voltmeter von geringem Eigenverlust (elektrostatisches Voltmeter) verbunden werden. Vielfach werden auch die Spannungsverluste der Speisepunkte geschätzt, was speziell für hohe Betriebsspannung bei großen Entfernungen der Speisepunkte von der Zentrale in Frage kommt. Es müssen dann die Maschinen der Zentrale eine um diesen geschätzten Betrag höhere Spannung in die Speiseleitung schicken.

•

Zentrale

Zentrale

a,

ri

I

m

Flg. £0.

m

I

m 1 Fig. Ha.

Die Anzahl der Speiseleitungen ist immer gleich der Anzahl der Speisepunkte eines Netzes. Verlaufen nach Fig. 59 mehrere Speise-

—

83

-

leitungen von. der Zentrale aus eine Strecke gemeinsam, so könnte man die parallelen Leiterstränge bis zum Abzweigpunkt a zu einem Leiterstrang vereinigen (Fig. 59a), vorausgesetzt, der Gesamtquerschnitt wird so klein, daß ein Unterteilen nicht erforderlich wäre. Bezeichnet: J = Gesamtbelastung eines Speisepunktes, also die Summe der von diesem Punkt ins Netz fortfließenden Ströme, E = Betriebsspannung der Zentrale, l = einfache Leiterlänge vom Speisepunkt bis zur Zentrale, so wird nach Gleichung (1) der Querschnitt jeder Speiseleitung: 2c- J -l Ist die Anordnung der Speiseleitung nach Fig. 59 a, so sind die Querschnitte analog Fall 5 zu ermitteln.

4. Kapitel.

Berechnung der Gleichstrom-Dreileiternetze. Verdoppelt man die Betriebsspannung eines Netzes, so vermindert sich das Kupfervolumen desselben auf ca. % des früheren Wertes, vorausgesetzt, daß die zu übertragende Energie und der zulässige Verlust in beiden Fällen konstant ist. Diesen Vorteil bietet in der Hauptsache das Dreileitersystem gegenüber dem Zweileitersystem. Dreileiternetze

ZOE

•tf